Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
ВИВЛИСУГЗЖА
КОЛОХЗА
ОС联ОР歟А
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧ ЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974
531 A 61
УДК 531
Общая теория анизотропных оболочек, Амбарцумян С. А., Главная редакция физикоматематической литературы издательства《Наука», М・，1974.
Книга посвящена вопросам расчета на прочность, устойчивости и колебания анизотропных слоистых оболочек. В ней рассмотрены вопросы общей теории, статической и динамической устойчивости, свободных колебаний, термоупругости, аэроупругости, магнитоупругости анизотропных слоистых оболочек.
© Главная редакция физико-математической литературы издател! 《Наука», 1974 г.
А- 20302-104 宀“
А 151-74
'053(02)-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 11
Определения 11
Криволинейная анизотропия. Обобщенный закон Гука 14
Плоскость упругой симметрии (15). 2. Три плоскости упругой симметрии. Ортотропное тело (15). 3. Плоскость изотропии. Трансверсально изотропное тело (16). 4. Полная симметрия. Изотропное тело (17).
Составляющие деформации. Перемещения. Дифференциальные уравнения равновесия 17
Основные гипотезы 19
Классическая теория (19). 2. Частично уточненная теория, или итерационная теория (20). 3. Уточненная теория (20).
Теории, учитывающие и влияние нормального напряжения 。丁 (22). 5. Новая итерационная теория (22). 6. Замечания (23)
Литература 23
Глава I. Основные уравнения различных теорий анизотропных оболочек 25
Классическая теория 25
Перемещения и деформации (25). 2.Уравнения неразрывности
деформаций срединной поверхности (27). 3. Напряжения в оболочке (28). 4. Внутреинве силы и моменты (30). 5. Еще раз о деформациях и напряжениях (31). 6. Уравнения равновесия (32). 7. Соотношения упругости (34). 8. Граничные, или краевые, условия (36). 9. Потенциальная энергия деформа1щи оболочки (37). 10. Несколько слов об оболочках из ортотропных материалов (37). 11. Заключитсяьные замечания (40).
Классическая теория симметрично нагруженных ортотропных
оболочек вращения 41
Разрешающие уравнения п расчетные формулы (43).
Классическая теория анизотропных круговых цилиндрических оболочек 47
Разрешающие уравнения и расчетные формулы (48). 2. Техническая теория (50). 3. Теория осесимметричной деформации
анизотропной замкнутой круговой цилиндрической оболочки (56).
Классическая теория ортотропной сферической оболочки. . . .60
Разрешающие уравнения и расчетные формулы (61). 2. Разрешающие уравнения и расчетные формулы для ортотропной сферической оболочки в географической системе координат (64).
Классическая теория пологих анизотропных оболочек . . . .66
Разрешающие уравнения и расчетные формулы (69).
Весьма пологие оболочки (71). 3. Весьма пологие анизотропные оболочки большого прогиба (77).4. Замеча
ние (80).
Частично уточненная, или итерационная, теория ортотропных оболочек £0
Перемещения и деформации (82). 2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты (84). 3) Разрешающие уравнения (87). 4. Техническая итерационная теория ортотропных оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать 4=const, 5=const, /сг= const, fc2=const. (90). 5. Пологие ортотропные оболочки большого прогиба (95).
Уточненная теория анизотропных оболочек 102
Перемещения и деформации (103). 2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты (105). 3. О разрешающих уравнениях (108). 4. Граничные, или краевые, условия (109). 5. Уточненная техническая теория ортотропных оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать Л =const, 5—const, 〃l=CODSt, &=const (110).
Уточненная теория трансверсально изотропных оболочек ・• •122
Перемещения и деформации (122). 2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты (123). 3. О разрешающих уравнениях и граничных условиях (125). 4. Трансверсально изотропная круговая цилиндрическая оболочка (125). 5. Трансверсально изотропная сферическая оболочка (128).
Новая итерационная теория * 132
Перемещения и деформации (135). 2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты (139). 3. О разрешающих уравнениях и граничных условиях (141). 4. Новая техническая итерационная теория оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать Л = const, B=const, &=const, Ar2=const (142). 5. Новая итерационная теория симметрично нагруженных ортотропных оболочек вращения (150).
Классическая теория анизотропной слоистой оболочки, составленной из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности 156
Перемещения, деформации, уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности (156). 2. Напряжения в слоях (158). 3. Условия контакта смежных слоев (159). 4. Об уравнениях равновесия и граничных условиях (159). 5. Соотношения упругости (159). 6. Заключительные замечания (161).
Классическая теория оболочек, собранных из произвольного числа анизотропных слоев 1. Перемещения, деформации, уравнения неразрывности, напряжения в слоях, уравнения равновесия элемента оболочки, граничные условия (163). 2. Соотношения упругости (164). 3. Замечания (166).
Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории ^симметрично-нагруженных ортотропных оболочек вращения, составленных из произвольного числа слоев 1. Разрешающие уравнения и граничные условия (167). 2. Внутренние силы и моменты (169). 3. Напряжения в слоях и перемещения (169).
Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории анизотропных цилиндрических оболочек, составленных из произвольного чмспа однородных слоев 1. Разрешающие {уравнения и расчетные формулы в перемещениях (172). 2. Техническая теория (175).
Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории пологих анизотропных оболочек, составленных из произвольного числа однородных слоев 1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы (186). 2. Весьма пологие оболочки (190). 3. Многослойная сферическая оболочка (200). 4. Весьма пологие анизотропные слоистые оболочки большого прогиба (205).
Основные уравнения и соотношения теории анизотропных слоистых оболочек со слоями переменной толщины 1. Уравнения равновесия (206). 2. Соотношения упругости и еще раз o6j уравнениях равновесия (211). 3. Замечание (212).
Осесимметрично нагруженные анизотропные оболочки вращения со слоями переменной толщины 1. Исходные соотношения и уравнения (212). 2. Разрешающие уравнения (213).
Заключительные замечания Литература
Глава II. Определение напряженного состояния и деформации различных типов оболочек
162166171185205212216217223223162166171185205212216217223223Безмоментное напряженное состояние однородных оболочек 1. Определение напряжений (224). 2. Разрешающие уравнения и граничные условия (225). 3. Перемещения и деформации (226).
162
166
171
185
205
212
216
217
223
223
162
166
171
185
205
212
216
217
223
223
2352422482572602622662782S92352422482572602622662782S9
235
242
248
257
260
262
266
278
2S9
235
242
248
257
260
262
266
278
2S9
Еще раз о напряжениях (231). 5. Об области применимости безмоментной теории (233).
Безмоментная теория анизотропных оболочек нулевой кривизны
Ортогональные криволинейные координаты на поверхностях нулевой гауссовой кривизны (235). 2. Исходные уравнения и соотношения (237). 3. Общий интеграл уравнений безмоментной теории оболочек нулевой гауссовой кривизны (238).
Вопросы расчета симметрично нагруженных оболочек вращения по безмоментной теории 1. Исходные уравнения и соотношения (243). 2. Общий интеграл уравнений безмоментной теории симметрично нагруженных оболочек вращения (244). 3. Несколько слов о напряженно- Деформированном состоянии симметрично нагруженной оболочки вращения (247).
Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения ортотропной симметрично собранной слоистой или однородной оболочки вращения. О частном решении неоднородного урав- нения 1. Об определении частного решения уравнения (4.1) (249). 2. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения (4.1) (250). 3. Внутренние силы и моменты, напряжения, перемещения (254). 4. Замечания (257).
Краевой эффект в анизотропных оболочках вращения ...
Длинные оболочки вращения Замечание (262).
Решение некоторых задач для оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны, составленных из произвольного числа слоев £. Цилиндрическая оболочка (263). 2. Коническая оболочка (264).
Интегрирование разрешающих уравнений технической теории цилиндрических оболочек методом одинарных тригонометрических рядов 1. Круговая цилиндрическая оболочка открытого профиля (267). 2. Круговая цилиндрическая оболочка замкнутого профиля (272). 3. Несколько слов об интегрировании уравнений (8.5) и (8.33) (277).
Осесимметричная деформация круговой замкнутой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии. Два примера расчета круговой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии
О возможности построения напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с помощью приближенных уравнений
297308320339343343354297308320339343343354
297
308
320
339
343
343
354
297
308
320
339
343
343
354
Построение разрешающих уравнений различных теорий расчета изотропных оболочек (291). 2. Несколько слов о пределах применимости полученных разрешающих уравнений (295).
Интегрирование разрешающих уравнений теории весьма пологих оболочек 1. Шарнирно опертая по всему контуру ортотропная слоистая оболочка, симметрично собранная относительно срединной поверхности (297). 2. Многослойная сферическая оболочка под действием сосредоточенной силы (302).
Решения некоторых задач анизотропных оболочек с помощью уточненных теорий
Еще раз о распространении краевого эффекта (308). 2. Свободно опертая по всему контуру весьма пологая трансверсально изотропная оболочка (312). 3. Задача, в которой исследуется вопрос влияния поперечного обжатия и поперечного нормального напряжения на напряженно-деформированное состояние ортотропной оболочки (316).
Температурные напряжения в анизотропных оболочках ... 1. Классическая теория термоупругости слоистых ортотропных оболочек (321). 2. Задача термо упругости ортотропной оболочки вращения с учетом зависимости упругих и термических постоянных материала оболочки от температуры (328). 3. Некоторые вопросы термоупругости пологой ортотропной оболочки с учетом поперечных сдвигов (334). 4. Замечание (338).
Литература*・ * •
Глава Ш・ Некоторые задачи колебаний и устойчивости анизотропных слоистых оболочек
Свободные колебания
Определение частот колебаний шарнирно опертой по всему контуру ортотропной цилиндрической панели (346). 2. О свободных колебаниях трансверсально изотропной сферической оболочки (350). 3. Осесимметричные свободные колебания анизотропной круговой цилиндрической оболочки (352).
Некоторые вопросы статической устойчивости анизотропных оболочек 1. Устойчивость пологой ортотропной цилиндрической панели (355). 2. Две задачи устойчивости замкнутой трансверсально изотропной цилиндрической оболочки (357). 3. Об устойчивости трансверсально изотропной сферической оболочки (360). 4. К устойчивости анизотропной круговой цилиндрической оболочки (362). 5. Вопросы устойчивости слоистых ортотропных оболочек (363).
Некоторые задачи анизотропных оболочек, подверженных действию динамически приложенных нагрузок
Задача динамической устойчивости многослойной ортотропной пологой оболочки (379). 2. Динамическая устойчивость анизотропной замкнутой круговой ^цилиндрической оболочки (386). 3. Несколько слов об учете поперечных сдвигов при рассмотрении задач динамической устойчивости (390). 4. Продольный удар вращающейся анизотропной полубесконечной круговой цилиндрической оболочки о жесткую стенку (391).
Некоторые вопросы устойчивости анизотропной слоистой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа 1. Устойчивость анизотропной круговой цилиндрической оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа (399). 2. Устойчивость анизотропной слоистой круговой цилиндрической оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа (403). 3. Устойчивость гибкой ортотропной оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, с учетом поперечных сдвигов (409).
Некоторые задачи динамики анизотропных пологих оболочек, находящихся в переменном температурном поле ...... 1. О поперечных колебаниях прямоугольной в плане пологой оболочки (419). 2. Устойчивость при обтекании ортотропной цилиндрической оболочки, находящейся в поле действия переменной температуры (425).
Флаттер цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой проводящей жидкости в присутствии магнитного поля Литература
398398414414430440444430440444Предметный указатель
398
398
414
414
430
440
444
430
440
444
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена исследованию вопросов прочности, устойчивости и колебаний анизотропных оболочек. Она является естественным продолжением монографии автора «Теория анизотропных оболочек» (1961), посвященной вопросам статики анизотропных слоистых оболочек, и монографии «Теория анизотропных пластин» (1967), в которой рассмотрены вопросы уточненных теорий анизотропных пластин. В настоящей книге некоторые результаты, входящие в первую монографию, повторяются.
Книга состоит из введения и трех глав.
Во введении приводятся все исходные уравнения и гипотезы, на основании которых написаны три главы книги.
В первой главе излагаются основные теории анизотропных оболочек, а именно: классическая теория, в основе которой лежит известная гипотеза недеформируемых нормалей, и некоторые уточненные теории, которые учитывают поперечные деформации и напряжения и наиболее интересны с точки зрения приложений.
В книге, в основном, обсуждаются вопросы теории анизотропных однородных оболочек. Однако здесь освещаются также некоторые вопросы классической теории слоистых оболочек.
Во второй главе рассматриваются решения многочисленных задач статики различных типов анизотропных оболочек. Выявляются специфические особенности напряженно-деформированного состояния оболочек, изготовленных из анизотропных материалов.
В этой главе, наряду с решениями конкретных задач, освещаются также некоторые общетеоретические вопросы, представляющие интерес и для приложений. Здесь же обсуждаются вопросы термоупругости анизотропных слоистых оболочек.
Последняя глава охватывает ряд вопросов устойчивости и колебаний анизотропных слоистых оболочек. Здесь на основании классической и уточненных теорий рассматриваются задачи свободных колебаний, статической и динамической устойчивости, удара и флаттера анизотропных слоистых оболочек. Рассматриваются задачи колебаний и флаттера оболочки в поле действия высоких температур, а также магнитного поля.
На основании приведенного краткого содержания книги можно заключить, что она представляет интерес для специалистов, работающих в области машиностроения, самолетостроения, кораблестроения, ракетостроения и других отраслях современной техники.
Несмотря на широкий круг вопросов, освещенных в настоящей книге, она не может претендовать на полноту, ибо содержит лишь некоторые основные результаты общей теории анизотропных оболочек.
Основную часть книги составляют результаты, полученные автором. В нее вошли также некоторые результаты, полученные сотрудниками и последователями автора.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность А. Л. Гольденвейзеру, внимательно прочитавшему рукопись книги и сделавшему много ценных замечаний.
С. А. Амбарцумян
ВВЕДЕНИЕ
В современной технике ——строительном деле, самолетостроении, кораблестроении, ракетостроении и т. д, — в качестве рациональных конструкций и конструктивных элементов применяются оболочки. Они в громадном большинстве случаев естественно или конструктивно анизотропны. Большинство анизотропных оболочек одновременно и слоисты.
Широкое распространение анизотропных слоистых оболочек вызывает большой интерес к теории анизотропных оболочек.
Задачей теории анизотропных слоистых оболочек, как и задачей теории оболочек вообще, является изучение прочности, деформативности, устойчивости и колебаний оболочек, изготовленных из различных материалов и находящихся в различных условиях эксплуатации.
Особый интерес теория анизотропных слоистых оболочек приобретает при рассмотрении оболочек, изготовленных из новых конструкционных материалов.
Следует отметить также, что результаты, полученные по теории анизотропных слоистых оболочек, могут быть использованы в частном случае изотропных оболочек. При этом, исходя из специфичных положений теории анизотропных оболочек, можно получить новые результаты и в теории изотропных оболочек.
§ !• Определения
В механике сплошных твердых деформируемых сред оболочкой принято называть тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими его размерами.
Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих образующих оболочку поверхностей, называют срединной поверхностью оболочки.
Пусть срединная поверхность оболочки отнесена к криволинейной ортогональной системе координат а и р, и пусть это сделано так, что координатные линии аир совпадают с линиями главной кривизны срединной поверхности оболочки (рис. 1).
В выбранной системе координат срединная поверхность будет характеризоваться: главными кривизнами Л1=Л1 (а, 0), 左纟= —А2 (а,卩)и соответствующими радиусами кривизны & = =& (а, В), 尺2=尺2 (а. В) линий кривизны p=const, а=const; коэффициентами первой квадратичной формы А=А (а, р),
В=В (а, р), с помощью которых квадрат линейного элемента срединной поверхности представляется известной формулой
ds2 = A2da2 + 52d 俨.(1)
Наконец, для полноты картины укажем, что между к^ А и В существуют известные соотношения Гаусса——Кодацци, которые имеют вид )
(我,.),«十G4,3，产一屈&4瓦⑵
(4月)，日=，2",伊(8卷), a =е2, а.
Таким образом, положение какой-либо точки срединной поверхности будем определять двумя криволинейными координатами аир. Для определения же положения какой-либо точки, оболочки, находящейся вне срединной поверхности, вводим третью, нормальную к линиям а=const, p=const, координату у, которая представляет расстояние по нормали от точки (а, 0) срединной поверхности до точки (а, % у) оболочки (рис. 2).
Теперь линейный элемент оболочки в выбранной системе координат будет определяться следующей формулой:
dl^ = H]da? + H^ + d^dl^ = H]da? + H^ + d^(3)(3)
dl^ = H]da? + H^ + d^
dl^ = H]da? + H^ + d^
(3)
(3)
дР_ 石=дР_ 石=匕幻匕幻дР 砌=p，畔дР 砌=p，畔и т. д.и т. д.
дР_ 石=
дР_ 石=
匕幻
匕幻
дР 砌=p，畔
дР 砌=p，畔
и т. д.
и т. д.
⑷⑷где для коэффициентов Ламе Н. = Н. (а,卩)имеем Н^А^+к^ H2 = B(l+k^\
⑷
⑷
Длина отрезка, нормального в данной точке к срединной поверхности оболочки и ограниченного образующими оболочку поверхностями, определяет толщину оболочки. Толщина оболочки, вообще говоря, может быть величиной переменной, т. е. h=h (а,卩) (рис. 3). Однако в дальнейшем, как правило, мы будем рассматривать лишь такие оболочки, у которых const, т. е. оболочки постоянной толщины.
Укажем также, что здесь мы будем интересоваться и слоистыми оболочками постоянной к переменной общей толщины 无=const и fe =
=h (а, р), составленными из одно
толщинытолщиныродных анизотропных слоев как постоянной толщины =const ^2^» ~h,n — число слоев^ , так и переменной
толщины
толщины
匕= %(а, Р).
Наконец укажем, что, допуская обычную для инженерного расчета относительную погрешность ~5%, ориентировочно тонкими будем считать такие оболочки, у которых max (砲)《1/20 и одновременно h/a ^ е (рис. 4), где а ——минимальный линейный размер оболочки в срединной или в какой-либо образующей оболочку поверхности, е — малая величина, которая существенно зависит от характера анизотропии материала оболочки и окон- лишь в последующем. Однако для
лучшей ориентации предварительно укажем, что для изотропной оболочки s^0,l. Второе условие, заимствованное из теории анизотропных пластинок, является обязательным, так как если тонкую оболочку определять только с точки зрения отношения толщины оболочки к минимальному радиусу кривизны координатной поверхности (первое условие), то оболочка с точки зрения теории пластинок (второе условие) может оказаться толстой.
В этой книге мы будем заниматься только тонкими оболочками и будем строить лишь теории тонких анизотропных оболочек.
§ 2. Криволинейная анизотропия. Обобщенныйзакон Гука
Изучая распределения напряжений и деформаций в анизотропной оболочке, мы будем полагать, что тело оболочки в процессе
деформации остается упругим и подчиняется обобщенному закону
Гука, данному для анизотропного тела.
Тело, вообще говоря, называется анизотропным, когда оно по разным направлениям имеет разные физико-механические свойства.
Анизотропные однородные тела, в которых все параллельные направления, проведенные через разные точки, являются эквивалентными в отношении физико-механических свойств, называются телами с прямолинейной анизотропией. В этом
случае все одинаковые и одинаково
направленные элементы в виде прямоугольных параллелепипедов, выделенные в разных местах тела, являются идентичными —— обладают одинаковыми свойствами. Таковыми являются, напри
мер, для случая тела с прямолинейной анизотропией элементы 2, 2, 5, показанные на рис. 5.
Анизотропные тела, в которых эквивалентными с точки зрения физико-механических свойств являются не параллельные направления, проведенные через различные точки тела, а направления, которые подчиняются иным закономерностям, называются криволинейно анизотропными. Выбирая систему криволинейных координат а, р, у так, чтобы в каждой точке эквивалентные направления совпадали с координатными направлениями, замечаем, что бесконечно малые элементы,
Рис. 6. выделенные в разных точРис. 6. выделенные в разных точках тела тремя парами координатных поверхностей, обладают одинаковыми свойствами. Таковы, например, элементы 2, 2 3 на рис. 6.
Рис. 6. выделенные в разных точ
Рис. 6. выделенные в разных точ
В общем случае однородного криволинейно анизотропного тела обобщенный закон Гука в системе триортогональных коор-
динат а,阳 丫 имеет следующий вид:
〃 =«11% + 〃12| + 〃13% + 〃14、了 + 〃15%7 + «16Ха₽>
“ =〃12°а + 〃22“© ++^26T 咐
%0 = a165а + a2妳 ++ a66% 伊
где aik — упругие постоянные (коэффициенты деформации); независимых упругих постоянных всего 21.
Здесь и в последующем, как обычно, приняты следующие обозначения: е.——относительные деформации удлинения,々扣 ——деформации сдвига, о^ ——нормальные напряжения, q比 ——касательные напряжения.
Когда анизотропное тело обладает упругой симметрией, то уравнения обобщенного закона Гука упрощаются. Укажем некоторые наиболее важные случаи упругой симметрии.
Плоскость упругой симметрии. Пусть в каждой точке тела имеется плоскость, обладающая тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, эквивалентны в отношении упругих свойств.
Предполагая, что координата у в каждой точке криволинейно анизотропного тела перпендикулярна к плоскости упругой симметрии, получим
% = %Fa + a1200 + a130了 + a16% 伊 " =a12% + a22clp + 他3、+ &6%3, ?了 =a13% + Й23аР + а33°[ + 036'叩， % = а^^Х + '《5%，
4a = a45、1 + 瓏5%，
е珅=/6% + %бо0 + 我36"[ + 询6%仍
В этом случае число независимых упругих постоянных aik сокращается до тринадцати.
Направления, перпендикулярные к плоскостям упругой симметрии, называются главными направлениями упругости. В обсуждаемом случае упругой симметрии через каждую точку тела проходит одно главное направление.
2・ Три плоскости упругой симметрии. Ортотропное тело. Пусть через каждую точку тела проходят три взаимно ортогональные плоскости упругой симметрии. Предполагая, что в каждой точке криволинейно анизотропного тела эти плоскости перцендику-
лярны к соответствующим ортогональным координатным направлениям а, р, т，получим
6& =仪工凡 + %2、+ %з%, 6向=@44%，
% = %2% + 色2bB + 色3% ^а -以好产,(7)
6 = @13% +@23牛+ 3斗6碉=a66%В，丿
В этом случае число независимых упругих постоянных aik равно девяти.
Уравнения (7) могут быть представлены и с помощью технических постоянных:
1У[»Viо1
4 =斫。" 一瓦。В 一^%，须*，
%=一^% +*丁簪。Г％,=为*(8)
今=一冒% 一鬻、+ *%，Qb =肃%.
Здесь в силу симметрии уравнений (8) существуют зависимости
" 2V21=豆1V12，E3Y32 = e2"23,石 1V13 =豆3V31"(9)
В этих формулах и в последующем Е^Е^ Е^Е^ Е3==Еу — модули Юнга соответственно по направлениям а, р, 7; G^=G23, ^Та=^1з» 6磁=6]2 一 модули сдвига, характеризующие изменения углов между главными направлениями р и у, а и у, аир； %=%， ％=у阿 ％=%, %=&а， ％=%， *2=% — коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сокращение (расширение) при растяжении (сжатии) в направлении координатных линий (первый индекс показывает направление сокращения или расширения, второй индекс ——направление действия силы).
4 = a1Л + %2午 + %%, е© = %2备 + лпар + %з%， 6[ = /з (% + °3)+ @33%,В зтом случае число независимых пяти, ибо 仪66=2 (©и——а12).4 = a1Л + %2午 + %%, е© = %2备 + лпар + %з%， 6[ = /з (% + °3)+ @33%,В зтом случае число независимых пяти, ибо 仪66=2 (©и——а12).Плоскость изотропии. Трансверсально изотропное тело* Пусть через каждую точку тела проходит плоскость, в которой все направления упруго эквивалентны. Предполагая, что в криволинейно анизотропном теле координата у в каждой точке перпендикулярна к плоскости изотропии (в последующем нас будет интересовать именно такое расположение системы координат), получим
4 = a1Л + %2午 + %%, е© = %2备 + лпар + %з%， 6[ = /з (% + °3)+ @33%,
В зтом случае число независимых пяти, ибо 仪66=2 (©и——а12).
4 = a1Л + %2午 + %%, е© = %2备 + лпар + %з%， 6[ = /з (% + °3)+ @33%,
В зтом случае число независимых пяти, ибо 仪66=2 (©и——а12).
⑴Y =仪小打，
6Ya = @44%:(1。)
6碑=@66% *
упругих постоянных равно
1717следующим⑴)следующим⑴)§ 3]СОСТАВЛЯЮЩИЕ ДЕФОРМАЦИИ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
17
17
следующим
⑴)
следующим
⑴)
Уравнения (10) могут быть представлены и образом:
1Yу'1
% 一百乍一庐1y加=亨卜r
1V”v"1
0=炉％一彳%一百% e«p = ^%.
Здесь в силу симметрии уравнений (11)
УЕ』$Е.(12)
В этих формулах Е ——модуль Юнга для направлений в плоскости изотропии; Е* ——модуль Юнга для направлений, перпендикулярных к плоскости изотропии; V — коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в той же плоскости;，——коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в направлении, перпендикулярном к этой плоскости; v〃 ——коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в направлении, перпендикулярном к плоскости изотропии, при растяжении в плоскости изотропии; G' —— модуль сдвига для плоскостей, нормальных к плоскости изотропии; G—EI2 (1 + 丫)—— модуль сдвига для плоскости изотропии.
Полная симметрия. Изотропное тело. Здесь все направления эквивалентны и любая плоскость в любой точке тела есть плоскость упругой симметрии. Уравнения обобщенного закона Гука в этом случае имеют вид
4 = ^[% -V(牛 + %)],飼=^1配
^ =善田厂V(% +喇，％=标网 (13)
8 = 3旧一m% + 叫],% = ^%.
Здесь Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, <7=^/2 (1 + v) 一 модуль сдвига. Число независимых упругих постоянных равно двум.
Составляющие деформации. Перемещения.Дифференциальные уравнения равновесия
Пусть тело оболочки, отнесенное к триортогональной системе координат а, % у, под действием каких-либо сил претерпевает деформации. Тогда какая-либо точка оболочки М, имеющая координаты (а, р, у), получит перемещение, которое может быть
2 С. А. Амбаппт ян
представлено следующими тремя проекциями вектора полного перемещения на направления касательных к координатным линиям а, р, 丫 (рис. 7):
'% = %(% В，т)，
а。= % (% р, 丁)一(14)
% = %(% р, у)--
Деформированное состояние тела оболочки в окрестности точки М (а, р, т) характеризуется шестью составляющими деформации, которые связаны с перемещениями точки М посредством известных соотношений:
/ 1 以 21瓦1瓦一/ 1 以 21瓦1瓦一""/瓦 一 L产""/瓦 一 L产%%产ea产ea44也也1^1 瓦1^1 瓦区区1瓦+1瓦+UTUT55
/ 1 以 2
1瓦1瓦一
/ 1 以 2
1瓦1瓦一
""/瓦 一 L产
""/瓦 一 L产
%
%
产
ea
产
ea
4
4
也
也
1^1 瓦
1^1 瓦
区
区
1瓦+
1瓦+
UT
UT
5
5
Уравнения равновесия дифференциального элемента da dp ay, выделенного из тела оболочки, выглядят следующим образом:
("2吗,a + (%%3, В + (4典2%), 了 - 0匹,a +
(16)(16)+ 限修,P + *«%&, 丫 + P/1% = 0, (必喻p + (%%*), т + (也、《),« — *i,什
(16)
(16)
+ %%82, 1 + %用," 十 P/ 1也=0.
(X区啦什(%%),"+(%%)"一
-%/%, Т 一。产/2, Т + 与%% = 0,
%0 -出，% — ya» 卜7 - yP>
где Pi~Pi (a,卩,т) представляют составляющие объемной силы по направлению касательных к координатным линиям. Напомним, что Н《——коэффициенты Ламе, которые в силу (2) и (4) удовлетворяют условиям , 、
4 1 1 1
Присоединяя к приведенному выше условия на поверхности, можно приступить к построению теории анизотропных оболочек в линейной постановке.
Вопросы нелинейной теории анизотропных оболочек нас будут интересовать лишь частично, поэтому общие вопросы теории будем излагать в линейной постановке.
Основные гипотезы
Очевидно, построение общей теории анизотропных оболочек в рамках трехмерной задачи теории упругости сопряжено с почти непреодолимыми трудностями. Поэтому исследователи анизотропных оболочек идут по пути сведения трехмерной задачи теории оболочек к двухмерной задаче, т. е. по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двухмерным уравнениям теории оболочек.
Для решения.этой проблемы было предложено большое число методов. Они могут быть представлены: а) методом гипотез; б) методом разложений по толщине; в) асимптотическим методом.
Здесь без обсуждения других методов на основании метода гипотез будут построены различные теории анизотропных оболочек. Мы считаем, что метод гипотез, наряду с чрезвычайной наглядностью, очень быстро и относительно просто приводит к окончательным результатам и прикладным рекомендациям.
Имеет ли метод гипотез недостатки? Да, имеет, и основной из них ——трудности получения оценки погрешности. Однако этого бояться не надо, ибо развитие других методов (б, в) открывает новые пути для преодоления этих трудностей,
В настоящей книге будем рассматривать лишь теории анизотропных оболочек, построенные методом гипотез.
Будем полагать также, что материал оболочки таков, что в каждой точке оболочки имеется по меньшей мере одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки.
Более общие случаи анизотропии здесь вовсе не будут обсуждаться.
Таким образом, в последующем в общем случае будем пользоваться обобщенным законом Гука (6), т. е. уравнениями, описывающими анизотропное тело, которое в каждой точке имеет лишь одно главное направление упругости*
Классическая теория. Эта теория основывается на известной гипотезе недеформируемых нормалей, которая формулируется так:
нормальный к срединной поверхности прямолинейный элемент оболочки после деформации оболочки остается прямолинейным, нормальным к деформированной срединной поверхности и сохраняет свою длину;
нормальными напряжениями а на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.
Таким образом, в силу принятых предположений можно считать, что из шести соотношений (15) третье, четвертое и пятое соотношения могут быть заменены следующими приближенными равенствами:
q = & 屬. = 0, % = 0,(18)
которые формально равносильны допущению, что деформация оболочки в целом происходит без деформаций сдвига %了，⑴了 в плоскостях нормальных сечений и без деформации удлинения % по толщине оболочки.
Согласно второму предположению напряжением а^ можно пренебречь лишь в уравнениях обобщенного закона Гука. В уравнениях же равновесия напряжением 。丁 пренебрегать нельзя, и оно при необходимости определяется из третьего уравнения системы (16).
Частично уточненная теория, или итерационная теория. Эта теория анизотропных оболочек частично уточняет классическую теорию. Она основывается на следующих гипотезах:
при определении деформаций еау и 色了 считаем, что касательные напряжения raY и t切 не отличаются от соответствующих напряжений, найденных по гипотезе недеформируемых нормалей, т. е. от соответствующих напряжений классической теории;
нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение % не зависит от координаты 丫；
нормальными напряжениями 。丫 на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.
Принимая приведенные гипотезы, мы приближенно полагаем
8 = & % — *‘ 脸 ~ %。了 。‘(19>
где 已，rg ——касательные напряжения классической теории.
Уточненная теория. Она основывается на следующих гипотезах:
касательные напряжения тат и т^ или соответствующие деформации еоу и е^ по толщине оболочки меняются по заданному закону;
нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение 匕 не зависит от координаты у;
нормальными напряжениями о了 на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.
у- (% р) — тангенциаль-у- (% р) — тангенциаль-поверхностяхповерхностяхоболочки:оболочки:нанапятоепятое(22)(22)
у- (% р) — тангенциаль-
у- (% р) — тангенциаль-
поверхностях
поверхностях
оболочки:
оболочки:
на
на
пятое
пятое
(22)
(22)
Принимая приведенные гипотезы, мы приближенно полагаем q = 0, ит = ш (а,吼
%=%СГ)<Р(а, Р) + ^^^Ч4(Х+ + Х-),RO)
、尸为⑴屮(a,①+^^^+裁尸+『)，
где Х+(а, р), У+(а,① и Х~(а,①,
ные компоненты векторов интенсивности поверхностных нагрузок, приложенных на внешних поверхностях оболочки(7=^/2, 7=—无/2); h — толщина оболочки (рис. 8); (Р (а, р) и 屮(％ р) — произвольные искомые функции координат % р； f. (?) — функции, характеризующие законы изменения касательных напряжений %了 R 、了 по толщине оболочки, причем 力(土无/2)=0,
Рассматривая (20), замечаем, что касательные напряжения %丫 и 、丁 удовлетворяют следующим условиям
при т =%/2%7 = x\ c肉=y ;]
при т=—〃2 % = —х\ Тр7 = —у-. J
Подставляя значения 弋叮 и 七即 из (20) в четвертое и уравнения (6), для деформаций сдвига получим
1
%尸055" + ®5/2屮 + y а5 (Х+ - x一) + ®5 (户一У)]+ + 十"5(X++ x-)+ з (戸+ У一)], 6色=a44/2屮 + 甸 5/2?+ 0 ['44 (户-У一)十 时 (Х+ - x一)] + ++®4(у++у-) + “(х++х-)].
Очевидно, из всех рассмотренных выше теорий наиболее универсальной является последняя, уточненная теория, так как из этой теории в частных случаях можно получить классическую и частную теории. В этом легко убедиться, рассматривая основные гипотезы этих теорий.
Например, полагая, что жесткости поперечных сдвигов материала оболочки равны бесконечности^ т. е. 044=055=045=。, из (22)
получим аналитически сформулированные основные предположения классической теории, т. е. е”=°， ^у=0. Или, заменяя в (20) правые части равенств известными функциями 唸 и 啥， т. е. полагая % = % и 弋附=% получим основную гипотезу итерационной теории, т. е. соотношения (19).
Рассматриваемые теории, наряду с основными гипотезами, содержат еще два, единых для всех теорий, предположения, а именно: приближенно полагается ет=0, и пренебрегается напряжением Оу При построении теорий анизотропных оболочек эти предположения могут быть и не приняты; кстати, такие теории построены и заинтересованный читатель может найти их в последующих параграфах или, например, в вышеупомянутых монографиях автора. Однако анализ напряженно-деформированного состояния различных типов анизотропных оболочек показывает, что, как правило, в реально существующих оболочках погрешности в окончательных результатах, обусловленные принятием указанных двух предположений, зачастую настолько незначительны с точки зрения приложений, что ими можно пренебрегать.
Таким образом, мы примем в рассматриваемых здесь теориях эти два предположения, зная, что при решении задач прочности, устойчивости и колебаний тонких анизотропных оболочек получаемые результаты имеют точность, достаточную для инженерных разработок.
Теории, учитывающие и влияние нормального напряжения %. Уточненные теории, построенные на основании гипотез, приведенных в пп. 2 и 3 настоящего параграфа, могут быть несколько улучшены. С этой целью в процессе построения указанных двух теорий надо отказаться от предположения о возможности пренебречь нормальным напряжением оу по сравнению с прочими напряжениями. При этом нормальное напряжение、определяется из третьего уравнения равновесия (16), т. е. после того, как устанавливаются окончательные выражения для напряжений
Новая итерационная теория. Эту теорию мы условно называем новой, так как она сформулирована совсем недавно и, пожалуй, является самой последней среди теорий рассматриваемого класса, т. е. среди теорий, построенных методом гипотез. Она называется итерационной теорией, так как основные идеи уточнения идентичны с идеями, использованными при построении итерационной теории (см. п. 2 настоящего параграфа). Новая итерационная теория основывается на следующих предположениях:
при определении деформаций е^ и 廿向 считается, что касательные напряжения ^。丫 и трг не отличаются от соответствующих напряжений т\,力丁, найденных по классической теории;
деформация е? и нормальное напряжение о? не отличаются от со отв етствующих величин (”，呼)классической теории.
Согласно этим гипотезам мы, по сути дела, приближенно принимаем
О • .i лО р • ■ лО [I 丿
匕叶一匕叫，匕力一匕館匕Y 一已了，丿
где 吟一соответствующие деформации классической теории.
Если классическую теорию трактовать как нулевое приближение, то новую теорию можно рассматривать как последующее, первое.
Новая итерационная теория отличается от всех приведенных теорий тем, что здесь делается попытка учесть влияние деформаций q на напряженно-деформированное состояние анизотропной оболочки.
Замечания. Таким образом, мы здесь привели гипотезы, на основании которых в первой главе будут построены различные теории анизотропных оболочек.
Из известных в литературе гипотез здесь приведены лишь те, которые находятся в кругу научных интересов автора.
Построенные на основании этих гипотез классическая и уточненные теории имеют важное значение для приложений и, как все теории этого класса, могут быть использованы для решения внутренней задачи анизотропной оболочки. Что же касается решения задачи краевой зоны, то здесь как классическая теория, так и любая уточненная теория, в разумных пределах приближения, не могут быть использованы. В этом случае очевидно, что мы должны привлечь трехмерную задачу теории упругости анизотропного тела.
ЛИТЕРАТУРА
Айнола Л. Я. и Н и г у л У. К., Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Известия АН ЭстССР, № 1, 1965.
Амбарцумян С. А., Теория анизотропных оболочек. Физматгиз, 1961.
Амбарцумян С. А., Некоторые вопросы развития теории анизо тропных слоистых оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 17, № 3, 1964.
АмбарцумянС. А・,Теория анизотропных пластин. Физматгиз, 1967.
Амбарцумян С. А., Специфические особенности теории оболочек из современных материалов. Известия АН АрмССР (механика), т. 21, № 4, 1968.
В е к у а И. Н., Об одном методе расчета призматических оболочек. Труды Тбилисского математического института им. А. М. Размадзе, т. 21, 1955.
Власов В. 3., Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.
Ворович И. И., Обхцие проблемы теории пластин и оболочек. Труды 6-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во «Наука», 1966.
Г а л и н ь ш А. К., Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям. Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казанского ун-та, 1970.
11.11.Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек. Гос- техиздат, 1953.
11.
11.
Гольденвейзер А. Л., Методы обоснования и уточнения теории оболочек. ПММ, т. 32, в. 4，1968.
Кильчевский Н. А., Основы,аналитической механики оболочек.
Изд-во АН УССР, 1963.
Лехницкий С. Г., Анизотропные пластинки. Гостехиздат, 1957.
М у ш т а р и X. М., Галимов К. 3., Нелинейная теория упругих оболочек. Таткнигоиздат, 1957.
Новожилов В. В., Теория тонких оболочек. Судпромгиз, 1962.
В приведенных работах читатель найдет необходимые сведения по общей теории оболочек. Безусловно, такие сведения содержатся и в других работах по теории оболочек, которые здесь не цитируются.
Глава I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИЙАНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
В настоящей главе подробно излагаются основные положения тех теорий, о которых говорилось в четвертом параграфе введения. Эти теории, как правило, излагаются для общего случая тонкой анизотропной оболочки. Однако, без нарушения общности рассуждений, некоторые из них рассматриваются лишь для пологих оболочек (это делается ради сокращения записи).
Классическая теория
Как было указано (см. введение, § 4, и. 1), классическая теория основывается на гипотезе не дефо рмир уемых нормалей, которая аналитически представляется следующими приближенными равенствами:
q = 0, 4Y = " 6^ = 0,,心0.(i・i)
По возможности подробно изложим теорию, которая основывается на этой классической гипотезе.
Перемещения и деформации. В силу (1. 1) из соотношений (15) имеем
%■—北пт■— 0， 〃丁■— (% В),(1 • 2)
е. нормальное перемещение "丁 какой-либо точки оболочки не зависит от координаты『Нормальные перемещения всех точек данного нормального элемента оболочки имеют постоянное значение и равняются нормальному перемещению w=w (а, р) той точки срединной поверхности оболочки, которая образуется при пересечении данной нормали со срединной поверхностью оболочки.
В силу формул (1.1), (1. 2) и (17) из последних двух соотношений (15) получим
о,о,U (1 + *17)"]' Т + 42(1+"订)2 w, « =
о,
о,
0.0.8(1+ 修)"』t + 82 (1 + 被Y产 W- 0 =
0.
0.
Интегрируя эти уравнения по у в пределах от нуля до у и полагая, что при т = 0 % = □(% Р),北р = и(% Р), найдем
"« = (1+&丫)"一+ %，"в=0+&М —于 Jp, (1.4)
где u=u(a, Р), v—v (а, В) — тангенциальные перемещения соответствующей точки срединной поверхности оболочки. Таким образом, формулами (1.2) и (1.4) устанавливается геометрическая модель деформированного состояния оболочки (рис. 9).
Рассматривая формулы (1.2) и (1.4), замечаем, что нормальное перемещение и? не зависит от координаты у, а тангенциальные перемещения и0 и Up по толщине оболочки, т. е. по координате у, меняются по линейному закону. Искомые перемещения и, у,必，через которые представлены перемещения какой-либо точки оболочки, являются функциями лишь криволинейных координат
аи[3. Таким образом, базируясь на соотношениях (1.2) и (1.4), мы трехмерную задачу теории упругости можем привести к двухмерной задаче теории оболочек.
В силу формул (1.2) и (1.4), а также сказанного выше, деформации оболочки еа,州,6理 могут быть представлены в виде разложений по степеням『при этом, с точностью исходной гипотезы, можно ограничиться первыми двумя членами разложений, а именно 6« =气 + 巡1，“ = €2 + ^x2，еи₽ = о)4-р.(1.5)
Подставляя значения 北幻 〃в и иу соответственно из (1.4) и (1.2) в (15), при этом учитывая, что
Н^^А-\\-к^ + ^-...\ Н^ = В^{1-к^ + ^-..\ а также (2) и сравнивая полученные представления с соответствую- щими выражениями (1.5), получим для коэффициентов разложений
无=』•忆+吃■"，/ +何以
邑=4■匕Р+方3,/+&以(L6)
3 =今信),Р +号(賞),.，
м^ ^^, 1-A 1-В 2-^
1 -4
，而■4,严,Р +自，《与+ %3•一修 S,
■ ；^ё з, w«+ 饱，《弟 + % р£—傍 0, 4,pS,« 一击纥.%)+
+的一项(!)«--J (备)J
Коэффициенты разложения % = q (а, р), s2=e2 (а, р), а)=а)(а, р), которые называются компонентами тангенциальной деформации, представляют собой относительные деформации удлинений и сдвига срединной поверхности. Коэффициенты разложения 翼1 =翼1 (а, Р), 乂2 = 乂2 (а, Р), т=т (а,卩)называются компонентами деформации изгиба и кручения срединной поверхности оболочки,
Уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности. Между шестью параметрами %, . . ., т, которые представляют деформацию срединной поверхности оболочки, имеются три дифференциальных соотношения:
^Х2, а + (Х2-Xl)S,«2■三 § —弋4 В + к^А^ § +
+ 自[4% + (DA" 一屏% a一同-%)纥 J=°， 4勺,3 + (勺一%) 4 В 一 号T,a - 苗,а +俏5м,a ++ %[в- а + 5生 a - 4%, В - (£1 -£2)4 R]=。， 也勺 + 自К2 + ^~ {[}[5邑,a + (S2 - 61) 8, a -+ 自[4% + (DA" 一屏% a一同-%)纥 J=°， 4勺,3 + (勺一%) 4 В 一 号T,a - 苗,а +俏5м,a ++ %[в- а + 5生 a - 4%, В - (£1 -£2)4 R]=。， 也勺 + 自К2 + ^~ {[}[5邑,a + (S2 - 61) 8, a -—4и,>₽—<оЛ> ₽]],а+[4[Ле1.з+—4и,>₽—<оЛ> ₽]],а+[4[Ле1.з+
+ 自[4% + (DA" 一屏% a一同-%)纥 J=°， 4勺,3 + (勺一%) 4 В 一 号T,a - 苗,а +俏5м,a +
+ %[в- а + 5生 a - 4%, В - (£1 -£2)4 R]=。， 也勺 + 自К2 + ^~ {[}[5邑,a + (S2 - 61) 8, a -
+ 自[4% + (DA" 一屏% a一同-%)纥 J=°， 4勺,3 + (勺一%) 4 В 一 号T,a - 苗,а +俏5м,a +
+ %[в- а + 5生 a - 4%, В - (£1 -£2)4 R]=。， 也勺 + 自К2 + ^~ {[}[5邑,a + (S2 - 61) 8, a -
—4и,>₽—<оЛ> ₽]],а+[4[Ле1.з+
—4и,>₽—<оЛ> ₽]],а+[4[Ле1.з+
Функции £1?. • ., т, удовлетворяющие этим уравнениям, характеризуют такое деформированное состояние оболочки, при котором срединная поверхность остается сплошной. В силу этого уравнения (1.8) называют условиями неразрывности срединной поверхности.
Известные и широко распространенные условия неразрывности (1.8), полученные из чисто геометрических условий Гаусса— Кодацци, формально не находятся в соответствии с соотношениями (1.7), так как последние имеют несколько отличный от принятого в (1.8) геометрический смысл. Однако, без нарушения точности классической теории, условия неразрывности могут быть
приведены в соответствие с (1. 7) и переписаны следующим образом：
(反 2),a- х/,a -*7(4个)，5 一讶4邝一(自一&)灰 2, a -
-4 [(电, В +修 В)5一(图 一 &)5,pJ =。，
(^Zl), 3 ~ X2^ , P - 4 (5T), а _ ■^出a — ® 一自)4%”一
—у В[(А：Ъа + 饱,а) 3 — (& —及2)吗 J = °，
(£8)(£8)/2炉(毋2 + ^2Х1) — AB^f 珅一BA ^ ^ — 48,9,^ +
(£8)
(£8)
+ (^_4/,8+4'3,。% -34aBi /加加 + 3电2,аа +
+ 42%,部 + (23纥a 一 ^"4,)%^+44,/2,8 +
+ (244,日一% 纥)%邛一а6,a%,а -一2(8纥(^一4"4,/,>1_2(44即—得%4訴2=0.
Напряжения в оболочке. Пренебрегая напряжением 0丁 и учитывая, что в общем случае материал оболочки в каждой точке имеет лишь одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной поверхности оболочки, из обобщенного закона Гука (6) получим
4 = ^Л 十仅12aB + a16个碑，
①=fl12°a +。22。e +。26% 伊‘(L9)
每=仪工6% + 仅26°В + абб\₽* ■
Решая эти уравнения относительно составляющих тензора напряжений и при этом учитывая (1. 5), получим
% = Вие1 + 修2% + ^ + Т (^1Л + 区12% + 片6力
°Р = ^12е1 + ^22е2 + ^26Ш + Т (修2*1 + ^22Х2 + ^26Т)，(14 0)
"呻=^i6ei 十8的年+ /601 + T (/6*i + '贫% + ^66T)» ,
где для коэффициентов Bik имеем
_6口 = (a22a06 -*)2 匕^16 = @2a26 一a22al6)2 *
322=(°1№6 一a?6)q丄， ^26 = (a12ai6 一a11仪28)* *([][)
366 = (ana22 - ai2)Q *312 =(仪16a26 一 "12a66)2 *
。=(4三22 -%)%6 + 2%2%a26 -0口唸一a22*・
При определении деформаций и расчетных напряжений мы пренебрегли напряжениями \7,弋⑺,о了. Однако неправильно было бы считать их равными нулю. Они отличны от нуля и могут
быть' определены из уравнений равновесия (16). Ограничиваясь общей формой записи, для указанных напряжений получим
% = -н^ {〕0 (W,«- н1н2^ +
+(〃気р),р]&т +①(а，В)},
(1.12)(1.12)。仙=一叮吋{]/2 (%脸厂h2%,0 +
(1.12)
(1.12)
+ (E%),JS +国(а，В)}, 。产叮佐中[h/* + Н龊0L
-(H^ta-(H^dy + X(a, В)}.
Здесь Ф (а, р), Ф (а,卩)，X (а, 0) — функции, появившиеся в силу интегрирования по у. Их можно определить из условий на внешних поверхностях оболочки, которые имеют следующий вид (рис. 8):
(1.13)(1.13)при т = /г/2 % = Х+, 脸=戸，％ = Z+;]при т = —/г/2 % = —X，* = —У",。丁 = —Z, j
(1.13)
(1.13)
где X+ (a, p), . . ., Z~(a,卩)—компоненты векторов интенсивности поверхностных нагрузок.
К вопросу определения напряжений 弋叶，个什，°7 и их окончательной формулировке мы вернемся еще раз, ибо окончательные
представления этих напряжений нам будут необходимы в последующем.
Внутренние силы и моменты. Выше были установлены законы изменения деформаций и напряжений по толщине оболочки. Имея эти представления, удобно, как и в теории изгиба пластин или в теории изгиба балок, вместо напряжений ввести в рассмотрение статически эквивалентные им внутренние силы
Рис. 12.Рис. 13.Рис. 12.Рис. 13.
Рис. 12.Рис. 13.
Рис. 12.Рис. 13.
и моменты, которые действуют на площадках главных нормальных сечений.
Рассмотрим грань дифференциального элемента оболочки (рис. 10), перпендикулярную к линии кривизны а, с длиной дуги срединной поверхности, равной &s=B dp (рис. 11). На дифференциальный элемент этой грани длиною ds'=B (1+Л2y)d р=Я2йр будут действовать напряжения 久，％炉 %十 Равнодействующие (Р.) и моменты (L^ (относительно касательной к R) этйх напряжений, приходящиеся на рассматриваемую грань с элементом дуги срединной поверхности длиною ds—В dp, будут равны
А/2А/2
рa = j 0/2"?"- 尸碎=j “也"卩"丫,
-Л/2-Л/2
力/2A/2
(1.14)(1.14)乙=\ 4/2碑内，厶=5 %%了邓办,
(1.14)
(1.14)
一力/2-A/2
力/2
厶《产]%也2了 d3外
也2
Аналогичным образом могут быть найдены силы и моменты приходящиеся на грань элемента оболочки, перпендикулярную к линии кривизны р.
Отсюда для получения значений сил и моментов, приходящихся на единицу длины данной дуги срединной поверхности, необходимо
все формулы типа (1. 14) разделить соответственно на 8 dB 血 на Л da (когда рассматривается грань р=const).
Таким образом, из условий статической эквивалентности для внутренних тангенциальных (北,72, 512, 521) и поперечных (Д\, 2V2) сил, а также для изгибающих {Мъ М2) и крутящих (Я12, HQ моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, получим следующие формулы (рис. 12, 13):
肌2看=》j。/2圻，—Л/2A/2邑2=万，限%叱，-A/2A/2"1 =扌］"也好，-A/2A/2m1=康，。《7 "2d7，-A/2Л/2^12=5)"7 h2d7，-А/2肌2看=》j。/2圻，—Л/2A/2邑2=万，限%叱，-A/2A/2"1 =扌］"也好，-A/2A/2m1=康，。《7 "2d7，-A/2Л/2^12=5)"7 h2d7，-А/2九/2厶=} j аgяа>一九/2в Л/2国1=}；,Т碎%"力Л/2"2=$ ］。財 %叫，-А/2Л/2必=；j。0Т%"了，-A/2Л/2h21 =7，%肝厶回Т.-Л/2九/2厶=} j аgяа>一九/2в Л/2国1=}；,Т碎%"力Л/2"2=$ ］。財 %叫，-А/2Л/2必=；j。0Т%"了，-A/2Л/2h21 =7，%肝厶回Т.-Л/2(1.15)(1.15)
肌2看=》j。/2圻，—Л/2
A/2邑2=万，限%叱，-A/2
A/2"1 =扌］"也好，-A/2
A/2m1=康，。《7 "2d7，-A/2
Л/2
^12=5)"7 h2d7，
-А/2
肌2看=》j。/2圻，—Л/2
A/2邑2=万，限%叱，-A/2
A/2"1 =扌］"也好，-A/2
A/2m1=康，。《7 "2d7，-A/2
Л/2
^12=5)"7 h2d7，
-А/2
九/2厶=} j аgяа>一九/2
в Л/2国1=}；,Т碎%"力
Л/2"2=$ ］。財 %叫，
-А/2
Л/2
必=；j。0Т%"了，
-A/2
Л/2h21 =7，%肝厶回Т.-Л/2
九/2厶=} j аgяа>一九/2
в Л/2国1=}；,Т碎%"力
Л/2"2=$ ］。財 %叫，
-А/2
Л/2
必=；j。0Т%"了，
-A/2
Л/2h21 =7，%肝厶回Т.-Л/2
(1.15)
(1.15)
Заменяя напряжения статически эквивалентными им силами и моментами, в дальнейшем взамен произвольного трехмерного элемента оболочки будем рассматривать соответствующий двухмерный элемент срединной поверхности под действием приведенных внутренних сил и моментов. При этом рассматриваемому элементу координатной поверхности оболочки будут придаваться приведенные физико-механические характеристики соответствующего трехмерного элемента оболочки. Положительные направления внутренних сил и моментов показаны на рис. 12 и 13.
Еще раз о деформациях и напряжениях. Ограничиваясь точностью классической теории, из (1. 15) в силу (1. 10) для основных напряжений оболочки легко получить следующие формулы:
(1.16)(1.16)3 一厶丄必YГ а I 12必丫
(1.16)
(1.16)
«₽ — Л * АЗ L ^~ h '九3力
отсюда ввиду того, что 个崛=弋眦 с точностью классической теории имеем Si2=Szi=S, 8】譬=/?2i=瓦
Подставляя значения напряжений из (1. 16) в (1.12) и производя требуемые преобразования с учетом (1. 13), найдем, что
%=占+/2 +底一罟)m，[。
% =匕+千匕+保一罟)品：
Далее, используя выражения (1. 17), из третьего уравнения (1. 12) с учетом (1. 13) получим для нормального напряжения от следую* щее выражение:
。尸 Zi + ^Zg—备偿—f)鳥[(bnj,« +
+(4忆),?] 一 ^偿一『)(瓦Md &必).(1.18)
Здесь принимается, что
x]=4(X+-X)匕=員户一片)，Z]=4(Z+-Z) ](119)
Xz = X+ + X, У2= Y+^Y~, Z2 = Z+ + Z二’’
Имея значения всех напряжений, легко найти значение деформации %・ Подставляя значения соответствующих напряжений в третье уравнение обобщенного закона Гука (6), получим 4=；@3 01 + a23 4 + a36S) + T 等(%з % + 他3 必 + 优36反)一
一鲁(等一3 ■> К3 网),. +(4m)m 一
(4f)。33 ("也 1 + 而2必)+ a33 (% + ^ z2).(1.20)
Полученные в этом пункте результаты с точки зрения классической теории никакого интереса не представляют. Они демонстрируют лишь те противоречия, которые имеют место в классической теории. Например, вначале, при построении классической теории, исходя из исходной геометрической гипотезы (1. 1), мы приближенно принимали е?=0. ТелерМ же, исходя из напряженного состояния оболочки, согласно закону Гука-находим, что е^О и т. д. Несмотря на сказанное, эти результаты весьма важны с точки зрения построения уточненных теорий и будут использованы в последующем.
Уравнения равновесия. Уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки АВ da dp 4丁 были приведены во введении. Однако в дальнейшем, как и в теории пластин или изотропных оболочек, нас будут интересовать уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки АВ da dp h с конечной, толщиной А.
С помощью четырех сечений, нормальных к координатной поверхности оболочки, выделим малый криволинейный прямоугольник, стороны которого совпадают с координатными линиями a=const, р^= const.
На указанный элемент оболочки будут действовать внутренние силы в виде напряжений, действующих на боковых гранях оболочки по известному закону (1.16), (1. 17), внешние силы в виде объемных сил Р^=РДа,卩)и поверхностных сил, приходящихся на соответствующие внешнюю (т=й/2) и внутреннюю (了=—无/2) поверхности, ограничивающие рассматриваемый элемент оболочки. Очевидно, внешние поверхностные силы определяются согласно условиям (1.13).
Во всех предыдущих пунктах мы методически приводили трехмерные уравнения теории упругости к двухмерным уравнениям теории оболочек. То же самое предстоит осуществить и сейчас. Проинтегрируем каждое из уравнений системы (16) по у в пределах толщины оболочки, т. е. от 丫=无/2 до 丫=―Л/2. Далее, умножая первые два уравнения (16) на ^ и интегрируя по 7 в тех же пределах, после некоторых преобразований получим
{BT^^-B^ + kAS^^A^ + ABk.N^-ABX, (4 Т^ - А.*】+ (BS^ + B^ + 48&恥=-ABY.
(1.21)(1.21)一出 Z + &笃)+ 治[(8生),. + 5外)〃 =-Z, (БМ^а + (АН^? + А^12-В.№ = АВ%， (AM^^ + (BH^a + B^H^-A^M^ ABN?,
(1.21)
(1.21)
где для внутренних сил и моментов имеем (1. 15), а для грузовых членов в силу (1.13) получаем следующие формулы:
Х = Х+(1 + 壶)(1 + 直) + х-(Т)(Т)+
.力/2Л/2
+ 鳥[p// 2d丫~X2 + J 巴叱，
-Л/2-А/2
y=戸 а+壶)(1 +金)+У. 0 -由)0 -盡)+
ИНВ № 33_ЯЕ БОЛЕЕ 1Й КЙИГИ^ОДНИ РУКИ И2ХВ/^ЕИНВ № 33_ЯЕ БОЛЕЕ 1Й КЙИГИ^ОДНИ РУКИ И2ХВ/^Е(1.22)(1.22)А/2Л/2
ИНВ № 33_
ЯЕ БОЛЕЕ 1Й КЙИГИ^
ОДНИ РУКИ И2ХВ/^Е
ИНВ № 33_
ЯЕ БОЛЕЕ 1Й КЙИГИ^
ОДНИ РУКИ И2ХВ/^Е
(1.22)
(1.22)
卜方S /ул也飢~%+ (/肉,
—Л/2—А/2
2=加(1+直x1+金)+/0一直)0—矗)+
一—Л/2А/2
КИШПаГОТЖ，] +厶 (Р[Н】/М a Z^+ [ P dr
КОЛОХЗА ♦ 儿一盅
OCKQ R?^A Амбарцумян
Формулами (1.22) внешние силы приведены к статически эквивалентным им силам, приложенным к срединной поверхности соответствующего элемента оболочки. При этом, как обычно, мы пренебрегли моментами, которые появляются при выполнении указанного процесса приведения. Этим и объясняется отсутствие грузовых членов в последних двух уравнениях системы (1.21).
Таким образом, система (1.21) представляет уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки, конечной толщины А, под действием внутренних и внешних сил и моментов, приведенных
卩
к срединной поверхности оболочки (рис. 14). Первыми тремя из этих уравнении выражены условия равенства нулю сумм проекций всех внутренних и внешних сил на три взаимно ортогональных направления я,卩,丫. Четвертое и пятое уравнения представляют условия равенства нулю сумм моментов относительно двух взаимно перпендикулярных направлений аир.
Из условия равенства^нулю суммы моментов относительно оси 丫 получим шестое недифференциальное уравнение равновесия, которое имеет вид
$12 — $2工 + 加1〃12 一 询〃21 — 0- (1.23)
Это уравнение является тождеством, в чем легко убедиться, под^ ставляя в (1.23) значения SiJc и Hik из (1.15)« В классической теории это тождество зачастую удовлетворяется приближенно.
Соотношения упругости. Уравнения, которые устанавливают связь между внутренними усилиями и деформациями, в теории оболочек называются соотношениями упругости.
Подставив выражения для напряжений (1.10) в (1.15) и выполнив интегрир ование, получим, сохраняя лишь самые низкие
степени 7 (нулевая и первая) наиболее простые соотношения упругости для общего случая анизотропной оболочки, когда в каждой точке ее имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки:
Т] = С11$1 +。1产2 + °16叫 ‘2 = ^*22S2 + ^*12®1 + С?6⑴'
S12 - S21 = S = е66① + ^16ё1 + °2662，h 24)
m1 = ^Пx1 + °12К2 + 26е"2。22К2 + °12К1 + °26%
%2 = "2!. = " =。66。 + " 16*1 + °26*2，丿
где для жесткостей имеем
Cik=hB{k, Dik = ^Bik.(1.25)
Формулы для N、и TV? при необходимости можно получить из уравнений равновесия (1.21).
Рассматривая соотношения упругости (1.24) и уравнение (1.23), замечаем, что между ними есть противоречие, а именно: приведенные соотношения упругости не удовлетворяют шестому уравнению равновесия, т. е. шестое уравнение равновесия не является тождеством, что противоречит основам общей теории. Это противоречие легко объяснимо: дело в том, что мы получили соотношения (1.24) лишь в первом приближении, т. е. всюду последовательно пренебрегали величинами порядка kji по сравнению с единицей. Если теперь несколько уточнить соотношения упругости для S.k, т. е. оставить члены порядка к^ по сравнению с единицей, то получим -новые соотношения упругости, которые тождественно удовлетворяют уравнению (1.23). В этом случае для Sik получим
邑2 = °66① + С】6% + ^26Е2 + ”2 (°66° + 26Kl +。26囂2)，1([ 26)
Sg] = c66① + c16% + ^,26®2 + "1(°66° + 46Kl + а614)，J
Исследования показывают, что соотношения (1.24) (за исключением выражений для S) совместно с (1.26) представляют наиболее простые и последовательные соотношения упругости в теории оболочек.
Эти соотношения, будучи крайне простыми, в то же время не противоречивы с точки зрения удовлетворения шестому уравнению равновесия. Элементарной подстановкой можно убедиться, что соотношения (1. 24), скорректированные соотношениями (1. 26), удовлетворяют шестому уравнению равновесия (1.23) тождественно.
Соотношения (1.24), (1.26) могут быть получены и из энергетических соображений, аналогично тому что сделано в теории изотропных оболочек.
Наконец, отметим, что здесь нет и, пожалуй, не может быть единого подхода в деле выбора тех или иных соотношений упругости. В связи с этим в последующем, отдавая некоторое предпочтение скорректированным соотношениям (1.24) и (1.26), как формально непротиворечивым, мы там, где можно (с точки зрения точности), рекомендуем пользоваться и более простыми соотношениями (1.24).
Граничные, или краевые, условия. Произвольные постоянные, содержащиеся в общем интеграле дифференциальных уравнений теории оболочек, должны быть определены из граничных условии. Граничные условия анизотропной оболочки ничем не отличаются от соответствующих граничных условий изотропной оболочки. Не вдаваясь в подробности, известные из учебной литературы по теории оболочек, приведем некоторые варианты граничных условий.
В дальнейшем нас будут интересовать такие оболочки, края или край которых совпадают с линиями кривизны срединной поверхности оболочки.
Ради краткости записи граничные условия приводим лишь для края, который определяется координатной линией а =а0—const.
Однородные граничные условия.
Свободный край:
4 = 0,邑2十&乙=0, % + 4"%2，в = 0, /% = 0； (1.27)
шарнирно-закрепленный край:
Л/工=0, и = 0, у = 0, w = 0;(1.28)
шарнирный, свободный в тангенциальном направлении край:
J1】=0, 71/1 = 0, 2 = 0，и = 0;(1.29)
абсолютно-заделанный край:
〃 =0, р = 0, w = 0, 8 = ―^}а,а +加i〃=°・(1.30)
В последнем соотношении 8 ——угол поворота краевой нормали срединной поверхности оболочки вокруг касательной к линии a=ao=const.
П. Неоднородные граничные условия. Неоднородные граничные условия легко получить из приведенных выше граничных условий в предположении, что в приведенных
равенствах справа стоят не нули, а заданные величины. Например, для загруженного края можно записать
Т^г,邑2十&区2 = $*, N]+$%2，b = N*, Mi = M*, (1.31)
где 7*, S*, N*、M^ — усилия, приложенные к рассматриваемому краю; в частности, некоторые из них могут быть равны нулю.
В случае, когда оболочка вовсе не имеет граничного контура (полностью замкнутая оболочка) или граничный контур определяется лишь по линиям одной координаты (частично замкнутая оболочка), граничные условия по замкнутым координатным линиям заменяются условиями периодичности с периодом, обеспечивающим однозначность перемещений и деформаций в любой точке рассматриваемой замкнутой линии координат.
Потенциальная энергия деформации оболочки. В силу основной гипотезы имеем для потенциальной энергии деформации:
Л/2
-Л/2
Подставляя сюда значения напряжении из (1.10) и деформаций из (1.5), получим с точностью классической теории для потенциальной энергии деформации анизотропной оболочки следующее выражение:
^ = 1П (厶咼 + 2&2泞2 + ад + с66^ +
+ 2clб^А + 2C26<os2) Л5 da dg + ^ j j (2俨；十 2Z)12x1x2 十
+022湯 +0产 + ^^ + 2D^AB 血阻 (1.32)
Здесь оба интеграла распространяются по всей срединной поверхности оболочки. Первая составляющая V представляет потенциальную энергию удлинений и сдвигов, вторая составляющая представляет потенциальную энергию изгибов и кручения.
Несколько слов об оболочках из ортотропных материалов. Особый интерес с точки зрения приложении представляют оболочки, изготовленные из ортотропных материалов, т. е. из материалов, свойства упругости которых описываются уравнениями обобщенного закона Гука (7) и (8).
В случае, когда оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что в каждой точке оболочки все три главных направления упругости материала совпадают с направлениями соответствующих координатных линий, мы говорим, что имеем дело с собственно ортотропными оболочками. Очевидно, в ортотропных оболочках в каждой точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверхности оболочки,
а остальные две перпендикулярны к координатным линиям а = const, р = const.
В этом случае для интересующих нас упругих постоянных на основании (7) и (8) имеем
1优11=瓦，a22% 一 码—1优11=瓦，a22% 一 码—=靑'优66 =六，«16 = 0,=靑'优66 =六，«16 = 0,(1.33)(1.33)
1
优11=瓦，a22
% 一 码—
1
优11=瓦，a22
% 一 码—
=靑'优66 =六，«16 = 0,
=靑'优66 =六，«16 = 0,
(1.33)
(1.33)
В силу этого из (1.11) получлм
仆仆ВВ一B —— l — 付 22 —_Y2后1 — Yz2一B —— l — 付 22 —_Y2后1 — Yz2—：W » 筑6 = Gi2 = G,—：W » 筑6 = Gi2 = G,12 — 1 — 32 —1 — 3212 — 1 — 32 —1 — 32，8]б = % = 0.，8]б = % = 0.(1・34)(1・34)
仆
仆
В
В
一B —
— l — 付 22 —
_Y2后1 — Yz2
一B —
— l — 付 22 —
_Y2后1 — Yz2
—：W » 筑6 = Gi2 = G,
—：W » 筑6 = Gi2 = G,
12 — 1 — 32 —1 — 32
12 — 1 — 32 —1 — 32
，8]б = % = 0.
，8]б = % = 0.
(1・34)
(1・34)
Здесь и в последующем
丫12”2，V21 == vl» (^lv2 ^3 ^2V1)> G】2 ^^ G*
Далее, для соотношений упругости (1, 24) получим
(1.35)*(1.35)*(1.36)(1.36)0] = C^Sj + С^^^ ‘2 ^^ ‘22% + '12*1，S == ‘66侬，"1 = °11Kl +。:12"2，м2 °22*2 +。:12*1，" °6/。
(1.35)*
(1.35)*
(1.36)
(1.36)
Соотношения (1.26) примут вид
S]2 = c66^ + "2°66C，$21 = е6(0 + "1°66".
Для полноты картины отметим, что в этом случае °16 ^2 °26 := О，°16 == °26 == °.
В случае же, когда оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что главные направления упругости не совпадают с геометрическими направлениями аир, повторяется картина общего случая анизотропии (как было сказано выше, под общим случаем подразумевается случай, когда в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки), т. е. задача математически формулируется точно так, как и для случая общей анизотропии.
Таким образом, и в этом случае соотношения упругости будут иметь вид (1.24), (1.26). При этом, однако, под упругими постоянными и жесткостями будем подразумевать новые величины, зависящие от упругих постоянных главных направлений ортотроп^ ного тела.
Пусть, например, в рассматриваемой точке главные направлен ния упругости ортотропного материала оболочки расположены
так, что одно направление совпадает с направлением 丫, а два других направления 1 и 2 с направлениями координатных линий а и р составляют угол ср (рис. 15). Далее,
Рис. 15.Рис. 15.пусть в системе координат а, р жесткости пластинки равны, Cik, 2%, а в системе?, 2жесткости равны %, D'ik. Или в силу (1.25), что то же самое, в системе координат а, р упругие коэффициенты равны Biki а в системе 7, 2, т. е. в главных направлениях упругости ортотропного материала, равны Bik.
Рис. 15.
Рис. 15.
Для вывода формул пересчета коэффициентов упругости Bik
единицуединицурассмотрим потенциальную энергию деформации на
единицу
единицу
объема в системах координат а, р, 丫 и 2, 2, 丫. Из (1. 32) получим: в системе координат 7, 2, 丁
F = | [Ви (е；)2 + 28候局 + В'^ + В66 (М)2] +
+ Й15；1(К)2 + 23 屈区 + 品 2 (х；)2 + 瓦 6《們；(1.37)
в системе координат а, |Э, у
e='![3① + 2Bl^i-}-B.l^l-irB^s>i + 2 (当6% + %吟)]+
+ g [5„x? + ^BM + В22х| + В^ + 2 (В^ + В№^]. (1.38)
Из курса механики сплошной среды известно, что составляющие деформации % %, 6叩 н 4，02，е】2 связаны зависимостями
е】—ба cos2 р + е° sin2 屮一е呻 sin 屮 cos 屮，
气=力 sin2▼ + % cos2 p + %(5 丛口 ? cos 屮,(1.39)
e12 = 2 (e« — q) sin 中 cos 平 + еа? (cos2 屮—sin2 叫，•
а с другой стороны, согласно гипотезе недеформируемых нормалей
6« = % + 們,e3 = s2 + rx2, е«8 = з + /,]
4 = 4 + /；, е2=е； + #；, %2 = 3‘+泞」•
Очевидно, в силу (1.40) зависимости типа (1.39) будут иметь место между %, % ⑷ и 以，唯 曲，а также между хр х2, с и х', к', т. е.
6； = 6] 0082^4~£2 sin2(p — (D sin(P cos p.
с (1.38), пос (1.38), поx； = K] cos2 屮 + 々 sin2 屮一т sin 屮 cos 屮
с (1.38), по
с (1.38), по
Подставляя эти выражения в '(1.37) и сравнивая лучим искомые формулы преобразования:
(1.42)(1.42)Вп = Вп cos4 «р4~2 (^12 + 2Вб6) sin2 р cos2<p 4~^22 sin4<p, 旦2 = Bn sin4 屮 + 2 (В》+ 2Вбб) sin2 ^ cos2 屮 + 8金 cos4 屮， 当2 — B；2 + [B；i + В；? — 2 (Bi2 + 2В标)]sin2 屮 cos® % 皖6 =现6 + [^n + В金一2 (В；2 + 2Вбб)] sin2 <p cos2 % 田6 =扌[8金 sin2 <p — BA cos2 <p + (В】？ + 2B66) cos 2(p] sin 2a
(1.42)
(1.42)
526 = у [BQ cos2 屮一Вн sin2 屮一(В" + 2瓦6)cos 2屮]sin 2?
Рассматривая формулы (1.42), замечаем, что если оболочка изготовлена из ортотропного материала, но главные направления упругости не совпадают с главными геометрическими направлениями аир, коэффициенты В16 и В26 не равны нулю и их влияние должно быть учтено в рамках общей теории анизотропных оболочек.
Заключительные замечания. Таким образом, классическая теория анизотропных оболочек построена. Приведенных вьппе соображений достаточно, чтобы определить напряженно-деформированное состояние произвольной анизотропной оболочки в рамках классической теории.
Ниже будут приведены разрешающие уравнения и расчетные формулы для различных типов анизотропных оболочек в классической постановке.
В последующем (гл. I, § 10) при построении классической теории анизотропных слоистых оболочек, составленных из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности, мы всецело будем опираться на результаты классической теории однородных оболочек, излагаемой в настоящей
Рис. 17.Рис. 17.Рис. 16.Рис. 16.
Рис. 17.
Рис. 17.
Рис. 16.
Рис. 16.
главе. Поэтому по ходу изложения классической теории однородных оболочек, там, где крайне необходимо, будем делать некоторые указания, которые имеют отношение к теории слоистых оболочек.
§ 2. Классическая теория симметрично нагруженных ортотропных оболочек вращения
Рассмотрим ортотропную оболочку, срединная поверхность которой является поверхностью вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М срединной поверхности оболочки будем определять гауссовскими координатами: углом(р=р/г, являющимся азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось
вращения z, и меридиональной дугой s= а, отсчитываемой вдоль меридиана от некоторой начальной точки 妝。(рис. 16). Для рассматриваемой поверхности вводим еще две геометрические
величины: радиус г——расстояние Л/Л/2 0T точки М срединной поверхности до оси вращения z н 8 — угол между касательной к меридиану и осью вращения z (рис. 17).
В выбранной системе координат для главных кривизн срединной поверхности имеем
71
月=風=五，
71 COS %
瓦=h=2 H2 г
где RX~RX (s) — радиус кривизны меридиана (первый главный радиус кривизны поверхности); R产R? (s)——второй главный
радиус кривизны поверхности вращения, представляющий длину
отрезка нормали к срединной поверхности до оси вращения.
Очевидно, что для кривизны меридиана в общем случае будем иметь формулу —=——е , s = —1, если меридиан обращен к оси z вогнутостью (рис. 18, а) и е=-]-1, если он обращен к оси z
выпуклостью (рис. 18,6); pi —— радиус кривизны меридиана. Формула (2.1) для &2 остается неизменной для показанных на рис. 18 двух случаев.
Для квадрата линейного элемента рассматриваемой поверхности вращения имеем
成2=曲2+产两2； (2. 2)
что же касается коэффициентов первой квадратичной формы, то, очевидно, будем иметь
А = 1, В = Т?2 cos 8 = г* (2.3)
Укажем также некоторые соотношения, которые характеризуют поверхность вращения и будут использованы в дальнейшем:
M=—sin8, ^ = cos8,貳粉=_偿_粉屮.(2.4)
Первые формулы определяют угол 8; если точка М движется вдоль меридиана в сторону возрастания дуги s (или координаты z), то 8〉0, когда г убывает, и 8 < 0, когда г возрастает, причем 一冗/2《8《к/2.
Считается, что рассматриваемая оболочка нагружена симметрично относительно оси вращения, т. е. Х=Х (s), 2=Z (s), У=0, и имеет соответствующие, симметричные относительно оси вращения, граничные условия. Далее, полагается, что ортотропный материал оболочки расположен так, что в каждой точке одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверхности оболочки, а остальные две перпендикулярны к соответствующим меридианам (ср=const) и параллелям (s=const). Очевидно, такая оболочка в целом представляет собой ортотропное тело вращения, обладающее анизотропией вращения.
Так как при этом оболочка будет деформироваться, оставаясь телом вращения, то внутренние силы, моменты и перемещения ее не будут функциями угловой координаты ср и в ней возникнут лишь внутренние силы 7\, 72, ^1=^ и внутренние изги-
(2. 5) изменения(2・6)(2. 5) изменения(2・6)勺勺dWTJZ sin 8-5-,总=W,dWTJZ sin 8-5-,总=W,соотношения упругости:= сu% + a2%，笃 '22% +。12%， где, как обычно,5к = ^»fc»соотношения упругости:= сu% + a2%，笃 '22% +。12%， где, как обычно,5к = ^»fc»Ml ^-01 产1 + 01/2, m2 ^1 02/2 + 22х!，Ml ^-01 产1 + 01/2, m2 ^1 02/2 + 22х!，(2. 9)(2. 9)(2.10)(2.10)
(2. 5) изменения
(2・6)
(2. 5) изменения
(2・6)
勺
勺
dWTJZ sin 8
-5-,总=W,
dWTJZ sin 8
-5-,总=W,
соотношения упругости:
= сu% + a2%，
笃 '22% +。12%， где, как обычно,
5к = ^»fc»
соотношения упругости:
= сu% + a2%，
笃 '22% +。12%， где, как обычно,
5к = ^»fc»
Ml ^-01 产1 + 01/2, m2 ^1 02/2 + 22х!，
Ml ^-01 产1 + 01/2, m2 ^1 02/2 + 22х!，
(2. 9)
(2. 9)
(2.10)
(2.10)
бающие моменты М^ Ма» 工 е. из напряжении мы будем иметь лишь %, Qg и %丁, а из перемещений отличными от нуля будут лишь 口且必.
Из общих уравнении и соотношений классической теории анизотропных оболочек для симметрично нагруженных ортотропных оболочек вращения, учитывая (2.1)—(2.4), получим следующие соотношения:
уравнения равновесия:
^(吗)+小ё8十京n = 一&
^(小 一 r(余+强)=一以，
^ (rMJ + 必 sin 8 — rW = 0;
формулы, связывающие компоненты деформаций, кривизны с перемещениями;
% =黑 +券，e2 = у(U； COS & 一 И Sin ^),
где W представляет угол поворота нормального элемента оболочки в плоскости меридиана и имеет следующий вид:
(2. 7)
уравнение неразрывности деформаций:
(2.8)(2.8)r^—(e2 — %) sin 8— W cos 8 = 0;
(2.8)
(2.8)
и расчетные формулы ・и расчетные формулы ・1. Разрешающие уравнения1. Разрешающие уравненияВведемВведем
и расчетные формулы ・
и расчетные формулы ・
1. Разрешающие уравнения
1. Разрешающие уравнения
Введем
Введем
вспомогательную искомую функцию V=V (s), с помощью которой внутренние силы представляются следующим образом:
普=_岁卩十^］勖北=嘗, w =壊。十；房(s).
F, (s) являются функциями от внешней поверхностной нагрузки и определяются формулами
в/в
储=sin & j rErds + cos 8 I — — j rE^ds
(2.12)(2.12)«0'«0
(2.12)
(2.12)
歹2 = —cos 8 \ rErds + sin 8
где Er и Ez —— составляющие внешней поверхностной нагрузки по направлениям соответственно г и z; Р? — значение главного
Рис. 19.Рис. 19.вектора внешних сил, приложенных к кругу s=s0 с радиусом г0. Очевидно (рис. 19),
Рис. 19.
Рис. 19.
Er = Z cos 8 — X sin 8,
优=Z sin 8 + X cos 8,(2.13)
P? = (T? cos &o + № sin &0) 2кг0..
Нижний предел интегрирования sQ в формулах (2.12) может быть выбран произвольно, исходя из удобства расчета.
Подставляя значения 厶,北，^из (2.11) в уравнения равновесия (2.5), тождественно удовлетворим первым двум уравнениям. Третье же уравнение примет вид
^ (гМ，+ Л/? sin 8 — V cos 8 = F2. (2.14)
Решая соотношения упругости относительно деформаций q и 电, при этом учитывая (2.11), получим
(2.15)(2.15)е1=-至［%屮г+仆^一以打工 %=計4 平0+ % 礬-% 7川，
(2.15)
(2.15)
В силу R2.6) для моментов будем иметь
М1=一(% 警-% 学%)，
Подставляя значения деформаций 彳，е2 из (2.15) и моментов Мх, М2 из (2.16) соответственно в уравнение неразрывности (2.8) и в уравнение равновесия (2.14), после некоторых преобразований получим
d^Vds2d^Vds2sin 8 dy r dssin 8 dy r ds1?鬲1?鬲C22 sin2 8'C22 sin2 8'吟含靑%十%s），吟含靑%十%s），(2.17)(2.17)
d^Vds2
d^Vds2
sin 8 dy r ds
sin 8 dy r ds
1?鬲
1?鬲
C22 sin2 8'
C22 sin2 8'
吟含靑%十%s），
吟含靑%十%s），
(2.17)
(2.17)
券一吟1警一（茏念+靠睛m=-六訐+ /6），（2/8）
где
r=穽；芻一窘智%①2=一^4娱（2.19）
Уравнения (2.17) и (2.18) составляют полную систему дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций V
и Ж, через которые посредством формул (2.11) и (2.16) определяются внутренние усилия оболочки.
В осесимметрично нагруженных оболочках вращения, наряду с компонентами перемещения и=и (s), w~w (s), интерес представляют: ег — перемещение по направлению z и ег ——перемещение по направлению г (рис. 20). Очевидно, эти компоненты перемещения связаны соотношениями
е^ = и cos 8 + 必 sin 8,
er = w cos 8 — и sin 8. (2. 20)
Отсюда в силу (2.6) и (2.7) компоненты перемещения ег и ег через деформации ех и е2 будут представлены следующими формулами:
ег = 0，分=砂 + j (j cos 8 + W sin 8) ds. (2.21) eo
Из (2.20) на основании (2.21) для другой пары компонент перемещения получим
cos 8,cos 8,и = —e2r sin 8 + e? + , (% cos 8 + W sin 8) ds
cos 8,
cos 8,
(2. 22)
必=£2r cos必=£2r cos8 + e^ 十[(% cos 8 + W sin 8) ds sin 8.
必=£2r cos
必=£2r cos
8q
Здесь е2 — постоянная, определяющая жесткое смещение оболочки вдоль оси z.
Введением новой искомой комплексной функции a (s), которая посредством искомых функций И7 и V представляется формулой
система разрешающих уравнений (2.17) и (2.18) с точностью классической теории может быть приведена к одному дифференциальному уравнению второго порядка относительно искомой комплексной функции a(S)：
而一-尸=叭S)，(2-24)
где для грузового члена имеем
力(s)=-套符一%¥(2.25)
При получении уравнения (2.24) принято также, чтоХ=С22/С，11= ■—"^22^^ 11*
Постоянные интегрирования разрешающих уравнений (2.17), (2.18) и (2.24), а также Р® и е® должны быть определены из граничных условий. Очевидно, края оболочки вращения будут определяться линиями s=const.
Для оболочек вращения некоторые рассмотренные выше граничные условия могут быть записаны следующим образом:
свободный край:
М] = 0, —厶 sin 8 + TV cos 8 = 0;
шарнирно опертый край:
Mr = 0, er~w cos 8 — и sin 8 = 0;
заделанный край:
Поведение краев оболочки в осевом направлении характеризуется постоянными Р? и е?. Если один из краев может свободно перемещаться в осевом направлении, постоянная Р? — осевое усилие — при этом задается. Она может быть и нулем. Постоянная Р? может быть принята равной нулю или оставлена неопределенной. Если оба края оболочки (скажем, s=s0 и s=s。не должны перемещаться в осевом направлении, постоянная е? может быть
принята равной нулю, а Р? должна быть определена из условия обращения в нуль осевого перемещения на втором крае.
В случае, когда оболочка имеет один край, число произвольных постоянных, подлежащих определению, уменьшается на два.
Классическая теория анизотропных круговых
цилиндрических оболочек
Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка, изготовленная из анизотропного материала, в каждой точке которого имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная
срединной поверхности оболочки.
Рис. 21.Рис. 21.Принимается, что аир являются ортогональными координатами, совпадающими с линиями главной кривизны срединной поверхности, т. е. с прямолинейными образующими (P=const) и с направляющими дугами (a=const) цилиндрической срединной поверхности.
Рис. 21.
Рис. 21.
Если под аир подразумевать соответственно длину образующей и
длину дуги направляющего круга (рис. 21), то коэффициенты
первой квадратичной формы Л, Б и главные радиусы кривизны R#
Рис. 22.Рис. 22.Т?2 срединной поверхности определятся формулами
Рис. 22.
Рис. 22.
4 = 1, 5 = 1, /?1 = 8, 包=兄 (3.1) где R — радиус кривизны цилиндра.
Если же пользоваться безразмерными координатами s и 8, из которых s = а — безразмерная длина прямолинейной образующей, а 8= р — безразмерная дли
на дуги направляющего круга, т. е. центральный угол поперечной дуги, отсчитываемый от некоторой начальной прямолинейной образующей (рис. 22), то для коэффициентов первой квадратичной формы и главных радиусов кривизны координатной поверхности будем иметь
(3.2)(3.2)4=凡 В = R, T?i = 8, Т?2 — 7?.
(3.2)
(3.2)
В каждом случае, исходя из удобств выкладок, мы будем брать или систему координат первого вида (3.1), или второго вида (3.2).
В связи с этим, при изложении общей теории, коэффициенты Л и В оставляем без расшифровки, но при этом не забываем, что они, а также R^=R являются величинами постоянными.
Из общих уравнений и соотношений классической теории, приведенных в § 2, для анизотропных круговых цилиндрических оболочек получим:
уравнения равновесия:
(3. 3)(3. 3)BT^ + ASilt? = -ABX, AT^ + BS^ + ^-N^-ABY, ^-T2-BN^-ANit^ABZ, BM^ + AH^^ABN,, AM^ + BH^ = ABNZ, / = % = 〃;
(3. 3)
(3. 3)
формулы, связывающие компоненты деформаций с компонентами пермещения:
11. W1.1
(3. 4)(3. 4)(3.5)(3.5)5=五口…，ё2=5%s+五，3=方吃В+牙以。，
(3. 4)
(3. 4)
(3.5)
(3.5)
勺=一不必,а% ：2=一炉 必便丿.齐万"e
'22 1
G=_訴2:计方才生。；
соотношения упругости:
北=e11气 + C12S2 + *6⑴，T2 =。22£2 + a2气 + °2 評， S12 = е6б3 + ^16ei + °26% + 万(°66' + °164 +。26乂2)，
§21 = Ge01 + ^16S1 +。26%‘л/1 = 2产1 +，幺总 + Аб’，§21 = Ge01 + ^16S1 +。26%‘л/1 = 2产1 +，幺总 + Аб’，Н = D^ + О/] + &6勺，"暫=°22*2 + °12勺 + 02庐，
§21 = Ge01 + ^16S1 +。26%‘
л/1 = 2产1 +，幺总 + Аб’，
§21 = Ge01 + ^16S1 +。26%‘
л/1 = 2产1 +，幺总 + Аб’，
где, как обычно,Q 论=hB^где, как обычно,Q 论=hB^
где, как обычно,
Q 论=hB^
где, как обычно,
Q 论=hB^
уравнение (третье) неразрывности：
号+n7%,<«1-酢"0）,叩+衣久*即=°，（3•6）
Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Подставляя значения компонент деформаций ег, . . ., т из (3.4) в (3.5), получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
А=(сп% 4■當户 + (С16 т^ +
+%煮*а十a爲'
?2=(%； ^+% 4■击户+(e26 % ^"+
+%4"斎）叶点気
$12=（4；^+%% 专户+ ［（%+煮 %）告备 + +（%+* ％）靑盡小+ （/ 一%* 提一% 春當一
(3. 7)(3. 7)邑i=（4；^ +%4"*）以 + （%；^ +
(3. 7)
(3. 7)
m1=（2%}与+%g箱塞一（，』名+
必=（2%； i+ %£ *） £ —（%亲急 +
8=（2%}^+%4_专）斎一 （%*■£■+
十/〃66五百0境分3十 必6炉 通r丿s，
Исключая из уравнений равновесия (3.3) поперечные силы А\ и TV?，получим
BT1>a + AS^ = -ABX,
4 ", В + 3s%«+$ (厶加2, q + BH,«) = -ЛВ У, ；(3 8)
等"一号〃1,«« -28,碓一今弘,郎=43Z.
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (3.7) в уравнения равновесия (3.8), будем иметь следующую разрешающую
4 С. Амбарцумян
(3.9)(3.9)厶22 (GQ浦=(066+备а6)*系厶22 (GQ浦=(066+备а6)*系" I 06加弟十方"" I 06加弟十方"巾巾@2da弟@2da弟十(022 +击022)十(022 +击022)1 /丽丽，1 /丽丽，
(3.9)
(3.9)
厶22 (GQ浦=(066+备а6)*系
厶22 (GQ浦=(066+备а6)*系
" I 06加弟十方"
" I 06加弟十方"
巾
巾
@2
da弟
@2
da弟
十(022 +击022)
十(022 +击022)
1 /
丽丽，
1 /
丽丽，
систему дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях:
厶 11 (С无)口 + ^12 (^ik)沙 + ^13 (^ik)必=—X, 厶 12 (C?) 口 + 厶22 (G%2 J U + 厶23 (С証2比)必=一n 厶 13 (G兀)口 + 厶23(С%。浦。+ ^33 (^ik^ik)必=Z,. где линейные операторы Lik имеют следующий вид:
г—，工工 02 ■ 2°i6
51 U" —~ 42 汲2 十 АВ
Г /Г» \£16 上 % +e6602 I '26 02
12—АВ —詬佈г-^-码Г，
(3.10(3.10%(%)=4(今■£■+"•*),
(3.10
(3.10
&3 (Gk0浦=3(警^■ +字^■)-5 (争訪 +
I D12 十4%6 淵 4Z)26@3£22。3、
丿，
厶3 (%%)= 备以 + " 若十舞譌^ +
'力282da2d洋 十 京彳" da g舐 十 麻・.
В частном случае ортотропной оболочки (главные направления упругости совпадают с главными геометрическими направлениями a, В，т) во всех приведенных выше уравнениях и соотношениях Н3Д0 ПОЛОЖИТЬ 〃16 = 〃26=°，516=525 - 0,c16=c26=°，0:16=。26=°?
Таким образом, при заданных граничных условиях, решая систему линейных уравнений (3.9), можно определить искомые функции u, р, ip, с помощью которых посредством формул (3.7) и (1.16) можно найти все требуемые расчетные напряжения и внутренние усилия.
2・ Техническая теория. Большое прикладное значение имеет так называемая техническая теория анизотропных цилиндрических оболочек, которая, наряду с основной гипотезой недеформи- руемых нормалей, базируется на следующих до по л ните л ьных предположениях:
в геометрических соотношениях для х2 и т (3.4) сохраняются лишь слагаемые, содержащие нормальное перемещение;
вместо соотношений упругости (3.5) берутся более простые соотношения (1.24), удовлетворяющие шестому уравнению равновесия (1.23) приближенно;
во втором уравнении равновесия (3.3) опускается член N2屈；
второе уравнение неразрывности деформаций (1.8) удовлетворяется приближенно, т. е. во втором уравнении неразрывности деформаций (1.8) пренебрегается членом 靑(/竊)*
Исходя из сказанного, для круговой цилиндрической оболочки получим следующие упрощенные уравнения и соотношения: уравнения равновесия:
5 А—；"1，а—% N2，b=Z, S]2=S2i=S,■(3.11)
4•陷,"+$%=必 4■必,0+}%«=関；.
соотношения упругости:
T] =01f1 + °12% + °165
?2 = °22e2 + ^12S1 +e26叫
Л/j =2/I+，24+A/， m2 =22/+22勺+026%
(3.12)
S -0邮3十016%+02662，
〃 =4/+4产1 +。2旳；，
геометрические соотношения:
(3.13)(3.13)j=nj，%=方以В+宕，3=万忆+才0,., 112
(3.13)
(3.13)
修=-肝必,向 / =一声"，瞅e=-7守"，附
Для внутренних сил и моментов в перемещениях имеем
Т] = 厶=...(см. (3.7))
s =(以 ；^" + % 4■詛以+ (c% } 与+
以(21 42 d" +2%4882 da d$1012g2 8俨)▲m2-(°22g2壷+2%丄82da晔"(2% 48 9a 弟 +%4?眦г% 8・2咿)以以(21 42 d" +2%4882 da d$1012g2 8俨)▲m2-(°22g2壷+2%丄82da晔"(2% 48 9a 弟 +%4?眦г% 8・2咿)以(3-14)(3-14)
以(21 42 d" +2%48
82 da d$
1012g2 8俨)
▲m2-(°22g2
壷+2%丄
82
da晔
"(2% 48 9a 弟 +%4?眦
г% 8・2咿)以
以(21 42 d" +2%48
82 da d$
1012g2 8俨)
▲m2-(°22g2
壷+2%丄
82
da晔
"(2% 48 9a 弟 +%4?眦
г% 8・2咿)以
(3-14)
(3-14)
Подставляя значения моментов из (3.14) в последние два уравнения равновесия (3.11), получим для поперечных сил следующие выражения:
N、 = -E，DQiv,也=一e2(0浦0,(3.15)
где для линейных операторов третьего порядка имеем
当（% =祭鳥当（% =祭鳥3D] 6 № 7^~7^^3D] 6 № 7^~7^^012 + 2。6603. /?26 淵012 + 2。6603. /?26 淵或（0加=警書+翼Г或（0加=警書+翼ГT 482@0(0件 丁 B3 弟3 »д^да 十丄 Az + 2%603 丄d]6 03T 482@0(0件 丁 B3 弟3 »д^да 十丄 Az + 2%603 丄d]6 03(3.16)(3.16)842 dp М2 丁 43 加3842 dp М2 丁 43 加3
当（% =祭鳥
当（% =祭鳥
3D] 6 № 7^~7^^
3D] 6 № 7^~7^^
012 + 2。6603. /?26 淵
012 + 2。6603. /?26 淵
或（0加=警書+翼Г
或（0加=警書+翼Г
T 482@0(0件 丁 B3 弟3 »
д^да 十
丄 Az + 2%603 丄d]6 03
T 482@0(0件 丁 B3 弟3 »
д^да 十
丄 Az + 2%603 丄d]6 03
(3.16)
(3.16)
842 dp М2 丁 43 加3
842 dp М2 丁 43 加3
Подставляя значения внутренних сил ^, 「加 S и N^ 2Vg соответственно из (3.7), (3.14) и (3.15) в первые три уравнения равновесия (3.11), получим разрешающую систему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых перемещений；
(3.17)(3.17)41 (GQ 我 + £12 (CQ u + 厶 13 (С浦 S = -X, 厶 12 (CQ “ + 厶22 (QQ " + 厶23 (GJ S = —У， 厶13 (e詠)北+"23 £比)" +厶3 (e才左2比)8=Z,,
(3.17)
(3.17)
где для линейных операторов 厶】(CQ, L12 (QJ, L13(C.k) и 厶33(Ga：刀优) имеем представления (3.10), а
(3.18)(3.18)г (р \—°66 °? I 2cge / I °22 / 必221j左丿一 不T而十而硒十旗'净'
(3.18)
(3.18)
1厶23(MQ =瓦1厶23(MQ =瓦
1
厶23(MQ =瓦
1
厶23(MQ =瓦
Таким образом, техническая теория анизотропных цилиндрических оболочек в перемещениях построена.
Уравнения технической теории могут быть представлены в форме уравнений смешанного метода теории статически неопределимых упругих систем.
Полагая
厶=表孔晔—4 X® Л = ^?,.а-5 yd₽, 1(3.19)
S = — 1ё Е 咐.
где <р=<р (а, р)——искомая функция напряжении, тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (3.11), а из третьего уравнения получим
^■^f. ««~^ j У©。一4"М,« —康”2,р =Z.(3.20)
Решая соотношения упругости (3.12) относительно компонент деформаций, найдем
(3.21)(3.21)А =4/1 + 412 T2 +4б5' ®2 = 422?2 + 412北 +426$, ①=46厶 + 426Tz + AeS, 4比=生驚 L
(3.21)
(3.21)
Как было указано выше, результаты классическом теории однородных анизотропных оболочек будут обобщены на случай симметрично собранных слоистых оболочек. Поэтому целесообразно записать здесь выражения коэффициентов Aik и в более общем виде, без подстановки значении жесткости Cik. Таким образом, для Aik будем иметь
(3.2")(3.2")(3.22>(3.22>4皿=(CggCgg — Cje) QJ 4б = (С12С2в — С16С22) QJ, ”22 = GiGg 'Ge) ^1» 4况=(С1аС16 — С^Сц) Q/‘ 466 = (^11^22 一 ^12)QJ -^12 =(g6。26 一 a2066)QJ，
(3.2")
(3.2")
(3.22>
(3.22>
Qi = (СцС^ — Ci2)Сад + 2G2cl6&6 ——^n^ie ——C22Cie.
Далее, в силу (3.19) из (3.21) получим
%=（證费+需系-籍鳥切+ W, % =（套费+察爲-樂譌 g+e；，
0)=(：V0)=(：V‘4]6 02 I a26 /‘4]6 02 I a26 /乃2 d俨乃2 d俨▲2加2▲2加2*為，+吟*為，+吟
0)=(：
V
0)=(：
V
‘4]6 02 I a26 /
‘4]6 02 I a26 /
乃2 d俨
乃2 d俨
▲2加2
▲2加2
*為，+吟
*為，+吟
где
^ = —[auA j Х^-]-Аг.В ( ydp), / = 1,2,6.
Подставляя значения N、и N? из (3.15) в уравнение равновесия (3.20), а значения компонент деформаций е1э е2, з из (3.22) в третье уравнение неразрывности деформации (3.6), получим разрешающую систему двух уравнений относительно двух
искомых функций, нормального перемещения гг? (а, В) и функции напряжений <р (а, 0)：
(3. 23)(3. 23)£l(2Js+g^Zaa = Z+3 ] У 邵， 厶2 (40 屮 一 3：^ 忆 ^ = — } S2, аа +
(3. 23)
(3. 23)
丄丄**
十五豆％,祁一炉%,卩3，
где для линейных операторов 厶 имеем
"（厶）=宏言+ 4铝為"（厶）=宏言+ 4铝為f /Л、一 &?上._2 4 26 於L2g比丿=JT 初 一 3^F ^pf /Л、一 &?上._2 4 26 於L2g比丿=JT 初 一 3^F ^p2 (A + 2%) 4 2月万 dot2dB2 +Aв3 да ^3^ з4 0出， (242 + 46)筋灰而帝一 _2 46 м I4口竺 ―才丽被屈十乔乖.2 (A + 2%) 4 2月万 dot2dB2 +Aв3 да ^3^ з4 0出， (242 + 46)筋灰而帝一 _2 46 м I4口竺 ―才丽被屈十乔乖.(3.24)(3.24)
"（厶）=宏言+ 4铝為
"（厶）=宏言+ 4铝為
f /Л、一 &?上._2 4 26 於
L2g比丿=JT 初 一 3^F ^p
f /Л、一 &?上._2 4 26 於
L2g比丿=JT 初 一 3^F ^p
2 (A + 2%) 4 2月万 dot2dB2 +
Aв3 да ^3^ з4 0出， (242 + 46)筋灰而帝一 _2 46 м I4口竺 ―才丽被屈十乔乖.
2 (A + 2%) 4 2月万 dot2dB2 +
Aв3 да ^3^ з4 0出， (242 + 46)筋灰而帝一 _2 46 м I4口竺 ―才丽被屈十乔乖.
(3.24)
(3.24)
DP5DP5Таким образом, задача анизотропной цилиндрической оболочки на уровне технической теории приводится к разрешающей системе двух линейных дифференциальных уравнений (3.23) относительно функции напряжении <р (а, р) и функции перемещения w через которые, с помощью формул (3.13), (3.7), (3.14),
DP5
DP5
(3.22) и (1.16) могут быть определены все расчетные величины задачи.
Когда оболочка загружена лишь нормально приложенной внешней нагрузкой, т. е. когда Х=У=0, 2=^=0, система разрешающих уравнений (3.23) перепишется следующим образом：
"(4加中-^■★%a =0■
i i(3.25)
厶(0£0"+瓦矛中，aa = Z,
Соответственным образом упрощаются и расчетные формулы, которые содержат X и У.
Систему уравнений (3.25), как известно, можно привести к одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно одной разрешающей функции Ф (а, §)・
Полагая
0 =厶(41①，中=+ ^吗.«，(3・26)
тождественно удовлетворим первому уравнению системы (3.25), а из второго уравнения получим разрешающее дифференциальное уравнение задачи
11 Л4ф
(4浦① +=Z.(3.27)
Законность и общность представлений (3.26) являются предметом особого обсуждения и будут рассмотрены в последующем.
Основной оператор уравнения (3.27) в раскрытой форме имеет следующий вид:
厶(。浦 ％ (4Q =，&2$爲+2 (242% — D^A^^Bd^^~
+ [% (2儿2 + 4б) - 8%4б + 2 (Dn + 2%) 4』為痂 +
+ [4% (242 +46)+4%4魁一 2，46 -
—4 (% + 2。66)dT^^^p+Wu4 n — 80/16 +
+ 2 (% + 2%) (2412 + 4б) — 8%% + D^A^ ^^i д^^ +
+ [4026 (242 + /66)+4,64i - 2Z)22426 -
-4(% + 2066)416]J^5 ^gb + [°22 (2九 + 466)一
~ 8%416 + 2 (% + 2%) 4口] j^ ^^ +
+ Z.QOMu -02246)4 5 7 0a 弟7 + °2241 就磚•(3.28)
В силу (3.26) из (3.7), (3.14), (3.19) получим следующие выражения для внутренних сил и моментов:
_ 1 1 04①T一丄二丝？
l^~~R А^д^др 1 ‘2 =瓦矛茄I，
q 11 МФ
3 =一瓦鈿而而，
"1 = _(4』系+ % 表 ^ + 2% 总)厶(44①，(3.29)
"2 = 一(% ^提+ % ^爲+ 2% 方磊)仇(4Q①，
h = 一(246 与瀛 + а6 ^5 ^+46 ^ ^)厶(4加①，
м = -^ kD.^L^A^ Ф,恥=-Е^Ьг{А^ Ф.,
Перемещения срединной поверхности определяются ством (3.26) и следующих формул:
I /人 1 #3①1 03①1 03①、
U = R^A3^ + An^^ — A^AWd^J^
一瓦L'u原研十(/2十48)而研一
_ 2а6為磊 一а6^ 鋼.
посред-
(3.30)
Подстановкой можно убедиться, что перемещения и ,представленные формулами (3.26) и удовлетворяют первым двум уравнениям системы (3.17) при Х=У=0, а третье уравнение дает известное нам разрешающее уравнение (3.27).
3. Теория осесимметричной деформации анизотропной замкнутой круговой цилиндрической оболочки. Пусть анизотропная замкнутая круговая цилиндрическая оболочка как с точки зрения геометрии, так и физикомеханических свойств осесимметрична относительно оси вращения z (рис. 23).
Пусть, далее, такая оболочка имеет по тор- цам^осесимметричные граничные условия и загружена осесимметрично относительно
оси z, т. е. Х=Х (a), Y=Y (a), Z=Z (а). В этом случае, ввиду полной симметрии, оболочка будет деформироваться осесимметрично, т. е. после деформирования тело оболочки остается телом вращения с осью вращения z. Тогда все искомые расчетные величины оболочки будут функциями лишь одной переменной а, т. е. оси не будут зависеть от угловой координаты В (рис. 22).
Для рассматриваемой оболочки из (3.3)—(3・5) имеем: уравнения равновесия:
丄必 =一x 丄也^+丄w — — y4 da 厶‘ 4 da 十A上，
1 т 1 dNr 7亙厶—京石—厶
^券=必募=他；
геометрические соотношения:
Х]=
w-fl°'
=2 ,d-d du五 1_^
1、
石，
2 1 du e =亙7元；
(3.31)
(3.32)
соотношения упругости:
a = e1f1 + g^ё2 + ^,16^» ?2 = e22£2 + 012% + e26 叫
S]2 =。663 + Ge®l + °26&2 + 亙(°66工 + ^16Х1)»
S^ = C66O)+ C]6% +。26&2，女=066t + ^16Х1»
"i= ^их1 + Am "2 A/i + 4б=・
■(3.33)
Разрешающая система уравнений в
перемещениях
(3,31)—(3.33) (или из (3.9)) запишется
следующим
Сп d^u С]б&?沙 С】？ 1 dtp
二一X,
®D V £Z .
4? da2 1 卜66 1 R2 66丿 242 da2 1
丄c26丄2
1 d3s — у
43(/дЗ'
С12 1 du j，2б 1 du J г 切
■Я 4 da + R 4 da 十 d2R2
2 D]6丄空^上%叁f_ 7 耳笛打十訐而=厶
согласно образом:
(3.34)
ДО九2/五2,ДО九2/五2,Из первых двух уравнении (3.34), с точностью легко получить
ДО九2/五2,
ДО九2/五2,
1 du С 16c26 — С]2‘66 з 2。16。16 I 或切
Л da —u)iHК со】42 da2 十
+ 晉]y4da-*]x4da + d，
1 db_ C]2C]6 -e11e26 шЛ da —о)1 Я1 db_ C]2C]6 -e11e26 шЛ da —о)1 Я20]也6 1 d25冗 о>142 da220]也6 1 d25冗 о>142 da2(3.35)(3.35)
1 db_ C]2C]6 -e11e26 ш
Л da —о)1 Я
1 db_ C]2C]6 -e11e26 ш
Л da —о)1 Я
20]也6 1 d25
冗 о>142 da2
20]也6 1 d25
冗 о>142 da2
(3.35)
(3.35)
一晉m曲+号，XZda + 瓦, О)]=ае66一е彳6，
Здесь 务 и % — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из граничных условий оболочки.
Подставляя значения производных от перемещений и и v по а из (3.35) в третье уравнение (3.34), с точностью до 胪/? получим следующее разрешающее уравнение задачи:
1 d^w
衣7ST
4 ^16 (^11^26 — С]2°]б) I 欧切
石 5^ Л2 da2
e12C66 F e]6C26 ]
О]]% К
% w 。1产1 R2
(ХA 尼 + 小纯一%%之 f YA da ~ JZJ11W1 Л J
薪(％& + G也)+ 2 盡為^ (%Х -С„У), (3.36)
где
% = (СпС22 —唸)％ + 2С12С1еС2б —CuClQ 一 龜％，(3.37)
Таким образом, при заданных граничных условиях, которые имеют обычную структуру, решая уравнения (3.36), определим нормальное перемещение w (сс), с помощью которого посредством формул (3.31)—(3.35) и (1.16) легко найти все расчетные величины задачи. В частности, имеем
3 =3 =Cn du 丄 С]б d沙Cn du 丄 С]б d沙厶=厶=$12 =$12 =4 daCj2 duA daC】6 duA daC〔6 du4 daCj2 duA daC】6 duA daC〔6 duA d&，2б duA daA d&，2б duA da52方52方N?若,N?若,(% + 養 ％) 4■幫+(4 — D(% + 養 ％) 4■幫+(4 — D'is i'is id2 \ ш插丿不,d2 \ ш插丿不,'—A daAl1 A da'%耳，1 dud^w J20 '—42da? 1A da%d2tp 12 °26dv-42da2 1Я 4da.'2 АбdvЗб d2tp~ R Ada42 da2 :Aid3s2 % d2沙一43da3丨R 42 da2'2 % d2“Зб d3u?一五42da243 da3•'—A daAl1 A da'%耳，1 dud^w J20 '—42da? 1A da%d2tp 12 °26dv-42da2 1Я 4da.'2 АбdvЗб d2tp~ R Ada42 da2 :Aid3s2 % d2沙一43da3丨R 42 da2'2 % d2“Зб d3u?一五42da243 da3•ww必必нн餌餌• м2• м2(3.38)(3.38)
3 =
3 =
Cn du 丄 С]б d沙
Cn du 丄 С]б d沙
厶=
厶=
$12 =
$12 =
4 da
Cj2 du
A da
C】6 du
A da
C〔6 du
4 da
Cj2 du
A da
C】6 du
A da
C〔6 du
A d&
，2б du
A da
A d&
，2б du
A da
52方
52方
N?若,
N?若,
(% + 養 ％) 4■幫+(4 — D
(% + 養 ％) 4■幫+(4 — D
'is i
'is i
d2 \ ш插丿不,
d2 \ ш插丿不,
'—A da
Al
1 A da
'%耳，
1 du
d^w J
20 '
—42
da? 1
A da
%
d2tp 1
2 °26
dv
-42
da2 1
Я 4
da.'
2 Аб
dv
Зб d2tp
~ R A
da
42 da2 :
Ai
d3s
2 % d2沙
一43
da3丨
R 42 da2'
2 % d2“
Зб d3u?
一五42
da2
43 da3
•
'—A da
Al
1 A da
'%耳，
1 du
d^w J
20 '
—42
da? 1
A da
%
d2tp 1
2 °26
dv
-42
da2 1
Я 4
da.'
2 Аб
dv
Зб d2tp
~ R A
da
42 da2 :
Ai
d3s
2 % d2沙
一43
da3丨
R 42 da2'
2 % d2“
Зб d3u?
一五42
da2
43 da3
•
w
w
必
必
н
н
餌
餌
• м2
• м2
(3.38)
(3.38)
Рассматривая формулы (3.38) и (3*35), нетрудно сообразить, что, в отличие от осесимметрично деформируемых ортотропных оболочек вращения, здесь в общем случае ни одна из внутренних сил и ни один из моментов не обращаются в нуль.
оболочкиоболочкиПосмотрим, как будет выглядеть все это в случае технической
оболочки
оболочки
теории. Согласно (3.11)—(3.16) для рассматриваемой имеем:
уравнения равновесия: 1
1 d7\4 da1 d7\4 da—х,；* = т,—х,；* = т,ЗЕЗЕ*=z,4 da*=z,4 dat dM]A da1 dH A dat dM]A da1 dH A da=必=必N2；N2；(3.39)(3.39)
1 d7\
4 da
1 d7\
4 da
—х,；* = т,
—х,；* = т,
ЗЕ
ЗЕ
*=z,4 da
*=z,4 da
t dM]
A da
1 dH A da
t dM]
A da
1 dH A da
=必
=必
N2；
N2；
(3.39)
(3.39)
геометрические соотношения:
”1 =”1 =1 du1或。1 du1或。w^ = -R'w^ = -R'1 dv *4 аа *1 dv *4 аа *42 da2 542 da2 5& =0，t = 0;& =0，t = 0;(3.40)(3.40)
”1 =
”1 =
1 du
1或。
1 du
1或。
w
^ = -R'
w
^ = -R'
1 dv *
4 аа *
1 dv *
4 аа *
42 da2 5
42 da2 5
& =0，t = 0;
& =0，t = 0;
(3.40)
(3.40)
соотношения упругости:
7尸贲翳+粤亲+4豈=T x4彰+e:,7尸贲翳+粤亲+4豈=T x4彰+e:,
7尸贲翳+粤亲+4豈=T x4彰+e:,
7尸贲翳+粤亲+4豈=T x4彰+e:,
(3.41)(3.41)S12=% = S =勺嚣+勺累+ 以殆=—[Y4da + c：,
(3.41)
(3.41)
N —n 一
1——謳初，2~" 而
где с、и с] — постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.
В этом случае разрешающая система уравнений (3.17) перепишется следующим образом:
(3.42)(3.42)
(3.42)
(3.42)
Из первых двух уравнений (3.42) легко получим
(3.43)(3.43)｝翁= S白6^ *2e66普一* j XA da + 曾 、 YA da +%, ；雾=S256^2g6帯 + 晉 jx4da _* j y4〃a+".
(3.43)
(3.43)
Здесь, очевидно, для постоянных интегрирования имеем Ь3=с^ ^4=с 4 (читатель в этом может убедиться и обычной подстановкой).
Подставляя значения и и v из (3.43) в третье уравнение (3.42), получим разрешающее уравнение задачи в постановке технической теории:
1 d^w_Д4 da41 d^w_Д4 da42-j w Z41叫 R2 - %2-j w Z41叫 R2 - %C叫^严6$j X4 da +C叫^严6$j X4 da +
1 d^w
_Д4 da4
1 d^w
_Д4 da4
2-j w Z
41叫 R2 - %
2-j w Z
41叫 R2 - %
C叫^严6$j X4 da +
C叫^严6$j X4 da +
(3.44)(3.44)fl'% j 必 〃a -倉(％% + G 也).
(3.44)
(3.44)
Сравнивая разрешающие уравнения общей теории (3.36) и технической теории (3.44), замечаем их принципиальное отличие, заключающееся в том, что в разрешающем уравнении
технической теории член со второй производной и? по а отсутствует. Отсутствие этого члена может сказываться, в основном, на скорости затухания решений, т. е. на величине распространения краевого эффекта.
§ 4. Классическая теория ортотропнойсферической оболочки
Рассматривается сферическая оболочка с радиусом кривизны срединной поверхности 五・ Полагается, что оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что в каждой точке оболочки главные направления упругости материала совпадают с соответствующими координатными линиями триортогональной системы координат а, (В,『 Координатная система а, р, 丁 выбрана так, что срединная поверхность сферы отнесена к крив о л инейным ортогональным координатам а, 0, а прямолинейная координатная линия % как и раньше, направлена по нормали к срединной поверхности.
Так как для сферической оболояки r1=五2=a=^П乩，&=后2= =后=五 т, то уравнения равновесия (1.21) для случая однородной задачи, т. е. когда X=Y=Z=0, после некоторых преобразований могут быть переписаны следующим образом:
[B[T1 + kM^-Bta(Ti + kM^ +
十[4 (5 + ^)]i₽ + A)₽(5 + ^)=0r [4 (厶 +"MJ], в — А, в (厶 + кМ^ +
(4.1)(4.1)наиболеенаиболее+ [5 (6 + ^)] « + %(£ +询=0,
(4.1)
(4.1)
наиболее
наиболее
АВк(Т] + 笃)-啰凿),《 — (4%2),р = 0, <ВМ^>а + (AH)^ + At9H 一 3,陷=ABNV (4MJ,в + (ЗН),« + ВгаН-А>?М^ ABNg,
где учтено также, что соотношения упругости имеют простой вид, а именно:
7\ = С]】％ + С12е2, S]? = S21 = S = Cggto, m] =011*1 +012"2，7\ = С]】％ + С12е2, S]? = S21 = S = Cggto, m] =011*1 +012"2，n = °2222 + C12%，%2 = /?21 = Н ^^ ^66Т» m2 = °22"2 +012"1；n = °2222 + C12%，%2 = /?21 = Н ^^ ^66Т» m2 = °22"2 +012"1；(4.2)(4.2)
7\ = С]】％ + С12е2, S]? = S21 = S = Cggto, m] =011*1 +012"2，
7\ = С]】％ + С12е2, S]? = S21 = S = Cggto, m] =011*1 +012"2，
n = °2222 + C12%，
%2 = /?21 = Н ^^ ^66Т» m2 = °22"2 +012"1；
n = °2222 + C12%，
%2 = /?21 = Н ^^ ^66Т» m2 = °22"2 +012"1；
(4.2)
(4.2)
0忱=无3朵，0忱=无3朵，Dik = ^Bik.Dik = ^Bik.(4.3)(4.3)
0忱=无3朵，
0忱=无3朵，
Dik = ^Bik.
Dik = ^Bik.
(4.3)
(4.3)
Входящие в (4.2) компоненты деформации (1.6), (1.7) упростятся и примут вид
11
% =才生.十貓4,/ +矶,
S2 =方%3十券3,/+砲，а)==4Шэ+4Ш«,
■1 -4 /(\1 -4■1 -4 /(\1 -42 AB2 AB化嵋一化嵋一；4,自化.一 ^%％），；4,自化.一 ^%％），(4.5)(4.5)
■
1 -4 /(\
1 -4
■
1 -4 /(\
1 -4
2 AB
2 AB
化嵋一
化嵋一
；4,自化.一 ^%％），
；4,自化.一 ^%％），
(4.5)
(4.5)
Здесь следует отметить, что деформации изгиба и кручения 乂仆 т зависят только от нормального перемещения w (а, р).
Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Используя характерные особенности первых двух уравнений равновесия (4.1), введем в рассмотрение некоторую, дифференцируемую необходимое число раз, функцию напряжений 屮=^(а, р), с помощью которой входящие в эти уравнения искомые величины определяются следующим образом:
4+^2=時+；（*,工+小4化伊（4.6）
Принимая (4.6), тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (4.1), а из третьего уравнения, согласно четвертому и пятому уравнениям равновесия (4.1) и соотношениям (4.6), получим
A (W + 2)屮一胪(妈 + 必)_ 心{之[(5^),«+
+(4印,什 4 /一5, m]},「*伍 3m2)" +
+ (М,«+ 3,/ — 4 M}, 3 = °-(47)
где, как обычно в теории оболочек, с помощью 炉 обозначен безразмерный обобщенный оператор Лапласа
w =盛（等詛+斎管强）］•（48）
Таким образом, система уравнений равновесия (4.1) введением искомой функции напряжений ср (а, р) свелась к одному уравнению относительно этой искомой функции и моментов, которые (моменты), как легко заметить из (4.2) и (4.5), зависят лишь от искомого перемещения w (а, р).
Из сказанного следует, что теперь в нашем распоряжении взамен системы уравнений равновесия (4.1) имеется одно дифференциальное уравнение равновесия (4.7) относительно двух искомых функций 屮(％ р) и w (а, р).
Для получения полной системы уравнений нам необходимо еще одно уравнение, которое должно быть найдено из системы уравнений неразрывности деформаций.
Сравнивая между собой соотношения (4.5) и (4.6), замечаем, что обобщенные статические величины Т^кМ^ T^kM^ S-^kH выражаются через функцию напряжений 屮(а, р) точно так же, как геометрические величины 勺，х2, т — через нормальное перемещение w (а, 0). В силу этого легко сообразить, что если первые два уравнения (4.1) представить посредством компонент деформаций х1( х2, с следующим образом
(В勺),а — В, У1 — 2~ (4т), В —専 4 邝=О,
1 С (4・9)
⑷1),厂4仍一彳(乐h一2% ="
то согласно (4.5) уравнения (4.9) будут тождественно удовлетворены при любом нормальном перемещении w (а, р).
Рассматривая (4.9), замечаем, что эти уравнения представляют первые два уравнения неразрывности деформаций (1. 8‘), записанные для сферической оболочки.
Таким образом, первые два уравнения неразрывности деформаций удовлетворены полностью, а третье уравнение согласно (4.5) перепишется следующим образом:
潜(可 + 2) 必 一分{；[也,。+ (% 一%)3, 口 - 4■吗 L t»4 j}, a 一
—吃{§[”5, 口 + ® — %)/”一 4"3,« — зЗ,«]},в = 0.(4.10)
Уравнение (4.10) является недостающим вторым уравнением искомой системы. Оно представлено с помощью искомого перемещения w (а, р) и компонент деформаций ер которые согласно (4.2)—(4.6) являются функциями как нормального перемещения w (а, р), так и искомой функции напряжений 屮(а, р).
Подставляя значения х., с 以з (4.5) в соответствующие соотношения упругости (4.2), получим для моментов следующие выражения:
% = -/ (0口)以，"2 = -/ (°22)以 " =-/ (统6)^»(4」1)
где для линейного оператора I (少必)имеем
1(%)=^g粉+爲絹為+用+
+ 2D^{jB^—^B%i~^A^^\^(4.12)
Здесь, очевидно, »=1, 2, 6, /=1, 2, 6, ^ie=-^6i=:=^26=^62==^* Разрешая три соотношения упругости (4.2) относительно компонент деформаций %, о), при этом учитывая (4.6) и (4.11), получим
е1 —^ (411)屮 +"[4ц/ (2J+412/ (少22)]吗
% = £ (42)中 + "[422/ (022)+ 42/ (^11)1 "一(4. 13)
3 = £ (466)中 + ""6б/(46) "，4? = %•无
При рассмотрении симметрично собранных слоистых оболочек для А^ надо пользоваться более общими представлениями, а именно формулами (3.2V); для линейного оператора К (4刁) имеем
К(4“)= 4" [4■专(3 К) + 爲得 ^ + 沼]_
一飽隔鳥一爲复斎_鳥^k+(4.14)
+旬[鏡0~君+小笨总+打；
здесь, как и раньше, Z = l, 2, 6, /=1, 2, 6, Л16=Л61=Л26=Лв2=0.
Подставляя значения М^ Н из (4.11) в уравнение равновесия (4.7), а значения ер о)——из (4.13) в уравнение неразрывности деформаций (4.10), получим окончательную разрешающую систему двух дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций w (а, р) и ср (а, р)：
尤俨+ 2)叶吃^；俣[3/(%)] +
+ 當[4/ (%)] + % /(%)— * / (%)} " +
+鳥М春係⑷(%"+I"(%)]+
+^ /(%)-号 / 仇)}"+叫/(%)+/(ад=0，
潜(屮 + 2)" _ А 爲 ^ } {з ^14 以(％)+ 4M(%)】+
+ g MJ W + A^I (D^- / (%))—&〃％)]- 一4他今^(％) -4的^/ (%)}"一
i与當康{吗[4业(%) + 2 (%)1 +
+器[AUI (加 + 4a (/ (%) — I (%)) 一
-4 J (%)1 - 4ё6 ^ ^ / (%) - 4ёб 票/ (%)}"-
一3 ^ 抖8 " (422)+ 独女 &)-а(Ли)1 -
一 4■畜女(4J — к 4б)}
一鳥蓊{4 М(4。+乳к(4—女(4)1 -
-3 ^ к(4邻)一賞女(4他)}屮=。.
Таким образом, мы получили разрешающую систему дифференциальных уравнений, которая совместно с соответствующими граничными условиями может быть использована для определения искомых функций задачи, т, е. функции напряжений 屮(а,① и функции перемещений —— нормального перемещения w (a, R).
Имея значения 屮(％ р) и 〃(％ р), с помощью приведенных выше уравнений и формул можно определить все расчетные величины рассмотренной ортотропной сферической оболочки.
Кстати сказать, полученные здесь уравнения справедливы для любой ортогональной криволинейной системы координат а, р на срединной поверхности сферической оболочки.
2・ Разрешающие уравнения и расчетные формулы для ортотропной сферической оболочки в географической системе координат .Если срединная поверхность сферической оболочки отне-
сена к ортогональной географической системе координат а,卩, так что координата а является широтой,笈 卩 ——долготой^ то для коэффициентов первой квадратичной формы будем иметь
Л = R, В =2 R sin а.(4.16)
В силу (4.16) система разрешающих дифференциальных урав* нений (4.15) запишется следующим образом:
Р + 2)屮 + 諡^假[/(2Jsina] +
+ К /(%)- / (%) cos a} 0 +
+ 鳥當偽/(%)+^【/(%)sina] +
+1 (%) cos a} " + E [/ (%) +1(ад = 0,
& + 2)。一盡^ {sin a [422Z (Z)22)+ 412Z (Qi)]} +
+14 J (4 J + &2 (/ (%) — / (%))—
一 41/(41)] COS a —粤當/(%)}"—()
一$4偽因1/(%)+2(“1一
—挚 sin a ^ / (%) — 4б COS a/ (%)}"—
-諡^卜in a ^К (ZQ + {К (/J — К Ии)] cos a —
—т^А(4б)卜一 ^^W 偽 k(4i)_
一呼 ^ к(4б) — К (4б) cos a卜=о, где
w =說快(sina粉 + 誌景].(4.18)
В этом случае формулы для расчетных величин перепи- тутся так:
普=康(1 +7i^7 急+ ctga^)cp + /(Z)u吟’
图=击(1+篇中+ /(%)殆，(4.19)
S= _ ^4r；(森一ctga*)屮+/(%吟，
% =•—/(D口)以，4/2 =一/(d雷)"，a =一/(d66)以.
5 С. А. Амбарцумян
Для линейных операторов, которые входят в приведенные выше уравнения и расчетные формулы, будем иметь
/ (%) = % 表信 + 1) + 24/ 黑nW (為一 ctg 端)+ + %•春(1 +曲+ctg a Д),
*(2/)= ""•旗(^f7 帝+ ctga 曲 + 1) 一
—4/йГ^Т (备一ctg 喷)+ 儿/靑駕 + 1) •
Тангенциальные перемещения 〃 (a, p) и v (a, p) согласно (4.4), (4.13) и (4.16) будут определяться с помощью уравнений
^ ^ = 女 ⑷)屮 + 康阳】/(%) + 42/ (%) — 11。，
為^ + 备 ^ a = К (%)屮 + А 冏 J (%) +(421)
+ 412, (А) — i]w.
Классическая теория пологих анизотропных оболочек
Рассматривается пологая оболочка, изготовленная из анизотропного материала. Предполагается, что в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки.
Теория пологих оболочек, наряду с основной гипотезой не- деформируемых нормалей, базируется также на следующих дополнительных предположениях:
а) в первых двух уравнениях равновесия можно пренебречь членами k*N* и k2N^ б) в выражениях, связывающих компоненты изгибной деформации (勺，х2, т) с перемещениями, можно сохранить лишь те члены, которые содержат нормальное перемещение ш; в) первые два уравнения неразрывности и шестое уравнение равво- весия считаются удовлетворенными. (Безусловно, они удовлетворяются приближенно.)
При построении теории пологих оболочек, наряду с принятыми выше предположениями, считается, что внутренняя геометрия срединной поверхности оболочки, независимо от значения гауссовой кривизны К=кук2, совпадает с геометрией плоскости, т. е. выражение первой квадратичной формы поверхности
ds2 = A4a?+B4^ds2 = A4a?+B4^(5.1)(5.1)
ds2 = A4a?+B4^
ds2 = A4a?+B4^
(5.1)
(5.1)
отождествляется с аналогичным выражением первой квадратичной формы на плоскости. В этом случае уравнение Гаусса (2) заменяется приближенным равенством
(m)+ 份4。)，产。(能= °)，(5为
которое, конечно, точно удовлетворяется для поверхностей нулевой гауссовой кривизны.
Отсюда легко сообразить, что равенство (5.2) приближенно выполняется на любом достаточно малом участке произвольной
поверхности, если соответствующим образом выбрана система ортогональных криволинейных координат а, р, т, е. если система координат выбрана так, что выполняется сильное неравенство AB/RMz W 1・
Например, сфера радиуса 凡 отнесенная к географической системе координат (рис. 24), задается уравнением
x = R sin 8 cos у,
у = R sin 8 sin %
Рис, 24.Рис, 24.z = R cos 8,
Рис, 24.
Рис, 24.
где 屮 и 8 ——углы широты и долготы. Первая квадратичная форма в этом случае имеет вид
ds2 = R2d$2 + R2 sin2 8 出叭 откуда
*1=A2 =凡 4=7?, В =R sin ^, 45//?盘2 = si 口 3.
Последняя величина вблизи полюса, при малых 8, становится малой, и можно считать, что в достаточно малой части поверхности сферы, *вблизи полюса, равенство (5.2) выполняется с необходимой точностью. Но это равенство заведомо не будет выполняться в любой точке экватора, т. е. для точек с углом 8ап/2, если даже рассматриваемая часть поверхности весьма мала. Очевидно, вблизи таких точек надо соответствующим образом изменить систему координат, например, можно в рассматриваемую точку перенести полюс.
В силу принятых предположений для рассматриваемой пологой оболочки из общих уравнении и соотношений, приведенных в § 2 настоящей главы, получим:
уравнения равновесия:
(ВС 伐+ (4S),r + 4/ = —АВХ,
(4 北),厂一 4,р7\ + (BS),« + 3,«S = —43 У,
自 丁1 + &笃一彳^[(ВЛ\),а + (4%2),в1 = %,-(5.3)
(BM^^^AH^ + A^H-B^M^ABN.
(4〃必 + (5〃h + B)aH 一 А©% = 45他;
соотношения упругости:7\ = CjjSj + &2^2 + C]6t°，?2 =c22电 + Gsei +e26叫S = °66 ⑴ + Geei + C^s,соотношения упругости:7\ = CjjSj + &2^2 + C]6t°，?2 =c22电 + Gsei +e26叫S = °66 ⑴ + Geei + C^s,C ik = 5 - A,C ik = 5 - A,Mi = ^Пx1 +，2乂2 + °16三， M2 =022出 + °12 勺 + Q26。， Н =0赤+，6勺+生6冲uik 一 " ik ]2，Mi = ^Пx1 +，2乂2 + °16三， M2 =022出 + °12 勺 + Q26。， Н =0赤+，6勺+生6冲uik 一 " ik ]2，
соотношения упругости:
7\ = CjjSj + &2^2 + C]6t°，
?2 =c22电 + Gsei +e26叫
S = °66 ⑴ + Geei + C^s,
соотношения упругости:
7\ = CjjSj + &2^2 + C]6t°，
?2 =c22电 + Gsei +e26叫
S = °66 ⑴ + Geei + C^s,
C ik = 5 - A,
C ik = 5 - A,
Mi = ^Пx1 +，2乂2 + °16三， M2 =022出 + °12 勺 + Q26。， Н =0赤+，6勺+生6冲
uik 一 " ik ]2，
Mi = ^Пx1 +，2乂2 + °16三， M2 =022出 + °12 勺 + Q26。， Н =0赤+，6勺+生6冲
uik 一 " ik ]2，
(5.5)(5.5)◎慘◎慘
(5.5)
(5.5)
◎慘
◎慘
геометрические соотношения:
%a+丽4屮+/£】吗
电=》% +与纥产+&叱
% =一才(才"，《)，« 一 而 4 ,严,伊
"2 =一万("%，Р)，0 -瓦* 3,M，《'
уравнение неразрывности деформаций:
自Х1+ 询修 +力｛[j-lSs2>o + (% — q) в,« — £ 3,R — з"，в(++伍[4分2+信一崂4 ,0 - (嗔吟]J = 0.
Вышеизложенного достаточно для построения теории пологих анизотропных оболочек.
Однако следует отметить, что теория оболочек, базирующаяся на приведенных исходных уравнениях и соотношениях (5.3)——
зачастую истолковывается как теория оболочек с большим показателем изменяемости. 一
Такое двойственное истолкование теории, базирующейся на формулах (5.3)—(5.6), существенно расширило области ее применения. Эта теория может быть использована при рассмотрении задач пологих оболочек, оболочек нулевой гауссовой кривизны, не имеющих особенностей, при рассмотрении задач о построении простого краевого эффекта, при исследовании локальной устойчивости произвольных оболочек и т. д.
Таким образом, истолкование приближенной теории оболочек, базирующейся на соотношениях и уравнениях (5.3)——(5・6), как теории оболочек с большим показателем изменяемости или как теории пологих оболочек, будучи совершенно верным, не отражает широких возможностей этой теории. С этой точки зрения название настоящего параграфа носит формальный характер.
Разрешающие уравнения н расчетные формулы. Ограничимся рассмотрением случая, когда оболочка нагружена нормально приложенной поверхностной нагрузкой Z^O. Остальные составляющие поверхностной нагрузки X и У равны нулю. Пожалуй, это наиболее важный случай с точки зрения приложений. Полагая
T1 = W(wEb)j + T^"夕抖…
?2 = ；(；2.)," + 志4代伊(5•7)
где 屮=屮(％ р) — искомая функция напряжения, тождественно (с точностью строящейся приближенной теории) удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (5. 3) (при Х=У=0), а из третьего уравнения получим
%1Ж我^)+总修喝)]l
一爲国В他)+%(4也)卜Z.(5.8)
Решая соотношения упругости (5.4) относительно компонент деформаций и учитывая (5.7), будем иметь
&1 =/1 (41)屮，е2 ^11 ^1 (^22)Т> 9 =厶.(”66)%(5*9)
где厶（41=誓係（謡）-где厶（41=誓係（謡）-1 дв а пА2 @а да]—1 дв а пА2 @а да]—
где
厶（41=誓係（謡）-
где
厶（41=誓係（謡）-
1 дв а п
А2 @а да]—
1 дв а п
А2 @а да]—
力6无「#i дв д1 ал a ~i I
АВ [ da 邦В да д^ 4 dR da」十
卜竽岗发）+击芻卦4*=3工（5/0）
В случае симметрично необходимо использоватьВ случае симметрично необходимо использоватьсобранных слоистых оболочек для Aik более общие формулы:
В случае симметрично необходимо использовать
В случае симметрично необходимо использовать
©/(У)©/(У)4" = (С22С66 ■ С|6)。?， _4]6 =(c12c26 ——c16022)。/， 422= (&1°66 - *6)。「，426 = (J2c16 — °26011)。/， 466 = (°11022 - ^12)。/，4曾=(С16026 —c12066)9?，
©/(У)
©/(У)
。1 = C22 - *2)C66 + 2c12С16伉6 一 &1 望6 -e22*6,
Из соотношений упругости (5.4) в силу (5,5) имеем для мо
ментов
M1 = —I2 (Z)n) W.必=-厶(D22)ь，"=一厶(46)以(5.11) где
厶(0加=警隔(謡)+与篇m]+
十 48 [dadg В da @34 dB daj 十
+讐陽(夂)+强第备]•(5/2)
Из последних двух уравнений равновесия (5.3) в силу (5.11) получим для поперечных сил следующие выражения:
М =-為係⑷ 2 (%)J + ^Лт +
+ ^bi^]-^i2{dA %
[『а(5.13)
"2 = 一方係[8厶(%)J +瑞厶(%) +
+ 彥[4/2(022)] - */2(011)}以
Подставляя выражения (5.13) для поперечных сил в уравнение равновесия (5.8), а выражения деформаций и компонент изменения кривизны и кручения соответственно из (5.9) и (5.5) в уравнение неразрывности (5.6), получим следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений задачи:
5(2・0以 + "中=2,]
厶3加中一V声=0，J()
где для линейных операторов L2, L3 и Vfc имеем
厶2 (%)=鳥詠倩⑷2 (%)] +翁厶仇)+
+ ^%(%)1 -翁" (%)} +鳥磊偽以(/] +
一务备人 固6）一翁人 %）｝ + % 舒｛吗4（％）+一务备人 固6）一翁人 %）｝ + % 舒｛吗4（％）+厶3 （4証）=1^" ^； ｛8 ^ a И22）+ 碧 [Л （4盟）一人（41）1 一厶3 （4証）=1^" ^； ｛8 ^ a И22）+ 碧 [Л （4盟）一人（41）1 一
一务备人 固6）一翁人 %）｝ + % 舒｛吗4（％）+
一务备人 固6）一翁人 %）｝ + % 舒｛吗4（％）+
厶3 （4証）=1^" ^； ｛8 ^ a И22）+ 碧 [Л （4盟）一人（41）1 一
厶3 （4証）=1^" ^； ｛8 ^ a И22）+ 碧 [Л （4盟）一人（41）1 一
Таким образом, задача равновесия пологой анизотропной оболочки, очерченной по произвольной поверхности, приводится к разрешающей системе двух линейных дифференциальных уравнений (5.14) относительно двух искомых функций:屮(％ 卩)一функции напряжения и з (а, Р) — функции перемещения, через которые определяются расчетные величины задачи.
В частном случае ортотропной оболочки во всех приведенных выше уравнениях и соотношениях надо полагать а1в=а2в=0, ^i6=-®26=0, С16=С2в=0, £)1в=£)26=0, Л1в=Л2в=0, а для определения остальных аа, Aik, BiJc, и тем самым Cik, D.k, надо пользоваться формулами, которые приведены в п. 10 § 1.
Весьма пологие оболочки. Название этого пункта, как и название этого параграфа, носит условный характер, так как излагаемая здесь приближенная теория оболочек применима не только для расчета весьма пологих оболочек, но и для расчета оболочек с большим показателем изменяемости, для построения простого краевого эффекта, для расчета оболочек с нулевой гауссовой кривизной и т. д・ Таким образом, трактуя предлагаемую здесь теорию как теорию весьма пологих оболочек, не будем забывать, что она может быть применима и для рассмотрения иных задач теории оболочек.
Рассматривается весьма пологая анизотропная оболочка, очерченная по некоторой части произвольной поверхности с гауссовой кривизной, отличной от нуля. Принимается, что рассматриваемая оболочка проектируется на плоскость, проходящую черех вершины контура оболочки, в виде прямоугольника со сторонами а и b (рис. 25). Считается, что стрела подъема оболочки над этой плоскостью /《 1/6Z, где I —— наименьший характерный размер оболочки на срединной поверхности.
Для такой оболочки приближенно принимается, что внутренняя геометрия срединной поверхности ничем не отличается от евклидовой геометрии на плоскости.
Пусть теперь х и у — декартовы координаты точки на плоскости основания оболочки. Тогда квадрат линейного элемента
Рис. 25.
на этой плоскости хОу представится обычной формулой ds^ = dx2 + dy2
и коэффициенты первой квадратичной формы А и В будут равны единице.
Для рассматриваемой весьма пологой оболочки, представлен- ноё в криволинейной ортогональной системе координат a, R, у, первая квадратичная форма срединной поверхности с достаточно высокой точностью представится такой же формулой:
ds” р da2 + d 陷
что равносильно предположению, что A^l, B^i.
В общем же случае, когда координаты а и R безразмерны, а коэффициенты 4 и 5 не равны единице и являются функциями координат а и р, т. е. А~А (а, ₽), В—В (а, ₽), с точностью принятых геометрических предположений надо принять, что Л и В при дифференцировании ведут себя как постоянные. С такой же точностью следует принять, что и главные кривизны срединной поверхности 自=自(a, R) и А2=А2 (% ₽) при дифференцировании ведут себя как постоянные.
Присоединяя к приведенным чисто геометрическим предположениям исходные предположения общей теории пологих оболочек (см. начало настоящего параграфа), мы можем приступить к построению теории весьма пологих анизотропных оболочек.
В силу принятых предположений для рассматриваемой весьма пологоё оболочки имеем:
уравнения равновесия:
BT^ + AS^-ABX, AT^ + BS^ = -ABY^
Aв (屈厶 + &n)一8网," 一 4忆,В = ABZt(5.15)
BM^ + AH^ = ABN^ AM^+BH^ = ABN^
соотношения упругости — см. формулы (5.4); геометрические соотношения:
]11
(5.16)(5.16)% =不口，以+鱼以，ё2 =彳乙？ + &以，匕=_77必3,
(5.16)
(5.16)
1. 121
3 =彳й,？ +才U,a，' = - 7^" J aВ，"2 =一砂化即;
уравнение неразрывности:
]]]
&看 + 毋2 + %? е2,аа - 7ё■叱邙+炉 已,即‘ =°。(547)
Из (5.4) в силу (5.16) получим для внутренних сил и мо
ментов
a=(& 我+ a6康专)%+(% 抬+ % 謠* + + (*a1+击%州,
電=(% 尤 +亀^當)以+ (% 謠 +瓶 找A +
(5.18)(5.18)(5.19)(5.19)$ = (&6疆 + 06謠户 +(06疗+%需)。+ +(靑击
(5.18)
(5.18)
(5.19)
(5.19)
Mi= — (%WfS + 02击器+ 2% 鳥為) 必=-(%表需+ %士寫+ 2。26爲謁)
E = _(2% ；в £曲+ % 与礬+ % *需)
% наконец, в силу (5.15)
N1 = —^! (D.k) w,餌=—^2 (Dik) 0，
где/(0浦=где/(0浦=21 d3 3。16 卜淵 丄 Z)]2 + 2。66 °3。26 °321 d3 3。16 卜淵 丄 Z)]2 + 2。66 °3。26 °3% (2%)=% (2%)=43 da3 丁 /28 0a2dp T 4h2沢 弟 2022冉I 3。26 澗 I刀]2 + 246 柒43 da3 丁 /28 0a2dp T 4h2沢 弟 2022冉I 3。26 澗 I刀]2 + 246 柒Ж ^рз " вы д^да "842 弟汲2Ж ^рз " вы д^да "842 弟汲2「 83 那3，r 43 da3 ・「 83 那3，r 43 da3 ・(5.20)(5.20)
где
/(0浦=
где
/(0浦=
21 d3 3。16 卜淵 丄 Z)]2 + 2。66 °3。26 °3
21 d3 3。16 卜淵 丄 Z)]2 + 2。66 °3。26 °3
% (2%)=
% (2%)=
43 da3 丁 /28 0a2dp T 4h2沢 弟 2
022冉I 3。26 澗 I刀]2 + 246 柒
43 da3 丁 /28 0a2dp T 4h2沢 弟 2
022冉I 3。26 澗 I刀]2 + 246 柒
Ж ^рз " вы д^да "842 弟汲2
Ж ^рз " вы д^да "842 弟汲2
「 83 那3，
r 43 da3 ・
「 83 那3，
r 43 da3 ・
(5.20)
(5.20)
Подставляя значения внутренних сил Ти 北，S, 7V1? ^2 соответственно из (5.18) и (5.19) в первые три уравнения равновесия (5.15), получим разрешающую систему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых перемещений u (a, Р),
ь(% В), w («, В)：
(5.21)(5.21)厶1 (0访)叮+厶2 d u +厶13 (c詠)"=一X, 厶2 (GQ 北 + 厶22 (GQ U + 厶23 (С/ W = 一У, 厶3 (ей:)也 + e23 (0偏)U + 厶33 (2%)"=Z,丿
(5.21)
(5.21)
где для линейных операторов Lik имеем
& (С*)=& (С*)=4 (С/ =4 (С/ =011 d I 2*6 d2 I066 d2U 拜十nУ 石不十京瓶'^66 @2 1 2c26 °2 I °22 @2011 d I 2*6 d2 I066 d2U 拜十nУ 石不十京瓶'^66 @2 1 2c26 °2 I °22 @2厶 2(с# =厶 2(с# =42加2 ~ AB汲耶T 82邙2:C16 * I Gz + C% @2[小6 @242加2 ~ AB汲耶T 82邙2:C16 * I Gz + C% @2[小6 @2/2 0a2 T АВ да ^ 丁 笈2 弟2，/2 0a2 T АВ да ^ 丁 笈2 弟2，
& (С*)=
& (С*)=
4 (С/ =
4 (С/ =
011 d I 2*6 d2 I066 d2
U 拜十nУ 石不十京瓶'
^66 @2 1 2c26 °2 I °22 @2
011 d I 2*6 d2 I066 d2
U 拜十nУ 石不十京瓶'
^66 @2 1 2c26 °2 I °22 @2
厶 2(с# =
厶 2(с# =
42加2 ~ AB汲耶T 82邙2:
C16 * I Gz + C% @2[小6 @2
42加2 ~ AB汲耶T 82邙2:
C16 * I Gz + C% @2[小6 @2
/2 0a2 T АВ да ^ 丁 笈2 弟2，
/2 0a2 T АВ да ^ 丁 笈2 弟2，
(5.22)(5.22)厶 1з (&)=依£1+&%) 4"^+侬 £б + &%) ^■专, %(%)= (&% + A居2)y ^+ (/。26 + 占点)^^， %3 (以)=(傍+ 2&也仆+協%) + %与爲+
(5.22)
(5.22)
+ 4%+ 4%1 加1 加43В 2аЗ 常43В 2аЗ 常■F 2 (22 + 2"66)^T^ da2型 +十 4"26 "453 da型 十42 衣丽 -■F 2 (22 + 2"66)^T^ da2型 +十 4"26 "453 da型 十42 衣丽 -
+ 4%
+ 4%
1 加
1 加
43В 2аЗ 常
43В 2аЗ 常
■F 2 (22 + 2"66)^T^ da2型 +
十 4"26 "453 da型 十42 衣丽 -
■F 2 (22 + 2"66)^T^ da2型 +
十 4"26 "453 da型 十42 衣丽 -
Таким образом, теория пологих анизотропных оболочек в перемещениях построена, ибо при заданных граничных условиях, решая систему уравнений (5.21), определим искомые перемещения 〃，V, w, а через них, посредством формул (5.18), (5.19) и (1.16), найдем все расчетные формулы задачи.
Разрешающие уравнения теории весьма пологих анизотропных оболочек могут быть представлены и в форме уравнений смешан-
ного метода.
Полагая, что в формулах (5*7)—(5.14), согласно исходному геометрическому предположению, функции 4 («, р), В (а,臥 Ri (а, р), Я2 (а, В) при дифференцировании ведут себя как постоянные, получим следующую разрешающую систему уравнений:
厶2（4加中一以" =0，）厶2（4加中一以" =0，）(5.23)(5.23)
厶2（4加中一以" =0，）
厶2（4加中一以" =0，）
(5.23)
(5.23)
где для линейных операторов Lv 厶 и 7冗 имеем
乙 1 (0加-# 凉 + 4 ^f"万編0 + 2 (°12 +
丁乙^66,笳炉加2咿 丁 讨4B3石帮 T 灰乖^?
(5.24)(5.24)L^) = ^-^^ + (2Al2 +
(5.24)
(5.24)
+ 46）第乔被碗5+ 46）第乔被碗5о 416 d《 [Ai d《才丽da d伊十万■获,
+ 46）第乔被碗5
+ 46）第乔被碗5
^_11@2 I 11/
VR —E” 森十瓦'灰帝
Для внутренних тангенциальных сил получим
Т 丄些 Т^竺 S —(5 25) 1一82 西2，'2 -42触，° - AB ^a^ ' l 丿
Для внутренних моментов М1? Л/^，Я и поперечных сил имеем формулы (5.18)—(5.20). Напомним также, что 4証=а蔬力т.
Система разрешающих уравнении смешанного метода (5.23) может быть приведена к эквивалентному ей одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно потенциальной функции Ф (а, 0), через которую искомые функции w (a, R) и 屮(a, R) пред ст авл яются следующим образом：
以=厶2 (4Q①，Ik = ▽解・以=厶2 (4Q①，Ik = ▽解・ffi(5.26)ffi(5.26)
以=厶2 (4Q①，Ik = ▽解・
以=厶2 (4Q①，Ik = ▽解・
ffi(5.26)
ffi(5.26)
Принимая (5.26), тождественно удовлетворим второму уравнению системы (5.23), а из первого уравнения получим искомое разрешающее уравнение, которое имеет следующий вид:
%(2")d(4业)①+谣①=Z,(5.27)
где оператор Ll (D^L^ (4詆)в раскрытой форме имеет вид (3.28), а для \7я имеем
N% = "淑r =爲"1?声+瓦証獅+布瓦加?5^T5^.(5.28)
В этой постановке расчетные величины задачи через искомую функцию Ф = Ф (а, Р) представляются следующим образом:
m = 一区（2力办①，^2 = 一马（2"）Y簡， 珞=-（祭系+證詣+ 2磊爲）办①, 必=一（需靠+樂爲+2雀爲）弘①， 〃=_（2需為+空爲+蜜箱?◎
Для определения тангенциальных перемещении имеем следующие формулы:
и=— {(询 ”22 —左2从 12)J3^ — (2 履 4 26 — &416) ^Ig J^ +
(5.30)(5.30)■ +КЛ66 + A2)*1 — Mil] 4^25^—M 16^3^-}①， "=一{(&4n 一 ^1^12)赤"5^ 一 (2&4?6 一 履46)^^ dgda +
(5.30)
(5.30)
+ [(46 + 42)& - A&al ■^譌^一&426 与嘉} Ф.
Таким образом, при заданных граничных условиях, имея решение разрешающего уравнения (5-27), с помощью формул (5.26) — (5.30) можно найти значения всех расчетных величин задачи.
Особый интерес представляет вопрос о том, в какой мере представление (5.26) является общим, т. е. представляет общее решение системы (5.23). Этот вопрос возник и в § 4 настоящей главы при рассмотрении технической теории анизотропных цилиндрических оболочек.
Вопрос этот досконально изучен, но мы здесь, ради сокращения записи, приведем окончательные результаты и лишь для ортотропной оболочки.
Согласно результатам, приведенным в п. 10 § 1 настоящей главы, для ортотропных оболочек будем иметь
a16a26二-0，416;-426二^°，8168 2g=~°, c]6'26°，^16~" ^26^,
Будем полагать, что координатная система аО0 выбрана так, что коэффициенты первой квадратичной формы приближенно равны единице, т. е. 4q1, 8^1 ・
системусистему(5.31)(5.31)Тогда для операторов, входящих в разрешающую уравнений (5.23), будем иметь
систему
систему
(5.31)
(5.31)
Ll {Dik) = -°11 ^т+ 2 (°12 + 2°66)^7^ +。22 徐, %(4Q =422 友 + (2"12 + 4%)，aA俨 + "口 施，
Й 年汲2 T 2? 1型.
Очевидно, представление (5.26) является разрешающим для второго уравнения системы (5.23). Возможность и общность такого представления существенно зависят от свойств корней разре~ шающего уравнения
1+丝喏维入2+把m = 0,儿=呪+^. (5.32)
Приведем окончательные результаты исследования возможности представления (5.26). Было установлено, что функция Ф (а, Р), реализующая (5.26), всегда существует, если
坛吋+ ^7^0 (£ = 1,2). (5.33)
При этом функция Ф определяется с точностью до полинома вида
Ф = аа2 + 26%В 十 с俨 + 口口 询仪 + кгс = 0,(5.34)
где Л】——произвольный полином первой степени.
Если же условие (5.33) нарушается хотя бы для одного корня, например для %, то для того, чтобы представление (5.26) было осуществлено, необходимо ввести в рассмотрение некое определенное соотношение между искомыми функциями w (а,卩)и 屮(а, R). Если же и это последнее соотношение нарушается, то представление (5.26) становится несостоятельным и его следует заменить новым. Однако все эти представления и соотношения здесь не приводятся, так как круг наших интересов ограничивается такими оболочками положительной или нулевой гауссовой кривизны, для которых условие (5.33) выполняется безоговорочно.
Весьма пологие анизотропные оболочки большого прогиба. Здесь рассматривается теория весьма пологих анизотропных оболочек в случае, когда перемещения оболочки не малы. При этом теория будет строиться в предположении, что по сравнению с единицей малы не только деформации, т. е. удлинения и сдвиги, но и углы поворота элементов оболочки.
Будем полагать, что для рассматриваемой весьма пологой оболочки система ортогональных криволинейных координат а, Р выбрана так, что коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности равны единице, т. е. 4 = 1, 5=1.
Будем полагать также, что начальные кривизны срединной поверхности оболочки 后工=%1 (а, р) и 及2=及2 (“，₽)» как и в случае линейной задачи, при дифференцировании ведут себя как по
стоянные.
С учетом сказанного, здесь, в отличие от нелинейной теории сильного изгиба оболочек, во всех исходных соотношениях и уравнениях теории упругости будем сохранять лишь те нелинейные члены, которые содержат нормальное перемещение и его производные. Тогда из основных уравнений нелинейной теории упругости для деформаций какой-либо точки оболочки получим
(5.35)(5.35)
(5.35)
(5.35)
В силу основной гипотезы недеформируемых нормалей, полагая ©«丫£炉=0，£丫=0 (последнее условие целесообразно трактовать как независимость нормального перемещения "了 от координаты т) и считая, что при 了=0 %=〃(《,目)，作(% 目)，％=小(％ ₽), аналогично (1.4) получим
% =叽 ал = и --t”,а，4= и - 7叫声 (5.36)
Подставляя значения 口了, 〃“, и? из (5.36) в неиспользованные соотношения (5.35) и в силу основной гипотезы принимая (1.5), получим для компонент деформаций срединной поверхности и изменении кривизны и кручения следующие формулы:
ё1=位+瓦+11位），%ё1=位+瓦+11位），%汲2汲2kа层+弘浙,kа层+弘浙,Х2Х2(5.37)(5.37)
ё1=位+瓦+11位），%
ё1=位+瓦+11位），%
汲2
汲2
kа层+弘浙,
kа层+弘浙,
Х2
Х2
(5.37)
(5.37)
du I du I dw dw今 @2必
3 =邛+冇+寂落…=_2方碰•
Из (5.37), исключая тангенциальные компоненты перемещения, получим следующее выражение неразрывности:
器一*一袋=-^+^厶缈，。)，(5.38)
где Vr — известный линейный оператор (5.24), а нелинейный оператор
仆,^)= [£-^-(£!)2}(5・39)
8%丄汽Ф丄法呼0了十da十00十（да-8%丄汽Ф丄法呼0了十da十00十（да-(5.40)(5.40)(5.41)(5.41)(5.43)(5.43)Уравнения равновесия дифференциального элемента тела оболочки da d^ &т после деформирования, с принятой здесь точностью, запишутся следующим образом:
8%丄汽Ф丄法呼
0了十da十00十（да-
8%丄汽Ф丄法呼
0了十da十00十（да-
(5.40)
(5.40)
(5.41)
(5.41)
(5.43)
(5.43)
Наконец, в силу (5.42) из (5.41) для поперечных сил получим
^1 = —Е1 (Dik) w, Nn = —E2(DQw,(5.44)
где для линейных операторов Ei (DQ имеем (5. 20).
Полагая
厶=需，看=爲，S=-佬，(5.45)
где 屮=屮(《, р) ——искомая функция напряжений, удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (5.41), а из третьего уравнения равновесия (5.41) и уравнения неразрывности (5.38), в силу (5.43), (5.44) и (5.45), получим разрешающую систему двух нелинейных уравнений относительно двух искомых функций 必 и <р:
(5.46)(5.46)4(2/1^ + V肝一厶”，⑴=z,L2 (4，衣)中一以"+讶厶(叫以)=0,
(5.46)
(5.46)
где линейные операторы £工(D%),厶2 (4夂)值 ^冗 даются формулами (5.24), нелинейный оператор L (ip, w) — формулой (5.39), а нелинейный оператор
刀(叫 y)= da2 d俨+ 够"友我^石/(d・上7)
Система разрешающих уравнений (5.46) является естественным обобщением ранее полученной системы линейных уравнений (5.23) на случай конечных перемещений оболочки, т. е. на случаи оболочек большого прогиба.
Замечание* Из основных уравнений и соотношений теории оболочек, изложенной в настоящем параграфе, легко получить необходимые разрешающие уравнения и расчетные формулы для различных типов анизотропных оболочек. В частности, полагая А1=7?11 = 0,及2=笈豕1=冗(Р), получим уравнения и соотношения теории цилиндрических оболочек, которые совпадут с соответствующими уравнениями и соотношениями технической теории цилиндрических оболочек. В связи с зтим мы в последующем изложенную в этом параграфе теорию будем называть технической теорией^ анизотропных оболочек.
§ 6. Частично уточненная, или итерационная,теория ортотрошых оболочек
Итерационную теорию будем излагать на уровне технической теории оболочек и лишь для ортотропных оболочек. При желании можно обобщить зти результаты на случай анизотропной оболочки, когда в каждой точке материала оболочки имеется лишь одна
плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки. Эти обобщения громоздки, но осуществляются простыми средствами. В этом легко можно убедиться, внимательно проследив за ходом последующих рассуждений и за результатами, приведенными в следующем параграфе настоящей главы.
Как было указано выше (см. введение, § 4, п. 2), частично уточненная теория оболочек основывается на трех предположениях, которые аналитически представляются следующими приближенными равенствами:
0 = °，％ = %，% = %。产 0， (6.1) где 皿了 ит^ ——касательные напряжения, найденные по классической теории и, как показано выше (1.17), равные
%+十X2 +假一等）№，吟=匕+十%+保一等）册.
Здесь Xj, Yi определяются согласно (1.19), а поперечные силы классической теории N? — из полученных ранее формул (5.13).
Пусть теперь
N?=^|%，"? = ^屮。；(6・3)
тогда согласно (5.5), (5.12), (5.13) для известных функций 屮о (% ₽),屮о (а, р), которые определяются положениями классической теории, легко записать:
孔爲偽⑷2 (皖6)]+碧厶(%) +
+ 才①2 (/)]-善 4 (%)｝皿)，
屮。=一酢｛石['厶(线前+行厶(统6)+
+卡[4A(%)]-胃厶(风)｝ 4)，
"咏)8 (_晔卜8 G/十/2汲汲」十48 Ldadg B 0a弟 4弟汲」丁
+替居(3粉+春翁(6.5)
где Wq~Wq (a, 0) — нормальное перемещение, определяемое классической теорией.
С. А. Амбарцумян
В силу формул (6.1)—(6.3) из обобщенного закона Гука для ортотропных тел (7) для деформаций поперечных сдвигов получим
е呼=&5匕+靑%鶴+劈备一『)外，5了=3匕+十%匕+号华一72)%,.
где в правых частях равенств стоят известные величины и функции. Здесь для коэффициентов упругости а”, согласно (7) и (8), имеем ^55 = 1 /&з , а44 = 1/ @23・
Перемещения и деформациич В силу основной гипотезы итерационной теории нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение и не зависит от координаты 丁, т. е. имеем
(6.7)(6.7)е「=%, т = 0, и^ = w (ос, В),
(6.7)
(6.7)
где w~w (а, 0) — нормальное перемещение всех точек данного нормального элемента оболочки, в том числе и точки, которая принадлежит срединной поверхности.
В силу (6.6), (6.7) и (17) из последних двух соотношений (15) получим
La(1 + л1Т) %」，т=—а?。+М)2 叭+Ж+М)占 +
(6-8)(6-8)г Л 4 (1 + м) 224 (1 + АП) \4 I 丿汽，c? (1 + 修)作］7 = 一 W+M?b'B + 6(1 +M 匕 +
(6-8)
(6-8)
+ T万肃% %+ 28(1工优Y)备 一1)屮0•
Интегрируя полученные уравнения по у в пределах от нуля до у и полагая, что при 丁=0 и^и (а, |3), Up=v (а, 0), с тотаостыо технической теории найдем
(6.9)(6.9)
(6.9)
(6.9)
где и=и (а, |3), v=v (а,卩)—искомые тангенциальные перемещения соответствующей точки срединной поверхности.
Отметим, что при получении формул (6.9) отброшены некоторые несущественные с точки зрения технической теории члены нагрузочного происхождения. В частности отброшены члены
Т&5(X1 + 我 X2) И 网4 (匕 + 务 У2) ,несущественность которых в формулах (6.9) можно установить с помощью уравнений равновесия в перемещениях.
Таким образом, формулам (6.7) и (6.9) соответствует геометрическая модель деформирования оболочки в случае итерационной теории. Рассматривая (6.7) и (6.9), замечаем, что, как и в классической теории, нормальное перемещение какой-либо точки оболочки 匕 не зависит от координаты у, а тангенциальные перемещения иа и и^, в отличие от классической теории, зависят от 丁 нелинейно.
Искомые перемещения и,少,ip, через которые представлены перемещения какой-либо точки оболочки, являются функциями лишь криволинейных координат срединной поверхности аир. Известные функции <р 0 и ф0 также зависят лишь от переменных а и р. Поэтому можно привести, базируясь на соотношениях (6. 7) и (6. 9), трехмерную задачу теории упругости анизотропного тела к двухмерной задаче теории оболочек.
В силу формул (6.7) и (6.9) деформации оболочки ee, е# е^ могут быть представлены в виде разложений по степеням у; при этом, с точностью (6.9), можно ограничиться первыми четырьмя членами разложений, а именно：
4 = ei + "； +科，e3 = e2 + Tx； + T3&o, 1
"5* +渉。 丨(6」。)
Третьи члены приведенных разложений, т. е. члены с у2, не выписываются, так как они, с точностью технической теории, в разложениях (6.10) пренебрежимо малы.
Подставляя значения иа, м§ и и^ соответственно из (6.7) и (6.9) в соотношения (15) и при этом учитывая, что Н^ — 4一】(1 — ―^Т + 馀2 —…)，Н^ = Б-1 (1 —饱7 + 處f — . . .), а также (2),
приравнивая затем полученные представления к соответствующим разложениям (6.10), получим для коэффициентов разложений формулы
(б/)(б/)i ди .1 дА 7
(б/)
(б/)
A d f и \ . В d/и、
①=方阻Cr)+H历(瓦h
структура которых ничем ствующих коэффициентовструктура которых ничем ствующих коэффициентовне отличается от структуры соответ- деформаций классической теории:
структура которых ничем ствующих коэффициентов
структура которых ничем ствующих коэффициентов
1 д f i div \1 дА div
才友(才石丿一 7^乖乖
дА "3дА "3[■九 2 /1 a<p0 I 1
дА "3
дА "3
+(Tvss才石五ё
1 д ( \ dw \1 дВ дю !
(6.12)(6.12)Т ар \Т 再丿—0а da 十
(6.12)
(6.12)
+ 悔(a44 4■患十仰5呑際%)｝'
2 / d^w1 дА dw1 дВ dw \ .
АВ(0a 0рА д^ даВ Oa 0R 丿十
+ ｛卷[a55 4 *(号)+ a" 号忠(*)]｝；
коэффициенты (6.12) по структуре отличаются от формул компонент деформаций изгиба и кручения классической теории лишь членами в фигурных скобках и представляют известные функции, характеризующие учет поперечных сдвигов.
Наконец, имеем еще три коэффициента разложений, которые в классической теории вовсе не фигурируют, а целиком являются продуктами учета поперечных сдвигов:
(6.13)(6.13)
(6.13)
(6.13)
Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты. Для определения напряжений в ортотропной оболочке из (1.9) получим следующие формулы:
% =当留 + У##。冃=约?5 + У】2% %5 = 3(56?咐(6.14)
где для Bik согласно (1.34) имеем
R =5…□1 — “JR =5…□1 — “JЕ?1 — 32Е?1 — 32丫必1 — ”2丫必1 — ”2Y盘21 ~ Y广2Y盘21 ~ Y广2^22 =^22 =
R =5…
□1 — “J
R =5…
□1 — “J
Е?
1 — 32
Е?
1 — 32
丫必
1 — ”2
丫必
1 — ”2
Y盘2
1 ~ Y广2
Y盘2
1 ~ Y广2
^22 =
^22 =
Подставляя значения еа, ер,、§ из (6-10) в (6.14) и учитывая формулы (6.11)—(6.13), получим для расчетных напряжений
% = % [е1 + 們一з丫 得一手)8?]+
+ 312 [% + mЧ 一 3Т (^-,
(6.16)(6.16)=3 = % [% + 仍 一 37 g _等)闿+
(6.16)
(6.16)
+ %[%+們_3丫(告—争)m,
"=绕6 [З + ¥ - 3 丫 (告一f)n],
где для xf и т, как обычно, имеем
q=_；G j«),«-姦•“，产 р
Xz^—X^%)〕：^%%(6/7>
В связи с этим из (6.12), согласно (6.13), для коэффициентов разложения х* и t* имеем
片=々一^!■九28?, x：=々—>|•九聆以 T* = T-~^"炉入О.(6.18)
Подставляя значения напряжений из (6.16) в (1.15), для внутренних сил и моментов с точностью технической теории получим
?] = C(1F1 +e1/2，北=='22% + '12%，S =c66①，
(6.19)(6.19)/1 = ^Пх1 +，2*2-響(，m + 2m，
(6.19)
(6.19)
/% =+，2%一響(%吗 +，加，
Подставляя в последние три формулы (6. 19) значения 畛, 入。из (6. 13), получим окончательно:
М1 = %1 + О* + ^ [ % (&55 } ^ + % £ 券％) +
+ %4■芻 + % 鳥曝?о)].
(6.20)(6.20)必=厶載2 + %% + ^у [% (а«4"^ +&5_^•需 Yo) +
(6.20)
(6.20)
+ % @55 4鳥卷屮°)]'
н = %。+io %[&з4^&)+%т^(普)]•
как икак иПоперечные силы А\ и N? должны быть определены,
как и
как и
m=务中0，%2 =务%.m=务中0，%2 =务%.(6.21)(6.21)б случае классической теории, из уравнений равновесия. Однако с достаточно высокой точностью можно считать, что они, аналогично касательным напряжениям % и т^, не отличаются от соответствующих поперечных сил классической теории, т. е. согласно (6.3) можно считать
m=务中0，%2 =务%.
m=务中0，%2 =务%.
(6.21)
(6.21)
Рассматривая формулы (6.19)—(6.21) для внутренних сил и моментов, замечаем, что учет явлений, связанных с поперечными сдвигами, который мы, по сути дела, имеем в итерационной теории, представляется в виде поправочных членов с множителем 方2/10, входящих в формулы внутренних моментов (6.20). Эти поправочные члены существенным образом зависят от относительной толщины оболочки и от отношения упругих постоянных материала оболочки в срединной поверхности В決 к модулям поперечных сдвигов Gfg. (В этом легко убедиться, рассматривая (6.4) и вспоминая, ЧtО &4=6露 &5=用■)■
При рассмотрении тонких оболочек неоправданной роскошью является принятие нелинейного закона распределения напряжений по толщине оболочки (6.16). Ограничиваясь в разложениях (6.10) лишь первыми двумя членами, получим для основных напряжений
% = B11J + 3^2 + 7 [В11Х1 + 当2融一
(6.22)(6.22)一我2(%8?+/映]，
(6.22)
(6.22)
°р ~ ®22®2 + ®12®1 + Т [в??% + ®12Х1 —
一箝(%也+当朗,
% = ВббЗ + т(т —т 峡。)•
Тогда изменения будут претерпевать лишь моменты, которые в этом случае запишутся следующим образом:
以 =，f1 + %х2 +[，1 (a開}需 + a么爲肾屮0)+
+ % ("44 4"黑 +。55 £■黑?。)]'
^2 = ^22Х2 + ^12Х1 + -^-[^22 (Я« Т ^ + ^5 ^Zg ^ ?o) + '(623>
+012 («55扌磬+ 24鳥芻中。)]'
"% [«65 奋 魯)+ Я« T 糸(普)]•
Рассматривая (6. 20) и (6. 23), замечаем, что новые, приближенные представления моментов отличаются от первоначальных лишь коэффициентами при поправочных членах. В одном случае имеем 胪/10, в другом —力/8. Многочисленные подсчеты показывают, что в реальных оболочках изменение коэффициента при поправочных членах на 25% незначительно влияет на общие значения моментов, а тем самым и на все расчетные величины. В этом мы убедимся при рассмотрении конкретных задач.
Разрешающие уравнения. Уравнения равновесия элемента оболочки в случае итерационной теории ничем не отличаются от соответствующих уравнений классической теории.
Из уравнений равновесия технической теории оболочек (5.3), исключая N工 и 戸纟，получим
{BT^^-BJ. + ^^A^S^-ABX, (44),p-4P 北+ (35)丿. + "/ = 一/3元
自普+y2一小{为(m),. + (物"+(6 24)
+ A..H-3, M]}, “ -鳥伍[(4 吗,° +
+ 网),"+纥/一%m%=2.
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (6.19) и (6.20) в уравнения равновесия (6.24), с учетом (6.11)—(6.13) будем иметь
厶口 (С浦我 + 厶 12 (QQ u + 厶3 (GQ " = -X,
厶 12 (C浦〃 + 厶22 (GQ и + % (GQ "=—工'(6.25) "3 (‘浦 m+&3 (QQ "+L33 6詠，2比)"=z,
где для грузового члена третьего уравнения имеем
Z* = Z一粵小* [%(№),。 + % ® 崂," 一 %吧一
一 D22Bt «鹤 + % [⑷。),В + a pM]必一
一響方{$网依崂,8 + 32 K网),p -纹凰一
一 2/,科? + % [(跳°),«+ 昆 g]},p•(626)
Система дифференциальных уравнений в перемещениях (6.25) является разрешающей для нашей задачи. Левые части уравнений этой системы полностью совпадают с соответствующими уравнениями классической теории. Что же касается грузовых членов, то они совпадают лишь в первых двух уравнениях, в третьем же уравнении грузовой член дается формулой (6.26) и легко вычисляется, если известно решение рассматриваемой задачи в классической постановке.
Поправочный член грузовой функции Z* (а, 0) содержит функции 峙(а, |3), Х° (а,前 которые через 屮° (а, 0) и 屮о (% 0) представляются формулами (6.13). Последние в свою очередь с помощью формул (6.4) выражаются через функцию % (а, |3). Как известно, 必口 (а, 0) является нормальным перемещением оболочки, определяемым классической теорией. Таким образом, поправочный член грузовой функции Z* может быть представлен нормальным перемещением wQ (а, р), которое определяется в результате решения соответствующей классической задачи.
Разрешающие уравнения технической теории анизотропных оболочек, построенной с учетом явлений поперечных сдвигов, могут быть представлены и в форме уравнений смешанного метода.
Полагая
(6.27)(6.27)北=$(3 乙в)，в + 磊 В, /,«‘T^(^F^,+^A^^
(6.27)
(6.27)
где F=F (% В) — искомая функция напряжений, удовлетворим тождественно (с точностью технической теории) первым двум уравнениям равновесия (6.24) (при Х=0, У—0), а из третьего
уравнения получим
与 陽 信◎詛+靑修 及 *"一
18/1 ГдВМх . дАН . (?Л „ 沔】# F
(6.28)
Решая соотношения упругости (6.19) относительно компонент деформаций и учитывая формулы (6.27), будем иметь
£1 = ?i (4ц)歹，％ =乙(4z)歹，①=4 (4б)歹，(6.29)
где
I伍2当
丄10苗丿 в L^k^ ^?/^Л^да да] AB L^ ^ В да ^ 4耶加」十
+竽協(Ю +盍像當｝ Aik = ai^(6.30)
при этом для рассматриваемой ортотропной оболочки согласно ⑺, (8) и (1.33) имеем
111 п
(6.31)(6.31)%i=瓦，％2 =瓦，〃бб =百^，% = U,
(6.31)
(6.31)
* = _*，G]2 = G, “26 = 0,.
Из соотношении упругости (6.19) в силу (6.17) получим для ьгоментов следующие выражения:
〃1=一厶(％) 0—響(％%?+%瞰
必=一厶(%) 1P一 学(%% + 2附，.(0.32)
H = ■_Ц (^66)w 一 ^ 人。，
где
)_£＜色任色匆「上一丄艺色一丄呸小!，斤丿一2 L曲〈2曲丿十429a迎|十 jBLeaep 2 9a弟 4 ер 9a」十
十字[玄扌粉+ ^碧幻% = 4君.(633)
Напомним при этом, что для ортотропной оболочки
(6.34)(6.34)% =彳 3V2，% = 1：%，Be6 = Gi2=G, % = 1 "\= 1 竺*2, % = % = 0.
(6.34)
(6.34)
Наконец, укажем, что уравнение неразрывности деформаций срединной поверхности оболочки и в итерационной теории остается неизменным, т. е. имеет вид
&Х 1 + &々 + 吃{[}[厌2, а + (% — 气)8, а — ^ 叱厂①4 , в]] а +
+ [}["%8 + ® 一喲4l^"% 一响』J = S (6.35)
Подставляя значения моьгентов из (6.32) в уравнение равновесия (6.28), а значения деформаций и компонент изменения кривизны и кручения соответственно из (6.29) и (6.17) в уравнение неразрывности (6.35), получим следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений итерационной теории:
L^D^w^kF = Z*, f
где для линейных операторов Л2, £?, ▽比 имеем обычные представления (5.14), а грузовой член Z* определяется по формуле (6.26).
Полученная здесь система дифференциальных уравнений (6.36) совпадает с соответствующей системой разрешающих уравнений классической теории (5.14), отличаясь лишь грузовым членом Z*.
В целом же итерационная теория существенным образом отличается от соответствующей классической теории. Это отличие видно как из формул для определения напряжений (6.16), так и из формул внутренних моментов (6.20).
Искомые функции и (а, В), и (а, р), w (а, |3) в первом случае (уравнения (6.25)) и “(％ р), F (% р) во втором случае (уравнения (6.36)) должны удовлетворять не только соответствующим уравнениям, но и граничным условиям, которые, как правило, имеют структуру граничных условий классической теории.
Наконец, укажем, что если ограничиться лишь первыми двумя членами разложений (6. 10), то для напряжений и внутренних усилий будем иметь ранее полученные формулы (6.19) (первая строчка), (6.22), (6.23), (6.27), а грузовой член Z* несколько изменится (входящие в (6.26) поправочные члены вместо множителя 3»/5 будут иметь новый множитель 3"/4).
Полученных выше общих результатов вполне достаточно для рассмотрения отдельных типов оболочек по итерационной теории. В последующих пунктах параграфа, не вдаваясь в подробности, рассмотрим частные случаи оболочек.
Техническая итерационная теория ортотропных оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать 4=const, J5=const, fcx=const, A:2=const. Здесь мы имеем в виду весьма пологие оболочки в соответствующей системе координат (см. пункт 2 § 5), цилиндрические оболочки на уровне технической теории (см. пункт 2 § 3) и др.
Пусть система координат а, 0 выбрана так, что точно или приближенно Л = 1, 8=1; далее, пусть оболочка или рассматриваемая ее часть такова, что точно или приближенно можно считать, что kx=R^1 и А2=/?21 при дифференцировании ведут себя как постоянные.
Для простоты записи будем полагать также, что Х=У=0, Z网
Из формул (6.2)—(6.5) будем иметь
% = ^住_7少3 看=^仔r?)屮。，(6*
где
?о=-[5п 鬻 + (当2 + 2统6)微J，(6 38)
屯=-[/ 龄 + (% + 2% 賞鴇]，.
"o="o (% В) — нормальное перемещение соответствующей ортотропной оболочки, найденное по классической теории, т. е. по теории, которая построена согласно гипотезе недеформируемых нормалей.
Из (6.16) в силу (6.11)—(6.13) для расчетных напряжений получим
°« = 5пм, « + 512у, ₽ — Y {В^, =« + 512^, 33)+ ^Увп +
+ 他812)"+ + 倉一扌)(511°55?0, " + з12%屮0,3，
。产 %)"+ 3廿,。一Y {B^Dt № + 名2", ««) + 的%' +
+ 色 %)"+ +倉一扌)(%34%,r+%a55%,")，()
"р =绕6 (а, В + J)一 2统6旧"3 +
+ T(T-I")(368。55%, R + /&4屮0, ,)-
Из (6.19), (6.20) получим для внутренних тангенциальных сил и моментов следующие выражения:
T^C^^+k^-^C^iy^+k^),
鎧=% @, в + “2") + % 3,«+ 自")，S =施(％ в + 匕《),
，％ = —D11wi аа — %",餚+?J (。施2怦о,« + а*Мо, В)，(6 40)
”2 = —%", 3₽—，2", «а +^ (%°22屮0, R + &5°1 肝0, «)>
Н ~ —2%", «₽ + {о 4б (а55tpо, В +。44% а)'
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае запишутся следующим образом:
(6.41)(6.41)Q« + S,b =。，Т2, 0 + S, а =。，加口1 +质72 - N1, a - "2, 8 = Z,图+н,尸必必,5 + %。= w2，
(6.41)
(6.41)
Подставляя выражения моментов из (6. 40) в последние уравнения равновесия, получим для поперечных сил
无2
(6.42)(6.42)他=一名1 (2Q 切+ Ю la55 (°11cp0, «« + 46cp0,即)+ + ®4 (012 +066)屮0, aв]，
(6.42)
(6.42)
"2 = ~^2 (2%) S + ^5 佃44 (。22屮0,即 + %%, aa) + + a55(^12+-^66)?0, apL .
где для операторов Е. (О淤)в случае ортотропной оболочки имеем
鬲(％)=e豆子鬲(％)=e豆子0]2 + 2Z>66 03~^5^，0]2 + 2Z>66 03~^5^，鬲(%)=警舄Z '，卅/ gJ 0b鬲(%)=警舄Z '，卅/ gJ 0b°12 + 2Z>66 83~5Л2~^p^，°12 + 2Z>66 83~5Л2~^p^，(6.43)(6.43)
鬲(％)=e豆子
鬲(％)=e豆子
0]2 + 2Z>66 03
~^5^，
0]2 + 2Z>66 03
~^5^，
鬲(%)=警舄
Z '，卅/ gJ 0b
鬲(%)=警舄
Z '，卅/ gJ 0b
°12 + 2Z>66 83
~5Л2~^p^，
°12 + 2Z>66 83
~5Л2~^p^，
(6.43)
(6.43)
(в нашем случае 4=_B=1)・
С достаточно высокой точностью для определения поперечных сил можно пользоваться и формулами (6.21).
Таким образом, мы привели все формулы, с помощью которых можно определить расчетные величины рассматриваемых типов оболочек.
Разрешающие системы уравнений в перемещениях запишутся следующим образом:
(6.44)(6.44)& ^ + % 需 + (&2 + 7б) 5^ + (加С” + &%) ^ =" e2击 +066 费 + (a2 + %) ^^ + (*2^22 + 论£12)絹=。, ，1 窯 +022 鶴 + 2 (012 + 2%) 0：.2%2 + 陶a1 + 庵e22 + + 2&能点)切 + (京口 + &%)黑 + (&% + 加£ 瑞=2
(6.44)
(6.44)
где для грузового члена имеем
Z* = Z +訊*%需+ (% + 2%)森卄
+ 叫% 龄+ (% + 2%)器］}.(6.45)
Приведем уравнения смешанного метода. Согласно (6.27) теперь полагаем
'1 =源，仆=踞，2=一石衣'1 =源，仆=踞，2=一石衣(6.46)(6.46)
'1 =源，仆=踞，2=一石衣
'1 =源，仆=踞，2=一石衣
(6.46)
(6.46)
Тогда разрешающая система уравнений (6. 36) принимает вид L^D^w^RF^Z\ 1 L^A^F-Nrw=Q, j(}
где для линейных операторов имеем
厶(^) = А^+2(^ + 2°Q ^ + D^
厶2(4%)= &2 爲 + (2&2 + 4б) J^p2 + 4口 言，■(6.48)
"=瓦友十瓦两，VQ = FNr
При этом тангенциальные перемещения и=и (a, R), v~v (а, R) согласно формулам (6.40) и (6.47) определятся из следующих уравнений:
(6.49)(6.49)dv C"d2b e2°2 尸7
(6.49)
(6.49)
Q0 = Ji% _ % =九2(当 1% — 3；2)-力沁(Г
Система разрешающих уравнений смешанного метода (6.47) может быть сведена к одному разрешающему уравнению восьмого порядка относительно искомой функции Ф—Ф (а, р), через которую функция напряжений 尸(а, В) и функция перемещения ip (а, р) представляются следующими формулами:
w = L2 (Л^&) Ф, F = 7дФ. (6.50)
Действительно, введение функции Ф по формулам (6.50) позволяет тождественно удовлетворить второму уравнению системы (6.47), а первое уравнение приводит к искомому разрешающему уравнению:
К缁+ a爲+ A端+ Р,瑞+ Р湍+蹄="，(6.51)
где для коэффициентов Pi имеем
e=曾，Р3 = а(為_2晉)+ 2^仇+2%)， p2 =等,A=%优一2葡+ 2豐(% + 2%)， % =嘗+ 2(% + 2%/-2曾 +专， &=&1義一儡，Cik^hBik, Dik=,^Bik.
Разрешающее уравнение (6.51) и разрешающая система (6.47), отличаются от соответствующих уравнений классической теории грузовым членом (6.45) из-за учета явлений, связанных с поперечными сдвигами.
В случае, когда вводится одна потенциальная функция Ф (a, R), формулы для определения внутренних сил и моментов приобретают следующий вид:
北=^V陋詳=系弘①，5 = 一备弘①，
必=—(А M + % ^)^2 (Aik)① +
(6.53)(6.53)+("55%需 + 齎,
(6.53)
(6.53)
М2 = 一 (%靑+ %森)4狐)Ф +
+ 'S' (%也2需+a55%驚，
H = 一2% 各厶(4 仇)① + % Dw (a開 幣 + a44 给).
Перемещения срединной поверхности будут определяться формулами
u=_｛色?勺+警动爲+
(6.54)(6.54)+［忌一鋪嚳岗総内 。=_｛（^& + ^ 自）撷 +
(6.54)
(6.54)
+ ［（小曾的-警电］备｝ 仁信鳥+雷磊+ / - 2第晶］①.
Расчетные напряжения будут определяться с помощью формул <6.39).
Пологие ортотропные оболочки большого прогиба« При получении основных уравнении и расчетных формул итерационной теории произвольных оболочек можно заметить, что они строятся аналогично соответствующим уравнениям и соотношениям классической теории и, за исключением тангенциальных величин оболочки (7口 S,电,⑴),содержат поправочные члены, учитывающие поперечные сдвиги оболочки. То же самое имеет место и в случае оболочек большого прогиба.
Рассмотрим пологую ортотропную оболочку, которая загружена лишь нормально приложенной нагрузкой Z=Z(a, R).
Здесь, наряду с предположениями классической теории пологих оболочек (§ 5) и гипотезами итерационной теории, принимаются исходные предположения теории оболочек большого прогиба «§ 5, п. 3).
В силу сказанного вьппе из соответствующих формул классической теории (6.2)—(6.5), а также формул (5.5), (5.12) и (5.13) получим
%=(言一罟)阴，嘴=总一甯)畋 (6，55)
будембудем(6.56)(6.56)Аналогично (6.3), принимая N* =硝\2中& 册=九3〃2%, иметь
будем
будем
(6.56)
(6.56)
% =分｛3(%粤+%禦)[(% —%)X? +
+ (% —笈 22)齒 + 2 請 366d + 4% 氣｝,
% =小｛4 (% 察 + % 察)+崇[(% — %) 4 +
+ (当2 — BQ 吧 + 2 票 B.^ + 8%^卜
где %?, т° ——изменения кривизны и кручение, найденные по классической теории:
"? = 一 丁 (T以|工一而4川伊
": = 一方(方明),厂瓦^%%•(6.57)
№ = 一負("伊一；4萨?--±3,“"3；
必。=必。(а, р) — нормальное перемещение, определяемое по классической теории.
В силу основной гипотезы итерационной теории (6.1), согласно (6.55), (6.56), из обобщенного закона Гука для ортотропного тела (7) получим для деформаций поперечных сдвигов
4产号借一竹%，匍=姜住-d)屮。. (6.58)
Тогда из (17) для перемещений какой-либо точки оболочки найдем
1 divUw = U — Y -T- kaI 4 da1 divUw = U — Y -T- kaI 4 daa55Ta55T1 dw作=u - Y万飞'1 dw作=u - Y万飞'“44“447（今一党中。,丫 （当一号）屮。'7（今一党中。,丫 （当一号）屮。'(6.59)(6.59)
1 div
Uw = U — Y -T- kaI 4 da
1 div
Uw = U — Y -T- kaI 4 da
a55
T
a55
T
1 dw
作=u - Y万飞'
1 dw
作=u - Y万飞'
“44
“44
7（今一党中。,丫 （当一号）屮。'
7（今一党中。,丫 （当一号）屮。'
(6.59)
(6.59)
а также, что u^~w (a, R).
Рассматривая приведенные формулы, замечаем, что они ничем не отличаются от соответствующих формул, полученных в первых пунктах настоящего параграфа. Так и должно быть, ибо геометрическая нелинейность, которую мы учитываем в этом пункте, согласно исходным предположениям никак не изменяет характер учитываемых поперечных сдвигов.
С точностью (6.10), полагая
(6,60)(6,60)= 21+/； + 了3却，" =%+"；+ Y3%, e理=3 +了* + 了*。，
(6,60)
(6,60)
получим для коэффициентов разложений формулы (6.12), (6.13). Что же касается коэффициентов е^ и ш, то они, в отличие от формул (6.11), будут содержать также нелинейные члены:
1 Зи I 1 дА . 7[ 1 泌、2
а=зг而+訴心。+的^+2(；7右)，
(6,()1)(6,()1)1.1 дБ . 7[ 1 / 1 dip、2
(6,()1)
(6,()1)
4 8/u、|8 0/沙、| 1 dw dw
①""ё"^^П~А~д^\В)^~АВ~дТ~д^'
Без каких-либо изменений остаются также формулы внутренних сил и моментов (6.19)—(6.21).
Уравнения равновесия элемента оболочки примут следующий вид:
(BT^^-B^ + iAS^ + A^S^
^+к^--^^ВМ^л + {АН)^+(6 62)
+ А,^ ~в ,^^<л~^в\^\-{АМ2)^ + {вН),а+•
+ 歹/ —2рМ*з+ 歹/ —2рМ*з+ k/1+42 72+T5 =Z.+ k/1+42 72+T5 =Z.
+ 歹/ —2рМ*з
+ 歹/ —2рМ*з
+ k/1+42 72+T5 =Z.
+ k/1+42 72+T5 =Z.
Первым двум уравнениям равновесия удовлетворим, введя в рассмотрение искомую функцию иапряжениё F (а, 0), через которую внутренние тангенциальные силы представлены известными формулами (6. 27). Тогда из третьего уравнения (6. 62) получим нелинейное уравнение классической теории с уточненной правой частью:
L^D^w^^-L^ F) = Z*,(6.63)
где, как и следовало ожидать, уточненная правая часть Z* (а, р) имеет структуру уточненной правой части соотношения линейной теории (6.26).
Второе уравнение смешанного метода, как всегда, можно получить из уравнения неразрывности:
加№ _|_ 铮 1 - — <0_ 呻 一4 з®;«-丽纟+
+ ：Т^(^'4/'Р+'^ В.аВ.^ — ВА,^—АВ,^Ш +
+ 击込"«+*衍"3 + ：^"(233,. 一+4,)62,. +
(6.64)
Очевидно, если в (6.64) подставить значения х1? х2 из (6.17)
(^ = 4+4^,电=石+^加吗) и значения е., <о, представ'
ленные (с помощью (6.19), (6.27)) через искомую функцию F (а, р), то получим недостающее нелинейное уравнение, которое не отли
чается от классического:
厶(4%)?一▽先" + 三Е("，it) = 0.(6.65)
Уравнения (6・ 63) и (6・ 65) составляют полную систему разрешающих уравнений относительно двух искомых функций w (a, R) и F (а, В), через которые выражаются все расчетные величины задачи.
Эта разрешающая система дифференциальных уравнений нелинейной теории пологих оболочек, учитывающей явления поперечных сдвигов, отличается от соответствующей системы классической теории лишь грузовым членом Z*. Поэтому решение ее не сопровождается какими-либо новыми математическими трудностями, если подобная задача предварительно решена в классической постановке.
С. А. Амбарцумян
формы срединнойформы срединнойЗдесь не приводится окончательный вид уравнений (6.63) и (6.65) в развернутой форме для общего случая пологой оболочки ввиду их громоздкости. Однако целесообразно привести их представления для двух частных случаев.
формы срединной
формы срединной
Сферическая оболочка. Пусть оболочка очерчена по части сферической поверхности и имеет подъем Os, не превышающий 1/5 диаметра основания оболочки 210, т. е. рассматривается пологая сферическая оболочка радиуса Е尸%二Н(рие. 26).
Предположим, далее, что оболочка изготовлена из ортотропного материала и в каждой точке оболочки главные направления упругости материала совпадают с направлениями меридиана, параллели и нормали в данной точке.
Пусть г и р являются полярными координатами точки на горизонтальной плоскости основания оболочки. Ввиду сильной пологости оболочки будем полагать, что независимые переменные г и р являются также координатами соответствующей точки на срединной поверхности оболочки. Это значит, что для коэффициентов первой квадратичной
поверхности оболочки принимается /=1,
В~г.
一生2一生2R 1 / 1 02aoR 1 / 1 02ao屮。=屮。=Г \Г "2/ 1 d^wn .Г \Г "2/ 1 d^wn .+粤)+ 2%爲(*)} 礬)+ %祟++粤)+ 2%爲(*)} 礬)+ %祟+(6.66)(6.66)В силу сказанного выше будем иметь для ср 0 и 屮о
一生2
一生2
R 1 / 1 02ao
R 1 / 1 02ao
屮。=
屮。=
Г \Г "2
/ 1 d^wn .
Г \Г "2
/ 1 d^wn .
+粤)+ 2%爲(*)} 礬)+ %祟+
+粤)+ 2%爲(*)} 礬)+ %祟+
(6.66)
(6.66)
+ 2统搞
где 必0=5 (г, Р) — нормальное перемещение точки сферической оболочки, определяемое классической теорией.
В этом случае, как это следует из (6.59), получим
(6.67)
где и=и (г, р), у=у (г, р), w=w (г, 0)—— тангенциальные и нормальное перемещения соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
Для коэффициентов разложений (6. 60) в случае рассматриваемой сферической оболочки имеем
ди . 7[ 1 /、21 d^w 1 dw
1 ди . u I , I 1 / ^IP \2n 尹 /投、
+T = _2 而(т)，
—1 ди . dvp . 1 dw dw — 021P
①—г (?^ + Эгт•十 r dr dp * 々—力2，
% = % 十 丁 a55 石，
x* = x2 + -^ 7" (а44 ^ + а55?о),()
。* =9管[^幣+〃“(第-¥)]，
8? = _警筆，SH 一 ^；® *+ &5%)，
Ограничимся лишь смешанным методом; тогда для внутренних сил и моментов согласно (6. 20), (6. 21), (6. 27) получим
2 1 — Г2 ap r dr '2 —力2，D 一 d“B〈 r 丿，
八7"九3
"1中0，"2 彳2 屮0,
(6.69)(6.69)(6.16).7*(6.16).7*+ To [^lla55樂 +。12 X “44 第 + ”55%)]，
(6.69)
(6.69)
(6.16).
7*
(6.16).
7*
必——%X；纂+黑)一，農+一
+ 4г [“22 ； (a44 芻 + ass?o) + 3 2a55 禦]，
H — —2% 論(？) +% [a55 ；幣 + a“ 偿一¥)] •
Напряжения могут быть определены по формулам
Наконец, разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений относительно искомых функций 尸（г, р） и ip （г, В） представится следующим образом:
呜卧玄唠+%；蒜［г（蒜£）］ +
+^ % 品（隸）+^j（% + 46） ^ +
+%飘Г囁）党一%^（；?） +
I n 1 am 8 （dF div\ 1 加尸 2汕
十22 г3弟4 dr （力Or）г而？ dr-
1 d^Fd^w . 2 d^w d^F 2^/1 dwdF\__
r d「2 挈 ' r dr d^ dr d^ r Or （r d§ d^）'—
=也+詠2% +%《"縊+手舞）+
十 % 計a55（禁 i* ^） +
+ 除_后嘛）］+ 0何5飘，需 + 驚｝,
（4б + 2412）^j^ （у ^） + ^（“66 + 2&2 + 24”）糸+
+ "22债 ①黑）+黑］一41悖（；？）一
Г3岁」|_r 2俨十力I Nr丿」丁方力2十
,2 dip d2切1 /儿八2 ］ 1 d汕 d^uj 1 / 户投、？ _С
十R一为麻'丿 十7一口赤不丿 = '
Весьма пологая оболочка. Рассмотрим весьма пологую ортотропную оболочку, отнесенную к ортогональной системе координат так, что для коэффициентов первой квадратичной формы имеем 4=1, 5 = 1. Далее, как и в случае технической теории весьма пологих оболочек, считаем, что кривизны А1=/?р1 и й2 = ^1 при дифференцировании ведут себя как постоянные.
В этом случае, как и раньше, для функций, характеризующих поперечные сдвиги, будем иметь
（6.71）（6.71）
（6.71）
（6.71）
Формулы для коэффициентов разложений (6.60) существенно упростятся и согласно (6.61), (6.12), (6.13) примут вид
IT竺办+ +w瓦虫汲+-+-加石^wIT竺办+ +w瓦虫汲+-+-加石^wч 2-一一 一一v ,ч 2-一一 一一v ,®限芻н ^_8 ^®限芻н ^_8 ^72(672(6學 %6 』2學 %6 』2
IT竺办+ +w瓦虫汲+-+-加石^w
IT竺办+ +w瓦虫汲+-+-加石^w
ч 2
-一一 一一v ,
ч 2
-一一 一一v ,
®限芻
н ^_8 ^
®限芻
н ^_8 ^
72
(6
72
(6
學 %6 』2
學 %6 』2
(6.27)(6.27)(6.73)(6.73)Для внутренних сил и моментов согласно (6.20) и получим
(6.27)
(6.27)
(6.73)
(6.73)
T 户尸 T 砂尸
e尹尸
m = _% 需-% 黑+^ (，1055 嚮 + 32aM 嘗), :% = 一% 第一012 墓 + ^ (022。44 需 +012a55 翁), " =一2% 譏 + ^ % (a55 专 +。44 缴.
Наконец, из (6.63) и (6.65) получим следующую систему разрешающих уравнении:
31 % + 2 (% + 2%) J^T + %^ +
]1 М尸 I 1 g2尸 02^ @2尸 02^ 旗尸]十拓而十瓦而一而帝—苹屈十
+ 2而^；^ = z + 而1a55[011 必 +
(6.74)(6.74)+(% + 2%) ^г] + &4 [% 龄 + + (，2 + 24б)^^]｝，
(6.74)
(6.74)
^22^i + (^12+^66)^^ + ^llJpT —
Рассматривая системы уравнений (6.70) и (6.74), замечаем, что они отличаются от соответствующих систем разрешающих уравнений классической теории лишь грузовыми членами, которые строятся на основании решений той же задачи в классической постановке.
Уточненная теория анизотропных оболочек
Уточненная теория анизотропных оболочек строится на основании предположений (см. введение, § 4, п. 3), которые аналитически представляются следующими равенствами:
q = 0, ит = ш(а, ₽),
% = /i(T)Y(a, Р)+ Х]+ + Х“ .(7 1)
^=/2(T)Ф(».Р) + 匕 + 十九，
где, как и в (2. 19),
Т(х+ — X) 乂2 = х+ + Х・，
1(7・2)
у1=|(у+-у-),工= у+ + у-.
Здесь X土 (а,卩)，У士(％ 卩)一тангенциальные компоненты векторов интенсивности поверхностных нагрузок (рис. 8), А — толщина оболочки; <р (a, R),屮(а, R), w (а, R) ——искомые функции, причем w (а,卩)一нормальное перемещение соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
Заданны^ функции Д (у), f. (土九/2)=0, которые характеризуют законы изменения поперечных касательных напряжений %丫 и "丫 по толщине оболочки, должны наилучшим образом представлять поперечные деформации сдвига оболочки. Вопрос выбора функций f. (т) является одним из основных моментов уточненной теории.
Анализ достаточно точных решений задач изгиба толстых плит и оболочек, а также специальные исследования, посвященвые вопросу выбора функций 力 ⑴，показывают, что некоторые неизбежные неточности, которые допускаются при выборе функций /. (у), незначительно влияют на основные расчетное величины оболочки вдали от линий искажения. Некоторый произвол при р азумном выборе функций 厶(丫)не может внести в уточненную теорию недопустимых погрешностей.
Учитывая сказанное, все же следует подбирать функции f. (7), исходя из анализа законов распределения касательных напряжений %丁 и 七打 в достаточно точных теориях изгиба толстых плит
и оболочек. Указанный анализ показывает, что вдали от линии искажения касательные напряжения 七叮 и 七做 по толщине оболочки изменяются почти по закону квадратной параболы.
Учитывая, что в настоящей книге нас интересуют лишь тонкие анизотропные оболочки, будем полагать
"7)=力(7)=%(7) = ^ 管一d).(7.3)
Подставляя значения касательных напряжении 七绅 и т^ из (7. 1) в соответствующие уравнения обобщенного закона Гука (6) и учитывая (7.3), получим
(7.4)(7.4)% = X* + /，+4■住一 72)①1(a，В),Зт=У* + "'+^住「»№ 卩),
(7.4)
(7.4)
где введены следующие обозначения:
(7.5)(7.5)X* = g55X1 + a45 yp X/= a55x2 + 包5%，①1 = a55屮 +a45 屮, 产=a44 yl +a45/，p = a44 y2 + 图5爲,①2 =a44 屮 + 图5?
(7.5)
(7.5)
Перемещения и деформации. Нормальное к срединной
поверхности оболочки перемещение 匕 не зависит от координаты у, т. е.
%=%т=а 匕= ^(%в)；(7.6)
здесь ш=ш (а,卩)一искомое нормальное перемещение всех точек данного нормального элемента оболочки, в том числе и точки, которая принадлежит срединной поверхности, т. е. нормальное перемещение соответствующей точки срединной поверхности.
Подставляя значения 6吋,^曾,Н“ Я2, %丫 соответственно из (7. 4), (4) и (7. 6) в последние два уравнения (15), получим дифференциальные уравнения относительно перемещений ” 口 匆・ Интегрируя эти уравнения по у в пределах от нуля до у и учитывая, что ua=u (а, |3), м§=и (% 卩)при т=0, с точностью (у AJ2 будем иметь
” = (1 +М« —^£+т(1 +丫第無1 —
一Y中+得鴉+《+育)x*+yR+得底，_
"p=(1 + M)吁普 ^ + 丫 (1 + T 整)^ ②一
-Y屮+Y¥片十Y (1+得)x+Y20+离底，
где 〃=% (а, |3), v=v (а,卩)一 искомые тангенциальные перемещения соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
На основании (7.6) и (7.7) заключаем, что, как и в классической теории, перемещение % какой-либо точки оболочки не зависит от координаты『 Что же касается тангенциальных перемещений, то здесь, в отличие от классической теории, тангенциальные перемещения ua и %卩 какой-либо точки оболочки, удаленной от срединной поверхности по нормали на расстояние у, зависят от т нелинейно.
В силу (7. 7) деформации ев, е§ и е巾 могут быть представлены в виде многочлена по степеням % а именно:
е« = с】+ 丫х； +『％ 十 Г3»! + 伐* '
%=^ + /:+ Y2%+ Y3储十了空2, .(7.8)
e叩=3+ 户*+fv + d入+ y也
Подставляя значения ua, up, %丫 соответственно из (7.7) и (7.6) в соотношения (15) и сравнивая полученные при этом значения деформаций ”，％, 6冲 с соответствующими представлениями (7. 8), получим для коэффициентов разложений
气 =康^+磊^" + 厶"，"(7.9)
3 =齧(匕)+抬⑸'
党G-8党G-8竺8.十竺8.十¥¥ф Ф + +ф Ф + +в_л+4公л -Й: 一竺8Тв_л+4公л -Й: 一竺8Тгде, как и в классической теории, для х., т имеем—10/1 дт\ 1 дА ди) . 1 泌]一彳石丿一而彳友〃—1 ^ / 1 div\ 1 дВ ди) . 1 дк2~В"д^\В d^)~~A^Bd^d^^~~B~d^V—2 /1 дА div 1 дВ div\ .，— AB〈da dp Л dp да Z? 0a dp 丿十+ (月一&)[令备G)一 把 篇)]•где, как и в классической теории, для х., т имеем—10/1 дт\ 1 дА ди) . 1 泌]一彳石丿一而彳友〃—1 ^ / 1 div\ 1 дВ ди) . 1 дк2~В"д^\В d^)~~A^Bd^d^^~~B~d^V—2 /1 дА div 1 дВ div\ .，— AB〈da dp Л dp да Z? 0a dp 丿十+ (月一&)[令备G)一 把 篇)]•1F1F1-Л1-Л也晔^^也晔^^2М2М(7/1)(7/1)
党
G
-8
党
G
-8
竺8.十
竺8.十
¥
¥
ф Ф + +
ф Ф + +
в_л+
4
公
л -Й
: 一
竺8
Т
в_л+
4
公
л -Й
: 一
竺8
Т
где, как и в классической теории, для х., т имеем
—10/1 дт\ 1 дА ди) . 1 泌]
一彳石丿一而彳友〃
—1 ^ / 1 div\ 1 дВ ди) . 1 дк2
~В"д^\В d^)~~A^Bd^d^^~~B~d^V
—2 /1 дА div 1 дВ div\ .
，— AB〈da dp Л dp да Z? 0a dp 丿十
+ (月一&)[令备G)一 把 篇)]•
где, как и в классической теории, для х., т имеем
—10/1 дт\ 1 дА ди) . 1 泌]
一彳石丿一而彳友〃
—1 ^ / 1 div\ 1 дВ ди) . 1 дк2
~В"д^\В d^)~~A^Bd^d^^~~B~d^V
—2 /1 дА div 1 дВ div\ .
，— AB〈da dp Л dp да Z? 0a dp 丿十
+ (月一&)[令备G)一 把 篇)]•
1F
1F
1-Л
1-Л
也晔^^
也晔^^
2М
2М
(7/1)
(7/1)
Для остальных коэффициентов разложений (7. 8) будем иметь
% = f % -嶽自^党—招①1 -伯一2自)内絹①2]，
出=-*2Х2 一 ^ [& ^ * _ 3 得①2 -(自 一 2询)与瑞 Ф1].
金一屮一机(2&f疗後TG絆d翁)r+ (7,12) + (2瓦一/注崇一扌偿絹&+劉也
6688邙邙一 6一 6^^沔沔曲曲入入0 一汲 в -Л m 0一 4一8 rlL0 一汲 в -Л m 0一 4一8 rlL2⑨2⑨33
6
6
8
8
邙
邙
一 6
一 6
^
^
沔
沔
曲
曲
入
入
0 一汲 в -Л m 0一 4一8 rlL
0 一汲 в -Л m 0一 4一8 rlL
2⑨
2⑨
3
3
В связи с этим согласно (7.10) можем записать также
*3五2 q *3也2 q *3五2„ Л / \
zi = zi^储，x2 = x2г% т =т—-Г 入， (7.14)
Наконец, для последней группы коэффициентов разложений получим
Р *1 1 дФ1 1 1 冰1 6 I】дА 仰 7.、巾 ^—~8А^~21А'дТ^~ТАВ^\^~^)^
(7.15)(7.15)‘28 8 洋 24 8 ^26 48 9al43丿田”
(7.15)
(7.15)
c=g[率需一二絆1①1 一幫(耳①1)]+
+ 丸务噤 一"^ 雾/①2 -晶^体為)]•
Имея в виду ограничится в последующем рассмотрением оболочек, загруженных лишь нормально приложенной нагрузкой Z (а,卩)(Х±=0, У土=0) или такой нагрузкой, тангенциальные компоненты которой в коэффициентах разложений (7.8) или вовсе не фигурируют, или несущественны, мы опустили в формулах (7.9)—(7.15) члены, которые происходят от X и У. При необходимости читатель их может восстановить самостоятельно.
Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты. Пренебрегая напряжением а^ и разрешая уравнения обобщенного закона Гука (6) относительно напряжений, получим
0a =当1% + 512s + 816力伊。5 =822% + ^12e« + 当6e咿] у [6)
%B = ^66eap + 区16力 + /б©# J
где
8" = (a22。66 -唸)QT，816 = (a12。26 一。22。16)Q%
822 = (a11。66 - tt16)* \ * 826 = (%2。16 -。11026)q%(7 [7、
绕6 = (a11。22 一,%)Q \ 512 = (a16。26 -。12066)Q \
Q = (。11。22 一 %)a66 + 2a廿n。/ 一a口脸一出血6，j
Подставляя значения деформаций ”, е§, е呻 из (7. 8) в (7.16), для напряжений %，仃§ и 七碎 получим следующие формулы:
% = 8u= + ^12S2 + 々6«) + 7 (修产；+ 81 产;+ 816工*) +
+ Т2 (5工1% + 区12电 + ^16V) + T3 (^11^1 + ^12^2 + 当6入)+
+ Y4(京国+名总+与66
bp = B22e2 + В12е1 + 826to + T (区22勾 + 当产；+ 耳6工*) +
(7.18)(7.18)+ T2 (8貶恥 + 居2% + 826У) + Т3 (^22^2 + ^12^1 + 826人)+
(7.18)
(7.18)
+1Чв^ + в^ + в^
工呻=^66Ш + ^16S1 + ^2бе2 + T (-®66Т* + 当6乂； + ^2бх2)+ + Т2 (866У + 区工6% + 耳6%)+ 7З(统6人 + ^16^1 + ^26^2)+
+ T4(绕6С+ 5読1 +区总).
Таким образом, формулами (7.1), (7.18) представляются все отличные от нуля напряжения в оболочке. Основная специфика этих напряжений заключается в том, что, в отличие от классической теории, здесь они изменяются по толщине оболочки по нелинейному закону.
Подставляя в (1.15) значения напряжений 工冲,工立(с учетом (7.3)), %，% %р соответственно из (7.1) и (7.18), получим для внутренних сил и моментов с точностью (也论户
К = Сц^1 + J2m2 + °16「+ & (21% + °12% + Аб，)'
俨2 = ^S^ + С12ml + 026r + & (2z% + °12% + ^265)*
Si =c66Г+ a6吃 +e26m2 + 饱(а6S + ^16W1 +026"2)，
S2 =c66Г+e167nl +e26% + & (46S +026"2 + ^16W1)>_ .
妝1 = ^11W1 + 012"2 + 26£ + 他(^11ё1 +2#2 + а601),
m2 = 022也2 + 012% +026s + & (°22% + 01/1 + ^26Ш)»
% = 4б$ + ^16W1 + °26孔2 + & (46to + Аб% + 4б&2)，
% = 46s + 2б% + 2б% + 左1 (46co + ^16£1 + ^26e2)» J
где введены следующие новые обозначения: 乙=%+逸口+前3 ^ = x<+-20 ^
Г = з +应v +丽* s=T +丽入， а также известные:
Cik = hBik, 5% = ^В咏= ^с%・(7-21)
Далее, имеем для поперечных сил
他=^中+无Xi +饱% Xz，
協无2'(7.22)
餌=%屮+无匕+占%% J
В выражениях для N1 и N& (7.22) в последующем несущественные грузовые члены могут быть исключены.
При получении соотношений упругости (7.19)—(7・22) мы пользовались формулами (1.15) классической теории. Они справедливы и для уточненной теории тонких оболочек, ибо формулы (1.15) получены из условий статической эквивалентности внутренних усилий и напряжений.
Полученные соотношения упругости (7.19)—(7.22) достаточно компактны и могут быть использованы в дальнейшем. Они тождественно удовлетворяют шестому уравнению равновесия, которое и в уточненной теории имеет знакомый вид:
邑2 一邑1 + && -卷82 = °" (1.23)
Рассматривая формулы для деформаций (7.4), (7.8), напряжений (7.1), (7.18), внутренних сил и моментов (7.19)—(7.22), а также формулы (7.5), (7.9)—(7.15), легко установить, что все расчетные параметры оболочки в конечном итоге выражаются через пять искомых функций: и (а,卩)，d (а,卩)，w (а,卩)，屮(％ 卩), 屮(a, R). Как было указано вьппе, первые три из искомых функций являются компонентами перемещения срединной поверхности оболочки, а последние две функции характеризуют явления поперечных сдвигов.
Очевидно, эти пять функций полностью характеризуют напряженно-деформированное состояние оболочки на уровне уточненной теории.
В случае существенно тонких оболочек с достаточно высокой точностью взамен (7.18) могут быть использованы линеаризованные представления основных расчетных напряжений, т. е.
%=%纟 + 3* + /3 + 7 [5Й & - ^ 8)+
+吕2g2 一苧82)+ 316(一馨可，
bp = ^22S2 + 512el + 3宏3 + ?[% (X2 —学■ &2)+
+—爭升线6(一学可，,
% = ^ввШ + ^18sl + ^2в®2 + Т [В66 (и —兽入)+
+ 51в (X1 - T- 也)+ "6 J —嘗逅)].
На основании формул (7.23) получим для внутренних сил и моментов следующие, существенно упрощенные, представления:
北=c11е1 + C12s2 + a6to + /[21勺 +?2々 + °160- 一亭(2自+ад+，前],4=
必=，/1 + 012х2 + 26“ + 询(4昌 + °12% +。峻)一
-^(^+^ + ^)，也=，
(7. 24)(7. 24)S2 = Q6to + ^1661 + °26% + 及["66。+ °16乂1 + °26К2 -
(7. 24)
(7. 24)
一察(46入 + 268] +0我)」，81=,
% = Dq^ + 46Kl +。26勺 + 瓦(°66to + ^iesi + 2б7)—
-*(%人 + %81 + аб^2)> % =
生=^〃 "2 = ^|屮，
Не выписанные здесь значения внутренних сил и моментов можно получить из соответствующих приведенных формул путем перестановки индексов.
О разрешающих уравнениях. Уравнения равновесия элемента оболочки в случае уточненной теории, очевидно, ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений классической
теории, эти уравнения имеют вид
(BT.l^B^ + iAS^ + A^+ABk.N^-ABX, {AT^^-A^ + {BS^^Bt^ + ABk2N^~ABY.
(7.25)(7.25)的北 + 匕北)一方[(3%),«+ (4M),,] = Z,
(7.25)
(7.25)
伊M),. 十 (4硯,什4,网一%也=43也， (4М)в + (3%),«十九也 一 4,眼=43從.
Неизменными остаются и уравнения неразрывности деформаций, третье из которых имеет вид
"产 1 + 耳%+ ~^'{[；【电,a+ (52 一气)九一与% 一(必,3]]a +
+ [4" М%'8 + (% — %)厶亦一等％ —吟 j] J = °・ (7.26)
Уравнение (7.26) может быть получено из формул (7.9) для компонент тангенциальной деформации срединной поверхности путем исключения тангенциальных компонент перемещения точки срединной поверхности и (а, |3), d (а,卩)и введения функций изменений кривизны срединной поверхности 乂工(а, |3), х2 (а, |3).
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (7.19) и (7.22) в уравнения равновесия (7.25), при этом учитывая (7.20), (7.9)—(7.15), получим разрешающую систему из пяти дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функций и, р, 叱物屮.
В случае пологих оболочек, введя обычным образом искомую функцию напряжений F (а, |3), через которую внутренние тангенциальные силы представляются формулами (5.7), можно построить разрешающие уравнения уточненной теории анизотропных оболочек смешанным методом. В этом случае мы получим систему четырех дифференциальных уравнений относительно четырех искомых функций 耳，叫屮，屮.
В общем случае эти системы очень громоздки и поэтому здесь не приводятся. Разрешающие системы уравнений будут выписаны лишь для некоторых частных случаев.
4・ Граничные, или краевые, условия» Искомые функции и, V, ш, ср,屮 должны удовлетворять как системе разрешающих уравнений, так и граничным условиям.
Очевидно, граничные условия, вообще говоря, не могут быть поставлены и удовлетворены па уровне трехмерной задачи теории упругости, т. е. не могут быть выполнены в каждой точке краевой поверхности оболочки. Практически мы можем удовлетворять лишь «смягченным» граничным условиям.
Принятие «смягченных» граничных условий оправдано конструктивными способами осуществления граничных закреплений оболочки, принципом Сен-Венана и возможностями уточненной
теории.
Уточненная теория, как и все подобные теории рассматривае-
мого класса, какмого класса, какизвестно, уточняет напряженное состояние
мого класса, как
мого класса, как
оболочки лишь вдали от линий искажения, т. е., вообще говоря, не дает достоверных с точки зрения трехмерной задачи теории упругости сведений о краевых напряжениях и деформациях оболочки. Однако, несмотря на это, уточненные теории «исправляют» основное напряженное состояние, тем более в случае анизотропных оболочек*
修й Поэтому, взамен граничных условий трехмерной задачи теории упругости, за
пишем следующие основные «смягченные» граничные условия уточненной теории анизотропных оболочек. Условия запишем лишь для края a=const.
Свободный край:
Г】=0, Мх = 0, Wi = 0,邑=0, % = 0;(7.27)
шарнирно опертый край:
?1 = 0, М] = 0,邑=0, % = 0, ш = 0;(7.28)
абсолютно заделанный край:
"I 尸 ±тъ =仇 ％ 1=土也="= 0,(7.29)
Т=±То — точки на торце оболочки, где выполняются зти условия (Ь & п < 无⑵(рис. 27).
В реальных конструкциях можно встретиться с самыми разнообразными типами опор оболочек, и зто многообразие конструктивных решений опор реальных оболочек, пожалуй, невозможно с требуемой точностью представить в виде каких-либо математических моделей ——граничных условий. В связи с зтим здесь приведена лишь незначительная часть возможных вариантов граничных условий. Мы полагаем, что проблема построения математических моделей реально осуществляемых конструкций опор оболочек нуждается в специальных исследованиях.
Уточненная техническая теория ортотропных оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать Л=const, jB=const, fcj=const, A:a=const. Здесь рассматривается теория «весьма пологих» оболочек (см. п. 2 § 5), техническая теория круговых цилиндрических оболочек (см. п. 2 § 3) и др.
Пусть система криволинейных координат a, R выбрана так, что точно или приближенно Л = 1, Ь=1; далее, пусть оболочка
при дифференцировании ведут себяпри дифференцировании ведут себяили рассматриваемая ее часть таковы, что точно или приближенно кривизныи &=Е^“ ”
при дифференцировании ведут себя
при дифференцировании ведут себя
как постоянные.
ортотропного материала изготовлена три главных направления упругости направлениями а,卩，у, т. е. имеемортотропного материала изготовлена три главных направления упругости направлениями а,卩，у, т. е. имеемСчитаем, что оболочка из так, что в каждой точке все совпадают с координатными ортотропную оболочку.
ортотропного материала изготовлена три главных направления упругости направлениями а,卩，у, т. е. имеем
ортотропного материала изготовлена три главных направления упругости направлениями а,卩，у, т. е. имеем
Для простоты записи полагаем также, что оболочка загружена лишь нормально приложенной к срединной поверхности нагрузкой Z= =Z* (а,卩)(X士=0, У土 =0, Z-=0) (рис. 28).
В отличие от изложенной выше общей уточненной теории здесь мы не пренебрегаем нормальным напряжением Тем самым в этой уточненной теории мы будем учитывать явления, связанные с нормальным напряжением Остальные гипотезы, которые лежат в основе общей уточненной теории, остаются неизменными (см. введение, § 4, пп. 3 и 4) и аналитически, согласно (7. 1)—(7. 5), представляются следующим образом:
%=^g一丫2)下，%1=4■管-d)屮，I
и =w,}(7.30)
Далее, с точностью теории пологих оболочек или технической теории оболочек, т. е. с точностью (",%), получим из (7. 7) для тангенциальных перемещений
"尸0 _ Y黑 + Y号（生一寻）中，"尸0 _ Y黑 + Y号（生一寻）中，(7.31)(7.31)
"尸0 _ Y黑 + Y号（生一寻）中，
"尸0 _ Y黑 + Y号（生一寻）中，
(7.31)
(7.31)
где u=u (a,卩),v~v (a,卩),w=w (a, |3) — искомые тангенциальные и нормальное перемещения соответствующей точки срединной поверхности,屮=屮(％ 卩)，屮=屮(％ |3) — искомые функции, характеризующие явления поперечных сдвигов оболочки. В силу
Зц =Зц =a22 E\a22 E\1 — Т21 — Т2%=%=Y2glY2glй =3122 -初Y2ё2й =3122 -初Y2ё2г^Г1 当 е=^=%2,г^Г1 当 е=^=%2,--y]Y91 - Y]Y2--y]Y91 - Y]Y2§55§5511B“=^ = G23，a0=a1g2一%=B“=^ = G23，a0=a1g2一%=a53—YJ2a53—YJ2后限后限(7.34)(7.34)и, кроме того,4 = g13B11 + 〃23'12 ~и, кроме того,4 = g13B11 + 〃23'12 ~£[ ¥13 + y2y29£[ ¥13 + y2y2942 = a13当2 + 的3当2 =戏 2； ± "：；，Рассматривая формулы (7. 33), замечаем, что учет ных напряжений % приводит к появлению в формулах42 = a13当2 + 的3当2 =戏 2； ± "：；，Рассматривая формулы (7. 33), замечаем, что учет ных напряжений % приводит к появлению в формулах(7.35)(7.35)нормаль- нормаль-нормаль- нормаль-ных напряжений % и °з членов с множителями 4工 и Л2.Подставляя значения деформаций еа, е§ и е冲 из (7. 32) в формулы (7. 33), получимных напряжений % и °з членов с множителями 4工 и Л2.Подставляя значения деформаций еа, е§ и е冲 из (7. 32) в формулы (7. 33), получим。" = 外篇+%强一丫（/。" = 外篇+%强一丫（/d-w 汲2d-w 汲2卜% 4^) +依风+卜% 4^) +依风+
Зц =
Зц =
a22 E\
a22 E\
1 — Т2
1 — Т2
%=
%=
Y2gl
Y2gl
й =31
22 -初
Y2ё2
й =31
22 -初
Y2ё2
г^Г1 当 е=^=%2,
г^Г1 当 е=^=%2,
--y]Y91 - Y]Y2
--y]Y91 - Y]Y2
§55
§55
1
1
B“=^ = G23，a0=a1g2一%=
B“=^ = G23，a0=a1g2一%=
a53
—YJ2
a53
—YJ2
后限
后限
(7.34)
(7.34)
и, кроме того,
4 = g13B11 + 〃23'12 ~
и, кроме того,
4 = g13B11 + 〃23'12 ~
£[ ¥13 + y2y29
£[ ¥13 + y2y29
42 = a13当2 + 的3当2 =戏 2； ± "：；，
Рассматривая формулы (7. 33), замечаем, что учет ных напряжений % приводит к появлению в формулах
42 = a13当2 + 的3当2 =戏 2； ± "：；，
Рассматривая формулы (7. 33), замечаем, что учет ных напряжений % приводит к появлению в формулах
(7.35)
(7.35)
нормаль- нормаль-
нормаль- нормаль-
ных напряжений % и °з членов с множителями 4工 и Л2.
Подставляя значения деформаций еа, е§ и е冲 из (7. 32) в формулы (7. 33), получим
ных напряжений % и °з членов с множителями 4工 и Л2.
Подставляя значения деформаций еа, е§ и е冲 из (7. 32) в формулы (7. 33), получим
。" = 外篇+%强一丫（/
。" = 外篇+%强一丫（/
d-w 汲2
d-w 汲2
卜% 4^) +依风+
卜% 4^) +依风+
(7.31) из (7.8) —(7.15) имеем для составляющих деформаций
一借+&。+Y岑（号-4）需，
-靠+城+丫争得一手）豪亿32）
+ 5~А 務' + +（學一子）（紘5岑+a44碧）.
Решая уравнения обобщенного закона Гука (7), написанного для ортотропного тела, относительно напряжений аа,。§, ^,弋叮， *, получим
% =当回 +512" 一4产?%7 = 555、Т，% = 544%# 1(7 33)
оВ = 512% + 包2隼一42。7，%3=566，/J
где, как обычно (см., например, (1.33))(1. 34)),
d21V■^d21V■^卜当2 4^") + 伯2^22 +卜当2 4^") + 伯2^22 +(7.36)(7.36)+ &田2）^+专倉一$）（吕粗55善+当2〃44*）一4屮
d21V
■^
d21V
■^
卜当2 4^") + 伯2^22 +
卜当2 4^") + 伯2^22 +
(7.36)
(7.36)
+ &%)” + +©■—=■)(%%%*+ 当2a55 £■)—“2叩
% =筑6備% =筑6備卜釣_2% 丫誤■ +
% =筑6備
% =筑6備
+ + 告 ~导）（筑6紘5靑+%禽4察）.
В формулах для напряжений （7.36） фигурирует нормальное напряжение。了，которое может быть определено из уравнения равновесия дифференциального элемента тела оболочки, т. е. из третьего уравнения （16） или （1.12）. Подставим выражения напряжений 。幻 °р，乍呼 и 乍卅 соответственно из （7.36） и （7.30） в указанные выше уравнения и произведем интегрирование по у, учитывая при этом, что ^=Z=Z* при у—Л/2 и ,=0 при 丁=—Л/2; тогда с точностью к击 получим для напряжения。丁 。了 = _f~ + 7 ［（用生 1 + 期笈 12）警 + （62% + 占当 2）7^ +
+ （階% + 2哂% +觴%）回+ X券一竹［偽% + &%）詳+
+ （&% + кхВ^ 舞］—十（t—寻，隱 + 箒）•（7.37）
Подставляя выражения для напряжений из формул （7.30）, （7・36） и （7.37） в формулы （1.15）, получим с точностью технической теории для внутренних сил и моментов следующие формулы:
厶=сu像+啊+ 4 備+ ®一4Q,
厶=e22 （强+电力）+&2（吟+自力）一儿衣，
1= $2 = 5 = 46 翳+ ^）,
= _2 度一2费+名 （2用5 寡 +
（7. 38）（7. 38）+，2a44 器）一4他。,
（7. 38）
（7. 38）
伍=一% 需一32 要 + % （%%4+
+ 22a55 7~）—^2^°«
% =%=* = -246 為+ ^066з5 需+ &4 兽）， m=/?, %尸务中，
где введены обозначения:
Q = ^ Z + （加121 + 自厶12）^? + （&。22 + 自012）^T，
m。=（&a + 期，2）警 + （&% + 抬％）强 +（7. 39）
+ （修21 + 2自"2% + 修%）"一粉（77 + 需）♦
8 С. А. Амбарцумян
Рассматривая формулы для внутренних сил и моментов （7.38）, замечаем, что учет явлений поперечных сдвигов и нормального напряжения , в этих формулах представляется в виде поправочных членов с множителямиfe2/10, 4工 и А2. Если поправочные члены, учитывающие поперечные сдвиги, зависят только от относительной толщины и физико-механических характеристик материала оболочки, то поправочные члены, учитывающие нормальное напряжение, зависят также от главных кривизн срединной поверхности оболочки. Очевидно, что чем положе оболочка, тем меньше* влияние поправочных членов, учитывающих нормальное напряжение % на напряженное состояние оболочки.
Уравнения равновесия （7. 25） в рассматриваемом случае запишутся следующим образом:
"1 [ &S с дТ2 , dS с号+而=°，帝+毎=°，
Z,Z,=N 2,=N 2,（7.40}
Z,
Z,
=N 2,
=N 2,
Подставляя значения внутренних сил и моментов из （7.38） в уравнения равновесия （7.40）, получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений уточненной теории ортотропных оболочек:Подставляя значения внутренних сил и моментов из （7.38） в уравнения равновесия （7.40）, получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений уточненной теории ортотропных оболочек:дМх , дН _ 7V дМ2 [ дН 而十* = '*，心十"57
Подставляя значения внутренних сил и моментов из （7.38） в уравнения равновесия （7.40）, получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений уточненной теории ортотропных оболочек:
Подставляя значения внутренних сил и моментов из （7.38） в уравнения равновесия （7.40）, получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений уточненной теории ортотропных оболочек:
厶 1 （GJ 口 + L/C а и + （A：Cu + 卷 ％）駕一4 ［（自 21 +
+ 月22）鬻 + 他2% + 自%） 5^］ = 4 4 17 , 乙22 （&左）U +几（以）口 + （宓2G2 +网a2）竇一4［%% +
+ 询%）需+他g +W^r>A|f.
（自&L + "2a2）7- + （"2。22 + 自012）登 + （修&L +
+ 2^*2% +修％）必一方（居+卷）一
-（Ml + M2）［他屮口 + W 要 +
+出2% +左RJ版］=z ［1 + ^ （占4 +的甸｝ 几（2/ " 一 ft） fG55^ll （2左）? + 甸也2 （2%）屮］+ % 中 +
+ (修% + 2M4 +修%)需一费(嘉+篇)]=。，
£23(2左)3 - ^ [我44z22 (0浦少+紘5乙12 (0浦中]+ %屮+
(7 41)
十4 [他4 +自%)翁+的% +卷，J爲+ (畸% +,
+ 2自优% + 磯%) ■一备(籍+ '^1^)]=°，，
где для линейных операторов и ражения:где для линейных операторов и ражения:жесткостей имеем известные вы-жесткостей имеем известные вы-
где для линейных операторов и ражения:
где для линейных операторов и ражения:
жесткостей имеем известные вы-
жесткостей имеем известные вы-
^п (Gfc) — % 而' + Gs 所* ‘
L 12 (以)=(a2 + a6)за 不，
(742)(742)%=瑞加%=瑞加L 13 (0浦=21 衣 + (012 + 2066)五加2 »
(742)
(742)
%=瑞加
%=瑞加
乙23 (2J =022 嘉 + (q12 + 2&6)5^7 -
L 22 (CQ =e22 塞 +C66 ^? , &左=hB.k,
Уравнения (7.41) составляют полную разрешающую систему пяти дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функций u, v^ w^^ 屮，через которые посредством формул (7.30) — (7.39) представляются все расчетные величины оболочки. При решении конкретных краевых задач к разрешающим дифференциальным уравнениям (7.41), как обычно, присоединяются граничные условия, некоторые сведения о которых приводятся в пункте 4 настоящего параграфа.
Разрешающие уравнения уточненной теории могут быть представлены и в форме смешанного метода.
С этой целью к уравнениям равновесия должно быть присоединено уравнение неразрывности срединной поверхности (7. 26), которое в рассматриваемом случае «весьма пологой» оболочки запишется следующим образом:
宓2々 + 询*2 + S2, “а 一 ①,出 + & 1,即=°，U"3)
Это уравнение, выражающее неразрывность срединной поверхности оболочки, остается справедливым и для уточненной теории, учитывающей явления, связанные с поперечными сдвигами и с нормальным напряжением ,・
Из (7.38) и (7.19) согласно (7.9)—(7.20) имеем для внутренних тангенциальных сил
(7.44}(7.44}Т^С^ + С^-А^ 5 = 5那, 笃=^22е2 + &2fl — Л2Т°у
(7.44}
(7.44}
где компоненты деформаций %, со согласно (7.9) будут выражаться так:
『黑+ "乱，"爲+后"，3 =需十歩 (7.45>
(7.46)(7.46)Далее, из (7.11) с принятой точностью получим для коэффициентов изменения кривизны и кручения срединной поверхности
(7.46)
(7.46)
А = 一 丽，％ =—所，° = —Z ■^■^.
Решая систему (7.44) относительно компонент деформаций &н е2, (о и подставляя полученные при этом значения, совместно с (7.46), в уравнение неразрывности (7.43), найдем
，22 Т°I2 Т J °П Т° 12 Т
07 /1，即一百/^"十可/з—繭‘2,即一
一卷ь«я —+ 件% 一 +
св6 »аР 2 ,аа 1 ,即 I \у ,аа I
+ ("g2萨%)% =0，(2。=e16g一甯2)■(7.47)
Вводя функцию напряжений F (а, р) и выражая внутренние тангенциальные силы по формулам
4=',0户 ?2 = аМ s=一"f4=',0户 ?2 = аМ s=一"f(7.48)(7.48)
4=',0户 ?2 = аМ s=一"f
4=',0户 ?2 = аМ s=一"f
(7.48)
(7.48)
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (7.40), а из остальных трех уравнений (7.40) и уравнения неразрывности (7.47), в силу (7.38), (7.39) и (7.46), получим сле- дуюи^ую разрешающую систему дифференциальных уравнений:
V諸 _^ 燈+*) = z,
厶3(2*)1P - ^)[g55411(%)中 +a44%12 (%)屮1 +' (7.49)
+й?+Л1 {(&%+&，以爲 ^^-豎曾+
+ （4醫-4曾［伯1011 +海%户霊+
+ （自21 + 厶Q12）（&% + 加 1，2）3：苏］+
+他%+2由（曾礬-曾譌^）+
+ （"2 器-4幾）［（卷% + 自%）2 譌? +
+ （自31 +期，2）（卷% +自，2）需］-爲儲+謁）｝==一4 ［（4 总一4 銹他% + &%） +
+ （Л2^7—Л1^）偽 ％+ 自 ％）］ ■!■餐, 乙23 （2%） " 一 Jo ［〃44l22（2比）屮 + 我55厶12 （2比）中 I +
+^屮+4 ｛（卷%+网。面 联 蒜L 豐 鶴）+
+ （“2 ^ — 4倉）［（&% + 自％）2 犖 +
（7.49}（7.49}+ 的% +自九）（&，1 +"2,2）jg轰］+
（7.49}
（7.49}
+佝%+&%乂譽笫一^券）+
+ ^-A2^k1D11+k2D1^- ，b，a2 +
+ （卷%+的，2）（"Ri+出%）需］-含保+蟲）｝==-4 ［（4 ^ - 4 ^） （%022 + 自012）+
+（4总一“2 曾的，1 + &%）］ у 疑, "2 （%）歹一0曲+（4粤一4 ^）（自% +卷%）翌+ + ［（42 ^" 一 4 ^）他2% + 及012）+
+（л 1 Sy—л2 ^7）^D^ + 瓦％）］ a5^+
+ （4^-"2驚（&%一自42）^ =
где наряду с линейными операторами Lu, L22, LJ2, L13, L^ выражения для которых даны формулами (7.42), имеем также новые линейные операторы
厶2 (С J —厶2 (С J —Qo da《1 淵Qo da《1 淵话-2第1 屛话-2第1 屛@4 Ie22d"加2常2十k'声，@4 Ie22d"加2常2十k'声，(7.50)(7.50)
厶2 (С J —
厶2 (С J —
Qo da《
1 淵
Qo da《
1 淵
话-2第
1 屛
话-2第
1 屛
@4 Ie22d"加2常2十k'声，
@4 Ie22d"加2常2十k'声，
(7.50)
(7.50)
一五2次2 */型•
Таким образом, задача «весьма пологой» оболочки в постановке уточненной теории свелась к разрешающей системе четырех дифференциальных уравнений относительно четырех искомых функций w (а, р), F (а, р), ср (а, р),屮(а, р), через которые представляются все расчетные величины оболочки.
Нам остается привести формулы, с помощью которых могут быть определены тангенциальные компоненты перемещения, т. е. и (а, р) и р (а, р). Из первых двух равенств (7.38) согласно (7.39) и (7.48) получим
(7.51)(7.51)+ 伯iQl + 42,2)", аа + (及2。22 + &012)",吃]
(7.51)
(7.51)
00'，阳 恤力十 20十
+ (仅42 + 的012)J 解 + (图011 + &〃12)叱 J
На основании полученных выше результатов легко построить вариант теории «весьма пологой» оболочки с учетом лишь явлений, связанных с поперечными сдвигами. С этой целью во всех приведенных выше уравнениях и соотношениях формально надо положить 4工=0,力2=°，тем самым исключив из всех уравнений и соотношений члены, которые происходят от 仃止
Поступая указанным образом, получим из (7.41) следующую систему разрешающих уравнений:
^п (^л) 口 + 厶 12 (GJ 心 + 侬 Gi+&&2)^=°，
厶22 (С*:) " + 厶 12 (Cl 以 + (宓2c22 + ^£12)讯="
(勺a1 + &a2)7- + (42c22 + 乃C12)朱 +
+ (确以+ 2询加2& 2 +帙22)"- 4r (先+登)=%
% (2左)2 — 而[&，U (%) ? + %厶2 (%) ф] + J2 ? = О, L23 (2J ^--Jo [«44^22 (Dik)屮 + a5，12 (21？] + ^ 屮=0.
Далее, для расчетных величин получим выражения: для напряжений:
% = % 芻+ % 春一丫 (% 黎+当2翁 + (自% +
+ 海 ％)w + т (т—Т)(sua55 第 + 312a44 岑)
。Р = % ^+% 黑一丫 (% 匿+% 請+(&% +
% = % 備 + £) — 2%r da dp +
+十倉一飘%"55亲+ %图4穿)；
для внутренних сил:
普=eu (黑+自如)+&2(務+卷如)，"1=分?] n=4傍+恤)+ %像+月叫n2 = ^屮，｝
6 = "傍+祭)；I
для внутренних моментов:
/1 = 一% S' 一，2 需 + 3(出5% 祭 + a44% 集)， 此=_% ^ _ % 5"+ ^ (%% * +055% 岩)， 8 =_2% 爲#"S"46 (&5 务 +a44 驚.
(7.52)(7.52)(7.53>(7.53>(7.54)(7.54)(7.55)(7.55)Главная особенность полученных формул для внутренних сил и моментов заключается в том, что уточняющие классическую теорию члены фигурируют лишь в соотношениях упругости (7. 55), т. е. в формулах для моментов. В связи с этим первые два безмо- ментных уравнения разрешающей системы (7. 52) не содержат искомых функций 屮 н ф и не отличаются от соответствующих уравнений классической теории.
(7.52)
(7.52)
(7.53>
(7.53>
(7.54)
(7.54)
(7.55)
(7.55)
В рассматриваемой постановке (т. е. без учета явлений, связанных с нормальным напряжением。丁) существенно упрощаются и разрешающие уравнения системы (7. 49). В этом случае получим из (7.49) следующие разрешающие уравнения рассмотренной задачи:
V涸一^爲+紛=z，厶2 (&/尸一以力=0, £13(2左)"一^0也5厶 11(a左)9+我44厶 12(2左)屮］+ ^9 =0，■ (7.；6) 乙23 (2，左)"一 ^0 la^22 (Pik)屮+我55L12 (2左)中］+ %屮=0，
Эти уравнения, как и аналогичные уравнения общего случая (7.49), составляют полную систему четырех дифференциальных уравнений относительно четырех искомых функций ip, F, ср 屮. Однако система разрешающих уравнений смешанного метода «7・ 56) может быть сведена к одному разрешающему дифференциальному уравнению десятого порядка относительно некоторой искомой функции Ф=Ф (а, р). Действительно, полагая
F = ［S。44% ^ 厶3 (%) — п 几(％)］ L式CG ф,
屮=［^0 °55&6 М “3 (2/ —方厶23 (2比)］厶2 (CJ ①，
(7-57)(7-57)"‘ =｛先a4&刀66厶3 (%)一焉［(a4也2 +我55066)* +
(7-57)
(7-57)
+ (g55^11 + 包4&6)急］+ 备｝厶2 (GJ ①，
"=｛Aoa44a5546厶3 (%)一為［(a44022 +a55066)£ +
+ (а55^П + а44^66)急］+ 左｝ ▽通
тождественно удовлетворим трем последним уравнениям системы (7.56), а из первого уравнения получим искомое разрешающее дифференциальное уравнение десятого порядка:
［爲 ％ (&5 盘 + а44 綺乙3 (2J —方厶1 (%)］厶2 (GJ Ф —
-｛盒 + 缶 "m"55%6"(20 -备［(°44&2 + a5546) ^? +
+ %% +。4&) £］｝^Ф = -Z,(7.58)
где для линейных операторов имеем
(7.59)(7.59)斤丿 20 83十Qo 0供十"Qo丿呢咱， 厶 1 (%) = 21 爲 + % 提 + 2 (22 + 2%6)^^7， %3 (%) = % 忌 + % 篇 + ("11"z % 一 2%) ^5，
(7.59)
(7.59)
VR - VRVR - B2 dai 十 Д2 那4 十%/ 9a2型•
С помощью формул (7.53), (7.54), (7.55), (7.57), (7.48) нетрудно представить все расчетные величины посредством искомой функции Ф (а, В). Однако ввиду громоздкости получаемых при этом формул здесь они не приводятся.
Наконец, укажем, что при этом тангенциальные перемещения согласно (7.51) определятся из следующих равенств:
(7.60)(7.60)ди С22 ^~F &2 °?尸必 )
(7.60)
(7.60)
dv _ &182 ь &2 d2 ьw
质=离而一w 而一瓦"
В случае тонких оболочек с достаточно высокой точностью взамен (7.53) для основных расчетных напряжений можно брать их линейные по 丫 части, т. е. использовать следующие формулы:
% = % 寞 + % ^ — 丫 (％ 雾+% 請+(自3 n +
+ 期%) 2。+ / (%紘5 第 + 312a44 ^),
(7.61)(7.61)¥ = % ^ + % 案一了 (% ^ + / 需)+(&% +
(7.61)
(7.61)
+ 占%) m + 修(%a44 ^ + 312a55 患)，
%=线6償+紛 一2统6丫 務 + 疗(%紘5書+ %a44歙
В силу этого формулы для определения внутренних усилий несколько изменятся. Формулы для внутренних сил (7.54) останутся неизменными, а в формулах для моментов (7.55) изменится лишь коэффициент при поправочных членах, а именно множитель 胪/10 заменится на 6*/8・ При этом изменятся и значения некоторых коэффициентов в разрешающих уравнениях задачи. В частности, первые три уравнения системы (7.52) останутся неизменными, а в последних двух уравнениях множитель fe2/10 заменится
множителем Л2/8. То же самое произойдет и с системой уравнений (7.56)? в первых двух уравнениях неизменными остаются все члены, а в последующих двух взамен множителя й-2/10 будем иметь множитель 九窖/8・
§ 8. Уточненная теория трансверсальноизотропных оболочек
Уточненная теория трансверсально изотропных оболочек может быть построена на основании тех же предположении, что и уточненная теория анизотропных оболочек. Эти предположения аналитически представляются (см. введение, § 4, п. 3 и § 7 настоящей главы) следующим образом:
(84)(84)% = 4"伊一竹中仲，①，书=｝得一f)屮(%b),
(84)
(84)
% =0, % = % (а, В) = 〃？ (а, Р), 、q 0, где w (а,卩)，ср (а,卩)，屮(а,卩)一искомые функции.
Будем полагать, что оболочка изготовлена из трансверсально изотропного материала так, что в каждой точке оболочки плоскость изотропии параллельна срединной поверхности оболочки, 至・ е. главное направление упругости, перпендикулярное к плоскости изотропии, в каждой точке оболочки совпадает с соответствующей нормалью т・
В этом случае согласно формулам (10) и (11) для упругих по стоянных материала оболочки имеем
(8・2)(8・2)%] ==。里 "~ I/*, 。:12 =^ y/*，。33 =" 1/后‘，
(8・2)
(8・2)
。13 =。23 = 一Y'/? =一Y"IE, 佝6 = 1/G, ®4 =。開=1/G',
где E, Er — модули упругости, v, ■/, ■/' — коэффициенты Пуассона (v'Wuy'E), G, @' — модули сдвига (G—E/2 (14-v)).
Будем считать также (это видно и из (8. 1)), что оболочка загружена лишь нормально приложенной нагрузкой с интенсивностью Z(a, В).
Отметим, что при построении общей уточненной теории трансверсально изотропной оболочки везде, где это очевидно, мы не будем учитывать члены порядка (麻,产 по сравнению с единицей.
1* Перемещения и деформации. Согласно (8.1), (8.2) и (10) для поперечных деформаций оболочки имеем
j = 0, %т =萝(7 — d) %е 們=1g7(Z 丫 2)•(&3)
Поступая точно так, как в п. 1 § 7 настоящей главы, получим для тангенциальных перемещений какой-либо точки оболочки следующие выражения:
% =（1 +&т）吁十嘗+ т（1 + 丫争爲》+
+ f（i+rz）6^>84
勺=（1+海丫"一叠^ + T（1 + 丫务）^每 +
+ 7中+传）券,
где u=u （a,卩），v=v （a,卩）一 искомые перемещения. В силу （8.1）, （8.4） из равенств （15） для еще не определенных деформаций, после некоторых преобразовании с учетом （2） и （4）, получим
4 = % + （Т 一自72）4+ 备 口 一 |g）爲一
\2 h^J да 十U 3后2/ 0a 勺十8BG'IV 3^ 一響+答分絹+8-输劉屮，
年=e2 + （T 一 修2） & + 譌t［（l 騎 ^一
一偿T）將+（-箱龄］+鳥［（Т一黑一竽+ ,8 5） .儿2产、1. / 9 474、d而2］'
4尸3 +［7 一专（月+ 卷）｝ +募訊7 一誤鳩仔）一 一售一^爲（第）+ （产-箱 饱-&） 伐）］+
+募汕 T）鴿）-停-牖營）+
+（d _ 箱 他一&） ^,偉）］,
где для %, со, %, т имеем обычные формулы （7.9）, （7.11）.
. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты. Для расчетных напряжений из （10）, （11） согласно （8.1） получим
" =31回 + 3123，a0 = 522e₽ + 512ея> %В=线60 咿（8.6）
где для коэффициентов В.к имеем
i = §22 = 丁一 w， % =二 谑‘ §66 = 2 （1； м），（&°
Коэффициенты Bik в этом случае ничем не отличаются от соответствующих коэффициентов Bik для обычного изотропного материала. И это естественно, так как оболочка в системе а。? является изотропной.
Подставляя выражения деформаций из (8.5) в (8.6), получим окончательные формулы для определения напряжений %, 。§ и %仍 Ввиду громоздкости получаемых при этом выражений окончательные формулы для %，。§，％s здесь не приводятся.
Подставляя выражения для напряжений (8.1) и (8.6) в формулы (1.5) (о справедливости этих формул для уточненных теорий мы говорили выше, см. § 7), получим для внутренних сил и моментов следующие формулы:
Л =c11［61 +^他一生)Xl + l^7(卷 一论)G^ +
+方鋼屮)+器G要+分号砌h
厶=仆e +^(&一@M + i^^7的一瓦)G 黑十
+备釗+蟲份讐+/得喲］+8
+G 智 +分絆2叫，
邑=4卜+気&一饱卜+^^偽-3g黑一
ae ^▼丿十64吃［8 0八4丿十4 9八8丿」r
$2 = % 卜 + / 的一加2)g + f^7("1 —旬 6 亲一
-爲碧屮)+藕［^營升読(第г
"1 =碧% "2 = ^屮，(8. 9)
珞=，i [% + k^ + 鳥 0 ^ + 鳥^叫 +
++管2+品篇^ +爲* 叫,
必=%%+毋2+蕊G■寫+磊碧明+
+%口1+毋1+志g盘+磊^叫,
% = % {- + 海3 + 鳥7悖^(4)+z^(B)]}> / = %к+自3 + 蕊债仔)+藹(-2-)]},
где для жесткостей имеем
51 =匕22=二 "2 = 1 一 丿?"6= 2(1+Y)，
n n_ vE顧n _ EhS (8」1)
〃u = 22 = 12(1—3)，"12 = 12 (1 — W)，〃66 = 24(1 +v) >
а деформации e., ш и изменения кривизны и кручения х., *с определяются по формулам (7.9) и (7.11).
О разрешающих уравнениях и граничных условиях. Как было неоднократно указано, уравнения равновесия элемента оболочки и уравнения неразрывности срединной поверхности оболочки в случае уточненной теории ничем не отличаются от соответствующих уравнений классической теории. Эти уравнения даются формулами (7.25) и (7.26). Что же касается невыписанного здесь шестого уравнения равновесия, то оно в силу соотношений упругости (8.8) и (8.10) удовлет
воряется тождественно.“ /
Граничные условия, которым должны
удовлетворять искомые функции и, у, w,Рис, 29*
屮，屮，записываются точно так же, как и
в уточненной теории анизотропных оболочек. В частности, для некоторых вариантов они имеют вид (7.27)——(7・29).
Выполняя соответствующие подстановки, о которых сказано в пп. 3 и 5 § 7 настоящей главы, мы можем получить все варианты разрешающих уравнений трансверсально изотропных оболочек. Однако при этом мы получим громоздкие уравнения, которые в общем виде не используются в дальнейшем; поэтому разрешающие уравнения будут даны лишь для некоторых частных случаев.
Наконец, укажем, что приведенные в настоящем параграфе результаты можно получить как частный случай результатов предыдущего параграфа. При этом надо руководствоваться лишь равенствами (8.2), (8.7) и положить а16=а26=0, В16=В26=0.
4・ Трансверсально изотропная круговая цилиндрическая оболочка. Пусть срединная поверхность круговой цилиндрической оболочки с радиусом кривизны 7?=const отнесена к криволинейной ортогональной системе координат а, В так, что а направлена вдоль образующей оболочки, а 卩——по дуге круга поперечного сечения. Тогда для коэффициентов первой квадратичной формы
и для радиусов кривизны будем иметь 4=8=1, Н】=8,冗2=五， &=1 屈(рис. 29).
Будем полагать, что оболочка или пологая, или замкнутая (но тогда достаточно короткая) и поэтому может быть рассмотрена на уровне технической теории, т. е. с точностью h!R.
С принятой точностью из формул (8. 8)—(8. 10) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
厶=昌愣+v儻+ *）］，他t%
(8.12)(8.12)厶=昌［計犷啕，N^, s s s Eh （ди 丄 ди、 包=32 = 3 ； f （匸口］（布十而丿，
(8.12)
(8.12)
，1-12（1 -^2） L^2^ 环2 106/。十Y不〃，
"2 = _ 12於岡［需+"2 = _ 12於岡［需+@2”万2@2”万2da2da2%=%=〃=%=%=〃=10Gd2必10Gd2必Eh^ Го我(I _T2H丽被Eh^ Го我(I _T2H丽被噜+嚼］,无2■"10G7噜+嚼］,无2■"10G7
"2 = _ 12於岡［需+
"2 = _ 12於岡［需+
@2”万2
@2”万2
da2
da2
%=%=〃=
%=%=〃=
10G
d2必
10G
d2必
Eh^ Го我(I _T2H丽被
Eh^ Го我(I _T2H丽被
噜+嚼］,
无2
■"10G7
噜+嚼］,
无2
■"10G7
Внутренние силы и моменты должны удовлетворять уравнениям равновесия, которые в рассматриваемом случае запишутся следующим образом:
da 11 'S1曲=0, 厶dS да)附2=0,da 1厂d0£冗=生,daдН да弟 .дМг J ар="2，da 11 'S1曲=0, 厶dS да)附2=0,da 1厂d0£冗=生,daдН да弟 .дМг J ар="2，(8.13)(8.13)
da 1
1 'S
1曲
=0, 厶
dS да
)附2
=0,
da 1
厂d0
£冗
=生,
da
дН да
弟 .дМг J ар
="2，
da 1
1 'S
1曲
=0, 厶
dS да
)附2
=0,
da 1
厂d0
£冗
=生,
da
дН да
弟 .дМг J ар
="2，
(8.13)
(8.13)
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (8.12) в уравнения (8.13), получим следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функ- ЦИЙ м (а, В), V (а, ®), w (а, В),屮(а,卩)，屮(а, В):
/ * 丄 1 i d2、 血2 1 2咿丿"
］1 + м d^v f м dw c
I 2 M 耶 1 E da — °，
1 + Y d2u/1 -
2 дад^ \ 2
y d2d2、.1 dw c
Eh (ди , ди t
H(l 一3)(弟」V 9a 1
一二）一里（空—z
R） 12 3al 邙丿-
d
1 + "屮］j2
da
10G，［_Qa2 12 部丿干卜
- 2 ,a 邦」1£ —U,
d
J+v炳］1一中
3" 1UG'LQ俨丨 2 3a2 丿 ¥ 1
2 dad" 1 E 屮一％
(8.14)
(8.15)(8.15)где, как обычно,
(8.15)
(8.15)
a=标+乖"•
Система пяти разрешающих уравнений десятого порядка {8.14), написанная относительно пяти искомых функций, может •быть несколько модифицирована.
Из последних трех уравнений системы (8.14), исключая искомые функции ср и 屮，получим новую систему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых перемещений и, у, w. Эта система в целом выглядит следующим образом:
("2 丄 1 — Y °2)丄 1 -卜 Y "D 丄 Y div c十厂 徐确 十页京
(8.16)(8.16)(021 — 丫 @2、 I 1 -|-M >E 1 (iW — c
(8.16)
(8.16)
12 (1 — м2)4币％( j 呜+ vf = =—(1—"A)Z,
где
(8.17)(8.17)犷-"无2
(8.17)
(8.17)
〃 一10(1 — y2)g，
представляет важную величину, которая характеризует влияние поперечных сдвигов на напряженно-деформированные состояния •оболочки. В частности, при 石*=0 система уравнений (8.16) совладает с соответствующими уравнениями классической теории.
Система (8.16) не будет полной, если к ней не присоединить систему двух дифференциальных уравнений, определяющих исключенные выше искомые функции 屮 н 屮：
(8.18)(8.18)[^-需 a]像+第+ ^ =。，TУ (*+ 居)_A d ')•備 + 樓+£) = -z.
(8.18)
(8.18)
Очевидно, что система (8.18) получается из последних трех уравнений системы (8.14).
Система уравнений (8.16) может быть представлена в более компактной форме. Выполним операцию ^2/5 а2 над первым уравнением (8.16) и операцию @2/0а@В над вторым уравнением (8.16). Складывая полученные при этом уравнения, найдем
&282. М 03”1 &眦 с&282. М 03”1 &眦 с(8.19)(8.19)
&282. М 03”1 &眦 с
&282. М 03”1 &眦 с
(8.19)
(8.19)
Далее выполним операцию д^/д р2 над первым уравнением (8.16) и операцию д^/даНр над вторым уравнением (8.16). Вычитая из полученного первого уравнения второе, найдем
(8.20).(8.20).(8.21),(8.21),&2# «2 #з”
(8.20).
(8.20).
(8.21),
(8.21),
5^" A〃一被 A" 1 方 石帝"=°，
Складывая теперь уравнения (8.19) и (8.20), получим
А А»Y。配 J 1 ^Зц?
ааа =- 方曲"十左凉帝'
и аналогично этому
А А2 + Y °配 1 ^^/Q 9Q\
3 = — -ТГ^—rW( ' 9
Исключая с помощью уравнений (8.21) и (8.22) zz и у из третьего уравнения системы (8.16), получим взамен (8.16) следующую, достаточно удобную для использования систему трех новых уравнении относительно трех искомых функций и, у, w:
42Y 加ip 1 ^3iP
△十耳研
0A乩 + 若(1 - 戸A)若=(1 一万*a)
где D = Eh?/12 (1 ——v2) — обычная цилиндрическая жесткость, А?=
= ДД, А《 = АААА./
Полученных в этом пункте разрешающих систем уравнений (8.14), (8.16), (8.18)и (8.23) достаточно для рассмотрения различных
задач теории трансверсально изотропных цилиндр ических оболочек.
5 ・ Трансверсально изотропная сферическая оболочка. Пусть срединная поверхность сферической оболочки радиуса кривизны Я отнесена к географической системе координат а,卩,так, что а представляет угол долготы, а 卩一угол широты (рис. 30).
У Тогда, очевидно, для коэффициентов первой квадратичной формы и для кривизны срединной поверхности будем иметь A—R, B—R sin a, k，=ic?=k=R-'. В по
следующих выкладках ради сохранения симметричной структуры получаемых выражений приведенные выше значения Л и Б (в рас-
шифрованном виде) не будем подставлять, однако все время будем помнить, что Л — величина постоянная, а 8 не зависит от р.
Так как в дальнейшем трансверсально изотропные сферические оболочки будут исследоваться лишь с точки зрения устойчивости и колебаний, разрешающие уравнения выводятся здесь именно для этих целей.
Учитывая вышеизложенное, с принятой точностью получим из (8.8)—(8.11) для внутренних сил и моментов следующие выражения:
(&24)(&24)厶=昌也+/)+看，N.^., 北=昌(％ +陶+爲，色=瑞屮， 6—2=6 = ^^+。，
(&24)
(&24)
"尸五e再E+〜+% ®+『)]+也, 必=髙竺再A +宀十％ (% + vq)] + Ml， /=/ =昨謔鵠卜+幫+史,
где для членов, представляющих явления поперечного сдвига, имеем
191120(1 —^)g^aАВ аа Vj»
也2一 912U(li2)G'(日^ ав 0a у十4办丿' '.)
924U(1 + y)G' [В d八4丿十4 0a〈日丿」・
Для компонент деформаций 久，со, изменений кривизны и кручения хо т из (7.9), (7.11) получим
1 ди . tv1 ди . i дВ . w
‘1=才石十方，ё2=耳布+彳8 '蒞" +方，
1 dB dw \互忘国丿，1 dB dw \互忘国丿，(8.26)(8.26)А д f и \ .В д f v \ s= 51rB■)+灰痴(石丿，
1 dB dw \互忘国丿，
1 dB dw \互忘国丿，
(8.26)
(8.26)
/ 1 d2w [必、2 / d-w
勺=_(№凉十交丿，g =_4万庙邛
1 021y1 OB div * Ц7、
，方而"十423位击十万丿・
9 С. А. Амбарцумян
Уравнения равновесия сферической оболочки, которым должны удовлетворять внутренние силы и моменты, в географической системе координат выглядят так:
(8.27)(8.27)用一络 т +А 嗡+*ABN1 = O,時+甯+吟5 +34硏=0,%⑵+厶)一爲[嘤需]=Z，
(8.27)
(8.27)
±.{BM^-^-Mi + A^ = ABNv%@н)+樓 н + а^ = ав№
Исключая из первых трех уравнений (8.27) перерезывающие силы и используя оставшиеся, получим
/6（北+粤）］一裟（72 +岑）+机绮+书］=。， /8（S +如+票（5 +崇）+机/伍+步卜0, ^-^в^УВ^-^^ + ^АН^+
+*［4"系（硏 +营爲"+ 4'备（"必）］｝ = 2.
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (8.24) в уравнения равновесия (8.28), найдем
；*_ 磊备(А + 2)Т _(1 _ V)專 * +
[1 — Y/U 1 2、_1 — V2 1
(8.29)(8.29)%居-1&4e+ 2)円+ (」吟影+
(8.29)
(8.29)
j 1 — Y / и 1 dw \1 — Y? 1
『(天一方章丿= Eh тв
(焉а_中»一 磊(△+ 17(a+ 2№ +
где введены следующие ооозначения:где введены следующие ооозначения:8 =年+ e『缶［^削+ A⑷）"争， %=鳥债（砌一今⑷）］,『笠俏住^ +总齡）］,8 =年+ e『缶［^削+ A⑷）"争， %=鳥债（砌一今⑷）］,『笠俏住^ +总齡）］,=燃伊9 +等）］一竄皎+ *） +机4（6。+ *）］，=/3（S。+箝］+招（S。+$）+默4 （骞+斬=燃伊9 +等）］一竄皎+ *） +机4（6。+ *）］，=/3（S。+箝］+招（S。+$）+默4 （骞+斬(8.30)(8.30)
где введены следующие ооозначения:
где введены следующие ооозначения:
8 =年+ e『缶［^削+ A⑷）"争， %=鳥债（砌一今⑷）］,『笠俏住^ +总齡）］,
8 =年+ e『缶［^削+ A⑷）"争， %=鳥债（砌一今⑷）］,『笠俏住^ +总齡）］,
=燃伊9 +等）］一竄皎+ *） +机4（6。+ *）］，=/3（S。+箝］+招（S。+$）+默4 （骞+斬
=燃伊9 +等）］一竄皎+ *） +机4（6。+ *）］，=/3（S。+箝］+招（S。+$）+默4 （骞+斬
(8.30)
(8.30)
3一中+鳥闺^（鹏一粵小
+ 44（4环）］+乳■!糸（3¥）+ 5噜印 +
+ 4"亲（4妈）』。
Исключая % из первых двух уравнений (8.29), получим
(8.31)
Преобразуя с помощью (8.25) правые части третьего уравнения системы (8.29) и только что полученного уравнения (8.31), найдем
备偿）+专筒上
(8.32)(8.32)Eh 3 —Eh 3 —3 公；£ 先底 网）+*（网）］一3 公；£ 先底 网）+*（网）］一=38:器（A + 1 - V）係［i出叫+*（网）］卜
(8.32)
(8.32)
Eh 3 —
Eh 3 —
3 公；£ 先底 网）+*（网）］一
3 公；£ 先底 网）+*（网）］一
соотношении (8.24) быть представленосоотношении (8.24) быть представлено120£?G' • (A + 1 - V乂先居(3中)+ 靑(4 屮)》.
соотношении (8.24) быть представлено
соотношении (8.24) быть представлено
Третье уравнение равновесия (8.27) с помощью и (8.30), с принятой здесь точностью, может следующим образом:
招分*（3*+备（4屮）］=一Z +招分*（3*+备（4屮）］=一Z +EhEhЕ(1 - у)Е(1 - у)8.(8.33)8.(8.33)
招分*（3*+备（4屮）］=一Z +
招分*（3*+备（4屮）］=一Z +
Eh
Eh
Е(1 - у)
Е(1 - у)
8.(8.33)
8.(8.33)
(8.29)(8.29)“(△ + 2)仁=喪甚(А + ' — v) Z,“(△ + 2)仁=喪甚(А + ' — v) Z,｛审T+Q]少++ 志(A + 1 i)(A + 2)0=彳可1｛审T+Q]少++ 志(A + 1 i)(A + 2)0=彳可1ЕД2ЕД210硝1 一円G10硝1 一円G7 Az.7 Az.(8.34)(8.34)
(8.29)
(8.29)
“(△ + 2)仁
=喪甚(А + ' — v) Z,
“(△ + 2)仁
=喪甚(А + ' — v) Z,
｛审T+Q]少+
+ 志(A + 1 i)(A + 2)0=彳可1
｛审T+Q]少+
+ 志(A + 1 i)(A + 2)0=彳可1
ЕД2
ЕД2
10硝1 一円G
10硝1 一円G
7 Az.
7 Az.
(8.34)
(8.34)
Теперь уравнение (8.31) и третье уравнение системы согласно (8.32) и (8.33) могут быть записаны так:
Наконец, исключая 8 из этих уравнений, получим одно уравнение шестого порядка относительно нормального перемещения wz [с2 (А + 1)2 + 1 — ”А] (А + 2)如=需(1 — /ГА) (А + 1 — V)Z, (8.35) где
С?—无2Д* —£无2 /8 36)
Уравнение (8.35) является исходным уравнением при рассмотрении задач устойчивости и колебаний замкнутой трансверсально изотропной сферической оболочки.
Однако укажем, что при рассмотрении иных задач, требующих определения всех искомых функции (например, и, у, и?), мы обязаны исследовать полную систему уравнении (8.34).
§ 9. Новая итерационная теория
Теория анизотропных оболочек, которая излагается в настоящем параграфе, условно названа новой итерационной теорией. Она базируется на предположениях (см. введение, § 4, п. 5), которые аналитически представляются следующими приближенными равенствами:
% —吟，Vr =啮，％ =叩]n
где величины с нулевыми индексами представляют значения соответствующих напряжений и деформаций, найденных по классической теории.
Согласно классической теории для напряжений т^, т* и 义 имеем формулы (1.17), (1.18), т. е. '
(9-2)(9-2)Т2т = -^i + y^ + y (у—72)?0>嗡=匕+六匕+^管一Y 2)屮0，
(9-2)
(9-2)
ат = Z^ + i Z2~l(j~^~h [(8中о),“ + (4%)М —
-S(T-T2)(« + W)>(9.3)
где, как и раньше (рис. 31),
Входящие в (9.2) и (9.3) функциирис 31
(р0 (а, 3),屮о (а, R) характеризуют по-•*
перечные силы и с высокой точностью представляются формулами 中。=4?殷，屮。=^册，(9.5)
могутмогут(9-6)(9-6)(9.7)(9.7)Функции 屮“屮о согласно формулам (5.4), (5.12), (5.13) быть представлены в виде
могут
могут
(9-6)
(9-6)
(9.7)
(9.7)
中。=-爲偽⑷2 (统6)1 + ^ 厶 (зб6) +
+ ^啰厶(%)] 一駕厶(%)}%，
屮。=-爲假18厶&)] +芻厶(%) +
+糸依厶啰结)]-^厶(311)}叫，
й \_д^\В ^；^ А'^да AB L<><x^8 0a 策
1 дАд ( X д\ 1 дА d q
一才砲"石」十丁 [茄〈才石丿十砂礪丽」，
клас-клас-где Wq=w^ (а, В)?— нормальное перемещение, определяемое сической теорией, Bik — известные коэффициенты (1.11).
клас-
клас-
Для большей строгости напомним, что формулы (9.6) получены
с точностью технической теории оболочек. Однако этой точности в формулах (9.6) вполне достаточно, чтобы их трактовать как формулы общей теории. В последующих выкладках функции ср 0 • и 屮о будут фигурировать в нерасшифрованном виде, так что при желании взамен (9.6) могут быть использованы более полные представления этих функций.
Моменты М^ и Mg, входящие в формулу (9.3), определяются с помощью известных соотношений упругости
М； = D^ + D^ +也=鼻2吗 + ад + 4б*
где
1 ^ / 1 дт（}\1 дА 九。.дк} и0 । 泌 1 "n “
牙石（牙段）一相阻毎+公京+帀方一"%
о—18（1 8^0、1 dB dw。丄 #宓2 ^0 I ^2 ^0 加
*2 =一方布1西■而丿一箱万凉右十帀百十五"才一 2%：
。—А В \（）а ^3 力 d§ da В Зв OR 丿十
+出一砌［4•當图
(9.8)(9.8)(9.9)(9.9)0%=然/123詠；
(9.8)
(9.8)
(9.9)
(9.9)
Uq—Uq (a, p), v0=v0 (a, p) — тангенциальные перемещения срединной поверхности, определяемые классической теорией.
端=户+善f+^侍一佇戦端=户+善f+^侍一佇戦Подставляя значения касательных напряжений 吧了 и 吟丫 из (9.2) в соответствующие уравнения обобщенного закона Гука (6), получим для деформаций сдвига % и 唯
端=户+善f+^侍一佇戦
端=户+善f+^侍一佇戦
где введены следующие, обычно принятые, обозначения:
x*=我55x1 + 毎匕，X/= MX2 + G45 y2’ ①?=a55中()+a45屮0，]« ..
r = a4iYl + a45X1, F = a44y2 + a45X2, Ф« = Мо + ^?о. i( *)
Далее, согласно классической теории имеем для деформации е； выражение (1.20), т. е.
4=4 (a13 T1 + a23 T2 + "36№) + Y ^&3m? +a23 也+。36/)—
т-6 6-т-6 6-备_『)舞隐(в%)+烹⑷。)]_• (9.12)
т-6 6-
т-6 6-
仔一72)«33 (« + &也)+ з(厶 + 千 Z),
где для внутренних тангенциальных сил и для крутящего момента, в наиболее простом варианте, справедливы следующие, неоднократно приводимые, соотношения упругости:
(9.13)(9.13)7，?=С11е?+С12е2+С16Ю°> Т2~С 22鳄 + Cd? + &6此 展=& 咼 + C妒? + СМ，班=。出? + 4б№ + 4б~'・
(9.13)
(9.13)
Здесь наряду с (9.9) имеем также
弱=万才+曲47% + &4，.(9.14)
w=齧(*) +号翁)，
&k =万8偏.
Перемещения и деформации. В силу основной гипотезы (9.1) для нормальной компоненты деформации q согласно (15) и (9.12) имеем
е^=ттй+^мй-1^-^^-
—^ 备一丫2)азз^° + 纵佟工 + 善 Z?),(9.15)
где
外=询зТУ + ^^ + аз^。，М^а^М^а^ + а^Н^
Q。=爲国风)++(4%)]，及。=他也十馋吗似⑹
Интегрируя уравнение (9.15) по у в пределах от нуля до у и полагая, что при т=0 u^=w (а, р), получим для нормального перемещения какой-либо точки оболочки
% =如 + Y Т* +『犷 + р 犬 + f№,(9.17)
где введены следующие обозначения:
伊= ^?°-簽及° +曲厶，
M*^M^-^a^ + ^Z2,(9.18)
k*=警长。，N*=^Q。.
Очевидно, w=w (а, р) является искомым нормальным перемещением срединной поверхности оболочки.
Далее, в силу основной гипотезы (9.1) для поперечных сдвигов £呼 и е* получим согласно (15) и (9.10) следующие выражения:
е“т = 〃1^%”)+^"=Х*+"/十^管Т)吧9 ]9
喻="*任* +宗^=尸+// + !'管-竹唔
Интегрируя с учетом (17) и (9.17) полученные уравнения по 丁 в пределах от нуля до у и полагая, что при 丁=0 м&=м (a, R), м§ = =v (а, R) с точностью (А^)2, найдем для тангенциальных перемещений какой-либо точки оболочки
%=“а+б17)—т±^—К1 — 4^)^*—
一式1 一 ^&丫) 需 + Y (1 + 兵1T瑞⑪'一
■ (9.20)■ (9.20)一式1+奴1T)学 + 丫(1 +^&7)X* +
■ (9.20)
■ (9.20)
a^vil+k^ — ^^-^—^^l—^k^^-^ —
T(1 - 4"&t) V*+y(1 + ^&丫)轉一一式，十^&丫纓 + 小 +4*21)У* +
+т(1+4Мт-
Очевидно, и=и (а, р) и v=v (а, р) представляют искомые тангенциальные перемещения срединной поверхности оболочки.
Рассматривая формулы (9.17) и (9.20), замечаем, что (в отличие от всех ранее рассмотренных теорий) в новой итерационной теории геометрическая модель деформирования оболочки такова, что все компоненты перемещения любой точки оболочки зависят нелинейно от координаты у. При этом все искомые перемещения м (a, R), V (а, R), w (а, R) и известные функции Т°, М0,. . ., К*, N*, которые определяются согласно классической теории, являются функциями лишь криволинейных координат срединной поверхности аир.
Таким образом, при помощи соотношений (9.17) и (9.20) трехмерная задача теории упругости анизотропного тела сводится к двухмерной задаче теории оболочек.
Имея значения ua, и^ и^, с помощью геометрических соотношений (15) легко определить еще не найденные компоненты деформаций е^ е* 6翩 風 далее, согласно (6), представить все расчетные напряжения посредством искомых функций и, и, w.
В силу (9.17) и (9.20) деформации еа, е₽, е^ могут быть представлены в виде многочлена по степеням у：
(921)(921)е« = г1 + тх* + т2711 + т3&1> ' е° = ^ + 产；+ d% + y3&2, 6叫=3 + /* + 步 + 73 入.
(921)
(921)
Здесь, в отличие от (7.8), мы ограничиваемся первыми четырьмя членами разложений, т. е. прибавляем к классическому разложению по одному четному и по одному нечетному по 丁 члену.
Подставляя значения^, и^ и7 соответственно из (9.20), (9.17) в соотношения (15) и сравнивая полученные при этом значения деформаций %,州，£邙 с соответствующими представлениями (9.21), получим для коэффициентов разложений следующие выражения:
q = ｝篇+為2+自以% = •••，3 = 4•糸伐)+畿(力(9.22) 詬噤+儲闿+s£礬+方尹，
*2 ~~ • • • »
+4^(4")’
где, как обычно,
1 дА dw ! 1 泌1 ,, I 才底布布十大詬次 十1 дА dw ! 1 泌1 ,, I 才底布布十大詬次 十(9.24)(9.24)1 a /10叭%=一彳而a■五）
1 дА dw ! 1 泌1 ,, I 才底布布十大詬次 十
1 дА dw ! 1 泌1 ,, I 才底布布十大詬次 十
(9.24)
(9.24)
и, далее, для коэффициентов разложений при 丫 высших степеней:
一点気^釣一卄一备^嘗+МГ+
.1/1 8X'1 дА v/\1 /, 1 дХ* 1 дкг VA .
(9.25)(9.25)垣瓶у自京毎一瓦前大丿十
(9.25)
(9.25)
"=一中一銹（2『自片零-4G絆+*）5+ +（2屈一甸1■礬一^备瑞""釣①（］-
一丽而（才痴）+Sl^ 阻石—'ZT石g而）+ 鳥^崙+机訥X*）-2厶篙+；絆門+
+点俣®户）一％察+》需卷打+
十2hiB1邙 4吨 丿十4、汲 в да 1丿J，
a1 11 1 04 吊°1 д fi
1 дАдМ^ t i /ь J 11 дА ОТ* f
一57薛而十豆(勺 十3■心丿落粛十+"咒 GM)+H芻 ^-м+^-
好〈勺一W&丿^章丫 一芽不詬，
Sh^A~dT~~2AdT Г “2—
6 dp卜力丿十力da'B丿」 38 03'4 da丿十
,1 dAdNP 也竺一
十3力汕那0*十6力6内da 1/1 дМЛ 1 OB dM* .
-丽（万 前丿十石再十
+击芻*+4"（@+"）康當G^）- 一巻勺而孤詬■十色十3电才归由碰丿一 —君修五炉5r秤十万［丽而仲/）一区*2歹乖-十 +4々与計g+^協^（仅?）t"占^+
+ "2分招叫
(9.25)(9.25)(9.26)(9.26)Не выписанные здесь коэффициенты разложений e2J. . ., &2 могут быть получены из этих формул путем круговых подстановок.
(9.25)
(9.25)
(9.26)
(9.26)
Рассматривая коэффициенты разложений (9.22)——(9.26), замечаем, что, если даже ограничиваться первыми двумя членами разложений (9.21), т. е. останавливаться на уровне принятых в классической теории разложений (1.5), мы не получим результатов классической теории, ибо коэффициенты разложений (9.23)
принципиально отличаются от соответствующих коэффициентов классической теории. Здесь коэффициенты х*, т* наряду с обычными членами, представляющими изменения кривизны и кручение срединной поверхности оболочки, содержат новые элементы, которые происходят от поперечных деформаций е^, е曾，%.
Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты. Решая уравнения обобщенного закона Гука (6) относительно расчетных напряжений и используя формулы (9.1), получим
% = 8" (еК- 。13。；) + 当2(3 -a23斗)+ 自6 (e呻一a3冲 '
。0 =鸟2e一a13。；) + 约2(3一a23。；)+826(6呻一a36。；)，■ (9.27) % = ^16 (е« -旬3叩 + 约6(5 -a23叩 + 统6 (e呻一a36叩,，
где для коэффициентов В.к имеем
■b 口 = (a22a66破6)qI§22 = (a11。66 一*)q% 统6 = (a11022 一 ^12)qI■b 口 = (a22a66破6)qI§22 = (a11。66 一*)q% 统6 = (a11022 一 ^12)qI§16 = (°i2a26 — °22al6)Q \ §26 = (a12。16 -。11026)Q \ 当2 ~ (a16026 一 口12。66)Q *§16 = (°i2a26 — °22al6)Q \ §26 = (a12。16 -。11026)Q \ 当2 ~ (a16026 一 口12。66)Q *(9.28)(9.28)
■b 口 = (a22a66破6)qI
§22 = (a11。66 一*)q% 统6 = (a11022 一 ^12)qI
■b 口 = (a22a66破6)qI
§22 = (a11。66 一*)q% 统6 = (a11022 一 ^12)qI
§16 = (°i2a26 — °22al6)Q \ §26 = (a12。16 -。11026)Q \ 当2 ~ (a16026 一 口12。66)Q *
§16 = (°i2a26 — °22al6)Q \ §26 = (a12。16 -。11026)Q \ 当2 ~ (a16026 一 口12。66)Q *
(9.28)
(9.28)
a11 唸一。22味，a11 唸一。22味，Q = (0口022 一a?2)a66 + 2a12al6026 一
a11 唸一。22味，
a11 唸一。22味，
Подставляя в (9.27) значения деформаций ea, ер, ea₽ и нормального напряжения о； соответственно из (9.21) и (9.3), получим согласно (9.16) следующие выражения:
% =仇0+生2出+当6歩+ T (鸟也+当252 +当6》)+,
+『(当13 + 512c2 + 仇6少)+ *3 (当自 + 5]招2 + 仇6〃)，
Or = 5 22a2 + 512al + §26。' + T (§22% + ^12^1 + §26») +q ?q、
%3 = 316al + 526a2 + 筑6鄒 + T (^i6^i + §26% + 纭 6勿)+
+ 丫 2 (呂 63 + 526c2 + 筑6~) + 丁3 {в^ + B2Gd2 + B^\
где введены следующие обозначения:
" =%： 一。" =%： 一。% = % — а% = % — а6% = % 一 a歩3 浜 区，心=储一出3g5,6% = % 一 a歩3 浜 区，心=储一出3g5,c1 = y — a№j^K°, d' = X — ax^Q°.c1 = y — a№j^K°, d' = X — ax^Q°.(9.30)(9.30)
" =%： 一。
" =%： 一。
% = % — а
% = % — а
6
% = % 一 a歩3 浜 区，
心=储一出3g5,
6
% = % 一 a歩3 浜 区，
心=储一出3g5,
c1 = y — a№j^K°, d' = X — ax^Q°.
c1 = y — a№j^K°, d' = X — ax^Q°.
(9.30)
(9.30)
Таким образом, формулами (9.29) представляются расчетные напряжения в оболочке. Эти напряжения по толщине оболочки
изменяются по нелинейному закону. Однако зачастую в формулах (9.29) можно ограничиваться лишь первыми двумя группами членов, т. е. можно принимать линейный закон распределения напряжений Ор, тар по толщине оболочки.
Подставляя в (1.15) значения напряжений оа, ◎§ и 工呻,получим для внутренних сил и моментов следующие выражения：
普=с^ + G2m2 + С" + & (°пп1 + °12电 + 2屛)， ?2 = С22^2 +a2^1 + e26r +左1 (022 电 + °12 孔 1 +。265)， S] = CqqT + G6ml + C26m2 + 卷(4б§ + 2б% + %九2)‘ S2 =^С66r+ e]6飞 + &6% +"1 (Z)gg$ + 46% +。26汴2)， "1=21% +。12祝2 +03 + & (20 +。12義 + 26р)， 4厶=^22^2 + °12% + 026s + "1 (°22g2 + °12分 + °26р), % = 4б§ + Аб 孔 1 + 4б®+& (4бР + 4б% + 26g2)， ”2 = 4б§ + ^i6ni + 2б电 + "1 (4бР + 2б% + %%)，,
где введены новые обозначения:
%=&т
3胪/_ *
20 4*
卜 20 *• &з (力 Z? 60 Q°)，
§ = бу
20 出=т •
+ 20 入的6 Q Z? 60 Q。),
叁=@「
.3无2
1 20 % —七
卜 20 %&3(Zi5A 硝，
р = *
3无2
20 с
20 v %(Zi 5A
=a, + 务 с£ = % + % 万,.&3(Z]——,K°), r=优+务e』® +务Y一聞6佟1一；曰)，
(9.32)
Внутренние поперечные силы N、и N* должны быть определены из последних двух уравнений равновесия, которые совпадают с соответствующими уравнениями равновесия классической теории (1.21). Укажем также, что, согласно исходным предположениям (9.1), поперечные силы могут быть приняты равными, с достаточно высокой точностью, поперечным силам классической теории, т. е. 的=鸡 Nz=N\、
Полученные соотношения упругости достаточно компактны и могут быть использованы в последующих выкладках. Легко заметить, что они тождественно удовлетворяют шестому уравнению равновесия.
Рассматривая соотношения, приведенные в этом параграфе, можно заметить, что все расчетные величины оболочки, т. е. все деформации, напряжения, внутренние силы и моменты, являются функциями трех искомых перемещений: u (а, Р), и (а, р), w (а, р). Кроме искомых перемещений, все расчетные величины оболочки содержат элементы, которые могут быть определены из решения соответствующей задачи оболочки по классической теории. Все эти величины отмечены нулевыми индексами.
Для случая тонких оболочек в формулах (9.29) можно ограничиваться с достаточно высокой точностью лишь первыми двумя группами членов, что соответствует линейному закону распределения напряжений оа, ◎外 七邛 по толщине оболочки.
В этом случае для внутренних сил и моментов будем иметь
Л = ^па1 + ^12а2 4" ^16a/ +&(°и仇十
十"12%+。163), 笃=.…
4/]=。11仄 +，2方2 +，6» +& (21% +
+ 4№ +，6a’)' Mg = .…(9 33)
S1 = C^af + C^aY + C26a2 + 友(％夕十
+ 36bl 十 4б匕2)' $2 =…7
h 1 ="66 +，6" + %%+论2 (几优 +
016al ~H。26a2)' 〃2.
Не выписанные здесь значения внутренних сил и моментов можно получить путем перестановок индексов (см. также (9.22), (9.31) и (9.32)).
Напомним, что входящие в соотношения (9.31), (9.33) жесткости
% = %%, Dik = -^Bik.(9.34)
О разрешающих уравнениях и граничных условиях. Уравнения равновесия элемента оболочки и в случае новой итерационной теории ничем не отличаются от соответствующих уравнений классической теории. Для удобства приведем их еще раз без каких-либо изменений:
(9.3》(9.3》(3 北),.一纥工 十 (4 邑),0 + 4声+4sM = 一45Х, (4厶),L4 — (3邑),.+ 纥冉+4%也=_4^, (&普十内4)一爲[仍m)," + (4优),31 = Z,
(9.3》
(9.3》
啰〃 J, “ + {AH^^A^H.-BJl^ABN,,(4%),"(3%),.+ 旦也 一 4, ?М, = aЁ^.
Неизмененными остаются и уравнения неразрывности деформаций, третье из которых имеет вид
鱼勺 + "#2 + 鳥｛[j [382, a + (% - %) 5, a — ^ ①,卩一①"，r]]。+
+ [訐"%年+ ® - %)4厂^吗a_*』])=6 (9.36)
Уравнение (9.36) может быть получено из формул (9・22) путем исключения тангенциальных компонент перемещения данной точки срединной поверхности u (а, 0), р (а, 0) и введения изменений кривизны срединной поверхности %】(а, 0), х2 (а, 0).
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (9.31) в первые три уравнения равновесия (9.35), из которых с помощью последних двух уравнений исключены поперечные силы Nv 儿， и при этом учитывая (9.32), (9.30), (9.22)—(9.26), получим разрешающую систему из трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых функций u (а, 0)心(％ 0), w (а,目).Здесь в правых частях разрешающих уравнений, наряду с грузовыми членами Х± (а,目)，У土 (а, 0), Z^ (а, ①，будут стоять некоторые величины, значения которых определяются на основании решения рассматриваемой задачи по классической теории. В случае пологих оболочек разрешающие уравнения новой уточненной теории анизотропных оболочек можно построить смешанным методом. Для этого необходимо ввести в рассмотрение новую искомую функцию напряжений F (а, 0), через которую внутренние тангенциальные силы представляются обычным образом (см. формулы (5.7)). Мы получим обычную систему двух разрешающих уравнений относительно двух искомых функций w (а,目)и 尸(а,目).И в этом случае в правых частях уравнений, наряду с грузовыми членами, будут стоять некоторые величины, значения которых определяются на основании решения рассматриваемой задачи по классической теории.
В новой итерационной теории граничные условия ничем не отличаются от граничных условий классической теории, (см. п. 8 § 1 настоящей главы). Читатель в этом убедится в последующем, при рассмотрении конкретных типов оболочек, для которых будут выписаны разрешающие уравнения.
В общем случае разрешающие уравнения здесь не выписываются в виду их громоздкости. Они будут приведены лишь для некоторых частных случаев.
Новая техническая итерационная теория оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать 4 = const, .В—const, fcj—const, fc2=const. Здесь, как и раньше, объединяются теории «весьма пологих оболочек» (см. п. 2 § 5), техническая теория круговых цилиндрических оболочек (см. п. 2 § 3) и др.
Пусть система криволинейных координат аО目 выбрана так, что выполняется сильное неравенство AB/R^《 1. Пусть, далее, коэффициенты первой квадратичной формы Л = Л (а, р), В—В (а, р) и главные кривизны срединной поверхности к* = =〃i (а, P)=R『(％ р), к2~к2 (а, р)=Я~ (а, р) при дифференцировании, точно или приближенно с достаточно высокой точностью, ведут себя как постоянные.
Далее, полагая, что рассматриваются лишь тонкие оболочки, считаем, что расчетные напряжения аа,。伊 弋理 口。толщине оболочки изменяются по линейному закону. В силу последнего, соотношения упругости берем в виде (9.33) и при этом ограничиваемся наиболее простыми представлениями их, т. е. отбрасываем члены с множителями &
Считаем также, что в первых двух уравнениях равновесия (которые, очевидно, ничем не отличаются от уравнений равновесия классической теории) можно пренебречь членами k、N\ и k2N2.
Наконец, в выражениях, представляющих компоненты изгиб- ной деформации (9.23), (9,24), отбрасываются члены, которые происходят от тангенциальных перемещений или имеют множители 碌
Принятые здесь предположения не новые, они подробно освещены в соответствующих разделах настоящей книги, посвященных техническим теориям, теориям пологих и весьма пологих оболочек.
Тогда для рассматриваемого класса оболочек получим следующие исходные соотношения и уравнения:
уравнения равновесия:
A
。普 da
L 1 OS _ v
卜8 gB人
1 0% в即
丄丄史—?
1 А да ~'
自з+卷72
1 g
A 0 a
1 加2 _ 7 в即一&
(9.37)
1
дМА
J8H — N
1 дМ2
КТ宀」
Л
da
8叩
b関
геометрические соотношения:
(9.38)(9.38)% =不忘+ "№' £2 = й7^+^ ю^в1^+а^^
(9.38)
(9.38)
где введены следующие обозначения:
①? = 05屮0+a45屮0，①? = a"%+愚死，
?о = —Е* (BQ 4, Фо = ^2 (BQ %‘
% (%)=风与詣+ 3%爲•显+
+ (当2 + 2'бб) '7^' da 弟2 + ^26 灰顧■，
当(BQ = /2春£ + 3丛6爲•譌? +
+ (区2 + 2区6)亙汇而凉 +当6不■必.
Далее, имеем
尸=^外一窘用+侬厶，
где согласно (9.16), (9.13), (9.14), (9.8), (9.9)
7』用"G需+ &%)+乙份芻+險。)+
十 66〈瓦布十才石■〃，
№ = 一出% +海%)击需一(&% + W 击辇一
-2(&%十 自 %)鳥箫
尸11 = 8口〃13 + 312a23 + ^iea36» С《к =九В»
尸22 = 8 22a23 + 812al3 + ^26^36» Dik~~i2 B^' 1
九2 尸66 — Вб6@36 + B16“13 + ^26a23» D,决=С5；
соотношения упругости
Л = Jlal + c\^2.^^^а，"1 =A自 +刀1262+刀16% ?2 ^" e22a2 + &2"1 +e26〃\"2 =^ 刀2262 + "1/1 + 026",
s = ‘66” + °16〃1 + °26@2， н = 4б〃 + 26bl+2б%」
где согласно (9.30), (9.22)—(9.24)
案+ 出押+寥М-а1з4，
(9.39)(9.39)(9.40)(9.40)(9.41)(9.41)(9.42)(9.42)(9.43)(9.43)(9.44)(9.44)a2 =康^ + ^+费№ 一吋厶，
(9.39)
(9.39)
(9.40)
(9.40)
(9.41)
(9.41)
(9.42)
(9.42)
(9.43)
(9.43)
(9.44)
(9.44)
а 一В叩十4汲十2力364.
% =% =% =% =1 0%I万2 1漣？ [ L穴Г”丽■十百77r十1 十+響Q。—&电1 321P I 力2 1 0ФВ [匕力* [灰而■十百万不十恤 十1 0%I万2 1漣？ [ L穴Г”丽■十百77r十1 十+響Q。—&电1 321P I 力2 1 0ФВ [匕力* [灰而■十百万不十恤 十1 ex*4 да '1 ex*4 да '(9.44)(9.44)〃〃2421P [九2 / 丄0①?2421P [九2 / 丄0①?餐 QO-%3广4da丿十餐 QO-%3广4da丿十&&无无1 0У*1 0У*
% =
% =
% =
% =
1 0%I万2 1漣？ [ L穴Г
”丽■十百77r十1 十
+響Q。—&电
1 321P I 力2 1 0ФВ [匕力* [灰而■十百万不十恤 十
1 0%I万2 1漣？ [ L穴Г
”丽■十百77r十1 十
+響Q。—&电
1 321P I 力2 1 0ФВ [匕力* [灰而■十百万不十恤 十
1 ex*
4 да '
1 ex*
4 да '
(9.44)
(9.44)
〃
〃
2421P [九2 / 丄0①?
2421P [九2 / 丄0①?
餐 QO-%3
广4da丿十
餐 QO-%3
广4da丿十
&
&
无
无
1 0У*
1 0У*
a 一а36丁十g而十不7т，
Здесь из (9.16) и (9.8), (9.9) имеем
26da 咿 n22・ S・3J)
Подставляя значения 能,a', 〃, » из (9.44) в (9.43), получим для внутренних сил и моментов следующие формулы:
北=% G 募+月")+% (4■春+卷")+
+J (4•黑e 陷，北=盡偿帯+卷⑵+仆g5"+&")+(9 46)
+4传芻+扌50+^%К。一%必，•
s = 龜 管 謂 + ^" 40+ % G 芻+乃w) +
"―一(% 与需+ %击請+2% 鳥端升
+乳陪甯+ %$*+%伐將+占驚卄
十备PuQ° +(°ii自+ 2闷7*一分E么+
10 С. А. Амбарцумян
必=—（% 靑假+ 22$|3+2%/ 読）+
+証。）第+4二嘴+%G•嘴+善喲h
(947)(947)+募p/°+（4也 + DM r-^ 3必 +
(947)
(947)
#=一（2%孟 ^■ + %与翌+%备疑）+
+з（不飞■十五京丿十，6五右 + A26m邛J 十
+ £ ^6（20 + （%自 + %甸金一.卷 p^ +
十〃66 B五-^■丿十" 16N к 十〃26m飞".
Структура формул для внутренних сил и моментов (9.46), (9.47), как и следовало ожидать, идентична структуре формул для коэффициентов ао. . . , &\ Здесь имеем классическую часть и поправки к ней. Очевидно, поправочные члены определяются согласно формулам (9.39)——(9.45) с помощью решения соответствующей задачи по классической теории.
Исключая N*、N^ из третьего уравнения равновесия (9.37) с помощью последних двух уравнений и подставляя в оставшиеся уравнения значения внутренних сил и моментов, получим следующую систему разрешающих уравнений в искомых перемещениях и—и (a, р), u=p (а, р), w=w (а, р):
厶1 (а J u + з12 (& J 。 + 厶13 (С%) W = 一X —
-飘|WW+P忐喲+可」礬+。66京幫,
厶22 (C论)U + 厶2 (CO U + £23 (CQ "=一y —
(9.48)(9.48)TW* 唱喲+依 超+儿6寿),
(9.48)
(9.48)
厶 13 (C J " + 厶23 (‘加 и + 厶33 (°Q W = Z —
-4 仍1/1 + 3办)№+^ 阳(0Q Ф? + / (0由喲 +
+费?(Рq<2°+я (а欣)厂一务自(Р浦z2+
+ " (匕及+乙2甸厶+马(D浦X* +线(D^ У*,
厶1(%)=贵厶2(%)=警厶2 (%)=禦厶1(%)=贵厶2(%)=警厶2 (%)=禦где наряду с операторами EJDQ имеем также следующие неоднократно использованные представления:
厶1(%)=贵厶2(%)=警
厶2 (%)=禦
厶1(%)=贵厶2(%)=警
厶2 (%)=禦
02%* С6б *
0谑十 AB dadB十820目2，
02 I 2 56赤I e6价/而"十 ~AВ石第十中"凉，
02 [ *2 +066 g2 . °26 02
石^ -- 石0卩十В2两，
(9.49)(9.49)(9.50)(9.50)厶3 (CQ = (&611 + Л2С12) 3 "^ + (@%6 + &С26)3 专,
(9.49)
(9.49)
(9.50)
(9.50)
厶23 GQ =(优。22 +"£12)$ 击 + (“2^26 + "1&6)；鼻 > "33 (0咏)="ii 4r 分 + 4%6 tV 5^" +
+ 2 (% + 2"66)J5^T 涿2 咖2 + 4% •Jgy 沢型 +
+。22 5 "^r + (傍 J] + 2&1&2c12 十 傍72),
а также
P1(PQ=P11｝先+2Рб6 爲謁+「22 $*'
2 (2他)=(，1& + ^12^2)与爲 +
++ 01办)专祭 + 2 (Di6Al + d26*2)鳥"^p .
Таким образом, в случае рассматриваемого здесь варианта технической теории анизотропной оболочки с учетом явлений, связанных с поперечными напряжениями и деформациями (,, т：呼, %, q, °州，°勿)，задача сводится к определению лишь трех компонент полного перемещения срединной поверхности оболочки： а (% В), о (а, р), w (а, р). Что же касается величин К°,①?, Q°, Т°, Т*, то они являются функциями и0 (а, р), % (а, р), % (а, р)— перемещений срединной поверхности той же оболочки, определяемых по классической теории (см. формулы (9.39)—(9.41), (9.45)).
Искомые функции u, % w должны быть определены из системы разрешающих уравнений (9.48), левые части которых, как и следовало ожидать, ничем не отличаются от левых частей соответствующих уравнений классической теории (см. п. 2 § 5 или уравнения (5.21)). Что же касается правых частей этих уравнений, то они принципиально отличаются от правых частей соответствующих уравнений классической теории. Здесь, наряду с обытаьпии грузовыми членами X, У, Z, имеем также некоторые приведенные 10*
грузовые члены, которые построены с помощью решений соответствующей задачи по классической теории.
Разрешающие уравнения новой технической итерационной теории анизотропных оболочек могут быть представлены и в форме уравнений смешанного метода.
Пусть оболочка загружена лишь нормально приложенной нагрузкой Z+(% р) и Z~ (а, р), Х±=0, У±=0・
Полагая
(9.51)(9.51)Т 一 1 /尸 Т — 1 0 才102 耳
(9.51)
(9.51)
尸炉都， 2 一肝曲，D -—：JF57^p
где 尸(％ 目)一искомая функция напряжения, тождественно (с точностью технической теории) удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (9. 37), а из остальных уравнений, исключая N* и N* получим
*L 四丄卫一丄吗一7/qS2\
1灰弟2十*2
Решая соотношения упругости (9. 46) относительно компонент деформаций (см. (9. 38)) и учитывая (9. 51), получим
力 102FI力 1 d^F 力 1 淵尸,
si =яп^凉一416彳瓦 位沛十
+ (〃"Р 11 + %2P22 + 〃1Н66)(^1 —畫 а)，
_ л I "耳 I с I 02尸 力 1 d^F !
(9.53)(9.53)£ 2 =冃22苏-十A12被厢 _ A 26 N7J被十
(9.53)
(9.53)
+ (a22P22 + 〃12P11 + a26P6Mzi —^ R。),
_d 1 °却丄/1 °却丄d 1 °?尸f
3=一月陇酢五萌十厶^炉丽十&^才十
+ (a6』66 + a16Pli + a26P22x21-i^0)''
где, как и раньше, Aik=aikh~1,
Очевидно, в рассматриваемом случае уравнение неразрывности (9.36) перепишется следующим образом:
/4 +也+士第-i餘+普集=°-(934)
Подставляя значения моментов из (9.47) в уравнение равновесия (9.52), а значения компонент деформаций и изменения кривизны и кручения соответственно из (9.53) и (9.24) (с соответствующими упрощениями) в уравнение неразрывности (9.54), получим
следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений теории:
厶(％) w + ^F^Z + ^E^D^ + 鬲(％) О»] +
(9.55)(9.55)+奈 2 (%) Q° + 巴(2戍)片一务 2 (Л-J Z?, 厶2 (4*)夕一^RW==^(auPn +。12P22 +a16p66)京"^?-
(9.55)
(9.55)
一(^66^66 + аюЛ1 + а2&Р22)£■广d? +
+ ("22p22 +。12p口 + a26Р66)士 先](言 K。- Z,,
где, наряду с ранее приведенными линейными операторами (9.39), (9.49), (9.50), введены операторы
г /п \ — % °* [ 4 % 声 丄
1!说丿一440以T 438派3办十
+ 2 (% + 20(56)J^ 沢2 策2 + 4 лй^ 必弟3 + 瞪 硏，
(9.56)(9.56)U 11021102
(9.56)
(9.56)
f \ 一/22 。丄 0 426 M f
十(…2十厶66丿4必g公话 ,0a举十方4，
Разрешающая система дифференциальных уравнений (9.55) написана относительно двух искомых функций: функции напряжения 尸(％ р) и нормального перемещения срединной поверхности w (а,目),с помощью которых на основании приведенных выше формул могут быть найдены все расчетные величины.
Полученная система разрешающих уравнений, как и следовало ожидать, отличается от соответствующей системы классической теории (5.23) лишь правыми частями дифференциальных уравнений. Здесь, в отличие от классической теории, оба уравнения неоднородны. Правые части полученных разрешающих уравнений, наряду с нагрузкой (Z, Z), содержат также некоторые члены, которые строятся на основании решений соответствующей задачи по классической теории (см. формулы (9.40), (9.41), (9.45)).
Искомые функции и (а,①，и (а, р), w (а, р) в первом варианте (уравнения (9.48)) и ip (а, 臥 尸，％ р) во втором варианте (уравнения (9.55)) должны удовлетворять не только соответствующим уравнениям, но и граничным условиям, которые, как правило, имеют структуру граничных условий классической теории.
Рис. 32.иметьРис. 32.иметь
Рис. 32.иметь
Рис. 32.иметь
5・ Новая ит^мщшшная теория еишетрично нагруженных ортотропных оболочек вращения. Рассмотрим ортотропную оболочку, срединная поверхность которой является поверхностью вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М срединном поверхности оболочки будем определять гауссовыми координатами: углом Чр = р/r, являющимся азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось вращения z, и меридиональной дугой s=a, отсчитываемой вдоль меридиана от некоторой начальной точки MQ (рис. 32). В выбранной системе координат для главных кривизн срединной поверхности имеем
& =瓦=石，乂 =瓦=1-, (9.57) где R工=Ri (s) — радиус кривизны меридиана, Т?2=/?2 (s)—— второй главный радиус кривизны поверхности вращения, 3=3 (s) —угол между касательной к меридиану и осью вращениям, г = =『($) — расстояние от точки М срединной поверхности до оси вращения z・
Не вдаваясь в иные подробности геометрии срединной поверхности оболочки (их читатель найдет в § 3 настоящей главы), укажем, что для коэффициентов первой квадратичной формы будем
А = 1, 5 = г = 7?2 cos 3.(9.58)
Для дальнейшего полезно знать также, что
^ = —sin», й= cos »,
d / 1 \ / 1 l、sin$元(医丿瓦—司
Считается, что рассматриваемая оболочка нагружена симметрично относительно оси вращения, т. е. X±=X(s), Z*=Z (s), У±=0, и имеет соответствующие, симметричные относительно оси вращения, граничные условия. Далее, полагается, что орто- тропшой материал оболочки расположен так, что в каждой точке все три главных направленна упругости совпадают с соответствующими тремя главными геометрическими направлениями оболочки.
Очевидно, при этом для части коэффициентов упругости будем
иметь
〃工 6 ~~―二 0, @45~ 0・(9.59)
Такая оболочка, деформируясь, остается телом вращения, поэтому внутренние силы и моменты, а также перемещения не будут функциями угловой координаты 屮,и в оболочке возникнут лишь напряжения 。“ 。中,т^ и соответствующие им внутренние силы и моменты.
Итак, для рассматриваемой оболочки вращения согласно результатам, полученным в начале настоящего параграфа, будем иметь следующие основные соотношения и уравнения:
уравнения равновесия:
(9.60)(9.60)^也)+北 sin8+ 京 N = -rX,^(r“)f (哀+京)=—%
(9.60)
(9.60)
袤(r"0 + 〃2 sin 8 — rN = 0;
геометрические соотношения (согласно (9.22)—(9.24)): %=案+訂 e2 = ；(ipcos8 —" sin8),
X；=— 工+ ^55 欝■+X；=— 工+ ^55 欝■+JJ* в sin 8%2 sin 9.4 = W—-g—a55?o-+%=%一瓦；* в sin 8%2 sin 9.4 = W—-g—a55?o-+%=%一瓦；ds *T* sin 8 尸瓦 ~Xds *T* sin 8 尸瓦 ~X(9.61)(9.61)
X；=— 工+ ^55 欝■+
X；=— 工+ ^55 欝■+
J
J
* в sin 8%2 sin 9.
4 = W—-g—a55?o-+
%=%一瓦；
* в sin 8%2 sin 9.
4 = W—-g—a55?o-+
%=%一瓦；
ds *
T* sin 8 尸
瓦 ~X
ds *
T* sin 8 尸
瓦 ~X
(9.61)
(9.61)
(9.62)(9.62)(9.63)(9.63)(9.64)(9.64)
(9.62)
(9.62)
(9.63)
(9.63)
(9.64)
(9.64)
уравнение неразрывности деформаций:
г 六一(е2 — %) sin 8 — W cos 8 = 0,
соотношения упругости (согласно наиболее упрощенному варианту
(9.33), т. е. при пренебрежении членами с множителями к〉
?1 := '11"1 + e：12"2，？2 == С22"2 +，12"1,
"1 =01161 +。1262，"2=。22匕2 +。/1,
где согласно (9.30) и (9.61) имеем
@1 = % 一 〃工3 (Z1 — Д К°) ,«2 = ®2 — @23 01 — ^ ^°),
7 TJ7 sin & 九2 sin &. T* sin &/Z2 万2、
b^W~-_8-^ — То + д；-—^ _%(/—酝3)・
Формулы для определения напряжений запишем в линейной постановке, т. е. в формулах (9.29) оставим лишь первые две группы членов:
% =当但 + Bi2a2 + T(5iA + 当262)，I65、
os = B22a2 -f- B12aj -f- у (52Д + B^. J(，)
Для соотношений упругости и напряжении можно использовать более полные представления (9.29) и (9.31), однако ради сокращения записи, но не в ущерб общности рассуждений мы этого здесь не делаем.
В приведенные уравнения и соотношения входят некоторые члены, которые должны быть определены из решения соответствующей задачи по классической теории. Не вдаваясь в подробности (см. § 3 настоящей главы), приведем окончательные значения этих величин.
Если искомыми в классической постановке задачи считать функции V° (s) и W° (s), то согласно (2.11)—(2.16) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
务=一岁内+ ；歹i(s),鑑=警，
一 Г+м一 Г+м州州п г•-2п г•-2吵吵36 (36 (2T2TХМ7 9-^ г•ХМ7 9-^ г•
一 Г
+
м
一 Г
+
м
州
州
п г
•-2
п г
•-2
吵
吵
3
6 (
3
6 (
2T
2T
ХМ7 9-
^ г
•
ХМ7 9-
^ г
•
и, наконец, согласно (9.5) и (9.66)
%Y（耍乃+洞，屮。=0,%Y（耍乃+洞，屮。=0,(9.67)(9.67)
%Y（耍乃+洞，屮。=0,
%Y（耍乃+洞，屮。=0,
(9.67)
(9.67)
Er = Z cos 8 — X sin 8, Ег = Z sin 8 + X cos S, po — f^fo cos 8()+ 7V。sin &0) 2 虱％.Er = Z cos 8 — X sin 8, Ег = Z sin 8 + X cos S, po — f^fo cos 8()+ 7V。sin &0) 2 虱％.(9.68)(9.68)
Er = Z cos 8 — X sin 8, Ег = Z sin 8 + X cos S, po — f^fo cos 8()+ 7V。sin &0) 2 虱％.
Er = Z cos 8 — X sin 8, Ег = Z sin 8 + X cos S, po — f^fo cos 8()+ 7V。sin &0) 2 虱％.
(9.68)
(9.68)
где для грузовых членов имеем
= sin 8 ] rErds + cos 8 (察一j rEfis
«о
Здесь (т. e. в формулах (9.68)) величины с нулевыми индексами относятся к краю оболочки s=s0 (рис. 32), и их не следует путать
с величинами, которые приведены в формулах (9.66), (9.67) и представляют решение задачи по классической теории.
Искомые функции У0 и W。，через которые представлены все необходимые здесь величины (9.66), (9.67), должны быть определены или из системы (2.17), или согласно (2.23) из уравнения (2.24).
Учитывая выражения (9.66) и (9.67), для членов, которые строятся на основании решения классической задачи, из (9.16), (9.18) получим следующие формулы
?。 ="23雪一 女芈网+手鳥(S),
л™. q •(9.69)
2 = —(Л：/" + &%)響 + 的％ + &%)岁唄
qq_12「cos 8dH1 sin 8 卩° [ 1 d&]
” —ЛЗ L r ds Ry r ' r ds J*
Таким образом, все величины (9.67), (9.69) представлены через известные (после решения классической задачи) функции У0 (s) и W)($)・
Подставляя значения bi из (9.64) в (9.63), получим для моментов следующие выражения:
^ = -Й(Ви^-512^И/)+'
+黑5(%將一%岁喲+係+曾L+
+ (% ^ % ^^ X*) - (a13^11 +a23012)伶 一^ Q。)，
%=一 (% 瑞 一国岁 W)+(9,70)
+ ¥。55 (%第-%芈%) +曲+曾厂+
+ (% ^% -7~ X*) - %3012 +a23022m争 一^ Q。) .
Как и в случае классической теории, введем вспомогательную искомую функцию V=V (s), с помощью которой внутренние силы представляются следующим образом：
厶=一毕卩+ ^%(s), " = ^,
2 cos3 丄 1(9。71)
^ = — ^ + 7^2(^
где 歹f (s) являются функциями от внешней нагрузки и определяются ранее приведенными формулами (9.68).
Подставляя значения Т{, N из (9.71) в уравнения равновесия (9.60), тождественно удовлетворим первым двум уравнениям, а из третьего уравнения равновесия получим
^ (гМ^) + М2 sin 8 — V cos 8 = % ($)•(9.72)
Подставляя значения а. из (9.64) в (9.63) и решая полученные при этом соотношения упругости, найдем
q = _ 焉〔％ 苧 Р% у]+%з 依—警)，
中髙[%岁丿+当為-%m] + 3(Zl雾)，(9.73) 3。-当1522 一铝2，
Подставляя значения деформаций q, e2, из (9.73) и момен-
тов из (9.70) в уравнение ний получимтов из (9.70) в уравнение ний получим2)2)当2 *当2 *12 V12 V8]_] T?|T?28]]无з 7^28]_] T?|T?28]]无з 7^2(9.74)(9.74)соответственно в уравнение неразрывности (9.62) и равновесия (9.72), после некоторых преобразова-
тов из (9.70) в уравнение ний получим
тов из (9.70) в уравнение ний получим
2)
2)
当2 *
当2 *
12 V
12 V
8]_] T?|T?28]]无з 7^2
8]_] T?|T?28]]无з 7^2
(9.74)
(9.74)
где
哈哈812 1 d尸]812 1 d尸]e（）=e（）=В 22 sin 9В 22 sin 9/1 r ds В” г2/1 r ds В” г2()，()，Ч~(а23Ч~(а23歹if計九歹if計九或() sin9d( )B22 sin^或() sin9d( )B22 sin^ds 8ц г2ds 8ц г2(9.75)(9.75)(9.76)(9.76)
哈
哈
812 1 d尸]
812 1 d尸]
e（）=
e（）=
В 22 sin 9
В 22 sin 9
/1 r ds В” г2
/1 r ds В” г2
()，
()，
Ч~(а23
Ч~(а23
歹if計九
歹if計九
或() sin9d( )B22 sin^
或() sin9d( )B22 sin^
ds 8ц г2
ds 8ц г2
(9.75)
(9.75)
(9.76)
(9.76)
©；=-蒜н£心仇）-黑矗什京1+然强）雾+
+［飘粉一（1—品备）競卜+5m）- Bn //
一（% +a23 計）（4"若一^ 第）一［叫（黑_箫一
一%（1-曾］屮管一京）（9.77）
Таким образом, как и в случае классической теории, задача сводится к определению двух искомых функций V (s) и W (s), которые должны удовлетворять системе двух разрешающих диф-
ференциальных уравнений (9.74) и соответствующим граничным условиям.
Уравнения (9.74) записываются точно так же, как и соответствующие уравнения классической теории (3.17). Однако эти системы уравнений принципиально отличаются своими грузо^ выми членами ①” входящими в формулу (2.19), и Ф* из формул (9.76), (9.77). Грузовые члены Ф*, наряду с грузовыми членами классической теории Ф^, содержат некоторые поправочные члены, которые появляются в результате учета поперечных сдвигов, поперечного обжатия и поперечного нормального напряжения. Эти поправочные члены, согласно (9.76), (9.77), записываютсц с помощью (9.67) и (9.69).
Имея значения V0, W0 и У, 巾,легко найти с помощью формул (9.67)—(9.71) все расчетные величины рассматриваемой оболочки, Что же касается перемещений и (s), w (s), то их, согласно результатам классической теории, можно определить с помощью формул
и =——e2r sin & +и =——e2r sin & +磋 + [ (si cos 8 + W sin 8) ds磋 + [ (si cos 8 + W sin 8) dscoscosW = e2r COS 8 +W = e2r COS 8 +8 + VT sin %) ds8 + VT sin %) dscos 8,cos 8,sin %,sin %,(9.78)(9.78)
и =——e2r sin & +
и =——e2r sin & +
磋 + [ (si cos 8 + W sin 8) ds
磋 + [ (si cos 8 + W sin 8) ds
cos
cos
W = e2r COS 8 +
W = e2r COS 8 +
8 + VT sin %) ds
8 + VT sin %) ds
cos 8,
cos 8,
sin %,
sin %,
(9.78)
(9.78)
где e； —— постоянная, определяющая жесткое смещение оболочки ВДОЛЬ ОСИ Z*
Аналогично классической теории, введением искомой комплексной функции о (s), которая посредством искомых функций W и V представляется формулой
О=w-^у^ 匕 3。=当/22-州2，(9.79)
система разрешающих уравнений (9.74) с точностью 及$无 может быть приведена к одному дифференциальному уравнению^второго порядка относительно искомой комплексной функции о：
(9.80)(9.81)(9.80)(9.81)г / \ I . 〃2з（）
(9.80)
(9.81)
(9.80)
(9.81)
гдегде① *(s)=虱_/]/^ ①;.① *(s)=虱_/]/^ ①;.乙（。+瓦e
где
где
① *(s)=虱_/]/^ ①;.
① *(s)=虱_/]/^ ①;.
Постоянные интегрирования разрешающих уравнений (9.74) и (9.80), а также Р； и е； должны быть определены из граничных условий, структура которых, как правило, совпадает со структурой соответствующих граничных условий классической теории.
темтемииq = 0,厩=0,年=0q = 0,厩=0,年=0(10.1)(10.1)
тем
тем
и
и
q = 0,厩=0,年=0
q = 0,厩=0,年=0
(10.1)
(10.1)
Классическая теория анизотропной слоистой оболочки,составленной из нечетного числа слоев,сившетрично расположенных относительно срединнойповерхности
Рассматриваются оболочки, составленные из нечетного числа (2тп+1) однородных анизотропных слоев. Слои, симметрично расположенные относительно координатной поверхности у = 0, имеют одинаковые толщины и одинаковые физико-механические свойства. Координатная поверхность 丫 = 0 является срединной поверхностью как среднего слоя, так и всей оболочки в целом (рис. 33).
Основной предпосылкой для построения теории является известная гипотеза недеформируе- мых нормалей, принятая для всего пакета оболочки в целом.
Принятие гипотезы недефор- мируемых нормалей (см. введение, § 4, п. 1 и гл. I, § 1), очевидно, освобождает нас от необходимости рассмотрения перемещений и деформаций каждого слоя в отдельности. Имея деформации удлинения и сдвига, а также параметры, характеризующие изменения кривизны и кручения срединной поверхности оболочки, можно определить элементарным пу- любого слоя оболочки. При
этом, как нетрудно заметить, все характеристики деформации и перемещения каждого слоя получаются из перемещений срединной поверхности некой приведенной однородной анизотропной оболочки.
Перемещения, деформации, уравнения неразрывности деформации срединной поверхности. В силу основной гипотезы из шести соотношений (6) третье, четвертое и пятое соотношения приближенно могут быть заменены равенствами
или для отдельного i-ro слоя оболочки
e； = 0,%=0,唯=°，e； = 0,%=0,唯=°，(10.2)(10.2)
e； = 0,%=0,唯=°，
e； = 0,%=0,唯=°，
(10.2)
(10.2)
В силу (10.1), (10.2) из (15), полагая, что при 丫 = 0 ":= (а, Р), и^~и (а, Р), u^ — w (а, R) легко получить (см. ход рассуждений § 1 гл. I)
力=(1+公7)"一+■叫"，
两=(1+&了)!；—春%,"S3)
“ = ь'(а, Р)=ш(а, Р),
где и (а, р), и (а, 卩)， ш (а, R) —перемещения соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
Таким образом, гипотеза недеформируемых нормалей, данная для всего пакета оболочки в целом, безотносительно к слоистости, приводит нас к обычной геометрической модели деформирования (10.3). Вследствие этого деформации отдельных слоев оболочки е*, е；, е& могут быть представлены в виде двухчленных разложений по степеням 丁 в виде
(10.4)(10.4)* = % + /1，4 = %+目2, @=з + к где для коэффициентов разложений имеем
(10.4)
(10.4)
% = 4" “'"■+亲 4'/ + &№，
(10.5)(10.5)% =万％ +丽B U +及2切，, 3 =式热0+ ^备)ь
(10.5)
(10.5)
(10.6)(10.6)% = — ；(； w^—^Bi 4 ,R% + %«与 + 自”方一儕4 X2 =-专信 %)，「与8声,“ +检"与■+ &, В工一傍5
(10.6)
(10.6)
Т =一鳥(%一； 4也一%8,心)+
+ 后一砌[整(号%一与(分),].
Коэффициенты разложения %,•・・，т, которые характеризуют деформированное состояние слоистой оболочки, имеют тот же смысл, что и в случае однослойной оболочки, т. е. представляют относительные деформации удлинений и сдвигов, а также изменения кривизны и кручения срединной поверхности оболочки.
Принимая (10.5) и (10-6), получим： для уравнений неразрывности деформаций срединной поверхности слоистой оболочки обычные представления (1.8) или (1.89， справедливые для однородных оболочек.
Напряжения в слоях. Пользуясь основной гипотезой, пренебрегая напряжениями о； и учитывая, что в каждой точке каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки, из обобщенного закона Гука (6) получим
e =砧U + "；2弔 + 味%，
珞=吨е +成2% +唸嗑，■(10-7)
% ="；6w+勿6中+福%•
Решая эти уравнения относительно составляющих тензора напряжений в каждом слое оболочки и учитывая при этом (10.4), найдем
d = 3*1 + в；2е2 + В；бЗ 4- 丫 (3；F1 + й；2х2 + s；», ■
bg = 3:2% + 蝎产2+ 统63 + Т (8；n1 + _6$/2 + 筑产)，,(10.8)
% = 51?1 + b；声2 + В'^ + т (5^1 + 5*6х2 + 皖6Т)，.
где для коэффициентов В^к каждого слоя оболочки имеем
B:1 =侬2脸一［脸］2) QJ,铝6 =®2唯一國2唯)QJ，
皖2 = (%觴6 -罔6产)。，' '；6 = (%":6 - alia26)^?1,(0 9)
筑6 = (G風2 - m丁)屮，稣=(吐國6 -d2唯)勺，,
Q: = {0.{^ -［丸f)唯+ 2唯脸磕一a： J或6Р一處［唸忆
Отличные от нуля напряжения 吃，％ и а* (которыми мы ранее пренебрегали) могут быть определены из уравнений равновесия (16). Аналогично (1.12), они запишутся следующим образом:
%=-比艺十【?厶(&:), 。 -鬲/ м+
+ (〃％), Mf 十匕(а, В)}, 脸=~н-н-{ j 闻(&喻 °—ад, м +
(10Л0)(10Л0)+ (用力),」内+中,(a, Р)}, С；=班生比［H2Ak^i + 〃再你一他％ "一 二(〃闻)"］击十七(a, ₽)}.
(10Л0)
(10Л0)
Здес^ 屮f (а, В), % (а, В)，匕(％ ① ——функции интегрирования, которые могут быть определены из условий на поверхностях
контакта смежных слоев и на внешних поверхностях оболочки (1.13).
Условия контакта смежных слоев. Ранее, при формулировке исходных положений для слоистой оболочки, было указано, что слои оболочки работают совместно без скольжения. В силу этого напряжения и перемещения отдельных слоев на поверхностях спая должны удовлетворять следующим условиям контакта:
成=%+1，破=〃产 % = 〃；+、 (10.11)
%=喏、 % =嘴1，。；=。产. (10.12)
Гипотеза недеформируемых нормалей, сформулированная для всего пакета оболочки в целом, привела нас к геометрическим соотношениям (10.3), вследствие чего условия контакта (10.11) выполняются автоматически. Из условий (10.12) совместно с (1.13) могут быть определены функции интегрирования 屮” фр 匕 и, как нетрудно сообразить, первые три уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки hAB da dp конечной толщины 九.
Об уравнениях равновесия и граничных условиях. Поступая точно так же, как и в случае однослойной оболочки (см. гл. I, § 1, п. 6), мы придем к уравнениям равновесия, которые, очевидно, не будут отличаться от аналогичных уравнений однослойных оболочек:
(10.13)(10.13){BT^^-B^T^^AS^^A^^ABk^^-ABX, т^-А^Т^ (8邑3, “ + В, “J】+ ABk2N2 = -ABY, 一他Z + &点)+磊陋生)," + (4死),0] = -Z, (BMJ, " + (4里1), 0 + 4 /[2 - 8, * = ABNV (АЛ/》,в + (5Я12)>а + 5>аЯ21- 4 PMi = ABN2.
(10.13)
(10.13)
Здесь при определении грузовых членов должны быть учтены весовые характеристики отдельных слоев, т. е. объемные силы должны быть определены с учетом слоистости оболочки.
Граничные условия классической теории анизотропной слоистой оболочки, как и в случае однородной оболочки, описываются для линий, принадлежащих к поверхности у = 0, т. е. для некоторой приведенной двухмерной задачи. Поэтому граничные условия слоистой оболочки ничем не отличаются от соответствующих условий однородной оболочки.
Соотношения упругости* Из условий статической эквивалентности напряжений и внутренних сил и моментов для тангенциальных (7\,笃，Si?, §21) и поперечных (Л\, TV2) сил, а также
для изгибающих {М^ М^ и крутящих (/f12J Н21) моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, аналогично (1.15), получим (рис. 33)
九战+1у. *а
北=康 5 ^H2d^ 4-| 2 i *2次，岂=
-Am+i8=】力8+i
邑2 =百 j 嘤+电2"7 + 斤、]%"2dh S21 =…, ~^m+i8=1 心+i
九加+1协力8
(10,14)(10,14)牝=扌5嘴也次+1-2 S 悪=
(10,14)
(10,14)
-*m+tI *e+i
^m+i协无8
%=£ !。产他2次+^t］。沙2价，以 一九m+18=1力8+1
%2 =百］翼咨2叫+糸2 5 %典2耽， ~^m+i8』1 *«+i
Напомним, что и в случае многослойных оболочек, заменяя напряжения статически им эквивалентными силами и моментами, мы, по сути дела, взамен трехмерного неоднородного (слоистого) элемента оболочки рассматриваем соответствующий приведенный двухмерный элемент конечной толщины h.
Подставляя значения напряжений из (10.8) в (10.14), получим следующие, наиболее простые, соотношения упругости, которые не противоречат шестому уравнению равновесия (1.23):
(10.15)(10.15)?] =01自 + e12ё2 + с16со, 点=e2步2 + °1261 +e26叫 S[2 = С(；6⑴ + ^16£1 + °26&2 + “2 (°66亡 + 刀]6X1 + °26x2)， $21= °66⑴ + ^1681 + °26&2 + 面(°66亡 + ^16X1 + ^26X2)» ^1 =^ °11"1 + °12*2 + 016G”2 ^^ °22々 + °12*1 + ®26T,
(10.15)
(10.15)
H =H\? = H" = D^ + D^ + D^v
где для жесткостей имеем
J" = 2 8誅%+1 + 2可"电一%])，(10.16)
°必=^ B^^ + ^B'^-h^ .(10.17)
Здесь и в последующем формулы для определения N、и TV% не приводятся, так как при наличии известных соотношении
(10.15) поперечные силы могут быть получены из четвертого и пятого уравнении равновесия (10.13).
При рассмотрении слоистых оболочек, как и в случае однородной оболочки, соотношения упругости (10.15) можно несколько упростить. Полагая, что шестое уравнение можно удовлетворять приближенно, взамен приведенных соотношений для 512 и 521 можно брать
S = S]2 = §21 = &6& + ^26S2 + 仆①* (10.18)
Если подойти к вопросу о соотношениях упругости чисто формально, то их можно записать несколько точнее, чем (10. 15); для этого при вычислении квадратур в (10. 14) можно оставить все члены. Однако этого не стоит делать, так как попытка уточнить соотношения упругости, не выходя за рамки гипотезы не- деформируемых нормалей, не имеет шансов на успех. Поэтому наилучшим из всех вариантов соотношений упругости надо считать тот, который не содержит формальных противоречии и ведет к наиболее простым выкладкам.
Заключительные замечания. Таким образом, классическую теорию анизотропной слоистой оболочки, составленной из нечетного числа однородных слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности оболочки, можно считать построенной. Приведенных выше уравнении и соотношений достаточно, чтобы однозначно определить напряженно-деформированное состояние произвольной слоистой оболочки в рамках классической теории.
На основании приведенных выше уравнении и соотношений легко построить разрешающие уравнения и расчетные формулы для различных типов слоистых (симметрично собранных) анизотропных оболочек. Однако здесь этого делать не надо. Приведенные здесь все исходные уравнения и соотношения, записанные для симметрично собранной слоистой оболочки, полностью совпадут с соответствующими уравнениями и соотношениями однородной анизотропной оболочки (см. гл. I, § 1), если в последних там, где надо, под жесткостями С-к и D^ понимать жесткости слоистой оболочки (10.16), (10.17).
Таким образом, построенные в настоящей главе классические теории： симметрично нагруженной ортотропной оболочки вращения (§ 2), круговых цилиндрических оболочек (§ 3), ортотропной сферической оболочки (§ 4), пологих анизотропных оболочек (§ 5) — могут считаться классическими теориями соответствующих слоистых (симметрично собранных) оболочек. Только при этом надо помнить, что жесткости должны быть определены по формулам (10.16) и (10.17), а напряжения в слоях — по формулам (10.8) и (10.10).
И С. А. Амбарцумян
Не надо забывать также, что при получении разрешающего уравнения ортотропной оболочки вращения (2.24) было использовано равенство 入=С^С、、= D^DX^ являющееся в случае слоистых оболочек приближенным. Однако, так как мы будем в дальнейшем ограничиваться лишь первым приближением асимптотического интегрирования уравнения (2.24), можно утверждать, что ограничивающее предположениеС总С、\ = D^ID** теряет свою силу. В этом можно убедиться, рассматривая асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения (2. 24) (см. гл. II, § 4).
§ И. Классическая теория оболочек, собранныхиз произвольного числа анизотропных слоев
Рассмотрим многослойную тонкую оболочку постоянной общей толщины 加 собранную из произвольного числа однородных анизотропных слоев также постоянной толщины t. = h$ (рис. 34).
Координатная поверхность у = 0 может проходить внутри какого-либо i-ro слоя или, в частности, может совпадать с какой-
Рис. 34.Рис. 34.либо из поверхностей контакта слоев или с какой-либо из граничных поверхностей оболочки. Пусть число всех слоев оболочки равно /п + % при этом m — число слоев ниже координатной поверхности у — 0, п —— число остальных слоев. Если координатная поверхность у = 0 расположена внутри слоя, то под п подразумевается число слоев выше этого слоя плюс один, а если же координатная поверхность 了 = 0 совпадает с какой- либо поверхностью контакта, то под п подразумевается число слоев выше координатной поверхности (рис. 35).
Рис. 34.
Рис. 34.
Основной предпосылкой для построения классической теории и здесь является гипотеза недеформируемых нормалей, данная для всего пакета оболочки в целом.
Принимая гипотезу недеформируемых нормалей, мы, как было указано для случая симметрично собранной слоистой оболочки, существенно упрощаем вопрос построения деформационной модели оболочки. Все характеристики деформации и перемещения каждого слоя получаются из элементов геометрии оболочки и перемещений координатной поверхности у = 0 приведенной оболочки.
Очевидно, что из результатов классической теории оболочек,
составленных из произвольного числа слоев, легко получить все основные уравнения и расчетные формулы классической теории
оболочек, составленных из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности. С этой целью надо положить (рис. 34, 35)
加+也=2加+ 1, а -"m = b*1 一A=忆+]， % = ^2»n+1 = a，", 一》#-1=田-^e+l»
в результате чего для жесткостей получим 衣汴=0, а для С,论 и D$先—обычные формулы (10.16) и (10.17).
Перемещения, деформации, уравнения неразрывности, напряжения в слоях, уравнения равновесия элемента оболочки, граничные условия. Принимая гипотезу недеформируемых нормалей и оставаясь на позициях классической теории (см. гл. I, § 1).
легко сообразить, что и в случае произвольно составленной слоистой оболочки, когда в каждой точке каждого слоя имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная координатной поверхности 丫 = 0, исходные уравнения и соотношения совпадают с соответствующими уравнениями и соотношениями симметрично составленной слоистой оболочки.
В частности, для перемещений имеем формулы (10.3), в которых и — и (а, В), и = и (а, R)，s = ” (а,份 представляют перемещения координатной поверхности у — 0; для деформации и их компонент имеем формулы (10.4)—(10.6); для определения напряжений в слоях имеем формулы (10.8)—(10.10); уравнения равновесия элемента оболочки имеют обычный вид (10.13), а уравнения неразрывности деформаций координатной поверхности т = 0 н граничные условия, как и раньше, совпадают с соответствующими представлениями однородной оболочки, т. е. имеем формулы (1.8), (18), (1.27)—(1.31).
■ 2. Соотношения упругости. Совершенно иную структуру имеют соотношения упругости. Несимметричное расположение слоев относительно координатной поверхности 丁 = 0 вносит свои коррективы в соотношения упругости.
Из условий статической эквивалейтности напряжений и внутренних усилий для внутренних сил и моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, имеем (рис. 12, 13, 34)
т+п 6g—А•т+п 6$—А
■ z=42 5 *2环羽=42 I。沙肉，
8=1 6g_i—A8=1 %т~"А
m+n 8^—4m+n g—A
"=42丨%也力，s“=42)喰8的，
EkiEki/1] 1)
m+n 8e—Am+n “-AI '丿
陷=康2 S °№^T> ^2 = T 2 J 喻％dt
8=1 8^_j—Д8=1 “—[—А
m+n 8a—Дm+n 3e—Д
%=康士 j%"Nt，/1 = ；2 J喰问办
8=1 bS—I—A8=1 68T—A
Подставляя значения напряжений из (10.8) в (11.1), после соответствующих преобразований получим для внутренних сил и моментов следующие простые представления:
'1 = &产1 + &2% + «б0* + ^11Х1 + %2勺 + &6G
?2 = °22日2 + °12% + ^26W + r22х2 + %2х1 + "26%
S]2 = S21= о6б8 + C1萨1 + e26£2 + &5T + &6勺 + к26/，“ ]2、
^1 = 3产1 + 012х2 +016С + %邑 +«1262 +《16®
Л/g =少 22囂2 + °12乂1 + 026T +《22% + "12% + ^26W,
修2 = "21 = 46， +26Х1 + ^26X2 + A 66① + *16‘1 + "26。2，，
где для жесткостей. С住, К* D* имеем
--т+к
%=搭％а-*)，”3)
К" = ^ 吟一空т)-2A(И.4)
&=』爰％啥一％)-ЗА®13) + ЗА2&-*)],(11.5)
ИЛИ
■莪%雙一%)_a%,
工(乩6)
В^-^-^К^-^.
В частности, когда координатная поверхность 丫 = 0 совпадает с нижней поверхностью оболочки, Д превращается в нуль и для жесткостей К* и 0宀報 получим более простые формулы: 你+»m-f-n
£%=｝〉用”(党一От)，。亦=^ 2 毋丘(吧一%). (11.7)
*=1*-1
Рассматривая соотношения упругости (11.2), замечаем, что они находятся в противоречии с шестым уравнением равновесия (1.23), которое, как известно, является тождеством. Однако это противоречие можно устранить, видоизменив соотношения упругости для S12 и S2r Несколько увеличив точность этих представлений, получим
S12==°66① + ^16е1 + e26£2 +*66“ +*16К1 + К26х2 +
+ “2 (/б① + 匕6% + ^26S2 +。66弋 + 仇6勺 + ^26X2)» ([[ 8) $21 =c66① +016% + 026% +《66“ +*16Х1 +*26х2 +
+ "1 (《66① +*16% +*婷2 +。66t + °16х1 + 460)，
Пополнив соотношения упругости (11.2) новыми формулами (11. 8) для S”、получим простые соотношения упругости, которые не содержат формальных противоречий.
Полученные здесь соотношения упругости (11.2), (11.8) принципиально отличаются от ранее рассмотренных (1.24), (1.26), (10.15). Дело в том, что здесь в соотношениях упругости фигурируют члены с коэффициентами К”, характеризующие влияние изменений кривизны и кручения на тангенциальные силы и влияние деформаций удлинения и сдвига「на моменты. Очевидно, такое взаимовлияние будет иметь место в общем случае слоистой оболочки безотносительно к геометрии координатной поверхности Т = 0, которая, по сути дела, характеризует тип оболочки.
Рассматривая формулы для К* замечаем, что в случае однородной оболочки и слоистой симметрично собранной оболочки, когда координатная поверхность 丫 = 0 совпадает со срединной поверхностью, жесткости К$к превращаются в нуль и исчезает указанное выше взаимовлияние. Очевидно, рассмотренное взаимовлияние не будет иметь места во всех случаях слоистой оболочки, если к5k = 0.
В общем случае анизотропной слоистой оболочки 0论砖 0 исходными должны считаться соотношения упругости (11.2), (11.8).
Замечания. Принимая соотношения (11.2), (11.8), мы должны заново построить разрешающие уравнения и записать расчетные формулы для отдельных типов оболочек, собранных из произвольного числа анизотропных слоев, произвольно расположенных относительно координатной поверхности у = 0. Если в окончательных представлениях не учитывать члены с 勺次， то это может привести к недопустимым погрешностям. В этом нетрудно убедиться, рассматривая окончательное выражение потенциальной энергии деформации
Р = ^ ,，(Си碎 + 2&卢1% + С22е^ + С66о)2 + 2С16о)е1 +
+ 2С263s2)АВ da dp + j j [KiF№i + ^12 (six2 + e2xi) +
+ ^22£2X2 + ^66ШТ + ^16 (®1T + ⑴勺)+
+ ^26 (e2T + %)】45 da dR + ^ j j (Оцх； + 2D12^ +
+ D^ + D.^ + 2D】产 1 + 24б鼻)AB da 恥(11.9)
Здесь при любом точном представлении С,” и D* если пренебрегать членами с коэффициентами К* то в общем случае можно получить неверные результаты. Однако следует учесть, что в некоторых случаях многослойных оболочек возможно пренебречь указанными членами, и это не приведет к существенным погрешностям.
Ниже приводятся разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории для различных типов анизотропных слоистых оболочек, составленных из произвольного числа слоев, произвольно расположенных относительно координатной поверхности т = 0.
Подробный ход получения этих уравнений и расчетных формул читатель найдет в соответствующих параграфах первой главы и в монографии автора «Теория анизотропных оболочек».
Разрешающие уравнения и расчетные формулыклассической теориисимметрично-нагруженных ортотропных оболочек вращения,составленных из произвольного числа слоев
Рассмотрим ортотропную оболочку, координатная поверхность (7 = 0) которой является поверхностью вращения с осью симметрии z и совпадает с внутренней поверхностью оболочки, т. е. Д = 0 (рис. 16, 17, 35, 36). Предполагается, что оболочка
составлена из слоев, материалы которых ортотропны и расположены так, что в каждой точке слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна координатной поверхности, а остальные две перпендикулярны к соответствующим меридианам и параллелям. Таким образом, оболочка в целом представляет собой ортотропное тело вращения, обладающее ортотропной анизотропией вращения.
Положение какой-либо точки М координатной поверхности Т = 0 будем определять гауссовыми координатами: углом ср = =|3/г, являющимся азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось вращения z, и меридиональной дугой 5 = а, отсчитываемой вдоль меридиана от некоторой начальной координаты S = $0 (рис. 16).
Считается, что рассматриваемая оболочка нагружена симметрично относительно оси вращения, т. е. X = X (s), Z = Z(5), У = 0, и имеет соответствующие симметричные относительно оси 2 граничные условия.
Очевидно, рассматриваемая здесь оболочка будет деформироваться, оставаясь телом вращения, поэтому внутренние силы, моменты и перемещения ее не будут функциями угловой коор
динаты ср. В такой оболочке возникнут лишь внутренние силы 九=7\ (s),笃=?2 (s), Ni = N = N (s) и внутренние моменты Мх — Мх (s), М^ = М2 (s)・ Из перемещений отличными от нуля будут лишь и = и (s) н 必必(s).
Метод получения разрешающих уравнений и расчетных формул для оболочек рассматриваемого типа подробно изложен в § 2. Не вдаваясь в подробности, приводим окончательные результаты, которых достаточно для решения различных задач по определению напряженно-деформированного состояния различных типов многослойных оболочек вращения.
Разрешающие уравнения и граничные условия. Разрешающие уравнения записываются относительно двух искомых функций О = О (s) и W = W (s) и имеют вид
d-V sin & dV . /。121。22 sin2 & \ TZ1
_P1 d2W & — Sin3 dW .I H9 n
一可布r - -石■十) (丄丄
+諧亲+yf爲一й~陪к+R⑻，
d^wsin H dW/ P12 — D?2 1 丄勿22 — D?2 si" *\ Ц7 —
■J^Г~ ds\DU — D^ Dn - D^ 严=
尸1尸2十尸1sin a dv
(12.1)(12.1)sin2 8sin2 8Q。(41 — ^11) 「2Q。(41 — ^11) 「2Q° (% -么 i)才 т Q°(% — 匆)г
(12.1)
(12.1)
sin2 8
sin2 8
Q。(41 — ^11) 「2
Q。(41 — ^11) 「2
fl1 I £1622 — Ki玄丄2 I
%%—D，1 笈2Q。(51— ^11)々笈2
%
%
где наряду с (11.3), (11.7) приняты следующие обозначения:
% = 4612 --^12^11* 2=k22°11 -k"。22，],12 2、
P^K^-K^J ( •)
"尸阳&一 2目阳24 + К12g^0淌
厶?2 = [K^Gl _ 2K22Kl2a2 + ад21 州\(12.3)
。；2 = [£/12c22 -(к1/22 + ^12)e12 + ^22^12^111。「,'
。0 = %022 一 %2・(12.4)
(12.5)(12.5)(12.6)(12.6)Далее, для грузовых членов принято
(12.5)
(12.5)
(12.6)
(12.6)
①Kn&2 J К]2c 12歹2 (s)
К22cl2 — Ki2c22 Sin 9、
—Qo(5i — o?i)M力
rE^ds ,rE^ds ,rEJs ,rEJs ,F1 = sin & j rErds + cosF1 = sin & j rErds + cos(12.7)(12.7)Здесь Fi (s) являются функциями от внешней поверхностной нагрузки и, как для однородных оболочек, определяются с помощью следующих формул:
rE^ds ,
rE^ds ,
rEJs ,
rEJs ,
F1 = sin & j rErds + cos
F1 = sin & j rErds + cos
(12.7)
(12.7)
где Er и Ег ——составляющие внешней поверхностной нагрузки, Р： — значение главного вектора внешних сил, приложенныхгде Er и Ег ——составляющие внешней поверхностной нагрузки, Р： — значение главного вектора внешних сил, приложенных歹2 = —cos 8 [ rErds + sin 8
где Er и Ег ——составляющие внешней поверхностной нагрузки, Р： — значение главного вектора внешних сил, приложенных
где Er и Ег ——составляющие внешней поверхностной нагрузки, Р： — значение главного вектора внешних сил, приложенных
(12.8)(12.8)к параллельному кругу s = s0 (рис. 19). Очевидно, Er = Zcos^ — X sin8, 2* = Z sin 8 + X cos 8, 舛=(T? cos В。+ № sin 8°) 2%.
(12.8)
(12.8)
Уравнения (12.1) составляют полную систему дифференциальных уравнений относительно двух искомых вспомогательных функций. Присоединяя к этим уравнениям граничные условия, которые идентичны с граничными условиями однородной оболочки вращения (см. § 2), определим искомые функции V и W, через которые представляются все расчетные величины задачи.
2. Внутренние силы и моменты. Внутренние силы и моменты с помощью искомых функции У (s) и Ж (s) представляются следующим образом:
北=一屮?+ ^%(s),%=券，
.(12.9)
N =亨卩+；g(s)，
М =—[(% —%)若-(%-明屮 W +
К 1]C 12 — К]2cli dp ] K]]°22 — &2°12 sin 8
卩一
k口Q2 - K]2G2 ]
Q。 г
必=—［（% -纯）警一 （% 一%）岁 W 一
£22°n 一 &2&2 d ?长22G2 一长：12c22 sE 8 у +
ds
k22cl2 —k12C22 I
(12.10)
При получении выражении для моментов ми пользовались следующими формулами для изменений кривизны и деформаций: dWsin8и一
q=- ±|% 芈 °+%嘗+阳 2% -
一£22%) ^^ W 一 (%% — k 12cl2)^" — % 尸 1(S)}
-К】?％)苧 W + 隅2% — &©2)券-% ；" (S)], 。。=仆% 一 関2.(12.13)
3・ Напряжения в слоях и перемещения. Основные напряжения в слоях будем определять с помощью формул (10.8), (12.11) и
(12.12). После соответствующих подстановок и преобразований для нормальных напряжении получим
"=一专侬屮丿翁)+
+[击(&$ - Kм力-т叫器一
-[亳(К凶2 -К22А：1)—拉%]里"印+豈" 41 ⑹'
°? = ■^■(Д22^ F + Д21 4г)~['Щ' (^ИД22 — ^12^1) +(')
+丫隔罂+尼(£У /Hl) +
+ 甩半 ％-警；/ (s)，
где
△11 = ^11^12 —^12^11» 厶务=约 2c12 — 3；2c22’)“2(5、
^B^-B^,包尸骂а]一铝e2・j ()
В многослойных оболочках расчетный интерес представляют и касательные напряжения в слоях. Единственное отличное от нуля
касательное напряжение t力=户 определяется из (10.10).
:才:才Подставляя значения 彳 и о； в (10.10), после некоторых преобразовании с учетом условий контакта смежных слоев (10.12) и на внешних поверхностях оболочки (1.13), для # получим (рис. 37)
:才
:才
Z' = -(T-k)A(3}e)- .一与电a啰#)-
-Z [自 一 Vi) A (毋同 + -?Ц^1А(%х)] — Х-, (12.16)
где для операторов А (В；諸)и А (В：/) имеем
△(号同=；{^ [г (3雜1 + 5jse2) + (В錐2 + 3汰J sin »]},
△(巧/)=；后[r (3也 + 恥2)+ (修2 + B{^ sin 8]}」"
Напряжения £*, определенные с помощью (12.16), удовлетворяют всем условиям контакта слоев и условиям на внешних поверхностях. Однако из (12.16) не всегда это очевидно. Читатель все это может проверить, пользуясь первым уравнением равновесия (2.5), значением X (1.22), а также условием, что8о = 0.
Перемещения оболочки определяются обычным образом; для этого к приведенным формулам должны быть присоединены выражения относительных деформаций
电=樂+宣，62 = 7(^COS& -В sin &).
Дальнейший ход рассуждении элементарен и приводит к формулам (2.20)—(2.22).
Разрешающие уравнения и расчетные формулыклассической теории анизотропных цилиндрических оболочек,составленных из произвольного числа однородных слоев
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, собранную из произвольного числа однородных анизотропных слоев. Предполагается, что в каждой точке каждого слоя оболочки имеется
Рис. 38.
лишь одна плоскость упругой симметрии материала, параллельная координатной поверхности 丁 = 0. Не нарушая общности рассуждении, для упрощения выражений жесткостей (2.3)—(2.7) можно принимать, что координатная поверхность 丁 = 0 совпадает с внутренней граничной поверхностью оболочки, т. е. Д = 0 (рис. 16, 17, 35).
Принимается также, что а 瓜 § являются ортогональными координатами, совпадающими с линиями главной кривизны координатной поверхности у = 0, т. е. с прямолинейными образующими (В — const) и с направляющими дугами (а = const) (рис. 21, 22, 38).
Согласно § 3 настоящей главы здесь при изложении общей теории коэффициенты 4HB безотносительно к выбранной системе
координат остаются неизменными, но при этом следует помнить, что они, а также R2 = R являются постоянными (% = 幻‘ = оо).
Метод получения разрешающих уравнений и расчетных формул для многослойных круговых цилиндрических оболочек аналогичен методу, подробно изложенному в § 3. Не вдаваясь в элементарные подробности, приведем окончательные представления расчетных формул и разрешающих уравнений.
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы в переме* щениях. Согласно утверждениям п. 1 § 2 настоящей главы напряжения в слоях (10.8), в силу (10.5) и (10.6), для цилиндрической оболочки запишутся следующим образом:
W = 3；1 ； ", «十 3% $ и, в 十 3；6 （-^■生 р 十；и,«）十
-7 （'；』",《■ + 空 房"，即 + "-^-",碓）， 可=眼 專p十3% ； %«十 %修% p十｝。,） +
(13.1)(13.1)+ +（3；2善“邛十台^年匕）十台^%0一
(13.1)
(13.1)
-T（强^"，睜+3^吃⑵^ +芻爲"",“》， 嗑=铝6；%« +纥64"0,Р +筑6（4"〃” + 3%“） +
+ 靑（鎖6 4"乙卩 + B^^v- «） + %%" —
-T（约6 ：^",«« +爲£"，俾+统6鳥*）.，
Далее, в силу (10.5) и (10.6) из (11.2) и (11.8) для внутренних сил и моментов получим
北=© ； ^+% 4■+■戸+[(%+^/J ；鳥+ +(4 + 4"%2)}£ 叶偿4 一к11^爲一
(13.2)(13.2)N 1 吟
(13.2)
(13.2)
厶=(% ； ^+% 4■靑)〃+[(%+v %j ； ^+
+ (% + ±%2)Т^]r + (4 % - &2 ^ ■£一
_ 2/提篇一k22*装)",
%=[(4+% kJ ; ^+а+т / J 4■靑]瓜+ 十[(% + 4"目6 + 養 4б) ；'^ + (/б + 4 /б +
@2@2-(k16 + %26)与爲 一 2 (/8 + 5%) i da用-(k16 + %26)与爲 一 2 (/8 + 5%) i da用(13. 2)(13. 2)
@2
@2
-(k16 + %26)与爲 一 2 (/8 + 5%) i da用
-(k16 + %26)与爲 一 2 (/8 + 5%) i da用
(13. 2)
(13. 2)
—026 + 5 %)表紹吗
%=(% 3 青+% 4■靑)瓜+[(以6+4 /б) т^+ +(%+4 勺)备斎卜+[$ %—к^^—
и, наконец,
”1=陷；4"+&б 4■詛瓜+[居+J- %) 32+
+(Ki2+4"%)4"*K+Gki2—%±^_
(13.3)(13.3)"2 = (&2； ^ + k26 4"总)瓜 +[(k26 + ^26)T4" + + (修2 + } % ) f *» + 信k22 _ % } 费-
(13.3)
(13.3)
н=(к16+"t+% 4■靑)"+[网+备%)} ^ + + (K26 + 3%居刽。+僻%6 _ %与為一
Рассматривая приведенные выше соотношения упругости, легко заметить, что они тождественно удовлетворяют шестому уравнению равновесия (1.23), поэтому в последующем шестое уравнение рассматриваться не будет. Если же ограничиваться
приближенными соотношениями упругости (11.2), то формула для Si? несколько изменится и примет вид формулы для 52i> т. е. в этом случае 512 = 521 = S. В этом случае шестое уравнение будет удовлетворяться лишь приближенно.
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (13.2), (13.3) в уравнения (3.8), получим следующую разрешающую систему уравнений равновесия в перемещениях:
Ец (С) 〃 + А12 (CK)v -\~ L13 {СК) w = —X, 厶 1 (СК) и + L^CKD) и + L^(CKD) w = —Y,(13.4)
L31 (CK) u + L^(CKD) и + Езз (СК。) ” = Z,
где для линейных дифференциальных операторов Lik имеем
厶1 (e) -^^-^^^ 2e\6加寂而+ %京丽 % (СК。)=(% +4^e+AMi£+
+(2% + 4" £2« + 姦 ％) jy 鳥■+
+ 心+专%）强爲
% (С0)=41 (理)=g6 + 善 /6) W 鳥 +
+%+(% + %/)备盘,+%+(% + %/)备盘,(13.5)(13.5)+［% + % + % 阳2 + 2%)］表■為 Т
+%+(% + %/)备盘,
+%+(% + %/)备盘,
(13.5)
(13.5)
公(er)=几(Сk) = % (%} ^ +e0备)一
一 "u 而初一3仆:pё 言^ 一(%2 + 2^66)孤 5^5
26 83 *3，
% (CKO) = L32{CKD) = $ (% 4-^г + С26Х^) +
+ * (《22 4■备 + 2/ ；给一(%6 + V %)击 S
一［%2 + 2%6 + 4 网 + 4%)］爲端一(3/ +
+五" %)值鲁^一(%2 + } %)靑貓
^зз (CKD)=
备 J - 4 (& ^爲 + 2K26 £■哂
82
+ 勺 击 £) + 2』^i+ 4% 爲显
(13.5)
+ 2 (42 + 2。66)才丽宣 da汩伊 + 4。26 ；J^^75^ + °22 屈部.
Таким образом, решая систему (13.4) при заданных граничных условиях, определим искомые перемещения и (а, В), и (а, р), w (а, р), с помощью которых посредством формул (13. 1)— (13.3) будут определены внутренние силы и моменты, а также основные расчетные напряжения в слоях оболочки.
Рассматривая систему уравнений (13.4), замечаем, что она, как и в случае однородной анизотропной оболочки, обладает своеобразной симметрией строения, а именно: линейные операторы 厶论，симметрично расположенные относительно главных диагональных операторов Е“，имеют одинаковые значения.
Система дифференциальных уравнений (13.4) с помощью операторного метода может быть приведена к одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно некоторой потенциальной функции Ф (а, р). Однако ввиду чрезвычайной громоздкости получаемых при этом коэффициентов искомого уравнения и соответствующих расчетных формул мы здесь их, в общем случае анизотропии слоев оболочки, приводить не будем.
В частном случае ортотропной слоистой оболочки, т. е. для слоистой оболочки, которая изготовлена из ортотропных материалов так, что главные направления упругости каждого слоя в каждой точке оболочки совпадают с главными геометрическими направлениями (а,匡 т), разрешающие уравнения и расчетные формулы существенно упрощаются, ибо в этом случае надо положить
%6== a26 ^^ °?8]6 == 8麓=°, е]6 ^=e26==0，
"16 == °26 °，"16 == "26 °"
Техническая теория. При построении технической теории анизотропных цилиндрических оболочек, составленных из произвольного числа однородных слоев, наряду с основной гипотезой недеформируемых нормалей, сформулированной для всего пакета оболочки в целом, принимаются также следующие дополнительные предположения:
в геометрических соотношениях для х2 и т (10.6) сохраняются лишь слагаемые, содержащие нормальное перемещение 少；
берутся наиболее простые соотношения упругости (1L2), которые шестому уравнению равновесия удовлетворяют прибли* женно;
во втором уравнении равновесия (10.13) пренебрегается членом NJR;
допускается приближенное удовлетворение второго уравнения неразрывности деформаций (1.8).
В силу принятых предположений исходные уравнения и соотношения перепишутся следующим образом (для стройности изложения некоторые формулы повторяются):
Уравнения равновесия:
(13.6)(13.6)3 Ti,. + gs,尸一X,$"1 + ；5,« =_y， 耳笃一/Ма— 百 ％2，B = Z, S]2 = S2i = S, T^ + ^H^N., %〃2 什騎,. =代；
(13.6)
(13.6)
геометрические соотношения:
% =；忆， & = 4"吃В +爲 > m:^^m^ + ^^^ 03.7)
"1 = 一$"w "2 = 一 亲"，瞅Т =一爲"，叩；(13，8)
соотношения упругости в перемещениях:
费=0口； ％ +016 4■忆 +016 ； аa + % 4"匕В + 1]11
+ 五 %。- ^11 Jiw,m - 2^16 'ABW,^~ Ki4~BiW,^'
厶=a2 才",a +e26 万",B + e26 才",a + '22 万",b +
+ -^C^V - K^ - Wttja - 2K^ 彳斤少,喊一色2衣",留， ]][]
(13.9)(13.9)S = e16 才% a + '66 声",b + e66 才吟 a + C26 声% В +
(13.9)
(13.9)
+耳026"-"16笳",aa 一 2"66彳^忆叩—"麓汨",0伊
^Л = Ки；“,а + £б4"“，в + £б ；吃а + К124"%з +
+ 五区12。— ^1142 W,«« 一 2仇6 ~ABW,o.9~Dn^w,^ ”2 = ^12 -^- M, a + -^26 4" U- 3 + ^26 "T W> « ^~ ^22 T" у> 0 H~
+4"女 22。— % $%« — 2% tbw,<^~ % 亲 0,瞅
（13.9）（13.9）（13.10）（13.10）（13.11）（13.11）（13.12）（13.12）
（13.9）
（13.9）
（13.10）
（13.10）
（13.11）
（13.11）
（13.12）
（13.12）
Е = &6 ； 〃, а + 区66 3 % + 笈66 }匕 а +/б 4■匕 В +
J'
+ 五 *26投-°16 蓊 J аа — 2066 彳" Q a0 - °26 方恭，即；
поперечные силы:
А\ = "11^“，аа + 2К1б7^",ав + "б6_^“，^ +
+"16笳匕аа + （к12 +笈66）彳耳J即+ /6丽以b0 +
+ 3/2；%+5长26 4"%一鬲（°）"， 111
"2 ="22灰匕即+ 2k26布%6^ +长66車忆0（ +
+/6点吃即+阳2 +度66）鳥"，呻+ к16$",аа +
+ 击 0%%+靑笈26；少,а — Е2（。）少，
где для линейных операторов Е. （Z））, как и раньше, имеем
G （"） = °" $ 嘉 + 3。16 爲 ^^ +
+ （°12 + 2°66）7^ 0a 衆 2 +^26ё3^3»
E式D） = !）22 京率 + 3^26 衣J 咨a +
+ （012 + 2%）募^7 + %^5篇
напряжения в слоях:
片='；』"，《+空（4■u，p+$+6；6（4'“，b+4'j）—
一Т（约1$叫《« +"击Rpp +稣鳥*）, q=%（$%+普）+8:2；忆+8:6传 /+》,）一
一丫 （銓2 表%P + 3% } * + 協等*）, x^=Bi^u，a+Bw （^.0+^'）+纥 6 （4* % в+；匕《）— 一7（8:6 ±%“ +筑6鼻* +皖6伟*）.
12 С. А. Амбарцумян
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (13.9) и (13.10) в первые три уравнения равновесия (13.6) (два последних уравнения удовлетворяются тождественно, так как 力】и N皂 определены из этих уравнений), получим симметрично построенную сис- стему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых функций u(a, Р),少(а, Р) и w (а, Р):
(13.13)(13.13)厶 1 (°) “ + ^12 (0 и + 厶з (СК)飨="X, 厶2 (°) й + 厶22 (°) U + 厶23 (С") W = 一 К 厶з (’К)笈 + 厶2з ('")少 +%3 (CKD) w -=Zf
(13.13)
(13.13)
где линейные операторы £口 (С), Л13 (СК) и Л33 (CKD) остаются такими, как в (13. 5), а для остальных операторов имеем
(13.14)(13.14)^12 (Q = С16 72 ^7 +(С12 + С66)4У 5^- +。26 表蔡, 厶22 (e) =e66 示妖 + 2^26 ав да (?р +с22 成艰,
(13.14)
(13.14)
厶3 (*)=方(e22 -布+ e2s 方右)一鬲(")•
Таким образом, техническая теория анизотропных слоистых цилиндрических оболочек в перемещениях построена.
Уравнения технической теории, как было указано в § 3 настоящей главы, могут быть представлены в форме уравнений смешанного метода. В этом случае получим следующую систему дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций Т («,₽) и w (а,р):
11
厶(0一飨一厶3 0)中+五不中,aa = Z +
(13.15)(13.15)+方，y邓+与%皿+鳥m,叩+击徹^
(13.15)
(13.15)
厶 0) Y+% (&W —五筋 R ««=
=—矛 ％,««+ "да %,叩一炉 ％,帆
где для линейных операторов Lt имеем
厶(D — D^ =
% 一迎加
44 dS
(D12 -d?2)+ 2 (d66 - d86)
42з2
4 D16 - 0% °4[
2a2 丽 5 + 4-Jgl~ 启型 + ■ (13.16) ] D22 一092 d4
厶 з (&) ~
2d26 — “61°’
А^В0 a300
&】1 + % — 2% di
, Z^济20供
厶⑷=祭
加
I 2d16 一d6204丄心2 加
73瓦 0哪"I第屏— 0a2dB2 一
(13.16)
Тв^ 0a 0§3 1 ~ ~戸厢Г •
а для дополнительных грузовых членов
(13.17)(13.17)成= _(4諸]Xda + AN ] утр)伯= 1,2, 6),M^ = — (dlkA j Xda.-\-dikB j У dp)(必= 1,2,6).
(13.17)
(13.17)
Здесь для жесткостей и других коэффициентов, характеризующих упругие свойства слоистой оболочки, имеем следующие известные представления:
О?1 = Kndn + K12d21 + &6d6i， 0?2 = %242 +《22% + &&2,
(13.18)(13.18)(13.19)(13.19)繡8 = %8d18 +£26%+《88%，
(13.18)
(13.18)
(13.19)
(13.19)
偌2 = K1&2 + "12d22 + %&2 = &2dli + К22d21 + ^26^61» 殳6 — %1% + "12d26 +《16%="16dli + ^26^21 4"瑞&1， 售6 = %2d16 + К22d26 + K^d^Q =匕6d12 + ^26^2 2 + 左66恥；
d" = 41%1 + 42k12 + "16£6? % = 42k12 + /22%2 + 4/26, ^6 6 = 416*18 + 4 26^2 6 + ^66^66» 九=/11%2 +/12"22 + 416"26, ^21 = &2靖1 + ^22^12 + 26^16» &6 =4/16 +412*26 +416^66, ^61 = 4/11 + 儿6%2 + 4/16’ % = "12第6 +/22"26 + -^26^66» % =41/12 + 426K22 + 466/6；
А】】=(С22С66 — C|6) Qf\ 4i6 = (。12c26 一。16。22)QfL
422 = £666 - 4)21，亀= (%% - %以)吋，(13.20)
"66 - (C11% - ^12)Qfl， 412 = (c16C26 一C12,66)QJ； •
% =(点4 一 唸)% + 2%%%一％唸一 分僚・(13.21)
12*
Расчетные формулы внутренних сил и моментов в искомых функциях ср (а, Р) и 1^ (а, В) представляются следующими формулами:
71 =亲2能一4"血，S =一击％咐
1(13.22)
笃=击^一6w砲
N 一 /^1I d26 一 d况 °3 小一%
I 一(7^ 丽笛5 一初福十一窃一詬京2十
+ 备堤)l留(0—0。)0+4•響+4■幣，"23)
N 一 /迎 丄&6 一击2 °3. "22 - d66°3 丄
"2 — 旧 瀬 1 窃一詬7р翔一五価"十
м ——11
02 , d2i
@2d61
型1Д2
8а2 АВ
da弟丿т I4 2
+ 2
4 6 - 研6 АВ
02 , А?-。% 尹、
da dR I2?2 冲丿
必=（翳
@2 j &2
d2 "62
@2 %(D22~ ^22
尹
8a2 1 82
用2АВ
型|
+ 2
026 一 ^26 АВ
2a dR 1A2 da2 丿
н — /九
。2 [ rf26
82d66
da2十
d俨 1 /2
8а2 AB
da弟丿f (42
+ 2
^66 一 ^66
AB
02 [ 46 一 网602、
дад^|82 咿丿
0 +〃;.
+招黑)l马(〃一〃。)0+4•嘗+;誓；
(13.24)
В формулы для моментов и поперечных сил, в отличие от соответствующих формул для однородных или симметрично собранных слоистых оболочек, входят приведенные жесткости изгиба D?左 и члены с множителями dik, которые происходят от жесткостей, Cik и К* Такая структура расчетных формул характерна для слоистых оболочек и зачастую приводит к любопытным явлениям как с точки зрения распределения напряжений, так и с точки зрения характера деформирования оболочки в целом.
Таким образом, проблема статики цилиндрической оболочки, собранной из произвольного числа анизотропных однородных слоев, в рамках технической теории приводится к разрешающей системе двух дифференциальных уравнений (13.15) относительно двух искомых функций: ср (% В) — функции напряжения и w (а, р) -— функции перемещения.
Присоединяя к системе (13.15) граничные условия, имеющие обычный вид (1.27)—(1.31), получим полную систему, решение которой позволит с помощью формул (13.7), (13.8), (13.12), (13.17), (13.22)—(13.24) определить все расчетные величины задачи.
Ввиду громоздкости окончательных формул расчетных величин в общем случае анизотропии, мы их здесь не приводим. Формулы эти получаются элементарно.
В случае, когда оболочка составлена из произвольного числа однородных ортотропных слоев так, что главные направления упругости в каждой точке каждого слоя совпадают с направлениями соответствующих координатных линий, из формул (13.18)— (13.21) для коэффициентов Aik, d床 и。厶 получим
Аб==а =%=а 然&=Зв=а 41=関'422 =録 46 =瑞,
42 =一崙,90 = °11022 - °；2,
% 一Щ ， a嚣一 济 ，
力К12c22 1K22cl2 j 区12°11一 K"C12
% — Щ—^，
^66 =然6 = "бб/。86，
次1=阳C2 - 2僞高2%+硯aj *訂
必=阳阳2% 一 (%阳2 + 4)% + &з2ali0淌 理=阳2GL ^K22K12C„ + K^ 2-1；
при этом для жесткостей Са и Kik имеем формулы (11.3), (11.4), (11.6), (11.7), а для коэффициентов Bik, как обычно,
8；1 = 1 —如'纥2 = 1 —編,” = G；2 = G*
约2 = 1?枭=1m而，8:6 =協=。.
Тогда система разрешающих уравнений (13.15) примет вид.
4 (С) Y + 厶 3) 0 — } ± 唄=—^ е；,«х _ 靑 е；,*
厶(。一 0。)力一厶(d)，+}^%«=- (13.27)
= z+^,yap+士喏皿+//,p伊
где для линейных операторов и дополнительных грузовых членов
имеем
%(0-0。)=21无型%(0-0。)=21无型04 ] %2 — 〃纟2 @《[病"* 兩 恥叶04 ] %2 — 〃纟2 @《[病"* 兩 恥叶(52一町2)+2切况一與J "4282da2dB2 '(52一町2)+2切况一與J "4282da2dB2 '厶⑹厶⑹С11 1 於丄е22 1"'丄 / 1' e12、1 升=石石前十7■瓦解十и _石丿笳炉而能，С11 1 於丄е22 1"'丄 / 1' e12、1 升=石石前十7■瓦解十и _石丿笳炉而能，(13.28)(13.28)/他）=占近"^，"&2/他）=占近"^，"&2I /к22cli — £】2c12 —I /к22cli — £】2c12 —財=財=К22°]] — Kj2c12К22°]] — Kj2c121 於 I ^12^22一£22012 184 ।USS'* Щ "研十2 ^66 I— К]2c22、 [.4 j X da 一 "и 广& B^Yd^1 於 I ^12^22一£22012 184 ।USS'* Щ "研十2 ^66 I— К]2c22、 [.4 j X da 一 "и 广& B^Yd^8 \ У 邓一金&严& A ] Xda,8 \ У 邓一金&严& A ] Xda,e： = — ^4jXda+*3\ydB，е； = _^3,У&В+^4)Хта.e： = — ^4jXda+*3\ydB，е； = _^3,У&В+^4)Хта.(13.29)(13.29)(13.30)(13.30)Расчетные формулы для внутренних усилий и напряжений в слоях оболочки в искомых функциях 屮(а, 0) и 少(а, 0) представляются посредством следующих формул:изгибающие и крутящий моменты:Расчетные формулы для внутренних усилий и напряжений в слоях оболочки в искомых функциях 屮(а, 0) и 少(а, 0) представляются посредством следующих формул:изгибающие и крутящий моменты:〃1 =—仇一^11)吃 ％ — (% — ^11) 土 ％ + 〃; +以=-(022 —0?2)备"，bВ 一 (% 一必)J2 ",aa + 也 +I K12&2 — £22cl2 1 _ j ^22^11 —夂12c12 丨 „h = -2(%一%)先%-閣爲*•〃1 =—仇一^11)吃 ％ — (% — ^11) 土 ％ + 〃; +以=-(022 —0?2)备"，bВ 一 (% 一必)J2 ",aa + 也 +I K12&2 — £22cl2 1 _ j ^22^11 —夂12c12 丨 „h = -2(%一%)先%-閣爲*•тангенциальные силы:?i =豆中椰_4 , Xda, S = 一同%好, "=笳.. 一 8 j У";тангенциальные силы:?i =豆中椰_4 , Xda, S = 一同%好, "=笳.. 一 8 j У";(13.31)(13.31)(13.32)(13.32)
%(0-0。)=21无型
%(0-0。)=21无型
04 ] %2 — 〃纟2 @《[病"* 兩 恥叶
04 ] %2 — 〃纟2 @《[病"* 兩 恥叶
(52一町2)+2切况一與J "
4282da2dB2 '
(52一町2)+2切况一與J "
4282da2dB2 '
厶⑹
厶⑹
С11 1 於丄е22 1"'丄 / 1' e12、1 升
=石石前十7■瓦解十и _石丿笳炉而能，
С11 1 於丄е22 1"'丄 / 1' e12、1 升
=石石前十7■瓦解十и _石丿笳炉而能，
(13.28)
(13.28)
/他）=占近"^，"&2
/他）=占近"^，"&2
I /к22cli — £】2c12 —
I /к22cli — £】2c12 —
財=
財=
К22°]] — Kj2c12
К22°]] — Kj2c12
1 於 I ^12^22一£22012 184 ।
USS'* Щ "研十
2 ^66 I— К]2c22、 [.
4 j X da 一 "и 广& B^Yd^
1 於 I ^12^22一£22012 184 ।
USS'* Щ "研十
2 ^66 I— К]2c22、 [.
4 j X da 一 "и 广& B^Yd^
8 \ У 邓一金&严& A ] Xda,
8 \ У 邓一金&严& A ] Xda,
e： = — ^4jXda+*3\ydB，
е； = _^3,У&В+^4)Хта.
e： = — ^4jXda+*3\ydB，
е； = _^3,У&В+^4)Хта.
(13.29)
(13.29)
(13.30)
(13.30)
Расчетные формулы для внутренних усилий и напряжений в слоях оболочки в искомых функциях 屮(а, 0) и 少(а, 0) представляются посредством следующих формул:
изгибающие и крутящий моменты:
Расчетные формулы для внутренних усилий и напряжений в слоях оболочки в искомых функциях 屮(а, 0) и 少(а, 0) представляются посредством следующих формул:
изгибающие и крутящий моменты:
〃1 =—仇一^11)吃 ％ — (% — ^11) 土 ％ + 〃; +
以=-(022 —0?2)备"，bВ 一 (% 一必)J2 ",aa + 也 +
I K12&2 — £22cl2 1 _ j ^22^11 —夂12c12 丨 „
h = -2(%一%)先%-閣爲*•
〃1 =—仇一^11)吃 ％ — (% — ^11) 土 ％ + 〃; +
以=-(022 —0?2)备"，bВ 一 (% 一必)J2 ",aa + 也 +
I K12&2 — £22cl2 1 _ j ^22^11 —夂12c12 丨 „
h = -2(%一%)先%-閣爲*•
тангенциальные силы:
?i =豆中椰_4 , Xda, S = 一同%好, "=笳.. 一 8 j У";
тангенциальные силы:
?i =豆中椰_4 , Xda, S = 一同%好, "=笳.. 一 8 j У";
(13.31)
(13.31)
(13.32)
(13.32)
напряжения в слоях оболочки:
一("曾-"綿与中人+画&&/2& ++现修0%『2%-饱綜%R + (空勺心.^^ +
(13.33)(13.33)+纯 4aqi &%山12 - 丫協)与%«+约/+B^；,
(13.33)
(13.33)
一 (協豐-约證)壷/p + (叁"”产2 + +В{^~К^^ -拉 0 ± 匕《« +
+(強且&&K苏^ +绐卢必喈&一7協)養%P +
+"鳳+约局,
(13.34>
Таким образом, все расчетные величины задачи представлены с помощью искомых функций u?(ct, 0) и ср (а, р), которые при заданных граничных условиях могут быть определены из системы разрешающих уравнении (13.27).
Большое прикладное значение имеет случай, когда оболочка загружена лишь нормально приложенной поверхностной нагрузкой, т. е. когда Х=У=0, Z=Z(a, 0).
В этом случае система разрешающих уравнений (13.27) перепишется следующим образом:
4 (°)屮+厶3)必一五筋Jaa = °，I
「I (13.35}
厶(0一0。)"一4仅)中+^^Zaa=Zj
Систему уравнений (13.35) можно привести к одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно потенциальной функции Ф (a, 0). Полагая
0=4©①，中=春与①g一厶付)①，(13.36).
e=仇一0嗨+(@£11e=仇一0嗨+(@£11-&1%、2-&1%、2a=（%一理）器+（擊a=（%一理）器+（擊22 -R2“[2、222 -R2“[2、2
e=仇一0嗨+(@£11
e=仇一0嗨+(@£11
-&1%、2
-&1%、2
a=（%一理）器+（擊
a=（%一理）器+（擊
22 -R2“[2、2
22 -R2“[2、2
тождественно удовлетворим первому уравнению системы (13.35), а из второго уравнения получим искомое дифференциальное уравнение относительно искомой функции Ф (a, R):
厶,(Р)①一2& (Q)① + з = Z, (13.37)
где для линейных операторов имеем
А) (Р)=尸工 ^ 爲 + 尸3 Хё^ 5^5р + Р5 JZ^4 ^р4 +
+ p4 2^ё da2dB6 + °2 成節'
厶(Q) = Qi 嘉+<2з j^5 ^^+Q，428, 9a2*・
Коэффициенты этих операторов в развернутом виде запишутся так:
巴=2 [(22 -0?2)+ 2(46 一 431 曾+
+仇一售）（点一2銹+ 2+仇一售）（点一2銹+ 2区12cli — К]]%区12cli — К]]%XX11 — К]2c1211 — К]2c12-2-2^68 ! 区工心22 - /2g2‘^68 ! 区工心22 - /2g2‘С«бС«бQ°Q°p4 = 2 [(% 一 理)+ 2 (% 一然前 然 +p4 = 2 [(% 一 理)+ 2 (% 一然前 然 ++(%一д缁_2曾+2+(%一д缁_2曾+2及]2c22 -"22&2及]2c22 -"22&2XXI 一区12c12I 一区12c12%心22 -区12C]2%心22 -区12C]2(13.39)(13.39)
+仇一售）（点一2銹+ 2
+仇一售）（点一2銹+ 2
区12cli — К]]%
区12cli — К]]%
X
X
11 — К]2c12
11 — К]2c12
-2
-2
^68 ! 区工心22 - /2g2‘
^68 ! 区工心22 - /2g2‘
С«б
С«б
Q°
Q°
p4 = 2 [(% 一 理)+ 2 (% 一然前 然 +
p4 = 2 [(% 一 理)+ 2 (% 一然前 然 +
+(%一д缁_2曾+2
+(%一д缁_2曾+2
及]2c22 -"22&2
及]2c22 -"22&2
X
X
I 一区12c12
I 一区12c12
%心22 -区12C]2
%心22 -区12C]2
(13.39)
(13.39)
& =(%一例，^ + 2 [(% - 纯)+
+ 2 (% 一 2前(爲_2 第 + (% - D^ ^+
](及22e]]一r[2e]2](及22e]]一r[2e]29 ^66 I ^11^22 —区]2c12、2 I
](及22e]]一r[2e]2
](及22e]]一r[2e]2
一气+^)+
(K]2cli —£]]&2)(S2°22 - 区22cl2)(K]2cli —£]]&2)(S2°22 - 区22cl2)Q、Q、[r12cli -r11c12[r12cli -r11c12稣稣яя,Q4修к\2c22 — К22cl2,Q4修к\2c22 — К22cl2
(K]2cli —£]]&2)(S2°22 - 区22cl2)
(K]2cli —£]]&2)(S2°22 - 区22cl2)
Q、
Q、
[r12cli -r11c12
[r12cli -r11c12
稣
稣
я
я
,Q4修к\2c22 — К22cl2
,Q4修к\2c22 — К22cl2
Q3 — JL (К22cli — К]2c12Q3 — JL (К22cli — К]2c12_ 2 K曲 J 区11022 -区12e12)
Q3 — JL (К22cli — К]2c12
Q3 — JL (К22cli — К]2c12
С66q0 / *
Подставляя значения w (a, R) и 屮(а, R) из (13.36) в формулы (13.31)—(13.34), получим выражения всех расчетных величин задачи через искомую функцию Ф (а,卩).Ввиду элементарности указанных подстановок, окончательные формулы для расчетных величин здесь не приводим. Для полноты картины запишем лишь формулы тангенциальных перемещений:
一Qo 45 加5 I
+ ^ёё^ё °22&i — &2 (Ki2 + 2/б)］ ；j^T^^ +
+乐02 阳2 + 2%) - / (% + 蠡)］爲鳥一
(13.40}(13.40}1 &2 1 严垂 J 1C22 1a30
(13.40}
(13.40}
"=蔦屏*十
+ ?^^1'1修22 — °12 (&2 + 2*66)］笳赤 fa2dB3 +
+姦［以(&2 + 2/6)- %［ (% + %)］爲謁一
1 c22 1(?зф 1 / 1 с】?、1 °зф一瓦%屈車一耳g一可丿翔丽р..
Значения так как они подстановок.Значения так как они подстановок.тангенциальных перемещений приводятся здесь* не могут быть получены с помощью элементарных
Значения так как они подстановок.
Значения так как они подстановок.
§ 14. Разрешающие уравнения и расчетные формулыклассической теории пологих анизотропных оболочек,составленных из произвольного числаоднородных слоев
Рассматривается пологая оболочка, собранная из произвольного числа однородных анизотропных слоев. Предполагается, что в каждой точке слоя имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная координатной поверхности ?=0・
Как известно, теория пологих оболочек, наряду с основной гипотезой недеформируемых нормалей, базируется также на некоторых упрощающих задачу предположениях, которые подробна изложены в § 5 и полностью распространяются на классическую теорию пологих многослойных оболочек.
Согласно принятым предположениям для рассматриваемой здесь теории получим следующие исходные соотношения и уравнения:
уравнения равновесия:
(14.1)(14.1)(14.2)(14.2)(3笃),《 — В』+(as),B+4m=-АВХ, С 4),р — 4P 厶 + (3S),«+夕卢=-aby, к1т1+к2т2-^ 3M),« +(а%2)м = z, (3〃1),« + {AH)^ + A^H- BM=ABN\, (AM^^ + (3E),« + В, JI 一 /Ml = ABNz；
(14.1)
(14.1)
(14.2)
(14.2)
соотношения упругости:
71 = &F1 + С12% + C168 + ^llxl +"^啊 +K16T，4=。…
S = g6s + C庶 1 + e^6% + к66% + %6々 + 修6%
^1 = ^л + D1^2 + Dl^ + KllSl+Kl24 + Kl^ 必=
” ' ^66T + °16勺 + ^26Х2 + ^66^ + "16% + 区26‘2，
где, как обычно, для жесткостей в общем случае имеем (11.3) — (И. 6);
геометрические соотношения:
= 7 Е,а + д^ 4в" + 左陷，е2 ~
(14.3)(14.3)7(0产亂；
(14.3)
(14.3)
X1 = 一京(3"叱")," 一ИT^4，”，伊 К2 = ..., С = 一爲(％ 一 我，心—* 3,必)；
уравнение неразрывности деформаций:
辱1 + *lx2 + 分{债［S®2,Л + (ё2 - 61)5,Л-^ QB - 3а用］ +
+传［а%,В + ® ―%) 4в — 4" s,« —吟叫,J = 0.(14.4)
Здесь приведены лишь те соотношения и уравнения, которые будут использованы в последующем. Как и в любой многослойной оболочке, напряжения в классической теории будут определяться •с помощью обычных формул (10,8)—(10-10).
Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Ограничимся рассмотрением случая, когда оболочка нагружена лишь
нормально приложенной поверхностной нагрузкой Z (а, |3)^=0. Полагая
a=$(m% +爲3品，
S =一专g缽一土生此В一今4肝，)，(145)
т^~~а^а'?^^а^вА^^'
где 屮=屮(％ В) ——искомая функция напряжений, тождественна удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (14.1) (при Х=У=0), а из третьего уравнения получим
i[^(z &糸)+當份屈M)]▼-
-方国研)+ 强(4也)]=2.(14.6)
Решая соотношения упругости (14.2) относительно компонент деформаций и учитывая (14.3), (14.5), найдем
ei =厶(41) ▼ + 厶(41)
% ='1 (力22)屮 +，3 (&2)(14.7)
где для линейных операторов имеем
1 дВ dl3P五五」一2竺2_丄型В да dp 4 dp1 дВ dl3P五五」一2竺2_丄型В да dp 4 dp厶（4%）=誓居备勁+
1 дВ dl
3P五五」一
2竺2_丄型
В да dp 4 dp
1 дВ dl
3P五五」一
2竺2_丄型
В да dp 4 dp
身+身+4打#
身+
身+
4В [_dadR
(14.8)(14.8)~ AВ [зaй 加丿T 82帮弟」， 厶(“=曾隐份勃+ ^芻^] +
(14.8)
(14.8)
十 AB [_dadp В da dR A dp da」十
十A [_0akda丿十B2弟弟」♦ 丿
Что же касается коэффициентов Aik и &论，то для них, очевидно^ будут справедливы формулы (13. 19)—(13. 21), так как они появились именно при решении соотношений упругости (11.2) или (14.2) относительно компонент деформаций.
Исключая из соотношений упругости (14.2) с помощью (14.7) компоненты деформаций 电，е2, (о и учитывая (14.3), получим
M^Idd^^-IADn-D^^
弘=厶(%)中-厶(% 一纯)%04.9)
Я = Zj (d^ 中一厶(4б — ^ee) 0，
где для линейного оператора /2 имеем 厶(%_%)=竺守债(謡)+±^毒1+
丄2纭二缝「_岂丄也 色_丄 型 色]丄
+ 務(咒)+ £ 誤]• "・1。)
В формулы (14.9) входят приведенные жесткости изгиба D% которые могут быть определены согласно (13.18).
Из последних двух уравнений равновесия (14.1), учитывая значения моментов (14.9), получим для поперечных сил следующие выражения:
n1 =鳥偽⑷1 (九)1 + 浚71 (%)+ ^ [%(％)] 一 -瑞厶(4)卜一先偽⑷2 (% —。鋼+ + 鲁4(% 一 叫 + ^BI2(Dn-图)]-
—駕厶(％—qj｝ %
包=磊俣[3 厶％)1 + 芻 /1 (%) + ^ ⑷1 %)] -
—号厶(％)｝中一鳥假[BI2(Dw —必e)] +
+ ^ а (46 一 0з + ^ [4厶(°22 — 鄧2)] 一
一*厶(% -图)｝以
Подставляя значения поперечных сил (14.11) в уравнение равновесия (14.6), а значения деформаций и компонент изменения кривизны из (14.7) и (14.3) в уравнение неразрывности деформаций (14.4), получим следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений задачи：
厶2 (° - Q°)以一L^ (d) ср + ▽戌=z，]14 1?
%⑷中+厶®)必一%力=0, j( •)
где для линейных операторов Li и Vr имеем ^D-D^^^{AI^-D^ +
+ 終2(% 一 峭 + ^画2(%一图)]一 -瑞厶(% -吗)} + % 隸俱[3厶(% - 066)1 +
+駕a(% 一器)+當阳2 (% 一理)J 一 一患厶(% 一以)}, 厶3⑷=磊^ ； {8 ^厶(42)+瑞[厶(/2)- Ah11)] -
—瑞厶(“66)—翁厶(4б)} + тё^г{л ^71(ЛИ)+
(14.13)(14.13)+^ [Л Мп) — Л И22)] -■ т ^ А (4б)—芻厶(4б)}, "(d)=方舒偽⑷1 (&!)]+崇厶网8)+
(14.13)
(14.13)
+ ^ [8厶(%)J -筹厶(%)} + 方 ± I•伎[%(%)] + + 碧厶(恥)+當[4 A (©22)J —碧1 /1 (41)}, "5 (d)=磊糸；^{" 备厶(%) + 瑞Чa (&2)一人(必1)] 一 一 翳厶(施8)-保人(%)} + % 黯 {4 紹3 (必1) +
+ 翁[厶(九)一厶(%)] - 4"^； /2 (九)一^ 厶 %)},
Таким образом, задача о равновесии «пологой» многослойной анизотропной оболочки, очерченной по произвольной поверхности, приводится к разрешающей системе двух дифференциальных уравнений (14.12) относительно двух искомых функций 夕(а, |3) и и? (а, В), посредством которых представлены все расчетные величины оболочки.
Отметим, что в частном случае многослойной анизотропной пластинки 的=0, Л2=0) система уравнений (14.12) запишется следующим образом:
(14.14)(14.14)厶2 (D —D")必一厶4 (d)中=Z,
(14.14)
(14.14)
5(4)中+4磔)必=0,
е.» в отличие от однослойных или симметрично собранных многослойных пластинок, не распадается на два независимых между собой уравнения.
Весьма пологие оболочки. Подробные сведения об исходных положениях теории весьма пологих оболочек были даны в п. 2 § 5 настоящей главы. Несмотря на зто, для стройности изложения здесь приводятся некоторые соображения об исходных положениях теории весьма пологих анизотропных слоистых оболочек.
Для весьма пологих оболочек считаются справедливыми все предположения, которые лежат в основе теории пологих оболочек (см. гл. I, § 5). Считается, также, что внутренняя геометрия координатной поверхности оболочки 丁=0 ничем не отличается от евклидовой геометрии на плоскости. Далее, полагается, нто коэффициенты первой квадратичной формы 4(% р), В (a, R), а также главные кривизны % (а, 臥 % (а, R) при дифференцировании ведут себя как постоянные (см. гл. I, § 5, п. 2).
В силу принятых предположении для рассматриваемой оболочки имеем:
уравнения равновесия:
BTlt^AS^ = —ABX. AT^ + BS ^ = —ABY.
'АВ (*Л + W - BN^ - AN^ = ABZ,(14.15)
BM^ + AH^ABN,, AM^-\-BHta = ABN^ соотношения упругости — см. формулы (14. 2); геометрические соотношения:
气= }% +月О，®2 = J-f.p + М» 匕=_与 J，
I24(14.16)
3=百％ + 7乙，T= -7У0,审 *2=一衣0揶；J
уравнение неразрывности:
^2X1 + ^lX2~f"jre2,aa — "J^RaB + *^T %,即=°；(14.17)
напряжения в слоях — см. формулы (10.8)—(10.10).
Из (14.2) в силу (14.16) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
北=(%抬+4謠)“+(4抬+%寇>+
+ (錯+賢击為"_2£6方爲一e2春磊"，(伍⑹
4 = (% 抬+。26 謡)“ + (С2，^ + С22£±> +
+ 盥 + ^ _ % 与矗" —2/6齐論" 一区22崇薪)叫
(14.18)(14.18)в пере-в пере-(14.19)(14.19)
(14.18)
(14.18)
в пере-
в пере-
(14.19)
(14.19)
S =（点 ^ ^ 十 С。/ *） Е+（4 И+С^г^）и + 十联十鏡一 £6 77為 一 2%6五^"五碰• 一k26乔亜）3, М =（“ 咒 + % J~M） м + （% 找 + 匕2 J" М） ” + 十缁十饗一，占爲一2%鳥晟 一%备詣）叫 w2 =（仆疗 +仆謠）出+（/ 疆 +k22謠）。+ + （*+*-% 与爲一2% 分鼻 一% 点詣）0， ，=（"16 父 + / 齧）% + （/疆 + 夂26 謠）D + + （" + 豐_生6★言一274,爲爲-026备詣）以
Напряжения в слоях также могут быть представлены мещениях. Из (10.8) в силу (14.16) получим
学=出16"，"+号）+铝2偿呼+面"）+
+招住忆+^4«） 一 丫 （绚1$0,.. +
才=爲（mВ+云）+協G%+制+
+约6信%+}",）一 7 （约2击0,即+
% = 3；6 （M«+m）+% （孔 Р+岩）+
+ 统6偿%+*,“）一丫 （约6击% +
+约6表% В +线6爲*）■
Подставляя значения внутренних сил и моментов (14.18) в первые три уравнения равновесия (14.15), при этом используя четвертое и пятое уравнения (14.15), получим симметрично
построенную систему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых перемещенийз
厶и (С)辽 + 厶2 (С) ” + 厶з (СК)" = —х,
厶 2 ⑹辽 + % (C) U + 厶 23 (СК)加=一匕(14. 20)
L^(CK)u + 厶2з(СК) и + ^зз (CKD)加=Z,.
где для линейных операторов имеем
Г /С — &] @22 С]6@2 I，66 @2
11 E 一/2凉T 41T而被十炉'惠'
Г — £22 ^_ I ? ‘26@2 Cqq @2
L22卜丿一丽荷枝而十U冇门
%23)一才萨十212十%6)AB加评十82型，
厶 13 (СК)=(论Gi+论2c12)扌总 +
+ (论Сб + 论2c26)J"亲一石1 (К)，
厶23 (СК) = (&&2 + 论I%)康糸 +
+ (&С26 + 论616)J■备一后 2 (К),
(14.21)(14.21)&3 (СКО) = -2 [(*1^11 + &匕2)$£■ + 2 (论禺 6 +
(14.21)
(14.21)
+论2K26）戒福+论2K26）戒福卜(&&2 +论1匕2)衣器]+
+论2K26）戒福
+论2K26）戒福
当（0）=祭嘉+ 3当（0）=祭嘉+ 3+ (修 点 +2砧2 c12+图 22)+ 厶1 (0),
当（0）=祭嘉+ 3
当（0）=祭嘉+ 3
/28 "2# T
+ (%+2%＞费$+需薪
"⑺、一 ‘22 加 I § ‘26@3]
1"丿-83评3十 京Г那2*十
"丿一/4 da4 T 438 da3 邦
+ 2(42 +246)彳+ 2(42 +246)彳1@41@4282 8a2 °俨282 8a2 °俨I Z 026 於 I ^22 "4 丁窥沥评3十丽丽I Z 026 於 I ^22 "4 丁窥沥评3十丽丽
+ 2(42 +246)彳
+ 2(42 +246)彳
1@4
1@4
282 8a2 °俨
282 8a2 °俨
I Z 026 於 I ^22 "4 丁窥沥评3十丽丽
I Z 026 於 I ^22 "4 丁窥沥评3十丽丽
Таким образом, решая при заданных граничных условиях систему уравнений (14. 20), определим искомые перемещения и (а, В), и (а, В), w (a, R), через которые посредством формул (14. 18), (14. 19) представлены все расчетные величины оболочки.
Lx (0—0。) w -厶3 (d)中 + ▽肝 - Z, 厶2 (4)中+厶3 (d)力—▽电=0, где для линейных операторов имеемLx (0—0。) w -厶3 (d)中 + ▽肝 - Z, 厶2 (4)中+厶3 (d)力—▽电=0, где для линейных операторов имеем(14. 22)(14. 22)L^D-D^ = ^^^ + ^L^D-D^ = ^^^ + ^Аб 一 D?6@4Аб 一 D?6@4A^B加3 dBA^B加3 dB+ 2+ 2(A2 -Q；2)+ 2(46 一 图6)@4(A2 -Q；2)+ 2(46 一 图6)@44却24却2/2评2/2评2+ 4+ 448 一 %684 丄 %2 -费2》48 一 %684 丄 %2 -费2》厶⑷=樂誥一2厶⑷=樂誥一2/26/26AВЗ /¥3 丁 84d俨，AВЗ /¥3 丁 84d俨，438 ЗаЗ()В 丁 42^2438 ЗаЗ()В 丁 42^2—2—2/16/16必2 8俨必2 8俨41 @441 @44吕3女帮3 I 84 8俨，4吕3女帮3 I 84 8俨，(14.23)(14.23)4仅）=4仅）=&1 @4 I 2d26 — &618"&1 @4 I 2d26 — &618"<4 3以<4 3以4 38ЗаЗ dp4 38ЗаЗ dpd” 十 &22 — 2d66 8』 丄 2d16 — &62 • @4 I @12 @4d” 十 &22 — 2d66 8』 丄 2d16 — &62 • @4 I @12 @4А 2£?2А 2£?2必=&必=&d&2 帮2 т483 да орЗ Т 84 弟4 »U荻十电加帝d&2 帮2 т483 да орЗ Т 84 弟4 »U荻十电加帝
Lx (0—0。) w -厶3 (d)中 + ▽肝 - Z, 厶2 (4)中+厶3 (d)力—▽电=0, где для линейных операторов имеем
Lx (0—0。) w -厶3 (d)中 + ▽肝 - Z, 厶2 (4)中+厶3 (d)力—▽电=0, где для линейных операторов имеем
(14. 22)
(14. 22)
L^D-D^ = ^^^ + ^
L^D-D^ = ^^^ + ^
Аб 一 D?6@4
Аб 一 D?6@4
A^B加3 dB
A^B加3 dB
+ 2
+ 2
(A2 -Q；2)+ 2(46 一 图6)@4
(A2 -Q；2)+ 2(46 一 图6)@4
4却2
4却2
/2评2
/2评2
+ 4
+ 4
48 一 %684 丄 %2 -费2》
48 一 %684 丄 %2 -费2》
厶⑷=樂誥一2
厶⑷=樂誥一2
/26
/26
AВЗ /¥3 丁 84d俨，
AВЗ /¥3 丁 84d俨，
438 ЗаЗ()В 丁 42^2
438 ЗаЗ()В 丁 42^2
—2
—2
/16
/16
必2 8俨
必2 8俨
41 @4
41 @4
4吕3女帮3 I 84 8俨，
4吕3女帮3 I 84 8俨，
(14.23)
(14.23)
4仅）=
4仅）=
&1 @4 I 2d26 — &618"
&1 @4 I 2d26 — &618"
<4 3以
<4 3以
4 38ЗаЗ dp
4 38ЗаЗ dp
d” 十 &22 — 2d66 8』 丄 2d16 — &62 • @4 I @12 @4
d” 十 &22 — 2d66 8』 丄 2d16 — &62 • @4 I @12 @4
А 2£?2
А 2£?2
必=&
必=&
d&2 帮2 т483 да орЗ Т 84 弟4 »
U荻十电加帝
d&2 帮2 т483 да орЗ Т 84 弟4 »
U荻十电加帝
Уравнения теории весьма пологих анизотропных слоистых оболочек могут быть представлены и в форме уравнений смешанного метода.
Полагая, что в уравнениях и соотношениях (14.5)—(14.13), согласно исходному геометрическому предположению, 4 (a, R), В (а, |3), 7?! (а, |3), Т?2 (а, R) при дифференцировании ведут себя как постоянные, получим следующую систему разрешающих уравнений:
Для внутренних сил и моментов имеем []]
看=炉中，瞅北=而？" s=—zy中,咿
珞珞-B2-B2中,阳+招中，《" -符Eg中,阳+招中，《" -符Eg% 一迎% 一迎/2/2W ааW аа_246元46 0Ad_246元46 0Ad"2 =集中,《« +需中,p3"2 =集中,《« +需中,p3ABABD12 一d，2看上也瞅^22 — Д°2_82W.№D12 一d，2看上也瞅^22 — Д°2_82W.№(14.24)(14.24)—2—2女=需中.第+粤^女=需中.第+粤^% _Q?6AB-AB %B% _Q?6AB-AB %B%%q12 一切2q12 一切2/2/2P】6；D瑞/2, aaP】6；D瑞/2, aa
珞
珞
-B2
-B2
中,阳+招中，《" -符Eg
中,阳+招中，《" -符Eg
% 一迎
% 一迎
/2
/2
W аа
W аа
_246元46 0Ad
_246元46 0Ad
"2 =集中,《« +需中,p3
"2 =集中,《« +需中,p3
AB
AB
D12 一d，2看上也瞅
^22 — Д°2_
82W.№
D12 一d，2看上也瞅
^22 — Д°2_
82W.№
(14.24)
(14.24)
—2
—2
女=需中.第+粤^
女=需中.第+粤^
% _Q?6
AB-
AB %B
% _Q?6
AB-
AB %B
%
%
q12 一切2
q12 一切2
/2
/2
P】6；D瑞
/2, aa
P】6；D瑞
/2, aa
_2 066 一 厶品 "，46 一 ^?6 …
Ab "，呻灰一叱瞅
13 С. А. Амбарцумян
Напряжения в слоях определяются с помощью исходных формул (10. 8); при этом, наряду с (14.16), надо полагать также, что
e1一 /: 7明 + 抬中山 АВ ^-"₽+ Л2 w.^ +
+ £2 %в + 2 48 %，
包一班中，即十42中,""aв^-^ , 1 42 J""十
(14. 25)
+声叱卵+2 j^r叩，
з-£： Rpb+J5 %«< 方 R«b+*%+
+尻Qbp + 2 ав J咐J
Наконец, укажем, что входящие в приведенные здесь уравнения и формулы коэффициенты Cik, D^ Kik, D^c, 必左,как обычно, определяются с помощью формул (11.3)—(11.7), (13.18)—(13.21).
Систему разрешающих уравнений смешанного метода (14. 22) можно привести к эквивалентному ей одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка. Полагая
w ~ L2 (А) Ф, cp = V笈①一厶з (d)①， (14.26) где Ф=Ф (а, В)——искомая-потенциальнаяфункция, тождественно удовлетворим второму уравнению системы (14. 22), а из первого уравнения получим
厶 ° (Р)①—2歹(Q)① + 陸①=Z, (14.27) где линейные операторы: Lo ——восьмого порядка, F ——шестого порядка, V赏 ——четвертого порядка ——имеют вид
厶。(Р) = %(D — 3)厶2⑷ + [L3(d^, I
Таким образом, линейное дифференциальное уравнение восьмого порядка (14.27) является разрешающим уравнением теории весьма пологих анизотропных слоистых оболочек. Определив Ф (а, |3) при заданных граничных условиях из (14.27), можно затем с помощью приведенных выше формул найти значения всех расчетных величин оболочки. Однако при этом следует предварительно установить, является ли представление (14.26) общим решением системы (14.22) в случае рассматриваемай конкретной оболочки (см. гл. I, § 5, и. 2).
В случае, когда оболочка составлена из произвольного числа однородных ортотропных слоев так, что главные направления упру-
(14.29)(14.29)u(a, В),u(a, В),(14.30)(14.30)(14.31)(14.31)
(14.29)
(14.29)
u(a, В),
u(a, В),
(14.30)
(14.30)
(14.31)
(14.31)
гости в каждой точке каждого слоя совпадают с направлениями соответствующих координатных линий, все коэффициенты с индексами «13》, «26», «61», «62» превращаются в нуль. Тогда для упругих постоянных будем иметь
П» 一 —硏 Ri — E$ Ri =G$
-1一冷y 22- 1—"歹々66-512,
— Qo，&22 —— Сбб *
"12 = 一 "^，q0 =011022 -e3
"ll =(%君22 - S2a2)^O1» "22 =侬22。11 - %2012)Q£г
"12 -(及12c22 一 R22012)Q不\ % = (K：12al 一 k1 居2)0淌 “66 —與6 = "бб/°б6'
次1 =[圈% - 2Kle2&2 + 曜GJ0，
0:2 = [&/12022 一 (&寓22 + K:2)°12 + ^22^l2^1l]"\ h2 =阳4 - 2K22&2% +曜做]q『，
Система разрешающих уравнений в перемещениях V (a, R), s(a, R) запишется следующим образом:
С" 72 U, аа .+ °66 丽％ 即 + (°I2 + ^66)-^ 匕理十
,+3£n +及2°12)7第,@ - %(K)lV= 一X,
C22^ ^, ₽₽ + C66 JT ^, &« + (4 + 4) "J^- U,理 +
+ (用2c22+月a2)百 W，B -e2 (K)S= -Y,
(^1^11+^2^12)彳〃,a+ (及2022 +乃£12)方4 В -
-Ei (k)北一后2 (к) u + (碍On + 2询瓦a2 + 福C22)必一
—2 ^K^ + 而2K12)NT 必,aa — 2 也К/ 十
+ 41KlJ 京必”s + "⑵必=Z, где
斤(K\ °з I ^12 + ^К^ 03
9丿一不麻1，
" /*、一 k22 03 I r12+2长66°3
2 1丿—~呻麻,
В этом случае внутренние силы и моменты, а также напряжения в слоях будут представлены в перемещениях с помощью следующих формул: внутренние силы:
Л = cu 7 % a +012 g" к +e1+1加 +e1 也加一
一k]]浜忆а 一 к]2衣%伊
笃=022 J" % b + a2 ；生 а +с22及2以 +012及押一
-^^ W,即一k12 与 W, ^,
S =066 7 % a + с66 声% - 2к66 ^" 3 ,点
внутренние моменты:
m1=一А1*3,аа-012 击 3,m+£11 自3 +
+ K/S + Siа + %2 ^ V, 31
必=—% 表％3 - % 士 J + К22M +
+ K12自3 +£22百匕В + к12万м，a，
Н = —2Z>66 鳥忆 аВ + %6 (^~ % а + g %)；
напряжения в слоях:
《=6:1 ^" % a +6；2 ｝乙B+左:1自W + B:JC沙一
—Y (5U 士化 g*；2 靑 w, P3)，
^=B^BV^B^AU<^ 筑2卷3 + В 法卅—
一7 (眼*%3 + 空 **)，
% =线6G。,. +声%p) 一 2Y用6；^q叩♦
(14.32)(14.32)(14.33)(14.33)(14.34)(14.34)В случае смешанного метода, когда искомыми являются функция напряжений 屮(％ 卩)и функция перемещений и? (% 卩),система разрешающих уравнении представится так:
(14.32)
(14.32)
(14.33)
(14.33)
(14.34)
(14.34)
厶(° — Dq)w —厶з (d)屮 + 厂碎=Z,
厶2 (°)屮 + % (&) 3 —恥3 = 0,
где линейные операторы L. имеют следующий простой вид:
厶 1 (D — D°)=
31 一 D?1 04 I 公22 一 ^22 於
44 да4
84 咿
+ 2
(52 - D%) + 2 (Z)開一/)n)04
42в2
友2晔2，
г /С— &i 1 於［С?? 1 04
L2卜丿一可不衣十不亦獅
+
04
崗-2然)為 ^W5,
(14.36)
£3(d)=£3(d)=к：12cli — K11C12 I 04 [ /K1Q22 — Kl我 12
£3(d)=
£3(d)=
A4 0a4
0 к66 I r22cli - "12012、[°4 I
I 夂12c22 — К22cl2 ( 04
В этом случае формулы для расчетных величин оболочки имеют следующий вид:
внутренние силы:
(14.37)(14.37)?1=炉▼，睁'2 =謳平3 S = 一 ^^乙俨
(14.37)
(14.37)
7Vк12c22一k22cl2 1 个 ] /"22e11 一长12c12
一幫摄■中回 一e2(0一0°)0，
где Ej (D—DQ) запишется аналогично (14. 31); внутренние моменты:
必必==叱叱D]2 —町2D]2 —町2
必
必
=
=
叱
叱
D]2 —町2
D]2 —町2
丄 %2仆 一Si% ] 丄 备g22 - Ki?% ]
(14.38)(14.38)此=--Q ₽₽- - 謳 R««+
(14.38)
(14.38)
衣12c22 — К22cl2 1焉 衣е??衣12c22 — К22cl2 1焉 衣е??к22cli —夂12c12 1к22cli —夂12c12 1
衣12c22 — К22cl2 1
焉 衣е??
衣12c22 — К22cl2 1
焉 衣е??
к22cli —夂12c12 1
к22cli —夂12c12 1
8 = _2 (% -%!)月 匕磧一器分匕而
напряжения в слоях:
片=（约裔-B%窗击r即一（绚普-
-骂晉）気皿+园/足?^/02 +
+必鳍守^-咼）击%-
! / R< 长11°22 一 £12°12 丄长12cli - K1K12
一也1） } q
(14.39)(14.39)可=（约2紹一%然）士^一（"豎一 一约2晉）土7阳+ （线2 4y "A
(14.39)
(14.39)
+ 铝2 5@^S 一7空)与 J«« +
++£22011 - K/12£22011 - K/12卜В卜Вi 长12°22 — 长22°12i 长12°22 — 长22°12So-*阳）击%仍So-*阳）击%仍
+
+
£22011 - K/12
£22011 - K/12
卜В
卜В
i 长12°22 — 长22°12
i 长12°22 — 长22°12
So
-*阳）击%仍
So
-*阳）击%仍
% =-舞爲^+ 2纥6（黑」）爲%.
Систему разрешающих дифференциальных уравнений смешанного метода (14. 35) можно привести к эк вив а лентному ей одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно потенциальной функции Ф (а, р). Полагая
(14.40)(14.40)w =.Ь2 (С)①，ср = Ут；①一L^ (d) Ф,
(14.40)
(14.40)
тождественно удовлетворим второму уравнению системы (14. 35), а из первого уравнения получим искомое разрешающее уравнение：
р 1加力р 1加力卜％卜％108①4682源60能108①4682源60能卜&卜&108 ①[小484 da4 004 d108 ①[小484 da4 004 d+巴+巴108①4^6況2不ё108①4^6況2不ё卜修卜修1 08①繭Ip"1 08①繭Ip"卜Qi齐舞卜Qi齐舞
р 1加力
р 1加力
卜％
卜％
108①
4682源60能
108①
4682源60能
卜&
卜&
108 ①[
小484 da4 004 d
108 ①[
小484 da4 004 d
+巴
+巴
108①
4^6況2不ё
108①
4^6況2不ё
卜修
卜修
1 08①繭Ip"
1 08①繭Ip"
卜Qi齐舞
卜Qi齐舞
+ 03 Л4^2 麻碇 + Q&+ 03 Л4^2 麻碇 + Q&106 ①1 06 力[才2"而硬十&而砸■■+106 ①1 06 力[才2"而硬十&而砸■■+
+ 03 Л4^2 麻碇 + Q&
+ 03 Л4^2 麻碇 + Q&
106 ①1 06 力[
才2"而硬十&而砸■■+
106 ①1 06 力[
才2"而硬十&而砸■■+
+传去礬+次也爲T鳥+偿备誹=Z，"41）
где для коэффициентов Р《и Q《имеем
в =（% —怨）晉+С 4ygy,
几=（4а -到2）警+ （以空产23y,
Рз = 2 [（% 一 %）+ 2 （D№-叫]發 +
+（%一а）（去-2曾+ 2 鼻卢&X
▽，K22cli 一 区12cl2 g k66 L 区1Q22 -区 12012）
в = 2 [（% —疗 2）+ 2 （% — 與 6）]穹 +
义义+（% —吗（左-2餐）+ 2 勺2%萨缪@ X к22，][ — К[2° 129 К66 I R]]&2 — K]2&2、
义
义
（14.42）（14.42）4 = （%一图）警+2 [（з2 -女2）+
（14.42）
（14.42）
+ 2（a6 一與前忌-2鶴+ （22 一图2）窘+
I 仆22C11 -区 12012 9 I 区1心22 -区 12cl2、2[
%一芯^，4—京 ^，
_0 k66 I 区1心22 一/2G2、
一工+）
оболочки имеем следую*оболочки имеем следую*В этом случае для расчетных величин щие формулы^
оболочки имеем следую*
оболочки имеем следую*
внутренние силы и моменты:
a = [%г -厶（d）]备①，瞅厶=Ur ——厶 3 （&）] & ф,яя.
（14.43）（14.43）（14.44）（14.44）
（14.43）
（14.43）
（14.44）
（14.44）
S = —［^ —厶3 （d）］ Jg %，
Mi = -［（% -理田嘉+仇-理）£鳥］а（6①++m一厶向F®云"心幺鳥+
I 区w%2 一 区102 1 @2 ］ '衣而」，
臨= -［（%-售2）击為+（% -倉2）分為］厶2（С）①+ +田一厶｛d^c^^ ± A+
丄区22cli —^12^12 1^2
H = -2^-D^^^LAC^- 一鹽也一厶⑷丛%; напряжения в слоях:
b=m_4（d）］［侬传_瑞鋼备黯一
一网譽-%葡士用①+［（弘/小£/小+ +*2 К22cli -小2012一Y硝£侖+（绐白&^0小十 +稣 к^-к^^（С）ф,
4 = ［ Vr_厶（d）］［（用总一骂铺±爲一
一（筑能一3:憑）费詣］①+［（吗R卢&+ t Of k11022 -区1?e12\ II / D» К22011 一K12012 |
十勺12 福部к丿才被十l22盃 Г
+"g@^^一 7砌 ± ^.2（c） Ф, %=一*［办一厶向爲%+
+ 2纥6（需一Y）分篇厶（0①.
Многослойная сферическая оболочка. Рассматривается пологая сферическая оболочка, составленная из произвольного числа однородных изотропных слоев. Пусть сферическая коорди-
натная поверхность оболочки 丫=0 отнесена к ортогональной системе координат г, 8, которая, с принятой здесь точностью, совпадает с полярной системой координат г, 8 на плоскости, над которой возвышается сферическая оболочка с радиусом кривизны
Ri=R?=R=kT，Таким образом, согласно принятым здесь для пологих оболочек геометрическим гипотезам считается, что полярные координаты г и 8 на плоскости являются также координатами точки на сферической поверхности у=0. Следовательно, мы полагаем, что первая квадратичная форма координатной поверхности 7=0 с точностью до малых величин совпадает с квадратичной формой на плоскости (рис. 39)
曲2= @声 + r2dp2;(14.45)曲2= @声 + r2dp2;(14.45)это значит, что для коэффициентов первой квадратичной формы здесь принимается 4』，В=г.
曲2= @声 + r2dp2;(14.45)
曲2= @声 + r2dp2;(14.45)
Рис. 39.Рис. 39.a ji 二 @ j? ~"~ @ * -—■ 此=國6 = 0， "=纥尸* =a ji 二 @ j? ~"~ @ * -—■ 此=國6 = 0， "=纥尸* =炉，* = 炉，源6炉，* = 炉，源62(1 + #2(1 + #EiEi1 J"》，*2 = VB, B^1 J"》，*2 = VB, B^EiEi2(1 + * *2(1 + * *(14.46)(14.46)В рассматриваемом случае для упругих постоянных каждого слоя оболочки согласно (5), (13) и (10.9) будем иметь
Рис. 39.
Рис. 39.
a ji 二 @ j? ~"~ @ * -—■ 此=國6 = 0， "=纥尸* =
a ji 二 @ j? ~"~ @ * -—■ 此=國6 = 0， "=纥尸* =
炉，* = 炉，源6
炉，* = 炉，源6
2(1 + #
2(1 + #
Ei
Ei
1 J"》，*2 = VB, B^
1 J"》，*2 = VB, B^
Ei
Ei
2(1 + * *
2(1 + * *
(14.46)
(14.46)
8；6 =%=°，v； = v； = v',
где £* и v* — модуль упругости и коэффициент Пуассона j-го слоя оболочки.
Напряжения в слоях, внутренние силы и моменты определяются обычным образом с помощью формул (10.8) и (11.2), которые в силу (14.46), в принятой здесь системе координат, запишутся следующим образом:
(14.47)(14.47)е=歹 &+v&)+田 в+V%), 吟=В'⑸ + v&) + 丫3‘ (x2 + V%), % =筑6(3 + 产)；
(14.47)
(14.47)
(14.48)(14.49)(14.48)(14.49)Л = 0% +'С12е2 + К*1 + £12*2, П =為2 + С12®1 + К*2 + Kl2*D S^ = S = C6fia)+ K&6弋;
(14.48)
(14.49)
(14.48)
(14.49)
mТ = /)*] +。12"2 + k% + £]_2*2, Л/8 =。*2 + °12，1 + k% + £12'1， %. = h = 066T + %6 叫
где, как обычно, для жесткостей С死,Dik и К.к имеем формулы (11.3)-(11-7).
Из соотношений (14.3) легко получить следующие выражения для деформаций и изменений кривизны и кручения, входящих в формулы (14.47)—(14.49):
41
(14,50)(14.51)(14,50)(14.51)^ - ^tr + kw, %=工%8 + 7"我 +儿％
(14,50)
(14.51)
(14,50)
(14.51)
=3+他；
勺=一叫"，*2 = 一^也88 一；q门
Напомним, что в случае сферической оболочки %=%=卜= =j?T=c(mst・
Пусть оболочка загружена лишь нормально приложенной нагрузкой Z (г, 8), Х=У==0. Тогда уравнения равновесия (14. 1) в выбранной системе координат перепишутся следующим образом:
"г, г + S,6 + Г,—玛=О'厶,s +，S,, + 2S=0,
(14.52)(14.52)А (4+ 厶)-4(Г必，+ 狐,8 + 也)=Z, • TMrtr + H^Mr-Mr = rNr, Mdtd + rHtr + 2H = rNd.
(14.52)
(14.52)
Аналогичным образом из (14. 4) получим следующее уравнение неразрывности деформаций:
儿(Х1 + Х2)+ 7 [(ге2, г+ е2 —е1—у10, а)声 +
(14.53)(14.53)+ ；(%,6-孑3.-*]=0.
(14.53)
(14.53)
СогласноСогласно(5. 5), полагая
Согласно
Согласно
(14.54)(14.54)4=斯,33+；?>■. ?产中,", $=一2中,Г3—；%3)，
(14.54)
(14.54)
где, какгде, каки раньше,屮(г, 8) — искомая функция напряжений,и раньше,屮(г, 8) — искомая функция напряжений,тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (14. 52), а из третьего уравнения получим^俣(喲+^刷中T暮(吗+箝卜z. (14.55)Решая соотношения упругости (14.48) относительно ev &? и ш» получимтождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (14. 52), а из третьего уравнения получим^俣(喲+^刷中T暮(吗+箝卜z. (14.55)Решая соотношения упругости (14.48) относительно ev &? и ш» получимгдегдее1 = 41厶 + 412以一巡一由2х2, е2 = 4/8 + 42м-或 2 — 42Х1， 3 = 466$ — “66% 41=42，е1 = 41厶 + 412以一巡一由2х2, е2 = 4/8 + 42м-或 2 — 42Х1， 3 = 466$ — “66% 41=42，(14.56)(14.56)4r=B，42=-,—CK — C^K^ d~4r=B，42=-,—CK — C^K^ d~С1241可，"66=厢,С1241可，"66=厢,,&2 =,&2 =e及12 一 c]2 及e及12 一 c]2 及(14.57)(14.57)
где, как
где, как
и раньше,屮(г, 8) — искомая функция напряжений,
и раньше,屮(г, 8) — искомая функция напряжений,
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (14. 52), а из третьего уравнения получим
^俣(喲+^刷中T暮(吗+箝卜z. (14.55)
Решая соотношения упругости (14.48) относительно ev &? и ш» получим
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (14. 52), а из третьего уравнения получим
^俣(喲+^刷中T暮(吗+箝卜z. (14.55)
Решая соотношения упругости (14.48) относительно ev &? и ш» получим
где
где
е1 = 41厶 + 412以一巡一由2х2, е2 = 4/8 + 42м-或 2 — 42Х1， 3 = 466$ — “66% 41=42，
е1 = 41厶 + 412以一巡一由2х2, е2 = 4/8 + 42м-或 2 — 42Х1， 3 = 466$ — “66% 41=42，
(14.56)
(14.56)
4r=B，42=-
,—CK — C^K^ d~
4r=B，42=-
,—CK — C^K^ d~
С1241
可，"66=厢,
С1241
可，"66=厢,
,&2 =
,&2 =
e及12 一 c]2 及
e及12 一 c]2 及
(14.57)
(14.57)
九=僚，g = C2 -%Из соотношений упругости (14.49) в силу (14.51), (14.54) будем иметь九=僚，g = C2 -%Из соотношений упругости (14.49) в силу (14.51), (14.54) будем иметь(14.56)(14.56)
九=僚，g = C2 -%
Из соотношений упругости (14.49) в силу (14.51), (14.54) будем иметь
九=僚，g = C2 -%
Из соотношений упругости (14.49) в силу (14.51), (14.54) будем иметь
(14.56)
(14.56)
Mr^-{D-D^Mr^-{D-D^М8 = _(%_唯黑М8 = _(%_唯黑（%一咐&穿+^篇++"g呈+^霧）+九嘉'-（0一少（m+^0 +（%一咐&穿+^篇++"g呈+^霧）+九嘉'-（0一少（m+^0 +(14.58)(14.58)
Mr^-{D-D^
Mr^-{D-D^
М8 = _(%_唯黑
М8 = _(%_唯黑
（%一咐&穿+^篇++"g呈+^霧）+九嘉'-（0一少（m+^0 +
（%一咐&穿+^篇++"g呈+^霧）+九嘉'-（0一少（m+^0 +
(14.58)
(14.58)
+九（黑+ ；^） +嚼, ；^）［2（%—理）力+九也，+九（黑+ ；^） +嚼, ；^）［2（%—理）力+九也，где для жесткостей имеем (11. 3)—(11. 6), а такжегде для жесткостей имеем (11. 3)—(11. 6), а также
+九（黑+ ；^） +嚼, ；^）［2（%—理）力+九也，
+九（黑+ ；^） +嚼, ；^）［2（%—理）力+九也，
где для жесткостей имеем (11. 3)—(11. 6), а также
где для жесткостей имеем (11. 3)—(11. 6), а также
Z)o=Z)o=5及2 + 用2)一 2К“125及2 + 用2)一 2К“1200 一 2区区]2c — C]2 (区2 + 区%)00 一 2区区]2c — C]2 (区2 + 区%)по -区名'66一就по -区名'66一就(14.59)(14.59)
Z)o=
Z)o=
5及2 + 用2)一 2К“12
5及2 + 用2)一 2К“12
00 一 2区区]2c — C]2 (区2 + 区%)
00 一 2区区]2c — C]2 (区2 + 区%)
по -区名
'66一就
по -区名
'66一就
(14.59)
(14.59)
Из последующих двух уравнений равновесия (14.52), учитывая значения моментов (14.58), получим для поперечных сил следующие выражения:
忆=一 a」(0一 % w 一九再
1 d(М.60)
他=-卷^A」(少一少°)必一九叫J
1 02两"屈1 02两"屈где для оператора Дг имеем
1 02
两"屈
1 02
两"屈
(14.G1)
Подставляя значения поперечных сил (14.60) в уравнение равновесия (14.55), а значения деформаций и компонент изменения кривизны соответственно из (14.56) и (14.51), с учетом (14.54),——в уравнение неразрывности деформаций (14.53), получим следующую систему разрешающих дифференхц^альных уравнений задачи:
(О — D°) 4A川—当2△厶丹 + 左 4<p = Z (г, 8),
1(14.62)
^пМг? + 42AA^―互△〃 = °-
В частном случае, когда оболочка собрана из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно среднего слоя, и координатная поверхность 了=0 совпадает со срединной поверхностью оболочки, система уравнений (14.62) несколько упрощается. В зтом случае, как нетрудно заметить, жесткости взаимного влияния К.к обращаются в нуль, вследствие чего нулями становятся и жесткости。?力 и &» Тогда, вместо системы уравнений (14. 62), получим новую, упрощенную систему разрешающих уравнений:
(14.63)
411A厶/Р —耳 А/р = 0.
Система разрешающих дифференциальных уравнений (14.63) отличается от соответствующей системы разрешающих уравнений однородной сферической оболочки лишь приведенными жесткостями D и
Уравнения (14.62) можно было бы получить непосредственно из (14.12), полагая 4=1, В=г, а также учитывая (14.46) и (14.57). Однако это не сделано, чтобы еще раз, на частном примере, продемонстрировать ход получения разрешающих уравнений в случае пологих оболочек.
4・ Весьма пологие анизотропные слоистые оболочки большого прогиба. Здесь приводятся основные уравнения и некоторые расчетные формулы теории многослойных весьма пологих анизотропных оболочек в случае, когда перемещения оболочки соизмеримы с ее общей толщиной h.
Как обычно, эта теория строится в предположении, что по сравнению с единицей малы не только деформации, но и углы поворота.
Не вдаваясь в подробности, которые достаточно полно приведены в п. 3 § 5, здесь запишем лишь окончательные результаты.
Разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений будет иметь следующий вид:
LI (D —。°) w —4(d)屮 + V肝■厶(w,屮)Z,
厶2依)中 + 厶(d)u —Vr^ + ^Z®,(14.64)
Очевидно, система уравнений (14. 64) отличается от соответствующей системы линейной теории (14. 22) лишь двумя операторами L (少,屮)н £ (з, w), которые появились вследствие учета больших перемещений оболочки и имеют вид
厂/ 、—1「8汕 е绅丄 a2u? g2(p @2,02ц?]
厶(叫 平)=彳丽^凉部十*加一/ da加寂而J,
Что же касается внутренних сил, моментов и напряжений в слоях оболочки, то они могут быть определены с помощью обычных формул (10.8), (44.24) и (14.25).
§ 15. Основные уравнения и соотношения теориианизотропных слоистых оболочексо слоями переменной толщины
Пусть оболочка составлена из т-\-п однородных анизотропных слоев переменной толщины t.~t. (а, р). В этом случае уравнением Y = ^ (a, р) (i==l, 2,. . ., zn+九—1) представляется поверхность контакта i и i+1 слоев, а внешние ог^ничивающие поверхности — уравнениями т=80 (а» Р)=°, Т=8т+я (а> ①(рис. 40).
Пусть, далее, в каждой точке каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная координатной поверхности 丁=0.
Из основной гипотезы недеформируемых нормалей, справедливой для всего пакета оболочки в целом, очевидно следует, что и в этом случае имеют место соотношения (10.1)—(10.6). Неизменными остаются также геометрические условия контакта смежных слоев (10.11).
ностях выполняютсяностях выполняютсяРис. 40.Рис. 40.
ностях выполняются
ностях выполняются
Рис. 40.
Рис. 40.
Условия контакта для напряжений можно записать в виде: при Т=8.- (а, р)
"=歹产，"=歹产，務=歹产 Q=l,2,..., m + n-l), (15.1)
где F^ ——компоненты вектора напряжений, действующего на площадке 了=心.
На внешней и внутренней ограничивающих оболочку поверх-
следующие условия:
°РИ Т=8т+Я
"+” = Х+,修+" = у+,歹""=Z+; (15.2) при у = 80 = 0
” =—X, F» =—У", /^ = —Z\ (15.3) где, как всегда, X, У, Z — компоненты векторов интенсивности внешних поверхностных нагрузок.
Для полноты укажем, что для оболочки из слоев постоянной толщины
歹1 = % 尸2 = %'歹3 = %(15.4)
1. Уравнения равновесия. Рассмотрим дифференциальный элемент Z-po слоя
оболочки, ограниченной соответствую
щими к оординатными поверхностями.
Пусть векторами напряжений, под действием которых находится выделенный дифференциальный элемент оболочки, являются
% = W« +“в +W
呼=%产. +。冷+彳产1，(15.5)
% = v« + Vr +
где т\ —— орты выбранной системы координат (рис. 2).
Главный вектор К и главдый момент М всех сил, действующих на рассматриваемый элемент оболочки, равны
К=[(昌%3 + (禺哨,В + (典反2%), 1] da 即衣，(15.6)
3= [(%**X%),« + 圏**Xb“ + (H.H^X^, T] da d₽ М，(15.7)
P* = P + T(a,仍吟，(15.8)
где H《—коэффициенты Ламе, Р — радиус-вектор координатной поверхности 了=0, JP* — радиус-вектор поверхности у=8 (а, р).
В последующем для получения уравнений равновесия элемента оболочки с конечной толщиной h необходимо будет пользоваться условиями （15.1） —（15.3）. Поэтому небезынтересно знать значения F^ представленные через компоненты тензора напряжений, а именно:
歹;=COS（/, *•„）＜+cos（7-р,匕）％ + COS （叫，匕）％,'
% = cos （乙，r“）％ + cos（q,屮“）巾十 COS （%,吗）唯， （15.9） F& = cos （乙，「“） ％ + cos （q, rB）中丫 + cos （力「“） q,
где rn ——единичный вектор нормали к поверхности т=3《 （а, ?）• Имеем
E"=?«+ %,《% + %%,a=4k + 斗,.%+ ％4%;% =
=再吸+斗Jr 0% = 0# + 8.-,₽Л + 4%# = 5S + 必，产 丁十斗8喪力=用方 + %#%,
откуда для гя окончательно получим
%=表（再% + 4,8）х （用勺+左g）=
=^7 （一h乳,3 一再4,* + H:再吟），（15.10）
где
G:= 女:用 y（飙,）+儡 *y + 1.（15.il）
Далее, в силу （15. 10） из （15. 9） получим для 尸：
理=表（T與,й一昭,足十用H练），
僧=亲（一H闻^-H^ + Н{Н^, .（15.12）
觴=表（一反乳,品一硒,福十用険）.
Рассматривая условия равновесия элемента, из （15.6） после некоторых преобразовании получим известные уравнения равновесия дифференциального элемента i-ro слоя оболочки:
（%。）《 +（ед（₽+（Н^^-^«+
（15.13）（15.13）+唯 ％,в+к%%,尸 о,
（15.13）
（15.13）
（% 喻 В + （%%%）, т + （%总）,.-。网,В +
+%ед,т+4=о, （反也"）,什阳陶，.十阳喲B_d%%"一*也"=0.
Здесь и в последующем индексы i при Н{ и Н[ опускаем.
Из (15.13) после некоторых преобразований с учетом (17) легко получить
■ -备 U 画唸 Т3R +(Н&)，з +
+ ^А，А + AkiH^^^+T^H；^i(а> В)，”14)
中产一品k "(5闻一告4代+ (玛喩),. +
十今B,«% + %%唯卩J+帚成％(а, В)，(15.15)
°； = — я^ [ I [(/t：T),«+ (Н%), L Н/1, S —
一 ЯА,^] @т|+备 Х，(а，В)・(15.16)
Здесь 匕(а, р),屮,(а, R) и 七(а, R)——произвольные функции интегрирования, которые могут быть определены из условий контакта смежных слоев (15.1) и условий на внешних поверхностях (15.2), (15.3).
Из условий на внешней поверхности (15.2) с учетом (15.12) и (15.14) получим:
при£=пг+и, т=Зи+а .
G""”X++，ь鑽+"*_}需J %喟+咤什
L ^m+я—1®m4-«-i
++%+”5巾+”б/и-ря
+
+
+± I H^nd^+^ 5 風囁+叼丫十髙 J H^dy
+ (司t 事)日…十(4嘿"")小一小(% B)=0■ (15.17)
Условия контакта смежных слоев (15.1) при 丁 = *口 согласно (15.12), перепишутся в виде (приводится только первое условие)
[-心:架-&%符+Н声爲]…=
=[一司。尸穹計一/宙I 登1+ %H 戍:L*.(15.18)
Входящие в (15.18) величины с： и с：,】 определим из уравнения (15.14):
時小尸一鳥 ^ I反尸*叫-3芻J约T唄*十 L J—5i-2
Hi~^dy-{Hi~^dy-{1 dA耳硬1 dA耳硬5*—13f—1
Hi~^dy-{
Hi~^dy-{
1 dA
耳硬
1 dA
耳硬
］反尸唸*7+^ 5女尸嘴1叫一
S/-2I 5f-2
一（h2*】）戸1絮+ （%/%*Т祟—（%嚙】）Wj需+
Подставляя значения т^ и t：q】в уравнение (15.18) получим
孔(а, Р)-*а Р) + ^ ］再七-叫一士^，H^dy +
于备『雑中*+春幣『反尸堀d什普『禺飞W+
S»-2S»-2Sl-I
4-(я2оГ)т=5._^-(я2^
Удовлетворяя условию (15.3) на внутренней ограничивающей поверхности 7=8°, получим
G0X- —(%d)宀碧+(%閹宀患+ %(а, 0) = 0.(15.20)
Исключая 匕 и члены с производными от 8. из формул (15. 17), (15.19), (15.20), после некоторых преобразований найдем
U 5 H^-i^ i 恥叫+^ I 用*+
4■箒 j 耽川+^ j 码/J+ZBX = o,
*8»-t
G. А. Амбарцумян
+ (显++駅l+^)x(15.21)
x［(^^y+(^^y+q/*X+ + X- = X2.
Аналогичным образом, удовлетворяя еще не рассмотренным условиям контакта смежных слоев (15.1) и условиям на поверхностях (15.2), (15.3) и производя очевидные преобразования, получим еще два уравнения:
2 U J 势河-4■普 i ад+Д J wt+
$=1 l 出 T»T%T
+ 4^ f用屮什聲f约唸叫］+4ВУ = 0,(15.22)
2 Д 5%叫+м j呐巾-
^ 5 経例 d j 笈哂 +43Z = 0.(15.23)
Из условия равенства нулю главного момента (15.7), после серии преобразований (схема которых приводилась выше при рассмотрении главного вектора), получим
》检J Н：哈衣一4•碧j用喻”+畜j约%Y窗+》检J Н：哈衣一4•碧j用喻”+畜j约%Y窗+5!-15!-1
》检J Н：哈衣一4•碧j用喻”+畜j约%Y窗+
》检J Н：哈衣一4•碧j用喻”+畜j约%Y窗+
5!-1
5!-1
+4•懐 J H^d^-A j H妃内=0,(15.24)
加+"%勿5d
2 U S势”Y-4■*§敬:伍什^，禺%询+
+ 4■瑞! H^^~B f H综叫］=0,(15.25)
e 4 S Wt-Д !呐mY一
-В 5 用屮丫+爲 5 H^dy = o.
(15.26)
Таким образом, мы получили систему уравнений равновесия (15. 21)——(15. 26) для дифференциального элемента многослойной оболочки конечной толщины Л=8т+и.
2・ Соотношения упругости и еще раз об уравнениях равновесия. Напряжения в каждом слое оболочки определяются с помощью известных формул (10.8). Этим напряжениям статически эквивалентны внутренние силы и моменты, которые могут быть определены обычным образом (см., например, (11. 1)):
普=2 ] °i(i +^T)dT>4=1 3^-1
‘12 = £ [ %('+卷Т)"Т，$21 = * … 4=1 3i-i
(15.27)(15.27)I %(1+鱼Y)叱，也=
(15.27)
(15.27)
j=I 8/-1
你+" 勿
"1 = £ [ b： (1 + 论2丫) T &т，“2 = •…, g=1 St
"12= £ [嘘('+ 论2丁) Т &Т，-^21 = • • • 4=1 3f_j
Подставляя значения напряжений в (15. 27), получим известные соотношения упругости (И. 2), (11. 8), где для жесткостей С.к,刀£稅 Kile будем иметь новые представления:
8
2
ът,rd 附屈 灯 订8 4 8.»W ¥ ¥一一 = -近 左 九Q 4 Q
где В} определяются по формулам (10. 9), а 8^ в отличие от оболочек, составленных из слоев постоянной толщины, являются функциями координат % 瓦 т. е.心=*(% В). Таким образом, в случае оболочек, составленных из слоев переменной толщины, жесткости С《н Kiki Dik будут переменными величинами, функциями координат а, р.
Переписав уравнения равновесия (15.21)—(15.26) с учетом представлений (15.27), будем иметь
{BT^^-B^ + ^AS^^ + A^+ABk.N^-ABX, {АТ^^-А^Д- (BS^,a + 瓦国 + 4 碉恥=—45 У,
(15.29)(15.29)-体/1 + 他A)+ 爲[(8 呼),. + (4/),p] = 一Z,
(15.29)
(15.29)
(8必),《 + (4%),卩 + & R% — 8, M = ABNV
伍明, 0 + (8反加" + 纥.% - 4 网=ABNV
S12 - "2反21一 ^21 +41%2 =°，
Таким образом, мы получили систему уравнений равновесия многослойной анизотропной оболочки со слоями переменной толщины, которая ничем не отличается от соответствующей системы уравнений, записанной для однородной оболочки.
3. Замечание. Присоединяя к уравнениям равновесия (15.29) соотношения упругости (11.2) или (11.2), (11.8) с учетом (15.28)г геометрические соотношения (10.5), (10.6), граничные условия и формулы для определения напряжений (10.8), (15.14)—(15.16)г можно приступить к рассмотрению напряженно-деформированного состояния различных типов анизотропных оболочек, составленных из слоев переменной толщины*
§ 16. Осесимметрично нагруженные анизотропные оболочкивращения со слоями переменной толщины
Рассмотрим многослойную оболочку вращения, составленную» из произвольного числа анизотропных слоев переменной по меридиану толщины t.—t. (s). Считаем, что координатная поверхность вращения 丁=0 совпадает с внутренней поверхностью оболочки^ т. е. А=0 (см. рис. 16, 17, 35, 36), и представляется координатами г,芻 屮(см. §§ 2 и 12). В общем случае принимается также, что в каждой точке каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная координатной поверхности Т=0. Считается, что оболочка находится под действием лишь осесимметричных поверхностных и контурных нагрузок.
Исходные соотношения и уравнения. Для рассматриваемой оболочки имеем:
уравнения равновесия:
(16.1)(16.1)±(厘)+笃5m8+点的= TХ,±(rS) — Ssin8+^(Hcos%)_
(16.1)
(16.1)
—Н _^_ + N2 cos % = —г у.
(16.1)(16.1)気?2)-? (舒+佘)= TZ, ^ (尸必)+ М2 sin 8 — rNy = О, 言(гН) — 〃 sin 8 — rN2 =二 0;
(16.1)
(16.1)
главной особенностью этих уравнений является тот факт, что, несмотря ва осесимметричность задачи, величины Н^^Н^^Н и 512=521=5 не равны нулю, так как рассматривается достаточнообщий случай анизотропии (имеется лишь одна плоскость упругой симметрии) (см. также, § 3, п. 3);
геометрические соотношения:
du . wdu . w% =石十瓦% =石十瓦, 电=7 ⑨ cos 8 — u sin 8),, 电=7 ⑨ cos 8 — u sin 8),0)=0)=du . sin 8du . sin 8dWdWТТ7 sin 8ТТ7 sin 8с =с =2 cos 3 ( du + у2 cos 3 ( du + у(16.2)(16.2)%=%=dw udw uds R^ds R^
du . w
du . w
% =石十瓦
% =石十瓦
, 电=7 ⑨ cos 8 — u sin 8),
, 电=7 ⑨ cos 8 — u sin 8),
0)=
0)=
du . sin 8
du . sin 8
dW
dW
ТТ7 sin 8
ТТ7 sin 8
с =
с =
2 cos 3 ( du + у
2 cos 3 ( du + у
(16.2)
(16.2)
%=
%=
dw u
dw u
ds R^
ds R^
причем здесь нельзя утверждать (из-за симметрии), что о)阴七 равны нулю;
соотношения упругости:
А = ^11е1 + С12&2 +。屡 + 占产1 + К12Х2 + £б%?2 = °12s + °22无 + С26(*)4" ^12Х1 + ^22Х2 + ^2СТ»s =。16 电 + С2бе2 4" Сб6а)4" ^16Х1 ^^^Л~ ^^М] = К"% + К12&2 + ^16® + 2 产1 + °12*2 + Зб*必=^12®1 + К^? + К^ + ^12Х1 + &2*2 + 4б%" =к^Г + ^2682 + /69 + 26"1 +。26"2 + 460
где жесткости Cik=Cik (s), Kik=Kik (s), Dik^=Dik (s) в общем случае определяются по формулам (15.28).
Разрешающие уравнения. Исходя из приведенных выще уравнений и соотношений, построим систему разрешающих уравнений, удобную для численного решения краевых задач многослойных анизотропных оболочек вращения, составленных из однородных слоев переменной толщины.
В качестве основных искомых функций принимаем следующие:
(16.4)(16.4)厶(s) = Л\ cos 8 — ^ sin 8, Tz (s) = N* sin 8 + 7\ cos 8, ur (s) = w cos 8 — 口 sin 8, иг (s) = 口 cos 8 + 必 sin 8, S*(s)= S+ 责凡
(16.4)
(16.4)
а также ранее известные Мг (s) и W (s).
Согласно (16. 4) исходные соотношения могут быть переписаны следующим образом:
где принято такжеEr = Z cos 8 — X sin 8, E^ = Z sin 8 + X cos 8;где принято такжеEr = Z cos 8 — X sin 8, E^ = Z sin 8 + X cos 8;уравнения равновесия:
где принято также
Er = Z cos 8 — X sin 8, E^ = Z sin 8 + X cos 8;
где принято также
Er = Z cos 8 — X sin 8, E^ = Z sin 8 + X cos 8;
忆一 ds
=屮詳十;4一马，
忆一
—sin 0 m"
ds
dS*
2 sin 3
(16.5)
ds
M _ ds
=J^± (Ml — M2) + 7； cos 8 + 厶 sin 8,
(16.6)
геометрические соотношения:
sisi符 sin8 +符cos" "?,符 sin8 +符cos" "?,xixidWdW乂2乂2胃忆。* =』品三。;胃忆。* =』品三。;(16.7)(16.7)
si
si
符 sin8 +符cos" "?,
符 sin8 +符cos" "?,
xi
xi
dW
dW
乂2
乂2
胃忆。* =』品三。;
胃忆。* =』品三。;
(16.7)
(16.7)
соотношения упругости:
е1 — ^11^1 + &2s + &з"1 + &卢2 + &5“2,①©21Tl + ©22$ + ©23”1 + ©24*2 + ©25“2‘
(16.8)(16.8)乂1 = % £ + %S* + d33Ml + ©34% + ©35“2‘?2 = % ?1 + “S* + d43Ml + d”％ + ^45X2>必=©51 ?1 + ©52$* + ©53Ml + 恥随 + ^55X2-
(16.8)
(16.8)
Выражения коэффициентов d.k через жесткости Cikf К* Dik весьма громоздки, и их следует определять в каждом частном случае в отдельности (см. например, §§ 13 и 14 настоящей главы). В частности, в случае ортотропной оболочки (главные направления упругости совпадают с главными направлениями координат),
имеем
恥=相 ％ = 0,九=一与i,恥=马凡f2
/=小加;■人目2 , % = ^= % =%=0, d?? = ^ 恥=%，d32 = 0, % =等，④二几组子^,
(16.9)(16.9)%=小阳2「吟%=一恥，%=0, % = 一d34,
(16.9)
(16.9)
©M = °22 十 °12d14 + 区12d34，©45 =区22 + °12d15 + 区12d35, ©51 = —©15，©52 —。，©53 = —©35，©54 = ©45’
^55 = °22 + 衣12d15 + 22d鐫‘ A = C^D^ •— K^
4 = GF + 4 (区6旷 + 4б sin ?) Sin R
Далее, из (16. 7) получим
•^- = % cos 8 + W sin 8,•^- = % cos 8 + W sin 8,(16.10)(16.10)= W cos 8 — е, sin 8,
•^- = % cos 8 + W sin 8,
•^- = % cos 8 + W sin 8,
(16.10)
(16.10)
8 _ = (0_y—
dTp—(1 — d《i) sin 8dTp—(1 — d《i) sin 8Заменяя в (16.8) j, x2 их значением из (16.7) и подставляя значения 北，^2 в (16.5), а %, %, 乂工一в (16.10), получим следующую систему разрешающих уравнений поставленной задачи:
dTp—(1 — d《i) sin 8
dTp—(1 — d《i) sin 8
T -卜 d41 COS % yr : I 弱2 S* -]
ds石=(cos8fds石=(cos8fТ. — Е,,Т. — Е,,"，+号Xw_约, .2 sin 8 $* у@51 sin 8 cos 8、m7Ml"，+号Xw_约, .2 sin 8 $* у@51 sin 8 cos 8、m7Ml&52 sin 3 s* + (1 —d53)sin8 M] _sin 8&52 sin 3 s* + (1 —d53)sin8 M] _sin 8dgg sin2 8dgg sin2 8W,W,(16.11)(16.11)
ds
石=(cos8f
ds
石=(cos8f
Т. — Е,,
Т. — Е,,
"，+号Xw_约, .2 sin 8 $* у
@51 sin 8 cos 8、m
7Ml
"，+号Xw_约, .2 sin 8 $* у
@51 sin 8 cos 8、m
7Ml
&52 sin 3 s* + (1 —d53)sin8 M] _
sin 8
&52 sin 3 s* + (1 —d53)sin8 M] _
sin 8
dgg sin2 8
dgg sin2 8
W,
W,
(16.11)
(16.11)
^- = d“ Tr sin2 8 — d“ Тг sin 8 cos 8 —心? $* sin 8 —
-43Ml sin 8 — 弘響 ur + (cos 8 - d吸廿)忆 ^p = —& Tr sin 8 cos 8 + dn Тг cos2 8 + d12 S* cos 8 +
+ 九Mi cos 8 + il^ 叫 + (sin 8 + Пу** %,
石~ = —d21 Тх sin & + ^2i ^ cos 8+ "22$* + %% +
马1gsin 8 и I 蟲5 sin 8 [尸
十 Г Г г * г'
嘗=%彗 sin 8 — ％?, cos 8 - %S* —
-d^ — ^-ur-喝；M3 w
Полученная таким образом система разрешающих уравнений удобна для численного решения краевых задач осесимметрично нагруженной анизотропной оболочки вращения, составленной из однородных слоев переменной толщины.
§ 17. Заключительные замечания
В главе I были построены классические теории анизотропных и анизотропных слоистых оболочек на основании гипотезы неде- формируемых нормалей, а также уточненные теории, учитывающие явления, связанные с поперечными сдвигами, поперечной деформацией и с поперечным нормальным напряжением.
Особое внимание уделено уточненным теориям. Дело в том, что многочисленными экспериментальными и теоретическими исследованиями установлено, что некоторые однородные полимеры и почти все армированные пластики, применяемые в оболочках, сочетают высокие механические характеристики на растяжение — сжатие (по направлению волокон) со слабым сопротивлением на сдвиг. При этом большинство армированных пластиков слабо
сопротивляется и растяжению—сжатию в направлениях, пер
Классическая теория оболочек, построенная на основании гипотезы недеформируемых нормалей, безразлична к поперечнымКлассическая теория оболочек, построенная на основании гипотезы недеформируемых нормалей, безразлична к поперечнымпендикулярных к направлению укладки арматуры.
Классическая теория оболочек, построенная на основании гипотезы недеформируемых нормалей, безразлична к поперечным
Классическая теория оболочек, построенная на основании гипотезы недеформируемых нормалей, безразлична к поперечным
механическим характеристикам материала оболочки (耳，G力 и т. д.), точнее, к отношениям типа Е%//, EJG”, Eik!Gk^ и т. д. Поэтому, принимая гипотезу недеформируемых нормалей,
мы тем самым делаем теорию безразличной к отношениям типа E.JE^ и т. д., что в реальных диапазонах изменения механических характеристик новых материалов, применяемых в оболочках, может привести к существенным погрешностям. В связи с этим
зачастую приходится отказываться от компактной классической теории и обращаться к так называемым уточненным теориям, которые небезразличны к отношениям типа EJE« и т. д. и в состоянии «почувствовать» явления, связанные со слабыми сдвиговыми и поперечными упругими характеристиками материала оболочки.
Однако здесь не надо забывать, что для громадного большинства реальных оболочек при определении напряженно-деформиро-
ванного состояния вдали от линий искажения нет никакой необходимости отказываться от компактной классической теории. Низкие сдвиговые и вообще низкие поперечные механические харак- теристки материала оболочки еще не помеха применению классической теории. Дело в том, что оболочка может быть настолько тонка, что можно пренебречь поправочными членами к классической теории.
Таким образом, отказ от классической теории в пользу какой либо уточненной теории должен быть обоснован предварительным^ хотя бы грубым, анализом.
Наконец, несколько слов о теории анизотропных слоистых оболочек. В отличие от монографии автора «Теория анизотропных оболочек»; здесь основное внимание было уделено вопросам теории однородных анизотропных оболочек. Вопросы теории анизотропных слоистых оболочек были освещены ради полноты картины и для представления некоторых новых результатов, недостаточно полно отраженных в указанной выше монографии.
Укажем также, что на основании анализа многочисленных экспериментальных и теоретических исследований легко прийти к заключению, что в громадном большинстве случаев оболочки, изготовленные из слоистых материалов, можно трактовать как однородные с соответствующими приведенными механическими характеристиками. Трактуя многослойную оболочку как однородную, к ней можно применить соответствующую теорию однородной анизотропной оболочки. Конечно, при этом напряжения в оболочке должны быть определены с учетом слоистости.
ЛИТЕРАТУРА
На протяжении всей главы мы неоднократно пользуемся общими положениями теории оболочек вообще. С этими вопросами читатель может ознакомиться по книгам:
Власов В. 3., Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.
Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек. Гос- техиздат, 1953.
Новожилов В. В., Теория тонких оболочек. Судпромгиз, 1962. Многочисленные общие вопросы, связанные с анизотропными оболочками, читатель найдет в книге:
Амбарцумян С. А., Теория анизотропных оболочек. Физматгиз, 1961.
Классическая теория анизотропных оболочек строилась на базе классической теории изотропных оболочек и теории анизотропных пластин. Впервые общая теория анизотропных слоистых оболочек на уровне классических предположений была изложена в работах:
Амбарцумян С. А., Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР, М 9, 1947.
Амбарцумян С. А., К теории анизотропных пологих оболочек. ПММ, т. 12, в. 1, 1948.
Амбарцумян С. А., Некоторые основные уравнения теории тонкой слоистой оболочки. ДАН АрмССР, т. 8, «№ 5, 1948.
Общим вопросам классической теории анизотропных оболочек посвящены также работы [4] и
Амбарцумян С. А., К вопросу расчета слоистых анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР, т. 6, № 3, 1953.
§ 1, п. 2. Уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности для различных частных случаев были получены многими авторами. Впервые ояи для оболочек произвольной формы были выведены в работе:
Гольденвейзер А. Л., Дополнения и поправки к теории тонких оболочек Love. Пластинки и оболочки. Госстройиздат, 1939.
Уравнения неразрывности (1. 8) с точностью гипотезы недеформируемых нормалей идентичны с соответствующими уравнениями (1. &'). Они с одинаковым успехом могут быть использованы при построении различных теорий ©м・卩F・
§ 1, п. 6. Уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки с конечной толщиной 无 различными авторами выводятся по-разному, см., например, f1"8], а также
Черных К. Ф., Линейная теория оболочек. Часть I (общая теория). Изд-во ЛГУ, 1962.
Новожилов В. В., Финкельштейн Р. М., О погрешности гипотез Кирхгоффа в теории оболочек. ПММ, т. 7, в. 5, 1943.
§ 1, п. 7. Простейшие, не противоречащие шестому уравнению равновесия, соотношения упругости впервые для изотропных оболочек, различными путями, были получены в работах:
Б а л а б у х Л. И., Изгиб и кручение конических оболочек. Труды ЦАГИ, № 577, 1946.
Новожилов В. В., Новый метод расчета тонких оболочек. Известия АН СССР, ОТН, № 1, 1946.
§ 1, п. 10. Вопрос определения коэффициентов В(к для ортотропной ила- стинки при переходе от одной системы координат к другой подробно освещен в работах:
Лехницкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела. Гостех- издат, 1950.
Лехницкий С. Г., Анизотропные пластинки. Гостехиздат, 1957.
Вопросы теории изотропных оболочек вращения освещены в книгах： 16. Лурье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат,
1947, результатами которой автор широко пользовался в этом параграфе.
Ч е р н и н а В. С., Статика тонкостенных оболочек вращения. Изд-во «Наука», 1968.
В этих книгах, наряду с общими положениями теории оболочек вращения, приведены достаточно подробные сведения о поверхностях вращения.
Вопросы теории анизотропных оболочек вращения изложены в статьях： 18. Штаерман И. Я., К теории симметричных деформаций анизотропных упругих оболочек. Известия Киевск. политехи, и сельскохоз. ин-та, 1924 (первая работа по теории анизотропных оболочек).
Амбарцумян С. А., Симметрично нагруженные анизотропные оболочки вращения. ДАН АрмССР, т. 9, № 5, 1948.
Амбарцумян С. А., Расчет слоистых оболочек вращения. ДАН АрмССР, т. И, № 2, 1949.
Амбарцумян С. А., Длинные анизотропные оболочки вращения. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 4, № 6, 1951.
Амбарцумян С. А., К расчету анизотропных хщлиндрических оболочек вращения, подкрепленных поперечными ребрами. Известия АН СССР, ОТН № 12, 1955.
Пештмалджян Д. В., К расчету симметрично нагруженных слоистых анизотропных оболочек вращения. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 10, № 2, 1957.
Бурмистров Е. Ф., Симметричная деформация конструктивноортотропных оболочек вращения. Изд-во Саратовского ун-та, 1962.
Многие результаты по теории анизотропных слоистых оболочек вращения читатель найдет также в работах 广，吼
Общая теория анизотропных слоистых цилиндрических оболочек подробно изложена в [4]. Теория ортотропных цилиндрических оболочек освещена в работах:
Амбарцумян С. А., Расчет пологих цилиндрических оболочек, собранных из анизотропных слоев. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 4, № 5, 1951.。
Амбарцумян С. А., Расчет симметрично нагруженной круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами. ДАН АрмССР, т. 21, № 4, 1955.
М у ш т а р и X. М., Некоторые обобщенные теории тонких оболочек. 'ПММ, т. 2, в. 4, 1939.
М у ш т а р и X. М., Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругих анизотропных оболочек. Известия Казанского физ.-мат. общества, т. 11, 1938.
Последние две работы посвящаются вопросам устойчивости, о которой разговор будет идти в последующих главах книги. Несмотря на это, мы их здесь цитируем, так как, насколько нам известно, они являются первыми работами по теории ортотропных цилиндрических оболочек.
§ 3, п. 3. Этот частный случай осесимметричной деформации анизотропной цилиндрической оболочки в несколько ином виде рассмотрен в статьях: 29. Мовсисян Л. А., К расчету анизотропной (неортотропной) цилиндрической оболочки вращения. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12» № 4, 1959.
Мовсисян Л. А., Об осесимметрично нагруженной анизотропной цилиндрической оболочке. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15, № 2, 1962.
Здесь на случай ортотропной сферической оболочки обобщаются некоторые результаты, изложенные в книге I1].
Приближенная теория оболочек, изложенная здесь под условным названием «теория пологих оболочек», была истолкована и использована различными авторами для рассмотрения различных задач теории оболочек.
Проблемы локальной устойчивости освещены в работах:
Donnell L., Stability of Thin Walled Tubes under Torsion. NACA, Rep. № 479, 1933.
M у ш т a p и X. M., cm. [28].
Работнов Ю. H., Локальная устойчивость оболочек. ДАН СССР, т. 52, № 2, 1946.
Исследованию цилиндрических оболочек посвящены работы 卩~帛，1в], а также
Фейнберг С. М., К вопросу о построении моментной теории цилиндрических оболочек. Проект и стандарт, № 12, 1936..
Хачатурян Т. Т., Пологие цилиндрические оболочки. Сообщения Ин-та мат. и мех. АН АрмССР, № 4, 1949.
Собственно пологие оболочки рассматривались в работах:
Власов В. 3., Основные дифференциальные уравнения общей теории оболочек. ПММ, т. 8, в. 2, 1944.
Амбарцумян С. А., Приближенный метод расчета пологих тонких оболочек, ДАН АрмССР, т. 6, № 3, 1947.
Амбарцумян С. А., К расчету пологих оболочек. ПММ, т. 11т в. 5, 1947.
В е к у а И. Н., К теории тонких пологих упругих оболочек. ПММ, т. 12, в. 1, 1948.
Наконец, уравнения теории пологих оболочек в следующих работах ^ыли истолкованы, как уравнения краевого эффекта:
Фейнберг С. М., К вопросу о построении приближенной моментной теории тонкостенных оболочек произвольного очертания. Исследования по теории сооружений. Госстройиздат, 1939.
Гольденвейзер А. Л., Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки. ПММ, т. 11, в. 6, 1945.
Работнов Ю. Н., Уравнение пограничной зоны в теории оболочек. ДАН СССР, т. 47, № 5, 1945.
Теория пологих анизотропных оболочек освещена в работах [4-8 j.
§ 5, п. 2. В теории пологих оболочек особое место занимают весьма пологие изотропные и анизотропные оболочки, которые впервые исследовались в работах 严'3?, 885 »8]. в конце этого пункта обсуждается вопрос общности представлении (5. 26) и аналогичных представлений, использованных раньше. Вопрос этот подробно освещен в статье:
ВоровичИ. И., Об общих представлениях решений уравнений теории многослойных анизотропных оболочек. ПММ, т. 29, в. 4, 1965.
§ 5, п. 3. Все необходимые сведения о нелинейной теории оболочек читатель может найти в книгах:
Феодосьев В. И., Упругие элементы точного приборостроения. Оборонгиз, 1949.
В о л ь м и р А. С., Гибкие пластинки и оболочки. Гостехиздат, 1956. 46. М у m т а р и X. М., Галимов К. 3., Нелинейная теория упругих оболочек. Таткнигоиздат, 1957.
Здесь же можно найти богатую библиографию по затронутому вопросу.
§ 6・ См. книгу [4], а также
Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластин. Изд-во《Наука», 1967.
Амбарцумян С. А., К расчету двухслойных ортотропных оболочек. Известия АН СССР, ОТН, № 7, 1957.
Амбарцумян С. А., О двух методах расчета двухслойных ортотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 10, № 2, 1957.
Хачатрян А. А., К расчету трехслойной ортотропной оболочки. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12, № 5, 1959.
§ 6, п. 5. Нелинейные вопросы итерационной теории были затронуты в книге [47 ] и в статьях:
Амбарцумян С. А., К вопросу нелинейной теории анизотропных пластинок. ДАН АрмССР, т. 24, М 4, 1957.
Амбарцумян С. А., Пештмалджян Д. В., О нелинейной теории пологих ортотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 11, № 1, 1958.
См. книги [4, 47], а также статьи:
・ Амбарцумян С. А., К теории изгиба анизотропных пластинок. Известия АН СССР, ОТН, № 5, 1958.
Амбарцумян С. А., К общей теории анизотропных оболочек. ПММ, т. 22, в. 2, 1958.
Амбарцумян С. А., Пештмалджян Д. В., К теории ортотропных оболочек и пластинок. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12, 1, 4959.
Амбарцумян С. А., К теории изгиба анизотропных пластинок и пологих оболочек. ПММ, т. 24, в. 2, 1960.
См. книги [4, 47], а также статьи：
Хачатрян А. А., Об устойчивости и колебаниях трансверсально изотропной сферической оболочки. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 13, № 4, 1960.
Хачатрян А. А., Об устойчивости круговой цилиндрической оболочки при некоторых нагрузках. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 13, № 5, 1960, на основании которых написан весь параграф.
Некоторые результаты этого параграфа изложены в статьях：
Амбарцумян С. А., Об одной уточненной теории анизотропных оболочек. Труды Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во «Наука», 1970.
Амбарцумян С. А., Еще одна уточненная теория анизотропных оболочек. Механика полимеров, № 5, 1970.
Изложенная в этом параграфе теория, по сути дела, является обобщением уточненной теории, изложенной в § 6 настоящей главы под названием «итерационная теория» и в [4, 47-52], где впервые сделана попытка построения итерационного процесса для уточнения внутренней задачи теории анизотропных оболочек.
Различные варианты уточненных теорий оболочек и пластин неоднократно обсуждались в современной литературе, например в статьях:
Кильчевский Н. А., Обобщение современной теории оболочек. ПММ, т. 2, в. 4, 1939.
Green A., Z е г n a W., The Equilibrium of Thin Elastic Shells. Quart. J. Meeh. Appl. Math. v. 3, 1950.
Reissner E., Stress Strain Relations in the Theory of Thin Elastic Shells. J. Math. Phys., v. 31, 1952.
В e к у а И. H., Об одном методе расчета призматических оболочек. Тр. Тбилисского мат. ин-та им. А. М. Размадзе, т. 21, 1955.
М у ш т а р и X. M.t Терегулов И» Г., Теория пологих ортотропных оболочек средней толщины. Известия АН СССР, ОТН (мех. и маш.), № 6, 1959.
Naghdi Р. М., On the Theory of Thin Elastic Shells. Quart. Appl. Math., v. 14, № 4, 1957.
Гольденвейзер А. Л., Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. ПММ, т. 27, в. 4, 1963.
В о р о в и ч И. И., Общие проблемы теории пластин и оболочек. Труды 6-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во «Наука», 1966.
Айнола Л. Я. н Н и г у л У. К., Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Известия АН ЭстССР, № 1, 1965.
Гольденвейзер А. Л., Методы обоснования и уточнения теории оболочек. ПММ, т・ 32, в. 4, 1968.
Гольденвейзер А. Л., Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки. UMM, т. 33, в. 6, 1969.
В работах 严-?ij читатель найдет также полную библиографию по затронутому вопросу.
Следует отметить также некоторые работы, посвященные вопросу построения уточненных теорий для анизотропных оболочек.
Понятовский В. В., К теории изгиба анизотропных пластинок. ПММ, т. 28, в. 6, 1964.
Агаловян Л. А., Об уточнении классической теории изгиба анизотропных пластинок. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15, «№ 5, 1965.
Агаловян Л. А., Применение метода асимптотического интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек.立ММ, т. 30, в. 2, 1966.
Агаловян Л. А., Об уравнениях изгиба анизотропных пластин. Труды 7-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во «Наука», 1970.
В этих работах теории анизотропных оболочек и пластин построены на основании положений, которые отличаются от принятых в настоящей книге.
§§ 10—14 посвящены теории анизотропных слоистых оболочек. Теория анизотропных слоистых оболочек систематически изложена в монографии [&]. Насколько нам известно, основные положения теории анизотропных слоистых оболочек впервые освещены в работе [7]. В последующем эта теория была использована для рассмотрения задач, связанных с различными типами оболочек. Эти результаты были освещены в [4], а также в [8, 20» 阻，認，25] и др.
Сведения о теории слоистых оболочек в уточненной постановке можно найти в работах [岔-叫，а также
Reissner Е., Contributions to the Problem of structural Analysis. of Sandwich-type Plates and Shells. Theory and Practice of Sandwich Construction in Aircarft. A. Symposium. Preprint M 165, 1948,
Королев В. И., Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. Изд-во «Мапгиностроение», 1965.
Расчет элементов авиационных конструкции (Трехслойные панели и оболочки). Под редакцией А. Я. Александрова, Э. И. Григолюка, Л. М. Кур шина, Изд-во «Машиностроение：», 1965.
Болотин В. В., Москаленко В. Н., Пластины и оболочки из армированных материалов. Доклады научн.-технич. конференции МЭИ, 1967,
и во многих других.
§§ 15, 16. Теория слоистых оболочек со слоями переменной толщины освещена, например, в диссертации:
Григоренко Я. Мм Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости при несимметричных нагрузках. 1970, и в монографии：
Григоренко Я. М., Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Изд-во «Наукова думка», 1973,
откуда и заимствованы результаты, изложенные в рассматриваемых параграфах..
Глава II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ41 ДЕФОРМАЦИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ОБОЛОЧЕК
Здесь будут рассмотрены как общие, так и частные вопросы определения напряженного состояния и деформаций анизотропных слоистых оболочек.
Безмоментное напряженное состояние однородныхоболочек
Рассматривается вопрос построения безмоментной теории ани зотропных однородных оболочек путем приведения трехмерной задачи теории упругости анизотропного тела к двухмерной задаче теории оболочек.
Теория строится для наиболее общего случая, когда в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки 丁=0.
Безмоментными считаются такие оболочки, в которых напряжения от моментов или равны нулю, или пренебрежимо малы по сравнению с соответствующими напряжениями от тангенциальных сил.
В основе предлагаемой здесь теории лежит предположение, что основные с точки зрения классической теории напряжения % 。伊 тор распределены по толщине оболочки равномерно, т. е.
Принимая (1. 1), с точностью 1±乃《丁^1 удовлетворим первым четырем соотношениям (I. 1.15) *), а из формул для моментов с такой же точностью получим
M] = 0, Mz = О, Н = 0. (1.2)
В последующем с такой же точностью там, где это очевидно, мы будем пренебрегать величинами порядка 乃打 по сравнению с единицей. При этом требуется определенная осторожность при отбрасывании членов с множителями, содержащими а咏.Дело в том, что в общем случае коэффициенты упругости могут образовать такие величины, которыми в сочетании с 左」нельзя пренебречь по сравнению с единицей.
Пусть, как и раньше, оболочка загружена поверхностной нагрузкой так, что
(1.3>(1.3>при 丁=切2 % = Х+,、y = P+, % = Z+,
(1.3>
(1.3>
при т = —Л/2 %7=—Х\ % = —У，％ = —Z~.
・ Определение напряжений. Уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки (16), с принятой здесь точностью» можно представить таким образом:
4 (В%),« — 联В,«+ 4 ⑷就 р + %/4, р +
+ (a渉2%卜=0, 6(4咐,3 —аа5Л в + 3 (В、*),. + %рВ2,« +
+ (玛％т0т = О,
(%%%), 7 — ^лАВкх — а^АВк2 + (历叫),《 +
+ 3*),В = °・
Подставляя значения напряжений оа,。艮，t建 из (1. 1) в первые два уравнения равновесия (1. 4) и производя интегрирование по т，с принятой здесь точностью получаем
%= 一為 1(2厶),《—T/,« + (4S),b + S4,b] + ^1,] ^ = 一壶372),В一44。+ (85),.+55,」十縱， "A
где 屮 0 屮 являются функциями интегрирования и определяются из условий на поверхностях (1. 3).
Удовлетворяя условиям (1. 3), для <р и ф получим следующие значения:
y=^（x+ 一 x）屮=学（广一『）,y=^（x+ 一 x）屮=学（广一『）,(1.6)(1.6)
y=^（x+ 一 x）屮=学（广一『）,
y=^（x+ 一 x）屮=学（广一『）,
(1.6)
(1.6)
а также следующие уравнения:
(1-7)(1-7)(2Q«— 笃3,«+ (4S),в + S4p = —48(х+ + X)] (4%),°_ Т/,° + (2S),«+ SBt^-AB(Y+ + У) /
(1-7)
(1-7)
Подставляя значения <р и ф из (1, 6) в (1. 5) и учитывая (1. 7)г получим для напряжений т^ и “丫
厶2，Т₽у —Т厶2，Т₽у —Т(1-8)(1-8)
厶2，Т₽у —Т
厶2，Т₽у —Т
(1-8)
(1-8)
где введены следующие обозначения
(1-9)(1-9)% = X4• — Х-, Х2 = х+ + Х-, 匕=у+ — у-, % =广 + У：
(1-9)
(1-9)
Далее, подставляя значения %丁 證、丁 из (1.8), а значения % и Ор из (1.1) в третье уравнение равновесия (1.4) и производя интегрирование по у, получим
。尸丫 (空自+?卷)-7 + [(2%),. + (仙)侔]一
-1& 1(8“),《 + (4%),pl + 鳥叉(а. В),(1.Ю)
где % является функцией интегрирования и определяется из условий (1,3).
Удовлетворяя условиям (1.3), получим, согласно (1.10), для
нормального напряжения о?
。丫 = Е(а，①+丫鼻色，В)+Мз(% В)，(1」1)
а также следующее уравнение:
^+^2 = ^+4^；(1.12)
здесь наряду с (1.9) введены и следующие обозначения:
P^^ + iZ^ 2=筝,p3 = 一 系， (1-13)
Z1 = Z+ —Z-, Zz = Z+ + Z-,'
Таким образом, мы получили формулы (1.8) и (1.11), которые совместно с формулами (1 Л) позволят определить все шесть составляющих тензора напряжений.
Что же касается внутренних сил, то они могут быть определены из разрешающих уравнений.
Разрешающие уравнения и граничные условия. Разрешающие дифференциальные уравнения, по сути дела, уже получены. Удовлетворяя условиям на поверхностях (1.3), мы не только определяем функции интегрирования 屮(а, р),屮(а, р),工(a, p), но и получаем искомые разрешающие уравнения (1.7) и (1.12), которые в силу (1.9) могут быть записаны следующим образом:
(1.15)(1.15)(8 北),.一 北8,. + (4S), 0 + S4,尸-ABX2, {AT^^-T.A^iBSy^SB^-ABY,,
(1.15)
(1.15)
T禽+?2& = Z2 + ^Z；.
Таким образом, мы получили уравнения равновесия для безмоментных оболочек. Как нетрудно заметить, эта система
15 С. А. Амбарцумян
226 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II уравненийне может быть получена из системы уравнений равновесия классической теории (1.1.21) путем отбрасывания членов моментного происхождения* Здесь в третьем уравнении равновесия (1.15) фигурирует грузовой член %Z；/2, который происходит от учета поперечных касательных напряжений %丫 и 工財，
Выше было указано, что граничные условия общей моментной теории анизотропных оболочек ничем не отличаются от соответствующих граничных условий однородной изотропной оболочки. Естественно, что то же самое можно сказать и для случая безмо- ментной оболочки. В связи с этим, не вдаваясь в подробности общих вопросов граничных условий безмоментной теории оболочек, приведем некоторые примеры граничных условий в классической поетановке. Ради краткости записи граничные условия приводим лишь для края, который определяется координатной линией a = a0=const.
L Однородные граничные условия:
свободный край:
^ = 0, S = 0;(1.16)
шарнирный, свободный в тангенциальном направлениии край:
Ту = 0, и = 0 или S = 0,4=0；(1.17)
абсолютно заделанный край:
4 = 0, и = 0.(1.18)
IL Неоднородные граничные условия:
загруженный край:
北=也，S = S*；(1」9)
смещенный край:
口 =纵，и = *(1.20)
Безусловно, возможны и другие граничные условия.
Перемещения и деформации. Соотношения (15), устанавливающие связь между перемещениями какой-либо точки оболочки 必(а, р, у),陶(а, % у), и、(а, “ 丫)и компонентами тензора деформаций, с принятой здесь точностью можно переписать следующим образом:
%=3，« +鳥"в + "№，
]1
%=2居),Т +%匕"亠产乱号)/^(?],(‘ e^A^iy+ia^
Из третьего уравнения обобщенного закона Гука (6), в силу (1.21), (1.1), (1.11), можно получить следующее соотношение:
%，Т =a13*^" + 映? +a36"^ +а3з (p1 +7% +『三)，(1.22)
Интегрируя обе части (1.22) по у в пределах от нуля до 7, при этом полагая, что при 丫=0 u^=w (а,卩),получим
% = ^ + Y但3? +出3整 +&6告+您p])+
+ 也33 字+Y%3 与，(1-23)
где w (а, В) — нормальное перемещение срединной поверхности оболочки.
Рассматривая (1.23), замечаем, что, в отличие от классической теории, нормальное перемещение какой-либо точки оболочки в общем случае зависит от 丫 нелинейно.
Далее, из второго и третьего уравнений обобщенного закона Гука, (6), в силу (1.21), (1.1) и (1.8), получим
4 (* %)，Т =铀5(争 +"2)+ 期(¥ +/2)一 一^J 一★%3 3 + 出3 冬+ 的()4~ + a33p1)「
一方 a33p2,a 一 百 a33^3,a,
3k* =。44传+尹2)+时(今+尹A _j_ %，Р 一 * (%3 ? +a23 g +a36 "J + 出3尸1), R一
-冷砲3р2, В -右 Q33P3, г
Интегрируя уравнения (1.24) по у в пределах от нуля до 丁 и при этом учитывая, что при 丫=0 иа = и (а, р), %=и (а,卩)，получим для тангенциальных перемещений какой-либо точки оболочки следующие формулы:
% = Е— + J“ + “55 ("J Xi + 孟 X?) + 侬传匕 + ^ 匕)一
一务 Pl'a 一岔 а33p2, a 一击 а33p3, a，
U^ — V~~B %+®4(+ У1+克 У2)+ a46 (1 X1 + ^ X2)—
一2B P，?一岳的3p2, в 一 ^ва^^> 3，
228 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК ［ГЛ. II где
^1 —^S^ + ^S'^ + ^'y+^^l = ^* +。33匕’'
l=%3韋+a23今+。3(:2)
〃(а, В), V (а, В) —тангенциальные перемещения соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
Таким образом, здесь, также в отличие от классической теории, тангенциальные перемещения какой-либо точки оболочки и» 作 в общем случае зависят от 丫 нелинейно.
Подставляя значения перемещений ue, 乂卩 и % соответственно из (1.25) и (1.23) в первое, второе и шестое соотношения (1.21), получим для еще не рассмотренных компонент тензора деформаций следующие выражения:
Q = e1+ Т ［厶㈣+芸%" +鳥4 & +耳p；］+
+ ^ЛРЪ + ^а+^А^2 + к^Р^
+ Y 3 ［争5(p" +月督%］+f*仇冏，(1.27)
% = % + Y ［厶2 (妨 + 营 Qi, 8 + 5^ 8, (/\ + 吋；］+
+ d［；& 阳)+ 急 <?2, 。 + 赢 3, E + & 学尸2］+
+『［督厶(2) + &粤曰+ f請厶2 (Рз)，(1・28)
每=3 + 了 ［2%出)+為(与)8+导徵J+T2圧(Р；)+爲(今)В +
+ 备(», J + T3?厶(匕)+ ^^))(1.29)
где введены обозначения:
% = a^i +。45匕，Qc = 〃44匕 + &5X"(1.30)
а также известные представления
%=4■叱 а +吃 4/+瓦S,
% = ±и в + %В, / + &”，>(L31)
Для линейных операторов Li имеет
(1.32)(1.32)厶(g)=—才(才 g.«), л~ав^а.^,伊厶 2(д) = — 4"($д,в),「* A2B В ‘ 也,а，
(1.32)
(1.32)
% (д)=—嘉(д,叩一；4 必《—$ в, «д, J.
С другой стороны, для тех же ^деформаций (%, е俨 е硝)из обобщенного закона Гука (6), согласно (1. 1), (1. И) и (1. 13), получим
4 =旬 整 + % 学 + % ^ + % (今 + ^ Z；) +
(1.33)(1.33)(1.34)(1.34)(1.35)(1.35)+ "13卷一Т2泉2；, ё产侬券+侬^+働告+^修+^ z;)+
(1.33)
(1.33)
(1.34)
(1.34)
(1.35)
(1.35)
+ Y叫整一Т啜g, e“B=。褪^" + %? + 出6 тг + азб(^'+4 Z；) +
+ 丫"36今一『赛Z；.
В приведенных здесь выражениях для компонент деформации множители при 丫 всех степеней могут быть в некоторых частных случаях настолько малы, что с принятой точностью ими можно пренебречь по сравнению с е” со или по сравнению с членами, содержащими т иных, более низких степеней. Однако в общем случае этого делать нельзя. Поэтому в дальнейших рассуждениях все члены, входящие в формулы для компонент тензора деформаций, должны быть оставлены без каких-либо модификаций. Конечно, при зтом в очевидных случаях членами, имеющими порядок 儿『 можно пренебречь по сравнению с единицей.
Приравнивая соответствующие значения компонент тензора деформаций, выписанные в (1.27), (1.28), (1.29) и в (1.33), (1.34), (1.35), получим три уравнения. Здесь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у, найдем те системы уравнений, удовлетворение которых обеспечит безмоментное состояние оболочки и даст возможность определить искомые перемещения и (% В), у (а, ₽) и W (а,卩).
Приравнивая коэффициенты при 7 в нулевой степени, согласно (1.31) получим
3 忆 +表4/+网"=/1^ + Q12年+%6^ +
+ у^ ^1 + ^13 у ^2»
百"，В + ТБ" '，/ + "2" = @22 万 + '12 "д' + Я26 V + 厶 (1-36)
+ £ Z] + 〃2з 后 z；,
年0),Р+^(分)“="66 4'+%6今+
+ 働今+粤 Z] + a% Z；.
Уравнения (1.36) составляют полную систему дифференциальных уравнений, с помощью которых могут быть определены искомые перемещения. Эти уравнения, в отличие от соответствующих уравнений классической безмоментной теории анизотропных оболочек, содержат члены (с множителями а13, а23, а36), которые появились здесь в результате учета явлений, связанных с поперечными деформациями оболочки. Очевидно, не всегда влияние этих членов на перемещение оболочки ощутимо, однако они должны быть оставлены для рассмотрения, ибо не исключены случаи, в которых учет явлений, связанных с поперечными деформативными характеристиками оболочки, может стать необходимым.
Далее, приравнивая соответствующие коэффициенты при всех остальных у, получим следующие четыре группы соотношений： первая группа:
厶№) +耳八=于Z2 - 0331心(ZJ 一耳粵4一
]1
厶2 候)+ &T* = * Z? — @33 ^■厶2 (^2)— &粤 Z]— ，(1.37)
2厶心)=*爲一^普得%一^分伶),3；
вторая группа:
%(t*)= 一*4(zj 一自皆么一芈2一
I J(1.38)
-~AhF^~ABhA^^
厶 2(?*)= -粵厶(ZJ-&赞Z2 一皆 Z；一
一筋q2,L 风 (1.38)
4(7*) = —岑"(窃一赛爲一费令伶)厂/4■修),“；J
третья группа:
厶工 02)—及*；=：0, Л2 (Z2) — k2Z^ = О, Л3 (Z2) =0;(1.39)
четвертая группа:
厶(Z；) = 0, %(Z；) = 0,厶3(Z；) = 0・(1.40)
Выполнение условий (1.37)—(1.40) обеспечивает безмомент- ное состояние оболочки. От уровня точности удовлетворения условиям (1.37)—(1.40) зависит степень чистоты безмоментного состояния оболочки.
Рассматривая условия (1.37)—(1.40), замечаем также, что для обеспечения безмоментности оболочки ограничения должны быть наложены не только на геометрию оболочки и на внешнюю нагрузку, но и на механические характеристики материала оболочки. Точнее, на оболочку, должны быть наложены согласованные между собой геометрические, статические и физические ограничения.
4・ Еще раз о напряжениях. Напряжения оа, о^ и 工珅,на которые были наложены гипотетические ограничения, могут быть представлены также с помощью деформаций.
Первое, второе и шестое соотношения обобщенного закона Гука (6), в силу (1.11), (1.13) и (1.27)—(1.29), могут быть записаны следующим образом:
〃iFa + ai2°p + 〃1б%е = % — %з 管 + "^ Z；) +
+ 丫［厶1(0) +点%,«+鳥4 pQi+V%3年］+
+d［^厶阳)+£G-為4m +济粤Р2+耨纥］+
+ T3 L1 厶(ZJ -屈鴇 &］- d 患厶幽)，(1.41) a22。Р + 旬2% +a26% = ё2 一a23 倍 + 4 Z；) +
+了 ［厶(。)+击Qi, R+鳥"E+仅Р；-出3卷］+
+ f\jLAP^^Q^ + ^B^+k^Pi + ^+
+ T3 ［欝 LAZ^-k.^ Z；］—d 貌 L,{Z^(1.42)
"66%3 + 询产“ + "26。В=3 - "36 伶+ ^ Z；) + 7 [ 2%(W7)+ 摄 о e +
+导(汾,「"36 -y] + d [乙3 (P；) +爲(今)В +聶修)" +3制+
+ F 芻％ (Zj — f 親％ (&)•(1.43)
Из (1.41)—(1.43), согласно (1.37)—(1.40), с учетом (1.11) (1.13), (1.14)—(1.26) получим следующую систему уравнений:
“11% + 旬2。卩 + "16% = S1 — «13Р1-
“12% + &2。卩 + “26% = е? —。23巴，'(1.44)
%6а。+ 出6,3 + aee\p = 3 一"36尸Гj
Разрешая систему (1.44) относительно напряжений, получим
% = %年+修2迅+ 516to -匕件 +% = %年+修2迅+ 516to -匕件 +I = ^22e2 + 512sl + 526 to — %佟 +I = ^22e2 + 512sl + 526 to — %佟 ++ ^ 爲 №芻),a + (4 %), В〕｝，+ ^ 爲 №芻),a + (4 %), В〕｝，
% = %年+修2迅+ 516to -匕件 +
% = %年+修2迅+ 516to -匕件 +
I = ^22e2 + 512sl + 526 to — %佟 +
I = ^22e2 + 512sl + 526 to — %佟 +
+ ^ 爲 №芻),a + (4 %), В〕｝，
+ ^ 爲 №芻),a + (4 %), В〕｝，
%§ —筑6①+ §16% + 526®2 — % 伶 +
+ •!爲 №4)," + (4%)冋，
где для %, со имеем (1.31),для Bik1как обычно,
■Ви = (а22й66 ■—磁6)*\8】6 =(@i2a26 — a22al6)Q\
(1.46)(1.46)(147)(147)■®22 ~ (^11^66 '~a；6)Q]»^26 =(@12a16 —。11@26)QI
(1.46)
(1.46)
(147)
(147)
§66(@11@22 一就2)91,512 =^(@16@26@12@66)9\
Q = (@11。22 一 研2)a66 + 2a]2al6@26 一a11 碱6 一
причем постоянная
匕=Baa15 + В 扌 2a23 + 居 б@зб・
Рассматривая формулы (1.45), замечаем, что полученные напряжения aaJ apj т碉 не изменяются по толщине оболочки, т. е. исходное условие безмоментности, с принятой здесь точностью 1 土"打3, обеспечено.
Из изложенного здесь хода получения формул для напряжений (1.45) видно, что условий (1.37)—(1.40) достаточно для обеспечения безмоментного напряженного состояния оболочки.
Условия (1.37)—(1.40) могут быть заменены смягченными условиями, обеспечивающими безмоментность оболочки с некоторым приближением. Эти смягченные условия можно получить, предполагая, что те части напряжений %，^，七硝，которые изменяются по толщине оболочки (см. (1.41)—(1.43)), пренебрежимо малы по сравнению с теми частями этих напряжений, которые не изменяются по толщине.
5・ Об области применимости безмоментной теории. Полученных выше расчетных формул и уравнений безмоментной теории однородной анизотропной оболочки достаточно для определения напряженного состояния различных типов оболочек. Эти формулы и уравнения были получены в предположении (1.1). Однако очевидно, что исходные уравнения безмоментной теории могли бы быть получены и в более точной постановке. Например, полагая
% 一后(1 +的Y)' 力 0 + 也t)' ..
aв一九(1+左27尸 Ba 一方(1 +/7)，
удовлетворим первым четырем соотношениям (1.1.15), а из формул для моментов получим условия строгой безмоментности, т. е. ^==0, М2=0, Zf12=0,五21=。・ В этом случае, как легко заметить, в отличие от классической постановки безмоментной теории, основные напряжения по толщине оболочки не остаются постоянными.
Очевидно, что условиям нулевых моментов можно удовлетворить и иными соотношениями типа (1.1), (1.48). Однако эти вопросы здесь не будут обсуждаться, так как они не дают ничего нового с точки зрения приложении.
Безмоментная теория, будучи приближенной теорией расчета оболочек, дает возможность выявить лишь приближенную картину напряженного состояния оболочки.
Для обеспечения достаточной точности получаемых по безмоментной теории значений искомых расчетных величин должны быть соблюдены некоторые условия, которые мы вынужденно заимствуем из теории изотропных оболочек. Дело в том, что специфические особенности теории, которые появляются в связи с анизотропией материала (см. предыдущие пункты), или неклассический закон распределения напряжений (см., например, (1.48)) недостаточно полно изучены с точки зрения установления условий применимости безмоментной теории. Поэтому условия применимости безмоментной теории в случае анизотропных оболочек мы возьмем из теории изотропных оболочек. Отметим также, что область применимости и оценка погрешности безмоментной теории
234 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II и в случае изотропных оболочек окончательно не установлены. В силу сказанного выше, здесь, не вдаваясь в подробности, приводим один из вариантов условий применимости безмоментной теории.
Условиями применимости безмоментной теории оболочек являются следующие:
Линии искажения на срединной поверхности оболочки не должны образовывать слишком густую сетку.
Ни одна из линий искажения не должна касаться асимптотических линий срединной поверхности, т. е. линий на поверхности, вдоль которых нормальная кривизна этой поверхности обращается в нуль.
Внешняя нагрузка и силы реакции должны иметь плавный характер изменения, т. е. не должны иметь слишком большого показателя изменяемости.
Срединная поверхность оболочки не должна обладать некоторыми особенностями (например, цилиндрическая оболочка не должна быть слишком длинной; коническая оболочка не должна содержать вершины конуса; срединная поверхность оболочки не должна касаться плоскости по замкнутой кривой; оболочка не должна быть слишком пологой и пр.).
Срединная поверхность оболочки должна быть жесткой, т. е. она не должна деформироваться без растяжений (сжатий) и сдвигов.
Приведенные условия нуждаются в уточнении тем более для случая анизотропных оболочек. Вопрос о формулировке корректных условий применимости безмоментной теории анизотропных оболочек является весьма интересным и ждет своего разрешения.
Несмотря на сказанное выше, безмоментная теория анизотропных оболочек представляет большой интерес как с точки зрения общей теории анизотропных оболочек, так и приложений.
Много интересного о безмоментной теории изотропных оболочек читатель найдет в литературе, посвященной классической теории оболочек. Что же касается безмоментной теории анизотропных оболочек, то литература по этому вопросу весьма скудна. Специфические особенности безмоментного напряженного состояния анизотропных оболочек недостаточно полно изучены и, как видно из результатов, изложенных в предыдущих пунктах настоящего параграфа, должны быть выявлены совместным учетом геометрических и статических особенностей рассматриваемой оболочки.
Не останавливаясь более на общих положениях безмоментной теории анизотропных оболочек, переходим к рассмотрению отдельных классов оболочек.
§ 2« Безмоментная теория анизотропных оболочекнулевой кривизны
Здесь в общей постановке рассматриваются вопросы безмомент- ной теории анизотропных оболочек нулевой гауссовой кривизны. Решения конкретных задач не приводятся, так как они могут быть получены из общих формул путем элементарных подстановок и преобразований.
1 ・ Ортогональные криволиневные координаты на поверхностях нулевой гауссовой кривизны. Поверхность нулевой гауссовой кривизны определяется как геометрическое место касательных к произвольной пространственной кривой. Если указанную поверхность отнести к линиям кривизны (а, §) и предположить, что /?；'==自=0, то уравнения Гаусса—Кодацци (2) перепишутся следующим образом:
(2.1)
&4，В=°，(5左2), а = 6 J
Из формул (2.1) следует, что коэффициент первой квадратичной формы А зависит только от а, т. е. А=А (а); тогда для дифференциального элемента дуги a-линий получим
dsa = Л (а) da.(2.2)
Вид функции А (а) зависит от выбора параметра а. Если за а принять длину дуги a-линий, т. е. принять а=%， то для рассматриваемого коэффициента первой квадратичной формы получим А=1.
Тогда из (2.1) для второго коэффициента первой квадратичной формы В и для отличного от нуля главного радиуса кривизны % будем иметь
5 = 5/(р) + а#(р),(2.3)
也= _ff = R(p) + a_ff"(p).(2.4)
Таким образом, для поверхностей нулевой кривизны, отнесенных к линиям кривизны, справедливо следующее утверждение: если один из коэффициентов первой квадратичной формы равен единице (4 = 1), то второй коэффициент первой квадратичной формы (5) и отличный от нуля главный радиус кривизны (尺?) являются линейными функциями координаты а.
В частных случаях функции Bz (р) и Bf, (а) могут обращаться в нули (конечно, не одновременно).
Рассмотрим два частных случая.
Цилиндрическая поверхность в декартовой системе координат представлена так, что (рис. 41)
胃у = у(р), z = z(p),(2.5)
где уравнениями у=у (р), z=z (р) задается контур поперечного сечения цилиндра.
В этом случае для коэффициентов первой квадратичной формы и для главных радиусов кривизны будем иметь
(2-6)(2-6)4 = 1, В = Bz (₽) = У{^ + (^ ,= ОЭ ,
(2-6)
(2-6)
斤Т— (dy d^z dz d^y\r/dy^ fdz^V/i_ 1 "2 =一同辱一弭軍丿M丽丿十廊丿」一丽， где р= р (Р) — кривизна направляющей кривой.
Коническая поверхность, вершина которой совпадает с началом декартовой системы координат (рис. 42), может быть представлена следующим образом:
(2.7)(2.7)x — ^ cos 8, у = a sin 8 cos 8, z = a sin 8 cos 8,
(2.7)
(2.7)
где 8=8 (卩)——функция, представляющая геометрическое очертание конуса. В общем случае a-линиями являются образующие конуса, а p-линиями будут пространственные кривые, по которым конус пересекается с семейством сфер, имеющих центр в начале декартовой системы координат.
В этом случае для коэффициентов первой квадратичной формы и для главных радиусов кривизны будем иметь
4 = 1, В = аВ"偉)=a、sin28 + (患)，/{】=8,
(2.8)(2.8)/d8、2或 8
(2.8)
(2.8)
] cos 8 sin? 8 + 2 (两丿 cos 8 —而 sin 8
&2&2a[sE2$ +僞)丁a[sE2$ +僞)丁
&2
&2
a[sE2$ +僞)丁
a[sE2$ +僞)丁
Исходные уравнения и соотношения. Полагая для оболочек нулевой кривизны
4 = 1, B = B^ (^^-aвЦ^ 鼻=8,尺=#偉)+ a尺"(Р)，(2.9)
легко получить исходные уравнения.
(2.10)(2.10)Уравнения равновесия, согласно (1.15), имеют вид^(3 驾)一筹厶+^=_3x,幣+^(8S)+寫s = -3R •
(2.10)
(2.10)
*=z，
где (см. (1.9) и (1.14))
X = Xz=・X+ + X-, У= У2= У++ у-,
z = z++z-+煮俣[3(Х+-Х-)]+^(У+—У»
Уравнения равновесия (2.10) удобнее переписать следующим образом:
(2.11)(2.11)(2.12)(2.12)t2 = zr,%^g=_*_BY,^啰看)=-筑+案厶-3x. J
(2.11)
(2.11)
(2.12)
(2.12)
Соотношения упругости, согласно (1.36), имеют вид 0U Т] ] Та . S . А 病=%i 汇 + % 方 + a16 方 +
dv . t дВ . w _?2 I 71 I 5 . 厅
方源十百标"十耳="22T十%026万十3"
4■栄+ 磯传)=%6 ^+ "16 今 + "26 冬 + У，
где
z=^Zi+^z;=^(z+-z-)+
+ 為偿闻 X+ + X)+^(y++ У-)}.(2心)
Расчетные напряжения, согласно (1.1), (1.8), (1.11), (1.13) и (1.14), выражаются следующими формулами:
=今,。产乎，т«Р = %(2/4)
(2.15)(2.15)(2.16)(2.16)%=4"(Х+ — Х-) + ±(Х+ + Х)
(2.15)
(2.15)
(2.16)
(2.16)
*=^(戸_『)++"++六)，.
% =4(Z+ - Z-) + 姦 * в(х+ + X-)]+总(У+ + у-)} +
++(z++Z-)—品保[3(х+ + х-)]+糸(У+ — У»
Общий интеграл уравнений безмоментной теории оболочек нулевой гауссовой кривизны. Интегрирование приведенных выше дифференциальных уравнений безмоментной теории анизотропных оболочек нулевой кривизны может быть выполнено элементарным образом в самом общем виде.
Интегрирование начнем с уравнений равновесия (2.11). Пусть 7; = 7? + 写 S = S()+ S* (2.17)
где с помощью 7： и S* представляется какой-либо частный интеграл неоднородной системы (2.11), а Г? и 5° представляют общий интеграл соответствующей однородной системы уравнений. Тогда, очевидно, Т： и S* можно взять в виде
看=7?Z,夕=—表[[呜(EZ) + 32y]da,
(2.18)(2.18)T： = ^j M [费 j [叫(AZ) + 疹 У] d da +
(2.18)
(2.18)
Здесь нижний предел интегрирования кх считается фиксированным и может быть выбран произвольно исходя из удобств расчета.
Полагая в (2.11) X =0, У=0, Z=0, получим
T^O.S^^f,^，'
?? = _± j击像)&叶/2偉)?? = _± j击像)&叶/2偉)(2.19)(2.19)
?? = _± j击像)&叶/2偉)
?? = _± j击像)&叶/2偉)
(2.19)
(2.19)
где %(В) и /2(Р) являются произвольными функциями интегрирования и должны быть определены из граничных условий. Если граничные условия задачи представлены с помощью статических величин, то функции интегрирования Д и /2 определяются непосредственно из этих условий. Если же граничные условия
выражаются через перемещения, то функции интегрирования Д и /2 будут определяться после интегрирования системы уравнений (2.12).
Интегрирование системы уравнений (2.12) также выполняется элементарно. Имея значения 7\, Т2 и S, из уравнений (2,12) с помощью двух квадратур легко получить значения искомых перемещений и(% р), и(а, р), 以％ р). При этом для удобства дальнейшей записи компоненты перемещения целесообразно представить в виде трех слагаемых:
u=u°-|-u*4-w**, ^=^。+^*+^**,[0=^0+^*+^**,(2.20)
где u°, р°, W7° —— общий интеграл соответствующей однородной системы (2.12) (^=0,笃=°，S=0, Z—0); и*, у*,— частный
интеграл неоднородной системы уравнений (2.12), отвечающий величинам ^*, Т2*, S*, Z; и**, у**, w?** — частный интеграл неоднородной системы уравнений (2.12), отвечающий величинам т о Q0
，丿 2，D •
Внося в уравнения (2.12) вместо тангенциальных усилий 7\*, 爲*, получим
] 8 (@1口； + ®2 Т； + ®б5*) + 〃1з%] ® «2
и* = в\ rj_ (KS* + «1в т; + 出6 т；)+侬勾血一
—，，亲 К，[4"看 + aie^*) +，13纟]"а,
(2.21)(2.21)"=4 “2 爲 + % Т； + 侬尸)+ 3A2 一
(2.21)
(2.21)
—j [4 ("и?； + аг2^2 + а1в^*) + %з2]На — «2'
^$В [ % Е %5* + Й1С Т； + а2в 看)+ a36^J da +
+今К矶咨尉[員М* + "出+旬е*)+侬可九 а?а?
Нижний предел интегрирования а2 считается фиксированным и может быть установлен произвольно.
Внося в уравнения (2.12[ вместо тангенциальных усилий Т^ Т以 S° из (2.19) и полагая Z—0, получим для частного интеграла неоднородной системы (2.12), отвечающего величинам Т?, Т^
и S°,и S°,"** ="** =следующие выражения:L«2%«2следующие выражения:L«2%«2。** = 5芸I霊*1尊^像wL%网 ОС]
и S°,
и S°,
"** =
"** =
следующие выражения:
L«2%«2
следующие выражения:
L«2%«2
-i篇靑^叫一3罕（7嘉用％力+
«2«2-JL 勿勿
+ i赛i总（卷）"一强"a +
+ 3 饕 j 負 da + 3&6 j 4 〃a, "=然［請储传偎）d-j*）- -M（陰靑i穿i靑闺"一倍裁备用一 一置告（f I%"-靑g（i霹玲傍）加一
(2.22)(2.22)Здесь, как и раньше, нижний предел интегрирования считается фиксированным и может быть выбран произвольно.
(2.22)
(2.22)
Наконец, полагая в уравнениях системы (2.12) 厶=0, Т2=0, S=0, Z=0 и выполнив необходимые преобразования, получим общий интеграл соответствующей однородной системы:
(2.23)(2.23)4 = 万布0亦而4 = 万布0亦而da — 5%da — 5%кdв方-5rtpикdв方-5rtpи淤=?i (Р),小=—3 ]表幣"а + 3%,
(2.23)
(2.23)
4 = 万布0亦而
4 = 万布0亦而
da — 5%
da — 5%
кdв
方-5rtpи
кdв
方-5rtpи
§ 2] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 241 где ¥1( В) и <р2( Р)——произвольные функции интегрирования, которые могут быть определены из граничных условий.
Приведенных здесь окончательных формул (2.14)—(2.23) вполне достаточно для определения напряженно-деформированного состояния оболочки нулевой гауссовой кривизны. При этом, как было указано выше, произвольные функции интегрирования 厶(В) и 丸(В), которые входят в формулы (2.19), (2.22) и (2.23), могут быть определены из граничных условий задачи (см. (1.16)—— (1・20))・
В частном случае ортотропной оболочки, когда главные направления упругости материала оболочки в каждой точке совпадают с направлениями a,因 丁 данной точки, т. е. когда а1в= а26=азв=0, формулы для определения перемещений существенно упрощаются и, согласно (2.20)—(2.23), принимают вид
〃=中1+ [ [4*(3看 + a127；) + "13%]友一 «2
v = B^2 —В 春*da+笈[耨 S*da —
«2«а
~B \ ^ 1^ \ [4*(@11看+a12看)+a13%]如 +
«2«2
(2.24)(2.24)+ 5盟:嘉靑]^i专佛)d一L%a2 at
(2.24)
(2.24)
«3«2」叱
+ T ("22 看+"也)+。23E% — "f "黑 j [^ (旬芯 +
+ @i2霍)+ a13z]d2 - ^* 5 ]號•S*da.+ «2
16 С. А. Амбарцумян
+ 5■* 3 j需* ][裁3； + 3；) + m] da ++ 5■* 3 j需* ][裁3； + 3；) + m] da +靑"i嘉亲i'? i击（拿）da-靑"i嘉亲i'? i击（拿）da-(2.2今(2.2今
+ 5■* 3 j需* ][裁3； + 3；) + m] da +
+ 5■* 3 j需* ][裁3； + 3；) + m] da +
靑"i嘉亲i'? i击（拿）da-
靑"i嘉亲i'? i击（拿）da-
(2.2今
(2.2今
一i嘉靑^厶）］-普^亲^爲也附 附 /」а2
Формулы для определения усилий (2.17) —— (2.19) остаются неизменными. Они такие же в случае изотропной оболочки. Однако если рассматриваемая задача такова, что для определения функций интегрирования 厶 должны быть привлечены формулы (2.20)—(2.23) или (2.24) (в случае ортотропной оболочки), то внутренние усилия, определенные формулами (2.17)——(2.19), будут отражать характер анизотропии материала оболочки.
§ 3. Вопросы расчета симметрично нагруженных оболочеквращения по безмоментной теории
Пусть срединная поверхность оболочки является поверхностью вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М срединной поверхности будем определять гауссовыми координатами: углом ср — р/г и меридиональной дугой s=a (рис. 43 и 44) (подробности о выбранной системе координат см. в гл. I, § 2).
(3.1)(3.1)В выбранной системе координат для главных кривизн и коэффициентов первой квадратичной формы имеем
(3.1)
(3.1)
ds '
1 .
_ cos 8
2/ Г
Л = 1, 5 = г, g_ = —sin 今.
Считается, что оболочка нагружена симметрично относительно оси вращения, т. е. X±=X±(s), У±=У±(®, Z±=Z±(s), и имеет соответствующие, симметричные относительно оси вращения, граничные условия, которые не зависят от угловой координаты 屮.
Учитывая сказанное выше, а также тот факт, что в случае оболочек вращения 虱=屏回 R2=R2(s)t r=r(s), 8=8(s), легко
установить, что в случае симметрично нагруженной оболочки вращения внутренние усилия (^,柒，S), перемещения (u, р, w)
(3.2)(3.2)(3.3)(3.3)(3.4)(3.4)
(3.2)
(3.2)
(3.3)
(3.3)
(3.4)
(3.4)
и напряжения (%, % %寸七打,七竹,%) не могут быть функциями угловой координаты 屮.
Исходные уравнения и соотношения. Учитывая (3.1), из основных уравнений безмоментной теории оболочек для симметрично нагруженных оболочек вращения легко получить:
уравнения равновесия:
"Т】I (工 Т ) sin 8 丫 dS* S sin 8 у
分=爲2 一*4，
где
X = x2 = x+ + X, y=%=戸+广，
Z = Zz + ^Z； = Z+ + Z- +
+旣^(х+ — Х-)一(х+ — Х-)平]；
соотношения упругости:
"57+再=% Q/1 +%272 + a16s) +a13%,半*+京•=； (а22^2 + а12Л + а26^) + а^»
^ + 屮 U = ^ @6 Т] + % Т2 + а665) + 期2,
где
% = ^Zi + ^Z； = ^(Z+-Z-) +
+4 [4 (Х+ + Х-) _(х+ + Х-)平];(3.5)
расчетные напряжения:
。，=方，。. =方，% = k，(3，6)
т“ = 4"(Х+_Х-)+ 千(Х+ + Х-),] 年二貝广一尸+京广+广"""
。产 4(z+ -2-)+4 [4(х+ + Х-) _ (Х++Х-)用]+
+ +(z+ + Z-)-要层(x+ + X-) —(x+ + X-)屮].(3.8)
Общий интеграл уравнений безмоментной теории симметрично нагруженных оболочек вращения. Интегрирование приведенных выше уравнений безмоментной теории анизотропных оболочек вращения, нагруженных симметричной относительно оси вращения z нагрузкой, может быть осуществлено элементарным образом.
Пусть
U = Tj cos 8, V ~ S「2； (3.9) тогда из первых двух уравнений равновесия (3.2), с учетом третьего уравнения и представления (3.9), для новых искомых функций U=U(s) и 卩=P(s) получим следующие уравнения:
-^- = —г (X cos 8 + Z sin 8),
Интегрируя эти уравнения, найдем
U = — [ г (X cos 8 + Z sin 8) ds + %,(3.11)
V = — \r^Yds+VQ,(3.12)
где Uq и Vo ——постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий, а нижний предел интегрирования s° считается фиксированным и может быть выбран произвольно.
Подставляя значения /7 и F из (3.11) и (3.12) в (3.9) и далее в (3.2), придем к следующим выражениям для внутренних сил:
笃= -：й~^У ir(Xcos8 + Zsin8)ds_%], (3.13)
厶=瓦詣專 ir(Xcos8 + Zsin8)ds—q, + 爲 Z,(3.14)
S = —产 yds—%).(3.15)
Структура этих формул, как и следовало ожидать, ничем не отличается от структуры соответствующих формул классической теории симметрично нагруженной изотропной оболочки вращения. Единственное различие содержится в представлении Z: здесь под нормальной компонентой внешней поверхностной нагрузки надо подразумевать выражение (3.3).
Имея значения внутренних сил (3.13) — (3.15) и внешнюю поверхностную нагрузку, можно определить с помощью формул (3.6)—(3.8) напряжения в оболочке.
Переходим к определению перемещений. Из первого уравнения (3.4), учитывая третье уравнение равновесия (3.2), получим для нормального перемещения следующее выражение:
ZP =亲[(@口 一 @12 穹)Л+a16^ +@12к2z]-
一马黑+з自发(3.16)
Подставляя выражение (3.16) во второе и третье уравнения (3.4) и при этом учитывая третье уравнение равновесия (3.2), найдем
备 + ~^ и =《16 —。26 穹并 +。66-^ + “26 隼 Z + азе%.
Пусть
? =氤，屮=$(3」8)
тогда из (3.17) получим уравнения
%=@1 - 2a12 亲 + a22 篇)学 T'+^ie 一a26 矍埠 4" +
(3.19)(3.19)+ ("12 - 出2 舞冷 Z + @3 - "23 詳)V" Z， 黑=(°16 - "26 器)書+ &6 ^ + a26 ■§- Z + %6 J %
(3.19)
(3.19)
Интегрируя эти уравнения, придем к следующим выражениям для вновь введенных искомых функций:
? = S [(ач ~ 2а^ 4? + а^ ^) ^ Ti+(%6-a26*)^S +
+ (a12一 出2^)^Z +(% 一出3窑)§ %Z]ds] + 外，(3.20)
+ °26 mz +〃36^Z]ds} + %‘ (3.21) где 屮о и 屮о ——постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий оболочки, а нижний предел интегрирования s0 выбирается так же, как в случае статической задачи.
Подставляя значения 屮 и 屮 соответственно из (3.20) и (3.21) в (3.18) и далее в (3.16), получим для искомых перемещений u(s), p(s), s(s) следующие формулы:
И =J [(“11— 2&12 穿+&22寿)牛北 +(%6 —“26 靠)^S +
I So'
+ (a12 一a22 窑)~^ + (a13 一 出3 强)~ 力z]曲 I + 中0 COS 8,(3.22)
u=/. j[(a16—a設许 + a66六 + eo
+ 仪26? Z + 〃зб^ %]“ +%，(3.23) 勿=■^ I i [(“L 2a12 為 + «22 ^冷北 + (“16 —。26 寨冷 S +
+ (a12 -a22 款)华 Z + 33 -a23*)~^^1 ds} +
+ 整[但2 —仪22 *)厶 + 仪26s + a22R2Z + a^hZ^ + 屮° sin 8. (3.24)
Приведенных выше формул (3.6)—(3.8), (3.13)—(3.15), (3.22)—(3.24) вполне достаточно для расчета анизотропной симметрично нагруженной оболочки вращения. Конечно, при этом мы будем сталкиваться с необходимостью определить постоянные интегрирования и。， 卩。，屮о， 屮о，что нетрудно осуществить, если граничные условия рассматриваемой задачи известны.
Несколько слов о напряженно-деформированном состоянии симметрично нагруженной оболочки вращения. Выше было отмечено, что формулы для определения внутренних усилий имеют обычную классическую структуру. Что же касается формул для определения перемещений, то они принципиально отличаются от соответствующих формул классической теории симметрично нагруженных изотропных оболочек вращения. Здесь, в отличие от задачи изотропной оболочки, каждое перемещение (и, р,如) в отдельности зависит от всех трех компонент (X土，У土，Z^ внешних поверхностных нагрузок. В силу этого легко заметить, что когда симметрично нагруженная анизотропная оболочка вращения статически неопределима, т. е. когда граничные условия таковы, что постоянные интегрирования UQ,匕 не могут быть определены без помощи соотношений (3.22)—(3.24), то каждая внутренняя сила (7\, Т^ S) в отдельности тоже зависит от всех компонент внешних поверхностных нагрузок. В случае же, когда оболочка статически определима, т. е. граничные условия таковы, что постоянные интегрирования Ug Vo определяются непосредственно из граничных условий и соотношений (3.13)— (3.15) без помощи (3.22)—(3.24), то, как и в изотропных оболочках, компоненты внешней нагрузки X土 и Z土 вызывают в оболочке лишь внутренние силы 7\ и % а компоненты У土 вызывают лишь внутреннюю силу S. Что же касается перемещений, то они (каждое в отдельности) и в этом случае зависят от всех трех компонент каждой поверхностной нагрузки.
Картина несколько изменяется в случае ортотропной оболочки вращения, т. е. когда в каждой точке оболочки одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверхности оболочки, а остальные две перпендикулярны к координатным линиям s=const g=const. В этом случае формулы для внутренних сил (3.13)——(3.15) остаются без изменений, а формулы для перемещений (3.22)—(3.24) принимают вид
и =и =cos %cos %(3.25)(3.25)hh
и =
и =
cos %
cos %
(3.25)
(3.25)
h
h
u = 066 %]▼ ds + r屮о,
«о
WW(3.25)(3.25)芈-2a 端+ м 幫许，+
W
W
(3.25)
(3.25)
+ (012 -a22籌)^ Z + (a13 - a23幫)华九勾臨| +
+ 号[(% - @22 籌)，+ a22K2z + a23攵%] + ?0 S也 %
Здесь, как и в случае симметрично нагруженной изотропной оболочки вращения, перемещения u(s) и ”(s) вызываются лишь двумя компонентами (X土，Z土)внешних поверхностных нагрузок, а перемещение u(s)——лишь одной компонентой (У土)внешних нагрузок. Вообще говоря, в случае симметрично нагруженной ортотропной оболочки вращения компоненты внешних поверхностных нагрузок Х± и Z土 вызывают лишь внутренние силы 笃 и 丁2，а компоненты У土 —— лишь внутреннюю силу S.
Наконец, отметим, что первая группа формул (3.6)—(3.8), (3.13)—(3.15), отвечающая статической задаче симметрично нагруженной оболочки вращения, содержит две постоянные интегрирования (С70, Fo), а вторая группа формул (3.22)—(3.24) или (3.25), отвечающая геометрической задаче симметрично нагруженной оболочки вращения, содержит четыре постоянные интегрирования (U。，卩°, у。，屮о). Отсюда, как и в случае изотропной оболочки, для определенности решения поставленной задачи на каждом из двух ограничивающих оболочку параллельных торцевых кругов должно быть задано по два граничных условия. Из этих граничных условий по крайней мере два должны быть заданы в перемещениях, иначе оболочка будет смещаться, как твердое тело.
В частном случае, когда оболочка вращения имеет один край, т. е. оболочка имеет одну замкнутую вершину, количество граничных условий уменьшается вдвое.
§ 4. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения ортотропной симметрично собранной слоистой или однородной оболочки вращения* О частном решении неоднородного уравнения
Разрешающее уравнение симметрично нагруженной ортотропной оболочки вращения имеет вид (1.2.24), (1.2.25) 或asin 8 da入 sin2 8 丄.[^ 焉 a —尸2
d52 r ds г2 '十 ? J/e1141% 一 r^n
—十上制工［%巻半•"!，(4.1)
где искомой является комплексная функция a (s), которая в раскрытой форме записывается следующим образом:
m蒜 К(4-2)
Имея значения функций W(s) и F(s), с помощью формул (1.2.6), (L2.ll), (1.2.15) (1.2.16), (1.2.22), (1.10.8) можно определить все расчетные величины.
Об определении частного решения уравнения (4.1). Частное решение линейного уравнения (4.1) может быть определено обычным образом. Как показывают многочисленные исследования, во многих случаях частное решение неоднородного уравнения (4.1) может быть построено по безмоментной теории. В частности, это можно сделать, если внешняя нагрузка, срединная поверхность и толщина оболочки изменяются достаточно плавно, при этом срединная поверхность не содержит окрестностей особых точек.
Из основного положения безмоментной теории симметрично нагруженной оболочки вращения имеем
М = 0,吼=0, N = 0・М = 0,吼=0, N = 0・(4.3)(4.3)
М = 0,吼=0, N = 0・
М = 0,吼=0, N = 0・
(4.3)
(4.3)
Согласно (4.3) из (1.2.11) и (1.2.16), как частный интеграл неоднородной системы разрешающих уравнений (1.2.17), (1.2.18),
получимполучим仍=0,广=仍=0,广=尸2cos 8尸2cos 8(44)(44)
получим
получим
仍=0,广=
仍=0,广=
尸2
cos 8
尸2
cos 8
(44)
(44)
Далее, на основании (4.4) из (4.2) для частного решения неоднородного уравнения (4.1) будем иметь
(4.5)(4.5)
(4.5)
(4.5)
Значения усилий 7\ и 笃，отвечающие частному решению (4.5), определим с помощью формул (1.2.11). После некоторых преобразований найдем
7*1
1Т?2 COS2 8
— ］「(X cos 8 + Z sin 8) ds
L8。」
：(4.6)
T# 1
27?! cos2^
j г (X cos 8 + Z sin 8)ds —秦
-8。-
+ %z；
при этом, как и раньше,
& =⑺ cos 8。+ № sin 8。) 2%,(4.7)
а величины с нуликами представляют значения соответствующих параметров у края s=sQ (рис. 19).
Значения Т^ и 厶* могут быть получены непосредственно из соответствующих формул безмоментной теории оболочек вращения. Из (3.13) и (3.14), с помощью (1.2.12), (1.2.13), после некоторых преобразований для TJ и 北* получим формулы (4.6).
Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения (4.1). Полагая, что частное решение неоднородного уравнения (4.1) точно или приближенно построено, здесь будем заниматься лишь вопросами нахождения общего решения соответствующего однородного уравнения, которое, очевидно, имеет вид
d2a sin 8、sin2rn
急一(48)
где равенство Х=С22/Cu ^^22^11 Для однородной оболочки удовлетворяется точно, а для многослойной оболочки ——приближенно. В частном случае многослойной оболочки, когда отношение B\JВ、для всех слоев оболочки имеет одинаковое значение, указанное выше равенство также удовлетворяется точно. К этому равенству еще раз вернемся чуть позже.
Учитывая (1.1.25), (1.2.15),(1.10.16),(1.10.17), можно
показать, что множителем последнего члена уравнения (4.8) для многих типов тонких оболочек является большой параметр
4守苓金这，(49)
где а и & ——некоторые постоянные, которые имеют размерность Bik и зависят от упругих и геометрических (в случае слоистых оболочек) характеристик оболочки; h — величина, характеризующая толщину оболочки. Вводя новое обозначение
胪=4, k=V#h,(4.10)
перепишем однородное уравнение (4. 8)- следующим образом:
d2a sin 8 da . sin?» 〕莪2/г л л\
as2 r as г2 1 力 ％/
В силу сказанного выше можно утверждать что коэффициентом последнего члена уравнения (4.11) является большой параметр, поэтому для определения быстро изменяющихся решений может быть использован метод асимптотического интегрирования. Очевидно, в частном случае, когда отношение Ыа таково, что параметр А нельзя считать большим, метод асимптотического интегрирования, вообще говоря, не может быть использован для нахождения решений уравнения (4.11).
(4.12)(4.12)Полагая, что 力=乃2 является большим параметром, интегралы уравнения (4.11) будем искать в виде 。=屮(“用済/⑺，
(4.12)
(4.12)
§ 4] ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА 251 где 屮(s,乃)一функция интенсивности, /(s) — функция изменяемости.
Функция интенсивности может быть представлена в виде асимптотического ряда
Ms, ms%(s) +屮 + 守+•••+*+••.,(4.13)
в котором а0, Oj, . . . , 6〃 не зависят от большого параметра 乃, а %壬0・
Ограничиваясь первым приближением асимптотического интегрирования, окончательно для искомой функции o(s) получим следующее выражение:
о =(笈1 cos р — F、sin P) e" + (E2 cos 0 + % sin 卩)或 +
+ "(当 sin 0 + 储 cos в) e~^ —(总2 sin p - F2 cos ①或],(4.14)
где
E^ F. — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из граничных условий.
Подробные выкладки, необходимые для получения решения (4.14), здесь опущены; они приведены достаточно полно в книге автора «Теория анизотропных оболочек».
Рассматривая ход получения решения (4.14), легко заметить, что это решение с такой же точностью можно получить непосредственно из исходных уравнений (1.2.17), (1.2.18), если в них пренебречь третьими и четвертыми членами, т. е. теми членами, которые содержат отношения С22/Сп и Z>22/Z)n. В силу этого можно утверждать, что ограничивающее предположение С221c =Z)22/Z>11, принятое для слоистой оболочки, теряет свою силу, т. е. если ограничиться точностью первого приближения асимптотического интегрирования, то ограничивающее равенство СЕС\* = D?JD、工 не будет влиять на дальнейший ход расчета оболочки вращения в общем случае симметричной слоистости и ортотропной анизотропии.
Путем элементарных рассуждений нетрудно показать, что первое приближение асимптотического интегрирования разрешающих уравнений симметрично нагруженной ортотропной оболочки вращения имеет погрешность порядка ^h/Rit малую по сравнению с единицей.
В настоящей работе мы ограничимся лишь первым приближением, так как для целей инженерного расчета точность его вполне достаточна. При желании, исходя из уравнения (4.11) в случае
однородной оболочки или из системы уравнений (1.2.17), (1.2.18) в случае слоистой оболочки, можно построить второе приближение, точность которого не будет ниже точности исходных предположений классической теории.
Общее решение разрешающего уравнения (4.1), очевидно, представится суммой решений (4.14) и (4.5). Учитывая (4.2), (4.9), получим
o=W — tA~^V= (Е\ cos р —储 sin Р) с' +
+ (瓦 co；s p + 斤2 sin P) e₽ -{- ^ [(^i sin P + % cos g)产—
-(% sin P — F2 cos P) eB] + Z 齧4 喪. (4.1G)
Отсюда, отделяя мнимую и вещественную части, будем иметь
/W =阳 cos р — 储 sin P) e" +
B
+(£2cosp + F2sin p)e3, (4.17)
卩=-紀 @i sin P + % cos p) e-R -
一 (％ sin p - & cos p)身—黜.(4.18)
Таким образом, формулами (4.16)— (4.18) представляются решения как си- so стемы уравнений (1.2.17), (1.2.18), так
Рис 45и эквивалентного разрешающего уравне-
'ния (4.1).
Решение уравнения (4.1) можно представить в несколько ином виде. Введем новую переменную (рис. 45)
『图或-修隰(4.19)
Тогда для основных искомых функций Ж (s) и У (s) получим следующие формулы:
W = А^ cos р + В^ sin р + 儿尸％ cos % + 52е-^ sin 区，(4.20)
V = —(4伍' sin 8 -月传5 cos p + A^e~^ sin 瓦一
—JeEcos%) —縞， (4.21)
где 4" Bi ——новые постоянные интегрирования.
Функции, входящие в (4.20) и (4.21), табулированы (см. таблицу 1). Для этих функций вводим следующие обозначения:
0 (В) = е-° cos Р， C(p) = e-°sinp,]
Y@)=e(P) + c(①，屮0) = е(Р)-с(В)・ J)
Таблица 1
В
中偉）
屮偉）
9(.8)
e偉）
1,0000
1,0000
1,0000
0
0,9907
0,8100
0,9003
0,0903
0；9651
0,6398
0,8024
0,1627
0,9267
0,4888
0,7077
0,2189
0,8784
0,3564
0,6174
0,2610
0,8231
0,2415
0,5323
0,2908
0,7628
0,1431
0,4530
0,3099
0,6997
0,0599
0,3798
0,3199
0,6354
—0,0093
0,3131
0,3223
0,5712
-0,0657
0,2527
0,3185
1,6
0；5083
-0,1108
0,1988
0,3096
0,4467
-0,1457
0,1510
0,2967
1,2
0；3899
—0,1716
0,1091
0,2807
1,3
0,3355
-0,1807
0,0729
0,2626
1,4
0,2849
-0,2011
0,0419
0,2430
0,2384
—0,2068
0,0158
0,2226
1,6
0,959
—0,2077
—0,0059
0,2018
1,7
0,1576
-0,2047
-0,0235
0,1812
1,8
0,1234
—0,1985
-0,0376
0,1610
0,0932
—0,1899
—0,0484
0,1415
0,0667
—0,1794
—0,0563
0,1230
0,0439
—0,1675
—0,0618
0,1057
0,0244
—0,1548
-0,0652
0,0895
0,0080
—0,1416
—0,0668
0,0748
—0,0056
-0,1282
—0,0669
0,0613
—0,0166
-0,1149
—0,0658
0,0492
-0,0254
—0,1019
—0,0636
0,0383
—0,0320
—0,0895
—0,0608
0,0287
—0,0369
—0,0777
—0,0573
0,0204
—0,0403
—0,0666
—0,0534
0,0132
—0,0423
—0,0563
—0,0493
0,0071
—0；0431
—0,0469
—0,0450
0,0019
—0,0431
—0,0383
-0,0407
-9,0024
-0,0422
—0,0306
—0,0364
—0,0058
—0,0408
—0,0237
—0,0323
-0,0085
-0,0389
—0,0177
—0,0283
—0,0106
—0,0366
—0,0124
—0,0245
-0,0121
—0,0341
-0,0079
—0,0210
-0,0131
—0,0314
—0,0040
—0,0177
—0,0137
—0,0286
—0,0008
—0,0147
—0,0140
—0,0258
0,0019
—0,0120
—0,0139
—0,0204
0,0057
—0,0074
-0,0131
—0,0204
0,0057
-0,0074
-0,0131
-0；0179
0,0070
—0,0054
-0,0125
—0,0155
0,0079
—0,0038
—0,0117
-0,0132
0,0085
—0,0023
—0,0108
—0,0111
0,0089
-0,0011
-0,0100
—0,0092
0,0090
—0,0001
—0,0091
—0,0075
0,0089
0,0007
—0,0082
-0,0059
0,0087
0,0014
—0,0073
—0,0046
0,0084
0,0019
—0,0065
Таблица 1 (продолжение)
卩
平（曾
屮(В)
9 (.3)
С⑶
5,1
—0,0033
0,0080
0,0023
-0,0057
5,2
—0,0023 ■
0,0075
0,0026
-0,0049
5,3
-0,0014
0,0069
0,0023
-0,0042
5,4
—0,0006
0,0064
0,0029
—0,0035
5,5
0,0000
0,0058
0,0029
-0,0029
5,6
0,0005
0,0052
0,0029
-0,0029
5,7
050010
0,0046
0,0028
-0,0018
5,8
0,0013
0,0041
0,0027
-0,0014
5,9
0,0015
0,0036
0,0026
-0,0010
6,0
0,0013
0,0031
0,0024
—0,0007
Между этими функциями имеют место соотношения
Учитывая введенные обозначения (4.22), из (4.20) и (4.21) мы получим для искомых функций V и W, которые представляют решение уравнения (4.1), следующие окончательные расчетные формулы:
W = 40 ⑶ + 琼(В) + &9 低)+ 当口 低)， (4.24) 厂=謠也科(P) — 43 (0) +"6偉J 一4q佃)]一紹.(4.25)
Входящие в эти представления постоянные интегрирования А- , В. должны быть определены из граничных условий.
Внутренние силы и моменты, напряжения, перемещения. Подставляя выражение для однородной части V из (4.25) в однородные формулы (L2.ll) и прибавляя соответствующие частные решения (4.6), получим для внутренних тангенциальных сил 7\ и Г? следующие выражения:
北=ADU [a^ 偉)一当0 0)+4a (区)一当О他)]岁+
+ 瓦品 食一K(Xcos8 + Zsin3)曲，(4.26)
厶=4,/4屮(肥 + B^^-A^ 偉)一51?(削一
一可鳥 察一J г (X cos 8+ Z sin 8) ds +В・(4.27)
力
Подставляя значение V из (4.25) в третью из формул (1.2.11), получим для поперечной силы N следующее выражение:
"=ADU[B^ 偉)一&С (В) + 529 低)一 А2С(О 窄.(4.28)
Подставляя значение W из (4.24) в (1.2,16) и при этом пренебрегая членами порядка ^hfR^ для внутренних изгибающих моментов Л/] и М2 будем иметь
陷=分 m备[/幵⑸-当屮(В) - 4中佃)+邑中(3m 性29)
m2 =，2丿症[4中⑸一当中⑶一 4中個)+ 3抻他)]+
+022 l4e 偉)+ 33 (Р) + 46 偉 J+马~2]屮.(4.30)
В случае однородной оболочки напряжения определяются с помощью обычных формул (1.1.16). В случае же слоистой оболочки, подставляя значения s. из (1.2.15) и значения 乂步 из (1.2.6) в соответствующие формулы (1.10.8), получим для нормальных напряжений в слоях оболочки следующие выражения: a 一患嘗一器(卩呼一口)一介:彦一WW苧)，(4.31) 。g普券+氯卩学一m)-Т(招警一庚№噌)，(4.32)
^22 =月32&2 -3 2c22, Mi =男2cli — 5i2c12.^22 =月32&2 -3 2c22, Mi =男2cli — 5i2c12.где, как и раньше,
^22 =月32&2 -3 2c22, Mi =男2cli — 5i2c12.
^22 =月32&2 -3 2c22, Mi =男2cli — 5i2c12.
Mi — g；C]2 —马 2cm
△12 =g:&2 一月:2a2,
Кстати, формулы (4.31) и (4.32) могли быть получены из более общих формул (1.12.14) и (1.12.15) путем отбрасывания членов, которые содержат коэффициенты Kik.
Отличное от нуля касательное напряжение т；=# определяется из (1.10.10). Подставляя значения напряжений о* и ◎； в (1.10.10) (o；=W，% =唯 喙р = © = 0) и удовлетворяя условиям контакта смежных слоев (1.10.12) и на внешних поверхностях (1.1.13), получим для касательного напряжения 尸 следующие формулы:
для наружных слоев:
#=Х+ + ^Зут#=Х+ + ^Зутd^Wd^W/"В沪2T У紋宀i » 焉 〈В"+2Т/"В沪2T У紋宀i » 焉 〈В"+2ТC】2、d2P%丿^-一C】2、d2P%丿^-一
#=Х+ + ^Зут
#=Х+ + ^Зут
d^W
d^W
/"В沪2T У紋宀i » 焉 〈В"+2Т
/"В沪2T У紋宀i » 焉 〈В"+2Т
C】2、d2P
%丿^-一
C】2、d2P
%丿^-一
需）装；（4・33）需）装；（4・33）
需）装；（4・33）
需）装；（4・33）
_成772nl+2T竺丄刃e/俨2T/d智MT
Т г 11而十 ％^(к普+2Т
для внутренних слоев (г = 1, 2, 3, ..., т?г+1):
尸= X一^:黑「噜儘*)裝一购黑一
- %噜儘一需)君，(4・34) где 瓦=川2 (рис. 32), а также Г'
Р%=煮 淞厶+ * 8九住一統)，(4.35)
ГI■
跌=*з/%+才殁色一‘心• 性36)
Подставляя значения ег и е2 из (1.2.15) в (1.2.21), получим, для радиального и осевого перемещений:
ё产曾嚼+食入也8 一^储，(4.37)
"Q + j [叩 sin 8 —豐醬 c℃ 3 一贄卩饗一©]曲.(4.38) 8。
Компоненты перемещения могут быть представлены и несколько иначе. Из (1.2.9) имеем для деформаций % и е2：
% = (%?1-%?2)。]，e2=£14一%普)然'，(4.39)
Подставляя значения % и е2 из (4.39) в (1.2.15), получим следующие выражения для перемещений:
分=Г(*/2 — a2北)a；'，(4.40)
8
〃 =е? + \ [ W sin 8 + 2-1 (С^ - С1272) cos 8] ds. (4.41)
Значения функций 7($) и W(s) не подставлены в расчетные формулы (4.26)—(4.41) ввиду громоздкости получаемых при этом выражений. Для облегчения вычислений, связанных с указанными расчетными величинами, приведем окончательные выражения необходимых производных искомых функций V и W. Согласно (4.24) и (4.25) легко получить
券=a|y薪и2屮他)+邑中低)一 4屮偉)一3杵(瓦)1 一
一耳М 登一卜(XcosS + ZsinS)曲 +/Z,
察=矗[4峙)+%偉)+46(%) + B竝偉挿， 需=-/篇 14 中(В)一当中 ©) 一 4¥(%)+в^ 個)], 黑=舘“ (Р) - В^ (Р) + 4总阳一в29 他)].
При получении этих формул мы ограничивались принятой здесь точно.стью, т. е. пренебрегали членами порядка \JhfR. по сравнению с единицей.
Наконец, укажем, что мы не можем требовать от приведенных здесь расчетных формул, чтобы они во всех точках оболочки обеспечивали точность первого приближения асимптотического интегрирования. В особых точках расчетные формулы могут дать неприемлемые результаты.
4・ Замечания, В частном случае кругов。近 цилиндрической оболочки, когда i/R工=0, UZ=H—const, 8=0, полученные выше расчетные формулы являются точными, т. е. имеют точность исходных уравнений.
С помощью приведенных в этом параграфе формул могут быть решены задачи определения напряженного и деформированного состояния однородных и симметрично собранных относительно срединной поверхности слоистых оболочек вращения, находящихся под действием внешних осесимметричных воздействий. Решения конкретных задач мы не приводим, так как эти решения могут быть получены элементарным образом и широко освещены в современной литературе.
Краевой эффект в анизотропных оболочках вращения
Рассмотрим вопрос о распространении краевых воздействий по оболочке вращения, изготовленной из ортотропного материала так, что в каждой точке оболочки главные направления упругости совпадают с главными геометрическими направлениями оболочки —с меридианами, с параллелями, и с нормалями.
Если начало отсчета координаты s совместить с одним краем оболочки, а длину оболочки по дуге меридиана обозначить через 厶,то для значений р, соответствующих краям оболочки, согласно (4.15) и (4.19) будем иметь
В = 0, р=ПА%.(5.1)
О 2
Тогда, как нетрудно заметить из (4.19), через 氏=%—В будет представлена координата текущего поперечного сечения оболочки, отсчитанная от края s=L (рис. 46).
17 С. А. Амбарцумян
Рассматривая решение (4.24), (4,25) разрешающего уравнения (4.1), легко заметить, что входящие в эти представления функции 6(B), С (В) убывают при удалении от края s=0, а функции О (饱)，匚(%)——口ри удалении от края s=£. Как видно из таблицы 1, эти функции уже при р= л имеют порядок 0,04. Поэтому, если исследуемая точка находится на окружности поперечного сечения оболочки, удаленной от края оболочки настолько, что при
заданных значениях упругих постоянных и геометрических харак
теристик оболочки параметр р становится больше или равен 冗(В》冗)，то влиянием этого края на напряженное состояние точек рассматриваемой окружности или более удаленных точек, с точностью технического расчета (1 +0,05 ^ 1), можно пренебречь. Это условие можно сформулировать несколько иначе, а именно: если упругие постоянные (Е®, Е^ ”仪 %) и геометрические характеристики (h, /., Т?2) оболочки таковы, что В ^ 冗 при задан
ном s, то влиянием края на напряженное состояние части оболочки,
соответствующей s, можно пренебрегать.
Таким образом, если ограничиться указанной выше точностью, то можно утверждать, что краевые воздействия в глубь оболочки могут распространяться до тех поперечных сечений, для которых В《 ％ т. е. ширина зоны распространения краевого эффекта может быть установлена из условия 0=冗.
В реально существующих оболочках зона распространения краевого эффекта достаточно узка, и в пределах этой зоны, с достаточно высокой точностью, можно считать Я2 постоянным. Если теперь в выражении (4.15) не считаться с изменяемостью Я2, то для В，согласно (4. 9), получим
В=/3?=(爲)"(2砲“.(5.2)
Полагая в (5.2)卩=冗,получим формулу для определения длины (по дуге меридиана) зоны распространения краевого эффекта:
s* = n]/^ = n(2 旬%(鼻户.(5.3)
Отсюда следует, что если длина оболочки по дуге меридиана Е》s*, то взаимным влиянием краев можно пренебрегать. Это
означает, что при L^ ^ нагрузка, приложенная к краю Р=0, практически не влияет на напряженное состояние другого края (0=%), и наоборот.
При однородной ортотропной оболочке, на основании (1.1.25), (1.1.34), (1.2.15), из (4.9) получим
健 (54)
Подставляя значение Л из (5.4) в (5.3), получим формулу для определения длины зоны распространения краевого эффекта в случае однородной ортотропной оболочки толщиною 九：
s* = (Д)/![3 (/—%)]. (5.5)
В частном случае изотропной оболочки, учитывая, что Е^~Е6=Е% у<р=匕=”=1/加， Для зоны распространения краевого эффекта получим известную формулу:
s^ — tzR^^^ з(К—1) . (3.6)
Формулы (5.3)——(5.6) выведены с некоторой погрешностью (они точны для круговой цилиндрической оболочки) ради простоты и получения единых формул для всех типов оболочек вращения. Допущенные при этом погрешности незначительны, ибо, как нетрудно заметить из формул (5・3)— (5.6), длина зоны распространения краевого эффекта для реальных оболочек в действительности мала, а в узком кольце оболочки вращения изменяемостью радиуса кривизны R? можно пренебрегать» Однако при необходимости в каждом частном случае квадратуру формулы (4.15) можно вычислить точно и найти необходимое значение длины зоны распространения краевого эффекта.
Сравнивая формулы (5.5) и (5.6), замечаем, что, в отличие от изотропных оболочек, в анизотропных оболочках соответствующим выбором упругих постоянных можно существенным образом изменить величину зоны распространения краевого эффекта и тем самым влияние краевых условий (при заданной длине оболочки £) на общее напряженное состояние оболочки.
На этом мы завершаем исследование краевого эффекта в ортотропных оболочках вращения в классической постановке, т. е. когда исходное разрешающее уравнение построено на основании гипотезы недеформируемых нормалей. Однако вопрос этот требует дальнейших исследований и разъяснений, и поэтому мы будем возвращаться к нему в некоторых параграфах настоящей главы.
§ 6. Длинные оболочки вращения
Анизотропные оболочки вращения, применяемые в инженерной практике, в основном являются длинными оболочками, для которых взаимным влиянием краев можно пренебрегать.
Рассмотрим длинную оболочку вращения, по краям (s=0, $=£) которой действуют изгибающие моменты MR, М^ и перерезывающие силы №, NL (рис. 47, 48).
Учитывая основное свойство длинных оболочек, отбросим в расчетных формулах (4.24)—(4.30) функции ^ при вычислении
Рис. 47.Рис. 48.
величин, относящихся к краю s=0, и функции р при вычислении величин, относящихся к краю s=£・
Определив постоянные интегрирования Ai и 3$ и подставив их в формулы (4.24)—(4.30), получим следующие выражения для основных искомых функций F(s),叩(s) и внутренних сил и моментов:
w=击困№p偉)+ ^2RIA m渺偉)+ e"勺佃)一
sj2R^AM^^ (6.1)
V = [E$7V。屮偉)-J网 М^) + Е”绅(告)+ +^/w^o-5^, (6.2)
Л = W喃 Ж (В) 一 m№屮(Р) - 7?纠绅 ^-^2R^A 也"区)]苧 +
+ 石』^變一i Г (X cos 8 + Z sin 8) ds]] ,(6.3)
北=一)/备［2出N。e偉)+ V湎此屮偉)+ 2玛№0 (区)+
+ V吨用屮佃)］+ 金〃一^^ ^一卜(Xcos8+Zsin8)ds ,(6.4)
N =［围%。屮偉)—J 崎;m；q偉)+
+匿醉屮佃)+ V魏% m"佃)］家，(6.5) 必=2规)/'焉Д4(Р) + У费峥偉)一
-2周 У 备 NK (₽0 + m 簣 m 州(比)，(6.6) 物=费М】+ 語［RIN^偉)+ V家疚M*(p)+
+ к”％ 佃)一J 河此 е о^.(6.7)
Формулы для определения напряжений (4.31)—(4.34) и перемещений (4.37)—(4.41) остаются без изменений. При этом в процессе определения указанных величин нас будут интересовать:
察=y嘉［_2砌。ё偉)-V湎 m抻0)-2%№6個)-
-V再 M^ 低)］+ Z?〃 _ 2T爲［裏_ j г (X cos 8 + Z sin 3)曲，
w=-2Й/£^偉)-嘉电脚0_
+ 2募了备脆(及)一击了養/仰.
Для полноты картины приведем граничные условия в рассматриваемом случае. Граничные условия ничем не отличаются от граничных условий изотропной оболочки вращения.
Выпишем три основных варианта граничных условий (см. гл. I, § 2):
край 卩=0 свободный:
№ = 0, М； = 0;(6.8)
край 卩=0 шарнирно опертый:
о； = 0, М； = 0;(6.9)
край Р=0 заделанный:
RIN^ + у^Л М； = 0,必=0.(6.10)
Соответствующие граничные условия по краю 氏=0 имеют вид
%Е = 0, 〃夕=0,(6.11)
3=0, 〃?=0,(6.12)
R^NL^^2RlAM^ = 0,必=0・(6.13)
Для нормальногоперемещения 吗входящего в граничные
условия, согласно (1.2.22), (4.40), (4.41) имеем
s = ©&£ ''/ Г cos 8 + 卜 + j (% sin 8 +
+ 會？] ^~ £1小.cos 8)ds] sin S. (6.14)
Замечание. С помощью приведенных в этом параграфе расчетных формул без какого-либо труда могут быть решены задачи определения напряженно-деформированного состояния длинных ортотропных оболочек вращения (однородных и симметрично собранных слоистых), находящихся под действием осесимметричных внешних воздействий. Предложенным здесь методом решены многочисленные задачи. Читатель может найти их в соответствующих публикациях.
§ 7. Решение некоторых задач для оболочек вращениянулевой гауссовой кривизны,составленных из произвольного числа слоев
Здесь будут рассмотрены оболочки, составленные из ортотропных слоев, плоскости упругой симметрии которых взаимно параллельны, а главные направления упругости совпадают с главными направлениями координатной поверхности оболочки (см. гл. I, § 12).
Полагая % = 8, из (1.12.1) получим следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений задачи:
d2Psin ^ dV C22sin2Sd2Psin ^ dV C22sin2Sds 61 r2ds 61 r2Р =Р =Pi d2W %— А 包 § dW e11 ds2 十 Gi rPi d2W %— А 包 § dW e11 ds2 十 Gi r刀22 — ^22 sin2 8 WP1d2Pl%二例=£0(51 - Dfi)参 十刀22 — ^22 sin2 8 WP1d2Pl%二例=£0(51 - Dfi)参 十上 「2 + P? sin 9 dP ] ^o (41 — ^ii) 「ds上 「2 + P? sin 9 dP ] ^o (41 — ^ii) 「dsd斗Уd$2d斗Уd$2sin8 d%r dssin8 d%r ds(7.1)(7.1)
d2Psin ^ dV C22sin2S
d2Psin ^ dV C22sin2S
ds 61 r2
ds 61 r2
Р =
Р =
Pi d2W %— А 包 § dW e11 ds2 十 Gi r
Pi d2W %— А 包 § dW e11 ds2 十 Gi r
刀22 — ^22 sin2 8 WP1d2Pl
%二例=£0(51 - Dfi)参 十
刀22 — ^22 sin2 8 WP1d2Pl
%二例=£0(51 - Dfi)参 十
上 「2 + P? sin 9 dP ] ^o (41 — ^ii) 「ds
上 「2 + P? sin 9 dP ] ^o (41 — ^ii) 「ds
d斗Уd$2
d斗Уd$2
sin8 d%r ds
sin8 d%r ds
(7.1)
(7.1)
+ [@0 (O；上 31) S； 3-41 —弘 ^]卩 + ①2 (S).
Предполагая, что
"2一女22— e22—>/7 9\
систему дифференциальных уравнений (7.1) можно свести к одному разрешающему дифференциальному уравнению второго порядка следующего вида:
竺([—"1、—史(1I sin 8
ds?〈心11。0(d11 - ^ii) / ds I^gнЙо (^ii -0?1)丿 Г
-a-a入入仍3仍3"1声0 (Qi - D?1)"1声0 (Qi - D?1)sin2 9г2sin2 9г2i VQo cos 9i VQo cos 9£](%] — %)г£](%] — %)г= R(s)+ 吟= R(s)+ 吟^11^11(^ii 一 ^ii)(^ii 一 ^ii)AS),AS),(7.3)(7.3)
-a
-a
入
入
仍3
仍3
"1声0 (Qi - D?1)
"1声0 (Qi - D?1)
sin2 9г2
sin2 9г2
i VQo cos 9
i VQo cos 9
£](%] — %)г
£](%] — %)г
= R(s)+ 吟
= R(s)+ 吟
^11
^11
(^ii 一 ^ii)
(^ii 一 ^ii)
AS),
AS),
(7.3)
(7.3)
где искомой является комплексная функция
‘=勿+,m麻三話匕‘=勿+,m麻三話匕(7.4)(7.4)
‘=勿+,m麻三話匕
‘=勿+,m麻三話匕
(7.4)
(7.4)
Таким образом, задача о напряженном состоянии несимметрично собранной многослойной ортотропной оболочки вращения при предположении (7.2) свелась к решению линейного дифференциального уравнения (7.3). Имея значения функции а, с помощью (7.4) можно легко определить значения основных искомых функций W и Vt через которые выражены все расчетные величины задачи.
Остановимся несколько подробнее на случаях конической и цилиндрической оболочек. При этом будем рассматривать лишь соответствующие однородные уравнения, полагая, что частные решения, отвечающие грузовым членам, точно или приближенно определены.
Цилиндрическая оболочка. Для круговой цилиндрической оболочки имеем
Т?1=8, г = Rz = Д = const, 8 = 0.(7.5)
Тогда исходное разрешающее уравнение (7.3), которое в этом случае из системы уравнений (7.1) Получается без упрощающих предположений (7.2), примет вид
爲一加=可(9，(7.6)
где
G _ 一Q0 仍1 一力 91倒(D11- D%)]/7 7、
"ё2】声0(%]一/)%)+/>打，V)
*⑸=CiQo(Du」D也)+門{a图0(21 ~ °；0①2 ⑻-
一a£皿](s) + z VG网(A一0:1)[3拽 1 (s) + 2% (s)]}.(7.8)
Решение соответствующего (7.6) однородного уравнения получим в виде
и = (& + IBJ 建+⑷‘ + (4 + Z&) e-s+括匕(7.9)
где
a = 1/3。；声0 (On -% i) + 爲一 P J
，27? KX1QO (^ii — D?i)+P；l ，(7 10)
b = [VQiQo (Ai — D?i)十門 + PJ r 27? [GiQo (Ai — Z)%) + Py—，
так как принято, что
«6= а+ 也(7.11)
Лр В《 一 вещественные постоянные интегрирования, которые должны быть определены из краевых условий.
Приравнивая выражение (7.9) к (7.4), после серии преобразований получим для основных искомых функций F(s) и TV(s) следующие формулы:
V =户匕f [B1Z1 (s) + &% (S) + B2Z(s) — 4* (S)], (7.12) 叩=&Xi ⑸一当％ (s) + Л2х (s) + 纭叮(s),(7.13)
где
X (s) = е~°9 cos bs,刀(s)=尸'sin bs, |
Xi (s) = e°* cos bs, %(s) =产 sin 加.j(7'4)
Имея значения искомых функций V и Ж, с помощью формул (1.12.9)—(1.12.13) легко определить все расчетные величины задачи.
Исходя из решений (7.12), (7.13) и поступая точно так, как в § 5 настоящей главы, получим соотношение для определения длины зоны распр о стр ан ения краевого эффекта:
'Qo [^С1Х20 (4i 一 Z),i) + Р? — Pj
Рассматривая (7.15), замечаем, что, как и в (5.3), длина зоны распространения краевого эффекта существенным образом зависит как от геометрии оболочки и ее слоев, так и от механических характеристик материала отдельных слоев оболочки.
Коническая оболочка. Для круговой конической оболочки имеем
Т?1=8, т=&—s)sina, 8 = а,
1 — COS а 一 ctg а
一 一s，- S
&
% = s/ sin а,
(7.16)
где s' — длина образующей оболочки, 2а — угол конусности, 小 一 радиус основания конуса.
В рассматриваемом случае разрешающее уравнение (7.3) примет вид
-&-^-£-[(74т)г + ^о^> = О. (7.17)
Как было указано выше, мы будем рассматривать лишь однородное уравнение. Будем считать, что частное решение разрешающего уравнения (7.3) с требуемой точностью известно.
Для коэффициента Ло, аналогично (7.7), имеем следующее выражение:
Q° [Pi — i V&iQ。(Ри — ^ii)J
(7.18)
Полагая
飞[°140(勿Н一^ii) + ^11 •
х =
(7.19)
из (7.17) получим следующее разрешающее уравнение:
dxi [(耿4 )学2 + 历•()%卜一0,
(7.20)
где Л ——полная толщина оболочки.
Таким образом, задача конической оболочки свелась к уравнению типа Бесселя, общий интеграл которого можно представить в следующем виде:
т =订[с/г^ (z Qhrjie* + C^Y^rtl «/& 胃)],(7.21) где & 匕一функции Бесселя соответственно первого и второго рода индекса у; Сь С2 — комплексные постоянные.
Ограничимся рассмотрением оболочек с малым углом а; при этом будем интересоваться лишь точками, достаточно удаленными от вершины конуса. Тогда вместе с х аргумент бесселевых функций принимает большие значения, и для них будут справедливы асимптотические разложения (с точностью 1/z)
/,(z) = V^^cos(z —? —'
—「(7.22)
匕(z) = V2/«z sin (z —馨一-J-).
Далее, в силу (7.4), (7.19), (7.21) и (7.22) получим для иско- них функций % и О следующие выражения:
% = 4 ~Vx С°s(一％ "。无%一2 — \/入h)ch @ y/%万化)+
+ 当/ sin (―瓦 ^г^х — ^~ у/Гя) s h (a0 〃％ x) +
+ 42 ~^ S也 (-"。 "。无力一T —'人冗)ch (a0 介0% x) 一
(7.23)(7.23)—B2 ―^ cos (—Ьо \/гой х —彳一\/入冗)sh (a0 ^rQhx), 展H@。殁丁也(B^cosPoV^-l-
(7.23)
(7.23)
-v入冗)chia0介0无力)一 41"^ siП(一耳 \jrjix —
-^ \/入冗)sh (a0J%无 %) + 82-'=sin (—ft0Jr(A %-,
—^- \/入冗)ch (a0'Г0/^)-[-42 v-■ cos (•-&q \/ro无 力 "
(7.24)(7.24)
(7.24)
(7.24)
Еде, аналогично (7.10) и (7.11),
(7.25)(7.26)(7.25)(7.26)V^O =。0 + ^oJ
(7.25)
(7.26)
(7.25)
(7.26)
oT 2roe1 网(分一51) +% -0—y 2ro[e1抠"(31 一 召 1) +用].
Входящие в (7.23) и (7.24) постоянные А. и Bi вещественны и должны быть определены из граничных условий.
Имея значения Ж и У, по формулам (1.12.9) — (1.12.13) можно определить все расчетные величины.
§ 8. Интегрирование разрешающих уравнений техническойтеории цилиндрических оболочек методом одинарныхтригонометрических рядов
Метод решения задач о равновесии цилиндрических оболочек с помощью одинарных тригонометрических рядов широко освещен в современной литературе. В связи с этим здесь будут изложены лишь те основные положения, которые, как нам кажется, достаточны для случая анизотропных цилиндрических оболочек.
Здесь в основном будут освещены вопросы интегрирования однородного разрешающего уравнения круговой ортотропной оболочки. Что же касается частных интегралов неоднородных уравнений, то они, как известно, могут быть найдены из неодно-
родных систем уравнений (1.13.13), (1.13.15), или, в частном случае, из неоднородного разрешающего уравнения (1.13.27).
Во многих практически важных случаях для обычно встречающихся поверхностных нагрузок частный интеграл можно строить по безмоментной теории.
Круговая цилиндрическая оболочка открытого профиля. Рассмотрим ортотропную многослойную цилиндрическую обо
лочку открытого кругового профиля, у которой в каждой точке каждого слоя главные направления упругости совпадают с направлениями координатных линий. Пусть оболочка перекрывает прямоугольный план (аХ^) и имеет следующие размеры: по образующей — а; по дуге поперечного круга — 6; радиус кривизны координатной поверхности (у=0)—/?. Пусть, далее, система координат вы
Рис. 49.Рис. 49.брана так, что коэффициенты первой квадратичной формы А и В равны единице (рис. 49).
Рис. 49.
Рис. 49.
оперта по поперечнымоперта по поперечнымРассматриваемая оболочка свободно
оперта по поперечным
оперта по поперечным
криволинейным краям а=0, а=а, т. е. по криволинейным краям
при а = Опри а = апри а = Опри а = а必=0, и = О必=0, u = 0必=0, и = О必=0, u = 0Т、= 0, Мх = о；Т] = 0, М± = 0.Т、= 0, Мх = о；Т] = 0, М± = 0.(8.1)(8.1)имеем следующие граничные условия:
при а = О
при а = а
при а = О
при а = а
必=0, и = О
必=0, u = 0
必=0, и = О
必=0, u = 0
Т、= 0, Мх = о；
Т] = 0, М± = 0.
Т、= 0, Мх = о；
Т] = 0, М± = 0.
(8.1)
(8.1)
На прямолинейные кромки оболочки никаких ограничении не ставится, т. е. граничные условия на прямолинейных краях оболочки (|3 =p1，p=p2)могут быть произвольными.
Разрешающее уравнение рассматриваемой оболочки в случае однородной задачи записывается следующим образом:
Р吧丄p ^8ф I n山-丄p加[
1%8 丁厂3 gwd俨十广5加4型 十广4 0a2型I
+匕+匕加①加①2Q号-2Q32Q号-2Q3加①da4dB2加①da4dB2—204—204加①0d0俨加①0d0俨卜被卜被M①汲4M①汲4=0. (8.2)=0. (8.2)
+匕
+匕
加①
加①
2Q号-2Q3
2Q号-2Q3
加①da4dB2
加①da4dB2
—204
—204
加①
0d0俨
加①
0d0俨
卜被
卜被
M①
汲4
M①
汲4
=0. (8.2)
=0. (8.2)
Решение разрешающего уравнения (8.2) будем искать в форме
Ф = 2 弘(P)sin*a, < =譬，(8.3)
где т ——целое число,屮锵(В)——новая искомая функция, зависящая лишь от одной переменной р.
Подставляя значение Ф=Ф (а,卩)из (8.3) в уравнение (8.2), придем к соотношению вида
X % (屮m) sin <а = 0,(8.4)
которое может быть выполнено, если потребовать, чтобы 九(k)三2 常一乙碌4К+(招心+
+ 2QNJ 醬-(Р^ + 2<?з 心)普 +
+ (PN + 2QM+g 増)忆=0. (8.5)
К интегрированию этого обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и приводится задача нахождения тп-го члена разложения (8.3). Уравнений типа (8.5) будет столько, сколько членов удерживается в ряду (8.3). Каждому члену ряда (8.3) соответствует некоторое напряженное и деформированное состояние многослойной ортотропной цилиндрической оболочки.
Вспомогательные искомые функции и)~и)(а,卩)и 屮=屮(％ ① могут быть вычислены с помощью формул (1.13.36).
Подставляя значение Ф(а,卩)из (8.3) в указанные формулы, получим*
s = § 匕 sin Xma,屮=巨％ sin <a，(8・ 6)
где для коэффициентов Wm( р) и 屮 1n(卩)имеем следующие представления:
w加=譽皤心一(± _ 2隱)吟龄+警备，(8.7) ?и = -4喇一 "C「/ 佻 +
I / £22。11 — /2c12 — 2 区66 丄左1心22 -及12c22、入2 或屮0
2c22 —区22012 Q4屮m/0 不
Подставляя значения Ф (а,卩),w (а, р), ср (а,卩)соответственно из (8.3), (8.6) в формулы (1.13.31) — (1.13.34), (1.13.40), каждую из расчетных величин представим в виде
¥ 5™ 2» 名¥ 5™ 2» 名u» — ^J Mim wH = ^Hm cosu» — ^J Mim wH = ^Hm cos(8.9)(8.9)
¥ 5™ 2» 名
¥ 5™ 2» 名
u» — ^J Mim w
H = ^Hm cos
u» — ^J Mim w
H = ^Hm cos
(8.9)
(8.9)
Здесь в первых двух формулах под индексом Z надо подразумевать 1 или 2, а в формулах для напряжений индексом i обозначается i-й слой оболочки. Последняя формула представляет угол поворота какого-либо продольного сечения, который определяется известной формулой ^2~~w^-\-vlRt
Выпишем выражения для коэффициентов представлений (8.9): внутренние силы:
m 一一[瓦％ d供m 咁
/ &2，11 — К]2c]2О ^66 f К]]‘22 — ^12^12 X 1 2 &屮加 f
丄 K]2c22 -长22e12 d6"n ]
备"=$ 鰭％ + 4a£"& ЧФт -
_/ k22cli -左12&2 — 2 к68 [ Klle22 -长12c12 \ 4 4 d叫初 |
\q0e6600/ m *2
(8.11)(8.11)I &2c22 -左北％ 4 2 以屮m
(8.11)
(8.11)
丄入3 d九＞ 1 /12011 一勺£2 E d%| _
万 ％ ~^~ 十* ^% "dp
/ Л 22cli — ^13^129 К66 f 左11。22—^12^12 \ 1 3 ^3Фт f
K]2c22 — К22cl2K]2c22 — К22cl2仆常;（8」2）仆常;（8」2）
K]2c22 — К22cl2
K]2c22 — К22cl2
仆常;（8」2）
仆常;（8」2）
изгибающие и крутящий моменты:
м1т = (Он-D^Gs + (，2 — Z)?2)G2nt + "G2n£2. Tlm +
+425金"心 4絞 (8.13)
К]2c22 — К22cl2 тК]2c22 — К22cl2 т〃„. = 2(4y—,JG",” +器 Sq〃„. = 2(4y—,JG",” +器 Sq(8.14)(8.15)(8.16)(8.17)(8.14)(8.15)(8.16)(8.17)小=(% _ 呢)G2m + (% _ 理)Glm + K22Q毋勺2県 九 +
К]2c22 — К22cl2 т
К]2c22 — К22cl2 т
〃„. = 2(4y—,JG",” +器 Sq
〃„. = 2(4y—,JG",” +器 Sq
(8.14)
(8.15)
(8.16)
(8.17)
(8.14)
(8.15)
(8.16)
(8.17)
где введены следующие новые обозначения:
G-=器嶋九一(击一 2 ^) ё幻+醫吟争,
&„. = -晉碍.辭+ （击一2豐）心第一皆1 龄；（8.18）
тангенциальные перемещения и угол поворота:
T7 — "11 2 山 c22k口 一 e12 (k12 + 2k66)入3f 出叫用 I
m 一 Qo 擁％爲謚d32-"г
I /2 (K12 + 2k66)一"22 £12 + 金6)1 d4屮m ]
+亲然心k+3卧中，(8」9)
У 一 "22 d5屮m&仆22一 ^12 (^12 + ^-^66)^2 d叫拼？
川一国 而舊两％ 妳3十
I 'ii (K12 + 2к66) - к」 (e12 +e66)入4 d小切一
¥2期丿用5L京可十
十 С66а0я (一(百£_2可丿＜]飞十+
曾*+曾*+f Г (К12 + 2Кбб) — Лдд (С】2 +。66)
曾*+
曾*+
Lс66й0я
+ ★（击-豎）*］等；（821）
напряжения н слоях оболочки:
也=侬1备一空器）加一（芻弟-芻吟）加一
-(8；] "2С22/22e12. + 居人2%£/2*2 _ 拉:J 伉,"-
-网"&U臼 + 8kMi&勺心—用)％, (8.22) 脸=(爲*-"^T2m-^2野-绐2譽)% -
_(州2刍餐卢& + 绐严2c22 &K22&2 — 丫约2)G^ (8.23)
，凯= ^Sm-2B^ 窓-т) G*(8.24)
Ввиду громоздкости, выражения для 7Vlm и N2nl здесь мы не приводим. Однако при необходимости, имея значения М1т, М2т и Нт, с помощью уравнений равновесия (1.13.6) формулы для Nlm и N2m можно построить элементарным образом.
Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с граничными условиями задачи. Пусть частный интеграл разрешающего уравнения, отвечающий нагрузке, построен, все расчетные величины, соответствующие частному интегралу, найдены и могут быть представлены с помощью тригонометрических рядов, так что, в частности, имеем
(8.25)(8.25)驾=审 r?m sin〈а, у0 = 2 ^S. sin Xma,
(8.25)
(8.25)
s。= £ %* sin 入 1na, M? = £ Mla sin *a,
где TJ，叱，W^ M?m ——известные функции, зависящие лишь от одной переменной В； очевидно, они могут быть вычислены по известным формулам Фурье.
Тогда для приведенных расчетных величин, согласно (8.9) и (8.25), получим
厶=J厶优sin入1na +审叫sin %,
(8.26)(8.26)^i = S ^im sin <a + 2 〃，sin 入 1na,
(8.26)
(8.26)
и =审乙 sin Xma + 不叱 sin 1%
w = ^Wm sin〈a + £ 吧 sin %a.
Отсюда, учитывая, что \т=т^/а, замечаем, что граничные условия (8.1) удовлетворяются для каждого члена разложения в отдельности.
Остается рассмотреть вопрос о граничных условиях на прямолинейных кромках оболочки. Для конкретности рассуждений представим себе, например, что при ₽ — ₽г нормальное перемещение w имеет заданное значение “(％ р1)=гр*(а).
Представим ”*(а) в виде тригонометрического ряда:
и* = J W： sin kma,(8.27)
где W^ — известная функция р.
Очевидно, для удовлетворения граничного условия, наложенного на w (а, 8) при В = Вн мы должны будем удовлетворить равенству
Z % (%) sin <а + £ 吗(Pi) sin Xma = 2 ^™ sin %,(8.28)
mm
(8.29)(8.29)что эквивалентно требованию
(8.29)
(8.29)
w„.偉1)+w駅氏)=吃，
е. и на прямолинейных кромках оболочки граничные условия рассматриваемого вида выполняются для каждого члена разложения в отдельности.
Имеются и иные типы граничных условий, которые не допускают почленного удовлетворения. Однако они здесь не будут рас
смотрены.
Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения (8.2) и удовлетворение граничным условиям (как по прямолинейным, так и по криволинейным кромкам оболочки) могут быть осуществ
лены для каждого номера т в отдельности. Следовательно, для каждого номера т (для каждого члена разложения) будем иметь по восьми граничных условий (по четыре ва каждом прямолинейном крае оболочки), и а к л адыв аемых на краевые значения функции 屮切, которая должна удовлетворять обыкновенному линейному дифференциальному уравнению восьмого порядка (8.5).
Круговая цилиндрическая оболочка замкнутого профиля. Рассмот
рим ортотропную многослойную цилиндрическую оболочку кругового замкнутого профиля, у которой главные направления
упругости совпадают с направлениями координатных линий.
Систему координат выбираем так, чтобы A~B=R. Пусть длина оболочки 厶 а радиус кривизны R (рис. 50).
Разрешающее уравнение рассматриваемой оболочки в случае однородной задачи записывается следующим образом:
П廸丄2086 1力湃①886 f
1 "5^ T 3 0a68件十厂5 d确4十 4 dd 恥十
+ P图*他需+ Q3綜+
+Q，需)+把磬=°-(&30)
Искомую функцию будем представлять в виде
6 = £ 心 cos 哪 + 心 sin 呻)，(8.31)
m=0
где т — целое число,屮二(а) и 屮二(а) — функции, зависящие лишь от одной переменной а.
Подставляя значение Ф (a, R) из (8.31) в уравнение (8.30), придем к соотношениям вида
Z 1Al (中二)cos 哪 + dm (%)sin 哦]=0,(8.32)
m=0
которые могут быть выполнены, если потребовать, чтобы для каждого 收 и 心 имело место
图(心)三三需 一(/限2 + 2用Q J請L + R慶+
+ 2BWQ3 + 把)礬一仍4" + *60)告 +
+ 尸2彼厶=0. (8.33)
(8.34)(8.34)К интегрированию таких уравнений и приводится нахождение тп-го члена разложения (8.31). Каждому слагаемому ряда (8.31) соответствует некоторое напряженно-деформированное состояние ортотропной цилиндрической оболочки. Внутренние силы и моменты, перемещения, углы поворота и напряжения в слоях оболочки, отвечающие этому напряженному состоянию, могут быть вычислены с помощью формул (1.13.31) — (L13.34), (1.13.36) и (1.13.40). Например, полагая
(8.34)
(8.34)
①=必cos哪,
18 С. А. Амбарцумян
получим
T,= MmCOS/nR, s = sm sin mp, A\ = Nlm cos 加卩, и = Um cos 加卩， w = Wm cos 呻， 。:=°L cos 服 % =统m Sin/Пр, где коэффщиенты некоторых внутренние силы:
% = M.m COS 加卩,H = Hm cos 加卩，N2 = N2m sin znp,v=Vm sin 加卩，
Yl = ?1M cos mp, 中=脸cos呻， 中=中》. cos m^
(8.35)
из
расчетных величин имеют вид:
%=-备[加2
d2屮JК]2al — К]]% 加2 d«屮二
R da4
+(:
及22%—к]2c12
Qo
_2 及66 I /£22 -к12g2、n4 d?Q
一石"1^ 丿丁
T 一 1「鹏 Mw /2m 一历|
dS
Qo
一及11*2 1 d6 屮* 爲 方飞h十
及12c22 一 及22cl2 m6
丁
吗,
(8.36)
+('
К22cli — К]?%
Qo
9 К 66
气6
K]]e22 -• 及]2%、m2 d4屮入
Qo
R d&4
Ki2c22 — К22cl2 m4 d?屮j
R dd
(8.37)
Sg =麻[加
d3心“]1一及1&md5心
da3
R d*
+
及22Gl -4務
2—2
k66 丄 及11e22 一 长22C]2、n3 d3屮二
Сбб
Qo
R da3
—К]2c22 — К22cl2 m§ 叫二 ^ .
Qo
R da
(8.38)
изгибающие и крутящий моменты:
Mlm = (% 一 爆)G]П, + 仇一")G2m +
+
修心22 一 &2g2
к]2*]-及11。12
Q。
(8.39)
M2m =(42 一 22)G^ + (a2 - "2)%碑 +
к22cli — К]2a2
Q。
^4
K]2022 一к22*2
Нщ = 2 (Аб —刀騎 G]2m —
Q。
Кбб о 「ее «** ^66
?1用
(8.40)
где введены следующие дополнительные обозначения:
,十Qo加d&2」，
Gm =靑|＞窿第一位一 2窘№嚷^
(8.44)
(842)
(8.43)
перемещения и угол поворота:
%=訊野等一(椅一2晋川警• +齧叫4(8.45)
U = _L「冗11 d5屮二—C22Kli — C12 (笈12 + 2Кбб) ™2 d3屮二 .
[ Q2 (长12.+ 2勺6)-к22 (% +e66)™4 叫二
-吟警■一吟"书(846)
V =L r 长22 山5山，e11勺2 e12 (k12 + 2k66)™3 於屮入 i
] % (长12 + 2к66) 一 k]1(A 十C66)心
+ R 譽 ^弘一E (输一豐)zn 筹],(8.47)
卜鲁^岑l].(8.48)
В рассматриваемом случае напряжения в слоях оболочки будут определяться формулами (8.22)—(8.24), но при этом под операторами Tim и GiM надо понимать их новые значения (8.36)— -(8.38) и (8.42)_(8.44).
Далее (вместо (8.34)), полагая
①=屮：sin тпР，(8.49)
18*
276 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК ［ГЛ. II получим для внутренних сил и моментов, перемещений, углов поворота и напряжений в слоях оболочки формулы, аналогичные предыдущим, причем 7\, Т2, М^ М^ ^, ак, о。，u, w будут содержать множитель sin /пр, а 5, Я, TV2, %伊 и будут содержать множитель cos/np. Что же касается операторов (8.36)—(8.48), то в них необходимо 屮二 заменить на 屮工，а ?п на (——?п).
Таким образом, для любых т, имея интегралы 屮二 и 屮;уравнения (8.33), можно построить напряженно-деформированное состояние рассматриваемой оболочки, причем в соответствии с (8.34) и (8.49) напряженно-деформированное состояние расчленяется на симметричное и на обратно-симметричное относительно начальной образующей 卩=0.
Рассматривая приведенные здесь формулы, нетрудно заметить, что условия периодичности по переменной р выполняются в каждом члене разложений в отдельности. Здесь, кроме условий периодичности, необходимо выполнить и граничные условия на торцах оболочки. Полагая, что частный интеграл неоднородной задачи, отвечающий внешней нагрузке, известен, можно записать выражения для внутренних сил и моментов, напряжений в слоях и перемещений, отвечающих этому частному решению, с помощью тригонометрических рядов вида (8.31), в которых коэффициенты разложений будут известными функциями. Поэтому граничные условия на торцах оболочки могут быть удовлетворены обычным образом.
Для конкретности рассуждений положим, например, что при а= а】 (на одном из торцов оболочки) тангенциальное перемещение имеет заданное значение 口 (位厶 R)=u* (Р)・ Тогда для удовлетворения этому условию надо потребовать, чтобы
2【艺(a, cos 哪 + U"m (%) sin 呻］+
+ 巨【％ (%) cos 哪 + % (%) sin 吨=
=§【成* ⑺ cos m^ -f-吗* (a) sin 哪］,(8.50)
где предполагается, что
U° = £ ［%。⑺ gos 呻 + U北о (а) sin 呻］ tn=0
представляет тангенциальное перемещение, отвечающее частному решению неоднородного уравнения, а
«*=2【4* cos 呻 + %* sin 呻］
§ 8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 277 представляет разложенное в тригонометрический ряд, заданное на контуре 々=々 значение функции 〃* (卩).Очевидно, коэффициенты U^ и %* являются известными функциями.
Равенству (8.50) можно удовлетворить, полагая
Таким образом, условия, накладываемые на коэффициенты симметричного напряженно-деформированного состояния (коэффициенты, отмеченные одним штрихом), не переплетаются с условиями, накладываемыми на коэффициенты обратно-симметричного напряженно-деформированного состояния (коэффициенты, отмеченные двумя штрихами).
Имеются и иные типы граничных условий, которые не допускают раздельного удовлетворения граничным условиям симметричного и обратно-симметричного напряженных состояний. Однако они здесь нас не будут интересовать.
Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения (8.30) и наложение граничных условий может быть выполнена в отдельности для каждого номера т, и притом раздельно для симметричного и обратно-симметричного напряженных состояний оболочки. Тогда на каждую искомую функцию 屮二 и 屮工 будет наложено по восемь граничных условий, которые обеспечат определение восьми произвольных констант, входящих в каждую из этих функций.
Несколько слов об интегрировании уравнений (8.5) и (8.33). Рассматривая задачи ортотропных цилиндрических оболочек открытого и замкнутого профиля, замечаем, что первым и, пожалуй, основным этапом расчета указанных типов цилиндрических оболочек является интегрирование обыкновенного линейного дифференциального уравнения восьмого порядка с постоянными коэффициентами, а именно в случае оболочек открытого профиля —— уравнения (8.5), в случае же оболочек замкнутого профиля — уравнения (8.33).
Как обычно в случае оболочек открытого профиля, полагая
屮《.二以後“ (Ст = const), (8.52) а в случае оболочек замкнутого профиля
К = ст^тЯ (以=const), (8.53) из уравнений (8.5) и (8.33) получим следующие характеристические уравнения восьмого порядка:
^ + 4 風 + 4 同 + 4s^ + 4 = 0, (8.54) 成+当项+旦成+品戏+当=0， (8.5》
где для коэффициентов А. и Bi имеем в случае оболочек открытого профиля
4 _+ 2Q3端4 %唱十20*+强唸 (8.56)
в случае оболочек замкнутого профиля
名=名=p3т2 十 2R2©p3т2 十 2R2©A _p5т4十2足(?3加2十区2 〃2=рA _p5т4十2足(?3加2十区2 〃2=рp^6 + 2把Qm2p^6 + 2把Qm2厂1 单т8.厂1 单т8.(8.57)(8.57)
名=
名=
p3т2 十 2R2©
p3т2 十 2R2©
A _p5т4十2足(?3加2十区2 〃2=р
A _p5т4十2足(?3加2十区2 〃2=р
p^6 + 2把Qm2
p^6 + 2把Qm2
厂1 单т8.
厂1 单т8.
(8.57)
(8.57)
Очевидно, вид функций фт как в случае открытых, так и в случае замкнутых оболочек зависит от корней соответствующих характеристических уравнений (8.54) и (8.55).
Из-за сложной структуры коэффициентов характеристических уравнений (8.54) и (8.55) их корни, вообще говоря, не могут быть определены в замкнутой форме. Лишь в некоторых частных случаях, когда между коэффициентами имеются определенные связи требуемого типа, корни характеристических уравнений могут быть получены точно в замкнутой форме. В иных частных случаях, используя определенные соотношения между коэффициентами, корни характеристических уравнений можно определить аналитически каким-либо приближенным методом. Однако в общем случае целесообразно корни характеристических уравнений определять численно и весь последующий расчет вести в числах.
В реальных задачах анизотропных слоистых оболочек имеем большое многообразие коэффициентов А. и В., в силу чего то же имеет место и для корней характеристических уравнений (8.54), (8.55). В связи с этим ясно, что для дифференциальных уравнений (8.5) и (8.33) будем иметь решения различных типов. Это многообразие решений уравнений (8.5), (8.33) здесь не рассматривается. Однако в каждом частном случае решения уравнений (8.5) и (8.33) могут быть построены обычным образом. При этом весь ход расчета рассматриваемой анизотропной оболочки, по сути дела, совпадает с ходом расчета соответствующей изотропной оболочки.
Осесимметричная деформация круговой замкнутой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии.
Два примера расчета круговой цилиндрической оболочкив общем случае анизотропии
Теория осесимметричной деформации замкнутой круговой цилиндрической оболочки, когда в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки, изложена в п. 3 § 1 гл. I.
Полагая 4 =R, т. е. считая, что координата a=s является безразмерной, и для краткости записи принимая Х=У==0, перепишем разрешающее уравнение (1.3.36) следующим образом:
需+ 2т 黑+^=^Z —券(&乱+ %%)， (9.1)
где
e 9 &6(C口e26 -С1201®) м 一 Ql 12 用
9，=(011022 - C:2)c66 + 2c12cl6026 - e^е^б 一с220；6, 叫=Сбб — Зб，^ik = ^ik^l^'
(9・2)(9.3)(9・2)(9.3)сил Исил Имоментов получиммоментов получимТ — Q1 w?2="Z?7 気Т — Q1 w?2="Z?7 気北=e1161 + а6ь2，C~16 (e11。26 — Cl2c16)力2 或加北=e1161 + а6ь2，C~16 (e11。26 — Cl2c16)力2 或加6R3 d/6R3 d/+ %% + e26b2,+ %% + e26b2,邑1 = e]6邑1 = e]6九 2 d2”九 2 d2”+e16% +e66b2,+e16% +e66b2,(9.4)(9.4)Тогда, согласно (1.3.35) и (1.3.38), для внутренних
(9・2)
(9.3)
(9・2)
(9.3)
сил И
сил И
моментов получим
моментов получим
Т — Q1 w?
2="Z?7 気
Т — Q1 w?
2="Z?7 気
北=e1161 + а6ь2，
C~16 (e11。26 — Cl2c16)力2 或加
北=e1161 + а6ь2，
C~16 (e11。26 — Cl2c16)力2 或加
6R3 d/
6R3 d/
+ %% + e26b2,
+ %% + e26b2,
邑1 = e]6
邑1 = e]6
九 2 d2”
九 2 d2”
+e16% +e66b2,
+e16% +e66b2,
(9.4)
(9.4)
S 2 = 盛6 (C1256 一 &g26)九2 ⑦ +
"1 ="1 =C16 (g2g6 一 5£26)九2C16 (g2g6 一 5£26)九26R26R2W -W -—c“(i—c“(i九2唸九2唸3J?2 О】3J?2 О】\无2 或ь九2丿12E2费2十 56 5y 内，\无2 或ь九2丿12E2费2十 56 5y 内，Л/ 一c26(°12c16 -C1心26)五2故 2 ——九 2e1£16°26Л/ 一c26(°12c16 -C1心26)五2故 2 ——九 2e1£16°26н =н =3五2盛6 (&2c16 - *1。26)九23五2盛6 (&2c16 - *1。26)九2九211^九211^d'^w d/d'^w d/卜e26备%，卜e26备%，(9.5)(9.5)6R26R2w 一w 一九2九2或”或”1^ *^1^ *^卜e66奈瓦，卜e66奈瓦，他=他=%6 (G2c16 -e1£26) 九2 d"%6 (G2c16 -e1£26) 九2 d"6R3 ds6R3 ds一a1(1一a1(1A2 %A2 %ЗЕ 2 о】ЗЕ 2 о】))无2 d^w无2 d^w牝牝e66 (Cl2c16 —e11c26) 无2 dtpe66 (Cl2c16 —e11c26) 无2 dtp(9.6)(9.6)313167?3 ds67?3 ds
"1 =
"1 =
C16 (g2g6 一 5£26)九2
C16 (g2g6 一 5£26)九2
6R2
6R2
W -
W -
—c“(i
—c“(i
九2唸
九2唸
3J?2 О】
3J?2 О】
\无2 或ь九2
丿12E2费2十 56 5y 内，
\无2 或ь九2
丿12E2费2十 56 5y 内，
Л/ 一c26(°12c16 -C1心26)五2
故 2 ——
九 2e1£16°26
Л/ 一c26(°12c16 -C1心26)五2
故 2 ——
九 2e1£16°26
н =
н =
3五2
盛6 (&2c16 - *1。26)九2
3五2
盛6 (&2c16 - *1。26)九2
九211^
九211^
d'^w d/
d'^w d/
卜e26备%，
卜e26备%，
(9.5)
(9.5)
6R2
6R2
w 一
w 一
九2
九2
或”
或”
1^ *^
1^ *^
卜e66奈瓦，
卜e66奈瓦，
他=
他=
%6 (G2c16 -e1£26) 九2 d"
%6 (G2c16 -e1£26) 九2 d"
6R3 ds
6R3 ds
一a1(1
一a1(1
A2 %
A2 %
ЗЕ 2 о】
ЗЕ 2 о】
)
)
无2 d^w
无2 d^w
牝
牝
e66 (Cl2c16 —e11c26) 无2 dtp
e66 (Cl2c16 —e11c26) 无2 dtp
(9.6)
(9.6)
31
31
67?3 ds
67?3 ds
无2 C11C66\ h2 d3”
3¥ —叫丿匝薛~d^
и, наконец, для тангенциальных перемещений u(s), u(s)
(9-7)(9-7)萨27。而-曾盜黑+6田+&,。=%%萨也7。曲+導券署+仇凡+",
(9-7)
(9-7)
где bi ——постоянные интегрирования.
Общий интеграл разрешающего уравнения (9.1) имеет вид
w = с-"。(С\ sin 网 + С2 cos 0s) + e+0te(C3 sin Rs + С4 cos Rs) + 必\ (9.8)
где
(9.9)
Здесь С. — тоже постоянные интегрирования, которые опре
деляются из граничных условий на торцах оболочки, и?* — ча
стное решение уравнения (9.1) сстное решение уравнения (9.1) сгрузовым членом 不一[R^Z —грузовым членом 不一[R^Z —
стное решение уравнения (9.1) с
стное решение уравнения (9.1) с
грузовым членом 不一[R^Z —
грузовым членом 不一[R^Z —
一充（a2。1 + С26。2）］。一充（a2。1 + С26。2）］。
一充（a2。1 + С26。2）］。
一充（a2。1 + С26。2）］。
Согласно (9. 8) имеем также
27 = ef [— (aCj + PQ sin 即 + (吃—aC2) cos gs] +
+ 产[(aQ - PQ) sin 即 + (aQ + Рg)cos Rs] + 警
詰=e』[(a2G + 2叩4 —俨J) sin gs +.
+ (a2c2 — 2ape1 —俨C^) cos 附 + 产[("c3 — 2呻e4—
-附3)sin Ps + GG + 2叩g一附4)cos 罔+ 靄, 募=e『(_a3Ci — За^₽С2 + За伊 J + ₽3C2) sin gs +
+ (—a3С2 + 3呷6; + 3 咐C?—伊三)cos ps] +
+ 产[(a3c3 — за2Ре4 — зd俨e3 +俨&)观口 即+
+ EQ + 3a2pQ 一 зa俨Q -俨g)cos 附 + 需, J0或=*再(e-”(一aj + BQ) sin Rs一(В&十忆)cos 做]+
+ eee [(аС3 + рС0 sin 0s + (аС4 —吃?) cos 0s]} + j ufds.
Приведенного выше достаточно для решения многочисленных задач осесимметричной деформации круговой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии ее материала.
Два примера расчета круговой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии. Здесь будут рассмотрены два примера осесимметричной деформаций круговой цилиндрической оболочки, когда в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симмет-К
рии, параллельная срединной по-/1
верхности оболочки.(。
1・ Бесконечно длинная цилинд- —д^—^—
рическая оболочка с радиусом кри- (()4 G) #
визны R нагружена силами, равно- 7т мерно распределенными по окруж-Т 夕
ности поперечного сечения s=0 (рис. 51). ИнтенсивностьРис,
нагрузки равна q кГ/см.
Рассмотрим часть оболочки справа от загруженного сечения. Ясно, что здесь Z=0.
В сечении оболочки s=0, очевидно, будем иметь
^=0, и = о,。= 0, Д\ = —族.(9.10)
Очевидно также, что в бесконечно удаленных сечениях оболочки (5= со) нормальное перемещение w и напряжения 久,о中,тв? обращаются в нули.
Удовлетворяя условиям в бесконечности, для некоторых постоянных интегрирования, входящих в (9.4)—(9.8), получим
“ =0, % = 0, С3 = 0，С《 = 0.(9.11)
В силу этого, а также условия Z=0 разрешающее уравнение (9.1) становится однородным и частное решение 炉(s), входящее в общее решение (9.8), обращается в нуль.
Удовлетворяя условиям (9.10), для оставшихся неопределенными постоянных интегрирования получим следующие значения: c]6。26 - с^е66 к a2十洋， где
К = —7лГ^Л.(9.13)
胪&山-丽W)8+俨)
Согласно (9.11)—(9.13) из (9.4)—(9.8) получим для внутренних сил и моментов, а также трех перемещений следующие выражения:
加=К@ sin р§ + у cos 做)6一*(9.14)
邑臂&盛［(宁 sin Ps — 2 cos ps)L + 2］金+
+ ^ 盡(审)sinPs,(9.15)
。=^*£26 jp萨sin8s-2 cos 做)e« + 2】』一 一笫1蔡(营户lsings,(9.16)
北=■备 G sin 体 + = cos Rs) e』+
十 &而&£^ 一012g6)需 K(a2+ 俨)x
*(春 sin's—；cosPs)L,(9.17)
%=盛6(%飞:j~26)蕊■ К (} sin Рs + y cos Ps)e… +
+ %(1+好募)磊KM +俨)X "
X G sin 0s—^ cos 0s) ef, (9.18)
S^CW^K 倒 + 阳停 sin 0s—土 cos 网 L,(9.19)
M, = 26 g弋 jQQe)薪 к G sin Rs + !• cos 即)e-s — 岳鲁)善K(/ +俨)X
X (j sin Rs—； cos 0s)「*(9.20)
必=.06(£噢［3@6)蔡 К g sin 能+= cos 体)「8 —
-(%一磊吗产)募KK +俨)x
X G sin Ps—； cos 0§)е』，(9.21)
н"5「eg 盜 к/ sin Ps + ；cos Ps)e* _
X G sin |3s — — cos 0s)(9.22)
忆=纟6 (%*- AW 备 к (^^) с』sin 0s -
X ('~ 工谑 sin 0s + 2 cos 0s) e*,(9.23)
"2=马3个-%68)鳥 К (a2^ 俨)ef sin 做—
X 佇■%△ sin 0s + 2 cos 的)ef (9.24)
В частном случае ортотропной оболочки, когда главные направления упругости материала оболочки совпадают с координатными линиями, как известно, имеем С16=0, С26=0; тогда из (9.2), (9.3), (9.9), (9.13) получим
(9.25)(9.25)7/1=0, 畛=а? = 02 =/汽/,2 , ⑦]=С]]Сбб，
(9.25)
(9.25)
91 - (^п^22 一 C")e68, к =勺=3qR—2C、收唸
Далее, из (9.14)—(9.24) для расчетных величин получим ранее приведенные представления, которые в принятых здесь обозначениях запишутся следующим образом:
〃 =—^•爵(1 — е-庐 cos %s),
T2 ~ Q缥—仃2 _^_ (sin %s + cos %s) L*
(9.26)(9.26)S】2 =。， $21 = 0, u = 0, H = 0, N2 ~ 0,
(9.26)
(9.26)
力2
Mx = —C\iK^Q (sin %s — cos %s) с-。吟
伍=僚~ "1，М = —&1 為 к衣е-%8 COS aos.
Сравнивая формулы (9.14)—(9.24) с формулами (9.26), замечаем, что, в отличие от ортотропных оболочек, в общем случае анизотропии внутренние силы S^, ^2i и %2，крутящий момент Н и тангенциальное перемещение и не превращаются в нуль. Таким
образом, несмотря на полную осевую симметрию задачи, круговая цилиндрическая оболочка в общем случае анизотропии под действием симметричной, нормально приложенной нагрузки претерпевает деформации кручения и сдвига.В общем случае несколько изменяется также и картина распространения краевого эффекта. Исходя из решения (9.14) и поступая точно так, как в § 5 настоящей главы, для определения длины 5* зоны распространения краевого эффекта получимобразом, несмотря на полную осевую симметрию задачи, круговая цилиндрическая оболочка в общем случае анизотропии под действием симметричной, нормально приложенной нагрузки претерпевает деформации кручения и сдвига.В общем случае несколько изменяется также и картина распространения краевого эффекта. Исходя из решения (9.14) и поступая точно так, как в § 5 настоящей главы, для определения длины 5* зоны распространения краевого эффекта получим7CV2W也一m7CV2W也一m(9.27)(9.27)Эта формула показывает, что величина зоны распространения краевого эффекта существенным образом зависит как от геометрических, так и от физико-механических характеристик материала оболочки. Сравнивая формулу (9.27) с формулой (5.3), представляющей величину зоны распространения краевого эффекта в ортотропной оболочке, замечаем, что s* в общем случае существенным образом зависит от величины и знака параметра zn; в частности, при zn=O получим известный результат для ортотропной оболочки (5.3) (при сравнении следует вспомнить, что здесь s* представляет безразмерную координату).2. Круговая цилиндрическая оболочка конечной длины I находится под действием внешней нормально приложенной нагрузки Z=p(s) (X=Y=0)・ Пусть оболочка свободно оперта п о торцам (s=0, s=l/R), т. е. имеем следующие граничные у с л о в ипри s = Оц? = О, М1 = 0, Ту = О, при s = 〃五u? = О, М] = 0, £ = О,Эта формула показывает, что величина зоны распространения краевого эффекта существенным образом зависит как от геометрических, так и от физико-механических характеристик материала оболочки. Сравнивая формулу (9.27) с формулой (5.3), представляющей величину зоны распространения краевого эффекта в ортотропной оболочке, замечаем, что s* в общем случае существенным образом зависит от величины и знака параметра zn; в частности, при zn=O получим известный результат для ортотропной оболочки (5.3) (при сравнении следует вспомнить, что здесь s* представляет безразмерную координату).2. Круговая цилиндрическая оболочка конечной длины I находится под действием внешней нормально приложенной нагрузки Z=p(s) (X=Y=0)・ Пусть оболочка свободно оперта п о торцам (s=0, s=l/R), т. е. имеем следующие граничные у с л о в ипри s = Оц? = О, М1 = 0, Ту = О, при s = 〃五u? = О, М] = 0, £ = О,я:я:S12 = °；S12 = °；邑『О.邑『О.(9.28)(9.28)Решение разрешающего уравнения (9.1), которое записывается следующим образом:盜+ 2噜+ 吁器 Р —黑(%® + “2)，(9.29)Решение разрешающего уравнения (9.1), которое записывается следующим образом:盜+ 2噜+ 吁器 Р —黑(%® + “2)，(9.29)ищем в виде бесконечного тригонометрического рядаищем в виде бесконечного тригонометрического ряда(9.30)(9.30)
образом, несмотря на полную осевую симметрию задачи, круговая цилиндрическая оболочка в общем случае анизотропии под действием симметричной, нормально приложенной нагрузки претерпевает деформации кручения и сдвига.
В общем случае несколько изменяется также и картина распространения краевого эффекта. Исходя из решения (9.14) и поступая точно так, как в § 5 настоящей главы, для определения длины 5* зоны распространения краевого эффекта получим
образом, несмотря на полную осевую симметрию задачи, круговая цилиндрическая оболочка в общем случае анизотропии под действием симметричной, нормально приложенной нагрузки претерпевает деформации кручения и сдвига.
В общем случае несколько изменяется также и картина распространения краевого эффекта. Исходя из решения (9.14) и поступая точно так, как в § 5 настоящей главы, для определения длины 5* зоны распространения краевого эффекта получим
7CV2
W也一m
7CV2
W也一m
(9.27)
(9.27)
Эта формула показывает, что величина зоны распространения краевого эффекта существенным образом зависит как от геометрических, так и от физико-механических характеристик материала оболочки. Сравнивая формулу (9.27) с формулой (5.3), представляющей величину зоны распространения краевого эффекта в ортотропной оболочке, замечаем, что s* в общем случае существенным образом зависит от величины и знака параметра zn; в частности, при zn=O получим известный результат для ортотропной оболочки (5.3) (при сравнении следует вспомнить, что здесь s* представляет безразмерную координату).
2. Круговая цилиндрическая оболочка конечной длины I находится под действием внешней нормально приложенной нагрузки Z=p(s) (X=Y=0)・ Пусть оболочка свободно оперта п о торцам (s=0, s=l/R), т. е. имеем следующие граничные у с л о в и
при s = О
ц? = О, М1 = 0, Ту = О, при s = 〃五
u? = О, М] = 0, £ = О,
Эта формула показывает, что величина зоны распространения краевого эффекта существенным образом зависит как от геометрических, так и от физико-механических характеристик материала оболочки. Сравнивая формулу (9.27) с формулой (5.3), представляющей величину зоны распространения краевого эффекта в ортотропной оболочке, замечаем, что s* в общем случае существенным образом зависит от величины и знака параметра zn; в частности, при zn=O получим известный результат для ортотропной оболочки (5.3) (при сравнении следует вспомнить, что здесь s* представляет безразмерную координату).
2. Круговая цилиндрическая оболочка конечной длины I находится под действием внешней нормально приложенной нагрузки Z=p(s) (X=Y=0)・ Пусть оболочка свободно оперта п о торцам (s=0, s=l/R), т. е. имеем следующие граничные у с л о в и
при s = О
ц? = О, М1 = 0, Ту = О, при s = 〃五
u? = О, М] = 0, £ = О,
я:
я:
S12 = °；
S12 = °；
邑『О.
邑『О.
(9.28)
(9.28)
Решение разрешающего уравнения (9.1), которое записывается следующим образом:
盜+ 2噜+ 吁器 Р —黑(%® + “2)，(9.29)
Решение разрешающего уравнения (9.1), которое записывается следующим образом:
盜+ 2噜+ 吁器 Р —黑(%® + “2)，(9.29)
ищем в виде бесконечного тригонометрического ряда
ищем в виде бесконечного тригонометрического ряда
(9.30)
(9.30)
где fk — неизвестные постоянные» которые могут быть определены
из условия удовлетворения разрешающему уравнению (9.29). Нетрудно видеть, что граничные условия (9.28) будут удовлетворены, если положить ^=0, й2=0.
Учитывая сказанное выше, разложим правую часть уравнения (9.29) в ряд типа (9.30):
(9.31)(9.31)
(9.31)
(9.31)
(9.32)(9.32)где
(9.32)
(9.32)
Рк=~ J Р (s) sin — s ds-о
Подставляя значения w из (9.30) и R$p/D口 из (9.31) в разрешающее уравнение (9.29) (fej—0, й2=0), получим для искомых постоянных fk следующее выражение:
(9.33)(9.33)
(9.33)
(9.33)
Наконец, согласно (9.30) и (9.33) искомая функция
8."冗冗
_ Е4、 Р* sm S
无=i -丿-2m ( —J +"
Имея значение w, нетрудно с помощью формул (9.4)—(9.7) определить все расчетные величины задачи:
/ 2/ 20声3ш1^110声3ш1^11(e[*[[026 e备&2)?С2五2R3I 0)1m1 丿 622£＞口(e[*[[026 e备&2)?С2五2R3I 0)1m1 丿 622£＞口Sin —p- S, 左=1Sin —p- S, 左=1
/ 2
/ 2
0声3ш1^11
0声3ш1^11
(e[*[[026 e备&2)?С2五2R3
I 0)1m1 丿 622£＞口
(e[*[[026 e备&2)?С2五2R3
I 0)1m1 丿 622£＞口
Sin —p- S, 左=1
Sin —p- S, 左=1
(9.35)(9.35)一c66 (e12c16 - C1IQ6)无喲P左 *П 加冗r
(9.35)
(9.35)
-以(1 +呼鍋體e陪sin*, 左=1
co
% = -4 6^ 2 — sin —s，
"=1
鼓1 =鼓1 =c16 (^12^16 一С11026)c16 (^12^16 一С11026)五2R2五2R2
鼓1 =
鼓1 =
c16 (^12^16 一С11026)
c16 (^12^16 一С11026)
五2R2
五2R2
+ G/1+ G/1九2 e备、紋九2R4弋左2P无广 Ь7?
+ G/1
+ G/1
左=1
，_ 56 (*2cl6 一011026)2 一~，_ 56 (*2cl6 一011026)2 一~九 2出 p p, . k^R .
，_ 56 (*2cl6 一011026)
2 一~
，_ 56 (*2cl6 一011026)
2 一~
(9.35)(9.35)防г» 餐 sinF-s +fc=l
(9.35)
(9.35)
+ (%— % £1*26)n?%2/?4 £ 坐 sin M
比=1
co
H =c66 (e12e16 -e11e26)九2出 下 р无 sjn 左式R s I
+ %(」募好)鍔S*sm竿
ии
и
и
-—^-^-cos —s+fe3,-—^-^-cos —s+fe3,(9.36)(9.36)(9.37)(9.37)
-—^-^-cos —s+fe3,
-—^-^-cos —s+fe3,
(9.36)
(9.36)
(9.37)
(9.37)
^11^26^12^16 ZR3 F Pk 麻冗 с 1
+ 砌2T s 十々・
В этих формулах принято
*(衿 4_2m*4期
Приведенные здесь формулы, как и любые расчетные формулы анизотропных слоистых оболочек, позволяют решать многочисленные задачи оптимального проектирования оболочек.
Пусть, например, оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что главные направления упругости материала не совпадают с направлениями координатных линий s и 8. В частности, пусть в каждой точке оболочки главное направление упругости 1—1 составляет с координатной линией s угол ср (рис. 52). Если теперь через В% обозначить упругие постоянные по главным направлениям упругости материала оболочки, то для упругих
постоянных Bik в исходной системе координат 邑 8 получим известные формулы (1.1.42):
% = 3；1 cos4 中 + 2 (3% + 25；e) sin2 中 cos2 ф + 纥？ sin4 % % = 3；i sin4 中 + 2 (% + 25；e) sin2 中 cos2 中 + 纥？ cos4 中， % = В；? + [5П + 忆2 — 2 (% + 2筑J] sin* cos?% 稣6 =筑° + 2；i + 3* 一 2 (先 + 233] siM 中 cos”，
当6 = j l522 sin2 中—B'n cos2 中 +
+ (% + 2纥6)cos 2叫 sin 2%
笈26 = у 1^22 cos2 中—3“ Sin2 中一
—(% + 2笈6)cos 2叨 sin 2% .
(9.38)(9.38)Учитывая, что в случае однородной оболочки Cik=hBik1 из (9.2) получим
(9.38)
(9.38)
切—о gi6 (^ng26 ~ g]2gi6) /1(8口866一協6)，
一12足(当1822 一団2)866 + 2812当6826 一 8118^6 一 8228孑6
九2^11 (^11^66 ~' ^16)'.
Подставляя значения Bik из (9.38) в (9.39) ные формулы (9.34) —(9.36) и учитывая (9.37)# получим формулы типа
歹=《％，%，，£，厶，а)， (9.40)
с помощью которых можно определить требуемые оптимальные параметры оболочки.
Для примера рассмотрим характер изменения нормального перемещения центрального поперечного сечения оболочки (s=l/2R)
в зависимости от угла ориентации ала 屮.Ради простоты вычислений
q (s) = q1 sin , А=1;
и далее в расчет-и далее в расчет-%s)%s)Рис. 52.Рис. 52.тогда для w получим
и далее в расчет-
и далее в расчет-
%s)
%s)
Рис. 52.
Рис. 52.
,.кА W — J^ Sin -j- s,
матери- примемматери- примем(9-42)(9-42)1 —1 —12Е 约 112Е 约 1в1m* [(半)"_2"(毕)+n]в1m* [(半)"_2"(毕)+n](9.43)(9.43)где для стрелы прогиба оболочки /х имеем следующее выражение
матери- примем
матери- примем
(9-42)
(9-42)
1 —
1 —
12Е 约 1
12Е 约 1
в1m* [(半)"_2"(毕)+n]
в1m* [(半)"_2"(毕)+n]
(9.43)
(9.43)
Согласно представлению (9.40) для 九 будем иметь h=qEF®, ?, А, 4).(9.44)
Очевидно, в общем случае из (9.44) нет возможности найти формулу для определения угла 屮,т. е. ту ориентацию материала оболочки, при которой /工 будет оптимальным. Поэтому значение F определим для конкретного материала и для некоторых значений угла 屮.
Рассмотрим стеклопластик КАСТ-В со следующими параметрами:
昌= 2,15*105kf耳驚,
Eg = 1,23-105 к门с諸,
Gl 0,23105 кг/с^,v2 = 0,11, Y1 = 0,19.
Напомним, дто для 3；左 имеем следующие формулы:
В' — 一 &
12 一 1 —力Y2 一 1 - 32，
筑 6 = G12-
Пусть имеем также 五/历=100, 〃五=冗・
В таблице 2 приведены значения 歹・1。3 дЛЯ пяти значений угла 屮.
Рассматривая приведенные результаты, замечаем, что, меняя ориентацию материала оболочки, можно существенно изменять
Таблица 2
V
0°
30°
45。
60°
90。
尸• 103
0,811
1,345
2,090
1,172
0,465
величину прогиба оболочки. В частности, максимальный прогиб получаем при 屮=45°, а минимальный —— при(р = 90°.
Конечно, полученные здесь результаты относятся к частному виду нагружения (9.41) и к частному типу материала. Однако, несмотря на это, легко сообразить, что, меняя характер анизо-
тропии материала, мы можем найти оптимальные оболочки с требуемой точки зрения. Например, если в рассматриваемом случае требуются оболочки максимального прогиба, то взятый материал (КАСТ-В) необходимо ориентировать так, чтобы угол 中 был близок к 45е.
О возможности построениянапряженно-деформированного состоянияцилиндрической оболочки с помощью приближенных уравнений
Здесь, исходя из основных уравнений теории однородных ортотропных оболочек, попытаемся сформулировать некоторые приближенные теории расчета цилиндрических оболочек, изготовленных как из изотропного, так и анизотропного материалов.
В теории цилиндрических оболочек приближенные методы расчета основаны на тех или иных упрощающих предположениях, выбор которых в основном обусловливается соотношениями размеров срединной поверхности и механическими характеристиками материала оболочки; последние, конечно, в случае изотропных оболочек не играют существенной роли.
Из всех приближенных теорий расчета изотропных цилиндрических оболочек особое место занимают теории длинных цилиндрических оболочек, в основе которых лежат следующие гипотезы:
гипотеза об отсутствии продольных изгибающих моментов (МеО);
гипотеза об отсутствии деформаций удлинения срединной поверхности оболочки по поперечным линиям а= const (е2«0);
гипотеза об отсутствии крутящих моментов ("迎^^马严历亡 “О);
гипотеза об отсутствии сдвигов срединной поверхности оболочки (0)^0).
Наряду с приведенными, интересны также следующие предположения:
гипотеза об отсутствии поперечных изгибающих моментов (М^о)；
гипотеза об отсутствии деформаций удлинения срединной поверхности оболочки по продольным линиям R=const (61^0).
Обе эти гипотезы могут служить основой для построения упрощенной теории существенно коротких цилиндрических оболочек.
Для большей наглядности и ради краткости будем строить приближенные теории для однослойных изотропных оболочек, для которых величины однотипных жесткостей имеют одинаковый порядок. Полученные результаты легко могут быть обобщены на некоторые случаи ортотропных оболочек.
В основу дальнейших рассуждений положим техническую теорию ортотропных цилиндрических оболочек.
19 С. А. Амбарцумян
(10.4)(10.4)(10.5)(10.5)(10.6)(10.6)(10.7)(10.7)
(10.4)
(10.4)
(10.5)
(10.5)
(10.6)
(10.6)
(10.7)
(10.7)
Полагая A=B=i, В1в=В2в=0, из (L3.28) получим следующее исходное разрешающее уравнение для ортотропной оболочки для случая, когда главные направления упругости совпадают с координатными линиями оболочки:
p廸丄p _^上Q泌①J Р 心
da8 十 3 da6dB2 十 5。工爾时'4 da?"” T
+ &鵠+亲礬=z,(10.1)
где, согласно (1.3.21), имеем
%=等，4=2穹(%+2%)+2总一2汾;a
P 尸等，Pi = 2^D.2 + 2D^ + D^-2^)t.
% =等 + 2(% + 2%(± _2 等)+]
q0 = &1С22 一*2，G比=九当比.
Через функцию Ф (a, R) расчетные величины будут определяться формулами (1.3.29), (1.3.30), которые в случае ортотропной оболочки запишутся следующим образом:
7104Ф1 @4 力1。4 力
'1=五da力俨，% =耳石t，d =一耳加3阻，
% = - (21 % +。12 专)厶2 (4比)①，
物=-(%表+%誥"2 (4/①，
"i = - [ % 亲 + (% + 2%) J^T ]厶2 (4无)①，
w2 = -[% 专 +(% + 2%) ^^?]厶 2 (4 加①,
一丄/r2 加力 e]2 。3Ф)
"一Я \ 20da № Q0%3 /，
必=%(4比)①，
где для линейного оператора L2 имеем
厶(4无)=^ 备+(表-2署)^^+鏡卷.
Наконец, для полноты картины приведем также значения жесткостей оболочки:
_Y止2无一Y2%无 e。。一 G h^12 *1 - y]Y2 1一32'1'_e]无 312(1 —”2)'2212(1 —Viva)，012_Y2% 无 312(1 — 32)_Y也2无3八 一A 版12(1—32)'6612 12 '_Y止2无一Y2%无 e。。一 G h^12 *1 - y]Y2 1一32'1'_e]无 312(1 —”2)'2212(1 —Viva)，012_Y2% 无 312(1 — 32)_Y也2无3八 一A 版12(1—32)'6612 12 '—vlv2—vlv2「_ Ei 无 5i —「_ Ei 无 5i —(10.8)(10.8)
_Y止2无一
Y2%无 e。。一 G h
^12 *
1 - y]Y2 1
一32'1'
_e]无 3
12(1 —”2)
'2212(1 —Viva)，
012
_Y2% 无 3
12(1 — 32)
_Y也2无3八 一A 版
12(1—32)'6612 12 '
_Y止2无一
Y2%无 e。。一 G h
^12 *
1 - y]Y2 1
一32'1'
_e]无 3
12(1 —”2)
'2212(1 —Viva)，
012
_Y2% 无 3
12(1 — 32)
_Y也2无3八 一A 版
12(1—32)'6612 12 '
—vlv2
—vlv2
「_ Ei 无 5i —
「_ Ei 无 5i —
(10.8)
(10.8)
Приведенных здесь результатов вполне достаточно, чтобы, исходя из теории ортотропных оболочек, построить различные теории изотропных оболочек, базирующиеся на рассмотренных выше гипотезах.
Построение разрешающих уравнений различных теорий расчета изотропных оболочек. Для простоты будем полагать v1=v2—0. Тогда из формул (10.6) и (10,7) получим для жесткостей изотропной оболочки (Ei=E?=E, G12=E/2) следующие выражения
Cn = C22 = Eht 。鸵二玄石无，С12 =0, I
1 1 (Ю.9) %=。22 =我后然，^66 = 24 Е死。12 = 0. I
В силу (10.9) из (10.2) для коэффициентов разрешающего уравнения Pi в общем случае изотропной оболочки (без дополнительных гипотез) полечим
巴=尸2=克胪，Рз = Р&=^%「5 = ^2. (10.10)
Учитывая это, из (10.1), (10.4)—(10.7) получим известное разрешающее уравнение и расчетные формулы технической теории изотропной цилиндрической оболочки:
居加①+击礬=Z, (10.11)
da? d俨，
Мх = -
无2
12
尤w①，
‘2—冗
。4力
鼓2 = "
无2
12
用2 V生，
s =
1@4力
н =-
无2
-^- 口@，
da 00，
(10.12)
R da3 dB '
12
1
103©
1
如=痂口@,
R dad供 >
и Eh
л 评(，件 +2 ^)
Ф,
где
屮=名 + 2寻 +部 (Ю. 13)
В последующем, вне зависимости от принятых гипотез, расчетные формулы (10.12) будем считать неизменными, т. е. будем считать, что для всех рассматриваемых приближенных теорий формулы расчетных величин имеют вид (10.12). Такая непоследовательность в данном случае может быть оправдана тем, что в общем случае реально существующих оболочек нет «нулевых» внутренних сил, моментов и деформаций, а есть силы, моменты и деформации, которые пренебрежимо малы по сравнению с другими силами, моментами и деформациями.
Таким образом, приведенные выше гипотезы об отсутствии той или иной геометрической или статической величины, в основном, должны быть учтены и использованы лишь при построении разрешающего уравнения.
Учитывая сказанное выше, для каждого рассматриваемого приближенного случая следует построить лишь основное разрешающее уравнение, которое, кстати сказать, будучи приближенным с точки зрения изотропной оболочки (все однотипные м«ест- кости одного порядка), является точным или более точным уравнением для определенного класса ортотропной оболочки, где однотипные жесткости могут иметь различные порядки.
Рассмотрим некоторые варианты приближенных разрешающих уравнений. Сначала посмотрим, какое разрушающее уравнение соответствует каждой из приведенных выйте гипотез.
Случай L Принимается гипотеза (а), в силу которой на основании (10.5) в разрешающем уравнении (10.1) наряду с (10.9) надо положить /?и=0. Тогда из (10.2) и (10.3) для коэффициентов Р. получим
Е = 0, />2=3
в силу чего для первого приближенного случая получим следующее разрешающее уравнение:
力2(88Ф]88ф]@8ф]@8Ф]\1门0 1鎬
1牙〈4而您十D 初而十个荻麻十丿十秆声一么 丄力
Случай II. Принимается гипотеза (б), в силу которой на основании (10.9) и (1.3.21), учитывая, что % =分笃=『2’
надо принимать Сп/20 = 0.
Далее, поступая так же, как и в первом случае, получим2=0,%=告，Р3=年，з=等，R =卷，
夫(2磊+ 5謊“4夫(2磊+ 5謊“4d22 用6d22 用6R2 汲4R2 汲4Z. (10.15)Z. (10.15)
夫(2磊+ 5謊“4
夫(2磊+ 5謊“4
d22 用6
d22 用6
R2 汲4
R2 汲4
Z. (10.15)
Z. (10.15)
Случай III. Принимается гипотеза (в), в силу которой на основании (10.5) в разрешающем уравнении (10.1) наряду с (10.9) надо положить Д66=0. Тогда из (10.2), (10.3) и (10.1) получим
Р产翁2=复% =等，p^,p5=等，
万。.8ф2 j 2 98力2 I 2 98电j 2 °/2 I 加虫2、］
〈"^而 十 石『部十 万帀两十 声砲十瓶丿十
=Z・(10.16)=Z・(10.16)丄1鹏
=Z・(10.16)
=Z・(10.16)
Случай IV. Принимается гипотеза (г), в силу которой на
основании (10.9) и (1.3.21), учитывая, что <a = AGGS = -^—S, надо 、匕66
принимать 1/。66 = 0. Тогда, очевидно,
?=%，已=常，2=等，3=告，4=等，
公C8% ] 2洲①212 \ da8 十 дa6 d俨公C8% ] 2洲①212 \ da8 十 дa6 d俨f 2 洲02 丄 2 °8% 丄 88%)『ь公d供十友？弟6十型丿十丄1м①2f 2 洲02 丄 2 °8% 丄 88%)『ь公d供十友？弟6十型丿十丄1м①2笈 2@a4笈 2@a4=Z.(10.17)=Z.(10.17)
公C8% ] 2洲①2
12 \ da8 十 дa6 d俨
公C8% ] 2洲①2
12 \ da8 十 дa6 d俨
f 2 洲02 丄 2 °8% 丄 88%)
『ь公d供十友？弟6十型丿十
丄1м①2
f 2 洲02 丄 2 °8% 丄 88%)
『ь公d供十友？弟6十型丿十
丄1м①2
笈 2@a4
笈 2@a4
=Z.(10.17)
=Z.(10.17)
Случай V. Принимается гипотеза (д), в силу которой на основании (10.5) в разрешающем уравнении (10.1) наряду с (10.9) надо положить Z?22=0. Тогда получим
Р尸修匕=0, %=%з=等，4=券，
& (旦+ 4啰^+5 旦+ 2 0J 三吧=Z(1018)
12〈 da8 丁看淚6内2тn加4@伊丁a0£2郎6丿十区2 dM 乙.(丄5丄0) Случай VI. Принимается гипотеза (е), в силу которой на основании (10.9) и (1.3.21), учитывая, что % = 4口7\ = *^7\， надо принимать С22/2 = 0. Тогда
Р尸統?=0,厶=等，儿=等，4=礬，
就(严/ I 4 网>39踵，9叫1 /Ф3_7 "C4Q、
码-^十з^^^十j^^ 十”15^^^丿十齐讨一№」》
Полученные разрешающие уравнения попарно совпадают, а именно совпадают уравнения (10.14) с (10.15), (10.16) с (10.17) и (10.18) с (10.19). В силу этого мы можем констатировать важное свойство рассмотренных гипотез: каждой статической гипотезе соответствует эквивалентная ей геометрическая гипотеза, которая в разрешающих уравнениях может заменить данную статическую гипотезу, или, наоборот, каждой геометрической гипотезе соответствует своя эквивалентная статическая гипотеза, которая в разрешающих уравнениях может заменить данную геометрическую гипотезу.
Теперь построим разрешающие уравнения с попарным использованием рассмотренных выше гипотез.
Случай VII. Совместно вводятся гипотезы (а) и (б), в силу которых надо принимать Дц=0, Cu/Q°=0・ Тогда получим
「1 = 0, />2 =芻，「3 =。，「4=告，Р5—-J->
12[4汲4*十型十弟8丿十R2汲4 一4
Случай VIIL Совместно вводятся гипотезы (д) и (е), в силу которых надо принимать Д22=0, С22/йо=О. Тогда
В = 3「2=0，Рз =告，「4 = 0，「5 = %
■(礬+ 4^^ + 4^т) +击醬=Z.(10.21)
Случай IX. Совместно принимаются гипотезы (в) и (г), в силу которых。66=°，1/c66=°， тогда
"1 =与，"2=3Р3 = 0，&=0，Р5 =普，
万2 /08Фб I ° /Фе ! 08ФС I 1 潑фб о“с。。、
Наконец, рассмотрим еще два варианта приближенной теории, построенных на основании совместного применения четырех гипотез в каждом варианте.
Случай X. Совместно принимаются гипотезы (а), (б), (в), (г), в силу которых "Du^10, Z?gg==O) Cu/Qo^^O, 1/Cfgg==O. Тогда получим
p1 = 0,p2 =符，Р3=。，Р4 =。，Р5 = 0，
力2 @8ф?1 М①7 — у
Случай XI. Совместно принимаются гипотезы (в), (г), (д), (е), в силу которых П22=0, П66=0, С22/Йо=О, 1/С66=0. Тогда по- лучим
尸1=%, 「4=。，р5=о.
九2鹏 1叫 и五不十而高广一土.九2鹏 1叫 и五不十而高广一土.(10.24)(10.24)
九2鹏 1叫 и五不十而高广一土.
九2鹏 1叫 и五不十而高广一土.
(10.24)
(10.24)
Таким образом, здесь, исходя из единых позиций теории анизотропных оболочек, рассмотрено одиннадцать вариантов приближенных теорий изотропных оболочек и получено восемь типов разрешающих уравнений, которыми приближенно может быть
описано напряженное состояние цилиндрической оболочки.
Эти уравнения важны с точки зрения приближений и должны быть подробно исследованы для установления пределов их применимости.
2・ Несколько слов о пределах применимости полученных разрешающих уравнении. Вопросы определения пределов применимости полученных выше приближенных
разрешающих уравнений весьма
интересны и требуют специальных исследований. Для некото
рых из них такие исследования имеются, и пределы применимости этих уравнений установлены в достаточно общем виде. Здесь мы укажем некоторые пределы применимости полученных разрешающих уравнений в случае пологих (匕/7? < 0,5) цилиндрических оболочек при достаточно плавно изменяющейся поверхностной нагрузке (рис. 53).
Предлагаемые здесь пределы применимости установлены на основании численного анализа решений рассмотренных приближенных уравнений. При этом используются также положения, установленные на основании общих аналитических соображений. Однако, несмотря на это, установленные здесь пределы применимости носят несколько условный характер, так как практически невозможно охватить все многообразие факторов, которые влияют на них. В частности, трудно охватить все возможные варианты граничных условий, внешней нагрузки, относительной толщины оболочки и др., которые влияют друг на друга и в процессе взаимного влияния существенно могут изменить напряженное состояние обо
лочки.
Рассмотренные здесь приближенные разрешающие уравнения получены с помощью дополнительных предположений, которые
делятся на три группы. В первую группу входят гипотезы (а) и (б), которые как совместно так и в отдельности применимы для построения приближенных теорий длинных оболочек (уравнения (10.14), (10.15), (10.20)) с отношением сторон а/b》2,0. Во вторую группу входят гипотезы (д) и (е), которые как совместно, так и в отдельности применимы для построения приближенных теорий коротких оболочек (уравнения (10.18), (10.19), (10.21)) с отношением сторон а/Ь^0,5. В третью группу входят гипотезы (в) и (г), которые как совместно, так и в отдельности, применимы для построения приближенных теорий как существенно длинных оболочек, с отношением сторон a/方》5, так и существенно коротких оболочек, с отношением сторон а/Ь 久 0,2 (уравнения (10.16), (10.17), (10.22)).
Особое место занимают уравнения (10.23) и (10.24), каждое из которых является наиболее простым разрешающим уравнением в теории цилиндрических оболочек. Эти уравнения получены в итоге применения различных комбинаций четырех гипотез. Уравнение (10.23) применимо для расчета существенно длинных оболочек с отношением сторон а/Ъ、0,5, а уравнение (10.24)— для расчета существенно коротких оболочек с отношением сторон а/Ъ < 0,2.
Не надо забывать, что в случае весьма длинных и весьма коротких оболочек классическая теория может оказаться неприемлемой вообще. Очевидно, в этих случаях непригодными становятся все приведенные выше уравнения (10.11)—(10.24).
С уменьшением пологости оболочки пределы применимости указанных гипотез существенно расширяются, и уже при b/R〉 〉2 эти гипотезы с достаточно высокой точностью становятся приемлемыми при большом диапазоне изменения отношения а/b. Например, гипотеза (а) уже может быть использована для построения уравнения «длинных» оболочек с отноп/ением сторон а/Ь》0,5, гипотеза (д) — для расчета «коротких» оболочек с отношением сторон а/Ъ 久 2,0, а гипотеза (в) становится приемлемой для расчета оболочек с отношением сторон 0,3》а/Ь》3,0.
Расширение пределов применимости рассмотренных выше гипотез с уменьшением пологости оболочки объясняется тем, что на общее напряженное состояние оболочки существенным образом начинают влиять члены разрешающих уравнений, отражающие безмоментное напряженное состояние оболочки, на которое рассмотренные гипотезы не влияют или влияют незначительно.
Таким же образом можно поступать при рассмотрении приближенных уравнений теории анизотропных слоистых оболочек; однако при этом серьезное внимание следует обратить не только на геометрию оболочки, в частности на отношение сторон а/b, но и на отношения упругих характеристик материала оболочки.
При рассмотрении изотропных оболочек, несмотря на то что коэффициенты разрешающих уравнений Р. примерно одного порядка, мы, руководствуясь чисто геометрическими соображениями, можем некоторые из них полагать равными нулю. В случае анизотропных оболочек с аналогичными геометрическими характеристиками это можно делать с еще большим успехом.
Например, если в длинных изотропных оболочках (случай X) можно принять Р1=Р3—754=Р5=0, то в длинных анизотропных оболочках это тем более можно сделать, если Р^ больше указанных выше коэффициентов Р., Такие примеры элементарны. В тех же случаях, когда из геометрических соображений можно некоторые из коэффициентов Рi положить равными нулю, хотя они значительно больше, чем оставленные, этот вопрос должен быть рассмотрен особо.
Очевидно, в случае анизотропных оболочек пределы применимости рассмотренных здесь гипотез могут как расширяться, так и сужаться. Вопрос этот вполне разрешимый, но требует громоздких исследований.
§ 11・ Интегрирование разрешающих уравнений теориивесьма пологих оболочек
Методы интегрирования разрешающих уравнений весьма пологих оболочек в принципе не отличаются от соответствующих методов, данных для интегрирования соответствующих уравнений
анизотропных цилиндрических оболочек.
Для иллюстрации рассмотрим некоторые примеры весьма пологих слоистых оболочек.
Шарнирно опертая по всему контуру ортотропная слоистая оболочка, симметрично собранная относительно срединной поверхности. Пусть симметрично собранная из ортотропных слоев весьма пологая оболочка составлена так, что в каждой точке каждого слоя
главные направления упругости
совпадают с направлениями координатных линий а, % у. Пусть оболочка перекрывает прямоугольный план со сторонами а и 6 (рис. 54) и несет сосредоточенную в точке (а=х, 0=у) силу Q. Принимая, что аир являются абсолютными координатами, для коэффициентов первой квадратичной формы будем иметь
4 = 1, 8 = 1.(11. 1)
получим задачи:получим задачи:Учитывая, что в случае слоистой симметрично собранной оболочки, когда координатная поверхность у—0 совпадает со срединной поверхностью оболочки, жесткости взаимного влияния Kik
получим задачи:
получим задачи:
равны нулю, из (1.14.41), согласно (1.14.29) и (11.1), следующее разрешающее уравнение рассматриваемой
n艺2丄2段_丄Р加Ф88ф
■十 3石畸十厂5石碉十厂48a2d”十
(11.2)(11.2)+ P^ + ^+2klki^ + k^=Z,
(11.2)
(11.2)
где, как и в случае цилиндрической оболочки,
匕=匕=已=已=& =& =Qi】Cn022c2201心22Qi】Cn022c2201心22，% = 2紹(% + 2%) + %(告一2费, ，9=2聾(%+2%) + %(爲-2晋),，% = 2紹(% + 2%) + %(告一2费, ，9=2聾(%+2%) + %(爲-2晋),卜 2(% + 2% 乂為—2 箫 f卜 2(% + 2% 乂為—2 箫 f少22C 11少22C 11(11.3)(11.3)9。= СпС22 —。3Граничные условия будут иметь вид:9。= СпС22 —。3Граничные условия будут иметь вид:при а = 0, а = а при R=0, р = bпри а = 0, а = а при R=0, р = bи =必=У7】=М] = о； и =^w=笃=加2 = °・и =必=У7】=М] = о； и =^w=笃=加2 = °・(11.4)(11.4)Этим условиям удовлетворим, представляя искомую Ф (а, р) в виде88①=2£4"in 若 sin?,”1=1 W=1Этим условиям удовлетворим, представляя искомую Ф (а, р) в виде88①=2£4"in 若 sin?,”1=1 W=1функциюфункцию(11.5)(11.5)где Amn — искомые коэффициенты.Сосредоточенную силу Q, приложенную в точке (а=х, тоже представим в виде аналогичного тригонометрическогоz=-~Q=—2i2iamnSin~slnb'где Amn — искомые коэффициенты.Сосредоточенную силу Q, приложенную в точке (а=х, тоже представим в виде аналогичного тригонометрическогоz=-~Q=—2i2iamnSin~slnb'В=У)， ряда:В=У)， ряда:(11.6)(11.6)где, очевидно,где, очевидно,J=T SinSin -V-.mn ab a bJ=T SinSin -V-.mn ab a b(И.7)(И.7)Подствляя значения Ф и Z соответственно из (11.5)Подствляя значения Ф и Z соответственно из (11.5)ии(11.6)(11.6)в разрешающее уравнение (11.2), после некоторых преобразований получимв разрешающее уравнение (11.2), после некоторых преобразований получим①=F £ 2 2 寸п 丁 Sin 丁 sin 丁 sin Т，①=F £ 2 2 寸п 丁 Sin 丁 sin 丁 sin Т，(11.8)(11.8)
匕=
匕=
已=
已=
& =
& =
Qi】Cn
022c22
01心22
Qi】Cn
022c22
01心22
，% = 2紹(% + 2%) + %(告一2费, ，9=2聾(%+2%) + %(爲-2晋),
，% = 2紹(% + 2%) + %(告一2费, ，9=2聾(%+2%) + %(爲-2晋),
卜 2(% + 2% 乂為—2 箫 f
卜 2(% + 2% 乂為—2 箫 f
少22C 11
少22C 11
(11.3)
(11.3)
9。= СпС22 —。3
Граничные условия будут иметь вид:
9。= СпС22 —。3
Граничные условия будут иметь вид:
при а = 0, а = а при R=0, р = b
при а = 0, а = а при R=0, р = b
и =必=У7】=М] = о； и =^w=笃=加2 = °・
и =必=У7】=М] = о； и =^w=笃=加2 = °・
(11.4)
(11.4)
Этим условиям удовлетворим, представляя искомую Ф (а, р) в виде
88
①=2£4"in 若 sin?,
”1=1 W=1
Этим условиям удовлетворим, представляя искомую Ф (а, р) в виде
88
①=2£4"in 若 sin?,
”1=1 W=1
функцию
функцию
(11.5)
(11.5)
где Amn — искомые коэффициенты.
Сосредоточенную силу Q, приложенную в точке (а=х, тоже представим в виде аналогичного тригонометрического
z=-~Q=—2i2iamnSin~slnb'
где Amn — искомые коэффициенты.
Сосредоточенную силу Q, приложенную в точке (а=х, тоже представим в виде аналогичного тригонометрического
z=-~Q=—2i2iamnSin~slnb'
В=У)， ряда:
В=У)， ряда:
(11.6)
(11.6)
где, очевидно,
где, очевидно,
J=T SinSin -V-.
mn ab a b
J=T SinSin -V-.
mn ab a b
(И.7)
(И.7)
Подствляя значения Ф и Z соответственно из (11.5)
Подствляя значения Ф и Z соответственно из (11.5)
и
и
(11.6)
(11.6)
в разрешающее уравнение (11.2), после некоторых преобразований получим
в разрешающее уравнение (11.2), после некоторых преобразований получим
①=F £ 2 2 寸п 丁 Sin 丁 sin 丁 sin Т，
①=F £ 2 2 寸п 丁 Sin 丁 sin 丁 sin Т，
(11.8)
(11.8)
где
Дтм =尸次8 + Р^Г^ + P^Tl^ + Р47n2孔6入6 + &孔队8 十
4-^(kjmi + ^k^W + ^n4X4),入=差. (11.9)
Из (L 14.40), в силу (1.14.36) и (11.8), получим для нормального перемещения следующее выражение:
—SS22&sin^sinT-Ts-?>⑴」。)
где
%=^出+(击一2箫"科廿豐用，("И)
% = 01£2一*2。(1112)
Далее из (1.14.39), согласно (1.14.40), (11.8) и (11.10), с учетом Kik=0, (1.14.23) и (1.14.36), получим для напряжений в слоях следующие формулы:
彳=噜Е Е偌优擱+瓦吟[网曹一空鏡欣- т я
一(皖总一芻第 r^-^-^B^ + B{^ %"} X
тпхsinsinsin —— sin —
X—2——一^——-,(11.13)
中 =缪N ?俏(卷戍+自科2)[(爲^-芻箫谭一
一侬电一珞節叫一Y (協例2+空叫隔Х
тпкхтка 几式3
sin - - sin —r~ sin sin —r-
X—2——一^——-,(11.14)
атя
%=一響皖6扌头^為("戏+"步绚-2 7 ％ X
X I— Sin ——Sin Y cos cos —^ .(11.13)
Рассматривая полученные здесь формулы как функции влияния, легко получить расчетные формулы рассматриваемой здесь оболочки для других случаев загружения оболочки нормально приложенной нагрузкой. Например, в случае равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью д, подставляя вместо Q
выражение q dx dy и интегрируя по всей загруженной поверхности оболочки, получим следующие расчетные формулы:
曽翼誨sin簧sin* （11.16）
*等£ E信（&慶+ &办2）［（璃^-B:筒川— m n
一0普一凡等И］」陷戍+空科2）叫X
X —：— sin sm（11.17）
好警£ e信（如2 +饱科2）［（纥2 ^-B{^科2 - m n
一侬总—爲曾成］一 T （爲科2 +力、噌д；в}х
X—sin —sin（11.18）
%=_曽^22［S^他标+后产）一
-2T%］土⑷等蚊咿（11.19）
(тух-1) 3, 5,・.•； az —-1} 3, 5,..
Решим пример. Рассмотрим свободно опертую по всему контуру слоистую оболочку двоякой кривизны, перекрывающую прямоугольный план (aXb)・ Пусть оболочка составлена из изотропных слоев, коэффициенты Пуассона которых принимаются равными нулю (у'=0)・ Тогда в силу (5), (13), (1.10.9) из (1.10.16) и (1.10.17) получим для жесткостей симметрично собранной изотропной оболочки
=2 皆端+Е不品те —%J ,(11.20)
-8=1-
т
备=窘縮+ £冷电一%J，(乩21)
8=1
% = 2[展龄津+ g吾京电一%)]=0,(11.22)
-8=1-
D = 21 = °22 = °12 + 2Z?66 —
皆»韋+ £$•您— ％】)]，"23)
4б = §
『+£"-%)«=1
П 一 2
32 . 3
gm+lvm+iA3+i 弋 e%8
1 一产1)2 十 2 7一 (7JI
8=]
您一心Q
=0.
(11.24)
(11.25)
Таким образом, из (И. 10) и (И. 16) для нормального перемещения оболочки, когда она загружена сосредоточенной силой ——Q, приложенной в центре оболочки (а=а/2, у=Ь/2), и в случае, когда оболочка нагружена равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью —g, получим соответственно
4Q a4Ppw^=d^^ 2i2t4Q a4Ppw^=d^^ 2i2tтТt 几芯 mna m芯0(m- 4-人2^2)2 sin -^- sin 彳 sin —^― sin -^-тТt 几芯 mna m芯0(m- 4-人2^2)2 sin -^- sin 彳 sin —^― sin -^-16g〃4 0x616g〃4 0x622р-mn\{m^22р-mn\{m^тптп(m2 + 人？几2)2 sin - a ' sin -^-(m2 + 人？几2)2 sin - a ' sin -^-(m2 + 心叫4 +4S (后2m2 + &川入 2)2(m2 + 心叫4 +4S (后2m2 + &川入 2)2(11.26)(11.27)(11.26)(11.27)
4Q a4Pp
w^=d^^ 2i2t
4Q a4Pp
w^=d^^ 2i2t
тТt 几芯 mna m芯0
(m- 4-人2^2)2 sin -^- sin 彳 sin —^― sin -^-
тТt 几芯 mna m芯0
(m- 4-人2^2)2 sin -^- sin 彳 sin —^― sin -^-
16g〃4 0x6
16g〃4 0x6
22р-
mn\{m^
22р-
mn\{m^
тп
тп
(m2 + 人？几2)2 sin - a ' sin -^-
(m2 + 人？几2)2 sin - a ' sin -^-
(m2 + 心叫4 +4S (后2m2 + &川入 2)2
(m2 + 心叫4 +4S (后2m2 + &川入 2)2
(11.26)
(11.27)
(11.26)
(11.27)
Далее, используя тождество
(加2 +入2孔2)2—1
；—=(加2 + 入 2呼一
("2+人2乃4十劳毎(砧源+ &问円2‘ T 丿
(11.28)(11.28)万市(左2加2 +向川人2)2
(11.28)
(11.28)
(加2 + ”胪)2 [(m2 +入2m2)4 + "^ 三^ (&從 +左川2人2)2
получим из (11. 26) и (11. 27) для нормальных перемещений оболочки Wq и wq следующие выражения:
叫=争人储一嚙，% =粵(州一唠,(11.29)
где
加兀加兀既=^Ee 吵，s”既=^Ee 吵，s”九芯 znna 北式jsinsin г Zab九芯 znna 北式jsinsin г Zab（加2 +炉方?）2（加2 +炉方?）2(11.30)(11.30)^22^22(к2m-十 自办2人2)? sin -^- sin 方 sin -^- sin -^-(к2m-十 自办2人2)? sin -^- sin 方 sin -^- sin -^-(11.31)(11.31)
加兀
加兀
既=^Ee 吵，s”
既=^Ee 吵，s”
九芯 znna 北式j
sinsin г Zab
九芯 znna 北式j
sinsin г Zab
（加2 +炉方?）2
（加2 +炉方?）2
(11.30)
(11.30)
^22
^22
(к2m-十 自办2人2)? sin -^- sin 方 sin -^- sin -^-
(к2m-十 自办2人2)? sin -^- sin 方 sin -^- sin -^-
(11.31)
(11.31)
тика тиеЗ
(11.32)(11.32)(11.33)(11.33)(11.34)(11.34)прогибыпрогибыПервые члены в формулах (11. 29) представляют соответственно нагруженных прямоугольных (аХ &) изотропныхПервые члены в формулах (11. 29) представляют соответственно нагруженных прямоугольных (аХ &) изотропныхпластинок с жесткостью D. Вторые же члены дают поправки,пластинок с жесткостью D. Вторые же члены дают поправки,обусловленные кривизнойобусловленные кривизнойсрединной поверхности оболочки. Значения первых членов могут быть заимствованы из известных таблиц, составленных для расчета прямо-срединной поверхности оболочки. Значения первых членов могут быть заимствованы из известных таблиц, составленных для расчета прямо-угольных изотропных пластинок. Что же касается вторых членов, то они вычисляются при помощи достаточно быстро сходящихся рядов, сходимость которых существенно быстрее сходимости рядов, входящих в формулы (11.26) и (11.27).2. Многослойная сферическая оболочка под действием сосредоточенной силы. Рассмотрим многослойную изотропную сферическую оболочку, находящуюся под действием радиальной сосредоточенной силы Q, приложенной в произвольной точке (а0, р0) координатной поверхности Ti=0 (рис. 55). Очевидно,угольных изотропных пластинок. Что же касается вторых членов, то они вычисляются при помощи достаточно быстро сходящихся рядов, сходимость которых существенно быстрее сходимости рядов, входящих в формулы (11.26) и (11.27).2. Многослойная сферическая оболочка под действием сосредоточенной силы. Рассмотрим многослойную изотропную сферическую оболочку, находящуюся под действием радиальной сосредоточенной силы Q, приложенной в произвольной точке (а0, р0) координатной поверхности Ti=0 (рис. 55). Очевидно,поставленная задача татов, изложенных впоставленная задача татов, изложенных вможет быть решена на основании резуль- п. 3 § 14 гл. I.может быть решена на основании резуль- п. 3 § 14 гл. I.Введем безразмерные координаты а, р, у, которые с полярными координатами г, & и координатой 丫(см. гл. I, § 14, п. 3)Введем безразмерные координаты а, р, у, которые с полярными координатами г, & и координатой 丫(см. гл. I, § 14, п. 3)связаны зависимостямиа = кг, в=8, T1=加『связаны зависимостямиа = кг, в=8, T1=加『(11.35)(11.35)Коэффициент А, с помощью которого вводятся безразмерные координаты, имеет видКоэффициент А, с помощью которого вводятся безразмерные координаты, имеет вид加_ e(d一”2一A2[(/) -/?u)e十e望？]'加_ e(d一”2一A2[(/) -/?u)e十e望？]'(11.36)(11.36)"尸行 W g mn (m2下入/2)2，
(11.32)
(11.32)
(11.33)
(11.33)
(11.34)
(11.34)
прогибы
прогибы
Первые члены в формулах (11. 29) представляют соответственно нагруженных прямоугольных (аХ &) изотропных
Первые члены в формулах (11. 29) представляют соответственно нагруженных прямоугольных (аХ &) изотропных
пластинок с жесткостью D. Вторые же члены дают поправки,
пластинок с жесткостью D. Вторые же члены дают поправки,
обусловленные кривизной
обусловленные кривизной
срединной поверхности оболочки. Значения первых членов могут быть заимствованы из известных таблиц, составленных для расчета прямо-
срединной поверхности оболочки. Значения первых членов могут быть заимствованы из известных таблиц, составленных для расчета прямо-
угольных изотропных пластинок. Что же касается вторых членов, то они вычисляются при помощи достаточно быстро сходящихся рядов, сходимость которых существенно быстрее сходимости рядов, входящих в формулы (11.26) и (11.27).
2. Многослойная сферическая оболочка под действием сосредоточенной силы. Рассмотрим многослойную изотропную сферическую оболочку, находящуюся под действием радиальной сосредоточенной силы Q, приложенной в произвольной точке (а0, р0) координатной поверхности Ti=0 (рис. 55). Очевидно,
угольных изотропных пластинок. Что же касается вторых членов, то они вычисляются при помощи достаточно быстро сходящихся рядов, сходимость которых существенно быстрее сходимости рядов, входящих в формулы (11.26) и (11.27).
2. Многослойная сферическая оболочка под действием сосредоточенной силы. Рассмотрим многослойную изотропную сферическую оболочку, находящуюся под действием радиальной сосредоточенной силы Q, приложенной в произвольной точке (а0, р0) координатной поверхности Ti=0 (рис. 55). Очевидно,
поставленная задача татов, изложенных в
поставленная задача татов, изложенных в
может быть решена на основании резуль- п. 3 § 14 гл. I.
может быть решена на основании резуль- п. 3 § 14 гл. I.
Введем безразмерные координаты а, р, у, которые с полярными координатами г, & и координатой 丫(см. гл. I, § 14, п. 3)
Введем безразмерные координаты а, р, у, которые с полярными координатами г, & и координатой 丫(см. гл. I, § 14, п. 3)
связаны зависимостями
а = кг, в=8, T1=加『
связаны зависимостями
а = кг, в=8, T1=加『
(11.35)
(11.35)
Коэффициент А, с помощью которого вводятся безразмерные координаты, имеет вид
Коэффициент А, с помощью которого вводятся безразмерные координаты, имеет вид
加_ e(d一”2
一A2[(/) -/?u)e十e望？]'
加_ e(d一”2
一A2[(/) -/?u)e十e望？]'
(11.36)
(11.36)
где, как и раньше (рис. 33, 34),
(11.37)(11.38)(11.39)(11.37)(11.38)(11.39)с = NJ" @ - *), % =营 В：2 色—*),
(11.37)
(11.38)
(11.39)
(11.37)
(11.38)
(11.39)
0 = 4"g 岁[(弟-弟Т) _ 3а 絞一單)+ 3А2@一 *])], 8=1
52T 2 约2個一听T)一 3А您 一 81-1)+ 3拼色-*)1， e=l
m-|-n
К=^ E "【◎-單J - 2Д 电一*)], e=l
^2=1 S 皖2[◎一 戏т) 一 2А& — V1)1-
8=1
£)o = С (К?十 К %) 一 2KK]zC]2 2^ — C2 — С2
Согласно (11.35) система разрешающих уравнений (1,14.62) примет вид
(О — 0С)胪W0 — &讃VV中 + & 内=Z (：； В) , ■
с1(1140)
⑶鹏 + d^Vw—^- Nw = О, где
V=加+T 步+ R 章，UR")
а также, наряду с (11. 39),
d12 = (CK12-C12K)lQ2.(11.42)
Далее в выбранной безразмерной системе координат из (1.14.54), (1.14.58) и (1.14.60) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
也=-(0-"闸%>▼ + (1一笠療)爲什
+ d依［V一（］—学）系卜,
(11.43)(11.43)也=_（O —0。）依卜一（1 - ^9» 爲" +
(11.43)
(11.43)
+ d鸣v + %一等）點,
"=胪6 ^一；為）［2仇一明。+九W，
$ = 唔糸篇）%
纥=一耘^ V［（0 一°）如一九河
练=一冶；М 口（° -"）如一d^'
где, наконец, наряду с (И. 37)—(11.42), имеем также d = (cК -С12x12)/Q2,d66 =k66/C66，
用2 = [2КК展 一 C12 (h + 靖J]/%, ” =喝/%，
e66 = » 筑6色一"l1)?
(6=4 2 帮J営一里J - 2A 色一41)1， 8三1
%=4 t 绐。(件_學J _ 3А們 - ьз) + 3a2®, 一 尔川.
(11.44)⑴45)(11.44)⑴45)(11.46)(11.46)Очевидно, во всех формулах (11.3)—(11.42), (11.46) имеем
(11.44)
⑴45)
(11.44)
⑴45)
(11.46)
(11.46)
также известные представления
B‘=-竺3" ZB* "=_巨—.
1 - (v*)2，L682(1+ 吟
Сосредоточенную радиальную нагрузку Q представим с помощью 8-функции Дирака:
Z(% ^н^'М。一％’ Р —沁(11.47)
Частное решение системы уравнений (И. 40), отвечающее нагрузке (11. 47), может быть найдено различными способами. Например: элементарным образом получают решение для случая, когда сила Q приложена в полюсе сферы, а затем заменой координат находят частное решение, когда сила Q приложена в произвольной точке (а0, р0) поверхности сферы; или для этой цели пользуются методом интегральных преобразований Ханкеля. В итоге для частного решения, полученного методом преобразования Ханкеля, получим
d(a，办=负岡&) +勺(5用，
(11.48) 干。(a, p)=z了 0二* % I ^o ⑶)+ ^o ㈣]，I
гдегдер2 = q2 + * _ 2аа0 cos 偉—瓦)，Z = \Z—1,
где
где
S2=%= +…=
1/(0一。。)九 1] / (0一0。)心2
J 一竺]/*2
_ 七 У "2“ — 〃°)，
(11.49)(11.50)(11.49)(11.50)К。— модифицированная функция Бесселя второго рода. Применяя к представлениям (11.48) теорему сложения цилиндрических функций нулевого порядка, с учетом (11.49) получим для частного решения: при а < а0
(11.49)
(11.50)
(11.49)
(11.50)
(11.51)(11.51)如。=4 玄工俗” (％) Qn (а) + Т„ (%) % (а)] cos п(₽-瓦)， я=0 со
(11.51)
(11.51)
歐=粵 Е 入"2”(％)Fn (а) — 7” (％)Q"(a)] cos 似P — 瓦)； n=0
при а > %
(11.52)(11.52)"=4 £ L 冏(％) Т” (а) + Q„ (%) S” (明 cos 似卩一睨， n=0 co
(11.52)
(11.52)
<Р0 = ?2 工固(％»” ⑷ 一 Q"(%)7” (叫 cos W。)， n=0
где введены следующие обозначения:
(11.53)(11.53)Р„ (а) = 4【А,阿 + /”(3喇，Q“ («)=у| /„ (sa) — /“ (за)], “(а) = } [&(sa) + К”/)], Тп (а) =^ 閏“ (sa) — К”(S叫;
(11.53)
(11.53)
здесь 1п ——модицифированная функция Бесселя первого рода. В формулах (11.51) и (11.52) для коэффициента Хй имеем: Хи=1/2 при "=0; £=1 при "〉0.
Общее решение однородной системы уравнений (11.40) (при Z (а, р)=0) запишем в форме
力(a，Р) = £ С" ⑷ + 仇8"⑺ + ^8К (a) +
+ CA(a)J cos "偉一隹)+①(а, В), (11.54)
叫a,Р)=一 y[D-^^ 2⑷—仇几⑷+
*=0*
+ V„ («) - CinSn (a)| cos n (3 - P9) + Ф (a,队(И.55)
20 С. А. Амбарцумян
Здесь гармонические функции Ф (а, 0) и 屮(％ 0) имеют вид
Ф (a, Р)=旬十源In a十e (a"а"十爆l)cos 九偉一舀)，
；i(11.56)
审(а, В) = & 十 doln а 十 £ (с„аи 十 )cos 九偉一恥，
Я=1'
где ая, b“， ％ dn — действительные постоянные коэффициенты.
Постоянные интегрирования, входящие в решение однородной системы уравнений (И. 54), (11. 55), в зонах оболочки а < аа и а > а0 принимают различные значения. Для четкости последующих рассуждений постоянные интегрирования, относящиеся к зоне а V а0, пометим звездочкой, т. е. положим:
при а < %С】", С?#，G紋 С紋 ая» % % &；
при а > %С^ C^t °з善，С《紋 %，bn, сп, dn.
Поскольку мы рассматриваем сплошную сферическую оболочку, т. е. оболочку с полюсом, то, очевидно, в полюсе оболочки моменты, силы и перемещения должны иметь конечные значения. Для удовлетворения этим условиям необходимо положить
е3幫 — e4制=b：="轉=°，е3幫 — e4制=b：="轉=°，(11.57)(11.57)
е3幫 — e4制=b：="轉=°，
е3幫 — e4制=b：="轉=°，
(11.57)
(11.57)
так как при a f 0 функции S解(а) f 8 и 7善(а) f 8・
Таким образом, в случае оболочки с полюсом определению подлежат четыре группы констант типа С*& (т. е. в зоне а < а0) и восемь групп констант типа Cik (т. е. в эоне а > а0). (В случае отсутствия полюса, когда имеем сферический пояс, в обеих зонах определению подлежит по восемь групп постоянных интегрирования).
За исключением перерезывающей силы 此，которая при переходе через окружность а = а0 претерпевает разрыв вида 學 2 入“ cos (Р — 0о), расчетные величины оболочки являются непрерывными. Из условий непрерывности расчетных величин оболочки между постоянными интегрирования устанавливаются следующие соотношения:
(n = 0,1,2,...),(n = 0,1,2,...),°1 務=°1 紋 °；” = ^2я» йя = йя»
(n = 0,1,2,...),
(n = 0,1,2,...),
°3я — °4 幫—"j
c： = J—黑а尸，& =—缓q(71 = 1,2,…)，(11.58)
c；=Co = O,宮=怨.
Здесь неопределенными остаются четыре постоянные интегрированияС旣,ам, %, которые находятся из граничных условий
на краю а= а「Постоянная с0 принята равной нулю, так как она на напряженно-деформированное состояние оболочки не влияет.
При определении (И. 58) и при удовлетворении граничным условиям необходимо иметь значения тангенциальных перемещений, которые, согласно (1.14.50), (1.14.51), (1.14.54) и (1.14.56), определятся с помощью следующих формул:
m=一点]Oda -"氯叁中一成6吨 (11.59)
仁痂^款^冷一^默矗l%0).(1L60)
Таким образом, поставленная задача решена. Складывая частное решение (11. 51), (И. 52) с общим решением однородной системы (И. 54), (11. 55), получим общее решение системы разрешающих уравнений (11. 40) в случае, когда на оболочку действует радиальная сосредоточенная сила Q.
При a《а0
如=4 玄儿国(％) Qn (a) + 7“ (％)匕(a) + п—0
+ Cj”(a) + G”Q”(a) + a”a"J cos 九(p — %),(11.61)
¥ = ?[£<«(%)匕⑺一詳(％) Q” (a) — C^n (a) + C2/n (a)十 ,n=0
co
+C网 cos"偉一恥一e^?伐)cos"偉-%),.(11.62)
При a》％
w = AY\n[FMTn(a)^ Qn (%) S〃 (a)十 n=0
+ J』”(a) + %Q”(a) + %叫 cos n(₽-恥， (11.63) 吋丝広 L %(%)S” ⑺ 一 Q” (%)M «) — JR" (a) + % 尸” (a)十 .«=0
co]
+ %a, cos "偉一W + y'na — £ ^ 得)cos "(P 一 瓦)卜(11.64)
Напомним, что постоянные интегрирования, входящие в формулы (11. 61)—(11. 64), определяются из граничных условий а= а「
Имея значения и? и % с помощью формул (11.43)—(11.45), (11.59), (11.60) можно найти все расчетные величины задачи.
Решения некоторых задач анизотропных оболочекс помощью уточненных теорий
Здесь будет определено напряженно-деформированное состояние анизотропных слоистых оболочек при помощи так называемых уточненных теорий, учитывающих влияние поперечных деформаций (q, с叮，“,и напряжений (%,七叶,т^) на общее напряженно-деформированное состояние оболочки. Эти теории, изложенные в §§ 6—9 гл. I, приводят задачи теории оболочек к разрешающим дифференциальным уравнениям, решения которых отличны от соответствующих решений классической теории и содержат специфичные особенности, отражающие учет поперечных деформаций и напряжений в оболочке.
В частности, в тех случаях, когда отношения типа G^JE^ или E3^/Eik существенно меньше единицы, что зачастую имеет место в слоистых оболочках, расхождения между результатами классической теории и уточненных теорий становятся значительными. В этих случаях пренебрежение поперечными деформациями и напряжениями может привести к существенным погрешностям.
Рассматриваемые здесь задачи, как правило, не доводятся до конца, т. е. до получения окончательных формул всех расчетных величин задачи. Нашей целью является выявление некоторых специфических особенностей напряженно-деформированного состояния оболочки при учете поперечных деформаций и напряжений. Однако укажем, что при необходимости в каждом частном случае нетрудно получить окончательные формулы для расчетных величин.
Еще раз о распространении краевого эффекта. §§ 5, 7 и 9 настоящей главы были освещены некоторые вопросы распространения краевого эффекта в анизотропных слоистых оболочках. Возвратимся к этому вопросу в связи с теориями, в которых учитываются эффекты от поперечных деформаций и напряжений.
В качестве иллюстрации рассмотрим пример ортотропной круговой цилиндрической оболочки с учетом лишь тех уточнений, которые происходят от поперечных сдвигов.
Из уравнений (1.7.56) для осесимметричной деформации (ф=0, и=0,屮= 屮(a), P=F (а), w~w (а)) круговой цилиндриче-
ской оболочки (7?1=оо, /?2=К) получим следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений:
(12.1)(12.1)
(12.1)
(12.1)
В этом случае, согласно (1.7.48), (1.7.51), (1.7.54), (1.7.55), получим для внутренних сил, моментов и тангенциального перемещения следующие формулы:
T 或尸 m 加
7尸而'"尸逑"(12.2)
妬=一%需+缶%%塞，必=
吟=一黑礬•(12・3)
Напомним, что в случае однородной ортотропной (
>болочки
имеем
尸E、hгE?h1
11] —22]—32‘&55з，
(124).
Л _/及П一Y伝无3_Y2E1无3
1112 (1 - vp2) '12(l-vp2) ~ 12(l-vp2)-
Решение системы (12. 1) имеет вид
4 w=^2c^epi,,+c^+c^
(12.5>
4
歹=£j靑倒+ Ga + %
Здесь р. являются корнями следующего характеристического уравнения:
46Р — $ @5546Р — $ @552о 12о 1C口 无R2C口 无R2力+仿*击=°;力+仿*击=°;(12.6)(12.6)
46
Р — $ @55
46
Р — $ @55
2о 1
2о 1
C口 无R2
C口 无R2
力+仿*击=°;
力+仿*击=°;
(12.6)
(12.6)
Нетрудно видеть, что
p1 = g+ 办 p2=g一也 Р3=-@+川， p4 = 一G一力 (12.7)
где
】广？г + /га a = ]/】广？г + /га a = ]/3 Qo 1m = 亏雁5无屈'3 Qo 1m = 亏雁5无屈'1 Q。乐%^?1 Q。乐%^?(12.8)(12.8)
】广？г + /га a = ]/
】广？г + /га a = ]/
3 Qo 1
m = 亏雁5无屈'
3 Qo 1
m = 亏雁5无屈'
1 Q。
乐%^?
1 Q。
乐%^?
(12.8)
(12.8)
Заметим, что в рассматриваемых здесь реальных оболочках
Учитывая (12.7) и (12.8), окончательно для искомых функций получим
? = W ^h^ ｛【& G — 殆一2C2ab]尸 cos E +
+ [C2 (a2 — b2) + 2C.ab]产 sin 也 + [C3(a2 — b2) + 2C4ab] e" cos 也 + + [а(出一乃 —2d曲]бз sin儿；，
川=發 Z?^ ｛【& (a cos ba + b sin 加)+
+ C2 (a sin ba — b cos Ь^]еал + [C3 (b sin 也一a cos 历)一
C4 (b cos ba + a sin &a)] e^｝ + C5a + C6, 農=0 ；欣｛[С】 (a cos ba +匕 sin g + C2 (a sin ba ——b cos &a)] еал +
+ [C3 (& sin ba — a cos 儿)一C4 (b cos ba + a sin ba)] e~aa).
Имея значения искомых функций, с помощью формул (12.2) и (12.3) легко определить все расчетные величины задачи. Постоянные интегрирования С. должны быть определены из граничных условий на торцах оболочки.
Имея в виду исследование вопроса о распространении краевого эффекта, рассмотрим полубесконечную оболочку (a=0, а=оо). Очевидно, в этом случае выражения для искомых функций 屮(а), 必(а) и F (а) перепишутся следующим образом:
中=爲 ^^7 UG (出一妁 + ^ab] cos ba +
+ [04 (出-ь2) — 2。3曲]sin 方叫，(12.9)
^ =晉 5^【°3 (6 sin ba — a COS 6a)—
—C4 (b co?仇t + a sin &a)], (12.10) 黑=二〃 © (6 sin ba —a cos 6a)-
—C4 (b cos E + a sin &a)].(12.11)
Рассматривая формулы (12.9)—(12.11) и учитывая (12.2), легко сообразить, что скорость затухания краевого эффекта и величина зоны его распространения определяются показателем а и частично параметром Ъ, Аналогично классической теории (§§ 5,7), полагая 口女=冗(при этом в реальных оболочках решения настолько затухают, что краевыми воздействиями можно пренебречь)» согласно (12.8) получим для величины эоны распространения краевого эффекта следующее выражение:
или вили всилу (12.4)силу (12.4)кНкН(12.12)(12.12)a* = kF 1a* = kF 12 (1 -力汽)2 (1 -力汽)114410 Я G13 (1 -力Y2)10 Я G13 (1 -力Y2)У 3 石(1 - Y汴2)У 3 石(1 - Y汴2)(12.13)(12.13)
или в
или в
силу (12.4)
силу (12.4)
кН
кН
(12.12)
(12.12)
a* = k
F 1
a* = k
F 1
2 (1 -力汽)
2 (1 -力汽)
1
1
4
4
10 Я G13 (1 -力Y2)
10 Я G13 (1 -力Y2)
У 3 石(1 - Y汴2)
У 3 石(1 - Y汴2)
(12.13)
(12.13)
Отсюда для трансверсально изотропной оболочки (Е] = Е? = Е, у】=% = V, G]3 = G') легко получить
"" у 耳/ 3(1 一 河"" у 耳/ 3(1 一 河%+^春分匕(1)再%+^春分匕(1)再(12.14}(12.14}
"" у 耳/ 3(1 一 河
"" у 耳/ 3(1 一 河
%+^春分匕(1)再
%+^春分匕(1)再
(12.14}
(12.14}
Наконец, полагая ^13=оо, G' = 8, т. е. становясь на позиции классической теории, получим для величины зоны распространения краевого эффекта известные формулы:
для ортотропной оболочки
^ = ^V1声語焉=叫备)怨佬i矶R (12.15)
ДЛЯ изотропной оболочки (V = ?пТ)
а* = п"、「％ J^T^j= н"/4 /3(mL) • (12.16)
Сравнивая формулы (12.13)—(12.16), замечаем что учет поперечных сдвигов приводит к увеличению скорости затухания краевого эффекта и к уменьшению зоны его распространения» Это явление, как и следовало ожидать, существенным образом зависит от величины отношения типа EjG過.Чем больше EJG© тем меньше величина зоны распространения краевого эффекта.
Явление это в классической теории [см. формулы (12.15) и (12.16)] не обнаруживается, так как классическая теория безразлична к отношениям типа EJG^.
2. Свободно опертая по всему контуру весьма пологая трансверсально изотропная оболочка» Пусть весьма пологая, трансверсально изотропная, прямоугольная в плане оболочка (рис. 56)
свободно оперта по всему контуру
卩
Рис. 56.
(а=0, а=а, 0=0, 0=匕)и сет нормально приложенную грузку, распределенную по
не- на- по-
верхности оболочки согласно закону
= 9sm —sm-^t (12.17)
戸 где q ——интенсивность нагрузки в центре оболочки (а=@/2, 口=匕/2). Предполагается, что в каждой точке оболочки плоскость изо-
тропии параллельна срединной поверхности оболочки. Тогда для упругих постоянных трансверсально изотропного материала оболочки, очевидно, будем иметь
^11 = ^22 =当2 + 2品6 =[ 一 寸2，当2 = [ _ Y
统6 = 2 (1 不分 , 以2 + /6 — 2(1 -Y)?
&5 = 〃м = 1/G', У] = v2 ^2^ "•
(12.18)
Для жесткостей получим
следующие формулы:
Eh
e86 =
Eh
2(1 + Y)'
、Eh
Q。= СПС22 — С；?
E^
21 = % = 12(1 — 丫2)
4产
D12 =
yE五з
12(1 一 Y2)，
°12 + °6B =
£无3
24(1 十Y)，右无3
24(1 -V)В
(1249)
теории,теории,Поставленную задачу решим с помощью уточненной которая учитывает явления поперечных сдвигов.
теории,
теории,
В зтом случае, согласно (1.7.42), (1.7.50), (12.17)—(12.19), система разрешающих уравнений (1.7.56) перепишется следующим
образом:
(12.20)(12.20)EhW+^d^ + l^J^^^^^^ — ^ ]2" 一K)V^r十 3* d炉丿一H^ljEif—V)石^十
(12.20)
(12.20)
12 (1 一 可(丽十 4^丿 10G7[l2(l -?2)齋十
十 亥GET标 十F 石碰」十=
При этом формулы для определения расчетных величин примут вид
伍伍f无3fd^w . d2切、]
伍
伍
~ - 12(1 - V2)(苏十y屈)十
E无5120(1 — <9 G1E无5120(1 — <9 G1儔+ v箱,儔+ v箱,
E无5120(1 — <9 G1
E无5120(1 — <9 G1
儔+ v箱,
儔+ v箱,
M^^l^~^(^ + yl^) +M^^l^~^(^ + yl^) +(12.21)(12.21)н =н =£五3£五3d屮d屮з一型，？2-川，S-办。3，（12.22）M =得% "2 = ^•屮，(12.23)(12 24)厢=丽"一v^T）一&"Jз一型，？2-川，S-办。3，（12.22）M =得% "2 = ^•屮，(12.23)(12 24)厢=丽"一v^T）一&"J120（1 一河 G，〈加120（1 一河 G，〈加E眇E眇穽妙穽妙Т僚+箫，Т僚+箫，J2(l +丫)力曲 丁 24U(t +y)GJ2(l +丫)力曲 丁 24U(t +y)G
M^^l^~^(^ + yl^) +
M^^l^~^(^ + yl^) +
(12.21)
(12.21)
н =
н =
£五3
£五3
d屮
d屮
з一型，？2-川，S-办。3，（12.22）
M =得% "2 = ^•屮，
(12.23)
(12 24)
厢=丽"一v^T）一&"J
з一型，？2-川，S-办。3，（12.22）
M =得% "2 = ^•屮，
(12.23)
(12 24)
厢=丽"一v^T）一&"J
120（1 一河 G，〈加
120（1 一河 G，〈加
E眇
E眇
穽妙
穽妙
Т僚+箫，
Т僚+箫，
J2(l +丫)力曲 丁 24U(t +y)G
J2(l +丫)力曲 丁 24U(t +y)G
Решение системы (12.20) ищем в форме-
tv —A sin — sintv —A sin — sin尸= °sin^sin尸= °sin^sinФ= Л cos — sin ~~, 屮=C Sin — COS -г~.Ф= Л cos — sin ~~, 屮=C Sin — COS -г~.(12.25)(12.25)
tv —A sin — sin
tv —A sin — sin
尸= °sin^sin
尸= °sin^sin
Ф= Л cos — sin ~~, 屮=C Sin — COS -г~.
Ф= Л cos — sin ~~, 屮=C Sin — COS -г~.
(12.25)
(12.25)
где Л, В, С, D — постоянные, которые должны быть определены из условий удовлетворения системе (12.20).
Принимая (12.25), удовлетворим тем самым условиям свободного опирания, а из уравнений (12.20) обычным способом получим искомые коэффициенты решения:
4 = ^F (*+薪)2(1 + ")公
гдегде(12.26)(12.26)「冗2g /冗2 冗2 \3「冗2g /冗2 冗2 \3△ = /係+方）4 +（1 -唄&录+仅轰）"+办怨・27）△ = /係+方）4 +（1 -唄&录+仅轰）"+办怨・27）
где
где
(12.26)
(12.26)
「冗2g /冗2 冗2 \3
「冗2g /冗2 冗2 \3
△ = /係+方）4 +（1 -唄&录+仅轰）"+办怨・27）
△ = /係+方）4 +（1 -唄&录+仅轰）"+办怨・27）
*Gp「T (* + %)•(1228)
Подставляя значения найденных коэффициентов из (12.26) в формулы (12.25), найдем все искомые величины задачи.
Имея значения 步,、屮 и 尸,с помощью формул (12.21)—(12.24) легко записать формулы для определения расчетных величин задачи:
77 =77 =£加彳2(/)£加彳2(/)X 偿 + 脸)sin 嘗 sing 必=12(£ 号&j [Л - w^T係 +■&)"] *X 僚 + 疗)sE 子 sin%.X 偿 + 脸)sin 嘗 sing 必=12(£ 号&j [Л - w^T係 +■&)"] *X 僚 + 疗)sE 子 sin%./ n2大2、偌E无（//+&京）/ n2大2、偌E无（//+&京）62（而+市）62（而+市）sin — sm-~,sin — sm-~,(12.29)(12.29)看=看=/ .冗2冗2、核E92前+田官）/ .冗2冗2、核E92前+田官）砂(7砂(7A sin— sin -~9 a b 'A sin— sin -~9 a b '(12.30)(12.30)s =s =/ 大2冗2、涼叫卷G + &庐）/ 大2冗2、涼叫卷G + &庐）/冗2 力2、2 а&Е+ТГ丿/冗2 力2、2 а&Е+ТГ丿A cos —cos — , a b 'A cos —cos — , a b '
77 =
77 =
£加
彳2(/)
£加
彳2(/)
X 偿 + 脸)sin 嘗 sing 必=12(£ 号&j [Л - w^T係 +■&)"] *
X 僚 + 疗)sE 子 sin%.
X 偿 + 脸)sin 嘗 sing 必=12(£ 号&j [Л - w^T係 +■&)"] *
X 僚 + 疗)sE 子 sin%.
/ n2大2、
偌E无（//+&京）
/ n2大2、
偌E无（//+&京）
62（而+市）
62（而+市）
sin — sm-~,
sin — sm-~,
(12.29)
(12.29)
看=
看=
/ .冗2冗2、
核E92前+田官）
/ .冗2冗2、
核E92前+田官）
砂(7
砂(7
A sin— sin -~9 a b '
A sin— sin -~9 a b '
(12.30)
(12.30)
s =
s =
/ 大2冗2、
涼叫卷G + &庐）
/ 大2冗2、
涼叫卷G + &庐）
/冗2 力2、2 а&Е+ТГ丿
/冗2 力2、2 а&Е+ТГ丿
A cos —cos — , a b '
A cos —cos — , a b '
ЛТ无2^2 / 兀2兀2 \3ка . кб
(12.31)(12.31)м = I^Tg c°s H sin 丁，
(12.31)
(12.31)
=+庐)®Sm~Sln 6 »
(12.32)(12.32)戸;叫-自」4 sin 方 sin T, I " sin
(12.32)
(12.32)
Рассматривая формулы (12.25)—(12.32), замечаем, что, в отличие от классической теории, здесь расчетные формулы существенным образом зависят от параметра 力*, который в данном случае представляет явления, связанные с учетом поперечных сдвигов.
Для большей наглядности представим значение нормального перемещения (а тем самым и коэффициента Л, который входит во все формулы расчетных величин) несколько иначе, а именно:
步=%(1+川)，(12.33)
где
无4E/兀2 兀2 \5
,* —120G，(1 — Y?)(而 +
九=一加两 乔7 一码歼 就苻一
近(a■ +範丿+u一河u2哀+航夜丿r +彳OG，(1 _У 2)(凉+範力
^ Wq — нормальное перемещение, найденное по классической теории и равное
12(1-,2)9№0 +产丿 sin —sm —
%~~• (12.34)
+炉)+b(i-w)(应+ 夜)
Отсюда, видно, что, изменяя параметр 力*, т. е. отношение E/G\ существенным образом можно изменить напряженно-деформированное состояние оболочки.
Рассматривая полученные здесь результаты, замечаем, что классическая теория анизотропных оболочек, построенная на основании гипотезы недеформируемых нормалей, в определенных случаях существенной анизотропии материала оболочки не может быть использована и нуждается в корректировке. Дело в том, что классическая теория совершенно безразлична к отношениям типа EJG" и при некоторых значениях этих величин может привести к существенным погрешностям.
Рассматривая формулы (12.25)—(12.34), замечаем также, что с увеличением подъемистости оболочки (т. е. с увеличением параметров акх=а/Яъ Ьк2=Ь/Н^ ошибка, допускаемая при принятии гипотезы недеформируемых нормалей, уменьшается. В случае
Z = Z+ = q sin 亍,Z = Z+ = q sin 亍,(12.35)(12.35)
Z = Z+ = q sin 亍,
Z = Z+ = q sin 亍,
(12.35)
(12.35)
пластинки (自=&=°) эта ошибка принимает свое максимальное значение. Дело здесь в том, что при увеличении подъемистости оболочки влияние изгибающих параметров на напряженное состояние оболочки уменьшается, что означает и уменьшение влияния перерезывающих сил N* и N* а тем самым и касательных напряжений 七纣 и т^, которыми обусловливается влияние поперечного сдвига.
Задача, в которой исследуется вопрос влияния поперечного обжатия и поперечного нормального напряжения на напряженно- деформированное состояние ортотропной оболочки. Рассмотрим задачу о равновесии осесимметрично нагруженной ортотропной круговой цилиндрической оболочки, свободно опертой по торцам (рис. 57).
Поставленную задачу решим с помощью новой итерационной теории (см. § 9 гл. I); при этом мы познакомимся также с ходом решения задач по итерационным теориям.
Пусть оболочка загружена распределенной по всей поверхности нормально приложенной нагрузкой, которая по поверхности оболочки изменяется по закону
где I ——длина оболочки, q ——интенсивность нагрузки в центральном сечении оболочки..
В силу (1.9.4) будем иметь для грузовых членов
Zx = f sin ^ , Zz = gsin 千.(12.36)
Для рассматриваемой задачи граничные условия принимают вид:
при а = 0, а = 2 М] = 0, 7】=0, w = 0.(12.37)
Ввиду полной симметрии все искомые величины являются функциями лишь координаты а. Тогда очевидно также, что
v = v°-0,少0 = 0, 5 = 5。= 0,]
Н = ¥ = о, “2 =第=0，J
где все величины, отмеченные индексом《0», относятся к классической теории.
Пусть система координат а,卩 такова, что
А = В =z 1, /?「= 0, /?2 = R.
Разрешающая система уравнений (1.9.55) для рассматриваемой задачи, согласно (1.9.39), (1.9.49), (1.9.50), (1.9.56) и принятым здесь предположениям, перепишется следующим образом:
d汕上d2F丄汕П 也丄旦"丝丄
%1 而十 W 而=乙十飞""1心55石^十羽^厂口 石Г十
+22煮+22煮d27* d&2d27* d&2*著一3需=（332 + %紹口）*著一3需=（332 + %紹口）3 dK。3 dK。(12.39)(12.39)2h d/2h d/
+22煮
+22煮
d27* d&2
d27* d&2
*著一3需=（332 + %紹口）
*著一3需=（332 + %紹口）
3 dK。
3 dK。
(12.39)
(12.39)
2h d/
2h d/
1 z d . f)、d?Z
^ (a22产22 十 %2产11) dа2，
где наряду с известными постоянными упругости для ортотропной оболочки имеют место (см. (1.9.42))
Р]] = _6[1a]3 + 5]2a23，p22 =筑2出3 + 与2a⑶(12.40)
Входящие в правые части уравнений (12.39) величины 屮"， Q°, Г*, К" должны быть определены из решения поставленной задачи по классической теории.
Разрешающие уравнения классической теории запишутся следующим образом:
耳号="in 丁，
。22 处仰 1 d^o 0(1」)
где wQ (а) и FQ (a) — искомые функции классической теории. Полагая
w^ = Q sin -у-, Fq = CJ sin -^-,(12.42)
удовлетворим граничным условиям задачи, а из системы (12.41) определим коэффициенты С?, а тем самым и искомое решение задачи по классической теории
4 = 暗 sin『，з=一招5Ё不，(12.43)
где ради краткости введено обозначение
[] = 1+4^T-244)
Подставляя значения wQ и Fo из (12.43) и (1.9.6), (1.9.16), (I. 9. 18), после серии преобразований получим
汽=-8口汽=-8口d3(z?o 0a22片]]区电3d3(z?o 0a22片]]区电3K° = —DK° = —D1 d-w^1 d-w^砂[]砂[]C0S —C0S —12 H 拠212 H 拠270 — 〃 d'Fq , 口°2贝70 — 〃 d'Fq , 口°2贝g0228]2万2r大.式a12/2 I I~ Sln 丁. кдsin 丁，g0228]2万2r大.式a12/2 I I~ Sln 丁. кдsin 丁，(12.45)(12.45)
汽=-8口
汽=-8口
d3(z?o 0a22片]]区电3
d3(z?o 0a22片]]区电3
K° = —D
K° = —D
1 d-w^
1 d-w^
砂[]
砂[]
C0S —
C0S —
12 H 拠2
12 H 拠2
70 — 〃 d'Fq , 口°2贝
70 — 〃 d'Fq , 口°2贝
g0228]2万2r大.式a
12/2 I I~ Sln 丁
. кд
sin 丁，
g0228]2万2r大.式a
12/2 I I~ Sln 丁
. кд
sin 丁，
(12.45)
(12.45)
z)0_ R d4% —9。22丛]用兀4 兀a
VЛ/4 Pl SinT
_/a23区。22"：卅812无r冗2 Ia33、^С:e戈"
—\МПh—^sin-p.
Подставляя значения(p0J. . ., Г* из (12.45) в уравнения системы (12.39), получим следующую разрешающую систему уравнений рассматриваемой задачи:
Q d% I 1 d2F _「[T65弘a22%5五2九4 1["5^十齐"^"一l >96Z4一jr
I 兀6a228[]P[】五2%*712a238]2无2 ] ^^^22^33^ 12^^
2b8fo I J12方[]"H "96/4 [-]
(12.46)(12.46)-嘰霑+響必亙咛,
(12.46)
(12.46)
“22 d4 尸 1 d21P —
h da4 R da2 一一'
=@典2 + a,G (募一喻哨g sin子.
Решение этой системы также ищем в форме
步=&8e子，F=C2 sin^,步=&8e子，F=C2 sin^,(12.47)(12.47)
步=&8e子，F=C2 sin^,
步=&8e子，F=C2 sin^,
(12.47)
(12.47)
где G — искомые постоянные.
Принимая (12.47), тождественно удовлетворим граничным условиям свободного опирания по торцам (12.37), а из разрешающей системы (12.46) обычным образом получим для искомых функций w (а) и 力(а) следующие выражения:
如= %(!+$ +鼻 4如= %(!+$ +鼻 4歹=歹。a+s+3£).歹=歹。a+s+3£).(12.48)(12.48)
如= %(!+$ +鼻 4
如= %(!+$ +鼻 4
歹=歹。a+s+3£).
歹=歹。a+s+3£).
(12.48)
(12.48)
где
注68¥1做2。5用吹" I汽53/f][R2无4
5 =96加「]1j
П2%38，2 %2 ]大 4022a338%无4 ^2g33^12^3 । 冗 2pи无2
t _ Q2P22 + %%)「騎 2,-募]•
Имея значения и; и F, а также соотношения (12.45), с помощью формул (1.9.29), (1.9.30), (1.9.47), (1.9.51) нетрудно определить все расчетные величины задачи.
Для большей наглядности рассмотрим численный пример. Пусть оболочка изготовлена из трансверсально изотропного материала так, что плоскость изотропии в каждой точке оболочки параллельна срединной поверхности. Тогда, очевидно,
@11 =笈22 = 1/Е, 5口 = 522 = Е/(1 — у2),
〃55=1/G/，出2 =_-v/E，a13=a23=——v'/E'，
a§3= 1/E'， 当2 = vE/(l — y2).
Результаты подсчета значений отношений w/wb и FIF^ при различных значениях £7Е', £7G', h/l, когда у=у'=0,3, /?//=!, приведены в нижеследующих таблицах.
'Т а б л и ц а 3
w/wq, h/l =0,1
х. EG
EIEr
0,0
2,0
5,0
10,0
0,0
1,0000
1,0022
1,0056
1,0111
1,0
0,9831
0,9853
0,9886
0,9942
2,0
0,9661
0,9684
0,9717
0,9772
5,0
0.9154
0,9176
0,9209
0,9267
Таблица 4
FIF^ 无〃 = 0,1
X. E;Gf
EE
0,0
2,0
5,0
10,0
0,0
1,0000
1,0022
1,0056
1,0111
IQ
0,9982
1,0004
1,0037
1,0093
2,()
0,9964
0,9986
1,0019
1,0075
5,0
0,9910
0,9932
0,9965
1,0021
Таблица 5
гг/гг0,五/% = 0,2
EIGf
EIEf
О,о'
2,（）
5,0
10,0
0,0
1,( )0()0
1,0285
1,0713
1,1426
1,0
(),9591
(),9876
1,03'>4
1,1017
2,0
(),9182
(),9467
(),9895
1,0608
5,0
0,7954
0,8240
(),8667
(),9381
Таблица 6
F4 初= 0,2
EiGf
EjE'
0,0
2,0
5,0
10,0
o,(> 1,0 2,() 5,0
1,0000 (),9949 0,9898
0,9745
1,0285 1,0234 1,0183 (),9969
1,0713 1,0662 1,0611
1 ,0459
1,1426
1,1375
1,1324
1,1172
Из этих таблиц видно, что при достаточно сильной анизотропии неучет явлений, связанных с поперечными деформациями и, в частности, с поперечным обжатием или расширением, может привести к неприемлемым погрешностям. Следует отметить также, что в некоторых случаях поправки от учета £丁 могут быть существеннее поправок от учета поперечных сдвигов. Однако отметим, что в реальных оболочках из слоистых пластиков поправка от учета поперечных сдвигов должна быть введена в первую очередь, так как сдвиговая деформативность этих материалов значительна, т. е. отношения типа E/G' существенно отличаются от нуля.
Температурные напряженияв анизотропных оболочках
Вопросы определения температурных напряжений в оболочках издавна привлекали внимание исследователей. В современной литературе имеется множество работ, посвященных этой теме. Для полноты изложения здесь мы приводим некоторые сведения, необходимые при исследовании температурных напряжений в анизотропных оболочках.
1 ・ Классическая теория термоупругости слоистых ортотропных оболочек. Рассмотрим многослойную оболочку, собранную из нечетного числа однородных ортотропных слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности оболочки. Под симметричностью понимается как геометрическая симметрия, так и симметричность т.ермоупругих свойств. Как и раньше, пусть в каждой точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверхности оболочки, а остальные две перпендикулярны к координатным линиям а и 艮
Обобщенный закон Гука для г-го слоя оболочки в случае задачи термоупругости, согласно (7) и (1.10.7), принимает вид (в случае ортотропного материала а；б=а；б=0)
e： = %o： + a；25+GT(a，В，Т)，'
協=啞或 + 42% + g7他，Р, » '(13.1)
脸=аеет^3»
где наряду с известными обозначениями принято также: а^ —— коэффициенты линейного температурного расширения, 7= —Т (а, р, у) — функция, характеризующая температуру оболочки.
Принимаем, что температура по толщине оболочки меняется по линейному закону, а именно:
?=Т°(а, р)+#?(а, 0),(13.2)
где Tq^I/2 (Т++7~) — средняя температура нормального элемента оболочки, (АТ) = (Т+—广)一 нормальный перепад температуры.
Здесь Т+ (а, В) и Т" (а,卩) —— температуры соответственно на внешней(7=fe/2) и внутренней (?=——归/2) поверхностях оболочки.
Решая (13. 1) относительно напряжений, получим
。:=3；自+ В^-^Т.^ (约氏+铝产2 一黑普)，
(13.3)(13-4)(13.5)(13.3)(13-4)(13.5)。；=^ + В^-^t^^ 侬产2 + 8欣一 В洋), где, как всегда, для ортотропной оболочки
(13.3)
(13-4)
(13.5)
(13.3)
(13-4)
(13.5)
3；1 = 1 -f脑，В% = 1 产标 > В№ = G；2，
D# Ygm 3后$ а также
俄=约岗+约血体=1,2).
21 С. А. Амбарцумян
Что же касается компонент деформаций, то, как обычно, имеем формулы (1.10.5) и (1.10.6).
Далее, с помощью формул (1.10.14) и (13.3) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
Т[ — С11е1 + С12е2 一 GtTо， 笃—С22е2 + C12s1 — С2тТ0, S =c66①，H 066。'
AT
"1 = A/l + °12*2 - 2T ，
AT 必=022x2 + ^12X1 - 4T -^- ,
где (рис. 32)
% = 2 [3融忆+i+z产№ -仮+i)
a"=4 [ 3：产碌+1+2*"(偌一代+1)L8=1
и для температурных членов:
CjT = 2^hm+l+^{lit-h^
(13.6)(13.6)(13.7)(13.7)(13.8)(13.8)^=4号+号+i+E喝您一像+j^=4号+号+i+E喝您一像+jОчевидно, к выписанным соотношениям должны быть присоединены уравнения равновесия элемента оболочки и уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности, которые должны совпадать с соответствующими уравнениями общей теории, т. е. c(L1.8) и (1.1.21), в предположении, что X^Y=Z=0.
(13.6)
(13.6)
(13.7)
(13.7)
(13.8)
(13.8)
^=4号+号+i+E喝您一像+j
^=4号+号+i+E喝您一像+j
Этого достаточно для построения разрешающих уравнений задачи термоупругости и получения частных решений, отвечающих температурным «нагрузкам», т. е. температурным членам этих уравнений. Для конкретности рассуждений целесообразно рассмотреть конкретные типы оболочек.
Оболочки вращения. Рассмотрим ортотропную оболочку, срединная поверхность которой является поверхностью вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М срединной поверхности будем определять координатами:屮——
азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось z, и меридиональной дугой s (рис. 58). Для срединной поверхности рассматри
ваемой оболочки имеем следующие кривизны и коэффициенты первой квадратичной формы:
т1,1 cos 8т1,1 cos 84 = 1,В = г.4 = 1,В = г.(13.9)(13.9)где г — радиус кривизны параллельного круга, 8 — угол между радиусами кривизны нормального сечения и парал^ дельного круга.
т1
,1 cos 8
т1
,1 cos 8
4 = 1,
В = г.
4 = 1,
В = г.
(13.9)
(13.9)
Пусть температурное поле оболочки тоже осесимметричное, т. е.
7(s, y)=£(s) + yAT(s). (13.10)
Осесимметричны также граничные условия.
Тогда, очевидно, будем иметь задачу осесимметричного напряженного состояния. Не вдаваясь в подробности (см. гл. I, § 2), приведем окончательные
пр едставл ения исх одпр едставл ения исх одних уравнений и соотношений, необходимые в последующем:
пр едставл ения исх од
пр едставл ения исх од
уравнения равновесия:
^(2) + 4sin8+糸 N=0,暴N) —г俺+館) = 0,^ (「М0 + 必 sin 8 — r/V = 0;
геометрические соотношения：
&1 =石 + 炉, s2 =r у (w? cos V — % Sin V),
d0^тут sin § txt dip w
X2 = W— , W=石一石;
уравнение неразрывности:
北=一屮匕4=各% =*匕北=一屮匕4=各% =*匕(13.11)(13.11)(13.12)(13.13)(13.14)2产(13.12)(13.13)(13.14)2产г 警一(*2 - si) sin 8 -w cos 8 = 0. Полагая
北=一屮匕4=各% =*匕
北=一屮匕4=各% =*匕
(13.11)
(13.11)
(13.12)
(13.13)
(13.14)
2产
(13.12)
(13.13)
(13.14)
2产
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (13.11), а третье уравнение примет вид
—(rJ/j) + М2 sin 8 — 0cos 8 = 0.(13.15)
Решая первые два соотношения (13.6) относительно деформаций и при этом учитывая (13.14), получим
。22 sin § рС]2 dP [ К\т
(13.16)(13.16)(13.17)(13.17)1 —Q()г Q()ds 十 Q()
(13.16)
(13.16)
(13.17)
(13.17)
о — Qi dP I °i2 sin 9 Tz I &2T T
2一右ZT十鼻"十у々，
где
K]T=0改6T— 012°2Т，К2T=01102T- C12C1T,。0 =%一022 —
Подставляя значения моментов из (13.6) с учетом (13.12) и компонент деформаций из (13.16) в уравнения (13.13) и (13.15), получим следующую систему разрешающих уравнений задачи относительно двух искомых функций V—V (s) и W=W (s):
"2%sin 8 d沙 42 shi2 8 卬，2 1 [“ L 1 1 P
亦 ?石—瓦下" 一瓦1瓦瓦十瓦1瓦 一
(13.18)(13.19)(13.18)(13.19)_ D1牙 d /ДT\ а? 一d17 sin 8 AT— Dn ds \ h ) Dn ~ ~h
(13.18)
(13.19)
(13.18)
(13.19)
ds? Г ds e” 产 十 ％%/0"h2~
—К?т dT()丄 К2H — К、】sin Q 7
—'С” ds 十 Cn г
Таким образом, осесимметричная температурная задача теории ортотропной слоистой оболочки вращения сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений, отличающейся от аналогичной системы уравнений статической задачи (1.2.17), (1.2.18) лишь «грузовыми» членами.
Вопросы решения соответствующей однородной системы уравнений достаточно полно освещены в §§ 4——7 настоящей главы, поэтому здесь нас будут интересовать лишь вопросы определения частных решений, отвечающих температурным членам.
Если частное решение системы (13.18), (13.19) искать в виде разложений
w=% +臺历1+…/=% +亮匕+… (13。20) и, учитывая точность исходных предположений, ограничиться
первым приближением, то
% =竿(2, 一 %) tg 8 一 ^ 偿)r20m.
(13.21)(13.21)Внутренние силы, моменты и напряжения, соответствующие частному решению (1.13.21), определяются с помощью формул (13.3), (13.6), (13.12), (13.14), (13.16), (13.21) и имеют вид
(13.21)
(13.21)
= Ur tg 8偿)—(2т — 02『)冗2 п^ 卓，
笃=—Ат色詣(岁)一 [Зт (*—2)+ 5т] ^ (¥) tg 8 + 4АТ
+ (2T一02T)瓦 0 + tg? 8)万 »
W = 一加 ^ 偿')+ (% - %)*里8普，
% 後与分—{ % [Kit + &T 備—2)]_
~ %&，讐禁一(Км — &7)[。11 * (1 + tg2 &)—
П д sin2S]7(,AT
.几=_% 餐％ 嘗—{% [《17 + &Т 備—2)]—
—%&т}器 ^"—(&т—&Т)[% 靑 a+tg2 3)— D A sin2$]ToАГ
-Лemb% - &2硏1 d % QzBji 一c12出2 sin 8 p _
一丫 (招醬-3:2甲%-W学+
I『h及1T+B&K2T p, 7
fQo ds "^- а。г 0 *
(13. 22)(13. 22)(13. 23)(13. 23)(13.24)(13.24)+ T侬2屮%-迎需一悯竿+
(13. 22)
(13. 22)
(13. 23)
(13. 23)
(13.24)
(13.24)
где, наряду с (13.21), имеем
礬奇/誓+[&信-2)+矶警符+
誓=-D1TR2言借)-[% 鲁-2)+ 4dtg哈偿)+
+ (0"一%)靑 0+tg28)£
Весьма пологая о б о ло ч к а. Исходя из основных положений теории весьма пологих оболочек (см. § 5 гл. I) и выбирая систему координат (а,卩)так, чтобы 4=1, 5 = 1, получим следующие уравнения и соотношения, которые будут использованы для решения задачи термоупругости весьма пологой оболочки:
уравнения равновесия:
Г, a + S в = 0, М b + S =0,
'&Т1/&Т2 —А\,'« — А<в = О,(13.25)
+ В =”2, б + а = “2； •
геометрические соотношения:
(13.26)(13.26)% =生 a + &з，％ =吃 В + к沙,勺=--必，аа,
(13.26)
(13.26)
3 =现，8 + 乙 a， G = _2"，磧， 々 ~ 一必，即；
уравнение неразрывности:
*2Х1 + ^1Х2 + %, аа —叱呻 + £1,郎=^(13.27)
Исключая из уравнений равновесия (13.25) /Vj и /V2 и учитывая (13.6) и (13.26), получим
(13.28)(13.28)Т], а + S, в = 0, 丁2, В + S, а= & &Т1+М2 +4 (■“ + ▽”(¥)= 0， где
(13.28)
(13.28)
厶(2%) ~ 2丄請+ 2 (°12 + 2%)加2邙2 +°22 而,
"т=%М +。2T 系.Разрешая соотношения (13. 6) относительно деформаций,"т=%М +。2T 系.Разрешая соотношения (13. 6) относительно деформаций,где, как и раньше, для К《т и Qo имеем (13.17).где, как и раньше, для К《т и Qo имеем (13.17).получим(13.29)получим(13.29)
"т=%М +。2T 系.
Разрешая соотношения (13. 6) относительно деформаций,
"т=%М +。2T 系.
Разрешая соотношения (13. 6) относительно деформаций,
где, как и раньше, для К《т и Qo имеем (13.17).
где, как и раньше, для К《т и Qo имеем (13.17).
получим
(13.29)
получим
(13.29)
Подставляя значения компонент деформаций из (13.26) и (13.29) в уравнение неразрывности (13.27), получим
1 02切1 ^2щ/^Ц <^2 б? Н2、т ]
一瓦凉一瓦乖■十1%荻一大帝丿2十
I / c22 加 c12 h2)T ] H2s .
(К2T * 丄勺т °?、т — П 十，20珈2 1 Q(J弟2丿丄0 -u.
(13.30)
Полагая
/ I _ d件，/ 2 一汲2，0 — 诟 2旷
(13.31)
где 屮=屮(％ 卩)——функция напряжений, тождественно удовлетворим первым двум уравнениям системы (13.28), а из третьего уравнения (13.28) и уравнения (13.30) получим
厶 1(%)如+弘中= —▽£¥)，.(13 32)
厶2 (ed左)屮一必必=一^CtTq^
5（&）=豐為+（曲一2^）5（&）=豐為+（曲一2^）。4. C22 d*而屈十蒿■通?。4. C22 d*而屈十蒿■通?где для 厶” \dT имеем известные представления, а остальные операторы имеют вид:
5（&）=豐為+（曲一2^）
5（&）=豐為+（曲一2^）
。4. C22 d*
而屈十蒿■通?
。4. C22 d*
而屈十蒿■通?
\7 п 一 ■ 一 -1— I
Й^Л2汲2十%9俨
н> аналогично оператору Vrfy,
D — К2T 湄]/т Н2
Vct = Z荻十W派・
Таким образом, температурная задача теории анизотропных пологих оболочек сводится к решению линейной системы дифференциальных уравнений (13.32) при заданных граничных условиях.
Здесь искомыми функциями, как и в случае обычного смешанного метода, являются функция напряжений(р(%Р) и функция перемещений “(а,卩),посредством которых представлены все расчетные величины задачи, а именно: •
тангенциальные силы:——определяются формулами (13. 31); моменты:
此=此=-0 "-0 "д-w 八 д-w 八 AT
此=
此=
-0 "
-0 "
语一"12衣一"17万,
(13.33)(13.33)才/ n ° 汕 nn (A?)
(13.33)
(13.33)
必=—022 市一012 硬一57 号,
〃 =—2% 端
поперечные силы:
"1 =一e1 (DQ W — Q? ^ (^)，"1 =一e1 (DQ W — Q? ^ (^)，(13.34)(13.34)
"1 =一e1 (DQ W — Q? ^ (^)，
"1 =一e1 (DQ W — Q? ^ (^)，
(13.34)
(13.34)
где, как и раньше,
Ei (。浦=31 爲 + (% + 2%)石為，
马(％) = % 誥 + (% + 2%)読；
напряжения в слоях:
l£ __ СцВ% —。12硏1 應 I C228fl — C]28f2 8州—
% 一话一
一Y1皆+別2需+俄 千)+
+低电+迎筹一时北，
(13.35)(13.35)2 С卩血一仆8厶严丫 Ie228:2一 ^12^22 ^??
(13.35)
(13.35)
0 一标一
Рассматривая разрешающую систему уравнений и расчетные формулы, замечаем, что, как и в случае оболочек вращения, в случае пологих оболочек разрешающая система уравнений температурной задачи отличается от соответствующей системы статической задачи лишь «грузовыми» членами.
2 ・ Задача термоупругости ортотропной оболочки вращения с учетом зависимости упругих и термических постоянных мате-. риала оболочки от температуры. В некоторых задачах термоупру- * гости оболочек, когда рассматриваемые разности температур достаточно велики, а сама температура превышает некоторое предельное значение, характерное для данного материала, быва.ет необходимо при определении температурных напряжений учитывать изменения термоупругости постоянных материала оболочки в зависимости от температуры. Отсылая читателя для полного j изучения вопроса к специальной литературе, рассмотрим здесь ：
лишь оболочку вращения, на примере которой можно получить представление о рассматриваемом вопросе.
Задача решается в линейной постановке без учета явлений ползучести материала оболочки в предположении справедливости обобщенного закона Гука. Геометрия срединной поверхности рассматриваемой оболочки читателю известна и характеризуется рис. 58 и формулами (13.9).
В основе рассмотрения лежит несколько модифицированная гипотеза недеформируемых нормалей. Принимая все основные положения указанной гипотезы, будем считать, что относительная линейная деформация по толщине оболочки отлична от нуля и равна свободному температурному расширению:
勺=/Т или %= j а3Т d^.(13.36)
о
При этом предполагается, что модули упругости и коэффициенты Пуассона являются произвольными функциями температуры Т= =Т (s, у), т. е. имеем
e] = 纥 =忆⑺，瓦=线=/(7), v, = v,(T).(13.37)
Пусть, далее, оболочка изготовлена из такого ортотропного материала, для которого зависимость коэффициента линейного температурного расширения от температуры можно аппроксимировать линейной функцией:
出 = % = @ + %〃 % = % = % + 屮7，气=气=% + 4兀
В силу принятых предположений из обобщенного закона Гука легко получить
% =吕回+ б2%一(当1% +当2%)%]= 822" + 当2% - (-s22а(р + 当2&) t> J
где для %, как и раньше, имеем (13.4) (без индексов X).
Согласно модифицированной гипотезе недеформируемых нормалей, для относительных деформаций получим (см. §§ 1 и 9 гл. I)
е, = si + 伪 + 瓦(а/ j + 外/2)，е, = si + 伪 + 瓦(а/ j + 外/2)，
е, = si + 伪 + 瓦(а/ j + 外/2)，
е, = si + 伪 + 瓦(а/ j + 外/2)，
откуда, в силу (13.36) и (13.38), найдем
!(13.40)
е<Р= е2 + тх2 + Д； (а/1 + ^/2).,
где
q =嚣 + 京，©2 = ^ (如 cos 8 — гг sin 8),
К — 一 "% 乂 — [J/ sin 8w— dsW
%ds ' *z H一 ds
J]=]Tdyt 厶=,T汨y，
(13.41)
(13.42)
где} как ЁСёгда, u (s), w (s)——перемещения точек срединной по- йерхности соответственно вдоль меридиана и по нормали к срединной поверхности, W ⑹——искомая функция деформаций.
T (s, T)— температура оболочки.
Подставляя значения деформаций ев, % из (13.40) в получим для напряжений следующие выражения:
(13.38),
* = ^114 4- 512£2 + Т (В“3 + 修/2)+芻(％71 + %，2)+
+ 栽(%71 + %，2)~ (-®па1 + %出)Т，
Чр — В^2 + ^12е1 + Т (-®22х2 + ^12Х1)卜力2 (%'1 + %‘2)+ + 静&‘1 + 4厶)一 (822a2 + 51Л) Т.
(13.43)
Подставляя значения напряжений из (13.43) с учетом (13.38) в известные формулы (1.1.15), получим с достаточно высокой точностью для внутренних сил и моментов следующие формулы：
з=4% +012% + ^11Х1 + %2х2 +点(a£11 + 4a 12)+
+ 点(吵⑵ + %*22)- /n3 -"c1拉-%0123*124，
?2 =c12% +。22% + *12% + ^22^ + 瓦(%C121 + 4c 122)+
+ 瓦(勺0221 + %C222)- 偌0123 -公0124 - %C223 - ^C224， Ml = 2/1 + 0* + ^11£1 + 居2£2+ 靑&*m + 4/12)+
+ 瓦&%21 + 4靖22)一 &勺13 一 "A拉—%仁23 一b/12P 必=®12xl +。22々 + ^12el + ^22®2 + 肃&爲 21 + 4K向 +
+瓦(%%21 +Ь产222)一a/123一"《124 一a/223 -b/2弘，
(13.44)
■ (13.45)
где приняты обозначения:
无/2
й/2Л/2'
'『J = [ ^ ij^^ 2?
-A/2
й/2
j В ij 灰，
=j %働，k"=、% 7 力，
-Л/2-Л/2
Л/2
Tj{= j ij^k\ ^T ПРИ 乃=1,2,
(13.46)
-Л/2
Л/2
4/2
-Л/2
A/2
笈仆=5 BijTk^ dY ПРИ * = 3,4.
-A/2.
Из соотношений упругости (13.44) и (13.45) замечаем, что, когда механические х ар актеристики материала оболочки зависят от температуры, а температура оболочки является произвольной функцией координат s и 丫, однородная оболочка ведет себя как неоднородная (точнее, оболочка под действием температурного поля становится неоднородной). Наличие, например, в формулах (13.44) и (13.45) членов с жесткостями взаимного влияния говорит о том, что оболочка по толщине неоднородна.
Очевидно, в рассматриваемом случае уравнения равновесия (13.11) и уравнение неразрывности деформаций (13.13) остаются неизменными. Полагая
(13.47)(13.47)т sin 8. cos 8 c 不 dV
(13.47)
(13.47)
n=岁г+屮C。,
где V=V(5)— искомая функция напряжений, Со —— постоянная интегрирования, тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (13.11).
Напомним (см. гл. I, § 2), что постоянная интегрирования С0/г0 представляет собой отнесенное к единице длины внешнее осевое усилие, распределенное по параллельному кругу s~sQt
Таким образом, остается еще удовлетворить третьему уравнению равновесия (13.11) и уравнению неразрывности (13.13).
Подставляя значения Ti из (13.47),匕 из (13.41) в (13.44)
(13.48)(13.48)11 решая полученную систему уравнений относительно компонент деформаций, найдем
(13.48)
(13.48)
一靑（喳21 +毕22）一高（%П21 + b凸2 -仇第十
+ 晒23 + "024 + %口23 + 4n24,
(13/8)(13/8)e-譽屮卩+ ^4?_Q。屮呼+h。*一
(13/8)
(13/8)
一^ （。宀 + \n12）一点（а科1 + 沁2 + Co 曾 + +。卩13+b卩14 + %°13+%。14，.
где введены следующие обозначения:
口,。= 储/]2 一 %20。； ^ij = (M&2J — С]2&“)。0 q£比=(°#0力无-°12°12在)q(/Qj= ^11^22 —圖2・口,。= 储/]2 一 %20。； ^ij = (M&2J — С]2&“)。0 q£比=(°#0力无-°12°12在)q(/Qj= ^11^22 —圖2・(厶 / = 1,2; i# j),« = 1, 2),(t = 1, 2; / = 1, 2, 3, 4), ("=1,2,3,4; i,/=1, 2; i#j\(厶 / = 1,2; i# j),« = 1, 2),(t = 1, 2; / = 1, 2, 3, 4), ("=1,2,3,4; i,/=1, 2; i#j\(13.49)(13.49)
口,。= 储/]2 一 %20。； ^ij = (M&2J — С]2&“)。0 q£比=(°#0力无-°12°12在)q(/
Qj= ^11^22 —圖2・
口,。= 储/]2 一 %20。； ^ij = (M&2J — С]2&“)。0 q£比=(°#0力无-°12°12在)q(/
Qj= ^11^22 —圖2・
(厶 / = 1,2; i# j),
« = 1, 2),
(t = 1, 2; / = 1, 2, 3, 4), ("=1,2,3,4; i,/=1, 2; i#j\
(厶 / = 1,2; i# j),
« = 1, 2),
(t = 1, 2; / = 1, 2, 3, 4), ("=1,2,3,4; i,/=1, 2; i#j\
(13.49)
(13.49)
Подставляя значения х^ и &, соответственно из (13.41) и (13.48) в формулы (13.45), получим для иэтибающих моментов следующие выражения:
с sin 8 тт ■ d У / sin 8 口
-靑(%%1+4%2)-靑(%41+442 - Co%0) +
(13.50)(13.50)+。/ 13 + ""14 + %43 + Ь/ ⑷
(13.50)
(13.50)
必=一/ 芈卩+冉。醬一历屮 w+
十 4。石一瓦■(a/21+442)-瓦(%"21+.
+屮22 -金/) + »23 +b/24 +。*3 +ь网4,
где введены новые обозначения:
4。=第 JI* + %2公0 - 22, %0 = %。* + %240 - %，
^ = K^k + K.2Qik 一 K*(13.51)
H{k = ^ifijk +匕声咏一区门疋
仏 / = 1, 2;后=1, 2, 3, 4; tRf)、
Подставляя значения N и Mi соответственно из (13.47) и (13.50) в третье уравнение равновесия (13.11), а значения х. и &步 соответственно из (13.12) и (13.48) в уравнение неразрывности (13.13), получим следующую разрешающую систему двух дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций
卩（s） и W（S）:
磊+靑+屮誉+竽/"+
+回。-Qi。 + n10）屮-響]患一现察子
+ （觥+学第+喀 时）%+
+[& —%）屮-警探-%黑=%
（13.52）（13.52）
（13.52）
（13.52）
где принято:
① 1 =*[。7 （%1 + 41 一421） + 4（"12 + 42 一422）一
一^0220]号^ 一 ^ 饵"21 + 4典2 -仇国）*^一
一（他+¥e6）一击@符十4符）一
~k^ + b^-c^+[a^~H^ +
+ &* И 24 - 44）+ % （*23 - 413）+ %（%4 - 44）— Col~7~ +
十& ds十4 ds十% ds十—
①2 =*[% （。21 i nц -。11） +4 （q22-。12 一 П12）-
—С。羽屮+亂叫| + “2-с。鋼岁+
+（апи + 屮2）貳靑）+*（% 嚮+4 空）+
+靑[%^+4甞+ a鼠劉一
一也3 （^13 - u13）+ 力（q24 - 1[14）+ %（n23 - ^lз） +
+ % （加—Sh）]^-«.^-^^ + «¥^+^^-
Таким образом, поставленная здесь задача термоупругости ортотропной оболочки вращения сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (13.52). Имея значения V и Ж, с помощью приведенных выше формул найдем все расчетные величины оболочки. Однако легко заметить, что в общем случае интегрирование полученной системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами сопряжено с большими трудностями; поэтому целесообразнее вопросом интегрирования разрешающих уравнений заниматься лишь для конкретных типов оболочек, при конкретных закономерностях (13.37), в случае заданного закона изменения температуры 7=7 (s, у). Очевидно, при этом мн придем к частным задачам неоднородных оболочек, достаточно полно изученным в современной литературе.
Некоторые вопросы термоупругости пологой ортотропной оболочки с учетом поперечных сдвигов. Здесь строится теория пологих ортотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов. Эта теория основана на главных положениях уточненной теории весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 7).
Примем, что температура по толщине оболочки меняется по линейному закону, т. е.
7="@邝)十 + △7他，0). (13.53)
Далее, будем считать, что коэффициенты упругости и линейного температурного расширения являются линейными функциями температуры, т. е.
",=硯,・(1 十儿,7)，% = a,+"7,(13.54)
где а^ ——начальные значения коэффициентов упругости (〃】=ав, 仇==丸；"2 约，匕2 ^^ %；a3 ^1。7，% ^^ "J
Подставляя значение температуры из (13.53) и (13.54), окончательно получим для коэффициентов упругости следующие формулы:
X(АТ)(13.55)
=嗯『(1+人在/。)，喙，= i^^・j
Согласно исходным положениям уточненной теории, как известно, имеем
分尸^管一?2)"55中佃，В),Si = ^停一Y2)з屮但,日),(13.56)
где ср (а, р),屮(а, R)—— искомые функции, характеризующие поперечный сдвиг оболочки.
Принимая симметричный закон изменения поперечных сдвигов по толщине оболочки, мы заведомо допускаем некоторую погрешность с точки зрения термоупругости. Приняв (13.53)—(13.55), очевидно, будем иметь дело с оболочкой, которая, по крайней мере по толщине, неоднородна, и в общем случае эта неоднородность несимметрична относительно срединной поверхности оболочки. Таким образом, принимая (13.56), мы входим в некоторое противоречие с механикой деформирования. Однако, как показывают многочисленные исследования (и в случае задач термоупругости), возможные неточности, вносимые произвольнымг но разумным выбором закона изменения сдвиговых деформаций по толщине оболочки, незначительно влияют на окончательные значения основных расчетных величин во внутренней области оболочки (подробности см. в §§ 7, 8, 9 гл. I).
Поступая известным образом, из (15), согласно (4), (13.55), (13.56), получим для перемещений какой-либо точки оболочки формулы
% = "(1 +&Т)-T^+i•[式 1 +等)一于(1 + 竽)]A55中 +
+ ■^[4(! + 警)一％(1 + 竽)]A55855中’(13.5 7)
aи a+坛Т)一偌+*[式I+等)一网+49] %屮+
+机^ (i + ¥)~¥ (j + T)] Д«^^*(13.58)
u^ — w (a, P),(13.59)
где 〃(％ р), и (% р), w (а, р) — тангенциальные и нормальное перемещения срединной поверхности оболочки.
Укажем, что здесь и далее, как и в случае весьма пологих оболочек, система координат а,尺 丁 выбрана так, что коэффициенты первой квадратичной формы Л — 1, 8=1. Считается также, что главные кривизны срединной поверхности оболочки А=R；' и k2=R^ при дифференцировании ведут себя как постоянные.
Подставляя значения ue, и炉 u^ из (13.57)—(13.59) в геометрические соотношения (15), для компонент деформации оболочки получим
(13. ()0)(13. ()0)(13.61)(13.61)е«=е1 + тх14-тЧ4-т3&г '
(13. ()0)
(13. ()0)
(13.61)
(13.61)
S = e2 + Tх2 +『电 + 7明，
где введены обозначения:
S =兄+面叫％ =阻+卷"，
du . dv
3=厢+不，
_一包2丄竺包也处翼1' —0” ' 8 да *
一 初10 I 力2 а （△”屮）
2 — —够十w一^ 一，"
_ _ —2 8?川 丄里「8 （乐5叫［8 （△m屮）1
%一仰萩万一 1而一栃 r 16 石 ,
可2—电丽期代一丽 ^而 厢 ， v =（色+甸議+証修-幻罕+
、一 6 ~- E -一一г
(13.62)(13.62)(13.63)(13.63)(13.64)(13.64)При получении формул (13.60) мы органичивались лишь первыми четырьмя членами разложений и по возможности отбрасывали члены, точность которых выше точности теории весьма пологих оболочек. Конечно, вопрос этот здесь решен недостаточно корректно, ибо не доказано, что можно ограничиться лишь первыми четырьмя членами в разложениях (13.60). Вопрос этот требует специального исследования.
(13.62)
(13.62)
(13.63)
(13.63)
(13.64)
(13.64)
Подставляя значения деформаций из (13.60), коэффициентов % из (13.54) и температуры из (13.53) в обобщенный закон Гука (13.1), после некоторых преобразований получим
。尸州自+ B^~[в^ @ +a")+空3 +6居)J 7。+
+ Т {(А + М)芻 + & + 聲电)州2 _
一^[(4 + 2a")b^ (ar) + (aВ+ 2%")bь (aT) +
+ & + W %理"+ @ + %")空％"]} +
.+『{(% + Au)芻+(%+普％)现—
-4 映芻 +%骰)(АТ)2 +(4 + 2d")州/u (АТ) +
+ @ + 叫 7。)世％ (АТ)]} + "R丄 + 处 j 殻 ++ (82 + 介 J 段一 ^ (6网1% + %筑2%) (Ah],
=₽ =理%斗 b/ 一 [股 @ + %為)+ 眼& + 63)] 7。+ 十 T {(*2 + a22)毁 + (% +青 %) B?"-
у № + 2%Т°)烈(AT) + & + 2勿7。)理(AT)十 + 低 + %T0)B；2y22To + (/ + ba") 8?2y12Т()]} +
+ T2 {(T2 + 资 "22)芻 + (% + ? %)招一
К%州2 +a取J ("户 + a + 2座)瑰2出 GT) +
(% + 2/。)毁％ (AT)]} + F [佃 + f “)毁 +
(也+乎Q硏"一 i你电22 + "理")(Д明，
% = 826[3 + 7《+》也)+『(；+彳力6)+
+ "广(人+A66)]，
更де приняты следующие обозначения:
В,кВ,к
В,к
В,к
R0 一厶22 -R0 一厶22 -В?" =В?" =△1 也 2 - a；2 '
R0 一
厶22 -
R0 一
厶22 -
В?" =
В?" =
△11△22 -吋2 '
△1也2 -峰'66a66',
V — ^12 (2w]2 — w22) — Дц^^И V —...
11 一△1/22 一 А:2，66 —66,
" 一(2叫2 一叫1)-△1世22322
22△1也2 一缉2,
y =51*22 (吗2 -(0?2) + *2912 .
"А口А22 一峰'
(13.65)(13.65)(13.66)(13.67)(13.68)(13.69)(13.66)(13.67)(13.68)(13.69)з^есь А,疋 и ⑴认' даются формулами (13.55).
(13.65)
(13.65)
(13.66)
(13.67)
(13.68)
(13.69)
(13.66)
(13.67)
(13.68)
(13.69)
22 С. А. Амбарцумян
Наконец, получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
Л = * (州F］+州闻一 * ［州I (% +纟7。) +空网+ %")］"+
+乳(%+T %)芻+g2+今")眼］一畲［电芻+Ъ9B^(^ +
+ К + 2Ь«") 5?Л1(Д^ + (件 + 2%") В?2%(АТ)］，笃=…，«3 70〉 = -®вв ［^w H~ ^ (v 4~ У vee)J >(13.71〉
m=需，n2 =符，(13.72)
m尸 題匕 +T ^Bn+^+i %)阕一
一^& + 2公纥)B^ (AT) + 仰 + 2%")骂(△?') +
+ (% + 九")b^tq + g + %")銀 2%北］+
+亂(储+ ? %)芻+ (餘+?%)阁一
一^网婚& + %州2%)(a7)2,弘=(13.73)
H =州6儀《+齐J +竄入+ T V«6)J-(13.74》
Уравнения равновесия и неразрывности деформаций имеют обычный вид. Подставляя значения внутренних сил и моментов (посредством (13.61)—(13.64), представленных через искомые функции и (а, ₽), и (а, ₽), з (а, ₽),屮(а, ₽),屮(а, ₽)) из (13.70) — (13.74) в уравнения равновесия, получим систему пяти линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно пяти искомых функций: u,么 w,屮，屮.Присоединяя к этой системе граничные условия уточненной теории, получим замкнутую систему, решение которой и будет решением поставленной здесь задачи.
В общем случае полученная разрешающая система уравнений очень громоздка, и поэтому ее здесь не приводим. Пути решения этой системы в общем случае необозримы.
Замечание. Приведенные в этом параграфе решения не во всех случаях доведены до конца. Однако они достаточны для определения температурных напряжений и перемещений в отдельных частных случаях.
Здесь мы привели лишь некоторые сведения по задачам термоупругости анизотропных слоистых оболочек. Эта проблема имеет большое самостоятельное значение и может составить содержание отдельной книги.
ЛИТЕРАТУРА
Вопросам определения напряженного состояния и деформаций различных типов анизотропных слоистых оболочек посвящена обширная литература, которая, к сожалению, здесь не может быть приведена полностью. Здесь, как правило, приводится лишь та часть литературы, которая непосредственно лспользована при написании настоящей главы.
Безмоментная теория изложена в форме, которая отличается от традиционной. Она написана на основании работы:
Амбарцумян С. А., К безмоментной теории анизотропных оболочек. ПММ, т. 34, в. 6, 1970.
Вопросы безмомептной теории анизотропных оболочек освещены также в работах:
, Мовсисян Л. А., О некоторых специфических особенностях анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. И, № 4, 1958.
Амбарцумян С. А., Теория анизотропных оболочек. Физматгиз, 1961.
§ 1, п. 5. При чтении этого пункта полезно просмотреть:
Гольденвейзер А. Л., Теория упругости тонких оболочек, Гос- техиздат, 1953.
Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 1962. €. Черных К. Ф., Линейная теория оболочек. Изд-во ЛГУ. Часть I, 1962, часть II, 1964.
См. [2~5], на основании которых и написан этот параграф,
См. |3] и [5].
, 5, 6 посвящаются вопросам расчета анизотропных слоистых оболочек вращения. Эти параграфы написаны на основании монографии [3 ], а также следующих работ:
Амбарцумян С. А., Симметрично нагруженные анизотропные оболочки вращения. ДАН АрмССР, т. 9, № 5, 1948.
Амбарцумян С. А., Расчет слоистых оболочек вращения, ДАН АрмССР, т. 11, № 2, 1949.
^. Лурье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат, 1947.
Амбарцумян С. А., К вопросу расчета слоистых анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 6, № 3, 1953.
Амбарцумян С. А., Длинные анизотропные оболочки вращения.
Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 4, № 6, 1951.
В работе [10] впервые были освещены вопросы распространения краевого эффекта в ортотропных слоистых оболочках вращения. В частном случае изотропной оболочки эти результаты перекликаются с результатами [9].
Написан на основании монографии [3] и работы:
Пештмалджян Д. В., К расчету симметрично нагруженных слоистых анизотропных оболочек вращения. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 10, № 2, 1957, где имеются решения и иыых задач.
Вопросы расчета цилиндрических оболочек с помощью двойных тригонометрических рядов в настоящей монографии вовсе не рассматриваются. Однако заинтересованный читатель некоторые сведения получит из [3] и I10], а также из статьи
Амбарцумян С. А., Расчет пологих цилиндрических оболочек, собранных из анизотропных слоев. Известия АН АрмССР, (ФМЕ и Т науки) т. 4, № 5, 1951.
Наиболее полно этот вопрос изучен в случае изотропных оболочекг например, см. [4] и [б], а также
Власов В. 3., Общая теория оболочек, Гостехиздат, 1949.
В случае анизотропных оболочек интегрирование разрешающих уравнений цилиндрической оболочки методом одинарных тригонометрических рядов несколько осложняется [3 ]. Об этом говорят также работы:
Schnell W., Krafteinleitung in versteifte Kreiszylinderschalen.. Teil I, Die orthotrope Shale. Zeitschrift fiir Flugwissenschaften, Bd. 3r № 12, 1955.
Schnell W., Krafteinleitung in versteifte Kreiszylinderschalen^ Teil II, Die Shale mit endlich vielen Span ten. Zeitschrift fiir Flugwissen- scahften, Bd. 5, № 1, 1957.
При составлении настоящего параграфа были использованы работыг 17. Мовсисян Л. А., К расчету анизотропной (неортотропной) цилиндрической оболочки вращения. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12, № 4, 1959.
Мовсисян Л. А., Об осесимметрично нагруженной анизотропной цилиндрической оболочке. Известия АН АрыССР (ФМ науки), т. 15, № 2> 1962.
в которых освещены прикладные вопросы деформирования цилинДрических оболочек в общем случае анизотропии, имеющие важное значение для расчета косо-армированных оболочек.
В этом параграфе особое внимание уделено вопросу распространения, краевого эффекта в общем случае анизотропии.
Здесь теория анизотропных оболочек трактуется как обобщающая теория, которая дает возможность, исходя из механических соображений,, сформулировать различные приближенные теории изотропных и анизотропных оболочек. Более подробно эти вопросы освещены в работах:
Амбарцумян С. А., К расчету длинных оболочек двоякой кривизны. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т пауки), т. 6, № 5—6, 1953.
Амбарцумян С. А., К вопросу построения приближенных теорий расчета пологих цилиндрических оболочек. ПММ, т. 28, в. 3, 1954.
Амбарцумян С. А., О пределах применимости некоторых гипотез； теории топких цилиндрических оболочек. Известия АН СССР, 0TH.. № 5, 1954.
Здесь рассматриваются два примера интегрирования разрешающих уравнений теории весьма пологих анизотропных оболочек, загруженных, сосредоточенными силами. Показывается возможность перехода к иным типам нагрузок. Параграф написан на основании [3 ] и
Т р у ш Е. И., Многослойные сферические оболочки под действием нагрузки, равномерно распределенной по площадке. Прикладная механика,, т. 6, в. 7, 1970.
Вопросам расчета анизотропных оболочек, загруженных сосредоточенными силами, посвящены, например, и следующие работы:
Артюхин Ю. П., Расчет ортотропных оболочек вращения на локальные нагрузки. Труды 6-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во《Наука», 1966.
Ж и г а л к о Ю. П., Действие сосредоточенных сил ва ортотропные и биметаллические цилиндрические оболочки. Труды 6-ой Всесоюзной： конференции по теории оболочек и пластин, Изд-во «Наука», 1966.
Чернышев Г. Н., Сосредоточенные силы, температурные и контактные воздействия на оболочки. Автореферат, 1971.
По этому поводу стоит посмотреть и работу:
Огибалов П. М., Колтунов М. А., Оболочки и пластины. Изд-во МГУ, 1969.
Здесь имеется достаточно полная библиография по теории оболочек.
12. Результаты, приведенные в этом параграфе, интересны с точки зрения расчета анизотропных слоистых оболочек со слабыми механическими характеристиками в поперечном направлении и, в частности, с точки зрения расчета оболочек, изготовленных из армированных пластиков. Необходимые сведения об этом материале с точки зрения теории оболочек можно найти,, например, в работах:
Амбарцумян С. А., Специфические особенности теории оболочек из современных материалов. Известия АН АрмССР (механика), т. 21, № 4, 1968.
Огибалов П. М., Суворова Ю. В., Механика армированных пластиков. Изд-во МГУ 1965.
Малмейстер А. К., Т ам у ж В. П., Тетере Г. А., Сопротивление жестких полимерных материалов. Изд-во «Знание», 1967.
Тарнопольский Ю. М., Розе А. В., Особенности расчета деталей из армированных пластиков. Изд-во «Знание», 1969.
Александров А. Л., Бородин М. Я., Павлов В. В., Конструкции с заполнителями из пенопластов. Оборонгиз, 1962.
В этих работах читатель найдет достаточно полную библиографию поэтому вопросу.
Рассматриваемый параграф написан согласно следующим работам: [3]т а также
Амбарцумян С. А., О двух методах расчета двухслойных ортотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 10, № 2, 1957.
Амбарцумян С. А., К расчету двухслойных ортотропных оболочек. Известия АН СССР, ОТН, № 7, 1957.
Амбарцумян С. А., К общей теории анизотропных оболочек. UMM, т. 22, в. 2, 1958.
Амбарцумян С. А., Пештмалджян Д. В., К теории ортотропных оболочек и пластинок. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12, № 1, 1959.
Амбарцумян С. А., К теории изгиба анизотропных пластинок w пологих оболочек. ПММ, т. 24, в. 2, 1960.
Хачатрян А. А., К расчету трехслойной ортотропной оболочки- Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12, № 5, 1959.
Амбарцумян С. А., Еще одна уточненная теория анизотропных оболочек, Механика полимеров, № 5, 1970.
§ 12, п. 1. Посвящается вопросам определения закономерностей распространения краевого эффекта в анизотропных оболочках при учете явлений, связанных с поперечным сдвигом. Результаты остальных пунктов этого параграфа читатель может пополнить, просматривая [3, 32-38], а также 39. Амбарцумян С. А., Пештмалджян Д. В., О нелинейной теории пологих ортотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. И, № 1, 1958.
40. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластин. Физматгизг 1967.
“ § 13. Основные положения термоупругости анизотропных тел можна найти, например, в книге
4' ^^*льд Новации й, Вопросы термоупругости, Изд-во АН^СССР
§ 13, п. 1. Посвящен классическим задачам термоупругости анизотропных слоистых оболочек. Этот пункт написаы па основании статьи:
Амбарцумян С. А., Температурные напряжения в слоистых анизотропных оболочках. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 5, № 6, 1952.
§ 13, п. 2. В этот пункт вошла лишь часть статьи:
Дургарьян С. М., К температурному расчету тонких ортотропных оболочек вращения. Инженерный журнал, т. 2, в. 3, 1962.
В работах этого автора можно найти литературу, посвященную задачам термо упругости анизотропных слоистых оболочек с учетом зависимости термоупругих характеристик материала оболочки от температуры.
§ 13, п. 3. Написан на основании статьи:
AmbartsumianS. A., D u г g а г i a n S. М., Some Thermoelastic Problems of Anisotropic Shells and Plates. Non-Classical Shell Problems. Proceedings of the IASS Symposium, Warsaw, 1964.
Проблемам термоупругости анизотропных слоистых неоднородных оболочек посвящено много интересных работ. Укажем некоторые книги, в которых читатель найдет как новые и оригинальные результаты, так и обширную литературу по этому вопросу:
Коваленко А. Д., Пластинки и оболочки в роторах турбомашин. Изд-во АН УССР, 1955.
Биргер И. А., Круглые пластинки и оболочки вращения. Оборонгиз, 1961.
Подстригая Я. С., Ярема С. Я., Температурные напряжения в оболочках. Изд-во АН УССР, 1961.
Феодосьев В. И., Прочность и теплонапряжениость узлов жидкостных ракетных двигателей. Оборонгиз, 1963.
Огибалов П. М., Грибанов В. Ф., Термо устойчивость пластин и оболочек. Изд-во МГУ, 1968.
Глава III
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЕБАНИЙ И УСТОЙЧИВОСТИАНИЗОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК
В настоящей главе будут рассмотрены некоторые задачи колебаний и устойчивости анизотропных, а в некоторых случаях и слоистых оболочек. Читатель здесь не найдет полного и систематического изложения указанных выше вопросов, ибо эти вопросы настолько обширны, что могут и должны стать предметом отдельных монографий.
Свободные колебания
Уравнения движения элемента оболочки da dp d^ в ортогональной криволинейной системе координат а, р, 丫，согласно (16), запишутся следующим образом:
(〃2。)《 + (%%),R + (%%%)，i —。/+
+ ^%什『反2%，7 =р^反也，
(8用),自 + (%%%)" + (%%),. -。/I,R +
+ %%%，l+Mz,« = P 礬％%，I "⑴
(反也叫+ (%%),« +(%%),L
-。/287 一。//2“ = P 51 %%，
где р ——плотность материала,方 ——время.
Пусть оболочка не нагружена поверхностными силами. Тогдаг на уровне уточненной теории (см. гл. I, § 7), с учетом явлений поперечных сдвигов, имеем
“《 = (1 + 瓦 Т)“一千 ^ + т(1+т驚宾
一Т3a+Y *)^①1，①1 =紘5中+包5屮，
a= (1+&加一春碧+ 了 (1 +時寫①2-0，2)
一T3@+Y¥)^ ①2，②=a44屮 +a45%
% = D(a, p, /), где “=u (a, ₽, /), v=v (a, ₽, t),屮=p (a, ₽, t),屮=屮(a, ₽, t).
Умножая уравнения (1.1) на dy, а кроме того, первые два уравнения на 丁 d^ и интегрируя их в пределах от —/г/2 до h/2 с учетом (1.2) и (1.1.15), получим следующие уравнения движения элемента оболочки:
(3，),《 - 5,«笃 + (4SJr + Ai?S, + 4%牝=
=P"5 ［力露_^他+ &)^券+备传自+ &)龄］，
(4 T^^-A^T^ (8邑)," + B.A + 4 砾风=
=Р43 ［嗯(瓦+砌｝粽+瑞(•!& +济)券］,
一佝普+ &厶)+爲［(5m),« + (4也),3］=p厶需，
仍陷)," + 5%),3 +4/1 — 纥m — abn、=
=p4 b ［卍(2也 + 佝)而一~旗+ 曲亦J，
(力必)用 + (5%),a + %% - 4M - 45M =
= p45 ［卍(2加2+&)庐一位声阻苏十 曲押-J.
Таким образом, мы получили уравнения движения, в левых частях которых стоят внутренние силы и моменты, а в правых частях имеем члены инерционного происхождения.
В частном случае классической теории, пренебрегая явлениями сдвигового происхождения (Ф^=0) и ограничиваясь точностью k.h, вместо правых частей уравнений (1.3) (левые части остаются неизменными) получим соответственно
Р无"3组，PhAB就,從而，！
из произволь- правых частях иметьиз произволь- правых частях иметь&з аз» аз аз» (L4) _р 任 6 石亦，—Р］2Л^-
из произволь- правых частях иметь
из произволь- правых частях иметь
JAB
С AB °*
д~и加
KfAB
к9ав
-v
@2裁 就
/t?
而一
К.В- р (
澗力
d§ d$2
DfB
V
d3切
^詞，
广d-w
03力
дa 於2 '
#Ц|
郎加2，
(1,5)
где для приведенных характеристик плотности слоистой оболочки имеем (рис. 34)
Cp = W”P,di)，
(1.6)(1.6)Кр = 七 Р/雙-攀丿一 2Д & — VJ],
(1.6)
(1.6)
4 = ^ N 3啥一單 1) — ЗД (仪一戏T)+ 3A2 色 _ MJ],
где Pg — плотность материала i-ro слоя оболочки.
Сравнивая (1.4) и (1.5), замечаем, что в случае многослойной оболочки инерционные члены-, учитывающие инерцию вращения^ входят не только в моментные уравнения (четвертое и пятое), но и в первые два безмоментные уравнения, а инерционные члены от тангенциальных перемещений, входят также и в моментные уравнения. Указанное возаимодействие исчезает, когда коэффициенты взаимовлияния К? превращаются в нуль. Присоединяя к полученным уравнениям движения (1.3) с соответствующими правыми частями (1.3), (1.4), (1.5) соотношения упругости соответственно (1.7.19), (L1.24)—(1.1.26), (1.11.2), геометрические соотношения (1.1.5) — (1.1.8), граничные условия (1.7.27)—(1.7.29), (1.1,27)―(L 1.30), а также начальные условия в момент времени 力=0, получим полные системы, с помощью которых могут быть опреде лены динамические характеристики оболочки.
Анализ уравнений движения типа (1.3) показывает волновой характер этих систем уравнений. Однако в последующем нас, как правило, не будут интересовать волновые процессы в оболочках. Мы будем заниматься вопросами определения частот низкочастотных колебаний в оболочке. Эти частоты с достаточно высокой точностью могут быть найдены с помощью уравнений, не содержащих членов, которые происходят от учета инерции вращения и инерции деформаций поперечных сдвигов. Поэтому в последующем, при рассмотрении конкретных задач, из системы уравнений движения будут отброшены указанные выше члены.
Сравнивая полученные уравнения движения с уравнениями равновесия оболочки, замечаем, что уравнения движения легко получить из уравнений равновесия путем замены грузовых членов с о отв етств ующими инерционными членами. В частности, например, в случае однородной оболочки надо принимать
X~—oh— Y — 一成—z — —ok —
Рассмотрим некоторые частные задачи по определению свободных колебаний анизотропных оболочек. Эти задачи имеют целью
юсветить специфические особенности колебаний анизотропных оболочек.
Определение частот колебаний шарнирно опертой по всему контуру ортотропной цилиндрической панели. Исходная система дифференциальных уравнений колебаний круговой ортотропной цилиндрической (2?1=оо, Д2=Д) оболочки с учетом лишь инерционных сил, происходящих от нормального перемещения, согласно приведенным выше соображениям, системе уравнений (1.7.56), а также следующим представлениям:
力=[1 一备(a55^11 + a*22)+ %a55 磊(乙n% 一经2)] %
中=-快厶11 +當厶2 - %书^ (厶1厶22 一经2)]旷， 屮=-陶厶22 + ^厶12 一a55 •总(4142 -%)]f，
запишется следующим образом:
房笠+机券厶U+ 2系产12 +亲% 一
-TO (°44磊 +觴55森)(厶口厶22 - %)]w+
+[1 一方(°55L 11 + a44l22)+
+a44055 缶(乙 11 厶22 -经2)] 4^" = °，
行土(£1也2 -斗2)口一亲[l - 方(a55厶U + a*22)+
+ 包4055 % (厶I厶22 一疗2)] 4^" = °'
P=%/gP=%/gгде F~F (а, 口，力，Т=Т (а, р, %) — искомые функции, 《丫о — удельный вес материала оболочки, g — ускорение силы тя
P=%/g
P=%/g
жести) ,
(1-9)(1-9)L^B^ + B^, L^B^+B^, 厶 12 = С®12 + 统6)df d? » % = 81/22 —皖2，
(1-9)
(1-9)
К системе уравнений (1.8) следует присоединить граничные условия, которые запишутся следующим образом (рис. 59):
при ос — 0, а==а
w == и = М] = Т^ =屮=О,
при р = 0. Р = Ь
Решение системы (1.8) представим в форме
歹(а, р, i) = Fm„ sin Х;а sin Х2₽ cos о^, |
啜(a, R, t) = ^тп sin 入产 sin 入2P cos %/, /
где Fmn, W^ — некоторые постоянные, \—m^/a, \=пп/Ь, а — длина панели, Ь ——длина дуги поперечного сечения панели,
Рис. 59.Рис. 59.⑴州场 ——частота колебаний, тип — целые числа, показывающие число полуволн по продольным и поперечным направлениям соответственно.
Рис. 59.
Рис. 59.
Легко заметить, что представления (1.10) полностью удовлетворяют граничным условиям шарнирного опирания по всему контуру панели.
Подставляя значения F и W из (1.10) в систему (1.8), получим следующую однородную систему алгеб-
раических уравнений относительно коэффициентов Fmn и 屮初〃：
Fmn 号• 一 % 符｛&绰 + 2 (% + 2%)喲 + %禮 +
+ (%% —现一 2%品6)入冠+ %/6濁｝ +
+野"号%(1 +备"5 (即以+ ад)+
(1.11)(1.11)+ aU (^22^2 4~ 统6入；)］+ а““55 為［^11^66^1 +
(1.11)
(1.11)
+ (%% 一 禺-2%区6)咽 + %绕6词｝ = 0, p》1" 8、［当1统6斗 + (^11^22 一招2 — 25125ec)入/ +
+ %/6喇+号" J■吋｛1 +^a5 (%洋+/6项+
+ aМ ь22号 + 线6入羽 + aUa55 爲［31066斗 + (^11^22 -
一禺一 2%%)人冠+ %绕6期=0.
Приравнивая нулю определитель однородной системы (1.11), получим для частот собственных колебаний ортотропной панели
следующее выражение:
吗* =黑 ± [喲1 + 2入也姑+强+
十/财斗+a55喲色加一 %] +晋請京』，(1.12)
1'Де
Ann = 1 + % (仪55bli + 仪44b22) + a^a^ 焉(仇也2 一 婚2)，
d1 = ¥区]+入蹈66,如=避%+人；绕6，(1/3)
仇 2 =入 I入2 (区12 + ^66)*
Формула (1.12) получена на основании уточненной теории с учетом поперечных сдвигов. В частном случае классической теории, полагая a44—а66—0, получим
‘曦=踪［邑沖+ 2 （当2 + 2仇6）冲仪+马火1 +
(1.14)(1.14)gE 66co0^1
(1.14)
(1.14)
70区2 3m/6* + (%1%2 一"2 - 2/2366)入注3 + 322866^ ,
Сравнивая формулы (1.12) и (1.14), замечаем, что поправка к классической теории, обусловленная учетом поперечных сдвигов, существенным образом зависит не только от величины постоянных упругости материала оболочки, но и от числа полуволн в продольном и поперечном направлениях оболочки. Легко заметить также, что с увеличением числа полуволн поправка к классической теории увеличивается.
В частном случае трансверсально изотропной оболочки, когда в каждой точке плоскость изотропии материала оболочки параллельна срединной поверхности оболочки, имеем, согласно (10), (11), (1.1.11), следующие выражения для коэффициентов упругости:
5и=区22 = ®12+25б6 = j _ 丫2，"12 =工—[б，
(1.15)(1.15)笈66 = G=2([十 Y),笈 12 + ^66 = 2(1 _丫)，
(1.15)
(1.15)
区l/бб =区22筑6 = 2 (当 1322 一 ^12 — 2512566)=
=2 (1 + Y) (i二2,，
@44 = @55 =亨，＞ =%=V，
Тогда из (1.12) получим следующее выражение для частот колебаний трансверсально изотропной цилиндрической панели:
^一用1+九%2(M+喲十7出2 (叶+曜)2，［丄」"
гдегде1力2 Е1力2 Е10。2 （1 - 丿）G一10。2 （1 - 丿）G一(1.17)(1.17)
где
где
1力2 Е
1力2 Е
10。2 （1 - 丿）G一
10。2 （1 - 丿）G一
(1.17)
(1.17)
Параметр h* представляет поправку к классической теории от учета явлений, связанных с поперечными сдвигами. Полагая 无* равным нулю, из (1.16) получим формулу для определения частот колебаний изотропной оболочки:
%=卷:(¥+圖+编迺*歌 (1-18)
Эта формула, как нетрудно заметить, безразлична к отношениям липа E/Gf. Поэтому она, вообще говоря, не может быть использована в случае трансверсально изотропной оболочки, тем более когда определяются высшие частоты колебаний существенно анизотропных (трансверсально изотропных) оболочек (EIG》> 1).
Для наглядного представления закономерностей изменения частот колебаний панели в зависимости от изменения параметра Л* и подъемности оболочки (@/五) в нижеследующей таблице приведены значения отношения (о /<ооти, соответствующие некоторым тонам колебаний (тп=1, 九=4; т=2, п—2) трансверсально изотропной панели (а=Ь, у=0), вычисленные по формуле (1.16).
Рассматривая расчетные формулы (1.12), (1.14), (1.16), ^(1.18) и таблицу 7, замечаем: с увеличением параметра 无*, т. е.
Таблица 7
л*
Н = со
R = 2а
R = а
311
叫2
Ш!2
叫1
铀2
Ш22
叫1
3»
@22
0,00
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,002
0,9807
0,9293
0,9837
0,9302
0,9891
0,9326
0,005
0,9539
0,8466
0,9615
0,8486
0,9742
0,8543
0,01
0,9137
0,7475
0,9282
0,7510
0,9522
0,7609
0,05
0,7092
0,4494
0,7637
0,4599
0,8481
0,4886
отношений типа 5^/5#з，(Е/G'), частоты колебаний уменьшаются аю сравнению с частотами, найденными по классической теории «无*=0)； различие между частотами колебаний, найденными по жлассииеской теории и по уточненной теории, менее заметное для
частот низших тонов колебаний, становится более существенным для частот высших тонов колебаний; с увеличением подъемности оболочки удельный вес членов, представляющих явления поперечных сдвигов, уменьшается.
О свободных колебаниях трансверсально изотропной сферической оболочки. Рассмотрим задачу собственных колебаний трансверсально изотропной замкнутой сферической оболочки, когда в каждой точке оболочки плоскость изотропии материала параллельна срединной поверхности оболочки. Пренебрегая тангенциальными составляющими сил инерции, можно записать исходное уравнение движения оболочки, согласно (1.8.35), следующим образом:
d (А + 1)2 + 1 —外А] (А + 2)必=
=~fr。一％*△)(△+ 1 — у)^*%4^~， (1・19) где
2—.无27 *— Eh?“ noy
c = 12(1_w)反2，= 10(1 -Y2)足G7，(丄.叫
а оператор Лапласа на сфере, описанной в географической системеа оператор Лапласа на сфере, описанной в географической системеПодставляя значениеПодставляя значениекоординат а, 0 (/=凡 B = R sin а) (рис. 60), имеет вид a=詬[氯sina粉+
а оператор Лапласа на сфере, описанной в географической системе
а оператор Лапласа на сфере, описанной в географической системе
Подставляя значение
Подставляя значение
+ sin a 型]• (1・21>
Очевидно, отыскание общего решения уравнения (1.19) сопряжено с некоторыми трудностями. Поэтому будем ограничиваться лишь некоторым классом решений, как зто обычно делается и в случае изотропной оболочки. Представим решение уравнения (1.19) в форме
IP (% В，/) =r W (а, В) sin 啦.(1.22)
必 из (1.22) в (1.19), для определения W получим следующее уравнение:
[с2 (А + 2)2 + 1 —无*А] (А + 2) W —
一6^Ч1-"*a)(a + 1 -V)印=0-(1.23)
Затруднительно также отыскание общего решения уравнения (1. 23). Поэтому ограничиваемся классом решений, являющихся решениями следующего дифференциального уравнения:
(1.24)(1.24)А印+入印=0,
(1.24)
(1.24)
и удовлетворяющих граничным условиям для ю, т. е. условиям непрерывности и однозначности w на сфере.
Из (1.23), согласно (1.24), для частот собственных колебаний трансверсально изотропной сферической оболочки получим
一丽（-2）（1 十"Q （入一1+У）*一丽（-2）（1 十"Q （入一1+У）*(1.25)(1.25)
一丽（-2）（1 十"Q （入一1+У）*
一丽（-2）（1 十"Q （入一1+У）*
(1.25)
(1.25)
Формулой (1.25) собственные частоты оболочки представлены с помощью пока еще неизвестного параметра А
Значения параметра 入 определим из уравнения (1.24), которое подробно изучено. Решение уравнения (1.24) ищется в виде
印(％ В) = Р(а)印(％ В) = Р(а)sin к р, cos Ар.sin к р, cos Ар.
印(％ В) = Р(а)
印(％ В) = Р(а)
sin к р, cos Ар.
sin к р, cos Ар.
Условие однозначности функции W (а, 0) на сфере требует, чтобы к было нулем или целым числом (fc=0, 1, 2,. •.).
Подстановка значения W в (1.24) с учетом обозначения cos а= =/ приводит к известному уравнению
乳 "т)関]+G-昌)p=。
(及=0, 1, 2,…)，
собственными функциями которого являются присоединенные функции Лежандра.
Нетривиальное ограниченное решение этого уравнения существует лишь при собственных значениях
入禍=九(九 + 1) (п = 0,1, 2, ...),(1.26)
которым соответствуют следующие собственные функции:
尸户 ® = (1—印噎р“(2)(1.27)
体=0, 1, 2,...),
где полином Лежандра
p" (上) = "^7 急收"-1)”].
Возвращаясь к уравнению (1.24), находим систему era решений:
& = 0: WQ (a, §) = Рп cos a;
1： ИС] (а, В)=尸户(cos a) sin 0,
W} (a, B) = Pf)(cos a) cos 卩；
k~n\ W_n (% §) = Pp)(cos a) sin n R, Wn (a, |Э) = P^ (cos a) cos n |Э.
Напомним, что полиномы Лежандра Рп (况)в интервале ( —1, + 1), т. е. в интервале изменения a (0, к), имеют п нулей. Присоединенные функции Лежандра Р；%)(%) имеют п~к нулей.
Как известно, sin 也卩 и cos 九卩 обращаются в нуль на 2п меридианах, а Р：^ (%) (в интервале 0《ос《冗)——на п——к широтах. Следовательно, этими меридианами и широтами (узловыми линиями) оболочка разбивается на участки, внутри которых Wn не меняет свой знак. Это значит, что параметр )% определяет вид формы колебаний оболочки. Чем больше параметр X, тем меньше размеры полуволн,
3・ Осесимметричные свободные колебания анизотропной круговой цилиндрической оболочки. Осесимметричные колебания круговой цилиндрической оболочки, в каждой точке которой имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки, согласно (1.3.36) и исходным положениям настоящего параграфа описываются следующим уравнением:
н + 2/п^ + /ш； +茹^无声=0, (1.28)
где
— 今 С]6 (С]1°26 — °12°]6) n Q] 127?2
(1.29)(1.29)Qi = (%% — 唸)％ + 2C12C]6C26- G】唸一 ％報，
(1.29)
(1.29)
% = &1g6一з6, 2% = c條
Пусть оболочка свободно оперта по торцам (5=0, s=l/R), т. е. имеем следующие граничные условия (рис. 61):
при s=0
при s~l/R
Решение уравнения (1.28) ищем в виде
(1.30)(1.30)w(5, £) = Ак sin 号竺 5 sin sj.
(1.30)
(1.30)
где Ak — неизвестные постоянные, s无——частоты колебаний»
Принимая (1.30), полностью удовлетворяем граничным уело- виям, а удовлетворяя уравнению (1.28), получим для частот колебаний следующую формулу:
”鶴•[阡)'-2М罕)》]•(1.31)
Полученная здесь формула для определения частот колебаний рассматриваемой оболочки позволяет ставить задачи оптимального
Рис. 61.Рис. 61.проектирования, конечно для рассматриваемого частного случая. Изменяя материал оболочки или, что очень важно, ориентацию главных направлений упругости материала оболочки, можно проектировать оболочки с требуемыми частотами свободных колебаний.
Рис. 61.
Рис. 61.
Пусть, например, оболочка изготовлена из ортотропного материала, главные направления упругости которого в каждой точке оболочки с главными геометрическими направлениями обоЛОЧКИ(S И 8) МОГуТ СО' ставлять произвольный угол. В частности, пусть в каждой точке оболочки главное направление упругости составляет с главным геоме-
трическим направлением s угол у
(рис. 61), Пусть, далее, оболочка составлена из однородного материала (Cik=hBik); тогда для коэффициентов т s п, входящих в расчетную формулу (1.31), будем иметь ,；
(1.32)(1.32)— 2(公也6 一 笈12日16) ^п (^ii^66 ~ ^]6),
(1.32)
(1.32)
„ = 12五2 (5]1日22 - 3%)866 4~ 2 812В16%6 — 3”万扌6 一822质6
九23口(В]/бб — б")
Имея значения упругих постоянных материала оболочки в главных направлениях упругости, с помощью формул (1.1.42) пли (П.9.38) легко определить значения коэффициентов Bik, входящих в (1.32).'■
Имея значения всех В^> с помощью формул (1.32) определим значения тп и п при различных значениях угла 屮 и далее с помощью 23 С. А. Амбарцумян
формулы (1.31) найдем значения частот колебаний оболочки при различной ориентации ортотропного материала в теле оболочки.
Рассматривая эти результаты, замечаем, что, изменяя лишь ориентацию материала в теле оболочки, мы можем существенно изменить динамические характеристики оболочки. Безусловно, полученные результаты относятся к частному случаю осесимметричных колебаний оболочки при определенных граничных условиях, при определенной геометрии оболочки и при определенно заданном ортотропном материале. Однако, несмотря на это, сделанные выше выводы имеют достаточно общий характер и могут считаться корректными.
Некоторые вопросы статической устойчивостианизотропных оболочек
За последние годы вопросы устойчивости оболочек привлекают всеобщее внимание исследователей. Имеется громадное количество работ, посвященных этому весьма актуальному вопросу современной теории оболочек.
В настоящей главе приводится лишь ничтожная часть этих исследований, представляющая интерес с точки зрения теории анизотропных слоистых оболочек.
Общая система дифференциальных уравнений устойчивости анизотропных слоистых оболочек достаточно сложна и громоздка и не всегда может быть использована для решения многочисленных задач, представляющих интерес с точки зрения приложений. Однако для выяснения многих вопросов теории и для решения конкретных задач устойчивости общая система уравнений может быть существенно упрощена.
Упрощенная система дифференциальных уравнений устойчивости анизотропных оболочек может быть получена на основании уравнений теории пологих оболочек (см. гл. I, §§ 5 и 14).
Полагая, что основное напряженное состояние оболочки до потери устойчивости является безмоментным, и ограничиваясь точностью классической теории пологих оболочек, получим для компонент интенсивности фиктивной поверхностной нагрузки известные представления:
Z^—T^—T^—S^ Х* = 0, У* = 0. (2.1)
Заменяя в соответствующих уравнениях (например, (1.5.14), (1.5.21), (1.5.27), (1.5.46), (1.14.12), (1.14.30), (1.14.41) и др.) Z, X, Y значениями Z*, X*, У*, получим уравнения локальной устойчивости соответствующей анизотропной слоистой оболочки.
Картина несколько изменяется при рассмотрении задач устойчивости по уточненным теориям. В этом случае представления (2.1) не всегда приемлемы, ибо возникают вопросы, связанные
с учетом искривления и нарушения нормальности поперечного элемента оболочки. Эти вопросы требуют дополнительных исследований, более корректных, чем это сделано до сих пор некоторыми авторами.
Здесь, сознавая незавершенность исследований в этой области, при рассмотрении задач устйчивости оболочек с учетом поперечных сдвигов все-таки будем пользоваться представлениями (2.1), которые в первом приближении позволяют выяснить влияние поперечных сдвигов на устойчивость анизотропной обо-р
лочки.
Устойчивость пологой ортотропной цилиндрической панели. Рассмотрим задачу статической устойчивости по-方 логой ортотропной круговой цилиндрической панели
(%=8,R2 = R), сжатойРис. 62.
вдоль образующих равномерно распределенной нагрузкой
с интенсивностью р, приложенной по торцам оболочки (рис. 62).
Пусть оболочка изготовлена так, что главные направления упругости материала ее совпадают с координатными направлениями а, р (4 = 1, 3 = 1). Пусть, далее, оболочка шарнирно оперта по всему контуру (а=а, а=0； 口=匕,Р=°)・
Очевидно, что в рассматриваемой оболочке в безмоментном состоянии появляются следующие внутренние силы:
Т? = —р,鑑=0, 5° = 0.(2.2)
Тогда, согласно (2. 1), получим
Z*=7^ = -p 薔.(2.3)
Разрешающую систему получим из системы уравнений (1.7.56). Принимая (1.7) и вместо Z подставляя Z*, получим 1 庚尸［九3「02d2!02A2 /02
瓦匠"十诃十/石而仇2十而厶22一 而 ,44 被十
+ &5 费)("乙22 一在2)］n + p Г - % (&5厶 11 +
(2.4)(2.4)+044厶22）+ 044055 备（厶山22 -在2）]为-=°，
(2.4)
(2.4)
^^ （厶口厶22 一必2）方 一 ^" [1 ^（&5厶II + 内4厶22）+
+044а55 急(乙"厶22 - ^12)］矍^ = °， где для операторов Lik имеем формулы (1.9).
Решение системы (2.4) представим в виде
(2-5)(2-5)歹(％ B)="„"Sin%asin%p, % = ?,
(2-5)
(2-5)
①(а, В) = В1Msiп%а sin %Р， % =第,
где тип — целые числа, которые показывают числа полуволн по направлениям аир соответственно.
Принимая (2.5), удовлетворим условиям шарнирного опирания по всему контуру.
Подставляя значения 歹 и 4r из (2.5) в систему уравнений (2.4), получим относительно коэффициентов Fmn и 41nm однородную систему двух алегебраических уравнений. Приравнивая нулю определитель этой системы, будем иметь для определения критической силы следующую формулу:
p昊 =焉 士 [电"+ 2%%姑 + 囈2 +
+ Ж也"+他5冷自也2 一公)]+学粵忌% ,(2.6)
где, как и раньше,
A呐=L + 备 @5% + ®也2)+ 包4a55 爲(仇也2 一 方%)，](2 7)
"11 =人;в и + 入竺 66, "22 =入之8沿 + 人部 66, 力12 =入 1% (®12 + /6) I
Формула (2.6) получена на основании уточненной теории, учитывающей явления поперечных сдвигов. В частном случае классической теории, т. е. когда пренебрегают явлениями, связанными с поперечными сдвигами, полагая a44=l/G23—0, а55= =l/G13=0, получим
p； = 1Щ (*% + 2%%%2 + 曜%2)Н 券l 片&2 1 编2 • (2，8)
В случае трансверсально изотропной оболочки, когда в каждой точке плоскость изотропии материала оболочки параллельна срединной поверхности оболочки, в силу (1.15) получим
* _ D(洋十燭2I Eh "? q
*^ 一飞’1十九*必川十燭十/Г (耳+置2，(厶ь丿
где, как всегда,
^ = Щ^-.^ = ^(Т^.(2，。)
Рассматривая формулы (2.6)—(2.10), замечаем, что критическая сила вообще и величины, входящие в зти формулы и представ-
ляющие явления, связанные с учетом поперечных сдвигов, в частности зависят от формы волнообразования (т. е.от чисел тип) срединной поверхности панели при потери устойчивости. С увеличением чисел т=1, 2, 3,. . . и п=1, 2, 3,. . . влияние членов, представляющих поперечные сдвиги, увеличивается.
Далее, следует указать, что с увеличением параметра 无* увеличивается расхождение между значениями критических сил, найденными по классической теории (无*=0) и по уточненной теории. Причем, как и следовало ожидать, критическая сила, найденная по уточненной теории, всегда меньше соответствующей критической силы, опрделенной по классической теории.
Наконец, укажем, что, минимизируя р：“ по тп и п, из (2.6), (2.8) и (2.9) получим значения т и п, при которых р,“ получат свои минимальные значения, т. е. найдем верхние критические значения напряжения, при котором оболочка теряет устойчивость.
Две задачи устойчивости замкнутой трансверсально изотропной цилиндрической оболочки. Рассмотрим замкнутую круговую цилиндрическую оболочку, изготовленную из трансверсально изотропного материала так, что в каждой точке оболочки плоскость изотропии параллельна срединной поверхности оболочки. Система координат выбрана так, что &=8, R2=R, /=1, 5=1. Пусть, далее, рассматриваемая оболочка шарнирно оперта по торцам (ct = O, a = Z).
а. Оболочка находится под совместным действием осевого и равномерно распределенного поперечного давлений. Нагрузка, приходящаяся на единицу длины дуги поперечного сечения оболочки, равна р, а интенсивность равномерного поперечного давления q. Для начального безмоментного состояния имеем
Т? = —р, Tl = —qR, 3。= 0, (2Л1)
(2.12)(2.12)тогда для Z* получим
(2.12)
(2.12)
z =-р 赤一
Следовательно, для решения задачи статической устойчивости рассматриваемой оболочки, согласно (1.8.23), получим следующую систему дифференциальных уравнений:
д2 —Y @3”1 031P'
~R ОаЗ 十尺 0adp2 >
Д2 . 一 _ 2十 Y 031P1 831P
(2.13)(2.13)一互—0a2如一瓦碎^，
(2.13)
(2.13)
D^w^D^w^礬а -"A)礬+ 0 一方*QNp靄+*需),
D^w^
D^w^
(2.14)(2.14)DDгде
(2.14)
(2.14)
D
D
и =
A cos
ттга
"Т"
sin
珅
~R，
V =
В sin
cos
тгр
(2.15)
w =
С sin
тптса
sin
碎
£АЗ洋玖2人 з? I黑
12(1一Y2)，冷=[u (1 — W)G，，a=标■十豪.
Решение системы (2.13) представим следующим образом:
где Л, 5, С — некоторые постоянные, Z — длина оболочки, т, п — целые числа, характеризующие волнообразование срединной поверхности оболочки.
Принимая (2.15), удовлетворяем условиям шарнирного опирания по торцам.
Подставляя значения u (a, R), v (а, р), w (а, р) из (2.15) в систему уравнений (2.13), после некоторых преобразований получим следующую однородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных Л, 5, С:
4(入2 + 喲 =6(以2一紋)，
В (入2 + 紋)=-С [(2 + у)入2 + 喇 n,
广%2 (入2+叫2] M 介十浊m]_‘
L 1+¥(入2十联)十(蜉十淤)2后九 」一 '
где
(2.17)(2.17)} mitR 2九 2г *E%2
(2.17)
(2.17)
人=-~， C = 12 (1 - W)电，九—10(1-Y2)右2m •
Очевидно, что тривиальное решение системы (2.16) А=В~ =С=0 нас не будет интересовать.
Из условия существования нетривиального решения, из третьего уравнения однородной системы (2.16), получим соотношение для определения критической комбинации нагрузок р и д:
p^ + qRn2 _ 2(人2+叫2M/9 1 Q\
ДA 一ьi十"(h+叫十(入2十济)2 •I .u丿
В случае классической теории (无*=0) формула (2.18) перепишется следующим образом:
在护巴=d (戸+紋)2 +告K -(2.19)
Уравнение (2.18) отличается от соответствующего уравнения классической теории (2.19) лишь наличием члена с множителем /г*,
т. е. члена, учитывающего явления поперечных сдвигов. Поэтому дальнейшее исследование уравнения (2.18) ничем не отличается от анализа классического уравнения (2.19).
Не вдаваясь в подробности, укажем, что с помощью уравнения (2.18) нетрудно определить те комбинации чисел тп и п, при которых нагрузки р и g получат свои критические комбинации в случае учета поперечных сдвигов.
б. Обол очка находится под действием крутящих моментов М^ приложенных по концам оболочки. Такая нагрузка в оболочке вызывает следующие внутренние силы безмоментного состояния：
賣=0,凿=0, SQ = MJ2^ (2.20)
Mq d-wMq d-wтогда для Z* получим
Mq d-w
Mq d-w
(2.21)
В этом случае первые два уравнения системы (1.8.23) остаются неизменными, а третье уравнение принимает следующий вид:
0А% + 鲁(1 -五*А)(1 -五*А) А?黑=0.(2.22)
Граничные условия свободного опирания удовлетворяются приближенно, а именно:
при а = 0, а = 2必=0,при а = 0, а = 2必=0,(2.23)(2.23)
при а = 0, а = 2必=0,
при а = 0, а = 2必=0,
(2.23)
(2.23)
т. е. удовлетворяются лишь условия, накладываемые на нормальное перемещение.
Такая форма удовлетворения граничных условий позволяет решить задачу с помощью лишь уравнения (2・22), без учета первых двух уравнений системы (L8.23).
Решение уравнения (2.22), удовлетворяющее условиям (2.23), можно представить в виде
2
如=Ee，sin@言一警)；(2.24)
тогда условия (2.23) сводятся к следующим уравнениям:
G + G=。，
Ci sin (р，! ^- — ^ |-)+ С2 sin (^2^ — п ^-) = 0. '025)
Условия (2.25) имеют место при любом R и отличных от нуля значениях С» лишь если
sin (%—pj 奈=0，
т. е. когда
氏一% = ^^ (т=1, 2, ...).(2.26)
Подставляя (2.24) в (2.22), получим
2L
^t{i2^
-為U +磊(储+徜]%吗/+ё(g后i%) = 0.(2.27) Отсюда для определения критического значения крутящего момента получим следующее выражение:
% = ^Eh (с2 —：?； Н】,(2.28)
где с2 и 无* определяются по формулам (2.17). Здесь 四(i=l, 2)— некоторые параметры, которые удовлетворяют условию (2.26). Кроме того, параметры 件,должны быть такими, чтобы выражение (2.28) для критического значения крутящего момента имело одно :и то же значение при 力=1 и »=2.
На основании сказанного вьппе нетрудно каким-либо известным способом определить критическое значение крутящего момента с учетом явлений, связанных с поперечным сдвигом.
Об устойчивости трансверсально изотропной сферической оболочки. Пусть замкнутая сферическая оболочка находится под действием равномерно распределенного по поверхности нормального внешнего давления g=const.
Под действием равномерно распределенного нормального давления g в оболочке в безмоментном состоянии появляются следующие внутренние силы:
普=-除，驾=一響，5。= 0.(2.29)
Тогда в силу (1,8.26) и (2.29) из (2.1) получим
z* = 一斉(a + 2)0,(2.30)
где А — безразмерный (A=R, B=R sin а) оператор Лапласа, который в принятых здесь географических координатах имеет вид
sin a L^a \ d" 1 sin a 嶼 J
Таким образом, заменяя Z выражением Z* (2.30), из уравнения (1.8.35) получим уравнение устойчивости рассматриваемой сферической оболочки:
m2(А+1)2+1 —九*m(A+2)"+
+毅(li*A)(fA + 2)u; = 0, (2.31) где
一 12 (1 — у2) Д2» 北—10 (1 - 丫2)右2G'.
Это уравнение должно решаться при соответствующих граничных условиях для w. В данном случае граничными условиями для w являются условия непрерывности и однозначности решений на сфере.
Полагая в уравнении (2.31)
△u7 = —\wt(2.32)
получим для искомой постоянной величины К следующее характеристическое уравнение:
「2 (1 —入)2 + 1 + /А + 親(1 + /А)(1 _ V —入)](2 —入)=0. (2.33)
Отбрасывая тривиальное решение 入=2, имеем
■ d(l—入户 + 1+无2 —鶉(l+/A)(l-l+v) = 0. (2.34)
Отсюда для определения критической силы получим
一2e九e2(入-1)2十I+公入9
q=x(1+%*%)(入一1+V)■( ，响
Рассматривая g как функцию параметра X, легко получить минимальное значение выражения (2.35), которое и будет представлять искомое значение критической силы:
(2.36)(2.36)(2.37)(2.37)* 2Eh 2c — 2yc2 十 ЗА*g =~s1+2%*/с
(2.36)
(2.36)
(2.37)
(2.37)
или с принятой здесь точностью
代嘗&― 2vc2 —/г*).
Полагая в этих формулах 无*=0, получим известное выражение критической силы для изотропной сферической оболочки:
丁 =響(_叫=生r^Ц一盜］.(2.38)
Рассматривая расчетные формулы (2.36)—(2.38), замечаем, что критическая сила, найденная с учетом явлений, связанных с поперечными сдвигами, при некоторых значениях отношений
hl R、Е/G' может существенно отличаться от критической силы, найденной по классической теории. Учет поперечных сдвигов, как и следует ожидать, снижает значение критической силы. В этом мы не раз убеждались и раньше, при рассмотрении задач устойчивости различных оболочек.
К устойчивости анизотропной круговой цилиндрической оболочки. Рассмотрим задачу устойчивости круговой цилиндрической оболочки, когда материал оболочки обладает лишь одной плоскостью упругой симметрии, в каждой точке параллельной срединной поверхности оболочки.
Пусть оболочка загружена по торцам(5=0, s=〃_fl) равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью р. Оболочка шарнирно оперта по концам. Тогда для основного безмоментного состояния оболочки будем иметь
?? = —p,彌=0，8。= 0.
(2.39)(2.40)(2.39)(2.40)Будем изучать лишь осесимметричные* формы потери устойчивости рассматриваемой оболочки. Согласно (1.3.36) и (2.40) уравнение устойчивости запишется следующим образом:Будем изучать лишь осесимметричные* формы потери устойчивости рассматриваемой оболочки. Согласно (1.3.36) и (2.40) уравнение устойчивости запишется следующим образом:d41P ds《d41P ds《27n27nd2tp ds2d2tp ds2nwnw12R2 d^W n12R2 d^W n(2.41)(2.41)В силу этого из (2. 1) получим
(2.39)
(2.40)
(2.39)
(2.40)
Будем изучать лишь осесимметричные* формы потери устойчивости рассматриваемой оболочки. Согласно (1.3.36) и (2.40) уравнение устойчивости запишется следующим образом:
Будем изучать лишь осесимметричные* формы потери устойчивости рассматриваемой оболочки. Согласно (1.3.36) и (2.40) уравнение устойчивости запишется следующим образом:
d41P ds《
d41P ds《
27n
27n
d2tp ds2
d2tp ds2
nw
nw
12R2 d^W n
12R2 d^W n
(2.41)
(2.41)
где, как и раньше, для коэффициентов тип имеем (1.29).
Решение уравнения, удовлетворяющее условиям шарнирного опирания, ищем в форме
0 = W Л： sin 孚S,(2.42)
где 2 — длина оболочки, R — радиус кривизны, /й ——неизвестные постоянные,后 一 целые числа, характеризующие формы потери устойчивости.
получим которыхполучим которыхПодставляя значение w из (2.42) в уравнение (2.41), следующую формулу для определения значений р, при возможны осесимметричные формы потери устойчивости:
получим которых
получим которых
(243)(243) 厶33 h [(嚟)"一 2m (苧y + d
(243)
(243)
Отсюда легко определить наименьшее значение pk, т. е. критическое давление
p* = 黑f(保一向，(2题
Рис. 63.Рис. 63.соответствующее следующему числу полуволн:
Рис. 63.
Рис. 63.
Рассматривая формулы (2.43), (2.44), (1.29), замечаем, что как критическое давление, так и число полуволн существенным образом зависят от упругих характеристик материала оболочки. Очевидно, что изменяя ориентацию материала в теле оболочки, т, е. угол 屮，получим для основных упругих коэффициентов оболочки В^ различные значения. Значения В% легко определяются с помощью формул (L1.34), (1.1.42).'
Ясно также, что каждой группе коэффициентов Bik будут соответствовать свои коэффициенты тип.
Рассматривая приведенные результаты, видим, что, меняя ориентацию материала в оболочке, можно существенно изменить характеристики устойчивости оболочки.
Вопросы устойчивости слоистых ортотропных оболочек. Пусть оболочка собрана из произвольного числа однородных ортотропных слоев, расположенных в теле оболочки так, что в каждой точке каждого слоя главные направления упругости совпадают с главными геометрическими направлениями оболочки а, р, 丫 (см. гл. I).
Очевидно, для слоистых оболочек в общем случае безмомент- ное напряженное состояние невозможно. В этом легко убедиться, рассматривая соотношения упругости многослойной оболочки (1.11.2). Поэтому при решении задач устойчивости многослойных оболочек, вообще говоря, следует докритическое состояние оболочки считать моментным.
Таким образом, в отличие от предыдущих пунктов настоящего параграфа, будем считать, что основное, докритическое состояние оболочки является моментным. Будем полагать также, что дифференциальные уравнения устойчивости анизотропной слоистой оболочки могут быть получены на основании уравнений теории весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 14).
Выберем координатную систему так, чтобы коэффициенты первой квадратичной формы были равны единице (4 = 1, 5=1), а координатная поверхность 了=0 проходила внутри какого-либо слоя оболочки (в частном случае она может совпадать с поверхностью контакта двух каких-либо слоев, т. е. А=»《) (рис. 63).
Пусть начальное моментное состояние оболочки характеризуется нормальным перемещением 切(％ R) и функцией напряжения
(245)(245)(246)(246)(2-47)(2-47)н】1 —н】1 —^12^12e22可，―髙e22可，―髙22-力 66一066,90=°11022 一凿2，22-力 66一066,90=°11022 一凿2，(2.49)(2.49)
(245)
(245)
(246)
(246)
(2-47)
(2-47)
н】1 —
н】1 —
^12
^12
e22
可，
―髙
e22
可，
―髙
22-力 66一066
,90=°11022 一凿2，
22-力 66一066
,90=°11022 一凿2，
(2.49)
(2.49)
ср (а, В). Тогда для определения начального напряженного состояния мы можем использовать уравнения (L14.64)):
厶(D —0°)切一厶з(@)ср —V呼一厶(吗 <p) = Z, I Е2(4)? + %(&№ + ¥т^ + ；£®,切)= 0, J где, как и раньше,
厶(D - D^ = (D„-况 J * + (% - 理)探 +
+ 2 [(% — D^ + 2 (% — 然J]吕， z2 (%) = "22鳥 + ("66 + 2"12)da2 公2 + "" 部'， 厶3 (d) = &1 爲 + (41 + % - 2d66)壁 + 九詛，
V =上史上丄宜
R~ R^加2丁五1型*
厶w3)=2黑黑一(端)1，
а для жесткостей, входящих в линейные операторы (2.46), в случае ортотропной оболочки имеем
С.к^^в^,-ъ^
(2-48)(2-48)Kjk = 42 % 僧-除J — 2A (" — V!)b
(2-48)
(2-48)
8=1
0*=扌$ BЛ陪一軍，一 3А (碎一单1)+ 3a2自- 3,」)],
а также следующие комбинации из них:
41 = (^11^22 — &2c12)。『\&22 ~ (К22al — &2a2)^o1»
@12(区12c22К22a2)А' '@12(区12c22К22a2)А' '(2.50)(2.50)
@12(区12c22К22a2)А' '
@12(区12c22К22a2)А' '
(2.50)
(2.50)
^ = {K^n~KMQ-\
珠6 = ^66 ~ Кбб/'бб,
用】=【鳍I% - 2KnCvlKvl +通&】］。徜
?2 =［/】％% 一 阳&2 + 理)%+ &%臼］Q自(2.51)
02 = 1^22^11 — 2 K22%2c12 + 绪2c22】州'J
Таким образом, системой (2.45) будет определяться начальное моментное состояние оболочки. Однако при определенных соотношениях геометрических и механических параметров оболочки это состояние может оказаться неустойчивым, и оболочка под действием малых возмущений 8и? и &р перейдет к новой, устойчивой форме равновесия. Тогда во втором состоянии будем иметь
wx = u?-j-8^» 中1 =屮 +8卩wx = u?-j-8^» 中1 =屮 +8卩(2.52)(2.52)
wx = u?-j-8^» 中1 =屮 +8卩
wx = u?-j-8^» 中1 =屮 +8卩
(2.52)
(2.52)
Подставляя (2.52) в систему уравнений (2.45), получим следующую систему линейных дифференциальных «уравнений в вариациях» относительно 8и? и 8ц):
厶］(Z) - Z>°) qw - L3 (d) 8^ 一 ▼冗g = E (加，干)+乙(切，Sep),)
L„ (Л) 8? + L3 (d) 8w + V^Sw = —L (8w, w\)但方斗
Таким образом, решение задач устойчивости моментного напряженного состояния многослойной анизотропной оболочки приводится к интегрированию двух систем дифференциальных уравнений: (2.45) и (2.53). К этим системам уравнений должны быть присоединены граничные условия, которые для системы (2.45) имеют обычный вид, а для системы (2.53) однородны и на основании (2.52) вытекают из граничных условий начального напряженного состояния. При этом необходимы будут также полученные ранее представления
62=(422^+/12篇)中 + (%1^ + 42罰^，・(2-54)
°) = -46而+ 2唯而,
"1 = - [(% -0?1)爲 + (% -0?2)京]0 +
(2.55)(2.55)"2 = - [(% —%)為 + (012 -理)急]W +
(2.55)
(2.55)
+(九農+期；£)%
北=需，厶=需，6 = 一為,北=需，厶=需，6 = 一為,北=C[[£] + ^12e2 + ^]1X1 + ^12Х2» 72 =: c22,2 + °12% + r22"2 + k12，1， S = е66(В + k660北=C[[£] + ^12e2 + ^]1X1 + ^12Х2» 72 =: c22,2 + °12% + r22"2 + k12，1， S = е66(В + k660(2.56)(2.57)(2.58)(2.56)(2.57)(2.58)На основании приведенных уравнений и расчетных формул могут быть решены задачи устойчивости моментного состояния различных типов анизотропных слоистых оболочек.1. Рассмотрим многослойную замкнутую круговую (7?工=8, Т?2=Х) цилиндрическую оболочку, шарнирно опертую по торцевым линиям (а=0, а=2; I —— длина оболочки) координатной поверхности т=0. Пусть оболочка загружена нормально приложенной к внешней поверхности осесимметричной равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью ‘， т. е. Z=q, Х=0, У=0.Очевидно, напряженно-деформированное состояние оболочки до потери устойчивости будет моментным и осесимметричным. Для определения этого состояния из (2.45) получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:На основании приведенных уравнений и расчетных формул могут быть решены задачи устойчивости моментного состояния различных типов анизотропных слоистых оболочек.1. Рассмотрим многослойную замкнутую круговую (7?工=8, Т?2=Х) цилиндрическую оболочку, шарнирно опертую по торцевым линиям (а=0, а=2; I —— длина оболочки) координатной поверхности т=0. Пусть оболочка загружена нормально приложенной к внешней поверхности осесимметричной равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью ‘， т. е. Z=q, Х=0, У=0.Очевидно, напряженно-деформированное состояние оболочки до потери устойчивости будет моментным и осесимметричным. Для определения этого состояния из (2.45) получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:（"“一曲）尝（"“一曲）尝d^ 1 d2?d21五I一万而=公d^ 1 d2?d21五I一万而=公d d^ . , diw 1 d21P —八422捅十"21石？十瓦石^ = 5d d^ . , diw 1 d21P —八422捅十"21石？十瓦石^ = 5(2.59)(2.59)
北=需，厶=需，6 = 一為,
北=需，厶=需，6 = 一為,
北=C[[£] + ^12e2 + ^]1X1 + ^12Х2» 72 =: c22,2 + °12% + r22"2 + k12，1， S = е66(В + k660
北=C[[£] + ^12e2 + ^]1X1 + ^12Х2» 72 =: c22,2 + °12% + r22"2 + k12，1， S = е66(В + k660
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
На основании приведенных уравнений и расчетных формул могут быть решены задачи устойчивости моментного состояния различных типов анизотропных слоистых оболочек.
1. Рассмотрим многослойную замкнутую круговую (7?工=8, Т?2=Х) цилиндрическую оболочку, шарнирно опертую по торцевым линиям (а=0, а=2; I —— длина оболочки) координатной поверхности т=0. Пусть оболочка загружена нормально приложенной к внешней поверхности осесимметричной равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью ‘， т. е. Z=q, Х=0, У=0.
Очевидно, напряженно-деформированное состояние оболочки до потери устойчивости будет моментным и осесимметричным. Для определения этого состояния из (2.45) получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:
На основании приведенных уравнений и расчетных формул могут быть решены задачи устойчивости моментного состояния различных типов анизотропных слоистых оболочек.
1. Рассмотрим многослойную замкнутую круговую (7?工=8, Т?2=Х) цилиндрическую оболочку, шарнирно опертую по торцевым линиям (а=0, а=2; I —— длина оболочки) координатной поверхности т=0. Пусть оболочка загружена нормально приложенной к внешней поверхности осесимметричной равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью ‘， т. е. Z=q, Х=0, У=0.
Очевидно, напряженно-деформированное состояние оболочки до потери устойчивости будет моментным и осесимметричным. Для определения этого состояния из (2.45) получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:
（"“一曲）尝
（"“一曲）尝
d^ 1 d2?
d21五I一万而=公
d^ 1 d2?
d21五I一万而=公
d d^ . , diw 1 d21P —八
422捅十"21石？十瓦石^ = 5
d d^ . , diw 1 d21P —八
422捅十"21石？十瓦石^ = 5
(2.59)
(2.59)
граничные(2.60)граничные(2.60)к которой должны быть присоединены следующие условия:
граничные
(2.60)
граничные
(2.60)
при а =0 Л/1 = 0,切=0, У1】=0；[
при а = 2Л/] = 0,切=0 7\ = 0. j
В силу осесимметричности начального состояния система дифференциальных уравнений устойчивости (2.53) перепишется следующим образом:
厶m一小)加_ % @)沟一房 蜜=
或702 (自切) 或飨¥仅屮)/? V
厶⑷彻+"(d)^+康導=一舞货丄
присоединить следующиеприсоединить следующиеЬТ, = 0, 6и = 0;) "1 = 0, “ = 0. } (262)ЬТ, = 0, 6и = 0;) "1 = 0, “ = 0. } (262)К уравнениям (2.61) необходимо однородные граничные условия:
присоединить следующие
присоединить следующие
ЬТ, = 0, 6и = 0;) "1 = 0, “ = 0. } (262)
ЬТ, = 0, 6и = 0;) "1 = 0, “ = 0. } (262)
при а = 0 6ЛГ1 = 0, 2 = 0,
при а = 2 6弘=0,沁=0,
Из системы уравнений (2.59), в силу граничных условий (2.60) и соотношений (2.54)—(2.58), получим для определения w (а) следующее дифференциальное уравнение:
ww(2.63)(2.63)
w
w
(2.63)
(2.63)
Решая уравнение (2.63) и удовлетворяя граничным условиям (2.60), получим для искомого перемещения w (а) следующее выражение:
ш = С^ cos /а + С^е7a cos /а + С3ева sin ta +
+ &6-皱 sin /а + Л22Я2^,(2.64)
где
= "422 (。11 —0?1) + d务一d21 ] /z
一「27?①22(4[ 一 现1) + 隔广」，2 65)
a __ '/22 (。1】一。?1)十% + d21&
-2/?[/22(011 - ^11) + ^211 - ' .
а для постоянных интегрирования с точностью 1 土е"2“^ 1 имеем
С】=(а sin tl — A22Re~sl cos tl)Rqy
C2 = —(asin tl-^A2^ Rq,
。3 =—(仪 cos tl + A^e~Bl sin 切)Eq,''
C4 = (aesl — A22Re~sl sin tl) Rq,
где
" 一一[%22 (Du 一力匕)+ d館(S2一力2) R 2s"厶2(Ai-D?i) + d£]42c •
心@也心.心@也心.(2.67)(2.67)В последующем нам необходимо также знать значение
心@也心.
心@也心.
(2.67)
(2.67)
Из (2.59), согласно (2.54)—(2.60), легко получить
d^—1 / , d^w . w\
詬=一 KA"21而'十耳丿.
Точное решение уравнения начального моментного состояния оболочки (2.64) представим в виде бесконечного тригонометрического ряда по косинусам:
(2.68)(2.68)(2.69)(2.69)0=e(cos底a,底=毕,fc=0
(2.68)
(2.68)
(2.69)
(2.69)
霊=$% cos k〃=0
где согласно второму уравнению системы (2.59)
"=АГ(41% 一 R)储
Далее, в силу (2.64)—(2.66) для коэффициента разложения fk получим
4 = Q(Z — С*з) е“ 一 (G + CQ,) е“] (-l)fc cos " +
+ [(力& + G)产 + (qc? _ &) e-勺(-l)fc sintl-c^c^
+ % g + C,)｝等 C + ；：么；^上4s2^ +
-\~ A22R2q ^- j cos ^-a da, (2.70)
где
0产 T(’ 一 S2，+：2^+及)他=0, 1» 2' 3,…,8).
Решение системы уравнений устойчивости (2.61) будем искать
в виде
8
(2.71)(2.71)8w = COS(l)1P2amSin V- < =粵, m=l
(2.71)
(2.71)
со
3干=cos M 2 bg sin <a, % = £
Представления (2.71) удовлетворяют граничным условиям (2.60) и условиям замкнутости оболочки по координате р.
Подставляя в (2.61) значения u?, ^cp/da2, 8и? и》屮 соответственно из (2.68) и (2.71), получим следующую систему алгебраических уравнений:
①I?»% —(①Зр” 一 ¥) % + 争(2 Фг-т^т + 'm=l
+ £ 屮…％ ——£ ^m+ram £ ^r-mfr-nfim —— m=rm=l
(2.72)(2.72)一 2 心/-A. + i 廿/+4)=0,”i=rm=l/
(2.72)
(2.72)
(Ф3рт,—葡 ％ + ①2p»% + 争(2 XRrj +
+ ii x二九+4)=o,
m=r#i=l/
где для Ф<ря имеем
%=(%一爆)м+(%一怨)%+
+ 2 [(П12- D^-[- 2 (D„-然6)]入飘％
%. = %胃 +4" + (46 + 24"号咸，
包?” =当西+ 42K + (乙+芍一 2%)入浴.
Исключая &р из системы уравнений (2.72) и пренебрегая нелинейными членами, приходим к следующей бесконечной системе алгебраических уравнений:
(乙一2忆,+恥/% —且叱一皿一匕用)%-
(2.74)(2.74)一 £ (Wm^-Wm+p)am^0.
(2.74)
(2.74)
»n=p+l
Здесь
(Z = p — m, m — p, m+p).
24 С. А. Амбарцумян
Очевидно, тривиальное нулевое решение системы (2.74) нас не будет интересовать. Тогда, приравнивая нулю детерминант матрицы коэффициентов системы (2.74), получим условие для определения критической силы. Для наглядности приведем укороченный вид этой бесконечной матрицы:
%一2% + %+i 一%.] + W2+1-%T + %+1 .• • I
-w2-1+叩1+2% - 2%+%+2 一%-2 + %+2 …
-少3T+%1+3一%3-2 +巾2+3?3 — 2少0+%3+3…卜(2,76)
Таким образом, поставленная задача, т. е. определение критического значения внешнего давления Z=q, привелась к отысканию наименьшего собственного значения матрицы (2.76).
Рассмотрим численный пример. Пусть оболочка составлена из двух ортотропных слоев одинаковой толщины 为$=0,5 为(i=l, 2). Пусть, далее, для механических характеристик слоев имеем
e^ = 10£,线i)=区 屮)=守=0, Gg)= 0,2区
E^ = 2瓦 E^ = 0,5£, *)=啜=о, G居)=0,2^.
Принимаем также, что l/R= к/Ь, 7^/7? —1/100 и ^=h, т. е. закреплена внутренняя поверхность оболочки *).
窮 6 = Gh， для коэффициентов窮 6 = Gh， для коэффициентовТогда, согласно (2.48), (2.49) и неоднократно использованным обозначениям 8* = e；/(1——中力 电2=后以(1——小力 名2 = = v-£i/(l-vjv-) = vj£i(l-v^),一
窮 6 = Gh， для коэффициентов
窮 6 = Gh， для коэффициентов
Ai^ &詔，D* °% получим
“66 =，"12 ="二Л7“66 =，"12 ="二Л74 —人 4
“66 =，"12 ="
二Л7
“66 =，"12 ="
二Л7
41 二丽Г，/2 =定^，
27
"JI = g~ h, “22 =芷力'
A = 3/3,%=爺然，％=書励3, % = o,
爆=4映3, D^^Eh\我尸訥炉，售2 = o.
Из (2.73) для ①力力 получим
Ф,.入±9[ . Ф„ .X169 .,
】外 3 J 1"2* 3e力j 2川，
①з*=тп为弓6) 0 =仍 吃
где
%” = 1+^ О?+йАб8 (у)'-
Далее, из (2.75) имеем
% = 2Е，
%=卜+*(訐+二？6:
(t = p — m, m — p, тп + р).
И наконец, из (2.70), согласно (2.66), а также приведенным выше численным результатам, для 力 найдем
力=—[1 + (Т)']饗泌 +Зб + ^ 泌 I cos 罕 da,
+就彼 J
0
где ?=422氏闻*/九一безразмерное внешнее давление.
Подставляя значения Vp ^ Wi в детерминант матрицы (2.76) и приравняв его нулю, получим для критического значения безразмерного давления д=0,223, что имеет место при /г=13.
Теперь, если ту же самую задачу решать, формально полагая, что начальное напряженное состояние оболочки является безмо- ментным, то для безразмерного критического давления получим 7=0,251 при /г=13.
Приведенные результаты показывают, что учет начального моментного состояния не изменяет формы потери устойчивости, но приводит к некоторому снижению критического значения внешнего давления. Эти результаты получены для весьма короткой оболочки, для которой учет начального моментного состояния должен привести к наибольшим поправкам. В случае длинных обо- -лочек поправка будет незначительной и формальное предположение о бёзмоментности начального напряженного состояния может привести к хорошим результатам.
Рассмотрим гибкую пологую оболочку, собранную из про- извольного числа однородных ортотропных слоев, загруженную равномерно р а определенным давлением с интенсивностью ‘, нормально приложенным к координатной поверхности 丫=0・
Пусть оболочка перекрывает прямоугольный план (仪义匕) и шарнирно оперта по всему контуру (a=0, a=a;卩=0,卩=匕)
24*
(рис. 64), т. е. имеют
место следующие граничные условия:
при а = 0, а = & Л/] = О, Т] = 0, ц? = 0, и = 0; при р = 0, р = Ь 〃2 = 0,北=°，必=0, и = 0.
(2.77)
Система разрешающих дифференциальных уравнений в развернутом виде перепишется следующим образом:
(2.45)
尸1 三厶22 系 + (4б + 2"12)^^5+41 絹 + +喝薯+(% +唯一2%)為^九諾
I 7c 82m I 7c 02m I 02m 02m十明谆■十修不'十初章'
% 三(％—£>£)需 + 2[仇一空)+ 2(%—%]
（爲j，
diw
0a2 dg*
+ (°22 — D2^ 需—d21 ^- (dll + "22 - 2d66)忠冲一
月 04干7 d^w 7 82m02切 02屮
一%2都一勺市一他苏一凉苹一
dg2 da?十 Ha d@ da 加 ^
(2.78)
На примере рассматриваемой оболочки осветим некоторые особенности выпучивания несимметрично собранных слоистых гибких оболочек.
При граничных условиях (2.77) система уравнений (2.78) может быть проинтегрирована методом Бубнова——Галеркина.
Решение системы (2.78) представим следующим образом:
(2.79)(2.79)w = f sin Ха sin pg,入=?屮 =屮sin Ха sin步再 步=賢
(2.79)
(2.79)
Рис 64.Представление (2.79) удов''летворяет условиям шарнирного
опирания (2.77), а искомые функции найдутся из систелш уравнений (2.78).
Согласно методу Бубнова ——Галеркина необходимо выписать
следующие уравнения:
(2.80)(2.80)jj 厶 sin Ха sin pg da d? = 0, о о
(2.80)
(2.80)
，[产? si口入a sin 步pda即=0.
С помощью (2.78)—(2.79) осуществляя преобразования (2.80) н из полученной при этом системы исключая коэффициент 屮，найдем искомую нелинейную связь между прогибом центра оболочки и нагрузкой:
炉一s产+犷=旅 (2.81)
где
仁(% 一 空)m + 2 [(Z)12 一 迎)+ 2 (% 一 4前 *2 +
丄/八no \ ,4_1_ [月卩2 + 左2入2 - %入4 — (% + d22 -2d66)入2M 一 九世屮
十W22-4M十42m +з部+ 2/12)入2卩2+ 4]能,
16入世月出2 +力2入2 — 魂]入4 — ("11 + ^22 -~ 2d66)入2卩2 — d12卩4
(2.82)(2.82)曲/2" + (/66 + 2412)入2隱 + /11 出"'
(2.82)
(2.82)
_ 512 入 2M21
г = 丁両/22M + (人6 + 242)入2卩2 + 4口处，
q— ^ ] j 9 sin 入a sin 步p da dR о о
Существенное влияние на характер зависимости f — q оказывает коэффициент s при /2.
Рассматривая (2.82), замечаем, что коэффициент s существенным образом зависит не только от кривизн координатной поверхности т=0 (что имеет место в однородных и симметрично собранных слоистых оболочках, когда координатная поверхность Т=0 является срединной поверхностью оболочки), но и от коэффициентов dik и тем самым от жесткостей взаимного влияния Kik, которыми характеризуется несимметричное строение слоев по толщине оболочки.
Несимметричность строения оболочки по толщине при заданных значениях кривизн *】и "? может привести к увеличению или уменьшению коэффициента s, что в свою очередь приведет к увеличению или уменьшению склонности оболочки к хлопку.
Интересно заметить также, что при некоторых значениях жесткостей Kik даже пластинка (^=0,乃2=°) может терять устойчивость хлопком. Отметим также возможность потери устойчивости хлопком оболочек отрицательной гауссовой кривизны.
Таким образом, при заданных значениях кривизн многослойная оболочка в зависимости от характера слоистости может претерпевать деформации различных типов. В случае анизотропных слоистых оболочек исследование характера деформирования следует вести, рассматривая совместно как геометрические, так и механические параметры оболочки, т. е. исходя из поведения коэффициента s уравнения (2.81).
В случае, когда s достаточно мало (очевидно, для этого нет необходимости, чтобы оболочка была весьма пологой), или 5 < 0,
с увеличением стрелы прогиба / параметр нагрузки монотонно возрастает (рис. 65, а). С увеличением s кривая q—/ приобретает предельную точку и оболочка может деформироваться хлопком (рис. 65, 6). Дальнейшее увеличение параметра приводит к диаграмме, в которой ветвь неустойчивых состояний лежит вблизи
ский подход для определенияский подход для определения
ский подход для определения
ский подход для определения
начальной ветви (рис. 65, в). Эта диаграмма, как известно, относится к оболочкам большой кривизны, однако такую картину можно наблюдать и в случае слоистой весьма пологой оболочки.
В силу сказанного выше мы вновь приходим к заключению, что в случае анизотропных слоистых оболочек чисто геометриче
качественной картины поведения
оболочки может привести к недоразумениям.
Описанные здесь специфические особенности поведения многослойных оболочек подтверждаются и частными примерами, которые здесь не приводятся. Укажем лишь, что, как
〃《、правило, при решении частных
I/задач используются известные
•методы, применяемые в теории
Рис. 66.изотропных оболочек.
Рассмотрим задачу выпучивания длинной слоистой ортотропной цилиндрической панели, шарнирно закрепленной по длинным сторонам (р=0, р=&) и загруженной нормально приложенной к координатной поверхности 丫=0, равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q (рис. 66).
Предполагается, что закрепление краев является нецентральным по отношению к толщине и изгиб панели происходит по цилиндрической поверхности.
Очевидно, для рассматриваемой панели
% = со, % Z
Имея в виду рассмотрение задачи цилиндрического изгиба, из системы уравнений (2.45), согласно (2.46), (2.47), (2.49) и (2.56), получим следующее уравнение равновесия для панели:
(%—釣諾一，器*(2・83)
Здесь и в последующем принимаем, что усилие 72 по ширине панели остается постоянным. Вообще говоря, Т^— 72 (卩)，однако точные исследования показывают, что в достаточно широком диапазоне изменения прогиба центральной линии (р=&/2) панели (О W Mh 久 2,5) изменяемостью 72 по ширине панели можно пренебрегать.
Пусть сила 72 сжимающая. Тогда, полагая 72H — Т, можно переписать уравнение (2.83) следующим образом:
(2・84)(2.85)(2.86)(2・84)(2.85)(2.86)dW I 12d21P _入 2 I g022
(2・84)
(2.85)
(2.86)
(2・84)
(2.85)
(2.86)
奉十人而=一方十q22e22 一夂万'
где
—力22c22 — ^2 •
Общее решение уравнения (2.84) представится так:
— ^1 sin № + °2 cos 入р+ dp + &+(~^—彳)3
Постоянные интегрирования С《определим из условий шарнирного закрепления:
при р = 0, р = В = О, М2 — 0,(2.87)
С помощью соотношений упругости и условия q = 0 удовлетворяя граничным условиям (2.87), получим для нормального перемещения оболочки выражение
仁匿仁匿\ cos 2\ cos 2-1 I — (4—彳)b 2 0 0 (2.88)-1 I — (4—彳)b 2 0 0 (2.88)
仁匿
仁匿
\ cos 2
\ cos 2
-1 I — (4—彳)b 2 0 0 (2.88)
-1 I — (4—彳)b 2 0 0 (2.88)
при условии, что sin Х&т^О.
В случае же, когда sin 入В=0, т. е. \Ь=2пп (?г=1,2,3,...), имеем
力=J sin 入Р + [*^ + ｝仔—g)](Gos Xp— 1)—
—佇—3)力 2'3(2.89)
что соответствует несимметричному выпучиванию панели относительно сечения р=Ь/2.
Из приведенных формул (2.88) и (2.89) нетрудно получить формулу для определения прогиба центрального сечения панели р-6/2:
[僚+^修-5)](-"^一“+(煮一导)*(2-90)
〈cos 2 у
В окончательных представлениях (2.89)—(2.90) пока еще остается неопределенным внутреннее усилие Т.
Значение Т определим из условия несмещаемости опор оболочки. Полное взаимное сближение опор 8 должно быть равно нулю, т. е.
3 = Т 裁Р"(2.91)
о
Из формул (2.52)—(2.58) для du/d0 в случае цилиндрического изгиба получим
即—R 2〈邓丿十C22叫2g2/句
Подставляя значение dv/d^ из (2.92) в (2.91) и учитывая (2.88), будем иметь
+4[й+^т-4-)][-т^¥-т)-^й1^]+
+ 氯靑一簣)一6 鬟(4'一 费).(2.93)
Для дальнейших мерные параметрыДля дальнейших мерные параметрырассуждений целесообразно ввестирассуждений целесообразно ввестибезраз-безраз-破4破4告'告'"=£ еТ，"=£ еТ，u_2u_2
Для дальнейших мерные параметры
Для дальнейших мерные параметры
рассуждений целесообразно ввести
рассуждений целесообразно ввести
безраз-
безраз-
破4
破4
告'
告'
"=£ еТ，
"=£ еТ，
u_2
u_2
характеризующие соответственно нагрузку, кривизну, прогиб, усилие и эксцентриситет закрепления.
Учитывая (2.94), из (2.90) и (2.93) получим уравнения, которые устанавливают связь между расчетными величинами
(q\ Т» Е，е) панели:
[q + 4暇(4屮2e - fe)]2 {2暇+ 3 [5 (屮一tg 叫 + 中 tg2 中]} +
+ 161P2 伍* + 41P2 (4^е — &)] {(厶一4ip2e — 12e)联十
+ 31(* — 4 中 2e)仲一tg 中)+ 4联6 tg ср]} +
+1 12— е (* — 2fe — 12e) 256暇=О,(2.95)
L^22 伏J
E = e 為T)+备[2 為_ 1)_刁⑷ _ 4渉).(2.96)
В случае же, когда нагрузка приложена со стороны вогнутости панели и сила 几 является растягивающей, взамен (2.95) и (2.96) получим
[q* + 4瞰(4联e + 初2 |2cp3 — 3 [5 (? - th ?)-中 th2 p]}一
-16中2 [g* + 约2 (4中在 + 乃)]((乃 + 4+% — 12e)暇一
—3 [体 + 4<p2e) (<p — th <p) — 4联已 th ср]}—
—12-^豆絆—e体+ 2уе — 12e) 256暇=0, (2.97)
^^fe-O+W^^-O+^^ + W (298)
Для иллюстрации на примере панели с параметрами 12 (。22，2l碍)/為2无2=1，乃=15 покажем характер изменения закономерности q*— Е в зависимости от величины эксцентриситета закрепления е н от знака нагрузки q.
Задаваясь значением 屮，из (2.95) или (2.97) (в зависимости от знака силы 7\) определим соответствующие значения q*. Далее по найденным значениям q* из (2.96) или (2.98) находим соответствующее значение относительного прогиба.
На рис. 67 приведены кривые зависимости «нагрузка — про^ гиб» в случае, когда тангенциальная сила 厶 сжимающая, т. е. когда равномерное давление приложено со стороны выпуклости оболочки. Графики построены для двух значений эксцентриситета закрепления е. Значение е=0 отвечает центральному шарнирному закреплению оболочки (оболочка однородная, с толщиной 力/2), а значение е=—0,25 относится к случаю закрепления нижних кромок оболочки.
Сравнивая полученные кривые, замечаем, что наличие эксцентричного закрепления кромок оболочки может значительно изменить картину деформирования панели. При перемещении опор
торый характеризует внешнююторый характеризует внешнююа затем, когда параметр у, ко- нагрузку, достигает значенияа затем, когда параметр у, ко- нагрузку, достигает значения
торый характеризует внешнюю
торый характеризует внешнюю
а затем, когда параметр у, ко- нагрузку, достигает значения
а затем, когда параметр у, ко- нагрузку, достигает значения
к центру кривизны оболочки деформативность оболочки увеличивается. Далее замечаем, что вначале с ростом нагрузки панель из
гибается по симметричной форме,
панели прогибы являются монотонно возрастающими функциями давления (рис. 68). Что же касается вопроса влияния эксцентриситета закрепления, то и в этом случае перемещение опор к центру кривизны приводит к увеличению прогибов оболочки.
§ 3. Некоторые задачи анизотропных оболочек,подверженных действию динамически приложенныхнагрузок
Здесь будут рассмотрены некоторые задачи анизотропных оболочек, находящихся под действием нагрузок, настолько быстро меняющихся во времени, что при решении задач необходимо учитывать ускорения элементов тела оболочки.
Из этой серии задач будут рассмотрены досконально изученные задачи динамической устойчивости, а также задачи удара.
Задача динамической устойчивости многослойной ортотропной пологой оболочки. Рассмотрим нелинейную задачу динамической устойчивости слоистой ортотропной пологой оболочки, собранной из нечетного числа однородных ортотропных слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности оболочки (см. гл. I, § 10).'
Пусть оболочка в срединной поверхности загружена периодически изменяющимися с малыми амплитудами тангенциальными силами. При определенных соотношениях между частотой приложенной нагрузки ^ и частотой собственных колебаний о)начальная форма оболочки становится динамически неустойчивой, т. е. возникают поперечные параметрические колебания оболочки, амплитуда которых возрастает до недопустимых значений.
Вибрационная нагрузка, под действием которой возможна потеря динамической устойчивости, входит как параметр в уравнение возмущенного равновесия.
В связи с этим такая нагрузкаРис. 69.
называется параметрической.
Таким образом, теория динамической устойчивости оболочек изучает колебания, которые возникают в оболочке под влиянием выбрационной параметрической нагрузки, действующей в срединной поверхности оболочки.
При получении исходных уравнений не учитываются тангенциальные силы инерции, силы инерции вращения и деформации поперечных сдвигов. Приближенно считается, что начальное напряженное состояние является безмоментным и характеризуется тангенциальными силами Г? (а,卩,力,「2 (а, р,力).
Ha основании принятых предположений из (1.5.46), согласно (1.5), (1.6), (2.1) и (2.54)—(2.58), получим следующую систему дифференциальных уравнений динамической устойчивости пологой гибкой оболочки (Л =1, 3 = 1, &1 =五；* 及2 =区^) (рис. 69):
"22 薯'+ (4б + 2&2)离咨 + 41 翳 +
I 7c *屮 I 7“ 323 I@23 @2必十/砌十占确Г十石Г 邛?
%含+2(% + 2%)备+ %需%含+2(% + 2%)备+ %需(3.1)(3.1)
%含+2(% + 2%)备+ %需
%含+2(% + 2%)备+ %需
(3.1)
(3.1)
以 A2y〃 尹屮 d-W /ф d-w 22出］
一"2痂一勺帝*-石r 承潜 3x2十+2^^+驾初+制^r+q 而=0,
&12 —&12 —e,卜=2笈胱啞1+廿鎖历(% — %1)， *=1.e,卜=2笈胱啞1+廿鎖历(% — %1)， *=1.% =4 BT^h^ + ^B^-^ ,% =4 BT^h^ + ^B^-^ ,(3.2)(3.2)(3.3)(3.4)(3.3)(3.4)где для коэффициентов уравнений при осесимметрично собранной ортотропной оболочке имеем
&12 —
&12 —
e,卜=2笈胱啞1+廿鎖历(% — %1)， *=1.
e,卜=2笈胱啞1+廿鎖历(% — %1)， *=1.
% =4 BT^h^ + ^B^-^ ,
% =4 BT^h^ + ^B^-^ ,
(3.2)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.3)
(3.4)
Ср = ^ Tm+l^+l + / X (九—%+J
здесь 七 —— удельный вес материала г-го слоя оболочки, g —— ускорение силы тяжести, h.——расстояние i-ro слоя от срединной поверхности оболочки, которая одновременно является срединной поверхностью среднего (тп+1) слоя (рис. 33).
Получить точное решение системы уравнений (3.1) не представляется возможным. Поэтому мы обращаемся к известному вариационному методу, который неоднократно применялся для приближенного решения различных задач теории оболочек.
Исходные уравнения рассматриваемой задачи в вариационной записи принимают вид
(3.5)(3.5)j j ［厶2 (厶)? + VrS + j L (w, w)J g da dp = 0,U出(D)0-VW - ZS 中)+驾需+"需+
(3.5)
(3.5)
+ 4需］加如(^ = 0,
где, как всегда,
厶2 ⑷=”22 揃• + (4б + 2412)汲2 举 + " 11 两，
厶I⑵=%爲+ 2 （% + 2DQ為+ %普,昨^為•+靑磊，瓦= R：，&=抬1，
/，。）= 2疆需一（黑）?
32y /3^a 時 dz dp，32y /3^a 時 dz dp，r /、 d2w 02? d-w 3绅
32y /3
^a 時 dz dp，
32y /3
^a 時 dz dp，
厶（叫中）=初請+丽謳
Решение системы (3.1) ищем в виде
(3.6)(3.6)ср (а, 0, f) = ф^ (/) <ртп (а, 0),]
(3.6)
(3.6)
0(% Р，t) = fmn(t)wmn(a, ₽). J
Представим 中切務(а, Р) и w^ (а, 0) в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента и может быть представлена в виде линейных комбинаций фундаментальных функций поперечных колебаний балок, заведомо удовлетворяющих только двум граничным условиям на каждом краю оболочки:
?тв (% Р) = Хп (а) Ут (В),]
4»(а, В) =%(а)嗫(Р). j@/)
Выразим соответственно решению (3.6) вариации функций напряжений и перемещений в следующем виде;
8 =中/①沁=0//皿(3.8)
Вариации коэффициентов Фтп и 厶％, являющихся функциями лишь времени 力 произвольны и не связаны между собой.
Используя произвольность вариаций 8Фтя и 8/ти, а также ортогональность фундаментальных функций X (а), У (0), U (а), V (0), согласно (3.6) и (3.8) из (3.5) получим следующую систему уравнений:
]J [①做厶20)中т” + 47^ЛЗт"，^„J + fm^R^^mn^ = °-
"[①1nA(0)*一%脑厶(02 %") +工買靠+(3.9)
+寓驾争+4*]%10a理=0,
где m = 1, 2, 3, . .n = 1, 2, 3.
Подставляя значения ^тп и %“ из (3.7) в систему уравнений (3.9), вычисляя соответствующие интегралы, получим систему уравнений относительно функций Фтп (%) и fmn (Z). Исключая из этой системы Фтя (%), получим следующее нелинейное уравнение относительно искомой функции fmn(£):
卜嗑(1 -备一备)厶-e»X” +*"点=0， (3.10)
где введены следующие обозначения:
для квадрата частот собственных колебаний оболочки
для критических значений тангенциальных усилий независимом статическом действиидля критических значений тангенциальных усилий независимом статическом действии(3.14)(3.14)(3.16)(3.16)(3.17)(3.17)
для критических значений тангенциальных усилий независимом статическом действии
для критических значений тангенциальных усилий независимом статическом действии
(3.14)
(3.14)
(3.16)
(3.16)
(3.17)
(3.17)
J[J1+，2〃
厶〃'
Т* — J 丿彳 +，2〃
2皿厶厶 ，
(3.12)
для коэффициентов
нелинейных
._厶〃 +/3〃
членов
(3.13)
e加3
%丿6
，辦務CJi"
Т? при их
и, наконец, для интегралов, входящих в формулы (3.11)—(3.13),
厶=卩[42誉工+ (46 + 242)普讐+
+ 41"^^ X”] x"у/а 呻,
JH\[D^V^2^W^^ +
+ D2^U^UnVmdad^,
厶=T 1(®普°” + &罢嗫)ХУ*即，
△=一[]佃常 X” + @需 y J UnVmda 跑
厶二w器普0，嗫一筹浄）口 X3而跑
一2学等用UnVmda呷，
da d§ da d^ J n m 口丿
九=u*4叱如哪,H*嗫%"а冰,'б=Ср\[В叱如跑
Очевидно, интегралы должны быть вычислены по всей срединной поверхности оболочки. Пределы интегрирования легко определить после того, как будет установлена система ортогональных координат а, р и контуры оболочки.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. В частном случае линейной задачи, когда исходные уравнения имеют вид
乙2⑷中+%2=О,
,В I ТО d23 I 仙 I a 02加n(3.18)
%(d)0一办中+普凉+北丽+q赤=0, J
уравнение динамической устойчивости записывается так:
常^一磊)統=0.(3.19)
Пусть прямоугольная в плане (〃Xb) оболочка шарнирно оперта по всему контуру. Тогда граничные условия запишутся обычным образом (рис. 69):
при а = 0, а = ац? = 0, М-^ = 0, Тх = 0, и = 0;]
при 0 = 0, p = bц? = 0, М^ = 0,厶=0, и = 0. J (3.20)
В этом случае, полагая
X"=U" = sinXf,Ут = ^„,= sin^p, 1
入”=九兀/0，% = 师®J(‘)
из (3.11)—(3.13), согласно (3.14)—(3.17) и (3.21), получим для коэффициентов уравнения (3.10) следующие выражения:
%［遂法产Т
(3.22)
厂 __1_ r（陽鳩+论1出幻2 _ n^L a；
7,
1 1
(3.23)
穴—_J_ r("2浇+月*)2 1
/2,»n務-"2[а£к
7,
1
" _ 16(%2爲 + 財(4)
5121入沁
(3.24)
29 0。2b2 必〃，
где
(3.25)(3.25)*緡=2国+ 2 (%+ 246)人K + D^
(3.25)
(3.25)
△mn = “22人:+ (46 + 24面入沁+ 41/
Из формул (3.22) и (3.23) нетрудно получить ранее найденные формулы для определения частоты колебаний (1.14) и критической силы статической устойчивости (2.8) круговой цилиндрической панели. Таким же образом могут быть найдены указанные расчетные величины для различных типов пологих ортотропных слоистых оболочек.
Принимая
買=厶° + Tlt cos 班，看=Т2a + Т» cos 陇(3.26)
из уравнения динамической устойчивости (3.10) получим уравнение параметрически возбуждаемых колебаний
景 + 92(1—2晖06班)7 一e产 + 评=0,(3.27)
гдегде
где
где
(3.28)(3.28)少=60 一"符寞)，
(3.28)
(3.28)
户 _ 7 Tf© - 710?看—？20若■.
Здесь и в последующем индексы тип опущены, поскольку уравнение (3.27) идентично для всех форм колебаний.
Заметим, что й2, представленное формулой (3.28), является квадратом частоты собственных колебаний рассматриваемой оболочки, загруженной постоянными составляющими тангенциальных сил 7? и 鑑.Коэффициент r называется коэффициентом возбуждения.
Уравнение (3.27) досконально изучено в специальной литературе, поэтому здесь, не вдаваясь в подробности, приводятся некоторые окончательные результаты, представляющие интерес с точки зрения оболочек.
Введем в рассмотрение силы сопротивления. Полагая, что сила сопротивления является линейной функцией скорости перемещения с коэффициентом линейного затухания е, перепишем уравнение (3.27) следующим образом:
寫+ 2е 黒+ 92(i — 2pcos8t)/_e 产+ 少3 = 0.(3.29)
Решение уравнения (3.29) ищем в виде
/ = /(n + /iiCOS 卷一％),/ = /02 + /12 Sin (-^-―?2)(3.30)
соответственно для нижней и верхней границ главной области неустойчивости, которые определяются обычным образом с помощью известной приближенной формулы
4,(1 干 УЗ二^).(3.31)
Подставляя значения / из (3.30) в (3.29), после выделения постоянных членов и гармоник получим следующую нелинейную-
систему алгебраических уравнении относительно /0< и 九：
< -嗚 + 270, -4(₽- 3吼，)我=°，
九一击俨-48 11 + (-I)/ 同 一 4卅tg 廟九一(3.32)
一备(2叽,一3<)九=0(i = 1, 2),
где
Принимая /&《fu и пренебрегая нелинейными членами, происходящими от 儿 из первого уравнения системы (3.32) получим
九=25 + &怨 (Z = 1, 2).九=25 + &怨 (Z = 1, 2).(3.34)(3.34)
九=25 + &怨 (Z = 1, 2).
九=25 + &怨 (Z = 1, 2).
(3.34)
(3.34)
Тогда из второго уравнения (3.32), согласно (3.34), будем иметь t^4d{K + 厶 士 [(К +绅 + 8，K]%},(3.35)
где
К = %2_4，[[+(_[)，闵— 4e8tg(p,,(3.36)
=礬 _ 2Q2 = 12 昵・甚绅 2 — 2з2 (1 — Г】。7'为?oG ).(3.37)
Б случае, когда е=0, т. е・ когда пренебрегается затуханием, из (3.35) в силу (3.31) для fu найдем
fL -备2 一% + 4 士 V俨一映+ 4)2 + 8，($2一%)].(3.38)
Рассматривая (3.35) и (3.38), заметим, что при А < 0 Для /^ имеем только одно положительное значение. Та же картина имеет место и в пластинках.
В случае 4〉0 после потери устойчивости наблюдается паде* ние возбуждающей частоты до некоторого критического значения $т，которое определяется из уравнения
(跄一%+ 4)2 + 8Q2 照一唯)=0.(3.39)
Решив уравнение (3.39), получим для нижних критических частот следующее выражение:
吃=%一2(备干斗 (i=l,2).(3.40)
25 С- А. Амбарцумян
Этим частотам； по формуле (3.38), соответствуют следующие значения амплитуд колебаний:
尤=±壽(管干 42) (z = ],2).(3.41)
Рассматривая формулу (3.41), замечаем, что первое значение (верхние знаки) нижней критической частоты для амплитуд колебаний будет действительным при 4 > 0; если же взять нижние знаки, то не будем иметь действительных значений для амплитуд колебаний.
Для нижней критической частоты главного параметрического резонанса и для соответствующего ей значения амплитуд колебаний имеем丿
吃=隐一2(急一(3.42)
—2■(3.43)
^i~Jd2；~'(г= 1, 2).
Таким образом, предположение /(^«/打 позволило получить простые формулы для определения нижних критических частотТаким образом, предположение /(^«/打 позволило получить простые формулы для определения нижних критических частотПод действием будем иметьПод действием будем иметьи амплитуд установившихся резонансных колебаний.
Таким образом, предположение /(^«/打 позволило получить простые формулы для определения нижних критических частот
Таким образом, предположение /(^«/打 позволило получить простые формулы для определения нижних критических частот
Под действием будем иметь
Под действием будем иметь
Как показывают численные результаты, эти формулы хорошо согласуются с точными.
Динамическая устойчивость анизотропной замкнутой круговой цилиндрической оболочки. Рассмотрим задачу динамической устойчивости длинной анизотропной замкнутой круговой цилиндрической оболочки, сжатой продольной силой Q=PqjtP1 cos 8%.
Принимается, что в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности 7=0- Ортогональная система координат выбрана так, что Л =1, В = 1, R1 = cof %=/?三const (рис. 70).
нагрузки Q в начальном состоянии в оболочке
-表(4 + P1C0S 班)，芻=0, 5。= 0. (3.44)
Тогда из (1.3.27), согласно (1.3.26), (1.4), (2.1) и (3.44), полу. чим следующее уравнение динамической устойчивости рассматриваемой оболочки:
[% 鳥 + 4% j^ + 2 (% + 2%) ^рг + 4% 7Т5р +
+ % 捺][% £s — 24 26 "^" + (2&2 + 4б) ^г—
-2Л1в15р+лп^]ф+^^ + [рл£ + 2Р^4 +
+島"(%+%cos班)£][/2爲一2/6 感~ +
+ (46 + 24"备一246 备 + 4靑]Ф = 0, (3.45)
где p=T()/g ——плотность материала оболочки (у0 ——удельный вес материала оболочки, g ——ускорение силы тяжести), 8 ——коэф' фициент линейного затухания, а для коэффициентов линейных операторов, как всегда, имеем
41 = (e22C66 一 %)Q『，/16 = (С12'26 — °16022)Q「，
(3.46)(3.46)(3.47)(3.47)422 = (&1e66 一皆6)Qf\ /26 = (a2°16 一 ^26^11) Q丁，
(3.46)
(3.46)
(3.47)
(3.47)
46 = (e11С22 一 c!2) Q J,/12 = (e16'26 - °12066)Q J，
9 1 = (6\]6Г22 一 c:2) еб6 + 2c12cl6026 — eце^б 一 0220?6,^ik -区次，D让=邑驚3/42.
Предполагая, что оболочка достаточно длинная, представим решение уравнения (3.45) в виде
Ф(а, р, /) = 〃”《“+/),(3.48)
где / (%)——искомая функция времени £, к= к/Х ——волновое число, 入一длина полуволны в направлении образующих оболочки, 孔——число волн по окружности поперечного сечения оболочки.
Подставляя значение Ф из (3.48) в исходное уравнение (3.45), получим следующее дифференциальное уравнение:
禍 + 2з * + а? С — 2р cos 班)/ = 0,(3.49)
где имеем:
—2—2для квадрата частоты колебания оболочки, загруженной по- стоянкой составляющей внешней нагрузки,
—2
—2
(3.50)
для коэффициента возбуждения
Т宀，(3.51)
для критической силы статической устойчивости
Р =生倂.(3.52)
В эти формулы входит коэффициент К, который характеризует Волнообразование и упругие свойства оболочки и имеет вид
汕冷2汕冷2К =，伸 + 4% 幣 + 2 (% + 2%)薔 + 4% 需+
汕冷2
汕冷2
+022 崇 + 糸[/22依一2/16? + (/66 + 242)
(3.53)(3.53)
(3.53)
(3.53)
Таким образом, рассматриваемая задача динамической устойчивости круговой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии (имеется лишь одна плоскость упругой симметрии) также приводится к известному уравнению Матье (3.49).
Не вдаваясь в подробности, приведем окончательные формулы определения границ главной области неустойчивости:
久2=4'久2=4'(3.54)(3.54)
久2=4'
久2=4'
(3.54)
(3.54)
Рассматривая формулы (3.50)—(3.54), легко сообразить, что границы областей неустойчивости существенно зависят от механических характеристик материала оболочки.
На примере осесимметричной задачи, т. е. когда имеет место осесимметричная форма потери устойчивости, покажем влияние ориентации ортотропного материала в теле оболочки на значения критических частот.
Если имеет место симметричная форма потери устойчивости, то 九=0, а критическая частота 8* принимает минимальное значение при *)
胪=(华 + 2P^nRDn. (3. 55)
3 (%十200户]—64 冗 20ц~ J>3仍1+2区)2]64 冗 20“ J-3 (%十200户]—64 冗 20ц~ J>3仍1+2区)2]64 冗 20“ J-Тогда для границ главной области неустойчивости получим
3 (%十200户]
—64 冗 20ц~ J>
3仍1+2区)2]
64 冗 20“ J-
3 (%十200户]
—64 冗 20ц~ J>
3仍1+2区)2]
64 冗 20“ J-
(3.56)
Пусть оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что два главных направления упругости материала в каждой точке оболочки составляют произвольный угол 屮 с главными геометрическими направлениями оболочки а,卩,а третье главное направление упругости совпадает с соответствующим направлением координаты 『
Тогда, если упругие постоянные материала в главных направлениях упругости обозначить через В^ то для упругих постоянных, входящих в (3. 46), (3. 47), получим
(3.57)(3.57)Ri = 8；i cos"中 + 2 (% + 2筑6)sin2 <pcos2 <p + % sin4 % % = * sin4 中 + 2 (В；? + 2纥6)sin? ?cos2 <p + B；2 cos4 <f>, % = % + f珞 + 马2 — 2 (% + 2纥拼 siM ”os2 屮， % =筑6 + [% + 片2 — 2 (% + 2筑J] si" ”os2 屮， 当6 = у [筑2 sin2? — 3；1 cos2® + (%2 + 2筑6)cos 2<p] sin 2<р, 忆6 = y [筑2 cos2? -耳1 sin2中-(/2 + 2线6)cos2?]sin 2<f.
(3.57)
(3.57)
Рассматривая формулы (3.55), (3.56), (3.46) и (3.57), легко заметить, что минимальное значение критической частоты 8* и значение длины полуволны в направлениях образующих существенно зависят от угла ориентации у материала в оболочке.
Рассмотрим численный пример. Пусть Pq=0, Р】 = 5Е% Ви = = 10Е, В\=Е, В；6=О,5Е, В；2=0.
С помощью формул (3.46), (3.47) и (3.57) определим значения Л22 и Dn при различных значениях угла ориентации у. Совместно с исходными данными подставляя полученные значения 』22, °ii в (3.56), найдем искомые величины критических частот при заданных углах ориентации материала в теле оболочки.
Результаты подсчетов представлены графически (рис. 71). Здесь приводятся значения 贬=嶋「7?2/4后 в зависимости от угла у. *
Рассматривая приведенные графики, замечаем, что: а) изменением ориентации материала можно существенным образом изменить экстремальные значения Я^; б) изменяя ориентацию материала, можно изменить ширину области главного параметриче-
ского резонанса; минимальные значения ширины зоны устойчивости можно получить в окрестностях 屮=0; в) вблизи 屮=тг/2 наблюдается бурное возрастание критических частот, а в окрестностях 屮=0 и 屮=тг в достаточно большом интервале изменения угла 屮 критические частоты изменяются незначительно»
Эти результаты подтверждаются и другими примерами.
Рис. 71.
Несколько слов об учете поперечных сдвигов при рассмотрении задач динамической устойчивости. Исходные уравнения динамической устойчивости и при учете поперечных сдвигов строятся обычным образом. Если ограничиться принятой в этой главе точностью (см. §§ 1, 2), то можно построить эти уравнения, исходя из любого разрешающего уравнения или разрешающей системы уравнений уточненных теорий (см. гл. I, §§ 6—9), путем замены грузовых членов соответствующими инерционными членами и фиктивной поверхностной нагрузкой, т. е. полагая
X 一 一pД —у — -成—
力 2；(3。58)
Решая полученные таким образом уравнения по описанным выше схемам, мы опять приходим к уравнению Матье
祭+ Q2(1 —2pcos 班)/ = 0,(3.59)
где, как обычно,
1 Р\2 Р* —Ро •1 Р\2 Р* —Ро •(3.60)(3.60)Q2 = О)2 ^1 一袋)，•卩=
1 Р\
2 Р* —Ро •
1 Р\
2 Р* —Ро •
(3.60)
(3.60)
Таким образом, уравнение (3.59) ничем не отличается от соответствующего уравнения классической теории. Однако это сходство лишь внешнее. Коэффициенты, входящие в (3.59), принципиально отличаются от соответствующих коэффициентов классической теории. Здесь в Q211M входят частота свободных колебаний ① и критическая сила Р*, которые содержат члены, происходящие от учета поперечных сдвигов, — (1.12), (1.16), (1.25), (2.6) (2.9), (2.36).
Как известно, учет поперечных сдвигов может существенным образом изменить как частоту колебаний, так и критическую силу. Эти изменения естественным образом изменяют также картину динамической устойчивости оболочки. В частности, как показывают подсчеты, учет поперечных сдвигов приводит к сужению области устойчивости оболочки (см. формулы (3.54)).
IIПродольный удар вращающейся анизотропной иолу^мканед- ной круговой цилиндрической оболочки о жесткую стенку. Рассмотрим удар, о жесткую стенку полубесконечной цилиндрической оболочки радиуса R. и толщины Д, движущейся с продольной скоростью С и угловой скоростью О) (рис. 72).
I
I
Пусть оболочка изготовлена из ортотропного материала, два главных направления уругости которого не совпадают с координатными линиями a=const, p=const, а третье направление, как всегда, в каждой точке оболочки совпадает с направлением соответственной координатной линии 丁.
Будем определять осесимметричное напряженно-деформированное состояние оболочки на основе безмоментной теории.
Уравнения осесимметричного движения рассматриваемой оболочки, согласно (IL2.il) и (1.4), запишутся следующим образом:
(3.61)(3.61)
(3.61)
(3.61)
Очевидно, что здесь система координат выбрана так, что 2=1, 夕=1, %=8, &=Н.
Соотношения упругости имеют вид (1.1.24)
(3.62)(3.62)7\ = С11е1 + С12е2 + G6G С 注=B《Ji, n=°22®2 + a2s + C26G
(3.62)
(3.62)
S — Ge% + C^% + C66G
где для компонент деформации в случае осесимметричной задачи из (1.1.6) имеем、где для компонент деформации в случае осесимметричной задачи из (1.1.6) имеем、WW% =前，% =方，% =前，% =方，dvdv(3.63)(3.63)
где для компонент деформации в случае осесимметричной задачи из (1.1.6) имеем、
где для компонент деформации в случае осесимметричной задачи из (1.1.6) имеем、
W
W
% =前，% =方，
% =前，% =方，
dv
dv
(3.63)
(3.63)
Коэффициенты Bik определяются по известным представлениям (3.57). Для коэффициентов В；к、входящих в (3.57), в случае ортотропного материала имеем
(3.64)(3.64)耳1 = 1 一工2，'以=1 - ："2，% = 了% = *纥2, % = G12， 现=0，% = 0.
(3.64)
(3.64)
В силу (3.62) и (3.63) уравнения движения (3.61) в перемещениях представятся следующим образом:
DD1 п dw
当1痛十当6痛+耳6127r = Р石，
D d2a/и 1 du? @2。
(3.65)(3.65)06前十空6前十方"26右 =Р雁，
(3.65)
(3.65)
К уравнениям (3.65) условия, которые имеютК уравнениям (3.65) условия, которые имеютприпри/=0/=0присоединим начальные и вид:присоединим начальные и вид:граничныеграничныеприприа=0а=0приприа=8а=8иЭииЭи=О,=О,и = О,,患",и = О,,患",“ = о, I 也一0・i dt —и, I“ = о, I 也一0・i dt —и, I(3.66)(3.66)(3.67)(3.67)d觇 dtd觇 dte，警=3且e，警=3且
К уравнениям (3.65) условия, которые имеют
К уравнениям (3.65) условия, которые имеют
при
при
/=0
/=0
присоединим начальные и вид:
присоединим начальные и вид:
граничные
граничные
при
при
а=0
а=0
при
при
а=8
а=8
и
Эи
и
Эи
=О,
=О,
и = О,
,患",
и = О,
,患",
“ = о, I 也一0・i dt —и, I
“ = о, I 也一0・i dt —и, I
(3.66)
(3.66)
(3.67)
(3.67)
d觇 dt
d觇 dt
e，警=3且
e，警=3且
может бытьможет бытьСистема уравнении (3.65) вблизи фронтов волн
может быть
может быть
решена лучевым методом. Согласно этому методу решение системы
ищем в виде
(3.68)(3.68)(3.69)(3.69)仁2外但)止半^+皿
(3.68)
(3.68)
(3.69)
(3.69)
Я=1
仁兔(а)"Ч曾， ”=1
где (при а》0)
j 0 при £<с(а),]
"а"+—L —т(а) щш «>т(а),)
причем т(а)=力 является уравнением фронта волны.
Подставляя (3.68) в систему уравнений (3.65) и приравнивая коэффициенты при [Z— т (а)]~г, получим следующую алгебраическую систему уравнений относительно искомых функций /р 屮1И Ф1：
(3.70)(3.70)(% — рн)/1 + /б% = °，]51бА + (5бб — Р^2) ?i = °> 屮1 = °，J
(3.70)
(3.70)
где V=da/dt —— скорость распространения фронта волны.
Из условия разрешимости однородной системы (3.70) для двух скоростей распространения фронтов волн получим следующие выражения:
叱=* [% + % + V画1 一 %)2 + 43浦,
； (3.71)
嗯=岩[%+ /6 - V(% 一统6产+ 4铝J J и соответствующие им два фронта волн:
т⑴(a) = £ = ^+q, т⑵(а) = £ =宕+(：2.(3.72)
Теперь, на фронте волны полагая / (а)=const, что находится в соответствии с данными задачи, согласно (3.70) имеем
/f)= const,限=「吟2%3也 强"=° (Z=l，2)， (3.73)
Рассматривая формулы (3.71), замечаем, что в общем случае анизотропии обе скорости распространения фронтов волн зависят как от упругих характеристик растяжения (сжатия) и сдвига, так и от упругих констант взаимного влияния. В частном случае
ортотропной оболочки (В16=В26=О) картина существенно изме* няется и для скоростей 會力 получим
哈=牛，吟=子，(3.74)
т. е. скорости распространения фронтов волн зависят лишь от соответствующих упругих постоянных, характеризующих данный вид деформации.
Приравнивая коэффициенты при последующих степенях величины [t——т (а) ]+, и учитывая (3.73), найдем
搜=const,限=轡*66修，
屮尹=鳥［%2挣）+邑6叫，（=1,2）,
厚=const,限=p齊二凤6网般_ 5/匕研, 屮屮=号汇1^1^ +丛肝州0=1，2）,
及=const,中户=p 1TL66 ［/友）一靑%匕屮黑］, 屮户=备［丐2%2 +丛产寓］一备邑2屮戏
(3.75)(3.76)(3.77)(3.75)(3.76)(3.77)(n=4, 5, 6, . . .; X=l, 2).
(3.75)
(3.76)
(3.77)
(3.75)
(3.76)
(3.77)
82W=1 »=182W=1 »=1[-⑺⑷悔 а[-⑺⑷悔 аa> 2■и=у»戶W=1 1=1a> 2■и=у»戶W=1 1=1"-t⑺(a)l*"-t⑺(a)l*-1- sRt,-1- sRt,(3.78)(3.78)co 2Я==1 *=1co 2Я==1 *=1〔方一t⑴（a）］$n I〔方一t⑴（a）］$n IТаким образом, поскольку имеем две волны, а для коэффициентов 平Q), “£)— представления (3.73), (3.75)—(3.77), то взамен (3.68) введем
82
W=1 »=1
82
W=1 »=1
[-⑺⑷悔 а
[-⑺⑷悔 а
a> 2■
и=у»戶W=1 1=1
a> 2■
и=у»戶W=1 1=1
"-t⑺(a)l*
"-t⑺(a)l*
-1- sRt,
-1- sRt,
(3.78)
(3.78)
co 2
Я==1 *=1
co 2
Я==1 *=1
〔方一t⑴（a）］$n I
〔方一t⑴（a）］$n I
a】C十<oHa】C十<oHУдовлетворяя граничным условиям (3.67) и учитывая (3.71), (3.72), получим для /*)следующие формулы:
a】C十<oH
a】C十<oH
兴1） 一 a2c 十 sA /（2） 一 厶一出一, 八一
(3.79)(3.79)*）=0,修=0,
(3.79)
(3.79)
展=展=мй + ад#1!мй + ад#1!-看）=一/俨,-看）=一/俨,
展=
展=
мй + ад#1!
мй + ад#1!
-看）=一/俨,
-看）=一/俨,
где введены обозначения:
〃 一 В]67 — — _£ /б 匕
—_ Е 而_&б •
Напомним, что здесь и в дальнейшем индексы Х=1, 2 указывают величины, относящиеся соответственно к первому и ко второму фронтам волн.
Имея значения //), с помощью формул (3.62), (3.63), (3.68), (3.73)—(3.79) можно определить все расчетные величины вблизи фронтов волн. В частности, для напряжений на фронтах волн, В силу формул % = 7I/五，03=72/瓦 %6 = S/瓦 получим
噌="(%+〃2%)哈F，
*)=*(%+。风)
。伊=击(% +他%(3.8。) 囁)=/(约6 + а/бб)**,
嘴=*(& + 〃风)時*.
Рассматривая (3.68), (3.71)——(3.80), замечаем, что в общем случае анизотропии при отсутствии вращения оболочки, т. е. при о)=0, тангенциальное перемещение и и касательное напряжение 七呻 отличны от нуля.
Таким образом, с помощью приведенных выше формул нетрудно определить напряженно-деформированное состояние у фронтов волн рассматриваемой анизотропной оболочки.
Однако определенный интерес представляет напряженно-деформированное состояние оболочки за фронтами распространения волн.
Для решения этой задачи воспользуемся методом операционного исчисления. Подвергая систему дифференциальных уравнений (3.65) преобразованию Лапласа и учитывая (3.66), получим &舞霖+鬟黑=吗
九黑+ % 需— PP2J +讐芻PH”， (3.81) %黑+ %黑+譬位+р"稀=°・
Исключая из системы (3.81) й\ будем иметь &空■-РР2〃+%^ = РС, %2_.(3,82)
где введены следующие обозначения:
% = Вц— б??；】；五2р,，
&2 = % — в；；；爲Р? • '(3.83).
О2
% ="6 — /2 +徧經»
Необходимые здесь корни характеристического уравнения системы (3.82) будут
勺 2 = -p ^ 瓦 + 瓦2 土 "(% 一 瓦2)2 + 4毋2丁%.(3.84)
Остальные два корня нас не интересуют, так как соответствующие им решения в бесконечности не отвечают требованиям поставленной механической задачи.
Преобразованные граничные условия (3. 67) запишутся в виде:
при н = 0й = 0,г = 0;(3.85)
при н=8й =—声&г = —mR.(3.86)
(3.87)(3.88)(3.89)(3.87)(3.88)(3.89)Решение системы (3.82), удовлетворяющее граничным условиям (3.85) и (3.86), имеет вид с Й = /住勺** + X2efr3« 一.—,
(3.87)
(3.88)
(3.89)
(3.87)
(3.88)
(3.89)
。=^a^ +入乩或鸡+察， где
d 1 入 2c + 包кл 1 入 jC + 10H
X —瓦2屛入—瓦2够
PP?—方22储，2 PP? — ^22^2 *
Далее, из третьего уравнения системы (3.81) для 仞 имеем
0 = - ^^ 网票 + % 黑).(3.9。)
Имея значения и, г,毎,с помощью приведенных выше формул можно определить изображения напряжений %, з伊 詳旷 По фор-
мулам обращения можно, хотя бы формально, определить оригинал искомой функции. Например, для оа имеем
。『嘉 工春网+人m) ^Й^у。+
+ (& + %姑)%:士不 k^e^dt. (3.91)
Интеграл, входящий в (3.91), а также интегралы, входящие в другие формулы оригиналов искомых величин, невозможно вы* числить в замкнутой форме, поэтому следует пользоваться чис* ленными или какими-либо приближенными методами.
Не вдаваясь в подробности, рассмотрим в качестве примера оболочку, изготовленную из стеклопластика СВАМ-ИММ со сле~ дующими упругими характеристиками в главных направлениях упругости:
吊=34.10《кГ/с^.司=8,86・10‘ кГ7с*
G12=2,95* 104 кГ7см”,、=0,3, v2=0,078.
Для различных значений угла 屮,т. е. ориентации ортотропного материала в теле оболочки, определим значения безразмерных скоростей распространения фронтов волн и безразмерных напряжений на них.
В таблице 8 приведены значения 匕,вычисленные по формулам (3. 71) и разделенные на ^р-^^ = 4,33 • 105 см/сек.
Т а б л и ц а 8
屮
0°
30°
60°
90°
150°
180°
%仲） 卩2 id
1,00 0,291
(),883 0,348
0,592 0,424
0,511 0,291
0,883 0,348
1,00 0,291
В таблице 9 приведены значения напряжений, вычисленные по формулам (3.80) и разделенные на 吧)(0) = —С 山3；卩 для различных значений угла 屮 и отношений скоростей
С・
Как видно из таблиц 8 и 9, значения скоростей распространения фронтов волн и напряжений на них существенно зависят от ориентации главных направлений упругости материала оболочки в теле оболочки. При определенных условиях изменением угла <р
Таблица 9
7
0°
30°
60°
90°
150°
1
1,00
1,060
0,691
0,511
0,413
0Р仲)/。中(0)
0
1,00
0,739
0,424
0,511
0,739
—1
1,00
0,413
0,157
0,511
1,060
1
0,078
0,349
0,738
0,136
*)⑺/*)(0)
0
0,078
0,242
0,453
0,242
-1
0,078
0,136
0,167
0,349
嘲(** (0)
1
0,00
—0,470
-0,436
0,182
0
0,00
-0,326
—0,267
0,326
—1
0,00
—0,182
—0,099
0,470
1
0,00
—0,072
-0,071
0,185
0产(叫吗D (0)
0
0,00
0,057
0,120
0,057
—1
0,00
0,185
0,311
-0,072
1
0,00
—0,028
0,065
0,071
喈)的)/嘎)(0)
0
0,00
0,022
—0,110
0,022
-1
0,00
0,071
—0,284
—0,028
1
—0,291
—0,163
—0,112
-0,291
—0,420
嘴)(Y)/吧＞ (0)
0
0,00
0,128
0,191
-0,128
-1
0,291
0,420
0,494
0,291
0,163
(т. е. изменением ориентации материала) можно найти наиболее оптимальные условия работы оболочки, претерпевающей комбинированный удар.
§ 4. Некоторые вопросы устойчивости анизотропнойслоистой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа
Рассматриваются задачи устойчивости анизотропных слоистых оболочек, обтекаемых с одной стороны сверхзвуковым потоком газа, направленным вдоль координатных линий а=const с невозмущенной скоростью U, Предполагается, что давление газа р на обтекаемую поверхность пологой оболочки может быть вычислено при помощи приближенной формулы поршневой теории p = 户， (б
где 「8 — давление невозмущенного потока газа, и ——нормальная составляющая скорости обтекаемой поверхности оболочки, 〃8 — скорость звука в невозмущенном газе, х — показатель политропы.
Нормальная нагрузка Z (а, р, /), которой должна быть заменена нормальная компонента внешней поверхностной нагрузки
оболочки Z, входящая в исходную систему разрешающих уравнений, складывается из силы инерции, силы демпфирования и аэродинамического давления и представляется следующим обт разом:
Z(a, р, .) = —р〃 黑 _2Ме 器—舞缁+U 黑)，(4.2)
где р — плотность материала, е — коэффициент затухания.
Последний член формулы (4.2) представляет избыточное давление газа, полученное путем разложения в ряд двучлена, входящего в формулу (4.1). При этом принято также, что
VVdw I Г7 dw ~dt十U市，dw I Г7 dw ~dt十U市，(4.3)(4.3)
V
V
dw I Г7 dw ~dt十U市，
dw I Г7 dw ~dt十U市，
(4.3)
(4.3)
путем замены грузовопутем замены грузово
путем замены грузово
путем замены грузово
Наконец, укажем, что приближенное выражение избыточного давления, входящее в формулу (4.2), при малых возмущениях потока,叮 <С 1 (p=u/U), с достаточно высокой точностью может быть использовано при М2 货 1 (М — число Маха).
Таким образом, при больших значениях сверхзвукового обтекания пологих оболочек исходные уравнения устойчивости,
с достаточно высокой точностью, можно получить из разре
шающих уравнений статики оболочки
го члена Z (а,卩)новым представлением Z(a, % /) по формуле (4.2).
Рассмотрим некоторые задачи.
Устойчивость анизотропной круговой цилиндрической оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку бесконечной длины, обтекаемую сверхзвуковым потоком газа с невозмущенной скоростью U, направленной вдоль образующих оболочки, т. е. по координатным линиям а (рис. 73).
Систему координат выбираем так, что
4 = 1, В = 1, R^ = со, R2 — Я.
Считаем, что оболочка изготовлена из ортотропного материала, два главных направления упругости которого в каждой точке оболочки составляют с координатными линиями а и 卩 произвольный угол 屮.В силу этого упругие постоянные Bik будут представляться с помощью формул (3.57).
Пренебрегая тангенциальными составляющими сил инерции и силами инерции, происходящими от поворота и искажения нор-
мального элемента оболочки, согласно (1.3.27), (1.3.26) и (4.2) Получим следующее исходное дифференциальное уравнение Поставленной задачи:
卜 2 (012 + 2066)詬 2 武2 + 4% 加弟§ -
+ 022 磊][42 言_24* "^ + 2 依66 + 24" ^?
- 2416 指— 41誥]①+ 卡黎+ (倣篇+ 2浊e* +
+ 言*+ 警 0书!?22爲 一246 為■ +
(4.4)(4.4)+ 2 (Лвв + 24") 2a2a22 - 246 诳渺 +41 备]①=0,
(4.4)
(4.4)
где для D® А.к имеем (3.46), (3.47).
Решение уравнения (4. 4) ищем в виде волн, распространяющихся на поверхности оболочки:
①(а, % /)=①(/(3萨)，(4.5)
Где Фо — некоторая комплексная постоянная, со ——частота колебаний оболочки, к= тг/Х —— волновое число,入 一 длина полуволны В направлении образующих оболочки, п — целое число волн йо окружности поперечного сечения оболочки.
Подставляя значение Ф (а, 0, %) из (4.5) в исходное уравнение (4.4), придем к следующему характеристическому уравнению:
гдегде(4.7)(4.7)со2 — jo)(2е -|- [1) — 22 (A, п) -|- ik^U = 0,(4.6)
где
где
(4.7)
(4.7)
Р = хРсо/рЛвсо.
а для квадрата частоты собственных поперечных колебаний оболочки Q2 имеем
(4.8)
при этом
< =，卅 + 4。庐齐 + 2(% + 2%) &嘴 +
+ 4D26k 蚩 + % 左, a】=42期一 24#六+(4部+24 ]J胪聂-
Из (4.5) видно, что характер движения оболочки может быть установлен согласно частоте колебания <о, которая при любых заданных значениях кип может быть определена из (4.6).
Если мнимая часть частоты колебания (о положительна (Im со > 0), то невозмущенное движение устойчиво по отношению к малым возмущениям. Если же мнимая часть частоты колебания (о отрицательна (Im (о < 0), то движение оболочки неустойчиво.
Таким образом, из условия Im со ^ 0 получим для скоростей невозмущенного потока газа, при которых невозмущенное движение оболочки устойчиво, неравенство
и《К+^)， (4.10)
где второй член представляет конструктивное демпфирование, a P=R/“ является фазовой скоростью распространения упругих волн в оболочке и имеет вид
p2 =总售+靑总• (4/1)
Из неравенства (4. 10) для критической скорости (условие Im(о=О) получим
и*=р(1+^). (4.12)
Как было указано выше, коэффициенты упругости Bik определяются из (3.57), отсюда, согласно (3.46) и (3.47), следует, что величины Aik и Dik зависят от ориентации материала оболочки в теле оболочки, т. е. от угла 屮.В силу этого из (4.9)—(4.12) легко заметить, что критическая скорость невозмущенного потока существенным образом зависит от ориентации материала оболочки в теле оболочки.
Очевидно, наибольший интерес представляют те значения аргументов Лип, вблизи которых критическая скорость U* принимает минимальное значение.
В частности, например, если имеет место симметричная форма потери устойчивости, то тг—0 и критическая скорость принимает минимальное значение при
m = kR = 7RlV耳& (4.13)
В этом случае для скорости получим
忆■ = ]/ 翼 /缴 1 • (4.14)
Если же устойчивость теряется по несимметричной форме, то, учитывая, что 九？ мало по сравнению тп2 (это подтверждается вычислениями), членами порядка T^D^/rr^D^ п^А^/т^А^ можно
26 С. А. Амбарцумян
пренебречь. Тогда критическая скорость принимает минимальное значение вблизи тех значений тип, которые удовлетворяют уравнению।
(Z>ii?n + 22?16тг) (Л22тп2— 2А^тп)2 — ¥ (Л22т — Л26?г) = 0,(4.15)
7z~-1，2, 3, , . ♦
В этом случае для критической скорости получим следующую приближенную формулу:
u気 ^詣 U 2" + 4%з + /新2产2厶6^ • (4，16)
Таким образом, поставленная задача решена. Мы нашли формулы для определения критической скорости в зависимости от механических характеристик (включая и ориентацию) рассматриваемой оболочки.
Для иллюстрации рассмотрим оболочку, для которой 无= =0,017?, £—0.
Считаем, что оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме, т. е. имеем тг=О.
Рассматриваются четыре случая комбинаций упругих постоянных:
рости в зависимости от угла р Результаты подсчета U^n \J^h/2RE помещены в таблице 10.
Таблица 10
屮
Случаи
I
II
Ш
IV
0°
1,151
1,151
13,506
13,506
30°
1,i00
1,114
12,261
10,545
45°
1,094
1,094
11,185
11,185
60°
1,114
1,100
10,545
12,261
90°
1,151
1,151
13,506
13,506
Для наглядности результаты подсчета критической скорости в двух последних случаях (случаи III и IV) приводятся и графически (рис. 74).
На основании рассмотренных примеров заключаем, что при осесимметричной форме потери устойчивости максимальные зна
чениячения1,2,3,.1,2,3,.
чения
чения
1,2,3,.
1,2,3,.
а, В (4=1, 5 = 1, T?i = 8, 35 и 36).а, В (4=1, 5 = 1, T?i = 8, 35 и 36).
а, В (4=1, 5 = 1, T?i = 8, 35 и 36).
а, В (4=1, 5 = 1, T?i = 8, 35 и 36).
т. е. когда главные направления упругости материала оболочки совпадают с главными геометрическими направлениями оболочки.
Минимальные значения критической скорости при Е[ < Е[ достигаются вблизи углов s不 V 屮] V s冗+冗/4 и 3h/44-sh < V 屮2 V(s+D冗(s=°， 1， 2, . . .), a при E；>E； — вблизи sk+ к/4< 屮 1 < <S冗+冗/2 и s冗+m/2 V中2Vsh+ 3冗/4 (s = 0, 1, 2,...).
Устойчивость анизотропной слоистой круговой цилиндрической оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку бесконечной длины и постоянной толщины 瓦 собранную из произвольного числа однородных анизотропных слоев. Принимается, что координатная поверхность 丁=0 совпадает с внутренней граничной поверхностью оболочки, которая представляется ортогональными координатами &=7?) (рис. 73, 75, а также рис.
Предполагается, что в каждой точке каждого слоя имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная координатной поверхности 丁=0.
Пусть оболочка обтекается сверхзвуковым потоком сжимаемого газа с невозмущенной скоростью U, направленной вдоль образующих оболочки. Для получения исходных уравнений задачи в уравнениях статики оболочки (1.13.13) заменим грузовые члены, согласно (1.3), (1.5), (1.6) и (4.2), выражениями
(417)(417)х —+
(417)
(417)
Z = -С哥-2Q崂一/默m+患)+
I П / f^w , 02少、 xpco dw xpoo 工丁 dw十 P衣(被十存丿一-一 1^ u 石，
а для приведенных плотностей (при А=0) имеем:
(4.18)(4.18)/=} £ р ,（婷一堂】）=金£ %営一學】）， e=lS=1
(4.18)
(4.18)
"Н
4 Т £ % （弟-斗】）Т £ z（J3）
S=13=1
(ре — плотность материала t-го слоя, 丫嚣一удельный вес материала г-го слоя, g —— ускорение силы тяжести, п —— число слоев).
Произведя соответствующие преобразования, получим следующую исходную систему дифференциальных уравнений поставленной задачи：
J (С) и + 厶 12 (С” + L13(CK) w-C^ + K^=0,
(4.19)(4.19)仆(С) “ + 恥(С)。+ L^CK) w-Ct^Kf-^ = 0, 4з (СК)« + 厶23 (СК) и + L^CKD)。+ Q 詳 +
(4.19)
(4.19)
十 “P 力十 KpdaM 十/dp 近 24da2dt 2
—〃P疥苏十 ^TF十工Г u ^ = 5
где линейные операторы Lik имеют вид:
厶1 (С) = %系+ 24盡+ %薪
乙22 (e) =e66 為 + 2c26 為 +e22 蓑,
乙 12 (e) = C!_6 备+ (^12 + ^66)^^ +e2e 詣，
厶 13 (CK)=万(% 丽 + e26 被)一& 1 da§
-3&6 5^ 一阳2 + 2&6)J^ 一区26 M
厶23 GM = ^ (e22 ^ + ^26 石-r厶23 GM = ^ (e22 ^ + ^26 石-r一 3^^一 3^^@322郦澗@322郦澗用2 da用2 da" (CK0)=鼻 ％ 一煮(匕 2 爲 + 2/6" (CK0)=鼻 ％ 一煮(匕 2 爲 + 2/6-d+KQ忐一匕盡 总+-d+KQ忐一匕盡 总+
厶23 GM = ^ (e22 ^ + ^26 石-r
厶23 GM = ^ (e22 ^ + ^26 石-r
一 3^^
一 3^^
@3
22郦澗
@3
22郦澗
用2 da
用2 da
" (CK0)=鼻 ％ 一煮(匕 2 爲 + 2/6
" (CK0)=鼻 ％ 一煮(匕 2 爲 + 2/6
-d+KQ忐一匕盡 总+
-d+KQ忐一匕盡 总+
+女22专)+ % 為 + 4% 譌 + 4% 鳥 +
+ 2 (°12 + 2066)5^^2 + °22 裁♦
Решение системы (4.19) ищем в виде
(4.20>(4.20>" (a, Р，力)=炉f ' 4f (a, p, t) = i/2e ' 7,w (a, p, t) = /3e ' 厶
(4.20>
(4.20>
где 九一некоторые комплексные коэффициенты, о)— частота колебаний,左=冗/入 ——волновое число,入 ——длина полуволны в направлении образующих оболочки, п — целое число волн по окружности поперечного сечения оболочки.
Подставляя значения u, ь, w из (4.20) в уравнения (4.19),. придем к следующей системе алгебраических уравнений:
з
2 1爲一"川 +(2es + 产(3 - M)]叫人=0
(j = l, 2,3), (4.21)
в которой введены следующие обозначения:
bn = С^т2 + 2C1Qmn + С66п2,
"2 =b2丄=e16疗 + (С鹿 +e66)^也 +e26*
力22 = C66W2 + 2c28mzi + C122Al4
*13 = % = С12т + С2вп + д 寓皿3 + ЗК16т2п 4
(422)(422)+ (К】2 + 2Хбб) тп^ + К^,
(422)
(422)
"23 =b32 -C22孔+ e^?n +互[r22峻+ 3k26m峻+
+阳2 + 2/6)戍拒+匕6则，
43 =仇2 +瓦阳2戍+ 2K2Gmn +r22喲+
+紘【21加+ 4%^% + 2 (% + 20加m2犷+
+ W^mn3 + А?峻I，
"]I l，22]，"]2a31 = ais = 丁互"，"]I l，22]，"]2a31 = ais = 丁互"，*8*8。8県。8県/0 0 0、m = kR,弓比=0 0 0卜\0 0 1 丿/0 0 0、m = kR,弓比=0 0 0卜\0 0 1 丿M +汽2 ~Д2~M +汽2 ~Д2~=a21 == 0,a331=a21 == 0,a331(4.23)(4.23)(£24)(£24)
"]I l，22]，"]2
a31 = ais = 丁互"，
"]I l，22]，"]2
a31 = ais = 丁互"，
*8
*8
。8県
。8県
/0 0 0、
m = kR,弓比=0 0 0卜
\0 0 1 丿
/0 0 0、
m = kR,弓比=0 0 0卜
\0 0 1 丿
M +汽2 ~Д2~
M +汽2 ~Д2~
=a21 == 0,a331
=a21 == 0,a331
(4.23)
(4.23)
(£24)
(£24)
Из системы алгебраических уравнений (4,21) легко определить критическую скорость U*.
Система (2.2) имеет отличные от нуля решения только в том случае, если равен нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы. Приравнивая нулю указанный определитель, получим необходимое уравнение для определения критической скорости:
読一%•№ + i [(28 + 仙一V0以=0.(4.25)
Невозмущенная форма равновесия оболочки устойчива, пока все значения о)лежат в левой полуплоскости комплексного переменного. Наименьшее значение U, при котором один из показателей о)переходит на правую полуплоскость, оставаясь при этом комплексным, является критической скоростью.
Если частота собственных поперечных колебаний оболочки мала по сравнению с частотой собственных колебаний в поверх-
ности 丫=0, то тангенциальными составляющими сил инерции можно пренебречь. В этом случае уравнение (4.25) принимает вид
d—心(2e + Q4 —，(zn, n) + i^AU = 0,(4.26)
где Q2 — квадрат частоты собственных поперечных колебаний оболочки в вакууме — имеет вид
02— ]力3』13 + Ьзз』зз —办23<23/Д 97、
а для коэффициента Л имеем
а13-^13 + °23力23 + °33』33 *
Здесь Лу3 ——миноры второго порядка детерминанта (4.25),
Для любых заданных значений тп и п из (4.26) можно определить значение соответствующей частоты ①.Если ее мнимая часть положительна, то невозмущенное движение устойчиво по отношению к малым возмущениям. Наличие частот с отрицательной мнимой частью означает неустойчивость оболочки. Условия отсутствия корней уравнения (4.26) с отрицательными мнимыми частями могут быть представлены в-форме, аналогичной известным условиям Рауса—Гурвица. Поступая обычным образом, получим из зтих условий для критической скорости следующие выражения:
^=Г(т, «)(1+^),(4.29)
где V (тп, n) = ~Q (m, п)——фазовая скорость распространения упругих волн в оболочке.
Наибольший интерес представляют те значения аргументов т и и, вблизи которых критическая скорость принимает минимальное значение. Эти значения могут быть определены из следующей системы нелинейных алгебраических уравнений:
学=°,产"dmon学=°,产"dmon(4.30)(4.30)
学=°,产"
dmon
学=°,产"
dmon
(4.30)
(4.30)
В общем случае система (4.30) может быть решена численным методом. Для получения результатов в замкнутой форме рассмотрим случай, когда влиянием инерционных членов, возникающих вследствие несимметричного строения оболочки, можно пренебречь. Тогда, если имеет место симметричная форма потери устойчивости, то м=0, а критическая скорость принимает минимальное значение при 疗二儿/人 и равняется
и%п =今匕12+ 2 囱4 (1 +^),(4.31}
где для коэффициентов А. имеем
& = С22 -[■& = С22 -[■2c12&好 26 一 m2。66 - C"C齡2c12&好 26 一 m2。66 - C"C齡C^Cqq — CIqC^Cqq — CIq
& = С22 -[■
& = С22 -[■
2c12&好 26 一 m2。66 - C"C齡
2c12&好 26 一 m2。66 - C"C齡
C^Cqq — CIq
C^Cqq — CIq
(4.32)(4.32)4 一 2K12 」 2 (e12C66 - C16c26)及11
(4.32)
(4.32)
~К(6£бб — С%)，
/ _ Ai I 2r]佟]6(7]8 -R?1R6 - к?6cli
= ^^r2(0心66 一 臂6)
Рассматривая формулы (4.31), (4.32), замечаем, что минимальное значение критической скорости, а также величина параметра т (следовательно, и длина полуволны в направлении образующих) существенным образом зависят от механических характеристик оболочки и согласно (3.57) являются периодическими функциями углов ориентации 屮.каждого слоя в теле оболочки.
Рис. 76.Рис. 76.
Рис. 76.
Рис. 76.
Рассмотрим двухслойную оболочку, слои которой имеют одинаковые толщины, изготовлены из одинакового ортотропного материала, но различно ориентированы по отношению к главным геометрическим направлениям (а, В) оболочки. Пусть ориентация первого слоя характеризуется углом % а второго слоя — углом屮2・
На рис. 76 приведена картина изменения минимальной критической скорости потока газа в зависимости от углов ориентации 屮 1 и ф2.
Из рисунка видно, что при заданном материале слоев и при заданной геометрии оболочки (^, Я), варьируя углами ориентации материала слоев оболочки, можно значительно расширить область устойчивости оболочки.
Устойчивость гибкой ортотропной оболочки, обтекаемой
сверхзвуковым потоком газа, сРассмотрим шарнирно опертуюсверхзвуковым потоком газа, сРассмотрим шарнирно опертуюучетом поперечных сдвигов, по всему контуру, гибкую.
сверхзвуковым потоком газа, с
Рассмотрим шарнирно опертую
сверхзвуковым потоком газа, с
Рассмотрим шарнирно опертую
весьма пологую ортотропную оболочку, которая обтекается сверхзвуковым потоком газа с невозмущенной скоростью направленной вдоль оси 0% (рис. 77). Систему координат в срединной поверхности оболочки выбираем так, что Л = 1, 3=1.
В выбранной системе ко-Рис. 77.
ординат согласно (1.5.46),
(4.1) и (4.2) получим следующую исходную систему:
e"办尸丄/ 1 2cm上二丄包竺丄 京晒十(家一百丿汲2d©十Q d俨十
7 d2tp I 7 d2W .尹山 @2”/ d2W \2
+闻参十厶2 ^ +石^够一质确) =U,
15 (石十用丿十修而十他肅十而"帝~
今 d2m 力2尸 02” d2方, ^W
(4.33)(4.33)-№8[m騎 + 宇淤职 了+...]=。，
(4.33)
(4.33)
% 謂 +(% + 2%) 5^7 —齧 & (% 需+
+ "6 幫 + % (% + ^ев)読]+^ 中=。'
。22 窜 + (% + 2%) ^^ — Й) 3* (% 修 +
+ % У) +。55 (% + %) dTdp]+jf 屮=。・
Здесь наряду с принятыми выше обозначениями считается также, что 仍=4十明 где w^=Wq (a, Q) — уравнение недеформированной срединной поверхности оболочки, M=U/a^ — число Маха для невозмущенного потока.
Граничные условия шарнирного опирания запишутся так: при а ~ 0, а = а
ш = О, S = 0,厶=0,屮=0, Mj = O；(4.34)
при 卩=0,卩=6
zp = О, S =0,厶=。，屮=0, Mg = 0.(4.35)
условия, образом:условия, образом:(4.36)(4.36)(4.37)(4.37)Напомним, что Ti и Mv входящие в граничные через искомые функции представляются следующим
условия, образом:
условия, образом:
(4.36)
(4.36)
(4.37)
(4.37)
1 =炉，丄2-姦，0 = —^7^»
必=—011 第一% 图 + ^ (a55% 2 +。4也2 ^)>
丿丿必=-022馨-% 噥+ ^ 但心22筑+仰5% ^).
丿
丿
(ради(ради(4.38)(4.38)Для функций, характеризующих поперечные сдвиги компактности записи), введем обозначения:
(ради
(ради
(4.38)
(4.38)
①丄(％ & /) = В^ (а, А 0 = ^55?» 1
①2 (% 。，力)=8й屮(a, В，方)=a44屮.j
Решение системы (4.33) приближенно будем искать в виде
^ (% Р，力)=工 W fik (0 sin %а sin 也g,
(4.39)(4.39)(4.40)(4.40)① 1 (а，В，力)=N 工 P,“ G) cos 4a sin 也卩, «=1 А?=1 ■
(4.39)
(4.39)
(4.40)
(4.40)
ф2 佃，Р，力)=£ £ Q) sin 入产 cos 氏Р，4=1 №=1
e论式
7J 也=Т，
где а и h ——размеры оболочки в срединной поверхности (рис. 77).
В (4.39) функции 力々(Е), “比(%) и 凡當⑴ подлежат определению.
Рассматривая (4.39) и граничные условия (4.34) и (4.35), замечаем, что некоторые из них удовлетворены. Подставляя (4.39) в первое уравнение системы (4.33), найдем функцию .(а, р,力),удовлетворяющую остальным граничным условиям.
Затем, подставляя значения w, Ф1Т Ф2 с учетом (4.38) в последние два уравнения системы (4.33), получим алгебраическую систему относительно pik (/) и Rik 〃)・ Решая эту систему и используя (4.39), найдем ①^ и Ф2, представленные через 力加⑴.
Теперь остается неопределенной функция времени 力比(力). Для определения fik (方)воспользуемся вторым уравнением системы (4.33). Решая это уравнение методом Бубнова—Галеркина, найдем следующую систему уравнений:
^ + 2s ^ + ^tik + 4rik (/„, .. „ /ят, М) = 0 (4.41) (/ = 1, 2, 3, ..., и; к = 1, 2, 3, . •тп),
где, как и раньше, 3$论 ——частота собственных колебаний оболочки^ 中來 ——некие нелинейные функции.
Таким образом, поставленная задача свелась к исследованию- системы уравнений (4.41). Ради конкретности последующих рассуждений и для упрощения записи в дальнейшем ограничимся двухчленной аппроксимацией (см. (4.39)) и будем рассматривать лишь круговую цилиндрическую оболочку (自=0, &=7?т, 口= &, 8zz?o/da=O)・
Введем в рассмотрение безразмерные функции прогиба 勺= =/п/瓦 ％2=/i2/历 н безразмерное время т= ^^ Тогда система (4.41) примет вид
袋+ X需+ / +论"一^£2 + m%用+ %磅+
+ 了力(В1 / +。12*)]+ 發1 (Yll^l + T12啕 +
+ г (心岡+ 3) = 0,
dK + X d； + T% + 论卩[з % + Va21X1x2 +
+ H/偉2財+限够)]+"2 (Т21*+ Т22啕+吟用出=0>
(442)
где введены следующие обозначения:
呑一丝也 门一九—1
吸浊2， "16?碉，pAwJ ,
(4.43)
V = M 匹,% =生，T =發，
(4.44)
%J= 2华中,出2 = ||(* + 1),0：21 = ^(х+1),
b 一 Q —式2 (x + 1)R _ _ 9К2 (乳 + 1)B _ 11 й2 (乳 + 1
Г11 卩2140，卩1270*尸2270
](44》
7u=（Й + £）2，力2 =應+ 备）2，
忆=出=4й+嗯■+*, 2 =仆%一醯,
/8入緝九/ Q"
й _32入轴込/ Q丄12入八
(447)(447)" — 丿，
(447)
(447)
g _8入m込（ 8Q 16M 丄心丄16入；
21=--丽（1^為府+闻工；十工；十工十闻二），
吗=м 惜 в^р-+^ &м 寓 I+备, 3務(4.48)
%=証％ %%匕1 +方当М/+，
p:% = / ｛屮忒+ (% + 2%)闱［»М + Й仇催+统6明一
一瑞(生2 +瓦6)［4解+ (% + 2%)阳国， 电产券｛［%低+ (% + 2%咽儼区5 +备(网曜+统6喲］一 一焉(% + 筑6)WuM + (% + 2%)*懾｝, Q* =協 ％ + 务(31B；+% 喲］猗 ％+鳥 kBi^k + %电］一 一备D(% +瓦6)2"吟
&企方=終可+俄一2筋入冠+争除
Здесь о)】и о)?——частоты первой и второй формы малых собственных колебаний оболочки, V ——приведенный параметр скорости. Соответствующая (4.42) линейная система имеет вид
需+Y第+а -黯也=0，
岩+Y芻+也+舞飞 = 0」(4,49)
Решение этой системы может быть представлено в виде 々=5传3 % =b2&匚(4.50)
Подставляя (4.50) в (4.49) и приравнивая определитель полученной при этом алгебраической системы нулю, получим
М + 亦 +1) б? + 亦 +『)+ ^胪” =о. (4.51)
Из характеристического уравнения (4.51) замечаем, что при малых V все характеристические показатели X лежат в левой полуплоскости комплексного переменного и соответствующие им решения устойчивы по отношению к малым возмущениям. С увеличением V возможны случаи выхода 入 из левой полуплоскости. Минимальное значение 7=7*, при котором два из характеристических показателей становятся чисто мнимыми, а остальные по-прежнему лежат в левой полуплоскости, является критическим, т. е. представляет критическую скорость потока газа
§ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА 413 для выбранной формы потери устойчивости оболочки и имеет следующий вид:
广2 •(252)
Формула (4.52) имеет обычный вид формулы критической скорости панельного флаттера, однако по содержанию она несколько отличается от обычной, ибо учитывает влияние поперечных сдвигов на критическую скорость.
В § 1 настоящей главы мы установили, что учет поперечных сдвигов в анизотропных оболочках может привести к существенному снижению величины частот свободных колебаний оболочки. Если это так, то, согласно представлениям (4.43)—(4.48), мы можем утверждать, что при учете поперечных сдвигов критическая скорость панельного флаттера, определенная по формуле (4.52), становится меньше критической скорости, найденной без учета поперечных сдвигов. При этом, чем больше отношения 九/о, B《JB&&, 笈冰/855，тем больше разница между этими скоростями.
Для определения амплитуды установившихся колебаний флаттера вновь обратимся к системе нелинейных уравнений (4.42). В предположении малости аэродинамической нелинейности система уравнений (4.42) примет вид 弟+ X弟+一舞也+"1 (「同+ 712^2)+
(4.53)(4.53)+Г(西阕+3」2啕=。，
(4.53)
(4.53)
弟 + X祭十d3 + 4力г/ +q工2 (%阕 +%2啕 +
+吗w2 = °，
Решение системы (4.51) ищем в виде
^ = Аг cos От В, х2 = А2 cos От,(4.54)
где 4» Л2, 5 и 6 — постоянные, подлежащие определению.
Если затухание системы достаточно мало, то, как показывают более точные исследования, можно считать, что Л2^—ЛР
Согласно (4.54), решив систему уравнений (4.53) методом Бубнова—Галеркина, для определения Лг получим уравнение: 叫 + r-4力(p一 r)?(3711 + 712)]^-|^(f-广) = 0, (4.55) где
с = у d丫。(3fu + Г?)， Тэ = Y21 + 丫22 — % — T12，
,31(4方6)
。。=不 Wo + T r2 (812 +》u) (2% — %).
Наконец, из （4.55） найдем:
&=i•居力（г一广）（3u+包）0-用土
士击｛［我（г一广）（3g+ "） 0-可+亨次（p-广）｝".（4.57）
Как показывает анализ, учет поперечных сдвигов приводит к увеличению амплитуды колебания флаттера. Характер флат- терных колебаний зависит также от знака 80:
Если В。》。, то, как видно из （4.57）, установившиеся движения возможны при 7^ У*. В этом случае амплитуда установившихся колебаний флаттера, равная нулю на границе области флаттера, постепенно увеличивается при дальнейшем увеличении параметра V,
Если 80 < 0, то установление флаттерных колебаний при U V 广 возможно, когда 2/3 k（V —广）（Зу】+ у12） q —说〉0, а при F ^ F* амплитуда установившихся флаттерных колебаний постепенно увеличивается при дальнейшем увеличении параметра V,
Здесь можно наблюдать следующую картину. Начальное без- моментное состояние оболочки останется устойчивым, пока V < 7*. При V — V* амплитуда флаттерных колебаний скачком возрастает- до конечного значения. С дальнейшим увеличением скорости амплитуда возрастает. При снижении скорости режим колебаний сохраняется вплоть до В = V%, где Ун определяется из уравнения
［巽（殴一г*） （37n + %） q -可+譽（瞰一广）*=0.
При V —Vh произойдет «срыв» амплитуды и вновь восстановится первоначальная форма оболочки.
Таким образом, если Г7% < 卩 < 7*, то невозмущенная форма оболочки, устойчивая по отношению к малым возмущениям, может оказаться неустойчивой по отношению к конечным, хотя и достаточно малым возмущениям.
§ 5. Некоторые задачи динамики анизотропных пологихоболочек, находящихся в переменном температурном поле
Рассматривается ортотропная пологая гибкая оболочка положительной гауссовой кривизны и постоянной толщины 历，находящаяся в переменном температурном поле.
Предполагается, что оболочка отнесена к знакомой триортогональной системе координат % & 丫 так, что срединная поверхность ее совпадает с координатной поверхностью т=0. Считается,
что координатные линии совпадают с главными направлениями упругости, теплопроводности и линейного температурного расширения ортотропного материала оболочки.
Пусть температура оболочки Т=Т (а, % 丫, Z) задана и удовлетворяет как уравнениям г теплопроводности, так и начальному и граничным условиям.
Учитываются изменения физико-механических свойств материала оболочки в зависимости от температуры. Однако считается, что материал оболочки остается упругим.
Поставленная задача решается в классической постановке на уровне теории весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 5 и гл. II, § 13).
Принимая основные предположения теории гибких пологих оболочек, термоупругости анизотропных тел, а также 4=1, 5 = 1, Х=0, У=0, получим следующие исходные уравнения и соотношения задачи:
уравнения движения: .
(5」)(5」)墻+ 2隸+常—卷厶+^（费芻）+
(5」)
(5」)
+融膿h融曬）+备（嗯）=一z+p嚓;
соотношения упругости:
Т^с^ + С12е2 + £产1 + ^12X2 + &7，
?2 = c2产2 + С 丄 2% + 长220 + (2勺 + C2了，
S = Cggto -|- ^ббт> 〃 =。66七 +/б 叫'(5*2)
"1 =刀11乂1 + ^12X2 + К"% + 储 2% + Km
m2 022"2 + °12，I + *2222 + *12^1 + "27,1
~KiT (а, В,t) имеемА/2A/2力/2生川Т，Kq =二 J 3,•打 d» Dfj=]/Y汨Т，—А /2-Л/2-Л/2А/2A/2&= SQ3『KiT =j Q打际.-А/2-Л/2~KiT (а, В,t) имеемА/2A/2力/2生川Т，Kq =二 J 3,•打 d» Dfj=]/Y汨Т，—А /2-Л/2-Л/2А/2A/2&= SQ3『KiT =j Q打际.-А/2-Л/2где для жесткостей &)• = &丁(а, (3, Z), К^ = К^ (а,卩，/),。切= =D.. (а, р, Е) и температурных усилий CiT= С^(а,卩，％), К^ —где для жесткостей &)• = &丁(а, (3, Z), К^ = К^ (а,卩，/),。切= =D.. (а, р, Е) и температурных усилий CiT= С^(а,卩，％), К^ —
~KiT (а, В
,t) имеем
А/2
A/2
力/2
生川Т，Kq =
二 J 3,•打 d» Dfj
=]/Y汨Т，
—А /2
-Л/2
-Л/2
А/2
A/2
&= S
Q3『KiT =
j Q打际
.-А/2
-Л/2
~KiT (а, В
,t) имеем
А/2
A/2
力/2
生川Т，Kq =
二 J 3,•打 d» Dfj
=]/Y汨Т，
—А /2
-Л/2
-Л/2
А/2
A/2
&= S
Q3『KiT =
j Q打际
.-А/2
-Л/2
где для жесткостей &)• = &丁(а, (3, Z), К^ = К^ (а,卩，/),。切= =D.. (а, р, Е) и температурных усилий CiT= С^(а,卩，％), К^ —
где для жесткостей &)• = &丁(а, (3, Z), К^ = К^ (а,卩，/),。切= =D.. (а, р, Е) и температурных усилий CiT= С^(а,卩，％), К^ —
здесьздесьA 一跑_A 一跑_1 - Y1Y21 - Y1Y2—”2—”2Y2石1Y2石1，％，％1 —321 —屮21 —321 —屮2，及6=女=G]2,，及6=女=G]2,（5.4）（5.4）
здесь
здесь
A 一跑_
A 一跑_
1 - Y1Y2
1 - Y1Y2
—”2
—”2
Y2石1
Y2石1
，％
，％
1 —321 —屮2
1 —321 —屮2
，及6=女=G]2,
，及6=女=G]2,
（5.4）
（5.4）
Q《=（邑产]+ 区2a2）T，a。== ^ii^22a；2；
геометрические соотношения:
%=招 + 厶m + ^（^）2,%=招 + 厶m + ^（^）2,
%=招 + 厶m + ^（^）2,
%=招 + 厶m + ^（^）2,
（5.5）（5.5）% =布+修叶2H , x2=一丽，
（5.5）
（5.5）
—da T 80 丁 da— da 弟，j
уравнение неразрывности：,
+~д^~^~д^^^^~\^д^）十苏'紊=U・ e・b）
Исходя из приведенных уравнений и соотношений, получим для определения искомых перемещений и, % w систему нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
厶口 + "и +乙3缈+e1 （"缈）=%F加"^声，
z正 + Z2tt + /3必 +E 3，必）=^^ + 力P 4^~ ,
07）07）5 + £- + （厶5 + 乙）以 + / （以，"）+
07）
07）
+%（叫u）+%（叫妨+ /?3（呼吟=—吟1 — 5^ + （自 67 + &e2才）一 " + P力 ^^ ,
где для линейных 厶口 L. и нелинейных R。瓦 операторов имеем L' = $ （Си £） + 专（％ 备）’ 厶2 = ^（4 #） + 靑（％ 与）' 厶=_糸（% 鳥）一^ （&2篇）+
+ 2 专務5 编）+ ■£■361 + 用CJ
"=為（"и i） + ^国/）+
+ 2（"бе *）—伯Q” + &C12）M '
厶=鳥［—21 急—А?强 + （自Ui + *2^22）］ —
一2 儡"a 譌^）+4? & ^）+
+ "1 ［% 磊 + &2 靑—（自％ + &%）］, "（如,^） = y{-^ ［% 偿y + % （§）2］+2^（4 需黯， 五期（）］=机%吟嗎+盛器諸］+
丄8「个讪0（）丄6讷8（）］
%（吗。）t机（仆罂+需冷泪+
+ ^{3& + &&2）傷）+2以机（自011 + 佝&2）警］} +
+ 2十N冇）+
и, наконец, входящие в （5.7） операторы Li и Ri получаются соответственно из операторов L. и R. заменой в них коэффицмевтов 幺二 В, координат а 二 В и индексов 1 = 2.
Основные уравнения задачи могут быть сформулированы в терминах смешанного метода с помощью функции напряжении ср （а, р, /） и функции перемещений 〃（％ 卩,％）・
Пренебрегая тангенциальными силами инерции и обычным образом вводя функцию напряжений:
из соотношений упругости, с учетом （5.2）, получим для составляющих тангенциальной деформации и моментов следующие выражения:
J = 41 （磊一С1Т）+ Л12 （4J 一 а?） + % 當 + 心2 帶’
7 =/22（需一5）+ 4?（需一甸 + 恥謬 +@霭，（5.9）
.66 dp 166 3ad卩，
27 С. А. Амбарцумян
Mi — ^и+ 6, + % (察 + G，+
+ (0?1 - %)靄 + (然2 - %)龄 + k⑦
(5.10)(5.10)М2 = “22 (^J" + Gt) + &2 (需 + б?) +
(5.10)
(5.10)
+ (然2 -器•+然-壊,
a=一九 吉^ + 2(然6 - %)箫"，
где введены следующие обозначения:где введены следующие обозначения:Л 一e22 Л 一 012可，12— 爾，4丄=(C22Kli ■-e12K12)。i* "12 = (e22勺2 — &2K22)。六 d66 =k66/e66，Z)；i = Кц&1 + Kl2d21, 然2 = ^11^12 + "12d22 = ^12'然6 = Кбб"б6，Л 一e22 Л 一 012可，12— 爾，4丄=(C22Kli ■-e12K12)。i* "12 = (e22勺2 — &2K22)。六 d66 =k66/e66，Z)；i = Кц&1 + Kl2d21, 然2 = ^11^12 + "12d22 = ^12'然6 = Кбб"б6，&22-，466一，% - (&户22 - °12K12)。/， ^21 = (^11^12 -С12К11)。6* 。0=&1。22 — *2，^22 — "12d12 + К22d22，11 + К22d21’&22-，466一，% - (&户22 - °12K12)。/， ^21 = (^11^12 -С12К11)。6* 。0=&1。22 — *2，^22 — "12d12 + К22d22，11 + К22d21’(5.11)(5.11)
где введены следующие обозначения:
где введены следующие обозначения:
Л 一e22 Л 一 012
可，12— 爾，
4丄=(C22Kli ■-e12K12)。i* "12 = (e22勺2 — &2K22)。六 d66 =k66/e66，
Z)；i = Кц&1 + Kl2d21, 然2 = ^11^12 + "12d22 = ^12'
然6 = Кбб"б6，
Л 一e22 Л 一 012
可，12— 爾，
4丄=(C22Kli ■-e12K12)。i* "12 = (e22勺2 — &2K22)。六 d66 =k66/e66，
Z)；i = Кц&1 + Kl2d21, 然2 = ^11^12 + "12d22 = ^12'
然6 = Кбб"б6，
&22-，466一，
% - (&户22 - °12K12)。/， ^21 = (^11^12 -С12К11)。6* 。0=&1。22 — *2，
^22 — "12d12 + К22d22，
11 + К22d21’
&22-，466一，
% - (&户22 - °12K12)。/， ^21 = (^11^12 -С12К11)。6* 。0=&1。22 — *2，
^22 — "12d12 + К22d22，
11 + К22d21’
(5.11)
(5.11)
Подставляя значения сил, моментов и деформаций соответственно из (5.8), (5.10) и (5.9) в третье уравнение движения (5.1) и в уравнение неразрывности деформаций (5.6), получим для определения искомых функций 屮 и tr следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
(乙6 +/6)屮+ (乙7 +e7)宵+匕(際，中)= '^T (e"心1 +
+ C27d21 — K1T)+ "^ (C1Td12 + C271d22 —氏2丁)—
(5.12)(5.12)— Z+p九需,
(5.12)
(5.12)
(厶8 + 4) ¥ + (厶9 + e9)際+4"e4 ("際)-
=备 (a風2 + /42)+ 姦(0/41 +e2:也 J， где для дифференциальных операторов имеем 厶尸爲(恥祭+41强一&)一£^(九謚)
L^^\^D^ — D^ i?+^ — %)轰]+
+ 2^^[(Мб - D^)為]
4 =爲(/22 言 +42 詣) + 4"7^(46 磊),
厶9 =鳥А急+唯奈一財）一為"（九譌■），
e加，（）］=e加，（）］=82协 82 () 而 d泸82协 82 () 而 d泸2 82协/（）尹协或（）
e加，（）］=
e加，（）］=
82协 82 () 而 d泸
82协 82 () 而 d泸
da d§ da d§ 十 0件 @a2 ,
а операторы Z” как и раньше, определяются из операторов L. путем замены в них А ^ В, a 二 卩 м индексов 1^2.
Таким образом, решение рассматриваемой здесь задачи сводится к интегрированию систем дифференциальных уравнений (5.7) или (5.12) при известных граничных условиях.
О поперечных колебаниях прямоугольной в плане пологой оболочки. Рассмотрим в линейной постановке свободные колебания прямоугольной в плане (aXb) весьма пологой оболочки, шарнирно опертой по всему контуру (а=0, а=а,卩=0, р=Ь). Пусть оболочка находится в таком переменном во времени температурном поле, что 7=7 (/).
Тогда легко получить исходные дифференциальные уравнения свободных колебаний оболочки, полагая в (5.12)
дА “ dAi у dDi dDi у
К” = d” = D?^=f—=fq =f— = —^- = 0.(5.13)
v “да dg da'/
Конечно, термин «свободное колебание» здесь носит несколько условный характер, ибо изменение механических характеристик материала оболочки во времени (%=%•«), 4/=4/ (力)， Dg=D叮⑦,так как В『В“ (Т), а Т=Т (») вносит некоторые
элементы «вынуждения».
Для рассматриваемого случая свободных колебаний из (5.12) получим следующую исходную систему дифференциальных уравнений:
十&恥十Л1型十&恥十Л1型7@2”加而,7@2”加而,(5.14)(5.14)А 舞+ 2(% + 2%)烏+ %^Н
十&恥十Л1型
十&恥十Л1型
7@2”
加而,
7@2”
加而,
(5.14)
(5.14)
力22譬 + (2/12 +/66)右曲 + ^11磊
8?协,02w一一色曲自两一U.
К системе (5.14) присоединим граничные и начальные условия, которые имеют вид:
при а —0, а = а
(5.15)27*(5.15)27*w-= 0, Г】=0, и = 0, Л】=0;
(5.15)
27*
(5.15)
27*
при В = 0, В = b
и? = 0, 丁2 = 0, 〃 = 0, М2~ 0;(5.16)
при % = % = 0, а = а/2,卩=勿2
0 = 4，祭=叫.(5」7)
Принимая 881
0= 2 2 厶"0)sin FT sin 寸，
8 8018)
中=2 2 sm 丁 sm 寸,
удовлетворим граничным условиям (5.15) и (5.16),
Далее, подставляя значения и? и ср из (5.18) в систему уравнений (5.14), получим для определения искомых функций 九推(Е) и Fmn (%) соотношение
以"伍)=一落"(力(书2电閭2 + к^[a^ +
+ (/66 + 2Л12) 0262m2孔2 + /口0%4尸，(5.19)
а также следующее дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами:
^^ + ^m„(t)fmn(t) = O,(5.20)
(5.21)(5.21)(5.22)(5.22)где приняты обозначения:
(5.21)
(5.21)
(5.22)
(5.22)
—12卩go ，
『1^^娉汕+ 2 (v+犒)(*4
+ ^ (一)7 + 12 (1 一做2)2 (毋配2 +
+屮叫2 [|^岩(6时+ (墙_ 2%)(必加)2 + (喲于
(g — ускорение силы тяжести).Укажем, что при получении уравнения (5.20) было(g — ускорение силы тяжести).Укажем, что при получении уравнения (5.20) былочто коэффициенты Пуассона метры В.к (%) имеют вид:что коэффициенты Пуассона метры В.к (%) имеют вид:не зависят от температуры,не зависят от температуры,учтено,а пара-учтено,а пара-Вц (%) = £Вц (%) = £一32一32% G)=f% G)=f“⑺—”2“⑺—”2%G)=%G)=У2%(力)1 — ”2У2%(力)1 — ”2芒%统6（力=m《）.芒%统6（力=m《）.(5.23)(5.23)
(g — ускорение силы тяжести).
Укажем, что при получении уравнения (5.20) было
(g — ускорение силы тяжести).
Укажем, что при получении уравнения (5.20) было
что коэффициенты Пуассона метры В.к (%) имеют вид:
что коэффициенты Пуассона метры В.к (%) имеют вид:
не зависят от температуры,
не зависят от температуры,
учтено,а пара-
учтено,а пара-
Вц (%) = £
Вц (%) = £
一32
一32
% G)=f
% G)=f
“⑺
—”2
“⑺
—”2
%G)=
%G)=
У2%(力)1 — ”2
У2%(力)1 — ”2
芒%统6（力=m《）.
芒%统6（力=m《）.
(5.23)
(5.23)
Полагая 筝 >> 1, что имеет место для многих прикладных задач, применим к уравнению (5.20) метод асимптотического интегрирования.
Интегралы уравнения (5.20) будем искать в виде (в дальнейшем, где это допустимо, индексы тип опускаются)
/(г)= Ф(^, В)/0*"，/(г)= Ф(^, В)/0*"，(5.24)(5.24)
/(г)= Ф(^, В)/0*"，
/(г)= Ф(^, В)/0*"，
(5.24)
(5.24)
где
Ф 俏学=Фо G) + 尸①】(/) + У% &)+ ...
——функция интенсивности, ш(£) — функция изменяемости. Подставляя значение /(£) из (5.24) в (5.20) и произвол кращение на е8ш, получим
%［屮+ （符）h В{2誉穿+①鳥+①I ［屮+信）》+
ККв 1寸+2 H衣+①川西+в 1寸+2 H衣+①川西++ %电+管月｝=°・("25)+ %电+管月｝=°・("25)
К
К
в 1寸+2 H衣+①川西+
в 1寸+2 H衣+①川西+
+ %电+管月｝=°・("25)
+ %电+管月｝=°・("25)
Потребовав, чтобы в уравнении (5.25) коэффициенты при всех степенях 8 обращались в нуль, при условии ①о关0 получим следующую бесконечную систему рекуррентных уравнений для опре-
деления з (0,① ° «),① i «)—..,①/ «), …:
(5.26)(5.26)屮+ (穿)2=0,
(5.26)
(5.26)
2嚮三+ 我誰=。，"ф，I 。 叫+1 ds ［不d沁—77^H /51Tr ~1~ 也3 」，；=2嚮三+ 我誰=。，"ф，I 。 叫+1 ds ［不d沁—77^H /51Tr ~1~ 也3 」，；=(5-27)(5-27)豆厂十/ ~dl dt十"*血2豆厂十/ ~dl dt十"*血2(5.28)(5.28)
2嚮三+ 我誰=。，
"ф，I 。 叫+1 ds ［不d沁—
77^H /51Tr ~1~ 也3 」，；=
2嚮三+ 我誰=。，
"ф，I 。 叫+1 ds ［不d沁—
77^H /51Tr ~1~ 也3 」，；=
(5-27)
(5-27)
豆厂十/ ~dl dt十"*血2
豆厂十/ ~dl dt十"*血2
(5.28)
(5.28)
(/ = 1, 2, 3,...).
Решив (5.26), для функции изменяемости получим
吗=4 V屮血+%О）2 =1］用或+爲.吗=4 V屮血+%О）2 =1］用或+爲.(5.29)(5.29)
吗=4 V屮血+%
О）2 =1］用或+爲.
吗=4 V屮血+%
О）2 =1］用或+爲.
(5.29)
(5.29)
Внеся (5.29) в (5.27), найдем функцию интенсивности в нулевом приближении:
(5.30)(5.30)Ф0=С^4.
(5.30)
(5.30)
Имея (5.29) и (5.30), с помощью (5.28) можно найти следующее, первое приближение. Каждое последующее приближение также найдется путем интегрирования уравнения (5.28).
Ограничимся рассмотрением нулевого приближения, ибо подробные исследования показывают, что нулевое приближение в ряде случаев обеспечивает вполне удовлетворительную точность результатов.
Согласно (5.30), (5.29) из (5.24) в нулевом приближении получим
/=屮т/"[с\ exp(z& j \/屮山)+。2 exp(—/3 j \/屮山)].(5.31)
Постоянные интегрирования С^ входящие в (5.31), с помощью (5.18) могут быть определены из начальных условий (5.17).
В силу (5.31) из (5.19) для второй искомой функции имеем
F =—(胃у 屮-"4 "@传 + A262m2) [t\ eхp (加 j \/屮山)+
+ C2 exp(—岔[J屮 d^ j [Л 22&4m4 -|" A^n^ -|-
(5.32)(5.32)+ (46+242)歩6m2硝工
(5.32)
(5.32)
Имея значения искомых функций /«) и F (^), с помощью (5.18) легко записать значения функции напряжений 屮 и функции перемещения w.
Таким образом, поставленная задача решена. С помощью формул (5.18), (5.31), (5.32) легко найти характер напряженно- деформированного состояния оболочки, когда температура ее изменяется во времени по произвольно заданному закону Т=Т (力.
Рассмотрим случай, когда средняя температура оболочки изменяется по закону
£(04£《幻，T=T^ e＞幻， (5.33)
где Tmax — максимальная температура оболочки, 左 —— время, необходимое для достижения максимальной температуры.
Будем принимать, что в рассматриваемом диапазоне изменения температуры модули упругости материала оболочки зависят от температуры линейно или хорошо аппроксимируются линейной функцией, т. е.
Ei =笈? (1 — М 7), Е? = Е. (^0) = const. (5.34)
Приближенно будем считать, что и коэффициенты В“ зависят от температуры линейно:
3”. = BL (1 - Х〃Т), В% = 3” 偽)=const,
(5.35)(5.35)歩，賜=* %=_*,现6=^,球=吗嘎一（脸户
(5.35)
(5.35)
Тогда из (5.20) после некоторых преобразований, ограничиваясь основным тоном колебаний (тп=п=1), полутам
空+ ”(1—М)/ = 0,(5.36)
где
—12ра2—12ра2口 + 2(% + 2 露)计需]+
—12ра2
—12ра2
(5.37)(5.38)(5.37)(5.38)12 (1 - VjV2)(詛2 (&а2 + %*)2
(5.37)
(5.38)
(5.37)
(5.38)
+[露 "_""2)_ 2v j ^+^,入=入仁Е偽，|Xf]<l.
Укажем, что из физического содержания рассматриваемой задачи следует, что 1 ——入%〉0.
Уравнение (5.36) путем элементарной подстановки приводится к уравнению Бесселя и может быть интегрировано точно. Выполнив интегрирование, получим
/= С\ J1 —入打％[|^(1 —入£) /[ +
+厶/.[警(1 - m)%],(5.39)
где 人一функции Бесселя.
Постоянные интегрирования С. подлежат определению из начальных условий задачи (5.17), которые в данном случае могут быть записаны в виде:
при 力=0
/ =%，寡=端(5。40)
Удовлетворяя условиям (5. 40), получим
(5.41)(5.41)1 /% 箇 /% 魚)+ 4 僚)7-% 儀)e ="。，磕)+河爲
(5.41)
(5.41)
/% 隱)厶》(Й) + 4 假)/.% 假)
Подставляя значения С. в (5.39), получим выражение для / (%) при /п=1, п=1. Подставляя это выражение в (5Л8), найдем нормальное перемещение оболочки w (а, % %):
^ = ^ (對)％ {% [/% Q) /% (9 + 厶％ &) /-%«)]-
-T 匹% g) /% (匚)一 /% m)从⑼卜in £ sin 竽，(5.42)
где для сокращения записи введены следующие обозначения:
Таким же образом можно записать и выражение для искомой функции у (% р, %).
Легко установить, что с увеличением t (т. е. с повышением температуры оболочки (5.33)) увеличиваются как амплитуда, так и условный период колебания нагреваемой оболочки. Обратную картину можно наблюдать при ее остывании, т. е. при повышении жесткости оболочки.
Во многих прикладных задачах аргументы бесселевых функций, входящих в (5.42), имеют большие значения. Используя известную асимптотическую формулу
Л(«)=/| cos (а- А?),
из (5.42) получим
如=(斤"回 cos(% — 7)+т sin Go — q] sin у sin J. (5.43)
Из (5.43) найдем перемещение центра оболочки (а = а/2, Р = 〃2)：
и；ц = /==й>(1 — М)』sin 僚U — (1 —乂)“] + $},(5.44)
где
]/此+(賣，.『arctg 嘗.
При 入=0 из (5・44) предельным переходом нетрудно получить общеизвестное уравнение гармонических колебаний
и?ц = гр sin (ct + 8).(5.45)
Простой анализ показывает» что приближенное решение, полученное в нулевом приближении при асимптотическом интег - рировании уравнения (5.36), совпадает с точным решением (5.42)
при асимптотическом представлении входящих в него бесселевых функций.
При наличии линейного затухания (с коэффициентом затухания е) взамен (5.36) будем иметь следующее уравнение:
祭+2 嚼+ 叫1一")/ =0，(5.46)
решив которое, для ш (а, « 力)получим
= е-“ №(1—М)_е2 {/% 囹—計]+
Не вдаваясь в подробности, укажем, что в формуле для ш имеется затухающий множитель, который, в зависимости от соотНе вдаваясь в подробности, укажем, что в формуле для ш имеется затухающий множитель, который, в зависимости от соот+得』豫(1—m — ^у1卜Ё今也等.(5.47)
Не вдаваясь в подробности, укажем, что в формуле для ш имеется затухающий множитель, который, в зависимости от соот
Не вдаваясь в подробности, укажем, что в формуле для ш имеется затухающий множитель, который, в зависимости от соот
ношений величин е, с,入,может существенно изменить характер
что оболочка изгочто оболочка изгоколебания оболочки. В частности, например (в отличие от случая е=0) значительное повышение температуры может и не привести к увеличению амплитуды колебания.
что оболочка изго
что оболочка изго
Устойчивость при обтекании ортотропной цилиндрической оболочки, находящейся в поле действия переменной температуры. Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку бесконечной длины, обтекаемую сверхзвуковым потоком газа с невозмущенной
скоростью U, направленной по образующим оболочки (рис. 78). Будем полагать,
товлена из ортотропного материала, главные направления упругости которого совпадают с координатными линиями оболочки %
Механические характеристики оболочки зависят от температуры, являющейся функцией лишь времени /, т. е. Т—Т (%).
В рассматриваемом случае исходные уравнения задачи, согласно (5.12) и (4.2), в линейной постановке запишутся следующим образом: ■
011 ^? I /_J_ _^ 9 £1А 冉平 ]022 d4cp 處毎十〈厢 一 %,屈型十 q^r011 ^? I /_J_ _^ 9 £1А 冉平 ]022 d4cp 處毎十〈厢 一 %,屈型十 q^r1 d^w с 亮丽=a1 d^w с 亮丽=a+你加+警爲+窘0雾=。，+你加+警爲+窘0雾=。，(5.48)(5.48)
011 ^? I /_J_ _^ 9 £1А 冉平 ]022 d4cp 處毎十〈厢 一 %,屈型十 q^r
011 ^? I /_J_ _^ 9 £1А 冉平 ]022 d4cp 處毎十〈厢 一 %,屈型十 q^r
1 d^w с 亮丽=a
1 d^w с 亮丽=a
+你加+警爲+窘0雾=。，
+你加+警爲+窘0雾=。，
(5.48)
(5.48)
где, как всегда,
С让=В注⑦% Dik = Bik (^) j^, 20 = CnC22 — С" (5.49) p—Т(/& —— плотность материала оболочки (丫° —— удельный вес, g — ускорение силы тяжести), е — коэффициент затухания, рот — давление невозмущенного потока газа, аот — скорость звука в невозмущенном потоке, х — показатель политропы.
Исключая 屮(％ р, Е) из системы (5.48), получим для определения искомого нормального перемещения 加(а,卩,£) следующее уравнение:
［°п 鳥■ + 2(% + 2%)謠^ + % 瓶圈鳥■ +
十\С66Щ)da2dp2十a。坏4」山T篤册 十
+卜无需+他展+警療+警。£)［箫系++伍一2图端+聲謂］s = 0.(5.50)
Решение уравнения (5.50) ищем в виде s(a, р, t) = f(t)e~ika cos-^-p.(5.51)
Здесь / (力)一некоторая комплексная функция действительного аргумента,"=冗/入一волновое число,入 ——длина полуволны по образующим оболочки, п — целое число волн по окружности поперечного сечения оболочки.
Подставляя значение ш из (5.51) в (5.50), для определения / (Е) получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами:
罪+ (2е + »)^+税"材 +鳥7 f — ik?Uf=Q, (5.52) где
< =%3 + 2(% + 2%)渉装+ %嶽］
■酸=^胪+(養-2然户^+合^ IВ》
当=审(5.54)
广 pk 7o^aco、
Подстановкой
/(力)=屮(疗("唠'(5，55)
(5.56)(5.57)(5.58)•(5.59)в началь-(5.56)(5.57)(5.58)•(5.59)в началь-уравнение (5.52) приводится к виду 裳+^&)屮=0，
(5.56)
(5.57)
(5.58)
•(5.59)
в началь-
(5.56)
(5.57)
(5.58)
•(5.59)
в началь-
где введены следующие новые обозначения:
Ei(0)
-12M (1 — 32)'
步 —(0) Ri
2 y君产叫哈阳+《+剪],m = kR.
Здесь
\» =用+ 2 [% + 2黯(1 - v』j]戍球+離*
А2"=瑞摩+ [^一2帀济〃2 + *
£x (0)——модуль упругости главного направления 1——1 ный момент %=力.
Множитель второго члена уравнения (5.56) является большим параметром. Учитывая сказанное, уравнение (5.56) будем решать методом асимптотического интегрирования; решение уравнения (5.56) будем искать в виде
屮=%0, £)評⑴，(5.60)
屮。(§,力)=Фо (0 + "R (i) + А①2 (£)+..., Фо (/)茫 о, (5.61) где ф0 ——функция интенсивности, з (%)——функция изменяемости.
Не вдаваясь в подробности, освещенные в предыдущем пункте настоящего параграфа, согласно (5.55), (5.56), (5.60) и (5.61) в нулевом приближении для / (%) получим
/0)=广％[Cf部⑴т・+М2* ^.с^^-^^].(5.62)
Р © =斗V戸山=区传)+雁2⑴，(5.63)
о
где C1=a14-i61, C2=a24-i62 — произвольные комплексные постоянные.
Имея значение / (%), по сути дела, можем считать, что поставленная задача решена. Исследуя поведение функции / (%), мы можем установить значение критической скорости потока газа.
Характер функции / (%) существенно зависит как от скорости набегающего потока U, так и от коэффициентов упругости Bik (Т)=В；您(%), зависящих в свою очередь от температуры. Если
модуль амплитуды / (%) в течение интересующего нас промежутка времени возрастает, то будем считать, что оболочка находится в состоянии неустойчивости. В противном случае состояние оболочки считается устойчивым. Скорость потока газа £7*, при которой d1/(力)|/或=0, является критической.
Для выяснения характера функции /«) необходимо знать аналитическую зависимость коэффициентов упругости материала оболочки от температуры, а также закон изменения температуры во времени. Рассмотрим для иллюстрации пример.
Ради конкретности последующих рассуждений и ради краткости записи будем полагать, что материал оболочки изотропный (后 1 (%)=后2 (%)=总(£), 612 (力)=后 ")/2 (11У), >=У2=")е модулем упругости Е (7), линейно зависящим от температуры:
总=£。一司 T,(5.64)
где Ед и 風一 коэффициенты, определяемые из эксперимента. Будем полагать также, что средняя температура оболочки изменяется по закону
T = ^t (о《£《幻，T=Tg G〉Q， (5.65)
где Т* — максимально достигаемая температура оболочки, ^ — время, необходимое для достижения максимальной температуры. В силу (5.64) и (5.65) окончательно получим
e = e0-e^,当=学研С1e = e0-e^,当=学研С1(5.66)(5.66)
e = e0-e^,当=学研
С1
e = e0-e^,当=学研
С1
(5.66)
(5.66)
(5.67)(5.68)(5.69)(5.67)(5.68)(5.69)
(5.67)
(5.68)
(5.69)
(5.67)
(5.68)
(5.69)
Тогда из (5.62) и (5.63), с учетом (5.57), (5.58) и (5.66)? найдем 4nx / (Z) и В «) следующие выражения:
F (£) = ^-V^-^tO-^+P-^J^^cos，兀'
—Z sin ^t^-) (С^^ + C2e-^e^)j, g一亂大COS生产 Tsin吧户)一
-r# (cos 一 j sin 33。抖)], 比⑴=-乳「% COS牛 f cos 屮i j, % (t) = g「％ Sin曳产-您Sin也茅把]
(/ = 0,1, 2, 3; 5 = 0,1),
где
产")=蟲仍2(力)+屋 S]，% = r(°)，
(5.70)(5.70)8Q) = arctg 万而，8° =8(0),幺=12ToЛ(1 —丿)彼因
(5.70)
(5.70)
员穆к,2 , 12R2(i)從]
Ей Ri 十"‘十 3(権2 +献产」，
8 G) = ^^E0Ra — 12丫開(1 一 丫火 +1)2.
Как было указано выше, критическая скорость определяется из условия d|/ (圳/<й=0, которое в развернутой форме, согласно (5.67)—(5.70), имеет вид
提｛广%闻f)i闻3[(建⑴" cos区+团sin因 +
+ % cos Pi —仇 sin РУ + (e配⑴ 也 cos 区一& sin 区]+
+ & cos R +& sin PJ2]%｝ = 0.(5.71)
Таким образом, мы получили уравнение, при помощи которого можно определить точное значение критической скорости U*. Однако, ввиду громоздкости уравнения (5.71), аналитическое определение U* затруднительно. Но если учесть, что модуль первого слагаемого функции / ⑴，т. е.
I Cl I i ехр [良 G) — (е + М2)力，
независимо от скорости потока убывает во времени, то критическая скорость может быть приближенно определена из указанного экстремального условия, наложенного лшпь на второе слагаемое функции / (г), т. е. из условия
S ｛「j exp [_% (t) — (е + 闻2)力｝ = 0.(5.72)
Далее, имея в виду, что при 0《/《片
8(9〉°，W=-”％sin3 0<&<^,肌/)《0，
из (5.72) получим
В ⑴ Е。"。—V'°2 + A^U- — В J J 林/К 7Q\
4(32 + 4纺2)= --V24%/而(1 — ¥f十 e 十彳•「)
Отсюда легко определить значение критической скорости потока газа U* в любой момент времени % (0《 ％《 左).
В большинстве случаев 52 ^> A2U2\ тогда из (5.73) можно
получитьполучить尘—_] El万j _丄_丽 藹F历，尘—_] El万j _丄_丽 藹F历，(5.74)(5.74)
получить
получить
尘—_] El
万j _丄_丽 藹F历，
尘—_] El
万j _丄_丽 藹F历，
(5.74)
(5.74)
где
1「0(印％「(т?+ 叫2 I 12K2 (I — % m2 私〃 2n Uo — 互[平"J L一^2 I Л2 (m2 + 叫2」C 十 仪)
—критическая скорость флаттера, найденная по квазистатиче- ской с точки зрения температуры теории (т. е. когда в окончательной формуле критической скорости для несогреваемой оболочки вместо модуля упругости Е подставляется выражение (Ед—Е醐、
Формула (5.74) показывает, что динамическая критическая скорость U* меньше критической скорости, найденной по квази- статической теории, и в случае достаточно малого затухания может существенно отличаться от квазистатической скорости U；.
§ 6・ Флаттер цилиндрической оболочки в потокесжимаемой проводящей жидкости в присутствиимагнитного поля
стороны сверхзвуковым потоком идеально проводящего невязкогостороны сверхзвуковым потоком идеально проводящего невязкогоРассмотрим задачу устойчивости анизотропной круговой цилиндрической оболочки бесконечной длины, обтекаемой с внешней
стороны сверхзвуковым потоком идеально проводящего невязкого
стороны сверхзвуковым потоком идеально проводящего невязкого
газа с невозмущенной скоростью U, направленной по образующим цилиндра. Пусть во внутренней области оболочки газ находится в покое и имеет давление р© равное давлению невозмущенного потока обтекающего газа. Оболочка находится в магнитном поле, вектор напряженности которого равен HQ и направлен параллельно скорости потока (рис. 79).
Пусть оболочка изготовлена из анизотропного материала, который
имеет лшпь одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной поверхности оболочки.
За координатную поверхность 丁=0 (r=R) принимается срединная поверхность оболочки, отнесенная к координатам а, р (а — вдоль образующей, р — по дуге окружности поперечного сечения). Система координат а, р выбрана так, что 4=1, 8=1,五尸8, 区2=五(рис. 79).
Считается, что магнитные и диэлектрические проницаемости газа и материала оболочки изотропны и равны единице. Внутри эболочки предполагается справедливость уравнений Максвелла 1ля вакуума. Электромагнитные эффекты в теле оболочки вовсе
зе рассматриваются.
Уравнения движения оболочки записываются на уровне технической теории, без учета тангенциальных сил инерции, сил инерции вращения и поперечных сдвигов.
В силу принятых предположений для рассматриваемой задачи получим следующие исходные уравнения и соотношения: уравнения магнитогазодинамики для внешней области:
*=rot(H х Н), % + div(p3) = O,
雾+，grad)胃=—^gradp +击(rotH)XH, (6.1) P = % @/p8『，div H = 0;
здесь jff — вектор напряженности магнитного поля, V1 — вектор скорости потока газа, р' — плотность газа, pg — плотность невозмущенного газа, р ——давление газа, р^ ——давление невозмущенного потока газа, х — показатель политропы;
уравнения магнитного и электрического полей для внутренней области (в вакууме):
需=。，^ТА。，62)
где Н* ——вектор напряженности магнитного поля во внутренней области, X* ——вектор напряженности индуцированного электрического поля внутри оболочки, с ——скорость света,
加2十Г dr十办2TT2 d82，兄»
уравнения движения оболочки:
森福十(以12十46)N46加奉十
丄4 d4中1/第
+41帝一反丽=°，
%需 + 4% 澳+ 2(%+2%)蕊+ 4% 爆 +
где pw=Yo^ — плотность материала оболочки (丁。——удельный вес, g — ускорение силы тяжести), а для коэффициентов Aik и Dik имеем
41 = (e22。66 一 ^26)。] ‘, 46 = (012。26 - &6022)。1 \
422 = (°1£6 一C；6)。「，426 =(б2c16 一 ^26^11) QJ，,6 4、
/66 = (&% ——22)。/，412 = (^16^26 ——^12^66)。；‘，
Qi = (Ji% — С%) C$6 + 2C12C16C26 —。八唸一С22С{б>
^ik —2左=8《左力з/[2.(6.5)
■ Входящий в (6.3) грузовой член Z (а, % 力)в рассматриваемой задаче электромагнитоупругости, согласно известным исследованиям, имеет вид
z = 一订一2Р> ^ + ?“ 一 彗八(6.6)
где 8р — избыточное давление газа, s — коэффициент затухания, Тгг и 77r — тензоры Максвелла в газе и в вакууме соответственно. Предполагая возмущения малыми и принимая
胃=。+匕 Н=4 +尼 p/ = Ps+p, (6.7)
где F (% %,乙),А (Аа,无炉 Аг), р соответственно представляют возмущения скорости обтекающего потока газа, напряженности внешнего магнитного поля и плотности газа, линеаризуем исходные уравнения (6.1) и (6.2).
Линеаризованные уравнения задачи представляются следующим образом:
для внешней области:
%_ 石一%_ 石一絹优=%肃一。术，絹优=%肃一。术，+ 晦=。， 盖 + 嗯）%+^%=。,+ 晦=。， 盖 + 嗯）%+^%=。,係+ ^)%Т係+ ^)%Т(6.8)(6.8)总办 я0总办 я0P8力4叫0P8力4叫0（礬-第=。，（礬-第=。，
%_ 石一
%_ 石一
絹优=%肃一。术，
絹优=%肃一。术，
+ 晦=。， 盖 + 嗯）%+^%=。,
+ 晦=。， 盖 + 嗯）%+^%=。,
係+ ^)%Т
係+ ^)%Т
(6.8)
(6.8)
总办 я0
总办 я0
P8力4叫0
P8力4叫0
（礬-第=。，
（礬-第=。，
唸r西［/伊沟叫］_0Р8 г 邙十 4冗Ро \ г d§ да / —，i (%) + ^ (%) + R 字=。'唸r西［/伊沟叫］_0Р8 г 邙十 4冗Ро \ г d§ да / —，i (%) + ^ (%) + R 字=。'
唸r西［/伊沟叫］_0
Р8 г 邙十 4冗Ро \ г d§ да / —，
i (%) + ^ (%) + R 字=。'
唸r西［/伊沟叫］_0
Р8 г 邙十 4冗Ро \ г d§ да / —，
i (%) + ^ (%) + R 字=。'
ГД©。8 =(Кр8/ р8)〃 ном газе;для внутреннейА»-ГД©。8 =(Кр8/ р8)〃 ном газе;для внутреннейА»-является скоростью звука в невозмущен-является скоростью звука в невозмущен-области:1 02五*_ 返丽"=области:1 02五*_ 返丽"=0,0,*1 *炉AB —c2 弘2 —U.*1 *炉AB —c2 弘2 —U.(6-9)(6-9)
ГД©。8 =(Кр8/ р8)〃 ном газе;
для внутренней
А»-
ГД©。8 =(Кр8/ р8)〃 ном газе;
для внутренней
А»-
является скоростью звука в невозмущен-
является скоростью звука в невозмущен-
области:
1 02五*_ 返丽"=
области:
1 02五*_ 返丽"=
0,
0,
*1 *炉
AB —c2 弘2 —U.
*1 *炉
AB —c2 弘2 —U.
(6-9)
(6-9)
При этом векторы JE, V и X*, Л* связаны соотношениями
х= —*х4+их瓦+ их Е
Г。心丄需rot加寥， c dt 7c dt '
где наряду с принятыми выше обозначениями считается, что JE представляет вектор напряженности электрического поля во внешней области.
Решения систем уравнений (6.3), (6.8) и (6.9) должны удовлетворять общим граничным условиям на колеблющейся поверхности оболочки, а именно: условию непроницаемости, которое имеет вид
乙= ^+и^ при r = R,(6.11)
и граничным условиям для электромагнитного поля
4 a = 7，旦=理 % =為，)
& =嶼,% =к при r = R, J
где компоненты тензора Максвелла после линеаризации опреде-
ляются следующим образом:
Т =
%& /% 也 4大 4冗 4加
"0%"0瓦n
-7 7 U 4大4冗
.(6.13)
也 n 麻" 4江4兀
Выражение для тензора 7* получается из (6.13) путем замены 九а，九戸 & на 月，九;，Лр соответственно.
Таким образом, поставленная задача сводится к совместному решению систем дифференциальных уравнений (6.3), (6.8) и (6.9) при условиях (6.11) и (6.12).
Решение этих систем ищем в виде волн, распространяющихся вдоль оболочки. Пусть, аналогично (4.5),
(6.14)(6.14)(6.15)(6.15)w= Wq exp [z (з力一做一切]? = <poexp[i^ —ta —p^-)],
(6.14)
(6.14)
(6.15)
(6.15)
图 =①i (r) exp p (也一加一Р 提)]^r^^W^Pp (^―*« —Р^-)],
& = R(r)exp[Q —汲―р 今)],I
28 С. А. Амбарцумян
(6.16)(6.17)(6.16)(6.17)乙=① 1 (г) exp 口 (з力—做一p £)],vr =①2 (r) exp [z (wt —ka — ^ 登)}% =①3⑺exp口(W — fet — p-J)],p=p(r) exp jj (st — fox — p 加].
(6.16)
(6.17)
(6.16)
(6.17)
Здесь все коэффициенты неизвестны и подлежат определению (乃=冗/入 ——волновое число,入 ——длина полуволны в направлении образующих, з —— частота колебаний, п —— целое число волн по окружности поперечного сечения оболочки).
Система уравнений (6.8), после подстановки решений в виде (6.14)—(6.17), приводится к одному дифференциальному уравнению относительно искомой функции р(г):
*^+(—)p(「) = 0,
(6.18>
где
（姻 一1）（册 一1）陷 一 1）阙一 e2）
(6.19)
加一 此十険_[—（1+е2）л/*_е2，
_ (卩_0)2—(联办
〜q2，"/2噴，
(6.20>
TZ = 21 J7 —一丄 0—e2 —ZL
(6.21)
Здесь Мг и М2 — числа Маха и Альфвена в относительном движении проводящего газа и упругой волны,匕一скорость распространения электромагнитных волн Альфвена, V — фазовая скорость распространения упругой волны в оболочке.
Остальные искомые функции, входящие в (6.15) и (6.16), представляются посредством р (г) следующим образом:
цг 一—w 峙 Т Р ЦТ —一И М* 十— I I “Р 。Ml Р8，0р^л dr*
ЦТ ——tг配+腸一… p
(6.22)(6.22)3——爸(嶼一1)诉石，
(6.22)
(6.22)
Ф「唸 Р ф —唸 /+М2-1 1 dp
1 一 У — и p8 '2 — У _ и妈一1 ~ / dr，
ф = a& m扌+幌一I龍 P
з — v — и — 1 —方•
Таким образом, для определения компонент векторов Л и У во внешней области нам необходимо найти решение дифференциального уравнения (6.18).
Если /п〉0, то, обозначив х — kr \]т^ уравнение (6.18) можно привести к виду
需2+W 绥+ (Т")= 0・(&23)
Решение уравнения (6.23) имеет вид
р(工) = e 山⑺+e2%⑺，(6.24)
где 1п (х), Уя (ж) —— функции Бесселя действительного аргумента порядка п.
Если же ш<；0, то, полагая х~кг^\т\, аналогично предыдущему получим
甯讐_(+)рЗ) = О・ (6・25)
Интеграл этого уравнения представляется в функциях Бесселя чисто мнимого аргумента порядка п и имеет вид
Р(х) = С11й^) + С2Кй(х).(6.26)
Часть постоянных интегрирования С. определяется из условий излучения и затухания возмущений на бесконечности.
В случае zn〉0 согласно условию излучения С\=0 при 卩〉U и С2=0 при V U.
В случае zn < 0 из условия затухания возмущений на бесконечности получаем С1=0.
Таким образом, для внешней области решение исходных уравнений (6.23) и (6.25) представляется следующим образом:
“2匕⑺(щ>0,卩〉U),
p(z)= CJ"(z) W〉0, U<U),(6.27)
、С?Кц (/)⑺ V °)*
Из условия (6.11), согласно (6.14)—(6.27), определив постоянную интегрирования, для каждого из трех рассмотренных случаев получим
(6.28)(6.28)比匕3而砌一%0侬〉0, о>и),
(6.28)
(6.28)
с= blJ^^m^w.(彼〉0, r<?7),blK^^^w.⑺<0),
гдегдеЬ = к?0肅^Щ-1 * t К(* 7m л) = [ (JmLЬ = к?0肅^Щ-1 * t К(* 7m л) = [ (JmL(6.29)(6.29)
где
где
Ь = к?0肅^Щ-1 * t К(* 7m л) = [ (JmL
Ь = к?0肅^Щ-1 * t К(* 7m л) = [ (JmL
(6.29)
(6.29)
ИзИз(6.13) и линеаризованного соотношения
Из
Из
“ = Р_Р8 = ^(^+。^),(6.30)
согласно (6.14)—(6.17), (6.22) и (6.28), получим для компоненты тензора Максвелла Тгг и избыточного давления §р соответственно
—厂沙PsV/y”0V蒞R)[y；3V亢Е)『％ (m>0, v>u), T”= —F^Pco ^m Jn(k\/mR) [7； (Л^№ w (тп>0, F<t7), 一h抵0mx,G\Z同石)W兩匕色订益i")r% W<0),
(6.31) 嗚Ь工("\/元")[匕("\/五用]-% (m>0, P>。)，
3p = ・ d^bJn(k^mlt)[/^(^V™^)]1 w (m〉0, V< U), ■(6.32)
.處bK. 色 J/ 7?) [ K,n (A J而 7?)]-10? (m<0).
Наряду с Зр и Т” в уравнения (6.3), согласно (6.6), входит также 7二・ Для определения 7； необходимо иметь решение уравнений (6.9) во внутренней области.
Из (6.9) имеем
处丄丄遇丄込丄里处一丄竺佔沖
碎十TH十凉十戶彳伊"一e2 dz3・^, ^
Решение уравнения (6.33), аналогично (6.15), ищем в виде
Л： = 'Г* (г) ехр [г (o)i _ *а - ^- ^)].(6.34)
При этом очевидно, что функция 屮;(г) должна удовлетворять уравнению
或田；I 1 d^或田；I 1 d^卜借一/一勻里；（Г）=°・卜借一/一勻里；（Г）=°・(6.35)(6.35)Принимая, что 户/，含 < 1, уравнение (6.35) можно К видуПринимая, что 户/，含 < 1, уравнение (6.35) можно К видупривестипривести或中； 1 d®；或中； 1 d®；(1+勻中;=0,(1+勻中;=0,(6.36)(6.36)
或田；I 1 d^
或田；I 1 d^
卜借一/一勻里；（Г）=°・
卜借一/一勻里；（Г）=°・
(6.35)
(6.35)
Принимая, что 户/，含 < 1, уравнение (6.35) можно К виду
Принимая, что 户/，含 < 1, уравнение (6.35) можно К виду
привести
привести
或中； 1 d®；
或中； 1 d®；
(1+勻中;=0,
(1+勻中;=0,
(6.36)
(6.36)
где
% = А(1 — ^jf2r = V j; V]=父1 —善)".(6.37)
Решение уравнения (6.36) имеет вид
田;(?。)=中”仇)+С禹(哂(6.38)
т. е. представляется с помощью функций Бесселя чисто мнимого аргумента порядка п.
Функция Кп (%) имеет особенность в начале координат. Поэтому для внутренней области следует считать С*=0. Постоянную интегрирования С* определим из граничных условий (6.12), три из которых удовлетворяются тождественно, а третье и четвертое условия, необходимые для однозначного определения искомых 九：и Лр, перепишутся следующим образом:
d成—dhr f U dhr Яо dvr dr — da 十 c2 dt c2 @力d成—dhr f U dhr Яо dvr dr — da 十 c2 dt c2 @力при r = R； .(G.39)при r = R； .(G.39)
d成—dhr f U dhr Яо dvr dr — da 十 c2 dt c2 @力
d成—dhr f U dhr Яо dvr dr — da 十 c2 dt c2 @力
при r = R； .(G.39)
при r = R； .(G.39)
при этом здесь учтено, что 无产“ при r=R. Из условия (6.39) получим
с* = — ц^)^
следовательно,
% = •—〃(/:您景以% = •—〃(/:您景以(6.40)(6.40)
% = •—〃(/:您景以
% = •—〃(/:您景以
(6.40)
(6.40)
(6.41)(6.41)(6-42)(6-42)Наконец, из (6.13), в силу (6.40), будем иметь 一矶及厶(")力—тn
(6.41)
(6.41)
(6-42)
(6-42)
"右5必)•
Таким образом, из (6.6), согласно (6.31), (6.32) и (6.41), для приведенной нормально приложенной нагрузки Z окончательно получим
Z =—[(嗚п+唄)z + 2p"ze^+q]",(6.43)
где
刁=齊/(М? —1),(6.44)
加8而工("茂冃[匕("标e)尸(">0, V>U),
z= /срш\/m Jn(k\/mR)[J^(kфп/?)]-1(тп>0, V< U), ■
加8加% 丽兩E)W岡匕色\/岡e)f⑺< 0).
(6.45)
Переходим к решению уравнений движения оболочки. Согласно (6.43), исключая 屮(％ Р) i из； системы уравнений, получим относительно нормального перемещения u; (а, р, Е) следующее дифференциальное уравнение движения оболочки:^
[% 基 + 4% 鬲 + 2(% + 2%)柒 + 4% 寻 +
+ % 最h422 慕一2& 7^+(242 + 46) ^Й^一
一2416^? + 41提]"+击霸+[(如+喔)2 +
+ 2%辰 為+ %力卷 + q][422為一2/ ^^ +
+ (2Л12 + лвб) ^р5 — 2Л 1в 775р + лп ^] w = °-(6・46)
Подставляя значение w (а, 0, t) из (6.14) в (6.46), придем к следующему характеристическому уравнению относительно частоты колебаний оболочки ю:
о)2 — /2ео)一 02(%, га) 一Q = 0,(6.47)
где
◎ = S {D曲 + ‘％胪备 + 2(% + 2%)浴嘗 +
+ 4%"篇 + % 方]+ *"[422依一2&府 ^ +
+ И66 + 242)"2 备一24]/青 + аП 方]卜(6.48)
Q = /k^+Vl)l + ql(6.49)
Здесь Q ——частота собственных поперечных колебаний оболочки в вакууме.
Частоту колебаний ю для любых заданных значений кил можно определить из уравнения (6.47). Если ее мнимая часть положительна, то движение оболочки устойчиво по отношению к малым возмущениям. Если же частота имеет отрицательную мнимую часть, то, очевидно, движение оболочки будет неустойчивым.
Из (6,19) и условия тп〉0 нетрудно получить области неустойчивости. Для наглядности результаты анализа и определенные области неустойчивости приведены графически (рис. 80).
В общем случае вопрос определения критической скорости флаттера сопряжен с большими трудностями. С целью получения
наглядных оценок для критической скорости флаттера рассмотрим следующий случай:
加 >0, kR Qm》％ М；货 1, U>C.(6.50)
В рассматриваемом случае мы имеем большие скорости обтекания и малый показатель изменяемости оболочки поперек потока.
Согласно принятым ограничениям, используя асимптотические представления функций Ханкеля, из (6.45) будем иметь
(6.51)(6.51)(М?- 1) (〃¥ —е2)]/а(1 + е2)齊一е? J
(6.51)
(6.51)
Из уравнения (6.45), с учетом (6,50) и (6.51), получим выражение для критической скорости М*:
"* =总■ + )/管总Y号7"* =总■ + )/管总Y号7(6.52)(6.52)
"* =总■ + )/管总Y号7
"* =总■ + )/管总Y号7
(6.52)
(6.52)
где
。8 - ~^~ ,廿。8 - ~^~ ,廿a8P8 . *卩8a8P8 . *卩8Р»Л РиЛ〃8 *Р»Л РиЛ〃8 *(6.53)(6.53)
。8 - ~^~ ,廿
。8 - ~^~ ,廿
a8P8 . *卩8
a8P8 . *卩8
Р»Л РиЛ〃8 *
Р»Л РиЛ〃8 *
(6.53)
(6.53)
% =翳% =翳=да- {W [RF + 4%s》+ 2 (% + 2%) s%2 ++ 4/)2esn3 + Z)22n4J + 7?2§2 [А2^ — 24 26$% +
% =翳
% =翳
+ И ев + 2412) s2n2 — 24iesn3 + 4n 公尸],$ = kR.
При отсутствии магнитного поля (е=0) из (6.52) для критической скорости получим формулу
死=^ =飘(6岡
которая совпадает с ранее полученной формулой (4.29).
Таким образом, поставленная задача решена. Мы нашли формулу, с помощью которой можно определить критическую скорость флаттера анизотропной цилиндрической оболочки, обтекаемой потоком идеально проводящего газа, в присутствии магнитного поля.
Рассматривая формулу (6.52), замечаем, что критическая скорость существенным образом зависит от характера анизотропии материала оболочки. Как и в предыдущих задачах, здесь также, меняя ориентацию материала оболочки в теле оболочки, существенным образом можем изменить критическую скорость флаттера.
Критическая скорость флаттера существенным образом зависит также от напряженности магнитного поля. Из (6.52) путем численного анализа нетрудно установить, что при увеличении напряженности магнитного поля критическая скорость вначале уменьшается, достигая минимума для определенного значения е, после чего начинает неограниченно возрастать, стабилизируя рассматриваемый процесс.
ЛИТЕРАТУРА
Здесь цитируются и частично обсуждаются лишь те работы, на основании которых написана настоящая глава.
Приведенные здесь положения общеизвестны, однако в случае анизотропной слоистой оболочки появляется некоторая специфика, которая освещена в исследованиях:
Амбарцумян С. А., К теории анизотропных оболочек. ПММ, т. 12, № 1, 1948.
Амбарцумян С. А., Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек, Известия АН АрмССР, № 9, 1947.
Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластинок. Физматгиз, 1967.
Г н у н и В. Ц., О параметрически возбуждаемых колебаниях слоистых анизотропных гибких оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15, № 3, 1962.
Librescu Liviu, Statica si dinamica structurilor elastice anizotrope si eterogene. Bucuresti, 1969.
§ 1, пп. 1, 2. Эти пункты написаны на основании монографии [3], а также следующих статей:
Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А., Об устойчивости и колебаниях анизотропных пластинок. Известия АН СССР (мех. и машиностр.), ОТН, № 1, 1960.
Хачатрян А. А., Об устойчивости и колебаниях трансверсально изотропной сферической оболочки. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 13, № 4, I960.
Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А., Об устойчивости и колебаниях пологой ортотропной цилиндрической панели. ДАН АрмССР, т. 30, № 1, 1960.
§ 1, п. 3. Написан на основании работы:
Мовсисян Л. А., Об осесимметрично нагруженной анизотропной цилиндрической оболочке. Известия АН ApMGCP (ФМ науки), т. 15, № 2, 1962.
С основными вопросами статической устойчивости оболочек вообще читатель может ознакомиться по книгам:
В о л ь м и р А. С., Устойчивость деформируемых систем. Физматгмз, 1967.
Огибалов П. М., Вопросы динамики и устойчивости оболочек. Изд-во МГУ, 1963,
где можно найти обширную литературу по устойчивости.
§ 2, пп. 1, 2, 3. Посвящены исследованию устойчивости различных типов анизотропных и трансверсально изотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов. Эти пункты написаны на основании ранее цитированных работ [3, 88], а также
Хачатрян А. Ам Об устойчивости круговой цилиндрической оболочки при некоторых нагрузках. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 13, № 5, 1960.
При рассмотрении указанных выше задач были исаользованы также некоторые положения, освещенные в соответствующих параграфах монографий: 13. Власов В. 3,, Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.
Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем. Гос- техиздат, 1956.
2, п. 4. См・『].
2, п. 5. Посвящен задачам устойчивости анизотропных слоистых оболочек. Выявлены многочисленные специфические особенности, которые ранее были освещены в работах [1-6], а также в статьях
Г и у н и В. Ц., Об устойчивости несимметрично-собранных слоистых гибких пологих оболочек. ДАН АрмССР, т. 34, № 3, 1962.
Багдасарян Г. Е., Г и у н и В. Ц., Об одной нелинейной задаче устойчивости анизотропной цилиндрической оболочки. Известия АН АрмССР (①М науки), т. 18, № 2, 1965.
Г н у н и В. Ц., Микаелян Г. 3., К устойчивости несимметрично^ собранной слоистой ортотропной цилиндрической оболочки. Ученые записки Ереванского Гос. Ун-та, № 2, 1970.
Г н у н и В. Ц., Микаелян Г. 3., Выпучивание длинных слоистых пластин и цилиндрических панелей. Известия АН АрмССР (механика), т. 24, № 2, 1971,
на основании которых написан этот пункт.
Общие сведения с указанием специальной, литературы можно найти в 巴 io, и, и], а также в работах
Б о л о т и н В. В., Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. Физматгиз, 1961.
Ониашвили О. Д., Некоторые динамические задачи теории обо* Ц|^лочек. Изд-во АН СССР, 1957.
§ 3, п. 1. Здесь использованы работы [4, и], а также
Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Гнуни В. Ц., Некоторые динамические задачи трехслойных анизотропных оболочек. Теория пластин и оболочек. Изд-во АН УССР, 1962.
Амбарцумян С. А., Г н у н и В. Ц,, О вынужденных колебаниях и динамической устойчивости трехслойных ортотропных пластинок. Известия АН СССР, ОТН (мех. и машиностр.), № 3, 1961.
Г н у н и В. Ц., К теории динамической устойчивости слоистых анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 13, № 1, I960,
Багдасарян Г. Бм Г нуни В. Ц., Резонанс в вынужденных нелинейных колебаниях слоистых анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 14, № 1, 1961.
Г н у н и В. Ц.) К нелинейной теории устойчивости ортотропных неоднородных пологих оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 18, № 1, 1965.
§ 3, п. 2. В основу этого пункта легла работа：
Багдасарян Г. Е., Г н у и и В. Ц., Динамическая устойчивость анизотропной замкнутой цилиндрической оболочки. ДАН АрмССР, т. 41, № 5, 1965.
§ 3, И. 3. CM. F，6-8].
§ 3, п. 4. Пункт написан на основании статьи:
Г н у н и В. Ц., Мовсисян Л. А., Продольный удар вращающейся анизотропной полубесконечной цилиндрической оболочки о жесткую стенку. Переходные процессы деформации оболочек и пластин. Изд-во АН ЭстССР, 1967.
Исходные положения читатель найдет в монографии [19]. Следует отметить также работу:
Ильюшин А. А., Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей. ПММ, т. 20, в. 6, 1956,
где дан закон плоских сечений, обнаруженный автором впервые в 1947 г. Конкретные результаты, вошедшие в этот параграф, взяты из работ
Болотин В. В., Нелинейный флаттер пластин и оболочек, Иыж. сборник, т. 28, I960.
Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Об устойчивости ортотропных пластинок, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Известия АН СССР, ОТН (мех. и машиностр.), № 4, 1961.
Багдасарян Г. Е・, Устойчивость анизотропной цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15, № 6, 1962.
Багдасарян Г. Е., Устойчивость анизотропной слоистой цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа. ДАН АрмССР, т. 39, № 5, 1964.
Багдасарян Г. Е., Об устойчивости ортотропных пологих оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Известия АН СССР (мех. и машиностр.), № 1, 1963.
Написан на основании следующих работ：
Амбарцумян С. А., Об одной задаче колебания ортотропной пластинки, находящейся в поле действия высоких температур. Известия АН СССР (мех. и машиностр.), № 4, 1963.
Амбарцумян С. А., Дургарьян С. М., О колебаниях ортотропной пологой оболочки, находящейся в переменном температурном поле. ДАН АрмССР, т. 38, № 2, 1964.
Амбарцумян С. А., Параметрические колебания пластинки в поле действия высоких температур. Известия АН СССР (мех. и машиностр.), № 6, 1964.
Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Флаттер пластинки, находящейся в поле действия температуры. ДАН АрмССР, т. 39, № 3, 1964.
Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е・,Флаттер цилиндрической оболочки, находящейся в поле действия высоких температур. Известия АН СССР, ОТН (мех. и машиностр.), № 5, 1964.
Ambartsumian S. A., Bagdasarian G. Е., Durga- rian S. М., G n u п у V. Ts., Some Problems of Vibration and Stability of Shells and Plates. Int. J. Solids and Structures, v* 2, 1966.
Целиком написан на основании работы:
Багдасарян Г. Е., Белубекян М. В., Флаттер цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой проводящей жидкости в присутствии магнитного поля. Мнж. журнал, МТТ, № 6, 1966.
Рассмотренной задаче посвящены также работы:
К а 1 i з k i S., S о 1 а г z Z., Aero-Magneto-Flutter of a Plate Flown Past by a Perfectly Conducting Gas in a Magnetic Field with Isotropic Action. Proc. Vibr. Problems, v. 3, № 3, 1962.
Аванесян Г. Г., Флаттер анизотропной цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой проводящей жидкости в присутствии магнитного поля. Труды 8-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1972.
ПРЕДМЕТНЫЙ
Анизотропия криволинейная 14
—прямолинейная 14
Выпучивание цилиндрической панели 374
Гипотеза недеформируемых нормалей 19, 25
Гипотезы основные общей теории 19
——теории итерационной 20
———новой 22
——уточненной 20
—— — цилиндр ических длинных оболочек 289
Деформации удлинения, обозначение 15
Дирака ^-функция 304
Задача теории оболочек 11
——термо упругости оболочки вращения 322, 328
Закон Гука обобщенный 15, 17
—— 一, — в задаче термоупругости 321
Квадрат линейного элемента срединной поверхности 13
Колебания свободные оболочки 345 — — — в температурном поле 419 — — сферической оболочки 350 Компоненты деформации изгиба и кручения срединной поверхности оболочки 27
—— ——тангенциальной 27
Координаты гауссовские 41
—криволинейные а, В, 丫 12 Коэффициент возбуждения 384 Коэффициенты деформации 15
—Ламе 18
—— первой квадратичной формы 12
Кривизны главные 12
УКАЗАТЕЛЬ
Материалы ортотропные 37
Метод асимптотический 19
—гипотез 19
——одинарных тригонометрических рядов 266
——разложений по толщине 1а
Модули сдвига 16
—Юнга 16
Направления упругости главные 15
Напряжения касательные, обозначения 15,
— нормальные, обозначения 15
Обозначение производных индексное 12
Оболочка 11
—анизотропная пологая 66 '
—в магнитном поле 430
—ортотропная весьма пологая 100
——пологая 334
——сферическая 60, 98
—— многослойная сферическая 200
—— ——一под действием сосредоточенной силы 302
—свободно опертая весьма пологая 312
—слоистая симметрично собранная шарнирно опертая 297
—трансверсально изотропная круговая цилиндрическая 125
———сферическая 128
— цилиндрическая круговая 47, 257, 316, 357
———замкнутая 56, 278
——многослойная 171
———замкнутого профиля 272
———открытого профиля 267
Оболочки анизотропные 25 '/
—безмоментные 223
————нулевой гауссовой кривизны 235
—весьма пологие 71, 110, 190, 326
———большого прогиба 77
Оболочки весьма пологие большого прогиба слоистые 205
—вращения 322
——длинные 260
конические 264
——многослойные 166, 262
ортотропные 37, 41, 248, 257
———симметрично нагруженные 150
——слоистые со слоями переменной толщины 212
— — симметрично нагруженные 243
———цилиндрические 263
—ортотропные 60, 80, 90 iz
——пологие большого прогиба 95
— пологие анизотропные 66
——многослойные 185
—постоянной толщины 13
— слоистые с нечетным числом слоев 156, 321
——с любым числом слоев 162
———со слоями переменной толщины 205
—тонкие 13
— трансверсально изотропные ,22 и
Параметр большой 250
Плоскость изотропии 16
Поверхность нулевой гауссовой кривизны 235
—оболочки срединная 11
Полиномы Лежандра 351—352
Система координат географичёская 67•
Скорость флаттера критическая 439
Соотношения Гаусс а—Кодацци 12, 235
—упругости 34
Стеклопластик КАСТ-В 288
—СВАМ-ИММ 397
Тело анизотропное 14
—изотропное 17
— криволинейно анизотропное 14
—ортотропное 15
—с прямолинейной анизотропией 14
—трансверсально изотропное 16
Теории приближенные расчета цилиндрических оболочек 289
Теория безмоментная 223
——,область применимости 233
———оболочек вращения 242, 248
— —— ——нулевой кривизны 235
——весьма пологих оболочек 190, 297
Теория безмоментная весьма пологих оболочек вращения 166
цилиндрических оболочек 171
—итерационная новая 22, 132, 142, 150, 316
— техническая ортотропных оболочек 90
——классическая 19, 25, 216
— круговых цилиндрических оболочек 47
— — ортотропных оболочек вращения 41
———сферических оболочек 60
——пологих оболочек 66
——слоистых оболочек 156, 162
——термоупругости слоистых оболочек 321
—техническая цилиндрических оболочек 50, 175, 266, 289
—уточненная 19, 102, 308
——техническая ортотропных оболочек 102
——трансверсально изотропных оболочек 122
—частично уточненная (итерационная) 20
———ортотропных оболочек 80
Толщина оболочки 13
Удар оболочки 391
Уравнение Матье 387, 390
——осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки 352
——разрешающее круговой цилиндрической оболочки замкнутого профиля 273
открытого профиля 267
конический оболочки 265
—— ——технической теории цилиндрической оболочки 291
——一шарнирно опертой слоистой оболочки 298
——устойчивости сферической оболочки 361
Уравнения движения элемента оболочки 343, 344, 350
——колебаний круговой цилиндрической оболочки 346, 352
—разрешающие безмоментных оболочек 230
— — весьма пологих оболочек 74, 80, 101, 149
——замкнутых круговых цилиндрических оболочек 57
Уравнения разрешающие круговых цилиндрических оболочек 48, 54, 267, 273, 279, 309
—— 一 многослойной сферической оболочки 294, 303
——оболочек вращения 45, 154, 262
——ортотропных оболочек 87,88, 92, 114, 117
———сферических оболочек 64, 65, 100
——пологих оболочек 70, 97
— — слоистых весьма пологих оболочек 192, 193, 196, 205, 298
———оболочек вращения 167, 168, 216
———пологих оболочек 188
———цилиндрических оболочек 174, 181
——трансверсально изотропных оболочек 125, 126, 313
——устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки 357
—— —круговой цилиндрической оболочки 362
——многослойной оболочки 364, 365
Условия граничные неоднородные 37
—однородные 36
— — смягченные 110
—контакта слоев 159
一 неразрывности срединной поверхности 27
—применимости безмоментной теории 234
Устойчивость гибкой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком 409
—динамическая замкнутой цилиндрической оболочки 386
Устойчивость динамическая многослойной пологой оболочки 378 ——замкнутой цилиндрической оболочки 357
—круговой цилиндрической оболочки 362
—— ——一——,обтекаемой сверхзвуковым потоком 399, 403
—— --一--,--——в маглитном поле 430
——пологой цилиндрической панели 355
— при обтекании оболочки в поле переменной температуры 425
—слоистых оболочек 363
—— сферической оболочки 360
Флаттер оболочки 430
Формула поршневой теории приближенная 398
Функция изменяемости 251
—интенсивности 251
Частоты колебаний круговой цилиндрической оболочки 353
——цилиндрической паыели 347»
349
Число Альфвена 434
—Маха 399, 434
Элемент линейный оболочки 42
Энергия потенциальная деформации оболочки 37
——изгибов и кручения 37
—— ——удлинений и сдвигов 37
Эффект краевой в оболочках вра* щения 258
Сергей Александрович Амбарцумян
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХОБОЛОЧЕК
М., 1974 г., 448 стр. с илл.
Редактор И. А. Маркузон
Техн, редактор К. Ф. Брудно
Корректоры Т. С. Плетнева и В. Л. Сорокина
Сдано в набор 18/ХП 1973 г. Подписано к печати31/VII 1974 г. Бумага 60x90厶融 Физ. печ. л. 28.Условн. печ, л. 28. Уч.-изд. л. 29,9. Тираж 4000 экз.
Т-14503. Цена книги 2 р. 78 к. Заказ № 813.
Издательство «Наука»
Главная редакцияфизико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
1-я типография изд-ва «Наука»
19903 4, Ленинград, В-34, 9 лин., д. 12
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Александров А. Я. и Ахметзян ов М. X., Поляризационно-оптические методы механики де ф ормируемого тела, «Наука», 1973, 576 стр., 3 р. 45 к.
Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л., Кручение упругих тел, Физматгиз, 1963, 688 стр., 1 р. 25 к.
Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости, 《Наука》， 1972, 392 стр., 2 р. 35 к.
Сборник задач -по сопротивлению материалов, под ред. А. А. Уманского, «Наука», 1973, 432 стр., 86 к.
С т уп оче в к о Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И.( Релаксационные процессы в ударных волнах, «Наука», 1965, 464 стр., 71 к.
Ха л ф м а в Р., Динамика, перев. с англ., «Наука», 1972, 568 стр., 1 р. 55 к.
Перечисленные выше книги продаются в магазинам Книготорга м Академкниги, распространяющих литературу по данной тематике.
При отсутствии этих книг на месте заказы следует направлять по адресу: 103050, Москва, ул. Медведева, I, магазин М 8 Москниги «Книга——почтой».
Литература будет выслана наложенным платежом.
弟十da十知一，
/）。" + （需一%）、+ 2端%=0.
S1+帘+缁一&)北+爲一分)厶+ 2端S = _Z,
да * ^ —'】'др * да — 2，
Для внутренних сил и моментов имеем обычные формулы: Т^С^С^С^, M^-D^-D^-20^, 点=%ha嫡十瓶3,必=一%版一%^—2%譌，(5.42) 5 = C66®+C16Sl + C26e2> ^ = —^D66 ^^~~D^J^ — D26^!i •
Решая первую группу соотношений упругости относительно^ком- понент деформаций, получим
S1 =4口北 + 41272 + 416s, s2 = 4口2 + 412厶 + 46s,
3 = 4%$ 十4]6笃 + 426T2，Aik = aik^-
Очевидно, при рассмотрении симметрично собранных слоистых оболочек при определении коэффициентов Aik надо пользоваться более общими формулами (5.10')・
В случае многослойной оболочки, собранной ного числа анизотропных слоев (см. гл. I, § И), в уравнений движения классической теории будем
С. А. АМБАРЦУМЯН