Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Степан Прокофьевич Тимошенко широко известен многим поколениям студентов, инженеров, научных работников своими многочисленными книгами по сопротивлению материалов, теории устойчивости деформируемых систем, теории колебаний, теории сооружений, теории пластин и оболочек и, наконец, по теории упругости. Ему принадлежит исключительно большая роль в развитии современной теории упругости и ее приложений к разнообразным инженерным задачам. Введенные С. П. Тимошенко расчетные модели инженерных сооружений и методы их исследования широко применяются и в настоящее время в суд о-, авиа-, мостостроении и других областях промышленного и гражданского строительства.
Книга С. П. Тимошенко «Курс теории упругости», изданная в двух томах в 1914—1916 гг. в Петербурге, сразу же после выхода в свет была высоко оценена широким кругом специалистов, и эта оценка остается неизменной до настоящего времени. В этой книге нашли отражение многие важные результаты, полученные автором в начале нашего столетия в области расчета сооружений. По ней можно судить о той роли, которую играли отечественные инженеры и ученые, в том числе и автор книги, в создании новых научных направлений.
В первой части курса излагается общая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного упругого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче.
Изложена теория кручения призматических стержней Сен-Венана. Дана аналогия между задачей кручения стержня и задачей о прогибах от равномерного нормального давления нерастяжимой натянутой на жесткий контур мембраны и рассматривается ее применение к расчету тонкостенных замкнутых контуров на кручение. Излагается принадлежащее автору решение этой задачи энергетическим методом: исследован случай
прямоугольного поперечного сечения. Рассматривается поперечный изгиб прямого упругого стержня кругового, эллиптического и прямоугольного поперечных сечений.
Далее описывается осесимметричная деформация тел вращения. Наибольший интерес представляет вторая часть, в которой рассматриваются стержни, пластины и оболочки.
При исследовании малых прогибов упругих стержней показано, как можно ввести поперечный сдвиг в дифференциальное уравнение равновесия этой теории. Излагается расчет балок на упругом основании и важная для судостроения задача, поставленная И. Г. Бубновым, о расчете перекрестных балок. Рассмотрен продольно-поперечный изгиб балок, приводится точное, а также приближенное, развитое автором, решение в тригонометрических рядах. Дается систематизированное изложение теории выпучивания прямых сплошных стержней, полос, круговых колец, двутавровых балок, устойчивости вала при кручении. Уточняется известная задача Ф. С. Ясинского о расчете на устойчивость пояса открытых мостов. Приводятся точные и приближенные решения этой задачи энергетическим методом, данные самим автором. Особенно ценны результаты, относящиеся к устойчивости плоской формы изгиба полос и двутавровых балок. Теория изгиба, кручения и устойчивости двутавровых балок была разработана автором в 1905—1906 годах и оказалась основополагающим исследованием для последующих разработок в области расчета и общей теории тонкостенных стержней. Автор приводит компактные формулы для расчета критических сил.
Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромную роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения.
Большое внимание уделено исследованию изгиба тонких упругих пластин в рамках известного уравнения Жермен — Лагранжа (или Сен-Ве- нана для задач устойчивости). Здесь подробно рассмотрен изгиб прямой и первоначально искривленной пластин по цилиндрической поверхности, а также конечные прогибы круговой пластины при поперечном равномерном давлении (результат автора). Изложено решение об изгибе прямоугольных пластин с четырьмя опертыми и четырьмя защемленными краями при равномерном поперечном давлении. Оценено влияние на изгиб прямоугольной пластины сил, действующих в срединной поверхности, и влияние
начального прогиба ее. Особенно важными в этом разделе являются результаты, относящиеся к устойчивости неподкрепленных и подкрепленных упругими ребрами прямоугольных пластин. Основные результаты автора по этому вопросу были опубликованы в «Известиях Киевского политехнического института* в 1907 году (неподкрепленные пластины) и в «Сборнике Института инженеров путей сообщения» за 1915 год (подкрепленные пластины). Эти материалы в свое время были использованы в проектировочных расчетах судового набора русского военного флота.
В заключении второй части книги рассматриваются малые прогибы тонких упругих оболочек, излагается линеаризированная теория устойчивости оболочек. Приведенные здесь общие уравнения устойчивости цилиндрических оболочек в перемещениях, вызванных потерей устойчивости, известны как уравнения Тимошенко. Дается решение этих уравнений для случая внешнего поперечного давления и равномерного продольного сжатия. Последний случай особенно интересен. Автором впервые изучена теоретически неосесимметричная форма потери устойчивости и показано, что в этом случае при выпучивании по коротким продольным волнам выражение для продольной критической нагрузки совпадает с формулой для критической нагрузки при симметричном волнообразовании. Здесь описан также метод расчета на устойчивость оболочек за пределом упругости. Наконец, излагается общее решение уравнений малых осесимметричных деформаций сферической оболочки и их применение к различным случаям нагружения.
Таким образом, в «Курсе теории упругости» ряд новых результатов, полученных самим автором, представлен в совокупности с данными других исследований и именно поэтому изложение носит законченный и систематизированный характер.
«Курс теории упругости», как и остальные книги С. П. Тимошенко, отличается ясностью изложения, четкостью постановок задач и методов их решения, а также глубоким и всесторонним анализом возможности практического применения результатов исследований.
Нет сомнения, что «Курс теории упругости» С. П. Тимошенко будет с интересом встречен студентами и преподавателями высших учебных заведений, инженерами различных специальностей, сотрудниками конструкторских бюро и научными работниками, занимающимися проблемами механики сплошных сред.
Э. И. Григолюк
Май 1971 года Москва
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга представляет собою переиздание моего «Курса теории упругости», изданного в двух томах Петербургским институтом инженеров путей сообщения более пятидесяти лет назад и составляющего материал лекций, прочитанных мною с 1907 по 1916 год в высших технических учебных заведениях России: в Киевском политехническом институте, в Институте инженеров путей сообщения, а также в Петроградском политехническом институте.
В мою задачу входило тогда создание курса теории упругости для инженеров. В этой связи построен практически направленный курс. В него включены новые для того времени задачи, имевшие важное значение для проектирования. В нем широко и в различных аспектах были использованы приближенные методы. Именно поэтому в монографии уделено также большое внимание устойчивости и колебаниям упругих стержней и пластин. Я включил в книгу и ряд полученных мной результатов.
Мне кажутся излишними какие-либо добавления или авторские комментарии к курсу с учетом огромных достижений, полученных за прошедшие пятьдесят лет в различных областях теории упругости. Эти результаты учтены в ряде специализированных и общих монографий, известных читателю.
Мой курс теории упругости иллюстрирует некоторые главные проблемы, которые волновали в то время инженерную мысль России в области строительной механики. Он дорог мне и потому, что в нем нашли отражение мои исследования в молодую пору моей жизни, жизни на Родине.
С. П. Тимошенко
Март 1971 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Стремление получить возможно большую экономию в весе при обеспечении надлежащей прочности в связи с улучшением качества строительных материалов и с непрерывным увеличением размеров современных сооружений и машин обусловливает большое практическое значение теоретического расчета прочности сооружения. Это обстоятельство в значительной степени способствует пробуждению интереса к теории упругости среди инженеров, занимающихся исследованием различного рода вопросов прочности в области машиностроения, кораблестроения и статики сооружений.
Теория упругости, до недавнего времени служившая предметом изучения лишь в университетах, где ею интересовались лица, занимающиеся математикой и теоретической физикой, постепенно приобретает техническое значение. Ею пользуются теперь не только для критической оценки элементарных решений, излагаемых в курсах сопротивления материалов, но также и для разыскания новых решений, где элементарные приемы не могут быть надежными при определении напряжений. К такого рода задачам относятся, например, все вопросы о местных напряжениях, обусловленных или резкими изменениями формы тела, или действием сосредоточенных сил.
Желая хотя бы отчасти удовлетворить назревшую потребность в курсе теории упругости для инженеров, мы решили опубликовать наши лекции по этому предмету, читанные в Киевском политехникуме (1907—1910 гг.) и в Институте инженеров путей сообщения (1912—1914 гг.). Первая часть этих лекций заключает вопросы, относящиеся к исследованию деформаций и напряжений в телах, все размеры которых являются величинами одного порядка. Во вторую часть вошли исследования деформаций в тонких стержнях и пластинках.
Имея в виду главным образом технические приложения теории упругости и считаясь с той математической подготовкой, которая дается в нашей высшей технической школе, мы нашли нужным в нашем изложении предмета пропустить целый ряд разделов, имеющих чисто теоретический характер. По вопросам этого рода интересующиеся найдут достаточно материала в имеющихся прекрасных курсах теории упругости А. Лява
и А. Клебша х, а также в отдельных монографиях, перечисленных в Энциклопедии математических наук .
Из этих соображении мы также пропустили исследования вопроса о существовании общего решения уравнений теории упругости и об однозначности этого решения. Оставили без рассмотрения также общие методы интегрирования уравнений теории упругости и ограничились лишь подробным изложением ряда частных решений, могущих иметь непосредственное практическое приложение. По тем же соображениям нами пропущены исследования вопросов о строении упругих тел, о зависимости между упругими деформациями и сопровождающими их тепловыми и электрическими явлениями, а также о распространении колебаний в упру-. гой среде.
Чтобы сделать изложение предмета доступным для лиц, не получивших специальной математической подготовки, мы при выводах пользовались по возможности самыми элементарными приемами и в отдельных случаях сохранили все промежуточные выкладки, облегчающие чтение книги.
В тех случаях, где теория упругости не дает точного ответа на поставленную задачу, мы считали необходимым указывать на приближенные методы решения вопроса. Приближенным способам интегрирования дифференциальных уравнений, встречающихся в теории упругости, мы придаем большое значение и полагаем, что решение целого ряда весьма важных технических задач зависит от развития этих методов. В нашем курсе мы считали необходимым хотя бы вкратце коснуться известного приема решения уравнений математической физики, предложенного Вальтером Ритцем , и применили этот прием при решении плоской задачи и при исследовании изгиба и кручения призматических стержней. Отметили вычислительный метод решения уравнений в частных производных, разработанный Л. Ричардсоном , а также вычислительный и графический методы, предложенные К. Рунге и разработанные его учениками
А. Вилдерсом и Г. Занденом . В некоторых случаях отсутствие аналитического решения задачи может быть восполнено экспериментальными исследованиями распределения напряжений в деформированных телах, и мы считали уместным в техническом курсе упругости остановиться на некоторых приемах экспериментального решения задач. Так, например, мы изложили оптический метод исследования напряжений в прозрачных пластинках с использованием поляризованного света. С помощью этого метода в последнее время был успешно решен целый ряд задач. Далее мы привели аналогию Прандтля, дающую возможность находить экспериментальным путем распределение напряжений при скручивании призматических стержней, а также указали экспериментальный способ решения плоской задачи, основанный на полном совпадении соответствующего, уравнения с уравнением для изогнутой поверхности пластинки.
Так как при технических расчетах наибольший интерес представляет определение напряжений, то мы при рассмотрении отдельных задач стремились определять напряжения непосредственно, не переходя к уравнениям, выраженным через перемещение точек деформированного тела. Для этого мы пользовались функциями напряжений. Функцию напряжений мы ввели не только при рассмотрении плоской задачи, но также при изложении задачи Сен-Венана и задачи о деформации, симметричной относительно оси. Таким путем, как нам кажется, удалось достигнуть значительного упрощения в изложении задач о кручении и изгибе призматических стержней и задачи Герца.
Ссылки на литературу, встречающиеся в различных местах нашей книги, не могут претендовать на полноту, да мы и не стремились дать исчерпывающий перечень литературы в такой обширной области, как теория упругости. Наша цель заключалась лишь в том, чтобы указать читателю те сочинения, где он может найти более подробное изложение того или иного вопроса. Особенно мы отмечали новую литературу и новые задачи, которые характеризуют современное состояние науки. Такие указания на современную литературу, нам кажется, могут быть полезны для лиц, желающих посвятить себя изучению излагаемого предмета и самостоятельной работе в этой области.
Считаем своим приятным долгом принести здесь глубокую благодарность преподавателю Института инженеров путей сообщения Константину Андреевичу Чалышеву, прочитавшему рукопись и корректуры и сделавшему немало исправлений и полезных замечаний.
С. Тимошенко Гапсаль
26 июня 1914 г.
ВВЕДЕНИЕ
Основная задача теории упругости заключается в том, чтобы по заданным действующим на твердое тело внешним силам находить те изменения формы, которые тело претерпевает, и те внутренние силы упругости, которые при этих изменениях формы возникают между частями тела. В таком общем виде задача теории упругости еще далеко не разрешена, но имеется целый ряд достаточно полно исследованных частных случаев. Этими результатами можно пользоваться при решении весьма важных технических задач, когда приходится иметь дело с выбором прочных размеров частей инженерных сооружений и машинных конструкций. Вопросы эти в курсах сопротивления материалов решаются на основании различных допущений, более или менее оправдываемых на практике. В теории упругости те же задачи решаются аналитическим путем. Мы находим здесь выражения для перемещений и внутренних сил упругости деформируемого тела, применяя начала механики и математический анализ к исследованию равновесия и движения твердого тела, способного несколько изменять свою форму под действием внешних сил.
Прежде всего нужно установить понятие об упругом твердом теле. В статике и динамике под твердым телом подразумевают систему неизменно связанных между собой материальных точек. Поскольку при действии на такое тело внешних сил расстояния между отдельными его точками не изменяются, то внутренние силы не входят в уравнения задачи и внутреннее строение твердого тела в этом случае не имеет никакого значения. Переходя к определению внутренних сил, мы должны принять во внимание способность твердых тел несколько изменять свою форму под действием внешних сил: при этом необходимо выяснить внутреннее строение упругого твердого тела.
Основатели теории упругости при установлении основных уравнений этой теории исходили обыкновенно из представления молекулярного строения вещества. Твердые тела они себе представляли состоящими из отдельных материальных частиц, молекул, между которыми действуют силы взаимодействия.
Силы взаимодействия между двумя молекулами считали обыкновенно направленными по линии, соединяющей центры молекул, и предполагали,что величина этих сил зависит лишь от расстояния между частицами. При действии на твердое тело внешних сил расстояние между частицами изменяется, вместе с тем изменяются и силы взаимодействия.
Эти изменения продолжаются до тех пор, пока не наступит равновесие между внешними и внутренними силами. При дальнейшем развитии теории молекулярного строения вещества пришлось принять во внимание также и тепловые явления, которые сопровождают изменения формы тел. Пришлось допустить, что молекулы, из которых состоит твердое тело, находятся в постоянном колебательном движении и что этими колебаниями определяется температура тела.
С современной точки зрения эти представления о строении твердых тел весьма несовершенны. Приходится признать, что наши знания недостаточны для построения теории упругости, в которой было бы принято во внимание действительное строение твердых тел. Поэтому в дальнейшем мы будем оперировать с некоторым гипотетическим идеальным упругим телом, и этому телу припишем такие свойства, чтобы те заключения, которые будут получены аналитическим путем, по возможности точнее согласовались с данными опыта.
Предположим следующее:
Вещество идеального упругого тела непрерывно распределено по его объему. В случаях, когда нам придется выделять из этого тела бесконечно малые элементы, будем допускать, что и для этих элементов имеют место все те физические свойства, которыми обладает идеальное упругое тело.
Будем считать идеальное упругое тело однородным. Если в таком теле выделить два одинаковых и одинаково ориентированных элемента, то они будут тождественны по своим физическим свойствам.
При отсутствии внешних сил и при определенной температуре упругому телу свойственно иметь определенную форму и определенный объем. Это состояние тела будем называть естественным состоянием.
Чтобы при постоянной температуре изменить форму тела, необходимо приложить внешние силы. Причем определенному изменению формы тела соответствует вполне определенная система внешних сил. Мы в дальнейшем ограничимся изучением весьма малых изменений формы и объема тел, и потому относительные перемещения точек тела при деформации будем считать малыми величинами.
При удалении внешних сил деформированное упругое тело возвращается к своему естественному состоянию, соответствующему данной температуре. Таким образом, естественное состояние идеального упругого тела при данной температуре является устойчивой формой равновесия при этой температуре. Упругое тело обладает свойством накапливать в себе энергию в обратимой форме. Для того чтобы вызвать деформацию тела, нужно затратить известное количество работы и наоборот, такое же количество работы получаем при удалении внешних сил, когда тело возвращается к своему естественному состоянию (при деформации температура тела предполагается все время постоянной).
Перечисленными свойствами идеального упругого тела в большей или меньшей степени обладают и те естественные тела, с которыми нам приходится иметь дело при различных технических расчетах. Такие материалы, как железо и сталь, к которым особенно часто приходится применять выводы теории упругости, обладают весьма однородным строением и если деформации не выходят за известные пределы, то материалы эти можно считать идеально упругими; они возвращаются к своему естественному состоянию, если удалить силы, вызываю-
щие деформации. Вследствие этого выводы теории упругости, относящиеся к идеальному упругому телу, можно с большой точностью применять к железу и стали. Конечно, при этом не будут учтены такие обстоятельства, как явление гистерезиса и влияние времени на деформацию . Но для таких материалов, как железо и сталь, они не имеют существенного практического значения. Чугун, камни и дерево по своим свойствам больше отличаются от однородного идеального упругого тела и выводы теории упругости с гораздо меньшей точностью применимы к этим материалам. На практике при расчете конструкций, изготовленных из этих материалов, можно ограничиваться значительно меньшей точностью. В таком случае результаты теории упругости в применении к этим материалам можно рассматривать как первое приближение.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯЧАСТЬ ПЕРВАЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
2 1—18012 1—1801
2 1—1801
2 1—1801
Глава IГлава IНАПРЯЖЕНИЯНАПРЯЖЕНИЯ
Глава I
Глава I
НАПРЯЖЕНИЯ
НАПРЯЖЕНИЯ
Внешние силы
Мы будем различать два рода сил: силы, приложенные по поверхности деформируемого тела,— поверхностные силы и силы, распределенные по объему тела,— объемные силы.
Поверхностные силы (нагрузки) возникают в результате давления на данное тело каких-либо других тел. Они могут распределяться по поверхности тела непрерывно, как, например, в случае гидростатического давления, давления ветра и т. д., или могут представляться отдельными сосредоточенными силами. Сосредоточенные силы всегда можно рассматривать как предельный случай распределенной нагрузки, нужно только предположить, что часть поверхности, по которой силы распределены, весьма мала по сравнению с поверхностью тела.
Объемные силы непрерывно распределяются по объему тела. Как пример объемной силы, с которой особенно часто приходится иметь дело на практике, можно привести силу тяжести. Ее величина, приходящаяся на какой-либо элемент тела, пропорциональна массе этого элемента. Если через р обозначим плотность тела, то проекции на координатные оси объемной силы, действующей на элементарный прямоугольный параллелепипед dx, dy, dz, будут следующие: pXdxdydz, pYdxdydz, pZdxdydz. Здесь через X, У hZ обозначены проекции на координатные оси объемной силы, приходящейся на единицу массы тела.
Компоненты напряжения
Предположим, что на данное тело АВ (рис. 1) действует система взаимно уравновешивающихся поверхностных и объемных сил. Под влиянием этих сил тело деформируется. Положим, что деформация прекратилась и все частицы тела пришли в равновесие. Такое состояние тела под действием приложенных к нему внешних сил назовем напряженным состоянием. Рассечем мысленно тело АВ поверхностью тп на две части А и В и рассмотрим условия равновесия одной из этих частей, например части А. Те внешние силы Ръ Р^ Р3..., которые непосредственно приложены к части А, в общем случае не представляют собой системы сил взаимно уравновешивающихся. Между тем рассматриваемая часть А как часть тела, находящегося в равновесии, также будет в равновесии. Для обеспечения этого равновесия необходимо допустить, что по сечению тп действуют некоторые силы, уравновешивающие силы РХ1 Р^ Р3..^ приложенные к части А. Эти силы представляют не что иное, как действие части тела В на часть А. Назовем их внутренними силами упругости и будем считать, что они
них сил упругости, называют напряжением.них сил упругости, называют напряжением.непрерывно распределены по сечению тп. В простейшем случае растяжения призматического стержня силами, действующими по его оси, внутренние силы упругости распределяются, как мы знаем из элементарного курса сопротивления материалов, равномерно по поверхности плоского поперечного сечения, и, пользуясь уравнениями статики, можно легко определить равнодействующую внутренних сил упругости, приходящихся на единицу поверхности поперечного сечения. Эту равнодействующую, характеризующую интенсивность внутрен
них сил упругости, называют напряжением.
них сил упругости, называют напряжением.
В общем случае внутренние силы упругости распределяются по сечению тп
неравномерно, и для установления их интенсивности в какой-либо точке О
поступим следующим образом. Выделим у точки О из поверхности тп малую площадку 8. Внутренние силы упругости, приходящиеся на эту площадку, можно привести к одной равнодействующей R, приложенной в точке О, и к паре сил М. Будем стягивать контур, ограничивающий площадку 5, таким образом, чтобы точка О все время оставалась внутри контура. Площадка 8 будет при этом беспредельно уменьшаться, а вместе с тем будут стремиться к нулю величины RuM. Предел отношения R/8, характеризующий интенсивность внут-
р ^ренних сил упругости, представляет величину
' *напряжения в точке О по площадке 8. Кроме ве
личины напряжению приписывают также определенное направление. Именно за направление напряжения в точке О по площадке 8 принимают направление равнодействующей 7?. Что касается отношения M/S, то мы предположим, что при беспредельном уменьшении площадки 5 оно стремится к нулю.
Если исходить из молекулярной теории строения упругого твердого тела, то принятое допущение относительно равенства нулю предела отношения M/S можно получить путем следующих рассуждений. Силы упругости по поверхности являются результатом действия молекул части тела В на молекулы рассматриваемой части А. На выделенную площадку S будут приходиться силы, линии действия которых пересекают эту площадку. Если предположить, что силы взаимодействия между двумя молекулами направлены по линии, соединяющей эти молекулы, то приведя все силы, пронизывающие площадку S, к силе и паре сил, найдем, что величина пары будет величиной высшего порядка малости по сравнению с величиной силы, так как при составлении момента придется силу множить на бесконечно малое плечо.
В предыдущих рассуждениях мы взяли секущую поверхность тп совершенно произвольно, поэтому произвольным является и направление элементарной площадки 8, для которой определили напряжение в точке О. Через точку О можно провести в различных направлениях бесчисленное множество площадок; для каждой из них напряжение будет иметь свои определенные величину и направление. Поэтому, говоря о напряжении в точке О, необходимо всегда указывать, к какой именно площадке это напряжение относится. Направление площадки будем определять направлением ее нормали v, причем условимся эту нормаль направлять наружу из той части тела, равновесие которой мы изучаем (внешняя нормаль). В рассматриваемом случае (см. рис. 1) нормаль будет направлена из заштрихованной части А в незаштрихованную часть В.
Направление напряжения вообще не совпадает с направлением нормали, и в дальнейшем мы его часто будем разлагать на две составляющие. Одну составляющую будем направлять по нормали к площадке 5, а другую — в плоскости площадки. Таким образом мы получим нормальное и касательное напряжения по площадке 8. Если нормальное напряжение имеет направление внеш-
ней нормали, оно стремится вызвать растяжение материала, в противном случае оно вызывает сжатие. Растягивающее напряжение условимся в дальнейшем считать положительным, а сжимающее — отрицательным. Касательное напряжение стремится произвести сдвиг или срез по площадке 5, поэтому его иногда называют сдвигающим или срезывающим напряжением.
Иногда напряжение по площадке с нормалью v задают величинами трех его проекций на прямоугольные координатные оси х, у, г. В таком случае условимся эти проекции обозначать так: Х^ Yv, Zv, где v обозначает направление нормали той площадки 5, по которой действует напряжение. Тогда проекция напряжения по какой-либо площадке на направление внешней нормали v к этой площадке представится выражением
Хч cos (xV) + yv cos (yv) + Zv cos (zv).
Составляющие напряжения по площадке, параллельной одной из координатных плоскостей, например плоскости хк, запишутся на основании принятых обозначений так: Ху, Yy, Zy. Индекс у показывает, что направление нормали к выбранной площадке совпадает с направлением оси у. Составляющая Ху представляет собой нормальное напряжение по взятой площадке; Ху, Zy — две составляющие касательного напряжения по той же площадке. Мы выше условились относительно знака нормальных напряжений. Что касается знака касательных напряжений, то для площадок, параллельных координатным осям, будем придерживаться такого правила: если внешняя нормаль к взятой площадке совпадает с положительным направлением одной из координатных осей, то положительные направления составляющих касательного напряжения считаются совпадающими с положительными направлениями двух других осей. При обратном направлении внешней нормали приходится изменить также и положительные направления касательных напряжений.
Обозначения, принятые для напряжений, можно использовать также и для внешних сил, распределенных по поверхности тела. Если элементарная площадка S совпадает с поверхностью тела, то поверхностные силы, приложенные к этой площадке, будут играть такую же роль, как внутренние силы упругости в наших прежних рассуждениях. Составляющие Х^, Yv и Z^ будут характеризовать интенсивность распределенных поверхностных сил, приложенных к выделенной на поверхности тела площадке.
Уравнения равновесия
Приняв указанные выше обозначения, мы можем записать шесть уравнений равновесия для упругого тела, находящегося в напряженном состоянии. Три уравнения статики, получающиеся путем проектирования всех приложенных к телу
<шл на координатные оси, напишутся так:
(1)(1)J J Xvds + j J J pXdxdydz = 0;
(1)
(1)
J J Yvds + J J j pYdxdydz = 0;
J J Z^ds + J J J pZdxdydz = 0.
Первые члены в левых частях этих уравнений представляют собой проекции на координатные оси поверхностных сил. Вторые члены дают проекции объемных сил на те же оси.
Уравнения, представляющие условия равенства нулю моментов всех приложенных к телу сил относительно координатных осей, при принятом
расположении осей (см. рис. 1) представятся в таком виде:
J J (Yvz — Zvp) ds + J f J p (Yz — Zy) dxdydz = 0;
J J VZ^x —• Xvz) Д 4- J J ^ p ^Zx — Xz) dxdydz = 0;
J J (Xvy — Y^x) ds + J J J p (Xy — Yx) dxdydz = 0.
Здесь двойные интегралы относятся к силам, распределенным по поверхности, тройные — к объемным силам. От уравнений равновесия (1) и (2) легко перейти к уравнениям движения, нужно только к объемным силам присоеди
нить силы инерции движущихся элементов тела.
На основании уравнений (1) и (2) можно сделать важное заключение относительно условий равновесия тела, имеющего весьма малый объем.
Если уменьшать линейные размеры тела, то первые члены уравнений (1) и (2), соответствующие поверхностным силам, будут убывать как квадраты линейных размеров, а вторые члены — как кубы тех же размеров, т. е. значительно быстрее первых членов, и при достаточно малых размерах тела они сделаются настолько малыми, что ими можно будет пренебречь по сравнению с членами, соответствующими поверхностным силам. Уравнения (1) и (2) обратятся в таком случае в уравнения равновесия только между силами, распределенными по поверхности. Этим обстоятельством мы воспользуемся при общем исследовании напряженного состояния в какой-либо точке упругого тела.
Исследование напряженного состояния в какой-либо точке тела
Через любую точку О тела, находящегося в напряженном состоянии, можно провести бесчисленное множество различно направленных площадок. Каждой
такой площадке соответствует свое напряжение, определенное по величине и на правлению. Наша дальнейшая задача заключается в том, чтобы выразить напря
жение по любой площадке через несколько определенных величин, вполне характеризующих напряженное состояние в данной точке. Покажем, что напряжение на любой площадке, проходящей через О, может быть найдено, если известны напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через ту же точку. Примем эти площадки за координатные плоскости. Пусть v— направление нормали к той площадке, для которой нужно найти напряжение. Проводим плоскость АВС (рис. 2), перпендикулярную к v, так, чтобы она с координатными плоскостями вырезала из тела бесконечно малый тетраэдр ОАВС, и рассмотрим условия равно
весия этого тетраэдра. Принимая во внимание малый объем выделенного элемента, при составлении уравнений можно огра
ничиться лишь поверхностными силами и допустить, что эти силы по каждой из граней тетраэдра распределены равномерно. (Напряжения считаем непрерывными функциями координат ж, у. z). Положительные направления напряжений по каждой из граней, соответствующие ранее принятым обозначениям, ука-
заны на рисунке стрелками. Если через 8 обозначим площадь грани АВС. то площади граней, перпендикулярных к осям х. у и z. соответственно будут 5cos(#v), 8 cos (y-v). Scos(zv).
Проектируя все поверхностные силы, приложенные к элементу ОАВС. на направление оси х. получим уравнение равновесия
Х^8 — XxS cos (xV) — XyS cos (z/v) — XxS cos (zv) = 0.
Подобным образом получатся и два других уравнения. Сокращая все на 8, представим уравнения равновесия в такой форме:
(3)(3)Х^ ~ Хх cos (xV) + Ху cos (yv) + Хг cos (zv); ' Y^ = Yx cos (xv) + Yу cos (z/v) 4- Yx cos (zv);
(3)
(3)
Эти уравнения дают возможность вычислить проекции напряжения по пло-Эти уравнения дают возможность вычислить проекции напряжения по пло-Zv = Zx cos (xV) 4- Zy cos (z/v) 4- Zx cos (zv). ,
Эти уравнения дают возможность вычислить проекции напряжения по пло-
Эти уравнения дают возможность вычислить проекции напряжения по пло-
совпадающим с коорди-совпадающим с коорди-щадке АВС. если известны напряжения по площадкам, ватными плоскостями, и, так как площадка АВС может быть проведена как угодно близко от точки О. то полученные из уравнений (3) проекции Ху, Уу, Zv определяют искомое напряжение по площадке с нормалью v, проходящей через точку О» Таким образом, напряжение по любой площадке, проходящей через заданную точку тела, может быть выражено посредством девяти величин: Хх. Ху. Хх. Yx. Yy. Yx. Zx. Zy. zx.
совпадающим с коорди-
совпадающим с коорди-
Пользуясь уравнениями статики, легко установить между этими величинами три зависимости, которые позволят в дальнейшем определять напряженное состояние в любой точке тела при помо
щи шести элементов — составляющих напряжения.
Вырежем для этого из тела у заданной точки О бесконечно малый прямоугольный параллелепипед (рис. 3) и напишем соответствующие уравнения равновесия, причем будем отбрасывать малые высших порядков. В таком
случае нам придется принять в расчет лишь поверхностные силы и допустить, что напряжения для каждой пары параллельных граней выделенного элемента равны и прямо противоположны. Из шести уравнений равновесия запишем лишь три уравнения, представляющие условия равенства нулю моментов относительно координатных осей. На чертеже стрелками указаны напряжения, которые должны быть приняты в расчет при составлении момента всех поверхностных сил относительно оси х. Соответствующее уравнение будет иметь вид Zydxdydz — Y Zdxdydz ~ 0.
Подобные уравнения получим и для двух других координатных осей. На основании этих уравнений заключаем:
Yx = Zy. Zx = Хх; Ху = Yx. (4) т. е. составляющие касательных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны между собой. Следовательно, напряженное состояние в любой точке тела определяется тремя нормальными составляющими Хх. Yy. Zx и тремя различными касательными составляющими Ху. Yx. Zx.
Уравнения (4) можно обобщить следующим образом. Возьмем две как угодно наклоненные друг к другу площадки, одну из них направим перпендикулярно к оси х. нормаль к другой обозначим через v. Пусть Fx и F^ представляют полнив напряжения по первой и по
второй площадке. Тогда первое из уравнений (3), на основании уравнений (4), может быть представлено в таком виде:
F^ cos (х^) = F^ [cos (^ж) cos (xv) + cos (Еху) cos (yv) + cos (Fxz) cos (zv)] = Fx cos (^v).
Следовательно, если мы имеем две пересекающиеся площадки, то проекция напряжения по первой площадке на нормаль ко второй равна проекции напряжения по второй площадке на нормаль к первой. Легко видеть, что уравнения (4) представляют лишь частный случай этого общего заключения.
Уравнения (3), полученные для точки О, лежащей внутри тела, остаются в силе и тогда, когда грань АВС элементарного тетраэдра совпадет с наружной поверхностью тела. В таком случае величины Х^9 Уг и Zv характеризуют интенсивность сплошной нагрузки, распределенной по поверхности тела. Мы положили ранее, что составляющие напряжения представляются непрерывными функциями координат. Это налагает соответствующие ограничения и на поверхностные силы 1. Величины Xv, yv и Zv, характеризующие их интенсивность, должны представляться непрерывными функциями координат. Разрыв непрерывности может иметь место лишь по линиям, где нарушается непрерывность изменения косинусов углов, составляемых внешней нормалью к поверхности тела с координатными осями.
Преобразование составляющих напряжения к новым осям
Напряженное состояние в какой-либо точке тела, как видим, может быть определено посредством шести составляющих напряжения XУ9 XZ9 Yy9 отнесенных к осям х9 у9 z. Эту систему прямоугольных осей мы направляли совершенно произвольно.
Вместо прежней системы х9 у9 z можем взять новую систему xf9 у'/ z* и для нее получим, конечно, иные значения составляющих напряжения Хх’^-. ...9 YZ'. Покажем, как эти новые значения составляющих выражаются через старые. Для этого воспользуемся системой уравнений (3). Если для краткости обозначим косинусы углов, составляемых нормалью v с координатными осями х9 у, z через 19 т и п9 то уравнения (3) перепишутся такз
Х*^ = Хх^ Н" Хут -[- Х^кц ’
(5)(5)Yv = Yxl -f- Y ут -|- Угп9 Zv = Zxl Ч" Zym -|- Zzn.
(5)
(5)
Положим, что новые оси х 9 у1, z? составляют со старыми углы, косинусы которых даны в следующей таблицез
X
У
z
x‘
mx
"1
^2
m^
n2
^3
m3
n3
1 Ibbetson W.J. An elementary treatise on the mathematical theory of perfectly elastic solids. With a short account of viscous fluids. Ld.—N. Y., Macmillan and Co.# 1887» 515 pp. cm. p. 152.
Возьмем площадку, нормальную к новой оси х'. Проекции полного напряжения по этой площадке на старые координатные оси при помощи уравнения (5) выразятся так:
^xz =: Ххк + ХуПЪ^ Jit 2^1$
Yxr = Yя^ 4" У1^1 4* У2^11
Zxr 5=5 ^х^1 + Zyin^ 4* Zxn^.
Имея эти проекции, легко найти проекции полного напряжения по взятой площадке на новые оси х\ у*, z'. Эти проекции представляют собой не что иное, как составляющие напряжения Хх^ У %*, Z^, отнесенные к новым осям. Проектируя, например, Хх*, Y^ и Zx* на ось х*s мы, очевидно, получим нормальное напряжение по взятой площадке. Согласно принятым обозначениям его нужно выразить через Хх^ и тогда будем иметь Хх- = Хх1г + Yx^ 44* Zx»^ или, подставив вместо Хх^ Yx? и ZX' их приведенные выше значения, получим
Xxf ^ ^i-^x 4- ^kY у 4- ^г 4- Зш-^л^Ух 4” 2хцк^х 4~ ^к^т^у*(6)
Проектируя Хх^ Yx- и Zx- на ось у', получаем касательную составляющую напряжения
Yхе = Хх'к 4“ YX'Tn^ 4~ Zx^ = l^l^Xx 4* tw^ti^Y у 4* ^i^a^z 4е
4* Ху (1^ 4“ ^2^1) 4" ^х (^1^2 4* ^2^1) 4* Yг (^1^2 4“ ^2^1)'(7)
Подобным образом могут быть получены выражения и для других составляющих напряжения, отнесенных к новым осям.
Поверхность напряжения
Пользуясь выражением (6) для нормального напряжения по площадке с нормалью х*, легко дать геометрическое представление изменения этого напряжения при поворачивании площадки. Будем по направлению нормали к каждой площадке откладывать от начала координат отрезок г, длина которого обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютного значения соответствующего нормального напряжения. Если для переменного направления нормали сохранить обозначение х* ^ то будем иметь такую зависимость:
где к — постоянный коэффициент пропорциональности.
Координаты концов откладываемых таким образом отрезков определятся формулами
х = гк» У ” ГПЧл 2 = ГТЧ*(Ь)
Вставляя значение Хх^ определяемое из условия (а), в формулу (6), на основании равенств (Ь) получим
Х^х^ 4* У# 4” Zz^ 4" ^Угу^» 4” ^Zx^x 4- 2Хуху = + к^.(8}
Таким образом, концы всех отложенных нами отрезков т располагаются на поверхности, описываемой уравнением второго порядка (8). Поверхность эта является вполне определенной для заданной точки тела и при изменении координат х. у, z будут изменяться лишь коэффициенты Хх. Ху, Xz, Уу, Уг, Zz
в уравнении (8). Всегда можно так выбрать направление осей, чтобы в уравнении поверхности второго порядка (8) члены, заключающие произведение координат, пропадали. При таком направлении осей будут пропадать касательные составляющие напряжения, и по площадкам, совпадающим с координатными плоскостями, будем иметь только нормальные напряжения.
Условимся выбранные таким образом оси называть главными осями, а соответствующие нормальные напряжения — главными напряжениями. Очевидно, что можно вполне определить напряженное состояние в данной точке, если заданы направления главных осей и величины главных напряжений.
Заметим, что в силу уравнения (8) сумма нормальных напряжений Хх + 4- Уу + Z2 остается неизменной при поворачивании осей.
§ 7. Эллипсоид напряжений
Предположим, что координатные оси х. у, 2 совпадают с главными осями для данной точки. Тогда формулы для определения напряжения по любой площадке, проходящей через взятую точку, становятся особенно простыми. Проекции напряжения по площадке с нормалью v на координатные оси на основании уравнений (5) выразим формулами
XN = Xxl; Yv = Yym; Zv = Zzn.(9)
Составляющие XX' и Yx напряжения по площадке с нормалью х* на основании (6) и (7) будут:
Х^ = г\Хх + т?Уу + nfZz;(10)
Ух' = ZjZgX^ 4“У у Ч" RiRgZz.(11)
Формулы (9) дают возможность получить геометрическое представление для изменения полного напряжения при поворачивании площадки, к которой это напряжение относится. Будем откладывать от начала координат отрезки, равные и параллельные полным напряжениям по различно направленным площадкам. Обозначив через Z, т, п переменные косинусы углов, составляемых нормалями v к этим площадкам с координатными осями, на основании (9) найдем координаты концов отложенных таким образом отрезков:
х •—- Х.у ^^ Х.х1^ у -— Y^ —— УуПы, 2 == Z^ == Zzn.
Принимая во внимание равенство Z2 4- т2 + ^2 = 1» найдем, что концы отложенных нами отрезков лежат на поверхности эллипсоида
который в дальнейшем условимся называть эллипсоидом напряжений.
Полуосями эллипсоида напряжений будут служить главные напряжения в данной точке. Так как одна из главных осей представляет наибольший радиус- вектор, а другая — наименьший, то, следовательно, одно из главных напряжений представляет наибольшее напряжение в данной точке, а другое — наименьшее.
Если два главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений получает форму эллипсоида вращения. Если равные по величине главные напряжения имеют одинаковые знаки, то напряжения по всем площадкам, проходящим через ось вращения, будут одинаковы и нормальны к площадкам. Если все три главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряже-
ний превращается в шар и всякие три взаимно перпендикулярные направления могут быть приняты за главные оси.
Когда одно из главных напряжений равно нулю, то одна из осей эллипсоида напряжений также равна нулю; при этом поверхность эллипсоида обращается в площадь эллипса. В этом случае напряжения по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, лежат в одной плоскости. Такое напряженное состояние называется плоским напряженным состоянием.
Если два главных напряжения обращаются в нуль, то эллипсоид напряжений превращается в отрезок прямой линии, и мы имеем линейное напряженное состояние. С этим видом напряженного состояния мы встречаемся при рассмотрении растяжения и сжатия призматических брусков силами, действующими по оси брусков.
Каждый радиус-вектор эллипсоида напряжений представляет собой по величине и направлению напряжение по одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Чтобы найти ту площадку, к которой выбранное напряжение относится, построим поверхность второго порядка, определяемую уравнением
+ + Zz •
Эту поверхность называют направляющей поверхностью. Легко показать, что площадка, к которой относится какой-либо радиус-вектор эллипсоида напряжений, параллельна плоскости, касательной к направляющей поверхности в точке пересечения ее с выбранным радиусом-вектором. В самом деле, уравнение плоскости, касательной к направляющей поверхности в какой-либо точке xQl ур, zo, напишется так:
С другой стороны, обозначив через р длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость, и через I, т, п — косинусы углов, составляемых р с координатными осями, запишем уравнение той же плоскости в таком виде:
1х + ту + nz = р.(Ь)
Сравнивая (а) и (Ь), получаем
у ^оР . -у УрР .7 ^рР ,
Подставив эти значения в формулы (9), найдем выражения для проекций напряжения по площадке, параллельной плоскости (а):
х» = хеР; Yv = y<>P’ Z^ = zop.■
Следовательно, напряжение по этой площадке действительно направлено в точку касания плоскости Хр, уо, Zp.
§ 8. Вычисление главных напряжений и наибольших касательных напряжений
Мы видели, как упрощаются формулы для напряжений в том случае, когда координатные оси совпадают с главными. Для определения направления главных осей и величины главных напряжений воспользуемся тем обстоятельством, что главные напряжения перпендикулярны к площадкам, по которым они действуют. Пусть площадка с нормалью v (Z, т. п) соответствует одному из главных напряжений. Тогда проекции полного напряжения F^ действующего по этой площадке (направление F^ совпадает с v, так как напряжение предполагается главным), на координатные оси ^, у, z будут
Х^ = F^ cos (xv) = F^l; Yv = F^ cos (yv) = F^m; Z^ = F^ cos (zv) = F^n.
Подставив эти выражения в уравнения (5) и перенеся все члены в одну сторону, получим
(Fv — Хх) I — Х^т — Хгп = 0;
(а)(а)— Yxl + (Fv — Yy) т — Yгп = 0;
(а)
(а)
— Zxl —• Zyin -|- ^F«^ —— Zz) м = 0.
Эти уравнения для косинусов Z, т и и, определяющих направление главного напряжения, дают решение, отличное от нуля, лишь в том случае, если соответствующий определитель обращается в нуль. Составляя этот определитель и приравнивая его нулю, получаем уравнение третьей степени относительно F^x
Fl - (Хх + УУ + ^ F^ + (XxYv + YuZz + ZzXx -Xl-Y'l- Z^ Fv -
- (XxYyZz + 2XyYzZx - XxY2z - YyZl - ZzY^ = 0.(13)
Три его корня определяют значения трех главных напряжений. Подставляя каждый из этих корней в уравнение (а), находим соответствующие направления этих напряжений. Заметим, что уравнение (13) не должно зависеть от направления координатных осей и потому коэффициенты, заключенные в скобки, должны сохранять постоянное значение при преобразовании координат.
Перейдем теперь к определению наибольших касательных напряжений» Если для какой-либо площадки с нормалью v (Z, т, п) известны полное напряжение^ и его нормальная составляющая F cos (F^, то легко найти касательную составляющую для той же площадки. Квадрат касательного напряжения определяется из уравнения [J^v sin (Fvv)]2 = F^ — [Fv cos (Fvv)]2. Для определения составляющих напряжения мы на основании (9) и (10) перепишем это уравнение в таком виде:
[Л, sin (F^ = Х^Р + Yim? + Z&? — \XxP + Yym? + Z гпг\\ (b)
где Xx, Yy, ZT — главные напряжения в рассматриваемой точке.
Дальнейшая задача заключается в том, чтобы найти значения Z, т и п, которым соответствуют наибольшие значения касательных напряжений. Для этого выразим один из косинусов, например п, через Z и т при помощи условия
Р + т2 + п2 = 1(с)
и полученный результат введем в выражение (Ь) для квадрата касательного напряжения. Составляя производные от полученного выражения по Z и т и приравнивая их нулю, после простых преобразований получаем уравнения для определения Z и т;
I [(Хж - Zz) Р + (Yy — Z^ пРL (Хх — Z^ = 0;
m [(Хж - Zz) Р + (Yy - Z^ m?L (Yy - Zz)] = 0.
Очевидно, мы удовлетворим этим уравнениям, положив Z = m = 0. Так же легко могут быть найдены и другие корни. Положив Z = 0, найдем из второго уравнения тп = ±1^4^. При ш = 0 получим Z = ± р^--. Для получения всех направлений, соответствующих максимуму или минимуму касательного напряжения, нужно из выражения (Ь) с помощью условия (с) исключить m и Z и повторить те выкладки, которые были проделаны для случая исключения косину-
са п. Таким путем мы получим таблицу косинусов, которым соответствуют площадки с максимальными или минимальными касательными напряжениями:
Первые три строки этой таблицы, где два направляющих косинуса обращаются в нуль, определяют площадки, соответствующие главным напряжениям. По этим площадкам касательные напряжения обращаются, как мы видели, в нуль. Три последние строки определяют площадки, проходящие через одну из главных осей и делящие пополам угол между двумя другими осями. Подставив соответствующие значения Z, т и п в выражение (Ь), найдем значение ± -у (Уу — Z^ для максимальных касательных напряжений в случае Z = О, т. е. для площадки, проходящей через ось х и делящей пополам угол между у и z. Подобным образом для двух других площадок получим соответственно зна- 11
чения ± -у (Хх — Z^, ±-^ (^х — Уу)- На основании этих результатов заключаем, что наибольшее касательное напряжение равно полуразности между наибольшим и наименьшим главными напряжениями (при этом принимается во внимание знак напряжения) и действует по площадке, проходящей через среднее по величине главное напряжение и делящей пополам угол между наибольшим и наименьшим напряжениями.
Дифференциальные уравнения равновесия
Для исследования вопроса об изменении напряжений при переходе от одной точки к другой, бесконечно близкой ей точке, рассмотрим условия равновесия бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда OABCDEFG (рис. 4).
Когда мы исследовали напряженное состояние в определенной точке тела, можно было пренебречь малыми разностями между напряжением по двум параллельным, близким друг к другу площадкам (см. § 4), а также отбросить объемные силы, приложенные к элементу, как малые величины высшего порядка. Теперь эти малые величины должны быть приняты во внимание. На чертеже обозначены величины напряжений, действующих по граням выделенного элемента, и их положительные направления. При составлении проекций сил, приложенных к элементу, на координатные оси нужно составляющие напряжения множить на площади соответствующих граней элемента и объемную силу — на
+дХ4- рХ = 0;дхдуdzд¥хdYдУг■ 4- рУ = 0;дх4-dzazxагг- -|- pZ = 0.дх1 ду+dz+дХ4- рХ = 0;дхдуdzд¥хdYдУг■ 4- рУ = 0;дх4-dzazxагг- -|- pZ = 0.дх1 ду+dzРис. 4.Рис. 4.дх4-ду4--8Хг dzP^ P ^28YX дх+ду4-9Yz dzazx дх+8ц4--dz+ pz = p^-дх4-ду4--8Хг dzP^ P ^28YX дх+ду4-9Yz dzazx дх+8ц4--dz+ pz = p^-(15)(15)
+
дХ
4- рХ = 0;
дх
ду
dz
д¥х
dY
дУг
■ 4- рУ = 0;
дх
4-
dz
azx
агг
- -|- pZ = 0.
дх
1 ду
+
dz
+
дХ
4- рХ = 0;
дх
ду
dz
д¥х
dY
дУг
■ 4- рУ = 0;
дх
4-
dz
azx
агг
- -|- pZ = 0.
дх
1 ду
+
dz
Рис. 4.
Рис. 4.
дх
4-
ду
4--
8Хг dz
P^ P ^2
8YX дх
+
ду
4-
9Yz dz
azx дх
+
8ц
4--
dz
+ pz = p^-
дх
4-
ду
4--
8Хг dz
P^ P ^2
8YX дх
+
ду
4-
9Yz dz
azx дх
+
8ц
4--
dz
+ pz = p^-
(15)
(15)
объем элемента. Проектируя, например, все приложенные к элементу силы на направление оси ж, получаем уравнение
dxdz — Xydxdz +dxdz — Xydxdz +(х + ^5- dx\ dydz — Xxdydz + (xv 4- -^-\U Ju/\Uy
dxdz — Xydxdz +
dxdz — Xydxdz +
+ (Xz 4^~ dzjdxdy — Xzdxdy + pXdxdydz — 0.
Таким же образом могут быть найдены и два других уравнения. После сокращений эта система уравнений представится в таком виде:
(14)
Уравнения равновесия, получаемые путем приравнивания нулю моментов всех приложенных к элементу сил относительно координатных осей, будут удовлетворены в силу условий (4).
В тех случаях, когда части упру
гого тела находятся в движении, например, когда тело при приложении внешних сил начало совершать колебания, нужно к объемным силам присоединить силы инерции. Если через и, и и ш обозначим проекции перемещения какой-либо точки на направления координатных осей, то проекции сил инерции, отнесенных к единице объема, будут
д^иd^vd^w
Р ^2 ’ Р at^ ’ Р ^з " •
Для случая движения уравнения (14) перепишутся в таком виде:
Уравнения (14) и (15) являются основными дифференциальными уравнениями теории упругости. Всякая задача теории упругости сводится к разысканию таких функций ХХ1 .... Yz, которые удовлетворяли бы уравнениям (14) или (15) в каждой точке рассматриваемого тела и условиям (5) на поверхности. В таком виде задача теории упругости остается пока не определенной. В самом деле, три уравнения (14) или (15) заключают по шести различных величин (Хх, ..., Уг) и, следовательно, можно подобрать сколько угодно различных распределений напряжений, удовлетворяющих как дифференциальным уравнениям, так и условиям на поверхности. Чтобы из всех возможных (с точки зрения статики) распределений напряжений выбрать то, которое соответствует
действительному состоянию упругого тела, необходимо поступить так, как это всегда делается при исследовании статически неопределимых систем. К уравнениям статики нужно присоединить дополнительные условия, устанавливаемые на основании рассмотрения деформации системы. В том, что не всякая система напряжений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности, возможна в упругом теле, можно убедиться на основании таких соображений. Предположим, что мы данное тело разрезали на бесконечно малые прямоугольные параллелепипеды и к граням каждого такого элемента приложили напряжения, удовлетворяющие уравнениям (14). Под действием этих напряжений и объемных сил все элементы тела будут находиться в равновесии, и мы получим распределение напряжений, возможное с точки зрения статики абсолютно твердого тела. В упругом теле условия иные. Под действием напряжений каждый элемент деформируется, и напряжения должны удовлетворять не только условиям статики, но и некоторым дополнительным условиям. Деформации, вызываемые в отдельных элементах, на которые мы представили себе тело разрезанным, должны быть таковы, чтобы все деформированные элементы можно было сложить вместе и образовать одно непрерывное упругое тело. Можно представить себе такую систему напряжений, при которой уравнения (14) удовлетворены, но соответствующие этим напряжениям деформации таковы, что из отдельных деформированных элементов нельзя составить непрерывное упругое тело; элементы эти после деформации не будут соответствовать друг другу.
Составляющие напряжения ХХ1 ..., Уг, входящие в уравнения (14), не представляют собой независимые величины, и задача теории упругости сводится к разысканию трех функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия. В этом убеждаемся на основании следующего.
Напряжения, возникающие в упругом теле при действии внешних сил, вполне определяются теми изменениями формы, которые тело при этом претерпевает. Деформацию же тела можно определить, если для каждой его точки известны проекции и. V. w ее перемещения на координатные оси. Таким образом, шесть составляющих напряжения, входящие в уравнения (14) и (15), являются функциями трех перемещений и, тэ, их
Наша дальнейшая задача заключается в исследовании деформаций упругого тела и в установлении необходимой для решения задач теории упругости зависимости между напряжениями и деформациями.
Глава IIГлава IIДЕФОРМАЦИИДЕФОРМАЦИИ
Глава II
Глава II
ДЕФОРМАЦИИ
ДЕФОРМАЦИИ
Перемещения
Деформация упругого тела вполне определяется относительным перемещением его точек. Если упругое тело совершает поступательное движение или вращается, как абсолютно твердое тело, то при этом не изменяется относительное расположение частиц тела, тело не деформируется. Такие перемещения не вызывают внутренних напряжений. В дальнейшем, чтобы исключить перемещения, не вызывающие деформаций, условимся закреплять одну из точек упругого тела, и в этой закрепленной точке введем добавочные закрепления, препятствующие вращению упругого тела как целого относительно неподвижной точки. Устранив таким образом перемещения, свойственные абсолютно твердому телу, мы, конечно, нисколько не нарушаем общности исследования деформаций упругого тела.
Расположим начало прямоугольной системы координат х, у, z в закрепленной точке и к этим осям будем относить составляющие перемещения и, v, w. При переходе от одной точки к другой эти перемещения будут изменяться. Так как предполагается, что упругое тело при деформации не получает разрывов, то и, и и w являются непрерывными функциями координат х, у, z. Далее мы будем предполагать также непрерывность последовательных производных этих функций.
Вследствие принятых условий закрепления и, v и w обращаются в нуль в начале координат. Чтобы устранить возможность вращения тела вокруг неподвижной точки, закрепляют еще какой-либо линейный элемент, проходящий через эту точку, и какую-нибудь элементарную площадку, проходящую через этот линейный элемент. Закрепим, например, линейный элемент, совпадающий с осью z, и площадку, совпадающую с координатной плоскостью zx. Первое закрепление исключает возможность вращения тела относительно осей х и у, закрепление площадки устраняет вращение относительно оси z. В результате этих закреплений получаем следующие условия для перемещений в начале координат:
ди ^ ди л ди
В курсе сопротивления материалов рассматриваются элементарные случаи деформации тел. Пользуясь принятыми обозначениями, можно без затруднений написать соответствующие выражения для перемещений. Возьмем, например, случай растяжения призматического бруска. Направляя ось х по оси стержня и обозначая через е относительное удлинение и через ое — поперечное сжатие при растяжении, для перемещений какой-либо точки А (х, у^ z) при растяжении
бруска получим: и = ех; и = —а^у; w =—aez. Следовательно, перемещения в этом случае представляются линейными функциями координат.
Нетрудно показать, как благодаря деформации изменяются линии и поверхности, проведенные в бруске до приложения растягивающих сил. Координаты какой-либо точки А (ж, у, z) после деформации принимают значения ^ = ^(1 + 5); у1 = у(1 — оеу zr = z(l~oe).(а)
Новые значения координат выражаются через старые линейно, поэтому прямые линии после деформации остаются прямыми, плоскости — плоскостями и поверхности второго порядка — поверхностями второго порядка.
Предположим, например, что в бруске до деформации была описана шаровая поверхность:
‘ я2 + У2 + 22 = г2.(Ь)
Определим, во что обратится эта поверхность после деформации. Для этого найдем из (а) выражения для координат ж, у и z через х^ уг и zv Подставив эти выражения в уравнение шаровой поверхности, получим
Шаровая поверхность радиуса г обращается в поверхность эллипсоида с полуосями г (1 + е), г (1 — оеУ г (1 — ое).
Заключения, которые мы сделали для случая простого растяжения, могут быть распространены на более общий вид деформации, когда перемещения и, и, w представляются любыми линейными функциями координат. Такого рода деформацию условимся называть однородной деформацией.
Исследование деформации в какой-либо точке тела
При исследовании более общих случаев деформации, когда перемещения не являются линейными функциями координат, для упрощения задачи введем некоторые ограничения для перемещений. Будем рассматривать лишь те случаи, где перемещения и, и, w и их производные по координатам являются малыми величинами, квадратами которых можно пренебречь. В большинстве технических задач приходится иметь дело с малыми деформациями, так как и в инженерных сооружениях, и в машинных конструкциях допускаются лишь весьма малые изменения формы. Поэтому принятое нами ограничение не имеет существенного практического значения т.
Возьмем внутри тела какую-нибудь точку А (х, у, z) и весьма близкую к ней точку В (х + бх, у + бу, z + 6z). Пусть и, и, w будут проекции перемещения точки А при деформации .тела. Тогда координаты ее после деформации определятся формулами хг = х + щ уг — у + и; zx = z + w.
Что касается перемещений и*, V, и/ точки В, то для составления их выражений воспользуемся разложением функций и, и, w в ряды и ограничимся первыми членами этих рядов. При этом получим
/,дис ,дис ,ди а
и = и + бх + оу 4—— oz;
дх 1дуу 1dz ’
Вопросы о таких стержнях и пластинках, где перемещения могут быть значительными, будут рассмотрены особо.
3 1—1801
,.дие.дие.ди
и = v +-5—Ьх4-—— by+—— 02;
дх1ду9dz ’
,.ди?с,ди?с.ди? с
W = W +ОХ+оу+-Т— 02.
дхду 9 v dz
Перемещения точки В относительно А выразятся формулами
,ди с । ди с । ди с
№№и — и = -5— ох + оу + -z— 02;дх 1 ду 9 1 dz ’
№
№
,ди t ди с , ди с
и — и = -д— ох + -3— оу 4—5— 02;
дх ' ду 9 ' dz 1
,ди? g , ди? g , ди? с
W — w = ОХ + -5— оу + -z— 02.дх 1 ду 9 1 dz
Таким образом, пренебрегая малыми величинами высших порядков, мы нашли, что относительные перемещения точки В являются линейными функциями относительных координат 6ж, Ьу, 62. Следовательно, в самом общем случае деформацию в пределах малого объема, заключающего рассматриваемую точку тела, можно считать однородной.
Деформация в рассматриваемой точке тела легко определяется, если известно удлинение (или сжатие) любого линейного элемента, проходящего через эту точку. Возьмем один из этих элементов весьма малой длины р и определим его первоначальное направление по отношению к неподвижным координатным осям х, у, 2 с помощью косинусов I, т и п. Начальные координаты конца этого элемента по отношению к рассматриваемой точке будут bx = Zp; by = тр; 62 = пр. После деформации эти координаты изменятся и согласно формулам (а) выражения для них примут вид
с , ди с . ди с , ди с \ 1 I л . ди \ . ди , ди 1 Ьх 4- -5— Ьх 4- -^— by 4-02 = р Z 1 + -т— + т —^ п ;
дх * ду 9 * dz г [ \1 дх / 1 ду 1 dz V
к . ди * t du с . du й Г. ди ,I* % ди \ . ди 1
оу + -о— ож 4- -т— by 4—— 02 = р Z И т 1 4- -ъ— 4- п -^— ;
дх ‘ ду 9 * dzг [ дх \1 ду / 1 dz J ’
о . du? £, ди? ~, ди? с Г, ди? , ди? ,. ди?02 + — Ьх 4- -т— by 4-02 = р Z —h т Н п 1 4-•1 дх ' ду 9 1 dzг дж 1 ду 1\1 dz /о . du? £, ди? ~, ди? с Г, ди? , ди? ,. ди?02 + — Ьх 4- -т— by 4-02 = р Z —h т Н п 1 4-•1 дх ' ду 9 1 dzг дж 1 ду 1\1 dz /Длина взятого нами элемента изменится. Ее новое значение можно вычислить по формуле .Длина взятого нами элемента изменится. Ее новое значение можно вычислить по формуле .
о . du? £, ди? ~, ди? с Г, ди? , ди? ,. ди?
02 + — Ьх 4- -т— by 4-02 = р Z —h т Н п 1 4-•
1 дх ' ду 9 1 dzг дж 1 ду 1\1 dz /
о . du? £, ди? ~, ди? с Г, ди? , ди? ,. ди?
02 + — Ьх 4- -т— by 4-02 = р Z —h т Н п 1 4-•
1 дх ' ду 9 1 dzг дж 1 ду 1\1 dz /
Длина взятого нами элемента изменится. Ее новое значение можно вычислить по формуле .
Длина взятого нами элемента изменится. Ее новое значение можно вычислить по формуле .
Это выражение может быть значительно упрощено, если принять во внимание, что и, v, w и их производные — малые величины, и отбросить квадраты и произведения этих величин. Тогда получим
р2 = р2 (1 + 2/2 ^- + 2Zm 4^ + 21п-$" 4- 2тп2 4^- + ^ml -^ +
4- 2тп 4- 2пй 4- 2nl + 2ппг •
1 dz 1 dz ‘ дх 1 ду 1
Извлекая корень квадратный и пренебрегая малыми высших порядков, для измененной длины выделенного нами элемента получаем следующее выра-
жение :
[
, ,ди,о ди,9 дю .7/ ди,ди\.
1 + Z-^Н h н 1т —Р -— 4-
дх1ду1dz\ dy*дх/1
. 3 ( ди , ди) \(дидю J
+ In —h + тп н .
\ dzдх /1\dz1ду ']
Относительное удлинение в направлении р будет
о - Р1-Р -72| „2| „2 II М |
е₽ - р ~ 1 дх + т ду + п dz + ^ \ ду + дх / +
. 7 / ди,дю \ ,! ди.дю\
\ dz1дх / 1\ dz1ду /х '
Таким образом, удлинение любого линейного элемента, проходящего через
посредством шести величинпосредством шести величинрассматриваемую точку, может быть определено ди I ди . дю \
посредством шести величин
посредством шести величин
Нг- Н—Ь Для которых в дальнеи- дх \ dz ду ) тпем примем такие обозначения:
< иди дю
— = ежж; ет; -^- — ezz;
du ( ди . ди f дю
ду дх ” ""dz ' дх''
ди дю
— ~эГ + "аГ ~ e«Z1
Выясним физическое значение этих величин. Положим, что линейный элемент р взят в направлении оси ж, тогда I =1; т = 0; п = 0
и на основании формулы (16) для удлинения в направлении оси х полкаш. значение ехх = -^-« Подобным образом можно показать, что величины еуу и е»
представляют собой относительные удлинения в направлении осей у и z.
Рассмотрим значения величин еху, ехг и е^. Пусть АВ и АС —два бесконечно малых элемента, параллельных направлениям х и у (рис. 5). При деформации относительные перемещения ВВ’ точки В в направлении оси у и СС точки С в направлении оси х на основании формул (а) представятся так:
ВВ* =6ж; СС* =6у.
дхду
Благодаря этим перемещениям, прямой угол ВАС обратится в острый В'АС'. Мы будем иметь сдвиг, величина которого определяется уменьшением первоначального прямого угла ВАС. Принимая во внимание малость перемещений ВВ' и СС'з можем положить / ВАВ' = -|^-; / САС* = -^-. Тог- „ди , ди
да искомый сдвиг представится в виде еху = -^- + -^-.
Таким же образом покажем, что величины ехг и е^г представляют собой сдвиги, соответствующие осям xz и yz. Удлинение любого элемента, проведенного через рассматриваемую точку, будет
ер = Рехх + т?еуу + п^егг + 1теху + тпвуг + 1пехх.(16г)
Оно определяется при посредстве шести величин еХХ1 ..., ехг. которые условимся в дальнейшем называть составляющими деформации в данной точке.
В случае однородной деформации и, и и w — линейные функции координат, поэтому составляющие деформации eXXs ..., ехг постоянны по всему объему тела.
При деформации кроме длины изменяется также и направление каждого из линейных элементов, проходящих через рассматриваемую точку. Если через lv тг и пг обозначим косинусы углов, которые линейный элемент p(Z, т, п) составляет с координатными осями после деформации, то для определения этих косинусов получим формулы
Если взять два элемента р (Z, т, п) и рг (Г, т', п'^ то косинус угла между ними после деформации будет cos (pn pi) = 1ХЦ + т^пц + пгП1. Подставив вместо lv ..., п^ их значения, определяемые по формулам (Ь), найдем
cos (рх, рх) = (ZZ' 4- mm + пп^ (1 — ер — е^,) + 2 ^exxlV + е^тт' + егхпп^ +
4- е-уг ^тп' 4- т’п^ 4- е?х kyil* 4- ^'0 + еху (1тг 4- Vm\ (18)
Если возьмем два взаимно перпендикулярных направления, то IV + 4* шт' 4- пп* = 0, и из формулы (18) получим выражение для сдвига, соответствующего взятым направлениям Ч
Поверхность деформации
Пользуясь формулой (16'), легко дать геометрическое представление для изменения удлинений ер в зависимости от направления. Будем откладывать от начала координат по направлению каждого линейного элемента р отрезок г, длина которого обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютного значения удлинения еР) тогда
Координаты концов этих отрезков будут
х = 1г; у = тг; г = пг.(Ь)
Подставив величину ер из уравнения (а) в, формулу (16'), на основании (Ь) получим
. ежжх2 + eroi/2 4- e„z2 + ехуху + exzxz + е^уь = ± *2.(19)
ТЙким образом, концы всех отложенных нами отрезков располагаются по поверхности второго порядка, определяемой уравнением (19). Поверхность эту
Угол между рх и pj мало отличается от прямого, поэтому cos (рп рр с точностью до малых высшего порядка дает уменьшение первоначально прямого угла.
называют поверхностью деформации. Вид поверхности деформации вполне определяется деформацией в рассматриваемой точке и не зависит от выбора координатных осей. Направление осей всегда можно выбрать таким образом, чтобы члены в уравнении (19), заключающие произведения координат, пропадали. При таком направлении осей еху = ехг = еух = 0, т. е. углы между этими осями при деформации не изменяются. Направления, соответствующие этим осям, будем называть главными направлениями деформации, а соответствующие им удлинения — главными удлинениями.
Предположим, что координатные оси ж, у, г совпадают с главными направлениями и величины еи е2 и е3 представляют собой главные удлинения *. Тогда поверхность деформации определяется уравнением егх + е2у2 + e3z2 = dz &2. Удлинение какого-либо линейного элемента р (Z, т, п) будет
ер = eJ2 + ^2^ + ^2-(20)
Сдвиг, соответствующий двум взаимно перпендикулярным направлениям р и р', на основании (18), представится так:
ер^ — 2 ^IV + е2тт' + е3пп').(21)
Таким образом, деформация в рассматриваемой точке вполне определяется, если известны главные направления деформации и соответствующие им удлинения ev е2, е3. Следовательно, в самом общем случае деформация сводится к растяжениям по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Если у рассматриваемой точки вырезать бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, ребра которого дх, бу и 6z параллельны главным направлениям, то после деформации углы выделенного элемента останутся без изменения, а объем его будет бхбубк (1 + еТ) (1 + е2) (1 + е3) ^ бхбубх (1 + еТ + е2 + е3).
Относительное объемное расширение
0=^+^+^(22)
§13. Дифференциальные зависимости между составляющими деформации
Заданные проекции перемещения и, и. w для каждой точки деформируемого тела вполне определяют деформацию. Шесть составляющих деформации ехх, ... ..., еуг являются известными функциями перемещений и, и, ш [см. (17)] и не могут быть заданы произвольно. Между ними существуют зависимости, которые проще всего получить следующим образом. Пользуясь обозначениями (17), составим производные
^хх_ =^-= 93v ^Ж — д3и J- ^Р
ду2 дхду2 ' дх2 дх2ду ’ дхду дхду2 дх2ду
Отсюда заключаем, что
ду2 дх2 — дхду *
Перестановкой букв отсюда могут быть получены еще две дифференциальные зависимости такого же вида.
Составим теперь такие производные:
^Чх _ дЗи.Эеуг
dydzdxdydz ’Ox
dezx d2w.d^u e ^exy
dydxdy * dzdy ’ dz
Сравнивая их, находим
d2v . d2iu ,dxdz * дхду ’
d2udydz
d2vdxdz
(24)(24)^ч» =JL(_ 9ew , a4x , ^dydz dx \ dxdy ‘ dz
(24)
(24)
Подобным образом можно составить еще две дифференциальные зависимости такого же вида.
Итак, шесть составляющих деформации должны удовлетворять трем уравнениям вида (23) и трем уравнениям вида (24). В эти уравнения входят лишь вторые производные от еХХ1 .... eyzi поэтому в тех случаях, когда составляющие деформации постоянны по всему объему тела или представляются линейными функциями координат, полученные дифференциальные зависимости будут всегда удовлетворены.
Глава IIIГлава IIIЗАВИСИМОСТЬ
Глава III
Глава III
МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ
Обобщенный закон Гука
Идеально упругому телу, с которым оперирует теория упругости, свойственно при действии внешних сил несколько изменять свою форму. Определенной системе внешних сил соответствует вполне определенное изменение формы тела. В предыдущих главах мы еще не пользовались этой зависимостью между силами и вызываемыми ими деформациями. При изучении напряженного состояния в данной точке, мы выделяли бесконечно малый элемент и к нему применяли уравнения статики абсолютно твердого тела. Это дало нам возможность установить зависимость между напряжениями по различным площадками определить напряженное состояние в данной точке при посредстве шести составляющих напряжения XXl Ху, Xz, Yy, YZl Zz. При рассмотрении деформаций мы исходили из допущения, что проекции перемещений и, v, w малы и представляются непрерывными функциями координат точки ж, у, z.
На основании геометрических соображений мы выяснили вопрос о деформации в данной точке и определили эту деформацию посредством шести составляющих деформации eXXl еху, eXZl eyyi eyz, ezz. Для установления зависимости между составляющими напряжения Xxs Ху, Xz, Yy, Yz, Zz, с одной стороны, и вызываемыми ими составляющими деформации ехх, exyi eXZs eyyi eyZ4 ezz, с другой, необходимо точнее определить физические свойства идеально упругого тела. Чтобы наши дальнейшие выводы были по возможности ближе к действительности, при установлении упругих свойств идеального тела воспользуемся данными опытов, произведенных над действительными телами, обладающими в большей или меньшей степени свойством упругости. Опытов, которые давали бы возможность непосредственно установить зависимость между напряжениями и деформациями, не имеется. Мы не имеем средств для экспериментального определения составляющих напряжения ХХ1 ..., Yz в какой-либо точке деформируемого тела, однако можно с большой точностью определить те внешние силы, которые вызывают деформацию тела и деформации отдельных элементов на поверхности деформируемого тела, а также перемещения отдельных точек при деформации.
Закон о зависимости между внешними силами и вызываемыми ими изменениями формы тела, был установлен еще в 1676 году английским ученым Робертом Гуком и сформулирован им так: «Ut tensio, sic vis». Под «tensio» Гук подразумевал не только растяжение, а вообще всякого рода деформацию упру-
гого тела. Словом «vis» он определял внешнюю силу или систему сил (например, пару сил), вызывающих изучаемую деформацию. Гук доказывает открытый им закон чисто экспериментальным путем, он ссылается на опыты со спиральной рессорой, опыты с растяжением длинной проволоки и с изгибом деревянной балки, закрепленной одним концом, и во всех этих случаях отмечает пропорциональность между действующими силами и вызываемыми ими деформациями. Результаты дальнейших многочисленных исследований вполне подтвердили справедливость закона Гука для многих действительных тел, были установлены те пределы, за которые не должны выходить деформации, чтобы закон Гука имел место. Пределы эти весьма различны для различных тел. В то время, например, как железо и сталь следуют закону Гука в весьма широких пределах, такие материалы, как чугун, уже при сравнительно малых напряжениях отклоняются от закона Гука т.
На основании имеющихся многочисленных опытов для идеального упругого тела, с которым мы имеем дело в теории упругости, закон Гука принимают в обобщенном виде; допускают, что в каждой точке деформированного тела составляющие напряжения ХХ1 ..., ¥г являются линейными функциями составляющих деформации ехх, ..., eyz. В обобщенном виде закон Гука не может быть проверен непосредственным опытом; в его справедливости убеждаемся путем проверки тех заключений, которые из обобщенного закона Гука могут быть получены аналитически.
Одно из самых существенных соображений, говорящих в пользу закона Гука и распространяющих этот закон на те случаи, когда части деформируемого тела находятся в движении, было высказано Джорджем Габриелем Стоксом. Он показал, что свойство упругих тел совершать изохронные колебания есть следствие того, что напряжения, возникающие в теле при малых деформациях, являются линейными функциями этих деформаций.
На основании этой линейной зависимости Дж. Стокс установил еще одно положение, нашедшее широкое применение при решении задач сопротивления материалов и теории упругости. Если между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, то при возрастании напряжений в несколько раз деформации возрастут во столько же раз. Если деформация является результатом действия на упругое тело нескольких систем внешних сил, то ее можно получить, суммируя деформации, вызываемые отдельными системами сил. При этом, конечно, предполагается, что перемещения точек тела настолько малы, что деформации, вызываемые одной системой сил, не вносят изменений в действие другой системы и что при изучении напряженного состояния можно произвольно брать или то расположение точек тела, которое соответствует его естественному состоянию, или то, которое наступает после деформации. Это положение в дальнейшем будем называть принципом сложения действия сил .
Кроме экспериментального обоснования закона Гука делались неоднократные попытки математического доказательства справедливости этого закона.
Основатели теории упругости Луи Навье, Огюстен Коши, Симеон Пуассон, исходившие из представления молекулярного строения упругого тела, получали закон Гука в результате некоторых предположений относительно сил взаимодействия, возникающих между молекулами при деформации . В насто-
ящее время этот способ доказательства уже не используется и закон Гука принимается обыкновенно как обобщение многочисленных опытов, произведенных над упругими телами.
Линейная зависимость между шестью составляющими напряжения в данной точке и шестью соответствующими им составляющими деформации в самом общем случае может быть представлена так:
^•х Спвхх + ^12^2/2/ ^13^zz "Ь ^14^2/z НН С^вхг ~Н С^вХу)
г — С4^вхх -р С^в-уу + C^^zz -{“ С^д^ут ~Ь C^CX2 ~Ь ^^ху*'
В эти выражения для напряжений входят 36 постоянных величин сп, ... ..., с66, характеризующих упругие свойства тела. В дальнейшем будем их называть упругими постоянными. Эти величины, очевидно, имеют то же измерение, что и напряжения (ДЛи"2р и» так как ПРИ малых деформациях составляющие вхх^ •••ч еху — малые отвлеченные числа, то некоторые из коэффициентов си,... ..., с60 будут, наверное, велики по сравнению с составляющими напряжений.
Далее, воспользовавшись свойством упругого тела накапливать энергию в обратимой форме и составив выражения для внутренней энергии деформированного тела, упростим выражения (25) и приведем число упругих постоянных к 21. Таким образом, для определения упругих свойств однородного тела в общем случае необходимо, чтобы была задана 21 постоянная величина. Для такого тела два одинаковых вырезанных из него элемента будут обладать одинаковыми упругими свойствами лишь в том случае, если эти элементы одинаково ориентированы. Упругие свойства в какой-либо точке*тела изменяются в зависимости от направления. В действительных телах имеется обыкновенно различного рода симметрия в строении и в упругих свойствах, что дает возможность получать дальнейшие сокращения числа постоянных, характеризующих упругие свойства тела. В дальнейшем мы будем заниматься почти исключительно такими телами, у которых упругие свойства по всем направлениям одинаковы. Такие тела называются изотропными. Для определения их упругих свойств необходимо иметь лишь две упругие постоянные.
Общее выражение для энергии деформации
Упругое тело обладает свойством накапливать энергию в обратимой форме. Если внешним силам, действующим на упругое тело, дать бесконечно малые приращения, то это вызовет соответствующие малые изменения деформации. Работа, которую при этом действующие на тело силы совершат, будет равняться соответствующему приращению потенциальной энергии деформированного тела. Если теперь устранить сообщенные силам приращения, то тело примет свою первоначальную форму и при этом произведет работу, равную той, которая была затрачена на изменение деформации тела. Составим выражения для работы внешних сил при изменении деформации тела. Для упрощения рассуждений ограничимся рассмотрением элементарного прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и ребра соответственно равны бх, бу, 6z.
Если такой элемент мысленно выделить из деформированного тела, то напряжения, соответствующие граням элемента, явятся для элемента внешними силами. Предположим, что все составляющие напряжения, кроме ХХ1 обращаются в нуль, тогда на выделенный элемент будут действовать силы лишь по граням, перпендикулярным оси х. Силы эти будут нормальны к этим граням и равны Xx8y8z. Сообщим силам бесконечно малые приращения 8Xx8y8z. Это вызовет изменения деформации выделенного элемента. Пусть 6ехх представляет соответствующее изменение относительного удлинения в направлении оси х. Тогда работа сил, приложенных к элементу и соответствующая такому изменению деформации, будет заключаться между значениями Xx6exx6x8y8z и (Хх + 8Хх) 8exx8x8y8z. Пренебрегая малыми высшего порядка, полагаем, что работа внешних сил в этом случае равна Xx8exx8x8y8z.
Если бы по граням элемента действовали лишь силы, соответствующие касательным напряжениям Ху, то рассуждая подобно предыдущему, мы бы нашли, что работа, соответствующая приращению напряжения 8ХУ1 может быть представлена с точностью до малых высшего порядка формулой Xy8exy8x8y8z.
В общем случае, когда все составляющие напряжения ХХ1 ..., У2 отличны от нуля, работа приложенных к элементу сил, соответствующая бесконечно малым приращениям 8Хх, ..., 6У2, представится формулой
(Хх8ехх + Yy8ew + Zz8ezz + Ху8еху + Xz8exz + Yz8e^ 8x8y8z.
Если через у обозначим отнесенную к единице объема внутреннюю энергию деформированного элемента и через 8 и изменение этой энергии, соответствующее приращениям 8Хх, ..., 8YZ1 то будем иметь
6У = Хх6ехх + У y8ew + Zz8ezz 4* Ху8еху + Xz8exz + У г6еуг.(а)
С другой стороны, внутренняя энергия в теле определяется его деформацией; у является функцией составляющих деформации еХх» •••, ехг. Следовательно,
9V к , dV «. dV .. dV ~, dV ., dV . /кх
бу = -^6е- + ^6^ + ^6e- + ^6e^ + i£76<?~ + ^“Se^ <ь)
Сравнивая (а) и (b) заключаем, что
dV . dVdV „ e
ххdeyydezz
dV v . 9V V . dV V'
деdedez>
oexydexzdeyz
и так как на основании обобщенного закона Гука (25) составляющие напряжения являются однородными линейными функциями составляющих деформации, то потенциальная энергия V представится однородной функцией второй степени от ехх, ..., eyz. В самом общем случае такая функция заключает 21 член (шесть членов видасиехх, ..., с66еху и пятнадцать — вида с^я^у, ..., c56ezxexy) и представляется на основании (25) в таком виде:
Г = *2”^iiexx 4* ^х^хх^уу 4” сггеххегг 4" с14еххеух 4- с15вххв2х 4- c16exxexy 4*
42* С^6уу 4“ C^yy^zz 4* СэдвуувуХ 4” ^^yy^zx 4* ^бРуу^ху 4“
+ 2 ^бб^гх + ^Ьб^^х^ху 4*
+ 4"^ • • • (27)
Таким образом, то обстоятельство, что составляющие напряжения являются частными производными от энергии деформации V по соответствующим составляющим деформации, дает возможность установить между коэффициентами в общих выражениях (25) пятнадцать зависимостей вида crs = Csr и сокращает число упругих постоянных в общем случае до 21.
В предыдущих рассуждениях мы совершенно не упоминали о тепловых явлениях, которыми сопровождается деформация тела. При изменении деформации изменяется температура отдельных элементов тела и в результате происходит или выделение, или поглощение тепла. Если через 6Q обозначим механический эквивалент подводимого тепла, отнесенный к единице объема элемента тела, деформацию которого мы слегка изменяем, то закон сохранения энергии приведет нас к такому уравнению:
6К = Хх6ехх + Y^ + Z/ez2 + Xv6exy + *AXZ + Yz6eyz + 6Q. (a')
Это уравнение совпадает с уравнением (а), которым мы пользовались в предыдущих рассуждениях, лишь в том случае, когда SQ = 0, т. е. когда процесс происходит адиабатически. Примерно в таких условиях протекает процесс, когда деформации происходят с большой быстротой, например при вибрации упругого тела. В этом случае наши предыдущие рассуждения вполне точны и составляющие напряжения Хх> ..., Yг действительно являются частными производными функции 7, представляющей энергию деформации.
Составляющие напряжения могут быть получены как частные производные функции составляющих деформации ехх, ..., еуги в другом крайнем случае, когда деформации происходят весьма медленно. При этом условии можно считать, что температура деформированного тела остается все время постоянной, равной температуре окружающей среды, процесс происходит изотермически. В этом случае последний член в уравнении (а') не будет равен нулю, но если при деформации тело совершит полный цикл, то можно утверждать, что сумма всех 6^, соответствующих этому круговому процессу, будет равна нулю1. Точно так же сумма всех элементов 67, стоящих в левой части уравнения (а'), равна нулю, поскольку тело вернулось в свое первоначальное состояние, следовательно, запас его внутренней энергии остался без изменения. Но если сумма всех бу и 67 равна нулю, то из (а') заключаем, что и сумма элементов вида
Хх6ехх + Yv6ew + Zz6ezz + Уг6ву2 + Zx6exz + Х^ (с) также должна обращаться в нуль при всяком круговом процессе.
Следовательно, выражение (с) должно представлять собой полный дифференциал и составляющие напряжения могут быть получены как частные производные функции, представляющей энергию деформации при изотермическом процессе. Заметим, что при адиабатическом и изотермическом процессах функции, из которых дифференцированием получаются составляющие напряжений, будут различны, а потому будут различны и упругие постоянные, при помощи которых устанавливается связь между напряжениями и деформациями. Для таких материалов, как железо и сталь, разница между упругими постоянными при адиабатическом и изотермическом процессах столь невелика, что в технических вопросах ею всегда можно пренебречь.
. Дальнейшее сокращение числа упругих постоянных
Выше уже отмечалось, что число упругих постоянных, равное в общем случае 21, сокращается, если в строении тела имеется какая-либо симметрия. Возьмем, например, случай, когда строение тела таково, что оно обладает в отношении упругих свойств плоскостью симметрии, и примем эту плоскость за плоскость ху. Тогда выражение (27) для потенциальной энергии должно остаться без изменения, если мы направление оси z заменим направлением прямо
Если бы это было не так, то мы могли бы, повторяя такой процесс, получать тепло, не затрачивая никакой работы.
противоположным. При такой замене придется переменить знаки у координаты z и у составляющей перемещения ю. Следовательно, как видно из (17), изменятся знаки у составляющих деформации exz1 еуг. Чтобы выражение для V осталось неизменным, необходимо положить в нем равными нулю коэффициенты тех членов, куда exz1 eyz входят в первой степени, за исключением члена, содержащего произведение exzeyr Таким образом, получаем
с14 = с1Б = е24 = с25 = с34 = сЗБ = с4б = с5б = 0.(а)
Число упругих постоянных сокращается до 13.
Если тело имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то принимая эти плоскости за плоскости координат, заключаем, что выражение для потенциальной энергии не должно изменяться, если мы любой из трех осей дадим прямо противоположное направление. При этом, как видно из (17), будут изменяться знаки.еху; ех^ eyz.
Чтобы перемена знаков не отражалась на значении 7, необходимо к равенствам (а) присоединить следующие:
с16 “ С26 = ^36 " С45 = ^’Ф)
Таким образом, число упругих постоянных сокращается до девяти и выражение для потенциальной энергии принимает вид
^2 ^Н^хх 4~ с^€уу 4* c33ezz 4* c44eyz 4“ ^55^ zx 4" ^бб^ху) 4” c^Seyyezz 4* <'11вХХвуу 4“ Cl^exxezz*
(с)
Этот случай симметрии соответствует кристаллам, для которых форма кристаллизации— прямоугольный параллелепипед.
Мы можем получить дальнейшее упрощение, если допустим, что по отношению к каждой из плоскостей симметрии упругие свойства тела одинаковы. В таком случае выражение (с) для потенциальной энергии не должно изменяться при перемене оси ж на у, у на z, или ж на г. Этому условию мы удовлетворим, если положим си = с22 = сзз; с^ = сб5 = с^; сгз = схг = = cis- Тогда
^ = *2 " С11 ^ХХ 4” еуу 4“ ^Zz) 4 2~ С44 (вуг 4” ezx 4” еху^ 4” с12 ^eyyezz 4“ еххеуу 4“ exxezz^ (Ф
и составляющие напряжения выразятся через составляющие деформации:
57
^х "де ^ Cliexx"V" C12 ^уу^ ezzY
dV
Yy = де = С^еуу 4" C12 кег2 4* exxY
уу
dV
^z ge cllezz + c12 kexx 4” eyyY
у _^7_.- 9VV av
Ay de C44exy'ac44exz’ 1 z — ~C44eTJz*
xyucxzeyz
Здесь мы имеем только три упругие постоянные. Примером такой симметрии могут служить кристаллы кубической формы, в частности кристаллы каменной соли.
В случае изотропного материала выражение для потенциальной энергии должно быть одно и то же при любом повороте координатных осей. Если мы повернем нашу систему относительно оси z на бесконечно малый угол со, то составляющие деформации для этих новых осей на основании формул (16') и (18) представятся так:
ех'х’ ^ ехх + ^ху1 еу'у' ^ еуу toexy’ ez'z' ~ ezz'
ех’у* ^ еху 4" 2<0 t^yy exxY ех'х' ^ exz 4“ ^T/z» ^z' ^ eyz ^xz*
Выражение (d) для потенциальной энергии не должно изменяться, если вместо вхх» •*•’ еуг подставим ex,x,t ..., еу,г,. Выполняя эту подстановку и отбрасывая малые величины высших порядков, приходим к следующему выражению:
7 + со (еууехх) (2с44 + с1а си).
Чтобы выражение потенциальной энергии не изменялось с поворотом осей, нужно положить 2с44 + е12 — си = 0. Тогда выражения для составляющих напряжения запишутся так:
^х = (^С^ 4” ^тг) ехх 4” с12 ^уу 4~ ^гг)’
^у С44еху*
. Изотропное тело
В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом случае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения уст^довим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций 1 и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями eXXs ew и ег2 (координатные оси х, у, z направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Хх, Yу и Z^ Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, Хх можно представить в таком виде:
Хх = аехх 4~ Ьвуу 4- с^. (а)
Поскольку в рассматриваемом случае материал обладает одинаковыми упругими свойствами по всем направлениям, то в выражении (а) составляющие деформации вуу, егг, представляющие удлинения в направлениях, перпендикулярных к ХХ1 должны, очевидно, войти одинаковым образом; коэффициенты b и с должны быть равны между собой.В дальнейшем условимся обозначать их буквой X. Коэффициент а отличен от X, для него примем обозначение а = X 4* + 2ц. Тогда
Хх = (X + 2ц) ехх 4- X ^вуу 4“ ^zz)- (Ь)
Подобные формулы можем получить и для составляющих напряжения Ур, Zx. Таким образом, главные напряжения выражаются через главные деформации при посредстве двух упругих постоянных X, ц, которые обыкновенно называют коэффициентами Ламе.
Найдем теперь зависимость между составляющими напряжения и составляющими деформации при любом направлении координатных осей. Возьмем
Это допущение впервые было высказано Огюстэном Коши. Cauchy A. L. Sur les equations qui expriment les conditions d’equilibre ou les lois de mouvement interieur d’un corps solide, elastique ou non elastique. Exercices de mathematiques. v0L 3. Paris, Cher de Bure Freres, 1828, pp. 160—187.
новую систему координатных осей xv #n zv Косинусы углов, составляемых этими осями с главными х, у, z, приводим в следующей таблице:
X
У
Z
ХЛ
тг
«1
У1
^2
т^
^2
21
^3
^з
^з
Составляющие напряжения [см. ф-лы (10), (11)1, отнесенные к новым осям, будут,
Хх, = 1^Хх + m^Y у + n^Zz;
YX' = l^Xy + m^Yy + nxn^Zz.
Подставляя вместо главных напряжений их выражения (Ь) через деформации и полагая ехх + еуу + ezz = 0, на основании формул (20) — (22) получаем
^"эс' ,““s^0—|* 2p,ex'x'^Ху' l^^x'y'i
(28)(28)Yу* =Х0-[“ 2[Дву'У'^Хг»=Ц^х'г'»
(28)
(28)
ZZ' =Х0-f- 2|A^z'2'j^X'==^^y'z' •
Это и будут нужные нам зависимости между составляющими напряжения и деформации в случае изотропного тела.
Выражение для потенциальной энергии, из которого зависимости (28) получаются дифференцированием, в случае изотропного тела запишется так:
V = "Г (^ + 2H)02 + А" Ц (е^ + ^ + е2 — ^еотегг — 4еггехх — 4ежхеуу). (29)
18. Модули упругости
В технической литературе вместо коэффициентов Ламе часто пользуются другими упругими постоянными для установления связи между напряжениями и деформациями. Упругие постоянные выбирают на основе опыта. Обыкновенно на опыте осуществляют простейшие виды напряженного состояния, и те коэффициенты пропорциональности, которые связывают взятый тип напряженного состояния с соответствующим типом деформации, принимают за упругую постоянную. Такие постоянные называют модулями упругости. Соответственно выбранному типу напряженного состояния различают: 1) модуль упругости при растяжении, 2) модуль упругости при сдвиге и 3) модуль упругости при всестороннем сжатии. Без всяких затруднений может быть установлена зависимость между различно выбранными упругими постоянными. Модули упругости цросто выражаются через коэффициенты Ламе и наоборот.
Начнем со случая линейного напряженного состояния, соответствующего растяжению или сжатию призматических стержней. Опыты могут быть осуществлены особенно просто, поэтому соответствующий модуль упругости, называемый модулем Юнга \ дают обыкновенно в технической литературе как величину, характеризующую упругие свойства материала. Предположим, что линейное напряженное состояние состоит в растяжении по оси х. Тогда зависимости (28) между напряжениями и деформациями примут вид
Хх = Х6 + 2цехх;'
(а)(а)О = XG -(- 2цеуу;
(а)
(а)
О = А,е + 2це22.
Модуль упругости при растяжении — это коэффициент пропорциональности, связывающий взятое нами напряжение Хх с соответствующей деформацией ^х. Для получения этой зависимости из уравнений (а) сложим эти уравнения и найдем таким путем выражение для объемного расширения: 6 = Хх. оК -j™
Подставив найденное значение 6 в первое из уравнений (а), получим
хх = ^ТД^ =Ее-<°)
Л "Г Ц
Множитель при ехх, обозначенный буквой Е, представляет искомое выражение для модуля Юнга.
Из уравнений (а) легко может быть найдена и другая постоянная, которой часто пользуются для характеристики упругих свойств изотропного материала, именно отношение поперечного сжатия к продольному удлинению при простом растяжении. Эта постоянная носит название коэффициента Пуассона 2. В дальнейшем мы будем обозначать ее буквой о. Второе из уравнений (а) дает
е
2ц2ц (ЗХ + 2ц)
Сравнивая полученное значение поперечного сжатия с найденным выше продольным удлинением ехх, получаем
Модулем упругости при сдвиге называют коэффициент пропорциональности, связывающий одну из составляющих касательного напряжения с соответствующим сдвигом. Величину этого модуля будем обозначать буквой G. Из уравнений (28) следует
G = ц.(32)
В случае всестороннего сжатия модулем упругости будет коэффициент пропорциональности, связывающий величину сжимающего напряжения с
относительным изменением объема 6. При таком напряженном состоянии Хх = = Уу = Zz = — р, следовательно, ехх = вуу = ехг = — 0.
Из уравнений (28) получаем
(33)(33)р = ^+^-9 = ^
(33)
(33)
где к — величина модуля упругости при всестороннем сжатии.
Пользуясь формулами (30) — (33), легко получить такие соотношениям
(1 + а)(1— 2а) ’2(1 + а) ’ к 3(1 —2а) '
Зависимости между напряжениями и деформациями (28) при использовании модулей упругости представятся в таком виде:
(35)
Ху — Gexy.
Деформации выражаются через напряжения следующим образом:
(36)(36)^хх = ~gr \Хх — a (Yy + Zx^вуу ~ё" 1^у — ^ О^х “Ь ^z)];4 = 4-1^ — а(^ + Уу)].
(36)
(36)
При использовании модулей упругости выражение для потенциальной энергии (29) можно представить так:
У-с[«^ + ^ + ^ + т^эгв2 + ^-(=;, + ^ + «2,.)]-(37)
Глава IVГлава IVОБЩИЕ ТЕОРЕМЫОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Глава IV
Глава IV
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 19. Определение напряжений
При решении различных технических задач вопрос обыкновенно сводится к определению прочных размеров рассчитываемых конструкций. При этом приложенные к телу силы известны и по этим заданным внешним силам приходится определять напряжения, возникающие внутри тела.
дХг .'Н——Н р^ = 0;дХг .'Н——Н р^ = 0;акхдх^Эхду9YXdYvдх * дудхдуакхдх^Эхду9YXdYvдх * дудхдуСоставляющие напряжения ХХ1 ..., Zz в каждой точке тела должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия
дХг .'
Н——Н р^ = 0;
дХг .'
Н——Н р^ = 0;
акхдх^
Эхду
9YXdYv
дх * ду
дхду
акхдх^
Эхду
9YXdYv
дх * ду
дхду
(а)(а)+ ^ + рУ = 0;
(а)
(а)
дъ
+ ^ + »z = o.
нения виданения видаКроме того, на поверхности эти составляющие должны уравновешивать приложенные к телу внешние силы, т. е. должны быть удовлетворены три урав
нения вида
нения вида
Х^ = Хх cos (от) + Ху cos (z/y) 4- Х2 cos (от);
(b)
Ранее было отмечено, что уравнений (а) и (Ь) недостаточно для определения напряжений. Необходимо принять во внимание, что вызываемые напряжениями деформации должны удовлетворять шести дифференциальным зависимостям! трем уравнениям вида
УУ । zz _ и cyz/ х
д^ ду^ ~ дудаW
и трем уравнениям вида д^е^ а /де^ 9е^ \_
9 хх иyz.ух 1 ./лх
дудх дх \ дх ‘ ду ‘ дх /' '
Присоединяя эти дифференциальные зависимости к уравнениям (а) и (Ь), получаем достаточно условий для определения напряжений.
При решении некоторых задач более удобно дифференциальные зависимости, связывающие составляющие деформации, заменить соответствующими зависимостями между составляющими напряжения. Необходимые преобразования
4 1—1881
могут быть выполнены при помощи установленной выше связи (36) между напряжениями и деформациями.
Вводя обозначение Хх + Y4 + Z2 = 0 из (36), получаем его = -^-[(1 -F + а) У у — о0]; егг = -^- [(1 + о) Z2 — о0]. Кроме того, еуг = 2 (^ ^ У2. Вставляя это значение в уравнение (с), получаем
л, J^.^ДI9^0,9=0\9М.Х^2Уг, .
(1Ч- о) I Т-оTV* ) ^ (Л 2ДЗ"=2(1 ~Ь ^)"д" д(в)
4' \dz2ду2 /\dz2dy2)'dydzх '
Правуючастьэтого уравненияпреобразуемпри помощиполучаемых из
уравнений равновесия (а) равенств
дУ,9ZXdZZ
=dyoxdz
5L = _^_5._fiydzdx dy*
Дифференцируя первое из этих равенств по z, второе по у и складывая их, находим
о 9 ( 9Zx ,а2ъгd2y^ozav
dydzЭх \ Oz "Т" dy ' dz2ду2dzdy
_9 / ^жdZдУ -
dx I dx Р / dz2 dy2 ^ dz ^ dy
=I 9Х I 9Y х 9Z\
dx2 dy2 dz2 P \ dx ' dy dz )
Подставляя этот результат в равенство (е) и пользуясь для сокращения сим
2 9V . а2 а2■
волом V =+ -^2- + -^2- 2 получаем
(1 + (У) IV2® — v2^»(v20.—-S") =.
/1 I X С 8Х . ЭТ . dZ\
= -р(1+ »)(- — + _ + _).(f)
Подобные выражения получим и для двух других уравнений вида (с). Сложив эти три выражения, найдем
/4\ах ay х az \
(1-а)?20 = -р(1 + <1)1-уГ + -5Г+-дГ)-
Определив отсюда у20 и подставив его в (f), получим
„у , 1 920 о / дХ . 9У 8Z \ 9п ЭХ ,поХ
Таким же образом преобразуются и два других уравнения вида (с). Уравнения вида (d) после подобных преобразований могут быть представлены в следующем виде г5
V2^ +V2^ +1д261 + a dydz1д261 + a dydz(39)(39)
V2^ +
V2^ +
1д26
1 + a dydz
1д26
1 + a dydz
(39)
(39)
При отсутствии объемных сил или при постоянных силах дифференциальные зависимости (38) и (39) принимают вид
(1 + о) 7^+5 = °;
(l + o)V2yu + ^® =0;
(40)(40)(l + o)V2Z7 +5 = 0;
(40)
(40)
(1 + <г)^+5?2 = 0'(1 + 0)7^+ 5 = °; d + ^^ + S^0-
Присоединив эти зависимости к уравнениям (а) и условиям на поверхности (Ь), будем иметь достаточное число уравнений для определения напряжений Ч
§ 20. Определение перемещений
Определив составляющие напряжения, при помощи установленных раньше зависимостей (36) между напряжениями и деформациями найдем составляющие деформации Дальнейшая задача будет заключаться в определении по найденным деформациям соответствующих перемещений и. у, ю, и она приводится к интегрированию системы линейных уравнений первого порядка;
ди du ди? ди ( ди
— ®xx' 17 — 1z17 + И
ди , ди?ди . ди?
Эти шесть уравнений заключают девять различных производных. Если трем из этих производных дать произвольные значения, то остальные шесть производных определятся из приведенных уравнений Найдя таким образом значения всех производных, путем интегрирования получим величины перемещений и, v, w. При этом интегрировании, очевидно, появятся три новые произвольные постоянные, следовательно, в окончательные выражения и, и и w войдут шесть произвольных постоянных Механический смысл этих произвольных постоянных ясен; они указывают на то что, не меняя деформаций, можем сообщить телу перемещение, возможное для абсолютно твердого тела.
Перемещение это в общем случае определяется шестью величинами: тремя составляющими перемещения по направлениям координатных осей и тремя вращениями относительно тех же осей. Аналитически это может быть показано следующим образом. Пусть у0, и^— решения уравнения (а), тогда и0 + v0 + уг» wn + шт также будут решениями этих уравнений, если только uv vu
Некоторые дополнительные условия, которым должны удовлетворять напряжения в случае тел, ограниченных сложным (не односвязным) контуром, мы рассмотрим ниже, при решении плоской задачи.
4*
и\ удовлетворяют уравнениям
дих гх дих ^ dwx zx дих , дих zx дих , dwx дх ’ ду 'да ’ ду да ’ да дх ’
(Ь)(Ь)^ + ^. = 0.да ду
(Ь)
(Ь)
Если эти уравнения продифференцировать по х. у и z, то получим 18 уравнений, заключающих 18 различных вторых производных от uv vx, wv Все эти производные оказываются равными нулю, следовательно, перемещения uv vv wx представляют собой линейные функции координат. Легко проверить, что самый общий вид этих перемещений, при наличии уравнений (Ь), будет такой: их = a — ту + nz; vx = b + тх —rz; w = с — nx + ту.(41)
Очевидно, a. 6, с представляют перемещения, соответствующие поступательному движению. Величины т, п, г суть элементарные вращения относительно координатных осей. Если мы к дифференциальным уравнениям равновесия и к условиям на поверхности присоединим еще условия закрепления (см. § 10), то сможем определить постоянные а, ..., г и, следовательно, найдем перемещения и, и. w, обусловленные деформацией тела.
§ 21. Непосредственное определение перемещений
В § 19, 20 был показан путь решения задачи теории упругости, который распадался на два этапа. Сначала по заданным внешним силам определялись напряжения и потом по найденным напряжениям — соответствующие перемещения. В некоторых случаях удобнее непосредственно приступать к определению перемещений и, у, id. Для этого необходимо дифференциальные уравнения рав
новесия
дХхдх9YXдхdZxдхдХхдх9YXдхdZxдх9_Ь_ду9YVдуду9_Ь_ду9YVдуду—+ рХ = 0;L + рУ = 0;^ + pZ = 0—+ рХ = 0;L + рУ = 0;^ + pZ = 0(а)(а)
дХхдх9YXдхdZxдх
дХхдх9YXдхdZxдх
9_Ь_ду
9YVду
ду
9_Ь_ду
9YVду
ду
—+ рХ = 0;
L + рУ = 0;
^ + pZ = 0
—+ рХ = 0;
L + рУ = 0;
^ + pZ = 0
(а)
(а)
выразить через перемещения и, d, w.
На основании зависимостей (28) между составляющими напряжения и деформации имеем
Хх = Л0 + 2р^-;Хх = Л0 + 2р^-;
Хх = Л0 + 2р^-;
Хх = Л0 + 2р^-;
v( ди . dw\
xz — ^e«z — н 1^-^- +•
Вставляя эти значения в первое из уравнений (а), получаем
। х ^9 ।/ ^и . д^и . д^и\ ,
Подобным образом могут быть преобразованы и два другие уравнения сн-
стемы (а). Пользуясь для упрощения символом V2, представим уравнения рав-
(42)(42)новесия, выраженные через перемещения, в таком виде: (X + Ю 4г + ^2“ + Р^ = °-
(42)
(42)
Если тело совершает движение, то к объемным силам придется присоединить силы инерции, и мы получим такую систему дифференциальных уравнений:
(X + p)-S- + pV2u + р(х(X + p)-S- + pV2u + р(хdt^ Idt^ I(43)(43)
(X + p)-S- + pV2u + р(х
(X + p)-S- + pV2u + р(х
dt^ I
dt^ I
(43)
(43)
Выразив через перемещения дифференциальные уравнения равновесия или движения упругого тела, необходимо соответствующим образом преобразовать и условия на поверхности:
Xv = Хх cos (rev) + Ху cos (yv) + Хг cos (zv);
Подставляя вместо Хх, ... их выражения через перемещения, получаем
Xv = Х0 cos (rev) + ц cos (rev) + cos (yv) + cos (zv) +
I OXOy02J
[
du / X 1 9u/\ \X1
cos (xv) + -^ cos (yv) + -^ cos (zv) j;
Или, принимая во внимание, что производная по нормали ди ди дх .ди ди . ди dz ди .. ,
+ -^- cos (yv) 4- -^- cos (zv), получаем
Xv= Х9 cos (xv) +р [ -^- + cos (XV) 4- -^- cos (yv) 4- -^ cos (zv) I; |
i (44)
Уравнения (43) и условия на поверхности (44) вполне определяют перемещения и, у и w, которые совершают точки закрепленного упругого тела при деформации.
В случае, когда нет объемных сил, уравнения (43) перепишутся так:
(Х4-)1)4г + ^ = 0;
(45)(45)(X 4-)!)-§-4-^у = 0;
(45)
(45)
(X4-n)-g-4-nV^ = 0.
Дифференцируя первое из этих уравнений по х, второе по у. третье по z и складывая результаты, находим:
(Л 4- w V2e 4- и7а (-^ + “?" += о.
''\ Эх ' ду dz )
Следовательно, объемное расширение 6 представляется в этом случае функцией удовлетворяющей дифференциальному уравнению
(46)(46)д^ д29д29
(46)
(46)
бх2 *" бу2 * dz2
§ 22. Однозначность решения
Когда дифференциальные уравнения теории упругости установлены, приходится решать для них два основных вопроса: вопрос о существовании решения для составленной системы уравнений и вопрос об однозначности решения Что касается первого вопроса, то он имеет чисто математический характер. Задача о существовании интеграла для дифференциальных уравнений теории упругости до сих пор не вполне разрешена и мы этого вопроса в дальнейшем касаться не будем Ч
Однозначность решения уравнений теории упругости для случая тел с односвязным контуром была впервые доказана Кирхгофом 2. Будем исходить при доказательстве из представления о естественном состоянии упругого тела. Если на элементы тела не действуют никакие объемные силы, а также не приложено никаких усилий к поверхности тела, то тело не испытывает никаких деформаций и все внутренние напряжения равны нулю. Предположим, что при заданных объемных силах рХ, рУ, pZ и данных усилиях на поверхности Xv, Y^ Zv дифференциальные уравнения равновесия (3) имеют два решения. Пусть Хх, ...» Уz представляет систему напряжений, соответствующих первому решению, и Хх, ¥г — второму. Составим разности Хх = Хх — Хх, ..., Уг = = Уг — Уг. Они представят собой систему напряжений ХХ1 ..., YZl удовлетворяющих уравнениям
-jК □L. = одх ' ду ‘ dz
и условиям на поверхности
0 = Хх cos (от) + Ху cos (yv) + Хг cos (zv);
Напряжения эти, как следует из понятия о естественном состоянии упругого тела, равны нулю. Следовательно, системы напряжений Xxi ..eiYz и ХЖ1 ...
..., Х\ тождественны, и уравнения (3) при заданных внешних силах допускают лишь одно решение.
Этот вывод основан на принципе сложения действия сил и предположении, что перемещения, обусловленные деформацией тела, не оказывают влияния на действие внешних сил. В тех случаях, когда принцип сложения действия сил не применим, одной и той же системе сил может соответствовать несколько различных форм равновесия. Эти вопросы будут рассмотрены ниже в связи с задачами об устойчивости различных форм равновесия упругого тела.
В случаях, когда тело ограничено многосвязным контуром, доказательство однозначности решения уравнений теории упругости, основанное на представлении о естественном состоянии упругого тела теряет силу, и мы будем, вообще говоря, получать многозначные решения. Физический смысл этого заключения выясним на простейшем примере. Возьмем случай кольца. Одним плоским разрезом мы можем обратить кольцо в тело с односвязным контуром. В таком теле при определенных внешних силах возникают вполне определенные напряжения и деформации. Если мы удалим внешние силы, напряжения и деформации пропадут, тело вернется к своему естественному состоянию. Удалим посредством плоского сечения тонкий слой материала кольца у места разреза. Тогда концы разрезанного кольца не будут совпадать друг с другом при отсутствии внешних сил; мы сможем привести их к соприкасанию, лишь приложив внешние силы. Предположим, что мы достигли таким путем соприкасания и скрепили (склеили, спаяли) между собой поверхности, соответствующие месту разреза, тогда по удалении внешних сил в кольце останутся напряжения, величина которых будет зависеть от того, какая часть материала кольца была удалена у места разреза. Напряжения эти, возникающие, как мы видим, в телах с многосвязным контуром, при изготовлении называют самонапряжениями или начальными напряжениями. Они именно и обусловливают многозначность решений уравнений теории упругости в случае многосвязных контуров \
На практике начальные напряжения играют весьма существенную роль, но их редко удается учесть аналитически, так как обыкновенно нет точных данных относительно тех условий, благодаря которым начальные напряжения возникли .
§ 23. Применение начала возможных перемещений к упругим телам
Начало возможных перемещений, которым так часто пользуются при исследовании условий равновесия систем, составленных из абсолютно твердых тел, может быть иногда с большим эффектом применено и к упругим телам. Рассмотрим условия равновесия одной материальной точки, принадлежащей какой- либо системе.
Пусть Р обозначает равнодействующую всех внешних приложенных к точке сил и X, У, Z — проекции этой равнодействующей на координатные оси.
Через Рг обозначим равнодействующую всех внутренних сил, представляющих действие, оказываемое на рассматриваемую точку остальными частями данной системы, через Xt^ Yt и Zt — проекции Pt. Начало возможных перемещений дает уравнение
Хби 4- Y6v + Z6w 4- Хгби 4- Yi6o 4- Z,6w = 0,(а)
имеющее место при всех возможных перемещениях би, 6v, би;. Уравнения вида (а) могут быть получены для всех точек системы. Просуммировав, получим уравнение
2 (Хби 4- Y6v 4- Z6iu) 4- 2 (Хгби 4- Угби 4- Zi5w) = 0.(Ь)
Если мы имеем дело с абсолютно твердым телом, то расстояния между точками системы не изменяются и работа внутренних сил обращается в нуль. Следовательно, при всяком перемещении, возможном для твердого тела, будем иметь
2 (Хби 4- Y6v + Z6w) = 0.(с)
Упругое тело может совершать перемещения, не претерпевая деформации, поэтому для него уравнение (с) остается в силе: внешние силы, приложенные к упругому телу должны удовлетворять уравнениям равновесия, соответствующим твердому телу. Но кроме перемещений, свойственных абсолютно твердому телу, упругое тело может совершать бесчисленное множество других перемещений, сопровождающихся изменением формы тела. Перемещения эти (би, би, 6w) должны удовлетворять лишь условиям, установленным для перемещений и, и, w в упругом теле (см. § 10, 11). Для таких перемещений второй член в уравнении (Ь) в нуль не обращается и начало возможных перемещений в применении к упругим телам получает такое выражение: форма, которую принимает упругое тело под действием внешних, приложенных к нему сил, характеризуется тем, что на всяком возможном для упругого тела отклонении от этой формы сумма работ всех внешних и внутренних сил равна нулю.
Представим теперь уравнение (Ь), выражающее начало возможных перемещений в применении к упругому телу, в ином виде, для чего воспользуемся прежними обозначениями. При составлении работы внешних сил будем различать силы, приложенные по поверхности тела, и объемные силы. Тогда работа внешних сил, соответствующая возможным перемещениям би, би, 6w, представится в виде
J J (Х^би + У^би 4- Z^6u2) ds 4- у у У (pX6w + рУви 4- pZ&p) dxdydz.
Здесь двойной интеграл, распространенный по поверхности тела, представляет работу поверхностных сил, тройной интеграл — работу объемных сил.
При составлении работы внутренних сил воспользуемся выражением для потенциальной энергии
V = -у (X 4" 2ц) 02 4- -|- ц ^г 4- е^ + ^ — 4eweZ2 — 4еггехх — 4еххе^.
Потенциальная энергия представляет собой отнесенную к единице объема работу внешних сил, затраченную на деформацию. Внутренние силы упругости при деформации все время уравновешивают внешние силы, поэтому соответствующая им работа, отнесенная к единице объема, будет равна по величине и противоположна по знаку V.
Если точкам упругого тела дадим возможные перемещения би, 6у, 6w, то составляющие деформации получат приращения е dbuс дби дбю
овхх — —д , ..., ову^ —4™ a *
ох 7 aду
и потенциальная энергия V возрастет на величину
oV _ 8V8V8V
V 8ехх 6еЖЖ 8еуи 6e"y + 8егг 6в“
. 8V с. 9V о8V о
+ 8ехм ^ + 8ехг + "^7 6e«z-уд
Следовательно, соответствующая принятым возможным перемещениям работа внутренних сил упругости, отнесенная к единице объема, будет
— бг = — 6 ^-А- (X + 2ц) е2 +
4“ ~2~ р (^yZ 4* ^ZX ^ХУ 4^уу5224в22£жж — ^^ХХ^уу) 1 •
Работа всех внутренних сил упругости представится формулой
-6Ш14»+здв,+
+ 4" Ц (^2 + е^ + е^ — 4еууе22 — 4е22ежж — 4ежжеуу) j dxdydz,
и уравнение (Ь) запишется так:
j j (Xv6w + Y^6u + Z^6u?) ds +
+ J J ^ p (Хби + Y6v + Z6u;) dxdydz — 6J 5 J[4-<^+2rt e*+
+ 4" P (eyz + eL + exv — ^еуие» — ^e«exx — 4ежжеуу) j dxdydz = 0.(47)
Если через W обозначим работу всех внешних сил, совершенную при деформации тела, и примем во внимание, что на основании теоремы Клапейрона
2PF = J J (Х^и + У vy + Z^w) ds + J J J p (Xu + Yv + Zui) dxdydz, то уравнение (47) примет вид
6 (2W — j* j* J Vdxdydz) = 0.(48)
При составлении вариации нужно помнить, что внешние силы остаются постоянными и мы даем приращения только перемещениям и, v, w.
Следовательно, форма равновесия, которую получает тело под действием заданных сил, характеризуется тем, что функция перемещений и, и и w, представленная выражением J = 2PF — JJj V dxdydz, приобретает значение максимума или минимума, так как первая вариация этой функции обращается в нуль для всех возможных перемещений би, 6v, 6w. В дальнейшем мы будем пользоваться этим обстоятельством и иногда будем интегрирование дифференциальных уравнений заменять разысканием максимума или минимума функции J. Таким путем можно находить приближенные решения при исследовании изгиба стержней и пластинок.
До сих пор мы выбирали возможные перемещения совершенно произвольно. Величины би, би, би? должны были удовлетворять лишь общим условиям, принятым для перемещений точек упругого тела. Подчиним теперь те отклонения, которые мы сообщаем упругому телу, находящемуся в равновесии под действием заданных сил, дополнительному условию, а именно будем брать лишь такие значения би, 6v, 6w, при которых внешние силы не совершают никакой
работы. Другими словами, будем сравнивать между собой лишь такие формы, для которых
J J (Х^и + Y^u + Z^ ds = const;
J Jj p (Xu + Yv+ Zw^ dxdydz = const.
Тогда уравнение (48) запишется так:
6УУУ^^2 = О.(49)
Следовательно, из всех форм, которым соответствует одна и та же работа заданных внешних сил, форма равновесия выделяется тем, что для нее удовлетворено условие (49) и, следовательно, потенциальная энергия получает максимальные или минимальные значения.
Начало возможных перемещений является самым общим началом статики, поэтому из соответствующего ему уравнения (47) могут быть получены и дифференциальные уравнения равновесия (14) и условия на поверхности (3), которые были ранее нами найдены из рассмотрения условий равновесия бесконечно малых элементов деформированного тела. Для этого нужно произвести лишь некоторые преобразования с членом
^ J У У [*2~ ^ "^ ^ $ ^ 2~^ ^х ^" 6x2 "^ вху ^W^z ^ezzexx ^хх«у^ dxdydz, (d) соответствующим работе внутренних сил упругости на принятых нами возможных перемещениях du, би, bw. Составляя указанную вариацию и принимая во внимание зависимости (28) между напряжениями и деформациями, для работы внутренних сил (d) получим такое выражение:
(е)(е)- Ш (Хж66юс + Y^ + Zz&z2 + Ху6еху + Xz6exz + Уг6еуг) dxdydz Если принять во внимание, что
(е)
(е)
„& ди дди с дйи , дби
0е5 ♦ • • •^ —а1 л'
^ бх дхХУ дх ду
то выражение (е) можно преобразовать, выполняя интегрирование по частям следующим образом:
"^ ^ Х^ежхйхауа1 = — ^ у у Xx_^dxayaz =
= — J [Уж6и] dydz + У——— budxdydz}
-\^х-6е-ы*—^?Л*-\^х-6е-ы*—^?Л*У^А dxdydzду /У^А dxdydzду /
-\^х-6е-ы*—^?Л*
-\^х-6е-ы*—^?Л*
У^А dxdydzду /
У^А dxdydzду /
dxdz — J J (^эс^) dydz + ^^^-—^. du + -— х dyj dxdydz;
Обозначая через ds элемент поверхности тела и принимая во внимание, что dydz = = ds cos (xv), dxdz = ds cos (i/v), dxdy = ds cos (zv), преобразованное выражение (e) можно представить так:
— j I f^x cos ^x^ + ^y cos ^^ + ^z cos (zv)) ^“ + ^x cos (xv) + Yy cos(i/v) 4- Yz cos (zv) du +
+ (Zx cos ^ + Z^ cos (z/v) + Z2 cos (zv)) bu?\ ds ++ (Zx cos ^ + Z^ cos (z/v) + Z2 cos (zv)) bu?\ ds +dxdx5хЭу5хЭуЙХ, \ .ЙХ, \ .
+ (Zx cos ^ + Z^ cos (z/v) + Z2 cos (zv)) bu?\ ds +
+ (Zx cos ^ + Z^ cos (z/v) + Z2 cos (zv)) bu?\ ds +
dx
dx
5хЭу
5хЭу
ЙХ, \ .
ЙХ, \ .
! ЗУ,8У«У, 1./ »,azaz11
+ I —51о15— dz; + I —1 —1 -— Ьш dxdydz.
' \ dxdy dz ;\ dxdydz)]
Здесь двойное интегрирование распространено по поверхности и тройное — по объему тела. Подставляя полученное выражение для работы внутренних сил в уравнение (47) и собирая вместе все члены с множителем Ьи и соответственно 6 у и bw находим, что уравнение (47) при произвольных значениях bu, dy, bw будет удовлетворено лишь в том случае, если на поверхности тела выполнены условия
Xv = Хх cos (zv) 4- Х^ cos (z/v) + Хг cos (zv);
Yv = Yx cos <x^ + Yy cos (yv) + Y? cos (zv);
Zv = Zx cos ^ + Z^ cos (yv) + Zz cos (zv)
и в каждой точке внутри тела имеют место уравнения
dXx
dX,,
дХг
dx
1 dy
dz
+ pX = 0;
dYY
dYu
dYz
4_ _L .
+ рУ = 0;
dx
ay 1
dz
az„
dZz
-1
iy i
dx
1 ay 1
dz
1 p^ — V.
Таким образом, из начала возможных перемещений можно получить ранее установленные дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности тела. Уравнение (47) может быть положено в основу всей теории упругости.
В предыдущих рассуждениях мы сравнивали действительную форму равновесия, которую упругое тело получает при действии заданных сил с другими близкими ей, геометрически возможными формами, получаемыми путем перемещений bu. 6р, Sip. Действительная форма характеризуется тем, что для нее удовлетворено уравнение (47). Будем теперь сравнивать действительное распределение напряжений, возникающих в теле под действием заданных сил с другими, возможными с точки зрения статики, распределениями напряжений. Шесть составляющих напряжения Хх, ..., Yz связаны между собой тремя дифференциальными уравнениями равновесия (14) и если не принимать во внимание связи между напряжениями и деформациями, то можно найти сколько угодно различных распределений напряжений, удовлетворяющих условиям статики. Чем же выделяется из всех этих статически возможных распределений напряжений действительное напряженное состояние? Для решения этого вопроса воспользуемся началом возможных перемещений. Пусть Хх. .... Yz — составляющие напряжений, соответствующих действительному напряженному состоянию.
Рассмотрим другое распределение напряжений, для чего дадим действительным составляющим напряжения Хх. ..., Yz приращения ЬХх. ..., 6YZ и выберем соответствующие приращения внешних сил так, чтобы были удовлетворены уравнения равновесия
dbXx dbX„ dbX2
+ рбХ = 0;
dx x dy ‘ dz
и условия на поверхности
6Хх cos (xv) + ЬХу cos (z/v) + 6Хг cos (zv) = 6XV;
Так как система напряжений 6Xx, ..., 6У2 и соответствующих им внешних сил 6Х^ ..., 6ZV удовлетворяет условиям статики, то работа этой системы внутренних и внешних сил на всяком возможном для упругого тела перемещении будет равна нулю. Возьмем в качестве возможных перемещений действительные перемещения и, и, иг, которые совершают точки тела при действии заданных сил, и соответствующие им составляющие деформации еХХ) ..., еуг- Тогда начало возможных перемещений дает уравнение
У У ДХ^и + 6Yvy + 6Zvzp) ds + У У У р (6Хи + 6Уу + 6Zw) dxdydz —
— У У У (бХхехх + 6Уу^у + 6Zxexz + 6Хуеху + 6Xzexz + 6У zeyx) dxdydz = 0. (f)
Последний член в этом уравнении может быть представлен в ином виде, если воспользоваться выражением (37) для потенциальной энергии. Преобразуем выражение (f), подставив вместо составляющих деформации их выражения (36) через составляющие напряжения. Тогда получим
У = -^ [^ + У^ 4- ^ - 2о (^яУу + ХхЯг + YyZ^ 4
+ 2 (1 + а) (Х^ + Х^ + У')]-(37')
Приращение У, соответствующее приращениям бХх, ..., 6У2 составляющих напряжений, будет
6V = -g-SXx+ + -^-ЬУг = А.\Хк-а(Уз, + 2г)АЬХх + ... +
+ .^ + с>.уг6ух.
На основании этого результата и зависимостей (36) можем переписать уравнение (f) так:
6 У У У Vdxdydz = У У (6Xvu + 6yvy + SZ^u?) ds +
+ У J У p (ДХи + 6Yv + SZw) dxdydz.(50)
В этом уравнении потенциальная энергия выражена через составляющие напряжения, и при составлении вариации б УУУ Vdxdydz даем этим составляющим приращения, удовлетворяющие уравнениям равновесия. При выводе уравнения (50) мы воспользовались началом возможных перемещений и выражением (37) для потенциальной энергии, поэтому полученный нами результат применим лишь к упругим телам, следующим закону Гука, в то время как начало возможных перемещений применимо к упругим телам с любой зависимостью между напряжениями и деформациями.
Если при сравнении различных напряженных состояний будем давать составляющим напряжений лишь такие приращения 6XV, ..., 6У2, при которых правая часть уравнения (50) обращается в нуль, то получим
6 У У У Vdxdydz = 0,(51)
т. е. из всех удовлетворяющих указанному выше условию распределений напряжений действительное напряженное состояние выделяется тем, что для него потенциальная энергия приобретает максимальное или минимальное значение.
Заметим, что уравнение (51) по форме совершенно совпадает с уравнением (49). Но в уравнении (49) мы сравнивали значения потенциальной энергии для различных геометрически возможных форм равновесия, которым соответствует одно и то же значение работы внешних сил, а в уравнении (51) мы сравниваем различные возможные с точки зрения статики распределения напряжений, при которых правая часть уравнения (50) равна нулю. В первом случае потенциальная энергия выражена в виде функции составляющих деформации, во втором случае мы пользуемся выражением (37'), т. е. представляем потенциальную энергию в виде функции составляющих напряжения.
Уравнение (51) является самым общим выражением для известного из курса сопротивления материалов начала наименьшей работы, которым мы обыкновенно пользуемся при разыскании лишних неизвестных в статически неопределимых системах. Чтобы применить начало наименьшей работы, мы должны прежде всего представить потенциальную энергию системы в виде функции лишних неизвестных и затем для этих неизвестных нужно подобрать такие значения, при которых составленное нами выражение для потенциальной энергии приобретает значение минимума, т. е. нужно удовлетворить уравнению (51). Выражение, соответствующее правой части уравнения (50), равно нулю, так как в случае применения начала наименьшей работы предполагается, что перемещения, соответствующие искомым лишним неизвестным, равны нулю.
Глава ГГлава ГПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Глава Г
Глава Г
§ 24. Постановка задачи
При решении дифференциальных уравнений равновесия
аххдхдх82хдхаххдхдх82хдхЭу^Ь.ду82УдуЭу^Ь.ду82Уду9Хгdzа^гdzахгдг9Хгdzа^гdzахгдг4- рХ =0:4- рХ =0:+ рУ = 0:+ рУ = 0:+ pZ = 0+ pZ = 0
аххдх
дх
82х
дх
аххдх
дх
82х
дх
Эу^Ь.ду82Уду
Эу^Ь.ду82Уду
9Хгdz
а^гdz
ахгдг
9Хгdz
а^гdz
ахгдг
4- рХ =0:
4- рХ =0:
+ рУ = 0:
+ рУ = 0:
+ pZ = 0
+ pZ = 0
для составляющих напряжения Хж, ..., У? приходится подыскивать такие выражения, чтобы были удовлетворены условия на поверхности (3) и, кроме того,— найденные выше (§ 19) дифференциальные зависимости (38) и (39). Зависимости эти, как видно из их вывода (уравнение (е), §19), связывают между собой вторые производные составляющих напряжения. Поэтому в случаях, когда удается удовлетворить уравнениям равновесия (а) и условиям на поверхности, выбрав для составляющих напряжения постоянные величины или линейные функции координат, дифференциальные зависимости будут, наверное, удовлетворены, а решения системы уравнений (а) будут решениями соответствующей задачи теории упругости.
Эти простейшие задачи на основании различных произвольных допущений относительно деформации тел были разрешены значительно ранее установления общих уравнений теории упругости. Сюда относятся случаи растяжения и сжатия призматических стержней, задача о всестороннем равномерном сжатии, чистый изгиб призматических стержней и пластинок и кручение круглых стержней. Все эти вопросы излагаются в элементарном курсе сопротивления материалов. Здесь мы еще раз возвращаемся к ним, чтобы на самых простых примерах показать общий ход решения задач теории упругости и выяснить общий метод определения перемещений точек упругого тела, если известно распределение напряжений.
§ 25. Напряжения постоянны по объему тела
Если составляющие напряжения постоянны по объему тела, то дифференциальные уравнения равновесия могут быть удовлетворены лишь при условии отсутствия объемных сил. Только поверхностными силами можно вызвать в теле однородное напряженное состояние и, следовательно, однородную деформацию.
Рассмотрим случай, когда нормальные напряжения по любой площадке, проведенной в теле, имеют одну и ту же величину — р. Тогда
Хх = Yy ~ Zz = р.(а)
Эллипсоид напряжений обращается в шар и касательные напряжения по любой площадке обращаются в нуль. Переходя к условиям на поверхности (3), заключаем, что по любой площадке, совпадающей с поверхностью тела, нормальное напряжение должно быть — р, а касательное — равно нулю. Следовательно, напряженное состояние (а), которым мы задались, может быть создано в упругом теле равномерным всесторонним сжатием интенсивности р. Деформации, возникающие при этом, были рассмотрены в связи с определением объемного модуля упругости (§ 18).
§ 26. Напряжения линейно зависят от координат
В качестве примера рассмотрим напряженное состояние, определяемое следующими значениями составляющих напряжения:
X. = Yy = Ху = Xz = Yz = 0; Zz = gpz,(a)
тяжести.равновесия+ pY = 0;+ РУ = 0;+ pZ = 0тяжести.равновесия+ pY = 0;+ РУ = 0;+ pZ = 0(b)(b)где g — ускорение, соответствующее силе Чтобы дифференциальные уравнения
тяжести.
равновесия
+ pY = 0;
+ РУ = 0;
+ pZ = 0
тяжести.
равновесия
+ pY = 0;
+ РУ = 0;
+ pZ = 0
(b)
(b)
дх*(% dz
дУх дУдУ
дх‘ду‘dz
dzxdz„
дх'dydz.
были удовлетворены, нужно положить X = Y = 0; Z = —g. Следовательно, взятое нами напряженное состояние (а) может возникнуть в упругом теле при действии силы тяжести (ось z предполагается направленной вертикально вверх)
Рассмотрим теперь, каковы должны быть усилия, приложенные по поверхности тела, чтобы напряженное состояние (а) имело место. Искомые усилия мы найдем из условий на поверхности:
Х^ = X cos (хм) + Ху cos (yv) -р Xz cos (zv);
Yv = Y x cos (arv) + Yy cos (yv) + Yz cos (zv);
Zv = Zx cos (хм) + Zy cos (z/v) + Zz cos (zv).
При принятом распределении напряжений (а) найдем: Xv = Yv = 0; Zv = = gpz cos (zv), т. e по поверхности тела должны быть распределены усилия, имеющие направление оси z, причем интенсивность этих усилий пропорциональна косинусу угла, составляемого нормалью v к поверхности тела в рассматриваемой точке с осью z.
Если тело представляет собой цилиндр, высота которого равна I (рис. 6) и образующие параллельны оси z, то для боковой поверхности cos (zv) обращается в нуль, следовательно, равны нулю и соответствующие поверхностные усилия. Для верхнего основания cos (zv) = 1, поверхностные усилия равномерно распределяются по этому основанию и интенсивность их равна gpl. По нижне му основанию, где z = 0, поверхностные силы равны нулю.
Таким образом, взятое нами напряженное состояние (а) представляет собой распределение напряжений, возникающих в цилиндре под действием силы
тяжести, когда верхнее сечение цилиндра закреплено. Если бы мы закрепили
нижнее основание цилиндра, то вместо растягивающих напряжений Z2 получили бы сжимающие напряжения.
Более общее распределение напряжений получим, если предположим, что
цилиндр погружен в жидкость и на него кроме собственного веса действует гид
Рис. 6.Рис. 6.ростатическое давление х.
Рис. 6.
Рис. 6.
Перейдем к определению перемещений, соответствующих принятому распределению напряжений. Составляющие деформации выразятся через составляющие напряжения следующим образом:
(с)(с) dw ^2 gpzе” ~ ~дГ-^-;
(с)
(с)
дм диgpz
вхх — вуу —— -^-a -g-;(d)
_ ди . ди ди ,
вху — ежг eyz —-р
, dw ди , dw А, х
+ ^ = ^г + ^ = °-<е>
На основании (с) можем написать выражение для илНа основании (с) можем написать выражение для ил
На основании (с) можем написать выражение для ил
На основании (с) можем написать выражение для ил
W =+ w»’$
где w0 — неизвестная пока функция от х и у. Второе и третье из уравнений (е) перепишем в виде
^0 ,|^ _ Л. 9^0 |_ л
дх ’ dz ’ ду dz
и получим для перемещений и и у выражения
dwn .dwn ,
и = — z + м0; v = —2 —д’ + ^о,дх иду
где и0 и у0 — функции только х и у.
Подставляя полученные для и и у выражения в уравнения (d), находим
(g)(g)д2ю0,ди0gpz е d2w0__ ди0gpz
(g)
(g)
дх2'дхЕ ’ду2 дуЕ
и так как и0 и у0 от z не зависят, то, следовательно,
^0ди0 __ d2w0 _ d2w0 _ gp
"дГ"дГ — ’ ах2 ду2 ” U Е •W
Подставляя выражения для и и у в первое из уравнений (е), находим
a^w0ди0 . ди0 Q
дхдуду дх
Так как и0 и г0 от z не зависят, то должны быть выполнены условия
52^о _ л. аи0ди0 _ 0
дхду ’ дудх
1 С h г е е С. Application of elastic solids to metrology. Philosophical Magazine and Journal of Sciences, Series 6, 1901, vol. 2, N 11, pp. 532—558; N 12, pp. 594—616.
На основании (h) и (1) можем написать выражения для функций и0, vQ и шд. Нетрудно видеть, что мы удовлетворим всем условиям, положив
юо = ° -^ Iх2 + у2) + «ж + Рг/ 4- т;
“о = бу + б'; о0 = — бж + у.
Искомые перемещения представятся такими формулами:
и =^- хг — az + бу + 6';
v =^ yz — Pz — 6я + у';
w = -Ц- z2 +(ж2 + У2) + «ж + Ру + у.
Шесть произвольных постоянных, которые вошли в выражения для перемещений, соответствуют перемещениям цилиндра как твердого тела. Чтобы устранить возможность поступательного движения, закрепим верхнюю точку А (ж = у = 0. z = Z) оси цилиндра. Возможность вращений будет исключена, если мы закрепим линейный элемент, проходящий через А и совпадающий с осью z, и элементарную площадку, совпадающую с плоскостью т,Ох (см. формулу (16) § 10). Для определения произвольных постоянных в точке А получим следующие шесть условий:и = v = w = 0;Шесть произвольных постоянных, которые вошли в выражения для перемещений, соответствуют перемещениям цилиндра как твердого тела. Чтобы устранить возможность поступательного движения, закрепим верхнюю точку А (ж = у = 0. z = Z) оси цилиндра. Возможность вращений будет исключена, если мы закрепим линейный элемент, проходящий через А и совпадающий с осью z, и элементарную площадку, совпадающую с плоскостью т,Ох (см. формулу (16) § 10). Для определения произвольных постоянных в точке А получим следующие шесть условий:и = v = w = 0;Подставляя ж = у — О, z =Подставляя ж = у — О, z =ди dzвместоди dzвместоI.I.ди dvdzdzU, V И IPди dvdzdzU, V И IP-0.-0.и полагая в нихи полагая в нихнайденные выше значениянайденные выше значенияполучаемполучаем
Шесть произвольных постоянных, которые вошли в выражения для перемещений, соответствуют перемещениям цилиндра как твердого тела. Чтобы устранить возможность поступательного движения, закрепим верхнюю точку А (ж = у = 0. z = Z) оси цилиндра. Возможность вращений будет исключена, если мы закрепим линейный элемент, проходящий через А и совпадающий с осью z, и элементарную площадку, совпадающую с плоскостью т,Ох (см. формулу (16) § 10). Для определения произвольных постоянных в точке А получим следующие шесть условий:
и = v = w = 0;
Шесть произвольных постоянных, которые вошли в выражения для перемещений, соответствуют перемещениям цилиндра как твердого тела. Чтобы устранить возможность поступательного движения, закрепим верхнюю точку А (ж = у = 0. z = Z) оси цилиндра. Возможность вращений будет исключена, если мы закрепим линейный элемент, проходящий через А и совпадающий с осью z, и элементарную площадку, совпадающую с плоскостью т,Ох (см. формулу (16) § 10). Для определения произвольных постоянных в точке А получим следующие шесть условий:
и = v = w = 0;
Подставляя ж = у — О, z =
Подставляя ж = у — О, z =
ди dz
вместо
ди dz
вместо
I.
I.
ди dv
dzdz
U, V И IP
ди dv
dzdz
U, V И IP
-0.
-0.
и полагая в них
и полагая в них
найденные выше значения
найденные выше значения
получаем
получаем
- а/ 4“ б = 0; — р/ -[~ у' = 0; -^—Н У — 0>а = 0; р = 0; б = 0.
Следовательно,
6' — у' — 0, у =6' — у' — 0, у =g^2Е 'g^2Е '
6' — у' — 0, у =
6' — у' — 0, у =
g^
2Е '
g^
2Е '
Окончательно для перемещений получим выражения
Точки, лежащие на оси цилиндра (^ = у = 0), совершают при деформации лишь вертикальные перемещения:
ю = —-^-(Z2 —z2).
Другие точки, благодаря поперечному сжатию, сопровождающему продольное растяжение цилиндра, будут совершать не только вертикальные, но также и горизонтальные перемещения. Линии, параллельные оси цилиндра до деформации, становятся после деформации наклонными к этой оси. Вид 5 1—1801
деформированного цилиндра в искаженном масштабе представлен на рис. 7. Какое-либо плоское поперечное сечение цилиндра, определяемое уравнением z = с, обращается после деформации в поверхность параболоида вращения:
§ 27. Кручение призматических стержней кругового поперечного сечения
При элементарном исследовании напряжений, возникающих в случае кручения круглых стержней, исходят из предположения, что плоские поперечные сечения скручиваемого стержня остаются и после деформации плоскими, а радиусы, проведенные в плоскости сечения, остаются прямыми.
Как следствие этих допущений получаем, что по плоскостям поперечных сечений скручиваемого стержня действуют лишь касательные напряжения. Величина этих напряжений в какой-либо точке А (рис. 8) поперечного сечения пропорциональна расстоянию этой точки от центра сечения О, а направление перпендикулярно к направлению О А соответствующего радиуса. Если ось z совпадает с направлением оси цилиндра, то согласно элементарной теории кручения для составляющих напряжения получаем следующие значения:
Хх = Yy = Zz = Ху = 0;
Xz = — тр,у; Yz = тця.
Здесь через т обозначен угол закручивания, приходящийся на единицу длины стержня.
дххдхдх агх дхдххдхдх агх дх8уdY8у9Z.ду8уdY8у9Z.ду^г дгдгdZ„^г дгдгdZ„дгдг1- рх = 0;1- рх = 0;+ рУ = 0;+ рУ = 0;+ pZ = о+ pZ = оЛегко видеть, что дифференциальные уравнения равновесия
дххдх
дх агх дх
дххдх
дх агх дх
8уdY8у9Z.ду
8уdY8у9Z.ду
^г дг
дг
dZ„
^г дг
дг
dZ„
дг
дг
1- рх = 0;
1- рх = 0;
+ рУ = 0;
+ рУ = 0;
+ pZ = о
+ pZ = о
при взятом распределении напряжений будут удовлетворены только в том случае, если отсутствуют объемные силы и, следовательно, X = Y = Z = 0. Что касается условий на поверхности
Xv = Хх cos (rev) + Ху cos (yv) + ^2 cos (zv);
Yv = Yx cos (^v) + Yy cos (t/v) + У г cos (zv);
Z^ = Zx cos (rev) + Zy cos (г/v) + Zz cos (zv),
то в данном случае они перепишутся так:
Хм = Xz cos (zv); Ym = Yz cos (zv); Zv = Zx cos (:rv) + Zy cos (г/v).
На боковой поверхности цилиндра cos (zv) = 0, следовательно,
Xv = Yv = 0; Zv = тц [— у cos (rev) + х cos (z/v)].. (а)
В случае кругового сечения для всякой точки контура сечения будем иметь V cos (^~’ следовательно, усилия Zv также обращаются в нуль. Боковая поверхность цилиндра при взятом нами распределении напряжений будет свободна от всяких усилий.
Если бы сечение стержня было не круглое, то для осуществления принятого распределения напряжений пришлось бы кроме усилий по концам приложить еще усилия Zv по боковой поверхности стержня. Распределение этих усилий определится условием (а).
Для оснований цилиндра cos (rev) = cos (z/v) = 0; cos (zv) = ± 1, поэтому здесь Хч = Xz\ Yv = У2, т. e. усилия по концам стержня должны быть распределены по тому же закону, что и для любого поперечного сечения.
Таким образом, принятое в элементарной теории распределение напряжений при кручении удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности. Что касается дифференциальных зависимостей (38) и (39), то они, очевидно, будут удовлетворены, так как напряжения представляются линейными функциями координат.
Перемещения точек стержня при кручении могут быть найдены таким же способом, как и в только что рассмотренном случае растяжения стержня под действием собственного веса. .Перемещения эти представятся формулами
и = — tz/z; и = таг; w = 0.
§ 28. Чистый изгиб призматических стержней
Предположим, что стержень, ось которого совпадает с осью z, изгибается парами сил, приложенными по концам и действующими в одной из главных плоскостей стержня (рис. 9). Эту плоскость примем за плоскость ixs тогда составляющие напряжения, получаемые на основании гипотезы плоских сечений, будут следующие:
Хх = Y^ = Х^ = X. = У, = 0;
=•(а)
Здесь — — кривизна изогнутой оси стержня (мы считаем ее положительной, когда стержень гнется выпуклостью вверх).
Покажем, что получаемое элементарным путем распределение напряжений- (а) представляет точное решение задачи в том случае, если напряжения по концам стержня распределить так же, как они распределяются по любому поперечному сечению стержня. Легко видеть, что в данном случае, как и в предыдущем, дифференциальные уравнения будут удовлетворены, если нет объемных сил. Условия на поверхности приводятся к следующему;
Z^ = Zz cos (zv) =д- cos (zv).
Для призматического бруска cos (zv) на боковой поверхности равен нулю, следовательно, эта поверхность свободна от усилий и принятое распределение б*
напряжений возникает под действием усилий, распределенных по концам. Для концов стержня cos (zv) = ± 1. Следовательно, по концевым сечениям стержня действуют лишь нормальные напряжения, меняющиеся по линейному закону. Легко показать, что эти усилия приводятся к паре сил. Действительно. С J^L dF = 0, так как ось z совпадает с осью стержня и, следовательно, проходит через центры тяжести поперечных сечений. Момент этой пары относительно оси у будет
М —x^dF =; ——
F
где J — момент инерции поперечного сечения относительно оси у.
Рассмотрим теперь перемещения, возникающие при чистом изгибе стерж-. ня. Пользуясь выражениями (а) для напряжений, получаем следующие значения составляющих деформации:
(Ь)(Ь) дю х
(Ь)
(Ь)
^ХХ ^уу O^ZZ — R '^)
^ху ~ ^хг = ^yz — 0.(d)
На основании (Ь) заключаем, что ш = — ^- + м?07 где wQ — функция только хну.
Из уравнений (d) находим ди zdw0 , ди дш0
dzRдх ’ dzду ’
откуда
2R дх ’ду * и
Здесь м0 и у0 — неизвестные пока функции х и у.
На основании уравнений (с) получаем д^и^ ди0 их е<92и?0 ди0 охдх2 Z‘ дхR ' ду2Z ' дуR '
и так как эти уравнения должны быть удовлетворены при всех значениях z, то, следовательно,
д2м>0 Пе дН Пе
“о = т + Л (у); VO = ^_ + F1 (жу
Воспользуемся первым из уравнений (d). Подставляя в него вместо и и v найденные выше выражения, получаем
9 ^2шп _ дЬ\ {у} оу _ дЕ. (ж) ^ QдхдудуR дх ’
откуда заключаем, что
^2^0_ Q. 9F1 № I 8F‘Z ^ I оу 0
дхду ’ ду * дх * R *
Все условия будут удовлетворены, если положим
Л (У) ^- + «У + ?; F» (х) = — аж + Р;
ш0 — тх + пу + р.
В таком случае для перемещений получим следующие выражения: я2 . аж2 ау2 .
v“1F— ах — П2 + Р;
w ^- + тх + пу + р.
Шесть произвольных постоянных, которые вошли в полученные выраже
ния для перемещений, могут быть найдены из условий закрепления. Закрепим
Рис. 10.Рис. 10.левый конец оси стержня, тогда в точке О (х = у = z = 0) ди dv ди А
Рис. 10.
Рис. 10.
имеем и = v = w = 0;= -^- = -^- = 0. Выражения
для перемещений примут такой вид:
и = — |z2 + о (ж2 — у2)]; v = -^_ ; w =^-.
Если возьмем какое-либо поперечное сечение стержня z = const, то после изгиба точки этого сечения будут ле
жать в плоскости z = const /1^-L Сечения при дефор-
мации остаются плоскими.
Чтобы получить искривление оси стержня, положим в выражениях для пе- z2
ремещений х = у — 0. Тогда получим и ~ v = w ~ 0. Следовательно, кривую изгиба при малых прогибах можно принять за дугу круга.
Рассмотрим искажение поперечного сечения стержня. Для упрощения предположим, что сечение представляет собой прямоугольник (рис. 10), уравнения сторон которого имеют вид х = ±а; у = ±6. Если через с обозначим рассто
яние взятого сечения от закрепленного конца стержня, то уравнения сторон сечения после деформации напишутся так:
х --- ±а-^и = zh я + -^р + -^г ^ — у2); у — ±b + ^==z±zb± —^—.
Вертикальные стороны прямоугольника останутся прямыми и только наклонятся к оси х, горизонтальные же стороны искривятся (см. рис. 10). Уравнения этих кривых имеют вид оу2 ,.
х =—Ь const.
При малых деформациях можно считать, что верхнее и нижнее основания прямоугольника искривляются по дуге круга радиуса —. Заметим, что такое искривление имеет место лишь в том случае, если перемещения малы по сравнению с поперечными размерами стержня.
Глава VIГлава VI
Глава VI
Глава VI
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧАТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Плоская деформация
Деформацию тела называют плоской, если перемещения всех его точек параллельны одной и той же плоскости (плоскости деформации) и зависят лишь от координат точки в этой плоскости.
Примем плоскость ху за плоскость деформации. Тогда перемещения и и и будут функциями х и у, а перемещение w равно нулю. Не усложняя дальнейших выводов, можно на плоскую деформацию наложить равномерное растяжение в направлении оси z. В таком случае перемещение w представится линейной функцией z.
Многие весьма важные технические задачи с большей или меньшей точностью могут быть приведены к случаю плоской деформации. Всякий раз, когда мы имеем дело с длинным цилиндрическим или призматическим телом, подвергающимся действию сил, не меняющихся в направлении длины тела и нормальных к этому направлению, можно считать, что в местах, удаленных от концов цилиндра, все элементы, на которые мы можем подразделить тело системой поперечных сечений, перпендикулярных к длине цилиндра, испытывают одну и ту же деформацию. Перемещение какой-либо точки определяется ее координатами в плоскости соответствующего поперечного сечения и не зависит от положения этого сечения по длине цилиндра. Заключение это, приводящее задачу к случаю плоской деформации, очевидно, будет тем точнее, чем дальше рассматриваемое сечение от концов цилиндра.
К такого рода задачам можно отнести, например, расчет цилиндрических трубок, подвергающихся действию равномерного внутреннего или наружного давления. Для всякого удаленного от концов трубки элементарного кольца, выделенного двумя плоскостями, перпендикулярными к оси трубки, деформации будут приблизительно одни и те же, и можно ограничиться рассмотрением одного элементарного кольца. То же можно сказать относительно деформации цилиндрического катка, сжатого между двумя плоскостями силами, равномерно распределенными по длине образующей цилиндра (рис. 11). Примерно в таких условиях находятся катки мостовых опор.
При расчете подпорной стенки (рис. 12), имеющей большую длину в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, также можно ограничиться рассмотрением одного элемента, выделенного из стенки двумя сечениями, перпендикулярными к направлению длины стенки. Точно так же можно привести к плоской задаче расчет цилиндрического свода, если длина его в направлении образующей велика по сравнению с пролетом и нагрузка в направлении образующей не изменяется.
Выясним те упрощения, которые получаются в общей задаче теории упругости в случае плоской деформации. При сделанных предположениях относительно перемещений заключаем:
dw * ди А^ = ^4-—= 0;
ди dzди dz(a)(a)dw"ду
ди dz
ди dz
(a)
(a)
dw n
Если на плоскую деформацию наложить равномерное растяжение в направлении оси z, то для егг получим постоянную величину. Для составляющих напряжения на основании (а) заключаем, что Xz = Yz = 0.
Рис. И.Рис. И.Рис. 12.Рис. 12.
Рис. И.
Рис. И.
Рис. 12.
Рис. 12.
Следовательно, ось z будет одной из главных осей. Соответствующее ей главное напряжение Zz не равно нулю и может быть выражено через составляющие Хх и Yy. Действительно, на основании зависимостей (28) между напряжениями и деформациями имеем
”\ дхdy /1гдх1
./ дмdu \оди
у\ дх*ду1ду’
/ Xг(Ь)
71 8и _х_ 8и \
Zz = Х № + 17 Г
v / ди ди \
Складывая первое и второе уравнения, находим выражение для объемного расширения;
Следовательно,
= 2 (А, "^ ^х + ^у) а (^ + ^у).
Таким образом, задача теории упругости в случае плоской деформации сводится к разысканию трех составляющих: Хх, Yy Ху.Дифференциальные уравнения равновесия (14) в случае плоской деформаТаким образом, задача теории упругости в случае плоской деформации сводится к разысканию трех составляющих: Хх, Yy Ху.Дифференциальные уравнения равновесия (14) в случае плоской деформации получают видции получают видэх» дх9У,эх» дх9У,8ХЧ 9V 8YV8ХЧ 9V 8YV1- рХ - 0;1- рХ - 0;дх ~ дудх ~ ду+ рУ - 0.+ рУ - 0.(52)(52)
Таким образом, задача теории упругости в случае плоской деформации сводится к разысканию трех составляющих: Хх, Yy Ху.
Дифференциальные уравнения равновесия (14) в случае плоской деформа
Таким образом, задача теории упругости в случае плоской деформации сводится к разысканию трех составляющих: Хх, Yy Ху.
Дифференциальные уравнения равновесия (14) в случае плоской деформа
ции получают вид
ции получают вид
эх» дх
9У,
эх» дх
9У,
8ХЧ 9V 8YV
8ХЧ 9V 8YV
1- рХ - 0;
1- рХ - 0;
дх ~ ду
дх ~ ду
+ рУ - 0.
+ рУ - 0.
(52)
(52)
Третье уравнение равновесия отпадает, так как по предположению составляющая Z объемных сил равна нулю, а составляющая напряжения Zz зависит только ОТ X и у.
На практике обыкновенно приходится иметь дело с силой тяжести, поэтому в дальнейшем ограничимся лишь этим случаем \ и, направляя ось у вертикально вниз, перепишем уравнения (52) в таком виде:
дх ‘ ду ’
Очевидно, эти уравнения будут удовлетворены, если положим
у __ д2ф .
Лх — ""8^ *
(54)(54)v — 92Ф •
(54)
(54)
Vд2ф
А у =g£X.
удхОу
Здесь ф — произвольная пока функция х и у.
Задаваясь различными выражениями для ф, будем получать на основании (54) значения напряжений, удовлетворяющие уравнениям (53). Чтобы из всех этих возможных с точки зрения статики распределений напряжений выбрать систему напряжений, возможную в упругом теле, нужно для функции ф подыскать такое выражение, при котором были бы удовлетворены дифференциальные зависимости (40). Подставляя в эти зависимости вместо составляющих напряжения их выражения через ф (54) и принимая во внимание, что 0 = = Хх + Уу + Zz = (1 + а)(Хх + Уу), находим, что функция ф должна удовлетворять дифференциальному уравнению четвертого порядка:
(55)(55)5<р. 9 д4ф . д4ф _
(55)
(55)
дх4 ' дх^ду^ ду4
К такому же результату мы пришли бы, если бы вместо дифференциальных зависимостей (40) между составляющими напряжения взяли зависимости (23) и (24) между составляющими деформации. В случае плоской деформации нужно удовлетворить только уравнению
д^ед^е
XX.° еуу и еху
ду2*дх2дхду*
поскольку остальные уравнения тождественно удовлетворены. Подставляя вместо составляющих деформации их выражения через напряжения и пользуясь формулами (54), приходим к уравнению (55).
Таким образом, в случае плоской деформации задача теории упругости сводится к нахождению одной функции <р, которую условимся в дальнейшем называть функцией напряжений.
Эта функция должна быть выбрана таким образом, чтобы в каждой точке тела было удовлетворено уравнение (55) и, кроме того, были выполнены условия на поверхности тела. Если заданы действующие по поверхности силы, то условия эти представятся в таком виде:
Xv = Хх cos (rev) + Ху cos (yv);
Уч = Ух 60S (XV) + У у cos (yv). ^)
Если на плоскую деформацию налагается равномерное растяжение в направлении оси 2, причем егг — е. то выражения для составляющих напряжения ХХ1 У у, Ху не изменяются, а выражение для составляющей Zz представляется в таком виде:
2.' • жт^г <х- + у«> + - - “ (^ + у»> + &
Обобщенное плоское напряженное состояние
Выше были выяснены те упрощения, которые получаются в общей задаче теории упругости в случае, когда тело имеет форму весьма длинного цилиндра. Оказывается, что такие же упрощения при некоторых допущениях могут быть получены и в другом крайнем случае, когда тело цилиндрической формы имеет весьма малую длину, т. е. представляет собой тонкую пластинку (диск), ограниченную заданным контуром.
Толщину пластинки, соответствующую весьма малой длине цилиндра, обозначим через 2/^. Плоскость ху расположим перпендикулярно к образующим цилиндра таким образом, чтобы она делила длину цилиндра (толщину пластинки) пополам, тогда основания цилиндра, соответствующие поверхностям пластинки, определятся уравнением 2 = ±А- Расположенную таким образом плоскость ху будем называть срединной плоскостью пластинки.
Рассмотрим случай, когда объемные силы постоянны и нормальны к образующим цилиндра (Z — 0), поверхности пластинки свободны от усилий Zz = Zx = — Zy = 0 при 2 = zhA и поверхностные усилия, приложенные по контуру пластинки, действуют в срединной плоскости ху. При этих условиях срединная плоскость не искривляется, пластинка не претерпевает изгиба и при малой толщине 2Д составляющие напряжения Хх, ...» Уг^ наверное, весьма мало изменяются при изменении координаты 2. В таком случае средние по толщине значения составляющих напряжения в достаточной степени характеризуют напряженное состояние и определение этих средних значений имеет большое практическое значение.
Сохраняя для средних значений составляющих напряжения прежние обозначения и отмечая их лишь чертой вверху, будем иметь
Н-/1
= "гл" ^ ^y^z>^=-i- f^.
Связь между этими средними значениями напряжений получим из дифференциальных уравнений равновесия
дХхдхд¥хдхдХхдхд¥хдх«У9Yy«У9Yy8Хгдх^z8Хгдх^zду ‘ дгду ‘ дг+ рХ = 0;+ рХ = 0;4-рУ = 0.4-рУ = 0.Умножая эти уравнения на получаемУмножая эти уравнения на получаемdz и интегрируя их в пределах от —h до +Л,dz и интегрируя их в пределах от —h до +Л,дХхдхд¥хдхдХхдхд¥хдх+ РХ = 0;ду 1 г ’^-+рУ = 0.ду ‘ м+ РХ = 0;ду 1 г ’^-+рУ = 0.ду ‘ м(57)(57)
дХхдхд¥хдх
дХхдхд¥хдх
«У
9Yy
«У
9Yy
8Хгдх^z
8Хгдх^z
ду ‘ дг
ду ‘ дг
+ рХ = 0;
+ рХ = 0;
4-рУ = 0.
4-рУ = 0.
Умножая эти уравнения на получаем
Умножая эти уравнения на получаем
dz и интегрируя их в пределах от —h до +Л,
dz и интегрируя их в пределах от —h до +Л,
дХхдх
д¥хдх
дХхдх
д¥хдх
+ РХ = 0;
ду 1 г ’
^-+рУ = 0.
ду ‘ м
+ РХ = 0;
ду 1 г ’
^-+рУ = 0.
ду ‘ м
(57)
(57)
В случае действия силы тяжести, имеющей направление оси у, уравнения
эти примут видэти примут виддХхдх8YXдхдХхдх8YXдх(58)(58)
эти примут вид
эти примут вид
дХхдх
8YXдх
дХхдх
8YXдх
(58)
(58)
Уравнения, связывающие средние значения напряжений, полностью совпадают с уравнениями (52) и (53), полученными в случае плоской деформации. Средние значения составляющих напряжения можно выразить через производные функции напряжений ф при помощи формул (54). Легко показать, что и в этом случае функция ф должна удовлетворять уравнению (55), если предположить, что составляющая напряжения Zz, обращающаяся в нуль на поверхностях z = ± К, равна нулю по всей толщине пластинки. При малых толщинах пластинки такое допущение, очевидно, будет весьма близко к действительности, так как при сделанных предположениях относительно внешних сил не будет никаких причин, которые могли бы вызвать значительные напряжения Zx.
Полагая Zx = 0, получаем для средних значений составляющих деформации выражения
—^ ——
всех ^ -g" Q^x — &YуУ> —1 ——
^УУ "0^ У — ^-^x)j
72(1 + о)^
— g Ay.
Выражая составляющие напряжений ХХ1 ..., Ху при помощи формул (54) через ф и подставляя полученные таким образом средние значения составляю-
(а)(а)щих деформации в уравнение
(а)
(а)
ду2 *~ дх^ дхду ’ приходим к уравнению (55).
Тот же результат мы, конечно, получили бы и в том случае, если бы вместо уравнения (а) взяли соответствующее ему уравнение
■'д20
(i+a)^zx + ^=o,
связывающее составляющие напряжений [см. (40) ], и подставили в него средние значения этих составляющих.
Принимая во внимание, что Zz = 0, и показывая на основании (46), что д20/ д20д20 \
Iz^ "" ~ к”^2” + ду^ Г приходим к уравнению (55).
Таким образом, определение напряжений в случае плоской деформации и в только что рассмотренном случае, который мы назовем обобщенным плоским напряженным состоянием сводится к решению одного и того же дифференциального уравнения (55). Что же касается деформаций, то они в этих двух случаях будут различны. В самом деле, в случае обобщенного плоского напряженного состояния мы положили ZT = 0, следовательно,
Аб + 2ц = 0,
r dz ’ откуда
dw X (du . др \
dzX + 2р \ дх ’ ду /
Для объемного расширения получаем формулу п ди до dw 2р / ди > до \ дх ‘ ду ‘ dz X -|- 2р \ дх Оу Г
Составляющие напряжений выразятся через перемещения при помощи формул
v 2Хр / ди . до \ . 9 ди е
~ X +2 |LL к дх + "д^1 +’
v 2Хр / дидо \ . г, do е
X + 2р \"5Г + "dF) ду ;
vi ди до \
у\ ду * дх /
Сравнивая этот результат с формулами (Ь) § 29, заключаем, что перемещения в случае обобщенного плоского напряженного состояния могут быть получены по тем же формулам, что и в случае плоской деформации, нужно только коэффициент X заменить величиной
.,2Хр
X 2|Ы
Вопросу об интегрировании уравнения (55), к которому сводится решение плоской задачи теории упругости, посвящен целый ряд работ г. Выяснено, что
Соответствующая литература приведена в диссертации Т i m р е A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen, einfach gelost mit Hilfe der Airy’schen Funktion. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1905, Bd 52, H. 4, SS. 348—383.
уравнение это вполне определяет функцию <р, если на контуре заданы значения ф и ее производной по нормали -~~. В задачах теории упругости обыкновенно задаются силы, приложенные по контуру, а в таком случае граничные значения ф и _^L могут быть найдены из условий на поверхности
Xv = Хх cos (xv) + Ху cos (yv);
У Yx cos (xV) + Yy cos (yv).^
Подставляя вместо составляющих напряжения их выражения через ф иПодставляя вместо составляющих напряжения их выражения через ф иприприпринимая во внимание, чтопринимая во внимание, чтоРис. 13.Рис. 13.д2фд2фпринятом расположении координат (рис. 13) и указанном стрелкой направлении отсчета Дуги sпринятом расположении координат (рис. 13) и указанном стрелкой направлении отсчета Дуги s/\ ду ,.дхCOS (xV) = cos (yv) =-—,'' ds#OS/\ ду ,.дхCOS (xV) = cos (yv) =-—,'' ds#OSпри отсутствии объемных сил из условий (Ь) получаемпри отсутствии объемных сил из условий (Ь) получаемXv—Xv—д2ф ду д2ф дх д ду2 ds "т" дхду dsdsд2ф ду д2ф дх д ду2 ds "т" дхду dsdsду д2фду д2фvдхду ds дхгСледовательно,vдхду ds дхгСледовательно,дх dsдх dsдdsдds
Подставляя вместо составляющих напряжения их выражения через ф и
Подставляя вместо составляющих напряжения их выражения через ф и
при
при
принимая во внимание, что
принимая во внимание, что
Рис. 13.
Рис. 13.
д2ф
д2ф
принятом расположении координат (рис. 13) и указанном стрелкой направлении отсчета Дуги s
принятом расположении координат (рис. 13) и указанном стрелкой направлении отсчета Дуги s
/\ ду ,.дх
COS (xV) = cos (yv) =-—,
'' ds#OS
/\ ду ,.дх
COS (xV) = cos (yv) =-—,
'' ds#OS
при отсутствии объемных сил из условий (Ь) получаем
при отсутствии объемных сил из условий (Ь) получаем
Xv—
Xv—
д2ф ду д2ф дх д ду2 ds "т" дхду dsds
д2ф ду д2ф дх д ду2 ds "т" дхду dsds
ду д2ф
ду д2ф
vдхду ds дхг
Следовательно,
vдхду ds дхг
Следовательно,
дх ds
дх ds
д
ds
д
ds
(С)(С)оо^-== — ^Yvds + a
(С)
(С)
о
о
О
где а и Р — произвольные постоянные.
Значение производной по нормали -~ на контуре пластинки получим из формулы __
= Э<Р ^ж _i_ ^Lcos (хч\ 4- -5$- COS (и^ =
dv дх dv * ду ду дх ' ' ‘ ду ^ '
дфдудф дх
дхdsдуds *
дф дф„
Для этого нужно вместо и ~- подставить найденные выше выражения (с). Значение функции ф на контуре на основании выражений (с) представится
в таком виде:ов таком виде:одхdsдхds$ Y-A + -%-О$ Y-A + -%-Оs^X^dss^X^dsds 4- ах + Ру +• у.ds 4- ах + Ру +• у.(Ф(Ф
в таком виде:
о
в таком виде:
о
дх
ds
дх
ds
$ Y-A + -%-
О
$ Y-A + -%-
О
s
^X^ds
s
^X^ds
ds 4- ах + Ру +• у.
ds 4- ах + Ру +• у.
(Ф
(Ф
В это выражение входят постоянные а, Р и у.
В случае простого (односвязного) контура можно, не нарушая общности результата положить эти постоянные равными нулю, так как прибавление к функции напряжений линейной функции х и у не оказывает никакого влияния на величину напряжений, выражающихся через вторые производные от ф. При сложных (многосвязных) контурах, например в случае плоского кольца, постоянные а, Р и у на каждом контуре имеют свое значение, и их приходится
определять из условий однозначности перемещений х. В первом случае распределение напряжений вполне определяется уравнением (55) и усилиями, приложенными по контуру. Выражения для составляющих напряжения не будут заключать в себе упругих постоянных и распределение напряжений не будет зависеть (в случае изотропного тела) от упругих свойств материала. Во втором случае приходится принимать во внимание выражения для перемещений, и напряжения представятся формулами, содержащими упругие постоянные материала < Распределение напряжений будет изменяться в зависимости от упругих свойств материала.
§ 31. Решение плоской задачи при помощи целых полиномов
Определение напряжений в случае плоской задачи сводится, как было показано, к нахождению решений уравнения
(а)(а)^4Ф . о д4Ф , <^P _ Лдх4дх^ду2* ' ду4
(а)
(а)
XXРис. 14.Рис. 14.удовлетворяющих заданным условиям на поверхности. Если контур пластинки представляет собой вытянутый прямоугольник и усилия, распределенные по длинным сторонам этого прямоугольника, могут быть представлены целыми алгебраическими функциями координат, то выгодно брать решения уравнения (а) в виде целых полиномов 8. Так как напряжения выражаются вторыми производными от ф, то выбирая решение уравнения (а) в виде полинома второй степени, приходим к однородному напряженному состоянию. В случае полинома третьей степени напряжения представятся линейными функциями координат
X
X
Рис. 14.
Рис. 14.
и т. Д.
Рассмотрим подробнее несколько простейших решений, которыми воспользуемся в дальнейшем при определении напряжений в изгибаемых балках.
Направим ось х параллельно длинным сторонам прямоугольника (рис. 14).
Если для функции напряжений взять выражение
Ф = ^- хй + b^xy + -^-у2,
то составляющие напряжения будут 4$
(Ь)(Ь)у _ д2ф p-Y — d2<p — а- X —92ф — — Ь
(Ь)
(Ь)
Ах ду1 ~ С°’1 у " дх2 " °0’ у ~ Эхбу ~°0*
Так как коэффициенты а0, 60 и с0 совершенно произвольны, то их можно подобрать так, чтобы получить простое растяжение или сжатие в направлении оси х или оси у, а также чистый сдвиг в плоскости ху и различные комбинации этих простейших деформаций.
Возьмем функцию напряжений в виде полинома третьей степени:
Рис. 15.Рис. 15.Рис. 16.Рис. 16.
Рис. 15.
Рис. 15.
Рис. 16.
Рис. 16.
Составляющие напряжения представятся формулами
+ diZ/;ахх-Vbxy;
Ху == — Ьхх — сху.
Если все коэффициенты, кроме dv в выражении (с) положим равными нулю, то получим случай чистого изгиба полосы (рис. 15) силами, распределенными по сторонам х = ±1. Точно так же коэффициенту ал соответствует чистый изгиб усилиями, распределенными по сторонам у = ±с.
Если коэффициент Ьг или сг отличен от нуля, то кроме нормальных будем иметь также и касательные напряжения. На рис. 16 представлено распределение усилий по контуру пластинки в случае, когда Ьг отлично от нуля.
Когда мы выбирали функцию напряжений в виде полиномов второй или третьей степени, коэффициенты в этих полиномах могли быть совершенно произвольными, так как при всяких значениях коэффициентов уравнение (а) будет удовлетворено. В случае полиномов высших степеней уравнение (а) будет удовлетворено лишь при определенных соотношениях между коэффициентами. Возьмем, например, для функции напряжений выражение в виде полинома четвертой степени
ф=А-^+А^у * -А^ +А^ +А
Подставляя это выражение в уравнение (а), находим, что оно будет удовлетворено лишь в том случае, если ^2 = —(2с2 + #2)-
Для составляющих напряжения найдем выражения
Хх ~ д^ = С^ + ^2ХУ (^2 4" а^) У^1
Yy = -Jr = а2х2 + b2xy + с2у2;
Коэффициенты а2, ..., d2 в этих выражениях совершенно произвольны. Если все их, кроме d^, положить равными нулю, то получим
(d)(d)Xs = d^y; У„ = 0; Xv =^- у\
(d)
(d)
Соответствующее распределение усилий представлено на рис. 17.
Возьмем теперь функцию напряжений в виде полинома пятой степенш ф -+ 4т1*8 + 4^^»" + -А- «V + А+ 441*'
Вставляя это выражение в уравнение (а), найдем между коэффициентами такие зависимости:
^з = — (2сз + ^a^Y 1» =g^^s "^ 2^3).
Составляющие напряжения представятся так:
X —— Сз а
— ду2 — 3‘™
— (2с3 + За3) жу21- (^з + 2d3) У3;
УУ = 5" = “^ + Ь^У + С»Жуг + "Г" У^'
хУ=—Sr ==~"^"а?—Сзж2у - а®жуй+4- ^з+Заз) yS*
В этих выражениях мы можем коэффициенты а3, .Л.,„ d3 выбирать совершенно произвольно. В дальнейшем нам понадобится случай; когда все эти коэффициенты, кроме d3l равны нулю. При этом условии составляющие напряжения представятся формулами
Xx = d3a4yy<iay8; Yy = -^-y3; Ху — — d3xy3.(e)
Мы получаем, таким образом, распределение напряжений для прямоугольной полосы, по продольным сторонам которой приложены равномерно распределенные нормальные напряжения Yy = ± -—- с3 и касательные напряжения Ху = —d3c^x, представляющиеся, как и в ранее рассмотренном решении (с)7 линейной функцией от х (см. рис. 16).
Ограничимся пока этими простейшими решениями и применим их к исследованию изгиба балки силой, приложенной на конце, и нагрузкой, равномерно распределенной по длине.
§ 32. Изгиб балки с заделанным концом силой, приложенной к свободному концу
Предположим, что балка, представленная на рис. 18, изгибается силою Q. Размер балки в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка (ширина балки), может быть или очень большим, тогда будем иметь дело с плоской деформацией, или наоборот, весьма малым, когда напряжения можно заменить их средними значениями по ширине и привести таким образом определение напряжений к решению обобщенной плоской задачи. Как в первом, так и во втором случае ширина балки не будет играть никакой роли и мы в дальнейшем будем полагать эту ширину равной единице. В таком случае Q будет представлять изгибающую силу, отнесенную к единице ширины балки.
Для определения напряжений в рассматриваемом случае воспользуемся решением (d) предыдущего параграфа (см. рис. 17). Чтобы освободиться от
касательных напряжений по верхней и нижней граням балки, наложим на решение (d) напряжения Ху = —Ьо, соответствующие чистому сдвигу, и подберем значение коэффициента Ьо так, чтобы было удовлетворено условие
(а)(а)^- с2 — 60 = 0.
(а)
(а)
Нам нужно теперь освободиться от нормальных напряжений на конце бал
ки х = +^ так как предполагается, что изгиб балки производится касательной
<Уу + d^y = 0.(b)<Уу + d^y = 0.(b)силой Q. Достигнуть этого мы можем, присоединяя к решению (d) чистый изгиб Xx — dAy (см. рис. 15) и подбирая неопределенный пока коэффициент dx так, чтобы было выполнено условие
<Уу + d^y = 0.(b)
<Уу + d^y = 0.(b)
Окончательно на основании решения (d) и условий (а) и (Ь) получаем для нашей задачи
такое распределение напряжений:
Хх —^2 (^$) У»
(59)(59)УУ = 0;
(59)
(59)
Ху=А_(С»-у^.
Легко видеть, что при этом верхняя и нижняя грани балки будут свободны от всяких усилий. На конце балки х = + Z действуют лишь касательные напряжения, которые могут быть приведены к одной поперечной силе. Остается подобрать неопределенный пока коэффициент d^ так, чтобы эта сила была равна заданной силе Q. Суммируя касательные напряжения по концевому сечению балки, получаем
—с откуда
2с3' J ’ 2сз
где J = —д— обозначает момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной линии.
Вставляя найденное значение d^ в решение (59), получаем
У _ Q (I —х) ул. у Q кс2 — У^ Qs
— —-, Y и = и,*
Здесь через S обозначен статический момент относительно нейтральной линии части поперечного сечения, заштрихованной на рис. 18.
Полученное распределение напряжений совершенно совпадает с тем, которое дает элементарная теория изгиба. Следовательно, для балок, поперечное сечение которых представляет вытянутый прямоугольник, для распределения напряжений по высоте поперечного сечения балки можно принять линейный закон для нормальных напряжений и параболический закон для касательных напряжений.
Выяснив вопрос о распределении напряжений, перейдем к разысканию перемещений точек балки при изгибе. Мы видели, что перемещения будут полу-
чаться различными в зависимости от того, имеем ли мы дело со случаем плоской деформации или с обобщенной плоской задачей. Предположим в дальнейшем этот последний случай и определим прогиб балки, имеющей весьма малую ширину. При этом условии напряжение Zz равно нулю, и для составляющих деформации мы получим такие значения:
ди ехх — "дГ
_ Хх
— Е
- — —
Q U — х) у .
EJ’
(С)
до
еуу~ "эГ
-—. — .
оХх Е
cQ (Z — ж) у , EJ'
(d)
ди ।
L 5у
_ Q с2- — у^
(е)
ех«- ду '
' дх '
2J ц
Путем интегрирования уравнений (с) и (d) находим для перемещений такие общие выражения:
V = -^- (Z — л) + ф (ж).
Здесь через / (у) и ф (а?) обозначены неопределенные пока функции у и х. Вставляя найденные выражения для перемещений в уравнение (е), получаем:
{у)oQy1Qy2
9 у2EJ2ц J
Здесь d и е — постоянные величины, связанные условием
d + е =d + е =Qc^2pJ *Qc^2pJ *
d + е =
d + е =
Qc^
2pJ *
Qc^
2pJ *
Функции ф (а:) и / (у) представятся в таком виде:
Q ( lx^ Xs \., ,
EJ \ 26~] йх-V h,1,
+ег/ + „
где h и g — произвольные постоянные величины. Для перемещений и и и получим следующие формулы:
°Q\ I Q I №ar* \. , ,
U — 2EJ У ^ ^ + EJ \ 26 ) + ^ + ^
Произвольные постоянные в этих выражениях должны быть определены из условий закрепления балки.
Закрепим точку балки, соответствующую началу координат. Тогда произвольные постоянные g и h равны нулю. Полагая у равным нулю, для прогибов оси балки находим выражение
^y=Q — ej \ 26 ] + ^.^y=Q — ej \ 26 ] + ^.(О(О
^y=Q — ej \ 26 ] + ^.
^y=Q — ej \ 26 ] + ^.
(О
(О
6 1—1801
(у)х=г — 3£/ •(у)х=г — 3£/ •Рис. 20.Рис. 20.
(у)х=г — 3£/ •
(у)х=г — 3£/ •
Рис. 20.
Рис. 20.
Кривизна изогнутой оси будет
d^v Q (I — х)М
~дУ = EJ“ё7
что совершенно совпадает с результатом элементарной теории изгиба, построенной на гипотезе плоских сечений. Последний член в выражении для прогиба (f) определяет влияние касательных напряжений на прогиб балки. Значение
произвольной постоянной d определится из третьего условия закрепления. Чтобы устранить возможность вращения балки как твердого тела относительно оси z, мы кроме точки должны закрепить еще какой-либо линейный элемент балки (§ 10).
Рассмотрим два случая: случай закрепления элемента балки, проходящего через начало координат и совпадающего с направлением оси ж, и случай закрепления элемента, проходящего через начало координат и направленного по оси у-
В первом случае будем иметь условие
/ ди \ =°-
\ ох / х=01у=0
Произвольная постоянная d равна нулю. Искривленное поперечное сечение, соответствующее закрепленному концу балки, займет положение, представленное на рис. 19, а, и прогиб балки на свободном конце представится формулой
Во втором случае третье условие закрепления будет
ди ду
Расположение закрепленного конца балки после деформаций представле-
3 Q но на рис. 19, б. Для произвольной постоянной d получим значение d = -^--^р что соответствует сдвигу по нейтральному слою изгибаемой балки. Прогиб на свободном конце балки в этом случае будет
ЛА_ Q^ х 3 QI
3EJ + 2 ц2с * Этот результат совпадает с тем, что дает элементарная теория изгиба, если при вычислении прогибов принято во внимание влияние касательных напря
жений и взято при этих подсчетах максимальное значение сдвига, соответствующее нейтральному слою изгибаемой балки.
На практике приходится иметь дело со способами закрепления, отличающимися от только что рассмотренных случаев, представленных на рис. 19. Обык-
новенно закрепляют несколько точек поперечного сечения, при этом, конечно, распределение напряжений и деформаций у закрепленного конца может значительно отличаться от того, что мы получили в рассмотренных выше случаях.
В частном случае, когда балка изгибается силой 2Q, приложенной посередине пролета (рис. 20), сечение АВ вследствие симметрии остается плоским. Распределение напряжений отличается от того, что мы получили выше, так как к напряжениям изгиба у места приложения силы 2Q присоединяются местные напряжения от сосредоточенной силы. Вычисления показывают г, что в этом случае при малой высоте балки прогиб посередине пролета может быть вычислен по формуле
Q133 01
^-o^o = ^ + OJ4--^
Принцип Сен-Венана
Мы получили ряд решений плоской задачи для случая пластинки, ограниченной прямоугольным контуром. Каждому найденному решению соответствуют вполне определенные условия закрепления и вполне определенное распределение усилий по контуру. Например, в случае изгиба балки силой, приложенной на конце, мы предполагали закрепление одной точки и одного линейного элемента, проходящего через эту точку на левом конце балки, и нашли распределение напряжений в том предположении, что касательные усилия, приложенные к правому концу балки, изменяются по высоте балки по параболическому закону. Если способ закрепления балки будет отличаться от принятого нами или изгибающая сила Q будет распределена по какому-либо иному закону, то полученное нами решение не будет точным решением соответствующей задачи теории упругости. Однако во многих технически важных задачах им можно будет пользоваться для приближенного определения напряжений. Например, его можно применить к тому случаю, когда все точки опорного сечения балки закреплены и сила Q распределена любым образом по плоскости нагруженного концевого сечения балки. При этом погрешности будут тем меньше, чем меньше высота балки по сравнению с ее пролетом.
Такое применение точного решения задачи, полученного при определенных условиях на контуре для приблизительной оценки напряжений при несколько измененных условиях, производится на основании принципа, впервые ясно сформулированного Сен-Венаном. Согласно этому принципу система взаимно уравновешивающих сил, распределенных на малой части поверхности деформируемого тела, вызывает напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения сил. В точках, удаленных от места приложения указанной выше системы сил на большие расстояния (подразумеваются расстояния, большие по сравнению с линейными размерами той части поверхности, по которой распределены силы), соответствующие напряжения можно считать малыми.
В применении к изгибу балки с одним заделанным концом принцип Сен- Венана дает возможность заключить, что изменение распределения изгибающей силы Q или изменения в условиях закрепления могут вызвать значительные изменения в распределении напряжений лишь у концов балки. Эти изменения будут иметь характер местных напряжений, быстро убывающих по мере удаления от концов балки. Для балки, у которой высота мала по сравнению
См. стр. 84, статьи L. N. G. Filon, указанной в сноске на стр. 73.
с пролетом, распределение напряжений в большей части пролета будет мало зависеть от способа приложения изгибающей силы ^ и способа закрепления конца.
В дальнейшем на нескольких частных примерах мы сможем подтвердить верность высказанного выше принципа и показать, насколько быстро убывают напряжения по мере удаления от места приложения системы взаимно уравновешивающих сил.
Изгиб балки с опертыми концами под действием равномерно распределенной нагрузки
Рис. 21.Рис. 21.<92ф<92фБалка АВ (рис. 21) прямоугольного поперечного сечения изгибается сплошной вертикальной нагрузкой, равномерно распределенной по верхней грани (z/ = = +^)- Обозначим через 2/ пролет балки и через 2с ее высоту. Ширину балки будем считать равной единице. Пусть q — нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки. Тогда касательные усилия, действующие по концам балки, должны в сумме давать реакции, равные ql. Наша задача сводится к разысканию такого решения уравнения
Рис. 21.
Рис. 21.
<92ф
<92ф
д4Ф । 9^4ф, ^4Ф „ л
дх4 ~ дх^ ду4 ~ ’
УuhУuh1=С1=Спри котором будут выполнены следующие условия на продольных сторонах полосы: = — ^ Уу)у=~с = (^^ )у==_с = 0;
Уuh
Уuh
1=С
1=С
<Ху)у=± С = ()у=± с = °-(Ь)
Что касается усилий на поперечных сторонах (^ = ±1), то они должны на каждом конце балки давать вертикальную силу, равную ql. Следовательно, при х = ± I имеем
4-е4*С+с
j Xxdy = 0; j Xxydy = 0; J Xudy = ± ql.(c)
—c—c—c
Воспользуемся решениями плоской задачи при помощи целых полиномов (§ 31). Возьмем решение (е) (стр. 79) и, чтобы освободиться от касательных напряжений по сторонам у = ± с и от нормальных напряжений по стороне у — ~ —с, наложим на это решение напряжения У^ = b^h Ху = —bTx, Yy — а0, соответствующие функциям напряжений
^1 = ^$^,<р2=^-
Общие выражения для напряжений напишутся так:
Хх =|- d3ys 4- d^y;
Ху — —* d^xy^^i*^e
Чтобы касательные напряжения по верхней и нижней граням балки обращались в нуль, необходимо положить Ьг = —d3ca.
Условие равенства нулю нормальных напряжений по нижней грани балки
дает уравнение — -у- с® — Ъхс + а0 = 0, откуда
9а0= d^.
Для определения постоянной d3 воспользуемся условием для нормальных напряжений по верхней грани балки. Чтобы напряжения Y^ равнялись —q ПрИ у = 4-е, необходимо положить
Вставляя найденные значения постоянных в общие выражения для напряжений (d), получаем
Х.-^^-Ах-
Легко проверить, что найденное распределение напряжений удовлетворяет всем условиям на продольных сторонах полосы, а также первому и третьему из условий (с) на поперечных сторонах х = ±Z.
Чтобы удовлетворить второму из условий (с) и получить такое распределение напряжений, при котором моменты нормальных усилий, распределенных по концам балки, равны нулю, нужно к найденным решениям (е) присоединить напряжения
соответствующие чистому изгибу балки.
Окончательно будем иметь
<60)
-Ах.
Принимая во внимание, что qx есть перерезывающая сила в сечении балки, отстоящем на х от середины пролета, заключаем, что найденное выше распределение касательных напряжений совпадает с тем распределением, которое дает элементарная теория изгиба. Что касается нормальных напряжений ХЖ1 то в случае низких балок (с мало по сравнению с I) для сечений, удаленных от концов, напряжения эти мало отличаются от тех, которые нам дает элементарная теория изгиба. У концов балки преобладающее значение приобретает второй член в выражении для Хх и распределение нормальных напряжений будет значительно отклоняться от линейного закона. Заметим, что распределение напряжений, полученное нами у концов балки, соответствует определенному
распределению внешних сил по концевым поперечным сечениям балки. Заменяя эту систему сил другой системой, эквивалентной ей, мы получим иное распределение напряжений у концов, но в местах, удаленных от концов, такая замена, согласно принципу Сен-Венана, не вызовет значительных изменений в напряжениях.
Что касается напряжений Yln то их обыкновенно пропускают в элементарной теории изгиба, хотя в случае малой ширины балки эти напряжения могут иметь существенное значение х.
Уравнение изогнутой оси балки может быть получено таким же путем, как это мы сделали в случае изгиба балки силой, приложенной на конце. Оказывается , что выражение для кривизны получается в этом случае несколько отличным от того, которое дает элементарная теория. Этого, конечно, и нужно было ожидать, так как при элементарном выводе пропускается влияние напряжений Уу.
§ 35. Общее решение илоской задачи для полосы, любым образом нагруженной по продольным сторонам
На нескольких примерах было показано, как, выбирая решения плоской задачи в виде целых полиномов, можно получать распределение напряжений для изгибаемой полосы. Функция напряжений в виде полинома третьей степени дала нам распределение напряжений в случае чистого изгиба полосы. Полином четвертой степени послужил для решения задачи об изгибе полосы силой, приложенной на конце. Из полинома пятой степени получено решение для полосы, несущей равномерно распределенную нагрузку.
Повышая степень полинома, мы будем получать все новые решения. Так, например, полином шестой степени дает возможность найти распределение напряжений для случая нагрузки, распределенной по закону треугольника.
Легко проверить, что напряжения
представляют собой решение задачи , представленной на рис. 22.
Здесь у — вес единицы объема материала пластинки; ^z/ — давление, приходящееся на единицу поверхности по грани х = 0.
Полагая ж = 0, находим Хх = —Тгу; Ху = 0. При ж = а будем иметь X* = Ху = 0. Для верхней грани пластинки (у = 0) получим
Хотя касательные напряжения по верхней грани и не обращаются в нуль, величина их незначительна [ + -~- > (Ху)у=а >—^-j и равнодействующая равна нулю. Поэтому приведенным решением можно пользоваться для определения напряжений в случае, представленном на рис. 22.
Рис. 22.Рис. 22.
Рис. 22.
Рис. 22.
Полином седьмой степени дает решение задачи для случая, представленного на рис. 23. При этом сплошная нагрузка изменяется по параболическому
закону.
Во всех тех случаях, когда закон изменения интенсивности сплошной нагрузки, распределенной по продольным сторонам полосы, представлен целой алгебраической функцией, мы можем воспользоваться решениями плоской задачи в виде целых полиномов г.
Что касается условий на концевых поперечных сечениях полосы, то наложением равномерного растяжения или сжатия вдоль оси ж и чистого изгиба в
плоскости жу мы всегда сможем привести усилия, распределенные по концам, к системе сил, эквивалентной соответствующим опорным реакциям балки. При таком способе решения задачи мы удовлетворяем полностью всем условиям на продольных сторонах полосы.
Закон распределения усилий по концевым сечениям в этом случае может отличаться от того, который имеет место в действительности, но при невысоких балках изменение распреде
ления усилий по концам влечет за собой значительное изменение напряжений лишь у концов балки. В местах, удаленных от концов, полученное решение
будет давать достаточно точные значения напряжений при различных способах приложения опорных реакций.
Если нагрузка, действующая на балку, такова, что закон ее распределения не может быть представлен целой алгебраической функцией (рис. 24), то для получения решения соответствующей плоской задачи можно разложить функ
цию, представляющую изменение интенсивности сплошной нагрузки вдоль балки, в тригонометрический ряд и вычислить напряжения, соответствующие первым членам этого ряда. Чтобы выяснить напряжения, соответствующие одному какому-либо члену тригонометрического ряда, рассмотрим
1 Несколько решений дано в упомянутой на стр. 75 работе A. Timpe. См. также указанную на стр. 86. статью М. Levy.
предварительно функцию напряжений вида
V=asin^-/(y),(Ь)
где / (г/) представляет собой неопределенную пока функцию от одного у.
Вставляя взятую функцию напряжений в основное дифференциальное уравнение
д4Ф । о ^Ф . д*Ф _ л дх*дх^ ду*
находим, что функция / (у) должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению /Iv (у) — 2a2/” (у) + а4/ (у) = 0, где а = -^-.
Общий интеграл этого уравнения напишется так:
/(у) - axcay + a^ + а3увау + а^е”^;
выбранная нами функция напряжений представится в следующем виде:
Ф = a sin-^ ^ + а^ + а3уе^ + а4уе^.
Соответствующие ей напряжения будут иметь такие значения:
Хх = -^- = a sin m^ — (aTa2cai/ + а^е"^ + 2a3acay — 2a4ac~ay +
+ a^ye^ + a4a2yc^ay);
Уу = “0" = ~ айа sin ~^F~ (aie“y + а»е~аУ + ^ay + a4F~“w);
Xy ^^ = — aa cos -^p- (ataeav — а^ае"^ 4- a3e“v 4* a^ye^ 4*
a4e~av — a4az/e~ay).
Положив у = 0; у = 2c, мы найдем те усилия, которые должны быть приложены по продольным сторонам полосы, чтобы создать напряженное состояние, соответствующее выбранной функции ф. Меняя значение произвольных постоянных аг, ..., а4, мы будем получать различные решения. Можно выбрать эти постоянные так, чтобы (Уу)у==0 = 0; (Х^^ = 0. В таком случае получим изгиб полосы вертикальной сплошной нагрузкой, приложенной к верхней грани балки и изменяющейся по закону
У
«, тлх* х
у = Л sin —— •(с)
При этом произвольные постоянные av ..., а4 определятся из уравнений — aa2 (a^2"0 + a2e-2ac + 2а3се2а,с + 2a4ce-2ow) = А;
аг + аа= 0;
ага — a2a + a3 + a4 = 0;
a^2066 — a8ae_2ac + a^ 4- 2a8ace2ao 4- а4е"^ — 2a4ac<?-2ac = 0.
В общем случае изменение интенсивности q сплошной нагрузки, приложенной к верхней грани балки, может быть представлено тригонометрическим рядом
. тих
t^sin-y-,(d)
и мы получим соответствующую функцию напряжений путем наложения решений вида (Ь).
Количество вычислений, связанных с таким решением, конечно, будет зависеть то того, каким числом членов ряда (d) можно ограничиться при условии получения надлежащей степени точности х.
При таком способе решения задачи может случиться, что на поперечных сторонах полосы (х = 0, х = I) кроме усилий, необходимых для уравновешивания заданных нагрузок, появятся еще некоторые добавочные усилия. В самом общем случае усилия эти на каждом конце приведутся к силе и паре сил. Влияние их на напряжения в местах, удаленных от концов балки, мы сможем устранить, налагая на найденное для напряжений решение напряжения, соответствующие простому растяжению или сжатию, напряжения чистого изгиба и напряжения при изгибе силой, приложенной на конце.
§ 36. Решение плоской задачи для случая клина
Предположим, что пластинка, ограниченная двумя пересекающимися прямыми ОД и ОВ (рис. 25), подвергается действию сплошной нагрузки, распределенной по грани ОД, и действию собственного веса. Если интенсивность сплошной нагрузки пропорциональна gs то решение задачи представляется в особенно простом виде. Напряжения являются в этом случае линейными функциями от координат и функция напряжений <р будет однородной функцией третьей степени.
Положим
(а)(а)ф = ах3 + Ъх^у + сху^ + dy3
(а)
(а)
и определим постоянные а, ..., d так, чтобы были удовлетворены условия на гранях О А и О В пластинки. Если через у обозначим вес единицы объема пластинки и через yiy интенсивность сплошной нагрузки по грани О А, то эти условия напишутся так:
^х)х=0^х)х=0I = — ?1У;х=0I = — ?1У;х=0/ д2ф(^=0 = (~ "^/ д2ф(^=0 = (~ "^I = 0?х=0I = 0?х=0при х = 0
^х)х=0
^х)х=0
I = — ?1У;х=0
I = — ?1У;х=0
/ д2ф
(^=0 = (~ "^
/ д2ф
(^=0 = (~ "^
I = 0?
х=0
I = 0?
х=0
при х = у tg Р, принимая во внимание, что по грани OB cos (хи) = cos р, cos (у v) = — sin Р, условия (56) напишутся так:
Хх cos Р — Ху sin Р = 0;
Х^ cos Р — Уу sin Р = 0.
Подставляя вместо ф выражение (а), из условий 1 найдем с — 0; Sd — —yi. Что ка сается условий 2, то они дают нам следующие дв^ уравнения:
— 71 = — (V + 2Ь) tg2 Р;
— 26 — у = 6а tg Р + 26, откуда
26 = — у + У1 ctg2 р; 6а = у ctg Р — 2у3 ctg3 р.
Для напряжений получаем формулы
Хх = — Y1K
(b)(b)У у = (v ctg 0 — 2?! ctg* ₽)« — (? — ?! ctg* 0) у?
(b)
(b)
Ху = — 71 Ctg 0®.
По сечению пластинки плоскостью АВэ жерпендикулярной к у, нормальные напряжения Yy распределяются по закону трапеции. Здесь решение плоской задачи совпадает с элементарным решением, получаемым на основании гипотезы плоских сечений.Касательные напряжения Х^ как видно из общего решения (Ь), распределяются по сечению АВ по закону треугольника и достигают максимального значения у точки В. Результат этот отличается от того, который дает элементарная теория изгиба в применении к кли-По сечению пластинки плоскостью АВэ жерпендикулярной к у, нормальные напряжения Yy распределяются по закону трапеции. Здесь решение плоской задачи совпадает с элементарным решением, получаемым на основании гипотезы плоских сечений.Касательные напряжения Х^ как видно из общего решения (Ь), распределяются по сечению АВ по закону треугольника и достигают максимального значения у точки В. Результат этот отличается от того, который дает элементарная теория изгиба в применении к кли-ну ВО А.Функция напряжений <р представится в виде однородного полинома третьей степени — грань пластинки ОА, подвергающаяся действию давлений,не вертикальна, а составляет с осью оу любой угол. Посто-ну ВО А.Функция напряжений <р представится в виде однородного полинома третьей степени — грань пластинки ОА, подвергающаяся действию давлений,не вертикальна, а составляет с осью оу любой угол. Посто-также и в том случае, когдатакже и в том случае, когдаявные коэффициенты a, ..., d,^ входящие в выражение (a), определятся из четырех условий, относящихся к граням О А и ОВ.Если грань пластинки О А подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности q (рис. 26), то напряжения в какой-либо точке М зависят лишь от угла 0, составляемого радиусом ОМ с осью у. Величина составляющих напряжения определится из следующих формул х:явные коэффициенты a, ..., d,^ входящие в выражение (a), определятся из четырех условий, относящихся к граням О А и ОВ.Если грань пластинки О А подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности q (рис. 26), то напряжения в какой-либо точке М зависят лишь от угла 0, составляемого радиусом ОМ с осью у. Величина составляющих напряжения определится из следующих формул х:у.tgP —РY =-^ tg0 —0у.tgP —РY =-^ tg0 —0XyXy(Р — 6 + sin 0 cos 0 — tg р);(Р — 6 + sin 0 cos 0 — tg р);(Р — 0 sin 0 cos 6);(Р — 0 sin 0 cos 6);q sin2 0q sin2 0tgp — P *tgp — P *(с)(с)Легко проверить, что это решение удовлетворяет условиям на гранях О А и О В пластинки.Решениями (Ь) и (с) иногда пользуются при расчете подпорных стенок треугольного поперечного сечения, подвергающихся действию давления воды или сыпучих грунтов. Применяя эти решения, нужно иметь в виду, что они получены для пластинки, стороны которой О А и О В имеют неограниченную длину. Если мы эту пластинку закрепим, например, по плоскости А В, как это имеет место в случае подпорной стенки высоты Л, то в плоскости закрепления может получиться распределение напряжений, значительно отличающееся от того, которое дают формулы (Ь) 2. Полное решение задачи можно было бы получить лишь при одновременном рассмотрении деформаций, клина АОВ и той пластинки (элемент фундамента плотины), с которой этот клин скреплен.Легко проверить, что это решение удовлетворяет условиям на гранях О А и О В пластинки.Решениями (Ь) и (с) иногда пользуются при расчете подпорных стенок треугольного поперечного сечения, подвергающихся действию давления воды или сыпучих грунтов. Применяя эти решения, нужно иметь в виду, что они получены для пластинки, стороны которой О А и О В имеют неограниченную длину. Если мы эту пластинку закрепим, например, по плоскости А В, как это имеет место в случае подпорной стенки высоты Л, то в плоскости закрепления может получиться распределение напряжений, значительно отличающееся от того, которое дают формулы (Ь) 2. Полное решение задачи можно было бы получить лишь при одновременном рассмотрении деформаций, клина АОВ и той пластинки (элемент фундамента плотины), с которой этот клин скреплен.
По сечению пластинки плоскостью АВэ жерпендикулярной к у, нормальные напряжения Yy распределяются по закону трапеции. Здесь решение плоской задачи совпадает с элементарным решением, получаемым на основании гипотезы плоских сечений.
Касательные напряжения Х^ как видно из общего решения (Ь), распределяются по сечению АВ по закону треугольника и достигают максимального значения у точки В. Результат этот отличается от того, который дает элементарная теория изгиба в применении к кли-
По сечению пластинки плоскостью АВэ жерпендикулярной к у, нормальные напряжения Yy распределяются по закону трапеции. Здесь решение плоской задачи совпадает с элементарным решением, получаемым на основании гипотезы плоских сечений.
Касательные напряжения Х^ как видно из общего решения (Ь), распределяются по сечению АВ по закону треугольника и достигают максимального значения у точки В. Результат этот отличается от того, который дает элементарная теория изгиба в применении к кли-
ну ВО А.
Функция напряжений <р представится в виде однородного полинома третьей степени — грань пластинки ОА, подвергающаяся действию давлений,
не вертикальна, а составляет с осью оу любой угол. Посто-
ну ВО А.
Функция напряжений <р представится в виде однородного полинома третьей степени — грань пластинки ОА, подвергающаяся действию давлений,
не вертикальна, а составляет с осью оу любой угол. Посто-
также и в том случае, когда
также и в том случае, когда
явные коэффициенты a, ..., d,^ входящие в выражение (a), определятся из четырех условий, относящихся к граням О А и ОВ.
Если грань пластинки О А подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности q (рис. 26), то напряжения в какой-либо точке М зависят лишь от угла 0, составляемого радиусом ОМ с осью у. Величина составляющих напряжения определится из следующих формул х:
явные коэффициенты a, ..., d,^ входящие в выражение (a), определятся из четырех условий, относящихся к граням О А и ОВ.
Если грань пластинки О А подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности q (рис. 26), то напряжения в какой-либо точке М зависят лишь от угла 0, составляемого радиусом ОМ с осью у. Величина составляющих напряжения определится из следующих формул х:
у.
tgP —Р
Y =-
^ tg0 —0
у.
tgP —Р
Y =-
^ tg0 —0
Xy
Xy
(Р — 6 + sin 0 cos 0 — tg р);
(Р — 6 + sin 0 cos 0 — tg р);
(Р — 0 sin 0 cos 6);
(Р — 0 sin 0 cos 6);
q sin2 0
q sin2 0
tgp — P *
tgp — P *
(с)
(с)
Легко проверить, что это решение удовлетворяет условиям на гранях О А и О В пластинки.
Решениями (Ь) и (с) иногда пользуются при расчете подпорных стенок треугольного поперечного сечения, подвергающихся действию давления воды или сыпучих грунтов. Применяя эти решения, нужно иметь в виду, что они получены для пластинки, стороны которой О А и О В имеют неограниченную длину. Если мы эту пластинку закрепим, например, по плоскости А В, как это имеет место в случае подпорной стенки высоты Л, то в плоскости закрепления может получиться распределение напряжений, значительно отличающееся от того, которое дают формулы (Ь) 2. Полное решение задачи можно было бы получить лишь при одновременном рассмотрении деформаций, клина АОВ и той пластинки (элемент фундамента плотины), с которой этот клин скреплен.
Легко проверить, что это решение удовлетворяет условиям на гранях О А и О В пластинки.
Решениями (Ь) и (с) иногда пользуются при расчете подпорных стенок треугольного поперечного сечения, подвергающихся действию давления воды или сыпучих грунтов. Применяя эти решения, нужно иметь в виду, что они получены для пластинки, стороны которой О А и О В имеют неограниченную длину. Если мы эту пластинку закрепим, например, по плоскости А В, как это имеет место в случае подпорной стенки высоты Л, то в плоскости закрепления может получиться распределение напряжений, значительно отличающееся от того, которое дают формулы (Ь) 2. Полное решение задачи можно было бы получить лишь при одновременном рассмотрении деформаций, клина АОВ и той пластинки (элемент фундамента плотины), с которой этот клин скреплен.
§ 37. Плоская задача в полярных координатах
При изучении распределения напряжений в пластинках, ограниченных прямоугольным контуром, мы пользовались системой прямоугольных координат. В целом ряде дальнейших задач при определении напряжений в пластинках,
ограниченных круговым контуром, и в круговых кольцах прямоугольного поперечного сечения является более выгодным применение полярных координат. Рассмотрим, как напишутся уравнения равновесия плоской задачи и урав
нение для определения функции напряжений в этих координатах. Положение какого- либо бесконечно малого элемента ABCD (рис. 27), выделенного из пластинки двумя плоскостями ОА и ОС, проходящими через ось z, и двумя цилиндрическими поверхностями АС и BD^ нормальными к плоскости яу, определится углом 6 и радиусом г кругового цилиндра АС.
Нормальные напряжения по граням элемента АВ и CD обозначим через 00, те же напряжения по граням АС и BD —через тт. Для касательных напряжений, вызывающих искажение первоначально прямых углов
элемента ABCD, примем обозначение г0. По граням элемента, параллельным плоскости жу, в случае плоской деформации могут действовать лишь
нормальные напряжения хх. Размер элемента в направлении оси z, равный толщине пластинки, в дальнейшем не будет играть никакой роли, и мы его будем принимать равным единице длины.
Составим уравнение равновесия элемента ABCD. Считая объемные силы
равными нулю и проектируя приложенные по поверхности элемента силы на направление гг и на перпендикуляр к нему, получим уравнения
^гг -|—^- dr^ (г + dr) dQ —тт rd^ + -^~ drd^ — ^drd^ = 0;
4^- rd№ + -^- dMr + 2r0drd6 = 0.дгду1
Отбросив малые величины высших порядков и сократив все на общий множитель drd6, представим уравнения равновесия в таком виде:
дгг J_ 9г^99 — А-
5г Т г 56 Т г “
_(61)
see dre , 2ro n
r de + dr + r ~
Уравнения эти соответствуют уравнениям (53) и (57), полученным раньше для прямоугольной системы координат.
Распределение напряжений в случае плоской задачи вполне определяется функцией напряжений <р, удовлетворяющей уравнению
_^ + 2-^ + ^- = 0(а)
dx4dx*dy* dy4х 7
и заданным условиям на контуре пластинки. При пользовании полярными координатами придется независимые переменные х и у заменить новыми перемен-
ными гиб, связанными со старыми посредством уравнений г2 = х2 + у\ 6 = arctg -~. В таком случае
^=^cosO— 4$. sin 6;
дх дгг <96
-§L =-^L sin 9 + — 4|-cos 9.
ду dr1 г дО
Для вторых производных функции ф получим выражения
а2ф а2ф 2 а 9 д2ф sin 6 cos 6 , дф sin2 6дх2 dr2 60Sd^dr г ' дт та2ф а2ф 2 а 9 д2ф sin 6 cos 6 , дф sin2 6дх2 dr2 60Sd^dr г ' дт т+*2+*2аф sin 0 cos О ае ^аф sin 0 cos О ае ^
а2ф а2ф 2 а 9 д2ф sin 6 cos 6 , дф sin2 6
дх2 dr2 60Sd^dr г ' дт т
а2ф а2ф 2 а 9 д2ф sin 6 cos 6 , дф sin2 6
дх2 dr2 60Sd^dr г ' дт т
+*2
+*2
аф sin 0 cos О ае ^
аф sin 0 cos О ае ^
д2ф sin26 е
"Г ^02 г2 ’
а2ф а2ф ^. 2 а । о д2Ф sin 0 cos 0 , дф cos2 09 аф sin 0 cos 0
= -q^t Sin °969r r +9Q r2
а2ф cos2 0 e ae2 г2 ’
а2ф а2фQ f а2ф cos 20 dф cos 20 дф sin 9 cos 6
Tte^F= sm U C0S ° + "Hi 790^ 9r 7
а2ф sin 6 cos 9 ao2 r2 *
Отсюда получаем а2ф, а2ф а2ф . 1аф.1а2ф
дх2 ду2dr2 + гдг**г2ао2 *
Левая часть уравнения (а) преобразуется так:
а2 д2 \ / а2ф а2ф \
Ох2‘ ду2 / \ дх2 ”Г* ду2 /
I а21а1а2 \ / а2ф 1аф 1а»ф \
\ дг2гдгг2аб2 / \ аг2+ гдг+ г^ао2 /
Таким образом, решение плоской задачи в полярных координатах сводится к интегрированию дифференциального уравнения
.1 д<р 1 а2ф \+ “^“аб2"/ ~.1 д<р 1 а2ф \+ “^“аб2"/ ~(62)(62)а2. 1а 1а2 \ / а2ф
.1 д<р 1 а2ф \
+ “^“аб2"/ ~
.1 д<р 1 а2ф \
+ “^“аб2"/ ~
(62)
(62)
дг2*гдг* г2 а02 / \ аг2
Чтобы получить выражения для напряжений гг, 06, гб через функцию <р, расположим оси х и у так, чтобы ось х совпала с направлением г. В таком случае 6 = 0, и на основании (Ь) будем иметь
д^1 дф1 а2ф е
д^ — гдгг2 д02 1
60 = Уу =60 = Уу =а2ф а2ф вдх2дг2 ’а2ф а2ф вдх2дг2 ’(63)(63)
60 = Уу =
60 = Уу =
а2ф а2ф в
дх2дг2 ’
а2ф а2ф в
дх2дг2 ’
(63)
(63)
дг \ г ао /едг \ г ао /е~А уд2ф 1дф1а2ф
дг \ г ао /е
дг \ г ао /е
у дхдуг2 абг дгдВ
Легко проверить дифференцированием, что полученные выражения для напряжений удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (61).
Выражения для деформаций получим на основании формул (36).
Обозначив через е^ и е^ относительные удлинения в направлении радиуса г и перпендикуляра к нему, а через еТ$ — соответствующий сдвиг, будем иметь
err = -^-Vrr — c (ее + zz)];
(84)(84)600 = -^- [00 — о (гг + zz)];вгг = -^- [zz — а (гг + 60)];ете = -g- гв.
(84)
(84)
В случае плоской деформации относительное удлинение егг равно нулю. При плоском напряженном состоянии напряжение zz обращается в нуль.
Обозначим через и и и составляющие перемещения точки в направлении радиуса и перпендикуляра к нему. Перемещение в направлении оси z обозначим через и;. Тогда удлинения и егг выразятся такими же формулами, как а в случае прямоугольной системы координат. Что касается удлинения €?ее, то оно будет обусловлено не только перемещениями и, но также и перемещениями и. Если бы все точки, лежащие на круге радиуса г, совершили только радиальное перемещение и, одинаковое для всех точек, то относительное удлинение еее было бы равно -^-. Если бы те же точки совершали лишь перемещения
ип то соответствующее этим перемещениям удлинение еее выразилось бы отношением dvjrdQ.
Окончательно выражение удлинений через перемещения представится так:
(85)(85)диди , иdw
(85)
(85)
еТт — -^-; coo = -^g- + —; е„ — -^ •
При составлении выражения для сдвига ет^ необходимо принять во внимание изменение угла 6, обусловленное перемещением и.
На рис. 28 пунктиром представлен элемент A BCD после деформации. Сумма заштрихованных на рисунке углов дает величину сдвига erU. Окончательно для сдвига будем иметь формулу
ди . ди и
^=-750- + ir- — *<66)
§ 38. Чистый изгиб части кругового кольца
Особенно просто решается плоская задача в полярных координатах в том случае *, когда распределение напряжений не зависит от угла 0. Функция напряжений ф будет при этом условии зависеть только от г и основное
1 Простейшим примером такого распределения является задача Ламе, излагаемая обыкновенно в курсах сопротивления материалов.
дифференциальное уравнение (62) перепишется так:
d2.1д \ / д2ф.1дф \ ^ф.2д3ф1^ф.1дф
дг^ гдг ) \ дг2 гдг )дг**гдг®г2дг®*г®дт
Подстановкой т — ег полученное уравнение приводится к уравнению с постоянными коэффициентами и потому функция ф может быть найдена без всяких затруднений. Она будет заключать четыре произвольных постоянных
Рис. 23.Рис. 23.и представится в таком виде:
Рис. 23.
Рис. 23.
ф = A In г + Вг2 In г + Ст2 + D.
Соответствующие напряжения определятся на основании формул (63):
^=-^-+2В1пг + В + 2С;]
60 = —А-|-2В1пг + 2С+ЗВ; ^
гб = 0.
Пользуясь этим решением, легко получить напряжения в случае чистого изгиба части кругового кольца парами сил, приложенными по концам (рис. 29). Поперечное сечение кольца предполагаем прямоугольным. Если размер с этого прямоугольника в направлении, перпендикулярном к плоскости кольца, мал, то мы будем иметь дело со случаем обобщенного плоского напряженного состояния. При больших значениях размера с кольцо обращается в цилиндрическую трубку, и мы будем иметь случай плоской деформации. Распределение напряжений как в том, так и в другом случае будет одно и то же. Чтобы получить распределение напряжений при изгибе парами сил, приложенными по концам, подберем произвольные постоянные в общем решении (а) таким образом, чтобы нормальные напряжения тт по наружному и внутреннему круговым очертаниям пластинки обращались в нуль. Обозначая через а и Ъ внутренний и наружный радиусы кольца, получаем для определения произвольных постоянных уравнения
2С + В + 4 + 2В In а = 0;
\(Ь)
2С + В 4- А + 2В1п Ь = 0.
Что касается напряжений 69, то в случае чистого изгиба они должны в каждом поперечном сечении кольца приводиться к паре сил с моментом М. Следовательно 2, ъъ
fj 00dr = 0; j №)rdr = М.
аа
Вставив вместо 99 его выражение и выполняя интегрирование, получим такие уравнения:
т (2С + В—|- 2В In = Oj
^C-VBHb' — а) — Л1п4- + 5(621пЬ — а2 In а) = М.
Первое из этих уравнений является следствием уравнений (Ь), а второе вместе с уравнениями (Ь) дает возможность найти произвольные постоянные Л, В и С. Введя для сокращения обозначение (Ь2 — а2)2 — 4а? № ^ln —)2 = N, представим эти постоянные в таком видез
Л = ^-а^1п4-; В = ^(Ъ»-а»У,
С = — ^-[Ь2 — а2 4- 2 (62 In Ъ — а2 In а)].
Выражения для напряжений перепишутся так:
— 4М I о 1 гb , аЧ
тг= —^—a2lg— — 62ln — + —
бё = ^(б2 — a2 — a2In — — № In- г9 — 0.
Таким образом, исходя из предположения, что функция напряжений не зависит от 9, мы смогли найти распределение напряжений, удовлетворяющее всем условиям задачи: по наружному и внутреннему круговым очертаниям пластинки не действуют никакие усилия. По концевым поперечным сечениям имеются лишь нормальные усилия, приводящиеся к парам сил М. Распределение этих усилий по сечению вполне определяется выражением, полученным выше для напряжений 99. Если в действительности распределение нормальных усилий по концевым поперечным сечениям отличается от того, что дает решение (67), то найденное нами распределение напряжений будет отличаться от действительного, но на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что это различие будет значительным лишь у концов. В точках, удаленных от концов, распределение напряжений мало изменяется при изменении закона распределения изгибающих усилий.
Пользуясь общими формулами (64) и (65), мы без затруднений можем разыскать деформации и перемещения точек кольца в случае чистого изгиба. Интересно отметить, что при этом плоские поперечные сечения остаются и после деформации плоскими. Для доказательства этого положения рассмотрим деформацию элемента A BCD, выделенного из изгибаемой части кольца двумя радиусами ОВ и ОС и двумя концентрическими дугами ВС и AD (рис. 30). Если при изгибе поперечные сечения бруска остаются плоскими, то изменение угла между гранями АВ и DC выделенного элемента не должно зависеть от г. Пусть йф — угол между гранями АВ и CD после деформации элемента, тогда
de^drde^dr^5еоdr^5еоdrиз простых геометрических соображений следует, что
de^dr
de^dr
^5еоdr
^5еоdr
йф = с?<р р + ^оо — еТТ + г Относительное изменение угла
бйь — dtp.
=еее-^ + г-
Вставляя вместо вео и еТТ их выражения через напряжения, легко докажем, что изменение угла от г не зависит и, следовательно, поперечные сечения в на* итем случае изгиба остаются плоскими.
Интересно сравнить полученное выше решение (67) с теми результатами, которые дает элементарная теория изгиба кривых брусьев . При элементарном исследовании распределения напряжений в изогнутом кривом бруске исходят или из гипотезы линейного закона распределения нормальных напряжений по плоскости поперечного сечения бруска, или из гипотезы плоских сечений. В последнем случае мы приходим к распределению нормальных напряжений по гиперболическому закону. Как в первом, так и во втором случае ограничиваются рассмотрением напряжений 06 и пренебрегают напряжениями гг. Чем меньше поперечные размеры бруска по сравнению с его радиусом кривизны, тем меньше разность между результатами, получаемыми на основании двух различных гипотез и тем ближе эти результаты к точному решению (67).
Когда ширина кольца А значительна, гипотеза линейного распределения нормальных напряжений приводит к большим погрешностям. Разница между результатами, получаемыми на основании гипотезы плоских сечений, и решением (67) вообще невелика. Для сравнения приведем следующие два численных примера.
Пример I. Предположим, b = 1,3а. Тогда гипотеза линейного распределения напряжений дает для наибольшего растягивающего и сжимающего напряжений значения $^г=ь — + 66,7а; (90)г==о = — 66,7а, где а — постоянная величина, зависящая от величины изгибающего момента и от поперечных размеров бруска.
Таблица 1
Нормальное напряжение
Гипотеза линейного распределения
Гипотеза плоских сечений
Точное решение
+0,392
+0,224
+0.219
—0,302
—0,463
-0,435
Гипотеза плоских сечений дает для тех же напряжений значения (99)у==ь = + 61,28а; (60)г=а = ~ 73,00а. На основании решения (67) получаем такие результаты: (09)r==b = = + 61,36а; (90) г==0 = — 73,07а.
Результаты, полученные на основании гипотезы плоских сечений, весьма близки к точному решению. Погрешность обусловлена тем, что в элементарном выводе мы пренебрегаем нормальными напряжениями гг.
Пример II, Положим b = За. Ширина кольца вдвое больше внутреннего радиуса. Значения наибольших растягивающих и сжимающих напряжений, вычисленные на основании упомянутых выше гипотез и на основании решения (67), приведены в табл. I1.
Таким образом, даже в случае брусьев большой кривизны гипотеза плоских сечений дает вполне удовлетворительные результаты. Заметим, что с возрастанием ширины бруска h все большее значение будет играть закон распределения внешних сил по концевым поперечным сечениям, так как поперечные размеры перестают быть малыми по сравнению с длиною бруска и принцип Сен-Венана уже более несправедлив.
Что касается напряжений гг, которыми при элементарном рассмотрении изгиба кривых брусьев обыкновенно пренебрегают, то их величины обращаются в нуль при г = а, г = Ь. Наибольшего значения эти напряжения достигают примерно по середине ширины кольца, т. е. при г — — (^z + ^). Эти напряжения вообще невелики. Например, для случая b = 1,3 а при т = 1,15 а величина их равна 4,31 а, что составляет примерно 6% наибольшего значения напряжений 60.
§ 39. Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце
В этом случае напряжения будут зависеть не только от г, но и от 0, поэтому для разыскания соответствующей функции напряжений нам нужно обратиться к основному уравнению
/ d2 . 1 д 1 d2 V д2ф । 1 дф । 1 #2ф \ _л, .
\ dr2 г dr ' г2 ]\ дг2 • г ат г2 а^ /~w
Возьмем частное решение этого уравнения в такой форме:
Ф = / (г) sin 0,(Ь)
где / (г) — неизвестная пока функция одного г. Вставляя это решение в уравнение (а), получаем для определения / (г) обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка:
А ^О + JL ЛL V 0
\ дг2 г дг г2 )\ дг2 г drW
легко приводящееся к уравнению с постоянными коэффициентами.
Общий интеграл уравнения (с) напишется так:
f (г) = аг3 4- -у- + уг + бг In г.
Определив таким образом / (г), из выражения (Ь) для функции напряжений находим путем дифференцирования составляющие напряжения:
—1д2ф 1дф20 б \. л
гг = — —4-L- = 2аг4sin 0;
г2гдг\г3‘ г /’
дг2дг2(баг + 2-^-4- —) sin 6;\* г3 г J(баг + 2-^-4- —) sin 6;\* г3 г J(68)(68)
дг2
дг2
(баг + 2-^-4- —) sin 6;
\* г3 г J
(баг + 2-^-4- —) sin 6;
\* г3 г J
(68)
(68)
9 ( 1 дф \20 , 6 \ л
г0 =—-^- = — 2аг 4cos 0.
дг \ г ди )\г3 ‘ г I
Числа заимствованы из работы Ане J. Zur Berechnung der Spannungen in gekrum- mten Staben (unter Anwendung der optischen Methode). Dissertation Pnilosophische Fakultat Grossheerzogl. und Herzogl. Sachsischen Gesamt — Universitat zu Jena. Dresden, Adolf, 1910, 70 SS.
7 1—1801
Чтобы получить случай изгиба части кругового кольца силами, приложенными по концам, нужно подобрать произвольные постоянные а, р, 6 общего решения (68) так, чтобы напряжения гг и г0 как на внутреннем, так и на наружном круговом очертании бруска обращались в нуль. Для этого нужно удовлетворить уравнениям 2аа"^ + "7 ^ ^ 2аб1|- + у = 0, из которых
находим р = —аа2Ь2; б = —2а (а2 + 62). Вставляя это в выражение (68), получаем для напряжений формулы
~ о /. ^№ а2 + 62 \ . о
гг = 2а г Н5! sin 9;
\г3Т ]’
f (68')f (68')0ё=2а(Зг-^---<+63 Un 6; \Г /
f (68')
f (68')
гО = 2а I — г-—|у1 cos 0.
Рассмотрим частный случай, когда изгибающая сила Р имеет радиальное направление (рис. 31). Отсчитывая 0 от радиуса, совпадающего с линией действия силы, будем иметь в сечении АВ sin 0 =
= 0; cos 0 = 1. Следовательно,
(60)9=0 = 0; (г9)6=о = 2а (— г —
Касательные усилия, распределенные по сечению АВ, должны приводиться к силе Р. Таким образом, для определения постоянной а мы получаем уравнение
ь1
P=^dr = 2а а2 —62 + (а2 + 62) InU,откудаРа =:
2 02 _ 62 + (а2 + 62) 1п А
Вставляя значение а в выражения (68'), получаем формулы для вычисления напряжений в рассматриваемом случае. Если взять часть кольца, соответствующую углу в 90°, и закрепить ее, как указано на рис. 31, то наибольшие нормальные напряжения будут иметь место в плоскости закрепления при 0 = = 90°. Для соответствующего сечения CD будем иметь
Г0 = 0; её = -7-(Зг___21±^Д
а2 _ 62(Д2 _|_ £2) Щ\Г/
Lа I
Распределение нормальных напряжений 00 по высоте сечения CD, как видно из полученной формулы, не следует ни линейному, ни гиперболическому законам, получаемым в элементарной теории изгиба на основании известных гипотез. Для сравнительной оценки результатов двух общепринятых способов расчета с результатами, получаемыми на основании решения (68'), приводим
значения наибольших растягивающих и сжимающих напряжений 69, действующих по сечению CDS вычисленные тремя различными способами (табл. 2). Вычисления выполнены для случая 6 = 1,3 а. Как и в случае чистого изгиба, гипотеза плоских сечений дает здесь результаты, весьма близкие к точному решению.
Мы рассмотрели случай, когда изгибающая сила Р имеет радиальное направление. Легко обобщить наше решение на случай любого направления силы Р.
По поперечному сечению MN,
Табл
ица 2
составляющему с линией действия силы угол 0, будут действовать как касательные, так и нор-о*»до*
мальные напряжения. Суммируя
Гипотеза линейного распределения
Гипотеза плоских сечений
Точное решение
касательные усилия, получим зна- 2 _ чение поперечной силы в рассмат- -^- (00)г=а риваемом сечении. Нормальные усилия по тому же сечению могут Л_ быть приведены к одной силе, Ра
—80,00
+73,34
—87,28
+67,14
—87,55
+67,35
приложенной в центре тяжести
рассматриваемого сечения, и к паре сил. Отбрасывая часть бруска MNAB и заменяя ее действие на остающуюся часть MNCD упомянутыми выше силами и парой сил, мы получаем распределение напряжений для случая изгиба бруска силой и парой сил, приложенными на конце. Мы знаем напряжения, вызываемые изгибающей парой сил (§ 38). Отбрасывая их, получаем распределение напряжений при действии силы, приложенной на конце бруска, причем угол, составляемый этой силой с концевым поперечным сечением MN, определяется величиной 0.
§ 40. Общий случай изгиба кривого бруска
Определяя напряжения в бруске, изгибаемом силой, приложенной на конце, мы подобрали произвольные постоянные в решении (68) так, чтобы напряжения тт и г0 на внутреннем и наружном круговых очертаниях бруска обращались в нуль. Полагая
о 2Р г 6 n о , 2Р ,6
2аа~ 4 0; 2а6+ -г- = —
а * а№ х ь
получаем распределение напряжений для случая, когда кроме силы, приложенной на конце, на брусок действует по наружному круговому очертанию сплошная нагрузка. Нормальная составляющая этой нагрузки изменяется пропорционально sin 0, касательная — пропорционально cos 0.
Выбрав функцию напряжений в виде (р = А (г) cos 0, мы получили бы решение, подобное предыдущему, пришлось бы только поменять местами sin 0 и cos 0.
Комбинируя полученное таким образом решение с решением Ламе, X. С. Головин получил распределение напряжений в своде (рис. 32) для случая, когда по наружному очертанию свода действуют нормальные и касательные
напряжения, определяемые формулами гг = —2р + р cos 0; г0 = р sin 0.
Произвольные постоянные он определил из условия, что элемент поперечного сечения CD, совпадающий с точкой С, не совершает никаких перемещений, следовательно, и = и = -^- = 0 при г = а, 0 = а.
Распределение нормальных напряжений по сечениям АВ и CD, полученное X. С. Головиным для случая а = 45° и 6 = 1,15 а, приведено в табл. 3.
Рис. 32Рис. 32аее „ „—— при е ■ о— при 0 «• 45° р0—0,653—20,7130,025—2,539—16.4070,050—4,301—12,2890,075—5,946—8,3440/100—7,513—4,5770,125—9,028—0,9890,150—10,508+2,424аее „ „—— при е ■ о— при 0 «• 45° р0—0,653—20,7130,025—2,539—16.4070,050—4,301—12,2890,075—5,946—8,3440/100—7,513—4,5770,125—9,028—0,9890,150—10,508+2,424Таблица 3Таблица 3
Рис. 32
Рис. 32
а
ее „ „
—— при е ■ о
— при 0 «• 45° р
0
—0,653
—20,713
0,025
—2,539
—16.407
0,050
—4,301
—12,289
0,075
—5,946
—8,344
0/100
—7,513
—4,577
0,125
—9,028
—0,989
0,150
—10,508
+2,424
а
ее „ „
—— при е ■ о
— при 0 «• 45° р
0
—0,653
—20,713
0,025
—2,539
—16.407
0,050
—4,301
—12,289
0,075
—5,946
—8,344
0/100
—7,513
—4,577
0,125
—9,028
—0,989
0,150
—10,508
+2,424
Таблица 3
Таблица 3
Вследствие сравнительно малой ширины кольца (А= 0,15 а) распределение нормальных напряжений в приведенном численном примере мало отклоняется от линейного закона, но вее же и здесь гипотеза плоских сечений дает результаты, более близкие к точному решению.
Выбирая функцию напряжений в виде ф= /п (г) sin п0 или ф = /„ (г) cos пб, получаем решение для того случая, когда нормальные и касательные напряжения по круговым очертаниям бруска изменяются пропорционально sin (тг9) или cos (п0). Наложением такого рода решений мы можем получить распределение напряжений в бруске при любых нагрузках . Для этого нужно только интенсивность внешних и нормальных усилий представить в виде тригонометрических рядов.
Этим приемом мы воспользуемся дальше при исследовании напряжений вблизи (Круглых отверстий и при определении напряжений в круглом кольце, ‘ здесь же приведем общее решение дифференциального уравнения плоской задачи в полярных координатах . Выражение для функции напряжений представится так:
Ф = а0 In г + Ъ^ + V2 In г + dor^ + ао0 + -^*г^ sin ^ +
+ ^ 4- —^ 4- ргг In r^ cos 0 г0 cos 0 4“ ^г8 4* -7- 4- 6^ In rj sin 0 4*
S VWm + Ьтт^1 + атг~т + Pm^^^2) cos тб 4- m=2
2 (V” + ^mr™+2 + ymr~m + &mr-™+^ sin mQ.(69)
m=2
Путем дифференцирования мы по известным формулам найдем отсюда общие выражения для составляющих напряжений. Входящие в эти выражения
произвольные найдутся из условий на контуре, к которым в случае многосвязных контуров должны быть присоединены еще условия однозначности перемещений (§ 30).
При помощи этих общих формул особенно просто решается задача о распределении напряжений в клине (рис. 33), подвергающемся действию нормальных и касательных усилий, приложенных по граням О А и ОВ, если только
интенсивности этих усилий могут быть представлены целыми алгебраическими функциями г. Составляя при помощи функции напряжений (69) формулы для напряжений 00 и г0 и располагая их по возрастающим степеням г, будем иметь
00 = 2b0 + 2eiae + 2а2 cos 20 4- 2с2 sin 20 +
6г (Ь, cos 0 4- 4l sin 6 + a3 cos 30 4- c3 sin 30 4- 12r) x
X №2 cos 20 + ^2 sin 20 + «4 cos40 4- e4 sin 40) 4- . • •$
Г0 = — d0 4- 2a2 sin 20 — 2c2 cos 20 4-(a)
2r (bT sin 0 — dx cos 0 + 3a3 sin 30 — 3c3 cos 30) 4
6r2 (b2 sin 20 4- d2cos 26 4- 2a4 sin 40 —
— 2c4 cos 40) 4- * - •
Множитель при каждой степени г в этих выражениях заключает четыре произвольные постоянные. Для их определения мы будем иметь всего четыре условия, так как напряжения 00 и г0 заданы на обеих гранях клина. Например, в случае равномерного нормального давления р по грани ОА берем из общего решения (а) члены, не заключающие г. Условия на поверхности дадут нам для определения произвольных b0, d^ а2, с2 уравнения
1) (00)е_о = — р;
3) (00)в==3 = 0;
г0)6_3 = 0.
Так же легко решается вопрос о распределении напряжений при изменении давлений вдоль грани О А по линейному закону, по закону параболы и т. д.
Как частные случаи общего решения (а) могут быть получены также результаты, приведенные нами в § 36. При этом, конечно, нужно будет принять во внимание собственный вес клина.
Влияние круглых отверстий на распределение напряжений в пластинках
Предположим, что пластинка больших размеров находится в состоянии однородного напряженного состояния под действием сил, приложенных по контуру и лежащих в срединной плоскости пластинки. Пусть оси х и у соответствуют направлениям главных напряжений (рис. 34). Тогда по какой-либо площадке тп, перпендикулярной к плоскости ху и наклоненной к оси х на угол 0, нормальные и касательные напряжения будут иметь значения
(а)(а)rr = Хх sin2 0 4- У у cos2 0; гб = — — 2 — sin 29.
(а)
(а)
Если мы в начале координат вырежем в пластинке круглое отверстие малого радиуса р, то распределение напряжений в пластинке должно измениться,
так как по площадкам, совпадающим с контуром отверстия, напряжения должны равняться нулю. Однако значительного изменения напряжений можно ожидать лишь вблизи отверстия, так как вырезывание отверстия равносильно присоединению системы взаимно уравновешивающих усилий, равных и прямо противоположных тем усилиям, которые действуют в цельной пластинке по площадкам, совпадающим с контуром отверстия. В точках, расстояние кото
рых от отверстия велико по сравнению с р, такая система сил согласно принципу Сен-Венана может вызвать лишь малые изменения напряжений.
Представим себе вырезанный из пластинки диск большого радиуса 7?. Если по контуру этого диска приложим напряжения, определяемые формулами (а), то распределение напряжений у контура отверстия будет, на основании вышесказанного, приблизительно такое же, как и в случае пластинки неограниченных размеров. Таким образом, вопрос о влиянии круглых отверстий на распределение напряжений в неограниченной пластинке сводится к отысканию напряжений в круговом кольце, наружный радиус которого ра
вен К, а внутренний — радиусу отверстия р. Причем -^малая величина.
Хх + YVХх — Yy
Для упрощения в дальнейшем введем обозначения^—~“ Р^2—^^
= q. Тогда формулы (а), представляющие распределение усилий по наружному контуру кольца, напишутся так:
(b)(b)гг = р — q cos 26; гб = q sin 26.
(b)
(b)
На внутреннем контуре будем иметь гг = гб = 0.
Следовательно, вырезанное из пластинки кольцо подвергается действию равномерно распределенного по наружному контуру растягивающего усилия р и, кроме того, сжимающему и касательному усилиям, изменяющимся по закону
гг = — q cos 26; rQ = q sin 26.(c)
Напояжения, соответствующие равномерному растяжению р, определяются по известной формуле Ламе г:
р2
(Ф(Фгт^р — -^р;
(Ф
(Ф
96 = р + -^-р;^= о.
Что касается напряжений, обусловленных усилиями (с), то соответствующая им функция напряжений на основании общего решения (69) представится в таком виде: ф = (аг2 + 6г4 + аг-"2 + Р) cos 26. Определяемые этой функ-
1 См. стр. 330 нашего Курса сопротивления материалов, указанного на стр. 96.
цией напряжения получат следующее выражение:
тг = — (2а + баг-4 + 40г-2) cos 29;
60 = (2а + 126г + баг-4) cos 20;
г0 = (2а + 66г2 — баг-4 — 20г-2) sin 20.
Произвольные постоянные в этих выражениях должны быть выбраны так, чтобы на наружном контуре были удовлетворены условия (с); на внутреннем контуре напряжения должны обращаться в нуль. Для определения а, ..., 0 получаем четыре уравнения:
2а + 6а7Г4 + 402?—2 = q;
2а + бар-4 + 40р—2 = 0;
2а + 66Я2 — 6а7?-4 — 202?—2 = q;
2а + 66р2 — бар 4 — 20р-2 = 0.
Отсюда, полагая -~ = 0, находим а = -—; 6 = 0; а = д-^-; 0 = —др2.
Вставляя это в выражения (е) и присоединяя к ним напряжения (d), получаем для напряжений у круглого отверстия такие формулы1:
"■= Р7г Р — 9 (i — 4 4" + 4") cos 20;
(70)(70)00 = Р + ^P-V 5f(l + 3-^008 20;
(70)
(70)
г0 = а (1 — 3 4" + 2 4-) sin 20.
и формулы (70) перепишутся таким образом2:и формулы (70) перепишутся таким образом2:(7П(7ПВ случае простого растяжения в направлении оси у имеем р = 9 = уУУ1
и формулы (70) перепишутся таким образом2:
и формулы (70) перепишутся таким образом2:
(7П
(7П
Пользуясь этими формулами, можно получить распределение напряжений в растянутой полосе, ослабленной круглым отверстием (рис. 35), если только радиус отверстия мал по сравнению с шириной полосы. При ширине полосы, равной четырем диаметрам отверстия, погрешность формул (71) не превосходит 6%. Наибольшие растягивающие напряжения в такой полосе получаются у краев отверстия в точках а—а, соответствующих концам горизонтального диаметра отверстия. Здесь 0 = 0 и 0 = 180° и формулы (71) дадут (69)тах ™ ЗУ^.
ттРис. 35.Рис. 35.2а \—у где PQ—2а \—у где PQ—можем получитьможем получить
т
т
Рис. 35.
Рис. 35.
2а \
—у где PQ—
2а \
—у где PQ—
можем получить
можем получить
Местные напряжения в три раза превосходят среднее значение растягивающих напряжений в полосе. Распределение растягивающих напряжений по плоскости поперечного сечения тп представлено на рисунке заштрихованной площадью. Легко убедиться на основании формул (71), что в точках Ъ — Ъ, соответствующих концам вертикального диаметра отверстия, имеют место сжимающие напряжения 00, численно равные растягивающим напряжениям
Yy. Полученные результаты с достаточной точностью подтверждаются опытами.
Если положить Хх = —Yyi то мы получим в пластинке напряжение, соответствующее чистому сдвигу. Наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения получаются у краев отверстия. Их величины, как легко видеть из формул (70), соответственно равны зЬ4Хж.
Места наибольших напряжений совпадают с концами диаметров отверстия, наклоненных под углом 45° к направлению сдвига. Еще большие местные напряжения получаются в растягиваемой полосе, если она ослаблена не круглым, а продолговатым отверстием, вытянутым в направлении, перпендикулярном к растяжению. Например, в случае эллиптического отверстия с большой полуосью а и малой полуосью b у краев отверстия в точках, соответствующих концам большой оси, перпендикулярной к растяжению, по-
лучаются такие напряжения : р = р0
среднее значение растягивающих напряжений по ослабленному сечению полосы. Увеличивая отношение а/b. мы сколь угодно большие местные напряжения.
Теоретически разобран еще случай Лемнискатного отверстия . Случай отверстия, форма которого подходит к форме поперечного сечения железнодорожного туннеля, экспериментально изучен А. Леоном.
Сделанные выше заключения относительно распределения напряжений у краев отверстия будут справедливы лишь до тех пор, пока материал следует закону Гука. Как только в перенапряженных местах материал выходит за предел упругости и появляются остаточные деформации, распределение напряжений перестает следовать найденному выше закону. Если растягивать полосу, изготовленную из материала, способного получать значительные пластические удлинения, например из мягкого железа, то в этом случае с переходом растяжения за предел упругости распределение напряжений по сечению, проходящему через центр отверстия, приближается постепенно к равномерному и разрыв ослабленной полосы обыкновенно происходит при большем среднем напряжении, чем в случае полосы цельной. Результат этот объясняется тем
обстоятельством, что резкое уменьшение площади поперечного сечения полосы у отверстия затрудняет образование шейки. В случае хрупких материалов, не способных выдерживать значительные деформации, момент перехода за предел упругости близок к моменту разрушения, и потому влияние местных перенапряжений должно сильно понизить временное сопротивление ослабленной полосы. Это хорошо подтверждается на опытах со стеклянными образцами.
Еще большее влияние на прочность полосы оказывает ослабление ее отверстием в том случае, когда приходится иметь дело с переменными усилиями. Благодаря усталости материала в перенапряженных местах могут возникнуть при этих условиях трещинки, которые при дальнейшем развитии приведут к разрушению образца при напряжениях, среднее значение которых меньше предела упругости материала 1.
Распределение напряжений при действии на пластинку сосредоточенной силы
Пусть на пластинку, ограниченную прямолинейным краем А В рис. 36), действуют нормальные усилия, равномерно распределенные по линии ОО (нормальной к срединной плоскости пластинки) и приводящиеся к силе Р. Толщину пластинки будем считать очень малой по сравнению с другими размерами и в дальнейшем примем ее равной единице.
Так как по линии ОО распределяются усилия,I 1/7
приводящиеся к конечной силе Р, то здесь мы,
очевидно, получим теоретически бесконечно д У"5
большие напряжения.1'/ /
Материал пластинки под действием сосре- \ ^yClJ^7/ /
доточенной силы должен претерпеть по линии \//
ОО остающуюся деформацию. Чтобы иметь пра- \.9 i
во применять в дальнейшем вывод уравнения теории упругости, надо представить себе, что место приложения сил выделено из пластинки цилиндрической поверхностью малого радиуса р,Рис* 36
причем этот радиус подобран так, что вне указанного цилиндра материал пластинки нигде не выходит за предел упругости. Задача наша будет заключаться в разыскании такого распределения напряжений, при котором по краю АВ пластинки как нормальные, так и касательные напряжения обращаются в нуль во всех точках, кроме точек линии ОО. По цилиндрической поверхности, выделяющей линию ОО, напряжения должны представлять собою систему сил, эквивалентную силе Р. Это последнее условие показывает, что напряжения по мере удаления от линии ОО убывают обратно пропорционально радиусу г. Очевидно также, что напряжения будут зависеть от угла 6 и для одного и того же расстояния г эти напряжения должны быть тем больше, чем ближе 0 к нулю.
/ д2.1д.1д2 \ / д2ф\ др гdr‘р502 / \ дР/ д2.1д.1д2 \ / д2ф\ др гdr‘р502 / \ дР1 дф г дг1 дф г дг1 д2ф \"Р "Ж) =1 д2ф \"Р "Ж) =Попробуем удовлетворить дифференциальным уравнениям равновесия и основному уравнению плоской задачи
/ д2.1д.1д2 \ / д2ф
\ др гdr‘р502 / \ дР
/ д2.1д.1д2 \ / д2ф
\ др гdr‘р502 / \ дР
1 дф г дг
1 дф г дг
1 д2ф \
"Р "Ж) =
1 д2ф \
"Р "Ж) =
допустив, что в каждой точке пластинки имеет место простое сжатие по направлению радиуса г, соединяющего данную точку с точкой О, и что величина этого сжимающего напряжения пропорциональна cos О. В таком случае при выбранных нами полярных координатах будем иметь
(Ь)(Ь)7777 Та /лk COS и
(Ь)
(Ь)
00 = г0 = 0; гг —
где к — коэффициент, величину которого определим из условий равновесия. После дифференцирования легко убедиться, что выбранное нами распре- мо у«kr^ sin 0
деление напряжении соответствует такой функции напряжении: ф —— .
удовлетворяет уравнениям теорииудовлетворяет уравнениям теорииРис. 37.Рис. 37.Функция эта удовлетворяет уравнению (а). В таком случае решение (Ь)
удовлетворяет уравнениям теории
удовлетворяет уравнениям теории
Рис. 37.
Рис. 37.
упругости; оно удовлетворяет также условию на крае АВ пластинки и, следовательно, представляет собой решение поставленной выше задачи.
Остается теперь подобрать произвольную постоянную величину к так, чтобы усилия по цилиндрической поверхности радиуса р, выделяющей линию приложения сил, были эквивалентны силе Р.
На элемент поверхности, соответствующий углу d0, приходится усилие
rrpdO — —kcos^dQ. Проектируя все эти усилия на направление силы Р, для определения к получаем уравнение:
л
2
2 J * cos 0d9 = Р,о
откуда к = —‘
Для радиального напряжения гг окончательно получим формулу
гг =гг =2Р cos 02Р cos 0лл(72)(72)
гг =
гг =
2Р cos 0
2Р cos 0
л
л
(72)
(72)
Если из какой-либо точки по линии действия силы Р описать окружность, касательную к краю пластинки АВ (рис. 37), то для всех точек этой окружности cos 6~171
величина —-— будет постоянна и равна -у, где d — диаметр описанной окружности. Следовательно, точки равных напряжений в пластинке располагаются на окружностях, касательных к линии АВ в точке приложения силы О.
Рассмотрим напряжения в пластинке по какому-либо сечению тп, перпендикулярному к направлению силы Р. По этому сечению будут действовать как нормальные напряжения У^, так и касательные Х^. Так как в каждой точке пластинки имеется простое сжатие в направлении г, то для какого-либо
элемента dF, составляющего с радиусом г угол -^0, будем иметь
Yy = rr cos2 6 =Yy = rr cos2 6 =2Р cos3 6л г2Р cos3 6л гХу = — rr sin 9 cos 6 =Ху = — rr sin 9 cos 6 =2Р sin 0 cos2 0Л г2Р sin 0 cos2 0Л г(С)(С)
Yy = rr cos2 6 =
Yy = rr cos2 6 =
2Р cos3 6л г
2Р cos3 6л г
Ху = — rr sin 9 cos 6 =
Ху = — rr sin 9 cos 6 =
2Р sin 0 cos2 0
Л г
2Р sin 0 cos2 0
Л г
(С)
(С)
напряжения равны—. Что касается крайних точек поперечного сечения пгтц то для них напряжение зависит от угла сс и определяется выражением — /t(i-pt^'a)2 * Для Углов a = 45, ос = 30 и ос — 15° имеем Yy =^-,у к к'1 у "2,48/1 ’ 1 У ~1,61/1 *По этим результатам можно составить представление о том, насколько неравномерно распределяются напряжения при сжатии клина в зависимости от угла при вершине.напряжения равны—. Что касается крайних точек поперечного сечения пгтц то для них напряжение зависит от угла сс и определяется выражением — /t(i-pt^'a)2 * Для Углов a = 45, ос = 30 и ос — 15° имеем Yy =^-,у к к'1 у "2,48/1 ’ 1 У ~1,61/1 *По этим результатам можно составить представление о том, насколько неравномерно распределяются напряжения при сжатии клина в зависимости от угла при вершине.
напряжения равны—. Что касается крайних точек поперечного сечения пгтц то для них напряжение зависит от угла сс и определяется выражением — /t(i-pt^'a)2 * Для Углов a = 45, ос = 30 и ос — 15° имеем Yy =^-,
у к к'
1 у "2,48/1 ’ 1 У ~1,61/1 *
По этим результатам можно составить представление о том, насколько неравномерно распределяются напряжения при сжатии клина в зависимости от угла при вершине.
напряжения равны—. Что касается крайних точек поперечного сечения пгтц то для них напряжение зависит от угла сс и определяется выражением — /t(i-pt^'a)2 * Для Углов a = 45, ос = 30 и ос — 15° имеем Yy =^-,
у к к'
1 у "2,48/1 ’ 1 У ~1,61/1 *
По этим результатам можно составить представление о том, насколько неравномерно распределяются напряжения при сжатии клина в зависимости от угла при вершине.
или, принимая во внимание, что cos 9 = у/г, sin 9 = — xjr^ получим
2Р у3 .
Л Г» ’
V2Р ху^
л
Подобным же образом найдем Хх =^- ^/ .
При выбранном чисто радиальном распределении напряжений (72) по сечениям, перпендикулярным к пластинке и проходящим пия силы, нет никаких напряжений. Следовательно, мы можем воспользоваться нашим решением для напряжений в клине, подвергающемся действию силы Р, сосредоточенной в вершине х. При этом нужно будет только соответствующим образом выбрать коэффициент к в общем решении (Ь). Возьмем, например, случай симметричного клина (рис. 38). Если предположить, что в каждой точке действует простое радиальное сжатие тт = = —^ с°8--, то для определения коэффициента кг полу
чим уравнение 2 J ттт cos 9^9 = — Р. Интересно проследить изменение нормальных напряжений Yy по сечению клина пгп при различных значениях сс.
Обозначив через h расстояние поперечного сечения клина шп от вершины, получим для напряжений Уу формулу Уу ^2^2)2— Для точки С эти
к*
В случае изгиба клина (рис. 39) мы можем воспользоваться прежним решением (Ь). Угол 6 отсчитываем от направления силы Р. Находим, что по линии Ох напряжения обращаются в нуль — здесь пройдет нейтральный слой. Для точек лежащих выше нейтрального слоя, будем иметь радиальное растяжение, в точ-
ках, расположенных ниже нейтрального слоя,— сжатие. Коэффициент к в общем решении (Ь) определится из уравнения
л ,
) rr cos 0ГС?0 =Р.
Л 2 '
Вставляя найдем для Нормальные и касательные напряжения по вятся так:
У2М у sin4 6у
^ 2а-sin2а ; Ау
вместо гг его значение (Ь),I12Рк выражение к = г—— . 2а — sin 2а поперечному сечению предста-вместо гг его значение (Ь),I12Рк выражение к = г—— . 2а — sin 2а поперечному сечению предста-2Ру2 sin4 О ж3 2а — sin 2а2Ру2 sin4 О ж3 2а — sin 2аХя =-Хя =-I sin4 0;I sin4 0;у —у —12/у12/у.8sin4 0..8sin4 0.Здесь через М обозначена величина Рх изгибающего момента в сечении тп. В случае малых значений угла а можно положить 2а — sin 2а = 2^L й представить формулы для напряжений по сечению тп в таком виде:
вместо гг его значение (Ь),
I12Р
к выражение к = г—— . 2а — sin 2а поперечному сечению предста-
вместо гг его значение (Ь),
I12Р
к выражение к = г—— . 2а — sin 2а поперечному сечению предста-
2Ру2 sin4 О ж3 2а — sin 2а
2Ру2 sin4 О ж3 2а — sin 2а
Хя =-
Хя =-
I sin4 0;
I sin4 0;
у —
у —
12/у
12/у
.8
sin4 0.
.8
sin4 0.
При малых значениях а величина sin 0 близка к единице, распределение нормальных напряжений Хх мало отклоняется от линейного закона, принимаемого
Рис. 41.Рис. 41.
Рис. 41.
Рис. 41.
в элементарной теории при рассмотрении изгиба брусьев переменного сечения. Касательные напряжения достигают наибольшего значения у верхнего и нижнего краев поперечного сечения тп. Полагая г/ = ± Ы2, получаем для максимальных касательных напряжений формулу
СХу)тах —*СХу)тах —*ЗР hЗР h
СХу)тах —*
СХу)тах —*
ЗР h
ЗР h
При малых значениях а эта формула дает для (Х^тах величину, близкую к bPIh, т. е. вдвое больше той, что получается в элементарной теории изгиба
21 ^2 sin ^2 cos2 0221 ^2 sin ^2 cos2 02
21 ^2 sin ^2 cos2 02
21 ^2 sin ^2 cos2 02
балок постоянного прямоугольного сечения для точек, лежащих по нейтральной линии.
Решение (72), полученное нами для тонкой пластинки, может быть применено и к случаю длинного цилиндра с плоской гранью ABCD (рис. 40), если давления равномерно распределены по образующей цилиндра, совпадающей с осью 2. В этом случае в местах, удаленных от концов цилиндра, деформация будет приблизительно плоской, в при изучении напряжений можно ограничиться рассмотрением вырезанной из цилиндра пластинки, размер которой в направлении оси г равен единице.
Без всяких затруднений решение (72) может быть применено и в случае дей-
ствия нескольких сосредоточенных сил (рис. 41). Складывая действия отдельных сил, мы для какой-либо точки Аг пластинки получим такие вначепия напряжений:
v2 ( Рг sin2 Эх cos О-, , Р2 sin2 02 cos 02
—— [-г
л \Г^г 2
УУ(73)(73)V2 (1 ^2 cos3 ^2 t V
У
У
(73)
(73)
л,
Хх =лJ psin20d0;—о»Yy =2лf pcos20dO;91Ху =2лj р sin 0 cos 9dQ.Хх =лJ psin20d0;—о»Yy =2лf pcos20dO;91Ху =2лj р sin 0 cos 9dQ.9191(74)(74)
Хх =
л
J psin20d0;
—о»
Yy =
2
л
f pcos20dO;
91
Ху =
2
л
j р sin 0 cos 9dQ.
Хх =
л
J psin20d0;
—о»
Yy =
2
л
f pcos20dO;
91
Ху =
2
л
j р sin 0 cos 9dQ.
91
91
(74)
(74)
Здесь Pv Рг представляют собой значения сжимающих сил, отнесенные к единице толщины пластинки.
От сосредоточенных сил легко перейти к любой сплошной нагрувке (рис. 42), распределенной на участке тп. Если через р обозначим интенсивность сплошной нагрузки, то давление, соответствующее бесконечно малому элементу, ваштри- _prd9
кованному на рисунке, будет равно ■ со"-(р
Формулы для напряжений в точке Аг напишутся так:
На рис. 43 представлено распределение касательных напряжений по аа в случае действия равномерной нагрузки интенсивности р на участке ab. Для какой-либо точки Л1 прямой аа напряжение, на основании приведенной выше
УРУРI ♦ ♦I ♦ ♦с Iс Iв г 5в г 5
У
Р
У
Р
I ♦ ♦
I ♦ ♦
с I
с I
в г 5
в г 5
формулы, напишется так:
Наибольшее напряжение равно р!^. С возрастанием у напряжение быстро падает. Легко проверить, что сумма всех касательных усилий по сечению аа
равна -—-. В самом деле
~ 2 *
Мы до сих пор предполагали, что силы направлены нормально к прямолинейному краю пластинки. Нетрудно распространить решение и на случай на-
0 Р
Рис. 45.Рис. 45.
Рис. 45.
Рис. 45.
Рис. 44.
клонных сил, так как при действии силы Р, направленной по АВ (рис. 44), имеет место прежнее решение (72), нужно только 0 отсчитывать от нового направления силы Р.
При разыскании решения (72) мы предполагали, что пластинка имеет бесконечно большие размеры и потому пренебрегали весьма малыми усилиями по контуру. Полученное решение может быть применено также к пластинке конечных размеров, если нужно разыскать напряжения вблизи точки приложения сосредоточенной силы Р. Для определения напряжений в точках, удаленных от силы Р, необходимо принять во внимание распределение усилий по контуру пластинки, благодаря чему задача становится гораздо сложнее. Мы приводим здесь несколько решений для частных случаев, могущих иметь практическое значение . При исследовании изгиба прямоугольной пластинки сосредоточенной силой (рис. 45) мы можем для точек, удаленных от концов и от места приложения силы Р, вычислять напряжения, пользуясь решением для изгиба балки силой, приложенной на конце (§ 32). У точки приложения силы Р на вычисленные таким образом напряжения наложатся местные напряжения от сосредоточенной силы. В начале координат эти напряжения имеют такие значения: Хх = 0,249 -^-; Yy = — 0,920 -^-; Ху = 0. Для нижней точ- р
ки В те же напряжения будут Хх = — 0,250 -^-; Yy = Ху = 0. Сравнивая Р 3
эти результаты с наибольшими напряжениями Хх от изгиба -^у • ^ > заключаем, что дополнительные напряжения в точках О и В могут иметь практическое значение лишь в случае сравнительно коротких балок.
Появление дополнительных сжимающих напряжений Хх в точке В можно объяснить таким образом. Радиальные давления у точки А (рис. 46, а) стати-
чески эквивалентны вертикальной силе Р и двум горизонтальным взаимно про- Р
тивоположным силам — (рис. 46, б\ Эти эксцентрично приложенные продольные силы вызовут по поперечному сечению как растягивающие напряжения, так и напряжения изгиба. Последние напряжения для нижнего края пластинки, очевидно, будут сжимающими.
Рис. 46.Рис. 46.00РРР УРис. 47.Р УРис. 47.
Рис. 46.
Рис. 46.
0
0
Р
Р
Р У
Рис. 47.
Р У
Рис. 47.
Рис. 49.Рис. 49.
Рис. 49.
Рис. 49.
Заметим, что распределение напряжений для рассматриваемого случая изгиба прямоугольной пластинки сосредоточенной силой можно получить при помощи общего решения плоской задачи для полосы (§ 35) следующим образом. Исходим из решения (72), полученного для пластинки бесконечно больших размеров. Этому решению соответствует вполне определенное распределение касательных и нормальных напряжений по CD (рис. 45) и по концевым поперечным сечениям пластинки. Приложим теперь по CD усилия, равные и прямо противоположные только что найденным, и рассмотрим изгиб пластинки под действием этих усилий. Распределение напряжений в этом случае может быть приближенно представлено тригонометрическим рядом (§ 35). Налагая два
полученных таким путем решения, придем к изгибу полосы, нижняя грань которой свободна от всяких усилий. Остается только наложением простога растяжения по оси х и чистого изгиба парами сил, приложенными по концам, привести усилия по концевым сечениям к вертикальным опорным реакциям, Р равным -у.
В том случае, когда пластинка с прямоугольным контуром подвергается действию двух взаимно противоположных сил Р (рис. 47), распределение напряжений у точек приложения сил с достаточной точностью может быть представлено решением (72). В удаленных точках величины напряжений могут быть получены таким же путем, как и в рассмотренном выше случае изгиба пластинки Ч
Т i m р о A. Bemerkungen zu den Sommerfeldschen Ausfiihrungen «Uber die Knick- sicherheit der Stege von Walzwerkprofilen». Zeitschrift Ilir Mathematik und Physik, 1907, Bd 55, N 2, SS. 149—224.
На рис. 48 представлено распределение напряжений У^ по нормальному сечению пластинки, проходящему через ось х. Мы видим, что сжатие распространяется лишь на ширину, несколько большую ширины полосы, и распределяется по сечению весьма неравномерно. Наибольшее напряжение соответ- 2Р
ствует началу координат: Yy = — 1,44-^-.
Исследован также случай, когда силы Р сдвинуты одна относительно другой (рис. 49). Здесь интересно отметить распределение касательных напряжений по поперечному сечению тп, делящему пополам расстояние между линиями действия сил Р.
Рис. 51.Рис. 51.При малых величинах расстояния 26 распределение касательных напряжений может сильно отклоняться от параболического закона, принимаемого обычно при расчетах. На рис. 50 показано распределение этих напряжений для нескольких частных значе
Рис. 51.
Рис. 51.
ний отношения b/с. В качестве примера рассмотрим растяжение прямоугольной полосы силами, сосредоточенными на продольных гранях (рис. 51). Примерно в таких условиях при некоторых способах закрепления может оказаться металлический брусок при испытании на разрыв. Для определения модуля упругости Е измеряют обыкновенно удлинения бруска по краям AC ^BD. Предполагая распределение растягивающих напряжений по сечению бруска равномерным, определяют модуль упругости из соотношения
.(d)
Толщина пластинки принята равной единице длины.
Более подробные исследования показывают, что в местах, близких к точкам приложения сил, растягивающие напряжения распределяются неравномерно и в формулу (d) необходимо ввести некоторый множитель а, зависящий от расстояния х* рассматриваемого сечения до места приложения сил.
Удлинение придется вычислять по формуле еХх = ^ "ав^ причем значения а приведены ниже:
X* с
л
2
з я
1
т я
1
Тя
1
6 я
а
0,997
0,982
0,985
1,084
1,652
Мы видим, что лишь у места приложения сил получается значительное перенапряжение материала Отступая от места приложения сил на расстояние, равное ширине полосы, можно с достаточной точностью считать распределение напряжений равномерным и применять формулу (d). ,
§ 43* Сжатие кругового диска и кругового кольца двумя взаимно противоположными силами
Рассмотрим предварительно распределение напряжений в неограниченной пластинке при действии сосредоточенной силы. К решению этой задачи мы придем, складывая две пластинки, ограниченные прямолинейными краями АВ и АТВг и нагруженные силами Р (рис. 52). Использовав решение (72), найдем, что по краям пластинок АВ и А'В' нет никаких напряжений. Каждая пара соответствующих точек т и п будет совершать только вертикальное перемещение, одинаковое для обоих точек, поэтому обе пластинки после деформации можно сложить. Получим одну неограниченную пластинку, к которой приложена сила 2Р.
Теперь рассмотрим случай, когда к пластинке неограниченных размеров в точках А иВ приложены две прямо противоположные силы, равные 2Р (рис. 53). Выше мы показали, что при определении напряжений, вызываемых каждой силой в отдельности, можно пользоваться решением (72). При определении напряжений в какой-либо точке М нужно будет суммировать действия ради- 2Р cos 0-л
ального сжатия—, соответствующего силе, сосредоточенной в А,
COSОм"О
и радиального сжатия-—~ от силы 2Р, приложенной в точке В.
Особенно просто это суммирование выполняется для точек, лежащих на окружности, описанной на АВ как на диаметре. Для этих точек направления г и гт будут взаимно перпендикулярны и соответствующие им напряжения будут, следовательно, главными напряжениями. Кроме того, для тех же точек -COS 0 COS 6i1-I
будем иметь —-— = —-— = -^-, где а — расстояние между точками А и п.
Следовательно, при действии на неограниченную пластинку двух взаимно противоположных сжимающих сил 2Р, приложенных в А и 5, во всех точках окружности \ построенной на АВ как на диаметре, возникает равномерное 2Р
сжатие, и соответствующее сжимающее напряжение равно^—. Ьсли по этому кругу произвести разрез, то получим распределение напряжений в круговом диске, сжатом двумя взаимно противоположными сосредоточенными -2Р
силами Р и нормальными давлениями^—, равномерно распределенными по контуру. Присоединив к радиальным распределениям напряжений равного
мерное растягивающее напряжение величины - ^ -, получим решение задачи,
Х/\к/ Д]Ct тУп ]0Х/\к/ Д]Ct тУп ]0представленной на рис. 54 Ч Примерно в таких условиях находится элемент цилиндрического катка мостовой опоры, вырезанный двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра. Давления, передаваемые на каток, предполагаются равномерно распределенными вдоль образующих цилиндра. При этом условии деформацию вдали от концов катка можно считать плоской. Вычислим величину напряжений по какой-либо площадке тп, лежащей в плоскости диаметрального сечения на расстоянии х от оси катка. По симметрии заключаем, что касательные напряжения по этой площадке отсутствуют. Нормальные напряжения получим, суммируя действия двух радиальных сжимающих напряжений с равномерным растяжением. Принимая во внимание, что в точках диаметрального сечения г = гх и 6 = 0lt для площадки тп окончательно получим
Х/\к/ Д]
Ct тУп ]0
Х/\к/ Д]
Ct тУп ]0
\ 4Р cos3 0 । 2Р 2Р | .4d4
^ л г лг/ nd |(d + 4х2)2
/М!Рис. 54./М!Рис. 54.] х У концов диаметра CD напряжения эти обращаются * в нуль. В центре они достигают своего наибольшего значения — ^P/nd, т. е. равны примерно двойному среднему значению, получаемому делением силы Р на площадь диаметрального сечения CD.
/М!
Рис. 54.
/М!
Рис. 54.
ниже в связи сниже в связи сВопрос о распределении напряжений у точек А и В в случае, когда силы Р являются результатом надавливания одного тела на другое, мы рассмотрим задачей о сжатии упругих тел. Возвратимся теперь к распреде
ниже в связи с
ниже в связи с
лению напряжений в неограниченной пластинке, представленной на рис. 53, и рассмотрим напряжения в точке М, лежащей на круге ADBC. Возьмем в этой точке площадку тп, нормальную к плоскости пластинки и касательную к кругу ADBC. Углы, составляемые этой площадкой с направлениями радиусов г и rv определятся как углы между касательной и хордами круга ADBC и будут равны, как легко видеть из рисунка, углам 0г и 0. Следовательно, нормаль к площадке тп (диаметр круга MN) будет составлять с радиусами г и гх углы 0j = 90° и 0= 90°. Нормальные и касательные напряжения по тп, обусловленные радиальными сжатиями по г и rv представляются такими формулами:
2Р / cos 6 . о л t cos 2п =sin2 0. Ч1 sin2 0 ;
л \ Г1 ‘/’
/\(а)
, 2Р / cos 0 • a a cos 01 • а л । t =Sin 01 COS 01L sin 0 cos 0 .
Л \ r117*1'
Эти формулы сразу упрощаются, если принять во внимание, что из прямоугольных треугольников AMN и MNB имеем г = dx sin 0Х; rx = dx sin 0. Здесь через dx обозначен диаметр круга ADBC, Вставляя это в формулы (а), находим
п = —^-sin (6 +01);1 = °’(Ь)
т. е. по площадкам, касательным к кругу ADBC, будут действовать лишь нормальные напряжения (Ь), постоянные по всей окружности. Если на принятое
нами радиальное распределение напряжений наложим равномерное растягивающее напряжение ^ - sin (9 + 0t), то мы освободим окружность круга ADBC от нормальных давлений и получим распределение напряжений в диске диаметра dv сжатом двумя равными и прямо противоположными силами Р, приложенными по концам хорды АВ
Легко получается также распределение напряжений при действии на
окружность диска целого ряда взаимно уравновешивающихся сосредоточенных сил. Рассмотрим одну из этих сил, действующую в направлении хорды АВ (рис. 55). Исходим из радиального распределения напряжений у точки А^ тогда в точке С по площадке тп на окружности диска получим радиальное сжимающее напряжение. Относя все к координатам ^ и 6Ь будем иметь для
о2Р COS 0i АА А А
этой точки гт =— ; 00 — г0 = и.
л
Перейдем к координатам г и 0, имеющим свое начало в центре диска Тогда для той же точки С окружности диска будем иметь
" " 2Р cos 0i . % а гг =^ sin2
л г32
(с)
~а2Р cos 01 . д п
Г0 =-sin 02 cos 02.
Здесь принято во внимание, что радиус ОС составляет с направлением rt угол, равный 90° — 02. Вводя обозначение d для диаметра диска
и принимая во внимание, что rt = d sin 02, можем представить формулы (с)
в таком виде:
^ =S' ^ (91 + 62>S' 81П (62 — ^^ = ~ ^Г C0S (61 + 62> ~ "S' C0S (02 ” 01)1
Таким образом, при принятом радиальном распределении по поверхности диска появляются следующие три рода напряжений:
Сжимающие напряжения, равномерно распределенные по окружности диска
~ "S"Sin (01 + 02)'
Равномерно распределенные по окружности диска касательные напряжения
-^ГСОЗ(91+02).
Напряжение Р/т^ действующее на каждую площадку тп на окружности диска и имеющее направление, противоположное направлению силы Р.
Принимая во внимание, что угол между направлением силы Р и площадки тп равен 0Х — 02, легко убедиться, что это последнее напряжение даст нам составляющие
гг = — -^- sin (02 — 0г); ^ =^ cos (0, — 0г).
Теперь представим себе, что на диск действует система взаимно уравновешивающихся сил. Принимая для каждой силы соответствующее радиальное 8*
распределение, получим для площадки тп напряжение, состоящее из таких частей:
нормального сжатия — 2-srsin <9i + е=);
касательного напряжения — 2 ттcos (01 + ^
напряжения, представленного геометрической суммой напряжений вида (3).
Заметим, что напряжения 1 и 2 в случае системы взаимно уравновешивающихся сил равны нулю. В самом деле, напряжение 2 пропорцио-
Р Рис. 56. вешив ающихся Пользуясь напряжений вР Рис. 56. вешив ающихся Пользуясь напряжений вV Р cos d „ „ нально ~—-— , а эта сумма представляет собой не что иное как момент всех сил относительно точки О и обращается в нуль. Точно так же напряжение 3 пропорционально геометрической сумме всех приложенных к диску сил и тоже обращается в нуль, так как эти силы находятся в равновесии.
Р Рис. 56. вешив ающихся Пользуясь напряжений в
Р Рис. 56. вешив ающихся Пользуясь напряжений в
Мы видим, таким образом, что, наложив на напряжения вида (с) (см. стр. 115) равномерное растягивающее напряжение 2"^" 8ХП (®i + ®з)’ получим решение задачи для случая диска, подвергающегося действию системы взаимно уравно- сосредоточенных сил х.
решением для сплошного диска, можно найти распределение круговом кольце, подвергающемся действию сосредоточенных
сил, приложенных по наружному контуру. Возьмем, например, случай кругового кольца, сжимаемого двумя взаимно противоположными силами Р (рис. 56).
Исходя из решения для сплошного диска радиуса Ь, легко находим нормальные и касательные напряжения по площадкам, нормальным к плоскости диска и касательным к кругу радиуса а. Теперь представим себе, что по этому кругу произведен разрез. Распределим по контуру полученного таким образом отверстия нормальные и касательные усилия, равные и прямо противоположные только что найденным, и определим при помощи общего решения (69) соответствующие напряжения в кольце. Суммируя эти напряжения с напряжениями для сплошного диска, получаем решение поставленной задачи.
На рис. 57 заштрихованной площадью представлено распределение нормальных напряжений по поперечному сечению кольца, перпендикулярному
к линии действия сил Р. Вычисление напряжений произведено для того случая, когда b = 2а. Для сравнения на рисунке прямой линией и пунктирной гиперболической кривой представлены распределения тех же напряжений, получаемые элементарным путем на основании общепринятых двух гипотез. Опять мы имеем возможность убедиться, что гипотеза плоских сечений дает результаты, весьма близкие к точному решению задачи.
§ 44. Приближенные способы решения плоской задачи
В тех случаях, когда не удается найти точное решение плоской задачи, можно получить приближенное решение, воспользовавшись началом возможных перемещений и общими рассуждениями, приведенными в §23. Будем пренебрегать объемными силами и определим плоское напряженное состояние при помощи функции напряжений ф (ж, у). Соответствующие этой функции напряжения и перемещения должны удовлетворять уравнению (50):
6 j j У ^^V5® = У У №^и + 6rvP + dZvw) ds.
Допустим, что приближенное выражение функции напряжений может быть представ
лено в виде ряда
Фп ^ = Ml toft + аА (яу) + ••• +Мп^ •••(Ь)
Причем функции /1 (ху), ..., /п (яу) подобраны таким образом, чтобы были удовлетворены
условия на тех частях поверхности тела, где заданы поверхностные усилия.
Меняя в выражении (Ъ) значения коэффициентов ai, ..., ап, будем получать различные распределения напряжений, удовлетворяющие указанным выше условиям на поверхности. Приближенное решение задачи мы найдем, выбрав коэффициенты ai, ..., аптак, чтобы было
удовлетворено условие (а), т. е. чтобы а^ ..., ап удовлетворяли уравнениям вида
Рис. 58.Рис. 58.перемещения и, и и w равныперемещения и, и и w равныВ этих уравнениях У, Xv, Y^ и Zv выражены посредством функции напряжений фп (хуу Интегрирование в правых частях этих уравнений распространяется лишь на те части поверхности, где заданными являются перемещения и, и и w, так как на остальных частях поверхности dXv
Рис. 58.
Рис. 58.
перемещения и, и и w равны
перемещения и, и и w равны
производные -~, ... обращаются в нуль. Если заданные да
нулю или же для всей поверхности тела заданными являются поверхностные усилия, то правая часть уравнений (с) обращается в нуль и коэффициенты ai, ...» ап придется определять из условия б^уу Vdxdydx = 0.
Применим эти общие соображения к такому частному случаю. Предположим, что прямоугольная пластинка АВ CD (рис. 58) сжимается между досками пресса, причем грани пластинки ВС и AD остаются плоскими и точки этих граней могут перемещаться лишь параллельно оси х х.
Мы удовлетворим условиям на боковых гранях пластинки, если положим ф (ху) = = агуй + а2 (у — &2)2 ж2 + а3 (У2 — &2) я + а4У4 + аь № — $2)4 жв- В самом деле, соответствующие выражения для напряжений представятся так:
д2ф
„ = -^ = 2а2 (у2 - &2)2 4- 12а3 (у2 - Ь2)3 ж2 + 30а8 (у2 - Ь^ ^
д2ф
Ху =—— = — 8а2 (у2 — 62) ху — 24а3 (у2 — 62)2 х^у — 48а6 (у2 — Ь2)3 хьу.
° дхду
Напряжения эти, очевидно, обращаются в нуль при у = ^Ь. Уравнения (с) в данном случае будут иметь такой вид:
—— I \ Vdxdy = h \ —— dy.(d)
6an J JJ 6 9an
Здесь через ^обозначена величина сжатия пластинки. Толщина пластинки в направлении, перпендикулярном к плоскости ху, принята равной единице. Вставляя в эти уравне
ния выражения для напряжений, выразим все коэффициенты аг, .., а5 через величину сжатия Н.
Нетрудно получить выражение тех же коэффициентов через величину сжимающей силы Р, если воспользоваться уравнением статики
Ч-ь j Xxdy = P.
Все указанные вычисления были произведены для случая квадратной пластинки, у которой а = =b = 1. Полученное распределение нормальных и касательных напряжений по плоскостям соприкосновения пластинки с досками пресса представлено на рис. 59. Благодаря трению, препятствующему поперечному
расширению пластинки, нормальные напряжения распределяются по плоскостям соприкасания с досками пресса неравномерно. Наименьшее напряжение имеет место посредине ширины пластинки (при у = 0). Величина наибольшего напряжения отличается от среднего напряжения 0,5Р кг!см* примерно на 12%. Касательные напряжения по плоскостям соприкосновения обращаются в нуль при у = 0 и при у = ± b. Наибольшего значения, равного 0,092Р кг!см\ эти напряжения достигают при у = 0,5 Ь.
Чтобы выяснить степень точности полученного результата, были произведены повторные вычисления при меньшем числе членов в функции напряжений. Результаты вычислений для случая, когда были взяты лишь первые три члена в функции напряжений с соответствующими коэффициентами ai, а^ и аз, представлены на рисунке пунктиром. Мы видим, что результаты вычислений при пяти и при трех членах мало отличаются друг от друга. Это дает некоторое основание заключить, что намеченный приближенный способ дает в рассматриваемом случае удовлетворительные результаты Что касается деформаций пластинки, то,
как и следовало ожидать, касательные напряжения по плоскостям соприкасания увеличивают жесткость пластинки и получаемое общее сжатие h меньше, чем при простом сжатии той же пластинки.
Другой приближенный способ решения плоской задачи дан Л. Ф. Ричардсоном . Ричардсон заменяет основное дифференциальное уравнение плоской задачи соответствующим уравнением в конечных разностях и дает вычислительный способ приближенного определения значений функции напряжений внутри заданного контура, если значения этой функции на контуре определены из условий на поверхности. Свой метод Л. Ф. Ричардсон применяет к решению весьма важной задачи: определению напряжений, возникающих в подпорных стенках
Приближенное решение плоской задачи может быть получено также и экспериментальным путем. Можно воспользоваться тем обстоятельством, что основное дифференциальное уравнение плоской задачи совершенно совпадает с дифференциальным уравнением изогнутой поверхности пластинки, изгибаемой силами и парами сил, приложенными по контуру. Задача о разыскании распределения напряжений в случае плоской деформации эквивалентна вадаче об искривлении пластинки, определенным способом закрепленной по контуру. Исследуя экспериментальным путем искривление пластинки с определенным контуром и определенным способом закрепления по этому контуру, можно получить распределение напряжений для соответствующей плоской задачи.
§ 45. Экспериментальная проверка распределения напряжений в случае плоской задачи
Направление луча перпендику-Направление луча перпендику-В случае односвязных контуров распределение напряжений в пластинке, находящейся в условиях плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния, не зависит, как мы видели (§ 30), от упругих постоянных материала. Если нам удается найти распределение напряжений для пластинки из какого-либо изотропного материала, то эти результаты могут быть приняты для пластинки из всякого другого изотропного материала, нужно только, чтобы в обоих случаях величина и расположение внешних сил и размеры пластинок были одинаковы.
Направление луча перпендику-
Направление луча перпендику-
Оказывается, что без особых затруднений можно исследовать распределение напряжений в пластинках из таких прозрачных материалов, как стекло и ксилонит. Материалы эти без значительных погрешностей можно считать изотропными, кроме того, они в довольно широких пределах следуют закону Гука х. Поэтому результаты опытов со стеклом и ксилонитом могут быть перенесены на случай пластинок, изготовленных из таких важных строительных материалов, как железо и сталь.
При изучении распределения напряжений в стекле применяют оптический метод, пользуясь свойством стекла становиться двояколучепреломляющим под влиянием напряжений .
Предположим, что на прямоугольную стеклянную пластинку, находящуюся в однородном напряженном состоянии (рис. 60) [по горизонтальным граням пластинки действуют равномерно распределенные растягивающие усилия Хх, к вертикальным граням приложены напряжения У^], падает плоско поляризованный луч света,
лярно к плоскости пластинки; О А — направление, по которому совершаются колебания. Так как пластинка под действием напряжений стала двояколучепреломляющей, то О А разложится на два колебания ОВ = ОЛсова и ОС = ОЛвта.
Эти составляющие колебания будут распространяться с различными скоростями ох и и^ отличными от той скорости v, которую мы имеем в случае недеформированного стекла.
С достаточной точностью можно считать, что ^ ир2 — линейные функции напряжений Хх
и У^ и положить
(а)(а)У1 = У + аХх 4- руу;у, = у + №х + аУу.
(а)
(а)
Запаздывание одного луча относительно другого при прохождении сквозь пластинку толщины 6 будет пропорционально этой толщине и разности скоростей щ — и2 или на основании (а) пропорционально разности главных напряжений Хх — Уу. Так как разность главных напряжений равна удвоенному наибольшему касательному напряжению, то мы можем сказать, что для пластинки определенной толщины запаздывание одного луча относительно другого дает в известном масштабе величину наибольших касательных напряжений Если мы сможем это запаздывание измерить, то тем самым получим возможность определять величину наибольших касательных напряжений, играющих столь важную роль при оценке прочности материала.
пройдут получимпройдут получимЧтобы сделать запаздывание одного луча относительно другого ощутимым для глаза, поставим на пути раздвоившегося при прохождении через пластинку луча света призму Николя и повернем ее таким образом, чтобы она пропускала лишь колебания, совершающиеся в направлении OD, перпендикулярном к ОД. Если для луча, падающего на пластинку, примем простое колебание по закону синуса и положим ОА = a sin cof, то получим ОБ = а cos а sinof; ОС = = a sin а sin tot. После прохождения через пластинку один луч запоздает относительно другого и мы будем иметь OB = a cos a sin со^г, ОС = а sin а sin (co#i — у), где у — разность фаз двух колебаний, пропорциональная относительному запаздыванию, а следовательно,
пройдут получим
пройдут получим
и разности главных напряжений. Через призму Николя лишь составляющие этих колебаний, имеющие направления ODS и в результате в плоскости DD колебание, выражаемое формулой
a sin a cos а sin ®^ — a sin а cos а sin (coix — у) =
a sin 2а ... _ у .
—[sm q^ — sm ^totl — ^] = а sm 2а sin — sin (to^ + m\
sm у где m = arctg ;5.
6 1 — cos у
Следовательно, призма Николя даст явление интерференции, аналогичное явлению Ньютоновых колец, где интерферируют два луча, пути которых отличаются на двойную толщину тонкого слоя воздуха.
Те цветные картины, которые мы получаем в Ньютоновых кольцах, будут получаться также и при прохождении поляризованного света через напряженную пластинку. Цвет, зависящий от относительного запаздывания лучей, будет определять собой разность главных напряжений, а следовательно, и величину наибольшего касательного напряжения.
В случае неоднородной плоской деформации окрашивание в различных местах пластинки будет различное. Одним цветом будут окрашены места, соответствующие какому-либо одному определенному значению максимального касательного напряжения. Таким способом мы не только сможем проверить известные решения плоской задачи, но также без затруднения найдем картину распределения напряжений для случаев, еще не имеющих теоретического решения. Например, Е. Кокер нашел этим способом распределение растягивающих напряжений по поперечному сечению тп (рис. 61) образца, имеющего форму восьмерки. Образцы такой формы берут при испытании на разрыв цемента.
Оказалось, что наибольшие значения напряжений получаются у краев суженного сечения, здесь напряжения в 1,75 раза больше среднего значения растягивающего напряжения, получаемого делением растягивающей силы на площадь суженного сечения.
Глава VIIГлава VIIКРУЧЕНИЕКРУЧЕНИЕ
Глава VII
Глава VII
КРУЧЕНИЕ
КРУЧЕНИЕ
Кручение призматических стержней
Призматический невесомый стержень, закрепленный неподвижно в точке Л (рис. 62), скручивается касательными усилиями, распределенными по нижнему концевому сечению и приводящимися к паре сил М. В главе V (§ 27) мы рассмотрели случай кручения, когда поперечное сечение скручиваемого
(а)(а)удовлетворяющего на боковой поверхности стержня условиям (3), имеющимудовлетворяющего на боковой поверхности стержня условиям (3), имеющимстержня — круг, и показали, что для этого случая справедлива гипотеза плоских сечений, принимаемая обыкновенно при элементарном решении вопроса о кручении. В общем случае задача о кручении сводится к разысканию решения дифференциальных уравнений равновесия
(а)
(а)
удовлетворяющего на боковой поверхности стержня условиям (3), имеющим
удовлетворяющего на боковой поверхности стержня условиям (3), имеющим
dX3l
dXx
ay
dz
= 0;
dYx
= 0;
ay 1
dz
dz.,
dZx
ay
dz
= o,
dXx dx
^ дх
azx дх
в рассматриваемом случае вид
Хх cos (xv) + Ху cos (yv) = 0;
Yx cos (xv) + Yу cos (pv) = 0;
Zx cos (xv) + Zy cos (pv) = 0, и шести дифференциальным зависимостям (40):
(i+n)v‘^+45--O;
(l + ol^Z. + ^-O;
(< +о v=x. += °;
(1 r °) V-X, + j^ - 0.
Мы упростим решение поставленной задачи, если воспользуемся полуобратным методом Сен-Венана х. Сущность этого метода заключается в том, что значения некоторых напряжений задаются наперед, а остальные напряжения подбираются так, чтобы были удовлетворены дифференциальные уравнения равновесия и условия (Ь) и (с). В тех случаях, когда этого удается достигнуть, получаем точное решение поставленной задачи теории упругости.
Мы видели, что при кручении круговых стержней только составляющие напряжения Х2иУ2 отличны от ну ля. Попробуем ив рассматриваемом более общем
случае удовлетворить всем уравнениям теории упругости, исходя из допущения Хх = Yy = Zz = Х^ = 0. Что касается напряжений Х2 nYz, то допустим, что их распределение одинаково для всех поперечных сечений скручиваемого стержня. В таком случае Xz и Yz будут функциями только х и у и вместо систем уравнений (а), (Ь) и (с) нам придется иметь дело лишь с уравнениями
dZxdZv
дхду
Zx cos (rv) + Zy cos (z/v) = 0;
V2yz = 0; V2XZ = 0.
(а')Ф') (с')(а')Ф') (с')При решении плоской задачи мы видели, насколько упрощается иногда исследование вопроса путем введения функции напряжений. Воспользуемся этим методом и в настоящем случае. Сразу видно, что мы удовлетворим уравнению равновесия (а'), если положим
(а')
Ф') (с')
(а')
Ф') (с')
7 ^Ф . 7 7 ^Ф . 7 дфЭх 1дфЭх 1(ф(фРис. 62. где ф — функция от х и у. Эта функция должна быть так выбрана, чтобы удовлетворялись уравнения (с'). Вставляя в эти уравнения вместо Хг и Yz их выражения (d), находим
7 ^Ф . 7
7 ^Ф . 7
дф
Эх 1
дф
Эх 1
(ф
(ф
д / д2Ф . д2ф \
дх \ дх2 * ду2 /’
^ Р2Ф , ^£\nду \ дх2 * ду2 /*
Следовательно, функция напряжений должна удовлетворять уравнению
д2ф , д2ф.
+ тт = const.
(е)(е)дх2 ду^
(е)
(е)
Остается теперь рассмотреть условие (Ь') на контуре. Из рис. 62 видим х, что cos (rev) = cos(yv) = —• Следовательно, условие (Ь') может быть doOS
представлено так: дфdy дфdx= дф~
дуds* Эхds ds’' '
т. е. функция ф должна иметь на контуре постоянное значение. И так как величина этой постоянной в случае односвязного контура не влияет на напряжения, мы можем выбрать ее равной нулю. Задача о кручении призматических стержней сводится, таким образом, к разысканию одной функции ф, удовлетворяющей уравнению (е) и обращающейся в нуль на заданном контуре поперечного сечения.
Легко проверить, что получаемое таким путем распределение касательных напряжений действительно приводится к скручивающей паре сил. В самом деле, проектируя все касательные усилия, действующие по плоскости поперечного сечения стержня, на координатные оси и принимая во внимание, что ф на контуре постоянно, получаем
X = J j Xzdxdy = J dx j -^- dy = 0;
Y = J[ Yzdxdy = — jj dy j -^dx = 0.
Момент тех же усилий будет
ЛГ = J I У zxdxdy — J ^Xzydxdy =
=—Я 4г xdxdy—И 4г ydxdy-
Выполняя интегрирование по частям и принимая во внимание постоянство значения ф на контуре, получаем
М' ^^dxdy.q^
Постоянная в основном уравнении (е) должна быть выбрана таким образом, чтобы найденный нами момент касательных усилий Мг равнялся моменту М внешней скручивающей пары. Физическое значение этой постоянной найдем, если от напряжений перейдем к деформациям. В рассматриваемом случае касательное напряжение Ху равно нулю, следовательно, угол между двумя линейными элементами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня, при кручении не искажается. Возьмем в какой-либо точке сечения элементы 6х и бу, параллельные координатным осям. При кручении первый из этих dvvди
элементов повернется на угол и второй — на угол — — .
На основании сказанного будем иметь
(Ь)(Ь)диди
(Ь)
(Ь)
=
дхду
где а — угол поворота при кручении для всех линейных элементов, проходящих через выбранную точку и лежащих в плоскости сечения. Этот угол одинаков для всех точек рассматриваемого сечения и представляет собой угол
поворота сечения при скручивании стержня. При переходе от одного поперечного сечения к другому угол а будет изменяться, причем интенсивность этого изменения характеризуется величиной
да 1 О / диди \
^ dz2 dz \ дхdy /' '
где т представляет собой угол закручивания стержня, отнесенный к единице его длины.
При помощи выражения (к) преобразуем левую часть основного уравнения
(е). Принимая во внимание, что= р (=
Оу\ ОмОХ ) ОХ
„( ди t dw \
— —Zy — — [iezy =— уь^р + ~^-}' можем переписать левую часть уравнения (е) в таком виде:
[
д ( ди . дш \ д ( ди . дшд ( ди ди \ п
ду \ dz dx ) dx \ dz ' dy ) \“ dz \ ду дх )г
Окончательно уравнение, определяющее функцию ф, напишется так: ^.+ ^ = _2^.(76)
Если для какой-либо формы поперечного сечения стержня нам удается найти такое решение уравнения (76), при котором ф остается постоянным на контуре, то этим самым решается задача о распределении напряжений при кручении этого стержня. При этом боковая поверхность стержня будет свободна от всяких усилий; что касается концевых поперечных сечений, то на них касательные напряжения должны быть распределены таким же образом, как и на всяком другом поперечном сечении стержня. Если усилия, распределенные по концам и вызывающие скручивание стержня, распределены по какому- либо иному закону, то это обстоятельство вызовет изменения в распределении напряжений, определяемых на основании уравнения (76), но на основании принципа Сен-Венана1 мы можем утверждать, что эти изменения будут значительны лишь у концов стержня. Вдали от места приложения сил мы с уверенностью можем пользоваться решением, получаемым на основании уравнения (76).
Эллиптическое поперечное сечение
Пусть контур поперечного сечения скручиваемого стержня задан уравнением ^г + 351 = 0. Очевидно, мы удовлетворим условию на контуре, если
возьмем для функции напряжений выражение
(а)
Коэффициент т должен быть выбран таким образом, чтобы было удовлетворено основное уравнение (76). Вставляя в него выражение (а), находим m = — рт’» и функция напряжении в случае эллиптического сечения
Принцип Сен-Венана в приложении к кручению круглых стержней подтверждается решением А. Тимпе. Т i m р е A. Die Torsion von Umdrehungskorpern. Mathematiscne Anna- len, 1912, Bd 71, SS. 480—509.
1).1).(77)(77)представится в таком виде:
1).
1).
(77)
(77)
ф — — ЦТ д3 + Ь2 ^ + -62
Дифференцированием находим для напряжений выражения
Х.-^-г^^Х,.---^ = 2И,^.(78)
При а = Ь мы придем к известным формулам для случая кручения круглых стержней.
Наибольшего значения касательные напряжения достигают у концов малой полуоси эллипса. Положив а > 6, найдем из формул (78) для наибольшего напряжения значение
z)max = 2р,Т а2 । 6з •(79)
При практических приложениях обыкновенно приходится определять напряжения, соответствующие заданному моменту М скручивающей пары. Чтобы установить связь между (^z)max» т и М, воспользуемся
формулой (75). Вставляя вместо ф найденноеРис. 63.
значение (77) и принимая во внимание, что
^x4xdy = Ju = -^; ^ y^xdy = Jx = -^-,
получаем
М = р,тМ = р,тла3Ь3а2 + д2 .ла3Ь3а2 + д2 .(80)(80)
М = р,т
М = р,т
ла3Ь3а2 + д2 .
ла3Ь3а2 + д2 .
(80)
(80)
Коэффициент, на который приходится множить величину т, чтобы получить скручивающий момент, обыкновенно называют жесткостью при кручении. Мы будем ее обозначать буквой С. ]\з1я эллипса значение С может быть представлено в такой форме:
л __ рла3&3 рF*
'G ~ 02 +— 4я2•(81)
Здесь F обозначает площадь поперечного сечения, Тр — его полярный момент инерции.
Функция напряжений (77), взятая нами для сплошного стержня эллиптического сечения, будет годиться также для трубки, поперечное сечение которой образовано двумя подобными эллипсами (рис. 63). В самом деле, наше решение удовлетворяет основному дифференциальному уравнению (76) и условию на наружном контуре.
Остается показать, что и на внутреннем контуре будет соблюдено условие -^~ = 0. Координаты любой точки внутреннего контура удовлетворяют уравнению Аг- += 1< Так как эллипсы подобны, то — — А- — — . Следо-
а й b да о п
вательно, на внутреннем контуре -^ + -р* —’ функция напряжений (77)
имеет постоянное значение и удовлетворяет, таким образом, всем условиям задачи.
Для определения жесткости при кручении придется в этом случае из величины (81) отнять величину жесткости, соответствующую внутреннему эллипсу.
Имея распределение напряжений, легко получить перемещения отдельных точек скручиваемого стержня. Перемещения и и и. соответствующие поворачиванию отдельных поперечных сечений, выразятся такими же формулами, как и в случае круглого стержня: и = —тку; и = ткх. Вставляя это
уу„ди . dwdu . dw
в формулы для деформации ехг =; е^г = -^- +, получаем
dw,^z , dw^ г
— = е„ + ту= — + %у; -^-=-%х.
Подставляя вместо Хг и Yz найденные выше значения (78) и выполняя № — az интегрирование, находим w = тху дТ
Вид искривленной поверхности первоначально плоского поперечного сечения представлен в горизонталях на рис. 63.
§ 48. Другие формы поперечных сечений
Общее решение уравнения (76) в виде целого полинома может быть представлено в такой форме :
ф= — цт |-L (я + у2) + с0 + сгх + с2 (х2 — у2) + с3 (х — Зжг/2) +
+ с4 (х4 — 6х2у2 + у4) + • • • — с^у — с^ху — с3 (Зх2у — у3) — с4 (4х3у — 4ху3) L (а)
Ограничившись полиномом второй степени, выше мы получили решение для случая эллиптического сечения. Повышая степень полинома и увеличивая число постоянных со,
ci, ..., с ,.., мы будем получать все новые решения. Сен-Ве- нан рассмотрел несколько таких решений и для некоторых из них произвел целый ряд вычислений, чтобы разыскать наиболее напряженные места и определить жесткость С. Мы приведем здесь лишь некоторые результаты 2.
Останавливаясь на полиноме третьей степени и выбирая функцию, четную относительно у, Сен-Венан получил решение ф = — цт [-^- (z2 + у2)^— (х3 — Зу2^) + Со I.
[22а|
Оно удовлетворит условию ф = const на контуре в том случае, если контур задан уравнением
—i— (я3 — Зу2а:)^- (я2 + у2) — Со = 0.(Ь)
2а2
Изменяя Со, получаем различные возможные очертания. При Со = — "2т"а2 УРавнение (Ь) дает совокупность трех прямых, образующих стороны равностороннего треугольника, высота которого равна а. Расположение треугольника и изображение в горизонталях искривленной поверхности поперечного сечения представлены на рис. 64.
Жесткость при кручении трехгранной призмы будет
С = 0,6ц(82)
Наибольшие касательные напряжения равны 0,5 рта и имеют место в срединах сторон контура, т. е. в точках контура, наиболее близких к оси стержня. В вершинах треугольника касательные напряжения равны нулю.
Выбирая решение в виде полинома четвертой степени, четного относительно х и у 1 получаем такую функцию напряжений:
Ф = — ЦТ 1-у (^ + У2)у (®4 — 6ж2у2 + у4) + — (а — 1) .(с)
Рис. 65.Рис. 65.
Рис. 65.
Рис. 65.
Она удовлетворяет условию на поверхности ср = const, если контур поперечного сечения определяется уравнением х2 + у2 — а (х4 — 6я2у2 + у4) + а — 1 = 0. Изменяя а, получаем семейство криволинейных четырехугольников с закругленными вершинами. Вид этих очертаний представлен на рис. 65. Наибольшие напряжения и в этом случае имеют место в точках контура, ближайших к оси скручиваемого стержня.
Комбинируя решения, соответствующие полиномам четвертой и восьмой степени, Сен-Венан получил распределение напряжений для сечения, имеющего форму мальтийского креста (рис. 66). Максимальные напряжения и в этом случае получаются в точках контура, ближайших к оси стержня. Величина их равна 1,475 рта.
Жесткость при кручении определяется в этом случае по формуле
С = 0,537р Jp. (83)
На основании вычислений, произведенных над различными формами поперечных сечений с односвязным контуром, Сен-Венан сделал несколько важных для практических приложений заключений. Он показал, что при одной и той же площади поперечного сечения стержня жесткость его при кручении будет тем большая, чем меньше полярный момент инерции сечения. Поэтому круговое сечение при затрате определенного количества материала обеспечивает наибольшую жесткость.
Такого же рода заключение можно сделать относительно значения наибольших касательных напряжений. При заданном скручивающем моменте М и заданной площади поперечного сечения наименьшее значение максимальных напряжений будем иметь для сечения с наименьшим полярным моментом инерции. Сен-Венан показал также, что для различных рассмотренных им сечений жесткость при кручении может быть представлена формулой С = ■ pF4_
£7— , где коэффициент к для различных сечений мало изменяется.
Полагая к = 40, что соответствует приблизительно эллиптическому сечению (81), получаем приближенную формулу
t84) с достаточной для практических приложений точностью определяющую жесткость при кручении для различных односвязных контуров.
Рассматривая места наибольших напряжений, Сен-Венан нашел, что в рассмотренных им случаях в наиболее невыгодных условиях находятся точки контура, ближайшие к оси стержня х. В точках, соответствующих вершинам выступающих углов, напряжения обращаются в нуль. В случае входящих углов в вершинах получаются бесконечно большие напряжения. Здесь при приложении скручивающей пары должны получаться местные остаточные деформации. Вопрос о распределении напряжений в этих местах подробно разобран для случая сечений, представляющих собою круговой сектор 2. Распределение напряжений в круглом валу, ослабленном вырезом для шпонки, рассмотрено Л. Файловом 3. Вопрос о влиянии продольных цилиндрических полостей на распределение напряжений в скрученном круглом валу изучен Ламором4. Оказывается, что в случае малого кругового поперечного сечения такой полости напряжения у контура полости вдвое больше, чем в соответствующей точке сплошного стержня.
Аналогия Прандтля
Вопрос о распределении касательных напряжений при кручении может быть представлен особенно наглядно, если воспользоваться полной аналогией между основным уравнением (76) для кручения и дифференциальным уравнением для поверхности провисания нерастяжимой мембраны, равномерно натянутой на контур, соответствующий контуру поперечного сечения стержня, и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой 5. Обозначим через р растягивающее усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, и через q — нагрузку на единицу поверхности. Пусть А (рис. 67) представляет элемент мембраны, вырезанный плоскостями, параллельными плоскостям гх и zy.
Л. Файлов показал, что это заключение справедливо не для всяких форм поперечных сечений. F i 1 о n L. N. G. On the resistance to torsion of certain forms of shafting, with special reference to the effect of keyways. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1900, vol. 193, n 10, pp. 309—352.
Д и н н и к A. H. Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости. Изв. Донского политехнического института. Том 2. Новочеркасск, 1913, стр. 219—366. [Перепечатка: Д и н н и к А. Н. Избранные труды. Том 2. Киев, Изд-во АН УССР, 1955, стр. 7— 122]. См. также: Greenhill A. G. Graphical representation of the elliptic functions by means of the elastic curve. The Messendger of Mathematics, 1877, vol. 6, pp. 182—188. The intrinsic equation of the elastic curve. Там же, 1879, vol. 8, pp. 82—88.
См. упомянутую в сноске на данной странице работу L. Filon.
L а г m о г J. The influence of flows and air-cavities on the strength of materials. Philosophical Magazine and Journal of Science, Series 5, 1892, vol. 33, N 200, pp. 70—78.
Эта аналогия была установлена Л. Прандтлем. Prandtl L. Zur Torsion von pris- matischen Staben. Physikalische Zeitschrift, 1903, Bd 4, N 268, SS. 758—765. [Перепечатка: Prandtl L. Gesammelte Abhandlungen zur angewandten Mechanik, Hydro- und Aerody- namik, Erster Teil. Berlin-Gottingen-Heidelberg, Springer-Verlag, 1961, SS. 79—80.] Л. Прандтль воспользовался этой аналогией для экспериментального решения вопроса о распределении касательных напряжений при кручении. См. A n t h е s Н. Versuchsme- thode zur Ermittlung der Spannungsverteilung bei Torsion. Dingier’s polytechnisches Journal. 1906, Bd 321, H. 22, SS. 342—345; H. 23, SS. 356—359; H. 25, SS. 388—392; H. 28, SS. 441— 444; H. 29, SS. 455—4591 H. 30, SS. 471—475.
Кривизну соответствующих сечений мембраны мы можем положить равной
— дЧ дж2 ’ др2 *
Проектируя все силы, приложенные к элементу Л, на направление z, по- э Л I ^2Z Д Д I ^2 Д Д Л
лучаем уравнение qdxay + р -^-ахау + р -^ ахау = 0, откуда
d^z . d^z qdx" dp^pd^z . d^z qdx" dp^p(85)(85)Положив -— = 2цт, приведем уравнение для поверхности провисания мембраны к полному совпадению с уравненим (76). Величины провисания z будут давать соответствующие значения функции напряжений ф.Представим себе поверхность мембраны, изображенной в горизонталях. Тогда нетрудно будет доказать, что направление напряжения в каждой точке сечения стержня совпадает с направлением касательной к соответствующей горизонтали и величина напряжения пропорциональна уклону поверхности мембраны, т. е. густоте горизонталей в рассматриваемой точке. Пусть тп — горизонталь, проходящая черезПоложив -— = 2цт, приведем уравнение для поверхности провисания мембраны к полному совпадению с уравненим (76). Величины провисания z будут давать соответствующие значения функции напряжений ф.Представим себе поверхность мембраны, изображенной в горизонталях. Тогда нетрудно будет доказать, что направление напряжения в каждой точке сечения стержня совпадает с направлением касательной к соответствующей горизонтали и величина напряжения пропорциональна уклону поверхности мембраны, т. е. густоте горизонталей в рассматриваемой точке. Пусть тп — горизонталь, проходящая черезточку Л, и v — нормаль к этой горизонтали, про- Л(рис. 68). Проекция напряжения на на-точку Л, и v — нормаль к этой горизонтали, про- Л(рис. 68). Проекция напряжения на на-веденная в правление Принимая dxведенная в правление Принимая dxнормали будет п = Xz cos хч + У2 cos у v. dpво внимание, что cos хч =, cos yv =вставляя вместо Х2 и Yx их выражения че-нормали будет п = Xz cos хч + У2 cos у v. dpво внимание, что cos хч =, cos yv =вставляя вместо Х2 и Yx их выражения че-dgdg5X5X— ,и ds— ,и dsdxdxdx Х>dx Х>VkVkУУРис. 68.dx dpdvdsРис. 68.dx dpdvdsрезп =резп =ф, находимдфдр।^Фдх 5фдрds*дхdsds= 0.ф, находимдфдр।^Фдх 5фдрds*дхdsds= 0.Рис. 67.Рис. 67.Составляющая напряжения п равна нулю, так как ф остается постоянной вдоль каждой горизонтали.Уклон поверхности мембраны в точке А представится так:Составляющая напряжения п равна нулю, так как ф остается постоянной вдоль каждой горизонтали.Уклон поверхности мембраны в точке А представится так:дф дф дх дчдх dvПринимая во внимание, что^2. ^р дх _' 1ЛI ’ dv “ ds "дф дф дх дчдх dvПринимая во внимание, что^2. ^р дх _' 1ЛI ’ dv “ ds "дф dp dp dvдф dp dp dvX;X;
d^z . d^z q
dx" dp^p
d^z . d^z q
dx" dp^p
(85)
(85)
Положив -— = 2цт, приведем уравнение для поверхности провисания мембраны к полному совпадению с уравненим (76). Величины провисания z будут давать соответствующие значения функции напряжений ф.
Представим себе поверхность мембраны, изображенной в горизонталях. Тогда нетрудно будет доказать, что направление напряжения в каждой точке сечения стержня совпадает с направлением касательной к соответствующей горизонтали и величина напряжения пропорциональна уклону поверхности мембраны, т. е. густоте горизонталей в рассматриваемой точке. Пусть тп — горизонталь, проходящая через
Положив -— = 2цт, приведем уравнение для поверхности провисания мембраны к полному совпадению с уравненим (76). Величины провисания z будут давать соответствующие значения функции напряжений ф.
Представим себе поверхность мембраны, изображенной в горизонталях. Тогда нетрудно будет доказать, что направление напряжения в каждой точке сечения стержня совпадает с направлением касательной к соответствующей горизонтали и величина напряжения пропорциональна уклону поверхности мембраны, т. е. густоте горизонталей в рассматриваемой точке. Пусть тп — горизонталь, проходящая через
точку Л, и v — нормаль к этой горизонтали, про- Л(рис. 68). Проекция напряжения на на-
точку Л, и v — нормаль к этой горизонтали, про- Л(рис. 68). Проекция напряжения на на-
веденная в правление Принимая dx
веденная в правление Принимая dx
нормали будет п = Xz cos хч + У2 cos у v. dp
во внимание, что cos хч =, cos yv =
вставляя вместо Х2 и Yx их выражения че-
нормали будет п = Xz cos хч + У2 cos у v. dp
во внимание, что cos хч =, cos yv =
вставляя вместо Х2 и Yx их выражения че-
dg
dg
5X
5X
— ,и ds
— ,и ds
dx
dx
dx Х>
dx Х>
Vk
Vk
У
У
Рис. 68.
dx dp
dvds
Рис. 68.
dx dp
dvds
рез
п =
рез
п =
ф, находим
дфдр।^Фдх 5ф
дрds*дхdsds
= 0.
ф, находим
дфдр।^Фдх 5ф
дрds*дхdsds
= 0.
Рис. 67.
Рис. 67.
Составляющая напряжения п равна нулю, так как ф остается постоянной вдоль каждой горизонтали.
Уклон поверхности мембраны в точке А представится так:
Составляющая напряжения п равна нулю, так как ф остается постоянной вдоль каждой горизонтали.
Уклон поверхности мембраны в точке А представится так:
дф дф дх дчдх dv
Принимая во внимание, что
^2. ^р дх _
' 1ЛI ’ dv “ ds "
дф дф дх дчдх dv
Принимая во внимание, что
^2. ^р дх _
' 1ЛI ’ dv “ ds "
дф dp dp dv
дф dp dp dv
X;
X;
получаем
т. e. величина напряжения определяется величиной наибольшего уклона мембраны в рассматриваемой точке или густотой горизонталей. Заметим еще, что удвоенный объем холмика, образованного выпучившейся мембраной, дает, как видно из формулы (75), величину скручивающего момента.
В случае стержня, поперечное сечение которого представляет собой вытянутый прямоугольник (рис. 69), аналогия Прандтля позволяет сразу уста- 9 1—1801
новить приближенную формулу для напряжений и для жесткости при кручении. Предположим, что контур сечения затянут равномерно нагруженной мембраной. Двумя сечениями, перпендикулярными к длинным сторонам прямоугольника, выделяем из мембраны элемент тшпхпх, размер которого в направлении длины прямоугольника равен единице. Мы с достаточной точностью можем считать, что вдали от концов прямоугольника мембрана провисает по цилиндрической поверхности. В таком случае линии пересечения мембраны с нормальными плоскостями тип и т1п1 будут близки к линии провисания гибкой нити, натянутой силой р и равномерно нагруженной нагрузкой q. Линию провисания тяжелой гибкой нити мы можем принять за параболу. Тогда наибольшее провисание будет / = qb^^p и тангенс угла наклона касательных к параболе у точек закрепления нити равен qb/2p. Чтобы от мембраны перейти к напряжениям при кручении, нужно, как мы видели, положить q, р = 2цт. В таком случае касательное напряжение в точках ттгппх на длинных сторонах прямоугольного контура, определяемое соответствующим уклоном, будет равно цд.
Пренебрегая влиянием поперечных сторон прямоугольника и принимая всю поверхность мембраны за параболический цилиндр, для жесткости при кручении, равной двойному объему цилиндра, деленному на т, получаем формулу
2V 2 2 qb3 ,1
Приняв провисание мембраны по параболическому цилиндру, получим линейный закон изменения касательных напряжений по ширине прямоугольно- 70). Момент всех усилий, соответству
Рис. 69.
го сечения (рис.
ющих этим касательным напряжениям, рхЪ-^-п-^- Ъ = 1 1
— у -^-|штЬ3й, т. е. равен половине скручивающего момента, получаемого из формулы (86) умножением С на величину т. Вторую половину скручивающего момента дают касательные напряжения у поперечных сторон прямоугольного контура1, где принятая нами форма провисания мембраны не дает надлежащего представления о распределении напряжений.
Формула (86), полученная для С в случае узкого прямоугольного сечения, может быть применена также к сечениям, представленным на рис. 71. Для получения h нужно себе представить эти сечения выправленными В случае трубчатого сечения (рис. 72) придется иметь деле
в со
прямоугольник, сложным конту-
ром. На каждом из контуров функция напряжений ф должна оставаться постоянной, но эта постоянная будет для каждого контура иметь свое значение. Чтобы распространить и на этот случай аналогию с мембраной, представим себе плоскость внутреннего контура смещенной относительно плоскости наружного
1 Аналитически этот вопрос подробно выяснили Кельвин и Тэт. Kelvin [William Thomson], Tait [Peter Guthrie] Treatise on natural philosophy. Cambridge, University press, pt 2, 1903, XXV, 527 pp„ см.р. 267.
Рис. 71.Рис. 71.(87)(87)
Рис. 71.
Рис. 71.
(87)
(87)
контура. Внутренний контур представит собой очертание жесткого недеформи- рующегося дна, соединенного с наружным контуром посредством гибкой мембраны. Поверхность мембраны, испытывающей равномерное давление, представит закон распределения касательных напряжений. Формула (75) и в этом случае сохранит свое значение. Для определения скручивающего момента
нам нужно будет взять удвоенный объем, заключенный между плоскостями контуров и поверхностью мембраны.
Особенно просто решается вопрос о напряжениях и угле закручивания в том случае, когда толщина стенок сечения весьма мала. При этом условии можно пренебречь провисанием мембраны. Уклон поверхности, образованной мембраной, по ширине кольца будет постоянным и ему будет соответствовать
равномерное распределение касательных напряжений. Направление напряжений, очевидно, будет совпадать с направлением касательной к контуру. Если через t обозначим величину касательного напряжения, измеряемую уклоном мембраны, и через й — ширину кольцевого сечения (й может быть переменной), то постоянная разность уровней внутреннего и наружного контуров (рис. 73) будет равна th. Следовательно, напряжения изменяются вдоль кольца обратно пропорционально h. Объем, заключенный между плоскостями контуров и мембраной, можно принять равным thF, где F — площадь, ограниченная средней линией кольца. Момент определится из уравнения (75):
крутя-длиныкрутя-длины(88)(88)
крутя-длины
крутя-длины
(88)
(88)
Формулу для угла закручивания получаем, приравнивая работу щего момента потенциальной энергии деформации. Выделяя единицу стержня, будем иметь
тМ _ 1 V t^hds2 ~ 2 ,1 цо
откуда при помощи уравнения (87) получаем
М f dsТ ~ 4цГ4 J к *О
Найденные формулы (87) и (88) с достаточной для практики точностью решают вопрос о кручении различного рода трубчатых стержней . Например, для сечения, представленного на рис. 74, будем иметь
М .= М
~ 2axa2hA ’ ~" 2axa2h^ *
Для угла кручения т получим т= М + 2p,axal ' ^i ^2 /
Когда трубчатый стержень имеет промежуточные стенки2 (рис. 75), мы также можем воспользоваться аналогией Прандтля. Каждый из простых
Рис. 75.Рис. 75.контуров располагается при этом на определенном уровне и соединяется с другими контурами посредством мембраны. Если прене-
Рис. 75.
Рис. 75.
бречь провисанием мембраны в случае тонкостенных трубок, то получим, как и в предыдущем случае, равномерное распределение касательных напряжений по толщине стенки. Обозначая эти напряжения для различных стенок через tv £2 и t' (для каждой стенки эти величины будут в общем случае переменными) и соответствующие толщины стенок через hv h2 и h', находим, что возвышение контура А над наружным контуром трубки равно txhv ]\кя контура В та же величина равна t2h2. Как следствие получаем
t h = ^i^i ^У^»00
Скручивающий момент будет измеряться удвоенным объемом, заключенным между плоскостями контуров и мембраной. Обозначая через и Р2 площади, очерченные пунктирными средними линиями и заключающие контуры А и В, мы для этого момента получаем такую формулу:
M = 2(^i +W2).(Ь)
Сюда входят две неизвестные величины tx и t2. Чтобы их определить, обратимся к углу закручивания стержня. Приравнивая работу скручивающего момента потенциальной энергии деформации, получаем:
^=w J -^-+(w J -V+w2 У ^ •<с)
Таким образом, мы получили три уравнения (а), (Ь) и (с), в которые входят четыре неизвестные величины tv t2, V и т. Для составления недостающего чет-
вертого уравнения примем во внимание, что при кручении углы в плоскости поперечного сечения не искажаются и угол закручивания имеет одно и то же значение для каждой части сечения. Разобьем скручивающий момент М на два слагаемых Мх и М^ соответственно двум внутренним контурам А и В и положим
М = Мг + М^ Мг = 2^^^; М2 = 2t^F^.
(d)(d)Г =Г =2р. [ 4^22р. [ 4^24^J Х" + ~'~5 К) J ~iv4^J Х" + ~'~5 К) J ~ivТогда потенциальная энергия деформации, приходящаяся на единицу длины стержня, может быть представлена в таком виде:
(d)
(d)
Г =
Г =
2р. [ 4^2
2р. [ 4^2
4^J Х" + ~'~5 К) J ~iv
4^J Х" + ~'~5 К) J ~iv
(е)(е)
(е)
(е)
Составляя производную от этого выражения по Мг и М4, мы должны получить одну и ту же величину, именно величину угла т. На основании этого получаем уравнение
^1 Г ^si ।/ Мг Мй \ Г ds*
Мг С ds2 1 / Мх Мг \ С ds'
При помощи уравнений (d) и (е) решаем вопрос о распределении напряжений. Уравнение (с) дает возможность найти соответствующий угол закручивания. Указанный прием расчета трубчатых стержней на кручение может быть распространен на случай любого числа промежуточных стенок.
§ 50. Применение метода Ритца к определению напряжений при кручении
Вопрос о кручении призматических стержней сводится к интегрированию дифференциального уравнения
(а)
Иногда выгодно разыскание решения этого уравнения заменить разыска» нием минимума некоторого интеграла Эту замену легко произвести при помощи общего уравнения (50). Предположим, что напряжения представлены при помощи функции ф, тогда потенциальная энергия скрученного стержня, отнесенная к единице длины, будет
Если мы во всех точках поперечного сечения, кроме точек контура, дадим совершенно произвольные малые приращения дф, то этому будут соответствовать приращения напряжений
Такие же приращения получат напряжения, распределенные по концевым поперечным сечениям стержня, являющиеся внешними скручивающими силами.
Предположим, что сечение стержня, соответствующее началу координат, закреплено, и обозначим через I длину стержня. Тогда перемещения и и и для какой-либо точки свободного конца стержня представятся в виде и= —tz/Z; у = 4^x1 и уравнение (50) можно будет написать так:
4г6Ш(4г)+14г) v''f(-y ^-ж^^ (Ь)
Выполняя в правой части интегрирование по частям и принимая во внимание, что на контуре 6ф = 0, перепишем уравнение (Ь) в таком виде:
46 .Ш (4г) + (4г? ] dxdy—2т^ J j* 64>dxdy=°> или
6 И (4-[(4г) + (4г) I ~2fxT(p}dxdy=°-
Так как приращение полученного нами интеграла для всякого малого изменения функции ф должно равняться нулю, то, следовательно, разыскание функции ф, удовлетворяющей уравнению (а), равносильно разысканию максимума или минимума интеграла:
ШЯ-^)’!-2^)*^- <89>
К такому же результату мы придем, исходя из аналогии Прандтля. Определение функции ф приводится, как мы видели, к разысканию провисания мембраны, равномерно нагруженной и удерживаемой на контуре равномерно распределенными растягивающими усилиями. При определении формы равновесия мембраны воспользуемся началом возможных перемещений. Искомая форма равновесия характеризуется тем, что на всяком возможном отклонении от этой формы работа всех приложенных к мембране сил равна нулю. Если считать мембрану нерастяжимой, то при провисании ее необходимо допустить некоторое смещение краев. При таком смещении растягивающие мембрану усилия совершат отрицательную работу, величину которой получим, умножая усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, на разность между площадью мембраны до провисания и проекцией мембраны на плоскость контура после провисания. При малых провисаниях величина этой работы представится так:
При всяком отклонении мембраны от положения равновесия изменение найденной сейчас работы растягивающих сил должно быть равно по величине и противоположно по знаку приращению работы сплошной нагрузки, лежащей на мембране. Следовательно,
"Т6П1(4г) +(4г) \dxdy= ^qMxdy. (с)
Это уравнение справедливо при всяком распределении нагрузки q. Положив q/p = 2 |it, мы приведем задачу о разыскании провисания мембраны к нахождению максимума или минимума интеграла (89).
В тех случаях, когда удается найти функцию ф, удовлетворяющую этому условию, мы получаем точное решение соответствующей задачи о кручении. Если же получение точного решения сопряжено с большими трудностями или такого решения получить не удается, мы можем при помощи (89) полу-
чить приближенное решение задачи, заменяя задачу вариационного исчисления о разыскании максимума или минимума интеграла 8 задачей об определении максимума или минимума некоторой функции х. Для этого мы берем приближенное выражение функции напряжений в виде ряда
Фп = 4*0 + ^1^1 + ^2^2 + • * • + Япфп. (d)
При этом функции ф0, фп ..., фп выбираем так, чтобы каждая из них удовлетворяла заданным для ф условиям на контуре (в нашем случае каждая из них на контуре обращается в нуль) и чтобы выражение (d) при надлежащем выборе коэффициентов av а^..., аи по возможности ближе подходило к точному выражению ф.
В каждом частном случае такие функции можно подобрать, потому что приблизительный вид ф, или, что все равно, вид той поверхности, по которой провисает равномерно нагруженная мембрана, нам известен. Для определения коэффициентов а0, ..., ап мы ставим выражение фп вместо ф под знак интеграла (89) и находим соответствующее значение интеграла. Обозначим его через 8п. Далее подбираем коэффициенты так, чтобы 8п имело максимальное или минимальное значение, т. е. чтобы были удовлетворены условия
Эти уравнения — линейные относительно коэффициентов о^, ..., On. Решая их, мы находим для этих коэффициенов значения, при которых функция фп дает наилучшее приближение к точному решению задачи.
Особенно просто разыскание функций ф0, ..., фп в тех случаях, когда контур поперечного сечения задан уравнением F (х, у) = 0 и F внутри контура в нуль не обращается. Тогда выражение (d) может быть взято в таком виде:
171,71
фшп — F (ху) 2 G>mn®myU- (в) т—О, п—О
Очевидно, каждый член этой суммы удовлетворяет условию на контуре. Остается лишь определить коэффициенты атп при помощи уравнений (90).
Этим приемом легко решаются задачи, рассмотренные Сен-Венаном, а также задачи о кручении стержней, поперечное сечение которых представляет собой или сектор или четырехугольник, ограниченный двумя радиусами или двумя концентрическими кругами. Ниже мы применим этот метод к случаю прямоугольного поперечного сечения.
§ 51. Случай прямоугольного поперечного сечения
Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 76) мы можем составить сколько угодно функций, обращающихся на контуре в нуль. Например, всякая функция вида фтп ^mn sm—— sin —будет удовлетворять этому условию, и мы можем представить функцию напряжений в виде ряда Ф — 2 2 ати х
1 Этот прием был предложен Вальтером Ритцем и применен им к исследованию изгиба и колебаний квадратной пластинки. См. его статью, указанную на стр. 10. В настоящее время метод Ритца нашел широкое применение при решении целого ряда задач строительной механики.
. /ПЛЯ . ПЛ,у п-
X sin - — sin —^- • В таком случае будем иметь
а b о о а bа Ь
^ ^ 2p,Tij)mnda:dy = атп J J 2р.т sin -^- sin -^- джйу = атп2|1т ^^
Рис. 76.для функцииРис. 76.для функциипри нечетных т и п. Если пг или п— четное число, то этот интеграл обращается в нуль.
Рис. 76.
для функции
Рис. 76.
для функции
Уравнения (90) при нечетных т и п получают такую форму: л^ I rrv1 .п2* \ о 4аЬ А
т 4\ а2 1г тмя?
если т или п четное число, то л2а6 / тп2 , я2 \ п атп——+ ”уГ) —
ФФОпределяя таким образом коэффициенты о^», получаем выражение в виде такого бесконечного ряда: . тяж . пяу
Ф
Ф
L91Sin ——— Sin .
ФФ 32рт6аb/см\
Ф
Ф
Лтп к^а2 + п2)*' '
тп=1,3,5... 71=1,3,5...
Здесь для краткости обозначено через а отношение Ь/а.
Зависимость между скручивающим моментом и величиною т на основании уравнения (75) напишется так:
m=l,3,5... n=l,3,5...
Результат этот можно представить в более удобной для вычислений форме, если принять во внимание 2, что
n=coягал
1 у1л4 22
ro2 „-ITs "2 (m2“2 + ”2) ~ 96,ге21 / тал \ '
3 \ 2 /
В таком случае
{
______, так
ал1 "2
2т4т5 *
771=1,3,5...771=1,3,5..,
Дальнейшее упрощение получим, если примем во внимание, что
771=00ЛА
т496 ’
тп=1,3,5... тогда
/_ _ так \
| 1 а№ 64ab®Т~ I
^ = ^4 — ^—1?^ 24 —^— •<92)
771=1,3,5../
Выбирая обозначения так, чтобы 6 было больше а. мы без особых затруднений можем вычислить сумму бесконечного ряда, входящего* в полученную формулу (92), так как th "^- весьма близок к единице и ряд вообще быстро схо- _ „ случае весьма узкого прямоугольника можем положить th—^— = 1 и представить (92) так:
М = цтЬа8 (-у- — 0,2101 у-) = 4- Н^Ьа8 (1 - 0,6302 -^-).(93)
Для квадратного сечения формула (92) дает
М = 0,1406рта4 = 0,8435Ит/р.(94)
Вообще формула (92) может быть представлена в таком виде: М = = к- \Ktba\ Значения коэффициента к для различных значений а = Ъ[а вычислены Сен-Венаном. Несколько таких значений мы приводим в табл. 4.
Таблица 4
ь = а
а
к
ь = а
а
ь
hi
1
0,1406
0,6753
2,5
0,2494
0,9681
1,2
0,1661
0,7587
3
0,2633
0,9855
1,4
0,1869
0,8222
4
0,2808
0,9970
1,6
0,2037
0,8695
5
0,2914
0,9994
1,8
0,2174
0,9044
10
0,3123
1,0000
2,0
0,2287
0,9301
ОО
0,3333
1,0000
Наибольшие касательные напряжения имеют место в срединах длинных сторон прямоугольного контура. Формула для касательных напряжений в различных точках линии у = Ъ[а напишется так:
п— 1
/ j \ 2_ ткх
(— 1) cos
8282I ЪI Ъ32р,т62а
82
82
I Ъ
I Ъ
п?ап (т2а2 + и2)
771=1,3,5... 777=1,3,5...
Полагая х = 0 или х = ап получаем значение наибольших напряжений: 72—1
(^-"-^SS^S^-'-.l-T...(95)
Значения коэффициента кг для различных а приведены в табл. 4.
Метод Ритца дает возможность представить функцию напряжений в различных формах. Вместо тригонометрического ряда мы для представления ф можем воспользоваться целым полиномом [формула (f) § 501. Направив координатные оси по осям симметрии прямоугольника, положим
Ф = (ж — а2) (у2 — Ь2) 2
Здесь в силу симметрии нужно сохранить лишь четные значения тип.
В качестве примера произведем расчет для квадратного сечения. Ограничимся первым членом ряда и положим ф0 = а00 (я2 —- а2) (у2 —- а2). Вставляя это в интеграл (89), находим для а00 значение а^ — —5рт/8а2. Величина скручивающего момента получается
М = 2 j j q>odxdy = -^-pra = °>1388 (2«)4-
Сравнение с формулой (94) показывает, что взятое нами первое приближение дает величину М с точностью до 1-^-%. В качестве второго приближения положим
ф2 = (а? — а2) (у2 — а2) [а00 + а^ (ж2 + у2)].
Уравнения (90) дадут для неопределенных пока коэффициентов значения
5259 цт е 5335 рт
а00=8"'277’^г: а°г— 8" ‘■ 277
В таком случае
204 / 259 . 2335 \А4/А/
™ 9 ^Та ( 277 + 5* 2 * 277 /0Д404цт (2а) .
Второе приближение дает погрешность, равную 0,15%.
Для напряжений приближенное решение обладает значительно меньшей точностью. Например, погрешность в величине максимума напряжений для второго приближения достигает 4%.
Способ, примененный выше к прямоугольнику, легко может быть распространен на случай любого выпуклого многоугольника. Представив функцию напряжений в виде полинома
ф = (а^ + ^у + cj (а2ж + Ь2у + с2) ... (апх + Ьпг/ + сп) SS^тп^туП)
где ахх + Ъгу + сг = 0, ...— уравнения отдельных сторон многоугольника, вычислим коэффициенты dmn с помощью уравнений (90).
В случае контуров, имеющих входящий угол, например для уголка \ тавра и др., применение намеченного метода встречает затруднения. В таком случае следует воспользоваться или вычислительным 2, или графическим способом решения уравнения (76).
Глава VIIIГлава VIIIИЗГИБИЗГИБ
Глава VIII
Глава VIII
ИЗГИБ
ИЗГИБ
§ 52. Постановка задачи
Предположим, что невесомый призматический стержень, закрепленный в точке О, изгибается силами, распределенными на конце В. Силы эти статически эквивалентны силе Q, приложенной в центре тяжести поперечного сечения и направленной по одной из главных осей инерции.
Разыскание напряжений в общем случае сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия
дХ^ дх+9ХУ ду1 да= 0;д¥хdYv= 0-дх9У1 dzdZx дх+dZv дудх= 0.дХ^ дх+9ХУ ду1 да= 0;д¥хdYv= 0-дх9У1 dzdZx дх+dZv дудх= 0.(а)(а)
дХ^ дх
+
9ХУ ду
1 да
= 0;
д¥х
dYv
= 0-
дх
9У
1 dz
dZx дх
+
dZv ду
дх
= 0.
дХ^ дх
+
9ХУ ду
1 да
= 0;
д¥х
dYv
= 0-
дх
9У
1 dz
dZx дх
+
dZv ду
дх
= 0.
(а)
(а)
При этом должны быть выполнены на поверхности условия
(Ь)(Ь)Х„ = Ххcos (xv) + Ху cos (z/v) + Xz cos (zv); yv = Yx cos (#v) + Yу cos (z/v) + Yz cos (zv); Zv = Zx cos (^v) + &v cos (z/v) + Zz cos (zv). ,
(Ь)
(Ь)
Кроме того, в каждой точке должны быть удовлетворены дифференциальные зависимости
(1 + о)72Хж+-^- = 0;
(1 + о) 72У, += 0;
(1 +a)V2Zz +-^- = 0;
(с)
(1 + a) ^Уг + -^- = 0;
(1 + О) V-X, + -5-- 0;
При решении задачи воспользуемся полуобратним методом Сен-Венана *. Заранее зададимся некоторыми из напряжений на основании уже известных нам простейших решений и остальные напряжения постараемся подобрать так, чтобы были удовлетворены уравнения (а) и условия (Ь) и (с). Если бы наш стержень испытывал чистый изгиб в плоскости жг, то отличными от нуля были бы лишь напряжения Zx. Обозначив через М величину изгибающего момента, получим в этом случае для напряжений Zx значение
При исследовании изгиба полосы силой, приложенной на конце, мы нашли для нормальных напряжений Zx то же выражение (d). Но кроме нормальных напряжений в этом случае получаются еще и касательные напряжения, распределенные по плоскости поперечного сечения.
Предположим, что и в рассматриваемом более общем случае изгиба нормальные напряжения Zx определяются прежней формулой (d). Кроме этих нормальных напряжений будут, конечно, отличными от нуля касательные напряжения, распределенные по плоскости поперечного сечения стержня, т. е. напряжения Хх и Yx.
Что касается остальных напряжений Хх, Yyi Ху, то будем их считать равными нулю. Если, исходя из этих допущений, мы сможем удовлетворить уравнениям (а) и условиям (Ь) и (с), то полученное таким путем решение будет точным решением поставленной выше задачи.
После сделанных предположений относительно напряжений, система уравнений (а) и условия (Ь) и (с) значительно упростятся.
Из первого и второго уравнений (а) заключаем, что
0Хх9Yz~
—- = —~ = 0.dzdz’
т. е. распределение касательных напряжений одинаково в рассматриваемом случае для всех поперечных сечений стержня, Хх и Yx являются функциями только х и у.
На основании сделанного выше допущения относительно напряжений Zx имеем
Zz = -.(d)
Следовательно, оставшееся третье уравнение системы (а) перепишется так.
Так как боковая поверхность стержня предполагается свободной от всяких усилий и для нее cos (zv) = 0, то из уравнений (Ь) нам придется считаться лишь с третьим уравнением, которое представится в таком виде:
Zx cos (w) + Zy cos (yv) = 0. (f)
Что касается уравнений (с), то при сделанных предположениях первые три из них и последнее будут тождественно удовлетворены, а уравнения четвер-
Вопрос об изгибе призматических стержней был разрешен Сен-Венаном. Saint-Venant В. Мemoire sur la flexion des prismes, sur les glissements transversaux et longitudinaux qui Faccompagnent lorsqu’elle ne s’opere pas uniformement on en arc de cercle, et sur la forme courbe affectee alors par leurs sections transversales primitivement planes. Journal de mathe- matiques pures et appliqu6es (Liouville), Deuxieme serie, 1856, t. 14, pp. 89—189. [Перевод на русский язык: Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М., Физматгиз, 1961, стр. 379—494].
тое и пятое перепишутся так:
(g)
и Yz посредством функции напря-и Yz посредством функции напря-(h)(h)Таким образом, мы привели задачу об изгибе призматического стержня к решению уравнений (е), (f) и (g). Дальнейшее решение упростится, если мы
и Yz посредством функции напря-
и Yz посредством функции напря-
(h)
(h)
— ду 2J +~ дх— ду 2J +~ дхпредставим неизвестные пока напряжения Хг жений ф. Легко видеть, что дифференциальное уравнение (е) будет удовлетворено, если положим
— ду 2J +~ дх
— ду 2J +~ дх
Здесь кроме функции напряжений ф (ж,
у) мы ввели еще одну произвольную покаРис. 77.
функцию / (у) для того, чтобы в дальнейшем
упростить выполнение условия на поверхности (f). Вставляя выражения для напряжений (h) в уравнения (g), получаем для функции напряжений ф урав
нения
Л_А±Ч_ 4-_ Я- + Г м9-
ду \ дх» ду» / J ' va> —7(1+о)
» / #2Ф . ^ф )q
откудаоткудаЭх \ дх^ dy^ /’
откуда
откуда
(96)(96)^ф_4__^ = —^9L -f (V) + с
(96)
(96)
дх» ^ ду» 1+а J 7 ХУ) тс,
где с — произвольная постоянная величина.
Преобразуем теперь условие на поверхности (f). При выбранном расположении координат (рис. 77) имеем cos (xv) = -~- , cos (yv) =^— Следователь
но, условие (f) может быть представлено в таком виде:
дф дудф дх __ 5ф _ [ Qx^^ АА] ду/Qm
ду dsдх ds — ds [ 2/ds *
Задача о распределении напряжений при изгибе сводится, таким образом, к разысканию решения дифференциального уравнения (96), удовлетворяющего условию (97) на контуре. В каждом частном случае, когда нам удастся найти такое решение, мы тем самым разрешим задачу о распределении напряжений при изгибе. При этом боковая поверхность стержня будет свободна от всяких усилий. Усилия на концевых поперечных сечениях распределятся так же, как и во всяком промежуточном сечении. На практике приходится встречаться с самыми разнообразными способами приложения изгибающей силы, но согласно принципу Сен-Венана изменение в распределении усилий по плоскости концевого сечения может вызвать значительные изменения напряжений лишь в точках, близких к концам; в удаленных точках мы всегда можем пользоваться решением, получаемым из уравнений (96) и (97).
Особенно просто решается вопрос в том случае, когда удается так выбрать f (у), чтобы функция “j/ (у) обращалась на контуре поперечного сечения в нуль. При этом условии будем иметь -^~ = 0, т. е. функция ф будет иметь на контуре постоянное значение. Уравнение (96) будет совпадать с дифференциальным уравнением для поверхности провисания мембраны, равномерно
натянутой на контуре сечения, но нагрузка будет теперь не равномерной, как в случае кручения, а переменной. Ее интенсивность в каждой точке будет определяться правой частью уравнения (96).
Легко показать, что получаемое при этом решение соответствует условию задачи и определяемые таким путем касательные напряжения по плоскости поперечного сечения приводятся к одной вертикальной силе Q. В самом деле, если <р на контуре постоянно, то .
J J Yzdxdy = — J j -^-dxdy = 0;
^Xzdxdy=^^-^ + f(y)\dxdy =
=^ J J x^dxdy + J У / (y) dxdy.
Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае / (у) на контуре равна , имеем
^f(y) dxdy = j dy [ж3! = -|- Q.
Кроме того, J J x^dxdy = J. Следовательно, J J Xzdxdy =f" + *^~ = Q-
Нам нужно еще позаботиться о том, чтобы равнодействующая Q всех касательных усилий проходила через центр тяжести поперечного сечения. В противном случае мы будем иметь одновременное действие изгиба и кручения. Момент касательных напряжений относительно оси z представляется формулой Mz = ^(—Хгу + Yzx) dxdy. Соответствующим выбором произвольной постоянной с в уравнении (96) мы всегда можем достигнуть того, чтобы Mz обращалось в нуль. В самом деле, постоянная в правой части уравнения (96) соот-
„д2ф д2ф
ветствует распределению напряжении, определяемому уравнением -^- + -^- =
= с, а это как раз те напряжения, с которыми мы имели дело при исследовании кручения призм. Меняя с. мы будем изменять и величину скручивающего момента, следовательно, надлежащим выбором с можем обратить в нуль момент Мх.
В случае симметричных сечений напряжений, определяемых постоянной с, не будет, и мы можем положить в этих случаях с = 0.
Теперь рассмотрим частные случаи.
§ 53. Круговое и эллиптическое поперечные сечения
Пусть контур поперечного сечения изгибаемого стержня задан уравнением х2 + у2 — г2 = 0. Чтобы правая часть условия на поверхности (97) обратилась в нуль, положим / (у) = -^- (г2 — у2). Тогда задача об определении касательных напряжений при изгибе сводится к интегрированию уравнения
(а)(а)д2ф . д2ф 1 + 2а Q
(а)
(а)
дх2 * <9z/21 + а J ^‘
Причем на контуре значение ср постоянно, и мы его можем положить равным нулю.
Значение функции напряжений ф в каждой точке поперечного сечения совпадает со значением провисания равномерно натянутой мембраны, закрепленной на круговом контуре и нагруженной сплошной нагрузкой, изменяю- 1 + 2а Q щеися по закону плоскостиу.
Для определения этого провисания можно воспользоваться приближенным способом Ритца [формула (f) § 50] и положить
ф = (я2 + у2 — г2) 2 2 атпХтуп.(Ь)
При данном распределении сплошной нагрузки, очевидно, провисание мембраны с круговым контуром должно быть четной функцией относительно х и нечетной относительно у. Легко убедиться, что ограничиваясь одним членом общего выражения (Ь) и полагая
ф = а01 (ж2 + у2 — г2) у,(с)
1 + 2а Q7+^-—' фУнкЦия1 + 2а Q7+^-—' фУнкЦиямы при надлежащем выборе коэффициента п01 удовлетворим уравнению (а).
1 + 2а Q
7+^-—' фУнкЦия
1 + 2а Q
7+^-—' фУнкЦия
Вставляя выражение (с) в уравнение (а), находим п01 = - напряжений окончательно представится в таком виде:
Ф =Ф =1 1 + 2а Q8 1 + о J1 1 + 2а Q8 1 + о J(х2 + у2 — г2) у.(х2 + у2 — г2) у.
Ф =
Ф =
1 1 + 2а Q
8 1 + о J
1 1 + 2а Q
8 1 + о J
(х2 + у2 — г2) у.
(х2 + у2 — г2) у.
Дифференцированием получаем соответствующее распределение касательных напряжений:
2а —13 4-2а2а —13 4-2а(98)(98)X —f (и} —3 4- 2а / 2 2 >
2а —1
3 4-2а
2а —1
3 4-2а
(98)
(98)
Az ду 2J Т \У) — 2/ 4(1+а) V +
VЭФ1 Н2о Q
IzЭх4 1 + а / Ху"
по горизонтальномупо горизонтальномуРассмотрим распределение касательных напряжений
по горизонтальному
по горизонтальному
диаметру поперечного сечения. Для этих точек при х = 0 по формулам (98) находим
2а — 13 4-2а2а — 13 4-2аЛ7 л. v <23 + 2а
2а — 1
3 4-2а
2а — 1
3 4-2а
Az- ^J 4(1+а)
Распределение напряжений зависит, как мы видим, от величины пуассонова отношения. Наибольшее напряжение получается в центре сечения при у — 0, где (Xz)2/=o^:=o = -^г 7н । V г • ^ концов того же диаметра напряжения оудут +• а)
— 2/ 2 (1 4-а)
Элементарная теория изгиба дает для касательных напряжений во всех 4 Q л Q точках горизонтального диаметра одну и ту же величину — — = 1Д5 у , где F — площадь поперечного сечения.
Для сравнения с точным решением произведем вычисления, приняв о — 0,3. В таком случае
(^z)x=o,y=o = 1,38-у; (Х2)х=3о,^= ±г = 1,23 -у •
Следовательно, погрешность при определении максимума касательных напряжений элементарным способом составляет меньше 4%. Таким же способом
легко решается задача о распределении напряжений при изгибе в случае эллиптического поперечного сечения. Пусть -^г + -^1 = 0 — уравнение кон
тура поперечного сечения. Чтобы обратить в нуль правую часть уравнения (97), положим•
^^ “ "27" v
Задача сводится, таким образом, к интегрированию уравнения
52ф . <92(р _ Qy / о. а2 \ .
дх2 ду2 J \ 1 -{- о * 62 /
При этом на контуре значение ф постоянно. Как и в случае круга, мы сразу (a?i
ж2 + -^- у2 — а21 у. Подстановкой в уравнение (96) находим
a°1—2 (За2 + 62)‘ J "
Окончательно для функции напряжений получаем выражение
° А2 ,
+ а/ 2 . а2 2
ф =(х + -^У -а)У-
При а = b результат этот совпадает с тем, что было найдено выше для кругового поперечного сечения.
Получив функцию напряжений, мы без затруднения можем составить формулы для касательных напряжений Хг и Yz и вычислить эти напряжения для любой точки сечения.
Имея распределение касательных напряжений для круглого стержня, легко перейти к стержню, поперечное сечение которого имеет форму полукруга. В самом деле, из общего решения (98) следует, что в точках вертикального диаметра кругового поперечного сечения напряжения Yz равны нулю, следовательно, по плоскости zz, разделяющей круглый стержень пополам, никаких напряжений нет, каждая половина стержня работает самостоятельно. Касательные усилия, приходящиеся на одну половину сечения, приведутся к вертикальной силе — и к скручивающей паре сил. Напряжения, соответствующие этой паре, мы можем исключить при помощи известного решения для кручения стержня полукруглого сечения и таким путем получим распределение касательных напряжений при изгибе стержня полукруглого сечения.
§ 54. Прямоугольное поперечное сечение
Уравнение контура (рис. 78) в этом случае представится так: (ж2 — а2) (у2 — — 62) = 0. Чтобы обратить в нуль правую часть уравнения (97), нужно положить / (у) =• При этом на сторонах х = ± а обратится в нуль выражение
^у- —/ (у). На сторонах же у = ±Ь, очевидно, производная -~- равна нулю.
Мы получим для точек контура-у- = 0 и можем принять на контуре ф =0 . Дифференциальное уравнение (96) перепишется так:
д2ф . д2фдх2 * ду2д2ф . д2фдх2 * ду2о Qyо QyЗадача сводится, таким образом, к разысканию провисания мембраны, равномерно натянутой на прямоугольный контур и нагруженной сплошнойооо Qyнагрузкой, изменяющейся по закону уу - -у--Для определения ф воспользуемся методом Ритца, который мы применяли при исследовании кручения. При заданном способе распределения нагрузки ф будет, очевидно, четной функцией относительно х и нечетной относительно у. Мы удовлетворим условиям на контуре, если положимЗадача сводится, таким образом, к разысканию провисания мембраны, равномерно натянутой на прямоугольный контур и нагруженной сплошнойооо Qyнагрузкой, изменяющейся по закону уу - -у--Для определения ф воспользуемся методом Ритца, который мы применяли при исследовании кручения. При заданном способе распределения нагрузки ф будет, очевидно, четной функцией относительно х и нечетной относительно у. Мы удовлетворим условиям на контуре, если положимV V(2тп + 1)лж .ф = 2j ^ 02т-Ц,п COS ^S1HV V(2тп + 1)лж .ф = 2j ^ 02т-Ц,п COS ^S1HплуbплуbВ таком случае+а +^В таком случае+а +^Рис. 78.Рис. 78.п2 1~уГ I а 2m+1.7i-п2 1~уГ I а 2m+1.7i-m^oo п=ооm^oo п=оол2а6 [ (2m + I)2л2а6 [ (2m + I)2—tz —ьт—0 п=1Уравнения (90) представятся в таком виде:—tz —ьт—0 п=1Уравнения (90) представятся в таком виде:224а24а2откудаоткудаоо#2m4-l,nft^^ ^“+« -|“Ь—а —Ь#2m4-l,nft^^ ^“+« -|“Ь—а —Ь(2тп + 1)24а2(2тп + 1)24а2(2т +1) лх . плу 1 ,-—^— sin -^- ydxdy,(2т +1) лх . плу 1 ,-—^— sin -^- ydxdy, а Q^m+l.n — L. । п "Г а Q^m+l.n — L. । п "Г86 (—1)”*+”-186 (—1)”*+”-1л4 (2тп + 1) «л4 (2тп + 1) «' (2тп + 1)24а2' (2тп + 1)24а2
д2ф . д2ф
дх2 * ду2
д2ф . д2ф
дх2 * ду2
о Qy
о Qy
Задача сводится, таким образом, к разысканию провисания мембраны, равномерно натянутой на прямоугольный контур и нагруженной сплошной
ооо Qy
нагрузкой, изменяющейся по закону уу - -у--
Для определения ф воспользуемся методом Ритца, который мы применяли при исследовании кручения. При заданном способе распределения нагрузки ф будет, очевидно, четной функцией относительно х и нечетной относительно у. Мы удовлетворим условиям на контуре, если положим
Задача сводится, таким образом, к разысканию провисания мембраны, равномерно натянутой на прямоугольный контур и нагруженной сплошной
ооо Qy
нагрузкой, изменяющейся по закону уу - -у--
Для определения ф воспользуемся методом Ритца, который мы применяли при исследовании кручения. При заданном способе распределения нагрузки ф будет, очевидно, четной функцией относительно х и нечетной относительно у. Мы удовлетворим условиям на контуре, если положим
V V(2тп + 1)лж .
ф = 2j ^ 02т-Ц,п COS ^S1H
V V(2тп + 1)лж .
ф = 2j ^ 02т-Ц,п COS ^S1H
плуb
плуb
В таком случае
+а +^
В таком случае
+а +^
Рис. 78.
Рис. 78.
п2 1
~уГ I а 2m+1.7i-
п2 1
~уГ I а 2m+1.7i-
m^oo п=оо
m^oo п=оо
л2а6 [ (2m + I)2
л2а6 [ (2m + I)2
—tz —ьт—0 п=1
Уравнения (90) представятся в таком виде:
—tz —ьт—0 п=1
Уравнения (90) представятся в таком виде:
2
2
4а2
4а2
откуда
откуда
о
о
#2m4-l,nft^^ ^“
+« -|“Ь
—а —Ь
#2m4-l,nft^^ ^“
+« -|“Ь
—а —Ь
(2тп + 1)24а2
(2тп + 1)24а2
(2т +1) лх . плу 1 ,
-—^— sin -^- ydxdy,
(2т +1) лх . плу 1 ,
-—^— sin -^- ydxdy,
а Q
^m+l.n — L. । п "Г
а Q
^m+l.n — L. । п "Г
86 (—1)”*+”-1
86 (—1)”*+”-1
л4 (2тп + 1) «
л4 (2тп + 1) «
' (2тп + 1)24а2
' (2тп + 1)24а2
ОбозначаяОбозначаячерез а отношение Ыа, находимчерез а отношение Ыа, находим
Обозначая
Обозначая
через а отношение Ыа, находим
через а отношение Ыа, находим
ООт=оа п=ост=оа п=осQ 8Ь3 у уJ л^ ^т=и п=1Q 8Ь3 у уJ л^ ^т=и п=1Касательные напряженияКасательные напряжения( ^тп4-п—1(2т + 1) п — ~ а2 +определятся из формул( ^тп4-п—1(2т + 1) п — ~ а2 +определятся из формул(2т + 1) лх . плуCOS -Sin—Г—2ао(2т + 1) лх . плуCOS -Sin—Г—2ао
О
О
т=оа п=ос
т=оа п=ос
Q 8Ь3 у у
J л^ ^
т=и п=1
Q 8Ь3 у у
J л^ ^
т=и п=1
Касательные напряжения
Касательные напряжения
( ^тп4-п—1
(2т + 1) п — ~ а2 +определятся из формул
( ^тп4-п—1
(2т + 1) п — ~ а2 +определятся из формул
(2т + 1) лх . плу
COS -Sin—Г—
2ао
(2т + 1) лх . плу
COS -Sin—Г—
2ао
+ 2J Ж'’ дх *
Заметим, что второй член в выражении для Хг дает как раз ту величину касательных напряжений, которую мы, на основании некоторых допущений, получаем в элементарной теории изгиба. Функцией ф определяются лишь поправки к касательным напряжениям, вычисляемым элементарным путем.
Вычислим напряжения для точек поперечного сечения, лежащих на оси у. Именно в этих точках, согласно элементарной теории, касательные напряжения 10 1—1801
достигают своей наибольшей величины. Составляя производную -|~ и принимая во внимание равенства1
Л2 е12 ’Л2 е12 ’П=©оп= ОО
Л2 е
12 ’
Л2 е
12 ’
V 1 _ я2 . V (—1)”
«2 ~ 6 ’п»
П=112=1
т=®от=®о' V(~ 1)т(2тп + 1) [(2т + I)2 + А:2] m=Q' V(~ 1)т(2тп + 1) [(2т + I)2 + А:2] m=QЛ3Л33232sch —^1sch —^1
т=®о
т=®о
' V(~ 1)т
(2тп + 1) [(2т + I)2 + А:2] m=Q
' V(~ 1)т
(2тп + 1) [(2т + I)2 + А:2] m=Q
Л3
Л3
32
32
sch —^1
sch —^1
получаем
x=y=Qx=y=Qa 3g ^1 + а 8а6 а2a 3g ^1 + а 8а6 а2дф \а 3g 62ду )х=»0\у=ъ1 + а Bab а^дф \а 3g 62ду )х=»0\у=ъ1 + а Bab а^71=171=1(-1)(-1)л । 71ЛДn2 ch—г—ол । 71ЛДn2 ch—г—опкапка
x=y=Q
x=y=Q
a 3g ^
1 + а 8а6 а2
a 3g ^
1 + а 8а6 а2
дф \а 3g 62
ду )х=»0\у=ъ1 + а Bab а^
дф \а 3g 62
ду )х=»0\у=ъ1 + а Bab а^
71=1
71=1
(-1)
(-1)
л । 71ЛДn2 ch—г—о
л । 71ЛДn2 ch—г—о
пка
пка
Что касается производной ^-, то ется в нуль. Для напряжений в этихЧто касается производной ^-, то ется в нуль. Для напряжений в этихона для рассматриваемых точек обраща- точках получаем такие формулы:она для рассматриваемых точек обраща- точках получаем такие формулы:
Что касается производной ^-, то ется в нуль. Для напряжений в этих
Что касается производной ^-, то ется в нуль. Для напряжений в этих
она для рассматриваемых точек обраща- точках получаем такие формулы:
она для рассматриваемых точек обраща- точках получаем такие формулы:
Q^z)x=Q\y=0 —Q^z)x=Q\y=0 —3 С Lа 62 Г_1_ ,(-1)"8 «i 1 + а а2 3 Т л2 ^, , пла.Ln==1 я2 ch —т—3 С Lа 62 Г_1_ ,(-1)"8 «i 1 + а а2 3 Т л2 ^, , пла.Ln==1 я2 ch —т—
Q^z)x=Q\y=0 —
Q^z)x=Q\y=0 —
3 С Lа 62 Г_1_ ,(-1)"
8 «i 1 + а а2 3 Т л2 ^, , пла
.Ln==1 я2 ch —т—
3 С Lа 62 Г_1_ ,(-1)"
8 «i 1 + а а2 3 Т л2 ^, , пла
.Ln==1 я2 ch —т—
(Х2)х=0;у=Ъ —•(Х2)х=0;у=Ъ —•8 ab8 abл , о 62 Г 211 + а а2 3 л2ппаП—1 n2 ch Ол , о 62 Г 211 + а а2 3 л2ппаП—1 n2 ch О(99)(99)
(Х2)х=0;у=Ъ —•
(Х2)х=0;у=Ъ —•
8 ab
8 ab
л , о 62 Г 21
1 + а а2 3 л2ппа
П—1 n2 ch
О
л , о 62 Г 21
1 + а а2 3 л2ппа
П—1 n2 ch
О
(99)
(99)
(У^о = 0.
Множители в фигурных скобках представляют собой те коэффициенты, на которые нужно множить результат элементарной теории, чтобы получить точное значение напряжения. Входящие в полученные формулы ряды весьма быстро сходятся и их суммирование не представляет никаких затруднений. Соответствующие вычисления для различных значений отношения Ыа были произведены Сен-Венаном. Оказалось, что для высоких прямоугольников результаты элементарной теории весьма близки к точному решению. В случае квадратного сечения коэффициенты, на которые приходится множить величину 3 О
"8* аГ ’ Равны соответственно 0,94 и 1,13. Для прямоугольников, у которых & > а, разность между точным и приближенным решениями получается большей, чем для квадрата, и она будет тем больше, чем большее значение имеет отношение Ыа. Таким образом, большие погрешности элементарная теория может дать лишь в случае балок прямоугольного сечения, имеющих малую высоту и большую ширину. Но как раз именно в этих случаях касательные напряжения невелики и влияние их на изгиб ничтожно.
1 См. стр. 22 нашей работы, указанной на стр. 136.
§ 55. Другие формы поперечных сечений
Особенно просто решается задача о распределении касательных напряжений при изгибе в случае сечения, рассмотренного Ф. Грасгофом (рис. 79). Сечение это образовано двумя дугами гиперболы х^ (1 + о) — оу = а2 и двумя прямыми у = ± а.
Мы обратим в нуль правую часть уравнения (97), если положим
/ (У) — 2/ G+o У + 1 + о )'
Уравнение (96) перепишется таким образом2: ^- + ~^~ = О-Мы удовлетворим этому уравнению и условию на контуре, если положим ср = 0. В таком случае напряжения определятся из формул
Так же легко решаются задачи в том случае, когда
(х2 1•
Если сечение имеет вид, представленный на рис. 80, то правая часть уравнения (97) обратится в нуль, если положим / (у) = -^- (г2 — у2).
Приближенное выражение для функции напряжений сррИс. 81.
мы сможем получить, пользуясь методом Ритца. Тем же
способом может быть решена задача для сечения, имеющего форму равнобедренного треугольника, если сила параллельна основанию треугольника.
До сих пор мы предполагали, что направление силы совпадает с направлением одной из главных осей инерции поперечного сечения. Пользуясь принципом сложения действия сил можно перейти к любому направлению изгибаю
щей силы, нужно лишь разложить силу на составляющие, направленные по главным осям инерции и найти напряжения от каждой такой составляющей. Тем же приемом мы без затруднений найдем распределение напряжений в случае квадратного сечения, когда изгибающая сила направлена по диагонали квадрата (рис. 81).
Из условий симметрии заключаем, что на плоскости xz нет никаких напряжений. Следовательно, каждая половина балки изгибается и скручивается независимо под действием силы ^/2. Таким путем мы можем перейти к балке, поперечное сечение которой — равнобедренный прямоугольный треугольник с вертикально расположенной гипотенузой.
Мы привели здесь решения нескольких простейших задач. Дальнейшее развитие теории изгиба стержней и исследование распределения касательных напряжений в более сложных случаях, например в случае двутавровых, тавровых и коробчатых балок, в большой степени будет зависеть от развития графических и вычислительных способов интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.
Перемещения при изгибе
и -тт-- Эти величины dz2и -тт-- Эти величины dz2Кривизна изогнутой оси балки в плоскостях xz и yz с достаточной точно»д2и
и -тт-- Эти величины dz2
и -тт-- Эти величины dz2
стью определяется величиной вторых производных ■ дГ найдутся из формул д2м дегх dezz . д2у де^ dz2 dz дх ' dz2 dz dy
Принимая во внимание, что е^ие^ от z не зависят, и выражая егг через соответствующее напряжение Z2, получаем:
d2u Q (I — z) е d2u q
dz2EJ ’ dz2 *
Первоначально прямая ось балки после изгиба становится плоской кривой. Плоскость изгиба совпадает с плоскостью действия силы и кривизна в каждом сечении пропорциональна величине изгибающего момента. Пользуясь выражением для кривизны, находим
“ "ЕТ ("Г z2ZГ zS) + PZ1
Одна из произвольных постоянных интегрирования выбрана так, чтобы перемещение и в закрепленном конце обращалось в нуль. Что касается постоянной Р, то для ее определения необходимо иметь дополнительные данные относительно способа закрепления конца стержня. Если стержень закреплен так, что элемент его оси в месте закрепления остается горизонтальным, то нужно положить р = 0..
Если закрепление таково, что не поворачивается вертикальный линейный элемент опорного сечения, проходящий через точку закрепления, по постоянная Р равна сдвигу, соответствующему центру тяжести поперечного сечения (§ 32). На практике величина Р в большой степени будет зависеть от тех местных напряжений, которые возникают в плоскости заделки и распределение которых может весьма значительно отличаться от того, которое мы нашли выше для различных форм поперечных сечений. Поэтому нельзя дать достаточно надежных формул для вычисления дополнительного прогиба, зависящего от величины р, т. е. прогиба, обусловленного касательными напряжениями.
Имея выражения для напряжений, мы можем без затруднения (§ 28) составить формулы для перемещений и. v, w. Как и в случае чистого изгиба, контур поперечного сечения благодаря перемещениям и и и искажается. Кроме того, благодаря касательным напряжениям происходит искривление первоначально плоских поперечных сечений.
Глава IX
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
§ 57. Уравнения теории упругости в цилиндрических координатах
Если деформируемое тело имеет форму тела вращения, то можно воспользоваться условиями симметрии и несколько упростить общие уравнения теории упругости. Для такой упрощенной задачи имеется ряд решений, могущих
иметь практическое значение.
С телами вращения часто приходится иметь дело в технических расчетах, но при определении напряжений и деформаций обыкновенно в таких случаях ограничиваются самыми грубыми приближенными решениями, для чего приводят задачу, при помощи различных допущений, к простейшему типу. Так, например, при расчете круглых цилиндрических брусков на растяжение и сжатие предполагают, что растягивающие или сжимающие напряжения
а
т
О'
Р
п
равномерно распределены по концевым поперечным сечениям стержня, и приводят задачу к случаю одно-
Рис. 82.
родного напряженного состояния. В случае конических стержней, подвергающихся действию растяжения или сжатия, предполагают во всяком поперечном сечении равномерное распределение нормальных напряжений. При расчете валов переменного поперечного сечения, работающих на кручение, обыкновенно исходят из распределения напряжений, найденного для круглого цилиндрического стержня и т. д. В действительности перечисленные задачи значительно сложнее. Например, при растяжении стержня растягивающие силы Р (рис. 82) распределяются по закраинам ab и сГЪ' и в поперечном сечении тп. близком к головке растягиваемого бруска, распределение растягивающих напряжений будет далеко не равномерным.
При сжатии цилиндра между досками пресса АВ и СД (рис. 83) по плоскостям соприкасания тп и pq сжимающие напряжения также распределяются неравномерно. Кроме того, вследствие трения здесь получаются касательные напряжения, препятствующие цилиндру свободно расширяться в поперечном направлении.
При скручивании вала переменного сечения (рис. 84) в переходном сечении тп распределение напряжений может значительно отличаться от линейного закона, найденного для круглых цилиндров, и перенапряжения
получаются тем большими, чем меньше радиус кривой, сопрягающей два участка вала различных диаметров.
При решении такого рода задач выгодно использовать условия симметрии. Мы выберем ось симметрии за одну из координатных осей, тогда соответствую-
Рис. 84.
щей координатой будут определяться положения поперечных сечений тела, нормальных к оси вращения. Для определения положения точки в каком- либо определенном поперечном сечении удобнее всего в случае тел вращения воспользоваться полярными координатами. Если ось вращения назовем осью z, то величинами z, г и 0 вполне будет определяться положение точки тела.
При составлении дифференциальных уравнений равновесия мы воспользуемся результатами, полученными при решении плоской задачи в полярных координатах (§ 37). Напишем уравнения равновесия для бесконечно малого элемента (рис. 85), выделенного из тела двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г и г + dr и двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии dz друг от друга. Кроме сил, которые мы принимали во внимание при решении плоской задачи, сюда войдут еще усилия по верхней и нижней граням выделенного элемента, перпендикулярным к оси z. Нормальные напряжения по этим граням обозначим через zz, а касательные напряжения — через rz и 0z. Проектируя все приложенные к элементу силы на направление радиуса, направление оси z и направление перпендикуляра к плоскости rz, получаем таким же образом, как и в случае плоской задачи, следующие уравнения равновесия т:
drrdr
drz dr
6r9
dr
1 dr9 , drz . тт — 06
гd9‘dz
169z.dzz
rd9‘dz
1699.d9z
r69*dz
= 0;
+ -^-0;
4- 0.
(100)
Объемными силами мы при этом пренебрегаем.
Условия на поверхности (3) могут быть несколько упрощены, так как нормаль v к поверхности тела вращения будет перпендикулярна к направлению напряжения 00. Отличны
ми от нуля будут лишь cos (zv) и cos (rv). Обозначая через рТ1 рг и р^ проекции интенсивности поверхностного давления на направлении г, z и 00, перепишем условия (3) в таком виде:
рТ = rr cos (гу) + rz cos (zp); pz = rz cos (rp) + zz cos (zp); pe = r0 cos (rv) + 0z cos(zp).
(101)
1 Впервые уравнения теории упругости в цилиндрических координатах были получены Ламе и Клапейроном. Lame G., С 1 а р е у г о п В. Р. Е. Мemoire sur I’equilibre interieur des corps solides homogenes. J. fiir die reine und angewandte Mathematik, 1831, Bd 7, H. 2, N 19, SS. 145—169; H. 3, N 27, SS. 237—252; H. 4, N 32, SS. 381-413. См. также Me- moires presentes par divers Savans, 1833, t. 4, pp. 465—562.
В дальнейшем мы ограничимся таким видом деформации тел вращения, при котором распределение напряжений не зависит от угла 6. В таком случае в уравнениях равновесия (100) пропадут все члены, в которые множителем входит производная по 6, и мы получим такую систему:
drr.drzrr — 06
dr ' dz ' г
(Ю2)(Ю2)drz,dzzrz
(Ю2)
(Ю2)
dr*dz‘r ’
dr^ ( dOz t 2r6_
Первые два уравнения этой системы и первые два из условий (101) не заключают касательных напряжений гб и 6г. Соответствующее им распределение напряжений будет симметричным относительно оси вращения. По меридиональным сечениям будут действовать лишь нормальные напряжения 69. Перемещения отдельных точек тела при такой деформации будут происходить в меридиональных сечениях.
В третье уравнение системы ^102) и в третье из условий (101) входят лишь касательные напряжения г0 и 62. Эти напряжения, как мы увидим далее, возникают при скручивании тела вращения.
Рассмотрим сначала случай симметричной деформации. При решении этой задачи можно идти двумя различными путями в зависимости от условий на поверхности. Если нам заданы перемещения точек поверхности, то удобнее выразить составляющие напряжения гг, ..., гг через перемещения. При заданных на поверхности напряжениях можно непосредственно приступить к определению напряжений из уравнений (102), но при этом нужно иметь в виду, что определяемое таким путем напряженное состояние должно удовлетворять дифференциальным зависимостям (40). Наметим общий ход решения задачи в обоих случаях.
Пусть u, v и w обозначают перемещения какой-либо точки в направлении радиуса г, в направлении перпендикуляра к меридиональному сечению и в направлении оси 2.
Тогда составляющие деформации представятся такими формулами (§ 37):
дииdw
"» еее — —; е“ — IT;
(103) du vdu . dwди
е^ = —гГ’ е^--дГ + ~дГ> е^ = --
Пользуясь для объемного расширения обозначением 6*, получаем выражения для составляющих напряжения в таком виде (§ 17):
гг = М> + 2цегг; 60 = М> + 2р,^ее; 22 = ХА + 2p^z;^^
62 = p,eez; гб = регб; Г2 = perz.
Вставляя эти значения напряжений в уравнения (102), получаем для симметричной деформации такие уравнения:
, д^ид / ди , и \ п
(Л -{- 11) —р U —д 9—р Ц(—-11 =
\ 1 dr 1 r dz2 1 dr \ dr г ]
а(Ю5)
. х d^ , d^w . d^w 1 dw n
^ + и) -qT + H -^ + H -^ + R 7—gr = 0.
В эти уравнения входят два неизвестных перемещения и и w. Исключая одно из них, можно привести задачу к решению одного дифференциального уравнения четвертого порядка .
Для непосредственного определения напряжений выгодно в данном случае воспользоваться функцией напряжений. Оказывается, что первым двум уравнениям системы (102) можно удовлетворить, выражая все составляющие напряжения через одну функцию ф таким образом :
7? = 2Jov»q>— ЭД; 00 = 2_(aV2 J_ дф\
dz \ Y dr2 / ’ dz v г г dr / ’
ZZ = 4i (<2 ~ а) v2(PZZ = 4i (<2 ~ а) v2(Pд2ф дгП ’д2ф дгП ’(106)(106)
ZZ = 4i (<2 ~ а) v2(P
ZZ = 4i (<2 ~ а) v2(P
д2ф дгП ’
д2ф дгП ’
(106)
(106)
rz =rz =1 / V72 i ^3Ф 1 ^2ф — — Г0Г ^2ф + Г -TV + -—Г г \ дг 1 дг3 ‘ дг21 / V72 i ^3Ф 1 ^2ф — — Г0Г ^2ф + Г -TV + -—Г г \ дг 1 дг3 ‘ дг2Здесь через V2 обозначена операция -^ +Здесь через V2 обозначена операция -^ +1 дф \г дг /1 д , д2”—дГ + ~№ * соответствую1 дф \г дг /1 д , д2”—дГ + ~№ * соответствую
rz =
rz =
1 / V72 i ^3Ф 1 ^2ф — — Г0Г ^2ф + Г -TV + -—Г г \ дг 1 дг3 ‘ дг2
1 / V72 i ^3Ф 1 ^2ф — — Г0Г ^2ф + Г -TV + -—Г г \ дг 1 дг3 ‘ дг2
Здесь через V2 обозначена операция -^ +
Здесь через V2 обозначена операция -^ +
1 дф \
г дг /
1 д , д2
”—дГ + ~№ * соответствую
1 дф \
г дг /
1 д , д2
”—дГ + ~№ * соответствую
щая, в случае симметричной деформации, операции -^- + -^ + -^ для прямоугольной системы координат (§ 37).
Остается подобрать функцию ф так, чтобы были удовлетворены дифференциальные зависимости (40). Представим эти зависимости в цилиндрических координатах. Вместо составляющих напряжения Хх и Y^ придется воспользоваться их выражениями через тт и 06: Хх = rr cos2 0 + 00 sin2 0; Yy = rr sin2 0 + + 00 cos2 0. В таком случае
V =+ 7г(rr cos2e + 66sm20) =
= (+- + ——^—H +-) (rr cos2 0 + 99 sin2 0)4- cos 29 (rr — 09).
\ dr2 r dr 1 dz2 / \1/ r2v1
Кроме того, для симметричной деформации [формула (Ь) § 37] имеем
д20д2©2П I 1 д® - 2 Л
COS2 0 4sin2 0.
дх2дг21 г дг
Вставляя это в первое из условий (40) и принимая во внимание, что уравнение должно быть удовлетворено при всяком угле 6, находим:
/ д2 ,1 д , д2 \ —2,—^,1д2% п
Нг" + ггг (гг — 69) += 0;
\ дг2 1 г дг 1 dz2г2 х7 1 1 + а дг2 ’
,'(а)
»+J_»+4r ёё + 4(^-ее) + +-^+-о.
\ dr2 х г dr х dz2 )। х। 1 _|_ Q r Qr
Эти два уравнения заменят нам первые два уравнения системы (40). Третье уравнение той же системы останется при переходе к цилиндрическим координатам без изменения.
Вместо трех последних уравнений системы (40), заключающих касательные напряжения, будем иметь в случае деформации, симметричной относительно оси, одно уравнение, которое легко может быть получено из уравнения четвертого или пятого системы (40).
Принимая во внимание, что
Az = rz cos 0; — - = ——— cos ’ dxdz drdz ’
V Xx I 1732I Г2 COS 6 =
= ^rzcos 6, из уравнения пятого получаем
Такой же результат мы бы получили и из уравнения четвертого системы (40). Что касается уравнения шестого той же системы, то оно в рассматриваемом случае всегда будет удовлетворено.
Таким образом, дифференциальные зависимости (40) в случае деформации, симметричной относительно оси, могут быть представлены в таком виде:
V2 ггг (гг — 60) + -т—гг- = 0;
(107)(107)v2 её + 4-(й7 — её)+-г4——-?-= о1 г2 х7 1 + о г дт
(107)
(107)
V2zz + г— q'2 = 0;
Г72 rZ I 19^ n
г2 1 1 + o dzdr
Вставляя в эти уравнения выражения для напряжений (106), легко убедиться, что все они будут удовлетворены, если только функция напряжений ф удовлетворяет уравнению
(i + — у- + -й-)(гт + —= V2V2<p = 0.(108)
\ dr2 х г dr х dz2 / \ dr2 х г dr dz2 /7
Таким образом, решение задач теории упругости в случае симметричной деформации может быть приведено к интегрированию одного дифференциального уравнения (108) в частных производных четвертого порядка. При этом на поверхности должны быть удовлетворены уравнения (101).
§ 58. Деформация кругового цилиндра
В качестве простейшего примера деформации, симметричной относительно оси, рассмотрим задачу о распределении напряжений в круговом цилиндре, на который действуют поверхностные давления, распределенные симметрично относительно оси цилиндра.1 В таком случае функция напряжений должна
удовлетворять уравнению (108), заданным условиям на боковой поверхности и условиям на концах цилиндра.
В случае длинных цилиндров особенно существенно удовлетворить условиям на боковой поверхности. Для этой цели выгодно воспользоваться решением уравнения (108) в виде тригонометрического ряда. Решение это, аналогичное решению для длинной прямоугольной полосы (§ 35), даст возможность разы скать напряжения при любом симметричном распределении нормальных и касательных напряжений по боковой поверхности цилиндра. Очевидно, что всякое решение уравнения
(а)
будет в то же время и решением уравнения (108). Будем искать эти решения в такой форме:
Ф = R sin = R sin Az,(b)
где R — функция только г, а I — длина цилиндра. Вставляя (Ь) в уравнение (а), получаем для определения R такое обыкновенное дифференциальное уравнение:
5- + -^- ™ мг-о.|с)
dr * г drv '
Интеграл этого уравнения будем искать в виде бесконечного ряда
R = а0 + а^ + а/ + а8г6 + • • .(d)
Вставляя этот ряд в уравнение (с) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях г, находим следующую зависимость между последовательными коэффициентами ряда (d): (2п)2 ап — A2an_i = 0. Следовательно, интеграл уравнения (с) представится в виде такого бесконечного ряда Ч
н _ „ L ।। W । кМ ,1
~(2)2(2 • 4)2(2 - 4 • 6)2* * * J '
Заключенная в скобки сумма бесконечного ряда представляет собой известную функцию Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента Шг. Мы в дальнейшем будем обозначать ее через J^ iikry Для этой функции имеются таблицы 2, при помощи которых легко определяется значение функции для данного значения кг. Найдя интеграл уравнения (с), мы получим решения уравнения (а), а следовательно, и уравнения (108) в таком виде: фх = aosin kzJ0 (ikr).
Кроме решений, общих с уравнением (а), уравнение (108) имеет еще и другие решения. Одно из этих решений мы можем выразить через функцию Бесселя первого порядка, связанную с Jo (tkr) таким соотношением:
7 (;ъг\_ dJo ^ikr)2^_ /4 । № ।^। kM\
" 2 + 2 * 4 2 * 42 * 6 + 2 e 42 * 62 ‘ 8 + /
Произведя над функцией
Ri = T"9FJ» W = — ikrJ, W = -2- ^1 + -^ + 2 : 42т 6 +
операцию 1^г + ~ ^*)”р получим, как легко убедиться, выражение
2/cV0 (ikr). Так как Jo (ikr) представляет собой интеграл уравнения (с), то, следовательно, Ну будет удовлетворять уравнению
№Н^ = о№Н^ = оd2 1 д, 2\ / д^Ну 1 ЭНу _ дг2 г 9г / \ 8т2 г 8т
№Н^ = о
№Н^ = о
и мы можем второй интеграл уравнения (108) представить в таком виде: ф2 = ах sin кг (ikr) Jx (ikr). Окончательно примем для функции напряжений вы
1 1
г
гагаРис. 86.Рис. 86.ражение
га
га
Рис. 86.
Рис. 86.
Ф = sin кг [а070 (ikr) + ал (ikr) J\ (ikr)].(е)
Вставляя это в выражения для напряжений (106), получаем гг = cosktlajy (г) + flif 2 (г)]; г г = sin kt Ia0/3 (г) + а^4 (r)L Здесь для краткости обозначены через /i(r), ...,/4 (г) функции, выражающиеся через Jo (ikr) и JT (ikr). При помощи таблиц для функций Бесселя легко вычислить Л (г^---> К (г) Для всякого значения г и определить соответствующие значения гг и гг. Положив наружный радиус цилиндра равным а и вычислив значения fx (а), ..., /4 (а), получим для боковой поверхности цилиндра
(rr)r=a = COS -^ [а0/1 (а) + «1/2 («)];^ = sin ^ [а0/3 (а) + ах^ (а)].
т. е. выбранная нами функция напряжений (е) соответствует тому случаю, когда нормальные напряжения вдоль образующей цилиндра изменяются по закону cos п^ ■, а касательные — по закону sin -^-. Интенсивности как тех, так и других напряжений можно придать любое значение надлежащим выбором постоянных а0 и av Полагая, например, ajx (а) + aYf2 (а) — Л; а0/3 (а) + + ^1/4 (а) = 0» получаем распределение напряжений для случая, когда по боковой поверхности цилиндра распределены лишь нормальные напряжения
Л
ИЛХ д . COS —у- •
Так же точно можем изучить действие на цилиндр касательных усилий интенсивности рх = В sin —j—. Меняя sin —— на cos —-—, мы получим для уравнения (108) решение
ф = cos кг \bQJQ (ikr) + bY (ikr) Jx (ikr)^ (f)
которому будет соответствовать распределение по боковой поверхности нормальных напряжении, изменяющихся по закону sin ——, и касательных напряжении, изменяющихся по закону cos -—- . Наложением решений вида (е) и (f) мы можем удовлетворить условиям на поверхности цилиндра при любом симметричном распределении поверхностных усилий.
В заключение приводим результаты вычислений, произведенных Л. Файловом для цилиндра, представленного на рис. 86. Цилиндр растягивается касательными усилиями, равномерно распределенными по заштрихованной части боковой поверхности. Особый интерес представляет распределение нормальных напряжений zz по различным поперечным сечениям цилиндра. Отношения
Таблица 5
гН
г/а = 0
г/а = 0,2
г/а = 0,4
т)а = 0,6
г/а = 1
0
0,689
0,719
0,810
0,962
1,117
0,05 '
0,673
0,700
0,786
0,937
1,163
0,10
0,631
0,652
0,720
0,859
1,344
0,15
0,582
0,594
0,637
0,737
2,022
0,20
0,539
0,545
0,565
0,617
1,368
этих напряжений к тому среднему растягивающему напряжению, которое получается от деления полной растягивающей силы на площадь поперечного сечения, приведены в табл. 5.
Мы видим, что растягивающие напряжения у поверхности цилиндра быстро падают по мере удаления от места приложения сил и приближаются к среднему значению растягивающих напряжений.
§ 59. Решение задачи при помощи целых полиномов
В тех случаях, когда высота цилиндра мала по сравнению с его диаметром и цилиндр имеет, следовательно, форму круглого диска или пластинки , наибо
лее существеннымлее существеннымявляется удовлетворение условий на основаниях цилиндра. При определении напряжений в таких случаях выгодно пользоваться решением уравнения (108) в виде целых полиномов.
лее существенным
лее существенным
Преобразуем предварительно это уравнение, переходя от цилиндрических координат к полярным. При симметричной деформации нам приходилось определять положение точки в какой-либо меридиональной плоскости координатами г и z. Введем теперь новые координаты, радиус 7? и угол 6 (рис. 87). В таком случае, на основании формул (Ь) § 37, будем иметь
52 . d2 d2 1 d 1 д2 .
dr2 + dz2 " "дЮ" + ~R ~9R + "ft2” dd2 ’
ctg d 9ctg d 91919 «* к \ cos б 5 \19 x
ctg d 9
ctg d 9
r dr ~ я Sin 6 \ 8R sm 0 + r ) ~TF ~9R
Следовательно, левая часть уравнения (108) может быть представлена в таком виде:
Г 52 , 2 8 I 1 ( 52 , о 8 \lf д2ф , 2 дф ,[ Э№ + R dR + R1 \ дб2 + Ctg ° Эб /1 [ 8R ‘ R 8R +
Рассмотрим предварительно те решения уравнения (108'), которые в то же время будут и решениями уравнения
дЮ + R or + я2 \ дд2 +56
Частные решения этого последнего уравнения будем искать в форме
Н^(а)
где фп обозначает неизвестную пока функцию от угла 6.
Вставляя выражение (а) в уравнение (109), получаем для фп следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
(sin 6+ п (п + 1) фп = 0.(Ь)
sin о до '56 /т4
^пдб^пдбУравнение это преобразуем, введя новую переменную р = cos 6. В таком случае
^пдб
^пдб
dp sm6, дб2 др2 sm 6 др ^
и уравнение (Ь) может быть представлено так: д2ф_дф_
(110)(110)(1-Ц2)^-2р^ + 7^ + 1)фп^^
(110)
(110)
Полученное дифференциальное уравнение будем интегрировать при помощи бесконечных рядов х. Положим
(с)(с)Фп = ^р™! + л3р™2 + д3р^з + • . •
(с)
(с)
Вставляя этот ряд в уравнение (110), получаем
п ^п + 1) (^Ц”11 + д^1™2 + е е •) — ^ kmi + 1) flip,™i — тх (т^ — 1) d^p™’—2 + + т^ (т^ + 1) а^ — т^ (т2 — 1) а2рт»-2 + • • •(d)
Чтобы это равенство имело место при любом значении р, нужно допустить следующую зависимость между показателями Шу, т^ т3, ...;т^ = т1 — 2; т3 = = тп2 — 2, ..., т. е. ряд (с) располагается по нисходящим степеням буквы р.
Перенеся все члены равенства (d) в одну сторону и приравняв нулю коэффициент при рт\ определим показатель тпг из уравнения
п(п + 1) — тг ^тг + 1) = (п — ттг1) (тг + n + 1) = 0.(111)
Получим два решения: ту = п, тг = —(тг + 1).
Рассмотрим случай, соответствующий первому решению, когда
тг = тг, та = п — 2, т3 = п — 4, ...
Значения коэффициентов а2, а^ ... в ряде (с) получаем из (d), сравнивая коэффициенты при различных степенях р,. В таком случае для рп~“2г+2 получим
п(п + 1) аТ = (тх — 2г + 2) (^ — 2г + 3) аТ — (тх — 2г + 4) (тпг — 2г + 3) aT_v При mv = п зависимость между двумя последовательными коэффициентами ряда (с) определится формулой
_ (тг — 2г + 4) (та — 2г 4- 3)аг— 2(г — 1)(2п —2г + 3) ат~хи решение (а) представится в таком виде:
m - a R^ /н” — "^-^ „п-2 I ”("-!) (п —2)(в —3)_4 _ , . \
ф„ —^Л ^2(2п —1)^+ 2 • 4 (2п — 1) (2п — 3) ^/
Принимая во внимание, что р, = cos 6, /?|Л = z, R = V г + z2, и полагая п равным 0, 1, 2, 3, ..., получаем ряд решений уравнения (109) в виде таких целых полиномов:
Г 111
Фо = А: Ф1 = Az, Фг = ^2 [z23-(r2 + z2)];
Фз = Аз [z3 — 4“^+ ^Д' ^A^^f2*^z2(r2 + z2)+-^-(r2 + z2)2]; ■
Фб = ^{z6 — ^-z3(r2 + z2) + -g-(r2 + z2)2z].
(112)
Кроме таких решений, общих для уравнений (108') и (109), мы можем получить сколько угодно решений уравнения (108'), не удовлетворяющих уравнению (109). Если /?пфп представляет собой решение уравнения (109), то легко показать, что выражение /?п+2фп будет решением уравнения (108'). В самом деле, произведя над этим выражением операцию, указанную в левой части уравнения (109), найдем
[ аЮ + ТГ~дВ + "fl2" V'dd2" + С^$"д6/]^“ ^(^^ + 3)2? фп.
Произведя ту же операцию еще один раз, как это предусматривается уравнением (108), мы в результате получим, очевидно, нуль. Следовательно, /?п+2фп представляет собой решение уравнения (108'), и из полиномов (112) можно получить ряд новых решений путем умножения на (г2 + z2).
Таким образом, находим решения:
ф2 = S2 (г2 + z2); ф3 = S3z (г2 + z2); ф4 = В4 (2z2 — г2) (г2 + z2);
ф5 = S5(2z3 — 3r2z) (г2 + z2).(ИЗ)
Комбинируя решения (112) и (113), можно разрешить ряд задач, имеющих техническое значение.
§ 60. Изгиб круглой пластинки
Изгиб круглой пластинки нагрузкой, распределенной симметрично относительно центра, исследуют обыкновенно в элементарных курсах сопротивления материалов х. При этом для упрощения решения предполагают, что каждый ли-
нейный элемент пластинки, перпендикулярный к срединной плоскости, остается при деформации прямым и устанавливается нормально к искривленной срединной поверхности пластинки. Нормальными напряжениями Z2, действующими по площадкам, параллельным срединной плоскости, в элементарной теории изгиба пластинок пренебрегают.
При помощи решений (112) и (ИЗ) мы можем проверить результаты, получаемые элементарным путем. Если мы для функции напряжений воспользуемся полиномами третьей степени и положим ф = а3 (2z3 — 3r2z) + 63 (r2z + z3), то формулы (106) дадут для напряжений следующие выражения:
гг = 6а3 + (10а — 2) 63; 00 = 6а3 + (10а — 2) Ь^
(114) zz = — 12а3 + (14 — 10а) Ь3; rz = 0.
Таким образом, получим случай однородного напряженного состояния. Подбирая надлежащим образом значения произвольных постоянных а^ и Ь^ можно найти распределение напряжений в круглом диске, для которого заданы постоянные значения zz и тт на поверхности.
Возьмем теперь функцию напряжений в виде полинома четвертой степени и положим ф = а4 (Sz4 — 24r 2z2 + Зг4) + 64 (2г4 + r2z2 — г4). Вставляя это в формулы (106), найдем для напряжений такие выражения:
гг = 96a4z + 4Ь4 (14а — 1) z; zz = — 192a4z + 4b4 (16 — 14а) z;
rz = 96a4r + b4 (28а — 32) r.
Подберем произвольные постоянные так, чтобы было удовлетворено условие 96а4 + Ь4 (28а — 32) = 0. В таком случае напряжения rz и zz обратятся в нуль для всех точек пластинки. Напряжения гг являются линейной функцией от z и представляются такой формулой: гг = 28Ь4 (1 + a) z. Отсчитывая z от срединной плоскости пластинки, приходим к распределению напряжений в случае чистого изгиба пластинки моментами, равномерно распределенными по контуру. Результат этот совершенно совпадает с элементарным решением.
Рассмотрим изгиб круглой пластинки равномерно распределенной нагрузкой. Для этого воспользуемся функцией напряжений в виде полинома шестой степени. Составляя эту функцию указанным выше способом (§ 59), получаем
Ф =+ (16z« — 120z4r2 + 90z2r4 — 5r6) + be (8z® — 16z4r2 — 21z2r4 + 3r6).
Вставляя это значение функции напряжений в формулы (106), находим для напряжений такие выражения:
гг = а^ (320z3 — 720r2z) + b^ [32 (4 + 22а) z3 +
(504 — 48 • 22а) r2z];
zz = я6(— 640z3 + 960r2z) + b6 {[— 960 +
+ 32 - 22 (2 — a)Jz3 + [384 — 48.22 (2 — a)] r2z};
rz—a6 (960rz2 — 240r3) + b6 [(— 672 + 48.22a) z2r +
+ (432 — 12 • 22a) r3].
Предположим, что z отсчитывается от срединной плоскости пластинки, толщина пластинки равна 2с (рис. 88) и наружный радиус равен а. В таком
случае на верхней и нижней поверхностях должны быть удовлетворены такие
условия:
rz — 0 при z = ± с; zz = 0 при z ~ — с\
(а)
ZZ = — р при Z = +
Чтобы удовлетворить всем этим условиям, присоединим к решениям (116) следующие значения напряжений, получаемые из (114) и (115):
гг = 96a4z; zz = — 192a4z + a; rz = 96а4г.
Вставляя выражения для напряжений в условия (а), получаем для определения четырех произвольных постоянных еле- г дующие четыре уравнения:
— 240а6 + (432 — 12.22а) Ье - 0;
[960а6 — fr6 (672 —
—48 • 22 • а)] с2 -|- 96а4 = 0;
{— 640аб + £6 [— 960 + 32 • 22 (2 — а)]} с3 — 192а4с + а = — р;{— 640ав + Ьв [— 960 + 32 - 22 (2 — а)]} с3 — 192а4с — а = 0.
Отсюда получим такие значения произвольных постоянных:
2 ’4 • 64 • с ’6 "4 • 11 • 64 • сз ’
р (18 — На)
°*4 • 10 • 11 • 64 • с8 '
Напряжения представятся следующими формулами:
J 2 + а г3 , 3(3 + 0) гЧ , 3 zl^[8^ +32 с» + 8 с ]’
(117)
Заметим, что распределение напряжений zz и rz по толщине пластинки такое же, как и для прямоугольной полосы, изгибаемой равномерной нагрузкой [формулы (60) § 34]. Что касается радиальных напряжений гг, то они представляются нечетной функцией от z. Соответствующие им усилия приводятся к изгибающим моментам, равномерно распределенным по контуру пластинки.
Чтобы получить изгиб пластинки с опертым краем, нужно к напряжениям (117) присоединить напряжения чистого изгиба
гг = 28 (1 + a) b4z = dz(b)
и определить произвольную постоянную Ъ так, чтобы было удовлетворено 4-е
условие j rr zdz = 0 при г = а.
Вставляя вместо гг его значение и выполняя интегрирование, получаем
Зр /2 + <т3 + а а? ^
8с \54 с
Окончательно радиальные напряжения для пластинки с опертыми краями 1 представятся такой формулой:Окончательно радиальные напряжения для пластинки с опертыми краями 1 представятся такой формулой:ГТ = /Н —ГТ = /Н —2 + a z3 , 3 (3 + о) r2z2 + a z3 , 3 (3 + о) r2z8 сз8 сз, z [ 3 24-0+ с I 85, z [ 3 24-0+ с I 8532 сз3(3 4-0) а2 1132 с2 |)32 сз3(3 4-0) а2 1132 с2 |)++(118)(118)
Окончательно радиальные напряжения для пластинки с опертыми краями 1 представятся такой формулой:
Окончательно радиальные напряжения для пластинки с опертыми краями 1 представятся такой формулой:
ГТ = /Н —
ГТ = /Н —
2 + a z3 , 3 (3 + о) r2z
2 + a z3 , 3 (3 + о) r2z
8 сз
8 сз
, z [ 3 24-0
+ с I 85
, z [ 3 24-0
+ с I 85
32 сз
3(3 4-0) а2 11
32 с2 |)
32 сз
3(3 4-0) а2 11
32 с2 |)
+
+
(118)
(118)
Для центра пластинки радиальные напряжения будут
(~х -J 1+1 z , Г 3 24-о3(3 + а) я21)
V г)г=о — Р\ 8^ + с [ 8532с2]/*
Элементарная теория для тех же напряжений дает значение
В тех случаях, когда радиус пластинки велик по сравнению с ее толщиной, разница между точным и приближенным решениями ничтожна и мы можем пользоваться приближенными формулами.
Наложением напряжений (Ь), соответствующих чистому изгибу, мы устранили изгибающие моменты, распределенные по контуру пластинки и соответствующие решению (117), но при этом не уничтожили радиальных напряжений гг. Контур пластинки не свободен от нормальных напряжений, но эти напряжения таковы, что соответствующие им равнодействующая сила и равнодействующая пара сил, приходящиеся на каждый элемент дуги контура, обращаются в нуль. В таком случае на основании принципа Сен-Венана заключаем, что оставшиеся на контуре нормальные усилия могут оказывать заметное влияние на величину напряжений лишь в точках, близких к контуру.
Заметим еще, что полученные выше решения для круглой пластинки будут справедливы лишь в том случае, если перемещения (прогибы пластинки) малы по сравнению с ее толщиной.2 В противном случае, даже при чистом изгибе пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру, срединная поверхность пластинки испытывает растяжения или сжатия, зависящие от г и от величины прогиба.
§ 61. О напряжениях в быстро вращающихся дисках
При элементарном решении этой задачи исходят из того предположения, что напряжения по толщине диска не меняются. Для получения точного решения необходимо предварительно составить дифференциальные уравнения равновесия и дифференциальные зависимости между составляющими напряжения в том предположении, что на каждую единицу объема вращаю-
щегося диска действует в радиальном направлении объемная сила рю2г, где р — масса единицы объема и со — угловая скорость вращения диска.
Из уравнений равновесия (102) нам придется изменить лишь первое уравнение, полученное как результат проектирования всех действующих на элемент сил на радиальное направление.
Приняв во внимание радиальную объемную силу, представим нужные нам уравнения равновесия в таком виде:
дгг . drz .
drz ( dzz j
При составлении дифференциальных зависимостей придется исходить не из уравнений (40), которыми мы пользовались раньше (§ 57), а из общих уравнений (38). Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае X = ю2х; Y = спау; Zx = 0, и пользуясь преобразованиями § 57, получаем следующие дифференциальные зависимости:
™-2 7™ пах ,15202Р<°3 .1
Vrr—-(rr-66)+ 1+g
v2G0 + 4- (^ - её) + -+—- +- = - ^в ;
г2' 11 + о г dr 1 — о
2-,15=0 2ар<в3 .'(120)
Vzz+ 1 + а
rz 1д20
rZ г2 + 1 + G dzdr — '
Определение напряжений в быстро вращающемся диске сводится к разысканию решения уравнений (119), удовлетворяющего дифференциальным зависимостям (120) и условиям на поверхности диска. Если к диску не приложено никаких поверхностных сил, то, следовательно, напряжения rr, zz и rz на наружной поверхности должны обращаться в нуль.
Разыскание решения разобьем на две части. Сначала найдем какое-либо частное решение уравнений (119), удовлетворяющее зависимостям (120). Напряжения, соответствующие этому решению, не будут, вообще говоря, удовлетворять условиям на поверхности. Чтобы удовлетворить этим условиям, мы можем присоединить к найденному решению сколько угодно решений вида (112) или (ИЗ). Результат такого наложения решений, очевидно, будет удовлетворять уравнениям (119) и (120), и при надлежащем выборе произвольных постоянных в решениях типа (112) и (ИЗ) могут быть выполнены и заданные условия на поверхности.
Частное решение уравнений (119) будем разыскивать следующим образом. Положим
(а)(а)тт = Br2 + Dz^ zz = Аг2; 60 = Сг2 + Dz2; rz = 0.
(а)
(а)
В таком случае второе из уравнений (119) и третье уравнение системы (120) будут удовлетворены. Остальными четырьмя уравнениями воспользуемся для определения постоянных А, ..., D. Вставляя решения (а) в уравнения (119) и (120), получаем
46 + 25-2(5-0+(Л + 5 + 0 = -
45 + 25 + 2(5-0+ -3— (Л + 5 + С) = -
4Л + ^^- = --^-;
1+а1—а
2Вг + (В — С) г + рш2г = 0.
Этим уравнениям мы удовлетворим, положив
А _ рсо2 (1 + За) . D рсо2 ._ А. П _Р®2 t1 + 2а) (1 + а)
6а13 1’6а (1—а) ’
Частные решения (а) перепишутся так:
-р<о2(1 + 2а)(14-<т) 3. - _ ра>2 (1 + За)
36а(1-а)6а
(121) д- ^О+З-К* +«!,,. ~=0
ба (1 — а)
Полученными частными решениями можно воспользоваться при определении напряжений, возникающих при вращении около неподвижной оси тела любой формы. При определении напряжений в круглом диске мы к частным решениям (121) присоединим решения типа (112) и (ИЗ). Соответствующая функция напряжений имеет форму полинома пятой степени. Положим ф — а5 (8z5 — 40r2z3 + 15r4z) + Ьъ (2z2 — r2z3 — 3r4z). Формулы (106) дадут нам для напряжений такие выражения:
7г = — а5 (180г2 — 240z2) + Ьъ [(36 — 54а) г2 + (1 + 18а) 6z2];
5 = — а5 (— 240г3 + 480z2) + 65 [(96 — 108а) z2 + (— Ю2 + 54а)г2];
rz = 480a5rz + д5 (108а — 96) rz.
Подбирая произвольные постоянные так, чтобы было удовлетворено уравнение 480аб — 9666 + 108ад6 = 0, получаем напряжения
-27а--
гг = 5465 (1 + а) z2— Ььг^ и = — 54Ь5г2; тг = 0-
Это решение наложим на решение (121) и подберем произвольную постоянную 6б так, чтобы напряжения zz обращались в нуль. Для этого необходимо удовлетворить уравне- 2 ! Р^2 (1 + За) 2 Л, роз2 (1 +За) о
нию — 5465г2 + —т* = 0, из которого Ъь = ——g—. В результате сложения получим формулу для радиальных напряжений
О (1 + О) ,2 2(1-0) ZО (1 + О) ,2 2(1-0) Z3 -|- о3 -|- оZ2Z2
О (1 + О) ,2 2(1-0) Z
О (1 + О) ,2 2(1-0) Z
3 -|- о
3 -|- о
Z2
Z2
Легко видеть, что полученное распределение радиальных напряжений приводит нас к решению задачи о напряжениях в быстро вращающемся диске при действии по контуру сжимающих усилий. Мы можем устранить эти усилия путем наложения на наше решение /-И\
равномерного растяжения. Чтобы удовлетворить на контуре условию I rrdz I =0,
\~с/ г=а
нужно положить равномерное растягивающее напряжение равным(3 + а) а2 +
+ Р<о2+ Р<о2а (1 + а) с3 2(1—а) Т*а (1 + а) с3 2(1—а) Т*Окончательно для напряжений получим формулыОкончательно для напряжений получим формулы
+ Р<о2
+ Р<о2
а (1 + а) с3 2(1—а) Т*
а (1 + а) с3 2(1—а) Т*
Окончательно для напряжений получим формулы
Окончательно для напряжений получим формулы
“2 I 3 + ° / 2f а (1 + °) ”/ 2 О 2x1
(122)(122)гг = рш» 1(а2 — r^ +— 3z2) j;
(122)
(122)
on 21 3 4* а о1 4* За 2 । а (1 4~ а) .„ 2х1
66 = реи2 [ -^— а2g— г2 + 6(1_а) (^ - 3z2)].
В приближенном решении этой задачи отсутствуют члены, имеющие множителем выражение (с2 — 3z2). Для дисков, у которых толщина мала по сравнению с радиусом, эти добавочные члены не имеют никакого практического значения.
§ 62. О напряжениях, вызываемых в упругой среде сосредото ченной силой
При решении соответствующей плоской задачи мы видели, что напряжения в точке приложения сосредоточенной силы Р обращаются в бесконечность. По мере удаления от места действия силы напряжения убывают обратно пропорционально расстоянию г. В случае неограниченной упругой среды в точке 11*
приложения сосредоточенной силы Р напряжения также обращаются в бесконечность, и, чтобы иметь право применять уравнения теории упругости, нужно представить себе точку приложения силы выделенной поверхностью сферы малого радиуса. Усилия, распределенные по этой поверхности, должны быть эквивалентны силе Р, и так как поверхность сферы растет пропорционально квадрату радиуса, то напряжения должны убывать обратно пропорционально квадрату радиуса.
Для разыскания напряжений обратимся к уравнениям (108х) и (110). До сих пор мы пользовались лишь теми решениями уравнения (НО), для которых показатель степени старшего члена равен п [см. уравнение (111) ]. Другую серию решений мы получим, полагая этот показатель равным — (n + 1). Решение уравнения (НО) представится при этом в следующем виде:
% I ц-<»+1) +^-(п+З) +
.(” + 1)(” + 2)(п + 3)(п + 4)Чп+5)1
2 (2п + 3) (2п + 5) • 4*
Полагая п равным —1, —2, —3, ..., получаем для функции напряжений выражения
Ф1 =—ту’ Ф2 =
(r2+z2)2(r2_|_z2)2
/ z211\
Фз — °з I-у-3з | .
\ (г2 + Z2) 2(г2 + z2) 2 )
Умножая эти выражения на г2 + z2, получаем еще ряд решений уравнения (108'):
Ф1 = Ъг; ф2 =.(124)
(г2 + z2) 2
Каждая из полученных таким путем функций напряжений определяет собой некоторое распределение напряжений, возможное в упругой среде. Рас
смотрим простейшее из полученных выше решений. Положим ф = 6 (г2 + z2)2 . Вставляя это значение функции напряжений в формулы (106), получаем для напряжений значения
7; _h ^ ~ 2q)23r2z •
35>
. (г2 + Z2) 2(г2 + Z2) 2
. (г2 + z2) 2(г2 + Z2)" .
—, Г (1— 2а) z .3z2
22 = ъ -—V+;
(r2 + z2)2(r2+z2)2 .
;09 = 6(l-2a)z(125)
(г2 + Z2) 2
Легко показать, что эти напряжения соответствуют действию сосредоточенной силы, приложенной в начале координат и направленной по оси z. Для этого выделим из неограниченной среды начало координат при помощи сферы и рассмотрим усилия, действующие по поверхности этой сферы. Составляющая этих усилий, имеющая направление оси z, представится на основании (101) так: рг = rzcos (rv) + zz cos (zv). Принимая во внимание равенства cos(rv) =
*= - • J™.— ; cos(zv) = —7-^ —- и пользуясь формулами (125), получаем
У г2 + z2 х ' г г2 + z2
ь! 1 —2а ,3z2"|
Рг° | г2 + Z2 + (г2 + Z2)2 J *
Усилия рг1 действующие на поверхность выделенной сферы, имеют везде направление, противоположное оси z, и их можно привести к одной равнодействующей: л 2
2 ( р2]/^+^2л^(р = — 8лЬ(1 —а) = — ^£±М.gЛ
Что касается усилий рТ1 то они, очевидно, представляют систему взаимно уравновешивающихся сил. Следовательно, найденное выше распределение напряжений (125), действительно соответствует сосредоточенной силе, направленной вдоль оси z и приложенной в начале координат. Произвольная постоянная b определится из условия
_^ + М_ = Р,(126)
Заметим, что по плоскости z = О нормальные напряжения на основании (125) обращаются в нуль, что же касается напряжений rz, то они представятся формулой
~_ И1 — 2а) _ _ р Ь
^~Х + н ^ *
§ 63. О напряжениях в стенках сферического сосуда при равномерном наружном и внутреннем давлении
Комбинируя решения вида (125), относящиеся к случаю действия на неограниченную упругую среду сосредоточенной силы, мы можем получить ряд новых решений, имеющих большое практическое значение. Начнем с определения напряжений, возникающих в упругой среде при действии двух равных взаимно противоположных сил Р, действующих по оси z (рис. 89). Расстояние между точками приложения этих сил будем считать малым и обозначим его через h. Сила Р, приложенная в начале координат, вызывает напряжения, определяемые формулами (125). При помощи тех же формул можно найти также напряжения, вызываемые второй силой Р, приложенной в точке А. Так как эта вторая сила имеет противоположное направление, то в формулах (125) необходимо изменить знак напряжений. Кроме того, нужно принять во внимание
перемещение точки приложения силы и изменить соответственно значение координаты z, давая ей приращение h. В таком случае при одновременном действии сил Р напряжения определятся формулами:
zz — bh ^ (1 — 2а)zz — bh ^ (1 — 2а)Z—(г2 + г2) 2Z—(г2 + г2) 2тг = bh -^ (1 — 2а)тг = bh -^ (1 — 2а)з(г2 + ^2)2з(г2 + ^2)23z315 (г2 + Z2) 2 3rz2 —(г2 + Z2) 23z315 (г2 + Z2) 2 3rz2 —(г2 + Z2) 2(128)(128)
zz — bh ^ (1 — 2а)
zz — bh ^ (1 — 2а)
Z—
(г2 + г2) 2
Z—
(г2 + г2) 2
тг = bh -^ (1 — 2а)
тг = bh -^ (1 — 2а)
з
(г2 + ^2)2
з
(г2 + ^2)2
3z31
5 (г2 + Z2) 2 3rz2 —
(г2 + Z2) 2
3z31
5 (г2 + Z2) 2 3rz2 —
(г2 + Z2) 2
(128)
(128)
Найдем, каковы будут в рассматриваемом случае нормальные напряжения рп по поверхности сферы, имеющей своим центром начало координат. На основании формулы (6) получаем для этих напряжений значение рп = rrcos2rv + + ZZ COS2 ZV + 2rz cos zv cos rv.
Вставляя вместо напряжений rr, zz и rz их значения (128) и принимая
ГZ
во внимание, что cosrv =—-.= coszv = ———, находим после про-
V г2 + z2 ’У Р + z2
стых преобразований
Л (-^<£+2)3^1+^£=£>^1 (129) . и + =■) 2(г- + =■) 2.
Представим себе, что кроме сил Р, действующих по оси z, имеются совершенно такие же и так же расположенные силы на оси z и на оси, перпендикулярной к плоскости rz и проходящей через начало координат.
Мы будем иметь в начале координат три пары прямо противоположных и равных сил, действующих по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Так как напряжения, вызываемые каждыми двумя такими силами, распреде-
Рис. 89. ляются симметрично относительно линии действия сил, то при наличии одинаковых сил в трех взаимно перпендику-
будут зависеть имеющей своимбудут зависеть имеющей своимсферы,сферы,лярных направлениях мы, очевидно, получим распределение напряжений, симметричное относительно начала координат. Напряжения "
будут зависеть имеющей своим
будут зависеть имеющей своим
сферы,
сферы,
лишь от расстояний до этой точки. По поверхности центром начало координат, в силу симметрии будут действовать лишь равномерно распределенные нормальные напряжения. Величина этих напряжений легко может быть найдена при помощи формулы (129).
Чтобы получить нормальные напряжения, вызываемые на поверхности сферы по площадкам, перпендикулярным к плоскости rz, силами, действующими по оси г, нужно только в формуле (129) поставить вместо 6 величину —6. Полагая в той
же формуле 6 равным --, находим нормальные напряжения, соответствующие силам, перпендикулярным к плоскости rz. Суммируя полученные таким
путем значения нормальных напряжений, получаем в результате равномерное распределение нормальных напряжений по поверхности сферы, имеющей своим центром начало координат. Значение этих напряжений будет следующее:
4(1- -2^. = - ».(130)
(г2 + z2) 2 где 7? — радиус сферы.
Пользуясь этим результатом, легко решить задачу о распределении напряжений в стенке сферического сосуда, подвергающегося действию равномерного наружного и внутреннего давлений. Пусть Ro и RT обозначают радиусы наружной и внутренней поверхностей сосуда (рис. 90), а р0 и рх — соответствующие
(а)(а)нормальные давления. Наложим на решение (130) равномерное растяжение и в полученном таким путем общем решении
(а)
(а)
подберем произвольные постоянные А и В так, чтобы были удовлетворены условия на наружной и внутренней поверхности. Получаем уравнения -4- + В = — р», -A_-V-B = —pv откуда
. (Pi Ро) ^ п P«Rq — Р1В1
~~ R^ — R^ ‘
Решение (а) представится в таком виде:
R30R3 — R3R3 Rn — R»
Р==Ро ^R3-R3R3_R3 •<131)
Кроме этих напряжений в стенке сосуда появятся нормальные напряжения ре по площадкам, совпадающим с меридиональными плоскостями. Величина этих напряжений проще всего найдется из условия равновесия элемента (рис. 90), выделенного из стенки посредством сферических поверхностей радиусов R и R + dR и кругового конуса с бесконечно малым углом d0 при вершине. Проектируя все приложенные к поверхности элементы силы на радиальное направление, получаем уравнение
р9 2^ dR {dQ) ^^.^dR (d6)2 + P ^5- dR (cZQ)2,откуда ре = -^--j- + P, или, вставляя вместо р его значение (131), получаем
„ R^. 2R$ + Я?D R3. ^R3 + R«
2 RS R^ — R^2 RS R3_R3 •
Полученные формулы (131) и (132) вполне решают вопрос о напряжениях в стенке сферического сосуда, подвергающегося действию равномерного внутреннего и наружного давлений.
§ 64. Задача Буссинэ
Под этим названием известна задача о распределении напряжений, возникающих в упругой среде, ограниченной плоскостью, при действии сосредоточенной силы, приложенной в какой-либо точке ограничивающей плоскости и направленной нормально к этой плоскости х. При решении этой задачи воспользуемся результатами, полученными для случая действия сосредоточенной силы на неограниченную упругую среду.
Располагаем начало координат в точке приложения силы и направляем ось z перпендикулярно ограничивающей плоскости внутрь упругой среды (рис. 91). Распределение напряжений, определяемое формулами (125), соответствует, как мы видели, сосредоточенной силе, приложенной в начале координат, и касательным усилиям, распределенным по ограничивающей поверх-
РРОмОм/б/б*77777777777777*77777777777777—6(1 —2а)
Р
Р
Ом
Ом
/б
/б
*77777777777777
*77777777777777
ности и изменяющимся по закону rz
т^пт^пггРис. 91.Рис. 91.А ._1 А~ R3 ’ Р^ —2 R3А ._1 А~ R3 ’ Р^ —2 R3Для получения решения задачи Буссинэ необходимо устранить эти касательные напряжения. Воспользуемся для этой цели решением предыдущего параграфа:
т^п
т^п
г
г
Рис. 91.
Рис. 91.
А ._1 А
~ R3 ’ Р^ —2 R3
А ._1 А
~ R3 ’ Р^ —2 R3
В таком случае
тт = рsin 6 + р& cos2 б = —- (г2 z2 j ;zz = р cos2 6 + ре sin2 б = -^- ^z2 ~- г^ ;
rz =-у (р —ре) Sin 26 = -|--^-rz;
1 А
69 = ре =2" ~#зГ ’
Эти напряжения соответствуют наличию в начале координат некоторого центра давления, в котором по каждой из трех взаимно перпендикулярных осей действуют по две равные и прямо противоположные силы. Предположим теперь, что в неограниченной упругой среде центры давления равномерно распределены вдоль отрицательного направления оси z. В таком случае напряжения представляются формулами
тт = А
V
1 2 2 Z ,
) _L
^(г2 + 22) 2
А
2
Z
(г2 + Z3) 2
Z
1
Г3 (г2 + z3) 2
1
Az—2 ^ + г2) 2Az—2 ^ + г2) 21 (133)1 (133)
Az
—
2 ^ + г2) 2
Az
—
2 ^ + г2) 2
1 (133)
1 (133)
-гГ—ГГТ
zz = Л V —^~
2(у2 4- 22)“
2(г2 ^. z2) 2
60 =
dz
z ^2 ^ z2) 2
А
2
1г2
Z
2 -
По плоскости z = 0 нормальные напряжения обращаются в нуль, а касательные напряжения изменяются по такому закону (rz)z=.o == ^а • Теперь видно, что суммированием решений (133) и (125) мы при надлежащем выборе
произвольных постоянных А и Ь можем получить решение задачи Буссинэ. Чтобы освободить ограничивающую плоскость от касательных усилий, соответствующих решению (125), нужно в решении (133) положить А = 26 (1 — 2о).
Тогда при сложении этих решений напряжения представятся такими фор
мулами:
ЗА(1 — 2а) z , 1 — 2а 1
L (г2 + z2) 2 г2 ^ + z2) 2J
(134)
00 = 6(1 —2а)00 = 6(1 —2а)" (г2 + z2) 2" (г2 + z2) 2Г2 (г2 + 22) 2Г2 (г2 + 22) 2
00 = 6(1 —2а)
00 = 6(1 —2а)
" (г2 + z2) 2
" (г2 + z2) 2
Г2 (г2 + 22) 2
Г2 (г2 + 22) 2
Произвольную постоянную 6 нужно выбрать таким образом, чтобы напряжения (134) соответствовали заданной силе Р, приложенной в начале координат и направленной по оси z. Для этого выделим начало координат сферической поверхностью и рассмотрим усилия, приложенные по этой поверхности и действующие на выделенный элемент. Составляющая этих усилий, имеющая направление оси z, определится так:
Р^ = rz COS (rv) + zz cos (zv) 5^^r.
Чтобы усилия p уравновешивали силу P, приложенную в начале координат, л 2
нужно положить 2л \ rp2V^ 4“ ^ d6 = — Р, откуда 6 =•
о
Окончательно напряжения, вызываемые силой Р в упругой среде, ограниченной плоскостью, представятся так:
р L 3raz „„ J Z
г1г1(134')(134')—z _ (1 _ 2а) Iг
г1
г1
(134')
(134')
k (^ч-а2)2L ^(^4.^)2
zz =zz =тх =тх =3P z8 „
zz =
zz =
тх =
тх =
2л5 ’
(г2 + z2) 2
ЗР тз? 2л5 •
(r2 + z2)2
По какой-либо площадке тип (см. рис. 91), параллельной ограничивающей плоскости,убудут действовать нормальные напряжения zz и касательные напряжения rz. Отношение этих напряжений, как легко видеть из формул (134), равно z/r. Следовательно, полное напряжение по той же площадке имеет
направление соответствующего радиуса-вектора, проведенного из начала координат. Величина полного напряжения будет
зр ^ зр cog26 '12л (г2 + Z2)2 2л (г2 + И2)
Если представить себе шаровую поверхность, касательную к ограничивающей плоскости в точке О и проходящую через точку, соответствующую площадке тп, то для любой точки этой поверхности будем иметь г2 + z2 = d2cos2S, где d — диаметр проведенной сферической поверхности.
Следовательно, полное напряжение по горизонтальной площадке, проходящей через любую точку указанной сферической поверхности, имеет по- ЗР 1 стоянное значение*
ВставляяВставляя(135)(135)Займемся теперь вопросом о перемещениях в рассматриваемом случае. На основании формул (103) имеем и = е^г = -^- [99 — о (гг + вместо 90, гг и zz найденные выше выражения, получаем rzрг
Вставляя
Вставляя
(135)
(135)
з Х + р11
(г2 + 22) 2(г2 + Z2) 2 [Z + (Г2 + Z2) 2 ]
Для определения перемещения w из тех же формул (ЮЗ) им» + = егг = Г- [й — а (77 + 66)];
дг Тг dz р dz *
Вставляя вместо напряжений и перемещения и найденные выше значения, получаем
9w __ _1Р (3(1 +а) А _ [3 + а (1 — 2а)] z 1 .
da Е 2л [53 г *
(г2 + z2) 2(г2 + z2) 2
dw Р 3rz22 (1 — а) г
дг4лр5з *
(г2 _|_ z2) 2^2 ^_ z2) 2 -
откуда, выполняя интегрирование, находим
(136)(136) Р z2X + 2р14лрз « х + р1
(136)
(136)
L (г2 + z2) 2(г2 + z2) 2
Р1t^2^0 4л (X + р) г ’Р1t^2^0 4л (X + р) г ’(w)z=o(w)z=oР X + 2р 14лр X + р тР X + 2р 14лр X + р т(137)(137)В дальнейшем нам понадобятся выражения для перемещений точек ограничивающей плоскости. Полагая в формулах (135) и (136) z равным нулю, находим для этих перемещений такие выражения:
Р1
t^2^0 4л (X + р) г ’
Р1
t^2^0 4л (X + р) г ’
(w)z=o
(w)z=o
Р X + 2р 1
4лр X + р т
Р X + 2р 1
4лр X + р т
(137)
(137)
Заметим, что произведение wr для точек ограничивающей поверхности остается постоянным, следовательно, в сечениях этой поверхности плоскостями, проходящими через ось z, будем получать гиперболы, для которых г и z являются асимптотами. В начале координат перемещения обращаются в
бесконечность. Здесь при действии сосредоточенной силы получаются остающиеся деформации, и наши выводы, полученные для идеально упругого тела, неприменимы. При вычислении перемещений нужно представить себе часть материала у точки приложения силы, выделенной посредством сферической поверхности такого радиуса, чтобы напряжения в точках этой поверхности не превосходили предела упругости.
Результаты, полученные выше для случая действия одной сосредоточенной силы, легко применить к решению более общей задачи, когда имеется ряд сосредоточенных сил или какая-либо сплошная нагрузка. При определении полных напряжений по какой-либо площадке нам придется лишь суммировать напряжения от отдельных сил, вычисляемые по формулам (134'). То же самое замечание относится и к вычислению перемещений. Вычислим, например, перемещения w для точек ограничивающей плоскости в том случае, когда имеется сплошная нагрузка. Пусть q обозначает интенсивность этой нагрузки. В таком случае qds будет нагрузка, приходящаяся на элементарную площадку ds, и искомое перемещение представится интегралом:
™1f qds
4лр, X + И J г ’ причем интегрирование должно быть распространено на всю загруженную часть ограничивающей плоскости. Здесь г обозначает переменное расстояние от различных точек загруженного участка до той точки, перемещение которой мы разыскиваем.
Заметим, что формула (138) дает конечные значения перемещения w не только для удаленных точек ограничивающей плоскости, но также и для точек загруженного участка.
§ 65. Сжатие упругих тел
Имея средства вычислять напряжения и деформации, возникающие в упругом теле, ограниченном плоскостью, мы можем подойти к решению весьма важной задачи о распределении напряжений у места соприкасания двух прижимаемых друг к другу упругих тел.
Пусть два тела I и II (рис. 92) касаются друг друга в точке О. Плоскость MN, касательную в этой точке к обоим телам, примем за плоскость ху, а ось z направим перпендикулярно к MN. Через zx обозначим направление внутрь тела I и через z2 — прямо противоположное направление. Если одно тело давит на другое, то у точки касания О происходит вдавливание тел друг в друга и вместо одной точки касания мы получим некоторую поверхность соприкосновения. Размеры этой поверхности будем считать малыми по сравнению с размерами сжимаемых тел. В таком случае при вычислении напряжений и деформаций можно будет пользоваться формулами предыдущего параграфа, выведенными для тел, ограниченных плоскостью. Особый терес представляет вопрос о распределении давлений по поверхности соприкосновения.
Предположим, что до деформации уравнения поверхностей соприкасающихся тел у точки касания О представлены уравнениями
(а)(а)21 = /1 (ж, у); z, = /, (z, у).
(а)
(а)
Представим себе функции fx (ж, у) и /2 (ж, у) разложенными в ряды по возрастающим степеням х и у. Ряды эти не будут заключать постоянного члена и членов с первыми степенями ж и у, так как в начале координат z = 0 и плоскость ху касательна к обеим поверхностям. Первыми членами в разложениях функций jx и /2 будут члены второй степени относительно х и у, и потому, отбрасывая все члены высших степеней, мы будем иметь
Zj = ахх? 4- а^ху + а#;
z2 = bxa? + Ьйху + Ь^.' '
Таким образом, вблизи точки касания поверхности сжимаемых тел могут быть заменены некоторыми поверхностями второй степени.
Если взять на плоскости MN у точки касания какую-либо точку с координатами х и у, то соответствующее расстояние между поверхностями тел I и II, считая по перпендикуляру к MN^ представится на основании (Ъ) так:
zx + z2 = (ах + 6J х2 + (а2 + Ь2) яу + (а3 + Ьэ) у2, ...(с)
т. е. все точки плоскости MN, которым соответствует какое-либо постоянное значение ъх + z2, лежат на одном эллипсе, определяемом уравнением (с). Всегда можно координатные оси х и у повернуть так, чтобы в уравнении (с) член, заключающий произведение ху, пропал. Тогда будем иметь
Z1 + Z2 = тха:а + у2у2,(с')
где 71 и у2 — постоянные величины, зависящие от очертания и взаимного расположения соприкасающихся тел.
Возьмем у точки касания О на поверхностях тел / и II две "соответствующие точки. Тогда zx + z2 будет представлять расстояние между этими точками до деформации. При сжатии намеченные точки сначала сближаются до совпадения, а дальше начинается в этом месте вдавливание одного тела в другое. Обозначим через wx и w^ перемещения взятых нами точек в направлении осей zx и z2 при указанном вдавливании. Через а обозначим сближение тел, причем под сближением будем подразумевать уменьшение расстояния между двумя точками, лежащими на осях zx и z2 и весьма удаленными от точки касания О. В таком случае, очевидно, что для каждой пары соответствующих точек имеет место соотношение wx 4- w^ + zx + z2 = a. Следовательно,
wx + ic2 = a — ^хз? — y2y2.(139)
Воспользуемся для перемещений wx и u?2 формулой (138). Так как сжимаемые тела могут обладать различными упругими свойствами, то в указанной формуле упругие постоянные возьмем разными и для упрощения письма введем обозначения
+ 2Н1ъ .^2 + 2р.2_ т.
4лр,х (Хх + р,х) 1У 4лр,2 (А2 + р,3)2‘
Тогда уравнение (139) перепишется так:
№1 + *2) J = a — у^2 — чгу\(139')
Здесь, очевидно, q обозначает интенсивность давлений, возникающих при сжатии по поверхности соприкосновения.
Если нам задан вид поверхностей тел I и II у точки касания, то из геометрических соображений найдем постоянные величины ух и у2, входящие в правую часть уравнения (139'). Задача сводится к отысканию такого закона распределения давлений q, при котором будет удовлетворено уравнение (139'),
Мы ограничимся здесь рассмотрением простейшей задачи, когда yj = у2 = у. В этом случае поверхность соприкосновения имеет круговой контур и уравнение (139') напишется так:
№ + &2)J-^- = a-YP8, (139’)
где р = V^2 + У2 представляет собой расстояние рассматриваемой точки от начала координат О.Определение коэффициента у в каждом частном случае может быть выпол-где р = V^2 + У2 представляет собой расстояние рассматриваемой точки от начала координат О.Определение коэффициента у в каждом частном случае может быть выпол-нено без всяких затруднений. Возьмем, например, случай сжатия двух шаровнено без всяких затруднений. Возьмем, например, случай сжатия двух шаровразличных радиусов ДТ и Д2 (рис. 93). Из геометри-различных радиусов ДТ и Д2 (рис. 93). Из геометри-ческих соображений заключаем, что р2 = z2 (2^2 — — z2) = zx (2/?х — zj, откуда, пренебрегая малымических соображений заключаем, что р2 = z2 (2^2 — — z2) = zx (2/?х — zj, откуда, пренебрегая малымивысшего порядка, находим ^ =высшего порядка, находим ^ =Р2Р2Следовательно,х ('2ДГ + "2ЯГСледовательно,х ('2ДГ + "2ЯГ2Д12Д1_ Р25 ^2R^ -_ Р25 ^2R^ -21 + Z2 = у(Ж2 + у2) = ур2 = р2 X21 + Z2 = у(Ж2 + у2) = ур2 = р2 Xт =т =А+АА+Агя^гя^Для случая вдавливания шара в плоскость (рис. 94) нужно положить ^ = 00, следовательно,Для случая вдавливания шара в плоскость (рис. 94) нужно положить ^ = 00, следовательно,
где р = V^2 + У2 представляет собой расстояние рассматриваемой точки от начала координат О.
Определение коэффициента у в каждом частном случае может быть выпол-
где р = V^2 + У2 представляет собой расстояние рассматриваемой точки от начала координат О.
Определение коэффициента у в каждом частном случае может быть выпол-
нено без всяких затруднений. Возьмем, например, случай сжатия двух шаров
нено без всяких затруднений. Возьмем, например, случай сжатия двух шаров
различных радиусов ДТ и Д2 (рис. 93). Из геометри-
различных радиусов ДТ и Д2 (рис. 93). Из геометри-
ческих соображений заключаем, что р2 = z2 (2^2 — — z2) = zx (2/?х — zj, откуда, пренебрегая малыми
ческих соображений заключаем, что р2 = z2 (2^2 — — z2) = zx (2/?х — zj, откуда, пренебрегая малыми
высшего порядка, находим ^ =
высшего порядка, находим ^ =
Р2
Р2
Следовательно,х ('2ДГ + "2ЯГ
Следовательно,х ('2ДГ + "2ЯГ
2Д1
2Д1
_ Р2
5 ^2R^ -
_ Р2
5 ^2R^ -
21 + Z2 = у(Ж2 + у2) = ур2 = р2 X
21 + Z2 = у(Ж2 + у2) = ур2 = р2 X
т =
т =
А+А
А+А
гя^
гя^
Для случая вдавливания шара в плоскость (рис. 94) нужно положить ^ = 00, следовательно,
Для случая вдавливания шара в плоскость (рис. 94) нужно положить ^ = 00, следовательно,
При вдавливании шара в шаровое углубление (рис. 95) нужно считать Дг отрицательным. В таком случае
221\
Z2_Z1=p2T = p2^—-j,
следовательно,следовательно,
следовательно,
следовательно,
Возвратимся теперь к уравнению (139") и покажем прием, которым мы будем пользоваться при вычислении интеграла j*~^-.
Пусть пгт — контур той площадки (рис. 96), по которой распределяется давление q. Возьмем точку Л, для которой нужно вычислить интеграл J~~, вне контура тт. При вычислении нагрузку, приходящуюся на каждый элемент площади тт, придется делить на расстояние г рассматриваемого элемента ds от точки А и полученные таким образом результаты суммировать. Суммирование должно быть распространено на все элементы площади тт. Для упрощения вычислений представим себе, что в каждой точке площади тт по перпендикуляру к площади отложен отрезок, пропорциональный соответствующей интенсивности нагрузки q. Концы этих отрезков расположатся на некоторой
ттРис. 96.Рис. 96.поверхности, характеризующей закон распределения давлений q. Если через А провести плоскость, перпендикулярную к площади тт, то линия пересечения этой плоскости с построенной нами поверхностью (на рисунке линия эта представлена в совмещенном виде пунктирной линией) характеризует закон распределения давлений вдоль прямой АВ ^АВ представляет собой сечение проведенной через А плоскости с площадью тт). Линиями АВ и Л С и дугами кругов с радиусами г и г + dr выделим из площади тт элемент ds = rd^dr. Приходящаяся на этот элемент нагрузка будет qrdqdr = ctrdydr.
т
т
Рис. 96.
Рис. 96.
Здесь через / мы обозначили соответствующую ординату построенной нами над площадью тт поверхности, через с обозначен коэффициент пропорциональности, на который приходится множить ординаты поверхности для получения соответствующей интенсивности нагрузки q.
Соберем все элементы площади тт. лежащие между прямыми А В и АС. Для них 2^ = 2= Nc 2 tetr = cFd^.(140)
Здесь через F обозначена заштрихованная на рисунке площадь между пунктирной линией и прямой АВ.
Для вычисления интеграла ^—™ . придется суммировать элементы вида (140), давая углу ф все значения в пределах между крайними касательными Ак
и At. Полученное выше равенство (140) сохраняет силу и в том случае, если точка А будет взята внутри площади тт (рис. 97). Чтобы собрать все элементы площади тт. придется в данном случае изменять ф в пределах от 0 до л.
После этих предварительных замечаний перейдем к разысканию распределения давлений q в том случае, когда поверхность соприкосновения имеет круговой контур. Распределение давлений будет симметрично относительно начала координат и q представится функцией только р. Функция эта должна быть подобрана таким образом, чтобы было выполнено условие (139").
Покажем, что этому можно удовлетворить, допустив, что давление в любой точке поверхности соприкосновения пропорционально ординате полусферы, построенной на поверхности соприкосновения. Обозначим через а радиус контура поверхности соприкосновения (рис. 98) и через q0 — интенсивность давления в точке О. Коэффициент пропорциональности с, которым мы пользуемся при построении полусферы, определится из условия #0 = ос, откуда с = -у-.
Вычислим J ^~- для какой-либо точки А на расстоянии р от начала координат О. Это, как выше было показано, равносильно вычислению интеграла
J cFN - A J W Оо
Здесь F — площадь полукруга, указанного на рисунке пунктиром. Она, очевидно, будет функцией угла ф. Радиус s полукруга определится из условия $2 = а2 — р2зш2ф. Следовательно, F = -~- = -^-(а2 — р2 sin2 ф). Таким образом, мы получаем яft/2
J-^ = ^-f-J(a2 —р2вп12ф)йф= ^- j (a2 — p2 sin2 ф) йф = -^ (2a2 — p2).
00
Вставляя этот результат в уравнение (139*), находим
№1 + *2) ^(2«2 - Р2) = a - YP2
Отсюда заключаем, что
(141)(141)(^ + А2)^~ = а;
(141)
(141)
(*1 + М^=?.
Величина q0 может быть определена из того условия, что сумма всех давлений по поверхности соприкосновения должна равняться той силе Р, с которой тела I и П нажаты друг на друга. Принимая во внимание закон распределения давлений, получаем J qds = -|- -^- яа3 = Р, откуда qQ = -~ -^ , т. е. интенсивность давления в центре поверхности соприкосновения в полтора раза превосходит среднее значение давления.
Вставляя q0 и у в выражения (141), получаем для а — радиуса контура поверхности соприкосновения и a — сближения тел I и II при сжатии следующие значения:
Г 3 Р (кг + к^ Зл . 7 х D ,
ЭР^А^^ (Д^Да)ЭР^А^^ (Д^Да)(142)(142)В случае сжатия двух шаров, имеющих радиусы Йг и Нй1 получаем
ЭР^А^^ (Д^Да)
ЭР^А^^ (Д^Да)
(142)
(142)
,'/ ЗР (^ + *а) Д^а V 4(Д1 + Да) ’
Для шаров, изготовленных из одного материала, положив о = = 0,3, находим
Г Ем "Т" Zl2Г Ем
X2(Л + |1)(143)X2(Л + |1)(143)Для величины наибольшего давления в центре поверхности соприкосновения получаем значение
X
2(Л + |1)
(143)
X
2(Л + |1)
(143)
*>=4 44=°-388 VРЕ? •<144>
В случае вдавливания шара в плоскость нужно в предыдущих формулах положить один из радиусов, например Rv равным бесконечности. Тогда будем
иметьиметь(145)(145)«-1,103^^; а-1,23]/^-;,0 = 0,388 j/^.
иметь
иметь
(145)
(145)
Из последней формулы видно, что при постоянном значении максимального давления д0 сжимающие силы для различных шаров, изготовленных из одного и того же материала, относятся между собой как квадраты соответствующих радиусов и величина -^~ = & остается постоянной. Каждому значению д0 легко находим соответствующее значение сжимающей силы, отнесенной к единице площади диаметрального сечения.
Опыты показывают, что для шариков из лучшей закаленной стали можно допустить Р ~ 50с? кг, где d — диаметр шарика в сантиметрах. Такому значению Р соответствует давление q0 = 37 450 кг[см2.
Мы рассмотрели задачу о сжатии упругих тел в том предположении, что поверхность соприкосновения имеет круговой контур. Намеченный путь решения применим и в более общем случае, когда поверхность соприкосновения имеет эллиптический контур с полуосями а и Ъ. Наибольшее давление д0 в этом случае получается в начале координат О и в 1,5 раза превосходит среднее
3 Р значение давлении, следовательно, qh = -«г2 паи
Давление q в любой точке поверхности соприкосновения будет пропорционально соответствующей ординате поверхности эллипсоида, имеющего своим диаметральным сечением поверхность соприкосновения. Выражение для этого давления напишется так:
2 nab га2 о2
Здесь х и у — координаты точки, к которой относится давление q. Увеличивая полуось а эллипса соприкосновения, Г. Герц получил в пределе случай сжатия цилиндров с параллельными образующими. Вместо эллипса в этом случае получается полоска соприкосновения шириною 2Ъ. Для b Герц нашел такое выражение: ,
Здесь через Р' обозначена величина сжимающей силы, приходящейся на единицу длины цилиндров; Дх и R^— радиусы сжимаемых цилиндров. Величина наибольшего давления определится такой формулой:
Qo = 0,418 У Щ^Л R^ . (147)
Полагая один из радиусов равным бесконечности, мы приходим к случаю сжатия цилиндра и плоскости. Формулы для b и q0 напишутся в этом случае так:
»=. 1,52
д, = 0,418
На практике с подобной задачей приходится встречаться при расчете катков мостовых опор. Размеры стальных катков намечают обыкновенно таким образом, чтобы максимальное давление д0, определяемое по формуле (148), не превосходило 7000 кг/см2.
§ 66. Тепловые напряжения
Если тело подвергать неравномерному нагреванию, то соответствующие такому нагреванию деформации отдельных элементов не могут совершаться свободно,— им будут препятствовать соседние элементы, и при этом возникнут напряжения, распределение которых по объему тела будет зависеть от распределения температуры. В качестве примера рассмотрим простейшую задачу, когда распределение температуры имеет ось симметрии. В таком случае соответствующие напряжения и деформации распределятся симметрично относительно той же оси и дифференциальные уравнения равновесия приобретут особенно простой вид.
Пусть t обозначает переменную температуру, отсчитываемую от некоторого начального состояния тела, и а — постоянный коэффициент линейного расширения материала. В таком случае вследствие нагревания до температуры t каждый элемент тела при условии свободного расширения получил бы равномерное удлинение по всем направлениям, и мы имели бы ^ = вео = ехг = at\ е^г = 0. Свободному расширению^будут препятствовать соседние элементы тела. Появятся напряжения тг, 00, zz и rz, которые в свою очередь вызовут деформации е^ гее, ехх, етг. В таком случае полные деформации представятся так:
ву? ^^ Ctt —f- вуД £00 ^^ ОС^ Н” £00» ^хх == О*^ ”k" ^zxi ^vz ==! ^тх*
Вставляя вместо полных деформаций их выражения через перемещения (103), находим для деформаций е^, ..., обусловленных напряжениями, такие 12 1—1801
выражения:выражения:"ди* и ," дю ,
выражения:
выражения:
вп* — qt vi, ego = — czt; егг — “^ctt\
(а)(а)" ди ,дю
(а)
(а)
6tzdz'дг
Пользуясь известными зависимостями (28) между напряжениями и деформациями и сохраняя для объемного расширения прежнее обозначение Ф = du , и , дюv
= -^- + — + ~^-ч получаем для напряжении значения
гг = АФ + 2ц f— ЗАа^; 06 = АФ + 2ц— ЗАа£;
Х 7х 7(Ь)
zs = АФ + 2ц (— ЗАа/; rz = ц 4-•
I dz /\ dz * дг )
Вставляя их в уравнения равновесия(102), приходим к таким уравнениям,
/а .\ дФ ,д2и , д / ди। и \1 ол\^л
(А + И) -л Ь И+ И — (2ц + ЗА) а = 0;
/А . ч дФ .д^ю , д^ю ,1 дю,сх. ПАХdtл^
(A + ^ +p-^ + ^-^ + li— ~^г—’ (2ц+ ЗА) а= 0.
Решим поставленную выше задачу в простейшем предположении. Допустим, что тело имеет форму весьма длинного кругового цилиндра и температура в любой точке этого цилиндра зависит лишь от расстояния т этой точки до оси цилиндра. В таком случае радиальные перемещения и будут одинаковы во всех поперечных сечениях цилиндра, удаленных от концов, и мы можем положить ди А дю л3
~^~ = и, -^— = аъ где ах — неопределенная пока постоянная величина.
При сделанных допущениях второе из уравнений (с) будет удовлетворено, первое же может быть представлено в таком виде:
(X + 2р.) 4?^ + 4") = ^ + ЗХ) a-g-.(с')
Если распределение температуры известно и t задано как некоторая функция от г, то мы без затруднения находим из полученного уравнения перемещения и^ а дальше при посредстве зависимостей (Ь) определяем и соответствующие напряжения. Произвольные постоянные, входящие в выражения для и и w, конечно, должны быть определены так, чтобы были удовлетворены условия на поверхности.
Возьмем установившееся распределение температуры. В таком случае функция t должна удовлетворять уравнению
дч , дч , дЧ лхДх
дх» Эу2 + dz2 —
При сделанных выше предположениях относительно t уравнение (d) в полярных координатах напишется таким образом:
откудаоткудаt = аг In г + л2.t = аг In г + л2.(е)(е)d4 х 1 dt л
откуда
откуда
t = аг In г + л2.
t = аг In г + л2.
(е)
(е)
Предположим, что мы имеем дело с цилиндром, полым внутри. Пусть г0 и гх — внутренний и наружный радиусы цилиндра, ^0 и ^ — соответствующие
температуры на ограничивающих поверхностях. Чтобы решение (е) удовлетворяло условиям на поверхности, нужно положить t0 = аг lnr0 + а2; ^ = at In гг + + а2, откуда
аг —аг —<0*1 .<0*1 .In —+ гоIn —+ го^2 —^2 —tolar, —1,1л г0 .tolar, —1,1л г0 .In -^ ГоIn -^ Гоt0 In — + tA In —In —Lr0t0 In — + tA In —In —Lr0
аг —
аг —
<0*1 .
<0*1 .
In —+ го
In —+ го
^2 —
^2 —
tolar, —1,1л г0 .
tolar, —1,1л г0 .
In -^ Го
In -^ Го
t0 In — + tA In —
In —L
r0
t0 In — + tA In —
In —L
r0
Вставляя найденное выше значение t в уравнение (с'), получаем для радиальных перемещений выражение:
Х + 2|ы\ 2 Ш 4 + 22 + г '
Новые произвольные постоянные должны быть подобраны так, чтобы радиальные напряжения тт обращались в нуль на наружной и внутренней поверхностях, так как мы разыскиваем напряжения, возникающие в цилиндре, при отсутствии внешних сил.
Произведя соответствующие преобразования, мы в заключение приходим к таким выражениям для напряжений х:
тт =ёе=тт =ёе=р (3% + 2р)/ r^i — го^о . V1(о Ч^»^ Г^ + г*,2^,2р (3% + 2р)/ r^i — го^о . V1(о Ч^»^ Г^ + г*,2^,2Г2 г2_г2 — («1+0 .2 Г1 г0JГ2 г2_г2 — («1+0 .2 Г1 г0J} (0} (0
тт =
ёе=
тт =
ёе=
р (3% + 2р)/ r^i — го^о . V1(о Ч
^»^ Г^ + г*,2^,2
р (3% + 2р)/ r^i — го^о . V1(о Ч
^»^ Г^ + г*,2^,2
Г2 г2_г2 — («1+0 .
2 Г1 г0J
Г2 г2_г2 — («1+0 .
2 Г1 г0J
} (0
} (0
ZZ =ZZ =2ц (ЗХ + 2р.) _ f X ^l —ГХ Ч . , Х + 2р ^1X + 2р [2(Х + ц) г2_г24(Х + ц) Г"" 2(Х + р.) а
ZZ =
ZZ =
В выражение для напряжений zz входит произвольная постоянная dv которая должна быть определена из условий на концах цилиндра. Если концы закреплены и не могут перемещаться при изменении температуры цилиндра, то dT должно обращаться в нуль. При свободных концах напряжения zz по концевым поперечным сечениям цилиндра должны равняться нулю. Из полученного выше решения (/) легко видеть, что точно выполнить условия на свободных концах цилиндра мы не можем и остается поступить так, как это мы делали при рассмотрении изгиба и кручения призматических стержней. Мы подберем произвольную постоянную dx так, чтобы совокупность всех усилий, приложенных по концам, представляла систему взаимно уравновешивающихся сил, т. е. чтобы было выполнено условие J zzds = 0. Здесь интегрирование должно быть распространено на всю площадь поперечного сечения.
При найденном таким путем значении постоянной dv конечно, не будут в точности удовлетворены условия на концах, но на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что в некотором удалении от концов, найденные решения (/) с достаточной точностью представляют распределение напряжений, соответствующих принятому распределению температуры.
(N)(N)_2М^+Ж uu-zz- а, + 2ц_2М^+Ж uu-zz- а, + 2ц
(N)
(N)
_2М^+Ж uu-zz- а, + 2ц
_2М^+Ж uu-zz- а, + 2ц
При расчетах главное значение имеет величина наибольших напряжений. Оказывается, что при свободных концах цилиндра эти наибольшие напряжения соответствуют напряжениям zz и 99 на наружной и внутренней поверхностях цилиндра и могут быть определены из таких простых формул:
при г = г0
zz — 99 = — 2р, ^^ 2^ а (£0 — ^) / ^ _ ^2
при г — гт
zz = 69 = — 2р. х^2^ <Z (t0 — t^ ^2 _\г
Эти формулы могут быть еще упрощены, если толщину стенки цилиндра, равную К = гх — г0, считать малой по сравнению со средним радиусом стенки р = Г1 у-—. В таком случае, отбрасывая малые высших порядков, получаем для наибольших напряжений такие формулы:
при г = г0
(NJ(NJпри г — гг
(NJ
(NJ
00 =zz = + ^TrirLa^-/V ”р* tip#
Толщина цилиндрической стенки, как видно, не оказывает большого влияния на величину наибольших напряжений, и мы можем считать эти напряжения пропорциональными разности внутренней и наружной температур. Но так как эта разность обыкновенно бывает тем большей, чем больше толщина стенки, то и тепловые напряжения в толстостенных трубках достигают больших значений, чем в трубках с тонкими стенками. В качестве примеров приводим следующие численные результаты
Полагая для литого железа a = 0,000011 1/град; р = 8 • 105 кг)см; о = -у, находим, пренебрегая влиянием толщины стенки, такую формулу для величины наибольших напряжений:
(69)тах = (Z2)max — 16,3 (£0 t^.
Если t0 > tt1 мы будем иметь снаружи растягивающие и внутри — сжимающие напряжения. Разности температур, равной 100°, соответствует напряжение 1630 кг/см1.
Возьмем теперь цилиндр из литой стали 2, для которой a = 0,000011 ЦграЭ; р, = 8,5 • 10б кг/см1; о = Зу. Положим г0 = 3,5 см; гх = 10,5 см, следовательно, гх/г0 = 3.
1 См. стр. 591 курса Н. Lorenz, указанного на стр. 132,
Формулы (N) дают в этом случае для наибольших растягивающих и наибольших сжимающих напряжений значения (предполагаем t0 < t^
C&z)max — (06)max — 22,9 (£0 ^); (2z)min = (OO)min = H,3 (t0 — ^).
При разности температур, равной 50 эрад, наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения имеют соответственно значения 4-1145 кг/см2\ —565 кг/см2.
Заметим, что приближенные формулы (Р^) могут быть применены также к определению напряжений, возникающих в фабричных дымовых трубах. Эти напряжения приходится суммировать с напряжениями, вызываемыми внешними силами, например давлением ветра. Поэтому во время работы дымовые трубы оказываются менее прочными в отношении сопротивления боковым внешним усилиям.
§ 67. Скручивание стержней переменного сечения
Предположим, что стержень, имеющий форму тела вращения, скручивается парами сил, приложенными на концах. При определении напряжений будем пользоваться тем же полуобратным методом, которому мы следовали при изучении кручения призматических стержней. В случае круглых стержней мы удовлетворили всем уравнениям теории упругости, сделав допущение, что при кручении поперечные сечения стержня остаются плоскими и лишь поворачиваются одно относительно другого, причем радиусы сечения не искривляются. Для некруглых призматических стержней деформации при кручении представились в более сложном виде. Кроме поворачивания сечений нужно было принять во внимание и их искривление, соответствующее перемещениям точек сечения в направлении оси стержня.
Покажем, что в случае стержней, имеющих форму тела вращения, мы удовлетворим всем уравнениям теории упругости, предположив, что круговые поперечные сечения остаются при кручении плоскими. В отличие от того, что мы имели для круглых цилиндрических стержней, нужно лишь допустить возможность искривления радиусов поперечного сечения.
Сохраняя обозначения, которыми мы пользовались при рассмотрении деформаций, симметричных относительно оси, и направляя ось z по оси скручиваемого стержня, положим и = w = 0. Что касается перемещения у, то оно представляется неизвестной пока функцией от г и г.
Сделав такое предположение относительно перемещений, мы на основании (103) заключаем, что отличными от нуля будут лишь деформации его = -^
у О I и \ди
у = г — I —IДля составляющих напряжения получаем значения
тг = 96 = zz = rz = 0;
~ад I v \ди(а)
ге-рг^— у, 6Z = p—.
Из уравнений системы (102) нам остается удовлетворить лишь уравнению
в + в se_0(у
дг 1 dz 1 г 1v '
которое может быть представлено в таком виде:
(О(Оv^ + -A- (r26z) = о.dr х ' drdz х *
(О
(О
Очевидно, мы этому уравнению удовлетворим, положив!
г2г9 = — -^L; r20r = + 4$-,dzdr
где ср — неизвестная пока функция напряжений от переменных гиг. На основании условий (а) заключаем
r^ dzг Эй у г ) r^ drr^ dzг Эй у г ) r^ dr
r^ dzг Эй у г ) r^ dr
r^ dzг Эй у г ) r^ dr
Чтобы были удовлетворены оба эти условия, функция ф должна, очевидно, удовлетворять уравнению
dz у г3 dz ) dr у г3 dr ]’
которое может быть представлено в таком виде:
(d)(d)д2ф 3 дф . д2ф 0
(d)
(d)
dr^ г dr ‘ dz^ *
Беря для ф различные решения уравнения (d), будем получать различные распределения напряжений, возможные в скручиваемом стержне, имеющем форму тела вращения. Для выбора определенного решения необходимо задаться условиями на поверхности. Предположим, что стержень скручивается силами, приложенными по концевым поперечным сечениям, и боковая поверхность его свободна от всяких усилий. В таком случае третье из уравнений (101) даст нам на боковой поверхности такое условие:
(e)(e)г6 cos (rv) + 9z cos (zv) = 0.
(e)
(e)
К тому же условию мы можем прийти и иным путем. Возьмем диаметральное сечение стержня (рис. 99) и какую-либо точку А на контуре этого сечения. Пусть г9 и 9z — составляющие касательного напряжения, действующего в этой точке по площадке, совпадающей с диаметральной плоскостью. Если боковая поверхность стержня свободна от усилий, то. очевидно, касательное напряже-
ние в А должно иметь направление касательной к меридиану. Заключение это совпадает с условием (е) и мы его можем записать так:
дт г0
dz — 05
дф dz дф * Or
(D
Обозначая через ds элемент дуги меридиана, можем представить условие
(f) в таком виде: сти стержня
дф dr . dtp dz п
—Ь= v, откуда заключаем, что
от os oz OS
Если задано
Ф = const.(f )
уравнение меридионального се-
на поверхно-
чения стержня, то условие (f) или (Г) совместно с уравнением (d) вполне определяют функцию ф, а следовательно, и распределение напряжений в скручиваемом стержне. При отыскании частных решений проще идти обратным путем, задаваясь различными решениями уравнения (d), и потом из условия (f) находить уравнение меридионального сечения соответствующего стержня.
Возьмем случай конического стержня (рис. 100). При таком очертании стержня отношение z/(r2 + z2)1/2 имеет на поверхности стержня постоянное значение и всякая функция от этого отношения удовлетворит условию (Г). Чтобы при этом было удовлетворено и
Рис. 100.
уравнение (d), нужно положить л Г 2123
ф
(г2 + ^к 3 (Г2 + ^к ] •
(g)
Имея функцию напряжений, дифференцированием находим соответствующие напряжения.
По плоскости поперечного сечения стержня будут действовать касательные напряжения
6 ==
2 г2 6г
Arz
Постоянная А найдется из того условия, что касательные напряжения 0z должны по плоскости поперечного сечения приводиться к паре сил, равной скручивающему моменту М. Следовательно,
М = J 2nr29zdr = 2л (90
г2
^ dr = 2л (Фг - Фо)
Вставляя
сюда вместо ср его значение (g) для данного случая, найдем со-
ответствующее значение А. Когда напряжения найдены, перемещение и может быть определено из уравнений (а). В случае конического стержня
ди1 дф А |rz (
dz|ir2 dr|ir2 [(г2 + z2)’^ "*
Ат откуда интегрированием находим v = Зр, (г2 -f- z2> и
Г^
Полученное перемещение не представляется линейной функцией от г, как мы имели в случае кручения круглых цилиндрических стержней, и радиусы поперечных сечений при скручивании будут искривляться.
При расчетах валов переменного сечения приходится иметь дело с очень резкими изменениями радиуса поперечного сечения. В таком случае аналитический способ решения задачи, намеченный выше, представляет огромные затруднения и задачу приходится решать приближенными способами х. Результаты этих приближенных решений приведены в нашем «Курсе сопротивления материалов» .
ЧАСТЬ ВТОРАЯ СТЕРЖНИ
И ПЛАСТИНКИ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вторая часть нашего «Курса теории упругости», посвященная исследованию деформаций тонких стержней и пластинок, составлена из лекций, читанных в Киевском политехникуме, в Институте инженеров путей сообщения и в последнее время на кораблестроительном отделении Петроградского политехникума. При выборе материала для этих лекций приходилось останавливаться главным образом на задачах, представляющих по своим приложениям непосредственный практический интерес, и оставлять без рассмотрения вопросы, хотя и интересные, но не имеющие технического приложения. Исходя из этих соображений, мы нашли возможным опустить в нашем курсе общую теорию деформаций тонких стержней, разработанную Густавом Кирхгофом и Жозефом Буссинэ. Теория эта применима главным образом в тех случаях, когда перемещения точек деформированных стержней не являются малыми величинами, т. е. в случаях, не имеющих большого практического значения. По тем же соображениям мы опустили общую теорию деформаций тонких пластинок, разработанную Дж. Мичеллом и А. Лявом, и ограничились приближенным выводом основного дифференциального уравнения для изогнутой поверхности пластинки. Уравнение это, как известно, имеет вполне достаточную для практических приложений точность и дает возможность исследовать не только случаи изгиба пластинок силами, нормальными к поверхности пластинки, но также и случаи одновременного действия изгибающих и сжимающих или изгибающих и растягивающих сил. При исследовании колебаний мы ограничились колебаниями стержней и оставили без рассмотрения колебания мембран, пластинок и тонких оболочек, относящиеся к области акустики. В теории деформаций тонких оболочек мы рассмотрели частные случаи цилиндрической и сферической оболочек, так как только для этих случаев имеются некоторые числовые результаты, представляющие практический интерес.
Имея в виду практические приложения, мы по возможности доводили решения выбранных задач до конца, до численных результатов, и представляли эти результаты в виде таблиц, которыми можно пользоваться при технических расчетах.
В тех случаях, когда точное решение задачи неизвестно или разыскание этого решения связано с большими трудностями, мы для получения числовых результатов применяли приближенные методы. Так, например, при исследовании изгиба балки переменного сечения, лежащей на
упругом основании, мы пользовались методом Ритца и показали на численных примерах, что этот метод дает достаточно точные для практических приложений результаты при сравнительно небольшом количестве вычислительной работы. Прцближенный метод мы применяли и при решении целого ряда вопросов устойчивости. При исследовании колебаний мы также пользовались в некоторых случаях приближенными способами для решения поставленных задач. Для получения первых приближений мы применяли способ Рэлея. Дальнейшие приближения вычисляли способом Ритца. При исследовании действия удара на балку и при изучении больших прогибов круглых пластинок мы обращались к конечным разностям и получали нужные нам результаты вычислительным путем. Тот же вычислительный прием с успехом может быть применен к расчету сферических оболочек, подвергающихся действию симметрично распределенных нагрузок.
Имея в виду разнообразные приложения, нам пришлось затронуть довольно большое число вопросов, относящихся к исследованию деформаций стержней и пластинок. Расширяя таким образом содержание книги, мы не только хотели дать руководство для наших слушателей, главным образом студентов кораблестроительного отделения Политехникума, которым приходится встречаться с весьма разнообразными вопросами прочности в строительной механике корабля, но имели в виду также студентов, которые берут из области строительной механики темы для своих дипломных работ (дипломные работы обязательны для студентов кораблестроительного отделения Петроградского политехникума; в Институте инженеров путей сообщения дипломная работа по строительной механике может быть дана вместо проекта по прикладной механике), и тех инженеров, которые интересуются вопросами строительной механики и занимаются расчетами различного рода металлических конструкций. К этим расчетам в последнее время предъявляются все более широкие требования, удовлетворить которым не всегда удается при помощи элементарных приемов, обычно излагаемых в курсах сопротивления материалов.
В заключение считаем своим приятным долгом принести здесь глубокую благодарность лицам, оказавшим нам содействие при подготовке к печати настоящей книги,— преподавателю Электротехнического института Р. Б. Куровскому, прочитавшему рукопись, преподавателю Института инженеров путей сообщения К. А. Чалышеву и преподавателю Петроградского политехнического института Н. П. Виноградову, согласившимся взять на себя труд по чтению корректур.
С. Тимошенко
Киев
15 апреля 1916 р.
Глава IГлава IМАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ С ПРЯМОЙ ОСЬЮ
Глава I
Глава I
Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня
В первой части данной книги мы привели несколько точных решений, относящихся к изгибу призматических стержней. Из этих решений следует, что при изгибе стержней силами, приложенными по концам, имеет место допущение Бернулли — Эйлера относительно пропорциональности кривизны изогнутой оси стержня величине соответствующего изгибающего момента. Такой результат получается лишь при условии вполне определенного распределения усилий по концевым сечениям изгибаемого стержня. Если это распределение заменить другим, ему статически эквивалентным, то вблизи концов произойдет значительное изменение напряжений и деформаций. В сечениях же, удаленных от концов, эти изменения весьма малы (принцип Сен-Венана), мы можем ими пренебречь и считать справедливым допущение Бернулли — Эйлера. На основании таких же соображений мы можем распространить допущение Бернулли — Эйлера и на случай стержней, изгибаемых несколькими сосредоточенными силами. С большой точностью мы можем считать кривизну вдали от места приложения сил пропорциональной изгибающему моменту.
Когда от изгиба сосредоточенными силами переходим к случаю действия распределенных нагрузок, задача становится более сложной. Точное решение, полученное для изгиба равномерно распределенной нагрузкой показывает, что в этом случае выражение для кривизны составляется из двух членов: пропорционального изгибающему моменту и постоянного члена, обусловленного отчасти влиянием касательных напряжений, отчасти нормальными напряжениями, действующими по площадкам, параллельным оси балки. Этот постоянный член, представляющий поправку к гипотезе Бернулли — Эйлера, является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения высоты балки к ее длине. В случае тонких призматических стержней этой поправкой будем пренебрегать и при определении прогибов под действием сил, лежащих в одной из главных плоскостей стержня, будем исходить из уравнения
— = М.(1)
рх '
Здесь EJ — соответствующая жесткость стержня; р — радиус кривизны; М — изгибающий момент в рассматриваемом сечении стержня. Располагая
М i с h е 11 J. Н. Some elementary distributions of stress in three dimensions. Proceedings of the London Mathematical Society, [1900] 1901, vol. 32, NN. 711—713, pp. 23—35. Подробное изложение решения Дж. Мичелла имеется в курсе A. Love, указанного в сноске на стр. 9. (См. стр. 339 оригинала или стр. 409 немецкого перевода.)
координатные оси, как показано на рис. 1, и ограничиваясь случаем малых прогибов, мы можем уравнение (1) заменить таким:
(2)(2)EJ^ = —м.
(2)
(2)
На рисунке указаны стрелками те направления изгибающего момента и перерезывающей силы, которые мы в дальнейшем будем принимать положительными. Дифференцированием из уравнения (2) получаем уравнения
EJ^ =dx3EJ^ =dx*EJ^ =dx3EJ^ =dx*dM dxdNdxdM dxdNdx= - N;= - N;= <Ъ= <Ъ(3)(4)(3)(4)
EJ^ =dx3
EJ^ =dx*
EJ^ =dx3
EJ^ =dx*
dM dx
dNdx
dM dx
dNdx
= - N;
= - N;
= <Ъ
= <Ъ
(3)
(4)
(3)
(4)
которыми иногда приходится пользоваться при решении технических задач. Здесь через q обозначена интенсивность сплошной нагрузки. Положитель
NNРис. 1.Рис. 1.ным направлением этой нагрузки принято направление сверху вниз. Когда поперечные размеры стержня нельзя считать малыми по сравнению с его длиной и желательно получить более точное уравнение для изогнутой оси стержня, нужно в уравнение (2), полученное на основании допущения Бернулли — Эйлера, внести поправку, обусловленную отчасти действием касательных напряжений, отчасти нормальными напряжениями, действующими по площадкам, параллельным оси балки. В тех случаях, для которых имеются
N
N
Рис. 1.
Рис. 1.
точные решения, часть поправки, соответствующая касательным напряжениям, имеет преобладающее значение. Допустив, что то же самое заключение справедливо для всяких нагрузок и для балок любого сечения, мы можем получить нужную нам поправку к уравнению (2) приближенным способом. Будем исходить из такого выражения для кривизны:
d^p _ йе^dexx
dx2dxdp *
Вставляя сюда вместо еху и ехх значение сдвига в центре тяжести поперечного сечения и значения продольных удлинений, определяемых по формулам Сен-Венана
_ k'N Мре»и — "gF ' е«= — ~"ёГ ’
где F — площадь поперечного сечения стержня; G — модуль упругости при сдвиге и к' — численный коэффициент, зависящий от формы сечения и упругих свойств материала, приходим к такому дифференциальному уравнению:
<Ру _ м I к’/5^
dx2 ~ EJ ^ GF dx2 •' ^
Это уравнение приходится брать вместо уравнения (2), когда желательно найти более точное выражение для изогнутой оси стержня. Интегрируя уравнение (2) или (5) и принимая при этом во внимание условия закрепления концов, мы без особых затруднений можем в каждом частном случае найти прогибы стержня и углы поворота отдельных поперечных сечений. Ряд простейших примеров этого рода разобран в курсе сопротивления материалов, и мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением нескольких более сложных задач, относящихся к исследованию изгиба балок, лежащих на упругом основании, и балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия или изгиба и растяжения.
При вычислении напряжений мы будем предполагать, что в сечениях, удаленных от места приложения сил, величина напряжений с достаточной для практики точностью определяется решениями Сен-Венана. У точек приложения сосредоточенных сил возникают местные напряжения, характер распределения которых в случае плоской деформации мы изучили с достаточной полнотой в первой части данной книги. Напряжения эти быстро убывают по мере удаления от точки приложения силы и, как показывают подробные вычисления, произведенные для нескольких частных случаев, мы можем в сечениях, удаленных от места приложения силы на расстояние, большее высоты балки, принимать с достаточной для практики точностью распределение напряжений, соответствующее решению Сен-Венана.
В заключение отметим, что уравнение (2) часто применяют не только к призматическим стержням, но и к стержням переменного сечения. Если сечение изменяется вдоль балки, то, как показывают некоторые точные решения плоской задачи , напряжения и деформации будут мало отличаться от тех, которые получаются для призматических стержней и, следовательно, уравнением (2) можно пользоваться для определения прогибов таких стержней. При этом J будет некоторая функция ж, что нужно иметь в виду при составлении уравнений, аналогичных уравнениям (3) и (4).
Если стержень составлен по длине из нескольких частей, причем на протяжении каждого участка сечение не изменяется, то уравнение (2) применимо к каждому участку и справедливо для всех точек оси, достаточно удаленных от мест сопряжения участков различных сечений. В переходных сечениях возникают местные напряжения, искажающие закон распределения напряжений и деформаций. Эти местные напряжения быстро убывают по мере удаления от переходных сечений и потому в тех случаях, когда поперечные размеры стержня малы по сравнению с длинами отдельных участков, мы можем, пользуясь уравнением (2), с достаточной точностью определять прогибы стержня.
Изгиб балки, лежащей на сплошном упругом основании
В целом ряде технических вопросов приходится иметь дело с изгибом балок, лежащих на сплошном упругом основании. Предполагая, что при изгибе таких балок основание оказывает реакции, пропорциональные прогибам, обозначим через к величину реакции, приходящейся на единицу длины балки
при прогибе, равном единице. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (4) напишется в данном случае так:
EJ^ = q-ky.(6)
Здесь q — интенсивность заданной сплошной нагрузки; ку — интенсивность реактивных воздействий* основания на балку. Мы предполагаем, что у может иметь как положительные, так и отрицательные значения и основание препятствует не только опусканию, но и подъему балки. Введя для краткости записи обозначение
“ = /~4ЁТ
представим общий интеграл уравнения (6), при постоянном значении q, в таком виде:
у = ~- + Сгеах cos ах + С^е^ sin ах + С3е—^ cos ах + С4е—“* sin ах.(8)
Произвольные постоянные Cv ..., С4 в каждом частном случае приходится выбирать таким образом, чтобы были удовлетворены условия на концах рассматриваемого участка балки. Ход вычислений покажем на нескольких частных примерах, имеющих техническое значение.
§ 3. Случай бесконечно длинной балки
Предположим, что балка АВ неограниченной длины лежит на сплошном упругом основании и изгибается сосредоточенной силой Р (рис. 2). Кривая изгиба рв данном случае, очевидно, будет симметрична
относительно точки приложения силы, причем Д'В х прогибы у и производные у', у*. ... должны
^777777722222, 777777777777 быть малыми величинами для точек, весьма
удаленных от места приложения силы. Этим уусловиям мы удовлетворим, если для правой
рис 2ветви кривой, соответствующей положительным
* ’значениям х. положим в общем интеграле (8)
Ci = С2 = 0. Кроме того, в нашем случае q = 0, следовательно,
у = е~ах (С3 cos ах + С4 sin ах\
Для определения произвольных постоянных С3 и С4 воспользуемся тем обстоятельством, что в точке приложения силы касательная к изогнутой оси балки горизонтальна 1 и перерезывающая сила непосредственно справа от Р
места приложения силы равнаСледовательно, / ^у \_ л. prl^L\ _ р
I ax2 ’
откуда находим
Все обстоятельства изгиба балки в рассматриваемом случае определятся выражениями:
рРа
у = о"зЕ1 ^^ (cos ах + sin ах) = е—ах (cos ах + sin axY
(9)J(9)JМ = — EJуп = -^- е^ах (cos ах — sin ах);
(9)
J
(9)
J
N — — EJy,,f =— g—ах cos ах.
Для всех входящих в эти выражения функций имеются готовые таблицы х, при помощи которых легко можно найти величину прогиба, изгибающего мо-
,9 I,9 I1Н1ШШ1И!НННН№ШНН№1Н1ШШ1И!НННН№ШНН№мента и перерезывающей силы в любом сечении балки. Пользуясь принципом сложения действия сил, легко при помощи формул (9)
,9 I
,9 I
1Н1ШШ1И!НННН№ШНН№
1Н1ШШ1И!НННН№ШНН№
сс^ —Рис. 3.^ —Рис. 3.найти изгиб балки под действием системы со- ^?2$77///}^
с
с
^ —
Рис. 3.
^ —
Рис. 3.
средоточенных сил. Без всяких затруднений мы можем перейти также к случаю изгиба балки сплошной нагрузкой, распределенной
на некотором протяжении. Предположим, например, что равномерно распределенная нагрузка интенсивности q занимает участок длиною с + сг = I (рис. 3). Пользуясь принципом сложения действия сил, находим для прогиба балки в какой-либо точке А такое выражение:
С,с
У = J "таГ ^ <cos “В + sin а5) + j ~^EJ ^^ <cos а£ + sin °Ф =
Оо
'= ^- (2 — е—<ХС1 cos аС1 — е=-ас cos ас)(10)
Если длины с и ег загруженных участков настолько значительны, что асх и ас представляют собой большие числа, то в полученном выражении для у можно отбросить два последних члена , и мы получим у = q/k.
Следовательно, можно считать, что вдали от концов длинного загруженного участка балка не гнется, и приходящаяся на нее равномерная нагрузка равномерно распределяется по основанию. Если взять точку в конце длинного загруженного участка и положить, например сг = 0, то получим для этой точки у = ql2k' т. е. здесь прогиб будет вдвое меньше, чем в ранее взятой точке.
Перейдем к другому крайнему случаю: положим длину загруженного участка весьма малой и найдем прогиб, соответствующий средине загруженного участка. Полагая в выра- — — I‘
жении (10) асг = ас = аЦ2 и е 2 cos —— =1_, получаем
/aZ7 \7
q / ,al |qla
y = —И—e 2 cos——1 = ——— .k \2 J2k
Результат этот совпадает с тем, который получается для сосредоточенного груза Р = ql.
Заметим здесь, что, говоря о коротком или длинном загруженном участке, следует иметь в виду отношение длины участка к длине L = 2л/а, представляющей длину волн, образуемых осью балки, в случае действия сосредоточенной силы [см. формулы (9)].
Формулами (9) выгодно пользоваться при расчете рельсов, подвергающихся действию системы сосредоточенных грузов. Хотя рельс лежит не на сплошном упругом основании, а на упругих поперечинах, но при встречающихся на практике густоте расположения шпал и жесткостях рельсов мы получим достаточно точные результаты, если упругие опоры заменим сплошным упругим основанием Ч Пусть D — сила, которую нужно приложить к шпале в месте прикрепления рельса, чтобы вызвать осадку шпалы, равную единице, и а — расстояние между осями шпал, тогда жесткость к упругого основания, заменяющего упругие опоры, определится так: к = D/a.
Теми же формулами (9) можно воспользоваться при расчете килевой балки, когда нужно определить напряжения от давлений, передаваемых балке поперечными водонепроницаемыми переборками при постановке судна на киль. Давления эти можно считать сосредоточенными силами. Роль упругого основания в этом случае будет играть набор кильблоков и положенный на них настил.
Приведем такой численный пример.
Момент инерции поперечного сечения килевой балки 223 • 10б см*. Расстояние от нейтрального слоя до наиболее удаленного волокна е = 124 см\ Е = 2 • 106 кг/см. Размеры и упругие свойства кильблоков таковы, что килевая балка вдавливается в основание на 1 см при нагрузке 1330 кг/см. Следовательно, к = 1330 кг/см2. Требуется найти наибольшие на пряжения, возникающие в килевой балке у поперечной переборки, передающей сосредоточенное давление Р = 2000 Т. При этих данных имеем
14£/ “ 605 см :
(У)тах = 2fc = ^'^ СМ’ ^ ^х=0 =^а<! ^)тах =(605)2 СМ ‘
Наибольшие напряжения
, -„2 . 10= • 124 • 2 • 1,24 ,„еп , „
(У )ж=о£е =60521680 «г/сл12.
Пользуясь принципом сложения действия сил, легко оценить также влияние соседних переборок на величину найденных наибольших напряжений.
' Ng
I У Рис. 4.УРис. 5.
то в нем изгибающий момент равен нулю и всято в нем изгибающий момент равен нулю и всяИз формул (9) легко можно получить два решения, имеющих практическое значение.
то в нем изгибающий момент равен нулю и вся
то в нем изгибающий момент равен нулю и вся
Если взять сечение, для которого ах = -^-,
(1Ъ(1Ъправая часть балки изгибается поперечной силой, действующей во взятом сечении. Надлежащим переносом начала координат получим решение для случая, представленного на рис. 4. Прогиб балки выразится при этом таким образом:
(1Ъ
(1Ъ
у = ^Ше C0SC£T
Выбирая сечение, для которого ах = -~, мы при помощи формул (9) получаем решение
(12)(12)для случая, представленного [на рис. 5. Прогиб балкп представится при этом такой формулой:
(12)
(12)
У = ~ 2ol^ET е (C0S ^ S1D “^
Формулами (11) и (12) можно воспользоваться для приблизительной оценки давлений на кильблоки у свешивающихся частей корпуса судна. Их можно применить также при определении давлений на основание, возникающих при спуске судов. И в том и в другом случае
мы отсекаем свешивающуюся часть корпуса и действие ее заменяем поперечной силой и парой сил. Рассматривая часть корпуса, расположенную на основании, как призматическую балку большой длины, можем воспользоваться формулами (11) и (12) для определения прогибов и соответствующих давлений на основание.
§ 4. Изгиб балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании
Предположим, что балка АВ с опертыми концами лежит на сплошном упругом основании и изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности qПредположим, что балка АВ с опертыми концами лежит на сплошном упругом основании и изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q(рис. 6). Общий интеграл (8) дифференциального(рис. 6). Общий интеграл (8) дифференциальногоуравнения изогнутой оси балки представим такой форме г:у = -у- + Сг sin ах sh ах + С2 sin ах ch ах ++ С3 cos ах sh ах + С4 cos ах ch ах. (13)уравнения изогнутой оси балки представим такой форме г:у = -у- + Сг sin ах sh ах + С2 sin ах ch ах ++ С3 cos ах sh ах + С4 cos ах ch ах. (13)ввАА•уРис. 6.•уРис. 6.ВВ
Предположим, что балка АВ с опертыми концами лежит на сплошном упругом основании и изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q
Предположим, что балка АВ с опертыми концами лежит на сплошном упругом основании и изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q
(рис. 6). Общий интеграл (8) дифференциального
(рис. 6). Общий интеграл (8) дифференциального
уравнения изогнутой оси балки представим такой форме г:
у = -у- + Сг sin ах sh ах + С2 sin ах ch ах +
+ С3 cos ах sh ах + С4 cos ах ch ах. (13)
уравнения изогнутой оси балки представим такой форме г:
у = -у- + Сг sin ах sh ах + С2 sin ах ch ах +
+ С3 cos ах sh ах + С4 cos ах ch ах. (13)
в
в
А
А
•у
Рис. 6.
•у
Рис. 6.
В
В
Из условий симметрии заключаем, что в нашем случае у должен представляться четной функцией х. Следовательно, в общем интеграле нужно положить С2 = С3 = 0.
Произвольные постоянные Сг и С4 подберем так, чтобы на опорах прогибы и изгибающие моменты обращались в нуль, т. е. чтобы были выполнены такие условия: (у) t = 0, (/) t = 0.
Введя для краткости записи обозначение -у = и и вставив вместо у его значение, перепишем условия на концах в таком виде :
-у + Сг sin и sh и + С4 cos и ch и = 0;
Сг cos и ch и —- С4 sin и sh и = 0,откуда находимqqsin и sh и q2sinи sb и#
ksin2и sh2 и + cos2 и ch2 икcos2u+ ch 2и1
^ qcos и ch и q2cosи ch и
кsin2и sh2 и + cos2 и ch2 икcos 2и + ch 2и*
Вставляя эти значения произвольных постоянных в выражение (13) и принимая во внимание, что
/г 64£Ju
к = a^EJ = —^—,
получаем уравнение изогнутой оси балки в таком виде:
^4 (а 2 sin и sh иQ2 cos и ch и\
У - "64£jv t1 "cos~2u-|~ °h 2u sin ^ Sh аж - cos 2» + ch 2» C0S аЖ Ch “*) * <14>
Полагая в этом выражении х = 0, находим для прогиба посередине такое значение:
(у)ж=0 — 64eju4(у)ж=0 — 64eju42 cos ц ch цcos 2и + ch 2и
(у)ж=0 — 64eju4
(у)ж=0 — 64eju4
= Фо (и)> получаем= Фо (и)> получаем(15)(15)Вводя обозначение —^-^-^^- cos 2и + ch 2и
= Фо (и)> получаем
= Фо (и)> получаем
(15)
(15)
(у)х=0 — ^4EJ и4 [1 Фо(^)Ь
При малых значениях и можно положить ф0 (и) = 1|чА В этом случае формула (15) дает известное выражение для прогиба балки с опертыми концами, нагруженной равномерной нагрузкой. Значения ф0 (и) при различных и приведены в табл. 1.
Таблица 1
и
Фо (и)
Ф1 ОО
Хо ОО
Xi (и)
х2 ОО
Фо (и)
Ф1 (U)
Ф2 №
и
0,1
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,1
0,2
0,999
1,000
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
0,999
0,2
0,3
0,993
0,999
0,995
0,999
0,999
1,000
1,000
0,995
0,3
0,4
0,979
0,996
0,983
0,996
0,997
0,999
0,999
0,983
0,4
0,5
0,950
0,990
0,959
0,991
0,993
0,998
0,997
0,961
0,5
0,6
0,901
0,979
0,919
0,982
0,985
0,997
0,994
0,923
0,6
0,7
0,827
0,961
0,859
0,967
0,973
0,994
0,988
0,866
0,7
0,8
0,731
0,935
0,781
0,946
0,956
0,990
0,980
0,791
0,8
0,9
0,619
0,899
0,689
0,917
0,931
0,984
0,969
0,702
0,9
1,0
0,498
0,852
0,591
0,878
0,899
0,976
0,953
0,609
1,0
1,1
0,380
0,795
0,494
0,830
0,859
0,965
0,932
0,517
1,1
1,2
0,272
0,728
0,405
0,774
0,813
0,951
0,906
0,431
1,2
1,3
0,178
0,653
0,327
0,712
0,761
0,935
0,874
0,357
1,3
1,4
0,100
0,573
0,262
0,645
0,705
0,916
0,838
0,294
1,4
1,5
0,037
0,492
0,208
0,576
0,648
0,893
0,794
0,242
1,5
1,6
—0,013
0,411
0,164
0,509
0,591
0,868
0,747
0,200
1,6
1,7
—0,052
0,335
0,129
0,444
0,537
0,841
0,695
0,166
1,7
1,8
—0,081
0,264
0,101
0,384
0,486
0,812
0,641
0,138
1,8
1,9
—0,102
0,201
0,079
0,328
0,439
0,782
0,585
0,116
1,9
2,0
—0,117
0,144
0,062
0,279
0,397
0,752
0,529
0,099
2,0
2,2
—0,133
0,054
0,037
0,197
0,325
0,692
0,420
0,072
2,2
2,4
—0,135
—0,009
0,021
0,136
0,269
0,636
0,321
0,055
2,4
2,6
—0,127
—0,051
0,011
0,092
0,226
0,586
0,237
0,043
2,6
2,8
—0,114
—0,074
0,005
0,060
0,193
0,542
0,167
0,034
2,8
3,0
—0,098
—0,085
0,002
0,038
0,167
0,503
0,114
0,028
3,0
3,2
—0,081
—0,087
0,000
0,023
0,146
0,470
0,073
0,023
3,2
3,4
—0,064
—0,082
—0,001
0,012
0,129
0,442
0,042
0,019
3,4
3,6
—0,049
—0,073
—0,002
0,006
0,115
0,417
0,021
0,016
3,6
3,8
—0,035
—0,063
—0,002
0,002
0,104
0,394
0,006
0,014
3,8
4,0
—0,024
—0,052
—0,002
—0,001
0,094
0,375
—0,003
0,012
4,0
Дифференцируя выражение (14) по х и полагая потом х = Z/2, находим угол поворота конца балки при изгибе:
, /хql4 2 sh 2и — sin 2иql3 , .м
=64EJ lu^ ch 2ы + cos 2и ~ 24ЁТ
где
1 / \3 1 sh 2и — sin 2и
V2 W4 мз ch 2и + cos 2и *
Ряд значений функции ф2 (и) приведен в табл. 1.
Чтобы определить изгибающий момент М, составляем выражение для у".
Тогда.
kit « q^ 1 / shusinu ,chucosu ,.\
M=-EJy = —^ _____ ch ах cos ах - ch2„ + cos2u sh ax sin ax).
Полагая в этом выражении х = 0, найдем изгибающий момент для середины балки:
гдегдеWx=o = -f-Xo(u),(17)
где
где
у / \ 2 sh и sin и
о Wм2 с^ 2и + cos 2и *
М £7777777777777^^М £7777777777777^^Рассмотрим теперь изгиб нашей балки парой сил М', приложенной к левому концу (рис. 7). В общем интеграле (13) в этом случае будет отсутствовать первый член, и уравнение изогнутой оси представится так:
М £7777777777777^^
М £7777777777777^^
1/21/21/2.Рис. 7.1/2.Рис. 7.у = Сх sin ах sh ах + С2 sin ах ch ах +
1/2
1/2
1/2.
Рис. 7.
1/2.
Рис. 7.
+ С3 cos ах sh ах + С4 cos ах ch ах. (а)
М'EJ еМ'EJ еДля определения произвольных постоянных Cv С^, С3, С4 будем иметь такие условия:
М'
EJ е
М'
EJ е
Ч_^=°; ^\_ ± = °; (А-^0; ^Х 1
Х"Тх — 2х-т2
Из этих условий находим
рM'l2 1 ch и cos и е р M'l2 1 shucosu .
BE J и2 ch 2и + cos 2и ’2 BEJ и2 ch 2и — cos 2и ’
рM'l2 1 ch и sin и . р M'l2 1 sh и sin и
BEJ и2 ch2u — cos 2u ’4 BEJ u2 ch 2u 4- cos 2u *
Полагая в уравнении (а) изогнутой оси х = 0, находим прогиб /посередине
(18)(18) M'l2 1 sh и sin и
(18)
(18)
BEJ и2 ch 2u + cos 2и *
Для дальнейших приложений интересно найти углы поворота концов балки под действием момента М*. Составляя производную у’ и полагая в ней х = ±1/^.
получаем
(У )ж = _ — 3EJ ^° ^,и^’
(19)
Здесь для сокращения записи введены обозначения
Ish 2м — sin 2м е
™ W — 1ЁГ ch 2м — cos 2м ’
. / х 6 ch м sin и — sh м cos и
Vi Wch 2м — cos 2м *
Значения функций % (и) и фх (и) приведены в табл. 1. При беспредельном убывании и значения этих функций стремятся к единице, и формулы (19) дают в этом случае известные значения для углов поворота концов балки, свободно лежащей на двух опорах и изгибаемой парой сил, приложенных на конце.
Составляя производную у", мы легко вычисляем величину изгибающего момента. Для средины пролета будем иметь
W-o = -Е1^ ),=0 - 2^-^ _ -т—^-.(20)
§ 5. Изгиб балок с заделанными концами и неразрезных балок, лежащих на сплошном упругом основании
Пользуясь принципом сложения действия сил, мы с помощью формул (16) и (19) легко решаем задачу об изгибе балки равномерно распределенной нагрузкой при любом способе закрепления концов. Возьмем, например, балку с абсолютно заделанными концами. Обозначим через Мо величину опорных моментов для этого случая. Так как концы балки не поворачиваются, то для определения Мй можем написать такое уравнение:
1ДЁТ ^2+ 3EJ " ^° ^*и^ + 6EJ =
откуда
дР гр2 (м) дР 3 sh 2и — sin 2и
0 ”4 2*ф0 (2м) + ^ (2м)12 2м2 sh 2и + sin 2и 1
или, вводя обозначение
3 sh 2и — sin 2иу ( \
2и^ sh2M + sin2M ~ получаем
М0=--^-Х2(М).(21)
При помощи формул (16) и (19) легко решается также задача об изгибе неразрезной балки, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой равномерной нагрузкой. Ход решения такой же, как и при отсутствии упругого основания. Мы разрезаем балку над опорами и приводим, таким образом, задачу к расчету простых балок, опертых по концам. Величины опорных моментов найдутся из того условия, что над каждой опорой искривленные оси соприкасающихся участков балки должны иметь общую касательную. Если выделить п-й и л 4 1"й пролеты, имеющие общее сечение над п 4- 1-й опорой, и обозначить через МП1 Мп^ и Afn+2 опорные моменты, соответствующие п-й, п -4 1-й и п 4* 2-й опорам, то для правого конца тг-го пролета можно написать
У " 24EJ ^2 ^Нт^ ^EJ ^ (2^n) 3EJ ~ ^° ^‘Uт^• (а)
Для левого конца п 4- 1-го пролета будем иметь
V = ^ ^2 (“”+*) + ^W^ ^ (2“п+0 + ™^n+1 % (2un+i).(b)
Сравнивая (а) и (Ь), приходим к такому уравнению, связывающему три последовательных опорных момента:
M^l (%Un) -j~ ^Mn-j-1 [Zn^Po (2^n) 4" Zn-]-ilp0 (2zzn_^-i)] 4*
4* Mп_^п-|-1'Ф1 (2un+l) =^— lp2 (^n)^” ^2 (Mn-|-l)e(22)
Таких уравнений мы можем составить столько, сколько имеется промежуточных опор. К ним нужно присоединить еще два уравнения, составляемых на основании условий закрепления концов балки. Решив полученную таким путем систему уравнений, мы найдем все опорные моменты, и дальнейшее решение задачи сведется к расчету балок с опертыми концами, нагруженных равномерной нагрузкой и моментами по концам.
§ 6. Расчет перекрестных балок
Результатами последних двух параграфов воспользуемся при расчете перекрестных балок, с которыми приходится встречаться в строительной механике корабля и в некоторых гидротехнических сооружениях. Предположим, что требуется рассчитать плоское перекрытие с прямоугольным контуром, состоящее из пластины и подкрепляющих балок. Нагрузка, воспринимаемая пластиной, передается системе равноудаленных балок, которые в дальнейшем будем называть балками главного направления. Эти балки поддерживаются опертой по концам перекрестной балкой АВ (рис. 8). Предположим, что все балки главного направления одинаково нагружены, оперты до концам и имеют одинаковое поперечное сечение. Возьмем одну из этих балок. Пусть Q обозначает приходящуюся на эту балку сплошную нагрузку, передающуюся от пластины, и В — реакцию, оказываемую на рассматриваемую балку перекрестной балкой АВ. Прогиб нашей балки в месте соприкасания ее с перекрестной балкой может быть представлен такой формулой:
У = Т<? — ₽д.(а)
где у и р — постоянные коэффициенты, определяемые размерами балок главного направления, законом распределения нагрузки Q и местом расположения перекрестной балки. Если Q распределено равномерно или по закону трапеции и перекрестная балка делит пополам балки главного направления, то будем иметь
к /3,3
384 ЕЛ * р — 48ЕЛ ‘
Здесь через к обозначен пролет и через EJ\ — жесткость балок главного направления. Соответствующие величины для перекрестной балки обозначим через I и EJ.
Перекрестная балка изгибается давлениями В, приложенными в местах пересечения ее с балками главного направления. Давления эти на основании (а) могут быть представлены так:
(Ь)(Ь)R =У_.
(Ь)
(Ь)
Р Р
Они имеют наименьшее значение в местах наибольшего прогиба перекрестной балки, т. е. у середины пролета А В, и достигают наибольшей величины у концов перекрестной балки, где прогибы малы. Вычисление давлений В, связанное с определением прогибов, мы выполним
следующим приближенным приемом г, дающим достаточно точные результаты при большом числе балок главного направления 2.
Заменим каждое сосредоточенное давление R сплошной нагрузкой, равномерно распределенной на протяжении а, равном расстоянию между балками главного направления. Интенсивность этой нагрузки на каждом участке определится делением соответствующего значения R на длину а.
Таким образом, мы от изгиба сосредоточенными силами перейдем к изгибу сплошной нагрузкой, распределение которой вдоль перекрестной балки определяется ступенчатой линией (рис. 9). При большом числе балок главного направления мы можем заменить ступенчатую линию плавной кривой и таким образом свести расчет перекрестной балки к исследованию изгиба балки, нагруженной сплошной нагрузкой, изменяющейся по такому закону:
R __ Ч Qа Р аR __ Ч Qа Р аУРаУРаq — ky.q — ky.
R __ Ч Qа Р а
R __ Ч Qа Р а
У
Ра
У
Ра
q — ky.
q — ky.
RmaxRm«RmaxRm«Рис. 9.Рис. 9.Здесь для сокращения записи введены обозначения4Q . ,19~ ₽а ’ к~ 0а
RmaxRm«
RmaxRm«
Рис. 9.
Рис. 9.
EJEJdAy dx*dAy dx*q — ky,q — ky,Дифференциальное уравнение изогнутой оси перекрестной балки записывается так:
EJ
EJ
dAy dx*
dAy dx*
q — ky,
q — ky,
т. е. оно совершенно совпадает с уравнением для балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой равномерной нагрузкой. Поэтому для дальнейших вычислений можем воспользоваться результатами, полученными в § 4. Наибольший изгибающий момент имеет место по середине пролета и определяется на основании формулы (17) так:
где
_ aZ г к _ Z V 1
“ ~ 2 ~ 2 V ~ 2 И 4Е/р« ‘
Определив и, мы легко найдем величину расчетного изгибающего момента при помощи табл. 1.
Вычислим теперь наибольшее и наименьшее значения давлений R. Наибольшее давление будет соответствовать крайним балкам главного направления. Пренебрегая здесь прогибом перекрестной балки, на основании (Ь) находим 7?тах = ~^*.
Наименьшее давление получим для средней балки главного направления, где прогиб перекрестной балки (15) будет
(у^-о = бйт" -^ГI1 — Фо (“)] = "Г I1 — Фо (“)]■
Вставляя это значение прогиба в формулу (Ь) и принимая во внимание, что в рассматри- q1
ваемом случае—= ——: -— = у<2, находим R v = -— ф0(и). к pa paр
При малых значениях и, т. е. когда балка главного направления весьма гибка по сравнению с перекрестной балкой, функция <р0 (м) близка к единице и, следовательно, 7?min близко к 7?шах. Все балки главного направления будут примерно в таких условиях, как неразрезная балка на трех абсолютно жестких опорах. С возрастанием и функция <р0(и) убывает и обращается в нуль при и = -2”^- При этом значении и средняя балка главного направления совер-
шенно не поддерживается перекрестной балкой и работает как балка, лежащая на двух опорах. При дальнейшем возрастании и, функция <р0 (м) делается отрицательной. Перекрестная балка в таком случае становится вредной, так как она не только не поддерживает средних балок главного направления, а, наоборот, увеличивает их прогиб.
Определив давления R, мы без затруднений можем рассчитать балки главного направления. Если нагрузка Q распределена равномерно или по трапеции, то можно ограничиться проверкой прочности крайней и средней балок главного направления, которым соответствует ^шах и ^min*
Рассмотрим теперь случай, когда концы перекрестной балки не могут свободно поворачиваться. При этом условии на перекрестную балку кроме нагрузки, представленной на рис. 9, будут действовать по концам моменты М' и М®. Величины этих моментов, в случае упругой заделки концов балки, легко находятся при помощи формул (16) и (19). Если перекрестная балка неразрезная, то опорные моменты находятся путем решения уравнений (22). Во всяком случае моменты М' и М® легко определить, пользуясь табл. 1. В дальнейшем нам понадобится полусумма этих моментов, и мы для сокращения записи введем обозначение 1 = хМо, где Мо — опорный момент для балки с абсолютно заделанными концами, определяемый формулой (21).
При проверке на прочность перекрестной балки нужно сравнить опорные моменты М' и М® с Мтах1 имеющим место вблизи середины пролета. Наибольший из этих трех моментов и нужно положить в основу дальнейших расчетов. Хотя при неравных моментах величина Мтяу не совпадает с серединой пролета, но мы можем с достаточной для практики точностью заменить максимальный момент моментом посередине пролета. Тогда на основании формул (17) и (20) получим
ят qP ^ /А , хМ012 2а22 ch и cos и
Мmax ”Нch ^и + cos 2м ’
у^ а2/2
Принимая во внимание равенства q = ——, ■ - _ = 1 и вставляя вместо Хо и Мо их ра 4и2 значения, получаем
м _ yQ^ / 2 sh и sin и2х ch и cos иsh 2м — sin 2м \
max” §ра u2 ch 2м + cos 2мм2 ch 2м 4-cos 2м sh2M4-sin2M/
„.2 sh м sin м
Прибавляя и вычитая в скобках величину х = ———— — и пользуясь ооо-
м2 ch 2м + cos 2м
значениями
2 sh м sin и Y Ам2 ch 2м -f- cos 2м 0 U'’
6 sh м sin и6 sh м sin и6 ch м cos и6 ch м cos и= X, (м),= X, (м),sh 2м — sin 2м 6 ch м sin м — sh м cos и
6 sh м sin и
6 sh м sin и
6 ch м cos и
6 ch м cos и
= X, (м),
= X, (м),
m2 ch 2м 4- cos 2м m2 ch 2м + cos 2м sh 2м + sin 2м м2 sh 2u -J- sin 2м получаем
'Г11
^тах = ^7 [t1 ~ х> Хо <“) + ~ хХ1 <к)}
Вычисление Мтах по этой формуле, при пользовании табл. 1, не представляет никаких затруднений. Что касается давлений R, то наибольшее из них будет соответствовать крайним балкам главного направления и определится по формуле R^^ = pH ^min получится в месте наибольшего прогиба перекрестной балки. Мы можем с достаточной для практики точностью положить, что наибольший прогиб равен прогибу посередине., В таком случае на основании формул (15) и (18) будем иметь"
. .q _., ._ , xMJ2 1 sh м sin и
^x=Q— k I1Фо(“)1 + 4£/ ug ch 2u 4-cos 2u '
Вставляя это выражение в формулу (Ь) и принимая во внимание равенство -~ = у9, находим
n yQ / \xMjP 1 sh м sin м
^mln - -р“ Фо W^EJ —Г ch 2u _|_ cos 2„ •
Вставляя вместо М» и фо их значения и принимая во внимание равенство
I = ^Qk = -,
находим
„_ Y@ f 2 cos и ch и sh 2u — sin 2u 2 sh u sin и \
min — p \ ch 2u + cos 2u ' X sh 2u + sin 2u ch 2u + cos 2u /
„2 cos и ch и„
Ириоавляя и вычитая в скобках величину, х —— и пользуясь обозначе-
ch 2и + cos 2и'
НИЯМИ
cos u ch и _,
ch 2и 4- cos 2и ^°
2 cos и ch и t sh 2и —• sin 2и2 sh и sin 2и 2 (sh и cos и + ch и sin и)f х
ch 2и + cos 2и "*~ sh 2и + sin 2и ch 2и + cos 2иsh 2и + sin 2и ~~ ^
получаем
^min = — К1 — х> Фо (“) + ХФ1 М].
Определив таким путем значения Ятах и ^т1п, мы можем рассчитать балки главного направления. Заметим, что с возрастанием и убывает значение #min. Когда и достигает значения, при котором имеет место равенство (1 — х) ф0 (к) + хфх (и) = 0, величина /?min обращается в нуль, и перекрестная балка перестает поддерживать среднюю балку главного направления. Приведенные формулы вполне решают вопрос о расчете систем с одной перекрестной балкой. В случае нескольких перекрестных балок намеченный здесь прием расчета приводит задачу к решению системы совокупных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Хотя при решении этих уравнений и не встречается каких-либо принципиальных затруднений, но все же оно требует довольно большого количества выкладок, и потому мы в дальнейшем дадим другой прием решения задачи.
§ 7. Валка переменного сечения, лежащая на сплошном упругом основании
В предыдущих задачах мы всегда предполагали сечение балки постоянным по длине. В технических вопросах иногда приходится иметь дело с более сложным случаем, когда сечение балки, лежащей на сплошном упругом основании, переменное. Такую задачу мы будем иметь, например, при определении напряжений, возникающих в корпусе судна, при постановке его в док, при расчете цилиндрических резервуаров, стенки которых имеют переменную толщину, при расчете фундаментных плит переменной толщины и т. д. Мы уже условились для балки переменного сечения сохранять в силе допущение Бернулли — Эйлера и потому при вычислении прогибов будем и в этом случае исходить из уравнения EJ = —М.
Последовательным дифференцированием находим
(23)(23)_W; 4т (EJ -^\ = q - ку.
(23)
(23)
dx dx^ /’ dx^ dx2 /d
Здесь величины q и к имеют прежние значения (см. § 2).
Таким образом, решение задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения (23) четвертого порядка с переменными коэффициентами. Условия на концах балки представляются различно в зависимости от способа закрепления. Для опертого конца будем иметь условия у = 0; EJ = 0.
Для заделанного конца условия напишутся так: у = 0; -~- = 0. На свободном конце будем иметь
dx^dx I dx^ j
Лишь в некоторых частных случаях удается получить решение уравнения (23) в замкнутой форме. Обычно же приходится представлять интеграл этого урав-
в —в —Рис. 10.Рис. 10.нения бесконечными рядами или пользоваться для решения приближенными способами.
в —
в —
Рис. 10.
Рис. 10.
Различные приемы решения выясним на отдельных примерах.
__.постоянной ширины, которую мы примем равной единице. Высота прямоугольного сечения изменяется__.постоянной ширины, которую мы примем равной единице. Высота прямоугольного сечения изменяетсяВ качестве первого примера рассмотрим изгиб балки АВ со свободным концом А и заделанным концом В, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой сплошной нагрузкой, изменяющейся по закону треуголь- * ника (рис. 10).
__.постоянной ширины, кото
рую мы примем равной единице. Высота прямоугольного сечения изменяется
__.постоянной ширины, кото
рую мы примем равной единице. Высота прямоугольного сечения изменяется
Поперечное сечение балки — прямоугольник
по линейному закону и определяется формулой ^ = ^0 "у ^ ^- Жесткость основания также предположим изменяющейся по линейному закону и примем к = ^.
Положив в уравнении (23) х = 1% и введя для сокращения записи обозна-
. 12q^.12А:0/4
чения q = q^; ™5— = М —Л— = у, представим его в таком виде:
(23')(23')^ Us d»y\ _ t
(23')
(23')
Условия на концах представятся так:
(£/"М)Е_„ = 0:=
Общий интеграл уравнения (23') будем искать в форме бесконечного ряда у —- — + Ло + Д^ + А^2 + ^з^ + • • • Вставляя это выражение в уравнение (23'), мы путем сравнения коэффициентов устанавливаем такие соотношения:
Л = — -А$1_ • А•
22 • 3 ’3 З2 • 4 • 2 ’
А - п (п 4- 1) п* (п1) ’
Следовательно, искомое решение представится так:
? + ^о^2! зА 4! 5!^Ц з| 41 + 51 6!'
Полученный результат не представляет собой полного интеграла уравнения (23'), но в рассматриваемом случае условия на левом конце балки (g = 0) выполняются, так как момент инерции сечения при £ = 0 равен нулю, и нам остается удовлетворить лишь условиям на правом конце, что мы можем всегда сделать надлежащим выбором постоянных Ло и Av
Полагая для краткости
“2! 3!4! 5!,~ 63| 415! 6! / ’
получаем из условий на правом конце (g = 1) такие уравнениям
у + Лг/1 + А^ = °; лоУ1 + Ау2 = °-
ОтсюдаОтсюдаЗдесьV^1^=1 —2! 3!ЗдесьV^1^=1 —2! 3!1^2 — ^2^1 -l^11^2 — ^2^1 -l^1А = -1 VА = -1 V4у24ГбГ4у24ГбГГт/'! 1 * ^ ^2^=1 — 1з| 4|Гт/'! 1 * ^ ^2^=1 — 1з| 4|5 • 2т25! 6!5 • 2т25! 6!
Отсюда
Отсюда
ЗдесьV
^1^=1 —2! 3!
ЗдесьV
^1^=1 —2! 3!
1^2 — ^2^1 -l^1
1^2 — ^2^1 -l^1
А = -
1 V
А = -
1 V
4у24ГбГ
4у24ГбГ
Гт/'! 1 * ^ ^2^=1 — 1з| 4|
Гт/'! 1 * ^ ^2^=1 — 1з| 4|
5 • 2т25! 6!
5 • 2т25! 6!
Таким путем мы получаем полное решение поставленной задачи. Все обстоятельства изгиба вполне определяются величинами у и X.
Если бы на левом конце балки момент инерции поперечного сечения не обращался в нуль, то нам для решения задачи пришлось бы обратиться к полному интегралу уравнения (23') с четырьмя произвольными постоянными и все исследование получилось бы более сложным х.
Покажем теперь другой прием решения той же задачи, основанный на применении начала возможных перемещений .
Если мы через V обозначим потенциальную энергию, накопляемую при изгибе в балке и в упруго оседающем основании, а через 2W — ту работу, которую совершает изгибающая балку нагрузка на перемещениях, соответствующих изгибу, то из начала возможных перемещений получим
6(У~2И^) = 0,(а)
т. е. приращение заключенной в скобки функции на всяком возможном отклонении от положения равновесия должно равняться нулю. В нашем случае потенциальная энергия системы составится из двух слагаемых и может быть представлена таким образом:
Ii
V = ^EJdx + -1- J Vdx.о ''b
Для работы внешних сил получаем выражение
2W = J qydx.о
х = 12^. _ Eh3Eh3 ’х = 12^. _ Eh3Eh3 ’12 ’12 ’(а')(а')Принимая во внимание обозначения х = £Z; к = к^* q = gog; / =
х = 12^. _ Eh3Eh3 ’
х = 12^. _ Eh3Eh3 ’
12 ’
12 ’
(а')
(а')
представляем выражение (а) в таком виде:
6 $ [4- £3 (U)2+4- v^2 - ^у] ^=о.
Следовательно, определение изогнутой формы балки сводится к разысканию такого выражения для прогибов у, при котором интеграл
1
приобретает максимальное или минимальное значение. Если бы мы приравняли нулю первую вариацию этого интеграла, то пришли бы к уравнению (23'). Мы можем обойти решение этого уравнения, если воспользуемся для определения функции у методом В. Ритца \ Представим приближенное выражение искомой функции в виде ряда
(Ь)(Ь)Уп = Я1Ф1 + а2ф2 + • • • + «п^п,
(Ь)
(Ь)
где фх, ..., фп — суть функции 5 , выбранные таким образом, что каждая из них удовлетворяет на концах балки тем же условиям, которым подчинена функция у. Что касается коэффициентов аи ..., ап, то их мы подберем таким образом, чтобы интеграл 8 после подстановки в него вместо у выражения уп имел максимальное или минимальное значение, т. е. чтобы были удовлетворены условия
даг9аг ’’ дапдаг9аг ’’ дап(С)(С)
даг9аг ’’ дап
даг9аг ’’ дап
(С)
(С)
В данном случае мы получим систему линейных уравнений, из которой однозначно определим все коэффициенты а^ ..., ап. Функции фх, ...» фп в рассматриваемом случае выгодно взять в виде целых полиномов. Если мы ограничимся тремя членами ряда (Ь), то можем положить у3 = аг(^ — I)2 + + ^2 (£ — I)2 £ + #з (5 — I)2 £2« При этом условия закрепления правого конца будут удовлетворены, так как взятые нами функции и их первые производные обращаются в нуль при 5 = 1. На левом конце условия удовлетворяются вследствие равенства нулю момента инерции поперечного сечения балки при 5 = 0. Вставляя Уз вместо у в выражение интеграла 8 и составляя уравнения (с), приходим к такой системе 2з
1 См. работу W. Ritz, упомянутую в сноске на стр. 10.2 Эти результаты взяты из книги Th. Poschl, К. Terzagi, упомянутой на стр. 203.1 См. работу W. Ritz, упомянутую в сноске на стр. 10.2 Эти результаты взяты из книги Th. Poschl, К. Terzagi, упомянутой на стр. 203.
1 См. работу W. Ritz, упомянутую в сноске на стр. 10.
2 Эти результаты взяты из книги Th. Poschl, К. Terzagi, упомянутой на стр. 203.
1 См. работу W. Ritz, упомянутую в сноске на стр. 10.
2 Эти результаты взяты из книги Th. Poschl, К. Terzagi, упомянутой на стр. 203.
Решение этих уравнений приводит нас к таким результатам:
при у = 10 ^ = 0,05869 X; ^ = 0,0113 X; а3 = —0,002164 X;
при у = ЮО аг = 0,01251 X; а2 = 0,0212 X; а3 = 0,00079 X.
Чтобы судить о том, насколько быстро мы приближаемся к точному решению по мере увеличения числа коэффициентов аг, ..., ап, приведем результаты, которые получаются, если ограничиться лишь двумя членами в выражении для у. Значение коэффициентов при этом получается следующее:
при 7=10 ах = 0,0589 X; а2 = 0,00946 X;
при у = 100 аг = 0,0124 X; а^ = 0,0218 X.
Особенно хорошие совпадения получаются при больших значениях у.
Сравнение результатов приближенного решения с тем, которое получается на основании решения (24), показывает, что при у = 100 погрешности в прогибах меньше 1%, погрешность в величине наибольшего изгибающего момента меньше 2%. Такая точность является, конечно, вполне достаточной для практических приложений.
Если момент инерции поперечного сечения балки не обращается в нуль на левом конце балки, функции ф в разложении (Ь) приходится подчинить тем же условиям, которым должна удовлетворить функция у на левом конце, т. е. нужно удовлетворить уравнениям
Выбирая эти функции, как и раньше, в виде целых полиномов и ограничиваясь тремя членами разложения, можно положить
уз=«1 (1 - 4 ^+4- И+^(^_ 4^4+3g6)+Яз (^4 -258+^6)-
Это выражение дает возможность получить с достаточной для практики точностью как величину прогиба, так и величину наибольшего изгибающего момента для балок прямоугольного сечения, высота которого изменяется по закону трапеции или по параболическому закону, т. е. когда h = ht + (h0 — — hj) ^ или h = h0 + (h0 — hi) g2.
Указанный здесь прием исследования изгиба может быть с успехом применен и при других способах закрепления концов балки, а также при других законах изменения поперечного сечения. Так, например, этот метод не требует, чтобы закон изменения J вдоль оси балки представлялся одной какой-либо функцией. Весь пролет балки может распадаться на несколько участков, причем изменение сечения вдоль каждого участка может представляться особой функцией. Дальше мы увидим, что в целом ряде задач, относящихся к исследованию изгиба стержней и пластинок, применение метода Ритца дает прекрасные результаты и обеспечивает достаточную для практики точность при сравнительно небольшой вычислительной работе.
Возвращаясь к нашей задаче об изгибе балки переменного сечения, лежащей на сплошном упругом основании, отметим здесь еще возможность решения ее путем приближенного, вычислительного способа интегрирования уравнения (23). При этом пролет балки подразделяется на ряд участков, и величины прогиба у и его производных вычисляются последовательно для каждого участка, начиная с одного какого-либо конца балки, для которого величина у и ее последовательные производные известны или принимаются равными некоторым величинам, определяемым из условий на концах балки по окончании
всей вычислительной работы. При этих вычислениях весьма выгодно пользоваться приближенным способом К. Рунге Ч
Наконец, следует еще отметить графический способ решения задачи, основанный на совпадении упругой линии с некоторой веревочной кривой. Этот прием выгодно употреблять, когда есть возможность заранее наметить подходящий вид изогнутой оси балки .
§ 8. Балки, подвергающиеся одновременному действию изгиба и сжатия
Когда на призматический стержень по его оси действуют лишь продольные
силы, то они будут вызывать в стержне растягивающие или сжимающие напря женин. Но если кроме продольных сил имеется еще и поперечная нагрузка,
искривляющая ось стержня, то мы будем иметь более сложное явление, так
как на изгиб стержня будут влиять не только поперечные, но и продольные силы. Эта зависимость деформаций, вызываемых продольными силами, от наличия поперечной нагрузки исключает возможность применения к продольным силам принципа сложения действия сил и тем усложняет решение поставленной задачи, имеющей весьма большое техническое значение.
Рассмотрение задачи начнем с простейшего случая, представленного на рис. 11. Исходя из основного дифференциального уравнения (2) для изогнутой оси стержня, напишем уравнения для левой и правой частей балки в таком виде:
(а)(а)г, Т ^УС Р(Т ^УС Р У — с) /1\
(а)
(а)
EJ-d^=-s«—г-*; EJ^ = -S«—v-_L(i-xy
Введя для краткости обозначение 8 ,EJ = k\ представим общие интегралы написанных уравнений так:
Рс
у ~ A cos кх + В sin кх^- х;
Р
у — Ay cos кх + BL sin кх^у- (Z — с) (Z — х\
Из того условия, что прогибы балки на концах равны нулю, заключаем А = 0; Ау = —Bytg kl.
Недостающие два уравнения для определения произвольных постоянных напишем, приняв во внимание условия равенства прогибов и углов наклона касательных для обоих участков упругой линии в точке приложения силы Р. Таким путем получаем
В sin к (I — с) = By [sin к (Z — с) — tg kl cos к (I — с)];
р
Вк cos к (I — с) = Вук [cos к (I — с) + tg kl sin к (I — с)] 4- -у» откуда
й — Р s*n ^с • R^ sin W — ^Sk sin kl ’1Sk tg kl
Таким образом, для левой части балки получаемР sin кс . 7 PcSk sin klSmkx--sTX’<25>
Z Р sin кс 7 Pc „ Р sin кс . 7 у =-77—.—77-coskx; у =5 -—■ -- sin кх.(2о)
у S smklSI ’ у S sin klv '
Соответствующие выражения для правой части балки получаются из выражений (25) — (26), если вместо х поставить Z — х, вместо с величину I — с и переменить знак перед у'.
В полученные выражения поперечная сила Р входит линейно, что же касается продольной силы, то она входит более сложным образом, так как величина к, входящая под синусом и косинусом, зависит от S. Если мы силу Р увеличим в несколько раз, то во столько же раз увеличится и у. При увеличении же продольной силы, мы не будем получать пропорционального нарастания прогибов. Из вида уравнений (а) следует, что при действии на балку двух сил Рг и Р^ прогиб у, вызываемый этими двумя силами, может быть получен сложением прогиба yv вызванного силой Ри и прогиба у^ вызванного силой Р2. Сила S в обоих случаях предполагается одинаковая. Следовательно, в дальнейшем мы можем складывать действия поперечных нагрузок. Для продольных же сил, как уже было сказано, принцип сложения действия сил не имеет места. Этими соображениями воспользуемся для получения при помощи результатов (25) и (26) решений в нескольких частных случаях.
Чтобы упростить вид получаемых формул, будем пользоваться таким обозначением:
sr2- кЧ2-
4EJ " 4 “
Если изгибающая сила Р расположена посередине пролета, то прогиб под силой, на основании (25), будет
, хР L kl kl\ Pl3 tg и—и
^ ^ = 4Sk ^-2Т = 4857" Vf(28)
2*-^- и3
Первый множитель представляет собой прогиб балки при отсутствии продольной силы. Второй множитель, которым оценивается влияние продольной силы на прогиб, обращается в единицу при и = 0 и возрастает с возрастанием и. При и = л/2 этот множитель обращается в бесконечность, что соответствует критическому значению сжимающей силы S. В самом деле, в этом слу- с 4EJU2* EJn?~«
чае о = —^— — ——, т. е. продольная сила равняется известной эйлеровой нагрузке.
Наибольший изгибающий момент в рассматриваемом случае будет иметь место посередине пролета. На основании (26) имеем
M^^-EJ^ t ^EJ^-tg-^^-^.(29)
2
Чтобы получить изгиб балки, сжатой силами S и изогнутой парой М, приложенной к правому концу, нужно только в выражении (25) положить с = 0; Рс = М, тогда получим
ММsin кххsin klIsin кххsin klI
М
М
sin кхх
sin klI
sin кхх
sin klI
Для вычисления углов поворота концов балки будем иметь
,_ М / k 1 \ Ml f 111
(29')(29')(У k=o — s ^ sin ti I ) ~ 6EJ ^ \ 2и sin 2и (2и^ ] ’
(29')
(29')
, /.__ М (к cos kl 1 \ Ml n I 111
(У )х=1 — I sin ^ у) — ^EJ a J 2utg2u (2^ I *
Имея эти результаты, легко получаем путем сложения решение для изгиба балки двумя парами сил, приложенными по концам. Возьмем, например, случай двух равных и прямо противоположных пар М. Тогда
ММу-^у-^sin кхsin klsin кхsin klcos и 11 ж М Г sin к (Z — ж) (Z — я) j М \ Z /1 у 8 [ sin klI j 5 _ cos иcos и 11 ж М Г sin к (Z — ж) (Z — я) j М \ Z /1 у 8 [ sin klI j 5 _ cos и
М
М
у-^
у-^
sin кх
sin kl
sin кх
sin kl
cos и 11 ж М Г sin к (Z — ж) (Z — я) j М \ Z /
1 у 8 [ sin klI j 5 _ cos и
cos и 11 ж М Г sin к (Z — ж) (Z — я) j М \ Z /
1 у 8 [ sin klI j 5 _ cos и
(30)
Углы поворота концов при этом, на основании (29'), будут
, /Xz ,хMl /11\ Ml tg UОЛХ
VV /х=0 — — (У )Х=1 — -ууу и sin 2u u tg 2u / ~ "2EJ ~
Наибольший изгибающий момент получается посередине. Он будет представляться такой формулой:
(32)
Пользуясь тем же способом сложения, мы на бсновании результата (25) легко напишем выражение для прогиба в любой точке балки с опертыми концами, изгибаемой системой вертикальных сил Pv Р^ ..... Рп^ сжимаемой силами S. Если обозначим через сХ1 с2, ..., сп расстояния точек приложения сил Pv ..., Рп от правого конца (индексы при этом указывают порядок сил, в котором мы их встречаем, идя от правого конца), то для сечения балки между силами Рт и Рт4-1 прогиб представится так:
У =У =sin кх8 к sin klsin кх8 к sin kl^ Pi sin kct i=i^ Pi sin kct i=i(l — x)SI(l — x)SIsin k(l — x^ ‘ S к sin klsin k(l — x^ ‘ S к sin kli=m-j-li=m-j-lPt sin к (I —ct)Pt sin к (I —ct)(33)(33)
У =
У =
sin кх
8 к sin kl
sin кх
8 к sin kl
^ Pi sin kct i=i
^ Pi sin kct i=i
(l — x)
SI
(l — x)
SI
sin k(l — x^ ‘ S к sin kl
sin k(l — x^ ‘ S к sin kl
i=m-j-l
i=m-j-l
Pt sin к (I —ct)
Pt sin к (I —ct)
(33)
(33)
Таким же образом мы сразу могли бы написать выражение для угла поворота любого сечения и для величины изгибающего момента в этом сечении, пользуясь выражениями (26).
От сосредоточенных сил легко перейти к сплошным нагрузкам, нужно только суммирование заменить соответствующим интегрированием. Возьмем в качестве примера балку с опертыми концами, нагруженную равномерной нагрузкой интенсивности q. Для получения уравнения изогнутой оси нужно г=т
только в выражении (33) вместо Рг поставить qdc, вместо 2 поставить г=1
I—хг=п
^и вместо2поставитьf .Выполняя указанное интегрирование,
Ог=т+1и_х
получаемполучаемcos — 2cos — 22S Ж^ ^2S Ж^ ^(34)(34)Полагая в этом выражении ж = Z/2, находим прогиб посередине= = ^"("coslT- 1г)’который, на основании обозначения (27), легко представить в такой форме:Полагая в этом выражении ж = Z/2, находим прогиб посередине= = ^"("coslT- 1г)’который, на основании обозначения (27), легко представить в такой форме:и^и^/ \5^Z4^x = -L ” "38Г "ЁГ/ \5^Z4^x = -L ” "38Г "ЁГsec и — 1 — — 2sec и — 1 — — 2(35)(35)2424
получаем
получаем
cos — 2
cos — 2
2S Ж^ ^
2S Ж^ ^
(34)
(34)
Полагая в этом выражении ж = Z/2, находим прогиб посередине
= = ^"("coslT- 1г)’
который, на основании обозначения (27), легко представить в такой форме:
Полагая в этом выражении ж = Z/2, находим прогиб посередине
= = ^"("coslT- 1г)’
который, на основании обозначения (27), легко представить в такой форме:
и^
и^
/ \5^Z4
^x = -L ” "38Г "ЁГ
/ \5^Z4
^x = -L ” "38Г "ЁГ
sec и — 1 — — 2
sec и — 1 — — 2
(35)
(35)
24
24
Эта формула имеет такой же характер, как и прежние. Прогиб балки при наличии поперечной нагрузки и продольной силы получается умножением прогиба от одной только поперечной нагрузки на некоторую функцию аргумента и. Дифференцируя выражение (34) и полагая х = 0, получаем значения углов поворота концов балки в таком виде:
( kl
qP tg и — и 1АЁГ~1 7"qP tg и — и 1АЁГ~1 7"(36)(36)tg т
qP tg и — и 1АЁГ~1 7"
qP tg и — и 1АЁГ~1 7"
(36)
(36)
kl
т
Наибольший изгибающий момент в рассматриваемом случае будет иметь
ynpy-(37)ynpy-(37)место посередине пролета, и мы его вычислим на основании уравнения гой линии (34):
ynpy-
(37)
ynpy-
(37)
kl
M^X=~EJ^ t =EJ^ X = ~5 cosM^X=~EJ^ t =EJ^ X = ~5 cos3 2 qP 2 (1 — cos u)kl8 u cos и *
M^X=~EJ^ t =EJ^ X = ~5 cos
M^X=~EJ^ t =EJ^ X = ~5 cos
T
Из приведенных примеров ясно видно, что при помощи выражений (25) и (26) мы без всяких затруднений можем исследовать изгиб сжатой балки с опертыми концами при любой поперечной нагрузке.
Если бы изгибающие силы не лежали в главной плоскости балки, то каждую из сил пришлось бы разложить на две составляющие, направленные по главным осям инерции поперечного сечения, и потом отдельно исследовать изгиб балки в каждой из главных плоскостей так, как это мы делали выше.
При технических расчетах особый интерес представляет величина наибольших напряжений. В рассматриваемых задачах мы получаем для наибольшего S м
по абсолютному значению напряжения формулу | Хх |тах = — Н^— , в ко-
торой через F обозначена площадь поперечного сечения и через W — е^о момент сопротивления г. При выборе сечения приходится исходить из определенной величины допускаемых напряжений, и здесь возникает вопрос, можем ли мы в рассматриваемых задачах брать для допускаемого напряжения такую же норму, как и в тех случаях, где вполне применим принцип сложения действия сил. Предположим, что мы в каком-либо случае, где вполне примецим принцип сложения действия сил, приняли допускаемое напряжение равным Я, и допустим, что величина R' — значение опасного, предельного напряжения (например, величина напряжения, соответствующего критической точке для литого железа), тогда R = R'/п и п представляет собой коэффициент безопасности. Если бы все силы, действующие на рассматриваемую часть балки, увеличились в п раз, то вследствие принципа сложения во столько же раз увеличились бы и напряжения. Величина наибольшего напряжения при этом достигает опасного предела R'. Следовательно, здесь коэффициент безопасности п показывает, что мы достигнем опасного предельного напряжения при увеличении всех сил в п раз.
К иному заключению мы придем в тех случаях, когда, например, как в балке, подвергающейся действию изгиба и сжатия, принцип сложения не применим. Возьмем случай изгиба равномерной нагрузкой балки, сжимаемой силами 8. Если для нее взять прежнее допускаемое напряжение R и определить поперечные размеры на основании формулы
о SqP 2(1— cos u)„
~ F8W и» cos и’W
то легко видеть, что при увеличении всех сил в п раз наибольшие напряжения возрастут более чем в п раз и превзойдут опасный предел К» В самом делёг, при увеличении сил в п раз будут увеличиваться не только 8 и q, но также и множитель —-, так как величина и, пропорциональная о, будет воз-
U“ cos и
растать.
Чтобы и в этом случае наибольшие напряжения достигали опасного предела при увеличении нагрузок в п раз, нужно в расчетную формулу (а) вместо 2 ST^2 nSl
и ™ "7" поставить величину и^ =, т. е. положить
(al(alо 5 qP 2 (1 — cos и^
(al
(al
F ' 8W u2eosuu^ WD u>j
так как при этом условии мы при увеличении всех сил в п раз получим для наибольших напряжений величину
^п . qnl^ 2 (1 cos и^ __ д^ _ д,Р * 8Wи^ cos ut
Из этого следует, что при одновременном действии изгиба и сжатия величина допускаемых напряжений R1 должна быть меньшей, чем в тех случаях,, где вполне применим принцип сложения, т. е. меньше R, и отношение ф ^ = RJR, очевидно, равно отношению правых частей формул (а) и (а'). Таким же способом без особых затруднений могут быть вычислены коэффициенты уменьшения ф и для других частных случаев нагрузки 2.
§ 9. Статически неопределимые случаи изгиба сжатых балок
Пользуясь результатами предыдущего параграфа, мы легко можем получить все нужные формулы для исследования изгиба сжатых балок с заделанными
концами и неразрезных балок. В качестве примера возьмем балку с левым опертым и правым заделанным концом (рис. 12). При изгибе этой балки равномерной нагрузкой у правого конца появляется реактивный опорный момент
Рис. 12.Рис. 12.Мо, величину которого примем за лишнюю неизвестную. Для определения Мо воспользуемся обычным приемом. Сначала отбросим лишнее закрепление, препятствующее поворачиванию правого конца, и для полученной таким образом равномерно нагруженной балки с опертыми концами найдем углы пово
Рис. 12.
Рис. 12.
рота концевых опорных сечений при помощи формулы (36). А потом подберем такое значение для момента М01 чтобы вызываемый им угол поворота конца балки, определяемый на основании формул (29'), был равен по величине и противоположен по знаку углу, найденному выше из формулы (36).
Таким образом, для определения Мо получаем уравнение
qP tg и — и М01 Г 331
24EJ 1 ~ “ "з57 [2u tg 2и (2м)2”J ’
откудаоткудаи33
откуда
откуда
(38)(38)м =9/2 4 ^ 2и (tg ^"^
(38)
(38)
08 и (tg 2и — 2м)
Определив лишнюю неизвестную, мы привели задачу к расчету балки с опертыми концами, изгибаемой равномерной нагрузкой и парой сил М0) приложенной к правому концу.
Если оба конца равномерно нагруженной и сжатой балки заделаны и не могут совершенно поворачиваться, то для определения опорных пар Мо воспользуемся формулами (31) и (36). Соответствующее уравнение напишется так: ql3 tg и — иM^l tg и
HAEJ 1257"*
и33
откуда
—(39)
— м2 tg и
Если оба конца равномерно нагруженной и сжатой балки упруго заделаны и коэффициенты а, характеризующие жесткость заделки, для обоих концов одинаковы и таковы, что угол поворота левого конца по часовой стрелке равен — аМ, где М — опорный момент, то величина М найдется из уравнения
ql3 t^u — u , Ml tg м
"24771* 2EJ и —
3
Мы будем через Mo обозначать величину опорных моментов при абсолютно заделанных концах [формула (39)]. Тогда в рассматриваемом случае значение
опорных моментов М можно представить так:
-М —guа81и tg и Н—-М —guа81и tg и Н—(40)(40)м =^
-М —gu
а81
и tg и Н—
-М —gu
а81
и tg и Н—
(40)
(40)
2EJ и
1^—"1——аI tg и
Множитель при Мо в полученной формуле будем называть коэффициентом опорной пары и обозначать через х, тогда М = %MQ.
Уравнение изогнутой оси для рассматриваемого случая, на основании формул (30) и (34), представится так:
у — ( S№у — ( S№*М0 \S /*М0 \S /cos иcos и2S Ж ^Х^’2S Ж ^Х^’
у — ( S№
у — ( S№
*М0 \
S /
*М0 \
S /
cos и
cos и
2S Ж ^Х^’
2S Ж ^Х^’
или, вставляя вместо Л/о его значение (39), получаем
a tgu —x(tgn —и)Sk2tg иa tgu —x(tgn —и)Sk2tg и/ 2х \cos и 1I— — 1cos и/ 2х \cos и 1I— — 1cos и-^-х(1 — х\ (41)-^-х(1 — х\ (41)
a tgu —x(tgn —и)
Sk2tg и
a tgu —x(tgn —и)
Sk2tg и
/ 2х \
cos и 1I
— — 1
cos и
/ 2х \
cos и 1I
— — 1
cos и
-^-х(1 — х\ (41)
-^-х(1 — х\ (41)
Перейдем теперь к исследованию изгиба неразрезных сжатых балок.
Предположим опоры абсолютно жесткими и расположенными на одном уровне.
Таким путем мы получимТаким путем мы получимЗа лишние неизвестные примем опорные моменты. Величины этих моментов будем разыскивать таким же способом, как и при отсутствии продольной силы. Поперечными сечениями, проведенными над опорами, разрезаем нашу многопролетную балку на ряд простых балок. Моменты, действующие по концам этих балок, найдутся из того условия, что над каждой из опор два соседние пролета изогнутой оси неразрезной балки имеют общую касательную
Таким путем мы получим
Таким путем мы получим
систему уравнений, каждое из которых будет заключать величины трех последовательных опорных моментов. Число уравнений будет соответствовать
числу промежуточных опор, и если концы многопролетной балки могут
свободно поворачиваться, то из полученной системы уравнений найдутся все лишние неизвестные. В случае закрепленных концов нужно будет к состав
(2ы) = 6 [5v ' I 2и sin 2и (2u)2 I(2ы) = 6 [5v ' I 2и sin 2и (2u)2 Iленной системе уравнений присоединить еще два уравнения, которые напишутся на основании условий закрепления концов. В качестве примера рассмотрим изгиб многопролетной балки, сжатой силами S и изгибаемой парами сил, приложенными по концам. Если других нагрузок нет, то мы можем все нужные нам уравнения составить при помощи формул (29'). Введя для краткости обозначения
(2ы) = 6 [5
v ' I 2и sin 2и (2u)2 I
(2ы) = 6 [5
v ' I 2и sin 2и (2u)2 I
■ф2(2и)3 | (2и)3 2utg2u^’
мы напишем для углов поворота 0! и 02 в случае однопролетной балки (рис. 13)
такие выражения:
(42)(42)ei=-^L^2(2u) + -g-^(2u);
(42)
(42)
02=(2м)+-&г
Применим эти формулы к нашей неразрезной балке. Возьмем n-й и п + 1-й ее пролеты и обозначим через М^ Ми^ и ^п+2 соответствующие опорные
моменты. На п + 1-й опоре, являющейся общей для двух выделенных пролетов условие наличия общей касательной напишется на основании (42) так:
6£V™ ^ ^Un^ "* 3EJ™ ^2 ^Ut^зЙ^ ^2 (2мп+!)б^”^ '^1 (2^п+^е
: •(43)
Если сечение по длине балки постоянно, то получим
Л^п1пФ1 (2un) 4~ 2Afn-|-i [/«Фг (2^n) ~h
4“ ^п+А'Фа (2^п4-1)] 4“ ^п+2^п4-1Ф1 (2zzn+l)-(43 )
Полученные уравнения остаются в силе и в том случае, если продольное сжатие в различных пролетах неразрезной балки будет различным. Если бы на отдельных пролетах балки лежала равномерно распределенная нагрузка, то в правой части уравнения (43') вместо нуля получили бы выражение, зависящее от углов поворота, вызываемых равномерной нагрузкой. Это выражение легко может быть составлено при помощи формулы (36).
Если опоры неразрезной балки лежат на разных высотах и через рп обозначен угол между линией, соединяющей опорные точки n-го пролета, и осью ж, отсчитываемый по часовой стрелке, то вместо уравнения (43') получим такое Ч
•^п^пФх (2ип) -f- 2Л/П_|_1 [^пфг (2^п) 4* ^n+f$2 (2^n-f-i)] 4-
(43")(43")4~ Л/п+2^п4-1Ф1 (2^n+i) — ^EJ (Pn pn_|_i).
(43")
(43")
Если и беспредельно убывает до нуля, функции фг и ф2 стремятся к единице и уравнения (43') и (43") в пределе обращаются в известные уравнения трех моментов для балок, подвергающихся действию только изгиба.
В случае упругих опор иногда выгоднее за лишние неизвестные принять не опорные моменты, а опорные реакции. В таком случае мы отбрасываем промежуточные опоры и их действия на балку заменяем реактивными силами Rv R^ ..., Rn. (Предполагаем п промежуточных опор. Индексы внизу указывают порядок опорных реакций в направлении от правого конца балки к левому.) Величины реактивных сил находим из тех условий, что осадка каждой из опор должна быть пропорциональна соответствующему давлению. Пусть aw — коэффициент жесткости тп-й опоры, тогда amRm будет величина осадки этой опоры. Соответствующее уравнение получим, приравняв найденную осадку к прогибу балки в данном месте под действием лежащей на балке нагрузки и опорных реакций Д1? ..., Rn. Возьмем случай равномерной нагрузки, тогда на основании (33) и (34) для сечения хт1 соответствующего тп-й опоре, найдем
9Sk^9Sk^cos и ( 1cos и ( 1cos иcos и2д?7тг2д?7тгг—т— 15Жт^ — ^ — Sk sin kl ^ Ri Sln kc <+г—т— 15Жт^ — ^ — Sk sin kl ^ Ri Sln kc <+
9
Sk^
9
Sk^
cos и ( 1
cos и ( 1
cos и
cos и
2д?7тг
2д?7тг
г—т
— 15Жт^ — ^ — Sk sin kl ^ Ri Sln kc <+
г—т
— 15Жт^ — ^ — Sk sin kl ^ Ri Sln kc <+
V^^R^«ЖкГ- 2 К^пк(1-с^+—ёЛ X Ri(l-Ci) =
™ ^mRm-(44)
Таких уравнений мы можем написать столько, сколько имеется промежуточных опор, следовательно, число уравнений будет соответствовать числу лишних неизвестных. Величина I в этих уравнениях обозначает длину балки, величины ср ..., сп — расстояния последовательных опор от правого конца балки.
§ 10. Балки, подвергающиеся одновременному действию изгиба и растяжения
Б качестве основного случая рассмотрим изгиб балки сосредоточенной силой Р (рис. 14). Уравнение изогнутой оси и дальнейшие формулы для этой задачи мы можем написать сразу, если только воспользуемся результатами § 8, полученными для случая сжатой балки. Для этой цели нужно только изменить знак у продольной силы. В таком случае вместо величин А2 и и2 в наши формулы везде войдут величины —к2 и —и2 и нам придется вместо к и и поставить кг и иг. Вводя на основании равенств sin аг = = tsha; cos аг = ch a; tg аг = г th а вместо тригонометрических функций гиперболические, по
лучаем из формул (25) и (26) для левой части балки такие выражения:
Р sh кс . 7, рс'
У ”8 к sh kl shЖ’
, P sh &c , ,, Pc „ Pk sh/cc , 7
у =- y' = - sh kx.(4b)
ySshkl1 SI ’ y8 shklv '
Для правой половины балки получим подобные формулы, нужно только поставить вместо с величину I — с, вместо х — величину I — х и изменить знак у'. Из этих формул путем сложения действия сил могут быть легко получены решения для всех тех случаев, которые мы разобрали раньше в связи с изгибом сжатых балок. Так, например, для изгиба балки двумя равными и прямо противоположными парами М, приложенными по концам, получим
Для изгиба балки равномерной нагрузкой будем иметьДля изгиба балки равномерной нагрузкой будем иметь
Для изгиба балки равномерной нагрузкой будем иметь
Для изгиба балки равномерной нагрузкой будем иметь
Комбинируя эти два случая, легко находим решения для балки с абсолютно или упруго заделанными концами.
В первом случае имеем [см. формулу (39)]
(47)(47)1/fql2 и — th и
(47)
(47)
чгч г"и2 th и
3
Во втором случае для опорных пар получим такое выражение:
М МоМ Мои th ии th ии th и 4и th и 4о81 *о81 *(48)(48)22
М Мо
М Мо
и th и
и th и
и th и 4
и th и 4
о81 *
о81 *
(48)
(48)
2
2
Уравнение упругой линии в этом случае, на основании (41), напишется
+ -^-х(1 — х\+ -^-х(1 — х\(49)(49)таким образом:
+ -^-х(1 — х\
+ -^-х(1 — х\
(49)
(49)
q th и — х (th и — и)
Sk2th и
Здесь величина х представляет собой коэффициент опорной пары, определяемый на основании (48) так: х =”"""7zs7—* ^Ри абсолютной заделке х = 1,
и th и -4
2
при свободно поворачивающихся концах х = 0. Величина эта зависит не только от жесткости закрепления, характеризуемой величиной а, но и от величины продольной силы 5. При малом значении силы 5, т. е. при малых и, мы можем поло- 1
жить х =~ Возьмем закрепление, при котором а = lj2EJ. Тогда при
отсутствии продольной силы будем иметь х = 0,5. Прикладывая силу S и постепенно увеличивая ее, получаем при различных и такие значения для х:
и 012510
х 0,500 0,432 0,325 0,167 0,091
Коэффициент опорной пары в этом случае быстро убывает с увеличением продольной силы \ Следовательно, влияние заделки концов с возрастанием растягивающей силы также быстро уменьшается.
Воспользуемся уравнением упругой линии и приведем здесь ряд основных формул, которые могут понадобиться при расчете равномерно нагруженной балки с упруго заделанными концами, подвергающейся действию продольных растягивающих сил S.
Наибольший прогиб, очевидно, получится по середине пролета. Полагая в уравнении (49) х = 1/2. получаем для него значение
1 о
1-4и2
х л5 q№ ch и2х ql4 24 (th и — u) 1 — ch и
(У)тах = -354"5gg7
и4
24
Для упрощения вводим такие обозначения:
и2и и и2
1 _|1
24 (th и — и) 1—ch и ch и2. sh и th и 2 г г ( хх
5Г^ ” jfL0 w
24
Тогда будем иметь
(у)шах = -3I4 - -gy- (1 — х) /0 (и) + х -3Д7- /1(50)
Таблица 2
и
Igio /<704-4
lgM /и,+ 4
lgio/t/, + 4
Значения функций, входящих в формулу (50)
Значения функций, входящих в формулы для изгибающего момента
посередине [формула (51)]
на опорах [формула
(52)]
/о (и)
/1 (и)
Vo (U)|
Vi (Ю
X (и)
0
ОО
ОО
ОО
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,5
3,889
406
3,217
331
3,801
425
0,908
0,976
0,905
0,972
0,984
1,0
3,483
310
2,886
223
3,376
336
0,711
0,909
0,704
0,894
0,939
1,5
3,173
262
2,663
182
3,040
292
0,532
0,817
0,511
0,788
0,876
2,0
2,911
227
2,481
161
2,748
257
0,380
0,715
0,367
0,673
0,806
2,5
2,684
198
2,320
146
2,491
228
0,281
0,617
0,268
0,563
0,736
3,0
2,486
175
2,174
134
2,263
202
0,213
0,529
0,200
0,467
0,672
3,5
2,311
156
2,040 124
2,061
180
0,166
0,453
0,153
0,386
0,614
4,0
2,155
141
1,916
115
1,881
163
0,132
0,388
0,120
0,320
0,563
4,5
2,014
128
1,801
107
1,718
148
0,107
0,335
0,097
0,267
0,519
5,0
1,886
118
1,694
100
1,570
135
0,088
0,291
0,079
0,224
0,480
5,5
1,768
108
1,594
93
1,435
124
0,074
0,254
0,066
0,189
0,446
6,0
1,660
100
1,501
88
1,311
115
0,063
0,223
0,055
0,162
0,417
6,5
1,560
93
1,413
82
1,196
107
0,054
0,197
0,047
0,139
0,391
7,0
1,467
87
1,331
78
1,089
100
0,047
0,175
0,041
0,121
0,367
7,5
1,380
82
1,253
74
0,989
94
0,041
0,156
0,036
0,106
0,347
8,0
1,298
77
1,179
70
0,895
89
0,036
0,141
0,031
0,093
0,328
8,5
1,221
73
1,109
67
0,806
83
0,032
0,127
0,028
0,083
0,311
9,0
1,148
69
1,042
63
0,723
80
0,029
0,115
0,025
0,074
0,296
9,5
1,079
65
0,979
61
0,643
75
0,026
0,105
0,022
0,066
0,283
10,0
1,014
63
0,918
58
0,568
72
0,024
0,096
0,020
0,060
0,270
10,5
0,951
59
0,860
55
0,496
69
0,021
0,088
0,018
0,054
0,259
11,0
0,892
57
0,805
54
0,427
65
0,020
0,081
0,017
0,050
0,248
11,5
0,835
55
0,751
51
0,362
63
0,018
0,075
0,015
0,045
0,238
12,0
0,780
0,700
0,299
0,016
0,069
0,014
0,042
0,229
При х = 0 получаем отсюда прогиб балки с опертыми концами, при х = 1 имеем случай абсолютно заделанных концов. Если положим и = 0, то /0 (п) — = /г (и) — 1 и мы придем к известным формулам для балок, подвергающихся лишь действию равномерно распределенной нагрузки. Если величины и и х известны, то вычисление прогибов по формуле (50) не представит никаких затруднений. Для облегчения вычислений мы в табл. 2 приводим значения функций /0 (и) и /х (и) для ряда значений и.
Величину изгибающего момента посередине пролета получим так:
1
Х"" 2°— М2M2shM
22
Введя для краткости обозначения
и
1 1—
ch иz хsh иу х
—л= Фо (^); —г ^ ^
и*и2
.26
представим выражение для изгибающего момента посередине в таком виде:
(М^= ^. = -^- (1 ~ х) Фо (“) + "§• ХФ1 W.(51)
Наконец, опорный момент на основании (47) представится так:
где
х(u) = “-th“ ..(52)
и2 th и
3
При помощи формул (51) и (52) легко решается вопрос о наибольших напряжениях в рассматриваемом случае. Числовые значения функций ф0 (и), фх (и) и X (и), приводимые в табл. 2, значительно облегчают соответствующий расчет.
Таким же путем, как и в случае сжатых балок, мы можем прийти к заключению, что норма допускаемых напряжений при одновременном действии изгиба и растяжения может быть повышена, так как функции ф0 (и), фх (и) и % (и) убывают с возрастанием продольной силы.
В заключение отметим, что при беспредельном увеличении и первым членом в уравнении (49) можно будет пренебречь по сравнению со вторым, тогда придем к такому выражению:
У = -^Г х (Z — х).(53)
Это известная формула для малых прогибов тяжелой гибкой нити.
§ 11. Случай, когда продольные силы неизвестны
Во всех предыдущих задачах мы предполагали, что величина продольной силы 5 нам известна и, следовательно, определение аргумента и, входящего во все полученные выше расчетные формулы, не встречает никаких затруднений. Иногда приходится встречаться с более сложным случаем, когда продольная сила не
задана, а является результатом деформации балки. Возьмем, например, балку, концы которой закреплены таким образом, что при изгибе совершенно не сближаются. В таком случае изгиб будет сопровождаться появлением продольной растягивающей силы, удерживающей концы от смещения. Величину этой силы мы можем определить из того условия, что вызываемое ею удлинение оси балки, очевидно, равняется разности между длиной искривленной оси балки и величиной расстояния между опорными точками. Соответствующее уравнение особенно просто напишется для того предельного случая, когда ось балки можно принять за параболическую кривую (см. выражение (53)). Пользуясь известной формулой, представляющей разность между длиной дуги параболы и длиной хорды в зависимости от стрелки провисания /, получаем нужное нам уравнение в таком виде:
3 Iй “ EF *
Вставляя вместо / его значение, определяемое из (53), находим для 5 такое кубическое уравнение: 53 = -~- q4^EF.
Уравнением (54) можно воспользоваться для приближенного решения и в том случае, когда величина и невелика и, следовательно, кривая изгиба значительно отличается от параболы, так как длина кривой при малых стрелках будет мало зависеть от вида кривой.
Вставляя в уравнение (54) вместо / величину прогиба балки при заданных поперечных нагрузках и неизвестной пока продольной силе, мы в каждом частном случае будем получать уравнение, из которого путем подбора находится соответствующая величина 5.
Дадим теперь полное решение задачи для случая равномерной нагрузки, когда уравнение изогнутой оси представляется формулой (49). Этот случай имеет большой практический интерес главным образом в связи с расчетом пластинок.
При составлении разности между длиной дуги и длиной соответствующей хорды мы применим формулу, которой часто пользовались в элементарном курсе сопротивления материалов, и напишем уравнение (54) в таком виде:
-И^^-хг- <55>
о
В том частном случае, когда концы балки могут свободно поворачиваться (х = 0), выражение для прогиба, на основании (49), напишется так:
Вставляя это выражение в уравнение (55) и принимая во внимание равенства
о х'о
J (Z — 2л) sh н^1^-j dx= — ^ch и,получаемg2 / Z3 II , 5th^ \ _ SI
S2 I 24/с2 4Zc2 ch2 и № / ~ EF *
Левая часть представляет собой разность между длиной дуги и длиной
хорды L
Для дальнейших приложений нам удобнее представить уравнение (а) в несколько ином виде. Вместо S подставим его значение k^EJ и потом разделим
обе части уравнения (а) наобе части уравнения (а) на^2A:2Z9
обе части уравнения (а) на
обе части уравнения (а) на
^”1 тогда получим
(56)(56)95 • 2727 th2u . 5 • 27 th и ?6 E^J3
(56)
(56)
8м616м816 и8 16 м9q^Fl9,
В правую часть этого уравнения входят лишь известные величины, и по заданным размерам балки и заданной нагрузке мы легко находим ее численное значение. После этого остается подобрать для и такое значение, при котором уравнение (56) было бы удовлетворено. Подыскивание решения может быть значительно упрощено, если иметь таблицу численных значений левой части нашего уравнения при различных значениях и. В дальнейшем мы для упрощения записи будем пользоваться обозначением
95-2727 th2 и 5-27 th и _ „
8м«16м816м8+ 16 м9Uо*
В табл. 2 помещены значения функции lg 104 I U0. Пользуясь этой таблицей, мы без затруднения можем решить уравнение (56) в каждом частном случае.
Возьмем в качестве примера балочку прямоугольного поперечного сечения высотой h и шириной, равной единице. Тогда уравнение (56) может быть переписано так:
Следовательно,
1g ю^}/^0 = 1g ЛО»— — L i q i \
Положим E = 2,15 • 106 кг/см2, q = 0,322 кг/cm, h = 0,8 cm, I = 120 см, тогда E / И Л
104 — — = 132; lg 132 = 2,12. Изданных табл. 2 заключаем, что 4 < м < 4,5. Простое q \ I /
интерполирование дает нам и = 4,12.
Когда величина и найдена, дальнейший расчет балочки не представляет труда. Наибольший прогиб мы найдем, если стрелку прогиба, соответствующую нерастянутой балке, умножим на соответствующее значение /0 (м) [см. формулу (50)]. При определенном выше значе-
Этим выражением иногда пользуются при вычислении поправок, когда измеряют расстояния при помощи стальной ленты, провисающей от собственного веса. См. работу А. Э. Юнга. Young А. Е On the form of a suspended wire or tape including the effect of stiffness. Philosophical Magazine and Journal of Science, Series 6, 1915, voL 29, N 169, pp. 96—127.
нии и легко находим из таблицы, что /о (м) = 0,126. Следовательно,
^)тах— 384 gj °'126'
Для вычисления наибольшего изгибающего момента, определяем из таблицы соответствующее значение ср® (м) [см. формулу (51)]. Тогда найдем
^тах = -^- Фо («) = "^- 0,114.
В случае балки с абсолютно заделанными концами (х = 1), уравнение изогнутой оси напишется так [см. формулу (49) ]:
q иSk2 th и q иSk2 th иch иch и- 1- 125 Х Х^*25 Х Х^*
q и
Sk2 th и
q и
Sk2 th и
ch и
ch и
- 1
- 1
25 Х Х^*
25 Х Х^*
Вставляя это в уравнение (55) и выполняя интегрирование, находим х:
(Ь)и вводя обо-(Ь)и вводя обо-(57)(57)q2 [ Р ,/ ЗРZ3 \81
(Ь)
и вводя обо-
(Ь)
и вводя обо-
(57)
(57)
52 ( 24 + Л2 8Л th и 16 sh2 м ) “ EF ’
Вставляя вместо 5 его значение, деля обе части на
значение
4527271811_ „
16м6*" 4м816м6 th2 и16м7 thм 11
^V2q2Fl8^V2q2Fl8получаем для данного случая уравнение Пг = 26 • З3
^V2q2Fl8
^V2q2Fl8
Для рассмотренного выше численного примера будем иметь г—Г i В \ , Н \» I
1g WV^ = 1g 104 ) = 1g 132 = 2,12.
L \ q )\ I 1 \
Из табл. 2 заключаем, что 3 < и < 3,5. Простое интерполирование дает нам и ^ 3,20. Дальнейший расчет балки может быть выполнен без всяких затруднений.
Перейдем теперь к более общему случаю, когда концы балки упруго заделаны (0 < х < 1). Вставляя соответствующее выражение для прогиба (49) в уравнение (55) и деля обе части уравнения на q^k4^Ejyn получаем после некоторых преобразований
(1-х)170+х171-х(1-х)С72 = 26 -Зз^-. (58)
Здесь для сокращения введено такое новое обозначение:
^2 = (u th2 u — u + th и\
16 м9 th2 и х '
Значения функции lg lO4^/U^ приведены в табл. 2. Расчет балок в этом случае несколько сложнее, чем в приведенных выше примерах, так как в таблицах не дано значение 1g левой части уравнения (58), которую в дальнейшем будем обозначать для краткости через F (х, и\ При решении задач будем основываться на том соображении, что в случае упруго заделанных концов, очевидно, и
Левая часть этого выражения также может служить для вычисления поправок на влияние жесткости стальной ленты. Первый член в скобках соответствует провисанию по параболе. Наибольшую поправку дает третий член в скобках.
должно иметь промежуточное значение между теми величинами, которые мы получаем для опертых и для абсолютно заделанных концов.
Для рассмотренного выше численного примера можем заключить, что при упругой заделке концов имеет место неравенство: 3,20 < и < 4,12. Предположим, что закрепление концов таково, что х = 0,5, тогда при помощи таблицы находим
F (0,5; 3,5) = 0,000236; lg [104 /7(0,5; 3,5)] = 2,19;
F (0,5; 4,0) = 0,000121; lg [104 /7(0,5; 4)] = 2,04.
Имея значения 1g левой части уравнения (58) для и = 3,5 и для и = 4, легко находим простым интерполированием, что в нашем случае, когда lg левой части равен 2,12, величина и равна 3,73.
При составлении основного уравнения (55) мы исходили из предположения, что концы изгибаемой балки совершенно не могут сближаться. Без особых затруднений полученные результаты могут быть распространены на тот случай, qкогда сближению концов препятствует ка-
дЩ1Ш}^^кая-либо упругая связь, например распор-
^77 ка АВ (рис. 15). При изгибе в балке появят- Н ся растягивающие усилия 5. Усилия эти рис 15будут сжимающими для распорки. Если обо
значим через Fx площадь сечения распорки и через Ег соответствующий модуль упругости, то сжатие распорки будет равно Sl/E^^
Разность между длиной дуги искривленной оси балки и длиной сжатой распорки, очевидно, равна удлинению оси балки, сложенному с сжатием распорки, и мы для определения продольной силы получим уравнение такого вида:
1 f /2 ,81.8181EF \1 81
^у dx— EF + Е^ _ EF (1 + Е^ )к EF ,(59)
где
К = (60)
Величину К, которая в зависимости от жесткости распорки может изменяться в пределах между нулем и единицей, мы будем называть коэффициентом распора. Задачи, рассмотренные выше, представляют собой тот частный случай, когда коэффициент распора обращается в единицу, т. е. жесткость распорки бесконечно велика. Ход решения уравнения (59) ничем не отличается от того, который применялся выше, и мы здесь отметим только, что с уменьшением жесткости распорки уменьшается, конечно, и величина продольной силы 5. Когда К обратится в нуль, обратится в нуль также и 5, мы будем иметь изгиб балки только поперечными силами.
Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба балок
Выражение для прогиба балки всегда можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда. Представление это, как мы увидим дальше, имеет особое преимущество при исследовании деформаций балок, подвергающихся
одновременному действию продольных и поперечных сил, и балок, имеющих некоторое первоначальное искривление. В этих случаях пользование тригонометрическими рядами приводит нас к нескольким простым формулам, весьма
удобным для практических приложений.
Возьмем балку с опертыми концами (рис. 16). В этом случае при х = О и при х = I величины у и у ” обращаются в нуль. Общее выражение для искрив
ленной оси балки представится так:
» тех .. 2лж
у = ах sin —р а2 sin —™
+ а3 sin —р • • •
Рис. 16.Рис. 16.Оно, очевидно, удовлетворяет постав лен-
Рис. 16.
Рис. 16.
ным выше условиям на концах и при над
ооЯ/л44/зЯ/л44/з5 ^«п-72=15 ^«п-72=1(61)(61)лежащем выборе коэффициентов а^ а2, ... может представить искривленную ось балки при любой нагрузке. Для определения коэффициентов мы воспользуемся началом возможных перемещений. Нужное нам при этом выражение для потенциальной энергии изгиба напишется так:
о
о
Я/л44/з
Я/л44/з
5 ^«п-
72=1
5 ^«п-
72=1
(61)
(61)
dV с EJn^ л о^~— 2^з а^иа^dV с EJn^ л о^~— 2^з а^иа^Найдем величины коэффициентов для случая изгиба балки сосредоточенной силой (см. рис. 16). Коэффициенты эти, определяющие форму кривой изгиба, являются координатами нашей системы. Если мы одной из этих координат, например аП1 дадим приращение 6ап, то соответствующее приращение потенциальной энергии будет
dV с EJn^ л о
^~— 2^з а^иа^
dV с EJn^ л о
^~— 2^з а^иа^
Прогибы балки получат приращение
6ап sin6ап sinплхплх
6ап sin
6ап sin
плх
плх
Работа внешних сил (силы Р в нашем случае) на этом перемещении будет равна Р sin —уХ бап. Множитель при 8ап представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате ап, и начало возможных перемещений дает нам такое уравнение:
откудаоткудаЯ/л4 4 птес1 «пЧпбаи = Р sin оаи,
откуда
откуда
2Р13 sin-yl
^ = EJn4n4
е ТИТС,sin ——I . птех-Sin—7-п4Iе ТИТС,sin ——I . птех-Sin—7-п4I(62)(62)Вставляя полученный результат в выражение (а) для изогнутой оси, получаем
е ТИТС,sin ——
I . птех
-Sin—7-п4I
е ТИТС,sin ——
I . птех
-Sin—7-п4I
(62)
(62)
_ 2РР
у ~ EJ л.4
72=1
Располагая, например, силу Р посередине пролета, находим для прогиба посередине такое выражение:
Ряд — быстро сходящийся, и если бы мы ограничились только первым членом, то получили бы величину для прогиба с погрешностью около 1,5%.
Если мы будем беспредельно уменьшать расстояние сТ и при этом увеличивать Р так, чтобы величина Рсг оставалась конечной и равной М, то из выражения (62) получим уравнение изогнутой оси балки при действии пары сил М на левом конце:
2ЛГ/21. для
^таг 2 ^-sin—•<63>
П=1
Пользуясь принципом сложения действия сил, мы из (62) можем получить выражение для прогиба при любой системе поперечных нагрузок. Чтобы получить, например, уравнение изогнутой оси при равномерной нагрузке интенсивности ^, нужно только в (62) поставить вместо Р величину qdcx и потом произвести интегрирование по сг в пределах от нуля до I. Таким путем получаем
ц r /. ~г sin—;— •(64)
п=1,35....
Без особых затруднений мы можем распространить наши выводы на тот случай, когда кроме поперечных нагрузок имеется еще продольная сжимающая или растягивающая сила S. Рассмотрим случай сжимающих сил, приложенных по концам. Сближение концов при изгибе, представленном выражением (а), будет
п=оо
6Z = f у/2^ =2 П^ап.(65)
Если мы теперь, пользуясь началом возможных перемещений, дадим координате ап приращение ба^, то соответствующее перемещение для продольных сжимающих сил будет
и уравнение равновесия напишется так:
Е^- n4a„ban = Р sin §Дп 4. 5 А. п2ап6ап, откуда
2Р1^. пл^аи ~ EJn4 (п* — a3n2) Sln ~'
Здесь для сокращения письма введено обозначение SP/EJn2 = а2, где а2 — представляет собой отношение продольной сжимающей силы к величине эйлеровой нагрузки для балки с опертыми концами г.
1 При вычислении эйлеровой нагрузки здесь придется взять, очевидно, жесткость балки, соответствующую плоскости изгиба поперечными нагрузками, а не наименьшую жесткость.
Определив таким образом значение коэффициентов, получаем выражение для прогиба при действии силы Р и продольных сжимающих сил S в таком виде: n=oo sin
2Р13Iплх
У Е1л* n4 —aan2 Sln "Т" •^
Отсюда, путем сложения действия сил, легко получить выражение для прогиба при любой поперечной нагрузке. Например, для равномерной нагрузки получаем плх 71=00
„ = V - (67)
У EJn5n3(n2—a2)’v 4
Прогиб посередине для этого случая представляется так:
.4?Z4 Г 111
Е1ль [1 — а233 (32 —а2) ф ^(^ — а2)” Г
Все предыдущие рассуждения относятся к случаю продольной сжимающей силы. Если вместо сжатия у нас будет растяжение, то нужные нам выражения для прогибов мы получим из предыдущих, если в них везде поставим вместо а3 величину —а2.
Во всех случаях величина наибольшего прогиба будет представляться суммой бесконечного быстро сходящегося ряда. Этим обстоятельством мы воспользуемся и составим приближенные формулы для оценки влияния продольной силы на величину прогиба и на величину максимального изгибающего момента. Если обозначить прогиб посередине, вызываемый только поперечной нагрузкой, через /0, а через / — прогиб при одновременном действии поперечных сил 1 и продольной сжимающей силы, то на основании результатов (66) и (67) можно с достаточной для практики точностью положить
Точность этой формулы зависит как от величины а2, так и от распределения поперечной нагрузки. Наименьшую точность мы будем иметь в случае действия сосредоточенной силы. Если сосредоточенная сила приложена ^посередине пролета, то приближенную формулу (68) нужно сравнивать сточной формулой (28). При малых значениях а2 точность приближенной формулы очень велика, напри мер при а2 = 0,2 погрешность не превосходит 0,3%. С увеличением а2 погрешность возрастает, и с приближением а2 к единице (чему соответствует кри тическое значение силы) отношение прогибов, вычисленных по точной и приближенной формулам, стремится к предельному значению 96/л4 и погрешность, следовательно, не превосходит 1,5%. При действии равномерной нагрузки погрешность в худшем случае не превосходит 0,5%. При изгибе балки сосре доточенной силой, приложенной не посередине, погрешность приближенной формулы возрастает с приближением нагрузки к одной из опор и в пределе, когда мы придем к изгибу балки парой сил, погрешность в прогибе в худшем случае не превзойдет 3%. На основании этого заключаем, что формула (68) всегда может быть применена для вычисления прогиба посередине, который можно принимать равным наибольшему прогибу. Вычислив по формуле (68) наибольший прогиб, мы легко найдем также и величину наибольшего изгибающего
момента. Для равномерной нагрузки эта величина найдется так: м^/2 »^оg^2 т5^ s __ ^(а 1>028аЧ
^max —8 ~f/°8*384 SJ 1—а2 “ 81 —а2 /*
Сравнение этого результата с точной формулой (37) показывает, что даже при больших значениях продольной силы приближенная формула дает весьма точные результаты.
В случае растягивающей продольной силы для вычисления наибольшего прогиба можем воспользоваться формулой
/=Г^.<69>
Точность этой формулы также убывает вместе с возрастанием а2. Так, например, при равномерно распределенной нагрузке и а2 = 1 погрешность составляет около 0,3%, при а2 = 2—0,7%, при а2 = 10 — около 1,7%. Если взять как предельное значение, с которым на практике приходится встречаться, величину а2 = 4,144/л2 (этому соответствует и = ал/2 = 12), то погрешность приближенной формулы (69) достигнет 2,6%. Во всяком случае мы получим точность, вполне достаточную для практических приложений. Имея величину прогиба, мы можем составить формулу для изгибающего момента посередине пролета
М - ^/1-1№2
^max— g1 + а2
Заметим, что здесь искомый момент получается как разность между изгибающим моментом от равномерной нагрузки и моментом от продольной силы. С убыванием этой разности точность приближенной формулы падает. При а2 = 4 погрешность меньше 1%. При а2 = 5 погрешность достигает 6%. Для больших а2 мы можем пользоваться приближенной формулой М^^ = - ^г- ^”’ которая получается из точной формулы (51), если в ней положить х = 0, ch и - = 0. Погрешность этой новой формулы при а2 = 5 составляет 6%, при а2 = 10 она уже меньше 1,5%, и дальше эта погрешность убывает с возрастанием а2.
Установив приближенные формулы для балки с опертыми концами, перейдем к случаю абсолютно заделанных концов. Имея выражение для изогнутой оси балки при действии моментов, приложенных по концам, мы путем сложения действия сил могли бы получить величину прогиба балки с заделанными концами в форме тригонометрического ряда, но для получения приближенной формулы для прогиба мы можем воспользоваться иным приемом. Зададимся подходящей формулой кривой, удовлетворяющей условиям на концах, другими словами, обратим нашу систему (упругий стержень), имеющую бесконечное число степеней свободы, в систему с конечным числом степеней свободы и потом найдем прогиб, применяя начало возможных перемещений. Опыт показывает, что при этом самые грубые предположения относительно формы кривой дают вполне удовлетворительные результаты при определении прогиба. Возьмем, например, для балки с заделанными концами такое уравнение изогнутой оси: у =— COS-^).(b)
Оно, очевидно, удовлетворяет условиям закрепления, так как у и у' обращаются в нуль на концах балки. Соответствующее значение потенциальной
энергии будет
EJ С4EJn4 2
О
Найдем величину а для случая равномерной нагрузки. При этом начало возможных перемещений дает нам уравнение
8EJn4 С2ля \ ,,
—^— а = g j 11 — cos —— d,x = ql,
и мы будем иметь
ql4 I *2лж4 \
SEJn* (4 C0S Z-)•
Прогиб посередине балки будет (У)х_± = -£^г- Погрешность этой приближенной формулы около 1,5%.
Если кроме поперечной нагрузки имеется еще продольная сжимающая сила 5, то при составлении уравнения нужно принять в расчет работу и этой силы.
Сближение концов балки, соответствующее изгибу по кривой (Ь), будет
i
61 = — ^ У dx=—j—,
и уравнение равновесия напишется так:
2San22San2SEJn4
2San2
2San2
р а= ql-V
откуда
8Е Ju4 (1 — а2/4) *
Для получения соответствующей формулы при растягивающей силе нужно только изменить знак перед а2. Таким образом, для случая изгиба с сжатием или изгиба с растяжением получаем такую приближенную формулу;
f =(70)
Из нее видно, что при заделанных концах влияние продольной силы значительно меньше, чем при свободно поворачивающихся концах. Что касается точности приближенной формулы (70). то при равномерной нагрузке она весьма велика для малых значений а2 и убывает вместе с возрастанием а2. При а2 = 1 погрешность составляет около 0,5%, при а2 = 14,6 (и = 6) погрешность уже 3,7% и, наконец, при а2 = 57,6 (и = 12) погрешность достигает 8%. При столь больших значениях а2 более точные значения для прогиба мы найдем по формуле / = /0 ^- (1 —), которая получается из точной формулы (50) при х = 1 и при большом значении и.
Приближенный способ определения продольной силы
Приближенные формулы, полученные нами в предыдущем параграфе, можно применить при определении продольной силы, которая появляется в том случае, когда свободному сближению концов балки при изгибе препятствуют 15*
какие-либо распорки (см. рис. 15). Если концы балки оперты, то на основании предыдущих результатов мы можем положить у = ^ _^°^2-sin -^-.
В таком случае уравнение (59), служащее для определения продольной силы, перепишется так:
(7i)
где г2 — квадрат радиуса инерции поперечного сечения. Вычислив предварительно величину прогиба балки от одной поперечной нагрузки, мы без всякого затруднения подберем при помощи (71) соответствующее значение а2 и таким образом определим продольную силу, появляющуюся при изгибе. Заметим, что уравнение (71) особенно просто решается при помощи логарифмической линейки. Обозначая величину 1 + а2 через х. приводим его к виду х^ — я2 = а. Для численного примера, рассмотренного в §11, получим х^ — ж2 = 423, откуда х =: 7,85; а2 = 6,85; и=^- = 4,11.
Если нагрузку увеличить вдвое, то правая часть уравнения (71) возрастет вчетверо, и мы получим а2 — 11,26; и = 5,27. При уменьшении нагрузки вдвое найдем а2 — 4,10; и = 3,18.
Числа эти получены при помощи линейки и в них могут быть погрешности в одну-две единицы последнего знака. Такого же порядка будут разности между результатами, получаемыми из приближенного уравнения (71) и из точного уравнения (59), и, если мы примем во внимание, что в эти уравнения входит величина Е, известная лишь приблизительно, то можем заключить, что уравнение (71) дает величины продольной силы с точностью, вполне достаточной для практических приложений.
Определив таким образом продольную силу, мы можем выполнить дальнейший расчет балки или при помощи табл. 2, или же при помощи приближенных формул предыдущего параграфа. В тех случаях, когда мы имеем дело с весьма гибкими стержнями, для которых величина а2 представляет собой большое число, можно сделать одно заключение относительно величины максимальных напряжений. Напряжения эти имеют место посередине пролета и составляются из двух частей: из напряжений от растягивающей силы 5 и из напряжений от изгиба. .
Пользуясь для наибольшего момента приближенной формулой предыдущего параграфа, представляем величину максимальных напряжений так:
— р "Г w 8 Л2а2 •
В случае балки прямоугольного поперечного сечения, ширина которого равна единице и высота равна й, мы можем переписать выражение для наибольших напряжений в таком виде:
(Хх)тах — а Е-^ ) + я2а2 q h ) .
Первый член, представляющий собой напряжение от продольной силы, возрастает вместе с а2. Напряжения изгиба, представленные вторым членом нашего выражения, убывают с возрастанием а2. Найдем значение а2, которому соответствует наибольшее значение напряжения. Составляя производную от (Хх)тах по а2 и приравнивая ее нулю, получаем
Вставляя это в выражение для наибольших напряжений, находим
(^х)тах ~ УЖ(Ь)
Предположим, что продольная сила, возникающая при изгибе, такова, что а2 получает значение, определяемое формулой (а). Тогда уравнение (71) для балки прямоугольного поперечного сечения перепишется в виде
и мы найдем такое приближенное решение:
а2=2^ + 2.(с)
, определяемого формулой (Ь)., определяемого формулой (Ь).На практике К обыкновенно не выходит за пределы 0,2—0,8. Следовательно, величина и, определяемая на основании формулы (с), будет изменяться в пределах 9,8—5,3, т. е. будет близка к тем значениям, которые встречаются на практике (см. изгиб пластинки по цилиндрической поверхности).
, определяемого формулой (Ь).
, определяемого формулой (Ь).
Так как функции обыкновенно медленно изменяются у своего максимума, то мы можем считать, что даже значительные отклонения величины а2 от значения (с) мало отклонят величину (Хх)тах от ее максимального значения
На основании этого мы можем заключить, что в случае гибких стержней изменение высоты сечения h будет мало влиять на величину наибольших напряжений. Каждое из слагаемых в общей формуле для (Хх)тах будет изменяться, но общая их сумма остается при этом почти постоянной. Такое же заключение можно . сделать относительно наибольших напряжений посередине пролета в случае балки с заделанными концами, так как приближенная формула для изгибающего момента при больших значениях а2 остается прежней.
Применим теперь приближенный метод к решению еще одной задачи, имеющей практическое значение. Предположим, что балка с распоркой подвергается действию не только поперечной равномерно распределенной нагрузки, но также и продольной силы 5 (рис. 17).
При таком действии сил, очевидно, усилие S, растягивающее балку, не будет равняться сжимающей силе в распорке. Разность между этими усилиями будет равняться величине растягивающей внешней силы 50. Уравнение (59), из которого может быть определена сила 5, напишется так:
1 С _ SI ^S-S^l _ 1 5/ _ solах — Ер -г ^^~ К EF Е^ *
Если мы вместо у подставим его приближенное выражение
то получим
«41 + а2)2 = К А- + (1 + а2)2 К ^^-ОЪ
Полагая 1 + а2 = х, мы приводим уравнение (72) к такому виду:
ж3 — ахг — К
Уравнение это весьма просто решается при посредстве линейки, и мы легко можем составить целую таблицу значений х, соответствующих различным величинам силы50. Полагая в уравнении (72) а2 равным нулю, получаем
О Л2 тр р / /0 \2
Это то значение силы50, при котором продольное усилие в балке обращается в нуль.
2лж \ cos —— ),2лж \ cos —— ),У = 7 /оУ = 7 /оРассмотрим теперь балку с заделанными концами. Положив [см. формулу (70)]
2лж \ cos —— ),
2лж \ cos —— ),
У = 7 /о
У = 7 /о
представим для этого случая уравнение (59) в таком виде:
а2а2Г ^V^Г ^V^
а2
а2
Г ^V^
Г ^V^
Уравнение это также легко решается при помощи линейки. Полагая 1 + Н—— = х, получаем для нашего прежнего численного примера х3 — х3 = 4,23, откуда х = 2,03; а2 = 4,12; и = 3,19.
При нагрузке вдвое большей интенсивности получим х3 — х2 = 16,92, откуда х = 2,95; и = 4,39.
Влияние дополнительных продольных сил может быть оценено таким же способом, как и в случае опертых концов.
Об изгибе слегка искривленных стержней
При исследовании изгиба кривых стержней мы убедились, что элементарная теория, построенная на гипотезе плоских сечений, дает для напряжений весьма точные результаты. Поэтому в основание дальнейших выводов мы можем положить эту гипотезу и считать, что величина изгибающего момента пропорциональна изменению кривизны оси стержня в рассматриваемом сечении. Рассмотрим здесь случай, когда ось стержня весьма мало искривлена в одной из главных плоскостей стержня и все силы действуют в плоскости кривизны. Задача эта представляет практический интерес, так как ее решение позволит нам сделать некоторые выводы относительно влияния начального прогиба, всегда встречающегося при практическом выполнении прямых стержней, на обстоятельства изгиба стержня. При исследовании изгиба направим ось х по линии, соединяющей концы искривленной оси стержня, ось у расположим в плоскости кривизны. Обозначим через у0 ординаты начального искривления оси и через ух — прогибы, обусловленные действием сил. При малых искривлениях мы можем как для начальной кривизны, так и для кривизны, получающейся после деформации, брать приближенные выражения. В таком случае изменение кривизны, вызванное действием сил, представляется так:
^2У1^2У^2Уо
dx^dx2dx^ 1
где у = у0 + ух. Следовательно, дифференциальное уравнение, определяющее изменение кривизны оси стержня, напишется так:
(а)(а)ЕJ ^ = —М.dx^
(а)
(а)
Если концы стержня при изгибе свободно могут скользить по оси х и никаких продольных сил не приложено, то, очевидно, прогибы уг слегка искривленного стержня ничем не будут отличаться от соответствующих прогибов стержня с идеально прямой осью. Иной результат мы получим, если перейдем к исследованию изгиба в случае действия не только поперечных нагрузок, но и продольных сил. Действие этих сил, как мы уже видели, зависит от искривления оси стержня, и потому начальная кривизна в задачах такого рода будет играть существенную роль. Исследование этих вопросов, конечно, можно выполнить путем интегрирования основного уравнения (а), но мы быстрее придем к цели, если воспользуемся представлением уравнения изогнутой оси стержня в форме тригонометрического ряда х. Начальное искривление оси стержня всегда можно представить в такой форме:
у0 = bx SIH -у- + b^ sin -у- + &3sm -у- + • • • (Ь)
Здесь, как и прежде, через I обозначено расстояние между опорными точками стержня. Начало координат совпадает с левым концом оси стержня. Концы стержня предположим свободно поворачивающимися. В таком случае прогиб, обусловленный действием сил, можно представить так:
их .. 2ля .. Зля ., .
ух = ^sm-y-4-a2sin—h^sin—^ Н • ••(с)
Для определения коэффициентов б^, а2, ••• воспользуемся началом возможных перемещений. При этом нам понадобится выражение для потенциальной энергии изогнутого стержня и для работы внешних сил. Так как уравнение (а) для определения ух такое же, каки в случае прямого стержня, то, очевидно,мы можем воспользоваться прежним выражением для потенциальной энергии (61) п г л 72=00 EJu4 д 2 и положить V = -у3 ■ тгаи.
В качестве поперечной нагрузки возьмем силу Р, сосредоточенную на расстоянии сх от левого конца. Если мы будем рассматривать перемещения, соответствующие приращению 6ап коэффициента On в выражении (с), то работа, совершаемая силой Р на этом перемещении, очевидно, представится так:
Р&ап sinР&ап sinписхТписхТ
Р&ап sin
Р&ап sin
писхТ
писхТ
Предположим, что кроме поперечной нагрузки на наш стержень действуют продольные сжимающие силы 5, приложенные по концам. При вычислении работы этих сил на возможных перемещениях нам нужно знать изменение расстояния между концами стержня при искривлении сил. Разность между длиной искривленной оси стержня после деформации и длиной хорды, соединяющей концы стержня, на основании формулы (65), представится так;
71=0071=00\
ы = Л- § yAdx = -^- f (Уо + y^f = ^ ( 2 пЬп + 2 2 »2Mn+ 2 п2а„).
z оо44 \n=in=i1
Та же разность до деформации
Следовательно, изгиб стержня сопровождается таким изменением расстояния между его концами:
2 П=ос2 П=со
б1-61й = ^ ^ п^ + 4-2 п4пъп.{1^
П=1П=1
Если мы коэффициенту ап дадим приращение боп, то этому будет соответствовать изменение расстояния между концами
——~ 6ап 1Г п ^ап + Ьп^6апе
При этом сжимающие силы совершат работу
S -^ п2 (ап + Ь^ 6аП1и соответствующее уравнение для определения коэффициента On напишется так:Р8ш -^7^- 6ап + 8-£т- п? (ап + Ь^ ба„ = -^- 6а„ = -Е^ п^а^а^.
Если мы воспользуемся прежним нашим обозначением а2 — -Еу™г 70 получим
2PZ3sin-?+ .
— EJn4 (га4 — а2га2) + п2 — а2 *
Вставляя это в выражение для прогибов (с), находим
У1 =У1 =2PZ3Я/л42PZ3Я/л4. ПЛС1 sin —-—п=оо ,I . ПЛХ .2 V—.2*2- 81П —F »727п^ — а2м2 Iтг2 — а2П=1. ПЛС1 sin —-—п=оо ,I . ПЛХ .2 V—.2*2- 81П —F »727п^ — а2м2 Iтг2 — а2П=1. плхsin ——. плхsin ——(74)(74)
У1 =
У1 =
2PZ3
Я/л4
2PZ3
Я/л4
. ПЛС1 sin —-—п=оо ,
I . ПЛХ .2 V
—.2*2- 81П —F »727
п^ — а2м2 Iтг2 — а2
П=1
. ПЛС1 sin —-—п=оо ,
I . ПЛХ .2 V
—.2*2- 81П —F »727
п^ — а2м2 Iтг2 — а2
П=1
. плхsin ——
. плхsin ——
(74)
(74)
Сравнивая это с результатом, полученным нами раньше для прямых стержней [см. формулу (66)], заключаем, что первая сумма полученного выражения (74) представляет собой прогиб прямого стержня. Второй суммой оценивается влияние кривизны. Дополнительный прогиб, обусловленный начальным искривлением, совершенно не зависит от поперечной нагрузки, и мы его можем вычислить без всяких затруднений, если только заданы коэффициенты bv b2. Пользуясь сложением действий поперечных нагрузок, мы при помощи выражения (74) легко найдем прогибы при любой поперечной нагрузке. Возьмем, например, изгиб равномерно распределенной нагрузкой стержня, имеющего начальное искривление по параболе. Чтобы представить это искривление в виде тригонометрического ряда, поступим так. Возьмем случай изгиба прямого стержня двумя равными и прямо противоположными парами сил, приложенными по концам. На основании формулы (63) уравнение искривленной оси представится так:
4МГ2-1 . плх/зх
«=1,3,5. ... и прогиб посередине будет
^X = -L EJn» И 3s + 5s
(е)(е)С другой стороны, для того же прогиба мы можем написать
(е)
(е)
^х = -у 8£J ~ ^
Так как в этом случае можно искривленную ось стержня принять за параболу (приближенная формула для кривизны приводит нас в случае частого изгиба к искривлению по параболической кривой), то на основании сравнения (d) и (е) мы можем для начального параболического искривления со стрелкой / взять
такое выражение: 32 , V 1. п^х
^ — "^Г fп3 9111 ~ •
71= 1,3,5, ...
оси:оси:Следовательно, коэффициент Ьп в выражении (Ь) будет иметь значение ^“ , и формула (74) даст нам для равномерной нагрузки такое уравнение изогнутой
оси:
оси:
4^ v 8111 I 32/а2 v SIn I
У EJk> 2л п3 (п2 — а2) л3п3 (п2 — а2)
и=1,3,5, ...п=1,3,5, ...,
плх
sin
4gZ4 /л !8а2£/зх2/ \ V^
" Е/л^Р НIп3 In2 — а2) ~
71=1,3,5, ...
пых
sin
= (1 + Р) гупь 2 nS(n2 —а8) *(75)
•п=1,3,5, ...
где8а2£/л2/ _ 8/5 _ „
ql* ~ ql1 — Р-
В рассмотренном случае влияние начальной кривизны может быть оценено очень просто, нужно только прогибы, вычисленные для прямого стержня, помножить на величину 1 + р. При положительных значениях / начальная кривизна вызывает увеличение прогибов. Отрицательное значение / вызовет, конечно, противоположное действие. От прогибов мы можем перейти к углам поворота концов и к изгибающим моментам.
Изменяя знак силы 5, мы без всяких затруднений переходим к исследованию изгиба при одновременном действии поперечной нагрузки и продольных растягивающих сил. Например, в случае равномерной нагрузки и при первоначальном искривлении по параболе выражение для прогибов балки с опертыми концами (см. § 10) напишется так:
й-d-f»^й-d-f»^1 + -fr»d-4(l-S).1 + -fr»d-4(l-S).
й-d-f»^
й-d-f»^
1 + -fr»d-4(l-S).
1 + -fr»d-4(l-S).
При абсолютно заделанных концах опорные моменты Мо на основании формулы (47) представятся так:
М.М.S.pu^(1_№
М.
М.
—- и3 th и
3
Выражение для прогибов балки при упруго заделанных концах напишется на основании (49) так:
,/. 2ж \-
ch и 1
6. -’ (‘ - И [—- «] + -^(1 - 4(1 - №
(76)
Формулы эти отличаются от тех, что мы имели для прямых стержней, лишь множителем 1 — р. Знак перед Р мы переменили соответственно изменению
знака 8. Еще более простые выражения для прогиба получим, если возьмем начальное искривление по синусоиде у0 = b sin --р .
Рассмотрим случай действия только продольной силы. В таком случае формула (74) дает нам
a?b sin -^-
С увеличением продольной сжимающей силы возрастает а, а вместе с тем возрастает и прогиб. Особенно быстро начинает увеличиваться прогиб с приближением а2 к единице, что соответствует приближению продольной сжимающей силы к эйлеровой нагрузке. При а2 = 1 наше выражение (77) обращается в бесконечность. При а2 > 1 знаменатель выражения (77) становится отрицательным, и мы будем получать положительные прогибы при отрицательном значении Ь. Это показывает, что мы можем стержень с начальным искривлением перегнуть в противоположную сторону и держать его так в изогнутом состоянии при помощи продольных сжимающих сил, но величина этих сил должна быть больше эйлеровой нагрузки и тем больше, чем меньшее искривление мы желаем поддерживать.
До сих пор мы предполагали продольные силы заданными. Иногда они нам не известны и являются следствием того, что концы стержня при изгибе не могут свободно скользить вдоль оси х. Предположим, например, что вследствие особых закреплений расстояние между концами не может изменяться. В таком случае
6Z - 6^ = 2- J [yf + 2^ dx = ~.
о
Вставляя вместо уги у0 их значения, мы из этого уравнения могли бы найти величину продольной оси и потом полностью исследовать вопрос об изгибе, как это мы делали в предыдущих задачах, где продольные силы были заданы. Если концы стержня соединены упругой связью так, что изменение расстояния между ними пропорционально продольной силе, то величина продольной силы найдется из уравнения
О
где К — коэффициент распора.
Если бы мы, например, вместо у0 взяли начальный прогиб, соответствующий искривлению по параболе, и вместо уг — выражение (76), то получили бы уравнение для определения продольной силы при упруго заделанных концах. В это уравнение войдет величина р, зависящая от 5, и потому определение 8 в этом случае будет сложнее, чем было при прямом стержне 1см. уравнение (58)]. Ре
шение уравнения удается разыскать лишь путем последовательных попыток. Мы для упрощения этой задачи воспользуемся тем же приближенным методом, который был применен раньше для прямых стержней (см. § 13). Допустим, что под действием поперечной нагрузки и продольных растягивающих сил стержень
. -25. sin JgL. Начальное ис- 1 + а2 I. -25. sin JgL. Начальное ис- 1 + а2 Iс опертыми концами изгибается по синусоиде Ч
. -25. sin JgL. Начальное ис- 1 + а2 I
. -25. sin JgL. Начальное ис- 1 + а2 I
„vsin—— . В таком случае
6а2 sin
/о . лжI
Ул = 1~-—F Sin ——5
1 + а2 I1 + а2
Вставляя это в уравнение (78), приходимктакому уравнению для определения а2:
(/о-6а2)2 , 26^-60^ _ 4а2г2
(1 + а2)21 + а2К ’
где г2, как и раньше, обозначает квадрат радиуса инерции поперечного сечения. Из этого уравнения величина а2 может быть определена без всяких затруднений. Несколько численных примеров этого рода мы приводим ниже в связи с исследованием изгиба пластинок по цилиндрической поверхности.
§ 15. Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба стержней, лежащих на сплошном упругом основании
Если стержень с опертыми концами лежит на сплошном упругом основании, то при исследовании его изгиба выгодно воспользоваться выражением для прогиба в форме тригонометрического ряда
. их ,. 2лж.. Зля,, .
у аг sin —^—ьа2 sin —На3 sin —-И• • •(а)
Коэффициенты ап Оз, ... в этом выражении вычисляются для каждого частного случая при помощи начала возможных перемещений. Нужное для этого выражение потенциальной энергии составится из двух частей: энергии изгиба стержня Ух и энергии деформации упругого основания К2. Для первой части можем воспользоваться известным выражением (61). Что касается энергии деформации основания, то она представится таким образом х:
= 4 f= 4" "ST 4(80)
Следовательно,
П=ооП=оо
Т ТТУ • ТУЕ J ЛД 2 I' 2
п=14П=1
Рассмотрим изгиб балки сосредоточенной силой Р, приложенной на расстоянии сг от левого конца. Для определения любого коэффициента ап в выражении (а) начало возможных перемещений дает в этом случае такое уравнение:
откуда находим
EJu4 «Я
\ EJu4 /
Общее выражение (а) для изогнутой оси стержня перепишется так:
. ле.2лсхх
/ sinsin л\
(81)(81)2PZ3 1I. их .I . 2лх,|
(81)
(81)
У ^ EJ^* I№Sln Т- + “kF- Sln ~I^"" I'
\ 1» -I 24 4/
в пределах от нуля до I. При этомв пределах от нуля до I. При этомИмея этот результат, мы путем сложения действия сил легко можем перейти к любому случаю нагрузки. Например, для равномерно распределенной нагрузки интенсивности q нужно в выражение (81) поставить вместо Р величину qdcT
в пределах от нуля до I. При этом
в пределах от нуля до I. При этом
_ 4ql4У~ EJn&_ 4ql4У~ EJn&пзгх sin —-—nkl4»*Ч="7-7EJn*пзгх sin —-—nkl4»*Ч="7-7EJn*и потом произвести интегрирование по сг получается такой результат:
_ 4ql4
У~ EJn&
_ 4ql4
У~ EJn&
пзгх sin —-—
nkl4
»*Ч="7-7
EJn*
пзгх sin —-—
nkl4
»*Ч="7-7
EJn*
(82)
1kl41kl4^х = ± — EJn»^х = ± — EJn»(83)(83)В тех случаях, когда мы имеем дело с податливым основанием, величина №jEJTi4 будет мала, и мы с достаточной для практики точностью можем ограничиться лишь первым членом выражения (82). Наибольший прогиб будет иметь место посередине пролета и величина его будет
1
kl4
1
kl4
^х = ± — EJn»
^х = ± — EJn»
(83)
(83)
* EJ^4
Этой формулой выгодно воспользоваться для приближенного расчета перекрестной балки (§ 6). Величина промежуточной опорной реакции для среднего стержня главного направления определится из выражения [см. формулу (Ь) §6]
о yQу
РР '
Если в него поставить вместо у величину, определяемую из (83), и принять во внимание.
1
(Ь)(Ь)что в рассмотренном случае (см. § 6) к = --—; q = —— , то получим ра ра
(Ь)
(Ь)
Р л 64 , д
\Л4 /
где для сокращения пользуемся прежним обозначением
и =и =к4EJ
и =
и =
При малых значениях и приближенная формула (Ь) дает для Н достаточно точные значения, С возрастанием и точность убывает и при и = 1 относительная погрешность уже несколько больше 1 %.
Подобным же образом решается задача в случае двух перекрестных балок *. Распространение того же приема на случай какого угодно числа равноудаленных поперечных балок приводим в следующем параграфе.
Если кроме равномерной нагрузки имеется еще продольная сжимающая или растягивающая сила, то выражение для изогнутой оси легко представляется
пь ± п3а2 +пь ± п3а2 +_ 4ql* У" EJu&._ 4ql* У" EJu&.ПТ1Х sin —-—ПТ1Х sin —-—(82-)(82-)в таком виде:
пь ± п3а2 +
пь ± п3а2 +
_ 4ql* У" EJu&.
_ 4ql* У" EJu&.
ПТ1Х sin —-—
ПТ1Х sin —-—
(82-)
(82-)
nkl4
EJn4
где а2 представляет собой, как и прежде, отношение продольной силы к эйлеровой нагрузке.
Предположим, что система балок главного направления, параллельных оси у (рис. 18), поддерживается несколькими перекрестными балками. Исследуем изгиб этих балок под -•-*АВ CD. Искривленная поверх-Предположим, что система балок главного направления, параллельных оси у (рис. 18), поддерживается несколькими перекрестными балками. Исследуем изгиб этих балок под -•-*АВ CD. Искривленная поверх-площади можетплощади может(а)(а)Рис. 18.Рис. 18.
Предположим, что система балок главного направления, параллельных оси у (рис. 18), поддерживается несколькими перекрестными балками. Исследуем изгиб этих балок под -•-*АВ CD. Искривленная поверх-
Предположим, что система балок главного направления, параллельных оси у (рис. 18), поддерживается несколькими перекрестными балками. Исследуем изгиб этих балок под -•-*АВ CD. Искривленная поверх-
площади может
площади может
(а)
(а)
Рис. 18.
Рис. 18.
§ 16. Случай нескольких перекрестных балок
действием сплошной нагрузки, распределенной по ность, по которой изогнется наша система балок, быть представлена так:
ГП— со п~со
ю = Z amnam~~ sin-£— ' т=1 n—1
Чтобы из этого выражения получить уравнение изогнутой оси г-й балки главного направления, нужно только вместо х поставить соответствующее значение xv Точно так же для получения уравнения изогнутой оси /-й перекрестной балки нужно вместо у поставить соответст-
вующее значение yv
_ Если р обозначает число балок главного направления, г — число перекрестных балок, EJ^ — жесткость г-й балки главного направления и EJ. — жесткость /-й перекрестной балки, то потенциальная энергия изгиба нашей системы балок представится таким выражением:
1 и1 иqwdxdy.qwdxdy.(84)(84)(Ъ)(Ъ)EJ-^21®EJ-^21®г=р2. пг^зтх. sm -г=р2. пг^зтх. sm -, ттсх^ аттыsin ~т = 1,3,5»»., ттсх^ аттыsin ~т = 1,3,5»».EJ^EJ^2Z3 т12Z3 т12. ПхОД?2. ПхОД?. ^э 4qlL „ sin —= ——— . ”4” lrт1и1л2. ^э 4qlL „ sin —= ——— . ”4” lrт1и1л2(85)(85)
1 и
1 и
qwdxdy.
qwdxdy.
(84)
(84)
(Ъ)
(Ъ)
EJ-^
21®
EJ-^
21®
г=р
2. пг^зтх. sm -
г=р
2. пг^зтх. sm -
, ттсх^ аттыsin ~
т = 1,3,5»».
, ттсх^ аттыsin ~
т = 1,3,5»».
EJ^
EJ^
2Z3 т1
2Z3 т1
2. ПхОД?
2. ПхОД?
. ^э 4qlL „ sin —= ——— . ”4” lrт1и1л2
. ^э 4qlL „ sin —= ——— . ”4” lrт1и1л2
(85)
(85)
Работа сплошной нагрузки при изгибе балок будет равна -g- J j
.О О
Коэффициенты атп определятся из условия
6 (К — у J qwdxdy) = 0.
Рассмотрим подробнее случай, когда балки главного направления равно удалены и имеют одинаковое поперечное сечение. Те же предположения сделаем относительно перекрестных балок и допустим, что система балок изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Из условий симметрии можем заключить, что в общее выражение (а) для прогиба войдут лишь члены с нечетными значками т и п, и уравнения для определения коэффициентов атп1 получаемые из общего выражения (Ь), будут иметь такой вид:
Уравнения эти сильно упрощаются, если принять во внимание такие равенстваг: если т п и числа т + п и т — п не делятся на 2 (р + 1),
i=p
2
. ТПЛ L‘t . ПЛ1
sin ——- sin —-7- = 0;
p+lр+1
1=1
если т + п делится на 2 (р + 1),
i=p
. пш1 . nut р +1 .
> sinг-7- sin —= — ——3р+1 р + 12
г=1
если т — п делится на 2 (р + 1),
г=р
Sin— Sin —т- = +;
,р+1р+12
если т не делится на р + 1,
г=р
2
. „ mui р +1 .
i==1 Sm Р + “5;
если т делится на р + 1,
г=р
2sm2-^+T=°-
Практически приходится ограничиваться лишь несколькими первыми членами в общем выражении (а) для прогиба, и потому при достаточно большом числе балок [2 (г + 1) > > тп + п, 2 (р + 1) > w + п] каждое из уравнений (85) будет заключать лишь один неизвестный коэффициент. Коэффициенты легко вычисляются по такой формуле
4qllT 4Z3“«mi ~ 1 „^„^2 EJlx44qllT 4Z3“«mi ~ 1 „^„^2 EJlx4(86)(86)1
4qllT 4Z3
“«mi ~ 1 „^„^2 EJlx4
4qllT 4Z3
“«mi ~ 1 „^„^2 EJlx4
(86)
(86)
4 (г + 1) + nf (р + 1) 4^-
Имея выражение для коэффициентов, легко найти прогиб любой перекрестной балки. Предположим, например, что у нас число перекрестных балок нечетное и напишем уравнение г + 1
изогнутой оси для средней балки, которой соответствует у—^— = Zi/2. Вставляя это значе
ние у в выражение (а), получаем
«, = sin^ 2«^(-D^^ + sin-^ 2%(-1) +
пР \ . (п + 1) Р+)sm"2'". Рsm —пР \ . (п + 1) Р+)sm"2'". Рsm —n=l,3,5s...n= 1,3,5, ...
пР \ . (п + 1) Р
+)sm"2'"
. Рsm —
пР \ . (п + 1) Р
+)sm"2'"
. Рsm —
тлг . ппг
r+Tsm7+T
sin (in + та) л —
sin
1
2
г=р
(т 4- п) л 1
2(p+D 1
(m + п) л 2(P + D
(т + п) лё
(тп — и) лё COS - :
.Г(пг — п) л
81п[0п-п)л- з^^)-
sin
(т — п) л
2 (Р+1)
Или, пользуясь выражением (86) для коэффициентов amw получаем
EJ^« (г +1)7 j / j р p 4-1 '
m=l,3,5,...\r^l
4д11з413 3£/лв (r + 1)4д11з413 3£/лв (r + 1)m=l,3,5, ••m=l,3,5, ••mnxsin —-—
4д11з413 3£/лв (r + 1)
4д11з413 3£/лв (r + 1)
m=l,3,5, ••
m=l,3,5, ••
m (m4 + 34-P±|
\1Й r+1
Наибольшую роль играет первый член этого выражения и обыкновенно в качестве первого приближения им можно ограничиться. Тогда на основании (80) можно сказать, что прогиб рассматриваемой перекрестной балки такой же, как и балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой равномерно распределенной нагруз-
жесткость основания характеризуется величинамижесткость основания характеризуется величинами«> 4q l-t
жесткость основания характеризуется величинами
жесткость основания характеризуется величинами
кои интенсивности аЛ = —, , -т;
л(г + 1) ’
ejx ^{p + i) г V k V л4 р + 1 az»ZZ3 г+12 |/ 4EJ - у 64 г + 1 Л3 •
Для вычисления прогибов в таком случае проще всего воспользоваться формулой (15). Тогда для прогиба посередине получим выражение
/414 Q^
2 ’21
Здесь через Q обозначена величина qliH^p + 1), представляющая собой нагрузку, приходящуюся на одну балку главного направления. Множитель, стоящий перед скобками в полученном выражении для прогиба перекрестной балки, с достаточной точностью может быть принят равным прогибу балки главного направления при отсутствии перекрестных балок. Множителем [1 — фо (и)] оценивается влияние перекрестных балок. На основании л3
табл. 1 заключаем, что при ~ < и < ~ л перекрестные балки будут вредны. Они не только
не поддерживают средней балки главного направления, но, наоборот, увеличивают ее прогиб. Когда прогибы перекрестных балок определены описанным здесь способом, легко может быть рассчитана средняя балка главного направления. Для этого проще всего воспользоваться формулами для неразрезной балки с опорами, расположенными на различных высотах.
Мы до сих пор предполагали, что все перекрестные балки имеют одинаковую жесткость, такое же допущение мы делали и относительно балок главного направления, но тот же прием может быть с выгодой применен и в тех случаях, когда одной или нескольким балкам придано иное сечение. Ход решения задачи поясним на таком примере. Предположим, что плоское покрытие, несущее равномерную нагрузку, поддерживается одиннадцатью равноудаленными балками главного направления и пятью перекрестными балками. Концы всех балок предполагаются свободно поворачивающимися. Поперечные сечения всех балок главного направления одинаковы. Что касается перекрестных балок, то средняя из них имеет вдвое большую жесткость, чем другие. Для потенциальной энергии изгиба нашей системы балок мы напишем такое же выражение, как и в случае перекрестных балок постоянной жесткости EJ и потом к нему присоединим выражение ■ ~^з" [(«и — «тз + а15 — ...)2 + З4 («si — «зз + «зб — ...)2 + ...], представляющее собой ту прибавку к потенциальной энергии, которая соответствует удвоению жесткости средней перекрестной балки.
Уравнения для определения коэффициентов а^^ получают при этом такой вид:
EJX^ЦEJX^Ц”1”1, EJ^, EJ^£=11£=1««мд...7=5 к XI . ^л^зпяу=”i2lsm т^ L vm-r+7=4»=1,3,5,£=11£=1««мд...7=5 к XI . ^л^зпяу=”i2lsm т^ L vm-r+7=4»=1,3,5,
EJX^Ц
EJX^Ц
”1
”1
, EJ^
, EJ^
£=11
£=1««мд...
7=5 к XI . ^л^зпяу=
”i2lsm т^ L vm-r+
7=4»=1,3,5,
£=11
£=1««мд...
7=5 к XI . ^л^зпяу=
”i2lsm т^ L vm-r+
7=4»=1,3,5,
EJit* 4,,.,~—4qUx 48(2
2/3 т1^атг1 ami3 + amt5 '"H^т^л» т^п^я?"
Принимая во внимание значение сумм
г=р
J
.. пш
Sin — Sin —т~
Р + 1 Р + 1
при различных т и п и ограничиваясь лишь первыми членами в общем выражении (а) [т + п < 12], мы находим, что система уравнений для определения коэффициентов а^ распадается на группы, причем в каждую группу входят лишь коэффициенты с одинаковыми значками mi. Решение этих уравнений крайне просто, так как значения величин сст1П быстро убывают с увеличением п. Если в нашем примере мы возьмем девять членов в общем выражении (а) и введем для сокращения обозначения
J1P *Q13
а = —; А = - у, г—г-,Л^EJ^
то первая группа уравнений (ли = 1) напишется так:
^ап 4~ 3«ц 4“ («ц — «13 4** «15) = 96Л;
З4 - бехд^ з -|- З«13 — («ц — а^з 4- а^ 5) = 32 Л$
96
б4 • 6а15 4~ За15 4“ («ц «тз + ^б) —
Произведем вычисления для того случая, когда а = 0,438. Решение уравнений дает
нам ац = 14,49Л; агз = 0,214Л; а15 = 0,003Л.о
Подобным же образом из второй и третьей групп уравнений (mi = 3) и (тх = 5) найдем asi = 0,107Л; а33 = 0,036Л: а35 = 0,0004Л; а51 = 0,0086Л; а53 = 0,0044Л; аб5 = 0,0003Л.
Имея значения коэффициентов атп, легко написать выражение для изогнутой оси каж
дой перекрестной балки. Так, например, для средней перекрестной балки (у. = Zi/2) получим
. ля. Злж. 5лж
^5=3 — sln —~(«11 «13 4" а1б) 4™ si*^ («31 а33 4" а3б) 4“ Sln J (а51а53 4“ а5б)‘
Вставляя сюда значения коэффициентов и полагая х = Z/2, получаем QI»
W№= 1 у= А “ 14,21 E Jit.» ■
2 ’ v 2
Подобным же образом для следующих двух перекрестных балок, полагая у = IJ3, у = 2^6, получаем
QI3Q13
Величину изгибающего момента для каждой перекрестной балки найдем из формулы 1 \М I ='5^2 Вставляя вместо w соответствующие выражения для прогиоов, находим
для средин перекрестных балок такие значения моментов:
М t , = 0,282% М L . = 0,122% М t . = 0,071 QI.
Теперь остается рассчитать балки главного направления. Крайние из этих балок можно рассматривать как неразрезные балки на семи абсолютно жестких опорах. Опорные моменты для них будут иметь такие значения:
(Л/)= —0,00294%; (М) г = — 0,00214%; (М), =—0,00241%.
у=—^Т
Что касается средней балки главного направления, то для нее придется к вычисленным выше опорным моментам присоединить моменты, обусловленные осадкой опор. Обозначив их соответственно через Mi, М2 и Мз, получим, на основании найденных выше прогибов, такую систему уравнений:
4МХ += ll^L -^- (7,38 - 5,08);
М, + Ш2 + Мз = 6-^Л -^5- (5,08 -1,75);
2М2 + Шэ =-g_ (1,75 + 1,75),
откуда находим Mi = 0,0425%; М2 = 0,0572%; Мз = 0,0572%. Присоединяя сюда найденные выше опорные моменты от нагрузки, получаем окончательно для изгибающих моментов в узлах средней балки главного направления значения М\ = 0,0396%, М2 = = 0,0551%, М'3 = 0,0548%.
Заметим, что при взятом нами числе знаков в выражениях для прогибов перекрестных балок третий знак в числах, полученных для моментов, является сомнительным. Конечно, можно было бы получить и более точное выражение для моментов, но такой расчет не имел бы практического значения, так как все решение задачи является по существу лишь приближенным. Мы, например, совершенно не принимали во внимание закона распределения давлений, получаемых балками главного направления от пластины плоского пере крытия, и приняли эти давления равномерно распределенными по плоскости покрытия. На самом деле этого нет, и получаемые вследствие этого погрешности будут в рассмотренном численном примере, вероятно, не меньше тех погрешностей, которые являются следствием неточного определения прогибов перекрестных балок. Выясненный на численном примере способ расчета перекрестных балок легко может быть распространен на тот случай, когда нагрузка не равномерная, а, например, изменяется вдоль оси у по линейному закону. Если по концам перекрестных балок приложены моменты, то можно пользоваться тем же приемом расчета, нужно только к работе нагрузки присоединить работу опорных пар.
Глава II
МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ С КРИВОЙ ОСЬЮ
§ 17. Малые деформации стержня с круговой осью в плоскости кривизны
При исследовании изгиба стержней малой кривизны (§ 14) было указано, что с
достаточной для практики точностью можно считать изменение кривизны оси бруска в каком-либо поперечном сечении пропорциональным величине соответствующего изгибающего момента.
Если за положительное направление момента примем то, которое увеличивает начальную кривизну, и обозначим начальный радиус оси бруска через г и радиус кривизны изогнутой оси бруска после деформации через р, то основное
уравнение для изогнутой оси бруска при действии сил в плоскости кривизны, с которой совпадает одна из главных осей инерции поперечного сечения бруска, напишется так х:
(88)
Совершенно так же, как и для прямых стержней, мы при условии малых перемещений можем заменить уравнение (88) более простым уравнением, если выразим изменение кривизны оси брус
ка через перемещение и. которое совершают точки оси в радиальном направлении при деформации бруска. Пусть АВ — искривленная ось бруска и пунктиром указана первоначальная круговая ось (рис. 19, а). Радиальные перемещения и считаем положительными, если они происходят в направлении к центру О. Двумя радиусами с углом d6 выделим эле- v.1
мент тп, кривизна которого до деформации будет -^— = — .
В случае весьма малых перемещений мы при определении изменения кривизны можем сравнивать кривизну элемента тп с кривизной элемента т'п , выделенного из деформированной оси бруска теми же радиусами От и On.
Для элемента т'п' кривизна может быть представлена так:
de + 6^0 ds + 6ds
1
Р '
Из геометрических соображений (рис. 19, б) можем написать
Sd6 = -^- ds; 6ds = — а» — ds2 ’r
(а)
В таком случае, пренебрегая малыми высшего порядка, получаем d2u dQ -I— ds
1 ds2 c?0 . (Z6 и d2u
p/ и \ ds ds r ds2 *
Вставляя это выражение в уравнение (88), получаем1
d2u ._ Mr2
"5^" + “ — ~Ё7~'
(89)
(88')
Совершенно такой же результат мы получили бы, если бы взяли уравнение искривленной оси АВ в полярных координатах R — г — и и выражение для радиуса вектора R вставили в известную формулу для кривизны
£Р
/ dR \2 d2R
._3
■/ йя^!2
я2 + 1—х-
\ <ze / I
Путем отбрасывания малых высшего порядка придем и в этом случае к уравнению (88').
Уравнение (88') играет такую же роль, как уравнение (2) в случае прямых стержней. Общий интеграл этого уравнения легко находится и может быть написан в таком виде:
и = I sin 9tZ9^ cos 9 + /Со + f cos 9^9^ sin 9. (90)
Произвольные постоянные 6^ и С2 должны быть найдены из условий закрепления концов бруска. В случае статически неопределенных задач решение (90) дает возможность найти лишние неизвестные величины, являющиеся результатом лишних закреплений.
В качестве примера возьмем случай круговой арки с шарнирными закреплениями 2 (рис. 20). На арку действует сосредоточенная сила Р, приложенная в среднем сечении С. Произведя в этом сечении разрез и заменяя действие правой половины арки на левую си-
р
лами — и So и моментом Мо, найдем для какого-либо сечения тп изгибающий момент
МQ = — Мо —- S^r (1 — cos 0) 4- -^- г sin 0.
Вставляя это выражение в общий интеграл (90), получаем
EJ/0\
— и = — М6 — Sor (1 — — Sin 0) 4
Pr,.
—— (sin 0 — 0 cos 0) — C, cos 0 — sin 6.
4
Сюда вошли две лишние неизвестные Мо и So. Для определения этих величин и произвольных постоянных С^ и С2 имеем следующие условия на концах:
I du \EJ / d^u \
Ыко = О:
Четвертое уравнение получим, пренебрегая растяжениями от продольной силы и полагая равным нулю изменение длины оси бруска. В таком случае аа
j dds = 0 или J ud^ = 0. оо
Из найденных четырех уравнений определятся все нужные нам величины, и мы можем найти деформации и напряжения в любом сечении арки.
В качестве второго примера рассмотрим изгиб под действием собственного веса кругового кольца, опирающегося на горизонтальную плоскость (рис. 21). Производя сечения в точке А и заменяя действие правой половины на левую силой So и парой Мо, мы находим в сечении В такое выражение для изгибающего момента:
MQ = — Мо -|- S^r (1 — cos 0) + yr2 (cos 6 + 9 sin 6 — 1).
Здесь через у обозначен вес единицы длины кольца. Вставляя выражение для М^ в общий интеграл (90), получаем
EJ/ 6\
-— и = — MQ — S^r I — sin 0 — 11 —
— yr2 1 + — cos 0 cos 9 9 sin 9y — C^ cos 0 — C^ sin 9.
Для определения лишних неизвестных и постоянных С^ и С^ имеем условия
( du \/ du \
II ~ 0: I1= 0; (uV „ = 0.
К ^0 /е=о\ d^ /0=л6=3t
л
Кроме того, условие нерастяжимости оси дает нам четвертое уравнение i ud6 = 0. Из этих
уравнений находимуравнений находимСледовательно,Следовательно,'9 9 — 2л22 с 1С\ = К28’ С2 = °; м0 = у V ’ S0 = у vr.'9 9 — 2л22 с 1С\ = К28’ С2 = °; м0 = у V ’ S0 = у vr.и =и =sin 0 — 1 — cos 0 —sin 0 — 1 — cos 0 —02 —Л2402 —Л24cos 0cos 0
уравнений находим
уравнений находим
Следовательно,
Следовательно,
'9 9 — 2л22 с 1
С\ = К28’ С2 = °; м0 = у V ’ S0 = у vr.
'9 9 — 2л22 с 1
С\ = К28’ С2 = °; м0 = у V ’ S0 = у vr.
и =
и =
sin 0 — 1 — cos 0 —
sin 0 — 1 — cos 0 —
02 —Л2
4
02 —Л2
4
cos 0
cos 0
При составлении выражений для изгибающих моментов в рассмотренных примерах мы исходили из недеформированного состояния кольца и пренебрегали теми изменениями в расположении внешних сил, которые получаются вследствие деформации. В тех случаях, когда под действием внешних сил возникают значительные продольные усилия, изменение формы бруска может оказывать существенное влияние на обстоятельства изгиба и его приходится принимать во внимание при составлении выражения для изгибающего момента. Мы разрешим эту задачу при помощи тригонометрических рядов.
§ 18. Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба кругового кольца
Предположим, что кольцо радиуса г (рис. 22) деформируется под действием заданной системы сил, лежащих в плоскости кольца (ху). В той же плоскости лежит одна из главных осей инерции сечения. При деформации точки оси кольца будут совершать перемещения в плоскости ху. Перемещение какой-либо точки А
можно разложить на составляющие; радиальное перемещение, направленное к
направлениинаправленииоси воси вцентру, обозначим через и и перемещение по касательной к возрастания угла 0 обозначим через w. В самом общем случае мы можем представить радиальное перемещение таким рядом:
направлении
направлении
оси в
оси в
(а)(а)и = аТ cos 0 + а2 cos 20 + • • • ++ Ьг sin 6+Ь2 in 26 + • • •
(а)
(а)
Что касается перемещения и?, то общее выражение для него мы найдем, если примем во внимание, что в случае тонкого кольца относительные удлинения оси кольца весьма малы и их можно считать равными нулю при вычислении перемещений и и w.
Принимая это допущение, мы тем самым берем вместо действительного кольца некоторую гипотетическую модель — кольцо с абсолютно нерастяжимой осью. При равномерном внешнем или внутреннем давлении такое кольцо будет вести себя как абсолютно твердое тело. Перемещения точек нашей модели будут весьма близки к перемещениям действительного кольца, если деформации растяжения оси кольца играют ничтожную роль по сравнению с деформациями изгиба, а это обыкновенно и имеет место в случае тонких колец, так как при уменьшении поперечного сечения кольца площадь сечения убывает как квадрат поперечных размеров, а момент инерции сечения, которым определяется деформация изгиба, убывает как четвертая степень тех же размеров. Следовательно, уменьшение размеров сечения сопровождается увеличением значения той части перемещений, которые обусловлены деформациями изгиба.
Напишем общее выражение для удлинения оси кольца через перемещения и и w. Из геометрических соображений заключаем, что перемещению w соответствует относительное удлинение dw/rdQ. Радиальному перемещению и будет соответствовать относительное сжатие — и^г.
Пренебрегая малыми высшего порядка, мы получаем для удлинения оси
кольца такое выражение:кольца такое выражение:(Ь)(Ь)
кольца такое выражение:
кольца такое выражение:
(Ь)
(Ь)
Для нашей модели с нерастяжимой осью будем иметь
dw19dw19и = 0.и = 0.(с)(с)
dw
19
dw
19
и = 0.
и = 0.
(с)
(с)
Вставляя вместо и его выражение (а), получаем для w такое значение: 11
w = av sin 6 + -у- а2 sin 20 + — «з ^п 36 + • • • —
№№11
№
№
— ^cosO2* 62 cos 29g-63cos0— •
Деформация кольца нам будет известна, если мы найдем для заданной систе-
г2> ••г2> ••мы внешних сил соответствующие значения коэффициентов аг, а^ ..., 61? 6.
г2> ••
г2> ••
Разыскание этих коэффициентов легко выполняется при помощи начала возможных перемещений. Нужно только составить выражение для потенциальной энергии деформированного кольца.
Так как мы приняли для кривого бруска то же самое распределение напряжений, что и для бруска с прямой осью, то для энергии изгиба формула будет иметь такой вид [см. формулы (88) и (88') ]:
222зт
2
2
о
2л
ооd02 /
о
о
или, вставляя вместо и его выражение (а), находим
П=оо
V = 2 (П2 - I)2 + ЪХ\ (91) п=2
Заметим, что в этом выражении пропадают члены с коэффициентами аг и bv так как соответствующее перемещение и = а^ cos 6 + Ьг sin 9 есть не что иное, как общее перемещение кольца как твердого тела, не сопровождающееся деформациями. Перемещение это мы могли бы получить из уравнения (88'), полагая в нем М = 0.
Имея выражение (91), мы легко можем находить значения коэффициентов аХп а^ ..., bv b^... для различных случаев нагрузки. Поясним это примерами. Рассмотрим случай изгиба кольца двумя взаимно противоположными силами Р (рис. 23). Работа этих сил на перемещениях, соответствующих приращению 6ап какого-либо коэффициента аП1 напишется так:
при п четном
Р$ап (cos 0 + cos пл) = 2Р6ап, при п нечетном
Р6ап (cos 0 + cos пл) = 0.
Подобным же образом для приращений 66П найдем P6bn (sin 0 + sin пл) = = 0. Следовательно, отличными от нуля будут лишь коэффициенты ап при четном значении п. Начало возможных перемещений дает для определения этих коэффициентов уравнения
-^- 6ап = 2Р§а1г, откуда находим
ап" ЕГя^ — Гр •Следовательно,П=оо
2Pr3cos пб
и(га2 — I)2 *
п=2,4, ...
Для сближения точек приложения сил Р получаем выражение
п=<»
(м)е=0 + (^)о==я —(м)е=0 + (^)о==я —^РрV 1
(м)е=0 + (^)о==я —
(м)е=0 + (^)о==я —
BJr-■(п* — I)3 *
В качестве второго примера рассмотрим кольцо, подвергающееся действию
наружного гидростатического давления (рис. 24). Центр кольца удерживается на глубине А при посредстве силы Р. Прини- -— -.-(
мая ширину кольца в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, равной единице и обозначая через у вес единицы объема жидкости, находим, что интенсивность давлений на кольцо в каком-либо сечении А будет равняться (A + г cos 0) у.
Сила Р, удерживающая кольцо, очевидно, равна яг2у. Так как все силы, приложенные к кольцу, имеют радиальное направление, то при составлении работы этих сил придется иметь в виду лишь перемещения и. Если коэффициенту о» в общем выра
жении для и дать приращение ба», то соответствующая работа внешних сил на
пишется так:
при п > 1
6anP cos ил + гба» j у cos п0 (h + г cos ^dB — 6апР (— 1)п,о
при и = 1
2я
&апР cos пк + гба» J у cos nQ (А + г cos в) d0 = 0.о
Работа, соответствующая приращению 6ЬП, будет равна нулю.
Для определения о» начало возможных перемещений дает нам уравнение
-^- 6о„ = 6а„ Р (— 1)”, откуда а» = ^^а^^ • Следовательно,
та=оо
(93)(93)Рг3 VI (_ 1)”
(93)
(93)
U— Е/П 2< („2 — 1)2 COSK0-
Из приведенных примеров видно, что, пользуясь началом возможных перемещений, мы при помощи выражения (91) для потенциальной энергии можем представить перемещения и и w в виде быстро сходящихся рядов. Имея эти ряды, легко находим величину изгибающего момента для любого поперечного сечения кольца.
Остановимся теперь подробнее на втором разобранном нами примере. Из полученного решения (93) видно, что перемещения и не зависят от абсолютной величины давлений, приходящихся на кольцо, а лишь от разности этих давлений в верхней и нижней точках кольца (этой разностью определяется сила Ру Увеличивая глубину погружения кольца А, мы будем все время получать на основании (93) одно и то же сплющивание кольца, несмотря на все увеличивающиеся давления. Между тем известно, что при большом всестороннем давлении, сильно сжимающем кольцо, даже незначительные изгибающие силы могут вызвать
большие искажения первоначально круговой формы кольца. Такое несоответствие между действительным явлением и решением (93) объясняется тем обстоятельством, что мы в своем исследовании все время исходили из первоначальной круговой формы кольца. При такой форме наша модель с нерастяжимой осью под действием всестороннего равномерного сжатия не получает никаких деформаций, но если какие-либо дополнительные силы вызовут искривления оси кольца, то всесторонние сжимающие усилия, наверное, увеличат эти искривления. Мы бу-
SSРис. 25.Рис. 25.дем здесь иметь полную аналогию с задачей об изгибе прямого стержня, подвергающегося одновременному действию поперечной нагрузки и продольной сжимающей силы. Если в этом случае исходить из первона- . чальной прямой формы, то придем к заключению, что продольная сила вызывает только сжатие. На самом деле вследствие искривления оси продольная сила будет вызывать не только сжатие, но и изгиб, и влияние ее на изгиб при некоторых условиях может быть очень велико. Чтобы оценить влияние всестороннего равномерного давления, вызывающего сжатие кольца,
S
S
Рис. 25.
Рис. 25.
на изгиб, нужно исходить не из первоначальной формы кольца, а из той формы, которая получилась после деформации.
Пусть АВ — элемент кольца до деформации (рис. 25). Продольные сжимающие силы 5 уравновешивают внешнее равномерное давление, приходящееся на элемент АВ. После деформации элемент АВ занимает положение А1В1. Вследствие искривления элемента кольца АВ силы S поворачиваются одна относительно другой на угол
лд / 11 \, Ри \
rdO= и +.
\ р г ) г d№ /
Равнодействующая этих сил в радиальном направлении получит прира-
Sd^ /. d^u \
щение — (и+^г).
Мы можем сказать, что при искривлении равномерно сжатого кольца действие продольных сжимающих сил S на прогибы равносильно действию сплошной нагрузки радиального направления и интенсивности х:
(94)(94)S /, (Ри \
(94)
(94)
9 —7Г^“+ “505") •
-^- 6ап = 2Р6ап-^- 6ап = 2Р6апПрименим эти общие соображения к нашему первому примеру. Предположим, что круговое кольцо, испытывающее равномерное сжатие 5, изгибается двумя взаимно противоположными силами Р (см. рис. 23). Заменяя влияние продольной силы на прогиб радиальной сплошной нагрузкой (94) и применяя начало возможных перемещений, приходим к такому уравнению для определения коэффициента ап при п четном:
-^- 6ап = 2Р6ап
-^- 6ап = 2Р6ап
— oan I In + -^I cosп(М0. о
2Рг3а" ~ EJu (п? — 1)2 — S^u (п? — 1)""2Рг3а" ~ EJu (п? — 1)2 — S^u (п? — 1)""2Рг3 и =EJu2Рг3 и =EJu260S «ОSi^71=2,4» ... (д2 — I)2(д2 — -J)260S «ОSi^71=2,4» ... (д2 — I)2(д2 — -J)(95)(95)
2Рг3
а" ~ EJu (п? — 1)2 — S^u (п? — 1)""
2Рг3
а" ~ EJu (п? — 1)2 — S^u (п? — 1)""
2Рг3 и =
EJu
2Рг3 и =
EJu
260S «О
Si^
71=2,4» ... (д2 — I)2(д2 — -J)
260S «О
Si^
71=2,4» ... (д2 — I)2(д2 — -J)
(95)
(95)
Вставляя вместо и его выражение (а) и выполняя интегрирование, получаем
Радиальные перемещения представятся так:
Подобным же образом для второго примера получим
Рт»U = -Ь т—EJuРт»U = -Ь т—EJu(— 1)П COS 710(— 1)П COS 710Sr”2-71=2,3, ... (д2 — I)2^у (д2 — 1)Sr”2-71=2,3, ... (д2 — I)2^у (д2 — 1)(96)(96)
Рт»
U = -Ь т—
EJu
Рт»
U = -Ь т—
EJu
(— 1)П COS 710
(— 1)П COS 710
Sr”2-
71=2,3, ... (д2 — I)2^у (д2 — 1)
Sr”2-
71=2,3, ... (д2 — I)2^у (д2 — 1)
(96)
(96)
Как и следовало ожидать, продольная сжимающая сила 8 вызывает увеличение искривлений. Чтобы получить влияние продольной растягивающей силы, нужно только в полученных выше формулах изменить знак силы 5.
Мы все время предполагали, что имеем полное замкнутое кольцо, но описанный здесь способ решения применим и в том случае, когда имеется лишь часть кольца с шарнирно опертыми концами. Если через а обозначим центральный угол, соответствующий данному отрезку кольца, то угол 0 будет изменяться в пределах от 0 до а. Для перемещения и можно взять выражение
. лб ,. 2л6 .. ЗлО ,
и = a, sinк а» sinи а» sinl ...
1 а 1 а 13 а 1
Так как при 0 = 0 и при 0 = а величины и и ^ обращаются в нуль, то условия на концах будут соблюдены. Вычисление коэффициентов а17 о^, ... может быть выполнено так же, как и в предыдущих случаях.
Заметим еще, что намеченным здесь приемом без всяких затруднений решается также вопрос об изгибе кольца, деформациям которого препятствует упругая среда. В таких условиях будет находиться, например, горизонтально расположенное кольцо, прикрепленное к системе часто распределенных вертикальных упругих стоек. При решении этой задачи нужно к потенциальной энергии изгиба кольца присоединить энергию, соответствующую деформации упругой среды.
§ 19. Изгиб кольца силами, не лежащими в плоскости кривизны 2
Предположим, что круговое кольцо, в плоскости кривизны которого лежит одна из главных осей инерции поперечного сечения, подвергается действию системы сил, не лежащих в плоскости кривизны кольца. Эти силы вызовут ис-
кривление оси кольца по некоторой пространственной кривой, которую мы сможем построить, если будем знать перемещение каждой точки оси кольца при деформации. Перемещения эти можно задать тремя составляющими, которые будем выбирать следующим образом.
Пусть АВ — отрезок заданного кругового кольца (рис. 26), плоскость ОАВ есть плоскость кривизны кольца и О — центр кольца. Возьмем поперечное сечение в точке Л, определяемой углом 9, который будем отсчитывать от некоторого радиуса ОВ. Для выбранной точки построим подвижную систему координат х01 у^ я0, причем ось ^ направим по касательной к круговой оси кольца в сторону возрастания угла 9, ось ж0 направим по главной оси инерции поперечного сечения к центру кольца, наконец ось у0, совпадающую с другой главной осью инерции, направим так, чтобы оси ж0, у0, z0 представляли собой правую винтовую координатную систему (при вращении от хй к </0 завинчивание происходит в направлении z0). Построив для каждой точки оси кольца подобную координатную систему, мы будем разлагать перемещения точек на направления построенных осей. Обозначим через и и w составляющие перемещения по направлениям х0 и z0. Составляющую в направлении у0 обозначим через у.
Перейдем теперь к деформированному состоянию кольца и для каждой точки оси построим координатную систему ж, у, z, аналогичную только что описанной. Ось z
будем направлять по касательной к деформированной оси кольца. Что касается осей х ну, то, принимая во внимание возможность искривления поперечного сечения кольца, условимся направлять их так, чтобы плоскость xz была касательной к той поверхности, по которой после деформации расположатся точки, лежавшие первоначально в плоскости xozo. Ось у направим перпендикулярно к xz. Имея составляющие (а, у, w^ перемещения, мы для каждой точки А находим ее новое положение Аг после деформации и в Аг помещаем начало координат системы х, у, г. Ось z направляем по касательной к искривленной оси кольца. Для определения направлений х и у нам нужно иметь еще одну величину. Выберем для этого угол 0 между плоскостями zx и z^x0 (рис. 27). Угол этот отсчитываем в направлении от х0 и у0.
Итак, при помощи четырех величин ы, у, w и 0 мы можем вполне определить деформацию кольца, так как с их помощью мы не только можем построить искривленную ось кольца, но будем знать также поворот каждого поперечного сечения.
В общем случае деформации каждый элемент кольца, выделенный двумя бесконечно близкими поперечными сечениями, может испытывать одновременный изгиб в двух главных плоскостях и кручение. Величины изгибающих и скручивающего моментов, а следовательно, и величины вызываемых ими напряжений будут определяться изменениями кривизны и кручением. До деформации ось кольца представляла собой плоскую кривую и кривизна равнялась 1/г. Величину эту в дальнейшем будем обозначать буквой х и будем представлять ее отрезком, отложенным по оси у0 (рис. 28). Если представить себе начало координат А движущимся со скоростью, равной единице, вдоль оси бруска, а оси х0, у0, z0 вращающимися так, что в каждый момент они имеют принятые нами выше направления, то, очевидно, х представит собой не что иное, как угловую скорость координатной системы х0, у0, zQ. В дальнейшем мы воспользуемся этим обстоятельством и с отрезками, представляющими кривизну, будем по-
ступать так, как в динамике твердого тела поступают с угловыми скоростями,— мы будем их геометрически складывать и вычитать.
Обратимся теперь к деформированному состоянию кольца и будем двигать начало координатной системы ж, у, 2 со скоростью, равной единице, вдоль де
формированной оси кольца. Если при этом движении направление осей в каждый момент устанавливается таким, как мы условились выше, то угловая ско
рость вращения системы х. у, z относительно оси х дает нам кривизну оси кольца в главной плоскости гу. Мы ее обозначим через хт (рис. 29). Точно так же
угловая скорость х2 относительно оси у дает кривизну в плоскости хх и, наконец, угловая скорость т относительно оси х представляет собой кручение кольца
Обозначая изгибающие моменты в плоскостях ху и хх соответственно через Мг и М^ и скручивающий момент — через Н, будем иметь
Мх = В^ М^ = S2 (х2 —- х); Н = Ст. (97)
силами и перемещениями,силами и перемещениями,Здесь через Вг и В^ обозначены жесткости при изгибе, через С — жесткость при кручении. Чтобы установить связь между внешними
силами и перемещениями,
силами и перемещениями,
нам нужно уметь выразить хь х2 и т при посредстве величин и. и, w и р, которыми определяется деформация кольца. Так как мы имеем дело лишь с ма
лыми перемещениями, то можно определить изменения кривизны и кручение, вызываемые каждой из величин и, v. w и р, и потом влияния отдельных величин сложить. Начнем с величины р. Если перемещения и, v, w — нули и деформация кольца заключается лишь в поворачивании сечений на малые углы р, то кривизна оси остается прежней, равной х, и составляющие ее, представляющие собой кривизны в главных плоскостях ху и хх (рис. 30), соответственно будут
(а)(а)Х^ — ^Р? ^2 — %•
(а)
(а)
Что касается кручения, то оно будет обусловлено изменением угла Р вдоль оси кольца и представится так:
(а')
Перемещения и и w вызывают лишь искривление оси кольца в плоскости начальной кривизны, и мы на основании прежних результатов (см. формулу (89)) будем иметь
Л,УЛЬ. d^UZ4
х- =0;х»= х4Р -гё-; т =О.
1’*г‘ ds2*
(Ь)(Ь)Рассмотрим теперь перемещения у в направлении, перпендикулярном к плоскости кольца. Эти перемещения вызовут искривление 1 в плоскости zy и не
(Ь)
(Ь)
повлияют на кривизну в плоскости кх.
Следовательно,
«1 = —(с)
Кроме того, благодаря перемещениям у между осями z и z0 получится угол, величина которого представится производной dv]ds. Угол этот обусловливает появление кручения т. В самом деле, при движении координатной системы ж, р, z со
duduТ = X —— dsТ = X —— ds(с')(с')скоростью, равной единице, вдоль оси кольца, получившей перемещения у, мы будем иметь вращение около оси х со скоростью хх и около оси, перпендикулярной плоскости кольца, со скоростью х. Проекция скорости х на направление оси z и представит собой кручение. Следовательно,
du
du
Т = X —— ds
Т = X —— ds
(с')
(с')
Суммируя результаты (а), (Ь) и (с), найдем, что в случае кругового кольца, деформация которого определяется величинами и, v, w и р, величины кривизны х^ и х2 в главных плоскостях и кручения т могут быть представлены такими формулами:
хх = хр — ;
(98)(98). ни , d^uх2 = х 4——т- ;
(98)
(98)
dp , du
Т =+X —5—.
ds ‘ ds
К этому присоединяем еще условие нерастяжимости оси [см. формулу (Ь) §18]:
dw и qds г *
При помощи формул (97) и (98) мы можем решить целый ряд задач, относящихся к изгибу кругового кольца. Рассмотрим, например, случай, представленный на рис. 31. Часть кругового кольца АВ заделана на конце В и изгибается силой Р, перпендикулярной к плоскости кольца ОВА и приложенной в точке 2 А. Для какой-либо точки О, определяемой углом 0, величины изгибающих и скручивающего моментов легко находятся из рисунка и представляются такими формулами:'
Мг = — Pr sin (а — 6); М^ = 0; Н = Pr [1 —* cos (а — 6)].
Тогда на основании (97) и (98) будем иметь / _ d2v \d?v \
— Рг sin (а—0) = Вххр —_ гр —-— §
\d s2 ) г2 \ dv2 /
№№/dpdu \С d ,
№
№
Pr [1 — cos (а— в)] = С -£- + к -г- = -г -Чд- W + У)-\ asas /аи
Из второго уравнения получаем
гр -|~ v = ——— [0 -|- sin (os — 0)] -|“ Ср
Произвольную постоянную 671 выбираем так, чтобы у заделанного конца величина гР + и обращалась в нуль. Тогда
Рг3
гР -[- v = ——— [0 — sin а + sin (а — 6)].
Определяя отсюда гр и вставляя его в первое из уравнений (d), находим
d2u/ Рг3 Рг3 \ Рг3 Рг3
— + р = 8т(а_0)(— + —) + _ 0- — Sina.
Общий интеграл этого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами напишется так:
Pr3 \——j (0 sin 0 + cos 0) —*Pr3 \——j (0 sin 0 + cos 0) —*Рг3Рг31/ Рг3
Pr3 \
——j (0 sin 0 + cos 0) —*
Pr3 \
——j (0 sin 0 + cos 0) —*
и—Сг cos 0 + С2 sin 0 -|-— 0-— sin a + —- sin a ( ——
СC2\
1/ Pr3 Pf3 \
— cos a I —1— ) (—^ 0 cos 0 + sin 0).
лиеь в нули величины у и —^, приходим к такому результату:лиеь в нули величины у и —^, приходим к такому результату:Подбирая произвольные постоянные (7i и C^ таким образом, чтобы при 0 = 0 обраща- dv
лиеь в нули величины у и —^, приходим к такому результату:
лиеь в нули величины у и —^, приходим к такому результату:
Рг31 / Рг3Рг3
v = —— [0 — sin 0 — sin a (1 — cos 0)] + — —— -|^
V2 \ "\^
1 / Pl3 Pl3 \ . „
Г V"s^ + ~c~ /sm 0 cos “•
Таким образом, перемещения точек оси бруска в направлении, перпендикулярном к плоскости кривизны, найдены. Что касается перемещений и и w, то, пренебрегая малыми высшего порядка, находим, что они равны нулю.
В самом деле, при действии сил, перпендикулярных к плоскости кривизны, момент М2 обращается в нуль, поэтому на основании (98) заключаем, что и, а следовательно, и w также будут равны нулю, если исключить перемещения бруска как твердого тела.
В случае действия нескольких сосредоточенных сил мы для вычисления прогибов у можем воспользоваться принципом сложения действия сил.
Если силы направлены как угодно, то мы их всегда можем разложить на составляющие, направляя одну из составляющих в плоскости кольца и другую перпендикулярно к этой плоскости. Первая система вызовет изгиб кольца в его плоскости. Под влиянием второй системы возникнут лишь перемещения и. Решая отдельно каждую из этих задач и потом суммируя перемещения и напряжения, мы получаем решение для случая действия сил, как угодно направленных.
Без особых затруднений мы можем составить дифференциальное уравнение для перемещений у, причем в это уравнение войдут кроме и лишь известные величины, зависящие от размеров бруска и распределения внешних сил, перпендикулярных к плоскости кольца. Напишем для этого уравнения равновесия элемента кольца, выделенного двумя бесконечно близкими поперечными сечениями, причем примем во внимание и деформацию этого элемента. В таком
Рис. 32.Рис. 32.
Рис. 32.
Рис. 32.
полном виде уравнения эти понадобятся в дальнейшем при решении некоторых вопросов устойчивости. Внешние силы, перпендикулярные к плоскости кольца, будем считать непрерывно распределенными и интенсивность их обозначим через У.
Кроме этих сил на выделенный элемент кольца будут действовать усилия по плоскостям концевых поперечных сечений. Усилия эти на каждом конце мы можем привести к одной силе, приложенной в центре тяжести сечения и к паре сил. Как силу, так и пару разлагаем на составляющие по направлениям подвижной системы осей ж, у, z. Силы NthN2 будут перерезывающими силами, Т — продольной силой (рис. 32). Направления моментов, принятые за положительные, представлены на рис. 33. Проектируя все приложенные к элементу силы на ось ж, получаем такое уравнение г:
-—-■ 6s — W»t6s Н6s = 0.dsйг
Подобным же образом составляются и два другие уравнения. Сокращая их на 6s, приходим к такой системе:
- ^т + Т^ = О,ds2«2>
-^ + ^т — Тх1 + У = 0; }(99)
При составлении уравнения принимаем во внимание, что оси ж, у, z у одного из концов элемента вследствие деформации и начальной кривизны несколько повернуты относительно соответствующих осей другого концевого сечения элемента.
Пользуясь геометрическим представлением моментов (см. рис. 33), мы таким же способом составляем три других уравнения равновесия:
^ - М2т + Ях2 - Я2 = 0;
^ + ^1Т-Нх1 + ^1 = 0;
^--^ + ^ = 0.
(100)
dNx
= 0;
dMT
. I
ds
ds
dN^ ds
+ F =
= 0;
dM^ ds
+ ^ = 0;
.(101)
dT
= 0;
dH
•= 0.
ds
r
ds
T*
Если деформациями элемента пренебречь, то уравнения равновесия представятся в более простой форме:
При разыскании перемещений и нам понадобятся из этой системы лишь уравнения
-^_ -}- У = 0;
ds *
-^- + JL _ N = 0
ds1г"
dHМг_0
dsг*
Дифференцируя второе из этих уравнений по $ и принимая во внимание уравнения первое и третье, получаем
^+^+У = 0.(g)
Далее на основании (97) и (98) имеем
ХР — ds2
d^v ,,
^=т + ^Г’
Н ^Pdv dv . 1 / d3v .1 dMx\
T = ~с" = "ИГ + и "ИГ = x “ST + V^"dS" + ~b7 ds J *
(k)
(1)
Отсюда
1 dg _ d2p ,1 / d4y 1 d?MT \
C ds ^ ds4 ‘ x у ds4 *** B, ds4 j*
Вставляя сюда вместо —^— его выражение через Мх из третьего уравнения системы (f) и принимая во внимание (g), получаем
Сг —Сг —qr4 л2 /.С 8 \qr4 л2 /.С 8 \8 "+1Lя2 п / ’8 "+1Lя2 п / ’—Т^^ + ^-Ч^ с«с z \ л nj—Т^^ + ^-Ч^ с«с z \ л njqr4qr42пл2пл(” + !)•(” + !)•
Сг —
Сг —
qr4 л2 /.
С 8 \
qr4 л2 /.
С 8 \
8 "+1L
я2 п / ’
8 "+1L
я2 п / ’
—Т^^ + ^-Ч^ с«с z \ л nj
—Т^^ + ^-Ч^ с«с z \ л nj
qr4
qr4
2пл
2пл
(” + !)•
(” + !)•
Подставив найденное значение Мг в уравнение (g), придем к искомой зависимости между перемещениями г и нагрузкой Y:
(102)(102)&v, d*vd^D ^( 1cPY1 v\
(102)
(102)
d9«2 <#Уd№— П ( BtдаС X Y
Определив из этого уравнения ^ мы при помощи выражений (k), (I) и (т) легко найдем 0, Н и Mv
Если кольцо будет изгибаться сосредоточенными силами, то на протяжении между двумя точками приложения сил уравнение (102) будет иметь вид
d6v ( 9 d^ , d^o ^ d^ ф ф d^
Общий интеграл этого уравнения напишется так:
и = Сг -4- 6*20 ~|" ^з cos 0 + С 4 sin 0 + С^ 0 cos 0 -j— С^ sin 0.
Произвольные постоянные должны быть определены из условий закрепления.
В качестве второго примера рассмотрим изгиб балки с полукруглой осью, поддерживающей равномерно распределенную нагрузку (рис. 34). Если через q обозначим интенсивность равномерной нагрузки, то уравнение (102) напишется так:
d^v ( 9 d*v f d^v г4"да" + 2"да+"да = —
Отсюда находим
г4а
о = С-^-\- С^2С~"^2 "^* ^3 6^ @
+ С4 sin 0 + С5 0 cos 0 + Св 0 sin 0.
Если концы балки считать заделанными, то для определения постоянных Ci, ..., Св будем иметь шесть таких условий:
(
do \
~5Г) е «• а ™ = 0; (^)0=°;0=я = °"
Ur» / U—и, м=Я
Определение постоянных несколько упростится, если угол 0 отсчитывать не от ОВ, а от радиуса, перпендикулярного к Л В. В таком случае из условий симметрии заключаем, что v должно быть четной функцией 0 и, следовательно, в общем интеграле нужно положить Сй = С4 = С5 = 0.
Для остальных постоянных получаем значения
Здесь для краткости введено обозначение В±/С = п.
Вставляя найденные значения постоянных в общий интеграл, мы при помощи (ш) и (1) получаем
/4\/4'
М! = — дг2 11cos 01* Н = — gr2 10sin 0
\л/\л,
При помощи этих формул может быть выполнен расчет балки.
Глава IllГлава IllОБ УСТОЙЧИВЫХ
Глава Ill
Глава Ill
И НЕУСТОЙЧИВЫХ ФОРМАХ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЕЙ
Методы решения вопросов устойчивости
Решение задач, относящихся к исследованию устойчивости различных форм равновесия упругих систем, представляет некоторые особенности, и поэтому мы считаем целесообразным выделение вопросов устойчивости в особую главу. При изучении деформаций тел, у которых все размеры одного порядка, мы привели теорему Кирхгофа х, которая говорит, что заданной системе внешних сил может соответствовать лишь одно решение уравнений теории упругости, т. е. одна форма равновесия. Такая форма равновесия как единственная, очевидно, будет устойчивой, и если какие-либо внешние причины вызовут отклонение тела от этой формы, то по устранении этих причин тело вернется в свое первоначальное состояние.
Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным.
Таким образом, в случае тонких стержней и пластинок отпадают те условия, на которых построено доказательство теоремы об однозначности решения уравнений теории упругости, и мы встречаемся с возможностью существования нескольких форм равновесия при одних и тех же внешних силах. Так, например, при действии продольных сжимающих сил прямой стержень может сохранить свою прямую ось; но при некоторых условиях эта ось может и искривиться, тогда мы
См. § 22 части первой.
17 1—1801
будем иметь явление продольного изгиба, изученное еще Эйлером г. То же самое мы будем иметь в случае кругового кольца, сжимаемого равномерно распределенными давлениями. Под действием этих давлений кольцо может сохранить свою круговую форму и только несколько сжаться, но при некотором соотношении между поперечными размерами кольца и давлением круговая форма равновесия перестает быть устойчивой и кольцо сплющивается.
С тем же вопросом устойчивости мы встречаемся при исследовании изгиба тонкой полосы, имеющей форму линейки. Если такую линейку изгибать в плоскости ее наибольшей жесткости, то легко можно убедиться, что при некотором значении изгибающих сил плоская форма изгиба перестает быть устойчивой й полоса выпучивается в направлении наименьшей жесткости. В настоящее время имеются решения для целого ряда задач этого рода. Особый интерес в этих решениях представляют те предельные значения внешних сил, при которых становится возможным появление нескольких форм равновесия. Эти предельные значения в дальнейшем будем называть критическими нагрузками. Они играют весьма важную роль во всех технических вопросах, так как безусловно необходимо, чтобы те формы равновесия, которые кладутся в основание расчетов на прочность, были устойчивы.
Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану . Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу . Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения (и', у', w'^ и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у' и и/ решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющиеся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла.
При решении вопросов устойчивости можно пользоваться двумя приемами . Первый из них основан на рассмотрении условий равновесия отклоненной фор-
мы, весьма близкой к изучаемой форме равновесия. Второй прием основан на рассмотрении энергии системы. При пользовании первым приемом мы будем составлять дифференциальное уравнение равновесия для формы, весьма мало отклоненной от изучаемого состояния равновесия. При малых отклонениях мы придем к линейному дифференциальному уравнению и критические значения нагрузок найдутся из тех соотношений между силами и размерами тела, при которых наше уравнение может иметь несколько решений, удовлетворяющих одним и тем же условиям на поверхности. При этом одна из произвольных по
стоянных остается неопределенной, т. е. мы в пределах весьма малых отклонений будем иметь состояние безразличного равновесия. Иногда этот прием несколько видоизменяют, присоединяют к заданным нагрузкам, критическое значение которых нужно определить, дополнительные силы и смотрят, при каком значении заданных сил перемещения, вызываемые дополнительными силами, будут неопределенно возрастать. Это значение заданных сил и будет критическим.
При пользовании вторым приемом мы определяем энергию, соответствующую изучаемой форме равновесия, и сравниваем ее с энергией соседних форм. Критерий устойчивости тот же, что и в случае абсолютно твердых тел: устойчивой формой равновесия будет та, которой соответствует минимум потенциальной энергии. Например, при рассмотрении случаев, представленных на рис. 35, мы прежде всего, применяя начало возможных перемещений, убеждаемся, что все три положения шарика О представляют собой формы равновесия, если только точке касания А соответствует вертикальная нормаль шаровой поверхности тп. Считая поверхности идеальными и ограничива порядка, мы легко убеждаемся, что во всех трех с шарика на всяком возможном перемещении равна
А а
ась лишь малыми лучаях работа силы нулю. Во всех трех
первоготяжестислучаях
мы имеем положение равновесия. Чтобы оценить, устойчивы или неустойчивы эти формы, необходимо более подробное исследование, нужно принять в расчет малые высшего порядка. Тогда мы убедимся, что в случае, показанном на рис. 35, а, всякое отклонение шарика сопровождается повышением его центра тяжести, т. е. увеличением потенциальной энергии. В случае, представленном на рис. 35, в, мы при всяком отклонении будем иметь понижение центра тяжести шарика, уменьшение потенциальной энергии. Первая форма равновесия, которой соответствует минимум потенциальной энергии, будет устойчива; вторая —- неустойчива. Случай, изображенный на рис. 35, б, представляет собой форму безразличного равновесия.
В рассмотренных примерах устойчивость равновесия зависит лишь от устройства системы и не находится ни в какой связи с величиной действующей силы. При изучении устойчивости равновесия упругих тел задача стоит несколько иначе. При малых значениях действующих сил формы обыкновенно устойчивы и теряют свою устойчивость лишь тогда, когда внешние силы достигнут определенного критического значения. Задачи этого рода можно иллюстрировать такой механической моделью (рис. 36, а).
Шарик веса Q и радиуса г занимает низшую точку шаровой впадины радиуса R. На шарик передается давление Р при помощи штифта, перемещающегося в особых направляющих по вертикальному радиусу шаровой впадины. Нужно исследовать вопрос об устойчивости этой формы равновесия шарика, если все поверхности идеально гладкие. Отклоняя шарик от среднего положения на весьма малый угол ф (рис. 36, б), мы видим, что центр тяжести шарика поднимается на высоту pq, а груз Р опускается вниз на величину тп. Применяя основной критерий устойчивости, заключаем, что форма равновесия устойчива, если Qpq> Ртп, и неустойчива, когда Qpq<Z Ртп.
Из рисунка видим, что pq — отрезок между касательной и дугой круга с углом ф и радиусом R — г, следовательно, при малом ф
(а)(а)
(а)
(а)
Отрезок тп заключен между дугами, радиусы которых равны R — 2г и г и углы равны ф и ф (2? — 2r)Jr. В таком случае на основании формулы (а) имеем
Критическое значение груза Р — это то значение, которому соответствует переход от устойчивой к неустойчивой форме равновесия. Мы его найдем, приравняв нулю изменение энергии системы при всяком отклонении шарика от его среднего положения, т. е. положив
Q4- (R-r)=P^(R-^R - г),откудаp Qr
При всяком значении нагрузки Р, меньшем критического, форма равновесия, представленная на рис. 36, будет устойчивой, и если какая-либо случайная причина сообщит шарику весьма малое отклонение, то по устранении этой причины он вернется в свое первоначальное положение. При нагрузках, больших критической, форма равновесия перестает быть устойчивой.
Описанная механическая модель представляет собой полную аналогию тем задачам, с которыми мы встречаемся при исследовании устойчивости упругих систем. Возьмем простейшую из них — задачу Эйлера (рис. 37).
Призматический упругий стержень, вертикально заделанный нижним концом, сжимается грузом Р, приложенным к верхнему концу. Если сжимающий груз Р мал, то прямая форма равновесия стержня будет устойчивой. Стержень будет испытывать лишь сжатие, и если какая-либо посторонняя причина слегка изогнет его, то по устранении этой причины он вернется в свое первоначальное состояние. Постепенно увеличивая груз Р, мы можем достигнуть того предела, когда прямая форма равновесия перестает быть устойчивой и, наконец, стержень искривляется в плоскости наименьшей жесткости, как показано на рисунке.
ции стержня несколько возрастет, к энергии сжатия присоединится энергияции стержня несколько возрастет, к энергии сжатия присоединится энергияПри определении критического значения груза Р применяем тот же прием, что и в разобранном выше примере. Дадим нагруженному стержню весьма малое отклонение от прямой формы. При этом потенциальная энергия деформа
ции стержня несколько возрастет, к энергии сжатия присоединится энергия
ции стержня несколько возрастет, к энергии сжатия присоединится энергия
изгиба. Пусть 6У представляет собой приращение энергии деформации. Указан
XX/// // //// / / I I I/ / / I I IРис. 37.Рис. 37.ное искривление стержня будет сопровождаться опусканием груза Р, а следовательно, и некоторым уменьшением энергии системы. Пусть 6Т будет это уменьшение, равное работе опускающегося груза. Применяя основной критерий устойчивости, заключаем, что прямая форма равновесия сжатого стержня будет устойчива, если 6 У > 67, и неустойчива при 6 У < 67.
X
X
/
/
/ /
/ /
/
/
/ / / I I I
/ / / I I I
Рис. 37.
Рис. 37.
Критическое значение сжимающей силы найдется из уСЛ0ВИЯ 8V = ST. (103)
Этим условием мы будем в дальнейшем часто пользоваться при определении критических нагрузок.
Заметим здесь, что в случае применения основного критерия устойчивости к упругим системам, имеющим бесконечное число степеней свободы, нужно из всех возможных форм отклонения выбрать такую, для которой уравнение (103) дает наименьшее значение критической нагрузки. Это разыскание надлежащей формы откло-
пения приводит нас в конце концов к тому же дифференциальному
уравнению, которое приходится составлять при условии пользования первым методом решения вопросов устойчивости. Мы можем избежать интегрирования этого уравнения и получить приближенное решение задачи, заменив нашу упругую систему системой с конечным числом степеней свободы. Тогда решение задачи сводится к разысканию обыкновенного максимума или минимума, и вычисление критических нагрузок с любой степенью точности не представляет никаких принципиальных затруднений. Этот способ вычисления мы дальше по
ясним на отдельных примерах.
В заключение заметим, что в основание всех дальнейших выводов положен закон Гука, и потому значения критических нагрузок, вычисляемые по приводимым ниже формулам, будут соответствовать действительности лишь в том случае, если вызываемые этими нагрузками напряжения не выходят из пределов упругости.
В тех случаях, когда форма равновесия становится неустойчивой при напряжениях, превосходящих предел упругости материала, вычисление критических нагрузок должно выполняться иными методами. В настоящее время уже имеется решение простейших задач этого рода и полученные результаты прекрасно совпадают с данными опытов.
§ 21. Задача Эйлера
В качестве простейшей задачи, где приходится иметь дело с исследованием устойчивости равновесия \ рассмотрим случай, представленный на рис. 38, и на этом примере рассмотрим различные методы решения вопросов устойчивости. Применяя первый метод (см. стр. 258) для определения критического значения наВ качестве простейшей задачи, где приходится иметь дело с исследованием устойчивости равновесия \ рассмотрим случай, представленный на рис. 38, и на этом примере рассмотрим различные методы решения вопросов устойчивости. Применяя первый метод (см. стр. 258) для определения критического значения нагрузки Р, мы должны взять в плоскости наименьшей жесткости слегка искривленную форму, указанную на рисунке пунктиром, составить для этой формы дифференциальное уравнение равновесия и из него найти то наименьшее знагрузки Р, мы должны взять в плоскости наименьшей жесткости слегка искривленную форму, указанную на рисунке пунктиром, составить для этой формы дифференциальное уравнение равновесия и из него найти то наименьшее значение Р, при котором искривленная форма возможна. Это значение Р и будет искомой критической нагрузкой для рассматриваемого случая. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, получаем для искривленной оси стержня уравнениеEJ^ = -PV’ <104>чение Р, при котором искривленная форма возможна. Это значение Р и будет искомой критической нагрузкой для рассматриваемого случая. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, получаем для искривленной оси стержня уравнениеEJ^ = -PV’ <104>откуда, принимая во внимание, что у = 0 приоткуда, принимая во внимание, что у = 0 прирх= 0, и пользуясь обозначением -^у- = &2, полурх= 0, и пользуясь обозначением -^у- = &2, получаемчаему = A sin kx.у = A sin kx.(а)(а)Условие у закрепленного конца послужит нам для определения Ркр. Это условие будет выполнено, если cos kl = 0 илиУсловие у закрепленного конца послужит нам для определения Ркр. Это условие будет выполнено, если cos kl = 0 илиW = (2и 4-1)-£-.W = (2и 4-1)-£-.(Ь)(Ь)
В качестве простейшей задачи, где приходится иметь дело с исследованием устойчивости равновесия \ рассмотрим случай, представленный на рис. 38, и на этом примере рассмотрим различные методы решения вопросов устойчивости. Применяя первый метод (см. стр. 258) для определения критического значения на
В качестве простейшей задачи, где приходится иметь дело с исследованием устойчивости равновесия \ рассмотрим случай, представленный на рис. 38, и на этом примере рассмотрим различные методы решения вопросов устойчивости. Применяя первый метод (см. стр. 258) для определения критического значения на
грузки Р, мы должны взять в плоскости наименьшей жесткости слегка искривленную форму, указанную на рисунке пунктиром, составить для этой формы дифференциальное уравнение равновесия и из него найти то наименьшее зна
грузки Р, мы должны взять в плоскости наименьшей жесткости слегка искривленную форму, указанную на рисунке пунктиром, составить для этой формы дифференциальное уравнение равновесия и из него найти то наименьшее зна
чение Р, при котором искривленная форма возможна. Это значение Р и будет искомой критической нагрузкой для рассматриваемого случая. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, получаем для искривленной оси стержня уравнение
EJ^ = -PV’ <104>
чение Р, при котором искривленная форма возможна. Это значение Р и будет искомой критической нагрузкой для рассматриваемого случая. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, получаем для искривленной оси стержня уравнение
EJ^ = -PV’ <104>
откуда, принимая во внимание, что у = 0 при
откуда, принимая во внимание, что у = 0 при
р
х= 0, и пользуясь обозначением -^у- = &2, полу
р
х= 0, и пользуясь обозначением -^у- = &2, полу
чаем
чаем
у = A sin kx.
у = A sin kx.
(а)
(а)
Условие у закрепленного конца послужит нам для определения Ркр. Это условие будет выполнено, если cos kl = 0 или
Условие у закрепленного конца послужит нам для определения Ркр. Это условие будет выполнено, если cos kl = 0 или
W = (2и 4-1)-£-.
W = (2и 4-1)-£-.
(Ь)
(Ь)
Следовательно, критическая нагрузка в рассматриваемом случае будет 2
(105)(105)D EJ^
(105)
(105)
Ркр — -4р-
Что касается произвольной постоянной А в уравнении (а) изогнутой оси стержня, то она остается неопределенной. Наша система при действии критической нагрузки оказывается как бы в состоянии безразличного равновесия и может занимать различные положения вблизи прямой формы равновесия. Неопределенными остаются также и те формы, которые принимает изогнутый стержень при нагрузках, превышающих критическую. Такая неопределенность является следствием того, что мы в основание наших выводов положили приближенное уравнение (104) для изогнутой оси стержня.
Если бы мы в левой части этого уравнения поставили полное выражение для кривизны, то убедились бы, что для значения Р, меньшего Ркр, определенного из
«Mitteilungen uber Forschungsarbeiten, heausgegeben vom Verein deustscher Ingeniere», 1910, H. 81, 44 SS. Перепечатка: Karman Th. Collected works, vol. 1, Ld., Butterworths scientific publication, London, 1956, vol. 1, pp. 90—140]; S outhwell R. V. The strength of struts. Engineering, 1912, vol. 94, August 23, pp. 249—250; См. также R a b b о w F. Uber Knick- festigkeit. Die Eulersche Formel fin* die Knickkraft bei Zugrundelegung verschiedener Dehnungsgesetze. Dissertation, Technische Hochschule, Hannover, 1912, 47 SS.
Задача эта была решена Эйлером. См. его статью, указанную на стр. 258.
Мы везде ограничиваемся первой искривленной формой: все высшие формы с точками перегиба неустойчивы и не представляют практического интереса.
формулы (105), возможна лишь прямая форма равновесия стержня. При Р, большем Ркр, возможна кроме прямой также и искривленная форма, причем при увеличении силы Р искривления нарастают очень быстро. Так, например, увеличение силы Р на 1,5% по сравнению с критической уже вызывает прогиб, равный почти четверти длины стержня. Следовательно, приведенное выше приближенное решение дает вполне правильное значение для критической нагрузки х, но не дает никаких указаний относительно искривлений бруска при нагрузках, больших критической.
Чтобы составить себе представление об этих искривленных формах, обратимся к более точному дифференциальному уравнению изогнутой оси стержня. Обозначая через 0 угол, составляемый касательной к изогнутой оси стержня с осью я, и через s длину искривленной оси, отсчитываемую от верхнего конца, напишем это уравнение в таком виде: EJ -^— = ds = — Ру, откуда дифференцированием находим
d20
EJ = — ^ sin 0.(106)
ds2’
Если в это уравнение вместо s подставить время t, то оно совпадет с уравнением движения маятника.
Момент инерции соответствующего маятника относительно оси вращения будет определяться величиной EJ и вес его — величиной Р. Если представить себе точку, движущуюся со скоростью, равной единице, вдоль искривленной оси стержня, и допустить, что в начальный момент она находилась в точке приложения силы Р, то в каждом новом ее положении направление соответствующей касательной к искривленной оси определится положением качающегося маятника, если только в начальный момент он был отклонен в свое крайнее положение на угол а, равный углу наклона касательной к оси х в месте приложения силы (см. рис. 38).
При интегрировании уравнения (106) поступаем так, как с уравнением для маятника: умножаем обе части на —- и выполняем первое интегрирование, тогда, принимая во внима- ds
ние условие на верхнем конце, получаем
EJ / J0 V
—— —- = Р (cos 0 — cos ос),
2 \ as / откуда dS = — „■ ™
к У 2 у cos 0 — cos а
Рис. 39.Рис. 39.а1 Г d6а1 Г d6kVa J Vcos 9 — cos а оkVa J Vcos 9 — cos а о(С)(С)
Рис. 39.
Рис. 39.
а
1 Г d6
а
1 Г d6
kVa J Vcos 9 — cos а о
kVa J Vcos 9 — cos а о
(С)
(С)
Для длины дуги мы получаем выражение
Положим sin-^~ = р. Тогда, принимая во внимание, что sin < sin , можно ввести новую переменную ф, по- . 0
Л ОЖИВ Sin = Р Sin ф.
При изменении s от нуля до I значение 0 изменяется от „л
а до нуля, следовательно, ф будет изменяться от -у- до нуля. Вставляя в выражение (с) вместо 0 новую переменную ф, получаем
л/2
(107)(107)1 С^ф
(107)
(107)
& J у ^ — р2 sin ф
Если положить р = sin — = 0, то интеграл в формуле (107) получит значение л/2, и мы из этой формулы найдем ранее вычисленное нами значение Ркр.
Для всякого конечного значения р тот же интеграл будет больше л/2 и будет возрастать вместе с р, т. е. вместе с искривлением стержня. Этому возрастанию интеграла будет соответствовать увеличение изгибающей силы Р. Зависимость искривлений от силы Р легко установить, так как имеются готовые таблицы, в которых приведены значения нашего интеграла 1 при различных значениях р. При помощи этих таблиц мы легко получаем приводимые ниже отношения Р/РКр и соответствующие значения а — угла наклона на концевой касательной.
а, град
20
40
60
80
100
120
140
160
176
P
Ркр
1,015
1,063
1,152
1,293
1,518
1,884
2,541
4,029
9,116
I
0,970
0,881
0,741
0,560
0,349
0,123
—0,107
—0,340
—0,577
У a
7
0,220
0,422
0,593
0,719
0,792
0,803
0,750
0,625
0,421
Последние две строки дают нам координаты основания стержня относительно осей х, ys перемещающихся при искривлении. Наконец, на рис. 39 представлен вид соответствующих кривых изгиба 2. Рассматривая эти кривые как четверть полного периода, мы путем их соединения получаем все фигуры, представленные на рис. 40.
Если представить графически зависимость между силой Р и прогибом / верхнего конца стержня, то получим кривую АВ, изображенную на рис. 41. Кривая эта начерчена в том предположении, что все явление происходит в пределах упругости. За пределами упругости продольный изгиб протекает иначе. Если бы, например, точка С соответствовала началу появления остающихся деформаций, то при дальнейшей нагрузке зависимость между Р л /Если представить графически зависимость между силой Р и прогибом / верхнего конца стержня, то получим кривую АВ, изображенную на рис. 41. Кривая эта начерчена в том предположении, что все явление происходит в пределах упругости. За пределами упругости продольный изгиб протекает иначе. Если бы, например, точка С соответствовала началу появления остающихся деформаций, то при дальнейшей нагрузке зависимость между Р л /представилась бы не кривой ВС, а какой-либо кривой CD. Наконец, если предел упру* гости будет достигнут при нагрузке О Ах < Ркр1 зависимость между Р и / представится кривой 1 вида CxDx.представилась бы не кривой ВС, а какой-либо кривой CD. Наконец, если предел упру* гости будет достигнут при нагрузке О Ах < Ркр1 зависимость между Р и / представится кривой 1 вида CxDx.Решим теперь ту же задачу вторым способом, основанным на рассмотрении энергии системы. Для упрощения рассуждений удвоим длину стержня и будем
Если представить графически зависимость между силой Р и прогибом / верхнего конца стержня, то получим кривую АВ, изображенную на рис. 41. Кривая эта начерчена в том предположении, что все явление происходит в пределах упругости. За пределами упругости продольный изгиб протекает иначе. Если бы, например, точка С соответствовала началу появления остающихся деформаций, то при дальнейшей нагрузке зависимость между Р л /
Если представить графически зависимость между силой Р и прогибом / верхнего конца стержня, то получим кривую АВ, изображенную на рис. 41. Кривая эта начерчена в том предположении, что все явление происходит в пределах упругости. За пределами упругости продольный изгиб протекает иначе. Если бы, например, точка С соответствовала началу появления остающихся деформаций, то при дальнейшей нагрузке зависимость между Р л /
представилась бы не кривой ВС, а какой-либо кривой CD. Наконец, если предел упру* гости будет достигнут при нагрузке О Ах < Ркр1 зависимость между Р и / представится кривой 1 вида CxDx.
представилась бы не кривой ВС, а какой-либо кривой CD. Наконец, если предел упру* гости будет достигнут при нагрузке О Ах < Ркр1 зависимость между Р и / представится кривой 1 вида CxDx.
Рис. 42.Рис. 42.считать концы его опертыми. При симметричной форме искривления (рис. 42) каждая половина стержня, очевидно, будет в таких же условиях, как и в выше разобранном случае Эйлера, и мы должны получить прежнее значение для Ркр. Одной из возможных форм равновесия будет прямая форма, которой соответствует простое сжатие стержня. Чтобы выяснить, когда кроме прямой становится возможной и искривленная форма равновесия, поступим так: дадим прямой оси стержня весьма малое искривление. Тогда к потенциальной энергии сжатия, соответствующей прямой форме равновесия, присоединится еще энергия изгиба. В общем энергия деформации возрастет на некоторую величину 6F, но при этом сжимающие силы Р совершат работу ST, которую мы получим, умножая Р на сближение Ы концов стержня при искривлении. Если при всяком отклонении SV > 6Т, то, очевидно, прямая форма — единственная возможная форма равновесия и эта форма будет устойчива.
Рис. 42.
Рис. 42.
Если удается разыскать такие искривления, для которых 6V < 6Т, то прямая форма неустойчива и стержень под действием соответ
ствующей нагрузки искривляется. Критическое значение сжимающей силы найдем из условия
(d)(d)6V = 6Т.
(d)
(d)
Из всех возможных искривлений нужно при этом выбрать то, которому соответствует наименьшее Р.
1 См. работу R. Southwell, упомянутую в сноске на стр. 258.
ставлены рядомставлены рядомПри опертых концах все возможные формы искривления могут быть пред
ставлены рядом
ставлены рядом
(е)(е)лх .. 2ля ,. Злх
(е)
(е)
у = аг sin -у- + а2 sin —Н а3 sin —у—.
Соответствующие значения энергии изгиба и работы сжимающих сил на основании ранее найденных формул (61) и (65) представятся так:
_ _ .п=ооа=оо
от/ЕГЛVI „4-2,от ЕлVI2л2
41п=1П=1
Вставляя это в уравнение (d), получаем
71=00
р EJw п=1/<?\
Г — р n=oo*
71=1
Наименьшее значение для Р получается в том случае, если в суммах, которые вошли в выражение (f), все члены, кроме первого, положить равными нулю и принять, следовательно, искривление по кривой у = аг sin -у- . В таком случае
^кр = ^-.(108)
Результат этот, если принять во внимание удвоение длины стержня, совершенно совпадает с формулой (105).
В рассмотренном случае мы без затруднения нашли ту форму, которой соответствует наименьшее Р и получили точное выражение для Ркр. Иногда этого не удается достигнуть, тогда мы, пользуясь намеченным способом, можем найти приближенное решение, взяв для вычислений какую-либо подходящую форму искривления, удовлетворяющую условиям закрепления. Задаваясь формой кривой, мы тем самым обращаем нашу систему в систему с конечным числом степеней свободы. Число степеней свободы будет определяться числом произвольных параметров, которые входят в уравнение выбранной нами искривленной формы. Вычисляя соответствующие значения 6F и 6Т и вставляя их в уравнение (d), находим выражение для Р. Чтобы определить Р^, остается выбрать для произвольных параметров такие значения, при которых Р имеет наименьшую величину, представляющую, очевидно, приближенное значение для Ркр. Задаваясь определенной формой кривой изгиба, мы тем самым как бы вводим дополнительные связи в нашу упругую систему. Такое увеличение числа связей может сопровождаться только увеличением жесткости системы, но никак не уменьшением ее, поэтому получаемые приближенным способом значения Ркр могут быть только больше действительных, но ни в коем случае не меньше их. Применение приближенного приема к целому ряду задач показывает, что точность решения, даже при условии пользования лишь одним произвольным параметром, обыкновенно вполне достаточна для практических приложений. Возьмем, например, только что рассмотренный случай стержня с опертыми концами. Если вместо
действительного искривления по синусоиде мы возьмем изгиб по кривой, соответствующей изогнутой оси балки с опертыми концами и нагруженной силой посередине, то найдем для энергии изгиба значение 6У = —-™^... , где / — прогиб посередине.
Для работы сжимающих сил получим
I2
( 312*2 V 12 РР
—jy dx = Pf j (—dx = -5p. о0
В таком случае уравнение (d) дает нам Ркр — -^^— , что отличается от точного решения менее чем на 1,5%.
Если бы мы в основу расчетов положили кривую изгиба балки под дей- « тч 9,882^7 q
ствием равномерной нагрузки, то получили бы Ркр = ——^. Здесь погрешность всего около 0,1%.
Возможно, конечно, получить и дальнейшие приближения. Если бы мы, например, составили кривую изгиба из двух членов, т. е. основывались на системе с двумя степенями свободы, то получили бы для критической нагрузки выражение с точностью до четвертого знака г.
§ 22. Устойчивость призматического стержня при различных способах закрепления концов
Мы рассмотрели пока случаи продольного изгиба для стержня с одним свободным и другим заделанным концами и стержня с двумя опертыми концами. Для других способов закрепления концов легко найдутся нужные значения критических нагрузок, если воспользоваться решениями для балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия (§9). Ркр — это то значение продольной сжимающей силы, при котором прогибы, вызываемые поперечной нагрузкой, неопределенно возрастают. Возьмем, например, стержень с одним заделанным и другим опертым концами (рис. 43, а). Если к продольной силе присоединить равномерную поперечную нагрузку q, то опорный момент Мо представится так [см. формулу (38)]:
(а)(а)М =ql2 4 tg 2“ (tg и"~и^
(а)
(а)
08 и (tg 2и — 2и)’
где при взятых обозначениях и = у •
Прогиб стержня, а следовательно, и опорный момент Мо неопределенно возрастают, если знаменатель выражения (а) обращается в нуль. В таком случае
Применяя метод энергии, мы пренебрегали изменением длины оси стержня. Если эти изменения принять в расчет, то мы придем к тем же результатам. См. TimoschenkoS. Einige Stabilitatsprobleme der Elastizitatstheorie. Zeitschrift fiir Mathematik und Physik, 1910, Bd 58, H. 4, SS. 337—385. [Перепечатка: Timoshenko S. The Collected Papers. N. Y.— London — Toronto, McGraw-Hill Publishing Company ltd. 1953, pp. 1—50. Перевод на русский язык: Тимошенко С. П. Некоторые теоретические проблемы упругой устойчивости. В кн.: «Устойчивость стержней, пластин и оболочек». М., Физматгиз, 1971, стр. 386—433]. Нужно только в расчет вводить не первоначальную длину стержня, а ту, которая соответствует сжатию силой Р^.
Ркр найдется из уравнения
(Ь)(Ь)tg 2м = 2и.
(Ь)
(Ь)
Первое приближение для корней этого трансцендентного уравнения проще всего найти графически (рис. 44), определив пересечения прямой у = 2м с кривыми у = tg 2м.
Наименьший корень уравнения, соответствующий Ркр, будет'2“ = Vv = 4’49’Наименьший корень уравнения, соответствующий Ркр, будет'2“ = Vv = 4’49’тогдатогдар _ 20,16^7 ^кр —^р _ 20,16^7 ^кр —^(109)(109)При одинаковой упругой заделке обоих концов стержня (см. рис. 43, б) нужный нам опорный момент представится так [см. формулу (40)]:При одинаковой упругой заделке обоих концов стержня (см. рис. 43, б) нужный нам опорный момент представится так [см. формулу (40)]:М = М0М = М0и^иаР1 к tg U Н—и^иаР1 к tg U Н—Критическая нагрузка определится из условияКритическая нагрузка определится из условия,. cd? I /уи tg и Н— = 0.,. cd? I /уи tg и Н— = 0.(С)(С)Здесь а — коэффициент, на который нужно множить М. чтобы получить поворот конца. При а = оо имеем свободно поворачивающиеся концы и уравнение (с) дает нам л п ЕГтё^КР — - 72•Здесь а — коэффициент, на который нужно множить М. чтобы получить поворот конца. При а = оо имеем свободно поворачивающиеся концы и уравнение (с) дает нам л п ЕГтё^КР — - 72•При абсолютно заделанных концах а = 0. Тогда из уравнения (с) находим для первого корня значение и = л, следовательно,При абсолютно заделанных концах а = 0. Тогда из уравнения (с) находим для первого корня значение и = л, следовательно,р4EJn?гкррр4EJn?гкрр(НО)(НО)
Наименьший корень уравнения, соответствующий Ркр, будет
'2“ = Vv = 4’49’
Наименьший корень уравнения, соответствующий Ркр, будет
'2“ = Vv = 4’49’
тогда
тогда
р _ 20,16^7 ^кр —^
р _ 20,16^7 ^кр —^
(109)
(109)
При одинаковой упругой заделке обоих концов стержня (см. рис. 43, б) нужный нам опорный момент представится так [см. формулу (40)]:
При одинаковой упругой заделке обоих концов стержня (см. рис. 43, б) нужный нам опорный момент представится так [см. формулу (40)]:
М = М0
М = М0
и^и
аР1 к tg U Н—
и^и
аР1 к tg U Н—
Критическая нагрузка определится из условия
Критическая нагрузка определится из условия
,. cd? I /у
и tg и Н— = 0.
,. cd? I /у
и tg и Н— = 0.
(С)
(С)
Здесь а — коэффициент, на который нужно множить М. чтобы получить поворот конца. При а = оо имеем свободно поворачивающиеся концы и уравнение (с) дает нам
л п ЕГтё^КР — - 72•
Здесь а — коэффициент, на который нужно множить М. чтобы получить поворот конца. При а = оо имеем свободно поворачивающиеся концы и уравнение (с) дает нам
л п ЕГтё^КР — - 72•
При абсолютно заделанных концах а = 0. Тогда из уравнения (с) находим для первого корня значение и = л, следовательно,
При абсолютно заделанных концах а = 0. Тогда из уравнения (с) находим для первого корня значение и = л, следовательно,
р4EJn?
гкрр
р4EJn?
гкрр
(НО)
(НО)
Для всяких промежуточных значений а уравнение (с) также легко решается.
Рассмотрим, например, устойчивость сжатых сторон квадрата с жесткими узлами при том условии, что все стержни имеют одинаковую жесткость (рис. 45). Легко видеть, что при искривлении, указанном на рисунке, а = -^у , и уравнение (с) принимает вид tg и + и = 0, откуда и = 2,029. Следовательно, Ркр = __ 16,46^7
Без всяких затруднений решается задача и в тех случаях, если для двух концов стержня упругость заделки различна.
§ 23. Устойчивость многопролетных стержней
Для решения вопроса об устойчивости стержней, лежащих на многих опорах, мы воспользуемся уравнениями (43) [§ 9] для неразрезных балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия. Пусть 1и 1^ ... обозначают дли
Рис. 46.Рис. 46.ны пролетов, РХ1 ..., Р4 — сжимающие усилия в последовательных пролетах (рис. 46). Тогда, сохраняя наши прежние обозначения, будем иметь
Рис. 46.
Рис. 46.
Если допустить, что под действием продольных сил стержень искривился, то в опорных сечениях появятся моменты, связанные между собой уравнениями вида (43):
М /^^1(2ип) + Л1п+1М /^^1(2ип) + Л1п+1фг(2и„+1) +фг(2и„+1) +(а)(а)
М /
^^1(2ип) + Л1п+1
М /
^^1(2ип) + Л1п+1
фг(2и„+1) +
фг(2и„+1) +
(а)
(а)
Число этих уравнений будет равно числу промежуточных опор.
В том случае, когда концы стержня не могут свободно поворачиваться и, следовательно, концевые моменты отличны от нуля, мы к уравнениям вида (а) должны присоединить еще два уравнения, которые легко могут быть написаны на основании условий закрепления [см. формулу (42)]. Полученная таким образом система уравнений может дать для опорных моментов решения, отличные от нуля \ лишь в том случае, если определитель этой системы обращается в нуль. Равенство нулю определителя и даст нам нужное уравнение для нахождения критической нагрузки.
В случае одной промежуточной опоры и опертых концов будем иметь одно уравнение вида (а), и условие для определения критической силы напишется так:
1 3^^ ^2 (2^1) + ^EJ^ ^2 (2^2) = (Ь)
1 Равенство нулю всех опорных моментов соответствует или прямой форме равновесия стержня, или тому случаю, когда все пролеты при искривлении изгибаются независимо друг от друга, т. е. когда сжимающее усилие в каждом пролете равно критической силе для этого пролета. В последнем случае будем иметь 2^ = 2иг = ••• = л.
Если продольные силы приложены лишь по концам, то вставляя вместо ф2 (2^) и ф2 (2и2) их значения (§9), получаем такое уравнение:
/1 — 2ц!/1 — —— — Оfcl
tg2uj lYtg 2u2 ; Z2W
Наименьшее значение силы Р, удовлетворяющее этому уравнению, и будет искомая критическая нагрузка. В случае стержня постоянного сечения уравнение (с), определяющее критическую нагрузку, может быть представлено в более простом виде.
Для стержня, имеющего две промежуточные опоры и сжатого силами, приложенными по концам, уравнения (а) напишутся так:
^[р (1 ~^ 'll +Й = 0;
[ ^i \^8 2^1 у ^2 \ 1g 2м2 у J^2 \ sin 2и2 у(d)*
М,^-^V— t ^Р + -М - t ^ -11 = °-
Z2^sin2u2 / 1[ ^2 \ tg2u2 у 1 Z3tg2u3 у]
Приравняв нулю определитель этих уравнений, получим уравнение для определения критической нагрузки. Разыскание корней этого уравнения приходится производить путем последовательных попыток. Пределы для наименьшего корня мы легко установим, если представим себе стержень разрезанным над опорами и вычислим критические нагрузки для отдельных пролетов. Искомая критическая нагрузка, очевидно, будет заключаться между наибольшей и наименьшей из тех, которые мы найдем для отдельных пролетов. Таким образом, расчет на продольный изгиб многопролетных стержней не встречает каких-либо принципиальных затруднений, вся трудность заключается лишь в разысканий корней соответствующего трансцендентного уравнения.
Способ, намеченный нами здесь для абсолютно жестких опор, без особых затруднений может быть распространен на случай упругих опор, с которыми мы встречаемся, например, при расчете на устойчивость сжатых поясов открытых мостов х.
Для стержней постоянного сечения и равномерно сжатых по всей длине поставленная задача решается проще, если мы за неизвестные примем не опорные моменты, а опорные реакции. Для определения промежуточных опорных реакций в случае балок, подвергающихся одновременному действию сжатия и равномерной поперечной нагрузки, мы имеем систему уравнений (44) [§ 9]. Критическое значение сжимающей силы — это то наименьшее значение, при котором определитель уравнений (44) обращается в нуль.
Возьмем в качестве простейшего примера стержень, концы которого оперты на абсолютно жесткие опоры. Промежуточное сечение лежит на упругой опоре (рис. 47).
Для определения промежуточной опорной реакции мы будем иметь одно уравнение вида (44). Приравнивая нулю коэффициент при R в этом уравнении,
Рис. 48.Рис. 48.Рис. 47.Рис. 47.sin м — sin м + 4м cos и (sin м — sin м + 4м cos и ((П(П
Рис. 48.
Рис. 48.
Рис. 47.
Рис. 47.
sin м — sin м + 4м cos и (
sin м — sin м + 4м cos и (
(П
(П
получаем условие для определения критического значения сжимающей силы.
Положив /х + Z2 =V~17" =^~ ^ представим это условие так:
sin klx sin Ы2 = 2м sin 2м ^-}.(е)
Теперь остается только путем последовательных попыток найти наименьшее значение Р, удовлетворяющее полученному уравнению. При а = 0 будем иметь бесконечно жесткую промежуточную опору и уравнение (е) совпадет с тем, которое получается из (с) при по-
стоянном сечении стержня. При а = оо будем иметь стержень на двух опорах со свободно поворачивающимися концами, и для критической нагрузки получаем 2м = л.
Для всех промежуточных значений аРкр будет заключаться между предельными значениями, соответствующими а = 0иа = оо,и найдется путем попыток из уравнения (е). Наиболее просто решается этот вопрос в том случае, когда промежуточная опора делит сжатый стержень пополам. При этом будем иметь к1г = kl2 = м, и уравнение (е) перепишется так:
Крайние пределы для Р в данном случае устанавливаются очень просто. Когда а = 0, стержень при выпучивании делится на две совершенно независимые полуволны (рис. 48, а) и критическая нагрузка будет такая же, как для стержня половинной длины со свободно поворачивающимися концами. Высший предел для наименьшего корня уравнения (f) будет, следовательно, и = л.
Для а = оо, которому соответствует искривление, представленное на рис. 48, б, получим низший предел наименьшего корня уравнения (f): м = л/2.
Для всех промежуточных значений а наименьший корень уравнения (f) будет оставаться в пределах л/2 < м < л.
При этом sin м > 0, cos м < 0, следовательно, второй множитель в уравнении (f) может обращаться в нуль лишь при условии
(g)(g)аР .1
(g)
(g)
Для всех значений а, меньших, чем те, которые определяются неравенством (g), т. е. для всех более жестких опор критическая нагрузка соответствует обращению в нуль первого множителя в выражении (f) и мы будем иметь и = л, т. е. ту же критическую силу, что и при абсолютно жесткой промежуточной опоре. Неравенство (g) представляет практический интерес, так как иногда приходится подбирать жесткость промежуточной опоры, и мы при помощи этого неравенства всегда сможем подобрать жесткость так, чтобы среднюю опору можно было принимать за абсолютно жесткую.
Наименьшая жесткость, при которой опору можно считать абсолютно жесткой, определится на основании (g) из условия
(g')(g')_ 1z _ 1 Р
(g')
(g')
4 РКр — 4 4£/л2 •
Пользуясь вторым приемом для решения вопросов устойчивости, мы в данном случае весьма просто находим приближенное решение, допустив, что выпучивающийся под действием продольной силы стержень изгибается по синусоиде у — f sin —
Приращение энергии деформации составится из энергии изгиба 671 = "^"Р и из энергии, накапливаемой в оседающей опоре, б72 =
Для работы сжимающей силы Р при сближении концов стержня имеем 6Т = РЫ = Рл2^л2 EJu4
= —^-р. Критическая сила определится из условия oPi + ои2 = оТ или—^- = —^|-
Н—х—. Следовательно,
2а
(к)(к)Р EJu* 2Z
(к)
(к)
Z2 * ал2
При малой жесткости промежуточной опоры (при большом а) формула эта имеет большую точность. С возрастанием жесткости точность формулы убывает, но даже и в предельном случае, когда опора начинает вести себя как абсолютно жесткая, мы получаем по приближенной формуле вполне удовлетворительный результат. В самом деле, предельное значение 4^/л2 жесткости а, при котором опора перестает смещаться и, следовательно, Ркр = —— , опре-
X лх2z ЗЯ/л28 I
делится по приближенном формуле (к) из условия —^, откуда а = -х-у -5—*
ал“Iй«э л /г кр
что отличается от точного значения (g') примерно на 7 %.
Если промежуточная опора расположена не посередине пролета, то для определения Ркр нужно обратиться к уравнению (е). Низший предел для наименьшего корня, очевидно, сохраняется прежним, он соответствует абсолютно гибкой промежуточной опоре. Верхний предел для и получим при а = 0. Он будет меньше л. В самом деле, при и = л и при а = 0 правая часть уравнения (е) будет равна нулю, левая же часть, очевидно, будет отрицательной. Несколько уменьшив и, мы сможем уравнять левую и правую части. Следовательно, смещение средней опоры от середины пролета сопровождается уменьшением устойчивости системы. Установив пределы, разыскиваем нужный нам наименьший корень уравнения (е) путем последовательных попыток.
При этом необходимо иметь в виду следующее обстоятельство: при -у- = = -~“ или а = -~р правая часть уравнения (е) обращается в нуль, и если предположить, что lx > Z2, то наименьшее значение для Р получим, положив klx = 2iUi< ZЛZ,Zou = —z— = л, откуда и = -^у- . Отсюда заключаем, что при а > —^у- искомый корень уравнения (е) заключается в пределах -^- < и < -~- . При большей жесткости промежуточной опоры корень лежит в пределахм < л.
Если сжатый стержень концами опирается на абсолютно жесткие опоры и в ряде промежуточных сечений лежит на упругих опорах, то при определении критической нагрузки придется взять систему уравнений вида (44). Число таких
уравнений будет соответствовать числу промежуточных опор. Приравняв к нулю определитель этих уравнений, получим трансцендентное уравнение для разыскания критической нагрузки.
Решение этого уравнения возможно лишь путем последовательных попыток. Что касается тех значений коэффициентов жесткости а, при которых опоры ведут себя как абсолютно жесткие, то в случае равной жесткости опор и равных пролетов задача эта решается без особых затруднений х. Предположим, что наш стержень подразделяется на т равных пролетов. В таком случае при абсолютной жесткости опор критическая нагрузка определится условием kl[m = л, откуда
D m^EJix?
Будем теперь искать то значение коэффициента жесткости а, при котором критическая нагрузка меньше только что найденной на бесконечно малую величину. В таком случае
= я — 8(Ц) тv 7
где в — бесконечно малая величина.
Вставляя (h) в уравнения вида (44) и отбрасывая малые величины по сравнению с конечными, находим, что все члены, заключающие произведения синусов, пропадут. Это значительно упрощает наши уравнения. Так, например, в случае двух промежуточных опор уравнения эти напишутся так:
Приравнивая к нулю определитель этих уравнений, получаем
/ 2 I \2/ I '2
( 9 %°)( 9^кр )'
Отсюда находим нужный нам корень 0,333/ (X др .
Подобным же образом для трех промежуточных опор найдем 0,293/
а ” 4Р ’ кр
Вообще в случае балки, имеющей т пролетов, для той предельной жесткости, при которой опоры ведут себя как абсолютно жесткие, получим такое выражение:
а — —Уе
Значения [3 следующие:
т 2345679 И
Р 0,500 0,333 0,293 0,276 0,268 0,263 0,2580,255
Решение это принадлежит И. Г. Бубнову. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. Часть I. С.-Петербург, тип. Морского министерства при Главном Адмиралтействе, 1912, стр. 259. Из этой книги заимствован приведенный ниже вывод.
18 1—1801
§ 24. Продольный изгиб стержней переменного сечения
Эйлер, которому принадлежат первые решения в области устойчивости сжатых стержней, не ограничился случаем призматического стержня и рассмотрел несколько задач, где поперечное сечение стержня изменялось вдоль оси. Так, например, им решена задача об устой-Эйлер, которому принадлежат первые решения в области устойчивости сжатых стержней, не ограничился случаем призматического стержня и рассмотрел несколько задач, где поперечное сечение стержня изменялось вдоль оси. Так, например, им решена задача об устой-77772.77772.XXРис. 49.Рис. 49.[5[5чивости конического стержня и стержня, боковая поверхность которого представляет собой параболоид вращения х. Некоторые задачи этого рода представляют практический интерес и мы приводим здесь нужные для расчетов численные результаты.Рассмотрим случай, когда момент инерции поперечного сечения, соответствующий изгибу стержня в плоскости наименьшей жесткости ху, изменяется пропорционально квадрату расстояния от некоторой точки О, лежащей на оси х (рис. 49) 2 Пусть Jo и Ji — моменты инерции для верхнего и нижнего сечений. Тогда Jo = A a2; Ji = A (Z + а)2, где А — некоторый постоянный коэффициент. Положимчивости конического стержня и стержня, боковая поверхность которого представляет собой параболоид вращения х. Некоторые задачи этого рода представляют практический интерес и мы приводим здесь нужные для расчетов численные результаты.Рассмотрим случай, когда момент инерции поперечного сечения, соответствующий изгибу стержня в плоскости наименьшей жесткости ху, изменяется пропорционально квадрату расстояния от некоторой точки О, лежащей на оси х (рис. 49) 2 Пусть Jo и Ji — моменты инерции для верхнего и нижнего сечений. Тогда Jo = A a2; Ji = A (Z + а)2, где А — некоторый постоянный коэффициент. ПоложимВ таком случаеВ таком случае/о : А = я2/о : А = я2: (I + а)2 = ^4.: (I + а)2 = ^4.а =а =кЧ1 — к2 ’кЧ1 — к2 ’ЛЛ«^о а2«^о а2J» / 1 - ^ \2ZM к2 /J» / 1 - ^ \2ZM к2 /При выбранном расположении координатных осей дифференциальное уравнение напишется так:При выбранном расположении координатных осей дифференциальное уравнение напишется так:
Эйлер, которому принадлежат первые решения в области устойчивости сжатых стержней, не ограничился случаем призматического стержня и рассмотрел несколько задач, где поперечное сечение стержня изменялось вдоль оси. Так, например, им решена задача об устой-
Эйлер, которому принадлежат первые решения в области устойчивости сжатых стержней, не ограничился случаем призматического стержня и рассмотрел несколько задач, где поперечное сечение стержня изменялось вдоль оси. Так, например, им решена задача об устой-
77772.
77772.
X
X
Рис. 49.
Рис. 49.
[5
[5
чивости конического стержня и стержня, боковая поверхность которого представляет собой параболоид вращения х. Некоторые задачи этого рода представляют практический интерес и мы приводим здесь нужные для расчетов численные результаты.
Рассмотрим случай, когда момент инерции поперечного сечения, соответствующий изгибу стержня в плоскости наименьшей жесткости ху, изменяется пропорционально квадрату расстояния от некоторой точки О, лежащей на оси х (рис. 49) 2 Пусть Jo и Ji — моменты инерции для верхнего и нижнего сечений. Тогда Jo = A a2; Ji = A (Z + а)2, где А — некоторый постоянный коэффициент. Положим
чивости конического стержня и стержня, боковая поверхность которого представляет собой параболоид вращения х. Некоторые задачи этого рода представляют практический интерес и мы приводим здесь нужные для расчетов численные результаты.
Рассмотрим случай, когда момент инерции поперечного сечения, соответствующий изгибу стержня в плоскости наименьшей жесткости ху, изменяется пропорционально квадрату расстояния от некоторой точки О, лежащей на оси х (рис. 49) 2 Пусть Jo и Ji — моменты инерции для верхнего и нижнего сечений. Тогда Jo = A a2; Ji = A (Z + а)2, где А — некоторый постоянный коэффициент. Положим
В таком случае
В таком случае
/о : А = я2
/о : А = я2
: (I + а)2 = ^4.
: (I + а)2 = ^4.
а =
а =
кЧ
1 — к2 ’
кЧ
1 — к2 ’
Л
Л
«^о а2
«^о а2
J» / 1 - ^ \2
ZM к2 /
J» / 1 - ^ \2
ZM к2 /
При выбранном расположении координатных осей дифференциальное уравнение напишется так:
При выбранном расположении координатных осей дифференциальное уравнение напишется так:
(а)(а)ЕАх^-=-Ру.
(а)
(а)
Уравнение это ентами, и общийУравнение это ентами, и общийлегко приводится к линейному уравнению с постоянными коэффици- интеграл его в случае, когда-^- > ~~, представится так:
Уравнение это ентами, и общий
Уравнение это ентами, и общий
у = Ух \СХ sin р In + С3 cos In -^-
Здесь для сокращения записи введено обозначение
Р 1
ЕА 4
Условия закрепления для стержня с нижним заделанным и верхним свободным конца- ми будут такие: (у)я=о = 0; (y')x=z+a = 0.
Первое из этих условий будет удовлетворено, если мы в общем интеграле положим С2 = 0. Второе условие приводит нас к трансцендентному уравнению
tg (23 In к) — 23 = 0,(с)
наименьший корень которого определяет величину Ркр. Величина эта будет зависеть от 4* и мы окончательную формулу можем представить так:
^кр = ,и^кр = ,иEJtI2EJtI2(112|(112|
^кр = ,и
^кр = ,и
EJt
I2
EJt
I2
(112|
(112|
AAuJoAu00,2500,82,3110,11,3500,92,3920,21,5931,02,4670,31,76323,0550,41,90433,4850,52,02343,8370,62,12854,1410,72,223105,297AAuJoAu00,2500,82,3110,11,3500,92,3920,21,5931,02,4670,31,76323,0550,41,90433,4850,52,02343,8370,62,12854,1410,72,223105,297Таблица 3Таблица 3JoAa1 AiJ1и000,82,3080,11,2020,92,3910,21,50512,4670,31,71023,0250,41,87033,4000,52,00243,6910,62,11653,9320,72,217104,773JoAa1 AiJ1и000,82,3080,11,2020,92,3910,21,50512,4670,31,71023,0250,41,87033,4000,52,00243,6910,62,11653,9320,72,217104,773Таблица 4Таблица 4
A
A
u
Jo
A
u
0
0,250
0,8
2,311
0,1
1,350
0,9
2,392
0,2
1,593
1,0
2,467
0,3
1,763
2
3,055
0,4
1,904
3
3,485
0,5
2,023
4
3,837
0,6
2,128
5
4,141
0,7
2,223
10
5,297
A
A
u
Jo
A
u
0
0,250
0,8
2,311
0,1
1,350
0,9
2,392
0,2
1,593
1,0
2,467
0,3
1,763
2
3,055
0,4
1,904
3
3,485
0,5
2,023
4
3,837
0,6
2,128
5
4,141
0,7
2,223
10
5,297
Таблица 3
Таблица 3
Jo
A
a
1 A
iJ1
и
0
0
0,8
2,308
0,1
1,202
0,9
2,391
0,2
1,505
1
2,467
0,3
1,710
2
3,025
0,4
1,870
3
3,400
0,5
2,002
4
3,691
0,6
2,116
5
3,932
0,7
2,217
10
4,773
Jo
A
a
1 A
iJ1
и
0
0
0,8
2,308
0,1
1,202
0,9
2,391
0,2
1,505
1
2,467
0,3
1,710
2
3,025
0,4
1,870
3
3,400
0,5
2,002
4
3,691
0,6
2,116
5
3,932
0,7
2,217
10
4,773
Таблица 4
Таблица 4
где ц — величина, определяемая на основании решения уравнения (с). При к < 1, как это мы приняли в нашем выводе, очевидно, р < -^-. Для стержня, расширяющегося кверху
к > 1, и мы получим ц > —к > 1, и мы получим ц > —Несколько числовых результатов приведено в табл. 3.
к > 1, и мы получим ц > —
к > 1, и мы получим ц > —
Числами этой таблицы, очевидно, можно воспользоваться при расчете стержня, полученного путем соединения основаниями двух равных стержней только что рассмотренного вида и опертого по концам. Каждая половина полученного таким образом стержня будет совершенно в таких же условиях, как и рассмотренный выше стержень.
Р 1
Решение уравнения (а) для тех случаев, когда -g^ < —, приводит нас при заданных условиях на концах к прямой форме равновесия.
В случае конического стержня, располагая координатные оси, как указано на рис. 50, придем к уравнению
ЕА^-^ = — Ру.(ф
При этом А а* = Jo; А (I + а^ = Ji.
Решение уравнения (d) показывает, что критическая нагрузка может быть определена по формуле (112). Нужно только вместо р подставить числа из табл. 4.
Если оба конца конического стержня оперты, то для получения критической силы нужно в формулу (112) вместо р подставить его значения из табл. 5.
Некоторый практический интерес представляет та форма стержня, которая при заданном Ркр имеет наименьший объем. Оказывается, что эта форма представляет собой тело вращения, причем радиус сечения изменяется так, что его момент сопротивления все врем*
остается пропорциональным изгибающему моменту Р^ от продольной сжимающей силы (см. рис. 38). Если через Ji обозначим момент инерции сечения в плоскости заделки, то для критической нагрузки в случае формы наимень- Т я б л и „ я б ШеГ0 объема получим
JoJiиJoJiи000,67,6450,13,1210,78,2580,24,4140,88,8280,35,4060,99,3630,46,2421,09,8700,56,979JoJiиJoJiи000,67,6450,13,1210,78,2580,24,4140,88,8280,35,4060,99,3630,46,2421,09,8700,56,979Р^р- Например, вР^р- Например, вРис. 50.Рис. 50.Р — Зл ^1 nr ^Лкр 16 I2 1,85 Z2 *
Jo
Ji
и
Jo
Ji
и
0
0
0,6
7,645
0,1
3,121
0,7
8,258
0,2
4,414
0,8
8,828
0,3
5,406
0,9
9,363
0,4
6,242
1,0
9,870
0,5
6,979
Jo
Ji
и
Jo
Ji
и
0
0
0,6
7,645
0,1
3,121
0,7
8,258
0,2
4,414
0,8
8,828
0,3
5,406
0,9
9,363
0,4
6,242
1,0
9,870
0,5
6,979
Р^р- Например, в
Р^р- Например, в
Рис. 50.
Рис. 50.
Мы до сих пор рассматривали непрерывное изменение поперечного сечения стержня. В случае резких изменений (рис. 51) нужно стержень разбить на участки и отдельно составить дифференциальное уравнение для каждого участка. Если каждый участок имеет призматическую форму, то решение задачи не представляет никаких затруднений х, и мы на основании условий на концах и условий на границах участков по-
лучаем трансцендентноелучаем трансцендентноеделенияделенияуравнение для опре- случае двух участков (см. рис. 51), пользуясь обозначе-уравнение для опре- случае двух участков (см. рис. 51), пользуясь обозначе-Рис. 51.Рис. 51.Если взять Ъ = а и положить Ji = 4Jo, то найдем
лучаем трансцендентное
лучаем трансцендентное
деления
деления
уравнение для опре- случае двух участков (см. рис. 51), пользуясь обозначе-
уравнение для опре- случае двух участков (см. рис. 51), пользуясь обозначе-
Рис. 51.
Рис. 51.
р 6,О8Р/о
Если J1 = _Lj0, то PKp = 2,83-^L-
Пользуясь уравнением (е), можно без затруднений выяснить влияние ослаблений сечения на небольшом протяжении по длине стержня. Влияние ослабления получается тем большим, чем оно ближе к заделанному основанию стержня.
§ 25. Продольный изгиб стержней под действием сил, распределенных по длине
Рассмотрим сначала непрерывное распределение сил вдоль оси стержня и в качестве простейшего примера возьмем продольный изгиб призматического стержня под действием собственного веса. Нижний конец стержня предполага
Рис. 52.Рис. 52.ем заделанным, верхний— свободным (рис. 52).
Рис. 52.
Рис. 52.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси напишется так:
EJ^- = M.(а)
В данном случае изгибающий момент представится I—X
интегралом ^ qd^ (q — у)- Чтобы освободиться от это- о
го интеграла, дифференцируем наше уравнение (а) по х, тогда получаем
EJTS = -^-*^'<ь>
у поу поВведем теперь вместо х новую независимую переменную Z, положив
у по
у по
2323123 / ।3 /ЛУ + * у ;123 / ।3 /ЛУ + * у ;Тогда, обозначая через у\ у", ... последовательные производные от новой переменной, получаем
2
3
2
3
12
3 / ।3 /Л
У + * у ;
12
3 / ।3 /Л
У + * у ;
dy — _V-Л- • ^ —(_L_J_
^ У3 V 2 EJ ’ dx* ~ \ 2 EJ
(с)
EJ\ S y У zy Г
Вставляя это в уравнение (Ь), приходим к такому уравнению:
Г+4/ + ^-^-)/ = о, или, полагая у' = р, получаем
(ИЗ)(ИЗ)р" + ^р' + ^-^р = о.
(ИЗ)
(ИЗ)
Будем искать интеграл этого уравнения 1 в виде бесконечного ряда р = = а^^ + а^г + а^т» + ...
Вставляя этот ряд в уравнение (113), убеждаемся, что между показателями должна быть такая зависимость:
тп2 = тх + 2; т3 = тп2 + 2.
Связь между последовательными коэффициентами напишется так: 6^=5■.
-1
Показатель тп1 определяется из уравнения mfg- = 0, откуда т^ = ± 1/3.
Соответственно этим двум решениям для тг общий интеграл уравнения (ИЗ) представится в виде двух бесконечных рядов, расположенных по возрастающим
р = с12 3(1+ C2zT(l-р = с12 3(1+ C2zT(l-степеням z, и мы будем иметь
р = с12 3(1+ C2zT(l-
р = с12 3(1+ C2zT(l-
3z. ЗМ
2-42 • 4 • 4 • 10
(d)(d)3z2,32z
(d)
(d)
2-8 + 2 • 8 • 4 • 14
Подберем теперь произвольные постоянные так, чтобы были удовлетвореныусловия закрепления. При выбранном расположении координат мы имеем у ниж-него, заделанного, конца х = 0; у = 0; -^— = 0, следовательно, 1см. форму-лу (с)] V = 0. У верхнего конца имеем х = /; ^- = 0, следовательно,2
z = 0; z #' -f- 3z 3 у" = 0.(е)
Рассмотрим последнее условие (е). При малых значениях z мы можем в общем решении (d) ограничиться лишь первыми членами рядов и положить
V = Cx2 3+C8z3; у" = -Сг4-2 3+C24-z 3
Вставляя это в условие (е), заключаем, что С2 = 0. Следовательно,
dydy 3 ч / 2 EJР dzdx у 3 qdydy 3 ч / 2 EJР dzdx у 3 q2 • 4 ‘2 • 4 ‘2 • 4 - 4 • 10eV)2 • 4 - 4 • 10eV)
dydy 3 ч / 2 EJ
Р dzdx у 3 q
dydy 3 ч / 2 EJ
Р dzdx у 3 q
2 • 4 ‘
2 • 4 ‘
2 • 4 - 4 • 10eV)
2 • 4 - 4 • 10eV)
На нижнем конце, т. e. при
Z - 3 V EJ '
производная p, как мы видели, должна обращаться в нуль.
На основании этого получаем уравнение
с413 ( 4 gp i I 32( 4 ^3 ?1 о
\ 3 Г EJ )[12 • 4 \ 9 EJ '2 • 4 • 4 • 10 \ 9 EJ )• ] —
При помощи готовых таблиц для функции, которая представляет величину р, легко находится наименьший корень полученного уравнения:
414-8-=
Для критического значения собственного веса получаем 2:
71&1EJ
кр — qt — —^— ‘
Для решения рассмотренной задачи с успехом можно применить приближенный метод решения вопросов устойчивости и найти критическое значение собственного веса на основании рассмотрения энергии системы . Мы используем этот метод для приближенной оценки влияния собственного веса на величину критической нагрузки Р (рис. 53).
Очевидно, вследствие действия собственного веса величина критической нагрузки для случая, представленного на рис. 53, будет меньше той, что нам дает формула (105), полученная для невесомого стержня. Допустим, что под
действием силы Р и собственного веса стержень изогнулся по кривой у ----- = / cos 4^-, которая удовлетворяет условиям на концах.
Потенциальная энергия изгиба будет
bv =-^y"^=-ygLP.
Работа внешних сил составится в этом случае из работы груза Р и из рабо ты собственного веса. Выражение для работы будет такое:
sr=4" У у^х+о
I ,9 С /2/7\Г, О / Л2 л\ |л
+' х^dx ~ ТбГ + т Н чр •
Из уравнения б У = 6Т находим
4/2 л2 4/4Z2’ * *
т. е. действие собственного веса можно приравнять действию приложенной к верхнему концу сосредоточенной силы, равной 0,3ql.
Кроме рассмотренного случая продольного изгиба призматического стержня под действием собственного веса к уравнению типа (113) приводится целый ряд других задач устойчивости. Оказывается, что всякий раз, когда жесткость стержня изменяется вдоль оси
нагрузки. Если для критической нагрузки ввести обозначение Укрнагрузки. Если для критической нагрузки ввести обозначение Укр(рис. 54) по закону EJ = EJi и интенсивность собственного веса — по закону q =
нагрузки. Если для критической нагрузки ввести обозначение Укр
нагрузки. Если для критической нагрузки ввести обозначение Укр
= q111 , мы можем привести дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня к ти-
Таблица 6
пу (113), путем введения новой переменной Z, положив
т — 2
т = 3
Z2=
EJ\ (п + 1) (m — п — З) хт-п-
0
7,87
5,78
3,67
6,59
1
16,1
13,0
9,87
т — п — 3
2
27,3
23,1
18,9
14,7
представим решение этого уравнения в та
3
41,3
36,1
30,9
25,7
ком виде:
4
—
52,1
45,8
39,5
5
—
—
63,6
—
где Jp
И J-p —
функции Бесселя порядка р и
—р. Общий вид для этих функций такой:
J
1
(z) == Azp
1f
2 1
Z41
р
12(2р
+ 2) 12
• 4 (2р + 2) (2р + 4)’]
dx.
Из условий закрепления получаем уравнение для определения критического значения 1
то общая формула для всех случаев будет такая: ^кр = ц Значения коэффициента р для различных тип приводим в табл. 61.
Когда стержень искривляется под действием сосредоточенных сил, приложенных в промежуточных сечениях (рис. 55), то для определения критического значения сил приходится составлять дифференциальное уравнение равновесия для каждого участка между двумя последовательными сосредоточенными си-
Таблица 7
V
Ь = 1,00
к = 1,25
к = 1,50
к = 1,75
к = 2,00
к = 3,00
1,00
1,00
0,95
0,91
0,89
0,87
0,82
1,25
1,06
1,005
0,97
0,94
0,915
1,50
1,12
1,06
1,02
0,99
0,96
1,75
1,18
1,11
1,07
1,04
1,005
2,00
1,24
1,16
1,12
1,08
1,05
—
лами. Уравнение для определения критической нагрузки найдется из условий на концах и из условий на границах участков. Если имеется лишь два участка одинаковой длины, но разных поперечных сечений 2, то величина критической нагрузки определяется формулой (Рх + Р2)кр = Ц -^1. Значения коэффициен-
Нам уже приходилось указывать (§ 6), что в некоторых задачах строительной механики случается иметь дело с изгибом стержней, встречающих при исНам уже приходилось указывать (§ 6), что в некоторых задачах строительной механики случается иметь дело с изгибом стержней, встречающих при исРис. 56.Рис. 56.переписываем этопереписываем это(Ь)(Ь)
Нам уже приходилось указывать (§ 6), что в некоторых задачах строительной механики случается иметь дело с изгибом стержней, встречающих при ис
Нам уже приходилось указывать (§ 6), что в некоторых задачах строительной механики случается иметь дело с изгибом стержней, встречающих при ис
Рис. 56.
Рис. 56.
переписываем это
переписываем это
(Ь)
(Ь)
та ц зависят от отношений -~- = у; - ^ ^ = к. Несколько значений ц приведены в табл. 7.
Заметим, что применяя второй метод решения задач устойчивости, мы легко получаем приближенные формулы, точность которых вполне достаточна для практических приложений. Так, например, для двух участков (рис. 55) при значениях у, близких к единице, можно с достаточной для практики точностью положить х
/ n I р х (V + ^) EJ«^
+ *2)кр - -?(^+ 1} Z2 •
§ 26. Устойчивость равномерно сжатого стержня в упругой среде
кривлениях боковые сопротивления, пропорциональные прогибам.
Во многих случаях сопротивления эти могут быть заменены реакциями непрерывной упругой среды. Рассмотрим здесь устойчивость таких стержней при сжатии их силамиР, приложенными по концам 2. Предположим, что сжатый стержень опирается по концам на абсолютно жесткие опоры (рис. 56). Тогда выражение для изогнутой оси стержня в самом общем виде может быть представлено так:
уаг sin ——[- а2 sin —— + а3 sin —-|- • • •(а)
Критическое значение сжимающей силы найдем на основании рассмотрения энергии системы. При искривлении стержня к энергии сжатия присоединяются энергия изгиба дУх и энергия деформации упругой среды 6У2. Энергия деформации появляется за счет той работы 67, которую совершают сжимающие силы Р при сближении концов стержня. Значение Ркр найдем из условия
8У1 + 8У2 - 67.
На основании уже известных формул [(61), (65) и (80)1 условие в таком виде:
т-f г л П=оо71=00П=оо
EJrf 4 2 . х1 п Рл2 2 2
Z 73^ П апА 7“^ — 4/^ Gm*
п=1 п=1п=1
Здесь через & обозначен коэффициент, характеризующий жесткость упругой среды. С увеличением к увеличивается и значение Ркр.
kl4EJu4kl4EJu45 <П=15 <П=1р EJu2 п=1Г ~ I2р EJu2 п=1Г ~ I2(114)(114)Из уравнения (Ь) находим
kl4
EJu4
kl4
EJu4
5 <
П=1
5 <
П=1
р EJu2 п=1
Г ~ I2
р EJu2 п=1
Г ~ I2
(114)
(114)
2
П=1
Теперь остается из всех возможных форм искривления, определяемых выражением (а), найти ту, которой соответствует наименьшее значение Р, вычисляемое по формуле (114). В данном случае вопрос этот решается весьма просто: выражение (114) получает наименьшее значение, когда все коэффициенты аП1 кроме одного, обращаются в нуль. Соответствующей формой искривления будет синусоида у = ат sin ^р-. Здесь ат — единственный не обратившийся в нуль коэффициент в общем выражении (а) для изогнутой оси стержня. Формула (114) перепишется такх:
т4^ На^
(115)(115)EJu2 тE Ju4 т _ Е Ju2 / 2 kl4 \
(115)
(115)
/2m2fl2 ”12+ EJuW Г
II v/
Остается теперь только выбрать надлежащим образом число т, которое указывает, на сколько полуволн подразделяется стержень при искривлении. При & = О мы, очевидно, будем иметь явление продольного изгиба стержня со свободной боковой поверхностью и критическая нагрузка получится, если в формуле (115) положить т = 1. Первая искривленная форма представит собой кривую без перегибов.
К такому же заключению мы придем, когда к отлично от нуля, но представляет собой малую величину. В этом случае упругая среда весьма податлива, первая искривленная форма не будет иметь точек перегиба и представит собой одну полуволну синусоиды.
Постепенно увеличивая жесткость среды, мы в заключение придем к таким значениям А, когда формула (115) будет давать для Р меньшие значения при т = 2, а не при т = 1. В таком случае первая искривленная форма будет уже иметь две полуволны, а не одну. То значение &, при котором совершается переход от формы с одной полуволной к форме с двумя полуволнами найдется из (115), если мы примем во внимание, что для этого предельного состояния формула (115) даст одну и ту же величину Р независимо от того, вставим ли мы в нее т = 2 или т = 1. Таким образом, получаем
4 I ^4 92 |^1
откудаоткудаEJu4EJu4 2 ’
откуда
откуда
(с)(с)kl4 492
(с)
(с)
у EJgу EJgEJu4 “ * 2 *
у EJg
у EJg
При значении к, несколько меньшем, чем то, которое находится из (с), мы будем иметь искривление по одной полуволне, при к, несколько большем, получается две полуволны.
Если мы будем продолжать увеличение жесткости упругой среды, то в дальнейшем придем к формам с тремя, с четырьмя и т. д. полуволнами. Чем жестче среда, тем на большее число полуволн стремится подразделиться при продольном изгибе стержень. В этом существенное отличие рассматриваемой задачи от случая стержня со свободной боковой поверхностью, выпучивающегося при продольном изгибе по кривой без перегибов т.
То предельное значение к, при котором совершается переход от формы с т полуволнами к форме с т + 1 полуволнами найдется так же, как мы это выше сделали для т = 1 и т = 2, из уравнения
т + EJkW ~ <™+1) + £/я4(т + 1)2 >
(116)(116)откуда легко находим
(116)
(116)
ТО = ТпЧт^^
Для значений к, несколько меньших того, что дает полученное уравнение, мы будем иметь первую искривленную форму с т полуволнами, для несколько больших к получим т + 1 полуволн. Таким образом, уравнение (116) может послужить для определения того числа полуволн, при котором формула (115) дает для Р наименьшее значение. Это значение и будет искомая критическая нагрузка.
Вводя обозначения а = "^ej »‘ Р =/ {§^2', можем представить
У т2+^
формулу для Ркр в таком виде:
к₽ “ ф/)2°
Коэффициент Р называют коэффициентом длины, а величину р/ — приведенной длиной. Определив приведенную длину, мы тем самым сводим нашу задачу к простейшему случаю продольного изгиба стержня с опертыми концами и со свободной боковой поверхностью (108), для которого имеются подробные расчетные таблицы.
Значения коэффициента длины р приводим в табл. 8.
kl*EJ^kl*EJ^В тех случаях, когда стержень вследствие большой длины или вследствие большой жесткости среды подразделяется при выпучивании на весьма большое число полуволн, мы можем заменить уравнение (116) таким:
kl*
EJ^
kl*
EJ^
(116')
Вставляя его в формулу (115), получаем
। ^ЕЗк^ТП 2^/л24
КРр^2’(11/ )
гдегде(118)(118)
где
где
(118)
(118)
Таким образом, критическая сила в этом случае вдвое больше, чем для стержня со свободной боковой поверхностью и опертыми концами, имеющего длину р, равную длине одной полуволны стержня, выпучивающегося в упругой среде. Полученными результатами можно воспользоваться для приближенной оценки устойчивости спаянных трамвайных рельсов, заделанных в упругое основание. При повышении температуры в таких рельсах возникают весьма значительные
Т а б л и ц а 8Т а б л и ц а 9
a
7.
0
a
15
a
3
0
1
200
0,286
0
oo
150
0,451
1
0,927
300
0,263
1
2,74
200
0,414
3
0,819
500
0,235
5
1,04
300
0,372
5
0,741
700
0,214
10
0,914
400
0,342
10
0,615
1000
0,195
15
0,828
500
0,324
15
0,537
1500
0,179
20
0,788
600
0,310
20
0,483
2000
0,165
36
0,693
750
0,292
30
0,437 »
3000
0,119
56,5
0,613
1000
0,270
40
0,421
I 4000
0,140
98,7
0,518
50
0,406
5000
0,132
75
0,376
8000
0,117
100
0,351
10000
0,110
продольные сжимающие усилия и при недостаточной жесткости заделки стержня в основание возможно явление продольного изгиба.
Мы все время предполагали непрерывную упругую среду, но полученные выше расчетные формулы можно применить для получения приближенного решения и в том случае, когда стержень опирается на ряд равноудаленных упругих опор одинаковой жесткости. Если жесткость оцор такова, что на каждую полуволну приходится не меньше трех опор, то получаемые таким путем приближенные решения обладают достаточной для практических приложений точностью. В противном случае придется для решения задачи воспользоваться приемами, изложенными в § 23.
На основании рассмотрения энергии деформации мы можем решить также вопрос об устойчивости равномерно сжатого стержня в упругой среде, когда нет опор и концы стержня совершенно свободны . Здесь также вид искривленных форм равновесия будет зависеть от жесткости упругой среды. Мы сохраним наши предыдущие обозначения й ограничимся лишь окончательными результатами, приведенными в табл. 9. Здесь даны значения коэффициента длины Р, который должен быть вставлен в прежнюю формулу (117).
Сравнение чисел, приведенных в табл. 8 и 9, показывает, что стержень со свободными концами менее устойчив, чем стержень на двух жестких опорах. Разность между соответствующими коэффициентами длины будет тем меньшей, чем больше жесткость среды, что является вполне естественным, так как с увеличением жесткости среды увеличивается число полуволн, на которые стержень подразделяется при выпучивании, следовательно, убывает влияние способа закрепления концов. Такую же роль как увеличение жесткости среды играет увеличение длины стержня или уменьшение его жесткости при изгибе.
§ 27. Задача Ф. С. Ясинского
Результатами предыдущего параграфа иногда пользуются для приближенной оценки устойчивости сжатых поясов открытых мостов. Проф. Ф. С. Ясинский поставил себе задачей более подробное исследование этого же вопроса. Он рассматривает сжатый пояс равномерно нагруженной фермы с параллельными поясами (рис. 57). В таком случае можно считать, что усилия в раскосах воз
растают по направлению от середины пролета к опорам по линейному закону, и положить, что верхний пояс сжимается непрерывно распределенными усилия
Рис. 57.Рис. 57.ми, интенсивность которых изменяется по закону, представленному на рис. 57 , б заштрихованной площадью. Через Q обозначена вся нагрузка, приходящаяся на ферму; Л — высота фермы. Предположим, что опорные стойки ААг и ВВг устроены так, что верхние их точки Аг и Вх совершенно не могут перемещаться в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Что же касается промежуточных стоек, то они сравнительно гибкие, и мы
Рис. 57.
Рис. 57.
для простоты допустим, что жесткость их при изгибе в направлении, перпенди-
кулярном к плоскости рисунка, одина
кова. В таком случае верхний пояс можно рассматривать как стержень с опертыми концами, сжатый непрерывно распределенными усилиями, интенсивность которых представлена на рис. 57, б. В этом виде вопрос об устойчивости сжатых поясов открытых мостов впервые был поставлен и разрешен Ф. С. Ясинским \ Заменив действие отдельных стоек действием непрерывной упругой среды , жесткость которой характеризуется коэффициентом к, Ясинский применил первый метод исследования устойчивости (рассмотрение условия равновесия отклоненной формы, весьма близкой к первоначальной форме равновесия), он
допустил возможным искривление верхнего пояса в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка (рис. 57, а), и для этой искривленной формы составил дифференциальное уравнение равновесия.
Таким путем он пришел к дифференциальному уравнению четвертого порядка с переменными коэффициентами и решил это уравнение в предположении, что стержень имеет постоянное сечение, при помощи бесконечных рядов. Мы воспользуемся для решения того же вопроса вторым методом, обратимся к рассмотрению энергии системы и покажем на этой задаче, как, пользуясь этим методом, можно получать приближенные решения и увеличивать точность этих решений путем увеличения числа произвольных параметров, которыми определяется искривленная форма равновесия сжатого стержня.
Представим, как это мы всегда делали в случае опертых концов, искривленную форму оси стержня тригонометрическим рядом
(а)(а)ля.. 2ля.. Зля,
(а)
(а)
у — ах sin —1-a^ sin —На3 sin —-|- • •
Энергия деформации изогнутого стержня и упругой среды выразится, как и в предыдущей задаче, суммой
„ Т , 71=0071=00
/73^71 "|7"(Ь)
П = 14 П=1
Что касается работы сжимающих сил, то для нее получим здесь более сложное выражение, которое можно составить на основании следующих соображений. Пусть АВ представляет искривленную ось стержня (рис. 58) и заштрихованные площади — интенсивность распределенных сжимающих усилий, имеющих в каждой точке направление к середине стержня. Аналитически интенсивность усилий может быть представлена формулой q = q0 ^1 — -y-j . Наибольшая сжимающая сила Р получается посередине стержня, где она
равна площади одного из заштрихованных треугольников, т. е. Р = q^!^*
Для подсчета работы сжимающих усилий при изгибе стержня выделим элемент оси стержня двумя бесконечно близкими сечениями тп и тгп1в При изгибе элемент этот наклонится к оси ж на угол, равный у', благодаря чему вся правая часть стержня переместится в направлении к неподвижной опоре на величину -^ dx и совокупность приложенных к правой части усилий произведет работу y'dx J\0 (1Т") dx = -^-y'ax(l — х).
Выяснив таким образом работу, соответствующую повороту одного элемента оси стержня, легко получим нужное нам полное выражение для работы в виде интеграла
-^-J у'*х(1 — x^dx. о
Подставляя сюда вместо у его общее выражение (а) и принимая во внимание значения интегралов / Г 9 тлх 7 Z2 I х cos2 —;— dx = -г-;
О/С 99 тих , Z3 , Z3
ja:2C0s2__da;=__+__; о
I |пля тлх 1 п
I х cos —-— cos —-— dx = 0 при т 4- п четном;
о
I
Сплхтлхj2Z2т2 + п2,
I х cos —:—cos—:— ах =о~ -т—о-2—^2 ПРИ т + п нечетном;JIIл2vm2 — п2У’
О / Г о плх тлх ,2Z3 (т2 + п2) ,
ж2 cos —— cos —5—dx = 2 z » -~ 24 (— 1),
JZZл2 km2 — n2)2 4’’
0
получаем нужное нам выражение для работы сжимающих сил в таком виде:
9о29о2С)С)2 / п2л2 1 \, Vпт (т2 + п2)
9о
2
9о
2
С)
С)
^ «п 1-12 Г ~ 4^ ап<1т № — п^
п=1'' (mH-п) четное
Приравнивая это выражение для работы к зависимости (Ь) для энергии деформации, получаем для сжимающей силы посередине пролета стержня вы
ражение
р Чо^~ 4р Чо^~ 4EJn4~~812~EJn4~~812~"хГ 4 2 , kl2 г=1"хГ 4 2 , kl2 г=1п2л212п2л212Vпт (т2 + п2)апат (т2д2)2 (тп+п) четноеVпт (т2 + п2)апат (т2д2)2 (тп+п) четное(119)(119)
р Чо^
~ 4
р Чо^
~ 4
EJn4~~812~
EJn4~~812~
"хГ 4 2 , kl2 г=1
"хГ 4 2 , kl2 г=1
п2л2
12
п2л2
12
Vпт (т2 + п2)
апат (т2д2)2 (тп+п) четное
Vпт (т2 + п2)
апат (т2д2)2 (тп+п) четное
(119)
(119)
Теперь остается подобрать коэффициенты а^ а^ ... так, чтобы формула (119) давала для Р наименьшее значение. Составляя производные от (119) по каждому из коэффициентов и приравнивая их нулю, получаем систему уравнений вида
п4л2 + ул2 — б(-|-п2л2 — 2)|а„ + 166 2 amT24Sr~^^ W х‘ Jm-Vn четное7
где для сокращения письма мы ввели обозначения
(е)(е)Н4 _ е qol .1 ^/л2 «
(е)
(е)
EjiS" — V’ “4“ : Р~ — °*
Легко видеть, что система уравнений (d) разбивается на две группы. Одна из них заключает коэффициенты с нечетными индексами, а другая — с четными. Напишем по несколько первых уравнений для каждой из этих групп. Для первой группы будем иметь
(f)(f)л2 + ул2 — 6 ^-|- л2 — 2) j ^ + 6 ^^- а3 + -||- а5 + ^- а, + • - J = 0;-^-6а1 + |34л2 + т«2-б(9-|-«2-2)]а3 + б(^а5 + ^а,+ ...) = 0;1^6а1 + ^6а3+[54л2 + уя2-б(52-|-л2-2)]а5 + б(^а7+ ...) = 0;-72 б^+^баз+^баб+р^ + ул2 —6р2-з-л2 —2),а7+=0
(f)
(f)
Для второй группы получаем
|24л + тла — 6 ^22-|-л2 — 2^ а2 + б^р а4 + 6-^-а6+ ... =0; ! б1ра2 + [44л2 + 7л2-б(42Ал2-2)]а4 + 6^-а6+ ... = 0; ' 6 4^-а2 6 ^^ «д + Г64л2 + ул2 — 6 [б2 —л2— 211 а6 4- . =0;
Искривленная форма равновесия становится возможной, если одна из написанных групп уравнений может дать для коэффициентов ап решения, отличные от нуля, т. е. если определитель одной из этих систем уравнений обращается в нуль. Равенство нулю определителя одной из этих систем и даст нам уравнение для разыскания величины 6, которой определяется критическое значение сжимающей силы Р.
Для технических расчетов удобно иметь готовую таблицу коэффициентов длины Р, вычисленных для различных значений величины а = kPjl^EJ.
При составлении этой таблицы начнем с малых значений величины а, когда искривленная форма имеет одну полуволну и, следовательно, симметрична относительно середины пролета.
Критическая сила определяется в таком случае системой уравнений (f). Если, например, положить ос = 0, т. е. взять стержень, который при выпучивании не встречает сопротивления упругой среды, то для получения первого приближения можно положить все коэффициенты в выражении (а), кроме первого, равными нулю. Тогда первое из уравнений (f) дает нам
6 == 2,15; 0 = 1/4- = 0,682.
2го
— л2 — 2
3 Следовательно,
р _ / ^^ \_^л2
кр \ 4 кр ~ (0,682£)2 •
Для получения второго приближения возьмем первые два уравнения системы (/) и положим равными нулю все коэффициенты, кроме ах и а3. Равенство нулю определителя этих уравнений приводит нас к такому уравнению
нужно будет обращаться или к системе (f) для нечетного числа полуволн, или к системе (g), если число полуволн четное.
Пользуясь тем же методом, мы можем решить вопрос об устойчивости сжатого пояса и в том случае, когда опорные стойки моста обладают такой же жесткостью, как промежуточные, и задача сводится к исследованию устойчивости стержня со свободными концами в упругой среде.
Если принять такой же закон для распределения сжимающих сил, как и в предыдущем случае, то получим для коэффициента длины р значения, приведенные в табл. И.
При вычислении этих значений мы ограничились везде вторым приближением. Заметим, что приводимое здесь приближенное решение вопроса об устой-
аа6о20,694ЮОз0,290520,524162,830,259ю20,44320030,2461530,396ЗОО30,22522,820,36350040,20456,530,324100040,174аа6о20,694ЮОз0,290520,524162,830,259ю20,44320030,2461530,396ЗОО30,22522,820,36350040,20456,530,324100040,174Таблица 10Таблица 10Примечание. Индекс при значениях а указывает порядок взятого приближения 1.Примечание. Индекс при значениях а указывает порядок взятого приближения 1.а3а30оо |;500,43112,221000,34031,281500,27750,9932000,261100,7033000,236150,5745000,206200,54210000,176а3а30оо |;500,43112,221000,34031,281500,27750,9932000,261100,7033000,236150,5745000,206200,54210000,176Таблица ИТаблица И
а
а
6
о2
0,694
ЮОз
0,290
52
0,524
162,83
0,259
ю2
0,443
2003
0,246
153
0,396
ЗОО3
0,225
22,82
0,363
5004
0,204
56,53
0,324
10004
0,174
а
а
6
о2
0,694
ЮОз
0,290
52
0,524
162,83
0,259
ю2
0,443
2003
0,246
153
0,396
ЗОО3
0,225
22,82
0,363
5004
0,204
56,53
0,324
10004
0,174
Таблица 10
Таблица 10
Примечание. Индекс при значениях а указывает порядок взятого приближения 1.
Примечание. Индекс при значениях а указывает порядок взятого приближения 1.
а
3
а
3
0
оо |
;50
0,431
1
2,22
100
0,340
3
1,28
150
0,277
5
0,993
200
0,261
10
0,703
300
0,236
15
0,574
500
0,206
20
0,542
1000
0,176
а
3
а
3
0
оо |
;50
0,431
1
2,22
100
0,340
3
1,28
150
0,277
5
0,993
200
0,261
10
0,703
300
0,236
15
0,574
500
0,206
20
0,542
1000
0,176
Таблица И
Таблица И
чивости сжатого пояса будет тем ближе к действительности, чем гибче стойки, чем больше стоек приходится на одну полуволну искривленной формы выпучившегося пояса. При больших значениях а и при редком расположении стоек на полученные выше решения приходится смотреть лишь как на первое грубое приближение. Для более подробного решения вопроса нужно при составлении энергии системы рассмотреть изгиб каждой стойки и работу каждой силы, передающейся от раскосов сжатому поясу. Общий ход решения задачи остается прежним. При решении той же задачи можно, конечно, воспользоваться также приемами, примененными нами при исследовании устойчивости многопролетных стержней на упругих опорах (§ 23).
Этим мы закончим исследование вопросов устойчивости сжатых стержней. Влияние на устойчивость стержней касательных напряжений и исследование устойчивости клепаных составных стержней с достаточной полнотой рассмотрено в нашем курсе сопротивления материалов и здесь мы на этих вопросах останавливаться не будем, а перейдем к исследованию устойчивости плоской формы изгиба балок.
Об устойчивости плоской формы изгиба полосы
Если полосу, имеющую узкое прямоугольное поперечное сечение, изгибать в плоскости ее наибольшей жесткости, то можно, постепенно увеличивая изгибающие силы, достигнуть предела, за которым плоская форма изгиба перестает
Приближения выше второго вычислены студентом Института инженеров путей сообщения В. Вержбицким.
19 1—1801
быть устойчивой и полоса выпучивается в направлении легчайшего изгиба. С этим явлением приходится считаться в целом ряде технических задач, и мы его здесь изучим при различных способах нагрузки изгибаемой полосы Ч
В качестве простейшего примера рассмотрим чистый изгиб полосы парами сил, приложенными по концам (рис. 59, а). Предположим, что концы полосы закреплены таким образом, что концевые сечения свободно могут поворачиваться относительно осей, совпадающих с главными осями инерции сечений. Вращение
же сечений относительно оси z^ невозможно. В таком случае путем увеличения моментов М можно достигнуть выпучивания полосы, представленного на рис. 59, 6. Легко видеть, что это выпучивание должно сопровождаться также некоторым скручиванием полосы. Для определения критического значения изгибающего момента воспользуемся здесь первым методом исследования устойчивости. Допустим, что под действием М получилось весьма малое выпучивение, представленное на рисунке. Составим дифференциальные уравнения равновесия для этой искривленной формы и из условий на концах найдем то значение М, при котором предположенная нами искривленная форма равновесия может иметь место. Здесь мы будем иметь дело с искривлением полосы в двух главных плоскостях, сопровождающимся кручением, и в дальнейшем нам выгодно воспользоваться результатами, полученными раньше при исследовании деформаций кривого бруса (§ 19). Нужно только в найденных там формулах везде по
ложить начальную кривизну х равной нулю.
Возьмем неподвижную систему координат х0, у^ z0 и обозначим через и и и перемещения точек оси полосы в направлении ж0 и у0. Кроме того, в каждом поперечном сечении выпучившейся полосы можем построить систему осей х, у, z так, что ось z направлена по касательной к изогнутой оси полосы, оси х и у совпадают с новыми направлениями главных осей переместившегося
поперечного сечения.
Направление осей выбрано так, что при вращении от х к у завинчивание происходит в направлении оси z. Угол между плоскостями xz и xozo мы, каки прежде, будем обозначать через (3. В таком случае при условии весьма малых перемещений мы на основании рис. 59, в, г легко составим таблицу значений
Первые задачи этого рода были решены почти одновременно и независимо друг от друга Л. Прандтлем и А. Мичеллом. Prandtl L. Kipperscheinungen. Ein Fall von insta- bilem elastischen Gleichgewicht. Dissertation der Universitat Munchen. 1899. Niirenberg. 1900, SS. 1—75. [Перепечатка: Prandtl L. Gesammelte Abhandlungen zur angewandte Mechanik, Hydro-und Aerodynamik. Erster Teil. Berlin—Gottingen — Heidelberg, Springer— Verlag, 1961, SS. 10—74]. Michell A. G. M. On the elastic stability of long beams under transverse forces. Philosophical Magazine and Journal of Sciences, Series 5, 1899, vol. 48, N 292, pp. 298—309.
косинусов углов, составляемых осями ж, у, 2 и я0, у0, 20:
хо
У»
20
1
X
1
du dz
У
1
du dz
2
du dz
du dz
1
Оставляя для кривизны, кручения и жесткостей при изгибе и кручении те же обозначения, что и в случае кривого стержня, можем на основании формул (97) и (98) (§ 19) написать
(97')(98>(97')(98>Mi = В^; М, = 52х2; Н = Ст.
(97')
(98>
(97')
(98>
d^ud^ut?p
1dz^ 2 dz2, ’dz
Здесь Mx, M2 и H — моменты сил, приложенных к правой части полосы относительно осей ж, у, z. Момент считаем положительным, ели соответствующее ему вращение сопровождается завинчиванием в направлении положительной оси.
В рассматриваемом случае чистого изгиба момент сил, приложенных к правой части полосы, равен М и представится при нашем правиле знаков вектором В^М (см. рис. 59, в). Проектируя этот вектор на оси ж, у, 2, при помощи приведенной выше таблицы косинусов получаем
мг = — М; М2 = £М; Н = — -^М.
Подставляя эти значения в формулы (97'), мы на основании (98') приходим к такой системе дифференциальных уравнений равновесия:
(а)
^-М = C-i •dzdz
Дифференцируя третье уравнение по z и исключая потом, при помощи второго уравнения, величину d2uldz\ приходим к такому дифференциальному уравнению;
dz^ ~ СВ2
откудаоткудар = Сг sinр = Сг sinМУсв'^МУсв'^2 + С22 + С2мУев,мУев,
откуда
откуда
р = Сг sin
р = Сг sin
М
Усв'^
М
Усв'^
2 + С2
2 + С2
мУев,
мУев,
Так как по условиям закрепления угол 3 равен нулю по концам полосы, то, чтобы удовлетворить условию на левом конце, нужно положить С2 = 0. Условие на правом конце приводит нас к такому трансцендентному уравнению:
Рис. 60.Рис. 60.этого уравнения и дает нам искомое критическое значение для изгибающего момента
Рис. 60.
Рис. 60.
Л/Кр = ^^. (120)
Этому значению момента будет соответствовать форма равновесия, приведенная на рис. 59 и состоящая из одной полуволны. Дальнейшие корни трансцендентного уравнения соответствуют формам равновесия с двумя, тремя и т. д. полуволнами. Все эти формы, как и в случае продольного изгиба, неустойчивы и не имеют практического значения. Заметим, что формула (120) может быть применима к расчетам лишь в том случае, если вычисленные по Л7Кр напряжения не превосходят предела упругости материала.
В качестве второго примера рассмотрим изгиб полосы силой, приложенной на конце (рис. 60,а). Постепенно увеличивая силу Р, можно достигнуть предела, за которым начинается искривление полосы в направлении легчайшего
изгиба (рис. 60, б). Для определения Р!ф воспользуемся тем же приемом, что ив предыдущем случае. Возьмем искривленную форму равновесия (рис. 60, в, а) и составим соответствующие дифференциальные уравнения. В какой-либо точке D оси стержня моменты М^ МУо1 MZo изгибающей силы Р относительно осей, па
раллельных осям zOl у0, z0, представятся так:
MXo = P<l-zY ^ = 0; M^ = ~P<t-u\
Здесь через / обозначено перемещение и для конца полосы.
При помощи таблицы косинусов легко переходим к моментам относительно осей ж, у, о и, отбрасывая малые величины высших порядков, получаем
Мг = Р (I - z); М^-Р(1 — z)3;
Н = P(l-2^-P(f-u\
Вставляя это в формулы (97'), мы при помощи (98') приходим к такой системе уравнений:
P(Z-z)=-515-;
(Ь)(Ь)-PU-z^B^;
(Ь)
(Ь)
РЦ-г^-РЦ-и^С^.
Дифференцируя третье из этих уравнений по г и исключая при помощи второго уравнения величину -^- , находимДифференцируя третье из этих уравнений по г и исключая при помощи второго уравнения величину -^- , находимили, вводя новую переменную де = Z — z и полагая для сокращения Р^/В^С = = а2, получаем"44 + a2u^ = 0.dw2 1 rили, вводя новую переменную де = Z — z и полагая для сокращения Р^/В^С = = а2, получаем"44 + a2u^ = 0.dw2 1 rРешив это уравнение при помощи бесконечных рядов, найдемР = С, (1 з . 4 У^ + 3.4.7 . 83 • 4 • 7 • 8 • 11 • 121 • •) +4- С2 ^де ^-у де5 + 4 5 8 9 де9 — 4Т1Г^Г1П^^‘ ‘•(с)Решив это уравнение при помощи бесконечных рядов, найдемР = С, (1 з . 4 У^ + 3.4.7 . 83 • 4 • 7 • 8 • 11 • 121 • •) +4- С2 ^де ^-у де5 + 4 5 8 9 де9 — 4Т1Г^Г1П^^‘ ‘•(с)Условия на концах полосы следующие. У левого заделанного конца угол £ должен обращаться в нуль, следовательно, при г = 0 и де = I имеем £ = 0.На другом конце полосы скручивающий момент Н обращается в нуль, так как точка приложения силы Р предполагается совпадающей с концом оси полосы. В таком случае при z = I де = 0, -^- = 0.Для выполнения этого последнего условия нужно в общем интеграле (с) положить С2 = 0 , и мы получим для £ выражениеа6 12 . \Условия на концах полосы следующие. У левого заделанного конца угол £ должен обращаться в нуль, следовательно, при г = 0 и де = I имеем £ = 0.На другом конце полосы скручивающий момент Н обращается в нуль, так как точка приложения силы Р предполагается совпадающей с концом оси полосы. В таком случае при z = I де = 0, -^- = 0.Для выполнения этого последнего условия нужно в общем интеграле (с) положить С2 = 0 , и мы получим для £ выражениеа6 12 . \3 • 4 • 7 • 8 • И • 123 • 4 • 7 • 8 • И • 12Чтобы было удовлетворено условие у заделанного конца, должно иметь место равенствоЧтобы было удовлетворено условие у заделанного конца, должно иметь место равенствоРис. 61.Рис. 61.а6а6/12+ ••• =0-/12+ ••• =0-1—3-41—3-4а4783 • 4.7 • 8а4783 • 4.7 • 83 • 4 • 7 • 8 • 11 • 123 • 4 • 7 • 8 • 11 • 12Для суммы ряда, стоящего в левой части уравнения, имеются готовые таблицы \ при помощи которых легко находятся нужный нам наименьший корень уравнения al2 = 4,013 и соответствующее критическое значение силы РДля суммы ряда, стоящего в левой части уравнения, имеются готовые таблицы \ при помощи которых легко находятся нужный нам наименьший корень уравнения al2 = 4,013 и соответствующее критическое значение силы РР крР кр4,013 V в^с” Z24,013 V в^с” Z2(121)(121)
Дифференцируя третье из этих уравнений по г и исключая при помощи второго уравнения величину -^- , находим
Дифференцируя третье из этих уравнений по г и исключая при помощи второго уравнения величину -^- , находим
или, вводя новую переменную де = Z — z и полагая для сокращения Р^/В^С = = а2, получаем"
44 + a2u^ = 0.
dw2 1 r
или, вводя новую переменную де = Z — z и полагая для сокращения Р^/В^С = = а2, получаем"
44 + a2u^ = 0.
dw2 1 r
Решив это уравнение при помощи бесконечных рядов, найдем
Р = С, (1 з . 4 У^ + 3.4.7 . 83 • 4 • 7 • 8 • 11 • 121 • •) +
4- С2 ^де ^-у де5 + 4 5 8 9 де9 — 4Т1Г^Г1П^^‘ ‘•(с)
Решив это уравнение при помощи бесконечных рядов, найдем
Р = С, (1 з . 4 У^ + 3.4.7 . 83 • 4 • 7 • 8 • 11 • 121 • •) +
4- С2 ^де ^-у де5 + 4 5 8 9 де9 — 4Т1Г^Г1П^^‘ ‘•(с)
Условия на концах полосы следующие. У левого заделанного конца угол £ должен обращаться в нуль, следовательно, при г = 0 и де = I имеем £ = 0.
На другом конце полосы скручивающий момент Н обращается в нуль, так как точка приложения силы Р предполагается совпадающей с концом оси полосы. В таком случае при z = I де = 0, -^- = 0.
Для выполнения этого последнего условия нужно в общем интеграле (с) положить С2 = 0 , и мы получим для £ выражение
а6 12 . \
Условия на концах полосы следующие. У левого заделанного конца угол £ должен обращаться в нуль, следовательно, при г = 0 и де = I имеем £ = 0.
На другом конце полосы скручивающий момент Н обращается в нуль, так как точка приложения силы Р предполагается совпадающей с концом оси полосы. В таком случае при z = I де = 0, -^- = 0.
Для выполнения этого последнего условия нужно в общем интеграле (с) положить С2 = 0 , и мы получим для £ выражение
а6 12 . \
3 • 4 • 7 • 8 • И • 12
3 • 4 • 7 • 8 • И • 12
Чтобы было удовлетворено условие у заделанного конца, должно иметь место равенство
Чтобы было удовлетворено условие у заделанного конца, должно иметь место равенство
Рис. 61.
Рис. 61.
а6
а6
/12+ ••• =0-
/12+ ••• =0-
1—
3-4
1—
3-4
а478
3 • 4.7 • 8
а478
3 • 4.7 • 8
3 • 4 • 7 • 8 • 11 • 12
3 • 4 • 7 • 8 • 11 • 12
Для суммы ряда, стоящего в левой части уравнения, имеются готовые таблицы \ при помощи которых легко находятся нужный нам наименьший корень уравнения al2 = 4,013 и соответствующее критическое значение силы Р
Для суммы ряда, стоящего в левой части уравнения, имеются готовые таблицы \ при помощи которых легко находятся нужный нам наименьший корень уравнения al2 = 4,013 и соответствующее критическое значение силы Р
Р кр
Р кр
4,013 V в^с
” Z2
4,013 V в^с
” Z2
(121)
(121)
Подобным же образом мы можем решить вопрос об устойчивости полосы с опертыми концами, изгибаемой силою 2Р, приложенной посередине (рис. 61, а).
Если закрепления препятствуют лишь вращению концов относительно оси zOl то изогнутая ось для первой искривленной формы выпучившейся полосы имеет вид, представленный на рис. 61, б. Опорные реакции, равные Р, будут приложены в точках Лх и Вг.
В какой-либо точке D оси стержня моменты МХИ МУл и Мго опорной реакции Р относительно осей, параллельных осям ж0, z/0, z0, представятся так (см. рис. 61, в):
Mx, = -P(l-zy МУо = О; Мг, = -Ри.
При помощи таблицы косинусов находим следующие значения моментов относительно осей ж, у, z:
Мг = -Р(1 — zy Мг = Р(1-^; Н = -P(l — z')-^- — Pu.
На основании (97') и (98') приходим к такой системе уравнений:
(d)(d)B^ = P<l-zW,.
(d)
(d)
С -^- = — Р (I — z) 4^ - Рч.dz'dz(
Из уравнений второго и третьего, как и прежде, получаем
аг + св2 ^ . z) Р — °-
Решение этого уравнения приводит нас к такому значению критической
нагрузки:нагрузки:(2Р)кр(2Р)кр16,93 VВ^С(2Z)216,93 VВ^С(2Z)2(122)(122)
нагрузки:
нагрузки:
(2Р)кр
(2Р)кр
16,93 VВ^С(2Z)2
16,93 VВ^С(2Z)2
(122)
(122)
Покажем на этом примере, как можно получить величину критической нагрузки на основании рассмотрения энергии системы.
При выпучивании полосы из плоскости ее наибольшей жесткости к энергии изгиба в этой плоскости присоединяется энергия изгиба в плоскости, ей перпендикулярной, V\ и энергия кручения У2. В то же время, благодаря выпучиванию полосы, изгибающий груз 2Р несколько опускается и совершает работу Т. Критическое значение изгибающей силы — это наименьшее из тех ее значений, при которых удовлетворено условие
^ + V. = Т.(е)
Для энергии деформации мы воспользуемся известными формулами
Опускание груза 2Р при выпучивании полосы найдем из таких соображений. Выделим у точки D (см. рис. 61, б) бесконечно малый элемент длиною dz. Если средину полосы будем удерживать неподвижно, а концам дадим возможность перемещаться, то при искривлении выделенного элемента в плоскости xz vd^uv ,
правый конец оси полосы опишет дугу -—а ■ (Z — z) dz.
Так как плоскость хх составляет с плоскостью х^ угол р, то указанному перемещению конца будет соответствовать повышение его над точкой приложения силы на величину,
Суммируя эти элементарные повышения, находим для опускания точки приложения груза 2Р такое выражение:
О
Уравнение (е) можно будет переписать так:
Ооо
или, исключая отсюда -^ 2 при помощи второго из уравнении (а), получаем
(g)
О0'
Так как концы полосы не поворачиваются относительно оси х^ то самое общее выражение для Р напишется так:
Р = аг cos + а2 cos -^— + • • •(h)
Если ограничиться йервым членом этого ряда и вставить его в уравнение (g), то в качестве первого приближения получим
(9Р\- 17,2/5^
Сравнение этого результата с формулой (122) показывает, что погрешность первого приближения составляет около 1,5%. Если бы мы взяли два члена в ряде (А), то получили бы второе приближение, имеющее четыре верных знака х. Следовательно, применение второго метода исследования устойчивости имеет в рассматриваемом случае значительные преимущества. Сравнительно сложное решение уравнения при помощи бесконечных рядов заменяется вычислением нескольких квадратур.
Задача об устойчивости полосы решена для целого ряда случаев и выражения для критической нагрузки имеют везде один и тот же вид:
о Н V^C^крр •
Для каждого частного случая приходится лишь вычислить соответствующее значение коэффициента р. Некоторые численные результаты мы приводим ниже.
См. стр. 100 нашей монографии, указанной на стр. 266. В этой работе имеются приближенные решения для целого ряда задач, относящихся к устойчивости полосы.
аам-0,5016,930,2029,110,4517,150,1537,880,4017,820,1056,010,3519,040,05111,60,3021,010ОО0,2524,10аам-0,5016,930,2029,110,4517,150,1537,880,4017,820,1056,010,3519,040,05111,60,3021,010ОО0,2524,10Таблица 12Таблица 12При переходе от критическойПри переходе от критическойи вводя обозначениеи вводя обозначениеВ» h-вГ— = ^В» h-вГ— = ^(126)(126)
а
а
м-
0,50
16,93
0,20
29,11
0,45
17,15
0,15
37,88
0,40
17,82
0,10
56,01
0,35
19,04
0,05
111,6
0,30
21,01
0
ОО
0,25
24,10
а
а
м-
0,50
16,93
0,20
29,11
0,45
17,15
0,15
37,88
0,40
17,82
0,10
56,01
0,35
19,04
0,05
111,6
0,30
21,01
0
ОО
0,25
24,10
Таблица 12
Таблица 12
При переходе от критической
При переходе от критической
и вводя обозначение
и вводя обозначение
В» h
-вГ— = ^
В» h
-вГ— = ^
(126)
(126)
Для полосы с одним заделанным и другим свободным концами, нагруженной равномерной нагрузкой интенсивности q, имеем
(123)(123), л _ 12,85/В^ №/кр —р
(123)
(123)
Для той же полосы при изгибе ее силой Р, приложенной на конце выше центра тяжести поперечного сечения на а, имеем такую приближенную формулу *:
Ркр =(1 _ А у^.(124)
При изгибе полосы с опертыми концами (см. рис. 61) равномерно распределенной нагрузкой получим
(2?0кр = -^%^.(125)
При изгибе полосы с опертыми концами (см. рис. 61) силой 2Р, приложенной не посередине пролета, величина коэффициента ц в формуле
/9 п\ Р V^B^C
”(21)2
будет зависеть от положения точки приложения силы. Обозначая через а отношение расстояния точки приложения силы от ближайшего конца к пролету балки, получаем для ц ряд значений , которые приведены в табл. 12.
Мы видим, что перемещение силы в пределах средней трети пролета полосы мало влияет на величину критической нагрузки.
нагрузки к критическим напряжениям при
дется наибольшее значение изгибающего момента, соответствующего критической нагрузке, делить на момент сопротивления полосы, т. е. на величину ^у-> где h — высота поперечного сечения полосы.
Полагая
представляем величину критического напряжения в случае чистого изгиба [формула (120)] так: рКр = 0,62 лф/?.
Для случая изгиба полосы силой, приложенной на конце [формула (121)], получим /?Кр = 2,49 ^Е.
Для изгиба полосы с одним заделанным концом равномерной нагрузкой [формула (123)] будем иметь рКр = 3,98 ф^.
Для полосы с опертыми концами, нагруженной посередине (см. рис. 61), найдем, сохраняя прежнее обозначение (126), /?кр = 1,312ф^.
Для той же полосы, равномерно нагруженной [формула (125)], имеем ркр = = 1,10(р£..
§ 29. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки
Формулы, полученные в предыдущем параграфе для полосы высокого прямоугольного поперечного сечения, можно применять и к двутавровым балкам, если отношение высоты балки к ее пролету — малая величина и полки балки имеют сравнительно малую ширину. В противном случае, т. е. при коротких балках с широкими полками, найденные выше .формулы будут давать для величин критических нагрузок преуменьшенные значения, и двутавровые балки в действительности будут значительно устойчивее. Эта разница между устойчивостью полосы и двутавровой балки обусловлена жесткостью полок последней, в значительной мере влияющих на явление кручения. Для большей ясности мы установим связь между жесткостью полок и кручением балки на простейшем примере и потом уже воспользуемся найденной зависимостью для решения вопросов устойчивости.
Если двутавровую балку скручивать парами сил, приложенными по концам (рис. 62, а), то кручение -^ будет постоянным по длине и связь между
скручивающим моментом Н и кручением можно по-прежнему (см. выражение (97') § 28 части второй) представить прежней формулой
(а)(а)н = с%^с^-.
(а)
(а)
dz
При этом полки балки при малых закручиваниях почти не изгибаются в плоскости их наибольшей жесткости (рис. 62, б). Иной результат получим, если будем скручивать двутавровую балку с одним заделанным концом (рис. 62, в, г). В этом случае скручивание балки сопровождается изгибом полок в плоскости их наибольшей жесткости; углы закручивания будут меньше, чем при свободных концах, и кручение -~- будет изменяться вдоль оси балки. Скручивающий момент будет уравновешиваться отчасти напряжениями кручения [формула (а)], отчасти моментом перерезывающих сил, возникающих при изгибе полок.
Как раз с таким явлением нам и придется иметь дело при выпучивании двутавровых балок, изгибаемых в плоскости их наибольшей жесткости.
Обозначим через D величину наибольшей жесткости при изгибе одной полки {величина эта с достаточной для практики точностью может быть принята равной А, В2]7 тогда при изгибе полки (рис. 63) в ней возникает перерезывающая сила N — D “^* [Результат этот получается из формулы (3) [см. § 1 ], если в ней заменить х на z и у на —и]. Принимая во внимание, что при малых углах закручивания между прогибами полки и углом закручивания р имеется зависимость и ^L, находим, что поперечные силы N, действующие в полках, дают мо
мент относительно оси z0:мент относительно оси z0:Nh = —Nh = —D№ d3P2 dz? eD№ d3P2 dz? e
мент относительно оси z0:
мент относительно оси z0:
Nh = —
Nh = —
D№ d3P
2 dz? e
D№ d3P
2 dz? e
Присоединяя этот момент к моменту, соответствующему собственно кручению двутавровой балки, приходим к такой зависимости между скручивающим моментом и углом закручивания р х:
Г(127)
уdz 2 d^v '
hkВторой член этой формулы оценивает влия-
Iние изгиба полок; он будет иметь тем меньшее
^Чзначение, чем меньше D и чем меньше высота
МТбалки Д по сравнению с пролетом I.
Рис. 63.Переходя теперь к исследованию устойчи
вости двутавровых балок, мы можем воспользоваться дифференциальными уравнениями, полученными для полосы, нужно «будет только везде произвести изменение в выражении для Н, именно вместо зависимости (а) поставить везде выражение (127).
В случае чистого изгиба нужные нам дифференциальные уравнения для искривленной формы равновесия напишутся так [см. формулу (а)§ 28]:
^М = В^;
du ЯуГ ^ ^Р Dh d3pdT М ” G*
Исключая из этих уравнении -^- и вводя обозначения
(Ь)(Ь)2С 12№1
(Ь)
(Ь)
D№ — а2 * DB2№ — d4
приходим к уравнению
общий интеграл которого напишется так:
Р = Сг sin az + С2 cos az + С<^г + С^Ч
гдегде
где
где
Принимая во внимание условия на концах
при 2 = 01) р = 0;2) Р" = 0;
при z = Z3) р = 0;4) р" = 0,
заключаем на основании условий 1 и 2, что С2 = 0; С3 = — С4.
Условия 3 и 4 приводят нас к таким уравнениям:
• Сг sin al + Су sh 61 = 0;
— С^а2 sin al 4- С^б2 sh 61 = О,
откуда заключаем: Ci = 0, sin al = 0. Следовательно,
Отсюда, принимая во внимание обозначения (Ь), получаем
-^кр-^кр= п^С у 1 + у л2= п^С у 1 + у л2(128)(128)
-^кр
-^кр
= п^С у 1 + у л2
= п^С у 1 + у л2
(128)
(128)
Сравнивая этот результат с формулой (120) для случая чистого изгиба полосы, заключаем, что балка будет тем устойчивее полосы, чем большее значение имеет отношение
(129)(129)а2 __ DK2
(129)
(129)
I2 — 2СР *
Формулу (128) можно переписать в таком виде:
Мкр= tVA<L.(12У)
Причем ряд значений коэффициента ц, вычисленных для различных 12}а\ приведен в табл. 13.
Таблица 13
Z2 а8
и
Ркр, кг/см*
И а1
а
Ркр, кг!смг
од
31,4
495
16
4,00
800
1
10,36
518
20
3,83
860
2
7,66
540
24
3,73
915
4
5,85
585
28
3,66
965
6 '
5,11
625
32
3,59
1015
8
4,70
665
36
3,55
1065
10
4,43
700
40
3,51
1110
12
4,24
735
НО
3,29
1645
Отсюда мы видим, как с уменьшением жестокости полок D коэффициент ц приближается к л и балка по своим свойствам приближается к полосе прямоугольного сечения. Из формулы (128') легко получаем значение критических
напряжений
ti/B^ НЕ
Принимая во внимание наши обозначения г Р D№ ~ Z2 В»№ G — а2 2Р ~ a2 4Z2 ’
получаем
1 I „ № В2" Е ~р ~в; •
В дальнейшем будем пользоваться обозначением
тогда
Ркр=-^-^ЯФ.(131)
Приведенные в табл. 13 значения критических напряжений вычислены в предположении Е = 2 • 10е кг/см2, Ф — 1 * 10"4.
Таким образом, расчет балки на устойчивость сводится в рассматриваемом случае к вычислению по формуле (129) значения a^jV* и подыскиванию соответствующего значения рКр, которое нужно помножить на величину Ф • 104, где Ф определяется формулой (130).
В случае изгиба двутавровой балки силой, приложенной на конце (см. рис. 60). нужные нам дифференциальные уравнения напишутся так [см. уравнения (Ь) §28]:
Исключая отсюда —^Г» получаем niv 1 ™2РЧ1-^ О А
Это дифференциальное уравнение четвертого порядка проинтегрировано нами при помощи бесконечных рядов, и из условий на концах найдено для критической нагрузки выражение
р И V^B2C
Причем оказалось, что значения коэффициента ц как и в предыдущем случае, зависят лишь от отношения 12/а2, определяемого формулой (129). Несколько значений ц приводим в табл. 14.
Для значений Z2/#2 > 40 коэффициент р можно находить по такой приближенной формуле:
Точно так же, как и в предыдущем случае, мы легко можем получить формулу для критических напряжений. Они оказываются пропорциональными Ф и значения их для Ф = 1 • 10~4 приведены в табл. 14 (Е=2 • 106 кг!см2).
Таблица 14
lL
и
Ркр, кг)смг
i8 а8
ц
Ркр, кг (см8
0,1
1
2
3
4 6 8
При изгибе балки мы на основании уравт дифференциальные ура
44,3
15,7
12,2
10,7
9,76
8,69
8,03
силой, т шний (d) (внения:
700
785
860
925
975
1065
1140
гриложеъ 1 предыд;
10
12
14
16
24
32
40
tHOU пос ущего пе
7,58
7,20
6,96
6,73
6,19
5,87
5,64
вредине фаграфа
1200
1250
1300
1345
1515
1660
1785
пролета (см. рис. 61)> получаем нужные нам
в,-у_-Р(1-=№ с^—р„ dz 2 dz^' dz
откуда легко может быть получено дифференциальное уравнение четвертого порядка для 0, которое нами проинтегрировано при помощи бесконечных рядов. Мы здесь покажем, как та же задача решается путем рассмотрения энергии системы. Отличие от того, что мы имели в соответствующей задаче для полосы (см. уравнение (f)§ 28], заключается лишь в несколько более сложном выражении для потенциальной энергии изгиба. При составлении этого выражения придется принять во внимание, что прогибы полок балки вследствие кручения не равны прогибам оси балки, а отличаются от последних на величины ±
В таком случае энергия изгиба представится таким выражением:
F1 = (52-2£>)j d2 + pJ/_+ __1& +о х 77
ItI
+ jDJfe-—dz^B^ T ^ + — j№ dz-07@ x 7ox
Вторым членом в этом выражении учитывается влияние жесткости полок при кручении.
Уравнение для определения (2Р)кр в случае двутавровой балки, соответствующее уравнению (f) для полосы, напишется так:
iill
^P^T^-^dz = BAVlL»\ ^—^ЫН dz+C) Ш dz, оо х 7о х 7о х
или, принимая во внимание первое из уравнений равновесия (d) и пользуясь обозначением (129), получаем
09 Х 70 Х 7
ПолагаяПолагая(f>(f>В. (2^ *В. (2^ *(132)(132)
Полагая
Полагая
(f>
(f>
В. (2^ *
В. (2^ *
(132)
(132)
₽Л2 .ЗЛЯ
= аг cos -^- + а2 cos —^~
и выбирая av а^... так, чтобы Р имело минимальное значение, можем найти величину (2Р)кр с любой степенью точности. Ограничиваясь лишь одним первым членом ряда (f), мы получаем решение, точность которого около 0,5%. Второе приближение, как можно заключить из сравнения его с результатами решения бесконечными рядами, дает погрешность лишь в четвертом знаке.
На основании этих вычислений получаем
Аф^
Значения коэффициента ц зависят лишь от отношения Р]ай. Ряд этих значений приводим в табл. 15.
Таблица 15
а2
и
Ркр, кг)см2
Ркр', кг)см2
^кр", кг} см2
/2
а2
И
ркр, кг)см2
ркр, кг) см2
ркр, кг! см2
0,1
86,4
680
405
1150
16
18,3
1830
1490
2240
1,0
31,9
800
505
1250
20
18,1
2020
1670
2420
2,0
25,6
910
600
1350
24
17,9
2190
1840
2580
4,0
21,8
1090
770
1520
40
17,5
2770
2420
3160
6,0
20,3
1250
920
1670
60
17,4
3360
3020
3740
8,0
19,6
1380
1050
1860
80
17,2
3860
3500
4240
12
19,0
1620
1280
2030
100
17,2
4300
3940
4680
От критической нагрузки переходим к критическим напряжениям
(2PWEh _1 Z , ^КР —45,8 а ’
где
Критические напряжения, вычисленные для Ф' = 1 • 10~4, приведены в третьей графе табл. 15 (£ = 2 106 кг1см^.
Все эти результаты получены в том предположении, что точка приложения силы совпадает с центром тяжести среднего поперечного сечения балки.
Всякое повышение точки приложения силы, очевидно, сопровождается уменьшением устойчивости балки. Понижению точки приложения соответствует увеличение устойчивости. Мы даем в четвертой и пятой строчках приведенной выше таблицы значения ркр иркр, вычисленные для тех случаев, когда точка приложения силы совпадает с верхней или нижней гранью балки. При вычислениях, как и раньше, принято
Е = 2.10е кг! см2, Ф' = 1 • 10-4.
Все вычисления произведены здесь в предположении первой искривленной формы равновесия, не имеющей точек перегиба. Иногда бывают устройства, при которых не только концы балки, но и ее среднее сечение не могут поворачиваться относительно оси z0 (см. рис. 61) х. В таком случае первая искривленная
Подобные условия мы имеем, например, в случае, когда две продольные мостовые балки соединены между собой поперечными связями по середине пролета.
форма будет иметь одну точку перегиба посередине пролета (рис. 64). Значение критической нагрузки представится прежней формулой
(2Р)(2Р)_ ^Увгс кр —(2Z)8_ ^Увгс кр —(2Z)8
(2Р)
(2Р)
_ ^Увгс кр —(2Z)8
_ ^Увгс кр —(2Z)8
Величины коэффициента |Л и критических напряжений, вычисленных при
приводим в табл. 16.приводим в табл. 16.Bv (2Z)2Bv (2Z)2= 1 • 104,= 1 • 104,
приводим в табл. 16.
приводим в табл. 16.
Bv (2Z)2
Bv (2Z)2
= 1 • 104,
= 1 • 104,
Таблица 16Таблица 16Рис. 64.Рис. 64.X»X»Рис. 65.Рис. 65.
Таблица 16
Таблица 16
Рис. 64.
Рис. 64.
X»
X»
Рис. 65.
Рис. 65.
I
а2
ц
р
Ркр
и
Ркр
/* а*
Ц
Ркр
0,1
1,0
2,0
4,0
8,0
24
32
50
100
Приме1 лении ркр X 10е кг/см1; 1
466
154
114
86,4
69,2
54,5
52,4
49,8
47,4
ч а н и е. Г принимало!
О' = 1.10—1
36800,1
3840,л
401020
43202,и
49004,0
66806,0
74208,о
8810
11900
1ри вычис-Прим
сь Е = 2 X„ ...,
4= 2-10* кг/с
268
88,8
65,5
50,2
43,6
40,2
е ч а н и е.
'Мг\ Ф' = 1 <
2120
2220
2320
2500
2680
2840
При вы
•Ю™4-
10
12
16
32'
50
80
100
числении j
37,8
36,3
34,1
30,7
29,4
28,4
28,2
)кр принт
3000
3140
3420
4340
5200
6360
7040
илось Е =
Таблица 17
Если концы балки заделаны так, что они не могут вращаться ни вокруг оси z0, ни вокруг оси г/0, то первая искривленная форма изогнутой оси балки в плоскости zozo будет иметь вид, представленный на рис. 65. Для величин (2Р)кр и
ркр сохраняются такие же выражения, как и в предыдущих случаях. Значения коэффициента ц и ркр приведены в табл. 17.
Если балка с опертыми концами изгибается равномерно распределенной нагрузкой (рис. 66, а), то формулы для критической нагрузки и критического напряжения сохраняют прежний вид (рис. 66, б):
Значения у, и ркр при Ф' = 1 • 10 4 приводим в табл. 18, где даны также значения рКр и ркр в кг/см2 для тех случаев, когда нагрузка приложена по верхней или нижней грани балки.
Таблица 18
а2
Ркр
ркр
Ркр
а*
м-
Ркр
ркр
Ркр
0,1
143
568
367
879
16
30,5
1530
1290
1810
1,0
53,0
663
454
967
20
30,1
1680
1440
1960
2,0
42,6
752
538
1050
32
29,4
2080
1840
2350
4,0
36,3
905
684
1200
50
29,0
2570
2330
2840
6,0
33,8
1040
813
1330
70
28,8
3020
2770
3280
8,0
32,6
1150
923
1430
90
28,6
3400
3160
3670
12
31,5
1350
1120
1630
100
28,6
3580
3330
3840
Значения р,, ркр, ркр, ркр для второй формы равновесия (рис. 66, б), получающейся при дополнительном закреплении посередине пролета, приводим в табл. 19.
Пользуясь всеми приведенными таблицами, мы без всяких затруднений можем проверить двутавровую балку на устойчивость для рассмотренных случаев нагрузки. Проверку начинаем с вычисления величины Z2/a2 [формула (129) 1*. Нужное для этого значение С может быть вычислено по приближенной формуле
Рис. 66.Рис. 66.L ацРкрркрРкр0,16732660232030601,02212770243031502,01642900256032804,0126313028003520- 8,01013550322039402479,54860452052403276,45400506057705072,864406100681010069,6869083509060L ацРкрркрРкр0,16732660232030601,02212770243031502,01642900256032804,0126313028003520- 8,01013550322039402479,54860452052403276,45400506057705072,864406100681010069,6869083509060Таблица 19Таблица 19Примечание. При вычислении рКР) р ркр принималось К = 2• 10е кг} см?; Ф' = 1 • 10—^*Примечание. При вычислении рКР) р ркр принималось К = 2• 10е кг} см?; Ф' = 1 • 10—^*
Рис. 66.
Рис. 66.
L а
ц
Ркр
ркр
Ркр
0,1
673
2660
2320
3060
1,0
221
2770
2430
3150
2,0
164
2900
2560
3280
4,0
126
3130
2800
3520
- 8,0
101
3550
3220
3940
24
79,5
4860
4520
5240
32
76,4
5400
5060
5770
50
72,8
6440
6100
6810
100
69,6
8690
8350
9060
L а
ц
Ркр
ркр
Ркр
0,1
673
2660
2320
3060
1,0
221
2770
2430
3150
2,0
164
2900
2560
3280
4,0
126
3130
2800
3520
- 8,0
101
3550
3220
3940
24
79,5
4860
4520
5240
32
76,4
5400
5060
5770
50
72,8
6440
6100
6810
100
69,6
8690
8350
9060
Таблица 19
Таблица 19
Примечание. При вычислении рКР) р ркр принималось К = 2• 10е кг} см?; Ф' = 1 • 10—^*
Примечание. При вычислении рКР) р ркр принималось К = 2• 10е кг} см?; Ф' = 1 • 10—^*
Сен-Венана или при помощи аналогии Прандтля. Для найденного значения 1^Ja^ подыскиваем в таблице соответствующее критическое напряжение. Это табличное значение нужно умножить на Ф • 10 или Ф' • 10“4, чтобы получить искомое критическое напряжение 2.
Получаемая таким путем величина критического напряжения будет соответствовать действительности, если только она не превосходит предела упругости материала.
§ 30. Об устойчивости равномерно сжатого кругового кольца или его части
Если круговое кольцо подвергнуть действию равномерно распределенных внешних давлений интенсивности q, то ось кольца будет испытывать равномерное сжатие, сохраняя первоначальную круговую форму. Постепенно увеличивая интенсивность давлений, мы можем достигнуть предела, за которым круговая форма перестает быть устойчивой и кольцо начинает сплющиваться, как показано на рис. 67. При исследовании устойчивости применим первый метод (см. стр. 258). Предположим, что под действием внешних давлений сплющивание произошло, составим дифференциальное уравнение равновесия для искривленной формы и из решения этого уравнения найдем, каковы должны быть давления д, чтобы искривленная форма
была возможной. Оси симметрии сплющенной формы принимаем за координатные оси х. у и производим разрез кольца по горизонтальной оси симметрии (рис. 67, б). Тогда действие нижней половины кольца на верхнюю может быть в каждом из произведенных сечений заменено силой 5 и парой сил Мо. Что касается усилия 5, то его мы легко находим из условий статики. Обозначая через и0
радиальные перемещения для
точек А и 5, будем, очевидно, иметь S = g (г — и0).,
Составим теперь основное дифференциальное уравнение (88 ) для изогнутой оси кольца. Изгибающий момент М в какой-либо точке С составится из момента силы S и пары сил Мо, приложенных в точке Л, и из момента давлений, равномерно распределенных по дуге АС. Таким образом, мы получаем
М = —MQ — SAD^q^- = — Mti-Vq\-^- — (Г — м0) ad].
Из рисунка видно, что
откудаоткудаОС^ = (г — и^ = ЛС + ЛО2 - 2АО • AD.
откуда
откуда
АС» — 2АО • AD = ОС» — АО» = (г — и)» — (г — и0)».
Пренебрегая малыми высшего порядка, мы можем теперь выражение для изгибающего момента переписать так: М = —Мо + qr (щ —и). Тогда дифференциальное уравнение для изогнутой оси представится так:
-^ + u =-^-[-Mg + gr^-u)]. (а>
Вводя для краткости обозначение
(Ь)(Ь)1+<-=аа-
(Ь)
(Ь)
получаем для и такое выражение:
и = Сг sin «6 + С2 cos а0 + ™.(с)
хz EJ + qr*
Так как мы условились 0 отсчитывать от оси симметрии, то для определения произвольных постоянных Сг и С2 будем иметь
-■яг = 0 при 0 = 0; -^- = 0 при 0 = -X.
Следовательно, ^ = 0 и (sin а0) я = 0.(d)
*»осот
Второе из этих уравнении дает нам —^- = пя, где п — целое число.
Полагая п = 1, находим на основании принятого обозначения (b) qr^/EJ = = 3, откуда 1
(5)«р = ^.(132')
Мы взяли наименьший корень уравнения (d), которому соответствует а ’= 2. При этом величина и, как видно из общего решения (с), два раза проходит через значение максимума и два раза — через значение минимума. Общий вид искривления "^A\ 0 \представлен на рис. 67, а. Следующим корням
уравнения (d) будут соответствовать большие /значения q и большее число максимумов и ми
нимумов в выражении для и.
/Заметим, что те же результаты можно по
лучить, если воспользоваться решениями в фор- 0ме тригонометрических рядов [формулы (95) и
Рис. 68.(96) §18].
Если взять первый член этих рядов (п = 2), то видим, что он будет неопределенно возрастать, если сжимающая кольцо сила приближается к пределу 5 = SEJjr. Точно так же второй член ряда (96) будет неопределенно возрастать, если сжимающая сила подходит к пределу 5 = SEJ/г\ и т. д. Легко видеть, что значения сжимающей силы, найденные таким образом, при п четном соответствуют критическим значениям давления q, которые определяются корнями уравнения (d).
Подобным же образом решается задача об устойчивости части равномерно сжатого кольца. Возьмем, например, случай двухшарнирной круговой арки, подвергающейся действию равномерного нормального давления интенсивности q (рис. 68). Так как в этом случае точки А и В при выпучивании сжатой арки не смещаются, то давление S в этих точках не изменяет своей величины, и мы получим дифференциальное уравнение для искривленной формы, представленной на рисунке, если в уравнении (а) положим и0 = 0, Мо = 0. Тогда
dO2 + ^ — EJ и.(а)
Полагая
находим и = СТ sin о^О + С2 cos 0^9.
Из условия, что перемещение и на левой опоре обращается в нуль, находим С2 = 0. Что касается перемещений ил направленных нормально к радиусу г, то из условий нерастяжимости оси следует [формула (с)§ 18]
-^- = и = Сх sin а19; w = -^- (1 — cos а19).
Для определения критического значения давлений q воспользуемся уело» виями на правом конце арки; так как здесь перемещения и и w должны равнять» ся нулю, то получаем ату = 2пл, где п — целое число.
Наименьшее значение для q получаем при п = 1. Соответствующая искривленная форма представлена на рис. 68, и критическое давление определяй ется формулой
9 = ^(^--1).(1321
При у = л этот результат совпадает с формулой (132'), чего и нужно было ожидать, так как цельное кольцо после выпучивания составляется из двух ш> луколец MNP и PQM (см. рис. 67, а), находящихся в таких же условиях, каки
двухшарнирная круговая арка с центральным углом у = л.
При небольших значениях угла у мы можем в формуле (133) пренебрег единицей по сравнению с большим числом и тогда получим для критического значения силы 5, сжимающей арку, такую формулу:
(134)(134)с , х 4Я/л
(134)
(134)
*^кр — (^)кр —(г^2 •
Сравнивая этот результат с той формулой, которую мы имели для прямого стержня той же длины, что и арка, с опертыми концами, находим, что 5кр дм арки в четыре раза больше, чем РКр для стержня. Объясняется это тем, что для первой искривленной формы арки вследствие принятой нерастяжимости оси прогиб и посередине пролета должен обращаться в нуль. При беспредельном уменьшении у первая искривленная форма для арки совпадает со второй формой для стержня.
Об устойчивости плоской формы изгиба полосы с круговой осью3
Если полосу прямоугольного поперечного сечения с начальным искривлением по дуге круг® радиуса г изгибать в плоскости ее наибольшей жесткости, то при некоторых предельных значениях изгибающих нагрузок мы встретимся с таким же явлением неустойчивости плоской
формы изгиба, как и в случае полосы с прямой осью. Рассмотрим здесь простейший пример, когда изгиб производится двумя равными и прямо противоположными парами сил М (рис. 69). Предположим, что закрепление концов не допускает вращения концевых поперечных сечений относительно концевых касательных к оси полосы. Вращение концевых сечений относительно главных осей инерция может происходить совершенно свободно. При составлении дифференциальных уравнений равновесия для выпучивающейся из плоскости кривизны полосы воспользуемся системой осей zo, уо, zo и х, у, z, которые мы ввели, когда рассматривали общий случай изгиба кругового кольца (§ 19). Перемещения любой точки D в направлении осей х^ уо, го обозначим, как и прежде, через и, у и w, угол поворота плоскости хх относительно zoN — через 0 (рис. 69, в). Момент всех сил, приложенных к левой половине полосы, представится вектором М (рис. 69, б), имеющим направление оси у». Проекции этого вектора на оси z, у, z, построенные в точке D^ находятся из геометрических соображений и пред-
\Уо
ставляются такими формулами:
AZX = ₽АГ; ЛГ 2 = ЛГ; Н = М-^-.
Пользуясь теперь формулами (97) и (98) и принимая во внимание значение начальной кривизны х = 1
= — приходим к таким дифференциальным уравнениям:
а
3А 6 ■ И в
^М = ВА
d^v
ds2
(а)
б
Рис. 69.
ds
1 dv г ds
Исключая у из первого и третьего уравнений, приходим к такому уравнению для ₽
В.
BtC d^
C d^ *
M- —
(Ь)
При г, равном бесконечности, уравнение это совпадает с тем, которое мы имели для чистого изгиба полосы с прямой осью [§ 28] Ч
Вводя для краткости обозначение
(_А_+^)(л/-_£.)
' Т1 \ г )
В^С
= а2,
(с)
получаем $ = Ci sinas + C$cosas. Так как £ обращается в нуль при $ = 0 и при s = yr.
то, следовательно,
Сг = 0, sin (ayr) = 0.
(d)
Последнее уравнение дает нам возможность определить Л/кр. Наименьший корень этого уравнения будет ayr = л, откуда, принимая во внимание обозначение (с), получаем для Мкр уравнение
гг2 \ у2 /
Следовательно,
м 51 + с ± 1 /75Г+£?)232?1£^^(135)
«Р”2?|/ \ 2г / г= I1 Y3 /
Положив в этом выражении г = со и ry = Z, придем к формуле
•^кр = ±
л^СI
При малых значениях у, т. е. если ось полосы обладает малым начальным искривлением, полученный результат (135) дает возможность для оценки влияния этого искривления составить такую приближенную формулу:
^кр^крBt-vc , rVb^c~ 2r * IBt-vc , rVb^c~ 2r * I
^кр
^кр
Bt-vc , rVb^c
~ 2r * I
Bt-vc , rVb^c
~ 2r * I
Знак «плюс» соответствует направлению моментов, увеличивающему начальную кривизну полосы, знак «минус» соответствует моментам противоположного направления. Следовательно, начальное искривление оси полосы несколько увеличивает ее устойчивость в отношении моментов, взятых на рис. 69, ец и уменьшает устойчивость при моментах противоположного направления.
Постепенно увеличивая у, мы можем достигнуть значения у = л, чему соответствует полоса, изогнутая в полукруг. При этом одно из значений 7Икр, определяемых формулой (135) обращается в нуль. Такой результат соответствует возможности вращения полосы без деформаций вокруг диаметра, являющегося общей главной осью инерции для обоих концевых сечений полосы.
При у > л оба значения Мкр1 получаемые из (135), положительны, и для разыскания отрицательного значения ^кр нужно обратиться к высшим формам равновесия, соответствующим дальнейшим корням уравнения (d).
Если полоса, имеющая начальное искривление по дуге круга, заделана в сечении А и изгибается силой Р, приложенной на свободном конце В и направленной по касательной к оси полосы (рис. 70), то искривленная форма выпучив- р шейся полосы может быть, как и в предыдущем случае,-—>•
определена при помощи перемещений и, и, w, отнесенных к В
осям хо, у^ го, и угла 0, составляемого плоскостью xz систе-Реи. 70.
МЫ Ж, у, Z С ПЛОСКОСТЬЮ ЖоЗо.
Таблица косинусов углов, составляемых осями ж, у, z с соответствующей системой л^ уо, zo, напишется так:
жо
Уо
20
X
1
р
duID
dsг
У
-р
1
du ds
Z
duID
ds 1 г
du ds
1 + -^ ds
Выражения для моментов силы Р относительно осей ж, у, г^ построенных в какой-либо точке D оси полосы, могут быть составлены при помощи приведенной таблицы косинусов. Они напишутся так:
Мг = — Р cos (у — 0) («о — р) — Prp [1 — cos (у — 6)];
М2 = — Рг [1 — cos (у — 0)];
в = — Pr -^- [1 — cos (у — 6)1 + Р sin (у — 6) (о0 — о).
Здесь через и© обозначен прогиб в направлении у© конца В выпучившейся полосы.
На основании (97) и (98) составляем нужные нам дифференциальные уравнения равновесия для искривленной формы:
-^-j = — Pcos(y —6)(v0 —V) —PrP[l — cos (V —0)];
С ("5Г + 7—57") = ~ Pr “ST I1 — cos (v — 0)] + Р sin (у — 6) (У„ - о).
л—, и уравнения равновел—, и уравнения равнове(С)(С)МЛ = Ма = —РМЛ = Ма = —РВо?Во?
л
—, и уравнения равнове
л
—, и уравнения равнове
(С)
(С)
МЛ = Ма = —
Р
МЛ = Ма = —
Р
Во?
Во?
Если взять полосу, представляющую четверть круга, то у =
сия перепишутся так:
Вг ^^-) = — PsinG^o — Р) — PrP(l— sin в);
С (‘^'+V"4r) = — ^-^-(i—sin6) + Pc°se(p0 — р).
Решение этих уравнений в замкнутой форме нам не известно. Определение критического значения силы Р может быть найдено приближенным способом.
f 32. Об устойчивости длинного круглого вала при кручении
Если длинный круглый стержень скручивать парами сил, приложенными по концам, то постепенно увеличивая значение скручивающих моментов, можно достигнуть предела, когда прямая форма равновесия перестает быть устойчивой, и при дальнейшем увеличении момента ось начинает искривляться. Мы удовлетворим всем условиям равновесия, если допустим, что ось искривляется по винтовой линии. Обозначим через г радиус того цилиндра, на котором располагается искривившаяся по винтовой линии ось стержня, и через а — угол, составляемый элементами винтовой линии с осью цилиндра. Тогда главная кривизна для оси стержня после выпучивания представится так:
А = ?in2g(а)
Р г
Для второй кривизны, соответствующей кручению стержня, имеем выражение
sin a cos а/Кх
г =
Длина s одного оборота винтовой линии определится условием sin a cos а -.
ts =s = 2л.
Если концы скручиваемого стержня оперты, то мы получим значение Мкр, допустив, что ось стержня длиной / при выпучивании образует один виток винтовой линии и так как эта линия будет весьма близка к прямой, то из (а), (Ь) и (с) получаем
1«2 . а . al _,д.
— = — ; т = —; = 2л.(а)
РГГ г
Этими величинами определяется искривленная ось стержня. Обратимся теперь к величине изгибающего и скручивающего моментов. Проектируя момент М, скручивающий стержень, на направление бинормали и касательной к винтовой линии, получаем такие значения изгибающего и скручивающего моментов для искривленной оси стержня: Mi = Ma; Н = М. Обозначая через В жесткость при изгибе стержня, получаем для определения Л/кр такое
условие:
откуда Мкр = В —, или на основании третьего из равенств (d)
MKp=_^L.(136)
Если кроме кручения стержень испытывает еще и продольное сжатие силой Р, то при этом величина критического момента уменьшается и определяется такой формулой х:
^кр . Р л2
452
Перемена знака Р, т. е. переход от сжатия к растяжению, конечно, будет сопровождаться увеличением устойчивости скручиваемого вала.
Результат этот принадлежит А. Гринхиллу, изучавшему устойчивость длинных пароходных валов, испытывающих одновременное действие кручения и сжатия. Greenhill A. G. On the strength of shafting when exposed both to torsion and to end thrust. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1883, April, pp. 182—209.
Глава I VГлава I VО КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЕЙО КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЕЙ
Глава I V
Глава I V
О КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЕЙ
О КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЕЙ
При решении ряда технических вопросов прочности приходится иметь дело с задачами динамики. Например, при расчете многих машинных частей, участвующих в движении, приходится принимать во внимание силы инерции. И напряжения, вызываемые этими силами, иногда во много раз больше тех, которые получаются от статически действующих нагрузок. Такого рода условия мы имеем при расчете быстровращающихся барабанов и дисков паровых турбин, шатунов быстроходных машин и паровозных спарников, маховых колес и т. д. Решение таких задач может быть выполнено без особых затруднений, так как здесь деформации не играют роли: мы можем при подсчете сил инерции рассматривать тела как идеально твердые и потом, присоединив найденные таким путем силы инерции к статическим нагрузкам, привести задачу динамики к задаче статики. Эти задачи достаточно полно были рассмотрены в курсе сопротивления материалов, и мы на них здесь останавливаться не будем, а перейдем к другой группе вопросов динамики — к исследованию колебаний упругих систем под действием переменных сил. Мы знаем, что при некоторых условиях амплитуда этих колебаний имеет тенденцию возрастать и может достигнуть таких пределов, когда соответствующие ей напряжения становятся опасными с точки зрения прочности материалов. Выяснению таких условий, главным образом по отношению к колебаниям призматических стержней, и будет посвящена настоящая глава. Как частные случаи рассмотрим деформации, вызываемые в стержнях внезапно приложенными силами, и явление удара.
§ 33. Колебание системы с одной степенью свободы
При исследовании колебаний упругих тел мы встречаемся обыкновенно со сложной задачей, с движением системы, имеющей бесконечное множество степеней свободы. Иногда задачу можно значительно упростить и получить вполне удовлетворительное для практических приложений решение путем замены сложной упругой системы системой с одной степенью свободы. Рассмотрим, например, колебания груза, подвешенного на пружине и могущего перемещаться лишь в вертикальном направлении (рис. 71). Если вес груза Q велик по сравнению с весом пружины, то массой пружины можно в первом приближении пренебречь. Можно также пренебречь деформациями груза и рассматривать его как идеально твердое тело. Таким путем мы приходим к системе с одной степенью свободы. Положение груза вполне определяется координатой х. Дальше мы увидим, что
ряд задач таким же образом может быть приведен к рассмотрению колебаний систем с одной степенью свободы. Результаты, полученные для таких систем, возможно будет использовать при решении более сложных задач, поэтому является целесообразным начать изучение колебаний с системы с одной степенью свободы.
Пусть начало координат совпадает с центром тяжести груза Q в положении равновесия. Если мы грузу сообщим каким-либо способом колебательное движение по оси ж, то в любой момент равнодействующая всех сил, приложенных дк грузу, будет равна ах, где а — коэффициент, харак-
//////////////////// теризующий жесткость пружины. Он представляет собой Ту СИЛу? которую нужно приложить к пружине, чтобы №вызвать удлинение или укорочение, равное единице длины.
Дифференциальное уравнение движения груза напишется так:
ж" + №х = 0.(а)
Здесь для краткости введено обозначение
Ш(Ь)
Общее решение уравнения (а) будет
х = Сг cos kt + Сг sin kt.(с)
Получаем простое гармоническое колебание, период Korolsрого равен
ПТт =-^ = 2 л 1/^—= 2 л 1/"—,(137)
11кV ag V g '''
^где % — удлинение пружины, вызываемое собственным
Рис. 71.весом груза Q. Следовательно, период колебания груза Q
такой же, как математического маятника, длина которого равна X, а величина постоянных Сг и С2 должна быть найдена из начальных условий.
Если через х0 обозначим начальное перемещение груза от положения равновесия и через xq — его начальную скорость, то, очевидно, мы удовлетворим этим начальным условиям, переписав общий интеграл (с) в таком виде:
х = х0 cos kt + — sin kt.(138)
Таким образом, амплитуда колебаний груза вполне определяется начальными условиями, тогда как период зависит лишь от устройства системы.
Выше мы предполагали, что груз при своих колебаниях не встречает никаких сопротивлений. В действительности сопротивление среды всегда имеет место, и потому амплитуда колебаний со временем постепенно убывает, колебания затухают. Сделаем предположение, что сопротивление среды пропорционально скорости движущегося груза. В таком случае дифференциальное уравнение движения напишется так:
хм + ^пх* + №х = 0.(d)
Здесь через 2п обозначено сопротивление, приходящееся на единицу массы движущегося груза при скорости, равной единице. Будем считать сопротивление среды малым и положим, что &2 — п2 > 0. Тогда, введя обозначение й2 — п2 = ^(е)
напишем общий интеграл уравнения (d) в таком виде:
х = e^~nt (С^ cos nxt + С2 sin п^).(f)
Первый множитель в полученном выражении беспредельно убывает со временем, и потому колебания будут постепенно затухать. Быстрота затухания определяется величиной п. Период колебаний будет
2л2л«1 *«1 *(139)(139)
2л
2л
«1 *
«1 *
(139)
(139)
На основании обозначения (е) заключаем, что в случае малых сопротивлений приращение периода, обусловленное этим сопротивлением, представится малой величиной второго порядка и потому при вычислении периода колебаний можно пользоваться формулой (137). Что касается амплитуды колебаний, зависящей от величин С^ и С2 в общем интеграле (f), то она определяется из начальных условий. Если для начального перемещения и начальной скорости оставить прежние обозначения, то интеграл (f) перепишется таким образом:
х = xq11- х0 cos nxt Нsin n^ L(140)
[ ni\ni/ j
Мы пока предполагали, что колебания груза вызваны в начальный момент и после этого система была предоставлена самой себе. Поэтому решения (138) и (140) представляют собою свободные или собственные колебания системы. Рассмотрим теперь те колебания, которые совершает груз при непрерывном действии на него какой-либо периодически изменяющейся силы. Возьмем, например, простейший случай, когда раскачивающая сила изменяется по закону синуса, и пусть величина этой силы, отнесенная к единице массы груза, равна
q sin pt.(g)
Тогда период раскачивающей силы будет
2л
Р *
и дифференциальное уравнение движения при наличии сопротивления среды, пропорционального скорости, запишется так:
(h)(h)х‘ + ^пх* + к^х = q sin pt.
(h)
(h)
Общий интеграл соответствующего уравнения без последнего члена даст нам рассмотренные выше затухающие колебания груза. Частное решение уравнения (Ь) представит собой вынужденные колебания груза. Легко проверить, что в рассматриваемом случае нужное нам частное решение представляется таким выражением:
2дри, , д (&2 — р2).... ,, х
~(&2 — р2)2 4-4p2n2 C0S + №2 — р2)2 4-4p2n2(14i)
Это выражение может быть представлено в более простом виде, если ввести такие обозначения:
q^ka— р2)^qpn
'(Л2 — р2)2 + 4р2п2 ~ U C0S (fc2 — р2)2 + 4р2и2 - ° sin
откуда
tga= 2р^ с = -==2== = ^^-.(142)
В таком случае для вынужденных колебаний получаем
^ = С sin (pt — а). (14Г)
Мы видим, что период вынужденных колебаний такой же, как и период раскачивающей силы, амплитуда вынужденных колебаний С пропорциональна величине силы. Момент наибольшего перемещения груза от положения равновесия не совпадает с моментом наибольшего значения раскачивающей силы и величина расхождения определяется углом а, который называют разностью фаз. Если к > р, т. е. если период раскачивающей силы больше периода собственных колебаний груза, tg а имеет положительные значения, вынужденные колебания отстают от раскачивающей силы на величину, меньшую л/2, и это отставание будет тем больше, чем ближе р к к. Прир = ка — л/2, вынужденные колебания отстают от силы на четверть периода и, когда сила, постепенно увеличиваясь, достигает максимального значения, груз, идя в ту же сторону, проходит через свое среднее положение. Если к < р, т. е. когда период раскачивающей силы меньше периода собственных колебаний, tg а < О, отставание колебаний от силы больше четверти периода и в пределе достигает половины периода. В этом случае сила достигает своего максимального значения в известном направлении, когда перемещение груза достигает своей наибольшей величины в направлении прямо противоположном. Примером подобного колебания может служить математический маятник. В момент наибольшего его отклонения сила тяжести дает наибольшую составляющую в направлении, прямо противоположном отклонению.
Амплитуда вынужденных колебаний, как видно из формулы (142), при определенных значениях q и п в большей степени зависит от р и к^ т. е. от периодов вынужденных и свободных колебаний системы. Принимая во внимание значения к2 и q [см. формулы (Ь) и (g)], заключаем, что q/k2 = Л1? где Хх — удлинение пружины, которое мы получили бы при статическом действии наибольшего значения раскачивающей силы. В таком случае для амплитуды вынужденных колебаний получаем выражение
С = — (142')
, X/.рМ2 + — р2 /(1-Р2)2 + т2₽2
У V № ) "^ к» ' У
гае р о 2п
Если р весьма мало по сравнению с к, т. е. если период изменения силы весьма велик по сравнению с периодом собственных колебаний, Р будет весьма малой величиной и, следовательно, С = Х1? т. е. перемещения груза при вынужденных колебаниях будут такими же, как и при статическом действии раскачивающей силы. Если мы возьмем другой крайний случай,— положим, что Р беспредельно возрастает,— амплитуда вынужденных колебаний будет стремиться к нулю. Особенно большие значения амплитуда вынужденных колебаний приобретает в том случае, когда р приближается к к. Здесь мы будем иметь дело с явлением резонанса, и размахи вынужденных колебаний будут тем большими, чем меньше сопротивление среды, т. е. чем меньше у. На рис. 72 построенные кривые дают представление об изменении амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от Р и у. По оси абсцисс отложены значения р, по ординатам — значения того множителя, на который приходится умножать статическое растяжение пружины Хх> чтобы получить амплитуду вынужденных колебаний.
Обратимся теперь к общему интегралу уравнения (Ь). Прибавляя к найденному выше частному решению общий интеграл соответствующего уравнения без последнего члена, получаем
х = e~nt (С1 cos nxt + С2 sin n^t) + С sin (pt — а). (143)
Значение первого члена, представляющего собой свободные колебания системы, постепенно убывает и нам практически придется считаться лишь со вторым членом — с вынужденными колебаниями.
Произвольные постоянные Сх и С2 в общем интеграле должны быть определены из начальных условий. Эти величины отличаются от нуля в том случае, когда х0 = х0 = 0.
Следовательно, в начальный момент под действием раскачивающей силы возникнут и собственные и вынужденные колебания, но собственные колебания
имеют существенное значение лишь в начале движения. Дальше роль их благодаря затуханию постепенно убывает. Если периоды собственных и вынужденных колебаний близки к равенству, то в первое время, пока свободные колебания еще не успели затухнуть, мы будем иметь известное явление биения, которое получается всякий раз, когда складываются два гармонических - колебания, близких по величине периодов. В те моменты, когда близки к совпадению наибольшие отклонения в известном направлении для обоих складываемых колебаний, мы будем иметь амплитуду результирующего колебания, примерно равную сумме амплитуд складываемых колебаний. В те же моменты, когда разность фаз складываемых колебаний близка к л,
Рис. 72.Рис. 72.в результате сложения получим ко
Рис. 72.
Рис. 72.
лебание, амплитуда которого близка к разности амплитуд складываемых колебаний. Таким образом, с течением времени амплитуда получающегося от сложения колебания будет то возрастать, достигая значения, равного примерно сумме амплитуд складываемых колебаний, то убывать до значения, равного их
разности.
Пока все наши заключения относятся к случаю действия силы, изменяющейся по закону синуса [формула (g)], но линейность основного уравнения (Ь) позволяет сразу наши заключения обобщить на случай действия любой силы. В самом деле, закон изменения любой силы на протяжении одного периода всегда можно представить тригонометрическим рядом, и колебания, вызываемые этой силой, получатся путем сложения колебаний, вызываемых каждым членом ряда в отдельности, т. е. таких колебаний, которые были изучены выше. При этом, конечно, если среди членов ряда, представляющего раскачивающую силу, будет такой, период которого близок к периоду собственных колебаний системы, то мы будем иметь явление резонанса. Этот член будет играть преобладающую роль, амплитуда соответствующего ему колебания может достигнуть большой величины.
Пользуясь линейностью основного уравнения (h), мы можем общий интеграл его представить в весьма простом виде. Для простоты рассуждений обратимся сначала к собственным колебаниям системы при отсутствии сопротивлений. Решение (138) показывает, что в этом случае мы можем движение разложить на два колебания: одно — обусловлено начальным перемещением я0; другое — начальной скоростью x'q. Чтобы теперь перейти от собственных или свободных колебаний к колебаниям, вызываемым любой раскачивающей силой, представим себе действие непрерывной силы как ряд толчков. Определим скорость, сообщаемую грузу каждым толчком, и посмотрим, как эта скорость, сообщенная грузу в какой-либо момент ^, отразится на величине перемещения груза в момент t. Последний вопрос разрешается формулой (138).
Обозначим через / (0 величину раскачивающей силы, отнесенную к единице массы груза. В момент tx за промежуток времени dtx эта сила сообщит единице массы скорость, равную / (У dtv На основании (138) заключаем, что найденной скорости, сообщенной в момент tv будет соответствовать в момент t перемещение
-i-/(t^tin dtp
Полное перемещение, вызываемое силой / (i) к моменту t, составится путем суммирования найденных выше элементарных перемещений. Нужно только tx изменять в пределах 0 — t. Таким образом, получаем
t
х =— (144)
Если мы обратимся к более общему случаю и примем во внимание сопротивление среды, то на основании (140) путем прежних рассуждений прийдем к такому выражению:
г
х = ~- § в"п ^^f (tx) sin nx (t — ^) dtx. (145)
Заметим, что выражения (144) и (145) представляют собой перемещения, обусловленные не только вынужденными колебаниями, но также и теми собственными колебаниями, которые под действием силы возникают в начальный момент. Для получения общего решения нужно к интегралам (144) и (145) присоединить собственные колебания, обусловленные начальным перемещением и начальной скоростью [формулы (138) и (140)].
В тех случаях, когда вынуждающая колебания сила изменяется по закону синуса или косинуса, при вычислении вынужденных колебаний нет надобности обращаться к формулам (144) и (145). Проще непосредственно искать частное решение уравнения (h), как это было сделано раньше.
О колебаниях упругих систем
При изучении колебаний упругих тел будем иметь дело с системами, имеющими бесконечное множество степеней свободы. Для определения изменений формы колеблющегося упругого тела нужно задать бесконечное множество коорди-
нат. В таких случаях выгодно пользоваться обобщенными координатами и обобщенными силами, как при выводе общих теорем Кастилиано и Бетти, играющих столь важную роль при решении различных задач статики упругих систем. От задач динамики мы всегда можем перейти к задачам статики, пользуясь началом Даламбера. Присоединяя к действующим силам силы инерции, на основании начала возможных перемещений можем для любой системы написать уравнение
^т (х"6х + у" бу + z”6z) = 2 СЗГ&г + Убу + Z6z\ (а)
Здесь суммирование должно быть распространено на все точки системы; буквой т обозначаются массы этих точек; X, У и Z обозначают проекции равно
действующей всех сил, приложенных к какой-либо точке тп, на координатные оси; наконец 6х, бу. 6z представляют собой возможные перемещения точек системы, т. е. те малые перемещения, которые дозволяются устройством системы. Между величинами бх, бу, 6z должны существовать вполне определенные зависимости, устанавливаемые на основании условий связи.
Мы упростим решение задачи, если вместо декартовых координат (х, у, z) возьмем новые координаты (ф, г|), 6) и подберем их таким образом, чтобы они были совершенно независимы, т. е. чтобы устройство системы позволяло каждой из этих коорди
нат давать совершенно произвольные приращения.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь таких систем, для которых
между старыми и новыми координатами имеются зависимости вида
х = / (ф, ф, 6).
В уравнения (Ь) не входит явно время t. кроме того, они не включают про- dm dtb
изводных -—-, ...,ачто касается вида координат, то он может быть весьма различен в зависимости от устройства системы. Иногда эти координаты представляют собою длины некоторых отрезков, иногда они будут являться углами поворота или представят собой изменения некоторых площадей, некоторых объемов и т. д.
В качестве пояснения приведем такой пример: предположим, что система состоит из точки А, соединенной с неподвижной точкой О посредством идеально твердого стержня О А длины т (рис. 73). При движении точка А. очевидно, должна находиться на поверхности шара радиуса г. Ее координаты х. у, z связаны между собой условием связи ж + у2 + z2 = г2, и потому приращения этих координат бх. бу, 6z не могут быть совершенно произвольными.
В качестве независимых координат мы могли бы в данном случае взять углы ф и ф, которыми вполне определяется положение точки А на шаровой поверхности. Тогда зависимость между старыми и новыми координатами
запишется так:
х = г cos гр sin ф, у = г cos гр cos ф, z = г sin гр.(с)
Новым координатам можно давать совершенно произвольные приращения. Приращению бф будет соответствовать перемещение точки А по параллельному кругу, бгр определяет собой перемещение точки А по меридиану.
В качестве второго примера можно взять изгиб стержня с опертыми концами. Общее выражение для прогиба может быть представлено так:
. лх ।. Зля? ।. Зля? ।
у = аг sin — + а2 sin —Н а3 sin —Н • • •(d)
Здесь за координаты можно принять коэффициенты av ... Им можно давать произвольные приращения. Каждому такому приращению будет соответствовать прогиб по некоторой синусоиде.
Расширяя таким образом понятие о координатах и пользуясь обобщенными координатами, мы должны ввести в наше рассмотрение также и понятие об обобщенной силе. Мы условимся называть обобщенной силой Ф, соответствующей обобщенной координате ф, тот множитель, на который приходится умножать приращение координаты бф, чтобы получить работу приложенных к системе сил на соответствующих этому приращению перемещениях.
В первом примере (рис. 73) обобщенная сила Ф, соответствующая координате ф, представляет собой взятый с надлежащим знаком момент приложенной к точке А силы относительно оси OZ.
Обобщенная сила Т представляется моментом приложенной в А силы относительно оси, перпендикулярной к AOZ и проходящей через точку О. Различные выражения обобщенной силы во втором примере мы уже выяснили ранее в связи с применением тригонометрических рядов к исследованию изгиба стержней (см. § 12). Из нашего определения обобщенной силы и обобщенной координаты следует, что правая часть общего уравнения (а) в новых координатах представится так: Фбф + Тбгр + 060 + ...
Займемся теперь преобразованием к новым координатам левой части того же уравнения. Для упрощения рассуждений возьмем перемещения системы, соответствующие приращению одной какой-либо из независимых координат, например координаты ф. Тогда имеем
бж = бф; 6z/ = бф; 6z = бф.дфу дфдф Y
Левая часть уравнения (а) перепишется так:
(«)
Опуская множитель бф, можем представить это выражение в виде такой разности:
d/ г дх ,, ду ,, dz \
t f d дх ., d ду t . d dz \
It дф У "dF дф + Z ~dt ~дф ) *$
Обе входящие сюда суммы легко могут быть преобразованы к новым координатам, если мы воспользуемся выражением для живой силы Т:
27 =(ж'2 + у'2 + z'2).
Из него получаем дТ/ z дх' .\ дТ/ , дх' .\. х
T^Z^r W ^ = ^т\х^
На основании наших ограничений относительно зависимостей (Ь) заключаем, что
, dx Эх , . Эх ,, , Эх ,х =’l’ + -^-9 +
Следовательно, дх' дх еЭх' дх
дф'дф ’ дф'дф ’ ’*•
и первое из равенств (g) напишется так:
Таким образом, при помощи выражения для живой силы системы может быть преобразована первая из сумм, входящих в (f). Для преобразования второй суммы воспользуемся равенством
d дх д dx д ,dt дф дф dtдф *
Тогда второе из равенств (g) дает нам дТ, d дх . t d ду . t d дг \
дф ^„* у dt дф 1 у dt дф 1 dt дф /
Окончательно выражение (f), преобразованное к новым координатам, запишется так:
d дТдТ
dt дф'дф ’' '
и уравнение (а) при изменении только координаты ф представится в таком виде:
(h)(h)d дТ дт_dt дф'дф
(h)
(h)
В дальнейшем при исследовании движения упругих тел выгодно будет отделять внешние приложенные к системе силы от внутренних сил упругости. Эти последние имеют потенциал, и если через V обозначить потенциальную энергию деформации, то работа внутренних сил упругости на перемещениях, соответствующих приращению бф координаты ф, будет~~ бф, и уравнение (h) перепишется таким образом:
(146)(146)d дГ _ _дТ_dV =ф
(146)
(146)
dt дф' дфдф *
Здесь при составлении обобщенной силы Ф нужно принимать во внимание лишь внешние силы, приложенные к упругой системе. Уравнение вида (146) может быть написано для каждой из координат ф, ф, 0, ..., и этим уравнением воспользуемся при исследовании колебаний упругих тел.
Будем рассматривать лишь малые колебания тел около их положения равновесия и координаты ф, ф, 6 будем отсчитывать от положения равновесия. В таком случае потенциальная энергия представится однородной функцией второй степени от координат:
V = -у аиф2 + -i- а221|)2 + -|- азз92 + • • • + а12<ргр + а13ф6 + • • • (147)
Живая сила системы в случае малых колебаний представится однородной функцией второй степени от скоростей ф', ф', и мы можем написать ее так:
Т = -у Ьцф'2 + ~2~ Ъ^г + -у Ъ339'Ь12ф'ф' + Ь13ф'9' + • • • (148)
Здесь Ьи, ..., Ь12, ... — коэффициенты, которые в случае малых колебаний можно считать постоянными.
Подставляя выражения для V и Т в дифференциальные уравнения движения (146), приходим к системе линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Особенно просто напишется эта система уравнений, если обобщенные координаты ф, ф, ... выберем так, чтобы в выражениях для живой силы и потенциальной энергии системы пропали члены, содержащие произведения координат и соответствующих им скоростей. Выбранные таким образом координаты называются главными или нормальными координатами системы. В дальнейшем обозначим их через фх, ф2, ... Тогда живая сила и потенциальная энергия системы представятся так:
111
v = — а1Ф1 + — ^2ф2 + -у- азФз + • • •;
т = — Ь1Ф$2 + -у 62ф22 + — 63ф32 + • • ♦ ,
(146')(146')и уравнения (146) приобретают следующий простой вид: Ь1Ф1 + «1Ф1 = Фр 62ф" + а2ф2 = Ф2; ■
(146')
(146')
Каждое такое уравнение представляет собой простое гармоническое колебание [§ 33], которому соответствует изменение лишь одной из главных координат. При этом колебании все точки колеблющейся системы будут в каждый момент находиться в одной фазе. В один и тот же момент все они будут проходить через свое среднее положение и также одновременно будут достигать наибольших отклонений. Колебания эти будем называть главными или нормальными. Из них, как мы видим, складывается самое общее колебание системы. Периоды главных колебаний определяются величинами коэффициентов аг, ... ..., Ь^ ...и, следовательно, будут зависеть лишь от устройства системы. В дальнейшем будем называть основным типом колебания системы то колебание, которому соответствует наибольший период.
Продольные колебания призматических стержней
Исследование колебаний стержней начнем с простейшей задачи — с продольных колебаний, при которых поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и параллельными друг другу, совершают перемещения по оси стержня. Те растяжения и сжатия, которые при этом испытывает стержень, будут, конечно, сопровождаться соответствующими изменениями поперечных размеров и потому лишь точки оси стержня будут совершать при этих колебаниях прямолинейное движение. Движение точек, не совпадающих с осью, будет более сложным, но, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной, можно
пренебречь перемещениями точек в плоскостях поперечных сечений . Общее для всех точек какого-либо поперечного сечения тп (рис. 74) перемещение в направлении оси х обозначим через и. тогда относительное удлинение в этом сечении и соответствующее растягивающее напряжение представятся так:
П L Л*П L Л*Рис. 74.Рис. 74.ди -хт гч ди ех-~аГ’ Хх-Е^ •
П L Л*
П L Л*
Рис. 74.
Рис. 74.
Для поперечного сечения тгпг. бесконечно близкого к взятому выше, те же величины имеют значение
ди дхди дх■^Ьх; е(^ + -Д-
ди дх
ди дх
дх2у дх 1 дх2
Следовательно, разность растягивающих напряжений для двух взятых се
Д2иДх2Д2иДх26х.6х.чений равна
Д2и
Дх2
Д2и
Дх2
6х.
6х.
Обозначая через у вес единицы объема стержня, получаем для выделенного из стержня элемента mnm^ такое дифференциальное уравнение движения:
у д2и „ д2и
g St2дх2 *
Отсюда, вводя для краткости обозначение
-у- = а2.(149)
получаем дифференциальное уравнение для продольных колебаний стержня в таком виде:
д2и 2 д2и
Мы видели, что самый общий вид колебаний может быть получен сложением главных (нормальных) колебаний, каждое из которых представляет собой простое гармоническое колебание. Возьмем одно из этих колебаний, и пусть соответствующие ему перемещения будут пропорциональны cos pt. где р — частота взятого типа колебаний. Перемещение и зависит не только от времени, но и от положения сечения, т. е. от х. и для выбранного нами типа колебаний можно положить
и = Х cos pt.(а)
где X —- неизвестная нам пока функция х.
Вставляя выражение (а) в дифференциальное уравнение (150), получаем для X такое уравнение:
Х" + 5-Х = 0,(Ь)
откуда находим
X = Ct cos -^ х + Сй sin -5- х.(с)
Произвольные постоянные должны быть найдены из условий на концах стержня. Возьмем, например, стержень со свободными концами. В таком случае растягивающие напряжения по концевым поперечным сечениям должны обращаться в нуль, следовательно,
Первому из этих условий мы удовлетворим, положив в решении (с) С2 — 0. Для удовлетворения второго условия нужно положить
sin -—- = 0.(d)
Это уравнение дает для р бесконечное множество решений, которым будет соответствовать бесчисленное множество типов собственных колебаний стержня. Основной тип колебаний получим, взяв наименьший корень уравнения (d), т. е. положив
ал
В этом случае из общего выражения (а) получаем
их = Л, cos ^- cos pTt.
Таким же путем могут быть получены и высшие типы колебаний. Мы предполагали перемещения для каждого типа главных колебаний пропорциональными cos pt. В самом общем случае к члену, пропорциональному косинусу, нужно присоединить член, пропорциональный синусу, и для основного типа колебаний получим
ut = cos -у- (Лт cos р^ + Вг sin p^j.
Составляя подобные же выражения для высших типов колебаний и складывая все эти колебания, приходим к такому общему выражению для продольных колебаний призматических стержней со свободными концами:
ътьх ( . trait , „. trait \/лглх
и = COS —— MiCOS—-h^sm—-—(lol)
Легко показать, что при надлежащем выборе постоянных А^ В^ можно удовлетворить любым начальным условиям для колебаний стержня. В самом деле, чтобы эти условия были вполне определены, должны быть заданы перемещения всех поперечных сечений в начальный момент и их начальные скорости. Положим
(“)t=o = / (X);= Л (ж).
Подставляя вместо и его выражение (151), получаем
i=OO^=оо
f№ = 2j^cos —; AW = ^ s« —cos-p. 2=12=1
Отсюда коэффициенты Аг и В г могут быть определены по известным формулам ii
Аг = -у- \ f (ж) cos —г- dx; В г = -— \ А (ж) cos —у—- dx.
I ОIта J 14*
Оо
В общем выражении (151) мы можем принять заключенные в скобки множители за нормальные координаты для нашей упругой системы. Обозначив их через фг, будем иметь
2
tax
фг COS —р .
з=1
Принимая площадь поперечного сечения стержня равной единице, получаем для потенциальной энергии системы такое выражение:
(152)
Живая сила системы напишется так:
Выражения для V и Т включают лишь члены с квадратами координат ф, и квадратами соответствующих скоростей. Следовательно, эти координаты — главные, и соответствующие им дифференциальные уравнения (146'), когда отсутствуют внешние силы, запишутся так:
п , а2л212 п
откуда мы получаем для ф, прежнее выражение.
Применение нормальных координат имеет значительные преимущества при исследовании вынужденных колебаний. Воспользуемся ими для решения задачи о вынужденных колебаниях стержня с одним заделанным и другим свободным концами. У заделанного конца стержня перемещения равны нулю, на свободном конце обращается в нуль относительное удлинение. Таким условиям будет удовлетворять каждая половина рассмотренного выше стержня со свободными концами при колебаниях, симметричных относительно середины. Этим мы воспользуемся, чтобы из выражения (151) сразу получить решение для нашего случая. Располагая начало координат в заделанном конце и обозначая через I длину стержня, мы должны будем в выражении (151) заменить cos ^- на sin -^. Условие симметрии требует сохранения лишь членов с нечетными значениями /• Следовательно,
и =sin-^MiCos -2|— + BiSin—2у-1.
Множители в скобках являются нормальными координатами. Обозначим их через фг. Тогда
2
. 1лх Фг sin
1=М,5» ,..
У Ял2 и “ "1бГУ Ял2 и “ "1бГl2l25 ^, т=4- f
У Ял2 и “ "1бГ
У Ял2 и “ "1бГ
l2
l2
г=1,3,5, ...^ 1=1,3,5,
Уравнения (146') будут иметь такой вид:
„ . a2Z2n2
4Z2
<Pi = Д-ф».
Пользуясь решением (144), напишем общий интеграл полученного уравнения в таком виде:
t
Первые два члена полученного выражения представляют собой свободные колебания, обусловленные начальным значением координаты фг и соответствующей ей скорости. Эти колебания вследствие сопротивлений постепенно затухают, и приходится иметь дело лишь с третьим членом, который дает перемещение, вызванное обобщенной силой Фг. Ограничиваясь лишь этими перемещениями, получаем
и = ТТ 2 4-sin^-^iSm-^.(t —yd#v(154)
г=1,3,5, ...q
Для получения колебаний, вызываемых внешними силами, остается подставить в полученную формулу соответствующее значение Ф;.
В качестве примера возьмем случай раскачивания стержня силой / (Z), приложенной к свободному концу х. Чтобы найти Фг, дадим координате ф{ приращение бфг. Этому приращению будут соответствовать перемещения, определяемые формулой
би = 6ф< sin ^- .
При этом свободный конец стержня, к которому приложена сила / (Z), переместился на величину
о •13Т
Оф; SIB -у и сила произведет работу
f(t) 6ф{ sin-у.
Следовательно, в рассматриваемом случае
Oi = /(gsin^.
Подставляя значение Ф? в выражение (154) и полагая в нем, что х = I, для перемещения свободного конца стержня находим такое выражение:
№=< = -йг 2 TV^sin"IT(#-^atv
г=1,3,5# ... q
В частном случае, когда приложенная на конце сила постоянна и равна д, получаем
г=1,3,5# ... х
Наибольшее перемещение получим при t = 2Z/a, когда
/ Xl^glqV 1 _ 16gZg Л __ 2lq
\U)X=1 — 2jt2£ — ?а2л28 E '
*1=1,3,5, ...
Получаем, таким образом, известный результат: сила, внезапно приложенная к концу стержня, вызывает в нем удлинение, которое вдвое больше тех, что получаются при постепенном приложении силы.
Колебания груза, подвешенного на упругом стержне
Если масса стержня мала по сравнению с массой подвешенного груза, то задача, как мы видели (см. § 33), сводится к колебаниям системы с одной степенью свободы .Рассмотрим теперь ту же задачу в общем случае. Дифференциальное уравнение (150) для продольных колебаний стержня остается без изменений:
д^и 2 д^и~д& — а "д^1
где
Располагая начало координат в заделанном конце стержня, получаем для этого конца условие
(w)x=o = 0.(а)
Для другого конца, где прикреплен груз, напишем граничное условие, принимая во внимание, что растягивающие напряжения, появляющиеся на этом конце при колебаниях, обусловлены силами инерции подвешенного груза. Обозначим через Р вес подвешенного груза, приходящийся на единицу площади поперечного сечения стержня. Тогда, приравнивая растягивающие напряжения на конце силам инерции груза Р, получаем
Возьмем одно из главных колебаний системы и предположим, что соответствующие ему перемещения пропорциональны cos pt, тогда и = X cos pt, где X — функция только х. Подставляя принятое выражение для и в основное уравнение задачи (150), получаем аХ" + р2Х = 0. Отсюда
X = СЛ cos — х 4- CL sin — х.
1 а 1 й а
Чтобы удовлетворить условиям (а) и (Ь), нужно положить
С\ = О, Е — cos = — р sin .
1aa g га
Обозначая через а отношение веса стержня у/ к весу груза Р и полагая, что рЦа = р,, перепишем второе условие в таком виде:
р, tg р, = а.
и = 2 Ф*sinи = 2 Ф*sinI *I *(е)(е)
и = 2 Ф*sin
и = 2 Ф*sin
I *
I *
(е)
(е)
Корни этого трансцендентного уравнения позволяют вычислить значения периодов главных колебаний описываемой системы. Основному типу колебаний будет соответствовать наименьший
Таблица 20
корень уравнения. Некоторые значения
этого корня для различных а приведены в
a
Hi
a
Hl
табл. 20.
Вычислив последовательные корни уравнения (с), можно написать выражения
0,01 0,1
0,10
0,32
2,0
3,0
1,13
1,20
для каждого типа собственных колебаний.
0,3
0,52
4,0
1,27
Для типа порядка 1 общее выражение
0,5
0,65 0,75
5,0
1,32
для перемещений напишем так:
0,7
10,0
1,42
0,9
0,82
20,0
1,52
.^ / л^at 1\
1,0
0,86
100,0
1,568
Ui = Sin—у- ^COS —Н Bi sin —— 1.
1,5
0,98
oo
1,571
(d)
Заключенный в скобки множитель представляет собой нормальную координату фг. Первый множитель, зависящий от ж, является соответствующей нормальной функцией. В самом общем случае колебание нашей системы получается сложением главных колебаний (d), и мы можем написать
Воспользуемся нормальными координатами при изучении вынужденных колебаний. Для этого составим выражения кинетической и потенциальной энергии системы. Выражения эти не будут содержать членов с произведениями координат и соответствующих им скоростей, так как взятые координаты являются главными координатами системы.
В качестве проверки приводим здесь соответствующие вычисления;
V = 4^^dx = ^(S Wicos^)z^ =
г I = оо.
Е V 2 2 Л ,2^i \/Л
i=l\/
Интегралы вида
I
Г,
\ cos —у- cos —— ах при тф п обращаются в нуль в силу уравнения (с).
Составим теперь выражение для живой силы системы:
Подставляя вместо и его выражение (е) и принимая во внимание, чаю в силу уравнения (с)
Г р х р х
7 \ sin -j- sin —у— dx = — Р sin р„ sin p^о
получаемполучаемsin 2pisin 2pi+^r 5 ф^™2^-8 Ь=1+^r 5 ф^™2^-8 Ь=1
получаем
получаем
sin 2pi
sin 2pi
+^r 5 ф^™2^-
8 Ь=1
+^r 5 ф^™2^-
8 Ь=1
Выражая P через yZ и пользуясь уравнением (с), представляем Т в таком виде:
Дифференциальные уравнения движенияДифференциальные уравнения движенияIL2gIL2gsin 2р^2Р;sin 2р^2Р;EEsin 2pi \(146') запишутся так:sin 2р^ \+ -2Z Ф' = Ф<-sin 2pi \(146') запишутся так:sin 2р^ \+ -2Z Ф' = Ф<-(g)(g)(h)(h)
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения
IL
2g
IL
2g
sin 2р^2Р;
sin 2р^2Р;
E
E
sin 2pi \
(146') запишутся так:
sin 2р^ \
+ -2Z Ф' = Ф<-
sin 2pi \
(146') запишутся так:
sin 2р^ \
+ -2Z Ф' = Ф<-
(g)
(g)
(h)
(h)
Мы органичимся лишь колебаниями, возникающими под действием сил Ф^ для чего воспользуемся решением (144), которое в данном случае напишется так:
t
Ф< = —( Ф, sin — di,.
ар yZ 2pi 4- sm 2pi J ' Iх v i
0
Подставляя это в выражение (е), получаем
. г=^sin—2—;„„
(155)(155)м = -5- 2 • Й—ЛГ^Ч- | Ф> sin -Г"^ — V ^*
(155)
(155)
а^2щ 4- sin 2pi JIх
г—1-б
Для получения перемещений груза нужно только в этом выражении положить х = I и вместо Ф, поставить соответствующее значение обобщенной силы.
В качестве примера возьмем случай, когда в начальный момент ^ = 0 к концу стержня приложена сила q^cM^. Для обобщенной силы получаем такое выражение: Ф* = q sin pi. Следовательно,
Wx=lWx=lPi (2p? 4- sin 2p4Pi (2p? 4- sin 2p4sin8 p7sin8 p71 — COS1 — COSWIWI(156)(156)
Wx=l
Wx=l
Pi (2p? 4- sin 2p4
Pi (2p? 4- sin 2p4
sin8 p7
sin8 p7
1 — COS
1 — COS
W
I
W
I
(156)
(156)
Если беспредельно уменьшать вес подвешенного груза, то величина а беспредельно возрастет и корни уравнения (с) будут определяться такой формулой:
Подставляя эту формулу в выражение (156), приходим к ранее полученному решению (/) для стержня с одним заделанным и другим свободным концами.
Второй крайний случай получаем, когда а стремится к нулю и, следовате- тельно, корни уравнения (с) стремятся к такому выражению:
Рг = (i — 1) л.
Первый корень стремится к нулю, к нулю стремятся также все члены, кроме первого в общем решении (156). В пределе приходим к системе с одной степенью свободы и для перемещения подвешенного груза получаем выражение
Наибольшее удлинение получается вдвое больше того, которое мы бы имели при статическом действии растягивающей силы. Таким образом, для двух крайних случаев оказывается справедливым высказанное Клапейроном положение, что наибольшая деформация, вызываемая внезапно приложенной силой, вдвое больше той, которая получается при статическом действии такой же силы.
Доказательство Клапейрона основано на предположении, что в момент наибольшей деформации вся работа, совершенная приложенной силой, полностью обратится в потенциальную энергию деформации. Предположение это в только что рассмотренной задаче справедливо для двух крайних случаев, но при конечном значении а корни ц^ трансцендентного уравнения (с) будут несоизмеримы и мы не будем иметь такого момента, когда кинетическая энергия полностью обращается в потенциальную. Поэтому наибольшее удлинение должно получиться меньше двойного статического удлинения.
Если вес стержня мал по сравнению с весом груза, величина а = у//Р будет мала. Для определения периода основного колебания уравнение (с) можно заменить таким:
В качестве первого приближения можно положить ц = Д/"-—-. В таком случае период основных колебаний будет
т==^=2лт/<Р£ра Г Eg 1
что совпадает с результатом (137) для системы с одной степенью свободы.
В качестве второго приближения для корня уравнения (к) можно взять
В таком случае
т=2я Р%ЫР+4-^)-
Получаем известное правило: чтобы учесть влияние собственного веса стержня на период колебаний подвешенного груза, нужно представить себе треть веса стержня присоединенной к грузу.
Особое преимущество дает использование нормальных координат в тех случаях, когда желательно сравнить перемещения системы при колебаниях с теми статическими перемещениями, которые мы получили бы при бесконечно медленном изменении раскачивающей силы. Такие сравнения приходится на практике делать во многих случаях, например при оценке степени достоверности показаний индикаторов, применяемых в паровых машинах и газовых двигателях, при определении давлений газов во время взрыва по деформациям особых крешеров и т. д. Поясним это на рассмотренном выше примере груза, подвешенного на упругом стержне. Предположим, что к грузу приложена периодическая сила, изменяющаяся по закону q sin pt. Чтобы найти в этом случае значение обобщенной силы Фг, соответствующей координате фг, дадим этой
координате приращение &ф1- При этом конец стержня, как видно из общего выражения (е), переместится на величину бфг sin |иц, и приложенная к нему сила совершит работу q sin pt sin р^вф^. Следовательно, Ф* = q sin pt sin p^ и уравнения (146') будут иметь такой вид:
sin 2а,- \ „sin 2а,- \ „5П12^ 2р^5П12^ 2р^qxi = ^sin рц sin pt.qxi = ^sin рц sin pt.
sin 2а,- \ „
sin 2а,- \ „
5П12^ 2р^
5П12^ 2р^
qxi = ^sin рц sin pt.
qxi = ^sin рц sin pt.
Ограничиваясь лишь перемещениями, вызываемыми периодической силой, получим на основании (142)
Ф1 =Ф1 =sm ptsm pt
Ф1 =
Ф1 =
sm pt
sm pt
Перемещение конца стержня представится так:
(u)x=i —(u)x=i —фг sin щ = sin ptфг sin щ = sin ptSggsin2!^Sggsin2!^(157)(157)
(u)x=i —
(u)x=i —
фг sin щ = sin pt
фг sin щ = sin pt
Sggsin2!^
Sggsin2!^
(157)
(157)
Заметим, что величина -у- представляет собой частоту собственных колебаний системы порядка г. Из выражения (157) видим, что в тех случаях, когда частота р раскачивающей силы приближается к частоте одного из типов собственных колебаний системы, мы будем иметь явление резонанса. Соответствующий член в бесконечном ряде выражения (157) приобретет преобладающее значение.
Чтобы получить статическое перемещение системы, нужно только в знаменателе каждого из членов ряда (157) положить р = 0; тогда будем иметь
.2gg sin2 ^^^
(«,^ = 8^1^^^si х ^2 зтр Е^^4-80121^) •
Р
Принимая во внимание, что
2
sin2 ^j
^ (2р{ + sin 2р^ ~ 4 ’
приходим к известной формуле для удлинения призматического стержня под действием статически приложенной силы.
Мы видим, что статические перемещения будут мало отличаться от динами- ческах лишь в том случае, если р мало по сравнению с величиной -у-, т. е. если период раскачивающей силы велик по сравнению с периодом основных колебаний системы. В этом случае, ограничиваясь первым членом разложения (157), можем заключить, что принимая динамические перемещения равными р2/2 статическим, опускаем погрешность порядка ——-
Сделанные здесь заключения легко распространить на другие случаи действия сил, так как мы всегда можем периодическую силу представить тригонометрическим рядом и изучить действие каждого отдельного члена этого ряда. В частности, по отношению к намеченной выше задаче о показаниях индикатора можно заключить, что эти показания дадут значения давления пара-, близкие
к действительным лишь в том случае, если время одного оборота машины можно считать большим по сравнению с периодом основных колебаний поршня индикатора.
Колебания кручения круглых валов
Сделаем допущение, что при колебаниях кручения поперечные сечения вала, поворачиваясь одно относительно другого, остаются плоскими и радиусы сечений остаются прямыми 2. Если через 6 обозначим углы поворота поперечных сечений, то скручивающий момент в каком-либо поперечном сечении тп (см. рис. 74) будет GJP-^-. Приравнивая разность скручивающих моментов в двух бесконечно близких сечениях тп и тгпг моменту сил инерции выделенного из вала элемента тпт^у относительно оси вала, получаем
Г 8'9 Г -ГТ ^6
(158)(159)(158)(159)Вводя для сокращения обозначение
(158)
(159)
(158)
(159)
получаем
W _ 2 520di? — а №
Уравнение это совершенно совпадает с уравнением (150), полученным для продольных колебаний призматических стержней, и потому мы можем пользоваться найденными раньше решениями (см. § 35).
В частности, для вала со свободными концами получаем решение
n V tux / А, „ . iuat \
0 =cos —/—COS —!НSin —— I.
г=/
В качестве более сложного примера рассмотрим здесь имеющий практическое значение случай колебания вала, к концам которого прикреплены шкивы2. Если через /1и/2 обозначим моменты инерции этих шкивов относительно оси вала, то условия на концах вала получим, приравнивая скручивающие моменты моментам сил инерции соответствующих шкивов. Условия эти напишутся так:
1 В случае длинных валов для первых типов колебаний это допущение дает вполне удовлетворительные результаты. Когда длина вала весьма мала (случай круглого диска) или когда изучается высокий тип колебаний, которому соответствует подразделение вала на большое число волн, необходимо обратиться к точному решению задачи (см. упомянутую на стр. 153 работу L. Pochhamer).2 Frahm Н. Neue Untersuchungen fiber die dynamischen Vorgange in de n Wellenlei- tungen von Schiffsmaschinen mit besonderer Beriicksichtigung der Resonanzschwingun- gen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. 1902, Bd 46, N 22, SS. 797—803. Тимошенко С. П. К вопросу о явлениях резонанса в валах. Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, том 3, вып. 1—2, стр. 55—106. Отд. оттиск: С.-Петербург, 1905, 52 стр. См. также работы С. П. Тимошенко, указанные в сноске на стр 325.1 В случае длинных валов для первых типов колебаний это допущение дает вполне удовлетворительные результаты. Когда длина вала весьма мала (случай круглого диска) или когда изучается высокий тип колебаний, которому соответствует подразделение вала на большое число волн, необходимо обратиться к точному решению задачи (см. упомянутую на стр. 153 работу L. Pochhamer).2 Frahm Н. Neue Untersuchungen fiber die dynamischen Vorgange in de n Wellenlei- tungen von Schiffsmaschinen mit besonderer Beriicksichtigung der Resonanzschwingun- gen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. 1902, Bd 46, N 22, SS. 797—803. Тимошенко С. П. К вопросу о явлениях резонанса в валах. Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, том 3, вып. 1—2, стр. 55—106. Отд. оттиск: С.-Петербург, 1905, 52 стр. См. также работы С. П. Тимошенко, указанные в сноске на стр 325.
1 В случае длинных валов для первых типов колебаний это допущение дает вполне удовлетворительные результаты. Когда длина вала весьма мала (случай круглого диска) или когда изучается высокий тип колебаний, которому соответствует подразделение вала на большое число волн, необходимо обратиться к точному решению задачи (см. упомянутую на стр. 153 работу L. Pochhamer).
2 Frahm Н. Neue Untersuchungen fiber die dynamischen Vorgange in de n Wellenlei- tungen von Schiffsmaschinen mit besonderer Beriicksichtigung der Resonanzschwingun- gen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. 1902, Bd 46, N 22, SS. 797—803. Тимошенко С. П. К вопросу о явлениях резонанса в валах. Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, том 3, вып. 1—2, стр. 55—106. Отд. оттиск: С.-Петербург, 1905, 52 стр. См. также работы С. П. Тимошенко, указанные в сноске на стр 325.
1 В случае длинных валов для первых типов колебаний это допущение дает вполне удовлетворительные результаты. Когда длина вала весьма мала (случай круглого диска) или когда изучается высокий тип колебаний, которому соответствует подразделение вала на большое число волн, необходимо обратиться к точному решению задачи (см. упомянутую на стр. 153 работу L. Pochhamer).
2 Frahm Н. Neue Untersuchungen fiber die dynamischen Vorgange in de n Wellenlei- tungen von Schiffsmaschinen mit besonderer Beriicksichtigung der Resonanzschwingun- gen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. 1902, Bd 46, N 22, SS. 797—803. Тимошенко С. П. К вопросу о явлениях резонанса в валах. Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, том 3, вып. 1—2, стр. 55—106. Отд. оттиск: С.-Петербург, 1905, 52 стр. См. также работы С. П. Тимошенко, указанные в сноске на стр 325.
Возьмем одно из главных колебаний и положим, что углы 6 изменяются по закону косинуса. Тогда
6 = X cos pts(Ь)
где X — функция только х.
Подставив выражение (Ь) в уравнение (159), найдем
Х = Сг cos-^ + C2sin-^-.
1 а 2 а
Для определения частоты колебаний р воспользуемся условиями (а). Подставляя в них значение 6, получаем
р* (С\ cos+ Cs sin Va = — gJp (Сг cos_ с, sin .
\ 1 а х й а ] г ад а i а 1
Отсюда приходим к такому трансцендентному уравнению для определения частоты р;
р2(cos-~sin —/2 = GJP (sin — 4-cos —).
\ aа )а\ а^^ра /
Вводя для упрощения обозначения
-BL — п • Л и — т
перепишем полученное выше трансцендентное уравнение в такой форме: ^^(1-^^tg^) = —(^+1г'7<г)-^^
Обозначая через р^, р2» ••• последовательные корни этого уравнения, можем написать для 0 такое общее выражение:
6 = 2 Ti(cos-^ — Hi-^-sin-^),(161)
где фг — нормальные координаты; множители в скобках — соответствующие нормальные функции. Составим теперь выражения для потенциальной энергии и для живой силы системы:
оо
+ Hi -^- cos -^) dx = -^- 2 Aty,^,(162)
где для краткости введено обозначение
/jr2 \j^j
Ai = 2щ 1 + Hi -^г ~ sin 2Н1 + ^~4" sin 2н» + 2нг -у- (1 — cos 2pt\\ Jo /zo0
Члены с произведениями координат в выражение (162) не войдут в силу свойств нормальных координат. В этом можно убедиться и непосредственно, вычислив соответствующие значения интегралов и приняв во внимание уравнение (160).
Живая сила системы составится из живой силы вала и живой силы прикрепленных по концам шкивов. Для нее получим такое выражение:
J \ а-1 )£ у аг )х==02 у аг
Уравнения (146') получают следующий вид:
4^^ + —№=Л-ф^
Рассматривая лишь перемещения, вызванные силами Фг, имеем
Ф*= “7м- J ф4sin Т(< ~ ^ ^г о
Следовательно,
0 -V^(164)
Для вычисления 0 остается лишь в каждом частном случае подставить в выражение (164) вместо Фг соответствующее значение обобщенной силы.
Остановимся теперь подробнее на предельных случаях, когда моменты инерции шкивов или очень велики, или очень малы по сравнению с моментом инерции вала. Если величины J\ и J2 беспредельно уменьшать, то корни трансцендентного уравнения (160) будут стремиться к значениям л, 2л, .., и в пределе получим решение для вала со свободными концами.
Предположим теперь, что отношения J^J^ = хт, /о/А ^ х2 представляют собой малые величины. Тогда уравнение (160) можно представить в таком виде:
=(165)
Пренебрегая малыми второго порядка, можно положить
p,tg^ = x1 + x2.-(165')
Приближенное значение первого корня этого уравнения будет^1 = КХ1 + Х2е
Следующие корни представятся так:
Первый корень мал по сравнению с последующими и потому период основных колебаний будет велик по сравнению с периодом следующего по порядку колебания. Первое приближение для частоты основного тона будет
а :1 /"^Р(Л + Л). р
Р1 = — Кх1 + х2= у ^j;^•(166)
Подставляя в уравнение (165) вместо tg р, величину р + -—-, получаем в качестве следующего приближения для первого корня этого уравнения величину Hi = ]/«i + х2 — -у(^ + xj — ххх2).
Соответствующее значение для частоты основного тона получим из формулы (166), если вместо J\ и J2 подставим выражения
/т I 1 т ^г . т I 1 т Л+ji + j2 ’ М 3 j1 + j2 •
Таким путем получаем возможность оценить влияние массы вала на период колебаний закрепленных по концам шкивов.
Поперечные колебания стержней
С поперечными колебаниями мы встречаемся при расчете различного рода балок, подвергающихся действию переменных поперечных сил, при исследовании колебаний мостов и железнодорожных рельсов под действием подвижных нагрузок, при изучении вибраций, возникающих в корпусе судов под действием сил инерции неуравновешенных час- ^в к
тей машин, и т. д.
Будем предполагать, что колебания со- '^/ вершаются в одной из главных плоскостей '-
стержня. В таком случае будем иметь дело сРис* 75е
плоским изгибом. Плоскость изгиба примем за координатную плоскость ху (рис. 75). При составлении дифференциального уравнения движения будем исходить из предположения, что поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной. В таком случае при изучении первых (наиболее низких) типов колебаний можно пользоваться приближенным уравнением для изогнутой оси балки
ЕЗ^ = -М,dx2*
откуда двойным дифференцированием получаем
dx2 [ dx2 j
где д обозначает интенсивность сплошной нагрузки.
Если стержень совершает свободные колебания, то придется при составлении уравнения изогнутой оси принять во внимание лишь силы инерции и положить
^F д2уg*
Здесь у — вес единицы объема стержня; F — площадь поперечного сечения стержня.
Уравнение движения для свободных колебаний стержня запишется так: дх2 дх2 / ” g dt2 *
В случае призматических стержней это уравнение может быть написано в таком более простом виде:
^^ай%=°’<168)
где для сокращения введено обозначение
= »2-<169)
Предположим, что стержень совершает одно из главных колебаний частоты р и перемещения изменяются с временем по закону косинуса. Тогда можно положить
у = X cos pt, (а) где через X обозначена функция только х. Ею определяется форма той кривой, по которой изгибается стержень при колебаниях. Если выражение (а) подставим в основное уравнение (168), то для определения X получим дифференциальное уравнение четвертого порядка:
-^ = (170) dx4 '
Общий интеграл итого уравнения будет включать четыре произвольные постоянные и может быть представлен в таком виде:
X = Сг (cos у -~- х + ch у -~- xj + С2 ^cos у -—- х —
— ch 3^"V ж) + Сз (sin J^~ х + sb ^4г ^) + ^4 (sb* p^-^- х — sh ^ ~ ^ .
ааа(171)
Из условий на концах стержня (по два условия на каждом конце) можно найти соотношения между произвольными постоянными Cv С2,... и, кроме того, получить трансцендентное уравнение для определения частоты р. Уравнение это будет иметь бесчисленное множество корней. Каждому такому корню Рг будут соответствовать своя функция Хг и свой тип колебаний. Наложением таких колебаний можно получить самый общий вид поперечных колебаний стержня, удовлетворяющий любым начальным обстоятельствам движения.
Таким образом, в общем случае можно положить
(172)(172)i=ooг—со
(172)
(172)
у = 2 Хг (Л COS Pit + Bi sin Pit) = 2 ^фг-i=li=l
Множители в скобках будут нормальными координатами, а соответствующие им функции Xi — нормальными функциями.
В дальнейшем при изучении вынужденных колебаний понадобятся выражения для потенциальной энергии У и для живой силы Т колеблющегося стержня. Пользуясь выражением (172), получаем для этих величин такие значения;
(174)
Вследствие основного свойства нормальных координат члены, включающие произведения координат или соответствующих им скоростей в выражениях (173) и (174), пропадают. В этом нетрудно убедиться при непосредственном интегрировании, если принять во внимание основное уравнение (168).
Пусть Хт и Хп представляют собой нормальные функции порядка тип, причем т ^ п. Каждая из этих функций должна удовлетворять уравнению (170). Следовательно, будем иметь
та, г та -у
т dx4 ^ а2 Ат*’
№Си Рп х
Умножая первое уравнение на Хп, второе на Хт, вычитая одно из другого и потом ин
тегрируя по всей длине стержня, получаем
22*1
X
^Хп т dx?
оо
или, выполняя в правой части интегрирование по частям.
d4X \Х„ —г™ dz,п dx* )
получаем
Рп — Рта2
(XXdx-\l ^
J ^”Z” Х» ”55"
О1
^п ^ХтdXm №Х„ у
dx da?dx dx2 [о
^® "dx3
(Ь)
Правая часть этого равенства при х — 0 и при х = I обращается в нуль при любом способе закрепления концов \ следовательно, интеграл, входящий в левую часть, должен равняться нулю (так как рт ^ р^ и выражение (174) не будет включать членов с произведениями координат. Подобным же образом может быть показано, что в выражении (173) пропадают члены с произведениями координат.
Воспользуемся выражением (Ь) для вычисления интеграла
I
О
который понадобится при составлении выражения (174) для кинетической энергии стержня. Если в равенстве (Ь) положить т = п, то каждая часть его тождественно обращается в нуль и мы не найдем значения нужного интеграла (с). Поступим иначе, положим
Ртк Рп&1
аI2 ' aZ2 ’
где & и £1 — некоторые отвлеченные числа. Посмотрим, во что обращается равенство (Ь), если кг = к + 6 к и величина 6к беспредельно убывает 2. Принимая во внимание, что в этом случае
Рт— Рп 4к®6ка2 = Z4
И
Хп = Хго+-^-6к, получаем
W jx^dx- It d ^ХтdXm d$Xm -L
Z4 J m|AW ^ d^ dkd^ -b
\^XWddXmdXmd№mV(d)
da?dkdxdxdk dx^
Для сокращения штрихами обозначим производные от X по величине -у-. Тогда будем иметь
dXm _ к - dXmу
dx ~ I m1 dk I т*
Кроме того, уравнение (170) перепишется так: Х^ — X. При этих обозначениях выражение (d) перепишется таким образом:
z
I V х" { ^^ ex" ^ х х" ^ х хт 1 з
I р AmAnt « /4 ^Ащ/р АшАш/4 AmAmJ’
О
или после сокращений
/ J|^^m^m +। ^т i -^тХт АтаАт «/ mJ
0О
При всяком способе закрепления мы будем иметь для концов ХтХ^ = 0; ХтаХт — 0. Следовательно,
j *>=^ f^ (^ - 2КЛ+С+ хц=
Таким образом, можно найти значение интеграла (с) при любом способе закрепления концов. Если правый конец стержня совершенно свободен, то
^т)х=4 = ^т)х=1 ^ ^’ и тогда
у^=4(х^
При заделанном правом конце
о
Наконец, при опертом конце, когда
^т)х==1 ” ^т)х=1^»
будем иметь
z
Jx^ = —L^x^.
О
Для вычисления интеграла
который нам понадобится при составлении выражения для потенциальной энергии (173), воспользуемся уравнением (170). Умножая обе части этого уравнения на X и интегрируя по всей длине стержня, получаем
О 6
Правая часть равенства может быть преобразована путем интегрирования по частям. Тогда прийдем к такому результату:
о о
Следовательно, при составлении выражения для потенциальной энергии нам не придется вычислять новые интегралы, можно воспользоваться найденными выше [формула (175)] значениями интеграла (с).
Имея выражения для V и Т, без затруднений можно исследовать как свободные, так и вынужденные колебания стержня. Некоторые примеры будут приведены в следующих параграфах. Здесь остановимся подробнее на дифференциальном уравнении движения (168) и внесем в него поправки, оценивающие влияние конечности поперечных размеров стержня на частоту собственных колебаний. Поправки эти, как мы видим, могут иметь существенное значение при изучении высших типов колебаний, когда вибрирующий стержень узловыми сечениями подразделяется на большое число полуволн сравнительно малой длины.
В качестве первой поправки учтем влияние поворота поперечных сечений стержня при колебаниях изгиба. При составлении уравнения (168) мы приняли во внимание лишь силы инерции, соответствующие поступательному движению элементов стержня в направлении оси у. Однако это движение сопровождается искривлением оси стержня, а следовательно, и поворотом поперечных сечений относительно соответствующих им нейтральных линий. Угол поворота для каждого сечения определяется соответствующим значением производной dy/dx. При поперечных колебаниях стержня этот угол все время изменяется. Значения угловой скорости вращения и углового ускорения представятся производными
д2у ^3У
dxdt ’ dxdt2
Если выделить двумя бесконечно близкими поперечными сечениями элемент стержня длиной 6х, то силы инерции, соответствующие вращению этого элемента, дадут момент, равный
93У &т(е)
При составлении дифференциального уравнения для изогнутой оси стержня нужно принять во внимание не только непрерывно распределенную нагрузку, соответствующую силам инерции поступательного движения, но и непрерывно распределенные моменты, определяемые формулой (е). В таком случае изменение изгибающего момента вдоль оси стержня представится так:
дхg dxdt2
Здесь Q — поперечная сила, получающаяся от сил инерции поступательного движения элементов стержня.
Подставляя найденное значение производной dMfdx в дифференциальное уравнение
РТ d^y d2M dx4 ” dx2 ’ получаем
rj 94у_ 4F ^У , ^ ^у .(177)
dx4gdt2 'g dx2dt2
Второй член в правой части уравнения представляет собой поправку, обусловленную поворотом поперечных сечений при колебаниях.
Более точное уравнение получим, если примем во внимание не только влияние сил инерции, соответствующих повороту сечений, но также и влияние касательных напряжений на прогиб стержня .
Выделим из стержня двумя бесконечно близкими сечениями элемент длиной Ьх и составим для него уравнения движения. Положение выделенного элемента определится перемещением у его центра тяжести и углом поворота ф относительно нейтральной линии х.Так как прогиб стержня обусловлен не только относительным поворотом поперечных сечений, но также и сдвигом одного из них относительно другого, то угол наклона касательной к изогнутой оси стержня не будет равняться углу поворота сечения. Разность между этимиВыделим из стержня двумя бесконечно близкими сечениями элемент длиной Ьх и составим для него уравнения движения. Положение выделенного элемента определится перемещением у его центра тяжести и углом поворота ф относительно нейтральной линии х.Так как прогиб стержня обусловлен не только относительным поворотом поперечных сечений, но также и сдвигом одного из них относительно другого, то угол наклона касательной к изогнутой оси стержня не будет равняться углу поворота сечения. Разность между этимиуглами будет, очевидно, равняться относительному сдвигу, который обозначим через р.Таким образом, получаем зависимостьуглами будет, очевидно, равняться относительному сдвигу, который обозначим через р.Таким образом, получаем зависимостьЭу дхЭу дх(f)(f)Кроме того, для изгибающего момента и для перерезывающей силы будем иметь выраженияКроме того, для изгибающего момента и для перерезывающей силы будем иметь выраженияМ = — EJ 4г* ; Q = k'^FG = к' ! -^ дхдхМ = — EJ 4г* ; Q = k'^FG = к' ! -^ дхдх(h)(h)где к'—коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.Принимая во внимание приложенные к выделенному элементу силы (рис. 76), напишем уравнение движения, соответствующее вращению элемента, в таком виде:где к'—коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.Принимая во внимание приложенные к выделенному элементу силы (рис. 76), напишем уравнение движения, соответствующее вращению элемента, в таком виде:^4- 6. + (2&Г = -ti-дхg^4- 6. + (2&Г = -ti-дхgд3ф"dFд3ф"dFбх,бх,или, вставляя вместо М и Q их значения (h),или, вставляя вместо М и Q их значения (h),в/-^ + к-дх2в/-^ + к-дх2т-7gт-7g^ = о.^2^ = о.^2(к)(к)Уравнение движения, соответствующее запишем так:Уравнение движения, соответствующее запишем так:перемещению элемента в направлении оси у»перемещению элемента в направлении оси у»илиили45.6.ох45.6.охyF д2уyF д2у' дх2' дх2FG = 0.FG = 0.(1)(1)
Выделим из стержня двумя бесконечно близкими сечениями элемент длиной Ьх и составим для него уравнения движения. Положение выделенного элемента определится перемещением у его центра тяжести и углом поворота ф относительно нейтральной линии х.
Так как прогиб стержня обусловлен не только относительным поворотом поперечных сечений, но также и сдвигом одного из них относительно другого, то угол наклона касательной к изогнутой оси стержня не будет равняться углу поворота сечения. Разность между этими
Выделим из стержня двумя бесконечно близкими сечениями элемент длиной Ьх и составим для него уравнения движения. Положение выделенного элемента определится перемещением у его центра тяжести и углом поворота ф относительно нейтральной линии х.
Так как прогиб стержня обусловлен не только относительным поворотом поперечных сечений, но также и сдвигом одного из них относительно другого, то угол наклона касательной к изогнутой оси стержня не будет равняться углу поворота сечения. Разность между этими
углами будет, очевидно, равняться относительному сдвигу, который обозначим через р.
Таким образом, получаем зависимость
углами будет, очевидно, равняться относительному сдвигу, который обозначим через р.
Таким образом, получаем зависимость
Эу дх
Эу дх
(f)
(f)
Кроме того, для изгибающего момента и для перерезывающей силы будем иметь выражения
Кроме того, для изгибающего момента и для перерезывающей силы будем иметь выражения
М = — EJ 4г* ; Q = k'^FG = к' ! -^ дхдх
М = — EJ 4г* ; Q = k'^FG = к' ! -^ дхдх
(h)
(h)
где к'—коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.
Принимая во внимание приложенные к выделенному элементу силы (рис. 76), напишем уравнение движения, соответствующее вращению элемента, в таком виде:
где к'—коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.
Принимая во внимание приложенные к выделенному элементу силы (рис. 76), напишем уравнение движения, соответствующее вращению элемента, в таком виде:
^4- 6. + (2&Г = -ti-дхg
^4- 6. + (2&Г = -ti-дхg
д3ф
"dF
д3ф
"dF
бх,
бх,
или, вставляя вместо М и Q их значения (h),
или, вставляя вместо М и Q их значения (h),
в/-^ + к-дх2
в/-^ + к-дх2
т-7g
т-7g
^ = о.
^2
^ = о.
^2
(к)
(к)
Уравнение движения, соответствующее запишем так:
Уравнение движения, соответствующее запишем так:
перемещению элемента в направлении оси у»
перемещению элемента в направлении оси у»
или
или
45.6.
ох
45.6.
ох
yF д2у
yF д2у
' дх2
' дх2
FG = 0.
FG = 0.
(1)
(1)
Исключая из (к) и (1) величину ф, приходим к такому уравнению для поперечных колебаний стержня:
(178)(178)FJ —L -L ^ ^L — ( У 4- ^v 1 ^ I ^V ^ = о
(178)
(178)
Эх ^ g dt» \ g "^ gk'G I dx^dt» "^ g gk'G dt4
Сравнивая (177) и (178), устанавливаем те члены, которыми определяется поправка на касательные напряжения. Ниже на примере покажем, как сказывается эта поправка на частоте различных типов собственных колебаний.
Свободные поперечные колебания стержня при различных способах закрепления концов
Для определения частоты различных типов колебаний и соответствующих форм искривления оси стержня приходится, как было видно, обратиться к условиям закрепления на концах стержня. При помощи этих условий возможно найти соотношение между произвольными постоянными в общем выражении (171) для нормальных функций X и составить то трансцендентное уравнение, из которого находятся частоты различных типов собственных колебаний.
Особенно простой вид нормальные функции имеют в случае стержня с опертыми концами. Условия на концах в этом случае будут такие:
(Х)х=о = О;(а)
(X)x=z = 0;(с^
f->L=°-(d>
Из условий (а) и (Ъ) следует, что в общем решении (171) Ct = Са = 0.
Из условий (с) и (d) заключаем, что С3 = С4; sin ™ / — 0.
Следовательно, V — I = ^- где п = 1. 2, 3,... г а
Для частот различных типов колебаний получаем значения
ал?4ал29ал2
Р1 /2™ ’^2/2' Рз /2 '
Соответствующие периоды колебаний будут иметь такие значения:
_ 2F _ 2Р ч/ 4F в 1 2V д/"^.
Т1 ал л V EJg ’ Т2 ™ 4 л г EJg ’
__ 1 2Р зЛ"^тз — 9 л Г EJg •
Период колебаний для стержня из заданного материала будет, следовательно, пропорционален квадрату длины и обратно пропорционален радиусу инерции поперечного сечения
Формы искривлений при различных типах собственных колебаний определятся выражениями для соответствующих нормальных функций:
■ху. ля• 2ля -«у„ Зля
A^-C^SHl—j— , A2=C2Sin-y—,л3= Сз81П —у— , ...
Первому типу колебаний соответствует искривление стержня по синусоиде с одной полуволной Для второго типа колебаний будем иметь две полуволны — по середине пролета получается точка перегиба Третьему типу колебаний соответствует подразделение стержня на три полуволны и т д.
В самом общем виде свободные колебания для рассматриваемого случая могут быть представлены так [см. формулу (172)]:
1=00
у = ^ sin ~Т" ^ cos ^ + ^sin ^’^
7 = 1
Коэффициенты А и Bt определяются из начальных обстоятельств.
22*
Предположим, что начальное искривление и начальное значение скорости задано таким образом:
(У^=о = / (ж); (4^-)= (ж).
Полагая в выражении (е), что t = 0, получаем
=(f)
7=1
Для получения коэффициентов A i поступаем по известному правилу: умножаем обе части равенства (/) на sin -^- dx и интегрируем в пределах 0 — I. При этом все члены бесконечного ряда, кроме члена с коэффициентом А^ пропадают и мы получаем
J / (х) sin -^- dx = Аг J sin2 -^- dx = —~~, оо
следовательно,
Аг = -|- У / (х) sin -^ dx.(g)
о
Для получения коэффициентов Bi составляем производную по времени от выражения (е) и полагаем в ней t = 0, тогда получим
2=00
/1 (Ж) = 5 BiPi ЯП ,
2=1 откуда находим
Bi = -^- j /х (х) sin -^- dx.(h)
Предположим, например, что в начальный момент стержень не искривлен и посредством удара участку стержня весьма малой длины 6, расположенному на расстоянии с от левой опоры, сообщена начальная скорость у0. В таком случае / (х) = 0. Что касается функции /х (х), то она обращается в нуль во всех точках, кроме точки х = с, соответствующей месту удара, где /т (с) = г0.
На основании (g) заключаем, что все коэффициенты Ai обращаются в нуль. Для коэффициентов Bi из выражения (h) получаем
v • &лс“т— ^sin —-— .
Следовательно, колебания стержня, которые при этом возникают, представятся так:
2v061• ^лс • ^ля • х
= —г— Л Sin —: Sin — Sin Pit.
2=11
Если удар произведен по середине пролета, то с = -у Л и мы будем иметь2увд / 1. ля .,1. Зля ., .
у = 2__ sin —___sin p^tsin —— Sin p3t +
\ Pi lРз
.1. 5ля .,\
+ T~sin ~7~ sm /V — • • • •
В этом случае возникнут лишь колебания с нечетным числом полуволн. Члены полученного ряда быстро убывают, так как р{ пропорционально г2.
Рассмотрим теперь, как влияют силы инерции, соответствующие повороту сечений, и касательные напряжения на период собственных колебаний стержня с опертыми концами. Для этого обратимся к уравнению (178). Разделив его на величину ^F/g и обозначив через г радиус инерции поперечного сечения, получим
2 ^ . ^ _ ,2 fl I Д ) ^4- ^^ —
дх № к "Г Gk' / Эх^д? gk'G dt* —
Для у сохраняются на концах такие же условия, как и в предыдущем случае \ когда мы пользовались менее точным уравнением (168). Тип колебаний порядка т представится так:
У = С sin— cos Pmt.
Подставляя это выражение в уравнение (к), получаем для определения частоты колебаний уравнениеПодставляя это выражение в уравнение (к), получаем для определения частоты колебаний уравнение«2=__^_р2__р2«2=__^_р2__р2т2л2г2 г2ут2л2г2 г2уZ2Z2gk'Ggk'Gр4 = 0.р4 = 0.0)0)
Подставляя это выражение в уравнение (к), получаем для определения частоты колебаний уравнение
Подставляя это выражение в уравнение (к), получаем для определения частоты колебаний уравнение
«2=__^_р2__р2
«2=__^_р2__р2
т2л2г2 г2у
т2л2г2 г2у
Z2
Z2
gk'G
gk'G
р4 = 0.
р4 = 0.
0)
0)
Если взять лишь первьж два члена уравнения, то можно получить для частоты прежнее значение
тп2л2 ял2
Через X обозначена длина тех полуволн, на которые стержень подразделяется при колебаниях.
Взяв три первых члена уравнения (1), тем самым введем поправку на влияние сил инерции, соответствующих повороту сечений. Считая эту поправку малой величиной, найдем
1 л2г2 \2X2/*1 л2г2 \2X2/*
1 л2г2 \
2X2/*
1 л2г2 \
2X2/*
Величина поправки, как видим, возрастает с уменьшением X, т. е. с увеличением числа волн, на которые подразделяется стержень при колебаниях. Если взять стержень прямоугольного сечения и предположить, что X в десять раз больше высоты сечения, то величина поправки составит несколько больше 4%. Чтобы оценить влияние касательных сил, нужно обратиться к полному уравнению (I). Подставляя в последний член этого уравнения вместо рт его первое приближение ^~, легко покапать, что при малых значениях величины sA^IV этот член представляет собой малую величину второго порядка. Отбрасывая его, находим для рт выражение:
ал2ал2Рт VРт V111 Л2Г2УК1 Л2Г2УК
ал2
ал2
Рт V
Рт V
1
1
1 Л2Г2
УК
1 Л2Г2
УК
Для прямоугольного сечения можно положить к' ~ 2/3, кроме того, Е — 8673; следовательно, E/k'G = 4.
д^у дрдх^ дхд^у дрдх^ дхна концена концеПоправка на касательные напряжения в 4 раза больше поправки на силы инерции вращения.
д^у др
дх^ дх
д^у др
дх^ дх
на конце
на конце
Рассмотрим колебания стержня со свободными концами. В этом случае будем иметь такие граничные условия:
Чтобы удовлетворить первым двум условиям, нужно в общем выражении (171) для нормальных функций положить с2 — с4 = 0. В таком случае
X = Сг ^cos j/^-^ + ch р^-~- xj + C3^sin р^-~х + sh ^Х^- ж).(ш)
Условия на другом конце стержня дают нам два таких уравнения:
Сг (—cos jZ-~- Z + ch jZ ~- zj + ^з (— sin р^ -~ Z -{- sh ^~- zj = 0;
/\(п)
Сх ^sin j/ ~- Z + sh J/ -~ ^ + Сз (— cos у -” ^ + ch у ~ ^ = 0.
Эти уравнения могут дать для Сх и С8 решения, отличные от нуля, лишь в гом случае, если определитель их обращается в нуль, т. е. если соблюдено условие
6/ — cos дГJL / _|_ ch р^ — z) =
Xу.\. У а ‘ У а /
6= sh2 1/ — Z — sin2 — I,
или, принимая во внимание, что
5У аТа 1
■ получаем
cosp^-^-Zch jZ~-Z = 1.(180)
Это и будет нужное нам трансцендентное уравнение для определения частоты различных типов собственных колебаний. Определив теперь из (п) отношение Сх : С3 и подставив его в (ш), найдем выражение для соответствующих функций, определяющих форму искривления стержня при колебаниях. Кривые для первых трех типов колебаний представлены соответственно на рис. 77, а, б, в.
Пользуясь обозначением ^^Т ^ ~ ^ перепишем уравнение (180) в таком виде: cos Zc ch k = 1. Первые пять корней этого уравнения, определяющих частоту и период первых пяти типов колебаний стержня, следующие: кх = 4,730; 4, = 7,853; к^ = 10,996; К = 14,137; кь = 17,279.
Если оба конца стержня заделаны, то граничные условия напишутся так!
т-— °; (<L-0; ®-"0; (Я-г°-
Из первых двух условий следует, что в общем интеграле (171) нужно положить Сг = С8 = 0.
Два других условия приводят к уравнениям
С2 ('cos ^Л-5- Z — ch j/ “ ^ + ^4 (sin V""^"^ — sh l^~o" ^) = ®’
C2 (sin /-Lz + sh j/ -£- z) + C4 (—cos ]/-£-Z + ch V"T l}^^
Отсюда для определения частоты колебаний получаем трансцендентное уравнение (180).
Для стержня с левым заделанным и правым свободным концами найдем из условий для левого конца: Сг = С3 = 0. Условия на свободном конце при
водят к уравнению
(181)(181)cos 1/" — Z ch 1Л — Z = — 1.г а V а
(181)
(181)
Первые шесть корней этого уравнения следующие: кх = 1,875; к^ = 4,694; к3 = 7,855; к4 = 10,996; к5 = 14,137; к6 = 17,279.
Подобным же образом могут быть исследованы колебания и при других способах закрепления концов.
§ 40. Вынужденные поперечные колебания стержней
Имея выражения (173) и (174) для потенциальной энергии и живой силы стержня, можно составить дифференциальные уравнения движения (146х) и исследовать вынужденные колебания при любых раскачивающих силах. В качестве простейшего примера рассмотрим вынужденные ^ .р колебания балки с опертымиконцами. В этомtZZZZjВ
как мы видели,1а
TvZ:777
2 Visin-^-»(а)Рис* 78-
1=1
и выражения (173) и (174) перепишутся таким образом: 1=оог=оо
Уравнения (146') представятся в таком виде: „ а2л4г4 2g ., .
Ф1 + —74” Ti = -^гфъ(с)
и нам нужно только в каждом частном случае вместо Фг вставить соответствующее значение обобщенной силы. Общий интеграл уравнения (с) будет t
.12л2а? , D . г2л2а£ Z2 2g С . 12л2а (Z — tA .
<Pi = Acos —— A^sm —^- +-^-5-—jOiSinV—— dtv(d)
Первых два члена уравнения (d) представляют собой свободные колебания, определяемые начальными условиями движения, третий член — колебания, вызванные силой Фг. Найдем эти последние колебания для нескольких частных случаев.
Предположим, что балка АВ (рис. 78) раскачивается силой Р ~ Р^ sin nt. приложенной на L расстоянии с от левой опоры. Найдем соответствующее
значение Фг. Для этого в общем выражении (а) дадим координате фг приращение бфг» Этому будет соответствовать искривление балки по кривой
by = d<Pi Sin —-— .
Точка приложения силы Р совершит перемещение
с . inc
Офг SIH —р ,
и нужное нам выражение для обобщенной силы найдется из условия бфг sin -^ Ро Sin nt = 6<р;Фг.
Следовательно,
Ф{ = Ро Sin —j— Sin nt.
Подставив это выражение в последний член выражения (d), для колебаний, вызванных силой Ф^, найдем
2g л • ^пс*nZ5-/2л2а^ 1
~ Р° ®1ЖSm nt Рп?а (i4^ — нН4-) 81П1Г~] •
Подставляя этот результат в (а), получаем
У =У =2gPJ?^F2gPJ?^Fг=оо2г=1г=оо2г=1. глс . 1ях sm —у sin —р/4л4а2 _ „2/4 8Ш nt —. глс . 1ях sm —у sin —р/4л4а2 _ „2/4 8Ш nt —2gnPQlb^Fn^a2gnPQlb^Fn^a. inc . ihx . г2л2а£sin —— Sin -5— sin -i2 (/4л4а2 — n2Z4). inc . ihx . г2л2а£sin —— Sin -5— sin -i2 (/4л4а2 — n2Z4).(182).(182)
У =
У =
2gPJ?^F
2gPJ?^F
г=оо
2
г=1
г=оо
2
г=1
. глс . 1ях sm —у sin —р
/4л4а2 _ „2/4 8Ш nt —
. глс . 1ях sm —у sin —р
/4л4а2 _ „2/4 8Ш nt —
2gnPQlb^Fn^a
2gnPQlb^Fn^a
. inc . ihx . г2л2а£sin —— Sin -5— sin -
i2 (/4л4а2 — n2Z4)
. inc . ihx . г2л2а£sin —— Sin -5— sin -
i2 (/4л4а2 — n2Z4)
.(182)
.(182)
Первая сумма полученного решения представляет собой вынужденные колебания стержня. Период их такой же, как и период раскачивающей силы. Вторая сумма дает свободные колебания, вызываемые силой Р. Колебания эти благодаря сопротивлениям затухают, и практически приходится считаться с вынужденными колебаниями
а. 8ЛС .13X32
2„р ,з ^ sln ~Г s,n
У =^2/4л4а2 _ „2/4 Sin nt-(183)
Вынужденные колебания могут получить особенно большую амплитуду в тех случаях, когда знаменатель какого-либо члена ряда близок к нулю, т. е. когда период раскачивающей силы приближается к периоду одного из типов собственных колебаний.
Если раскачивающая сила изменяется весьма медленно, величина п будет малой, и, отбросив в знаменателях членов ряда величину пЧ\ придем к статическому прогибу (см. § 12):
г=оог=оо
ZgPJ? sin nt1 • inc • in# 2Z3P0 sin nt 1 • toe • in®
у = TW 2 irsm— sm— =^2 IT-sm — sm —.
г=1i=l
Предположим, что раскачивающая сила приложена по середине пролета. В таком случае с = у, и выражение (183) представится так:
ЛХ. Злх
Sin : Sin :—
54л4а2 — n2Z454л4а2 — n2Z4Я4а2 _ „2/434л4а2 _ „2/4 +
54л4а2 — n2Z4
54л4а2 — n2Z4
Если период раскачивающей силы велик по сравнению с периодом основного типа собственных колебаний стержня, то отношение пР^а будет малой величиной, которую обозначим через а; тогда получим
ля . Зля . 5ля\
S1H г— Sin ——Sin \
zz . zI
1—a2 34 —a2 + 54 —a3
и так как преобладающее значение имеет первый член ряда, то можно заключить, что
1
9d — У st 1 _a2 »
т. е. динамический прогиб получается умножением статического прогиба на дробь 1/(1 — а2), где а2 представляет собой квадрат отношения периода основного тона к периоду раскачивающей силы. Если, например, это отношение равно 1/4, то динамический прогиб превышает статический приблизительно на 6%.
. 1ЛЯsin——. 1ЛЯsin——г (г4л4а2 — n2Z4) smnf-г (г4л4а2 — n2Z4) smnf-(184)(184)От сосредоточенной силы легко перейти путем суммирования к системе сил или к какой угодно бЬлошной переменной нагрузке. Предположим, например, что весь пролет балки покрыт равномерной нагрузкой, интенсивность которой изменяется по закону £ = £0 sin п^- Для получения вынужденных колебаний нужно в выражение (183) вместо Ро подставить величину qodc и потом проинтегрировать в пределах 0 — I. Таким путем найдем
. 1ЛЯsin——
. 1ЛЯsin——
г (г4л4а2 — n2Z4) smnf-
г (г4л4а2 — n2Z4) smnf-
(184)
(184)
4gql4 у
9 у^Л
Г г=1,3,5, ..
Полагая в знаменателях всех членов ряда п = 0, т. е. предполагая, что раскачивающая нагрузка изменяется бесконечно медленно, придем к известному выражению для статического изгиба балки равномерной нагрузкой q0 sin /гЛ Рассмотрим теперь колебания балки, возникающие под действием постоянной силы Р, перемещающейся вдоль балки с постоянной скоростью у. Если время отсчитывать от момента нахождения силы над левой опорой, то в момент t точка приложения силы будет отстоять от левой опоры на расстоянии с = vt. Для получения выражения обобщенной силы Фг дадим координате фг в выражении (а) приращение бфг. При этом точка приложения силы Р переместится на величину
~. isi.c. inul
Оф; SIH — = Оф; Sin ——
и обобщенная сила найдется из условия
Ф?6ф1 = Рбфг Sin -^- .
Подставляя найденное таким путем значение Фг в третий член выражения (d), определяя фг и подставляя его в (а), находим
г=оо . inx . iWat
2gPP V Z . inz;Z 2gPl4u ,ZZ2
^ у^л2 .^* i2(i^2a2— z^Z2) 81П Zу 2^ л3 лi3 (12л2а2 — y2Z2) * ''
Первая сумма полученного решения дает колебания, зависящие от скорости движения силы Р тю балке. Это будут вынужденные колебания системы. Вторая сумма представляет собой свободные колебания.
Если уменьшить скорость у, то в пределе придем к статическому изгибу балки. Стоит только в полученном решении (185) положить v = 0 и vt = о и мы получим
г=оо . Ш.С . Шх
_ 2РР у s,n~Fsin—Г-
У — Е7л» Д I* ’
что совпадает с известным выражением для изогнутой оси балки при статическом действии силы Р.
lv . nW—- sin ал Z2lv . nW—- sin ал Z2Sin ——Sin ——Рассмотрим подробнее тот случай, когда знаменатель одного из членов выражения (185) обращается в нуль. Положим, например, что ал2 = у2/2. Так как период основных колебаний стержня [формула (179)1 равен тг = 2/2/ал, то, следовательно, тх = 2Z/v, т. е. сила Р пробегает пролет балки за время, равное половине периода основных колебаний. При этом первые члены сумм, входящих в выражение (185), дадут
lv . nW
—- sin ал Z2
lv . nW
—- sin ал Z2
Sin ——
Sin ——
2gPl? та
у№ 81П ~/Я2а2 — р2/2
тату:тату:Раскрывая полученную неопределенность, приходим к такому резуль*
тату:
тату:
Pg . л^ . та , Pgl . nsz . та-~— t COS -т- Sin —7Sin -у- Sin —Т— .
?^лр I I уТ^лМ 7 Z
Наибольшего значения это выражение достигает при t = —, когда он©
равняетсяравняетсяPgl^Fiu^Pgl^Fiu^. таS1H-у- =. таS1H-у- =PZ3Я/л3PZ3Я/л3. таSin —у. таSin —у©©
равняется
равняется
Pgl^Fiu^
Pgl^Fiu^
. та
S1H-у- =
. та
S1H-у- =
PZ3
Я/л3
PZ3
Я/л3
. та
Sin —у
. та
Sin —у
©
©
Принимая во внимание, что выделенные нами два члена имеют преобладающее значение в общем выражении для прогиба (185), на основании выражения (f) заключаем, что
л,
J/d 5=2:5 “2” У st)
т. е. при выбранной нами скорости движения динамический прогиб примерно в полтора раза больше статического.
Рассмотрев колебания, вызываемые одной движущейся силой, мы можем получить путем сложения колебания при действии нескольких движущихся сил и, наконец, рассмотреть колебания, вызываемые непрерывно распределенными движущимися силами х.
В качестве более сложной задачи исследуем колебания, вызываемые в балке с опертыми концами равномерно движущейся силой переменной величины1 Р = Р^ cos nt. Рассуждая совершенно таким же образом, как и в ранее рассмотренных случаях, найдем для обобщенной силы выражение
Фг = Р0 COS nt SIH —.
Вычисляя соответствующее значение обобщенной координаты фг и подставляя его в (а), получаем для колебаний такое выражение:
УУг* — (Р — га)2г* — (Р — га)2sinsiniWatiWat. / гки sin Iу. / гки sin Iу№ — (г2 — р)2№ — (г2 — р)2SU1~12-l^a2 — (i2 + Р)2SU1~12-l^a2 — (i2 + Р)2(186)(186)
У
У
г* — (Р — га)2
г* — (Р — га)2
sin
sin
iWat
iWat
. / гки sin Iу
. / гки sin Iу
№ — (г2 — р)2
№ — (г2 — р)2
SU1~12-l^a2 — (i2 + Р)2
SU1~12-l^a2 — (i2 + Р)2
(186)
(186)
Здесь для сокращения введены обозначения
Полагая в выражении (186) п = 0, приходим к колебаниям балки под действием постоянной движущейся силы.
Если п = ат^11\ т. е. если период переменной силы равен периоду основного типа собственных колебаний, мы будем иметь явление резонанса. Выделяя из общего решения (186) наиболее существенные члены, найдем, что в этом случае величина наибольшего прогиба по середине достигает примерно величины 1
2PZ л
EJn* 4а '
На этом закончим вопрос о вынужденных колебаниях стержней с опертыми концами. При других способах закрепления следует лишь составить соответствующие выражения для V и Т. Разыскание колебаний производится таким же способом, как и в рассмотренных выше примерах.
§ 41. Колебания стержней в упругой среде
Предположим, что колеблющийся стержень яри изгибе встречает сопротивления среды, пропорциональные в каждой точке прогибу стержня. Если пренебречь массой упругой среды, считать ее невесомой, то исследование как свободных, так и вынужденных колебаний стержней не встречает никаких затруднений. Рассмотрим в качестве примера колебания стержня с опертыми концами.
Кинетическая энергия системы будет такая же, как и при отсутствии упругой среды, а потенциальная энергия составится из двух частей: из энергии изгиба стержня и из энергии деформации среды. Таким образом, будем иметь
т ^lv EJ Cl ^у\, , к С _
100
EJn^ X 2 .^^ X 2i X
1=1
Уравнения (146*) получают такой вид:
.. 2g / EJn4* , kl \ 2g _
+ ^Fl ( 2Z32 / ^ — y^Z Ф^Ф)
Если коэффициент к, характеризующий жесткость упругой среды, положить равным нулю, то получим уравнение (с) предыдущего параграфа. При исследовании колебаний мы
можем воспользоваться полученными выше решениями для стержня со свободной боковой EJn4i4EJn4i4 klповерхностью. Стоит только в них поставить вместо ——— величину —1— и мынайдем соответствующее выражение для колебаний стержня в упругой среде. Возьмем, например, раскачивание стержня силой Р = Ро sin nt, приложенной на расстоянии с от левого конца. На основании (183) пишем для вынужденных колебаний выражениеможем воспользоваться полученными выше решениями для стержня со свободной боковой EJn4i4EJn4i4 klповерхностью. Стоит только в них поставить вместо ——— величину —1— и мынайдем соответствующее выражение для колебаний стержня в упругой среде. Возьмем, например, раскачивание стержня силой Р = Ро sin nt, приложенной на расстоянии с от левого конца. На основании (183) пишем для вынужденных колебаний выражениеУ =У =2Pttl^ sin nt ElS2Pttl^ sin nt ElS. шс . гпхsin —-— sin ——kl4n2l4yF~EJ^EJn4g. шс . гпхsin —-— sin ——kl4n2l4yF~EJ^EJn4g(c)(c)Если в знаменателях членов полученного ряда положим п = 0, то придем к статическому изгибу стержня, лежащего на упругом основании, под действием силы Ро sin nt. Чтобы от статики перейти к динамике, нужно, как видно из (с), коэффициент к заменить меньшей величиной:Если в знаменателях членов полученного ряда положим п = 0, то придем к статическому изгибу стержня, лежащего на упругом основании, под действием силы Ро sin nt. Чтобы от статики перейти к динамике, нужно, как видно из (с), коэффициент к заменить меньшей величиной:ь.n2yFкЛ = к5— gь.n2yFкЛ = к5— g(d)(d)Динамический эффект сказывается как бы в уменьшении коэффициента жесткости упругого основания, и так как задача о статическом изгибе для стержня, лежащего на сплошном упругом основании, решается без всяких затруднений (§ 3), то форма изгиба для вынужденных колебаний, представленных бесконечным рядом (с), легко может быть дана в замкнутой форме. Все сказанное остается в силе при переходе к стержню бесконечной длины. В этом случае статический изгиб представляется так !:'_ Ра _У — ~2дГ е ах (cos ах + sin аж).Динамический эффект сказывается как бы в уменьшении коэффициента жесткости упругого основания, и так как задача о статическом изгибе для стержня, лежащего на сплошном упругом основании, решается без всяких затруднений (§ 3), то форма изгиба для вынужденных колебаний, представленных бесконечным рядом (с), легко может быть дана в замкнутой форме. Все сказанное остается в силе при переходе к стержню бесконечной длины. В этом случае статический изгиб представляется так !:'_ Ра _У — ~2дГ е ах (cos ах + sin аж).17^V 4EJ17^V 4EJЗдесь х отсчитывается от точки приложения силы и а =Если вместо к подставим величину кг, определяемую равенством (d), то получим динамический изгиб стержня бесконечной длины под действием переменной силы Р = Ро sin nt.Для получения колебаний, возникающих под действием силы Р, движущейся по стержню с постоянной скоростью, мы можем воспользоваться решением (185). Подставляя вместо а2 его значение (169) и заменяяEJnH4EJn4i4 , kl2р Через 2Z5 "IF'Здесь х отсчитывается от точки приложения силы и а =Если вместо к подставим величину кг, определяемую равенством (d), то получим динамический изгиб стержня бесконечной длины под действием переменной силы Р = Ро sin nt.Для получения колебаний, возникающих под действием силы Р, движущейся по стержню с постоянной скоростью, мы можем воспользоваться решением (185). Подставляя вместо а2 его значение (169) и заменяяEJnH4EJn4i4 , kl2р Через 2Z5 "IF'получаем для вынужденных колебаний стержня, лежащего на сплошном упругом основании.получаем для вынужденных колебаний стержня, лежащего на сплошном упругом основании.такое выражение:такое выражение:УУ= 2№ ^^г=1= 2№ ^^г=1. глж . ijwtsin —-— sin.. , kl4v^yF I21 + EJn4 — 1~ S/л2. глж . ijwtsin —-— sin.. , kl4v^yF I21 + EJn4 — 1~ S/л2(e)(e)
можем воспользоваться полученными выше решениями для стержня со свободной боковой EJn4i4EJn4i4 kl
поверхностью. Стоит только в них поставить вместо ——— величину —1— и мы
найдем соответствующее выражение для колебаний стержня в упругой среде. Возьмем, например, раскачивание стержня силой Р = Ро sin nt, приложенной на расстоянии с от левого конца. На основании (183) пишем для вынужденных колебаний выражение
можем воспользоваться полученными выше решениями для стержня со свободной боковой EJn4i4EJn4i4 kl
поверхностью. Стоит только в них поставить вместо ——— величину —1— и мы
найдем соответствующее выражение для колебаний стержня в упругой среде. Возьмем, например, раскачивание стержня силой Р = Ро sin nt, приложенной на расстоянии с от левого конца. На основании (183) пишем для вынужденных колебаний выражение
У =
У =
2Pttl^ sin nt ElS
2Pttl^ sin nt ElS
. шс . гпхsin —-— sin ——
kl4n2l4yF
~EJ^EJn4g
. шс . гпхsin —-— sin ——
kl4n2l4yF
~EJ^EJn4g
(c)
(c)
Если в знаменателях членов полученного ряда положим п = 0, то придем к статическому изгибу стержня, лежащего на упругом основании, под действием силы Ро sin nt. Чтобы от статики перейти к динамике, нужно, как видно из (с), коэффициент к заменить меньшей величиной:
Если в знаменателях членов полученного ряда положим п = 0, то придем к статическому изгибу стержня, лежащего на упругом основании, под действием силы Ро sin nt. Чтобы от статики перейти к динамике, нужно, как видно из (с), коэффициент к заменить меньшей величиной:
ь.n2yF
кЛ = к5— g
ь.n2yF
кЛ = к5— g
(d)
(d)
Динамический эффект сказывается как бы в уменьшении коэффициента жесткости упругого основания, и так как задача о статическом изгибе для стержня, лежащего на сплошном упругом основании, решается без всяких затруднений (§ 3), то форма изгиба для вынужденных колебаний, представленных бесконечным рядом (с), легко может быть дана в замкнутой форме. Все сказанное остается в силе при переходе к стержню бесконечной длины. В этом случае статический изгиб представляется так !:'
_ Ра _
У — ~2дГ е ах (cos ах + sin аж).
Динамический эффект сказывается как бы в уменьшении коэффициента жесткости упругого основания, и так как задача о статическом изгибе для стержня, лежащего на сплошном упругом основании, решается без всяких затруднений (§ 3), то форма изгиба для вынужденных колебаний, представленных бесконечным рядом (с), легко может быть дана в замкнутой форме. Все сказанное остается в силе при переходе к стержню бесконечной длины. В этом случае статический изгиб представляется так !:'
_ Ра _
У — ~2дГ е ах (cos ах + sin аж).
17^
V 4EJ
17^
V 4EJ
Здесь х отсчитывается от точки приложения силы и а =
Если вместо к подставим величину кг, определяемую равенством (d), то получим динамический изгиб стержня бесконечной длины под действием переменной силы Р = Ро sin nt.
Для получения колебаний, возникающих под действием силы Р, движущейся по стержню с постоянной скоростью, мы можем воспользоваться решением (185). Подставляя вместо а2 его значение (169) и заменяя
EJnH4EJn4i4 , kl
2р Через 2Z5 "IF'
Здесь х отсчитывается от точки приложения силы и а =
Если вместо к подставим величину кг, определяемую равенством (d), то получим динамический изгиб стержня бесконечной длины под действием переменной силы Р = Ро sin nt.
Для получения колебаний, возникающих под действием силы Р, движущейся по стержню с постоянной скоростью, мы можем воспользоваться решением (185). Подставляя вместо а2 его значение (169) и заменяя
EJnH4EJn4i4 , kl
2р Через 2Z5 "IF'
получаем для вынужденных колебаний стержня, лежащего на сплошном упругом основании.
получаем для вынужденных колебаний стержня, лежащего на сплошном упругом основании.
такое выражение:
такое выражение:
У
У
= 2№ ^^
г=1
= 2№ ^^
г=1
. глж . ijwtsin —-— sin
.. , kl4v^yF I2
1 + EJn4 — 1~ S/л2
. глж . ijwtsin —-— sin
.. , kl4v^yF I2
1 + EJn4 — 1~ S/л2
(e)
(e)
Если в полученном решении положим и = 0 и vt = с, придем к известному выражению (81) для статического изгиба стержня, лежащего на упругом основании, сосредоточенной силой Р. Динамический прогиб отличается от статического тем, что в знаменатель каждого члена ряда (е) входит добавочный член
g EJn2 *
Сравнение решения (е) с выражением
_ 2PZ3У~ EJu4_ 2PZ3У~ EJu4kl4,2 SI2EJn41 EJn2kl4,2 SI2EJn41 EJn2. inc . £лжsin —-— sin—
_ 2PZ3
У~ EJu4
_ 2PZ3
У~ EJu4
kl4,2 SI2
EJn41 EJn2
kl4,2 SI2
EJn41 EJn2
представляющим изгиб стержня с опертыми концами, лежащего на сплошном упругом основании и сжимаемого продольными силами S (см. § 15), позволяет заключить, что влияние на
прогиб перемещения изгибающей силы таково, как и влияние продольной сжимающей силы 5, определяемой равенством
S = -^.(f)
g
Заключение это, конечно, будет сохранять свою силу и в том случае, когда мы будем беспредельно увеличивать длину стержня.
Мы знаем, что, постепенно увеличивая продольную сжимающую силу, можно достигнуть критического ее значения, при котором прямая форма равновесия стержня перестает быть устойчивой и стержень искривляется. Соответственно этому в рассматриваемой задаче динамики можно найти критическую скорость для перемещения силы Р. Так как 5кр = = 2 -/"kEJ, то на основании (f)
_ дГ ^kEJ^v кру ^рг *
Применяя эту формулу к железнодорожным рельсам, мы получили бы для икр значение, во много раз превосходящее скорости, встречающиеся на практике.
§ 42. Колебания стержней переменного сечения
В случае призматических стержней исследование колебаний не встречает каких- либо затруднений, так как разыскание нормальных функций приводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения (170) с постоянными коэффициентами. Задача становится более сложной, если сечения стержня изменяются по длине. В таком случае для определения собственных колебаний стержня нужно обратиться к решению уравнения (167)
Эх дх2 ) g dt2 1 W
в котором J и F будут заданными функциями от ж.
Полагая, как это мы делали в случае призматических стержней, у — = X cos pt. мы получим для нормальных функций такое дифференциальное уравнение:
-^(eJ -^Д-р^^Х = 0. (187) дх2 \ дх2 / g
Лишь при некоторых частных заданиях относительно J и F удается найти интеграл этого уравнения в замкнутой форме 2. В других случаях приходится искать решение уравнения (187) в форме бесконечных рядов или пользоваться
приближенными методами решений, например графическим методом или вычислительным методом К. Рунге.
Если отклонения стержня от призматической формы малы, то для вычисления частоты собственных колебаний с успехом может быть применен приближенный метод Рэлея, которым мы не раз пользовались в элементарном курсе сопротивления материалов. Сущность этого приема заключается в том, что при малом отличии формы стержня от призматической можно принять тип колебаний его таким же, как и для призматического стержня. Задавшись типом колебаний, мы тем самым обращаем нашу систему в систему с одной степенью свободы, и так как выражения для V и Т могут быть составлены без всяких затруднений, то частота, соответствующая выбранному тину колебаний, легко (находится. Оказывается, что даже грубые предположе- ния относительно формы искривления колеблющегося л стержня дают вполне удовлетворительные результаты при определении частоты колебаний. Возьмем, напри- умер, призматический брусок с одним заделанным и
рис ^другим свободным концом (рис. 79). Для этого случая
имеется точное решение (см. § 39). Найдем теперь частоту основного типа колебаний приближенным методом Рэлея. В качестве формы искривления, соответствующей этому типу колебаний, возьмем кривую изгиба стержня под действием собственного веса. Тогда у = f^1”-у + 4гП?")’ гДе / — прогиб стержня на свободном конце
Для V и Т получаем выражения
у _ EJ С/ ^у ?8 EJf .
2 J g У405 g 1
0
Уравнение движения (146') напишется так:
405 g ' + 5 /з —W
откуда для частоты основного типа колебаний получаем
" - / v Vw = 3’530 Кw = 3'530 -S- ■
где а имеет прежнее значение (169).
Точное решение для этого случая дает нам
Р' - <1,875)> /^ - 3,515 /^ _ 3,515 ^,
погрешность приближенного решения около 0,5%.
Если взять форму искривления, соответствующую изгибу стержня силой, приложенной на конце, то, поступая, как и в предыдущем случае, мы получим частоту с погрешностью 1,5%.
Увеличение погрешности объясняется тем, что эта кривая изгиба не удовлетворяет условию ^yjrj = 0 на свободном конце колеблющегося стержня.
Пользуясь тем же приемом, легко оценить влияние добавочного груза, прикрепленного в каком-либо сечении стержня, на частоту колебаний.
Предположим, что к свободному концу стержня прикреплен груз q. Сохраняя прежний тип колебаний, мы должны оставить без изменений выражение для потенциальной энергии. Значение живой силы изменится и придется к
1 а прежнему выражению (Ъ) присоединить живую силу добавленного груза -^ ^/'-
Соответственно этому уравнение (с) заменится таким:
104 ^Flq \,„16 EJt _
405gg M5/3 ~
J405 q104 QJ405 q104 Qи для частоты основного типа получим выражение
J
405 q
104 Q
J
405 q
104 Q
р - .530 V 7-3’530 т
где через Q обозначен вес стержня.
При весьма малом значении q полученная формула дает р с большой точностью, но и в другом крайнем случае, когда q весьма велико по сравнению с Q, точность нашей формулы оказывается вполне удовлетворительной. В самом деле, полагая в уравнении (d) величину ^Fl равной нулю, найдем для частоты
< 16 EJg5 qF< 16 EJg5 qFтакой результат:
< 16 EJg
5 qF
< 16 EJg
5 qF
точное решение на основании известного правила для систем с одной степенью свободы (§ 33) напишется так: р = р^3 ^/ .
Погрешность приближенной формулы в этом крайнем случае несколько больше 3%.
Совершенно таким же способом, как мы сейчас учли влияние добавочного груза, может быть оценено влияние на частоту местного ослабления сечения стержня. Легко показать, что ослабление сечения у свободного конца стержня, уменьшая главным образом кинетическую энергию системы, повлечет за собой увеличение частоты колебаний. Противоположное влияние окажет ослабление у заделанного конца. Заметим здесь, что, применяя приближенный метод, мы всегда будем допускать погрешность в сторону преувеличения частоты колебаний. Навязывая стержню определенную форму искривления, мы тем самым как бы идем в направлении увеличения жесткости системы х.
В тех случаях, когда форма стержня значительно отличается от призматической, точность приближенного метода Рэлея может оказаться недостаточной, в особенности при исследовании высших типов колебений. Здесь уместно воспользоваться методом Ритца 2, который мы уже применяли при исследовании изгиба стержней переменного сечения, лежащих на упругом основании (см. § 7).
Применяя метод Ритца, мы интегрирование дифференциального уравнения заменим разысканием условий для максимума или минимума некоторого интеграла. Для составления этого интеграла воспользуемся началом возможных
перемещений. Применяя его к силам инерции колеблющегося стержня и приравнивая работу сил инерции на всяком возможном перемещении соответствующему приращению потенциальной энергии, получаем
о
Подставляя вместо V его выражение через у и считая, что при колебаниях у изменяется пропорционально cos pt, ириходим к такому результату:
оо
о
о
Следовательно, искомая частота колебаний и соответствующая форма искривления найдутся из условия максимума или минимума интеграла
СI ^L ( -^lV —. ^Р2 uAdx^S(f)
J I 2 \ dx* ) 2g У \W
при заданных условиях на концах.
Разыскание максимума или минимума интеграла (f) по правилам вариационного исчисления привело бы нас к уравнению (187). Мы поступим иначе
и задачу вариационного исчисления заменим разысканием простого максимума или минимума. Для этого мы возьмем приближенное выражение для у в виде ряда
Уп = а^! (х) + а2ф2 (х) + • • • + апфп (х). (g)
Функции i^ (х), ..., фп (х) подберем таким образом, чтобы они удовлетворяли условиям на концах стержня. Коэффициенты а^ ..., Од
играют при этом роль координат. Беря ряд (g) с п членами, мы обращаем наш стержень в систему с п степенями свободы. Для надлежащего выбора значений а^ .... On используем условие (е). Вставляя в него вместо у его приближенное
выражение уп, подберем аг ... а™. так, чтобы были соблюдены условия
-—п- = 0, -—- = О, ... —дах ба^ дап
Эта система уравнений даст нам возможность найти соотношение между коэффициентами av .... ап и частоту колебаний. Ограничиваясь первым членом ряда (g), мы получаем первое приближение для частоты колебаний; оно будет соответствовать приближенному решению Рэлея. Присоединяя последующие члены ряда (g), мы будем получать дальнейшие приближения. По разности между двумя последовательными приближениями можно составить себе неко
торое представление о степени точности получаемых результатов.
Ход вычислений выясним на частном примере. Найдем частоту основного типа колебаний для клина, имеющего постоянную толщину в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка (рис. 80). Для этого случая имеется точное решение Ч Оно дает для частоты основного тона значение
где 2Ь — ширина клина в плоскости заделки.
Применим теперь метод Ритца. Для упрощения выкладок преобразуем предварительно условие (е) введением новой переменной £, положив § = xjL В таком случае
(=')
О
(г>
о
Установим теперь для у условия на концах стержня. На левом, свободном, конце момент и перерезывающая сила обратятся в нуль в силу равенства нулю площади поперечного сечения. Что касается правого, заделанного, конца, то для него имеем
(У)х=/ = о, (4г-) = 4-(4г) = °-
Ряд (g) может быть в данном случае взят в таком виде:
У = (5 — I)2 (^ + ^ ++•••).(к)
Легко проверить, что при § = 1 выражения для у и его производной об* ращаются в нуль.
Чтобы получить первое приближение, ограничимся первым членом ряда (к), тогда
у^а^-^Ч -^- = 2av
Подставляя уг и d^yjd^ в выражение (Г) и выполняя указанное интегрирование, получаем
с Eg № 2 р2 2Д1 — ~ 3Z* 30" ®1-
Из уравнения dSJday = 0 находим
п _ 6 V — 5 48 — 1/
Pi — Z2 Гv ~ °’18 z2 V Зу ■
Из сравнения с точным решением заключаем, что погрешность первого приближения составляет около 3%. Для получения второго приближения положим
уй=й — 1)2(Я1 +«2^).
тогда
^ = 2(^-2^+ ЭД.
Подставляя это выражение в (Г) и выполняя интегрирование, находим
еEg 62 I . о .о .24, о \ ।-
8г = ~Y "уГ [(«1 — 2аа) + — «г (»i — 2а2) + 6°г] —
р \ 30105280 •
Условия минимума для 52 приводят нас к уравнениям
4^-=0;оал4^-=0;оал^^2 = Qда2 ’^^2 = Qда2 ’
4^-=0;
оал
4^-=0;
оал
^^2 = Q
да2 ’
^^2 = Q
да2 ’
откуда получаем
(Eg__^£\„ t I Bg №P2 К _n.
\ V ol'30 /a! \ 5 Y 3Z105 I " u>
PLL +(2_jEg_2LpLU -0
5 Y 3Z4105 / 11 5 T 3Z4280 1 “2 — u-
Эта система уравнений может дать для а, и сц решения, отличные от нуля, лишь в том случае, если ее определитель обращается в нуль, т. е. при условии
(Eg №^( 2 Eg №_£\/ 2 Eg № Р2 V _ n m
\ у 3Z430 \ 5 у 3Z4280 '\ 5 у 3Z4105 / ~ ‘
Отсюда получаем для р2 два значения. Меньший корень, соответствующий основному типу колебаний, даст нам
5,319
Следовательно, второе приближение уже обеспечивает весьма большую точность для частоты основного типа колебаний. Частота второго типа колебаний, соответствующего большему корню уравнения (1), будет определена с меньшей точностью. Для повышения точности и для исследования высших типов колебаний приходится увеличивать число членов ряда (к). Соответственно этому возрастает число уравнений в системе (h) и повышается степень соответствующего определителя.
Таким образом, исследование собственных колебаний и вычисление соответствующих периодов не встречают принципиальных затруднений. Задача сводится к вычислению ряда интегралов 1 и к определению корней того уравнения, которое получается путем приравнивания нулю определителя системы уравнений (h).
Большое удобство способа Ритца заключается в том, что применение его не требует, чтобы изменение сечения стержня и его нагрузки по всей длине задавалось одной какой-либо функцией. На отдельных участках закон изменения поперечных сечений и нагрузок может быть различен, и функции, представляющие эти изменения, в некоторых сечениях стержня могут претерпевать разрывы. Это обстоятельство позволяет применять способ Ритца2 к исследованию колебаний таких сложных систем, как, например, корпуса судов.
При вычислении частоты основного типа колебаний будем рассматривать корпус судна как стержень со свободными концами. Предположим, что изменения интенсивности нагрузки и моментов инерции поперечных сечений могут быть представлены с достаточной точностью плавными кривыми. Приведем вычисления для того случая, когда эти кривые — параболы, симметрично расположенные относительно середины стержня. Располагая начало координат по середине и обозначая длину стержня через 22, будем иметь
J = Jo (1 — bx^; Ео(1 — сх^.
Для функций ф* (х), входящих в выражение (g), возьмем значения к^хк^х
ch к- cos —=—Н cos к-ch ——
^ (X) = —11-,<™>
]/cos к- + ch2^
где к. определяется из условия 2 tg к^ + thAri = 0.(п)
Легко проверить, что выбранные таким образом функции ф^ (аг) удовлетворяют условиям
1Ш^ = 1Ш^=°
аа свободных концах стержня.
Введя для краткости обозначения
j (1 — bx^ ^^dx = ai;;
—z
J (1 — cz^ ^jdx = Ру,(р)
—Z
найдем, что уравнения (h) получают такой вид:
г=п
У, ^ кау — ХРу) = 0.(Ф
г=1
Ограничимся при вычислениях первыми двумя членами ряда (g). Первые два корня уравнения (п) имеют значения Ari = 0; к^ = 2,3650. Соответственно этому будем иметь
о, Агояг . , к«х
к2 cos Аг» ch —.ch к» cos —7-
■ф1 (ж) = const; ф2 (г) = -р--7======.
V cos2 Ar? + ch2 k^
Первому члену ряда будет соответствовать перемещение стержня, не сопровождающееся изгибом Второму члену соответствует изгиб по кривой, получающейся при основном типе колебаний призматического стержня со свободными концами.
Полагая
^=7Г
на основании (р) найдем
oc-q = 0; а12 = 0;
a22 = j d — bx^ Сф")2 dx = -5^ (1 - 0,087bZ2);
pn = / (1 — 0,333с/2); Р12 = 0,297с/3; р22 = / (1 — 0,481с/2).
Уравнения (q) напишутся в данном случае так:
°1 (а11 ^011) + a2 (а21 ^^21) = ^’а1 (а12 ^^12) ~h a2 (а22 ^22) ~ '
Приравнивая нулю определитель этих уравнений и принимая во внимание, что аи = = 04, = 0, получаем для определения X такое уравнение:
Первому корню этого уравнения (X = 0) соответствует перемещение стержня без изгиба. Второй корень
1 а22 -
Р11Р22
определяет частоту основного типа колебаний нашего стержня. На основании принятых обозначений получаем
p = yrX j/^p = yrX j/^J»gEFo1?J»gEFo1?
p = yrX j/^
p = yrX j/^
J»gEFo1?
J»gEFo1?
Применим эту формулу к такому численному примеру:
21 = 100 м; JQ = 20 л; F^ = 1g т(м;
6 = с = 3 • 10 4 м-^.
Соответствующее водоизмещение судна будет
1
D = 2-7g^ (1 — 0,0003s51) axes 5150 т.
О
По этим данным находим нужные нам коэффициенты: 04, = 23,40 • 10””5; Р22 = 31,95; Ри = 37,50; р12 = 11,14.
В таком случае X = 0,817 • 10"5. Полагая £ = 2 • 107 т?м\ находим р = = |/-у- 2 • 107 ■ 0,817 . 10~5 да 21,6.
Число собственных колебаний судна в минуту будет 1
N =* 206.
2л
Тот вид функций ^ (ж), которым мы здесь воспользовались, может быть применен и при других видах кривой нагрузки и кривой изменения моментов инерции, а также в тех случаях, когда эти кривые заданы не уравнениями, а значениями ряда ординат.
Задача сводится в каждом частном случае к вычислению коэффициентов ау и Ру, что всегда может быть выполнено с достаточной для практики точностью.
§ 43. Колебания балки под действием подвижного груза
Вопрос о колебаниях балки под действием движущегося по ней груза, несмотря на всю его практическую важность, до сих пор не имеет полного решения, и мы в настоящее время умеем вычислять динамические напряжения, вызываемые подвижным грузом, лишь в двух крайних случаях, когда вес движущегося груза можно считать или очень малым, или очень большим по сравнению с весом балки.
В первом случае для определения колебаний балки можно воспользоваться решением (185), полученным для случая движения по балке постоянной силы.
Когда мы от движущейся силы переходим к движущемуся грузу, задача сразу усложняется. Движущийся груз совершает вследствие изгиба балки некоторые перемещения в направлении, перпендикулярном к оси балки, поэтому давление груза на балку не будет равно весу груза. К этому весу необходимо присоединить еще силы инерции груза, зависящие от вертикальных его перемещений. Для приближенного решения задачи поступим так. Сначала примем давление на балку постоянным, равным весу движущегося груза и при помощи решения (185) найдем выражение для вертикальных перемещений груза. По этим перемещениям составляем выражение для сил инерции груза и присоединяем эти силы к силе веса.
Таким образом получаем некоторую переменную силу, движущуюся по балке. Вызываемые этой силой колебания могут быть исследованы общим приемом (§ 40), и мы получим, таким образом, поправку к решению (185) на силы инерции движущегося груза. Если вес груза мал по сравнению с весом балки, найденная поправка будет малой величиной и полученное нами приближенное решение будет обладать достаточной точностью.
В другом крайнем случае, когдг) вес груза велик по сравнению с весом балки, мы для получения приближенного решения можем пренебречь весом балки. В таком случае прогиб балки под грузом будет пропорционален давлению Р груза на балку и представится известной формулой
(а)(а)Рх2 Ц — х^
(а)
(а)
У 31EJ
Здесь х и I — х — расстояние груза от опор балки.
Для получения давления Р нужно к весу груза Q присоединить силы инерции
Qg др
Обозначая скорость движения груза по балке через о и принимая во внимание, что
Эу _ „ У„* ^У
dtдх ’ дрдх2 ’
получаем для давления груза на балку выражение
х \ g дх2 )
Подставив это выражение в (а), придем к такому дифференциальному уравнению для определения траектории точки касания движущегося груза с балкой х:
(Ь)(Ь)4 У2 д2у \ ж2 У — я)2T'diM зЖ7
(Ь)
(Ь)
Для получения приближенного решения этого уравнения подставим в правую часть его вместо у выражение
Qx2 (I — я)2
31EJ
которое представляет собой траекторию точки касания груза при бесконечно малой скорости движения. Наибольшее значение для у получится в таком случае при прохождении груза через середину пролета балки. В этот момент
где
1i?2 QZ 16г2 ,
Т"зГ "ЁТ Тст*
Для наибольшего динамического прогиба получаем, таким образом, выражение
/д = /ет11 + ^-).(с)
Такое же соотношение получится между наибольшими динамическим и статическим изгибающими моментами.
На практике дробь -^- представляет собой обыкновенно малую величину и полученное приближенное решение (с) близко к результату, получаемому из точного решения уравнения (Ь).
Полное решение уравнения (Ь) сначала в виде рядов и потом в замкнутой форме получено Стоксом, который затратил много труда на разработку вопроса о действии подвижной нагрузки на мосты х.
Заметим, что для построения траектории точки касания груза с балкой выгодно применить вычислительный способ интегрирования уравнения 2 (Ь). Для этого мы разбиваем балку на большое число равных промежутков и последовательно для каждого деления вычисляем у, у' и у*. Для начального деления у0 и у0 предполагаются известными. Подставляя у® в (Ь), находим начальное значение у0. По начальным значениям у#, уд и у0 мы можем, например, способом К. Рунге вычислить yt и у^ для следующего деления и получить при помощи (Ь) yt для того же деления. Имея величины yi, у4 и у^ возможно тем же путем перейти к у, я уз и т. д.
Такйм способом может быть решена задача о динамическом действии подвижного груза на балку при любом способе закрепления концов балки, а также в случае многопролетных балок и балок, лежащих на упругих опорах. Предварительно из статического расчета устанавливаем связь между давлением Р и прогибом в точке приложения давления. Пусть эта зависимость представится так: у = Pf (х), тогда уравнение, соответствующее уравнению (Ь), напишется таким образом:
/г2 д^и \
y = Q 1/<»)•
\g дх2 /
Это уравнение в каждом частном случае может быть проинтегрировано указанным выше вычислительным способом.
О действии удара на балку
При технических расчетах задача о действии удара на балку решается обычно приближенно. Предполагают, что под действием удара балка изгибается по такой же кривой, как и при статическом действии силы в месте удара. Задавшись видом кривой, мы легко вычислим количество потенциальной энергии в балке при различных значениях прогиба в месте удара. В качестве первого приближения берут для динамического прогиба /д то значение, при котором потенциальная энергия изогнутой балки равна работе падающего груза. Таким путем получается известная формула
/д = /гг + Тот + /ст “У » (а) где через г? обозначена скорость ударяющего груза в момент его соприкасания с балкой.
Таким способом мы совершенно не учитываем потери живой силы груза, которая происходит в момент удара и потому, надо думать, получаем для /д преувеличенные значения. Потери живой силы будут, очевидно, тем больше, чем больше вес балки по сравнению с весом ударяющего груза. Чтобы учесть влияние массы балки на /д, принимают во внимание потерю живой силы в момент удара, причем удар считают совершенно неупругим и массу балки заменяют некоторой приведенной массой, зависящей от способа закрепления концов балки и от места удара х. Если через т обозначим отношение веса груза к весу балки и через п обозначим коэффициент, на который множится масса балки для получения приведенной массы, то в качестве второго приближения для динамического прогиба получаем формулу
/д = /ст + )/ /ст + /ст ~— I • (Ь)
При составлении формул (а) и (Ь) исходят из предположения, что форма кривой изгиба балки такая же, как и в случае статического действия силы. В действительности явление значительно сложнее; в момент удара возникают поперечные колебания балки, которые приближенными формулами (а) и (Ь) не учитываются вовсе.
Изучению этих колебаний посвящен ряд работ Сен-Венана . Сен-Венан исходил из предположения, что удар совершенно не упругий, ударяющий груз в момент удара сообщает свою скорость соответствующему поперечному сечению стержня и в дальнейшем, по крайней мере в течение полупериода основных колебаний стержня, остается со стержнем в соприкасании. Таким образом, вопрос об ударе сводится к задаче о колебаниях стержня с прикрепленным к нему в месте удара грузом. Причем предполагается, что в начальный момент весь стержень находится в покое и лишь сечение, скрепленное с ударяющим грузом, обладает скоростью, равной скорости ударяющего груза. Колебания эти могут быть найдены таким же способом, как при продольных колебаниях стержня с подвешенным к нему грузом. В результате своих исследований Сен- Венан пришел к заключению, что второе приближение (Ь) с большой точностью дает величину наибольшего динамического прогиба.
Во всех этих исследованиях остается совершенно не выясненным вопрос о нарастании давлений, оказываемых грузом на балку в месте удара, и потому не доказано, будет ли
См. стр. 432 нашего курса, указанного на стр. 193.
действительно ударяющий груз оставаться в соприкасании с балкой в продолжение одного полупериода основных колебаний. Для решения этих вопросов необходимо изучить местные деформации у поверхности соприкасания груза с балкой, что возможно лишь при определенных данных относительно вида поверхностей ударяющихся тел.
Предположим, что стержень прямоугольного поперечного сечения с опертыми концами подвергается действию удара шаром по середине пролета Ч Для исследования местных деформаций можно в этом случае воспользоваться решением Герца (см. стр. 169). Если через Р обозначим давление в месте удара, то сближение ударяющихся тел в месте удара вследствие местных деформаций равно а = кРг,а, где коэффициент к зависит от упругих свойств ударяющихся тел и от радиуса шара. Сила Р возрастает вместе с вдавливанием шарика в поверхность балки и вызывает прогиб балки, который мы легко найдем, если воспользуемся общим приемом для исследования вынужденных колебаний (§ 40). Обобщенная сила в этом случае представится так:
Ф^ = Р sin —— ,
и мы на основании формул (а) и (d) § 40 получим для прогиба по середине в момент t также выражение
, .X 1 Z 2g С i^a (t — £г)
(и)=> ——— \ р sin— ditp
г=1,3,5. ...§
Если мы вдавливание а сложим с полученным прогибом балки, то должны получить перемещение центра тяжести шарика за промежуток времени от 0 до t. То же самое перемещение возможно представить в ином виде на основании рассмотрения движения шарика, имеющего начальную скорость и и находящегося под действием переменной силы Р. В какой-либо момент h скорость шарика будет равна
vL 1 patXl
0 где т — масса шарика.
На основании этого перемещение шарика к моменту t представится таким образом:
vt— I dtx ( Pdtv00
Сравнивая два различных выражения для одного и то^о же перемещения шарика, приходим к такому уравнению:
б 0г=1,3,5, ...о
Полученное уравнение возможно решить вычислительным путем и получить, таким образом, изменение Р и ^х=1(2 в зависимости от t. Мы ограничимся здесь приведением окончательных результатов, полученных нами для двух численных примеров.
В первом примере взята стальная балочка квадратного поперечного сечения 1x1 см, для которой I = 15,35 см, Е = 2,2 • 106 кг/см3, у = 7,96 г/см3, G = 9 • 10б кг/см3. На середину пролета балочки падает стальной шарик радиуса 1 см со скоростью и = 1 см/сек. Период основных колебаний для такой балочки т = 0,001 сек. При решении уравнения (с) вычислительным путем время было разделено на интервалы 6т, причем 6т = т/180. На рис. 81 2 кривая I представляет закон нарастания давлений Р. Для сравнения пунктиром показана соответствующая кривая для случая удара шарика о неподвижную плоскость. Мы видим, что в соприкасании с балочкой шарик остается в течение времени 286т ^ -~т, после этого шарик отделяется от балки. Перемещения шарика представлены кривой II и нарастание прогибов — кривой III.
Во втором примере взята балочка прежних поперечных размеров, но вдвое большей длины. В таком случае период собственных колебаний будет в четыре раза больше, чем в предыдущем примере. При ударе по этой балке шарика с радиусом 1 см явление удара протекает примерно так же, как и в предыдущем случае (см. рис. 82), но при радиусе шарикаВо втором примере взята балочка прежних поперечных размеров, но вдвое большей длины. В таком случае период собственных колебаний будет в четыре раза больше, чем в предыдущем примере. При ударе по этой балке шарика с радиусом 1 см явление удара протекает примерно так же, как и в предыдущем случае (см. рис. 82), но при радиусе шарикав 2 см картина становится более сложной. Нарастание давлений для этого случая представлено на рис. 82 кривой II. Мы видим, что с момента удара шарик находится в соприкасании с балкой в течение примерно 19,5 6т. После этого шарик от балки отделяется, прогиб балки начинает расти быстрее перемещений шарика. При t ^ 606т опять происходит соприкасание шарика с балкой, получается как бы повторный удар. Нарастание прогибов для этого случая представлено на рис. 82 кривой III.Таким образом, явление удара в пределах упругости для рассмотренных простейших примеров оказывается гораздо более сложным, чем то представление об этом явлении, которое положено в основу приближенных формул (а) и (Ь) и исследований Сен-Венана.в 2 см картина становится более сложной. Нарастание давлений для этого случая представлено на рис. 82 кривой II. Мы видим, что с момента удара шарик находится в соприкасании с балкой в течение примерно 19,5 6т. После этого шарик от балки отделяется, прогиб балки начинает расти быстрее перемещений шарика. При t ^ 606т опять происходит соприкасание шарика с балкой, получается как бы повторный удар. Нарастание прогибов для этого случая представлено на рис. 82 кривой III.Таким образом, явление удара в пределах упругости для рассмотренных простейших примеров оказывается гораздо более сложным, чем то представление об этом явлении, которое положено в основу приближенных формул (а) и (Ь) и исследований Сен-Венана.§ 45. Продольный удар стержней
Во втором примере взята балочка прежних поперечных размеров, но вдвое большей длины. В таком случае период собственных колебаний будет в четыре раза больше, чем в предыдущем примере. При ударе по этой балке шарика с радиусом 1 см явление удара протекает примерно так же, как и в предыдущем случае (см. рис. 82), но при радиусе шарика
Во втором примере взята балочка прежних поперечных размеров, но вдвое большей длины. В таком случае период собственных колебаний будет в четыре раза больше, чем в предыдущем примере. При ударе по этой балке шарика с радиусом 1 см явление удара протекает примерно так же, как и в предыдущем случае (см. рис. 82), но при радиусе шарика
в 2 см картина становится более сложной. Нарастание давлений для этого случая представлено на рис. 82 кривой II. Мы видим, что с момента удара шарик находится в соприкасании с балкой в течение примерно 19,5 6т. После этого шарик от балки отделяется, прогиб балки начинает расти быстрее перемещений шарика. При t ^ 606т опять происходит соприкасание шарика с балкой, получается как бы повторный удар. Нарастание прогибов для этого случая представлено на рис. 82 кривой III.
Таким образом, явление удара в пределах упругости для рассмотренных простейших примеров оказывается гораздо более сложным, чем то представление об этом явлении, которое положено в основу приближенных формул (а) и (Ь) и исследований Сен-Венана.
в 2 см картина становится более сложной. Нарастание давлений для этого случая представлено на рис. 82 кривой II. Мы видим, что с момента удара шарик находится в соприкасании с балкой в течение примерно 19,5 6т. После этого шарик от балки отделяется, прогиб балки начинает расти быстрее перемещений шарика. При t ^ 606т опять происходит соприкасание шарика с балкой, получается как бы повторный удар. Нарастание прогибов для этого случая представлено на рис. 82 кривой III.
Таким образом, явление удара в пределах упругости для рассмотренных простейших примеров оказывается гораздо более сложным, чем то представление об этом явлении, которое положено в основу приближенных формул (а) и (Ь) и исследований Сен-Венана.
При решении вопроса о напряжениях, возникающих в случае продольного удара призматических стержней, обыкновенно пользуются приближенными
формулами такого же вида., как мы получили для поперечного удара [(а) и (Ь) § 44], но уже Томас Юнг заметил, что влияние массы стержня долж
но быть учитываемо более рациональным способом, чем это делается при выводе приближенной формулы. Он, между прочим, показал, что, как бы ни был мал ударяющий груз, при ударе возникнут остаточные деформации, если только отношение скорости ударяющего груза и к скорости распространения колебаний в стержне (скорости распространения звука) иг превосходит относительное удлинение, соответствующее пределу упругости материала. В самом деле, в момент удара по плоскости соприкасания в стержне возникнут сжимающие напряжения и соответствующее им сжатие будет распространяться со скоростью звука иг вдоль стержня. Возьмем весьма малый помежуток времени ^, за который можно считать скорость и падающего груза не изменившейся. За этот промежуток сжатие в стержне распространится на протяжении участка vTt (рис. 83). Укорочение этого участка будет равно перемещению падающего груза vt. Следовательно, относительное сжатие в момент удара равно v,vv что соответствует высказанному выше положению Т. Юнга.
Рис. 83.Рис. 83.Вопрос о колебаниях, возникающих при продольном ударе стержня с одним заделанным и другим свободным концами (рис. 83), впервые был разрешен
Рис. 83.
Рис. 83.
Навье при помощи тригонометрического ряда. При решении этой задачи Навье исходил из предположения, что в момент удара ударяющий груз сообщает свою скорость v концевому поперечному сечению ударяемого стержня и потом остается в соприкасании со стержнем, по крайней мере, в продолжение полупериода основных колебаний стержня. Таким образом, вопрос об ударе сводится к исследованию продольных колебаний стержня с прикрепленным к нему на конце грузом, причем в начальный момент стержень находится в покое, а грузу сообщена скорость и.
Разыскание этих колебаний может быть выполнено без всяких затруднений, если воспользоваться общим решением [(d) § 36] для собственных колебаний стержня с подвешенным к нему грузом.
Получаемое таким путем решение оказывается неудобным для приложений, так как из него очень трудно найти выражение для наибольших напряжений. Поэтому Сен-Венан, много поработавший над исследованием продольного удара стержней, обратился к решению соответствующих уравнений в замкнутой форме и получил сравнительно простые формулы для случая продольного удара двух стержней со свободными концами, а также для стержня с одним заделанным и другим свободным концами. В дальнейшем эти решения были упрощены благодаря трудам Буссинэ , Гюгонио и Себерта . Мы приводим здесь результаты, относящиеся к стержню с одним заделанным и другим свободным концом (рис. 83). Сохранив прежние обозначения (§ 36), будем иметь для продольных колебаний уравнение
где
V
Условия на концах напишутся таким образом:
Обозначив через т отношение веса ударяющего груза к весу стержня, перепишем условие на свободном конце стержня так:
В начальный момент для всех значений х между 0 и I -г— = 0. Для концевого сечения ot
® = I начальная скорость равна скорости р ударяющего груза.
Общее решение уравнения (а) можно представить так:
и = / (at — ж) + /1 (at + х^(с)
где / и /1 представляют собой произвольные функции.
Принимая во внимание условие у заделанного конца, заключаем, что / (at) + /i (at) = = 0. Следовательно, ft = — / и общее решение (с) может быть представлено так:
и = / (at — х) — / (at + х).(d)
В дальнейшем будем рассматривать / как функцию аргумента z и будем полагать в случае надобности z равным at — х или равным at + х. Попробуем теперь на основании начальных условий составить функцию / для определенного интервала.
Так как в начальный момент ди!дх = Оиди/dt = 0 для всех значений х между 0 и 2, то, следовательно, f (— z) - /' (z) = 0, — f(-^ — f(^ = o
для всех значений z, заключенных в пределах I > z > — I.
Отсюда следует, что f (z) = 0 при условии I > z > — I. В таком случае для этого промежутка / (z) представляет собой постоянную величину, которую можно положить равной нулю.
Чтобы найти выражение для / (z) вне указанных границ, обратимся к граничному условию (Ь). Подставляя вместо и его выражение (d), получаем для х = I уравнение
ml Vf (at — l) — f(at + /)] = f (at — l) + f (at + 2), которое может быть переписано в таком виде:
/ + -^ Г to = Пх- 2Z) -"^Г^- 21).(е)
Этим уравнением мы воспользуемся для определения / (z) в пределах от z = 2 до z = = 32. Правая часть уравнения (е) в этих пределах будет оставаться равной нулю, так как величина z — 22 будет изменяться в пределах от —2 до +2, где /' равно нулю.
Интегрируя уравнение (е), находим f (z) = Ce-X,ml при.
32 > z 2> I.(f)
Для определения произвольной постоянной С используем начальные условия. Выражение для скорости движения отдельных поперечных сечений стержня напишется так: ди
= a If to — x) — f {at + z)].(g)
В момент удара скорости всех промежуточных сечений равны нулю. Скорость концевого сечения, подвергающегося действию удара, сразу становится равной —и. При помощи (g) мы запишем это так
/'(—Z + 0) —/' (z + 0) =-.
а
Первый член в левой части уравнения равен нулю на основании ранее доказанного, следовательно, и
/' (Z + 0) = — . а
Вставляя вместо f его значение (f), получаем ее ml =се ” =—, а откуда 1 т с = е .
а
Окончательно подучаем f (z) = 2L е— ^^ай(h)
при 32 > z > 2.
Имея это значение f (z) и подставляя его в правую часть уравнения (е), мы можем найти путем интегрирования выражение
/' (z) = — е—^-^hat _|_ Л [1— (z —3Z)] е— (г—W/ml(к)
при 52 > z > 32.
Это дает нам возможность вычислить f (z) для следующего интервала и т. д. Имея эти выражения, можно путем интегрирования определить / (z) и потом найти все элементы, характеризующие явление удара: величину наибольших напряжений, величину укорочения сжатого стержня (перемещение свободного конца) и, наконец, продолжительность удара.
Очевидно, что соприкасание груза со стержнем будет продолжаться до тех пор, пока величина / ди \
—- ™ V' ^t -l) + f‘ {at + Z)]
\ dx /x=l
не станет положительной, и время t, соответствующее концу удара, не определится из условия f^at-l^ + fkat+l^O-(1)
Пока 21 > at > 0, левая часть уравнения (1) представляется при помощи формулы (h) и в нуль не обращается. В этих пределах не произойдет окончания удара.
При 41 > at > 21 уравнение (1) при помощи (h) и (к) напишется так:
at2
— е ml [l+2em /1 - —~ - | = 0.а[\ ml \
Это уравнение даст нужное нам решение при условии т < 1,73.
При больших значениях т удар не окончится в пределах 41 > at > 21 и нужно перейти к составлению уравнения для следующего интервала х.
Что касается наибольших напряжений, то они получаются в закрепленном конце стержня. При большом пц например т > 24, эти напряжения можно вычислять по приближенной формуле
Р = Е — Ут + 1).а
При 24 > т > 5 следует пользоваться формулой
р = Е — {Ут + 1,1).а
Наконец, для т < 5 Сен-Венан дает формулу
р = 2Е — (1 + е-2/т).а
Заметим здесь, что приведенное решение для продольного удара призматических стержней основано на предположении, что в начальный момент все точки концевого поперечного сечения стержня сразу получают скорость ударяющего груза. Это требует идеально гладких плоскостей соприкасания. Практически всегда приходится иметь дело с различными неровностями, благодаря которым соприкасание сначала получается лишь в нескольких точках сечения. Здесь начинаются местные деформации и лишь впоследствии может получиться более полное соприкасание. Вследствие этого обстоятельства опыты, которые ставились для проверки решения Сен-Венана. не подтвердили его результатов . Чтобы достигнуть совпадения опытных данных с расчетными, приходится искусственным путем уменьшать влияние местных деформаций по плоскости удара. Для этого берут ударяемый стержень из податливого материала, например каучука, и снабжают ударяемый конец твердым наконечником или заменяют ударяемый стержень спиральной пружиной . Другой прием, применяемый для приведения к совпадению теории продольного удара с данными опытов, заключается в том, что концам ударяющихся стержней придают закругленную форму. Этим путем достигается полная определенность в отношении местных деформаций, которые здесь могут быть найдены при помощи формулы Герца .
Г ла в а к
ИЗГИБ
ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
Тонкие пластинки представляют собой тела цилиндрической формы, у которых один из размеров, именно высота цилиндра (толщина пластинки), мал по сравнению с двумя другими. Плоскость, делящую пополам высоту цилиндра, называют срединной плоскостью.
В элементарной теории изгиба пластинок эта плоскость играет такую же роль, как нейтральный слой при изгибе балок. Линия пересечения срединной плоскости с ограничивающей цилиндрической поверхностью пластинки представляет собой контур пластинки. При исследовании изгиба пластинок условимся координатную плоскость ху располагать в срединной плоскости пластинки. Ось z будем направлять так, чтобы получалась правовинтовая координатная система (я, у, z). Толщину пластинки обозначим через /г и прогибы срединной поверхности пластинки в направлении оси z — через ю. Исследование изгиба пластинок начнем с простейших задач: 1) с изгиба пластинки по цилиндрической поверхности и 2) чистого изгиба. Для решения задачи в этих двух частных случаях можно воспользоваться, как мы увидим ниже, результатами, полученными при исследовании изгиба стержней.
Изгиб пластинок по цилиндрической поверхности
В ряде технических задач приходится иметь дело с изгибом пластинок по цилиндрической поверхности. Если, например, пластинка оперта на прямоугольный контур, у которого одна сторона весьма велика по сравнению с другой и на пластинку действует нагрузка, распределение которой не изменяется в направлении длинной стороны контура, то в частях пластинки, удаленных от коротких сторон контура, искривленную поверхность мы можем без особых погрешностей принимать за поверхность цилиндра, образующие которого параллельны длинным сторонам контура. В таком случае мы можем при исследовании изгиба ограничиться рассмотрением одной элементарной полоски, выделяемой из пластинки двумя плоскостями, перпендикулярными к длинной стороне контура и удаленными на расстояние 1 см друг от друга (рис. 84), и привести задачу к исследованию изгиба балки-полоски прямоугольного поперечного сечения 1 X h см2. При этом исследовании мы можем воспользоваться уже известными результатами, полученными для балок (§ 11—13).
В отличие от балки поперечное сечение балки-полоски вследствие связи с соседними полосками не будет искажаться и удлинение ехх не будет сопровождаться поперечным сжатием в направлении оси у.
Между удлинениями и напряжениями получится в таком случае зависимость
_ Хх^-О^
Схх —г;-
Вместо величины Е. которая входила в уравнение изогнутой оси балки, теперь придется подставить величину Е/ (1 — о2). Уравнение изогнутой оси балки-полоски при выбранном направлении осей напишется так:
EJ cP-w1 — а2 йх1EJ cP-w1 — а2 йх1= —М,= —М,(188)(188)
EJ cP-w
1 — а2 йх1
EJ cP-w
1 — а2 йх1
= —М,
= —М,
(188)
(188)
Если края пластинки при изгибе могут свободно смещаться в плоскости контура, то выделенная полоска будет находиться в условиях балки, изгибаемой
только поперечными нагрузками, и для определения прогибов придется в каждом частном случае выполнить интегрирование уравнения (188). В том случае, когда по продольным сторонам пластинки будут приложены равномерно распределенные растягивающие или сжимающие усилия, выделенная полоска окажется в условиях балки, испытывающей одновременное действие изгиба и сжатия или изгиба и растяжения. Обозначим через Т величину растягивающего усилия для выделенной полоски и положим
П2(1~а2) м. kl _ №12(1-а2) _2
Eh? ~ к ’ 2 “ Eh^ ” ’
Тогда к нашей балке-полоске будут применимы все формулы, полученные выше (§ 11) для балок, и потому вычисление прогибов и напряжений не представит никаких затруднений. Остановимся здесь подробнее на одном случае, с которым часто прихо
дится встречаться на практике, а именно рассмотрим цилиндрический изгиб прямоугольной пластинки под действием равномерной нагрузки. Продольные края пластинки предполагаем закрепленными по контуру так. что сближению их препятствуют некоторые упругие распоры. В таком случае при изгибе выделенной полоски в ней возникнут продольные растягивающие силы Т, для определения которых можно будет составить уравнение,
аналогичное уравнению (59) (§ 11). Если мы заменим распоры эквивалентной
по площади пластинкой тощиной t и будем предполагать, что сжатие распор
не сопровождается поперечным расширением, то нужное нам уравнение напишется так:
— f^2^- ^”^Tl ц. U-^Tl .. Tl t + h 1 Tl ,2
(189)
где для упрощения введено обозначение
7ТГ = ^
Подставляя вместо w соответствующее ему выражение, как это мы делали в случае балок (§11), или вводя вместо ^приближенное выражение для прогиба (§ 13), получаем возможность определить продольные силы Т. Дальнейший расчет легко выполняется при помощи табл. 2 части второй.
Рассмотрим в качестве первого примера пластинку со свободно поворачивающимися краями и возьмем приближенное выражение для прогиба:
/о • ля
W = J Г"» Sin —т— .
1 -4- а2 I
Тогда уравнение (189) перепишется таким образом:
а2(1+а2)2=3^_20_(190)
Для прогиба /0 от одной поперечной нагрузки мы должны будем в данном случае вставить выражение
, _5 ql4^ — ^
7о— 32 Е№ е
Тогда получим
а2(1 + а»? = ЗК Ш2(1 - а2)» (-^(^Х(190')
Корни этого уравнения очень просто находятся при помощи линейки.
Возьмем такой численный пример: весьма длинная прямоугольная стальная пластинка с опертыми краями изгибается равномерной нагрузкой интенсивности q. Определить при помощи табл. 2 части второй величину наибольших прогибов и наибольших напряжений, если I = 120 смп h = 0,8 см; t = К, Е = 2,15 • 10е кг/см2, а = 0,3. Величина нагрузки q изменяется от 0,1 до 1 кг!см\
Положим, например, q = 0,5 кг/см1, тогда уравнение (190') перепишется так:
а2 (1 + а3)2 = 420.
Отсюда при помощи линейки находим ал а2 = 6,85; и == 4,11;
2' ’
Т нТ на2л212 (1 — а2)а2л212 (1 — а2)Е№
Т н
Т н
а2л2
12 (1 — а2)
а2л2
12 (1 — а2)
—~ = 592 кг/см?
Z2
ql2
f =—— = 1,71 см;
1 + а2
(^x)max — А + w — 12 (1 — а2) Z2 + 4 9 k h /— 1560 Кг СМ '
Подобным же образом находим все нужные нам величины для других значений q. Полученные результаты приводим в табл. 21.
В случае пластинки с заделанными краями мы можем для приближенного решения уравнения (189) взять прогиб полоски в таком виде:
2(1+—)
Тогда для определения а2 получаем такое уравнение:
а^1^У=гК4-(Ш)
Таблица 21
q, кг/см2
а2
и
Фо (U)
7
^* кг 1см2
* max, кг/см2
/о, см
t, см
У^дЁ" , Vv^o2 кг/см2
0,1
1,95
2,19
0,329
169
720
2,68
0,91
688
0,2
3,43
2,91
0,212
297
1010
5,36
1,21
976
0,3
4,68
3,40
0,162
406
1230
8,04
1,40
1190
0,4
5,80
3,78
0,134
502
1410
10,7
1,57
1380
0,5
6,85
4,11
0,115
592
1560
13,4
1,71
1560
0,6
7,80
4,39
0,102
675
1710
16,1
1,83
1690
0,7
8,72
4,64
0,092
755
1840
18,7
1,92
1820
0,8
9,60
4,87
0,084
830
1960
21,4
2,02
1950
0,9
10,44
5,07
0,077
905
2070
24,1
2,10
2060
1,0
11,23
5,27
0,072
973
2190
26,8
2,18
2180
Прогиб /0 представится в рассматриваемом случае так:
^ _ 1 ql*^ — G^32 Е№
Следовательно,
(1 + JL.) _ ЗХ (4-) (1 -оТ (4) .(19Г)
Если взять пластинку прежних размеров, то уравнение (19Г) при q = 0,5 кг!см2 перепишется так:
откуда
а2 = 4,12; и = 3,20;
Т а2л2 Eh2
~ 12 (1 — о2) ~Р~ = 357 Кг/сЛ‘а’
л.ql2
Mx=£. = lA^W’
Мх=0 §- X («); / =^__ = 1,32 см;
1+-т-
а2"2 Е№ Чр
(^max - 12 (1 _ ^ -р~ + -^Г Ф1 (“) - la8° K»/c-* 1 х = —
Г7?2 п 72
(^x)max " |2 (1a2') Z2 2~ 1^ ^ ^ " ^^ кг! см2.
Подобным же образом все нужные для расчета величины могут быть получены и при других значениях q. Ниже в табл. 22 приводим все результаты, полученные для нашего численного примера. Все вычисления произведены на линейке и значения функций <pi (и) и X (и) взяты из табл. 2 части второй путем простого интерполирования, поэтому в третьем знаке приводимых чисел уже могут быть погрешности, но они не превышают 1%. Следовательно, числа определены во всяком случае с гораздо большей точностью, чем, например, нам известная величина Е.
Таблица 22
<7- кг) см?
а2
и
Т h * кг/см2
Ф1 (и)
хоо
^х^1
х 2 щах, KZfeM?
(^х)х—0тах> кг [см?
А, ем
/, см
/2д£ Vi—o2 * кг{см-
о,1
0,53
1,14
46
0,864
0,921
531
1080
0,54
0,48
688
0,2
1,46
1,89
126
0,698
0,821
912
1980
1,07
0,79
976
0,3
2,38
2,42
206
0,581
0,747
1190
2730
1,60
1,00
1190
0,4
3,27
2,84
283
0,498
0,692
1400
3400
2,14
1,18
1380
0,5
4,12
3,20
357
0,435
0,649
1580
4010
2,68
1,32
1560
0,6
4,92
3,48
426
0,390
0,616
1740
4580
3,22
1,44
1690
0,7
5,68
3,74
492
0,353
0,588
1880
5120
3,74
1,55
1820
0,8
6,40
3,97
555
0,324
0,566
2010
5660
4,28
1,65
1950
0,9
7,10
4,18
615
0,301
0,547
2140
6150
4,82
1,74
2060
1,0
7,80
4,39
675
0,279
0,529
2250
6640
5,36
1,82
2180
Из приведенных табл. 21 и 22 мы видим, насколько существенную роль играет продольная растягивающая сила при изгибе выделенной балки-полоски. В случае опертых краев уже при самых незначительных нагрузках продольная сила оказывает большое влияние на величину максимального прогиба и максимальных напряжений. Поэтому все обстоятельства изгиба резко отличаются от тех, которые мы имели бы при действии на балку-полоску одной равномерной нагрузки. Влияние продольной силы на величину изгибающего момента характеризуется величиной ф0 (и). Эта функция убывает с возрастанием и, поэтому напряжения изгиба растут гораздо медленнее, чем в случае действия только поперечных нагрузок. То же самое замечание относится и к нарастанию прогибов. Вследствие действия продольной силы прогибы / при больших нагрузках во много раз меньше соответствующих значений /0.
Из табл. 22 для пластинки с заделанными краями мы видим, что здесь при малых нагрузках влияние продольных сил сказывается значительно меньше, чем в случае пластинок с опертыми краями. Но дальше, с нарастанием нагрузки, разница между условиями изгиба пластинок при разных способах закрепления краев сглаживается и, например, при давлении q = 1 кг/см2 между величинами наибольших прогибов и наибольших напряжений по середине пролета особой разницы уже нет.
(а)(а)Путем таких же соображений, как и в случае балок [формула (Ь) § ,13], можно показать, что при больших значениях а2 величина максимальных напряжений по середине пролета будет мало отклоняться от величины
(а)
(а)
У1 — (У2 ’
Насколько это заключение правильно, мы видим из сравнения значений СХх)тах при х = Z/2 с числами последней колонки табл. 21 и 22.
Следовательно, в случае гибких пластинок, для которых а2 получается большим, мы не сможем заметно изменить напряжения изменением толщины. Для существенного уменьшения напряжений нужно перейти к таким значениям отношения h/Z, при которых величина а2 существенно отличалась бы от того значения а2, которое соответствует величине напряжений (а) (§ 13).
Наибольшие напряжения в случае пластинок с заделанными краями имеют место у контура. Из разобранного примера мы видим, что эти напряжения растут быстрее, чем напряжения по середине пролета и очень скоро достигают значений, превосходящих предел упругости для железа и стали. Если мы будем 24 1—1801
продолжать увеличивать нагрузку, то у краев появятся остаточные деформации и вместе с тем изменится закон нарастания изгибающих моментов по концам выделенной балки-полоски. Эти моменты, очевидно, будут меньше полной пары закрепления, вычисленной в предположении следования материала закону Гука. Однако, как легко видеть из сравнения чисел табл. 21 и 22, такое изменение опорных моментов в случае гибких пластинок лишь в слабой степени скажется на величине максимальных напряжений по середине пролета.
На практике в тех случаях, когда имеют дело с постоянной нагрузкой или нагрузкой, которая прикладывается лишь в редких случаях, часто подбирают размеры пластинок так, чтобы лишь по середине пролета максимальные напряжения не превзошли допускаемой нормы. При этом на контуре напряжения, очевидно, будут больше допускаемых и даже больше предела упругости материала. У краев появятся остаточные деформации, но при по- рис 85стоянной нагрузке эти деформации не пред
ставляют опасности. В случае переменных нагрузок и в особенности в случае нагрузок, меняющих свой знак, такие остаточные деформации, очевидно, недопустимы, здесь приходится считаться с явлением усталости материалов.
Мы до сих пор имели в виду лишь те продольные силы, которые являются следствием изгиба балки-полоски. Иногда приходится иметь дело с более сложной задачей, когда кроме продольных сил, появляющихся при изгибе, к выделенной балке-полоске приложены еще дополнительные растягивающие силы То (рис. 85).
Если мы через Т будем обозначать растягивающую силу в балке-полоске, то сжимающая сила в распорке, очевидно, будет равна Т — То. И уравнение для определения Т напишется так:
1 Г /2, ,А тх ,—
dx = (1 — аа)-^ + (1 — g2P—
Подставляя вместо w его приближенное выражение при опертых краях
w =w =^sin-^b а2 I^sin-^b а2 I
w =
w =
^sin-^
b а2 I
^sin-^
b а2 I
и вводя для краткости обозначение
А о _ и • —Аt + h ™(4-й
получаем
g-(l-a')-§-(4)’(l+«=).(192)
При заданных размерах пластинки и заданном значении р0 вычисление а2 не представляет никаких затруднений. Полагая, как мы это делали раньше, 1 + а2 = я, приводим уравнение (192) к виду а?— ад? = Ъ.
Корни этого уравнения отсчитываем непосредственно по линейке.
Если взять размеры пластинки те же, что и в предыдущих примерах, и положить q = = 0,6 кг1см^ ро » 1200 кг1см\ то уравнение (192) представится так:
605 = a2 (1 4- а2)2 — 13,9 (1 4- а2)2.
Отсюда находим
а2 = 15,98; и = 6,28; <р0 (и) = 0,050;
Т
-— — 1380 KejcM^ (^а)тах = 1890 кг(см\
Величина продольной силы благодаря приложению усилий Го значительно увеличилась по сравнению с тем, что нам дает табл. 21, но величина максимальных напряжений по середине пролета изменилась весьма мало, так как увеличение продольной силы сопровождается уменьшением напряжений изгиба.
Если бы мы вместо растягивающих приложили сжимающие усилия такой же величины, то уравнение (192) написалось бы так:
605 = а2 (1 + а2)2 + 13,9 (1 + а2)2.
Отсюда находим
а2 = 4,70; и = 3,40; ф0 (и) = 0,162;
Т
-— = 406 кг!смг;== 2050 кг/см*.
UеД#* ШыЛ.
Сравнивая эти результаты с соответствующими числами табл. 21, видим, что продольные сжимающие усилия Го передаются главным образом на распоры и лишь отчасти уменьшают продольную растягивающую силу.
Заметим здесь, что изменения коэффициента распора К приводят к такому же эффекту, как приложение добавочных продольных сил. Этим изменениям может соответствовать значительное изменение продольной силы, но это лишь в слабой степени сказывается на величине максимальных напряжений.
В качестве второго примера возьмем более толстую пластинку и положим h, — 2 см. Остальные величины оставим без изменения.
Уравнение (192) при растяжении (ро = 1200 кг1см^ напишется так:
0,396 = аа (1 + а2)2 — 2,225 (1 + а2), откуда а2 = 2,27, и = 2,36.
При сжимающих усилиях (ре = — 1200 кг1см^ получим а2 = —0,518, и = -—1,13. В этом случае приложением сжимающих сил нам удалось получить продольное сжатие в выделенной балке-полоске.
Влияние начальной кривизны на изгиб пластинок по цилиндрической поверхности
Рассмотрим теперь, как изменяется напряжение в пластинке, если она имеет некоторую начальную кривизну по цилиндрической поверхности. Предполагая начальное искривление балки-полоски по синусоидальной кривой
, . лхWo = О 81П -у ,
мы на основании результатов, полученных для стержня [формула (79)1, придем к такому уравнению для определения продольной силы в случае пластинки со свободно поворачивающимися краями:
(/0 — &х2)2 2Ь (/0 — Ьа^ а?№ 1
71 + а2)2’”41+"^“ 3 К 1
откуда после простых преобразований получаем
а3 (1 + а3)3 = ЗК+ 4-)2 - ЗК -^- (1 + а2)2.(193)
Полагая 1 + а2 = я, приходим к такому кубическому уравнению:
ж8 + ая2 + с = 0,(193')
где
В тех случаях, когда начальный прогиб b весьма мал и коэффициент а в нашем уравнении получает отрицательное значение, мы будем иметь один действительный положительный корень. При положительных значениях а кроме положительного корня наше уравнение может иметь еще два отрицательных корня и мы здесь встретимся с наличием нескольких форм равновесия, соответствующих одной и том же поперечной нагрузке, и с вопросом устойчивости этих форм.
Когда начальный прогиб Ъ имеет положительное значение, т. е. когда искривление направлено в ту же сторону, куда действует и поперечная нагрузка, нет никакого сомнения относительно того, какая именно форма равновесия будет иметь место. Очевидно, приложение поперечной нагрузки вызовет дальнейший прогиб пластинки, и кроме напряжений изгиба появятся растягивающие напряжения от продольных сил.
Исследование всех обстоятельств изгиба проведем на численном примере. Для более удобной оценки влияния начальной кривизны удобно взять пластинку прежних размеров (§ 46) и только придать ей начальное искривление. Возьмем начальный прогиб Ъ = 1 см и поперечную нагрузку q = 0,1 кг (см2. Тогда наше кубическое уравнение представится в таком виде:
^ + 1,34x2 = 31,8.
По линейке отсчитываем положительный корень этого уравнения: х = 2,78. Отрицательных корней уравнение не имеет, и мы будем иметь лишь одну форму равновесия, которая как единственная будет, конечно, устойчива. Найдя корень уравнения, мы сейчас же получаем
ал
а2 = х — 1 = 1,7& и == 2,09.
2
Растягивающие напряжения ет продольной силы будут такие:
Т а»л2 к ~ 12(1—о2)Т а»л2 к ~ 12(1—о2)—— —154 кг (см2.—— —154 кг (см2.
Т а»л2 к ~ 12(1—о2)
Т а»л2 к ~ 12(1—о2)
—— —154 кг (см2.
—— —154 кг (см2.
Прогиб посередине представится так:
(“Ч) I2(“Ч) I2/о — Ьа?1 + «2/о — Ьа?1 + «22,68 —1,782^82,68 —1,782^8= 0,32 см.= 0,32 см.
(“Ч) I
2
(“Ч) I
2
/о — Ьа?
1 + «2
/о — Ьа?
1 + «2
2,68 —1,782^8
2,68 —1,782^8
= 0,32 см.
= 0,32 см.
Для получения напряжений изгиба мы воспользуемся тем обстоятельством, что прогиб, а следовательно и кривизна, могут быть представлены в виде двух слагаемых: первое слагаемое соответствует изгибу прямого стержня, вторым оценивается влияние начальной кривизны. При вычислении изгибающего момента по середине пролета мы первое слагаемое найдем при помощи таблицы значений функции фо (и) (см. табл. 2, части второй). Что касается второго слагаемого, то при начальном искривлении по синусоиде дополнительный прогиб, обусловленный этим искривлением, будет
лх
— 6а2 sin ——
1 + а2 *
Соответствующий ему момент по середине пролета равен да2 л2 ЕН3
~ 1 + а2 "К 12 (1 — а2) *
Эту величину нужно прибавить к той, которую мы получаем для прямой балки-полоски. Так как величина эта отрицательна, то, следовательно, при положительных значениях b начальное искривление уменьшает напряжения изгиба и полные напряжения получаются
меньшими, чем для неискривленной пластинки. В табл. 23 мы помещаем результаты, относящиеся к нагрузкам q = 0,1 кг! см3*, 0,5 кг/с^; 1,0 кг/см2. Такие же вычисления проделаны и для пластинки с начальным прогибом Ъ = 2 см (табл. 24).
Таблица 23
q, кг/см2
/о, СМ
а2
и
Т
^ , кг/см2
Фо («)
кг/см2
кг (см2
кг (см2
/, см
о,1
2,68
1,78
2,09
154
0,349
588
—415
327
0,32
0,5
13,4
6,44
3,99
558
0,121
1020
—562
1020
0,94
1,0
26,8
10,8
5,16
935
0,075
1270
-593
1610
1,36
Таблица 24
q, кг/см2
fo, см
а2
и
г
"7^, кг/см2
Фо №
кг/см2
кг /см2
кг/см2
/, см
0,1
2,68
1,20
1,72
104
0,442
746
— 707
143
0,13
0,5
13,4
4,98
3,50
431
0,153
1280
—1080
631
0,58
1,0
26,8
9,23
4,77
799
0,087
1470
—1170
1100
0,81
Здесь через (Х^х обозначены максимальные напряжения изгиба, вычисленные как для прямой балки-полоски; через (Хх)2 — напряжения изгиба, обусловленные начальным искривлением; наконец, через Хх — полные наибольшие напряжения по середине пролета. Сравнивая эти результаты с соответствующими числами табл. 21 (§ 46) для неискривленной пластинки, находим, что начальное искривление несколько уменьшило продольную силу, значительно уменьшило прогиб и напряжения изгиба. В смысле напряжений такое начальное искривление является выгодным. Особенно велико влияние начального искривления при малых нагрузках, когда элементарная балка-полоска по условиям работы весьма близка к гибкой нити. При больших нагрузках разница между прямой и слегка искривленной балкой-полоской должна постепенно сглаживаться.
В рассмотренных случаях, когда направление начального прогиба совпадает с направлением нагрузки, форма равновесия, которую примет балка-полоска, будет соответствовать положительному значению а2, хотя для некоторых значений нагрузки паше основное уравнение (193) может давать для а2 и отрицательные решения. Например, при b = 2 см и q = = 0,1 кг/см2 мы кроме положительного решения для а2, приведенного в табл. 24, получим еще два отрицательных решения: а2 = — 4,12 и а2 = — 8,45, которым будут соответствовать формы равновесия с отрицательными прогибами. Обе эти формы, вероятно, будут неустойчивы.
Рассмотрим теперь случай, когда поперечная нагрузка отсутствует. Полагая в основном уравнении (193) /0 = 0, мы придем к уравнению, одно из решений которого будет а2 = 0. Этому решению соответствует недеформированное состояние нашей балки полоски.
Кроме этого решения, в том случае, когда—^- > 4, мы получим еще два действительных отрицательных решения для а2. Эти решения указывают на то, что нашу балку-полоску можно перегнуть в сторону, противоположную начальной кривизне, и держать в таком состоянии при помощи продольных сжимающих сил. Силы эти будут больше эйлеровой.
Рассмотрим теперь случай, когда направление действия нагрузки противоположно направлению начального искривления. В таком случае /0 и Ъ будут иметь противоположные знаки. Основное кубическое уравнение (193') остается в силе и изменяется лишь величина постоянного члена с. Возьмем пластинку прежних размеров, придадим ей начальную кривизну по синусоиде с амплитудой Ъ = 1 см и приложим равномерную нагрузку интенсивности q = 0,1 кг/см2. Так как направление нагрузки противоположно направлению начального прогиба, то будем иметь /о = — 2,68 см, и кубическое уравнение напишется так: х3 + 1,34х2 = = 6,62, откуда находим х = 1,52, а2 = 0,52;
(“’1)х=г/2 = ^ _|_ а2 = — 24 с”-
Под влиянием приложенной нагрузки наша пластинка прогнется в сторону, противоположную начальному искривлению. Определение возникающих при этом напряжений изгиба не представляет, конечно, никаких затруднений. Величина их в рассматриваемом случае, очевидно, будет значительно большей, чем при положительном значении /о, так как роль продольной силы при малом значении а3 невелика. Если мы увеличим интенсивность нагрузки и положим, например, q — 0,5 кг 1см2, то найдем, как и в предыдущем случае, лишь одно действительное решение для нашего кубического уравнения, именно
х = 6,69; а2 = 5,69; (^1)х==;/2 = — 2,85 см.
При малых значениях q мы кроме одного положительного корня будем получать еще два отрицательных корня для нашего кубического уравнения, что указывает на возможность существования трех различных форм равновесия. Возьмем, например, q = 0,05 кг!см2, тогда кубическое уравнение напишется так: х3 + 1,34я2 — 0,271. Корни этого уравнения такие: Xi = 0,395, ^2 " —0,610, хз = — 1,125. Соответственно этому получаем: а^ =—0,605, а^» = — 1,610, аj = —2,125.
Прогибы для соответствующих форм равновесия будут иметь значения
(“4)^/2 = — 1’87 см’ W^U?. = — °’442 «*; (№l)x=Z/2 = “ °’694 см-
Первой форме равновесия соответствует искривление в направлении, прямо противоположном начальной кривизне. Вторая и третья формы равновесия имеют искривления в ту же сторону, что и начальный прогиб, причем третьей форме, как наиболее пологой, соответствует наибольшее значение продольной сжимающей силы.
Когда выделенная балка-полоска, имеющая некоторое начальное искривление, испытывает продольные усилия Т не только вследствие изгиба поперечной нагрузкой, но и вследствие приложенных извне усилий То (см. рис. 85), то для определения Т можно составить уравнение, аналогичное уравнению (192).
Останавливаясь на случае опертых краев, предполагая начальное искривление по синусоиде
7. ЛХ
Wq = О Sin —р
и сохраняя наши прежние обозначения
-7ТГ “ 7ТГ = к-<194>
мы приходим к такому уравнению:
= а2 (1 + а2)2 - -^- (1 - а2) -^ (А)' (1 + а2)2.(195)
Если положить Ъ = 0, то уравнение это совпадет с уравнением (192), полученным для прямолинейной балки-полоски. После простых преобразований оно может быть представлено в таком виде;
-^-(/о + Ь)а(1 + а2)2 =
= а2 (1 + а2)2 - -^(1 - о2) ^ (4? (1 + а2)2(195')
и легко решается при помощи логарифмической линейки.
Если длинная прямоугольная пластинка с начальным искривлением по синусоиде имеет упругие распоры, препятствующие свободному сближению опертых продольных краев пластинки, то продольные усилия Т, возникающие в элементарной балке-полоске под действием только сил То, могут быть легко найдены из того же уравнения (195'), если в нем положить /0 = 0.
В таком случае будем иметь
а8 (1 + а2)2 = -^- (1 - »2) ^- (4Г ^ + а^ - Т~ К + а2)2 - *]• (19у)
Когда величины начального прогиба Ь, растягивающего напряжения р0 и размеры пластинки известны, то из написанного уравнения легко определяется величина а2, величина продольной силы Т и соответствующее ей растягивающее напряжение р = T/h. Напряжение это вследствие начального искривления пластинки всегда получается по абсолютному значению меньшим, чем извне приложенное напряжение pG, и тем меньше, чем больше начальный прогиб Ь. При больших начальных искривлениях продольные силы То будут восприниматься, главным образом, упругими распорами пластинки. Это обстоятельство имеет существенное практическое значение и потому в табл. 25 приводим ряд числовых значений 1 отношения р^р^ вычисленных при различных значениях величин:
. Когда приходится рассчитывать на простое растяжение листовые настилы, подкрепленные продольными и поперечными жесткими ребрами, то при вычислении продольных растягивающих напряжений в ребрах и листах нужно считаться с возможными начальными искривлениями листов. Принимая это начальное искривление изменяющимся по синусоиде, мы для оценки напряжений в листах можем воспользоваться числами табл. 25.
Таблица 25
п
m
0,00
0,05
0,10
0,15
0,26
0,30
0,40
0,50
0,66
0,80
1,00
+12
1,00
0,99
0,98
0,96
0,95
0,93
0,90
0,88
0,85
0,80
0,75
+10
1,00
0,99
0,97
0,96
0,94
0,91
0,88
0,85
0,82
0,76
0,70
+ 8
1,00
0,98
0,96
0,95
0,93
0,89
0,85
0,82
0,78
0,71
0,64
+ 6
1,00
0,98
0,95
0,93
0,90
0,85
0,81
0,76
0,71
0,62
0,53
+ 4
1,00
0,96
0,93
0,89
0,86
0,79
0,72
0,65
0,59
0,47
0,37
+ з
1,00
0,95
0,91
0,86
0,82
0,73
0,65
0,57
0,50
0,38
0,29
+ 2
1,00
0,93
0,87
0,81
0,75
0,64
0,54
0,46
0,38
0,29
0,22
+1,5
1,00
0,92
0,84
0,77
0,70
0,57
0,47
0,39
0,33
0,25
0,20
+
1,00
0,89
0,79
0,70
0,63
0,50
0,41
0,34
0,29
0,22
0,17
4-0,5
1,00
0,85
0,72
0,62
0,54
0,42
0,34
0,29
0,25
0,19
0,16
0
1,00
0,77
0,63
0,53
0,45
0,36
0,29
0,25
0,22
0,17
0,14
—0,5
1,00
0,65
0,51
0,43
0,38
0,30
0,25
0,22
0,19
0,16
0,13
— 1
1,00
0,51
0,42
0,36
0,32
0,26
0,22
0,19
0,17
0,14
0,12
—4,5
0,67
0,41
0,34
0,30
0,27
0,23
0,20
0,17
0,16
0,13
0,11
—2
0,50
0,34
0,29
0,26
0,23
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
—3
0,33
0,25
0,22
0,20
0,19
0,16
0,14
0,13
0,12
0,10
0,09
0,25
0,20
0,18
0,16
0,15
0,14
0,12
0,11
0,11
0,09
0,08
—6
0,17
0,14
0,13
0,12
0,11
0,10
0,10
0,09
0,08
0,07
0,07
—8
0,13
0,11
0,10
0,09
0,09
0,08
0,08
0,07
0,07
0,06
0,06
-10
0,10
0,09
0,08
0,08
0,08
0,07
0,07
0,06
0,06
0,05
0,05
—12
0,08
0,07
0,07
0,07
0,06
0,06
0,06
0,05
0,05
0,05
0,04
Участие листов в растяжении будет тем меньшим, чем больше начальное искривление, и нам при подсчете растягивающих напряжений в подкрепляющих
ребрах придется вместо полной площади поперечного сечения листов брать некоторую приведенную площадь, получаемую умножением сечения листов на соответствующий коэффициент из табл. 25. С увеличением растягивающих напряжений рв влияние начального искривления падает и коэффициенты таблицы приближаются к единице.
Когда вместо растягивающих имеются сжимающие напряжения р01 то коэффициенты таблицы быстро убывают с увеличением этих напряжений, так как сжимающее напряжение в листе не может получить значений, больших критического.
§ 48. Чистый изгиб пластинок
В случае чистого изгиба призматических стержней точное решение вопроса о распределении напряжений является крайне простым. Каждый продольный элемент изгибаемого стержня оказывается в состоянии линейного напряженного состояния, и напряжение это пропорционально расстоянию элемента от нейтрального слоя. Таким образом, точное решение совпадает с тем результатом,
Рис. 86.Рис. 86.который получается элементарным путем, если исходить из гипотезы плоских сечений. Пользуясь принципом сложения, мы можем получить напряженное состояние, соответствующее чистому изгибу по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Осуществить подобное напряженное состояние мы можем таким образом. Возьмем пластинку с прямоугольным контуром и по двум взаимно противоположным краям ее приложим непрерывно и равномерно распределенные изгибающие пары. Таким образом, мы получим в пластинке такое же напряженное состояние, как и в стержне, испытывающем чистый изгиб. Пластинка при этом изогнется, как мы знаем, по антикластической поверх
Рис. 86.
Рис. 86.
ности . Если теперь мы приложим и по двум другим краям пластинки равномерно распределенные изгибающие пары, то получим более общий случай на-
пряженного состояния, который условимся называть чистым изгибом пла
стинки.
Установим теперь связь между интенсивностью равномерно распределенных изгибающих пар и соответствующим им искривлением пластинки. Пусть ABCDA'B'C'D' (рис. 86) представляет собой элемент, вырезанный из нашей прямоугольной пластинки двумя парами взаимно перпендикулярных плоскостей, параллельных краям пластинки. Координатные оси х и у направим параллельно сторонам прямоугольного контура пластинки. По граням элемента, параллельным плоскости zy, будут действовать нормальные напряжения ХХ1 вызываемые теми изгибающими парами, которые непрерывно распределены вдоль краев пластинки, параллельных оси у. Изгибающим парам, распределенным вдоль двух других краев пластинки, будут соответствовать нормальные напряжения Уу по граням элемента, параллельным плоскости кх. По толщине пластинки напряжения Хх и Уу изменяются так же, каки в случае чистого изгиба призматических стержней. Срединная плоскость пластинки играет роль нейтрально-
го слоя. Обозначим через Mxdy и M^dx моменты, соответствующие напряжениям Хх и Уу, действующим по граням выделенного элемента, тогда
(а)(а)+h/2+Ь/2
(а)
(а)
Мх = ^ Xxzdz; М^ = [ Yyzdz.
—h/2-№
Мх представляет собой изгибающий момент, приходящийся на единицу длины сторон пластинки, параллельных оси у. М2 представляет соответствующую величину для сторон, параллельных оси х. Установим связь между моментами Мх и М21 с одной стороны, и радиусами кривизны Нг и R2, соответствующими сечениям срединной поверхности пластинки плоскостями, параллельными zx и zy, с другой. Для этого выделим из элемента бесконечно тонкий слой, параллельный срединной плоскости и удаленный от нее на расстояние z. Напряжения и деформации этого элемента выразим через Rx и R2. Так как грани нашего элемента при чистом изгибе остаются плоскими, то для относительных удлинений выделенного слоя получим известные выражения
Z Z
(196)(196)Соответствующие значения напряжений напишутся так: v Е (।\( 1। а
(196)
(196)
1 — а2 XeW + 06— 1 — а2У
ЕН312 (1 — а2)Eh312(1 —а2)ЕН312 (1 — а2)Eh312(1 —а2)Вставляя эти значения в выражения (а), получаем
ЕН3
12 (1 — а2)
Eh3
12(1 —а2)
ЕН3
12 (1 — а2)
Eh3
12(1 —а2)
(197)
Величина Е№/12 (1 — о2) определяет собой, как мы видели (§ 46), жесткость балки-полоски при изгибе пластинки по цилиндрической поверхности. Условимся называть эту величину цилиндрической жесткостью пластинки и для упрощения введем обозначение
= D
12 (1 — а»)
В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с весьма малыми искривлениями пластинки. В таком случае величины V[RX и 1/7?3 могут быть заменены их d^w O^w
приближенными выражениями^-;^- . Формулы (197) перепишутся
при этом так:
я ,-r-vi d^w^-w \
;'(198)
М2 = — D I 1 а- «—h ^ ~о а ’)»2\ ду2 ‘ дх^ /
Сравнивая выражения для напряжений (196) с формулами (197), получаем
У 12Af1z v 12ЛГ2£
откуда
(^х)тах = ^2Х > (^у)тах = hY^e(199)
В том случае, когда Мх = М^ = М. пластинка изгибается по шаровой поверхности и мы из формул (197) получим
М = S(1^^ ; R = --^"1 .(200)
В дальнейшем нам понадобится еще выражение для потенциальной энергии, накопляемой в пластинке при чистом изгибе. Для выделенного нами элемента потенциальная энергия представится работой моментов MTdy и M^dx, возрастающих от нуля до их окончательного значения при поворачивании соответствующих боковых граней элемента на углы dx/R^ dyJR^.
Следовательно,
Полученные формулы вполне решают вопрос о чистом изгибе пластинок. Зная Мх и М^ мы из (198) находим соответствующие значения кривизн и путем интегрирования получаем прогибы пластинки. Из (199) находим величины наибольших напряжений.
§ 49. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки
Обратимся теперь к более общей задаче, когда изгибающие нагрузки любым образом распределены по поверхности пластинки и направлены нормально к ней и, кроме того, имеются силы и пары сил, приложенные по контуру пластинки. Двумя парами плоскостей, параллельных zx и zy, выделим из пластинки бесконечно малый элемент (рис. 87) и составим для него дифференциальные уравнения равновесия. Усилия, приходящиеся на какую-либо из боковых граней выделенного элемента, мы всегда можем привести к силе, приложенной в центре грани, и к паре сил. Для дальнейших выводов удобно разложить и силу и пару сил на составляющие, параллельные координатным осям. Обозначения для этих составляющих установим на основании подробного рассмотрения усилий, действующих по граням элемента, совпадающим с плоскостями zy и zx. Возьмем первую из этих граней. По ней будут действовать нормальные
напряжения Хх и касательные напряжения Yx и Zx.
Совокупность всех усилий, соответствующих напряжениям ХХ1 дает нам составляющую равнодействующей силы в направлении оси х. Две другие составляющие будут соответствовать напряжениям Yx и Zx. Введем для этих составляющих такие обозначения:
4-А/2
Txdy = dy ^ Xxdz;
—k/24-^2Ц-М2
SLdy dy ^ Yxdz; Nxdy = dy j Zxdz.
-h/2-М2
Следовательно, Tx представляет собой отнесенную к единице длины силу, растягивающую пластинку в направлении оси х. Величины 5t и Nx суть отне-
сенные к единице длины касательные силы. Из них 8г стремится вызвать сдвиг в срединной плоскости пластинки, сила Nx направлена перпендикулярно к пластинке и мы ее в дальнейшем будем называть перерезывающей силой. Положительные направления силы Т^ 8Х и Nv соответственно принятому ранее обозначению для напряжений, представлены стрелками на рис. 88 (для упрощения на рисунке сохранено лишь пересечение выделенного из пластинки элемента со срединной плоскостью). Совершенно таким же способом вводим обо-
Рис. 88.Рис. 89.
значения для сил У2, 52 и W2, соответствующих грани элемента, совпадающей с плоскостью ZX1
T^dx = dx J Y^dz\
W2+h/2
S^dx = dx J Xydz; N^dx = dx J Z^dz.
—h/2—h/2
Принимая во внимание равенство Y^ = X^ заключаем, что5г = S2- Направления N^ T^ и S2 Даны на рис. 88. Для двух других боковых граней выделенного элемента получим усилия, если к величинам Nv ...» S2 присоединим бесконечно малые приращения, соответствующие изменениям координат на величины dx и dy, Таким образом, вместо Nv —, 8^ будем иметь величины
Перейдем теперь к составлению моментов усилий, приложенных к граням выделенного элемента. Для грани, совпадающей с плоскостью zy, введем такие обозначения!
4-Л/24*^/2
Hxdy == dy J У x^dz; Mxdy = dy J Xxzdz,
—М2—М2
Таким образом, Hx и Мх представляют собой отнесенные к единице длины моменты приложенных к грани усилий относительно осей, параллельных х и у0. Мг является изгибающим и Нх — скручивающим моментами. Направления моментов, принятые за положительные, указаны стрелками (рис. 89). Что касается момента тех же усилий относительно оси, параллельной оси z, то он при бесконечно малом размере dy представляет собой бесконечно малую величину высшего порядка, которой можно пренебречь.
Для грани, совпадающей с плоскостью zx, соответствующие моменты обозначим такз
4-Л/2-\-К12
M^ — dx j Yyada; Htdx =—dx j Xuzda =—Hxdx.
Моменты для двух других граней элемента получим, если к величинам Mv ..., Я2 присоединим соответствующие приращения.
Кроме сил, приложенных по боковым граням элемента, на элемент будет действовать еще нагрузка, изгибающая пластинку. Мы предположили, что нагрузка является нормальной к поверхности пластинки, интенсивность нагрузки обозначим через q. В таком случае на выделенный элемент будет действовать внешняя сила qdxdy, параллельная оси z.
Составим теперь уравнения равновесия для выделенного элемента. Проектируя все приложенные к элементу силы на направления координатных осей, мы на основании принятых обозначений получаем
I ^2__ Q. ^^2 I_ Q.
дх ду 1 ду дх ’(202)
^ + 2Ъ + д_о.
дх ду 1
Составляя моменты тех же сил относительно осей у и хи отбрасывая малые величины высших порядков, приходим к таким уравнениям:
^ — ДГ = 0;+ 4^- — W2 = 0.(203) дх ду1* ду 1 дх2\/
Первые два уравнения системы (202) связывают между собой силы, лежащие в срединной плоскости пластинки. Это те самые уравнения, с которыми мы имели дело при решении плоской задачи (см. ч. 1). Соответствующие им деформации не сопровождаются искривлением срединной плоскости пластинки. Изгиб пластинки определяется величинами, входящими в третье из уравнений (202) и в уравнения/(203).
Таким образом, все силы разделились на две группы. Первой группе соответствуют деформации в плоскости пластинки, второй — изгиб пластинки. Каждая группа уравнений решается особо и полные напряжения получатся путем сложения напряжений соответствующей плоской задачи с напряжениями изгиба. Такое разделение уравнений на две группы явилось следствием того, что мы при составлении уравнений равновесия пренебрегали теми изменениями в направлениях сил Т^ ..., которые являются следствием изгиба пластинки. В дальнейшем мы учтем это обстоятельство и выясним влияние сил Tv Т2 и 5г на изгиб пластинки. Здесь же займемся исследованием изгиба пластинки под действием только поперечных нагрузок, для чего обратимся к третьему уравнению системы (202) и к уравнениям (203). Исключив из них величины ^и ТУ2, придем к такому дифференциальному уравнению равновесия:
«^ + 2^ + ^__д.(204)
дх2дхду ду244
Уравнение это, полученное на основании условий равновесия выделенного нами элемента, включает три неизвестные величины Мг, М2 и Hv и нам для дальнейшего решения задачи необходимо установить между этими величинами дополнительные зависимости, что возможно сделать, если обратиться к деформациям пластинки. Связь между моментами Мъ М2 и//т и прогибами пластинки н? установим приближенным способом, положив в основу наших дальнейших выводов гипотезу, аналогичную гипотезе плоских сечений, на которой построена приближенная теория изгиба балок.
Мы видели, что в случае чистого изгиба (§ 48) сечения пластинки, параллельные zx и zy, остаются плоскими и устанавливаются нормально к срединной
поверхности искривленной пластинки ^ Следовательно, всякий линейный элемент пластинки, перпендикулярный к срединной плоскости, остается при этом прямым и располагается нормально к искривленной срединной поверхности, которая играет роль нейтрального слоя пластинки. Допустим, что в том более общем случае, которым мы занимаемся сейчас, явление изгиба происходит таким же точно образом. Тогда удлинения элементов пластинки, параллельных осям ж и z/, и соответствующие им напряжения останутся такими же, как и в случае чистого изгиба (формулы (196)Х и мы получим для моментов Мх и М2 прежние выражения (198).
Что касается момента Hv то для его вычисления необходимо составить выражение для сдвигающих напряжений Ху. Соответствующий сдвиг ех-у определяется формулой ди ( ди вху ду ' дх
где и и v — выражения для перемещений рассматриваемой точки пластинки по направлениям, параллельным осям х и у.
Перемещения эти легко находятся, если воспользоваться приведенной выше гипотезой. Предположим, что А В (рис. 90) представляет сечение
срединной поверхности изогнутой пластинки плоскостью, параллельной zx. Какой-либо линейный элемент пластинки, перпендикулярный к срединной плоскости хи, после изгиба займет наклонное положение тп, нормальное к искривленной срединной поверхности. Так как срединная поверхность, по нашему предположению, не испытывает никаких растяжений и прогибы пластинки весьма малы, то перемещение какой-либо точки М, взятой на линейном элементе тп, по нагди)
правлению оси х будет зависеть лишь от поворота тп на угол -^-.
Следовательно,
ди)
и = Z ~z.
дх
Таким же образом найдем
ди)
V = —2-^— .ду
Для сдвига бдсу и сдвигающих напряжений Ху получаем о d^w е -у схр д^и) Е д^и)бху дхду ’2 дхду1 а 2 дхду *
Следовательно,
4-71/2
ТТ f V лEh3 д^и)м х д^и)/олг;\
Н. = Xvzdz =—=—s(l —.(205)
1у12(14-<^) дхдух ’ дхдух J
Подставив найденные выражения для моментов Мх, М^ и Н1 в уравнение (204), придем к такому дифференциальному уравнению для изогнутой поверхности пластинки:
/ д4ю , п д4и) . д4и) \
D W + 2 ^a? + "a^) = 9-(206)
Уравнение это играет в теории изгиба пластинок такую же роль, что и уравнение (4) при исследовании изгиба балок. Если для какого-либо случая удается найти решение уравнения (206), то при помощи формул (198) и (205) сейчас же находятся моменты Mv М^ Нг и соответствующие им напряжения.
Перерезывающие силы Nt и N2 найдутся из уравнений (203). Подставляя в них значения Л/г, М2 и Hv получаем
дг^ a^w
( дха * дхду* Р
/(207)
U\ ду® + 9^6 у Г
В заключение приведем выражение для потенциальной энергии изогнутой пластинки. Энергия, накопляемая в выделенном нами элементе, распадается на две части. Одна часть, соответствующая силам Tv Т2 и 5, представляет собой энергию деформации в плоскости пластинки. Другая часть, обусловленная моментами Ми М2, Нгла силами Nx и N21 представляет энергию изгиба, для которой мы желаем составить выражение. Роль перерезывающих сил Nx и N2 невелика, и потому в дальнейшем мы примем в расчет лишь энергию, соответствующую моментам.
Работу изгибающих моментов Мх и М2 можем представить такой же формулой, как и в случае чистого изгиба [формула (201)]. Что касается работы скручивающего момента Н, то ее подсчитаем так. Выделим из элемента бесконечно тонкий слой, параллельный срединной плоскости и отстоящий от нее на z (см. рис. 87). Соответствующее сдвигающее напряжение равно —Г^а2^^" и энергия сдвига для выделенного тонкого слоя представится так:
-т-т—dzdxdy.
1 + а \ дхду I 9
Для всего элемента энергия сдвига представится таким выражением:
/\ 2/\ 2
? dxdy z2 dz = D(i— а) (dxdy.
1 + о\ дхду /v ' \ дхду /9
Присоединяя это выражение к тому, что дает формула (201), получаем для энергии изгиба, накопляемой в одном элементе пластинки, такое выражение:
7Т7 D (/ d^w V , / д^ю \2 . о д^ю д^ю . о/4\л j
dy = —(Ui^7 ++ 2CT-^'^+2<1-a4'^J 1^- (208)
Путем интегрирования легко может быть получена энергия изгиба, накопляемая всей пластинкой.
Пределы применимости полученного
уравнения
Приближенное уравнение предыдущего параграфа основано на следующих до пущениях: 1) линейные элементы пластинки, перпендикулярные к срединной плоскости, после изгиба остаются прямыми и устанавливаются нормально к искривленной срединной поверхности; 2) срединная поверхность не испытывает никаких растяжений и играет роль нейтрального слоя. Допущения эти справедливы, пока мы имеем дело с чистым изгибом пластинки, но как только
мы переходим к более общему случаю изгиба поперечными нагрузками, задача становится более сложной. Ясно, что под влиянием касательных напряжений, соответствующих перерезывающим силам Nx и W2, появятся сдвиги, которые вызовут искривление линейных элементов, перпендикулярных к срединной плоскости. Под влиянием нагрузки, лежащей на пластинке, наверное, возникнут напряжения Zz, которые соответствуют надавливанию друг на друга слоев пластинки, параллельных срединной плоскости. Очевидно, что вследствие этих надавливаний срединная плоскость пластинки может испытать некоторые деформации в своей плоскости и уже не будет играть роль нейтрального слоя.
Для оценки степени достоверности сделанных допущений относительно деформации и выяснения надежности полученного приближенного решения приходится обращаться к имеющимся точным решениям х. Точные решения для изгиба пластинок силами, приложенными по контуру, а также сплошной нагрузкой, равномерно распределенной или изменяющейся по линейному закону, показывают, что во всех рассмотренных случаях приближенное уравнение (206) имеет место. Что касается применения формул (198) и (205) для определения моментов, то они не вполне точны. Соответствующие точные решения заключают в себе еще дополнительные члены, которыми оценивается влияние касательных напряжений и напряжений Zz на величину прогиба пластинки. Однако значение этих членов весьма мало, пока толщина пластинки мала по сравнению с другими размерами , и практически с этими поправками можно не считаться.
Гораздо большее влияние на степень точности приближенного уравнения (206) имеет величина трех прогибов w, которые получает пластинка. Условие малости прогибов ограничивает область применения полученного выше приближенного уравнения к исследованию изгиба пластинок в значительно большей степени, чем, например, при рассмотрении изгиба призматических стержней. Приближенная теория для призматических стержней дает удовлетворительные результаты даже в тех случаях, когда прогибы в несколько раз превосходят поперечные размеры стержня. Но в случае пластинок приближенное уравнение можно с уверенностью применять лишь тогда, когда прогибы пластинки малы по сравнению с ее толщиной. Причиной такой разницы между тонкими стержнями и тонкими пластинками является то обстоятельство, что искривление пластинки без деформаций в срединной плоскости возможно лишь в исключительных случаях, когда срединная плоскость обращается при изгибе в развертываемую поверхность . Во всех других случаях изгиб сопровождается появлением деформаций в срединной поверхности. Деформации эти растут с прогибом и могут достигать значений такого же порядка, что и те деформации, которые учитываются приближенным решением. Эти обстоятельства легко объяснимы при рассмотрении простейшей задачи, которой является изгиб круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. Приближенное решение (200) соответствует в этом случае изгибу пластинки по шаровой поверхности. Пусть R — радиус этой поверхности, а — радиус пластинки и линия АОВ
(рис. 91) — диаметральное сечение изогнутой срединной поверхности. Если допустить, что радиусы, проведенные в срединной плоскости, при изгибе не изменяют своей длины, т. е. что О В = На = а, то в таком случае изгиб пластинки
чину в зависимости отчину в зависимости отбудет сопровождаться сжатием срединной поверхности по направлениям, перпендикулярным к проведенным радиусам. Вычислим это сжатие для окружности, представляющей контур пластинки. До деформации радиус этой окружности равнялся а. После изгиба контур пластинки, как видно из рисунка, имеет радиус СВ = R sin а.
чину в зависимости от
чину в зависимости от
Интересующее нас относительное сжатие представится так:
Ra — R sin аа2
еео — ЯаTF ‘
Для удобства сравнения представим эту вели
Следовательно,Следовательно,/ = /?(! — cos а) = —у-/ = /?(! — cos а) = —у-еее — ЗЯ •Между тем максимальные удлинения, которые учитываютсяеее — ЗЯ •Между тем максимальные удлинения, которые учитываютсятеорией, будуттеорией, будут(а) элементарной(а) элементарной(^rr)max — 2Д е(^rr)max — 2Д е(Ь)(Ь)прогиба пластинки /. Из рисунка имеем
Следовательно,
Следовательно,
/ = /?(! — cos а) = —у-
/ = /?(! — cos а) = —у-
еее — ЗЯ •
Между тем максимальные удлинения, которые учитываются
еее — ЗЯ •
Между тем максимальные удлинения, которые учитываются
теорией, будут
теорией, будут
(а) элементарной
(а) элементарной
(^rr)max — 2Д е
(^rr)max — 2Д е
(Ь)
(Ь)
максимальные напряжения, полученныемаксимальные напряжения, полученныеdu d2w d^wdu d2w d^w1 <Tw1du;r d r2r2 dr1 <Tw1du;r d r2r2 dr
максимальные напряжения, полученные
максимальные напряжения, полученные
du d2w d^w
du d2w d^w
1 <Tw1du;
r d r2r2 dr
1 <Tw1du;
r d r2r2 dr
В действительности распределение деформаций в срединной плоскости является более сложным, чем мы предположили в нашем выводе, но максимальная величина деформаций будет такого же порядка, как и найденные нами удлинения (а), и пренебрегать этими деформациями по сравнению с тем, что нам дает элементарная теория [формула (Ь)], можно, как мы видим, лишь в том случае, если / мало по сравнению с h.
Ввиду практической важности этого заключения мы обратились к более точному решению задачи об изгибе круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. При составлении уравнений приняли во внимание искривление срединной поверхности и таким образом получили уравнения d3w „1dw!к1 — о / du? ^2
dr3 —гdr'г22г \ dr / "
Уравнения эти для каждого частного случая могут быть проинтегрированы вычислительным путем. Результаты, относящиеся к одному численному примеру, приведены на
рис. 92, где графически представлены прогибы, моменты и напряжения на различных расстояниях от центра изгибаемой пластинки. Расстояния выражены через толщину пластинки Н; через wo обозначены прогибы, получаемые элементарным путем; w — более точные значения прогибов; Ti и Г2 обозначают растягивающие усилия в срединной поверхности, имеющие соответственно направления радиуса и перпендикуляра к нему. Из рисунка видно, что при прогибе пластинки, составляющем 0,6 толщины, наибольшие напряжения в срединной плоскости пластинки достигают 18% тех максимальных напряжений, которые получаются элементарным путем.
С возрастанием прогиба разность между результатами точного и приближенного решений будет возрастать.
Условия на контуре пластинки
Задача об изгибе пластинки сводится, как мы видели, к решению дифференциального уравнения
^ \ дх4 + дх^ду^ + ду4 /^’(а)
При интегрировании этого уравнения возникает вопрос о тех условиях, которым должна удовлетворять функция w на контуре пластинки. Как, в самом деле, запишутся эти условия при различных способах закрепления краев пластинки? В дальнейшем нам придется иметь дело главным образом с прямоугольными пластинками, поэтому для упрощения составим граничные условия для w в случае прямоугольного контура.
Особенно просто граничные условия напишутся для заделанного края. Для точек этого края прогиб должен равняться нулю и плоскость, касательная к искривленной поверхности пластинки, должна быть параллельна первоначальному направлению срединной плоскости пластинки. Если, например, край прямоугольной пластинки, совпадающий с осью х (рис. 93), заделан, то граничные условия для этого края напишутся так:
- °; (-$-L - °-(209)
Рассмотрим теперь условия для опертого края. Опертый край при «изгибе пластинки может свободно поворачиваться, но прогибы по такому краю должны равняться нулю. Предположим, например, что край пластинки, совпадающий с осью ^, оперт. Принимая во внимание, что свободное поворачивание этого края предполагает отсутствие изгибающих моментов M1? напишем соответствующие граничные условия таким образом г:
№=о=О; (-^- + а-^)=0.(210)
Несколько более сложно решается вопрос о граничных условиях на свободном крае пластинки. Предположим, например, что край пластинки х = а (рис. 93) совершенно свободен.
В общем случае все усилия по этому краю могут быть приведены к непрерывному распределению изгибающих моментов Mv скручивающих моментов Нг и перерезывающих сил Nv Вполне естественно положить для свободного края
№=» = 0; <Нг^а = 0; <N^x=a = 0.(Ь)
Предполагается, что изгиб происходит под действием нагрузок, распределенных по поверхности пластинки.
25 1—1801
Таким сбразом, вместо двух граничных условий, которые мы имели в случае опертого и заделанного краев, здесь получаются три условия (Ь). В таком виде граничные условия были установлены С. Пуассоном, который первым, после появления работ Софи Жермен \ занялся строгим обоснованием основного уравнения (а) для изогнутой поверхности пластинки. Значительно позднее Г. Кирхгоф 2 показал, что два последних условия (Ь) не могут быть удовлетворены одновременно и что они сводятся к одному. Существо этого вопроса может быть
выяснено путем следующихвыяснено путем следующихэлементарных соображений. Положим, что mnpq (рис. 94) представляет собой свободный край пластинки. Выделим из него по длине бесконечно малый элемент ширины dy, заштрихованный на рисунке. Скручивающий момент, приходящийся на выделенный элемент, будет равен Hydy. На осно вании принципа Сен-Венана можно утверждать, что величина напряжений в точках пластинки,
выяснено путем следующих
выяснено путем следующих
Рис. 93.удаленных от выделенного элемента, не зависит
от способа осуществления пары сил Hxdy. Мы можем, не вызывая перераспределения напряжений внутри пластинки, непрерывно распределенные касательные усилия, дающие момент H^dy, заменить парой сосредоточенных сил, причем направление этих сил выбрать совершенно
произвольно.
Направим эти силы перпендикулярно к срединной плоскости по линиям, ограничивающим выделенный элемент края пластинки. Соответственно приня
тому нами ранее обозначению (см. рис. 89) направление этих сил будет такое,
как указано на рис. 94, и так как плечо пары принято равным dy, то каждая из сил будет равна Hv т. е. интенсивности скручивающего момента в рассматриваемом месте. Переходя от рассмотренного элемента к соседнему, ограниченному на рисунке пунктирной линией, можем произвести здесь такую же замену распределенных усилий парой сил. Но при этом нужно иметь в виду, что интенсивность скручивающих моментов
вдоль края пластинки, вообще говоря, из-
меняется, поэтому мы для нового выделенного элемента получим силы, равные
dxdy. Cm. Germain Sophie. Recherchesdxdy. Cm. Germain Sophie. RecherchesПо линии rs, разграничивающей два рассмотренных элемента края пластинки, будут действовать, таким образом, две прямо противоположные силы Нг и Hi + - ^- dy, и нам в дальнейшем придется считаться лишь с их разностью. Если представить себе весь край пластинки разделенным на бесконечно узкие
dxdy. Cm. Germain Sophie. Recherches
dxdy. Cm. Germain Sophie. Recherches
элементы шириной йу и произвести для каждого элемента такое преобразование
усилий, как это мы сделали выше, то мы получим по всем линиям, разграничивающим наши элементы, усилия -^^ йу. Таким образом, непрерывное распределение скручивающих моментов на основании принципа Сен-Венана заменя-
ется непрерывным распределением перерезывающих сил интенсивности .
Присоединяя эти силы к силам Nv получаем в случае свободного края вместо двух последних условий (Ь) одно такое условие:
Оу ' х=аОу ' х=а= 0.= 0.(с)(с)
Оу ' х=а
Оу ' х=а
= 0.
= 0.
(с)
(с)
Выражая условия на свободном крае в зависимости от w при помощи фор» мул (198), (205) и (207), получаем
d^w дх2d^w дх2^-)=0-ду» '«=„’^-)=0-ду» '«=„’Г д3и>I Эх3Г д3и>I Эх3+ (2 — а)+ (2 — а)03w 1дхду3 |х=а03w 1дхду3 |х=а(211)(211)
d^w дх2
d^w дх2
^-)=0-
ду» '«=„’
^-)=0-
ду» '«=„’
Г д3и>
I Эх3
Г д3и>
I Эх3
+ (2 — а)
+ (2 — а)
03w 1
дхду3 |х=а
03w 1
дхду3 |х=а
(211)
(211)
таким же образом для края у = 6 кроме непрерывно распределенных перерезытаким же образом для края у = 6 кроме непрерывно распределенных перерезыN.N.dxdx(d)(d)
таким же образом для края у = 6 кроме непрерывно распределенных перерезы
таким же образом для края у = 6 кроме непрерывно распределенных перерезы
N.
N.
dx
dx
(d)
(d)
Производя описанную выше замену моментов Нг непрерывно распределенными перерезывающими усилиями интенсивности dHJdy, мы должны остано
виться на крайних элементах рассматриваемого края, прилегающих к углам пластинки. Очевидно, в каждом из этих двух элементов одна из сил пары Н^у останется неуравновешенной, поэтому мы в результате нашего преобразования кроме непрерывно распределенных перерезывающих сил получим еще две сосредоточенные силы (рис. 95), приложенные в вершинах пластинки. Совершенно
вающих усилий интенсивности
получим у вершин сосредоточенные силы Я2 (рис. 95).
Если для вершин пластинки Нй = —Нг = —Н, то сосредоточенные силы приведутся к системе, представленной на рис. 96 . Стрелками указаны направления сил, соответствующие положительным значениям Н. Для большей ясности рассмотрим направления этих сил для какого-либо частного случая. Возьмем, например, изгиб квадратной пластинки равномерно распределенной нагрузкой. Края пластинки будем считать опертыми. Для выяснения направлений сосредоточенных сил, появляющихся при изгибе в вершинах пластинки, нет надобности иметь уравнение для изогнутой поверхности пластинки. Достаточно иметь лишь общее представление о виде этой поверхности. Если равномерная нагрузка направлена параллельно оси z, то сечения искривленной срединной поверхности пластинки плоскостями, параллельными координатным плоскостям ^х и ку, будут иметь вид, представленный на рис. 97. Прогибы, соответствующие этим сечениям, очевидно, будут тем меньшими, чем ближе сечение к соответствующей стороне контура. На основании этих общих данных мы можем установить знак второй производной d^wfdxdy для какой-либо точки Л, взятой у вершины
Р прямоугольной пластинки. Первая производная dwjdx для этой точки отрицательна и по абсолютному значению равна тангенсу угла, составляемого касательной к сечению АС в точке А с плоскостью контура пластинки. Если мы будем приближать точку А к вершине Р, то вследствие уменьшения кривизны соответствующего ей сечения А С отрицательная по знаку производная dwjdx
Рис. 97.Рис. 97.
Рис. 97.
Рис. 97.
будет убывать по абсолютному значению, следовательно, производная d^w/dxdy положительна.
Рис. 98.Рис. 98.На основании формулы (205) заключаем, что Н в точке Р отрицательно, и соответствующая сосредоточенная сила будет иметь направление, противоположное тому, которое взято на рис. 96. Путем совершенно таких же рассуждений можем убедиться, что у вершины R вторая производная d^wjdxdy отрицательна. Следовательно, Н положительно и соответствующая сосредоточенная сила будет направлена так, как указано на рис. 96. Повторяя рассуждения для всех вершин квадратной пластинки, найдем, что сосредоточенные у вершин силы представляют систему, указанную на рис. 98. Все силы направлены вниз и прижимают вершины изгибаемой пластинки к контуру.
Рис. 98.
Рис. 98.
Опыты над изгибом квадратной пластинки с опертыми краями под действием
равномерной нагрузки показывают, что вершины пластинки при изгибе имеют тенденцию приподыматься, и, чтобы получить непрерывное соприкасание краев пластинки с контуром, необходимо приложить в вершинах сосредоточенные силы, представленные на рис. 98.
Сосредоточенные силы, которые мы получали при замене моментов Н соответствующим распределением перерезывающих сил, являются следствием изломов в контуре пластинки. Если контур пластинки представляет собой плавную кривую, мы получим лишь непрерывное распределение перерезывающих сил интенсивности dH/ds, где 5 —- элемент дуги контура.
В тех случаях, когда Н постоянно по всему контуру, производная dH/ds обращается в нуль. Следовательно, такое распределение скручивающих моментов не вызывает в пластинке деформаций. Мы исключаем при этом, конечно, части пластинки, лежащие непосредственно у контура, где придется иметь дело с местными напряжениями и деформациями.
Для одного частного случая, именно для прямоугольной пластинки, мы можем без всякого затруднения исследовать как общий изгиб, так и местные деформации пластинки под действием равномерно распределенных по контуру моментов Н. Для этого воспользуемся решением Сен-Венана для кручения призм прямоугольного поперечного сечения. Прямоугольную пластинку мы можем рассматривать как предельный случай такой призмы, когда одна из сторон прямоугольного сечения весьма мала по сравнению с другой. Рассмотрим сначала кручение пластинки моментами, приложенными по краям, параллельным оси х (рис. 99). Распределение касательных напряжений по этим краям возьмем таким же, как это получается из решения Сен-Венана для поперечных сечений скрученной призмы (см. на-
стоящее издание). Для точек какой-либо линии тп, удаленной от вершин пластинки, касательные напряжения с большой точностью можно принимать параллельными срединной плоскости и пропорциональными расстоянию от этой плоскости. Совокупность всех этих напряжений дает лишь половину скручивающего момента. Другая половина этого момента состоит из напряжений, возникающих непосредственно у вершин пластинки от сосредоточенных сил Р (рис. 99). Таким образом, распределение напряжений в пластинке, если исключить части, лежащие в непосредственной близости от краев, параллельных оси у, получается весьма простым. Отличными от нуля будут лишь напряжения Ху для которых справедлива формула
(е)(е)Ху = 2tGz,
(е)
(е)
где через т обозначен угол закручивания пластинки на единицу длины.
Для напряжений у краев имеем решение Сен-Венана в форме бесконечных рядов [ § 51 части первой].
Совершенно таким же образом можно найти напряжения при скручивании пластинки
моментами, распределенными по краям, параллельным оси у. Выберем эти моменты такими, чтобы те силы, к которым приводятся касательные усилия у вершин пластинки, были равны по величине и противоположны по направлению силам Р, найденным выше. Тогда напряжения, вызываемые этими моментами, будут такие:
Ху = — 2rGz. (f)
Исключение составляют части пластинки, лежащие непосредственно у краев, параллельных оси х. Здесь более сложный закон распределения напряжений представляется решением Сен-Венана. Налагая друг на друга напряженные состояния, соот
ветствующие двум рассмотренным выше скручива
ниям, из сравнения формул (е) и (f) заключаем, что пластинка в этом случае окажется в общем не напряженной и лишь вблизи контура будут действовать касательные напряжения, которые легко вычисляются при помощи решения Сен-Венана.
Мы рассмотрели три основные способа закрепления краев пластинки (заделанный, опертый и свободный край) и нашли соответствующие граничные условия для функции w. На практике приходится встречаться и с другими, промежуточными способами закрепления. Например, встречается такое закрепление края пластинки, когда прогиб по краю невозможен, поворачивание же края возможно, но сопровождается появлением изгибающих моментов, пропорциональных повороту. Таким образом получается упруго заделанный край. Иногда край пластинки опирается не на жесткий контур, а на какую-либо балку, прогибающуюся под действием приходящихся на нее давлений. В таком случае получим упруго опертый край. Возможны, конечно, и другие способы закрепления. Составление граничных условий для всех этих случаев, на основании того, что было выше сказано для трех основных способов закрепления, не представит никаких затруднений. Если, например, край пластинки у = b (см. рис. 93) упруго заделан, то соответствующие граничные условия напишутся так:
/ \ Л п / 9^ш f ) I ди? \ v \ ду2 ‘ дх2 )у=Ь \ ду
Коэффициентом х характеризуется жесткость заделки края. Составим теперь граничные условия для того случая, когда край пластинки (z/ = &) опирается на балку жесткости EJ.
При изгибе пластинка будет производить на балку неперерывно распределенные давления, а балка в свою очередь будет оказывать на край пластинки равные и прямо противоположные этим давлениям реакции. Реакции эти соста-
жг
вятся из перерезывающих сил Л2 и из сил, заменяющих действие скручивающих моментов Н^. Следовательно, балка, поддерживающая край пластинки, окажется загруженной сплошной нагрузкой интенсивности
V 2 дху ду* +°> дх^ду
Пользуясь дифференциальным уравнением (4) для изогнутой оси балки, напишем искомое граничное условие таким образом:
S/(-^)=+ (2 — а)-^-].(212)
\ Эх4 )у=Ь [ ду8 v ’ дх2ду Jy=bv '
Второе условие при свободном поворачивании рассматриваемого края напишется так:
/ Q^w ,d^w \ п
' + а= 0.
\ ду2 1дх2 ]у=Ъ
Если же упруго опертый край вовсе не может поворачиваться, то в таком случае будем иметь
= 0.
\ д.у )у=ъ
Без всяких затруднений может быть написано граничное условие и в том случае, когда поворачиванию края препятствует упругое закрепление.
§ 52. Изгиб эллиптической пластинки с заделанными краями1
Задача об изгибе эллиптической пластинки с заделанными краями в случае действия равномерно распределенной нагрузки решается особенно просто. В самом деле, мы удовлетворим дифференциальному уравнению
°\8х4 + 2 дх28у2 + 8у4 / — q
и условиям на контуре нашей пластинки (рис. 100), если положим
w = с JL- + -^-_ 1 ,(b)
\ а2 о2 / ’v 7
(С)(С)где для краткости введено обозначение
(С)
(С)
2416 \
Ь4 + а2Ъ2 /
Для проверки этого составим последовательные про
изводные от w:
(d)(d)dw 4са: / ж2 , у2 л \ dw 4су / ж2
(d)
(d)
Эх а2 \ а2 * Ь2 /’ ду Ъ2 \ а2
d2w J-^LI^с (^>У2л V
(е)(f)(е)(f)дх2 а4 ‘ а2 \ а2 Ъ2 /’
(е)
(f)
(е)
(f)
d2w Scy24с /х2tу2,\
"ду2" — "Ль4"b2"+“^^
дЧо 24сеd4w_ 24с д4ю 8с
дх4^ а44ду4 Ь4’ дх2ду2’ а2Ь2 е
При подстановке четвертых производных (f) в уравнение (а) убеждаемся, что при выбранном значении с уравнение это будет удовлетворено. Кроме того, из уравнения контура пластинки
следует 1см. (Ь) и (d)], что на контуре
дю А дю Аw = 0. -г— = 0,= О,
дхду ’
т. е. прогибы на контуре равны нулю и края пластинки не поворачиваются. Таким образом, решение (Ь) удовлетворяет всем поставленным условиям и представляет собой искомое решение задачи.
Имея выражение для прогиба, мы легко находим все элементы, характеризующие изгиб пластинки. Наибольший прогиб получится, очевидно, в центре пластинки и мы его найдем, если в общем решении (Ь) положим ж = у = 0.
(213)извест-(213)извест-Тогда
(213)
извест-
(213)
извест-
(М>)шах — С — —-.
\ а4 Ь4 а2Ь2 /
Когда b = а. контур пластинки обращается в круг, и мы получаем ную формулу для прогиба круглой пластинки с заделанными краями:
,. да4
Другой предельный случай получим, положив Ъ = оо, тогда
(^з)шах —(^з)шах —да4 д (2а)4 245” " 3842) *
(^з)шах —
(^з)шах —
Это — прогиб балки-полоски пролетом 2а при действии равномерно распределенной нагрузки.
Для вычисления напряжений нужно обратиться к выражениям (198) для изгибающих моментов Мг и М^. Наибольших напряжений следует ожидать у концов малой полуоси эллипса и в центре пластинки. Положим 6 > а, тогда нужные для расчета значения Мг будут
\ В t dw2 I П дю \ 8с .
y=0\ dx2Jy=Qa2
(■Л4Г1)к=у=о. = D^c ^—^5—p -^2*).
Следовательно, наибольшее напряжение имеет место у концов малой полуоси, где Мг достигает наибольшего значения. Величина этого напряжения
(^«)тах = D-^=1_.(214)
Если положить а = Ь, то придем к известной формуле для круглой пластинки с заделанными краями:
(Хж)тах ^(Хж)тах ^3 да2Т1Г •3 да2Т1Г •
(Хж)тах ^
(Хж)тах ^
3 да2
Т1Г •
3 да2
Т1Г •
При Ъ = со получим напряжение, соответствующее изгибу балки-полоски с заделанными концами под действием равномерной нагрузки. При помощи фор
мул (198) и (205) мы можем вычислить значения Mt1 М^ и Н для любой точки пластинки и определить соответствующие им значения Хх, Yy и Ху. По этим величинам легко находятся в любой точке значения главных напряжений.
Найдем выражения для моментов и перерезывающих сил, действующих по криволинейному контуру нашей пластинки. Пусть тпр (рис. 101) представляет элемент пластинки, выделенный у контура сечениями, параллельными плоскостям zx и zy.
Направление внешней нормали к контуру и направление элемента контура примем за оси хг и у'. Тогда, обозначив через 6 угол между х и х , получим такую таблицу значений косинусов
углов между новыми и старыми осями:
®У
х!cos 9 sin 9
уг — sin 9 cos 9.
При помощи этой таблицы составляем выражения для напряжений по площадке, нормальной к х' [см. ч. первую, § 5, формулы (6) и (7)]:
(215)(215)Хх' = Хх cos2 0 + Yy sin2 6 + Ху sin 29;
(215)
(215)
Xv =^ (Xx — Yy) sin 20 4- Xy cos 20.
Отсюда легко находим выражения для изгибающих и скручивающих моментов, действующих по краю пластинки:
Н*Л/2
М = § X^zdz = Мх cos2 0 4- Мг sin2 0 4* Нх sin 20;
(216)
Н = f xVzdz =^-(Мх — М2) sin 20 4-^i cos 20.
(217)(217)N = Ny cos 0 + N^ sin 0.N = Ny cos 0 + N^ sin 0.Проектируя все силы, приложенные к выделенному элементу тпр, на направление оси z, получаем выражение для перерезывающих сил N, действующих по краю пластинки:
(217)
(217)
N = Ny cos 0 + N^ sin 0.
N = Ny cos 0 + N^ sin 0.
Формулы (215), (216) и (217) решают вопрос о напряжениях, моментах и перерезывающей силе, действующих по любому нормальному сечению пластинки. Вычислим, например, значение перерезывающей силы на контуре нашей
пластинки. На основании общих формул (207) получаем
Кроме того, из уравнения эллиптического контура имеем cos 9 = ~- ==. ; sin 6 =— = „ =
os уу2а4 -|- а^1Л&s у у^а4 4* я2^4 *
Подставляя полученные выражения cos 6 и sin 9 в формулу (217), получаем
У^у3»4 + xW ( а3 \ а *) ‘ Ь2 \ Ь1 *
При а = b
у _ . 32Рс да
а32~" *
Этот результат для круглой пластинки можно было бы получить сразу делением нагрузки ла2д, лежащей на пластинке, на окружность 2ла.
При составлении выражения для давлений, воспринимаемых контуром, нужно к перерезывающим силам N присоединить непрерывно распределенные усилия, заменяющие скручивающие моменты Н. Принимая во внимание направление для Я, принятое при составлении формулы (216), мы путем таких же рассуждений, как и в предыдущем параграфе, найдем для реакций контура выражение N + dHIds. 1
Имея это выражение и формулы (216) и (217), мы легко могли бы составить граничные условия для любого способа закрепления эллиптической пластинки. К сожалению, до сих пор удалось получить решение лишь для рассмотренного выше случая пластинки с заделанными краями.
§ 53. Изгиб круглой пластинки
Некоторые решения для круглой пластинки мы могли получить выше, рассматривая ее как частный случай пластинки с эллиптическим контуром. Но задача об изгибе круглой пластинки может быть разрешена в гораздо более общем случае Ч При разыскании этого решения выгодно, конечно, пользоваться полярными координатами. Располагая начало координат в центре пластинки и определяя положение какой-либо точки величиной радиуса-вектора г и углом 0, составляемым этим радиусом с осью х, будем иметь ж = г cos 0; у = г sin 0. Введя вместо х и у новые переменные г и 0, получим
dx^ ' ду2 дт^ ' r dr ' г2 д^ *
Общее уравнение (206) для изогнутой пластинки напишется так:
г dr ' г2 502 у дг^ 'г dr ' г2 502 у дг^ '1 dw 1 d^w \
г dr ' г2 502 у дг^ '
г dr ' г2 502 у дг^ '
"502"у ^
или, выполняя дифференцирование,
d4w dr4d4w dr42d3w1d^w 1dw 8^ / 2rdr3r^dr2** r3dr' d02 у г22 dw w \ x 1 dho ql^~^^^’74) + ^'~dQ4~'^D 92d3w1d^w 1dw 8^ / 2rdr3r^dr2** r3dr' d02 у г22 dw w \ x 1 dho ql^~^^^’74) + ^'~dQ4~'^D 9d^w dr1d^w dr1(218)(218)
d4w dr4
d4w dr4
2d3w1d^w 1dw 8^ / 2
rdr3r^dr2** r3dr' d02 у г2
2 dw w \ x 1 dho q
l^~^^^’74) + ^'~dQ4~'^D 9
2d3w1d^w 1dw 8^ / 2
rdr3r^dr2** r3dr' d02 у г2
2 dw w \ x 1 dho q
l^~^^^’74) + ^'~dQ4~'^D 9
d^w dr1
d^w dr1
(218)
(218)
А. Клебш дал общее решение этого уравнения и применил его к случаю действия на пластинку одной сосредоточенной силы. Имея решение для сосредоточенной силы, мы путем наложения найдем изгиб пластинки любой системой сил, перпендикулярных к пластинке.
Ограничимся здесь простейшим случаем, когда нагрузка, изгибающая пластинку, распределена симметрично относительно центра. При этом условии срединная поверхность изогнутой пластинки будет поверхностью вращения и величина прогиба w будет зависеть лишь от расстояния г рассматриваемой точки до центра пластинки. В таком случае в уравнении (218) пропадут члены, заключающие производные по 6, и мы получим
,2d»w1 d^w,1dwу
dr^ "*тdr3г dr2'r3drD''
Общий интеграл соответствующего уравнения без последнего члена напишется так х: w = Су In г + С^Хпг + Сзгй + С4. Присоединяя к нему частное решение уравнения (218'), получаем общее выражение для w. Особенно просто решается задача в тех случаях, когда интенсивность нагрузки q представляется целой алгебраической функцией от г.
Возьмем, например, равномерно распределенную нагрузку. В этом случае q — постоянно и частное решение уравнения (218') напишется так:
Произвольные постоянные в общем интеграле
ш = Ct Inr + С^ Inr + C3r2 + с4 +
нужно определить из условий на контуре и в центре пластинки (мы предполагаем пластинку сплошной). Чтобы прогиб пластинки и кривизна в центре (при г = 0) получались конечными, нужно положить в общем интеграле Ci = С2 = 0.
Условия на контуре (г = а) напишутся различно в зависимости от способа закрепления. Для заделанного края будем иметь
/ dw \
(а)(а)w~-tt I—L-0'
(а)
(а)
В случае опертого края нужно составить выражение для изгибающих моментов по контуру и приравнять это выражение нулю. Совмещая ось х с направлением г и принимая во внимание, что в этом случае для симметричного изгиба имеют место равенства
02wd^wеd2w1dwеd^w
dx2dr2*dy2rdr’dxdy
найдем для изгибающих моментов, действующих по краю пластинки, выражение
f d^w
о
dw \
м = — о^
v dr2 '
-т-■<b>
dr / r=a
(219)(219)(220)(220)Условия для опертого края напишутся так:
(219)
(219)
(220)
(220)
/ d2wa
dw \„
Иг=« = °;
\ dr2 ' r
—=0.(c)
ar )t=q
Определяя произвольные постоянные С3 и С4, на основании условий (а), получаем для пластинки с заделанным краем
Подобным же образом для пластинки с опертым краем найдем
wwЯ L 22х2 , 4д2(а2—г2) I
w
w
= На2 — г2)2 Ч).
64# Г1+о J
Имея уравнение изогнутой поверхности, легко найти значения изгибающих и скручивающего моментов, а также соответствующие им напряжения. Мы приняли ось х совпадающей с направлением г. В таком случае
МЛМЛd^wd^w1‘Подставив сюда вместо1‘Подставив сюда вместо1 dm \а— ; Мг = г dr )1 dm \а— ; Мг = г dr )1 dwг dr1 dwг drя = о.я = о.w выражение (219), найдемq^1==-^-М(1 + а)-гЧЗ + а)];1Оw выражение (219), найдемq^1==-^-М(1 + а)-гЧЗ + а)];1О
МЛ
МЛ
d^w
d^w
1‘
Подставив сюда вместо
1‘
Подставив сюда вместо
1 dm \
а— ; Мг = г dr )
1 dm \
а— ; Мг = г dr )
1 dw
г dr
1 dw
г dr
я = о.
я = о.
w выражение (219), найдем
q
^1==-^-М(1 + а)-гЧЗ + а)];
1О
w выражение (219), найдем
q
^1==-^-М(1 + а)-гЧЗ + а)];
1О
q
M2 = -^41 + <r)--r41 + 3a)J.
На контуре пластинки будем иметьНа контуре пластинки будем иметьМ^М^oqa^oqa^В центреВ центреМг = МйМг = Мйqa2 (1 + О)16qa2 (1 + О)16
На контуре пластинки будем иметь
На контуре пластинки будем иметь
М^
М^
oqa^
oqa^
В центре
В центре
Мг = Мй
Мг = Мй
qa2 (1 + О)
16
qa2 (1 + О)
16
Наибольшие напряжения получаются у заделанного края, где
^3 qa2
^^ ^ "4 дГ
В случае пластинки с опертым краем получим
мх = + [а2 (3 + а) - ^ (3 + а)];
^2 = + [°2 (3 + а) — г2 (1 + 3<01-
Наибольшие напряжения имеют место в центре пластинки, где
м(3 + a)?a2-3(3 +О) qa?
ML — М- = ; rr__v =
1216> max§№
Сравним полученные здесь результаты приближенной теории пластинок с точными решениями. Для пластинки с опертым краем точное решение дает (см. стр. 161)
—Г:—Г:. г 3(3 + а) а2 3 2 +оmax ” g ^§5
—Г:
—Г:
q W = 64Z)q W = 64Z)4а2 (а2 — г2) ] q8 + о + а2
q W = 64Z)
q W = 64Z)
(а2 __ Г2)2 I1L +^ _ Г2Х^2.
k1 + а J 8Z)' 5 (1 — о2)
Мы видим, что в тех случаях, когда толщина пластинки h мала по сравнению с радиусом а, поправки, которые получаются путем точного решения, весьма малы (порядка h?{a^ и мы можем при расчетах ими пренебрегать. Такие же заключения относительно точности приближенного решения можно получить и для пластинки с заделанными краями.
Путем элементарных соображений, аналогичных тем, которыми пользуются при оценке влияния касательных сил на прогиб балок, можно показать, что главная часть поправки к приближенному выражению для прогиба пластинки (220) соответствует действию касательных напряжений rz.
В заключение приводим окончательные результаты, получаемые из уравнения (218*) для нескольких частных видов нагрузки. ~
Для пластинки с опертым краем, нагруженной в центре сосредоточенной силой Pt
Р8nDР8nD— г2 In— г2 In1I1I3 + о1 + о3 + о1 + о(а2 — г2)(а2 — г2)
Р8nD
Р8nD
— г2 In
— г2 In
1
I
1
I
3 + о
1 + о
3 + о
1 + о
(а2 — г2)
(а2 — г2)
w =
Р 8nD
а
г
у (a2 — ^j.
Для пластинки с опертым краем, несущей нагрузку Р, равномерно распределенную до кругу радиуса Ъ, выражение для и? имеет различные формы в зависимости от того, будет ли г больше или меньше Ъ:
Р Г, а (З + ^а— (1 — а)ба1
г> 8яО [ '' г ^2(1 +a) a2'']’
Р Гаа2 — (1 — aW1
”'<»-^Н^>ь^ + у-у>+-:Чгт^^,а‘-^
При той же нагрузке, но для пластинки с заделанным краем будем иметь 1
Р Iа1 /62 \1
wr<b=-5Zn H^ + ^to —+ (га-*2) + — 1 + -гМ®8-^) 5
ОЛХУ IО\ d /I
Р Га 1 /№ \1
"’>• “ &й7 [-^ + *■>'“—+ Т (‘+ ^г) <“’- + ■
Задача об изгибе круглой пластинки, лежащей на сплошном упругом основании, разрешена Г. Герцем 2.
Если через к обозначим коэффициент, на который нужно множить прогиб w, чтобы получить интенсивность реакции основания в рассматриваемой точке и, кроме того, введем обозначение а = ^D/k, то для максимального прогиба пластинки бесконечно большого радиуса под действием приложенной в центре силы Р получим выражение и? = Р/8^а2. Пластинка при этом подразделится на ряд волн, идущих по концентрическим кругам и постепенно затухающих по мере удаления от точки приложения силы. Мы получаем, таким образом, явление, аналогичное тому, которое имеет место при изгибе бесконечно длинной балки, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенной силой.
§ 54. Изгиб прямоугольной пластинки с опертыми краями
Пусть а и Ь — длины сторон прямоугольной пластинки (рис. 102). Поместим начало координат в одной из вершин прямоугольного контура и направим оси по сторонам пластинки. Интенсивность сплошной изгибающей нагрузки в общем случае будет переменной, и мы ее определим некоторой функцией / (х, у). Тогда дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки напишется так:
ди? о ди?4 ди?41 ,, ., х
дх4 + дх^ду^ + ду4D ^Х' ^*^
Так как края пластинки оперты, то на контуре прогиб w и изгибающие моменты Мг и М^ должны равняться нулю. Следовательно, w = 0 при ж = 0,
х = а^ у = О, у = Ь: дЧ®х = а^ у = О, у = Ь: дЧ®+ О+ ОдЧ® ду^дЧ® ду^О при х = О, х = а;О при х = О, х = а;d^w1^d^w1^-—- = О при у = О, g = b.-—- = О при у = О, g = b.
х = а^ у = О, у = Ь: дЧ®
х = а^ у = О, у = Ь: дЧ®
+ О
+ О
дЧ® ду^
дЧ® ду^
О при х = О, х = а;
О при х = О, х = а;
d^w
1^
d^w
1^
-—- = О при у = О, g = b.
-—- = О при у = О, g = b.
Мы удовлетворим всем условиям на контуре пластинки, если возьмем для прогиба пластинки выражение
(b)(b)4. пгтис . пну
(b)
(b)
Лтп sin-^-sin-£-
где тип — целые числа. Подставив выражение (Ь) в левую часть уравнения (а),
получим выражениеполучим выражение
получим выражение
получим выражение
принятому прогибу (Ь).принятому прогибу (Ь).ъJ sm-^sm-yMyОъJ sm-^sm-yMyО= 0 при п 4- пь= — при п = п ,= 0 при п 4- пь= — при п = п ,
принятому прогибу (Ь).
принятому прогибу (Ь).
ъ
J sm-^sm-yMy
О
ъ
J sm-^sm-yMy
О
= 0 при п 4- п
ь
= — при п = п ,
= 0 при п 4- п
ь
= — при п = п ,
и уравнение будет удовлетворено лишь в том случае, если интенсивность изги
бающей нагрузки в каждой точке пропорциональна Чтобы получить решение для любого распределения сплошной нагрузки, воспользуемся тем обстоятельством, что любую форму искривленной поверхности нашей пластинки можно представить в виде двойного бесконечного ряда, члены которого будут иметь вид (Ъ). В таком случае можно положить
щ=оо п=оо
w = Z 2а Атп 8Ш —— Sin -^- .(с)
т=1 п=1
Подставляя это выражение в уравнение (а), нахо
дим, что коэффициенты AmTi ряда (с) должны быть подобраны так, чтобы было
выполнено условие
т=со п=оо
л X1 a I t ”2 I • trot® . пзгу 1 , , х, 1х
Я 2 2 ^h5" + "УЛ Sin—sin-^- = -^/(^6,).(d)
m=l n«»l
Для определения этих коэффициентов воспользуемся известным приемом. Помножим обе части равенства (d) на sin^—^ dy и потом проинтегрируем в пределах от 0 до 6. Принимая во внимание, что
перепишем равенство (d) таким образом:
(d')(d')п? \• тлх 1 С * /\ • roty ч
(d')
(d')
_j sm__ = _ j/($, y)gin-^-dy.
О
В левой части суммирование выполняется по т; число п остается постоянным и равным п'. Чтобы привести полученный ряд к одному члену, помножим обе части равенства (d') на sin --^ dx и проинтегрируем в пределах от 0 до а. При этом пропадут все члены ряда, кроме того, для которого т = т? 1 и мы
в заключение получим
а6
(d”)(d”)а b * аt V Сj Сz \
(d”)
(d”)
—.—лМтЦ-^Ч--^ = -^-j sm-^-Дг j sin—^_/(х, y)dy.
Оо
Если закон распределения изгибающей нагрузки задан, мы вставляем соответствующую функцию / (х, у) в равенство (сГ) и, выполняя интегрирование, получаем искомое значение коэффициента Атт1. Например, в случае равномерной нагрузки интенсивности q будем иметь
/(ж, у) = q; аЪ
4г j sin -—-dz J Sie -^- / (^ y) dy = -^^ (1 — cos mn) (1 — cos пл), о0
Уравнение (d*) дает нам д
при m и n нечетных,
Amn = 0
при mи учетных. Подставляя найденные выражения для Атп в общую формулу (су, получаем для прогиба пластинки под действием равномерной нагрузки такое выражение:
соООтяж под
sinsm—;—
У У Л- (221)
тп=1^,5, ... «=1,3,5,...\ а2 О3 /
Если пластинка изгибается сосредоточенной силой Р, приложенной в точке х = с, у = d, то функция / (х, у) равна нулю по всей поверхности пластинки, кроме точки приложения силы, и мы найдем из (сГ)
, ~ . тле . nnd
Ащп —Ащп —Вл^аЪ ^-Вл^аЪ ^-т^ а2т^ а24Р smsin —— ао
Ащп —
Ащп —
Вл^аЪ ^-
Вл^аЪ ^-
т^ а2
т^ а2
В этом случае получаем для прогиба выражение
771=00 71=00ШЛСTlTld
sinsin—Г—
4Р Ж 1 Ж 1 аЪ . т-пх . под
w =. Ж Ж —sinsin —.(222)
Dy*abт2 „2 \2аb''
Подобным же образом легко может быть получено выражение для w при всякой другой нагрузке х.
Решение (с), которым мы здесь воспользовались, может быть распространено на тот случай, когда изгибаемая прямоугольная пластинка с опертыми краями лежит на упругом основании. См. работу А. И. Маслова «К вопросу об устойчивости сжатых пластин, лежащих на упругом опорном контуре». С.-Петербург, тип. Морского министерства при Главном адмиралтействе, 1914, 13 стр. '
Остановимся теперь подробнее на случае действия равномерно распределенной нагрузки, с которым часто приходится встречаться при технических расчетах.
Имея общее выражение (221) для прогиба и полагая в нем х = а/2, у = Ь]^ получаем значение стрелки прогиба в центре пластинки
Подставляя вместо D его выражение и вычисляя значение двойной суммы при заданном соотношении между сторонами пластинки, можем представить максимальный прогиб так:
(М^тах — а £7г3 *
Ряд значений коэффициента а приводим в табл. 26т. Из нее видно, что с увеличением отношения Ъ/а величина прогиба прямоугольной пластинки быстро приближается к прогибу пластинки, изгибаемой по цилиндрической поверхности (этот изгиб будем иметь при Ъ(а = со). При Ъ/а = 3 разность в прогибах составляет примерно 6,5% прогиба пластинки. При Ъ1а = 5 эта разность меньше 0,5%.
Для изгибающих моментов Мх и ТИ2 на основании (198) будем иметь
мг =мг =c^id дх2c^id дх2d^w \d^w \16да2 л416да2 л4тптпп?т2 +а——/ п2п?т2 +а——/ п222. тлх . плиsinsin —~-ао. тлх . плиsinsin —~-аот= 1,3,5 ... п=»1,3,5 ...т= 1,3,5 ... п=»1,3,5 ...М.=М.=^qa2 л4^qa2 л4д2шду2п2д2шду2п2М.2 / д2ш дх2М.2 / д2ш дх2р от2и,2. тлх . плуЛ sinSin —т^-/ п2 V аор от2и,2. тлх . плуЛ sinSin —т^-/ п2 V аоm=l,3s5 ... п» 1,3,5 ...m=l,3s5 ... п» 1,3,5 ...тп I т2тп I т2
мг =
мг =
c^id дх2
c^id дх2
d^w \
d^w \
16да2 л4
16да2 л4
тп
тп
п?
т2 +а——
/ п2
п?
т2 +а——
/ п2
2
2
. тлх . плиsinsin —~-ао
. тлх . плиsinsin —~-ао
т= 1,3,5 ... п=»1,3,5 ...
т= 1,3,5 ... п=»1,3,5 ...
М.=
М.=
^qa2 л4
^qa2 л4
д2шду2п2
д2шду2п2
М.2 / д2ш дх2
М.2 / д2ш дх2
р от2
и,2. тлх . плу
Л sinSin —т^-
/ п2 V ао
р от2
и,2. тлх . плу
Л sinSin —т^-
/ п2 V ао
m=l,3s5 ... п» 1,3,5 ...
m=l,3s5 ... п» 1,3,5 ...
тп I т2
тп I т2
Здесь через ц обозначено отношение Ь/а.
На основании полученных выражений заключаем, что для двух пластинок с одинаковым отношением сторон р напряжения в соответствующих точках будут одинаковы, если только равны полные нагрузки, лежащие на пластинках. В силу симметрии заключаем, что наибольшие напряжения имеют место
в центре пластинки. Полагая х = -|-, у = -|-, находим
2 1^лгг -[- ——1у,22 1^лгг -[- ——1у,222(-1)(-1)т-Ьп , , 2 =wт-Ьп , , 2 =wтп тп2 ЧТП=1,3,5 . - п=е 1,3,5 ...\|>м2 . о—~ + ат3тп тп2 ЧТП=1,3,5 . - п=е 1,3,5 ...\|>м2 . о—~ + ат3(М \_ 16да2VV12/max — л4(М \_ 16да2VV12/max — л4т-^п2т-^п222= р^а®.= р^а®.тл +-ч-т=1,3,5 .....\IЗначения коэффициентов Р и рх при разных соотношениях между сторона-тл +-ч-т=1,3,5 .....\IЗначения коэффициентов Р и рх при разных соотношениях между сторона-ми приведены в табл. 26. Сми приведены в табл. 26. Сувеличением длины пластинки значение максимального изгибающего момента приближается к величине, соответствующей изгибу пластинки по цилиндрической поверхности. Если при ц = 3 расчет пластинки заменить расчетом балки-полоски длины а, то вувеличением длины пластинки значение максимального изгибающего момента приближается к величине, соответствующей изгибу пластинки по цилиндрической поверхности. Если при ц = 3 расчет пластинки заменить расчетом балки-полоски длины а, то в
2 1^
лгг -[- ——
1у,2
2 1^
лгг -[- ——
1у,2
2
2
(-1)
(-1)
т-Ьп , , 2 =w
т-Ьп , , 2 =w
тп тп2 Ч
ТП=1,3,5 . - п=е 1,3,5 ...\|>
м2 . о
—~ + ат3
тп тп2 Ч
ТП=1,3,5 . - п=е 1,3,5 ...\|>
м2 . о
—~ + ат3
(М \_ 16да2
VV12/max — л4
(М \_ 16да2
VV12/max — л4
т-^п
2
т-^п
2
2
2
= р^а®.
= р^а®.
тл +-ч-
т=1,3,5 .....\I
Значения коэффициентов Р и рх при разных соотношениях между сторона-
тл +-ч-
т=1,3,5 .....\I
Значения коэффициентов Р и рх при разных соотношениях между сторона-
ми приведены в табл. 26. С
ми приведены в табл. 26. С
увеличением длины пластинки значение максимального изгибающего момента приближается к величине, соответствующей изгибу пластинки по цилиндрической поверхности. Если при ц = 3 расчет пластинки заменить расчетом балки-полоски длины а, то в
увеличением длины пластинки значение максимального изгибающего момента приближается к величине, соответствующей изгибу пластинки по цилиндрической поверхности. Если при ц = 3 расчет пластинки заменить расчетом балки-полоски длины а, то в
величине 5%. При Длявеличине 5%. При Длямаксимального момента получим погрешность, составляющую около ц = 5 погрешность эта составит лишь х/3%.
величине 5%. При Для
величине 5%. При Для
определения перерезывающих сил воспользуемся формулами (207)
Ni-Ni-Na =Na =d3w д^ш \
Ni-
Ni-
Na =
Na =
дх^ * дхду* Г
д3ш. дгш \
ду3 дх^ду j
Подставив в эти формулы вместо w его значение и произведя соответствующие вычисления, убедимся, что наибольшие значения перерезывающих сил имеют место в средних точках сторон пластинки. Эти максимальные значения Nx и N^ могут быть представлены в таком виде:
U^l)max ~ Y^i ^N2)max — Y17^>
значения коэффициентов у и ^ приведены в табл. 26.
Для получения давлений, передаваемых пластинкой на контур, нужно к N^ и TV2 присоединить еще дополнительные усилия ^^ и ^~ (см. § 51), обусловленные скручивающим моментом Hv Давления в средних точках сторон контура пластинки представятся так:
9Ht \
9У ) ъ
У= —
ЭН^Х
= бда;
; х=0
= б196.
Коэффициенты б и б1? вычисленные для различных значений ц, приведены в табл. 26. Кроме того, на рис. 103 представлено изменение полных давлений и давлений, соответствующих скручивающим моментам Hv вдоль стороны квадратной пластинки. На рис. 104 представлено изменение вдоль контура перерезывающих сил Nt и N2 для пластинки с отношением сторон ц = 4. Вычисления показывают, что опорные реакции, соответствующие NT и N21 уравновешивают нагрузку, лежащую на пластинке. Дополнительные реакции от скручивающих моментов Нг уравновешивают сосредоточенные реактивные силы Д, действующие в вершинах пластинки.
Полное давление, соответствующее перерезывающим силам N^ и передающееся на короткую сторону пластинки, медленнно возрастает с увеличением
Таблица 26
•o [ <3
II a
s
+
<3 СУ
И
+
°5 1 w
II
И
§ 9
И
J
M
J
и
J
<3
X
J
<3 СУ
II 8
II
II
II
JI
IL
1,0
0,0443
0,0479
0,0479
0,338
0,338
0,420
0,420
0,065
1,1
0,0530
0,0553
0,0494
0,360
0,315
0,440
0,400
0,064
1,2
0,0616
0,0626
0,0501
0,380
0,294
0,455
0,377
0,062
1,3
0,0697
0,0693
0,0504
0,397
0,275
0,468
0,357
0,061
1,4
0,0770
0,0753
0,0506
0,411
0,258
0,478
0,337
0,059
1,5
0,0843
0,0812
0,0500
0,424
0,242
0,486
0,323
0,057
1,6
0,0906
0,0862
0,0493
0,435
0,229
0,491
0,303
0,054
1,7
0,0964
0,0908
0,0486
0,444
0,216
0,496
0,287
0,052
1,8
0,1017
0,0948
0,0479
0,452
0,205
0,499
0,273
0,050
1,9
0,1064
0,0985
0,0471
0,459
0,194
0,502
0,260
0,048
2,0
0,1106
0,1017
0,0464
0,465
0,185
0,503
0,248
0,046
3,0
0,1336
0,1189
0,0404
0,493
0,124
0,505
0,166
0,031
4,0
0,1400
0,1235
0,0384
0,498
0,093
0,502
0,125
0,024
5,0
0,1416
0,1246
0,0375
0,500
0,074
0,500
0,100
0,019
oo
0,1422
0,1250
0,0375
0,500
0,500
—
длинной стороны и в предельном случае превосходит то давление, которое мы имеем для квадратной пластинки (т. е. величину qa^l^Y примерно на 8,5%. Полное давление на ту же сторону контура от скручивающих пар составляет в случае квадратной пластинки 26% и в случае весьма длинной пластинки 35% того давления, которое обусловлено усилиями N^
На длинных сторонах контура давление, соответствующее скручивающим парам Hv играет меньшую роль. Его значение убывает с возрастанием длины пластинки, и, например, при ц = 3 оно составляет лишь около 8% давления, обусловленного силами Nv Из рис. 104 видно, что при ц = 4 давление в средней части длинных сторон контура остается почти постоянным и близким к давлению, соответствующему бесконечно длинной пластинке.
Реактивные силы Д, сосредоточенные в вершинах пластинки, определятся из формулы
R = — 2Нг = 2D(1 — о)-^-.
' дхду
Подставляя сюда вместо w выражение (221), получаем для R значения, приведенные в последней строке табл. 26.
Решение Л. Навье можно применить при исследовании колебаний прямоугольной пластинки. Чтобы получить соответствующее дифференциальное уравнение, нужно в правую часть уравнения (а) вместо изгибающей нагрузки подставить силы инерции. Если через q мы обозначим вес пластинки, приходящийся на единицу поверхности, то уравнение для колебаний напишется так:
дх4 dx2dy2 dy4D g dt2 *
Мы удовлетворим условиям на контуре пластинки, если положим . тих . пну ,
W = S1D ————• SIH —т*" cos pt.ab r
Подставляя это выражение для прогиба в уравнение (е), получаем для частоты выбранного типа колебаний значение
Исследование собственных и вынужденных колебаний пластинок может быть выполнено в рассматриваемом случае так же, как это было сделано при рассмотрении колебаний балок с опертыми концами.
§ 55. Изгиб прямоугольной пластинки, у которой две прямо противоположные стороны оперты, а две другие закреплены любым способом
Предположим, что стороны пластинки, параллельные оси у (см. рис. 102), оперты, а две другие стороны закреплены как угодно. При исследовании вопроса об изгибе этой пластинки воспользуемся решением М. Леви х. Мы удовлетворим условиям на опертых сторонах пластинки, если возьмем частное решение дифференциального уравнения
д4и? . о d4w . д4и> 1 , ,хх
+ 2 Эх^ду1 + "Иу^ ~~D ^Ж’^
в такой форме:
У
* МЗТХ/т^х
п sin —— .(b)
Здесь Уп — неизвест/ная пока функция у, которая должна быть выбрана таким образом, чтобы были удовлетворены уравнение (а) и условия по сторонам пластинки, параллельным оси х. Будем искать выражение для прогиба пластинки в форме бесконечного ряда:
2 ^nSin-^,(с)
П=1
который получается путем наложения решений вида (Ь).
L е v у М. Sur I’equilibre elastique d’une plague rectangulaire. Comptes rendus des seances de l’Acad6mie des sciences, 1899, t. 129, N 15, pp. 535—539. Приложение решения M. Леви к ряду частных случаев имеется в статье EstanaveM. Е. Contribution a l’£tu~ de de I’equilibre elastique d’une plaque rectangulaire mince. Annales scientifiques de 1’ecole normale superieure publices sous les auspices du ministre de Pinstruction publique, par un comite de reduction compose des maitres de conferences de Fecole. Serie 3, 1900, t. 17, pp. 295—358.
Подставив выражение (с) в дифференциальное уравнение (а), найдем
n=l
Отсюда, умножая обе части полученного уравнения на sin ——■ йх и интегрируя их в пределах от 0 до а, получаем для функции Yn такое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами^
•тт'(4) Zn^TX? xz" 1 n^Tt^ tz 2 х \ • ПТХХ ••
(ф(фУпi^y"+—У" = ^д).,(3:'У)81П —^
(ф
(ф
о
Если для сокращения положим nuja = а и обозначим через фп (у) частное решение уравнения (d), то общий интеграл его напишется так:
Yп = Фп (у) + Ап sh ay + Вп ch ay + у (Сп sh ay + Dn ch ay).(e)
Произвольные постоянные Лп, ..., Dn могут быть определены из условий закрепления по краям пластинки, параллельным оси х.
Найдем значения этих постоянных для нескольких частных случаев.
Если предположить, что края пластинки, параллельные оси ж, оперты, то придем к рассмотренной выше задаче Навье. Условия закрепления на этих краях пишутся так:
и? = 0; —— = 0 при у = 0; у = о.
откуда
Yn — 0; У^ = 0 при у = 0; у = Ь.
Для получения произвольных постоянных общего интеграла (е) будем иметь такие уравнения:
<Pn(°) + Sn = °; ф; (0) + S„a2 + 2Cna = 0;
Фп № + Ап sh °^ + Вп ch ab + b (Сп sh ab + Dn ch ab) = 0;
Фп ^ + а2 (^п sh а^ + Вп С^ °^) + 2а (^п с^ а^ + Dn sh ab) +
+ ba? {Cn sh ab + Dn ch ab) = 0.
ся так:ся так:В случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности q уравнение (d) напишетВ случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности q уравнение (d) напишетy(i)_?!™Lп а1y(i)_?!™Lп а1п4л4а4п4л4а42q-—(1 —, cos ПЛ).aD а'2q-—(1 —, cos ПЛ).aD а'
ся так:
ся так:
В случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности q уравнение (d) напишет
В случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности q уравнение (d) напишет
y(i)_?!™L
п а1
y(i)_?!™L
п а1
п4л4а4
п4л4а4
2q
-—(1 —, cos ПЛ).
aD а'
2q
-—(1 —, cos ПЛ).
aD а'
При п четном правая часть полученного уравнения обращается в нуль и мы будем иметь Фп ^ ” ^* Произвольные постоянные Лп, ..., D^ определяемые из уравнений (f), будут при этом равняться нулю, вместе с тем обращаются в нуль и функции Yn четного порядка.
При п нечетном найдем
aDa? '
Уравнения (f) дадут для произвольных постоянных Лп, ..., Dn значения
£ва К е
Ви- Сп""Т"^’
^ К a2 (1 — ch ab)
n ™ а6 2а sh ab *
А — ‘^ (1 — ch осб) (ba2 — 2а sh ab)ab2а sh2 ab
4gaD4gaD(1 — ch afe) (fea2 — 2а sh ab^ 2а sh2 ab(1 — ch afe) (fea2 — 2а sh ab^ 2а sh2 absh ау — ch ау +sh ау — ch ау +а2 (1 — ch afe) 2а sh abа2 (1 — ch afe) 2а sh ab
4gaD
4gaD
(1 — ch afe) (fea2 — 2а sh ab^ 2а sh2 ab
(1 — ch afe) (fea2 — 2а sh ab^ 2а sh2 ab
sh ау — ch ау +
sh ау — ch ау +
а2 (1 — ch afe) 2а sh ab
а2 (1 — ch afe) 2а sh ab
где для краткости принято обозначение
К =
Выражение для Уп напишется так:
Прогиб пластинки на основании (с) представится в таком виде:
2
°°К L , (1 — ch afe) (fea2— 2ashafe) ,
—— ]1 -4П - - Т9—и sh °Ф
a6 I2a sh2 abi
n= 1,3,5, ... v
।. Г a i a2 (1 — chafe) 1. плх
—• ch ay + у —- sh ay -J—-— ch ay В sm.(223)
[ 22ashafeJ) a
Полученный для w бесконечный ряд весьма быстро сходится и потому при вычислениях он представляет большие удобства, чем приведенное выше решение Навье (221) Ч Пользуясь решением (223), мы можем без особых затруднений составить выражения для изгибающих моментов, для перерезывающих сил и для давления на контур. Соответствующие числовые результаты, полученные иным путем, приведены в табл. 26.
В качестве второго примера рассмотрим теперь случай, когда одна из сторон пластинки, параллельных оси х, заделана, а другая — совершенно свободна. Положим, что заделанной является сторона у = 0, тогда условия закрепления напишутся так (см. формулу (211)):
bww = 0® = 0 при у = 0;
9у
/ b^wЬЧо \b^wb^w
——+ a-—- =°; -т- + (2 — о) ■■ - = 0 при у = 6.
\ by2Ьх2 /byAbx2by
На опертых краях условия остаются прежними. Произвольные постоянные А^ ..., Dn общего интеграла (е) определятся из уравнений
Фп(0) + ^п==0;
Фп (°) + ^п^ + ^п = °’
выражающих условия закрепления по заделанной стороне и двух других уравнений, относящихся к свободной стороне.
В случае равномерной нагрузки при п нечетном имеем
К
s„ = -<Pn(0) = --^-; лп = ——
и два других уравнения для определения произвольных постоянных напишутся так:
Dn [(1 4- о) sh ab + (1 — a) ab ch afe] + Cu [2 ch ab -|-
+ (1 — a) ab sh afe] = —^- [(1 — a) ch ab + a];
D^ [2 ch afe — (1 — a) afe sh afe] + Cu [(1 + a) sh afe —
К
— (1 — a) afe ch afe] = (1 — a) sh afe.
a4
На основании этих уравнений получаем для произвольных постоянных такие значения В = -К№
К (3 + о) (1 — о) ch2 ab + 2а ch ад — о (1 — а) ab sh ab — (1 —> а2)
п а4(3 + о) (1 — о) ch2 ад + (1 — а)2 а2д2 + (1 + а)2в*
К (3 + ^) (^ — а) s11 ab ch ад + о (1 + а) sh ад -- а (1 — g) ад ch ад — (1 — а)2 а& “ а6(3 + о) (1 — о) ch2 ад -|- (1 — а)2 а2д2 —[- (1 -|- а)2
Таблица 27
ь
а
E/i3^max
qb4
l^ilmax qa2
l-^slmax
a
•E^max
l^ilmax
l^lmax qa2
qb"
qa4
qa2
0
1,37
0
0,500
_3_ 2
0,154
0,123
0,124
1
3
1,03
0,0078
0,428
2
0,164
0,131
0,125
£ 2
0,635
0,0293
0,319
3
0,166
0,133
0,125
2
3
0,366
0,0558
0,227
oo
0,166
0,133
0,125
1
0,123
0,0972
0,119
При п четном постоянные Лп, ..., D^ равны нулю.
Подставляя значения постоянных в общий интеграл (е), получаем при равномерно распределенной нагрузке выражение для прогиба пластинки в форме такого быстросходящегося ряда:
п=°° V К1 п
Ю= 2|-^ + Aish “У + Sn ch «У + У (cn sh аУ + sn ch «У) I sin-^-. (224)
71=1,3,5, .., L
Наибольший прогиб пластинки получится по середине свободного края пластинки. Кривую изгиба этого края найдем, если в общем выражении (224) положим у = Ь. Если Ъ велико по сравнению с а, т. е. если свободный край пластинки весьма удален от параллельного ему заделанного края, то уравнение изогнутого свободного края пластинки отличается от уравнения изогнутой оси равномерно нагруженной балки с опертыми концами лишь множителем (3 — а) (1 + <т)/(3 + а) и наибольший прогиб пластинки больше соответствующего прогиба балки на 6,4%. Такое превышение прогиба пластинки над прогибом балки объясняется тем, что у свободного края происходит искривление пластинки не по цилиндрической, а по антикластической поверхности.
Если взять другой крайний случай, когда b мало по сравнению с а, то вдали от опертых краев будем иметь искривление пластинки по цилиндрической поверхности. Элементарные балки-полоски, параллельные опертым краям, будут гнуться, как балка с одним заделанным и другим свободным концом. Жесткость этих балок нужно принять равной D.
Значение наибольшего прогиба пластинки при различных соотношениях между а и Ъ приведены в табл. 27 (о = 0,3).
Пользуясь общим выражением (224) для прогиба, мы можем составить формулы для изгибающих моментов, перерезывающих сил и давлений на контур. Наибольшее значение Mi получится в месте наибольшего прогиба, т. е. посередине свободной стороны пластинки. Наибольшее по абсолютной величине значение Мг будем иметь по середине заделанного края. Ряд значений М^ПЙ^ и | ЛГ2|тах приведен в табл. 27.
В качестве последнего примера рассмотрим случай, когда стороны пластинки, параллельные оси я, оперты на упругий контур, например на балки, прогибающиеся под действием приходящихся на них давлений. Жесткости этих балок примем одинаковыми, тогда получим симметричный случай закрепления краев пластинки. Располагая координатные оси, как указано на рис. 105, и обозначая через EJ жесткость балок, на которые опираются про
дольные стороны пластинки, напишем условия на упруго опертом крае пластинки так (см. формулы (212)):
/ d^w dw \
(d^~ + a"d^') ь =0;
Г d^wдЧа Iд^х \
К2—!= \EJ1.
I будх^ду J&\ дх / ъ
Этими условиями воспользуемся для определения произвольных постоянных Вп и ^общего интеграла (е). Постоян
ные Лпи Dn при выбранном расположении координат обращаются в нуль, так как Уп должно быть четной функцией у. В случае равномерно распределенной нагрузки нужные нам
уравнения напишутся для п нечетного так:
a2b , аЬ \a2b , аЬ \ККab/ ab a2b ab
a2b , аЬ \
a2b , аЬ \
К
К
5na2ch— d — CT) + Cn (2a eh “у + ”Sh-2-
I
abEJ ab 1 ГаЬ
. a3b ab EJ-d-а)—ch-— a4. a3b ab EJ-d-а)—ch-— a4a$sh — (1 — a) 4—— a4 ch — I + С„ I (1 + a) a2 sh —
. a3b ab EJ
-d-а)—ch-— a4
. a3b ab EJ
-d-а)—ch-— a4
EJ aD
wEh? qa*
qa?
M2
qa
EJ aD
wEh' ga4
Mt qa8
Me qa8
CO
0,0443
0,0479
0,0479
4
0,0515
0,0528
0,0447
100
0,0447
0,0481
0,0477
2
0,0578
0,0571
0,0419
30
0,0454
0,0486
0,0473
1
0,0681
0,0643
0,0376
10
0,0474
0,0500
0,0465
0,5
0,0826
0,0744
0,0315
6
0,0495
0,0514
0,0455
0
0,1430
0,1160
0,0057
EJ К
D a
Таблица 28
Решая эти уравнения для п нечетного, получаем
длядляПри п четном Сп = Вп = 0. Подставив эти значения постоянных в общее выражение прогиба
для
для
П=ос Гч
Г ^1I • ПЛЖ
W =7—~ + В ch ay + С^у sh ay sin ,
I a°I a
n=l,3,5, ... L
найдем формулы для прогиба пластинки, для изгибающих моментов и для давления на контур. Чтобы показать, как влияет жесткость контура на обстоятельства изгиба пластинки, приводим в табл. 28 значения прогиба и моментов Mi и Мй в центре квадратной пластинки х.
При EJ = оо получаем изгиб пластинки, опертой на абсолютно жесткий контур. При EJ = 0 получаем изгиб квадратной пластинки в том случае, когда две стороны оперты на жесткий контур, а две другие совершенно свободны. Заметим, что в последнем случае прогиб по середине свободных краев пластинки будет больше, нежели прогиб в центре, и в этих точках Mi достигает наибольшего значения.
Без всяких затруднений решение М. Леви может быть применено также к исследованию изгиба пластинки, у которой стороны, параллельные оси ж, обе заделаны или одна заделана.
другая оперта, или, например, одна оперта, а другая свободна . Решение М. Леви распространяется легко также па те случаи, когда стороны контура, параллельные оси ж, не вполне жестки, а представляют собой сравнительно гибкие балки, прогибающиеся под действием приходящихся на них давлений.
Рис. 107.Рис. 107.дш9удш9у= 0;= 0;Г д3ю[ ду3Г д3ю[ ду3++(2~о)(2~о)д3и? |дх^ду jд3и? |дх^ду jEJ дЧо— -э5Г °₽и у = °-EJ дЧо— -э5Г °₽и у = °-Таким способом без всяких затруднений может быть решена задача об изгибе прямоугольной пластинки, опертой на абсолютно жесткий контур и подкрепленной по середине ребром АВ (рис. 106). При равномерной нагрузке поверхность изгиба будет симметрична относительно АВ и каждая половина нашей пластинки будет находиться в условиях пластинки, три стороны которой оперты на жесткий контур, а четвертая заделана на упругом контуре. Условия для этой четвертой стороны, если мы будем рассматривать нижнюю половину нашей пластинки, пишутся так:
Рис. 107.
Рис. 107.
дш
9у
дш
9у
= 0;
= 0;
Г д3ю
[ ду3
Г д3ю
[ ду3
+
+
(2~о)
(2~о)
д3и? |дх^ду j
д3и? |дх^ду j
EJ дЧо
— -э5Г °₽и у = °-
EJ дЧо
— -э5Г °₽и у = °-
Присоединяя сюда условия по опертому краю (у = Ь^ мы получим достаточное число уравнений для определения произвольных постоянных общего интеграла (е).
Если длинная прямоугольная пластинка подкреплена большим числом равноудаленных упругих ребер (рис. 107), то исследование изгиба части пластинки mnpq^ удаленной от поперечных сторон, сводится к расчету пластинки, у которой две стороны оперты, а две другие заделаны на упругом контуре.
\Xа2а29\Xа2а29Рис. 108.Рис. 108.уравнениюуравнениюПодставив (Ь) вПодставив (Ь) в9 а*ш1 I _^1_ — П дх^ * дж2ду2 ‘ ду4условия на контуре пластинки, найдем9 а*ш1 I _^1_ — П дх^ * дж2ду2 ‘ ду4условия на контуре пластинки, найдем(а')(а')Об?ьпри я = ± — , у = ± — ;Об?ьпри я = ± — , у = ± — ;№4№4q87)q87)(С)(с')(С)(с')
\X
а
2
а
2
9
\X
а
2
а
2
9
Рис. 108.
Рис. 108.
уравнению
уравнению
Подставив (Ь) в
Подставив (Ь) в
9 а*ш1 I _^1_ — П дх^ * дж2ду2 ‘ ду4
условия на контуре пластинки, найдем
9 а*ш1 I _^1_ — П дх^ * дж2ду2 ‘ ду4
условия на контуре пластинки, найдем
(а')
(а')
Об?ь
при я = ± — , у = ± — ;
Об?ь
при я = ± — , у = ± — ;
№
4
№
4
q
87)
q
87)
(С)
(с')
(С)
(с')
§ 56. Изгиб пластинки с заделанными краями
Мы ограничимся рассмотрением изгиба пластинки равномерно распределенной нагрузкой и, чтобы воспользоваться условиями симметрии, расположим координатные оси, как указано на рис. 108. Нам нужно найти решение уравнения
n / ди) о d4w , d4w \, .
D + дх^ду +~w
которое удовлетворяло бы на контуре условиям л dw п, а
w = 0, — = 0 при —;
, — = 0при
Положим
^ = "^ \"4Х ) \~4У ) + ^’<Ь)
где wx — новая функция х и у.
Подставляя (Ь) в уравнение (а), находим, что wx должно удовлетворять
Уравнением (а') и условиями (с) и (с') определяется функция wv которая, очевидно, будет четной функцией относительно х и у. Функцию эту будем искать в таком виде:
qa341плх
wx— ВДВп2л2 п ъ Уп cos ”
(Ф(Фn=l,3,5f ...ch2 —-—
(Ф
(Ф
4Ь3тг2л2 а34Ь3тг2л2 а31 v пну
4Ь3
тг2л2 а3
4Ь3
тг2л2 а3
-А ,2 COS ~
.о шшо
где Уп — функция только у и Хп —• функция только х. Функции эти подберем так, чтобы каждый член рядов, входящих в (d), представлял собой четную функцию х и у, удовлетворял уравнению (а') и обращался в нуль на контуре пластинки. Поступая так, как это мы делали в предыдущем параграфе, легко находим, что нужные нам функции Хп и Уп, удовлетворяющие поставленным
условиям, напишутся так:Xn = ash-^-ch-^ yn = bsh^Lch^. 2a aусловиям, напишутся так:Xn = ash-^-ch-^ yn = bsh^Lch^. 2a a2х ch2х ch2у ch2у chnua . nux
условиям, напишутся так:
Xn = ash-^-ch-^ yn = bsh^Lch^. 2a a
условиям, напишутся так:
Xn = ash-^-ch-^ yn = bsh^Lch^. 2a a
2х ch
2х ch
2у ch
2у ch
-^-~sh——;
Zb bnub ^k nuy
(е)(е)Произвольные постоянные Ап и ВП1 входящие в выражение (d), подберем так, чтобы были удовлетворены условия (с') на краях пластинки. Подставляя в эти условия вместо и\ выражение (d) и вместо Хп и Yn их значения (е), полу-
(е)
(е)
чаем
_ qa3
a, 64D
2
i 41 пл . пл
cb’-a-
,4 Ь3
п п2и2 а3
n=l,3,5f ...
1
ch2 —
СП 26
aun , , пла \ плу
—rH sh —cos ——■о 1 oj b
q / b2
8D a (~
b
qa31AD
4631
п=1,3,5,
4
п п2ла
1
сУ —
СП 2а
^ cos 2^. +а ] а
пл
п2л2 а3 nna b Ch "IF
. пл
Хп sin -у
J-Ъ (—-X» 8P I 4 x
Функции Yn и Хп как четные могут быть представлены в нашем случае в виде
таких рядов:
пла
п —
i^ty пи
Ci cos —’ ~у~ Хп ^ г=1,3,5, ...
где коэффициенты Ct и Di имеют значения ъ
2
Сiny ,
j YnCos—^—dyр пл о 16i Ъ2
1 а ьп2л * а2
2
ZzjCOS — г=1,3,5, ...а
гзху _
-sin-^ch2-^-;
j2 \222а ’
n2 /
0
Т
С V гих
\ А „ cosdx
J п а
П —062
b Qп2л а2
2
luxcos2dxa
0
1
i2
n2
• t3T 1 о ПЛа
_sln__ch2_ .
Правые части уравнений (f) и (Г) также могут быть представлены в виде тригонометрических рядов, которые напишутся так:
со. ПЗТ
S -^-cos п=1,3,5, ...
со. ПЛ
mixа *mixа */9\оsln —
mixа *
mixа *
оТГ Ь -7Я2 =577- • —=~ а^Ь7 .;— • cos
ЪО \ 4/8Z) л3п3
п=1,3,5, ...
Подставив эти разложения в уравнения (f) и (Г), получим
64 Ь2л3 а264 Ь2л3 а2. плSln—п3. плSln—п3т ила sh —гот ила sh —го(g)(g)
64 Ь2
л3 а2
64 Ь2
л3 а2
. плSln—
п3
. плSln—
п3
т ила sh —г
о
т ила sh —г
о
(g)
(g)
Выделяя из двойных сумм, входящих в эти уравнения, члены, для которых i = и и приравнивая нулю коэффициенты1 при каждом cos-^- и cos-^~-, приходим к таким системам уравнений с бесконечным числом неизвестных Ап и Вп*
,64 п &21. гл . пл ,
Ар —q—ог- —о sin —-— sin —5р
г3л3 г а2 s, ь2 п222‘
\ а2 г2 /
п Ьъг а6п Ьъг а64 1/ nub, , nnb \ °ch2 —-—4 1/ nub, , nnb \ °ch2 —-—4* sb4* sb64 6 sm 2л3 а п364 6 sm 2л3 а п31. т . пп пГо- Sin —г— Sin -7Г- = О, п^ Ь^у 221. т . пп пГо- Sin —г— Sin -7Г- = О, п^ Ь^у 22(g')(g')
п Ьъ
г а6
п Ьъ
г а6
4 1/ nub
, , nnb \ °ch2 —-—
4 1/ nub
, , nnb \ °ch2 —-—
4* sb
4* sb
64 6 sm 2
л3 а п3
64 6 sm 2
л3 а п3
1. т . пп п
Го- Sin —г— Sin -7Г- = О, п^ Ь^у 22
1. т . пп п
Го- Sin —г— Sin -7Г- = О, п^ Ь^у 22
(g')
(g')
Эти уравнения после некоторых сокращений можно представить в такой форме:
РпВп sin —^—[-^ АТРпВп sin —^—[-^ АТп1 \2 . гл j
РпВп sin —^—[-^ АТ
РпВп sin —^—[-^ АТ
ГГПГ Sln р2г2 +/2*
ос(225)
«„^„sin-^- 4- z ^1„ , ^-а-) sm —^—= р, •
2 r-jUsTs.V + И » '2
Здесь для упрощения приняты такие обозначения: плЬ . . плЬпла , , пла
/ \5Н sh, —г Н sh ——,
пл / а j а 1 аb b b е b
п 16 \ & /пЛь ’ п 16 апла * а ^
ch2 —-—ch2 —
Дальнейший расчет пластинки с заделанными краями при заданном отношении р ее сторон состоит в разыскании значений коэффициентов А^ и Вп, удовлетворяющих уравнениям (225). Задача эта может быть разрешена путем последовательных приближений. Ход вычислений покажем на случае квадратной пластинки, когда р = 1 и обе системы уравнений (225) становятся одина новыми. При этом От. — Рп и Ап = Вп. Вычисляя последовательные значения On, приходим к такой системе уравнений-
— А — — А — А — — A A-^l^VlA — — А -4- ... - 1* \h82/ ^\90 / ^8^\1О6/ Лб \130/ ^7-Г °^М1^9\202/ Ли “ ’
/121 \2 ./121\2 . , /121\2 ./121\2 . . /121\2 лл
U22/ ^г \130/ ^^ХМб/ ^6 \170/ 24,7 + \202/ ^9 4,56969ЛП | + ... — 1,
Легко видеть, что с увеличением п различие между двумя последовательными уравнениями убывает, и при достаточно большом п присоединение новых уравнений мало будет влиять на значения Аи Л3, ..., вычисленные на основании всех предыдущих уравнений. Для получения первого приближения
коэффициентов Лп Л3, ... мы отбросим все члены, расположенные справа от ступенчатой линии. Пользуясь этими приближенными значениями, можно из первого уравнения найти второе приближение для Л17 из следующего уравнения находим второе приближение для Л3 и т. д. Повторяя вычисления несколько раз, можно обеспечить надлежащую степень точности коэффициентов. Таким образом получаем для квадратной пластинки следующие значения коэффициентов : Лх = +1,4138, Л3 = +0,0945, Л5 = —0,1093, Л7 = +0,0770, Л9 = — 0,0510, Л и = +0,0376; Л13 = —0,0264, Л15 = + 0,0193; Л17 =
Таблица 29
ь
-E7i3wmax
Q С^Отах ₽ = qo?
2 /max
Rx
V=3 qab
к.
а ”
Vqa
1,00
0,0138
0,0513
0,44
0,250
0,250
1,25
0,0199
0,0665
0,50
0,298
0,253
1,50
0,0240
0,0757
0,52
0,332
0,252
1,75
0,0264
0,0817
0,52
0,356
0,252
2,00
0,0277
0,0829
0,52
0,375
0,251
ОО
0,0284
0,0833
0,500
0,500
—
= - 0,0141, Л19 - + 0,0103, Л21 = - 0,0077, Л23 = + 0,0058, Л25 = = _ 0,0041.
Подобным же образом могут быть определены коэффициенты Лп, Вп из уравнений (225) при любом соотношении между сторонами пластинки.
Подставив полученные таким образом значения коэффициентов в формулы (d) и (Ь), получим выражение для прогиба пластинки в форме ряда. Члены ряда быстро убывают и при достаточно большом п присоединение дальнейших членов оказывает лишь ничтожное влияние на величину ш. Это обстоятельство
дает некоторое основание считать, что полученный нами ряд представляет искомую функцию w. Наибольший прогиб в рассматриваемом случае получится в центре пластинки, и мы его найдем, если в выражении для w положим х = = у = 0. Значения z^max для различных соотношений между сторонами приводим в табл. 29 а.
Пользуясь выражением для прогиба, составляем формулы для изгибающих моментов Мх и М^ и для давлений на контуре. Наибольшие по абсолютному значению изгибающие моменты получаются на контуре в серединах длинных сторон пластинки. Несколько значений этой величины при различных соотношениях между сторонами пластинки даны в табл. 29. Изменения изгибающих моментов по краям пластинки представляются такими формулами:
№_ а№_ аWbУ 2WbУ 2 qa2 I 62 — 4у216 \ а2 qa2 I 62 — 4у216 \ а2
№_ а
№_ а
Wb
У 2
Wb
У 2
qa2 I 62 — 4у2
16 \ а2
qa2 I 62 — 4у2
16 \ а2
Наибольшие давления на контуре получаются также в серединах длинных сторон пластинки. Значения их даны в табл. 29. В той же таблице приведены
также величины полных давлений Нг и R^ приходящихся соответственно на стороны ±а/2 и ±Ь/2 контура пластинки. Полное давление Я2 на короткую сторону мало изменяется при изменении соотношения между сторонами и может быть принято равным тому давлению, которое имеет место в случае квадратной пластинки.
Сравнивая числа полученной таблицы с теми результатами, которые мы имели для пластинки с опертыми краями (см. табл. 26), заключаем, что заделка краев пластинки весьма сильно влияет на величину наибольшего прогиба. При квадратной пластинке прогиб благодаря заделке уменьшается более чем в три раза. В случае пластинки с весьма вытянутым прямоугольным контуром прогиб вследствие заделки по контуру уменьшается в пять раз. Что касается максимальных напряжений, то при квадратном контуре они для пластинки с заделанными краями получаются несколько большими, чем для пластинки, опертой по контуру. Противоположное заключение мы получаем для пластинок с вытянутым прямоугольным контуром. Например, для соотношения ц = 1,5 заделка краев пластинки сопровождается уменьшением напряжений примерно на 7%. Заметим здесь, что с увеличением отношения р, прогибы и максимальные напряжения для пластинок с заделанными краями быстро приближаются к тем значениям, которые соответствуют бесконечно длинным пластинкам. При р, > 2 мы можем для расчета прямоугольных пластинок с заделанными краями пользоваться с достаточной для практики точностью теми формулами, которые были получены для пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности.
Прием, который был здесь применен к расчету пластинки с заделанными краями, может быть использован и при других способах закрепления пластинки по контуру.
При надлежащем выборе алгебраической части общего решения (Ь) можно получить решения для пластинки, опирающейся на упругий контур, для пластинки с упруго заделанными краями и для пластинки, опирающейся лишь в четырех точках, соответствующих вершинам прямоугольника х.
При исследовании изгиба пластинки с заделанными краями можно воспользоваться также общим методом В. Ритца. В таком случае приближенное выражение для прогиба берем в форме ряда
wu = ^cpt (ж, у) + ааф2 (ж, у) + • • • + апфп (ж, у), (h) причем функции фх (ж, у), ..., <рп (ж, у) выбираем так, чтобы каждый член ряда удовлетворял условиям закрепления на контуре пластинки. Значения коэффициентов аи ..., Оп находятся путем применения начала возможных перемещений. На всяком возможном перемещении приращение потенциальной энергии изогнутой пластинки (см. формулу (208)) должно равняться работе изгибающих сил. Следовательно,
6 о mi^v+tev+2O.j* * +2 J J (\ да^ / X Эу1 ) 1 8хг Э^ 1
+ 2 (1 — а) (-^-) ) dxdy = 6 J J qwdxdy.
Таким образом, разыскание искривления пластинки сводится к нахождению максимума или минимума интеграла
с С П п Г/ ^ V t ( ^ V ।^ ^ ।
S = JjrL\V/ ++ 2ст-^~-^- +
+ 2 (1 — а) ^-^^ ] — ^Ц dxdy.№
Подставив сюда вместо и? приближенное значение (h), придем при определении коэффициентов с^, ,.,, ^ к такой системе линейных уравнений?
&S98^dS„
9atа^ ’ 9ап
Вычисления показывают, что небольшое число членов ряда (h) обеспечивает вполне достаточную для практики точность величины наибольшего изгибающего момента Ч
Намеченный прием расчета может быть применен и при других условиях закрепления краев пластинки, нужно только соответствующим образом подобрать функции ф (ж, у) ряда (h).
Тот же прием с большим успехом может быть применен к исследованию колебаний пластинок с заделанными и свободными краями ,
§ 57. Изгиб пластинки при одновременном действии нормальной нагрузки и усилий в срединной
плоскости
При составлении основного дифференциального уравнения (206) для искривленной поверхности пластинки мы пренебрегали действием усилий ТХ1 Т^ и S на изгиб пластинки, поэтому решения, полученные нами ранее для различных частных случаев изгиба пластинок, будут справедливы лишь в том случае, если края пластинки при изгибе могут свободно смещаться в плоскости контура и если по краям не приложены нормальные и касательные усилия Т и S, лежащие в срединной плоскости пластинки. При этих условиях малые прогибы пластинки не будут сопровождаться деформациями в срединной плоскости и уравнение (206) с достаточной для практики точностью определит искривленную поверхность пластинки. Если закрепления препятствуют свободному смещению краев пластинки в плоскости контура или по краям приложены усилия Т и S, изгиб пластинки сопровождается деформациями срединной плоскости. Когда соответствующие этим деформациям напряжения малы, мы можем их непосредственно прибавить к напряжениям изгиба, полученным на основании решения уравнения (206). В противном случае необходимо оценить влияние этих напряжений на изгиб пластинки. Соответствующее дифференциальное уравнение для изогнутой поверхности пластинки можно получить путем сле-
дующих элементарных соображений. Пусть линия тп (рис. 109) представляет собой сечение срединной поверхности изогнутой пластинки плоскостью, параллельной и, и ptrs — бесконечно малый элемент, вырезанный из пластинки. Легко найти из геометрических соображений, что усилия T^dy, приложенные
по двум противоположным сторонам элемента, дадут в направлении оси z
составляющую
Tt^-dxdy.(а)
Подобным же образом найдем, что усилия T^dx, действующие по двум другим сторонам элемента, дадут в направлении оси z составляющую
T.^-dxdy.(Ь)
Что касается тангенциальных усилий Sv то, как видно из рис. 110, они дают в направлении оси z составляющую
(°)
Составляющие (а), (Ь) и (с) должны быть присоединены к нагрузке qdxdy, расположенной на выделенном элементе пластинки, при составлении уравнений равновесия этого элемента. Следовательно,
d^wдхду *d^wдхду *Рис. 111.Рис. 111.прогиб пластинки при действии нормальной нагрузки q и усилий Тъ Т^ и ^ будет такой же, как прогиб пластинки под действием одной только нормальной нагрузки, имеющей интенсивность
d^w
дхду *
d^w
дхду *
Рис. 111.
Рис. 111.
В таком случае нужное нам дифференциальное уравнение для искривленной поверхности пластинки напишется так:
D+ 2= q +• №
Этим уравнением приходится пользоваться в тех случаях, когда нужно оценить влияние усилий Tv 1\ и 5 на прогиб пластинки. Наиболее просто эта задача решается, когда Tv Т^ и 5 постоянны по срединной плоскости пластинки. Возьмем, например, случай прямоугольной пластинки с опертыми краями,
изгибаемой равномерной нагрузкой q и растягиваемой усилиями Т^ и Г3 (рис. 111), тогда
(d)(d)d*W.2д4^.94W \ |m.тQ^W
(d)
(d)
дх4* дх^ду^'ду4 /*1дх^ *2ду^
Условия на контуре удовлетворяются, если положить
2j ДшгЗШ—^— SIH—-~ 71=1 771=1
Подставляя это выражение в уравнение (d) и применяя для определения коэффициентов Атп обычный прием, находим (при т и п нечетных)
/)л2/)л2д 16да4Атп ” mnD^д 16да4Атп ” mnD^Следовательно,Следовательно,а2а2. (227). (227)
/)л2
/)л2
д 16да4
Атп ” mnD^
д 16да4
Атп ” mnD^
Следовательно,
Следовательно,
а2
а2
. (227)
. (227)
Имея это выражение для прогиба, можем составить без всяких затруднений формулы для изгибающих моментов Мг и М^ и для соответствующих напряжений. Решение (227) при ^ = Т2 = О совпадает с решением (221), полученным для прямоугольной пластинки, изгибаемой только нормальной нагрузкой. Сравнивая (227) и (221), заключаем, что растягивающие усилия 7\ и Z2 уменьшают прогиб пластинки от нагрузки q. Сжимающие усилия будут оказывать противоположное действие.
Рассмотрим крайний случай весьма длинной прямоугольной пластинки. Положим Ь > а, тогда а/Ь — малая дробь и выражение (227) может быть переписано таким образом:
Полагая у = -^ и принимая во внимание, что 1з" + "5— ”’ = *Т ’ находим для прогиба полоски, параллельной оси х, такое выражение:
W DubW Dubпшх sinam3 (m2 + a2)пшх sinam3 (m2 + a2)
W Dub
W Dub
пшх sin
a
m3 (m2 + a2)
пшх sin
a
m3 (m2 + a2)
где
а2 = - хDn?
Результат этот совершенно точно совпадает с тем, что получается для изогнутой оси балки с опертыми концами, изгибаемой равномерной нагрузкой и растягиваемой силами, приложенными по концам [см. формулу (67)]. Величина D, очевидно, будет соответствовать жесткости балки.
Если взять растяжение пластинки лишь в направлении оси ж, то выражение для прогиба напишется так:
С увеличением растягивающих усилий Тг растет в знаменателе значение члена, не зависящего от размера 6, и мы можем отсюда заключить, что при больших растягивающих усилиях роль поперечных сторон контура пластинки ничтожна и условия изгиба приближаются к тем, которые мы имеем при искривлении пластинки по цилиндрической поверхности.
Например, для пластинки, у которой Ъ = 2а, 1г = 0,01а при нагрузке q = 0,5 кг (см и растягивающих усилиях Тг = 10007а кг (см, мы легко найдем, что прогиб и величина наибольших напряжений отличаются от соответствующих величин, вычисленных для весьма длинной прямоугольной пластинки, на 6 и 3%. При отсутствии растягивающих сил соответствующие разности, как видно из табл. 26, составят 22 и 18,5%. Такое уменьшение влияния поперечных сторон контура на обстоятельства изгиба пластинки при увеличении растягивающих усилий Тг дает основание во многих случаях пользоваться с достаточной для практики точностью формулами, полученными ранее при исследовании изгиба пластинок по цилиндрической поверхности.
Влияние растягивающих и сжимающих усилий 1\ и Т2 на изгиб прямоугольной пластинки с заделанными краями может быть учтено путем применения метода В. Ритца г.
Без особых затруднений может быть также разрешена задача об изгибе круглой пластинки, изгибаемой равномерной нагрузкой и испытывающей, кроме того, равномерное растяжение в срединной плоскости 2.
В рассмотренных случаях мы все время предполагали, что усилия Tv Т2 и Si постоянны по поверхности пластинки. Задача становится сложнее, когда эти усилия представляются заданными функциями координат х и у. Тогда приходится решать дифференциальное уравнение (226) с переменными к оэффициентами.
Еще сложнее становится вопрос в тех случаях, когда усилия, растягивающие срединную поверхность пластинки, не заданы и являются следствием закреплений пластинки по контуру, препятствующих смещению краев пластинки при изгибе. Подобный случай часто встречается на практике, имы здесь приведем некоторые соображения, которыми можно воспользоваться для приближенного расчета прямоугольной пластинки с опертыми краями. Если края пластинки не могут свободно сближаться, то при изгибе возникнут усилия Ли Т2, распределение которых по сторонам будет неравномерным. Положим Ъ > я, тогда на обстоятельства изгиба преобладающее влияние будут оказывать усилия П, возникающие вдоль длинных сторон контура. Наибольшего значения эти усилия достигнут в серединах этих сторон, так как средняя балка-полоска тп (рис. 112) получает наибольший прогиб. Если края пластинки не смещаются вовсе, то вычисление (П)тах может быть произведено по тем формулам, которые были получены ранее для весьма длинной прямоугольной пластинки (см. §46) . Погрешность получаемого таким образом результата будет убывать с возрастанием отношения b/а. Когда
сближению краев пластинки препятствуют упругие распоры, расчет приходится начинать с определения величины коэффициента распора. Для весьма длинной прямоугольной пластинки (см. § 46) этот коэффициент определяется отношением
К =К =^ 4~ ^i ’^ 4~ ^i ’(е)(е)где h — толщина пластинки и hi — приведенная толщина распора.При конечном значении отношения Ь/а нужно принять во внимание, что усилия Ti убывают в направлении от середины длинной стороны контура к концам и, следовательно.где h — толщина пластинки и hi — приведенная толщина распора.При конечном значении отношения Ь/а нужно принять во внимание, что усилия Ti убывают в направлении от середины длинной стороны контура к концам и, следовательно.Рис. 112.Рис. 112.общее сжимающее усилие, которое передается на распоры, будет меньшим, чем то, которое получается в предположении изгиба пла-общее сжимающее усилие, которое передается на распоры, будет меньшим, чем то, которое получается в предположении изгиба пла-стинки по цилиндрической поверхности. Вследствие этого уменьшается сжатие распор, и коэффициент распора при конечном значении отношения Ыа будет больше величины К, определенной по формуле (е). Это увеличение коэффициента распора оценим таким приближенным способом. Допустим, что распределение растягивающих усилий Ti одинаково для всех сечений пластинки плоскостями, параллельными zy, тогда для какой-либо балки-полоски, параллельной ж, можем написать уравнение 1стинки по цилиндрической поверхности. Вследствие этого уменьшается сжатие распор, и коэффициент распора при конечном значении отношения Ыа будет больше величины К, определенной по формуле (е). Это увеличение коэффициента распора оценим таким приближенным способом. Допустим, что распределение растягивающих усилий Ti одинаково для всех сечений пластинки плоскостями, параллельными zy, тогда для какой-либо балки-полоски, параллельной ж, можем написать уравнение 1ааТха (1 — о2)Тха (1 — о2)ооEhEhъ а (1 — о2) J Txdy оEhxbъ а (1 — о2) J Txdy оEhxb(Г)(Г)
К =
К =
^ 4~ ^i ’
^ 4~ ^i ’
(е)
(е)
где h — толщина пластинки и hi — приведенная толщина распора.
При конечном значении отношения Ь/а нужно принять во внимание, что усилия Ti убывают в направлении от середины длинной стороны контура к концам и, следовательно.
где h — толщина пластинки и hi — приведенная толщина распора.
При конечном значении отношения Ь/а нужно принять во внимание, что усилия Ti убывают в направлении от середины длинной стороны контура к концам и, следовательно.
Рис. 112.
Рис. 112.
общее сжимающее усилие, которое передается на распоры, будет меньшим, чем то, которое получается в предположении изгиба пла-
общее сжимающее усилие, которое передается на распоры, будет меньшим, чем то, которое получается в предположении изгиба пла-
стинки по цилиндрической поверхности. Вследствие этого уменьшается сжатие распор, и коэффициент распора при конечном значении отношения Ыа будет больше величины К, определенной по формуле (е). Это увеличение коэффициента распора оценим таким приближенным способом. Допустим, что распределение растягивающих усилий Ti одинаково для всех сечений пластинки плоскостями, параллельными zy, тогда для какой-либо балки-полоски, параллельной ж, можем написать уравнение 1
стинки по цилиндрической поверхности. Вследствие этого уменьшается сжатие распор, и коэффициент распора при конечном значении отношения Ыа будет больше величины К, определенной по формуле (е). Это увеличение коэффициента распора оценим таким приближенным способом. Допустим, что распределение растягивающих усилий Ti одинаково для всех сечений пластинки плоскостями, параллельными zy, тогда для какой-либо балки-полоски, параллельной ж, можем написать уравнение 1
а
а
Тха (1 — о2)
Тха (1 — о2)
о
о
Eh
Eh
ъ а (1 — о2) J Txdy о
Ehxb
ъ а (1 — о2) J Txdy о
Ehxb
(Г)
(Г)
Здесь bhi — площадь поперечного сечения распоров, мешающих сближению продоль- b
ных сторон пластинки, и | ТМу — сжимающее усилие, приходящееся на эти распоры.
ОУмножая (f) на dy и интегрируя от 0 до Ь^ получаемОУмножая (f) на dy и интегрируя от 0 до Ь^ получаем
О
Умножая (f) на dy и интегрируя от 0 до Ь^ получаем
О
Умножая (f) на dy и интегрируя от 0 до Ь^ получаем
Задаваясь каким-либо приближенным выражением для прогиба, мы найдем из уравнения (g) величину усилия J Tidy, сжимающего распоры. Для пластинки, близкой к квадратной, можно положить
ЛХ тсу w = ^max Sln — sin — •<h>
Подставляя (h) в уравнение (g), находим
Ь2
а (1 — о2) h + hx Сл2 ^тах
о
Подставляя (к) в уравнение (f) и применяя его к средней балке-полоске тп, получаем л2и?тах (^i)maxa (^g2) л2 ^тах h
4аEh3 a h-\-ht
или
^4ai Л1_ h \ = (Т^а (1 - а2)
4а \2 h + h^ /Eh
(1)(1)Следовательно, при расчете средней балки-полоски, для которой напряжения получаются наибольшими, нужно коэффициент распора принять равным
(1)
(1)
12 h + hx г^ + Й!)"
При длинных пластинках изгиб средней их части будет близок к цилиндрическому и потому формула (1) даст для коэффициента распора несколько преувеличенное значение. Мы получим в этом случае результат, более близкий к действительности, если примем для точек пластинки, отстоящих от поперечных сторон ближе чем на расстояние 0,5 а, искривление по поверхности
. лхлу
W = т Sln Sin•
тах аа
Для средней же части пластинки примем изгиб по цилиндрической поверхности
^^^max sin~
Тогда на основании уравнений (g) и (f) получаем
Кг = 1Кг = 1hа \^ + ^1 \26 /hа \^ + ^1 \26 /2bhy + яЛ26 (^ + ^) *2bhy + яЛ26 (^ + ^) *О')О')
Кг = 1
Кг = 1
hа \
^ + ^1 \26 /
hа \
^ + ^1 \26 /
2bhy + яЛ
26 (^ + ^) *
2bhy + яЛ
26 (^ + ^) *
О')
О')
При а = b формулы (1) и (Р) дают для Ку одно и то же значение.
Таким образом, для приближенной оценки влияния усилий Л при изгибе прямоугольной пластинки с опертыми краями и с конечным значением отношения 6/а можно пользоваться формулами, полученными ранее для цилиндрического изгиба. Нужно только несколько повысить коэффициент распора, для чего можно применить формулу (1) или (Р). Заключение это остается в силе и в том случае, когда к пластинке и распорам извне приложены растягивающие усилия Т®. Вместо уравнения (f) получим в таком случае
1 С ( \й d ^ia^— а2)а(1— q2)2~ J \"5Г/= Eh 1 Eh^о1 С ( \й d ^ia^— а2)а(1— q2)2~ J \"5Г/= Eh 1 Eh^оъъTydy — То6Tydy — То6(Г)(Г)
1 С ( \й d ^ia^— а2)а(1— q2)
2~ J \"5Г/= Eh 1 Eh^
о
1 С ( \й d ^ia^— а2)а(1— q2)
2~ J \"5Г/= Eh 1 Eh^
о
ъ
ъ
Tydy — То6
Tydy — То6
(Г)
(Г)
Задаваясь для прогиба выражением (h), получаем из (Р) прежним способом следующее уравнение:
л ^тах • а (1 — о2) h + hxTQba (1 - о2)
8 a2E * hhxEhx ;
0 b
из которого найдется величина J Tidy. Подставляя ее значение в уравнение (Р) и применяя это уравнение к средней балке-полоске, получаем
«’“’max2^ + k(^max^d-02)Таа (1 - а2)
4а2 (А, + k)EhЕ (h + kJ -
Сравнивая это выражение с уравнением
"2u,max ht = ^ad-o®) _ T0a(l-o2)4а hy-^-hEhE (h-^- hy) ’
заключаем, что они отличаются одно от другого лишь величиной коэффициента распора.
Вместо величины -—г~-- имеем — ,/ ■.—— .
h + hi2 (hi + К)
§ 58. Влияние начальных искривлений на изгиб пластинок
Предположим, что пластинка имеет некоторое начальное искривление и соответствующие этому искривлению прогибы w0 малы по сравнению с толщиной пластинки. Если на эту пластинку будут действовать лишь нагрузки, нормаль-
ные к плоскости контура, то вызываемые ими прогибы юг могут быть найдены из тех уравнений, которыми мы пользовались в случае идеально плоских пластинок. Иное заключение • мы получим, если возьмем случай изгиба пластинки нормальными нагрузками и силами Ти Т^ Sv
Влияние сил ТХ1 Т2п 8г будет для плоских и слегка искривленных пластинок не одинаково. Чтобы учесть влияние начального искривления на изгиб, вызываемый силами 7\, Т2 и 5П обратимся к уравнению (226). В правую часть этого уравнения кроме нагрузки q входят составляющие в направлении оси z от усилий Тх, Т^ и Sp Составляющие эти, очевидно, определяются полным искривлением пластинки, и потому, применяя уравнение (226) к искривленным пластинкам, нужно в правой части вместо w поставить величину w^ + wv Что касается левой части уравнения (226), то она определяет деформации пластинки, вызванные внешними силами, и потому, применяя это уравнение к пластинкам с начальной кривизной, нужно в левой части поставить вместо w величину wv Таким образом, получаем для пластинок с начальной кривизной уравнение
В ( ^г I I — л I Т д* ^° +ш^ I т ^^l!£iL\ дх4 ‘ дх2ду2 ' ду4 / Ч r i ^2 "Т 2 ^2 *
1 дхду '
Мы видим, что пластинка с начальной кривизной будет искривляться под действием сил Тг, Тй и 5^ даже при отсутствии нормальной нагрузки q.
Применим уравнение (228) к такому простейшему примеру: прямоугольная пластинка с опертыми краями имеет начальное искривление, заданное выражением
Z Атп sin —— sin —. (а) т=1 п=1
Требуется найти прогибы шх этой пластинки под действием усилий Тг и Т^ равномерно распределенных по краям пластинки. Уравнение (228) перепишется в данном случае так:
(Ь)(Ь)(C)(C)/ а4шх р а4шх д4юг \ _ ™ a2wx . т a2wx . т а2ю0 .д2^0
(Ь)
(Ь)
(C)
(C)
\ Эх4ах2ду2 ду4 )1 Эх2 1 2 ду2 1 бх2 2 ду2 *
Решение этого уравнения возьмем в такой форме:
п • ^ля . плуwx= Bmn sin—^— sin——
Подставляя (а) и (с) в уравнение (b), получаем для коэффициентов Bmn
AmnVv ^+&•AmnVv ^+&•Bmn —Bmn —(229)(229)такое выражение:
AmnVv ^+&•
AmnVv ^+&•
Bmn —
Bmn —
(229)
(229)
( т2^2 п2л2 \2т2л2 т п2л2
а2+ b2 /а2 + 2 Ь2
Подставляя (229) в выражение (с) для прогиба шг, получаем искомое решение задачи.
Возьмем начальное искривление по такой поверхности:
а . лх . лухр A sinsin°ао
Тогда, введя обозначения 1
т л2
1 а2
л2
Т = <4;
Т л2 2 = а2,
Л2 Л2 |
а2 * Ь2
получим
A (af+ оф . ля . лу wx =^т sinsin .
1 + af + а Ь
При растяжении пластинки лишь в направлении оси х получим
^а1. ЛЯ . ЛУ
Wv =SinSin -г— .
11 + а а *
(d)
(е)
С возрастанием растягивающих усилий величина wT приближается к — ш01 а полный прогиб пластинки стремится к нулю.
Таким образом, изгиб слегка искривленной прямоугольной пластинки, опертой по контуру при равномерном распределении усилий Тг и Тг не представляет никаких затруднений. Гораздо сложнее получается задача в том случае, когда распределение усилий Тг и Т2 неравномерно и в особенности когда эти усилия не заданы и являются следствием определенного перемещения какой-либо стороны. При этих условиях удается определить изгиб пластинки лишь приближенно путем введения упрощающих допущений.
Решим приближенным способом такую задачу. Прямоугольная пластинка (рис. ИЗ) с начальным искривлением
ля . лу
Wq = A sinsin а о
(f)
изгибается растягивающими усилиями То, распределенными равномерно вдоль длинных сторон пластинки и передающимися отчасти на упругие распорки и отчасти на пластинку. Закрепления краев пластинки по контуру устроены так, что все точки продольных сторон пластинки при действии усилий То совершают одно и то же перемещение. Следовательно, продольные стороны контура пластинки не гнутся и распределяют приходящиеся на них усилия То между распорками и пластинкой. Очевидно, чем большее начальное искривление имеет пластинка, тем меньшую часть усилия она примет на себя, тем больше передается на распорки. Ясно также, что при одинаковом смещении всех точек продольной стороны пластинки растягивающие усилия Ti, приходящиеся на пластинку, распределятся вдоль этой стороны неравномерно. Наименьшее значение их при выбранной форме начального искривления получится по середине стороны. По мере приближения к вершинам пластинки усилия Ti будут возрастать, и у вершин соответствующие им растягивающие напряжения в пластинке будут иметь такое же значение, как и в распорках. Допустим, что изгиб пластинки под действием этих усилий мало отличается от того, который вызовут равномерно распре
деленные усилия Тр определяемые из формулы ь*
О
В таком случае прогиб пластинки, на основании (е), напишется так:
Рис. 113.
Аа^
1 + «1
. ля . ли
Sin S1U —77-
а b
(h)
1 Дальше будет показано, что а^ и а| представляют собой отношения Ту и Т\ к соответствующим критическим значениям сжимающих усилий.
где
«1 =
z 3X2
л2 л2 \2
(к)
Для какой-либо балки-полоски тп мы можем написать на основании таких же соображений, как и при цилиндрическом изгибе пластинки (см. § 47), следующее уравнение:
1 f[/^i\2 п д^х ^о 1 Тга (1 — о2)(^i — ^о)а(1 — °2)
2 J [\ дх / дх дх jEHEhx
О
Умножая обе части этого уравнения на Ду и интегрируя их в пределах от 0 до 6, приходим к такому результату:
Г «1 Л2а| Я2 T^l-d»} h + hl Г0а(1-о^
[d+a?)2 4“2 l + «i 2»2 J” EK " hiEki W
даст нам значение редукционного коэффициента для рассмат-даст нам значение редукционного коэффициента для рассмат-Из этого уравнения (1) x, пользуясь обозначением (к), находим величину a^ и величину Т^ т. е. среднее значение растягивающего усилия для пластинки. Отношение этого среднего Т усилия к величине -——■ h + hi
даст нам значение редукционного коэффициента для рассмат-
даст нам значение редукционного коэффициента для рассмат-
риваемого случая. При одинаковых максимальных прогибах и одинаковых усилиях То величина его для пластинки с конечным отношением сторон .будет больше, чем для весьма длинной прямоугольной пластинки.
1 Уравнение может быть представлено в такой форме, как это мы имели в случае цилиндрического изгиба. Определение а^ сведется к решению кубического уравнения.
Глава VIГлава VIОБ УСТОЙЧИВОСТИПЛАСТИНОК
Глава VI
Глава VI
§ 59. Об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки с опертыми краями
Предположим, что прямоугольная пластинка с опертыми краями сжимается силами Ру = —Ту, Р2 = —Т21 равномерно распределенными по соответствующим сторонам пластинки (рис. 114). Увеличивая сжимающие силы, мы можем достигнуть предела, когда плоская форма равновесия перестает быть устойчивой и дальнейшее увеличение сжатия сопровождается выпучиванием пластинки. Возникает явление, аналогичное явлению продольного изгиба в случае сжатия прямых стержней.
Практически обычно приходится встречаться с задачей, когда одно из усилий Р задано и нужно разыскать то наименьшее значение для другого сжимающего усилия, при котором плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой. Это предельное значение сжимающих усилий будем называть критическим. Для его определения мы можем использовать те же приемы, которые применялись при изучении устойчивости сжатых стержней. Можно исходить из общего дифференциального уравнения (226) для искривленной поверхности пластинки и определить из
него те значения усилий Ту и Т2, при которых прогиб, вызываемый нагрузкой q, начинает неопределенно возрастать. Этот прием мы в дальнейшем применим при изучении устойчивости пластинки с двумя опертыми краями и двумя другими краями, закрепленными как угодно. Здесь же применим другой метод, основанный на рассмотрении энергии деформации системы.
Метод этот, как мы дальше увидим, применим для решения не только данной сравнительно простой задачи, но дает возможность находить приближенные решения вопросов устойчивости в более сложных случаях, например в случае пластинок с заделанными краями и пластинок, подкрепленных жесткими ребрами.
Плоская форма равновесия пластинки, находящейся под действием усилий Ру и Р2, будет устойчива, пока ей соответствует минимум потенциальной энергии.
Если на всяком возможном отклонении пластинки от плоской формы равно весил приращение потенциальной энергии деформации будет больше, нежели работа усилий Рх и Р^ которую они совершат вследствие смещения краев при изгибе пластинки, то плоская форма устойчива. В противном случае она будет неустойчивой.
Если через V обозначим энергию изгиба, соответствующего весьма малому отклонению пластинки от плоской формы равновесия, и через Т — работу усилий Рх и Р2 при этих отклонениях, то критические значения сжимающих усилий могут быть найдены из условия
V=T. (а)
В случае опертых краев общее выражение для отклонений пластинки от плоской формы представится выражением
(ь>(ь>.. тих . пли
(ь>
(ь>
W =Лтп S1I1 —— S1H —
т=1 п=1
Общее выражение для потенциальной энергии изгиба на основании формулы (208) может быть представлено в таком виде:
4 j П№ + ^)‘ - = <1 -) [^ - Ш]) ^ <230> о о
Подставив сюда вместо w принятый нами для пластинки прогиб (Ь), получим для левой части уравнения (а) такое значение х:
F = 4J^.2 2лL(^ + ^),.(231)
771=1 71=1'
Для работы усилий Рх и Р^ легко составим общее выражение, если примем во внимание, что сближение двух соответствующих точек, лежащих на сторонах х = 0 и х = а или у = 0 и I/ = 6 в зависимости от искривления пластинки, представляется так:
Ь аа ЪЬ аа Ъ
Ь аа Ъ
Ь аа Ъ
Следовательно,
Л У У л2 « р2 у у 2 ПП22^ ^ л" ааТ у^ ^ ^тп №
771=1 71=1771=1 71=1
Подставляя это выражение в (а), получаем такое условие для определения критических значений сжимающих усилий:
ОО ОООО ОО
2
у .2™2Л2у у 2„2„2
Йтп ^ г Г1"тп у
т=1 П=17П=1 71=1
(С)(С)
(С)
(С)
§ 60. Об устойчивости прямоугольной пластинки, сжатой вдоль одной из сторон
Рассмотрим первоначально более простую задачу. Предположим, что одно из усилий, например Р2, равно нулю, и определим при помощи (с) критическое значение другого усилия. Условие (с) перепишется в этом случае так:
OQ. ОООО ОО
(с')(с'), V V <2 т2л2 _ n V V ,2 ( mV п2л2 Г1 Ai -ti Лтп а2 ” и ^ А*. Атп ^ а2 ' № / ’
(с')
(с')
m=l п=1т=1 п=1
откуда
(d)
Критическим значением сжимающего усилия Рг будет наименьшее из тех его значений, которые получаются по формуле (d).
взято равным единице.взято равным единице.Так как числитель и знаменатель дроби (d) представляются в виде сумм положительных чисел, то наименьшее значение этой дроби будет получаться, когда все коэффициенты Атп, кроме одного, положим равными нулю. Ясно также, что при этом п должно быть~‘
взято равным единице.
взято равным единице.
получаем
2>л2 /।«2 V—Г” 771 Н■а2 \1mb2 /2>л2 /।«2 V—Г” 771 Н■а2 \1mb2 /(d'>(d'>Dр\/
2>л2 /।«2 V
—Г” 771 Н■а2 \1mb2 /
2>л2 /।«2 V
—Г” 771 Н■а2 \1mb2 /
(d'>
(d'>
1т2л2
То обстоятельство, что нам пришлось из бесконечных сумм оставить в выражении (d) лишь по одному члену и положить п = 1, показывает, что первая искривленная форма равновесия пластинки имеет такой вид:
а . тих . луw = Ami sinsin —
ао
В случае сжатия пластинки в направлении оси х она выпучивается при критическом значении сжимающего усилия Рг так, что в направлении оси у получается одна полуволна, в направлении оси х — т полуволн. Для определения Акр нужно выбрать для т такое число, чтобы правая часть выражения (d') получила наименьшее значение, которое и представит собой критическое сжимающее усилие.
Ж *$t ^Mw^erfa#
^у^^^^ K^»^'» &6m»^WWB ^ft^#j44yT9v.
& $ewfct&
ПРНМЮТПЕ ПОВОЙ МЕТОДЫ ЕЪ Й30ЛМ0ВАШ» УСТОЙЧ».«юта ШЖОРЫХЪ мсютощхъ КОВСТРУКЩЙ.ПРНМЮТПЕ ПОВОЙ МЕТОДЫ ЕЪ Й30ЛМ0ВАШ» УСТОЙЧ».«юта ШЖОРЫХЪ мсютощхъ КОВСТРУКЩЙ.Ow^x^ ^$% И^^й 1^»^мо .По^ш^згш^^г< ИкттупOw^x^ ^$% И^^й 1^»^мо .По^ш^згш^^г< Икттуп.' ^^^^^.' ^^^^^SUK la STABILITY Des SYSTEMS &ASTIQUSS.
ПРНМЮТПЕ ПОВОЙ МЕТОДЫ ЕЪ Й30ЛМ0ВАШ» УСТОЙЧ».«юта ШЖОРЫХЪ мсютощхъ КОВСТРУКЩЙ.
ПРНМЮТПЕ ПОВОЙ МЕТОДЫ ЕЪ Й30ЛМ0ВАШ» УСТОЙЧ».«юта ШЖОРЫХЪ мсютощхъ КОВСТРУКЩЙ.
Ow^x^ ^$% И^^й 1^»^мо .По^ш^згш^^г< Икттуп
Ow^x^ ^$% И^^й 1^»^мо .По^ш^згш^^г< Икттуп
.' ^^^^^
.' ^^^^^
%JL»l2£2SS2;
Часть IL
СТЕРЖНИ и ПЛАСТИНКИ
^- . —^^<^^-^
'М«0ГНД1>>
У^г»'>гр^С$? -А< ^< ^^«^^ Nm ^«^^B^wt» ^
Если а мало по сравнению с 6, то сразу видно, что в формуле (сГ) нужно положить m = 1 и мы для определения Акр будем иметь в этом случае формулу
Первый множитель в полученном выражении для PiKp представляет собой критическое сжимающее усилие для балки-полоски, вычисленное по формуле Эйлера. Вторым членом в скобках оценивается влияние коротких сторон пластинки на величину критических сжимающих усилий. Перейдем теперь от критических усилий к критическим напряжениям. Разделив Акр на толщину пластинки и введя обозначения
^1кр /vx х . Вл,^
1г — ^1/кр,~ Ре,
получим /2 \2
Акр — Ре (1 Ч.(233)
Обратимся теперь к другому крайнему случаю, когда пластинка имеет весьма большую длину в направлении действия сжимающих усилий Pv Для определения числа полуволн, на которое пластинка подразделится при выпучивании, обратимся к выражению (сГ). С числом т будем поступать как с непрерывно изменяющейся величиной. Составляя производную от (d') по т и приравнивая эту производную нулю, находим а2 = тп2Ь2, т = а/Ь, т. е. наименьшее значение сжимающих усилий Рх будет соответствовать той искривленной форме выпучившейся пластинки, когда длина полуволн, получившихся при выпучивании, равняется ширине пластинки. При этом пластинка подразделяется узловыми линиями (линиями, по которым прогиб пластинки равен нулю) на квадраты, и критическое значение сжимающих усилий на основании (d') представится так:
т. е. критические усилия имеют в данном случае такое же значение, как для балки-полоски длины b с заделанными концами. Введя обозначения
^h, Ре^h, Ре(234)
^h, Ре
^h, Ре
для критических напряжений балки-полоски длины 6 с опертыми концами, получим в случае весьма длинной пластинки, сжимаемой в направлении длины,
Р1кр = ^Ре-(235)
Результат этот можно было бы предвидеть на основании того, что нами было получено в случае сжатия короткой пластинки, выпучивающейся по одной полуволне. Соответствующая этому случаю формула (233) легко может быть представлена в таком виде:
, / 1\2,
Р1кр — Ре у”1^~ у ~ кре.(233х)
Если мы, сохраняя постоянной ширину пластинки 6, будем изменять ее длину, то при этом будет изменяться коэффициент к. Изменения эти представлены на рис. 115 кривой т = 1. Мы видим, что наименьшего значения этот коэффициент достигает в случае квадратной пластинки при к = 4.
Когда имеется весьма длинная пластинка, подразделяющаяся при выпу
чивании на ряд полуволн, то каждая полуволна, заключенная между двумя последовательными узловыми линиями, может быть рассмотрена как незави
симая пластинка с опертыми краями, так как по узловым линиям соответствующие изгибающие моменты обращаются в нуль. Для такой пластинки заданной ширины b критическое напряжение получается наименьшим, когда ее длина равна ширине. Отсюда можем заключить, что весьма длинная пластинка при
выпучивании стремится подразделиться узловыми линиями на квадраты.
На квадраты подразделится также и пластинка конечной длины, если только отношение а/b представляет собой целое число. При а/b дробном пластин
Рис. 115.Рис. 115.ка подразделяется узловыми линиями на прямоугольники с таким соотношением сторон, при котором критическое напряжение, вычисляемое для одной полуволны как для независимой пластинки, имеет наименьшее значение. Соответствующее число полуволн может быть установлено путем таких рассуждений.
Рис. 115.
Рис. 115.
Пока длина пластинки а мала, мы будем иметь одну полуволну, и критическое усилие найдем по формуле (d'), полагая в ней т = 1. Сохраняя ширину пластинки b посто-
янной и увеличивая а, мы получаем наимень
шее значение piKP при а=Ь. При дальнейшем увеличении а значение piKp начинает возрастать. Соответствующие изменения piKP представлены на рис. 1151 кривой т = 1. Начиная с некоторой определенной длины а формула (d') будет давать наименьшее значение для Рх при условии m = 2. Этому соответствует подразделение пластинки на две полуволны. Рассматривая каждую полуволну как само
стоятельную пластинку, получаем изменение критических напряжений, представленное рис. 115 кривой т = 2. Пересечение кривых т = 1 и т = 2 определит то значение отношения а/b, начиная с которого получается при выпучивании две полуволны. При дальнейшем увеличении а достигнем такой длины, когда наименьшие значения Pv определяемые из формулы (d'), будут получаться при т = 3, тп = 4 и т. д. Изменения критических напряжений даются на рис. 115 кривыми т = 3, т = 4. То соотношение между длиной и шириной
пластинки, которому соответствует переход от искривления по двум полувол
нам к искривлению по трем полуволнам, определяется пересечением кривых т = 2 и т = 3. Переход к четырем полуволнам определится пересечением кривых тп = 3итп = 4ит. д. Вообще переход от т полуволн к ж + 1-й полуволнам происходит при таком значении отношения а/Ъ, при котором значение правой части формулы (d') не изменяется от замены т на т + 1, т. е. когда
.а2। л ।®2
mb211 (т + 1) Ь2 *
откуда получаем
-$- = Fm (ш + 1)" (f)
Полагая здесь т = £, находим, что переход от одной к двум полуволнам происходит при а[Ь = 1/2. Переход от двух к трем полуволнам получается при аро = /6 и т. д.
На рисунке даны значения коэффициента к (см. формулу (2339), пропорциональные ^1кр‘
Таким образом, формула (f) даст нам возможность установить в каждом мастном случае число полуволн, соответствующих первой искривленной форме равновесия пластинки. Установив длину одной полуволны и вставив ее в (233') вместо а, найдем соответствующее критическое напряжение. На рис. 115 те части кривых, которые соответствуют искомым критическим напряжениям, показаны сплошной линией, и мы видим, что с увеличением длины пластинки
Таблица 30
ь
к
Р1кр> кг/см2
ъ
к
Р1кр ’ кг/см2
0,3
13,2
2620
1,0
4,00
795
0,4
8,41
1670
1,1
4,04
803
0,5
6,25
1240
1,2
4,13
821
0,6
5,14
1020
1,3
4,28
851
0,7
4,53
901
1,4
4,47
889
0,8
4,20
835
1,41
4,49
893
0,9
4,04
803
уменьшаются колебания величины р1Кр- Несколько значений коэффициента kv входящего в формулу (233'), мы приводим в табл. 30.
В той же таблице даем значения piKP, вычисленные для h = 0,01 bv Е == 2,2 • 10е кг/см2. а = 0,3. Если для рассчитываемой пластинки h = ib/n, то для получения критических напряжений нужно числа таблицы помножить на 104/п2.
Определим при помощи таблицы то значение п для весьма длинной прямоугольной пластинки, при котором р1кр = 3000 кг/см2. Это соответствует пределу текучести для стали повышенного качества, применяемой в кораблестроении. При большой длине пластинки мы можем принять длину полуволны равной ширине пластинки и положить к = 4. Из таблицы имеем р1кр = 795. Нужное число п найдется из условия 795 • 104/п2 = 3000, откуда п = =51,5.
§ 61. Об устойчивости прямоугольной пластинки, растягиваемой или сжимаемой вдоль обеих сторон
Предположим теперь, что кроме усилий Pi, действующих в направлении оси х, имеются еще перпендикулярные к ним усилия Р2. Очевидно, что всякое растягивающее усилие в направлении оси у будет увеличивать найденное нами ранее значение р1кр, вычисленное для Р2 = 0. Точно так же сжатие в направлении оси у будет уменьшать то же усилие. Когда Р2 достигает наименьшего из значений, при которых имеет место равенство [см. (с) § 59]
-. 2 2 t^ - ° 2 2 лЦ.^+л^. m—i п=Л т— 1 п=1
(Р1)кр обращается в нуль и при дальнейшем увеличении Р2 плоская форма равновесия пластинки будет устойчива при отрицательных Р1э т. е. при надлежаще подобранных растягивающих усилиях в направлении оси х.
Так же, как при Р2 = 0, мы можем и в настоящем случае показать, что наименьшие значения для Pi и Р2, при которых плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой, получаются из условия (с) § 59, если в нем все коэффициенты Лтп, кроме одного, положить равными нулю. Таким образом, критические значения усилий должны удовлетворять уравнению
7П3Л2 п2л2 / тп2л2 п2л2 \2
Или, переходя к напряжениям и пользуясь прежними обозначениями
_ Рх _ Р2 D^ _ . Dt£
P1 ~' Рг — h ’ аЧг ~Ре* №Н = Рр
получаем условие оо а2/а2 \2
Pima+P2n2— = pe^ + n2 —j .(g)
Каждому значению чисел т и п соответствует особая форма равновесия выпучивающейся пластинки, определяемая уравнением . тлх . плу штп — ^тп sin " sin 7— , аb
и вполне определенная зависимость между напряжениями pi и р2, получаемая из уравнения (g). Зависимость эта линейная и графически может быть представлена для каждой пары значений тип соответствующей прямой линией.
На рис. 116 нанесено несколько таких линий, относящихся к случаю квадратной пластинки. По оси х отложены напряжения pi, по оси у — р2. Если в уравнении (g) положим р2 = 0, то получим точки пересечения наших прямых с осью pi. Ими определяются значения сжимающих напряжений, при которых возможны искривленные формы равновесия пластинки в случае действия лишь усилий Pi. Ближайшая из полученных точек пересечения определит найденное ранее значение для PiKp. Точно так же, полагая в уравнении (g) pi = 0, приходим к задаче об устойчивости пластинки, сжимаемой лишь в направлении оси у. Критическое напряжение р2ир определится ближайшей к началу координат точкой пересечения наших прямых с осью р2. На нашем рисунке Р1кр = Р2кри величина критических напряжений определяется пересечением прямой т = 1, п = 1 с координатными осями. По
лучаем, таким образом, прежний результат. Для квадратной пластинки, сжимаемой усилиями Рх или Р2, первая возможная искривленная форма равновесия будет иметь лишь
одну полуволну.
Составляя для заданного соотношения между сторонами пластинки рисунок, подобный рис. 116, мы легко решаем вопрос о критических напряжениях при любом соотношении между напряжениями рг и р2. Особенно просто решается задача в том случае, когда пластинка подвергается равномерному сжатию, т. е. когда рг = р2 = р. При этом уравнение (g) перепи
шется так:
/а2 \
Р = Ре
Наименьшее значение для р получается при т = п = 1. Следовательно, в этом случае
Ркр = Ре(1+^-)-(236)
Чтобы получить это решение из рисунка, нужно только из начала координат провести линию, делящую пополам угол между координатными осями, и получить точку пересечения этой линии с прямой т = 1, п = 1. Таким образом, при равномерном сжатии первая искривленная форма всегда имеет одну полуволну как в направлении ширины, так и в направлении длины пластинки.
Если одно из напряжений, например рг, задано, то для получения критического значения другого напряжения нужно только на рисунке провести линию, параллельную оси р2 и отстоящую от нее на заданном расстоянии pv Точки пересечения этой линии с прямыми (g) определят все те значения р2, при которых становятся возможными искривленные формы равновесия пластинки с заданным сжимающим напряжением pv Точка с наименьшей ординатой определит искомое Р2Кр- При разыскании этой точки нет надобности наносить на рисунке все линии (g), нужно взять лишь две группы линий, для которых
т = 1, п — 1, 2, 3, ... :
п = 1, т = 1, 2, 3, ...п = 1, т = 1, 2, 3, ...(h)
п = 1, т = 1, 2, 3, ...
п = 1, т = 1, 2, 3, ...
Пересечениями этих линий определяется многоугольник АВ CD... (части линий, составляющих этот многоугольник, показаны на рис. 116 сплошной линией), разделяющий плоскость рисунка на две части. Легко показать, что в той части, где лежит начало координат, не будет проходить ни одна из линий (g) и, следовательно, для определения критических напряжений нужно построить лишь многоугольник АВ CD... Для каждого значения рг пересечение прямой линии х = рг с соответствующей стороной многоугольника АВ CD... дает искомое значение р2кр* Заметим, что положительным значениям рг и р2 при принятых обозначениях соответствует сжатие, а отрицательным — растяжение. При расчете пластинок на устойчивость, когда задается напряжение рг и нужно разыскать соответствующее Р2кр’ вы” годно по заданной величине заранее установить, которой из сторон многоугольника АВ CD... следует пользоваться для определения Р2кр- Это может быть легко сделано следующим образом. Прежде всего установим те пределы для plt в которых нужно пользоваться линией т = 1, п = 1. На рис. 116 опи будут соответствовать, очевидно, абсциссам точек В и С. Наибольшее pv относящееся к линии т = 1, п — 1, определяется точкой С, точкой пересечения линий
Р1 + Рг-^ = Ре ^+-7?) m = 1- n=1;
а2/а2 \2
4Р1 + ₽2 тг-= Ре 4 + тГт = 2, п = 1.
о2\о2 /
Решая эти уравнения, находим / а2 \
Р1 = Ре (5 + 2•
Нижний предел для pt определяется точкой В, точкой пересечения линийа3/а2 \2
Р1 + Р2-Т7=Ре К + 'й'« = 1> « = 1;
а2/, «2 \2
Р1 + 4Р2 "^2" = Ре ^ + 4-^-| т = 1, п = 2.
Из этих уравнений находим / а4 \
Следовательно, при условии
/ а< \/ я2 \
p41~4v)<P1<45 + 2v)^
напряжение р2кр будет определяться линией т = 1, п = 1. Предположим, например, что прямоугольная пластинка, у которой а = 0,5 6, сжимается в направлении оси х, причем Pl = Ре- Нужно найти то наименьшее значение для сжимающих напряжений р^ при котором плоская форма перестает быть устойчивой. Подставляя заданное значение отношения а/Ь в неравенство (к), получаем 0,75 ре < Pi < 5,5ре. Так как заданное нам рг лежит в этих пределах, то р2кр найдется из уравнения
а2 / а2\2
P1A-P.V = Pe^A-^ •
Полагая в нем а = 0,5 Ь и рг = ре1 получаем
Рл2^2кр = ^25ре = 2,25 ^ .
Если заданное значение рг выходит за пределы значений, устанавливаемых условием (к), то нужно пользоваться другими сторонами многоугольника АВ CD... Причем для значений pt) больших верхнего предела, в неравенстве (к) нужно пользоваться группой линий п = 1, т = 2, 3, 4, ..
Для значений pt1 меньших низшего предела, в неравенстве (к) нужно рассмотреть линии т = 1, п = 2, 3, 4,... Нетрудно установить пределы для pv относящиеся к каждой из этих линий.
Рассмотрим, например, первую группу линий, соответствующую случаю
/ а2 \
Р1>ре(5 + 2—j.
Установим пределы для рг, относящиеся к стороне т = г, п = 1. Низший предел определяется пересечением линий т = I, п = 1 и линии т = г — 1, п = 1. Решая соответствующие уравнения
а2 Га2 I2
Pi « — I)2 + Рг -^" = Ре [V ~ ^ + ^г] » получаем для низшего предела значение
P1 = pe^~2i + l + 2—y
Подобным же образом для верхнего предела из условия пересечения линий т = i, п — 1; т = i + 1, п = 1 находим.
Рл=Ре ^2i2 + 2i + 1 + 2.
Следовательно, линией т = i, п = 1 нужно пользоваться при определении р2кр» если Pt лежит в таких пределах:
Ре (2i»- 2t+ 1 + 2 — ) < Р1 < рД№ + 2< + 1 + 2—j .(1)
Совершенно таким же образом для тех случаев, когда
и когда нужно пользоваться группой линий т = 1, п = 2, 3, 4,..., линия т= 1, п = i будет служить для определения р2кр, если Pi лежит в таких пределах:
[а4 1Г°4 1
Ре р— i2(t—1)2-^г >Р1>Р,|1 — ^U+l)2-^]-(о)
Применим полученные результаты к расчету пластинки, у которой а = 0,5 и р^ = Чрв. В этом случае'
Р1 > Ре (б + 2 —)
и нам нужно обратиться к неравенству (1). Оно будет удовлетворено при i = 2. Следовательно, р2кр определится прямой
,а3( ,а? \2
Полагая здесь р^ = 7ре, а = 0,55, находим р^ = — 39,75 ре.
Этим определяется то значение растягивающих напряжений р2, при котором плоская форма равновесия пластинки со сжимающими напряжениями pt = 7ре перестает быть устойчивой. Для растягивающих напряжений, больших найденного значения, пластинка устойчива, для меньших — не устойчива.
Если к той же пластинке приложены в направлении оси х растягивающие усилия рг = = — 11 рр, то для определения р2кр нужно обратиться к неравенствам (о). Неравенства будут удовлетворены при I = 4. Следовательно, р2кр определяется прямой
я2 / л2 \2
Pl + 16p2 —= ре (1 + 16—j .
Отсюда, полагая рг = — 11 ре, а = 0,5 Ь, находим /?2кр = 9 рв»
§ 62. Об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями, изгибаемой и сжимаемой в срединной плоскости
Здесь мы рассмотрим вопрос об устойчивости прямоугольной пластинки с
определяемому формулойопределяемому формулойопертыми краями, подвергающейся действию усилий, параллельных оси ж, причем интенсивность этих усилий изменяется по линейному закону (рис. 117),
определяемому формулой
определяемому формулой
(а)
Рис. 117.Рис. 117.Изменяя в этой формуле величину а, мы можем получить различные соотношения между напряжениями изгиба и напряжениями сжатия. Полагая, р, например, а = 0,5, получаем случай чистого изгиба, когда наибольшее сжимающее усилие, имеющее место при у = 0, равняется наибольшему растягивающему усилию, получающемуся при у = Ь. При а > 0,5 мы получим случай одновременного действия изгиба и сжатия, при а < 0,5 будем иметь случай изгиба с растяжением. Если положить а = оо, то придем к ранее рассмотренному случаю равномерного сжатия пластинки вдоль одной из сторон.
Рис. 117.
Рис. 117.
При определении Р1кр будем исходить из рассмотрения энергии системы. Самое общее выражение для искривленной формы равновесия пластинки в случае опертых краев напишется так:
М2 = 22-Amn Sinт=1 п=1М2 = 22-Amn Sinт=1 п=1тля . пли S1H 7-—аотля . пли S1H 7-—ао(Ь)(Ь)
М2 = 22-Amn Sinт=1 п=1
М2 = 22-Amn Sinт=1 п=1
тля . пли
S1H 7-—ао
тля . пли
S1H 7-—ао
(Ь)
(Ь)
Соответствующее выражение для потенциальной энергии изгиба (формула 231) будет
Т7 D ab V V .2 / тпл2 . п2л2 \
т=1 п=Х
Работа сжимающих усилий вследствие смещения краев при выпучивании пластинки вычислится по такой формуле:
(с)(с)
(с)
(с)
ьоьо
ь
о
ь
о
Подставляя сюда вместо м? выражение (Ь) и принимая во внимание, что
получаем для работы сжимающих сил выражение
Рг ab ^ л2 тп2л2 Рг а тп2л2 62 л2
— —24“Атп—^ 2ГЧаБ" "о2 Т
т=1 п=*1т=1п=1
0000 л л • "
862 у у
л2 W (и2 — i2)2*
п=1 г_
Приравнивая это выражение потенциальной энергии изгиба пластинки, получаем для Рг такое выражение:
Р1Р1^ти^тг^ (п2 — г2)2^ти^тг^ (п2 — г2)2(d)(d)
Р1
Р1
^ти^тг^ (п2 — г2)2
^ти^тг^ (п2 — г2)2
(d)
(d)
где п ± г — нечетное число.
Теперь нужно из всех возможных искривленных форм равновесия выбрать такую, которой соответствует наименьшее значение Pv Это значение и будет искомое Акр. Составляя производную от выражения (d) по каждому из коэффициентов Лтпп и приравнивая эти производные нулю, мы приходим к системе бесконечного числа уравнений такого вида:
п Д / /п2л2 , п2Л2 \2 _ п / л ^^1 ^^ [л 16 у Amini 11, .
UAmn ^ + 62 ) —^iyAmn ^ 2а а2 \Ати(га2 — г2)2 j J * ^
Соберем все уравнения с определенным значением т. В эту систему войдут коэффициенты Л^, Ате. Остальные коэффициенты положим равными нулю. Тогда соответствующая искривленная форма равновесия определится таким образом:
. тих
W = Sin Атп Sin —.
а п=1
Поверхность эта, как мы видим, подразделяется в направлении оси х узловыми линиями на т полуволн, поскольку каждую полуволну можно рассматривать как независимую пластинку, то мы в дальнейшем можем ограничиться исследованием выпучивания пластинки по одной полуволне. Для этого из системы уравнений (е) нужно оставить лишь уравнения, для которых т = 1. Пользуясь нашими прежними обозначениями
_ Pi _ _ ^л2 Dt^
?1 ” ” ’ Ре —’ Ре —’
напишем эти уравнения в таком виде:
л, l/14-n2—}2--М1_ЦЦ116 У Alini оm
Л1„Ц1+п № ) РД1 2а /]— 2ал2 р, ^ (л2 —г2)2 ~ °*W
где п ± г — нечетное число.
Мы получили систему линейных однородных уравнений, связывающих между собой коэффициенты Л12, Л14, ... Система эта может дать для коэффициентов A in решения, отличные от нуля, лишь в том случае, если определитель ее равен нулю. Приравнивая нулю определитель уравнений (f), мы получаем, 28*
таким образом, все те значения рг, при которых возможна искривленная форма равновесия пластинки. Наименьшее из этих значений и будет искомое р1кр. Вычислить р1кр можно путем последовательных приближений. В качестве первого приближения можно ограничиться лишь первым уравнением системы (f) и оставить в нем лишь первый коэффициент АИ, положив остальные равными нулю. Тогда получим
(Р1)кр = Ре (1 + ^ Ц— = Ре (— + —) - — • (237) 1 2а" ' 2а
Это первое приближение дает удовлетворительные результаты лишь в случае больших значений а (при а = 1,5 погрешность первого приближения для квадратной пластинки составляет около 4%), т. е. когда напряжения сжатия преобладают над напряжениями изгиба. С увеличением а формула (237) приближается к формуле (233'), полученной для равномерного сжатия.
Чтобы найти второе приближение, нужно взять два первых уравнения системы (f) и ограничиться коэффициентами 1 Ли и Л12. Тогда получим
Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получаем
Отсюда получаем второе приближение для piKp. Например, в случае чистого изгиба, когда а = 0,5, находим
Р1кР 32 [^ + З”/ \ ~^~ ^~^) ^е*(238)
Погрешность второго приближения для квадратной пластинки около 8%. С возрастанием а погрешность убывает и, начиная с а = 0,75, можно при практических расчетах ограничиваться вторым приближением. Для получения третьего приближения нужно взять три уравнения системы (f). При а = 0,5 уравнения эти напишутся так:
Ах (1 + -^—Д-— 4" Аг + 0 = 0;
у л2 р 912 *
_А 16 pi16 Pi 6 л -О-
Ах Я2 р9 ++ 4 62 Аг я2 — 25 Аи — °’
п16 ft 6 . . /, , Q а2\2
Ол2 d 25 Аг + 11 + 0 ^ ) А = 0.
Приравнивая нулю определитель этих уравнений, находим третье приближение для Р1Кр. Значения критических напряжений могут быть представлены в таком виде:
Р1кр = ^Ре-(239)
Величины коэффициентов к, полученные указанным выше способом, даны в табл. 31. Первая строчка значений к в этой таблице и первое число второй строчки получены на основании третьего приближения. Остальные значения вычислены по второму приближению. Можно было бы получить соответствую-
Таблица 31
а
а/Ъ
0,4
0,5
0,6
0,667
0,75
0,8
0,9
1,0
1,5
0,50
29,1
25,6
24,1
23,9
24,1
24,4
25,6
25,6
24,1
0,75
18,7
—
12,9
—
11,5
11,2
11,0
11,5
1,00
15,1
—
9,7
—
8,4
8,1
—
7,8
8,4
1,25
13,3
—
8,3
7,1
6,9
—
6,6
7,1
1,50
10,8
—
7,1
—
6,1
6,0
—
5,8
6,1
щие числа с помощью дальнейших приближений, но им будут соответствовать столь малые изменения приведенных в таблице значений к, что практически с этими изменениями считаться не придется. Заметим только, что всякое последующее приближение может сопровождаться лишь уменьшением к, так как увеличение числа коэффициентов Ain соответствует увеличению числа степеней свободы нашей системы, что может сопровождаться лишь уменьшением общей
жесткости системы.
относятся к случаю, когда вотносятся к случаю, когда вВычисления, которые мы здесь привели,
относятся к случаю, когда в
относятся к случаю, когда в
направлении оси х выпучившаяся пластинка представляет одну полуволну.
Рис. 118.Рис. 118.Но, принимая во внимание, что при выпучивании по нескольким полуволнам мы можем каждый участок пластинки между двумя узловыми линиями рассматривать как независимую пластинку, легко распространить наши результаты на случай пластинки с любым числом полуволн в направлении оси х. Возьмем, например, случай чистого изгиба. Изменения коэффициента к в зави-
Рис. 118.
Рис. 118.
симости от отношения а/b представлены на рис. 118 кривой т = 1. Мы видим, что сначала с возрастанием отношения а/b коэффициент к убывает и достигает своего наименьшего значения при а/b « /3. Далее начинается возрастание &,
и при a(b = 1 величина этого коэффициента, вычисленная в предположении одной полуволны, получается большей, чем для отношения а]Ь = 1/2. Это свидетельствует о том, что квадратная пластинка при чистом изгибе уже будет подразделяться на две полуволны и при дальнейшем возрастании отношения оф нужно пользоваться кривой т = 2, которая получается из кривой т = 1 путем удвоения абсцисс. Подобным же образом могут быть построены кривые т = 3, т = 4 и т. д. Пересечением кривых т = 1 и т = 2 определяется момент перехода от одной полуволны к двум. Так же точно кривые т = 2 и т = 3 в пересечении дают то значение отношения а/Ь, начиная с которого получается три полуволны, и т. д. Легко видеть из рисунка, что с увеличением длины пластинки значения к все меньше будут отклоняться от своего наименьшего значения. Для достаточно длинной пластинки мы можем полагать к = 23,9 и
считать, что при выпучивании такая пластинка подразделится узловыми линиями на участки, соотношение сторон которых равно приблизительно 2/3.
Полученные результаты показывают, что в случае чистого изгиба прямоугольные пластинки гораздо устойчивее, чем при равномерном сжатии, и критические напряжения могут получиться в пределах упругости лишь при сравнительно тонких пластинках. Так, например, при Е = 2,2 * 10е кг/см2, b 140/& и а = 0,3 мы получаем piKp = 2400 кг/см2. Подобным же образом решается вопрос об устойчивости длинных пластинок и при других значениях а. Заметим, что с увеличением а коэффициент к убывает и в пределе приходит к тем значениям, которые мы имели при равномерном сжатии. Соответственно изменяется и то значение отношения ajb, которому соответствует наименьшее к.
Отметим, что принятый здесь метод исследования устойчивости может быть распространен и на тот случай, когда линейно распределенные нормальные усилия действуют не только в направлении оси х, но также и в направлении оси у.
§ 63. Об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями при действии касательных напряжений
PtPtУУРис. 119.Рис. 119.Если прямоугольную пластинку с опертыми краями подвергать действию касательных усилий Pt, равномерно распределенных вдоль сторон пластинки (рис. 119), то при некотором критическом значении этих усилий плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой. Пластинка выпучивается и при большой длине подразделяется на полуволны линиями, наклоненными к осям х и у, причем линии наибольших прогибов располагаются, как показывают опыты, приблизительно нормально к направлению наибольшего сжатия.
Pt
Pt
У
У
Рис. 119.
Рис. 119.
Для определения PtKP мы воспользуемся преясним методом. Возьмем самое общее выражение для искрив
ленной формы пластинки в виде двойного бесконечного ряда
X X л
W = 24mnsin—— sin—^.(а)
7И= 1 П= 1
Вопрос об устойчивости решим в зависимости от того, сопровождается принятое искривление (а) пластинки увеличением или уменьшением потенциальной энергии. При сравнении различных форм равновесия можно идти двумя путями. Можно предполагать, что при выпучивании пластинки усилия по контуру остаются неизменными и, следовательно, искривление сопровождается некоторым смещением точек контура, при котором внешние силы совершают известную работу. Таким методом мы пользовались при изучении устойчивости сжатых пластинок. Можно поступить иначе, а именно предположить, что точки контура не смещаются. В таком случае выпучивание пластинки будет сопровождаться изменением усилий, распределенных по контуру, и изменением соответствующей им потенциальной энергии системы.
И тем и другим путем мы придем к одному и тому же значению критических напряжений, но в первом случае критические напряжения найдутся из условия равенства энергии изгиба работе усилий, распределенных по контуру. Во втором случае работа внешних сил будет равна нулю, и критические напряжения найдутся из того условия, что изменение потенциальной энергии системы при перемещениях, соответствующих первой искривленной форме, должно равняться
нулю. Воспользуемся здесь вторым приемом и предположим, что выпучивание пластинки не сопровождается смещением точек контура. В таком случае искривление пластинки при выпучивании будет сопровождаться сдвигами в срединной плоскости и соответствующими изменениями энергии сдвига.
Величину сдвига в какой-либо точке О срединной плоскости легко находим из геометрических соображений (рис. 120). Пусть О А и ОВ — два бесконечно малых линейных элемента длины dx и dy. После изгиба они займут по отношению к плоскости, параллельной плоскости контура, положения ОЛХ и ОВХ, причем вертикальные перемещения ААХ и ВВХ будут соответственно равны величинам
ди? ! ди? J dx; -5— dy.
дх ' ду
Легко ниях уголЛегко ниях уголвидеть, что при взятых перемеще-
Легко ниях угол
Легко ниях угол
АХОВХ меньше прямого. Переме
щения ААХ и ВВХ сопровождаются сдвигом, который равен, очевидно, уменьшению первоначально прямого угла АОВ. Это уменьшение можно получить из рис. 120 таким образом. Сначала вращением площадки АОВ относительно оси Оу совмещаем О А с ОАХ.
Если теперь ту же площадку вращать относительно ОАХ до совмещения с плоскостью АХОВХ1 то, очевидно, точка В пройдет по направлению ВВ^ перпендикулярному к О А х и наклоненному к ВВХ под углом -^-. Следовательно,
du? du? du?
BXB« = BB. sdy,1 dx dy dx
и уменьшение первоначально прямого угла, равное BjOBv представится так: ди? du? ^x-p qx ду •
Увеличение энергии сдвига вследствие выпучивания пластинки представится так:
И
ди? du? j j
-al"
0 0
Подставив сюда вместо w его выражение (а) и приняв во внимание выражение
jsin оjsin отпх рлх п cos —— dx =тпх рлх п cos —— dx =аааа0 при m ± p четном, 2a m,2а- ПРИ пг ± p нечетном, л m2* — p2 vr'0 при m ± p четном, 2a m,2а- ПРИ пг ± p нечетном, л m2* — p2 vr'
jsin о
jsin о
тпх рлх п cos —— dx =
тпх рлх п cos —— dx =
а
а
а
а
0 при m ± p четном, 2a m,
2а- ПРИ пг ± p нечетном, л m2* — p2 vr'
0 при m ± p четном, 2a m,
2а- ПРИ пг ± p нечетном, л m2* — p2 vr'
придем к такому результату:
т п р qт п р q,mnpq^pq ^m2 — p2) (g2 — n2) ’,mnpq^pq ^m2 — p2) (g2 — n2) ’(Ь)(Ь)
т п р q
т п р q
,mnpq
^pq ^m2 — p2) (g2 — n2) ’
,mnpq
^pq ^m2 — p2) (g2 — n2) ’
(Ь)
(Ь)
где т ± р и п ± q — нечетные числа.
Что касается энергии изгиба V, то для нее сохраняется прежнее выражение (231). Приравнивая нулю энергию изгиба, сложенную с найденным выше
выражением Fx, получаем для Pt такое выражение:
2
VI 2 / ^Л . И2Л2 V
Ft =.(С)
64 у у уmnpqv '
2^ 2^ 2^ 2а A^Apq ^ р^ ^ _ п^
Остается теперь подобрать для коэффициентов Атп й Ард такие соотношения, которым соответствует наименьшее Pt-
Это наименьшее значение и будет искомое Ptкр. Приравнивая нулю производную от (с) по каждому из коэффициентов Атп и принимая во внимание условие F + Fx = 0, приходим к системе уравнений, линейных относительно AmTU Apq, ... Уравнения эти можно разбить на две группы. В одну из них войдут коэффициенты с четной суммой индексов, а в другую — с нечетной. Вычисления показывают, что наименьшее значение для Pt дает первая группа уравнений.
Пользуясь для сокращения обозначениями
(d)(d)— — Р, PtKP —,
(d)
(d)
* Dt^ ^ Л2 РеР«- №h’ k Ж 777’
можем написать эту систему бесконечно большого числа линейных дифферен-
циальных уравнений в таком виде х:
^33
^42
-^11^22
^13
^31
M£±₽!)i д-А
0
0
0
,1,о
р2 9
1 45 1—°
, 4. 16М1 + Р2)2
_ 4
, 36
о+ ... =0
+» + »■
5
5
+ -2Г
„-А +
X (1 + 9р2)2
0
0
24 LО
Р2
75 1
°-4
0+
X (9 + Р2)2
-0
24 J п
Р2
1 21
А. 36
0+к
о
0
Х(9 + 9Р2)2
... =0
35
-10
24
_2L +
Х(16 + 4р^)2
Р2+ *
45
75
4 21
35+
Величина р<Кр найдется из условия равенства нулю определителя написанной системы уравнений. Вычисления будем вести путем последовательных приближений 2, как это мы делали в предыдущей задаче. Для первого приближения мы можем ограничиться двумя первыми строчками и двумя первыми столбцами написанной системы уравнений. Приравнивая нулю определитель по-
11лученных двух уравнений с двумя неизвестными Лп и Л12, находим
1
1
Р
9 (1 + Р2)2 *
Отсюда на основании обозначений (d) получаем для первого приближения 1
(240)(240)___ 9л2 d + ₽2)2 '
(240)
(240)
PtKPИ 2 рз Ре*
Формула эта в случае квадратной пластинки дает погрешность около 15%. С увеличением длины пластинки погрешность возрастает и для получения более удовлетворительных результатов нужно обратиться к следующему приближению. Если мы при этом возьмем пять строк и пять столбцов нашей бесконечной
Таблица 32
13
к
Pt кр* кг/см*
Р
к
Pt кр* кг/см2
1
9,42
1870
1,8
6,8
1350
1,2
8,0
1590
2,0
6,6
1310
1,4
7,3
1450
2,5
6,3
1250
1,5
7,1
1410
3
6,1
1210
1,6
7,0
1390
системы уравнений, то, приравнивая нулю соответствующий определитель, получаем после некоторых сокращений такой результат:
х» - В' 11 4- -^-4- JLЛ+^Е- 4- (Л-Г d + P2)8 ] /24П — 81 (1 + Р2)4 [25 (1 + 9₽2)225(9 + Р2)2\ 25 / (9 + 9р2)2 J*
Формула эта дает величину критических напряжений для пластинок, близких к квадратной, с большой точностью. Разность между вторым и третьим 2 приближениями для квадрата получается лишь в четвертом знаке. При 0 = 2 эта разность достигает 2%. Наконец, при 0 = 3 она равна 9,5%. Эти данные позволяют заключить, что результаты третьего приближения имеют вполне достаточную для практических приложений точность. Окончательные результаты мы можем представить в такой форме:
w 7 ,7 2)л2
Pt кр — кр е — к ^2^ .
Значения коэффициента к при h = 0,01 Ъ приводим в табл. 32.
Мы видим, что с увеличением отношения а(Ь коэффициент к убывает, потому что длинная пластинка имеет возможность подразделяться на волны той длины, которой соответствует меньшее pt. Убывание к с увеличением 0 все замедляется, к стремится к определенному пределу, соответствующему бесконечно длинной пластинке. Величину этого предельного значения к мы можем найти таким приближенным способом.
В случае весьма длинной пластинки влияние поперечных сторон ничтожно, и мы можем для приблизительной оценки величины критических напряжений задаться подходящей формой искривления так, чтобы ц отношении прогибов были удовлетворены условия лишь на продольных сторонах пластинки. Такую форму мы получим, положив
w = A sin sin — (ж — ау\
Этому выражению соответствует выпучивание пластинки по ряду волн длины $, причем узловые линии составляют с осью у угол, тангенс которого равен а. Подставляя это выражение для w в наше условие V + Ух = 0, по
лучаем
аа^ = i 6а* + 2 +^ = i 6а* + 2 +4+-S-(i + «a)a.4+-S-(i + «a)a.Наименьшее значение для pt получим, если положимНаименьшее значение для pt получим, если положим11тогда найдемтогда найдемPtKp — ^Зре*PtKp — ^Зре*(242)s = 6 УЧ + а2 и(243)(242)s = 6 УЧ + а2 и(243)
а
а
^ = i 6а* + 2 +
^ = i 6а* + 2 +
4+-S-(i + «a)a.
4+-S-(i + «a)a.
Наименьшее значение для pt получим, если положим
Наименьшее значение для pt получим, если положим
1
1
тогда найдем
тогда найдем
PtKp — ^Зре*
PtKp — ^Зре*
(242)
s = 6 УЧ + а2 и
(243)
(242)
s = 6 УЧ + а2 и
(243)
Результат этот довольно близок к тому, что мы нашли выше для случая 0 = 3.
Имея значения коэффициента к, мы без затруднений можем подсчитать величину соответствующих критических напряжений. В табл. 32 значение Ptup дано для того случая, когда h = 0,016, Е = 2,2 • 106 кг[см\ а = 0,3.
Если для рассчитываемой пластинки И = ~- 6, то нужно числа в табл. 32 помножить на 104/тг2.
Заметим, что способ, который мы здесь применили, может быть распространен на более общие случаи, например на случай совместного действия касательных усилий с равномерным сжатием вдоль одной из сторон пластинки или одновременного действия касательных усилий с чистым изгибом. Последняя задача могла бы представить некоторый практический интерес в связи с поверкой на устойчивость вертикальной стенки клепаной двутавровой балки. При большой высоте балки отношение толщины стенки к ее высоте на практике иногда получается очень малым и надлежащая устойчивость достигается путем дополнительных подкреплений стенки особыми уголками жесткости. Отдельные участки стенки двутавровой балки между двумя соседними уголками жесткости следует проверять на устойчивость как независимую прямоугольную пластинку с опертыми краями. У опор эта пластинка будет находиться главным образом под действием касательных усилий и для проверки ее на устойчивость можно воспользоваться табл. 32. У середины пролета главную роль играют нормальные напряжения от изгиба и при проверке на устойчивость можно воспользоваться табл. 31 предыдущего параграфа.
§ 64. Об устойчивости прямоугольной пластинки
с опертыми краями, сжатой двумя взаимно
противоположными сосредоточенными силами
При вычислении критического значения сжимающих сосредоточенных сил Р (рис. 121) мы можем воспользоваться прежним приемом. В случае значительной длины пластинки можно принять для искривленной формы такое выражение:
^=sm —«sin т- ■(а)
771=1.3,5, ...
Соответствующее выражение для потенциальной энергии изгиба на основании прежней формулы (231) представится так:
Работа сжимающих сил Р при выпучивании пластинки представится таким выражением: ъ
Т =Т =^У = 4Ь~ ^х ^з + ^5 —^У = 4Ь~ ^х ^з + ^5 —(с)(с)О2Сравнивая (Ь) и (с), получаемО2Сравнивая (Ь) и (с), получаемР =Р =Ол,2аЬ22Ол,2аЬ22(Ф(ФИз того условия, что чение, получаем для коэ( ражение:Из того условия, что чение, получаем для коэ( ражение:► (d) должно ►ффициентов► (d) должно ►ффициентовМ2М2Ат - (- 1)т—1L-f—(Лх — л3 4- лб ' • • •) Вставив его в выражение (d), найдемАт - (- 1)т—1L-f—(Лх — л3 4- лб ' • • •) Вставив его в выражение (d), найдем_ D^atPРкр ~2_ D^atPРкр ~211\ 2т2 1|11\ 2т2 1|вы-вы-(е)(е)Рис. 121.Рис. 121.Л_ такое общееЛ_ такое общее(А — л3 4- л5 — • • • иметь наименьшее зна-(А — л3 4- л5 — • • • иметь наименьшее зна-т2а2т2а2\ а2 &а /Вводя обозначение а!Ъ — Ри принимая во внимание равенство\ а2 &а /Вводя обозначение а!Ъ — Ри принимая во внимание равенство**/1\2р2 у гп=1,3,5, ...**/1\2р2 у гп=1,3,5, ...г Гг ГлРлРлРлР2 ch2jf-2 ch2jf-
Т =
Т =
^У = 4Ь~ ^х ^з + ^5 —
^У = 4Ь~ ^х ^з + ^5 —
(с)
(с)
О2
Сравнивая (Ь) и (с), получаем
О2
Сравнивая (Ь) и (с), получаем
Р =
Р =
Ол,2аЬ2
2
Ол,2аЬ2
2
(Ф
(Ф
Из того условия, что чение, получаем для коэ( ражение:
Из того условия, что чение, получаем для коэ( ражение:
► (d) должно ►ффициентов
► (d) должно ►ффициентов
М2
М2
Ат - (- 1)т—1L-f—
(Лх — л3 4- лб ' • • •) Вставив его в выражение (d), найдем
Ат - (- 1)т—1L-f—
(Лх — л3 4- лб ' • • •) Вставив его в выражение (d), найдем
_ D^atP
Ркр ~2
_ D^atP
Ркр ~2
1
1\ 2
т2 1|
1
1\ 2
т2 1|
вы-
вы-
(е)
(е)
Рис. 121.
Рис. 121.
Л_ такое общее
Л_ такое общее
(А — л3 4- л5 — • • • иметь наименьшее зна-
(А — л3 4- л5 — • • • иметь наименьшее зна-
т2
а2
т2
а2
\ а2 &а /
Вводя обозначение а!Ъ — Ри принимая во внимание равенство
\ а2 &а /
Вводя обозначение а!Ъ — Ри принимая во внимание равенство
**/1\2
р2 у гп=1,3,5, ...
**/1\2
р2 у гп=1,3,5, ...
г Г
г Г
лР
лР
лР
лР
2 ch2jf-
2 ch2jf-
легко вычисляем Ркр при любом соотношении сторон. С увеличением длины пластинки величина Ркр, определяемая по формуле (е), быстро приближается к значению
(244)(244)Р - 4л/)
(244)
(244)
КР Ъ
Этим же путем возможно оценить влияние на величину Ркр подкрепляющего ребра, например уголка жесткости, расположенного по линии действия сжимающих сил.
§ 65. Об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки с двумя опертыми краями и двумя другими, закрепленными любым способом
Предположим, что прямоугольная пластинка, опертая по сторонам х = 0 и х = а (рис. 122), сжимается вдоль оси х равномерно распределенными усилиями Pv Пусть эти усилия достигли предела, когда плоская форма равновесия пластинки перестала быть устойчивой.
Пластинка искривляется по поверхности, определяемой таким уравнением (см. § 58):
n / d4^о d4w . d4tu \ . п d2wn,
\ дх4 1 дх2ду2 1 ду4 / 1 1 дх2х '
ткх а ’ткх а ’w = У sinw = У sin(Ь)(Ь)Частное решение этого уравнения возьмем в такой форме:
ткх а ’
ткх а ’
w = У sin
w = У sin
(Ь)
(Ь)
где У — функция у.
Подставляя его в (а), получаем для определения У такое линейное уравнение с постоянными коэффициентами:
у(4)уи / т^^_\0^
а2‘ \ a2 Da2/7
Принимая во внимание, что благодаря закреплениям по продольным сторонам мы всегда будем иметь
Ргт2л2
Dа2 ’
и пользуясь обозначениями
33Рис. 122.Рис. 122.1 /" яг2л2 . 1/ Рх т2к2 л 1 Г т2я2 . i / Рх т2п2
3
3
Рис. 122.
Рис. 122.
представляем общий интеграл уравнения (с) в таком виде:
У = 6^“°^ + С^еР^ + С3 cos Ру + С4 sin Ру.(d)
Произвольные постоянные Сг, ..., С4 должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись условия на продольных сторонах пластинки. Из этих условий может быть найдено также значение Р1кр для различных частных случаев закрепления. Приведем здесь несколько примеров.
Одна из продольных сторон пластинки оперта, другая свободна. В этом случае будем иметь на продольных сторонах такие условия:
d2w , d2w n d3w ,ч d3u7 n,,,x
Ж + ст^ = 0; ^ + (2-о)^^=0 при у==ь-(f)
Из условий (е) следует, что в общем интеграле (d) нужно положить С3 = 0; Сг = —С^. Следовательно, функция У в данном случае может быть представлена так:
У = A sh ay + В sin Ру, и условия (f) на свободной стороне напишутся таким образом:
А ^а2 — а ^—^ sh ab — В ^р2 + а —^^^ sin Р& = 0;
Г2 2 1Га 2 2 1
Ла а2 —(2 —а)-^^|сЬаЬ —Вр1р2 + ^^-^-] cospb = 0.
Этим уравнениям можно удовлетворить, положив А = В = 0, но этому будет соответствовать плоская форма равновесия пластинки. Отличными от нуля могут быть постоянные А и В лишь в том случае, если определитель уравнений (g) обращается в нуль, т. е. если будет удовлетворено уравнение
(h)(h)аг_а2!^_) thab = a^2 + o^j tgpb.
(h)
(h)
Пользуясь этим уравнением, мы для заданного соотношения между сторонами пластинки и при заданных значениях Е и а можем найти соответствующее критическое напряжение. Вычисления показывают, что наименьшие значения сжимающего усилия получаются при т = 1. Следовательно, при выбранном способе закрепления даже длинная пластинка будет искривляться при выпучивании по одной полуволне. Разыскание корней трансцендентного уравнения (h) можно значительно упростить, если воспользоваться приближенным решением
Р1кр = Ре + 0,456/>', ..., (т),(245)
где
Рл2 е * £>л2Ре =’ Ре —’
которое выводится на основании элементарных соображений. При а>Ь это решение дает достаточную для приложений точность. При а = 106 погрешнос-
Таблица 33
a/b
k
Р1 кр» кг/см2
a/b
k
Pl кр* кг/см2
0,5
4,400
855
2,0
0,698
136
1,0
1,440
280
2,5
0,610
119
1,2
1,135
221
3,0
0,564
110
1,4
0,952
185
4,0
0,516
100
1,6
0,835
162
5,0
0,506
98,4
1,8
0,755
147
ти меньше 0,2%. Выражение для критических напряжений может быть представлено так: р1Кр = кре. Значения к, полученные из уравнения (h) (для а = = 0,25), приводим в табл. 33. Здесь же даны и критические напряжения, вычисленные для Е = 2,2 • 10е кг/см\ h = 0,016. Мы видим, что даже при сравнительно малом значении отношения 6/6 пластинка с одним свободным краем будет мало устойчива.
Одна из продольных сторон пластинки заделана, другая свободна. В этом случае условия на продольных сторонах пластинки напишутся так:
и = 0; "^- = ° при у = 0;(к)
д2и? , д^и? р. д3шд3ш П
~ду^ + ° ~д^~ ”"ду3"О') ^2^ — 0 при У = 6.(I)
Из первых двух условий следует, что произвольные постоянные общего интеграла (d) связаны между собой таким образом:
2а ’25•
Функция У может быть представлена в таком виде:
У = A (cos ру — ch ay) + В (sin Ру~ sh ay).
Подставляя это выражение в условия (1) на свободном крае пластинки, получаем два линейных однородных уравнения, связывающих между собой А и В. Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получаем уравнение для определения piKp.
Введя для упрощения обозначения
,?П2Л2о т2л2
2 + о —«—; s = а2 — а —,
1 а2а2 ’
представим это трансцендентное уравнение в таком виде:
(ш)(ш)2ts + (s2 + i2) cos pb ch ab = °^ ^"^ sin ^b sh ab.
(ш)
(ш)
(п)(п)Задаваясь различными значениями отношения а(Ъ и величиной о, мы можем при помощи этого уравнения разыскать соответствующие значения коэффициента к в формуле
(п)
(п)
/Чкр — ^Р»
Вычисления показывают, что в случае коротких пластинок первая искривленная форма равновесия пластинки имеет одну полуволну, так как при т = 1
Таблица 34
а/Ь
М
Pi кр»
KZlCM2
a/b
к
Р1 КР’ кг/см2
1,0
1,70
328
1,7
1,33
257
1,1
1,56
301
1,8
1,34
259
1,2
1,47
283
1,9
1,36
263
1,3
1,41
271
2,0
1,38
267
1,4
1,36
263
2,2
1,45
281
1,5
1,34
258
2,4
1,47
283
1,6
1,33
257
Рис. 123.Рис. 123.уравнение (m) дает в этом случае наименьшее значение для к. Ряд значений к, вычисленных на основании уравнения (ш) при т = 1 и a = 0,25, приводим в табл. 34. В этой же таблице мы приводим значения piKp, вычисленные при Е = 2,2 * 106 кг]см\ а = 0,25, h = 0,01 b. Мы видим, что с возрастанием отношения а/Ъ величина коэффициента к сначала убывает. Она достигает своего наименьшего значения (к = 1,328) при а/Ъ = 1,635, после чего начинается возрастание к. Изменение к в зависимости от отношения сторон представлено на рис. 123 кривой т = 1. Имея эту кривую, легко построить кривые т = 2, т = 3, ... и т. д. Пользуясь ими, легко устанавливаем при заданном отношении а[Ъ то число полуволн, на которое пластинка подразделяется при выпучивании. С увеличением длины пластинки коэффициент к все меньше будет отклоняться от своего минимального значения.
Рис. 123.
Рис. 123.
В условиях, подобных только что рассмотренным, находится сжатый вертикальный лист мостового пояса таврового
сечения (рис. 124). При большой длине листа мы можем положить к = 1,33. В таком случае на основании табл. 34 находим
Р1КР = 257= 1480 кг/см\
Увеличить устойчивость листа можно было бы только путем наклеивания по нижнему краю листа особого уголка жесткости.
Одна из продольных сторон упруго заделана, другая свободна. Мы рассмотрели два предельных способа закрепления продольной стороны пластинки: когда край опертый, следовательно, свободно поворачивается и когда он абсо-
лютно заделан. На практике мы обыкновенно встречаемся с промежуточными случаями. Край пластинки склепывается с другими частями металлической конструкции и степень закрепления будет зависеть от относительной жесткости склепываемых частей. Например, в случае, представленном на рис. 124, верхний край вертикального листа можно было бы считать совершенно заделанным лишь в том случае, если бы выпучивание этого листа не сопровождалось поворачиванием горизонтальных листов и уголков пояса. В действительности это поворачивание будет происходить, выпучивание вертикального листа будет сопровождаться некоторым кручением остальных частей сжатого пояса
z4Qx1z4Qx140x104,240x104,2^5042^5042Рис. 124.Рис. 124.и жесткость закрепления верхнего края листа будет зависеть от жесткости кручения горизонтальных листов и уголков пояса. Для решения вопроса об устойчивости вертикального листа нужно рассмотреть пластинку с одним свободным и другим упруго заделанным краем. Под упругой заделкой будем подразумевать такую, при которой заделанный край может несколько поворачиваться, но при этом поворачивании возникают вдоль края пластинки изгибающие моменты, пропорциональные углу поворота. Допустим, что сторона пластинки у = 0 (см. рис. 122) упруго заделана. Тогда условия закрепления по этому краю напишутся так:
z4Qx1
z4Qx1
40x104,2
40x104,2
^5042
^5042
Рис. 124.
Рис. 124.
n c^w ,d^wdwn
м; = 0;-т-s- 4- a -= x -т— при у = 0,
ду2 дх2ду r
где х — коэффициент, характеризующий жесткость заделки.
Из написанных условий находим между постоянными Ct, ..., С4 общего интеграла (d) такие зависимости:
с _С3(д2 + Р2+Ка) ОД .
12ха2а ’
Г — Сз (а2 + Р2 — ха) . GP22ха’ 2а *
Функция Y в рассматриваемом случае представится так:
Y = Л (cospy —^-^ shay —chау) + В (sin Ру^shay).
Подставив это выражение для функции Y в прежние наши условия на свободном крае пластинки, придем к таким двум уравнениям:
A (t cos р& + s chab + gssh ab) + B^t sin pb + ~-s sh ab) = 0;^
A (— Ps sin p& + at sh ab + qat ch ab) 4- В (Ps cos P& 4“ P^ ch a&) — 0.
Здесь для сокращения приняты такие обозначения:
t = Р24-о^-;t = Р24-о^-;s = a2— a—г-; a2s = a2— a—г-; a2a2 + P2xaa2 + P2xa
t = Р24-о^-;
t = Р24-о^-;
s = a2— a—г-; a2
s = a2— a—г-; a2
a2 + P2xa
a2 + P2xa
Полагая в наших уравнениях х = оо или q = 0, приходим к уравнениям для случая абсолютно заделанного края пластинки. Критические напряжения находим, приравнивая нулю определитель уравнений (о).
Соответствующие значения коэффициента к в общей формуле (п) будут зависеть, конечно, от коэффициента жесткости заделки х. В табл. 35 приводим значения к для случаев, когда иЬ = 2 и хЬ = 8. Мы видим, что с уменьшением
коэффициента заделки уменьшаются значения к и вместе с тем увеличивается значение отношения а : Ъ, которому соответствует наименьшее к. Мы можем заключить, что с уменьшением жесткости заделки увеличивается длина тех волн, на которые подразделяется весьма длинная пластинка при выпучивании.
Если построить по числам таблицы кривые изменений к, то можно из рисунка найти, что переход от одной полуволны к двум, когда xb = 2, происходит примерно при а]Ъ = 3,1, в случае хЪ = 8 — при а[Ь ^ 2,6.
ворачиванию заделанного краяворачиванию заделанного краяпрепятствуют горизон-препятствуют горизон-Покажем теперь на численном примере, как может быть приблизительно вычислена величина х. Возьмем случай, представленный на рис. 124, где но
ворачиванию заделанного края
ворачиванию заделанного края
препятствуют горизон-
препятствуют горизон-
а/д
xb — 2
хЬ = 8
а/Ь
xb = 2
хЪ = 8
1,0
1,49
1,58
2,3
0,89
1,18
1,3
1,13
1,25
2,5
0,90
1,23
1,5
1,01
1,16
2,7
0,93
1,30
1,8
0,92
1,11
3,0
0,98
1,16
2,0
0,90
1,12
4,0
0,90
1,12
та б л и ц а 35
листа
вертикального
жесткость при кручении этихжесткость при кручении этихтальные листы и уголки. Обозначим через С
жесткость при кручении этих
жесткость при кручении этих
частей. Угол закручивания их, приходящийся на единицу длины края пластин- ки, будет, очевидно, равняться и соответствующий скручивающий момент определится согласно формуле С = -^ха • Приращение этого момента по длине края пластинки определяется величиной изгибающих моментов, возникающих по краю пластинки. Отсюда получаем для определения жесткости заделки такое условие:
d^w д / р д^ш \ дуадх \дхду / *
Принимая во внимание принятое выражение (Ь) для w, находим в случае выпучивания по одной полуволне
рл2 ди?
Следовательно, в рассматриваемом случае
С л2
D а»
Если в запас прочности пренебречь связью между горизонтальными листами и допустить, что каждый лист и каждый уголок при кручении работают независимо, то при вычислении С можно воспользоваться приближенными формулами (см. стр. 130), которые для нашего численного примера при условии подразделения пластинки на полуволны, для которых а/Ъ = = 2, дают хЪ = 7,3.
Пользуясь числами табл. 35 для хЪ = 8, найдем при отношении а!b = 2, что к = 1,12. Следовательно х,
, D^
Р1кр = кРе = 1Л2= 1250 Кг!см*'
При всех этих выводах мы предполагали распределение сжимающих усилий равномерным. Иногда приходится встречаться с линейным законом распределения этих усилий по ширине сжимаемой пластинки.
Например, если стержень, сечение которого представлено на рис. 124, является сжатым элементом мостового пояса, то в нем кроме равномерного сжатия будут еще действовать и напряжения от изгиба, получающегося вследствие жесткого соединения отдельных элементов моста в узлах. Если изгиб так направлен, что при этом увеличиваются сжимающие напряжения по свободному краю вертикального листа, то это, конечно, будет уменьшать устойчивость листа. В противном случае устойчивость повышается. Допустим, что верхний продольный край вертикального листа оперт, тогда влияние изгиба на устойчивость листа может быть учтено элементарным путем, и приближенная формула, соответствующая формуле (т) при равномерном сжатии, напишется так:
?1кр = -^47+ 0,456р'е).(246)
Здесь р1кр — среднее значение сжимающего напряжения, получаемое делением эксцентрично приложенной сжимающей силы на площадь сечения листа. Через е обозначен тот эксцентриситет, с которым должна быть приложена сжимающая лист сила, чтобы осуществить линейное напряженное состояние, получающееся при одновременном действии изгиба и сжатия рассчитываемого элемента. Положительный знак е соответствует возрастанию сжимающих напряжений по свободному краю листа.
Если напряжения превзойдут величину р1кр, определенную из формулы (246), то это еще не значит, что элемент разрушится, как это имеет место в случае продольного изгиба стержня. Выпучится лишь вертикальный лист и все то усилие, которое должно было бы передаться на него сверх ркр, распределится между более устойчивыми частями рассматриваемого элемента. Горизонтальные листы и уголки окажутся при этом перенапряженными.
Обе продольные стороны пластинки абсолютно заделаны. В этом случае условия на продольных сторонах запишутся так:
= о, -^ = °
’ ду
при у = 0 и при у = Ь.
Таким же точно путем, как и в предыдущих примерах, получим для определения критических напряжений трансцендентное уравнение
(cos р& — ch аб) = — (sin ^b~ sh ab) (sin pb + -~ sh а^.
Ряд значений коэффициента к, полученных из этого уравнения, приводим в табл. 36.
Мы видим, что наименьшее значение для к получается при 0,6 <-|- <0,7. Длинная пластинка с заделанными продольными краями будет при выпучи-
вании подразделяться на полуволны, длина котовых ¥повлетвоояет nonvnenHOMv
Таблица 36
неравенству.
Без особых затруднений могут быть
а/Ь
а/Ъ
k
рассмотрены также другие способы за- “ крепления продольных сторон сжатой пла
0,4
9,44
0,8
7,29
стинки. Некоторый практический интерес
0,5
7,69
0,9
7,83
может иметь тот случай, когда свободный
0,6
0,7
7,05
7,00
1,0
7,69
край пластинки для увеличения устойчивости подкрепляют особым продольным
уголком жесткости. Подобную пластинку, например, представляет вертикальный лист сжатого таврового пояса моста, усиленный по низу уголком (рис. 125)х.
Если считать верхний край вертикального листа заделанным, то условия по продольным сторонам напишутся так:
w " ®’’— “ ® ПРИ У ~ ^’
^ + o^L = 0. d\-^-+(2-o)^-] = EJ^- + T-^
Эу^ дх[ ду 1 х 7 дх2ду Jдх4 * дх2
Рис. 125.Рис. 125.при у ~Ъ.
Рис. 125.
Рис. 125.
Мы пренебрегаем при этом сопротивлением подкрепляющего уголка кручению и принимаем в расчет его сопротивление изгибу. Через EJ обозначаем жесткость уголка при изгибе 1 и через Т — сжимающую силу, приходящуюся на площадь поперечного сечения уголка. Условие, написанное нами для края у =Ь, несколько отличается от того, что мы имели раньше [см. формулу (212) § 51], так как здесь нами принято во внимание влияние продольной сжимающей силы Т на изгиб подкрепляющего уголка.
§ 66. Об устойчивости пластинок, подкрепленных жесткими ребрами
Вопрос об устойчивости пластинок, подвергающихся действию усилий в их срединной плоскости, приобретает все большее практическое значение в связи с увеличением размеров металлических сооружений и повышением прочности материалов, которое позволяет переходить к высшим нормам допускаемых напряжений и, следовательно, к меньшим толщинам применяемых на практике железных и стальных листов. В виде примера можно привести хотя бы военное судостроение. За последние 20 лет водоизмещение крупных броненосцев изменилось с 14 000 m до 30 000 иг, их длина возросла со 120 м до 200 м. При этом толщины листов обшивки и расстояние между подкрепляющими ребрами почти не изменились. Это показывает, насколько должны были возрасти напряжения в листах при работе корпуса судна как балки и насколько важным становится вопрос о надлежащем подкреплении этих листов, обеспечивающем их устойчивость. То же относится и к листам поперечных судовых переборок, играющих столь важную роль в поперечной крепости судна при постановке его в док. Еще более остро стоит вопрос об устойчивости листов обшивки в таких судах, как миноносцы, где толщины этих листов доведены до минимальных размеров.
Тот же вопрос об обеспечении устойчивости листов подкреплениями мы встречаем в высоких мостах со сплошной стенкой. Толщина стенки обыкновенно мало изменяется с высотой и надлежащая устойчивость достигается путем постановки особых уголков жесткости. Для некоторых случаев практика дает указания относительно расположения подкрепляющих ребер и предельного расстояния между этими ребрами 2, но эти данные весьма не полны и не заклю-
чают в себе никаких указаний относительно надлежащего выбора жесткости подкрепляющих ребер. Ниже мы, пользуясь приближенным методом, основанным на рассмотрении потенциальной энергии системы, решаем вопрос о выборе надлежащей жесткости подкрепляющих ребер в некоторых частных случаях
Продольные подкрепления прямоугольной пластинки с опертыми краями, сжатой вдоль одной из сторон. Вопрос об устойчивости такой пластинки мы
Рис. 126.Рис. 126.рассмотрели выше (см. § 60) с достаточной полнотой и можем при помощи табл. 30 вычислить в каждом частном случае соответствующие критические напряжения. Иногда эти напряжения получаются меньшими допускаемых и меньшими тех, которые пластинка приняла бы на себя как часть рассчитываемой конструкции при условии достаточной устойчивости. Выпучивание пластинки не будет, ко
Рис. 126.
Рис. 126.
нечно, сопровождаться разрушением всей конструкции, но все же возникает нежелательное явление. Та часть усилия, которая по недостатку устойчивости не может быть воспринята листом, передается на более
жесткие части конструкции, служащие для листа контуром, и эти части оказываются перенапряженными. Мы можем достигнуть надлежащей устойчивости листа путем увеличения его толщины, но это обыкновенно сопровождается значительным увеличением веса. Поэтому является более рациональным, не меняя толщины листа, достигнуть нужной устойчивости при помощи дополнительных ребер жесткости. Если пластинку (рис. 126) оставить без подкреплений, то при а< 6]/2 значения /?1Кр найдутся из формулы (233'). Пользуясь прежним обозначением а/Ъ = р, переписываем эту формулу так:
(а)(а)_, (1 ^2)2
(а)
(а)
Pl кр — Ре р2
При большой длине пластинка при выпучивании подразделяется на полуволны, число которых найдется при помощи неравенства (f) (см. § 60). В таком случае в формуле (а) число Р будет обозначать отношение длины волны к ширине пластинки. Если пластинку подкрепить абсолютно жестким продольным ребром, делящим ширину пластинки пополам, то жесткость пластинки возрастет, так как вдвое уменьшится расчетная ширина. В случае большой длины пластинки напряжения piKp возрастут при этом примерно в четыре раза. При установке двух равноудаленных ребер мы уменьшаем расчетную ширину в три раза и получаем дальнейшее увеличение piKp. Таким образом, мы всегда можем подобрать надлежащее расстояние между ребрами, при котором piKp будет получаться не меньшим, чем предел текучести материала, и, следовательно, пластинка может быть использована полностью при передаче сжимающих усилий. Для выяснения той жесткости, которую должны иметь подкрепляющие ребра, чтобы их можно было считать абсолютно жесткими, воспользуемся прежним
методом, который мы применяли для неподкрепленной пластинки. Пусть произошло выпучивание пластинки и подкрепляющих ребер по поверхности:
(Ь)(Ь).. тих . пли
(Ь)
(Ь)
w = Атп sinsin
т—1 п=1
Соответствующая энергия изгиба для пластинки представится так:
D ab X X ,2 / т2л2 , п2л2 \2т=1 п=1
Для продольного подкрепляющего ребра, имеющего жесткость Вг и расположенного на расстоянии ct от края пластинки у = 0, энергия изгиба напишется так:
Вл4/ле.2лс.\2
Vi = "45»" ^ т Ит1 sinT" + Ат- sin "ir<d>
m=l
Для работы усилий Рх, сжимающих пластинку, получаем
771=1 71=1
Если через Рг обозначим сжимающую силу в рассматриваемом подкрепляющем ребре, то соответствующая работа при выпучивании этого ребра напишется так:
т Pi V I дыз Рг Л2 а X 2 / л ’\ А •^^ ! V
2 J к дх Jy—ct ^х — “У а2 "У\^ml 81П b + ^2 Sin ъ + • • • Ь
Оm=lz
(f)
Условие, из которого может быть найдено значение критического напряжения, напишется так:
V-V^V^T-V^Tvk^
Подставляя сюда выражения (с) — (f) и пользуясь обозначениями
В г _ .Р\ _ Fi .
bD ” YbЬРг ~ bh ” г’
определяющими отношения жесткости и площади поперечного сечения ребра к жесткости и сечению пластинки, получаем
о° оооо9\ 2
2 2 ^«(т2++22 т« 2 т4 (Лт1 sin~T"+Ат2sin -у1 + • • •)
, 1 m=l n=li т=1
р\ - Реоо2-
2 2 т2А^+2 2 6i 2 т2 (л^ sin~r+л^8ь -^+ • • ■)
Теперь остается подобрать коэффициенты Атп так, чтобы полученное для рх выражение имело минимальное значение. Приравнивая нулю производные от
этого выражения по каждому из коэффициентов и принимая во внимание условие (^), приходим к системе линейных однородных уравнений такого вида:
•\ ।
Лтп (от2 + nW + 2 ^ Yi sin -у- m4 I Aml sin -^ + Am2. sin —^ + i\/J
m2Amn + 2 ^ 6, sin—^ m2 I Aml sin -у- + Лт2 sin —^ + • • • U = 0. (h)
Приравнивая нулю определитель уравнений (h), получаем условие для опре
деления Р1кр.
Возьмем, например, случай одного подкрепляющего ребра, делящего ширину пластинки пополам. Совершенно так же, как и в случае непод креп ленной пластинки, можно и здесь ограничиться рассмотрением выпучивания пластинки по одной полуволне. Полагая т = 1 и принимая во внимание, что л,с^Ь = л/2, представим уравнение (h) в таком виде
-^Ki + p^+ 2^-43-^- ...)]-
-р1[Л1 + 26(Л1-Л3+ Л5- •••)]—0;
(к)(к)2^(1 + 4^)М2-Р142 = 0;
(к)
(к)
4г [(1 + 9р2)2 Л3 - 2Т (Лг - Л3 + Л5)]-
— рг [ Л3 — 26 (Л, — Л3 + А- ---Л = 0;
-^(1 + 16₽2)2Л4-М4 = 0-
(247)(247)Заметим, что уравнения четного порядка будут заключать лишь по одному коэффициенту Ап. Соответствующие им значения рг представляют собой те сжимающие напряжения, при которых искривленная форма пластинки имеет своей узловой линией подкрепляющее ребро. Чтобы оценить влияние жесткости ребра, обратимся к уравнениям нечетного порядка системы (к). Сохраняя лишь первый коэффициент Аг и полагая остальные равными нулю, получаем из первого уравнения такое приближенное значение для критических напряжений:
(247)
(247)
Р1кр - Ре р2 (1 + 2б)
В случае длинных пластинок (Р > 2) это первое приближение, как показали более подробные вычисления, дает для критических напряжений вполне удовлетворительные результаты, и мы им пользовались при составлении табл. 37. Для коротких пластинок необходимо вычисление дальнейших приближений. Второе приближение мы получим, если в системе (к) возьмем первое и третье уравнения, сохранив коэффициенты Аг и А3. Приравнивая нулю определитель этих уравнений, приходим к такому уравнению для величины к,
-,„^1кр Р^крЬЧь
обозначающей, как и прежде, отношение —Л- = —5^2—:
(&Р2)2 (1 + 46) — &р2 [(1 + 26) (с 4- d) — 876] + cd — 4у2 = 0.(1)
Здесь для краткости введены такие обозначения: с = (1 + Р2)2 + 2у; й = - (1 + 9р2)2 + 2у.
Уравнением (Z) мы пользовались при вычислении к для более коротких пластинок (Р < 2). Разыскание третьего приближения для piKp приводит к решению кубического уравнения. Произведенные вычисления показали весьма малую расходимость между вторым и третьим приближениями, что позволяет при расчетах ограничиваться вторым приближением. Ряд значений к, вычисленных для различных р, у и 6, приведен в табл. 37. Мы видим, что каждому значению у и 6 соответствует особое значение р, при котором к получается наименьшим. Это показывает, что длинная пластинка, подкрепленная ребром, будет при выпучивании подразделяться на ряд полуволн. Длина этих полуволн будет получаться тем большей, чем жестче подкрепляющее ребро. Если взять первое приближение (247), то легко показать, что наименьшего значения к достигает при Р2 = |/1 + 2у. Пользуясь этой формулой, можно выяснить длину волн, на которые подразделяется весьма длинная пластинка при выпучивании.
Таблица 37
V = 5
V = 10
V — 15
V = 20
у = 25
7
II
7
7
7
7
II
7
7
7
II
7
И
7
II
-о
<о
о
СО
«о
=о
«о
«о
«о
«о
«о
«о
«о
«о
0,6
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
0,8
15,4
14,6
13,0
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
16,8
1,0
12,0
11,1
9,72
16
16
15,8
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
16,0
1,2
9,83
9,06
7,88
15,3
14,2
12,4
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
1,4
8,62
7,91
6,82
12,9
12,0
10,3
16,1
15,7
13,6
16,1
16,1
16,1
16,1
16,1
16,1
1,6
8,01
7,38
6,32
11,4
10,5
9,05
14,7
13,6
11,8
16,1
16,1
14,4
16,1
16,1
16,1
1,8
7,84
7,19
6,16
10,6
9,70
8,35
13,2
12,2
10,5
15,9
14,7
12,6
16,2
16,2
14,7
2,0
7,96
7,29
6,24
10,2
9,35
8,03
12,4
11,4
9,80
14,6
13,4
11,6
16,0
15,4
13,3
2,2
8,28
7,58
6,50
10,2
9,30
7,99
12,0
11,0
9,45
13,9
12,7
10,9
15,8
14,5
12,4
2,4
8,79
8,06
6,91
10,4
9,49
8,15
11,9
10.9
9,37
13,5
12,4
10,6
15,1
13,8
11,9
2,6
9,27
8,50
7,28
10,8
9,86
8,48
12,1
11,1
9,53
13,5
12,4
10,6
14,8
13,6
11,6
2,8
8,62
7,91
6,31
11,4
10,4
8,94
12,5
11,5
9,85
13,7
12,6
10,8
14,8
13,6
11,6
3,0
8,31
7,62
6,53
12,0
11,1
9,52
13,1
12,0
10,3
14,1
13,0
11,1
15,2
13,9
11,9
3,2
8,01
7,38
6,32
11,4
10,5
9,05
13.9
12,7
10,9
14,8
13,5
11,6
15,6
14,3
12,3
3,6
7,84
7,19
6,16
10,6
9,70
8,35
13,2
12,2
10,5
15,9
14,7
12,6
16,2
15,7
13,5
4,0
7,96
7,29
6,24
10,2
9,35
8,03
12,4
11,4
9,8
14,6
13,4
11,6
16,0
15,4
13,3
При помощи табл. 37 мы можем в каждом частном случае подобрать надлежащую жесткость подкрепляющего ребра. В качестве примера рассмотрим пластинку, для которой а = 120 см, b = 200 ел, h = 1,4 см, Е = 2,2 • 106 кг/см2, 1 — о2 = 0,9. В таком случае
, Пк2 „
Ре =— = 98» 5 кг (см2', Db = 50, BE кгсм2
b2h
При отсутствии подкреплений мы получим на основании формулы (а)
, 1,362„
Р1кр = Ре “озё" = 506 кг,см ■■
Наибольшее критическое напряжение, которое может быть получено при помощи продольного подкрепляющего ребра, найдется из той же формулы (а), если в нее вставить вместо b величину 0,5 Ь. Таким образом, найдем
, ' 2,442о
Р1кр = 4Рв ”^4 = 1627 кг^см •
Если мы в качестве подкрепляющего ребра возьмем швеллер № 8, то, принимая во внимание склепывание полки швеллера с широким листом, можно при вычислении жесткости ребра взять момент инерции швеллера относительно оси, лежащей в плоскости соприкасания швеллера с листом. В таком случае В = Е (114 + 11,9 • 42) = 304 Е кг/см2, и мы имеем
В 6
4 = -bD~- = °№‘
На основании данных табл. 37 заключаем, что при нашем соотношении между сторонами пластинки (р = 0,6) выбранный швеллер будет играть роль абсолютно жесткого ребра.
Если бы мы все оставили без изменения, но увеличили толщину пластинки до 2 см, то имели бы ре = 201 кг/см2*, Db — 148 Е кгсм2. При отсутствии подкрепляющего ребра мы получили бы р1кр = 1033 кг/см2.
Подкрепляя пластинку швеллером № 8, находим
304о
у=—— =2,05; 6^0,03,г 148
и из уравнения (1) получим к = 14,8, следовательно, р1кр = 2975 кг/см2.
Рассмотрим теперь пластинку вдвое большей длины: а = 240 см, b — 200 см, h = = 1,4 см, Е = 2,2 • 106 кг/см2, 1 — а2 = 0,9.
Из табл. 37 видим, что при этом соотношении между сторонами пластинки (Р = 1,2) величина у для обеспечения абсолютной жесткости ребра должна быть больше 10. Возьмем в качестве подкрепляющего ребра швеллер № 10. В таком случае В = (213 + 13,9 • 25) Е = = 560 Е кг/см2\ у = 11,0; 6 = 0,05 и уравнение (1) дает нам к = 16,4, р1кр = 1615 кг/см2.
Подобным же образом может быть решена задача о подкреплениях в случае двух ребер, делящих ширину пластинки на три равные части. В качестве первого приближения мы получим формулу
(Ш)(Ш)П, - o' (1 + Р3)2 + Зт
(Ш)
(Ш)
Р1КР — Ре 1 4- 36
Несколько значений коэффициента к мы приводим в табл. 38.
Таблица 38
р
v = -
4-10
V = 5
V= 4-20
v= ю
6 = 0,05
0 = 0,1
0 = 0,05
0 = 0,1
0 = 0,05
0 = 0,1
0 = 0,05
0 = 0,1
0,6
26,8
24,1
36,4
33,2
36,4
36,4
36,4
36,4
0,8
16,9
15,0
23,3
20,7
29,4
26,3
37,2
37,1
1,0
12,1
10,7
16,3
14,5
20,5
18,2
28,7
25,6
1,2
9,61
8,51
12,6
11,2
15,5
13,8
21,4
19,0
1,4
8,32
7,36
10,5
9,32
12,7
11,3
17,2
15,2
1,6
7,70
6,81
9,40
8,31
11,1
9,82
14,5
12,8
1,8
7,51
6,64
8,85
7,83
10,2
9,02
12,9
11,4
2,0
7,61
6,73
8,70
7,69
9,78
8,65
11,9
10,6
При помощи формулы (ш) легко установить длину тех полуволн, на которые подразделяется весьма длинная пластинка при выпучивании, и можно приблизительно оценить ту жесткость, которую нужно придать подкрепляющим ребрам, чтобы можно было считать их абсолютно жесткими.
Если число равноудаленных продольных ребер больше двух, то для вычисления первого приближения получим из уравнений (Ь) такую формулу:
' _ РеР1кр — р2' _ РеР1кр — р2(l+p2)2+22v.sin2_l1 + 226гвш2-^1(l+p2)2+22v.sin2_l1 + 226гвш2-^1(248)(248)
' _ Ре
Р1кр — р2
' _ Ре
Р1кр — р2
(l+p2)2+22v.sin2_l
1 + 226гвш2-^1
(l+p2)2+22v.sin2_l
1 + 226гвш2-^1
(248)
(248)
Возьмем, например, пластинку с такими размерами: а = 1100 см, b — 550 см, h = = 3,75 см, Е = 2,2 • 106 кг/см2, 1 — да = 0,9. Вычислим величину р1кр при наличии пяти равноудаленных ребер, для которых имеются такие данные: В = 42 • 103 Е кг/см2; у = 15,7; 6 = 0,062.
Подставив данные в формулу (248), найдем р1кр = 2030 кг/см2.
Поперечные подкрепления прямоугольной пластинки с опертыми краями, сжатой вдоль одной из сторон (рис. 127). Поступая так же, как и выше при наличии продольных ребер, приходим к системе линейных уравнений вида
_тле. / лс-2лс-\
= Л-р2тМт.Ре= Л-р2тМт.Ре(s)(s)Ат (т2 + р2)2 + 2j 2YiP3 sin —— I Аг sin — + Л2 sin —— + ... j =
= Л-р2тМт.
Ре
= Л-р2тМт.
Ре
(s)
(s)
Здесь у и p имеют прежние значения.
В направлении оси х сжатая пластинка может подразделяться на несколько полуволн. Число их будет зависеть от отношения Р и от жесткости подкрепляющих ребер.
Если ребра обладают одинаковой малой
жесткостью и распределены настолько густо, что на каждую полуволну выпучившейся пластинки приходится несколько изогнувшихся ребер, то в бесконечных рядах, входящих в уравнения (s), можно сохранить лишь члены с коэффициентом Ат. Тогда для критических напряжений получаем формулу
Р1кр — Ре Р1кр — Ре ^2т2^2т2(249)(249)
Р1кр — Ре
Р1кр — Ре
^2т2
^2т2
(249)
(249)
Здесь г обозначает число поперечных ребер; т — число полуволн, которое должно быть подобрано так, чтобы наша формула давала для рг наименьшее значение.
Если пластинка подкреплена одним поперечным ребром, разделяющим длину пластинки пополам, то из первого уравнения системы (s) получаем в качестве первого приближения
Р1кр — РеР1кр — Ре(1 + Р3)2 4- 2урзР2(1 + Р3)2 4- 2урзР2(250)(250)
Р1кр — Ре
Р1кр — Ре
(1 + Р3)2 4- 2урзР2
(1 + Р3)2 4- 2урзР2
(250)
(250)
Рассматривая первое и третье уравнения системы (s), мы получим для /?1Кр второе приближение, обычно мало отличающееся от первого. Это показывает, что вычисление дальнейших приближений излишне. Пользуясь вторым приближением, можем для различных соотношений между сторонами пластинки установить те наименьшие значения у, при которых подкрепляющее ребро можно считать абсолютно жестким. Ниже приводим значения у.
•£0,5 0,50,70,80,91,01,21,41
у 12,6 7,18 4,39 2,80 1,82 1,26 0,433 0
Подобным же образом может быть разрешен вопрос о подкреплении пластинки тремя равноудаленными поперечными ребрами одинаковой жесткости.
Несколько значений для у, при которых подкрепляющие ребра начинают играть роль абсолютно жестких подкреплений, мы даем ниже:
Р 0,60,81,01,2 1,4
у 10142,6 21,7 12,4 7,71
Подкрепления пластинки, испытывающей чистый сдвиг. Рассмотрим случай длинной прямоугольной пластинки. Если сдвигающие напряжения превзойдут критическое значение (243), то пластинка выпучится и при этом разделится па ряд полуволн (рис. 128). Мы можем повысить устойчивость пластинки введением дополнительных подкреплений. Наиболее действенным является расположение подкрепляющих ребер по направлениям наибольших сжимающих напряжений в пластинке. В некоторых
случаях такое расположение не совсем удобно по конструктивным соображениям и приходится усиливать пластинку ребрами, параллельными одной из ее сторон. Если расположить ребра параллельно продольной стороне, то для вычисления критических напряжений можно воспользоваться приближенным приемом, который мы применили для получения решения (242) в случае неподкрепленной длинной пластинки (§63). Присоединяя к энергии изгиба пластинки энергию изгиба подкрепляющих ребер, получаем вместо формулы (242) такую:
PtKP = -2^[2 + 6^ + -^ + -^[V1 + (l + a2)a]).(t)
Все обозначения здесь оставлены прежними. Новая величина ух, вошедшая в эту формулу, имеет такое значение:
S2B. sin2 ^^ = Db
где Bi — жесткость ребра I; Сг — расстояние того же ребра от оси х. Для каждого значения ух нужно подобрать те значения а и $, при которых формула (I) дает наименьшее значение pt. Это критическое значение касательных напряжений может быть представлено прежней формулой pt^ = кр'в.
Значения коэффициента к приводим в табл. 39.
Возьмем такой численный пример. Стальной лист шириной Ъ = 180 см и толщиной 1 см подкреплен тремя равноудаленными швеллерами № 8. В этом случае
Р<кр = 11,4 • 62 =Р<кр = 11,4 • 62 =р'е = 62 кг/см2\ Db = 155; ^^80.
Р<кр = 11,4 • 62 =
Р<кр = 11,4 • 62 =
Таблица 39
V1
к
71
к
1 Vi
к
5
6,98
40
9,90
; so
11,4
10
7,70
50
10,4
90
11,7
20
8,67
60
10,8
100
12,0
30
9,36
70
11,1
Из табл. 39 находим к = 11,4, следовательно, = 707 кг/см2.
Увеличив толщину листа до 1,2 см, получим
ре ~ 89,3 кг/см2*, у1^46; к = 10,2; pfKp = 911 кг]см2.
Если длина и ширина пластинки одного порядка, то для выяснения нужной жесткости подкрепляющих ребер следует обратиться к тому общему методу которым мы пользовались при исследовании неподкрепленной пластинки, находящейся в условиях чистого сдвига (см. § 63).
Глава VIIГлава VIIМАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Глава VII
Глава VII
§ 67. Основные допущения
Оболочками будем называть тонкие пластинки, имеющие в своем естественном состоянии криволинейную поверхность.
Толщину оболочек будем предполагать постоянной и обозначим ее через К. Поверхность, делящую толщину оболочки пополам, назовем срединной поверхностью. При исследовании изгиба тонкой оболочки будем исходить из допущения, которым мы уже пользовались в теории плоских пластинок.
начало координат наначало координат наМы будем предполагать, что при изгибе линейные элементы, нормальные к срединной поверхности до деформации, остаются прямыми и располагаются нормально к деформированной срединной поверхности *.
начало координат на
начало координат на
Рассмотрим предварительно такой простейший случай. Бесконечно малый элемент ABCD (рис. 129), вырезанный из оболочки главными нормальными сечениями, деформируется так, что соответствующий элемент срединной поверхности не испытывает растяжений. Боковые грани остаются плоскими и лишь поворачиваются относительно линий пересечения их со срединной поверхностью. Пусть Rv R2 — главные радиусы кривизны срединной поверхности до деформации и 7?i, R^ — соответственно их величины после деформации. Имея значения главных радиусов кривизны после деформации, легко найдем деформации в любой точке выделенного элемента. Б(
срединной поверхности и координатные оси направляем по касательным к главным нормальным сечениям этой поверхности. Ось z направляем так, чтобы получить правовинтовую координатную систему (^, z/, z).
Выделим из нашего элемента бесконечно тонкий слой, параллельный срединной поверхности и отстоящий от нее на расстояние z. Удлинения ехх и еуу этого слоя легко могут быть найдены из геометрических соображений. Размер выделенного слоя в направлении оси х до деформации равен (рис. 129) dsx II1. После деформации тот же размер при не изменившейся длине ds-^
1 Гипотеза эта соответствует гипотезе плоских сечений в теории изгиба кривых стержней. Мы видели (см. стр. 96), что для тонких стержней это предположение приводит к весьма точным результатам.
представится так: dsx [ 1^-L Следовательно, относительное удлинение в на-
правлении оси х будет
z/ 11
^хх —I ~vo’
t5_\д1Д
Rx
Подобным же образом найдем и другое растяжение:
еуу —еуу —Z1 ^Z1 ^
еуу —
еуу —
Z
1 ^
Z
1 ^
Рис. 130.Рис. 130./ 11/ 11еУУ — ^22 Iо/ 11/ 11еУУ — ^22 Iо(251)(251)
Рис. 130.
Рис. 130.
/ 11
/ 11
еУУ — ^22 Iо
/ 11
/ 11
еУУ — ^22 Iо
(251)
(251)
Каких-либо сдвигов в плоскости выделенного тонкого слоя при сделанных предположениях относительно общей деформации элемента ABCD, очевидно, не будет.
Мы можем несколько обобщить наши формулы, наложив на рассмотренную деформацию элемента ABCD растяжения срединной поверхности ег и е2 по направлениям х и у. При этих растяжениях будем предполагать грани элемента перемещающимися параллельно самим себе. В этом случае относительное удлинение слоя тп^ как видно из рис. 130, представится так:
е = gi - Г 1 11
Мы в дальнейшем будем рассматривать лишь слу
чай тонких оболочек, когда h мало по сравнению с Вг и В^. Поэтому в наших формулах величинами z/Rt и z//?2 можно будет пренебрегать по сравнению с единицей и написать выражения для удлинений в таком виде:
Величины хх и х2 будем называть изменениями кривизны.
Пренебрегая напряжениями Zz2, мы по найденным растяжениям ехх и еуу получаем формулы для напряжений:
Х« = i —ga К + се2 — Z (хх + ох2);
Е<252)
Гу = 1 _ ga (е2 + 0^—2 (Х2 + ахх).
Соответствующие этим напряжениям усилия, действующие по граням элемента ABCD, можно для каждой грани привести к одной силе, приложенной в центре тяжести грани \ и к паре сил. Силу и линейный момент пары сил разлагаем на составляющие по направлению нормали к срединной поверхности и по касательным к соответствующим главным нормальным сечениям срединной поверхности. Величины этих составляющих, отнесенные к единице длины сечения срединной поверхности, будем обозначать такими же буквами, как это было принято при исследовании изгиба пластинок. Тогда мы получим для растягивающих усилий такие выражения:
+4
с253) +4
Для изгибающих моментов будем иметь
+4
Мг = \ zXxdz = — D (хх + ох2);
к(254)
М^ = J иУ ydz = — D (х2 + ахт).
Здесь величина D представляет жесткость оболочки при изгибе. Величина эта, как и в случае пластинок, представляется формулой
Я = №/12(1-с).
Таким образом, принятый нами простейший случай деформации элемента ABCD может быть осуществлен путем приложения по граням элемента только нормальных напряжений, приводящихся к растягивающим усилиям интенсивности ?! и Гз и к изгибающим моментам интенсивности Мх и М^.
Более общий вид деформации элемента ABCD мы получим, если по граням его приложим кроме нормальных усилий, найденных выше, еще и касательные усилия. В таком случае напряжения по грани с нормалью х кроме нормальной составляющей Хх будут иметь еще и касательные составляющие Yx и Zx. Точно так же для граней с нормалью у будем иметь касательные напряжения Ху и Z-y. Соответственно этому получим касательные усилия, для которых сохраним те же обозначения, которыми мы пользовались в случае пластинок.
Таким образом, будем иметьNY = j Zxdz\+4Таким образом, будем иметьNY = j Zxdz\+4S.S._ h_ 2_ h_ 22W2 = J Zyrfz;” Т28 2 ■— ^ .X ydz.h2W2 = J Zyrfz;” Т28 2 ■— ^ .X ydz.h(255)(255)Касательные напряжения дадут нам крутящие моменты HY и Н2, которые представятся такими формулами1:Касательные напряжения дадут нам крутящие моменты HY и Н2, которые представятся такими формулами1:22_ л2_ л2А2У zXydz.2А2У zXydz.2(256)(256)Установим связь между этими крутящими моментами и деформацией оболочки, как это мы сделали для изгибающих моментов [формула (254)].
Таким образом, будем иметь
NY = j Zxdz\
+4
Таким образом, будем иметь
NY = j Zxdz\
+4
S.
S.
_ h_ 2
_ h_ 2
2
W2 = J Zyrfz;
” Т
2
8 2 ■— ^ .X ydz.h
2
W2 = J Zyrfz;
” Т
2
8 2 ■— ^ .X ydz.h
(255)
(255)
Касательные напряжения дадут нам крутящие моменты HY и Н2, которые представятся такими формулами1:
Касательные напряжения дадут нам крутящие моменты HY и Н2, которые представятся такими формулами1:
2
2
_ л
2
_ л
2
А
2
У zXydz.
2
А
2
У zXydz.
2
(256)
(256)
Под действием моментов Нх и Н^ равных по абсолютному значению, но противоположных по знаку, элемент ABCD будет испытывать два одинаковых
мента ABCD бесконечномента ABCD бесконечнокручения вокруг осей х и у. Благодаря первому кручению грани с нормалями х повернутся одна относительно другой вокруг оси х на угол xdsv Вследствие второго кручения грани с нормалями у повернутся одна относительно другой на xds2. Через т мы обозначили здесь одинаковую для обоих направлений величину кручения. Благодаря этим кручениям бесконечно тонкий слой, выделенный из элемента ABCD (см. рис. 129) и отстоящий от срединной поверхности на расстояние z, получит сдвиг, величина которого легко находится из геометрических соображений. На рис. 131 mnpq представляет в плане выделенный из эле- тонкий слой.
мента ABCD бесконечно
мента ABCD бесконечно
Благодаря двум кручениям, он получит в плане форму ромба TnvpqAnY. Уменьшение первоначально прямого угла mpq, представляющее искомый сдвиг, будет равно — 2tz и соответствующее сдвигающее напряжение представится так:
X,- — 2tzG - — -52
Следовательно,
h
(257)(257)Н1-— Н2 = ~^ j xz^dz Dx <\ — о\
(257)
(257)
Чтобы составить полную деформацию выделенного нами из оболочки элемента, остается рассмотреть тот сдвиг в срединной поверхности, который является следствием действия усилий 5г и 52. Обозначая через со величину этого сдвига, можем написать
= s= -"■<258>
Таким образом, при сделанном нами основном допущении относительно деформации оболочки, соответствующем гипотезе плоских сечений в теории изгиба стержней, деформация выделенного из оболочки элемента определится тремя величинами: гт, г2 и ю, характеризующими искажения в срединной поверхности, и тремя элементами: хх, х2 и т, зависящими от изгиба срединной поверхности. Все шесть величин ^, ..., т, как мы дальше увидим, могут быть в каждом частном случае выражены через перемещения, которые совершают точки срединной поверхности при деформации оболочки.
Потенциальная энергия, накопляемая в элементе оболочки при деформации, может быть представлена в виде двух слагаемых: одного, соответствующего растяжениям и сдвигу в срединной поверхности, и другого, зависящего от изгиба срединной поверхности и определяемого величинами хх, х2 и т.
Первая часть потенциальной энергии оболочки, отнесенная к единице поверхности, представится так:
^1 ~ ^(^Л + ^2^2 + ^l®)-
Подставляя вместо Tv 72 и 5Т их значения из (253) и (258), получаем
Л = 2(1^) [<е1 + ^2 - 2 (! - о) (^г ®2)].(259)
Для потенциальной энергии изгиба У2 будем иметь выражение такого же вида, как и в случае изгиба пластинок [см. формулу (208) J. Следовательно,
Va=^ [(X! + хйУ -2(1-о) ^ - т^].(260)
Применим теперь полученные нами общие формулы к решению нескольких простейших задач по расчету тонких оболочек.
§ 68. Плоская деформация трубок постоянного поперечного сечения
Когда на трубку постоянного сечения со свободными концами действуют силы, величина и расположение которых по длине трубки не изменяются, то вопрос о деформации трубки решается весьма просто. В этом случае каждое элементарное кольцо, вырезанное из трубки двумя нормальными поперечными сечениями и достаточно удаленное от концов, будет испытывать одну и ту же деформацию. Вопрос о расчете тонкой оболочки сводится, таким образом, к исследованию изгиба кольца, что может быть всегда выполнено с достаточной для практики точностью элементарным путем. Если трубка представляет собой круглый тонкостенный цилиндр, то мы можем при расчете воспользоваться результатами, полученными выше (см. § 17, 18) для кругового кольца. Выделяя из такой
трубки элементарное кольцо шириной 1 см и обозначая через w радиальные перемещения точек кольца по направлению к центру и через D жесткость оболочки при изгибе, получаем для искривленной оси кольца такое дифференциальное уравнение (рис. 132):
Оно отличается от того, что мы имели раньше для кольца [см. формулу (88')], лишь величиной жесткости. Вместо жесткости кольца EJ нужно поставить жесткость оболочки D. После этой замены мы можем воспользоваться всеми
прежними результатами.
Большой практический интерес представляет вопрос об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию равномерного нормального давления. Если это давление превысит определенное значение, круговая цилиндрическая форма равновесия перестанет быть устойчивой, цилиндр сплю
щивается.
Е ^р — 4 (1 — <та)Е ^р — 4 (1 — <та)33(261)(261)Чтобы исключить вопрос о влиянии закрепления концов на устойчивость трубки, мы здесь будем предполагать, что длина трубки весьма велика по сравнению с ее диаметром. Тогда части трубки, удаленные от концов, будут находиться в условиях, которые мы здесь принимаем, и вопрос об устойчивости трубки сводится к вопросу устойчивости элементарного кольца. Величина критических давлений на трубку найдется по известной формуле (132):
Е ^р — 4 (1 — <та)
Е ^р — 4 (1 — <та)
3
3
(261)
(261)
Произведенные опыты показали, что при достаточной длине трубки формула (261) дает вполне удовлетворительные результаты, если только сжимающие напряжения, соответствующие дкр, не превосходят предела упругости материала. В противном случае формула (261) будет давать, очевидно, преувеличенные значения для критических давлений. Мы можем расширить применение нашей формулы, если только условимся за пределами упругости вместо постоянной величины Е ставить некоторую переменную величину Е', которая может быть вычислена на основании предварительных опытов на сжатие за пределом упругости. При этом мы можем воспользоваться той формулой, которую применяют при исследовании продольного изгиба призматических стержней прямоугольного сечения, и положить
(262)(262)Ег _ 4ЕЕг
(262)
(262)
(Уё+Уе^
Здесь Е — модуль упругости материала; Ег — переменная величина, представ- ляющая для каждого значения сжимающего напряжения р величину отношения бесконечно малого приращения этого напряжения к приращению соответст-
Рис. 133.Рис. 133.7171Ek 1 — о2Ek 1 — о2wEhаwEhаоткуда получаемоткуда получаемТг = оТхТг = оТх
Рис. 133.
Рис. 133.
71
71
Ek 1 — о2
Ek 1 — о2
wEh
а
wEh
а
откуда получаем
откуда получаем
Тг = оТх
Тг = оТх
вующего относительного сжатия. Произведенные на основании этих соображений вычисления дали для критических давлений значения, близкие к результатам опытов.
§ 69. Деформации круглой цилиндрической трубки, симметричные относительно оси
Вопрос о деформациях трубки, симметричных относительно оси, встречается при решении целого ряда технических задач. Такие деформации испытывает, например, цилиндрическая трубка, закрытая по концам и подвергающаяся действию наружного или внутреннего равномерного давления. Подобные же
деформации испытывают стенки круглого резервуара, наполненного жидкостью.
Здесь давление на стенку будет изменяться от уровня жидкости до дна резервуара по линейному закону. Быстро вращающийся относительно своей оси цилиндрический барабан также испытывает деформации, симметричные относительно оси, под действием сил инерции, которые при больших угловых скоростях вращения могут вызвать в стенках барабана весьма значительные напряжения.
Условия симметрии дают возможность значительно упростить задача о деформациях цилиндрической оболочки в этих случаях. Так как все точки стенки трубки, лежащие в одном каком-либо поперечном сечении, совершают одно и то же радиальное перемещение w, то мы можем ограничиться рассмот-
рением изгиба элементарной полоски шириной 1 см, выделенной из трубки двумя меридиональными сечениями. Радиальные перемещения w представят собой прогибы выделенной балки-полоски. Пусть тп представляет собой такую балку-полоску (рис. 133, а). Каждый элемент, выделенный из этой балки двумя бесконечно близкими поперечными сечениями (рис. 133, б), будет испытывать кроме изгиба растяжения, определяемые величиной усилий 7\ и 72. Мы предположим, что усилия Тх постоянны, т. е. что наша трубка испытывает вдоль
оси равномерное растяжение или сжатие. Что касается усилий Т2, то они будут зависеть от радиальных перемещений w, которым соответствует относительное удлинение окружности трубки, равное — w/a. Пользуясь принятыми обозначениями (см. § 67), можем написать [(см. формулу 253)]
Эти усилия, как видно из рис. 133, б, дадут некоторую силу, действующую в плоскости изгиба выделенной балки-полоски. Величина этой силы, отнесенная к единице длины балки-полоски, будет равна
7 2 аТ1wEh
ааа2 *
Точно так же найдем, что вследствие изгиба выделенной полоски продольные усилия Тг тоже дадут составляющую, действующую в радиальном направлении и равную Тг "^г- Кроме того, на балку-полоску будут действовать усилия, распределенные по поверхности трубки. Интенсивность их будем обозначать через д. В рассматриваемых случаях симметричной деформации q может быть, очевидно, функцией только х.
Вся нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки-полоски, напишется так:
ОТ. ioEh m d^w
Предпоследний член в этом выражении пропорционален прогибу балки- полоски. Следовательно, выделенная полоска будет изгибаться как балка, лежащая на сплошном упругом основании. Роль внешней нагрузки будет играть величина
। оТг т d>w
Жесткость упругого основания определится величиной
. Ehк = —а2
Если продольных усилий Ту нет, то дифференциальное уравнение для изогнутой оси выделенной балки-полоски напишется так:
(а)(а)n d4wЕН
(а)
(а)
D^" = 9^
Когда действуют и продольные усилия 7\, соответствующее дифференциальное уравнение представится в таком виде:
(Ь)(Ь)d4w m d^w . аТу wEh
(Ь)
(Ь)
dx4 1 dx^ ^ ‘ аа2 *
Займемся сначала уравнением (а). От уравнения (6), полученного для случая изгиба стержня, оно отличается лишь тем, что вместо жесткости EJ в него входит жесткость оболочки D. Произведя эту замену, мы можем воспользоваться результатами, полученными ранее для стержней, а также данными вспомогательной табл. 1. Заметим, что в этом случае величина а будет иметь такое значение:
Следовательно,Следовательно,_ al —3(1 —а2) Г Iй2 V 16 a2 Ь2 е_ al —3(1 —а2) Г Iй2 V 16 a2 Ь2 е(С)(Ф(С)(Ф
Следовательно,
Следовательно,
_ al —3(1 —а2) Г Iй
2 V 16 a2 Ь2 е
_ al —3(1 —а2) Г Iй
2 V 16 a2 Ь2 е
(С)
(Ф
(С)
(Ф
Вычисляя таким образом и. мы при помощи табл. 1 находим все величины, характеризующие изгиб выделенной полоски, для тех случаев, когда нагрузка q
х=1/2х=1/2Рис. 134.Рис. 134.Пренебрегая растяжением диска от на конце балки-полоски в таком виде:а (1 — о2) w =Пренебрегая растяжением диска от на конце балки-полоски в таком виде:а (1 — о2) w =сил инерции2, получаем условие для прогибасил инерции2, получаем условие для прогиба_ d^wID — -- при X = dx3 F 2_ d^wID — -- при X = dx3 F 2
х=1/2
х=1/2
Рис. 134.
Рис. 134.
Пренебрегая растяжением диска от на конце балки-полоски в таком виде:
а (1 — о2) w =
Пренебрегая растяжением диска от на конце балки-полоски в таком виде:
а (1 — о2) w =
сил инерции2, получаем условие для прогиба
сил инерции2, получаем условие для прогиба
_ d^wI
D — -- при X = dx3 F 2
_ d^wI
D — -- при X = dx3 F 2
постоянная по длине полоски и концы трубки закреплены так, что нашу полоску можно рассматривать как балку опертую, заделанную или упруго заделанную на абсолютно жестких опорах. В таких условиях будет находиться, например, стенка быстровращающегося барабана (рис. 133), если пренебречь радиальными растяжениями дисков, скрепляющих барабан с осью.
Чтобы оценить влияние растяжения дисков на изгиб балки-полоски, нужно написать выражение для опорных давлений полоски и вычислить радиальные перемещения по окружности диска под действием этих давлений и сил инерции самого диска. Найденные таким об
разом радиальные перемещения дадут нам прогибы балки-полоски на опорах. При нашем расположении координатных осей давление К балки-полоски на правую опору, равное перерезывающей силе в опорном сечении, напишется так:
Соответствующее растяжение дисков будет равно а (1 — о) / dw \
h6E ’ dx3 )x=lj^*
Второе условие напишется в зависимости от способа закрепления концов полоски. Придется различать опертые, заделанные и упруго заделанные концы. Этих двух условий достаточно, чтобы найти из уравнения (а) выражение для изогнутой оси балки-полоски.
Подобную задачу мы будем иметь также при исследовании изгиба цилиндры1 езкой оболочки, испытывающей равномерное давление и подкрепленной жесткими кольцами (рис. 134). Если пренебречь сжатием подкрепляющих колец, то элементарная полоска, выделенная из оболочки между двумя кольцами, будет находиться в условиях балки с абсолютно заделанными концами, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой равномерной нагрузкой. Наибольший изгибающий момент будет иметь место на опоре. Его величина найдется из формулы (21) при помощи табл. 1. Легко видеть, что сжатие колец должно сопровождаться уменьшением опорного изгибающего момента. Это уменьшение может быть вычислено, если ввести в расчет осадку опор элементарной балки-полоски, как это было намечено нами в предыдущей задаче.
Заметим, что напряжения, возникающие в балке-полоске вследствие действия опорного момента и опорных реакций, имеют характер местных напряжений и быстро затухают по мере удаления от опор. Вдали от опор можно с большой точностью полагать, что трубка находится в условиях плоской деформации. Некоторое представление о быстроте затухания можно себе составить на основании формул (11) и (12), полученных для весьма длинной балки, лежащей на сплошном упругом основании. Из этих формул видно, что на расстоянии, равном длине волны L = 2л/а, от нагруженного конца изгиб уже весьма мал.
Обращаясь к рассматриваемому случаю симметричной деформации трубки и пользуясь для определения а формулой (с), легко сделать вывод, что то рас-
стояние, на котором влияние опорных моментов и опорных реакций становится пренебрежимо малым, будет такого порядка, как V °^.•Если кроме боковых давлений на цилиндрическую оболочку действуют еще продольные усилия Tv задача об изгибе балки-полоски сводится к интегрированию уравнения (Ь). Очевидно, что растягивающие усилия Т\ будут уменьшать прогиб балки-полоски, а сжимающие усилия, наоборот, будут его увеличивать. Решение этой задачи не представляет никаких затруднений, и мы можем в каждом частном случае найти напряжения от изгиба элементарной полоски, напряжения от усилий Tv а также напряже-стояние, на котором влияние опорных моментов и опорных реакций становится пренебрежимо малым, будет такого порядка, как V °^.•Если кроме боковых давлений на цилиндрическую оболочку действуют еще продольные усилия Tv задача об изгибе балки-полоски сводится к интегрированию уравнения (Ь). Очевидно, что растягивающие усилия Т\ будут уменьшать прогиб балки-полоски, а сжимающие усилия, наоборот, будут его увеличивать. Решение этой задачи не представляет никаких затруднений, и мы можем в каждом частном случае найти напряжения от изгиба элементарной полоски, напряжения от усилий Tv а также напряже-Рис. 135.Рис. 135.ния, соответствующие усилиям Т2. Последние напряже-ния, соответствующие усилиям Т2. Последние напряже-■7^///////^//////^ ния найдутся, если будут известны прогибы w элемен■7^///////^//////^ ния найдутся, если будут известны прогибы w элементарной балки-полоски.тарной балки-полоски.Практический интерес представляет то значение । fez: продольных усилий Тх, при котором цилиндрическая । Т форма равновесия трубки перестает быть устойчивой и стенки трубки выпучиваются (рис. 135) по волнообразной поверхности, симметричной относительно оси цилиндра Ч Пользуясь результатами, полученными дляПрактический интерес представляет то значение । fez: продольных усилий Тх, при котором цилиндрическая । Т форма равновесия трубки перестает быть устойчивой и стенки трубки выпучиваются (рис. 135) по волнообразной поверхности, симметричной относительно оси цилиндра Ч Пользуясь результатами, полученными дляслучая продольного изгиба стержня в упругой (см. стр. 283), заключаем, что сжатая длинная при выпучивании подразделится на полуволны, которых равнаслучая продольного изгиба стержня в упругой (см. стр. 283), заключаем, что сжатая длинная при выпучивании подразделится на полуволны, которых равнасреде трубка длинасреде трубка длина5= Л1/5= Л1/— Л у 12 (1 — о2) *— Л у 12 (1 — о2) *(263)(263)
стояние, на котором влияние опорных моментов и опорных реакций становится пренебрежимо малым, будет такого порядка, как V °^.•
Если кроме боковых давлений на цилиндрическую оболочку действуют еще продольные усилия Tv задача об изгибе балки-полоски сводится к интегрированию уравнения (Ь). Очевидно, что растягивающие усилия Т\ будут уменьшать прогиб балки-полоски, а сжимающие усилия, наоборот, будут его увеличивать. Решение этой задачи не представляет никаких затруднений, и мы можем в каждом частном случае найти напряжения от изгиба элементарной полоски, напряжения от усилий Tv а также напряже-
стояние, на котором влияние опорных моментов и опорных реакций становится пренебрежимо малым, будет такого порядка, как V °^.•
Если кроме боковых давлений на цилиндрическую оболочку действуют еще продольные усилия Tv задача об изгибе балки-полоски сводится к интегрированию уравнения (Ь). Очевидно, что растягивающие усилия Т\ будут уменьшать прогиб балки-полоски, а сжимающие усилия, наоборот, будут его увеличивать. Решение этой задачи не представляет никаких затруднений, и мы можем в каждом частном случае найти напряжения от изгиба элементарной полоски, напряжения от усилий Tv а также напряже-
Рис. 135.
Рис. 135.
ния, соответствующие усилиям Т2. Последние напряже-
ния, соответствующие усилиям Т2. Последние напряже-
■7^///////^//////^ ния найдутся, если будут известны прогибы w элемен
■7^///////^//////^ ния найдутся, если будут известны прогибы w элемен
тарной балки-полоски.
тарной балки-полоски.
Практический интерес представляет то значение । fez: продольных усилий Тх, при котором цилиндрическая । Т форма равновесия трубки перестает быть устойчивой и стенки трубки выпучиваются (рис. 135) по волнообразной поверхности, симметричной относительно оси цилиндра Ч Пользуясь результатами, полученными для
Практический интерес представляет то значение । fez: продольных усилий Тх, при котором цилиндрическая । Т форма равновесия трубки перестает быть устойчивой и стенки трубки выпучиваются (рис. 135) по волнообразной поверхности, симметричной относительно оси цилиндра Ч Пользуясь результатами, полученными для
случая продольного изгиба стержня в упругой (см. стр. 283), заключаем, что сжатая длинная при выпучивании подразделится на полуволны, которых равна
случая продольного изгиба стержня в упругой (см. стр. 283), заключаем, что сжатая длинная при выпучивании подразделится на полуволны, которых равна
среде трубка длина
среде трубка длина
5= Л1/
5= Л1/
— Л у 12 (1 — о2) *
— Л у 12 (1 — о2) *
(263)
(263)
Соответствующее значение критических сжимающих напряжений определится из формулы
(264)(264)X _ (Г1)кр _ ^VkD _ A1
(264)
(264)
(Мрhh “ а j/gTT^y
Мы видим, что рассматриваемое явление может произойти в пределах упругости лишь при весьма малых значениях отношения h/a. За пределами упругости форма (264) будет давать преувеличенные значения для piKp и, чтобы ее распространить на областьнеупругих деформаций, нужно при вычислении жесткости D вместо модуля упругости Е ввести переменную величину Е* [см. формулу (262)1 • В таком случае мы будем получать критические напряжения за пределами упругости, если в формулу (264) введем добавочный множитель Д^Е'/Е. При этом изменится также формула (263), определяющая длину волн.
В заключение заметим, что благодаря упрощениям, получающимся из условия симметрии, мы можем решить вопрос о деформациях цилиндрической трубки переменной толщины. Задача сводится в этом случае к расчету элементарной балки-полоски переменного сечения, лежащей на сплошном упругом основании переменной жесткости. Подобную задачу мы встречаем при расчете цилиндрических резервуаров со стенками переменной толщины. Один пример такого рода был нами рассмотрен выше (см. § 7).
1 Более общий случай будет рассмотрен ниже.
§ 70. Деформации цилиндрической оболочки, не сопровождающиеся растяжениями срединной поверхности
При изучении деформации круглого кольца (§ 17, 18) мы уже пользовались теми упрощениями, которые получаются, если ось кольца считать абсолютно нерастяжимой. При таком допущении перемещения точек оси кольца можно представить в форме тригонометрических рядов, коэффициенты которых определяются путем применения начала возможных перемещений. Решения эти, конечно, могут быть использованы при исследовании плоской деформации цилиндрической оболочки, когда все сводится к расчету элементарного кольца. Но допущение нерастяжимости срединной поверхности может привести к удовлетворительному решению и в ряде других случаев, когда по распределению на
Рис. 136.Рис. 136.грузок можно ожидать, что перемещения точек срединной поверхности оболочки обусловлены главным образом искривлением оболочки, а не растяжениями ее срединной поверхности.
Рис. 136.
Рис. 136.
Рассмотрим, какие дополнительные ограничения будут налагаться на искомые перемещения, если мы действительную оболочку заменим гипотетической моделью, обладающей свойством нерастяжимости.
Перемещения точек срединной поверхности условимся разлагать на составляющие и, 12 и w, которые имеют в каждой точке недеформированной поверхности направления координатных осей (ж0, у0, z0) (рис. 136), построенных так, что ось z0 имеет направление главной нормали, ось у0 направлена по касательной к параллельному кругу в сторону возрастания угла 0, наконец, ось х0 совпадает с образующей цилиндра так, что (я0, у0, z0) представляет собой правовинтовую систему.
Условие нерастяжимости оболочки в направлении оси х0 напишется так:
ег —— 0-(а)
1 Ох4 '
Для растяжений в направлении оси у0 воспользуемся выражением, которое мы получили [см. формулу (Ь) § 18] при рассмотрении кольца, и условия нерастяжимости в этом направлении напишем так:
(Ь)(Ь)дии?Л
(Ь)
(Ь)
^2 “ “^0Г " °*
Наконец, условие отсутствия сдвигов в срединной поверхности напишется таким образом:
ди , дип.
^ + ^Г = °-(°)
Мы удовлетворим написанным уловиям нерастяжимости, если возьмем для перемещений те же выражения, которыми мы пользовались в случае кольца. Выражения эти могут быть написаны в такой форме:
иг = 0;
(d)(d)иг = 2 а (Лп cos п0 — Лп sin л0);
(d)
(d)
и^ = — 2 па (Лп sin п9 + Лп cos п9\
Здесь Аи и Лп — постоянные величины, которые приходится определять при каждом частном задании относительно действующих сил.
К перемещениям (d), соответствующим плоской деформации цилиндрической трубки, мы можем присоединить еще такие выражения:
(e)(e)и2 = — S (ajn)(Bn sin тгО + Вп cos n0); t>2 = х S (Sn cos n0 — Bn sin 7i0);
(e)
(e)
W2 = — S 71 (Bn Sin 710 + Bn COS 710),
тоже удовлетворяющие условиям (a), (b) и (с) нерастяжимости срединной поверхности. Здесь и^ и w^ являются линейными функциями х^ следовательно прямолинейные образующие цилиндрической оболочки остаются прямыми, но при этом несколько наклоняются к своему первоначальному направлению и, кроме того, совершают перемещение и2 в направлении оси цилиндра. Общие выражения для перемещений при деформации оболочки без растяжения получим наложением решений (d) и (е). Тогда эти перемещения представятся так:
^ = их + ы2; и = их + у2; w = wx + w^. (f)
Составим теперь выражение (260) для потенциальной энергии искривленной оболочки. Чтобы получить значения величин хх, х2 и т, входящих в это вы- ражение, воспользуемся приемом, который мы применяли при исследовании изгиба кольца силами, не лежащими в плоскости кривизны (см. § 19).
Кроме подвижной координатной системы (х0, у0, z0), построенной для каждой точки недеформированной срединной поверхности, представим себе еще подвижную систему (ж, у, г^ построенную в каждой точке срединной поверхности после деформации. При этом ось z направлена по нормали к искривленной поверхности, ось х совпадает с направлением, по которому располагается соответствующая образующая цилиндра после деформации и, наконец, ось у перпендикулярна к плоскости хт». Если начало координат системы ^ у, z) будет перемещаться по деформированной срединной поверхности оболочки в направлении оси у с постоянной скоростью, равной единице, и при этом в каждый момент оси ^х, у, z) будут занимать указанные выше направления, то угловые скорости вращения системы (х, у, z) дадут нам возможность вычислить изменение кривизны х2 и кручение т.
В рассматриваемом случае образующие цилиндра остались после деформации прямыми и соответствующее изменение кривизны хх равно нулю. Для определения х2 можем воспользоваться второй строчкой формулы (98).
Изменяя буквы соответственно принятым здесь обозначениям, получаем
Х2 =Х2 =wа?*wа?*o^w"^Wo^w"^W(g)(g)
Х2 =
Х2 =
wа?*
wа?*
o^w
"^W
o^w
"^W
(g)
(g)
или на основании условия нерастяжимости
(g')(g') 1 ди d^w
(g')
(g')
Хз ^“39“ + aW -
Наконец, для получения т можно воспользоваться третьей строчкой формулы (98). В ней нужно вместо угла Р поставить величину^-, вместо и— ве-
личину и и потом изменить знак при т. Тогда получим / д^и?.ди \ \ад^дх ‘ а2д6 /
или на основании (с)
(h)(h) ОЧо t 1 ди
(h)
(h)
Т ад^дх ’ а дх *
Вставляя найденные значения для х^ х2 и т в формулу (260), мы, пользуясь выражениями (d) и (е) для перемещений, придем к такому значению для потенциальной энергии цилиндра, имеющего длину 2Z:
V = ЛО1 2(п2 [а2 (4 + Лп) + 4 Z2 ^ + 5п)]+ 2 (1 - а) а? фгп + 5^)} .
(265)
Рис. 137.Рис. 137.Рассматривая коэффициенты АП1 ..., В' как координаты системы и применяя начало возможных перемещений, можем в каждом частном случае найти соответствующие значения для АП) ... Возьмем такой пример (рис. 137). Цилиндр сжимается двумя равными и прямо противоположными слами Р, действующими по одному из диамет- Р°в
Рис. 137.
Рис. 137.
Так как силы Р имеют радиальное направление, то при составлении уравнений равновесия нам придется иметь дело лишь с перемещениями w. Угол 6 будем отсчитывать от вертикального диаметра, по которому действуют силы Р. В таком случае силы Р будут совершать
работу, отличную от нуля лишь на перемещениях, соответствующих приращениям координат Ап и Вп. Пользуясь выражениями (d) и (е), получаем такие
уравнения:уравнения:дУ0АидУ0АибЛп = — па6Ап (1 -j- cos мл) Р;бЛп = — па6Ап (1 -j- cos мл) Р;
уравнения:
уравнения:
дУ
0Аи
дУ
0Аи
бЛп = — па6Ап (1 -j- cos мл) Р;
бЛп = — па6Ап (1 -j- cos мл) Р;
- ° — 8Вп = — пж^Вп (1 + cos мл) Р.
Подставляя вместо V его выражение (265), получаем
,а^р
Ап =—тто—ттг ПРИ п четном;
zYi,xf Р а?
Ви ——7 при п четном.
яШ (тг2 _ 1)2 — л2/2 + 2 (1 — а) а2
3J
При п нечетном будем иметь Ап — Ви — 0.
Коэффициенты Ап и ВП1 как было выяснено выше, равны нулю. Для получения выражений для перемещений нужно только в формулы (d) и (е) подставить найденные значения коэффициентов. Тогда получим быстросходящиеся ряды, при помощи которых может быть найдено перемещение любой точки оболочки. Формулы (g) и (h) дают возможность найти изгибающие и скручивающие моменты и соответствующие им напряжения. Заметим, что получаемые таким
образом решения не удовлетворяют условиям по краям цилиндрической трубки. Для осуществления принятых нами перемещений (d) и (е) необходимо приложить по краям моменты и силы, выражения для которых могут быть составлены на основании общих формул. Напряжения и деформации, соответствующие этим силам, имеют характер местных напряжений и деформаций. Они быстро затухают по мере удаления от концов трубки и потому не оказывают существенного влияния на результаты, полученные в предположении отсутствия растяжений срединной поверхности оболочки Ч
Считая срединную поверхность нерастяжимой, мы можем получить решение и для части цилиндри
ческой оболочки, вырезанной из цилиндра двумя меридиональными сечениями (рис. 138). Если возьмем, например, перемещения
и = — Л^nsm; V= У аАп cosк х Л Вп cos; лпааа
V ^ А . НЛОИЛ D . плб
w = — лаАп SinX лВп sin,■
аааа 7
то получим случай, когда по образующим тп и pq цилиндрической оболочки нет перемещений и и w и нет изгибающих моментов.
§71. Дифференциальные уравнения равновесия для общего случая деформации цилиндрической оболочки
Рис. 139.Рис. 139.одной стороны выделенного четырехпротивоположной. Так как эти углыодной стороны выделенного четырехпротивоположной. Так как эти углыНужные нам дифференциальные уравнения мы получим, как и при исследовании изгиба пластинок, если напишем условия равновесия для сил, приложенных к одному элементу, вырезанному из оболочки двумя бесконечно близкими меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к оси цилиндра. На рис. 139 представлена соответствующая этому элементу часть срединной поверхности после деформации оболочки и указаны направления усилий Tv .... N^. принятые нами [см. формулы (253, 255)] за положительные. Усилия эти имеют направления соответствующих координатных осей подвижной системы х. у, я и потому при составлении уравнений равновесия нужно считаться с теми углами, на которые поворачивается эта система при переходе от угольника О А ВС к стороне, ей прямо
Рис. 139.
Рис. 139.
одной стороны выделенного четырехпротивоположной. Так как эти углы
одной стороны выделенного четырехпротивоположной. Так как эти углы
зависят главным образом от искривления оболочки, то растяжениями средин-
ной поверхности при составлении уравнений равновесия будем пренебрегать и будем пользоваться условиями нерастяжимости (а), (Ь) и (с) предыдущего параграфа.
Напишем сначала три уравнения равновесия элемента ОАВС. получающиеся путем проектирования всех приложенных к элементу сил на направление осей X, У, Z, построенных для точки О. Составим проекцию всех сил на ось X. Если бы мы пренебрегали искривлением элемента и соответствующими поворотами подвижных осей х, у. z, то при проектировании получили бы, как и в случае пластинок, уравнение
(^ + т dx\ add — T^add + (s2 +dx — S^dx = 0.
Напишем теперь выражения для углов поворота системы (х, у, z) и воспользуемся этими углами для составления уравнений равновесия элемента в полном виде, где уже будет учтено искривление срединной поверхности оболочки. Возьмем сначала стороны ОА и ВС нашего элемента. Углы поворота подвижной системы (х, у, z) при переходе от одной стороны к другой относительно осей х, у и z обозначим соответственно через pTdx. qrdx. r1dx.
Вращение стороны СВ нашего четырехугольника относительно оси X будет происходить вследствие перемещений и и w. Так как эти перемещения малы, то мы при составлении углов поворота можем отдельно рассмотреть поворот от каждого из этих перемещений и потом найденные углы сложить.
Перемещениям и соответствует движение отрезков ОА и ВС по параллельным кругам цилиндра. Если и — перемещение отрезка ОА. то соответствующий поворот его относительно оси х при деформации оболочки будет равен v[a. Для отрезка СВ тот же поворот напишется так:
1 / , ди п \— у Н—т— аха \ 1 дх /
и нужный нам относительный поворот этих двух отрезков будет равняться 1 ди ,
~ ах. а дх
Вследствие перемещений w отрезок ОА поворачивается относительно оси у на угол, равный -^-. Соответственно для отрезка СВ такой же поворот дю . д ( дю \ j п
представится выражением '^§’ + "^"("^59" \ ах. Суммируя полученные углы поворота, находим
7/ 1 dv , 1 д^ю \х
р Дх =-ъ-ьл" аж*(а)
\ а дх 1 а дхд$ /х 7
Составим теперь угол поворота системы осей х. у, z относительно оси Y. Этот поворот получается вследствие искривления образующих цилиндра в плоскости меридиана, и так как ось х — касательна к этой искривленной образующей, то для искомого угла можем написать сразу
q^dx = — -^-dx.(b)
Точно так же поворот системы (х, у. z) относительно оси Z обусловлен искривлением образующей цилиндра в плоскости, касательной к срединной поверхности, и потому можно написать сразу
(с)(с)7 д^и згЛх ^ dx.1 дх^
(с)
(с)
Обратимся теперь к углам поворота, соответствующим переходу от стороны ОС к стороне АВ нашего четырехугольника. При составлении этих углов проще всего воспользоваться формулами (98), полученными при исследовании общего случая изгиба кольца. *
Производя надлежащее изменение букв, получаем из второй строчки формулы (98) для угла поворота относительно оси X
p^adti — а + -^- + ^$2 у add
или на основании условия нерастяжимости (Ь) предыдущего параграфа
^6 = (-г + 4-5Г + "Sf)^6-<d>
Для угла поворота относительно оси У после надлежащей замены букв в третьей строчке формулы (98) получаем '
ЛА /I19u\
Qnadti =Нadd.
\адхдб1а250 /
Пользуясь условием нерастяжимости (с) предыдущего параграфа, представим этот угол поворота так:
q^add =а т— add.(е)
\ адхдв а дх )v 7
Наконец, для угла поворота относительно оси Z на основании первой строчки формулы (98) будем иметь
(1 дю д^и \ 7А
-\ а дх
или на основании условия нерастяжимости (с) предыдущего параграфа получаем
r2ad6 = (— —add.(!)
2\ а дх 1 а дхд§ /v 7
Имея формулы (а) — (f) для углов поворота, легко составляем нужные нам уравнения равновесия выделенного элемента. Проектирование всех сил на ось X приведет нас к такому уравнению:
-— dxadB Н dxadQ — Nx dxadQ — ^ -д-2- dxadQ — дх1 адв1 дх^1 дх2
( д^ю.1dv \। т ( 1дюd^v \ л ла л
— W2 I —у —д—■-1 dxadQ -{- Т• (^) dxad^ — 0.
2 \ адхдВ1adx^j12 \ адхадхду /
Подобным же образом для осей У и Z получаем
-5-м + ^М + Tt 5dxaae -N,(4-^- + -L-Si-) ыч +
+ s= (—r~& +(4"+"^""5г + "sar)to<ie - 0;
——- dxadQ Н~- dxadQ + Si5~ ааdxad® + Тл - т.dxadQ 4-
дх*адв11 \а дх1 а дхдУ/11 дх2’
+ ^ (4+4 -S-+4 -£-)dxad9+s» GSe+4-4)dxa№+4dxa№=°-
После некоторых сокращений получаем такую систему уравнений:
“^-+^ГдТ^ , д8гдУ 1дх“^-+^ГдТ^ , д8гдУ 1дхaNt^1 дх2aNt^1 дх2д2и>дхдУд2и>дхдУс д2од2оди? \ л,дхдУдх j’с д2од2оди? \ л,дхдУдх j’dNx а дхdNx а дхд^одхд9дУд^одхд9дУI гр 64дх /I гр 64дх /додоа 59а 59_1а_1а(1 .г. ду- _1_ 9210 .1 адв аде11 "4. 91ш \ 4. аТ -^L + дхде / +1 дх1^и? \ * о ( до ,((1 .г. ду- _1_ 9210 .1 адв аде11 "4. 91ш \ 4. аТ -^L + дхде / +1 дх1^и? \ * о ( до ,(д^д^Обратимся теперь к уравнениям моментов. Направления моментов, принятые за положительные при составлении формул (254) и (256), отмечены на рис. 140. Если их представить векторами, то в правовинтовой системе векторы Hv Мг и Я2 совпадут с направлениями Tv St и Тй. Для вектора М^ направление будет прямо противоположно S2. Пользуясь этим, мы на основании (266) сразу можем написать такие уравнения:Обратимся теперь к уравнениям моментов. Направления моментов, принятые за положительные при составлении формул (254) и (256), отмечены на рис. 140. Если их представить векторами, то в правовинтовой системе векторы Hv Мг и Я2 совпадут с направлениями Tv St и Тй. Для вектора М^ направление будет прямо противоположно S2. Пользуясь этим, мы на основании (266) сразу можем написать такие уравнения:дН.дМ.а = —-1-^дхдН.дМ.а = —-1-^дхдН2 ,-w + aдН2 ,-w + a50 дМг дхд2и?50 дМг дхд2и?аМг^1 дх2аМг^1 дх2^ а®г дх2^ а®г дх2дхд9 )д2и?‘ дхд9дхд9 )д2и?‘ дхд9д2од2о(266)(266)}}Рис. 140.Рис. 140.ди? '^ди? '^д2и? дхд9д2и? дхд91\ дхдУ дх д2о ди? \1\ дхдУ дх д2о ди? \дхдУдхдУ^w » Иlli2"^ П2^w » Иlli2"^ П2дх /1 дидх /1 ди1 — 0;1 — 0;1 д2и?1 д2и?(267)(267)а д9 а 502а д9 а 5020.0.
“^-+^Г
дТ^ , д8гдУ 1дх
“^-+^Г
дТ^ , д8гдУ 1дх
aNt^
1 дх2
aNt^
1 дх2
д2и>дхдУ
д2и>дхдУ
с д2о
д2оди? \ л,
дхдУдх j’
с д2о
д2оди? \ л,
дхдУдх j’
dNx а дх
dNx а дх
д^о
дхд9
дУ
д^о
дхд9
дУ
I гр 64
дх /
I гр 64
дх /
до
до
а 59
а 59
_1
а
_1
а
(1 .г. ду- _1_ 9210 .
1 адв аде11 "
4. 91ш \ 4. аТ -^L + дхде / +1 дх1
^и? \ * о ( до ,(
(1 .г. ду- _1_ 9210 .
1 адв аде11 "
4. 91ш \ 4. аТ -^L + дхде / +1 дх1
^и? \ * о ( до ,(
д^
д^
Обратимся теперь к уравнениям моментов. Направления моментов, принятые за положительные при составлении формул (254) и (256), отмечены на рис. 140. Если их представить векторами, то в правовинтовой системе векторы Hv Мг и Я2 совпадут с направлениями Tv St и Тй. Для вектора М^ направление будет прямо противоположно S2. Пользуясь этим, мы на основании (266) сразу можем написать такие уравнения:
Обратимся теперь к уравнениям моментов. Направления моментов, принятые за положительные при составлении формул (254) и (256), отмечены на рис. 140. Если их представить векторами, то в правовинтовой системе векторы Hv Мг и Я2 совпадут с направлениями Tv St и Тй. Для вектора М^ направление будет прямо противоположно S2. Пользуясь этим, мы на основании (266) сразу можем написать такие уравнения:
дН.дМ.
а = —-1-^
дх
дН.дМ.
а = —-1-^
дх
дН2 ,
-w + a
дН2 ,
-w + a
50 дМг дх
д2и?
50 дМг дх
д2и?
аМг^
1 дх2
аМг^
1 дх2
^ а®г дх2
^ а®г дх2
дхд9 )
д2и?
‘ дхд9
дхд9 )
д2и?
‘ дхд9
д2о
д2о
(266)
(266)
}
}
Рис. 140.
Рис. 140.
ди? '^
ди? '^
д2и? дхд9
д2и? дхд9
1\ дхдУ дх д2о ди? \
1\ дхдУ дх д2о ди? \
дхдУ
дхдУ
^w » Иlli2"^ П2
^w » Иlli2"^ П2
дх /
1 ди
дх /
1 ди
1 — 0;
1 — 0;
1 д2и?
1 д2и?
(267)
(267)
а д9 а 502
а д9 а 502
0.
0.
Нх и Нг могут быть выраженыНх и Нг могут быть выраженыУсилия Tv Т^ SL и S2 и моменты Mv М^
Нх и Нг могут быть выражены
Нх и Нг могут быть выражены
при помощи формул (253) — (258), через деформации срединной поверхности ^х, i2, со и через величины хх, х2 и т. А все эти величины выражаются через перемещения и, и и и? так 1 (см. § 70):
д2и?Х1 —№"'д2и?Х1 —№"'ди£х = — ?1 дх1ди£х = — ?1 дх1до и? е ди61 = Одё" Г ’ ® — "одёдо и? е ди61 = Одё" Г ’ ® — "одёдодоХ2 ” а2 \ 50Х2 ” а2 \ 50t д2и? \ 1 / до.• 502 / ’ Т а \ дх’t д2и? \ 1 / до.• 502 / ’ Т а \ дх’дидх ’д2и? \ дУдх /дидх ’д2и? \ дУдх /(g)(g)(h)(h)
д2и?
Х1 —№"'
д2и?
Х1 —№"'
ди
£х = — ?
1 дх
1
ди
£х = — ?
1 дх
1
до и? е ди
61 = Одё" Г ’ ® — "одё
до и? е ди
61 = Одё" Г ’ ® — "одё
до
до
Х2 ” а2 \ 50
Х2 ” а2 \ 50
t д2и? \ 1 / до.
• 502 / ’ Т а \ дх’
t д2и? \ 1 / до.
• 502 / ’ Т а \ дх’
ди
дх ’
д2и? \ дУдх /
ди
дх ’
д2и? \ дУдх /
(g)
(g)
(h)
(h)
Таким образом, из уравнений (266) и первых двух уравнений (267) мы получим систему уравнений, заключающую неизвестные функции и, v, w, 7Vt и N^ и в каждом частном случае задача сводится к решению этих уравнений.
Если усилия Tv 72 и 8 можно предполагать малыми по сравнению с теми критическими их значениями, при которых цилиндрическая форма равновесия оболочки перестает быть устойчивой, то в уравнениях (266) и (267) можно пропустить те члены, где эти усилия множатся на производные от малых перемещений и, и и иг. В таком случае придем к системе уравнений
а --71- 4- —-2- = О-
а дх 00
^ f а 9S1 АТ — Q.
00 + а дх—
dNJ . dN 2. т ,л
а ГГ + "дё" + Л + да = 0;
ааdHtdHtдхдхам.00ам.00+ aNe = 0;+ aNe = 0;ЭНгдЭЭНгдЭдМ-дхдМ-дхaNx = 0.aNx = 0.
а
а
dHt
dHt
дх
дх
ам.00
ам.00
+ aNe = 0;
+ aNe = 0;
ЭНгдЭ
ЭНгдЭ
дМ-дх
дМ-дх
aNx = 0.
aNx = 0.
Исключая отсюда усилия NT и Na, получаем
дТу . dSа А
а -а- + -^- = 0;
дх 1001
(268)(268)Лл. Д_ л J^L. -L ^11 9М»о-
(268)
(268)
00 ’ дх * дха 00*
Тг +Тг +8Ч1г , УМХ дхдв ’ ^ дх2.8Ч1г , УМХ дхдв ’ ^ дх2.д^нг дхд^д^нг дхд^1 д^М.а 0О21 д^М.а 0О2+ qa = 0.+ qa = 0.
Тг +
Тг +
8Ч1г , УМХ дхдв ’ ^ дх2.
8Ч1г , УМХ дхдв ’ ^ дх2.
д^нг дхд^
д^нг дхд^
1 д^М.
а 0О2
1 д^М.
а 0О2
+ qa = 0.
+ qa = 0.
Если цилиндрическая трубка подвергается действию значительных продольных усилий Tv то члены, имеющие это усилие своим множителем, необходимо сохранить. Тогда вместо системы (268) будем иметь
аадТудхдТудх Л.00 ~ U’ Л.00 ~ U’ат. ,00ат. ,00dSy т д^о дНу а ГГ ^ а1 ^ИГ "^ ГГdSy т д^о дНу а ГГ ^ а1 ^ИГ "^ ГГ1 9М4 п. а д0’1 9М4 п. а д0’(269)(269)
а
а
дТудх
дТудх
Л.
00 ~ U’
Л.
00 ~ U’
ат. ,00
ат. ,00
dSy т д^о дНу а ГГ ^ а1 ^ИГ "^ ГГ
dSy т д^о дНу а ГГ ^ а1 ^ИГ "^ ГГ
1 9М4 п. а д0’
1 9М4 п. а д0’
(269)
(269)
т , „т а^ . №нг . „ а»мхэ»нх . 1 а»мг , п
^2 + »ТХ д$2 4- 9i№ + a 9$29x9Q + о gQ3 + да — 0.
1; (270)1; (270)В тех случаях когда трубка подвергается значительному боковому давлению и можно ожидать преобладающего влияния на изгиб усилий Т^ нужно в общих уравнениях сохранить члены, имеющие множителем Т2. Таким образом, придем к системе
1
; (270)
1
; (270)
ат у . 05а m ( д^и dw , дх 008 \ дхд^ дх )
^(и-^(и-ат. абу днг 1 дм2 _ 00 a дх дх a 00” “ U’
^(и-
^(и-
Подставляя в уравнения (268), (269) и (270) вместо усилий и моментов их выражения через перемещения, придем в каждом частном случае к трем дифференциальным уравнениям, заключающим три неизвестные функции и, и и w.
§ 72. О деформациях цилиндрической трубки с опертыми краями
Пользуясь дифференциальными уравнениями (268) предыдущего параграфа, мы можем решить вопрос о деформациях, возникающих в цилиндрической трубке с опертыми краями в случае действия на боковую поверхность трубки распределенных нормальных давлений интенсивности q. Подставив в эти уравнения вместо Тр Т^ S и моментов Мр М%, Я их выражения через перемещения, что можно сделать при помощи формул (g) и (h) предыдущего параграфа, мы придем к трем таким уравнениям:
д^и L1 — о 1 д^и L1 + 0д^ио дю1дх^ 12д2 902 12адхд&а дх’1 + оУи1 — ад^и L .1 52р1 дю28x89 1 “281? 1а 502а 50 'А2+ "12"(1 — а) / 5^о д3ю1д3ю L1 д^и \) ~ л*а \dx^ 11 5х2 /1 12 \а 5х250 ' а3503а3 д^)’ди1 диюА2 У' д4юо д4юод3и° дх1 а 50а12 *“ Эх4 1а 5х2502 1 адх^К2, (1 — а) / д4юA_2L/ а д4ю . 1L .84wд3и \6а\ 5х2502 11 Эх^дО/12\ а 5х2502 1а35041 aW- /-г(1 — о2)-- =0.Ehд^и L1 — о 1 д^и L1 + 0д^ио дю1дх^ 12д2 902 12адхд&а дх’1 + оУи1 — ад^и L .1 52р1 дю28x89 1 “281? 1а 502а 50 'А2+ "12"(1 — а) / 5^о д3ю1д3ю L1 д^и \) ~ л*а \dx^ 11 5х2 /1 12 \а 5х250 ' а3503а3 д^)’ди1 диюА2 У' д4юо д4юод3и° дх1 а 50а12 *“ Эх4 1а 5х2502 1 адх^К2, (1 — а) / д4юA_2L/ а д4ю . 1L .84wд3и \6а\ 5х2502 11 Эх^дО/12\ а 5х2502 1а35041 aW- /-г(1 — о2)-- =0.Eh(а)(а)
д^и L
1 — о 1 д^и L
1 + 0
д^и
о дю
1
дх^ 1
2д2 902 1
2а
дхд&
а дх’
1 + о
Уи1 — а
д^и L .
1 52р
1 дю
2
8x89 1 “2
81? 1
а 502
а 50 '
А2
+ "12"
(1 — а) / 5^
о д3ю1
д3ю L
1 д^и \
) ~ л*
а \dx^ 1
1 5х2 /
1 12 \
а 5х250 ' а3
503
а3 д^)’
ди
1 дию
А2 У
' д4ю
о д4юо
д3и
° дх
1 а 50а
12 *
“ Эх4 1
а 5х2502 1 а
дх^
К2, (1 — а) / д4ю
A_2L
/ а д4ю . 1L .
84w
д3и \
6а\ 5х2502 1
1 Эх^дО
/12
\ а 5х2502 1
а3504
1 aW- /
-г
(1 — о2)
-- =0.
Eh
д^и L
1 — о 1 д^и L
1 + 0
д^и
о дю
1
дх^ 1
2д2 902 1
2а
дхд&
а дх’
1 + о
Уи1 — а
д^и L .
1 52р
1 дю
2
8x89 1 “2
81? 1
а 502
а 50 '
А2
+ "12"
(1 — а) / 5^
о д3ю1
д3ю L
1 д^и \
) ~ л*
а \dx^ 1
1 5х2 /
1 12 \
а 5х250 ' а3
503
а3 д^)’
ди
1 дию
А2 У
' д4ю
о д4юо
д3и
° дх
1 а 50а
12 *
“ Эх4 1
а 5х2502 1 а
дх^
К2, (1 — а) / д4ю
A_2L
/ а д4ю . 1L .
84w
д3и \
6а\ 5х2502 1
1 Эх^дО
/12
\ а 5х2502 1
а3504
1 aW- /
-г
(1 — о2)
-- =0.
Eh
(а)
(а)
Обозначим через I длину трубки и поместим начало координат у одного из концов, тогда условиям на опертых краях цилиндрической оболочки мы удовлетворим, если возьмем для перемещений такие выражения:
тпхтих
и = 55 Атп sin пВ cos; и = 25Smn cos пи sin —-—;
1(Ь)
,тзхх
w = S5Cmn sin п0 sin —-— .
Легко видеть, что при этом по концам трубки при х = 0 и х = I обращаются в нуль значения ю и МР
Подставляя выражения для перемещений (Ь) в уравнения (а), мы получаем возможность найти коэффициенты А тп, Втп) Стп, и если полученные таким путем ряды (Ъ) будут сходящимися, то они представят собой искомые перемещения точек цилиндрической оболочки.
пл9 . тпх” = Шт« COS — Sin -у—}пл9 . тпх” = Шт« COS — Sin -у—}Когда вместо цельной цилиндрической трубки мы будем иметь лишь часть ее, ограниченную двумя образующими и двумя параллельными кругами, то в случае опертых краев можно для перемещений взять выражения
пл9 . тпх
” = Шт« COS — Sin -у—}
пл9 . тпх
” = Шт« COS — Sin -у—}
(с)(с)ПЛ0ПЛ0ткхткх. плб тлхи = ^Атп sin -^- cos —— ;
(с)
(с)
ПЛ0
ПЛ0
ткх
ткх
ю = ^Стп sin —— sin -у— ,■
где через а обозначен центральный угол, соответствующий выделенной части цилиндрической трубки, причем для прямолинейных краев оболочки принято 0 = 0 и 0 = а.
При таком выборе выражений для перемещений мы найдем, что по контуру оболочки радиальные перемещения и изгибающие моменты обращаются в нуль.
Подставляя выражения для перемещений (с) в уравнения (а) и представляя интенсивность распределенных по цилиндрической оболочке давлений q двойным тригонометриче
ским рядом
9 = SSZ>mn sin9 = SSZ>mn sin(d)(d)nnGтпх
9 = SSZ>mn sin
9 = SSZ>mn sin
(d)
(d)
sin
a I
мы придем к таким уравнениям для определения коэффициентов Атп1 Втп и Стн Ч
АтппАтпп+* ^тпп |+* ^тпп |_ ат+ Стп° ~у* = °’_ ат+ Стп° ~у* = °’1 — О1 — Оатат1 + ° п Атпп— - —1 + ° п Атпп— - —(е)(е)л2А3Ш3л2А3Ш3+ (2— о)+ (2— о)атпл Г^тп71ОЛ И ^тп " а " р +атпл Г^тп71ОЛ И ^тп " а " р +
Атпп
Атпп
+* ^тпп |
+* ^тпп |
_ ат
+ Стп° ~у* = °’
_ ат
+ Стп° ~у* = °’
1 — О
1 — О
ат
ат
1 + ° п Атпп— - —
1 + ° п Атпп— - —
(е)
(е)
л2А3
Ш3
л2А3
Ш3
+ (2— о)
+ (2— о)
атпл Г
^тп71ОЛ И ^тп " а " р +
атпл Г
^тп71ОЛ И ^тп " а " р +
Подставляя сюда вместо Dmn значения, соответствующие заданной нагрузке, мы получаем возможность определить коэффициенты Аттр Втп и Стп. В качестве примера приводим некоторые результаты , относящиеся к изгибу равномерной нагрузкой цилиндрической оболочки с малым углом а и длиной Z, равной аа.
В этом случае
1тихsinsin тп I1тихsinsin тп I/глОа/глОа
1тих
sinsin тп I
1тих
sinsin тп I
/глО
а
/глО
а
Подставив соответствующее значение Dmn в уравнения (е), мы найдем, что при малых величинах угла а коэффициенты Атп, Втпи Стп будут зависеть от отношения ц ~ f/h, где / — стрелка дуги радиуса а, соответствующая углу а. Величина максимального прогиба представится формулой
“'шак-Р D •
Приводим несколько значений коэффициента 3:
р00,51,02,04,07,012,0
3 . 10*4063943642761415619
Таким образом, мы видим, как быстро возрастает жесткость пластинки с увеличением начальной стрелки /. Подобным же образом можно убедиться, что с увеличением начального искривления пластинки быстро убывают значения напряжений, соответствующих изгибающим моментам Мг и Мв. Заметим, что при вычислении изгибающих моментов приходится для обеспечения надлежащей точности брать большое число членов в рядах, представляющих перемещения и. и и w, что в большей степени усложняет вычислительную работу, в особенности с увеличением стрелки /.
§ 73. Об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию равномерного наружного давления
При исследовании плоской деформации цилиндрической трубки (см. § 68) мы выяснили вопрос об устойчивости трубки, испытывающей равномерное наружное давление.
Полученное нами при этом значение критического давления [см. формулу (261)] будет совпадать с данными опытов лишь в том случае, если длина трубки весьма велика по сравнению с ее диаметром. В противном случае на величину критического давления существенное влияние будет оказывать способ закрепления концов.
Рассмотрим здесь такое закрепление концов, которое допускает равномерное сжатие цилиндрической трубки, но препятствует сплющиванию трубки у концов в том случае, когда наружное давление превзойдет критическое значение и трубка в средней своей части потеряет свое первоначальное круговое очертание. Допустим также, что эта деформация не сопровождается появлением изгибающих моментов по концам трубки.
Если расположить начало координат по середине длины трубки и обозначить эту длину через Z, то условия по концам запишутся так:
где q обозначает равномерное боковое давление, а и h имеют прежние значения.
В рассматриваемом случае преобладающее значение будут иметь усилия Т^ поэтому мы при определении критических давлений будем пользоваться уравнениями (270). Частное решение этих уравнений, соответствующее круговой форме равновесия сжатой трубки, мы можем получить сразу, положив
v=0; w =7^ = 0; Tt = —qa.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь малые отклонения от круговой формы равновесия сжатой трубки и потому будем отбрасывать последние члены в первом и третьем уравнениях системы (270) х. Если еще принять во внимание условие нерастяжимости (см. § 70) при рассматриваемых отклонениях, из которого следует, что
ди w
адва ’
то уравнения (270) для нашей задачи напишутся так:
дТх ,56 а дх„ д^Мгд2Нх , дЧ1йа дх2Охдй + дхдй +или после небольших преобразованийдТх ,56 а дх„ д^Мгд2Нх , дЧ1йа дх2Охдй + дхдй +или после небольших преобразований^2 Л.’ 50 ~днг1 дм^ _дха 50'д2М^ „3[+ 7 о = У h а 50212\^2 Л.’ 50 ~днг1 дм^ _дха 50'д2М^ „3[+ 7 о = У h а 50212\д^и>Wд^и>Wа дх2д^Мла дх2д^Млаа5253 а дхд§д^х г дх^ +д^н.5253 а дхд§д^х г дх^ +д^н.= 0;= 0;д^Нх дхдвдЧ\д^Нх дхдвдЧ\_1а_1а115я25я50 " 5025я25я50 " 502— а2— а292Мй 0.502~дх^92Мй 0.502~дх^le2le2(270')(270')
дТх ,
56 а дх
„ д^Мгд2Нх , дЧ1й
а дх2Охдй + дхдй +
или после небольших преобразований
дТх ,
56 а дх
„ д^Мгд2Нх , дЧ1й
а дх2Охдй + дхдй +
или после небольших преобразований
^2 Л.
’ 50 ~
днг1 дм^ _
дха 50'
д2М^ „3[
+ 7 о = У h а 50212\
^2 Л.
’ 50 ~
днг1 дм^ _
дха 50'
д2М^ „3[
+ 7 о = У h а 50212\
д^и>
W
д^и>
W
а дх2
д^Мл
а дх2
д^Мл
а
а
5253 а дхд§
д^х г дх^ +
д^н.
5253 а дхд§
д^х г дх^ +
д^н.
= 0;
= 0;
д^Нх дхдв
дЧ\
д^Нх дхдв
дЧ\
_1
а
_1
а
1
1
5я25я50 " 502
5я25я50 " 502
— а2
— а2
92Мй 0.
502~
дх^
92Мй 0.
502~
дх^
le2
le2
(270')
(270')
При помощи формул § 67, 70 все усилия и моменты выражаем через перемещения и, таким образом, приходим к трем уравнениям, заключающим три
неизвестные функции и, и ни?. Мы можем удовлетворить этим уравнениям и условиям на концах, если положим
и = A sin n0 sin -^-, v = В cos n0 cos -^-, w = sin n0 cos -^-,(b)
а ’аа 1х
где п — целое число и а = ап]1. Этой форме равновесия, как легко видеть, соответствует искривление образующих цилиндра по синусоиде с одной полуволной. Число полуволн, образующихся по окружности трубки, определяется числом п.
Подставив величины (Ь) в уравнения (270'), выраженные через перемещения, и вводя для упрощения обозначения
(1 — а) (пВ + 1) = С; пВ + 1 — аЛ = D;
Aa i — о2,х
42^ ~Х' q~h Ё “
придем к таким уравнениям:
D [2а2 + (1 — о) п2] — С (а2 + я2) — а2 (1 — а) = 0;1
D (on2 — а2) + С (а2 + п2 + а^ — а^х — 0;/(d)
D (on2 — а2 — а) + С (п2 4- а2 — 1 + а^ — у (1 — тг2) — а4х = 0. j
Здесь для сокращения введены такие обозначения:
= ^^ + а2; а2 = — (п2 —1)(п2 + а2) —аа2;
«з =; а4 = а2 (п2 + а2 — 1).
Критическое значение давлений g и соответствующее значение у находим из условия совместимости уравнений (d).
Составляя соответствующий определитель и приравнивая его нулю, приходим после ряда преобразований к такому результату:
У [1 + X (1 - 0,3p) (1 + 0,43р)] = 0,91+
+ й2_ , [ (1 — р)22n2 (1 + 1,3р) (1 + 0,35р) + (1 — 0,3p) (1 + 1>0р)] +
+<0.7+ 1,3р)^.(f)
Здесь мы положили о = 0,3 и приняли обозначение
а2 _1( х
п2 + а2тг2/2
+ а2л2
Вычисления показывают, что уравнение (f) может быть значительно упрощено. Можно отбросить член, содержащий множитель я2, и считать величину р
малой, тогда будем иметь
(271)(271)У = 4г=Т Р + я [и2 — 1 + р (2па — 1 — а)].
(271)
(271)
По размерам трубки мы, задаваясь числом п, можем на основании обо- вначений (с) и (g) вычислить р и х и потом из (271) найти соответствующее у, которым определяется давление q. Путем последовательных попыток нужно найти такое число п. которому соответствует наименьшее у. Этим значением и определится искомое q^p* Оказывается, что, чем меньше длина трубки по сравнению с диаметром, тем больше п, тем большее число полуволн образуется но окружности выпучившейся трубки. Несколько значений для qKp в кг/см2 мы приводим в табл. 40. При вычислениях принято о = 0,3; Е = 2 • 10е кг[см2.
Таблица 40
«/1
100 h/a '
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
0
0,035
0,28
0,95
2,25
4,4
7,6
12
18
0,1
0,18
1,0
2,9
6,6
12,3
17
23
31
0,2
0,37
2,1
5,9
13
21
32
47
66
0,3
0,56
3,2
9,3
18
32
51
76
111
0,4
0,76
4,5
11,6
25
45
70
101
140
0,5
0,97
5,5
15
32
55
87
132
190
1
2,0
—
—
—
—
—
—
—
2
4,2
—
—
—
—
—
—
—•
Конечно, приведенные значения критических давлений будут совпадать с опытом 1 лишь в том случае, когда соответствующие им сжимающие напряжения не превосходят предела упругости материала. За этим пределом таблица будет давать для дкр преувеличенные значения. Мы могли бы ближе подойти к действительности, если бы вместо постоянного модуля Е ввели некоторую переменную величину Е', зависящую от сжимающих напряжений в трубке 2. Если материал трубки имеет модуль Ег, отличный от модуля Е, принятого при составлении таблицы, то числа таблицы нужно множить на отношение Ег : Е.
Полученные результаты относятся к определенному закреплению концов, но, нужно думать, что способ закрепления в данном случае не будет играть существенной роли, если только трубка при сплющивании сохраняет по концам круговое очертание. Если, например, концы трубки не могут свободно поворачиваться и искривление сопровождается появлением по концам изгибающих моментов М^ то влияние этих моментов будет иметь лишь местное значение и, вероятно, не окажет значительного влияния на критические напряжения, если только длина трубки I не будет малой по сравнению с радиусом а.
§ 74. Об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию продольного сжатия
Предположим, что цилиндрическая трубка со свободной от усилий боковой поверхностью испытывает равномерное продольное сжатие. Увеличивая сжимающие напряжения, мы можем достигнуть предела, когда цилиндрическая форма равновесия перестанет быть устойчивой и трубка выпучится. Частный случай, когда искривленная поверхность симметрична относительно оси трубки, нами был рассмотрен ранее (см. § 69). Здесь разрешим ту же задачу в более общем виде, для чего воспользуемся уравнениями (269). Мы удовлетворим этим уравнениям, если положим
5=0, и = 0, о = — = const. (а) ’ дх а х ’
Это соответствует цилиндрической форме равновесия сжатой трубки. Под действием продольного сжатия трубка получает некоторое увеличение диаметра, постоянное во всех сечениях. С увеличением сжатия мы достигаем предела, когда эта форма равновесия перестает быть устойчивой и стенки трубки выпучиваются. Предположим, что края трубки закреплены так, что при выпучивании концы трубки сохраняют круговое очертание (у = w = 0 по концам трубки) и изгибающие моменты Мх по концам равны нулю. Уравнения (269), если входящие в них усилие и моменты выразить через перемещения и, у, w, перепишутся так:
д2и .1 4- a d3D а ди? 1 — о d2tt
дх2 2а дхде а дх ‘2 аде2
-)- О д2и .2 дхдеh2 / а д3и?-)- О д2и .2 дхдеh2 / а д3и?1 — а d2p , d3z?1 — а d2p , d3z?а 2 дх»,1 d3wа 2 дх»,1 d3w' 12 \ а дх2де * а3 де3(1 — О2) ~+ о —Ыг х ' дх2 1 дх' 12 \ а дх2де * а3 де3(1 — О2) ~+ о —Ыг х ' дх2 1 дхадв2д2и \ ,диwадеаадв2д2и \ ,диwадеади? А2 (1 — о) / д3и? аде "*~ 12 . а \5х250Тга d2v /Д 2Х пди? А2 (1 — о) / д3и? аде "*~ 12 . а \5х250Тга d2v /Д 2Х п(272)(272)
-)- О д2и .
2 дхде
h2 / а д3и?
-)- О д2и .
2 дхде
h2 / а д3и?
1 — а d2p , d3z?
1 — а d2p , d3z?
а 2 дх»,1 d3w
а 2 дх»,1 d3w
' 12 \ а дх2де * а3 де3
(1 — О2) ~+ о —
Ыг х ' дх2 1 дх
' 12 \ а дх2де * а3 де3
(1 — О2) ~+ о —
Ыг х ' дх2 1 дх
адв2
д2и \ ,
диw
адеа
адв2
д2и \ ,
диw
адеа
ди? А2 (1 — о) / д3и? аде "*~ 12 . а \5х250
Тга d2v /Д 2Х п
ди? А2 (1 — о) / д3и? аде "*~ 12 . а \5х250
Тга d2v /Д 2Х п
(272)
(272)
h2 / д4и? о д4и? . а д3и \ h2 ,. V д4и? . д3и \ 12 V дх4 а дх2де2 "Г” а дх2де /6 '^^a^x2^2 "Г” адх2дв/
h2 / а д4и? д4и?d3v \
12" \^” dxW- + а3д04а3дез / ~
Мы можем удовлетворить этим уравнениям, положив у = 0 и допустив, что и и w — функции ТОЛЬКО X.
В таком случае уравнения (272) перепишутся так:
ЕН ^° ' дхгЕН ^° ' дхгди дхди дхw = 0: а1w = 0: а1диw^2 ^, ^^дха12 ^ дх4диw^2 ^, ^^дха12 ^ дх4оо(Ь)(Ь)
ЕН ^° ' дхг
ЕН ^° ' дхг
ди дх
ди дх
w = 0: а1
w = 0: а1
диw^2 ^, ^^
дха12 ^ дх4
диw^2 ^, ^^
дха12 ^ дх4
о
о
(Ь)
(Ь)
и мы придем к форме выпучивания, симметричной относительно оси, т. е. к решению, которое нами было рассмотрено раньше.
Для получения критических значений сжимающих напряжений в случае форм равновесия, несимметричных относительно оси, возьмем решения урав-
нений (272) в такой форме х:
и = A sin 7Z0 cos ; v = В cos п9 sin •z(С)
w = С sin п9 sin e
Здесь l обозначает длину трубки. Начало координат расположено на одном из концов трубки.
Подставив (с) в уравнения (272) и введя для сокращения обозначения
— R.
атк
= т;
Л (1 - »)
= —и,
(d)
2аР’
1
Eh
придем к таким уравнениям:
Л (у2 + га2) + В ~ 2" ° гау + Сегу = 0;
Л-1±-^-гау+ 5 [ —у2 + га2 + -^-(1 —а)у2 + -у-га2 — у2у] +
+ С (ге + 1Г и + -£- гау2) = 0;}(е)
Лоу + В (п + -у-га3 + 2~° р2гау2) 4
+ С |— у2у + 1 + -у- V + -|- Р2га2у2 + -£- ?4 = 0.
Принятая нами искривленная форма равновесия становится возможной, когда определитель полученной системы уравнений (е) будет обращаться в нуль. Приравнивая этот определитель нулю, получаем для величины у квадратное уравнение, из которого можно найти у и соответствующее значение критической сжимающей силы. Отбрасывая малые члены, имеющие множителями ве
личины уй и д" , приходим к такому результату:
(1 _ а2) 74 +[(П2 + V2)4 _ (2 + а) (3 - о) yW + 2?4 (1 _ а2) _ ^4 (7 4- а) 4-
21 — а21 — о21 — а21 — о+ (3 Ц- о) ^п? + п4 — 2п6]+ (3 Ц- о) ^п? + п4 — 2п6]1 — а' П22.1 — а' П22.(712 + Т2)2(712 + Т2)2• (273)• (273)
2
1 — а
2
1 — о
2
1 — а
2
1 — о
+ (3 Ц- о) ^п? + п4 — 2п6]
+ (3 Ц- о) ^п? + п4 — 2п6]
1 — а'
П2
2.
1 — а'
П2
2.
(712 + Т2)2
(712 + Т2)2
• (273)
• (273)
Рассмотрим сначала случай, когда длина сжимаемой трубки мала или трубка при выпучивании подразделяется по длине на большое число коротких волн. При таком условии у2 представляет собой большое число, и мы, ограничиваясь в решении (273) главными членами, получаем
(274)(274)02 (п2 + ?2)2(1-^2
(274)
(274)
3 у2 (п2 4- у2)2 *
При п = О мы получаем отсюда прежний результат (см. § 69) для критического сжатия в случае деформации трубки, симметричной относительно оси. Наименьшее значение для у дает нам формула (274) при
|т+v)2==T1/3(1
Этому соответствует такое же значение критических напряжений, как и для формы равновесия, симметричной относительно оси, и мы можем сделать такое заключение: пока длина трубки так мала, что
мы будем при выпучивании получать деформацию, симметричную относительно оси трубки. С увеличением длины и убыванием у будут появляться две, три и т. д. волны по окружности цилиндра, но величина критических напряжений будет весьма мало колебаться, оставаясь примерно такой же, как при
т2 = Ауз(Ттз^).
При дальнейшем увеличении длины мы снова в качестве первой искривленной формы равновесия получим форму, симметричную относительно оси трубки и т. д. На основании этого заключаем, что в случае коротких трубок или в случае длинной трубки, подразделяющейся при выпучивании на большое число полуволн в направлении длины, критическое напряжение следует принимать равным тому, которое мы получили для формы равновесия, симметричной относительно оси.
Рассмотрим теперь второй крайний случай, когда величина у, входящая в выражение (273), мала, т. е. когда длина тех волн, на которые подразделяется по длине выпучивающаяся трубка, велика по сравнению с диаметром. Сохраняя главные члены в выражении (273), получаем
В2
(1 _ а2) ^ _[_{^ __ П2)2 + 72 [4П6 — (7 + О) П4 _]_ (3 + О) И2]}
У =-72 („4 + Л2)•(275)
При п = 1 из (275) получаем
1 —а2 2 Г,л2а2
~2’ Eh'
что совершенно совпадает с формулой Эйлера для случая стержня с опертыми концами, так как а2/2 есть не что иное, как квадрат радиуса инерции поперечного сечения тонкостенной трубки. Перемещения при этом представятся так:
и = В cos 6 sin ——; w = В sin 6 sin—-—.
Каждая точка трубки при выпучивании совершает перемещение, равное
В sin и параллельное плоскости 6 = поперечное сечение остается круговым.
Для n > 1 мы, опуская в формуле (275) малые величины высших порядков, получаем
(1 — О2) у2. р2п2 (п2— 1)2
У ~ n2 (n2 + 1) + “3т2 (n2 + 1) •
кРл?кРл?а27а27(1 — а2) у21^2\2(1 — а2) у21^2\2(274')(274')
кРл?
кРл?
а2
7
а2
7
(1 — а2) у2
1^2\2
(1 — а2) у2
1^2\2
(274')
(274')
Наименьшее значение для у мы получаем, полагая 1
2рП2 (п2 - 12)
7К 3(1 — а2)’
чему соответствует
(277)(277)ТгК1 n2 —1
(277)
(277)
Eh ~ а у" з (1 _ а2) п2 + 1 *
Таким образом, при значительной длине трубки первая искривленная форма будет по длине состоять из сравнительно длинных полуволн и критическое напряжение получается при этом меньшим, чем в изученном выше случае формы равновесия, симметричной относительно оси.
Пользуясь предыдущими результатами, мы можем сделать некоторые заключения об устойчивости цилиндрической оболочки, ограниченной двумя прямолинейными образующими цилиндра и двумя параллельными кругами и сжатой вдоль образующих. Пусть а — центральный угол, соответствующий рассматриваемой части цилиндрической оболочки. В качестве решения уравнений (272) возьмем
. . А:лО . пглх/елО . тплх
и — A sinsin —:—; v — В cossin —:—;
аIа Z
. /слО . тляw = С sinsin:—.а I
При этом радиальные перемещения и изгибающие моменты по контуру оболочки обращаются в нуль. Для определения критических напряжений мы можем воспользоваться формулой (273), заменив в ней число п величиной &л/а.
Рассмотрим случай, когда у — большое число. Из формулы (274) при этом получаем
2
V2V24л24л2Р2 4л2а2 h? у = ^= —Р2 4л2а2 h? у = ^= —№12 Ь2 ’№12 Ь2 ’откудаоткудаEh?4л212 (1 — о2)№ ’Eh?4л212 (1 — о2)№ ’
V2
V2
4л2
4л2
Р2 4л2а2 h? у = ^= —
Р2 4л2а2 h? у = ^= —
№12 Ь2 ’
№12 Ь2 ’
откуда
откуда
Eh?4л2
12 (1 — о2)№ ’
Eh?4л2
12 (1 — о2)№ ’
\ а2 х х )
Особый практический интерес представляет тот случай, когда угол а мал. При этом искривленная форма равновесия выпучившейся оболочки будет иметь в направлении параллельного круга лишь одну полуволну (к = 1). При а = оо формула (274') дает нам в этом случае
2
р2
Наименьшее значение сжимающих усилий получится при у2 = л2/а2.
Обозначив через Ъ величину аа, ширину сжимаемой пластинки, найдем для наименьшего у значение
что совпадает с известной формулой Дж. Брайана для сжатых прямоугольных пластинок с опертыми краями.
При конечном значении а и при k = 1 наименьшее значение у, определяемое из формулы (274'), представится так:
(g)
Первый член в этой формуле соответствует тому критическому усилию, которое мы получаем для длинной пластинки ширины Ъ = аа с опертыми краями. Вторым членом оценивается увеличение жесткости, обусловленное начальным искривлением пластинки по цилиндрической поверхности.
При малом значении а мы можем воспользоваться следующей зависимостью между шириной искривленной пластинки b и стрелкой ее начального прогиба /: Ь2 = а2а2 = 8а/. Тогда формула (g) может быть переписана в таком виде:
7\^2^л2 I 2 /№4л2 (* х г\//а f1 \
Eh — 12(1 —а2) № + л2 V ~ 12 (1 — а2)+ 0,448 № )’ ^278^
Мы видим, как быстро возрастает устойчивость сжатой пластинки, искривленной по цилиндрической поверхности, если увеличить стрелку начального прогиба /.
Прием, который мы применили в последних двух параграфах к исследованию устойчивости цилиндрической трубки, может быть использован также и для того случая, когда цилиндрическая трубка подвергается одновременному действию продольного равномерного сжатия и равномерного бокового давления. Подобного рода условия мы имеем, например, в случае проверки на устойчивость наружной обшивки подводной лодки.
Вопрос об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся скручиванию, оказывается задачей более сложной, так как выражения для перемещений уже не могут быть представлены простыми формулами (с).
Если края сжатой цилиндрической трубки не только свободно поворачиваются (МТ = 0), но и могут свободно смещаться, то при сжатии, превосходящем известный предел, трубка может принять новую форму равновесия, причем переход к этой форме не будет сопровождаться растяжением срединной поверхности. При этом образующие цилиндра останутся прямыми и лишь наклонятся к направлению сжатия.
Соответствующее значение критических сжимающих сил равно 1
-л=^4"[4'/2+2(1-а)а2]-(279>
Для коротких тонкостенных цилиндрических трубок это значение критических сжимающих усилий будет во много раз меньше того, что мы получили выше при несмещающихся концах сжимаемой трубки.
$75. О деформациях симметрично нагруженной сферической оболочки
Задача о расчете тонких оболочек, имеющих сферическую срединную поверхность, встречается при решении ряда практически важных вопросов. С ней мы имеем дело при расчете сферических днищ котлов и различного рода резервуаров, при расчете непроницаемых переборок в паровых турбинах, при расчете
i См. стр. 162 нашей работы, упомянутой на стр. 266.
купольных сводов и т. д. Наиболее просто эта задача решается в двух крайних случаях: 1) когда оболочка под действием приходящихся на нее нагрузок деформируется так, что напряжениями от изгиба оболочки можно пренебречь по сравнению с напряжениями, соответствующими растяжениям срединной поверхности; 2) когда напряжениями от растяжения срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с напряжениями от изгиба.
Рис. 141.Рис. 141.этих днищ, удаленных от опорного контура, напряжения изгиба невелики, и мы ими можем пренебрегать по сравнению с напряжениями, соответствующими растяжению срединной поверхности. У опорного контура вследствие закреплений могут получиться весьма значительные напряжения изгиба, имеющие характер местных напряжений, и для их определения необходимы дополнительные исследования. Но если опорные закрепления сферической оболочки допускают свободные радиальные перемещения точек контура и свободные поворачивания краев обо.этих днищ, удаленных от опорного контура, напряжения изгиба невелики, и мы ими можем пренебрегать по сравнению с напряжениями, соответствующими растяжению срединной поверхности. У опорного контура вследствие закреплений могут получиться весьма значительные напряжения изгиба, имеющие характер местных напряжений, и для их определения необходимы дополнительные исследования. Но если опорные закрепления сферической оболочки допускают свободные радиальные перемещения точек контура и свободные поворачивания краев обо.Первый случай встречается при расчете сферических днищ тонкостенных резервуаров, подвергающихся действию равномерного внутреннего давления. Далее мы увидим, что в частях
Рис. 141.
Рис. 141.
этих днищ, удаленных от опорного контура, напряжения изгиба невелики, и мы ими можем пренебрегать по сравнению с напряжениями, соответствующими растяжению срединной поверхности. У опорного контура вследствие закреплений могут получиться весьма значительные напряжения изгиба, имеющие характер местных напряжений, и для их определения необходимы дополнительные исследования. Но если опорные закрепления сферической оболочки допускают свободные радиальные перемещения точек контура и свободные поворачивания краев обо.
этих днищ, удаленных от опорного контура, напряжения изгиба невелики, и мы ими можем пренебрегать по сравнению с напряжениями, соответствующими растяжению срединной поверхности. У опорного контура вследствие закреплений могут получиться весьма значительные напряжения изгиба, имеющие характер местных напряжений, и для их определения необходимы дополнительные исследования. Но если опорные закрепления сферической оболочки допускают свободные радиальные перемещения точек контура и свободные поворачивания краев обо.
(подвижно опертый край оболочки), то напряжения изгиба везде остаются малыми и мы можем получить вполне удовлетворительное приближенное решение, рассматривая лишь деформации растяжения срединной поверхности.
Со вторым крайним случаем, когда преобладающую роль играют напряжения изгиба, мы встречаемся при исследовании колебаний незамкнутой тонкой сферической оболочки. Подобные деформации, не сопровождающиеся растяжениями срединной поверхности, должны играть существенную роль в вопросе об устойчивости сферической оболочки, подвергающейся действию равномерно-
го наружного давления.
Для полного решения вопроса о напряжениях и деформациях в симметрично загруженной сферической оболочке составим соответствующие дифференциальные уравнения равновесия.
На рис. 141, а представлено меридиональное сечение сферической оболочки, на которую действует нагрузка, симметрично распределенная относительно оси ОО. Вырежем из оболочки бесконечно малый элемент двумя меридиональными сечениями, наклоненными под углом <2ф друг к другу, и двумя коническими поверхностями с углами 0 и 0 + dQ. Из условий симметрии следует, что по граням выделенного элемента, соответствующим меридиональным сечениям, будут действовать лишь нормальные напряжения, которые мы можем привести к растягивающим силам интенсивности Т^ и изгибающим моментам интенсивности
М^ (рис. 141, б). По двум другим граням выделенного элемента кроме нормальных напряжений, приводящихся к силам Тх и парам сил Мь мы будем иметь также и перерезывающие силыТУ. Интенсивность внешних давлений, приложенных к оболочке, разложим на две составляющие. Составляющую Р направим к центру шаровой поверхности и составляющую Q направим по касательной к меридиану в сторону возрастания угла 6. Эти направления примем за оси гиги соответствующие перемещения при деформации оболочки обозначим через tv и и.
При наших обозначениях дуги срединной поверхности, соответствующие выделенному элементу, имеют длины add и a sin б^ф.
Проектируя все приложенные к элементу силы на направления осей ж и г и составляя момент этих сил относительно третьей оси, приходим к таким дифференциальным уравнениям равновесия:
^- (Тха sin б^ф) dd — Na sin б^фб/б — Т^а cos ОсШф + Qa2 sin бйфйб = 0;
^- (Na sin бйф) dd + Т^а sin бйфс?б + Тха sin бйфйб + Ра2 sin бс?фс?в = 0;
^- (Мха sin бйф) dd — М^а cos бйфйб — Na2 sin бс?фйб = 0.
(280)(280)Отсюда после сокращений получаем систему уравнений -^-+(T1-T2)ctg0-Ar + ^a = O; _gL + ^ctge + T2 + 7’1 + Pa = 0; . -^ + кМг - М^ ctg е - Na = 0.
(280)
(280)
Входящие в эти уравнения усилия Тг, Г2 и моменты Мх и М^ могут быть выражены через перемещения и и w. Начнем с определения растяжений срединной поверхности. Растяжение ех вдоль касательной к меридиану будет зависеть как от радиального перемещения iv, так и от перемещения и и представится такой формулой:
1 duto
61 a ddа *
Растяжение е2 соответствует удлинению дуги параллельного круга. Приняв во внимание, что радиус этого круга, равный a sin б, получает благодаря перемещениям и и iv приращение и cos б — w sin б, получим
(282)(282) и Ctg 0 — W
(282)
(282)
63а
Найдем теперь выражения для изменения кривизны сферической оболочки при деформации. Чтобы найти изменение кривизны меридионального сечения, воспользуемся формулой (89), которую мы получили при рассмотрении изгиба кругового кольца. При взятых обозначениях искомое изменение кривизны представится так:
и мы на основании (251) и (281) будем иметь 1 /, d»w\ ,1 / du ,„\1 / du , d?w\/r)og,
к^^^+'^ + ^ц-^-ю) "'-5r(-d9~ +le5")-(283)
Рассмотрим теперь изменение кривизны, соответствующей нормальному сечению, перпендикулярному к плоскости меридиана. Какой-либо элемент меридиана inn (рис. 142) при деформации оболочки займет положение т^п^ При этом новый радиус кривизны АВ будет мень- ^
ОРис. 142.ОРис. 142.ше а, и это уменьшение, как легко видеть из рисунка, равно
О
Рис. 142.
О
Рис. 142.
-^-Ctg6.
Соответствующее изменение кривизны представится так:
/ I ^4. Л\
и мы, на основании (251) и (282), будем иметь
^^н-3^0^^0-^-1г)- <284)
Теперь усилия ТХ1 Т^ и моменты Мх и М^ легко выражаются через перемещения при помощи известных формул (253) и (254):
Т1 = 1^2 (61 + ^ Т2 = Т^Г («2 + ^1)?
мг = — D ^ + GXa); М^ = — D (х2 + axj.^
Подставив (а) в уравнения (280), мы придем к трем уравнениям, заключающим три неизвестные функции и. w и TV. Если эти функции будут найдены, то сейчас же найдутся выражения для напряжений изгиба и напряжений, соответствующих растяжению срединной поверхности.
§ 76. Расчет сферической оболочки с подвижно опертыми краями
Предположим, что опорным контуром симметрично загруженной сферической оболочки является один из параллельных кругов. Закрепления по этому контуру допускают свободное перемещение в радиальном направлении и свободное поворачивание опертого края оболочки относительно касательной к опорному контуру (рис. 143).
В этом случае, как мы уже упоминали, можно получить приближенное решение задачи, если пренебречь напряжениями изгиба и принять в расчет лишь напряжения, соответствующие усилиям Тт и Тй. Тогда уравнения (280) приведутся к такой системе уравнений:
^ + (^-7,2)ctge + <2a = 0;
Тг + Т» + Ра = 0.
Исключая из этих уравнений Т^ получаем для определения Тг такое дифференциальное уравнение:
-^ + 27\ ctg 0 = - а ф ctg 9 + Q\
Интегрируя полученное линейное дифференциальное уравнение перзого порядка способом изменения произвольных постоянных, получаем
тх = Те |с - $ (р ^ + Q sin2 )d0| •
(а)
Отсюда легко находятся решения для различных частных случаев нагрузки. Возьмем, например, нагрузку собственным весом. Если через у обозначим вес единицы объема оболочки, то для рассматриваемого случая будем иметь Р = yfecosQ; Q = yfesinO. Подставив эти выражения в общее решение (а), найдем
Произвольную постоянную С нужно подобрать так, чтобы в вершине оболочки при 9 = 0 усилия 7\ оставались конечными. Этому условию мы удовлетворим, если положим С = — ^h.
гр7 1 — cos 6Г = — ачп,—л л—1•sin20гр7 1 — cos 6Г = — ачп,—л л—1•sin201 — COS 0 Лsin2 6 / •1 — COS 0 Лsin2 6 / •Тогда будем иметь
гр7 1 — cos 6
Г = — ачп,—л л—
1•sin20
гр7 1 — cos 6
Г = — ачп,—л л—
1•sin20
1 — COS 0 Лsin2 6 / •
1 — COS 0 Лsin2 6 / •
Т% — — ^^ + Т^ = — ауй / cos 9 —
В табл. 41 приведены значения скобок, входящих в выражения для Тг и Т\ при различных значениях угла 9.
Таблица 41
6, град
1 — cos 0 sin2 6
Л 1—cos 0 sin2 0
0, град
1 — cos 0 sin2 0
A 1—cos 0
COS 0r-Tn-
sin2 0
0
0,500
0,500
50
0,608
0,035
10
0,505
0,480
60
0,666
—0,166
20
0,515
0,425
70
0,744
—0,402
30
0,536
0,330
80
0,852
—0,679
40
0,568
0,198
90
1,000
—1,000
чина Tt обращалась в нуль. Для этого нужно положить С = —y/tcos0e, и мы сейчас же можем составить формулы для Тг и Тй.
Рассматривая полученные таким образом решения задачи как первое приближение, мы можем при помощи формул предыдущего параграфа получить дальнейшие приближения и учесть влияние напряжений изгиба на найденные нами приближенные значения 7\и Т^. Вычисление дальнейших приближений ведется в таком порядке. Сначала, пользуясь найденными выше приближенными значениями ^ и Т21 вычисляем при помощи известных формул
Л =+ Се^;
Т _ Eh z , х^2| а2 (^2 "4” ^1)
соответствующие значения перемещений и и w. Подставляя эти величины в формулы (283) и (284), находим хх и х2, при помощи которых находим первое приближение для изгибающих моментов Мг и М^. Для получения дальнейших приближений поступаем так: найденные значения Мг и М^ подставляем в третье уравнение (280) и находим перерезывающую силу N. Тогда первое и второе уравнения той же системы дадут возможность найти второе приближение для усилий 7\ и Т^ при помощи которых можно получать дальнейшие приближения, повторяя расчеты в прежнем порядке. Применим это к рассмотренному выше случаю действия на сферическую оболочку собственного веса. Формулы (Ь) перепишутся при этом так:
, 1 — cos 9 ЕН ,,.
- а^н shr= 6=<е1 + ае^’
7 / п 1 — cos 6 \ ЕН ,, х
- a^h (cos 6и^0“) = Т- с» ^ + ае0*
и мы из них легко находим выражения для ег и е2.
Для получения перемещений обратимся к формулам (281) и (282). При помощи этих формул находим
и ctg 9 = а (ех — е2).
Интегрируя это уравнение, получаем
и = asinQ [С 4- С -^-^ dek(286)
J sin 6/7
Тогда на основании (282)
w = — а — cos 9 /С 4- С ^9^1 •(287)
\) sin 0х 7
Подставляя эти результаты в формулы (283) и (284), получаем для изменений кривизны хг и х2 такие значения:
„ — 1 [Q ^(^1—g2) gi — g2 1 .
alb c?9sin 0 j ’
z2 =Jctg 0 (51 _ e#) j.
Подставляя это в известные формулы для моментов [см. формулу (а) § 75], получаем
Напряжения от изгиба для точек наружной и внутренней поверхности оболочки по абсолютному значению будут
№2l — o2
Отношение этих напряжений к напряжениям от сжимающих усилий Тг представится так:
(1 Ч- (2 я) ПО 2- COS 0 • 2 COS2 -77- •2а 1 — а42
Это отношение достигает наибольшего значения в вершине оболочки, где оно равно
(1°) (2 + ^ о по
Мы видим, что при малых толщинах оболочки напряжения изгиба при действии собственного веса будут малы по сравнению с напряжениями, соответствующими усилиям Тг и Тй.
Если бы мы для рассматриваемого случая пожелали вычислить дальнейшие приближения, то, поступая, как было указано выше, мы нашли бы для усилий Тг и 7^ значения, отличающиеся от первого приближения членами порядка h2/a2.
Следовательно, при расчете подвижно опертой сферической оболочки, находящейся под действием собственного веса, можно пренебрегать изгибом оболочки и принимать в расчет лишь усилия ^ и Т2. Этим соображением можно воспользоваться при расчете купольных сводов. При малых толщинах свода мы можем получить для точек, удаленных от опорного контура, достаточно точные выражения для напряжений, пренебрегая напряжениями изгиба. Напряжения у опарного контура могут быть получены лишь путем решения уравнений (280). К этому решению мы теперь и переходим.
§ 77. Общее решение для симметрично загруженной сферической оболочки
В случае подвижно опертых краев мы можем, как было показано, получить достаточно точное для практических приложений решение путем последовательных приближений. Для получения решения при других способах закрепления края оболочки нужно обратиться к общим уравнениям (280). Мы можем несколько упростить эту систему, если воспользуемся интегралом первых двух ее уравнений: .
2лп sin 6 (7\ sin 0 + N cos 6) = — 2лР (0), (а) где
F (0) = a2 J (Р cos 0 + Q sin 0) sin 0d0 + С.
Надлежащее значение постоянной С определяется из условий статики. Легко видеть, что левая часть равенства (а) представляет собой проекцию на ось симметрии (см. рис. 141) усилий, распределенных по сечению сферической оболочки конусом с углом при вершине, равным 26. Следовательно, 2лР (0)
представляет собой проекцию на ту же ось соответствующей нагрузки сферической оболочки.
В каждом частном случае вычисление F (0) не представляет затруднений, и тогда мы при помощи второго уравнения (280) получаем
sin2 9 + ^2sin2 9 + Ра sin2 9—^ - = 0.(Ь)
50а4 7
Присоединяя к (а) и (Ь) третье уравнение (280), получаем систему, к решению которой сводится расчет сферической симметрично загруженной оболочки.
За основные переменные примем в дальнейшем U и F, определяемые таким образом s
и = ax2tg0 = 4"(u+ -^-); V = aN.(^
В таком случае из (а) и (Ь) получаем
ТТ— ctg OF а °— ctg OF а °1 2^(0) .a sin2 0 ’1 2^(0) .a sin2 0 ’Т,-Т,-(288)(288)а 50‘a sin2 0 *а 50‘a sin2 0 *
Т
Т
— ctg OF а °
— ctg OF а °
1 2^(0) .
a sin2 0 ’
1 2^(0) .
a sin2 0 ’
Т,-
Т,-
(288)
(288)
а 50‘a sin2 0 *
а 50‘a sin2 0 *
На основании принятых обозначений (с) формулы (283) и (284) перепишутся так:
^-^и«Ч6.(289)
Подставляя это в выражения для изгибающих моментов Л7Х и М^ представим третье уравнение (280) так:
^ + ^ctg9-(ctg20 + o)^ + -§- = O(d)
или, вводя для сокращения обозначение
l< )=-^4И81пе-Уг]~с^29((е)
получаем
L(U)-OU = —^-.(f)
Для получения другого уравнения, связывающего переменные U и F, воспользуемся формулами (286) и (287) предыдущего параграфа. При помощи этих формул находим
^ +ctg 0(6,— е2).^ +ctg 0(6,— е2).
^ +ctg 0(6,— е2).
^ +ctg 0(6,— е2).
Подставляя вместо ^ и г2 их значения
е1 Eh (^1а^2)?52 — Eh ^2^l)’
мы, на основании (288), получаем
EKaU = "да" + "до" ct^ 9 — 7 (ct£2 6 ~ <?) + ^ ^ — я2(1 + <r) Q, (g)
или в сокращенном виде
L (7) + aV = Eh.aU — Ф (9),(g')
где
Если вместо переменной U ввести новую переменную Uv таким образом, что при этом
и = их4п"' 1 = -^E5L.; i = V^\
уравнения (f) и (g') перепишутся в таком виде:
Ьф^ — ои^гХаУ;
L (7) + о7 = гХаиг — Ф (9).^
Вопрос о расчете сферической симметрично загруженной оболочки сводится, таким образом, к решению двух совокупных дифференциальных уравнений (к) второго порядка. В ряде случаев удается найти частное решение этих уравнений и привести, таким образом, задачу к тому случаю, когда на оболочке нет нагрузки [Ф (6) = 0 ] и напряжения возникают лишь благодаря действию усилий по опорному контуру оболочки. Дифференциальные уравнения (к) перепишутся при этом так:
Ьф^ — oUx = iXaV;,
L(V) + aV ^iXaU^^
Определяя из второго уравнения Пг и подставляя его в первое уравнение, получаем для величины V такое дифференциальное уравнение четвертого порядка:
LL (У) + р2У = О,(290)
где
р2 = а2^2 — а2.(ш)
Такому же уравнению будет удовлетворять также и величина Uv
Уравнение четвертого порядка (290) распадается на два уравнения второго порядка такого вида:
£(7) + шУ = 0;
L(7) — ip.7 = 0.<n)
Легко видеть, что интеграл каждого из этих уравнений будет в то же время и интегралом уравнения (290). Возьмем, например, первое уравнение (п). Из него имеем
L (У) = — t^V- LL (У) = — iviL (У) = — р2У.
Следовательно, решения этого уравнения будут удовлетворять уравнению (290). То же можно показать и для второго уравнения (п).
Заметим еще, что если т + т будет решением первого уравнения (в), то т — nt будет удовлетворять второму уравнению той же системы и мы можем, следовательно, ограничиться рассмотрением лишь одного из этих уравнений.
Первое из уравнений (п) на основании обозначения (е) перепишется так:
V +i^V = 0.(р)
Введя новые переменные
(Г)(S)(t)(О)(Г)(S)(t)(О)8 = -Лк- Г; x = sin6,sin 6’’
(Г)
(S)
(t)
(О)
(Г)
(S)
(t)
(О)
получим для S уравнение
X-2^^S —^- = 0’
которое принадлежит к уравнениям вида
ж (1 — я) у" + [у — (а + 0 + 1) х] у' — сфг/ = 0.
Уравнения (s) и (t) можно привести к совпадению, если положить
9 3 ЯР V 5 + 4?р е д 3 ± 1^5 4- 4/р,У — а “4> Р —4•
Интеграл уравнения (t) будем искать в форме такого ряда:
у = Ло + АТх + А^х2 + АзХ8 + • • •(и)
Если мы вставим этот ряд в уравнение (t) и приравняем нулю коэффициенты при каждой степени ж, то получим такую зависимость между коэффициентами Ло, Л1? ... ряда (и):
А — ^ а- А - (k + W + I) а •
— 1 . v—2 (у + 1)11
^4П — Ап_ 1^4П — Ап_ 1(а 4- п —-1) (р 4- и — 1) .и (? 4- п — 1)’
^4П — Ап_ 1
^4П — Ап_ 1
Интеграл уравнения (t) представится таким рядом:
г/ = Ло (1 +г/ = Ло (1 +«Р „ , «(« + 1) Р(Р + 1) 2
г/ = Ло (1 +
г/ = Ло (1 +
1-Т1-2.7(Т+1) Х
, а(а+1)(а + 2)р(р + 1) (0+2) 3\
1 • 2 • Зу (у + 1) (у + 2) х Г
Этот ряд называется гипергеометрическим. Он будет, безусловно, сходящимся для всех значений х. меньших единицы, и мы можем им воспользоваться для представления искомой функции 5. Вводя для сокращения обозначение
62 = 5 4- 4гц = 5 4- 4i "^^L V5 ^а — а2(291)
мы можем интеграл уравнения (s) написать так:
^=M«+++*++++++’+ -4№
Второй интеграл того же уравнения получается несколько более сложным путем2 и может быть представлен в таком виде:
52 = 1g х5г Ч-Л-ф^),
где Ф (ж) представляет собой степенной ряд, сходящийся при |^| < 1. При х = = 0 интеграл 52 обращается в бесконечность. Поэтому мы в дальнейшем при рассмотрении напряжений в сферической оболочке, не имеющей отверстия у своей вершины, можем ограничиваться решением (292).
Разделив (292) на действительную и мнимую часть, можем написать
7Х = 5Х sin 0 = J\ 4- tJ^(у)
где Jx и /2 — ряды, расположенные по возрастающим степеням х. Коэффициенты этих рядов найдутся из (292). К тем же рядам мы придем, как было показано, также и при решении второго уравнения системы (п). Следовательно, при рассмотрении сферической оболочки без отверстия в вершине мы можем интеграл уравнения (290) написать так:
У = a1J1 + «2J2,(w)
где аг и а2 — произвольные постоянные.
Два других решения этого уравнения четвертого порядка, обращающихся в бесконечность в вершине оболочки (при х = 0), нужно в данном случае отбросить.
Перейдем теперь к определению функции U. Подставив значение Ух в первое уравнение системы (п), найдем
^ (*^i) — р,«7 2; L^J ^ =^lJ р
Второе уравнение (к') дает нам
iXaU1 = EhaU = L (Г) + oV.
Следовательно, на основании (w)
EhaU = (ахо — а2р,) Jx -f- (а2о + дхр) /2.(w')
Имея функции U и V, мы на основании (288) и (289) для того случая, когда усилия приложены лишь по опорному контуру сферической оболочки, находим
л = —(293>
»t - — D (х, + ах,) =^- (-^- + =0 Ctg в) ;
(294) М2 = — D (х2 + ox-J = — 4" [и ctgO + а-^].
Для определения перемещений мы можем воспользоваться формулами (286) и (287) предыдущего параграфа. Таким образом, общее решение задачи о напряжениях в симметрично загруженной сферической оболочке можно считать законченным. Заметим здесь, что таким же образом решается задача о напряжениях в симметрично загруженной конической оболочке и в оболочке, имеющей тороидальную срединную поверхность. В тех случаях, когда толщина оболочки весьма мала по сравнению с радиусом и центральный угол, соответствующий оболочке, не мал, выгодно вместо намеченного здесь решения воспользоваться асимптотическим интегрированием уравнения (290). Наконец,
к решению той же задачи могут быть применены приближенные приемы интегрирования соответствующих уравнений, основанные на пользовании конечными разностями. Эти приемы дают возможность найти приближенные значения напряжений в случае переменной оболочки.
§ 78. Практические приложения полученных результатов
Расчет сферической оболочки, находящейся под действием заданной симметрично распределенной нагрузки, приходится начинать с разыскания частного решения для уравнений (к) предыдущего параграфа. Решение это для случаев, наиболее часто встречающихся на прак
тике, например для равномерного давления, действия собственного веса или действия центробежной силы, соответствующей вращению относительно оси симметрии, находится без всяких затруднений.
Особенно простой результат получается при действии равномерного давления q (рис. 144). В этом случае сферическая оболочка получит равномерное сжатие, не сопровождающееся изгибом. Мы будем иметь
(? = 0; Р = q- Ф (0) = 0;
^1 = ^ = --^; М! = М , = N = 0;
qa (1 — а)
еТ — е« =—— ; и = 0; ш = ела.
12 2hE ’’1
При действии собственного веса (рис. 145) нагрузка, приходящаяся на единицу поверхности, равна y/i = q^ и мы будем иметь
Q = q1 sin 6; Р = q^ cos 0; Ф (0) = — a^qY (2 -|- о) sin 6.
Если принять во внимание, что
1 d Г d (sin 0)1 Л~
L (sin 0) = —- sin 0 — ctg 0 sin 0 = — sin 0,
sin 0 d0 [J
то легко подобрать частное решение уравнений (к) в такой форме:
UT = A sin 0; V = В sin 0,(296)
где А и В — надлежащим образом выбранные постоянные коэффициенты.
В случае действия центробежных сил (рис. 146) горизонтальное усилие, приходящееся на единицу поверхности оболочки, будет равно
а» = —— соа sing
где со — соответствующая угловая скорость.
В таком случае
Q = q^ cos 0; Р = — q^ sin 9,ф (9) = — a^q^ (3 + о) cos 9.
Если принять во внимание, что L (sin 9 cos 9) = —5 sin 9 • cos 9, то можно легко подобрать частное решение уравнения (к) в такой форме:
(297)(297)Ux = — аСг sin 0 cos 9, V — — аС^ sin 9 cos 9.
(297)
(297)
Если не удается подобрать решение для уравнений (к), то мы можем воспользоваться приближенным решением, получаемым путем последовательных приближений (см. § 76) Во всех этих случаях найденные решения, вообще говоря, не будут удовлетворять условиям
_ тг _ т2Р1-—. р»-т-_ тг _ т2Р1-—. р»-т-закрепления по опорному контуру и мы для получения полного решения задачи должны к найденному для заданной нагрузки частному решению уравнений (к) присоединить решение уравнений (к'). Решения эти [см. формулы (w) и (w') § 77] заключают в себе две произвольные постоянные, надлежащим выбором которых можно всегда удовлетворить условиям закрепления оболочки по опорному контуру Ч Общий ход расчета поясним на численном примере2. В дальнейшем мы будем пользоваться такими обозначениями для напряжений, соответствующих усилиям Тг и Т2:
_ тг _ т2
Р1-—. р»-т-
_ тг _ т2
Р1-—. р»-т-
Кроме того, напряжения при равномерном наружном давлении интенсивности q будем обозначать через р. Следовательно,
р = — qa/2h.
Максимальные напряжения от изгибающих моментов Мг и М2 будем обозначать так:
_ ШгШ2
рхРУ - й2 •
Наконец, для распора оболочки и соответствующих этому распору напряжений примем обозначения
Я = ^ cos 0 — TV sin 9; ph = — .h
Для моментов М^ М^ и для усилий Тг1 Т^ будем пользоваться формулами (293) и (294). Что касается перемещений, то соответствующие им формулы (286) и (287) могут быть представлены в более удобном для приложений виде.
Принимая во внимание, что
находимнаходимА-(1 + а) (7,-7,)А-(1 + а) (7,-7,)1 f + q ( dvEh а \ d91 f + q ( dvEh а \ d9V ctg 9V ctg 9fAz^e = J_(1 + a)_L_.J sin 9 Eha sin 9fAz^e = J_(1 + a)_L_.J sin 9 Eha sin 9
находим
находим
А-(1 + а) (7,-7,)
А-(1 + а) (7,-7,)
1 f + q ( dv
Eh а \ d9
1 f + q ( dv
Eh а \ d9
V ctg 9
V ctg 9
fAz^e = J_(1 + a)_L_.
J sin 9 Eha sin 9
fAz^e = J_(1 + a)_L_.
J sin 9 Eha sin 9
В таком случае при принятых выше обозначениях для напряжений получаем формулы для перемещений в таком виде:
и = Са sin 9——~ tg 9рх;
(298)
® = Са cos 6— (р, + р2).
Возьмем такой численный пример: чугунная сферическая оболочка, для которой а = = 143 см; h = 6 см; 0© = 39°; а = 0,2, подвергается действию равномерного давления q = = 20 кг1смг.
Нужно найти напряжения в оболочке при различных способах закрепления по опорному контуру. В качестве первого способа закрепления рассмотрим случай (I) подвижно опертых краев. Тогда будем иметь равномерное сжатие
р =^— = — 238 кг!см\
Для выяснения влияния различных способов закрепления по контуру на распределение напряжений производим предварительно расчеты для двух частных случаев (II) и (III),
представленных на рис. 147 и 148. Рис. 147 соответствует случаю (II), когда напряжения в оболочке вызываются равномерно распределенными по контуру горизонтальными усилиями И и изгибающие моменты MY равны нулю. Рис. 148 представляет случай (III), когда по контуру действуют усилия Н и моменты Мь подобранные так, что края оболочки при деформации не поворачиваются, т. е.
(
и dw \
Произвольные постоянные в решениях (w) и (w') предыдущего параграфа подберем так, чтобы для случая (II) были выполнены на контуре условия
р, = —— = —' р = + 238 кг/см2; Мг = О(Ь)
и для случая (III) условия
-ph = + 238 кг/сл2; (ф)6=ео = 0.(с)
Тогда напряжения рг и р^ соответствующие срединной поверхности, найдутся при помощи формул (293). Их изменение в зависимости от 0 представлено на рис. 149 и 150 пунктирными линиями. Напряжения изгиба рх и р^ могут быть найдены при помощи формул (294). Суммарные напряжения от изгиба и растяжения представлены на рисунках сплошными линиями.
Комбинируя случаи (II) и (III) со случаем равномерного сжатия (I), получаем решения (ПЭ и (ПР), для которых на опорном контуре имеют место такие условия:
Ph=0t^ = 0;(1Г)
Р„ = 0,(Ф)е=ел = О.(ПК)
В случае (IV) сферическая оболочка, испытывающая равномерное давление, опирается на идеально гладкую плоскость. В случае (IIГ) по контуру приложены моменты, которые
препятствуют поворачиванию опертого края оболочки. Напряжения для случаев (IP) и (III') получатся из предыдущих решений при помощи таких схем:
4- (И) cos 0О = (IP); (I) + (III) cos 0О = (IIP).
Следовательно, все напряжения могут быть получены из тех же рис. 149 и 150, если в них ось ОО заменить новой осью О’О* и изменить масштаб ординат в отношении cos 0О.
[Для случаев (II) и (III) напряжения отложены по ординатам в масштабе 2 см = = 800 кг/см2. Для (IP) и (IIP) масштаб 2 см = 800 cos 39° = 622 кг}см2. Перемещение оси О'О' относительно ОО равно 238 кг/см2, отложенным в новом масштабе].
Рис. 149.Рис. 149.
Рис. 149.
Рис. 149.
Подобным же образом могут быть получены случаи (II") и (III6), для которых по контуру имеются такие условия:
е2 = 0,MY = 0;(II")
*2 = 0,Фе=ео = 0-(ПП
Случай (IIе) представляет собой сферическую оболочку с неподвижно опертым краем. Случай (III") соответствует неподвижно заделанному краю. Можно показать, что и в этих случаях напряжения получаются из рис. 149 и 150, нужно только отсчет вести от осей О”Оп и взять для напряжений новый масштаб 2 см = 83,6 кг!см2.
Особый практический интерес представляют случаи (IP) и (III "),т. е. случаи оболочки, свободно опертой на гладкую плоскость или абсолютно заделанной по контуру. Подробные вычисления для этих случаев, произведенные при условии различных размеров оболочек и при различных углах 00, показали, что в весьма широких пределах величина расчетных напряжений зависит почти исключительно от значения произведения р sin2 0О, где
Ц= 12(1 — СГ») О2.
Это обстоятельство дает возможность представить значения максимальных напряжений /’max для случаев (IP) и (Ш*) при помощи простых приближенных формул, полученных на основании многочисленных расчетов. Для каждого из этих случаев приводим по две формулы, одна из них относится к случаю малых значений величины р sin2 8о, другая применима при больших р sin2 0о.
Случай (IP):
а/ т
— sin2 0о <1,2; pmax = — 1,24^—) q cos Oq; r = a sin 0o;
1,2 < sin2 0O < 12; p = q1 + cos 0O (1,6 + 2,44 sin 0o.
Случай (ПИ) (оболочка с абсолютно заделанным краем):
— sin20e<3; Pmax = -g^—) ^0,75 - 0,038^—1 sin2 0Ог = a sin 0e; 3 <-^-sin2 0О < 12; Ртах = — 1,20-^-д.
Формулы эти составлены в предположении, что оболочки изготовлены из литой стали, для которой а = 0,3. При помощи этих формул легко решается вопрос о прочности сферических оболочек, подвергающихся действию равномерного наружного давления и закрепленных по контуру соответственно случаям (1Г) и (III").
Мы здесь ограничились рассмотрением оболочек, не имеющих отверстия в вершине. При наличии отверстия необходимо обратиться к полному интегралу дифференциального уравнения (290). Распоряжаясь четырьмя произвольными постоянными, можно удовлетворить условиям не только по опорному контуру оболочки, но и условиям по краю отверстия. Произведенные для этих случаев вычисления показывают, что усилия, распределенные по краю отверстия, мало влияют на напряжения у опорного контура, а так как эти последние обычно являются максимальными, то, следовательно, при проверке на прочность сферической оболочки с отверстием в вершине обычно можно пе считаться с перераспределением напряжений, вызываемым наличием отверстия, и пользоваться результатами, полученными для оболочек без отверстия.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора . 5
Предисловие автора ко второму изданию 8
Предисловие автора к первому изданию 9
Введение 13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ.
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ГЛАВА I
НАПРЯЖЕНИЯ
Внешние силы . * 19
Компоненты напряжения 19
Уравнения равновесия 21
Исследование напряженного состояния в какой-либо точке тела...22
Преобразование составляющих напряжения к новым осям ......24
Поверхность напряжения 25
Эллипсоид напряжений 26
Вычисление главных напряжений и наибольших касательных напряжений 27
Дифференциальные уравнения равновесия 29
главап
ДЕФОРМАЦИИ
Перемещения . . .32
Исследование деформации в какой-либо точке тела 33
Поверхность деформации 36
Дифференциальные зависимости между составляющими деформации 37
глава III
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ
Обобщенный закон Гука 39
Общее выражение для энергии деформации 41
Дальнейшее сокращение числа упругих постоянных 43
Изотропное тело 45
Модули упругости 46
ГЛАВА IV
общие теоремы
Определение напряжений 49
Определение перемещений 51
Непосредственное определениеперемещений 52
Однозначность решения 54
Применение начала возможныхперемещений к упругим телам . . .55
ГЛАВА V
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Постановка задачи 62
Напряжения постоянны по объему тела 62
Напряжения линейно зависят от координат 63
Кручение призматических стержней кругового поперечного сечения 66
Чистый изгиб призматических стержней 67
ГЛАВА VI
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Плоская деформация 70
Обобщенное плоское напряженное состояние 73
Решение плоской задачи при помощи целых полиномов 77
Изгиб балки с заделанным концом силой, приложенной к свободному
концу 79
Принцип Сен-Венана 83
Изгиб балки с опертыми концами под действием равномерно распределенной нагрузки . . . . 84
Общее решение плоской задачи для полосы, любым образом нагруженной по продольным сторонам 86
Решение плоской задачи для случая клина 89
Плоская задача в полярных координатах. .91
Чистый изгиб части кругового кольца 93
Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце . . * .... ,97
Общий случай изгиба кривого бруска»99
Распределение напряжений при действии на пластинку сосредоточенной силы 105Сжатие кругового диска и кругового кольца двумя взаимно противоположными силами . , 113Приближенные способы решения плоской задачи 117Экспериментальная проверка распределения напряжений в Случае плоской задачи .. . . 119Распределение напряжений при действии на пластинку сосредоточенной силы 105Сжатие кругового диска и кругового кольца двумя взаимно противоположными силами . , 113Приближенные способы решения плоской задачи 117Экспериментальная проверка распределения напряжений в Случае плоской задачи .. . . 119Влияние круглых отверстий на распределение напряжений в пластинках 101
Распределение напряжений при действии на пластинку сосредоточенной силы 105
Сжатие кругового диска и кругового кольца двумя взаимно противоположными силами . , 113
Приближенные способы решения плоской задачи 117
Экспериментальная проверка распределения напряжений в Случае плоской задачи .. . . 119
Распределение напряжений при действии на пластинку сосредоточенной силы 105
Сжатие кругового диска и кругового кольца двумя взаимно противоположными силами . , 113
Приближенные способы решения плоской задачи 117
Экспериментальная проверка распределения напряжений в Случае плоской задачи .. . . 119
ГЛАВА VII
КРУЧЕНИЕ
Кручение призматических стержней121
Эллиптическое поперечное сечение124
Другие формы поперечных сечений126
Аналогия Прандтля128
Применение метода Ритца к определению напряжений при кручении 133
Случай прямоугольного поперечного сечения135
ГЛАВА VIII
ИЗГИБ
§ 52. Постановка задачи139
§ 53. Круговое и эллиптическое поперечные сечения142
§ 54. Прямоугольное поперечное сечение144
Другие формы поперечных сечений147
Перемещения при изгибе148
ГЛАВА IX ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Уравнения теории упругости в цилиндрических координатах . . . 149
Деформация кругового цилиндра153
Решение задачи при помощи целых полиномов156
Изгиб круглой пластинки158
О напряжениях в быстро вращающихся дисках161
О напряжениях, вызываемых в упругой среде сосредоточенной силой163
О напряжениях в стенках сферического сосуда при равномерном наружном и внутреннем давлениях165
Задача Буссинэ167
Сжатие упругих тел171
Тепловые напряжения177
Скручивание стержнейпеременного сечения181
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СТЕРЖНИ И ПЛАСТИНКИ
Предисловие 187
глава I МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ С ПРЯМОЙ ОСЬЮ
Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня189
Изгиб балки, лежащей на сплошном упругом основании191
Случай бесконечно длинной балки192
Изгиб балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании 195
Изгиб балок с заделанными концами и неразрезных балок, лежащих на сплошном упругом основании 198
Расчет перекрестных балок199
Балка переменного сечения, лежащая на сплошном упругом основании 202
Балки, подвергающиеся одновременному действию изгиба и сжатия 207
Статически неопределимыеслучаиизгибасжатых балок212
Балки, подвергающиеся одновременному действию изгиба и растяжения215
Случай,когда продольныесилынеизвестны218
Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба балок ;222
Приближенный способ определения продольной силы227
Об изгибе слегка искривленных стержней 230
Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба стержней, лежащих на сплошном упругом основании235
Случай нескольких перекрестных балок237
ГЛАВА II МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ С КРИВОЙ ОСЬЮ
Малые деформации стержня с круговой осью в плоскости кривизны 242
Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба кругового кольца245
Изгиб кольца силами,не лежащими в плоскости кривизны249
ГЛАВА III
ОБ УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ ФОРМАХ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЕЙ
Методы решения вопросов устойчивости257
Задача Эйлера262
Устойчивость призматического стержня при различных способах закрепления концов267
Устойчивость многопролетных стержней269
Продольный изгиб стержней переменного сечения274
Продольный изгиб стержней под действием сил, распределенных по длине 277
Устойчивость равномерно сжатого стержня в упругой среде . . . . 281
Задача Ф. С. Ясинского285
Об устойчивости плоской формы изгиба полосы289
Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки . . . . 297
Об устойчивости равномерно сжатого кругового кольца или его части305
Об устойчивости плоской формы изгиба полосы с круговой осью307
Об устойчивости длинного круглого вала при кручении310
ГЛАВА IV О КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЕЙ
Колебание системы с одной степенью свободы311
О колебаниях упругих систем316
Продольные колебания призматических стержней320
Колебания груза, подвешенного на упругом стержне325
Колебания кручения круглых валов330
Поперечные колебания стержней333
Свободные поперечные колебания стержня при различных способах закрепления концов339
Вынужденные поперечные колебания стержней343
Колебания стержней в упругой среде347
Колебания стержней переменного сечения349
Колебания балки под действием подвижного груза356
О действии удара на балку359
Продольный удар стержней361
глАВа V
ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
Изгиб пластинок по цилиндрической поверхности365
Влияние начальной кривизны на изгиб пластинок по цилиндрической поверхности371
Чистый изгиб пластинок .376
Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки . . 378
Пределы применимости полученного уравнения382
Условия на контуре пластинки385
Изгиб эллиптической пластинки с заделанными краями390
Изгиб круглой пластинки393
Изгиб прямоугольной пластинки с опертыми краями396
Изгиб прямоугольной пластинки, у которой две прямо противоположные стороны оперты, а две другие закреплены любым способом 402
Изгиб пластинки с заделаннымикраями408
Изгиб пластинки при одновременном действии нормальной нагрузки и усилий в срединной плоскости414
Влияние начальных искривленийна изгиб пластинок419
ГЛАВА VI
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНОК
Об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки с опертыми краями 423
Об устойчивости прямоугольной пластинки, сжатой вдоль одной из сторон . 425
Об устойчивости прямоугольной пластинки, растягиваемой или сжимаемой вдоль обеих сторон430
Об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями, изгибаемой и сжимаемой в срединной плоскости434
Об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями при действии касательных напряжений438
Об устойчивости прямоугольной пластинки с опертыми краями, сжатой двумя взаимно противоположными сосредоточенными силами 442
Об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки с двумя опертыми краями и двумя другими, закрепленными любым способом . . . 443
Об устойчивости пластинок, подкрепленных жесткими ребрами 450
ГЛАВА VII
МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Основные допущения 459
Плоская де формация трубок постоянного поперечного сечения . . . 463
Деформации круглой цилиндрической трубки, симметричные относительно оси465
Деформации цилиндрической оболочки, не сопровождающиеся растяжениями срединной поверхности469
Дифференциальные уравнения равновесия для общего случая деформации цилиндрической оболочки472
О деформациях цилиндрической трубки с опертыми краями . . . . 477 §73. Об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию равномерного наружного давления478
Об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию продольного сжатия482
О деформациях симметрично нагруженной сферической оболочки 486
Расчет сферической оболочки с подвижно опертыми краями . . . . 489
Общее решение для симметрично загруженной сферической оболочки 492
Практические приложения полученных результатов497
СТЕПАН ПРОКОФЬЕВИЧ ТИМОШЕНКО
КУРС ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Редакторы Л. Е. Зборовская,
Н. 3. Лаптева
Художественный редактор И. В. К о з и й Оформление художника В. М. Ф л а к с а Технические редакторы М. А. Приты кин а, Б. М. Кричевская
Корректор Л. М. Тищенко
Сдано в набор 16/VIII—1971 г. Подписано к печати 13/IV—1972 г. БФ 01327. Зак. № 640 Изд. 285. Тираж 10 000. Бумага № 1, 70X100Vie. Условно-печ. листов, 41,28. Учетно-изд. листов 41. Цена 2 руб. 52 коп.
Издательство «Наукова думка», Киев, Репина, 3.
Отпечатано с матриц Киевского полиграфического комбината, ул. Довженко, 3, на Киевской книжной типографии № 5 Государственного комитета Совета Министров УССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Киев, Репина, 4.
1Clebsch A. Theorie de Felasticite des corps soli des. Traduite par Barre de Saint-Venant et A. Flamant. Paris, Dunod, 1883, 900 pp. (В дальнейшем A. Clebsch — Saint-Venant). Перевод с немецкого: С1 e b s c h A. Theorie der Elastizitat fester Korper. Leipzig, B. G. Teubner, 1862, 424 SS.
8 Ritz W. Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variations- probleme der mathematischen Physik.— J. fur die reine und angewandte Mathematik, 1909, Bd 135, N 1, SS. 1—61. [Перепечатка: R i t z W. Gesammelte Werke. Oeuvres publ. par la Societe suisse de physique. Paris, Gauthier-Villars, 1911, pp. 192—250].
an application to the stresses in a masonry dam. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1910, vol. 210, N 467, pp. 307—357.
Randwertaufgabe der Gleichung —-- -| = 0. Nachrichten von der
dx^dy2
1 Величина главных удлинений определяется так же, как и величина главных напря
1 GruneisenE. Uber das Gubeisens bei kleinen elastischen Dehnungen. Berichte der deutsche physikalischen Gesellschaft, Braunschweig, 1906, Bd 8, N 20, SS. 469—477.
4 2~ ^зз^22 4” ^^^z^yz 4” c^ezzezx 4“ c36ezxexy 4*
42~ ^44^^z 4" c45e-yZezx 4- с4^€уХвуХ 4*
1 Томас Юнг первый установил определение модуля упругости при растяжении. Young Т h. A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts. Vol. 1. Ld., Printed by J. Johnson St. PauFs Charchyard, by William Savage, 1807, Lecture 13. Более позднее издание под тем же названием: A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts. A new edition, with references and notes, by the Rev. P. Kelland. Ld., Printed by Taylor and Walton, 1845, vol. 1, 608 pp.; vol. 2, 43 pp., 93 plates. 60 lectures. Cm. vol. 1, pp. 104—120. Lecture 13. On passive strength and friction.
1 Теоретически вопрос о начальных напряжениях в телах с многосвязным контуром рассмотрен в работе Volterra V. Un theorema sulla teoria della elasticita. Atti della reale accademia dei Lincei. Rendiconti. Classe di scienze fisiche, matematische e naturali, 1905, t. 14, Fascilo 1, 1° Semestre, pp. 127—137. Sulla distorsioni dei soli di elastici piu Volte connessi. (Nota del Socio Vito Volterra). Там же, pp. 351—356.
ции ф (ж, ?/) было впервые введено Дж. Эри. Airy G. В. On the strains in the interior of beams. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1863/64, vol. 153, pt 1,
4 Объемные силы полагаем равными нулю.
1 Митинский Н. О расчете напряжений и поверке прочности двутавровых балок (с таблицей чертежей). Изв. Собрания инженеров путей сообщения. С.-Петербург, тип. Ю. Н. Эрлих, 1905, год 22, № 8, стр. 182—188; № И, стр. 246—254. Отд. оттиск: Собрание инженеров путей сообщения, С.-Петербург, 1905, 50 стр. [Перепечатка: Митинский Н. Н. Собрание избранных сочинений по строительной механике. (Посмертное издание). С.-Петербург, тип. Ю. Н. Эрлих, 1913, стр. 1—-50].
1 При разложении функции в тригонометрический ряд проще всего воспользоваться приближенными приемами. См. Runge С. Theorie und Praxis der Reihen. Leipzig, G. J. Goschen, 1904, 266 SS.Cm. S 147., Runge С., E m d e F. Rechnungsformular zur Zeriegung einer empirisch gegebenen periodischen Funktion in Sinuswellen. Nest einer Erlauterung von C. Runge.Braunschweig, 1913, 13 SS. '
1 См. упомянутую на стр. 86 работу М. L6vy, а также работу Fillunger Р. Drei wichtige ebene Spannungszustande des Keilformigen Korpers. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1912, Bd 60, N 3, SS. 275—285. -
териалов. Изд. 2-е. Киев, издание книжного магазина Л. Идзиковского, 1913, 479 стр.
X. С. Головина. Там же даны общие формулы для перемещений в этом случае и отмечено, что поперечные сечения при изгибе силой искривляются.
мянутую на стр. 75.
1 Тимошенко С. П. О влиянии круглых отверстий на распределение напряжений в пластинках. Изв. Киевского политехнического института, 1907, год 7, кн. 3, стр. 95— 113. Отд. оттиск, Киев, 1907, 21 стр.
1 М е s п а g е г A. Contribution а Fetude de 1а deformation elastique des solides. Annales des ponts et chaussees, pt. I, 1901, 8 serie, 71 annee, 4е trimestre, pp. 129—190; Michell J. H. The inversion of plane stress. Proceedings of the London Mathematical Society, Series A, 1902, vol. 34, N 7 72, pp. 134—142. Случай, когда точка приложения силы совпадает с вершиной клина, рассмотрен К. Вихартом. Wieghardt К. Uber das Spalten und Zerriiben elastischer Korper. Zeitschrift fiir Mathematik und Physik, 1907, Bd 55, H. 1, SS. 60—103.
1 Дж. Мичелл распространил это решение на случай действия сосредоточенных сил на края круглого отверстия, вырезанного в пластинке неограниченных размеров. Им дано решение также для случая тяжелого диска. Michell J. Н. Elementary distributions of plane stress. Proceedings of the London Mathematical Society, 1901, vol. 32, N 713, pp. 35—61.
1 Примерно такие условия мы будем иметь в том случае, если модуль упругости мате
1 С о к е г Е. G. The determination by photo-elastic methods, of variable section, with some application to ships’ plating. Engineering, 1911, vol. 91, April 21, pp. 531—533; April 28, pp. 566—568.
1 Теория]кручения призм впервые была разработана Сен-Венаном. Sain t-V е n a n t В. Memoire sur la torsion des prismes, avec des considerations sur leur flexion, ainsi que sur I’equi- libre interieur des solides eastiques en general, et des formules pratiques pur le calcul de leur resistance a divers efforts s’exerant simultanement. Memoires presentes par divers savants a FAcademie des sciences, 1855, t. 14, pp. 233—560. [Перевод на русский язык: Сен- Венан Б. Мему ар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М., Физматгиз, 1961, стр. 15—378]. Появление его замечательного сочинения является одним из крупнейших событий в деле развития теории упругости. Содержание работ Сен-Венана изложено в указанной на стр. 13 монографии J. Todhunter, К. Pearson. См. также указанную в сноске на стр. 13 книгу С. L. М. N. Navier с примечаниями и дополнениями Сен-Венана.
1 Дуга S отсчитывается в направлении, отмеченном стрелкой.
Скл,хкллх ,
\ coscos —idx.
Jaa
и
8 Тимошенко С. П. Применение нормальных координат к исследованию изгиба стержней и пластинок. Изв. Киевского политехнического института, отдел инженерной
1 Эта задача разрешена Ф. Кёттером. Kotter F. Ober die Torsion des Winkeleisens. Sitzungsberichte der Koniglich preussischen Akademie der Wissenschaften. Berlin, 1908, II Halfband, N 39, SS. 935—955.
ческой физики сыграет весьма большую роль в деле развития теории упругости и послужит
книги A. Love — A. Timpe, указанной на стр. 9 (стр. 263 английского издания).
1 Мы ограничимся здесь лишь этим интегралом уравнения (с). Второй интеграл того же уравнения обращается в бесконечность при г = 0, его приходится отбросить, когда имеем дело со сплошным цилиндром. Исследование решений уравнений типа (с) можно найти в книгах: Forsyth A. R. A treatise on differential equations. Ld.— N. Y., Macmillan and Co, limited, 1903, 511 pp. Имеется также немецкий перевод книги: Forsyth А. R. Lehrbuch der Differentialgleichungen, mit den Auflosungen der Aufgaben von Herrmann Mater. Braunschweig, F. Vieweg, 1912. Gray A., Mathews G. B. A treatise on Besse) functions and their application to physics. Ld.— N. Y., Macmillan and Co., 1895, 291 pp. Приложение решения уравнения вида (с) к ряду задач теории упругости имеется в статье А. Н. Динника, указанной в сноске на стр. 128.
Berlin, B. G. Teubner, 1909, 176 SS., cm. S. 130. [Янке Я,, Эм де Ф. Таблицы функций
ная плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра и делящая его длину пополам, остается
не искривленной. В тех случаях, когда срединная плоскость невысокого цилиндра искрив
ляется, мы называем этот цилиндр пластинкой.
1 Точное решение задачи об изгибе круглой пластинки, несущей равномерную нагрузку, получено А. Лявом. См. стр. 553 книги A. Love — A. Timpe, упомянутой на стр. 9 (стр. 460 английского издания). А. Ляв применил в этой задаче прием Мичелла^. См. статью J. Н. Michell, указанную на стр. 50. Ряд задач, относящихся к изгибу круглой пластинки сплошной и с отверстием в центре, имеется в работе А. П. Коробова «Деформации, имеющие ось симметрии». Изв. Киевского политехнического института, отдел инженерной механики, 1913, год 13, кн. 3, стр. 267—339. Легко видеть, что, повышая степень полиномов, можно получить целый ряд решений для симметричного изгиба круглой пластинки.
1 Задача эта была решена Жозефом Буссинэ. Boussinesq J. Application des potentiels. А Г etude de I’equilibre et du mouvement des soli des elastiques, princi palement au calcul des deformations et des pression que produisent, das cos solides. Memoire suivi de notes 6tendues sur divers points de physique mathematique et d’analyse. Paris, Gauthiers-
з
1 Графический метод решения этой задачи разработан в интересной статье А. Вилдерса. WillersA. Die Torsion eines Rotationskorpers um seine Achse. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1907, Bd 55, H. 3, SS. 225—263.
1 Тимошенко G. П. Курс сопротивления материалов. Изд. 3-е. Киев, изд. книжного магазина Л. Идзиковского, 1916, 475 стр., см. стр. 228.
1 Тимошенко С. П. К вопросу о прочности рельс. Отд. оттиск. Институт инже
1 В дальнейшем мы пользуемся гиперболическими функциями. Нужные для преобразований формулы и таблицы значений функций имеются в книге Jahnke Е., Emde F., указанной на стр. 154, а также L i g о w s k i W. Tafeln der Hyperbelfunktionen und der Kreisfunctionen nebst einem Anhange enthaltend die Theorie der Hyperbelfunktionen. Berlin, Wilhelm Ernst, 1890, 104 SS.
(cos ax ch ax\ = — 2a2 sin ax sh ax;
2 Более подробные вычисления показывают, что уже при четырех балках главного направления приближенный метод дает вполне удовлетворительные результататы. См. стр. 378 указанной выше работы И. Г. Бубнова.
1 Изложение способа Рунге можно найти в прекрасной книжке Г. Зандена, заключающей много полезных указаний по вопросам приближенных вычислений и приближенных способов интегрирования уравнений. Sanden Н. Praktische Analysis. Leipzig—Berlin, В. G. Teubner, 1914, 185 SS.
Две теоремы, относящиеся к сложному сопротивлению изгибу и сжатию. Там же, 1900, том 20, № 9, стр. 164—180. К вопросу о сложном сопротивлении изгибу и сжатию. Там же,
1900, том 20, № 11, стр. 204—221. Расчет опорной рамы с абсолютно жесткою распоркой в мостах с ездой по низу. Там же, 1902, том 22, № 6, стр. 121—126. Об одной задаче строительной механики. Там же, 1903, том 23, № 10, стр. 224—228; № 11, стр. 241—249; № 12, стр. 266—273. Отд. оттиск: С.-Петербург, тип. Ю. Эрлих, 1904, 66 стр. Изгиб сжатых и вытянутых балок с заделанными концами. Изв. Петербургского политехнического института,
1904, том 1, выл. 1—2, стр. 3—76; вып. 3—4, стр. 258—279.
1 Центр тяжести предполагается расположенным посередине высоты сечения.
1 ТимошеикоС. П. Об изгибе стержней, имеющих незначительную первоначаль
1 Величина к характеризует жесткость основания (см. § 2).
ной нагрузки представляет собой всю работу внешних сил и уравнение (Ь) является след
ствием начала возможных перемещений.
cos а + cos (а + Р) + cos (а + 2р) + ... + cos (а + и₽) =
Из нее следует
1 Уравнение это впервые было получено Ж. Буссинэ. Boussinesq J . Resistance d’un anneau a la flexion, quand sa surface exterieure supporte une pression normale, constante par unite de longueur de sa fibre. Comptes rendus des seances de FAcademie des sciences, 1883, t. 97, N 15, pp. 842—848.
2 Целый ряд примеров, относящихся к изгибу круговых арок и круговых колец, подробно разобран в статье Р. Майера: Mayer R. Uber Elastizitat und Stabilitat des geschlos- senen und offenen Kreisbogens. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1913, Bd 1, H. 3, SS. 246—320. Там же приведена литература по данному вопросу.
стр. 136.
^ Это заключение, конечно, не может относиться к таким случаям, когда внешние силы вызывают лишь растяжение и сжатие оси кольца, не сопровождающееся изгибом, как,
1 Здесь 8 — сжимающее усилие, соответствующее всестороннему давлению на глубине h (см. рис. 24).
1 Отрезки х^ х2 и т откладываем так, что наблюдатель, стоящий лицом по направлению стрелки, видит вращение против часовой стрелки.
1 Соответствующая кривизна определится такой же формулой, как для балок с прямой осью.*
2 Задача эта решена Сен-Венаном. Saint-Venant В., Wa n t z el L. Nouvel- les experiences sur i’ecoulement de Pair determine par des differences de pression considerables.
1 Е u 1 е г L. Snr la force des colonnes. Histoire de PAcademie Royale des sciences et belles-lettres avec les Memoires, tires des Registres de cette Academie. 1757 [1759], t. 13, pp. 252—282.
1 Вопрос о допустимости пользования приближенным уравнением (104) для определения величины критических нагрузок с’большой полнотой был выяснен Ф. С. Ясинским. Ясинский Ф. С. Собрание сочинений. Ред. Н. Н. Митинский. Том 1. С.-Петербург, 1902. Сборник института инженеров путей сообщения, 1902, вып. 56, стр. 153—157.
1 Это так называемый эллиптический интеграл первого рода. Таблицы его значений можно найти в известной книге Е. Jahnke, F. Emde, указанной на стр. 154.
1 См. работу L. Euler., указанную на стр. 258.
1 Таблицы для различных способов закрепления концов рассматриваемого стержня составлены А. Н. Динником. См. его работу, упомянутую в сноске на стр. 274.
1 Числа~ таблицы заимствованы из работы А. Н. Динника, упомянутой на стр. 278.
13 стр. [Перепечатка: Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек.
1 См. § 23 (стр. 215—218) его первого тома собрания сочинений, указанного на стр. 263.
ки (см. § 12).
1 Таблицы эти вычислены Л. Прандтлем. Они имеются в книге Я. Янке и Ф. Эмде. См. стр. 106 (стр. 194 русского перевода) их книги, указанной на стр. 154. Там же на стр. 91 и 92 дается выражение рядов, входящих в интеграл (с) через функции Бесселя, / au?2 \I aw2 \
^Xl 2 / —JlI 2—/ См* Раб°тУ L.Prandtl, указанную на стр. 290.
1 Подробное исследование влияния повышения и понижения точки приложения силы на величину Ркрсделано А. Коробовым. Коробов А. П. Устойчивость плоской формы изгиба полосы. Изв. Киевского политехнического института, 1911, год 11, отдел инженерной механики, кн. 4, стр. 247—264.
1 Проведенные нами опыты дали для угла закручивания значения, весьма близкие
лы (130), в остальных случаях нужно пользоваться величиной Ф', определяемой по фор
1 Вибрациям упругих тел посвящено сочинение лорда Рэлея. См. Rayleigh (John William Strutt). Theory of sound. 2 edition, Macmillan and Co, vol. 1, 1894, 470 pp.; vol. 2, 1896, 504 pp. [Перевод на русский язык: Рэлей, С т р э т т Д. В). Теория звука, том 1, 503 стр.; том 2, 475 стр. М., Гостехтеоретиздат, 1955]. Литература предмета приведена в статье X. Лэмба. См. Lamb Н. Schwingungen elastischer systeme, insbe- sondere Akustik. Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwen-
1 В самом деле, для опертого конца Х^ = О, ^2— — 0, для заделанного конца Xi —О, ах.а^х.d?xi
—-— = 0 и. наконец, для свободного конца л * = 0, —^ х— = 0. Во всех случаях нра- dxахйах°
вая часть равенства обращается в нуль.
гие величины без изменения.
1 При составлении уравнений рассматриваем элемент как абсолютно твердое тело и
пренебрегаем искривлением поперечных сечений, поэтому поправка лишь приближенно
оценивает влияние касательных сил. Нами совместно с проф. П. Эренфестом получено также точное решение задачи для полосы прямоугольного поперечного сечения. [Речь идет о попе
рии упругости. Этот результат, полученный С. П. Тимошенко и П. Эренфестом, совместно не публиковался. В письме к отв. редактору настоящего издания от 2 июля 1970 г. С. П. Тимошенко замечает, что «эта работа была сделана в 1913 г., когда Эренфест жил в Петербурге.
Позже я с ним не работал». В статье С. П. Тимошенко «On the transverse vibration of bars of uniform cross-section». Philosophical Magazine and Journal of Science, Series, 6, 1922,
1 Несколько примеров такого рода имеется в нашей работе (см. ссылку на стр. 325),
вовесы паровозов.
1 См. первую формулу (9) § 3.
1 Строгое доказательство этого положения принадлежит Рэлею (См. стр. ИЗ первого тома его сочинений, указанного в сноске на стр. 317). Им показано также, как может быть вычислено второе приближение для частоты, в котором учитывается изменение типов колебаний, обусловленное малыми изменениями в системе.
колебаний дал Морроу. См. Morrow J. On the lateral vibration of bars of uniform and
N 55, pp. 113—125.
ный здесь численный результат совпадает с тем, что было найдено Б. К. Сушенковым при по
мощи рядов. Этим подтверждается достаточная точность вычисленного по методу Ритца
1 Уравнение (Ь) получено проф. Р. Виллисом (см. Willis Robert. Report
of the commissioners appointed to inquire into the application of iron to railway structures.
Ld., 1849, 435 pp. The Commissioners were Lord Wrottesley, Robert Willis, Henry James, George
Rennie, W. Cubitt and Eaton Hodgkinson, with Douglas Galton as secretary. Appendix
1 См. стр. 490 книги A. Clebsch, упомянутой в сноске на стр. 10.
5 Теория удара стержней с закругленными концами разработана Сирсом, который для решения задачи воспользовался весьма удобным вычислительн ым приемом интегрирования соответствующего дифференциального уравнения. См. Sears J. Е. On the longi
1 Точная теория пластинок принадлежит Дж. Мичеллу. См. его статью, упомянутую в сноске на стр. 50. Изложение ее в несколько упрощенном виде и приложения к частным случаям изгиба круглой и эллиптической пластинок имеются в указанном на стр. 9 курсе А. Лява (стр. 535 A. Love — A. Timpe или стр. 444 английского оригинала).
2 Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe. Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Grelle), 1850, Bd 40, N 1, SS. 51—88. [Перепечатка: Kirchhoff G. Gesammelte Abhandlungen. Leipzig, Johann Ambrosius Barth. 1882, SS. 237—272].
1 Такое уравнение мы имели при решении плоской задачи в полярных координатах
8 Приводимое ниже решение принадлежит Л Навье. См. примечание Сен-Венана
в сноске на стр. 10.
1 Таблица заимствована из статьи Б. Г. Галеркина «Прямоугольные пластины, опертые по краям». Изв. Петроградского политехнического института. Отдел техники, естествознания и математики, 1915, том 24, вып. 1, стр. 219—282 [Перепечатка: Галеркин Б. F. Собрание сочинений, М., Изд-во АН СССР, том 2, 1953, стр. 3—42]. Б Г. Галеркин берет для w выражение, отличное от (221). Те ряды, при помощи которых у него выражаются прогиб и другие элементы, характеризующие изгиб пластинки, оказываются более удобными для вычислений, чем ряды решения Навье. При вычислении табл. 26 принято о = 0,3.
2 Заключение это впервые было сделано Ф Мариоттом. См. стр. 752 книги A. Clebsch, указанной в сноске на стр. 10.
in recbteckigen ebenen Flatten bet gleichmassig verteilter und bei konzentrierter Belastung.
Dissertation. Darmstadt technische Hochschule, 1913, Munchen, Oldenbourg, 1913, 94 SS.
a(l + G)sh—O(l —a)-—ch—— a 2ch—-4—— sh
У лzz zи\ zz
° a6 „„, ab ab abEJ , , ba
(3 + a)(l—a)sh—-ch——— (1—a)2 + —-2a ch2-—
1Чалышев К. А. К вопросу о расчете пластинок, лежащих па упругом контуре. Изв. Петербургского института инженеров путей сообщения, 1914, вып. 87, стр. 1—22. Отд. оттиск, С.-Петербург, 22 стр.
М. Эстанаве.
2 При вычислениях принято о = 0,3.
1 Вычисления для квадратной пластинки выполнены В. Ритцем (см. стр. 41 его статьи, упомянутой в сноске на стр. 10)• Для других соотношений между сторонами пластинки некоторые числовые результаты имеются в статье: ПистрякоБ Д. Изгиб тонкой пластинки. Изв. Киевского политехнического института, отдел инженерно-механический, 1910, год 10, книга 3, стр. 309—373.
1 Некоторые результаты, относящиеся к этому случаю, имеются в упомянутой на стр. 414 статье Д. Пистрякова.
1 Оно соответствует уравнению (59) для балок (см. § 11).
1 Легко показать, что второй член в квадратных скобках выражения (230) обращается
I — при i = 7,
sin -^- dy =0 при г ± / четном,
462 ij• т •
1 Для краткости выписываем лишь множители при коэффициентах, написанных в первой строчке.
системе уравнений.
1 Некоторые примеры этого рода рассмотрены в работе К. А. Чалышева, упомянутой на стр. 407, и в статье А. И. Маслова, указанной на стр. 398. Подробные таблицы для расчета подкрепляющего уголка (рис. 125) составлены студентом Института инженеров путей сообщения В. И. Раком. См. Р а к В. И. Об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки, подкрепленной уголком жесткости. Петроград. Институт инженеров путей сообщения,
пластины подкреплять ее продольными ребрами, расстояние между которыми не должно
1 Аналогичное допущение делается в случае исследования изгиба кривых стержней, у которых поперечные размеры малы по сравнению с радиусом кривизны. При этом допущении гипотеза плоских сечений приводит к ^инейному закону распределения нормальных напряжений по сечению стержня.
1 Для крутящих моментов взяты направления, противоположные тем, которыми мы пользовались в пластинках.
1 См. стр. 415 первого тома монографии J. Rayleigh, упомянутой на стр. 245.
1 Вопрос этот подвергался подробному изучению в связи с исследованием колебаний цилиндрической оболочки. См. стр. 520 монографии A. Love (стр. 626 немецкого перевода), упомянутой в сноске на стр. 9.'
системе. Когда речь идет о вращении относительно оси у. то положительному вращению соот
ветствует движение оси г в направлении оси х.
1 В этих уравнениях мы пренебрегли величиной Л3/12а2, малой по сравнению с единицей.
тельного факультета Петроградского политехнического института П. X. Герретца (1915 г.)
1 В таком случае 72 будет обозначать не полное усилие, а лишь то изменение этого
усилия, которое будет происходить при сплющивании трубки.
1 Опытные исследования см. в работах Carman А. Р. Resistance of tubes to collapse. Physical Review, 1905, vol. 21, N 6, pp. 381—387. Bach. Die auf keiserlichen Werft in Danzig von 1887 bis 1892 ausgefiihrten vorsuche iiber die Widerstandsfahikeit von Flammrohren. Zeitschrift desVereines deutscher Tngenieure, 1894, Bd 38, № 23, ss. 689—696. Fairbairn W. On the resistance of tubes to collapse. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1858, vol. 148, pt II, pp. 389—414.
жней, пластин и оболочек. М., Физматгиз, 1971, стр. 457—472].
В вершине оболочки усилия ^ и Г2 — сжимающие и равны по величине — 0,5ауД. С увеличением угла 9 сжимающее усилие 7\ все возрастает. Усилие Тз убывает по абсолютному значению и при 9, несколько большем 50°, переходит через нулевое значение, обращаясь в растягивающее усилие.
Spannungen in Kugelschalen (Kuppeln.) Festschrift, Heinrich Muller-Breslau gewidmet,
Physik. Nach Riemann’s Vorlesungen in vierter Auflage neu bearbeiten von H. Weber. Bd 2»
Braunschweig, 1901, 506 SS. Cm. SS. 3—29.
1 Предполагаем, что оболочка без отверстия в вершине.
С. П. ТИМОШЕНКО
КУРС ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Под редакцией Э. И. Григолюка
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ —1972
605
Т41
УДК 539.3
В книге С. П. Тимошенко, выдающегося ученого, известного многим поколениям инженеров и специалистов в различных областях механики и являющегося мировым авторитетом в своей области, содержится систематизированное изложение основ теории упругости. Приведен расчет стержней, пластин и оболочек. Отражены важнейшие результаты, полученные автором в области расчета сооружений.
Книга является первым переизданием двухтомного «Курса теории упругости», изданного в 1914—1916 годах в Петербурге, и представляет собой материал лекций, прочитанных автором в 1907— 1916 гг. в высших учебных заведениях России. Этот курс долгое время оставался основным руководством для изучения теории упругости и ее приложения к инженерному делу.
Книга и в настоящее время представляет значительный интерес для аспирантов и студентов вузов, а также для инженеров и научных работников, занимающихся проблемами прочности конструкций.
Редакция технической литературы
Зав. редакцией В. Д. Навроцкая
2—4—2
196—72М
Посвящается памяти дорогого учителяВиктора Львовича Кир пич ева