Введение

На клеммах электронных устройств и систем наблюдаются случайные флуктуации напряжения (или тока), и эти флуктуации обычно называют шумом. Этот шум не обусловлен, например, дефектом контактов или каким-либо другим устранимым паразитным эффектом, а присущ самой системе. Он зарождается в результате случайного (на микроскопическом уровне) поведения носителей заряда внутри электронных составляющих систем. Именно такой тип шума будет в основном рассматриваться в этой книге.

Шумящий электронный прибор с парой входных и парой выходных клемм (т. е. четырехполюсник) представлен на рис. 1.1, а. Шум может обусловливаться наличием внутри системы одного или более источников. Удобный способ представления системы с шумом иллюстрируется на рис. 1.1,6, на котором изображен свободный от шума многополюсник, а шум представлен шумовыми генераторами тока 必(/) на входе и 兀(/) на выходе. Эти два генератора тока могут обладать некоторой степенью корреляции, так как механизмы, приводящие к появлению шума на обоих концах, могут иметь некую общую природу. Альтернативное представление системы с шумом показано на рис. 1.1,6, на котором сама схема также свободна от шума, но в данном случае шум представлен шумовыми генераторами напряжения Ущ(/) на входе и vn2(t) на выходе (которые могут коррелировать между собой).

Чтобы конкретизировать шумовые генераторы на входе и выходе, необходимо знать подробности схемы и характеристики внутренних источников шума. Здесь внутренние источники связаны с электронными устройствами внутри системы и, вообще говоря, сильно зависят от прибора, несмотря на то что физические механизмы, ответственные за этот шум, могут быть общими для целого круга устройств. Много места в книге уделяется механизмам возникновения шума и связанным с ними шумовым генераторам в конкретных устройствах. Основной акцент делается на твердое тело, так как шумы в вакуумных трубках подробно рассмотрены в других работах (например [1]).

аа5566Рис. 1.1. Четырехполюсник с шумом (а) и две эквивалентные схемы, в которых шум представлен генераторами тока на входе и выходе (6) и генераторами напряжения на входе и выходе (в).Рис. 1.1. Четырехполюсник с шумом (а) и две эквивалентные схемы, в которых шум представлен генераторами тока на входе и выходе (6) и генераторами напряжения на входе и выходе (в).

а

а

5

5

6

6

Рис. 1.1. Четырехполюсник с шумом (а) и две эквивалентные схемы, в которых шум представлен генераторами тока на входе и выходе (6) и генераторами напряжения на входе и выходе (в).

Рис. 1.1. Четырехполюсник с шумом (а) и две эквивалентные схемы, в которых шум представлен генераторами тока на входе и выходе (6) и генераторами напряжения на входе и выходе (в).

Шумы в электронных схемах обычно рассматриваются как вредный фактор, и, действительно, они часто накладывают ограничения на работу устройств. Это справедливо, например, в случае малошумящего усилителя звуковой частоты, в котором минимальная обнаруживаемая мощность входного сигнала зависит главным образом от уровня шумов входного каскада. Однако шум не всегда нежелателен. Известны ситуации, когда присущий системе шум можно использовать как средство для исследования электрических характеристик самой системы. Это может быть в случае, когда, например, требуется измерить проводимость ионного раствора. Обычно такое измерение необходимо проводить, помещая кювету с раствором в электрическое поле. Трудность заключается в том, что при некоторых условиях под действием поля может возникнуть диссоциация молекул, которая в свою очередь влияет на проводимость. Другой способ заключается в измерении шума на клеммах кюветы с образцом в состоянии равновесия (т. е. в отсутствие электрического поля), по величине которого можно судить о проводимости.

Возможно, что двумя наиболее часто встречающимися разновидностями шумов являются тепловой и дробовой. Тепловой шум возникает вследствие случайных флуктуаций скорости носителей заряда [электронов и (или) дырок] в резистивном ма-

териале. Этот механизм иногда относят к броуновскому движению носителей заряда, обусловленному тепловой энергией в материале. Тепловой шум присутствует в системе, когда резистивный элемент находится в тепловом равновесии с окружающей средой, и часто при первом рассмотрении его отождествляют с шумом Джонсона1) [3]. Флуктуации теплового характера можно рассматривать как механизм, с помощью которого сохраняется тепловое равновесие: за случайным (микроскопическим) отклонением от этого состояния следует, в среднем, возвращение к нему, и очень большое число таких микроскопических «событий» ведет к резкому изменению тока или флуктуациям напряжения на клеммах. Согласно этой точке зрения, форма сигнала тока или напряжения теплового шума должна состоять из очень большого числа отдельных импульсов, связанных с дискретными «событиями», происходящими в резистивном материале.

Дробовой шум связан с прохождением тока через барьер, и в этом смысле он является неравновесной разновидностью шума. Впервые он был рассмотрен Шотки [7], который использовал аналогию мелкой дроби, сыплющейся в контейнер. Дробовой шум или по крайней мере шум, похожий на дробовой, часто встречается в твердотельных устройствах каждый раз, когда ток проходит через потенциальный барьер (например, в обедненном слое р—n-контакта). Детали физического механизма, лежащего в основе дробового шума, будут рассмотрены ниже. Природу дробового шума, возможно, легче понять, если исследовать термоэлектронный диод, в котором электроны эмитируют из катода случайным образом и затем перемещаются к аноду под действием электрического поля. Ток, создаваемый этим потоком электронов, флуктуирует случайно около среднего уровня, причем эти флуктуации (т. е. дробовой шум) возникают благодаря случайной дискретной природе эмиссии.

Очевидно, что физическая природа теплового и дробового шума различна, но структура шумовых сигналов обоих типов похожа: оба сигнала можно представить как последователь- ность случайных импульсов, похожих по форме и случайно распределенных во времени. Пример такой последовательности импульсов, спадающих по экспоненте, представлен на рис. 1.2. В контексте данной книги термин «случайные» означает, что дискретные события, создающие импульсы, независимы и статистический закон, описывающий распределение этих событий во времени, — это функция плотности вероятности Пуассона.

D Неравновесная разновидность теплового шума, связанная с популяциями горячих электронов, наблюдается в некоторых высокочастотных устройствах, которые будут рассмотрены позже. Пока не будет специально ого< ворено,. термины «тепловой шум» и «джонсоновский шум» будут употреб* литься здесь в связи с равновесным состоянием.

Рис. 1.2. Схематическая иллюстрация случайной последовательности импульсов (а) и часть сигнала, сильно увеличенная, чтобы показать эффект наложения отдельных импульсов (6).

Распределение Пуассона и условия, при которых оно имеет место, обсуждаются в приложении 1.

Если форма шумового сигнала описывается функцией %«), а форма отдельного импульса — функцией /«) 什«)=0 для У0 в предположении, что событие, вызывающее появление импульса, происходит при /=0 и система причинна], то случайная последовательность импульсов есть линейная суперпозиция

x^^ahf(t-t^ (1.1)

где ak — амплитуда 々го импульса в этой последовательности, a tk — момент времени, в который происходит ^-е событие. Распределение tk подчиняется закону Пуассона. Форма шумового сигнала, описываемая выражением (1.1), обладает некоторыми интересными свойствами, подробно рассматриваемыми в гл. 2. В частности, спектральную плотность можно представить в виде

&Д研=2向 I 尸(js)F (1.2)

Это утверждение известно как теорема Карсона [5]. В выражении (1.2) з — угловая частота, F(js)—преобразование Фурье функции /(/) формы отдельного импульса, v — средняя часто-

та событий,辰—значение среднего квадрата амплитуд импульса, а черта над левой частью выражения означает усреднение для большого числа испытаний (т. е. среднее по множеству) ・

В особом случае, когда составляющие последовательности импульсов чрезвычайно малы, функция формы отдельного выброса представляется импульсом бесконечно малой ш-ирины. Последовательность случайных импульсов в этом случае считается импульсным процессом [2]. Поскольку фурье-преобразование одного импульса равно единице, из уравнения (1.2) имеем спектральную плотность импульсного процесса:

^7®У = 2向. (1.3)

Это важный результат, показывающий, что спектр импульсного процесса постоянен для всех частот вплоть до неограниченно высоких. Такой спектр иногда называют «белым».

Импульсы, возникающие в результате дискретных событий, вызывающих тепловой и дробовой шум, имеют постоянные (равномерные) спектральные плотности до очень высоких частот («очень высокие» означают величины, сравнимые с величинами, обратными фактической ширине импульса). Уровень спектральной плотности в обоих случаях, т. е. значение правой части уравнения (1.3), определяется из рассмотрения физики механизмов шума.

В случае теплового шума вывод основывается на положениях статистической механики и закона равномерного распределения энергии, согласно которому любая система при абсолютной температуре 0, находящаяся в тепловом равновесии с окружающей средой, обладает тепловой энергией в среднем до 08 на каждую степень свободы, где й — постоянная Больцмана. В результате спектральная плотность шумового напряжения на концах сопротивления в разомкнутом контуре имеет вид

SD (со) = 4kQR. (1.4а)

Таким образом, активное сопротивление может быть представлено так, как показано на рис. 1.3, а, где последовательный шумовой генератор напряжения имеет спектральную плотность, описываемую выражением (1.4а). После простого преобразования контура шумовое сопротивление можно представить в ви・ де, изображенном на рис. 1.3,6, где параллельный шумовой генератор тока имеет спектральную плотность

S» (s) = 4&0G. (1.46)

В зтом выражении проводимость G=l/R・

Рис. 1.3. Тепловой шум в резисторе R, представленный последовательным шумовым генератором напряжения (а) и параллельным шумовым генератором тока (6).

Выражения (1.4) были впервые выведены Найквистом [4] из соображений термодинамики и обмена энергией между активными элементами в равновесии. Макроскопический подход Найквиста к проблеме теплового шума, который существенно отличается от исследования на микроскопическом уровне, проведенного выше, описан в приложении 2.

В теореме Найквиста, выраженной соотношениями (1.4а) и (1.46), содержится сопротивление R. Однако максимально возможная мощность на сопротивлении в интервале частот df не зависит от R. Это можно видеть из рис. 1.4, который показывает, что к сопротивлению R, параллельному шумовому генератору тока, подключена бесшумовая согласованная нагрузка. Простой анализ контура показывает, что рассеянная в нагрузке мощность в диапазоне частот df имеет вид

dP = • &(?« df = hBdf, (1.4в)

где вместо Si(@) подставили выражение из правой части формулы (1.46). Значение постоянной Больцмана 力=1,38义 XI0-23 Дж/k, которая при умножении на величину 0 = 293 К, соответствующую комнатной температуре, в интервале частот шириной 1 Гц дает максимально возможную мощность шума, равную 4-10-21 Вт.

Спектральная плотность дробового шума при среднем токе I составляет

，^ = 2ql, (1.5)

где q — абсолютное значение заряда электрона. Этот результат почти непосредственно следует из выражения (1.3), если предположить, что среднее число импульсов в единицу времени равно I/q, а все амплитуды импульсов равны д, что дает а2 = ^2.

Рис. 1.4. Шумовое сопротивление R, соединенное с бесшумо* вой согласованной нагрузкой Ri.Рис. 1.4. Шумовое сопротивление R, соединенное с бесшумо* вой согласованной нагрузкой Ri.Изучение теплового и дробового шума на микроскопическом уровне, основанное на концепции последовательности случайных импульсов, в дальнейшем несколько подробнее обсуждается в гл. 2.

Рис. 1.4. Шумовое сопротивление R, соединенное с бесшумо* вой согласованной нагрузкой Ri.

Рис. 1.4. Шумовое сопротивление R, соединенное с бесшумо* вой согласованной нагрузкой Ri.

Один вид шума, который встречается в самых разнообразных системах (электронных, биологических, музыкальных и т. д.), и особенно в устройствах на твердом теле, приобрел широкую известность. Это является следствием его повсеместного распространения и одно-

временно сложности для теоретиче

ского изучения. Мы имеем в виду l/f-шум, или, как его иногда называют (исторически), токовый шум, фликкер-шум, шум контактов или избыточный шум.

Название 1/f связано с тем, что спектральная плотность

энергии этого шума изменяется в зависимости от частоты как |f|-a, где значение а обычно колеблется в пределах 0,8—1,2. Эту зависимость наблюдают при понижении частоты до значений порядка 10-6 Гц. Верхний ее предел установить трудно, так как он, как правило, маскируется тепловым или каким-либо другим шумом. Существуют различные теоретические трудности при исследовании l/f-шума, главным образом касающиеся сходимости интегралов. В настоящее время не существует ни одного вполне удовлетворительного объяснения этого явления, хотя в некоторых случаях (например, при захвате электронов

оксидным слоем на полупроводнике, как это происходит в МОП-полевых транзисторах) модели были получены. Похоже, однако, что такие модели имеют лишь ограниченное применение и не объясняют адекватно многие формы сигналов l/f-тума.

Интересно отметить, что l/f-шум можно представить как последовательность случайных импульсов, или, более точно, последовательность случайных импульсов с определенным видом функции формы импульса, для которой спектральная плотность изменяется как |f|-i в широком частотном диапазоне. Чтобы это выполнялось, форма импульса должна иметь вид

(1.6)(1.6)"方)=尸戶〃(%

(1.6)

(1.6)

как было предложено Шенфельдом [6] и рассматривалось сравнительно недавно ван-дер-Зилом [8]. В выражении (1.6) 〃(/)—единичная ступенчатая функция, равная единице для £>0 и нулю, когда /<0. Преобразование Фурье для /(/) су-

ществует и имеет вид

尸(砌 上 奇7T eXр (干切/4),(1.7)

где минус соответствует частотам(о>О, а плюс — частотам о)<0. Подставляя эту формулу в выражение для теоремы Карсона (1.2), можно найти спектральную плотность данного шумового сигнала

Sx((o)oc 1/|(d|,(1.8)

что и требовалось получить. Здесь имеется некоторое затрудне- ниег так как f{t) не является абсолютно интегрируемой, но оно преодолимо, если ввести небольшие изменения в /(/), незначительно влияющие на конечный результат.

Из этого рассмотрения могло показаться, что теоретическая модель l/f-шума, основанная на последовательности случайных импульсов, выглядит обнадеживающе. Трудность на этом пути в том, чтобы найти физический механизм, который порожда- ет импульсы, имеющие форму, задаваемую выражением (1.6). В настоящее время такой механизм неизвестен. Свойства, проблемы и существующие теоретические модели для l/f-шума детально обсуждаются в гл. 6.

В дополнение к тепловому, дробовому и l/f-шуму, введенным выше, в следующих главах встретимся с различными другими типами шумов, включая генерационно-рекомбинационный (г-р) шум, возникающий в результате случайного захвата носителей в полупроводниковых материалах, взрывной шум, лавинный шум вследствие ударной ионизации и неравновесный джонсоновский шум горячих электронов в сильных электрических полях. Некоторые из перечисленных явлений относятся к шумовым процессам, о которых мы уже говорили, например лавинный шум можно рассматривать как усиленную разновидность дробового шума, а джонсоновский шум горячих электронов, очевидно, является вариантом теплового шума, производимого равновесным ансамблем электронов. Прежде чем рассматривать новые типы шумов и устройств, с которыми они связа* ны, продолжим подготовку математического фундамента, необходимого для удовлетворительного теоретического обоснования свойств шумов и стохастических процессов.

ЛИТЕРАТУРА

D. A. Bell (I960), Electrical Noise, Van Nostrand.

F. J. Beutler, O. A. Z. Leneman (1968), The spectral analysis of impulse processes, Information and Control, 12, 236—258.

J. В. Johnson (1927а), Thermal agitation of electricity in conductors, Nature, 119, 50—51; (1927b), Thermal agitation of electricity in conductors, Phys. Res, 29, 367—368; (1928), Thermal agitation of electricity in conductors, Phys. Rev., 32, 97—109.

H. Nyquist (1927), Thermal agitation in conductors, Phys. Rev., 29, 614; (1928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys. Res, 32, 110—113.

S. 0. Rice (1944), Mathematical analysis of random noise, Bell Syst. Tech. J., 23, 282—332; (1945), 24, 46—156.

H. Schonfeld (1955), Beitrag zum 1 /f-Gesetz beim Rauschen von Halbleiternr Z. Naturforsch., A 10, 291—300.

W. Schottky (1918), Uber spontane stromschwankungen in verschiedenen> elektrizitatsleitern, Ann. d. Phys. (Leipzig), 57, 541—567.

A. van der Ziel (1979), Flicker noise in electronic devices, Advances in Electronics and Electron Physics, 49, 225—297.

2

Математические методы

Введение

Шумы в электронных устройствах обычно наблюдаются в ^иде случайно изменяющейся функции времени. Такая функция известна под названием стохастического процесса, и, так как мгновенные значения этой функции непредсказуемы, ее описывают с точки зрения средних или статистических свойств, которые могут проявиться лишь при очень большом числе наблюдений.

Обычно шумы наблюдают в виде случайных флуктуаций либо напряжения на клеммах прибора, либо проходящего через прибор тока. Как правило, шумы можно объяснить поведением ла микроскопическом уровне носителей заряда внутри прибора, а это означает, что наблюдаемые флуктуации будут очень малы по отношению, скажем, к уровню обычного сигнала генератора импульсов. Таким образом, шумы в активном устройстве обычно создают лишь чрезвычайно малые отклонения от рабочей точки, и в этом случае к шумовым флуктуациям можно применить теорию малых сигналов. Поэтому в большом числе случаев шумы усилителя можно исследовать, используя хорошо известные методы теории линейных систем (исключение составляют шумы в параметрических усилителях).

Большинство рассматриваемых здесь стохастических процессов статистически стационарны, т. е. их статистические свойства не зависят от интервала времени, на котором они изменяются. Существуют две степени статистической стационарности: 6 узком смысле и широком смысле, различие между которыми проявляется, лишь начиная с вероятностных характеристик третьего порядка. Процесс, стационарный в узком смысле, стационарен также и в широком смысле, в то время как обратное утверждение не всегда истинно. Примером, когда оно истинно, служат процессы, функция амплитудной вероятности которых является нормальным^ или гауссовским, распределением: вероятностные характеристики высокого порядка для этих процессов полностью определяются характеристиками первого и второго порядков. Гауссовские процессы чрезвычайно важны в связи с шумами в электронных устройствах, где они часто встречаются. В качестве примеров можно назвать тепловой шум и дробовой шум; начиная с исследований Белла [1], получено большое

число убедительных данных, что l/f-тум также имеет нормальное распределение.

Математический анализ стохастических процессов имеет дело с вероятностными характеристиками во временном и частотном интервалах. (Спектральный состав шумов в электронных компонентах важен для конструктора, так как часто цель его — минимизировать шумы в интересующей его конкретной области.) Помимо среднего значения (первый порядок), основными статистическими характеристиками, используемыми для описания шумового процесса, служат спектральная плотность, дающая среднюю спектральную составляющую флуктуирующего- сигнала, и автокорреляционная функция, которая дает возможность определить меру времени корреляции, или «память» процесса. Обе эти характеристики — второго порядка и в случае статистически стационарного) процесса однозначно связаны через теорему Винера — Хинчина. Для нестационарных процессов можно получить обобщенный вид этой теоремы, а расширенный вариант теоремы Винера — Хинчина выражает однозначное соотношение, связывающее взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность двух статистически стационарных процессов.

Развитие этих теорем опирается на испытанный фундамент аналитического метода Фурье. В обосновании наиболее важных приемов анализа Фурье важную роль играет дельта-функция Дирака, принадлежащая классу обобщенных функций. Она также весьма полезна для математического описания некоторых шумовых сигналов. В качестве вступления к рассмотрению метода Фурье и его применения к шумовым процессам установим некоторые свойства дельта-функции.

Сингулярные функции

Дельта-функция Дирака, обозначаемая символом 6(/), определяется соотношением

6 (/)%(/)山=% (0),(2.1>

где %(f)—обычная функция времени, непрерывная при / = 0).

Согласно этому определению, 6(f)—функционал, имеющий •свойство присваивать значение х(0) функции 力(/). В противном •случае, если бы 6(2) была обычной функцией, интеграл в выражении (2.1) не имел бы смысла. С дельта-функцией, хотя она и является функционалом, можно обращаться так же, как с обычной математической функцией, при условии, что производимые действия не противоречат данному выше определению.

При подстановке x(t) = 1 для всех t из выражения (2.1) сле・ .дует, что

(2.2)

'Этот результат в сочетании с определяющим соотношением показывает, что дельта-функцию можно представить как импульс

8①

0 看一

Рис. 2.1. Схематическое изображение дельта-функции Дирака.

единичной площади с центром в точке f=0, имеющий бесконечно большую высоту и бесконечно малую ширину. Это схематически иллюстрируется на рис. 2.1. Такое представление, конечно, является математической абстракцией. Оно также служит основным элементом импульсного процесса, состоящего из случайной последовательности дельта-функций, а такой сигнал — чрезвычайно близкое приближение для многих реальных шумовых процессов.

Из выражения (2.2) непосредственно выводится полезное соотношение:

6 3-工)=击6(f一子)，(2.3)

где а — константа. Из соотношения (2.3) следует

6(/) = 6(—/)・(2.4)

Следующую формулу получают из выражения (2.1) для случая, когда дельта-функцию перемещают из нуля в момент /=/0.

Тогда имеем

(2.5)

что является основным свойством дельта-функции.

Дельта-функцию можно представить как предельный вид обычной четной функции времени с выбросом при / = 0, кото-

Рис. 2.2. ФункцияРис. 2.2. Функцияsin (М)sin (М)

Рис. 2.2. Функция

Рис. 2.2. Функция

sin (М)

sin (М)

рый становится выше и тоньше при уменьшении некоторого параметра, скажем Nt но площадь выброса при этом остается постоянной и равной единице. Наконец, в пределе при больших N эта функция при / = 0 становится бесконечной, а для всех /#0 принимает нулевое значение. Если g%(/) —такая функция и

Jim Jgw⑴尤⑴力= %(0),Jim Jgw⑴尤⑴力= %(0),(2.6)(2.6)

Jim Jgw⑴尤⑴力= %(0),

Jim Jgw⑴尤⑴力= %(0),

(2.6)

(2.6)

(2.7)(2.7)где %(/) непрерывна при 联=0, то, сравнивая это выражение с выражением (2.1), имеем

(2.7)

(2.7)

6⑴=/吧gw（小

Это следует понимать в том смысле, что число %(0), присвоенное функции x(t) дельта-функцией, равно пределу интеграла в формуле (2.6).

Примером функции, удовлетворяющей условию (2.6), является функция

(2,8)

Отсюда, согласно формуле (2.7), имеем

6(f) = Нт 空竺L(2.9)

Nt8 Л/

На рис. 2.2 показано приближение функции (2.8) к предельному виду при увеличении N. Выражение (2.9) является важным результатом для установления соотношения между прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Приведенное выше рассмотрение в общих чертах намечает некоторые свойства дельта-функции Дирака. Подробное описание сингулярных функций дал в своей монографии об обобщенных функциях Лайтхилл [13].

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье (двустороннее) функции %(/) имеет вид

(2.Ю)(2.Ю)X (/со) = j % (f) exp (―7就)dt9

(2.Ю)

(2.Ю)

где %(f) может быть либо действительным, либо комплексным. Необходимое и достаточное условие существования Х(/(о) состоит в том, что %(f) должна быть абсолютно интегрируема; таким образом,

^\x(i)\dt<^ (2.11>

что эквивалентно требованию ограниченности полной энергии в %«).

Это условие не удовлетворяется, когда %(/)—стационарный стохастический процесс, так как такой процесс не затухает до нуля при /т±8. Может показаться, что это служит серьезным препятствием для анализа шума методом Фурье и, следовательно, создает концептуальную трудность в определении спектральной плотности случайного процесса. Действительно, вопрос о том, можно ли анализировать шум, применяя метод Фурье, однажды остро дебатировался в литературе. Эта трудность была в конечном итоге преодолена с помощью следующего доказательства.

Полная энергия в стационарном процессе бесконечна потому, что сигнал действует бесконечно долго. Но мощность (т. е. энергия в единицу времени) в этом процессе ограниченна, и, конечно, на практике время наблюдения также всегда ограниченно. Если время наблюдения равно Т, то наблюдаемая флуктуация, скажем %т(、£), равна %(f) в пределах интервала наблюдения и равна нулю вне этих пределов. Следовательно, ступенчатая функция %т(£) абсолютно интегрируема, и ее фурье-пре- юбразование Хт([^)9 действительно, существует. Спектральная плотность для %т(£), полученная из Хт(/(о), в большинстве практически важных случаев в пределе при Т->8 стремится к единственно возможной предельной форме. Эта предельная функция интерпретируется как спектральная плотность исходного стационарного процесса %(f). Подробности перехода к пределу описаны в разд. 2.5, а сейчас достаточно заметить, что анализ Фурье применим к стохастическим процессам и нет веской причины, запрещающей определение спектральной плотности такого процесса.

Обращение интегрального преобразования (2.10) дает выражение

%%(')=嘉 j X (До) exp (jsf) tto,(')=嘉 j X (До) exp (jsf) tto,(2.12)(2.12)

%

%

(')=嘉 j X (До) exp (jsf) tto,

(')=嘉 j X (До) exp (jsf) tto,

(2.12)

(2.12)

которое справедливо для всех 力 при условии, что %(£) непрерывна. Если %(f) имеет разрыв при /=^0, то в этой точке интеграл обращения равен среднему арифметическому от %«о+) и %(/()-). В общем случае, следовательно, выражение (2.12) справедливо для всех Л если положить, что

% (£) = [% (广)+% (广)1/2・

(2.13)

Формулу обращения получают, взяв интеграл в выражении (2.12) в пределах 土М подставив величину Х(/(о) из формулы (2.10) и изменив порядок интегрирования:

j X (/со) ехр 0研)ds = 2 J % (Г)迎」：二尸)】

(2.14)

—^

В пределе при М~>8 это выражение принимает вид

j X (/со) exp (/со/) dco = 21imjx (Г)时 以£广"-# =

=2冗 ％(У)3(У—f)df' = 2 冗％0),(2.15)

где подставлена дельта-функция из формулы (2.9) и использовано ее основное свойство (2.5). Равенство (2.15) представляет собой искомое выражение для интеграла обращения.

Ддром интеграла обращения служит функция exp(jcof), ис^ пользуемая для представления гармонических колебаний. Таким образом, естественно интерпретировать функцию X(js) как амплитудный спектр для %(/, дающий меру вклада в х(0 гармоник с угловыми частотами между @ и Вообще говоря^ X (/(о) — комплексное число, и отношение между его действи- тельной и мнимой частями характеризует фазу гармонической составляющей на угловой частоте ①.

Если %(f)—действительная функция, что всегда выполни* ется в случае реально наблюдаемого процесса (сигнала), преобразование Фурье для этой функции имеет сопряженную симметрию:

Х(2) = Х*(—До),(2.16>

где звездочка означает комплексное сопряжение. Тогда отсюда следует, что |Х(/(о) |2 и действительная часть Х(/(о)—четные функции от(о и что мнимая часть X (/(о)—нечетная функция от о. Если %«) является четной функцией от t[x(t) =х(—'/)]# выражение (2.10) принимает вид

X (/(о) = 2 j% (f) cos (砒)或，(2.17a>

о

а если x(/)—нечетная функция от t[x(t) = —х(—/)], преобразование можно представить в виде

X (/со) = —2/ р (/) sin (碗)dt.(2.17б>

b

Интегралы в выражениях (2.17а) и (2.176) —это косинус- и си- нус-преобразования Фурье соответственно.

Функции x(t) и Х(/(о) —партнеры в анализе Фурье и вместе образуют пару Фурье-преобразований. Их взаимосвязь удобно обозначить символом х(/)<->Х(/о), который служит кратким способом записи интегральных преобразований (2.10) и (2.12). Очевидно, что в этой записи с учетом основного свойства дельта-функции получаем

6(01(2.18а>

или в более общем виде

6(/—Г) 一 ехр(—/叫，(2.18б>

где 片——фиксированный момент времени, в который наблюда-

«ется импульс. Результат, аналогичный выражению (2.186), получают из интеграла обращения, положив Х(/(о) =2лб((о—s'), где s' — фиксированная угловая частота. Для этого случая наводим

ехр (/(о7) <-> 2л6 (со — “)(2.19а)

Из этого выражения, считая сначала о/ положительной вели- «чпной, а затем отрицательной, легко получить, что

cos(о7л [6 (со — з') + 5@+(о')},(2.196)

!И

sincoT—/л [6 (со—s') — 6 ((о-j-(о7)]-(2.19в)

Таким образом, каждое из преобразований косинусоидальных и синусоидальных функций состоит из двух дельта-функций, симметрично расположенных относительно точки отсчета на часто• тах, численное значение которых равно частоте самих гармонических функций.

Часто требуется найти преобразование производной d%(f)/df. Его находят, интегрируя по частям определяющий инг теграл (2.10). Полагая %(%)f0 при Q±8, приходим к выражению

粤—jsX(/s),(2.20а)

которое после применения аналогичных операций можно обоб* щить на случай n-й производной. Получаем результат

—(jWX(js),(2.206)

который имеет смысл при условии, что все интегрируемые выражения исчезают при 力±8.

Свойства интеграла Фурье подробно рассмотрел Титчмарш в монографии ,[21], а Популис [17] показал возможности метода преобразования Фурье для широкого круга физических задач.

Стохастические процессы

Статистические свойства стохастического процесса — это те регулярные особенности, которые проявляются (могут проявить- ся) в результате большого числа испытаний или наблюдений. Это наводит на мысль, что такой процесс можно исследовать математически на основе воображаемого ансамбля статистиче- ски похожих процессов, наблюдаемых одновременно за один и

тот же промежуток времени. Составляющие функции ансамбля %<】)(/), х<2)«),…，蒐％)(/), соответствующие этим процессам, свя* зывают с ними различные вероятностные характеристики, по которым можно предсказывать статистические свойства единич* ного процесса в ансамбле. Такие предсказания позволяют проводить сравнения с наблюдаемыми количественными соотношениями в реальном мире. Таким образом, можно оценить качество предсказаний и отсюда пригодность теоретических моделей, к ним приводящих, что позволяет лучше понять физические явления, лежащие в основе наблюдаемых флуктуаций.

Вероятностные характеристики, о которых говорилось внше, представляют собой иерархию функций плотности вероятности, связанных с составляющими функциями процессов в ансамбле. Вообще говоря, эти характеристики зависят от моментов времени, для которых их вычисляют. Однако есть исключение из общего правила — стационарные процессы. Стационарность в узком смысле означает, что все функции плотности вероятности, связанные с процессом, инвариантны при временном сдвиге точки отсчета. Похожее определение применимо к стационарности в широком смысле, но здесь оно относится только к функциям плотности вероятности первого и второго порядков. Важно заметить в связи с реальными шумовыми флуктуациями, что в случае статистически стационарных процессов (в широком или узком смысле) вероятностные характеристики второго порядка зависят только от разности между моментами наблюдения, тогда как характеристики первого порядка совершенно не зависят от времени. Примером такой характеристики первого порядка является нормальная, или гауссовская, функция

(1/]/2жу2)ехр [ —(%—玻偿炉],

где х — среднее значение, а а2=х2(/)—炉一 дисперсия процесса %(f). Все статистические характеристики гауссовского процесса определяются функциями вероятности первого и второго порядков, так что знаний среднего значения и функции ковариации достаточно для того, чтобы полностью установить все статистические свойства процесса.

Существуют два различных способа усреднения, которые могут быть применены к составляющим функциям ансамбля: первый — усреднение по времени, имеющий дело с отдельно взятой функцией ансамбля, и второй — усреднение по ансамблю, где средними являются математические ожидания, вычисляемые в фиксированные моменты времени в интервале наблюдения по вероятностным характеристикам, рассмотрейным выше.

(2.23)(2.23)5 s [心)(幻%⑺闯]=5 s [心)(幻%⑺闯]=;%2, %) d%[d%2・(2.24);%2, %) d%[d%2・(2.24)

(2.23)

(2.23)

5 s [心)(幻%⑺闯]=

5 s [心)(幻%⑺闯]=

;%2, %) d%[d%2・(2.24)

;%2, %) d%[d%2・(2.24)

Средние по времени первого и второго порядка f-ro члена ансамбля — это среднее значение

Т/2

〈％⑺⑴〉=lim 占 f %s (0 df,(2.21)

「TOO / J

-772

и автокорреляционная функция

772

%3 (т)三〈%⑺(f) %(力(f+句〉=lim* J %(力(f) %⑺(f+七)df, (2.22)

причем последняя содержит меру «памяти» процесса. Символ 之・.> в этих выражениях означает среднее по времени, а Т — продолжительность интервала наблюдения. Заметим, что автокорреляционная функция — четная функция временной задержки г и что ее значение при т = 0 есть значение среднего квадрата процесса.

Средние по ансамблю, соответствующие средним по времени в выражениях (2.21) и (2.22), — это среднее значение, взятое в момент времени f=力：

% (幻三E [%⑺&)] = lim丁У%⑺&

и смешанный момент второго порядка (или ковариация), взятый в моменты времени £ =介 и f = f2，/i：

“ &) % (%) = Е [%")&) %(" (%)] = Нт

Значение среднего квадрата при £ =乙 равно

?7订三 Е {[%⑺ &)]2}=『m?7订三 Е {[%⑺ &)]2}=『m11>%”】)]2 = J>%”】)]2 = J%12Pl(%],幻 d%i. (2.25)%12Pl(%],幻 d%i. (2.25)

?7订三 Е {[%⑺ &)]2}=『m

?7订三 Е {[%⑺ &)]2}=『m

1

1

>%”】)]2 = J

>%”】)]2 = J

%12Pl(%],幻 d%i. (2.25)

%12Pl(%],幻 d%i. (2.25)

Верхняя черта в этих выражениях показывает усреднение по ансамблю; символ Е{口} означает математическое ожидание; N — число функций в ансамбле; х{ и %2 — сокращенные обозначения ДЛЯ % (介)И % Q友);Pl(X1, /1) —функция плотности совместной вероятности первого порядка и р2(^ь Л； х2, (2) —функция плотности совместной вероятности второго порядка для процес-

ca, показывающая вероятность того, что некоторый член ан* самбля в момент времени 介 имеет значение, заключенное между 办 и xi+dxi, и вместе с тем в момент времени /2 имеет значение, заключенное между %2 и x2+dx2.

Для стационарных процессов средние по ансамблю (2.23)建 (2.25) не зависят от момента времени, для которого их вниио ляют, а среднее (2.24) зависит, но не от абсолютных значений 厶 и 仿2, а только от разности |厶——为|・ В противоположность этому средние по ансамблю для нестационарных процессов зависят от абсолютного времени, и это подтверждает, что, вообще говоря, понятие усреднения по времени является некорректным в применении к нестационарным процессам.

Ввиду того что наблюдение реального случайного процесса ведется по единственной функции времени, может показаться, что усреднение по времени ближе к физической реальности,, чем усреднение по ансамблю. С другой стороны, усреднение по ансамблю — удобное теоретическое понятие, так как оно непосредственно связано с функциями плотности вероятности, которые сами часто можно определить теоретически. Для того чтобы иметь возможность сравнить теоретические результаты, ос- нованные на средних по ансамблю, с экспериментальными измерениями средних по времени, необходимо знать, при каких условиях средние по времени и ансамблю эквивалентны. Обычно предполагают, что наблюдаемый процесс является членом эргодического ансамбля и что, следовательно, применима эргодическая теорема. Это допущение справедливо для большинства стохастических процессов, связанных с электронными устройствами, стационарных по крайней мере в широком смнсле, и означает, что соответствующие средние по времени и ансамб- лю можно рассматривать как эквивалентные. Значительно более строгое изложение эргодической теоремы и библиографию важных работ по этому вопросу можно найти у Миддлтона [15]. Кроме того, Борн [3] представил интересное рассмотрение эргодичности.

Энергетические теоремы

Мощность шумового процесса является статистической характеристикой процесса второго порядка. Ее удобно рассматривать на основе теоремы Парсеваля, которая устанавливает, что если Xi (/) и 力2«)—две функции времени с соответствующими фурье-преобразованиями 尤(До) и Х2(/(о), то

J 打⑴％2* ⑴成=击 J % (js) X2* (jo) ds,J 打⑴％2* ⑴成=击 J % (js) X2* (jo) ds,(2.26)(2.26)

J 打⑴％2* ⑴成=击 J % (js) X2* (jo) ds,

J 打⑴％2* ⑴成=击 J % (js) X2* (jo) ds,

(2.26)

(2.26)

причем предполагается, что фурье-преобразования существуют. Звездочка означает комплексное сопряжение. Теорему доказывают, подставляя вместо х2(/) в подынтегральном выражении: слева формулу обращения (2.12), изменяя порядок интегрирования и заменяя получившийся интеграл по времени на Xi(/co);. после этого получают выражение в правой части равенства (2.26). Заметим, что теорема Парсеваля — достаточно общая,, не накладывающая ограничений на функции времени Xi (/) if %2(/)，кроме того, что они должны быть абсолютно интегрируемыми.

Предположим теперь, что шумовой процесс наблюдается в. интервале [—Т/2, Т/2], так что вне этого временного 《окна» значения его ординаты можно считать равными нулю. Обозначим этот ступенчатый процесс %「(力)1), и пусть

/(力)=方(/+t)， x2(0=Xr(0， (2.27)

где т ——задержка во времени, нулю при Q±oo, существует и, следовательно, из равенствагде т ——задержка во времени, нулю при Q±oo, существует и, следовательно, из равенстваТак как функция 尤丁⑺ равна： ее фурье-преобразование Хт(/з) (2.26) имеемТак как функция 尤丁⑺ равна： ее фурье-преобразование Хт(/з) (2.26) имеем

где т ——задержка во времени, нулю при Q±oo, существует и, следовательно, из равенства

где т ——задержка во времени, нулю при Q±oo, существует и, следовательно, из равенства

Так как функция 尤丁⑺ равна： ее фурье-преобразование Хт(/з) (2.26) имеем

Так как функция 尤丁⑺ равна： ее фурье-преобразование Хт(/з) (2.26) имеем

J %т (/+句尤т ⑴必=負 j I Хт (»I2 exp (/(от) d(o,J %т (/+句尤т ⑴必=負 j I Хт (»I2 exp (/(от) d(o,(2.28〉(2.28〉

J %т (/+句尤т ⑴必=負 j I Хт (»I2 exp (/(от) d(o,

J %т (/+句尤т ⑴必=負 j I Хт (»I2 exp (/(от) d(o,

(2.28〉

(2.28〉

где звездочка при функции времени опущена, так как 尤丁⑺— действительный процесс. Когда т = 0, выражение (2.28) переходит в равенство

^[xT{t)^ = -^ ^\XT{i^d^^[xT{t)^ = -^ ^\XT{i^d^(2.29)，(2.29)，

^[xT{t)^ = -^ ^\XT{i^d^

^[xT{t)^ = -^ ^\XT{i^d^

(2.29)，

(2.29)，

которое представляет собой запись ,теоремы Парсеваля, или,, как ее иногда называют, энергетической теоремы.

Каждая часть выражения (2.29) равна полной энергии в Хт({). Это наводит на мысль, что \XT(ja)) |2 можно интерпретировать как плотность энергии процесса (в единицах энергии на герц), которая конечна при условии, что Т<оо. Средняя мощ- ность в ступенчатом шумовом процессе есть полная энергия, деленная на 7, которая при Tf оо становится равной

ОООО

Jim ^ J[xr ⑴产 dt = Hm + f 21'今府"2 面， (2.30户

—ooО

° Хотя этот ^процесс следует рассматривать как функцию, входящую в • ансамбль, верхний индекс, обозначающий функцию ансамбля, здесь опущен.

причем постулируется, что пределы существуют. Односторонняя форма интеграла справа возможна здесь потому, что, так как /т«) действительна, подынтегральная функция — четная функция частоты. Знак lim и интеграл в правой части равенства Т->оо

(2.30) можно поменять местами, если предположить, что сначала производится усреднение по ансамблю [15]. Спектральная плотность (односторонняя) стационарного процесса ^г(/) определяется как среднее по ансамблю:

^ = 1皿 2ЙНМИ,(2.31)

ОО'

которое стремится к точному значению. Таким образом, спектральная плотность стационарного процесса определяется как свойство ансамбля в целом, а не как свойство индивидуальной составляющей функции ансамбля.

Важное свойство функции, определяемой формулой (2.31),—— то, что она является четной функцией частоты. Таким образом, спектральная плотность любого (реального) процесса независимо от его физической природы является четной функцией. Вид функционала в выражении (2.31) часто представляют как одностороннюю спектральную плотность Хт(0 в отличие от двусторонней формы, в которой отсутствует множитель 2 с правой стороны. В последнем случае в качестве компенсации нижний нулевой предел в интегралах по частоте, как, например, в равенстве (2.30), следует заменить на —оо. Добавим, что включение отрицательной области частот в данном контексте не должно приводить к концептуальным затруднениям в отношении смысла отрицательной частоты: так как S%((o)—— четная функция частоты, то на частотах меньше нуля не вно- ，сится никакой новой информации; это лишь средство убедиться, что корректирующий масштабный множитель стоит там, где ；нужно.

Спектральная плотность стационарного процесса однозначно связана с автокорреляционной функцией этого процесса. Вид соотношения находят из равенства (2.28), деля обе части на Г, усредняя по ансамблю и записывая в пределе при 7f оо

8ОО

Jim ； J %т (%+т) хт (0 成=Jm ^- J 2 且季叨 3 cos ends,(2.32)

—ООо

где для интеграла в правой части возможна запись в односторонней форме, потому что |^(/(0)|2 — четная функция частоты. “Левая часть этого выражения — автокорреляционная функция

ф7(тУ процесса1). Меняя местами в правой части предел и интегрирование и учитывая определение (2.31), получаем

(2.33а>(2.33а>

(2.33а>

(2.33а>

Это формула преобразования Фурье, обратное соотношение для5 которого можно получить непосредственно по аналогии с интегралом обращения (2.10)

S* ®) = 4S* ®) = 4『冠(т) cosstdt. о『冠(т) cosstdt. о(2.33б>(2.33б>

S* ®) = 4

S* ®) = 4

『冠(т) cosstdt. о

『冠(т) cosstdt. о

(2.33б>

(2.33б>

Выражения (2.33) составляют теорему Винера — Хинчина, названную так в честь работ Винера [23] и Хинчина [10].

Теорема Винера — Хинчина — важный аналитический инструмент. В качестве примера ее применения рассмотрим релаксационный процесс. Такие процессы часто встречаются в устройствах на твердом теле; они описываются экспоненциально убывающей автокорреляционной функцией

% СО = Тх (°) ехр(—|т |/q),(2.34>

где 山(0) —дисперсия процесса, мула обратного преобразования ную плотность процесса в видегде 山(0) —дисперсия процесса, мула обратного преобразования ную плотность процесса в видеa ri — константа распада. Фор- (2.336) тотчас дает спектраль-a ri — константа распада. Фор- (2.336) тотчас дает спектраль-

где 山(0) —дисперсия процесса, мула обратного преобразования ную плотность процесса в виде

где 山(0) —дисперсия процесса, мула обратного преобразования ную плотность процесса в виде

a ri — константа распада. Фор- (2.336) тотчас дает спектраль-

a ri — константа распада. Фор- (2.336) тотчас дает спектраль-

*^У = 4% (0) G/(l +炉工/).*^У = 4% (0) G/(l +炉工/).(2.35>(2.35>

*^У = 4% (0) G/(l +炉工/).

*^У = 4% (0) G/(l +炉工/).

(2.35>

(2.35>

Таким образом, спектр релаксационного процесса равномерен,_ когда(0《1儿，убывает как 1/о)2, когда(0》1/口，и при о)=1/у имеет половинную интенсивность.

Конечно, не все шумовые процессы относятся к релаксационному типу. Из процессов нерелаксационного типа примечателен l/f-шум, который имеет место в большинстве электронных приборов и в ряде других систем. Его спектральная плотность изменяется как* |f|-а, где а обычно находится между 0,8 и 1,2. Эту зависимость наблюдали в широком диапазоне частот, ограниченном сверху джонсоновским шумом, а снизу — временем наблюдения, принятым в эксперименте. Несмотря на повсеместность распространения этого шума и большой интерес к нему в- течение последних приблизительно пятидесяти лет после того,

D Усредненная по ансамблю автокорреляционная функция стационарного процесса равна автокорреляционной функции любой из составляющих, функций ансамбля.

как стало известным это явление, вполне удовлетворительной теории l/f-шума до сих пор не появилось.

Может быть, стоит добавить, что форму спектра l/f-шума часто приближенно описывают выражением 尸6, где а』. Почти всегда это (строго говоря, неточное) представление пони- :мают как зависимость \f\~a, которая, конечно, является четной функцией частоты независимо от значения а, как и любая спектральная плотность. Зависимость же f~a при а= 1—нечетная функция частоты, а при дробном а это вообще не действительная функция, а бесконечное множество комплексных функций. Очевидно, такая функция не может быть спектральной плотностью. Чтобы избежать возможных недоразумений, повторим, что спектральная плотность l/f-шума в наблюдаемом „диапазоне частот имеет вид зависимости |f|~а, которая является четной функцией частоты и как таковая соответствует определению функции спектральной плотности (2.31).

Последовательности случайных импульсов

Случайный шум часто происходит от большого числа независимых дискретных《событий》. Каждое событие производит импульс данной формы, и случайная суперпозиция всех таких •импульсов составляет форму шумового сигнала. Такой сигнал называют последовательностью случайных импульсов. Как по- • следовательности случайных импульсов можно рассматривать дробовой шум и тепловой шум, а также много других процессов в электронных и других устройствах. Подобным образом, например, можно представить генерационно-рекомбинационный шум, выпадение осадков и вызванный ветром акустический ‘шум в океане.

Если f (/) —функция, описывающая форму импульса, то фор- .ма шумового сигнала является суперпозицией^:

к

%«) = »/(/—幻，(2.36)

兑=i

где ak — амплитуда ^-го импульса;窥—момент времени, в который происходит 左-е событие; К — число импульсов в последовательности протяженностью Т и по условию причинности 力(£)=0 для fV0・ Статистические характеристики процесса (2.36) получают при условии, что ряд сходится и что функция

D Здесь для краткости можно опустить обозначение шумовых процессов t нижним индексом 7, показывающим, что время наблюдения конечно.

формы определена для времени, много меньшего времени наблюдения Т.

Так как события независимы, величины tk распределены по закону Пуассона с функцией плотности вероятности, равной 1/Т. (Распределение Пуассона обсуждается в приложении 1.) Таким образом, математическое ожидание процесса есть функция 帝=北jf⑴力，(2.37)

где v= lim (左/7) —среднее число событий в секунду и а — сред- ОО

нее значение амплитуды 〃3). Выражение (2.37) иногда называют теоремой Кемпбелла о среднем. Из этой теоремы ясно, что если амплитуды симметрично распределены относительно нуля, то среднее значение процесса равно нулю.

Фурье-преобразование для %(/) имеет вид кк

X (初)=£ [ak exp (―抄九)尸(До)]-尸(放)£ ak exp (—До%). (2.38)

Теперь, согласно определению (2.31), спектральная плотность %«) является функцией

Sx (со) = lim ・"W 产 £ 鉄0m exp [―До (& — *)], (2.39) где номинальный индекс суммирования m позволяет включить в двойную сумму смешанные члены. Сумму в выражении (2.39) можно представить в виде суммы членов с k = m плюс двойная сумма членов с й^т, что дает возможность записать спектральную плотность в виде

U=i

+ е‘ a/Anexp [一初(厶一/前卜(2.40)

где штрих означает суммирование при k^m. Так как ak и ат независимы для всех %=^т (т. е. попарно независимы), а。々 не зависит от f® то произведение Okam можно вынести за сумму со штрихом и положить равным а2. Таким образом, для симмет-

D Предполагаем, что функция плотности вероятности, соответствующая распределению ak в ансамбле, не зависит от 左.

ричного распределения ak относительно нуля слагаемое со штрихом равно нулю и спектральная плотность имеет вид

5^ = 2而1尸（河产,5^ = 2而1尸（河产,(2.41)(2.41)

5^ = 2而1尸（河产,

5^ = 2而1尸（河产,

(2.41)

(2.41)

где а2 — значение среднего квадрата для а^ Выражение (2.41) представляет собой запись теоремы Карсона [18].

Для более общего случая несимметричного распределения ak относительно нуля в выражении для спектральной плотности появляется добавочный член, соответствующий уровню постоянного тока. Этот дополнительный член выводится из отмеченной штрихом суммы в выражении (2.40). В итоге имеем результат в общем виде:

S^j=2v^I 尸(До) |2十4冗価2 б(з)(2.42)

Член, содержащий дельта-функцию, получают, вычисляя ехр (—jstQ с использованием при этом функции плотности вероятности Пуассона 1/Т, затем устанавливая тождественность

между 尸(0) и /f(f)d£ и, наконец, заменяя Игл 2 sin2 ((оТ/2) 1(^Т

—ООТ ТОО

на пб (со)】).

Теперь можно применить теорему Винера — Хинчина к S*((o) в выражении (2.42), чтобы получить автокорреляционную функцию последовательности случайных импульсов. Применяя интеграл обращения в выражении (2.336), имеем

% ⑺="^" JIF 0s) Г cos ends+2% 呼 J 6 (co) cos ends =% ⑺="^" JIF 0s) Г cos ends+2% 呼 J 6 (co) cos ends =оо00

% ⑺="^" JIF 0s) Г cos ends+2% 呼 J 6 (co) cos ends =

% ⑺="^" JIF 0s) Г cos ends+2% 呼 J 6 (co) cos ends =

о

о

0

0

- oo

=~§^ JI 尸(M) I2 cos ond(o+7^2(2.43)

По теореме Парсеваля [соотношение (2.26)] интегралы в этом выражении можно заменить на интегралы по времени, что приводит к альтернативному представлению

(2.44)(2.44)

(2.44)

(2.44)

Когда т = 0, автокорреляционная функция равна значению среднего квадрата и, следовательно, из выражения в общем

D Функция sin2 (Nt)/nNt2 служит еще одним примером функции g“(t)» которая удовлетворяет условию (2.7), т. е. обладает свойствами дельта* функции в приближении больших М

виде (2.44) получаем

fF⑦—До2] = v『j产⑺阳fF⑦—До2] = v『j产⑺阳(2.45)(2.45)

fF⑦—До2] = v『j产⑺阳

fF⑦—До2] = v『j产⑺阳

(2.45)

(2.45)

что является записью теоремы Кемпбелла о среднем квадрате. Теоремы, названные его именем, подробно рассматривались в литературе в работах самого Кемпбелла [5], а также некоторых других авторов, в том числе Роланда [19] и Кемпбелла и

Рис. 2.3. Односторонняя спектральная плотность мощности (а) и автокорреляционная функция импульсного процесса (6).Рис. 2.3. Односторонняя спектральная плотность мощности (а) и автокорреляционная функция импульсного процесса (6).

Рис. 2.3. Односторонняя спектральная плотность мощности (а) и автокорреляционная функция импульсного процесса (6).

Рис. 2.3. Односторонняя спектральная плотность мощности (а) и автокорреляционная функция импульсного процесса (6).

•Фрэнсиса [6]. Райс [18] обобщил теорему о среднем квадрате, включив средние n-го порядка.

Когда функция формы является дельта-функцией, преобразование 尸(j(o) равно единице и последовательность случайных импульсов называют импульсным процессом. Из формулы (2.42) получаем спектральную плотность такого процесса

(2.46)(2.46)S% (со) = 2 vd+4лх (f)2 S (со),

(2.46)

(2.46)

и выражение (2.43) дает автокорреляционную функцию в виде

% “) = V及 J cos(ord(d+% (f)2 =向 3 (т) +% ©2,(2.47)

где интеграл заменили дельта-функцией согласно соотношению Фурье (2.18а). Выражения (2.46) и (2.47) иллюстрируются на рис. 2.3. Заметим появление дельта-функции в источнике в обоих случаях: спектральной плотности и автокорреляционной функции. В последнем случае имеется некоторое осложнение, а именно значение среднего квадрата импульсного процесса

не определено1) в соответствии с равномерным распределением спектральной плотности по бесконечно широкому частотному диапазону. Конечно, функции формы сигналов, встречающихся в физической реальности, никогда не бывают чисто импульсными. Какими бы узкими они ни были, они всегда имеют конечную ширину. Вследствие этого спектральная плотность последовательности импульсов резко уменьшается на частотах выше частоты, обратной ширине импульса, и дельта-функция в источнике в автокорреляционной функции исчезает; таким образом〉 значение среднего квадрата становится конечным, и противоречие устраняется.

Простой дробовой шум

Случайная эмиссия электронов из катода термоэлектронного диода приводит к возникновению тока во внешнем контуре, который можно представить как последовательность случайных импульсов. Во время пролета к аноду электрона, эмитированного катодом, появляется импульс тока смещения и сумма всех таких импульсов дает полный ток. По аналогии с шумом мелкой дроби, сыплющейся в контейнер, флуктуации тока диода называют «дробовым шумом» [20]. Простой дробовой шум — это флуктуации тока, вызываемые электронами, которые эмитируются случайно и независимо друг от друга, не взаимодействуя между собой во время пролета к аноду.

Если предположить, что время пролета бесконечно мало, то каждый элементарный импульс можно представить как импульс, площадь которого равна электронному заряду. Тогда ток в схеме в любой момент времени является импульсным процессом

к

"/) = 一9e6(方一编， (2.48) 万=1

где q — величина электронного заряда; tk — момент времени, когда ^-й электрон эмитируется катодом, а К — полное число импульсов в импульсной последовательности с длительностью Т. Линейная суперпозиция в выражении (2.48) является частным случаем выражения (2.36) для последовательности случайных импульсов, если функция формы есть дельта-функция.

D Отсюда следует, что теорема Кемпбелла о среднем квадрате для импульсного процесса неверна.

Согласно теореме Кемпбелла о среднем, получаем уровень постоянного тока дробового шума

—/ = i(t) = —qv, (2.49) где V — средняя скорость эмиссии из катода. Знаки здесь поставлены так, чтобы величина /, соответствующая величине среднего тока, была положительна. Так как i(t)—импульсный процесс, нельзя применить теорему Кемпбелла о среднем квадрате; однако можно найти автокорреляционную функцию из выражения (2.47)

^у=〃5 ⑴+ R (2.50)

и спектральную плотность из выражения (2.46)

审研=2〃十 4л/26 (со). (2.51)

Появляющееся здесь выражение 2〃，описывающее спектральную плотность дробового шума на положительных частотах, служит характеристикой простых дробовых шумовых процессов вообще и встретится еще раз в связи с флуктуациями тока в приборах на р—п-переходе.

В любом физическом приборе с дробовым шумом наблюдается определенная степень расширения импульса. Например, время пролета в термоэлектронном диоде мало, но тем не менее не нулевое, что приводит к импульсам конечной ширины. Тогда, как было показано в разд. 2.6, ни спектральная плотность больше не является равномерной при бесконечно высоких частотах, ни автокорреляционная функция не имеет в нуле дельта-функции, а вместо нее имеется конечное значение среднего квадрата.

Если в последовательности импульсов имеется некоторая степень корреляции между импульсами тока, наблюдается отклонение от простого дробового шума. Это может происходить, например, в вакуумном диоде в результате взаимодействия между электронами во время пролета. Это вызывает сглаживание пространственного заряда и уменьшение шума.

Тепловой шум

У резистора, который находится в тепловом равновесии со своим окружением, на концах появляются флуктуации либо напряжения (при разомкнутом контуре), либо тока (при короткозамкнутом контуре). Этот шум впервые наблюдал Джонсон [9] и поэтому его обычно называют шумом Джонсона или тепловым шумом. Это явление аналогично броуновскому движе-

нию, статистические свойства которого были описаны Эйнштейном [8] за двадцать лет до исследований Джонсона. Анализ Эйнштейна основан на модели случайного блуждания и показывает, что средний квадрат перемещения броуновской частицы пропорционален времени наблюдения0.

Электроны в резисторе обладают тепловой энергией и передвигаются в материале случайным образом, испытывая в процессе движения соударения с атомами кристалла. Случайные движения вызывают тепловой шум. Флуктуации можно истолковать как результат очень большого числа независимых случайных «событий». Каждое событие состоит из начальной стадии, когда происходит отклонение от состояния равновесия, и из релаксации к этому состоянию. Начальная стадия — это пробег электрона между столкновениями, который порождает неравновесное распределение заряда в резистивном материале, а релаксация — это последующее изменение заряда, восстанавливающее состояние равновесия. Явления, происходящие в событии, приводят к возникновению импульса тока или напряжения на клеммах, и суперпозиция всех таких импульсов есть флуктуация теплового шума. В соответствии с этой моделью тепловой шум является еще одним примером последовательности случайных импульсов.

Описание отдельного электронного события, данное выше, неточно отражает микроскопическое поведение электрона в резистивном материале, но при усреднении по большому числу таких событий получают точные статистические характеристики шумовых процессов на выходе. Более того, идея начальной стадии, сменяющейся релаксацией, помогает в понимании роли тепловых флуктуаций в диссипативной системе: они поддерживают тепловое равновесие системы, гарантируя в среднем возвращение к этому состоянию при любом отклонении от него.

Статистические характеристики шума Джонсона можно получить из одномерной модели резистора площадью поперечного сечения А и длиной L. Прежде всего для этого нужно знать форму импульса (или ее фурье-преобразование) на клеммах в результате единичного события, состоящего из пробега электрона между столкновениями длины “ и последующей релаксации заряда. Теперь начальную стадию можно наглядно представить как мгновенное появление двух заряженных плоскостей с плотностью заряда ±q/A на расстоянии ". Если предположить, что концы резистора разомкнуты, получим, что за-

d Таким образом, перемещение броуновской частицы, аналогичное флуктуациям заряда в резисторе,——нестационарный процесс (см. разд. 2.10). Флуктуации скорости, аналогичной току в резисторе, статистически стационарны.

ряд тогда должен спадать вследствие обратного потока между заряженными пластинами. Эквивалентная схема для модели события показана на рис. 2.4, где Rf и & — соответственно сопротивление и емкость области между заряженными пластинами; R=^fL/lf — объемное сопротивление прибора, а генератор тока gb (方)представляет начальную стадию.

/?♦f(ZZ0• Л/?♦f(ZZ0• Л

/?

♦f(ZZ0• Л

/?

♦f(ZZ0• Л

•/

Рис. 2.4. Эквивалентная схема единичного «события» в резисторе с клеммами А—А.

В терминах импульса напряжения vn(t) на клеммах в результате единичного события уравнение движения по рис. 2.4 имеет вид [4] О

С包方"=一鼻Q +聪(/),(2.52)

где C=Cflf/L. Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.52), находим, что преобразование импульса напряжения описывается выражением

1 +，叫

где q = RC = pe — время диэлектрической релаксацищ р—« удельное сопротивление и е — относительная проницаемость материала. В электронике, как правило, q чрезвычайно мало порядка пикосекунд.

Выражение (2.53)—это фурье-преобразование импульса напряжения на клеммах, возникающего в результате единично-

1)Это уравнение аналогично уравнению Ланжевена [12] для движения броуновской частицы, которое учитывает как инерциальную, так и диссипативную (вязкую) силы, действующие на частицы. Нововведением Ланжевена было предположение о том, что внешнее воздействие можно разделить на среднюю силу вязкости и очень резко изменяющуюся силу, связанную с частыми молекулярными соударениями, испытываемыми частицей. Глубокое причинное обоснование доказательства Ланжевена дано Чандрасекаром [7]. Уленбек и Орнштейн [22] показывают из решения уравнения Ланжевена, что и скорость, и перемещение броуновской частицы имеют гауссовские функции распределения.

го события в резисторе. Его обратное преобразование, функция формы импульса, представляет собой спадающую экспоненту с постоянной времени, равной q. Так как вероятности обнаружить положительные и отрицательные значения If равны, среднее значение флуктуаций на клеммах равно нулю. Если в выражении (2.41) для теоремы Карсона величину F(/(o) приравнять величине g(R/L)/(l + jona) из формулы (2.53), то получим спектральную плотность флуктуаций напряжения на клеммах

咨Q.54)

где V — среднее число событий в секунду внутри объема резистора. Теперь, если п — плотность электронов в материале и tf — среднее время свободного пробега между соударениями, то

V = nAL/Xf.(2.55)

Этот результат вытекает из дополнительной теоремы для распределения Пуассона (приложение 3). Мы также имеем, что

R = L/(〃q 也4),(2.56)

где к — подвижность. Подробное рассмотрение на основе представлений статистической механики, приведенное в приложении 3, показывает, что подвижность можно выразить как

卩=呼/(2号砌，(2.57)

где k — константа Больцмана, а 0 — абсолютная температура. Объединяя выражения (2.54) — (2.57), получают спектральную плотность флуктуаций напряжения разомкнутого контура

笈阿=不霁*，(2・58)

а из простого преобразования схемы следует, что спектральная плотность флуктуаций тока в короткозамкнутом контуре равна

Sin(з)=Sin(з)=4 左 e/R1 + сЛ]2 •4 左 e/R1 + сЛ]2 •(2.59)(2.59)

Sin(з)=

Sin(з)=

4 左 e/R

1 + сЛ]2 •

4 左 e/R

1 + сЛ]2 •

(2.59)

(2.59)

Для всех частот, представляющих практический интерес, член GA/ пренебрежимо мал. Два выражения (2.58) и (2.59) в таком случае переходят в 4々。丸 и 4^8/R соответственно, т. е. имеем классические формулы, полученные впервые Найквистом [16] на основе второго закона термодинамики и предпосылки о равномерном распределении энергии между резистивными элементами в равновесии. Эти две формулы, известные под названием теоремы Найквиста, рассматриваются в дальнейшем в приложении 2.

Автокорреляционные функции флуктуаций напряжения и тока теплового шума следуют непосредственно из формул (2.58) и (2.59), если применить теорему Винера — Хинчина. Например, автокорреляционная функция флуктуаций напряжения описывается формулой

= 陪f悭鬻戸加=但钦％)exp(T t k)・(2・60) b

Экспоненциальный вид этого выражения характерен для процесса релаксации. Значение среднего квадрата, получаемое из выражения (2.60), есть величина kBR/x^ которая становится бесконечно большой, если время релаксации становится бесконечно малым. В этом приближении тепловой шум является импульсным процессом. 。

Говорят, что диссипативные системы необратимы^, по крайней мере для времен, больших времен релаксации. Эйнштейн установил, что при сохранении состояния равновесия такие си” стемы обычно становятся источниками случайных флуктуаций в некотором присущем им параметре. Таким образом, тепловой шум — это внутренне присущее и неустранимое свойство резистивных материалов и часто принципиально является тем пределом, ниже которого нельзя ослабить шумы в электронном приборе.

Нестационарные процессы

Как мы видели в разд. 2.5, автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного стохастического процесса определены в терминах средних по ансамблю, взятых в пределе, когда время наблюдения Т стремится к бесконечности. При стационарном процессе эти пределы сходятся к определенным конечным значениям.

Однако, если процесс нестационарный, понятие средней мощности, взятой в пределе при Г->оо, теряет смысл, потому что, вообще говоря, этот предел не существует. Это не означа-

D Система, например ансамбль электронов в резисторе, может быть описана в обозначениях координат момента и положения в фазовом пространстве. Каждой точке соответствует момент и положение всех частиц в ансамбле. Если при внесении энергии извне система выводится из положения равновесия, то она переходит в новую область в фазовом пространстве, но затем возвращается, т. е. релаксирует к состоянию равновесия, в область, которую она первоначально занимала. Вероятность, что она затем спонтанно вернется к своим предыдущим неравновесным координатам, пренебрежимо мала. Именно это имеют в виду, когда говорят, что система необратима.

ет, что нестационарный процесс нельзя описать в терминах автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности; это лишь означает, что данные величины должны определяться надлежащим образом.

Фактически необходимый в нестационарном случае математический подход совпадает с тем, который применяется для стационарных процессов, за исключением того, что время наблюдения в нестационарном случае остается конечным, а не стремится к бесконечности. Ординаты процесса вне интервала наблюдения считают равными нулю. Понятие усреднения по ансамблю используется, как и раньше, в предположении, что все составляющие функции ансамбля имеют одинаковые вероятностные характеристики. Теорема Винера — Хинчина, представленная формулами (2.33), также применима, но теперь пределы интегрирования по т конечны и обе функции,屮*(七)и Sx((o), зависят от времени наблюдения Т [11].

Одно свойство нестационарных процессов особенно интересно. Оно связано с автокорреляционной функцией, усредненной по ансамблю, которая определяется по аналогии со стационарным случаем как

% (О = 4" j х(/4-т)х(0 dt. (2.61) о

Конечные пределы интегрирования появились вследствие предположения, что %(方)равно нулю вне интервала наблюдения [О, Т]. Подынтегральное выражение в формуле (2.61) есть функция ковариации процесса 无⑺.Если бы процесс х(/) был стационарным, функция ковариации не зависела бы от 力 и, следовательно, в пределе при Tf 8 была бы равна автокорреляционной функции. Но при нестационарном x(t) функция ковариации не является независимой от t и не равна автокорреля- ционной функции. Это наглядное подтверждение неприменимости эргодической теоремы в случае нестационарных процессов.

Процесс Винера — Леви

Известен частный вид нестационарного процесса под названием процесса Винера — Лёви. Это предельный вид случайного блуждания в приближении, когда время между последовательными шагами стремится к нулю. Примером такого процесса служит перемещение частицы, участвующей в броуновском движении. Эту задачу рассматривал Эйнштейн методами классического анализа и получил средний квадрат перемеще-

ния частицы. Затем он пошел дальше и показал, что диффузия и броуновское движение — по существу одно и то же явление, поскольку они возникают вследствие быстрого молекулярного движения.

Процессом, аналогичным перемещению броуновской частицы, можно считать флуктуации заряда из-за тепловой энергии электронов, переносимой по внешнему контуру резистора. Флуктуации заряда q(f) можно выразить в виде интеграла по (конечному) интервалу [0, /] тока тепловых шумов

t

g(/) = J “片)成(2.62) о

Эта формула дает альтернативное определение процесса Винера—Лёви: это интеграл стационарного процесса, имеющего равномерную, или 《белую》, спектральную плотность. Хотя интегралы стационарных процессов нестационарны, они тем не менее являются небольшим классом процессов и не представляют нестационарные процессы в целом.

Значение среднего квадрата флуктуаций заряда получают на основе простой операции. Снова рассмотрим одномерную модель резистора, описанную в разд. 2.8. Начальная стадия, состоящая из перемещения электрона по пути свободного пролета /f между столкновениями, /вызывает во внешнем контуре пе・ ренос заряда, равного q ("/£). Если в момент времени £ имеется m независимых событий, то значение среднего квадрата флуктуаций заряда имеет вид

q2 (/) = mqV/lD = v^^2, (2.63) где у — средняя скорость событий и считается, что m=vt. Из формул (2.55) — (2.57) следует, что

而= 2(/Ю/А)/. (2.64)

Появление времени / в этом выражении подтверждает, что флуктуации заряда действительно нестационарны. Выражение (2.64) было впервые выведено Эйнштейном.

Сейчас нас интересуют ковариация, автокорреляционная функция и спектральная плотность флуктуаций заряда g(f)・ Сначала вычисляют ковариацию, затем используют выражение (2.61) для определения автокорреляционной функции, а из нее получают спектральную плотность, используя теорему Винера — Хинчина. Эта процедура, в которой различие между функцией ковариации и автокорреляционной функцией не только подчеркивается, но и используется в вычислении спектральной плотности, применима к нестационарным процессам вообще.

Так как 夕(/)——кумулятивный процесс, можно написать

g (屮)=9 (/)+?(/，т)，g (屮)=9 (/)+?(/，т)，(2.65)(2.65)

g (屮)=9 (/)+?(/，т)，

g (屮)=9 (/)+?(/，т)，

(2.65)

(2.65)

где 2(力 т)——вклад в флуктуации заряда за время между t и (/+т). Так как время корреляции добавочных флуктуаций в процессе Винера — Лёви нулевое, два процесса справа в равенстве (2.65) некоррелированы. Отсюда следует, что функция ковариации имеет вид

9(+)两=可7母 (2.66)

Согласно этому, функция ковариации процесса Винера — Лёви не зависит от времени задержки t и равна значению среднего

Рис. 2.5. Нормированная автокорреляционная функция (а) и нормированная (односторонняя) спектральная плотность флуктуаций заряда в резисторе (6).Рис. 2.5. Нормированная автокорреляционная функция (а) и нормированная (односторонняя) спектральная плотность флуктуаций заряда в резисторе (6).

Рис. 2.5. Нормированная автокорреляционная функция (а) и нормированная (односторонняя) спектральная плотность флуктуаций заряда в резисторе (6).

Рис. 2.5. Нормированная автокорреляционная функция (а) и нормированная (односторонняя) спектральная плотность флуктуаций заряда в резисторе (6).

квадрата. Таким образом, функция ковариации флуктуаций заряда имеет вид

g«+t)q ⑴=2々仇/R.g«+t)q ⑴=2々仇/R.(2.67)(2.67)

g«+t)q ⑴=2々仇/R.

g«+t)q ⑴=2々仇/R.

(2.67)

(2.67)

Теперь можно получить автокорреляционную функцию для g(f) из выражения (2.61)

^^=^ j 岑加/=餐(1 一屮｝ "I《7, (2.68) о

где Т — время наблюдения процесса q(t). Когда здесь не выполняется неравенство, автокорреляционная функция равна нулю. На рис. 2.5, а показана ^q(т, Т), нормированная на (р«(0, Т), в зависимости от т/Т.

Выражения (2.67) и (2.68) позволяют провести интересное сравнение: в то время как ковариация не зависит от задержки,

автокорреляция явно зависит от т, причем таким образом, что «время корреляции» процесса пропорционально времени наблюдения Т. На первый взгляд, этот результат кажется странным, но его можно понять, если учесть кумулятивный характер процесса; ибо при фиксированном t соответствующая общность между q{t+x) и q(t) в среднем по интервалу [О, Т] возрастает при увеличении времени наблюдения.

Теперь из выражения (2.68) по теореме Винера — Хинчина можно найти спектральную плотность для g(f). Соответствующий интеграл обращения по формуле (2.336) имеет вид

Sq (о), Т) = 4 I % (т, Т) cos(ordr,(2.69)

о

что совместно с выражением (2.68) дает

(2.70)

Эта функция, нормированная к своему значению на нулевой частоте, изображена на рис. 2.5,6 в зависимости от зТ.

Когда зТ》1, второй член в квадратных скобках в выражении (2.70) пренебрежимо мал и спектральная плотность изменяется как 3一2 в соответствии со спектром процесса случайного блуждания, полученного Беллом [2] с использованием метода квадратных разностей. Когда зТ/1, вырезающее влияние интервала наблюдения изменяет форму спектра, которая в этой области более или менее плоская. Таким образом, оставляя конечным время наблюдения, избегаем тем самым концептуального противоречия с бесконечной энергией на нулевой частоте («инфракрасная» катастрофа), с которой мы встретились бы, если в выражении (2.70) взяли Т бесконечно большим. Так как измерения всегда проводятся в течение конечного времени, это исследование процесса Винера ——Лёви должно казаться более реалистичным, чем любой хитроумный способ, в котором допускается, что время наблюдения (в явном или неявном виде) стремится к бесконечности.

Функция Макдональда

Ковариация нестационарного кумулятивного процесса g(f), определенного в выражении (2.62), может быть выражена в терминах спектральной плотности стационарного процесса i(f). Это верно, даже если д(^) не является процессом Винера — Лё-

ви. Имеется соотношение

g(f)q(f+t)=亲『^^оg(f)q(f+t)=亲『^^о[1 + cos сот — cos cof —[1 + cos сот — cos cof ——coss(/ + |t |)]ds,—coss(/ + |t |)]ds,(2.71>(2.71>

g(f)q(f+t)=亲『^^о

g(f)q(f+t)=亲『^^о

[1 + cos сот — cos cof —

[1 + cos сот — cos cof —

—coss(/ + |t |)]ds,

—coss(/ + |t |)]ds,

(2.71>

(2.71>

где S/(3)—спектральная плотность i(f). Выражение (2.71) получается, если записать ковариацию в виде

g(f) 9(+) = f f i (/') i(f〃) dt'dt"=

6 о ^+It|

=[f 恥(/ — /〃)#山〃,(2.72)

b b

где ф/(^——f〃)——автокорреляционная функция флуктуаций тока. Применяя теорему Винера — Хинчина, ср» (У—『')записывают в обозначениях интеграла обращения по частоте, содержащего S,(3)в подынтегральном выражении. Изменяя порядок интегрирования и интегрируя по У и f〃，получают выражение (2.71).

Когда т=0, формула (2.71) переходит в выражение

(2.73)(2.73)‘2 &)= ｝『£患"(1—cos 峭 do,о

(2.73)

(2.73)

которое впервые было получено Макдональдом [14]. В случае процесса Винера — Лёви 5< (со) не зависит от частоты и может быть вынесена за знак интеграла в выражениях (2.71) и (2.73). Производя интегрирование1), получаем подтверждение равенства (2.66). В результате имеем

9(f) 9(+)=而=/瓦西/2 = 2々例/R, (2.74)

где вместо Si (со) подставили выражение Найквиста. Это результат Эйнштейна, записанный также в выражениях (2.64) и (2.67), хотя и получен другим путем.

D Эти интегралы можно вычислить, подставляя вместо со2 в знаменателе подынтегрального выражения (со^+а?) и затем используя тождество / cosш//((о2+а2)с?ш= (л/2|а|)ехр(——|а/|), чтобы получить выражение для каждого слагаемого. Значение всего интеграла затем вычисляют как предел при 0fo.

Выражение (2.71) дает регулярный способ вычисления ковариации процесса случайного блуждания, независимо от формы спектра стационарного процесса, для которого ее выводили. Тогда можно, как показано выше для частного случая процесса Винера — Лёви, получить автокорреляционную функцию и спектральную плотность нестационарных флуктуаций. Иным образом, S‘(co, Т) можно выразить как интеграл, включающий S,(3) в основную формулу, сходную с выражением (2.71) для ковариации. Однако этот способ содержит громоздкие алгебраические преобразования и поэтому не очень эффективен.

Взаимная корреляция, взаимные спектры и когерентность

Статистические характеристики второго порядка двух стационарных процессов, х(/) и у«), описываются в терминах функции взаимной корреляции и взаимной спектральной плотности, определенных по аналогии с автокорреляционной функцией и спектральной плотностью единичного стационарного процесса. Таким образом, функция взаимной корреляции имеет вид

Ф冲⑺=」吧(/+T)У (0或，(2.75)

一力2

а взаимная спектральная плотность — вид

5^W=lim [2Х(До) У* (/з)/Т],(2.76)

Т —>оо

где Х(/со) и У (До)——фурье-преобразования x(t) и у (/) соответственно. Из выражения (2.75) следует, что

%р(т) = %к(—т)，(2・77)

а из выражения (2.76)—

sxy (^) = S*冲(一co) = S^ (―⑴)=S*” (з)・(278)

В этих равенствах подразумевается, что %«) и y(t) описывают реальные процессы. Заметим, что взаимная спектральная плотность—величина комплексная, с действительной и мнимой частями, которые могут принимать отрицательные значения и вследствие симметричности соотношений (2.78), очевидно, являются четной и нечетной функциями со соответственно.

Функция взаимной корреляции и взаимная спектральная плотность являются партнерами по преобразованию Фурье и

связаны через пару интегралов обращения, подобных интегралам в теореме Винера — Хинчина. Исходя из записи теоремы Парсеваля и проводя преобразования, аналогичные тем, которые приводят к интегралам Винера — Хинчина, находим выражения

中冲⑴=亲 j S冲(з) exp (/сот)血.(2.79)

^ху (з) = 2^ху (з) = 2(2.80)(2.80)

^ху (з) = 2

^ху (з) = 2

(2.80)

(2.80)

которые иногда считают обобщенной теоремой Винера — Хинчина. Двусторонняя форма записи интегралов используется здесь для краткости. Такая форма не содержит концептуальной трудности (или практической, связанной с измерением) в отношении отрицательных частот, так как симметричность взаимной спектральной плотности, описываемой равенствами (2.78), позволяет правую часть выражения (2.79) записать в виде синус- и косинус-преобразований Фурье, где интегралы берутся только по положительным частотам.

Нормированная взаимная спектральная плотность определяется как

兀八砌= ^I/[^r^ ^Л^№， (2-81)

где S%*(3) и Syy(co)—спектральные плотности %(方)и у(力)соответственно. Величина 1\〃з) выражает взаимную когерентность между двумя сигналами, и поэтому ее часто называют функцией когерентности. Из неравенства Коши — Шварца следует, что I Гху\ спадает на интервале [0, 1] и что действительная и мнимая части спадают на интервале [—1, 1]. Функция когерентности подчиняется тем же соотношениям симметрии, что и Sx〃co) [выражения (2.78)], но следует отметить, что это эрмитиан, удовлетворяющий условию Гху (со) =Г%х(со).

Линейные системы

Два стационарных процесса x(t) и у«) часто можно рассматривать как вход и выход линейной системы. Система может быть, например, измерительным прибором, используемым для наблюдения шумового процесса. Такая система, в которой вы-

полняется принцип суперпозиции, характеризуется функцией импульсного отклика h(t), которая из соображений причинности должна быть равна нулю для 方V0, или системной функцией

(2.82 力(2.82 力"(До) = ^h(t) exp(—/з/)dt,

(2.82 力

(2.82 力

которая является фурье-преобразованием для h(t).

Процесс на выходе системы y(t) есть свертка входного процесса %(/) с функцией импульсного отклика

у (t)=x (/) 0h(t) = ^x(t—a) h (a) da,у (t)=x (/) 0h(t) = ^x(t—a) h (a) da,(2.83>(2.83>

у (t)=x (/) 0h(t) = ^x(t—a) h (a) da,

у (t)=x (/) 0h(t) = ^x(t—a) h (a) da,

(2.83>

(2.83>

который после применения преобразования Фурье имеет вид

У(©) = ХЗ)Н0з).У(©) = ХЗ)Н0з).(2.84>(2.84>

У(©) = ХЗ)Н0з).

У(©) = ХЗ)Н0з).

(2.84>

(2.84>

Теперь можно вывести некоторые соотношения между статистическими величинами, характеризующими входной и выходной шумовые процессы.

Математическое ожидание на выходе описывается формулой

у (/) = J х (/—a)九(a) da = % (/) J 九(a)у (/) = J х (/—a)九(a) da = % (/) J 九(a)da = %(/)"(0).da = %(/)"(0).(2.85}(2.85}

у (/) = J х (/—a)九(a) da = % (/) J 九(a)

у (/) = J х (/—a)九(a) da = % (/) J 九(a)

da = %(/)"(0).

da = %(/)"(0).

(2.85}

(2.85}

есть.есть.(2.86)(2.86)авто-авто-

есть.

есть.

(2.86)

(2.86)

авто-

авто-

Таким образом, постоянный ток на выходе ——это просто постоянный ток на входе, умноженный на коэффициент усиления си-

стемы на нулевой частоте.

Математическое ожидание произведения %(/+т)у(/) среднее

х «+т) У (t) = ^x (%+它)x(t—a) h (a) da =

= J%ga)/i(a) da.

Второй интеграл здесь можно рассматривать как свертку

корреляционной функции входа фХх (т) с функцией импульсного отклика h (—т); так как правая часть выражения (2.86) не зависит от /, левая часть равна функции взаимной корреляции.

<р%〃т). Отсюда следует, что

(2.87}(2.87}屮"(工)=屮”")心左⑴.

(2.87}

(2.87}

Аналогичное рассуждение показывает, что автокорреляционная функция процесса на выходе равна

%№ =屮齡⑺®八")• (2・88)

Это можно увидеть из того, что если на входе линейной системы имеется стационарный процесс, то и на выходе он тоже стационарный.

Взаимную спектральную плотность между входом и выходом получают преобразованием Фурье обеих частей уравнения (2.87). Учитывая интегралы обращения Винера — Хинчина, имеем

S^ = ^J"*(/s), (2.89) и аналогично спектральная плотность процесса на выходе, порученная преобразованием выражения (2.88), имеет вид

S^ = S^)\H^ р. (2.90)

Из определения функции когерентности по формуле (2.81) следует, что для входного и выходного процессов х(/) и у(0

%(3)= "*(抄)/因(初)1. (2.91)

Модуль этого выражения равен единице, что согласуется с фактом существования полной причинной связи между входом и выходом. Если бы система сама производила шум, так что на выходе содержалась бы случайная компонента, флуктуирующая независимо от входа, то модуль функции когерентности был бы меньше единицы.

При наблюдении шумового сигнала измерительный прибор (детектор) всегда имеет ненулевое время отклика, или, что эквивалентно, конечную ширину полосы пропускания. Так как определенные частоты флуктуаций на входе в основном находятся вне полосы пропускания прибора, шумовой сигнал на выходе не будет простым повторением сигнала на входе. Таким образом, измерительный прибор сам влияет на то, что наблюдается на выходе, действуя как фильтр.

Чтобы показать это влияние на конкретном примере, предположим, что системная функция (линейного) измерительного прибора имеет вид

H^^i/ii+j^ (2.92)

где хт — время отклика, и что входные флуктуации представляют собой релаксационный процесс с временем релаксации xXi где Тх<Стт. Таким образом, ширина полосы входного сигнала много больше, чем детектора. Спектральную плотность х(/)

можно записать как

队丽=当/(1+32%2),(2.93)

где So не зависит от частоты, и, следовательно, из уравнения (2.90) получим спектральную плотность сигнала на выходе в виде

呪両 4S°/(1+co2*),(2.94>

где член (1 + со2т2х) аппроксимирован единицей. Теорема Винера—Хинчина дает автокорреляционные функции, соответствующие этим спектральным плотностям, в виде

忆⑴=备 exp (―I т |/%)(2.95)

и

检⑴=磊 exp(-Iu/%).(2.96)

Из этих выражений видно, что, отфильтровывая высокочастотную энергию входного сигнала, детектор увеличивает время корреляции в Xmhx раз и уменьшает значение среднего квадрата в обратное число тж/тт раз.

Пары последовательностей импульсов

Теоремы для автокорреляционной функции и спектральной плотности последовательности случайных импульсов, рассмотренные в разд. 2.6, можно расширить, чтобы получить функцию взаимной корреляции и взаимную спектральную плотность между двумя такими последовательностями при условии, что между импульсами в каждой последовательности существует однозначное соответствие. Предположим, например, что две линейные системы имеют общий вход, состоящий из случайной последовательности импульсов, как показано на рис. 2.6. Если функции импульсного отклика систем 力(力)и %(/), то выходные последовательности импульсов должны описываться выражениями

(2.97}(2.98)(2.97}(2.98)к

(2.97}

(2.98)

(2.97}

(2.98)

%i (9 = Е 〃伉(/—4)，^=i

и

%2 (/)=n"亂

Не считая индексов 1 и 2, в остальном эта запись повторяет форму, приведенную в разд. 2.6. Наличие однозначного соответствия между импульсами в Xi (^) и %2(0 очевидно из вида выражений в формулах (2.97) и (2.98).

'Из доказательства, аналогичного тому, которое приводит к неореме Карсона, следует, что взаимная спектральная плотность между %i(f) и х2(/) имеет вид

瓦泡 =2必尸1 (放)生* (/со),(2.99)

тде V — средняя скорость импульсов;尸i(jco) и 尸2 (До)——фурье-

ВходМММВходМММРис. 2.6. Две линейные системы с функциями импульсного отклика &(/) и %«), с общей последовательностью случайных импульсов на входе и последовательностью когерентных импульсов на выходах.Рис. 2.6. Две линейные системы с функциями импульсного отклика &(/) и %«), с общей последовательностью случайных импульсов на входе и последовательностью когерентных импульсов на выходах.ВыходВыход

Вход

МММ

Вход

МММ

Рис. 2.6. Две линейные системы с функциями импульсного отклика &(/) и %«), с общей последовательностью случайных импульсов на входе и последовательностью когерентных импульсов на выходах.

Рис. 2.6. Две линейные системы с функциями импульсного отклика &(/) и %«), с общей последовательностью случайных импульсов на входе и последовательностью когерентных импульсов на выходах.

Выход

Выход

(2.100)(2.100)

(2.100)

(2.100)

преобразования функций 厶«) и %(/)・ Из интеграла обращения в выражении (2.80) следует, что функция взаимной корреляции описывается формулой

& (Л0)尸2* (/④)ехр (/сот) dco =

Если средние значения обоих процессов ненулевые, то в эти выражения должны быть включены дополнительные члены, аналогичные членам в уравнениях (2.42) и (2.44).

Согласно определению (2.81), функция когерентности между двумя флуктуациями имеет вид

「12 (з)=「12 (з)=尸 1 (fa))尸2* (Ло)I尸1(仰)11尸2 0④)「尸 1 (fa))尸2* (Ло)I尸1(仰)11尸2 0④)「(2.101)(2.101)

「12 (з)=

「12 (з)=

尸 1 (fa))尸2* (Ло)

I尸1(仰)11尸2 0④)「

尸 1 (fa))尸2* (Ло)

I尸1(仰)11尸2 0④)「

(2.101)

(2.101)

Модуль этого выражения равен единице, что можно было ожидать, так как два процесса получены от общего источника и поэтому демонстрируют полную причинную зависимость.

ЛИТЕРАТУРА

D. A. Bell (1955), Distribution function of semiconductor noise, Proc. Phys. Soc. B, 68, 690—691.

D. A. Bell (I960), Electrical Noise, Van Nostrand.

M. Born (1949), Natural Philosophy of Cause and Chance, O. U. P.

M. J. Buckingham, E. A. Faulkner (1974), The theory of inherent noise in p-n junction diodes and bipolar transistors, The Radio and Elect. Eng., 44, 125—140.

N. R. Campbell (1909), The study of discontinuous phenomena, Proc. Camb. Phil. Soc., 15, 117—136; (1910a), Discontinuities in light emission, pt 1, Proc. Camb. Phil. Soc., 15, 310—328; (1910b), Discontinuities in light emission, pt 2, Proc. Camb. Phil. Soc., 15, 513—525; (1939), the fluctuation theorem. (Shot effect), Proc. Camb. Phil. Soc., 35, 127—129.

N. R. Campbell, V. J. Francis (1946), A theory of valve and circuit noise, J. Inst. Elect. Eng., 93, pt III, 45——52.

S. Chandrasekhar (1943), Stochastic problems in physics and astronomy, Rev. Mod. Phys., 15, 1—89.

A. Einstein (1906a), Eine neue bestimmung molekiildimensionen (A new determination of molecular dimensions), Ann. d. Phys., 19, 289—305; (1906b), Zur theories der Brownschen bewegung (Theory of Brownian motion), Ann. d. Phys., 19, 371—379.

J. B. Johnson (1927a), Thermal agitation of electricity in conductors, Nature, 119, 50—51; (1927b), Thermal agitation of electricity in conductors, Phys. Res, 29, 367—368; (1928), Thermal agitation of electricity in conductors, Phys. Rev., 32, 97—109.

A. Khintchine (1934), Korrelationstheorie der stationaren stochastichen pro- zesses, Math. Annalen, 109, 604—615.

D. G. Lampard (1954), Generalization of the Wiener—Khintchine theorem to non-stationary processes, /. Appl. Phys., 25, 802——803.

M. P. Langevin (1908), Sur la theorie du mouvement brownien, Comptes Rend. Acad. Sci. Paris, 146, 530—533.

M. J. Lighthill (1958), An Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge University Press.

D. К. C. MacDonald (1949), Transit-time deterioration of space-charge reduction of shot effect, Phil. Mag., 40, 561—568.

D. Middleton (I960), Introduction to Statistical Communication Theory, McGraw-Hill.

H. Nyquist (1927), Thermal agitation in conductors, Phys. Rev., 29, 614; (1928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys. Rev., 32, 110—113.

A. Papoulis (1965), Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw-Hill; (1968), Systems and Transforms with Applications in Optics, McGraw-Hill.

S. O. Rice (1944), Mathematical analysis of random noise, Bell Syst. Tech. 23, 282—332; (1945), 24, 46—156.

E. N. Rowland (1936), The theory of the mean square variation of a function formed by adding known functions with random phase, and applications to the theories of the shot effect and of light, Proc. Camb. Phil. Soc., 32, 580— 597.

W. Schottky (1918), Uber spontane stromschwankungen in verschiedenen elektrizitatsleitern, Ann. d. Phys. (Leipzig), 57, 541—567.

E. C. Titchmarsh (1937), Introduction to the Theory of Fourier Integrals,

G. E. Uhlenbeck, L. S. Ornstein (1930), On the theory of the Brownian motion, Phys. Rev., 36, 823—841.

N. Wiener (1930), Generalized harmonic analysis, Acta Math., 55, 117—

3

Шумы в линейных схемах

Введение

Электронная схема с собственным шумом (активная или пассивная) может быть представлена как бесшумовая схема с внешними генераторами шума. Эти генераторы шума, в свою очередь, могут быть представлены в виде эквивалентных генераторов теплового шума, и тогда можно говорить об эквивалентном шумовом сопротивлении, или эквивалентной шумовой- проводимости, или об эквивалентной шумовой температуре.

Шумы от устройства с четырьмя клеммами, или четырехполюсника, можно представить в виде двух внешних генераторов, которые, вообще говоря, частично коррелированы. Коэффициент шума (или шум-фактор) —это показатель качества для такой схемы, в котором отражены внутренние шумовые свойства схемы с учетом усиления системы и условий согласования импеданса на входе.

Двухполюсники

Шумящий двухполюсник с импедансом Z(s) =R(co)+/Х((о) изображен на рис. 3.1, а, где величина и (力)(флуктуации напряжения разомкнутой цепи между клеммами А—В) образуется от одного или более внутренних источников шума1). На рис. 3.1, б изображена эквивалентная схема для этого шумящего устройства, полученная по теореме Тевенина [13] и состоящая из бес- шумовой схемы с импедансом Z(s), соединенной последователь-

D Трудно разделить функции частоты (импедансы) и функции времени (генераторы) на эквивалентных схемах шумящих устройств. Импедансы можно было бы заменить соответствующими импульсными функциями отклика, но такое представление мало распространено и неудобно, потому что запись во временной области подразумевает применение интегралов свертки; генераторы шума можно было бы представить их спектральными плотностями, но это приводит к громоздкой записи, мало подходящей для анализа схемы (особенно когда в схеме два или больше частично связанных генераторов). Таким образом, в эквивалентных схемах этой и последующих глав используются смешанные величины, зависящие от времени и частоты, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Двухполюсник с шумом (а), его эквивалентная схема по Тевенину (6) и другая разновидность этой схемы (б).

но с генератором напряжения у (/). Спектральную плотность 〃(/) можно представить в виде

£У=4加凡， (3.1)

где 0 ——абсолютная температура, a Rn — эквивалентное (тепловое) шумовое сопротивление схемы. Если схема линейная и пассивная и содержит только источники теплового шума при температуре 0, то R% = R(co), но в нелинейных цепях или цепях, содержащих источники шума, отличные от источников теплового шума, это равенство может не выполняться.

На рис. 3.1,6 показан другой вариант схемы по Тевенину, изображенной на рис. 3.1,6. В этом эквивалентном представлении шумящая схема показана в виде бесшумовой схемы с полной проводимостью У (о) = 1/Z (со) = G (о) + /В (о), соединенной параллельно с генератором тока i(f). Спектральную плотность i ⑺ можно представить в виде

S^j = 4kQGn, (3.2)

где Gn — эквивалентная (тепловая) шумовая активная проводимость шумящей схемы. Если схема линейная и пассивная и содержит только источники теплового шума при температуре 0, то G〃=G(co) =R/(&2十乂2)； но в нелинейных цепях или цепях, содержащих источники шума, отличные от источников теплового шума, это равенство может не выполняться.

В некоторых задачах, например при исследовании шумов в приборах на горячих электронах, где эквивалентная температура носителей отличается от температуры окружающей среды, может оказаться удобным записывать выражения (3.1) и (3.2)

в иной форме

即研=4舶乐，〃 = R//R,(з.з)

и

Sn^ = 4a”G,^ = Ga/G,(3.4)

где 8" — эквивалентная шумовая температура. Выбор представления в большой степени зависит от физической природы и характеристик шума.

、 В цепях, содержащих источники дробового шума в качестве основных источников шумов, часто бывает удобно выражать

Рис. 3.2. Схема параллельного соединения RC-контура с токовыми генераторами теплового шума (а) и эквивалентная ей схема по Тевенину (6).Рис. 3.2. Схема параллельного соединения RC-контура с токовыми генераторами теплового шума (а) и эквивалентная ей схема по Тевенину (6).〃方丿二二 С〃方丿二二 С■65■65

Рис. 3.2. Схема параллельного соединения RC-контура с токовыми генераторами теплового шума (а) и эквивалентная ей схема по Тевенину (6).

Рис. 3.2. Схема параллельного соединения RC-контура с токовыми генераторами теплового шума (а) и эквивалентная ей схема по Тевенину (6).

〃方丿

二二 С

〃方丿

二二 С

■65

■65

спектральную плотность флуктуаций тока на клеммах схемы в виде

&7研= 2gR(3.5>

где / — ток на клеммах и 自一коэффициент подавления, Очевидно, что коэффициент подавления полного дробового шума равен единице, но при значительных сглаживающих эффект ах, например вследствие пространственного заряда или явления захвата, J становится меньше единицы.

Примером простого устройства с двумя клеммами может служить параллельный RC-контур, показанный на рис. 3.2, а. Тепловой шум сопротивления, представленный параллельным генератором тока i«), преобразуется в эквивалентном контуре Тевенина в последовательный генератор напряжения, как показано на рис. 3.2,6. Спектральная плотность генератора напряжения имеет вид

即研=$■画 R2/(1 十①2c2R2),(3.6)

где Si(co)=4ae/R — спектральная плотность генератора теплового шума i«). Заметим, что, хотя контур содержит только один источник теплового шума, флуктуации напряжения на клеммах

имеют спектральную плотность, зависящую от частоты. Этот эффект связан с импедансом конденсатора. Вообще зависимость от частоты спектральной плотности шумов на клеммах устройства связана с импедансами схемы.

Применяя теорему Винера ——Хинчина, получаем значение среднего квадрата напряжения генератора на рис. 3.2,6:

О о

Примечательно, что сопротивление R не влияет на величину у2(0, которая зависит только от емкости С и температуры 0, но R существенно при определении величины и ширины полосы спектральной плотности, описываемой формулой (3.6).

Линейные четырехполюсники

Схему с двумя парами клемм, соответствующими входу и выходу, называют по-разному: четырехполюсником, схемой с четырьмя концами или двухпортовой схемой1). Линейный четырехполюсник—это тот, в котором выполняется принцип суперпозиции. Для небольших по интенсивности сигналов и шумов можно классифицировать как линейные четырехполюсники ряд важных электронных устройств, в том числе биполярный транзистор, полевой транзистор с р—n-переходом, МОП-транзистор, вакуумный триод и вакуумный пентод; в эту категорию попадают также многокаскадные усилители.

На начальном этапе применения транзисторов было мало известно о механизмах, ответственных за появление шума на клеммах прибора. Например, нельзя было теоретически предсказать характеристики шума, и вместо теоретического рассмотрения линейного четырехполюсника в качестве основного использовали эмпирический подход. Райдер и Киршер [12] и Монтгомери [7] представляли шумящий транзистор как бес- шумовую схему с импедансными характеристиками реального транзистора и с двумя внешними шумовыми генераторами, из которых один подключен последовательно к входу, а другой — к выходу. Этот метод в основном повторял прием, который ранее применил Петерсон [8, 9], исследуя шум тетрода на модели параллельных шумовых генераторов тока на входе и выходе бесшумовой схемы.

1)Здесь и далее отдаем предпочтение термину «четырехполюсник», как наиболее распространенному в отечественной литературе. — Прим, перев.

Давно известно, что четырехполюсник с шумом можно представить множеством эквивалентных схем, различающихся лишь расположением шумовых генераторов на входе и выходе бесшу- мовой схемы. На рис. 2 в работе Монтгомери [7] показаны, например, три различных варианта включения генераторов шума на входе и выходе.

С точки зрения вычисления коэффициента шума схемы особенно интересен эквивалентный контур, в котором оба генератора относятся к входу. Бекинг и др. [1] установили эквива-

Рис. 3.3. Схематическое изображение бесшумового четырехполюсника с обо- значением токов и напряжений на входе и выходе.

лентность такой конфигурации тем вариантам, в которых шумовые генераторы находятся и на входе, и на выходе; эти авторы показали также, что для полного описания свойств шума четырехполюсника на фиксированной частоте достаточно четырех величин, а именно: спектральных плотностей двух генераторов шума, действительных и мнимых частей взаимной спектральной плотности. Эти четыре величины можно определить по измерениям на клеммах схемы, и таким образом можно получить полное описание характеристик шума четырехполюсника, ничего не зная о структуре схемы или о скрытых физических механизмах, ответственных за возникновение шума. При разработке схемы этого достаточно, но если нужно исследовать связь между структурой устройства и шумом на клеммах, необходимо ис- пользовать другой подход.

Токи и напряжения на клеммах четырехполюсника связаны между собой парой линейных уравнений. Для бесшумового четырехполюсника1), т. е. не содержащего внутренних источников шума, эти уравнения можно записать через матрицу импедан-

1)Такая схема нереальна, так как в 1 действительности все схемы производят некоторый шум. Однако, когда уровень сигнала достаточно высо/ влияние шума Пренебрежимо мало и уравнения (3.8) справедливы.

Рис. 3.4. Линейный четырехполюсник с внутренними генераторами шума (а) и его эквивалентная схема по Тевенину с внешними последовательными шумовыми генераторами напряжения (6). Другая разновидность эквивалентной схемы (6) — с внешними параллельными шумовыми генераторами тока (в).

сов схемы образом:сов схемы образом:Z или через матрицу проводимостей Y следующим

сов схемы образом:

сов схемы образом:

匕=Z11/1 + Z12/2，^2 = ^21Л ~Ь^22^2»(3.8а)

/1 =匕 m +匕 2匕，厶 =匕1% + %2%・(3.86)

Заглавные буквы / и V в этих уравнениях означают фурье-преобразования или фурье-амплитуды в зависимости от того, периодические или апериодические сигналы имеются на клеммах. Индексы 1 и 2 относятся к входным и выходным величинам соответственно, а правило знаков, использованное при составле-

нии уравнений, таково, что токи, входящие в систему, положительны, как иллюстрируется на рис. 3.3. Следует заметить, что, вообще говоря, все величины в уравнениях (3.8) зависят от частоты.

Если четырехполюсник не является бесшумовым, а содержит внутренние шумовые генераторы, иными словами, если уровень шума на клеммах сравним с уровнем сигнала, уравнения (3.8) должны быть перестроены с учетом случайных флуктуаций на клеммах. При этом используется известный ныне метод представления четырехполюсника с шумом (рис. 3.4, а) в виде бес- шумовой схемы с вынесенными наружу шумовыми генераторами. Применяя теорему Тевенина, можно получить эквивалентную схему, изображенную на рис. 3.4,6, в которой на входе и выходе появляются последовательные генераторы напряжения. Вообще говоря, между этими генераторами возможна некоторая степень корреляции, так как шумовые флуктуации на входе и выходе могут иметь в своей основе, по крайней мере частично, один и тот же физический механизм. Разновидностью схемы на рис. 3.4,6 служит эквивалентная схема, показанная на на рис. 3.4,6, в которой внутренний шум представлен генераторами тока, включенными параллельно входу и выходу. Эти два генератора также могут, вообще говоря, обнаруживать некоторую степень корреляции.

При учете вклада от включения последовательных шумовых генераторов напряжения, показанных на рис. 3.4,6, вместо уравнений (3.8а) имеем соотношения между током и напряжением в виде

% = Zi/i+Z"?—匕ii， % = Z?/ +Z22/1—匕г2， (3.9a) и аналогично, когда учитывается вклад от включения параллельных генераторов тока, показанных на рис. 3.4,6, уравнения (3.86) переходят в

Л =匕1匕+匕2P2-%， 厶=%1%+%2%-乙2・(3.96)

Члены, описывающие шум в уравнениях (3.9), представляют собой фурье-преобразования случайных временных последовательностей, из которых состоят шумовые флуктуации тока или напряжения на входе и выходе. Вопрос о существовании таких преобразований обсуждался в предыдущей главе (разд. 2.3 и 2.5). Там пришли к заключению, что хотя интегральные преобразования в неограниченном интервале не сходятся, в конечном интервале все же допустимо строить собственные спектры и взаимные спектры стационарных временных последовательностей величин при условии, что процедуры усреднения по ансамблю и по времени выполняются в надлежащем порядке. Поскольку конечная цель составления уравнений

олучить выражения для собственных и взаимных спектров шумовых генераторов, связанных с четырехполюсником, в этом контексте можем просто сослаться на «фурье-преобразование» стационарных случайных временных последовательностей, помня, что с преобразованием надо обращаться так, как сказано выше. Тогда не надо будет беспокоиться о том, что> стационарные шумовые сигналы не являются абсолютно интегрируемыми.

Вместо размещения шумовых генераторов на входе и выходе часто более удобно отнести оба генератора к входу. При вы-

i2(i)*•С

*〃

Рис. 3.5. Представление шумящего четырехполюсника, в котором оба внеш， ние шумовые генераторы отнесены к входу.

боре конфигурации, показанной на рис. 3.5, где четырехполюсник характеризуется матрицей проводимости Y, а шум представлен на входе последовательным генератором напряжения и параллельным генератором тока, соотношения между током и напряжением для этой схемы имеют вид

厶=匕1(匕+匕。)十匕2%一儿，

(3.10)

Аналогичные выражения, конечно, можно записать для другой разновидности эквивалентной схемы на рис. 3.5, но в этом случае схему следует описывать матрицей импедансов Z.

Если сравнить выражения (3.10) и (3.96), становится ясно, что фурье-преобразование vna(t) для генератора напряжения имеет вид

九=一乙2/匕 1，(3.1 la>

а фурье-преобразование ina (/) для генератора тока — вид

【па = Л1 — (^11/^21) /〃2 •(3.1 16>

Таким образом, через уравнения (3.11) можно связать преобразования для шумовых генераторов тока на входе и выходе схе-

мы рис. 3.5 и преобразования для шумовых генераторов тока на входе и выходе схемы рис. 3.4, 6. Следует заметить, однако, что эквивалентная схема на рис. 3.5 пригодна только для вычисления шума в выходном контуре. Она не дает точного описания шумовых флуктуаций на входе, что можно видеть из того, что ina(t) отличается от истинного генератора тока i〃i(/). Расположение шумовых генераторов на рис. 3.5 особенно удобно для вычисления коэффициента шума схемы.

Бекинг и др. [1] подчеркивают, что уравнения (3.11) имеют смысл, только если У21 не равно нулю, или, другими словами, только если вход связан с выходом. Это всегда имеет место в любом реальном электронном устройстве или усилителе.

Коэффициент шума линейного четырехполюсника

Понятие коэффициента шума применяли в связи с помехами в радиоприемниках еще до появления транзистора [3]. Этот коэффициент, однако, широко не использовали при исследовании шумов электронных ламп, главным образом потому, что для описания шумов в электронных лампах достаточно было единственного шумового генератора. Как уже упоминалось, иная ситуация складывается как в случае транзисторов, поведение шумов которых характеризуется четырьмя параметрами, так и в случае высокочастотных электронных ламп. Вскоре после появления этих устройств стало ясно, что их шумовые характеристики невозможно адекватно представить с помощью одного генератора, и в результате появилось несколько исследований1), в которых коэффициент шума вводили как коэффициент качества, оценивая характеристики четырехполюсников.

Коэффициент шума четырехполюсников определяют для указанной частоты как отношение

Полная мощность шума на выходе на единицу ширина полоса

Мощность шума на выходе на единицу ширины полосы от входногоконтура

при стандартной температуре 0О. Определенный таким образом коэффициент шума 尸 зависит от входного контура, вернее сказать, от проводимости источника Ys (рис. 3.6), а не от выходного контура четырехполюсника. Коэффициент 尸 зависит также от частоты, и обе величины (частота и У$) должны быть указаны, когда говорится о коэффициенте шума системы.

1)См., например, работы таких авторов, как Петерсон [9]; Райдер и Киршер [12]; Монтгомери [7]; Бекинг и др. [1]; Роте и Далк [11].

Обычно коэффициент шума выражают в децибелах, так что- значение 0 дБ соответствует бесшумовой системе. В действи- гельности все электронные цепи и устройства производят неко- горый шум и практически всегда коэффициенты шума выше О дБ. Естественно, если устройство имеет определенное назначение, например включается во входную ступень низкочастотного- усилителя, желательно, чтобы его коэффициент шума был как можно ближе к 0 дБ. На звуковых частотах не так уж трудно найти кремниевые биполярные транзисторы с минимальными коэффициентамиАшума 0,5 дБ и меньше [2], а полевые транзисторы с р—/г-переходами могут быть еще лучше: с минималь-

Рис. 3.6. Источник сигнала is(t) с шумящей полной проводимостью YSi при* соединенной к входу шумящего четырехполюсника.

ными коэффициентами порядка 0,02 дБ [10]. Эти значения существенно лучше шумовых характеристик первых транзисто- ров. Райдер и Киршер [12], например, приводят типичное значение коэффициента шума 60 дБ на 1 кГц для германиевого транзистора типа А «кошачий ус»1). Для сравнения они указали, что при той же частоте хорошая электронная лампа может иметь коэффициент шума, близкий к 0 дБ. При таких коэффициентах неудивительно, что в период становления транзистор имел репутацию «шумного» прибора!

Коэффициент шума линейного четырехполюсника при данной частоте можно выразить через полную проводимость источника Ys=Gs + jBs следующим образом [5]:

F = FQ~\-\Ys-Ys^lGfiwi (3.12)

где Fo — минимальный коэффициент шума, который можно получить при указанной частоте настройкой величины YSi а У50 = = Gso+jBsQ — значение У$, при котором F минимально. Осталь-

1)Это был прибор с точечным контактом, в котором две маленькие нита из фосфористой бронзы осуществляли контакт с германиевой подложкой.

ные два параметра в выражении (3.12) представляют собой активную проводимость источника Gs и эквивалентную шумовую проводимость Gnv При чисто резистивном источнике легко видеть, что кривая зависимости (尸一尸о) от (G$——Gs^ является параболой, как схематически изображено на рис. 3.7, и наклон кривой зависит от Gnv. Очевидно, условие минимума коэффициента шума в этом случае определяется просто Gs — Gsq.

(GsWo) —а

Рнс. 3.7. Схематическое изображение параболической зависимости (尸一尺) от (Gs—Gso).

Вообще говоря, величина Ys является комплексной, и активную проводимость источника Gs, а также реактивную проводимость источника Bs можно регулировать независимо друг от друга. Из уравнения (3.12) можно видеть, что (尸一％) в этом случае изменяется как (Gs—Gso)2 или как (Bs—Bso)2- Для получения минимального коэффициента шума должны быть удовлетворены два условия согласования, а именно: Gs = Gs0 и Bs = Bso. Эквивалентная шумовая проводимость Gnv играет роль масштабного коэффициента в наклонах кривых зависимостей (尸一尸о) от (Gs—Gso) и (&—Bs0)・

Выражение для коэффициента шума (3.12) получено для эквивалентной схемы, показанной на рис. 3.8. В этой схеме оба шумовых генератора, связанные с четырехполюсником, подключены на входе, так же как на рис. 3.5. Так как шумовые флуктуации на проводимости источника в четырехполюснике неза-

висимы, коэффициент шума можно записать непосредственно в виде

尸=|/九6+匆+匕乙L但尸=

=1 + 要+1 匕|2 導+2Re(IV7)[瓦・£m/儿，(3.13)

где Sia, Sva и Sis — спектральные плотности генераторов ina(f), vna(t) и i〃s(力)соответственно, а 「沁一нормированная взаимная спектральная плотность между ina(t) и vna (0. Член YsVna в

Рис. 3.8. Схема для вычисления коэффициента шума усилителя с матрицей полной проводимости Y.

Генератор тока ins(/) представляет шум в проводимости источника Ув.

первом из выражений (3.13) появляется в результате преобразования последовательного генератора напряжения vna(t) на рис. 3.8 в эквивалентный параллельный генератор тока в соответствии с теоремой Нортона.

Спектральные плотности в формуле (3.13) можно выразить через эквивалентные тепловые проводимости следующим образом:

S~ = 4kQGni9 S；a = 4kQ/GnVi 盤=鉄86$・(3.14)

Здесь Gni и Gnv — не обязательно истинные проводимости, т. е. не обязательно являются элементами контура, а просто служат величинами, представляющими присоединенные шумовые генераторы. Напротив, проводимость Gs, определяющая шум источника,—истинная проводимость источника [ср. с выражением (3.2)]. Часто G〃i и (или) Gnv могут зависеть от уровней постоянного смещения в контуре, в этом случае коэффициент шума может быть функцией рабочей точки схемы.

При исследовании нормированной взаимной спектральной плотности в формуле (3.13) удобно разделить генератор тока ina (0 на две части: одна независимая от vna(t)9 в то время как

другая часть полностью связана с vna(t). Тогда имеем

& = 〃+%，(3.15)

где Ус — комплексная величина, имеющая размерность проводимости, которую Роте и Далк [11] назвали корреляционной проводимостью генераторов ina (^) и и〃а(/). Так как по определению величина lnbV*na равна нулю, нормированная взаимная спектральная плотность между ina(t) и vna(t) имеет вид

I\ ==匕[ПСТ/ [СТ" = YcKGnfin^\ (3.16)

[Una|2| ^па|2]1/2

Коэффициент шума в формуле (3.13) теперь можно представить в виде

尸=]+ Gut J & + GJ2 + (% + &尸—(GJ + В/)(3 ] 7)

GsG/^Gs'

где Gc и Bc ——действительная и мнимая части корреляционной проводимости; другими словами, Gc и Вс — корреляционная активная проводимость и корреляционная реактивная проводимость соответственно.

Оптимальная проводимость источника, равная У5о=05о+ + /&о, — это проводимость, при которой коэффициент 尸 минимален, а минимальное значение F находят, дважды дифференцируя выражение (3.17), сначала по BSi а затем по Gs. Это дает оптимальную реактивную проводимость источника

BsQ^-Bc(3.18а)

и оптимальную активную проводимость источника

GsQ = (GnvGni-B^.(3.186)

Эти условия вслед за Роте и Далком назовем шумовой регулировкой и шумовым согласованием соответственно. Если оба условия удовлетворяются одновременно, минимальный коэффициент шума получают в виде

9

尸о = 1 +(Gso + G)(3.19)

что в сочетании с выражением для коэффициента шума (3.17) дает

尸=及t尸=及t(Gs-Gso)2 + (3s—%o)2Gr^Gs(Gs-Gso)2 + (3s—%o)2Gr^Gs(3.20)(3.20)

尸=及t

尸=及t

(Gs-Gso)2 + (3s—%o)2Gr^Gs

(Gs-Gso)2 + (3s—%o)2Gr^Gs

(3.20)

(3.20)

Этот результат точно соответствует выражению для коэффициента шума (3.12).

Из выражений, приведенных выше, ясно, что, когда величина Yiv действительна, корреляционная реактивная проводимость равна нулю и, следовательно, минимальный коэффициент шума можно получить при чисто резистивном источнике. Очевидно, что это не выполняется, когда Г/У комплексна, т. е. когда корреляционная реактивная проводимость не равна нулю. Тогда шумовая регулировка, которую можно осуществлять при фиксированной частоте шунтирующей индуктивностью L=1 心 Вс, включенной параллельно резистивному источнику, может привести к значительному ослаблению коэффициента шума четырехполюсника.

Четыре параметра 尸о, Gs0, &о и Gnv в выражении (3.20) полностью характеризуют шумовые флуктуации на клеммах четырехполюсника. Однажды найденные, они могут быть использованы для определения G* Gc и Вс из выражений (3.18) и (3.19), а затем уже просто определить спектральные плотности генераторов vna(t) и ina{t) из соотношений (3.14) и нормированную взаимную спектральную плотность из выражения (3.16). Процедуру измерения четырех характеристических параметров описали Гаус и др. i[6]. Этот метод заключается в том, что активную и реактивную проводимости источника настраивают до тех пор, пока не будет достигнут минимум коэффициента шума, при котором точки 尸о, Gs0 и 3so легко считываются, и тогда Gnu определяют, проводя измерение коэффициента шума для некоторой неоптимальной проводимости источника и используя это измерение в сочетании с выражением (3.20).

Коэффициент шума каскадных усилителей

Когда несколько усилителей объединены в каскад, как иллюстрируется на рис. 3.9, полный коэффициент шума такой системы зависит от коэффициентов шума и достижимых коэффициентов усиления по мощности отдельных усилителей в каскаде.

Достижимый коэффициент усиления усилителя по мощности определяют через достижимую мощность источника сигнала, з достижимую мощность источника определяют как мощность, которую можно получить от источника, когда к нему подключают согласованную нагрузку. Для источника, состоящего из э. д. с. Us, последовательно включенной с внутренним (положительным) сопротивлением Rs, достижимая мощность описывается формулой

尸= 42/4凡，凡〉0.

(3.21)

Достижимый коэффициент усиления по мощности можно теперь определить в виде

П = Р“//А，(3.22)

где Pout — выходная мощность, питающая согласованную нагрузку, a Ps — достижимая мощность источника.

Логично предположить, что каждый усилитель в каскаде подключен к согласованной нагрузке, или, другими словами, выходная и входная проводимости смежных усилителей равны. Представляя шум i-ro усилителя эквивалентными шумовыми

генераторами inai(t) и vnai((/) на его входе, как было показано на рис. 3.5, можно записать коэффициент шума всей системы

Р = I /ns + /〃41 + YsPnai I 2] I /7142 + У1'па2 丨 2 I

+ 1/后些叱竺止_+...,(3.23)

111Tl 2 II 2

где Yi и г|/ ——входная проводимость и достижимый коэффициент усиления по мощности г-го усилителя. Из выражения (3.23) непосредственно следует, что если 尸》— коэффициент шума i-ro усилителя, то полный коэффициент шума имеет вид 尸=生十(尸 2-1)/%十(尸3-1)/%%+•-(3.24)

Выражение (3.24) известно под названием формулы Фри- исса. Поверхностный анализ этого выражения показывает, что коэффициент шума системы в основном определяется коэффициентом шума первой ступени при условии, что достижимый коэффициент усиления по мощности первой ступени достаточно высок. Таким образом, если необходим удовлетворительный режим работы, то при конструировании низкочастотных усилителей важно обеспечить коэффициент шума входной ступени,

близкий к единице (0 дБ), и коэффициент усиления по мощности, много больший единицы.

Если у какой-нибудь усилительной ступени в каскаде имеется отрицательная выходная проводимость, при выведении общего коэффициента шума по формуле (3.24) встретятся некоторые трудности. Гаус и Адлер [4] показали, что это выражение становится неопределенным по той причине, что достижимая мощность источника с отрицательным внутренним сопротивлением бесконечна. В этом легко убедиться, рассматривая источник с отрицательным внутренним сопротивлением —RSi питающий «согласованную» нагрузку R$. В этом случае бесконечно большое значение, полученное для достижимой мощности, не соответствует точке поворота: это ни экстремальное, ни стационарное значение выходной мощности, как функция тока на клеммах. Гаус и Адлер преодолели затруднение с коэффициентом шума, возникшее в связи с определением достижимой мощности: они ввели понятие обратимой мощности, определяемой как стационарное значение, или экстремум, выходной мощности источника, получаемое в результате произвольного изменения тока или напряжения на клеммах. Это определение точно соответствует определению достижимой мощности, когда внутреннее сопротивление положительно; когда же внутреннее сопротивление отрицательно, обратимая мощность (которая является точкой поворота) остается конечной, но принимает отрицательное значение. Это отрицательное значение показывает, что, когда внутреннее сопротивление отрицательно, обратимая мощность есть максимальная мощность, которая может быть добавлена к «источнику» присоединением к клеммам активного импеданса.

Гаус и Адлер показали, что формула Фриисса выполняется в большинстве случаев, даже когда некоторые ступени усилителя в каскаде имеют отрицательные выходные проводимости, при условии, что коэффициенты усиления по мощности т]； трактуются как коэффициенты усиления по обратимой мощности и коэффициенты шума скорее определены на основе обратимой мощности, чем достижимой. Если в каскаде имеются отрицательные выходные проводимости, возможно, что некоторые тр будут отрицательны, и это могло бы существенно повлиять на численное значение полного коэффициента шума системы.

ЛИТЕРАТУРА

A. G. Th. Becking, Н. Groendijk, К. S. Knol (1955), The noise factor of four- terminal networks, Philips Res. Rep., 10, 349—357.

E. A. Faulkner, D. W. Harding (1968), Some measurements on low-noise transistors for audio-frequency applications, The Radio and Elect. Eng” 36, 31—33.

Н. Т. Friiss (1944), Noise figure of radio receivers, Proc. IRE, 32, 419— 423.

H. A. Haus, R. B. Adler (1957), An extension of the noise figure definition, Proc, IRE, 45, 690—691.

H. A. Haus, et al. (1960a), Representation of noise in linear twoports, Proc. IREt 48, 69—74.

H. A. Haus, et al. (1960b), IRE standards on methods of measuring noise in linear twoports, 1959, Proc. IRE, 48, 60—68.

H. C. Montgomery (1952), Transistor noise in circuit applications, Proc. IRE, 40, 1461—1471.

L. C. Peterson (1947), Space-charge and transit-time effects on signal and noise in microwave tetrodes, Proc. IRE, 35, 1264—1272.

L. C. Peterson (1948), Equivalent circuit analysis of active four terminal networks, Bell Syst. Tech. J., 2 7, 593—622.

F. N. H. Robinson (1969), Noise in common source amplifiers at moderately high frequencies, Elect. Eng., 41, 77—79.

H. Rothe, W. Dalke (1956), Theory of noisy fourpoles, Proc. IRE, 44, 811— 818.

R. M. Ryder, R. J. Kircher (1949), Some circuit aspects of the transistor, Bell Syst. Tech. L, 28, 367—400.

L. Thevenin (1883), Sur un nouveau theoreme d^lectricite dynamique, Comptes Rend. Acad. ScL, Paris, 97, 159—161.

4

Собственный шум в диодах на р — п -переходах и биполярных транзисторах

Введение

Опубликование работы Шокли [20] возвестило о новой эре в истории физики приборов. Транзистор появился на свет, и как его достоинства, так и связанные с ним проблемы быстро стали явью.

Одна из неприятных черт первых транзисторов заключалась в высоком уровне шума. Этот факт впервые отметили Райдер и Кирхер [15] в заметке, которая была помещена в том же самом выпуске Bell System Technical Journal, что и основополагающая работа Шокли. Они провели измерения шумовых параметров точечно-контактного транзистора типа А】)в диапазоне 0,02 — 20 кГц. Были приведены кривые, показывающие, что зависимость спектральной плотности шума от частоты имеет вид 1俨，где а= 1,1. Впоследствии подобную зависимость от частоты наблюдали Уоллес и Пиетонпол [30] и Монтгомери [11] на некоторой выборке 1752 германиевых и—р—п-транзисторов: Монтгомери нашел, что в диапазоне частот 0,02—50 кГц спектральная плотность шумов на эмиттерном или коллекторном выводе при разных значениях напряжения смещения подчиняется закону 1/产，где а — параметр немного больше единицы, обычно он составляет 1,2. Кроме того, он показал, что уровень шума в 九—р—/г-транзисторах был существенно ниже, чем у точечноконтактного транзистора, с которым работали Райдер и Кирхер, и привел данные для коэффициентов шума на частоте 1 кГц, составляющих 18—25 дБ, в зависимости от смещения по сравнению с 50—70 дБ для точечно-контактных транзисторов.

Энергетические шумовые спектры, которые имеют частотную зависимость типа 1 俨 с коэффициентом а, близким к еди； нице, являются характерными для так называемого l/f-тума. Когда шумы такого вида были впервые обнаружены у транзисторов, физический механизм, приводящий к подобным флуктуациям, не был понятен [12], и даже теперь, когда известно, что шум 1//, наблюдается у большого числа приборов и систем, все еще нет удовлетворительного объяснения этому явлению (см. гл. 6).

° См. сноску на с. 63, гл. 3.

По мере совершенствования технологии производства транзисторов 1//-компонента шума была снижена до такой степени, что незадолго до первых измерений собственных шумов в транзисторе отмечалось следующее: Монтгомери и Кларк [13] нашли, что для частот выше 1 кГц в зависимости от смещения шумовая компонента 1/f для 九—九—р-сплавных транзисторов является несущественной и что измеренный коэффициент шума для таких приборов находится в согласии с вычисленным значением на основе теплового шума в объеме прибора и дробового шума в переходах. Эти основополагающие физические механизмы давали возможность получить фундаментальный предел шумовым характеристикам, которые можно было ожидать для транзисторов любого типа. В приборе, исследованном Монтгомери и Кларком, этот предел соответствовал коэффициенту шума примерно 3 дБ на частотах 1 кГц и выше.

Первое теоретическое рассмотрение дробового шума в диодах и транзисторах с р—n-переходами было предложено вандер-Зилом [22, 23] на основе аналогии с передающей RC-линией с распределенными параметрами. Он рассмотрел «идеальный» диод, т. е. такой, у которого эффект генерации — рекомбинации носителей в обедненном слое и поверхностный эффект незначительны, и показал, что шум можно представить эквивалентным генератором тока, включенным параллельно переходу, у которого спектральная плотность шума зависит от выходного тока и проводимости перехода. Для больших прямых или обратных значений напряжения смещения и для низких частот выражение, полученное ван-дер-Зилом для спектральной плотности такого подключенного параллельно шумового генератора тока, сводится к обычному виду для дробового шума %q【D、где Id — установившийся постоянный ток через диод, a q ——заряд электрона; в случае нулевого смещения (/р = 0) оно переходит в формулу Найквиста для теплового шума в пассивном элементе с проводимостью, равной проводимости р—п-перехода.

Сразу вслед за работами ван-дер-Зила был выполнен ряд теоретических и экспериментальных исследований шумов в диодах и транзисторах с р—n-переходом: ван-дер-Зил и Бекинг [27] предложили теорию, основанную на так называемом «корпускулярном подходе»; результаты измерений дробового шума в транзисторах, которые показывали хорошее согласие с теорией ван-дер-Зила, были опубликованы Хансоном и ван-дер-Зилом [9]; Гуггенбухл и Стратт [7] представили теоретические и экспериментальные результаты исследований дробовых шумов в полупроводниковых диодах и транзисторах с р——п-перехода- ми; наконец Шнайдер и Стратт [18] показали, что в кремниевых диодах и транзисторах присутствует шумовая компонента,

обусловленная генерацией и рекомбинацией носителей заряда в обедненном слое. Прошло почти десятилетие после этих последних измерений до появления удовлетворительного объяснения присутствия рекомбинационно-генерационной компоненты шума. * Лауритцен [10] предложил теорию, основанную на модели Холла — Шокли — Рида [8, 21] рекомбинации и генерации носителей через центры с одиночным энергетическим уровнем в запрещенной зоне полупроводника. Спектральный состав генерационно-рекомбинационного шума, как правило, близок к спектральному составу дробового шума, и Лауритцен подчеркнул тот факт, что выводы, полученные для шума в германиевых транзисторах, могут быть приложены и к кремниевым транзисторам, если ввести небольшие поправки, учитывающие изменение усиления при изменении тока смещения.

Ко времени опубликования работы Лауритцена технология получения кремния была разработана достаточно хорошо и кремниевые планарные транзисторы стали общедоступными. Фолкнер и Хардинг [6] исследовали шумовые характеристики случайных выборок таких транзисторов; они нашли, что минимальный коэффициент шума в диапазоне звуковых частот значительно лучше, чем 0,5 дБ. Битва за получение малошумящих транзисторов, судя по всему, была выиграна.

Однако еще оставался актуальным для исследований вопрос об избыточных шумах на низких и средних частотах. Этот избыточный шум наблюдается в диодах с р—n-переходом, биполярных транзисторах и интегральных схемах и состоит из двух составляющих (помимо генерационно-рекомбинационного шума), а именно 1//-шума и взрывного шума, l/f-шум обсуждается в гл. 6, а взрывной ——в гл. 7, тогда как в этой главе основное внимание уделяется собственным шумам (включая генерационно-рекомбинационный шум) в диодах и транзисторах с р—/г-переходами.

Теория шумов в р—n-переходах была предложена Букингемом и Фолкнером [1]; они сделали попытку согласовать шумовые свойства приборов на р—n-переходах с известными физическими принципами функционирования этих приборов. В основе этой теории лежит механизм диффузии носителей электрического заряда, возникающей за счет локальных флуктуаций в популяции носителей. В некотором отношении диффузионная теория шума отличается от теории ван-дер-Зила [22, 23], вчаст^ ности в нее не включается аналогия с передающей линией, хотя обе теории приводят в конце концов к одним и тем же результатам. С другой стороны, так называемая «корпускулярная теория» ван-дер-Зила и Бекинга [27], по-видимому, ио пользует неправильное толкование шума, обусловленного прохождением носителей заряда через обедненный слой, что ирст

тиворечит диффузионной теории шума. В ответ на такое возражение ван-дер-Зил [25] заявил, что она 《и должна быть основана на неправильном понимании», а затем в обзорной статье ван-дер-Зил и Ченнет [28] привели формулировку «корпускулярной теории» в основном так же, как и в первых работах.

Ниже приводится изложение диффузионной теории. По мере изложения обсуждаются принципиальные различия между диффузионной теорией и предыдущими теориями, причем упор сделан на связь шумовых явлений с физикой р—п-переходов. В этой связи отметим, что Робинсон [14] дал описание диффузионной теории шума, в котором подчеркнул физическую значимость потоков носителей через переход.

Диффузионная теория шума

в р — п-переходах

«Идеальным» диодом с р—^-переходом считают такой диод, у которого генерационно-рекомбинационными эффектами в обедненном слое и поверхностными эффектами можно пренебречь, а его вольт-амперная характеристика точно описывается выражением Шокли [20]

До = 4ехр (黑1 ],(4.1)

где Id — выходной ток;厶—обратный ток насыщения; q — заряд электрона, а V — приложенное напряжение. Шум в таком диоде можно представить эквивалентным генератором тока, включенным параллельно переходу, со спектральной плотностью

ЗД = 2^ (厶+2/J +鉄8 (G；-Go),(4.2)

где Gj — проводимость перехода, а

G。 = dG/W =⑷砌(小 + 厶)(4.3)

есть низкочастотное значение G/.

Формула (4.2), которая соответствует выражению, полученному ван-дер-Зилом [22, 23] для шума в идеальном р—〃・ переходе, обладает важными качествами: для низких частот при больших прямых и обратных смещениях она сводится к выражениям для дробовых шумов 2q/f)и 2qls соответственно, а при нулевом значении смещения (/° = 0)—к 4&G/, т. е. к выражению Найквиста для спектральной плотности тепловых шумов, справедливому для любого пассивного элемента с проводимостью G/, находящегося в тепловом равновесии с окружающей средой.

Простым, но ошибочным объяснением выражения (4.2) является следующее. Исходя из уравнения (4.1), можно считать, что имеются два тока, (/р + Л) и /s, текущие в противоположных направлениях через переход и обусловленные генерационно-рекомбинационными процессами неосновных носителей в объемных областях. Если эти токи имеют независимые флуктуации, обусловленны дробовым шумом, то суммарный шум будет равен 2^ (/р + Л) + 2qls = 2^(/^ + 21 s), который представляет собой низкочастотный член в правой части выражения (4.2).

Обедненный слой.Обедненный слой.

Обедненный слой.

Обедненный слой.

L0——-

Рис. 4.1. Токи If и Ir для р+—п-перехода.

Следует подчеркнуть, что такой довод является некорректным; он не вскрывает механизма, который действительно обусловливает генерирование шума, и, как отмечено ван-дер-Зилом [22], этот факт приводит к правильным результатам чисто случайно. [На самом деле результат является правильным лишь частично, так как не включает в себя высокочастотный член, который присутствует в выражении (4.2).]

Согласно теории р—n-перехода, разработанной Шокли [20], токи, которые текут через переход (они обозначены буквами /г и Ir на рис. 4.1), значительно больше, чем выходной ток, и превышают его на множитель, примерно равный отношению длины диффузии к средней длине свободного пробега. Выходной ток ID есть разность между /尸 и IRi и ее величина относительно /尸 и Ir столь мала, что при расчетах распределений носителей через переход ее, как правило, полагают равной нулю. При прямом смещении это соответствует предположению, что квазиуровни Ферми остаются постоянными в области обедненного слоя и разделяются при приложении напряжения.

Роль этих больших потоков носителей электрического за- ряда через переход состоит в ^поддержании равновесия между

популяциями основных носителей по одну сторону от области перехода и неосновных носителей по другую сторону. Поток основных носителей состоит из тех носителей, которые попадают в переход за счет их случайного движения в объеме материала и обладают достаточной энергией, чтобы пересечь его; тогда как поток неосновных носителей в противоположном направлении состоит из всех неосновных носителей, которые попадают на переход за счет их случайного движения в объеме материала. Для определения /尸 и /r можно использовать аргументацию аналогичную той, которая используется в кинетической теории газов для вычисления давления идеального газа. Для одномерного р+—n-перехода, в котором потоком электронов можно пренебречь, имеем

(4.4)(4.4)lF = (qPnDAjlj exp (qV/kQ)

(4.4)

(4.4)

/r = (qPqDAllj

где A — площадь перехода; V — напряжение смещения; D — коэффициент диффузии дырок; рп — равновесная концентрация дырок в n-области перехода, a If — средняя длина свободного пробега. Концентрация дырок р° соответствует плотности дырок в плоскости х=0 (рис. 4.1), представляющей границу обедненного слоя со стороны n-области р—n-перехода. В теории р—n-перехода обычно считают, что ро связано с напряжением смещения V следующим точным соотношением:

Ро = Р〃ехр (勿7 尼 8). (4.5)

Уравнение (4.5) является выражением равновесия, которое имеет место между концентрациями дырок по любую сторону переходной области. Однако из уравнений (4.4) и (4.5) легко видеть, что если в цепи течет ток /° = /尸一Ir, to выражение (4.5) не является абсолютно точным и V следует заменить на R—АУ, где NV《h6lq. Разлагая /r в ряд и ограничиваясь первым порядком по AV, из уравнения (4.4) находим

А勿j=砌*. (4.6)

Отношение в выражении (4.6) можно интерпретировать как последовательное сопротивление, подключенное к переходу, значение которого, а именно 々e/q/尸, намного меньше, чем низкочастотное дифференциальное сопротивление перехода, которое равно 々e/q(/o+/s)・ Это эффективное последовательное сопротивление описывает тот релаксационный механизм, за счет которого сохраняется статистическое равновесие при переходе носителей через обедненный слой. Оно мало настолько, что при расчете полного сопротивления им обычно пренебрегают.

Недавно было показано [1], чтогшум, обусловленный носителями, пересекающими обедненный слой, точно равен тепло* вому шуму в этом эффективном последовательном сопротивлении. Будучи достаточно малым, данное сопротивление вносит и пропорционально малый вклад в тепловой шум, который в свою очередь является незначительным по сравнению с полным собственным шумом прибора. Отсюда ясно, что дробовой шум, связанный с потоками носителей, проходящих через переход, не является механизмом, определяющим шум диодов с р——п-пере- ходами. Такое заключение можно сделать, если рассмотреть приведенный в приложении 4 анализ шума, связанного с носителями, проходящими через обедненный слой, и в который для сравнения включена и интерпретация корпускулярной теории ван-дер-Зила и Бекинга [27].

Два механизма обусловливают шум, описываемый выражением (4.2), а именно тепловые флуктуации в потоке неосновных носителей и рекомбинация неосновных носителей, и имеют место 6 объемных областях, граничащих с обедненным слоем. На первый взгляд может показаться странным, что флуктуации выходного тока составляющими которого являются диффузионные токи неосновных носителей в двух плоскостях, ограничивающих обедненный слой, могут проявляться в областях прибора вне перехода. Объяснение этой кажущейся аномалии связано с механизмом релаксации неосновных носителей, за счет которого после возмущения в распределении неосновных носителей восстанавливается статистическое равновесное состояние. В областях, далеких от перехода, за счет релаксации неосновных носителей потока во внешней цепи не создается, так как он полностью скомпенсирован потоком основных носителей. (Рассмотрение процесса релаксации основных носителей, проведенное в разд. 2.8, показывает, что он вносит вклад в тепловой шум объемного сопротивления прибора, которым мы пренебрегаем по сравнению с дифференциальным сопротивлением перехода.) Но вблизи перехода возмущение в распределении неосновных носителей приводит к изменению градиента распределения на границе обедненного слоя; это означает, что в данном случае релаксация неосновных носителей также вызывает поток через переход, приводя к подъему сопутствующего потока заряда в цепи. Вклады в этот внешний поток от всех возмущений в концентрации неосновных носителей в объеме материала проявляют себя как наблюдаемый шум выходного тока.

При следующем рассмотрении мы проведем более детальный анализ этих двух компонент шума перехода. Так как отдельное рассмотрение поведения дырок в n-области и электронов в p-области приводит к излишнему дублированию в рассуждениях, то мы рассмотрим р+—/г-переход, в котором ток оп-

ределяется только дырочной компонентой. Обобщение изложенного на общий случай в большей или в меньшей степени симметричных переходов очевидно, и в обоих случаях результаты имеют абсолютно одинаковую форму. Рассмотрение будем проводить для одномерной модели перехода, представленной на рис. 4.2; кроме того, пренебрегаем падением потенциала в объемных областях. Генератор напряжения, показанный на этом рисунке, обеспечивает напряжение V на контактах прибо-

0

Рис. 4.2. Одномерная модель р+—n-перехода (масштаб не выдержан).

Рассматриваемое событие имеет место в плоскости, перпендикулярной оси х и проходящей через х—х\

ра, которое приводит к увеличению определяемой выражением (4.5) концентрации дырок в плоскости %=0. На другой границе n-области при х= W концентрация дырок поддерживается равной pw либо с помощью контакта с металлом, либо еще одним переходом. Важно отметить, что величины % и pw поддерживаются постоянными и что флуктуации неосновных носителей имеют место только внутри n-области и не имеют места на границах при %=0 и х= W.

Тепловые флуктуации потока неосновных носителей

Тепловое движение неосновных носителей в n-области является причиной отклонения от равновесного распределения дырок. Это приводит к появлению релаксационных дырочных токов через переход и внутри объема материала, вследствие чего имеется тенденция возвращения распределения дырок к невозмущенной форме. Эти релаксационные токи мы сейчас и рассмотрим. Метод, который нами будет использован, аналогичен анализу Ланжевена для теплового тока, основанному на дово-

носителя на длину свободно-носителя на длину свободно-Рис. 4.3.Рис. 4.3.а — отклонение от равновесного распределения концентрации носителей за счет единичного действия неосновного носителя при его перемещении на расстояние, равное длине свободного пробега 2尸 в точку *==%'; 6 — соответствующие релаксационные токи.а — отклонение от равновесного распределения концентрации носителей за счет единичного действия неосновного носителя при его перемещении на расстояние, равное длине свободного пробега 2尸 в точку *==%'; 6 — соответствующие релаксационные токи.曳дГ曳дГ8 — Pm) I 02P8 — Pm) I 02P(4.8a)(4.8a)

носителя на длину свободно-

носителя на длину свободно-

Рис. 4.3.

Рис. 4.3.

а — отклонение от равновесного распределения концентрации носителей за счет единичного действия неосновного носителя при его перемещении на расстояние, равное длине свободного пробега 2尸 в точку *==%'; 6 — соответствующие релаксационные токи.

а — отклонение от равновесного распределения концентрации носителей за счет единичного действия неосновного носителя при его перемещении на расстояние, равное длине свободного пробега 2尸 в точку *==%'; 6 — соответствующие релаксационные токи.

曳дГ

曳дГ

8 — Pm) I 02P

8 — Pm) I 02P

(4.8a)

(4.8a)

дах, включающих релаксацию основных носителей: в нашем

случае импульс выходного тока одного неосновного носителя вычисляется в предположении, что суммарный шум можно представить как случайную суперпозицию таких импульсов.

Рассмотрим единичное «начальное» действие, заключаю-

щееся в перемещении неосновного

го пробега If в точку % = %'. Это перемещение вызывает возмущение в распределении неосновных носителей, как показано на рис. 4.3, а, где “ характеризует отклонение от равновесного состояния концентрации дырок. Так как условия на границах не меняются, то значение р7 на любом конце 〃・ области есть нуль, хотя во всех других местах // распределено таким образом, что соответствует избыточной концентрации р/ при x=xf и р2 при %=£山f.

Это начальное действие эквивалентно току 砂⑴，текущему справа налево (рис. 4.3, а) на расстоянии длиной /» Релаксация неосновных носителей, которая следует за этим начальным действием, осуществляется главным образом за счет взаим-

но противоположных токов

Го1 и，£)2 и, кроме того, за счет токов i\ и《 направленнх к х = 0 и %=取 соответственно (рис. 4.3,6). Эти токи и токи на

границах находятся из решения зависящего от времени уравнения диффузии [20] для р‘ для трех областей, показанных на рис. 4.3, б и подстановки этих решений в уравнение

(4.7)(4.7)i = —qDAdp/dx,

(4.7)

(4.7)

которое затем вычисляется при соответствующем значении х. Зависящее от времени уравнение диффузии имеет вид

где tr — время жизни дырок в n-области. После выполнения

преобразования Фурье и исключения неизменяющейся компоненты р получаем

導粤—* = о,(4.86)

где

L = [^/(1 +而”)屮2 = Ло (1 + Мп)-】#,(4.9)

и L()= yDtR — низкочастотная диффузионная длина. Для удобства далее запишем зависящий от частоты член этого выражения в виде

(1+府^)屮=("+汕，(4.10а)

где

〃=[1/2+(1/2)У(1+① 2“2)『2,

(4.106)

Ь= [—1/2 + (1/2)М(1+① 2“ 歼色

На языке преобразования Фурье обратные токи Fdi и Zzd2, получаемые из уравнений (4.7) и (4.8), имеют вид

、 qDA Г Р/(2) cosh (/“)一 в?'3)〃「、

I 3 (W) = V [而而L)]，(4・ 11 а)

” Q2 (W) =[研两一(4・U6)

Принимая во внимание, что для интересующего нас спектра частот |"/L|《1, легко показать, что

%1(.池)=一时2 04)=% 0砌=用m/(故)一厶‘0&)]■(4.12)

Потоки i'i и i‘2, исходящие из области, в которой произошло рассматриваемое нами событие, подобным же образом можно получить из уравнений (4.7) и (4.8), а именно

%' (，①)=-4自(W) p/ 0①)，

(4.13a)

и

%'(，①)=/自(了心)P2 (M),

(4.13)

где

瓦=怨-coth (%7厶)，

(4.14a)

и

电■牛 coth [”一/)/〃

(4.146)

Так как не может происходить накапливания заряда в любой точке n-области, то должна иметь место токовая непрерывность в точках %=%' и x=x/ + lf. В терминологии преобразования это можно выразить следующими условиями:

『 的)+ % (初)- 9 = %‘(心)+ i'D (府)一，=0, (4.15>

и, если использовать эти выражения в сочетании с уравнениями (4.12) и (4.13) и вспомнить, что |Ai| и |力2丨 значительна меньше, чем qD/lf^ можно получить

『(河=大河=一%1^. (4・16)

Далее нас в первую очередь интересуют токи z0 и i^ череа границы n-области. Их можно определить из решения зависящего от времени уравнения диффузии совместно с уравнениями (4.13) и (4.16):

外(初)=一4屈(泡)p/(W) = -^ №^，(4.17a)

и

iw (W) = -Akw ^p^ (&) = +4 t^j (4.176)

где

瓦=qD/L cosech (x7^),(4.18a)

и

kw = qD/L cosech [”一％，)/£].(4.186)

Уравнения (4.17) являются преобразованиями Фурье токового импульса, возникающего на границах за счет единственного события с неосновным носителем в n-области. (Следует отметить, что знаки таковы, что токи в n-области являются положительными.) Спектральные распределения флуктуации на границах, обусловленные случайной последовательностью событий на элементе длины А%' в n-области, согласно теореме Карсона, имеют вид [см. разд. 2,6, уравнение (2.41)]

А(ад=^|^|2А^(4.19а)

и

=罂 I 2 А%'，(4.196)

и I «1 ~Г «2

где неявно подразумевается, что все рассматриваемые события

являются независимыми. При получении уравнений (4.19) мьт использовали среднее число случаев в секунду _как pA^/xf, а из уравнения (2.57)——условие D = ^kQ/q = lf2/2i：f. Интегрируя эти уравнения, получим выражения

际⑹(4・20a) о

(4.206) о

для спектра флуктуаций тока на границе, обусловленных всеми событиями в п-области.

Сейчас мы не будем давать оценки интегралам в уравнениях (4.20), но через некоторое время мы возвратимся к ним при рассмотрении полных шумов в идеальном диоде. Однако важность этих двух выражений следует иметь в виду.

Из уравнения (4.16) легко видеть, что скорее тепловое движение, а не флуктуации в концентрации носителей вызывает ток через материал. Наряду с этим, очевидно, можно сказать, что имеют место флуктуации и разности △/?(/) концентраций носителей в плоскостях %=%/ и % = %' + △%/, для которых из выражений (4.13) и (4.16) имеем

А於丽 к 黯(4.21)

при А%', стремящемся к нулю.

Похожая, но не идентичная уравнению (4.21) формула была выведена ван-дер-Зилом [22] из рассмотрения, основанного на использовании аналогии с передающей линией. В его рассмотрении в левой части соответствующего уравнения находилось значение среднего квадрата (которое было выражено через преобразование) самой концентрации носителей в плоскости /=%'. Согласовать формулировки ван-дер-Зила и анализ, основанный на рассмотрении процессов диффузии, трудно, так как из последнего следует, что среднеквадратичные флуктуации в концентрации неосновных носителей в любой точке п-области можно получить, только проводя интегрирование по всей этой области и учитывая граничные условия при % = 0 и х= W. Результатом же такого интегрирования является функция от 取 н концентраций на границах р° и 卩犷，которые не входят в правую часть уравнения (4.21).

Генерационно-рекомбинационный шум в объемной области

При акте рекомбинации или генерации не возникает изменения в общем распределении заряда и, следовательно, отсутствует релаксационный процесс основных носителей. Однако имеет место возмущение в распределении неосновных носителей, ко

торое рассасывается потоками неосновных носителей, направленных от места возмущения. Р

Рис. 4.4.Рис. 4.4.а ——отклонение от равновесной концентрации неосновных носителей, обусловленное актом рекомбинации в плоскости %=£; 6 — соответствующие релаксационные токи.а ——отклонение от равновесной концентрации неосновных носителей, обусловленное актом рекомбинации в плоскости %=£; 6 — соответствующие релаксационные токи.Возмущение, или начальное действие, — это мгновенное появление (или исчезновение) неосновного носителя, которое эквивалентно потоку g6(f) «ниоткуда» в плоскости %'. Это вызывает отклонение от невозмущенного распределения дырок, как это показано на рис. 4.4, а для случая генерации дырки. На рис. 4.4, б представлены токи неосновных носителей ij и 为〃，которые как результат начального действия текут к границам % = 0 и x=W соответственно. Эти токи имеют вид

Рис. 4.4.

Рис. 4.4.

а ——отклонение от равновесной концентрации неосновных носителей, обусловленное актом рекомбинации в плоскости %=£; 6 — соответствующие релаксационные токи.

а ——отклонение от равновесной концентрации неосновных носителей, обусловленное актом рекомбинации в плоскости %=£; 6 — соответствующие релаксационные токи.

&〃 (До) = —Ah10g р〃 (До) (4.22а)

片(初)=4局(До)“(До),(4.226)

где р〃 — избыточная концентрация дырок в точке х = х\ Как и уравнения (4.13), эти выражения получаются из зависимого от времени уравнения диффузии. Поскольку накапливание заряда в материале невозможно, то должно выполняться условие непрерывности тока в точке % = /, которое требует, чтобы

不®)一 片'(2+9=0・(4.23)

Найденная из приведенных выше трех уравнений избыточная концентрация дырок при х=х/ описывается формулой

p〃(j3)= q/4(瓦十甸，(4.24)

и применяя метод, аналогичный использованному при получении уравнения (4.17), имеем для потока неосновных носителей

через границы

疗(泡)=~Ak. (/со) “ (泡)=-q 爲餐,(4.25a)

и

i% (抄)=一厶細(2) P〃(W) = — ^^ ・(4.256)

Как и в уравнениях (4.17), знаки в уравнениях (4.25) выбираются, исходя из условия, что токи, текущие в n-области, являются положительными.

Если tr — время жизни неосновных носителей в n-области, то число случаев рекомбинации за секунду в элементе объема Л Ах7 составляет pANx'小、а число случаев генерации за то же время — р〃4А%〃/Cr, которое конечно равно скорости рекомбинации, когда р принимает равновесное значение р% Когда эти •скорости рекомбинации и генерации и уравнения (4.25) подставляются в уравнение Карсона, можно получить спектральные плотности шумовых токов на границах элемента длиной А%' =『а%，，(4.26а)

△^7⑹=2；敦^ I ^^ Г (4.266)

Полную величину рекомбинационно-генерационного шума получают интегрированием этих выражений по всей области

步

骂而=崙 J(P+Pn)\j^ 2改， (4.27a) b

+ I(4.276)

0

Полный шум перехода

Спектральные плотности полного шума на границах идеального диода представляют собой суммы выражений (4.20) и 徃27)

及而=亍詼)+两研，(4.28а)

5岬(8)hSImI^O+SZm®)。(4.286)

Непосредственное суммирование спектральных плотностей в этом случае возможно, так как тепловые токи и токи, обуслов-

ленные генерационно-рекомбинационными актами, являются независимыми.

Шумовой ток во внешней цепи идеального диода эквивалентен шумовому току неосновных носителей в плоскости х=0, т. е. его спектральная плотность определяется уравнением (4.28а). Шум при x=Wf задаваемый выражением (4.286), в общем не тот же самый; различие связано с потоком основных носителей через контакт.

Вообще говоря, подынтегральные выражения в уравнениях (4.28) включают в себя комбинации гиперболических функций, что делает интегрирование трудоемким и не очень благодарным занятием. Поэтому мы вместо расчета этих спектральных плотностей шума в общем случае рассмотрим два частных случая, имеющих важное прикладное значение, а именно случаи длинного (】取》及)и короткого (取《厶)диодов.

Длинный диод

Найденный из уравнений (4.20а), (4.27а) и (4.28а) полный шум в таком диоде описывается формулой

+胖 f(p+"n)|*|%',(4.29)

О

где верхний предел интегрирования — бесконечность отвечает условию 步》上0・ Распределение дырок в широкой п-области, получаемое из решения уравнения диффузии, имеет вид экспоненциального затухания

(Р—Рп) = (Ро—Рп) ехр (―%7及)，(4.30а)

и, кроме того, в соответствии с определением 々-функций остав* шиеся и зависящие от координаты члены в подынтегральных выражениях уравнения (4.29) можно также выразить как затухающие экспоненты

(&1Т%2)=空 ехр(4 • 306)

И

乖告砌=ехр (-%〃)•(4.30в)

После подстановки этих трех выражений в уравнение (4.29) и

интегрирования можно получить спектральную плотность шума в виде

(Ро — Рп) I ^м I

乙О乙О(2a+1)尸

乙О

乙О

(4.31}(4.31}II (p0 — pn) I pn

(4.31}

(4.31}

十[ (2a+1)十"

где а и b — зависящие от частоты члены, определяемые уравнениями (4.10).

Далее, постоянный ток во внешней цепи длинного “но“а> получаемый из уравнения диффузии, описывается выражением

乙0乙0(А) — Pn)，(А) — Pn)，(4.32а)(4.32а)

乙0

乙0

(А) — Pn)，

(А) — Pn)，

(4.32а)

(4.32а)

а обратный ток насыщения — выражением

(4.326)(4.326)qAD

(4.326)

(4.326)

=亏厶.

Низкочастотная проводимость перехода, выраженная через /° и 厶，имеет вид

(4.33а)(4.33а)°о = ~Ь~ Ud+Q,

(4.33а)

(4.33а)

а определенная из зависящего от времени уравнения диффузии проводимость перехода — вид

(4.336)(4.336)Gj — aG。.

(4.336)

(4.336)

Комбинируя уравнения (4.32) и (4.33) с (4.31) после выполнения нескольких простых алгебраических преобразований и имея в виду, что Ь2 = а2—1, получим

嘉両=2夕(&+2/J + 4Й0 ⑨一G°). (4.34)

Это — выражение ван-дер-Зила для полных шумов идеального диода. Здесь мы его получили для частного случая длинного диода, однако можно показать [ 1 ], что такой же результат имеет место и в общем случае, т. е. когда отношение W/Lo конечно. При этом вычисление является весьма утонченным, хотя интегралы берутся сравнительно легко, но приводят к длинным алгебраическим выражениям, которые в весьма малой степени способствуют пониманию задачи и которые в конце концов сводятся к тому же выражению (4.34).

Короткий диод

Шум в коротком диоде сам по себе не имеет какого-то особого практического значения. Тем не менее вопрос представляется важным, так как в биполярных транзисторах область базы является очень узкой по сравнению с длиной диффузии неосновных носителей. Конечно, имеется разница между тем, что происходит в триоде и диоде. В диоде металлический контакт обеспечивает граничное условие р = р闪 при х= W и, кроме того, является источником основных носителей для нейтрализации потенциалов в n-области. Эти две функции в транзисторе разделены между коллекторным переходом, который обеспечивает необходимые условия на границе, и контактом с базой, через который инжектируются основные носители. Но механизмы возникновения шума в этих двух случаях идентичны, и поэтому если рассмотреть такой процесс в коротком диоде, то можно сделать определенные выводы и о шумовых свойствах транзисторов.

Сначала рассмотрим генерационно-рекомбинационный шум в таком диоде. При низких частотах, когда эффекты, связанные с накоплением заряда, незначительны и условие W<^\L\ выполняется, легко показать, что

話瓦尸От做 (4・35а)

(4・356)

откуда следует, что выходящий поток неосновных носителей, обусловленный единичным актом рекомбинации или генерации, который описывается уравнением (4.25), имеет вид

i°〃 (/(о)亠一g (1 —%畋(4.36a)

и

i^^^—q^lW,(4.366)

Эти уравнения показывают, что полный поток, связанный с одним актом, эквивалентен одному заряду носителя, как обычно и считают. Этот выходящий поток вызывает отклонение от равновесия, которое восстанавливается потоком q основных носителей, протекающим через металлический контакт в случае диода или через базовый контакт в случае триода. Отсюда сразу же следует, что, если (oi；r《1, составляющая тока базы, возникающая за счет генерационно-рекомбинационных процессов, вызывает дробовой шум.

Для современных транзисторов с большими коэффициентами усиления влиянием рекомбинации в объемной области на эмитерно-коллекторный токовый шум можно обычно пренебречь. И шум в этом случае целиком обусловлен тепловыми флуктуациями в потоке неосновных носителей (мы предполагаем, что имеем дело с идеальным прибором, у которого рекомбинация в обедненном слое несущественна). Для этого случая мы можем еще раз использовать низкочастотное условие，取《|L|, чтобы получить выражение

岛匈〜qD

一(月+ a) ~ (自十力J旷.

из которого следует, что

Sto (з) &nz(s)-導2 J pd/・(4.38>

о

Очевидно, в этом случае спектральная плотность флуктуаций тока при %=0 и x=W одинакова, что (как мы уже отмечали) справедливо не всегда; различие объясняется потоком основных носителей при %=历.

Интегрирование выражения для распределения концентрации дырок в уравнении (4.38) в этом случае не представляет трудности, так как величина р линейно зависит от координаты: когда W^LQi то из уравнения диффузии имеем

Р = А)—(%—Pw) k^/W).(4.39>

Интеграл от этого выражения, взятый по n-области, равен (Ро+р步)/2, и из уравнения (4.38) следует

S»© (з)亠 S”(co) 4 ^^ (%十。向，(4.40a>

или, записывая по-другому через диффузионный ток Id,

研 4 ST⑹ 4 2〃0 曾士需.(4.40б>

С целью проверки выражения (4.40а) легко показать, что при pw=Pn его правая часть равна независимому от частоты члену в выражении (4.34), как и следовало ожидать.

В биполярных транзисторах с обратно смещенным коллекторным переходом концентрация pw неосновных носителей в точке х= W равна нулю. Легко видеть из уравнения (4.406)> что в этом случае шум при х= W является просто дробовым шумом, .обусловленным током коллектора. Этот вывод, очевидно, имеет ясный физический смысл, так как он следует из факта

допущения независимости движения носителей через коллекторный переход. Другой интересный аспект выражения (4.406) состоит в том, что оно правильно описывает высокий уровень шума транзистора в режиме насыщения, когда pw"o・

Итоговые комментарии

Физическими механизмами, обусловливающими шумовые свойства идеальных р—n-переходов, являются тепловые флуктуации потока неосновных носителей и акты рекомбинации и генерации носителей в объемной области. Оба этих процесса вызывают возмущения в распределении неосновных носителей, а они приводят к появлению диффузионных токов через объем материала, которые приводят к установлению равновесного распределения, существовавшего до этих возмущений. Полная флуктуация диффузионного тока неосновных носителей на границе обедненной области, обусловленная всеми этими единичными событиями по всей объемной области, определяет шум тока Id в цепи.

Такое описание шума р—/г-перехода отличается от общепринятой точки зрения, когда полагают, что имеются два независимых между собой тока /д + Л и Л, текущих в противоположных направлениях через обедненный слой, каждый из которых дает свой вклад в полный дробовой шум. На самом деле токи, текущие через переход, не /д + Л и Л, а /尸 и Ir, каждый из которых существенно больше, чем Id или Л; a Id равен только сравнительно небольшой разнице между /尸 и /& В отсутствие напряжения смещения эти большие токи определяются только концентрацией носителей на каждой стороне обедненного слоя. В противоположность этому значения /о и Л, являющиеся функциями геометрии области базы и времени жизни носителей tr, определяются скоростью, с которой носители диффундируют через объем материала. Так что именно диффузия и есть тот механизм, который определяет /д, а согласно данной

теории шума, она также и является механизмом, определяющим флуктуации у /о. Как отмечено Робинсоном [14], дробовой шум у /尸 и /r незначителен, что связано с интенсивным процессом выравнивания, при котором накопление заряда на каждой стороне перехода меняет электрическое поле вдоль обедненного слоя, которое в свою очередь сводит к нулю флуктуации во внешней цепи (см. приложение 4).

Диффузионная теория шума р—n-переходов приводит к точно такому же выражению для спектральной плотности флуктуаций тока, как и теория ван-дер-Зила, основанная на аналогии с передающей линией. Согласие экспериментальных данных с результатами теории ван-дер-Зила является веским доводом.

а именно это и составляет необходимую предпосылку для лю- бой удовлетворительной теории шума. Достоинство диффузионной теории состоит в том, что она дает возможность описать флуктуации в соответствии с общепринятой физической картиной функционирования р—/г-переходов, а не при произвольных допущениях, так как это сделано в теории ван-дер-Зила и Бе- кинга [27] относительно природы токов, текущих через обедненный слой.

Шум, обусловленный рекомбинацией носителей в обедненном слое

Вольт-амперные характеристики большинства германиевых диодов на р——/г-переходах показывают хорошее согласие с формулой Шокли для идеального диода [уравнение (4.1)]. Но это не всегда так для случая кремниевых диодов при комнатной температуре, отступление от характеристик «идеального» диода связано с наличием генерации и рекомбинации носителей в обедненном слое. Статистика генерационно-рекомбинационных процессов через центры с одиночным энергетическим уровнем в запрещенной энергетической зоне для полупроводниковых материалов была развита Холлом [8], Шокли и Ридом [21] и в настоящее время подобные центры общепринято называть как ХШР-центры. Этот статистический подход был использован Са- хом, Нойсом и Шокли [17] в качестве основы для получения отношения ток ——напряжение для кремниевых р—и-переходов. Эта теория показала, что в таких приборах в достаточно широком диапазоне напряжений смещения и температуры составляющая постоянного тока во внешней цепи, обусловленная актами рекомбинации и генерации носителей в обедненном слое, доминирует над диффузионной составляющей.

По всей вероятности, флуктуации рекомбинационного тока нельзя объяснить в терминах диффузионной теории, которая была рассмотрена в разд. 4.2. На раннем этапе развития технологии кремния было выполнено несколько экспериментальных и теоретических исследований, посвященных рекомбинационным шумам, которые обусловлены обедненной областью [2, 3, 18, 24], однако сколько-нибудь удовлетворительной теории этого явления в то время не было предложено, да и экспериментальные данные не давали однозначных результатов. Ситуация в значительной мере прояснилась после того, как Скотт и Стратт [19] опубликовали результаты своих измерений генерационного шума в обедненном слое обратно смещенного кремниевого диода с большой площадью поверхности, предназначенного для детектирования ядерных излучений. Они нашли, что этот шум со・

ставляет две трети от полного дробового шума для частот в диапазоне 28—91,2 кГц. Вскоре после этой работы Лауритцен [10] опубликовал работу по общей теории, основанной на статистике ХШР-центров, для оценки флуктуаций тока, связанных с генерационно-рекомбинационными центрами с одиночным энергетическим уровнем, при прямом и обратном смещениях р—м-перехода. Для переходов, смещенных в обратном направлении, он получил для случая высоких частот значение две трети дробового шума, что согласовывалось с измерениями Скотта и Стратта, а для низких частот и при существенном различии коэффициентов эмиссии дырок и электронов (случай, который, очевидно, часто реализуется на практике) он предсказал полный дробовой шум. При прямом смещении переходов Лауритцен показал, что уровень этого шума на низких частотах всегда находится между тремя четвертями и полным значением дробового шума. Естественный вывод из этих результатов состоял в следующем: рекомбинационно-генерационный шум обедненного слоя не является сильно зависящим от напряжения смещения или частоты; его величина всегда лежит между половиной и полным значением дробового шума диода.

Механизм шума

При диффундировании носителей из той или другой объемной области в обедненную область имеет место один из трех процессов. Носитель может пересечь обедненный слой и выйти из этого объема с другой стороны, в таком случае этот носитель является одним из тех, которые образуют поток пересекающих обедненный слой носителей; этот случай рассмотрен в разд. 4.2 и приложении 4; или он может войти в обедненный слой, не имея достаточной энергии для того, чтобы его пересечь, т. е. просто возвратиться туда, откуда он пришел, давая суммарный ток во внешней цепи, равный нулю за масштаб времени, характерный для полупроводниковых приборов. Наконец, носитель может попасть на ХШР-центр внутри обедненного слоя, где он будет оставаться то время, которое определяется динамическими свойствами этого центра. В последнем случае это приведет к импульсу тока во внешней цепи, а сумма таких импульсов от всех центров, находящихся в обедненном слое, образует рекомбинационный ток в этой цепи. Этот ток состоит из стационарной составляющей, на которую накладываются распределенные по случайному закону рекомбинационные флуктуации. Таким же образом, когда имеет место акт генерации на таком центре, генерированный носитель проходит через обедненную область под действием электрического поля в объемную область, где он уже выступает в качестве основного носителя. Токовый импульс

(противоположный по знаку тому, который возникает при актах рекомбинации) генерируется во внешней цепи и сумма таких импульсов представляет собой генерационный ток цепи. Этот ток также состоит из стационарной составляющей и наложенных на нее распределенных по случайному закону генерационных флуктуаций [29].

Прохождение дырки между p-областью и ХШР-центром, локализованным в точке х (рис. 4.5), приводит к переносу заряда

I Область )

Ппереходап

写 及 у——Потенциал

о-область ——ф — п-область

°“" у_место-

нахождение

Рис. 4.5. Эскиз одиночного ХШР-центра рекомбинации □, который находится в плоскости, соответствующей координате %, для случая одномерной об^ ласти перехода.

во внешней цепи, эквивалентному qn (х); в свою очередь прохождение электрона между n-областью и тем же самым центром приводит к переносу заряда по внешней цепи, эквивалентному 4О・ Поэтому можно записать

夕= %(%)+% (办(4.41)

Легко показать, что

% ⑴=-tV J Е(%)欣=除，(4-42а>

о

и

w

9n (%) = _/JE (灯成=外1一先｝ (4.426)

где W и Vw — ширина и падение потенциала области перехода

соответственно: £(х) —напряженность электрического поля внутри этой же области, a Vx — потенциал в точке х. Если считать, что время прохождения носителей бесконечно мало, то токи во внешней цепи, связанные с др и qn, можно записать в・ виде

ip (爲 0 = qp$ (f—Q = 9 "^~ 3 (f—%) (4.43a> и

in 优 0 =纵6 (t-t^ =川 1 一 *) 6 (t-t^ (4.43б> где tp и f〃一 времена прохождения электронов и дырок.

Единичные ХШР-центры, через которые идут процессы рекомбинации и генерации, могут существовать в двух зарядовых состояниях. Средние значения времени нахождения центра в： каждом из таких состояний не равновероятны, состояние с большим значением заряда будет менее вероятным из-за кулоновских взаимодействий с зарядами противоположного знака (предполагается достаточно большое количество носителей обоих знаков). Следовательно, при подаче прямого напряжение смещения центр, который может существовать в нейтральном или отрицательно заряженном состоянии, будет находиться ос- новное время в нейтральном состоянии, потому что вслед за： захватом электрона, который должен перевести центр в отрицательно заряженное состояние, почти мгновенно будет следовать захват дырки, которая возвращает центр в нейтральное состояние; в нем, вероятно, центр будет находиться сравнительно длительное время до тех пор, пока не произойдет следующий захват электрона. Подобная асимметрия в сечении захвата центра означает, что на низких (по сравнению с обратным значением времени нахождения в менее вероятном состоянии) частотах прохождения дырок и электронов, приводящих, к токам, описываемым уравнениями (4.43), могут рассматриваться как одновременные события и вместо пары независимых, токовых импульсов для каждого полного цикла рекомбинации* имеется только один, который определяется как

i (%, f) = ip (%, 方) + 〃 (居 f)=%传)， (4.44>

где мы полагаем 勿=幺九=0. Подобные доводы справедливы и для процесса генерации носителей, так как было бы странно, если бы коэффициенты эмиссии дырок и электронов центра были бы одинаковыми или очень похожими.

Допустим теперь, что скорости рекомбинации и генерации^ на единицу объема в точке х в обедненном слое соответствуют R(%) и G(x). Тогда токи, обусловленные рекомбинацией и гене-

рацией на ХШР-центрах, находящихся в переходной области, •описываются уравнениями

R (х) dx(4.45а)

о и

IG = qA^G(x) dx,(4.456)

b

где Л — площадь перехода. Из уравнения (4.44) в сочетании с теоремой Карсона спектральные плотности рекомбинационного "и генерационного шума имеют вид

57^ = 2,24『R (х) dx(4.46а)

о

：и

瘍両=2产4 f G (x) d居(4.466)

b

тде интегрирование по х дает вклад в шум от всех областей обедненного слоя. В уравнениях (4.46) неявно предполагается, что ХШР-центры действуют независимо друг от друга, что, очевидно, справедливо в том случае, когда их концентрация не »очень велика [16]. Из уравнений (4.45) и (4.46) легко видеть, что

甌匝= 2q%(4.47а)

и

S^y=2〃G・(4.476)

Следовательно, на низких частотах, таких, что выполняется уравнение (4.44), рекомбинационный ток при прямом смещении и генерационный ток при обратном смещении показывают полный дробовой шум.

При нулевом смещении и, кроме того, для низких частот, "когда можно использовать уравнение (4.44), спектральная плотность этого шума описывается выражением

W

§л研=2?М J [R。(x) + G0 (x)]dx,(4.48)

о

?где Ro(x) и Gq(x) — равновесные скорости рекомбинации и ге-

нерации, которые конечно одинаковы. Теперь для проводимости перехода имеем

w

G^4^^^^(4働

о

где, согласно теории Холла ——Шокли — Рида, суммарная скорость процесса имеет вид

R (%)—G (%)-г-.(4.50>

(p + p1) ^n + (^ + ^i)тр •<'

В этом выражении pi, nb тр и тл — обычные обозначения, определенные Шокли и Ридом. Дифференцируя выражение (4.50) по напряжению (имея в виду, что рм = /г2/ехр (qV/kQ) в пределах обедненного слоя) и устремляя V—>0, из уравнения (4.49), находим

w

Grg = *『&(%)〃•(4.51)

о

Из уравнения (4.48) следует, что

S^ = 4^8Grg,(4.52>

именно такое значение и ожидалось для спектральной плотности равновесньк шумов, так как правая часть уравнения (4.52) есть точное выражение Найквиста для теплового шума при проводимости Grg・

На частотах, более высоких, чем обратная величина среднего времени жизни менее вероятного состояния центра, импульсы тока в уравнении (4.43) можно рассматривать как независимые, случайные события. В этом случае уравнением (4.44) воспользоваться нельзя и вместо уравнения (4.46) имеем

w

= 2A^R (尤)(q/+%2)dx(4.53a>

о

и

w

M^ = 24 j G (%) (%2十 ％2)d%.(4.536)，

о

В случае больших значений обратного напряжения смещения носители «высасываются» из переходной области, так что р^п^О для всех х и скорость генерации, согласно уравнению，

(4.54)(4.54)принимает вид

(4.54)

(4.54)

т. е. не зависит от х. Поэтому спектральная плотность шума, определенная из уравнений (4.43) и (4.536), описывается выражением

亚=2产46口(含-了+(1一奇)口 dx. (4.55) 0 L

Если считать, что распределение потенциала по переходу линейно и имеет вид Vx=Vw(x/W)f то имеем

w

丽画=2%G J ( 1 一筈 + 務)厶=£ q^AGW =等〃g, (4.56) о■

где последнее выражение получено с помощью уравнения (4.45а). Отсюда видно, что для высоких частот и обратного напряжения смещения генерационный шум равен двум третям полного дробового шума. Этот результат был теоретически получен Лауритценом [10] и находится в хорошем согласии с экспериментальными результатами, полученными Скоттом и Страттом [19].

Ван-дер-Зил [25, 26] вычислил интеграл в уравнении (4.45), используя линейную зависимость профиля электрического поля (в отличие от постоянной), и нашел, что коэффициент подав- .ления шума равен 11/15 для сильно асимметричных переходов и 23/30 для симметричных. Эти значения так близки к коэф- • фициенту 2/3, вычисленному Лауритценом, что вызывает сомнение, будут ли полученные в дальнейшем экспериментальные данные настолько точными, чтобы можно было отметить раз- .личие между ними.

При средних значениях напряжения смещения скорость ре- ^комбинации в уравнении (4.50)

(4方7)

имеет резкий максимум в плоскости, где рх^Щр. Пусть % = =%т — положение этого максимума, тогда из уравнений (4.45а) и (4.53а) имеем для высокочастотной составляющей спектра рекомбинационного шума

=誓[?n2 (%n) + %2(Xj] =

=2%[1一2 幾+2 黑],(4.58)

где интегралы брались пропорционально (с одинаковыми коэффициентами пропорциональности) своим подынтегральным выражениям, вычисленным при х=хт. У симметричных переходов плоскость максимальной рекомбинации находится в центре обедненной области, следовательно, Vxm/Vw= 1/2 и

Sr @) = qlr, (4.59а)

что соответствует коэффициенту подавления, равному 1/2. С другой стороны, в том случае, когда переход является сильно асимметричным, плоскость х=хт находится ближе к границе переходной области у низколегированной стороны р—п-перехо- да, отношение Vxm/Vw близко к нулю или единице и в любом случае

豆®)^2〃r. (4.596)

Таким образом, и в этом случае коэффициент подавления близок к единице, но меньше ее.

Величины коэффициентов подавления, характеризующие рекомбинационно-генерационные шумовые токи для разных условий, которые были рассмотрены выше, приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Величины коэффициентов подавления рекомбинационно-генерационного шума, возникающего в обедненном слое

Симметричный переход

Асимметричный переход

Низкие частоты

1

1

Прямое смещение

Высокие частоты

0,5

41

Низкие частоты

1

1

Обратное смещение

Высокие частоты

42/3

42,3

Следует иметь в виду, что данные, приведенные в этой таблице, вычислены в предположениях, что акты рекомбинации — генерации, обусловливающие шум, имеют место либо парами, приводя к одному импульсу тока gb(7) во внешней цепи (низкие частоты), либо абсолютно независимы (высокие частоты). Такие упрощающие предположения не существенны для теории, как это подтвердило исследование данного вопроса, выполненное Лауритценом, которое включало статистический анализ формы колебаний рекомбинационно-генерационного тока, связанного с особенностями ХШР-центров. Однако, как мы и предполагали, количественные результаты этого анализа существенно не от-

личались от рассмотренных выше, что связано с тем, что данный рекомбинационно-генерационный шум не зависит существенно от условий, при которых находится переход. Так как подход Лауритцена достаточно сложен, его рассмотрение здесь не проводится.

Биполярный транзистор

Как уже упоминалось в разд. 4.2.5 при рассмотрении короткого диода, шум в биполярном транзисторе можно проанализировать, во многом используя те же подходы, что и .при рассмотрении шума в диоде с р—/г-переходом. Естественно, при рассмотрении шумов в транзисторах следует иметь в виду роль контакта базы, в частности тот факт, что весь ток, обусловленный рекомбинацией в обедненном слое перехода эмиттер —— база, течет через базовый контакт коллектора. Составляющая базового тока, обусловленная рекомбинацией в обедненном слое, равна полному дробовому шуму, т. е. соответствующий коэффициент подавления шума равен единице (табл. 4.1 для случая смещенного в прямом направлении асимметричного перехода).

При отсутствии рекомбинации в обедненном слое перехода эмиттер — база транзистор можно считать «идеальным» в том смысле, что его зависимость ток — напряжение подчиняется диффузионной теории Шокли р—м-перехода. Воздействие рекомбинации в обедненном слое перехода эмиттер — база на шум на контактах прибора проявляется как добавление независимой составляющей к 《идеальным》шумовым токам эмиттера и базы.

В дальнейшем рассмотрении мы будем использовать термин «идеальный» в сочетании с определенными параметрами транзистора. Например, YE —《идеальная》полная проводимость перехода эмиттер — база, т. е. проводимость, которая будет наблюдаться в отсутствие рекомбинации в обедненном слое. Теория Шокли дает выражение для YE в терминах геометрии и базы, времени рекомбинации неосновных носителей в базе и т. д.

Спектральные плотности флуктуаций в эмиттерном и коллекторном токах можно записать непосредственно из уравнений (4.20) и 4.27)

^)=警+需厶+2〃曲，(4.60)

菜⑹=幣4+上新й(4.61)

где IBr — компонента базового (и эмиттерного) тока, обуслов-

ленная рекомбинацией носителей в обедненном слое. Интегралы по области базы в уравнениях (4.60) и (4.61) приобретают такую же форму, что и интегралы по n-области в уравнениях (4.20) и (4.27)

w

^^\^^^(4.62a)

о

/2 = jS+Pn)|^；『dH,(4.626)

о

厶=m豪%(4.62b)

о

W

厶=『9+p』1^回(4.62г)

о

где W—ширина области базы, a k — параметры, точно определенные ранее. По аналогии с уравнениями (4.20) и (4.27) видно, что интегралы в уравнениях (4.62) связаны с тепловыми флуктуациями (Л и /3)л а также рекомбинацией — генерацией (Л и /4) в области базы.

Если провести вычисление интегралов в уравнениях (4.62), то можно показать, что уравнения (4.60 и (4.61) сводятся к виду [1]

S»e(s) = 4〃e(^^) —4〃耿(^1 )=

S»c(3)=2q】c， (4.64)

где Ge — «идеальная» проводимость перехода эмиттер — база; G/ — значение GE для низких частот; 1Е и /с — токи эмиттера и коллектора, a /es = /e—Ibr — «идеальная» или диффузная составляющая постоянного тока эмиттера. Вид спектральной зависимости, задаваемой выражением (4.63), показывает, что флуктуации тока эмиттера включают в себя составляющую дробового шума из-за рекомбинационных процессов в обедненном слое и, кроме этого, составляющую, связанную с тепловыми флуктуациями и процессами рекомбинации — генерации в области базы. На низких частотах, когда Ge^ Geo, последняя

составляющая сводится к обычному дробовому шуму в /es, откуда следует, что на этих частотах весь шум тока эмиттера определяется полным дробовым шумом. Уравнение (4.64) показывает, что для всех частот ток коллектора имеет шумовую ставляющую, равную полному дробовому шуму, этот факт на； ходится в согласии с версией о потоке независимых между собой носителей электричества, проходящих через коллекторный переход. 。

Помимо спектральных плотностей флуктуаций токов в транзисторе, нас также интересует вопрос о связях этих спектральных плотностей на разных контактах прибора. Так как причиной этих флуктуаций являются схожие физические процессы, то, очевидно, до некоторой степени следует ожидать корреляцию между этими флуктуационными процессами.

Спектральная плотность шумовых токов эмиттера и коллектора с учетом взаимной корреляции может быть получена как следствие из теоремы Карсона в разд. 2.14, уравнение (2.99). Если принять во внимание, что вклады от тепловых флуктуаций, процессов рекомбинация ——генерация в объемной области и процессов рекомбинация — генерация в обедненном слое не зависят друг от друга, то из уравнений (4.17) и (4.25) после интегрирования по области базы имеем

S“(3)= —醬厶+警厶， (4・65)

где /5 и /б — следующие интегралы:

自月取馬*亀*自月取馬*亀*(4.66a)(4.66a)w

自月取馬*亀*

自月取馬*亀*

(4.66a)

(4.66a)

人="о

wbwbи

w

b

w

b

(4.666)

Первый из этих интегралов /5 связан с тепловыми флуктуациями в области базы, а второй 厶—с процессами генерации ——рекомбинации в этой же области. Следует отметить, что рекомбинация в обедненном слое не учитывается выражением (4.65), так как флуктуации тока коллектора определяются независимыми событиями от актов рекомбинации в переходе эмиттер — база.

Уравнение (4.65) выведено с учетом доводов, аналогичных тем, которые привели к формулам спектральных плотностей (4.20) и (4.27), за исключением кросс-произведений импульсов шума коллектора и эмиттера, используемых для получения

кросс-спектральной плотности (или функции спектральной плотности с учетом корреляции), а не квадратов импульсов, используемых ранее для получения спектральной плотности.

Вычисляя интеграл в уравнении (4.66) и сравнивая результаты с выражениями для параметров транзистора, легко показать, что

院両一2〃。^齧院両一2〃。^齧(4.67)(4.67)

院両一2〃。^齧

院両一2〃。^齧

(4.67)

(4.67)

где 丫石一полная проводимость «идеального» перехода эмиттер—база; as — отношение переменного тока коллектора к «идеальному» переменному току эмиттера, a aOs — низкочастотное значение as. Для низких частот, когда as — aos и Ye^GEo9 кросс-спектральная плотность, задаваемая уравнением (4.67), сводится к выражению, которое не зависит от частоты

SCE («) 4 —2〃с・ (4.68)

Нормализованная кросс-спектральная плотность или когерентная функция флуктуаций токов коллектора и эмиттера определяется следующим образом [разд. 2.14, уравнение (2.81)]:

「СЕ =「СЕ =Sce (з)Sce (з)с % ye 2ql С — —с % ye 2ql С — —(4.69)(4.69)

「СЕ =

「СЕ =

Sce (з)

Sce (з)

с % ye 2ql С — —

с % ye 2ql С — —

(4.69)

(4.69)

Для низких частот, когда YEc^GE^ GEQ и as = aos, из уравнения (4.63) имеем SiE(a)) ^ 2qIE = 2qaQIcf где 1Е — полный стационарный ток эмиттера, а следовательно,

『се J产.(4.70)

Так как для большинства современных транзисторов величина ао близка к единице, то для диапазона частот, в котором выполняется выражение (4.70), флуктуации коллекторного и эмиттерного токов сильно коррелированы. Знак минус в уравнении (4.70) следует из принятого нами условия, что токи, протекающие в базе, являются положительными; это приводит к отрицательной корреляции между низкочастотными флуктуациями входящего тока эмиттера и выходящего из базы тока коллектора.

Спектральная плотность флуктуации тока базы определяется следующим соотношением:

Sjs (^) = SiE (з) +S( (co) + Re SCE (co).(4.71)

Это выражение получено подстановкой iB(t)= — [iE(t) +ic(t)], выполнением фурье-преобразования 1в(]^), возведением в квадрат модуля и последующим усреднением. После подстановок выражений из уравнений (4.67) —(4.69) и нескольких алгебраи-

ческих преобразований получаем, что

^=2叫春+ .2GE-囁睛吟(4.72)

где ро=/с//в — отношение установившихся токов коллектора и базы (включая рекомбинационную составляющую). Как и следовало ожидать, в случае низких частот спектр, задаваемый уравнением (4.72), сводится к 2〃в, т. е. ток базы имеет полный дробовой шум.

Используя по существу те же доводы, что и для получения выражения (4.71) для кросс-спектральной плотности токовых флуктуаций коллектора и базы, получаем следующую формулу:

Scb (①)=—Sce (со) — SiC (со)(4.73)

и, следовательно, из формул (4.64) и (4.67) — формулу

痂画2叫齒. (4.74)

Если clsYe разложить в ряд Тейлора, то для первого порядка по частоте получаем выражение

^-a0SG£0(l-«),(4.75)

где т/ = W2/2D, a D — коэффициент диффузии неосновных носителей в области базы. Коэффициент диффузии для дырок в кремнии равен примерно 12 см2/с, что для базы шириной 2 мкм дает величину ту = 1,7 нс. Из уравнения (4.75) следует, что, ограничиваясь членом, содержащим первый порядок по частоте, скоррелированная функция спектральной плотности в уравнении (4.74) принимает форму

Scb2 4 —2〃с (，叫/3),(4.76)

которая является чисто мнимой. Нормализованная функция спектральной плотности с учетом корреляции между токовыми флуктуациями на контактах коллектора и базы описывается формулой

Гсв =『—(4.77)

которая в случае низких частот сводится к виду

rCB--poV2(/coTy/3).(4.78)

И наконец, нас интересует функция спектральной плотности с учетом корреляции между флуктуациями тока на контактах

Таблица 4.2. Сводка функций спектральной плотности и функций спектральной плотности с учетом корреляций для токовых флуктуаций в биполярных транзисторах

Спектральная плотность

Функция спектральной плотности с учетом корреляции

SjE® 42〃е

Гсе 4 —а01/2

Sic(s)d2qlc

г…*件）

SiB(s) 4 2〃в

эмиттера и базы

Seb (①)=-Sje (①)一SEC (co)=

=—2qlc=—2qlc2Ge2Ge2 ) 12 ) 1WsGeo Ms 丁 ВоWsGeo Ms 丁 Во1-嗚门（479）1-嗚门（479）

=—2qlc

=—2qlc

2Ge

2Ge

2 ) 1

2 ) 1

WsGeo Ms 丁 Во

WsGeo Ms 丁 Во

1-嗚门（479）

1-嗚门（479）

Для низких частот это выражение сводится к выражению

5^画 4 _2〃с/Во,(4.80)

а соответствующая нормализованная функция спектральной

плотности с учетом корреляции принимает вид

Seb ®) 回e®)S出®)］萌Seb ®) 回e®)S出®)］萌(4.81)(4.81)

Seb ®) 回e®)S出®)］萌

Seb ®) 回e®)S出®)］萌

(4.81)

(4.81)

Сводка полученных выше в низкочастотном пределе выражений для разных спектральных плотностей и функций спектральных плотностей с учетом корреляций токовых флуктуаций на контактах транзистора приводится в табл. 4.2.

Коэффициент шума, обусловленный собственным шумом транзистора

Как видно из предыдущей главы, удобно выражать шумовые свойства линейных двухполюсников в виде коэффициента шума. Эта величина является параметром, который можно определить непосредственно путем выполнения измерений на клеммах двухполюсника; очевидно, она определяется типом цепи, в которую включены элементы. Поэтому, чтобы определить коэффициент шума биполярного транзистора, прежде всего необходимо рассмотреть соответствующую эквивалентную схему для этого элемента.

Для случая слабого сигнала транзистор является линейным элементом и сейчас его обычно представляют так называемой «л гибридной» цепью, которая представлена на рис. 4.6 и содержит только резисторы, конденсаторы и один генератор тока, управляемый напряжением между клеммой эмиттера и фиктивной «внутренней клемой базы BS. В такой цепи сопротивление базы гъ рассматривается как внешняя составляющая, подключенная последовательно с внешним импедансом между контактами эмиттер — база. «Внутренний» транзистор с контактами В', Е, С, очевидно, полностью соответствует модели,

которая была рассмотрена для расчета шумовых характеристик в разд. 4.4, так как там неявно подразумевалось, что сопротивление базы равно нулю. Коль скоро влияние сопротивления базы в такой эквивалентной схеме исключается, то здесь мы его рассматривать не будем, а сконцентрируем свое внимание на этом «внутреннем» транзисторе В', Е, С.

Матрица полного сопротивления такого транзистора имеет вид

嘉 + 嗫 +'”（Cb'e+Ссв，） —浣―jsCg

丫=，（4・82）

где gm — взаимная проводимость транзистора. Для многих целей эту матрицу можно упростить следующим образом:

gm + Т®Ссв，

=丿,（4.83）

gm0 J

где /z%o — низкочастотный коэффициент усиления по току, a rj=W2l2Dt как определено ранее.

Источники шумов в транзисторе теперь можно представить в виде внешних генераторов шума, подсоединенных к выводам «бесшумной» эквивалентной схемы. Это иллюстрируется рис. 4.7, на котором представлены генераторы тока iGb(0 и 〃с⑴,

Рис. 4.7. Внешние эквивалентные генераторы шума, подсоединенные к выходам эмиттер — база и эмиттер — коллектор транзистора.

подсоединенные к выходам эмиттер — база и эмиттер — коллектор, соответственно. Спектральные плотности этих генераторов и кросс-спектральные плотности с учетом корреляций между ними задаются выражениями (4.64), (4.72) и (4.74).

Схема, представленная на рис. 4.7 в таком виде, не является удобной для расчета коэффициента шума транзистора, так как генераторы шума не подсоединены ко входу транзистора. При переносе шумовых генераторов с выхода на вход, приходим к двум другим генераторам ina(t) и vna(t) на входе тран-

Рис. 4.8. Эквивалент схемы на рис. 4.7, когда оба генератора отнесены к входу.

зистора, как это показано на рис. 4.8. Такую эквивалентную схему можно использовать для вычисления шумовых токов и напряжений на входе транзистора (см. с. 61, гл. 3). Используя преобразование Фурье, имеем для генераторов, представленных на рис. 4.8, следующие выражения:

Vna= Tgc/Y 2 J(4.84а)

и

^па~【GB — (^11/^21) ^GC，(4.846)

где У—параметры, соответствующие элементам матрицы проводимости в уравнении (4.83). Из уравнений (4.64), (4.72) и (4.74) следует, что спектральные плотности этих двух генераторов имеют вид

Soa (со) 4 2qIc/G2EQi(4.85а)

и 4

sia (со) 4 2% = 丁 qlgF(4.856)

а кросс-спектральная плотность с учетом корреляции между ними описывается выражением

阮网4 餐—等")，(4・85B)

где Geo — низкочастотное значение проводимости эмиттер — база. При выводе уравнений (4.85) использовались следующие соотношения:

%$ 4 1,吟ео》Во》1，①2^2《1 •(4.86)

После этого коэффициент шума собственно транзистора можно определить, используя эквивалентную схему, изображен-

Рис. 4.9. Эквивалентная схема для расчета коэффициента шума транзистора.

ную на рис. 4.9. В ней is(t)—сигнальный генератор тока; У$ = = Gs + jBs — полный адмиттанс источника сигнала; ins(t) — генератор шумового тока, спектральная плотность которого равна 4kQGSf a inb(t)——генератор тока, эквивалентный генератору vna(t)t представленному на рис. 4.8. Согласно теореме Нортрона, для этого генератора в терминологии преобразования имеем

“ = Wg(4.87)

Из эквивалентной схемы рис. 4.9 и уравнений (4.85) следует,

что коэффициент шума описывается формулой

尸=】+战А 17咨~+告 4^l+4coM+

1 4^8G& [\ G2& 1 3 Geo I 3 丿

++(4.88a)

1 Po 1 I GE0hfe0 丁 ' 丿

которую при дополнении до полного квадрата можно предста

вить в виде

F = 1 +微［（詰+等5/+等也"

(4.886)(4.886)I 1 I GJ」2Gsi 十昭十存£十硒

(4.886)

(4.886)

Штрихи в этих уравнениях указывают, что они относятся к транзистору, включенному в эквивалентную схему.

Оптимальные шумовые условия достигаются тогда, когда реактивная проводимость источника принимает значение

В$о=—у G^nj,(4.89а)

которое соответствует индуктивности источника 3/(2Geo(o2T/). Если подставить Bs0 вместо Bs в уравнение (4.886), то условие согласования шумов определяется минимизацией коэффициента шума по проводимости источника. Эта процедура приводит к оптимальной проводимости источника, описываемой формулой

= Ge。(* + 等 叫2广， (4.896) откуда следует, что наименьшее значение коэффициента шума имеет вид

77 4 1+(言+等皿厂 (4・90) где членом, содержащим \&映,пренебрегли и использовали соотношение Geo ^qlc/^Q. Следует отметить, что, как и в эксперименте, согласно уравнению (4.90), минимальное значение коэффициента шума возрастает с увеличением частоты.

Уравнение (4.90) дает представление о предельных значениях шумовых характеристик транзисторов. На низких частотах, когда зависящий от частоты член пренебрежимо мал, Fq сводится к 1 + 1/У₽о, что при Ро= ЮО соответствует 0,4 дБ. Такая величина находится в хорошем соответствии с измерениями Фолкнера и Хардинга [6], свидетельствующими о том, что шумовые параметры современных кремниевых планарных транзисторов почти достигли своего оптимума и что эффекты,

обусловленные ненулевым сопротивлением базы и избыточными шумами, т. е. те факторы, которые не рассматривались в проведенном выше анализе, могут быть сведены к пренебрежимо малым значениям.

Когда же по каким-либо причинам адмиттанс источника должен учитываться, то условия оптимального согласования являются невыполненными, т. е. не имеется возможности нейтрализовать индуктивную часть зависящей от частоты составляющей в выражении для коэффициента шума. В этом случае считают & = 0 и минимизируют выражение для 尸 в выражении (4.886) относительно Gs, причем минимальная величина коэффициента шума при таких условиях описывается формулой ?。公1十信+A 守广(49)

Очевидно, что это выражение отличается от выражения (4.90) только на высоких частотах, т. е. в тех случаях, когда член, зависящий от частоты, является существенным. Как и в случае уравнения (4.90), данное уравнение представляет собой некий предел для шумовых параметров транзистора, реально не достижимый на практике, так как при выводе его не учитывались эффекты, связанные с конечным сопротивлением базы и избыточные шумы транзистора.

Низкочастотная эквивалентная схема с учетом сопротивления базы

Эквивалентная схема, представленная на рис. 4.8, точно описывает шумовые свойства собственно транзисторов в достаточно широком диапазоне частот, однако во многих практических случаях она является достаточно сложной. Для частот, значительно меньших величины 1/(т7УРо), эту схему можно упростить, если считать, что генераторы тока и напряжения на рис. 4.8 являются《белыми》и некоррелированными, т. е. [сравни с уравнениями (4.85а) и (4.856)]

S^M 1 2〃c/G2e° 亠 2砌Ge，(4.92a)

S^W z2qlB~ 2kQ/^GE0i(4.926)

и

亠 0,(4.92b)

где Tvi — нормализованная кросс-спектральная плотность между данными генераторами.

Здесь как раз удобное место для введения в рассмотрение сопротивления базы транзистора； оно включается в эквивалент-

ную схему, представленную на рис. 4.10, где введен генератор напряжения теплового шума Vb(t)t обусловленного наличием %. Низкочастотный коэффициент шума транзистора в этом приближении можно получить непосредственно из расчета этой схемы в сочетании с уравнениями (4.92). Считая действитель-

Рис. 4.10. Эквивалентная схема транзистора с учетом сопротивления базы.Рис. 4.10. Эквивалентная схема транзистора с учетом сопротивления базы.

Рис. 4.10. Эквивалентная схема транзистора с учетом сопротивления базы.

Рис. 4.10. Эквивалентная схема транзистора с учетом сопротивления базы.

ным полный адмиттанс источника, имеем

(4.93)(4.93)1 I (% +乙/2) I (Rs + №)2 ]

(4.93)

(4.93)

где re= 1/Geo- Если удовлетворить условиям

Во》1 и 〃》大,Во》1 и 〃》大,(4.94)(4.94)

Во》1 и 〃》大,

Во》1 и 〃》大,

(4.94)

(4.94)

то выражение для коэффициента шума сводится к виду

1 ] (「Ь + Г е/2)J Rs ]1 ] (「Ь + Г е/2)J Rs ](4.95)(4.95)

1 ] (「Ь + Г е/2)J Rs ]

1 ] (「Ь + Г е/2)J Rs ]

(4.95)

(4.95)

гдеигдеи&产电+"2^ni ~ 2Г力0.&产电+"2^ni ~ 2Г力0.

где

и

где

и

&产电+"2

^ni ~ 2Г力0.

&产电+"2

^ni ~ 2Г力0.

Теперь запишем его следующим образом:

(4.96)

(4.97а)

(4.976)

Из этих выражений легко видеть, что Rnv и Rni можно интерпретировать как шумовые сопротивления некоррелированных последовательно соединенных генераторов напряжений и параллельно соединенных генераторов тока на выводах эмиттер — база. Следует отметить, что влияние сопротивления базы на коэффициент шума учитывается просто добавлением сопротивления гь последовательно к шумовому сопротивлению транзистора.

Условия согласования шума реализуются в том случае, когда сопротивление источника имеет оптимальную величину, описываемую выражением

Rs。= V WM = [2寸。(rb^rel^l\ (4.98) что соответствует минимальному коэффициенту шума

尸佇婚户厂. (4.99)

Ясно, что когда 厂？》厂岳 т. е. влияние сопротивления базы пренебрежимо мало, то выражение для минимального коэффициента шума сводится к выражению

尸 + 瓦， (4.100) что, вообще говоря, и следовало ожидать на основе уравнений (4.90) и (4.91).

Рабочий диапазон, при котором второе из неравенств (4.94) имеет место, нагляднее всего можно проиллюстрировать на примере, рассмотренном Фолкнером [5]. Напомним, что % = = h8lqlc, и, следовательно, когда /с= 1 мА,乙=25 Ом при комнатной температуре. Для малошумящего планарного кремниевого транзистора, который используется для звуковых частот, величина % = 200 Ом. В этом случае 乙》％ для величин тока вплоть до 7с = 125 мкА. При таком рабочем токе параллельное и последовательное шумовые сопротивления в выражениях (4.97) ^nv = 300 Ом (при р0= ЮО), R山=40 кОм, что приводит на основе уравнения (4.98) к оптимальному сопротивлению источника &о = 3,5 кОм [уравнение (4.98)]. Соответствующее минимальное значение коэффициента шума на основе уравнения (4.99) составляет 尸0亠0,68 дБ.

Улучшения величины Fo можно достичь, если уменьшить 1С на порядок и более, в этом случае гь в уравнении (4.99) становится значительно меньше члена 乙/2 и минимальное значение коэффициента шума рассчитывается по формуле (4.100). Считая опять р0= ЮО, получим, что в этом случае Ео—0,43 дБ.

Интересная особенность проведенного выше анализа шумовых свойств в области низких частот была отмечена Фолкнером [5]. Он обратил внимание на то, что входное сопротивление на низких частотах в схеме с общим эмиттером (% + 矶0乙) примерно такое же, что и подключенное параллельно шумовое сопротивление R* так как й/ео обычно находится в интервале Ро—2р0. Это означает, что биполярный транзистор в схеме с общим эмиттером не обладает хорошим коэффициентом шума, если схему не использовать как усилитель напряжения, т. е. пока его входное сопротивление не будет существенно боль-

шим, чем сопротивление источника. Это противоречит сложившемуся мнению, неоднократно высказывавшемуся и в литературе о том, что биполярный транзистор является главным образом усилителем тока, и которое, как отмечает Фолкнер, ведет к большому непониманию.

Вклад l/f-шума в коэффициент шума

Рассмотрение, проведенное выше, абсолютно не затрагивало вопроса о влиянии шума 1/f на коэффициент шума биполярных транзисторов. Фолкнер [5] показал, что этот фактор можно учесть просто, если во все уравнения разд. 4.6 вместо р0 подставить эффективный коэффициент усиления по току 6%, который определяют следующим соотношением:

Во'=Во'=в。в。(1 +3f/①).(1 +3f/①).(4.101)(4.101)

Во'=

Во'=

в。

в。

(1 +3f/①).

(1 +3f/①).

(4.101)

(4.101)

где сор ——характерная угловая частота шума 1/f. Для достаточно хорошего малошумящего кремниевого планарного транзистора значение со尸/2п менее примерно 1 кГц [6]. Для гораздо больших частот В%=0о, так что можно использовать все выражения, которые проводились выше для расчета коэффициента шума. Когда з《з^, шум 1/f представляет собой существенный вклад в общий шум транзисторов, тогда величина В'о—>1 и в этом случае подобный элемент уже нельзя считать малошумящим. Проведенный выше анализ, очевидно, неприменим в этом диапазоне частот.

Вопросы, связанные с малым сопротивлением источника

В соответствии с уравнениями (4.94) и (4.98) оптимальным сопротивлением источника можно считать такое, которое имеет минимальное значение для определенных значений р0 и 厂匕， когда 乙=%. Таким образом, минимальным значением сопротивления оптимального источника является величина гьУЗРо, которая при р0= ЮО и 厂匕=200 Ом составляет 3,5 кОм; так как обычно величина гь крайне редко бывает во много раз меньше 100 Ом, следует ожидать, что оптимальное сопротивление источника будет всегда больше примерно 2 кОм.

В источниках, сопротивление которых менее 2 кОм, возникают проблемы: в этих случаях отсутствует возможность непосредственно удовлетворить условиям для получения минимального коэффициента шума. Одно из решений проблемы в

подобных случаях состоит в использовании трансформатора для согласования источника с малым значением импеданса и транзистора. Однако использование входного трансформатора в малошумящем усилителе звуковой частоты, как правило, крайне нежелательно, а в ряде случаев просто невозможно.

Другое решение предложил Фолкнер [4], когда несколько транзисторов соединяют параллельно, как это показано на рис. 4.11. Главная особенность этого метода заключается в том, что,

Рис. 4.11. Параллельное соединение транзисторов.

Все элементы, за исключением самих транзисторов, на схеме не указаны.

когда соединяют параллельно п идентичных усилителей, последовательное и параллельное шумовые сопротивления такой схемы уменьшаются в п раз по сравнению со схемой с одним таким усилителем. Таким образом, оптимальное сопротивление внешнего источника также уменьшается в п раз по сравнению с тем, что требуется для согласования с одним усилителем. Например, при 〃 = 4 и сопротивлении базы транзистора, равном 100 Ом, оптимальное сопротивление источника оказывается равным 500 Ом, по сравнению с 2 кОм для случая одного транзистора, о котором говорилось выше.

Даже в том случае, когда условия согласования для оптимизации шумовых свойств схемы не выполняются, метод параллельного соединения транзисторов все же значительно улучшает шумовые параметры. Например, при сопротивлении источника, равном 30 Ом, ге = г&=100 Ом и 聞=100, коэффициент шума, рассчитанный из выражения (4.95) для одного транзистора, составляет 7,8 дБ. При использовании же четырех параллельно соединенных транзисторов коэффициент шума уменьшается до 3,5 дБ, что приводит к резкому улучшению качества работы устройства.

ЛИТЕРАТУРА

М. J. Buckingham, Е. A. Faulkner (1974), The theory of inherent noise in p—n junction diodes and bipolar transistors, The Radio and Elect. Eng., 44, 125—140.

E. R. Chenette (I960), Frequency dependence of the noise and the current amplification factor of silicon transistors, Proc. IRE (correspondence), 48> 111—112.

E. R. Chenette, A. van der Ziel (1962), Accurate noise measurements。注 transistors, IRE Trans, on Elect. Dev., ED—9, 123—128.

E. A. Faulkner (1966), Optimum design of low-noise amplifiers, Elect. Lett» 2, 426—427.

E. A. Faulkner (1968), The design of low-noise audio frequency amplifiers. The Radio and Elect. Eng., 36, 17—30.

E. A. Faulkner, D. W. Harding (1968), Some measurements on low-noise transistors for audio frequency applications, The Radio and Elect. Eng., 36》 31—33.

W. Guggenbuehl, M. J. 0. Strutt (1957), Theory and experiments on shot noise in semiconductor junction diodes and transistors, Proc. IRE, 45, 839— 854.

R. N. Hall (1952), Electron-hole recombination in germanium, Phys. Res, 87, 387.

G. H. Hanson, A. van der Ziel (1957), Shot noise in transistors, Proc. IRE» 45, 1538—1542.

P. O. Lauritzen (1968), Noise due to generation and recombination of carriers in p—n junction transition regions, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—15, 770— 776.

H. C. Montgomery (1952a), Transistor noise in circuit applications, Proc. IRE, 40, 1461—1471.

H. C. Montgomery (1952b), Electrical noise in semiconductors, Bell Syst. Tech. J., 31, 950—975.

H. C. Montgomery, M. A. Clark (1953), Shot noise in junction transistors》 /. A ppi. Phys., 24, 1337—1338.

F.N. H. Robinson (1974), Noise and Fluctuations in Electronic Devices and Circuits, Clarendon Press, Oxford, pp. 99 and 237—239.

R. M. Ryder, R. J. Kircher (1949), Some circuit aspects of the transistor. Bell Sy st. Tech. J., 28, 367—400.

С. T. Sah (1967), The equivalent circuit model in solidstate electronics^ part 1: The single energy level defect centres, Proc. IEEE, 55, 654—671.

С. T. Sah, R. N. Noyce, W. Shockley (1957), Carrier generation and recombination in p—n junctions and p—n junction characteristics, Proc. IRE, 45, 1228—1243.

B. Schneider, M. J. Strutt (1959), Theory and experiments on shot noise in silicon p—n junction diodes and transistors, Proc. IRE, 47, 546—554.

L. Scott, M. J. O. Strutt (1966), Spontaneous fluctuations in the leakage current due to charge generation and recombination in semiconductor diodes. Solid State Elect., 9, 1067—1073.

W. Shockley (1949), The theory of p—n junctions in semiconductors and p—n junction transistors, Bell. Sy st. Tech. J., 28, 435—489.

W. Shockley, W. T. Read Jr. (1952), Statistics of recombination of holes and electrons, Phys. Rev., 87, 835—842.

A. van der Ziel (1955), Theory of shot noise in junction diodes and junction transistors, Proc. IRE, 43, 1639—1646.

A. van der Ziel (1957), Theory of shot noise in junction diodes and junction transistors, Proc. IRE, 45, 1011.

A. van der Ziel (I960), Shot noise in transistors, Proc. IRE (correspondence)к 48, 114-115.

A. van der Ziel (1975a), The state of solid state device noise research, Invited paper at the Fourth Conference on Physical Aspects of Noise in Solid State Devices, Noordwijkerhout, The Netherlands, September 9—11.

A. van der Ziel (1975b), Shot noise in back biased p—n silicon diodes, Solid State Elect., 18, 969—970.

A. van der Ziel, A. G. Th. Becking (1958), Theory of junction diode and junction transistor noise, Proc. IRE, 46, 589—594.

A. van der Ziel, E. R. Chenette (1978), Noise in solid state devices, Advances in Electronics and Electron Physics, 46, 313—383.

К. M. Van Vliet (1970), Noise sources in transport equations associated with ambipolar diffusion and Shockley ——Read recombination, Solid State Elect., 13, 649—657.

R. L. Wallace, W. J. Pietenpol (1951), Some circuit properties and applications of n—p—n transistors, Bell Systm. Tech. J., 30, 530—563.

5

Шум полевых транзисторов с р—//-переходом и полевых транзисторов с МОП-структурой

Введение

Источники шума в полевых транзисторах с р—п-переходом и полевых транзисторах с МОП-структурой весьма схожи, за исключением l/f-шума, который почти полностью отсутствует в первых, но доминирует на низких частотах во вторых. Подобное поведение приводит к обоснованному мнению, что l/f-шум в данном случае связан с поверхностными эффектами.

Важнейшим механизмом возникновения шума в полевых транзисторах (ПТ) являются тепловые флуктуации, которые имеют место в популяции носителей в канале транзистора. Подобные флуктуации проводимости приводят к возникновению теплового шума токов стока и затвора. Другим существенным источником шума является генерация носителей в обедненной области канал — затвор; в ПТ с р—n-переходом механизм подобного же типа приводит к появлению дробового шума в токе утечки через затвор. Другие источники шума в ПТ, включая флуктуации в концентрации носителей в канале, связанные с рекомбинационно-генерационными процессами через ХШР-цент- ры, локализованные в канале, или за счет частично ионизованных доноров (канала n-типа), или акцепторов (канала р-типа),. как правило, несущественны.

Рабочие характеристики полевых транзисторов с р — ^-переходом

За исключением случая противоположной полярности, р- и ^-канальные ПТ с р—дг-переходом действуют почти одинаковым образом. Чтобы избежать излишнего дублирования, в дальнейшем мы рассмотрим работу транзисторов только первого типа.

Поперечное сечение р-канального ПТ представлено на рис. 5.1. Выводы на каждом из концов p-области являются истоком и стоком; они обычно присоединены к областям сильнолегированного полупроводникового материала p-типа. Ток Id че*

рез ПТ протекает через эти два вывода, как показано на рис. 5.1, а третий вывод (затвор) присоединен к слоям 几+-типа, образующим двойной слой в материале р-типа.

ПТ с р—/г-переходом работает при обратном смещении на 〃——/г-переходах. Так как /г-области гораздо сильнее легированы по сравнению с p-областями, пространственный заряд областей переходов почти полностью находится внутри p-области, как это показано штриховкой на рисунке. При подаче на сток и исток разности потенциалов обратное поле смещения в пределах р——^-переходов меняется вдоль координаты %, соответствующей

Рис. 5.1. Поперечное сечение р-канального полевого транзистора с р—п-пе- •реходом (области объемного заряда заштрихованы).

основному направлению в приборе, и, следовательно, толщина областей пространственного заряда также зависит от %. Так как концентрация носителей в области пространственного заряда мала, ток Id течет по каналу, т. е. в материале р-типа, причем границы этого канала формируются границами областей пространственного заряда. Следует отметить, что ток, протекающий в приборе, состоит почти исключительно из основных носителей (дырок в случае ПТ с p-каналом), факт, который дал возможность Шокли назвать такой прибор униполярным в отличие от точечных транзисторов и транзисторов с р—几-переходом, которые в этом смысле являются биполярными [52].

Шокли первоначально дал расчет характеристик ПТ с р—几-переходом для случая малых сигналов, анализируя геометрию проводящего канала. Гров [12] обобщил анализ Шокли, и его работа дала возможность получить рабочие характеристики таких ПТ. Ниже мы кратко обсудим некоторые из аспектов функционирования таких ПТ, но с точки зрения их влияния на шумовые свойства этих приборов.

Допустим, что потенциал в точке х в канале описывается функцией(р(%), тогда падение потенциала на переходах в этой

точке описывается функцией】)

丿(%)=唳十%一中(%),(5.1)

где VB (которое приблизительно равняется 1 В для кремния)— напряжение, обусловленное наличием перехода, a Vg^O — обратное напряжение на клемме затвора. Решая уравнение Пуассона для резко асимметричного перехода, можно получить зависимость потенциала V(x) от ширины областей пространственного заряда

V^—^^a~b^(5.2)

где q — заряд электрона; 乂从 >- плотность акцепторов в канале р-типа; £「一 диэлектрическая постоянная и 80 — проницаемость свободного пространства. Если в любой точке х ширина канала равняется нулю, т. е. 6 = 0, говорят, что канал «смыкается». Этот процесс является- нормальным при работе ПТ с р—^-переходом. Если считать, что Ь(х) =0 в уравнении (5.2), можно определить соответствующее напряжение смыкания

У =冲川2

и, следовательно, ширину канала, которая используется в уравнении (5.2), можно выразить в виде

b(x) = a{X-[V(x)/Vp]^}f(5.4)

где Ю&%・

Потенциал V(x) растет от истока к стоку, область же смыкания канала, если таковая существует, как правило, находится ближе к стоку с протяженностью небольшой, но в то же время и не столь незначительной по сравнению с полной длиной канала. Основная часть падения напряжения в таком случае происходит в области смыкания, и тогда ток через прибор почти не зависит от напряжения стока. В тех случаях, когда подобные условия выполняются, говорят, что ПТ действует в области насыщения.

Ток, текущий по каналу, не зависит от х, и его можно определить следующим соотношением:

厶= 2Ь(%)耽工^"(5.5)

где о — проводимость канала, a w — ширина ПТ, т. е. размер, перпендикулярный плоскости рис. 5.1. Если провести интегри-

1)В уравнении (5.1) косвенно предполагается, что (р(%) измеряется относительно того же уровня, что и потенциалы на выводах триода.

рование левой части уравнения (5.5) по х в пределах от Xi Дб %2, а правой части — по потенциалу в пределах от V\ до 卩厶 т。， можно получить следующее выражение для тока:

/。=[(匕一匕)一(2/3) /T/2 (%3/2-%3/2)](5.6>

Предполагая, что канал не сомкнут, считаем для 尤1 = 0 и х2 = А. справедливыми соотношения %=(Кв+УЪ—Vs) и %=(乙+ + %—Vd), где Vs и Vd — напряжения истока и стока соответственно. Тогда

厶=一统｛力+⑵3)/Т/2 [(唳+%一力)3/2一(乙+()吗｝ (5.7>

(здесь полагаем Vs = 0), a

go = 2o〃®/L(5.8)

—проводимость однородного канала шириной 2а в отсутствие объемного заряда. Отметим, что для обеспечения обратного смещения перехода по всей длине канала необходимо, чтобы 匕)W0.

Уравнение (5.7) является фундаментальным в теории полевых транзисторов с р—斤переходами. Оно применимо при условии, что (%+%—VD)<VP. Если это неравенство не выполняется, то это соответствует случаю смыкания канала и работе прибора в области насыщения. Начало этого режима работы имеет место, когда

= /sat= 一%一唳一%)，(5.9｝

что соответствует току насыщения, описываемому выражением 晔[1—3丝产+2产/门.(5g

До начала режима насыщения, когда величина VD сравнительно невелика и состояние канала далеко от смыкания, т. е. его ширина слабо зависит от координаты 招 ПТ ведет себя как резистор. Такой режим называют обычно работой в линейной области. Омическую связь между ID и VD в этой линейной области можно оценить из уравнения (5.7), если провести разложение его правой части в ряд Тейлора, ограничиться членом первого порядка по VD и считать, что | VD\ ^(VB+ VG). В итоге имеем

Id f门匕.(5.Н)

Следует отметить, что сопротивление канала, которое является обратной величиной множителя при Vd в правой части этого

выражения, увеличивается с возрастанием %• Это сопротивление становится очень большим, когда Vg достигает величины (Vp—Vb), которую называют напряжением выключения. Выключение имеет место в том случае, когда обратное смещение навыражения, увеличивается с возрастанием %• Это сопротивление становится очень большим, когда Vg достигает величины (Vp—Vb), которую называют напряжением выключения. Выключение имеет место в том случае, когда обратное смещение назатворе такое, что канал представляет собой полностью ненную носителями область по всей своей длине.Проводимость канала определяется производнойзатворе такое, что канал представляет собой полностью ненную носителями область по всей своей длине.Проводимость канала определяется производнойобед-обед-g = 一VGСледовательно, сразу же из уравнения (5.11) имеемg = go[ 1 ——( 乙伊匕 .)/ j (линейная область).Крутизна ПТ определяется производнойи снова из уравнения (5.11) имеемg = 一VGСледовательно, сразу же из уравнения (5.11) имеемg = go[ 1 ——( 乙伊匕 .)/ j (линейная область).Крутизна ПТ определяется производнойи снова из уравнения (5.11) имеем(5.12)(5.12)(5.13)(5.13)(5.14)(5.14)gm =gm =—goV。—goV。Wvp(VB+VG)Wvp(VB+VG)(линейная область).(линейная область).(5.15а)(5.15а)При работе в области насыщения из уравнения (5.10) что эта крутизна описывается выражениемПри работе в области насыщения из уравнения (5.10) что эта крутизна описывается выражениемследует,следует,gmsat = go 1 —gmsat = go 1 —嗓+九y1/2]嗓+九y1/2](область насыщения).(область насыщения).(5.156)(5.156)Если сравнить уравнения (5.13) и но, что проводимость канала при

выражения, увеличивается с возрастанием %• Это сопротивление становится очень большим, когда Vg достигает величины (Vp—Vb), которую называют напряжением выключения. Выключение имеет место в том случае, когда обратное смещение на

выражения, увеличивается с возрастанием %• Это сопротивление становится очень большим, когда Vg достигает величины (Vp—Vb), которую называют напряжением выключения. Выключение имеет место в том случае, когда обратное смещение на

затворе такое, что канал представляет собой полностью ненную носителями область по всей своей длине.

Проводимость канала определяется производной

затворе такое, что канал представляет собой полностью ненную носителями область по всей своей длине.

Проводимость канала определяется производной

обед-

обед-

g = 一VG

Следовательно, сразу же из уравнения (5.11) имеем

g = go[ 1 ——( 乙伊匕 .)/ j (линейная область).

Крутизна ПТ определяется производной

и снова из уравнения (5.11) имеем

g = 一VG

Следовательно, сразу же из уравнения (5.11) имеем

g = go[ 1 ——( 乙伊匕 .)/ j (линейная область).

Крутизна ПТ определяется производной

и снова из уравнения (5.11) имеем

(5.12)

(5.12)

(5.13)

(5.13)

(5.14)

(5.14)

gm =

gm =

—goV。

—goV。

Wvp(VB+VG)

Wvp(VB+VG)

(линейная область).

(линейная область).

(5.15а)

(5.15а)

При работе в области насыщения из уравнения (5.10) что эта крутизна описывается выражением

При работе в области насыщения из уравнения (5.10) что эта крутизна описывается выражением

следует,

следует,

gmsat = go 1 —

gmsat = go 1 —

嗓+九y1/2]

嗓+九y1/2]

(область насыщения).

(область насыщения).

(5.156)

(5.156)

(5.15) между собой, то вид- работе в линейной области(5.15) между собой, то вид- работе в линейной областиравна крутизне при работе в области насыщения.

(5.15) между собой, то вид- работе в линейной области

(5.15) между собой, то вид- работе в линейной области

Наконец, перед тем как перейти к рассмотрению шумовых свойств ПТ с р——n-переходом, вычислим значение входной емкости С прибора. Вывод основан на рассмотрении изменения пространственного заряда в областях переходов и влияния на это изменение величины 丿g.

Пространственный заряд в обедненных слоях между координатами 尤 и x+dx описывается выражением

(5.16)(5.16)dQ = —2qNA [〃一b (%)] wdx,

(5.16)

(5.16)

1Q = —2qN*о1Q = —2qN*оb(x)dx^. (5.17) оb(x)dx^. (5.17) ои, следовательно, формула для полного заряда по всей длине ПТ, если предположить, что канал не сомкнут, принимает вид

1

Q = —2qN*

о

1

Q = —2qN*

о

b(x)dx^. (5.17) о

b(x)dx^. (5.17) о

оо00b(%) dx =b(%) dx =

о

о

0

0

b(%) dx =

b(%) dx =

Так как заряд, наведенный на затворе, равен —Q, входная емкость описывается формулой

e= 一 證=-2q必侬备[J b (x)威].(5.18)，

о

Интеграл, входящий в выражения для Q и для С, можно вычислить, используя выражения (5.4) и (5.5) и имея в виду, что Л? не зависит от х:

【(％ — Zs) - (4/3)(力3/2 一 zs8/2) + (1/2)出2 一 Zs?)]

[(% 一 Zs) - (2/3) 眼一书8/2)]，

(5.19)

где используем подстановку

Zd = Zs—(匕修)=(yB+VG-VD)/Vp.(5.20)

В выражении (5.19) в неявной форме подразумевается работа ПТ в области до насыщения. Если выполнить дифференцирование уравнения (5.19) по Vg и подставить результат в выражение (5.18), можно найти входную емкость ПТ при его работе в области до насыщения

х [(ZQ—Zs) — 31/2-Zsl/2)—(2/3)(Z///2-ZS8/2) + (1/2) (z° + Zs) (Zd1/2 ZsU2)] 【(Z。一 Zs) —(2/3) (Z"72 一 ZsW2)J2•

(5.21)

В тех случаях, когда канал начинает смыкаться, выражение (5.17) для полного заряда по длине ПТ сохраняет смысл, если только верхний предел в интеграле заменить на координату %。，соответствующую положению границы области смыкания со стороны истока. Однако Робинсон [48] показал, что поскольку основное падение напряжения происходит в области смыкания канала, то и в этом случае в качестве верхнего предела интеграла можно использовать не %о, a L. Поэтому для области насыщения, когда смыкание канала имеет место, из уравнения (5.19) при zo=l имеем

S(Jd2 (] 一 6zs + 8z$3/2 — 4z$2) —

g。 (l—3zs + 2zs8/2)

g。g。(l+2zs】/2)(l+2zs】/2)—耽《2 (1—Zsl/2)(l+3Zsl/2)〕l

g。

g。

(l+2zs】/2)

(l+2zs】/2)

•что приводит к соответствующему выражению для входной емкости

С = 吗产厶…；；；s£./(область насыщения).' (5.23)

Источники шума в ПТ ср — м-переходом

Один из основных физических механизмов шума в таких ПТ с р—n-переходом и первый, который был изучен теоретически ван-дер-Зилом [60], заключается в тепловых флуктуациях носителей тока в канале ПТ. Такие флуктуации обусловливают тепловой шум тока стока и, кроме того, из-за емкости связи между затвором и каналом тепловой шум тока затвора. Существует частичная корреляция между токами теплового шума стока и затвора, но она не столь ярко выражена, чтобы оказывать существенное влияние на оптимальные величины коэффициента шума.

Второй важный источник шума в ПТ заключается в генерации носителей через центры, локализованные в области пространственного заряда переходов канал — затвор. Обычно при работе ПТ в нормальных условиях эти переходы находятся при обратном смещении, и ХШР-центр в обедненной области генерирует поочередно дырку и электрон, которые сразу же удаляются из этой области сильным электрическим полем. В кремниевых ПТ при комнатной температуре эти генерируемые носители составляют основную часть тока утечки затвора. Поэтому в токе затвора имеется составляющая дробового шума, которая на низких частотах доминирует по сравнению с тепловой составляющей шума.

Кроме того, генерация носителей в обедненной области приводит к появлению шума в выходном, т. е. стоковом токе. Это имеет место в связи с тем, что такие центры все время меняют свое зарядовое состояние, тем самым вызывая локальную вариацию ширины обедненного слоя и, следовательно, и ширины •канала ПТ, которая в свою очередь обусловливает шумовой ток во внешней цепи.

Еще одним источником шумов в ПТ являются флуктуации концентрации носителей в канале транзистора [62]. При комнатной температуре такие флуктуации могут иметь место как результат рекомбинационно-генерационных процессов через ХШР-центры, локализованные в канале ПТ; при низких же температурах подобный процесс, но с включением и частично ионизованных доноров (канал /г-типа) или акцепторов (канал p-типа) может также привести к возникновению шума. Но в

любом случае соответствующие флуктуации во внешней цепи, как правило, пренебрежимо малы по сравнению с генерационным шумом, обусловленным ХШР-центрами в областях пространственного заряда.

Тепловой шум в ПТ с р — п-переходом

Тепловой шум выходного тока

С целью вычисления теплового шума в выходном токе ПТ будем рассматривать канал ПТ как резистор с дифференциальным сопротивлением между точками % и x+dx, которое является функцией координаты %. В таком случае тепловые флуктуации в канале ПТ можно проанализировать на основе той же модели, которая была использована для определения теплового шума резистора (гл. 2, разд. 2.8), за исключением того фактора, что в ПТ среднее число v элементарных актов в секунду не однородно _по длине, а зависит от % по закону \2NAwb (x)/tf]dx, где т> ——среднее время жизни носителей.

По аналогии с анализом, проведенным при рассмотрении теплового шума в сопротивлении (разд. 2.8), спектр шумового тока между х и x+dx описывается формулой

粤厶， (5.24)

где l2f — значение среднего квадрата, принятое для длины свободного пробега, которое можно выразить через подвижность носителей следующим образом (приложение 3).:

[2：Т匣.(5.25)

Далее имеем

阈=8 "噥(臥 qiikQdx;(5.26)

интегрируя по длине канала и предполагая, что случайные «акты» в каждом бесконечно малом элементе dx независимы друг от друга, получаем выражение

L

豆=8^^1"(%)威,о

^которое и описывает энергетический спектр теплового шумового рока в канале ПТ.

Интеграл, входящий в это выражение, берется в уравнении ，(5.19) для случая, когда нет смыкания канала. После выполнения этой подстановки и учета того, что Q = NAq\^t находим

5 =软е [出一 ZS)— (4/3)出3/2 - zs3/2) + (1/2) (” 一 Zs2)l i [(ZD - Zs) - (2/3)出3/2 - zs3/2))

Данное выражение было впервые получено ван-дер-Зилом [60], :а затем обсуждалось Хаслеттом и Трофименковым [19] в свя- ：зи с моделью, основанной на анализе эквивалентной схемы ПТ. В пределе при зд~>2s, что соответствует нулевому напряжению стока, уравнение (5.28а) сводится к виду

$ 弋 4^8g, (5.286)

тде g — проводимость канала ПТ, которая определяется выражением (5.13). Таким образом, при термическом равновесии тепловой шум канала ПТ подчиняется закону Найквиста, что, впрочем, и следовало ожидать.

При работе ПТ в области насыщения интеграл в уравнении (5.27) можно почти точно аппроксимировать выражением, которое приведено в уравнении (5.22). Для этого случая получаем выражение для спектральной плотности шумового тока в канале

& 4 4版gmsat [ £(£；*)]• ('29а)

Как показал Робинсоя [48], при обычно используемых значениях напряжений смещения для ПТ величина zs=(Vb+ Vg)/Vp находится в пределах 0,1 ——1, что соответствует изменению члена, который находится в квадратных скобках, в пределах 0,6— 0,67. Поэтому достаточно хорошим приближением служит формула

£14加(2gmsat/3), (5.296)

т. е. в области насыщения тепловой шумовой ток канала примерно равен джонсоновскому шуму при проводимости, составляющей 2/3 крутизны характеристики транзистора.

Тепловой шум затвора

Тепловое движение носителей в канале ПТ вызывает случайные изменения потенциала по длине канала, которые в свою очередь вызывают флуктуации в ширине канала, или, что равнозначно, в ширине обедненных слоев, ограничивающих канал.

Следовательно, полный заряд обедненных областей также испытывает случайные флуктуации, и, поскольку существует емкостная связь между затвором и каналом на клемме затвора, имеется_шумовой ток ig(t).

Пусть «т — полная фиксированная величина заряда в обедненных областях между каналом и затвором, тогда

(5.30)(5.30)办=—2qN肥 j* [a — b (%)] dx,b

(5.30)

(5.30)

где b (x) — здесь (случайная) функция времени, а также координаты. Ток затвора описывается выражением

久西*(5.31)

или, используя преобразования Фурье,

/g(W) = -js&(W), (5.32) где Ig(js) и Qt(j(d) — преобразование Фурье ig(t) и qr(t) соответственно.

Спектральную плотность ig(t) можно определить, используя подход, аналогичный тому, который применяют для анализа шума в резисторе: предполагается, что шум обусловлен случайной последовательностью независимых, микроскопических актов, каждый из которых представляет собой движение носителей между соударениями, которые происходят при релаксации системы к равновесному состоянию. Каждый из таких актов приводит к флуктуации потенциала вдоль длины канала ПТ, вызывая тем самым импульс тока на затворе, который определяется уравнением (5.31). Как только форма каждого импульса тока определена по флуктуации ширины обедненного слоя, спектральную плотность ig можно получить, используя теорему Карсона с последующим интегрированием по длине канала ПТ. Однако следует иметь в виду, что' (как и в предыдущем рассмотрении теплового шума в канале ПТ) среднее значение «актов》за секунду является функцией местоположения в канале, что в свою очередь есть следствие зависимости ширины канала от координаты %.

Из уравнения . (5.32) сразу же можно видеть (без необходимости проведения вычислений), что из-за емкостной связи между затвором и каналом спектральная плотность ig зависит от частоты по закону (о2. Следовательно, на низких частотах (менее 100 кГц) тепловой шум в затворе обычно мал по сравнению с дробовым шумом тока утечки через обратно смещенные переходы; однако на больших частотах следует ожидать.

что составляющая теплового шума может оказаться доминирующей.

Спектральная плотность тока затвора была рассчитана ван- дер-Зилом [61] для случая работы ПТ ниже области насыщения. Такое рассмотрение было продолжено Робинсоном [48], причем он включил в него и режим работы в области насыщения. Математические процедуры для получения результатов сравнительно длинны и включают в себя вычисление интегралов вида

,Ьп (х) dx, о

где п= 1, 2 и 3. Вместо проведения подобных вычислений мы просто приведем конечный результат, полученный Робинсоном. Он нашел, что спектральная плотность теплового шума в затворе имеет вид

4^9 Г…(5.33а) % — gmsat [ 10(1 +2^/2) у' 丿

где gmsat — крутизна транзистора в области насыщения, которая определяется уравнением (5.156), а С — входная емкость» значение которой определяется уравнением (5.23).

Нормированный потенциал 2s, определяемый в уравнении (5.20) в виде (%+%)/%, при обычных величинах смещения принимает значения 0,1 — 1. В таком интервале выражение в квадратных скобках уравнения (5.33а) меняется незначительно (в пределах 0,2—0,27). Таким образом, хорошим приближением выражения (5.33а) является выражение

Sig(3)4 器г 4齣.(5.336)

Исходя из того что тепловые шумовые токи затвора и канала обусловлены одинаковыми физическими процессами, следовало бы ожидать некоторой степени корреляции между этими токовыми флуктуациями. Робинсоном было показано, что кросс-спектральная плотность с учетом корреляции между шумовыми токами канала и затвора имеет вид

乐⑹=-j^C4kd Г —L+6zs；2 + 3zs ](5.34a)i

电【10(l+zs)i/2(l + 2zs"2) I'

При 0,1 <^s< 1 член в квадратных скобках — по существу константа величиной, заключенной в пределах 0,15—0,17, и следовательно,

S»gi (о) 4 —О,16/соС4力8.

(5.346)-

Определенная из уравнений (5.296), (5.336) и (5.346) нормализованная кросс-спектральная плотность с учетом корреляции имеет вид

rfg/--0,16/6/, (5.35)

т. е. Г1%» ——чисто мнимая величина, причем |Ггй/|2^ 0,16. Согласно работе [55], эта достаточно небольшая величина уменьшается еще больше, если принять в расчет зависимость подвижности носителей от величины напряженности электрического поля. Для практических целей с очень высокой точностью можно считать, что Г/б/ = 0, а это эквивалентно рассмотрению шумовых токов в затворе и канале в качестве независимых флуктуаций.

Последовательное сопротивление в канале

Величина контактов затвор — канал, как правило, меньше, чем длина канала. Это приводит к появлению немодулируемых неактивных областей на концах канала как со стороны стока, так и со стороны истока, действующих как последовательно подключенные к выводам стока и истока сопротивления rs и гд. Эти сопротивления приводят к изменению крутизны g^ и проводимости канала g [60], которые становятся соответственно gm' и g〔 где

gm' = gm/。+^msat 十％g)， (5.36a)

g' = g/(l + Tsgmsat+ rDg). (5.366)

В области насыщения g'=g=0 и

g msat = gmsat/(l + Tsgmsat). (5.37)

Отметим, что данное выражение не содержит “ и что величина g‘ (для линейной области) теперь уже не равна g'msat・ Ван-дер- Зил [60] высказал предложение о том, что такое отсутствие равенства могло бы быть использовано для определения вклада этих последовательных сопротивлений в шум.

Из уравнения (5.37) легко видеть, что если сделать произведение rsgmsat малым по сравнению с единицей (что обычно и имеет место),,то влияние этих сопротивлений на полный шум не существенно. Поэтому на практике ими вполне можно пренебречь.

Бранк [3] выполнил измерения шумов полевых транзисторов, в которых было продемонстрировано влияние rs и rD на полный шум. Результаты его измерений приводятся на рис. 5.2, где Ieq — эквивалентный диодный ток насыщения для шума.

Рис. 5.2. Зависимость Ieq от Vd при 25 кГц (из работы [3], с любезного разрешения, © 1963 IEEE).

теоретические кривые для Ieq без учета последовательного сопротивления (Л) и с учетом последовательного сопротивления (5); 000 экспериментальные точки.

Кривая 5 на рис. 5.2 рассчитана с использованием следующих значений параметров: rs = 960 Ом, rD = 2440 Ом и £msat = = 330 мкСм.

Высокочастотные эффекты

На высоких частотах тепловой шум в ПТ, как правило, является доминирующим над другими видами шумов. Ван-дер-Зил и Эро [67] разработали теорию работы ПТ в случае малых сигналов для высоких частот, в которой канал транзистора рассматривался в качестве активной неоднородной передающей линии. Они осуществили решение волнового уравнения для такой линии и в некотором приближении определили матрицу адмиттанса ПТ на высоких частотах. Кроме того, Хаузер [21] рассмотрел вопрос об волновом уравнении, которое описывало бы соответствующую передающую линию для ПТ с р—/г-пе- реходами.

Ван-дер-Зил и Эро получили выражение для предельного значения частоты 《среза》 для ПТ с р—“-переходами. В частном случае при нулевом напряжении на затворе, подставив физически обоснованные числовые значения параметров для подвижности носителей, напряжения смыкания канала и его длины, они получили, что предельная частота «среза» составляет 40 МГц. При напряжениях на затворе, которые обычно используются при работе ПТ, предельное значение частоты «среза» было меньше и соответствовало значению в пределах около 10 МГц.

Приближение, использованное ван-дер-Зилом и Эро, представляло собой разложение в ряд крутизны, которое ограничи-

валось членом первой степени по частоте. Это и определяло верхний предел диапазона частот, для которого можно было применить данную теорию. Более полный анализ выполнил Ге- урст [13], результаты которого можно использовать для очень больших значений частот. Он показал, что элементы матрицы адмиттанса ПТ можно представить с использованием специальных математических функций, а именно параболических цилиндрических функций Вебера Dn(x).

Несколько измененное дифференциальное уравнение Геур- ста, в которое был включен источник теплового шумового тока, было использовано Клаассеном [29] в связи с анализом высокочастотного шума в ПТ с р—几-переходом. Результаты Клаас- сена показали, что на низких частотах спектральная плотность шумового тока канала не зависит от частоты и намного больше аналогичной величины для шумового тока затвора (что согласуется с выводами ван-дер-Зила [60]), но на высоких частотах шумовые спектры токов затвора и стока в обоих случаях зависят от частоты по закону о2 и сходны по величине. Более того, Клаассен показал, что для высоких частот связь между затвором и каналом приводит к небольшому, но тем не менее не нулевому значению (составляющему примерно О,13(о Cfgm, где С ——значение входной емкости ПТ) для действительной части нормализованной кросс-спектральной плотности с учетом корреляции между шумовыми токами затвора и канала.

Экспериментальные исследования поведения шумовых характеристик ПТ с р—几-переходами на высоких частотах были выполнены Бранком и ван-дер-Зилом [4]. Они представили спектральные плотности шумовых токов стока и затвора в виде эквивалентных токов насыщения диодов Ind и 1傀,т. е. они установили, что

豆画=2%办(5.38)

S»g (①)=2〃71g.(5.39)

На рис. 5.3 представлены графики зависимости Ind и Ing от частоты для работы ПТ в области насыщения [4]. Точки на рисунке соответствуют результатам измерений, а сплошные линии — теоретическому расчету кривых вида

/^ = /艮。+(2 加/9)|占2|，(5.40)

3(2砌0)曲],(5.41)

где gu и gi2 — элементы матрицы проводимости ПТ, пропорциональные о2; /пао — низкочастотное значение 厶小 Согласие между теоретическими и экспериментальными результатами очень хорошее, и ясно прослеживается зависимость Ind от ① на высо-

Рис. 5.3. Эквивалентные диодные токи насыщения для теплового шума в канале ПТ (а) и в затворе ПТ (6) (согласно работе [4], с любезного разрешения, © 1966 IEEE).

ких частотах. Однако так как эта зависимость проявляется на частотах, больших 〜10 МГц (которая близка к предельной частоте для ПТ), то из практических соображений ее можно не учитывать, т. е. величину /九d можно аппроксимировать величиной /пао. Этот факт существенно упрощает расчет коэффициента шума.

Недавно было отмечено [66], что использование более совершенных полупроводниковых материалов наряду с дальнейшей разработкой технологии ПТ приводит к возможности получать ПТ на основе Ga As с прекрасными высокочастотными и шумовыми характеристиками. В качестве примера авторы [66] привели данные о коэффициентах шума, которые менялись в пределах 1,2—4 дБ в диапазоне частот 4—18 ГГц. Кроме того, эти же авторы высказали предположение о том, что дальнейшего улучшения можно достичь при использовании для изготовления ПТ трехкомпонентных соединений типа InGaAs.

% а.% а.Рис. 5.4. Эквивалентная схема генератора шумового напряжения в цепи затвора ПТ, характеризующего шум за счет генерации носителей в обедненном слое.Рис. 5.4. Эквивалентная схема генератора шумового напряжения в цепи затвора ПТ, характеризующего шум за счет генерации носителей в обедненном слое.каждый из ХШР-центровкаждый из ХШР-центровn 一尸（匕?，%））%（1+炉г2），n 一尸（匕?，%））%（1+炉г2），(5.42)(5.42)

% а.

% а.

Рис. 5.4. Эквивалентная схема генератора шумового напряжения в цепи затвора ПТ, характеризующего шум за счет генерации носителей в обедненном слое.

Рис. 5.4. Эквивалентная схема генератора шумового напряжения в цепи затвора ПТ, характеризующего шум за счет генерации носителей в обедненном слое.

каждый из ХШР-центров

каждый из ХШР-центров

n 一尸（匕?，%））%

（1+炉г2），

n 一尸（匕?，%））%

（1+炉г2），

(5.42)

(5.42)

Генерационно-рекомбинационный шум

Генерационный шум обедненного слоя

Существенная часть низкочастотного шума кремниевых ПТ обусловлена флуктуациями зарядовых состояний ХШР-цент- ров, расположенных в обедненных слоях переходов канал ——затвор. Кроме того, наличие таких центров определяет основную часть тока утечки этих переходов.

Первыми, кто обратился к вопросу о генерационном шуме в обедненных слоях переходов ПТ, были Лауритцен и Сах [37], они же подробно рассмотрели этот вопрос в работах, написанных раздельно [36, 50]. Их модель была подтверждена экспериментальными измерениями шума, выполненными на обычных и легированных золо том кремниевых ПТ при изменении в широком интервале напряжений смещения. Поведение легированных золотом кремниевых ПТ рассматривалось также Фу и Сахом [10] в связи с анализом с помощью эквивалентной цепи с сосредоточенными параметрами генерационно-рекомбинационного шума, обусловленного флуктуациями заряда на примесных центрах в обедненных слоях переходов канал — затвор.

Генерационный шум в обедненном слое возникает за счет того, что спускает попеременно то дырку, то

электрон, которые удаляются из перехода под действием сильного электрического поля. Такая флуктуация в зарядовом состоянии подобного центра приводит к локальной модуляции ширины обедненного слоя и, следовательно, ширины канала, что в свою очередь приводит к флуктуациям тока, текущего во внешней цепи.

Этот шум можно представить генератором напряжения на входе ПТ, как это показано на рис. 5.4. Эквивалентное ту- мовое сопротивление такого генератора можно представить в виде

rqe F(Vg, Vd)——функция, зависящая от значений напряжения

смещения Rn на затворе и стоке, а

巧49或1+%%尸(5.43)

—постоянная времени ХШР-центров. Приближение, которое используется в данном случае, соответствует обратно смещенному р—几-переходу. В уравнении (5.43) ср и сп — вероятности захвата дырок и электронов, а р】н %i определяются через уровни ловушки Ет собственно уровня Ферми 田 следующим образом [53]:

Pi = nt ехр [(d—ET)/kQ]9(5.44а)

勺=n. exp [(七丁一Ef)/fe0],(5.446)

где П/ — концентрация собственных носителей.

Величина Rn сильно зависит от температуры через параметр tf в числителе дроби в уравнении (5.42). Это проще всего показать в случае, когда энергетический уровень ловушки совпадает с собственным уровнем Ферми. В таком случае температурная зависимость т/ полностью определяется выражением

% 〜〃尸〜0Т/2 ехр (%о/2也8),

где Ego——величина запрещенной зоны полупроводника при в=0 К・ Множитель ❷一耽 в этом выражении оказывает значительно меньшее влияние по сравнению с экспонентой, которая и

Рис. 5.5. Зависимость R〃 от температуры, согласно уравнению (5.42) для кремниевых ПТ.

определяет температурную зависимость 工九 По мере увеличения температуры величина tf уменьшается и, следовательно, Rn также уменьшается. Такое изменение т$ влияет еще и на увеличение частотной полосы Rn при увеличении температуры. Рис. 5.5 иллюстрирует температурную зависимость Rn для случая кремниевого ПТ. Кривые, представленные на этом рисунке, были рассчитаны для значения Ego=1,2 эВ, и значения и = 5 мс при комнатной температуре.

Плотность центров генерации носителей входит в Rn только- через масштабный множитель функции F(VGf VD). Таким образом, величина шума зависит от концентрации ловушек, но частотная зависимость отсутствует.

Функция F(Vg, Vd) в уравнении (5.42) расходится логарифмически при переходе ПТ в область насыщения. Эта трудность была отмечена Лауритценом [36], который избежал ее в своей двухмерной модели тем, что считал ширину канала у стока конечной и при смыкании. Эта проблема была также рассмотрена Хаслеттом и Трофименковым [20] при анализе,, основанном на модели функционирования транзистора в режиме смыкания, предложенной Трофименковым и Нордквистом [59].

Шум канала ПТ

Шум, обусловленный флуктуациями плотности носителей в канале ПТ, был рассчитан ван-дер-Зилом [62], а позднее Влие- том и Хиаттом [69]. Такие флуктуации возможны в тех случаях, когда ХШР- и рекомбинационно-генерационные центры присутствуют в области канала или при низких температурах, если только часть доноров или акцепторов, находящихся в области канала, ионизована.

Спектр такого шума можно выразить через эквивалентное шумовое сопротивление R^ которое по форме сходно с выражением в уравнении (5.42)

兄〜不(545>

где т — постоянная времени флуктуации. Такая форма спектра экспериментально наблюдалась Хэллдеем и Бранком [14] на кремниевых и германиевых ПТ. Однако трудно определить, был ли шум, который они измеряли, обусловлен флуктуациями плотности носителей в канале или генерационными процессами в обедненной области. В соответствии с работой Саха [50] первая шумовая компонента должна быть незначительной при комнатной температуре.

Однако при понижении температуры флуктуации плотности носителей в канале могут вносить существенный вклад в шум ПТ. Черчилль и Лауритцен [6] выполнили измерения шумов в кремниевых ПТ для температур ниже 125 К. Они обнаружили уровни шумов примерно на 23 дБ выше, чем можно было ожидать, имея в виду только тепловой шум канала. Их экспериментальные результаты находятся в хорошем соответствии с гипотезой о флуктуации плотности носителей, если в соответствующих выражениях учитывать зависимость подвижности носителей от величины электрического напряжения.

Вообще говоря, низкотемпературный шум ПТ нельзя объяснить, исходя из представлений только об одном механизме -возникновения шума. Хиатт с сотр. [22] выполнили измерения спектров шума при низких температурах в интервале 80—200 К на нескольких приборах и показали, что имеют место несколько типов генерационно-рекомбинационных процессов, два из которых они связали с присутствием ловушек в канале ПТ. Энергии активации, найденные для этих процессов, составляли 0,17—0,19 и 0,34—0,36 эВ. Менее глубокому уровню могут соответствовать ловушки захвата с энергией 0,16 эВ, которые часто присутствуют в кремнии, и, как правило, их связывают с присутствием кислорода 「7, 35]; более глубокий уровень может быть связан с никелем, который имеет акцепторный уровень в кремнии на 0,35 эВ ниже дна зоны проводимости.

Шум тока утечки

Помимо теплового шума на выходе затвора имеется и шум, связанный с током утечки Ig переходов затвор — канал. Спектральная плотность этого последнего шума описывается выражением

鼠⑥= 2qlg, (5.46)

т. е. он проявляет себя как дробовой шум. Так как $»匆(①)не зависит от частоты, а тепловой шум зависит от частоты по закону * то, очевидно, существует некоторая частота, ниже которой шум тока утечки будет превалировать. Эта частота может быть определена из сопоставления уравнений (5.336) и (5.46)

It 1(5・47>

где fT = gml^nC — предельная частота 《среза》 ПТ. При fT = =10 МГц; /g=10~9 а и gmsat=10-3 мСм из уравнений (5.47) можно получить %=100 кГц.

Кроме того, имеется составляющая шума в стоке, связанная с утечкой переходов в ПТ, которая сильно скоррелирована с шумом тока утечки затвора. Однако при комнатных температурах в современных приборах эта первая составляющая шума является незначительной, в то время как при высоких температурах она становится весьма существенной и может определить верхний предел температур, при котором ПТ ведет себя как малошумящий прибор. Этот эффект был рассмотрен вандер-Зилом [63]. Он включил в свое рассмотрение и МОП ПТ, хотя данное явление для таких приборов выражено намного менее ярко, чем для ПТ с р—п-переходом.

Экспериментальное измерение генерационно-рекомбинационных шумов

Эквивалентное шумовое сопротивление флуктуаций напряжения, связанное с генерационными процессами через ХШР- центры в обедненных слоях переходов затвор — канал, имеет вид [уравнение (5.42)]

/О 十① 2%2), (5.48)

где Tf — постоянная времени центров [уравнение (5.43)], а константа пропорциональности является функцией напряжений на затворе и стоке. При фиксированных напряжениях смещения и для данной частоты ①i величина Rn достигает максимума при Tf= 1/(оь Так как величина xt сильно зависит от температуры, а константа пропорциональности имеет слабую температурную зависимость (по крайней мере в тех случаях, когда уровни ловушек захвата попадают на собственный уровень Ферми), то из этого следует, что при изменении температуры величина Rn должна иметь один или несколько максимумов в зависимости от числа различных центров захвата носителей (ловушек), присутствующих в образце.

Подобное поведение на самом деле наблюдалось Хаслеттом и Кенделлом [18]. Они провели измерения шумов на большом количестве n-канальных ПТ различных фирм-изготовителей и обнаружили удивительное согласие результатов, полученных на различных образцах. В качестве примера на рис. 5.6 приводятся результаты их измерений зависимости эквивалентного шумового напряжения от температуры. Транзистор, на котором проводились измерения, был отобран как имеющий малые шумы при комнатной температуре. Подобные же кривые были получены в большинстве случаев для большого количества ПТ одного и того же типа, единственным различием была небольшая разница в величине пиков и температурах, при ко-

Рис. 5.6. Зависимость эквивалентного шумового напряжения от температуры при постоянном значении частоты (согласно работе [18], с любезного разрешения, © 1872 IEEE). P0S = 5 b; /q= 1 ма»Рис. 5.6. Зависимость эквивалентного шумового напряжения от температуры при постоянном значении частоты (согласно работе [18], с любезного разрешения, © 1872 IEEE). P0S = 5 b; /q= 1 ма»

Рис. 5.6. Зависимость эквивалентного шумового напряжения от температуры при постоянном значении частоты (согласно работе [18], с любезного разрешения, © 1872 IEEE). P0S = 5 b; /q= 1 ма»

Рис. 5.6. Зависимость эквивалентного шумового напряжения от температуры при постоянном значении частоты (согласно работе [18], с любезного разрешения, © 1872 IEEE). P0S = 5 b; /q= 1 ма»

торых они имеют место. Даже транзисторы разных фирм- изготовителей давали сходные результаты; во всех случаях наблюдались ярко выраженные пики, как на рис. 5.6. Было найдено, что температура, при которой определенный пик имеет место, уменьшается по мере уменьшения частоты, на которой проводились измерения. Такое поведение соответствует уравнению (5.48).

Так как золото стали использовать в коммерческих ПТ, то очевидно присутствие некоторого количества золота в кристаллической решетке кремния у таких приборов. Теперь уже золото в кремнии является хорошо изученным амфотерным центром с акцепторным уровнем, очень близким к собственному уровню Ферми в середине запрещенной зоны кремния, и донорным уровнем около 0,4 эВ над границей валентной зоны. Хаслетт и Кенделл предположили, что этот акцепторный уровень золота обусловливает пик шума при температуре около 300 К (рис. 5.6). Этот пик ярко выражен и наиболее поня

тен из наблюдаемых. Существование же пика между 100 и 200 К объяснить труднее, но с уверенностью можно считать, что этот пик не связан с донорным уровнем золота, так как он находится значительно ниже середины запрещенной зоны кремния, чтобы давать шумовой вклад, сравнимый по величине с вкладом, обусловленным акцепторным уровнем золота. Кроме того, маловероятно, чтобы этот пик был обусловлен кислородом, как это предположили Клаассен и Робинсон [35], так как в этом случае значение сечений захвата должно быть неразумно большим. Хаслетт и Кенделл [18] предположили, что механизмом, обусловливающим появление данного пика, может быть межзарядный обмен носителей между дислокациями (которые действуют в качестве ловушек с энергией и сечениями захвата, близкими к тем, что у акцепторного уровня золота) и уровнем золота, расщепленным за счет напряжений в кристаллической

решетке. Третий пик, который на частоте 10 Гц всегда наблюдается вблизи 80 К, самый острый, а в ряде случаев и самый большой среди всех наблюдаемых. Причина появления этого пика также пока не ясна, но, согласно Хаслетту и Кенделлу, он может определяться некоторой странной связью между уровнями ловушек, которые меняют компоненту шума, связанную с краями области перехода.

Интересное исследование низкочастотного избыточного шума было проведено недавно Кандиахом и Вайтингом [26]. Их конечная цель заключалась в улучшении характеристик ПТ с р——/г-переходами в усилителях, которые использовались в спектрометрии с детекторами ядерных излучений. В данном применении требования к шумовым характеристикам приборов очень жестки. Они провели измерения на /г-канальном ПТ с четырьмя выводами, один лишний вывод присоединялся к р+-подст- руктуре и функционировал как второй затвор. Этот вывод второго затвора использовали только для определения условий смещения, в то время как верхний затвор использовался в качестве сигнального. Шумы измерялись в функции напряжения смещения на втором затворе; при этом температура и ток стока служили переменными параметрами. Как и в работе Хаслетта и Кенделла, и в этих исследованиях при изменении температуры пики появлялись и исчезали.

Однако самым замечательным в методе, использованном Кандиахом и Вайтингом, было то, что он позволял наблюдать за флуктуациями единичных зарядов на индивидуальных ХШР-центрах. Это достигалось очисткой канала за счет изменения смещения на втором затворе. В частности, центр, находящийся перед началом этой процедуры в обедненном слое над каналом, по мере увеличения напряжения смещения на втором затворе до среднего уровня переходил в канал, а затем по мере того, как напряжение смещения на втором затворе достигало максимального значения, и в обедненный слой, который находился под каналом ПТ. Если флуктуации зарядовых состояний ХШР-центра зависят от его местоположения, приводя, скажем, к существенному различию уровня флуктуации при расположении центра в нейтральной или обедненной области р——/г-пере- хода, то и шум должен зависеть от напряжения смещения на втором затворе и кривую этой зависимости можно использовать для изучения источников избыточного шума в таких ПТ.

Кандиах и Вайтинг нашли, что большая часть избыточного шума появляется за счет ХШР-центров, локализованных в узкой переходной области1) шириной около 1000 А между кана-

1)Следует отметить, что термин «переходная область» в данном случае отличается от общепринятого термина в смысле синонима для обедненной области р—«-перехода.

、I 400320、I 400320%。%。16080160800123466701234667Рис. 5.7. Избыточный шум ПТ с р——n-переходом в зависимости от напряжения смещения на втором затворе Vss для двух значений тока стока (согласно работе [26], с любезного разрешения «Пергамон Пресс》).• • • /0=2 мА; /о=4 мА.Рис. 5.7. Избыточный шум ПТ с р——n-переходом в зависимости от напряжения смещения на втором затворе Vss для двух значений тока стока (согласно работе [26], с любезного разрешения «Пергамон Пресс》).• • • /0=2 мА; /о=4 мА.EQHhoE一嚼SEQHhoE一嚼S

、I 400

320

、I 400

320

%。

%。

160

80

160

80

01234667

01234667

Рис. 5.7. Избыточный шум ПТ с р——n-переходом в зависимости от напряжения смещения на втором затворе Vss для двух значений тока стока (согласно работе [26], с любезного разрешения «Пергамон Пресс》).

• • • /0=2 мА; /о=4 мА.

Рис. 5.7. Избыточный шум ПТ с р——n-переходом в зависимости от напряжения смещения на втором затворе Vss для двух значений тока стока (согласно работе [26], с любезного разрешения «Пергамон Пресс》).

• • • /0=2 мА; /о=4 мА.

EQHhoE一嚼S

EQHhoE一嚼S

лом и полностью обедненной областью перехода затвор — канал. На рис. 5.7 приводится пример их наблюдений, указывающий на присутствие двух центров, которые обозначены буквами Д и 5. Эти центры вносят сравнительно большой вклад в шум в тех случаях, когда они расположены либо непосредственно под каналом, либо непосредственно над ним. Большие

480

различия в Vss между пиками Л—Л и В—В при большем токе стока являются мерой увеличения ширины канала в этом случае. Вообще говоря, чем больше число активных центров в данном объеме «высасывается» каналом, тем большее количество пиков будет наблюдаться на кривых шумов, подобных тем, которые представлены на рис. 5.7; как отметили Кандиах и Вайтинг, было бы ошибкой считать, что во всех случаях ситуация так же проста, как показанная здесь.

Кандиах и Вайтинг связывают пики шума с ХШР-центра- ми с мелкими энергетическими уровнями в запрещенной зоне полупроводника. О наблюдениях значительного шума от таких центров при низких температурах сообщали Хаслетт и Кендалл [18] и Ванг с сотр. [70]. Если бы эмиссия заряда была только единственным механизмом действия такого мелкого центра, то время нахождения центра в одном зарядовом состоянии бы-

ло бы намного больше, чем время нахождения в другом, за счет асимметрии уровня энергии центра в запрещенной зоне. Шум от такого центра в этом случае был бы незначительным. Однако если некоторое количество свободных зарядов находится вблизи данного центра, то время флуктуации значительно уменьшилось бы в результате процессов захвата зарядов, и шум такого центра был бы заметен. Такой механизм был предложен Кандиахом и Вайтингом для объяснения избыточного шума, наблюдаемого в случае очень узкой переходной области (см. сноску на с. 136) между каналом и полностью обедненной областью перехода. По-видимому, попеременная эмиссия электронов и дырок с центров, имеющих уровни в середине запрещенной зоны и находящихся на всем протяжении обедненного слоя (механизм, рассмотренный Сахом [50]), вносит незначительный вклад в низкочастотный шум при температурах ниже 200 К.

Согласно работе Кандиаха и Вайтинга, число активных ХШР-центров с мелкими энергетическими уровнями в переходной области (см. сноску на с. 136) качественного ПТ с шириной канала около 1000 мкм и длиной канала около 2 мкм находится в интервале 3—10. А так как именно эти изолированные центры главным образом и определяют уровень шума, имеется возможность по крайней мере для ПТ с четырьмя выводами подобрать условия работы (температуру, ток стока и напряжение смещения), которые минимизируют шум в нужном частотном диапазоне. Этот метод неоднократно приводил к выгодам при использовании таких ПТ в спектрометрии рентгеновского излучения.

Поведение в сильном электрическом поле

У ПТ с р—几-переходами и МОП ПТ с очень короткими каналами напряженность электрического поля в канале может быть очень большой. При напряженностях поля выше порогового значения Ео подвижность носителей заметно уменьшается с увеличением напряженности Е по закону, который приближенно можно представить в виде [58]

N4阿(1+e/冬尸/2, (5.49)

тде цо — подвижность носителей в слабом поле, а Е0~5000 В/см для электронов в кремнии. В литературе можно встретить уравнения, являющиеся альтернативами (5.49); наиболее часто употребляемым из них является уравнение, полученное Даси и

Шум полевых транзисторов с р ——п-перехоОом и МОП-структурой 139 Россом [8] и использованное Хэллдеем и ван-дер-Зилом [15], в котором 卩 изменяется по закону Е-1/2.

Кроме изменения подвижности носителей, сильные электрические поля вызывают и другой эффект, состоящий в увеличении температуры свободных носителей по сравнению с температурой кристаллической решетки, т. е. создают популяцию горячих носителей. Эффективная температура таких носителей 6© приблизительно определяется выражением^

久 4 4П+В(Е/Е。)]， (5.50) где параметр § зависит от температуры кристаллической решетки 9о. В германии 041 при 0о=300 К и 10<р<15 при 6о = 77 К. Клаассен [30], признавая, что нет пригодных экспериментальных данных для оценки величины 0 в кремнии, полагал, что 0 в кремнии имеет почти такие же величины, что и в германии, и поэтому использовал значения, приведенные выше.

Обе эти зависимости [уравнения (5.49) и (5.50)], сказывающиеся в сильных полях, обусловливают увеличение теплового шума в канале ПТ. Если для эквивалентного сопротивления теплового шума в области насыщения использовать выражение

R?1 = a/gmsat, (5.51) то в отсутствие эффектов сильного поля ся2/3 [уравнение (5.296)]. Клаассен [31] показал, что зависимость подвижности носителей от напряженности электрического поля и разогрев носителей может привести к величинам а, превышающим единицу, вплоть до а^5 в зависимости от напряжения смещения, геометрии прибора и особенно от температуры. При комнатной температуре ail, но при температуре жидкого азота величина а может быть значительно больше единицы. Это связано главным образом с разогревом носителей, обычно только одного этого процесса достаточно для значительного увеличения тепловых шумов при 77 К по сравнению с комнатной температурой [35, 46]. Для получения оптимального режима малых шумов рабочая температура высокочастотных ПТ с р—п-пе- реходом, как правило, несколько выше, чем 77 К.

Первые известные из литературы измерения величины 0е [9] были проведены на одном кристалле германия п-типа; результаты измерений показали, что разность 0е—0О в слабых полях имеет квадратичную зависимость от £, а в сильных (более 900 В/см) — почти линейную зависимость от Е [как в уравнении (5.50)]. Полагают, что зависимости (仇一仇)~中 экспериментально продемонстрировали Такаги с сотр. [55] для кремниевого эпитаксиального слоя. Линейная зависимость (5.50) нами используется потому, что, на наш взгляд, является достаточно обоснованной экспериментальными измерениями величины 0е и ее можно считать общепринятой в литературе.

При работе в области полей, значительно выше начала смыкания канала, процесс умножения заряда (образование лавин носителей), связанный с крайне высокими значениями напряженности электрического поля вблизи стока, может вносить существенный вклад в выходной шум ПТ, особенно при низких температурах.

В том случае, когда имеет место образование лавины, пары электрон — дырка образуются за счет ударной ионизации и неосновные носители сразу же попадают на затвор, тем самым приводя к увеличению тока затвора, тогда как основные носители перемещаются к стоку. Увеличение тока затвора наблюдал Риан [49]; об аналогичном явлении в /г-канальных МОП- транзисторах сообщили Накахара с сотр. [42]. Увеличение шумов, обусловленных этим механизмом, наблюдали в германиевых ПТ с р—/г-переходом Радека [45], а в кремниевых — Накахара с Кабаяси [43] и Клаассен с Робинсоном [35]. Краткое теоретическое рассмотрение данного явления проведено ван- дер-Зилом и Чанеттом [66].

Шум типа 1/f

в ПТ с р — м-переходом

При комнатных температурах избыточный 1/f-шум в хороших малошумящих кремниевых ПТ с р——/г-переходом обычно незначителен. Отсутствие l/f-шума в подобных ПТ отличает их от почти всех других твердотельных приборов. Этот факт, кроме того, естественно приводит к заключению, что l/f-шум связан не с объемными эффектами, а с процессами, имеющими место на поверхности раздела полупроводник — окисел, возможно, из-за флуктуаций в заселенности поверхностных состояний; подобные поверхностные эффекты отсутствуют в ПТ с р—/г-переходом, так как канал таких ПТ отделен обедненным слоем, локализованным в объеме данного транзистора,

Удивительно, что ПТ на основе GaAs обладают значительной величиной l/f-шума [57]. Это явление было объяснено ван- дер-Зилом [64], который отметил, что у таких транзисторов ширина затвора много меньше длины технологического канала. Поэтому имеется большая площадь поверхности раздела полупроводник—окисел между истоком и затвором и между затвором и стоком, и в этих областях создается значительная величина избыточного l/f-шума.

При низких температурах (ниже 200 К) спектры шумов кремниевых ПТ с р—n-переходом указывают на наличие нескольких типов генерационно-рекомбинационных процессов, однако компонента 1//-шума отсутствует [22]. Этот факт нахо-

дится в согласии с более ранними результатами наблюдений Клаассена и Робинсона [35], однако при температурах выше 200 К, согласно работе [35], имеется компонента, связанная с избыточным l/f-шумом, которая уменьшается с увеличением температуры. Простого объяснения этой температурной зависимости нет.

Эквивалентные схемы для ПТ с р — п-переходом

К счастью, не все составляющие шума в ПТ с р—п-перехо- дом присутствуют одновременно. При комнатных температурах и при нормальных рабочих условиях, как правило, тепловой шум канала и дробовой шум, связанный с током утечки на затворе, наиболее важны. Их можно представить двумя эквива-

TOYTOY

TOY

TOY

Рис. 5.8.

а — шумовые генераторы тока на входе и выходе ПТ с р—л-переходом; 6 — эквивалентная цепь, в которой выходной генератор тока трансформируется во входную цепь в качестве последовательно соединенного генератора напряжения.

лентными генераторами тока i\(t) и 为(力)，подключенными между истоком и стоком, а также затвором и истоком соответственно, как это показано на рис. 5.8, а. Простой трансформацией выходной генератор можно переместить на вход в качестве последовательно соединенного генератора напряжения и%(7), как показано на рис. 5.8, 6.

Спектральные плотности входных шумовых генераторов тока и напряжения можно получить непосредственно из уравне-

ний (5.296), (5.336) и (5.46)

耳両4备:館+2〃中(5.52)

w7^*2/3)(萨力(5.53)

'\ gmsat /

а нормализованную кросс-спектральную плотность с учетом корреляции между тепловым шумом затвора и стока — из уравнения (5.35)

аm〃 4 一。，4，.(5.54)

Соответствующее значение шума тока утечки затвора и теплового тока канала равняется нулю.

Когда источник сигнала обладает только активным сопротивлением, коэффициент шума ПТ вообще не включает в себя тепловой шум Г^^, так как последний является чисто мнимой величиной. Считая, что сопротивление источника Rs, имеем для коэффициента шума выражение

尸П1尸П1S打RsS打Rs4碩兄4碩兄(5.55)(5.55)

尸П1

尸П1

S打Rs

S打Rs

4碩兄

4碩兄

(5.55)

(5.55)

Его минимум достигается при следующем значении Rs：

(5.56)(5.56)凡=/&力隔).

(5.56)

(5.56)

и описывается выражением

4^04^0(5.57)

4^0

4^0

Для высоких частот, когда доминирует первый член в правой части уравнения (5.52), минимальное значение коэффициента шума, определяемое из уравнения (5.57), принимает вид

尸。=1+ (2/3尸得急尸。=1+ (2/3尸得急(5.58)(5.58)

尸。=1+ (2/3尸得急

尸。=1+ (2/3尸得急

(5.58)

(5.58)

Для частоты, равной gmsat/2jtC (произведение коэффициента усиления на ширину полосы), минимальное значение коэффициента шума, согласно этому выражению, составляет 1,82 или 2,6 дБ.

Предельного улучшения можно достичь шумовой настройкой при использовании источника только с реактивным сопротивле-

Шум полевых транзисторов с р ——п-переходом и МОП-структурой 143 нием. В этом случае минимальное значение коэффициента шума описывается формулой

冗=1 +£ Q/3)"2 (1 + Г/J"2 =

(2/3)1/2 (1—0,16)1/2.(5.59)

gmsat

Если coC/gmsat=l, это выражение дает значение Fo= 1,75 или 2,4 дБ.

Шум в МОП ПТ

Механизмы возникновения шумов в МОП ПТ по существу те же, что и в ПТ с р—n-переходом, главным отличием является l/f-шум, который на низких частотах является доминирующим в МОП ПТ [25, 72]. Тот факт, что 1/%тум наблюдается в МОП ПТ и почти отсутствует у качественных ПТ с р—/г-переходом, является весьма серьезным подтверждением того, что этот шум связан скорее с поверхностными, чем с объемными эффектами. Но что бы ни являлось источником l/f-шума, именно этот шум не позволяет отнести МОП-транзисторы к классу малошумящих приборов.

Избыточные l/f-шумы в МОП-транзисторах исследовались многими авторами [1, 2, 5, 11, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 44]; статьи по этому вопросу были, кроме того, опубликованы Левенталем [41] и Леенбергом {38]. В большинстве теоретических моделей 1//-флуктуаций в МОП-транзисторах данный вид шума рассматривается как поверхностный эффект, хотя детали его поведения все еще остаются непонятными. В одной из последний подобных моделей [65], которая включает в себя ряд особенностей предыдущих теорий, рассматривается взаимодействие носителей в канале с поверхностными состояниями на границе раздела полупроводник—окисел. При этом постулируется, что имеет место дополнительное взаимодействие посредством туннелирования между носителями на этих поверхностных состояниях и ловушками в слое окисла. Этот механизм приводит к модуляции числа свободных носителей в канале и, кроме того, 1K модуляции поверхностного потенциала, тем самым приводя к флуктуации подвижности в области поверхности. На этих двух эффектах (флуктуации числа носителей и флуктуации их подвижности) и основано рассмотрение ван-дер-Зила. В другой модели, предложенной недавно Вандаммом [68], l/f-шум трактуется как действительная флуктуация подвижности носителей е канале транзистора. Иными словами, это ——обычный эффект,

следовательно, 1 /f-шум должен присутствовать и в ПТ с р—п- переходом. Но так как в ПТ с р—n-переходом 1//-шум отсутствует, то, по-видимому, такая «объемная» модель не подходит к этим транзисторам; а если она не подходит к ПТ с р——п-пе- реходом, то она, по всей вероятности, не является достаточно обоснованной и для описания избыточного l/f-шума в других кремниевых транзисторах.

Помимо l/f-шума, главными источниками шума в МОП ПТ являются тепловой шум канала [32] и генерационно-рекомбинационный шум в областях пространственного заряда [71, 73]. Оба этих шума можно анализировать, во многом используя те же методы, что и в случае ПТ с р—n-переходом. Одно время ван-дер-Зил и его сотр. полагали [16, 17, 56], что, помимо теплового шума канала в МОП ПТ, имеет место составляющая избыточного «белого» шума. Несостоятельность данного предположения вскоре показали Яу и Сах [72]; они утверждали, что эта наблюдаемая избыточная составляющая шума на самом деле является составляющей l/f-тума и что неправильное толкование ряда предыдущих исследователей связано с измерениями шума на недостаточно высоких частотах при использовании приборов, которые имеют очень большие l/f-шумы.

Высокочастотные шумы в МОП ПТ изучались Шоджи [54], Клаассеном и Принсом [33, 34], а также Люппом и Страттом J39.401.

Простую теорию тепловых флуктуаций в канале ПТ следует модифицировать, если принимать во внимание объемный заряд, связанный с ионизированными примесями в подложке. Сах с сотр. [51] исследовали влияние этого объемного заряда на шумовой ток стока и нашли, что он может приводить к увеличению уровня теплового шума в 4 раза по сравнению с уровнем, который предсказывает теория без учета этого факта. На шумовой ток затвора объемный заряд существенного влияния не оказывает [47].

ЛИТЕРАТУРА

G. Abowitz, Е. Arnold, Е. A. Leventhal (1967), Surface states and 1 /f noise in MOS transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—14, 775—777.

F. Berz (1970), Theory of low frequency noise in Si MOSTs, Solid State Elect., 13, 631—647.

W. C. Brunke (1963), Noise measurements in field effect transistors, Proc. IEEE (Correspondence), 51, 378—379.

W. C. Brunke, A. van der Ziel (1966), Thermal noise in junction-gate field」 effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 323—329.

S. Christenson, I. Lundstrom, C. Svensson (1968), Low frequency noise in MOS transistors. I: theory, Solid State Elect., 11, 797—812; II： experiment. Solid State Elect., 11, 812—820.

M. J. Churchill, P. O. Lauritzen (1971), Carrier density fluctuation noise in

Шум полевых транзисторов с р ——п-перехоОом и МОП-структуроИ 145 silicon junction field effect transistors at low temperatures, Solid State- Elect., 14, 985—993.

J. C. Courvoisier, W. Haidinger, P. J. W. Jochems, L. J. Tummers (1963),. Evaporation — condensation method for making germanium layers for transistor purposes, Solid State Elect., 6, 265—270.

G. C. Dacey, I. M. Ross (1953), Unipolar 'field effecf transistor, Proc. IRE, 41, 970—979.

E. Erlbach, J. B. Gunn (1962), Noise temperature of hot electrons in germanium, Phys. Rev. Lett., 8, 280—282.

H. S. Fu, С. T. Sah (1969), Lumped model analysis of the low frequency generation noise in gold-doped silicon junction-gate field-effect transistors, Solid State Elect., 12, 605—618.

H. S. Fu, С. T. Sah (1972), Theory and experiments on surface 1/f noise^ IEEE Trans. Elect. Dev., ED—19, 273—285.

A. S. Grove (1967), Physics and Technology of Semiconductor Devices». John Wiley, Chapter 8.

J. A. Geurst (1965), Calculation of the high-frequency characteristics of fieldeffect transistors, Solid State Elect., 8, 563—566.

H. E. Halladay, W. C. Brunke (1963), Excess noise in field-effect transistors,. Proc. IEEE, 51, 1671.

H. E. Halladay, A. van der Ziel (1968a), Field-dependent mobility effects in the excess noise of junction-gate field-effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev. (Correspondence), ED—14, 110—111.

H. E. Halladay, A. van der Ziel (1968b), Test of the thermal noise hypothesis in MOSFETs, Elect. Lett., 4, 366—367.

H. E. Halladay, A. van der Ziel (1969), On the high frequency excess noise and equivalent circuit representation of the MOS——FET with n-type channel. Solid State Elect., 12, 161—176.

J. W. Haslett, J. M. Kendall (1972), Temperature dependence of low-frequency excess noise in junction-gate FETs, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—19> 943—950.

J. W. Haslett, F. N. Trofimenkoff (1969a), Thermal noise in field-effect devices, Proc. IEE, 116, 1863—1868.

J. W. Haslett, F. N. Trofimenkoff (1969b), Generation noise resistance in junction field effect transistors at pinch-off, Solid State Elect., 12, 747— 750.

J. R. Hauser (1965), Small signal properties of field effect devices, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—22, 614—616.

C. F. Hiatt, A. van der Ziel, К. M. van Vliet (1975), Generation—recombination noise produced in the channel of JFETs, IEEE Trans. Elect. Dev., ED-22, 614—616.

S. T. Hsu (1970), Surface state related 1/f noise in MOS transistors, Solid State Elect., 13, 1451—1459.

S. T. Hsu, D. J. Fitzgerald, A. S. Grove (1968), Surface-related 1/f noise iir p—n junctions and MOS transistors, A ppi. Phys. Lett., 12, 287—289.

A. G. Jordan, N. A. Jordan (1965), Theory of noise in metal oxide semiconductor devices, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—12, 148—156.

К. Kandiah, F. B. Whiting (1978), Low frequency noise in junction field4 effect transistors, Solid State Elect., 21, 1079—1088.

H. Katto, M. Aoki, E. Yamada (1977), Proc. Symposium on 1/f functions,, Tokyo, July 11—13; (1977) Conf. Rep., 148—153.

H. Katto, Y. Kamigaki, Y. Itoh (1974), Proc. 6th Conf, on Solid State Devices, Tokyo; (1975), Supplement to the J. of Japan Soc. of Applied Physics, 44, 243—248.

F. M. Klaassen (1967), High-frequency noise of the junction field effect! transistor, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—14, 368—373：

F. М. Klaassen (1970), On the geometrical dependence of 1/f noise in MOS transistors, Philips Research Reports, 25, 171—174.

F. M. Klaassen (1970), On the influence of hot carrier effects on the therma* noise of field-effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—17, 858— 862.

F. M. Klaassen, J. Prins (1967), Thermal noise of MOS transistors, Philips Research Reports, 22, 505—514.

F. M. Klaassen, J. Prins (1968), Noise in VHF and UHF MOS tetrodes, Philips Research Reports, 23, 478—484.

F. M. Klaassen, J. Prins (1969), Noise of field-effect transistors at very high frequencies, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—16, 952—957.

F. M. Klaassen, J. R. Robinson (1970), Anomalous noise behaviour of the junction gate field effect transistor at low temperatures, IEEE Tratis. Elect. Dev., ED—17, 852—857.

P. O. Lauritzen (1965), Low-frequency generation noise in junction field effect transistors, Solid State Elect., 8, 41—58.

P. O. Lauritzen, С. T. Sah (1963), Low frequency recombination—generation noise in silicon FETs, presented at 1963 IEEE Solid State Device Research Conference, Lansing, Mich.; abstract, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—10, 334—335.

F. Leuenberger (1968), 1/f noise in gate-controlled planar silicon diodes, Elect. Lett., 4, 280.

. A. Leupp, M. J. O. Strutt (1968), Noise behaviour of the MOSFET at VHF and UHF, Elect. Lett., 4, 313—314.

A. Leupp, M. J. O. Strutt (1969), High-frequency FET noise parameters and approximation of the optimum source admittance, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—16, 428—431.

E. A. Leventhal (1968), Derivation of 1/f noise in silicon inversion layers from carrier motion in a surface band, Solid State Elect., 11, 621—627.

. M. Nakahara, H. Iwasawa, K. Yasutake (1968), Anomalous enhancement of substrate terminal current beyond pinch-off in silicon n-channel MOS transistors and its related phenomena, Proc. IEEE (letters), 56, 2088—2090.

. M. Nakahara, I. Kobayashi (1970), On the gate current and noise behaviour in pinched-off silicon junction field-effect transistors, Proc. IEEE (letters), 58, 1158—1159.

44. E. M. Nicollian, H. Melchior (1967), A quantitative theory of 1/f type noise due to interface states in thermally oxidized silicon, Bell Syst. Tech. J., 46, 2019—2033.

-45. V. Radeka (1967), Field effect transistor noise as a function of temperature and frequency, Conference on Semiconductor Radiation Detectors and Circuits, Gatlinburg, Tenn. May 1967.

46. V. Radeka (1969), FET noise as a function of temperature and frequency, in Semiconductor Nuclear Particle Detectors, Washington, DC, National Academy of Sciences, publ. 1593.

7. P. S. Rao (1969), The effect of the substrate upon the gate and grain noise of MOSFETs, Solid State Elect., 12, 549—555.

8. F. N. H. Robinson (1969), Noise in field-effect transistors at moderately high frequencies, Elect. Eng., 41, 353—355.

R. D. Ryan (1969), The gate currents of junction field-effect transistors at low temperatures, Proc. IEEE (letters), 57, 1225—1226.

С. T. Sah (1964), Theory of low-frequency generation noise in junction-gate field-effect transistors, Proc. IEEE, 52, 795—814.

. С. T. Sah, S. Y. Wu, F. H. Hielscher (1966), The effects of fixed bulk charge on the thermal noise in metal-oxide semiconductor transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—12, 148—156.

. W. Shockley (1952), A unipolar 'field-effect' transistor, Proc. IRE, 40, 1365—1376.

W. Shockley, W. Т. Read Jr. (1952), Statistics of recombination of holes and. electrons, Phys. Rev., 87, 835—842.

M. Shoji (1966), Analysis of high-frequency thermal noise of enhancement mode MOS field-effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 520— 524.

K. Takagi, Y. Sumino, K. Tabata (1976), Correlation coefficient of gate and drain noise at high electric field, Solid State Elect., 19, 1043—1045.

К. Takagi, A. van der Ziel (1969), Non-thermal noise in MOS FETs and： M.OS tetrodes, Solid State Elect., 12, 907—913.

К. Takagi, A. van der Ziel (1979), High frequency excess noise and flickernoise in GaAs FETs, Solid State Elect., 22, 285—287.

F. N. Trofimenkoff (1965), Field-dependent mobility analysis of the fieldeffect transistor, Proc. IEEE (Correspondence), 53, 1765—1766.

F. N. Trofimenkoff, A. Nordquist (1968), FET operation in the pinch-off mode, Proc. IEE, 115, 496—502.

A. van der Ziel (1962), Thermal noise in field-effect transistors, Proc. IRE^ 50, 1808—1812.

A. van der Ziel (1963a), Gate noise in field-effect transistors at moderately high frequencies, Proc. IEEE, 51, 461—467.

A. van der Ziel (1963b), Carrier density fluctuation noise in field effect transistors, Proc. IEEE (Correspondence), 51, 1670—1671.

A. van der Ziel (1969), Noise in junction and MOS—FETs at high temperatures, Solid State Elect., 12, 861—866.

A. van der Ziel (1979), Flicker noise in electronic devices, Advances 油 Electronics and Electron Physics, 49, 225——297.

A. van Ziel (1980), The oxide trap model of 1/f noise in MOSFETs, Proc. Symp. on 1/f fluctuations, Orlando, Florida.

A. van der Ziel, E. R. Chenette (1978), Noise in solid state devices, Advances in Electronics and Electron Physics, 46, 313—383.

A. van der Ziel, J. W. Его (1964), Small signal, high frequency theory of field-effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—11, 128—135.

L. K・ J・ Vandamme (1980), Model for 1/f noise in MOS transistors biased in the linear region, Solid State Elect., 23, 317—323; 1/f noise model for MOSTs biased in nonohmic region, Solid State Elect., 23, 325—329.

К. M. van Vliet, C. F. Hiatt (1975), Theory of generation—recombination noise in the channel of junction field effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—22, 616—617.

К. К. Wang, A. van der Ziel, E. R. Chenette (1975), Neutron-induced noise in junction field effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—22, 591— 593.

L. D. Yau, С. T. Sah (1969a), Geometrical dependences of the low-frequency generation—recombination noise in MOS transistors, Solid State Elect., 12,” 903—905.

L. D. Yau, С. T. Sah (1969b), On the 'excess white noise* in MOS transistors. Solid State Elect., 12, 927—936.

L. D. Yau, С. T. Sah (1969c), Theory and experiment of low-frequency generation-recombination noise in MOS transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—16, 170—177.

6

1(/-шум

£」・ Введение

Если на резистор подать постоянное напряжение, то помимо составляющей флуктуации тока, связанной с тепловым шумом, наблюдается еще одна составляющая. Аналогично, когда постоянный ток протекает по резистору, имеет место дополнительная случайная флуктуация в напряжении. Такая добавочная составляющая шума наблюдается у большинства резисторов при протекании постоянного тока или при подаче постоянного напряжения и характеризуется спектральной плотностью, которая зависит от частоты по закону |f|~а, где а — более или менее постоянная величина, принимающая, как правило, значения 0,8—1,4. Спектральная зависимость такого вида наблюда- <ется у некоторых микроволновых приборов в очень широком .диапазоне, перекрывающем двенадцать порядков частоты (10~6—106 Гц) и более. На самом деле, как теперь ясно, шум, подчиняющийся закону (спектральная плотность обратно пропорциональна частоте), проявляется практически у всех мате- фиалов и элементов, используемых в электронике: у собственных полупроводников, приборов на р—n-переходах, у металлических пленок и «вискеров», у жидких металлов и растворов электролитов, ламп с термокатодами, у сверхпроводников и переходов Джозефсона; и обычно, где бы это явление ни на- ^блюдалось, оно имеет общее название: l/f-тум.

Ранее для l/f-тума употребляли различные названия: токовый шум, избыточный шум, фликер-шум (при этом обычно имели в виду флуктуации электронной эмиссии термокатода), полупроводниковый шум (до того, как выяснилось, что им обладают и металлы, и жидкие электролиты) и контактный шум (хотя, хорошо известно, что l/f-тум в общем не является эффектом, связанным с контактами). Для предостережения отметим (очевидно, это стоит сделать), что хотя термин l/f-шум является общим для любого из этих явлений, из этого вовсе не следует, что существует один общий для всех этих случаев физический механизм возникновения шума такого типа. На самом деле имеющиеся данные дают возможность полагать, что причина возникновения l/f-шума в различных случаях совершенно разная.

Первые наблюдения l/f-шума выполнены более пятидесяти лет тому назад [38], и с тех пор этот вопрос интенсивно разрабатывался. Большая часть этой первоначальной работы по исследованию описана Беллом [5], он, кроме того, опубликовал обзор по данному вопросу, в котором включены и результаты более поздних исследований [6]. Ряд интересных и новых ранее не существовавших аспектов l/f-шума рассмотрел ван-дер-Зил [64], а Вайссман [69] выполнил теоретический обзор по l/f-шуму, включающий самые последние теории. Некоторые теоретические и эмпирические модели, предложенные для l/f-шума, рассмотрены Хугом [31]. Во всех этих обзорных работах имеется большое количество ссылок на соответствующие работы по данному вопросу.

l/f-шум является универсальным типом флуктуаций, он проявляется не только при измерениях в электронике, но и во всерасширяющемся ряде наблюдений в самых различных сферах. Это отмечено, например, для таких явлений природы, как землетрясения и грозы ,[46] и изменения уровня течения реки Нил [22], хотя, конечно, спектры, которые выявляются в таких случаях, нельзя считать спектрами мощности в обычном смысле этого слова. Кроме того, некоторые биологические системы также обладают l/f-шумом: нормальный период сердцебиения человека имеет флуктуации, спектральная плотность которых изменяется приблизительно по закону l/|f| для частот ниже 0,3 Гц, подобную же форму имеет спектр флуктуаций волн мозга, в частности так называемых a-волн на электроэнцефалограммах (ЭЭГ). Оба этих факта отметил Муша (52]. Хорошо известно, что нейромембраны обладают флуктуациями 1/力 ряд ссылок на работы по исследованию такого шума в данной области привел Хуг [31]. Другой областью, где имеется l/f-шум, является музыка. Восс и Кларк [68] обнаружили, что соотношение между интенсивностью и высотой звука в классической музыке (Моцарт, Бах, Бетховен, Дебюсси) в западной, джазовой музыке, в музыке ансамбля «Битлз», а также в музыке различных эпох соответствует зависимости 1/f. Возможно, еще более удивительным является то, что индивидуальное восприятие музыки существенно определяется видом ее спектра: так, три музыкальных отрывка, «скомпонованные» на основе случайных чисел и имевшие зависимости спектральных плотностей от частоты в виде 1 /1f12Л l/|f| и l/|f|° (белый шум), характеризовались слушателями как скучный (1 |f|2), раздражающий (белый шум) и доставляющий удовольствие (1/|〃). Выходит, что «хорошая» музыка имеет спектр l/|f|, вероятно, из-за того, что ее время корреляции не настолько мало, чтобы сделать ее выводящей из равновесия своей беспоря-

дойностью, но и не столь велико, чтобы сделать ее предсказуемой.

Можно привести немало и других примеров неэлектронных систем, когда выполняется закон 1/|〃，но мы не будем здесь этого делать. Остальная часть данной главы будет посвящена рассмотрению l/f-тума в электронных приборах и проводниках.

За последние два десятилетия накоплено очень большое количество данных по l/f-шуму для различных электронных приборов. Эти экспериментальные данные часто ставят больше- вопросов, чем дают ответов, а иногда они даже противоречат друг другу. Не понятна сама физическая причина возникновения l/f-шума, за исключением, может быть, нескольких частных случаев; до сих пор нельзя со всей определенностью сказать, обусловлен ли l/f-тум явлениями, происходящими в объеме или на поверхности образца. Большая часть экспериментальных данных позволяет предполагать, что у некоторых типов； приборов это поверхностный эффект, как в случае МОП ПТ, где важную роль в возникновении шума играет поверхность раздела полупроводник — окисел; а у других приборов, таких, как однородные резисторы, это объемный эффект, связанный со случайной модуляцией сопротивления, обусловленной флуктуацией числа или подвижности носителей заряда. В некоторой степени озадачивает то, что имеются экспериментальные данные в пользу обеих этих гипотез: флуктуаций и числа и подвижности носителей.

В противоположность основной массе экспериментальных данных, данные о спектральной плотности l/f-шума в однородных материалах более или менее упорядочены. Хуг [30] сформулировал эмпирический закон, из которого следует, что спектральная плотность такого шума обратно пропорциональна общему числу носителей заряда в образце, и, несмотря на отсутствие полной обоснованности, этот закон, по-видимому, отражает характерную особенность многих явлений, при которых наблюдаются спектры l/f-шума. Но закон Хуга не связывается с каким-то физическим механизмом возникновения l/f-шума и считается, что до объяснения этого явления все еще далеко. Предложено несколько теорий, из которых наиболее широко обсуждались в литературе ловушки на поверхности и обмен энергией с окружающей средой при тепловом равновесии. Хотя эти теории, каждая сама по себе, дают возможность объяснить ряд характерных черт данного явления, однако общей теории возникновения l/f-шума в настоящее время не существует. Именно факт отсутствия общей теории привел к появлению в литературе другого подхода, основанного на дробном интегрировании спектра белого шума. Такая процедура приводит к математическим выражениям, которым соответствует спектр нуж-

ного вида, но она проливает мало света на физические механизмы возникновения такого шума.

Прежде чем обсуждать некоторые недавно полученные экспериментальные данные по l/f-туму и наиболее разумные теории этого явления, мы рассмотрим некоторые свойства спектральной плотности, изменяющейся по закону 1 /1 f |а.

6.2. Масштабная инвариантность

Форма сигнала x(t) «истинного» l/f-шума характеризуется функцией спектральной плотности, у которой а= 1

而="1 矶(6.1)

где с не зависит от частоты. Эта спектральная форма оживленно обсуждается в литературе главным образом в связи с обоснованием общих предположений о гипотетическом низкочастотном пределе, ниже которого эта функция уже неприменима для описания шумового процесса. Предпринимались большие усилия для нахождения этого предела, но он так и не был обнаружен. Монсуар с сотр. [49] провели измерения l/f-шума у МОП ПТ вплоть до частоты 5-10-5 Гц, а Калоянидис [15] выполнил аналогичные измерения на полупроводниковых материалах вплоть до частоты 5-10~7 Гц, однако серьезного отклонения от закона l/|f| во всех случаях обнаружено не было.

Существование данного предела со стороны низких частот следует из того, что при его отсутствии интегральная интенсивность спектра, имеющего вид, определяемый уравнением (6.1), будет бесконечно большой. В самом деле, обе (высокочастотная и низкочастотная) предельные области спектров такого вида приводят к неопределенности, но в первом случае такая трудность легко разрешима, если считать, что существует высокочастотный предел, определяемый собственными временными характеристиками любого механизма, обусловливающего данный шум, или системы, в которой он возникает, выше которого закон, описываемый уравнением (6.1), не выполняется; вместо этого спектральная кривая будет спадать, по крайней мере по закону I//2. В противоположность этому неопределенность, связанную с низкочастотной областью, нельзя ликвидировать, привлекая какие-либо обоснованные физические аргументы, по крайней мере те, которые известны в настоящее время. Важно, сднако, и не переоценивать значение этой неопределенности, являющейся по характеру логарифмической; как отмечено ниже, нельзя ожидать, что она явится реальным препятствием, поскольку нет никакой причины полагать, что низкочастотный

предел применимости закона 1/|〃 может быть достигнут в до ступном для измерений диапазоне частот.

До того, как продолжить рассмотрение вопроса о том, как ведет себя l/f-шум на низких частотах, имеет смысл обсудить интегральную мощность в интервале (положительных) угловых частот со】一32：

f S*(<o) ds = (с/2л) In 他他).f S*(<o) ds = (с/2л) In 他他).(6.2>(6.2>

f S*(<o) ds = (с/2л) In 他他).

f S*(<o) ds = (с/2л) In 他他).

(6.2>

(6.2>

31

Полученный простой результат показывает, что для определенного значения отношения частот З2/З1 интегральная мощность, является постоянной. Следовательно, полная мощность шума, например, в диапазоне 0,1 — 1 Гц равна мощности шума в диа* пазоне 1 ——10 Гц или 10——100 Гц, т. е. между любыми частотами, отличающимися на порядок. Подобное свойство l/f-шума носит название масштабной инвариантности.

Если в уравнении (6.2) устремить частоту со2 к бесконечности и при этом оставить частоту з】постоянной и конечной величиной, то легко видеть, что выражение для полной мощности спектра имеет логарифмическую расходимость. По причине, которая была указана выше, в этом случае нет существен* ных затруднений, потому что распространение закона 1 /1 f | на бесконечно большие частоты не имеет физического смысла. Если же в уравнении (6.2) частоту з】устремить к нулю и при этом оставить частоту со2 постоянной и конечной величиной, то выражение для полной мощности спектра стремится к бесконечности логарифмически, но в этом случае физически обоснованной причины для ограничения мощности установить столь же легко нельзя.

Рассмотрим следующий вопрос: препятствует ли расхождение полной мощности спектра в низкочастотном пределе справедливости закона 1/|〃 вплоть до нулевой частоты? Можно показать, что не препятствует, так как любое измерение шума производится за время, которое, как бы велико оно ни было> всегда будет конечным по своей продолжительности. Это означает, что самая меньшая измеренная частота, насколько мала бы она ни была, будет всегда ограниченной. И неизбежное следствие этого состоит в том, что нет в принципе причинь^ почему частотная зависимость 1/f для данного шума должна была бы переходить в более слабую ниже некоторой предельной частоты; бесконечность, которая может проявляться только при наблюдениях за бесконечно большой отрезок времени, не сможет служить причиной для волнений.

Несколько отличный взгляд на вопрос о пределах справедливости закона 1/|/| был изложен в работе Флина [21]; в ней ав-

тор сделал попытку дать количественную оценку по порядку величины частотного интервала, в котором спектральная зависимость l/|f| может иметь место. Он определил верхний предел на уровне 1023 Гц, исходя при этом из времени прохождения светом расстояния, равного классическому радиусу электрона, а нижний частотный предел — на уровне 10-17 Гц, что связано с оценочным возрастом вселенной. Весь интервал перекрывает 40 декад, он громаден и, конечно, выходит за возможности экспериментальных исследований. Но полное среднеквадратичное значение 1//-флуктуации равно только (4б)】/2亠 4 6 раз, т. е. меньше одного порядка. Флин воспользовался экспериментальными данными Брофи [12] и получил цифру 3,5 • 16一7 Вт для полной мощности шума, соответствующей всему частотному интервалу, т. е. 40 декадам, что на 6 порядков меньше, чем входная мощность постоянного тока (0,39 Вт), которая использовалась в эксперименте Брофи. Видно, что даже при подобной экстремальной оценке полная мощность такого шума является незначительной по сравнению, например, со значением подводимой мощности постоянного тока, которая использовалась в этом эксперименте. И по-види- мому, не остается практических оснований ожидать, что зависимость 1/1/1 окажется непригодной ниже какого-то определенного значения частоты, находящегося в доступном для эксперимента диапазоне.

63. Стационарность

Дискуссия о том, является ли l/f-шум статистически стационарным процессом, продолжается в литературе уже несколько лет. Утверждения о том, что l/f-шум представляет собой «стационарную» флуктуацию, столь же распространены как утверждения о том, что он обладает некоторой степенью «не- стационарности». При этом, как правило, точное определение этих терминов остается не установленным, что приводит к тому, что весь вопрос отчасти запутан. Данная проблема возникает, конечно, в связи с расходимостью спектра в нижнечастотном пределе.

Для того чтобы внести ясность в данную ситуацию, ниже будет проведено рассмотрение двух частных случаев шумового спектра, а именно l/f-шум в ограниченной полосе частот (т. е. такой, у которого отсутствует низкочастотная составляющая) и l/f-шум без низкочастотной фильтрации (т. е. такой, у которого имеются все низкочастотные составляющие). Первый случай, т. е. шум в ограниченной полосе частот, соответствует тем видам спектральной функции, которые исследуются при экспе-

риментальных измерениях (так как l/f-шум, реально наблюдаемый при измерениях, всегда является ограниченным по полосе частот, либо непосредственно за счет фильтрации, обусловленной конечной полосой пропускания аппаратуры, либо косвенно за счет ограниченного времени измерения), и такой шум является статистически стационарным процессом. Напротив, l/f-шум без низкочастотной фильтрации является теоретической абстракцией и он нестационарен.

1 //шум в ограниченной полосе частот

Рассмотрим 1/f-шумовой процесс %(7) с такой полосовой фильтрацией, что для него спектральная плотность мощности имеет вид

с/1 з I для о)1 & з & 0)2，

=(6.3)

О в остальных случаях,

где 32 и со】一соответственно верхняя и нижняя угловые частоты этой полосы. Используя теорему Винера — Хинчина и имея в виду уравнение (6.3), получаем, что автокорреляционная функция x(t) описывается формулой

С1)2

大内="2冗[卓他(6.4)

которую после замены переменной и преобразования пределов интегрирования можно записать в виде

Фх(т)=訐 ©(吗工)一С"©#)】，(6・5)

где!

О⑵(6.6)

—интегральный косинус. Разложение интегрального косинуса в ряд (см., например, [44]) дает

С〃"+1”) + £~У^,(6.7)

々+1

где у = 0,5772...— z—>0, функция средний квадрат

постоянная Эйлера; таким образом, при Ci(z) ведет себя как In (г/ Следовательно> %(f), который можно получить из уравнения

в пределе т~>0, описывается выражением

%(°)=轰In(吗/吗)， (6・8)

в согласии с уравнением (6.2).

Из уравнений (6.5) и (6.8) видно, что для определенной лолосы частот с si>0 автокорреляционная функция и значение среднего квадрата процесса, спектральная плотность которого задается уравнением (6.3), сходятся в пределе к выражениям одного вида. Это означает, что статистические меры (т. е. плотности вероятности), составляющие основу этих величин второго порядка, зависят только от времени запаздывания т, но не от абсолютных отрезков времени, по которым происходит усреднение ансамблей, что является условием стационарности в широком смысле. Таким образом, l/f-шум в •ограниченной полосе частот является по крайней мере стационарным процессом в широком смысле.

Вопрос о стационарности l/f-шума впервые был поднят Брофи [12, 13], который выполнил измерения «дисперсии дисперсии», как это после него начали называть. Он брал выборки l/f-шума за большое число отрезков времени и вычислял дисперсию для каждой такой выборки. Однако эти дисперсии сами флуктуировали, потому что каждая была измерена в интервале времени конечной длительности. Степень этой флуктуации и определялась как дисперсия дисперсии. Брофи нашел, что дисперсия дисперсии была больше для l/f-шума в ограниченной полосе частот, чем для стационарного белого теплового шума, что объясняет его ссылку на l/f-шум как на «шумный шум»; он пришел к выводу, что l/f-шум «обладает некоторой (формой условной стационарности».

По крайней мере качественно результаты Брофи согласуются с полученными выше выводами о том, что l/f-шум в ограниченной полосе частот стационарен в широком смысле. Более того, поскольку время корреляции l/f-тума намного больше, чем у белого шума, то относительно большое значение дисперсии дисперсии, обнаруженное у l/f-шума, не должно было быть неожиданным, и этот факт не следовало бы истолковывать как доказательство того, что l/f-шум в ограниченной полосе частот является нестационарным.

Дальнейшие эксперименты по изучению вопроса о стационарности l/f-шума в ограниченной полосе частот были выполнены Стойсеком и Вольфом [58]; они проводили измерения флуктуаций дисперсии шума от физических источников двух типов (угольных резисторов и биполярных транзисторов) и сравнивали результаты с «искусственным» l/f-тумом, который создавался формированием стационарного гауссова шума с

1/1/|-спектром. Они пришли к заключению, что нет оснований для сомнений в том, что l/f-шум в ограниченной полосе частот является статистически стационарным. Страсилла и Стр асе [59] пришли к подобному же заключению.

l/f-шум без низкочастотной фильтрации

В том случае, когда нижняя граница полосы частот з】равна нулю, спектр, задаваемый уравнением (6.3), расходится, следуя закону 1/|〃， вплоть до нулевой частоты. Несмотря на то что подобный случай нельзя реализовать на практике, представляет интерес провести теоретическое исследование на стационарность сигнала x(t) l/f-шума. Последующее рассмотрение основано на условии, которое должно быть удовлетворено для любого стационарного процесса.

S% (з) = 4S% (з) = 4ооВ том случае, когда случайная флуктуация x(t) является статистически стационарной, применима теорема Винера — Хин- чина, которая позволяет выразить спектральную плотность в виде

S% (з) = 4

S% (з) = 4

о

о

(6.9>

где 屮％(匸)一автокорреляционная функция сигнала x(t). Дифференцируя это выражение по з, получим

ОО

Нт 吟Е = 41im f 若[外⑴ cos сот] dr =

吁。吁0 J

о

=—41im С т(рх (т) sin a)xdx = 0.(6.10)

со—>О J

0

Следовательно, наклон кривой спектральной плотности стационарного процесса при частоте, равной нулю, есть нуль, илиг другими словами, спектральная кривая в низкочастотном пределе становится горизонтальной.

Подобное условие, очевидно, не может быть выполнено для спектральной функции, которая продолжает возрастать по мере приближения к пределу нулевой частоты, т. е. в отсутствие низкочастотной фильтрации 1/%тум является статистически нестационарным процессом. На первый взгляд может показаться, что из этого вытекают серьезные трудности, связанные с трудоемкой математикой (расходящиеся интегралы) в построении

теории l/f-тума, но на практике дело обстоит иначе или по крайней мере должно быть иначе. Эти вопросы обсуждаются1 ниже.

Стационарность и теоретическое моделирование

Как уже упоминалось, доступная для экспериментальных: исследований часть спектра со стороны низких частот ограничивается временем Т, за которое проводится измерение. Так: как Г всегда конечно, в любом случае имеется часть спектральной области, недоступной для экспериментального исследования. Легко видеть, что, если бы спектр выпрямлялся ниже некоторой частоты, значительно меньшей, чем нижняя граница- доступного для экспериментального наблюдения участка спектра, этот процесс был бы неотличим от того, который описывается поднимающейся спектральной кривой; более того, он подчинялся бы условию, вытекающему из уравнения (6.10) и в- соответствии с этим именовался бы стационарным. Следовательно, при изменении спектра в крайне малой степени, причем таким образом, что это нельзя экспериментально обнаружить, характер процесса изменяется от нестационарного к стационарному. Такое рассуждение показывает, что вопрос о стационарности l/f-тума носит скорее семантический характер и почти? не имеет значения с точки зрения физики явления. Дело в том,, что математика позволяет получить выражения для статистически стационарного случайного сигнала такого вида, свойства которого в диапазоне наблюдений, доступном на практике,, были бы неотличимы от измеряемых при исследовании l/f-шу- мовых процессов. Реальная трудность связана не с математическим описанием явления, а с определением физических механизмов, которые обусловливают генерацию l/f-шума.

Из приведенных выше доводов видно, что предположение о стационарности в широком смысле не противоречит экспериментальным данным по исследованию l/f-шума. Достоинство данного допущения состоит в том, что при построении математических моделей можно в качестве основы использовать уже знакомую нам теорему Винера — Хинчина и другие родственные ей теоремы, которые справедливы для стационарных процессов. Но предположение о стационарности, по сути дела, отвергает всякую возможность признания того, что l/f-шум по своей природе — нестационарный сигнал. Оказывается, однако,, что это не столь большая потеря, так как теоретические построения для представления нестационарного процесса, как правило, содержат физически не реализуемые признаки. Это можно проиллюстрировать на примере работы Тэндона и Бил- гера [60], в которой предлагается функция математического^

•ожидания £[у(/)у(/+т)] [их уравнение (3)] нестационарного .процесса у«). Исследование предлагаемой ими функции показывает, что она не достаточно обоснованна с точки зрения причинности: она зависит от Т。, т. е. интервала времени, за который происходит усреднение ансамбля, а это подразумевает «предсказание» будущего. Не существует реальной системы, которая может вести себя таким образом.

По всей вероятности, нет таких причин, которые вынуждали рассматривать l/f-шум в качестве нестационарного процесса, и, в самом деле, такой подход безусловно невыгоден. С другой стороны, если встать на прагматическую точку зрения и считать, что этот шум стационарен в ш-ироком смысле, то вносится некоторая ясность во всю проблему. Это становится очевидным из того факта, что стационарность требует отсечки ；со стороны низких частот, которая обеспечивает сходимость интегралов, а это в свою очередь упрощает построение теоретических моделей шума. Правда, при любом экспериментальном измерении спектра автокорреляционная функция или среднеквадратичное значение l/f-шума будут зависеть от времени измерения Т, но это легко объяснить тем, что Т не является достаточно большим для того, чтобы эти величины сходились к однозначным конечным видам. Такая сходимость имела бы место только в тех случаях, когда Т превышало бы величину, обратную принятой частоте отсечки.

Влияние конечности времени измерения на наблюдаемый спектр шума можно выразить с помощью эмпирической формулы

с/1 I для 2л/Т W ①《吗，

О в остальных случаях,

弘оторая формально схожа с уравнением (6.3), за исключением того, что вместо частоты s, соответствующей нижней гранич- •ной частоте полосы фильтрации, используется 2л/Т. Отметим, что функциональная зависимость от Т включается в явном виде в левую часть уравнения (6.11). По аналогии с уравнениями (6.5) и (6.8) автокорреляционная функция и средний квадрат «случайного процесса со спектральной плотностью Sobs можно записать соответственно в виде

9°bsd，T)=奈[Ci M-Ci (2лт/Г)](6.12)

и

%ь；(0,Т) =言 In 伍,С，(6.13)

тде，2 = 32/2л, a Ci( )——интегральный косинус, определенный

в уравнениях (6.6) и (6.7). Логарифмическая зависимость от Т среднего квадрата в уравнении (6.13) была экспериментально подтверждена Брофи [13].

Сравнение со случайным блужданием

Спектры l/f-шума и процесса Винера — Лёви (см. разд. 2.10), который является одним из видов случайного блуждания, сходны в том, что в обоих случаях имеет место закон обратной^ пропорциональности от частоты, в первом логарифмический^ наклон, примерно —1, а во втором —2. Но с точки зрения стационарности их поведение различно. Процесс Винера — Лёви — кумулятивный и у него как у такового форма сигнала отчетливо выражена. В низкочастотном пределе у такого процесса гарантируется изменение спектральной плотности с частотой по^ закону 1/о)2 и, следовательно, данный процесс является, безусловно, нестационарным. В таком случае не возникает вопроса, связанного с граничной частотой спектра, так как это противоречит самой природе данного процесса (отсечка, представленная на рис. 2.5, б, не является особенностью самого спектра Винера ——Леви, это — артефакт, связанный с конечной величиной селекции). Однако в случае же l/f-шума физические механизмы, обусловливающие форму сигнала, не являются отчетливо выраженными и низкочастотная отсечка может существо* вать, а может и не существовать; вопрос о стационарности такого шума остается до сих пор все еще открытым, это уже обсуждалось выше.

6.4. Форма сигнала с 1//-спектром

Уже было отмечено, что в общем случае физические причины возникновения l/f-шума все еще не ясны. Ключ к пониманию физического механизма, обусловливающего данное явление, может содержаться в характерных особенностях формы данного сигнала, т. е. предполагается, что анализ математического описания процесса, обладающего характеристиками l/f-шума, может пролить свет на понимание физики, лежащей в основе этого вида флуктуаций.

Ниже обсуждаются два процесса, имеющие форму спектра 1/f. Первый процесс — это случайный цуг импульсов, модели которого уделено удивительно мало внимания в литературе. Шёнфельд [57] высказал мысль о том, что l/f-шум можно：. представить как случайную последовательность импульсов, которые имеют примерно одинаковую форму, а ван-дер-Зил [64] дополнил эту модель, исходя из простейшей из возможных

форм таких импульсов. Но в общем очевидно, что к этому процессу проявлен слабый интерес, исключение составляет работа Белла [9], который рассмотрел модель подобного типа.

Другое математическое представление сигнала 1/f, рассматриваемое ниже, основано на суперпозиции большого числа релаксационных процессов с широкой вариацией характерных постоянных времени [50, 61]. Эта модель получила ш-ирокое признание, что, по всей вероятности, связано с ее непосредственным отношением к поверхностному механизму l/f-шума в МОП ПТ, согласно которому носители туннелируют между полупроводником и ловушками, локализованными в слое окисла. Обобщение модели суперпозиции описано в работе [24].

<6.4.1. Модель 1 /f-шума, основанная на процессе случайного цуга импульсов

Используя теорему Карсона (разд. 2.6), можно получить выражение для спектральной плотности случайного цуга им- лульсов %(f) при форме единичного импульса, заданного функцией f(f):

&л研=2v叫尸(М)|2,(6.14)

тде 尸(/з) —преобразование Фурье функции f (/); а2 — средний квадрат высоты импульса, a v — средняя частота следования импульсов. Анализ уравнения (6.14) показывает, что частотная зависимость Sx полностью определяется формой отдельного импульса f(f). Следовательно, вопрос состоит в выборе такой формы отдельного импульса в цуге, которая приведет к нужной спектральной функции, а именно l/|f |а. (Подобный вопрос уже встречался при рассмотрении теплового и дробового шума, где в тех же случаях для формы импульса использовали дельта-функцию, ее преобразование равно единице и спектры не зависят от частоты.)

Будем считать, что форма отдельного импульса в цуге описывается функцией

f (t)= и (f) f—(l-a/2) exp —з J,(6.15)

尸(^ = ^t~^ exp —丽尸(^ = ^t~^ exp —丽где а и cox ——оба положительны и не зависят от времени; a —— приближенно, но не точно равно единице, а 〃(f)—единичная ступенчатая функция. Фурье-преобразование функции f(/) описывается формулой

尸(^ = ^t~^ exp —丽

尸(^ = ^t~^ exp —丽

(6.16)

о

где Г( )—гамма-функция. Интеграл в выражении (6.16) имеет стандартную форму и его значение можно найти в любой таблице, например в работе [23]. Если результат, полученный из уравнения (6.16), подставить в выражение теоремы Карсона, то найдем, что спектральная плотность процесса, моделируемого случайным цугом импульсов с формой отдельного импульса, заданного выражением (6.15), имеет вид

Sx(s) =Sx(s) =2 必「2（а/2）®2 +炉严2 必「2（а/2）®2 +炉严(6.17)(6.17)

Sx(s) =

Sx(s) =

2 必「2（а/2）®2 +炉严

2 必「2（а/2）®2 +炉严

(6.17)

(6.17)

а — спектральная плотность S#(s), рассчитанная из уравнения (6.17) и нормализованная к нулевому значению частоты при а=1; б — соответствующая автокорреляционная функция, рассчитанная из уравнения (6.19) при с=»2л.а — спектральная плотность S#(s), рассчитанная из уравнения (6.17) и нормализованная к нулевому значению частоты при а=1; б — соответствующая автокорреляционная функция, рассчитанная из уравнения (6.19) при с=»2л.

а — спектральная плотность S#(s), рассчитанная из уравнения (6.17) и нормализованная к нулевому значению частоты при а=1; б — соответствующая автокорреляционная функция, рассчитанная из уравнения (6.19) при с=»2л.

а — спектральная плотность S#(s), рассчитанная из уравнения (6.17) и нормализованная к нулевому значению частоты при а=1; б — соответствующая автокорреляционная функция, рассчитанная из уравнения (6.19) при с=»2л.

Кривая, характеризующая зависимость (6.17) представлена на

имеется граничная ча-имеется граничная ча-рис. 6.1, а. Из этого рисунка видно, что

имеется граничная ча-

имеется граничная ча-

стота 3=(o%, ниже которой кривая по существу параллельна оси абсцисс, а в диапазоне, где <о》з*, можно провести аппроксимацию S%(s) следующим образом:

SKs) 4 ■[工 z ' а=1, (6.18)

где с = 2иа2р2(а/2). Такая спектральная зависимость соответствует реально наблюдаемым спектрам l/f-шума даже вплоть до возможности некоторого изменения логарифмического наклона за счет показателя а. Более того, закон обратной степенной зависимости можно использовать в любом сколь угодно широком диапазоне частот, так как величину граничной (угловой) частоты 3%, входящей в выражение (6.17), можно выбрать сколь угодно малой. К тому же ясно, что сколь бы малым ни было

значение з% (при условии, однако, что оно не обращается в нуль), функция S%(①)в уравнении (6.17) удовлетворяет условию стационарности (в широком смысле), неявно содержащемуся в уравнении (6.10).

Если считать, что ①％ находится значительно ниже наблюдаемого диапазона частот, то автокорреляционная функция и значение среднего квадрата 无(%) будут зависеть от времени измерения 7, как это обсуждалось в разд. 6.3.3.. С теоретической точки зрения представляет интерес проанализировать изменение этих статистических характеристик в пределе при Т~>оо. В этом случае для получения автокорреляционной функции в интеграл Винера — Хинчина целесообразно подставить спектральную плотность в виде, описываемом уравнением (6.17), а не уравнением (6.18): .

屮ос ⑴=击(5Х (о) cos end①=费 К。(①户)， (6.19) о

где с целью упрощения используется коэффициент а, равный единице, а Ко (з/г) — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. График зависимости функции фх (т) от (о%т приводится на рис. 6.1,6. Возможно смысл автокорреляционной функции легче понять, если аппроксимировать данную функцию Бесселя суммой первых трех членов ее разложения в ряд

К。⑵=-丫+出(2)-In ⑵+ • • •, (6.20)

где y = 0,5772...——постоянная Эйлера. Для случая малых <рхТ, которые нас и интересуют, очевидно, функция 屮％ (т) изменяется как 1п((охт), причем для (р*#=0 она конечна во всех точках по t, за исключением начала координат, где она имеет логарифмическую неопределенность, связанную с высокочастотной границей спектра l/f-шума. Но это не большая помеха, чем дельта-функция, входящая в автокорреляционную функцию для белого шума, спектр которого распространен равномерно до бесконечности: в обоих случаях бесконечность среднего квадрата есть не что иное, как математическая абстракция, так как в реальной ситуации ограничения полосы пропускания приводят к конечным значениям этих величин. В случае же когда ①％ = 0, легко видеть из уравнений (6.19) и (6.20), что автокорреляционная функция является неопределенной при любом значении t. Несомненно, что такое странное с теоретической точки зрения свойство связано с применимостью формулы l/|fI вплоть до крайне малых значений частоты; и хотя для l/f-шума следует ожидать крайне больших значений времени

корреляции, это свойство означает лишь экстремальное (по нижней частоте) условие, которое по причинам, подробно рас* смотренным выше, никогда нельзя наблюдать на опыте.

Ясно, что процесс, описываемый случайным цугом импульсов в том случае, когда индивидуальный импульс примерно описывается формулой 广】/?, приводит к тем же статистическим параметрам второго порядка, которые получают при экспериментальных измерениях l/f-шума. Конечно, физические механизмы, обусловливающие импульсы именно такой формы в электронной аппаратуре или во многих неэлектронных системах, с первого взгляда не очевидны. В качестве механизма, приводящего к модуляции электрического сопротивления образца, которая в свою очередь приводит к возникновению l/f-шума в определенном диапазоне частот, была предложена термодиффузия; такой механизм можно интерпретировать как процесс случайного цуга импульсов, рассмотренный выше. Хотя термофлуктуации больше не считают единственным механизмом, обусловливающим весь наблюдаемый l/f-шум (по крайней мере в большинстве случаев), эта модель казалась многообещающей в середине 1970-х гг. при ее возникновении. Одна привлекательная особенность этого подхода состоит в том, что равновесный обмен тепловой энергией между телом и его окружением есть явление универсальное и в этом смысле очень схожее с самим l/f-шумом. Однако другие факторы противоречили гипотезе о температурных флуктуациях, а экспериментальные данные, полученные к настоящему времени, таковы, что данная модель, если не целиком отвергается, то и не оправдывает связанных с ней надежд. Ввиду того внимания, которое привлек к себе этот механизм, когда он был предложен, и возможности его повторного рассмотрения в будущем в модифицированном виде, мы опишем его преимущества и недостатки ниже в разд. 6.7.3.

4.4.2. Суперпозиция релаксационных процессов

Зависимость спектральной плотности релаксационного процесса z(f) от времени релаксации 匕 записывается в общем виде

丽= 714黑Г (621)

где g(tz) —функциональная зависимость числителя от tz. Вид функции g(tz) определяется физическим механизмом, обусловливающим шум; в некоторых случаях, например в случае теплового шума, функция g(tz) вообще не зависит от т2. Для наших целей здесь нет необходимости конкретизировать вид

функции g(tz), однако впоследствии в связи с рассмотрением модели l/f-шума в МОП ПТ, предложенной Мак-Уортером (разд. 6.7.2), будет проанализирован случай, когда g(Tz)^Tz.

Допустим, что составлена линейная суперпозиция %«) релаксационных процессов с постоянными времени, распределенными между верхним и нижним предельными значениями Т2 и Ti с плотностью вероятности p(tz). Суммарная спектральная плотность в этом случае имеет вид

^ = ]s^)P (G) dx2 = j需驚:dJ (6.22)

Для случая, когда произведение двух функций, стоящих в числителе подынтегрального выражения, не зависит от тг и равно, например,尸，этот интеграл записывается в виде

Sx (со)=尸[arctg (сот2)—arctg (ш1H/со. (6.23)

Отметим, что это — четная функция частоты и в диапазоне частот, когда st2》l и 0&斫良1, тригонометрические функции в числителе можно считать приближенно равными 冗/2 и 0, что приводит к следующей приближенной зависимости от частоты:

即科瑞7。 (624)

Следовательно, суперпозиция релаксационных процессов приводит к спектральной функции с обратно пропорциональной зависимостью от частоты. Кроме того, в более общем виде можно прийти к зависимости |(о|~а , где а』，если считать, что числитель подынтегр а льного выражения в уравнении (6.22) пропорционален х2°^1»

Основная трудность данной модели состоит в том, что для получения нужного спектрального закона l/|f| в широкой области частот требуется очень большой разброс постоянных времени. При T2/ti= 106 выражение (6.24) справедливо только в диапазоне, перекрывающем четыре порядка по частоте, и, для того чтобы получить диапазон, перекрывающий десять порядков, следует увеличить это отношение 毛加1 до 1012. В некоторых случаях, как, например, у МОП ПТ, имеется возможность указать такой физический механизм, который мог бы объяснить существование постоянных времени, распределенных, скажем, в диапазоне 10-5—108 с, но в общем случае дело обстоит не так, и представляется невероятным, чтобы суперпозиция релаксационных процессов составляла основу большинства наблюдаемых 1/f-шумовых спектров.

Интегралы дробного порядка

После того как стало ясно, что l/f-шум нельзя быстро укротить с помощью теоретического анализа и что объяснение физики процесса для большинства его проявлений не ожидается, выш*ло в свет несколько работ, в которых данная проблема была рассмотрена, так сказать, с другой стороны. Эти работы базировались на идее, что спектральную функцию l/f-шума можно получить интегрированием половинного порядка белого шума [1, 47, 48]. Более формальная версия этой же идеи содержится в недавней работе [45].

По существу довод такой: если какой-то процесс 尤(力)имеет равномерно распределенную спектральную плотность S%((o)=So, то тогда спектральная плотность процесса, полученного интегрированием % (%) т раз, принимает вид

(6-25а)

Если считать, что 2m = 1, то

5?^ =儡， (6.256) что и является требуемым спектром с обратной зависимостью от частоты. Условие т= 1/2 соответствует интегралу половинного порядка от %(/).

Хотя, используя интегралы дробного порядка, можно прийти к формуле l/|f|, это настолько непонятная концепция, что можно только удивляться, каким образом она может помочь в построении физической модели l/f-шума. Несколько продвинул вперед решение этой проблемы Радека [54], заключив, что если белый шум пропустить через фильтр с передаточной функцией "(jco) = (/со)-»?, то флуктуации на выходе фильтра будут иметь l/|fj-спектр. В таком случае этот гипотетический фильтр выполняет роль интегратора дробного порядка. Любопытно, что поскольку белый шум можно представить как случайную последовательность импульсов, то сигнал на выходе фильтра Радеки по своему характеру представляет случайный цуг импульсов, причем в качестве формы индивидуального импульса здесь выступает просто импульсная характеристика h(t) фильтра. Заметим далее, что h(t)——это обратное фурье- преобразование //(/со), которое есть нуль при /<0 и имеет вид %(/)〜/т/2 при f^O. Но это точно такая функция, которая рассматривалась Шенфельдом при анализе возможности моделирования l/f-шумового сигнала случайным цугом импульсов, т. е. подход Радеки дает некий свежий взгляд на структуру

функции, описывающей такой шум, а мысль о подобном фильтре, возможно, плодотворна в поисках физических механизмов его возникновения.

Экспериментальные данные

Очевидно, наиболее впечатляющая черта l/f-шума ——его вездесущность: его наблюдали у всех видов угольных резисторов, у полупроводниковых кристаллов, включая кремний и германий, у кристаллов группы III—V, у приборов на основе р—n-переходов, у МОП-структур, у сплошных и несплошных металлических пленок, металлических вискеров и водных электролитов. Кроме этого, он присутствует и у сверхпроводниковых материалов. С другой стороны, заслуживает внимание тот факт, что у хороших кремниевых полевых транзисторов с р——п- переходами l/f-тум по существу отсутствует [29]; причем крайне удивительно то, что ПТ из GaAs обладают значительным 1//-шумом. Ван-дер-Зил отметил [63], что у этих двух типов транзисторов различные структуры: канал в ПТ с р—п-перехо- дами ограничивается обедненным слоем, тогда как у канала в транзисторах из GaAs из-за малой площади затвора границей является сравнительно большая область поверхности раздела полупроводник — окисел. Отсутствие l/f-шума у кремниевых ПТ можно объяснить, приписав его возникновение поверхностному механизму, связанному с центрами захвата носителей в слое окисла [идея, о которой мы уже упоминали в связи с рассмотрением МОП ПТ и которую мы еще обсудим позднее (разд. 6.7.2)]. '

Сходство формы наблюдаемых спектров у приборов различных типов приводит к искушению полагать, что в большинстве, если не во всех своих проявлениях, l/f-шум обусловлен одним и тем же физическим механизмом. Есть некоторое число экспериментальных сведений в поддержку такого хода мыслей и это нашло свое воплощение в эмпирической формуле, предложенной Хугом [30] (разд. 6.6.4). Но каким бы привлекательным ни было такое универсальное объяснение, взятые вместе экспериментальные данные свидетельствуют о том, что существуют по крайней мере два, а может быть и более механизмов: по-види- мому, l/f-шум может быть обусловлен как поверхностными, так и объемными эффектами, причем физические причины возникновения шума в этих двух случаях различны. 。

Мы не ставим себе целью дать здесь исчерпывающий обзор очень большого числа экспериментов по 1/%туму, проведенных за последние пятьдесят или более лет. Большая часть этих

работ уже разбиралась в обзорных статьях Белла и ван-дер- Зила, которые цитировались нами в разд. 6.1. Вместо этого мы рассмотрим лишь несколько фактов и заключений (часть из них совсем новые), которые позволяют выделить наиболее существенные особенности 1/%тума. Результаты экспериментов по исследованию низкочастотной границы применимости формулы 1/f здесь не включены, так как они уже достаточно обстоятельно разобраны в разд. 6.2 при рассмотрении инвариантности.

Контактный шум

Объяснение l/f-тума, которое, очевидно, раньше всего приходит в голову, заключается в следующем: может быть, это просто паразитный эффект, связанный с дефектами контактов или их неплотным присоединением. Вообще говоря, можно со всей определенностью сказать, что дело не в этом: современные эксперименты выполняются с большой осторожностью, как правило, методом четырехзондовых измерений, когда два вывода, на которых сохраняется неизменным уровень постоянного тока, являются независимыми от пары выводов, чувствительной к флуктуациям. Таким путем контакты как возможный источник шума исключаются. Несмотря на это, в качестве дополнительной меры обычно проводятся опыты с контрольным образцом, например с проволочным резистором, у которого, как известно, l/f-шум отсутствует, с целью получения гарантий того, что экспериментальная установка сама не является генератором 1//-флуктуаций.

Амплитудное распределение 1//-шума

Распределение амплитуды l/f-шума относится к гауссовскому типу. Для полосы частот 0,04—6 кГц этот факт обнаружил Белл [3], а позже для полосы частот 0,1 —100 кГц в более совершенных экспериментах — Хуг и Хоппенбрауэрс [34]. На небольшое отклонение от распределения Гаусса обратили внимание Белл и Диссанайке [8] при измерениях в диапазоне 1— 10 кГц отношения четвертого момента ко второму моменту неравновесного шума в различных образцах; оказалось [6], что возможной причиной этого отклонения может быть взрывной шум. Даже если это на самом деле эффект, связанный с 1//-шумом, он приводит лишь к весьма слабому расхождению в хвостах распределения, которыми во всех практических случаях можно пренебречь.

Флуктуации сопротивления

l/f-флуктуации напряжения, наблюдаемые в однородных резисторах различных типов, включая полупроводниковые, тонкопленочные металлические и металлические волосковые (вис- керные), имеют спектральную функцию, квадратично зависящую от величины постоянного тока, протекающего через образец.

Если считать, что источник постоянного тока позволяет сохранить величину тока неизменной, то флуктуация напряжения и«) может возникнуть только за счет флуктуации r(f) сопротивления образца. Поскольку v(t) =/r(Z), где / — величина постоянного тока, спектральная плотность флуктуаций напряжения описывается формулой

5。(3)= /2邑((0),(6.26) где Sr(co)—спектральная плотность флуктуаций сопротивления. Следовательно, такой простой довод объясняет квадратичную зависимость от величины постоянного тока. Конечно, это не объясняет физической причины возникновения l/f-шума, а просто позволяет перенести внимание на сопротивление как источник такой флуктуации. Поскольку сопротивление определяется плотностью и подвижностью носителей электричества, очевидный вывод состоит в том, что l/f-шум возникает либо за счет флуктуации числа носителей, либо за счет флуктуации величины их подвижности.

Закон квадратичной зависимости от величины постоянного тока не всегда выполняется точно {,7]. Небольшое отклонение от него может, например, иметь место из-за джрулева разогрева образца, который может привести к изменению его сопротивления при увеличении тока.

В тех случаях, когда через сопротивление, которое обладает l/f-шумом при протекании через него постоянного тока, течет переменный ток, то в двух боковых частотных полосах по обе стороны от частоты переменного тока % возникает шум, напоминающий l/f-тум. Его называют 1/А/・тумом, так как спектральное распределение плотности в этих боковых полосах изменяется как 1/|/о—f|・ Масштаб 1/Д/-шума пропорционален значению среднего квадрата переменного тока, что также можно интерпретировать как следствие флуктуации сопротивления.

Появление 1/Д/-шума можно понять, если выразить флуктуацию сопротивления г (/) с помощью интеграла Фурье

")=击jr(河

exp jstds,

(6.27)

где R(jco)—фурье-преобразование функции r(t). Если величина переменного тока определяется как /()cos (①°f), то флуктуацию напряжения можно выразить формулой

и«) =含 l{R[j (^― ^о)1 exp j^t ^-R [/ (co+(oo)] exp /co/) dco, (6.28) которая описывает две шумовые частотные полосы, причем в каждой из них спектральное распределение плотности флуктуаций определяется как 1/Ц0——〃•

Если флуктуации сопротивления на самом деле обусловливают избыточный неравновесный шум в резисторах, то у образца, по которому одновременно протекают постоянный и переменный ток с частотой %, должна иметься 1 //-составляющая на частоте, допустим, fi и соответствующие составляющие 1/А% шума на частотах fo±fi, и эти составляющие должны быть сильно коррелированными. Джон и Фрэнсис [40] провели эксперименты с целью подтверждения существования этой ожидаемой корреляции и нашли, что коэффициенты корреляции находятся в пределах 5% от единицы. Этот факт убедительно свидетельствует о том, что l/f-тум у резисторов связан с флуктуацией сопротивления образцов.

Другой вид эксперимента, который привел к такому же выводу, был поставлен Хокинсом и Блудвортом [28]. Они провели измерение флуктуации напряжения у толстопленочных резисторов, используя четырехзондовый метод, и обнаружили 1//-флуктуации напряжения, когда пара чувствительных к флуктуациям зондов помещалась перпендикулярно направлению тока на противоположных сторонах пленки. Этот поперечный шум (как они его называют) имел уровень, близкий к тому, что и l/f-шум, измеренный в том случае, когда зонды располагались параллельно направлению тока и на одной и той же стороне пленки. Такое поведение можно объяснить модуляцией проводимости.

Имеется еще и другая очень важная часть экспериментальных данных, которая снимает почти любое сомнение относительно того, что l/f-шум в однородных образцах обусловливается флуктуациями сопротивления. Здесь неявно подразумевается, что если такие флуктуации существуют, то они будут присутствовать как в тех случаях, когда образец находится в термическом равновесии с окружающей средой, так и в тех случаях, когда через него течет ток. Следовательно, флуктуации сопротивления можно обнаружить и при равновесии так же, как модуляцию теплового шума. Первыми, кто сообщил о наблюдениях 1//-подобного спектра, связанного с квадратом напряжения термического шума, были Восс и Кларк [67], похо-

жие результаты получили Бек и Спруит [2]. Неизбежный вывод заключается в том, что 1/f-флуктуации тока и напряжения действительно обусловлены флуктуациями сопротивления образца. Интересно, что в соответствии с этой точкой зрения постоянный ток, протекающий по образцу, не генерирует l/f-шум, он просто делает очевидными эти 1/f-флуктуации, уже существующие в сопротивлении, находящемся в равновесном состоянии.

Гипотеза Хуга

Многие годы вообще считали, что l/f-шум есть у однородных полупроводников, но его нет у однородных металлических пленок. (Было хорошо известно, что у негомогенных металлических слоев, состоящих из островков или областей с небольшими контактами между ними, имелся l/f-шум.) Затем в конце 1960-х гг. Хуг и Хоппенбрауэрс [35] сообщили о наблюдениях l/f-шума в сплошных тонких пленках из золота, а также Хуг [30] высказал предположение, что l/f-флуктуации во всех однородных материалах можно представить эмпирической формулой

(6.29)(6.29)Sr (со) ан

(6.29)

(6.29)

r。2 一仙。11/1

где Ntot — суммарное число носителей заряда в образце; Ro —— средняя величина электрического сопротивления образца; Sr((o) —спектральное распределение плотности флуктуаций сопротивления и ан^2-10~3 ——«универсальная» постоянная, обладающая слабой зависимостью от температуры.

Закон Хуга был первым указанием на то, что l/f-шум в однородных материалах ведет себя (статистически) систематическим образом: у многих однородных резисторов при комнатной температуре наблюдался l/f-шум, который удовлетворительно описывался уравнением (6.29). Первоначальное утверждение о том, что закон применим ко всем однородным материалам, затем было модифицировано таким образом, что включало только те случаи, когда рассеяние носителей на кристаллической решетке материала, из которого был сделан образец, доминировало над рассеянием на примесях, а рассеяние на границах было незначительным [36]. Согласно Хугу и Вандамме [37] в тех случаях, когда рассеяние на примесях существенно, постоянную ан42・10~з в уравнении (6.29) следует уменьшить в

Nimp

卩lat +卩imp丿*

раз, где [limp и [iiat — подвижности носителей, связанные с рассеянием на примесях и решетке, соответственно.

Несмотря на значительный успех применимости закона Ху- га, накапливались экспериментальные данные о том, что величина ан даже в модифицированной форме не является универсальной характеристикой уровня l/f-шума в однородных резисторах. Например, Датта с сотр. [18] провели измерения l/f- шум а в медных вискерах и нашли, что величина ан имеет разброс около одного порядка при измерениях на образцах с одинаковым объемом и была равна значению, которое в 2-103 раза больше, чем постоянная Хуга ан в уравнении (6.29). Более того, Эберхард и Хорн [20] измерили l/f-шум в пленках из серебра и меди и нашли, что уровень шума резко увеличивается с увеличением температуры образцов, что равноценно увеличению ан с повышением температуры. Удовлетворительного объяснения экспериментально наблюдаемым непостоянству, температурной зависимости и высокому значению ан дано не было, хотя все эти три эффекта аномальны в том смысле, что они не согласуются с гипотезой Хуга.

Еще один пример несостоятельности уравнения (6.29) связан с 1/f-шумом у ионных растворов: в этом случае величина ан не является постоянной, а увеличивается пропорционально концентрации ионов [32]. Однако, если иметь в виду механизм рассеяния носителей на кристаллической решетке, использованный Хугом с сотр., который относится к твердым телам, может быть не справедливо критиковать закон Хуга за неудовлетворительное описание l/f-шума в жидкостях.

Флуктуации числа носителей электричества

1/f-флуктуации сопротивления, наблюдаемые в однородных материалах, могут быть связаны либо с флуктуациями числа носителей электричества, либо с флуктуациями их подвижности. Обратная зависимость от полного числа носителей в формуле Хуга, очевидно, позволяет сделать предположение о том, что флуктуация числа носителей является физическим механизмом, обусловливающим 1/f-спектр. Это предположение анализируется ниже.

Число подвижных носителей в образце может испытывать флуктуации за счет обмена либо с внешним источником, либо при конечном числе внутренних энергетических состояний за счет обмена, связанного с захватом носителей ловушками или центрами рекомбинации — генерации. В случае металлов и примесных полупроводников обмен носителей, связанный с внешним источником, исключается, так как должно выполняться условие нейтральности, и, следовательно, в этих материалах

в качестве физического механизма образования флуктуаций необходимо привлечь захват носителей электричества ловуш'- ками, если имеют место флуктуации числа носителей.

Значение среднего квадрата флуктуаций сопротивления, получаемое интегрированием выражения Хуга по частотному интервалу, перекрывающему десять порядков, составляет [69]

=粵 In 10 4 • (6.30)

Столь высокий уровень шума может иметь место только в тех случаях, когда количество ловушек сравнимо с количеством самих свободных носителей в образце. Для металлов, где число свободных носителей сравнимо с числом атомов, такого количества центров захвата найти нельзя. Следовательно, использование в качестве потенциального физического механизма флуктуаций числа носителей для объяснения наблюдаемых 1/f-спектров у металлических пленок и вискеров не представляется возможным.

Другая ситуация возникает в случае примесных невырожденных полупроводников, когда количество основных носителей по величине на порядки меньше, чем количество атомов, и может быть сравнимо с количеством ловушек. Мелколежащие донорные и акцепторные уровни едва ли вносят существенный вклад в шум, так как они расположены столь близко у краев запрещенной зоны, что их заселенность почти не испытывает флуктуации вообще. Но уровни ловушек, находящиеся около центра запрещенной зоны полупроводника, могут обладать таким распределением, которое соответствует интервалу времени жизни носителей, с помощью которого можно объяснить экспериментально наблюдаемые l/f-флуктуации. Трудность этой идеи в том, что флуктуации посредством таких расположенных в середине запрещенной зоны центров, по всей вероятности, должны быть крайне чувствительны к изменению температуры образцов, а подобный эффект экспериментально наблюдается не во всех случаях.

Имеется определенное количество экспериментальных данных, которые подтверждают ту точку зрения, что l/f-флуктуа- ции сопротивления не связаны с флуктуациями числа носителей. Величина термо-э. д. с. в разомкнутой цепи, состоящей из двух образцов, изготовленных из одинакового материала и находящихся при разных температурах, зависит от концентрации носителей и, следовательно, должна реагировать на любую флуктуацию числа носителей, если она имеет место. Однако Хуг и Гаал [33] не обнаружили l/f-шум у термоэлементов в

режиме разомкнутой цепи, а Клейнпеннинг [41] не нашел экспериментального подтверждения гипотезы о флуктуации числа носителей при измерениях термо-э. д. с., проведенных на образцах германия с почти собственной проводимостью. Казалось бы, это должно ясно указывать на то, что не флуктуации числа носителей электричества обусловливают l/f-флуктуации сопротивления.

Несмотря на это, гипотеза о флуктуации числа носителей не может вообще не приниматься во внимание: совсем недавно некоторые экспериментальные результаты по измерению l/f-шума у различных типов кремниевых резисторов интерпретировались, исходя из флуктуаций числа носителей [39]; измерения по эффекту Холла, проведенные Брофи и Ростокером [14], и также Клейнпеннингом [42], свидетельствуют в пользу этой гипотезы.

Флуктуации подвижности носителей электричества

Альтернативой флуктуации числа носителей является модель флуктуаций подвижности носителей. Используя идею о флуктуациях подвижности, можно объяснить наблюдаемые l/f-флуктуации постоянной Холла, а также получить соответствие с законом Хуга, согласно которому интенсивность шума обратно пропорциональна полному числу свободных носителей при условии, что носители испытывают независимые флуктуации подвижности. Эта идея была предложена Клейнпеннингом и Беллом [43].

Тем не менее, по-видимому, независимые флуктуации подвижности, связанные с индивидуальными носителями, представляют физический механизм сомнительной обоснованности. Чтобы объяснить экспериментально наблюдаемые 1//-спектры, флуктуации подвижности должны иметь очень больш'ие величины характеристического времени (скажем, более 1 с), но таких временных величин нет: среднее время свободного пробега носителей по порядку величины составляет несколько пикосекунд, и даже пролетные времена, как правило, меньше 1 мс. Более того, как отметил Вайсман [69], форма l/f-шумового спектра более или менее не зависит от пролетного времени. Эти простые доводы физического характера, казалось, исключают флуктуации подвижности носителей из ряда потенциальных источников l/f-шума, если не рассматривать случай температурных флуктуаций, воздействующих на подвижность. Флуктуационно-температурная модель описана ниже в разд. 67.3.

1//-шум — это поверхностный или объемный эффект?

Статья [30], в которой Хуг предложил свой гипотетический закон, называлась «l/f-шум — не поверхностный эффект》. Вскоре после этого появились противоположные заявления, например, в статье Мирсо с сотр. [51], названной《1/f — все еще поверхностный эффект»; дискуссия продолжается до сих пор, окончательного решения все еще нет.

Если бы, как первоначально указывалось Хугом, «универсальная» постоянная ан, входящая в уравнение (6.29), на самом деле не зависела от материала образца, то этот факт мог бы служить веским доказательством того, что 1/%тум возникает в объеме образца. Но, как известно, величина ан изменяется от образца к образцу, в некоторых случаях на порядки величины, что существенно ослабляет довод об объемном «происхождении» l/f-шума. Более того, у полупроводниковых материалов состояние поверхности оказывает сильное влияние на l/f-тум, давая повод к предположению, что в этих материалах именно поверхность является источником этого шума (точка зрения, которая подкрепляется фактом отсутствия l/f-шума у ПТ с р—n-переходом, где поверхностные эффекты минимальны). Для металлов экспериментальные данные как в пользу поверхностного, так и объемного происхождения шума не столь многочисленны, хотя определенно установлено, что l/f-шум у пленок из металла во многих случаях следует примерно закону Хуга, что позволяет предположить функционирование объемного механизма. С другой стороны, величина l/f-шума, наблюдавшаяся Даттом с сотр. [18] у медных вискеров, примерно на три порядка больше предсказываемой уравнением (6.29), что можно считать указанием на то, что в этом случае доминирует поверхностный механизм.

Положение дел не прояснилось и после исследования l/f- шум а у электролитов [32]. Вероятно, этот шум не является поверхностным эффектом, так как трудно представить, каким образом поверхностные энергетические состояния могут быть реализованы в растворах электролитов, хотя в этом случае 1 /f-шум не подчиняется закону Хуга, а его уровень зависит от ионной концентрации. Может быть, этот факт указывает только на то, что l/f-шум у водных электролитов является объемным эффектом, а гипотеза Хуга может описывать l/f-флуктуа- ции объемного происхождения в твердых телах, но не в жидкостях.

доминирует над тепловым шу-доминирует над тепловым шу-Частота, %Частота, %Рис. 6.2. Спектральная плотность шу* ма для Ag при 390 К (из работы [20], с любезного согласия Американского физического общества).Рис. 6.2. Спектральная плотность шу* ма для Ag при 390 К (из работы [20], с любезного согласия Американского физического общества).

доминирует над тепловым шу-

доминирует над тепловым шу-

Частота, %

Частота, %

Рис. 6.2. Спектральная плотность шу* ма для Ag при 390 К (из работы [20], с любезного согласия Американского физического общества).

Рис. 6.2. Спектральная плотность шу* ма для Ag при 390 К (из работы [20], с любезного согласия Американского физического общества).

Температурная зависимость спектров

Первые систематические измерения зависимости l/f-шума от температуры в металлах были выполнены Эберхардом и Хорном *[20]. Они провели исследования шума в тонких пленках из серебра и меди толщиной 100——1600 А, которые были получены с помощью теплового испарения на подложке из сапфира. Типичные размеры пленок составляли 500义10 мкм2. Для гарантии того, что 1//-шум мом в изучаемом диапазоне частот 0,2—200 Гц, использовались токи с большой плотностью порядка 2 • 10б А/см2 и более. Это вызывало существенный нагрев образцов за счет выделения джоулева тепла; трудность, которую авторы преодолели тем, что использовали сам образец для измерения его же собственной температуры: зависимость сопротивления от температуры образца измерялась при небольших значениях плотности тока, а l/f-шум, связанный с большими значениями плотности тока, измерялся в функции сопротивления; после этого с помощью калибровочной кривой

переходили к зависимости от температуры. Попутно, Эберхард и Хорн сообщили, что окружающая образец газовая среда не оказывает влияния на l/f-шум: измерения, проведенные в воздухе, в гелии и s вакууме, дали идентичные результаты.

Пример одного из спектров, полученных Эберхардом и Хорном для Ag при 390 К, приводится на рис. 6.2. Спектр следует зависимости 1/|升 в интервале трех декад частот, где показатель а равен 1,03+0,06. Наблюдался небольшой рост величины а (около 20%) при уменьшении температуры до 150 К・ Такой 20%-ный рост а наблюдался у пленок Ag и Си, и, по-види- мому, он не зависит от толщины образца.

На рис. 6.3 представлена температурная зависимость для двух 1//-спектров, полученных Эберхардом и Хорном для пленок из Ag и Си толщиной 800 А. (Заштрихованная область соответствует данным, полученным Воссом и Кларком [67] для пленок из Ag при комнатной температуре.) На этом рисунке приведена величина шума на частоте 20 Гц, однако ввиду

tOO 200300 夕勿 500600

Рис. 6.3. Температурная зависимость l/f-шума на частоте 20 Гц для пленки толщиной 800 А из Ag (а) и из Си (6).

Из работы [20], с любезного согласия Американского физического общества. Штриховые линии получены в соответствии с теорией температурных флуктуаций Восса и Кларка.

очень слабой зависимости величины а от температуры, такие кривые должны быть в большей или меньшей степени не зависящими от частоты. Отметим относительно быстрое падение уровня шума при уменьшении температуры ниже комнатной и пики, которые проявляются примерно при 410 и 490 К для Ag и Си соответственно. Подобные спектры наблюдались и у образцов различной толщины. Во всех случаях, исследованных Эберхардом и Хорном, электрическое сопротивление образцов определялось объемом металлических образцов и имело, как и

ожидалось, линейную зависимость от температуры во всем интервале исследованных температур.

Влияние подложки на температурную зависимость l/f-шума у тонких пленок металлов изучали Датта с сотр. [19]. Они использовали экспериментальное оборудование, в основном подобное оборудованию Эберхарда и Хорна [20], за исключением использования подложек как из сапфира, так и из плавленого кварца (теплопроводность кварца почти не зависит от температуры и значительно ниже, чем у сапфира, у которого она быстро возрастает с уменьшением температуры). Были обнаружены две интересные особенности: а) выше комнатной температуры подложка оказывает малое воздействие на ///-шумовые спектры пленок из Ag и Си и б) для температуры нижа комнатной шум в Ag также не зависит от подложки, а в случае Си использование кварцевой подложки приводит к значительному отличию от поведения, представленного на рис. 6.3> которое заключается в том, что кривая спектра шума становится почти параллельной оси абсцисс при температурах ниже 300 К вместо быстрого спада при уменьшении температуры» Датта и его коллеги интерпретировали это как наличие 1//-шума двух типов в металле, один из которых (шум типа А) слабо зависит от температуры, а другой (шум типа В) сильно зависит от температуры. В Ag уровень шума типа В настолько велик, что этот шум доминирует при всех исследованных температурах, тогда как в случае Си на кварцевой подложке уровень шума типа А относительно выше и имеет место случай перехода от шума типа А к шуму типа В, вызывающий падение уровня шума в пределах температурной области наблюдений. Никаких объяснений происхождения этих двух типов шума пока не известно.

1 /f-шум у аморфных и поликристаллических веществ

Часть самых первых измерений l/f-тума была проведена на поликристаллических материалах [10], и с тех пор выполнено значительное число исследований этого явления в различных аморфных и поликристаллических веществах. Одна из самых последних работ на данную тему посвящена рассмотрению- l/f-шума в металлокерамических материалах для толстопленочных разисторов, которые находят применение в микроэлектронных схемах [53]. Механизмы электрической проводимости в таких материалах включают прыжковую проводимость носителей между проводящими зернами и локальными состояниями в структуре стекла и туннелирование электронов между близлежащими соседними зернами. По всей вероятности, глубокие

энергетические уровни играют важную роль в процессе проводимости.

Во всех случаях исследованные l/f-спектры шума у аморфных и поликристаллических материалов точно пропорциональны квадрату величины постоянного тока и имеют зависимость от частоты, близкую к |/|т. У некоторых типов стекол уровень 1/f-шума не зависит от температуры. Это обнаружили Сойер и Прасад [55] для ванадиево-фосфатного стекла в интервале температур 77—300 К. Кроме того, они нашли, что в данном температурном диапазоне величина проводимости увеличивается на 6 порядков, тогда как число носителей, определенное из измерений электронного спинового резонанса, остается постоянным. Скрытый смысл состоит в том, что такое изменение проводимости обусловлено изменением подвижности, и поскольку оно не сопровождается изменением шума, то, по-видимому, это является дополнительным доводом против гипотезы о том, что 1/f-шум обусловлен флуктуациями подвижности носителей, которые, по всей вероятности, должны расти с увеличением подвижности.

Физические механизмы возникновения 1//-шума и его теоретические модели

Выше мы рассмотрели свойства l/f-шума как статистического процесса, характер некоторых форм сигналов, приводящих к l/f-спектрам, и некоторые экспериментальные данные по исследованию 1//-флуктуаций. На этом фоне теперь уместно проанализировать некоторые из предложенных теоретических моделей этого явления. Легко видеть, что расхождения, а в некоторых случаях очевидное несоответствие результатов экспериментальных исследований очень сильно затрудняют построение удовлетворительной теоретической модели. И в самом деле, такой модели сейчас не существует. Моделям, которые имеются, в значительной мере недостает универсальности описания. Мы начнем с рассмотрения очень частного и скорее необычного случая l/f-шума.

1 /f-шум в конденсаторе с потерями

Эквивалентную схему конденсатора с потерями можно представить емкостью С, включенной параллельно резистору R, который характеризует эти диэлектрические потери (рис. 6.4). Резистор обладает тепловым шумом, в этой схеме представлен-

ным подключенным параллельно токовым генератором шума i%(f), который обусловливает флуктуации напряжения vn(t) на выходных клеммах в случае разомкнутой цепи. Ван-дер-Зил [62] отмечал, что в том случае, когда тангенс угла потерь не зависит от частоты, шум выходного напряжения имеет спектр 1//. Это аргументируется следующим образом.

Если комплексная диэлектрическая постоянная диэлектрического материала с потерями, находящегося в конденсаторе.

Рис. 6.4. Эквивалентная схема конденсатора с диэлектрическими потерями.Рис. 6.4. Эквивалентная схема конденсатора с диэлектрическими потерями.

Рис. 6.4. Эквивалентная схема конденсатора с диэлектрическими потерями.

Рис. 6.4. Эквивалентная схема конденсатора с диэлектрическими потерями.

составляет & = £‘——je", то тангенс угла диэлектрических потерь определяется выражением

tg3 = £〃/£‘，(6.31)

а полная проводимость параллельной 7?С-цепочки ——выражением

Р = ДО ®—/£〃)県1/d,Р = ДО ®—/£〃)県1/d,(6.32)(6.32)

Р = ДО ®—/£〃)県1/d,

Р = ДО ®—/£〃)県1/d,

(6.32)

(6.32)

где And — площадь поперечного сечения и толщина диэлектрического слоя соответственно. Из сравнения уравнения (6.32) с выражением для полной проводимости эквивалентной цепи, изображенной на рис. 6.4, можно получить следующие выражения для величин емкости и сопротивления:

с=е&個 R=v^r， (6.33)

а если использовать уравнение (6.31), то

(6.34)

Далее, спектральная плотность токового генератора теплового шума описывается уравнением

帝斤= 4«8/К,(6.35)

а флуктуаций напряжения ——уравнением

Sd (з) 刁 * 黑^R2)•(6.36)

Комбинируя эти три последних уравнения, получаем

^й^ =sin S cos 6,(6.37)

，.e. когда угол потерь 6 не зависит от частоты, имеет место закон l/|f|.

Это условие не выполняется на низких частотах, когда сопротивление потерь просто определяется проводимостью о диэлектрика

R = d/o4(6.38)

Так как данное выражение не зависит от частоты, тангенс угла потерь в выражении (6.34) обратно пропорционален частоте и, следовательно, функция Sv(a)) в выражении (6.37) имеет зависимость от со в виде (1+<о2/?2С2)~1. Поэтому шум конденсатора, обладающего диэлектрическими потерями, на очень низких частотах не описывается 1/|/|-спектром.

Однако, согласно наблюдениям, на высоких частотах, когда потери определяются эффектами диэлектрической релаксации, tg3 по существу не зависит от частоты. Этот факт трудно объяснить, используя единичное время релаксации; он может быть обусловлен некоторым распределением времен релаксации. Одна из возможных функций распределения, которая приводит к отсутствию зависимости от частоты угла потерь в ограниченном диапазоне частот, была рассмотрена ван-дер-Зилом [64]. Таким образом, можно сказать, что в ограниченном диапазоне частот уравнение (6.37) описывает зависимость l/团. Здесь мы не повторяем доводы ван-дер-Зила, поскольку они в основном такие же, за исключением мелких деталей, приводимых ниже в связи с рассмотрением l/f-шума в полупроводниках с некоторым распределением времен жизни носителей на ловушках.

Захват носителей поверхностными ловушками в полупроводниках

Очевидно, самой распространенной моделью l/f-шума следует считать модель, основанную на захвате носителей ловушками с широким интервалом времен жизни носителей. Идея, которая применима для случая полупроводниковых материалов, следующая. Когда свободный носитель теряет свою свободу, попадая на центр рекомбинации или в ловушку, то он в течение некоторого времени не принимает участия в проводимости и это приводит к соответствующей модуляции сопротивления образца. Если считать, что процесс подобного захвата подчини-

€тся статистике Пуассона, то модуляция, обусловленная таким единичным актом захвата, принимает форму случайного телеграфного сигнала, который обладает спектром релаксационного типа. Если имеется популяция ловушек с некоторым распределением времен захвата, общий спектр равен сумме релаксационных спектров от ловушек каждого вида, и эта сумма может сводиться к 1//-зависимости в ограниченном диапазоне частот, который определяется интервалом времен жизни носителей. С аргументацией такого типа в общем виде мы встречались в разд. 6.4.2, ниже она конкретизируется.

Спектральное распределение плотности случайного телеграфного сигнала вычисляется в разд. 7.5. В соответствии с полученным в этом разделе результатом спектральная плотность числа флуктуаций, обусловленных ловушками определенного вида, имеет вид

(1 + М)，

где Tz — постоянная времени захвата ловушкой. Для правильного представления интервала времен захвата вводится функция распределения p(tz), которая удовлетворяет условию нормировки

о

Тогда спектральная плотность полного числа флуктуаций 几«) описывается выражением

= 4(М0) j 祥儲也，(6.40)

о

где 屮％(0) —значение среднего квадрата 几(/)•

Чтобы определить p(R)Мак-Уортер [50] предположил, что распределение времен захвата определяется процессом туннелирования носителей заряда от поверхности полупроводника к ловушкам, локализованным в слое окисла. Для ловушек, расположенных на глубине w от поверхности, постоянная времени имеет вид

% = %ехрСИ，(6.41)

где to и у — постоянные величины и, согласно Мак-Уортеру, ^41()8 см-】. Для равномерного распределения ловушек в ин-

тервале глубин Wi — w2i соответствующих постоянным времени ri и а, из уравнения (6.41) следует, что

р(J) "7=爲：：0% & 7 & %，

О в остальных случаях.(6.42)

Если выражение (6.42) подставить в уравнение (6.40), то можно получить спектральное распределение плотности числа флуктуаций T2 4cpn(0) i %=

〜ln(马/q) J (1-炉毋)-

(6.43>(6.43>4屮几(0) (arctg(от2 — arctg(0^)

(6.43>

(6.43>

In (%/G)

которое, как обсуждалось в разд. 6.4.2, хорошо аппроксимируется законом 1/|Н в диапазоне частот, когда 3工2》1 и О^о)Т1*С1.

Так как модель Мак-Уортера основана на поверхностном механизме возникновения шума, можно ожидать, что пблный спектр будет по характеру отличаться от гипотетического закона Хуга [уравнение (6.29)], который основан на представлениях о флуктуациях объемного происхождения. Однако, как отметил ван-дер-Зил [64], дело может обстоять и другим образом. Если считать 屮九(0) равной ^Ntott где § — постоянная, а Ntot ——полное число носителей в полупроводнике, то относительное число флуктуаций в диапазоне l/|f| описывается формулой

(6.44)(6.44)S九(3)_Sr (3)_[P/ ln (Tg/Tj)]

(6.44)

(6.44)

что идентично формуле Хуга, если положить а〃 равным р/1п(т2/т1).

Поверхностный захват, обусловленный туннелированием носителей в состояния в слое окисла, представляет собой физический механизм генерации l/f-шума в полупроводниках, который привлекает своей простотой. По-видимому, он подтверждается тем фактом, что у ПТ с р—n-переходами, где поверхностные эффекты минимальны, l/f-шум по существу отсутствует, тогда как у МОП ПТ со сравнительно большой поверхностью раздела полупроводник — окисел составляющая, обусловленная l/|f|-шумом, является характерной особенностью шумового спектра. Однако, хотя эту модель постоянно совершенствовали (см., например, [63]), она также не без изъяна. Эксперимент показывает, что уровень шума крайне чувствителен к условиям

на поверхности, тогда как сама форма спектральной зависимости, как правило, остается той же, соответствующей закону l/|fI независимо от состояния поверхности. А это предполагает, что каждый последующий слой окисла ведет к появлению своего собственного l/|f|-спектра, вместо того чтобы вызывать сдвиг высокочастотной границы уже существующего спектра в сторону еще более низких частот за счет больших постоянных времени у соответственно более глубоких ловушек.

О другом факте, противоречащем модели поверхностного захвата, сообщил Восс [66]; он выполнил низкотемпературные (4,2 К) измерения l/f-шума в инверсном слое специально изготовленных МОП ПТ. Окисел был легирован ионами натрия (Na+), которые при комнатной температуре были подвижными и могли дрейфовать либо по направлению к поверхности раздела Si——SiO2, либо от нее при подаче на затвор положительного либо отрицательного смещения. При температуре ниже примерно 200 К эти Ма+-ионы оказывались «вмороженными» в определенном месте. При достаточно высоких концентрациях ионов Na+ (около 1012 см~2) на кривой зависимости проводимости от напряжения на затворе появляется широкая структурная область, связанная с плотностью состояний в примесной воне Na+. Измерения шумов были проведены в области около пика проводимости, связанного с примесной зоной, где крутизна Gm была равна нулю. Восс полагал, что теории, основанные на захвате носителей ловушками поверхности, предсказывают, что интенсивность l/f-шума пропорциональна Gm2. На самом деле он экспериментально обнаружил, что шум имеет максимум в том месте, где крутизна Gm равна нулю, и что огибающая кривой зависимости мощности шума от напряжения на затворе ведет себя так же, как и проводимость. Это привело его к выводу о том, что l/f-шум есть «собственное свойство переноса электрического заряда при прыжковой проводимости, и он не обусловлен захватом носителей ловушками».

Конечно, следует иметь в виду, что опыт Воссе был поставлен на элементе с весьма специфичной структурой, функционировавшей при температуре жидкого гелия. Тем не менее этот опыт, несомненно, ослабляет позиции поверхностного захвата носителей как общего механизма, обусловливающего l/f-шум в полупроводниках.

Температурные флуктуации в металлических пленках

В том случае, когда резистор находится в тепловом равновесии с окружающей средой при средней температуре 60, он испытывает температурные флуктуации, обусловленные обменом

тепла со средой. Эти флуктуации температуры в свою очередь приводят к флуктуации сопротивления r(t) около среднего значения R。. Если [0(/)—0О] =А0(/) —среднее значение температурной флуктуации по объему образца, то флуктуация сопротивления описывается формулой

r(t) = ^e (/),(6.45)

где р= (1/7?о) (dr/dQ)—температурный коэффициент сопротивления. Из уравнения (6.26) следует, что при прохождении постоянного тока / через резистор спектральная плотность флуктуаций напряжения в резисторе, возникающих из-за флуктуаций температуры, имеет вид

^^ =俨/2凡25^^,(6.46)

где 3AQ (оо) ——спектральная плотность флуктуаций температуры Д0(/).

Из уравнения (6.46) можно видеть, что при прохождении постоянного тока через резистор температурные флуктуации приводят к флуктуациям напряжения на клеммах резистора. В ряде работ исследовалась возможность того, что подобный механизм обусловливает l/f-шум в однородных резисторах, в частности в работах Кларка и Восса [17], а также Восса и Кларка [67] в случае тонких сплошных пленок металлов. (Уровень l/f-тума у полупроводников и несплошных пленок, вообще говоря, слишком велик, чтобы его объяснить на основе гипотезы о температурных флуктуациях.) Теоретическая модель Восса и Кларка была основана на решении уравнения диффузии для неограниченного пространства и последующем усреднении по конечному объему резистора для получения среднего значения температурной флуктуации А6(/). В результате они получили спектральную функцию SA0(co) степенного вида, которая уменьшается при возрастании частоты, но не содержит зависимости l/|f| для области частот в несколько декад. Восс и Кларк полагают, что металлические пленки на подложках из стекла плохо аппроксимируются неограниченным пространством, имея в виду, что присутствие границ может изменить спектр таким образом, чтобы получить обширную l/|fI-область. В соответствии с этим они в явной форме ввели эмпирическую l/|f|-область в свой спектр между низкочастотной и высокочастотной границами, определяемыми длиной 2 и шириной w пленки. Используя условие нормализации

ДО2 =姦~ \ S&6 (з) dg(6.47)

,0

они получили

Sv (з)=Sv (з)=炉/2R°2吩炉/2R°2吩[3 + 21n(Z/w)]|/|[3 + 21n(Z/w)]|/|(6.48)(6.48)

Sv (з)=

Sv (з)=

炉/2R°2吩

炉/2R°2吩

[3 + 21n(Z/w)]|/|

[3 + 21n(Z/w)]|/|

(6.48)

(6.48)

Исходя из условий термодинамики, средний квадрат температурных флуктуаций составляет

(6.49)(6.49)А92=硯2/以,

(6.49)

(6.49)

где k ——постоянная Больцмана; Cv — теплоемкость образца. Для металла при комнатной температуре Ca3Nh、где N — полное число атомов образца, и отсюда спектральную плотность флуктуации напряжения в уравнении (6.48) можно записать в виде

(6.50)(6.50)戸爲B2/2Ro2%2

(6.50)

(6.50)

〜I 丿—3?V [3 + 2 In (Z/w)] I /1 •

Тепловой диффузионный спектр в уравнении (6.50) отличается от гипотетической формулы Хуга [уравнение (6.29)] тем, что в числителе он содержит температурный коэффициент сопротивления, а в знаменателе — член, зависящий от геометрии образца. Последний член, правда, вряд ли составляет существенное расхождение с функцией Хуга, так как размеры образца находятся в нем под знаком логарифма, а это слабо изменяющаяся функция. В противоположность этому наличие коэффициента р в уравнении (6.50) весьма существенно, и экспериментальные доказательства в пользу теории, основанной на тепловой диффузии (а не формулы Хуга), были получены Воссом м Кларком: они обнаружили не замеченный ранее l/f-шум у манганина, который имеет температурный коэффициент сопротивления, очень близкий к нулю, в соответствии с теоретическим предсказанием, следующим из уравнения (6.50). О другом экспериментальном подтверждении полуэмпирической формулы Восса и Кларка сообщили Кларк и Шнанг [16], которые провели измерение низкочастотного шума в пленках из олова в условиях сверхпроводящего перехода, когда значение 0~155 К""1 крайне велико по сравнению со значением 0 при комнатной температуре, приблизительно равным 5-10-3 К-1. В области частот ниже 100 Гц Кларк и Шианг получили хорошее согласие между результатами их измерений шумового спектра в лленках из олова на подложках из стекла и теоретическими лредсказаниями, следующими из уравнения (6.50).

Согласно теории тепловой диффузии, температурные флуктуации в металлических пленках должны обладать некоторой степенью пространственной когерентности, которая характеризуется зависящей от частоты длиной корреляции 九(f)4 (Q/f)i/2,

где D ——коэффициент тепловой диффузии пленки. Измерения такой корреляции на пленках из висмута при комнатной температуре, проведенные Воссом и Кларком, и на пленках из олова при температуре перехода в сверхпроводящее состояние, проведенные Кларком и Шиангом, находятся в хорошем согласии с предсказанием теории, что является еще одним экспериментальным подтверждением теории температурных флуктуаций.

Может казаться, что в определенных случаях 1 /f-шум в металлических пленках следует приписать равновесным температурным флуктуациям, но, несмотря на начальный успех этой модели, последующие исследования привели к выводу о том, что в общем случае тепловая диффузия не ответственна за наблюдаемые в эксперименте спектральные зависимости. Более того, отсутствие l/f-шума у манганина (факт, который воспринимался как существенная экспериментальная поддержка теории температурных флуктуаций) было подвергнуто сомнению Хугом [31], который отметил, что Вандамм измерил контактный шум твердых слитков манганина и не обнаружил ничего необычного в наблюдаемом спектре. Хуг пришел к заключению, что «нет ничего специфического в характере 1/f-шума манганина с его малым значением температурного коэффициента сопротивления». Помимо неопределенности в поведении манганина, модель тепловой диффузии 1/f-шума имеет и другие серьезные изъяны: из нее не следует наличия широко простирающейся области с ясно выраженной 1 /1 f| -зависимостью спектра от частоты, она предсказывает отсечку на низких частотах и из нее следует сравнительно слабая монотонная зависимость от температуры. По всем этим пунктам получены противоречащие данной теории экспериментальные результаты. Однако, по всей вероятности, наиболее убедительное доказательство того, что l/f-шум у металлических пленок на подложках не обуслойлива- ется механизмом температурных флуктуаций, предложенным Воссом и Кларком, получено из недавно проведенных измерений пространственной корреляции, выполненных Шофельдом с сотр. [56].

Они взяли две пленки из золота, которые были разделены слоем электрического изолятора, настолько тонким, что тепловые флуктуации у одной пленки сильно коррелировали с тепловыми флуктуациями у другой. Следовательно, если l/f-шум связан с тепловой диффузией, шум в этих пленках должен быть сильно коррелирован. Эксперимент же показал, что по существу нет причинной связи между 1/f-шумом в этих двух пленках; измеренный коэффициент корреляции составлял менее чем 1/100 того значения, которое предсказывала теория тепловой диффузии. Неизбежный вывод из этого эксперимента заключи-

ется в том, что, вообще говоря, l/f-шум у тонких пленок металлов не обусловлен равновесными флуктуациями энергии, модулирующими электрическое сопротивление образцов. К подобному же выводу пришел Блэк с сотр. [И], исходя из результатов экспериментов по исследованию корреляции на пленках из хрома.

Модель 1 /f-шума, основанная на теории случайного обслуживания очередей

Белл [4] предложил модель возникновения l/f-шума в полупроводниках за счет флуктуации числа носителей заряда, основанную на концепциях теории массового обслуживания. Согласно этой теории, носители заряда в зоне проводимости представляют собой как бы элементы очереди, которая «обслуживается» центрами захвата или рекомбинации. Носители либо приходят в такую очередь, либо покидают ее на случайные отрезки времени, будучи освобожденными либо захваченными ловушками. Белл считает, что время ожидания данным носителем в зоне проводимости, перед тем как он будет захвачен подобными центрами, может лежать в пределах очень широкого диапазона величин, и предположил, что подобное столь же широкое распределение этих отрезков времени могло бы приводить к l/f-шуму, экспериментально наблюдаемому в полупроводниках.

Есть ряд трудностей физического характера применимости подобной теории очередей, одна из них, очевидно, состоит в том, что сопротивление образца определяется числом свободных носителей в кристалле в данный момент времени и, следовательно, в моделях флуктуаций сопротивления и l/f-шума длительность отрезка времени, проводимого каким-то одним носителем в зоне проводимости, не имеет значения. Важным фактором является распределение времени заселенности ловушек, как это рассмотрено в разд. 6.7.2. Как мы видели, центры захвата одного типа обусловливают спектр шума релаксационного вида, а не l/f-шума, хотя ряд ловушек разного типа может привести к шуму, описываемому законом l/|f|・ Более существенное возражение относительно применимости теории очередей состоит в том, что анализ Белла не приводит к закону l/|f|, как он и указал в своей статье. Из-за недостатков гипотезу об очередях Белла больше не рассматривают как один из возможных механизмов, ответственных за 1/%тум в полупроводниках.

Квантовая теория l/f-шума

Вездесущность l/f-шума приводит к предположению о том, что это явление является фундаментальной и неизбежной чертой переноса заряда. Эта мысль была математически сформу-

лирована Хенделем [27], разработавшим квантовую теорию l/f-шума, в которой носители электричества взаимодействуют с квантованным электромагнитным полем. При прохождении через элемент цепи носители испытывают рассеяние на некоторых условных потенциальных барьерах и в результате этого могут испускать низкочастотные фотоны. Хотя энергия фотонной эмиссии крайне мала, она, согласно Хенделю, достаточна для модуляции тока, текущего через элемент, таким образом, чтобы привести к 1/f- и l/Af-шуму. Эта теория представляет собой квантовую версию его более ранней теории [25, 26], основанной на возникновении турбулентности носителей тока в металлах и полупроводниках.

Теория Хенделя сложна для восприятия, и Трембли в 1978 г. не смог подтвердить ее детальные расчеты. Очевидно, в результате попытки разрешить противоречия между двумя авторами должна появиться их совместная публикация. Поэтому эту теорию нельзя считать обоснованной. Однако если она все же справедлива, то данный механизм позволяет установить нижний предел уровня l/f-шума в электронных приборах, однако, если имеются другие источники l/f-шума, этот нижний предел может быть значительно превышен.

Заключительные замечания

l/f-шум — явление загадочное. Он неизбежно присутствует почти во всех электронных приборах, как это уже известно многие годы, и тем не менее физические причины его возникновения до сих пор все еще остаются неясными. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования l/f-шума выявили лишь его многогранный и неподатливый характер; после всех затраченных усилий относительно этого шума нельзя сделать почти никаких определенных выводов. Имеющиеся экспериментальные данные часто находятся в противоречии друг с другом или же остаются открытыми для интерпретации. Этим можно объяснить факт существования научной школы, сторонники которой твердо полагают, что l/f-шум — явление объемное, мысль, которая встречает отпор тех, кто полагает, что этот шум создается на поверхности. Подобно этому, и модели флуктуаций числа, и подвижности носителей заряда — каждая имеет своих защитников, хотя бесспорные экспериментальные доказательства, которые лишали бы одну из них права на дальнейшее существование в качестве рабочей гипотезы, отсутствуют. возможно, единственное указание на систематичность поведения l/f-шума — это эмпирический закон Хуга, который гласит, что уровень шума обратно пропорционален суммарному

числу носителей в образце. Однако и закон Хуга не является общим, и даже в случае металлических пленок, для которых он и был первоначально сформулирован, он не всегда справедлив.

С теоретической точки зрения ситуацию также нельзя признать удовлетворительной. Предлагается много теорий, но подавляющее большинство из них не выдерживает проверки. Некоторые просто не физичны, тогда как другие не обеспечивают выполнения главного условия — не приводят к закону 1/|/1. Получившей наиболее широкое признание в настоящее время является предложенная Мак-Уортером теоретическая модель, основанная на захвате носителей поверхностными ловушками, которая описывает очень частный механизм шума в полупроводниках. Проявление l/f-шума в металлах и других материалах остается, по сути дела, полностью необъясненным; равно трудно понять сильную температурную зависимость l/f-шума у пленок металлов, которая была недавно экспериментально обнаружена. Возможно, квантовая теория l/f-шума Хендела даст ответы на часть или на все вопросы, поставленные экспериментом, но она хорошо выглядит как перспектива в будущем. Пока же испытываешь подозрение, что, может быть, ни одна из других теорий шума, имеющихся в настоящее время, не в состоянии выдержать испытание временем.

ЛИТЕРАТУРА

J. A. Barnes, D. W. Allan (1966), A statistical model, of flicker noise, Proc. IEEE, 54, 176—178.

H. G. E. Beck, W. P. Spruit (1978), 1/f noise in the variance of Johnson noise, J. Appl. Phys., 49, 3384—3385.

D. A. Bell (1955), Distribution function of semiconductor noise, Proc. Phys, Soc, B68, 690—691.

D. A. Bell (1958), Semiconductor noise as a queueing problem, Proc. Phys. Soc, 72, 27—32.

D. A. Bell (I960), Electrical Noise, Van Nostrand, London, Chapter 10.

D. A. Bell (1980), A survey of 1/f noise in electrical conductors, J. Phys. C: Solid State Phys., 13, 4425—4437.

D. A. Bell, K・ Y. Chong (1954), Current noise in composition resistors,. Wireless Engr., 31, 142—144.

D. A. Bell, S. P. B. Dissanayake (1975), Variance fluctuations of 1/f noise, Elect. Lett., 11, 274.

T. H. Bell, Jr. (1974), Representation of random noise by random pulses, 丄 Appl. Phys., 45, 1902—1904.

J. Bernamont (1937), Fluctuations de potentiel aux bornes d'un conducteur metallique de faible volume parcouru par un courant, A. de Phys., 7, 71 — 140.

R. D. Black, M. B. Weissman, E. M. Fliegle (1981), Lack of spatial crosscorrelation in 1/f noise in chrome films, Proc. 6th International Conf, orr Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gai- therburg, MD, USA, April 6—10, 1981, p. 152.

J. J. Brophy (1968), Statistics of 1/f noise, Phys. Res, 166, 827—831..

J. J. Brophy (1970), Low-frequency variance noise, J. Appt. Phys., 41, 1697—1701.一

J. J. Brophy, N. Rostoker (1955), Hall effect noise, Phys. Rev., 100, 754— 756.

M.. A. Caloyanides (1974), Microcycle spectral estimates of 1/f noise in semiconductors, 丄 A ppi. Phys., 45, 307—316.

J. Clarke, T. Y. Hsiang (1975), Low-frequency noise in tin films at the superconducting transition, Phys. Reu. Lett., 34, 1217—1220.

J. Clarke, R. F. Voss (1974), 1/f noise from thermal fluctuations in metal films, Phys. Rev. Lett., 33, 24—27.

P. Dutta, J. W. Eberhard, P. M. Horn (1977), 1/f noise in copper whiskers, Solid State Communications, 21, 679—681.

P. Dutta, J. W. Eberhard, P. M. Horn (1978), 1/f noise in metal films: the role of the substrate, Solid State Communications, 27, 1389—1391.

J. W. Eberhard, P. M. Horn (1977), Temperature dependence of 1/f noise in silver and copper, Phys. Rev. Lett., 39, 643—646.

I. Flinn (1968), Extent of the 1/f noise spectrum, Nature, 219, 1356— 1357.

M. Gardner (1978), White and brown music, fractal curves and one-over-f fluctuations, Scientific American, 238, (4), 16—32 (April 1978).

I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik (1965), Tables of Integrals, Series and Products, 4th edn, p. 317, Academic Press, N. Y.

D. Halford (1968), A general mechanical model for |f|a spectral density random noise with special reference to flicker noise l/|f|, Proc. IEEE, 56, 251—258.

P. H. Handel (1968), Instabilities and turbulence in semiconductors, Phys. Stat. Sol., 29, 299—306.

P. H. Handel (1971), Turbulence theory for the current carriers in solids and a theory of 1/f noise, Phys. Rev. A, 3, 2066—2073.

P. H. Handel (1975), 1/f noise — an 'infrared' phenomenon, Phys. Res Lett., 34, 1492—1495; Nature of 1/f phase noise, Phys. Rev. Lett., 34, 1495—1498; Quantum theory of 1/f noise, Phys. Lett. 53A, 438—440.

R. J. Hawkins, G. G. Bloodworth (1971), Measurements of low-frequency noise in thick film resistors, Thin Solid Films, 8, 193—197.

C. F. Hiatt, A. van der Ziel, К. M. van Vliet (1975), Generation—recombination noise produced in the channel of JFETs, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—22, 614—616.

F. N. Hooge (1969), 1/f noise is no surface effect, Phys. Lett. A, 29, 139— 140.

F. N. Hooge (1976), 1/f noise, Physica 83B, 14—23.

F. N. Hooge, J. L. M. Gaal (1971a), Fluctuations with a 1/f spectrum in the conductance of ionic solutions and in the voltage of concentration cells, Phillips Res. Rep., 26, 77—90.

F. N. Hooge, J. L. M. Gaal (1971b), Experimental study of 1 /f noise in thermo E. M. F., Phillips Res. Rep., 26, 345—358.

F. N. Hooge, A. M. H. Hoppenbrouwers (1969a), AmpHtude distribution of 1/f noise, Physica, 42, 331—339.

F. N. Hooge, A. M. H. Hoppenbrouwers (1969b), 1/f noise in continuous thin gold films, Physica, 45, 386—392.

F. N. Hooge, J. Kedzia, L. K・ J. Vandamme (1979), Boundary scattering and 1/f noise, J. Appl. Phys., 50, 8087—8089.

F. N. Hooge, L. K・ J. Vandamme (1978), Lattice scattering causes 1/f noise, Phys. Lett., 66A, 315—316.

J. B. Johnson (1925), The Schottky effect in low frequency circuits, Phys. Rev., 26, 71—85.、

В. K. Jones (1981), Excess conductance noise in silicon resistors, Proc. 6th

Int. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 206—209.

В. К. Jones, J. D. Francis (1975), Direct correlation between 1/f and other noise sources, J. Phys. D.t 8, 1172—1176.

T. G. M. Kleinpenning (1974), 1/f noise in the thermo e. m. f. of intrinsic and extrinsic semiconductors, Phy sic a, 77, 78—98.

T. G. M. Kleinpenning (1980), 1/f noise in Hall effect: fluctuations in mobility, J. Appl. Phys., 51, 3438.

T. G. M. Kleinpenning, D. A. Bell (1976), Hall effect noise: fluctuations in number or mobility?, Physica, 81B, 301—304.

N. N. Lebedev (1965), Special Functions and their Applications (translated from the Russian by Richard A. Silverman), Prentice-Hall, p. 36.

С. Массопе (1981), 1/f* noises and Riemann—Liouville fractional integ- ral/derivative of the Brownian motion, Proc. 6th Int. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 192—195.

S. Machlup (1981), Earthquakes, thunderstorms and other 1/f noises, Proc. 6th Int. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 157—160.

B. Mandelbrot (1967), Some noises with 1/f spectrum, a bridge between direct current and white noise, IEEE Trans. Inf. Theory, IT—13, 289—298.

В. Mandelbrot, J. W. Ness (1968), Fractional Brownian motions, fractional noises and applications, SIAM R也.，10, 422—437.

I. R. M. Mansour, R. J., Hawkins, G. G. Bloodworth (1968), Measurement of current noise in M. O. S. transistors from 5X10,-5 to 1 Hz, Radio and' Elect. Eng., 35, 212—216.

A. L. McWhorter (1956), Semiconductor Surface Physics (Ed. R. H. Kingston), University of Pennsylvania Press, Philadelphia.

A. Mirceau, A. Roussel, A. Mitonneau (1972), 1/f noise: still a surface effect, Phys. Lett., 41 A, 345——346.

T. Musha (1981), 1/f fluctuations in biological systems, Proc. 6th Int. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaitherburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 143—146.

M. Prudenziati, B. Morton, A. Masoero (1981), Temperature dependence of 1/f noise in thick film resistors, Proc. 6th Int. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA* April 6—10, 1981, pp. 202—205.

V. Radeka (1969), l/|f| noise in physical measurements, IEEE Trans. Nucl. ScL, NS—16, 17—35.

M. Sayer, B. Prasad (1979), Electrical noise in semiconducting oxide glasses, J. Non. Cry st. Solids, 33, 345—349.

J. H. Schofield, D. H. Darling, W. W. Webb (1981), 1/f noise in continuous metal films is not due to temperature fluctuations, Proc. 6th Int. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 147—150.

H. Schonfeld (1955), Beitrag zum 1 /f-Gesetz beim Rauschen von Halbleitern, Z. Naturforsch, Teil, A10, 291—300.

M. Stoisiek, D. Wolf (1976), Recent investigations on the stationarity of 1 /f noise,丄 Appl. Phys., 47, 362—364.

U. J. Strasilla, M. J. O. Strutt (1974), Narrow band variance noise, /. Appl. Phys., 45, 1423—1428.

J. L. Tandon, H. R. Bilger (1976), 1/f noise as a non-stationary process: experimental evidence and some analytical conditions, J. Appl. Phys., 47, 1697—1701.

A. van der Ziel (1950), On the noise spectra of semi-conductor noise and of flicker effect. Physica, 16, 359—372.

A. van der Ziel (1975), Limiting flicker noise in MOSFETs, Solid State Elect., 18, 1031.

•63. A. van der Ziel (1978), Flicker noise in semi-conductors: not a true bulk effect, Appl. Phys. Lett., 33, 883—884.

>64. A. van der Ziel (1979), Flicker noise in electronic devices, Advances in Elect, and Phys., 49, 225—297.

R. F. Voss (1977), Proc. 1st Symposium on 1/f fluctuation held at Saskawa Hall, Tokyo, Japan, 11—13 July 1977, p. 199.

. R. F. Voss (1978), 1/f noise and percolation in impurity bands in inversion layers, J. Phys. C, 11, L923—L926.

R. F. Voss, J. Clarke (1976), Flicker (1/f) noise: equilibrium temperature and resistance fluctuations, Phys. Rev. B, 13, 556—573.

毋8. R. F. Voss, J. Clarke (1978), Ч/f noise* in music: music from 1/f noise, J. Acoust. Soc. Am., 63, 258—263.

€9 M. B. Weissman (1981), Survey of recent 1/f noise theories, Proc. 6th Int. Conf, on Noise in Physical Systems, held at the National Bureau of Stan- •dards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 133—142.

7

Взрывной шум

Введение

У различных типов твердотельных приборов, таких, как диоды и транзисторы на р—n-переходах, туннельные диоды и композиционные резисторы, иногда имеет место электрический по характеру шум, проявляющийся в виде случайных «всплесков». По-видимому, подобный шум не является универсальным, однако его, как правило, обнаруживают у сравнительно небольшой части приборов определенного типа.

В своем простейшем виде данное явление проявляет себя как бистабильный сигнал ступенчатой формы, однородный по амплитуде, со случайно распределенными интервалами времени между ступенями, очень напоминающий случайный телеграфный сигнал. Но изредка встречаются более сложные ступенчатые сигналы с тремя и более уровнями ступеней. Говорят, что сигналы бистабильной формы симметричны, если среднее время длительности каждого из двух уровней одинаково. Это условие, вообще говоря, для взрывного шума не выполняется, для него во многих случаях наблюдается сильная асимметрия.

Предполагается, что механизм, обусловливающий взрывной шум у р—n-переходов с обратным смещением, заключается в нерегулярном включении — выключении поверхностного канала. Причиной взрывного шума у р—n-переходов с прямым смещением в настоящее время принято считать дефекты кристалла в области перехода. Природа таких дефектов точно не установлена, но последние экспериментальные данные указывают на то, что это — линии скольжения и дислокации в кристаллической структуре, а не металлические примеси.

Взрывной шум в обратно смещенных

р — п-переходах

Одно из самых первых упоминаний о взрывном шуме было сделано в работе Монтгомери [29] при рассмотрении им шума у и—р——n-транзисторов из германия. Это явление присутствовало у очень небольшой части транзисторов, демонстрировавших «всплески шума очень нерегулярного характера». Монт-

гомери обнаружил, что транзисторы, поврежденные за счет подачи излишне большого напряжения обратного смещения, име尸 ют тенденцию проявлять такой шум.

Типичный вид бистабильного взрывного шумового сигнала приведен на рис. 7.1, а. Он состоит из случайных ступенчатых импульсов, на которые наложен белый шум. Если «обрезать» этот шумовой сигнал таким образом, чтобы исключить составляющую белого шума, то он становится весьма похожим на

1 мс

Рис. 7.1. Типичный вид токового взрывного шума с наложенным на него белым шумом (а) и после удаления белого шума (6).

случайный телеграфный сигнал, как показано на рис. 7.1,6. Говорят, что такой сигнал симметричен, если среднее время длительности каждого из двух уровней ступени одинаково, и асимметричен, если имеет место значительное отклонение от такого условия. Взрывной шум представлен на рис. 7.1 в масштабе, соответствующем обычно наблюдаемому в эксперименте.

Первые количественные данные о взрывном шуме для приборов с р—n-переходами были приведены Пеем [31] на основе его измерений на обратносмещенном точечно-контактном германиевом диоде. Интересная особенность результатов Пея, по которой их можно отличить от результатов последующих исследователей, заключается в сильной зависимости симметричности формы шумового сигнала от величины обратного тока, протекающего через переход; имеется существенная асимметрия при 700 мкА, но она становится гораздо менее выраженной по мере увеличения тока, до тех пор пока при 1000 мкА взрывной шум приобретает более или менее симметричный вид. Среднее значение частоты повторения, измеренное Пеем, также зависело от величины обратного тока, но значительно слабее.

О взрывном шуме в обратносмещенных кремниевых и германиевых р—n-переходах, возникающем в интервале обратных смещений от 0,7 В до напряжения пробоя, позднее сообщали

Кард и Чаудхари [6]. Они выделили взрывной шум, чтобы исследовать его, так сказать, в чистом виде, подобно тому как это показано на рис. 7.1, б, и измерили функции плотности вероятности для длительностей верхнего и нижнего уровней случайных сигналов прямоугольной формы. Они нашли, что эти функции вероятности есть экспоненты Пуассона (разд. 7.5).

Рис. 7.2. Форма взрывного шума в обратно смещенном (7,5 В) германиевом р——п-переходе.

Горизонтальная шкала соответствует 20 мс/д ел., вертикальная 20 нА/д ел. (Согласно [41], с любезного разрешения Американского физического института.)

Высота ступенек тока по их наблюдениям составляла примерно 10~8 А, а средняя продолжительность всплеска тока, как правило, имела порядок 1 мс.

Кроме того, Кард и Чаудхари сообщили о наличии взрывного шума у туннельных диодов из GaAs при работе в области инжекции при смещениях 0,2 В. Они также попутно сообщили о наблюдениях этого шума у пленок из окиси олова и углерода и у угольных композиционных резисторов, однако в этих случаях это явление быстро исчезает и редко его продолжительность достаточна для проведения статистически надежных измерений.

Статистические свойства бистабильного взрывного шума у обратносмещенных германиевых р—n-переходов тщательно исследовались Вольфом и Холлером [41]. Они провели измерения на обратносмещенных переходах эмиттер — база диффузи-

Рис. 7.4. Зависимость среднего числа всплесков за секунду z от обратной температуры для напряжения смещения 7,5 В.Кружки — данные экспериментальных измерений. (Согласно [41], с любезного согласия Американского физического института.)Рис. 7.4. Зависимость среднего числа всплесков за секунду z от обратной температуры для напряжения смещения 7,5 В.Кружки — данные экспериментальных измерений. (Согласно [41], с любезного согласия Американского физического института.)

Рис. 7.4. Зависимость среднего числа всплесков за секунду z от обратной температуры для напряжения смещения 7,5 В.

Кружки — данные экспериментальных измерений. (Согласно [41], с любезного согласия Американского физического института.)

Рис. 7.4. Зависимость среднего числа всплесков за секунду z от обратной температуры для напряжения смещения 7,5 В.

Кружки — данные экспериментальных измерений. (Согласно [41], с любезного согласия Американского физического института.)

онных р——п——р-транзисторов из германия при напряжениях значительно ниже напряжения пробоя. Коллектор был плавающего типа. Из 20 исследованных образцов только у 4 был обнаружен взрывной шум. Они проводили исследования в диапазоне температур от ——10 до +20℃; верхний температурный предел определялся тепловым шумом (при этом случайные прямо-

Рис. 7.3. Обратная ветвь вольт-амперной характеристики германиевого р——n-перехода с отрезком горизонтальной прямой, указывающим диапазон смещений, при которых наблюдается взрывной шум.

(Согласно [41], с любезного разрешения Американского физического института.)

угольные импульсы размывались настолько, что их нельзя было уже надежно выделять), нижний температурный предел определялся скоростью повторения этих импульсов, которая становилась слишком малой, чтобы можно было проводить измерения. Типичные примеры токовых импульсов взрывного шума при обратном смещении приведены на рис. 7.2.

Все результаты, о которых сообщили Вольф и Холлер, относятся к одному выбранному типу транзистора. Диапазон обратных смещений, в котором они надежно наблюдали взрывной шум, указывается на рис. 7.3 горизонтальной чертой, на нем проводится обратная ветвь вольт-амперной характеристики перехода при фиксированной температуре. Как можно видеть из

Взрытой 以ум — ▼ 19t этого рисунка, «мягкий» пробой в переходе возникает при обратном смещении 51 В.

Из результатов Вольфа и Холлера следует несколько интересных выводов. Они наш«ли, что при постоянном обратном смещении среднее число токовых импульсов за секунду z изменяется по экспоненте с показателем, обратно пропорциональным абсолютной температуре, как показано на рис. 7.4. Сплошная линия на этом рисунке соответствует выражению

z = const х exp (—^ф/^0), (7.1) где k ——постоянная Больцмана, а 0 — абсолютная температура. Согласно Вольфу и Холлеру, возможно, что q^ — это энергия активации, значение которой, найденное по наклону этой линии, составляет q(p = 0,79+0,04 эВ. Это больше, чем величина запрещенной зоны в германии. Было обнаружено, что величина 2 не зависит от обратного смещения в диапазоне напряжений 5——30 В, что не соответствует результатам измерений, проведенных Пеем для точечно-контактных диодов.

Распределение плотности вероятности положительных и отрицательных импульсов тока измерялось при температурах 0, 10 и 19,5℃. Было найдено, что во всех случаях эти распределения имеют вид

Р (垃)=/±т exp (Т 土/т 土)， (7.2)

где U ——длительность положительного или отрицательного импульса, а т± — среднее значение длительности 厶 или /_. Экспериментальные результаты приведены на рис. 7.5, где ясно видна экспоненциальная зависимость. Сравнивая ординаты в том случае, когда /+=/_=0, из этих графиков можно найти, что отношение т+/т_ изменяется при изменении температуры; оно имеет значение 40 при 0℃, 35 при 10℃ и 32 при 19℃, что указывает на то, что по мере увеличения температуры шумовой сигнал становится менее асимметричным.

Было найдено, что плотности вероятности не зависят от обратного смещения, тогда как высота импульса А/ увеличивается с возрастанием температуры, в конце концов достигая предельной величины, как показано на рис. 7.6.

Наконец, Вольф и Холлер провели измерение спектрального распределения интенсивности шума и нашли, что для частот, больших 150 Гц, оно изменяется по закону f~2 (рис. 7.7).

Причина возникновения импульсной помехи у обратносме* щенных р—«-переходов все еще не полностью ясна. Предлагалось несколько физических механизмов, один из первых среди них относится к случайным температурным флуктуациям, вызывающим включение — выключение траектории поверхностной проводимости образца. Этот механизм был предложен Кардом

Рис. 7.5. Распределение плотностей токовых импульсов при'температурах 0, 10 и 19,5 ℃.

Экспериментальные точки обозначены кружками, а числа в круглых скобках указывают количество проанализированных случаев. (Согласно [41], с любезного разрешения Ам* риканского физического института.)

Рис. 7.6. Зависимость величины импульса А/ от обратного смещения U. Экспериментальные точки соответствуют незалитым (17 ℃) и залитым (1 ℃) кружкам. (Согласно [41], с любезного разрешения Американского физического института.)

и Чаудхари и впоследствии получил поддержку у Вольфа и Холлера. Все эти авторы отвергли идею о том, что данное явление связано с пробоем внутри перехода на том основании, что оно имеет место при обратных смещениях, значительно меньших напряжения пробоя.

С точки зрения такого вывода может показаться удивительным, что второй механизм возникновения взрывного шума, который активно обсуждался в литературе, связан с микроплазмой. Как известно, микроплазменные эффекты ассоциируются с пробоем в р—«-переходах; это обстоятельство обсужда-

взрывного шума.взрывного шума.Экспериментальные точки обозначены нез а литыми кружками, прямая часть сплошной линии соответствует зависимости 尸.(Согласно [41], с любезного разрешения Американского физическо го института.)Экспериментальные точки обозначены нез а литыми кружками, прямая часть сплошной линии соответствует зависимости 尸.(Согласно [41], с любезного разрешения Американского физическо го института.)

взрывного шума.

взрывного шума.

Экспериментальные точки обозначены нез а литыми кружками, прямая часть сплошной линии соответствует зависимости 尸.(Согласно [41], с любезного разрешения Американского физическо го института.)

Экспериментальные точки обозначены нез а литыми кружками, прямая часть сплошной линии соответствует зависимости 尸.(Согласно [41], с любезного разрешения Американского физическо го института.)

лось Шокли [40] и1 экспериментально исследовалось Мак-Кеем и Мак-Афи [28], Мак-Кеем [27] и Чиноветом и Мак-Кеем [10, 11].

Шум микроплазмы (в отличие ют взрывного шума) наблюдается в виде ступенчатого сигнала с амплитудой, приблизительно равной 10~5А [8]. Сама микроплазма локализуется внутри перехода в областях сильного электрического поля с характерными размерами порядка нескольких сотен ангстрем, в которых трещины и другие дефекты кристаллической решетки содержат ловушки, что приводит к большой плотности заряда в таких местах. Этот связанный заряд способствует лавинному пробою, когда тот возникает. Образование и последующее разрушение микроплазмы —процесс случайный и он приводит к экспериментально наблюдаемым ступенчатым изменениям тока перехода. Роуз [36] предложил модель для объяснения микроплазменных эффектов, основанную на аналогиях с явлением газового разряда, и, кроме этого, Хайтц [16] рассмот-

рел модель электрического поведения микроплазмы.

Ступенчатая форма сигнала, которая характеризует микро- плазменный шум, указывает на очевидную схожесть с формой взрывного шума, но между ними имеется и существенное различие. В частности, амплитуда взрывного шума на три порядка меньше, чем амплитуда шума, обусловленного микроплазмой, и скорость включения взрывного шума по существу не зависит от напряжения, тогда как длительность цикла микроплаз* менного шума меняется в зависимости от величины приложенного напряжения.

Шенк [37, 38], который рассматривал связь взрывного шума со старением и отказами приборов, отметил трудности в интерпретации взрывного шума как явления микроплазменного происхождения. В то же время он высказал допущение о том» что эти трудности не непреодолимы и что они не устраняют

палностью возможность того, что взрывной шум обусловлен процессами образования и разрушения микроплазмы. Он полагал, например, что только из того, что взрывной шум наблюдается при напряжениях, значительно меньших напряжений пробоя в объеме перехода, не обязательно должно следовать, что это явление не есть эффект пробоя, оно может быть связано с поверхностным пробоем, который, как известно, имеет место при напряжениях, меньших напряжения пробоя в объеме [13].

Шенк предложил количественную модель для взрывного шума, основанную на допущении, что внутреннее последовательное сопротивление траектории в области сильного поля в переходе составляет 108——1011 Ом. Как он отметил, это гораздо больше, чем величина 103—105 Ом, которую связывают обычно с микроплазмой. Он постулировал следующую последовательность процессов, происходящих в месте возникновения микроплазмы, где имеется напряжение, большее, чем напряжение пробоя.

Носитель заряда, либо генерированный внутри области Сильного электрического поля, либо диффундировавший в эту область, приводит к образованию лавины. По мере роста тока падение напряжения на большом внутреннем последовательном сопротивлении увеличивается до тех пор, пока падение напряжения в области сильного поля станет ниже пороговой величины, при которой разряд прекращается. Часть носителей, освобожденных разрядом, будет, вероятно, захвачена в непосредственной близости от области микроплазмы. Из тех носителей, которые повторно освобождаются из ловушек после окончания разряда, некоторые опять запустят в действие этот же механизм. Таким образом, возникает ряд коротких всплесков лавинного тока, и процесс окончится только тогда, когда случайно не окажется повторно освобождаемых носителей для запуска следующего разряда. Такая ситуация будет оставаться без изменений до тех пор, пока весь этот процесс не будет инициирован снова с помощью свободного носителя, диффундирующего в область сильного электрического поля или генерированного внутри этой области.

Шенк предположил, что каждый из экспериментально наблюдаемых импульсов взрывного шума, имеющий амплитуду приблизительно равную 10~9 А и длительность порядка миллисекунды, является на самом деле «усреднением» одной серии коротких импульсов разряда. Главная трудность данной модели заключается в том, что она не объясняет высокое значение внутреннего последовательного сопротивления траектории тока до области сильного электрического поля — условие, на которое она столь существенно опирается. Если постулировать наличие такого сопротивления, то нужная величина амплитуды

токовых импульсов следует из этого почти автоматически; но не трудно видеть, что в этом-то вопрос и состоит. Обычно для возникновения микроплазменных эффектов не требуется столь высокого значения сопротивления току в близлежащих к переходу областях, т. е. импульсы, обусловленные микроплазмой, имеют амплитуды, на несколько порядков большие, чем амплитуды импульсов взрывного шума. Поэтому явно недостаточно просто считать иначе, и затем на основе такого допущения прийти к заключению, что импульсная помеха — это эффект, связанный с микроплазмой. У Шенка имеется намек на то, что в кремниевых приборах такое высокое внутреннее сопротивление может быть связано с поверхностью раздела кремний — окись кремния, но он не привел никаких количественных доводов для подтверждения такой точки зрения.

Явление взрывного шума и его происхождение было рассмотрено в работе Леонарда и Яскольски [22] в связи с функционированием Ш'Ирокополосных интегральных усилителей. Из проведенного исследования они сделали вывод о том, что «шум лопающихся зерен кукурузы»^ (взрывной шум) имеет место тогда, когда у обратной ветви вольт-амперной характеристики перехода коллектор — база имеются области отрицательного сопротивления, находящиеся около «колена» ветви, соответствующего началу пробоя. Леонард и Яскольски сообщили, что в том случае, когда напряжение обратного смещения было таким, что рабочая точка совпадала с областью подобного отрицательного сопротивления, они наблюдали локальное излучение света. Известно, что микроплазма излучает свет [10], и это привело Леонарда и Яскольски к выводу о том, что взрывной и микроплазменный шумы эквивалентны. Однако они не предпринимали попытки примирить отмеченные выше несоразмерности между микроплазменным и взрывным шумами.

Подобная трактовка Леонарда и Яскольски была поставлена под сомнение Кноттом [21], который провел измерения взрывного шума в дискретных кремниевых планарных транзисторах. Его результаты не подтвердили гипотезы о том, что взрывной шум обусловлен микроплазменными явлениями в об- ратносмещенном переходе база — коллектор; вместо этого он показал, что в данном случае взрывной шум возникает в области на поверхности или рядом с поверхностью положительно смещенного перехода эмиттер — база. Подобное противоречие между результатами, полученными Леонардом и Яскольски, а также Кноттом, могло означать, что существуют по крайней мере два вида взрывного шума. В самом деле, Орен [30]

D Его так называют по аналогии со звуками варящихся в котелке зерен кукурузы.

утверждал, что взрывной шум — явление сложное, которое возг яикает из-за нескольких причин, в ряде случаев конкурирующих между собой. С его точки зрения, нет причин полагать^ что все виды взрывного шума, которые экспериментально на-, блюдаются, обусловлены единственным физическим механизмом. И это действительно верно, поскольку в определенном смысле взрывной шум в р—n-переходах с прямым смещением ммеет существенно иные характеристики по сравнению со взрывным шумом в обратносмещенных р—n-переходах, что да< ет возможность предполагать, что в этих двух случаях действуют разные физические механизмы генерации шума. Характеристики взрывного шума в р—n-переходах с прямым смещенн- ем рассматриваются ниже.

73. Взрывной шум в р — п-переходах с прямым смещением

О взрывном шуме в кремниевых планарных транзисторах (几—р—% и р亠~п—р) сообщали Гиралт с сотр. [14, 15]. Характер шума напоминал взрывной шум у р—厶-переходов при обратном смещении в том, что он также имел ступенчатую форму иногда с двумя уровнями, а в некоторых случаях с более чем двумя уровнями. Величина ступеней оставалась постоянной во времени, но имела зависимость от температуры и уровня смещения транзистора. Длительность импульсов менялась случайно с распределением вероятности, описываемым статистикой Пуассона.

Эти результаты были подтверждены позднее Мартином с сотр. [26], которые сообщили о наблюдениях токовых импульсов длительностью от 10 мкс до нескольких минут со статистическим распределением в соответствии с законом Пуассона. Кроме того, они обнаружили, что характер взрывного шума можно существенно изменить до такой степени, что он может появляться либо исчезать при хранении (без смещения) транзистора при температуре 200 ℃ в течение нескольких часов. Подобное изменение, как правило, сопровождается дрейфом коэффициента усиления hfe транзистора.

Мартин с сотр. провели исследования взрывного шума тока базы у транзисторов различных типов (2N 2484, 2N 3707, 2N 2222, ВС 183) и нашли, что величина импульсов шума А/в изменяется в зависимости от температуры и напряжения эмиттер —база Veb, согласно соотношению

А% = А%。ехр [—(0о/0)] exp (qVEB/nkQ), (7.3)

где А/во, 0о, п ——параметры, величины которых зависят ат

свойств конкретного испытуемого образца. Два последних параметра заключены в пределах 3500 KW8oW7OOO К, 1,7W几& 《2,6 и обычно составляют 0о^7ООО К и п~2. Эти величины не согласуются с интерпретацией, предложенной Мартином с сотр., согласно которой импульсы взрывного шума обусловле*

Рис. 7.8. Типичный вид взрывного шума тока диода с р——n-переходом с прямым смещением.

(Согласно [17], с любезного разрешения «Пергамон Пресс».)

ны неустойчивостью тока поверхностной рекомбинации, связанной со скачкообразными изменениями поверхностного гкР тенциала в зоне с высокой степенью рекомбинации.①лукту注』 ции 1потенциала внутри этой зоны могут стать причиной случайных изменений заселенности ловушек. Таким образом, мож-1 но объяснить экспериментально наблюдаемый взрывной шум? Те же авторы признали, что подобный механизм предполагает сложное распределение ловушек в запрещенной зоне полупро- бодйика и в качестве альтернативного объяснения предложили1 случайное «включение — выключение» инверсного канала вблизи поверхности. i

Вопрос о том, является ли взрывной шум у р—и-переходав- с прямым смещением поверхностным или объемным эффектом.

был исследован Хсу и Виттиером [17], проводившими измерения на транзисторах с управляемым затвором. Электроды затвора размещались над р—n-переходами диодов и транзисторов и позволяли контролировать поверхностные условия. Было «обнаружено существование взрывного шума двух типов, один мз которых зависел, а другой не зависел от напряжения на за-

Рис. 7.9. Зависимость прямого тока от напряжения затвора при различных значениях прямого смещения.

(Согласно [17], с любезного разрешения «Пергамон Пресо.)

творе. В первом случае оказалось возможным исключить полностью и вновь инициировать этот шум, изменяя напряжение затвора, а это создавало определенные преимущества, так как один и тот же элемент можно было исследовать в присутствии или отсутствие взрывного шума. По этой причине Хсу и Вит- таер сконцентрировали внимание на зависимости взрывного шума от напряжения затвора и исключили из рассмотрения те приборы, у которых шум не зависел от напряжения затвора.

На рис. 7.8 показан типичный вид импульса взрывного шума тока прямосмещенного диода с р—/г-»переходом по наблюдению Хсу и Виттиера. Величина амплитуды наблюдаемых ими импульсов была всегда меньше нескольких десятых долей микроампера, а ширина импульсов менялась от нескольких микросекунд и выше (верхний предел они не установили).

Рис. 7.9 также взят из работы Хсу и Виттиера, на нем по-.

казано влияние напряжения затвора на прямую ветвь вольт-амперной характеристики р—n-перехода. Структура элемента, на котором проводили эти измерения, показана на этом рисунке отдельно. Сплошные кривые ——это характеристики одного из исследованных р—n-переходов. Пики на этих характеристиках приходятся на напряжения затвора, примерно равные —10 и + 10 В, что соответствует обеднению носителями поверхности n-области (подложка) и поверхности р+-о6ласти, соответственно. У некоторых переходов обнаружено отклонение в поведении от зависимостей, указанных сплошной линией; при напряжении на затворе, большем +10 В, наблюдался дополнительный ток, показанный штриховой линией на рисунке. Этот дополнительный ток мог быть обусловлен либо локальными концентрациями дефектов в инверсном слое, либо туннельными механизмами [33]. Согласно Хсу и Виттиеру, взрывной шум, который зависит от напряжения затвора, связан исключительно с этим дополнительным током: в тех переходах, у которых не было дополнительного тока, не наблюдался взрывной шум; в то же время взрывной шум наблюдался в тех элементах, которые имели дополнительный ток, но только в тех случаях, когда напряжение затвора приводило к поверхностной инверсии, позволяющей протекать этому дополнительному току. Более того, было найдено, что пороговое значение напряжения затвора для возникновения взрывного шума, такое же, как и для этого дополнительного тока на прямой ветви характеристики ток ——напряжение затвора. Подобная картина наблюдалась и в транзисторах с р——n-переходами, исследованных Хсу и Виттиером.

Вслед за этими первыми наблюдениями был выполнен ряд исследований взрывного шума в биполярных транзисторах: Ягер и Бредерсон [19] предложили феноменологическую модель, которую используют для расчета шума в области низких частот; Люк с сотр. {23] наш<ли, что амплитуды импульсов взрывного шума зависят от прямого напряжения эмиттер —— база, но не зависят от обратного смещения коллектор — база; анализ спектра и экспериментальное изучение статистики взрывного шума провели Мартин и Бласкес [24]; отказы в работе интегральных схем, связанные с взрывным шумом, изучались Конти и Корда [12]. Основные выводы, которые следуют из всех этих исследований, такови: 1) амплитуды импульсов взрывного шума тока базы подчиняются соотношению (7.3); 2) параметр % в этом выражении приблизительно равен 2, но он больше, чем т в выражении

7В = /Во ехр (д“тК9), (7.4) для тока базы; 3) частота повторения шумовых всплесков ли-

нейно зависит от тока эмиттера /е, но не зависит от напряжения Усв； 4) длительность наименее вероятного состояния уменьшается с увеличением /е； 5) механическое напряжение, вызываемое нажатием на кристалл транзистора стальным острием, приводит практически во всех случаях к изменению средней частоты повторения шумовых всплесков; 6) взрывной шум возникает в %—р—n-транзисторах гораздо чаще, чем в р—%—р- транзисторах; 7) спектр шума имеет вид [l + ^/fo)2]"1, где % зависит от смещения.

Вопрос об источниках возникновения взрывного шума в р—n-переходах с прямым смещением рассматривался рядом авторов, во всех случаях для его объяснения в качестве основополагающей причины использовались различные виды дефектов кристаллической структуры материала, из которого изготовлялся элемент. Люк с сотр. предложили механизм возникновения этого шума за счет появления и исчезновения крупномасштабных рекомбинационных центров. Они предположили, что таковыми могли бы являться 60°-ные краевые дисклокации, так как известно, что такие дефекты — эффективные центры рекомбинации, что связано с ненасыщенными связями, которыми они обладают [32, 39]. Эти дефекты действуют как глубокие акцепторные уровни. Такая дислокация в полупроводниках n-типа вызывает изгиб энергетических зон и около линии дислокации образуется обедненная носителями цилиндрическая зона. В материале p-типа уровень Ферми опускается ниже уровня центра зоны и обедненной области не существует. Люк с сотр. полагают, что механические напряжения могут приводить к образованию области с очень большой концентрацией дислокаций, которая располагается непосредственно под контактом эмиттера, а передача импульса от электронов тока эмиттера приводит к миграции этих дислокаций по транзистору, и разные рекомбинационные тока, связанные с такими центрами в различных областях %——р—n-прибора, ответственны за наблюдаемые импульсы взрывного шума. Весь подобный процесс может продолжаться непрерывно и приводить к статистически стационарному шумовому сигналу, так как механические напряжения, возникающие в области эмиттерного контакта за счет относительного смещения его составных частей, приводят к образованию все новых дислокаций, которые затем проходят через транзистор.

Для объяснения некоторых особенностей характеристик взрывного шума, по всей вероятности, подходит модель, рассматривающая поверхностные дефекты. Такая точка зрения находит поддержку в работе Мартина с сотр. [25], в которой показано, что на одной полупроводниковой пластине процент транзисторов, у которых наблюдается взрывной шум, пропори

ццонален. плотности поверхностных ндислок^ций на этой пластине. Кроме того, .другие авторы, например . Бласкее [3],. а также; Конти н Корда [12], смогли идентифицировать связь между кристаллографической плотностью дефектов и соответствующей частью транзисторов со взрывным шумом. С другой стороны, Бродерсон с сотр. [5] высказали предположение о том, что в качестве причины,- приводящей к взрывному шуму, могут выступать осадки металла, а Хсу с сотр. [18] предложили модель, основанную на дефектах

такого типа.

55Рис. 7.10. Модель взрывного шума, а — дефект, расположенный в металлургическом переходе; б — диаграмма энергетических зон около этого дефекта.)Рис. 7.10. Модель взрывного шума, а — дефект, расположенный в металлургическом переходе; б — диаграмма энергетических зон около этого дефекта.)носителей в таком импульсе. Такойносителей в таком импульсе. ТакойХсу с сотр. рассуждали следующим образом: число носителей заряда в типичном импульсе взрывного шума, имеющего амплитуду 10-8 а и длительность 1 мс, составляет по порядку величины 108. Крайне мало вероятно, чтобы при механизме, обусловливающем этот токовый импульс, все эти носители возбуждались независимо. Гораздо вероятнее такой процесс, при котором единичное событие приводило как бы к запуску потока всех

5

5

Рис. 7.10. Модель взрывного шума, а — дефект, расположенный в металлургическом переходе; б — диаграмма энергетических зон около этого дефекта.)

Рис. 7.10. Модель взрывного шума, а — дефект, расположенный в металлургическом переходе; б — диаграмма энергетических зон около этого дефекта.)

носителей в таком импульсе. Такой

носителей в таком импульсе. Такой

процесс мог бы иметь место в том случае, когда только один генерационно-рекомбинационный центр был бы расположен в области дефекта с высокой скоростью рекомбинации. В качестве такого дефекта мог бы быть дефект типа металлического осаждения.

Предложенная модель основана на положении, согласно которому ток через область такого металлического осаждения модулируется изменением заселенности соседнего рекомбинационно-генерационного центра. Представим себе дефект, находящийся в металлургическом р—/г-переходе, на поверхности или в объеме полупроводника, как это показано на рис. 7,10, а. Этот дефект находится в переходе, соединяющем и- и р-обла- сти. Далее Хсу с сотр. считали, что между осадком металла и n-областью полупроводника существует большой потенциальный барьер, который действует как выпрямляющий контакт, а потенциальный, барьер между： металлом и p-областью полу-

проводника относительно низок, что соответствует омическому контакту (рис. 7.10,б). Запускающий (инициирующий) рекомбинационно-генерационный центр расположен в области объемного заряда выпрямляющего барьера на n-стороне перехода.

В том случае, когда на переход подается прямое смещение, большая часть падения потенциала приходится на область выпрямляющего контакта металл — полупроводник, что приводит к уменьшению высоты барьера (рис. 7.11, а) и через пере-

а

Занятый г-р-центр

5

Рис. 7.11. Влияние изменения заселенности р——г-центра на выпрямляющий барьер.

а ——центр пуст, барьер низкий, ток большой; 6 ——центр занят электроном, барьер стал выше, ток уменьшился.

ход течет ток. Далее, если заселенность рекомбинационно-генерационного центра (р-г-центра) изменяется, скажем, путем захвата электрона, то высота барьера увеличивается, а ток через переход уменьшается (рис. 7.11,б). Следовательно, по этой модели единственный акт захвата или освобождения носителя заряда приводит к модулированию потока большого числа носителей таким способом, который приводит к количественному соответствию с наблюдаемой на практике величиной взрывного шума. В частности, величина амплитуды импульсов такого шума, согласно этой модели, имеет экспоненциальную зависимость от напряжения смещения в виде, определяемом уравнением (7.3).

В описанных выше моделях Люк с сотр. и Хсу с сотр. связывают происхождение взрывного шума с двумя существенно различными типами дефектов в кристаллах образцов: в первом случае шумовые импульсы связываются с движением дислока-

ций в кристаллической структуре, а во втором шум обусловлен наличием металлических осаждений в кристалле. Рёдель и Висванатан [35] предприняли попытку определить истинную среди этих альтернатив, для чего вводили определенные изменения в технологию изготовления линейных операционных интегральных усилителей. Сначала они приняли меры по предотвращению осаждения атомов металлов в область перехода эмиттер — база, но не изменили при этом плотность дефектов дислокационного типа, использовав метод HCl-отжига. Такая обработка привела к заметному, но не впечатляющему увеличению количества транзисторов с меньшей величиной взрывного шума или вообще без него. Гораздо более существенные положительные результаты достигались в тех случаях, когда минимизировался температурный удар, что достигалось снижением скорости при выращивании кристаллов эмиттеров методом вытягивания из печи при температуре 1000 ℃ со скоростью 20—2 см/мин. При большей скорости вытягивания фактически все транзисторы имели дефекты дислокационного типа в области перехода эмиттер — база, тогда как при меньшей 80% транзисторов были абсолютно свободны от таких дефектов, что, вероятно, было связано с самозалечиванием пластин за счет большего времени их пребывания в горячей зоне печи. Полученные результаты суммированы в табл. 7.1. Из них следует, что именно дефекты дислокационного типа обусловливают взрывной шум у р——м-переходов с прямым смещением.

Такой вывод получил серьезную поддержку в работе Блас- кеса [4], касающейся исследований планарных эпитаксиальных %—р—n-транзисторов. Он провел статистические эксперименты

Таблица 7.1. Воздействие дефектов типа металлических осаждений и дефектов типа дислокаций на взрывной шум. Данные результаты получены Рёделем и Висванатаном [35] согласно измерениям, выполненным на линейных операционных интегральных усилителях (с любезного разрешения, © 1975 IEEE)

Обработка

Количество образцов

Процент образцов

С высоким уровнем взрывного шума>400 пА

со средним уровнем взрывного шума

с низким уровнем взрывного шума<100 пА

Обычная

233

70

24

6

Удалены дефекты типа металлических осаждений

20

4

44

16

Удалены дефекты типа дислокаций

61

2

16

82

на нескольких десятках пластин с целью определения, типа кристаллических дефектов, главным образом обусловливающих взрывной шум у переходов с прямым смещением. Им изучалось воздействие дефектов, возникающих за счет термического удара (линии сдвига), индуцированных диффузией дислокаций внутри и вне области эмиттера сильно, легированных транзисторов и металлических осаждений (золота и меди). Результаты исследования показали, что металлические примеси и осаждения не являются источниками взрывного шума, тогда как линии сдвига в результате термического удара и индуцированные диффузией дислокации при высоком уровне легирования эмиттера в обоих случаях приводят к взрывному шуму.

Это доказательство совместно с более ранней работой Рё- деля и Висманатана, очевидно, неоспоримо: основной источник взрывного шума в р——n-переходах с прямым смещением — дислокации кристаллической структуры, а не осаждения металлов.

Взрывной шум у резисторов

О взрывном шуме, обнаруженном у резисторов разных типов, сообщали Пей [31], Белл [1], а также Кард и Моретик [7]. Согласно Беллу, это явление имеет вид нерегулярно распределенных импульсов, наложенных на статистически регулярный шум тока. Оно значительно отличается по своему характеру от шумовых импульсов ступенчатого вида, обнаруженных в приборах с р—n-переходами и описанных в предыдущих разделах.

Пей обнаружил, что частота, на которой имеют место всплески углеродистых композиционных и углеродистых тонкопленочных резисторов, проявляет тенденцию к увеличению с увеличением тока, но слабо уменьшается в том случае, когда умеренный и не изменяющийся по величине ток течет через резистор продолжительное время. Такое поведение обусловливается, по всей вероятности, каким-то тепловым механизмом, поскольку обнаруживается тенденция возврата к исходной частоте всплесков после того, как на некоторое время снималась нагрузка. Кроме того, Чонг [9], а также Белл и Чонг [2] обнаружили, что взрывной шум в углеродистых композиционных резисторах может существенно модифицироваться в том случае, когда резистор находится под нагрузкой в течение длительного времени, либо когда по нему за короткое время проходит очень большой ток. В последнем случае возникают необратимые изменения в форме шумового сигнала, которые Белл связал с выгоранием дефектных контактов.

Статистика бистабильного взрывного шума

Мы уже упоминали о том, что бистабильный взрывной шум можно представить в виде случайного телеграфного сигнала. Статистические свойства сигналов такого вида в предположении, что вероятность перехода от одного уровня к другому задается законом Пуассона, были рассмотрены Райсом [34]. Исследования самого Райса основывались на еще более раннем анализе, проведенном Кенриком [20], который представляет также исторический интерес, поскольку является, по-видимому, одним из первых приложений метода корреляционной функции к вопросу определения спектрального распределения мощности случайного сигнала. Вывод, приведенный ниже, в основном следует анализу Райса.

Рис. 7.12. Вид случайного телеграфного сигнала.

Функция х(/), соответствующая бистабильному сигналу вида, показанного на рис. 7.12, может принимать только два значения, которые обозначим через +а и —а. Если считать, что вероятность перехода с одного уровня на другой за отрезок времени (/, f+df) составляет vdt и что эта вероятность не зависит от переходов вне этого отрезка времени, то вероятность 俏 переходов за отрезок времени (0, Г) дается распределением Пуассона (см. приложение 1)'

р(т,Т) = *Е(7-5)

Можно легко показать, если вычислить первый момент этого распределения, что v — среднее число таких переходов за се： кунду.

Если т+ и т- — средние времена нахождения на верхнем и нижнем уровнях соответственно, то плотность вероятности времен 力+ и t_ нахождения на этих двух уровнях описывается формулой

p(f±) = t土техр —(f±/t士).(7.6)

Такой результат следует сразу из распределения Пуассона, как

произведение вероятности того, что нет перехода за интервал f± и вероятности существования одного перехода за интервал t± и Z±+d/±. Уравнение (7.6) означает, что времена нахождения в этих двух уровнях распределены по экспоненте в соответствии со статистическими измерениями взрывного шума, выполненными Вольфом и Холлером [41] (рис. 7.5).

Для вычисления спектральной плотности взрывного шума находим произведение х(/)х(/+т) и затем усредняем его для получения автокорреляционной функции, по которой в свою очередь из теоремы Винера ——Хинчина находим искомое спектральное распределение шума. Произведение х(0^(^+^) равно +〃2, если число переходов в интервале времени (/, /+^)——четное, и —а?, если число переходов за такой же интервал времени ——нечетное. Следовательно, среднее значение произведения х(/)х(/+т) составляет

%(/)%(叶1；)=炉 X Вероятность четного числа переходов в интервале (力либо

—а2 х Вероятность нечетного числа переходов в интервале (力/十匂

(7.7)

Две вероятности в этом выражении зависят только от длительности интервала |т| и не зависят от того, когда интервал начинается. Следовательно, подставляя Т=|т| в уравнение (7.5), из уравнения (7.7) имеем

*(f)%(/+1)= "2s(0, |т:|)+р(2, IT!)-]]-

一〃2[”，|т|)+р(3, Е)+・・・] =

=心l I I [1 —VI 寸十？0二一昔丄:十…]="2/2V е . (7.8) Но среднее в левой части этого выражения равно автокорреляционной функции <рх (т) сигнала, т. е.

^У=〃2^2У|Т|,(7.9)

и соответствующее спектральное распределение мощности шумового сигнала описывается выражением

.(со) = 4 J(рх (т) cosordT = о

=4〃2 j exp -(2vt) cos (сот) dr = q；^标耳.(7.10)

о

Спектральная плотность взрывного шума в выражении (7.10) имеет такой же вид, что и у релаксационного процесса; она по существу параллельна оси абсцисс на низких частотах ниже частоты %=у/л, соответствующей половине мощности, и убывает по закону со-2 в области высоких частот. Спектральное распределение такого вида экспериментально наблюдалось у приборов различного типа рядом ученых, например Вольфом и Холлером, Хсу и Виттиером, а также Мартином и Бласкесом.

Интересно, что, за исключением масштабного множителя, в спектральную плотность взрывного шума входит только один параметр — это средняя скорость перехода с одного уровня на другой. Ягер и Бродерсон провели измерение средней скорости перехода (которая равняется удвоенной скорости всплесков) ▽ = 738 с-* соответствующей частоте половинной мощности v/n=235 Гц. Измеренный ими спектр имел вид, задаваемый уравнением (7.10) с частотой, соответствующей половине мощности, равной 255 Гц. Это значение находится в согласии с указанным выше значением в пределах точности эксперимента. Кроме этого, целый ряд других авторов проводили измерения спектральной плотности взрывного шума, и во всех случаях их результаты соответствовали спектру, задаваемому уравнением (7.10).

Однако Хсу и Виттиер, исходя из модели, в которой бистабильный взрывной шум рассматривался как случайная линейная суперпозиция прямоугольных импульсов с длительностью каждого, равной т^, получили выражение, отличное от выражения (7.10). Используя теорему Карсона, они получили спектр, который имеет зависимость от частоты в виде

sin2 (сот 力 2)®%/2)2、

из которого они получили суммарный спектр интенсивности взрывного шума, полагая, что ширина импульса задается функцией распределения, которую они не определяли. У такого подхода имеются две трудности. Во-первых, указанный выше результат приводит к нулям и явно выраженным пикам максимумов, что не находит экспериментального подтверждения в работах самих Хсу и Виттиера и других, хотя можно полагать, что упомянутая выше не конкретизированная функция распределения будет, возможно, в какой-то мере выравнивать спектр. И, во-вторых, что более существенно, данная модель сама, по- видимому, не является полностью обоснованной, так как бистабильный взрывной шум не сводится к случайной суперпозиции прямоугольных импульсов, и теорема Карсона не справедлива, как метод для статистической обработки такого шумового сигнала. Это можно видеть из того факта, что при представлении

процесса в виде случайной суперпозиции, импульсы могут перекрываться, приводя к сигналу, имеющему более двух уровней. Трудно представить, как такой сигнал, который может иметь несколько уровней, можно приравнять к бистабильному ступенчатому сигналу; столь же трудно отождествить спектральное распределение с резкими пиками со спектром бистабильного взрывного шума. Мы приходим к выводу, что наиболее подходящая модель взрывного шума та, которая приводит к спектральному распределению, описываемому уравнением (7.10).

ЛИТЕРАТУРА

Bell D. А. (I960), Electrical Noise, Van Nostrand, London, p. 262.

Bell D. A., Chong K. Y. (1954), Current noise in composition resistors, Wireless Eng., 31, 142—144.

Blasquez G. (1973), Ph. D. Thesis, University of Toulouse.

Blasquez G. (1978), Excess noise sources due to defects in forward biased junctions, Solid State Elect., 21, 1425—1430.

Broderson A. J., Cook K・ B., Chenette E. R. (1971), Conference sur le bruit de fond des composants actifs semi-conducteurs, Colloque C. N. R. S. No. 204, CNRS Paris.

Card W. H., Chaudhari P. K. (1965), Characteristics of burst noise, Proc. IEEE (letters), 53, 652—653.

Card W. H., Mauretic A. (1963), Burst noise in semiconductor devices, Second symposium on the Physics of Failure, Chicago, pp. 268—283.

Champlin K. S. (1959), Microplasma fluctuations in silicon, J. A ppi. Phys., 30, 1039—1050.

Chong K・ Y. (1953), M. Sc. Thesis, University of Birmingham. ..

Chynoweth A. G., McKay K. G. (1956), Photom emission from avalanche breakdown in silicon, Phys. Res, 102, 369—376.

Chynoweth A. G., McKay K. G. (1959), Light emission and noise studies of individual microplasms in silicon p—n junctions, J. Appl. Phys.t 30, 1811— 1813.

Conti M., Corda G. (1974), Noise sources identification in integrated circuits through correlation analysis, IEEE J. Solid State Circuits, SC—9, 124—133.

Garrett C. G. B., Brattain W. H. (1956), Some experiments on, and a theory of, surface breakdown, /., Appl. Phys., 27, 299—306.i

Giralt G., Martin J. C., Mateu-Perez F. X. (1965), Sur un phenomene de bruit dans les transistors, caracterise par des creneaus de courant d^mplitude constante, CR Acad. Sci., 261, 5350—5353.

Giralt, G., Martin J. C., Mateu-Perez F. X. (1966), Burst noise df silicon planar transistors, Elect. Lett., 2, 228—229 (in French).…

Haitz R. H. (1964), Model for the electrical behaviour of a microplasma, 丄 Appl. Phys., 35, 1370—1376.'

Hsu S. T., Whittier R. J. (1969), Characterization of burst noise in Silicon devices, Solid State Elect., 12, 867—878.一

Hsu S. T., Whittier R. J., Mead C. A. (1970), Physical model for burst:noise in semiconductor devices, Solid State Elect., 13, 1055—1071..

Jaeger R. C., Broderson A. J. (1970), Low frequency noise sources in bipolar junction transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—17, 128—134.“

Kenrick G. W. (1929), The analysis of irregular motions with applications

to the energy frequency spectrum of static and of telegraph signals, Phil. Mag., Ser. 7, 7, 176—196.

Knott K・ F. (1970), Burst noise afid「XflQi•拉pl破ma, hois© in silicon planbr transistors, Proc. IEEE (letters), 58, 1368—1369.

Leonard P. L., Jaskolski S. V. (1969), An investigation into the origin and nature of 'popcorn noise', Proc. IEEE (letters), 57, 1786—1788.

Luque A., Mulet J., Rodriguez T., Segovia R. (1970), Proposed dislocation theory of burst noise in planar transistors, Elect. Lett., 6, 176—178.

Martin J. C., Blasquez G., (1971), Sur Ie spectre de bruit en creneaux, Solid State Elect., 14, 89—93.

Martin J. C., Blasquez G., de Cacqueray A., de Brebisson M., Schiller, Gi (1972), feffet des dislocations cristallines sur le bruit en creneaux des transistors bipolaires au silicium, Solid State Elect., 15, 739—744.

Martin J. C., Esteve D., Blasquez G. (1968), Burst noise in silicon planar , transistors, Conference on Physical Aspects of Noise in Electronic Devices, University of Nottingham, UK.

McKay K. G. (1954), Avalanche breakdown in silicon, Phys. Rev., 94, 877— 884.

McKay K. G., McAfee К. B. (1953), Electron multiplication in silicon and germanium, Phys. Rev., 91, 1079—1084.

Montgomery H. C. (1952), Transistor noise in circuit applications, Proc. 限E, 40, 1461—1471.

Oren R. (1971). Discussion of various views on popcorn noise, IEEE Trans. Elect. Oes, ED-18, 1194—1195.

Pay R. G. (1956), M. Sc. Thesis, University of Birmingham.

Read W. T. Jr (1954), Theory of dislocations in germanium, Phil. Mag., 45, 775—796.

Reddi V. G. K・(1967), Influence of surface conditions on silicon planar transistor current gain, Solid State Elect., 10, 305—334.

Rice S. O. (1944; 1945), Mathematical analysis of random noise, Bell. Sy st. Tech. Z., 23, 282—332; 24, 46—156.

Roedel R., Viswanathan C. R. (1975), Reduction of popcorn noise in integrated circuits, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—10, 962—964.

Rose D. J. (1957), Microplasmas in silicon, Phys. Rev., 105, 413—418.

Schenck J. F. (1967), Progressive failure mechanisms of a commercial silicon diode, in Physics of Failure in Electronics, vol. 5, pp. 18—35 (edited by T. S. Shilliday and J. Vacarro, RADC).

Schenck J. F. (1968), Burst noise and walkout in degraded silicon devices, Proc, of the 1967 IEEE Sixth Ann. Reliability Physics Symp., Los Angeles, California, pp. 31—39.

Shockley W. (1953), Dislocation and edge states in the diamond crystal structure, Phys. Rev., 91, 228.

Shockley W. (1961), Problems related to p—n junctions in silicon, Solid State Elect., 2, 35—67.

Wolf D., Holler E. (1967), Bistable current fluctuations in reverse-biased p—n junctions of germanium,丄 Appl. Phys., 38, 189—192.

8

Шумы в генераторах

Введение

Твердотельные устройства, такие, как туннельные диоды, лавинно-пролетные диоды и диоды Ганна, в наши дни широко используются в качестве генераторов СВЧ. Эти устройства обладают собственными шумами, что в одних случаях практического применения не имеет большого значения, а в других заслуживает серьезного рассмотрения. Примером последнего может служить приемник СВЧ, в котором смеситель с внешним гетеродином помещается перед усилительным каскадом. Естественно, физические механизмы, ответственные за шум, зависят от внутренней структуры генератора. В этой главе мы не углубляемся в детали этих порождающих шум механизмов, а полагаем только, что генератор колебаний содержит внутренний генератор белого шума, который служит причиной появления на выходе случайно флуктуирующего сигнала. Спектральные характеристики выходного шума в твердотельных генераторах уже обсуждались в литературе [1, 2, 6, 15].

Важными составными частями генератора стабильных колебаний являются частотно-избирательный контур, устройство с отрицательной дифференциальной проводимостью (или контуром обратной связи с усилением по мощности) и устройство с нелинейной характеристикой, которое действует как ограничитель амплитуды колебаний. Как правило, отрицательная проводимость и нелинейная характеристика совмещаются в одном и том же элементе.

Нелинейные элементы можно разделить на «быстрые» и «медленные» в зависимости от того, насколько быстро они откликаются на входной сигнал. Время отклика медленного нелинейного элемента составляет несколько периодов, тогда как быстрое устройство реагирует практически мгновенно. Только в последнем случае шум довольно значителен, поэтому основное внимание будем уделять быстрым нелинейным генераторам с отрицательной проводимостью.

Этот тип генератора был впервые проанализирован ван-дер- Полем [16], который исследовал собственные и вынужденные колебания системы. Этот генератор можно просто представить в виде параллельного LRC-контура, шунтированного отрица-

тельной нелинейной проводимостью (или последовательным LRC-контуром с последовательно присоединенной отрицательной проводимостью). При соответствующих условиях такая схема неустойчива и будет переводиться в колебательный режим собственным шумом системы. Амплитуда этих собственных колебаний устанавливается на уровне, который зависит от степени нелинейности элемента с отрицательной проводимостью. Как и в большинстве задач с нелинейными эффектами, общий анализ схем генераторов колебаний проводить трудно, хотя определенные типы нелинейных характеристик удается исследовать, используя в каждом отдельном случае индивидуальный подход.

Конкретный вид нелинейной проводимости, рассмотренный ван-дер-Полем,——это плавно изменяющаяся функция, которую можно аппроксимировать быстро сходящимися степенными рядами по выходному напряжению. Генераторы, основанные на нелинейном элементе этого вида, известны под названием генераторов колебаний ван-дер-Поля. Большинство твердотельных устройств, обычно используемых в качестве нелинейных элементов в генераторах с отрицательной проводимостью, имеет нелинейные характеристики, которые приближаются к виду, рассмотренному ван-дер-Полем. Поэтому сосредоточим наше внимание на этом типе нелинейности и, прежде чем переходить к обсуждению шумов генератора, сначала обсудим наиболее важные рабочие характеристики генератора колебаний ван-дер-Поля.

Собственные колебания

в генераторе ван-дер-Поля

На рис. 8.1 показана эквивалентная схема генератора с отрицательной проводимостью, состоящая из параллельного LC-контура с проводимостью потерь G^, шунтированного нелинейной отрицательной проводимостью —G (G — положительно). Когда G>Gl, схема неустойчива и внутренний шум сис-

Рис. &1. Эквивалентная схема генератора с отрицательной проводимостью.

темЬ1 запускает собственные колебания. Тогда на выходе появляется колебательное напряжение у (/).

Конкретный вид нелинейности определяет характеристики генератора колебаний. В предположении, что G может мгновенно реагировать на быстрые изменения и (Z), нелинейную проводимость можно представить в виде разложения по степеням u(f) следующим образом:

G = G。[ 1 + 耽(/)+眦 0) + ・• • ], (8.1)

где а, р, ... — константы, a Go — значение (положительное) величины G при и «)=0. Когда ряд в формуле (8.1) сходится так быстро, что члены выше квадратичного пренебрежимо малы, имеем выражение

G = Go[14-av(/) + ₽v2(Ol, (8.2) которое описывает тип нелинейности, исследованной ван-дер* Полем [16]. Как он показал, наиболее важные свойства генератора определяются не линейным, а квадратичным членом в выражении (8.2). Другой тип нелинейности, послуживший основой для генератора Робинсона [11], имеет резкий изгиб в характеристике при определенном значении |и(/) |, после которого происходит насыщение. Несмотря на то что характеристики нелинейностей Робинсона и ван-дер-Поля весьма различны, характеристики соответствующих генераторов похожи, хотя генератор ван-дер-Поля имеет тенденцию создавать больше шума, потому что l/f-шум в нелинейной проводимости существен* но модулирует Go, что в свою очередь вызывает амплитудные и фазовые флуктуации на выходе. Фолкнер и Мид [4] получили подтверждение этому, изучая генератор на эффекте Ганна (который хорошо аппроксимирует генератор ван-дер-Поля), обнаружив корреляцию между 1//-шумом сигнала смещения и ЧМ- шумом выходного сигнала.

Выходное напряжение схемы рис. 8.1 описывается дифференциальным уравнением

С 鲁+ @一G)外9+； f и (0 成=О, (8.3) которое после подстановки выражения (8.2) и дифференцирования по времени принимает вид

5^~+@ - 6。_2a伉")一3限*⑼猾+哈=0. (8.4)

Это — нелинейное, однородное (т. е. без члена с источником в правой части) дифференциальное уравнение и его решение описывает собственные колебания на выходе. Ван-дер-Поль [16, 17] показал теоретически, что частота этих колебаний есть ре-

зонансная частота LC-контура и что амплитуда на выходе быстро достигает предельного значения, определяемого коэффициентом квадратичного члена в выражении (8.2). Это ограничение роста амплитуды можно понять из следующего физического рассмотрения.

Когда u(f) мало, нелинейная проводимость близка к линейной отрицательной проводимости ——Go и при Gq>Gl суммарная проводимость схемы отрицательна. Схема в этом случае неустойчива, в ней возникают свободные колебания и амплитуда этих колебаний растет во времени экспоненциально (вместо того чтобы убывать экспоненциально, как было бы в случае схемы с положительной проводимостью). Когда амплитуда 。(/) становится достаточно большей для того, чтобы член 阿(f) в выражении (8.2) стал сравнимым с —1 (считаем 0 отрицательным), происходит смена знака величины G, и нелинейный элемент начинает работать как положительная проводимость. В этой точке амплитуда колебаний перестает нарастать, и устанавливается стационарный устойчивый режим амплитуды.

Нет необходимости решать уравнение (8.4), чтобы определить стационарную амплитуду колебаний и оценить важную роль квадратичного члена в выражении (8.2). Вместо этого воспользуемся условием, согласно которому в устойчивом состоянии энергия, поглощаемая проводимостью потерь G& равна энергии, выделяемой отрицательным сопротивлением —G [12, 13]; в результате получаем соотношение

То То

^G^(t) dt=^Gv2 (t)dtt (8.5) о b

где То — период колебаний. Полагая

и (/) = v0 cos соо/, (8.6) где зо=2п/То — угловая частота, из выражений (8.2) и (8.5) имеем

G臂-=•弊2■ f (cos2 coj+a% cos3 gf+阻2 cos4 铀力)dt. (8.7)

Функция cos(oq/ в нечетной степени при интегрировании за период дает нуль, так что в уравнении (8.7) остаются только интегралы вида

Поэтому получаем уравнение

(8.9)(8.9)色步=券+4

(8.9)

(8.9)

которое имеет решение

%2 =%2 =4 G° — Glз 而4 G° — Glз 而(8.10)(8.10)

%2 =

%2 =

4 G° — Gl

з 而

4 G° — Gl

з 而

(8.10)

(8.10)

Поскольку Go>Gl, получаем, что правая часть этого уравнения положительна, когда 0VO, что согласуется с качественным доказательством, приведенным выше.

Рис. 8.2. Эквивалентная схема генератора колебаний, на который действует внешний источник тока.Рис. 8.2. Эквивалентная схема генератора колебаний, на который действует внешний источник тока.

Рис. 8.2. Эквивалентная схема генератора колебаний, на который действует внешний источник тока.

Рис. 8.2. Эквивалентная схема генератора колебаний, на который действует внешний источник тока.

Заметим, что коэффициент а линейного члена в выражении (8.2) отсутствует в выражении для амплитуды стационарных колебаний: их уровень определяется величиной коэффициента § квадратичного члена. При уменьшении квадратичной нелинейности в характеристике проводимости амплитуда свободных колебаний генератора возрастает в соответствии с обратной зависимостью в формуле (8.10).

Угловая частота собственных колебаний ©о равна угловой резонансной частоте колебательного контура генератора на рис. 8.1, т. е. coo=l/¥LC. Этот результат вытекает из решения уравнения (8.4), проведенного ван-дер-Полем.

Вынужденные колебания

На рис. 8.2 показана эквивалентная схема генератора колебаний, на который действует внешний генератор тока. Внепь ний источник может оказывать сильное влияние на выходной сигнал генератора. Дифференциальное уравнение для выходного напряжения в данном случае является неоднородным вари-

антом уравнения (8.4), правая часть которого содержит член с источником:

(8.П) Как и прежде, именно от квадратичного члена в нелинейной проводимости (т. е. кубического члена по току) зависят особенности поведения генератора колебаний.

Решение уравнения (8.11) подробно проведено ван-дер-По- лем [17] для случая воздействия на генератор гармонического сигнала. Как и следовало ожидать, этот анализ трудоемкий, но здесь мы только кратко подытожим наиболее важные выводы. Существуют два фактора, значительно влияющие на вид выходного напряжения: амплитуда внешнего воздействия и частота внешнего воздействия, отнесенная к резонансной частоте контура.

Когда частота внешнего источника близка к частоте свободных колебаний, выходной сигнал генератора синхронизован по фазе и частоте с источником и собственные колебания полностью подавлены при условии, что амплитуда источника достаточно высока. Вне полосы частот, в пределах которой наблюдается частотная синхронизация, внешний источник слабо влияет на выходной сигнал, который в этом случае почти целиком состоит из собственных колебаний.

Следует подчеркнуть, что спектральная ширина области частотной синхронизации зависит от уровня амплитуды внешнего генератора. Если бы вместо гармонического сигнала имелось шумовое воздействие, явления синхронизации частоты не было бы, так как в любой реальной схеме энергия источника шума за время когерентности флуктуаций по величине на много порядков меньше, чем энергия свободных колебаний. Таким образом, при наличии шумового генератора свободные колебания сохраняются, но их амплитуда и фаза подвержены случайным флуктуациям. Эти флуктуации — предмет дальнейшего обсуждения в данной главе.

Выходной шум

Как было сказано выше, источник собственного шума генератора ван-дер-Поля обычно можно представить единственным генератором шума, как показано на рис. 8.3. Это не самое общее представление, но оно подходит для большинства твердотельных генераторов с отрицательной проводимостью. В устройстве на эффекте Ганна, например, шумовой генератор i“(f) на рис. 8.3 обычно представляет неравновесный шум Джонсона

популяции горячих электронов вне движущегося домена (см. гл. 10).

Некоторые авторы исследовали влияние шума на выходной сигнал генератора, причем большинство из них предполагали, что i〃(力)—источник белого шума [3, 5, 7—9]. Анализ, проведенный в работах [7, 8], был расширен в работе [10], чтобы включить в рассмотрение l/f-шум. Рассмотрим кратко этапы анализа, вновь предполагая, что i%(/) имеет равномерный спектр мощности, так как это допущение несколько упрощает

Рис. 8.3. Эквивалентная схема генератора колебаний, собственный шум которого представлен параллельным шумовым генератором тока.

выкладки. Кроме того, это действительно имеет место в ряде реальных твердотельных генераторов.

Выходное напряжение генератора шума, изображенного на рис. 8.3, является решением неоднородного уравнения

e 挈+ @一加(/)+七0(/)由=g(f),(8.12)

где правая часть описывает источник белого шума, a G — нелинейная проводимость, определяемая выражением (8.2). Из-за наличия нелинейных членов решение этого уравнения в общем виде получить трудно. Как и во многих нелинейных задачах, обычный путь — найти приближенное решение, применяя метод линеаризации, но даже в этом случае анализ достаточно сложен.

Шум двояко влияет на собственные колебания на выходе: он модулирует амплитуду и вносит случайно флуктуирующий фазовый сдвиг. Таким образом, выходное напряжение можно представить в виде

° (/) = % [ 1 +〃 (/)] cos [(оо/——屮(/)],(8.13)

где член a(f) описывает модуляцию амплитуды,州(力)一модуляцию фазы, а ио — амплитуда собственных колебаний в отсутствие шума, значение которой задается уравнением (8.10). Функции, a(f) и 州(/) соответствуют стационарным стохастическим процессам, а так как генератор имеет чрезвычайно узкую

полосу, они изменяются во временй очень медленно, или, дру・ •гимн словамй, их спектральные составляющие находятся в области частот много ниже частоты собственных колебаний. Задача теперь состоит в том, чтобы найти решение уравнения .(8.12) с общим видом (8.13).

Так как функции a(f) и ip(Z) представляют стохастические процессы, они могут быть точно определены только на языке своих статистических свойств. В частности, нам придется иметь дело с их спектральными плотностями и взаимной спектральной плотностью. Эти характеристики получают из решения уравнения (8.12) аналитическим методом, который наглядно демонстрирует влияние квадратичной нелинейности на характер спектра выходного шума. Прежде чем обсуждать подробности этого решения, поучительно рассмотреть общий вид спектра выходной функции, определяемой формулой (8.13).

Выходной спектр

Возможно, кратчайшей способ вывести выражение для спектральной плотности S0((o) выходного напряжения (8.13)— это сначала построить автокорреляционную функцию(р0 (т), которую затем можно использовать вместе с теоремой Винера — Хинчина для получения S^(co)・

По определению автокорреляционная функция u(f) описывается выражением

% (t) = lim f0⑴0(叶T)成,(8.14>

-7/2

где Т — время наблюдения, t — задержка, а черта означает усреднение по ансамблю. Подынтегральная функция имеет вид

и (/) и (f+句=R (f) R (f 十工)cos [со(/—屮(切 X

X cos ® (f十工)一屮(f十叽(8.15)

где v(t) заменяем выражением (8.13) и для краткости полагаем R(fj =%[1+“(£)]• Далее, произведение тригонометрических членов в выражении (8.15) можно записать в виде cos(co0Z—^) cos [соо (f+工)一屮 2】=

=击[cos gt cos 伸2—“J + sin 铀工 sin (屮2—屮 1)]十

+ "У {C0S 20V COS [G)0T —仰 1 + 屮2)]—

где 屮1 三ip(/) и 州2三屮(力+亏)・ После подстановки этого выражения в выражение (8.15) и интегрирования в соответствии с выражением (8.14) второй член в квадратных скобках даст нулевой результат. Это происходит из-за присутствия в этих скобках детерминированных членов, содержащих cos 2о0/ и sin 2coqZ, которые зависят от времени после усреднения по ансамблю, а процессы “(f) и 州(f) —стационарны. Остальную часть подынтегрального выражения, не зависящую от 力 после усреднения по ансамблю, можно вынести за знак интеграла, что дает

仪 “)=% R (f) R (f+т) {cos соот cos [屮(f+1)—屮(/)] +

-)-sin о)от sin [xf> (/4~t)—屮(/)]}.(8.17)

В выражении (8.17) можно провести упрощение, считая, что разность фаз 怖(力+工)一州(力)| много меньше единицы. Тогда, разлагая в ряд до второго порядка тригонометрические члены, содержащие разность фаз, находим, что

而4 } R⑴R (叶矶[1 -}(屮2 (片」)+屮2⑼+

(8.18)(8.18)十屮Q+T)屮⑴卜osсоот十件Q+t)一屮(/)]sinаТ}==(暗/2) {[ 1 —(Р2 (0) + 屮2 ⑺ + 屮。⑼ COS GV 十+ 丽而一欣而]sin зоt},

(8.18)

(8.18)

где(ра (т) и 屮2 (т) —автокорреляционные функции флуктуаций амплитуды и фазы соответственно, а

屮2a⑴=屮仙(一工)=^吧 4" f屮(f+t)a(力)山 (8.19)

一力2

определяет взаимную корреляцию между а(/) и 州(％)• Заметим, что это приближение получено в предположении, что средние значения амплитудной флуктуации a(f) и разности фаз 件(力+七)一2(f)] равны нулю.

Теперь можно получить спектральную плотность и (%) из выражения (8.18) с помощью интеграла обратного преобразования Винера — Хинчина

(8.20)(8.20)SD (со) = 2 j 屮。(т) ехр (—/от) dr,

(8.20)

(8.20)

где пределы интегрирования (—оо, оо) выбраны для удобства

.обращения с взаимно корреляционными_функциями 屮屮％付)и tpaw(t)・ Производя подстановку для фи (т), находим спектральную плотность

§Л研=(喈/4) {4л [1 一徧7⑨[6 (s—4)+6(g>+%)] +

+ 瓦(①一So)+Sa(co+cOo)] + [Sw (co—①o)+S” (з+д)] +

+ [С^а (①一①о) — 4a(S + ①0)】} •(8・21)

Новые функции в зтом выражении определяются следующим образом: Sa(s) и 5屮((0)—спектральные плотности мощности а«) и ip(f) соответственно, С^ я(со) =21mS^a(a)), где Sg⑹一 ■взаимная спектральная плотность между a(t) и 屮(f), a Im означает мнимую часть. Структура правой части выражения (8.21) такова, что достаточно рассматривать только положительные значения со, но в этом случае следует ввести множитель 2, чтобы учесть отрицательную область частот. Если затем положить з>0 и принять во внимание, что “(f) и 屮⑺一 низкочастотные функции, спектральные плотности которых существенны лишь при со《зо, станет очевидно, что члены 5а(з+зо), S^> (co+«>o) и。迎(@+0)) в формуле (8.21) пренебрежимо малы при частотах, близких к со。 (т. е. в интересующей нас области). Отсюда следует, что спектральную плотность выходного напряжения генератора можно представить выражением

SD @) = "^- {4л [1 —屮屮(0)] 6 (со —g)4~Sa (①一①o) +

4-Sw (①一%) +С2a(8 -①0)} (8.22)

для частот вблизи частоты собственных колебаний.

Член, содержащий дельта-функцию в выражении (8.22), описывает влияние шума на собственные колебания: ослабление влияния дельта-функции происходит из-за флуктуаций фазы. Из остальных членов, представляющих шумовые боковые полосы по обе стороны от : несущей частоты, первый член —— AM-шум, второй — ЧМ-шум, а третий описывает АМ—ЧМ-ко- герентность на боковых полосах/

В отсутствие какой-либо когерентности шум симметричен относительно частоты собственных колебаний, так как (Sa (со——(Do) И Sw(3—30)— ЧвТНЫе функции (о—<Оо) . С другой стороны,。”。(①——g)o)—нечетная функция (со—а)о)> и, еледоза-

тельно, если флуктуации амплитуды и фазы не независимы, шумовые боковые полосы имеют некоторую асимметричность. Как показано в приложении 5, когда in(t)—генератор белого шума, флуктуации амплитуды и фазы независимы [т. е. С* а (со—coo) =0] и шумовые боковые полосы симметричны относительно (Оо・

Метод линеаризации

Выражение (8.22) дает возможность понять общие черты выходного спектра шумового генератора. Для дальнейшего рассмотрения следует конкретизировать различные члены, появляющиеся в общем выражении, и решать нелинейное неоднородное уравнение (8.12). Решение находится методом линеаризации, в результате которой остаются только члены с комбинационными частотами, обусловленными взаимодействием шума с собственными колебаниями; сдвиг частоты, появляющийся из-за взаимодействия шума с самим собой очень мал, и им пренебрегают.

Начнем рассмотрение, записывая выходной сигнал u(f) генератора в виде суммы собственных колебаний 力(f) =%cos(o()f и члена 。几(力)，описывающего влияние шума

。(…(/)+%(/)•(8.23)

Из сравнения этого выражения с (8.13) видно, что «шумовой» член имеет вид

% ⑴=% ⑴ cos ①(/+02 ⑴ sin ①0力(8.24)

где Ui(f) и ^2(f)—медленно меняющиеся функции, описываемые выражениями

S ⑴=% {[ 1 + а (/)] cos ip (/) — !},(8.25а)

и

и2 (0 = % sin 屮(/) •(8.256)

Если выражения (8.25) разложить в ряд до первого порядка переменных a(f) и 2(f), обнаружим, что Vi(t)^vQa(t) и。2«)~ —^0^(0» и, таким образом, в этом приближении выходной шум в выражении (8.24) принимает вид

% ⑴亠 ％ [а (/) cos(о(/+“ (0 sin соо/].(8.26)

Здесь, конечно, подразумевается, что и |a(f)|, и |屮(f)| много меньше единицы.

Вернемся к уравнению (8.12) и, подставив в него u(f) из выражения (8.23), получим

[С寥+q一仇)什} Jw-pg同卄

+ [с»^-+@—Go) %+} j %山—

一限% (3。『+3u科+%2)] = % ⑴，(8.27)

где опущена функциональная зависимость Vf и vn от /, и для удобства коэффициент а в разложении нелинейной проводимости [выражение (8.2)] считается равным нулю. (При этом общность не утрачивается, так как а не оказывает существенного влияния на выходное напряжение генератора.) Далее, первый член в фигурных скобках в уравнении (8.27) тождественно равен нулю [ср. с уравнением (8.3) для собственных колебаний], и, следовательно, уравнение для выходного шума, которое мы должны решить, приобретает вид

~^GQvn (3屮2十3。的+暗)=〃 (f).(8.28)

Заметим, что в этом уравнении благодаря нелинейному члену появляются слагаемые из сомножителей с взаимной модуляцией, связанных с взаимодействием шума с самим собой и с собственными колебаниями. Мы еще коснемся этого вопроса.

В отсутствие нелинейности (т. е. если бы В было равно нулю) спектральная плотность шумового напряжения, полученная из уравнения (8.28), имела бы вид

Sp (①)=гсоо \2]Sp (①)=гсоо \2](8.29)(8.29)

Sp (①)=гсоо \2]

Sp (①)=гсоо \2]

(8.29)

(8.29)

где St — спектральная плотность генератора белого шума 〃(/); <оо= 1/VLC и Qo=(d()C/|Gl—GoI —внешняя добротность генератора. Очевидно, для данной грубой аппроксимации шум просто изменяет форму в результате узкополосной фильтрации контуром генератора. Этот вывод, однако, очень упрощен и должен видоизмениться, если учесть влияние нелинейного члена в уравнении (8.28).

Уравнение (8.28) становится понятнее, если линеаризовать нелинейный член. Все три члена, заключенные в круглые скоб-

ки, вносят вклад в нелинейность, но，два из них (второй и третий), содержащие шумовые флуктуации 。卄(力)，пренебрежимо малы по сравнению с первым, который описывает собственные колебания. Следовательно, нужно рассматривать только тот нелинейный член, который содержит произведение и产и% а это эквивалентно тому, что остаются для рассмотрения взаимодействия между собственными колебаниями и шумом, тогда как все взаимодействия типа шум ——шум не принимаются во внимание.

Используя выражение (8.26) и представление собственных колебаний в виде Vf(t) =u0cos сооЛ а также записывая все тригонометрические функции в экспоненциальной форме, получаем следующую формулу для этого произведения 叫乜=粤"【(2f+产)exp (^ + ^ +力 exp (->(/) +

+7 exp (3/&/)+产 exp (—3/coo/)],(8.30)

где

f 三/⑴= a(f)-押⑴(8.31)

—медленно меняющаяся комплексная функция времени. Далее, если принять во внимание то, что нас интересуют только частоты, близкие к частоте собственных колебаний (так как контур генератора обладает высокой частотной избирательностью), становится очевидным, что три гармонических члена в выражении (8.30) дают незначительный вклад в выходной шум и, следовательно, ими можно пренебречь. Это позволяет записать выражение

匕乜 4 粵*【(2/+产)exp (W) + (2/*+/) exp (―沁/)]=

=乎[2% (£)+%«)],(8.32)

где

% (/) = % 也(/) cos c%/—屮(f) sin coo/].(8.33)

После подстановки выражения (8.32) в уравнение (8.28) получаем

С翁一伤一伉)(％+%) + }]%出= &(/),(8.34)

где вместо и02 подставлено выражение (8.10). Уравнение (8.34) —линейное дифференциальное уравнение для флуктуирующих процессов 0九«) и 0,(»; таким образом, сделан первый шаг в решении нелинейного дифференциального уравнения (8.28).

При анализе этих двух уравнений становится ясно, что нелинейный член в уравнении (8.28) эквивалентен вкладу в (линейный) резистивный член в уравнении (8.34). Это происходит из-за биений, возникающих между собственными колебаниями и шумом и описываемых формулой (8.32). Интересно заметить, что частотный сдвиг спектральных составляющих шума — явление исключительно нелинейное по своей сути: в линейных системах подобный эффект никогда не появляется.

Несмотря на линеаризацию дифференциального уравнения, описывающего выходной шум, еще остаются определенные трудности. Это понятно уже из вида уравнения (8.34), которое содержит два флуктуирующих процесса u〃(f) и Uq(f) и полностью определяет существующие между ними амплитудные и фазовые флуктуации. Формальный подход к задаче заключается в построении двух совместных линейных дифференциальных уравнений из уравнения (8.34) с использованием ортогональности функций sin со。％ и cos ©。％ за один период. Эта достаточно долгая процедура в конечном итоге приводит к искомым решениям для АМ- и ЧМ-спектров шума, а также для АМ- и ЧМ- когерентности, что подробно изложено в приложении 5. Имеется другой, более короткий, но математически не строгий путь решения. Однако он приводит к верным формам спектра и хорошо иллюстрирует важные физические свойства спектров АМ- и ЧМ-шума. Этот способ основан на предположении, что уравнение (8.34) можно решить относительно a(f), полагая ip(Z) равным нулю, и наоборот. Против этого способа, очевидно, можно выдвинуть возражение, а именно: получается, что вся энергия в in(t) идет, скажем, на амплитудные флуктуации, когда ”(/) приравнивают нулю. Чтобы разрешить это противоречие, предположим, что средняя энергия в i〃(f) равномерно распределена между a(f) и 2(f) [ситуация, соответствующая введению множителя 1/^2 в член источника, когда уравнение (8.34) разделяют на АМ- и ЧМ-компоненты]. Упрощенный анализ приводит затем к верным спектральным плотностям для АМ- и ЧМ-шума, что можно подтвердить сравнением с полученными более строгим путем результатами в приложении 5.

Спектр амплитудно-модуляционного шума

Для исследования AM-шум а пренебрегаем теперь влиянием флуктуаций фазы в уравнении (8.34), полагая ip(Z) =0. Тогда из выражений (8.26) и (8.33) имеем vn(t) = vq(t) =ua(Z), где %(f) =%a(f)cos со。玄 и, таким образом, уравнение (8.34) пере-

ходит в уравнение

С畫一2 (Gl-G^ %+Е j%df =體， (8.35) где коэффициент 1/^2 в правой части представляет долю полной энергии шума, которая «возбуждает» “(f). Уравнение (8.35) — линейное дифференциальное уравнение относительно переменной иа(0, из которого можно найти спектральную плотность шума, используя известный метод преобразования Фурье. Применяя преобразование к обеим частям, находим почти сразу спектральную плотность иа(0

W% 3)=W% 3)=8Q _研1 +粤(尚8Q _研1 +粤(尚Ml'Ml'(8.36)(8.36)

W% 3)=

W% 3)=

8Q _研1 +粤(尚

8Q _研1 +粤(尚

Ml'

Ml'

(8.36)

(8.36)

где Si — снова спектральная плотность /Л(/), a Q。— по-прежнему добротность генератора при 0 = 0.

Сравнение выражения (8.36) с выражением (8.29), полученным в пренебрежении влиянием нелинейного члена в проводимости, показывает, что нелинейность двояко влияет на спектр AM-шум а: она в 8 раз уменьшает высоту пика и в 2 раза расширяет частотную полосу шума. Последнее можно было увидеть из анализа уравнения (8.35), так как резистивный член в нем содержит коэффициент 2, которого не было бы, если бы пренебрегли нелинейностью.

Уровень спектра шума по отношению к амплитуде свободных колебаний можно определить, полагая s =(o()в уравнении (8.36), и в этом случае находим

(%) = 8(Gl~G0)2 = W怠%()4 * (8.37)

Из выражения (8.37) следует, что AM-шум ослабляется, когда генератор возбужден сильнее [эффект, который действительно наблюдается на практике]. Это, однако, не относится к неограниченно большим и0, потому что в этом случае становятся существенными члены выше второго порядка в разложении нелинейной проводимости.

Выражение (8.36) — спектральная плотность напряжения AM-шум а и。(/) = a (f) u()cos ⑴。/. Если Sa (со) ——спектральная плотность “(f), то легко показать, что

S's(s)= -^— [Sa (со — ^oJ + ^aC^ + ^o)] 4 ~^~Sa (①一％), (8.38)

где аппроксимация остается прежней, потому что Sa (со) —низкочастотная функция, и нас интересуют только частоты, близкие к несущей частоте. После подстановки этого результата в

выражение (8.36) получаем

Sq(-。)=「隔/—而，(8・39)

s₽2W[i+Qo2(—

где использовано приближение высокой добротности, а именно (@2—со。？) 2/302(3 2 4 4(з—⑴。)а/д。？. Выражение (8.39) определяет спектральную плотность AM-шума, присутствующую в общем выражении (8.22) для спектра выходного сигнала.

Спектр фазово-модуляционного шума

Теперь выведем формулу для спектра ФМ-шума из уравнения (8.34), считая амплитудные флуктуации нулевыми. Это означает, что 勿(/)=—勿⑴=и巾⑴,где v^ (/) =i|)(/)uosin(Do/- Таким образом, в этом >случае резистивный член в уравнении (8.34) совсем исчезает, и уравнение принимает вид

e參+;沁山=需・(8.40)

Коэффициент 1/丫2 в данном случае представляет часть энергии шума G(f), которая «запускает» р(/)・ Тот же метод, который был описан выше, приводит к следующему выражению для спектральной плотности (/):

鼠阿=瓦—•(8.41)

Таким образом, ФМ-шум имеет очень узкополосный спектр с центром, соответствующим частоте собственных колебаний, и, как и в случае AM-спектра, его интенсивность ослабляется, когда генератор возбужден сильнее.

Так как и^ (/) =/ф(0 Uosin соо/, спектральная плотность 屮(f) связана с Sv^ (со) [выражение (8.41)] следующей формулой:

5гф (со)=上;S^ (з—%)、и отсюда(8.42)

S”（①一5）=S”（①一5）=8瓦9俨Gj^Q^ ①工:L)28瓦9俨Gj^Q^ ①工:L)2(8.43)(8.43)

S”（①一5）=

S”（①一5）=

8瓦

9俨Gj^Q^ ①工:L)2

8瓦

9俨Gj^Q^ ①工:L)2

(8.43)

(8.43)

Выражение (8.43) описывает спектральную плотность ФМ-шу- ма, присутствующую в выражении (8.22). Заметим, что в непосредственной близости от @о интенсивность спектра ФМ-шума много выше, чем AM-шума, но уровень крыльев обоих спектров одинаков. Эти свойства иллюстрируются на рис. 8.4.

Заключительные замечаний

Шум в генераторах с отрицательной проводимостью — сложное явление. При полном аналитическом решении задачи следует учитывать взаимодействие между различными шумовыми частотами и между шумом и несущей частотой, а также следует включать в рассмотрение все гармоники, возникающие в результате этих нелинейных взаимодействий. Получить такое

Рис. 8.4. Схематическое изображение формы спектральных плотностей AM-шума (сплошная линия) и ЧМ-шума (штриховая линия), описываемых выражениями (8.39) и (8.43) соответственно.

Кривые симметричны относительно частоты собственных колебаний.

решение невозможно, но даже если бы оно и было получено, это принесло бы, наверное, мало пользы. Если бы его когда- нибудь получили, оно, наверное, было бы длинным и сложным, но отличалось бы от рассмотренного решения лишь незначительными подробностями.

Исследование, описанное выше и в приложении 5, позволяет проникнуть в суть наиболее существенных сторон влияния нелинейности на шум. В этом контексте важно явление взаимодействия шума с собственными колебаниями, которое сдвигает некоторые шумовые компоненты в интересующую нас частотную полосу. Эти вновь появившиеся компоненты удваивают величину проводимости схемы (т. е. уменьшают вдвое добротность) в случае AM-шум а и целиком исключают проводимость схемы в случае ФМ-шума. Таким образом, спектр AM-шум а расширяется из-за нелинейности, в то время как ФМ-спектр занимает очень узкую полосу. Крылья этих спектров одинаковы по уровню, так как на частотах вне окрестности несущей частоты оба спектра определяются реактивными компонентами схемы, которые не зависят от нелинейности ван-дер- Поля.

Теория шума генератора, рассмотренная выше, — сравнительно упрощенная, она предполагает наличие LRC-контура с единственным резонансом и нелинейной проводимостью. В действительности схемы генератора колебаний могут быть более сложными, чем эта, и содержать, например, реактивность или несколько нелинейных элементов. Такие схемы находятся вне сферы нашего рассмотрения, цель которого — выявить основные особенности шума генератора. Более того, усложненные схемы обычно не поддаются аналитическому рассмотрению и должны исследоваться с использованием метода компьютерного моделирования. Пример такого исследования содержится в работе [14].

ЛИТЕРАТУРА

J. R. Ashley, F. М. Palka (1970), Noise properties and stabilization of Gunn and avalanche oscillators and amplifiers, G—MTT Int. Microwave Symp. Dig., pp. 161—164.

J. R. Ashley, С. B. Searles, F. M. Palka (1968), The measurement of oscillator noise at microwave frequencies, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. (special issue on noise), MTT—16, 753—760.

W. A. Edson (I960), Noise in oscillators, Proc. /R£ 48, 1454—1466.

E. A. Faulkner, M. L. Meade (1968), Flicker noise in Gunn diodes, Elect. Lett., 4, 226—227.

M. Garstens (1957), Noise in nnn-linear oscillators, /. Appl. Phys., 28, 352—356.

J. Josenhans (1966), Noise spectra of Read diode and Gunn oscillators, Proc. IEEE (Lett：), 54, 1478—1479.

K. Kurokawa (1966), Noise in synchronized oscillators, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT—16, 234—240. _

K. Kurokawa (1969), Some basic characteristics of broadband negative resistance oscillator circuits, Bell Sy st. Tech. J., 48, 1937—1956.

J. A. Mullen (I960), Background noise in non-linear oscillators, Proc. IRE, 48, 1467—1473.

M. Ohtomo (1972), Experimental evaluation of noise parameters in Gunn and avalanche oscillators, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT—20, 425— 437.

F. N. H. Robinson (1959), Nuclear resonance absorption circuit, J. Set. Instrum., 36, 481—487.

F. N. H. Robinson (1962), Noise in Electrical Circuits, Oxford University Press, Chapter 8.

F. N. H. Robinson (1974), Noise and Fluctuations in Electronic Devices and Circuits, Oxford University Press, Chapter 18.

J. F. Sautereau, J. Graffeuil, J. C. Martin (1981), Time domain large signal noise modelling in microwave oscillators, Proc. Sixth International Conference on Noise in Physical Systems, National Bureau of Standards, Gaithersburg, Maryland, USA, April 6—10, 1981, pp. 47—50.

E. F. Scherer (1968), Investigation of the noise spectra of avalanche oscillators, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT—16, 781—78o.

B. van der Pol (1927), Forced oscillations in a circuit with a non-linear resistance, Phil. Mag. Series 7, 3, 65—80.

B. van der Pol (1934), The non-linear theory of electric oscillators, Proc. IRE, 22, 1051—1086.

9

Туннельные диоды и параметрические усилители

Введение

Туннельный диод ——это р — n-переход, в котором объемные области вырождены вследствие очень высоких концентраций примесей. Две составляющие туннельного тока протекают через переход в противоположных направлениях, и в обеих составляющих присутствует целиком дробовой шум. У вольт-амперной характеристики туннельного диода имеется область отрицательного сопротивления при малых прямых смещениях. Это можно использовать для получения усиления. Коэффициент шума такого усилителя зависит от последовательного сопротивления объемных областей диода, величины отрицательного сопротивления и эквивалентной проводимости теплового шума, соответствующей величине дробового шума в туннельном токе.

Отрицательное сопротивление служит также основой параметрического (с изменяющимся параметром) усиления. В этом случае отрицательное сопротивление появляется в результате нелинейного взаимодействия между сигналом и накачкой высокой частоты. Смесительным элементом, как правило, служит нелинейная проводимость р — «-перехода с обратным смещением. Параметрические усилители являются узкополосными высокочастотными усилителями, обычно работающими в диапазоне СВЧ. Вообще говоря, они обладают большим шумом, но значительно дешевле, чем мазеры, и обладают меньшим шумом, чем усилители бегущей волны, хотя у последних шире полоса и больше усиление. Важный вклад в шумы параметрического усилителя вносит тепловой шум в холостом контуре на разностной частоте между частотами накачки и сигнала: это эквивалентно появлению в контуре сигнала шумового генератора тока с частотой сигнала, мощность которого пропорциональна величине отрицательной проводимости.

Туннельный диод

Туннельный диод содержит р — n-переход, в котором обе объемные области так сильно легированы примесями, что становятся вырожденными. На рис. 9.1 показана структура энергети-

ческой зоны такого перехода при тепловом равновесии: уровень Ферми лежит выше дна зоны проводимости в n-области и ниже верха валентной зоны в p-области. Плотности основных носителей в приборе с зонной структурой, показанной на этом рисунке, составляют порядка 1019 см~3.

Из-за высокой степени легирования примесями ширина перехода в туннельном диоде чрезвычайно узка, порядка 10-6 см

Рис. 9.1. Равновесные энергетические уровни в диоде Исаки.

Ef — уровень Ферми; Ес и £у — зона проводимости и валентная зона, a Ei — собственный уровень Ферми.

(100А). Это сравнимо со средним расстоянием между примесными атомами в кристаллической решетке. Квантовомеханическое исследование показывает, что при этих условиях электроны могут туннелировать через переход из n-области в р-область, а также в обратном направлении, из p-области в п-область. Другими словами, волновые функции электронов могут перекрывать область перехода, обусловливая конечную вероятность перехода с одной стороны на другую.

При тепловом равновесии не может быть преимущественного потока носителей заряда через переход и, следовательно, потоки носителей в обоих направлениях должны быть равны. Если к переходу приложено обратное смещение, т. е. такое, которое увеличивает высоту потенциального барьера, ток резко возрастает вследствие усиления потока электронов, проходящих

через переход из валентной зоны p-области в зону проводимости и-области; то есть, при обратном смещении у туннельного диода имеется нулевое напряжение прибоя Зинера. При прямом смещении, когда высота потенциального барьера становится ниже равновесной, ток сначала монотонно растет с ростом приложенного напряжения. Это происходит вследствие туннелиро

вания электронов с занятых уровней в зоне проводимости n-области на вакантные уровни в валентной зоне р- области. При дальнейшем возрастании приложенного напряжения ток проходит через максимум, после которого резко спадает; т. е. вольт-амперная характеристика имеет участок с отрицательным сопротивлением. Это происходит потому, что вероятность туннелирования электронов через переход велика только между уровнями одинаковой энергии (т. е. энергия не меняется) .Когда под действием прямого смещения валентная зона p-области смеща-

Рис. 9.2. Типичная вольт-амперная ется ниже зоны проводимо- характеристика туннельного диода. сти n-области, вероятность туннельного перехода быстро падает и туннельный ток также резко уменьшается. При дальнейшем увеличении напряжения смещения ток проходит через минимум и затем начинает снова расти вследствие тех же механизмов инжекции неосновных носителей и рекомбинации в области обедненного слоя, которые присутствовали в невырожденных р—n-переходах. Схематическое изображение вольт-амперной характеристики туннельного диода представлено на рис 9.2..

Максимальный и минимальный токи прямой ветви вольт-амперной характеристики известны как токи пика и провала соответственно. Типичное отношение между ними 10: 1. Минимум наблюдается при значениях приложенного напряжения смеще- 1П1Я в диапазоне 100^300 мВ в зависимости от материала* перехода, уровня■ легирования и температуры. В идеальном переходе ток в области минимума должен быть нулевым, в соответствии'с нулевой вероятностью туннелирования но в действитель-

«ости наблюдается некоторый избыточный ток. йошима н Исаки [33] считали, что этот ток обусловлен прямыми и непрямыми туннельньшн переходами электронов, энергия которых соответствует запрещенной зоне и существование которых связано с примесями и вакансиями в структуре решетки* Избыточный ток изучали Мейерхофер и др. [19] в вырожденных германиевых переходах, Чиновет и др. 1[7] — в кремниевых туннельных диодах; Кейн [16] рассмотрел теорию избыточного тока в туннельных переходах.

Особенно интересен характер вольт-амперной характеристики туннельного диода в области отрицательного сопротивления между токами пика и провала. Наклон этой части характеристики может быть очень .крутым, соответствующим малому сопротивлению, например 1 Ом или меньше. Исаки [8], чье имя сейчас связывают с туннельным диодом, был первым, кто наблюдал «аномальное» поведение вольт-амперной характеристики в опытах по изучению внутренней автоэлектронной эмиссии в очень узких германиевых р ——n-переходах. Некоторое время спустя после его первой статьи было .сообщено о наблюдении вольт-амперной характеристики того же типа (т. е. имеющей область отрицательного сопротивления при прямых смещениях) в вырожденных кремниевых переходах

По сравнению с инжекцией- неосновных носителей туннелирование электронов происходит чрезвычайно быстро, с постоянной времени х)ко』о 10~12 с. Это означает, что диод Исаки можно использовать в быстродействующих переключателях или для высокочастотного (микроволнового) усиления. Фактор, ограничивающий быстродействие прибора, —не постоянная времени туннельного перехода, а большая емкость диода, которая оказывается весьма высокой на единицу площади ввиду малой ширины перехода (~1 мкФ/см2). Для достижения быстрого времени переключения (410-6с) площадь перехода должна быть как можно меньше. К счастью, можно изготавливать достаточно малые переходы, в которых рабочий ток не ослабляется до неприемлемо низкого уровня, потому что плотность туннельного тока очень высока. -

Кроме кремния и германия, для изготовления туннельных диодов применяется несколько полупроводниковых соединений типа AinBv. Сюда относятся арсенид галлия ([14], антимонид индия [2,15] и арсенид индия (17]. Эти Материалы привлекли внимание при попытках повысить быстродействие, улучшить шумовые характеристики и уменьшить последовательное сопротивление объемных областей. Например, в InSb переход необходимо охлаждать^ др температура： жидкоГ^) ^азрта для того, чтобы ослабить 'ток йнжеквд'и носителей до Пренебрежимо малого уровня; малая величина запрещенной зоны в этом материале

(0,18 эВ при 300 К) обусловливает относительно низкий потенциальный барьер, который легко преодолевается термически возбужденными носителями при комнатной температуре.

Шумы в туннельных диодах

Дробовой шум в туннельных диодах

Спектральную плотность шума в токе, связанном с туннелированием электронов сквозь потенциальный барьер, можно выразить через эквивалентный ток насыщения диода leq следующим образом:

S^) = 2qleq. (9・1>

Считая, что электроны проходят через барьер независимо друг от друга, получим, что шум складывается из чисто дробового шума каждой составляющей туннельного тока, и, таким образом, Ieq является суммой противоположно направленных туннельных токов:

1 eq =，LD + Л>т с， (9・ 2> где Д»и и /—с — соответственно токи, связанные с туннельным переходом электронов из зоны проводимости гг-области в валентную зону p-области и из валентной зоны р-областа в зону проводимости п-области.

Если лолагать, что другие механизмы переноса заряда, отличные от туннелирования электронов, вносят пренебрежимо малый вклад, ток диода во внешнем контуре имеет вид

/ = /…一4+， (9.3)

т. е. является разностью между двумя туннельными токами, преодолевающими потенциальный барьер. Эквивалентный ток насыщения диода в формулах (9.1) и (9.2) можно выразить через ток диода / согласно следующему рассмотрению |[24].

Каждый из двух туннельных таков можно представить в ви-

де интеграла по электронным энергетическим состояниям, разрешенным для туннельного перехода. Эти интегралы, впервые полученные Исаки |[8], имеют вид

(9.4а)(9.4а)lc^A^f{E)Z(E,V)\\-f(E^qVy\dE

(9.4а)

(9.4а)

и

/v^A^f(E+qV)Z (EJ) [1 - 〃Е)] dE, (9.46)

где £ — энергия; V—приложенное напряжение; Л — коэффициент, зависящий от материала полупроводника, и

f (七) = {1 + eXp [(上一品)/砌尸，(9.5)

—функция распределения Ферми — Дирака, в которой EF — уровень Ферми. Функция Z (Е, V) в формулах (9.4) служит мерой вероятности туннелирования электрона через барьер с учетом плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне.

Непосредственными алгебраическими преобразованиями можно показать, что подынтегральные выражения в формулах (9.4) связаны между собой следующим образом:

〃Е+浊[1-/(Е)] = / (Е) [1 —f (七+仞]exp(-9W). (9.6)

Поэтому туннельные токи в формулах (9.4) также связаны простым соотношением:

/宀=J ехр (也砌•(9.7)

а, следовательно, из формул (9.2) и (9.3) можно найти, что

/eq = /cth(g%2^)・(9.8)

Бейтс ![3] представил другой способ получения этого соотношения, где Ieq выражается через интеграл перекрытия.

Выражение (9.8) позволяет записать спектральную плотность шума туннельного така в формуле (9.1) через ток диода /

5^^=2〃 cth (g%2 加).(9.9)

Для малого смещения, когда V《hS]q, эквивалентный ток насыщения диода в выражении (9.8) можно записать приблизительно в следующем виде:

(9.Ю)

где g=〃丫一 дифференциальная проводимость диода. Следовательно, в предельном случае нулевого смещения выражение (9.9) для спектральной плотности переходит в формулу, совпадающую с выражением для теплового шума в проводимости g в условиях равновесия:

項丁 ㈣=4战g.(9.11)

Формула (9.9), в которой спектральная плотность шума туннельного тока выражена через ток диода и приложенное напряжение, имеет одно преимущество: ее можно использовать для проверки предположения о том； что электроны туннелируют сквозь потенциальный барьер независим。 друг от друга.

Агорайдис и ван-Влайет {1] сообщили об измерениях Ieq в туннельном диоде ZJ56A со смещением в более низкую область положительного наклона прямой части вольт-амперной характеристики. Они обнаружили равномерный шумовой спектр в диапазоне 100 (кГц — 30 МГц при хорошем совпадении между, измеренным значением Ieq и вычисленным по формуле (9.8). Они пришли к заключению, что в туннельных токах присутствуй ет чисто дробовой шум, а это означает, что туннелирование индивидуальных носителей происходит действительно независимым образом.

Шум избыточного тока

Область избыточного тока вольт-амперной характеристики туннельного диода находится около напряжения провала. Этой области характеристики соответствует «избыточная» компонента шума, имеющая 1//-спектральнук> плотность и преобладающая над шумом, связанным с туннельными токами и токами, обусловленными инжекцией неосновных носителей.

Об избыточном шуме сообщили сначала Лошима и Исаки 『[33], а затем Монтгомери [20]. Последний автор пррвел измерения избыточного шума в туннельном переходе на германии и арсениде галлия и обнаружил, что. l/f-спектральное поведение простирается от частот значительно выше Г кГц до самой низкой частоты 30 Гц, на которой он проводил измерение. Воз-' ножное объяснение этого состоит в том, что плотность заселенных энергетических уровней в запрещенной зоне имеет зависимость от времени, соразмерную с формой спектра 1/f. Так как туннелирование с этих уровней и на них как раз и、вызывает избыточный ток, такая временная зависимость должна объяснять наблюдаемый l/f-спектр избыточного шума.

В германиевых туннельных диодах спектральная плотность избыточного шума пропорциональна некоторой степени избыточного тока. Показатель этой степени близок к 2. Монтгомери [20], например, провел измерения на трех гёрманиевых образцах и получил показатели степеней 2,15; 1,95 и 1,7 при частоте измерений 1 кГц. Об этой близкой к квадратичному закону зависимости спектральной плотности избыточного шума от избыточного тока первыми сообщили Йошима и Исаки [33]. В туннельных диодах на GaAs Монтгомери не смог получить сходное степенное соотношение, потому что в образцах, которые он исследовал, в области избыточного тока около напряжения провала был значителен ток инжекций неосновных носителей. Это затруднило определение соотношения между избыточным шумом я избыточным током. :

Шум тока инжекции

Когда туннельный диод смещен в верхнюю область положительной проводимости своей вольт-амперной характеристики,, в нем на частотах несколько выше частоты 10 МГц имеется чисто дробовой шум, а на более низких частотах общий уровень- шума превышает уровень дробового шума. Агорайдис и ван- Влайет [1] отнесли шум на низкой частоте к комбинации дробового шума в токе инжекции неосновных носителей и избыточного шума, связанного с избыточным током. Дробовой шум, наблюдаемый на более высоких частотах, — это шум обычного р — n-перехода, связанный с инжекцией неосновных носителей.

Усилители на туннельных диодах

Тот факт, что у вольт-амперной характеристики туннельного диода имеется область отрицательного сопротивления, означает, что этот прибор можно использовать для усиления. Усилителям на туннельных диодах уделялось очень большое внимание в литературе в конце 1950-х и в начале 1960-х гг. в связи с их возможностями на высоких частотах и низким уровнем шумов. Бы* ло также обнаружено, что они имеют определенные преимущества перед усилителями с нелинейной реактивной проводимостью; например, в последнем случае отрицательная проводи^ мость возникает при нелинейном взаимодействии с учетом сигнала накачки, в то время как в усилителе на туннельном диоде- нет необходимости в накачке, так как отрицательная проводимость — свойство, присущее вольт-амперной характеристике диода.

Соммерс [25] усовершенствовал туннельный диод, который использовал Чанг ([4] в качестве активного^ элемента в усилителе с отрицательной проводимостью. В дальнейшем Чанг [5} исследовал оптимальную шумовую характеристику усилителей на туннельном диоде. За этим последовало появление в литературе ряда родственных работ таких авторов, как ван-дер-Зил- и Тамия i[32], Хайнс и Андерсон [13], Пенфилд [22], Тиманн ：[27], Нельсон [21] и снова ван-дер-Зил [30, 31]. Рассмотрение туннельного диода как элемента схемы в общем виде провел， Пусел [23], большая часть работы которого посвящена шумовым характеристикам усилителей на туннельном диоде.

Эквивалентная схема

Эквивалентная схема туннельного диода, смещенного в область характеристики с отрицательным сопротивлением, показана на рис. 9.3. Емкость С — емкость перехода'; —R=—1/G^~:

отрицательное сопротивление перехода в рабочей точке (т. е. R положительно) и Rb — последовательное сопротивление объемной области диода. Индуктивность проводов и других паразитных параметров в данной эквивалентной схеме не учитывается.

Хотя Rb мало из-за высоких концентраций примесей в объемных областях, оно тем не менее не равно нулю. Это означает, что выше частоты отсечки fc у диода отсутствует отрицательное сопротивление и что он тогда не усиливает. Частоту отсечки

Рис. 9.3. Эквивалентная схема туннельного диода, смещенного в область характеристики с отрицательным сопротивлением.

легко вычислить, приравнивая нулю действительную часть импеданса эквивалентной схемы. Это дает

14142/1/丽 ,2/1/丽 ,(9.12)(9.12)

14

14

2/1/丽 ,

2/1/丽 ,

(9.12)

(9.12)

где приближенное соотношение справедливо, потому что в хорошем диоде R》Rb・ Из формулы (9.12) должно следовать, что частоту отсечки нельзя увеличить, уменьшая площадь перехода, так как произведение C'RRb не зависит от площади. Однако Пусел [23] доказывает, что это не так и что fc в действительности можно увеличить, уменьшая площадь перехода. Он выдвигает предположение о том, что в результате флуктуаций концентрации примесей по сечению перехода имеются флуктуации толщины барьера и что туннельные токи протекают именно в тех точках, где барьер самый тонкий. Таким образом, R и Кь не связаны обратно пропорциональной зависимостью с площадью перехода, тогда как емкость С не подвержена существенно влиянию флуктуаций концентрации примесей и увеличивается с увеличением площади. Согласно этому объяснению, уменьшение площади перехода приводит к уменьшению С и соответствующему увеличению %•

Коэффициент усиления усилителя на туннельном диоде

Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде показана на рис. 9.4. На этом рисунке is(t)——токовый генератор» (гинусоидального) сигнала с проводимостью G$; G，一проводимость нагрузки и L — перестраиваемая индуктивность.

Коэффициент усиления усилителя можно выразить в терминах коэфициента усиления преобразователя п [Н], определяемого как отношение фактической мощности, выделяемой в на-

Рис. 9.4. Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде.Рис. 9.4. Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде.

Рис. 9.4. Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде.

Рис. 9.4. Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде.

1辽|2/Gl1辽|2/Glгрузке, к достижимой мощности источника. Анализируя рис. 9.4» видим, что

1辽|2/Gl

1辽|2/Gl

(9.13>

(9.14>(9.14>где iL — ток, протекающий через проводимость нагрузки. Далее,, если <оо = 1/У^С—резонансная угловая частота параллельного* L—С-соединения на рис. 9.4, непосредственный анализ схемы показывает, что

(9.14>

(9.14>

『加 2 (Gl + G$_G)2 + s2o(i 一響)

и отсюда

4GsGl4GsGl(Gl + G5 -G户+炉0(Gl + G5 -G户+炉0(9.15>(9.15>

4GsGl

4GsGl

(Gl + G5 -G户+炉0

(Gl + G5 -G户+炉0

(9.15>

(9.15>

При резонансе, когда(о==(оо, это выражение переходит в выражение

% =% =4GsGl(Gl + G$-G)2 •4GsGl(Gl + G$-G)2 •(9.16>(9.16>

% =

% =

4GsGl

(Gl + G$-G)2 •

4GsGl

(Gl + G$-G)2 •

(9.16>

(9.16>

Здесь подразумевается, что GL+GS^G, в противном случае По―>оо и усилитель становится неустойчивым.

Ширину полосы усилителя на уровне половинной мощности находят из выражения (9.15). Если угловые частоты на верхнем и нижнем уровнях половинной мощности равны @2 и(oi соответственно, то

^2,1 =4 (С，)2 + 8()2 士 2U *(9.17)

тде

C = C/(Gl+Gs-G).(9,18)

Таким образом, ширина полосы

5 = (82—%)/2几=1/2лС = (G^+Gs—G)/2nC,(9.19)

м произведение корня квад ратного из коэффициента усиления на ширину полосы имеет вид

В(9.20)

Произведение коэффициента усиления на ширину полосы в выражении (9.20) является полезной величиной, характеризующей усилитель. Она подтверждает наше прежнее заявление ю том, что емкость С должна быть как можно меньше. Очевидно, чем больше значения, принимаемые Gs и GL, тем бЬльше лроизведение коэффициента усиления на ширину полосы. Это -означает, что усилитель должен иметь высокий коэффициент усиления и что (Gs+Gl) должно быть приблизительно (но не точно) равно G. Из этого условия находим, что максимальное произведение коэффициента усиления на ширину полосы равно (ВрЧ)тах 4 G/2пС,(9.21)

рто имеет место, ；когда Gs=GL = G/2. Эта симметрия между проводимостями источника и нагрузки, необходимая для достижения оптимального условия (9.21), несовместима, одна(ко, с другими аспектами поведения туннельного диода. В частности, она не соответствует условию достижения минимального коэффициента шума, как мы покажем ниже.

Коэффициент шума усилителя на туннельном диоде

Когда вычисляется коэффициент шума туннельного диода, необходимо рассматривать два шумовых генератора: генератор напряжения и〃(/), представляющий тепловой шум, обусловленный сопротивлением объемных областей, и генератор тока i〃(f), представляющий дробовой шум в туннельных токах. Эти генераторы показаны на эквивалентной схеме усилителя на тун-

цельном диоде на рис. 9.5,а. Генератор тока 〃$(/) представляет шум, связанный с источником.

Для вычисления коэффициента шума удобно преобразовать до Нортону эквивалентную схему туннельного диода, как показано на рис. 9.5,6. Здесь последовательный генератор напряжения vn(t) и параллельный генератор тока 说(/) преобразованы

в параллельный генератор тока 厶(/), а полная проводимость —У имеет вид

/ СО2 \

V+[R匕(R-R@]l/2/П ооч

=i 而RbI '

依一凡)

где i(0c/2jt = fc — частота отсечки туннельного диода, задаваемая формулой (9.12).

Спектральные плотности шумовых генераторов тока ，〃(/) и Напряжения и几(/) описываются формулами

豆画 4 2ql =鉄吃(9.23a)

S7^ = 4加凡，(9.236)

где шум, связанный только с туннельным током, приближённо принят за чисто дробовой шум. Для. рабочей точки в области отрицательного сопротивления вольт-амперной характеристики

это оправдано, так как приложенное напряжение несколько больше, чем 2&8/% и функция котангенса в выражениях (9.8) и (9.9) очень близка к единице. Проводимость Ge в формуле (9.23а) представляет собой проводимость теплового шума, эк* Бивалентную дробовому шуму в туннельном токе. Из формул? (9.23) и рис. 9.5 следует, что когда u〃(f) и in(t) некоррелированны, спектральная плотность генератора тока }(/) на рис. 9.5,6 определяется формулой

Sj (з)=Sj (з)=(9.24>(9.24>[1 +菖（饪无）№+审丽

Sj (з)=

Sj (з)=

(9.24>

(9.24>

（R-&）[1 +薪（天

Считая, что этот генератор находится при той же температуре, что и туннельный диод, получаем спектральную плотность генератора шумового така

(9.25>(9.25>嘉洞=4物.

(9.25>

(9.25>

усилителя в виде尸=1丄/9)=усилителя в виде尸=1丄/9)=Теперь из рис. 9.5,6 можно просто записать коэффициент шума

усилителя в виде

尸=1丄/9)=

усилителя в виде

尸=1丄/9)=

]+ L * ‘ 瓦 - \1・(926a) Gs(R-R炉[1 + ^?(^=^T)]

Для низких частот (ниже частоты отсечки) это выражение переходит в выражение

尸 4 1十Gs(R‘Rb)2 +б/&ь)2 ' ° < 叫・ (9266)

Из выражения (9.266) очевидно, что, для того чтобы коэффициент шума был минимальным, проводимость источника должна быть как можно больше. Мы видели, что в усилителе на туннельном диоде с высоким коэффициентом усиления

Gs+GL^Gf (9.27)

хотя равенство в этом выражении исключается, если усилитель должен оставаться устойчивым. Согласно соотношению (9.27), максимальное значение

G$ max 4 G， (9.28>

что приводит выражение для низкочастотного коэффициента шума к виду

%"1+要+余.(9-29)

Здесь мы использовали тот факт, что в хорошем туннельном диоде R》Rb. При Ge = 〃/2^e=0,l Ом-1, G = 1 Ом— и (R〃R)= = 0,1 коэффициент шума, вычисленный согласно (9.29), равен 1,2 или 0,8 дБ. Это несколько лучше, чем коэффициенты шума, полученные Пуселом в работе |[23], самый низкий из которых составлял 7 дБ. Однако в приборе, на котором проводились измерения в этой работе, область отрицательного сопротивления была не очень крутой, соответствуя проводимости 640,02 Ом—. Если это значение подставить в выражение (9.29), а другие значения параметров оставить прежними, то полученный коэффициент шума будет соответствовать измеренному.

Условие (9.28), дающее минимальный коэффициент шума в выражении (9.29), предполагает асимметрию между проводимостями источника и нагрузки. Как мы видели, это несовместимо с условием максимального усиления, которое требует симметричной нагрузки. Если источник и нагрузка симметричны, то

G§4G/2 (9.30) и (Коэффициент шума

尸4 1+2餐+2等. (9.31)

Мы видим, что в этом случае коэффициент избыточного шума, определяемый как (尸一1), равен удвоенному минимальному коэффициенту избыточного шума. Пусел [23] обнаружил, что коэффициент шума действительно уменьшался по мере того, как проводимости источника и нагрузки постепенно становились все более асимметричными в соответствии с теорией, описанной выше.

Параметрический усилитель

Как мы видели на примере туннельного диода, приборы с отрицательным сопротивлением можно использовать для получения усиления. Можно также вводить отрицательное сопротивление в сигнальный контур и, следовательно, получать усиление с использованием нелинейных реактивностей. Метод, известный под названием параметрического (или изменяющегося параметра) усиления, находит применение в диапазоне СВЧ.

Хотя параметрические явления в механических системах были известны еще лорду Рэлею, их возможности для получения усиления не были известны до сравнительно недавнего времени, пока ван-дер-Зил [28] не. рассмотрел явление преобразова-

ния частоты в системе с нелинейным конденсатором. В дальнейшем Сул |[26] исследовал параметрические взаимодействия^, связанные с явлением ферромагнитного резонанса. Некоторые нелинейные диэлектрики, например титанат бария, также привлекли внимание в связи с параметрическим усилением, хотя в настоящее время в качестве параметрического элемента чаще всего применяют р—n-переход с обратным смещением, обладающий нелинейной вольт-кулоновской х ар актер истикой.

Вслед за анализом параметрического усиления ван-дер-Зи- ла [28] появилась классическая работа Мэнли и Роу [18], которые вывели соотношения между средней мощностью на различных частотах в нелинейных емкостях и индуктивностях. Эти соотношения достаточно общие и, в частности, не зависят от формы нелинейной характеристики с единственным условием, что последняя должна быть однозначной. (Расширение метода на характеристики с петлей гистерезиса, которые являются не более чем двузначными, также содержится в оригинальном исследовании Мэнли и Роу.) Ранее Хартли [10] получил похожие результаты при условиях с существенно меньшей общностью для частного вида емкостного модулятора.

Принцип действия

Параметрическое усиление основывается на том факте, ито» когда высокочастотный источник (накачка) и низкочастотный источник (сигнал) подключены к нелинейной реактивности, по- ток мощности на разностной частоте вносит отрицательную проводимость в контур сигнала. Величина отрицательной проводимости возрастает с ростом уровнн высокочастотного сигнала накачки, а также с уменьшением ширины полосы усилителя. Узкая ширина полосы имеет дополнительное преимущество ослабления мощности, рассеиваемой в боковых полосах, отличных от той, которая нас интересует.

Эквивалентная схема параметрического усилителя показана на рис. 9.6. Она состоит из параллельных LCR-контуров, связанных между собой нелинейной емкостью (параметрического диода). Резонансные (угловые) частоты трех контуров•— это (01 (сигнального контура), со3 (контура накачки) и g>2 = —(оз—®i (холостого контура). Говорят, что усилитель вырожденный, если icoi =<02, и невырожденный, если <oi и (02 далеко разнесены. В невырожденном случае в напряжении на нелинейной емкости появляются три частотные компоненты, а именно coi, @2 и(оз, в то время как при coi =(O2 присутствуют только две частотные компоненты. Как было показано Чангом [6], эти случаи требуют раздельного анализа.

Большинство реальных параметрических усилителей — невырожденные. По этой причине опускаем здесь вырожденный случай. В невырожденном усилителе, рассматриваемом ниже, нелинейным элементом служит параметрический диод, заряд которого изменяется квадратично с изменением напряжения на клеммах диода. Квадратичный закон важен для практики, потому что он в отличие от более высоких степеней приводит к усилению без искажений.

СигнальныйСигнальныйНелинейная НонтурНелинейная НонтурРис. 9.6. Эквивалентная схема параметрического усилителя.Рис. 9.6. Эквивалентная схема параметрического усилителя.

Сигнальный

Сигнальный

Нелинейная Нонтур

Нелинейная Нонтур

Рис. 9.6. Эквивалентная схема параметрического усилителя.

Рис. 9.6. Эквивалентная схема параметрического усилителя.

Рассматривая ток и напряжение, связанные с параметрическим диодом на трех частотах ioi, <о2 и соз, можно вывести соотношения между током и напряжением для трех контуров рис. 9.6. Из этих соотношений находят проводимость сигнально- го контура (см. приложение 6) в виде

匕=（6T一6）+（当一端》匕=（6T一6）+（当一端》(9.32)(9.32)

匕=（6T一6）+（当一端》

匕=（6T一6）+（当一端》

(9.32)

(9.32)

где Bi и В2 — реактивности сигнального и холостого контуров, исключая нелинейную компоненту параметрического диода, и

(9.33)(9.33)Gt = Gi+Gs4-Gl・

(9.33)

(9.33)

Отрицательная проводимость —G в уравнении (9.32) (G положительна) для сигнальной частоты о (которая необязательно равна <oi) задается выражением

G = B(s)彎^吼％, (9.34а)

гдегдеР (© =Р (© =Д22 I /PP I 2 0)!02Д22 I /PP I 2 0)!02(9.34б>(9.34б>S話J.S話J.(9.34в>(9.34в>

где

где

Р (© =

Р (© =

Д22 I /PP I 2 0)!02

Д22 I /PP I 2 0)!02

(9.34б>

(9.34б>

S話J.

S話J.

(9.34в>

(9.34в>

В этих выражениях л2 — коэффициент нелинейности, определяемый в приложении 6, и \1РР\ — амплитуда накачки. В выражениях (9.34) подразумевается, что полосы пропускания трех резонансных контуров на рис. 9.6 не перекрываются, так что для всех частот внутри полосы пропускания любого из этих контуров остальные два имеют бесконечные проводимости.

Коэффициент усиления по мощности

Коэффициент усиления по мощности 刀 параметрического усилителя определяется здесь как отношение фактической мощности, выделяемой в нагрузке, к достижимой мощности источника. Таким образом,

n=君备=4q6/匕「2,(9.35)

где Vi и |/s|—амплитуды напряжения и тока сигнального контура. При подстановке Ys из формулы (9.32) коэффициент усиления по мощности становится равным

n =4G片饵У・ (9・36)

(Gt-G)2+

При резонансе, когда(o==(di, реактивности В〔 и В2 равны нулю и коэффициент усиления становится максимальным

(9.37)(9.37)4GsGjJGt2(ТУ

(9.37)

(9.37)

где Pi = p((oi).

Когда 01 = 0, отрицательная проводимость в сигнальном контуре равна нулю и усилитель не усиливает. Когда 01 = 1, коэффициент усиления стремится к бесконечности и система становится неустойчивой, или, другими словами, усилитель становится генератором. Между этими двумя крайними режимами можно обеспечить режим линейного усиления, если сигнал достаточно мал.

Ширина полосы усилителя определяется из выражения (9.36). Если не учитывать зависимость G от частоты, которая пренебрежимо мала по всей полосе, то видно, что уровни половинной мощности понижаются на частотах, удовлетворяющих условию

(当一 GB2/G2)2 = Gj (1 一阳2.(9.38)

Далее, реактивности в этом выражении следующие:

& = G& 管一复产 2GR 餐^.(9.39а)

И

& = G2Q2(色詐—匈笠^)亠 2G2Q2%子，(9.396)

где Qi и Q2 ——добротности ненагруженных сигнального и холостого контуров и аппроксимация выполнена для интересующей нас полосы, потому что в этой частотной области s4<oi. Подставляя приближенные выражения из формул (9.39) обратно в равенство (9.38) и находя корни зависимости, квадратичной относительно ш, получают, что верхний и нижний уровни половинной мощности соответствуют частотам

8± = % 士8± = % 士Gr(l-Bi)Gr(l-Bi)(9.40)(9.40)

8± = % 士

8± = % 士

Gr(l-Bi)

Gr(l-Bi)

(9.40)

(9.40)

из чего можно видеть, что с точностью до аппроксимации, принятой здесь, полоса пропускания симметрична относительно центральной частоты ①卜

По формуле (9.40) ширина полосы усилителя, нормированная ж центральной частоте, имеет вид

ВВ(9.41)(9.41)W4. — СО— G「(1 — В】)со2со】G1Q1co2 + GQ2wi

В

В

(9.41)

(9.41)

Принимая во внимание выражение для коэффициента усиления (9.37), получаем произведение коэффициента усиления на ширину полосы

(9.42)(9.42)s 1/2 о __ 2吗 1/g$Gl

(9.42)

(9.42)

10 ^^G^^ + GQ^

Когда усилитель обладает высоким коэффициентом усиления, имеет место условие G~Gt, и отсюда следует, что максимальное произведение коэффициента усиления на ширину полосы наблюдается при

Gs = GL = (G—G])/2.Gs = GL = (G—G])/2.(9.43)(9.43)

Gs = GL = (G—G])/2.

Gs = GL = (G—G])/2.

(9.43)

(9.43)

Таким образом,

(%】/2В)тах(%】/2В)тах(G — GJ со?^151^2 + ^Qa^l(G — GJ со?^151^2 + ^Qa^l(9.44а)(9.446)(9.44а)(9.446)

(%】/2В)тах

(%】/2В)тах

(G — GJ со?

^151^2 + ^Qa^l

(G — GJ со?

^151^2 + ^Qa^l

(9.44а)

(9.446)

(9.44а)

(9.446)

где предположили, что второй член в знаменателе выражения (9.44а) много больше первого члена из-за влияния нагрузки в сигнальном контуре, а также, что G》G，. Очевидно, большое значение произведения коэффициента усиления на ширину полосы можно получить увеличением отношения g/@i・ Из выражения (9.446) следует, что относительная ширина полосы, когда коэффициент усиления по мощности равен 100, (02/(01 = 10 и Q2= 1000, составляет 0,1 %, что свидетельствует об узкополос- ности параметрического усилителя.

Коэффициент шума

Источниками шума в параметрическом усилителе служат проводимости Gs, Gi и G2. Шум от G$, проводимости контура накачки, пренебрежимо мал, потому что его забивает ток на-

Рис. 9.7. Эквивалентная схема параметрического усилителя с изображением генераторов теплового шума, связанных с проводимостями схемы.Рис. 9.7. Эквивалентная схема параметрического усилителя с изображением генераторов теплового шума, связанных с проводимостями схемы.

Рис. 9.7. Эквивалентная схема параметрического усилителя с изображением генераторов теплового шума, связанных с проводимостями схемы.

Рис. 9.7. Эквивалентная схема параметрического усилителя с изображением генераторов теплового шума, связанных с проводимостями схемы.

качки. При вычислении коэффициента шума шумом от проводимости нагрузки можно также пренебречь, поскольку его обычно учитывают на следующей ступени усилителя.

Остальные шумовые генераторы в параметрическом усилителе показаны в эквивалентной схеме на рис. 9.7. Все эти генераторы, кроме одного, находятся в сигнальном контуре; исключение составляет генератор тока i〃2(f), представляющий

тепловой шум в холостом контуре. Чтобы вычислить коеффи- циент шума усилителя, необходимо установить, какой вклад； вносит 加(/) в шум сигнального контура.

При анализе первого из соотношений между током и напряжением в формулах (П6.12) приложения 6 становится очевидным, что напряжение между клеммами холостого контура н& частоте g вызывает ток в сигнальном контуре на частоте 砌. Теперь запишем выражение для спектральной плотности шумового генератора напряжения и〃2(/) на частоте о)2, представляющего флуктуации напряжения на клеммах G2：

歹乖)=4砌G2，(9.45>

и, следовательно, спектральная плотность на частоте ①】жви- валентного шумового генератора тока в сигнальном контуре имеет вид

5^D = 5^) 521С F =贵 0VI с，『.(9.46>

В этом выражении С определяется из формул (П6.12) в вида ^^a^^I^/G^(9.47 卜

где \1рр\—амплитуда накачки генератора тока. Влиянием члена, ответственного за нелинейное искажение в третьем выражении (П6.12), здесь пренебрегли.

Спектральные плотности генераторов тока, представляющих、 тепловой шум в проводимостях Gs и Gi, описываются формулами

订=4加 G(9.48)】

и

咒両=4々吃•(9.49)，

Так как корреляция между любыми источниками шума в контуре отсутствует, коэффициент шума усилителя может быть теперь записан в виде”

尸⑥)=&ns ®1)+ &П1 (6)1) + S%2 ®1)=

=1 +供+*黑e・(9.50A

Далее, через выражение (П6.15) в приложении 6 и выражение (9.47) можно связать С' с отрицательной проводимостью G

\С [^G^/o^.,(9.51)，

Из этого следует, что коэффициент шума можно представить в виде

f蜀. 但52)

Этот результат впервые получили Хеффнер и Вейд [12], а в дальнейшем его исследовал ван-дер-Зил ；[29]. Он был обобщен для случая входной частоты со, которая может отличаться •от si, но ещ>е находится в полосе пропускания сигнального контура. Заменяя o)i на(о и(02 на (@з—со), получаем

尸(3) = 1+因+血(9.53)

Из выражений (9.52) и (9.53) видно, что вклад в коэффициент шума от теплового шума в холостом контуре зависит от отрицательной проводимости G. Для фиксированного значения G коэффициент шума можно уменьшить, увеличивая отношение со?/®. Как мы видели, для фиксированного значения Q? добротности холостого контура это также увеличивает произведение коэффициента усиления на ширину полосы усилителя. Для уменьшения коэффициента шума можно также использовать охлаждение: если усилитель охлаждают до температуры Во, а источник сигнала находится при комнатной температуре 0, то член в квадратных скобках в выражении (9.53) уменьшается на величину 仇/8.

Заключительные замечания

Параметрический усилитель, описанный выше, — лишь один из нескольких возможных вариантов. К ним относятся параметрические преобразователи частоты вниз, в которых выходной ток имеет частоту холостого контура вместо сигнального, лараметрические преобразователи частоты вверх и параметрические усилители с частотами накачки ниже сигнальной частоты. Сравнительный обзор этих и других аспектов параметрического усиления приводится в книге по параметрическим и туннельным диодам [6].

ЛИТЕРАТУРА

D. С. Agouridis, К. М. van Vliet (1962), Noise measurements on tunnel diodes, Proc. IRE (Correspondence), 50, 2121.

R. L. Batdorf, G. C. Dacey, R. L. Wallace, D. J. Walsh (I960), Esaki diode in InSb, J. Appt, Phys., 31, 613—614.

C. W. Bates (1961), Tunnelling currents in Esaki diodes, Phys. Rev., 121, 1070—1071.

К. K. N. Chang (1959), Low-noise tunnel diode amplifier, Proc. IRE (Correspondence), 47, 1268—1269.

К. K. N. Chang (I960), The optimum noise performance of tunnel diode amplifier, Proc. IRE (Correspondence), 48, 107—108.

К. К. N. Chang (1964), Parametric and Tunnel Diodes, (Ed. W. L. Everitt),. Prentice-Hall, Chapter 6..一 一_

A. G. Chynoweth, W. L. Feldmann, R. A. Lo^ari (1961), Excess tunnel currents in silicon Esaki junctions, Phys. Rev., 121, 684—694.

L. Esaki (1958), New phenomenon in narrow germanium p—n junctions* Phys. Rev., 109, 603—604.

L. Esaki, Y. Miyahara (I960), New device using the tunnelling process im narrow p—n junctions, Solid State Elect., 1, 13—21.

R. V. L. Hartley (1936), Oscillations in systems with non-linear reactance. Bell Syst. Tech. J., 15, 424—440.

H. A. Haus, R. B. Adler (1957), An extension of the noise figure definition,. Proc. IRE (Correspondence), 45, 690—691.

H. Heffner, G. Wade (1958), Gain, bandwidth and noise characteristics of the variable parameter amplifier, J. Appl. Phys., 29, 1321—1331.

M. E. Hines, W. W. Anderson (I960), Noise performance theory of Esaki (tunnel) diode amplifiers, Proc.頂E (Correspondence), 48, 789.

N. Holonyak Jr., I. A. Lesk (I960), Gallium arsenide tunnel diodes, Proc. IRE, 48, 1405—1409.

K. F. Hulme (1961), Indium antimonide tunnel diodes, Brit. J. Appl. Phys., 12, 651—653.

E. O. Kane (1961), Theory of tunnelling, J. Appl. Phys., 32, 83—91.

H. P. Kleinknecht (1961), Indium arsenide tunnel diodes, Solid State Elect., 2, 133—142.

J. M. Manley, H. E. Rowe (1956), Some general properties of non-linear elements — Part I. General energy relations, Proc. IRE, 44, 904—913.

D. Meyerhofer, G. A. Brown, H. S. Sommers Jr. (1962), Degenerate germanium I. Tunnel, excess and thermal current in tunnel diodes, Phys. Rev., 126, 1329—1341.

M. D. Montgomery (1961), Excess noise in germanium and gallium arsenide- Esaki diodes in the negative resistance region, J. Appl, Phys., 32, 2408—— 2411.

E. G. Nielson (I960), Noise performance of tunnel diodes, Proc. IRE (Correspondence), 48, 1903—1904.

P. Penfield Jr. (I960), Noise performance of tunnel-diode amplifiers, Proc. IRE (Correspondence), 48, 1478—1479.

R. A. Pucel (I960), Physical principles of the Esaki diode and some of its properties as a circuit element, Solid State Elect., 1, 22—33.

R. A. Pucel (1961), The equivalent noise current of Esaki diodes, Proc. IRE fCorrespondence), 49, 1080—1081.

H. S. Sommers (1959), Tunnel diodes as high frequency devices, Proc. IRE, 47, 1201—1206.

H. Suhl (1957), Proposal for a ferromagnetic amplifier in the microwave ■ range, Phys. Res, 106, 384—385.

J. J. Tiemann (I960), Shot noise in tunnel diode amplifiers, Proc. IRE, 48, 1418—1423.

A. van der Ziel (1948), On the mixing properties of non-linear condensers, J. Appl. Phys., 19, 999—1006.

A. van der Ziel (1959), Noise figure of reactance converters and parametric amplifiers, J. Appl. Phys, (letters), 30, 1449.

A. van der Ziel (1961a), Noise measure of lossy tunnel-diode amplifier stages, Proc. IRE (Correspondence), 49, 1211 — 1212.

A. van der Ziel (1961b), Noise measure of distributed negative-conductance■ amplifiers, Proc. IRE (Correspondence), 49, 1212—1213.

A. van der Ziel, J. Tamiya (I960), Note on the noise figure of negative- conductance amplifiers, Proc. IRE (Correspondence), 48, 796.

T. Yajima, L. Esaki (1958), Excess noise in narrow germanium p—n junctions, 丄 Phys. Soc. Japan, 13, 1281—1287.

10

Устройства на горячих электронах

Введение

Физические принципы, лежащие в основе работы приборов на горячих электронах, сильно отличаются от тех, которые управляют поведением приборов с р—n-переходами, например биполярного транзистора. В большой степени это различие сказывается на природе шума приборов сантиметрового и миллиметрового диапазонов волн. Основной механизм шума, например, в ЛПД — это лавинный процесс, свойство, присущее самому прибору и связанное с очень высоким электрическим полем. Важный и, возможно, более известный вид шума обнаружен в диоде Ганна, а именно шум Джонсона; но даже он отличается от нашего обычного представления о тепловом шуме, так ‘как относится к тепловым флуктуациям скорости популяции горячих электронов, которая не находится в тепловом равнове- *гии с окружающей средой.

Рассматриваемые в этой главе приборы — это ЛПД (IMPАТТ), плазменные ЛПД (TRAPATT) и инжекционно-пролетные диоды (BARITT), (которые являются приборами пролет- ного типа, а также диод Ганна — прибор на основе эффекта переноса электронов. ЛПД и плазменные ЛПД — лавинные приборы и, следовательно, имеют собственные значительные шумы, тогда жак современные инжекционно-пролетный диод и диод Ганна благодаря непрерывному усовершенствованию производственной технологии имеют относительно малый уровень шума.

Приборы на горячих электронах, их принципы действия и характеристики — это в какой-то степени неясные вопросы. Прежде чем рассматривать шумовые характеристики таких приборов, расскажем о физических процессах, лежащих в основе их работы. Начнем, однако, с основных физических свойств самих горячих электронов.

Горячие электроны

Когда электрическое поле прикладывается к полупроводнику или проводнику, носители заряда получают . кинетическую энергию и появляется электрический ток. Кинетическая энергия

зарядов случайным образом распределяется в популяции носителей заряда через их столкновения с (кристаллической решеткой—процесс, который также увеличивает колебательную энергию самой решетки. Таким образом, популяция носителей и атомы решетки приобретают более высокую среднюю тепловую энергию, чем в состоянии равновесия, или, другими словами, они становятся горячее.

В твердом теле существуют два механизма, ответственные за теплопроводность: один представляет собой перенос тепло-

Элемтрачесное поле9х106В/м

Рис. 10.1. Схематическое изображение зависимости скорости электронов от поля в кремнии.

вой колебательной энергии волнами решетки, или фононами, а другой ——перенос тепловой кинетической энергии подвижными носителями. В металле обычно преобладает второй механизм вследствие высокой плотности электронов и, как результат, тепловая проводимость К растет (при фиксированной температуре) с ростом электрической проводимости о. Соотношение между Кио известно под названием закона Видемана — Франца [31]. В металле температуры решетки и популяции электронов (иногда называемой электронным газом) по существу совпадают.

Иная ситуация в полупроводнике, где плотность носителей заряда может быть значительно меньше, чем в металле. В этом случае теплопроводность осуществляется преимущественно через фононы. Из этого следует, что, если кристалл располагается на подложке, обеспечивающей эффективный отвод тепла, решетка может оставаться относительно холодной, несмотря на то что носители заряда могут получать значительную кинетическую энергию от электрического поля. Если поле меньше величины приблизительно 105 В厶м, средняя кинетическая энергия носителей заряда незначительно отличается от равновесного значения, но при более высоких полях энергия носителей суще-

ственно увеличивается. Когда это условие преобладает, носители заряда с достаточным основанием называют «горячими».

Свойства горячих носителей отличаются от свойств популяций носителей, находящихся в тепловом равновесии с решеткой. В частности, зависимость скорости дрейфа носителей от поля отклоняется от линейного закона, который выполнялся при более низких полях. Это иллюстрируется рис. 10.1, где скорость схематически изображена в виде функции приложенного поля для электронов в (Кремнии. Дырки в кремнии и оба типа носителей в германии имеют подобный тип зависимости. Из рисунка можно видеть, что по мере увеличения поля скорость дрейфа постепенно замедляет рост, пока наконец не достигнет насыщения. Насыщение происходит из-за электрон-фононных столкновений, 1которые, как можно показать, исходя из условий энергетического баланса, позволяют достигать скорости дрейфа, уже не зависящей от приложенного поля. Предельная скорость дрейфа в кремнии составляет приблизительно 105 м/с.

Горячие электроны — это энергетические носители заряда, которые могут, сталкиваясь с валентными электронами атомов в 'кристаллической решетке, выбивать эти электроны из валентной зоны с последующим их переходом в зону проводимости. Эти только что освобожденные электроны становятся при этом сами способными выбивать больше валентных электронов, которые в свою очередь освобождают еще больше валентных электронов, и т. д. Этот процесс является механизмом, ответственным за лавинный пробой. Лавинный пробой наблюдается в некоторых р — n-переходах с обратным смещением, у которых обратный ток резко возрастает, на несколько порядков по величине при очень малом изменении напряжения, когда достигается напряжение пробоя. Диоды с этим типом обратной характеристики используют в качестве стабилизаторов напряжения, и нередко их относят 啄 диодам Зинера.

Обратносмещенные р — n-переходы, работающие в области лавинного пробоя, могут генерировать колебания на очень высоких частотах порядка 1 ГГц и выше. Это означает, что явление лавинного пробоя можно использовать для генерации сигналов в сантиметровом диапазоне волн. Действительно, это так, и существуют полупроводниковые генераторы этого типа, известные как лавинные генераторы. Имеются два типа лавинных генераторов, называемых диодами IMPATT (IMPact Avalanche and Transit Time) и TRAPATT (TRApped Plasma Avalanche and Triggered Transit). Эти диоды схожи по структуре, но работают в различных режимах колебаний. Генерируемая диодом IMPATT мощность, составляющая, как правило, несколько сотен милливатт, соответствует частотному диапазону 3—50 ГГц, тогда как TRAPATT позволяет получать пиковую выходную

Устройства на зорящих злектронах 259 мощность порядка нескольких сотен ватт в диапазоне 0,5—— 5 ГГц. Третий тип генератора СВЧ, в отличие от первых двух, не являющийся лавинным диодом, — BARITT (BARrier Injection Transit Time)】), физика этих приборов рассматривается в следующем разделе.

Вид зависимости скорости дрейфа от поля, имеющийся у носителей заряда в кремнии и германии, не обязателен для всех полупроводников. Некоторые полупроводники типа АшВу, особенно GaAs, имеют максимум скорости при увеличении поля, как показано на рис. 10.2 [17]. Этот максимум отражает процесс переноса электронов из зоны с высокой подвижностью

Рис. 10.2. Схематическое изображение зависимости скорости электронов от величины поля в GaAs.

в зону с низкой подвижностью при увеличении поля. В результате переноса в зависимости скорости от поля появляется область отрицательной дифференциальной подвижности. При достаточно высоких полях по существу все электроны находятся в зоне с низкой подвижностью и скорость насыщается точно та- 呸им же образом, как в кремнии или германии.

Полупроводниковые материалы с областью отрицательной дифференциальной подвижности в зависимости скорости дрейфа от поля позволяют получать очень высокую (СВЧ) частоту колебаний тока при достаточно высоких полях смещения. Это явление было обнаружено Дж. Б. Ганном в 1963 г. [20], хотя и было предсказано в более ранней теоретической работе. В своих экспериментах Ганн наблюдал колебания тока на частоте

1)В дальнейшем для диодов IMP ATT, TRAP АТТ и BARITT будем использовать более распространенные в отечественной литературе наименования: ЛПД, плазменный ЛПД (ПЛПД) и инжекционно-пролетный диод (ИПД). — Прим, перев.

около 1 ГГц в образцах Ga As n-типа с омическими контактами. Явление, ответственное за колебания, появляющиеся, когда приложенное напряжение превышает критическое значение,— это перенос электронов из зоны с высокой подвижностью в зону с низкой подвижностью, о чем упоминалось выше. Диод Ганна является основой генератора на переносе электронов, который рассматривается в разд. 10.6.

Физика лавинно-пролетных диодов (ЛПД)

Лавинные и инжекционные барьерные приборы представляют собой двухполюсники, изготовляемые из Ge, GaAs и, возможно, наиболее часто из Si. Впервые p+—n—i—n+ (или %+—р—i—р+)-структуру ЛПД предложил Рид [45]. Лишь через несколько лет идеи Рида подтвердились, когда Джонсон с сотр. [28] смогли продемонстрировать работающий прибор. Более современные ЛПД отличаются от предложенного Ридом прибора тем, что они имеют структуру р+—п—〃+ (или р+—р— 〃十)，хотя принципы действия в основном те же самые, какие излагал Рид. Плазменные ЛПД имеют схожую с ЛПД структуру, но работают в другом режиме колебаний. Первыми этот режим продемонстрировали Прейджер с сотр. [44], но теоретическое объяснение полученных ими результатов было опубликовано лишь примерно через два года [3, 9]. Третий тип прибора, рассматриваемый ниже, — инжекционно-пролетный диод (ИПД), основным механизмом которого является скорее пробой посредством инжекции носителей, чем лавинный пробой. По сравнению с ЛПД инжекционно-пролетный диод — малошумящий прибор. Это связано с тем, что лавинный процесс в ЛПД приводит к появлению дробового шума, усиливающегося с коэффициентом усиления устройства, тогда как дробовой шум ИПД имеет тенденцию к определенному ослаблению из-за сглаживающего действия пространственного заряда. С другой стороны, ИПД сам по себе менее эффективен, чем ЛПД.

Лавинно-пролетный диод (ЛПД)

На рис. 10.3, а показана структура р+—п—п+-ЛПД с приложенным обратным смещением. Будем считать, что в отсутствие лавины обратное смещение достаточно высоко для полного обеднения носителями n-слоя, или, другими словами, считаем, что диод работает в режиме пробоя. Таким образом, плотность заряда в 小слое равномерна и равна концентрации доноров N> и, следовательно, электрическое поле £ по всему слою линейно

зависит от расстояния с тангенсом угла наклона 需=9必/£0%・

(ЮЛ)(ЮЛ)Профиль поля схематически изображен на рис. 10.3, б. Далее, процесс лавинного усиления сильно зависит от напряженности поля. Эту зависимость можно оценить, рассматривая коэффициент ионизации а, который зависит от поля следующим образом:

(ЮЛ)

(ЮЛ)

аосехр[ — (&/Е)勺， (10.2)

где £0 — постоянная, а показатель m лежит в пределах 1—2. Вследствие сильной зависимости скорости ионизации от поля лавинное умножение в ЛПД происходит в локализованной зоне вблизи максимального значения поля. Типичная толщина этой

зоны составляет 1 мкм [18]. В остальной части n-слоя, обозна-

ааченной как область дрейфа, поле слишком мало для ионизации, хотя еще достаточно велико, чтобы носители в этой области двигались с предельной скоростью дрейфа.

а

а

Подробные теории поведения зависимости тока от напряжения в ЛПД сложны и выходят за рамки данного изложения. Однако следующее качественное описание дает приемлемое объяснение физических процессов в приборе. Оно также раскрывает в общих чертах механизм генерации мощности, а это — основа применимости ЛПД в качестве источ-

Рис. 10.3. Структура р+—п—п+-ЛПД (а) и профиль электрического поля в zz-области (6).Рис. 10.3. Структура р+—п—п+-ЛПД (а) и профиль электрического поля в zz-области (6).ника СВЧ в таких приложениях, как накачка в параметрическом усилителе и гетеродин в радиолокаторе.

Рис. 10.3. Структура р+—п—п+-ЛПД (а) и профиль электрического поля в zz-области (6).

Рис. 10.3. Структура р+—п—п+-ЛПД (а) и профиль электрического поля в zz-области (6).

Для упрощения полагаем, что предельные скорости дрейфа дырок и электронов одинаковы и равны и$, что полями пространственного заряда, обусловленного свободными носителями, можно пренебречь и что ионизация дырок и электронов происходит с одинаковой скоростью. Больше того, считаем, что ширина лавинной зоны La не зависит от напряжения, приложенного к диоду. Тогда время пролета носителя через лавинную зону Та = L/Ds.

Рис. 10.4.а — колебания падения напряжения в лавинной зоне Va относительно напряжения пробоя 旷匕；6 —— лавинный ток; в ——наведенный ток приблизительно прямоугольной формы с подъемами, ширина которых равна времени пролета тг.Рис. 10.4.а — колебания падения напряжения в лавинной зоне Va относительно напряжения пробоя 旷匕；6 —— лавинный ток; в ——наведенный ток приблизительно прямоугольной формы с подъемами, ширина которых равна времени пролета тг./о/оВ устойчивом состоянии пробой происходит в лавинной зоне, протекает постоянный ток и падение напряжения в лавинной зоне равно 吸.Теперь предположим, что напряжение диода меняется со временем, так что падение напряжения Va в лавинной зоне колеблется около 匕，как показано на рис. 10.4, а. При Va>Ve лавинный ток растет, а при Va<Ve ток уменьшается, как показано на рис. 10.4,6. Острые пики лавинного тока являются следствием выраженной нелинейной природы механизма токообра- зования. Заметим, что пики лавинного тока наблюдаются в таких точках, где характеристика напряжения сигнала пересекает штриховую прямую, соответствующую %, сверху вниз. Таким образом, пики лавинного тока сдвинуты относительно пиков напряжения так, как это характерно для индуктивного элемента. Лавинный ток часто называют индуктивным, хотя эквивалентная индуктивность сильно нелинейна.

Рис. 10.4.

а — колебания падения напряжения в лавинной зоне Va относительно напряжения пробоя 旷匕；6 —— лавинный ток; в ——наведенный ток приблизительно прямоугольной формы с подъемами, ширина которых равна времени пролета тг.

Рис. 10.4.

а — колебания падения напряжения в лавинной зоне Va относительно напряжения пробоя 旷匕；6 —— лавинный ток; в ——наведенный ток приблизительно прямоугольной формы с подъемами, ширина которых равна времени пролета тг.

/о

/о

следовательно, не вносит вклада в поток мощности из прибора. По-другому обстоит дело с наведенным током, который дает основную Фурье-компоненту в противофазе с напряжением, как показано на рис. 10.4,6. Таким образом, на частотах около /а-следовательно, не вносит вклада в поток мощности из прибора. По-другому обстоит дело с наведенным током, который дает основную Фурье-компоненту в противофазе с напряжением, как показано на рис. 10.4,6. Таким образом, на частотах около /а-Полный ток ЛПД в значительной степени отличается от лавинного тока. Он состоит из двух составляющих, наведенного тока и емкостного тока, причем последний является средним током смещения через обедненный n-слой. Далее, емкостной ток чисто реактивный (т. е. связан интегральной зависимостью с напряжением) и,

следовательно, не вносит вклада в поток мощности из прибора. По-другому обстоит дело с наведенным током, который дает основную Фурье-компоненту в противофазе с напряжением, как показано на рис. 10.4,6. Таким образом, на частотах около /а-

следовательно, не вносит вклада в поток мощности из прибора. По-другому обстоит дело с наведенным током, который дает основную Фурье-компоненту в противофазе с напряжением, как показано на рис. 10.4,6. Таким образом, на частотах около /а-

винной частоты диод ведет себя как отрицательное сопротивление и, вместо того чтобы поглощать мощность, подобно положительному сопротивлению, генерирует ее. Если прибор включен в соответствующий резонансный контур, спонтанные флуктуации напряжения и тока, инициированные тепловой энергией в диоде, нарастают. Когда это происходит, мощность постоянного тока преобразуется в мощность СВЧ и ЛПД работает как высокочастотный генератор. Этот процесс не очень эффективен, однако типичная эффективность достигает 10%, причем генерация сопровождается выделением большого количества тепла, которое нужно отводить от прибора с помощью теплопоглощающей подложки.

Принципиально важный фактбр в процессе генерации мощности—это наведенный ток. Важные свойства, характеризующие форму сигнала этой составляющей тока, можно понять из следующего рассуждения.

Сигнал лавинного тока на рис. 10.4,6 состоит из последова- тельностей импульсов, настолько узких, что их форма не имеет значения. Таким образом, каждый импульс можно просто аппроксимировать дельта-функцией, и в этом случае лавинный ток имеет вид

Aw = QE3 (/-%)， (Ю.З) k

где Q — заряд, соответствующий одному импульсу тока. Если будем рассматривать только один из этих импульсов, Qb(/), то увидим, что он связан с импульсом заряда дырок Q, уходящим из лавинной зоны через контакт в крайней левой области и-слоя, и импульсом заряда электронов — Q, уходящим из лавинной зоны направо. Импульс заряда дырок немедленно проходит через р+гконтнкт, после чего происходит рекомбинация, вызывающая появление очень малого наведенного тока; импульс заряда электронов не столь быстро достигает п+-контак- та, так как ему приходится перемещаться через обедненный слой, или зону дрейфа (рис. 10.3,6). В этом случае наведенный ток течет во внешнем контуре в течение времени Тг, за которое электроны пересекают зону дрейфа. Величину Тг обычно называют временем пролета. Можно показать, что если электроны дрейфуют с предельной скоростью и рекомбинация в “-слое незначительна, величина наведенного тока равна Qvs/L. Таким образом, форма наведенного тока более или менее прямоугольная, как показано на рис. 10.4,8, с подъемами и впадинами, находящимися в противофазе с подъемами и впадинами напряжения. Именно это явление мы имели в виду, когда говорили, что ЛПД ведет себя, как отрицательное сопротивление.

ЛПД уделяется большое внимание в литературе. В середине 60-х гг. с этим прибором был проделан большой объем работы, и специальный выпуск журнала IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, № 1 (1966) был целиком посвящен приборам с объемными эффектами и пролетным приборам. Из более поздних сообщений о физике ЛПД читателю можно рекомендовать работы Мисавы [41] и Кэрролла [7].

Плазменный ЛПД (ПЛПД)

Генератор на ПЛПД обычно имеет р+—и—〃+ (или р+—р— п+) -структуру, аналогичную структуре ЛПД, со смещением

в область обратного пробоя. Условие пробоя выполняется, так

что в отсутствие лавинного тока n-слой обеднен носителями. ПЛПД отличается от обычного ЛПД тем, что это прибор боль

шого сигнала, он работает в

р+/7/7 +р+/7/7 +Рис. 10.5.Рис. 10.5.а — структура р+ — п — л+-ПЛПД; 6 — электрическое поле в /г-области при Г=0,а — структура р+ — п — л+-ПЛПД; 6 — электрическое поле в /г-области при Г=0,другом режиме колебаний, более эффективен (как правило,

р+

/7

/7 +

р+

/7

/7 +

Рис. 10.5.

Рис. 10.5.

а — структура р+ — п — л+-ПЛПД; 6 — электрическое поле в /г-области при Г=0,

а — структура р+ — п — л+-ПЛПД; 6 — электрическое поле в /г-области при Г=0,

имеет эффективность около 50%) и генерирует мощность на более низких частотах. Обычно ПЛПД используют в импульсном режиме, тогда как обычные ЛПД — в непрерывном.

При рассмотрении ЛПД считалось, что поля пространственного заряда, связанные с зарядами в лавинной области, пренебрежимо малы. Эти поля в работе ПЛПД играют важную роль. Они определяют режим колебаний ПЛПД, при

когда максимальное поле ниже критического поля Еа, при котором происходит "авнна.котором он чрезвычайно резкопереключается (обычно за10-1° с) из состояния с высоким импедансом и высоким напряжекогда максимальное поле ниже критического поля Еа, при котором происходит "авнна.котором он чрезвычайно резкопереключается (обычно за10-1° с) из состояния с высоким импедансом и высоким напряжением в состояние с низким импедансом и низким напряжением.

когда максимальное поле ниже критического поля Еа, при котором происходит "авнна.котором он чрезвычайно резко

переключается (обычно за

10-1° с) из состояния с высоким импедансом и высоким напряже

когда максимальное поле ниже критического поля Еа, при котором происходит "авнна.котором он чрезвычайно резко

переключается (обычно за

10-1° с) из состояния с высоким импедансом и высоким напряже

Роль полей пространственного заряда можно понять из следующего рассмотрения. Предположим, что в момент времени 方=0 на р+—〃一п+-ПЛПД, структура которого показана на рис. 10.5, а, подано обратное поле смещения, близкое к электрическому полю пробоя, но в то же время максимальное поле в n-слое несколько ниже поля £а, необходимого для лавинной ионизации. При этих условиях n-слой обеднен подвижными носителями заряда, и уравнение Пуассона дает тангенс угла на-

(Ю.4)(Ю.4)клона поля в виде

(Ю.4)

(Ю.4)

-^~ = qN d 佗 2n

где Nd — плотность доноров в n-слое. Интегрируя уравнение (10.4) и полагая, что на границе % =厶 поле равно нулю, имеем

E(x) = ^(x—L)・(10.5)

Далее полагаем, что в момент времени £ = 0 к ПЛПД подклю

чают источник постоянного тока /о. При условии что поле ниже

и един- это токи един- это ток(10.6)(10.6)величины fa, “-слой остается обедненным носителями ственный ток, который может протекать через слой,-

и един- это ток

и един- это ток

(10.6)

(10.6)

смещения

/о = —%%4^^,

где А ——площадь поперечного сечения диода. Интегрируя выражение (10.6) по / и учитывая начальное условие в уравнении (10.5) для определения константы интегрирования, получаем, что поле линейно растет со временем

ЕЗ 鶴 f—T*・О。？

Выражение (10.7) позволяет выяснить, каким образом профиль поля движется по n-слою. Так как, если приравняем £(х, /) постоянной величине Е‘ и затем продифференцируем по времени выражение (10.7), получим, что точка постоянного поля движется в диоде со скоростью

,=dx = / о一 dt — AqND *

Таким образом, профиль поля также движется в n-слое со скоростью и', определяемой из уравнения (10.8). Увеличивая /о и уменьшая N> можно сделать эту скорость больше предельной скорости дрейфа горячих носителей.

Теперь рассмотрим, каким образом движущийся профиль поля может привести к колебаниям в диоде. Как мы уже видели, пока поле меньше пороговой величины, необходимой для образования лавины, чоофиль поля линейно зависит от временц и 1координаты. Но как только электрическое поле превышает 石的 плотность носителей резко возрастает в результате лавинного умножения и поле больше не зависит линейно от времени. Рис. 10.6, показывающий профиль поля в последовательные мо-

менты времени, иллюстрирует, что происходит, когда превышается критическое поле, при условии, что скорость и' больше предельной скорости носителей.

Как только поле достигает критического значения, начинается лавинный процесс. При этом значительно увеличивается число носителей, но, поскольку vf>vs, поле продолжает возрастать, т. е. распределение носителей не может изменяться настолько быстро, чтобы тотчас же изменилось поле. Следовательно, поле быстро достигает уровня, значительно превышающего

Рис. 10.6. Профили электрического поля в «-области в последовательные моменты времени 2Vts<厶・

критическую величину, и в то же время благодаря образованию лавины создает чрезвычайно большую популяцию носителей. Эти носители затем ослабляют поле позади области лавинного пробоя (следует помнить, что профиль поля чрезвычайно быстро проходит через n-слой) до малого уровня, так что носители больше не горячие, но имеют линейную зависимость скорости от поля. В этой области практически выполняется условие электрической нейтральности, так как носители самоупорядочи- ваются в соответствии с обычным условием диэлектрической релаксации. Дырки и электроны, возникающие в результате лавинного процесса, образуют плазму, которая «улавливается» в области низкого поля позади развивающейся лавины. Область лавинного пробоя распространяется в типичном ПЛПД за 100 пс; Бартелинк и Шарфеттер [3] назвали ее лавинным, ударным фронтом.

Падение напряжения в ПЛПД — это площадь под профилем напряженности электрического поля. Из рис. 10.6 ясно, что эта площадь очень режо изменяется (за время порядка 100 пс): от

высокого значения, когда прибор находится в состоянии пробоя, до низкого значения после того, как лавинный ударный фронт прошел через n-слой. Как только напряжение падает, ток увеличивается, в то время как удерживаемая плазма выносится из прибора. На рис. 10.7 изображена типичная форма напряжения и тока, (которая имеет место, когда прибор соединяют с соответствующей схемой для получения колебаний [14].

Форма сигналов показывает, что при характеристической частоте ПЛПД работает как отрицательное сопротивление: основные Фурье-компоненты напряжения и тока находятся, в противофазе. Клорфайн с сотр. [9] показали, что величина отрицательного сопротивления составляет

Rd-O,4%〃o,(Ю.9

где Vb — напряжение пробоя и /0 ——средний ток, протекающий через прибор. Именно благодаря этому от. рицательному сопротивлению ПЛПД способен генерировать мощность СВЧ.

ПЛПД — прибор, работающий в режиме большого сигнала, который нужен для того, чтобы раскачать колебания плазменной моды, потому что нет гарантии, что флуктуации теплового шума

Напряжение %

а

「ок

5.

^даление плазмы

Образование плазмы

Плазменный,ток

Рис. 10.7. Сигналы напряжения (а) и тока (6) на клеммах ПЛПД (напряжение пробоя %^100 В).

смогут возбудить колебания. По-

этому плазменный ЛПД обычно запускается генератором на ЛПД.

Заметим, что ПЛПД по своей сути медленнее обычного ЛПД, потому что процесс перемещения относительно медленных носителей в удерживаемой плазме дольше, чем носителей, движущихся с предельной скоростью дрейфа.

10.3.3. Инжекционно-пролетный диод (ИПД)

ИПД отличается от ЛПД и ПЛПД тем, что он имеет два перехода, причем к одному из них приложено прямое смещение. На рис. 10.8, а показана структура и профиль смещения

а — структура р+ — п — р+-ИПД； б — три профиля потенциала на диоде; 6 — соответствующие профили электрического поля.

Рис. 10.8.

р+—п—р+-ИПД; n-слой очень тонок обычно порядка 10 мкм. Колеман и Цзе [11] первыми экспериментально показали, что такой прибор имеет отрицательное сопротивление в диапазоне СВЧ, что дает возможность поддерживать колебания и получать сигнал в области высоких частот. Вместо полупроводниковых переходов их прибор содержал два барьера (Шоттки) металл —

полупроводник, но принципы действия в этих двух случаях существенно не отличаются.

Профили потенциала и электричеакого поля в ИПД при различных вариантах смещения схематически показаны на рис. 10.8,6 и 6. В равновесии на обоих переходах смещение нулевое и так в приборе отсутствует. При увеличении приложенного напряжения левый переход оказывается смещенным в обратном направлении, а правый слабо смещается в прямом направлении, и постоянный ток прибора равен обратному току

Рис. 10.9. Схематическое изображение вольт-амперной характеристики ИПД.

утечки левого перехода (считается, что n-область на этом этапе является достаточно широкой для того, чтобы неосновные носители, инжектируемые через переход с прямым смещением, достигали перехода с обратным смещением). При дальнейшем увеличении приложенного напряжения обедненная область перехода с обратным смещением расширяется дальше в /г-область, пока в конце концов не происходит пробой.

На рис. 10.9 изображена типичная вольт-амперная характеристика ИПД. Ток в области А—Б представляет собой обратный ток утечки. Область между Б и В соответствует пробою, и ток резко возрастает при увеличении напряжения, потому что неосновные носители, инжектированные через переход с прямым смещением, проходят через n-область под действием сильного электрического поля. В конечном итоге ток ограничивается пространственным зарядом и растет не так резко при увеличении напряжения (область В—Г). Четвертая область наблюдается

после В—Г, где ток снова резко возрастает в результате лавинного пробоя вблизи от металлического перехода слева, где электрическое поле очень велико. Подробное обсуждение механизма тока в приборах с барьерной инжекцией дано в работе [53].

Смещение в генераторе на ИПД таково, что пробой, соответствующий области Б—В на рис. 10.9, имеет место, но необратимые эффекты отсутствуют. Если считать, что инжектированные носители перемещаются с предельной скоростью дрейфа Us, время пролета через n-область tt=L/Us・ Теперь предположим, что диод возбуждается малым сигналом от источника напряжения с угловой частотой с)о=2л/То, где период To = 4t〃3・ Изменение этого сигнала напряжения за один период показано на рис. 10.10,а. Когда напряжение превышает среднее значение, «импульс» заряда инжектируется в n-область через переход с прямым смещением. Этот импульс заряда можно аппроксимировать всплеском или дельта-функцией, которая появляется в n-области в то время.

Время —9а 一 когда напряжение достигает пи-

Рис. 10.10. Схематическое изо- кового значения. Импульс заряда бражение сигналов напряжения затем перемещается через п-об-

J1 тока (6) генератора на ласть за время г, и ток увеличи- вается до постоянного уровня выше начального значения. После «пролета» заряда ток спадает до исходного уровня. Форма сигнала тока показана на рис. 10.10,6.

Из рис. 10.10 очевидно, что на частотах порядка зо/2л; = =3/4(厶/£) (которая составляет 7,5 ГГц в диоде с L= 10 мкм и и$ =105 м/с) у ИПД имеется отрицательное сопротивление. Колеман [10] вывел выражение для импеданса диода. Выходная мощность от ИПД составляет 10 мВт, а добротность — относительно высока (около 40). При благоприятных условиях генератор самовозбуждается за счет флуктуаций теплового шума.

Лавинный шум

Как мы видели, лавинное умножение имеет место в областях сильного электрического поля, где кинетическая энергия свободных носителей заряда достаточна для ионизации атомов кристаллической решетки. Коэффициент ионизации для электронов а определяют как среднее число ионизирующих столкновений на единичном расстоянии дрейфа электрона. Коэффициент ионизации дырок определяется аналогично. Вообще говоря, а и р имеют различные численные значения, но оба коэффициента сильно зависят от электрического поля.

Ионизирующее соударение высвобождает дырку и электрон, которые начинают перемещаться по полупроводнику в противоположных направлениях под влиянием электрического поля, высвобождая во время дрейфа следующие пары дырка — электрон. Лавинный ток складывается из первичного тока, а также вторичного, третичного и т. д. токов, обусловленных ударной ионизацией.

В общем случае различных (Коэффициентов ионизации дырок и электронов алгебраическое исследование процесса умножения весьма громоздко. Однако специальный случай а = р значительно проще, и именно на примере этого случая рассмотрим основы умножения тока и лавинного шума.

Так как электрическое поле и, следовательно, коэффициент ионизации а могут изменяться в области пространственного заряда, удобно ввести среднее значение а по лавинной зоне длины La

&=(1/La) ja“)dx.(10.10)

о

Каждый подвижный носитель (дырка или электрон), пересекающий лавинную зону, высвобождает в среднем аЕ。пар дырок и электронов. Полное расстояние, преодолеваемое составляющими такой пары, равно L& поскольку они дрейфуют в противоположных направлениях, и таким образом каждая пара образует в среднем «£а следующих пар. Следовательно, если /о — первичный ток, то ток после умножения имеет вид /м = /о {1 +*必[1 十孔。(1 + 北а (• • •))] }=

=/0 [ 1 + aLa+(^L^ + ^L^+...] = /0М,(10.11)

где—_

М = 1 + aLa^L^ 十(^L^+ ... = 1/(1-北。)(10.12)

—коэффициент умножения. Когда aL。 равно единице, М стре-

мится к бесконечности и происходит лавинный пробой. Так как а очень резко изменяется в зависимости от электрического поля, достаточно совсем небольшого изменения приложенного напряжения, чтобы вызвать лавину в диоде, что объясняет очень резкий характер изменения пробоя.

Ионизирующие процессы, лежащие в основе процесса умножения, происходят случайно, создавая таким образом шум в токе лавинной ионизации. При низких частотах, значительно ниже частоты лавины, шум имеет «белый» спектр, который изменяется как коэффициент умножения в третьей степени. Ключ для понимания низкочастотных шумовых флуктуаций лавинного тока заключается в том, что любая пара дырка — электрон, появившаяся в лавинной зоне, приводит к образованию в среднем М подобных пар. Спектральную плотность лавинного шума определяют, рассматривая изменение электронного (или дырочного) тока на отрезке расстояния dx вследствие образования пары дырка ——электрон под действием ударной ионизации. Изменение дырочного тока описывается формулой

d/卩=а (х) IMdx,(10.13)

где /м — полный ток, протекающий в лавинной области [определяется выражением (10.11)]. Ток 1М одинаков в любом месте прибора. Приращение тока в формуле (10.13) определяется чисто дробовым шумом и, следовательно, имеет спектральную плотность 2да(х)1м^х (исключая постоянную компоненту тока). Так как то!К, протекающий через диод благодаря рождению пары дырка — электрон на отрезке dx, равен Mdlp, спектральная плотность связанного с ним лавинного шума имеет вид

dSaD (со, х) = 2qa (х) M2IMdx.(10.14)

Полагая, что процессы рождения пары по всему диоду независимы, спектральную плотность шума полного лавинного тока можно получить, интегрируя выражение (10.14) и суммируя его с вкладом от дробового шума, связанного с первичным током /о：

(10.15>(10.15>SJ^) = 2夕 ^PIM『а (%)血+儿俨/。] = 2qM3IQ9

(10.15>

(10.15>

6

где использованы формулы (10.11) и (10.12).

Выражение (10.15) для спектральной плотности лавинного шума в случае равных коэффициентов ионизации для дырок и электронов вывел Тейджер |[54]. В дальнейшем Мак-Интайр

обобщил это выражение на случай, (когда коэффициенты ионизации для дырок и электронов, хотя и не равны, но изменяются с изменением электрического поля таким образом, что Р = ^а, где k — постоянный коэффициент пропорциональности. Мак-Интайр Обнаружил, что если первичный ток целиком состоит из дырок, то спектральная плотность шума имеет вид

莉 =2涸3/。[ 1+(，萨)(与1了卜2дm3/。/瓦00侬＞

а если из электронов, то —

^J = 2qM%[i_(iT)(^±)2卜 2浊3AA (ю.16б＞

Аппроксимации в этих выражениях справедливы при М》1. Заметим, что выражения (10.16) симметричны в том отношении^ что одно из них преобразуется в другое заменой k на 1/力.

Если принять за норму спектральный уровень, определяемый формулой (10.15), из выражений (10.16) становится очевидно, что шум уменьшается, когда первичный ток состоит из дырок и коэффициент ионизации для дырок больше, чем для электронов (т. е.々＞1), а также когда первичный ток состоит из электронов и коэффициент ионизации для электронов больше, чем для дырок (т. е.力＜1). Экспериментальное подтверждение поведения, предсказанного выражениями (10.16), было получено несколькими исследователями, в том числе Мельхиором и Андерсеном i[39]. Мельхиором и Линчем [40], Бертчем [1,2] и Конради [12].

При выводе выражений (10.15) и (10.16) неявно подразумевается, что число ионизирующих столкновений при пролете носителя через лавинную область очень велико. Это позволяет исследовать лавинное умножение как непрерывный по пространству процесс. Ван-Влайет и Ракер [57, 58] ослабили условие непрерывности и исследовали процесс умножения ка.к дискретное явление. Детали этой теории находятся вне сферы данного рассмотрения, но интересно отметить, что в современных лавинных диодах число ионизирующих столкновений за пролет носителя часто мало (порядка 2 или 3) {34]. В таких случаях может быть применима теория ван-Влайета и Ракера, а в предельном случае большого числа ионизирующих столкновений их данные согласуются с результатами Мак-Интайра.

Шум в пролетных усилителях

Усилители на ЛПД

Усиление в диапазоне СВЧ можно получить, используя ЛПД, В|Клю(ченный( в резонансную структуру, /которая связана с помощью передающей линии и циркулятора с входным и выходным передающими трактами. На резонансной частоте диод имеет отрицательное сопротивление и, следовательно, коэффициент отражения от резонатора больше единицы. Таким образом, волна, отраженная от резонатора, имеет большую ампли-

Рис. 10.11. Схема для анализа шума лавинного тока во внешнем контуре отражательного усилителя на ЛПД.

туду, чем подводимая к нему; поэтому прибор работает как усилитель.

Источниками шума в такой схеме являются тепловой шум во входной цепи, тепловой шум в объемном сопротивлении диода и шум умножения в лавинном токе. Среди этих трех источников шума преобладает последний. Теория малого сигнала для шума лавинного тока, в усилителях на ЛПД, предложенная Хайнсом [26], применима на высоких и нижих частотах. В этой теории коэффициенты ионизации дырок и электронов предполагаются одинаковыми. Это жесткое ограничение ослабили Гуммель и Блу /[19], которые исследовали ту же проблему, что и Хайнс, но применили более общий подход. Как они подчеркивают, такой подход необходим при исследовании материалов, например кремния, в которых коэффициенты ионизации дырок и электронов отличаются на порядок. Теоретические выводы Хайнса подтвердили Хейтц и Вольтмер [22], измерив характеристики шума в кольцевых ЛПД с перемещающейся микро- плазменной областью.

Хайнс исследовал поведение лавинного шума усилителя на ЛПД с помощью эквивалентной схемы, показанной на рис. 10.11. В контуре, внешнем по отношению к диоду, Ll — настроечная катушка и Rl — сопротивление нагрузки. Шумовой ток i%(f), протекающий во внешнем составляющих. Одна из них — ток проводимости носителей i〃o(f), который является фиктивным шумовым током в том смысле, что он протекал бы, если можно было поддерживать электрическое поле в лавинной области на критическом уровне, необходимом для получения устойчивой лавины. В действительности носители заряда в лавине с высокой плотностью тока будут наводить поле переменного тока в лавинной зоне. Этим полем обусловлена составляющая шумового тока i〃e(f), коррелированная с ino(t). По принципу линейной суперпозиции, полный шумовой ток лавинной проводимости равен £0 (力+ +〃？(/)• Таким образом, ine(t) — вторая из трех составляющих, вносящих вклад в шумовой ток во внешнем контуре. Третья составляющая — ток смещения в лавинной зоне.

Выражение, выведенное Хайнсом для спектральной плотности тока in(t), явля

является

10 А[см?

加4

суммой, трех

oZAm 08^0^0^ EHarynncbcbEON

勿 加 加 加

10'1

Ю8

109

1010

Частота 7 Гц

10 А/см2 Ю2 4%"W

Рис. 10.12. Вычисленная спектральная плотность шумового тока во внешнем контуре отражательного усилителя на ЛПД, нормированная к спектральной плотности дробового шума 2〃м ([19]; © 1967 IEEE).

ется сложным и содержит несколько параметров, в том числе лавинную угловую частоту со% лавинный токполный импеданс схемы, показанной на рис. 10.11, и производную коэффициента ионизации по величине поля. На частотах ниже лавинной частоты шум имеет《белый》спектр, интенсивность которого обратно пропорциональна постоянной составляющей тока лавины 1м- С физической точки зрения эту обратную зависимость можно интерпретировать как результат уменьшения импеданса лавины

при увеличении тока. На частотах выше лавинной частоты спектральная плотность шума резко понижается с уменьшением частоты, изменяясь приблизительно как со-4. На частотной зависимости спектральной плотности в этой области имеется характерная структура, определяемая шириной области дрейфа; спектральная плотность шума пропорциональна 1м・ На лавинной частоте, изменяющейся как корень квадратный из /м, спектральная плотность шумового тока при достаточно большом /м может иметь пик. Типичные кривые спектральной плотности，〃(/), как функции от частоты, иллюстрирующие особенности, описанные выше, показаны на рис. 10.12.

Хайнс показал, что коэффициент шума ЛПД определяется выражением

尸=1 十 S%將，(Ю.17)

где S『几(з)—спектральная плотность шумового тока i〃(f); G — коэффициент усиления усилителя и 0 — абсолютная температура. При значениях параметров, соответствующих частоте 10 ГГц,(коэффициент шума, вычисленный по выражению (10.17), равен 40,5 дБ. Кавас (33] измерил коэффициент шума ЛПД, изготовленных из 1Кремния, германия и GaAs, на частоте 6 ГГц. Он получил, что коэффициент шума в кремнии составляет 34 дБ (что несколько ниже теоретического значения), а в диодах на Ge и Ga As коэффициенты шума составляли 29 и 26 дБ соответственно. Результат для Ge в пределах ошибки эксперимента совпадает с полученным в работе [48] для диода на Ge для сантиметровых волн (8—10 ГГц). На миллиметровых волнах (25—40 ГГц) (коэффициент шума 26 дБ был получен на GaAs- диоде, используемом в качестве активного элемента с отрицательным сопротивлением в усилителе отражательного типа [60]. На частотах около 50 ГГц были достигнуты минимальные коэффициенты шума 27,5 и 38 дБ соответственно для ЛПД на GaAs и Si [42]. Вообще говоря, приборы на основе GaAs имеют лучшие шумовые характеристики и возможность достижения более высокой мощности, чем на основе Ge или Si.

Усилители на ПЛПД

Как следует из работы [21], до 1970 г. было мало известно о преобразовании шума лавинных диодов, работающих в режиме колебаний ПЛПД. Предварительные результаты, полученные в то время, свидетельствовали о том, что усилитель на ПЛПД обладает большим шумом.

Кажется, с тех пор работы по (количественному определению шума усилителей на ПЛПД мало продвинулись вперед, возможно, потому, что эти приборы предназначены для больших сиг-

налов, где шум не столь важен. Кроме того, очень сложное подробное исследование физики работы ПЛПД требует компьютерного моделирования [15, 36] для анализа большого разнообразия формы сигналов диода и режимов, соответствующих включению диода в различные схемы. Пока физические механизмы в плазменном диоде неясны, создается впечатление, что подробную теорию шумовых характеристик усилителей на этих диодах получить невозможно.

Усилители на ИПД

Отсутствие лавинного пробоя в области пространственного заряда ИПД означает, что этот диод обладает меньшим шумом, чем ЛПД или ПЛПД. Колеман и Цзе [11] сообщали о достижении коэффициента шума 15± 1 дБ для ИПД металл — полупроводник—металл, а бьёркманн и Снэп i[5] при измерениях достигли значений коэффициента шума 10 и 11 дБ для р+—и—р+- и р+—и—V—р+- структур соответственно.

В ИПД имеются два источника шума. Один источник — это шум, связанный с носителями, инжектированными через переход в область пространственного заряда; это — дробовой шум, сглаженный пространственным зарядом. Другой источник шума, известный как диффузионный шум, обусловлен случайными флуктуациями скорости носителей, проходящих обедненный слой. Диффузионный шум преобладает над дробовым шумом при высоких плотностях тока, когда дробовой шум существенно ослаблен за счет явления сглаживания пространственным зарядом.

Анализ дробового шума в ИПД продолжили и развили Гаус с сотр. [24]. Они вывели выражение для спектральной плотности флуктуаций напряжения для случая холостого хода, полагая, что полный дробовой шум инжектируется через один из переходов в область пространственного заряда. Инжектированный дробовой шум сглаживается, так как носители заряда создают коррелированные флуктуации электрического поля, которые модулируют ток смещения на границе. Когда этот модулированный шумовой ток добавляется к инжектированному шумовому току, в результате уменьшается спектральная плот、 ность шума внешнего контура. Это явное уменьшение шума возникает из-за явления сглаживания пространственным зарядом.

Коэффициент шума F усилителя с большим усилением удобно выразить через избыточный фактор шума М следующим образом:

尸=1+〃. (10.18)

Гаус с сотр. получили выражение для избыточного фактора шу-

ма Af в случае дробового шума, сглаженного пространственным зарядом, при условии, что пролетный угол 仆L® соответствуем максимальному отрицательному сопротивлению

〃=將 崇[1+®£/а)2尸/2,〃=將 崇[1+®£/а)2尸/2,(10.19)，(10.19)，

〃=將 崇[1+®£/а)2尸/2,

〃=將 崇[1+®£/а)2尸/2,

(10.19)，

(10.19)，

ношением плотности тока к электрическому полю на границе- инжектирования (а зависит от уровня примесей). Избыточныйношением плотности тока к электрическому полю на границе- инжектирования (а зависит от уровня примесей). ИзбыточныйРис. 10.13. Вычисленный избыточный фактор шума М в функции плотности тока /о ([52]; © 1972 IEEE).дробовой шум; совместное действие дробового и диффузионного шумов.Рис. 10.13. Вычисленный избыточный фактор шума М в функции плотности тока /о ([52]; © 1972 IEEE).дробовой шум; совместное действие дробового и диффузионного шумов.

ношением плотности тока к электрическому полю на границе- инжектирования (а зависит от уровня примесей). Избыточный

ношением плотности тока к электрическому полю на границе- инжектирования (а зависит от уровня примесей). Избыточный

Рис. 10.13. Вычисленный избыточный фактор шума М в функции плотности тока /о ([52]; © 1972 IEEE).

дробовой шум; совместное действие дробового и диффузионного шумов.

Рис. 10.13. Вычисленный избыточный фактор шума М в функции плотности тока /о ([52]; © 1972 IEEE).

дробовой шум; совместное действие дробового и диффузионного шумов.

где /о — плотность тока в диоде; vs — предельная скорость дрей^ фа; 8 — относительная диэлектрическая проницаемость материала и а — параметр барьерной модуляции, который является от

фактор шума, вычисленный по формуле (10.19), может быть существенно меньше1 единицы в зависимости от значений параметров этого выражения. Действительно, Гаус с сотр. считали, что возможны избыточные факторы шума порядка 10~2 и ниже. К сожалению, при анализе с учетом диффузионного шума таких замечательно малых значений для избыточного фактора шума не получается.

Диффузионный шум — это по существу тепловой шум горячих носителей. Он появляется потому, что хотя： считается, что носители дрейфуют с предельной скоростью, на самом деле име-

ется распределение скоростей, среднее значение которых равно предельной скорости. Распределение скоростей, подобно распределению Максвелла, и соответствует

температуре горячих носителей. Общий аналитический метод исследования джонсоновского шума описан в разд. 10.7 в связи с шумом в диодах Ганна.

Штатц с сотр. {52] обнаружили, что избыточный фактор шума ИПД при анализе дробового шума, сглаженного пространственным зарядом, и с учетом диффузионного шума может быть больше, чем в отсутствие диффузионного шума. Это иллю-

стрируется на рис. 10.13, который показывает вычисленный избыточный фактор шума как функцию плотности тока при частоте 10 ГГц для случая пролетного угла, соответствующего максимальному отрицательному сопротивлению. Две кривые на рисунке показывают избыточный фактор шума при наличии одного лишь дробового шума (штриховая линия) и, когда при вычислении учитываются оба шума, — дробовой и диффузионный (сплошная линия). Влияние сглаживания пространственным зарядом на дробовой шум проявляется, например, наличием провала на штриховой кривой при более высоких плотностях тока; но это не имеет большого значения при рассмотрении полного шума, который благодаря диффузионной составляющей может быть на несколько порядков выше.

Несмотря на относительно большой вклад от диффузионного шума при высоких плотностях тока, ИПД — все же малошумящий прибор СВЧ. В соответствующих схемах можно достичь избыточного фактора шума около 10 дБ на частотах до 20 ГГц. Было построено несколько численных моделей шума в ИПД [8, 51], причем результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментом. Благодаря таким моделям пришли к заключению, что ИПД с переходами металл — полупроводник имеют большие избыточные факторы шума, чем с р—n-переходами. Разница зависит от плотности тока и частоты, но обычно она составляет 3 дБ или меньше.

Физика генератора

на эффекте переноса электронов

У некоторых полупроводниковых материалов, например у GaAs и InP, имеется область отрицательной дифференциальной подвижности в зависимости скорости носителей от поля (рис. 10.2). Образец такого полупроводника в виде короткого бруска с омическими контактами генерирует колебания тока, когда приложенное напряжение превышает некоторый критический уровень [20]. Это явление объясняется переносом электронов из состояния с высокой подвижностью в состояние с малой подвижностью.

Процесс переноса электронов можно понять из диаграммы энергия — импульс для полупроводника. Материалы, способные генерировать колебания Ганна, обладают центральным провалом («долиной») зоны проводимости (минимум которой соответствует краю зоны проводимости, определяющему верхнюю границу запрещенной зоны). Центральный провал окружен симметрично рнеположенными боковыми провалами, энергетический минимум которых находится выше минимума центрального про-

вала. Эта структура энергетической зоны иллюстрируется на% рис. 10.14, где как раз показан один из боковых провалов.

Колебания тока возникают вследствие того, что подвижность электронов в боковых провалах намного меньше, чем в центральном провале. Таким образом, при низких значениях электрического поля, когда практически все электроны проводимости находятся в центральном провале, они дрейфуют со скоростью, пропорциональной величине поля, и имеют высокую* подвижность. Когда величина поля растет, электронам сообщав

Рис. 10.14. Схематическое изображение энергетической зонной структуры полупроводника с отрицательной дифференциальной подвижностью.

ется большая кинетическая энергия, пока при некотором пороговом поле по отношению к разности энергии между минимумами в боковых провалах и в центральном провале не появится большая вероятность обнаружения значительной части электронов в боковых провалах. Эти электроны тогда находятся в состоянии с низкой подвижностью. При дальнейшем увеличении поля большее число электронов переносится из состояния с высокой подвижностью в состояние с низкой подвижностью, а это означает, что при увеличении поля средняя скорость дрейфа популяции электронов падает. Это объясняет наличие области отрицательной дифференциальной подвижности на рис. 10.2. Когда поле достаточно высоко, для того чтобы практически все электроны оказались в боковых провалах, скорость насыщается до предельной скорости дрейфа.

В этом описании процесса переноса электронов подразумевается, что электрическое поле постоянно по всему полупроводнику. На самом деле колебания Ганна связаны с сильно неоднородным полем. Причину неоднородности распределения поля следует искать в процессе накопления заряда при отрицательной

дифференциальной подвижности: если при положительной подвижности имеет место диэлектрическая релаксация и накоп- .ленный заряд рассеивается, то в случае отрицательной подвижности заряд резко возрастает. Это означает, что при отрица- ■тельной дифференциальной подвижности однородное распреде- .ление заряда очень неустойчиво. Именно эта неустойчивость лежит в основе работы диода Ганна.

Рассмотрим однородно легированный образец полупровод- ника, например GaAs, который имеет отрицательную дифференциальную подвижность, когда напряженность поля превышает критическое значение Ес. Пока приложенное напряжение мало, так что поле внутри материала однородно и ниже Ес, образец ведет себя как обычное сопротивление с омической зависимостью между током и напряжением. Когда напряжение увеличивается до уровня Ес, ток принимает максимальное значение 1с. В то же время дифференциальная подвижность соответствует точке изменения знака — от положительного значения к отрицательному. Если это происходит, то обычно в локальной области вблизи отрицательного контакта. В этой локальной области электроны дрейфуют намного медленнее, чем впереди или позади. Это вызывает накопление заряда позади и обеднение перед локальной областью, а так как действие отрицательной дифференциальной подвижности аналогично положительной обратной связи, эти концентрации противоположных зарядов очень быстро растут, образуя дипольный слой. Поле в центре этого слоя, или домена, очень высокое, выше Ес, что компенсируется ослаблением поля до значений ниже Ес вне слоя. Далее, домен дрейфует по полупроводнику с предельной скоростью, z это означает, что домен сохранит свою форму в том случае, если электроны вне домена будут дрейфовать с такой же скоростью. Это приводит iK тому, что поле вне домена имеет значение, соответствующее этой скорости, причем следует помнить, что электроны в области вне домена имеют положительную дифференциальную подвижность. Ток /^ во время движения домена равен максимальному току /% умноженному на отношение предельной скорости к пиковой скорости дрейфа. Когда домен достигает анода, он коллапсирует, а в области катода образуется новый домен. Затем цикл повторяется. Таким образом, то)к изменяется между двумя уровнями, Id и /% с частотой повторения, приблизительно равной обратному времени дрейфа 上омена через прибор.

Образование домена с высокой напряженностью поля и последующее перемещение от катода к аноду — это сущность явлений в генераторе Ганна, который на высоких частотах обладает отрицательным сопротивлением. Возможен также другой режим колебаний, при котором образования области с сильным

полем не происходит из-за тщательно контролируемого высокочастотного напряжения, быстро разрушающего поле в области отрицательной дифференциальной подвижности. Это предотвращает накопление заряда и сохраняет более или менее однородное поле по всему прибору. Таким образом, зависимость така от напряжения для этого режима, известного под названием режима с ограниченным накоплением объемного заряда^ определяется зависимостью скорости от величины поля, так как ток равен qtw(E)A, где п — плотность электронов; А — площадь прибора и V (Е) —зависящая от поля скорость дрейфа. Из этого следует, что при отрицательной дифференциальной подвижности у диода появляется отрицательное дифференциальное сопротивление и, следовательно, его можно использовать для усиления. Режим ограниченного накопления объемного заряда имеет то преимущество, что он потенциально пригоден для получения большой выходной мощности на СВЧ. Более того, ожидается, что ганновские диоды с однородным распределением поля из-за более высокой подвижности должны иметь меньшие шумы^ чем диоды с неоднородными полями.

Шум в генераторах Ганна

Из двух главных составляющих шума в генераторах Ганна основная представляет собой неравновесную разновидность шума Джонсона в СВЧ-диапазоне, в то время как другая связана с l/f-шумом в напряжении (или токе) смещения.

Коэффициенты шума первых приборов на GaAs, для которых произведение концентрации примесей на длину образца было меньше, чем 〜IO】？ см-2 (докритическое легирование)г имели высокие значения (порядка 30 дБ [56]). Коэффициенты шума в пределах 10—15 дБ были получены для надкритическ» легированных диодов на GaAs [35, 43]. Дальнейшее снижение коэффициентов шума до значений, меньших 8 дБ, было достигнуто применением InP [4]. С помощью компьютерного моделирования были предсказаны еще более низкие значения коэффициента шума: примерно 3 дБ для GaAs и InP [29, 30], 7 дБ для GaAs и 4 дБ для InP [50]. В этих расчетах были предусмотрены некоторые ограничения, накладываемые на инжекцию заряда из катода.

Шум Джонсона

По мере перемещения домена от катода к аноду впереди и позади узкого обедненного слоя, составляющего домен, образуются по существу омические области. Так как ширина доме-

на мала, полная длина омических областей очень близка к постоянной по всему пути перемещения домена и равна длине полупроводника. Горячие носители в необедненных областях вне домена служат источником шума Джонсона.

Имеются два механизма, приводящие к появлению шума: один — случайные внутризонные флуктуации носителей вследствие их повышенной температуры и другой — флуктуации, вызванные межзонными переходами, т. е. носителями, случайным юбразом совершающими переходы между энергетическими подзонами, соответствующими состояниям с высокой и низкой подвижностями. Шум, обусловленный этими механизмами, первоначально исследовал Шокли с сотр. [49], вводя для вычислений «метод импеданса поля》. Так как этот метод вообще важен для понимания неравновесного джонсоновского шума, мы сейчас ^сделаем краткое отступление для того, чтобы ознакомиться •с ним несколько подробнее, прежде чем продолжать рассмотренные джонсоновского шума в диоде Ганна.

Сравнительно простой пример применения метода импедан- ，са поля был приведен раньше при анализе теплового шу^ма в резисторе в случае теплового равновесия с окружающей средой (разд. 2.8). Исследование можно обобщить на неравновесные ^ситуации согласно следующему рассуждению. Для простоты предполагаем одномерную геометрию; к трехмерному случаю можно перейти очень просто.

Рассмотрим одномерный резистор длины L с площадью поперечного сечения А и предположим, что скорость отдельного электрона после столкновения равна 〃(f). Уравнение движения ■частицы [см. приложение 3, уравнение (П3.7)] имеет вид

屮^= —^>+(р2-Л)6(0， (10.20)

тде m—масса электрона;卩—подвижность, отличная от значения подвижности в слабом поле, если носители горячие, и р】, ,「2 — соответственно значения импульса непосредственно до и после столкновения. Таким образом, (р2—Pi)—импульс, полуденный электроном при столкновении. Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (10.20), получаем преобразование для “(f):

U =空步也三吗 (10.21) 1

тде ту = цт/^ — среднее время пролета между столкновениями, которое можно идентифицировать со временем диэлектрической релаксации и (разд. 2.8).

Если электрон находится на элементарном участке между % 紀 ％ + dx, то импульс напряжения (или его преобразование

Фурье), появляющийся на клеммах резистора из-за процессов столкновения и измеренный в режиме холостого хода, можно выразить через U(/(о) следующим образом:

V(®x) = qU(©)H(®x), (Ю.22)

где //(/со, х)——функция линейной системы, связывающая микроскопический ток в точке % с напряжением холостого хода на клеммах. Естественно, Н (® х) зависит от исследуемого прибора и условий, в которых он работает. Размерность величины //(/(о, х) совпадает с размерностью напряженности электрического поля, деленной на ток. Для трехмерного случая Шокли с сотр. ввели величину, соответствующую //(/(о, %), которая получила название «вектора импеданса поля» и обозначается через Z.

Для случая холостого хода спектральную плотность шумового напряжения, обусловленного флуктуациями скорости на участке между х и x + dx, находят по теореме Карсона [см. разд. 2.6, уравнение (2.41)]. Учитывая формулы для преобразования Фурье функции формы импульса (10.21) и (10.22), имеем

眼而3 = 2\Й (До, “2 炉依二第一乂 dXf (10.23) 1 + CO?呼 Ту:

где среднюю скорость столкновений положим равной

v = ^-dx. (10.24) 叶

Заметим, что в общем случае электрическое поле и, следовательно, подвижность и величина т『являются функциями координаты. Далее, pi и р2 — величины независимые, и, так как среднее значение каждого импульса равно нулю, (рг—pi)2 = =p22+p12・ Поэтому, полагая р2=p12=p22, уравнение (10.23) можно записать в виде

= 4因（W，%） |2%矶:：叫2）-= 4因（W，%） |2%矶:：叫2）-dx.dx.(10.25>(10.25>

= 4因（W，%） |2%矶:：叫2）-

= 4因（W，%） |2%矶:：叫2）-

dx.

dx.

(10.25>

(10.25>

Сравнивая выражение в квадратных скобках с формулой (П3.11) приложения 3, видим, что оно равно одной четверти спектральной плотности флуктуаций скорости для единичной частицы. Но это же выражение определяет диффузию величи- ны и при угловой частоте ①(см. приложение 3):

А (з)=А (з)=q2^(i+d*2)q2^(i+d*2)(10.26>(10.26>

А (з)=

А (з)=

q2^(i+d*2)

q2^(i+d*2)

(10.26>

(10.26>

Таким образом, спектральная плотность флуктуаций напряже-

ния холостого хода, обусловленных флуктуациями скорости п€> всей длине прибора, получается интегрированием выражения (10.25):

§77^ =『"(加 ％)i2 492fM2 (з)成.(10.27)

о

Выражение (10.27)—одномерный вариант формулы для спектральной плотности шума, впервые полученной Шокли с сотр. методом импеданса поля. Важно отметить, что его выводили, не используя условий равновесия. Таким образом, формула верна независимо от того, находится или нет ансамбль электронов в тепловом равновесии с окружающей средой, если понимать Dqg) в общем смысле, как это предполагается в приложении 3. Легко проверить, что формула дает правильный результат для случая равновесия, так как тогда //(/со, %) равно сопротивлению на единицу длины и для частот ниже частоты, равной обратному среднему времени свободного пролета,几(з) в выражении (10.26) можно отождествить с константой диффузии $ =卩力9/夕(см. приложение 3), из чего следует

S^ = 4 W,(10.28)

что и требовалось доказать.

Теперь вернемся к рассмотрению джонсоновского шума в диоде Ганна. Если импеданс необедненных областей вне домена Z=R + jX, то вектор импеданса поля есть просто //(/со, %)= = Z/L, где L — полная длина образца. По формуле (10.27) находим спектральную плотность напряжения теплового шума на частотах ниже частоты столкновений

瓦丽=牛2因|2,(10.29)，

где D — константа диффузии горячих носителей вне домена. Если пренебрежем реактивной частью импеданса, формулу (10.29) можно будет записать через сопротивление R = LI(nq\ |1|Л), где 卩一подвижность горячих носителей:

帝UJ=4 硯疗 R,(Ю.ЗО)

где

"产 qD/(gh)(10.31)’

—эффективная шумовая температура. Важно отметить, что 0eff не более чем удобная характеристика шума; она не соответствует температуре популяции горячих электронов.

Далее, избыточный фактор шума генератора определяют по формуле

M = 8g (Ю.32)

где стандартная температура 0о обычно считается равной 290 K. Таким образом, согласно выражению (10.30), избыточный фактор теплового шума в генераторе Ганна имеет вид

M = qD/\卩I 尼%. (10.33)

Задавая для примера значения «0=400 см2/с и | ц| =3000 см2/В- •с, по формуле (10.33) получаем значение избыточного фактора шума Л1 = 5,33^7 дБ.

Простая формула (10.33) была впервые выведена Тимом [55]. Она определяет минимальный фактор шума генератора и позволяет объяснить, почему генератор в режиме с ограниченным накоплением объемного заряда потенциально меньше шумит, чем ганновский генератор с движущимися доменами: модуль подвижности по всей длине образца с однородным полем значительно выше, чем подвижность в необедненных областях по краям домена в ганновском диоде.

В приведенном выше упрощенном анализе шума горячих электронов не учитывается ряд факторов, в том числе шум, связанный с образованием и ростом доменов. Робсон [47] проводит более исчерпывающее исследование шума горячих электронов в своей работе, которую он считает большим обзором учебного характера. В частности, он рассматривает диффузию заряда в домене и показывает, что избыточный фактор шума зависит от угла пролета 0гл проходя через минимум, когда 0т^2л. Он также показывает, что избыточный фактор шума быстро изменяется с изменением произведения пЛ. Кривая зависимости шума снова проходит через минимум при определенной величине nL, которая увеличивается с увеличением уровня смещения. (Например, при напряженности поля смещения 10 кВ/см значение 〃L, соответствующее минимуму М, приблизительно равно 1011 см-2.) Вследствие диффузии минимумы М на несколько децибел выше соответствующих минимальных значений, вычисленных по формуле (10.33). Спустя некоторое время после Робсона теоретические методы исследования шума в приборах конечной длины на эффекте переноса электронов рассматривали Констант [13] и Рис [46].

Кроме AM-шума, тепловые флуктуации скорости горячих носителей приводят к возникновению ЧМ-шума. Гаус с сотр. [25] вычислили величину эффекта и нашли, что среднеквадратичное отклонение частоты составляет 1—2 Гц. Гобсон [27] также рассматривал механизм теплового шума, влияющего на .зарождение доменов, что обусловливает появление ЧМ-шума.

Полагают, что механизм, предложенный Гобсоном, является фундаментальным ограничением на стабильность частоты генератора Ганна.

1//-шум

Шум типа 1/f в ганновских приборах возникает из-за наличия ловушек на поверхности, в объеме материала образца и на границах контактов [23]. Вполне резонно предположить, что, усовершенствуя технологию, можно уменьшить плотность ловушек и вместе с ней l/f-шум. Котани [32] обнаружил, что использование при изготовлении диодов методов термокомпрессии приводит к высокому уровню 1//-шума. Такая технология связана с высокими температурами и напряжениями, в результате чего появляются дефекты решетки, которые действуют как центры захвата и, следовательно, увеличивают l/f-шум. Согласно' Котани, ЧМ-шум значительно увеличивается из-за наличия этих дефектов, влияющих на образование домена и скорость его переноса.

Постоянный ток (или напряжение) в ганновском генераторе имеет 1//-шумовые флуктуации. Фолкнер и Мид [16] показали,, что 1//-флуктуации в уровне смещения коррелированы с ЧМ-шу- мом, причем типичная величина коэффициента корреляции составляет 0,6—0,8. Мид [38] предложил теорию для объяснения, наблюдаемого соотношения между ЧМ-шумом и 1//-шумом постоянного тока. Его теория основывается на модели треугольного домена Бутчера, Фасета и Хилсума [6]. Подробности этой, теории выходят за пределы данного изложения.

ЛИТЕРАТУРА

R. D. Baertsch (1966), Noise and ionization rate measurements in silicon： photodiodes, IEEE Trans. Elect. Dev. (Corresp.), ED—13, 987.

R. D. Baertsch (1967), Noise and multiplication measurements in InSb avalanche photodiodes, J. Appl. Phys., 38, 4267——4274.

D. J. Bartelink, D. L. Scharfetter (1969), Avalanche shock fronts in p—n junctions, Appl. Phys. Lett., 14, 320—323.

S. Baskaran, P. N. Robson (1972), Noise performance of InP reflection1 amplifiers in Q band, Elect. Lett., 8, 137—138.

G. Bjorkmann, С. P. Snapp (1972), Small-signal noise behaviour of companion p+—n—p+ and p+—n—v—p+ punchthrough microwave diodes, Elect. Lett., 8, 501—503.

P. N. Butcher, W. Fawcett, C. Hilsum (1966), A simple analysis of stable domain propagation in the Gunn effect, Brit. J. Appl. Phys., 17, 841— 850.

J. E. Carroll (1974). Physical Models for Semiconductor Devices, Edward Arnold, Chapter 8.

J. Christie, J. A. C. Stewart (1975), Small-signal Baritt noise measures,, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—22, 836—841.

A. S. Clorfeine, R. Ikola, L. S. Napoli (1969), A theory for the high-efficiency mode of oscillation in avalanche diodes, RCA Review, 30, 397—421.

D. J. Colemann, Jr. (1972), Transit-time oscillations in Baritt diodes, /. Appl. Phys., 43, 1812—1818.

D. Coleman, S. Sze (1971), A low noise metal—semiconductor—metal (MSM) microwave oscillator, Bell Syst. Tech. J„ 50, 1695—1699.

J. Conradi (1972), The distribution of gains in uniformly multiplying avalanche photodiodes: experimental, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—19, 713— 718.

. E. Constant (1976), Noise in microwave, injection, transit-time and transferred-electron devices, Physica, 83B, 24—40.

. W. J. Evans (1969), Circuits for high-efficiency avalanche diode oscillators, IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., MTT—17, 1060—1067.

W. J. Evans (1970), Computer experim.ents on Trapatt diodes, IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., MTT—18, 862——871.

. E. A. Faulkner, M. L. Meade (1968), Flicker noise in Gunn diodes, Elect. Lett., 4, 226—227.

W. Fawcett, A. D. Boardman, S. Swain (1970), Monte Carlo determination of electron transport properties in gallium arsenide, J. Phys. Chern. Solids, 31 ]963—1990

J8. M. Gilden, H. E. Hines (1966), Electronic tuning effects in the Read microwave avalanche diode, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 169—175.

H. K. Gummel, J. L. Blue (1967), A small-signal theory of avalanche noise in Impatt diodes, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—14, 569—580.

J. B. Gunn (1964), Microwave oscillations of current in III——V semiconductors, IBM J. Res. Development, 8, 141 ——159.

G. I. Haddad, P. T. Greiling, W. F. Schroeder (1970), Basic principles and properties of avalanche transit-time devices, IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., MTT—18, 752—772.

R. H. Haitz, F. W. Voltmer (1966), Noise studies in uniform avalanche diodes, Appl. Phys. Lett., 9, 381—383.

S. Hashiguchi, T. Ohkoshi (1971), Determination of equivalent circuit parameters describing noise from a Gunn oscillator, IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., MTT—19, 686—691.

H. A. Haus, H. Statz, R. A. Pucel (1971), Noise measure of metal—semiconductor—metal Schottky-barrier microwave diodes, Elect. Lett., 7, 667—668.

H. A. Haus, H. Statz, R. A. Pucel (1973), Noise in Gunn oscillators, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—20, 368—370.

M. E. Hines (1966), Noise theory for the Read type avalanche diode, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 158—163.

G. S. Hobson (1967), Source of F. M. noise in cavity controlled Gunn-effect oscillators, Elect. Lett., 3, 63—64.

R. L. Johnson, В. C. De Loach, B. G. Cohen (1965), A silicon microwave diode oscillator, Bell Syst. Tech. 44, 369—372.

В. Kallback (1972), Noise properties of the injection limited Gunn diode, Elect. Lett., 8, 476—477.

B. Kallback (1973), Noise performance of GaAs and InP injection limited dicvies Flpct J ptt Q 1 119

C. Kittel (1970)/Introduction to Solid State Physics, 4th edition, Wiley.

M. Kotani (1976), Design fabrication of low noise Gunn diodes with consideration of a thermocompression bonding effect, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—23, 567—572.

R. L. Kuvas (1972), Noise in Impatt diodes: intrinsic properties, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—19, 220—233.

W. A. Lukaszek, A. van der Ziel, E. R. Chenette (1976), Investigation of the transition from tunnelling to impact ionization multiplication in silicon p—n junctions, Solid State Elect., 19, 57—71.

J. Magarshack, A. Rabier, R. Spitalnik (1974), Optimum design of T. E. amplifier devices in GaAs, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—21, 652—654.

R. K・ Mains, N. A. Masuari, G. I. Haddad (1980), Theoretical investigations of Trapatt amplifier operation, IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., MTT-28, 1070—1076.

R. J- McIntyre (1966), Multiplication noise in uniform avalanche diodes, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 164—168.

M. L. Meade (1971), Relationship between F. M. noise and current noise in a cavity-controlled Gunn effect oscillator, The Radio and Elect. Eng.» 41, 126—132.

H. Melchior, L. K. Anderson (1965), Noise in high speed avalanche photodiodes, presented at the 1965 Int. Electron. Devices Meeting, Washington, D. C.

H. Melchior, W. T. Lynch (1966), Signal and noise response of high speed germanium avalanche photodiodes, IEEE Trans. Elect. Dev., ED——13, 829—— 838.

T. Misawa (1971), Semiconductors and semimetals, Vol. 7 (ed. R. K. Wil- lardson and A. C. Beer), Academic Press, Chapter 7.

H. Okamoto (1975), Noise characteristics of GaAs and Si Impatt diodes for 50-GHz range operation, IEEE Trans. Elec. Dev., ED—22, 558—565.

В. S. Perlmann, C. L. Upadhyayula, R. Marx (1970), Wide band reflection type transferred electron amplifiers, IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., MTT—18, 911—922.

H. J. Prager, К. K. N. Chang, S. Weisbrod (1967), High power, high efficiency silicon avalanche diodes at ultra high frequencies, Proc. IEEE» 55, 586—587.

W. T. Read (1958), A proposed high frequency negative resistance diode, 8e〃 Sy st. Tech. J., 37, 401—446.

H. D. Rees (1977), Intrinsic noise of transferred-electron amplifiers, Solid State and Elect. Dev., 1, 165—179.

P. N. Robson (1974), Low-noise microwave amplification using transferred- electron and baritt devices, The Radio and Elect. Eng., 44, 553—567.

R. L. Rulison, G. Gibbons, J. G. Josenhans (1967), Improved performance of Impatt diodes fabricated from Ge, Proc. IEEE (letters), 55, 223—224.

W. Shockley, J. A. Copeland, R. P. James (1966), The impedance field method of noise calculation in active semiconductor devices, in Quantum Theory of Atoms, Molecules, and the Solid State, Academic Press, New York, pp. 537— 563.

J. E. Sitch, P. N. Robson (1976), Noise measure of GaAs and InP transferred electron amplifiers, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—23, 1086—1094.

A. Sjolund (1972), Small-signal noise analysis of p+—n—p+ Baritt diodes. Elect. Lett., 9, 2—4.

H. Statz, R. A. Pucel, H. A. Haus (1972), Velocity fluctuation noise in metal—semiconductor—metal diodes, Proc. IEEE (letters), 60, 644—645.

S. M. Sze, D. J. Coleman Jr., A. Large (1971), Current transport in metal semiconductor—metal (MSM) structures, Solid State Elect., 14, 1209— 1218.

A. S. Ta ger (1964), Current fluctuations in a semiconductor under the conditions of impact ionization and avalanche breakdown, Fiz. Tver. Tela., 6, 2418—2427; translation in Sov. Phys. — Solid State, 6, 1919—1925 (1965).

H. W. Thim (1971), Noise reduction in bulk negative resistance amplifiers. Elect. Lett., 7, 106——108.

H. Thim, M. Barber (1966), Microwave amplification in a GaAs bulk semiconductor, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 110—114.

К. M. van Vliet, L. M. Rucker (1978), Theory of avalanche noise, in Noise in Physical Systems, Proc, of the 5th International Conference on Noise,

Bad Nauheim, Fed. Rep. of Germany, March 13—16, 1978 (ed. D. Wolf), pp. 333—336.

K・ M. van Vliet, L. M. Rucker (1979), Theory of carrier multiplication and noise in avalanche diodes — part 1: one carrier processes, IEEE Trans. Elect. Deo., ED—26, 746—751.

К. P. Weller (1973), A study of millimetre-wave GaAs Impatt oscillator and amplifier noise, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—20, 517—521.

K・ P. Weller, A. B. Dreeben, H. L. Davis, W. M. Anderson (1974), Fabrication and performance of GaAs p+—九 junction and Schottky-barrier millimetre Impatfs, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—21, 25—31.

Квантовая механика и шумы

Введение

Рабочие частоты многих электронных устройств заключены в СВЧ-диапазоне или ниже, а рабочие температуры 0 находятся гораздо выше криогенных температур. В этих условиях квант энергии hf (где h — постоянная Планка; f — частота) много меньше тепловой энергии Л0 и квантовые эффекты оказывают незначительное влияние на шумы в системе. Тогда спектральная плотность «низкочастотного высокотемпературного» флуктуационного напряжения тепловых шумов на сопротивлении R дается классической формулой Найквиста

5Д^ = 4Л07?, (11.1)

которая не зависит от постоянной Планка.

При высоких частотах и(или) низких температурах квантовыми эффектами пренебрегать уже нельзя. В этой ситуации может выполняться условие hf^kB и необходимо обратиться к квантовой статистике, чтобы описать шумы. В результате спектральная плотность флуктуаций напряжения на сопротивлении описывается выражением, являющимся обобщенным вариантом выражения (11.1). Это выражение содержит постоянную Планка и переходит в приведенную выше формулу при выполнении условия /if《尼8. Квантовомеханическая форма выражения (11.1) пригодна для анализа тепловых шумов в мазерах и лазерах, как это описано в разд. 11.6. (Она также важна при рассмотрении шумов в приборах на основе джозефсонов- ских контактов. Ввиду уникальности физических характеристик джозефсоновские устройства не включены в настоящую главу и рассматриваются отдельно в гл. 12.)

Аргументы квантовой механики приводят не только к модификации «классической» теоремы Найквиста, но и к глубокому выводу о том, что все линейные усилители должны обладать некоторым шумом. Существование квантового предела для шумов усилителя можно понять, используя понятие нулевой энергии гармонического осциллятора, поскольку оно является основой для получения квантового варианта уравнения (11.1). Однако понятие нулевой энергии является частным следствием принципа неопределенности, представляющего собой общий

квантовомеханический принцип без ограничений на модели или системы, к которым он применяется. Поэтому можно использовать принцип неопределенности, чтобы доказать с наиболее общей точки зрения, что существует фундаментальный, квантовомеханический нижний предел для шумов, которыми может обладать линейный усилитель. Так оно и есть на самом деле. Аргументы в пользу этого положения представлены в разд. 11.3 сразу после предварительного обсуждения самого принципа неопределенности, приведенного ниже.

Принцип неопределенности

Движение частицы можно описать на классическом языке, используя ее координаты и импульс. Можно предсказать будущее состояние частицы, основываясь на детерминистских законах динамики. В квантовой механике ситуация иная. Здесь невозможно определить одновременно две наблюдаемые величины, такие, как момент р и координату х частицы с точностью, лучшей, чем следует из принципа неопределенности Гейзенберга. Согласно этому принципу, если Ар и Ах — неопределенности в измерениях величин р и х, то

АрА%》力/4冗. (11.2)

Неопределенность в переменной z, изображаемая символом An, может быть представлена как среднеквадратичное отклонение от среднего значения переменной, найденное из серии измерений, т. е. Az — сокращенное обозначение среднего ]Л бг2, где 。2 — отклонение от среднего в единичном измерении. Пары величин, которые подчиняются принципу неопределенности, известны как сопряженные переменные. Примером другой сопряженной пары могут служить энергия системы Е и время /, в течение которого она обладает этой энергией. Неопределенность для этих величин выражается неравенством

ДЕД/ > /г/4л. (11.3)

Хотя принцип неопределенности описывает квантовомеханическое явление, он имеет классический аналог [4], который может дать интуитивное представление о написанных выше неравенствах. Рассмотрим гармонический сигнал с угловой частотой со。，который ограничен интервалом (—Т/2, Т/2) так, чтобы получился импульс %(/), изображенный на рис. 11.1, а. Предположим, что этот импульс был получен в результате измерения и что мы хотим определить время прибытия и частоту гармонического сигнала.

Рис. 1 1.1.

а — гармонический сигнал, ограниченный интервалом (—7/2, 7/2); б — преобразование

Фурье.

Если

х (/) == cos(о0/ при I " & 772,

(11.4)

О в остальных случаях,то фурье-преобразованием х(/) является функцияТ/2

X (До) = j cos ①。/ exp —jstdt = —7/2

— sin [(co — co。)T/2] J sin [(co + g) 7/2]『

= (CO—COo)(co + coo)~I >

Для круговых частот вблизи значения зо второй член в правой части выражения (11.5) пренебрежимо мал и функция ^(jco) хорошо аппроксимируется выражением

X °①)=_s 叫со —吗 Г/2](Ц.6)

и 丿(СО — (00)'7

график которого представлен на рис. 11.1, б как функция от аргумента (со—о)о)・ Кривая обладает главным максимумом при s=o)o, показывая, что основные спектральные компоненты сигнала группируются вокруг частоты гармонической волны. Однако пик имеет конечную ширину, делающую невозможным точ-

ное определение частоты гармонического сигнала. Иными словами, ширина пика создает неопределенность в измерении частоты.

Мерой неопределенности является полуширина пика До)между первыми двумя нулями по обе стороны от значения со。

А(о = 2л/Т.(11.7)

Поскольку величина As обратно пропорциональна длительности импульса Г, то《размывание》по частоте уменьшается при увеличении времени наблюдения. Однако длительность импульса устанавливает меру неопределенности во времени его прибытия, которое можно уменьшить, если пожертвовать информацией о частоте. Очевидно, что уравнение (11.7) является формой соотношения неопределенности, которое имеет место независимо от каких-либо квантовомеханических представлений. Однако его можно выразить в тех же самых переменных, что и уравнение (11.3), если ввести постоянную Планка и сформулировать неопределенности в виде

АЕ = ZiAco/2ji, А/ = Т,(11.8)

где △£ и Д/ — неопределенности энергии и времени прибытия. В результате комбинации этих условий с уравнением (11.7) получаем соотношение

АЕА/ = %,(11.9)

которое, очевидно, согласуется с неравенством в принципе неопределенности Гейзенберга.

-3- Квантовый предел для шума усилителя

Электромагнитное излучение проявляет дуализм в своем поведении, оказываясь по характеру то корпускулярным (как в фотоэлектрическом эффекте), то волноподобным (как в явлениях интерференции). Смысловой аспект этого «раздвоения», наблюдаемого на практике, целиком зависит от проводимого эксперимента. Вообще говоря, было бы значительно проще описывать все эксперименты, связанные с электромагнитным излучением исключительно либо с корпускулярной, либо с волновой точки зрения, однако это невозможно. Необходимость использования дуального представления является общепризнанной.

Корпускулярное описание поля было предложено Эйнштейном [2], который ввел кванты энергии (или фотоны) электромагнитного поля. Согласно Эйнштейну, общая энергия £ поля

излучения на частоте f определяется выражением

Е =欣厶(11.10)

где п — полное число фотонов в поле, каждый из которых обладает энергией hf. Принимая во внимание уравнение (11.10) и корпускулярное описание, предположим теперь, что поле рассматривается как волна, для которой можно ввести фазу

(р = 2л/Л(11.11)

Таким образом, мы имеем два уравнения, каждое из которых отражает различные аспекты характера поля. Одно из этих уравнений содержит энергию Е, другое — время /. Как мы уже видели, эти две величины являются сопряженной парой, удовлетворяющей принципу неопределенности, выраженному уравнением (11.3). Записывая выражения

АЕ = hf^n,

(11.12)

Д(р = 2л/Д/, получаем

ДпД(р>1/2.(11.13)

Этот результат отражает дуальный характер поля излучения, показывая, что измерения, основанные на корпускулярном и волновом представлениях поля, не являются независимыми: информация об одном из них получается за счет информации о другом.

Принцип неопределенности в виде выражения (11.13) можно использовать для установления квантового предела шумов линейного усилителя [7]. Удобно провести доказательство применительно к мазеру, название которого рассматривается здесь как обобщенный термин, употребляемый для обозначения устройств, усиливающих излучение при прохождении его через возбужденную молекулярную среду за счет индуцированного излучения, в том числе лазеров, иразеров и т. д. Для настоящего рассмотрения достаточно оставить пока в стороне микроскопическую картину работы мазера, речь о которой пойдет в следующей главе, и сконцентрировать внимание на простой модели, изображенной на рис. 11.2. Падающее излучение, имеющее спектральную плотность Si, проходит через поглощающий материал толщиной L (изображающий мазер) и выходит со спектральной плотностью

S2 = S] ехр (—а£),(11.14)

где а — коэффициент поглощения на частоте излучения. Если мазер функционирует как усилитель, величина а будет

отрицательной и интенсивность на выходе превосходит интенсивность на входе, т. е. система обеспечивает усиление. Тогда количества фотонов 九】и 九2, появляющихся соответственно на входе и выходе системы в течение данного времени, связаны соотношением

九 2 = Gfl],九 2 = Gfl],(11.15)

九 2 = Gfl],

九 2 = Gfl],

Рис. 11.2. Прохождение электромагнитного излучения через поглощающую среду толщиной 厶.Рис. 11.2. Прохождение электромагнитного излучения через поглощающую среду толщиной 厶.где G> 1 — коэффициент усиления по мощности. Поскольку усиление является когерентным процессом, фазы на входе и выхо-

Рис. 11.2. Прохождение электромагнитного излучения через поглощающую среду толщиной 厶.

Рис. 11.2. Прохождение электромагнитного излучения через поглощающую среду толщиной 厶.

Рис. 11.3. Усилитель с коэффициент том усиления G и «идеальный» детектор.

де ф1 и(р2 равны или отличаются на постоянный фазовый сдвиг фо：

ф2 = Ф1 + фо-(11.16)

Предположим теперь, что после усилителя включен детектор (рис. 11.3), который является «идеальным» в том смысле, что он наилучший из возможных в пределах ограничений, налагаемых принципом неопределенности. Таким образом, детектор обеспечивает измерение числа фотонов л2 и фазы ф2 поля излучения на выходе усилителя с ошибкой, определяемой соотношением неопределенности

Дп2Дф2=1/2.(11.17)

Следовательно, если бы усилитель не имел собственных шумов, ош'ибки измерения числа фотонов и фазы на входе удовлетворяли бы условию

△々А% = (1/G) An2A屮2 = (1/2) G.(11.18)

Это невозможно, поскольку противоречит принципу неопределенности, а следовательно, гипотеза о том, что усилитель не имеет собственных шумов, несправедлива. Усилитель должен

вводить некоторую неопределенность в измерение, или, други- ми словами, он всегда будет иметь шумы.

Хотя такое рассуждение устанавливает существование минимального уровня шума в усилителе, оно не позволяет оценить этот уровень. Однако такую оценку можно получить, используя дополнительное условие согласования усилителя с детектором. Тогда уровень квантовых флуктуаций поля излучения [5] получается как условие минимального шума. Из расчетов, приведенных в приложении 7, следует, что минимальная мощность шума на выходе усилителя, определенная в полосе частот df около сигнальной частоты %, описывается формулой

АРмин = (С-1) ад. (11.19}

Относя ее iko входу, т. е. разделив на коэффициент усиления G, получаем, что в пределе большого G минимальная обнаруживаемая мощность сигнала составляет hfodf.

Этот вывод представляет интерес в связи с тем, что мощность шума, генерируемая сопротивлением (как показано в следующем разделе), в пределе низких температур равна (l/2)hfdff так как она связана с энергией нулевых колебаний. Энергия нулевых колебаний не наблюдается, поскольку она в 2 раза ниже минимально регистрируемого уровня. Напротив, в «классическом» пределе мощность генерируемых шумов наблюдается всегда, по крайней мере в принципе. Тем не менее, когда существенны квантовые эффекты, усилитель сам является объектом 1квантовомеханического рассмотрения и устанавливает нижний предел регистрируемой мощности на входе.

Рассуждение, приведенное выше, является довольно общим в том смысле, что оно применимо к любому линейному усилителю, который описывается уравнениями (11.15) и (11.16). Примером такого «совершенного» устройства является мазер; теоретически минимальная обнаруживаемая мощность на входе мазера точно описывается выражением 11.19, которое, как мы видим, дает наилучший достижимый результат. Принцип действия мазера и механизмы шумов, возникающих в нем, будут обсуждаться в разд. 11.5 и 11.6.

« Теорема Найквиста и квантовая механика

В своем рассмотрении теплового шума Найквист [9] воспользовался приемом, заключающимся в анализе обмена энергией между двумя электрическими проводниками, соединенными идеальной передающей линией без потерь и находящимися в состоянии равновесия при температуре 0. Используя теорему о

равнораспределении, согласно которой на каждую степень свободы приходится энергия ^0, мы приходим к выражению (11.1) для флуктуаций напряжения на сопротивлении R (см. приложение 2). Если квантовыми эффектами можно пренебречь, т.е. частота и температура таковы, что квант энергии hf много меньше тепловой энергии 良8, то справедлива теорема Найквиста. Напротив, если 九/2^8, необходимо воспользоваться обобщенной формой теоремы.

Найквист сам указал на это обстоятельство и предположил, что вместо энергии 力8, используемой в теореме о равнораспределении, в общем виде средняя энергия, приходящаяся на степень свободы, должна описываться выражением

»хр (飼

которое переходит в 左8, если 力f《尼8・ Это — средняя энергия гармонического осциллятора без учета члена, связанного с энергией нулевых колебаний (1/2)方厶 При его учете спектральная плотность флуктуаций напряжения выражается в обобщенной @орме

^) = 47? (-L hf+^^^ = 2 W ch Wl2k% (И.20)

которая сводится к известной формуле Найквиста (11.1), когда можно пренебречь квантовыми эффектами. Из уравнения (11.20), как легко показать, следует, что номинальная мощность шума, приходящаяся на интервал частот df, описывается •формулой

АР<и>а“ = {}时，+Rxp(九褊二Tj}df. (11.21)

Некоторые сомнения о включении члена с нулевой энергией в уравнения (11.20) и (11.21) высказывались Мак-Дональдом [8], который указал, что его присутствие предполагает в принципе возможность извлечения энергии из флуктуаций в пределе абсолютного нуля, что является неприемлемым.

Казалось бы, довод Мак-Дональда представляет серьезное препятствие для включения члена с нулевой энергией в выражение для теплового шума. Но он основывается на понятии мощности, выделяемой в согласованной нагрузке, которая интерпретируется в «классическом» смысле, т. е. предполагается, что флуктуации подаются в нешумящую нагрузку. Однако в случае, когда важна конечная величина h, нагрузка (как и источник) является объектом квантовой природы и обязательно ге-

нерирует шум. Существование нижнего квантового предела для шума в системе рассматривалось для случая линейного усилителя в разд. 11.3. В низкотемпературном пределе это обусловливает компенсацию потока мощности шума от сопротивления источника в нагрузку равным, но противоположным потоком от нагрузки к источнику. Таким образом, энергия нулевых флуктуаций сопротивления источника ненаблюдаема, не существует никакой возможности выделить чистый поток шумовой мощности от прибора, который мог бы использоваться, например, для приведения в движение другой системы. Этот аргумент подчеркивает важный фундаментальный принцип квантовой механики: поведение физической величины может быть определено, если только принят во внимание способ, посредством которого она наблюдается.

Очевидно, что включение члена с нулевой энергией в выражение, подобное уравнению (11.20), описывающее спонтанные флуктуации, не подразумевает физически несостоятельное поведение в низкотемпературном пределе. Следует заметить, что это заключение не умаляет значения проблемы, поднятой МакДональдом в начале 1960-х гг., и что в его статье поставлено много интересных вопросов, касающихся применения квантовой механики к проблемам, включающим тепловой шум, броуновское движение и необратимость,

Из обсуждения пака что следует, что член с нулевой энергией включается в выражение для шума, что называется 《с потолка》. Тот факт, что это не приводит к нежелательным последствиям при нулевой температуре, не доказывает необходимость его введения. Общее доказательство справедливости уравнения (11.20) было дано Калленом и Вельтоном [1] на основе расчета испускания и поглощения квантов энергии электронами в сопротивлении. Это доказательство интересно тем, что оно не опирается на произвольное введение члена с нулевой энергией, и не делается никаких ссылок на понятие нулевой энергии, хотя в окончательном результате появляется член a⑵仔

В большинстве практических задач влияние нулевой энергии на шум не проявляется. Однако при расчете теплового шума в мазере важно учитывать член с нулевой энергией, по крайней мере при теоретическом анализе, так как в этом случае результат допускает простую физическую интерпретацию (разд. 11.6) Что (касается измерений спектральной плотности теплового шума в области, где необходимо применять квантовые модификации теоремы Найквиста, то они в настоящее время автору не известны. Ситуация может измениться благодаря проводимым в Университете шт. Флориды |[13] экспериментам с радиочастотным (контуром типа Ханбури — Брауна — Твисса»

работающим на частоте 100 кГц. Их целью является измерение теплового шума при условии hf^kQ и обеспечение, таким образом, экспериментального исследования формы его спектральной плотности в случае, когда нельзя пренебречь квантовыми эффектами.

. Поглощение и испускание излучения веществом

Работа мазера основана на взаимодействии электромагнитного излучения со средой, при котором происходит заполнение атомами или молекулами по крайней мере двух энергетических уровней. Чтобы исключить двусмысленность, предположим, что активная среда состоит только из молекул. В мазере вынужденное излучение возникает при переходе молекулы с верхнего энергетического уровня на нижний под воздействием первичного излучения. Этот механизм ответствен за процесс усиления. Он является существенно квантовым по своей природе, не допускающим прямой классической интерпретации. С этой точки зрения действие мазера довольно необычно в том смысле, что является макроскопическим проявлением квантовых явлений.

Между энергетическими уровнями системы существуют три типа радиационных переходов: уже упомянутое вынужденное излучение, спонтанное излучение и поглощение. (Возможны также безызлучательные переходы, при которых возбуждаются колебания решетки или фононы, но они не имеют отношения к настоящему рассмотрению.) Два последних процесса дают вклад в шум мазера, так как представляют собой случайные, независимые переходы между уровнями. Они ответственны за внутренние тепловые шумы в системе. Как будет показано в разд. 11.6.1, выражение для спектральной плотности теплового шума содержит два члена, один из которых можно связать со спонтанным излучением, другой — с поглощением. Прежде чем детально исследовать шум, полезно кратко рассмотреть физические принципы работы мазера на основе понятий, введенных Эйнштейном.

Обмен энергией в двухуровневой системе

Для простоты предположим, что отдельная молекула характеризуется двумя энергетическими состояниями с энергиями Е\ и £*2. На рис. 11.4 представлена двухуровневая система с 七2> >£\. Переход на нижний уровень сопровождается излучением

на определенной частоте 九2, удовлетворяющей условию

区一g=砧2，(11.22)

где h — постоянная Планка. Теперь рассмотрим большое число N таких молекул, содержащихся в заданном объеме, часть их находится в нижнем энергетическом состоянии, остальные — в верхнем. Если ^l и ^2 — число молекул, находящихся соответственно в нижнем и верхнем состояниях, то

2V = Л\+TV? = constant,(11.23)

и чтобы заселенность уровней соответствовала тепловому равновесию с окружающей средой при абсолютной температуре 0,

Рис. 11.4. Уровни энергии двухуровневой системы.

относительное число молекул в двух состояниях должно описываться следующим выражением:

NJN、= exp -{{E2-E^/kQ}.(11.24)

(Этот результат для классических систем был получен Больцманом. Он вполне подходит для нашей цели, хотя в других обстоятельствах может возникнуть необходимость его замены статистикой либо Бозе — Эйнштейна, либо Ферми — Дирака.)

Условие теплового равновесия поддерживается благодаря непрерывному обмену энергией с окружающей средой. Если предположить, что эта энергия существует в форме излучения и ансамбль молекул помещен в поле излучения, то обмен может происходить только на частоте 力2, соответствующей разности энергий 七2—Ei・ Следовательно, уравнение (11.24) можно переписать в измененной форме

NJN 工=ехр —仇九/砌•(11.25)

При тепловом равновесии число молекул, находящихся q каждом из двух энергетических состояний, остается статистически постоянным: в среднем не может быть накопления или истощения их на любом из уровней. Это означает, что, за исключением статистических флуктуаций, суммарное число переходов между двумя уровнями равно нулю, т. е. среднее число переходов вверх за единицу времени точно компенсируется

средним числом переходов вниз. Такое поведение иллюстрирует общие условия, известные как принцип детального равновесия [10], требующий, чтобы суммарное число переходов между любой парой энергетических уровней в системе тождественна равнялось нулю. (Заметим, что в системе с тремя и более уровнями это условие сильнее любого другого, налагаемого термодинамикой.)

Обозначим через С f вероятность за единицу времени перехода данной молекулы из нижнего энергетического состояния в верхнее, а через С ।—аналогичную вероятность для перехода из верхнего состояния в нижнее. Чтобы удовлетворить принцип пу детального равновесия, должно выполняться условие

e 也=5也，(U.26>

которое свидетельствует о равенстве числа переходов вниз и вверх. Отметим, что из уравнения (11.25) следует N2<N\, поэтому должно выполняться условие Cf V С 心• Следуя Эйнштейну {3], его можно записать в более удобной форме

С Т =尸12 = B\?Sr (со12) df,(11.27а>

СI = Р21+41 =当岔欠(用2)d/+4i,(11.276}

где Л и В — коэффициенты Эйнштейна; они могут зависеть от частоты. Их величина также определяется типом молекулы и выбранной парой уровней, между которыми осуществляется переход. Л21 — коэффициент спонтанного излучения; В12 и В21 — соответственно коэффициенты вынужденного излучения и поглощения. Заметим, что соответствующие вероятности 尸12 и 尸21 пропорциональны мощности излучения SR(a)\2)df в частотном интервале df около частоты 力2=@12/2九 Эйнштейн указал на важное обстоятельство: так как система находится в тепловом равновесии, поле излучения подобно излучению черного тела с плотностью энергии, определяемой законом Планка

Y(11・28а)

где 力=九/2冗；pm — объемная плотность мод излучения в преде« л ах единичного частотного интервала

рm = 2 叫2/冗炉.(11.286)

В этом выражении с — скорость света.

Интересно остановиться на постулированных Эйнштейном свойствах вероятностей переходов, введенных в уравнениях (11.27). Член Р12, описывающий поглощение, пропорционален

плотности энергии излучения или (что эквивалентно) числу фононов в поле с частотой 加.Интуитивно, это кажется разумным〉 так как чем больше присутствует фотонов, тем больше возможностей для их перехода на верхний уровень в течение данного промежутка времени. Но, если принять этот довод, тогда процесс испускания фотонов также должен зависеть от интенсивности излучения, иначе было бы невозможно поддерживать тепловое равновесие. Этим объясняется наличие члена〉 описывающего вынужденное излучение. Как показано нижег член, отвечающий за спонтанное излучение, необходим для удовлетворения неравенства между 5 и С( •

Из уравнений (11.26) и (11.27) получаем

B12N^^df^[B2^^ d/+4J 必 (1129)

В пределе высоких температур Sr—>оо и N2M―>1, из чега следует, что

^12 = ^21 >(11.30а)

т. е. вероятности поглощения и вынужденного испускания одинаковы. Так как С)> С|, Л21>0. Из написанных выше двух уравнений получаем для Л21 следующее выражение:

4 =耳砲伐!一 1 ) %"=(总部)hf12B12df. (11.306> Из уравнения (11.306) следует, что коэффициенты Л и В не являются независимыми, их отношение изменяется по закону куба частоты.

Уравнения (11.30) позволяют вычислить не только относительные, но и абсолютные значения коэффициентов А и В^ а следовательно, вероятности переходов вверх и вниз остаются неопределенными. Ситуацию можно прояснить, если экспериментально измерить либо коэффициент Л, либо В. Прямое измерение коэффициента спонтанного излучения можно, например, осуществить, измеряя скорость перехода молекул из верхнего состояния, после того как система была возбуждена внешним источником монохроматического излучения на частоте 厶2・ Наблюдаемое при этом послесвечение носит экспоненциальна затухающий характер с постоянной времени, равной А2г\ как это легко установить, составляя уравнения для скоростей, с которыми изменяется число молекул, находящихся на обоих уровнях. Обычно постоянная времени имеет порядок 10 нс. При использовании обычной электронной аппаратуры измерение такой величины представляет некоторые трудности.

Описанная выше двухуровневая система является простейшей из возможных многоуровневых систем. На практике в ма，

вере обычно используются три и более уровней, так проще и удобнее осуществить инверсную заселенность, хотя и имеется возможность достигнуть необходимых условий только с двумя уровнями, как это было продемонстрировано в первом аммиачном мазере, описанным Гордоном с сотр. [6] и Шимодой с сотр. [11].

Сложность, с которой иногда встречаются на практике, заключается в том, что одинаковую энергию имеют два или более квантовых состояний. Такие системы называются 8blpcж- денными. При анализе системы в соответствующем месте должен быть введен фактор вырождения. Это приводит к количественным изменениям, но физическая сущность явлений, описанных выше, остается прежней.

11.5.2. Принцип действия мазера

Уравнение (11.24) показывает, что в состоянии равновесия нижний уровень всегда более заселен, чем верхний. Из этого с очевидностью следует, что член, описывающий поглощение в левой части уравнения (11.29), больше члена, описывающего вынужденное излучение в правой. Действительно, для уровней, разделенных по энергии, составляющей несколько 々8 или более, равновесное вынужденное излучение незначительно по сравнению с двумя другими процессами перехода. Ситуация может быть изменена на противоположную с сильным эффектом посредством процесса, называемого накачкой. Существует много способов практического осуществления накачки, но мы не будем вдаваться в детали. Важно, что можно достигнуть радикального изменения заселенности уровней, так что при определенных обстоятельствах будет удовлетворяться условие N2>№, представляющее собой условие инверсной населенности. Хотя теперь система больше не является равновесной, заселенность уровней может быть описана аналогично уравнению (11.24) введением температуры — 0^

Конечно, Qm является не реальной температурой системы, а только параметром, характеризующим заселенность ее уровней. Заметим, что если величина 0m—бесконечна, то система находится в пороговом состоянии инверсной населенности с равным числом молекул на обоих уровнях, а если 0т = О, то все молекулы находятся в верхнем состоянии, а нижнее остается пустым.

Когда достигается инверсная населенность, энергия, испускаемая в виде вынужденного излучения, превышает энергию,

поглощаемую в системе. Из этого вытекает предельно простое, но чрезвычайно важное следствие. Если слабый гармонический сигнал в виде поля излучения с частотой fi2 вводится в систему, то он вызовет большое число переходов, каждый из которых «вложит» в поле фотон с частотой 厶2・ Таким образом, система действует как усилитель. Более того, так жак каждый переход вниз добавляет фиксированное количество энергии в существующее поле излучения, фаза испускаемого излучения должна совпадать с фазой входного сигнала. (Это можно легко пояснить, если рассмотреть сложение двух синусоидальных волн с одинаковыми частотами, но различными фазами. Результирующая интенсивность является функцией разности фаз, как известно из опытов по интерференции. Поэтому в мазере все компоненты поля излучения должны иметь одну и ту же фазу, если каждая вносит в поле одинаковую энергию.) Важность фазовой когерентности выходного сигнала нельзя переоценивать. С появлением мазера впервые стали доступны источники когерентного излучения с высокой интенсивностью. Вслед за этим нашли широкое применение оптические мазеры (или лазеры). Примером такого применения является голография, для которой фазовая когерентность является существенным требованием. Прогресс, который достигнут в этой области к настоящему времени, при отсутствии лазеров был бы невозможен.

Шумы мазера

Основными шумами в мазере являются тепловой и дробовой шумы. Первый возникает благодаря случайным флуктуациям, связанным со спонтанным излучением и поглощением, и существен, когда мазер работает в режиме, близком к порогу инверсной населенности. Если населенность значительно превышает пороговую, испускаемое излучение обладает пуассоновской статистикой, и преобладающим является дробовой шум выходящего потока фотонов.

Тепловой шум

Находясь в состоянии ниже порога инверсной населенности, активная среда мазера, внесенная в поле излучения с частотой fi2, поглощает энергию поля. Так как диссипация энергии характеризуется активным сопротивлением материала, мазеру можно сопоставить эквивалентный элемент электрической цепи—проводимость Gmas или в другом представлении сопротивление Gmas'1. Но любое сопротивление, находящееся в тепловом равновесии с термостатом при абсолютной температуре 0, является источником теплового шума, спектральная плотность которого в общем случае описывается квантовой обобщенной

теоремой Найквиста. Таким образом, выражение для спектральной плотности теплового шума в мазере имеет вид

Q^= 4Gmas [岑■+[-7認\(11.32)

где(Di2=2nfi2 — угловая частота, соответствующая разности энергий между двумя активными уровнями в системе. Для дальнейших вычислений необходимо выразить Gmas через параметры мазера.

Рис. 11.5. Эквивалентная схема мазера.

Источник сигнала представлен в виде генератора тока 厶(力 с внутренней проводимостью G§; А, Лх ——вход передающей линии, связывающей источник сигнала с активной средой.

Предположим, что активная среда мазера, состоящая из молекул с двумя энергетическими состояниями, связана с источником сигнала, обладающим внутренней проводимостью Gs・ Связь осуществляется через согласованную с источником передающую линию, не имеющую потерь. На рис. 11.5 представлена эквивалентная схема полной системы. (В действительности могут понадобиться и другие элементы, например циркулятор, но они не существенны для данного рассмотрения.) Точками А и А' на рисунке изображен вход передающей линии, входная проводимость которой является действительной величиной, равной внутренней проводимости источника G$. Простой анализ цепи показывает, что энергия, поглощенная в мазере, т. е. в проводимости Gmas, описывается формулой

Pabs = Av*， (И.ЗЗа)

где Pav — номинальная мощность, выделяемая источником в согласованную нагрузку. Но, согласно уравнению (11.27), мощность, поглощенная мазером при наличии входящего поля излучения с мощностью Pav, имеет вид

Рabs=Pav^i2Pm方312 (М — ”2)， (11.336) где подразумевается, что вклад вынужденного излучения и поглощения преобладает, и поэтому отсутствует член, описывающий спонтанное излучение. Это оправдано, так как мощность

падающего излучения значительно превышает мощность излучения черного тела, которая одна присутствовала бы в состоянии равновесия. Сравнивая между собой уравнения (11.33), вычисляем проводимость мазера в виде

Gmas = 312Pm的2 (М —М) Gs«(11.34)

В отсутствие накачки М и № принимают свои равновесные значения, а величина Gmas положительна. Однако, когда с помощью сигнала накачки достигается состояние с инверсной населенностью, проводимость мазера, как показывает уравнение (11.34), становится отрицательной. Это означает, что активная среда излучает большую мощность, чем поглощает.

Для определения теплового шума мазера достаточно рассмотреть только равновесный случай, когда отсутствует сигнал накачки. Из уравнений (11.32) и (11.34) следует выражение для спектральной плотности теплового шума

、一J. (11-35)

Относительная заполненность уровней в равновесном состоянии задается законом Больцмана

N』N 工=exp (—力 o)i2 欣 °).(11.36)

После подстановки выражения (11.36) в уравнение (11.35), получаем

Smas (“2)= 28i2PmG$ (方S12)2 (M — “2)+

+ 4B12pm(A(D12)2G^2.(11.37a)

Следует отметить, что первый член в правой части этого выражения возникает из-за наличия нулевой энергии. Он бы отсутствовал и здесь, если был опущен в квантовом варианте теоремы Найквиста. С учетом этого члена формулу для спектральной плотности можно упростить следующим образом:

Smas(812)= 2B12pmGs (А(о12)2 (М + “2)=

= 2B12pmGs(h^2N, (11.376) где N — общее число активных молекул в системе.

Поскольку величина N остается постоянной, независимо от того, находится ли система в состоянии равновесия или нет, уравнение (11.376) должно быть справедливо, даже когда присутствует сигнал накачки. Более того, как было показано вандер-Зилом [13], члены, содержащие М и 必 в окончательном выражении для шума на выходе мазера, могут быть идентифицированы соответственно с действительным шумом поглощения

и действительным шумом спонтанного излучения. Такая физически оправданная интерпретация не была бы возможна, если опустить член с нулевой энергией в уравнении (11.32). Это подтверждает правильность его введения.

Коэффициент шума

Когда мазер действует как усилитель, он уже не находится в состоянии термодинамического равновесия, хотя, как мы видели, можно пользоваться уравнениями (11.37) для описания теплового шума на выходе системы. Если этот генератор шума отнести ко входу, разделив на коэффициент усиления по мощности G усилителя, -коэффициент шума можно выразить следующим образом:

尸=1+、§豊&立，(11.38)

GSs (tt)i2)

где

%^ = 4G (峥.(И.39)

—спектральная плотность шума источника, находящегося при температуре 0. В уравнении (11.38) подразумевается, что на выходе мазера присутствует только тепловой шум. Мы не рассматриваем здесь другие виды шумов, например дробовой, так как тепловой шум определяет принципиальный предел чувствительности и ему уделяется основное внимание. Далее, для вычисления коэффициента шума необходимо определить коэффициент усиления усилителя.

Когда накачка мазера превышает пороговый уровень и достигается инверсная населенность, относительная занятость двух активных уровней может быть выражена в терминах отрицательной температуры —8俏，как определено в уравнении (11.31). При этих условиях мощность выходного сигнала мазера описывается выражением

части уравнения на rav, находим коэффиG = 1 + 施2312Pm 餌一М)=[ехР (酢)・циент усиления-1]Т・(11.41)части уравнения на rav, находим коэффиG = 1 + 施2312Pm 餌一М)=[ехР (酢)・циент усиления-1]Т・(11.41)Pout = Pav +力З^/РпЛМ — "l)：Pav,(11.40)Pout = Pav +力З^/РпЛМ — "l)：Pav,(11.40)v — номинальная мощность источника. Разделивv — номинальная мощность источника. Разделив

части уравнения на rav, находим коэффи

G = 1 + 施2312Pm 餌一М)=

[ехР (酢)・

циент усиления

-1]

Т・(11.41)

части уравнения на rav, находим коэффи

G = 1 + 施2312Pm 餌一М)=

[ехР (酢)・

циент усиления

-1]

Т・(11.41)

Pout = Pav +力З^/РпЛМ — "l)：Pav,(11.40)

Pout = Pav +力З^/РпЛМ — "l)：Pav,(11.40)

v — номинальная мощность источника. Разделив

v — номинальная мощность источника. Разделив

Уравнение (11.41) можно записать в другом видеУравнение (11.41) можно записать в другом виде(11.42)(11.42)

Уравнение (11.41) можно записать в другом виде

Уравнение (11.41) можно записать в другом виде

(11.42)

(11.42)

который удобен для вычисления коэффициента шума, так как его левая часть входит в качестве сомножителя во второй член правой части уравнения (11.38).

С помощью уравнений (11.376), (11.39) и (11.42) коэффициент шума можно выразить в общем виде

/ 1 \ bp [exp (罂R + 1)

尸=1+( H_ (11.43)

Для низких частот, т. е. если 方coi2《^6 и 左① 12《々6加,он сводится к следующему выражению:

F^l + (l_l/G)6m/0, (11.44) из выражения для коэффициента шума получаем шумовую температуру в виде

% = (1 — 1/G)6m・ (11.45)

Ясно, что коэффициент шума в общем случае зависит от степени инверсной населенности. В низкочастотной области эта зависимость выглядит довольно просто. Как видно из уравнения (11.44), величина F уменьшается с увеличением степени инвер- тируемости уровней.

Уравнение (11.44) дает вполне удовлетворительное приближение для коэффициента шума мазера, работающего вблизи порогового значения инверсной населенности, так как в этой области обычно преобладает тепловой шум. При более высоких уровнях инверсии могут доминировать другие источники шумов, например дробового шума. В этом случае можно ожидать, что вышеупомянутое выражение для коэффициента шума будет несправедливо. Тем не менее, поскольку тепловой шум устанавливает нижний предел уровня шумов мазера, интересно исследовать предельные случаи общего выражения, описываемого формулой (11.43).

Мы можем с полным основанием предположить, что коэффициент усиления системы значительно больше единицы (в противном случае понадобилось бы дальнейшее усиление, которое внесло бы существенный дополнительный шум). Тогда общее

выражение сводится к следующему:выражение сводится к следующему:

выражение сводится к следующему:

выражение сводится к следующему:

Эта функция имеет минимум, когда выполняется условие 8加=0, соответствующее полной инверсии населенности уровней. Таким образом, получаем формулу для минимального коэффициента шума

(4.47)(4.47)

(4.47)

(4.47)

в которой приближение соответствует случаю низкочастотного предела 方coi2《^B・ Другой интересный случай возникает, если 0 = 0zn = O. Он описывает условия, при которых уровни полностью инвертированы, а источник находится при нулевой температуре. Очевидно, что экспоненциальные функции в уравнении (11.46) становятся теперь много больше единицы, и коэффициент шума 尸=2. На первый взгляд этот результат кажется странным, но не стоит придавать ему большое значение; на самом деле он отражает простой факт, что мощность шума, отнесенная ко входу мазера, состоит из двух равных вкладов, вызванных нулевыми флуктуациями: один от источника, а другой от самого мазера. Поскольку нулевая энергия не наблюдается, (мы уже видели, что минимальная энергия, доступная измерениям, составляет 方со】？，а не 方① 12/2), нет особого смысла определять коэффициент шума в этом случае.

Дробовой шум

Ван-дер-Зил {12] предположил, что мазер с большим коэффициентом усиления должен на выходе обладать дробовым шумом в дополнение к рассмотренному выше тепловому шуму. Это вызвано тем, что сигнал накачки, необходимый для достижения инверсной населенности, представляет собой последовательность независимых случайных событий, и, следовательно, сам дает дробовой шум. Поскольку количество испускаемых фотонов равно количеству накачиваемых фотонов, выходной поток фотонов также обладает дробовым шумом. Очевидно, что для увеличения выходной мощности мазера необходимо повышать степень инверсной населенности; это можно сделать, только увеличивая интенсивность накачки. Из этого следует, что компо-

нента дробового шума в выходном сигнале возрастает, когда энергетические состояния становятся более инвертированными; таким образом объясняется то, что дробовой шум может стать основным источником шума, когда мазер работает при значительном превышении порога инверсной населенности.

Заключительные замечания

Мазер является одним из самых низкошумящих усилителей, его предел чувствительности определяется тепловым шумом, присущим активной части прибора. На практике избыточный уровень шума усилителя может значительно превышать предельно достижимый из-за шумов во внешних устройствах, например в циркуляторе и других элементах электрической цепи. Для реализации потенциальных возможностей мазера как низ- кошумящего устройства важно максимально снизить шумы этих внешних источников.

ЛИТЕРАТУРА

Н. В. Callen, Т. A. Welton (1951), Irreversibility and generalized noise, Phys. Rev., 83, 34—40.

A. Einstein (1905), Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Heuristic viewpoint concerning the generation and transformation of light), Ann. d. Phys., 17, 132—148.

A. Einstein (1917), On the quantum theory of radiation, Phys. Z” 18, 121 —

D. Gabor (1946), Theory of communication, J. of the lEEt 93, 429—457.

D. Gabor (1950), Communication theory and physics, Phil. Mag., 41, 1161 — 1187.

J. P. Gordon, H. J. Zeiger and С. H. Townes (1954), Molecular microwave I oscillator and new hyperfine structure in the microwave spectrum of NH3, Phys. Rev., 95, 282—284; (1955), The maser — new type of microwave amplifier frequency standard and spectrometer, Phys. Rev.t 99, 1264—1274.

H. Heffner (1962), The fundamental noise limit of linear amplifiers, Proc. IRE, 50, 1604—1608.

D. K・ C. MacDonald (1962), On Brownian movement and irreversibility, Phy sic a, 28, 409—416.

H. Nyquist (1928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys. R”，32, 110—113.

L. Onsager (1931), Reciprocal relations in irreversible processes, Phys. Rev., 37, 405—425; ibid., 38, 2265—2279.

K. Shimoda, T. C. Wang, С. H. Townes (1956), Further aspects of the theory of the maser, Phys. Res, 102, 1308—1321.

A. van der Ziel (1970), Noise in solid-state devices and lasers, Proc. IEEE, 58, 1178—1206.

A. van der Ziel (1981), Quantum noise effects at high frequencies and low temperatures, Proc. 6th International Conference on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, MD, USA, 6—10 April 1981.

12

Приборы с джозефсоновскими контактами

Введение

Хорошо известно, что у ряда металлов и металлических сплавов наблюдается явление сверхпроводимости: ниже температуры перехода 0С, которая различна у различных сверхпроводников, но всегда находится в области гелиевых температур, их электрическое сопротивление полностью исчезает. Этот эффект был открыт в 1911 г. Камерлинг-Оннесом, который обнаружил, что сопротивление ртути обращается в нуль при температурах ниже 4,2 К. Отсутствие сопротивления означает, что в сверхпроводящем кольце, находящемся ниже температуры перехода, можно возбудить《сверхток》，и такой ток, как можно ожидать, будет бесконечно долгое время циркулировать, не изменяясь. Действительно, наблюдались сверхтоки, в пределах точности измерений сохранявшие свою величину в течение очень долгого времени (нескольких лет).

Сверхтоки представляют собой существенно квантовое явление, заключающееся в образовании слабо связанных пар электронов, которые двигаются через вещество без столкновений с кристаллической решеткой. Механизм «спаривания» впервые был предложен Купером [6]; его теория позже была усовершенствована Бардиным, Купером и Шриффером [3] и называется БКШ-теорией. Они приняли во внимание многочастичные взаимодействия всех электронов. Главный вывод из БКШ-теории состоит в том, что существенным является только взаимодействие куперовских пар, влияние остальных взаимодействий сводится просто к ограничению числа состояний, в которые могут рассеиваться куперовские пары.

Силы, связывающие два электрона в куперовскую пару, чрезвычайно слабы, поэтому сверхпроводимость наблюдается только при низких температурах, когда тепловая энергия электронов меньше ширины энергетической щели (т. е. энергии, необходимой, чтобы разделить пару). Связь также можно разорвать, приложив достаточно сильное магнитное поле или пропустив сильный ток. В любом случае сверхпроводимость разрушается и материал ведет себя как обычный проводник, в котором носителями тока являются обычные электроны.

Между двумя электрическими проводниками, находящимися в нормальном состоянии и разделенными тонким слоем изолятора, может протекать ток благодаря процессу туннелирования. Согласно классической физике, это невозможно, но из квантовой механики следует, что, даже если энергия электрона недостаточна для прямого преодоления барьера, он может с отличной от нуля вероятностью пройти сквозь барьер и появиться на другой стороне. Аналогично нормальный туннельный ток неспаренных электронов может протекать через контакт, образованный двумя сверхпроводниками, разделенными изолятором. Но возможно также туннелирование куперовских пар через барьер. Это означает, что изолирующий материал между двумя сверхпроводниками ведет себя как сверхпроводник. Такое замечательное поведение наряду с несколькими другими важными эффектами было теоретически предсказано Джозефсоном [11]. Он рассматривал контакт как «слабый» сверхпроводник, так как при наличии изолирующего слоя между сверхпроводниками сверхток легче, чем в сплошном сверхпроводнике, разрушается внешним воздействием, в частности магнитным полем.

Воздействие магнитного поля на сверхток, протекающий через джозефсоновский контакт (в предположении, что напряженность поля не превосходит уровня, при котором сверхток разрушается), приводит к пространственным изменениям величины и направления тока. Это в свою очередь означает, что результирующий ток через контакт зависит от приложенного магнитного поля, причем уравнения, описывающие эту зависимость, совпадают с теми, которые описывают картину дифракции Фраунгофера, когда свет проходит через одиночную щель. Аналогично в случае двух джозефсоновских контактов, включенных параллельно в сверхпроводящее кольцо, математическое описание зависимости тока от магнитного потока, пронизывающего кольцо, такое же, как для интерференционной картины, получаемой в случае дифракции на двух щелях. Действительно, механизмом, лежащим в основе изменений тока в многоконтактных приборах, является квантовая интерференция, и такие приборы известны как джозефсоновские интерферометры или сверхпроводящие интерферометрические приборы (сквиды).

Сквид чрезвычайно чувствителен к слабым изменениям напряженности магнитного поля, и поэтому его можно использовать как магнитометр с высокой разрешающей способностью. Он впервые был предложен в середине 1960-х гг. Джаклевичем с сотр. [10]. Предельное разрешение сквида определяется тепловым шумом, присущим джозефсоновским контактам. Созданные впоследствии многоконтактные приборы по чувствительности приближаются к этому пределу. Шум сквидов настолько низок, что они используются в качестве чувствительных элемен-

тов в детекторах гравитационного излучения (гл. 13). Именно в этих устройствах чрезвычайно важную роль играет совершенство системы регистрации сигнала, требующей тщательнейшего исполнения, чтобы достичь уникальной чувствительности. Применение здесь сквидов естественно и оправданно.

В последней части этой главы рассматриваются механизмы шумов, возникающих в сверхпроводниках, джозефсоновских контактах и сквидах. Однако предварительно полезно ознакомиться с физикой работы приборов, использующих джозефсо- новские контакты, а затем перейти к обсуждению шумов и флуктуаций в контактах.

Сверхпроводимость

Как известно, ряд металлов, включая ниобий, свинец, олово, являются сверхпроводниками, и все они имеют температуру перехода ниже 10 К. Некоторые металлические соединения также обладают свойствами сверхпроводимости, в частности Nb^Sn, температура перехода которого относительно высока (около 18 К). Сверхпроводниками является некоторые сплавы, например РЬ—Bi, который интересен тем, что составляющий его элемент висмут сам сверхпроводимостью не обладает. Среди одновалентных металлов, ферро- и антиферромагнетиков сверхпроводники пока не обнаружены.

Важным характерным свойством сверхпроводника является полное отсутствие сопротивления при температурах ниже температуры перехода 0С. Это наводит на мысль, что сверхпроводник ничем не отличается от «идеального» проводника, т. е. гипотетического металла с нулевым сопротивлением. Действительно, так и считалось в течение довольно долгого периода времени после открытия сверхпроводимости. Но сверхпроводник при температурах ниже 0С ——это не просто идеальный проводник: он также идеальный диамагнетик, или, другими словами, даже в присутствии внешнего магнитного поля внутри его плотность магнитного потока всегда равна нулю. Это свойство известно как эффект Майснера после экспериментов Майснера и Охзен- фельда [21]. Оно означает, что при охлаждении сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, силовые линии индукции выталкиваются из материала, как только пройдена температура сверхпроводящего перехода.

Эффект Майснера не является следствием нулевого сопротивления сверхпроводника, а представляет собой совершенно независимое явление, характерное для сверхпроводимости. Его можно понять, если рассмотреть уравнение Максвелла, связы-

вающее магнитную индукцию В и поле Е:

бВ/5/ = —rotE = 0, (12.1)

нуль в правой части которого возникает из-за отсутствия сопротивления, что означает равенство нулю электрического поля. Согласно уравнению (12.1), скорость изменения В внутри идеального проводника равна нулю. Применяя это условие к сверхпроводнику, мы получили бы, что любой магнитный поток, находящийся внутри материала, просто остался там при охлаждении ниже температуры перехода 0С. Как уже упоминалось выше, на практике наблюдается иное поведение. Это заставляет прийти к заключению, что нулевое сопротивление и идеальный диамагнетизм—два независимых свойства сверхпроводящего состояния. Короче говоря, линии магнитной индукции могут как проникать, так и не проникать в идеальный проводник, тогда как сверхпроводник никогда не содержит внутри себя магнитный поток.

Интересным следствием этого является вывод о том, что любой ток, текущий вдоль сверхпроводника, не может проникать внутрь образца, а должен течь по его поверхности. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим уравнение Максвелла, связывающее плотность магнитного потока В и плотность тока J:

rot В =(x0J, (12.2)

где go — магнитная проницаемость свободного пространства (предполагается, что относительная проницаемость сверхпроводника равна единице). Теперь, поскольку сверхпроводник обладает совершенным диамагнетизмом, плотность магнитного потока внутри его равна нулю, следовательно, rot В = 0, а значит, согласно уравнению Максвелла, внутри материала ток не течет. Таким образом, любой ток в сверхпроводнике должен течь по его поверхности, это справедливо, пока не должна быть равна нулю плотность магнитного потока вне образца.

В действительности область протекания стока не может быть строго ограничена слоем нулевой толщины на поверхности сверхпроводника, так как приводит к бесконечной величине плотности тока, что физически не реально. Фактически существует конечная глубина проникновения тока, которая зависит от типа сверхпроводника, но обычно составляет 500 А. Это как раз та глубина, на которую проникают в материал силовые линии вектора плотности магнитного потока. Таким образом, хотя сверхпроводник называют «идеальным» диамагнетиком, имеет место неглубокое проникновение в него магнитной индукции. Здесь есть аналогия между глубиной проникновения и толщиной скин-слоя обычного проводника.

Любая состоятельная теория сверхпроводимости, очевидно, должна идти дальше простейших заключений, берущих начало от уравнения (12.2), если речь идет об объяснении таких характеристик, как глубина проникновения. Теория Лондонов, как ее называют, развитая Ф. Лондоном и X. Лондоном [20], относится к электродинамике сверхпроводимости и дает элегантное математическое описание сверхпроводящего состояния. Основные выводы теории заключены в двух уравнениях, известных как уравнения Лондонов, которые прекрасно описывают наблюдаемые электромагнитные свойства сверхпроводников.

Теория Лондонов не является микроскопической теорией сверхпроводящего состояния, она не касается фундаментального механизма, вызывающего протекание сверхтока. Иначе говоря, в ней используются известные уравнения электромагнитной теории и в них вводится связь, приводящая к описанию физического явления, которое оказывается очень близким к тому, что наблюдается в сверхпроводниках. Прошло много лет, прежде чем был предложен транспортный механизм сверхпроводимости.

Скачок в понимании сверхпроводимости был сделан Бардиным, Купером и Шриффером [3]. Их теория базируется на ранее появившихся идеях Л. Н. Купера [6]. БКШ-теория включает в себя механизм протекания сверхтока, который совершенно отличается от механизма протекания обычного тока в нормальном металле и даже в гипотетическом совершенном проводнике с нулевым сопротивлением. Если процесс нормальной проводимости осуществляется одиночными электронами и их непрерывно повторяющиеся столкновения с решеткой ответственны за электрическое сопротивление металла, то носителями сверхтока являются пары слабо связанных электронов, которые не сталкиваются с атомами решетки. Отсутствие столкновений между ку- перовскими парами и кристаллической решеткой объясняет нулевое сопротивление сверхпроводника.

БКШ-теория включает детальный квантовомеханический анализ, описание которого выходит за рамки настоящей книги. Однако можно относительно легко объяснить качественные харак. теристики проводимости посредством пар.

Силы, связывающие электроны в куперовские пары, своим происхождением обязаны взаимодействию электронов с атомной решеткой. Отрицательный заряд каждого из электронов притягивает локальные положительно заряженные металлические ионы и решетка слегка искривляется, создавая, таким образом, область повышенной плотности положительного заряда. Она оказывает притягивающее действие на другие электроны (правда, очень слабое); энергия связи или ширина энергетической щели составляет приблизительно 4йОс. Эта энергия настолько мала, что тепловое флуктуационное движение электронов легко разры-

вает связи, вот почему сверхпроводимость наблюдается только при гелиевых температурах. По той же самой причине она разрушается сильным магнитным полем или слишком большим током.

Согласно БКШ-теории, куперовскую пару можно рассматривать, как если бы это была единственная частица, локализованная в центре масс двух составляющих ее электронов. В отсутствие тока результирующий импульс каждой пары равен нулю, но, когда протекает ток, все пары имеют точно одинаковый импульс в направлении тока. Между движением пар существует высокая степень когерентности. Это является причиной отсутствия соударений с решеткой и, следовательно, объясняет нулевое сопротивление сверхпроводника.

Таким образом, БКШ-теория описывает механизм, который объясняет важный аспект сверхпроводимости, а именно отсутствие сопротивления. Более детальный анализ теории обнаружил бы, что она объясняет эффект Майснера. Ввиду успешного объяснения сверхпроводимости механизмом, связанным с движением пар, исчезают последние сомнения в том, что нормальная проводимость даже в совершенном проводнике и сверхпроводимость физически различны как в плане фундаментального отличия в процессах движения носителей, так и в различии их электродинамического поведения.

Джозефсоновский контакт

Туннелирование электрона через изолирующий барьер между двумя нормальными проводниками представляет собой хорошо известное квантовомеханическое явление. Даже если энергия электрона недостаточна для преодоления барьера, для него существует конечная вероятность оказаться по другую сторону барьера. В сущности волновая функция электрона проникает через барьер, уменьшаясь в определенной степени, причем это уменьшение зависит от высоты и ширины потенциального барьера, разделяющего два проводника. Значительный ток возникает тогда, когда барьер становится очень узким, типичная толщина его составляет обычно несколько десятков ангстрем.

Существование туннельного тока возможно также в случае, если два сверхпроводника разделены тонким изолирующим слоем. Этот ток состоит из обычного тока отдельных электронов и при соответствующих благоприятных условиях из потока ку- перовских пар. Туннельный сверхток спаренных электронов был предсказан Джозефсоном [11], исходя из квантовомеханического анализа процесса. Его теоретические предсказания вскоре получили экспериментальное подтверждение, и джозефсоновские

контакты стали использоваться в качестве основных элементов в ряде практических электронных устройств. Прекрасным примером такого устройства является сквид, который будет рассмотрен ниже.

При протекании тока через контакт возникает два принципиально различных типа его поведения, известные как стационарный и нестационарный эффекты Джозефсона. В стационарном эффекте Джозефсона постоянный сверхток может достигать определенного критического уровня /0, и при этом не возникает напряжения на контакте. Таким образом, изолятор, разделяющий два сверхпроводника, может вести себя как сверхпроводник. Однако величина критического тока /о для контакта гораздо меньше максимального тока, который мог бы течь через сверхпроводник при отсутствии изолирующего слоя. Сверхток контакта разрушается более слабым магнитным полем по сравнению с полем, которое необходимо для перехода в нормальное состояние однородного сверхпроводника. На этом основании контакт был назван джозефсоновским «слабым» сверхпроводником.

Нестационарный эффект Джозефсона наблюдается, когда постоянное напряжение смещения приложено к контакту: в этом случае сверхток куперовских пар осциллирует с частотой

f^2qVJhy(12.3)

где q — заряд электрона; h — постоянная Планка. % называют джозефсоновской частотой или иногда джозефсоновской плазменной частотой. Из уравнения (12.3) следует, что джозефсонов- ский контакт можно использовать как генератор гармонического сигнала, или, наоборот, как очень точный стандарт напряжения. Заметим, что даже для весьма малого приложенного напряжения (например, 10 мкВ) частота генерации очень высока и составляет приблизительно 5 ГГц.

Уравнение (12.3) следует непосредственно из уравнений Джозефсона для тока через контакт. Если Ф — изменение фазы волновой функции при прохождении через изолирующий слой, тогда уравнения записывают в следующем виде:

/ =/о sin ①，(12.4а)

d①/或=2g%/方，(12.46}

где / — ток через контакт; й = й/2л. Интегрируя по времени второе из этих уравнений, получим выражение для разности фаз

Ф = (2/о/加+const,(12.5>

из которого, подставляя его в уравнение (12.4а), получаем, что частота определяется уравнением (12.3).

Джозефсоновский контакт можно изготовить различными способами. Структура, использованная для первых наблюдений джозефсоновского туннелирования [2], состояла из напыленной на подложку полоски сверхпроводника со слоем окисной пленки толщиной около 10 А, который отделял ее от такой же полоски, напыленной перпендикулярно первой. Позднее были разработаны другие типы туннельных переходов, включая мостики и точечные контакты. Некоторые из этих приборов и их относительные достоинства рассмотрены Кларком [4].

а — резистивно-зашунтированный контакт; 6 — вольт-амперная характеристика (сплошная линия), которая при больших токах асимптотически приближается к прямой RI (штриховая линия).а — резистивно-зашунтированный контакт; 6 — вольт-амперная характеристика (сплошная линия), которая при больших токах асимптотически приближается к прямой RI (штриховая линия).Рис. 12.1.Рис. 12.1.

а — резистивно-зашунтированный контакт; 6 — вольт-амперная характеристика (сплошная линия), которая при больших токах асимптотически приближается к прямой RI (штриховая линия).

а — резистивно-зашунтированный контакт; 6 — вольт-амперная характеристика (сплошная линия), которая при больших токах асимптотически приближается к прямой RI (штриховая линия).

Рис. 12.1.

Рис. 12.1.

В общем случае туннельный элемент в реальном джозефсо- новском контакте зашунтирован емкостью, которая приводит к гистерезису вольт-амперной характеристики. Это весьма нежелательное явление в таких устройствах, как сквид, и от него обычно избавляются путем шунтирования контакта подходящим сопротивлением R. Тогда контакт можно представить эквивалентной цепью, изображенной на рис. 12.1, а. Вольт-амперная характеристика резистивно-зашунтированного контакта (RSJ) широко используется в различных расчетах. По этой причине мы остановимся на ней подробнее.

С помощью уравнения (12.4) изменяющееся во времени напряжение % на RSJ может быть выражено следующим образом.

%=备噥内(/т0 sin①),%=备噥内(/т0 sin①),(12.6)(12.6)

%=备噥内(/т0 sin①),

%=备噥内(/т0 sin①),

(12.6)

(12.6)

где />/о — общий (не зависящий от времени) ток в цепи. Эта

уравнение можно решить относительно Ф непосредственным интегрированием

d①[а — sin Ф]d①[а — sin Ф]*(+。)，*(+。)，(12.7)(12.7)

d①

[а — sin Ф]

d①

[а — sin Ф]

*(+。)，

*(+。)，

(12.7)

(12.7)

где % ——постоянная интегрирования, а а=///(). Интеграл в левой части этого выражения вычисляется хорошо известным методом подстановки u = tg (Ф/2). После нескольких прямых алгебраических преобразований получаем следующий результат:

Ф = 2 tg-1 {а'1 [(а2 -1 J1/2 tg [(а2 -1 )^ П (/+/0) ] -]-1 ]}, (12.8) где T)= qR/o/力.Анализируя это выражение, можно видеть, что, хотя внутренний тангенс стремится к бесконечности, когда его аргумент равен 2пл/2, производная d①/df (которой мы собственно и интересуемся, так как она дает %) непрерывна во времени. Фактически производная d①]dt — периодическая функция с периодом

Т =Т =лГ|(а2 — 1)1/2лГ|(а2 — 1)1/2(12.9)(12.9)

Т =

Т =

л

Г|(а2 — 1)1/2

л

Г|(а2 — 1)1/2

(12.9)

(12.9)

Однако осцилляции Vo на этом интервале не являются симметричными, и средняя величина напряжения, определенная за период

喘或二迪毁/吗(12.10) о喘或二迪毁/吗(12.10) о

喘或二迪毁/吗(12.10) о

喘或二迪毁/吗(12.10) о

не равна нулю. Определяя границы периода, как два последовательных момента времени, для которых внутренняя функция тангенса в уравнении (12.8) стремится к бесконечности, получаем [Ф(Т)—①(0)]=2n и, следовательно,

〈％〉=半侬_ 1”2 = R (；2_/02)1/2.(12.11)

Это уравнение описывает вольт-амперную характеристику RSJ. Отметим, что для токов, протекающих через RSJ, больших по сравнению с критическим током контакта, среднее напряжение асимптотически стремится к величине RL

Вольт-амперная характеристика, описываемая уравнением (12.11), представлена на рис. 12.1,6. Из ее вида можно заключить, что переменная составляющая сверхтока вносит заметный вклад в усредненный по времени ток через RSJ, даже когда напряжение, меняющееся во времени, достигает такой величины, что ток в несколько раз превосходит критический. Из этого следует, что изменения критического тока могут оказывать влияние

на наклон характеристики в значительной ее части. Измерения вольт-амперных характеристик резистивно зашунтированных контактов показали хорошее согласие с уравнением (12.11) [7].

Интерферометры Джозефсона

Когда по сверхпроводящему кольцу протекает ток, возникает квантовомеханическое явление, известное под названием квантование потока: магнитный поток в кольце принимает только дис-

Рис. 12.2.

а — сквид постоянного тока, содержащий два джозефсоновских контакта в сверхпроводящем кольце; 6 ——радиочастотный сквид с одним джозефооновским контактом в сверхпроводящем кольце, слабо связанным с резонансным колебательным контуром.

кретные значения, кратные по величине кванту потока Фо = Л/2^^2-10~15 Вб. Это позволяет достичь очень хорошего разрешения в двух типах датчиков магнитного поля, оба являются квантовыми интерферометрическими устройствами (скви- дами). Первым был разработан сквид постоянного тока, состоящий из сверхпроводящего кольца, содержащего два джозефсоновских контакта (рис. 12.2,а), позднее был создан радиочастотный сквид, в котором один контакт включался в сверхпроводящее кольцо, индуктивно связанное с внешним колебательным контуром (рис. 12.2,6).

Поведение обоих типов сквидов можно исследовать на основе простейших теоретических моделей, базирующихся на предположении, что в сверхпроводящем кольце, содержащем один или более джозефсоновских контактов, все равно существует квантование потока. Это предположение неявно подразумевает малость индуктивности контакта или контактов по сравненик>

с геометрической индуктивностью кольца. В противном случае проблема оказывается более сложной, как отмечается в работах [22, 28].

Сквид постоянного тока

Зависимость тока, протекающего через одиночный джозеф- соновский контакт, от магнитного потока представляет собой осциллирующую функцию [23]. Это иллюстрирует рис. 12.3 для

-，051015 Z0Поле, Гс-，051015 Z0Поле, Гс

-，051015 Z0

Поле, Гс

-，051015 Z0

Поле, Гс

гис. 12.3. Экспериментальная зависимость тока джозефсоновского контакта от величины магнитного поля ([23], с любезного разрешения Американского физического общества.)

случая Pb-I-Pb-контакта. Минимумы при 6,5; 13,5; 19,5 Гс совершенно отчетливо разделены довольно точно определенными максимумами. Кривая на данном рисунке отображает функциональную зависимость sin%/%, где величина х пропорциональна величине магнитного потока Фо. По форме это аналогично дифракционной картине Фраунгофера, получаемой для света, проходящего через одиночную щель.

Если в сверхпроводящее кольцо включены два джозефсонов- ских контакта, как показано на рис. 12.2, а, то ток как функция магнитного потока, направленного перпендикулярно плоскости

夯/ZZ夯/ZZааНапряжение 8Напряжение 8Рис. 12.4.а — зависимость экранирующего тока от величины Фе/Ф0; б — вольт-амперная ха- рактеристика сквида постоянного тока.Рис. 12.4.а — зависимость экранирующего тока от величины Фе/Ф0; б — вольт-амперная ха- рактеристика сквида постоянного тока.

夯/ZZ

夯/ZZ

а

а

Напряжение 8

Напряжение 8

Рис. 12.4.

а — зависимость экранирующего тока от величины Фе/Ф0; б — вольт-амперная ха- рактеристика сквида постоянного тока.

Рис. 12.4.

а — зависимость экранирующего тока от величины Фе/Ф0; б — вольт-амперная ха- рактеристика сквида постоянного тока.

кольца, также проявляет осциллирующий характер. В этом случае можно провести аналогию с интерференционной картиной,, получаемой, когда свет проходит через двойную щель. Теперь наблюдаются две периодичности в зависимости тока от магнитного потока. Одна связана с потоком в единичном контакте, другая возникает от потока в области между контактами. Та・

кое поведение можно описать, пользуясь понятием критического тока /(/ для двойного контакта. Для него также ха-

рактерна периодическая зави

симость от пронизывающего^ @ м^ магнитного потока с периодом, 0

равным Фо [10]. Теория скви- да была разработана Кларком [4]; ниже приводятся ее основные положения.

В обычных условиях работы через сквид пропускается постоянный ток /, превосходящий более чем в два раза критический ток контактов /0 (здесь предполагается, что оба контакта имеют одинаковый критический ток, хотя это не существенно для данного рассмотрения). Тогда на кольце, имеющем по предположению индуктивность 上， возникает напряжение U>0. Если включается внешний магнитный поток Фе<Фо/2, то должен возникнуть экранирующий ток Is=®elL, чтобы поддержать нулевой поток в материале

кольца. Когда Фе возрастает до Ф5=Ф0/2, экранирующий ток увеличивается до Л = Фо/2Л. Если происходит дальнейшее возрастание внешнего потока, то для магнитного потока в кольце

становится энергетически выгодным осуществить переход между квантовыми состояниями (имея в виду квантование потока) таким образом, чтобы экранирующий ток изменил направление. Если Фе=Фо/2+, то экранирующий ток /$=—①o/2L, а в области Фо/2<Фе^ЗФо2 величина Is возрастает до тех пор, пока в ее верхнем конце Is снова не изменит направление, и весь процесс повторится сначала. Функциональная зависимость экранирующего тока от внешнего потока имеет форму зубчатой кривой, изоб*

раженной на рис. 12.4, а. Заметим, что скачок возникает, когда 0)е=т+1 ⑵①о, где n=0, 1, 2....

Из рис. 12.2, а, очевидно, следует, что если в кольце циркулирует экранирующий ток 厶，то суммарные токи, текущие через контакты, отличаются на 21 /s I. Поэтому когда через один из контактов протекает ток /0—21 /51, через другой протекает ток /о, который является критическим для контакта. Следовательно, критический ток сквида постоянного тока /(/ на 2|厶| меньше, чем 2/о, т. е.

V=2/0-2|4|. (12.12)

Этот результат показывает, что критический ток для сквида постоянного тока, как установлено выше, осциллирует при изменении величины приложенного магнитного потока. Максимальное уменьшение величины критического тока, равное ①o/厶 происходит, когда Фе= (п+1/2) Фо, тогда как минимальное уменьшение равно нулю и происходит при Ф5 = пФо.

Вольт-амперные характеристики сквида постоянного тока в этих экстремальных точках приведены на рис. 12.4,6. Если ток смещения / превышает 2/。(как показано на рисунке), то напряжение на интерферометре периодически изменяется с увеличением внешнего потока Ф5, причем сигнал имеет треугольную форму. Если каждый из контактов имеет сопротивление R, то глубина модуляции этого напряжения составляет

au=21(読等=聘， (12.13а)

где 2|/$|макс = ®/£ — максимальное уменьшение критического тока сквида. Для R = 5 Ом, Л= 10~9 Гн величина V приблизительно равна 5 мкВ.

В случае треугольной формы зависимости изменения напряжения на сквиде от изменения внешнего магнитного потока выражение для вариации напряжения, вызванной малым изменением приложенного потока 6Ф5, имеет вид

8V^(R/L) 6Фе. (12.136)

При значениях параметров, приведенных выше, это дает 6У/6Ф^5ХЮ9 В/Вб.

В основном сквид используется как нуль-детектор в цепи отрицательной обратной связи: малое изменение величины приложенного потока приводит к изменению напряжения, которое управляет устройством, генерирующим зануляющий ток, представляющий собой сигнал обратной связи в системе. Для сквида, имеющего индуктивность L = 10~9 Гн, можно достичь разрешения лучше, чем 1О~4Фо/УГц, соответствующего изменению напряжения на контакте около 1 нВ/уГц.

Сквид переменного тока

Радиочастотный сквид, изображенный на рис. 12.2,6, состоит из одного джозефсоновского контакта, включенного в сверхпроводящее кольцо, индуктивно связанное с колебательным контуром. Резонансная частота колебательного контура обычно выбирается около 30 МГц. В контуре возбуждается резонансный ток такой амплитуды, чтобы пиковое значение тока, индуцированного в кольце сквида, несколько превышало критический ток контакта. Выходным сигналом является напряжение на колебательном контуре, которое представляет собой периодическую функцию магнитного потока, пронизывающего плоскость сверхпроводящего кольца, с периодом, равным Фо.

Детальное рассмотрение радиочастотного сквида дано Кларком [4], который включил в свой обзор анализ практических конструкций сквидов, их параметры, а также библиографию по сквндам и их применению.

Шумы в приборах с джозефсоновскими контактами

Предельная чувствительность приборов с джозефсоновскими контактами определяется шумами. Для сквидов, например, очень важно устранить внешние шумы, которые могут генерироваться электрическими машинами, а также флуктуациями магнитного поля Земли. Это обычно достигается тщательным экранированием криостата, содержащего сквид, а также возможно более жестким монтажом самого прибора, так как малейшие движения даже в слабом магнитном поле могут вызывать относительно большие сигналы. Радиопомехи, наводимые на электрические вводы в криостат, также могут стать проблемой и должны быть устранены надлежащей фильтрацией.

Поскольку шумы, генерируемые извне, могут быть устранены или подавлены, остаются собственные шумы джозефсоновского устройства, а также шумы, генерируемые в связанной с ним электронной схеме.

Дробовой шум в джозефсоновском контакте

Шумы, возникающие в контакте при нестационарном эффекте Джозефсона, т. е. когда протекающий через контакт ток превосходит критический, были исследованы теоретически Скалапи- но [24] и Стефаном [25]. Стефан использовал ланжевеновский подход к анализу шумов. Он обнаружил, что система нестабильна по отношению к фазовым флуктуациям. Эта нестабильность

приводит к уширению спектральной линии излучения, генерируемого контактом, так что вместо одной частоты генерируется спектр частот, имеющий лоренцевскую форму линии.

Ланжевеновский формализм также позволяет предсказать возникновение флуктуаций тока, протекающего через контакт. Однако, чтобы получить выражение для спектральной плотности мощности шума, нет необходимости решать соответствующие дифференциальные уравнения. Вместо этого можно использовать простую аналогию с дробовым шумом, которая приводит к правильному результату [26].

Ток, протекающий через контакт, состоит из тока нормальных электронов, каждый из которых имеет величину заряда q> и куперовских пар, каждая с зарядом 2g. Обозначая через f полный ток контакта, получаем

i^in+ip = inl-in2+ipl-ip2f (12.14

где 〃=〃1—in2 — результирующий ток обычных электронов, а ip = ipi—丛2 — результирующий ток спаренных электронов через- контакт. (Подразумевается, что существует ток нормальных и спаренных электронов через контакт в обоих направлениях.) Каждый из четырех компонент тока в правой части уравнения (12.14) дает полный дробовой шум, так как все они независимы,, и, следовательно, спектральные плотности флуктуаций токов i摩 и /р соответственно описываются формулами

S^W)=2q(Inl+In^ (12.15а>

脈研= 4g(/pi+/.2)， (12.15б>

где прописной буквой / обозначено среднее значение тока i с соответствующим нижним индексом. Заметим, что в уравнении (12.156), описывающем флуктуации тока куперовских пар, коэффициент в два раза больше, чем в предыдущем уравнении^ описывающем флуктуации тока обычных электронов. Это связано с тем, что заряд куперовской пары в два раза больше заряда электрона.

Рассматривая вероятности прохождения заряженных носите- лей через потенциальный барьер в обоих направлениях, можно получить следующие результаты:

/ “+& = /“ cth (屮/2 砌， (12.16a).

/Р1+厶=У cth (2屮/2 砌, (12.16б>

где V — высота барьера, которая в нашем случае равна напряжению на контакте; 0 — абсолютная температура. Снова отметим дополнительный коэффициент 2, появляющийся в уравнении (12.166), связанный с удвоенным зарядом куперовской пары.

Из уравнений (12.15) и (12.16) следует выражение для спектральной плотности полного тока, протекающего через контакт

§ (①)=S配((о) +Sip (①)=

=2qln cth 9丫/2々8) + 4g/" cth (2qV/2kG).(12.17)

Если \qV\ ^>^0, то функция cth в этом выражении стремится к единице, тогда получаем

啊=2〃п+4〃".(12.18)

При данном условии выражение для шума, вызванного током обычных электронов и куперовских пар, оказывается аналогичным выражению для дробового шума. В противоположном случае, когда \qV\ <^^0, функция cth аппроксимируется функцией, обратной ее аргументу, что дает

ST(^ = 4WK(12.19)

где /=/〃+/〃• Этот результат совпадает с выражением для теп・ .ловых шумов проводимости 1/V. Ясно, что как только V приближается к нулю, эта проводимость, а следовательно, и шум становятся очень большими [12].

Тепловой шум при стационарном эффекте Джозефсона

Когда температура джозефсоновского контакта близка к температуре перехода, тепловые флуктуации, которые всегда присутствуют при равновесном обмене энергией с термостатом, воздействуют на соотношение фаз по обе стороны контакта. Это лриводит к возникновению на контакте флуктуационного напряжения с отличным от нуля средним значением. Теоретически на основе кинетической теории это явление было исследовано Иванченко и Зильберманом [9], а также Амбегаокаром и Гальпериным [1], которые решали дифференциальные уравнения для изменения фаз на контакте. В более поздних исследованиях было получено уравнение для среднего значения напряжения, которое в общем случае можно решить численным интегрированием. Авторы приводят несколько решений в аналитической форме, которые справедливы в частных случаях при определенных ограничениях.

Шум в резистивно-зашунтированном контакте

Исследование шума в резистивно-зашунтированном контакте важно в связи с расчетом чувствительности сквидов и других приборов с джозефсоновскими контактами. Дробовым шумом

Рис. 12.5. Вольт-амперная характеристика RSJ в отсутствие шумов (сплошная линия) и в их присутствии (штриховая линия).Рис. 12.5. Вольт-амперная характеристика RSJ в отсутствие шумов (сплошная линия) и в их присутствии (штриховая линия).где 0 — аб- постояннаягде 0 — аб- постоянная

Рис. 12.5. Вольт-амперная характеристика RSJ в отсутствие шумов (сплошная линия) и в их присутствии (штриховая линия).

Рис. 12.5. Вольт-амперная характеристика RSJ в отсутствие шумов (сплошная линия) и в их присутствии (штриховая линия).

где 0 — аб- постоянная

где 0 — аб- постоянная

тока, протекающего через контакт, можно пренебречь при условии, что туннельный ток мал по сравнению с током, текущим через шунтирующее сопротивление. Тогда единственным значительным источником шума становятся тепловые флуктуации в шунте. Эти флуктуации создают шумовое напряжение на RSJ, если через него протекает постоянный ток источника.

Спектральная плотность флуктуаций напряжения на RSJ, через который протекает постоянный ток смешения, была рассчитана теоретически Лихаревым и Семеновым [19], а также Выставкиным с сотр. [27] в предположении, что кон

такт имеет нулевую емкость и что шунтирующее сопротивление

генерирует тепловой шум в классическом пределе, т. е. джозеф-

ооновская частота удовлетворяет условию 无%《々仇 солютная темпертура;九 ——постоянная Планка; k —

Больцмана. Это ограничение было снято Кохом с сотр. [14], которые показали, что предельный уровень шума при приближе

нии к нулю абсолютной температуры обусловливается нулевыми флуктуациями в шунтирующем сопротивлении.

Подход Коха с сотр. позволяет установить неоднородное нелинейное уравнение Ланжевена для фазы, в котором член, описывающий тепловые флуктуации, входит как часть входного сигнала. В квантовом пределе (т. е. при 0 = 0) на частоте со/2л, много меньшей, чем джозефсоновская частота, найденная ими спектральная плотность напряжения шумов на RSJ описывается формулой

(12.20>(12.20>S° (^^ql^lV,

(12.20>

(12.20>

где R — шунтирующее сопротивление; /о ——критический ток контакта; V — среднее напряжение на контакте. Из этой теории также можно получить выражение для спектральной плотности флуктуаций напряжения и при некоторых других ограничениях.

Кроме создания шумового напряжения в приборах с джозеф- ооновскими контактами, тепловые флуктуации приводят к дру・ гому эффекту: возникновению явления, известного как 《тумо-

вое скругление» на вольт-амперной характеристике RSJ. В отсутствие шумов характеристика описывается уравнением (12.11). Вводя нормированное напряжение V=V/IqR и нормированный ток /=/〃о, ее можно записать в следующем виде:

7= (V2 +1)V2. (12.21)

Графическое изображение этой зависимости представлено на рис. 12.5 (сплошная линия). В присутствии шумов вольт-ампер- ная характеристика изменяется, приобретая другую форму, схематично ее вид изображен на том же рисунке штриховой линией. Кох с сотр. провели количественный расчет шумового скругления вольт-амперной характеристики при различных условиях, используя численные методы для решения соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений. Экспериментальное подтверждение их теории, в том числе и явления шумового сглаживания, было получено недавно при использовании контактов Pb-InOx-Pb с шунтирующим сопротивлением из CuAl величиной около 0,1 Ом [15].

Шум сквидов постоянного тока

Вышеупомянутый теоретический анализ тепловых шумов в RSJ применим и в случае сквида постоянного тока, который в сущности состоит из двух RSJ, включенных в сверхпроводящее кольцо. На основе этой теории Кох с сотр. [16] установили, что предельная чувствительность определяется энергией нулевых флуктуаций в сопротивлениях, шунтирующих контакты, и что при оптимальных условиях эти флуктуации приводят к эквивалентной энергии шума, равной 方①.В предположении оптимальной связи с входом, это соответствует шумовой температуре усилителя, приблизительно равной Л//^1п2, где f — частота сигнала. Поскольку эта шумовая температура равна предельной величине, устанавливаемой принципом неопределенности, теоретически чувствительность сквида в пределе низких темпратур равна чувствительности идеального линейного усилителя.

В последнее время прилагалось немало усилий, чтобы создать с кв ид постоянного тока с чувствительностью, приближающейся к теоретическому пределу. Кетчен и Восс [13] создали прибор, работающий при 4,2 К, с энергетической чувствительностью на единицу частоты, составляющей 5 Л. Это более чем на порядок лучше того, что было достигнуто в более ранних приборах [5, 8].

Шум радиочастотных сквидов

Абсолютный предел чувствительности сквида постоянного- тока при нулевой температуре устанавливается принципом неопределенности. Абсолютный предел шумового тока, так же- как и другие факторы, ограничивающие чувствительность реальных устройств на джозефсоновских контактах, обсуждались Куркиярве [17] и Леггеттом [18]. Они же приводят обширную- библиографию последних работ, относящихся к данной проблеме.

ЛИТЕРАТУРА

V. Ambegaokar, В. I. Halperin (1969), Voltage due to thermal noise in the- d. c. Josephson effect, Phys. Rev. Lett” 22, 1364—1366.

P. W. Anderson, J. M. Rowell (1963), Probable observation of the Josephson- superconducting tunnelling effect, Phys. Rev. Lett., 10, 230—232.

J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer (1957), Theory of superconductivity, Phys. Rev., 108, 1175—1204.

J. Clarke (1973), Low-frequency applications of superconducting quantum interference devices, Proc. IEEE, 61, 8—19.

J. Clarke, W. M. Goubau, M. B. Ketchen (1975), Thin film d. c. SQUID with low noise and drift, Appl. Phys. Lett” 27, 155—156.

L. N. Cooper (1956), Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas, Phys. Rev., 104, 1189—1190.

P. K. Hansma, G. I. Rochlin, J. N. Sweet (1971), Externally shunted Josephson junctions: generalized weak links, Phys. Rev., 43, 3003—3014.

J. H. Hollenhorst, R. P. Gifford (1979), High sensitivity microwave SQUID,- IEEE Trans. Mag., MAG—15, 474—477.

Yu. M. Ivanchenko, L. A. ZiTberman (1968), Destruction of Josephson current by fluctuations, J ETP Lett., 8, 113—115. (Originally published ini ZhETF Pis. Red； 8, 189—192, 1968.)

R. C. Jaklevic, J. Lambe, A. H. Silver, J. E. Mercereau (1964), Quantum interference effects in Josephson tunnelling, Phys. Rev. Lett., 12, 159— 160.

В. D. Josephson (1962), Possible new effects in superconductive tunnelling,, Phys. Lett., 7, 251—253.

H. Kanter, F. L. Vernon Jr. (1970), Current noise in Josephson point contacts,. Phys. Rev. Lett” 25, 588—590.

M. B. Ketchen, R. F. Voss (1979), An ultra-low-noise tunnel junction d. c.. SQUID, Appl. Phys. Lett., 35, 812—815.

R. H. Koch, D. J. Van Harlingen, J. Clarke (1980), Quantum-noise theory for the resistively shunted Josephson junction, Phys. Rev. Lett., 45, 2132— 2135.

R. H. Koch, D. J. Van Harlingen, J. Clarke (1981a), Quantum noise in Josephson junctions and SQUIDs, Proc, of the Sixth Int. Conf, on Noise in Physical Systems, held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD; USA, April 6—10 1981, pp. 359—363.

R. H. Koch, D. J. Van Harlingen, J. Clarke (1981b), Quantum noise theory for the d. c. SQUID, Appl. Phys. Lett., 38, 380—382.

J. Kurkijarvi (1981), Ultimate sensitivity of an a. c. SQUID, Proc, of the Sixth Int. Conf, on Noise in Physical Systems, held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 373—375.

A. J. Leggett (1981), Quantum tunnelling and noise in SQUIDs Proc, of

the Sixth Int. Conf, on Noise in Physical Systems, held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 355— 358.

К. K. Likharev, V. K・ Semenov (1972), Fluctuation spectrum in superconducting point junctions, J ETP Lett., 15, 442—445. (Originally published in ZhETF Pis. Red., 15, 625—629, 1972.)

F. London, H. London (1935), The electromagnetic equations of the supraconductor, Proc. Roy. Soc. bond., A149, 71 —88.

W. Meissner, R. Ochsenfeld (1933), Ein neuer Effekteintritt der Supraleitfa- higkeit, Naturwiss., 21, 787—788.

R. de Bruyn Ouboter, A. Th. A. M. de Waele (1970), Superconducting point contacts weakly connecting two superconductors, in Progress in Low Temperature Physics, vol. 6 (editor C. J. Gorter), Amsterdam, London, North- Holland, pp. 243—290.

J. M. Rowell (1963), Magnetic field dependence of the Josephson tunnel current, Phys. Rev. Lett., 11, 200—202.

D. J. Scalapino (1967), Proc, of the Symposium on the Physics of Superconducting Devices, University of Virginia, USA (unpublished).

M. J. Stephen (1969), Noise in the a. c. Josephson effect, Phys. Res, 182, 531—538.

A. van der Ziel, E. R. Chenette (1978), Noise in solid state devices, in Advances in Electronics and Electron Physics, 46, 313—383.

A. N. Vystavkin, V. N. Gubankov, L. S. Kuzmin, К. K. Likharev, V. V. Migutin, V. K. Semenov (1974), S-c-S junctions as non-linear elements of microwave receiving devices, Phys. Rev. Appl., 9, 79; see also (1975), ^on-Joseph- sorT radiation from the cavity containing a superconducting point contact junction, IEEE Trans, Mag., MAG—11, 834—837.

W. W. Webb (1972), Superconducting quantum magnetometers, IEEE Trans. Mag” MAG—8, 51—60.

13

Детекторы гравитационного излучения

Введение

Общая теория относительности Эйнштейна [10] предсказыва- вает, что массы, совершающие ускоренное движение, излучают гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью света. Согласно теории, гравитационное поле в любой точке описывается тензором, поэтому потенциал задается десятью числами. (Существуют теории, альтернативные тензорной, например теория Бранса — Дике [5], являющаяся модификацией теории Эйнштейна. Она предсказывает существование смешанного скалярно-тензорного излучения. Однако, поскольку в настоящей главе обсуждаются вопросы детектирования гравитационных волн,, различие между типами гравитационного излучения является несущественным.) В отличие от электромагнитных волн, которые генерируются дипольными источниками, наинизшим массовым мультиполем, который может генерировать гравитационное излучение, является квадруполь. Излучение представляет собой распространяющееся изменение кривизны пространства — времени. Генерируемое высокоэнергетическими космическими источниками, подобно волнам на поверхности моря, оно движется во Вселенной. Источниками гравитационного излучения могут являться коллапсы звезд, рождение сверхновых, пульсары, соударения черных дыр и быстро вращающиеся двойные звезды.

Периодические решения уравнений гравитационного поля были получены Эйнштейном в 1915 г. Они представляют собой теоретическое доказательство существования гравитационного излучения. В то время даже не ставился вопрос о том, чтобы попытаться детектировать гравитационное излучение и, таким образом, проверить теорию, потому что не существовало способа провести чрезвычайно сложный эксперимент и обеспечить чувствительность, достаточную для регистрации предельно малых потоков энергии, предсказываемых теорией. Только в 1958 г. были предприняты первые попытки создать детектор гравитационного излучения. Первооткрывателем в этой области стал Джозеф Вебер, сконструировавший антенну для регистрации гравитационных волн, которую сейчас называют «веберовской болванкой». Вебер приложил много усилий, чтобы изолировать свои детекторы от воздействия паразитных акустических, элект-

ромагнитных и сейсмических сигналов, кроме того, он применил метод регистрации совпадений на двух детекторах, причем один находился в университете Мэриленда, другой — в Аргоннской на* циональной лаборатории близ Чикаго, оба были удалены друг от друга на расстояние 1000 км. Это было сделано для того, чтобы минимизировать влияние локальных шумов на каждый де* тектор. Через десять лет после начала своих исследований Вебер опубликовал серию статей, в которых он доложил об одновременном наблюдении импульсных сигналов на обоих детекторах [26, 27]. Он приписал их воздействию гравитационного излучения, генерируемого внеземным источником. Он также обнаружил, что частота появления импульсов изменяется в завися- мости от времени суток. В течение нескольких месяцев он регистрировал частоту появления событий в зависимости от звездного времени (это время измеряется относительно неподвижных звезд и отличается от солнечного примерно на 4 мин в день) и обнаружил пики с 12-часовым интервалом. Наличие таких пиков можно объяснить, учитывая направленность отклика детектора. Он максимален, когда сигнал приходит со стороны боковой поверхности детектора, и минимален, когда сигнал приходит в аксиальном направлении. Поскольку детекторы (их оси в экспериментах Вебера были ориентированы в направлении запад ——восток) вращаются вместе с Землей, которая прозрачна для гравитационного излучения, 12-часовая периодичность в их откликах могла бы возникнуть, если бы существовало выделенное направление прихода излучения. Согласно Веберу, он наблюдал сигналы, приходящие из центра Галактики или, возможно, из противоположного направления, в котором, кстати,, расположена Крабовидная туманность.

Энергия сигналов, о которых сообщал Вебер, значительно превышала тот уровень, который можно было ожидать согласно теоретическим оценкам. Многие физики считали, что он вообще не должен был ничего наблюдать. Если предположить, что источники излучения находятся в центре Галактики, то сигналы его детекторов соответствовали таким потокам энергии, которые могли бы генерироваться источниками с необычайно высокой энергией и в которых масса превращается в гравитационное излучение с невероятно большой эффективностью. Как показали оценки [17], каждый веберовский импульс требовал превращения в излучение около тридцати солнечных масс. Это можно было объяснить столкновением двух черных дыр. Такой механизм подходит для объяснения одного импульса, однако величина конверсии массы в излучение, необходимая для объяснения всей совокупности веберовских всплесков, настолько велика, что вся масса галактического центра должна была бы излучиться за время, составляющее 1/1000 возраста Вселенной. Такой вы-

вод приводит к очевидным трудностям. Их можно обойти, предположив, что мы живем в привилегированное время, когда галактический центр необычайно активен в смысле генерации гравитационного излучения или что Земля находится в привилегированном пространственном расположении близко к локальному источнику гравитационного излучения. Существует мало убедительных доказательств в пользу любой из этих гипотез.

Утверждения Вебера вызвали значительный интерес как среди теоретиков, так и экспериментаторов. Они заставили около десяти научных групп во всем мире начать поиск гравитационного излучения с целью подтверждения наблюдений Вебера. Независимая проверка не подтвердила его результаты, и даже теперь, спустя более чем десятилетие, веберовские сигналы оста- ：ются необъясненными. Но какова бы ни была их природа, общепризнано, что они обусловлены не гравитационным излучением. Тем не менее важно подчеркнуть, что основополагающие работы Вебера открыли новую область исследований в астрономии, и, как результат, в настоящее время созданы гораздо более чувствительные детекторы гравитационных волн, чем первая веберовская антенна. Чувствительность этих новых детекторов приближается к той, которая необходима, чтобы обнаружить сигналы, уровень которых следует из теоретических оценок. Та- 4cHM образом, вполне возможно, что в недалеком будущем гравитационное излучение будет зафиксировано вполне однозначно, подтвердив таким образом предсказание Эйнштейна.

Детекторы гравитационных волн

Гравитационное и электромагнитное излучения имеют некоторые общие черты. Однако если электромагнитные волны взаимодействуют только с электрическими зарядами или токами, то гравитационные волны взаимодействуют со всеми формами энергии или материи. Чувствительность детектора гравитационных волн определяется его массой и размером, причем предпочтительно использовать в качестве антенны наибольшие из доступных твердых тел. Наиболее массивным объектом, имеющимся в распоряжении человека, является сама Земля, и она серьезно рассматривалась как возможный детектор гравитационных волн. Гравитационная волна, проходящая через Землю, возбуждает квадрупольные моды колебаний с собственными частотами, составляющими примерно несколько колебаний в час. Из анализа сейсмограмм земной активности Вебер [25] установил верхний предел потока энергии гравитационного излучения, падающего на Землю. Он оказался равным 3-104 Вт-м~2-Гц_1 на час-

тоте 0,3 мГц. Конечно, как детектор гравитационного излучения Земля очень шумна. Это связано с довольно интенсивными сейсмическими и метеорологическими возмущениями. Луна гораздо более спокойна, и на этом основании она может рассматриваться в качестве альтернативы Земле как очень низкочастотный резонансный детектор. Определенный интерес вызывает использование лазерных дальномеров для точного измерения расстояния, например, между Землей и Луной или искусственными спутниками. Изменения гравитационного поля приводят к изменению расстояния между удаленными телами и таким образом возможно осуществить регистрацию гравитационного излучения. Серьезной проблемой в применении этой техники является ее недостаточная чувствительность.

Теоретический анализ показывает, что гравитационное из, лучение, возникающее в финальной стадии коллапса звезды либо при образовании черной дыры, либо при столкновении двух черных дыр, имеет форму импульса миллисекундной длительности. Спектральные компоненты такого импульса в основном сосредоточены в килогерцовой области частот. Чтобы зарегистрировать такие импульсы, Вебер [23, 24] сконструировал антенну” представляющую собой цилиндр из алюминиевого сплава, длиной приблизительно 1,5 м, диаметром 0,6 м, имеющий массу около 1,5 т и резонансную частоту основной продольной моды 1661 Гц. На образующей цилиндра в его средней части были приклеены пьезоэлектрические керамические преобразователи^ которые регистрировали продольную моду колебаний. Цилиндр Вебера, или болванка, как его иногда называют, подвешивался на одной петле из проволоки, как показано на рис. 13.1, а, и помещался в вакуумную камеру, чтобы устранить влияние акустических помех. Все устройство устанавливалось на антисейсмической платформе, состоящей из чередующихся слоев резины и стали. Детектор такого типа имеет очень острый резонанс с добротностью порядка 105 и выше. Массивные резонаторы, созданные после основной конструкции Вебера и обладающие более“ высокой чувствительностью благодаря охлаждению до температуры жидкого гелия, используются и по сей день (см., например, [16]). Существует также другая конструкция, предложенная Питером Аплиным из Бристольского университета и проанализированная Гиббонсом и Хоукингом [15]. Здесь болванка разрезана на две идентичные части, и преобразователи установлены между ними (рис. 13.1,6). Древер [7] был одним из первых, кто работал с таким детектором. Разрезанная болванка имеет лучший коэффициент электромеханического преобразования, но- значительно более низкую добротность Qr^lOOO. Приведенный ниже анализ можно использовать для сравнения этих двух сис・ тем и прогноза их чувствительности.

Поле гравитационной волны, падающей на веберовскую болванку или разрезную болванку сбоку, возбуждает в ней колебания на основной продольной моде при условии, что сигнал имеет спектральные компоненты на резонансной частоте детектора. Наиболее просто отклик антенны можно объяснить, если рассматривать гравитационную волну как флуктуацию постоянной

Рис. 13.1.

а — веберовская болванка с преобразователями, приклеенными к поверхности цилиндра из алюминиевого сплава; 6 — разрезная болванка с преобразователями, вставленными между двумя цилиндрами из алюминиевого сплава. Металлические пластины, помещенные параллельно торцевым поверхностям болванки, служат для подачи калибровочного электрического импульса раскачки системы.

тяготения Ньютона. (Структуры сил в тензорной и скалярной волнах различны, но это не важно для качественного рассмотрения вопроса.) Когда волна проходит через болванку, ее центр масс остается в покое (это эквивалентно утверждению, что болванка находится в состоянии свободного падения и что гравитационное притяжение, направленное к центру Земли, незначительно), но в других точках болванки действуют сжимающие или растягивающие силы, так что она начинает《звенеть》. Ожи-

даемая амплитуда колебаний очень мала. Например, Вебер в своем эксперименте регистрировал амплитуды смещений торцов болванки около 10-16 м. Эта величина на порядок меньше, чем радиус электрона! Столь слабый отклик детектора связан с двумя обстоятельствами: приходящие сигналы сами по себе очень малы, например Земля, вращающаяся вокруг Солнца, излучает около 1 кВт мощности в виде гравитационных волн; взаимодействие излучения с антенной также чрезвычайно слабо.

При работе с такими малыми сигналами предельная чувствительность детектора неизбежно определяется шумами. В резонансных массивных детекторах, таких, как веберовская болванка или разрезная болванка, существуют три основных источника шума, а именно: броуновское движение болванки, тепловой шум преобразователя и шум первого каскада усилителя. Как указывалось выше, в современном гравитационном эксперименте проявляется тенденция к существенному снижению шумов и, следовательно, увеличению чувствительности путем охлаждения системы до гелиевых температур. Не менее важно разработать оптимальные фильтры для максимизации отношения сигнал — шум на выходе системы. Проблема фильтрации, связанная с восстановлением импульсного сигнала, воздействующего на высоко добротный детектор, обладающий собственными шумами, составляет основное содержание этой главы. Однако сначала рассмотрим относительно простой случай нерезонансного реактивного преобразователя, чтобы установить минимальную порцию энергии, которую можно обнаружить с помощью такого датчика. Это позволит ввести необходимые понятия и показать, как ими пользоваться.

Минимальная обнаруживаемая энергия

Схема нерезонансного реактивного преобразователя представлена на рис. 13.2,а. Отметим, что она является низкочастотным электрическим фильтром с постоянной времени TlRC, соответствующей частоте отсечки, равной (2冗7\)一1. Напряжение, возникающее на выходе преобразователя, состоит из сигнальной компоненты ^s(f), обусловленной входным импульсом, и компоненты теплового шума vn(t)9 связанной с потерями в сопротивлении преобразователя. Предполагается, что в отсутствие входного сигнала цепь находится в тепловом равновесии с окружающей средой, имеющей температуру 0. Существуют два подхода к вопросу о минимальной энергии, которая может быть зарегистрирована в такой цепи. Они приводят к совершенно различным заключениям. Рассмотрим первый подход.

3

Рис. 13.2 а — нерезонансный реактивный преобразователь с импульсом на входе; б ——эквивалентная схема с параллельно включенными генераторами тока сигнала и шума.

Отношение сигнал — шум на выходе можно выразить через энергию, выделенную входным импульсом и запасенную в емкости. Поскольку энергия поступившего импульса поглощается в цепи, напряжение на емкости увеличивается и достигает пикового значения и*. При этом запасенная энергия сигнала имеет вид

W^C^/2.(13.1)

Запасенная в конденсаторе средняя энергия тепловых шумов, генерируемых сопротивлением, описывается выражением

Wn = C^I2 = kd/2,(13.2)

где v2n — значение среднего квадрата напряжения тепловых шумов. Второе равенство следует из условия равнораспределе- ния. Определяя отношение сигнал — шум как 吟/v2rh получаем

Сигнал—шум =名"=-^-,(13.3)

Отсюда следует, что минимальная регистрируемая энергия в импульсе составляет 力8/2.

Данные рассуждения не принимают во внимание спектральные характеристики сигнала и шума, Поэтому кажется весьма привлекательной идея усилить спектральные компоненты сигна-

ла и подавить компоненты шума соответствующей фильтрацией выходного сигнала и таким образом достигнуть улучшения в смысле регистрации минимальной энергии. Однако, если для этой цели использовать пассивный фильтр, находящийся при той же самой температуре, что и преобразователь, никакого улучшения добиться невозможно, так как фильтр подчиняется тем же самым законам термодинамики, что и сам преобразователь. Шум, присущий фильтру, приводит к тому, что минимальная регистрируемая энергия не может быть меньше 力8/2.

Рис. 13.3.

〃 —единичный импульс; б — спектр мощности (масштаб по оси ординат выбран произвольно).

Но если бы были сняты термодинамические ограничения и уничтожен или по крайней мере частично уменьшен тепловой шум на выходе контура, то минимально регистрируемая энергия могла бы быть сделана меньше 々8/2. Существует несколько путей достижения таких условий. Это, например, охлаждение выходной цепи ниже температуры окружающей среды или использование линии задержки, как предлагал Медер [18]. Третий способ, возможно, наиболее подходящий, состоит в использовании активного фильтра [11], на который не распространяются ограничения, налагаемые вторым законом термодинамики. Подход, связанный с применением активного фильтра, привлекает своей простотой, а также тем, что он позволяет реализовать произвольную рациональную систему функций в качестве передаточной характеристики, не внося сколько-нибудь значительного шума.

Если на выходе преобразователя включен соответствующий активный фильтр, то расчет минимальной обнаруживаемой энергии отличается от того, что дан выше для равновесного случая. Теперь необходимо принять во внимание спектры сигнала

и шума. Для понимания эффекта важно отметить, что фильтрующее действие преобразователя проявляется для высокочастотных спектральных компонент импульса.

Эквивалентная схема преобразователя изображена на рис. 13.2,6. Генераторы тока 〃(» и 〃(/) представляют на ней импульсный сигнал и шум сопротивления Ri соответственно. На рис. 13.3,а изображен сигнал, представляющий собой единичный прямоугольный импульс длительностью Ts《Ti и амплитудой 1т. Его энергетический спектр представлен на рис. 13.3,6. Заметим, что основная часть энергии импульса сосредоточена в области угловых частот ниже л/Т5. Полная мощность шумов внутри этой полосы имеет вид

斤=*・(13.4)

У S

Это выражение представляет собой просто формулу Найквиста для спектральной плотности мощности теплового шума на сопротивлении Ri, умноженной на полосу сигнала (2TS)-1. Если теперь выполняется условие малой длительности импульса Ts《7\, пиковое значение напряжения сигнала на емкости описывается выражением

UpimR 工 Тб(13.5)

Используя уравнение (13.1), получаем выражение для запасенной энергии

Г6 = /т%Т//2Л.(13.6)

Таким образом, определяя отношение сигнал — шум как 咨т1?п、 запишем его в следующем виде:

Сигнал—шум = 4^ = -^(13.7)

窮/ s

Согласно этому результату, минимальная обнаруживаемая энергия равна (Ts/Ti)^0. Это в 27\/Ti раз меньше величины ^0/2, которая получается из уравнения (13.3).

Такое улучшение происходит по следующей причине. Из рассмотрения эквивалентной схемы, изображенной на рис. 13.2, видно, что полоса частот сигнала много шире, чем полоса преобразователя, который действует как фильтр низкочастотного пропускания. Поэтому высокочастотные компоненты сигнала ослабляются преобразователем, что приводит к уменьшению пикового напряжения на конденсаторе. Как следует из уравнения (13.5), квадрат пикового напряжения на преобразователе уменьшается как квадрат ширины полосы пропускания. Шум также уменьшается в результате низкочастотной фильтрации, но мощ-

ность шума изменяется пропорционально ширине полосы пропускания. В результате происходит уменьшение отношения сигнал —шум, когда обрезаются высокочастотные компоненты сигнала и шума. Это соответствует случаю, когда мы пользовались рассмотренным выше первым вариантом рассуждения, приводящим к уравнению (13.3). Когда высокочастотные компоненты сигнала и шума сохраняются, достигается соответствующее увеличение отношения сигнал — шум. Второй вариант анализа приводит к уравнению (13.7).

Ясно, чтобы достигнуть улучшения отношения сигнал — шум, согласно уравнению (13.7), необходимо расширить полосу вы-

Рис. 13.4. Блок-схема реактивного преобразователя и активного фильтра с соответствующими передаточными функциями Нт (s) и 〃a(s).

ходкого сигнала, не вводя заметных шумов. Предполагая, что это можно сделать с помощью активного фильтра, как было предложено выше, схематически изобразим систему, как показано на рис. 13.4. Функцией системы 卢7(s), где s — комплексная угловая частота, является передаточная функция ток — напряжение для RC-цепи, изображающей преобразователь

%($ = "^力， (13.8)

а На (s)——передаточная функция активного фильтра, включенного на выходе преобразователя. Сначала мы будем предполагать, что активный фильтр не имеет собственных шумов, но позже при рассмотрении гравитационных антенн, будет учитываться шум выходных электронных устройств. Для НА (s) подходит следующая функция:

"/⑹=匿翁"， (13.9)

где 71》724Ts• (Строго говоря, такая функция в уравнении (13.9) не может быть реализована, так как имеет бесконечную ширину полосы пропускания. Однако эту трудность можно обойти, несколько изменив приведенную выше форму На (s) , что практически не сказывается на настоящем рассмотрении.) Сум-

марная передаточная функция определяется произведением уравнений (13.8) и (13.9)

Н ⑸= %(s)Ha(s) = 1r^. (13.10)

Таким образом, полная система действует как фильтр низкочастотного пропускания, но с частотой отсечки много большей, чем частота отсечки самого преобразователя. Это как раз то увеличение ширины полосы пропускания, которого мы добивались.

Очевидно, что активный фильтр, используемый в сочетании с нерезонансным преобразователем, может дать существенное увеличение отношения сигнал — шум. Этот метод применим также для высокодобротных детекторов гравитационных волн. Здесь может быть достигнуто аналогичное улучшение отношения сигнал — шум.

Восстановление сигнала гравитационной антенны

Как разрезная, так и веберовская болванки являются высокодобротными механическими системами, связанными с преобразователями из пьезоэлектрической керамики. Электрические характеристики керамики эквивалентны характеристикам параллельного RC-контура. Чтобы определить отклик антенны на гравитационную волну, необходимо рассмотреть эквивалентную схему полной электромеханической системы.

1. Эквивалентная схема резонансной массивной антенны

Идеализированное изображение веберовской или разрезной болванки состоит из пары масс, соединенных пружиной, как показано на рис. 13.5. Такая система имеет единственную резонансную частоту, которую можно сопоставить продольной моде колебаний реальной антенны. Эквивалентной схемой идеализированного детектора, соответствующей настоящему рассмотрению, является последовательный LCR-контур. Полная эквивалентная схема антенны гравитационных волн с преобразователем ее колебаний в электрический сигнал изображена на рис. 13.6. Эта эквивалентная схема была первоначально предложена Вебером [26], затем она использовалась в общем расчете детектора гравитационных волн, выполненного Феллгеттом и Шамой [12]. Детальный анализ цепи, включая обсуждение вопросов применения активных фильтров для увеличения отношения сигнал — шум,

сделан Букингемом и Фолкнером [6]. Их работа лежит в основе приведенного ниже анализа.

В эквивалентной схеме (рис. 13.6) элементы цепи с индексом В относятся к болванке, u$(f) представляет собой сигнал, возникающий в болванке благодаря действию импульса гравитационного излучения, Ст и Gt — реальные емкость и проводимость пьезоэлектрического преобразователя. Электромеханиче* ская связь между болванкой и преобразователем характеризует-

Падающие ^рабатационныеволны

Рис. 13.5. Упрощенная схема резонансного детектора.

ся параметром р, который определяется следующим образом:

氏 Злектрнаеская энергия, запасенная в Ст (разомкнутая цепь)

Р — Упругая энергия, запасенная в механической системе'

В интересующей нас области частот тангенс угла диэлектрических потерь керамики, обычно применяемой в качестве преобразователей (цирконат, титанат свинца, титанат бария), очень мал, и коэффициент связи определяется отношением

Р = СВ/СГ<1.(13.11)

Фактическая величина 0 зависит от свойств пьезоэлектрического преобразователя и степени электромеханической связи между ним и болванкой. Но даже при оптимальных условиях невозможно достигнуть величины р, большей 0,3. В разрезной болванке электромеханическая связь довольно сильна, и величина § принимает значение, близкое к теоретическому максимуму около 0,1, но в веберовской антенне преобразователь гораздо слабее связан с механической системой, поэтому § оказывается на несколько порядков меньше по величине.

Эквивалентная схема, изображенная на рис. 13.6, будет полной, если элементы цепи, представляющие болванку, выразить через параметры системы болванка — преобразователь, а напряжение генератора сигнала — через внешнюю силу %«), приложенную к болванке. Обозначая через о)0 угловую собственную частоту колебаний болванки, через Qb — ее механическую добротность, определенную при условии, что выходные клеммы пре-

Рис. 13.6. Эквивалентная схема резонансной антенны гравитационных волн.

образователя закорочены, получаем

Cg = рСг,厶石=@()20Ст)т,

Rb = (®oPQj3^t)-1#(13.12)

Остается найти масштабный фактор, связывающий силу fs(f), действующую на болванку, и напряжение эквивалентного генератора vs(t). Это можно сделать, приравняв энергии, сообщаемые соответствующим системам. Взаимодействие импульса силы Р= I fs(t)dt сообщает массам на рис. 13.5 энергию Wm=P2I2M, аналогично импульс потока q)= / vs(t)dt сообщает индуктивности эквивалентного контура энергию Wl=^!2Lв. Приравнивая WL и Wm, находим масштабный коэффициент между напряжением и силой

МО=Мо/^=-^-.(13.13)

Предполагая, что значения 0, QB и о。известны из простых предварительных измерений, выполненных на болванке, получаем, что уравнений (13.12) и (13.13) достаточно, чтобы полностью определить параметры эквивалентной схемы на рис. 13.6, а через

них установить абсолютный теоретический предел для чувстви тельности антенны.

Гравитационный импульс

В то время когда Вебер начинал свои исследования, характеристики гравитационных сигналов были неизвестны, отчасти такое положение остается и сейчас. До тех пор пока гравитационное излучение не будет надежно зарегистрировано, детальная структура формы волны останется неясной. Однако на осно-

Рис. 13.7.а — двойной прямоугольный импульс с общей площадью, равной нулю; 6 — спектр мощности (масштаб по оси ординат выбран произвольно).Рис. 13.7.а — двойной прямоугольный импульс с общей площадью, равной нулю; 6 — спектр мощности (масштаб по оси ординат выбран произвольно).

Рис. 13.7.

а — двойной прямоугольный импульс с общей площадью, равной нулю; 6 — спектр мощности (масштаб по оси ординат выбран произвольно).

Рис. 13.7.

а — двойной прямоугольный импульс с общей площадью, равной нулю; 6 — спектр мощности (масштаб по оси ординат выбран произвольно).

ве теоретических рассуждений можно предположить, что внеземные источники, такие, как звездный коллапс, дают двойные импульсы гравитационного излучения длительностью около 1 мс с суммарной площадью, равной нулю. Пример такой волны показан на рис. 13.7, а. Здесь за прямоугольным импульсом, подобным изображенному на рис. 13.3,а, следует такой же импульс противоположной полярности. Такая форма импульса позволяет проанализировать отклик антенны на воздействие гравитационной волны. Более детальный учет формы импульса не меняет существенно результата.

Энергетический спектр двойного импульса представлен на рис. 13.7Д Отметим, что пик спектра смещен относительно начала координат и спектральная плотность падает до нуля на частоте, равной приблизительно 1/2TS. Из рассмотрения формы спектра следует, что расширением полосы выходного контура, как описано в разд. 13.3, можно достигнуть улучшения отношё-

а — эквивалентная схема антенны с шумовыми генераторами ил5(0 и inT[t), представляющими броуновское движение болванки и шум преобразователя; 6 — преобразованная эквивалентная схема с шумовыми генераторами, приведенными ко входу.

ния сигнал — шум даже большего, чем в предыдущем случае нерезонансного преобразователя и одиночного импульса. Но такая процедура не является оптимальной, потому что спектр двойного импульса имеет максимум на ненулевой частоте. Мож- HQ достигнуть даже лучшего отношения сигнал — шум, поставив на выходе преобразователя активный фильтр с такой передаточной функцией, что отклик полной системы регистрации, включая болванку, на внешнее воздействие возникает в некоторой полосе частот. Ниже приведен соответствующий анализ.

Генераторы шумов в эквивалентной схеме

На рис. ]3.8,а приведена эквивалентная схема резонансной антенны, содержащая источник теплового шума, связанный с броуновским движением в болванке и потерями в преобразователе. Используя теорему Тевенина, генератор шумового тока inT(t) можно отнести ко входу, как показано на рис. 13.8Д Спектральные плотности напряжения двух генераторов шума на входе схемы описываются выражениями

5^諭=4版%(13.14)

и

S^j^4kGGT\ZB^9(13.15)

где Zb — импеданс последовательного ЬвСвЕв-контура

ZB = Rb+j(9厶6 —^^") 4 &十2厶(со—%)•(13.16)

Использованное здесь приближение справедливовокрестности

резонансной частоты.

Необходимость в применении активного фильтра, обеспечивающего полный отклик в полосе частот, становится понятной, если приближенное выражение (13.16) подставить в уравнение (13.15). Это дает

S^) = 4kQGT [R^+^ ((d-cd0)2].(13⑺

Если это выражение проинтегрировать по частотам, то член с индуктивностью дает вклад в шум, пропорциональный кубу полосы частот. Так как пиковое значение квадрата величины сигнала изменяется пропорционально квадрату полосы (как в предыдущем случае одиночного импульса и нерезонансного преобразователя), то при увеличении ширины полосы п pony аканий больше некоторого значения отношение сигнал,— шум :начжж падать. Таким образом, существует оптимальная ширина> 皿孤伊 сы пропускания полной системы3 при которой отношение сигнал;——шум максимально..

Оптимальный фильтр

Входной импеданс фильтра, включённого на выходе преобразователя, конечно, может принимав любое значение, .но;предг почтительно выбрать усилитель заряда с нул.евнм входным импе* дансом. Для пьезоэлектрического датчика-это' былО1 6^1 естеет* веннц а любом случае, В^нащем случае как можно； завдючит$>

из рис. 13.8, он закорачивает преобразователь и препятствует достижению шумом максимального значения на частотах, отличных от сигнальной. Шум усилителя может быть представлен обычным способом, т. е. последовательным включением генератора шумового напряжения и параллельным включением генератора шумового тока на входе усилителя. Спектральные плотности шумов могут быть выражены через эквивалентные шумовые проводимости, которые в общем случае зависят от частоты. Однако на практике для усилителя заряда в рассматриваемой

+ 〃"G 丿+ 〃"G 丿Рис. 13.9. Блок-схема антенны с тремя шумовыми генераторами, связанными с болванкой, преобразователем и усилителем; выходные напряжения сигнала 〃s(f) и шума 〃〃(/)・Рис. 13.9. Блок-схема антенны с тремя шумовыми генераторами, связанными с болванкой, преобразователем и усилителем; выходные напряжения сигнала 〃s(f) и шума 〃〃(/)・

+ 〃"G 丿

+ 〃"G 丿

Рис. 13.9. Блок-схема антенны с тремя шумовыми генераторами, связанными с болванкой, преобразователем и усилителем; выходные напряжения сигнала 〃s(f) и шума 〃〃(/)・

Рис. 13.9. Блок-схема антенны с тремя шумовыми генераторами, связанными с болванкой, преобразователем и усилителем; выходные напряжения сигнала 〃s(f) и шума 〃〃(/)・

области частот напряжение последовательно включенного генератора незначительно, а эквивалентная шумовая проводимость Gm параллельно включенного генератора шумового тока не зависит от частоты. Чтобы учесть влияние этого генератора шума на отношение сигнал ——шум всей системы, перенесем его, используя теорему Тевенина, на вход контура в виде последовательного генератора напряжения ^九从心)со спектральной плотностью

瓦麺=4舶 Gn/|ZB 生 (13.18)

Этот вывод аналогичен тому, который был использован выше для генератора шумового тока inrit)^ представляющего шум преобразователя.

Полная эквивалентная схема антенны, включающая все генераторы шумов и усилитель заряда, представлена на рис. 13.9. Полная передаточная функция системы является безразмерным отношением двух напряжений и выражается произведением

H《s)=Hb(s)Ha ⑸, (13.19)

где "b(s) = 1/Zb(s)—передаточная функция «напряжение — ток» болванки; HA(s) —передаточная функция《ток — напряжение» усилителя. Теперь можно определить полную передаточную функцию системы 〃(s),・ Как уже отмечалось, в оптимальном

случае функция 〃(s) должна быть полосно-пропускающей функцией с достаточно широкой полосой, включающей все основные частотные компоненты сигнала. Ширина полосы сигнала (короткий импульс) велика по сравнению с шириной полосы болванки, так что одна из функций активного фильтра состоит в том, чтобы расширить ширину полосы пропускания всей системы. Здесь существует аналогия с нерезонансным преобразователем, когда активный фильтр расширяет полосу пропускания, чтобы исключить подавление высокочастотных спектральных компонент сигнала.случае функция 〃(s) должна быть полосно-пропускающей функцией с достаточно широкой полосой, включающей все основные частотные компоненты сигнала. Ширина полосы сигнала (короткий импульс) велика по сравнению с шириной полосы болванки, так что одна из функций активного фильтра состоит в том, чтобы расширить ширину полосы пропускания всей системы. Здесь существует аналогия с нерезонансным преобразователем, когда активный фильтр расширяет полосу пропускания, чтобы исключить подавление высокочастотных спектральных компонент сигнала.Q/名一Q/名一ооРис. 13.10. Частотная зависимость модуля передаточной функции 1"а(/з)|, определяемой уравнением (13.21) при Qm=5,5 и QB= 1000 (эти добротности получены для разрезной болванки).Рис. 13.10. Частотная зависимость модуля передаточной функции 1"а(/з)|, определяемой уравнением (13.21) при Qm=5,5 и QB= 1000 (эти добротности получены для разрезной болванки).

случае функция 〃(s) должна быть полосно-пропускающей функцией с достаточно широкой полосой, включающей все основные частотные компоненты сигнала. Ширина полосы сигнала (короткий импульс) велика по сравнению с шириной полосы болванки, так что одна из функций активного фильтра состоит в том, чтобы расширить ширину полосы пропускания всей системы. Здесь существует аналогия с нерезонансным преобразователем, когда активный фильтр расширяет полосу пропускания, чтобы исключить подавление высокочастотных спектральных компонент сигнала.

случае функция 〃(s) должна быть полосно-пропускающей функцией с достаточно широкой полосой, включающей все основные частотные компоненты сигнала. Ширина полосы сигнала (короткий импульс) велика по сравнению с шириной полосы болванки, так что одна из функций активного фильтра состоит в том, чтобы расширить ширину полосы пропускания всей системы. Здесь существует аналогия с нерезонансным преобразователем, когда активный фильтр расширяет полосу пропускания, чтобы исключить подавление высокочастотных спектральных компонент сигнала.

Q/名一

Q/名一

о

о

Рис. 13.10. Частотная зависимость модуля передаточной функции 1"а(/з)|, определяемой уравнением (13.21) при Qm=5,5 и QB= 1000 (эти добротности получены для разрезной болванки).

Рис. 13.10. Частотная зависимость модуля передаточной функции 1"а(/з)|, определяемой уравнением (13.21) при Qm=5,5 и QB= 1000 (эти добротности получены для разрезной болванки).

Для "(s) подходит полосно-пропускающая функция четвертого порядка

〃(s)=—厂笛一件，(13.20)

где / — постоянный коэффициент; QsVQb —мера полной полосы пропускания, оптимальную величину которой необходимо определить. Согласно уравнению (13.9), передаточная функция Ha(s) активного фильтра, которая дает такой полный отклик, определяется отношением "(s)/"b(s) =〃(s)Zb(s), и, следовательно, из уравнений (13.16) и (13.20) получим

必(s) =必(s) =ARbQb 3 +卷+①。2卜①。ARbQb 3 +卷+①。2卜①。(13.21)(13.21)

必(s) =

必(s) =

ARbQb 3 +卷+①。2卜①。

ARbQb 3 +卷+①。2卜①。

(13.21)

(13.21)

Возможная схема реализации фильтра с такой передаточной функцией предложена Букингемом и Фолкнером [6]. Фильтр имеет глубокий узкий провал на частоте, соответствующей резонансной частоте болванки, как показано на рис. 13.10. Таким образом, шум антенны, сконцентрированный в узкой полосе вблизи частоты ее механического резонанса, сильно подавляется фильтром, а спектральные компоненты относительно широкопо-

лосного сигнала проходят в пределах полосы пропускания фильтра по обе стороны от провала.

Фильтр предназначен для увеличения отношения сигнал — шум на выходе. В оптимальном случае это отношение достигает максимума. Остается определить величину Qm, при которой выполняются эти условия.

Отношение сигнал — шум

Схему системы, приведенную на рис. 13.9, можно представить в другой форме, показанной на рис. 13.11, где H(s) —передаточная функция, описываемая уравнением (13.20). Значе-

飞的6，仆丿

Рис. 13.11. Полная эквивалентная схема детектора.

ние среднего квадрата шума на выходе системы дается интегралом

^ = 4г]\^^+^^+^^ \Н(Ш^(13.22) о

где произведена замена s=® а спектральные плотности шумов задаются выражениями (13.14), (13.15) и (13.18). После несложных преобразований получаем

"广=2券[击 + PQ；Q? T PqXt?卜 "3-23)

где Qt определяется следующим отношением:

Отметим, что, кроме со。，все величины в этом выражении относятся исключительно к преобразователю и усилителю, а не к болванке.

Хотя вывод о том, что функция 〃(s) должна быть полосно- пропускающей функцией, основан HW характере спектра двойного импульса, имеющего максимальное значение на частоте, от』

лцчной от нулевой, можно вычислить пиковое значение сигнала на\ выходе usp для единичной ступенчатой функции на входе, имеющей величину ступеньки vm. Импульсная функция отклика системы определяется обратным преобразованием 方(s) [уравнение (13.20)], и поэтому отклик на ступеньку определяется обратным преобразованием функции (l/s)〃(s). Он представляет собой сигнал, осциллирующий с частотой, равной резонансной частоте болванки, огибающая которого достигает пикового значения через время A/=2Qm/cDo после момента приложения ступенчатого сигнала на входе. Величина этого пикового значения ■определяется отношением

%* 1 AUm/Qm©, (13.25)

а соответствующая пиковая энергия, запасенная в болванке,— отношением

吼= В5%2/2.(13.26)

Отношение сигнал — шум на выходе равно квадрату пикового значения величины сигнала, деленному на среднеквадратичное значение шума. Учитывая уравнения (13.23), (13.25) и (13.26), оно может быть выражено в виде

一 Сигнал-шум == 4§ 院+^^т,(13.27)

где для упрощения расчетов используется условие PQtQb》1, применимое как в случае веберовской, так и разрезной болванки. Оптимальный фильтр по определению максимизирует значение этого выражения для величины сигнал — шум по отношению к Qm. При этом легко находится оптимальное значение Qm:

Qst = ]/而義(13.28а)

откуда следует

(Сигнал—шум)макс = "^ )/啓组.(13.286)

Соответственно

Минимальная обнаруживаемая энергия =(13.28в)

Рассматриваемые совместно с выражением для времени разрешения оптимизированной системы, а именно

A%t = /或•(13.29)

уравнения (13.28) полностью определяют характеристики оптимизированной антенны, как устройства для регистрации сигнала.

Сравнение веберовской болванки с разрезной болванкой

Для оценки выражений, входящих в уравнения (13.28), необходимо определить численное значение величины Qt. В целях сравнения выберем величину Qr= Ю3. Она вполне достижима при использовании керамических преобразователей и надлежащим образом разработанного усилителя. Оценочные значения для 0 и Qb приведены в табл. 13.1, в которую включены также опти-

Таблица 13.1. Сравнительные характеристики оптимизированных детекторов

(йо/2л, Гц

Qb

6

Qmopt

Мин. регистр, энергия

С

Веберовская болванка

1660

105

10-5

103

5480

0,266

1

Разрезная болванка

1660

Ю3

10-1

103

5,48

0,02论8

!0-з

мальное значение Qm, минимальная регистрируемая энергия и время разрешения веберовской и разрезной болванок при условии, что обе работают в оптимальных режимах.

Как следует из таблицы, в случае оптимизации параметров детекторов минимальная энергия, регистрируемая разрезной болванкой, в 10 раз меньше, чем регистрируемая веберовской болванкой. Это объясняется тем, что сильная электромеханическая связь, достигаемая в разрезной болванке, компенсирует ее недостаток, связанный с большими потерями в системе. Теоретическая чувствительность разрезной болванки, определяемая уравнениями (13.28), была подтверждена экспериментально Древером с сотр. [9].

В табл. 13.1 указана еще одна характеристика, по которой веберовская и разрезная болванки имеют значительное отличие. Это временное разрешение двух систем. При оптимальной величине Q而，указанной в таблице, время воздействия импульса на веберовскую болванку не может быть определено с точностью^ лучшей, чем 1 с, что, конечно, гораздо хуже по сравнению с величиной 1 мс для оптимизированной разрезной болванки. В экспериментах с выделением совпадений на двух детекторах, про-

веденных Вебером, крайне желательно иметь временное разре* шение порядка нескольких миллисекунд, потому что именно на такое время запаздывает импульс, когда гравитационное излучение распространяется от одного детектора к другому, разделен* ным расстоянием в 1000 км. Чтобы достигнуть этого на веберовской болванке, величина Qm должна быть уменьшена по сравне* нию с оптимальным значением 5500 в 1000 раз. Однако при та・ ких условиях, далеких от оптимальных, отношение сигнал — шум* уменьшается в 500 раз. В пересчете на минимальную обнаружи- мую энергию это означает, что веберовская болванка в 5000 раз менее чувствительна, чем разрезная,

Современное состояние работ по детектированию гравитационного излучения

Вскоре после опубликования первых работ Вебера в ряде ла- бораторий были созданы свои антенны гравитационных волн. Некоторые были похожи, но не являлись точной копией веберовской болванки (например, [4, 14, 21], другие представляли собой болванки разрезного типа [1, 2, 9]). В некоторых экспериментах была достигнута более высокая чувствительность, чем на веберовских болванках, некоторые содержали один детектор, другие — два и более детекторов, работающих по схеме совпадений. (Одного детектора вполне достаточно, чтобы доказать отсутствие гравитационных импульсов с уровнем, превышающим некоторый определенный порог. Чтобы доказать наличие таких импульсов, необходимы два детектора и схема совпадений для исключения ложной тревоги из-за случайных локальных помех.) Были получены отрицательные результаты, или, в лучшем случае, ограничения на верхний предел. Обзор этих экспериментальных исследований был сделан Древером [8].

К 1975 г. интенсивные усилия, предпринятые для обнаружения гравитационных импульсов с помощью детекторов первого поколения, т. е. алюминиевых болванок, работающих при комнатной температуре, были в основном завершены. Стало ясно, что для обнаружения гравитационного излучения необходимо создать второе поколение детекторов с более высокой чувствительностью. С точки зрения проведенного выше анализа, показавшего преимущества разрезной болванки перед веберовской болванкой, можно заключить, что основой для дальнейшего совершенствования должна быть разрезная болванка. Оказывается, что это не так. Главная причина состоит в возникновении почти непреодолимых проблем, связанных с сопряжением преоб-

разователей и болванки при их охлаждении до низких темпера- тур.

Детекторы второго поколения охватывают широкую область частот. Их удобно разделить на три категории: детекторы первой категории — это низкотемпературные варианты веберовских болванок, выполненных из ниобия, монокристаллического сапфира, а также алюминия, охлаждаемые с помощью жидкого гелия до температур 1—4 К и предназначенные для работы в диапазоне частот около 1 кГц и выше; детекторы второй категории пригодны для низких частот Ю-4—10-2 Гц и основаны на доплеровской локации межпланетных космических аппаратов; детекторы третьей категории используются на промежуточных частотах между миллигерцовым и килогерцовым диапазонами, они представляют собой лазерные интерферометры, работающие при комнатной тмпературе. Ниже сообщается о последних достижениях в каждом из этих направлений исследования.

Криогенные резонансные массивные детекторы

Очевидный выигрыш, достигаемый при охлаждении резонансной антенны до низких температур, связан со значительным уменьшением теплового шума. В такой системе фактором, ограничивающим предельную чувствительность детектора, может стать уже шум преобразователя или выходных электронных устройств. Преобразователи из пьезоэлектрической керамики, подобные тем, которые использовались в веберовской и разрезной болванках, не пригодны для использования в криогенных системах. В связи с этим были разработаны новые, более совершенные датчики специально для гравитационных детекторов. Они не подходят для разрезных антенн, поэтому все существующие низкотемпературные гравитационные антенны являются в основном антеннами веберовского типа. Тем не менее в деталях они имеют существенные различия.

Антенна, смонтированная в Стэнфорде, представляющая собой массивный алюминиевый цилиндр весом 4800 кг, почти всегда находится в охлажденном состоянии при температуре 4,2 К [19]. Сигнал антенны формируется индуктивным сверхпроводящим преобразователем, установленным на торце болванки. Затем он усиливается с помощью сквида (сверхпроводящего квантового интерферометра). Таким образом, в данном случае низкий уровень механических и электрических потерь в сверхпроводниках используется для достижения малого шума в датчиках. Механическая добротность ненагруженной болванки Qb = 2X10* и, как сообщают авторы, минимальная энергия, регистрируемая системой, составляет ЗХ10~25 Дж. Это приблизи-

тельно в 300 раз лучше, чем чувствительность разрезной болванки, указанная в табл. 13.1. Улучшение в первую очередь обусловлено уменьшением шума благодаря охлаждению.

Электромеханическая связь с сверхпроводящим преобразовав телем увеличена незначительно по сравнению с первой веберов： ской болванкой.

Детекторы, подобные работающему в Стэнфорде, использу*- ются в других экспериментальных группах, в частности в Университете шт. Луизиана (США), во Фраскати около Рима. Датчик, применяемый луизианской группой, отличается от того, ко* торый установлен на антенне в Стэнфорде. Движение торцов, болванки вызывает модуляцию собственной частоты двух СВЧ- резонаторов, которые входят в состав сверхпроводникового параметрического усилителя.

Группа из Перта (Австралия) создает ниобиевую антенну,, которая будет подвешена на сверхпроводящем подвесе. Масса болванки составляет несколько десятков килограмм, механическая добротность Q« 108 при рабочей температуре около 4 К1 Другая оригинальная идея, предложенная В. Б. Брагинским из Москвы [8], состоит в использовании болванок с относительно небольшой массой 10—100 кг, изготовленных, например, из мо> нокристалла сапфира. Определенные монокристаллы обладают предельно низкими потерями. Механическая добротность сапфировых кристаллов, рассчитанная теоретически, составляет приблизительно 10132). Как было показано в разд. 13.4.5, минимальная энергия, регистрируемая резонансной антенной, уменьшается при увеличении ее механической добротности. Именно по такому пути совершенствования резонансных антенн идет московская группа. Они уже работают с сапфировыми кристаллами,, механическая добротность которых превосходит Q = 109. Основная трудность, возникающая при использовании столь высокодобротных систем, связана с сопряжением антенны и датчика.. Оно должно быть таким, чтобы не вносить значительное дополнительное затухание в антенну. Московская группа применяет емкостный СВЧ-датчик для регистрации колебаний антенны.

Слежение за спутниками

Низкочастотное гравитационное излучение в диапазоне 10-4—Ю~2 Гц можно регистрировать посредством доплеровской локации положения межпланетных космических аппаратов. Ме-

D В настоящее время группа из Перта работает с ниобиевои антенной массой L5 т и механической добротностью 2-108 при Т=4+6 К (Вейтч и др.к 1984).

刀 При температуре 0,5 К. , 、

тод основан на том, что гравитационная волна создает малые относительные смещения Земли и удаленного космического аппарата, которые в свою очередь приводят к флуктуации доплеровского сдвига частоты сигналов, посылаемых на спутник и отраженных от него. Первые серьезные попытки использовать этот эффект планировалось предпринять в мае 1983 г. в экспериментах, проводимых на борту двух спутников, одного американского, а другого европейского, предназначенных для исследования Солнца. Конечно, самой серьезной трудностью при проведении такого эксперимента является шум системы доплеровского слежения. Он обусловлен целым рядом шумовых источников, включая случайные вариации коэффициента преломления вдоль пути следования сигнала из-за солнечного ветра и подобные вариации в тропосфере Земли. Эти эффекты невозможно исключить. Но их влияние можно уменьшить, если шумовые источники будут достаточно аккуратно учтены.

Лазерные интерферометры, работающие при комнатных температурах

В промежуточной области частот наиболее перспективным является использование лазерных интерферометров. Форвард {13] в свое время разработал детектор гравитационных волн, чувствительный в диапазоне частот около 100 Гц. Основным звеном эксперимента являлся модифицированный интерферометр Майкельсона, имеющий два плеча, расположенные под прямым углом друг к другу, и три массы, одна на пересечении плеч и две других на их концах. Массы находились на расстоянии около 3 м друг от друга. Форвард и его группа могли регистрировать относительные движения масс на уровне приблизительно Ю-15 м, что примерно в 10 раз хуже, чем на веберовской болванке. Но, учитывая относительную простоту прототипа, результаты казались обнадеживающими.

Как и в других гравитационных антеннах, шумы в оптической системе являются основным фактором, ограничивающим чувствительность. В данном случае флуктуации числа фотонов, излучаемых источником, устанавливают абсолютный предел для ожидаемого отношения сигнал — шум. Обсуждение этого и других аспектов лазерных систем было дано Древером [8] и Торном [20].

Заключительные замечания

Детектирование гравитационного излучения внеземного происхождения стало теперь прочно установившимся и быстро раз- азивающимся направлением в астрономии. В каком-то смысле

это может звучать иронически, так как прямая регистрация гравитационных волн пока не осуществлена. Однако это не препятствует созданию гравитационных антенн второго поколения, которые в случае криогенных болванок имеют чувствительность на два или три порядка выше, чем первая веберовская антенна. Что касается дальнейших перспектив, то рядом исследователей уже сформулированы идеи создания детекторов третьего поколения с чувствительностью, во столько же раз превышающей чувствительность детекторов второго поколения. Одно из предложений в этом направлении состоит в дальнейшем понижении рабочей температуры резонансной антенны до 50 мК.

Эта продолжающаяся деятельность позволяет надеяться, что в недалеком будущем будут сделаны впечатляющие открытия, которые могут существенно продвинуть нас в изучении Вселенной. Если бы, например,, оптический и гравитационный сигналы были отождествлены с общим источником, появилась бы возможность непосредственного измерения скорости распространения гравитационного излучения, что в свою очередь обеспечило бы проверку различных теорий гравитации. Другие проверки также были бы облегчены, если была определена поляризация гравитационных волн. Конечно, для достижения такой стадии, на которой эти возможности станут реализуемы, требуется огромная изобретательность в технологии. Можно, правда, несколько умерить чрезвычайный оптимизм, напомнив, что успех в поиске гравитационных волн отнюдь не гарантирован, несмотря на то что в случае удачи результат трудно переоценить.

ЛИТЕРАТУРА

W. D. Allen, С. Christodoulides (1975), Gravitational radiation experiments at the University of Reading and the Rutherford Laboratory, J. Phys. 4, 8, 1726—1733.

P. S. Aplin (1972), Gravitational radiation experiments, Contemp. Phys., 13, 283—293.

P. Bonifazi, F. Bordoni, G. V. Pallottino, G. Pizzella (1981), Measurements of the Brownian noise of a harmonic oscillator with mass 府=389 kg, Proc. 6th I nt. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, 6—10 April 1981, pp. 298—301.

V. B. Braginskii, A. B. Manukin, E. I. Popov, V. N. Rudenko, A. A. Khorev (1972), Search for gravitational radiation of extraterrestrial origin, Sov. Phys. —J ETP Lett., 16, 108—112.

C. Brans, R. H. Dicke (1961), Mach's principle and a relativistic theory of gravitation, Phys. Rev., 124, 925—935.

M. J. Buckingham, E. A. Faulkner (1972), The principles of pulse signal recovery from gravitational antennas, Radio and Elect. Eng., 42, 163—171.

R. W. P. Drever (1971), Observations on pulse response of a wide-band gravitational wave detector, presented at the 6th Int. Conf, on Gravitation and Relativity, Copenhagen, 5—10 July, 1971.

R. W. P. Drever (1977), Gravitational wave astronomy, Quarterly 7. Roy Astron. Soc., 18, 9—27.

R. W. P. Drever, J. Hough, R. Bland, G. W. Lessnoff (1973), Search for short bursts of gravitational radiation, Nature, 246, 340—344.

A. Einstein (1916), Grundlage der allgemeinen relativitatstheorie (Foundation of the theory of general relativity), Ann. d. Phys., 49, 769—822.

E. A. Faulkner, M. J. Buckingham (1972), Comment on «Can a pulse excitation smaller than kT be detected?», Elect. Lett., 8, 152—153.

P. B. Fellgett, D. W. Sciama (1971), Gravitational wave astronomy: an interim survey, Radio and Elect. Eng., 42, 391—397.

R. L. Forward (1978), Wideband laser-interferometer gravitational-radiation experiment, Phys. Rev., D 17, 379—390.

R. L. Garwin, J. L. Levine (1973), Absence of gravity-wave signals in a bar at 1695 Hz, Phys. Rev. Lett., 31, 173—176.

G. W. Gibbons, S. W. Hawking (1971), Theory of the detection of short bursts of gravitational radiation, Phys. Rev., 4, 2191—2197.

R. P. Gifford, P. F. Michelson, R. C. Tabor (1981), Noise in resonant gravitational wave detectors, Proc. 6th Int. Conf, on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, 6—10 April 1981, pp. 292—297.

S. W. Hawking (1972), Gravitational radiation: the theoretical aspect, Con- temp. Phys., 13, 273—282.

D. G. Maeder (1971), Can a pulse excitation smaller than kT be detected?^ Elect. Lett., 7, 767—769.

P. F. Michelson, R. C. Tabor (1981), Sensitivity analysis of a resonant-mass^ gravitational wave antenna with resonant transducer,丄 Appl. Phys., 52* 4313—4319.

K. S. Thorne (1980), Gravitational-wave research: current status and future prospects, Rev. Mod. Phys., 52, 285—297.

J. A. Tyson (1973), Null search for bursts of gravitational radiation, Phys. Res Lett., 31, 326—329.

J. A. Tyson, R. P. Gifford (1978), Gravitational wave astronomy, Ann. Re” Astron, Astrophys,, 16, 521—554.

J. Weber (I960), Detection and generation of gravitational waves, Phys. Rev., 117, 306—313.

J. Weber (1966), Observation of the thermal fluctuations of a gravitational- wave detector, Phys. Rev, Lett,, 17, 1228—1230.

J. Weber (1967), Gravitational radiation, Phys. Rev. Lett., 18, 498—501.

J. Weber (1969), Evidence for the discovery of gravitational radiation, Phys. Rev. Lett., 22, 1320—1324.

J. Weber (1970), Gravitational radiation experiments, Phys. Rev. Lett., 24» 276—279; Anisotropy and polarization in the gravitational-radiation experiments, Phys. Rev. Lett., 25, 180—184.

Приложения

Приложение 1. Тепловой шум и распределение Пуассона

Шумовые процессы, встречающиеся в твердотельных и других приборах, часто можно представить в виде последовательностей случайных импульсов. Это верно, например, для теплового и дробового шумов, как было показано в гл. 2. Чтобы исследовать статистические свойства таких процессов, возьмем для определенности модель теплового шума, описанную в разд. 2.8.

Тепловой шум в резистивном материале происходит от вызванного нагреванием случайного движения электронов внутри прибор% Шум на клеммах можно представить как последовательность случайных импульсов, в которой каждый отдельный импульс вызван «событием», состоящим из начального этапа, соответствующего пробегу электрона между последовательными столкновениями с атомами кристаллической решетки, и последующей релаксации, возвращающей систему в состояние равновесия. Из этого ясно, что каждый электрон в ансамбле производит последовательность случайных импульсов на клеммах во время €воего перемещения по материалу и наблюдаемый шумовой сигнал складывается из последовательностей импульсов от всей популяции электронов в приборе.

Представим себе, что можем следовать за отдельным, например, 1м электроном при его движении по извилистой траектории через решетку. Каждое столкновение, которое он испытывает, соответствует началу «события», и столкновения происходят случайно. В этом контексте «случайно» означает, что вероятность обнаружения начала события, происходящего между t и /十6力 очень мала и не зависит от /; а «очень мала» означает, что вероятностью обнаружения двух событий внутри интервала 6f можно пренебречь. Если вероятность обнаружения начала события внутри интервала 6/ равна %6力 где % не зависит от /, то необходимые для случайности условия удовлетворяются, если 6f устремить к нулю. Константу w можно затем рассматривать как функцию плотности вероятности, и, как сейчас будет показано, она играет заметную роль в распределении Пуассона.

Распределение Пуассона — это статистический закон, описывающий вероятность pt （加,/） точно m событий （т. е. столкнове-

ний в случае нашего электрона), происходящих в интервале 厶 когда сами события распределены случайно в значении, описанном выше. Индекс i употреблен здесь как напоминание о том» что рассматривается единственный носитель. Следующее простое рассуждение приводит к дифференциальному уравнению, из которого можно вывести основное выражение для р»(/п, /).

Возможны только два способа, которыми могут осуществляться точно т событий на интервале времени 力+6力 либо т событий происходит за время / и ни одного — за 6t, либо (т—1) событие происходит за время / и одно — за 6九 Следовательно, вероятность m событий за время /+6/ есть сумма

Pi(fnt 力+g = р» (m, /) (1 — vg)+pj (m— 1, /) %6f,(П1.1>

и, конечно, pig, f) =0 для m<0. Теперь, так как переменная t непрерывна, можно взять производную от .(/n, /) по времени

dPt(m,力)=нт 〃(％% + &)—〃(％ 2)(Е.2>

或 go也,•

которая в сочетании с предыдущим выражением приводит к дифференциальному уравнению

”'"、=—№ (加,/) + %〃 ⑺一 1,0.(П1.3>

Когда /п = 0, оно упрощается до уравнения

吗”-=—%Р»(°")，(П1.4)

решением которого является функция

р. (0,/) = ехр(—V./).(П1.5>

Константа интегрирования, на которую умножается правая часть, равна единице, согласно тому, что в нулевой момент времени вероятность нулевого числа событий равна единице. При 加>0 ищем решения в виде

% (色 /)=力(m, 0 exp (―咐・(П1.6)

Подставляя это выражение в уравнение (П1.3), получаем, чта функция fi(m, /) должна удовлетворять дифференциальному уравнению

吗=嘲(m一1,/),(П1.7>

решения которого записываются в виде

、力(m,/) = a仍.(e。8)

Помня о том, что ft(O,/) = 1, легко показать, что константа интегрирования должна быть am=VfAn/m!, и отсюда следует формула для распределения Пуассона

"» (m，0 = ^^ eXр (一屮).(П1.9)

Заметим, что при суммировании р^т, /) по всем т результат не зависит от Nit и равен единице.

Смысл константы v? проясняется при образовании первого момента относительно начала (т. е. среднего значения) распределения. Обозначая его через т, имеем

ОО

次=Е mpi (m, f)=屮.(П1.10)

m==0

Таким образом, vz равно средней скорости появления событий.

Дисперсия распределения — это второй момент относительно среднего:

a2 = (m—向2 =7^一用2 =e 加2內(九 /)—帝.(П1.11)

m=0

После некоторых непосредственных алгебраических преобразований сумму в этой формуле можно выразить через экспоненциальную функцию ехр(—v"), и дисперсия принимает вид

02 =而.(П1.12)

Отсюда очевидно, что среднеквадратичное отклонение относительно среднего значения равно корню квадратному из среднего значения — результат, характеризующий распределение Пуассона и иногда называемый «законом больших чисел».

Важным параметром, связанным с движением электрона по резистивному материалу, является среднее время свободного пробега Tfx. Когда /=工门,по определению имеем т=\ и из равенства (П1.10) следует

号产1/%，(П1.13)

что согласуется с нашей прежней интерпретацией w как средней скорости столкновений.

Другой способ получения среднего времени свободного пробега заключается в следующем. Вероятность р,(т"+6т") того, что данное время свободного пробега находится между т〃 и (т/х+бт/х), равна совместной вероятности того, что не происходило столкновений за время 丁咒,и того, что происходит одно столк-

новение в (малом) интервале Gtft. Вероятность столкновения в интервале 8切 равна wgi, и, следовательно, совместная вероятность имеет вид

Pt (巧+6%) = v.p. (О, %)卅用 (П1.14)

где pi(0,Tf0 —вероятность, задаваемая выражением (П1.5), того, что нет событий за время t"・ Функция Vipi (0, Tf；)= =Vjexp(—vri") справа в формуле (П1.14) —функция плотности вероятности времен свободного пробега, и, следовательно, среднее время свободного пробега описывается формулой

Т" = ViТ" = Vi^н ехр(—%/) d/ = l/%, b^н ехр(—%/) d/ = l/%, b(П1.15)(П1.15)

Т" = Vi

Т" = Vi

^н ехр(—%/) d/ = l/%, b

^н ехр(—%/) d/ = l/%, b

(П1.15)

(П1.15)

что согласуется с уравнением (П1.13). Функцию плотности вероятности времен свободного пробега можно также использовать для получения среднеквадратичного времени свободного пробега

(П1.16)(П1.16)万尸 %/吟i exp (一叩")dt" = 2吟广о

(П1.16)

(П1.16)

Таким образом, среднеквадратичное время свободного пробега электрона есть удвоенный квадрат среднего времени свободного пробега — результат, который был использован при рассмотрении подвижности в приложении 3. Интегралы в формулах (П1.15) и (П1.16) вычисляют интегрированием по частям.

Форма сигнала теплового шума, наблюдаемая на клеммах прибора, не является результатом движения только одного электрона, а является результатом движений ансамбля электронов внутри прибора. Выше мы видели, что шумовой сигнал, обусловленный единственным электроном, представляет собой последовательность импульсов, подчиняющихся распределению Пуассона. Шум от всех электронов в популяции — последовательность импульсов, которая является суперпозицией всех сигналов от отдельных электронов. Сейчас мы проанализируем статистическое распределение импульсов в результирующих шумовых флуктуациях на клеммах.

Рассмотрим два электрона в резистивном материале, например, i-й и /-й, с вероятностями столкновения в интервале времени 6/: v/6Z и 夕力方 соответственно. (Дальше будем более реалистично, хотя и в ущерб общности, считать, что Vi=v； для всех i и /.) Запишем вероятность того, что i-й электрон испытывает s

столкновений и /-й электрон — (m—s) столкновений за время t

Pi (s, t)Pj(m—sf 0 - -ц^—)p exp [—(Vi+v;) /].(П1.17)

Отсюда вероятность точно m столкновений за время / получается суммированием выражения (П1.17) по всем s от нуля до m

m sms

Р"⑺,0 =纱 ехр [-(V^t] Е 嗡謂干・(П1.18) s=0

По биномиальной теореме сумма в правой части равна (v/+v/)^/m! и, следовательно,

Р鼠т, /)」”贽吧 ехр Л)Н,(П1.19)

а это по аналогии с определением (П1.9) —распределение Пуассона. Приходим к выводу, что сумма двух пуассоновских процессов сама по сути пуассоновская, со средней скоростью событий, равной сумме средних скоростей обоих составляющих процессов. Отсюда следует, что, если складываются ^ пуассоновских процессов, вероятность того, что точно m событий происходят за время /, описывается распределением Пуассона:

Р (忆》=嶋^ ехр (т*(П1.20)

где

N

v = 2vf(П1.21)

1=1

Формулы (П1.20) и (П1.21) представляют собой дополнительную теорему для пуассоновских процессов.

Статистически электроны в резисторе ведут себя идентично. Таким образом, средняя скорость столкновений w для отдельного носителя не зависит от того, какой именно носитель находится под наблюдением. Тогда из формулы (П1.21) (помня, что w равно обратному среднему времени свободного пробега) получаем простое выражение для средней скорости событий

』力片，(П1.22)

где п — концентрация носителей; V — объем прибора, а т^ — среднее время свободного пробега электронов. Результат (П1.22) используется при рассмотрении в гл. 2, разд. 2.8.

Приложение 2. Исследование по Найквисту теплового шума в сопротивлении

Спектральная плотность флуктуаций напряжения на сопротивлении, находящемся в тепловом равновесии с окружающей средой, первоначально была получена Найквистом [1] с привлечением методов термодинамики и статистической механики. Его исследование проблемы появилось вскоре после работы Джонсона, наблюдавшего тепловые флуктуации в сопротивлении, и результат, полученный Джонсоном, часто относят к закону Найквиста. Ниже описывается подход Найквиста к проблеме теплового шума.

Рис. П2.1. Равные сопротивления, соединенные параллельно.Рис. П2.1. Равные сопротивления, соединенные параллельно.Рис. П2.2. Линия передачи без потерь длины Z, на концах замкнутая равными сопротивлениямиRi и %•Рис. П2.2. Линия передачи без потерь длины Z, на концах замкнутая равными сопротивлениямиRi и %•

Рис. П2.1. Равные сопротивления, соединенные параллельно.

Рис. П2.1. Равные сопротивления, соединенные параллельно.

Рис. П2.2. Линия передачи без потерь длины Z, на концах замкнутая равными сопротивлениями

Ri и %•

Рис. П2.2. Линия передачи без потерь длины Z, на концах замкнутая равными сопротивлениями

Ri и %•

Первоначально он рассмотрел два электрических проводника, R и &, с одинаковым сопротивлением R и при одной и той же температуре 0, равномерной по всему проводнику. Очевидно, что при параллельном соединении проводников, показанном на рис. П2.1, электродвижущая сила, появляющаяся в результате теплового движения носителей заряда в Ri, вызывает в контуре ток, приводя к поглощению мощности проводником /?2・ Аналогичный поток энергии существует и от /?2 к /?ь Мощность от R, поглощаемая /?2, равна VF/4R, а в обратном направлении от к Ri — равна YZ]4R, где Vi2 и V22 — значения средних квадратов электродвижущих сил разомкнутого контура, наведенных на Ri и R2 соответственно. Так как оба проводника находятся при одной и той же температуре, потоки мощности в каждом направлении должны быть совершенно одинаковыми, иначе будет нарушен второй закон термодинамики; следовательно, средние квадраты напряжений V/ и V22 равны. Этот вывод имеет силу независимо от физической природы проводников; как указывал Найквист, один проводник может быть из свинца, а другой—из серебра, или один может быть металлическим, а дру-

гой ——электролитическим, и результат останется прежним. Более того, этот вывод справедлив не только для полной мощности, которой обмениваются проводники, но и для обменной мощности в любой полосе частот. Если бы это было не так, можно было между проводниками включить полностью реактивны» фильтр (т. е. содержащий только конденсаторы и индуктивности), полоса пропусканий которого охватывает частотный диапазон, где существует неравенство между потоками мощности в двух направлениях. Но, так как Ri и R2 имеют одну и ту же температуру, это снова привело бы к нарушению второго закона термодинамики, и, следовательно, потоки мощности в обоих направлениях в любой полосе частот должны быть одинаковыми. Другими словами, спектр флуктуаций напряжения на сопротив- лении — универсальная функция /?, 0 и частоты 厶

Чтобы получить эту функцию, Найквист рассмотрел длинную линию передачи без потерь, замкнутую на концах проводниками R и R2 (рис. П2.2). Обозначим характеристический импеданс линии через R, ее длину ——I и волновую скорость вдоль линии — с. Когда система находится в тепловом равновесии, существует поток энергии вдоль линии от Ri к R2 и другой поток в обратном： направлении, от R2 к Ri. Эти потоки появляются благодаря тепловым флуктуациям носителей заряда в R〔 и R2 соответственно, и в обоих случаях принимающий проводник поглощает энергию^ которая на него приходит.

Мощность, отданная в линию одним из проводников в час* тотном интервале d(o/2n, описывается формулой

dP =(n2.1>

где Sy(co)——спектральная плотность флуктуаций напряжения на рассматриваемом проводнике. Время переноса вдоль линии определяется отношением 1心 и таким образом полная энергия^ отданная в линию обоими проводниками за такой интервал времени, определяется выражением

耳画要. (П2.2>

Далее Найквист продолжил доказательство, считая линику передачи короткозамкнутой с обоих концов, так что энергия в ней содержится в виде стоячих волн. Частоты этих волн соответствуют собственным частотам линии. Таким образом, самая* низкая частота колебаний, соответствующая волне напряжениям с узлом на каждом конце и пучностью посредине, равна с/2/. Частота следующего режима колебаний, в котором узлы находятся на концах и один — в средине линии, равна 2c,2/; вообще* собственные частоты линии равны 〃с/2厶 где л ——целое число^

В частотном интервале dco/2ji количество мод колебаний, следовательно, равно (2//с) d^!2n (оно очень велико по сравнению с единицей, если предположить, что / может принимать бесконечно большие значения). Если считать, что имеем именно этот случай, и рассматривать каждую моду как степень свободы системы, можно прибегнуть к закону равномерного распределения, чтобы определить полную энергию в линии. При условии, что квантовомеханические эффекты несущественны, закон равномерного распределения энергии устанавливает, что в среднем энергия, связанная с каждой степенью свободы, равна 良8, где k — константа Больцмана, а 0 — абсолютная температура системы. Таким образом, энергия в линии для частотного интервала d(o/2ji имеет вид

dE = ^ 加翁. (П2.3)

Сравнивая это выражение для dE с предыдущим, получаем спектральную плотность флуктуаций напряжения разомкнутой цепи

石画=4砲?， (n2.4)

что и является результатом Найквиста. Его можно обобщить на случай комплексного импеданса, если расширить проведенное хвыше доказательство, включив в рассмотрение простой контур. Тогда для спектральной плотности флуктуаций напряжения получают точно такой же вид, причем R представляет в этом -случае действительную часть импеданса. Таким образом, когда импеданс чисто реактивен и не имеет резистивной составляющей, шума нет. Этого следовало ожидать, так как в отсутствие ^сопротивления не может быть релаксации от возмущенного состояния назад к состоянию теплового равновесия. Соотношения между сопротивлением, релаксацией и шумом изучаются в тл. 2, где рассматривается метод Ланжевена для теплового шума.

При частотах и температурах, при которых имеют значение квантовомеханические эффекты, а именно когда квант энергии hf не является пренебрежимо малым по сравнению с 左仇 закон равномерного распределения в описанном выше виде больше не выполняется. Найквист коротко остановился на этой проблеме в своем оригинальном исследовании теплового шума и предложил каждой степени свободы вместо А0 приписывать в среднем энергию

九"6〃 碩—1), (n2.5)

которая уменьшается до fe0 в «классическом» приближении, когда /zj《^8. Символами % и 力 появляющимися выше, обозначены

константа Планка и частота соответственно. Выражение (П2.5) описывает энергию гармонического осциллятора, если не считать того, что в него не включен энергетический член в нулевой точке. В наши дни большинство авторов согласны с тем, что член в нулевой точке следует включать в описание шума, что более полно обсуждается в гл. 11.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. Nyquist (1928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys. R”，32, 110—113.

Приложение 3. Подвижность, броуновская скорость и диффузия

Подвижность электронов (или дырок) описывает макроско- пический поток носителей в электрическом поле. Ее можно выразить через некоторые параметры (например, среднее время пробега между столкновениями с решеткой), характеризующие микроскопические свойства ансамбля носителей. Доказательства основано на модели классической частицы (электрона), и для простоты выбирается одномерная модель резистора.

Предположим, что к резистору приложено электрическое поле напряженностью Е. Пусть поле мало настолько, что оно не изменяет значительно равновесное распределение электронов* по скоростям. Популяции электронов этим полем будет сообщена средняя скорость дрейфа, равная ц£, где м — подвижность.

Чтобы связать 卩 с параметрами микроскопического движения электронов, рассмотрим столкновения, испытываемые отдельной частицей. Между двумя столкновениями она движется^ с ускорением \а\ =qElm в направлении поля, где т — масса частицы. Следовательно, если время свободного пробега t〃 смещение под действием поля равно |a|rf2/2, и отсюда полное перемещение частицы__под действием поля после К столкновений равно (qEK/2m)Tf2, где t产一средний квадрат времени свободного пробега. Средняя скорость дрейфа частицы через К столкновений равна полному перемещению, деленному на полное время, т. е.

(qEK/2/n)亨г

и = —>(П3.1)

где tf — среднее время свободного пробега. Так как u = |iE, отсюда следует, что подвижность имеет вид

卩=qx;l@tm,.(口3.2%

Далее, времена свободного пробега распределены по Пуассону м t产=2t产,как показано в приложении 1. Таким образом, подвижность описывается формулой

^ — qxflm, (ПЗ.З)

Если Vq — тепловая скорость частицы между столкновения* ши, то длина свободного пробега lf = vQXf. При условии независимости между тепловой скоростью и временем свободного пробега получаем

彳=皆丁， (n3.4)

тде，产一средний квадрат длины свободного пробега, а 吟一 «средний квадрат тепловой скорости. Из закона равномерного распределения энергии для одномерного резистора при тепловом равновесии с окружающей средой имеем

ту02/2 = Й0/2, (П3.5)

где й — константа Больцмана и 0 — абсолютная температура. Рассматривая совместно выражения (П3.2), (П3.4) и (П3.5), можем выразить подвижность в виде

n=沔(2h呵. (n3.6)

Эта формула для 卩 используется при выводе теплового шума в тл. 2 (разд. 2.8).

Шокли [1] дал расширенное исследование подвижностей, •средних времен и средних длин свободного пробега, включив 二анализ, основанный на модели частицы, описанной выше.

Флуктуации скорости ансамбля электронов ответственны за -тепловой шум в резисторе. Хотя тепловые флуктуации тока и напряжения на клеммах прибора рассматриваются в гл. 2 (разд. 2.8), тем не менее полезно специально проанализировать сами флуктуации скорости.

Рассмотрим электрон, который подвергается столкновению с решеткой. Его импульсы до и после события равны р〔 и 卩2 соответственно. Таким образом, столкновение за бесконечно малое время придает частице импульс (必一Pi). Это соответствует силе (夕2—Pi)3(f). Следовательно, уравнение движения имеет вид

加 嘗、=平+ (% 一网)6 (О, (n3.7)

тде 〃(/)—скорость частицы. Уравнение (П3.7)—по существу уравнение Ланжевена для скорости броуновской частицы.

Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (П3.7) и переставляя слагаемые, находим преобразование 〃(f)

[/(» =坟二峻，(n3.8)

где tf = w/g — среднее время свободного пробега, описываемого выражением (ПЗ.З). Используя теорему Карсона, получаем спектральную плотность флуктуаций скорости в виде

S^ = 2v (必一厶)21 尸(/(о)|\(П3.9)

где w=l/tf — средняя скорость столкновений для единственной частицы, а

=(П3.10)

—фурье-преобразование функции формы импульса, вызванного единичным столкновением. Так как 〃 и 小 независимы； то

Sw (со)=普鴿^，(ПЗ. 11)

где положили p2—pi2=p^. Для равновесной популяции из закона равномерного распределения для одномерного случая имеем

^/2т = Л6/2,(П3.12)

и, следовательно, спектральная плотность тепловых флуктуаций скорости принимает вид

где использовали выражение для подвижности (ПЗ.З)1). Из теоремы Винера — Хинчина следует, что соответствующая автокорреляционная функция имеет вид

<Р“(т) =1?ехр (―I т I 后)，(П3.14)

где

匹=9〃(0)=(砌 0)(卩瓦)(n3.15)

—значение среднего квадрата 〃⑴.

D Флуктуация скорости 〃«) производит флуктуацию тока короткого замыкания i(t) =qu(t)/Lt где L ——длина резистора. Отсюда следует, что спектральная плотность флуктуаций тока ——это правая часть формулы (П3.13), умноженная на (g/厶产 столько раз, сколько составляет полное чис* ло носителей. Это дает выражение Найквиста 4砌R, деленное на знамена， т-ель формулы (П3.13), что соответствует выводу 8(з) в разд. 2.8.

Тепловые флуктуации скорости, описываемые формулам» (П3.13) и (П3.14), ответственны за диффузию частиц через ре* зистивный материал. Шокли с сотр. [2] связали диффузию со скоростью в исследовании, которое одинаково для неравновесного и равновесного ансамблей. Они определили диффузию величины и при (угловой) частоте о как

ОО

(П3.16>(П3.16>D〃 (①)==J 屮〃 (т) cos(ordr,о

(П3.16>

(П3.16>

где 屮〃 (t) —автокорреляционная функция флуктуаций скорости» но она больше не соответствует исключительно равновесному условию в отличие от формулы (П3.14);(рм(т) в данном случае может быть и автокорреляционной функцией неравновесного ансамбля. При сравнении определения (П3.16) с интегралом обращения Винера — Хинчина по т становится ясно, что £>〃(со) эквивалентна спектральной плотности флуктуаций скорости, деленной на 4. Следовательно, из формулы (П3.13) для частного случая теплового равновесия имеем

D“eq0) =浊8/q, (П3.17)

что переходит в соотношение Эйнштейна, если。〃约(0) отождествить с более привычной константой диффузии D. Из выраже- ний _(П3.15) и (П3.17) следует, что для одномерного движения D = u?%f.

Общий вид для О〃 (①)в формуле (П3.16) важен для анализа шума в приборах на горячих электронах, где носители заряда не находятся в тепловом равновесии с решеткой.

ЛИТЕРАТУРА

W. Shockley (1963), Electrons and holes in semiconductors, Van Nostrand, New York, Chapters 8 and 11.

W. Shockley, J. A. Copeland, R. P. James (1966), The impedance field method of noise calculation in active semiconductor devices, in Quantum Theory of Atoms, Molecules and the Solid State (Ed. P. O. Lowdin), Academic Press» New York, pp. 537—563.

Приложение 4. Шум, обусловленный прохождением носителей через обедненный слой р — п-перехода

Носитель заряда, пересекающий обедненный слой р—/г-перехода, смещенного в прямом направлении, вызывает изменение концентрации неосновных носителей р0 в плоскости х=0 (см.

рис. 4.1). Такое отклонение от стационарного распределения заселенности приводит к возникновению двух потоков релаксаци- юнного тока, один из которых направлен в обратном направлении через обедненный слой, вызывая изменение величины /& а другой — через область ^, приводя к изменению величины /р. Эти два релаксационных потока и есть то средство, за счет которого происходит восстановление равновесного состояния концентрации неосновных носителей.

Исходный акт прохождения носителя через обедненный слой можно представить как действие генератора тока 夕6«), вклю-

Рис. П4.1. Эквивалентная схема по переменному току, характеризующая про* хождение носителя через обедненный слой р—л-перехода.

■ченного в эквивалентную схему переменного тока, как показано на рис. П4.1. Активная проводимость на этом рисунке С尸=自/尸/々8 есть величина, обратная сопротивлению, входящему в уравнение (4.6), которое, как мы видели в гл. 4, является мерой отклонения от условия постоянства квазиуровней Ферми, разделяемых за счет приложения напряжения V на протяжении обедненного слоя. Смысл величины Gf здесь заключается в том, что она характеризует механизм релаксации, благодаря которому происходит восстановление равновесия после пересечения носителем электричества обедненного слоя р—л-перехода. У/ на рис. П4.1—полная проводимость р—п-перехода.

Ток во внешней цепи, обусловленный исходным актом, включает в себя как ток gb(f), так и последующий за ним релаксационный ток gg(f). Таким образом, полный ток описывается формулой

5G) = g[3(f)_ge)], (П4.1а)

или, в терминологии преобразования,

(П4.16)(П4.16)iD (抄)=9 j ® ⑴―g (01 exp —j^tdt.

(П4.16)

(П4.16)

о

Задача теперь заключается в определении величины Id (/со).

Этого можно достичь, используя переход Тевенина от генератора тока и параллельной ему проводимости Gf (рис. П4.1) к генератору напряжения q/Gp с последовательной проводимостью Gr После этого сразу получаем

5(Я = ^7 =《(П4.2)

и отсюда, согласно теореме Карсона, спектральная плотность шумового тока во внешней цепи имеет вид

丽而= ^\iD UG |2 =墨 I 厶产， (П4.3)

где среднее число носителей, проходящих через слой за секунду» выбирается в виде (If+1r)/q^ (^hlq), а

Ут =Ут =GfYjG尸+ 3GfYjG尸+ 3(П4.4)(П4.4)

Ут =

Ут =

GfYj

G尸+ 3

GfYj

G尸+ 3

(П4.4)

(П4.4)

——общая полная проводимость цепи, изображенной на рис. П4.1. Спектральное распределение флуктуаций тока за счет прохождения носителей через обедненный слой, задаваемое уравнением (П4.3), имеет простое толкование: оно эквивалентно тепловому шуму эффективного последовательного сопротивления 1/Gf. Далее, в диапазоне частот, представляющем практический интерес, величина Gf настолько велика, что при расчетах переходов ею обычно пренебрегают, расчет шума не составляет исключения из этого общего правила: так как Gf》Y〃 общая полная проводимость Ут^У/ и вклад в общий шум шумовой компоненты, обусловленной прохождением носителей через обедненный слой, как можно видеть из уравнения (П4.3), пренебрежимо мал.

Подобный вывод находится в противоречии с тем, к чему приводит корпускулярная теория ван-дер-Зила и Бекинга (гл. 4 [27]). Причину такого расхождения можно понять из следующего толкования корпускулярной теории.

Если пренебречь постоянной составляющей тока ic(f), то из уравнения (П4.16) следует, что

jgR)成=1,(П4.5>

о

и, следовательно, преобразование 五⑴ можно записать в виде

iD (Д°) = 9 J (1 — exp —/сот) g(i)加(П4.6)

о

Этот интеграл лежит в основе анализа ван-дер-Зила и Бекинга.

Они утверждают, что он представляет собой две дельта-функции, разделенные временем т, соответствующим прямому и возвратному прохождению носителя через обедненный слой, и что функция g(t), вид которой они не конкретизируют, может быть истолкована как функция распределения для интервалов времени т.

Пользуясь таким объяснением g(t), они вывели спектральную плотность i。, определяя спектральную плотность всех этих актов, состоящих из двух импульсов, разделенных временем т, и интегрируя ее по всем т с учетом статистической весовой функции g(t).

Такая процедура приводит к следующему результату:

So(s) = 2〃尸 j g (т) 11 — exp —/сот |2 dt = о

=4%『g (r) (1 —coscor) dt =

b

=4〃尸 Re (灰務•) = "° Re %，(n4-7)

где для исключения этого интеграла использовались уравнения (П4.16) и (П4.2), а средняя скорость двойных импульсов принималась равной /尸/q. Конечный результат в выражении (П4.7У такой, какой получили ван-дер-Зил и Бекинг на основе своего анализа. (Они затем подставили ReYT=G/—Go, тогда как в нашем случае из определения общей полной проводимости мы имеем ReYr^G/. Разница между этими выражениями не столь важна, если иметь в виду предыдущую аргументацию.)

Результаты, даваемые уравнениями (П4.3) и (П4.7), существенно отличаются друг от друга. С математической точки зрения причина этой разницы состоит в том, что модель работы перехода, предложенная ван-дер-Зилом и Бекингом и приводящая к уравнению (П4.7), включает функцию

J g (叫 1 — exp (—/си) |2 办

в выражении для спектральной плотности. В отличие от этого выражение в уравнении (П4.3) следует из функции

J 1 — J g (т) exp —/cndtJ 1 — J g (т) exp —/cndt22

J 1 — J g (т) exp —/cndt

J 1 — J g (т) exp —/cndt

2

2

Первая вещь, о которой следует упомянуть, обсуждая конечный результат в уравнении (П4.7), — это то, что, согласно на-

шему определению Ут, этот результат описывается таким же выражением, что и выражение для полного шума, обусловленного действительной составляющей проводимости перехода, и, как таковой, он не является пренебрежимо малым. Но является ли это шумом, обусловленным пересечением носителями обедненного слоя? Рассмотрение выводов корпускулярной модели вынуждает нас прийти к выводу о том, что это не тот шум.

Для доказательства этого вывода, рассмотрим основную характерную черту модели, а именно пересечение индивидуальным носителем обедненного слоя и последующее через время т обратное прохождение через этот слой такого же носителя. Далее, из сравнения уравнений (П4.1а) и (П4.2) можно видеть, что фурье-преобразование g(t) функции, которая описывает распределение временных интервалов т, имеет вид

，g ⑴ exp (-/^)加=g^y} 6，g ⑴ exp (-/^)加=g^y} 6(П4.8)(П4.8)

，g ⑴ exp (-/^)加=g^y} 6

，g ⑴ exp (-/^)加=g^y} 6

(П4.8)

(П4.8)

Важная особенность этого уравнения состоит в том, что его правая часть постоянна и по существу равна единице вплоть до частот, находящихся далеко за пределами рабочего диапазона р——n-перехода. Это происходит потому, что Gf》Yj・ Следовательно, g(t)——функция, которая заметно отличается от нуля только для значений т, которые намного меньше, чем стандартные величины временных констант р—n-переходов, включая время рекомбинации tr. Это в свою очередь означает, что временной интервал т между прямым и обратным прохождением носителя через обедненный слой намного меньше, чем время рекомбинации xr. Теперь можно выяснить трудность корпускулярной теории; в соответствии с этой моделью, если носитель, который только что пересек обедненный слой, рекомбинирует в объемной области перехода, то рекомбинация должна происходить за время меньшее, чем т пересечения, в противном случае он возвратится в область, из которой он вышел. Но, поскольку 工《tR, рекомбинация почти наверняка не будет иметь место, и поэтому данный носитель, как и все другие, которые пересекли обедненный слой, возвратится обратно в исходную область. Но это не согласуется с нашим пониманием токового механизма работы р—n-переходов. Исходя из этого противоречия, мы приходим к выводу, что корпускулярная модель ван-дер-Зила и Бе- кинга не является физически обоснованной, и, следовательно, уравнение (П4.7) не характеризует шум, обусловленный прохождением носителей через обедненную область.

Подобная аргументация справедлива и в отношении рассмотрения шума в транзисторах, проведенного ван-дер-Зилом и Бе- кингом.

Приложение 5. Решение уравнения, описывающего выходной шум генератора

Уравнение, которое требуется решить для определения амплитудных и фазовых флуктуаций а«) и p(f) на выходе генератора ван-дер-Поля, — это уравнение (8.34), которое после дифференцирования по времени переходит к виду

С 幣- 9lGJ 史啥立+=幣, (П5.1) где

i^ 三 vn ⑴=и。[a (0 cos %/+屮 0) sin %力，(П5.2)

vq = % (f) = % [a (f) cos 30f—屮(f) sin cooZ],(П5.3)

а остальные параметры определены в гл. 8. Выполняя дифференцирование vn и vq и производя подстановки, уравнение (П5.1) преобразуем к виду

gi (0 sin ①(/+g2 ⑴ cos gf =今,(П5.4>

где gi(t) и g*2(0——очень медленно меняющиеся функции по сравнению со свободными колебаниями, описываемые выражениями

gi ⑴=% [с (-^ —2g ~^)+2о)о 伤—Go) а](П5.5)

и

g2(/) = 。0[e(需+2%备)-2@-60)"^].(口5.6)

Теперь задача состоит в решении уравнений (П5.4) — (П5.6) относительно “(f) и 2(f) в предположении, что i〃三加⑺一источник белого шума.

Используемый метод заключается в поочередном умножении уравнения (П5.4) на sincoof и cossof и последующем интегрировании на одном периоде собственных колебаний. Так как gi (f) и g2«) по существу не изменяются за такой короткий отрезок времени, их можно принять за константы и вынести за знак интеграла (этот прием иногда называют методом стационарной фазы). Ортогональность функций синуса и косинуса на одном периоде приводит затем к уничтожению того или другого слагаемого в левой части уравнения (П5.4). Таким образом, получаются два уравнения, которые можно записать в виде

d纯'e,、da 2恤% 5% (f)/口R 7、

ии#。I о,、叫 I 2恤 da о0^2 (О#。I о,、叫 I 2恤 da о0^2 (О(П5.8)(П5.8)

и

и

#。I о,、叫 I 2恤 da о0^2 (О

#。I о,、叫 I 2恤 da о0^2 (О

(П5.8)

(П5.8)

где Qo=g)oC/|Gl—GoI —внешняя добротность генератора. Функции, зависящие от времени в правой части этих выражений, представляют источник и задаются интегралами

叶70/2.

(П5.9)(П5.9)(П5.10)(П5.10)%i(f) = j、祭^ sin ayofdtff—7o/2

(П5.9)

(П5.9)

(П5.10)

(П5.10)

5o/2 .

九2(f)= f、^hcoss#d?.

где То=2л/шо — период собственных колебаний. Заметим, что производная источника белого шума, появляющаяся в подынтегральных выражениях, здесь уже весьма определенно не является медленно меняющейся функцией, и ее нельзя выносить за знак интеграла. Позднее мы вернемся к вычислению ni (/) и п2(/) (или, по крайней мере, — их спектральных плотностей).

Уравнения (П5.7) и (П5.8)—линейные совместные уравнения, решаемые стандартными методами. Дифференцируя уравнение (П5.8), умножая уравнение (П5.7) на 2соо и вычитая одно из другого, получаем уравнение, не содержащее 屮(f):

=從咼@-2%% ⑴ 1.(П5.11)

Применяя преобразование Фурье к обеим частям этого уравнения и решая полученное уравнение относительно преобразования 〃(/), находим

——^^——;，(П5.12) 2лу0С (+ До)——^^——;，(П5.12) 2лу0С (+ До)*布石【仰乂2 (М) — 2соо^! (/СО)]

——^^——;，(П5.12) 2лу0С (+ До)

——^^——;，(П5.12) 2лу0С (+ До)

А (/со) = i'goj4

一出3 一飞:CO2 + 4/cocoo2 + 飞一

где Ni(js) и Л^2(/со) — преобразования ©(/) и &«) и принята аппроксимация при з《о)о. Это и есть рассматриваемый случай, Так как а«)—функция очень низкой частоты. Из формулы

(П5.12) получаем спектральную плотность a(f)

(со)

Sq ®)=忠一г，(П5.13)

4叫『翁+制

где S〃](①)一спектральная плотность ni (/).

Решение для фазовых флуктуаций теперь находят из уравнения (П5.8), применяя преобразование Фурье к обеим частям и находя преобразование функции 州⑺ через Л (/со)

V 3) = к —簪М (H + ^SF ] /⑵3°3)4

4 ТМ (曲)/(2叫sC),(П5.14)

где принята аппроксимация для интересующей нас области низких частот, т. е. при ①《①°. Таким образом, спектр 2(f) равен

$2 @)=盒Д/ •(口5・ 15>

где S〃『(①)—спектральная плотность п2(0-

Взаимную спектральную плотность между флуктуациями амплитуды и фазы можно записать непосредственно по фурье-пре- образованиям в уравнениях (П5.12) и (П5.14)

^^ =——V，(口 5 • 16)

[4冗乜含C2放方" + До

где 5Л1Лг(со) — взаимная спектральная плотность между 九i (/) и 九2(/)・2

Теперь остается только определить взаимные спектральные плотности флуктуаций источников ni(0 и 〃2(f) через спектр шумового генератора тока 〃(/). Считаем, что нас интересует 九i(f). задаваемая выражением (П5.9); тогда, интегрируя по частям, можно представить эту величину в виде

% e) = -口九(于+70⑵一in (/-To/2)] sincooZ-

f+7o/2

—j in (О ^s(dQrdf. (П5.17) f-%/2

Таким образом, получаем ковариацию

х [in (^+^о/2+^)—in (%—To/2+七)]X

X sin coo^ sin coo (^4-t)-]-

t+7*о/2+T

+ %sin%f j О+^ЖЛ0-

f—%/2+T

-in (f-To/2) in &)] cos^0tfdf +

Z+To/2

+gsing(+) J 龜(f+To/2+工)厶(，)一

f—Го/2

一瓦(f一Т0/2+工)in (f)] cos ^fdtf +

t+To/2 Z+To/24-Т

+%2 J J 爆(，)^ (产)cos %，cos g乃/成〃.(П5.18)

t—7o/2 t—Tq/24-Т

имеет вид(П5.19)имеет вид(П5.19)По определению автокорреляционная функция П\ (t)

имеет вид

(П5.19)

имеет вид

(П5.19)

772

屮% k)=^4" j 九1(方)〃2(%+曾或・

—T/2

Далее, так как in(t) служит источником белого шума, его автокорреляционная функция является дельта-функцией

质历=厶(9%(方+T)=%(T),(П5.20)

где k — константа. Объединяя выражения (П5.18) и (П5.20), получаем, что всеми членами в правой части выражения (П5.18) можно пренебречь, за исключением члена, содержащего двойной интеграл, что дает

(т0—1口)， 1叫《丁0；

“工)=2，(П5.21)

I 0,旧〉7。.

По теореме Винера — Хинчина спектральная плотность П\ (^), следовательно, описывается формулой

Го

S% (①)=2^42 J (у。—工)cos ①工出=4#財(П5.22)

о

где функция косинусов в подынтегральном выражении положе

на равной единице, потому что по всему интервалу интегрирования шт<С1. Далее, спектральная плотность генератора белого шума, полученная с помощью выражения для автокорреляционной функции (П5.20), равна Е» = 2比 и отсюда по формуле (П5.22) имеем

鼠丽=2炉叉(П5.23)

Аналогичный вывод, проведенный для спектральной плотности п2(/), дает то же самое выражение, что и для ni(Z)

S^ = 2#&.(П5.24)

Этот вывод показывает также, что взаимная спектральная плотность между 〃i«) и п2(0 равна нулю, из чего следует, что а (%) и 2(f) —независимые флуктуации.

Если выражения (П5.23) и (П5.24) подставим в формулы (П5.13) и (П5.15), то найдем спектральные плотности амплитуд： ных и фазовых флуктуаций соответственно

双両=一烏一T(口525)

2讶0 # +炉

兔両=费(口5・26)

Эти результаты идентичны полученным в гл. 8 при упрощенном доказательстве, где или 〃(/), или р(/) полагали равными нулю> в то время как вычисляли другую величину. Таким образом, подтвердилось основное предположение, использованное в гл. 8, а именно, что энергия в шумовом генераторе i〃⑺ одинаково распределяется при возбуждении амплитудных и фазовых флуктуаций.

Приложение 6. Соотношения между токами и напряжениями в параметрическом усилителе

Эквивалентная схема параметрического усилителя на рис. 9.6 состоит из трех резонансных контуров, соединенных через параметрический диод. Устройство с переменной индуктивностью фактически повторяет схему, показанную на рисунке, и, следовательно, не нуждается в отдельном анализе. В представленном ниже исследовании предполагается, что усилитель невы-

рожденный, т. е. что три резонансные частоты хорошо разрешимы. Добротности трех резонансных контуров считаются достаточно высокими, чтобы не было перекрытия между тремя полосами пропускания. Таким образом, на резонансной частоте любого из контуров два других контура имеют бесконечную проводимость.

Заряд qp на параметрическом диоде является функцией напряжения на клеммах Up. Разлагая эту функцию в ряд Тейлора, можно представить ее в виде

% (0 = ^Р (0 + ^ (0+^р (0 + • • •， (П6.1)

где коэффициенты зависят от конкретных свойств параметрического диода. С точки зрения изучения работы параметрического усилителя неважно, какой физический механизм приводит к нелинейному поведению, описываемому разложением в ряд (П6.1); даже если этот механизм квантовомеханический по своей природе, сам усилитель тем не менее можно исследовать на языке классической теории.

В случае линейной емкости все коэффициенты, кроме первого, в выражении (П6.1) равны нулю и а\ — емкость. Если же все коэффициенты равны нулю, за исключением первого и второго, то заряд изменяется в зависимости от напряжения по квадратичному закону

%^-Cpvp^a^(t). (П6.2)

где а】 заменили на линейную емкость Ср параметрического диода. Этот вид нелинейного поведения особенно интересен, потому что он описывает неискаженное усиление (по крайней мере, в приближении малых сигналов). Когда в соотношении между зарядом и напряжением появляются кубические члены или члены более высокого порядка малости, происходит искажение из-за смешения гармоник входного сигнала. Для целей нашего рассмотрения достаточно считать, что заряд изменяется в зависимости от напряжения по квадратичному закону согласно выражению (П6.2). Из этого следует, что ток параметрического диода описывается формулой

G(/)=絹=a曾+2明令. (П6.3)

Далее, напряжение на нелинейной емкости можно разложить на три компоненты

%(/)=以(/) +。2(力也 Q), (П6.4)

где s(f) соответствует сигналу, v3(t)——высокочастотной накачке и и?") появляется из-за нелинейной работы параметрического диода, которая приводит к смешению входного сигнала и на-

отряжения накачки. В этом месте целесообразно записать три напряжения справа в выражении (П6.4) в виде синусоидальных сигналов с частотами, равными резонансным частотам трех разветвлений цепи параметрического усилителя. Тогда имеем

% (0 =匕 cos (s"+(pi)+匕 cos 他力+屮 2)+匕 cos 他力+%), (П6.5)

где Vi и ф： (i=l, 2, 3) —амплитуды и фазы s(f). Угловые частоты в формуле (П6.5) связаны выражением

① з = 5+① 2，(П6.6)

и каждую частоту можно выразить через обозначения элементов схемы на рис. 9.6 следующим образом:

吗=1/VZ (%+G), i = 1,2, 3.(П6.7)

Объединяя выражения (П6.3) и (П6.5) и пренебрегая всеми членами с частотами, отличными от ①卜 о)2 или о)з, находим ток через нелинейный конденсатор

%(/) = &(»+%(/)+%(/)，(П6.8а)

где

G ⑴=-s£p% sin (①#+屮1)-① 102y2% sin [3"+(屮3-屮2)1，

力2 0)=—①2%% sin (吗/十仪)一①2a2匕匕 sin [^+(Фз—ФхЖ (П6.86)

4(0 =—①3czyз sin (①3/-HP3)—叫&匕匕 sin [①3/十(Ф1+Фз)1-

Таким образом,厶«) и s«) имеют одну и ту же частоту о/ «=1,2, 3).

Токи в выражениях (П6.86) можно записать в другом виде

А (0 = & ^-+ ^^[С05(Фз-ф2-Ф1) 竽

-①m (0 sin (ф3-屮2-%)],

%© = С将%© = С将@2%%@2%%/、血2 (0

%© = С将

%© = С将

@2%%

@2%%

C0S(Фз -92 - Ф1)-凉一

—电必⑴ sin (%—屮2—砧],(П6.9)

4 (0 = CpГ cos (Фз- ф2- Ф1) »^ +

+%%(/) sin (Фз—Ф2—Ф1)]>

Далее, проводимость каждого из трех резонансных контуров.

соответствующую нелинейной емкости, можно записать в виде отношения

匕=厶（沁）/匕他）,匕=厶（沁）/匕他）,(П6.10>(П6.10>

匕=厶（沁）/匕他）,

匕=厶（沁）/匕他）,

(П6.10>

(П6.10>

где Л (/со/) и Vi (/coz) —фурье-преобразования для 厶«) и s(f) соответственно на частотах ①厶 Применяя преобразование Фурье к каждому из токов в выражении (П6.9) и деля их на фурье-преобразование соответствующего напряжения, находим

^1 = WiCp+js1a2 ^^" ехР [/(Фз—屮2—Ф1)1>

兀=加2&+扣2a2 胃^ ехр [/(Фз—Ф2—Ф1)]，(П6.11>

% = i^p+Ka2 寸广 ехр[—/ (Фз—ф2—Ф1)].

Первые члены в правой части выражений (П6.11) —комплексные проводимости емкости Ср, а вторые члены представляют вклад от квадратичной составляющей в соотношении между зарядом и напряжением.

Соотношения между током и напряжением для трех резонансных контуров параметрического усилителя вытекают непосредственно из выражений (П6.11)

4®i) = ｛Gt+恒&4®i) = ｛Gt+恒&赞"ехр [j (ч)з—Ф2—Ф1)]｝匕(网)，

4®i) = ｛Gt+恒&

4®i) = ｛Gt+恒&

(П6.12)(П6.12)0=但+扣2a2 早^ ехр[/((рз-(p2-4)1)1| %(预2)，

(П6.12)

(П6.12)

】pp Оз)=但+恒％ 上冷 exp [—j (Фз—Ф2—Ф1)]｝匕 施)，

где /s(/cdi) и Ipp (/соз) —фурье-преобразования токов сигнального генератора и генератора накачки соответственно на частотах <01 и(оз, а

Gt = Gi+Gs+Gl・ (П6.13>

Исключая У2ехр/ф2 и У3ехр/фз из выражений (П6.12), получаем, что комплексная проводимость сигнального контура Ys содержит отрицательную активную проводимость в соответствии со свойствами параметрического диода

Ys = Gt—G, (П6.14)

где

①22a2纟.I Лф 12B卜+芻屮旷①22a2纟.I Лф 12B卜+芻屮旷(П6.15)(П6.15)

①22a2纟.I Лф 12

B卜+芻屮旷

①22a2纟.I Лф 12

B卜+芻屮旷

(П6.15)

(П6.15)

(П6.16)(П6.16)В этом выражении \1РР\—амплитуда токового генератора накачки. Член в знаменателе, содержащий %, приводит к увеличению искажений в параметрическом усилителе, хотя для малых сигналов, удовлетворяющих условию

(П6.16)

(П6.16)

этот эффект пренебрежимо мал. Это неравенство показывает также, что для усиления без искажений нелинейность должна быть малой, а проводимости холостого контура и контура накачки должны быть большими.

Проведенный выше анализ можно распространить на случай, когда частота сигнала со не обязательно равна резонансной частоте о)1 сигнального контура. Тогда соотношения между током и напряжением в выражениях (П6.12) следует записать в более •общем виде, заменяя coi на со, сог на (S3—со) и включая реактивные проводимости резонансных контуров, описываемыми формулами

0 = Ga (号—鲁)，

В2=ад(^-^-), (П6.17)

где Qi и Q2 — добротности сигнального и холостого контуров. Реактивная проводимость контура накачки равна нулю независимо от частоты сигнала, так как предполагается, что частота накачки зафиксирована на резонансной частоте соз.

Комплексная проводимость сигнального контура описывается теперь формулой

Ys = (GT^G)+j^B2-^9(П6.18)

где отрицательная проводимость

G=—①(П6.19)

%2 =__GA_(П6.20)

0 aj5®s —①)9

Приложение 7. Минимальный шум усилителя

Как было показано в разд. 11.3, из анализа, основанного на принципе неопределенности, следует, что любой линейный усилитель должен иметь шум. Рассуждения, приведенные ниже и распространенные на случай больших значений отношения сигнал——шум, приводят к выражению для минимальной величины спектральной плотности мощности шума на выходе усилителя. Оно включает в себя коэффициент усиления усилителя и квант энергии Л/о, где % — частота сигнала,

Рис. П7.1. Усилитель с коэффициентом усиления по мощности G и «идеальный» детектор.

На рис. П7.1 изображена полная усилительная система, состоящая из усилителя с коэффициентом усиления G>1 и детектора, включенного на его выходе. Последний является «идеальным» в том смысле, что он вносит неопределенности в измерения числа фотонов и фазы на предельном уровне, установленном принципом неопределенности

А%А% = 1/2・(П7.1)

Для достижения наилучшей чувствительности неопределенности в измерениях числа фотонов и фазы сигнала на входе усилителя должны удовлетворять соотношению

A%A(Pi=l/2.(П7.2>

Пусть ДПа и Афа обозначают среднеквадратичные значения флуктуаций числа фотонов и фазы на выходе усилителя. Сначала определим условие на произведение Дпа Л(ра, которое согласует детектор с усилителем.

Так как неопределенности, или шум, производимый усилителем и детектором, являются независимыми, неопределенность в измерении выходного сигнала может быть выражена следующим образом:

Дп22 =厶喑十 а%2 = ©Ап/(П7.3а>

и

Д(р22 = ^а+^Ч>/ = Аф?-(П7.36)

Вычисляя произведение этих двух величин, получаем

Q =A勺込%2 = / (А吟+AnJ)(А時+А屮/)=

=备(晋+3) ( wA 時十 4')，(П7.4)«

где

侬= △%/△%•(П7.5>

(П7.6>(П7.6>При вычислениях в уравнении (П7.4) использовалось условие (П7.1). Заметим, что, хотя произведение Дп^Д(р^ ——фиксировано, их отношение (П7.5) таким свойством не обладает. Условия согласования, упомянутые выше, достигаются тогда, когд& ш принимает значение, для которого Q — минимально. Из вида： уравнения (П7.4) ясно, что Q как функция w имеет минимум:. При этом Q, как следует из уравнения (П7.2), принимает значение 1/4. Дифференцируя уравнение (П7.4) по 侬 и приравнивая производную к нулю, находим, что минимум наступает при: значении

(П7.6>

(П7.6>

—AcpdA①a •

(П7.7>(П7.7>Таким образом, детектор и усилитель оказываются согласованными, когда равны относительные неопределенности в этих, двух приборах. Подставляя этот результат в уравнение (П7.4) с Q = 1/4, получаем, что

(П7.7>

(П7.7>

Это и есть искомое оптимальное условие.

Уравнение (П7.7) является основой для определения минимальной мощности шума на выходе усилителя. Поскольку шум， имеет тепловую природу, будем предполагать, что он имеет двухстороннюю спектральную плотность So, которая распространяется равномерно на положительные и отрицательные частоты. Таким образом, полная мощность шума в интервале частот^ df представляет собой сумму отрицательных и положительных частотных компонент, равных 2So^f. Конечная цель последующего анализа состоит в определении минимальной величины мощности шума в предположении, что уровень шума много меньше уровня гармонического выходного сигнала.

Пусть поле на выходе e(f) состоит из строго гармоническоРГ' компоненты с амплитудой а。и угловой частотой со0 и компонент

ты теплового шума 〃(/), обусловленного усилителем, таким образом,

е (0 = До cos %f+几(f).(П7.8)

Как хорошо известно и легко доказывается, выражение, включающее гармонический член плюс шум, может быть переписано в следующем виде:

е (0 = г (0 cos [(оо/+(р (/)],(П7.9)

где(р(/)—флуктуация фазы, a r(t)—случайно изменяющаяся огибающая поля. Уравнения (П7.9) следует из записи

几⑴=儿(/) cos %/ — ns (/) sin %厶(П7.1 Oa)

тде две новые шумовые функции в правой части определяются соотношениями

见(/) = n (f) cos ш0/,(П7.1 Об)

&(/)== —n (f) sin：%/.(П7.1 Ов)

@аза и огибающая е(/) связаны с nc(t) и ns(t) через уравнения г (/) cos ср (0 = %+傲 G)，(П7.11а)

г (0 sin ф (0 = ns (0，(П7.116)

阻з которых следует, что

ф (Drctg[謂綜]4甯•，(m⑵)

Г (0 = {&+拠⑼ 2十時⑴产 4 a.^nc^(П7.126)

где приближения справедливы, когда велико отношение сигнал —шум.

Из уравнения (П7.12а) получаем выражение для спектраль- 用ой плотности фазовых флуктуаций

e^=智'，(П7.13)

тде S%((o) —спектральная плотность случайной величины ns(t). Теперь непосредственно из уравнения (П7.10в) следует, что

Sns(s) = l/4 瓦(s—%)+$7(叶％)] = S°/2,(П7.14)

где S〃( ) —спектральная плотность шума усилителя, которая, как уже было предположено, не зависит от частоты и имеет величину S(). Если сопоставить два результата, указанных выше.

то можно получить значение среднего квадрата фазовых флуктуаций в частотном интервале df. Оно имеет вид

a時=需(n7.15>

Таким образом, фазовые флуктуации выражены через мощность» шума. Остается получить аналогичное выражение для флуктуаций числа фотонов An2a.

Вычислим флуктуации мощности огибающей r(f) сигнала.. Определим их следующим образом:

п(0 = [г2(0-^Ю1.(П7.16>

Будем интересоваться автокорреляционной функцией

加而=硒而干可(n7.17>

Ее можно вычислить, используя выражение для r(f) из уравнения (П7.126)

^ = d(f)戸J0+T)一；^+4喈线(方",(方+T)+ ...,(n7.18> где члены, обозначенные многоточием, все тождественно равны： нулю. Поскольку предполагается, что уровень сигнала много выше уровня шума, первые два члена в правой части уравнения; (П7.18) незначительны по сравнению с третьим, и, следовательно,

仰⑺ а 4%2佐(%"с(%+т;) = 4aо?%,⑴,(П7.19}

где флс (т)——автокорреляционная функция процесса nc(t). Пси теореме Винера — Хинчина находим спектральную плотность

S^ = 4%2^^,(П7.20)

где S〃g(cd)曰S°/2 — спектральная плотность nc(t). Таким образом, получаем

S^ (cd) = 2a02so.(П7.21

Уравнение (П7.21) дает спектральную плотность флуктуации энергии поля. Энергия шума в поле состоит из двух компонент, классической части, связанной с взаимодействием между волнами в поле, и «квантовой», вклад в которую обусловлен корпускулярным характером излучения. В пределе низких температур классический вклад стремится к нулю, а уровень квантового шума остается конечным. Он определяет минимальный уровень>

.шума на выходе усилителя. На частоте сигнала Д)энергия поля, содержащего па фотонов, имеет вид

e=%矶，(П7.22)

а следовательно, мощность квантового шума (определяемая среднеквадратичным отклонением энергии от среднего значения) в интервале частот df описывается выражением

^P = ^nahfQdf.(П7.23)

Так как это выражение дает наименьшее возможное значение флуктуации энергии поля, ДР2 должно быть положено равным $ (s)df, чтобы определить минимальный уровень выходного шума

厶暗/12fo2d 产=2a^SQdf.(П7.24)

Используя уравнение (П7.15) и условие, выраженное в уравнении (П7.7), приходим окончательно к следующему выражению для минимальной энергии шума на выходе усилителя:

△Pmin = 2S0d/ = (G-l)济用(П7.25)

что и требовалось доказать.

Предметный указатель

Акты рекомбинации и генерации 89

Анализ Ланжевена для теплового шума 78

Антенна резонансная массивная 342

БКШ-теория 312, 316, 317

Блуждание случайное 38, 42, 159

Болванка веберовская 332, 336, 342, 352, 353

—разрезная 336, 342, 352, 353

Вариант квантовый теоремы Найквиста 307

Вещества аморфные 177, 178

— поликристаллические 177, 178

Вид обобщенный 19

Время диэлектрической релаксации 39

Выпадение осадков 32

Выражение Макдональда 46

—Найквиста 74, 95

——Шокли 74

Генератор 216

—ван-дер-Поля 217

собственных колебаний 217

——в режиме с ограниченным накоплением объемного заряда 286

—Ганна 286

—на эффекте Ганна 218, 221

—Робинсона 218

Гипотеза Хуга 170, 171

Движение броуновское 11, 37, 38, 42, 299, 347

Дельта-функция 19—22, 24, 34—37, 160

Детекторы гравитационных волн 334—337

—криогенные резонансные массивные 354

Диод Ганна 256, 260, 278, 281

— Зинера 258

—инжекционно-пролетный (ВА- RITT) 256, 259, 267—270

—туннельный 234

Дисперсия дисперсии 155

Диффузия тепловая 185

Длина диффузионная низкочастотная 80

l/Af-шум 168, 169

l/f-шум 15, 16, 18, 31, 111, 149, 153, 154, 168, 188, 287

—конденсаторе с потерями 178

ПТ с р—/г-переходом 140

—модель 160

—температурная зависимость 175 1/f-флуктуации 174

«Закон больших чисел» 361

— Видемана — Франца 257

—Найквиста 123, 364

—Планка 302

—равномерного распределения энер

гии 13, 366, 368

—Хуга 150, 188

Заряд пространственный 37

Захват носителей 180

Земля 335

Значение среднее 27

Излучение вынужденное 300

—спонтанное 300

Импеданса поля вектор 284

метод 283

Инвариантность масштабная 151

Интегралы дробного порядка 165

Интенсивность накачки 310

Интерферометры Джозефсона 321

—лазерные 356

Ионизация ударная 16, 271

Иразеры 295

Испускание 303

Исследование по Найквисту 364

Источники шума в полупроводниковых транзисторах с р—/г-перехо- дом 121

Квазиуровни Ферми 75

Квантование потока 321

Ковариация 27

Колебания вынужденные 220

—Ганна 279

Контакт джозефсоновский 312, 313, 317—319, 325, 327

—резистивно-зашунтированный

(RSJ) 319

Косинус-преобразование Фурье 24, 48

Коэффициент подавления шума 56, 96

—усиления по мощности 250

一 достижимый 67, 68

—шума 103, 107, ПО, 111, 252, 309

ЛПД 276

мазера 308

ПТ 142

собственного транзистора 106

усилителя на туннельном диоде 244

Коэффициенты Эйнштейна 302

Лазеры 295

Локализация доплеровская положения космического аппарата 355

ЛПД (IMPATT) 256, 258, 260, 261

—плазменный (TRAPATT) 256, 258, 264—267

Луна 335

Мазер 295, 297, 300, 304, 305, 308, 309

Механика квантовая 297

Модель корпускулярная 374

——основанная на захвате носителей поверхностными ловушками 189

МОП ПТ 150, 160

—шум 143

Мощность достижимая 67, 243, 250

—максимально возможная 14

'—номинальная 306

—обратимая 69

—шума номинальная 298

Музыка и 1//-шум 149

Накачка 304

—мазера 308

Напряжение выключения 119

Населенность инверсная 304, 308-

311

Неравенство Коиш — Шварца 48

Носители горячие 278

Область лавинного пробоя 258

Обращение Винера — Хинчина 50

—интегрального преобразования 2$

Обслуживание очередей случайное 187

Параметр 0 343

Пара фурье-преобразований 24

Партнеры в анализе Фурье 24

—по преобразованию Фурье 47

Пары куперовские 312, 313, 316, 317,

326, 327

Переменные сопряженные 292

Плотность спектральная 19, 30, 35c 37

дробового шума 37

мощности 41, 45, 50, 51, 65»

284, 340

флуктуаций 40

— числа флуктуаций 181

Поглощение 300, 303

—спонтанное 300

Последовательность (цуг) импульсов выходных 51

случайных 11——13, 15，, 32, 34>

51, 160, 161, 165

на входе 52

Предел квантовый 291, 294

Преобразование по Нортону 245

—производной 25

—Фурье 22, 23

Прибор на основе эффекта переноса электронов 256

—пролетного типа 256

Принцип детального равновесия 302

—неопределенности 291, 292, 294,

330, 384

—суперпозиции 49, 57

Пробой лавинный 266, 272

Проводимость корреляционная 66

активная 66

——эквивалентная тепловая 65

шумовая 54, 55

Процесс Винера — Леви 42—46, 159

—гауссовский 18, 26

—импульсный 13, 20, 35, 37, 41

—лавинного усиления 261

—нестационарный 41, 42

—пуассоновский 363

—релаксационный 31, 41, 50, 163

—стационарный 26

в широком смысле 28

стохастический 22

—стохастический 18, 25

статически стационарный 18, 19

——шумовой дробовой простой 37 р—n-переходы обратно смещенные

193

Соотношение между током и напряжением в параметрическом усилителе 379

——Эйнштейна 370

Сопротивление входное транзистора ПО

— источника малое 111

—шумовое 110

эквивалентное 54, 55

Спектр амплитудный 24

— Винера — Леви 159

Среднее по ансамблю 27

Статистика бистабильного взрывного шума 211

— Холла — Шокли — Рида (ХШР) 90

Стационарность статическая 18

Равновесие 169

Распределение амплитуды l/f-шума 167

—гауссовское 18

—нормальное 18

—Пуассона 12, 33, 40, 211, 359

—спектральное интенсивности 197

Регулировка шумовая 66

Результат Найквиста 366

Решение уравнения, описывающего выходной шум генератора 375

Свертка автокорреляционной функции 49

Сверхпроводимость 314

Сверхпроводник «слабый» 313, 318

Свойство основное дельта-функции

24

Связь электромеханическая 343

Сигнал телеграфный случайный 181,

194, 211

Синус-преобразование Фурье 24, 48

Системы необратимые 41

•Сквид 313, 323, 354

—постоянного тока 322

Скругление шумовое 328, 329

Слой обедненный 91, 130, 370

«Смыкание» 117

Смысл стационарности узкий 18, 26

широкий 18, 26

Согласование источника с малым им

педансом 112

—шумовое 66

Температура отрицательная 308

—шумовая эквивалентная 54, 56

ТеоремаВинера — Хинчина 19, 31,

41—43, 45, 46, 48, 51, 57, 154, 156, 212, 223, 369, 378, 387

обобщенная 48

—дополнительная 363

для распределения Пуассона 40

—Карсона 12, 16, 34, 40, 52, 81, 84, 94, 100, 124,160, 161, 213, 284,

396, 372

—Кемпбелла 33

о среднем квадрате 35

среднем 37

—Найквиста 14, 40, 297, 306

—Нортона 65

—о равнораспределении 298

—Парсеваля 28, 29, 34, 48

—Тевенина 54, 60

—энергетическая 29

—эргодическая 28

Теория Бранса — Дике 332

—диффузионная 89

— квантовая l/f-шума 187

—корпускулярная 73, 77, 372, 374

—шума диффузная 74

Ток насыщения 118

Транзистор 71—73, 88

——биполярный 73

—германиевый 71

——кремниевый планарный 73

—полевой 130

с МОП-структурой 115

р—/z-переходом 115, 141

—сплавной 72

Умножение лавинное 271, 273

Уравнение диффузии, зависящее от

времени 79, 81, 83, 86

—Ланжевена 39, 368

Усиление по мощности 250

Усилители каскадные 67

—на ИПД 277

ЛПД 274, 275

ПЛПД 276

туннельных диодах 241

—параметрические 247

Условие оптимального согласования

шумов 107, 108, 110

Условия оптимальные шумовые 107

Усреднение по ансамблю 26

времени 26

Фактор шума 277, 279, 286

Физика лавинно-пролетных диодов

(ЛПД) 260

Фликер-шум 15, 148

Флуктуация заряда 38

—подвижности носителей электричества 173, 178, 188

—скорости 38, 368—370

—сопротивления 168

—температурные в металлических пленках 183

— температуры 184—186

—тепловые 89

——числа носителей электричества 171, 173, 187, 188

Форма импульса 38

Формула Найквиста 72, 291

—Фриисса 68

—Хуга 166, 171, 182, 185

Фронт ударный лавинный 266

Функция автокорреляционная 27, 34,

37, 41, 44

—взаимной корреляции 47

—гауссовская 26

—единичная ступенчатая 15, 160

—импульсного отклика 49, 51, 52

—когерентности 48, 50, 52

—Макдональда 45

—нормальная 26

—обобщенная 19, 22

—параболическая цилиндрическая Вебера 128

—распределения гауссовская 39

—сингулярная 22

—системная 49, 50

—формы импульса 12, 15, 160, 284

Фурье-преобразование 165

Характеристика волы-амперная 319〉 328, 329

—импульса 165

—процесса статическая 28

——рабочая ПТ с р——п-переходом 115

—шумовая ПЛПД 277

Цепь rt гибридная 104

Частота высокая 127

—джозефсоновская 328

—плазменная джозефсоновская 318

—«среза» ПТ 133

Число флуктуаций 182

Шум акустический 32

——амплитудно-модуляционный (АМ； шум) 225, 229—231

—в диоде длинном 85

коротком 87

ИПД 279

параметрическом усилителе 252

•резистивно-зашунтированном контакте 327

транзисторе биполярном 98

—взрывной 16, 167, 201

в р—n-переходах с прямым смещением 202—210

у резисторов 210

—выходной 221

генератора 375

—генерационно-рекомбинационный

32, 73, 87, 91, 130—134

——Джонсона (джонсоновский) 11»

31, 37, 38, 282—287

неравновесный 16, 22

—дробовой 11, 13, 15, 16, 18, 32, 3®

278, 308, 327

в джонсоновском контакте 325

———ИПД 277

транзисторах 72

туннельных диодах 238

мазера 310

простой 36

—избыточный 15, 148

—контактный 148

—контактов 15

—лавинный 16, 271, 272, 275

—«лопающихся зерен кукурузы» 201

—— микроплазменный 199, 201

——обусловленный прохождением носителей 370

—полупроводниковый 148

—радиочастотных сквидов 330

—сквидов постоянного тока 329

—.собственный генератор ван-дер- Поля 221

—тепловой 11, 13—16, 18, 32, 37, 38, 41, 56, 139, 299, 327, 359

в ПТ с р—п-переходом 122

——мазера 305, 308, 311

—тока избыточного 240

инжекции 241

—токовый 15, 148

—транзистора в режиме насыщения 69

собственный 103

—усилителя '291, 294

минимальный 384

——на ПЛПД 276

—фазово-модуляционный (ФМ-шум) 225, 231

一 частотно-модуляционный (ЧМ- ипум) 225, 229

Электроны горячие 222, 256, 258

Энергия минимальная 337

обнаруживаемая (регистрируемая) 337, 339, 340, 361

—нулевая 291, 298, 308, 310

——нулевых колебаний 297

Эффект Джозефсона нестационарный 318

стационарный 318, 327

—квантовомеханический 366

—квантовый 291

—Майснера 314

—объемный 174

—поверхностный 174

n-ная производная 26

Явление объемное 188

—микроплазменное 201

9161818192225283236374142454748515354м^^^^^71^s^s^9161818192225283236374142454748515354м^^^^^71^s^s^

9161818192225283236374142454748515354м^^^^^71^s^s^

9161818192225283236374142454748515354м^^^^^71^s^s^

Оглавление

Предисловие редактора перевода

Предисловие

Глава 1. Введение

Литература

Глава 2. Математические методы

Введение

Сингулярные функции

Преобразование Фурье

Стохастические процессы

Энергетические теоремы

Последовательности случайных импульсов

Простой дробовой шум

Тепловой шум

Нестационарные процессы

Процесс Винера — Лёви

Функция Макдональда

Взаимная корреляция, взаимные спектры и когерентность ..

Линейные системы

Пары последовательностей импульсов Литература

Глава 3. Шумы в линейных схемах

Введение

Двухполюсники ...

Линейные четырехполюсники

Коэффициент шума линейного четырехполюсника

Коэффициент шума каскадных усилителей

Литература

Глава 4. Собственный шум в диодах на р——n-переходах и биполярных транзисторах

Введение

Диффузионная теория шума в р——п-переходах

Тепловые флуктуации потока неосновных носителей ...

Генерационно-рекомбинационный шум в объемной области

Полный шум перехода

Длинный диод

Короткий диод

Итоговые комментарии

Шум, обусловленный рекомбинацией носителей в обедненном слое

Механизм шума .

8 3 8 113о^ ^^ ^и 1 1 18 3 8 113о^ ^^ ^и 1 1 15515152122222326273030323311 11 1 1 11 1* 1 1 1 1 1 115152122222326273030323311 11 1 1 11 1* 1 1 1 1 1 13438404143441 1 1 1 1 и3438404143441 1 1 1 1 и484851535456575959^^^^^^^^ л ^^^^ 1 11111111 1111111111111 1484851535456575959^^^^^^^^ л ^^^^ 1 11111111 1111111111111 1

8 3 8 113о^ ^^ ^и 1 1 1

8 3 8 113о^ ^^ ^и 1 1 1

5

5

151521222223262730303233

11 11 1 1 11 1* 1 1 1 1 1 1

151521222223262730303233

11 11 1 1 11 1* 1 1 1 1 1 1

3438404143441 1 1 1 1 и

3438404143441 1 1 1 1 и

484851535456575959^^^^^^^^ л ^^^^ 1 11111111 1111111111111 1

484851535456575959^^^^^^^^ л ^^^^ 1 11111111 1111111111111 1

Биполярный транзистор

Коэффициент шума, обусловленный собственным шумом транзистора

Низкочастотная эквивалентная схема с учетом сопротивления базы

Вклад 1/%тума в коэффициент шума

Вопросы, связанные с малым сопротивлением источника ...

-Литература

Глава 5. Шум полевых транзисторов с р—n-переходом и полевых транзисторов с МОП-структурой

Введение

Рабочие характеристики полевых транзисторов с р—п-переходом

Источники шума в ПТ с р—/г-переходом

Тепловой шум в ПТ с р—«-переходом

Тепловой шум выходного тока

Тепловой шум затвора

Последовательное сопротивление в канале

Высокочастотные эффекты

Генерационно-рекомбинационный шум

Генерационный шум обедненного слоя

Шум канала ПТ

Шум тока утечки

5；6. Экспериментальное измерение генерационно-рекомбинационных шумов

7. Поведение в сильном электрическом поле

8. Шум типа 1/f в ПТ с р—п-переходом

9. Эквивалентные схемы для ПТ с р—п-переходом

10. Шум в МОП ПТ Литература

Глава 6. 1/f-шум

Введение

Масштабная инвариантность

Стационарность

l/f-шум в ограниченной полосе частот

l/f-шум без низкочастотной фильтрации

Стационарность и теоретическое моделирование ....

Сравнение со случайным блужданием

Форма сигнала с l/f-спектром

Модель l/f-тума, основанная на процессе случайного цуга импульсов

Суперпозиция релаксационных процессов

6.5. Интегралы дробного порядка

<6.6. Экспериментальные данные

Контактный шум

Амплитудное распределение l/f-шума

Флуктуации сопротивления

Гипотеза Хуга

Флуктуации числа носителей электричества

Флуктуации подвижности носителей электричества ...

l/f-тум——это поверхностный или объемный эффект? ..

Температурная зависимость спектров l/f-шума ....

1 //-шум у аморфных и поликристаллических веществ ..

Физические механизмы возникновения 1//-тума и его теоретические МОД£ЛИ

1/%тум в конденсаторе с потерями

Захват носителей поверхностными ловушками в полупроводниках

Температурные флуктуации в металлических пленках ..

Модель 1//-шума, основанная на теории случайного о бел ужи- живания очередей

Квантовая теория l/f-тума

3аключительные замечания Литература

Глава 7. Взрывной шум

Введение

Взрывной шум в обратносмещенных р——п-переходах ...

Взрывной шум в р——n-переходах с прямым смещением..

Взрывной шум у резисторов

Статистика бистабильного взрывного шума Литература

Глава 8. Шумы в генераторах

Введение

Собственные колебания в генераторе ван-дер-Поля ...

Вынужденные колебания

Выходной шум

Выходной спектр；

Метод линеаризации

Спектр амплитудно-модуляционного шума

Спектр фазово-модуляционного шума

Заключительные замечания Литература

Глава 9. Туннельные диоды и параметрические усилители ...

Введение

Туннельный диод

Шумы в туннельных диодах

Дробовой шум в туннельных диодах

Шум избыточного тока

Шум тока инжекции

Усилители на туннельных диодах

Эквивалентная схема

Коэффициент усиления усилителя на туннельном диоде.

Коэффициент шума усилителя на туннельном диоде ..

Параметрический усилитель

Принцип действия

Коэффициент усиления по мощности

Коэффициент шума

Заключительные замечания

Литература

Глава 10. Устройства на горячих электронах

Введение

Горячие электроны

Физика лавинно-пролетных диодов (ЛПД)

Лавинно-пролетный диод (ЛПД)

Плазменный ЛПД (ПЛПД)

173180183187187188侬173180183187187188侬193^^i^21s^^^sl ^234234238缢241241鎧窮缢漑254^256256缴蹲193^^i^21s^^^sl ^234234238缢241241鎧窮缢漑254^256256缴蹲Инжекционно-пролетный диод (ИПД)

173180183187187188侬

173180183187187188侬

193^^i^21s^^^sl ^234234238缢241241鎧窮缢漑254^256256缴蹲

193^^i^21s^^^sl ^234234238缢241241鎧窮缢漑254^256256缴蹲

Лавинный шум

Шум в пролетных усилителях

Усилители на ЛПД

Усилители на ПЛПД

Усилители на ИПД

Физика генератора на эффекте переноса электронов ...

Шум в генераторах Ганна

Шум Джонсона

l/f-шум

Литература

Глава 11. Квантовая механика и шумы

Введение

Принцип неопределенности

Квантовый предел для шума усилителя

Теорема Найквиста и квантовая механика

Поглощение и испускание излучения веществом ....

11-5.1. Обмен энергией в двухуровневой системе ....

11.5.2. Принцип действия мазера

Шумы мазера

Тепловой шум

Коэффициент шума

Дробовой шум

Заключительные замечания Литература

Глава 12. Приборы с джозефсоновскими контактами ....

Введение

Сверхпроводимость

Джозефсоновский контакт

Интерферометры Джозефсона

С кв ид постоянного тока

Сквид переменного тока

Шумы в приборах с джозефсоновскими контактами...

Дробовой шум в джозефсоновском контакте..•

Тепловой шум при стационарном эффекте Джозефсона

Шум в резистивно-зашунтированном контакте...

Шум сквидов постоянного тока

Шум радиочастотных сквидов

Литература

Глава 13. Детекторы гравитационного излучения

Введение

Детекторы гравитационных волн

Минимальная обнаруживаемая энергия

Восстановление сигнала гравитационной антенны .

Эквивалентная схема резонансной массивной антенны .

Гравитационный импульс

Генераторы шумов в эквивалентной схеме .

Оптимальный фильтр

Отношение сигнал — шум

Сравнение веберовской болванки с разрезной болванкой .•

Современное состояние работ по детектированию гравитационного излучения

144^7О-^^7Т 1 124)7064)5而)8011 2 2 4 712 & ^ ^> 7 ^/9 о о 2 24722 5 77(>23-4 27272727272728282828^^^2 3^33 3 3^^^ ^31313132323232323232323333^ ^^^^^^^м^^ ^ ^144^7О-^^7Т 1 124)7064)5而)8011 2 2 4 712 & ^ ^> 7 ^/9 о о 2 24722 5 77(>23-4 27272727272728282828^^^2 3^33 3 3^^^ ^31313132323232323232323333^ ^^^^^^^м^^ ^ ^Криогенные резонансные массивные детекторы ..

144^7О-^^7Т 1 124)7064)5而)8011 2 2 4 712 & ^ ^> 7 ^/9 о о 2 24722 5 77(>23-4 27272727272728282828^^^2 3^33 3 3^^^ ^31313132323232323232323333^ ^^^^^^^м^^ ^ ^

144^7О-^^7Т 1 124)7064)5而)8011 2 2 4 712 & ^ ^> 7 ^/9 о о 2 24722 5 77(>23-4 27272727272728282828^^^2 3^33 3 3^^^ ^31313132323232323232323333^ ^^^^^^^м^^ ^ ^

355統騁疆 s^370375379384389355統騁疆 s^370375379384389

355統騁疆 s^370375379384389

355統騁疆 s^370375379384389

Слежение за спутниками

Лазерные интерферометры, работающие при комнатных температурах .

口3.7. Заключительные замечания

-Литература

Приложения

Приложение 1. Тепловой шум и распределение Пуассона ....

Приложение 2. Исследование по Найквисту теплового шума в сопротивлении Литература

Приложение 3. Подвижность, броуновская скорость и диффузия ..

.Литература Приложение 4. Шум, обусловленный прохождением носителей через обедненный слой р——п-перехода

Приложение 5. Решение уравнения, описывающего выходной шум генератора

приложение 6. Соотношения между токами и напряжениями в параметрическом усилителе

приложение 7. Минимальный шум усилителя

Лредметный указатель ・. ・ ・

Уважаемый читатель!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве, перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-ва «Мир».

Майкл Букингем

ШУМЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ И СИСТЕМАХ

Научный редактор В. С. Соболев

Младший научный редактор Н. И. Сивилева

Художник Н. А. Дронова

Художественный редактор В. Б. Прищепа

Технический редактор Е. С. Потапенкова

Корректор С. А. Денисова

ИБ № 5569

Сдано в набор 23.09.85. Подписано к печати 27.02.86.

Формат 60Х90%б・ Бумага типографская № 1.

Гарнитура литературная. Печать высокая.

Объем 12,50 уч. изд. л. Усл. печ. л. 25.

Усл. кр.-отт. 25. Уч.-изд. л. 23,57. Изд. № 6/4335.

Тираж 12 000 экз. Зак. 1360. Цена 2 руб.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Московская типография № 11 Союзполиграфпрома

«три Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли

U13105. Москва, Нагатинская ул.» д. 1

Noise in electronic devices

and systems

M. J. Buckingham, в. Sc., Ph. D.

Senior Principal Scientific Officer, Ministry of Defence

Royal Aircraft Establishment

Farnborough, Hampshire

ELLIS HORWOOD LIMITED

Publishers • Chichester

Halsted Press: a division of

JOHN WILEY & SONS

New York-Brisbane-Chichester• Ontario 1983

М БУКИНГЕМ

ШУМЫ

В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ “ СИСТЕМАХ

Перевод с английского

канд. техн, наук А. Б. Мещерякова,

канд. физ.-мат. наук В. П. Митрофанова,

канд. физ.-мат. наук Г. А. Сидоровой

под редакцией

д-ра физ.-мат. наук В. Н. 「убанкова

Москва «Мир» 1986

ББК 32.85 Б90

УДК 621.38+621.37

Букингем М.

Б90 Шумы в электронных приборах и системах: Пер. с англ.— М.: Мир, 1986. — 399 с., ил.

В книге английского ученого всесторонне и с единых позиций рассмотрены механизмы генерирования шумов и шумовые характеристики электронных устройств, начиная с биполярных и полевых транзисторов, диодов, резисторов, СВЧ-приборов и кончая такими современными приборами и уникальными установками, как квантовые усилители и генераторы, приборы с переходами Джозефсона и детекторы гравитационных волн. Книга отличается ясностью и полнотой изложения материала.

Для специалистов в области электроники, измерительной, радиолокационной, лазерной и радиотехники.

ББК 32.85ББК 32.85г 2401000000-225

ББК 32.85

ББК 32.85

В 041(01)-86160-86, ч. 1

Редакция литературы по информатике и электронике

© 1983 М. J. Buckingham/Ellis Horwood Ltd.

© перевод на русский язык, «Мир>, 1986

Предлагаемая читателю книга посвящена шумовым явлениям в электронных приборах и системах. В настоящее время электронные твердотельные устройства активно исследуются и широко используются в различных областях электроники: для создания быстродействующих интегральных схем обработки и запоминания информации, для регистрации, преобразования и генерирования СВЧ-сигналов, для измерения сверхслабых постоянных магнитных и электрических полей, в фундаментальных физических экспериментах и т. д. Исследования в этих направлениях проводят ведущие научно-исследовательские центры и промышленные фирмы ряда капиталистических стран (главным образом США, Англии, Японии, ФРГ). Аналогичные работы проводятся и в нашей стране.

Автор рассматривает проблемы, связанные с существованием в твердотельных электронных приборах флуктуаций различных параметров. Интерес к этим проблемам связан с тем, что несмотря на огромное число работ в этой области (как теоретических, так и экспериментальных) до сих пор неясны механизмы возникновения некоторых типов шумов, и поэтому в научной литературе наблюдается различие в толковании этих механизмов. Подобная ситуация сложилась, например, с так называемым l/f-шумом. Кроме того, проблема изучения шумовых свойств электронных приборов имеет важное практическое значение.

Несомненное достоинство книги заключается в том, что в ней шумовые свойства конкретных твердотельных приборов рассматриваются на основе общей теории флуктуаций и случайных сигналов; наряду с анализом различных видов шумов в каждом типе устройства имеются главы, посвященные определенному виду шумов (l/f-шуму, взрывному шуму и т. д.). Такое сочетание позволяет, используя современное математическое описание, более детально проследить специфику, условия и причины появления шумов различных видов в том или ином случае.

Данная монография адресована ученым и специалистам в области твердотельной электроники, которые интересуются, с одной стороны, физическими явлениями, составляющими основу

работы электронных приборов, с другой — их применениями, причем не только в системах различного назначения, но и в проведении уникальных экспериментов, например при измерении сверхмалых магнитных полей с помощью сквидов, при обнаружении гравитационных волн.

В заключение следует отметить, что в книге недостаточно отражены результаты исследований шумовых явлений в электронных приборах и системах, выполненных советскими учеными. Это касается и конкретных вопросов, связанных с анализом шумовых свойств приборов того или иного типа, и более общих проблем, затронутых автором. Например, при обсуждении принципов работы параметрического усилителя (гл. 9) автор не дает ссылки на хорошо известные работы советских физиков Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси и их сотрудников, внесших большой вклад в развитие науки о параметрических колебаниях.

Перевод выполнен Г. А. Сидоровой (предисловие, гл. 1—3, 8—10, приложения 1—3, 5, 6), А. Б. Мещеряковым (гл. 4 — 7, приложение 4), В. П. Митрофановым (гл. 11 —13, приложе* ние 7).

В. Н. Губанков

Твердотельная технология начала развиваться невероятно быстрыми темпами со времени появления германиевого транзистора. В наши дни приборы на твердом теле используются в самых различных областях. Спектр этих приборов чрезвычайно широк. К ним относятся известный кремниевый биполярный транзистор и различные типы полевых транзисторов; устройства СВЧ, например лавинно-пролетный диод, инжекционно-пролетный диод и диод Ганна; устройства на туннельном эффекте, например диод Исаки, контакт Джозефсона и сверхпроводящий квантовый интерферометр (сквид); электронно-оптические приборы. Во всех этих устройствах в той или иной форме присутствуют шумы, которые при использовании слабых сигналов часто являются фактором, накладывающим ограничения на их характеристики.

Основная цель этой книги заключается в рассмотрении физических характеристик шумов в ряде устройств на твердом теле. Обсуждаются также шумы в некоторых нелинейных системах, например в параметрическом усилителе и генераторе ван-дер-Поля; исследуется выделение сигнала из шума в связи с вопросами обнаружения гравитационного излучения.

Изложение опирается на математическое исследование в общем виде, в котором устанавливаются свойства последовательностей случайных сигналов и импульсных процессов. В книге главным образом рассматриваются тепловой и дробовой шумы, а также генерационно-рекомбинационный (г-р) шум, повсеместно распространенный l/f-тум, взрывной шум, неравновесный джонсоновский шум, связанный с разогревом электронов, и лавинный шум, обусловленный ударной ионизацией. Каждая глава сопровождается обширной библиографией, позволяющей заинтересованному читателю глубже изучить обсуждаемую тему.

В заключение мне хотелось бы выразить признательность ряду издательств за разрешение воспроизвести рисунки из опубликованных ими статей (это специально оговаривается в тексте) .В течение всего времени работы над книгой меня постоянно поддерживал и вдохновлял г-н Майкл Хорвуд, за что я ему благодарен. И наконец, я хотел бы поблагодарить свою жену за ее терпение и жизнерадостность, которые в большой степени способствовали успешному завершению работы над этой книгой.

Вашингтон, округКолумбия декабрь 1982 г.Вашингтон, округКолумбия декабрь 1982 г.Л4・ Дж. Букингем

Вашингтон, округ

Колумбия декабрь 1982 г.

Вашингтон, округ

Колумбия декабрь 1982 г.

4