Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
К искусственным спутникам, предназначенным для астрономических, радиофизических и других научных исследований, предъявляют особенно жесткие требования по точности стабилизации углового положения относительно неподвижной (или орбитальной) системы координат. Например, антенна такого спутника должна быть очень точно направлена на и стоянии радиоизлучения, направление на который практически не изменяется в неподвижном (инерциальном) пространстве.
При разработке средств стабилизации углового положения спутника на орбите естественно возникает мысль снабдить спутник маховиком, приведенным в быстрое вращение, и использовать принцип гироскопической стабилизации. В силу значительного кинетического момента составного спутника (основное тело и маховик) по оси стабилизации малые возмущения, не устранимые в космическом полете, не вызывают значительного отклонения оси стабилизации спутника от ее требуемого направления; это отклонение остается ограниченным в пределах технических требований. Ограничение отклонения оси от заданного направления осуществляется благодаря возникновению движения прегГессии, сопровождаемого в общем случае движением нутации. Следовательно, задача требуемого ограничения отклонения оси спутника приводится к задаче об ограничении угла нутации (угла конусности); для уменьшения угла нутации естественно использовать демпферы ——средства для рассеяния энергии, сообщенной спутнику внешними возмущениями. В итоге возникает задача об исследовании динамики сложной системы, состоящей из основного тела спутника (корпуса), несомого маховика и несомых демпферов, причем демпферы в свою очередь представляют собой колебательные системы.
Указанная задача ввиду ее важности при изучении космического пространства стала занимать в последние десять лет видное место в научно-технической литературе. В настоящем сборнике вниманию читателей предложено несколько статей, посвященных стабилизации спутников при помощи несомых маховиков и демпферов. Спутник, снабженный маховиком, называется спутником с двойным вращением.
Изложение материала отличается весьма глубоким проникновением в механическое существо процесса стабилизации спутников; авторы стремятся сделать возможно более достоверные
выводы из дифференциальных уравнений движения, насколько можно упрощенных, но без значительного обеднения их механического содержания. Для подтверждения допустимости упрощения уравнений движения ——в общем случае достаточно высокого порядка и существенно нелинейных ——аналитические соображения сопровождаются результатами численных решений на вычислительных машинах (применительно к строгим уравнениям) и данными опытов. В этом дтношении теоретикам остается большое поле в области разработки средств построения приближенных решений дифференциальных уравнений со строгой оценкой погрешности, решений, которые наверняка сохранили бы нужные свойства точных решений.
В статье Д. Дж. Лиски, открывающей сборник, исследуется динамика стабилизации системы сравнительно общего вида — системы, состоящей из многих соосных маховиков, каждый из которых вращается независимо вокруг общей оси, т. е. оси крепления. Стабилизируемое направление этой оси возмущается моментом сил, перпендикулярным оси и связанным с одним из маховиков, который принимается в качестве основного тела системы (корпуса). Исследование выявляет характер колебаний оси системы внутри конуса, которым ограничен уход этой оси благодаря действию стабилизирующего гироскопического момента.
Статья А. К. Сена посвящена определению совокупности равновесных угловых положений спутника с двойным вращением, снабженного демпферами; стабилизируемое угловое положение спутника принадлежит этой совокупности.
П. М. Бейнум и др. рассмотрели достаточно общую задачу о стабилизации углового положения спутника с двойным вращением, снабженного демпферами. Динамическую модель демпфера они выбрали в виде колебательной системы с одной степенью свободы, обладающей инерцией, демпфированием и восстанавливающей силой. Основное тело спутника (корпус), маховик и два демпфера образуют сложную механическую систему, и предметом исследования авторов этой статьи являются переходные движения и устойчивость стабилизируемого состояния системы.
В работе Дж. Мак-Интайра и М. Джанелли изучено влияние отклонений некоторых геометрических и массовых параметров спутника с двойным вращением от их расчетных значений на характер колебаний оси спутника, служащей общей осью крепления обоих тел.
В первой из двух статей Ф. Р. Виньерона рассматривается применение метода осреднения В. М. Волосова к исследованию динамики колебаний спутника с двойным вращением, снабженного демпферами. Этот метод применяется к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами, к которым при некоторых допущениях приводится исследование устойчивости стабилизируемого состояния спутника. Вторая
статья автора содержит обобщение исследования, выражающееся в учете влияния поля тяготения Земли.
В последней статье П. У. Лайкинса и др. по механике составных спутников исследуются автоколебания оси стабилизации (оси крепления) спутника с двойным вращением и их устойчивость; принято, что при отсутствии демпфирования автоколебания не имеют места и что они возникают только за счет нелинейной характеристики демпфирования.
Сборник завершается статьей М. Бисмю, в которой рассматривается оптимальное управление полетом ракет. Эта статья непосредственно не касается динамики спутников с двойным вращением; однако исследуемые в ней задачи, помимо их самостоятельного значения, могут быть полезными для объединения исследования поступательного движения составных тел с задачей стабилизации их углового положения.
Перевод статей по динамике спутников с двойным вращением (стр. 9——122) выполнил М. 3. Литвин-Седой, статью М. Бисмю об управлении исследовательской ракетой (стр. 123—201) перевел А. Д. Хонькин.
В конце сборника приводится список дополнительной литературы по рассматриваемому вопросу.
В. В. Белецкий, М, 3. Литвин-Седой
ПРОСТОЕ ОПИСАНИЕ СОВМЕСТНОГО
Н У ТА ЦИОН НО-П Р ЕЦЕССИОН НОГО ДВИЖЕНИЯВ СИСТЕМЕ
ИЗ 厶 СООСНЫХ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ 工)
Д. Дж. Лиска
ОБОЗНАЧЕНИЯ
%, у, z ——система координат, связанная с телом, к которому приложен момент внешних сил;
8%, ^у ——проекции на оси х п у мгновенной угловой скорости тела, с которым связана система координат ・％, У, z;
Ф — скорость собственного вращения тела, с которым связана система х, у, z;
Л — экваториальный момент инерции того же тела;
С — осевой момент инерции того же тела;
" — кинетический момент того же тела;
Ас —— экваториальный момент инерции остальной части системы;
Нс ——кинетический момент остальной части системы относительно общей оси собственного вращения;
"о ——полный кинетический момент всей системы относительно этой о.си;
Тх — момент, приложенный относительно оси % к телу, с которым связана система координат х, у, z; 丁求,TyR — моменты сил реакции соответственно по осям % и у; Д0, Дц — углы отклонения оси собственного вращения в инерциальном пространстве;
tp — время действия момента внешних сил; отсчитьь вается от начального момента времени % = 0;
/ — время;
也 —— собственная угловая скорость моделирующего тела;
Rf ——радиус неподвижной окружности, используемой в графическом построении;
Rr — радиус производящего круга, используемого в графическом построении.
Liska D. J., A simple description of combined precession and nutation in an n-member system of coaxial, differentially spinning bodies, Journal of Spacecraft and Rochets」7> № 3» 287—293 (1970).
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, насколько полезен метод исследования пространственного движения вращающихся тел, основанный на использовании приближения первого порядка. В частности, такое исследование можно применить для описания движения общей оси собственного вращения 】)системы соосных симметричных тел, независимо вращающихся около этой оси с различными скоростями в любом из двух направлений, когда на систему действует момент сил, вектор которого связан с каким-либо из тел системы и вращается вместе с этим телом. Такие динамические задачи приобрели значение в связи с использованием в практических условиях космических систем, состоящих из двух соосных вращающихся тел; медленно вращающаяся ступень служит для размещения приборов и оборудования, а быстро вращающаяся ступень ——для создания значительного стабилизирующего кинетического момента [1—4 ].
В данной статье описывается движение оси системы соосно установленных п тел около неподвижной точки, когда к одному из тел системы приложен момент внешних сил. Показано, что ось системы описывает в пространстве эпициклоиду. Показано также, что число витков этой эпициклоиды зависит от угловой скорости тела, к которому непосредственно приложен момент, 就 от скорости нутации всей системы. Получены выражения наи« большей амплитуды нутации за заданное время действия приложенного момента; оценено итоговое изменение углового положения, обусловленного демпфированием движения нутации; найдены угловые положения вектора момента сил, при которых имеют место наибольшая и нулевая амплитуды нутации. Показано, что эпициклоида приводится к кардиоиде, когда система сводится к единственному телу, такому, что отношение его осевого момента инерции к экваториальному равно 2. Построено одиночное твердое тело, моделирующее всю систему в том смысле, что такое тело обладает тем же движением, что и система тел, установленных на общей оси и способных вращаться около этой оси независимо одно от другого ), если вектор внешнего момента вращается со скоростью, отличной от скорости собственного вращения моделирующего тела.
С другой стороны, некоторое фиктивное одиночное тело, для которого отношение моментов инерции не ограничено промежутком 0—2, также способно воспроизводить указанное движение. Приведены многочисленные графики, построенные на основании
Ось собственного вращения системы соосных тел, т. е. геометрическая ось системы, изображенной на рис. 1, далее для краткости называется осью системы. — Прим, перев.
решения, полученного при помощи вычислительного устройства, и поясняющие свойства движения при различных сочетаниях параметров системы. Описан простой графический метод, также пригодный для графического нахождения движения оси системы во всех рассматриваемых случаях.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
каждое из пкаждое из пОграничиваясь линейными методами, проведем исследование системы, изображенной на рис. 1. Принято, что
каждое из п
каждое из п
тел системы симметрично относительно их общей оси; другими словами, в каждом теле масса распределена таким образом, что
%%弘弘Центр^ массЦентр^ масс踹踹TnTnРис. 1. Система соосных тел, вращающихся независимо одно от другого, причем момент внешних сил приложен к ^-му телу.Рис. 1. Система соосных тел, вращающихся независимо одно от другого, причем момент внешних сил приложен к ^-му телу.момент инерции тела около любой боковой оси, перпендикулярной упомянутой общей оси системы, один и тот же. Отсюда следует, что центр масс каждого тела лежит на оси системы. Внешний момент приложен только к одному телу системы, и вектор этого момента связан с данным телом. С упомянутым телом свяжем систему координат х, у, z. Момент сил представляет собой ступенчатую функцию, приложенную в момент времени / = 0, и он действует в течение времени tp. '
%
%
弘
弘
Центр^ масс
Центр^ масс
踹
踹
Tn
Tn
Рис. 1. Система соосных тел, вращающихся независимо одно от другого, причем момент внешних сил приложен к ^-му телу.
Рис. 1. Система соосных тел, вращающихся независимо одно от другого, причем момент внешних сил приложен к ^-му телу.
При помощи преобразования коорди-
границах исследованиеграницах исследованиенат, геометрически представленного на рис. 2, устанавливаются соотношения между проекциями угловой скорости тела на оси связанной системы координат и угловыми координатами тела, отсчитываемыми от неподвижных направлений. Описание этих угловых движений, рассматриваемых в инерциальной системе координат, проведено при помощи прямоугольной решетки, показанной на рис. 3, где углы Д0 и Дц ограничены малыми величинами, именно меньшими ±10°; в этих
границах исследование
границах исследование
достаточно точное. Начало координат выбрано в точке, соответствующей устойчивому невозмущенному положению оси собствен* ного вращения системы в неподвижном пространстве, т. е. поло* жению, имеющему место при нулевых начальных значениях угловых скоростей изменения обеих координат Д0 и А卩.
Так как вектор момента внешних сил может быть связан с любым телом системы, не имеет значения, совпадает ли начало координат системы х, у, z с центром масс всей механической системы. В общем случае это начало не совпадает с центром масс системы. В любом случае вращение совершается около центра
т
Рис. 2. Схема преобразования координат, момент Тх внешних сил направлен ПО ОСИ X.
Рис. 3. Траектория следа оси собственного вращения в инерциальной плоскости координат Аб, А卩 при малых углах отклонения.
масс и углы, определяемые путем подсчета, одни и те же. Если момент сил не приводится к чистой паре, возникнет малое переносное движение, которое и в этом случае не влияет на вращение.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Уравнения движения системы составляются на основании динамических уравнений Эйлера. Последние записываются для тела, к которому приложен момент внешних сил и которое вращается с угловой скоростью ф：
Тх + ТxR = 4coX + (С — Л) фЗу,(1)
7浓=- (с — 4)屮0%⑵
Здесь принято, что все тела системы обладают распределением масс, симметричным по отношению к оси системы; Тх — момент сил, непосредственно приложенный при помощи реактивных двигателей 】)； TxR и 7^r ——моменты сил реакции, направленные по осям хну соответственно й выражающие силовое взаимодействие /-го тела и всех остальных тел системы. Эти прочие тела системы рассматриваются как составной гироскопический ротор, прецессирующий в пространстве под влиянием только момента сил реакции, приложенного со стороны тела-носителя:
—Tr =也=-^ (Лс<олах + Ас(^у^у + Нс^ =
=儿九 а* + 儿厶声“ + 4coM8 X ах) +
+ //® Xа/ + НС(^Х а,).(3)
Момент Т может создаваться силами, внешними по отношению ко всей системе, или парой реактивных сил (этот последний случай и изображен на рис. 1). Здесь реактивные силы рассматриваются как внешние силы на том основании, чтд материальные частицы, отбрасывание которых порождает реактивные силы, уже не принадлежат системе с момента их отделения от нее. При этом убыванием массы ^го тела здесь пренебрегают. — Прим, перев.
Выполняя действия, указанные в правой части уравнения (3), находим моменты TxR и 丁孤：
7\r= — Ас^х + Ас^у^>—儿①夕(4)
7户=-^c^y-43* 屮 + "押九•(5)
Подставляя выражения моментов сил реакции в уравнения (1) и (2), получаем уравнения движения относительно проекций угловой скорости на оси, связанные с телом:
А = ^s^x + ("о — 4屮)％,(6)
0=4g一("0 - 49)%(7)
где As = 4 + Ac = 4 + 4 4-厶2 + •・・十 Лл + Ml2 + Mill + + • • • + Mnln = полный центральный экваториальный момент инерции системы. Величина
"о =。而 + 儿=С。+ 2 j=i
есть полный кинетический момент системы относительно оси системы.
Движение в процессе действия реактивного момента (0 < / < %)
По предположению, к моменту времени приложения реактивного момента система соосных тел вращалась, не испытывая нутации. Решая систему уравнений (6) и (7) при данном начальном состоянии системы, в которой имело место собственное устойчивое вращение, т. е. при начальных значениях о% (0) = соА (0)= =小(0)=①g (0) = 0, получаем
з% = (7\/』sE) sin 諸(8)
小=(兀/4Е) (1 — cos 込(9)
где 自=HJAs — ф.
Следующий шаг состоит в том, чтобы выразить эти угловые скорости через инерциальные координаты при помощи кинематического преобразования, вытекающего из схемы на рис. 2:
сох = 0s(p ——fxs0c(p, cog = 0cq)+ 卩s9sq).(10)
Здесь s 三 sin, c 三 cos. На этом этапе прибегнем к линеаризации уравнений движения, считая отныне углы 0 и |i, входящие в формулы кинематического преобразования, малыми. Благодаря этому решение приобретает простой вид и сохраняет разумную степень точности в пределах изменения координат до 10°. Малое отклоне-
ние угла 0 отсчитывается от значения этого угла, равного 90°, а не 0°, чтобы обеспечить условие sin 0^1. Отклонение угла 卩 отсчитывается от его нулевого значения. В этих предположениях уравнения (10) принимают вид
со» = 0sq)— 卩с(р, со, = 0с(р + 卩s(p・(11)
Подставляя эти выражения в уравнения (8) и (9) и интегрируя, получаем следующие выражения для приращений углов 0 и р,, справедливые на протяжении времени действия реактивного момента:
АН = _ {TJA^ [(AJH^ s (儿/4) f — (1/而)s«",(12)
A卩=(北/汕0)+ (ГХМ l^s/H^ c (儿/4) t — (1/ф) c(p/]. (13)
Движение после прекращения действия реактивного момента (/ > Q
Время после прекращения действия реактивного момента определяется неравенством / — tp > 0. Значения 3%卩 и тур скоростей, сложившиеся к моменту времени tp прекращения действия реактивного момента, находятся из соотношений (8) и (9). Кинематические уравнения (11), учитывающие влияние поворота осей координат % н у на угол 屮%, имевшего место в течение времени приложения реактивного момента, перепишем следующим образом:
「孤.с ("/ —①卯s (ср%)] с (ф/р)—
-k%s ("j + 3卯C (而%)] s (") = 0s (") - [1c (初，(14)
[SqS (而％) + ①舛с (而％)] с(ф/) +
+ [①初 c ("")一①如S (而 ％)] S (位)=0c (“) + 向(")・(15)
Интегрируя эти уравнения, получаем следующие выражения для приращений Л0 и Др,, пригодные для любого момента времени после выключения реактивных двигателей:
АЗ =含 s% + 嘉[ss 今 ,(16)
你=含(1 еQ _金卜(一团十今f)— С》4 •( 17)
В то время как уравнения (16) и (17) по-прежнему описывают движение с разумной степенью точности лишь при значениях углов до 10° или в этих пределах, скорости вращения, взятые
в осях, связанных с телом, можно определить строго. Для этого рассматриваем уравнения Эйлера при начальных условиях при / = %：
* = 一 我{s [(2而—叁% + 對一s ^tp + 研，(18) 3产—%{e血〃 +詛一e [(2°—栗)% +呻.(19)
ТРАЕКТОРИЯ СЛЕДА ОСИ СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ
В приведенных уравнениях можно ясно наблюдать две различные угловые частоты: собственную угловую скорость ср тела, посредством которого приложенный момент сил передается системе, и частоту ННА$、представляющую собой частоту нутации всей системы. Нутация служит мерой избытка кинетической энергии вращательного движения системы, или, математически, нутация есть мера несовпадения векторов кинетического момента и угловой скорости 1). Если на систему не действуют никакие внешние моменты, то вектор кинетического момента сохраняет неизменное направление в инерциальном пространстве и остается постоянным по величине. Если система движется с нутацией, то имеет место избыток кинетической энергии, и этот избыток можно рассеять пассивными средствами, т. е. путем преобразования избыточной энергии в тепло при помощи трения, и тогда тело будет вращаться без нутации около оси, совпадающей с линией действия вектора кинетического момента. Таким образом, всякой системе с рассеянием энергии присуще рассеяние энергии нутации, и при этом система стремится к состоянию с наименьшим значением энергии, соответствующим ее кинетическому моменту.
Движение конца оси собственного вращения в инерциальном пространстве представляет собой сочетание собственного вращения и нутации и обладает всеми свойствами эпициклоидального движения в течение всего времени действия- внешнего момента. Это показано на рис. 3. Когда действие момента прекращается, устанавливается круговое нутационное движение 】)и ось собственного вращения описывает коническую поверхность около нового установившегося направления вектора кинетического момента. Легко установить характерные свойства таких движений.
Круговое движение вектора кинетического момента. Когда момент Тх продолжает действовать и сохраняется постоянным по величине, конец вектора кинетического момента движется по дуге окружности. При начальных условиях, рассмотренных выше, траектория этого конца всегда проходит через начало координат.
См примечание редактора на стр. 88 книги: К・ Магнус, Гироскоп, «Мир», М・* 1974. —Прим, перев.
Упомянутая круговая траектория определяется установившимися составляющими уравнений (16) и (17):
АО = (Т丿而"о) s М，Др, = (Т丿ср%) (1 — с 泌). (20)
Эти соотношения определяют точку, движущуюся по окружности диаметра 2Т丿屮"о с частотой ср и проходящую на каждом периоде движения через начало. Таким образом, вектор кинетического момента движется с той же скоростью, с которой поворачивается вектор момента внешних сил, и прекращает свое движение в момент прекращения действия момента внешних сил. Если .в этот момент вектор угловой скорости не направлен по вектору кинетического момента, возникнет нутация тела около его положения, определяемого уравнениями (20), в момент времени tp. При введении в систему рассеяния энергии нутация будет затухать по экспоненциальному закону до достижения состояния устойчивогск вращения около оси, совпадающей с линией действия вектора кинетического момента.
Витки нутации. Амплитуду нутации для любого момента времени можно найти путем вычитания угловых координат вектора кинетического момента, определяемого уравнениями (20), из истинных значений соответствующих углов в тот же момент времени, определяемых уравнениями (12) и (13) для случая, когда внешний момент продолжает действовать, именно амплитуда выражается при помощи этих разностей соотношениями
Отклонение в момент % = —(TJH© Q — 2 c^/J", (21)
Наибольшее отклонение = \2ТХ/Н^\ рад. (22)
Частота соответствующего колебания определяется разностью между скоростями нутации и собственного вращения. Таким образом, можно найти число витков нутации путем деления этой разности на скорость собственного вращения:
Число витков за период = ||/(р| = 11 — (Я0/(рЛ5) |, (23) где абсолютная величина взята во избежание недоразумения в случае, когда Н0/ф^5 > L хотя это обстоятельство, несомненно, влияет на число витков.
Угловые координаты вектора момента внешних сил、которым отвечают нулевые и наибольшие значения угла нутации. Для управления угловым положением тела часто полезно располагать значениями угла 屮/夕 поворота вектора момента внешних сил, которым соответствуют нулевые значения угла нутации, т. е. точки, в которых текущие направления векторов угловой скорости и кинетического момента оказываются совмещенными,
Из уравнения (23) следует, что эти векторы совпадают каждый раз, когда
— с % = 0 или 而％ = I пп1{(Н^1А^ — 1 ] I，
п = 0, 2, 4, . . . .(24)
Подобным же образом находим, что наибольшие отклонения направления одного из этих векторов от направления другого вектора имеют место при
ср% = |nn/[(//0Ms(p) — 1 ", 〃 = 1, 3, 5, . . .(25)
При помощи уравнений (20)—(25) можно рассчитать все важные характеристики движения оси собственного вращения при любых значениях параметров системы.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СООСНЫХ ТЕЛ
ПРИ ПОМОЩИ ОДНОГО МОДЕЛИРУЮЩЕГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Перед тем как приступить к примерам решения указанных уравнений, полезно обследовать, какие выводы можно получить при помощи представления системы соосных тел как некоторого одного моделирующего твердого тела. Если каждое тело соосной системы вращается с одной и той же скоростью, реакция на приложенный момент внешних сил будет такой же, как если бы система состояла из одного-единственного твердого тела. В данном случае "о = (С + С\ + 。2 + •・・ + С〃) ср и частота нутационных колебаний определяется выражением (С + С\ + С^ 聿 ・• • + + С〃) q)Ms. Очевидно, в рассматриваемом случае отношение моментов инерции (С + Сг + С2 + • • • + CJMS заключено между предельными значениями 0 и 2; в самом деле, если бы тела были установлены вдоль очень длинной оси, то выполнялось бы неравенство 4$》С и указанное отношение приближалось* бы в пределе к нулю. Если же, наоборот, система очень компактна и все тела суть тонкие диски, то As ^ 0,5С и тогда упомянутое отношение моментов инерции никогда не превысит значения +2. В первом случае система не обладает гироскопической устойчивостью и ведет себя как статическое тело, имеющее экваториальный момент инерции As и находящееся под действием внешнего момента, поворачивающегося в пространстве с угловой скоростью(р. Во втором случае система движется под действием того же внешнего момента по кардиоиде, причем угол нутации уничтожается каждый раз, когда 屮力=0, 2л, . . ., а наибольшее значение угла нутации имеет место при ср/ = л, Зя, . . .. При движении по кардиоиде круги нутации всегда проходят через начало кооран， нат независимо от величины %.
Если не вводить ограничений на собственные угловые скорости тел, составляющих рассматриваемую соосную систему, то можно провести более общее истолкование движения. В этом случае вектор момента внешних сил по-прежнему вращается со скоростью Ф, но он воздействует на моделирующее тело, вращающееся уже с некоторой другой скоростью 屮乙 Если принять момент инерции этого моделирующего тела около оси системы равным арифметической сумме осевых моментов инерции составляющих тел соосной системы и принять кинетический момент такого тела равным//0, то искомая угловая скорость моделирующего тела выразится в виде
Поэтому скорость моделирующего тела лежит между скоростями составляющих тел, и ее значение определяется некоторым взвешенным средним значением кинетического момента. Если теперь приложить к этому телу внешний момент, вращающийся со скоростью (р и в том же направлении, то можно воспроизвести движение оси любой соосной системы.
Возникает и еще один способ истолкования движения исходной системы при помощи одного моделирующего тела, состоящий в том, что значения частоты нутации и кинетического момента в движении этого тела должны быть такими же, какие имеют место в исходной системе. В предположении, что моделирующее тело вращается с исходной скоростью ср, оказывается, что момент инерции моделирующего тела принимает значение
Можно видеть, что, если не накладывать на угловую скорость собственного вращения, входящую в соотношение (27), никаких ограничений, отношение моментов инерции моделирующего тела может меняться от ——оо до 4-oq. Это несколько необычное состояние, так как в данном случае нутационная частота моделирующего тела мбжет превосходить собственную угловую скорость Еолее чем в два раза. Разумеется, физически это невозможног), поэтому
Частота g нутации симметричного тела, быстро вращающегося около оси симметрии, соответствующей моменту инерции Се, и находящегося под действием постоянного внешнего момента, равна С?屮е/(А& sin 0) = ое [см.,- например, А. Н. Крылов, Собрание трудов, т. VIII, изд-во АН СССР, 1950, стр. 117; книгу К. Магнуса, цитируемую в примечании 1 на стр. 16, — соотношение (2.40) на стр. 88 и первую формулу (3.62) на стр. 130]. Выше принято sin 0^1. Из механики известно, что С® w 2Ле, откуда следует, что [ g/C I W W 2. — Прим, . перев. -
на скорость ср любого «действительного» тела нужно наложить ограничение
-£缪w而0警0一£曾. (28) /=1 м
Неравенство (28) есть лишь более подробная запись свойства 0 W Се/Ле W 2. В неравенстве (28) нижняя граница соответствует состоянию, когда полный кинетический момент системы равен нулю, что может возникнуть при вращении части тел системы в обратную сторону. При более сильном вращении в обратную сторону кинетический момент станет по отношению к скорости 屮 отрицательным, но этот случай невозможно смоделировать при помощи одного моделирующего тела. Верхняя граница в указанном неравенстве соответствует равенству нутационной частоты величине 2(р, и дальнейшее увеличение кинетического момента приводит к движению, не воспроизводимому при помощи одного моделирующего тела.
Хотя использование единственного «действительного» моделирующего тела подлежит указанному ограничению, понятие некоторого теоретического моделирующего тела, обладающего свойством —оо < Се/Ае < 4-оо, будет полезным при объяснении примеров, приводимых ниже, и при описании графического метода прослеживания движения оси собственного вращения системы при любых сочетаниях ее параметров.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим сначала систему, полный центральный экваториальный момент инерции которой равен As = 47 500 фут-фунт-с2 (62 800 Н - м - с2). Пусть тело, с которым связан момент внешних сил, вращается со скоростью ф = 0,1 рад/с. Примем, что эти два параметра фиксированы, и будем придавать различные значения величинам HQi 7% и % в целях изучения движений различного вида.
Случай 1. Ov〃oW95OO фут-фунт «с (12 730 Н • м • с) (О V Се/Ае V 2).
В этом промежутке значений кинетического момента системы относительно оси ее собственного вращения вектор Яо кинетического момента направлен так же, как и вектор скорости (р> и система соосных тел будет двигаться под действием момента внешних сил как некоторое «действительное» тело, форма которого может изменяться от тонкого стержня До толстого диска. На рис. 4, а приведена кардиоида, отвечающая верхней границе кинетического момента %. Довольно любопытно, что точно та-
а — движение по кардиоиде тела, имеющего форму «тонкого диска», CJ^e = 2;而=。，1， As = 62 800; "о = 12 730; 7%= 40. 6 - движение «сферического» тела без нутации, Се/Ае = 1; & = 0,1; As = 62 800; ”0 = 6280, Тх = 26,4； / — положение вектора кинетического момента при прекращений действияа — движение по кардиоиде тела, имеющего форму «тонкого диска», CJ^e = 2;而=。，1， As = 62 800; "о = 12 730; 7%= 40. 6 - движение «сферического» тела без нутации, Се/Ае = 1; & = 0,1; As = 62 800; ”0 = 6280, Тх = 26,4； / — положение вектора кинетического момента при прекращений действиямомента внешних сил.момента внешних сил.
а — движение по кардиоиде тела, имеющего форму «тонкого диска», CJ^e = 2;而=。，1， As = 62 800; "о = 12 730; 7%= 40. 6 - движение «сферического» тела без нутации, Се/Ае = 1; & = 0,1; As = 62 800; ”0 = 6280, Тх = 26,4； / — положение вектора кинетического момента при прекращений действия
а — движение по кардиоиде тела, имеющего форму «тонкого диска», CJ^e = 2;而=。，1， As = 62 800; "о = 12 730; 7%= 40. 6 - движение «сферического» тела без нутации, Се/Ае = 1; & = 0,1; As = 62 800; ”0 = 6280, Тх = 26,4； / — положение вектора кинетического момента при прекращений действия
момента внешних сил.
момента внешних сил.
кое же движение имеет место и при HQ = 2375 (3135) (Се/Ае = 0,5), но в последнем случае ось собственного вращения пробегает всю указанную кривую со скоростью, составляющей половину скорости, имевшей место в предыдущем случае, так как частота нутации Hq/As вдвое меньше. В обоих случаях, как отме
чено выше, круги нутации проходят через начало координат независимо от момента времени прекращения действия внешнего момента сил. Когда "о = 4750 (6280) (Се = =4) происходит потеря гироскопической устойчивости и система движется под действием внешнего момента как некоторый шар, причем «геометрическая» ось собственного вращения 】) вер больше уходит (это заключение справедливо в рамках малых отклонений). В этом случае при прекращении действия внешнего момента система не совершает нутационного движения. Геометрическая ось описывает правильную окружность около конечного положения вектора кинетического момента; это означает, что тело вращается без нутации около положения вектора кинетического момента. Иначе говоря, вектор (о угловой скорости совмещается с вектором Н полного кинетического момента системы. Указанное состояние изображено на рис.
4,6 и 5.
Если кинетический момент Яо убывает почти до нуля, радиус окружности, описываемой вектором кинетического момента, становится, согласно уравнению (20), весьма большим. При любом
достаточно малом ——но не нулевом ——значении величины Н。 наибольшее отклонение оси собственного вращения от окруж-
То есть ось системы. — Прим, перев.
ности, служащей траекторией вектора кинетического момента,
дважды достигает этого значения, а число витков нутации при
ближается к единице.
Рис. 5. Движение в пространстве оси системы (при сферическом распределении масс) без нутации.
Таким образом, тело будет отклоняться по замкнутой " траектории очень большой длины.
Случай 2. "о > 9500 фут • фунт • с (12 730 Н・м・с) (2 < Се/Ае < 十8).
Этим значениям HQ отвечают движения, не осуществимые при помощи. единственного тела, несущего «связанный» с ним вектор момента внешних сил. В этом случае движение более сложное, но его легко оценить на основании уравнений (20)—(25). Положим, например, Но = =21 000 (27 350). Затем вычислим следующие величины:
частоту нутации
Hq/As = 0,442 рад/с;
наибольшее среднее перемещение оси собственного вращения
|2Т 丿而儿 I = 5,44°;
число витков нутации
/ ——момент внешних сил дей-ствует; 2 — ось собственноговращения следит за момен-том внешних сил.
I 1 — Hq/^)As I = 3,42 на 1 оборот;
углы поворота вектора момента внешних сил, которым соответствуют нулевые значения угла нутации:
而％ = I пл/[(//0/Л5(р) — 1 ] I = 0; 105,2;
210,4; 315,6°;・：.,〃 =0, 2, 4,；・.；
наибольший угол нутации
而％ = |пл/[(Я0/Л5ф) — 1" = 52,6; 157,8; 263,0°; • •
几=1, 3, 5,・.•;
наибольшая амплитуда нутации
2TJH。[屮一(//OMS) ] = 1,59° (диаметр круга нутации
равен 3,18°).
На рис. 6 показано решение для этого случая, полученное при помощи вычислительного устройства, и мы убеждаемся, что предшествующие подсчеты оправданы. На рис. 6 величина % подобрана
Рис. 6. Вычисленные значения углов в системе по прекращении действия внешнего момента при Се/Ае > 2.Рис. 6. Вычисленные значения углов в системе по прекращении действия внешнего момента при Се/Ае > 2./ — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил; 2 — наибольшая амплитуда нутации при/ — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил; 2 — наибольшая амплитуда нутации приРис. 7. Влияние увеличения и уменьшения «жесткости» в системе при Се!Ае〉2.Рис. 7. Влияние увеличения и уменьшения «жесткости» в системе при Се!Ае〉2.а — увеличение «жесткости»; ф = 0,1; As = =62 800; /У。= 48 950; 7%= 132,5; 6 — уменьшение «жесткости»; ф = 0,1; As = 62 800; % = 22 500,兀=132,5.а — увеличение «жесткости»; ф = 0,1; As = =62 800; /У。= 48 950; 7%= 132,5; 6 — уменьшение «жесткости»; ф = 0,1; As = 62 800; % = 22 500,兀=132,5.
Рис. 6. Вычисленные значения углов в системе по прекращении действия внешнего момента при Се/Ае > 2.
Рис. 6. Вычисленные значения углов в системе по прекращении действия внешнего момента при Се/Ае > 2.
/ — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил; 2 — наибольшая амплитуда нутации при
/ — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил; 2 — наибольшая амплитуда нутации при
Рис. 7. Влияние увеличения и уменьшения «жесткости» в системе при Се!Ае〉2.
Рис. 7. Влияние увеличения и уменьшения «жесткости» в системе при Се!Ае〉2.
а — увеличение «жесткости»; ф = 0,1; As = =62 800; /У。= 48 950; 7%= 132,5; 6 — уменьшение «жесткости»; ф = 0,1; As = 62 800; % = 22 500,兀=132,5.
а — увеличение «жесткости»; ф = 0,1; As = =62 800; /У。= 48 950; 7%= 132,5; 6 — уменьшение «жесткости»; ф = 0,1; As = 62 800; % = 22 500,兀=132,5.
таким образом, чтобы наи- б льшее значение амплитуды нутации, наступающее при снятии момента внешних сил, имело место, когда 叫= =263,0°. Радиус соответствующего круга нутации составляет 1,59°, а центр его лежит на окружности круга диаметром 5,44°, описываемого вектором кинетического момента.
Если сделать систему более «жесткой» путем увеличения скорости вращения тел, составляющих систему, 77О до значения 37 000 (48 950), число витков нутации возрастет, как показывают подсчеты, до 6,79 на 1 оборот, причем наибольший диаметр кругов нутации составит 0,912° и центры кругов нутации будут находиться на круговой траектории вектора кинетического момента с диаметром 3,1°, Этот случай изображен на рис. 7, а. Подобным же образом, если сделать систему более «мягкой» путем замедления вращения составляющих ее тел, число витков нутации, приходящихся на один оборот, уменьшится, а все амплитуды возрастут; этот случай изображен на рис. 7, б при 儿= =17 000 (22 500). Как и ранее, все характерные свойства движения полностью выводятся из уравнений (20)—(25).
Случай 3. % V 0 (—оо < Се/Ае < 0). Движение принимает новую форму, когда собственный кннетиие-
ский момент направлен в сторону, противоположную направлению вращения тела, несущего момент внешних сил. В этом слу-
Л9,граЗЛ9,граЗРис. 8.Рис. 8.а — движение с нутацией оси собственного вращения при отрицательном кинетическом моменте системы, %/久=—2, ф = 0,1; Л s == =62 800; "()= — 12 730, Тх =93, / — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил. 6 — система с отрицательной жесткостью при CJ&V—2, ф = 0,1; Л5 = 62 800;% ==-27 350, Тх = 172а — движение с нутацией оси собственного вращения при отрицательном кинетическом моменте системы, %/久=—2, ф = 0,1; Л s == =62 800; "()= — 12 730, Тх =93, / — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил. 6 — система с отрицательной жесткостью при CJ&V—2, ф = 0,1; Л5 = 62 800;% ==-27 350, Тх = 172qae° витки нутации образуются уже не снаружи окружности, описываемой вектором кинетического момента, а с внутренней стороны этой окружности. Пусть в рассматриваемом примере % = =—9500 (—12 730) (Се/Ае = =—2). Как показывают уравнения (20), наибольшее перемещение окружности, описываемой вектором кинетического момента, от начала координат составляет —8,44°, тогда как при Се/Ае = 2 (кардиоида на рис. 4) имеет место один виток нутации; в данном примере, как следует из уравнения (23), их будет три. Очевидно, что указанные свойства согласуются с решением уравнений движения, графически изображенным на рис. 8. В этом случае круги нутации не проходят через начало коорди- нат. В общем случае при отрицательных значениях кинетического момента собст-
Л9,граЗ
Л9,граЗ
Рис. 8.
Рис. 8.
а — движение с нутацией оси собственного вращения при отрицательном кинетическом моменте системы, %/久=—2, ф = 0,1; Л s == =62 800; "()= — 12 730, Тх =93, / — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил. 6 — система с отрицательной жесткостью при CJ&V—2, ф = 0,1; Л5 = 62 800;% =
=-27 350, Тх = 172
а — движение с нутацией оси собственного вращения при отрицательном кинетическом моменте системы, %/久=—2, ф = 0,1; Л s == =62 800; "()= — 12 730, Тх =93, / — положение вектора кинетического момента при прекращении действия момента внешних сил. 6 — система с отрицательной жесткостью при CJ&V—2, ф = 0,1; Л5 = 62 800;% =
=-27 350, Тх = 172
венного вращения число витков нутации всегда на две единицы превосходит число витков нутации в случае положительного кинетического момента в собственном вращении. Эта же картина движения продолжает иметь место, если сделать систему более «жесткой», сообщив
вращение в отрицавращение в отрицасоставляющим ее телам более быстрое
вращение в отрица
вращение в отрица
тельном направлении; соответствующие графики приведены на рис. 8, 6, где принято "о = —21 000 (—27 350). Интересно отме
тить применительно к рассмотренным случаям, что, в то время как частота нутации HQIAe сохраняет одну и ту же величину для положительных и отрицательных значений собственного кинете
ческого момента, она меняет знак, что приводит к возникновению «ретроградного» движения при отрицательном собственном кинетическом моменте, что возбуждает более сильную нутацию и порождает большее число витков нутации.
Таким образом, в рамках линейного приближения движение оси собственного вращения любой симметричной соосной системы обладает вполне определенными свойствами и может быть рассчитано. Естественно ожидать, что это движение можно описать при помощи простых графических построений, к чему мы и переходим.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИО ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ СООСНЫХ ТЕЛ
Выше было показано, что абсолютное движение оси системы соосных тел в рамках линеаризованных уравнений является
эпициклоидальным; поэтому можно
ние этого движения при помощи неподвижной окружности и точки на окружности, совершающей качение. Соответствующий графический способ показан на рис. 9. •Начальные условия выбраны такими же, которые были использованы выше при выводе аначити- ческих соотношений; именно предполагается, что при / < 0 тела системы находились в состоянии установившегося вращения около оси, проходящей через .начало координат. Неподвижная окружность, т. е. окружность, описываемая вектором кинетического момента системы, определяется уравнением (20). Ее радиус Rf равен TX/^HQ. Радиус катящейся окружности равен в точности половине наибольшего отклонения от окружности, описываемой
предложить полное описа-предложить полное описа-траектории следа оси системы на координатной плоскости при 1 w Се/Ае<<оо.траектории следа оси системы на координатной плоскости при 1 w Се/Ае<<оо.вектором кинетического момента, выражаемого соотношением (22), т. е. Rr = I TJH£ |. В исходном положении центры этих окружностей расположены на прямой АА (рис. 9); радиус подвижной окружности связан с радиусом окружности, описываемой вектором кинетического момента, при помощи зависимости Re/Rr=|&(p|. По мере увеличения кинетического момента системы подвижная окружность становится все меньше по сравнению с окружностью, описываемой вектором кинети-
предложить полное описа-
предложить полное описа-
траектории следа оси системы на координатной плоскости при 1 w Се/Ае<<оо.
траектории следа оси системы на координатной плоскости при 1 w Се/Ае<<оо.
ческого момента, и соответственно возрастает число витков нутации. Число витков равно отношению длин окружностей, т. е. отношению RNRr, что вновь согласуется с уравнением (23).
В предыдущем разделе было показано, что при помощи некоторого одиночного тела, на отношение моментов инерции которого не наложено никаких ограничений, можно моделировать движение любой системы соосных тел в течение времени приложения момента внешних сил. Теперь на основе этой аналогии покажем методику использования графических построений применительно к любой системе соосных тел.
Случай I. 1 W Се/Ае < оо. Этот случай охватывает диапазон моделирующих тел от тела со сферическим распределением массы (Се = 4) до тела, которое совершает нутацию, бесконечно более быструю, чем собственное вращение. В этом диапазоне кинетический момент HQ направлен в ту же сторону, что и угловая скорость ср. Для этого случая построение, приведенное на рис. 9, остается в силе и подвижная окружность целиком находится вне окружности, определяемой кинетическим моментом. Нижний предел отвечает условию HJAe = ср .или Се = Ае. В этом предель- лом положении диаметр катящейся окружности неограниченно больше диаметра окружности, определяемой кинетическим моментом, и ось собственного вращения удаляется по расходящейся спиральной кривой вплоть до достижения отклонений, при которых линейный подход еще сохраняет силу; это расходящееся* движение обусловлено тем, что при вращении тела со сфериче» ским распределением массы перекрестный стабилизирующий гироскопический момент не возникает [С = А в уравнениях (1) и (2) ]. По этой же причине нет возможности стабилизировать это тело по отношению к воздействию внешнего момента, связанного с самим телом. С возрастанием кинетического момента системы диаметр катящейся окружности убывает до тех пор, пока диаметры обеих окружностей не сравняются, и тогда образуется уже известная нам кардиоида (рис. 4). По мере дальнейшего увеличения кинетического момента происходит все большее убывание диаметра катящейся окружности, и в конечном счете этот диаметр становится меньше диаметра окружности, порождаемой кинетическим моментом; возникает картина, изображенная на рис. 6 и 7, — число витков нутации возрастает.
Случай II. ——оо < Се/Ае ^ 1. Когда отношение моментов инерции достигает верхней границы указанного промежутка, катящаяся окружность оказывается внутри окружности, обусловленной кинетическим моментом; эта картина изображена на рис. 10. Когда Се = Ае (HQIAe = ср), катящаяся окружность все еще имеет неограниченно большой диаметр и образуется та же спиралеобразная траектория, что и в случае I. Затем, однако, при
СеА —> 0 (моделирующее тело имеет форму тонкой длинной проволоки или система соосных тел не обладает собственным кинетическим моментом) окружности вновь становятся бесконечно большими и ось собственного вращения движется по окружности, описываемой вектором кинетического момента, по мере поворота
вектора внешнего момента. Это свойство обусловлено тем, что невозможно осуществить гироскопическую стабилизацию идеально тонкого вращающегося стержня по отношению к внешнему моменту, как связанному с телом, так и сохраняющему положение в пространстве. В этом случае момент инерции Ае предполагается конечным, а момент & равен нулю 0. Теперь обратимся к движению, при котором величина собственного кинетического момента становится отрицательной и этот кинетический момент возрастает по абсолютной величине. Тогда катящаяся окружность вновь становится меньше окружности, которую описывает вектор кинетического момента, и
Рис. 10. Графическое построение траектории следа оси системы на координатной плоскости при — ОО < Се/А е ^ 1.Рис. 10. Графическое построение траектории следа оси системы на координатной плоскости при — ОО < Се/А е ^ 1.первая окружность катится по вто
Рис. 10. Графическое построение траектории следа оси системы на координатной плоскости при — ОО < Се/А е ^ 1.
Рис. 10. Графическое построение траектории следа оси системы на координатной плоскости при — ОО < Се/А е ^ 1.
рой изнутри нее; при этом возникают пики, показанные на рис. 8. Сравним движение при отрицательной величине кинетического момента с движением при положительной величине этого момента, причем в обоих случаях скорость ср и момент инерции Ае считаются одними и теми же. При этом число витков нутации в первом случае на два больше числа витков нутации, имеющего место во втором случае. Это с очевидностью следует из уравнения (23),
а также из соотношения, определяющего отношение диаметров: RNRr = I 占/而 I-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При помощи линейных уравнений было описано абсолютное движение системы соосных независимо вращающихся тел. При： менение линейного приближения обосновано двумя соображениями: 1) от первичных параметров, описывающих систему, легко перейти к некоторым приведенным параметрам, и рассуждение применимо для исследования системы при любых сочетаниях собственных кинетических моментов, моментов инерции и моментов внешних сил и 2) применительно к космическим аппаратам, состоящим из многих тел, обладающих собственным вращением,——
тел, в разумном приближении являющихся жесткими и обладающих достаточно высокими кинетическими моментами, так что осьч системы отклоняется в неподвижном пространстве только на несколько градусов,——линейное приближение, как правило, отвечает действительности.
Конечно, система соосных тел может вести себя так, как ведет себя одно отдельное твердое тело, находящееся под воздействием неподвижного момента внешних сил, но она может также воспроизводить движение одного тела, на которое действует момент внешних сил, вращающийся около геометрической оси системы со скоростью (по величине и направлению), отличной от скорости собственного вращения. Это свойство, а также полезное понятие «моделирующее тело» можно использовать для выяснения свойств движения систем соосных тел, в которых некоторые тела вращаются в противоположных направлениях,— систем, которые выглядят достаточно сложными.
Эти основные положения указывают на то, что движение оси системы соосных вращающихся тел обладает всеми свойствами эпициклоидального движения, а это в свою очередь позволяет удобно описывать такое движение при помощи очевидных физических параметров на основе графических построений.
Список литературы
Spencer Т. М., Interactions between a pointing control system and the nutational motion of a dual-spin spacecraft, «Symposium on Attitude Stabilization and Control of Dual-Spin Spacecraft», Aerospace Corp., El Segundo, Calif., Aug. 1967.
Landon V. D., Stewart B., Nutational stability of an axisymmetric body containing a rotor, J. Spacecraft and Rockets, 1, № 6, 682—684, Nov.—Dec. (1964).
. McElvain R. J・，Porter W. W., Design considerations for spin axis control of dual-spin spacecraft, «Symposium on Attitude Stabilization and Control of Dual-Spin Spacecraft», Aerospace Corp., El Segundo, Calif., Aug. 1967.
. Simpson J. O., The orbiting solar observatory, «Symposium on Attitude Stabilization and Control of Dual-Spin Spacecraft», Aerospace Corp., El Segundo, Calif., Aug. 1967.
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛОЖЕНИЙ«ЗАХВАТА» СПУТНИКОВТИПА ОРБИТАЛЬНОЙ СОЛНЕЧНОЙ ОБСЕРВАТОРИИ)
А. К・ Сен
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что спутник, стабилизируемый при помощи вращения, подчас оказывается в положении, называемом положением захвата ). Физически это явление возникает из-за нелинейных эффектов механизма рассеяния энергии, обычно присущих космическому аппарату. В настоящее время известно несколько сообщений [1—4 ], касающихся изучения соответствующей задачи при определенном выборе модели устройств, при помощи которых осуществляется рассеяние энергии. По-видимому, самой ранней из таких работ, посвященных рассмотрению указанной задачи применительно к спутнику с двойным вращением, была статья Клутье [3 ]. Одна из любопытных особенностей того процесса захвата, который разобрал Клутье, состоит в следующем: захват данного рода не возникает, когда устройство для рассеяния энергии установлено на основном теле спутника, — теле, полностью лишенном вращательного движения; именно этот случай имеет место для спутников типа орбитальной солнечной обсерватории (ОСО), которые здесь рассматриваются.
В общем случае можно непосредственно решить задачу об избежании захвата, используя определенную систему демпфирования, предложенную недавно автором [5, 6]. Наблюдения показали, что спутник, снабженный такой системой, действительно нисколько не подвержен захвату. Другой подход состоит, по-видимому, в применении демпфера произвольного вида, что может привести к возникновению положений захвата; однако такой демпфер подчас признается пригодным в силу других соображений. Тогда при помощи соответствующих конструктивных приемов появляется возможность осуществить достаточное удаление этих положений от рабочей области в пространстве состояния системы. Конечно, такой подход в общем случае связан с трудностями, но во многих случаях, встречающихся на практике, он оказывается неизбежным.
В данной статье исследуется возможность существования положений захвата для спутника типа ОСО; спутник снабжен в целях стабилизации его углового положения демпфером, представляющим собой систему с одной степенью свободы и состоящим из рабочей массы, пружины и амортизатора. Показано, чго таким спутникам присуще положение захвата; значения переменных состояния в пространстве состояния системы, отвечающие положению захвата, определяются параметрами выбранного демпфирующего устройства. Наконец, приведены численные решения задачи, подтверждающие теоретические рассуждения.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКОВ ТИПА ОСО
Орбитальная солнечная обсерватория спроектирована в виде спутника с двойным вращением. Для стабилизации углового положения этого космического аппарата установлен демпфер
нутации [8] на том из составляющих его тел, которое не участвует во вращательном движении; кожух демпфера скреплен с указанным телом. Как изображено на рис. 1, демпфер выполнен в виде устройства, состоящего из рабочей массы, пружины и амортизатора. Будем исходить из условия о том, что скорость вращения
спутника ОСО по отношению к инерциальному пространству поддерживается равной нулю (со3 = 0) на протяжении времени его службы. Это достигается при помощи соответствующей системы автоматической стабилизации. Предполагается, что моменты внешних сил, действующих на спутник, равны нулю. Тогда уравнения движения спутника с двойным вращением, схематически изображенного на рис. 1, можно записать в следующем виде [9]:
(1 + mz//r)近 + Ji% + (2m/Zr) zz^x —(加〃厶)z^y = 0,(1)
(1 + tnz /У?)①у — Azo力 + (2ш//р) zz8y —
⑵(3)⑷⑵(3)⑷—(mb/1^ £ + (mb/IT) zco? = 0,/血一2mbz^x — mbzSx = 0,mz + Cz + m①殳一m (①：+ ①力 z - mb^y = 0,где
⑵(3)⑷
⑵(3)⑷
(5)⑹(5)⑹九=/rQ〃t，(0л = KJm.
(5)⑹
(5)⑹
Здесь приняты следующие обозначения 】)：
/г —— экваториальный момент инерции всего спутника;
Ir — момент инерции маховика относительно оси его собственного вр агцен и я;
Q — собственная угловая скорость маховика;
со*, бу — проекции вектора угловой скорости спутника на его боковые оси 2);
т — масса демпфера;
匕——расстояние от демпфера до оси собственного вращения;
С ——постоянная скорости демпфирования демпфера;
К — постоянная пружины демпфера;
г — перемещение массы демпфера.
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Приведенные уравнения представляют собой систему точных уравнений движения рассматриваемого спутника с двойным вращением. Так как эти уравнения существенно нелинейные, имеется возможность существования нескольких равновесных состояний, отличных от требуемого. Поэтому существует вероятность того, что спутник, начавший угловое движение из некоторого исходного состояния, в конечном счете окажется захваченным одним из упомянутых равновесных состояний.
В идеальном случае требуемое состояние космического аппарата определяется следующим, условием: имеет место состояние
чистого вращения около желаемой оси спутника. На практике требование об осуществлении чистого собственного вращения обычно ослабляют в зависимости от конкретного назначения полета.
Для рассматриваемого спутника с двойным вращением требуемое состояние является равновесным, в котором
Q = const, <ох = со^ = 0, z = 0.(7)
Устойчивость этого равновесного состояния исследовал Лайкине [9] в более общем случае, когда со3 丰 0. Его исследование основано на линеаризации нелинейных уравнений движения по отношению к указанному равновесному состоянию; после этого исследование устойчивости выполнялось путем применения критерия Рауса——Гурвица к полученным линеаризованным уравнениям. Ясно, что этот прием имеет очень ограниченное значение, так как из него не вытекает, будет ли требуемое равновесное состояние устойчивым в большом. Для подтверждения устойчивости в большом нужно затем показать на основании исходной системы нелинейных уравнений, что у аппарата нет положений захвата.
Исследование положения захвата
Большинство машинных решений, выполнявшихся для изучения вращательного движения спутника при больших углах отклонения, осуществлялось при нулевом начальном значении % координаты рабочей массы демпфера, отсчитываемой от главной оси аппарата. Однако в действительных условиях работы спутника параметр 入 может принимать любое значение в зависимости от того, в какой момент времени на спутник подействовал внешний возмущающий момент. С другой стороны, при достижении равновесного состояния координата z не обязательно будет нулем 】) По этим причинам можно считать, что рассматриваемому спутнику присуще положение захвата, определяемое следующими условиями равновесия:
%/①％е = mbz』I т、
=成+①院(
где со〃 — собственная частота рассматриваемого демпфирующего устройства ).
Как обычно, устойчивость данного решения можно исследовать, линеаризуя сначала уравнения (1)——(4) относительно указанного решения и применяя затем к линеаризованным уравнениям критерий Рауса——Гурвица. Линеаризуя уравнения (1)——
(4), получаем
kx! — \iyex + р/4 “ + 2рш/ — 8xet/gU = 0,(9)
[ixex + ky' — pxeu —团"+ 2[iyevf + &X 須=0,(10)
—財 + p〃‘ 一 23M =0,(11)
—2цхех— by' — 2卩^也 + 3。" + 眦=0.(12)
Здесь зависимые переменные суть малые отклонения от исследуемого равновесного состояния; эти переменные приведены к безразмерному виду при помощи преобразований
% = 3%/Q, у = ЗуЮе、и =◎/&, и = z/b.
Штрих в указанных уравнениях означает дифференцирование по безразмерному времени т = Q&厶 а новые постоянные определяются следующим образом:
6 = mb2/ITt 卩 = mbze/IT, р =
0 = 620/(4&),々 = 1 +等，(14)
На основании уравнений (9)——(12) можно получить следующее характеристическое уравнение:
p启3 {6但一6)s2 + 邮s + [4产做 + 达)-w廟)=0.(15)
Очевидно, что характеристическое уравнение имеет пять корней, причем один из них кратный; он находится в начале координат на комплексной плоскости переменного s. Кратный корень в начале координат указывает на то, что переменная и, связанная с координатой z массы демпфера, в установившемся состоянии стремятся к некоторому постоянному значению. Отсюда нетрудно заключить, что асимптотическое изменение углового положения спутника определяется только оставшимися двумя корнями, соответствующими квадратичному сомножителю левой части характеристического уравнения. Таким образом, задача о нахождении необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости рассматриваемого положения захвата приводится к задаче об определении условия положительности коэффициентов соответствующего квадратного уравнения. Заметим, что
2 Заказ 530
в отношении первых двух коэффициентов, а именно 6 (й — 6) и ^р, это условие заведомо выполняется 】).Тогда искомое условие устойчивости принимает вид
4d 5 +第)一&2 染 >о.(16)
Возвращаясь к исходным параметрам спутника и демпфера, перепишем это условие в следующем виде:
4 戏唠一Ь2%〉0.(17)
Мы предположили, что имеет место равновесное состояние, определяемое условиями (8). Из выполненного исследования вытекает, что устойчивость этого состояния зависит от значения координаты 马；в свою очередь указанное значение будет определяться сложившимся начальным значением z0. При %》b условие устойчивости (17), по всей вероятности, удовлетворяется, тогда как при z«《b устойчивость может не иметь места. Можно вывести определяющее соотношение между параметрами %« и %, для чего следует рассмотреть однородное дифференциальное уравнение, вытекающее из уравнения (4):
г + 2^о)о2 + з£ = 0;(18)
здесь
喘=唠一隔 3?=喲+呜 и
2^3° = C/m,
где 3f ——полная боковая составляющая угловой скорости спутника.
Пусть параметр 乙 принимает большое значение (это свойство имеет место, когда угловое движение спутника происходит в близ- кдй окрестности рассматриваемого равновесного состояния). Тогда уравнение (18) допускает следующее приближенное решение:
2 〜Zo^xp、Iexp I — с I •
Пусть при некотором начальном значении со/о скорости g последняя приближается к величине <о〃(з〃=/К/т) быстрее, чем убывает или возрастает переменная z; тогда можно видеть из соотношения (19), что координата z будет стремиться к постоянной величине %, соответствующей равновесному состоянию, определяемому уравнениями (8). Таким образом, возможно положение захвата спутника, отвечающее некоторой угловой скорости з〃 спутника в движении около боковой оси. Признаком существо-
1)尼一3〉0, так как заведомо 1Т » 加户,а /「+ ш^ >>т1^ и подавно.— Прим, перев.
вания такого положения захвата служит существование некоторого постоянного значения % координаты г в установившемся движении —значения, отличного от величины %.
На основании изложенной теории можно высказать следующие замечания о поведении спутника.
При до <з〃 из вида переходного движения по координате z следует, что координата г массы демпфера будет убывать со временем от ее начального значения г0 вплоть до достижения постоянной величины ге, отвечающей равновесному состоянию (3/ = з〃), определяемому уравнениями (8). Пусть это равновесное значение координаты г мало настолько, что неравенство (17) не соблюдается. Тогда очевидно, что положение захвата, соответствующее равновесному состоянию, физически не будет осуществляться; в этом случае спутник в конечном счете придет в состояние, отвечающее условиям (7). Тем самым состояние вращения спутника будет устойчивым.
При до >з〃 переходное движение по координате г обладает тем свойством, что эта координата будет скорее возрастать, начиная с ее исходного значения、z(), чем убывать. Поэтому вероятно, что координата г примет достаточно большое значение 备 при достижении положения захвата (з» = з〃)， так что критерий устойчивости, выражаемый неравенством (17), будет всегда удовлетворен. Поэтому при принятом допущении д。> з〃 очевидно, что положение захвата может иметь место даже и при малом значении величины %.
ЧИСЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ
При помощи подходящей программы моделирования динамики движения на машине IBM-360, имеющейся в центре космических полетов NASA имени Годдарда,-[было проведено численное решение задачи. Было выполйено численное интегрирование нелинейных уравнений (1)—(4) движения при следующих значениях параметров спутника и демпфера:厶 =24,4 слаг-фут2 (3,34 кг-м2); 1Т = 17,7 слаг-фут2 (2,42 кг-м2); т = 0,26 слаг (0,388 кг); b = =0,538 фут (0,164 м); С = 0,022 фунт/фут/с (0,324 Н/м/с); К = =0,439 фунт/фут (6,38 Н/м).
Результаты вычислений приведены на рис. 2—4. Начальные значения для каждого решения тоже указаны на рисунках. Как следует из этих рисунков, при со%； < з〃 положение захвата наступает, когда начальное значение % координаты массы демпфера превосходит некоторое критическое значение, лежащее между 1,2 и 2,4 м; в то же время при coz 0 > со^ положение захвата возникает даже в том случае, если величина г0 меньше этого критического значения. Оказалось, что численное решение отчетливо согласуется с теоретическими замечаниями, сделанными в предыдущем разделе. Отметим, что движение спутника в поло-
Рис. 2. Переходное движение при coz 0 <со,г, указывающее на устойчивость углового положения спутника.
Начальные условия: со = 0, со%。= 1,0 рад/с, z。= 4 фут (1,22 м), zQ = 0,& = 3,14 рад/с
Рис. 3. Переходное движение при 电。< з〃，указывающее на существование положения захвата.
Начальные условия;.со 0 = 0, со*° = 1,0 рад/с, zQ = 8 фут (2,44 м), £° = 0, R = 3,14 рад<с.
жениях захвата, отвечающих рис. 3 и 4, не приводится к простой нутации. Однако угол нутации, соответствующий осредненному движению, можйо подсчитать следующим образом.
Как вытекает из исследования, проведенного в предыдущем разделе, положения захвата возникают при (со，* = з〃, где
Рис. 4. Переходное движение при со/ 0 > со〃，указывающее на существование положения захвата.
Начальные условия см под рис 2.
звездочка указывает на значение соответствующей переменной по окончании переходного движения, а параметр (ап определяется выражением
з〃 = (К/m)"? = 1,30 рад/с.(20)
По предположению, внешние моменты отсутствуют; поэтому кинетический момент НТ всей системы остается неизменным и, следовательно,
1М^[Н^-(1ТУЧ^^(21)
где
阴=/2 ОСО/О + /rQ8, 〃о = /т + m稀，(厶)* = // + m⑵*2.
Далее замечая, что со/о = 1,0 рад/с, Qo = 3,14 рад/с, % = =2,4 м, (д)* = 130 рад/с и ⑶* = 1,37 м, получаем на основании соотношения (21):
Jr (Q)* =78,5 слаг - фут2 - рад/с (10,7 кг -м2 - рад/с). (22)
Подставляя это значение в выражение, определяющее угол нутации 0, находим
0 = arc tg [/孤；//穴(Q)*] = 20,8°.(23)
Из числового решения, указанного на рис. 3, следует, что при /—> оо значение угла 0 составляет около 16,6°, что с некоторым приближением согласуется со значением, подсчитанным выше.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе изучена возможность существования положения захвата для спутника типа ОСО, снабженного демпфером нутации-; демпфер представляет собой систему с одной степенью свободы, состоящую из рабочей массы, пружины и амортизатора. Демпфер служит для стабилизации углового положения спутника. Показано, что у спутника существует положение захвата, соответствующее угловой скорости з% вокруг боковой оси, где з〃 —— собственная частота используемой системы демпфирования. В частности, указано, что при со/о < з〃，где % — принятое начальное значение боковой составляющей угловой скорости спутника, положение захвата возникает при начальном значении координаты % массы демпфера, превосходящем некоторую критическую величину; с другой стороны, при со/。 >з〃 положение захвата образуется при любом ненулевом значении z0.
Список литературы
Hazeltine W. R., Passive damping of wobbling satellites. General stability theory and example, J. Aerospace Sci., 29, 543—549 (May 1962). ”
Auelmann R. R., Lane P. T., Design and analysis of ball-in-tube nutation dampers, in «Proc. Symp. Attitude Stabilization and Control of Dual-Spin Spacecraft», Aug. 1—2, 1967; см. также Aerospace Corporation, El Segundo, Calif., Rep. TR-0158 (3307-01)-16, Nov. 1967, p. 81—90.
Cloutier G. J., Stable rotation states of dual-spin spacecraft, J. Spacecraft and Rockets, 5, 490—492 (Apr. 1968).
Likins P. W., Tseng G. T., Mingori D. L., Stable limit cycles due to nonlinear damping in dual-spin spacecraft, presented at the AAS/AIAA Astrodynamics Conf., Santa' Barbara, Calif., AIAA Paper 70-1004, Aug. 1970.
Sen A. K・，A nutation damper for a dual-spin spacecraft, IEEE Trans. Aerospace Electron- Syst., AES-6, 764—769 (Nov. 1970).
Sen A. K・，Stability for a dual-spin satellite with a four-mass nutation damper, AIAA Journal, 8, 822—823 (Apr, 1970); русский перевод: Сен, Ракетная техника и космонавтика, № 4, 284 (1970).
Sen А. К・，On the determination of global asymptotic stability of spinning space vehicles (не опубликовано).
Spencer T. M., Cantilevered-mass nutation damper for a dual-spin spacecraft, in «Proc. Symp. Attitude Stabilization and Control of Dual-Spin Spacecraft», Aug. 1—2, 1967; см. также Aerospace Corp., El Segundo, Calif., Rep. TR-0158 (3307-01)-16, Nov. 1967, p. 91—109.
Likins P. W., Attitude stability for dyal-spin spacecraft, J. Spacecr. and Rochets, 4, 1638—1643 (Dec. 1967).
О КАЧАНИИ ОСИ КРЕПЛЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХТЕЛ СПУТНИКА С ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ х)
Дж. Мак-Интайр, М. Джанелли
ОБОЗНАЧЕНИЯ
I]——матрица инерции маховика в его центральных осях;
12 — матрица инерции корпуса в его центральных осях; Q ——скорость вращения маховика по отношению к корпусу;
「1 — радиус-вектор центра масс маховика относительно центра масс всей системы;
г2 — радиус-вектор центра масс корпуса относительно центра масс всей системы;
т】，团2 — массы маховика и корпуса соответственно;
п ——единичный вектор оси крепления;
г = г 2—г 1；
т ——приведенная масса, равная т^^^т^ + т^\
е ——смещение центра масс маховика в направлении, перпендикулярном оси крепления;
exl, £“i ——составляющие вектора е в системе осей, связанной с маховиком;
6 — отклонение главной оси маховика от оси крепления;
6Х1, В%?——составляющие вектора в системе осей, связанной с маховиком;
z()— расстояние от центра масс маховика до центра масс корпуса, измеренное в направлении оси крепления;
h — вектор кинетического момента системы;
c)i ——мгновенная угловая скорость маховика;
со? — мгновенная угловая скорость корпуса;
С2 — осевой момент инерции осесимметричного корпуса;
13 =团(Г・Г—ГГ「)2；
J = L 十 k +【3— ^2ПП?)；
l) McIntyre J. E., Gianelli M. J., Bearing axis wobble for a dual spin vehicle, Journal of Spacecraft and Rockets, 8, № 9, 945—951 (Sept. 1971).
2)В произведениях nnr и ггг каждый из векторов-сомножителей рассматривается как матрица; п — матрица-столбец, пг — матрица-строка, ппг—симметричная матрица (3X3), — Прим, перев.
С\ — момент инерции маховика относительно оси его собственного вращения;
& — момент инерции маховика относительно его боковой центральной оси;
Л 2 — момент инерции корпуса относительно боковой центральной оси;
Ixlzl = (С\ — / J 3“1 — тех1г0 центробежные моменты
инерции маховика в цен-
/yizi = (%i — Ci) 3%i — mjiZo тральной системе осей;
0 ——вектор поворота, определяющий ориентацию век
тора h по отношению к оси крепления;
r Ai + А2 + mz^ в случае осесимметричного корпуса,
%1 + (厶2%2 + ^ чу г)/2 в случае несимме!рич-
А4А4~ (/% 2Х 2 — IJ 2g 2)/2；~ (/% 2Х 2 — IJ 2g 2)/2；、ного корпуса;
А4
А4
~ (/% 2Х 2 — IJ 2g 2)/2；
~ (/% 2Х 2 — IJ 2g 2)/2；
г0 ——радиус-вектор точки пересечения оси крепления с центральной плоскостью маховика относительно центра масс корпуса;
4 = Ь + m (го • Го — Го Го) = I。
(р -— С;
с(р, s(p —— соответственно cos 屮，sin 屮；
I 4 — & |mm к min [ I』+ А/ — C J、IЛ 一 А4 — & | ]；
Е — математическое ожидание;
0 ——вектор поворота, определяющий угловой перекос оси крепления по отношению к оси шпинделя балансировочной машины;
6%, бу — составляющие вектора 0 в плоскости, перпен
дикулярной оси шпинделя;
а ——вектор, проведенный от оси шпинделя к оси крепления в плоскости уравновешивания балансировочной машины;
I ——расстояние от плоскости уравновешивания до центра масс маховика.
ВВЕДЕНИЕ
На протяжении нескольких последних лет появились многочисленные статьи и отчеты, посвященные задаче об устойчивости спутников с двойным вращением и об управлении такими спутниками [1——5]. Наряду с этим возникла область задач, в равной степени важных для обеспечения требуемых свойств движения
спутников,——задач об изучении качания оси крепления/ Хотя существо этих задач общеизвестно, в литературе по динамике полета соответствующие вопросы еще не нашли отражения. В настоящей статье ставится цель добиться частичного продвижения в указанной области.
Спутник с двойным вращением состоит из двух почти жестких тел, соединенных при помощи подшипников, допускающих относительное вращательное движение с одной степенью свободы. Одно из этих тел — маховик — приведено в быстрое вращение для осуществления гироскопической стабилизации аппарата. Второе тело, называемое корпусом, практически лишено вращательного движения; это делается для того, чтобы обеспечить стабилизацию приборов, несомых корпусом (антенны, фотоприборы и т. д.) в неподвижном пространстве. К таким космическим аппа< ратам относятся спутники «Таксат», «Интелсат-IV» и семейство орбитальных солнечных обсерваторий.
При проектировании спутника стремятся разместить различные составные части маховика так, чтобы распределение его масс обладало очень хорошей степенью симметрии относительно оси крепления. До запуска спутника производят тщательную балансировку маховика так, чтобы его центр масс лежал на оси крепления и чтобы эта ось была главной осью инерции. Когда ось крепления обладает указанными свойствами, а корпус не вращается около этой оси, движение спутника приводится к установившемуся вращению около оси крепления; прй этом линия действия скорости собственного вращения, ось крепления и линия действия вектора кинетического момента совпадают.
Из-за погрешностей, допущенных npli установке подшипников и при балансировке маховика, центр масс、маховика не лежит на оси крепления; ось крепления уже не будет главной осью маховика. Поэтому равновесное состояние собственного вращения, описанное выше, не будет иметь места. Вместо этого ось крепления будет описывать конус вокруг вектора кинетического момента. Такое коническое движение называют качанием. Углом качания 0 называется угол между осью крепления и вектором кинетического момента.
Движение качания легче всего представить себе при помощи одного вращающегося тела. В этом случае спутник проектируется так, что учитывается его быстрое вращение около некоторой оси (геометрической оси); последнюю ось делают осью наибольшего осевого момента инерции. Однако из-за погрешностей балансировки ось, которой отвечает наибольший момент инерции, окажется отклоненной от геометрической оси на некоторый малый угол. В равновесном состояний спутник вращается вокруг оси, соответствующей наибольшему моменту инерции, причем векторы собственной угловой скорости и кинетического момента направлены вдоль общей прямой. Поэтому геометрическая ось совершает
коническое движение со скоростью собственного вращения вокруг вектора кинетического момента, сохраняя постоянный угол по отношению к этому вектору.
Для спутника с двойным вращением качание оси крепления, обусловленное неуравновешенностью маховика, в большой t степени напоминает качание оси спутника, выполненного как единое тело, т. е. основное движение представляет собой коническое движение оси крепления вокруг вектора h со скоростью собственного вращения маховика. Однако в зависимости от геометрии масс корпуса могут возникнуть некоторые отклонения амплитуды и частоты качания. В последующих разделах выведено аналитическое выражение угла качания в зависимости от параметров неуравновешенности маховика. Найдены также границы среднеквадратичной величины и дисперсии угла качания в зависимости от статистических свойств процесса балансировки.
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГОКОРПУСА
В отличие от движения одиночного вращающегося тела движение аппарата с двойным вращением в общем случае не допускает
аналитического решения; аналитическое решение имеет место, лишь когда одно из тел обладает симметричным распределением масс относительно оси крепления. В данном разделе вводится допущение о том, что распределение масс в корпусе обладает осевой симметрией. При этом допущении будет прлучено описание движения качания. В следующем разделе требования к симметрии ослабляются: для угла качания находится приближенное выра
жение, пригодное в предположении, что этот угол мал.
. Для последующих рассуждений введем две системы декартовых координат: х1ylz1 и %2^2%2・ Начала обеих систем совпадают с центром масс всего аппарата, оси 2 обеих систем параллельны оси крепления. Система x1y1z1 связана с маховиком, система х2у2^2 — с корпусом. В настоящем разделе используется только
первая из них.
Рассмотрим схему спутника с двойным вращением, изображенную на рис. 1; для наглядности угол искажения на этом рисунке показан преувеличенно большим. Корпус симметричен относительно оси крепления. Центр же масс маховика и его главная ось смещены по отношению к оси крепления. Обозначим через 0)! угловую скорость вращения маховика. Кинетический
момент системы определяется выражением
(1)(1)L% + k(Qi — Qn) + шг X Г•
(1)
(1)
Примем, что корпус практически не вращается; аналитически
это условие выражается равенством
G)i・n —С = 0・(2)
С другой стороны, вектор п ——собственный вектор матрицы инерции 12 (т. е. ось крепления есть ось симметрии корпуса). Следовательно,
12n =e2п，(3)
где С2 —— осевой момент инерции корпуса. Кроме того, в сйлу симметрии корпуса
Г = G)i X Г.
Отсюда следует, что
mr х r = m(r-r — rrr)^ =卜必厂(4)
Подставляя (2)——(4) в уравнение (1), получаем следующее выражение для кинетического момента:
h = Jo)i, J L + 12 + 1з — С2^чг»(5)
Рис. 1. Геометрическая схема спутника и система координат.
а — схема расположения неуравновешенного маховика, б — система координат.
/ — корпус, 2 — маховик; 3 — ось крепления, 4 — главная ось маховика, 5 — це нтр масс корпуса; 6 — центр масс спутника; 7 — центр масс маховика “
Предположим, что момент внешних сил равен нулю. Тогда скорость изменения вектора h в системе координат x^jj-^z^ связанной с маховиком, определяется уравнением
dh/dt + g)i х h = 0 =〉J dsi/df + g)i X Jo)i = 0. (6)
Но уравнение (6) в точности совпадает с уравнением движения одиночного вращающегося тела. Оно имеет хорошо известное решение, отвечающее равновесному состоянию, определяемому чистым вращением вокруг одной из главных осей, соответствующей матрице J. Таким образом, в равновесном состоянии си-
стема вращается около оси, сохраняющей неизменное направление как по отношению к маховику, так ц в инерциальном пространстве (эти свойства соблюдаются благодаря постоянству вектора h). Но центр масс маховика смещен относительно оси крепления, которая не совпадает с его главной осью; мерой этих отклонений служат параметры е и 3, показанные на рис. 1. Поэтому главная ось спутника не совпадает с осью крепления. Из-за этого ось крепления будет совершать коническое движение вокруг оси вращения спутника со скоростью вращения маховика; при этом угол между осями остается постоянным. Таким образом, движение качания составного спутника в точности воспроизводит соответствующее движение одиночного вращающегося аппарата.
Легко оценить угол качания. Так как ось вращения спутника есть главная ось, соответствующая матрице J, нужно лишь определить вращение системы координат, в которой матрица становится диагональной. Тогда угол поворота этой системы и есть амплитуда качания. Ниже находится приближенное выражение матрицы J в предположении малости параметров е и 6. Следовательно, искомое выражение, описывающее качание, будет также приближенным и пригодным лишь при соответственно малых величинах е и 6. Однако это допущение соблюдается с очень высокой точностью, если балансировка маховика выполнена достаточно тщательно.
Для нахождения матрицы J выпишем матрицу инерции корпуса:
О 0\
4 0 .⑺
О cj
Отсюда следует, что
М2 о к — ^2ПпГ I。4 \ о оМ2 о к — ^2ПпГ I。4 \ о о
М2 о к — ^2ПпГ I。4 \ о о
М2 о к — ^2ПпГ I。4 \ о о
матрица инерции послед-матрица инерции послед-(А. О(к)главн = ( °4\ ОО(А. О(к)главн = ( °4\ ООВ системе главных осей для маховика него имеет вид
матрица инерции послед-
матрица инерции послед-
(А. О
(к)главн = ( °4
\ ОО
(А. О
(к)главн = ( °4
\ ОО
(8)
и главная ось отклонена от оси крепления на некоторый малый угол 6, заданный матрицей направляющих косинусов
(9)(9)6 = (6* i, 6〃 1, °)、
(9)
(9)
В первом приближении матрица инерции маховика в системе осей 工也鱼 принимает вид
(& — 4)6“—(& — 4)6%]c, J(& — 4)6“—(& — 4)6%]c, J(10)(10)4О
(& — 4)6“
—(& — 4)6%]
c, J
(& — 4)6“
—(& — 4)6%]
c, J
(10)
(10)
О4
(&—4) 6〃 — (&—4)sxl
Наконец, зададим матрицу е, определяющую смещение центра масс маховика:
(11)(11)£ к {% i，% 1,。)'・
(11)
(11)
Тогда радиус-вектор г центра масс маховика относительно центра масс корпуса определяется матрицей
(12)(12)(4),(13)(4),(13)Г =(8%1, £心 ^о)Г,
(12)
(12)
(4),
(13)
(4),
(13)
В первом приближении матрица 13, входящая в уравнение примет вид
z； — %i^o I
-% 问0 /
С учетом всех выписанных выражений получим матрицу инерции J:
/ Л 0 厶川
J = ( €) A /glzl(14)
\hizl /glzl & /
где
Л = А + Л2 + ^^о，(15а)
厶12 1 = (& 一 4)6g1 —加% 1%,(156)
/glzl = (4 — &)6%i —加％ 昧.(15в)
Чтобы привести матрицу J к диагональному виду, введем вектор малого поворота 0, составляющие которого определяются матрицей
О = (8* 1, % 1» О)，.
Выполняя простые вычисления, находим условия диагонализации матрицы J:
仇 1 = /д lz 1/(4 — &)； By 1 = — Л 12 1/(4 — &)•
Отсюда амплитуда качания определяется в виде
8 =(展 1 + 爲 1严=亿 iz 1 + /； 1Z 1产 14 — Cl I，(16)
где Ix hi и I八 g* — центробежные моменты инерции маховика в центральной системе осей.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМРАСПРЕДЕЛЕНИИ МАСС КОРПУСА
Когда корпус обладает осевой симметрией, качание состоит в коническом движении оси крепления вокруг оси вращения спутника со скоростью этого вращения и постоянной амплитудой. Это
Рис. 2. Схема, определяющая вектор г0.Рис. 2. Схема, определяющая вектор г0./ — центр масс корпуса, 2 — центр масс маховика/ — центр масс корпуса, 2 — центр масс маховикаописание точное; однако в предшествующем разделе при подсчете амплитуды качания было введено предположение о ма力ости параметров 6 и е. В настоящем разделе это предположение сохраняется с целью получения приближенного описания качания при произвольном распределении масс корпуса.
Рис. 2. Схема, определяющая вектор г0.
Рис. 2. Схема, определяющая вектор г0.
/ — центр масс корпуса, 2 — центр масс маховика
/ — центр масс корпуса, 2 — центр масс маховика
Обозначим через(о2 мгновенную угловую скорость корпуса. Выпишем выражение вектора кинетического момента всей системы:
h = L (со? + Qn) + I2(o2 + ^r X г. (17) Введем радиус-вектор г центра масс маховика по отношению к центру масс корпуса. Запишем этот вектор в следующем виде:
Г = Г。+ £.
Здесь е — уклонение центра масс маховика от оси, г0 ——радиус-вектор, проведенный
от центра масс корпуса в точку пересечения оси крепления с горизонтальной плоскостью, содержащей центр масс маховика. Соответствующая геометрическая схема изображена на рис. 2. Таким образом,
тг х г = mr0 х r0 + mr0 х А + 加е х i^ + me х 良
где.
「о = о)2 X「о，(18а)
£ =(吗 + Rn) х £・(186)
Следовательно, уравнение (17) принимает вид
h = h (о)2 + Qn) + 厶會 + /п (r0 + е) X [(吗 + Qn) X е] +
+ 加£ X (吗 X г0),
где
I4== I2 + m (го-Го— гого).
(19)(19)(20)(20)Если параметры отклонения маховика суть нули, то маховик будет вращаться вокруг оси крепления, а корпус не будет вра-
(19)
(19)
(20)
(20)
щаться. Следовательно, при малых параметрах е и 3 скорость о)2 корпуса будет также малой, и разумной степенью приближения будет пренебрежение второй и более высокими степенями. Следовательно, ограничимся учетом членов первого порядка по отношению к величинам(о2 и е; тогда уравнение (19) примет вид
h = L (о)2 + Qn) + I4g)2 + 加г。X (Rn X e).(21)
Будем решать это уравнение, проектируя все его члены на оси системы x2y2z2.
Условие о том, что корпус не обладает вращательным движением, требует равенства нулю составляющей вектора (о2 по оси z. Поэтому матрица, соответствующая вектору <о2, имеет вид
^2 ===(①* 2> ①Р 2> °)'・(22)
Выберем направления осей х2 и у? так, чтобы матрица инерции 14 приняла вид
(
'% 驻 20'% 2Z 2、
。‘4 恥 2 /д 22 2 ) •(23)
'% 法 2 у 22 2 'z 2Z 2/
Выражение матрицы инерции маховика I】в осях, с ним связанных, задано соотношением (10). Заметим, что система осей, связанная с корпусом, совмещается с системой осей, связанной с маховиком, при помощи поворота, определяемого преобразованием
Тогда в осях, связанных с корпусом, матрица инерции маховика Il имее! следующее выражение:
4。(&—』i)，iC(p—\
—(& — &) 3%iS(p \
。4(& — 4)5giS(p+ I
+(4—Cj) 6xlc(p I *
(& — А) б^1Сф— (& — 4)3is(p+&/
—(A—&) 6% /屮十(& — &)6А кт/
(25)
Наконец, обозначим через х0, yQ и z。координаты конца вектора г0. Используя уравнения (21)——(25), находим выражение вектора h в первом приближении
(4 + 厶 2% J s* 2 + 厶—iCccp — /”2 i^s(p
И1 + ^^ 2^ 2)^ 2 + ^х 12 lQs(P + /д 12 1^Сф&Q + ‘2 2Z г^Х 2 + 4 22 2°^ 2+ 他Q【払)(S屮恥 1 + Сф8^ 1) ++ %(с(р%1 —S(P%1)]
Здесь Ixizi и 1у1г1 — центробежные моменты инерции в центральной системе осей, в которой подсчитаны моменты инерции (15).
Из теоремы о кинетическом моменте системы
dh/dt -]- о)2 х h = О
вытекает решение (установившееся) первого приближения:
(9*2 ={(』+ & + А4)/& — (4 _ АД)]} Q (С* 121 — S(p(izi), s/ = {(4 + Ci —ДД)/[С1 ■— (Л2 — АД2)]} Q (s(p/% izi + c(p/y izi)・ ‘27)
Через А обозначено среднеарифметическое значение момента инерции спутника относительно боковой оси
А = A1Jr^(<IX2x^~^ Iyiy^t(28)
а через АЛ — среднеарифметическое разности между боковыми моментами инерции:
А4 = 3 亿 22 2 —厶 2P 2)-(29)
Заметим, что величина Л [см. (28)] приводится к ее выражению (15), когда корпус обладает осевой симметрией.
Введем малый вектор 0, служащий мерой углового расхождения между вектором h и осью z? (осью крепления):
Тогда в первом приближении
В силу уравнений (31) и (27) получаем
0x2 = {(』+ G — ДД)/[С1 —(Л2 — А力В]} (s屮，％izi + ccp/yizi), ，° о(32)
%2 = {(Л + G — ДЛ)/[С1 — (4 — АД-)]} (с(р/汇izi —s(p/» & i)・
В частном случае, когда А4 есть нуль, выражение для амплитуды качания принимает следующий вид:
6 =(磴 2 + 筋 2严=(Л izi + /；必严/М —G|.(33)
Отсюда следует, что угол качания остается постоянным. Из преобразования (24) вытекает, что направление оси, вокруг которой происходит качание, остается неизменным по отношению к системе координат, связанной с маховиком. Следовательно, ось крепления совершает коническое движение вокруг вектора h со скоростью собственного вращения маховика. Хотя здесь вновь получен вывод, найденный ранее на основании уравнения (16) для случая осесимметричного корпуса, область его применимости не ограничивается те-
перь случаем осесимметричного корпуса. Например, если разность ДД есть нуль и соблюдается равенство (33), распределение масс в корпусе может быть произвольным с тем лишь
3 23 2Рис. 3. Траектория качания для наблюдателя, находящегося на положительном конце век-Рис. 3. Траектория качания для наблюдателя, находящегося на положительном конце век-тора h с началом в точке О. / — траектория некоторой точки оси крепления, 2 — след оси крепления на плоскости рисунка, 3 — корпус (вид сверху)тора h с началом в точке О. / — траектория некоторой точки оси крепления, 2 — след оси крепления на плоскости рисунка, 3 — корпус (вид сверху)ограничением, что моменты инерции /л2Х2 и /^2^2, входящие в матрицу (23), равны. На рис. 3 показано соответствующее движение качания (вид с положительного конца вектора h).
3 2
3 2
Рис. 3. Траектория качания для наблюдателя, находящегося на положительном конце век-
Рис. 3. Траектория качания для наблюдателя, находящегося на положительном конце век-
тора h с началом в точке О. / — траектория некоторой точки оси крепления, 2 — след оси крепления на плоскости рисунка, 3 — корпус (вид сверху)
тора h с началом в точке О. / — траектория некоторой точки оси крепления, 2 — след оси крепления на плоскости рисунка, 3 — корпус (вид сверху)
Еслй разность АД отлична от нуля, ось качания в ее коничес
ком движении заметает некоторый эллипс вокруг вектора h;
этот эллипс определяется уравнением
% 2
&十 4 十/ 2~丄 2 •、+
(34)(34)+ / С1 + Л — ^А у / 2 I ,2\
(34)
(34)
Так как разность АЛ мала по сравнению с величиной Сг + Д, величину 0 можно приближенно описать выражением
е =破 2 + 第 2)1/2 q
q (Aizi + /^ ы)1/2/| Л — Ci I [1 —A4/(4 + Ci) sin (2屮一у)], (35)
12 1Z 1
Отметим, что в последнем выражении содержится периодическая составляющая на удвоенной частоте скорости собственного вращения.
В случае когда АЛ # 0, целесообразно дать некоторую оценку промежутка, в котором должна заключаться амплитуда угла 9. Из уравнения (34) следует, что
8 W % =(备z 1 + /^ lz 1)1/2/| Ло - G |тз(36)
где величина | Л 0 — Cr |mln определяется выражением
I / о — & |mln = min [| A + АД — С J 14 — А/ — & | ]. (37)
Иными словами, данный промежуток подсчитан, исходя из значений моментов инерции относительно боковых осей (или / + + АД, или А — АД), при которых разность между соответствующими осевыми моментами инерции наименьшая. Хотя этот промежуток далеко не узкий, выражение, его определяющее, обладает гем достоинством, что оно напоминает по виду точное выражение (33) амплитуды для случая АД = 0.
Как отмечено выше, качание возникает под влиянием остаточной неуравновешенности, обусловленной несовершенством процесса балансировки маховика относительно оси крепления. Мерой остаточной неуравновешенности служат центробежные моменты инерции маховика, определяемые двумя последними выражениями в (15). Обычно в выражениях центробежных моментов инерции рассматривают порознь две составляющие таких моментов: одна из них, возникающая из-за перекоса оси маховика, характеризуемого вектором 6, определяет динамическую неуравновешенность; другая, обусловленная смещением центра масс маховика, характеризуемым вектором е, определяет статическую неуравновешенность. Такое разделение погрешностей балансировки заимствовано из практики работы с одиночным вращающимся телом; в этом случае качание возникает как непосредственное следствие ошибок, допущенных при статическом и динамическом уравновешивании. Как будет вскоре показано, на качание спутника с двойным вращением влияют, помимо ошибок в уравновешива- нни? также и другие обстоятельства,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РАЗМАХА КАЧАНИЯ
Чтобы ограничить угол качания некоторой малой величиной, необходима особая тщательность при балансировке маховика и при совмещении оси крепления с главной осью маховика. Обзор некоторых методов, применяемых в балансировке аэрокосмических систем, выполнен в статье [6]. Типичные источники ошибок и методы устранения последних рассмотрены в работах [ 7, 8]. Первостепенное значение для исследователей имеют математическое ожидание и дисперсия амплитуды качания или ее границы. Эти вероятностные характеристики оценивают следующим образом.
Обращаясь к выражению (36), определяющему границы изменения амплитуды качания, находйм
Е 也} = (1/| Ao —Cl |min) Е % izi + 4121}1/2,(38)
где Е ——символ математического ожидания. В общем случае величина математического ожидания не выражается в аналитическом виде. Однако легко построить аналитическую верхнюю границу этого ожидания. Из неравенства Шварца непосредственно следует, что
Е{|х|} V(E 丫庐2 и
Е{(|х| — Е{|х|})2} wE{/・
Используя эти неравенства применительно к уравнению (38), получаем верхнюю границу математического ожидания и дисперсии в виде
Е {0в! V (1/1 4 —& |min) [Е 仍 1гI + /： 121}]叱(39а)
£ {(0В — £ {0в j )2} ^ (1 /| л о — Cl |min)2 [£ {7^1,! + 4 lz!} ]. (396)
Пусть в частном случае моменты инерции /х121 и /^121 характеризуются гауссовым распределением с нулевыми средними значениями и равными значениями дисперсии:
Е {/*1 zJ = Е 3 12 1} = Е \ Ixlz Jylzl} ~
Тогда угол 0В подчиняется распределению Рэлея, причем
Е{闕=(1/| 儿一&|mm)m2 产 о,(41)
Е {(%-Е 也炉} = (1/М。一& Imm) {2 -冗/2} a2.(42)
Отметим, что верхняя граница среднего значения в выражении (39а) отклоняется приблизительно на 25% от ее точного значения, определяемого соотношением (41), а верхняя граница дисперсии больше точного значения в пять раз.
Во многих приложениях допущение о том, что центробежные моменты инерции /х12\ и /^1г1 удовлетворяют гауссовому распределению, а также условиям (40), оказывается справедливым; в таких случаях можно оценивать угол качания при помощи, равенств (41) и (42). С другой стороны, выражения (39) дают оценки, отклоняющиеся^ от истинных значений в невыгодную сторону в том смысле, что они дают достаточно надежную оценку независимо от статистических характеристик моментов инерции /% 12 1 и ^1г1- По этой причине в числовом примере будут использованы именно оценки (39).
Остановимся еще на одном замечании. Центробежные моменты /% 12 1 и /^izi появляются из-за возникновения некоторого числа независимых источников ошибок. Например, математическое ожидание
Е\1^ + 1у^\
можно обычно записывать в виде
+Е{[1^+ [/昊 М， (43)
i=l
где верхний индекс i указывает, что данное слагаемое происходит за счет f-ro источника ошибки. Определим переменные 6(" при помощи соотношений
е^ = (1/|Ло —Ci |min)(Е{[1{^1]2 + [I^W^(44)
Тогда статистическая оценка границ, определяемых неравенствами (39), выражается в виде
/ N \ 1/2
e {/田⑴产),(45a)
E {仇 一ё 仞} )2} m)卩.(456)
Эти неравенства окажутся полезными при изложении примера расчета, следующего ниже.
ПРИМЕР
Для наглядного представления методов, развитых в предыдущем разделе, рассмотрим симметричный аппарат с двойным вращением (массовые параметры аппарата указаны в табл. 1). Балансировка спутника связана с некоторыми погрешностями, а конфигурация спутника после балансировки отличается от его конфигурации на орбите. Поэтому истинные значения массовых
Таблица /
Массовые параметры
спутника
Обозначение
Обозначаемая величина
Числовое
значение
g
Масса махогикэ
1300 фунт =
=589 кг
加2
Масса корпуса
500 фунт =
227 кг
т
Приведенная масса = mim2/ (恤十
+ 加2)
361,1 фунт
=164 кг
тр
Масса топлива
25 фунт =
11,3 кг
ть
Масса балластного груза
250 фунт =
113 кг
Л
Экваториальный момент инерции спутника
236 слаг-фут2 — 1050 кг-м2
4
Экваториальный момент инерции маховика
140 слаг - фут2 = 623 кг • м2
&
Осевой момент инерции маховика
260 слаг-фут2 = 1157 кг-м2
2。
Проекция вектора г0 на ось z ..
—27 дюйм
=—68 см
/
Расстояние от плоскости уравно-
вешивания до центра масс маховика
16 дюйм =
40,6 см
Ip
Расстояние от центральной плоскости до плоскости размещения топлива
17 дюйм =
43,2 см
%
Радиальное расстояние от топливного бака до оси крепления
20 дюйм =
50,8 см
lb
Расстояние от центральной плоскости до плоскости размещения балластных грузов
24 дюйм =
61 см
Гь
Радиальное расстояние от балластного груза до оси крепления
60 дюйм =
152 см
параметров будут несколько отличаться от их значений, приведенных в таблице. Следовательно, ось крепления будет совершать движение качания вокруг вектора h. Оценим влияние названных отклонений параметров на амплитуду качания.
Остаточные ошибки процесса балансировки на балансировочной машине
В целях наглядности примем, что вращающийся стол примё- няется для сведения к нулю центробежных моментов инерции маховика и для обеспечения нахождения центра масс маховика на оси вращения стола (оси шпинделя). Из-за различных ошибок ука* занные величины сохраняют после балансировки некоторые
Рис. 4. Геометрическая схема перекоса и смещения оси крепления.Рис. 4. Геометрическая схема перекоса и смещения оси крепления./ — ось балансировочного стола, 2 — ось качания, 3 — центр масс маховика, 4 — вращающийся балансировочный стол;5 — плоскость уравновешива-ния/ — ось балансировочного стола, 2 — ось качания, 3 — центр масс маховика, 4 — вращающийся балансировочный стол;5 — плоскость уравновешива-нияОтсюда следуют выраженияЛb1 = - (Ci - 4)及 + mZQ (a"-他), /乳 1 = — (4 — G) Px + mzo & + /рх),Отсюда следуют выраженияЛb1 = - (Ci - 4)及 + mZQ (a"-他), /乳 1 = — (4 — G) Px + mzo & + /рх),
Рис. 4. Геометрическая схема перекоса и смещения оси крепления.
Рис. 4. Геометрическая схема перекоса и смещения оси крепления.
/ — ось балансировочного стола, 2 — ось качания, 3 — центр масс маховика, 4 — вращающийся балансировочный стол;
5 — плоскость уравновешива-ния
/ — ось балансировочного стола, 2 — ось качания, 3 — центр масс маховика, 4 — вращающийся балансировочный стол;
5 — плоскость уравновешива-ния
Отсюда следуют выражения
Лb1 = - (Ci - 4)及 + mZQ (a"-他), /乳 1 = — (4 — G) Px + mzo & + /рх),
Отсюда следуют выражения
Лb1 = - (Ci - 4)及 + mZQ (a"-他), /乳 1 = — (4 — G) Px + mzo & + /рх),
ненулевые остаточные значения. Условимся помечать эти величины при помощи верхнего индекса 1. Тогда)
/)，z 1 = (/% 12 1)д 加No(8% 1)с,/凡 1 =(厶 1z1)д-加z0 (%1)e.
Предположим, что параметры статической и динамической неуравновешенности представляют собой независимые случайные величины с нулевыми средними значениями. При этом предположении
lQ{l)]2<A0-C^ = E{^^^
=Е {/х izi 4~ /；121}д + (ш^о)2 £ {е£ + е； 1}с・(46)
Влияние перекоса оси крепления и ее бокового смещения
Пусть имеет место некоторое небольшое несовпадение оси крепления с осью вращения стола, относительно которой производится балансировка маховика. Будем описывать указанное несовпадение при помощи вектора поворота 0 и радиуса-вектора а в плоскости уравновешивания согласно схеме на рис. 4. Векторы аи0 имеют составляющие
где / — расстояние от центра масс маховика до плоскости уравновешивания. Если, кроме того, величины а и 卩 представляют собой независимые случайные функции с нулевыми средними значениями, то
[0(2?00-^ = E{[<
=(Л —Cl —mz0/)2£{p2) + (加?0)2七{a2}. (47)
Влияние погрешностей в установке топливных баков
Балансировку маховика производят в сухом состоянии, т. е. до заполнения баков топливом, но вместе с баками, которые размещены симметрично относительно оси крепления, с тем чтобы не нарушать уравновешенности при заполнении баков топливом. Однако даже незначительные ошибки, допущенные в установке центров баков, приводят к возникновению неуравновешенности при заполнении их топливом. Предположим, что система содержит три сферических бака, отстоящих один от другого на 120° и расположенных в горизонтальной плоскости на расстоянии /р ниже центра масс системы; каждый бак отстоит от оси крепления на расстоянии г*. Ошибки Ах,, Ау, и Az, (i = 1, 2, 3) в установке баков приводят к появлению центробежных моментов инерции
3
/£3 ==f 工(修厶方 + Zj Дх/),
3
/义1 =工(弘А勿+ ZiA弘).
Здесь Zj ——расстояние iro бака от центральной плоскости системы; Xi и yt ——координаты этого бака в горизонтально访 плоскости, определяющие его удаление от оси крепления. Примем, что все погрешности А%・，Ny( и Az/ (i = 1, 2, 3) суть независимые случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией
£ {Дх? + Ау" = Е (А^), Е (Az) = Е (Д^).
Тогда центробежные моменты инерции, введенные выше, обладают следующими статистическими свойствами:
[吧2(4—a鳥…e {[/%f +卩儿伯= =学庙(/) + ^&訓.(48)
Влияние разброса параметров, описывающих выдвижение балластных грузов
Для создания требуемого соотношения моментов инерции в спутнике иногда приходится после выведения спутника на орбиту перемещать балластные грузы при помощи выдвижных стержней; эти стержни выдвигаются по отношению к маховику. Балансировка маховика, выполняемая в лабораторных условиях, производится при выдвинутых балластных грузах; однако после этого балласт вновь вдвигается в его гнездо в исходное положение на время вывода спутника на орбиту. По различным причинам (например, искажения от температурных воздействий, уменьшение ускорения силу тяжести g на высоте орбиты и т. д.) положение
балластного груза после выдвижения его на орбите будет несколько отклоняться от его положения в процессе балансировки. Тогда возникает неуравновешенность маховика, которая окажет влияние на амплитуду качания. Оценим это влияние. Для этого допустим, что балластные грузы установлены на концах стержней, отстоящих один от другого на 120° в горизонтальной плоскости на расстоянии 厶 ниже центра масс системы; радиальное расстояние от оси крепления равно гь. Здесь геометрическая картина остается такой же, какая имела место при исследовании влияния погрешности установки топливных баков. Поэтому сразу же находим, что
М4)]2⑷— e滥е = Н/3)卜拉(A君)+ Цe (曲沥，(49) где Е(А*) и E(AW) — радиальная и осевая дисперсии ошибок при выдвижении балластных стержней.
Биения в подшипниках
Последним фактором, влияющим на качание, служит биение в подшипниках. Из-за погрешностей изготовления подшипников центральная ось вала, установленного в подшипниках, не совпадает с центральной осью самих подшипников. Это несовпадение приводит к возникновению конического движения оси крепления. Однако в данном случае угол при вершине конуса не обязательно остается постоянным, а частота этого движения оси крепления не обязательно равна собственной скорости маховика. При этом амплитуда и частота конического движения суть функции от различных параметров, определяющих отклонение центральной оси подшипника. Число этих параметров слишком велико, чтобы их можно было здесь подробно рассматривать. Обычно для построения верхней границы амплитуды конического движения исходят из производственных допусков. Затем находят среднеквадратичную величину этой границы е учетом и других параметров, влияющих на качание. Здесь используется именно такая методика, хотя она не вполне корректна. Итак, зададим типичное значение верхней границы, равное 0,005°; тогда получим окончательное значение компоненты, влияющей на качание:
6(5)= 0,005°. (50)
Отдельные составляющие амплитуды качания оценены на основании значений параметров спутника, указанных в табл. 1, и ошибок, приведенных та6〃. 2. Результаты вычислений даны в табл. 2, причем математическое ожидание амплитуды качания равно 0,106°. Отметим, что эта амплитуда действительно мала, что и было принято при выводе уравнений (32)—(35).
Таблица 2
Сводная таблица параметров, влияющих на качание спутника
Источник ошибки
Требование к точности, заданное дисперсией
Удельный вес угла качания от данного параметра,' град
1
Остаточная неуравновешенность после балансировки на машине
Остаточная динамическая неуравновешенность 14 фунт X X дюйм2 =0,98 кг/см2, остаточное смещение центра масс 5* 10"4дюйм = 12,7-10~4 см
0,0077
2
Перекос и сдвиг оси крепления
Перекос = 0,01°;сдвиг
0,002 дюйм — 5,08- 10"3 см
0,037
3
Погрешность в установке топливного бака
В его плоскости 0,05 дюйм = =0,127 см; в перпендикулярном направлении 0,05 дюйм = 0,127 см
0,0098
4
Погрешность в раскрытии балластных грузов
В их плоскости 0,05 дюйм = =0,127 см; в перпендикулярномнаправлении
0,01 дюйм = 0,025 см
0,099
5
Биение в подшипниках
Полное среднеквадр этичное значение
0,005
0,106
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Показано, что неуравновешенность маховика вызывает качание оси крепления спутника с двойным вращением вокруг вектора кинетического момента всей системы. Если моменты инерции аппарата относительно боковых осей х2, //2, связанных с корпусом, равны, то амплитуда угла качания остается постоянной, а сам угол колеблется с частотой собственного вращения маховика. Если эти моменты различны, имеет место эллиптическое качание: ось качания описывает прямой конус с эллиптическим сечением, перпендикулярным его оси.
Неуравновешенность, служащая источником описанного движения, обусловлена двумя причинами: отклонением оси крепления от главной оси инерции маховика (динамическая неуравновешенность) и смещением центра масс маховика по отношению к оси качания (статическая неуравновешенность). Как показано в примере, с процессом балансировки сопряжены различные явления, вызывающие неуравновешенность маховика. Однако для получения оценки амплитуды качания требуется располагать лишь минимальными сведениями о статистических закономерностях каждого из параметров, приводящих к неуравновешенности маховика. Может случиться, что такая оценка превзойдет некоторое
определенное значение, предельно допустимое для данного полета. Тогда следует или повысить степень точности процесса балансировки, или снабдить спутник некоторой активной вспомогательной системой- для выполнения балансировки на орбите.
При подсчете амплитуды качания было принято допущение о том, что маховик симметричен относительно его главной оси; это означает, что матрица главных моментов инерции маховика имеет вид
о 0\& 0・о cjо 0\& 0・о cj
о 0\
& 0・о cj
о 0\
& 0・о cj
Почти во всех приложениях боковые моменты инерции несколько различаются между собой. Тогда матрица (/1)главн принимает вид
(厶)з=(?(厶)з=(?о 0\ 当0 . О CJо 0\ 当0 . О CJ
(厶)з=(?
(厶)з=(?
о 0\ 当0 . О CJ
о 0\ 当0 . О CJ
Пусть разность моментов инерции Лх и Вх мала. Тогда исследование, проведенное в предыдущих разделах, остается в силе (в рамках первого приближения), если заменить величину Аг полусуммой (41+31)/2. Иными словами, экваториальны^ момент инерции маховика, входящий в полученные выражения, следует заменить среднеарифметическим значением боковых моментов инерции, взятых относительно любых двух боковых осей, взаимно пер пендикул яр ных.
Список литературы
Iori Но A. J., Nutation damping dynamics of rotor stabilized satellites, Paper presented at the ASME Annual Winter Meeting, Chicago, Ill., Nov. 1965.
Likins P. W., Attitude stability criteria for dual spin spacecraft,工 Spacecraft and Rochets, 4, № 12, 1638—1643 (Dec. 1967).
Mingori D. L., Effects of energy dissipation on the attitude stability of dual spin satellites, AIAA Journal, 7, № 1, 20—27 (Jan. 1969); русский перевод: Мин гор и, Ракетная техника и космонавтика, № 1, 23 (1969).
Mingori D. L., Harrison J. A., Tseng G. T., Semipassive and active nutation dampers for dual spin spacecraft, J. Spacecraft and Rochets, 8, № 5, 448— 455 (May 1971).
Likins P. W., Tseng G. T., Mingori D. L., Stable limit cycles due to nonlinear damping in dual spin spacecraft, J. Spacecraft and Rochets, 8, № 6, 568—574 (June 1971).
Stadelbauer D., Mass properties determination on aerospace balancing systems, The Weight Record, 26, № 2, 23—40 (April 1967).
Jones D. L., Dynamic balance error terms for rotating aerospace vehicles, Paper 740 presented at the 28th Annual Conference of the Society of Aeronautical Weight Engineers, San Francisco, Calif., May 1969.
Kelley O. A., Comments on aerospace vehicle dynamics balancing, Paper 772 presented at the 28th Annual Conference of the Society of Aeronautical Weight Engineers, San Francisco, Calif., May 1969.
ДВИЖЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ СПУТНИКАС ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ,СНАБЖЕННОГО ДЕМПФЕРАМИ НУТАЦИИ1)
〃・ М. Бэйнум, /7. Дж. Фуксел, Д. Л. Мэкисон
A, 8, C —
b” —
Ct 一
к —
к = k —
k =
二二
Qi - 不0 -
q — S——
T —
ОБОЗНАЧЕНИЯ
моменты инерции всей системы относительно осей х, у, z соответственно;
единичные векторы по осям х, у, z соответственно, "1,23;
коэффициенты, входящие в линеаризованные уравнения;
момент инерции основного тела относительно оси Ь,・; момент инерции маховика относительно его оси 瓦; момент инерции маятникового демпфера (или пары демпферов) относительно оси Ь,;
постоянная восстанавливающего момента крутильной нити, служащей подвесом демпфера;
K/fnrlQ2 ——безразмерный вид параметра К； постоянная демпфера;
々/mrfQ ——безразмерный вид параметра 抬
высота плоскости действия демпфера над плоскостью xz;
внешний момент, приложенный относительно оси 瓦; масса основной части спутника и маховика;
масса всей системы;
масса грузика, сосредоточенного на конце стержня маятникового демпфера;
обобщенная сила по обобщенной координате q\; расстояние от геометрической оси вращения (оси у) до оси подвеса маятника демпфера;
длина стержня маятникового демпфера;
угловая скорость маховика относительно основной части (основного тела) спутника;
кинетическая энергия;
время;
1) Bainum Р. М., Fuechsel Р. G., Mackison D. L., Motion and stability of a dual-spin satellite with nutation damping, Journal of Spacecraft and Rockets、 7, № 6, 690-696 (June 1970).
——потенциальная энергия упругого звена демпфера, создающего восстанавливающий момент;
и ——безразмерная переменная, соответствующая угловой скорости о)3;
——безразмерная переменная, соответствующая угловой скорости О)1；.
х, у, z ——главные оси основного тела спутника;
а ——отклонение угловой скорости а)2 от ее номинальной величины Q;
Q — номинальная угловая скорость основного тела;
屮(—угловая координата маятника демпфера, i = 1, 2; со о — угловая скорость орбитального обращения;
(Dz ——угловые скорости относительно осей х, //, z соответственно, i = 1, 2, 3;
т ——безразмерное время, т = ◎/・
Верхние индексы
Штрих означает дифференцирование по безразмерному времени т; точка — дифференцирование по времени 九
Нижние индексы
b〃 i относится к определенным осям, связанным с телом, i = 1, 2, 3.
ВВЕДЕНИЕ
Хазелтин [1 ] и др., работая на военно-морской испытательной станции, рассмотрели задачу о демпфировании нутационных колебаний вращающегося спутника; их исследование относилось к спутнику, выполненному в виде одного твердого тела. Спутник был снабжен маятниковым демпфером, способным свободно качаться в плоскости, перпендикулярной оси спутника, вокруг которой требуется привести спутник в быстрое вращение. Начальные возмущения вызывают «качание» или нутацию оси вращения спутника; при отсутствии демпфирования нутация будет продолжаться неопределенно долго. Путем правильного подбора параметров системы демпфирования возможно добиться очень быстрого уменьшения угла конусности, возникающего под действием начального возмущения.
Космниески访 аппарат с двойным вращением можно、рассматривать как систему, состоящую из двух тел. В силу связей в системе относительное движение тел ограничено вращением вокруг общей оси, связанной с каждым из них,——геометрической оси. Свободно вращающаяся система состоит из двух тел, поворачивающихся одно относительно другого. Она может сохранять устойчивое вращение относительно оси наибольшего момента инерции, если
большее тело может лишь медленно вращаться в инерциальном пространстве; меньшее тело, с ним связанное (центробежные грузики или маховик), обладает очень быстрым вращением по отношению к большему телу спутника. Более того, при определенной скорости собственного вращения и при наличии демпфирования система может быть устойчива при вращении относительно оси ее наименьшего момента инерции. Вопросы теории устойчивости и проектирования спутников с двойным вращением при различных видах пассивных и полуактивных устройств для подавления нутации обсуждались на недавнем симпозиуме по стабилизации и управлению космическими аппаратами с двойным вращением [2].
Лаборатория прикладной физики в настоящее время разрабатывает и проектирует малый астрономический спутник с двойным вращением (SAS-A) для Центра космических полетов имени Год- дара NASA. Спутник должен полностью обследовать весь небесный свод для определения положения источников рентгеновского излучения по отношению к неподвижным звездам. Важно знать точно угловое положение спутника и стабилизировать это положение, чтобы с достаточной точностью устанавливать местонахождение источников рентгеновского излучения. Нужно располагать сведениями об ошибках углового положения спутника (об уходе его оси) для достаточно достоверного определения положения источника рентгеновского излучения, который может быть обнаружен между какими-нибудь двумя звездами (угловой промежуток между звездами, в котором может потребоваться установить положение искомого источника, принят равным 20〃 дуги).
Настоящее исследование выполнено применительно к спутнику с двойным вращением. Спутник состоит из основного тела (основной части), обладающего медленным вращением (1/12 об/мин); маховика, приведенного в быстрое вращение, причем ось собственного вращения маховика параллельна геометрической оси системы (но не обязательно совпадает с ней); одного или двух маятниковых демпферов нутации. Перемещения подвижных частей демпферов ограничены некоторой плоскостью, перпендикулярной геометрической оси, вокруг которой может поворачиваться основное тело. Эта система отличается от ранее рассмотренных систем тем, что здесь оси поворотов демпферов выполнены в виде крутильных нитей, благодаря введению таких нитей рассеивающие (демпфирующие) моменты демпферов дополнены восстанавливающими моментами.
ИССЛЕДОВАНИЕ
Собственно спутник, маховик и демпфирующая система схематически показаны на рис. 1. Спутник состоит из трех частей: 1) основной части (основного тела) спутника, выполненной в виде прямого кругового цилиндра (Ь2 — геометрическая ось спутника); 2) меньшего тела или маховика, который соединен с основной
частью спутника при помощи оси, параллельной геометрической оси Ь2 основной части или совпадающей с ней и проведенной вблизи центра масс основной части; 3) маятниковых демпферов нутации, связанных с основной частью спутника (их подвижные части могут перемещаться только в плоскости, отстоящей на расстояние / от плоскости %z, определяемой двумя осями системы координат, связанной с главной частью и перпендикулярной ее оси симметрии ——геометрической оси). Предполагается, что демпферы поворачиваются относительно крутильной нити; благо-
Рис. 1. Схематическое изображение спутника, маховика и демпфера.Рис. 1. Схематическое изображение спутника, маховика и демпфера.а — вид сверху, б — вид сбокуа — вид сверху, б — вид сбокударя этому в дополнение к рас， свивающему воздействию создается и восстанвливающее воздействие в виде восстанавливающего момента.
Рис. 1. Схематическое изображение спутника, маховика и демпфера.
Рис. 1. Схематическое изображение спутника, маховика и демпфера.
а — вид сверху, б — вид сбоку
а — вид сверху, б — вид сбоку
А. Уравнения движения
При выводе уравнений движения мы используем выкладки, изложенные в работе Хазел- тина [1 ], с добавлением членов, обусловленных дополнительной кинетической энергией, вносимой маховиком, вращающимся с постоянной скоростью:
Тмах = g [Ir2(0)2 + S)2 +
+ /%哨+ /几3計(1)
Принято, что маховик вращается относительно оси у, т. е. Ь2, с относительной угловой скоростью s (скорость по отношению к основной части спутника); (Dj,(d2, (d3 — проекции абсолютной угловой скорости этой части. Полное выражение кинетической энергии спутника приведено в статье [3].
Уравнения движения для этого случая можно, таким образом, выразить через квазискорости со】，о)2, о)3 и угловые координаты ф. демпферов [4]:
(dldt) (dTIdsJ — о)з 0770s2)+ <o2 (OT/Osj = L「
(d/df) 0 77Og)2)— Si (OTIdsj + o)3 (0 77 0o)i) = L2,
⑵
(d/dt) (dTIdm^ — o)2 (OT/dsJ + 卽(dTIdsJ = Л3,
(d/dt) (дТ/д心—dT!d^t + д^/д^ = Q,・，i = 1, . . ., N,
Здесь ^ — число всех демпферов системы. Силу вязкого трения, пропорциональную угловой скорости(pz, можно найти при помощи функции рассеяния Рэлея. В нашей задаче
1 n歹工电視(3)
Восстанавливающий момент, создаваемый каждой крутильной нитью, выражается соотношением Qj =——dVld^t. Здесь V —— потенциальная энергия, пропорциональная квадрату углового отклонения от положения равновесия:
1 N
z 1 = 1
Уравнения (2) мОжно раскрыть и упростить, сделав предположение о малости углов относительно величин(pz и дополнительное предположение о том, что оъ/о)2《1 В и ^J^2《1 )« Ниже выписаны уравнения первого приближения при N = 2:
В&2 + (4 — С) S1&3 + 加广 1 (^1 +「0)(91 + 屮2)=厶2,(5)
46)i + (С — В) geo? — /r2ssз — 2加①2广1 (IM/M) X
X(Ф1 —而 2)= G,(6)
С/ + (8 — 4)①2coi + /r3ssi —
—mrx (IM/M) (ф!—而2) + 加广1 (IM/M)(02(Ф1 — ф2)=厶3, (7) mrjk - 券)g1 + ^^ a --加门 号g3 + 加n(广0+ П)(02 +
+ /nГ1(О2Q +岩-)(pi — 犬* 述酬+ 加广仰仰2号=一力山-K(pi,
(8)
W«1 -旁)而2 + 号£ 61 + W1 * 百3 +加乙(广0 +门)△2 +
mr^lM. f一mr^lM. f一G)i(02 = --々屮2— 《屮2・G)i(02 = --々屮2— 《屮2・
mr^lM. f一
mr^lM. f一
G)i(02 = --々屮2— 《屮2・
G)i(02 = --々屮2— 《屮2・
(9)
В этих уравнениях величины
4 = /b| + /& + Лр 3 =厶2 + /% + Q,С = "з +^3 +^3
представляют собой совокупные моменты инерции основного тела, маховика и частей демпферов при симметричном положении каждого из демпферов по отношению к общей оси вращения.
Уравнения (5)—(9) описывают движение системы с учетом динамики демпферов при условии, что в положении равновесия стержни маятников демпферов располагаются вдоль общей пря
одного или обоих маятников смещение центра масс всей системы будет очень малым, и это смещение нет надобности учитывать, коль скоро демпферы установлены попарно так, что в невозмущенном положении стержни их маятников расположены вдоль общей прямой. В предельном случае один из маятников колеблется свободно, другой маятник этой пары играет роль неподвижного противовеса. При включении в систему второй пары маятников к системе урав-
мой. При малых колебанияхмой. При малых колебанияхРис. 2. Части системы стабилизации углового положения спутника SAS-A (ось маховика смещена относительно геометрической оси).Рис. 2. Части системы стабилизации углового положения спутника SAS-A (ось маховика смещена относительно геометрической оси).Следует подчеркнуть, что центр центра масс всей системы и iСледует подчеркнуть, что центр центра масс всей системы и iнений добавятся два уравнения движения, имеющие вид (8) и (9).
мой. При малых колебаниях
мой. При малых колебаниях
Рис. 2. Части системы стабилизации углового положения спутника SAS-A (ось маховика смещена относительно геометрической оси).
Рис. 2. Части системы стабилизации углового положения спутника SAS-A (ось маховика смещена относительно геометрической оси).
Следует подчеркнуть, что центр центра масс всей системы и i
Следует подчеркнуть, что центр центра масс всей системы и i
На рис. 2 показана схема системы управления угловым положением спутника SASA маховика смещен относительно го ось собственного вращения
маховика параллельна стабилизируемому направлению оси вращения основного тела. В случае если не удалось достичь
совершенного статического уравновешивания масс, ось симметрии не будет главной осью. Чтобы учесть общий случай отклонения главных осей от геометрических осей симметрии, в исходные нелинейные уравнения рассматриваемой системы были внесены соответствующие изменения [3].
Члены, выражающие проекции 厶匕 厶2,厶з момента внешних сил, включают моменты, обусловленные перепадом силы притяжения, световым давлением и другими внешними воздействиями. Обратимся, например, к случаю, когда геометрическая ось спутника сохраняет направление перпендикуляра к плоскости орбит спутника. Пусть в рассматриваемом движении центр масс системы описывает окружность. Тбгда проекции гравитационного момента можно выразить соотношениями (при 6《1)
(10)(10)Li = Зсоо (С ——В) 0 cos ср,厶2 = Зз§ (С — Л) sin ф cos 屮,厶3 = 3g)q (Л — S)0 sin ср.
(10)
(10)
Здесь 0 — угол «крена», соответствующий движению около оси &н а угол ср отвечает повороту около оси &, причем ср не обязательно мал. Постоянная соо есть угловая орбитальная скорость.
Нелинейные уравнения движения учитывают несимметрию масс и обобщенные моменты силы притяжения, обусловленные неоднородностью поля тяготения. Эти уравнения были запрограммированы для выполнения их численного интегрирования на машине IBM-360/91. Была добавлена дополнительная подпрограмма для определения ориентации геометрической оси системы, выраженной через прямое восхождение и склонение или, иначе, через заданную систему углов Эйлера, относительно местной вертикали.
Для оценки способности системы демпфирования уменьшать исходную нутацию в условиях отсутствия моментов внешних сил была проведена линеаризация уравнений (5)——(6) при L、= = 厶2 = 厶3 = °； при этом мы следовали методике Хазелтина [1 ]. Угловую скорость основного тела в его вращении вокруг геометрической оси можно выразить при помощи соотношения со2 = Q + + а; здесь Q — номинальное значение угловой скорости основного тела, принимаемое постоянным, а отношение a/Q считается малым. Уравнение (5) можно использовать для исключения скорости а из других 'уравнений. В итоге получим систему линеаризованных уравнений с постоянными коэффициентами:
a aa aD勾书旬D勾书旬G" + Qu + ез (屮i - <pi) + & (⑱一92)= 0,Clu + Сб" + С7 ($1 — ф2)= 0,См' + C9V + С10ф1 + Си (pi + С12ф1 + С13(р2 + &4$2 :С15〃‘ + C16U + С17ф1 + С18(р1 + С19ф2 + С20Ф2 + С21Ф2
a a
a a
D勾书旬
D勾书旬
где угловые скорости а)1 и со3 приведены к безразмерным переменным:
и = 1М(о3/Мг^, V = iM^/MrjQ.
Постоянные коэффициенты связаны с параметрами задачи при помощи соотношений
Ci = 1,0; С2 = {В-~А + /凡 s/Q)M;
С3 = 一加(ZM/M)2M；
04 = -е3；c5 = -С2；c6 = IQ；
。7 = 2С3； Cs = —1,。；。9 = 1,。；
&0 =1 - m \ m M +(广0 +广1)2/3]； c\1 —区
。12 =广。〃 + 加/Л! + К； С]_з = 2mlM — 1 + С】。；
См 三—mlM\ С]5 = 1,0； C]6 = —1,0; С17 = С18;
&8 = С14； &9 = С10； °20 = С]Д； С21 = С12.
3 Заказ 530
Штрих означает дифференцирование по безразмерному времени т, где т = Q/. Уравнения (11)—(13) пригодны для случая одного демпфера (N = 1), тогда как уравнения (11)—(14) описывают движение системы для N == 2・
Б. Условия устойчивости
Критерий устойчивости Рауса——Гурвица (см. [5]) доставляет необходимые и достаточные условия устойчивости рассматри- )ваемой линейяой системы. Недавно Лайкине и Мингори [6] о6・ •судили трудности, возникающие при применении метода Ляпунова к исследованию свободно вращающихся систем. Они указали, что этот метод приводит к получению как необходимых, так и достаточных условий устойчивости только при введении в систему полного демпфирования — демпфирования по всем указанным переменным состояния. Алгоритм Рауса—Гурвица всегда дает как необходимые, так и достаточные условия устойчивости для систем с постоянными коэффициентами независимо от выбора координат; Поэтому было решено использовать этот более традиционный подход.
Было найдено, что для устойчивости колебаний малой амплитуды нужно, чтобы в системе имело место положительное демпфирование и, кроме того, если С2》0, должно выполняться следующее условие, не соблюдаемое автоматически и не являющееся тривиальным:
& 1c2 传 + " + 及)-2加号借H > °" (15) Если С2 В> 0, т. е.
В + /& s/Q — 4〉0, (16) то выражение в квадратных скобках в соотношении (15) должно быть положительным, или
入/G + 2т/М + 彳〉2加(IM/M)2/(B — A + Rs/Q)・ (17)
Интересно заметить, что неравенство (16) будет удовлетворено, если 1) ось собственного вращения основного тела спутника служит осью наибольшего момента инерции, а маховик а) вращается в положительном направлении, б) не вращается вовсе или в) вращается очень медленно в отрицательном направлении (положительным направлением считается направление вращения, совпадающее с направлением вращения основного тела); 2) ось собственного вращения основного тела есть ось наименьшего момента инерции, а маховик вращается в положительном направлении со скоростью, большей по сравнению с номинальной угловой скоростью Q основного тела. Если расстопорен только один маятник, то неравенство (17) принимает вид
『о〃1 + т[М + К〉ш {lM.[M^I(В4 + /rs/Q). (18)
В этом случае можно закрепить на ободе вторую массу т, установив ее напротив нейтрального положения свободного демпфера; тем самым при малых значениях угла 屮】будет обеспечено динамическое уравновешивание. Таким уравновешивающим противовесом может служить, например, масса на конце стержня второго демпфера (закрепленного). Если исключить влияние крутильной опорной нити и влияние маховика, то приведенные здесь условия устойчивости тождественно совпадут с условиями, найденными Ха- зелтином [1 ].
Очевидно, что в случае С2Vo условие (15) выполняется автоматически. Помимо требования о введении положительного демпфирования, основные необходимые и достаточные условия устойчивости выражаются неравенствами
С2 V -1, (19)
年+奇+及+e吟借•『> 竽借巾"e」(20) причем требуется удовлетворить также следующему необходимому условию:
乙/G + tnFM + 及 + ЙС10 >(3加瓜)《М/岡11 + С? [• (21) Когда в системе имеются два демпфера, которые могут поворачиваться свободно, в условиях (20) и (21)_нужно заменить величину m на 2 т. В типичных случаях т1М 《1 и Clo q 1,0; следовательно, при С?《一1 неравенство (20) более сильное. Смысл условия (19) заключается в следующем: если основное тело спутника вращается вокруг оси, отвечающей наибольшему моменту инерции, а маховик вращается в направлении, противоположном направлению вращения основного тела, то устойчивость обеспечивается только при быстром вращении маховика.
Характеристическое уравнение было составлено как для случая одного демпфера с противовесом, так и для случая двух демпферов, колеблющихся свободно. Когда имеется только один демпфер, характеристический многочлен имеет четвертую степень:
/9) = Сю + Сз) о' + СцО* +
+ [С12 + C^Go — ЗСз (1 + G) ] о? +
+。纪 11О +。2 (С2G2 + Сз) = 0. (22)
В случае двух демпферов характеристическое уравнение является уравнением шестого порядка, причем ему отвечает демпфированное собственное колебание на частоте X:
入П (*+k)"2叫1 一空"广)
Поэтому представляется возможным избегать появления нежелательных явлений, связанных с резонансом, обусловленным внешними воздействиями, и присущих системе; именно для этого следует применить схему только с одним маятниковым демпфером^^ Если же эта возможность отпадает, нужно позаботиться при разработке системы, чтобы VQ # (N)土，а также чтобы 入 # з。(N)土， где N —— целое число; эти условия предотвращают появление вынужденного движения, обусловленного возмущениями на частотах, кратных орбитальной частоте. Следует отметить, что тем не менее можно осуществить условия демпфирования в избытке, используя второй маятниковый демпфер в качестве противовеса; его следует подвесить около оси, параллельной оси подвеса пер* вого демпфера. При этом нужно предусмотреть возможность закрепления любого из демпферов так, чтобы в определенные промежутки времени только один из них мог свободно перемещаться.
ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
А. Оптимизация параметров системы демпфирования
Корни характеристического уравнения (22) были вычислены обычным образом при помощи вычислительного устройства. При этом использовались значения параметров, которые считались характерными для системы SAS-A на ранней стадии ее разработки. Масса спутника принята равной 114 кг, полярный момент инерции 20,4 кг*м2, а экваториальный момент инерции 20,0 кг-м2. Моменты инерции маховика были приняты 0,015 кг-м2 (полярный) и 0,00775 кг-м2 (экваториальный). Масса маховика, по предположен нию, входит в указанные 114 кг. При этих значениях отношение всего полярного момента инерции обоих тел спутника ко всему их экваториальному моменту инерции ^оказалось равным 1,02 (данное отношение обозначено через В/А). Длина маятника стержня демпфера выбрана равной 20 см, а расстояние от оси подвеса демпфера до полярной (геометрической) оси — равным 2 см. Следовательно, г0/гг = 0,1. Масса концевого груза маятника составила 0,26 кг. Значения оставшихся физических параметров подвергав лись систематическому изменению в целях нахождения наилучших условий демпфирования (т. е. для обеспечения наибольшего демпфирования па наименее демпфированной собственной частоте).
На рис. 3 приведено изменение постоянной времени демпфирования, отвечающей наименее демпфированной собственной частоте колебания, в зависимости от изменения моментной жесткости крутильной нити при разных значениях высоты I плоскости движения демпфера. Собственная скорость маховика была принята постоянной и равной 141 рад/с. Номинальная скорость основной части спутника равна 0,00875 рад/с. Отметим улучшение качества демпфирования с увеличением высоты I плоскости движения демп-
фера. Однако с увеличением высоты I следует позаботиться о том, чтобы не нарушить условие устойчивости (18). При выбранных значениях параметров верхняя граница этой высоты составляет приблизительно 50 см. Кроме того, на высоту оказывает также
Рис. 3. Наибольшая постоянная вре-мени • демпфирования в зависимостиот моментной жесткости крутильнойнити (при работающем маховике).
По оси ординат: наибольшая постоянная времени демпфирования г X 10-4 с; по оси абсцисс, безразмерная постоянная крутильной нити К; s= 141 рад/с; 万// = 1,02, гo/，i =■ 0,1； Q -^ 0,00875 рад/с; k '=i 2,28
влияние требования об ограничениях размеров полезного груза спутника. Как видно из рисунка, оптимальное значение безразмерной жесткости крутильной нити находится между 125 и 150;
Рис. 4. Наибольшая постоянная времени демпфирования в зависимости от постоянной демпфирования (при работающем маховике).
По оси ординат: наибольшая постоянная времени демпфирования t・ 10*"3 с; по оси абсцисс: безразмерная постоянная демпфирования 应；s = 141 рад/с; 5/Л == 1,02;「о"】二 0,1; Q ==»
в 0,00875 рад/с; К — 130,6,
наилучшее значение постоянной времени по наименее демпфированному собственному колебанию составляет около 40 мин при / = 30 см.
Дальнейшее исследование состояло в определении оптимального значения постоянной демпфирования при К = 130,6 (или К = =1 • 10-4 Н-м/рад при указанных выше значениях других параметров). Итоги этого исследования представлены на рис. 4 для трех различных значений параметра 厶 Скорости маховика и основ-
ного тела здесь те же, что были приняты в расчетах, приведенных на рис. 3. Можно видеть, что кривая, характеризующая наибольшую постоянную времени, обладает менее резко выраженным ми-ного тела здесь те же, что были приняты в расчетах, приведенных на рис. 3. Можно видеть, что кривая, характеризующая наибольшую постоянную времени, обладает менее резко выраженным ми-Рис. 5. Наибольшая постоянная времени демпфирования в зависимости от постоянной крутильной нити и постоянной демпфирования (при отключенном маховике). По оси ординат наибольшая постоянная времени демпфирования т, с; по оси абсцисс безразмерная постоянная крутильной нити 広 $ = 0; В/А = 1,02, f/q = 0,1; Q = =0,0262 рад/с, / = 20 смРис. 5. Наибольшая постоянная времени демпфирования в зависимости от постоянной крутильной нити и постоянной демпфирования (при отключенном маховике). По оси ординат наибольшая постоянная времени демпфирования т, с; по оси абсцисс безразмерная постоянная крутильной нити 広 $ = 0; В/А = 1,02, f/q = 0,1; Q = =0,0262 рад/с, / = 20 смпри этом предполагается, что маховик отключен же обнаруживается ухудшение качества демпфирования, так какпри этом предполагается, что маховик отключен же обнаруживается ухудшение качества демпфирования, так как
ного тела здесь те же, что были приняты в расчетах, приведенных на рис. 3. Можно видеть, что кривая, характеризующая наибольшую постоянную времени, обладает менее резко выраженным ми-
ного тела здесь те же, что были приняты в расчетах, приведенных на рис. 3. Можно видеть, что кривая, характеризующая наибольшую постоянную времени, обладает менее резко выраженным ми-
Рис. 5. Наибольшая постоянная времени демпфирования в зависимости от постоянной крутильной нити и постоянной демпфирования (при отключенном маховике). По оси ординат наибольшая постоянная времени демпфирования т, с; по оси абсцисс безразмерная постоянная крутильной нити 広 $ = 0; В/А = 1,02, f/q = 0,1; Q = =0,0262 рад/с, / = 20 см
Рис. 5. Наибольшая постоянная времени демпфирования в зависимости от постоянной крутильной нити и постоянной демпфирования (при отключенном маховике). По оси ординат наибольшая постоянная времени демпфирования т, с; по оси абсцисс безразмерная постоянная крутильной нити 広 $ = 0; В/А = 1,02, f/q = 0,1; Q = =0,0262 рад/с, / = 20 см
при этом предполагается, что маховик отключен же обнаруживается ухудшение качества демпфирования, так как
при этом предполагается, что маховик отключен же обнаруживается ухудшение качества демпфирования, так как
жесткости крутильной нити, так
нимумом по сравнению с предыдущим случаем, причем наилучшее качество достигается, по-видимому, при значениях параметра k между 1,0 и 2,2. Значение fe = 1,0 отвечает размерной постоянной демпфирования, равной 0,875- 10~4 Н-м-с/рад при принятых значениях параметров.
В случае выхода из строя системы маховика важно сохранить устойчивость системы и в то же время оптимизировать качество системы демпфирования. Отметим, что для сохранения устойчивости в случае выхода из строя маховика нужно, чтобы С2 > 0 или С2 V —1,0. Для спутника SAS-A разность между полярным и экваториальным моментами инерции мала. Поэтому из конструктивных соображений следует, что для этого спутника нужно принять критерий С2 > 0. Таким образом, согласно неравенству (16), В!А А 1,0. Это означает, что теперь геометрическая ось системы должна быть осью, которой соответствует наибольший момент инерции системы. На рис. 5 приведено изменение наибольшей постоянной времени демпфирования при изменениях как моментной и постоянной демпфирования;
наилучшие постоянные времени по меньшей мере на порядок пре*наилучшие постоянные времени по меньшей мере на порядок пре*.При этом сразу
наилучшие постоянные времени по меньшей мере на порядок пре*
наилучшие постоянные времени по меньшей мере на порядок пре*
восходят постоянные времени, при которых построены графики на рис. 3 и 4. Очевидно, что наилучшее качество демпфирования достигается в том случае, когда жесткость пружины настолько мала, насколько это возможно. Более того, повышение безразмерной постоянной демпфирования сверх ее значения 3,0, не приводит к заметному улучшению демпфирования. Следует отметить, что при отказе маховика номинальная скорость вращения основного тела увеличивается в три раза), вследствие чего происходит дальнейшее улучшение качества демпфирования. Настоятельно рекомендуется предусмотреть возможность изменять постоянную
Рис. 6. Наибольшая постоянная времени демпфирования в зависимости от высоты расположения плоскости действия демпфера (при отключенном маховике).
По оси ординат: наибольшая постоянная времени демпфирования т« 10-§, с; по оси абсцисс: высота плоскости демпфера /, см; s = 0; В/А = 1,02, г"]= =0,1; К = 0； 々=0,763; Q = =0,0262 рад/с.
пружины (т. е. моментную жесткость крутильной нити); благодаря этому можно улучшать характеристику демпфирования при выходе маховика из строя.
График на рис. 6 подтверждает, что при выходе маховика из строя качество демпфирования продолжает повышаться при увеличении высоты плоскости движения демпфера. Положим / = =0 и обратимся к рассмотрению уравнений (6)——(9); из этих уравнений следует, что при указанном условии устраняется вза-
имное влияние (в рамках первого приближения) движения демпферов и скоростей главного тела спутника в боковом движении. Выводы о влиянии параметров, полученные на основании ис
следования линеаризованных уравнений движения, послужили
основой для выбора входных параметров программы моделирования динамики системы при помощи вычислительного устройства. На основании этой программы были численйо проинтегрированы нелинейные уравнения движения спутника с двойным вращением, снабженного системой маятникового демпфирования нутации. В этой модели главным ограничивающим допущением было допущение о малости амплитуды колебания демпфера нутации. Поэтому программа была перестроена путем введения в устройство механических упоров; последние ограничивали угол поворота демпфера значениями ±209.
Рис. 7. Переходное движение при начальном угле нутации 1° (при действующем маховике).
S' = !• 10~* Н* м* с/рад; k = =1・ У Н« м/р ад; теоретическое значение наибольшей постоянной времени равно 0,314 ч (из линейного анализа); s = 209,4 рад/с (2000 об/мин); Z = 0,35 м.
Это исследование переходного движения по угловым координатам выполнялось для выявления закона колебания демпфера и закона затухания угла нутации (угла между геометрической осью системы и вектором кинетического момента всей системы). При моделировании проведено несколько решений при изменении постоянной пружины и постоянной демпфирования; при этом производили включение и выключение маховика. Внешние возмущения на основное тело, такие, как магнитный и грцритадионцьш моменты, приняты равными нулю.
На рис. 7 и 8 приведены графики переходного движения при начальном угле нутации, равном 1°. На рис. 7 показано оптимальное затухание нутации при работающем маховике. На рис. 8 представлен случай движения, близкого к оптимальному, при отключенном маховике. Был принят следующий выбор входных параметров, определенных для первоначального образца спутника SAS-A: М = 114 кг, /ь2 = 20,8 кг-м2, /儿=Л3 = 20,0 кг-м2, Ir = 0,0101 кг-м2, /® = /& = 0,00508 кг-м2, т = 0,2126 кг, г^= 0,203 м, г0 = 0,025
Рис. 8. Переходное движение при начальном угле нутации 1° (при отключенном маховике).灭=2・ 10-4； Е = 5 ・ 10-7； I = 0,350 м; теоретическое значение наибольшей постоянной времени = 21,7 ч (из линейного анализа).Рис. 8. Переходное движение при начальном угле нутации 1° (при отключенном маховике).灭=2・ 10-4； Е = 5 ・ 10-7； I = 0,350 м; теоретическое значение наибольшей постоянной времени = 21,7 ч (из линейного анализа).Время, минВремя, мин
Рис. 8. Переходное движение при начальном угле нутации 1° (при отключенном маховике).
灭=2・ 10-4； Е = 5 ・ 10-7； I = 0,350 м; теоретическое значение наибольшей постоянной времени = 21,7 ч (из линейного анализа).
Рис. 8. Переходное движение при начальном угле нутации 1° (при отключенном маховике).
灭=2・ 10-4； Е = 5 ・ 10-7； I = 0,350 м; теоретическое значение наибольшей постоянной времени = 21,7 ч (из линейного анализа).
Время, мин
Время, мин
В подписях к каждому рисунку помечено, какие именно значения параметров приняты в данном расчете. Следует обратить внимание на различие в масштабах времени на графиках переходного движения самого демпфера и на графиках переходного движения нутации, нанесенных на рис. 7 и 8. Изменения основных переменных движения в переходном состоянии наблюдались на протяжении 5 ч, считая с момента начала движения. В этом исследовании главная цель заключалась в изучении процесса затухания угла нутации. Поэтому было решено настроить записывающее устройство машины CALCOMP так, чтобы на протяжении всех 5 ч счета снимать на выходе только значения угла нутации.
Обратим внимание на значения постоянных времени, полученные из наблюдения за затуханием угла нутации. Оказалось, что
ни в одном из рассмотренных случаев эти постоянные не превышают постоянную затухания наименее демпфированного собственного колебания, найденную на основании линеаризованных уравнений. (Постоянная времени, характеризующая затухание угла нутации, равна времени, необходимому для убывания угла нутации до величины, составляющей 1/е ее исходного значения.)
Б. Ошибки ориентации геометрической оси спутника SAS-A при отклонениях от осевой симметрии
Числовые результаты, приведенные в предыдущем разделе, получены в предположении, что оси симметрии основного тела служат одновременно его главными осями. В ходе балансировочных испытаний спутника обнаружилось, что имеет место небольшая асимметрия в распределении его масс по отношению к названной системе осей. Было проведено предварительное исследование ошибок ориентации геометрической оси спутника. Оно имело целью изучить-влияние динамической неуравновешенности основного тела спутника при отсутствии моментов внешних сил (вклю* чая предположение об отсутствии момента сил притяжения). Следовало выяснить, не выходят ли отклонения переменных дви* жения, обусловленные указанной асимметрией, за пределы допусков, предписанных для данного спутника [7]. Такое исследование было выполнено при помощи вычислительной машины, моделирующей динамику вращательного движения, путем численного интегрирования нелинейных уравнений движения.
В задаче моделирования были использованы характерные значения осевых и центробежных моментов инерции. После соответствующих преобразований были вычислены элементы тензора моментов инерции в осях симметрии Ьъ &2,厶，т. е. в осях %, g, z основного тела системы. Именно, приняты следующие значения моментов инерции (в кг-м2): /ы = 28,07; /12 = 0,220; Аз = (),070; /21 = /12» /2 2 = 31,13; /23 = —0,095; /31 = /\з； /82 = / 23； /зз = 27,43. (Здесь Ь2 есть геометрическая ось.)
Начальные условия задачи задавали несколькими спсобами. Масса спутника, масса концевого грузика демпфера, моменты инерции маховика и его масса, длины стержней маятниковых демпферов и удаление опорной нити демпфера от оси Ь2 совпадают с соответствующими параметрами, указанными на рис. 7 и &. Остальные параметры, одинаковые во всех расчетах данного раздела, имеют значения: I = 0,30 м, s = 2000 об/мин (209,4 рад/с), Q = 1/12 об/мин, k = 1 • 10"4 Н-м-с/рад, К = =1 • 10~4 Н-м/рад. В данном исследовании ошибок ориентации геометрической оси определялись следующие параметры:
Угол конусности, или угол нутации 丫 (угол между геометрической осью Ь〉и вектором кинетического момента всей системы),
Угол АВ/ между двумя любыми направлениями геометрической оси, соответствующими двум положениям этой оси в различные моменты времени. Угол A0Z состоит из составляющих, обусловленных следующими двумя движениями: а) номинальным изменением направления скорости о)2 по *отношению к неизменяемому направлению L при качении подвижного аксоида по неподвижному аксоиду согласно схеме Пуансо [3 ] применительно к симметричному спутнику и (б) отклонением (качением) вектора % от движения (а), вызванным неуравновешенностью масс. Здесь вектор Ь2 уже не направлен по главной оси инерции.
Для проверки данных моделирования, выполняемого на вычислительной машине, начальные условия были в нескольких случаях изменены так, чтобы можно было легко проверить подсчеты вручную. Начальные значения проекций угловой скорости аппарата на его боковые оси были приняты равными нулю. Центробежные моменты инерции учитывались каждый раз по одному так, чтобы проследить влияние каждого из них на угол конусности. Рассмотрим движение при нулевых начальных значениях проекций угловой скорости аппарата на его боковые оси; моменты внешних сил примем равными нулю. Тогда угол конусности можно приближенно описать соотношением
tgY = KU + 戏)/L打 人, где
L] = /12з2；L 2 = ^ 22^ 2 + /火户£3 = ^32^2*
Сводка результатов дана в табл. 1.
Случай 4 показателен для оценки номинального установившегося движения системы при отсутствии моментов внешних сил. При этом наблюдались малые синусоидальные колебания угла конусности около его установившегося значения с амплитудой ±0,025°; эти колебания можно отнести за счет гироскопического момента, обусловливающегр гироскопическую прецессию.
Таблица 2
Сравнение вычисленных значений установившегося угла конусности и значений, полученных путем Моделирования
Случай
Центробежный момент инерции, кг«м2
Угол конусности, град
моделирование
расчет
1
/12 = /21=。，22
0,05
0,047
2
/32 = ‘23 = 0,0948
0,02
0,02
3
/31 = Аз = 0,0701
0
0
4
Все значения вместе
0,055
0,055
Названный момент возникает, когда составляющая момента сил реакции оси маховика, воздействующих на основное тело, перпендикулярна вектору кинетического момента спутника.
Для наблюдения переходного движения спутнику была сообщена начальная угловая скорость около одной из боковых осей. Значение этой скорости было выбрано так, чтобы вызвать нутацию, определяемую углом конусности 0,65°. Как видно из рис. 9, в начале движения быстрота затухания угла натуции 丫 имела по-
Время, мин
Рис. 9. Переходное движение при начальном значении угловой скорости около оси, перпендикулярной геометрической оси системы (при действующем маховике).
& = 1・ 10~* Н・м・с/рад; Е=1 10~3 Н-м/рад; s = 2000 об/мин; I = 0,30 м.
рядок 0,1 град/ч. Сравним это движение с переходным затухающим движением по углу ? в случае спутника с симметричным распределением масс, графически изображенным на рис. 7; сравнение показывает, что указанная асимметрия распределения масс ухудшает качество процесса демпфирования почти в 10 раз.
Мера чувствительности качества системы демпфирования нутации к изменениям моментов инерции была испытана и иным способом, а именно путем исследования влияния параметров, входящих в систему линеаризованных уравнений движения, составленных для некоторого тела другой конфигурации, обладающего симметричным распределением масс. В этом исследовании изменяли отношение моментов инерции (отношение полярного момента инерции к экваториальному моменту инерции), а также постоянную крутильной нити и постоянную демпфирования системы. Итоги исследования показывают, что увеличение отношения моментов инерции на 6% может привести к уменьшению постоянной времени демпфирования по меньшей мере в три раза [3].
Была получена оценка угла АВ( для наихудшего случая, а именно при следующих предположениях: вращение около номинальной оси происходит в сторону, противоположную направлению установившегося движения прецессии, наибольшее значение угла конусности составляет 0,075°; период прецессии оси собственного вращения равен 6 мин.
Итоги этого исследования, проведенного для изучения влияния асимметрии масс на ориентацию номинальной оси собственного вращения, сведены в табл. 2.
Таблица 2 Результаты исследования
Параметр
Допустимая величина
Значение, найденное путем моделирования
Y
0,2°
0,055± 0,025°
1,5’ дуги за 20 с времени
1,0' дуги за 20 с времени
Моделирование показало, что при указанных значениях параметров, характеризующих степень асимметрии масс, и в предположении, что внешние моменты отсутствуют, качество движения спутника будет удовлетворять требованиям об определенном ограничении углов у и A0Z. Однако если учесть момент сил притяжения, аэродинамический момент и момент сил светового давления, то моделирование приведет к оценкам переменных 丫 и Д0^ и ухода оси собственного вращения, более близким к действительности. Кроме того, асимметрия распределения масс заметно ухудшает качество системы демпфирования.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенное исследование и его числовые результаты позволяют сделать следующие заключения в отношении рассмотренной системы управления спутника с двойным вращением:
Качество системы допускает оптимизацию за счет использования только одного из двух маятниковых демпферов. При желании располагать избыточными настраиваемыми устройствами можно использовать второй (закрепленный) демпфер в качестве противовеса. В дополнение к демпферу возможность изменения жесткости крутильной нити, служащей опорой для демпфера,, обеспечивает значительное повышение качества демпфирования при выходе маховика из строя.
Пусть разность между полярным и экваториальным моментами инерции основного тела спутника мала. Тогда система может оказаться неустойчивой при очень медленном вращении маховика в отрицательном направлении, т. е. когда вектор кинетического
момента направлен в сторону, противоположную направлению вектора кинетического момента основного тела.
Пусть маховик действует и распределение масс симметрично. Тогда расчетные значения наименьших постоянных времени наименее демпфированного собственного колебания составляют менее 40 мин. Когда маховик выключен, расчетные значения наименьших постоянных времени при перестроенной постоянной крутильной нити лежат между 20 и 30 ч.
Пусть момент внешних сил равен нулю. Тогда, как показывает моделирование, влияние неуравновешенных масс спутника приводит к возникновению установившейся нутации с углом конусности 0,056. 土 0,025°; этому значению соответствует амплитуда, меньшая допустимой амплитуды 0,2°. Кроме того, наибольший угол между двумя положениями геометрической оси, разделенными промежутком времени 20 с, немногим меньше допустимого значения 1,5' дуги. При значениях моментов инерции^ принятых в данном исследовании, неуравновешенные массы ухудшают качество оптимальной системы демпфирования нутации (т. е. понижают наибольшее значение постоянной времени) приблизительно на порядок.
Список литературы
Haseltine W. R・，Nutation damping rates for a spinning satellite, Aerospace Eng：, 21, № 3, 10—17 (March 1962).
Proceedings of the Symposium on Attitude Stabilization and Control of Dual Spin Spacecraft, Rept. TR-0158 (3307-01)4 6, Nov. 1967, Aerospace Corp.
Bainum P, M., Fuechsel P. G., Mackison D. L., On the motion and stability of a dual-spin satellite with nutation damping, TG-1072, Applied Physics Lab., Johns Hopkins Univ., Silver Spring, Md., June 1969.
Whittaker E. T., A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, 4th edition, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1959, p.41一44; имеется русский перевод более раннего издания: Уиттекер Е. Т., Аналитическая динамика, ОНТИ, 1937.
McCuskey S. W., An introduction to advanced dynamics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1959, p・ 182—187.
Likins P. W” Mingori D. L, Lyapunov stability analysis of freely spinning systems, XVIII Congress International Astronautical Federation, Belgrade, Yugoslavia, Sept. 1967.
Zitterkopf D. L., SAS-A system design and interface document, S2-0-43A, April 30, 1968, Applied Physics Lab., Johns Hopkins Univ., Silver Spring, Md.
8・ McCusRey S. W., An introduction to advanced dynamics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1959, p. 129—134.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКАС ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ,СНАБЖЕННОГО ДВУМЯ ДЕМПФЕРАМИ х)
Ф. Р. Виньерон
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — расстояние от маятникового демпфера до точки О;
Ло — момент инерции системы в недеформирован- ном состоянии) относительно оси О'%' или оси Огуг\
А (т), 8(t) — переменные движения, входящие в уравнения (13);
°ш “21 — постоянные, определяемые соотношениями (22);
瓦，^2 — постоянные параметры демпферов корпуса и маховика соответственно;
% ^2 — безразмерные параметры демпферов, рав< ные Ь'тд и 匕2仆①z соответственно;
Со — момент инерции системы в недеформирован* ном состоянии относительно оси Ofzf\
Cr — момент инерции маховика (включая сферу) относительно оси О'*
Ср — момент инерции корпуса относительно； оси O'z';“
с, — момент трения в подшипниках кожуха двигателя；
厶一момент инерции демпфера маховика относительно его центра масс;
/ — безразмерный параметр инерции, равный 人/方0；
自，尼2 — безразмерные параметры жесткости пружин, определяемые соотношениями, запи* санными после уравнений (12);
Ki, К* — жесткости пружин демпферов корпуса и маховика соответственно;
т — масса демпфера корпуса;
О — мгновенный центр масс системы;
О' — центр масс недеформированной системы;
Oxyz ——система координат, относящихся к деформированному состоянию системы;
O'x'y'z' — система координат, относящихся к неде- формированному состоянию системы;
Q — безразмерный параметр, определяемый соотношением, записанным после уравнения (12);
R ——безразмерный параметр инерции, равный ma^lA^
Tm (/) — момент, развиваемый двигателем; t — время;
%,取2 — безразмерные переменные, равные со丿①？ и sjsz соответственно;
% — вектор {Л, 8};
У — вектор 爲 К РЗ；
а ——безразмерная угловая скорость, равная
Р — угловая координата демпфера маховика;
Y — угол поворота махоника по отношению к корпусу;
А = G — Л 0)/Л0;
£ — малый параметр;
Е — безразмерная линейная координата, равная %/а;
屮l Фа'— фазы координат демпферов корпуса и маховика соответственно;
т — безразмерное время, т = со/； 卩一отношение массы т к массе спутника;
①打 ①勿 Sz ——проекции абсолютной угловой скорости координатного трехгранника Oxyz;
X — линейная координата демпфера корпуса.
Верхние индексы:
Точка сверху обозначает дифференцирование по времени; штрих — дифференцирование по безразмерному времени т.
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время в литературе стали уделять большое внимание механике спутников с двойным вращением благодаря их непосредственному применению в области стабилизируемых вращением спутников связи. Особое место занимают вопросы устойчивости пр остр анственного движения спутников, составленных
из «корпуса» и «маховика»; каждое из этих тел вращается независимо со своей угловой скоростью вокруг общей оси симметрии. Кроме того, и корпус и маховик снабжены собственной независимой системой демпфирования [1——6 ]. Когда только одно из этих тел снабжено демпфером, можно успешно исследовать устойчивость при помощи условий Рауса——Гурвица (см. [1 ]). Но когда конструкция снабжается двумя демпферами ——по одному для каждого из тел ——линеаризованные уравнения становятся уравнениями с периодическими коэффициентами. Последние изучались при помощи теории Флоке (см. [2]); однако, по-видимому, соответствующий способ не вполне приспособлен для получения обозримого выражения условий устойчивости из-за большого числа параметров, входящих в исследование. Кроме того, возникают трудности при разыскании достаточно надежных выводов в случае, когда разность между угловыми скоростями корпуса и маховика велика (а именно этот случай и встречается на практике). Были проведены качественные исследования устойчивости системы с двумя демпферами; они основаны на экстраполяции выводов, полученных при помощи условий Рауса—Гурвица и Флоке [1, 2 ]. Однако эти исследования не привели к нахождению условий устойчивости в явном виде. Задача об устойчивости системы с двумя демпферами изучалась также при помощи энергетического метода. Соответствующие условия устойчивости выражаются через параметры, определяющие быстроту рассеяния энергии [1, 6]. Условия устойчивости были получены еще и по методу описывающей функции с привлечением соображений о физическом существе динамических свойств движения [31.
В настоящей работе используется «метод осреднения» [9—11 ], который применяется к исследованию линеаризованных уравнений, описывающих динамику спутника с двумя -раздельными демпферами. Цель исследования состоит в получении в замкнутом виде «первого приближения» решения; это приближение сравнивается с численными решениями. Находятся условия устойчивости, которые сравниваются с условиями, полученными в предшествующих работах [1—6].
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим спутник с двойным вращением, состоящий из корпуса, несущего маятниковый демпфер, и маховика, снабженного внутренним демпфером; схема спутника приведена на рис. 1. Система координат Ox'y'z' введена следующим образом: когда пружины демпферов находятся в ненапряженном состоянии, ось O'z' есть общая главная ось обоих тел (геометрическая ось вращения); начало О' совпадает с центром масс всей системы, а оси О'%' и О'у' суть главные оси корпуса и связаны с последним. В настоящем исследовании принято, что как маховик? так и кор-
пус симметричны по отношению к оси O'z'・ Маховик вращается по отношению к корпусу вокруг оси O'z'; у — его угловая координата. Скорость вращения поддерживается постоянной благо
даря моменту, создаваемому двигателем, расположенным внутри
маховика. Демпфер корпуса находится в равновесном состоянии, когда подвижная масса демпфера занимает положение на оси 02'; это положение удалено на длину а от центра масс О'. Подвижная масса может колебаться только в направлении оси О'%'. Демпфер
Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.подобного вида описан вподобного вида описан вмаховика выполнен в виде сферы, размещенной в полости с центром в начале О'. Сфера может колебаться только около некоторой боковой оси маховика, как показано на рис. 1. Введем дополнительную систему координат Oxyz\ ее оси остаются параллельными одноимейным осям системы координат 0'%'y'z', связанной с корпусом, а начало О совпадает с мгновенным центром масс всей системы, меняющим свое положение при колебаниях подвижной массы демпфера корпуса.
Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.
Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.
подобного вида описан в
подобного вида описан в
Уравнения движения рассматриваемого спутника можно вывести на основании принципа сохранения кинетического момента всей системы [1 ] или при помощи вариационных принципов. Процесс составления уравнений движения для систем текущей литературе [1, 3]. Поэтому
соответствующие преобразования опущены и необходимые уравнения выписываются в готовом виде ')•
Обратимся к исследованию установившегося состояния, в котором имеет место чистое вращение вокруг оси O'z', а именно
з%= со, = 0,% = р = 0.(1)
Следовательно, можно линеаризовать уравнения движения по переменным ①%, со夕 %, Р и затем приступить к исследованию устойчивости.
Выпишем три линейных уравнения, вытекающих из условия постоянства кинетического момента системы:
a^х - 加"①?--m砍①z--厶8 sin 丫 一 ％? cos ? +
+ (Co—4)①网 + C^y — (/SP cos 丫 + m”)①z = 0,(2)
i) Вывод уравнений углового движения спутника с подвижными частями приведен в другой статье настоящего сборника (см, стр. 62? 63),—Прим. перев.
А^у + /sp cos 丫 —厶6。sin 丫 + 加成—(С。— 4)①押 z —
—таз纹—I^2 sin у — CRy^x = 0,(3)
&3z + Cry = 0.(4)
Движение маховика описывается уравнением
Cr ® + у) == —су + Тт (/),(5)
где су ——момент трения на оси кожуха двигателя; Тт (/)——момент, развиваемый двигателем и、предназначенный для поддержания (как принято в данной задаче) постоянства скорости у.
Приведем уравнения движения подвижных частей демпферов корпуса и маховика:
m (1 —卩)％ + таз у + 加 аз^з% + 3% +
[к]一加戒(1 一卩)]% = 0,⑹
人8 - 1® cos ? -- 乙右х sin ? --I® sin 7 +
+人種cos Y +瓦8 +勺0=0.(7)
Уравнения (4) и (5) допускают «установившееся» решение
со2 = const, 7 =说(8)
(здесь уо — постоянная). Такое решение имеет место, когда момент Тт (/) предназначен для преодоления трения и для подавления относительных колебаний корпуса и маховика, что отвечает обычной инженерной практике. (Например, при Тт (/)= =cjo + 7\у, где 7\ — постоянная, требуемое свойство осуществляется.)х) .
Решение (8) можно подставить в уравнения (2), (3), (6) и (7) и выразить результат через безразмерные переменные и параметры:
Wx + QWy — 2Rg —修 sin 丫 一 / (a + 1) g cos 丫 = 0,(9)
Wy - Q弘 + R (g - g) + 単'cos 丫 一 / (a + 1) g sin Y = 0,
(10)
(1 -卩)F + Wy十也+联'+也自=0,(11)
В" + С^ + &2р — a弘 cos у — IF； sin у + ^ cos 丫 —
— aWy sin у = 0.(12)
1)Это решение соответствует первсжу из двух характерных случаев вращения маховика гиростата относительно его носителя, рассмотренных в монографии В. В. Румянцева 《06 устойчивости стационарных движений спутников», ВЦ АН ССС2 вып. 4, М., 1967, стр. 102. — Прим, перев.
Здесь т = з/, а штрих обозначает дифференцирование по переменной т и
а = То/^2,& = %/а,
弘=^x/^z，Wy = з/з?,
Q = (Со — 4)/4 о + С^а/ Л о,
I =々"о, R = ШП2/Л о,
С] • Ь^/тЗ?, С 2 == bz/'s^z，
^i =【Ki — (1 — |1)]/тз；,力2 =长2/厶猊，
Y = Yo% = ат.
Отметим, что, по определению, а > 0. Это означает, что в случае а < 0 следует поменять местами определения тел «корпус» и «маховик».
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К СТАНДАРТНОМУ ВИДУ
Для современных объектов параметры R и / очень малы. С учетом этого обстоятельства можно преобразовать уравнения (9)——(12) к виду, удобному для применения асимптотического метода решения. Введем новые переменные 4 (т) и В (т), определяемые при помощи преобразования
Wx = А (т) cos Qt + В (т) sin Qt,(13а)
Wy = А (т) sin Qt — В (т) cos Qt・(136)
Подставляя выражения (13) в уравнения (9) и (10), получаем
?Г = е (A】 cos Qr + Л2 sin Qt),(14а)
В' = & (A】 sin Qt — Л2 cos Qt),(146)
где 8 — малый параметр (введенный, как показано ниже, искусственно); величины А】и Л2 выражаются в виде
& = % [2Rg + /0〃 sin у + / (а + 1) у cos у],
a?=；庆(自一自")_/0" cos ? + / (a + l)₽zsin m
Отношения R/e и //£ суть величины того же порядка, что и параметры 々1,々2， и т. д.
Подставляя выражения (13) в уравнения (11) и (12), получаем
(1 一卩)Г + с^ + k^ + A (Q+l) cos Qt +
+ В (Q + 1) sin Qt + 必容=0,(15a)
卩"+ 70’ + 爲卩 + / (Q — a) cos (Q — a) т +
+ В (Q — a) sin (Q — a) t + £ (Л2 cos 丫 一Лх sin у) = 0. (156)
На данной стадии рассуждения выясняется, что можно привести уравнения (14) и (15) к виду
犬=еХ (х,力 yf =Y (х, у、е).(16)
Здесь % = {/, В} — двумерный вектор, у =因 Р, К 0'}— четырехмерный вектор. При помощи формального использования метода осреднения [9—11 ] были найдены решения уравнений (16). Можно получить решения, отвечающие любой степени приближения. Вкратце метод состоит в поиске решения в виде
% = ^+ 工 ^ик, У=7+ 工欧/,(17)
а=л左=i
где 3 и у — «о ср едненные» J)ешен и я; uk и vk ——функции, зависящие от времени. Функции %, у, uk и vk определяются из решения дифференциальных уравнений, построенных на основании формальной методики, изложенной в работе [9]; обычно эти уравнения легче решать, чем исходные уравнения (16). Для нахождения решения, пригодного в качестве «первого приближения» (т. е. х = х, у = у), начнем с решения уравнений (16) при е = 0; имеем
% = const = %, У = С (%, т).(18)
Далее построим уравнения, определяющие искомые функции % и
嚣=吧糸 J 8X k G& /)]或，(19а)
У = ^^ т).(196)
«ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ» РЕШЕНИЯ
4 = 0,4 = 0,В' = 0В' = 0Для нахождения «первого приближения» решения применим метод, намеченный выше, непосредственно к уравнениям (14) и (15) [без явного преобразования их к виду уравнения (16)]. Решение, отвечающее соотношению (16), определяется уравнениями
4 = 0,
4 = 0,
В' = 0
В' = 0
вместе с уравнениями (15). Решив их, получим выражения, описывающие «установившееся» состояние:
t _ (Q + 1) [4 cos (Qt — %) + В sin (Qt —屮力]/9П<
S明-Q2)2 + (GQ汙/2， Q
о — (Q — 〃){4 cos [(Q — a)工一屮幺]+ В sin [(Q •— a)工一•屮?]} /опх\ где
tg б = c1Qf(k1 — Q2),
tg(p2 = % (Q — a)/ [為 一(Q — a)?】 (2°B) и 1——卩 q1・ Указанные функции, определяющие углы 屮】и (р2, многозначные; важно учитывать это свойство при выборе ветви в процессе численного интегрирования.
Подставляя выражения (20) в уравнения (14) и выполняя «осреднение» по образцу осреднения уравнения (196), после длительных, но очевидных выкладок приходим к следующим дифференциальным уравнениям:
"^- = ана -的1民 2? =a214 + %15(21)
где
…％RQ(1+Q)3
11 一 一万[(自一Q2)2+(rQ)2]_
必/(1+Q) (Q-a)3険2、
-2 {[瓦 一 (Q 一 呐 + e(Q - a)]2}'
_ R(1 +Q)3Ri-Q2) l
21 — 2i& — Q2)2+(QQ)2]十
丄 /(I +Q)(Q-a)2[^2-(Q — a)2]
十 2 {伊2 - (Q -002邑+ [%(Q - a)]2} -
[При выводе соотношений (22) мы использовали тождество sin б = &Q/[(3 ——Q2)2 + (&Q)2 卩/2 и аналогичные тождества для функций cos(р1э sin(р2, cos(р2- J
Уравнения (21) решаются без затруднений:
Л (т) = е%м (4 cos a?] t — В。sin а21т),(23а)
В (т)=夕1代(4 sin a23T + В。cos a2iT),(236)
где Ло и Во — начальные значения. Таким образом, в соответ* ствии со сказанным выше первое приближение решения имеет вид
Л = Д, В =瓦 & = 1, Р = р. (24)
Здесь величины Л, В и g, р определены соотношениями (23) и (20) соответственно.
Итак, функции (24) представляют собой решение уравнений (14) и (15) и после преобразований (13) являются решением в точности им эквивалентных уравнений, т. е. (9)—(12). Можно ожидать, что это решение будет приближенно справедливым, когда правые части уравнений (14)、«малы»; это свойство имеет место, когда параметры R и / достаточно малы. Расхождения могут воз-
46- 46一
CZ-
0 -
с 〃 〃 〃 〃 〃с 〃 〃 〃 〃 〃Z"彼釁a 一二Z"彼釁a 一二Рис. 2. Графики переменных А, В, & и В в зависимости от угловой координаты у.“， —，'численное решение; ее. аналитическое решениеРис. 2. Графики переменных А, В, & и В в зависимости от угловой координаты у.“， —，'численное решение; ее. аналитическое решение
с 〃 〃 〃 〃 〃
с 〃 〃 〃 〃 〃
Z"彼釁a 一二
Z"彼釁a 一二
Рис. 2. Графики переменных А, В, & и В в зависимости от угловой координаты у.
“， —，'численное решение; ее. аналитическое решение
Рис. 2. Графики переменных А, В, & и В в зависимости от угловой координаты у.
“， —，'численное решение; ее. аналитическое решение
никнуть, когда демпферы возбуждаются в условиях, «близких к резонансным». В этом случае координаты у и 0 [и соответственно правые части уравнений (14) J могут принимать очень большие значения.
Степень точности решения можно повысить, насколько это требуется, путем трудоемких, но очевидных вычислений; для этого следует прибегнуть к нахождению приближений более высокого порядка, указанных в работах [9—11L
Для некоторых избранных случаев движения уравнения (9)— (12) были решены численно и решения сопоставлены с решением (23) по истечении некоторого промежутка времени, на котором
переменные ^ и р достигали «установившегося состояния»; при этом значения параметра а были приняты меньшими 100. Во всех случаях обнаружилась близость решений. На рис. 2 приведено несколько образцов графиков решений, относящихся к случаю, когда отношения R и / равны 0,1; этот случай является в известной мере крайним.
Для переменных Л и В, представляющих наибольший интерес, согласование оказалось хорошим. Для Е и § согласование оказалось менее хорошим; так, координата | содержит субгармоническое колебание большого периода, не входящее в приближенное решение. Можно предполагать, что удастся улучшить решение путем подсчета приближения более высокого порядка. В пробных подсчетах, проведенных при очень малых значениях параметров R и /, встречающихся на практике, числовые и аналитические решения по переменным ^ р, Л, В согласуются очень хорошо. Однако переменные Л и В изменяются гораздо медленнее. Поэтому выводы едва ли могут быть пригодными для наглядного графического представления.
УСТОЙЧИВОСТЬ
Аналитическое условие устойчивости, следующее из уравнений (23), имеет вид
。五 W 0 (устойчивость),
(25) 砧 > 0 (неустойчивость),
где а】] определяется соотношением (22а). Далее проводится сравнение этого критерия для некоторых случаев с результатами, найденными путем числовых расчетов согласно теории Флоке (подробности примененного числового метода описаны, на пример, в работе [3 ]). Результаты расчета, приведенные в табл. 1, показывают полное совпадение выводов. Были проведены также вычисления показателей Флоке при большом значении параметра а (а > 1000) и очень малых значениях параметров R и / (именно этот случай важен для современных спутников). При этих вычислениях возникали погрешности, и заключения относительно устойчивости часто оказывались спорными. Данные, приведенные в табл. 1, не отражают случаев .такого рода.
Условия (25) аналогичны по виду условиям, полученным Пьюри и Гидо [3] (для спутника другой структуры) по способу «момента сил реакции демпфера и квадратичной функции». После некоторых преобразований условия устойчивости можно привести также к выражению, совпадающему с выражением, найденным энергетическим методом (см. [1 ] или [6]). Нельзя сказать, чтобы это обстоятельство было совершенно неожиданным,
Таблица /
Сравнение вычислений для исследования устойчивости, проведенных по методу осреднения, с вычислениями по теории Флоке (Ci = 02 = 0,1; К = 0,1)
/
д
J
а
储
々2
Примечания
Критерий устойчивости
0,1
0,2
1,1
[
2
2
<pi > 0, ф2 > 0
Устойчивость
0>1
0,5
0,4
1
4
4
ф! < 0,(р2 <? 0
Неустойчивость
0,1
—0,5
0,4
5
5
5
ф! > 0, <р2 < 0
Неустойчивость
0,1
—0,5
0,4
5
4
13
ф1 > 0, <р2 < о
Неустойчивость
0
—0,5
0,25
10
2
100
Устойчивость
0
.—0,5
0,25
1
2
100
Неустойчивость
поскольку как энергетический метод, так и метод момента сил реакции демпфера являются физически обоснованными вариантами метода осреднения (именно «первого приближения» в методе бсреднения). Наоборот, методика, излагаемая в настоящей работе, более точная и основана на развитой теории; она приводит к нахождению полного решения уравнений, рассматриваемого с любой желаемой степенью точности. Числовые подсчеты, отмеченные в предыдущем разделе, показывают, что степень точности, соответствующая первому приближению, приемлема для вынесения суждения об устойчивости в важных для нас случаях полета; однако эти подсчеты, возможно, непригодны для описания истинного поведения решения.
Когда маховик не снабжен демпфером, задача, рассмотренная в данной статье, приводится к задаче работы [1 ]; последняя решается строго при помощи метода Рауса—Гурвица. При / = 0 условия (25), найденные по способу осреднения, приводятся к неравенству 々=А + /а > 0, так как величина 1 + Q необходимо больше нуля. Это утверждение в точности соответствует условию (42) работы [1 ], ибо величина Q в настоящей статье равна отношению 九/з/ работы [1 ]. Следовательно, обе совокупности выводов совпадают. Неравенства (25) соответствуют также полезной качественной картине стабилизирующих и дестабилизирующих воздействий, рассмотренных в статьях [1, 21.
ПАРАМЕТРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА КОНСТРУКЦИЮ СПУТНИКА
Вспоминая определение параметра Q, отметим, что при всех физически осуществимых конструкциях спутников 1 + Q > 0. Вместе с тем параметры а, с「％ и знаменатели в соотношении (22а) положительны. Имея в виду эти свойства в сочетании с соотношением (22а), легко показать, что
демпфер корпуса оказывает стабилизирующее воздействие, если и только если Q > 0, т. е. если
С0М0 一 1 + (Cr/儿)а >0,(26а)
демпфер маховика оказывает стабилизирующее воздействие, если и только если Q — а > 0, т. е. если
(С"4 - 1) (1 + а) + СрМ。> 0,(266)
где
С。= Cr + Ср.
Рассмотрим вкратце случай, когда параметр а большой, например равен 100 000, и С^/Ао > 0,001; этот случай представляет интерес в разработке современных спутников связи. Так как изменение отношений С0М0, С"/о и СР/А0 ограничено от* резком [0, 2], демпфер корпуса всегда оказывает стабилизирующее действие, а демпфер маховика оказывает такое же действие, если и только если CrA4()> 1.
Рассматривая соотношение (22а), отметим, что^стабилизирую- щее или дестабилизирующее действие данного демпфера значительно усиливается, когда он возбуждается в условиях резонанса или близких к нему. Следовательно, в практических разработках спутников, для которых демпфер маховика оказывает дестабили* зирующее действие (такой случай имеет место для гиростата, когда CrIAq < 1), существенно выявлять и правильно описывать все источники демпфирующих воздействий.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
При помощи формального метода осреднения получены аналитическое решение и условие устойчивости, которые были проверены путем сравнения с численными решениями в некоторой области значений параметров, при которых эти численные решения достаточно точны, когда скорость вращения маховика велика по сравнению со скоростью вращения корпуса, а отношение массы демпфера к массе всей системы очень мало; точность вычисления показателей Флоке ухудшается, что подрывает надежность условий устойчивости, получаемых указанным способом. Напротив, при нахождении приближения решения по способу осреднения, предложенного здесь, это решение все точнее при-
ближается к истинному решению с убыванием величин 1/а, R и /. Следовательно, метод осреднения, по-видимому, оказался подходящим для рассматриваемой задачи.
Список литературы
Likins Р. W., Attitude stability criteria for dual spin spacecraft, J. Spacecraft and Rockets, 4, № 12, 1638—1643 (Dec. 1967).
Mingori D. L., Effects of energy dissipation on the attitude stability of dual spin satellites, AIAA Journal, 7, № 1, 2Q—27 (Jan. 1969); русский перевод: Мингори, Ракетная техника и космонавтика, № 1, 23 (1969)..
Puri N. N., Gido J. F., Nutation stability criteria for a dual spin spacecraft — The damper reaction torque and quadratic function method, Paper AT 103, 19th Congress of the International Astronautical Federation, New York, 1968
Likins P. W., Tseng С. T., Mingori D. L., Stable limit cycles due to nonlinear damping in dual-spin spacecraft, AIAA Paper 70-1004, Santa Barbara, Calif., 1970.
Pringle R・，Jr., The stability of force-free motions of a dual-spin spacecraft, AIAA Journal, 7, № 6, 1054—1063 (June 1969); русский перевод: Ракетная техника и космонавтика, № 6, 1054—1063 (1969).
Papis Т., Analysis of the attitude stability of a dual-spin spacecraft by the energy method, AIAA Paper 70-973, Santa Barbara, Calif., 1970.
Roberson R. E., Equilibria of orbiting gyrostats, J. Astronaut. Sci・，15, № 5, 242—248 (Sept.-Oct. 1968).
Gale A. H., Likins P. W., Influence of flexible appendages on dual-spin spacecraft dynamics and control, J. Spacecraft and Rockets, 7, № 9, 1049—1056 (Sept. 1970).
Волосов В. M., обзор в журнале Усп. машем. «., 17, № 2, 217—265 (1962).
Волосов В. М.» О методе осреднения, Докл. АН СССР, 137, № 1, 21—24 (1961).
И. Волосов В. М., О высших приближениях при усреднении, Докл. АН СССР, 137, № 5, 1022—1025 (1961).
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКА с двойнымВРАЩЕНИЕМ ПО КРУГОВОЙ ОРБИТЕ)
Ф. Р. Виньерон
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — расстояние от маятникового демпфера до начала О;
Ло ——момент инерции недеформированной) системы относительно оси О'%' или 0'*)； 4⑺，5(矶
「 、 n J ——переменные движения, определяемые урав- ° (矶 〃(t)丿нениями (8);
。1工。21 — постоянные, входящие в уравнения (12);
% ——постоянные параметры демпферов корпуса и маховика соответственно;
R, 6— безразмерные постоянные параметры демпферов, равные величинам bJmQ и 62//sQ соответственно;
du, d2i — постоянные, входящие в уравнения (13);
Со — момент инерции недеформированной системы относительно оси O'z';
Cr — момент инерции маховика (включая сферу) относительно оси O'z';
Gj, G2 — упругие постоянные пружин корпуса и маховика соответственно;
厶一момент инерции демпфера маховика относительно его центра масс;
/ ——безразмерный параметр инерции, равный 人/
Ki，К2 — постоянные, определяемые соотношениями (6);'
屈 偽一безразмерные упругие постоянные пружин, равные Gj/mQ2 — 3 (1 —卩)и G2//SQ2 соответственно; '
tn — масса демпфера корпуса;
。一мгновенный центр масс всей системы;
О' — центр масс недеформированной системы;
O'x'y'z' — система координат, связанная с недеформированной системой; оси Огхг и 0%' направлены по главным осям корпуса, а ось O'z' проведена по общей главной оси обоих тел;
Oxyz — система координат, начало которой находится в мгновенном центре масс всей системы, а оси остаются параллельными соответствующим осям системы О'х'у'z'; р, pi,夕2 — собственные частоты;
R ——безразмерный параметр инерции, равный m絞/儿； t ——время;
Wb 恥 一 безразмерные параметры, равные coJQ и coJQ соответственно;
а — безразмерная угловая скорость, равная R/Q;
Р ——угловая координата демпфера маховика;
у ——угловая координата маховика по отношению к корпусу;
Yo ——угловая скорость маховика по отношению к корпусу;
А = (Со — /о)/4о；
£ — малый параметр;
§ — безразмерное перемещение, %/а;
S ——определитель, входящий в уравнения (10);
А】,Л2 — величины, входящие в уравнения (4); т — безразмерное время, равное Q/;
卩一отношение массы m к массе спутника;
0 —— угловая скорость обращения по круговой орбите В;
①％,①夕①2 ——проекции абсолютной мгновенной угловой скорости системы координат Oxyz на соответствующие оси этой системы;
屮，仇 屮 一 углы Эйлера, изображенные на рис. 1; % — линейная координата демпфера корпуса.
Точка и штрих означают дифференцирование по истинному времени и по безразмерному времени т соответственно, ломаные скобки () указывает на «осредненное» значение соответствующей величины.
Автор пренебрегает отклонением орбиты спутника (точнее, орбиты его мгновенного центра масс) от круговой орбиты, обусловленным перемещениями масс демпферов по отношению к нх носителям и влиянием конечных размеров спутника. —Прим, пере^
ВВЕДЕНИЕ
Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.Недавно был разработан «метод осреднения», предназначенный для решения -линеаризованных уравнений движения спутника с двойным вращением, свободного от воздействия внешних тел [1 ]. В настоящей заметке содержится обобщение задачи с учетом влияния поля тяготения Земли. Предполагается, что спутник обращается по круговой орбите и ось его собственного вращения направлена с определенной точностью перпендикулярно плоскости орбиты.
Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.
Рис. 1. Схема спутника с двойным вращением.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Как и в статье [11, объектом исследования служит спутник с двойным вращением. Он состоит из корпуса, несущего маятниковый демпфер, и маховика, несущего сферический демпфер (рис. 1).
Маховик вращается по отношению к корпусу около оси O'z'; его относительная угловая координата обозначена через Y，Угловое положение системы координат Oxyzt связанной с корпусом спутника, по отношению к орбитальной системе координат (ОАХЛ 2Аз) определено при помощи трех углов Эйлера *ф, 0, ср; последние образованы при помощи поворотов, отвечающих правилу правой системы координат (рис. 2): поворот на угол 屮 около оси СМ】 порождает систему осей ОВХВ2В3； поворот на угол 0 около оси。瓦一систему ОСХС2С3; поворот на угол 屮 около оси 0С3 —— систему Oxyz ')・
Выпишем линеаризованные кинематические уравнения Эйлера:
9 = со% — Q屮 S *ф =(0g + Q9, фG)z — Q.()
Предполагается, что в недеформированном состоянии маховик и корпус симметричны относительно оси 0‘z'. Поэтому линеаризованные выражения момента сил притяжения относительно оси Oz суть нуля. Принято, что управление угловой координатой у осуществляется при помощи управляющего момента, развиваемого двигателем, внутренним по отношению к системе. Здесь, как и в статье [1 ], предполагается, что в силу режима работы этого двигателя маховик вращается с постоянной относительной
1) См. разд. 2.3 и 2.4 гл. 2 монографии А. И. Лур^е «Аналитическая механика», Физматгиз, 1961. — Прим. 〃ер&・
скоростью у。； в установившемся состоянии угол ср равен нулю. Соответственно уравнения (4), (5) и (8) работы [1 ] сохраняют силу. Обратимся к следующему равновесному состоянию системы: спутник совершает чистое вращение около оси ОЛ3 и, следов а*- тельно, вокруг оси Oz, а ось корпуса направлена к Земле:
9=0, Y = Yo%,① z = ◎；(2а)
屮=6 = 0,①八=(0g = 0, % = 0, Р = 0.(26)
Решение (2а) тождественно удовлетворяет третьему 'уравне・ нию (1) и уравнениям (4) и (5) статьи [1 ]. Выпишем четыре урав-
Рис. 2. Схема поворотов системРис. 2. Схема поворотов системкоординат, определяющая углы Эйлера.координат, определяющая углы Эйлера.
Рис. 2. Схема поворотов систем
Рис. 2. Схема поворотов систем
координат, определяющая углы Эйлера.
координат, определяющая углы Эйлера.
нения динамики движения, линеаризованные относительно решения (26). Они легко находятся по образцу нахождения уравнений (9)—(12) работы [1 ] с небольшими дополнениями, обусловлен* ными учетом сил притяжения с последующим использованием
первого и второго уравнений (1):
屮"+ (А + Ja)屮 + (А + Ja —4) 9' — еАх,(За)
—(А + Ja — 1) г|/ + 9〃 + (4Д + Ja) 0 = еЛ2,(36)
(I - В) 丫 + сК + ЗЕ - 一" 一 2炉 + 49,(4а)
旷 + %6' + 軌6=a 州一6) cos y + (屮"—9') sin y +
+ а (9‘ + 电 sin 丫 一(6" + 屮')cos у,(46)
где
А】=b"2RF + /R" sin y + / (а + 1)卩‘ cos ?],
л2 = £-”R (—丫 + 能)一/旷 cos Y + / (а + 1) У sin 丫],
т = £2/, штрих означает дифференцирование по т и а = //а. Выражения для безразмерных постоянных а, с» 々】и т д. приведены в статье [1 ], но здесь эти постоянные нормализованы путем деления на некоторое частное значение скорости ①z，равное Q.
Рис. 3. Области устойчивости и неустойчивости (заштрихованы) спутника при отсутствии демпфирования, показанные на плоскости параметров.Рис. 3. Области устойчивости и неустойчивости (заштрихованы) спутника при отсутствии демпфирования, показанные на плоскости параметров.РЕШЕНИЕ ПРИ ОТСУТСТВИИДЕМПФЕРОВ
Рис. 3. Области устойчивости и неустойчивости (заштрихованы) спутника при отсутствии демпфирования, показанные на плоскости параметров.
Рис. 3. Области устойчивости и неустойчивости (заштрихованы) спутника при отсутствии демпфирования, показанные на плоскости параметров.
При отсутствии демпферов величины /? и /, Aj и Л2 равны нулю, и уравнения (3) допускают решение
屮=б】 cos 卩在 + 62 sin pit +
+ 63 cos p2t + & sin p2r, (5a)
0 = ^161 sin pm — К^^ cos pfr +
+ К26 3 sin 卩2工一K264 cos 0 2% (56) где 6], 62, 63 и 64 — произвольные постоянные; величины Ki и К? определены выр ажен иями
Kt =—(—龙 + А + Ja)/[pi (А +
+ Ja — 1)]=
=—P，(A + Ja — 1)/(—p? + 4A + Ja),
i = 1, 2,(6)
a pl и pl — корни уравнения
p4 — [(Д + Ja)2 + ЗА + 1 ] d +
+ (A + Ja) (4A + Ja) = 0.(7)
Соотношения (5) выражают только два из четырех возможных решений уравнения (7); в дальнейшем используются только положительные значения (что не ограничивает общности рассуждения).
Области устойчивости и неустойчивости, построенные исходя из знаков корней уравнения (7), показаны на рис. 3. Эта картина совпадает с картиной, ранее представленной на рис. 3 работы [2 ]; однако настоящая картина имеет ту отличительную особенность, что здесь показаны все области неустойчивости на некотором конечном промежутке, именно при | W 4.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Вместо переменных 0,屮，9’ и 屮'введем новые переменные А (т), В (т), 6 (с) и D (т) при помощи преобразований
ф == Д cos pfc + В sin pit + С cos р2 т + D sin р2G (8а)
屮'==—24Pl sin pm + Bp、cos pm — Cpz sin p2t +
(86)(86)+ “2 COS p 2G
(86)
(86)
О = К14 sin 卩声一К ]3 cos Pii +
+ К2c sin p江一K?D cos 3,(8b)
9' = Kr4Pl cos pF + KiBpi sin p^ +
+ К2c力2 cos p2T + K2DP2 sin p2t.(8r)
Здесь использованы уравнения (5). Дифференцируя (8а) и используя (86), получаем дополнительное уравнение, выражающее связь между новыми переменными:
4' cos рм + Br sin p# + Cr cos р2P + °' sin р2t = °・(9а)
Подобным же образом, используя уравнения (8в) и (8г), находим
Ki" sin 卩户一KjB' cos p# + K2C' sin p2t —
—К 20 cos р2т = 0.(96)
Подставляя (8) в уравнения (3) и учитывая затем (9), получаем
4'=
(8/S) [(Р2К2 — P1K1K2) Л1 sin Pl т + +(Р1К2 —卩2驳1) Л2 cos p^],
(Юа)
В'=
—(e/日)f—(P2K2 — P1K1K2) Al COS Pit + + 伪出2 — P2K1) Л2 sin p/j,
(106)
и =
(е/日)[(piK¥ — P2K1K2) Ai sin 叩一
-(PR - 22k1) a2 cos p2tL
(Юв)
Df =
(е/日)[—(рМ — P2K1K2) Ai cos р2т —
—伪风一Р2К1) Л2 sin p^]9
(Юг)
где
日=(Р1К1 — P 2K 2)(P1K2 — P2KJ
Комбинируя уравнения (8) и (4), находим
(1 一 卩)，+ 睢'+ 砧=(Kipl + 2Pl + 4Ki) X
X (-Л sin pw + В cos рн) + (K2成 + 2P2 + 4K2) X
尸X (C sin 入七一。cos р2т) — eAi,(Па)
6" + %6' + 々26 =【a (pi +Ki) — Р 工(К ip I + 1)]义
X (—4 sin 卩戶 + Bi cos pfi) cos ат + [a (Ki/?i + 1)—
—Pi (Pi + KJ ] (Л cos p# + В sin pm) sin ат +
+ la (卩2 + K2) — 02 (К2。2 + 1) ] (—С sin р2t + D cos р2т) X
X cos ат + [а (К 2P 2 + 1) — P 2 (P 2 + K2)] X
X (C cos p2t + D sin р2т) sin at + e (Ax sin у — Л2 cos у). (116)
4 Заказ 530
Уравнения (10) и (11) являются точными в том смысле, что они* выведены из уравнений (3) и (4) без каких-лиЬо приближений. Кроме того, они имеют вид, к которому можно применить метод решения при помощи осреднения [3]. Хотя в принципе первое приближение решения находится непосредственно, в действительности нахождение этого приближения требует больших усилий. Чтобы оценить свойства решения этих уравнений, разыщем «гироскопическое» приближение, отвечающее большим значениям 丄)величины Ja.
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХСВОЙСТВ
Корни уравнения (7) можно найти при помощи разложения
/? = (Ja)2/2 [1 + 2A/Ja 十(A2 + ЗА + 1)/ (Ja)2]—
-[1 +2A〃a + (A2 +3A- l)/(Ja)2] +。{1/(及)3}.
Если величина Ja велика, то р? а 1, pg q J2a? и соответственно Ki 勺一1, /<21 и S —J2a2. Тогда уравнения (10) и (II) при
водятся к уравнениям, существенно менее сложным. После этого будем применять метод осреднения в соответствии с процедурой, намеченной и наглядно показанной в работе [1 ]. В итоге получим систему «осредненных» диффер ен ци а л ьн ых уравнений:
〈” =%]〈/〉- а21(В),〈By = %】⑷ + % ®,(12)
〈СУ = d^C)-喝⑵，»у = d^ © + d“ ⑵，(13)
где
а” = -9ciR/{2Ja [优i — I)2 +用},
例=3R (例 一 l)/{2Ja [(E - I)2 +且]},
匕=一 ± qR (働4 一专 g3 (/ - 1 )3 (几户，
%=磊R(几户®-尸硝+ % b (/ - 1 )2 X
X(Ja)2^2 — a2(j—i)2],
p = 2 [(储— J2a2)2 +(c"a)2],
Q = 2/ {[為一d(/ - 1)2]2 + [%a(J - 1)]2.
По абсолютной величине.——Прим, перев.
ОБСУЖДЕНИЕ
Решения уравнений (12) и (13) устойчивы в обычном математическом смысле (т. е. движение остается ограниченным при / —> оо)，), когда йц w 0 н du V 0. Знак величины ап непосредственно определяется знаком а. Поэтому условия устойчивости можно представить в следующем виде:
aw。，(14а)
duW0・(146)
Найдено, что аналитические выводы, полученные применительно к движению космического
аппарата, свободного от внешних воздействий (т. е. уравнения (21) статьи [1 ] при больших значениях параметра Q), в точности выражаются уравнениями (13) настоящей работы. Таким образом, появление уравнений (12) и критерия (14а) обусловлено влиянием сил притяжения, учтенных в данной работе%
Критерий (146) не требует дополнительных пояснений в связи с обилием литературы, посвященной движению спутника с двойным вращением при отсутствии внешних сил [I ]. Для проверки критерия (14а) к уравнениям (3) и (4), рассматриваемым при / = 0, были применены условия Рауса [т. е. рассматривались уравнения (За), (36) и (4а), образующие си-
? 0 0 о о <
>0 0 0 0(
/% ООО? 1 1
-80[
1
1 1
-勿1
)0 0 0 0
-勿
а
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1 А
-1
〃或 〃4 弱〃} t/
-201
1
С X X X X :
—4〃
(X X X X
-60
1 1 1
1 学
1 1
—80
ххххххххххх
Рис. 4. Графическое описание не-устойчивости при помощи плоско-сти параметров при а《0.
R = 0,1; С] = 0,1; 々[=5; ц = 0,001.О устойчивость, X неустойчивость.
стему линейных уравнении
с
постоянными
коэффициентами ].
Можно убедиться, что соответствующие выводы, показанные
на рис. 4, полностью согласуются с упомянутым критерием, когда величина |а| больше 10.
Изложенная теория была использована для исследования дви
жения спутника, параметры которого близки к параметрам спут-
1) Здесь имеется в виду только устойчивость по Лангранжу; см., например, книгу Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца «Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова», «Мир», М., 1964, гл. IV. — Прим, перев.
Уравнения, полученные методом осреднения, описывают (приближенно) искомое движение лишь на конечном (хотя и большом) интервале времени. Соответственно надо понимать условие устойчивости, полученное в силу этих уравнении. —Прим. ред.
ников «Таксат» или «Интелсат-IV» [4 ]; ось собственного вращения спутника была ориентирована так, что параметр а имел отрицательную величину. Было обнаружено, что если начальная амплитуда раскачивания спутника составляет 0,0Г, то эта амплитуда возрастет до 0,1° за 1,6 1013 лет. Таким образом, рассматриваемое движение технически х) неустойчиво в том смысле, что оно неограниченно расходится при / —* оо; для современных инженерных прикладных задач эта неустойчивость несущественна.
Список литературы
Vigneron F. R., Stability of a dual-spin satellite with two dampers, J. Spacecraft and Rockets, 8, №4, 386—389 (April 1971); см. русский перевод на стр. 79 данного сборника.
Kane J.R.,Mingori D. L., Effect of arotor onthe attitude stability of a satellite in acircularorbit, AIAA Journal,3, № 5,936—940 (1965), русский пере
вод: Кейн, Мингори, Ракетная техника и космонавтикау 3, № 5, 173 (1965).
ВолосовВ.М ,обзор в журнале Успматем.«., 17, № 2, 217—265 (1962).
VelmanJ.R.,Attitude dynamics ofdual-spin satellites, SSD60419R, Sept.
1966, Hughes Aircraft Co , El Segundo, Calif
По-видимому, теоретически. — Прим, перев.
УСТОЙЧИВЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СПУТНИКОВС ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ,ОБУСЛОВЛЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫМДЕМПФИРОВАНИЕМ)
У. Лайкине, Цэн Гань-тай, Д. Л. Мингори
ОБОЗНАЧЕНИЯ
〃 —расстояние от оси крепления (геометрической оси) до прямой, вдоль которой колеблется материальная частица по отношению к телу В;
В* ——твердое тело и его центр масс соответственно; с ——постоянная демпфирования;
D — сила трения, развиваемая колебаРтельной системой демпфера, несомого телом В; уравнение (21);
Е — скорость изменения механической энергии в теле В;
G ——величина, входящая в уравнение (30) и определяемая соотношением (26);
%, /1 ——моменты инерцйи тела В соответственно относительно оси крепления и оси, ей перпендикулярной и проходящей через центр В*;
k ——постоянная пружины колебательной цепи демпфера, несомого телом В;
М, т ——массы тела В и материальной частицы демпфера, колеблющейся в теле В;
ть — масса каждой из трех частиц, связанных с телом В, равная сумме массы m и массы кожуха соответствующего демпфера;
п —— показатель степени, характеризующий закон демпфирования (19);
т =他/向〔/2 /| А|;
Xi, X?, Х3 ——трехгранник взаимно перпендикулярных осей, связанных с телом В; Х3 ——ось симметрии тела В, совпадающая с осью крепления и служащая общей осью симметрии системы тел В и В';
р = т/МТ\
С ——приведенный коэффициент вязкого трения демпфера, установленного на теле В;
/ =厶+厶+ 4恤废+ 4加3аy +(m‘ + 4崛)X
X (J - V)/2；
С =厶 + /з + 4g@2 + 4加力(#)2；
/з = /з + 4嗚(а);
МТ = М + М' + 4mb + 4侬；
/ — расстояние между точками В* и В*';
I* = I (М + 4恤)/М「；
/2 = r (m' + 4期)/嶋；
q = С/Л;
q = /зМ;
Р = аз。(Q —入)入-[(戶—1)2 + (2^)2]-l/2;
旷=壮①。(Q + о _ Г) (V)-2{ [(Q2 一 1 卩 +
+ (22力)4-1/2;
九=(q — 1) £2 + q'o — «частота нутации» в теле В;
X = (q — 1) Q -j-(矿 一 1) о — «частотанутации»
в теле В';
◎ — номинальное (опорное) значение скорости о)з；
о ——постоянная угловая скорость тела В' по отношению к телу В;
0 — угол нутации;
Е = pz + р‘2‘；
V = (ЛГ 4ть)/Мт;
р = о/;
sip = sin 屮；
сф = cos
coi,①2，①з ——проекции абсолютной мгновенной угловой скорости тела В на оси Xlt Х2, Хз соответственно.
ВВЕДЕНИЕ
В приближенном исследовании, выполненном в 1964 г. при весьма ограничительных предположениях [1 ], была отмечена целесообразность использования системы с двойным вращением для стабилизации углового положения долговременных спутников; эта же мысль была развита в 1965 г. в устном сообщении [2] при менее ограничительных условиях. В 1967 г. [3] данный метод получил признание в США. К 1969 г. многие проектировщики космических аппаратов серьезно стали рассматривать систему с двойным вращением в качестве конкретной конструктивной возможности; в нескольких космических аппаратах система была уже принята. На эту тему появились статьи научно-исследовательского характера (например, [7—13]) и многочисленные тома внутренних отчетов фирм. Но только недавно в печати появились сообщения о полетных данных первого долговременного спутника с двойным вращением «Таксат-1» [14]. В настоящее время стало
очевидным, что аномалии, наблюдавшиеся в полете спутника, можно объяснить, только исходя из тех характеристик системы, которые не были учтены во всех предшествующих исследованиях.
Космический аппарат представляет собой очень сложную электромеханическую систему. В целях удобства аналитического исследования и числовых расчетов желательно упростить математическую модель этой системы; однако это сделать трудно, не жертвуя ее существенными динамическими свойствами. В настоящей статье наглядно показано, как важно при построении математической и физической моделей системы достаточно точно учитывать природу различных механизмов рассеяния энергии в спутнике; при этом следует учесть возможные нелинейные характеристики, способные вызвать явления, принципиально отличные от явлений, имеющих место в линейных системах. Летные характеристики спутника «Таксат-1» 】)показывают, что действительные спутники могут обладать описываемыми ниже свойствами.
Исторически понимание влияния рассеяния энергии на устойчивость углового положения тела было в значительной мере облегчено эвристическими соображениями, ставшими известными под названием «энергетического» метода исследования. Вкратце процесс познания развивался следующим образом: первоначально предполагали, что аппарат (будь-то просто вращающееся твердое тело, или система с двойным вращением, или система с многократным вращением )) состоит из минимально необходимого числа жестких звеньев, не способных рассеивать энергию; цель исследования такой системы заключалась в нахождении углового движения аппарата при отсутствии моментов внешних сил. Далее признали наличие частей аппарата, рассеивающих энергию; рассчитывали относительные движения, приводившие к рассеянию энергии, причем движение носителя задавалось заранее, исходя из предположения об отсутствии внутренних перемещений. Наконец, скорость рассеяния, полученную указанным образом, принимали в качестве меры убывания кинетической энергии аппарата, рассматриваемого согласно исходной модели. Конечно, такая методика последовательных приближений формально не обоснована. Заключения, полученные на ее основе, должны быть подтверждены при помощи более достоверных методов. Однако изложенный прием неоценим при предварительных оценках.
В статье [4] среди других результатов проведено энергетическое исследование, приведшее к установлению общего признака устойчивости; последний служит обобщением условия устойчивости, выведенного в работе Йорилло [2]. Пусть Е — скорость рас-
сеяния механической энергии корпуса, Ef ——соответствующая скорость для маховика г). Тогда для существования устойчивости требуется выполнение неравенства
由九+方/汇V0, (1)
где величины 九 и * пояснены в списке обозначений. Ниже показано следующее: пусть корпус вращается достаточно медленно по отношению к инерциальному пространству, а момент инерции маховика относительно оси крепления меньше экваториального момента инерции ) спутника; тогда величина 九'отрицательная, а величина X положительная. Но обе величины £ и Е' отрицательны. Поэтому отсюда можно заключить, что рассеяние энергии в маховике оказывает дестабилизирующее влияние ). Эти выводы пользовались на протяжении нескольких лет всеобщим признанием. Основное утверждение настоящей работы состоит в том, что при использовании нелинейных законов демпфирования неравенство (1) может быть нарушено при движениях, происходящих в непосредственной окрестности номинального (стабилизируемого) движения. Тем самым возникает неустойчивость движения. В то же время при несколько больших значениях угла конусности 0) упомянутое неравенство может соблюдаться, что указывает на прекращение возрастания угла 0 или на образование устойчивого предельного цикла ). Этот результат зависит только от характера изменения скоростей Е и 月'с изменением угла 0. Например, если производная Е возрастает пропорционально квадрату угла 0, а производная 巨'растет линейно, то энергетический подход к исследованию устойчивости наверняка укажет на существование устойчивого предельного цикла.
Цель данной работы будет достигнута, если для определенной идеализированной модели спутника с двойным вращением можно будет показать следующее: некоторый выбор законов демпфирования обусловливает существование установившейся прецессии в сочетании с неустойчивостью стабилизируемого движения спутника с двойным вращением; при этом указанные выводы могут найти подтверждение при помощи моделирования на цифровой вычислительной машине, основанной на точных уравнениях движения.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Сосредоточим внимание на рассмотрении определенной идеализированной модели спутника с двойным вращением (рис. 1), ранее уже описанной в литературе [5]. (Последующие рассуждения применимы в принципиальном отношении также и к любой другой
Ри с. 1. Идеализированная схема космического аппарата с двойным вращением.
модели, допускающей рассеяние энергии как в корпусе, так и в маховике.) Эта модель состоит из двух твердых тел В и В\ каждое из которых несет по одной материальной частице. Каждая частица способна совершать колебания на пружине вдоль прямой, параллельной оси крепления (единичному вектору Х3), относительно тел В и В' соответственно. Угловая скорость тела В' относительно тела В равна оХ3, причем величина о поддерживается постоянной. Перемещения указанных колеблющихся частиц в телах В и В'
определяются координатами z и z' соответственно (массы частиц обозначены через m и т\ а жесткости пружин — через k и kf соответственно). Когда 2 = 2’ = 0, спутник обладает точной осевой симметрией i).
В работе [5 ] было принято, что к частицам приложены силы сопротивления——сгХ3и——с'^'Хз, обусловленные вязким трением; законы демпфирования приняты линейными. Поэтому оказалось возможным провести исследования устойчивости движения при помощи линеаризованных уравнений. Последние уравнения имеют периодические коэффициенты. Для получения условий устойчивости в работе [5 ] было проведено численное исследование уравнений Флоке. В настоящем исследовании исходной точкой служит точное решение нелинейных уравнений движения системы, показанной на рис. 1, при линейном законе демпфирования. Ниже выписаны уравнения движения, отличающиеся только заменой сил сопротивления —cnX? и —c'2'Хз общими выражениями DX3 и Д'Хз этих сил соответственно. Благодаря этому можно исследовать поведение системы при разнообразных видах зависимостей D и D'. Используя обозначения, приведенные в начале статьи, запишем уравнения движения
Лс)1 — (Л — С) З2З3 + J&O32 + 2Л1т^й)1 + AJfF (о)1 — 3承3)+
+ m {—2 (& + /2) [z (厶 1 — <o2co3) + 遍】+
+ z [—2^0) i + 223] + Z(0)1 — <0 2^3)— О ®з + 3132)]} +
+ mfW1 = 0,⑵
где
取 1 = -2 (E J厶)[2‘(0)1 — (0 2^3) + 2‘31] + 2‘ [-2也1 +
+ 2z 31 + 2'(① 1 — З2З3) — 0气2 (①3 + co 1 co2)] +
+ 优Sp {? + 2' [(33 + 0)2 — 3幻};
/(02 — (С — /) С01<0з — J&OC01 + 2Мт&±й)2 + М?三2(0)2 + 31例)+
+ 团{■—2 (E + 丄2)【2 ®2 + З1З3) + 2^2】+ Z [—2^(0 2 +
+ 2z(J)2 + Z (й)2 + 3].3з) ] — 0【2 + 2 (①^ — 3?) }} +
+ mrW 2 = 0,(3)
где
呼2 = —2 化一/1) 1г'(G)2 + ① I① 3)+ Z‘32】+ 2’【一2^(0 2 +
+ 2z C)2 + Z‘(й)2 + 31例)]—Me屮{ 2’ + 2’ [(0)з + О)?—①扌]} 一"*
—q'sipz'(Зз — co 1<02)»
Имеется в внду симметрия распределения масс. — Прим порее,
Со)з — та [223] + г ((ох —(о2(о3) ] — m'a'sp [2г'со2 +
+ z' ®2 + З1З3) ] — m'q'c屮[2г,со1 + г' ((ох — З2З3) J — 0; (4)
m (1 - p) z - m，pz‘ - mа (例一回例)一m (3? + 3力 X
X (2 (1 — р) — /2 — p'z，] — D + kz = 0;(5)
—mp'z 十 M (1 — p') 2’ +
+ 俏％' (sip [厶1 十 o)2 (<o3 + 2a)] — сф [со2 — o)i ((о3 + 2а) ]} —
-”(/ + 喲[z‘(1 — p') + % - pz] — D + 父n' = 0.(6)
ИССЛЕДОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА
При исследовании энергетическим методом начинают с решения уравнений движения спутника, считая подвижные внутренние части закрепленными в нем; таким образом, в уравнениях (2)——(4) координаты z и 2' полагают равными нулю. Тогда из уравнения (4) следует, что 33 = 0. Заменим в уравнениях (2) и (3) постоянную о)з ее значением Q; после этого упомянутые уравнения примут вид
~|~ 入з 2 ^23 0,[з 2 — А(й) j == 0,(7)
где q 三 СМ и q'三 J^A,
X 三[(C — 4) Q + Jgcr ]/4 = (g — 1) Q + q'cr. (8)
Уравнения (7) имеют решение
o)2 = 3o cos 九/, o)i = ——со。sin А/(9)
при начальных условиях со2 (。)=铀 н 卽(0) = 0. Из этого решения видно, что параметр 九 можно рассматривать как частоту вращения экваториальной составляющей угловой скорости тела В в этом теле. Некоторые исследователи назвали этот параметр «частотой нутации в теле В». Конечно, можно с таким же успехом написать уравнения (7), так что роль тела В будет играть тело В'; для этого достаточно снабдить все символы штрихом с соответствующим изменением смысла обозначений. Тогда параметр 九‘ («частота нутации в теле В'») выражается через параметры системы, входящие в соотношение (8), следующим образом:
九'=(q - 1) ◎ + (矿一1) а.(10)
Теперь становится ясно, что при достаточно малой угловой скорости й тела В всегда 九〉0, и если Jg < 4, то 九’< 0. Для системы, рассматриваемой в настоящей работе, производные Е и 上'отрицательны. Поэтому критерий (1) ввфажает то свойство, чго
при принятых условиях рассеяние энергии в теле В оказывает стабилизирующее воздействие, тогда как рассеяние энергии в теле В' дестабилизирует систему. Теперь предположим в духе энергетического метода, что на обоих телах В и В' установлены демпфированные линейные колебательные цепи; примем еще, что решение (7) в достаточной мере описывает движение спутника. Тогда можно решить уравнения движения колебательных цепей (считая движения оснований заданными) и подсчитать производные Ё и Ег.
Линеаризуя уравнение (4) по переменным o)i, со2, % и z', убеждаемся в постоянстве со3 = Q; относительная скорость о принята постоянной с самого начала так же, как и в статье [5]. Остальные уравнения движения после линеаризации по переменным з】,(о2> z и 2’ принимают вид
24coi + [(С — 4) Q + »/з。] о)2 +
+ mfaf (sin at) [?十(Q 十 a)2 z' ] = 0, (11) 4й)2 —【(С — Л) Q + J3(i ] o)i — ma (z 十 Q2z)—
—m!ar (cos о2) [2 十(Q + a)2 z' ] =0, (12) ш (1 — p) 2 — tnf pz^ — ma (co 2 — аз。一 D + kz =0, (13) 加’(1 — p') У — /пр'，' + mra {(sin o/) [6] + (Q + 2a) w2]—
—(cos of) [ci? — 9 + 2a) 3‘] — D + krzr = 0. (14)
Решение (9) относительно скоростей ①式/) и <o2(Z) получено при отбрасывании в уравнениях (11) и (12) членов, содержащих координаты z и /. Теперь остается лишь подставить это решение в уравнения (13) и (14) и решить получающиеся в результате уравнения относительно координат z н z‘. Для облегчения этого пренебрежем малыми величинами р и р'; тогда уравнения оказываются «несвязанными». Одновременно примем для величин Q и Q' эквивалентные выражения силы вязкого трения. Последнее допущение позволяет получить приближенное решение уравнений (13) и (14) без ограничения закона демпфирования каким-либо одним определенным выражением. Все критические свойства нелинейной природы демпфера сохранятся при условии, что «эквивалентная приведенная постоянная вязкого трения» рассматривается как функция амплитуды колебания. В итоге уравнение (13) принимает простой вид:
z + 2cpz + p2z = a%(Q — X) sin 九f, (15) где р2 =归/m； «эквивалентная приведенная постоянная вязкого трения» С подлежит определению, исходя из следующего условия: при искомом значении этой постоянной скорость рассеяния энергии при данной вынуждающей силе должна приблизительно равняться скорости, обусловленной определенной демпфирующей
силой D. Ниже это условие определено более точно. Уравнение (15) имеет установившееся решение
z = § sin (九/ + 例，(16)
где
₽ 三敬)0 (С 一九)Г2 [(f2 - I)2 + (2⑺2卜1/2； 「三 p/1 九I и
小三 arc tg [2T (1 -厂尸 sign (九)].
Выполняя подсчеты для демпфера, установленного на теле В\ получаем
? + 2?p'z，+ р，2/ = а%。(С + о —九')sin 九"，(17)
где p'2 三 H丨m‘, а постоянная 7 определена подобно постоянной g. Уравнение (17) имеет решение
/ =庠 sin 仇"+ “).(18)
Здесь F 三优 co。(Q + a-九‘)(支1[(1-1产 + QP'产L". Величины г' и * определяются подобно величинам г и $.
Остается подсчитать работу демпфирующих сил D и Df, возникающих при перемещениях подвижных частиц демпферов, вызванных движением спутника; эти перемещения приближенно описываются уравнениями (16) и (18). Сначала ограничимся рассмотрением класса демпфирующих сил, описываемых степенными функциями:
D = —cm] I zcr1^1 |n sign z, ..(19)
Dr = —с'。％ I z' (〃')т『F sign z', где 刀三 I qQ + qro |. Таким образом, линейная демпфирующая сила соответствует выбору показателя степени п (или 〃')，равного 1, квадратичная демпфирующая сила ——значению м (или м'), равному 2, а кулоновская сила («сухое трение») — предельному случаю п (или 〃')，равному 0.
При подсчете работ внутренних сил в телах В и В' следует иметь в виду, что работу производят равные и противоположно направленные силы взаимодействия между каждой из подвижных частиц и кожухом демпфера. Так, в теле В полная работа определяется выражением
Г (0 = J [(F。• V。)+ (— F人 ”*)]九，(20)
о
где Fp — сила, приложенная к колеблющейся частице, a Vp —— абсолютная скорость этой частицы. Здесь под знаком интеграла скалярное произведение силы реакции — F。на скорость точки
кожуха демпфера, с которой совпадает упомянутая частица в данный момент времени. Напомним, что единичный вектор Х3 параллелен оси крепления. Соотношение
5 = 3* + ?Хз(21)
позволяет привести интеграл (20), описывающий работу, к виду t
Г (0 - J (—狂 + D) г 丸(22)
о
где силу D можно заменить ее выражением из соотношений (19). Конечно, аналогичное выражение можно получить для работы Wf (/), создаваемой при помощи демпфера, установленного в теле В'.
Можно оценить быстроту рассеяния энергии, подсчитав энергию, рассеиваемую при свободной прецессии (нутации),- и поделив полученную величину на соответствующий период. Вычисления приводят к соотношению (при любом начальном моменте времени т0)
£ = I 九 I (2冗尸 J (—kz + P) г dq(23)
To
где Ti 三 2л/|Х|; для производной Ёг имеет место соответствующее уравнение, содержащее те же параметры, но со штрихами.
Упругие силы —kz и ——A'z' пружин никак не влияют на величины Ё и по той причине, что эти силы консервативные; это выражается в том, что соответствующие тригонометрические функции ортогональные. Подставляя (19) в соотношение (23), получаем равносильное значение интеграла (за одну четверть периода)
л/2
Ё = —2л~1ш2т]2 j I (%-1『尸+11 d(p,(24)
о
где ф н |Z| (т — т0). Подставляя решение (16) в уравнение (24), находим теперь, что
巨=—2лГ%%。2Gl 九§ (ш])т『+*(25)
где т0 выбрано равной </>/| 九 I, и при помощи гамма-функции, Г имеем
л/2
"器±錫•(26)
Исходя из уравнений (18) и (19), можно вывести соответствующее выражение для производной Е\ Используя приведенные выраже-
ния производных Ё и Е\ можно выписать прямо неравенство (1), определяющее энергетический критерий устойчивости. Однако можно получить более полезный вид этого критерия, выразив величину боковой угловой скорости 3° через угол 0:
о)о = I (qQ + 矿о) I tg 0 = Т)tg 0. (27)
Используя равенства (16), (18) и (25), соответствующие равенства для производной 应'и (27), приводим неравенство (1) к виду
СО2G(д — 1) Q + q'oСО2G(д — 1) Q + q'o(g — 1) Q + (д' — 1)。(g — 1) Q + (д' — 1)。XX储—1) Q + q'o] [(J 一 1)2 + (2⑺2J1/2 十
СО2G
(д — 1) Q + q'o
СО2G
(д — 1) Q + q'o
(g — 1) Q + (д' — 1)。
(g — 1) Q + (д' — 1)。
X
X
v I[(2—«)R + (2 — “)o]tg8
X丨心—I) Q + (/-1)。][(尸一 1)2 +結/产产I 5
В предшествующих приложениях внимание сосредоточивали на разборе случая п — п' = 1, отвечающего вязкому (линейному) демпфированию как в корпусе, так и в маховике. В этом частном случае чисто вязкого трения величины С и С' — просто постоянные. Они выражаются в виде
С = с/[2 (М1/21 = d2pm, 7 = c'/2p'm'・(29)
Обобщим эвристический критерий устойчивости (28) с тем, чтобы учесть нелинейное демпфирование. При этом следует отметить, что понятие «эквивалентное приведенное вязкое трение» справедливо только применительно к некоторой вынуждающей функции, которая определяется правыми частями уравнений (15) и (17). Для колебательных цепей, содержащих нелинейное демпфирующее устройство и несомых данным телом, приведенные коэффициенты вязкого трения С н С' уже не постоянны, так как они зависят от переменной соо (или 0). Поэтому до пользования критерием устойчивости нужно установить зависимость величин С и С от параметров системы и от переменной 0. Затем следует подставить полученные зависимости в неравенство (28). Определим величины С и 工'так, чтобы при этих значениях сохранялась та же скорость рассеяния энергии в равносильных колебательных цепях с вязким трением и при тех же вынуждающих силах. Выведем выражение, определяющее параметр С・ Тогда соответствующее выражение для параметра Г можно написать по образцу указанного выражения.
Дважды используя соотношение (25), можно получить два выражения скорости рассеяния; эти два выражения следует приравнять. Приравнивая значение производной Ё, определяемое
соотношением (25), ее значению в частном случае /г = 1, получаем (сокращая общие множители и замечая, что с = 2P<т и G = л/4 при м = 1)
3 npg加俨九2 (а哨一2 = cG| 邙(ш])-1|〃+1. (30)
Преобразуя уравнение (30) и заменяя величину(оо ее выражением (27), имеем
｛九2 [(产-1)2 + 4p2 Mh =
=2cG (прCm)-11 (tg 0) (Й —九)|i.(31)
Каждую из частей равенства (31) можно возвести в степень 2/(п ——1) и поделить на X2, тогда
y/S-D [4产(n0加)2/(门一1)] +(2/5_1) /2 — ])2 (n0向2/(口一1)]=
=(2cG)2/( Ji) (tg2 0) (Q -九)2/М. (32)
Этот результат не верен при 〃 = 1; в указанном случае следует пользоваться соотношениями (29). Воспроизводя указанный вывод, можно найти уравнение относительно параметра 7, тождественное уравнению (32) с тем исключением, что множитель (Q ——九)2 заменяется множителем (Q + о ——九尸，а все величины, кроме переменной 0, заменяются соответствующими величинами со штрихом.
Подстановка решений указанных уравнений относительно J н 7 в неравенство (28) приводит к окончательному выражению энергетического критерия устойчивости.. С точки зрения цели данного исследования 'самая примечательная черта этого критерия устойчивости состоит в зависимости результата от угла 0. В случае 几'< п указанное условие может быть нарушено при значениях угла 0, близких к нулю, но удовлетворяется при значениях угла 0, превышающих некоторую конечную величину. Итог проведенного рассуждения можно выразить следующим образом: имеет место устойчивый предельный цикл, соответствующий тому значению угла 0, которое обращает в нуль левую часть неравенства (28).
Во многих приложениях одно из тел (пусть это будет тело В) в программном движении не вращается по отношению к инерциальному пространству (т. е. 0 = 0), а приведенные параметры демпфирования g и С' малы настолько, что они оказывают пренебрежимо малое влияние на величину левой части неравенства (28), коль скоро числа гиг' существенно отличны от единицы. При этих предположениях условие устойчивости принимает вид (полагаем а > 0 и сокращаем на о, где это возможно)
0.0.(33)(33)са2G I tg 8 |屮cZ給 I (2—小g8
0.
0.
(33)
(33)
/ И2-—1 Iд'— 1 I (1 — gz) (r,2— 1)
В качестве наглядного примера значимости последнего заключения рассмотрим данный критерий устойчивости применительно к аппарату, для которого отношение моментов инерции д' = 1/3, а параметры настройки суть г = г' = 2. Тогда (после деления на множитель 3) критерий принимает вид
са2Gl ) tg е Г - 4 cv2gJ(4-) tge|n，+1>0. (34)
В частном случае n = 1 (вязкое демпфирование в системе невращающегося тела В) и nz —> 0 (причем 〃' = 0 соответствует предельный случай демпфирования при помощи кулонова трения на вращающемся теле В') функции G и G' определяются выражениями
G = л/4, limG' = l・ (35)
В предельном случае 〃' — 0 условие устойчивости принимает вид (после сокращения на множитель 1/2)
tg 0 [tg 0 — 15с а2 (лш2)-1 ] > 0. (36)
В дальнейших рассуждениях условимся для удобства называть сублинейными, линейными и сверхлинейными силы демпфирования, пропорциональные скорости с показателем степени, меньшим, равным и большим единицы соответственно. Из неравенства (36) очевидно, что при 九=1 и 〃' 一> 0 нулевое решение системы неустойчиво независимо от значений параметров с' и с. Это означает, что никакой линейный (иначе, вязкий) демпфер, установленный на невращающемся теле В, не в состоянии обеспечить устойчивости, если демпфер на вращающемся теле В' развивает самое малое сублинейное демпфирование. Отметим, что демпфирование при помощи кулонова трения представляет собой предельный случай сублинейного демпфирования. Тем не менее с этим трением связаны особые задачи, обусловленные явлением существования области застоя, не учтенным в неравенстве (36).
Чтобы получить предельный цикл для рассматриваемой системы при 0 = 1°, нужно удовлетворить в силу условия (36) требованию
с а2 (т2)-1 = (л/15) tg 1° = 0,00366. (37)
Этому числу могут соответствовать силы, достаточно малые для того, чтобы при поверхностном подходе к задаче впасть в ошибку, состоящую в пренебрежении учетом влияния демпфирования в системе тела В\ И все же эти малые силы разрушают устойчивость решения при 0 = 0 и приводят к возникновению ошибки ориентации геометрической оси аппарата в 1°, причем направление, в котором имеет место эта ошибка ориентации, будет меняться.
Рис. 2. Схематическое изображение возможных фазовых траекторий боковой составляющей абсолютного углового движения аппарата.Рис. 2. Схематическое изображение возможных фазовых траекторий боковой составляющей абсолютного углового движения аппарата.В прикладных задачах следует ожидать возникновения некоторой области застоя, если трение в колебательной цепи является кулоновым. Это означает, что при достаточно малом возбуждении колебательная цепь с кулоновым трением вовсе не придет в движение и не произойдет рассеяния энергии. В целях качественного описания влияния демпфирования при помощи кулонова трения в системе маховика с учетом области застоя в сочетании с вязким демпфированием в системе корпуса на рис. 2—4 схематически изображено соответствующее поведение системы.
Рис. 2. Схематическое изображение возможных фазовых траекторий боковой составляющей абсолютного углового движения аппарата.
Рис. 2. Схематическое изображение возможных фазовых траекторий боковой составляющей абсолютного углового движения аппарата.
На рис. 2 показаны три траектории на плоскости переменных а>1， о)2， соответств ующие трем совокупностям начальных значе
/ — порог нечувствительности; 2 —устойчивый предельный цикл./ — порог нечувствительности; 2 —устойчивый предельный цикл.Рис. 3. Схема возможных состояний системы при вязком демпфировании в системе корпуса и демпфировании при помощи кулонова трения в системе маховика.Рис. 3. Схема возможных состояний системы при вязком демпфировании в системе корпуса и демпфировании при помощи кулонова трения в системе маховика.ний, определяемых точками At В и С. При достаточно малых возмущениях (точка А) порог чувствительности не превышен и программное движение (ему отвечает начало координат) асимптотически устойчиво (но не в большом). Несколько большее возмущение (точка В) вызывает растущее отклонение движения от программного, коль скоро I 戌/А/ I превышает | 百爪 |. Но производная 月'прямо'пропорциональна величине вектора на плоскости со?, так как эта величина служит мерой потерь энергии в демпфере с кулоновым трением. Производная Ё пропорциональна квадрату величины этого вектора, что выражает свойство вязкого демпфера. Таким образом, из неравенства (1) следует, что для этого вектора существует предел, к которому его величина приближается асимптотически, изображение, характеризующее
/ — порог нечувствительности; 2 —устойчивый предельный цикл.
/ — порог нечувствительности; 2 —устойчивый предельный цикл.
Рис. 3. Схема возможных состояний системы при вязком демпфировании в системе корпуса и демпфировании при помощи кулонова трения в системе маховика.
Рис. 3. Схема возможных состояний системы при вязком демпфировании в системе корпуса и демпфировании при помощи кулонова трения в системе маховика.
/ — порог нечувствительности, 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи кулонова трения, 3 ——устойчивый предельный цикл, 4 — влияние вязкого демпфированияПоэтому на рис. 2 появляется устойчивый предельный цикл./ — порог нечувствительности, 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи кулонова трения, 3 ——устойчивый предельный цикл, 4 — влияние вязкого демпфированияПоэтому на рис. 2 появляется устойчивый предельный цикл.Если бы аппарату сообщить значительное начальное возмуще-
/ — порог нечувствительности, 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи кулонова трения, 3 ——устойчивый предельный цикл, 4 — влияние вязкого демпфирования
Поэтому на рис. 2 появляется устойчивый предельный цикл.
/ — порог нечувствительности, 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи кулонова трения, 3 ——устойчивый предельный цикл, 4 — влияние вязкого демпфирования
Поэтому на рис. 2 появляется устойчивый предельный цикл.
ние, такое, что величина вектора на плоскости ①小 со2 превысила бы значение, соответствующее предельному циклу (точка С), то величина этого вектора убывала бы до этого значения. На рис. 3 дано другое истолкование того же самого поведения системы, изображенного на рис. 2 на плоскости фазовых переменных 0 и 0.
На рис. 4 дано непосредственное графическое изображение условия устойчивости: в области, заштрихованной наклонными линиями, кривая, изображающая отношение ЕЧ\Г, проходит выше кривой, изображающей отношение ——А/Х. Следовательно,
Рис. 4. Схема, характеризующая влияние изменения угла конусности на устойчивость (см. рис. 3). / — влияние вязкого демпфирования (парабола), 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи ку- лонова трения, 3 — устойчивый предельный цикл, 4 — порог нечувствительности, 5 ——область устойчивостиРис. 4. Схема, характеризующая влияние изменения угла конусности на устойчивость (см. рис. 3). / — влияние вязкого демпфирования (парабола), 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи ку- лонова трения, 3 — устойчивый предельный цикл, 4 — порог нечувствительности, 5 ——область устойчивости
Рис. 4. Схема, характеризующая влияние изменения угла конусности на устойчивость (см. рис. 3). / — влияние вязкого демпфирования (парабола), 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи ку- лонова трения, 3 — устойчивый предельный цикл, 4 — порог нечувствительности, 5 ——область устойчивости
Рис. 4. Схема, характеризующая влияние изменения угла конусности на устойчивость (см. рис. 3). / — влияние вязкого демпфирования (парабола), 2 — влияние демпфирования, создаваемого при помощи ку- лонова трения, 3 — устойчивый предельный цикл, 4 — порог нечувствительности, 5 ——область устойчивости
в этой области угол 0 возрастает, приближаясь к его значению на предельном цикле. В области, заштрихованной вертикально, имеет место обратная картина и угол 0 убывает до его значения на предельном цикле.
На рис. 3 и 4 приведены динамические свойства рассматриваемой модели спутника с двойным вращением при небольшом линейном демпфировании в системе корпуса и демпфировании при помощи кулонова трения (с областью застоя) в системе маховика. На этих рисунках не были учтены члены левой части неравенства (28), содержащие параметры С и 7・ Однако, когда имеет место значительное демпфирование или же колебательная цепь настроена на критическую частоту (г или г' близка к единице), влияние параметров g и С' может быть заметным. Исследуя условие (28) более подробно в частном случае гг = 2, 〃' = 1, видим, что может существовать устойчивый предельный цикл при некотором значении yrjfa 0 и неустойчивый предельный цикл при некотором большем значении угла 0. Это означает, что кривые на рис. 4 могут пересекаться дважды, когда в системе маховика имеется заметное линейное (вязкое) демпфирование. Для этого частного случая подставим в левую часть неравенства (28) соответствующие выражения параметров 0 и 庠 и учтем соотношение (27). Тогда условие устойчивости примет вид
^{a^cG^ — С力加'У?*?〉° (38)
В алгебраических преобразованиях, позволивших перейти от неравенства (28) к неравенству (38), использовались соотношения (29) для с' и обе части этого соотношения были умножены на 2 刀2/冗.Вместо G' было подставлено его значение л/4, а параметр V предполагался отрицательным (см. равенство (10)).
Критические значения угла 0, соответствующие нейтральному состоянию (называемые здесь значениями, соответствующими предельному циклу), находятся из уравнений, соответствующих обращению в нуль левой части неравенства (38); это уравнение решается относительно функции tg 0, входящей в выражения для переменных р и р\ Для этого решаем уравнение относительно переменной р, учитывая точное выражение для С при п = 2 на основании уравнения (32)、В уравнении (32) полагаем п == 2, умножаем обе части его на (2/7лрт)2 и используем выражение квадрата переменной р； приходим к уравнению
(4cG/a^m)2 Р4 + (г2 — I)2 Р2 — [ат] (Й —九)Г2 tg 6]2 = 0. (39)
Определив должным образом постоянные аъ а2, а?, перепишем уравнение (39) в следующем виде:
0止4 + "2俨 一 03tg2 6 = 0.(40)
Тогда решение для § можно записать в виде
6 = {[_& + (说 + 4%& tg2 В)" ]/2%}”・(41)
Знак перед корнем выбран из условия сохранения должного знака переменной 0. Наконец, подставим это решение в критерий устойчивости (38), заменив в нем знак неравенства знаком равенства для получения нейтральных (или соответствующих предельному циклу) значений угла 0, обозначенных здесь через 0*. Подставляя (41) и соответствующее выражение для 0' в уравнение (38), находим
綵{*[一 "2 + (畸+4"化tg 2 8)勺厂一
_口恤傳 +0一九')]2 tg2 6* _ e»
九勺(u2— 1)2 +纹3刃——U
Именно это окончательное уравнение мы попытаемся решить относительно величины 0*, определяющей автоколебания по координате 0. Умножим обе части уравнения на ^а^3^ лат]/(2гСЛ2); коэффициент при tg2 0*, образованный после этого умножения, обозначим через а4. Тогда получим
【一〃2 + (磁 + 4а& tg2 С)% ]8/2 = & tg2 6*.(43)
Введем преобразование координат
屮=tg2 0*,(44)
возведем каждую из частей последнего равенства в степень 2/3, прибавим к каждой из них слагаемое а? н возведем результат
в квадрат; после вынесения за скобки общего множителя придем к уравнению
У (《"I%"/? — а：%" — Z&a：%) = 0・(45)
Теперь можно отметить решение у = 0 (или 0* = 0). Однако сосредоточим внимание на такой возможности, что может быть равно нулю выражение в скобках, т. е., вводя обозначения % и 〃б, напишем
"% =破 + *)■(46)
Возводя равенство (46) в квадрат и решая соответствующее уравнение относительно у, находим
Lf 土(货一％)%，(47)
где bi 三(2"5备--1)/(2成)и 決三(a6/爲)2. Обращая зависимоеть 夕/2 = tg2 6*, получаем в явном виде значение координаты 0, отвечающее предельному циклу:
tg"3 е* _ —仇 土(货 _ d”.(48)
Так как Ь? положительна, то существуют два вещественных корня по неизвестной tg 0*, если только
尻一匕2 > 0; bi > 0.(49)
Заменим в этих неравенствах величины 瓦 и Ь2 при помощи их выражений, приведенных： выше. Тогда придем к единственному требованию для существования двух значений координаты 0, отвечающих автоколебаниям:
4a5% < 1.(50)
Неравенство (50) зависит сложным образом от параметров системы; однако для рассматриваемых конструкций оно легко удовлетворяется.
Для дальнейшего подробного исследования выбрана опорная система аппарата, имеющая следующие неизменяемые параметры: моменты инерции А, В и J^ = 410, 200, 136 слаг-фут2 (2,63, 1,284 и 0,87 кг-м2), М = 17,3 слаг (1,18 кг), Mf = 20 слаг (1,37 кг), т = т‘ = 0,31 слаг (0,0212 кг), Q = 0, о = 6 рад/с, а =优= =2 фут (0,61 м) и / = 5 фут (1,525 м). Вычисления дают для частоты нутации значения 九=1,99 с-1 и 九'=——4,0 с". Величины г, г\ п, п\ с и с' (или С и ?) изменялись для исследования динамических процессов. Существование двух значений, порождающих предельные циклы, было установлено из уравнения (48) для данного аппарата при 几=2, 几'=1,厂=г' = 2, с = =246,79 фунт • с/фут (3640 кг-с/м) н с' = 0,263 ф унт • с/фут (3,88 кг-с/м) (что соответствует 7 =0,053). Из графика на рис. 5 следует, что по мере возрастания координаты 0 сумма Е/Х +
+ Е"Х принимает положительное, отрицательное и вновь положительное значения. Расчет указывает на существование устойчивого предельного цикла при 0* = 0,0182 рад и неустойчивого предельного цикла при 0* = 0,0885 рад.
На рис. 2——5 дана качественная картина поведения спутника с двойным вращением, основанная на предшествующем эвристическом исследовании. Такие картины полезны при качествен-
Рис 5. График характеристической кривой £/Х + ЕЧ'^ энергетического метода при вязком демпфировании в системе маховика и квадратичном демпфировании в системе корпуса.
/ — устойчивый предельный, цикл, 0* = 0,0182 рад, 2 — неустойчивый предельный цикл,, 0* = 0,0885 рад, 3 — линия, отделяющая область устойчивости' (внизу) от области неустойчивости (вверху)
6,paG ной оценке вращательного движения спутника с двойным вращением. Однако не следует полагать, что эти графики или энергетический критерий устойчивости, полученный выше, непременно доставляют надежные количественные данные о поведении спутника. Для получения достоверных количественных оценок следует непосредственно обратиться к уравнениям движения некоторой определенной системы. Поскольку в этих уравнениях нелинейные зависимости имеют существенное значение, такие уравнения можно в общем случае решить только путем численного интегрирования на цифровой вычислительной машине.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Для выполнения численного интегрирования запрограммировали нелинейные уравнения движения (2)——(6) для некоторой системы с двойным вращением, изображенной на рис. 1. Исследование осуществлялось при законах демпфирующих сил D и О', выражаемых соотношениями (19). Таким образом, программа составлялась так, чтобы можно было учесть сублинейное, линейное или сверхлинейное демпфирование, включая кулоново трение и некоторую модель области застоя. Во всех вычислениях на машине сохранялась опорная конструкция спутника, соответствующая рис. 5. Длительность моделируемого переходного движения ограничивалась обычно промежутком времени 60 с. Из многих расчетов, выполненных при помощи машины, заслуживают особого внимания три. Здесь мы называем их случай I, случай II и случай III.
Случай / .
п = 1, пл = 0, г = 1,5, г' = 2,0, с = 0,46273 фунт-с/фут (6,82 Н-с/м) (при этом С = 0,25) и d = 0,0095745 фунт-с/фут (0,142 Н -с/м). Принято, что на невращающемся корпусе В установлен демпфер, осуществляющий вязкое трение, а в системе маховика В' предусмотрено демпфирование при помощи кулонова трения. Из неравенства (28), соотношения (29) и уравнения (32), определяющего параметр следует оценка 0* = 0,0232, отвечающая предельному циклу. Угол 0 рассчитывался при шести различных начальных значениях 0О; отмечались изменения угла 0
Рис. 6. Результаты численного интегрирования для случая опорного аппарата при демпфировании при помощи кулонова трения в системе маховика и вязком демпфировании в системе корпуса.
во времени, а иногда строились графики для исследования устойчивости. Получены следующие данные (значения угла 0 указаны в радианах): 0,01 ——неустойчивость, 0,017 ——неустойчивость, 0,0232 — незначительная степень неустойчивости, 0,03 ——устойчивость, 0,05 — устойчивость, 0,17 ——устойчивость; постоянная времени составляла 17 мин. (Неустойчивость, обнаруженная при 00 = 0,01 рад, характеризуется отрицательной постоянной времени такого же порядка.) Таким образом, когда 0О = 0,17 рад (^10°), рассматриваемый аппарат, по-видимому, обладает требуемыми свойствами, и система приближается к требуемому состоянию 0 = 0 со скоростью, определяемой уменьшением угла 0 до 1/е от его исходного значения за 17 мин. Но 0 никогда не уменьшается ниже амплитуды устойчивого предельного цикла, составляющей около 1,3°. Если бы каким-либо образом аппарат был приведен в состояние, в котором угол отклонения равен нулю, то явление застоя предотвратило бы срабатывание дестабилизирующего демпфера в системе маховика до тех пор, пока какое- нибудь возмущение не сообщило углу 0 некоторое критическое значение (небольшая доля градуса). Тогда угол 0 мог бы возрасти до значения 1,3°. На рис. 6 показано поведение 0 во времени в соответствии с данными численного интегрирования при начальных значениях 0О = 0,01, 0,0232 и 0,17 рад.
Случай II
Этот случай отмечен ранее и соответствует рис. 5. Здесь численное интегрирование начиналось при четырех различных начальных значениях 0О (рад). Получены следующие выводы: 0,0017 — неустойчивость, 0,017 — небольшая степень неустойчивости, 0,034 ——устойчивость и 0,17 ——неустойчивость. Эти выводы полностью совпадают с заключениями, полученными на основании энергетической теории.
На выходе вычислительной машины печатались также средние значения отношений £/九 и 户'/・ за каждый период нутации. В большинстве машинных решений и во всех случаях, обозначенных через I и II, эти машинные решения оказывались в согласии со значениями переменных, вытекавшими из аналитического расчета; обнаружено хорошее совпадение выводов относительно устойчивости, полученных путем машинного решения (судя по изменению координаты 0 со временем) и аналитически (кривая на рис. 5 построена nq данным численного решения). Однако это совпадение не всегда очевидно, как отмечено при разборе случая III.
Случай III
п = 2, 〃' = 1, г = 1,1, г' = 2,0, с = 0,67867 фунт • с/фут (10 Н-с/м), с' = 3,0773 фунт-с/фут (45,4 Н-с/м) (при этом ?= =0,62). На основании уравнения (48) было найдено, что предельный цикл должен образоваться при 0* = 0,012 рад. Численное интегрирование было выполнено при 0О = 0,0017; 0,0012; 0,017 и 0,17 рад. В первом и третьем из этих решений обнаружилось непредвиденное колебание по углу 0, имеющее период около 27 с. В итоге угол 0 несколько уменьшался, когда сумма £/Х + + 启'/九'оставалась положительной; это соответствовало как аналитическому решению, так и машинному. Если рассматривать вековое движение (исключая колебание с периодом 27 с)г то качественное изменение координаты 0 отвечало выводам, сделанным до интегрирования. Таким образом, даже в этом случае энергетический метод приводил к разумным результатам, хотя и оказался бессильным выявить короткопериодическую составляющую в изменении 0. По-видимому, при острой настройке демпфера корпуса (厂=1,1) возникали биения. При этом механическая энергия перекачивалась туда и обратно между колебательной цепью и всем аппаратом.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Пусть имеется идеализированный аппарат с двойным вращением, свободный от действия внешних моментов и выполненный по схеме, изображенной на рис. 1. Со всей определенностью показано следующее: при подходящем сочетании законов демпфирова-
ния в общем случае нелинейных законов, определяющих колебательные цепи демпферов, возникает автоколебание, соответствующее рис 2—5. На примере аппарата указанного класса показано превосходное совпадение выврдов, следующих из энергетического критерия устойчивости, с выводами, вытекающими из результатов численного интегрирования.
Гораздо более спорным выглядит предположение о том, что нелинейность характеристики демпфирования и автоколебания идеализированного спутника, выполненного в соответствии со схемой на рис. 1, могут объяснить аномалии в полете спутника «Таксат-I». В полете этого спутника ориентация антенны, ^несомой невращающимся телом, поддерживалась с требуемой точностью; однако временами наблюдалось необычное коническое движение, причем отклонение по углу 0 оставалось вблизи 1° [14 ]. Это безвредное/ но странное поведение объяснялось [14 ] характеристиками рассеяния подшипников оси, связывающей корпус с маховиком; объяснение основывалось на динамических испытаниях системы подобных подшипников, проведенных после получения полетных данных. Полетные данные не позволяют характеризовать демпфирующие свойства в подшипниках как просто «кулоново трение» или при помощи какого-либо другого подобного функционального описания; тем не менее наличие нелинейностей (и, вероятно, временных и температурных зависимостей) в выражейии этого закона демпфирования очевидно. Таким образом, по-ви- димому, правильно утверждать, что поведение спутника «Так- сат-I» в полете в некотором общем смысле объясняется действием механизма, описанного в настоящей статье в идеализированном виде.
Для тех, кто разрабатывает вопросы будущего применения спутников с двойным вращением, важно располагать общим истолкованием поведения спутника «Таксат-I» при помощи аналитических средств. В особенности следует отметить невозможность создания вязкого демпфера в системе невращающегося корпуса, способного полностью подавить дестабилизирующее влияние всякого сублинейного демпфирования в системе маховика. Для этого нужно или исключить упомянутое демпфирование в системе маховика, или видоизменить демпфирование в системе корпуса путем введения потребных нелинейных характеристик в закон демпфирования, или смириться с существованием автоколебаний. Если в системе маховика имеет место демпфирование при помощи сухого трения, явление застоя может обеспечить существование небольшой области устойчивости.
Могут существовать устойчивые предельные циклы, обусловленные влиянием нелинейностей, отличных от выбранных в данной работе применительно к закону демпфирования. Такие циклы могут возникнуть, например, из-за наличия нелинейных пружин (о чем мы сообщим в одной из последующих статей); источником
их возникновения могут оказаться нелинейности, внутренне присущие уравнениям системы (при линейных пружинах и гидравлических амортизаторах) и проявляющиеся при больших значениях координаты 0 [15].
Принцип применения системы с двойным вращением для стабилизации углового положения остается обещающим. Однако теперь становится очевидно, что его осуществление требует до начала полета тщательного определения механических свойств системы и всеобъемлющего динамического исследования весьма сложных математических моделей космических аппаратов.
Список литературы
Landon V. D , Stewart В , Nutational stability of an axisymmetric body containing a rotor, J Spacecraft and Rockets, 1, № 6, 682—684 (Nov.—Dec. 1964)
lorillo A J., Nutation damping dynamics of axisymmetric rotor stabilized satellites, presented at Amerian Society of Mechanical Engineers Winter Meeting, Chicago, Ill , Nov 1965.
Proceedings of the Symposium on Attitude Stabilization and Control of DualSpin Spacecraft, Rept SAMSO-TR-68-191, 1968, U. S Air Force, см. также Rept. TR-0158 (3307-01)-16, 1967, Aerospace Corp.
Likins P. W , Attitude stability criteria for dual-spin spacecraft. J Spacecraft and Rockets, 4, № 12, 1638—1643 (Dec. 1967).
Mingori D. L., Effects of energy dissipation on the attitude stability of dualspin satellites, AIAA Journal, 7, № 1, 20—27 (Jan. 1969); русский перевод: Мингори, Ракетная техника 〃 космонавтика, № 1, 23 (1969).
Likins Р. W., Mingori D. L., Lyapunov stability analysis of freely spinning systems, Proceedings of the 18th International Astronautical Congress, Pergamon Press, New York, 1968, p. 89—102.
Hughes W. G., Nutational stability of multi-body spin-stabilized satellites, Proceedings of the 18th International Astronautical Congress, Pergamon Press, New York, 1968.
Cloutier G. J., Stable rotation states of dual-spin spacecratf, J. Spacecraft and Rochets, 5, № 4, 490—492 (April 1968).
Porcelli G., Optimal attitude control of a dual-spin satellite, J. Spacecraft and Rochets, 5, № 8, 881—888 (Aug. 1968).
Pringle R., Jr., The stability of the force-free motions of a dual-spin spacecraft, AIAA Journal, 7, № 6, 1054—1063 (June 1969); русский перевод: Прингл, мл., Ракетная техника и космонавтика, 7, № 6, 77 (1969).
Cloutier G. J., Nutation damper design principles for dual-spin spacecraft, J. Astronaut. Sci., 16, № 2, 59—68 (March—April 1969).
Bainum P. M., Fuechsel P. G., Mackison D. L., Motion and stability of a duabspin satellite with nutation damping, J. Spacecraft and Rockets, 7, № 6, 690—696 (June 1970); русский перевод см. на стр. 59 данного сборника.
Vigneron F. R., Stability of a duabspin satellite with two dampers, AIAA Paper 70-431, Los Angeles, Calif., 1970; русский перевод см. на стр. 79 данного сборника. ,
Johnson С. R , Tacsat 1 nutation dynamics, AIAA Paper 70-455, Los Angeles, Calif , 1970
Flatley T W., Equilibrium states for a class of dual-spin spacecraft, Ph. D. dissertation, Catholic Univ, of America, Washington, D. C.; 1970.
ДИНАМИКА ПОЛЕТА ИССЛЕДОВАТЕЛ ЬСКИХ РАКЕТ С НАБОРОМ ВЫСОТЫ)
М. Бисмю
В период развития и использования исследовательских ракет постоянно появлялись аналитические исследования, в которых делалась попытка объяснить и предсказать часто неблагоприятные динамические явления, сопровождающие полет с набором высоты. В данной статье представлен обзор этих работ и основных результатов, полученных к настоящему времени.
После краткого рассмотрения специальных условий, присущих полету с набором высоты, и математической модели, обычно принимаемой для описания исследовательских ракет, выводятся уравнения движения, которые затем упрощаются так, чтобы можно было изучить каждое явление с присущими ему особенностями.
В стандартных условиях полета линейная теория позволяет найти аналитические выражения для изменения угла атаки, из которых получают либо затухающие, либо нарастающие колебательные движения. В частности, эта теория позволяет получить в явном виде критерии устойчивости с учетом закона изменения плотности воздуха, гироскопического эффекта и эффекта Магнуса. Также исследуется явление резонанса, обусловленного возмущениями, характерными для ракет, совершающих движение крена.
Для динамических процессов, которые нельзя объяснить посредством линейной теории, необходимо разработать подходящие методы с использованием некоторых упрощающих предположений. Это позволяет в явной форме выразить условия, при которых имеют место такие явления, как синхронизированный крен, катастрофическое рыскание*и сохраняющийся резонанс, как следствие либо несбалансированности ракеты, либо момента крена, индуцированного при наклонном угле атаки и осложняемого наличием бокового аэродинамического момента. Далее исследуются предельные циклы с большой амплитудой и их устойчивость.
Наконец, проводится анализ чувствительности траекторий исследовательских ракет к внешним возмущениям, таким, как толчок при отделении ступени и ветер.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОБЛЕМЫ ПОЛЕТА С НАБОРОМ
ВЫСОТЫ
Вследствие большого разнообразия задач и конструкций исследовательских ракет невозможно задать однозначно совокупность данных, необходимых для исследования динамики полета с набором высоты. Тем не менее для большинства случаев имеются общие условия, и их необходимо уточнить, прежде чем проводить анализ проблемы.
УСЛОВИЯ ПОЛЕТА
Полет исследовательской ракеты происходит главным образом в непрерывно изменяющихся условиях: сначала на активном участке скорость быстро увеличивается, а затем уменьшается
Вре^яj сВре^яj сРис. 1. Плоскость полета исследовательской ракеты «Белье-III» изменение скорости 匕 высоты Н, угла наклона траектории у° и скорости крена р.Рис. 1. Плоскость полета исследовательской ракеты «Белье-III» изменение скорости 匕 высоты Н, угла наклона траектории у° и скорости крена р.
Вре^яj с
Вре^яj с
Рис. 1. Плоскость полета исследовательской ракеты «Белье-III» изменение скорости 匕 высоты Н, угла наклона траектории у° и скорости крена р.
Рис. 1. Плоскость полета исследовательской ракеты «Белье-III» изменение скорости 匕 высоты Н, угла наклона траектории у° и скорости крена р.
вследствие совместного влияния гравитации и аэродинамического сопротивления. Траектория всегда остается близкой к вертикали и, следовательно, сопровождается регулярным уменьшением плотности окружающего воздуха (рис. 1).
Закон набора высоты
Пока амплитуда углового движения остается умеренной, законы изменения скорости V и высоты Н могут считаться заданными.
Изменение чисел Маха и Рейнольдса, связанное, с одной стороны, с изменением скорости и, с другой стороны, с изменением температуры и плотности воздуха, также является заданным, в результате чего аэродинамические коэффициенты или производные можно считать известными функциями времени или расстояния, проходимого вдоль траектории.
Изменения V и ", определяемые предварительным расчетом характеристик при нулевом угле атаки, связаны соотношением
// = Р sin у"(1.1)
где угол наклона 丫。можно считать постоянным при определении Н в интервале времени, большом по сравнению с продолжительностью исследуемых явлений.
Сила тяжести
Кроме того, поле силы тяжести напряженности g можно считать однородным.
Атмосфера
На участке детерминированного полета с хорошим приближением можно предполагать, что атмосфера находится в изотермическом равновесии; это предположение позволяет связать изменение плотности р окружающего воздуха с высотой Н посредством алгебраического соотношения
Р = Ps°T"，(1.2)
где «шаг» 1/0 атмосферы равен приблизительно 7,3 км вне тропопаузы.
Крен
Набор высоты ракетой в общем случае сопровождается вращением вокруг оси крена, созданным * умышленно при помощи дифференциального отклонения рулей. Этот крен, априори благоприятный, в среднем уничтожает влияние возмущений, приложенных к ракете; однако он должен выбираться разумно, чтобы избежать возникновения неблагоприятного резонанса или других вредных явлений.
В нормальном полете изменение угла крена также является заданной функцией времени; именно этот случай рассматривается в линейной теории полета с набором высоты. Однако может оказаться, что нормальное изменение угла крена нарушается и переходит в синхронизированное движение крена, в котором скорость крена самопроизвольно согласуется с частотой колебаний угла тангажа.
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТЫ И ЕЕ ДВИЖЕНИЯ
Для характеризации ракеты, предполагаемой недеформируе- мой, и исследования ее движения необходимо сопоставить ей прямоугольную связанную систему координат Gxyz (рис. 2), начало G которой расположено в мгновенном центре тяжести; ось Gx, по определению, является главной продольной осью инерции, ориентированной в направлении движения, а оси Gy и Gz выбираются в соответствии с геометрическими особенностями ракеты. В последующем изложении будет предполагаться, что оси Gy и Gz располагаются соответственно в двух плоскостях крестообразного оперения.
Тогда движение ракеты по отношению к системе координат, связанной с Землей, определяется вектором скорости V (u, 〃 w) точки G и вектором угловой скорости вращения R (р, д, г) триэдра Gxyz.
Инерционные характеристики
Исследовательская ракета, являющаяся системой с переменной массой т, имеет удлиненный фюзеляж и обладает высокой степенью симметрии. По этой причине два поперечных момента инерции имеют столь близкие значения, что их можно считать равными одной и той же величине /: имеет место вращательная симметрия. Осевой момент инерции /% намного меньше, чем /; отношение IJI обычно меньше 0,01.
Пусть G —■ центр тяжести и Gx— главная ось инерции по определению; всякая несбалансированность в аналитическом исследовании характеризуется смещением центра или смещением геометрического контура ракеты относительно триэдра Gxyz.
Действие двигателя
Система, движение которой исследуется, состоит из твердых 'тел, составляющих ракету, и из невыброшенных продуктов сгорания, ограниченных выходным сечением сопла.
Тогда двигатель создает:
силы давления, воздействующие на выходное сечение сопла со стороны эжектированного газа;
силы инерции, воздействующие на массу внутреннего газа, в относительном движении; эти силы сами распадаются на три группы сил:
нерционные силы увлечения, которые входят в определение системы с переменной массой в связанной системе координат;
относительные силы инерции, которые, будучи проинтегрированными по всей массе газа, дают величину количества движения струи с обратным знаком и которые в сумме с силами давления (п. 1) определяют тягу в безвоздушном пространстве;
—инерционные силы Кориолиса, которые, будучи проинтегрированными по всей массе газа, участвующей, по предположению, в осесимметричном течении, не возмущенном движением ракеты, дают демпфирующий момент
М「= — Q% ・2 J D (х) х dx,
где Qn ——проекция угловой скорости вращения ракеты Q на плоскость Gyz, D (х) — массовый расход газа через поперечное сечение с абсциссой х, хс — абсцисса донного среза и % — абсцисса переднего края двигателя; величины проекций (LT, MTf N) этого момента на оси системы координат Gxyz даются выражениями
5 = 0, МТ=- qT斓Vj, NT = —〃x〃吃， (1.3)
где Т — величина силы тяги и V} — скорость эжекции газа.
Замечания
Ускорение Кориолиса также индуцирует поперечную силу, однако ею можно пренебречь по сравнению с аэродинамической подъемной силой (разд. 1.2.3).
Движение ракеты относительно точки G, обусловленное изменением центровки, индуцирует также пренебрежимо малую результирующую силу; индуцированный момент равен нулю.
Для ракет с правильной конструкцией тяга Т направлена по оси тем не менее отклонение направления струи или нарушение центровки приводит к возникновению возмущающего момента АМ^ (AL「，АМ「，AN, относительно точки G.
А эр одинам и ческие характеристики
Система аэродинамических сил, действующих на ракету, характеризуется результирующей силой R^ и результирующим моментом М/ относительно точк'и G. Для заданной геометрической конфигурации и при данных плотности и температуре воздуха в классической механике полета величины R』и Мл являются вектор-функциями скорости V, угловой скорости вращения Q и абсолютного ускорения (dV/d/)a6c; без существенной ошибки можно пренебречь влиянием ускорения, однако тогда необходимо интерпретировать вектор-функции переменных V и ft как сечения векторного пространства при равном нулю абсолютном ускорении (dV/d/)a6c, но не как сечения при равном нулю относительном ускорении (dV/d/)0TH. Проекции (X, У, Z) вектора R』и (L, М, N) вектора Мл на оси системы координат Gxyz выражаются обычно в виде
(X, У, Z) = (Сх, Су, Cz) SpP/2,
“，^) = (&,頂，С“)S俗Н/2, ( }
где S и / — характерные значения геометрических величин, р —— массовая плотность окружающего воздуха и Сх, Су, CZi С/, &п, & — безразмерные коэффициенты сил и моментов. При заданных числах Маха и Рейнольдса эти коэффициенты являются функциями безразмерных параметров и/匕 血匕 Р〃匕 q〃匕 〃/匕 которые определяют в системе Gxyz проекции векторов V и Q, отнесенные к модулю скорости V.
Чтобы напрасно не усложнять анализ, следует сохранить только главные члены разложений этих функций; в частности, в разложениях этих функций по безразмерным угловым скоростям нужно ограничиться членами первого порядка и в случае необходимости сохранить нелинейные члены, связанные только с углом атаки. Кроме того, очевидно, что при исследовании углового движения результирующая сила играет меньшую роль, чем результирующий момент, что делает излишним разложение аэродинамических коэффициентов.
Чтобы выявить свойства симметрии ракеты и выделить наиболее существенные члены аэродинамических коэффициентов, удобно использовать модуль а и аргумент 屮 угла атаки, а также составляющие q н 厂 угловой скорости, определяемые при помощи комплексных соотношений (рис. 3):
w/V — i (и/吩=sin a M,
一 一 (L5) q + 订=(q + ir)叫
и рассматривать коэффициенты Су, &, С—, С- относительно новых осей Gy и Gz, получаемых из осей Gy и Gz при помощи поворота системы на угол 屮，а именно
С2 — iCy = (С^ — /Ср)紋$,
(1.6)
爆 + 0 = (C- + 0)两 + % + 0。・
Коэффициенты С^ и С- описывают непосредственное влияние угла атаки, а Су п С-——перекрестные эффекты; коэффициенты С^о и С〃()характеризуют две составляющие возмущающего момента ракеты. .
Рис. 3. Определение аэродинамических полусвязанных осей Gyz: Т есть проекция на плоскость Gyz единичного вектора в направлении 匕
Тогда для ракеты, обладающей симметрией четвертого порядка, ограничиваясь главными членами и, в частности, исключая высшие гармоники, коэффициенты сил и моментов можно записать в следующем виде:
Сх = Сх (а),
Су = Ср (а) sin 4(р,cz = cz(а)‘
(1.7)
& = С〃(а) sin 4Ф + С1р (а) 3”
*=爆(a) + c- (a) @丿)，
% =唸(а) sin 4屮 + % (а) (，/Q + %。(а) (pl/V).
5 Заказ 530
В линейной теории движения ракет функции переменной а в свою очередь линеаризуются и записываются в виде
Сх (а) = —%,
Су (а) = 0,
G (а)=—以尹，(L8)
^и (а) =。，С[р (а) = Cip,
ст (а) = С4С-- (а) = cmq + С^,
Сй @) = 0，С方(а) = Cmq + С/, С-р (а) = %尹・
В этих выражениях используются обычные обозначения механики полета: CNa и Ста ——производные по углу атаки коэффициентов нормальной силы и продольного момента (соответственно
положительная и отрицательная); С1р и Cmq + С^ ——отрицательные производные демпфирования и С^а ——производная коэффициента момента Магнуса, знак которой определяется типом ракеты.
Появление производной Ст^, которая характеризует чувствительность коэффициента Ст к абсолютному ускорению, следует из обычного смысла, приписываемого символу Cmq> который
характеризует частную производную dCm/d(ql/V) при фиксированном а, в то время как сумма Cmq + С^ характеризует частную производную дСт/д (ql/V) при фиксированной абсолютной скорости V.
В нелинейной теории, кроме нелинейной функции С- (а), удерживаются функции Си (а) и 需(а) (рис. 4). Эти функции, близкие к нулю при малых углах атаки, становятся заметными, факторами в явлениях, возникающих при больших углах атаки, и могут быть причиной неустойчивости.
Замечания
Дифференциальное отклонение рулей 8, применяемое из конструктивных соображений для создания момента крена С/б6 и поддержания, таким образом, детерминированного движения крена, индуцирует [18] перекрестный момент ДС-, ^обусловленный тем, что аэродинамические осевые силы на противоположных рулях не равны между собой, если угол атаки не равен нулю:
ДС- = (д2С-/да @3) аб,
где
d^/dad6=-CNaaSaba/Slt(1.9)
S& ——площадь поверхности одного руля, Ьа ——средний размах и CNaa ——производная нормальной силы оперения. Хотя этот момент не зависит от скорости, часто его группируют вместе с моментом Магнуса, и тогда следует приписать величине С^а значение
(^а)полн = С矶 +。第/淤 56) 8V/pL(1.Ю)
Непредусмотренные дефекты конструкции могут быть причиной появления силы и момента при нулевом угле атаки; в результате этого к коэффициентам, определенным в связанной системе координат, добавляются возмущения СУо, С^. Ст0, Сп^
Если дефектом является неправильная балансировка ракеты, то геометрический контур ракеты сдвигается по отношению к системе Gxyz, и к вышеупомянутым возмущениям необходимо добавить момент крена ДС/, зависящий от угла атаки:
А& = —CnE &尸〃)sin (ф —屮尸)，(1.11)
где rP и фр — соответственно модуль и аргумент смещения геометрического центра, спроектированного на плоскость Gyz (приложение 2).
В итоге результирующая сила R』(X, У, Z) и результирующий момент Мл (L, М, N) относительно точки G зависят от скорости 5*
V (“，и, w) и угловой скорости Q (р, q, г) посредством следующих соотношений:
которые определяют промежуточные переменные а, (р,
которые дают безразмерные коэффициенты Сх, Ср, % c2，爆，/
которые определяют зависимость Су, Cz, С® Сп от упомянутых переменных;
которые дают величины X, У, Z, L, Mf N.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Системы координат и кинематические связи
Движение триэдра Gxyz задается в абсолютной прямоугольной системе координат OxQyQZQ (рис. 2), определяемой следующим образом: начало координат О связано с Землей; ось Ох。 направлена в среднем вдоль траектории и составляет угол 丫。с горизонталью; ось Ozq расположена в вертикальной плоскости, содержащей ось Oxq, и направлена вниз; ось 0yQ дополняет триэдр.
Движение точки G характеризуется ее скоростью V, величина которой в функции времени предполагается известной, и ориентация в системе координат OxQyQzQ определяется углами % и у, связанными с компонентами ("°, vQi 侬о) вектора V при помощи формул
% = arc tg (%/〃°),
• / 八(1.12)
丫=—arc sin (Wq/V).'
Положение точки G в системе координат OxQyQzQ не рассматривается, однако зависимость параметров движения от высоты предполагается известной.
Угловое движение триэдра Gxyz задается в абсолютной системе координат углами (中，©, Ф), которые определяют последовательность трех поворотов соответственно вокруг осей Gz0, Gy1 и G% (ось Gy1 Является пересечением плоскостей G%oyo и Gy*, которые переводят триэдр GxQyQzQt эквивалентный триэдру Ox^y^z^ в триэдр Gxyz. Эти углы связаны с вектором угловой скорости вращения Q, имеющим компоненты (р, q, г) в системе координат Gxyz, при помощи следующих кинематических дифференциальных уравнений 1}:
中=(q sin ① + г cos ①)/cos 0,(1.13)
6 = q cos ①一r sin Ф,(1.14)
& = p + tg ❷(q sin ① + r cos Ф).(1.15)
Кинематических уравнений Эйлера. — Прим. ped.
Они определяют проекционную матрицу [С ], которая связывает
жести g:жести g:gx Sy 一丛一gx Sy 一丛一(1.16)(1.16)компоненты одного и того же вектора в двух системах координат, в частности вектора скорости V и вектора ускорения силы тя
жести g:
жести g:
gx Sy 一丛一
gx Sy 一丛一
(1.16)
(1.16)
(1・17)
где
gx о = —gsin у。,
(1.18)(1.18)gzo = geos у。.
(1.18)
(1.18)
Уравнения Эйлера
Эти уравнения выражают равновесие сил инерции и внешних сил, спроектированных на оси системы координат Gxyz.
Внешние силы распадаются на следующие:
——силы тяжести с результирующей mg (mgXf mg?, mg) и нулевым результирующим моментом относительно точки G;
— аэродинамические силы с результирующей Ял (X, У, и результирующим моментом Мл (L, М, N) относительно точки G;
—силы тяги с результирующей Т (Т, 0, 0) и результирующим моментом Мг (厶丁，MTf М) относительно точки G.
С учетом предположений об инерционных характеристиках ракеты уравнения Эйлера записываются в следующем виде:
т (и — vr + wq) = X +mgx + T,(1.19)
m (v — wp + иг) = Y+mgy,(1.20)
m (w — uq + vp) = Z+mgz,(1.21)
1疝=L + 厶，(1.22)
Iq-{I- /J pr = M + MTt(1.23)
li+U-I)pq = N + N「(1.24)
Предположение, согласно которому величина скорости V является известной функцией времени, приводит к дополнительному алгебраическому соотношению
(序 + у2 + 歩)％ = у (/),(1.25)
которое должно быть совместимо с шестью уравнениями Эйлера; оно накладывает ограничения на первое из этих уравнений,
которое выражает равновесие сил, спроектированных на ось Gx、 и которое фактически описывает изменение V (0 в полете с нулевым углом атаки.
Окончательная формулировка задачи
Таким образом, задача заключается в исследовании изменений вссьмн параметров движения (v, ш, р, q、г, W, 0, Ф), подчиняющихся восьми дифференциальным уравнениям (1.13)——(1.15) и (1.20)—(1.24), в которых компонента и определяется алгебраическим уравнением (1.25).
В этих дифференциальных уравнениях компоненты (У, Z) и (L, Mf N) силы Ял и аэродинамического момента Мл выражаются в данный момент времени, т. е. при заданных скорости и высоте, через параметры (〃 侬，р, q, г) при помощи соотношений (1.4)—(1.7); компоненты (gg, gj вектора ускорения силы тяжести g выражаются через углы (屮,@, Ф) при помощи матричного соотношения (1.17); компоненты (厶丁，МТ9 N) момента Мг сил тяги выражаются через параметры (% г) при помощи соотношений (1.3). Наконец, в случае необходимости направление траектории (%, у) можно получить при помощи уравнений (1.12) с использованием проекций уравнения (1.16). Очевидно, что аналитическое исследование в столь общей форме остается практически невозможным, несмотря на уже введенные упрощения, и для исследования различных задач необходимо ограничиваться новыми приближениями.
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕТА С НАБОРОМ ВЫСОТЫ
При исследовании динамики полета с набором, высоты естественным приближением является линейная теория; кроме того, в этом случае условия полета и характеристики ракеты существенно упрощаются: основная гипотеза состоит в предположении, что модуль угла атаки а является бесконечно малой величиной первого порядка, и, следовательно, принимается, что
sin а 〜а, 〃〜V. (2.1)
Это предположение достаточно для линеаризации задачи, однако удобно использовать еще одно предположение, существенное для протяженной траектории: углы Т и @, определяющие ориентацию оси Gx в абсолютной системе координат GxQyQzQ9 также предполагаются бесконечно малыми величинами первого порядка; эта вторая гипотеза не является абсолютно необходимой, так、как линеаризацию задачи можно также осуществить относительно искривленной траектории, однако она облегчает описание явлений и позволяет принять простую схему прохождения атмосферы，
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Аэродинамические коэффициенты
Если в выражениях (1.7) функции угла а заменить их приближенными линейными формами (1.8), то аэродинамические коэффициенты в связанных осях с учетом соотношений (1.5) и (1.6) и замены sin а на а выражаются следующим образом:
Су = —С Na ®Q,
Cz = -едfсе (血V),
& = Clp (pl/V) + &乱
C产图а 侬/V) +(c^ + C/) (q〃吩一 с-а (pl/V) ®吩 + %,& = -С* (и%) +(% + 以力 S/Q + %а 屮优侬W) + %。・
Закон изменения крена
Уравнение (1.22), в котором при отсутствии асимметрии момент LT равен нулю, принимает вид
厶方= 6р (Р〃П + &б§] S/PV2/2.(2.2)
Это уравнение определяет скорость крена р, которая при заданном начальном условии изменяется в соответствии с изменением величин V (0 и р (/). Хорошим приближением для функции р (/) является выражение
puv =一&科Cq
которое применимо в том случае, когда момент сил инерции (—1хр) пренебрежимо мал, т. е. когда
I R/H《一&日2P/2/*・
Такое неравенство удовлетворяется в общем случае на большей части траектории полета с набором высоты, и поэтому можно допустить, что отношение p/V остается постоянным.
Замечание. Связь между величинами pl/V и 6 оправдывает объединение в одну производную (С-а)полн собственно эффекта Магнуса и эффекта дифференциального отклонения рулей; таким Образом, согласно (1.10), имеем
(%а)зн = С小—Bq/da 38) CJC^
где второй член более существен при малых углах атаки и дает отрицательный вклад в (С-а)полце *
Комплексные переменные “ кинематические соотношения
Вследствие симметрии задачи относительно осей Gy и Gz в линейной теории удобно использовать комплексные переменные 侬* =侬一•2; q* = q + 汀；©* = 0 + iW; у* = у + f%.
Таким образом, с учетом предположения о малости углов первое из соотношений (1.5) запишется в виде
侬*/у = а”？(2.3)
С другой стороны, матрица проекции осей Gxyz на оси Схоуого в случае, когда ось Gx близка к оси Gx。，принимает простой вид
一 1
—w
c =
cos①
— sin Ф
—©
sin①
cos①
и позволяет после линеаризации привести соотношения (1.16) и (1.12) к одному комплексному соотношению, которое определяет ориентацию вектора V в осях 6х0у0г0:
у* = 0* —(侬*/U) d①；(2.4)
аналогично матричное соотношение (1.17), которое определяет компоненты вектора ускорения силы тяжести g в системе координат Gxgz, дает
g2 — igy = (—g sin у。・@* + g cos у。)絃①，(2.5)
и дифференциальные кинематические уравнения (1.13)—(1.15), которые определяют ориентацию связанной системы координат, с точностью до членов первого порядка по Т и 0 приводятся к виду @* = q*e，①，(2.6)
Ф = р.(2.7)
Динамические уравнения 6 связанной системе координат Уравнения динамики полета упрощаются вследствие изотропии инерционных и аэродинамических характеристик ракеты и линеаризации: комбинирование уравнений (1.20) и (1.21), с одной стороны, и уравнений (1.23) и (1.24), с другой, приводит к следующим комплексным дифференциальным уравнениям:
办 +— Vg* = [(C2 — iCY) S/2m] pH +
+ (—g sin 丫。.®* + g cos у。)您①，(2.8)
丁 + i(1 一 田 pq* = [(@ + ,C〃)S//2/ J pH +
+ (此 + iN^I,(2.9)
где
k = /*〃・
Динамические уравнения 6 аэробаллистических осях. Переменная s
Движение ракеты наиболее удобно исследовать в аэробалли- стической системе координат Gxyz, которая имеет общую ось Gx со связанными осями Gxyz и в которой скорость крена, по определению, равна нулю, т. е. эта система координат вращается со скоростью (——р) относительно оси Gx связанной системы координат. Ее ориентация в абсолютной системе координат Охоуого задается углами Т и 0, которые были определены ранее, и третьим углом Ф, который определяется аналогично углу Ф. Если в начальный момент времени угол Ф равен нулю, то он будет равен нулю во все последующие моменты времени с точностью до величин второго порядка малости, что получается из кинематического соотношения, следующего из выражения (1.15), в котором величина р полагается равной нулю:
Ф = Y sin @.
По предположению, углы Т и 0 являются бесконечно малыми величинами первого порядка.
Ось Gy составляет с осью Gy угол Ф второго порядка малости, и проекции на аэробаллистические оси и на связанные оси связаны соотношениями
ш 一右=侬*5?
(2.10) / + ,7 = q*d ①.
С другой стороны, наличие величины V или 丿？ в коэффициентах уравнений динамики (2.8) и (2.9) позволяет использовать в качестве независимой переменной расстояние s, проходимое ракетой и связанное с временем / соотношением
ds/dt =匕
и рассматривать в качестве новой переменной движения комплексный угол атаки а* и безразмерную угловую скорость вращения(о* аэробаллистических осей
a* = ® —而/匕
(2.11) ①* =(《+用/匕
Теперь уравнения динамики (2.8) и (2.9), кинематическое уравнение (2.6) и алгебраические соотношение (2.4) в переменны^
d*,①*, @* н у* записываются в виде (штрихом обозначены производные по s)
⑵⑵12)⑶⑷切12)⑶⑷切产—(g sin Yo/V2) Y* — %m = —g cos у。"，
⑵
⑵
12)⑶⑷切
12)⑶⑷切
⑵⑵⑵⑵⑵⑵co + (4 — ih①)① + (Bi + /Ф Ci) a == BioCe。'①，0*'—①* = 0,у* — 0* + a* = 0.
⑵⑵⑵
⑵⑵⑵
В этих уравнениях производная ①'угла крена явля
стоянной согласно уравнению (2.7); эта производная определяется формулой
①'=p/V.
В дальнейшем предполагается, что она является положительной*, очевидно, что получаемые следствия будут теми же, что и в случае отрицательного крена: любую комплексную величину следует заменить комплексно сопряженной.
Коэффициенты Ах, А2, Вг (положительные согласно общему правилу) и С】 (его знак не определен) даются формулами
& = Р"1 + WV2 + g sin Yo/吗
Л2 = ра2+力片+ 〃匕
Bi = pbi.
Ci = PR, где
“i = C Na$l2m、
% = -(% + %) S/2/2/,
匕1 = —CmaSl/2I t.
R = f 户分/2/, J = T 邂 IlVj.
Наконец, a* есть балансировочный статический угол атаки при наличии возмущающего момента, обусловленного аэродинамическими силами или силой тяги; этот угол дается выражением a； = (Сто + iCn^l-C^ + (АМ「+ iNNUgSl (р/2) V2].
Замечания
Член J/V, содержащийся в 42, характеризует демпфирование, обусловленное силой тяги, которое определяется формулой (1.3).
Наличие в коэффициентах А】и 4? ускорения R, которое рместе с величинами g sin у0/ V2 и J/V нарушает пропорционал^-
ность этих коэффициентов плотности р, обусловлено заменой величин w — io и q + rr переменными а* и со*; кроме того, переменная V связана с тягой Т уравнением (1.19), которое с учетом линеаризации и выражения, для аэродинамического сопротивления записывается в виде
V = Т!т — (CqS/2力 pH — g sjn у。.(2.16)
Это соотношение приводит к выражениям для Ах и Л2, которые незначительно отличаются от предшествующих выражений, а именно*
%i = Р (“1 — 〃з) + TlmV%
小=Р @2 - 〃з) + (ШГ) (l+j)-g sin у。/吸 где
а3 = CqS/2加， / -(他錢〃)"/%).
Согласно соотношениям (2.3) и (2.10), величина а* выражается в полярных координатах в виде
а* = ad%
где аргумент 0 связан с величинами ф и Ф соотношением (рис. 7)
8 =屮 +(D.(2.17)
Член gcosYo/»2 правой части уравнения (2.12), равный нулю в случае, когда ось Gx0 абсолютной системы координат яв* ляется вертикалью, характеризует кривизну исходной траектории, если в начальный момент времени сна является касательной к оси G%o； этот член можно исключить при помощи замены пере* менных
Y* = S* + (tg То)'1,©* = ©* + (tg у。)-】，
в результате которой случай наклонной оси Gx0 сводится к случаю вертикальной оси Gx0; в дальнейшем член g cos То/У? рассматрк* ваться не будет.
Итак, уравнения (2.12)—(2.14) определяют изменения трех комплексных переменных движения у*, о*, ©*; угол атаки а*, который входит в эти уравнения, определяется в зависимости от у* и 0* алгебраическим соотношением (2.15). На рис. 6 демон* стрируются взаимосвязи между этими переменными.
Относительная значимость различных коэффициентов, входя* щих в уравнения (2.12) и (2.13), иллюстрируется на рис. 5: коэффициент А】 характеризует продольно© демпфирование, Л2一 демпфирование по тангажу, Вг — аэродинамическое демпфирование, & — перекрестный момент Магнуса, ①'々一гироскопиче* ский момент и g sin ” Н — силу тяжести*
Высота t кмВысота t кмРис. 5. Изменение коэффициентов уравнений (2.12) «Белье-III»Рис. 5. Изменение коэффициентов уравнений (2.12) «Белье-III»
Высота t км
Высота t км
Рис. 5. Изменение коэффициентов уравнений (2.12) «Белье-III»
Рис. 5. Изменение коэффициентов уравнений (2.12) «Белье-III»
и (2.13) для ракеты
Рис. 6. Взаимосвязь между переменными движения.
/ п угловое движение; 2』отклонение траектории.
Иллюстрация факторов движения
Эффективная иллюстрация факторов движения представлена на рис. 7, где приведена плоскость Gyozo. Точки X (Т, —- 0) и Т (%, —у) суть проекции концов единичных векторов х и t, направленных соответственно вдоль оси Gx и вектора скорости V.
Очевидно, что если интерпретировать плоскость GyQzQ как плоскость комплексной переменной, вещественная ось которой ориентирована в направлении, противоположном 6г0, а мнимая
Рис. 7. Изображение углового движения исследовательской ракеты на плоскости.
ось — вдоль Gy。，то векторы GX, GT, ТХ характеризуют соответственно величины ©*, 丫*, а*; величина со* характеризует скорость 1)точки X. Тогда движение точки X можно рассматривать как движение материальной точки с ускорением, которое, в соответствии с уравнением (2.13) складывается из следующих воздействий:
ускорения, направленного к Т, а именно —Bq*;
перекрестного ускорения, нормального к Т, а именно —i ①'С\а*;
торможения, противоположного скорости, а именно —4 2е0*；
гироскопического ускорения, нормального к (о*, а именно »①'々со*;
возмущающего ускорения, а именно Bia；e‘①.
1)Здесь сохраняются термины скорость и ускорение, хотя переменной, описывающей движение, является не время, а проходимое расстояние.
Точка Т перемещается со скоростью, которая складывается из двух скоростей:
А^, направленной к X;
g sin y0/V2, противоположной G.
Если, наконец, определить оси Ху п Xz с началом в точке X, повернутые на угол Ф относительно осей Gy。и Gz0, то на плоскости получаем полный образ углового движения ракеты и характеристик ее движения.
Медленно нарастающее движение
Исследуемая система имеет третий порядок; следовательно, решение этой системы без правых частей является линейной комбинацией трех движений, из которых одно, обозначаемое индексом D, характеризуется довольно медленным нарастанием амплитуды и легко может быть отделено при помощи следующей гипотезы, оправдываемой апостериори:
I Aiab I《I (g sin уо/片)уЪ |.
Тогда уравнение (2.12) без члена, содержащего а*, согласно сделанной гипотезе, определяет эволюцию уЬ в следующем виде:
丫3=泌/("，s),(2.18)
где
s
f (s〃s)= J (gsin Y о/片)ds.
Отметим, что так как величина sin 丫。положительная, то это движение является нарастающим и его нарастание будет замедляться при увеличении скорости (рис. 8) [16}. В случае постоянной скорости и квазивертикальной траектории инкремент определяется в явном виде, и величину у% можно записать в виде
而=心•川一,)/e
Очевидно, что угол《)увеличивается в е раз при прохождении расстояния, равного!/2/^, которое определяет, таким образом, порядок медленности нарастания.
Замечание, Оправдание (апостериори) гипотезы, сделанной для отделения медленно нарастающего движения, следует из оценки величины а^ из уравнения (2.13), в котором ①* заменяется на у*', т. е. Ha,(g sin yo/U?) 丫%； в результате получаем
^dI^D = — [(gx()/d)2—(%2—滋①')(g%o/p2) — (g%o/p2)[/(81 + i①，Cl).
Модуль этого отношения всегда существенно меньше 1, пока атмосфера оказывает заметное воздействие н-а ракету (рис, 8).
50010001500
Рис; 8. Нарастающее движение в полете с набором высоты.
Уравнение для угла атаки
Нарастающее движение можно исключить, отбрасывая член (g sin Yo/V2) уЬ в уравнении (2.16); последнее примет вид
沖—Лха* = 0.(2.19)
Предположим, что удовлетворяется неравенство
I Yocq/аосц I《I 4y /g%0 I，
оправдываемое апостериори; это упрощение несущественно отражается на генерации других движений и на частном решении, порождаемом возмущающим моментом 8餌；或屮 в уравнении (2.13). Это упрощение состоит в замене характеристик нарастающего движения постоянными величинами (у* = 0* = const, а* = 0, (о* = 0).
Замечание. Убывающее решение у* (s) упрощенной системы с заданным начальным состоянием в момент времени 左 необхо-
димо заменить исправленным решением ус (s), определяемым формулой
Y；(s)=y*(s) + y*(8)(«《")_ 1),(2.20)
которая правильно описывает «быстрые» колебания, когда
и учитывает роль медленно нарастающего движения.
После исключения медленно нарастающего движения путем дифференцирования и последовательного исключения неизвестных из системы уравнений (2.13)—(2.15) и (2.19) можно вывести дифференциальное уравнение второго порядка, которое описывает изменение угла атаки а*; в итоге получаем [10]
а*" + (Л —注① j а" + (旦2 + i①'&) а* =々а/①，(2.21) где введены следующие обозначения:
4 = А】+ %2，
82 = Bi + Ai + Л1Л2,
С2 = Сх — kA
С точностью до некоторых поправочных членов величина Л характеризует полное демпфирование (продольное и по тангажу), В 2 — аэродинамическую реакцию, С2 — перекрестный момент Магнуса,々①'——гироскопический эффект и Bia；——возмущающий момент ракеты. Другие параметры движения ракеты определяются через а* соотношениями
①* = а*' +А^9(2.22)
S
?* = J A^ds.(2.23)
0* = а* 4- 7*.(2.24)
Замечание. Уравнение для угла атаки можно записать также для переменной а*У вместо переменной а*; оно имеет вид
(а*У)" + (G —洪①')(а*У)‘ + (В2 +，①&) aV =员Уа；е/ где приняты следующие обозначения:
4 = 31
■S2 = Bi + А{ + Д1Л2,
С 2 = С 工—kA 1,
% 2 = P" 2 + 〃匕
Эта форма имеет то преимущество, что в левой части коэффициенты практически не зависят от того, работает двигатель или нет; в самом деле, они не содержат членов с V, и влияние тяги проявляется лишь через демпфирование струи j/V. Недостатком этой формы записи является то, что правая часть зависит от скорости, и, следовательно, она непригодна к исследованию влияния возмущения а*.
КОЛЕБАНИЯ УГЛА АТАКИ
В качестве первой задачи, изучаемой при исследовании уравнения для угла атаки, будет рассматриваться устойчивость колебаний в случае, когда ракета не имеет асимметрии, т. е. когда возмущение Bia； равно нулю. В самом деле, ракета заданного типа будет жизнеспособной лишь в том случае, если в отсутствие дефектов возмущенный в начальный момент времени угол атаки стремится к нулю, по крайней мере до тех пор, пока окружающая атмосфера будет достаточно плотной. Влияние -возмущения В1&； является второй задачей, которую следует рассматривать отдельно от первой.
2.1. Общий вид решения уравнения без правой части
Решение уравнения (2.21) без правой части может быть получено в явной форме лишь в частных случаях, которые позволяют прояснить задачу и будут анализироваться позднее. Тем не менее ниже показывается, как можно получить приближенное решение, справедливое в широком диапазоне условий полета с набором высоты.
Представим решение в виде произведения двух функций, первая из которых выбирается таким образом, чтобы вторая функция была решением уравнения, не содержащего первой производной; тогда получаем
а* = «-21+，& U*,(2.25)
и*〃 + (% + ZOT3) и* = 0,(2.26)
где
屮 1 —汕= }/({_ 沦①，)ds(2.27)
и
B3 = B2 + 1/於切2 一 1/4л2 - 1//，,
Сз = с2 +^2^ +%①т 他①')'•
Коэффициенты & и С3 можно представить также в другой форме, которая приведена в приложении 3. При условии что коэффициенты В3 и Сз изменяются медленно, методом ВКБ (Вентнеля—
Крамерса—Бриллюэна) можно получить приближенное решение уравнения (2.26), которое имеет вид
U* =(旦 + id)q)—id (^^^ + U；e-s+电)，(2.28)
где U； и U；——произвольные постоянные, а 屮2 H 4 определяются при помощи неопределенного интеграла
62 + 绅2 = J (& + i^C^^ds.(2.29)
Подстановка соотношения (2.28) в (2.25) приводит к выражению для колебания угла атаки
a* =(区 + /①‘е3)-/ [U；e-他-a)0("-%)+ u/一 他+")标(九+仇小 (2.30)
Замечание 1. Приближенное решение (2.28) является в действительности точным решением уравнения
U*〃 + (1 - 3) (Вз + 1ФГС^ U* = 0, в котором величина б характеризует ошибку, обусловленную приближением и равную
6 = 3/4公2〃一4 — %"〃〃_3,(2.31)
где
炉=& + gq.
Следовательно, условием применимости решения (2.30) является неравенство 1《 1.
Замечание 2. В выражениях (2.28)—(2.30) следует ограничиться лишь одним из четырех определений величины (В^ 上 i<brC^-'^ и одним из двух определений величины (В3 + i①'СзУ%. Кроме того, учитывая тот факт, что в общем случае перекрестный момент намного меньше возвращающего момента, т. е. что
1吟|《1当1,
можно приближенно найти функции 屮2 и % каждую в отдельности, разлагая величину (Зз+ i①'Сз)" и ограничиваясь членом первой степени по (Ф'Сд/Вд):
(当 +，①G)%,〜В^ [1 + i (ФЛС3/2В3)].
Следовательно, предполагая, что величина В3 положительна (необходимое условие устойчивости при замороженных коэффициентах см. в разд. 2.2.2), функции 屮立 и 02 можнб представить в следующем виде:
必〜％ J ①'C/”ds,(2.32)
&〜J B^ds.(2.33)
В этих выражениях величины В：卜 и В” предполагаются положительными.
Выражение (2.30) описывает два колебательных движения спирального типа, которые различаются между собой следующими характеристиками:
«возвращающий момент» В3 изменяет аргументы двух движений в противоположных направлениях (члены 02 и ——02);
«гироскопический эффект» 々①'изменяет аргументы в одном направлении (член %);
«полное демпфирование» А приводит к одинаковому уменьшению амплитуды обоих движений (декремент ——屮»;
«перекрестный эффект» ①'Сз приводит к уменьшению амплитуды одного движения и к увеличению амплитуды другого (декремент ——I 屮2 1M инкремент | 屮21), но не влияет на частоту колебаний этих движений;
можно получить условие устойчивости колебаний, рассматривая логарифм амплитуды а^ наиболее опасного движения, с точностью до постоянной:
In (Хе = —Zin IВ3 + i①'Сз I —屮1 + I 屮21*
Это движение устойчиво, если \паЕ отрицателен, т. е. с учетом (2.27) и (2.32) если
|63”2点| <Д + Р/2|В3 +гФ^3|7|В3 +гФ^3|]. (2.34)
Чтобы более точно охарактеризовать эти движения, сначала необходимо провести исследование при замороженных условиях, т. е. временно положить коэффициенты уравнения (2.21) постоянными, а затем исследовать влияние изменения коэффициентов, обусловленного в основном изменением высоты, т. е. изменением р.
2.2. Колебательные движения при замороженных условиях
В этом исследовании коэффициенты Д,々①'，В2,①'5 уравнения (2.21) считаются постоянными, вследствие чего, в частности, в выражении, определяющем величину В3, исчезает член :/24\
Общее рассмотрение
Прежде чем получить решения в явном виде, полезно найти условия устойчивости колебаний непосредственно из уравнения (2.21) с замороженными коэффициентами. Применяя к этому уравнению критерий Коши, получаем два условия устойчивости
Л > 0 и 统/①J > (С2/Л) [(С2М) + k}.(2.35)
В общем случае полета ракеты с набором высоты первое неравенство выполняется всегда.
Для выполнения второго неравенства, иллюстрируемого на рис, 9, необходимо в первую очередь выполнение условия
8 2/①и + 胪/4 >0,(2.36)
которое с точностью до члена Л?/4 записывается также в виде83 Ao.
Для ракет с нормальной центровкой (т. е. аэродинамически устойчивых) коэффициенты Вг и В2 положительны, так как величина #1%2 мала; следовательно, необходимое условие (2.36) выполняется. При исследовании полного условия (2.35) обнару
живается возможность неустойчивости, обусловленной членами Магнуса, которая может возникнуть при следующих условиях:
Неустойчивость при фиксированной высоте и чрезмерном крене: так как величина В2 положительна, то устойчивость вне узкого интервала 心
<С2/Л《0,(2.37)
где величина k порядка 0,01, обеспечивается лишь в том случае, если величина производной ①'(т. е. крен) меньше величины,
1)В случае артиллерийского снаряда величина Л положительна, а 8 отрицательна; следовательно, отношение С2М должно удовлетворять неравенству (2.37), чтобы обеспечивалась устойчивость при достаточно большой величине крена.
определяемой неравенством (2.35); ракета неустойчива при слишком большой величине крена.
Неустойчивость при заданной величине крена за счет увеличения высоты, если в выражениях для Д, В2, С2 сохранить члены, зависящие только от р (остальные равны нулю или пренебрежимо малы для ракет с удлиненным фюзеляжем), то левая
Рис. 10. Описание колебания угла атаки при замороженных условиях полета (случай положительных ①，и С3).
q』■ простое колебание; 6 — гироскопический эффект; 6 — эффект Магнуса.
часть неравенства (2.35) уменьшается при увеличении высоты и постоянстве других факторов, в то время как правая часть остается постоянной: вне интервала (2.37), начиная с некоторой высоты, возникает неустойчивость, которая тем слабее, чем больше величина крена. Очевидно, что при малой величине крена этот вид неустойчивости не возникает вследствие выхода ракеты из атмосферы (разд. 2.2.3).
Выражения для решенийу описывающих движения
Представленные выводы подтверждаются при рассмотрении аналитических выражений для решений, описывающих исследуемые движения, которые получаются непосредственно из общего решения (2.30).
В самом деле, при замороженных условиях ошибка метода ВКБ, определяемая уравнением (2.31), равна нулю и решение (2.30) является точным.
Кроме того, входящие в него функции переменной s линейно зависят от s согласно соотношениям (2.27) и (2.29), и, следовательно, угол атаки а* записывается в виде
а* = а；е* + а；е%,(2.38)
где а*, а* — новые произвольные постоянные, a v* и Vg характеризуют частоты и коэффициенты демпфирования двух движений:
w=-[(Д/2)一九]+ i [伊①'⑵_3],
% = — [(Л/2) + Х] + “但① 72) +(о].
В этих выражениях Айз связаны с коэффициентами уравнения (2.26) комплексным соотношением
з + 辽=(Вз + i ①'Сз)%
и приближенно равны
з 〜В九 X 〜^I^C^^.(2.39)
Другие параметры движения определяются из выражения (2.38) для а* при помощи формул (2・22)——(2・24). В итоге получаем з* = a；v；e心 + 吗卡支(2.40)
屮=囲(4饵)户+或(4例)6%+?:，(2.41)
@* = а* + у*・(2.42)
Эти аналитические выражения позволяют,вчастности, рассчи
тать чувствительность траектории ракеты к различным возмущениям (приложение 1).
Замечание. Из выражения (2.41) для у* следует, что для одного из двух колебательных движений (Я = 1 или Я = 2) выполняется соотношение
I 加/凉 1 = 1 4/v: I ~ 4/①.
Следовательно, условие возможности отбрасывания члена (g sin у0/^2) 7* в уравнении (2.12) при выводе уравнения (2.19) удовлетворяется, если
g-sin Yo/V2《з,т. е. практически во всей атмосфере.
Описание движений
В зависимости от обстоятельств два движения характеризуются следующими свойствами:
До тех пор пока гироскоп ическим эффектом и эффектом Магнуса можно пренебречь по сравнению с другими воздействиями, в частности пока крен остается малым, эти два движения характе-
4〃万0,10,15
Рис. 11. Характеристики колебания угла атаки ракеты «Белье-III» при замороженных условиях полета (эффектом Магнуса и гироскопическим эффектом пре- небрегается).
По оси ординат： высота, км; по оси абсцисс: длина волны, км (верхняя шкала) — кривая /; приведенный коэффициент демпфирования. А/2со (нижняя шкала) — кривая 2.
ризуются одинаковыми частотой и демпфированием, однако вращение происходит в противоположных направлениях. Когда в колебаниях угла атаки имеются оба движения, изображающая точка X углового движения описывает в плоскости Суого (разд. 2.1.6) эллипс, который при уменьшении размеров сохраняет свою форму и ориентацию. «Длина волны» ракеты, т. е. расстояние Л = 2л/со, проходимое за одно колебание, возрастает при увеличении высоты пропорционально p-R а безразмерная величина демпфирования 4/2① уменьшается пропорционально р1^ (рис. 11); тем не менее условия устойчивости выполняются рсегд^,
Гироскопический эффект HD' изменяет в противоположных направлениях абсолютные значения частот, которые перестают быть одинаковыми； тем не менее направления двух движений остаются противоположными, так как
о)2 〜&〉必①，2/4,и более быстрое движение осуществляется в направлении, проти-воположном крену. При комбинировании двух движений изо-
Рис. 12. Влияние эффекта Магнуса [2] и гироскопического эффекта [4] для двух типов колебательного движения.
а — первое движение; 6 — второе движение.
бражающая точка X углового движения в комплексной плоскости описывает затухающий эллипс, прецессирующий в направлении крена с угловой скоростью ЙФ72. За исключением случая больших высот, определяющего поведение ракеты вне атмосферы, обычно гироскопическим эффектом можно пренебречь.
Эффект Магнуса приводит к изменению коэффициентов демпфирования двух движений в противоположных направлениях: если величина С3 положительна, т. е. производная СпРа отрицательна, то движение, противоположное крену (более медленное), характеризуется наименьшим демпфированием. Условие устойчивости наиболее опасного движения, которое следует из выражений для коэффициентов демпфирования, имеет вид
|、| <Д/2,
Это условие при подстановке вместо 九 приближенного значения из формулы (2.39) приводит к следующему приближенному условию устойчивости:
\ФТ3В^^/А\<^
которое согласуется с условием (2.34) без члена, содержащего производную, и с точностью до члена Л2/4 эквивалентно уже рассмотренному условию устойчивости (2.35), ибо после замены величин В3 и Сз эквивалентными им выражениями получаем
出2—(々/4)]/①-> (С2MH&/』)+ k].
На рис. 12 качественно иллюстрируется влияние момента Магнуса, который замедляет одно движение и ускоряет другое и может привести к неустойчивости Магнуса.
Замечание. При выполнении условий ограниченной устойчивости частота самоподдерживающегося движения равна 8’ = =-С^ЧА.
Колебательное движение 6 полете с набором высоты. Общие условия
Чтобы представить колебательные движения в полете с набором высоты в аналитическом виде и выявить, таким образом, влияние непрерывного изменения плотности воздуха, необходимо к общим гипотезам добавить следующие предположения:
Влияние силы тяжести и демпфирования струи пренебрежимо мало при рассмотрении полного демпфирования Л; это предположение выполняется при умеренном значении высоты и большой скорости полета (рис. 5); на больших высотах, когда члены, пропорциональные р, становятся малыми, демпфирование струи также обращается в нуль для ракет с удлиненным фюзеляжем, а величина g sin у0/^2 (единственный член в А) мала по абсолютному значению.
Массовая плотность р воздуха подчиняется экспоненциальному закону (1.2); с учетом соотношения (1.1), связывающего высоту ", скорость V и угол у。, принимаемый постоянным, из этого закона следует выражение, связывающее р с переменной s:
р = р&-тЕ%) (s-Sr), (2.43)
где Pr н Sr ——величины, соответствующие опорной точке траектории.
Аэродинамические производные являются постоянными; это предположение выполняется даже при переменном числе Маха, при условии что оно достаточно велико (это условие часто выполняется).
Масса и моменты инерции постоянны.
Наконец, полезно сделать еще одно предположение, которое не является необходимым, но при анализе задачи позволяет фиксировать переменную а*: скорость определяется законом аэродинамического торможения с постоянным коэффициентом CD; с учетом предположения 1 этот закон описывается уравнением (1.17) без членов Tltn и g sin у0, т. е.
V = -(/S/2/n) рН・(2.44)
В этих условиях коэффициент 4 в уравнении (2.21) и коэффициенты В? и Сз в уравнениях (2.26) принимают вид
/ —= р〃，
83 = p 力3 + %胪①'2 — %p2 a 一旬户，
Сз = pc?, где
а == а】—1~ а2 — 2аз,
Ьз =瓦 + (Р sin у”)(％ —旬)，
Сз = С] +(а/2) (。2 — %)•
Замечания
Можно освободиться от предположения 5, если вместо а* ввести переменную а*1/ и вместо величины а ——следующее определение, согласующееся с определением А из разд. 2.1.8:
а = “1 + “2，
а величины Ь3 и & оставить неизменными.
Рассматривая переменную а*, можно избавиться до некоторой степени (но не строго) от предположений 1 и 5, что приводит к замене параметра 〃 большей величиной
“+ = % + 〃22“з + р-1 [(T/tnV^) (2 + /) — (g sin уq/V^)].
В выражении для В§ последний член, который усложняет анализ, всегда мал по сравнению с первым (особенно на больших высотах) и, несомненно, может быть отброшен.
Поэтому с учетом экспоненциального выражения (2.43) для р становится возможным определить в явном виде:
точный вид функций 屮 1 (s) и 力(s) из уравнения (2.27):
5 = — % 偉 sin 丫0尸咱(2.45)
% = 1/2^①'(S — Sr),(2,46)
где Sr — абсцисса опорной точки;
Этому случаю соответствует полет без вращения (Ф = 0) или вращающаяся ракета с малым отношением моментов инерции 6^0, которая не подвержена воздействию эффекта МагнусаЭтому случаю соответствует полет без вращения (Ф = 0) или вращающаяся ракета с малым отношением моментов инерции 6^0, которая не подвержена воздействию эффекта МагнусаРис. 13. Колебательные движения J。 и У о в полете с набором высоты («Белье-III»).一 “ точное решение;ре*шение ВКБ; Е = 0,577.Рис. 13. Колебательные движения J。 и У о в полете с набором высоты («Белье-III»).一 “ точное решение;ре*шение ВКБ; Е = 0,577.
Этому случаю соответствует полет без вращения (Ф = 0) или вращающаяся ракета с малым отношением моментов инерции 6^0, которая не подвержена воздействию эффекта Магнуса
Этому случаю соответствует полет без вращения (Ф = 0) или вращающаяся ракета с малым отношением моментов инерции 6^0, которая не подвержена воздействию эффекта Магнуса
Рис. 13. Колебательные движения J。 и У о в полете с набором высоты («Белье-III»).
一 “ точное решение;ре*
шение ВКБ; Е = 0,577.
Рис. 13. Колебательные движения J。 и У о в полете с набором высоты («Белье-III»).
一 “ точное решение;ре*
шение ВКБ; Е = 0,577.
точные или приближенные решения уравнения (2.26).
Тогда движения, описываемые общей формулой (2.30), имеют различные характеристики в соответствии с этими условиями.
Полет с набором высоты без учета гироскопического эффекта и эффекта Магнуса [1, 20, 22]
(Сз~0)・ Уравнение (2.26) принимает вид
U*〃 +рЬз〃* = 0. (2.47) Оно сводится к уравнению Бесселя
dU*g + (l/t) (dU*/dT)+
+ U* = 0,(2.48)
если ввести замену переменной t = 2e-B("-”R)/2, (2.49) где "欠 ——высота опорной точки и траектории, выбранной таким образом, что
Pr力з = (₽ sin у。)?，(2.50) т. e. длина волны ракеты в этой точке равна 2л/р sin у °. Переменная т уменьшается с увеличением высоты, равна 2 в опорной точке и стремится к нулю при выходе ракеты из атмосферы. Введенную замену переменных можно интерпретировать при помощи дифференциального соотношения, связывающего переменные ths:
血=一終3*也，(2.51)
где величина (р&3) % характеризует мгновенную частоту функции U*.
Решение уравнения (2.48) можно представить в виде следующей линейной комбинации функций Бесселя нулевого порядка 」о (т) и Yq (т) первого и второго рода с постоянными К； и К；：
и* = ^yo (т) + КХ ⑴.
d Обычно эту точку выбирают на большой высоте в интервале от 50 до 70 км.
Подставляя это решение в общее выражение (2.25) с функцией 屮 1, полученной из выражения (2.45), в виде
屮1 =一"t2/4, где
|i = “В sin у”力з, получаем закон изменения угла атаки а* при отсутствии гироскопического эффекта и эффекта Магнуса:
а* = е^/4 [К；/。(т) + К；% ⑼.(2.52)
Определенные таким образом движения суть два плоских затухающих колебания, которые характеризуются следующими свойствами:
На низких высотах, т. е. при больших т, функции Бесселя можно заменить их асимптотическими представлениями
JQ (т)(2/冗寸/2 cos [т— (л/4)],
Уо (т)(2/лт)1/2 sin [т— (л/4)].
Амплитуда колебаний уменьшается за счет демпфирования и увеличивается за счет множителя (2/лт)1/2, т. е. за счет градиента плотности воздуху. Существует критическая высота, на которой эти два эффекта взаимно компенсируются; ниже этой высоты колебание будет убывающим, а на большей высоте •- нарастающим (рис. 14). Условие нарастания колебаний имеет вид-
»2 А 1,(2.53)
или, будучи выраженным через р, вид р〃 > 0 sin у0/2.
На больших высотах множитель 6乩工？/4 стремится к единице и несущественно влияет на колебания; функции Бесселя можно заменить следующими асимптотическими выражениями:
几(т)〜1,
九(т)〜2 [Е + In (02)]/%
где Е ——постоянная Эйлера, равная 0,577.
Следовательно, на больших высотах угол атаки а”，выраженный через Я, принимает вид
W 〜К； + К[2Е—0(" —”r)] ПУ(2.54)
Итогом первого движения на большой высоте является постоянный угол атаки а」8, связанный с огибающей osje этого движения соотношением
dj』djE = МТ (皿 2)%・
Итогом второго движения на большой высоте является постоянная угловая скорость, величина которой ау^ связана с огибающей аук соотношением
^y^I^ye = (В sin 我)《/2Л)%-
720「
______ 一о о о 歹 о 刃 0加 g 8 7 6 5 4wx ceEO“_qn______ 一о о о 歹 о 刃 0加 g 8 7 6 5 4wx ceEO“_qn2HIH)g2HIH)g0&и5аюи^ая0&и5аюи^аяРис. 14. Нарастание колебаний угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»).Рис. 14. Нарастание колебаний угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»).
______ 一о о о 歹 о 刃 0加 g 8 7 6 5 4wx ceEO“_qn
______ 一о о о 歹 о 刃 0加 g 8 7 6 5 4wx ceEO“_qn
2HIH)g
2HIH)g
0&и5аюи^ая
0&и5аюи^ая
Рис. 14. Нарастание колебаний угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»).
Рис. 14. Нарастание колебаний угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»).
Замечания
Более показательно по аналогии с общим выражением (2.30) выразить колебания угла атаки через функции Ханкеля:
筑1) N人+忆，
筑2)= 4 -亿
Тогда а* записывается в виде
(2.55)(2.55)а* = ёк/4 口;銀1)⑴ + u:用2)(砌.
(2.55)
(2.55)
Определенные таким образом два движения имеют одинаковые угловые скорости вращения, но противоположные направления (рис. 15). На низких высотах они имеют одинаковую частоту колебаний, амплитуда которых уменьшается, если р больше jx~1/2, или увеличивается, если р меньше 出一‘厶,и описываются следующим выражением для угла атаки ag на низких высотах, получен-
ным из соотношения (2.55), в котором функции 〃卩)и Н$)были заменены их асимптотическими представлениями:
总=产2d (2/лт)1/2 [U；，i"4)] + и# “一(冗/4)口.(2.56)
На больших высотах итогом обоих движений будет раскачивание с постоянной угловой скоростью, описываемое формулой
* = u；(1[2e—6(" 一 厶)]冗一1} +
Рис. 15. Колебательные псевдокруговые движения "f)и "р на комплексной плоскости а*.
а — первое движение; б — второе движение.,
Выражение (2.56) для а% на низких высотах с точностью до постоянных совпадает с решением, полученным приближенным методом ВКБ, т. е. с выражением (2.30), в котором по предположению величины С3 и гр3 равны нулю, а величина 力 постоянная; в самом деле, в этом выражении
屮1 = — рт2/4, 5 J% = 2(p sin %) -(2.58) и дифференциальное соотношение (2.51), определяющее т, с точностью до знака эквивалентно интегральному соотношению (2.29), определяющему 02. Ошибка 6 метода в соответствии с формулой (2.21) равна
6 = %玛
и условие применимости приближения записывается в виде
т》〃2・
Следовательно, решение ВКБ применимо вплоть до высот, близких к опорной высоте с у = 2 (рис. 13).
Гироскопический эффект 6 полете с набором высоты [8 ]
Хотя ракета имеет обычно удлиненный фюзеляж (为 ^ 0,01) и ей не сообщается чрезмерный крен, при выходе из атмосферы гироскопическим эффектом пренебречь нельзя. Именно этот эффект позволяет фиксировать направление баллистического полета ракеты вне атмосферы и является желательным во многих случаях. Если по-прежнему пренебречь эффектом Магнуса (Ф'Сз = 0), уравнение (2.26) можно записать в виде
U*〃 + 2% +1/4W2] U* = 0,
или, вводя переменную т в соответствии с (2.49), в виде
d2U*/dt2 + (I/t) (dU*/dt) + [1 + (户几2)] U* = 0,(2.59)
где величина Р определяется соотношением
Р = ^Ф7р sin у。.
Уравнение (2.59) — уравнение Бесселя, и его общее решение является линейной комбинацией функций Бесселя JlP (т) и J_iP (т) порядка iP и —i尸，т. е.
U* = K；4p3 + K；Jtp(t)・
выражениемвыражением幽=产""一依）/2幽=产""一依）/2(т/2ГР,(т/2ГР,(2.60)(2.60)Общее выражение (2.25), в котором функция 屮】определяется выражением (2.58), и «'% — в соответствии с соотношением (2.45)
выражением
выражением
幽=产""一依）/2
幽=产""一依）/2
(т/2ГР,
(т/2ГР,
(2.60)
(2.60)
приводит к следующему закону изменения угла атаки а* в зависимости от т:
а* = ек/4(т/2)тр [кКр ⑴ + 笈/一。(喇.(2.61)
Определенные таким образом два движения характеризуются следующими свойствами:
На низких высотах, т. е. при больших т, функции Бесселя можно заменить следующими асимптотическими представлениями:
JiP = &1П前小% [e5P/2)+i [J (几/4)] + e-(兀P/2)T [j(冗/4)]],j_jp = (2/JU*2% [«-(冗P/2)+i [T-5/4)] + «5P/2)T "-(”4)]].
Первое движение представляется в виде эллиптического колеба* ния с удлинением [th (冗夕/2)]一1 в направлении, противоположном крену; причем угловая скорость прецессии равна 力①'/2. Второе движение также представляется в виде эллиптического колебания в направлении крена с тем же удлинением и той же скоростью прецессии. Так как высота мала, т. е. т > Р (см. выше), то нара-
стание и убывание этих движений определяются критерием, который использовался для колебания без учета гироскопического эффекта, и огибающие колебаний также совпадают.
На больших высотах функции Бесселя можно заменить следующими асимптотическими представлениями:
JiP (т)〜[1/Г (1 + iP)] (т/2)^,
(T)〜[1/「(1 一 /)]①2严.
Рис. 16. Колебание угла атаки на больших высотах с учетом гироскопического эффекта на плоскости а*. Движения J,p и •/_» (Р = 0,254).а』первое движение; б — второе движение.Рис. 16. Колебание угла атаки на больших высотах с учетом гироскопического эффекта на плоскости а*. Движения J,p и •/_» (Р = 0,254).а』первое движение; б — второе движение.
Рис. 16. Колебание угла атаки на больших высотах с учетом гироскопического эффекта на плоскости а*. Движения J,p и •/_» (Р = 0,254).
а』первое движение; б — второе движение.
Рис. 16. Колебание угла атаки на больших высотах с учетом гироскопического эффекта на плоскости а*. Движения J,p и •/_» (Р = 0,254).
а』первое движение; б — второе движение.
Зависимость Г-функции от Р приводится в таблице [23]. С учетом того факта, что величина е^?% стремится к 1, выражение для угла атаки а” на больших высотах, полученное из (2.61), принимает вид
а%= К； [1/Г (1 + /)] + К； [1/Г (1 一 /)] (т⑵—2匕
Итогом первого движения является постоянный угол атаки, в то время как итог второго движения — круговое колебание с частотой ^Ф' и с центром в нуле; это круговое колебание есть движение Эйлера—Пуансо ракеты в безвоздушном пространстве (рис. 16).
Замечания
Более показательно по аналогии с общим выражением (2.30) выразить колебания угла атаки через функции Ханкеля:
"伊=(shnP厂 1 М・ре" — J-/),"田二一(s3P尸 萨-Jtp)
Таблица значений функции Г (1 + Zy)
У
m 1 Г|
Arg Г
0
0
0
0,1
—0,00820
—0,05732
0,2
—0,03248
—0,11230
0,3
—0,07195
—0,16282
0,4
—0,12529
—0,20715
0,5
— 1,19094
—0,24406
1
—0,65092
—0,30164
1,5
—1,23448
—0,16294
2
—1,87608
—0,12964
3
—3,24414
+ 1,05335
4
—4,67110
—2,30970
и написать
a* =产/%/2厂‘Р [и『"""窿⑴ + u；*Р/2确)]・(2.62)
На низких высотах определенные таким образом два движения являются круговыми, но совершаются в противоположных направлениях, что следует из асимптотических представлений функций Ханкеля при больших т:
碎)⑴〜(2/п//讶 g(””"/2,
"修(T)〜⑵同人T[一("4)%一 Пp/2.
Более медленным будет то движение, которое имеет направление, противоположное крену (движение с индексом 1 при положительной величине Р).
На больших высотах величина ^卩工？* стремится к 1 и функции Ханкеля стремятся к следующим значениям:
Н伊(т) = (shnP)-1 {[1/Г (1 + iP)]产(V2严一
-[1/Г (1 一 炉)](02厂勺，
(2.63)
"修⑴=一(曲冗尸尸{[1/Г (1 + iP)]e^p Wp 一
一 [1/Г (1 一 苏)](т/2)"Р}・
6 Заказ 530
Итогом движения, противоположного крену (на низких высотах), на больших высотах является движение Эйлера—Пуансо в направлении крена, которое удаляется от траектории и не охватывает ее.
Итогом движения в направлении крена (на низких высотах) на больших высотах также будет движение Эйлера—Пуансо, которое удаляется от траектории и охватывает ее (рис. 17).
Рис. 17. Колебания угла атаки на больших высотах с учетом гироскопического эффекта на плоскости а*. Движения "；% и "倒(Р = 0,5).
а — первое движение; б = второе движение; •- точное решение; -===-= решение ВКБ.
В самом деле, эти движения на больших высотах описываются формулами
а*а)= М； + %；加①'％
a*⑵=例；+n讃左①飞，
в которых постоянные отклонения М： н Л4； и амплитуды прецессии N； и ^2 связаны с амплитудами движений на низких высотах соотношениями
I М；/а炉 I I 乂/公⑶ I = F (Р) ef #4 W2)VS
I М/a*)丨I M；/公⑵ I = G (P) ef〃4 (皿 2)%・
Функции 尸(P) и G (P) являются модулями коэффициентов при величинах(1；/2严 и “⑵-沾 в выражениях (2,63) и представлены на рис. 18.
Если гироскопический эффект мал, то с точностью до главных членов по Р выражения (2.63) для функций Ханкеля при малых т стремятся к следующим выражениям:
0-心/2"窿=[(1/门0)+ 1/2 + i (е/门)] fc/2严一
-[(1/лР) - 1/2 — i (E/冗)]«/2厂产尸/2"像=_((1/ЛP)一 i/2 + i (£/Л)]什/2严 +
+ [(1/门0)+l/2 - Z (е/m)] (T/2广匕
(2.62) и(2.62) иПодстановка этих выражений в
(2.62) и
(2.62) и
сравнение с (2.57) позволяют найти, что движение Эйлера —Пуансо на больших высотах можно рассматривать как движение, обусловленное раскачиванием ракеты, вычисляемым без учета гироскопического эффекта (рис. 19): для обоих движений
3322戶戶GG7700РРРис. 18. Среднее угловое отклонение и амплитуда прецессии на высотах.Рис. 18. Среднее угловое отклонение и амплитуда прецессии на высотах.больших
3
3
2
2
戶
戶
G
G
7
7
0
0
Р
Р
Рис. 18. Среднее угловое отклонение и амплитуда прецессии на высотах.
Рис. 18. Среднее угловое отклонение и амплитуда прецессии на высотах.
точные значения;приближение малых Р；решение В КВ.
радиус @8)круг кругового колебания вне атмосферы связан с модулем |а* (т) | движения на низких высотах соотношением
@8)кру「/ |а* (т)| = (1/Р) d/2n)”ef >/4,
и минимальное значение | а^ \т модуля угла атаки вне атмосферы, характеризующее наиболее близкую к траектории точку, связано с (т) I следующей формулой:
1“m/1а* (t)1 =(冗工/2)"2-从
Решение (2.30), полученное методом ВКБ, с учетом уже найденных значений 屮】(2.58) и е'“ (2.60) принимает вид
炉=刖严看 口/2)一壮5J/4(U；e-W + t/g仇)，(2.64)
где
BJ/4 = (₽ Sin %)-%(T2 + 卩)一/,
仇=_ (T2 + 户)% + p arg th [1 + (^iP^f^ + (冗/4).
Выражение (2.64), эквивалентное (2.62) при больших т, приводит
Рис. 19. Колебание угла атаки на больших высотах с учетом гироскопического эффекта (尸《1/л).
а — первое движение; б — второе движение.
Этот критерий, в котором учитывается гироскопический эффект, в действительности незначительно отличается от критерия (2.53), потому что обычно величина Р? намного меньше 卩~i даже в случае быстрого вращения ракеты в направлении крена.
С другой стороны, если значение Р достаточно велико (порядка единицы или больше), то выражение (2.64) выполняется как на больших, так и на низких высотах, что иллюстрируется расчетом ошибки решения В КБ, определяемой формулой (2.31), принимающей вид
б = (1/402) (т/р2) [(р/р)2 - 4]/[(т/р)2 + 1]3.
Если значение Р мало, то выражение (2.64) не выполняется при выходе из атмосферы: в самом деле, согласно этому выражению, движение, описывающее вращение, противоположное крену, прекращается, что не подтверждается точным решением (рис. 17).
Эффект Магнуса в полете с набором высоты [10, 11, 21 ]
С учетом предположений, сформулированных в разд. 2.2.3, уравнение (2.26) принимает вид
U*〃 + р Q + 渔&) U* = 0.
Так как массовая плотность р является экспоненциальной функцией переменной s, точное решение в результате громоздких вычислений можно выразить через последовательность гипергео-
Огиё/анзи^аяОгиё/анзи^аяРис. 20. Влияние эффекта Магнуса на нарастание колебания угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»,卩=7・ 10一4, е = 5-10~2).Рис. 20. Влияние эффекта Магнуса на нарастание колебания угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»,卩=7・ 10一4, е = 5-10~2).5 0 5%5 0 5%
Огиё/анзи^ая
Огиё/анзи^ая
Рис. 20. Влияние эффекта Магнуса на нарастание колебания угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»,卩=7・ 10一4, е = 5-10~2).
Рис. 20. Влияние эффекта Магнуса на нарастание колебания угла атаки в полете с набором высоты («Белье-III»,卩=7・ 10一4, е = 5-10~2).
5 0 5%
5 0 5%
/ — первое движение; 2 — второе движение; 3 — без эффекта Магнуса (оба;движения).
метрических конфлюэнтных функций, и поэтому более удобно рассмотреть приближенное решение (2.30), полученное методом ВКБ. В этом случае при условии, что перекрестный момент мал по сравнению с аэродинамическим демпфирующим моментом, применимы формулы (2.32) и (2.33), что приводит к следующему выражению для угла атаки:
a* = eW/4L% #5mY0尸/2[[/m-(勿2)+小 + [/券(2/2)一口4 где
£ =①4/b3.
Два движения совершаются в противоположных направлениях с одинаковой частотой, на которую не влияет эффект Магнуса; однако их амплитуды изменяются неодинаково (рис. 20); условие
затухания движений, полученное из формулы (2.34) или непосредственно из выражения для а*, записывается в виде
卩t2 > 1 土 ет
или с использованием переменной р в виде
ра〉0 sin 次/2 ± ①'сзЬ『/2р%.(2.65)
Это условие отличается от условия устойчивости при замороженных коэффициентах (разд. 2.2.2) лишь наличием члена 0 sin у0/2. Если в этом условии коэффициент Сз (или е) положить равным нулю, то оно совпадет с уже найденным условием устойчивости без эффекта Магнуса (разд. 2.2.4).
Эффект Магнуса и гироскопический эффект в полете с #а・ бором высоты [10—12, 21 ]
С учетом предположений, сформулированных в разд. 2.2.2, уравнение (2.25) принимает вид
U*〃 + [р 电 + »①4) + (必①'2/4)] и* = о.
Как и в предыдущем анализе, здесь рассматривается только решение ВКБ. В предположении, что перекрестный эффект мал по сравнению с аэродинамическим демпфирующим моментом, различные функции в выражении (2.30), зависящие от переменной т, представляются в виде
屮1 =卩t2/4,
N =-尸 In (т/2),
屮2 = - (е/2) (т2 + У)%,
餘=-Y + 户)〃 + 尸 arg th [1 + ("P)2】-% + л/4,
(Вз + 渔Кз)—% = (Р sin у。⑵一”[工2 (1 + ⑻ + 户к%.
Следовательно, частоты двух движений совпадают с частотами уже изученных движений, в которых учитывается эффект Магнуса, но пренебрегается гироскопическим эффектом (разд. 2.2.5).
Условие затухания, полученное из формулы (2.34) отбрасыванием членов порядка 82 и выше, записывается в виде
И (т2 + Р2) > 1 ± е (т2 + Р2)“
или с использованием переменной р в виде
р〃(1 + о) > р sin у。± Ф сз&Г1/2р1/г (1 +。产，
где о характеризует относительную величину ги рос ко пи чес ко го эффекта:
О = ^2Ф，2/4р&8е
Пока величина т намного больше Р или пока о《1, т. е. в действительности на наиболее протяженном участке полета в атмосфере, это условие устойчивости не отличается от условия, полученного в предыдущем разделе, в котором гироскопический эффект не учитывался.
РЕЗОНАНС
Несмотря на высокую точность изготовления ракеты, она имеет некоторую асимметрию, порождающую возмущающий момент, приложенный к ракете, в результате чего угол атаки стремится уклониться от нуля. Причиной такого возмущения могут быть отклонение от идеального направления силы тяги, дефекты системы управления рулями, несбалансированность и т. д. Чтобы уменьшить дисперсию траекторий, обусловленную такой асимметрией, в особенности в момент старта, необходимо посредством дифференциального управления рулями сообщить ракете движение крена, которое должно нейтрализовать эффект асимметрии. Скорость крена должна быть не слишком велика вследствие возможности возникновения неустойчивости Магнуса или взаимодействия с колебаниями конструкции и не слишком мала вследствие неопределенности величины возникающего отклонения.
При этих ограничениях крен, который считается благоприятным, может тем не менее стать причиной возникновения опасного резонанса с частотой, равной частоте колебаний угла атаки, приводящего вследствие той же асимметрии к увеличению угла атаки, пр едстав л яющему опасность для летательного аппарата. В ряде случаев условия возникновения резонанса можно правильно проанализировать теоретически. В самом деле, необходимо рассмотреть уравнение (2.21) с правой частью, в которой величина определенная в разд. 2.1.5, характеризует угол атаки в положении статического равновесия, обусловленный заданным возмущающим моментом. Как и при изучении колебаний угла атаки, сначала полезно исследовать резонанс при замороженных условиях полета, в результате чего можно определить влияние различных факторов, и затем обобщить анализ на случай полета с набором высоты.
Резонанс при замороженных условиях полета
При замороженных условиях полета коэффициенты уравнения (2.21) становятся постоянными и в правой части функция Ф увеличивается по линейному закону с возрастанием переменной s.
Следовательно, существует частное решение вида
* * /фа —- >
которое в рассматриваемом здесь случае устойчивой ракеты описывает асимптотическое движение; величина а： есть постоянный угол атаки этого движения в связанной системе координат Gxyz, что следует из определений (2.10) или (2.11), или
a： = aV①[(& - iv)|V] С一"①=Wa/V.
В абсолютной системе координат движение будет вынужденным круговым колебанием с частотой ①'，амплитуда и фаза которого определяются соотношением
а；/а； = Bi/[B2 —Ф，2(1 —用 + 陋(Л + &)]・ (2,66)
Рис. 21. Влияние скорости крена ①'на балансировочный угол атаки aj в связанной системе координат (возмущение а* = 1).
а 曰 комплексный угол атаки в связанной системе координат; б — модуль комплекс。 ного угла атаки.
Модуль и аргумент отношения а；/а； зависят от ф\ что иллюстрируется на рис. 21:
—когда величина скорости ①'близка к нулю, модуль отношения а；/а； приближенно равен единице, а его аргумент близок к нулю; соответствующее вынужденное колебание имеет амплитуду |ао I，приближенно равную |а；|, так как Вх ^ В2;
когда Ь принимает значение
①;1= В罗(1—舟-%,(2.67)
действительная часть знаменателя обращается в нуль, а модуль отношения а：/а； в обычных условиях становится величиной, намного большей единицы： возникает резонанса вынужденное
колебание имеет амплитуду |а* |, намного большую, чем |а；|, что характеризуется отношением
I а7苏 | =尻％ (1 — Л)1/2 (Л + G尸，
которое тем больше, чем меньше величина демпфирования рассматриваемого движения; аргумент отношения а；/а； равен —л/2;
—с ростом ①'модуль отношения а；/а； уменьшается и стремится к нулю, когда ①'стремится к бесконечности; соответственно аргумент отношения стремится к —л; амплитуда вынужденного колебания уменьшается.
Замечания
Значение ①”，определяемое формулой (2.67), очень близко к величине Фг 2, для которой скорость крена в точности равна частоте движения, совершаемого в направлении крена, или, согласно результатам разд. 2.2.2,
①;2 =仍2 - (Д2/4)+ Сз (2 -々厂2产(1 -团-%.
Вблизи резонанса действительная часть изменяется с изменением ①'намного быстрее, чем мнимая часть; следовательно, годограф отношения а；/а； в этой области комплексной плоскости близок к круговому с центром на мнимой оси и проходит через начало координат; при этом существенной части этой окружности соответствует малое изменение Фл.
Если пренебречь гироскопическим эффектом, то частота колебаний не будет зависеть от ①'и, согласно (2.39),
9’ =叫
Кроме того, в этом случае величины 8「 В2, В3 практически совпадают друг с другом, что позволяет выделить в формуле (2.66) отношение ①'/О', характеризующее резонанс, а именно
а；/а； - [1-(①7е'У + i (①7d) (Л + С2) 6 J『・(2.68)
Значение скорости крена ①'，при превышении которого проявляется неустойчивость Магнуса, никак не связано с условиями резонанса.
Влияние высоты
Предполагая, что фюзеляж ракеты удлиненный, и ограничиваясь главными членами, коэффициенты 4, Вг и С3 в выраже-
нии (2.66), характеризующем увеличение угла атаки, запишем в виде
4 = р (а】+ 〃2 — 2〃з),
% = pbi，
С2 = р ® —々(〃i — 〃з)],
где величины а» а2，〃з,匕1 и сг уже определены (разд. 2.1.5) и могут считаться постоянными.
В этих условиях коэффициент усиления принимает вид|а；/а；| = р-“中(1 —归)"[(1 —左)(〃i — оз) ++ (a2 -a3)+ 分 尸
или, если пренебречь эффектом Магнуса и гироскопическим эффектом,
|а；/а；| =(p/pR)'・(2・69)
Следовательно, при замороженных условиях полета резонансная амплитуда тем больше, чем больше высота. К счастью, эта тенденция нарушается вследствие переходного характера развития резонанса в полете с набором высоты.
Резонанс в полете с набором высоты
Как общее правило, частота 6' колебательных движений уменьшается с увеличением высоты полета, в то время как скорость крена ①'остается практически постоянной. С другой стороны, довольно часто на низких высотах скорость ①'выбирается меньшей, чем частота 0\ В этих условиях на некоторой высоте Нг возникает переходный резонансный процесс, для которого
0；=①'.
Из исследования замороженной модели следует, что прохождение этого резонанса будет тем быстрее, чем больше высота: в самом деле, в интервале, равном длине волны, мгновенная частота изменяется (относительно) тем быстрее, чем больше высота. Вследствие этого увеличение угла атаки на большой высоте не приводит к достижению той величины, которая соответствует стационарному резонансу. Возможно лишь приближенное аналитическое исследование этого явления; тем не менее оно позволяет найти порядок величины увеличения угла атаки, что часто оказывается полезным.
Можно получить строгое решение уравнения (2.21) с правой частью, если известны два независимых решения X； (s) и X； (s) однородного уравнения; оно имеет вид
а* = X； (s) /； (s) + X； (s) /； (s),
где
/； (s) = j [BiR①/X；(Х；/Х》'] ds,si
Е (s) = j [B"e，X； (X；/X；)'] ds.
В этих интервалах предел s, соответствует точке, начиная с которой появляется возмущение, характеризуемое правой частью уравнения.
Для упрощения анализа необходимо предположить, что гироскопическим эффектом и эффектом Магнуса можно пренебречь; согласно (2.30), это предположение позволяет записать 文;и X； в виде следующих круговых движений:
х； =
В этих выражениях величина 屮】имеет вид (2.45), а мгновенная частота 02, согласно (2.33), равна
02 =届"=
С учетом того, что при резонансе 02 и ①'равны, и экспоненциального закона (2.43) для р интегрирование выражения для 02 позволяет определить 02 в окрестности резонансной точки sr:
е2 = %— (2①7В Sin Yo) [e—(Bsinvo) (s-s「)/2 — 1 ].(2.70)
Интегралы /； и /； имеют следующий вид:
/；(s) = (〃2) j а*В1ВГ1/4^1+1*(Ф+02)ds,
/； (s) = - (〃2) j а；81В「/成+(①-%) ds.
Именно интеграл /； приводит к увеличению угла атаки; в самом деле, аргумент подинтегральной функции сначала уменьшается (02 > ФЛ), остается постоянным при прохождении через резонанс (02 = ФЛ) и затем увеличивается (02 < ФЛ)； увеличение модуля /； происходит в основном на интервале, соответствующем резонансу. Величина этого интеграла быстро уменьшается с увеличением s, что позволяет определить фиктивно достижимую при резонансе амплитуду о4 в виде
«2/ = Х2(S，) /； (°°)・
Приближенное значение величины /； (сю), которое пригодно в случае не слишком большого демпфирования движения, можно получить, предполагая, что модуль подинтегральной функции остается постоянным и равным величине, соответствующей резо-
/ ~ по формуле (2.71), 2 — по формуле (2.69).
нансу, и заменяя разность Ф —— 02 ее разложением с точностью до членов второго порядка по s — sr, полученным из (2.70):
① 一 ％ 〜(①一8儿 + (①% sin Y。/4) (s — ))2.
Тогда величина а；， определяется формулой + 8
(丛/£) = _("2)尸，3而"
которая с учетом равенств
вu〜统=仃2
и асимптотического значения полученного таким образом интеграла Френеля принимает вид
I aj/a； I =(冗①7р sin 加"=nlz (prp/?4)-(2.71)
Следовательно, увеличение амплитуды происходит тем медленнее, чем меньше высота, на которой возникает резонанс; согласно такому приближенному исследованию, оно не зависит от величины демпфирования. На рис. 22 приводится сравнение получен-
но го результата с точным значением, определенным при помощи численного интегрирования на ЭВМ.
Результаты хорошо согласуются на больших высотах или при малом демпфировании; на низких высотах более точной является формула (2.69). Во всех случаях резонанс в полете с набором высоты проявляется главным образом как кратковременное возмущение колебательного движения в направлении крена, которое развивается далее в соответствии с определяющим его законом затухания или нарастания.
Замечание. Вклад величины X： (s) /； (s) в угол атаки пренебрежимо мал при прохождении резонанса; в самом деле, аргумент соответствующей подинтегральной функции изменяется со скоростью 2①',что в соответствии с предыдущими гипотезами приводит к следующему результату:
I (Х"；)/а； I = 1/4.
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
При полете с набором высоты ряд движений среди наиболее неблагоприятных нельзя объяснить при помощи линейной теории, так как в этой теории математическая модель описывает движение ракеты слишком упрощенно. Вследствие разнообразия нелинейностей не представляется возможным построить теорию, охватывающую всю совокупность нелинейных явлений. Поэтому при исследовании каждого из этих явлений необходимо рассматривать соответствующую математическую модель, содержащую механизм воздействия изучаемых нелинейностей.
В этой части будут рассматриваться следующие четыре явления, которые в то же время имеют много общего:
—синхронизированный крен；
—катастрофическое рыскание;
——сохранягцийся резонанс;
—неустойчивость и предельные циклы с большими углами атаки.
Для всех этих исследований возможно общее упрощение, основанное на том факте, что, когда возникает одно из этих явлений, колебание угла атаки будет круговым движением. Это утверждение базируется на двух результатах, следующих из линейной теории:
—во-первых, при прохождении резонанса более предпочтительным будет возбуждение колебательного движения в направлении крена;
—во-вторых, на больших высотах одно из колебательных движений демпфируется в меньшей степени, чем другое, вследствие эффекта Магнуса.
СИНХРОНИЗИР OB АН Н Ы Й КРЕН [14]
Явление, называемое синхронизированным креном, возникает тогда, когда ракета подвергается моменту крена с периодической зависимостью от угла <р, который является индуцированным моментом крена С〃 для управляемых ракет или моментом AG, обусловленным эффектами, сопровождающими изменение угла атаки и несбалансированность (этот эффект уже упоминается
Время ^ сРис. 23. Синхронизированный крен в полете с набором высоты./ г частота колебаний угла тангажа; 2 — ожидаемое движение крена;3 — выпадение из синхронизма.Время ^ сРис. 23. Синхронизированный крен в полете с набором высоты./ г частота колебаний угла тангажа; 2 — ожидаемое движение крена;3 — выпадение из синхронизма.“JPDda сен3dя qE“JPDda сен3dя qE
Время ^ с
Рис. 23. Синхронизированный крен в полете с набором высоты.
/ г частота колебаний угла тангажа; 2 — ожидаемое движение крена;
3 — выпадение из синхронизма.
Время ^ с
Рис. 23. Синхронизированный крен в полете с набором высоты.
/ г частота колебаний угла тангажа; 2 — ожидаемое движение крена;
3 — выпадение из синхронизма.
“JPDda сен3dя qE
“JPDda сен3dя qE
в разд. 1.23 и рассматривается в приложении 2). В рассматриваемом явлении момент крена способствует тому, что угол крена Ф изменяется синхронно с аргументом 0 колебания, в особенности тогда, когда колебание является круговым; в этом случае аэродинамический угол <р равен балансыровочному значению, которое изменяется очень медленно. Скорость крена возбуждает колебания угла тангажа до тех пор, пока не перестанут выполняться условия синхронизированного крена и не нарушится синхронизм； тогда угол крена изменяется обычным образом (рис. 23). Прохождение через резонанс является наиболее благоприятной фазой для возникновения этого явления, которое, будучи взятым изолированно, не представляет большого интереса, но роль которого становится существенной при возникновении явлений катастрофического рыскания или сохраняющегося резонанса, которые анализируются позднее.
Условие возникновения синхронизированного крена
Чтобы объяснить явление синхронизированного крена, необходимо вернуться к уравнению (2.2) линейной теории; оно приводит к тому, что изменение скорости крена не зависит от угла
атаки и определяется только законом набора высоты. В рассматриваемом случае в этом уравнении необходимо ввести дополнительные члены, зависящие от угла атаки и аэродинамического угла ср, что приводит к уравнению
/*£ =【&. (Р〃и)+ с/б6 + С〃 (а, ф) +
+ А& (а, ф)] SI (р/2) V2,(3.1)
где
Сц (а, ф) = Cti (а) sin 4<р,АС； (а, ф)==—(厂尸〃)CnE sin (<p —屮尸).
Вводя в качестве независимой переменной пройденное расстояние s и учитывая соотношение (2.16), связывающее аргумент 0 колебания угла атаки, угол крена Ф и аэродинамический угол ср, уравнение (3.1) приводим к следующему виду:
ф +。「屮 + [Сц (а, ф) + ДС/ (а, <р)] (SZp/2/尢)=
=8" +0/(8'-0)；).(3.2)
Постоянная D* (длина), характеризующая демпфирование крена, и номинальная скорость крена ①;определяются следующими выражениями:
DL = Р(4 — %)，
①；=(pDi/2) (SZ//X)С演 〜(?次/(一G川， где
。4 = GpS/2/2/*.
Если ракета участвует в колебательном движении с заданной амплитудой а в направлении, совпадающем с движением крена, то синхронизация по крену, т. е. движение, в котором угол ф остается практически постоянным, может возникать при условии, что правая часть уравнения (3.2), которая медленно изменяется с течением времени, будет по абсолютной величине меньше максимального значения индуцированного момента крена при фиксированном а и переменном <р (рис. 24). В соответствии с формой кривой оказываются возможными две равновесные конфигурации или больше; устойчивыми конфигурациями будут только те, для которых выполняется неравенство
д (С〃 + ACz)/d(p > 0.(3.3)
В неблагоприятных случаях, когда эффекты индуцированного крена и несбалансированности складываются, необходимое уело-
вие возникновения синхронизма, получаемое из уравнения (3.2), принимает следующий вид:
[1 с〃(a) / + 备妙(/>〃) 1 S〃2 厶 > I @ 一 &) (8‘ 一 ①小一
-(B sin Yo/2) рТВ](3.4)
Рис. 24. Изменение момента крена при фиксированном угле атаки и переменном ф.
■• — устойчивая точка; (р尸》= 67,5*.
В этом неравенстве учитывалась пропорциональность между 8' и pi", что, согласно формуле, получаемой ниже, приводит к замене 8〃 на — (В sin Yo/2) 8'・
Устойчивость кругового колебания без учета перекрестного статического момента
К рассматриваемому случаю применимо уравнение (2.21), описывающее колебание угла атаки в линейной теории; однако теперь скорость крена ①'не является известной функцией переменной s, а равна частоте 8' кругового колебания. Определение решения вида ае'® методом В КБ позволяет найти частоту 6' и закон изменения а.
Частота 6' определяется формулой
8, = [В4/(1 -舟
где новая величина В4 имеет следующий смысл, аналогичный смыслу величины 当：
& = Bi — % (』2 — 4) — % 02 — 4户.
Как и в линейной теории, можно законно пренебречь последним членом в этом выражении и отметить, что с учетом экспоненциального закона для атмосферы величина В《пропорциональна р. Таким образом, 8〃 выражается через 0х в следующем виде:
8〃 = - (р sin Y。⑵ 6'・
Амплитуда кругового колебания при синхронизированном крене подчиняется линейному дифференциальному уравнению первого порядка
а7а = [ф sin 丫。⑵ 一(4 + C2)]/(2 一 用，
которое с учетом того факта, что величина 2 — k положительна, определяет условие затухания в виде
Л + С2 > Р sin Yo/2.
Рис. 25. Механизм выпадения из синхронизма при синхронизированном крене, изучаемом в связанной системе координат (①'〉0).
а — синхронизированный крен, обусловленный смещением центровки, /—точка выпадения из синхронизма, 2 — годограф точки Т при резонансе, 3 — область неустойчивости, 4 — область устойчивости, б ——синхронизированный крен, обусловленный индуцированным моментом крена.
С использованием переменной р это условие сводится к неравенству
р (а + %)〉В sin 丫о/2,(3.5)
определяющему предельную высоту, выше которой колебание усиливается, если прежде не наступает выпадение из синхронизма. Механизм выпадения из синхронизма движения крена при нарушении этого условия иллюстрируется на рис. 25; если момент крена возникает из-за смещения аэродинамического фокуса, то точка Т, изображающая угол атаки в связанной системе координат Gyz, расположена при синхронизированном крене на прямой d, уравнение которой выводится из уравнения (3.2) с нулевыми значениями(р〃 и 屮‘ в соответствии с гипотезой о синхронизированном крене:
SrfCnu a sin (ср —屮尸)—
=2八[Q - а3) (O' - ①;)-(0 sin 我⑵厂切'].(3.6)
7 Заказ 530
Эта прямая проходит через начало координат в непосредственной близости от резонанса и затем удаляется от него; если в резонансной фазе возникает синхронизация с креном, то точка Т обязательно перемещается на полупрямую "d, на которой выполняется условие устойчивости* движения крена (3.3). Последующее затухание колебания и удаление прямой d приводят к тому, что точка Т приближается к наиболее близкой к началу координат точке "; при достижении этой точки начинается выпадение из синхронизма движения крена вследствие того, что величина момента крена недостаточна для выполнения условия (3.4).
Это же явление имеет место, если момент обусловлен индуцированным моментом крена &,, однако положение точки Т определяется следующим уравнением, .связывающим а и ср:
Сц (а) sin 4(р ・S/ =
=2/JQ - оз) 9 —①;)一偉 sin 株⑵ p—2] (3.7)
КАТАСТРОФИЧЕСКОЕ РЫСКАНИЕ [14, 16]
В случае синхронизированного крена может случиться, что колебание угла атаки, начинающееся при достаточно большой амплитуде, стремится к предельному циклу или даже неограниченно нарастает. Это особенно неблагоприятное поведение вызывается перекрестным статическим моментом, который возникает при наличии угла атаки; в самом деле, при определенных условиях момент крена, индуцированный углом атаки, приводит к тому, что аэродинамический угол ср находится в области, в которой перекрестный момент имеет направление, способствующее нарастанию колебаний.
Уравнение кругового колебания в случае синхронизированного крена
Для анализа этого явления необходимо снова использовать уравнения задачи. Правая часть уравнения динамики (2.13), выражающего равенство боковых моментов, должна быть дополнена членом iA\ (а,屮)е»* характеризующим перекрестный момент, где
^1 (а, ср) = С- (а) sin 4屮6俗/2/.
Также необходимо дополнить уравнение (2.21), которое теперь принимает вид
а*〃 十(4 -注①)а*，+ (当 + i①(J а* =加】(а, ср) W (3.8)
В этом уравнении скорость крена ①'в каждый момент времени совпадает с частотой 6’ колебания, которое она регулирует, и зависимость аэродинамического угла ср от амплитуды а угла атаки определяется одним из соотношений (3.6) или (3.7).
Несмотря на нелинейности, затрудняющие анализ, можно тем не менее получить некоторые результаты при помощи приближенного исследования, приведенного ниже.
Если заменить величину а* ее представлением ае'° в полярных координатах, то уравнение (3.8) распадется на два уравнения, характеризующих соответственно действительную и мнимую части:
а〃 + Да7 + 电一8'2(1 -初々=о,
а'8’(2 —力)+ а [8〃 + (4 + С2) 8’]=方】(а,(р)・
Принимая предположение о том, что амплитуда а изменяется медленно, из первого уравнения определим частоту 0\
у 〜[В2/(1 —例]i/2.(3.9)
Второе уравнение, в котором сейчас 9' является известной функцией переменной s, определяет изменение Амплитуды а; с учетом (3.9) и пропорциональности 9〃 частоте 8' оно запишется в виде
(2 -吩 @'/а) = р sin уо/2 - (Z + С2) +
+ 8’(1 -舟耳 1 (а,(р)/В2а.(3.10)
Нарастание кругового колебания при синхронизированном крене
Таким образом, оказалось, что направление изменения амплитуды а определяется не только уже учтенными факторами, а именно демпфированием, эффектом Магнуса и уменьшением плотности воздуха, но также перекрестным моментом ^] (а, (р)・ Этот момент может играть большую роль в устойчивости колебания при синхронизированном крене. В самом деле, согласно уравнению (3.10), условие затухания дается неравенством
N. (а,(р)/В2а < [Л + С2 - (Р sin у0/2)]/(1 一 舟 1, (3.11)
в которое входит отношение перекрестного момента ^1 (а, ср) к демпфирующему моменту В2а; абсолютная величина этого отношения при заданном угле 屮 часто увеличивается с ростом амплитуды а. Тогда могут представиться различные возможности, которые иллюстрируются на рис. 26, относящемся к случаю, когда индуцированный момент крена вызывается только смещением центра. В данный момент времени при полете с набором
высоты неравенство (3.11) определяет в связанной системе координат Gyz область, в которой при синхронизированном крене должна находиться точка 力，изображающая комплексный угол атаки, для того чтобы угол атаки убывал; кривая С, ограничивающая эту область, имеет различные ветви вследствие циклической формы перекрестного момента Ni (а,屮)°・
С другой стороны, точка Т при синхронизированном крене находится на прямой d, которая определяется из уравнения (3.6)
Рис. 26. Влияние перекрестного статического момента ^ на устойчивость кругового колебания при синхронизированном крене (①,〉0).
и которая после прохождения резонанса удаляется от начала координат с увеличением высоты. Таким образом, в зависимости от аргумента 屮尸 смещения центра и достижимого угла атаки прохождение резонанса может привести к следующим ситуациям:
—затухание угла атаки, сопровождаемое выпадением из синхронизма (точка Т
—катастрофическое нарастание при синхронизированном крене (точка 7\)；
——нарастание или затухание к круговому устойчивому предельному циклу с амплитудой, зависящей от высоты (точки Т3 и Тз)・
Смещение прямой d в зависимости от высоты, а также деформация кривой С могут, разумеется, привести к некоторому усложнению этих ситуаций. Тем не менее необходимое условие затуха-
1)С увеличением высоты эти ветви приближаются к осям системы Cgz и к их биссектрисам.
ния непосредственно после прохождения резонанса получается из сравнения модуля угла атаки с величиной наименьшего удаления кривой С от начала координат. При таком сравнении берется максимальное значение левой части неравенства (3.1) при заданном угле а и переменном ср, что приводит к следующему необходимому условию затухания:
N\ max (a)/32a > 8 Sin 丫0 [(Рг/pD)— 1 ]/2 ( 1 左)0f,(3.12)
где величина р「относится к резонансной высоте, а р° ——к высоте обычного нарастания, определяемого формулой (3.5).
Таким образом, возможность катастрофического рыскания при заданном угле атаки отсутствует, если одно из условий (3.4) (синхронизированный крен) или (3.12) (нарастание) не выполнится. Угол атаки а, входящий в эти неравенства, может быть вычислен при исследовании сохраняющегося резонанса, рассматриваемого ниже.
СОХРАНЯЮЩИЙСЯ РЕЗОНАНС
• Когда ракета подвергается воздействию возмущающего момента, может возникнуть резонансное явление, изучавшееся при помощи линейной теории (разд. 2.3). Это явление, которое при замороженных условиях полета приводит к существенному увеличению угла атаки, оказывается менее значительным, если условия резонанса изменяются в полете, что обычно имеет место при полете с набором высоты, когда изменение частоты колебаний угла крена и частоты колебаний угла атаки определяется различными законами»
Однако может случиться, что момент крена, индуцированный резонансным углом атаки, изменяет скорость крена и приводит к тому, что она совпадает с частотой колебаний угла атаки, порождая таким образом синхронизированный крен; в этом случае резонанс сохраняется несмотря на то, что частота колебаний уменьшается, и угол атаки продолжает увеличиваться на высотах, превышающих резонансную высоту; это явление может еще больше усугубляться перекрестным моментом, который возникает при некотором угле атаки.
Сохраняющийся резонанс в отсутствие перекрестного момента
Сохраняющийся резонанс будет анализироваться в предположении, что в случае, когда он возникает, угол атаки сохраняет свое балансировочное значение: заданной скорости крена ①' соответствует балансировочный угол атаки а： в связанной системе координат, определяемый формулой (2.68):
% = а； [ 1 —(① 7е')2 + / (ф7о,)(4 + с2)е
Этот угол атаки индуцирует момент крена ДС；, зависящий от амплитуды а и аэродинамического угла ср; здесь будет предполагаться, что этот момент вызывается неуравновешенностью и дается формулой (1.11). Тогда изменение скорости ①'определяется следующим уравнением, полученным из уравнения (3.1):
①"+ Of1 (①’一①;)=ДС/ (a,(p)・S/p/2/x,(3.13)
Рис. 27, Сохраняющийся резонанс; роль момента крена, индуцированного углом атаки.
Высота резонанса (), выпадения из синхронизма (—).
из которого следует, что балансировочная скорость ①'，соответствующая нулевому ускорению ①",определяется следующим алгебраическим уравнением, записанным в эквивалентной форме с учетом выражений для и ФА：
С/б6 [(8‘/①力(①‘/印)一1] = А& (а, ср).
Следовательно, в графическом представлении балансировочные режимы соответствуют пересечению прямой, характеризующей номинальное значение момента крена (левая часть), и кривой, характеризующей момент крена, индуцированный углом атаки (правая часть) (рис. 27). Устойчивость режимов определяется знаком производной ОС/3①',т. е. относительными величинами угпов наклона прямой и кривой в точках пересечения; такнм
образом, форма кривой зависит от разности 屮尸——q)e аргументов смещения фокуса и величины а；, произведения модулей 厂戶а? и высоты. При соответствующих условиях возможны один или три режима крена. Если имеется лишь один режим, то он в общем случае близок к номинальному режиму ①拉(см. случаи / и 5 на рис. 27). Если возможны три режима (случай 3), то два из них устойчивы: один практически соответствует номинальному режиму (точки 〃), а другой —— резонансному режиму (точки г). Таким образом, резонансный режим, который в отсутствие индуцированного момента крена должен быть переходным в обычных условиях, может сохраняться, несмотря на регулярное уменьшение отношения 67①〃 (случаи 2—^). Резонанс сохраняется, так что отношение 07ФП не может стать меньше некоторого определенного значения. Достаточное условие прекращения резонанса, или, другими словами, выпадения из синхронизма синхронизированного крена получается при рассмотрении случая наиболее неблагоприятной центровки из условия того, что индуцированный момент становится меньше величины, необходимой для поддержания резонанса. Это условие выводится непосредственно из неравенства (3.4), в котором угол а нужно заменить максимальным значением при резонансе, определяемым формулой (2.68), что приводит к неравенству
①;/6' > 1 + Oi \〈Cn“S丫mJ21ag + C2厂 1 - (|3 sin 丫0⑵],
или, если ввести величину рг, соответствующую резонансной высоте, то
(Р「/р>/2〉1 + (Q/p), где
Q = UCNaSrFae/2Ix) (а + &尸一(卩 sin у °⑵](а4 — g)。
Иногда в полете с набором высоты это достаточное условие выпадения из синхронизма не реализуется.
Сохраняющийся резонанс с учетом перекрестного момента [3 ]
Существование перекрестного момента, обусловленного наклонным углом атаки, может существенно усугубить сохраня- кицийся резонанс, приводя к неограниченному увеличению амплитуды или к круговому предельному циклу с большой амплитудой.
При замороженных условиях полета и заданной скорости крена ①'балансировочный угол атаки в связанной системе координат получается, как и в разд. 2.3.1, при подстановке в уравнение (3.8), дополненное возмущающим моментом Bia；。'" в правой части, решения вида аае'ф, что приводит в случае, когда
гироскопический эффект оказывается пренебрежимо малым, к следующему выражению, аналогичному выражению (2.68):
а“/(Хе = {[1 — (Ф / 0 )2] +
+ 32自(①7g 一壮(* g)・(32^尸]尸；
в этом выражении параметр Е характеризует демпфирование частоты и имеет вид
2& = (% + С2) ®т.
Рис. 28. Влияние крена на балансировочный угол атаки aj в связанной системе координат для различных значений перекрестного момента (возмущение а* = 1, демпфирование 自=0,031).
Отношение 野=方тах'М : 0,00;0,02; - - - 0,05.
Таким образом, получено комплексное уравнение относительно а。и ср., которое можно решить только численно. Примеры решений приведены на рис. 28, соответствующем схематическому случаю, в котором перекрестный момент является линейной функцией угла а, т. е. имеет вид
^1 (а, ср) = пВ2a sin 4(р.
В соответствии с величиной параметра 刀 годограф отношения а：/а； деформируется; увеличение угла атаки вблизи резонанса может оказаться значительным и возникают ветви, уходящие на бесконечность, если
2 洵 < 1.
Теперь ясно, что кривая, изображающая зависимость индуцированного момента крена АС/ от ①7 6', имеет более резкие пики, чем в отсутствие перекрестного момента; нарушение сбалансированного по крену режима, наступающее в точке d, и после-
2l /
Рис. 29. Сохраняющийся резонанс при наличии перекрестного момента. Случай катастрофического нарастания [3].
без учета индуцированного момента крена.
дующее прохождение пика р с увеличением ①'в соответствии с уравнением (3.13), которое заканчивается в устойчивой точке, могут принять катастрофическую форму (рис. 29), кроме того, существование перекрестного момента благоприятствует возникновению устойчивого кругового предельного цикла.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫС БОЛЬШИМИ УГЛАМИ АТАКИ [4]
Колебания с большой амплитудой являются неблагоприятными, и их следует избегать. Тем не менее до тех пор, пока это возможно, полезно учитывать возможные неустойчивости при помощи теорий, изложенных выше (неустойчивость Магнуса, катастрофическое рыскание и т. д.). Столь же важно понять причины возможного появления новых неустойчивостей, когда амплитуда изменения угла атаки превышает определенную величину.
Нелинейное изменение аэродинамических моментов, особенно момента Магнуса и перекрестного статического момента, кото-
рое проявляется во внезапном их увеличении при углах атаки свыше нескольких градусов (рис. 4), предупреждает возможность развития катастрофического рыскания, что не обнаруживается при малых углах атаки; впрочем, линеаризация уравнений кинематики и динамики, принимаемая до сих пор, устраняет естественные ограничения, налагаемые на угловое движение; следовательно, необходимо изменить математическую модель.
Уравнения углового движения с большой амплитудой
Чтобы свести анализ к рассмотрению только существенных эффектов, следует ограничиться угловым движением ракеты, не рассматривая смещение центра тяжести в боковом направлении; в самом деле, ориентация вектора скорости изменяется незначительно по сравнению с ориентацией продольной оси Gx ракеты, что позволяет сделать следующее упрощающее предположение: направление вектора V в абсолютной системе координат предполагается фиксированным. Тогда удобно ввести систему полу- связанных осей Gxy z, определенную в разд. 1.2.3, такую, что плоскость Gxz содержит вектор V, и задать ее в абсолютной системе координат GxoyoZQ (Gx0 содержит V) полярным углом 9 и углом атаки а (рис. 30).
Компоненты р, q, г вектора Q угловой скорости вращения триэдра Gxyz выражаются через а, а, 0 в виде
р = 6 cos а, q = а, г = 9 sin а.
Применяя теорему о кинетическом моменте и вводя в качестве независимой переменной проходимое расстояние s, получаем следующие уравнения:
①〃 + (WV2) * = LP
a" + (WV2) a' — 6'2 sin a cos a + 々①'8' cos a = Mp (3.14) [9" + (WV2) 64 sina + 2&a‘ cos a + 储①'a' = &「
В этих уравнениях угол Ф1}, который в рассматриваемом анализе входит лишь через производные, определяется соотношением
①‘=p/h
правые части уравнений, которые с точностью до множителя являются проекциями L, М, N аэродинамического момента М<
Это определение отличается от определения, приведенного в разд. 1#3.L
Динамика полета исследовательских ракет с набором высоты 187 на оси системы Gxyz, связаны с коэффициентами С~ С-, С-, определенными в разд. 1.2.3, следующими соотношениями:
厶 1 = C[Slp/21 xt
М = срр ⑵，凡=C-S/p/2/.
Для дальнейшего анализа необходимо сделать некоторые упрощающие предположения:
Формально первое уравнение, определяющее крен, не отделяется от остальных двух уравнений, так как момент крена
Рис. 30. Параметры движения в исследовании колебаний с большой амплитудой.
зависит от а и аэродинамического угла ср, который в свою очередь связан с 9, а и ФЛ посредством дифференциального соотношения; Тем не менее здесь предполагается, что крен определяется одним
из следующих схематических движений без дальнейшего уточнения связи между причинами и эффектами:
— нормальное движение, когда скорость ①' практически постоянна;
—синхронизированный крен, когда скорость ①'связана с 6' соотношением
①，=8' cos а.(3.15)
Если ограничиться колебаниями круговой формы с медленно меняющейся амплитудой, то второе уравнение определит 9'; в самом деле, в этом случае члены, содержащие а" и а', пренебрежимо малы по сравнению с остальными, что позволяет выразить О' в виде одной из следующих форм в соответствии с типом движения крена:
нормальное движение,
0' = (cos 仪厂屮厶女①，± 1(—Afi (a) cos а/sin а) +
+ (%々① Ад；(3.16)
синхронизированный крен,
О' = 士 [—(а)/sin а cos а]1/2 (1 — ^)~1/2.
В этих формулах член
涧](а) = С- (а) S/p/2/
соответствует статическому члену М^ Эти две формулы тождественны, когда параметр k равен нулю; кроме того, они являются точными, если рассматривается круговой предельный цикл с постоянным углом а.
Третье уравнение, в котором теперь 6' является известной функцией угла а, описывает изменения угла атаки.
Производная а', определяющая условия затухания колебания, с учетом выражения (1.7) для коэффициента С_ и выражения для 8", получаемого из (2.16), представляется в виде
a'F (а) = — [Л 2 (а) — А3 (а) — (0 sin у0/2)] sin а +
+ 闻(a,中)+凡〃 @)①」『r(3.17)
где введены следующие обозначения:
#2 (а) = —рСпГ (а) S/2/2/,
#з (а) = рС° (а) S/2m,
戸 1 (а, ср) = р [С- (а) S//2/] sin 4(р,
Nip (а) = РС-р (а) S/2/2/.
Замечания
Функция d 尸(а), как правило, положительная, не входит в условия устойчивости.
Было сделано второстепенное предположение, не являющееся необходимым: изменение скорости определяется законом аэродинамического торможения, что выражается в замене (WV)2 на —Аз (а).
Устойчивость нормального движения крена
При нормальном движении крена и при постоянном угле атаки аэродинамический угол 屮 изменяется регулярным образом; следовательно, перекрестный момент ^ изменяется по циклическому закону около среднего значения, равного нулю, что позволяет опустить его при анализе задачи. Тогда, согласно (3.17), оказывается, что колебание затухает, если
4 2 3)—』з (а) > (В sin 丫。⑵ + ①‘旧巾(a)/sin а ] е'"1. (3.18)
Это условие имеет форму, совершенно аналогичную условию (2.16), полученному в линейной теории. При некотором значении 9/, определяемом формулой
9/ = Nip (а)①7[厶2 (а) — Лз (а)—(卩 sin уо/2)] sin а, (3.19) амплитуда колебаний будет постоянной; тогда условие затухания (3.18) выражается следующим образом:
9'住[0, 9；],
если только знаменатель в формуле для 0/ положительный2), т. е. колебание устойчиво без учета эффекта Магнуса. Таким образом, оказывается, что частота 0\ которая рассматривается при исследовании возможности возникновения неустойчивости, имеет тот же знак, что и 9/； сравнение величин ||
и [ 9/ I， определяемых соответственно соотношениями (3.16) и (3.19) и зависящих от а, удобно провести в графическом представлении 8' (а) (рис. 31). В частном случае, когда функции С石(а) и СпР_ (а) пропорциональны sin а и когда величины Спг и С。 предполагаются постоянными, можно утверждать, что на заданной высоте частота 0' изменяется как (cos а)~1/2, в то время как величина 9/ остается постоянной; следовательно, имеется критическая высота, определяемая соотношением (3.18), которое с точностью до приближений тождественно соотношению (2.65): выше этой критической высоты возникает неустойчивость при
1)Точное выражение для 尸 при 左=0 имеет вид
尸(а) = cos а + (2 cos а)т + V2 (匕仞 i/"a) Л41 (а)т sin а.
2)В противном случае по меньшей мере одно из двух колебаний, совершаемых в противоположных направлениях, становится неустойчивым.
Рис. 31. Условие устойчивости кругового колебания/ — затухание; 2 — нарастание; 3 ——устойчивыйРис. 31. Условие устойчивости кругового колебания/ — затухание; 2 — нарастание; 3 ——устойчивыйс большой амплитудой, предельный цикл.с большой амплитудой, предельный цикл.
Рис. 31. Условие устойчивости кругового колебания
/ — затухание; 2 — нарастание; 3 ——устойчивый
Рис. 31. Условие устойчивости кругового колебания
/ — затухание; 2 — нарастание; 3 ——устойчивый
с большой амплитудой, предельный цикл.
с большой амплитудой, предельный цикл.
малых углах; тем не менее колебание не нарастает неограниченно и стабилизируется на круговом предельном цикле, амплитуда которого увеличивается с ростом высоты. Тем не менее коэффициенты изменяются не столь просто, и кривые 9Z (а) и 9/ (а) могут
а, град
Рис. 32. Устойчивый и неустойчивый предельные циклы в нормальном движении крена.
/ — затухание; 2 — нарастание; 3 ——устойчивый предельный цикл.
пересекаться более чем в одной точке: в случае, представленном на рис. 32, колебание затухает, когда амплитуда не превышает 5°, и увеличивается при больших значениях амплитуды, достигая устойчивого предельного цикла при 25°。
Устойчивость синхронизированного крена
Приведенный выше анализ аналогичен анализу разд. 3.2.2, но без учета взаимной связи между креном и колебанием угла атаки; аэродинамический угол ср рассматривается в качестве параметра.
При синхронизированном крене скорость крена ①'связана с частотой 8' соотношением (3.15), что приводит к условию затухания кругового колебания, получаемому из (3.17) и (3.16);
Ni (a,中)/[一斫(a)] <
V {[』2 —厶3 — (6 sin Yo/2) ] (cos а)"1 —(万"sin а)}/(1 — 6) 9Z.
(3.20)
Это неравенство можно сопоставить с соотношением (3.11), полученным для другой математической модели; она отличается нелинейной формой демпфирующего момента и момента Магнуса и наличием тригонометрических функций угла а.
Рис. 33. Устойчивый и неустойчивый предельные циклы при синхронизированном крене.
В' = 〃//cos а; ■•— устойчивый; ・О・ неустойчивый.
Если фиксировать угол 屮 синхронизированного крена, то будет существовать частота 9/, определяемая из уравнения (3.20), для которой колебание является стационарным, а именно
9； = М (а,(р)/[А2 (а) — Л3 (а)—
—(6 sin у。⑵一N、p (a) (tg а)т ] sin а.
Как и в предыдущем разделе, условие затухания колебания запишется в виде
ё [0,①],
если знаменатель выражения для 0； положительный, т. е. колебание устойчиво без учета перекрестного момента. Очевидно, что вблизи номинальной резонансной высоты, на которой наиболее легко возможно установление движения синхронизированного крена, необходимо проверить, удовлетворяется ли условие затухания; чтобы рассмотреть все возможности, достаточно изменять угол в интервале до 22,5°, разумеется, при условии выбора того сектора, в котором перекрестный момент будет оказывать усиливающее воздействие, т. е. будет иметь тот же знак, что и круговая частота. На рис. 33 приведен пример сравнения величин 8' и 9；; кривые имеют две точки пересечения, в которых обнаруживается возможность нарастания угла атаки, превышающего некоторое, определенное значение, и возможность существования устойчивого кругового предельного цикла с большой амплитудой.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ТРАЕКТОРИИ РАКЕТЫК ВНЕШНИМ ВОЗМУЦЕНИЯМ
При помощи явного решения линеаризованных уравнений движения (с замороженными коэффициентами), определяемого выражениями (2.38), (2.40)—(2.42), можно аналитически определить чувствительность ракеты к внешним возмущениям. Такое представление, очевидно, не имеет смысла в случае, когда коэффициенты уравнений изменяются быстро, т. е. при старте ракеты.
Если известно состояние (а*, со*, 0*) в момент приложения возмущения и если считать, что в последующие моменты времени ракета не подвержена другим возмущениям, то из этих выражений можно определить входящие в них три постоянные ,а2, уз)； в частности, постоянная уз является асимптотическим значением у*(8)отклонения траектории, около которого колеблется с уменьшающейся амплитудой угол у* в случае, когда два колебательных движения являются устойчивыми и медленно нарастающее движение отсутствует. Таким образом, получаем
у*(оо) = _£ (1 —云'券)+ з；石—；^ё~ + *(口”)
\力2十'W G2 /S十'山匕2
т. е. формулу, в которой вклад 0* в у (оо) очевиден.
Применение этой формулы к различным типам возмущений приводит к следующим результатам.
Трансляционный скачок
Коэффициент при а* близок к единице; вследствие этого, если 血i есть поперечная скорость, обусловленная, например, отделением двигательной ступени, то результирующее асимпто-
тическое отклонение траектории дается следующей простой формулой:
Y” (оо)〜—WQi/V.
Угловой скачок
Если qi есть。угловая скорость, обусловленная, например, отделением какой-либо ступени, то асимптотическое отклонение траектории дается формулой
Y (оо) = (%/р) Л1/(В2 + /Ф Сг)*
Чу ветвительностъ к ветру
Когда ракета движется при наличии ветра W (s), компоненты которого задаются в системе координат Gxoyozo в виде (〃о©,叭，д/ то нужно частично еще раз учитывать его вклад в уравнения; прежде всего следует отметить, что при квазивер- тикальном запуске составляющая 〃о© мала; следовательно, она незначительно влияет на закон набора высоты и ее вклад в проекции вектора W на оси Gy и Gz пренебрежимо мал. Таким образом, аэродинамический угол 'атаки а】 связан с «кинематическим» углом атаки а* формулой
а а == а — д/V, где
Аэродинамические воздействия, которые в уравнениях (2.12) и (2.13) были выражены в функции величины а*, в действительности должны зависеть от величины а；. Следовательно, с учетом действия ветра эти уравнения принимают вид
广一(g sin Yo/H) у* — / о* = — (g cos Yo/H)—
—pai (wqwIV\(П1.2)
①*‘ + ((一/①')з* + 仍1 + i①'&) a* =
=(Bi + 陋G)(加/U)・(П1.3)
Вследствие линейности уравнений движения можно рассматривать реакцию ракеты на воздействие ветра как интеграл элементарных реакций на последовательные импульсы, рассчитываемых по отдельности. В результате импульсного порыва ветра (血汕ds), рассматриваемого изолированно, три параметра состояния а*, со*, 0* (первоначально равные нулю) принимают
следующие бесконечно малые значения, которые получаются из уравнений (П1.2) и (П1.3):
da； = (pa/丿)(血⑵ds),dwt = [(В! + 1ФГС^/У\ (^rfs),
d®j = 0.'
Подставляя эти значения в формулу (П1.1) и используя определение величины Л15 получаем величину асимптотического отклонения траектории, обозначаемую вследствие ее бесконечной малости через dy* (оо), в виде
dy^ (оо)=[(当 + 1ФГг)/(В2 + /ФГз)] X
X [(廿一g sin уо) V3](苏⑺ds)・
Как и в случае трансляционного скачка, следует отметить、 что первый множитель, заключенный в квадратные скобки, близок к единице. Поэтому с учетом соотношения (2.17), которое связывает ускорение с тягой и аэродинамическим сопротивлением, приходим к следующей формуле:
^*(00) = [(Т — Д)/т73] (ш^ rfs).(П1.4)
где величина Т ——D есть разность между тягой и аэродинамическим сопротивлением.
Следовательно, чувствительность к ветру практически не зависит (за исключением активного участка) ни от устойчивости, ни от аэродинамических коэффициентов, за исключением С» Кроме того, формулу (П1.4) можно было бы получить, если предположить, что аэродинамический угол атаки остается равным нулю в течение бесконечно малого промежутка времени приложения импульса.
Замечания
Так как предыдущий анализ проводился при замороженных коэффициентах, то очевидно, что в формуле (П1.4) не учитывается влияние возмущений, непосредственно предшествующих разрывному изменению условий.
Отклонение траектории dye, имеющее место в точке s, достаточно удаленной от точки s〃 в которой прикладывается возмущение, согласно формуле (2.20), имеет вид
dye (s) = dy* (оо) ef(立产).
В этой формуле экспонента характеризует усиление отклонения между точками s, и s, обусловленное медленно нарастающей формой движения.
Сложение воздействий всех импульсных порывов ветра, прилагаемых до прохождения точки с абсциссой s, вызывает в этой точке конечное отклонение у* （s）, которое имеет вид
Y*（s） = J ［（7-0）/加d］以®, S）侬蕊&）厶1. S2
Эту формулу можно использовать лишь в том случае, когда колебание траектории, обусловленное этими накапливающимися импульсами, погашается в точке s; влияние ветра в зоне, непосредственно прилегающей к точке s, этой формулой описывается неправильно. Это обстоятельство не является существенным, если чувствительность к ветру в этой зоне мала по абсолютной величине.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ИЗМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАКЕТЫЗА СЧЕТ НЕСБАЛАНСИРОВАННОСТИ РАКЕТЫ
По определению, начало G связанной системы координат Gxyz располагается в центре тяжести ракеты, и ось Gx является главной осью инерции; если ракета несбалансирована, то это озна-
Рис. 34. Параметры, определяющие смещение геометрической оси Fx^
чает, что ее геометрический контур сдвинут в системе Gxyz, Принято характеризовать этот сдвиг поперечными （у尸,z尸）или полярными （厂尸，（pF） координатами аэродинамического фокуса геометрического контура （с абсциссой л＞） и углами （屮，0）, которые характеризуют положение геометрической оси Fx2 в системе Gxyz （рис. 34）.
Следовательно, движение геометрического контура можно определить непосредственно по движению системы Gxyz; сила и аэродинамический момент, приложенные к ракете, могут быть выражены в явном виде в зависимости от параметров движения системы Gxyz в соответствии с формулами (1.8). Наконец, можно вычислить проекции результирующего аэродинамического момента относительно точки G на оси системы координат Gxyz. В получаемых выражениях имеются дополнительные члены, обусловленные смещением осей:
А& = ДС/0 + А& (〃/% + А&, (ql/V) + \Clf (rl/V) +
+ А&В S + А&а (血У),
= A&i 0 + 厶。团 р (/?// V),
А& = А&о + А&р(р〃吩， где
А&о — — (СNa — CD) [ 0 (沙尸〃)+ 屮(zFH)],
AC优 ° = —Cd(2尸〃)+ (CNa — CD) 0 (%f/0»
A&o = C° @f〔D + (CNa — G)屮(xp//)》
OA + Z*)//2,
、Ciq = AC“ = С^^ХрУрИ2^
△&r = AC%。= C^aXpZpl Z2,
A&B ~ Cn^ZfII、
△&a = — CnbUfL
Возмущения ДС/0> ACm0, ДСЛО, обусловленные только угловым смещением осей и не зависящие от характера движения, играют роль возмущений, характеризующих геометрическое несовершенство конструкции.
Приращёние А0力 производной демпфирования по крену пренебрежимо мало по сравнению с производной CZp для ракеты без конструктивных недостатков. Производные АС^。, ^Спр обусловливают некоторую взаимосвязь между креном, тангажом и рысканием, однако их вклад при заданном крене в ДС^о и ДСл0 незначителен.
Производные AC/例 ДС/сс, АС%, АС,「 характеризуют специфическое влияние смещения центра; первые две величины превалируют и определяют главную часть влияния смещения центра на движение крена; с учетом первого из соотношений (1.5) имеем
△& == - &尸/7) Cn0 sin (ф -屮f).
Замечание. Две другие производные оказывают пренебрежимо малое влияние; в самом деле, используя определение величин а* и з* (разд. 2.1.5), можно записать
AR (q〃u) + АС〃(厂〃и)=
=(/>〃)С^а Re [—i (з*/а*) %/(①一屮叫
Следовательно, в случае кругового колебания, которое встречается на практике при синхронизированном крене, согласно формуле (2.40), полученной при исследовании колебаний при замороженных коэффициентах, имеем
I з*/а* I 〜з.
Таким образом, очевидно, что можно пренебречь вкладом этих производных по q и г, поскольку
I (з*/а*)办^(屮一叮)I 〜з I I《1.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ОБОЗНАЧЕНИЯ
а— символы,употребляемыедлясокращениязаписи;
b— символы,употребляемыедлясокращениязаписи;
с— символы,употребляемыедлясокращениязаписи;
D — сила лобового сопротивления;
。1——символ, употребляемый для сокращения записи;
Е ——постоянная Эйлера (0,577);
g — ускорение силы тяжести;
Н — высота;
/ — поперечный момент инерции;
1Х — осевой момент инерции;
J, / ——символы, употребляемые для сокращения записи;
К；, К； — постоянные интегрирования;
k = 1ХИ\
L、М、N — проекции момента на оси системы Gxyz\
/ — характерная длина;
М ——результирующий момент относительно центра тяжести ;
т — масса;
Р ——символ, употребляемый для сокращения записи; р,广—проекции вектора угловой скорости на оси системы Gxyz\
R — результирующая сила;
rF — смещение фокуса;
S — характерная площадь;
s — проходимое расстояние;
7 — сила тяги;
Z — время;
U* — функция, определяемая уравнением (2.25);
U；,——постоянные интегрирования; •
и, V, w — проекции вектора скорости на оси системы Gxyz;
V, V — скорость;
X, К Z — проекции результирующей силы;
%, у, z — координаты-
а — угол атаки;
р — величина, обратная шагу атмосферы;
Y — угол наклона (отклонение угла наклона);
6 — дифференциальное отклонение рулей;
£ ——символ, используемый для сокращения записи- 呼 0,①一углы Эйлера (разд. 1.3.1);
0 ——полярный угол в абсолютной системе координат;
屮 1， 0i ——функции, определяемые уравнениями (2.27), (2.45) и (2.46);
屮2， 02 ——функции, определяемые уравнениями (2.29), (2.32) и (2.33);
卩——символ, используемый для сокращения записи; р ——массовая плотность воздуха*
т ——переменная, связанная с высотой уравнением (2.49);
Ф — полярный угол в связанной системе координат;
% — боковое смещение траектории;
А — длина волны;
Q — вектор угловой скорости)
з* = q十i几
Аэродинамические коэффициенты и их производные
CD — коэффициент силы сопротивления;
С/, Ст, Сп — коэффициенты момента;
Сц — коэффициент индуцированного момента крена;
Cip ——производная демпфирования по крену;
Ста — производная демпфирующего момента;
Cmq + Ст^——производная демпфирования по тангажу;
С-р ——перекрестная производная (эффект Магнуса);
Спра = дСпр/да}
Спг — производная демпфирования по рысканию;
CNa ——производная нормальной силы;
Сх，Су, Cz — коэффициенты сил.
Индексы (аэродинамические производные не включены)
А — аэродинамический;
а — асимптотический;
В — низковысотный;
С — исправленный;
0 -
D — ? — e - F - H -
j—— J -
N -
n -
R -
Г 一
Т — / -
w -
0 2〃
1 —
выходное сечение;
нарастающий;
огибающая;
обусловленный возмущением;
аэродинамический фокус;
на большой высоте;
начальный;
функция Бесселя;
струя;
предельный цикл;
нормаль к оси;
номинальный;
опорный;
резонансный;
Земля;
тяга;
функция Бесселя /0;
ветер;
в системе Gx^^Zq]
типы движения 1 и 2 (в общем случае);
индексы для различения символов, употребляе* мых для сокращения записи;
деленный на (2/У2);
на очень большой высоте.
Различные значки
〜аэробаллистическая система осей;
—полусвязанная аэродинамическая система осей;
* комплексная величина;
.d/dt;
'd/ds;
八 относящийся к переменной а* У;
А приращение, обусловленное возмущением.
Сокращения
厶=41 + 小=Р。+ (Т/тН) (2 + /) — g sin у0/72 q ро;
= P〃i + WV2 + g sin 70/V2 = p (a】一аз) + 7Vmy2;
九=PO2 + WV2 + J/V = p (〃2 - W + (Т/加Y) (1 + /) 一
—g sin Yo/H;
a = “i + a? — 2^3；
% = CvaS/2/72；
〃2 = —(&僧 + C,G)S/2/2八
а3 = C°S/2 加；
.4 = —&pS/2/2/%；
Bi = P，i；
B2 = Bi + A{ + 4小；
Вз = 82 + 仅①'/2)2 - {2/4 - 4/2 = в】+ (ЙФ72)2 -
一 % (儿 一 儿)2 一 % (4 - 4)= P% + (力①72)2 -
-%p2(仰一0，2；
匕 1 = —CmaSl/2I;
応=% + (P sin Yo⑵(〃2 — о»；
Ci = P%;
C2 = Cj 一 kA 1；
e3 = C2 + М/2 + 4 (①尸仅①)=
-c1 + (財2)(小一儿)+扌(①'尸伊①')‘~pq；
% = -CnpaS 12/21;
e3 = J + 他/2) ("2 - "i)；
。1 = рТ (% — Оз)Т；
J = Т屣〃吗；
i = (m抬〃)"/匕)；
P =左①'/0 sin у。；
E =① Z3/，3；
卩=“卩 sin ?о/2Ьз・
Список литературы
Allen Н. J., Motion of a ballistic missile angularly misaligned with the flight path upon entering in the atmosphere, NACA TN 4048, 1957.
Bismut M., Dynamique du vol. La resonance des missiles tournants, La Rech Aeronaut., № 74, 3——11 (I960).
Brunk J. E., An approximate solution for the near-resonant motion of a can- ted-fin sounding rocket vehicle, AIAA Paper № 66-463, 1966.
Brunk J. E., A motion theory for sounding rockets with non-linear side and Magnus* moments, AIAA Sounding Rocket Vehicle Technology Specialist Conference, 1967, p. 236—247.
Coakley T. J., Dynamic stability of symmetric spinning missiles, J Spacecr. and Rochets, 5, № 10, 1231 — 1232 (1968).
Curry W. H., Usleton J. C., Some comments on the aerodynamic characteristics of the TOMAHAWK sounding-rocket, AIAA Sounding Rocket Vehicle Technology Specialist Conference, Mar. 1967, p. 119—131.
Glover L. S., Analytical expressions for the effect on roll rate of mass and aerodynamic asymmetries for ballistic-type bodies? John Hopkins. APL TG 560, Mar. 1964,
Leon Н. J., Angle of attack convergence of a spinning missile descending through the atmosphere, J. Aeronaut. Sei., 25, 480—484 (1958).
Murphy С. H., Effect of varying air density on the non-linear pitching and yawing motion of a. symmetric missile, BRL Rep. 1162, Feb. 1962.
Murphy С. H., Free flight motion of symmetric missiles, BRL Rep. 1216, 1963.
Murphy С. H., Angular motion of a re-entering symmetric missile, AIAA Journal, 3, № 7, 1275—1282 (July 1965); русский перевод: Мэрфи, Ракетная техника “ космонавтика, 3, № 7, 78 (1965).
Murphy С. Н., Stability criterion for ascending ballistic missiles, J. Spacecr. and Rochets, 5, № 4, 495—496 (Apr. 1968).
Nicolaides J. D., On the free flight motion of missiles having slight configurational asymmetries, IAS Preprint № 395, 1953.
Nicolaides J. D., Two non-linear problems in the flight dynamics of modern ballistic missiles, IAS Report № 59-17, 1959：
Nicolaides J. D., A review of some recent progress in understanding catastrophic yaw, NATO AGARD Specialist's meeting, Mulhouse, France, Sept., 1966.
Ohman L. H., Dynamic analysis of a non-rolling ballistic missile rapidly ascending through the atmosphere, National Research Council of Canada LR 392, 1964.
Ohman L. H., A spin-yaw instability criterion of ascending ballistic missile, J. Spacecr. and Rochets, 4, № 10, 1374—1376 (Oct. 1967).
Platou A. S., Magnus characteristics of finned and nonfinned projectiles, AIAA Journal, 3, № 1, 83—90 (Jan. 1965); русский перевод: Плато, Ракетная техника “ космонавтика, 3, № 1 (1965).
Price D. A., Jr., Sources mechanismes and control of roll resonance phenomena for sounding rockets, AIAA Sounding Rocket Vehicle Technology Specialist Conference, Mar. 1967, p. 224—235.
Stone G. W., The aerodynamic stability of a coasting vehicle during high speed exit from the atmosphere, Sandia Laboratory SC-TM-65-68 A, Feb. 1965.
Stone G. W., The Magnus instability of a sounding rocket, AIAA Paper № 66-62, 1966.
Tobak M., Allen H. J., Dynamic stability of vehicles traversing ascending or descending paths through the atmosphere, NACA TN-4275, 1958.
Handbook of Mathematical Functions, U. S, Department of Commerce, edited by M. Abramowitz and I. A. Stegun.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ15
ЛИТЕРАТУРА ПО ОБЩИМ ВОПРОСАМ МЕХАНИКИСИСТЕМ СВЯЗАННЫХ ТЕЛ
Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О., Нелинейные колебания и устойчивость движения твердых тел, Научные тр. ВУЗ Лит. ССР, Вибротехника, № 3 (20), 1973.
Граммель Р., Гироскоп, ИЛ, М., 1952.
Гробов В. А., К теории вращательных движений свободного твердого тела, несущего маятники, Укр. матем. журнал, 21, № 6, *818—823 (1969).
Грубин, Динамика космического корабля, содержащего подвижные части, Тр. амер, о-ва инж.-мех., № 3, 42 (1962).
Зубов В. И., Аналитическая динамика гироскопических систем, «Судостроение», 1970.
Ишлинский А. Ю., Механика гироскопических систем, Изд-во АН СССР, 1963.
Кононенко В. О., Колебательные системы с ограниченным возбуждением, «Наука», 1964.
Красовский Н. Н., Теория управления движением, «Наука», 1968.
Красовский Н. Н., Проблемы стабилизации управляемых движений, в кн. Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, доп. 4, «Наука», 1966.
Крылов А. Н., Собрание трудов, т. VIII (Механика), Изд-во АН СССР, 1950.
Лео идее Т. (ред.), Управление космическими летательными аппаратами, «Машиностроение», 1964.
Летов А. М., Динамика полета и управление, «Наука», 1969.
Литвин-Седой М. 3., Уравнения движения основного тела системы твердых тел переменного состава, Докл. АН СССР, 142, № 2, 289—291 (1962).
Лурье А. И., Некоторые задачи динамики системы твердых тел, Изв. Ленингр. политехи, ин-та им. М. И. Калинина, вып. 210, 1960.
Лурье А. И., Аналитическая механика, Физматгиз, гл. 9, 1961.
Магнус К・，Гироскоп, Теория и применение, «Мир», М., 1974.
Мер кин Д. Р., Гироскопические системы, изд. 2-е, «Наука», 1974.
Морозов В. М., Устойчивость движения космических аппаратов, «Итоги науки»; Сер. механика, общая механика, ВИНИТИ, 1969.
Новоселов В. G., Аналитическая механика систем с переменными массами, изд-во ЛГУ, 1969.
Пельпор Д. С., Гироскопические системы, «Высшая школа», Л。, 1971.
Развитие механики гироскопических и инерциальных систем (посвящается академику А. Ю. Ишлинскому в связи с его шестидесятилетием), «Наука», 1973.
Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н., Управление ориентацией космических аппаратов, «Наука», М., 1974.
Ривкин С. С., Теория гироскопических устройств; т. I, Судпромгиз, 1962; т. II, «Судостроение», 1964.
Робинсон, Обзор методов проектирования систем управления полетом, Сб, переводов Вопросы ракетной техники, № 9 и 10 (1969).
° Работы, посвященные главным образом упругим свойствам составных систем^ а также системам^ содержащим жидкие тела； здесь не приведены.
Ройтенберг Я. Н., Некоторые задачи управления движением, Физматгиз, 1963.
Ройтепберг Я. Н., Гироскопы, «Наука», 1966.
Румянцев В. В., Об устойчивости стационарных движений спутников, ВЦ АН СССР, вып. 4, 1967 (гл. 3 и 4).
Старжинский В. М., Свободные целиком упругие колебательные цепи, Прикл. матем. и механ., 172—181 (1962).
Харламов П. В., Об уравнениях движения системы твердых тел, Механика, твердого тела (Республиканский межведомственный сборник), вып. 4., «Нау- кова думка», Киев, 1972, стр. 52—73.
Черноусько Ф. Л., О движении твердого тела с подвижными внутренними массами, 〃зб. АН СССР, Мех. те. тела, № 4, 33—44 (1973)：
Шебшаевич В. С., Введение в теорию космической навигации, «Советское радио», 1971.
Ишлинский А. Ю., Обзорный доклад по динамике систем твердых тел (On the dynamics of a system of rigid bodies), в кн.: «Theoretical and Appllied Mechanics», Berlin, 1973, p. 141 —149.
Boland Ph., Samin J. C., Willems P. Y., On the stability of interconnected rigid bodies, Ing.-Archiv, 42, № 6, 360—370 (1973).
Gray A., A treatise on gyrostatics and rotational motion, theory and applications, New York, Dover, 1959.
Leimanis E., The general problem of the motion of coupled rigid bodies about a fixed point, Berlin—Heidelberg—New York, Springer, 1965.
РАБОТЫ ПО МЕХАНИКЕ СОСТАВНЫХСПУТНИКОВ-ГИРОСТАТОВ
Анчев А., О стабилизации относительного равновесия спутника с маховиками, Космические исследования, 4, № 2, 192——202 (1966).
Анчев А., О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку, Прикл. матем. и мехам, 31, № 1, 49—58 (1967).
Бабаджанянц Л. К., Голубева Н. И., Новоселов В. С., Оптимальное демпфи-, рование быстрых линейных колебаний стационарного ИСЗ с маховиком, в сб. «Проблемы механики управляемого движения», вып. 3, Пермь, 1973, стр. 18—25.
Бабаджанянц Л. К・,Голубева Н. И., Новоселов В. С., Энергетически оптимальное демпфирование свободных боковых колебаний стационарного ИСЗ с маховиком, в сб. «Проблемы механики управляемого движения», вып. 3, Пермь, 1973, стр. 26—39.
Белецкий В. В., Гиверц М. Е., О движении пульсирующей системы в гравитационном поле, Космические исследования, 6. № 2, 304—306 (1968).
Белецкий В. В., Новикова Е. Т., О пространственном движении связки двух тел на орбите, Изв. АН СССР, Мех. те. тела, № 5, 23—28 (1971).
Белецкий В. В., Новикова Е. Т., Об относительном движении связки двух тел на орбите, Космические исследования, 7, № 3, 377—384 (1969).
Бонев Б., Лилов Л., О необходимых и достаточных условиях устойчивости стационарных движений спутника-гиростата, Теор. и прикл. мех. 4, № 2, 125— 132 (1973).
Гробов В. А., Кантемир, И. И., Об устойчивости стационарных движений системы тел с двойным вращением в ньютоновском поле тяготения, в сб. «Механика твердого тела» (Республиканский межведомственный сборник), вып. 6, 1974, стр. 133-136.
Гуляев М. П., О регулярных прецессиях тяжелого гиростата, Прикл. матем. и мехсм., 37, № 4, 746—753 (1973). ■
Иванов А. П., Об устойчивости относительного равновесия спутника с внутренними движущимися телами, в сб. «Проблемы механики управляемого движения», вып. 3, Пермь, 1973, стр. 92—96.
Ишлинский А. Ю., К теории сложных систем гироскопической стабилизации, Прикл. матем. 〃 механ., 22, № 3 (1958).
Кейс И. А., Некоторые вопросы оптимальной стабилизации движения гиростата, в сб. «Современные проблемы теории управления», М., 1973, стр. 3—13.
Кейс И. А., О некоторых движениях тяжелого гиростата, приведенного в быстрое вращение около одной неподвижной точки, Вегтник МТУ, Математика, механика, № 1, 69—75 (1965).
Климов Д. М., Об условиях невозмущаемости гироскопической рамы, Прикл. матем. и механ., 28, № 3 (1964).
Колесников Н. Н., Регулярная прецессия свободного гиростата, Прикл. матем. и механ., 30, № 3, 589—593 (1966).
Колесников Н. Н., К устойчивости свободного гиростата, Прикл. матем. и 儿е%〃〃.，27, № 4, 699—702 (1963).
Кононенко В. О., Ганиев Р. Ф., О нелинейных колебаниях твердого тела, несущего вращающий-ся ротор, Изе. АН СССР, Механика, № 5, 31—37 (1965).
Крементуло В. В., О стабилизации вращательного движения твердого тела с маховиками в ньютоновском поле сил. Прикл. матем. и механ., 38, № 4, 628—635 (1974).
Крементуло В. В., О стабилизации вращательного движения твердого тела при помощи двух маховиков, Изе. АН СССР, Мех. те. тела, № 5, 10—15 (1974).
Креспо да Сильва М. Р. М., О нелинейном разонансе в угловом движении спутника-гиростата, снабженного системой гравитационной стабилизации, Сб. Механика, № 3 (145), 3— 22 (1974).
Кухтин В. М., О движении гиростата относительно центра масс в центральном поле, Вестник ЛГУ, серия матем., № 7, 1972, стр. 89—95.
Лаврова В. А., Дановский В. И., Гладилин В. С., Алпатов А. П., Динамика системы одноосной ориентации, в сб. «Некоторые задачи автоматического управления движением», Киев, «Наукова думка», 1974, стр. 217——222.
Марков В. Е., Парирование внешних возмущений на космический аппарат методом изменения его геометрии масс, Изе. АН СССР, Мех. те. тела, № 5, 3—9 (1974).
Набиуллин М. К., Об устойчивости стационарных движений свободного гиростата в осесимметричных полях тяготения, Изе. АН СССР, Мех. те. тела, № 2, 17—26 (1972).
Новикова Е. Т., О равновесии связки точек на орбите, Труды МИРЭА математики, вып. 47, 1971.
Новикова Е. Т., О возможности стационарного вращения связки тел на орбите, Вестник МГУ, математика, механика, № 5, 88—90 (1974).
Охоцимский Д. Е., Сарычев В. А.; Система гравитационной стабилизации искусственных спутников, сб. «Искусств, спутники Земли», АН СССР, 16, 1963, стр. 5—9.
Румянцев В. В., Об устойчивости движения гиростатов, Прикл. матем. и 也е・ хан., 25, № 1, 9—16 (1961).
Румянцев В. В., Об устойчивости относительных равновесий и стационарных движений спутника-гиростата, Изе. Afi СССР, Мех. те. тела, 4, 15—21 (1968).
Сарычев В. А., Положения относительного равновесия двух тел, соединенных сферическим шарниром, на круговой орбите, Космические исследования, 5, № 3, 360—364 (1968).
Сарычев В. А., Сазонов В. В., Нутационные демпферы спутников с двойным вращением, Ин-т прикладной математики АН СССР, препринт № 49, 1974.
Синицын И. Н., К теории спаренных гиромаятниковых акселерометров, Изв. АН СССР, Мех. те. тела, № 1 (1970).
Слезкин Л. Н., Влияние инерционности колец карданова подвеса на движение гироскопического интегратора линейных ускорений, Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, № 4 (1964).
Смольников Б. А., Движение вокруг центра масс твердого тела с вращающимися маховиками, Прикл, матем. и мехам, 30, № 4, 625—635 (1966).
Смольников Б. А., Степанова М. В., Салтыков Ю. Д., Чернявская С. С., Ликвидация прецессионного движения осесимметричного гвердого тела с помощью двигателей-маховиков, в сб, «Некоторые задачи автоматического управления движением», Киев, «Наукова думка», 1974, стр. 217—222.
Степанов С. Я., О множестве стационарных движений спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил и их устойчивости, Прикл. матем. и механ., 33, № 4, 73 7—744 (1969).
Суликашвили Р. С., Стационарные движения спутни к а - гироста та под действием гравитационного, аэродинамического и магнитного моментов, Сообщения АН ГрузССР, 71, № 3, 561—564 (1973).
Харламов П. В., Составной пространственный маятник, Мех. тв. тела (Республиканский межведомственный сборник), вып. 4, Киев, «Наукова думка», 1972, стр. 73—82.
Barbara F. J., Jansz J., The design of a two wheel momentum bias system for the attitude control of spacecraft in low altitude orbites, AIAA Paper, № 855, 1973.
Grammel R., Il giroscop io asimmetrico soggetto a momenti interni, Univer- sita di Bari, Bari, 1954.
Hooker H. W-, Margoulis G., The dynamical attitude equations for an n-body satellite, J. Astronaut. Sci. (1965).
Reynaud P., Stabilisation des satellites: Tamortisseur de nutation, Aeronautique at Astronautique, № 44, 32——38 (1974).
Roberson R. E., Wittenburg J., A dynamical formalism for an arbitrary number of interconnected rigid bodies, Proc. 3rd Congress of International Federation Autom. Control, London, 1966.
Schindelin J., Zur Ableitung des Bewegungsgleichungen eines Systems gekoppel- ter starker Flugkorper, Z. FLugwissensch., 15 (1967).
Sher M. P., Farrenkopf R. L., Dynamic trap states of dual-spin spacecraft, AIAA Paper, № 908, 1973.
Spenser T. M., Energy sink analysis for asymmetric dual-spin spacecraft, AIAA Paper, № 909, 1973.
Wittenburg J., Gleichgewichtelagen von Vielkorper Satellitensystem； Abhandl. der Braunschweigischem Wissensch. Gesellschaftf 20 (1968).
СОДЕРЖАНИЕ
Д. Лж. Лиска.А. К. Сен.Д. Лж. Лиска.А. К. Сен.Предисловие
Д. Лж. Лиска.
А. К. Сен.
Д. Лж. Лиска.
А. К. Сен.
ПРОСТОЕ ОПИСАНИЕ СОВМЕСТНОГО НУТАЦИОННОПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ ИЗ п СООСНЫХ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛОЖЕНИЙ «ЗАХВАТА» СПУТНИКОВ ТИПА ОРБИТАЛЬНОЙ СОЛНЕЧНОЙ ОБСЕРВАТОРИИ
Дж. Мак-Интаир, М. Джанелли. о качании оси крепления СОСТАВЛЯЮЩИХ ТЕЛ СПУТНИКА С ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ
/7. М. Бэйнум, /7. Дж. Фуксе л, Д. Л. Мзк〃сон. движение и устойчивость СПУТНИКА С ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ, СНАБЖЕННОГО ДЕМПФЕРАМИ НУТАЦИИ
Ф. Р. Виньерон.Ф. Р. Виньерон.Ф. Р. Виньерон.Ф. Р. Виньерон.ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКА С ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ, СНАБЖЕННОГО ДВУМЯ ДЕМПФЕРАМИ.
Ф. Р. Виньерон.
Ф. Р. Виньерон.
Ф. Р. Виньерон.
Ф. Р. Виньерон.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКА С ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
77. У. Лайкине, Цэн Гань-тай, Д. Л. Мингори. устойчивые предельные циклы СПУТНИКОВ С ДВОЙНЫМ ВРАЩЕНИЕМ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ
Л1. Бисмю. ДИНАМИКА ПОЛЕТА ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАКЕТ С НАБОРОМ ВЫСОТЫ
Дополнительный список литературы
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский ер., д. 2, издательство «Мир».
ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ
СОСТАВНЫХ СПУТНИКОВ
Редактор П. Я. Корсоюцкая
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Бирюкова
Сдано в набор 21/1 1975 г.
Подписано к печати 30/V 1975 г.
Бумага тип. № 2 бОхЭО1/^— 6,50 бум. л.
13 усл. печ. л.
Уч.-изд. л. 12,26 Изд. № 1/8254
Цена 1 р. 23 к. Зак. № 530
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский пр., 29
l) XPZ ——система координат (рис. 1), начало которой совпадает с началом О системы xyz, связанной с основным телом, а каждая из осей X, У, Z сохраняет неизменное направление в инерциальном пространстве. — Прим, перев.
1) Положение массы депмфера, в котором его пружина напряжена, может быть равновесным, если основное тело спутника обладает установившимся вращением вокруг некоторой боковой его оси, благодаря чему создается центробежная сила инерции, уравновешивающая упругую силу пружины. — Прим, перев.
1) Здесь следует понимать, что вектор 0 пропорционален столбцу в правой
1) Здесь i = 1 и i = 3. — Прим, перев.
1) Vigneron F. R., Stability of a dual-spin satellite with two dampers, Journal of Spacecraft and Rockets, 8, № 4, 386—389 (1971).
1) Имеется в виду, что автоколебания могут возникать в нелинейных системах и не могут иметь места в линейных системах. — Прим, пер ев.
1) Следует проявлять осторожность в истолковании этих эвристических понятий. Устройство, служащее для рассеяния энергии, или источник энергии, установленные на корпусе (или на маховике), влияют на производную F (или Ег) ”ншь в том случае, если они срабатывают при отклонении движения от состояния заданного вращения вокруг оси крепления. Моменты сил, параллельные оси крепления (например, момент, развиваемый двигателем, поддерживающим постоянство относительной скорости), не влияют на производные £ и
МЕХАНИНА
НОВОЕ В ЗАРУБЕН^НОИ НАУ14Е
АТЕЛЬСТВО-МИР* МОСНВА
МЕХАНИКА
НОВОЕ В ЗАРУEEHW订 НАУКЕ
ДАНТОРЫ СЕРИИ： А.Ю.ИШЛИНСНИЙ, Г, Г ЧЕРНЫЙ
ЗАДАЧИСТАБИЛИЗАЦИИСОСТАВНЫХСПУТНИКОВ
Перевод
М. 3. ЛИТВИНА-СЕДОГО и А. Д. ХОНЬКИНА
Под редакцией
В. В. БЕЛЕЦКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО “МИР“ МОСКВА 1975
УДК 531.383+531.396
Книга входит в серию «Механика. Новое в зарубежной науке», выпуск которой начат издательством в 1975 г. Сборник включает статьи по математическим вопросам теории стабилизации составных космических систем, предназначенных для радиофизических, астрономических и других научных целей: Исследуется динамика спутника с двойным вращением, его устойчивость, а также автоколебания оси стабилизации. Задача сводится к решению дифференциальных уравнений, в общем случае нелинейных и содержащих переменные параметры. Оцениваются динамические процессы и строятся законы управления, обеспечивающие стабилизацию спутника.
Книга рассчитана на математиков-прикладников, механиков, астрофизиков, работающих в области проектирования и расчетов космических аппаратов. Она может использоваться аспирантами и студентами как учебное пособие.
Редакция литературы по математическим наукам
3320 302-428小
3
3
041(01)-75041(01)-7551-76 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975
041(01)-75
041(01)-75