КИБЕРНЕТИЧЕСКИЙ СБОРНИК

Новая сериявыпуск 9

Редакторы Л. Н. Бабынина, И. Л. Маховая, Н. И. Плужникова _

Художник Н. К. Сапожников

Художественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор 3. И. Резник

Корректор Л. Д. Панова

Сдано в набор 17/11 1972 г. Подписано к печати 10/Х 1972 г. Бумага <_№ 2^60X90’/ie

«7,75 бум. л. 15,5 печ. л. Уч.-изд. л. 16,37. Изд. № 1/6643. Цена 1 р. 70 к. Зак. 89

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., 2.'

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Государственного комитета СоветаМинистров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

Измайловский проспект, 29.

Блоковое кодированиедля двоичного симметричного каналас обратной связью без шума и без задержки)

.Э. Р. Берлекэмп

ПРЕДПОСЫЛКИ И СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ

В последние годы вслед за Шелквиком и Кайласом [1966] специалисты по теории связи проявляют возрастающий интерес к задачам передачи информации по каналу с шумом при наличии бесшумного канала обратной связи с большой пропускной способностью и без задержки. Хотя Шеннон [1956] показал, что пропускная способность канала с обратной связью не'может превосходить пропускную способность того же самого канала без обратной связи, тем не менее канал обратной связи оказывается полезным при всех скоростях, меньших пропускной способности. Значительное снижение вероятности ошибки можно получить при использовании обратной связи в непрерывных каналах, которые имеют ограничение средней мощности на передатчике; существенное снижение может быть получено также при использовании обратной связи в дискретных каналах или в непрерывных каналах с ограничением пиковой мощности. Некоторые методы кодирования при наличии обратной связи, предложенные для дискретных каналов (Хорстейн [1963]), используют правило случайной остановки, согласно которому передатчик продолжает посылку символов до тех пор, пока приемник не получает «достаточную уверенность» в том, какое из сообщений передается. Хотя такие методы дают возможность получить низкую вероятность ошибки, они могут случайно потребовать передачи относительно большого числа символов до того, как приемник будет в состоянии прийти к решению. По этой причине Шеннон и Галлагер полагали, что было бы интересно получить границы для ошибок для наилучшей стратегии кодирования при наличии обратной связи, когда число передаваемых символов заранее фиксировано, т. е. рассмотреть наилучшую блоковую стратегию кодирования. Несколько таких границ были получены Бер- лскэмпом [1964]. В этой работе дается развитие некоторых из тех результатов, которые применимы к двоичному симметричному каналу.

Настоящая работа посвящена задаче определения числа п — длины блока самой короткой стратегии кодирования с обратной связью, которая всегда дает возможность приемнику произвести правильный выбор из М = 2Лп возможных передаваемых сообщений, в предположении что канал' изменяет не более чем е = fn переданных разрядов. Для очень больших п соотношение

Рис. 1. Асимптотическая доля исправляемых ошибок в ДСК без обратной связи, между скоростью R и долей исправляемых ошибок f показано на рис. 1 и 2.

Асимптотическое соотношение между f и R для наилучших двоичных кодов в отсутствие обратной связи лежит где-то в пределах заштрихованной области рис. 1. Наилучшая из известных асимптотических нижних границ для f как функции R была получена Гилбертом [1952] с помощью неконструктивного метода; наилучшая верхняя граница была получена с помощью некоторого метода, предложенного Элайесом. На рис. 1 указана также более слабая верхняя граница, полученная Хэммингом [1950]. Доказательства и обобщения всех этих границ для кодов в отсутствие обратной связи могут быть найдены в гл. 13 работы Берлекэмпа [1968].

Асимптотическое соотношение между f и К для наилучшей двоичной блоковой стратегии кодирования с обратной связью показано на рис. 2. Верхние границы для ЦК) получены в § 3 этой статьи, а нижние границы — в § 4. При скоростях из интервала 0,2965 < К < 1 наилучшая асимптотическая верхняя граница для f является объемной границей, которая представляет собой обобщение границы Хэмминга для кодов в отсутствие обратной связи*

Рис. 2. Асимптотическая доля исправляемых ошибок в ДСК с обратной связью.

При меньших скоростях, 0 < К < 0,2965, наилучшей верхней границей для ЦК) служит прямая, которая исходит из точки К — 0, f = 7з и касается объемной границы при К = 0,2965. Одна из конструкций, указанная в § 4 этой статьи, дает множество стратегий кодирования, на которых достигаются скорость и доля ис* правляемых ошибок, соответствующие любой точке на этой прямой линии. Другие конструкции дают множество стратегий кодирования, на которых достигаются скорости и доли исправляемых ошибок, соответствующие любой точке на прямых линиях, исходящих из точки К = 0, / = 1/7 где /— любое положительное целое

число. Эти конструкции дают асимптотически «плотно упакованные» коды для любых скоростей, при которых одна из этих прямых линий касается объемной границы. Убедительные эвристические соображения показывают, что в действительности возможно получить асимптотически плотно упакованные стратегии кодирования с обратной связью при всех скоростях, больших или равных 0,2965. Здесь будет приведена некоторая конструкция, которая явно задает коды, лежащие на прямой линии, исходящей из точки R = 0, f = /7 и касающейся объемной границы. Сравнение рис. 1 и 2 обнаруживает, что исправляющая способность наилучших двоичных блоковых стратегий кодирования с обратной связью асимптотически превосходит исправляющую способность наилуч- ши^ двоичных блоковых кодов в отсутствие обратной связи при всех скоростях 0 ^ R < 1. Стоит также отметить, что нижние границы на рис. 2 получены с помощью оценки свойств конкретных просто задаваемых стратегий, в то время как неизвестны «простые» конструкции кодов без обратной связи, дающих асимптотически положительное f при любой положительной скорости /?.

До того как привести асимптотические верхнюю и нижнюю границы для f(R) в § 3 и 4 соответственно, введем в § 2 некоторые предварительные понятия.

На каждом шаге входящее в вопрос множество St может зависеть от предыстории игры.-

бы, требует посылкибы, требует посылки1-Р1-РРис. 3. Двоичный симметричный канал с бесшумной обратной связью без , задержки.Рис. 3. Двоичный симметричный канал с бесшумной обратной связью без , задержки.На первый взгляд может показаться, что при этом условии возникает необходимость в передаче очень большого количества информации по обратному каналу, т. к. на каждом шаге приемник передает назад подмножество Зь которое может быть любым подмножеством множества М возможных слов, представляющих собою сообщения. Эта передача, казалось ""

бы, требует посылки

бы, требует посылки

1-Р

1-Р

Рис. 3. Двоичный симметричный канал с бесшумной обратной связью без , задержки.

Рис. 3. Двоичный симметричный канал с бесшумной обратной связью без , задержки.

ИСТОЧНИК можно ин-ИСТОЧНИК можно ин-log2 М бит по бесшумному каналу обратной связи. В действительности, однако, требуется посылать лишь один бит по каналу обратной связи на каждый переданный бит, так как передатчик может обладать тем же самым детерминированным устройством выбора подмножеств, что и приемник. Входами в это устройство выбора подмножеств являются лишь результаты предыдущих вопросов т. е. принятая последовательность бит. Таким образом, процесс задания вопросов определяется лишь принятой последовательностью ответов. Если по каналу обратной связи можно передать один неискаженный шумом бит на каждый бит, посланный по прямому каналу с шумами, i формировать о принятой последовательности. В этом случае он знает столько же, сколько знает приемник, и никакая обратная добавочная связь не сможет принести дополнительную пользу.

ИСТОЧНИК можно ин-

ИСТОЧНИК можно ин-

Любая стратегия может быть рассмотрена как стратегия только что описанного типа с бесшумными вопросами и зашумленными ответами. Для этого нужно лишь рассмотреть множество возможных выбираемых сообщений, которые побуждают источник передать единицу в качестве следующего символа, как множество, входящее в вопрос. Подход с точки зрения вопросов и ответов не означает, что накладываются какие-либо ограничения на типы до* пустимых стратегий.

Приемник может рассматривать каждый ответ, который он получает как голос против определенного подмножества слов. В процессе передачи различные слова получают различные числа голосов против. После того как все п переданных бит будут приняты, приемник должен решить, какое из слов было передано. Очевидно, что наилучшим выбором будет то слово, которое имеет наименьшее число голосов против.

В качестве примера рассмотрим случай, в котором М = 8, п= 11. Обозначим 8 возможных сообщений через Д, В, С, D, Е, F, G и Н. Вначале имеются все 8 кодовых слов и ни одного голоса против каждого из них; остаются еще И вопросов. Игра может Происходить так, как показано в табд. L

Например, когда осталось 5 вопросов, приемник задал вопрос: «Содержится ли выбранное сообщение среди множества FEGH?^ Полученный ответ был: «Нет».

Таблица 1

Пример игры

Число оставшихся вопросовЧисло оставшихся вопросов987654329876543200

Число оставшихся вопросов

Число оставшихся вопросов

98765432

98765432

0

0

0 ABCDEFGH ADEH1BCFG234567890 ABCDEFGH ADEH1BCFG23456789DE D ACFH CEFBG AGH ВDE D ACFH CEFBG AGH ВD

0 ABCDEFGH ADEH

1BCFG

2

3

4

5

6

7

8

9

0 ABCDEFGH ADEH

1BCFG

2

3

4

5

6

7

8

9

DE D ACFH CEF

BG AGH В

DE D ACFH CEF

BG AGH В

FOFF

АСЕAADADFDFF

BGHBCEGEG-AADADF А

Н ВС BCEG EG*- DF

Н-ВСBCEGEG -

Н-ВС EGBC

Н-

Н Н

В этой игре Природа сделала по крайней мере три ошибки в канале. Если она сделала только три ошибки, то выбранным сообщением было Д, и ошибки, сделанные Природой, происходили на вопросах 10, 9 и 4. Возможно также, что выбранным сообщением было D (в этом случае Природа сделала четыре ощибки на вопросах 7, 6, 3 и 1) или что сообщением было F и при этом произошли четыре ошибки на вопросах 11, 5, 2 и 1. Если сообщением было какое-либо другое кодовое слово, то Природа сделала шесть или более ошибок.

Теперь займемся задачей выбора стратегии задания вопросов, которая бы гарантировала, что после того, как все п вопросов будут заданы, приемник будет в состоянии выбрать правильно, какое из кодовых слов было передано в случае, если канал сделал е или менее ошибок. Как и ранее, после каждого вопроса подсчитывается число отрицательных голосов против каждого возможного слова, представляющего собой сообщение. Однако теперь можно отбросить слова, которые накопили более чем е голосов против.

После каждого вопроса записывается число слов, которые имеют 0 отрицательных голосов, число слов, которые имеют 1 отрицательный голос, ..., число слов, которые имеют е отрицательных голосов. Запишем эти числа в виде компонент вектор-столбца и назовем этот вектор состоянием игры. Если остается п вопросов, то этот вектор называется п-состоянием. Стоящие сверху компоненты этого вектора часто являются нулями. Поэтому компоненты

будут нумероваться снизу вверх, и мы будем пренебрегать нулями, которые стоят над наивысшей ненулевой компонентой:

.

= сС2 -

*Со

Компонента Ct обозначает число слов, которые получили е — г отрицательных голосов.'

В табл. 2 показаны состояния, которые возникают при е = 3 в игре, показанной в табл. 1.

Таблица 2

Состояния игры, показанной в табл. 1

Неиспользованное число голосов против

Число оставшихся вопросов

И 10 9876543210

3 2

1 0

8 4 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 44312100000 2331232100 1 3 4 2 0 1 2 3 1

При каждом вопросе приемник делит текущее состояние игры на два подсостояния и спрашивает источник, какое из подсостояний содержит сообщение. Зашумленный ответ представляет собой голос против того или другого состояния. Следующим состоянием игры является тогда новый список номеров слов, получивших различные числа отрицательных голосов. Общая ситуация изображена ниже. .

п-состояние

Разбиение

Результирующее (n — 1)-состояние, если ответ был в пользу левого

Результирующее (п — 1)-состояние, если ответ был в пользу Правого

с» '

а4Ь4

^3

а^Ь%

а3 + b 4

Й4 + Ь^

С2

а^Ь^

Й2 + ^3

а^ + Ь^

С1

ахЬх

^1 + ^2

^2 + Ьх

^0.

а0Ьй

а0 + Ьх

г а\ + ^о

а$, + bi = Ct

c'i = “i + bi + \

С1 " а1Н^"Ь1

Часто более удобно рассматривать лишь текущее состояние и пару состояний, которые могут образовываться из него и не касаться деталей разбиения, которое приводит к этому. Это безразличие оправдывается следующей теоремой.,

Теорема разбиения. Разбиение, которое сводит состояние х в состояния у и z, существует тогда и только тогда, когда:

х^О; у^О; z^O (все компоненты неотрицательны);

х<+1 + xt = yt + zt для всех i, O^Z<e;

для всех /, 0^/^е,

еее

2 У2/+2 ^ 2 2Ж ^ 2 У21

1=11=11=1

U еее

2 ^2/4-22У2/ + 1221**

1=11=11=1

При заданных x^ui это разбиение единственно.

Доказательство. Если не выполнено условие (1), то векторы х, у и z в действительности не являются состояниями и разбиение не имеет смысла. Среди неотрицательных векторов разбиение существует, если имеются такие два подсостояния и и v, что х = и + v,•1

yi = ^i +^и\» ^i = vi + ui+x для всех и

Покажем теперь, что при заданных у и z как х, так и единственное разбиение могут быть определены при условиях (2) и (3). Решение относительно х наиболее удобно выполнить, подсчитывая сначала наивысшие компоненты и затем спускаясь вниз. Получаем

^е === ^е ~Н ^е ^^ У е “I” ^е*

В общем случае xt + xw = u^ + uw + о г + ^ж = У г + ^ь а, следовательно, х можно найти при спуске с наивысшей компоненты вниз, если использовать равенство xt = yt + Zi— хц-ь

Можно также выразить и и v через у и z. Имеем

Для некоторых n-состояний можно предложить стратегию разбиения для остающихся п вопросов, которая гарантирует, что все слова, кроме одного, в конце концов получат более чем е отрицательных голосов; для остальных n-состояний такая стратегия не существует. Назовем первые состояния выигрышными, а вторые — проигрышными n-состояниями. 0-состояние является выигрышным тогда, когда только одно слово имеет е или меньше отрицательных голосов. Эти рассмотрения оправдывают следующие определения.

Определения. 0-состояние х является выигрышным, если S^z^l* Ненулевое выигрышное 0-состояние называется синглетом, n-состояние является выигрышным, если оно сводится к двум выигрышным (п — 1)-состояниям. (Эти два выигрышных (п—1)-состояния не обязательно должны быть различными.)

Любой вектор, который является выигрышным /-состоянием, но проигрышным (/—1)-состоянием,, будем называть граничным выигрышным /-состоянием. Из определений сразу же следует несколько лемм.

Лемма. Любой вектор, который является выигрышным п-состоянием, является также выигрышным j-состоянием для любого / > п. Синглетные состояния являются выигрышными п-со- стояниями при любых п.

Лемма. Единственным граничным выигрышным \-состоя- нием является , -

О

О

2 '

Если пренебречь стоящими вверху нулями, то это состояние можно записать как 2.

Если 2 ^/ = 2, то х называется дуплетом. Выигрышное разбиение любого дуплета (если оно существует) разыгрывает эти два слова друг против друга. Это рассмотрение приводит к еле* дующему результату.

Лемма. Дуплет с является выигрышным п-состоянием тогда и только тогда, когда 2 ici^n— 1 с равенством в граничном случае. ‘

Лемма. Если с ^ d (это означает, что ct ^ d^ для всех i) и d является выигрышным п-состоянием, то с также является выигрышным п-состоянием^ ,

Утверждение леммы 2.6 остается справедливым при чуть более слабых условиях.

ее

' 2.7. Лемма. Если S с/ ^ S <h для всех к и d является выигрышным п-состоянием, то'с — также выигрышное п-состояние.

Лемма. М является выигрышным п-состоянием, если М ^ 2П. Наилучшим разбиением состояния М является такое, которое разыгрывает половину слов против другой половины.

Сводка некоторых выигрышных n-состояний для 1 ^п-СЭ дана в табл. 3.

Таблица 3

Некоторые выигрышные n-состояния, 1^п^9

i

п: 9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

50

28

16

8

4

2

2

1

0

12

4

0

8

8

6

0

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

456

219

99

42

16

5

1

2

1

1

1

1

1

1

1

43

22

11

4

1

1

0

36

21

11

14

10

0

2

2

2

2

0

0

0

0

182

70

20

0

2

2

20

6

2

22

7

3

0

0

190

145

7

3

15

- 14

40

19

8

4

0

0

144

108

8

4

8

8

64

36

1

1

1

1

I

I

4

1

1

0

0

0

.14

10

0

1

1

0

58

36

35

15

0

1

ж

ж

1

1

1

0

0

0

5

0

0

24

22

6

ВЕРХНИЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ИСПРАВЛЕНИЯ ОШИБОК

Изучение табл. 3 приводит к некоторым более общим результатам. Главным среди них является объемная граница, которая представляет собой обобщение границы Хэмминга [1950] для кодов при передаче без обратной связи. Основное отличие состоит в том, что в полученной здесь границе слова окружаются на различных уровнях сферами различного размера.

Подходящее определение объема n-состояния х получается при окружении всех слов на высоте j сферой радиуса /, т$ е.

е I

Vnto^x^Vie^Q /=0

■3.1. Теорема (сохранение объема). Пусть х— некоторое п-состояние, и пусть у и г являются (п — 1) -состояниями, которые образуются из него после какого-либо заданного разбиения. Тогда Vn(x) = Vn-i(y) + Vn-i(z).

Доказательство. Пусть x=u + v является разбиением, которое сводит х к у и z. Тогда теорема принимает, вид

^ («; + v<)(uz + + ut+v + vz+1) ^ ( " / *)'

/=0/=0i=0' /=0

Так как Xt произвольно, то теорема эквивалентна равенству

Это справедливо в силу того, что

(;Н“7')+(“-!)- чт-д-

Одним из непосредственных применений этого результата является теорема 3.2.

Теорема (объемная граница). Если х является выигрышным п-состоянием, то

Доказательство. Теорема справедлива при п=0, так как в действительности синглетное состояние удовлетворяет любой объемной границе:

Для произвольного п теорема непосредственно следует из теоремы сохранения объема с помощью индукции. Ч. Т. Д.

В некоторых частных случаях эта граница является единственным требованием. Лемма 2.8 представляет один из таких случаев. Дуплетные состояния представляют собой другой пример, как показывает следующая перефразировка леммы 2.5. '

Лемма. Дуплетное состояние с является выигрышным п-состоянием тогда и только тогда, когда Vn(c) ^ 2П. Равенство имеет место в граничном случае.

Доказательство. Пусть единственными ненулевыми компонентами с будут d = l=Cj (где, возможно, 1=П- Тогда граничный случай леммы 2.5 осуществляется при i + j = п—1. Имеем

1 / 1 п п

k^Q ^«*0 £=г0 k=n—i k=Q

T. Д.

Лемма 3.3 показывает, что для дуплетов объемная граница является единственным ограничением, которое должно быть удовлетворено. В общем случае, однако, существуют проигрышные состояния, которые все же удовлетворяют объемной границе. Например, рассмотрим 4-состояние Q. Его объем равен ЗН 0 ) + ( 1 11 = = 15 < 16 = 24, но тем , не менее это является проигрышным состоянием. Обобщенной версией этого ограничения является следующее утверждение. j

Теорема (сдвиговая граница). Если 2 ^^3, то х не может быть выигрышным п-состоянием, если Тх не является выигрышным (п— ^-состоянием. Состояние Тх является сдвигом х и определяется равенством (Tx)i=xw.

Доказательство. Основным методом здесь опять является индукция по п. Вначале установим с помощью перебора, что теорема справедлива для малых п, как показано в табл. 3. Предположим теперь, что теорема справедлива для п ^ к— 1 и что х является выигрышным ^-состоянием. При этом должно существовать некоторое разбиение х, которое сводит его к у и z, которые являются выигрышными (к—1)-состояниями. Когда это же самое разбиение применяется к Тх, то оно сводит Тх к Ту и Tz. Если 2#;>3и 2^3, то предположение индукции гарантирует, что Ту и Tz являются выигрышными (к — 4)-состояниями. Поэтому Тх является выигрышным (к — 3)-состоянием.

В исключительном случае, когда ^yi^^, нужно прибегнуть к специальным рассмотрениям. Сдвиговая граница, как сказано, не применима к таким состояниям. На самом деле из леммы 2.5 еле-

дует, что если дуплет у является граничным выигрышным п-со- стоянием, то Ту является граничным выигрышным (п—2)-состоянием. Если у не является граничным (&—1)-состоянием, то Ту является выигрышным (& — 4) -состоянием. Следовательно, нужно рассмотреть только граничный дуплет.

Определим х' как х' = 0, x'k = xk для всех к > 0. Тогда х'^х и Vn (xz) ^ Vn (х). Так как у образуется из х, то

еее

S yt > S xt = 21=0 11=1 11=0

Таким образом, х' является синглетом или дуплетом. Если оно является синглетом, то Тх=Тх', и доказательство закончено. Если х' является дуплетом, то существуют две возможности: либо х' = у, либо х' является граничным выигрышным fe-состоянием (так как дуплет х сводится к у и у является граничным выигрышным (к — 1) -состоянием).

Если х'=у, то Тх=Ту и Тх является выигрышным (к — 3)-состоянием в силу того, что оно является сдвигом выигрышного дуплетного (к — 1) -состояния.

Если вместо этого х' является граничным выигрышным к-со- стоянием, то оно удовлетворяет объемной границе с равенством, т. с. Vk(x') = 2к. Но х также является выигрышным ^-состоянием. Единственная возможность состоит в том, что х=х\ В этом случае Тх не является выигрышным (к — 3)-состоянием, а х является дуплетом, так что этот случай выходит из предположений теоремы.

Проверив теорему во всех исключительных случаях, мы завершили доказательство.

Следствие. Если хе ^ 3, то х не может быть выигрышным п-состоянием, когда не выполняется условие п ^ Зе + 2.

Совместно с объемной границей сдвиговая граница устраняет большинство из проигрышных состояний. Однако они не исчерпывают всего, так как существуют несколько проигрышных состоя- 51

ний, которые удовлетворяют обеим границам. Например, 2 является проигрышным 9-состоянием, несмотря на то что оно удовлетворяет объемной границе и 51 является выигрышным 6-состоянием. Однако, несмотря на такие изолированные случаи, в § 4 будет показано, что в асимптотических случаях, представляющих наибольший интерес, эти две границы включают в себя все случаи.

Объемная и сдвиговая границы применимы ко всем возможным n-состояниям. Частными n-состояниями, имеющими наибольший интерес, являются такие, в которых начальное состояние I содержит только одну ненулевую компоненту 1е=М=2к.

Найдем минимальное значение п, для которого I является выигрышным п-состоянием. Определим скорость передачи информации как R = к(п\ допустимую долю ошибок рбрзцачцм через

f = е]п. Для малых значений п возможные значения R и f могут быть выведены из нашей таблицы. Отметим, например, существование вектора ^в нашем списке выигрышных 7-состояний. (В действительности существует стратегия разбиения при передаче без обратной связи, которая делает то же самое; она называется кодом Хэмминга (7,4), исправляющим одиночные ошибки.) Однако при п > 9 детальное расширение таблицы требует большого объема работы, и вместо ее построения мы займемся асимптотическими границами, которые будут получены ниже. Будем интересоваться случаями, когда п растет очень быстро, a f и R остаются фиксированными. '

Асимптотическая объемная граница и касательная к ней. Пусть f=e/n. Рассмотрим сначала объемную границу

Асимптотически она означает, что 77(f) ^ 1 —R или R ^ 1 — — 77(f), где H(f) =—f logf — (1 — f)log(l — f). Это совпадает с границей Хэмминга для кодов при передаче без обратной связи, изображенной на рис. 1 и 2.

В § 4 данной статьи важную роль играют касательные к этой кривой. Остановимся здесь кратко на выводе равенств, которые .понадобятся для этих касательных.

Рассмотрим прямую линию, которая пересекает ось f в точке fo, ось 7? в точке 7?0 и которая касательна к кривой 7?=1 — 77(f) в точке R = Rt, f=ft- Положим g=l —f. Тогда уравнения, определяющие точку касания, будут

/?(М=1-Я(М = ^о(1-Ш(3.7)

' R'^-tog^fg^-RJU(3.8)

и

ft + St —

Эти соотношения проиллюстрированы на рис. 4. Умножая равенство (3.8) на ft и вычитая его из (3.7), получим

Ro= 1 + loggf.

Подставляя это выражение в (3.8) и потенцируя, получим 2^sf=L ' -

Вводя обозначение s = gt]fb будем иметь logs = Rolfo, ft = 1/(1 + s), Rt = ^0— 1/(1 -|-s)) log s. Эти подстановки сводят задачу к решению одного уравнения с одним неизвестным: ■1 = 2/^1» = 2ssy( 1 + s),

(3.9)(3.9)g§8. = l-|-sfg§8. = l-|-sfИЛ»

(3.9)

(3.9)

g§8. = l-|-sf

g§8. = l-|-sf

В частном случае, когда go является рациональным числом, это уравнение является алгебраическим. Корень s = l всегда является посторонним в этом уравнении; его можно устранить, разделив обе части уравнения на s— 1. Вычисление координат точки касания

Рис. 4.

теперь сводится к решению этого окончательного алгебраического уравнения.

Пример. Пусть g0=2/3. В этом случае уравнение имеет вид .

2s2/s=i +s,

8s2 = s3 + 3s2 + 3s+ 1,

0 = s3~5s2 + 3s+ 1 = (s — l)(s2 —4s — 1),

s = 2 4-' 5V‘ = ((1 + 5v,)/2y,

f, = (3 + 5v,)"1 = 0,19095.

Rt = 0/з - 1 /(3 + 5V*)) log (2 + 5V1) = 0,29650,

Ro = log ((1 + 5v’)/2) = 0,69425.

Касательная граница. Наилучшая возможная асимптотическая граница для исправления ошибок получается с помощью следующих рассуждений.

Во-пёрвых, применим теорему сдвиговой границы. Получим, что если начальное состояние I (которое имеет 2й слов на высоте е) является выигрышным n-состоянием, то Тт\ должно быть выигрышным (п — 3m)-состоянием для любого 0 < т < n/З. Применяя объемную границу к этому состоянию, получим

9к / п — 8т \ 9пТЗт'

.z ( е — т•

Определим х=п— Зе, у=е — т. Граница примет вид

8^(8^(^ + 3z/ \ 9х-ку•

8^(

8^(

Эта граница имеет место только тогда, когда 0 < у < е, и нам следует выбрать наилучшее значение у для получения наиболее точной границы. Это можно выполнить, найдя максимум левой части написанного выше неравенства. Последнее легче всего сделать, если положить равным единице отношение величины этого выражения при у к его величине при у + 1. При больших у это дает

8у (х + 2#)2 ’о = (X 4- у) (х2 — 5z/2),у = 5~'!1х.

Подставляя это значение в границу и беря логарифмы, получим

х (1 + 3.б-71) Я (1/(3 + б7’)) < х (1 + 3 • б"7’) - 6

ИЛИ,

Я 0 + 3 • б-*)"1 < (1 - 3f) (1 - я(1/(3 + б7’))).(3.12)

Этот результат справедлив в области 0 < у < е, что эквивалентно условию

'(3 + б7*)”* < f <’/з*

Сравнивая эти числа с касательными к объемной границе, найденными в примере 3.10, убеждаемся в том/что эта граница является прямой, исходящей из точки /?=0, /=7з и идущей к объемной границе, которой она касается и тут же оканчивается. График границы приведен на рис. 2.-

Эта граница является частным случаем более общей гранйцы для показателей экспонент ошибок, полученной Шенноном, Галла- гером и Берлекэмпом [1967].

В § 4 будет показано, как эти границы могут быть эффективно достигнуть^

КОНСТРУКЦИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХСТРАТЕГИЙ КОДИРОВАНИЯ

Проведя доказательства объемной границы, сдвиговой границы и их асимптотической комбинации, мы естественно пришли к тому, чтобы исследовать возможность отыскания конкретных выигрышных состояний, которые лежат на этих границах или вблизи них. Начнем с рассмотрения таблицы выигрышных состояний для малых п (см. табл. 3). Нам известно, что для того, чтобы найти любое существенное (^3) число слов на высшей компоненте, нужно ограничиться состояниями, для которых п ^ Зе + 2. Следовательно, если е=0, то п^ 2 и 4 является в действительности выигрыш- 4

ным 2-состоянием. Если е = 1, то п 5 и 8 является выигрышным 5-состоянием. Продолжая таким образом, мы обнаруживаем, что 41

8 является выигрышным 8-состоянием. Это лишь чуть лучше, чем 36*-

3

то, к чему мы стремились!! Нам известно, что 0 является проиг- -•-.о

рышным 7-состоянием, и было проведено исследование просто того, не является ли оно выигрышным 8-состоянием. Было найдено, что можно не только поставить 4 (>3) слов наверху,- но можно добавить значительное число дополнительных слов на более низких уровнях. Если продолжить это исследование, то можно найти, что 4

Д является выигрышным 11-состоянием. Дальнейшее продолже- 152 ние этой последовательности помещено в первом столбце таблицы 4.'

•Таблица 4

Бесконечная последовательность граничных выигрышных состояний

Номер столбца

'12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Номер строки 1

42

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

86

4

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

3622

14

10

5

1

0

0

0

0

0

0

0

0

4

15294

58

36

24

15

6

1

0

0

0

0

0

0

5

644398

246

152

94

60

39

21

7

1

0

0

0

0

6

2728 1686

1042

644

398

246

154

99

60

28

8

1

0

0

7

11556 7142

4414

2728

1686

1042

644

400

253

159

88

36

9

1

Наиболее важные свойства таблицы 4

Пусть At, j будет числом, стоящим в i-й строке и j-м столбце.

Состояниед^

^2, /

^т, j === *

^771, /,

является граничным выигрышным (3/п — /)-состоянием. Оно удо* влетворяет объемной границе с равенством и может быть сведено к А^а/ч-о и А(т_1),(/_2):

Ai, / + Л/,(/+1) = Л(/+1),(/+2) (с исключением при /^2).

Если i^j и /^3, то

Л,., = 2 ((1 + 5 W"! + 2 «1 - sW"

Сейчас мы построим эту таблицу (см. табл. 5) и выведем некоторые ее важные свойства. -

Определение. Значения, помещенные в табл. 4, определяются рекуррентно следующим образом. Первые два ряда задаются как начальные условия: ’

Л1,1 — 4;Л),2 — 2;Л^^3!при^^^ 3,

Л2,1 — 8>Л2, 2 — 6j^2» 3 — 4j^2, 4 — ^ > ^2, к — ^ Прик^^ бе

Оставшаяся часть таблицы выводится рекуррентно согласно следующим правилам, применимым лишь при г ^ 3:

(А^ j = Ai-X, + Ai-x, j-2приj>3,

Л/,2 = Л/,з + Л,_1апри/ = 2,

-Л,а = Л,,2 +Л,,3при/ = 1.

Определение. Состояние Кта определяется следующим образом:

-АХа

- А2, j

А«, /= ’

Ащ, I

Теорема. При /<3</

Л, / = 2 ((1 + 5,/2)/2)3<"/"2 + 2 ((1 - 5,/2)/2)3<'М.

Доказательство. Отметим, что первые три столбца определены только лишь через самих себя. Введем последовательность, зависящую от одного индекса, с помощью преобразования:

■ak = A(k+3)/3, р

если

к = 0 (mod 3),

ак = А^+4)/3, 2’

ак = ^(fe+5)/3, 3»

если

если

к ■ 2 (mod 3), к = 1 (mod 3).

Тогда рекуррентные соотношения, иметь вид

определяющие Д,.,-, будут

dh = ak_x +а6-2 при к>4.

Общее решение этого уравнения имеет вид ak = Brkx-VCr^

где В и С — постоянные, определяемые двумя начальными условиями: а2=6 и а3=8. Числа тх и г2 являются корнями уравнения

г2 = г + 1,

т. е. г^= (1 ± 5,/г)/2, В = С=2. Производя обратное преобразование от ак к А^ j, получаем искомый результат. Ч. Т. Д.

Следствие. Теорема 4.3 также остается справедливой в расширенной области i j, i ^ 3.'

Доказательство. Эти значения получаются с помощью тех же самых рекуррентных соотношений, что и соответствующие им значения из первых трех столбцов, которым они должны быть равны.

Теорема. Am, j может быть сведено к Am_i, j_2 a Am> w.

Доказательство. Введем в рассмотрение дополнительные столбцы на левой границе, определяемые следующим образом: Am-i, о=Ат, 3; Ат-х,-х=Ат) 2. Рекуррентные соотношения, определяющие таблицу, станут тогда однородными при всех т 0. Доказательство теоремы состоит в проверке условий (2) и (3) теоремы разбиения 2.1. Условие (2) примет вид

Ai, / + At-х, j = Alt /+1 + Л/_ь /_2.

Если i=l или i = 2, то можно заметить, что это равенство справедливо при выбранных начальных условиях. Для больших I имеем

Aij = Ai-xj-x + At--x,i-2,

/Ai, y+i = А^х, j + At-х, /—i*

Вычитая одно из этих равенств из другого, получаем условие (2).

Для выполнения условия (3) достаточно, чтобы-

^*/2< И ^+2 < Ml ^^

и, следовательно, чтобы

Ai-2, /-2 ^ А^ /+1 ^ Д/, /_2.

Последнее неравенство следует из того, что Дг, j является монотонной невозрастающей функцией j для любого фиксированного L Эта монотонность может быть установлена методом индукции по i с учетом того замечания, что монотонность имеет место при j ^ 3, где Дг; j задается явной формулой. Предыдущее неравенство проверяется следующим образом:

Ai, /+1 = Д/-1, / + Д/-1, у-i ^ Дг-i, / = Д/—2, /-1 + Д/-2, /-2 ^ Ai-2, /—2е

*Ч. т. д.

Следствие. Состояние km, j является выигрышным ^im — /)-состоянием.

(Доказывается по индукции.)

Следствие.

(Доказывается по индукции с использованием теоремы 3.1 сохранения объема.)

Это заканчивает наше доказательства замечательных свойств таблицы 4.

Правильное разбиение любого состояния, стоящего в столбце 1 или 2 табл. 4, делит слова на каждом уровне поровну между двумя множествами. Состояния, стоящие в других столбцах, не могут быть разделены таким образом, так как они имеют одно-един- ственное слово сверху. Для того чтобы уравновесить два множества, нужно приписать к другому множеству определенные числа «компенсирующих слов» на различных более низких уровнях. Оказывается, что точные числа компенсирующих слов, необходимых для разбиения /-го столбца, равны

Так, например, правильное разбиение 6-го столбца будет

1

1

+

0

о + о _

0

0

о + о

1

0

1+0

15=

5+

5 + 5

60

29

2 + 29

246

123

0+ 123

1042

521

0 + 521

Можно использовать первый столбец таблицы 4 для того, чтобы получить нижнюю границу для f и R при больших п. После выполнения простых преобразований получаем

' 2^ ^ 2 [(1 + 51/з)/2]3(/ 1) = Л/а (ближайшему целому числу).

Так, если,

А — 1 ^(/— OSlogKU-S*^], то имеем

/ ^ Ле+/, в

которое является выигрышным 3 (е + /— 1)-состоянием. Таким образом, можно защитить 2й слов от е ошибок с помощью п вопросов, если

6 - 1 < (п - Зе) log ((1 + 5V2)/2),

R < (1 - 3f) Ro; Ro = log ((1 + 5V2)/2).(4.8)

Так как (4.8) совпадают с (3.12), можно заключить, что при всех скоростях из диапазона 0 < R < Rt = 0,30 (или, что равносильно, для всех" долей ошибок 0,19 = ft <f = e/n^fQ= 7з) эта прямая линия дает наилучший возможный асимптотический результат. Для больших скоростей (или меньших долей ошибок), однако, границы отличаются. Верхняя граница для R и / начинается прямой линией и далее описывается кривой 1—H(f). Нижняя граница, полученная с помощью этого простого сравнения с первым столбцом табл. 4, остается на прямой линии при малых долях ошибок/.

Вскоре будет показано, что в области этого расхождения прямая линия, а не кривая объемной границы, является слабой границей. Отметим также, что, как следует из границы Гилберта [1952] для кодов при передаче без обратной связи, можно достичь скорости R вплоть до 1 при достаточно малой доле ошибок /. Поэтому мы приходим к поиску последовательностей выигрышных состояний, которые дают наилучшие достижимые границы для больших скоростей.

В этом диапазоне ограничения задаются объемной границей, а не сдвиговой границей. Интуиция подсказывает, что было бы правильным построить бесконечную последовательность выигрышных состояний, которые создаются более медленно (имея несколько нулевых компонент), но намного большего веса. Эти находящиеся снизу компоненты должны нести нагрузку при малых е]п. Указанные пожелания .могут быть выполнены с помощью требования того, чтобы сдвиг граничного выигрышного п-состояния был граничным выигрышным (п — 4)-состоянием, а не (/г — 3)-состоянием. Попытка построения таблицы, обладающей этим свойством,

оказывается успешной. Результат представлен в табл. 5.

Таблица 5

Другая бесконечная последовательность граничных выигрышныхсостояний

'8421111'1111

643620114100000

7444042201206735165100

85124628251613687444072221182261

В действительности для любого целого числа / ^ 3 можно найти подобную таблицу выигрышных состояний. Первые два ряда этой таблицы определяются следующим образом:

^t—i ^t—u'...1...1...1 1 11 1...

2^-i(2^-2/)...2^M(2^-2/ + «- 1)...2'-/-1...2°-и-1...1 14 100...

Оставшаяся часть таблицы определяется рекуррентно с помощью соотношения

Au j + At^j = At% /+i + Л^_ь /-(f-i).

Это определение подтверждает условие (2) теоремы разбиения 2.1. Условие (3) теоремы разбиения легко проверяется методами, подобными тем, которые были объяснены в частном случае /=3. Затем доказывается, что построенная таблица обладает следующим основным свойством:

^т, 1 СВОДИТСЯ К А^у-ц И Am—it/_(/—]).

Чтобы найти скорость экспоненциального возрастания компонент первого столбца этой таблицы, можно снова заменить переменные, перейдя к а^. Первые t столбцов тогда будут

ataw.»*» ах>

a2ta2t-l • • • atH»

a3ta3t-l • • • °2НЬ

Записанное в терминах ак рекуррентное соотношение принимает вид

&h + ^*/ — 2^-1,

из которого получается алгебраическое уравнение для скорости роста г:

^+1=2г^.

(4.9)(4.9)Скорость роста первого столбца s=rl удовлетворяет уравнению

(4.9)

(4.9)

s+ 1=2«

В S' I У

Другая бесконечная последовательность выигрышных состояний

1 156 676 390 228 136 82 48 22 6 1 0 10 954 6 055 3 346 1 868 ,1028 566 312 177 97 42 . 13 43 318 ' 27 136 16 762 10 054 6 086 3 662 2 203 1 310 775 453 243

Выраженная через s достижимая асимптотика имеет вид

2й <5^; (/Ч-е)/<и,k ^ (п — ef) log s,/?<(1-fOlogs.

Сравнивая уравнения (4.9) и (3.9), можно заметить, что если go=(t—1)//, то уравнения совпадают!! Эта граница является прямой линией, исходящей из точки fo= 1/^ (или, что равносильно, из точки go=(,t—1)//) и идущей, к точке ее касания объемной границы и далее продолжающейся до оси R. Для скоростей’ все меньших и меньших наилучшие границы получаются с помощью все больших и больших значений целого числа L

Имеются убедительные эвристические доводы в пользу того,* что действительное асимптотическое соотношение между f и /? задается с помощью объемной границы для всех скоростей R ^ ^ 0,2965 ... . Однако единственные известные нижние границы

для f и R основываются на таблицах, конструкции которых требуют, чтобы число / в уравнении (4.9) было целым. Можно предположить, что подобные таблицы можно было бы построить для любого рационального числа ^3. Недоказанная конструкция с /=7/г представлена с помощью рис. 5 и табл. 6,

ЛИТЕРАТУРА

L В е г 1 е к a m р Е. R., Block Coding with Noisless Feedback, Докторская диссертация, выполненная на электротехническом факультете Массачусетского технологического института, 1964.

Berlekamp Е. R., Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill Book Co., New York, 1968. (Русский перевод: Берлекэмп Э. Р., Алгебраическая теория кодирования, «Мир», М., 1971.)

Gilbert Е. N., A Comparison of Signaling Alphabets, Bell System Tech. I., 31 (1952), 504—522.

Hamming R. W., Error Detecting and Error Correcting Codes, Bell System Tech. J., 29 (1950), 147—160. (Русский перевод: Хэмминг P. В., Коды с обнаружением и исправлением ошибок, в сб. Коды с обнаружением и исправлением ошибок, ИЛ, М., 1956, 7—23.)

Ног st ein М., Sequential Transmission Using Noiseless Feedback, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-9 (1963), 136—143.-

S c h a 1 k w i j k J. P. M., К a i 1 a t h T., A Coding Scheme for Additive Noise Channels with Feedback, IEEE Trans. Inform. Theory, IT12 (1966), 172— 189.-

S ch an non С. E., Zero-Error Capacity of Noisy Channels, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-2 (1956), 8—19. (Русский перевод: Шеннон К., Пропускная способность канала с шумом при нулевой ошибке, в кн. III е н н о н К., Работы по теории информации и кибернетике, ИЛ, М., 1963, 464—487.)

Shannon С. Е., G а 11 a g е г R. G., Berlekamp Е. R., Lower Bounds to Error Probability for Coding on Discrete Memoryless Channels, Inform. Con* - trol, 10 (1967),- 65—103, 522—552.

Три теоремы о грамматикахнепосредственных составляющих типа Г)

Питер С. Ландвебер

В работе показано, что класс языков, порождаемых грамматиками непосредственных составляющих типа 1, не расширяется от добавления граничных маркеров и замкнут относительно операции пересечения и что языки, представимые линейно ограниченными автоматами, принадлежат к этому классу.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование грамматик непосредственных составляющих типа 1, определенных Хомским, натолкнулось на некоторые трудности. Хотя эти грамматики порождают примитивно-рекурсивные множества, автор указал (в 1962 г.), что ряд массовых проблем для этих грамматик неразрешим, включая большинство массовых проблем, которые разрешимы для грамматик типа 2 и 3. Более того, нет четко определенных необходимых условий для того, чтобы язык был языком типа 1. Например, неизвестно, замкнут ли класс языков типа 1 относительно дополнения, хотя автор подозревает, что ответ должен быть отрицательным.

Мы сначала докажем, что класс языков, порождаемых грамматиками типа 1 с граничными маркерами, совпадает с классом языков, порождаемых грамматиками того же типа без маркеров. Поэтому мы можем использовать любой вид этой грамматики без потери общности.

Далее мы покажем, что класс языков типа 1 замкнут относительно операции пересечения. Этот результат, воспринимаемый как несколько неожиданный, позволяет значительно обобщить теорему Бар-Хиллела, Перлса и Шамира, которая устанавливает, что пересечение языка типа 2 с языком типа 3 есть язык типа 2. Пересечение LGx П Lg, двух языков типа 1 порождается следующим образом. В одной грамматике G мы порождаем нетерминальную цепочку, соответствующую некоторой паре цепочек, первая из которых принадлежит Lqx а вторая — Lqv Соответствие устанавливается при помощи символов с двумя индексами. Если оба члена пары, соответствующей одной из этих нетерминальных цепочек, совпадают, то цепочка может быть преобразована в терминальную цепочку грамматики G.

La nd weber Р. S., Three theorems on phrase structure grammars of type 1. Inf. and Contr., 6, № 2 (1963), 131—136.

Наконец, нами будет доказано, что каждый язык, представимый с помощью линейно ограниченных автоматов, есть язык типа 1. Из результата Майхилла, показавшего, что все рудиментарные языки представимы линейно ограниченными автоматами, следует, что значительная часть явно определяемых языков суть языки типа 1. Это отчасти объясняет трудности в нахождении языков простой формы, не являющихся языками типа 1.

- Под алфавитом мы понимаем конечное непустое множество. Всякое множество конечных непустых слов в алфавите будем называть языком (пустое слово будет систематически исключаться). Поскольку грамматики типа 1 и линейно ограниченные автоматы определены и изучены в других исследованиях, мы дадим только краткое формальное определение этих понятий.

Грамматика типа 1 с граничным маркером есть пятерка G = = (VN) Vt, S, %, P), где VN и VT — непересекающиеся алфавиты, S и % — специальные символы из VN) а Р — конечное множество правил подстановки ф ~> ф, удовлетворяющих следующим условиям: '

Ф и ф— слова над алфавитом V = V.N U VT; Ф содержит по крайней мере один символ из VN) кроме ^; длина ф не меньше длины ф. - -

ф и ф могут иметь одну из форм W, ^W, или W^, где W — слово, не содержащее %, причем формы слов ф и ф должны совпадать (в этом смысле). -

Алфавиты VNl VT и V=VN U VT представляют собой нетерминальный, терминальный и общий словари G соответственно, S — начальный символ и % — граничный маркер. •

Мы пишем ф1 —► ф2 в случае, когда ф2 можно получить из ф1 применением одного из правил подстановки. Если ф2 получается из ф1 после конечного числа применений правил подстановки, пишем ф1 Фф2- Грамматика G порождает язык

L0 = {x|^S«=^«x^},

где х означает произвольное слово над терминальным алфави- тдм VT.

Грамматика типа 1 без граничного маркера есть четверка G = — (VN) VT> S, P), определенная так же, с той лишь разницей, что символ % не встречается в правилах подстановки, и тогда

Fq {я | S =^ х}.

Линейно ограниченный автомат есть пятерка А = (S, 2, s,F, Ф), Где 5 и 2 — алфавиты, s — специальный элемент, F — специальное подмножество множества S, Ф -^ функция переходов

Ф:2Х5~>2ХК,С, 7?}XS.

Здесь S — множество состояний автомата А; 2 — алфавит A, s — начальное состояние, F — множество конечных состояний. Если

Ф(Я1, Si) = (a2, L, s2) и символ «1 просматривается машиной в состоянии si, то машина записывает а2 на месте ах и приступает к рассмотрению символа слева от аь находясь в состоянии s2. R означает движение вправо, а С означает, что головка не движется. Машина обеспечивается в начале работы словом х над 2, записанным на ленте., длина которой равна длине этого слова, и начинает изучать самый левый символ слова х в начальном состоянии. Машина останавливается, если головка сошла с ленты слева или справа. Слово х допускается автоматом Л, если он останавливается в правом конце ленты в одном из конечных состояний. Язык La, определяемый Л, — это множество слов, допускаемых автоматом Л.

Надо отметить, что некоторые символы алфавита 2 автомата Л могут быть вспомогательными. Если So — множество невспомогательных символов 5, то Ьд^ s0 означает множество слов над So, которые допустимы автоматом Л. Заметим, что Ед, ^ — Ьд П(2о)\ где (So)* — множество всех слов над So. Так как (So)* — язык типа 3, то из теоремы о пересечении следует, что Ед, s0 — язык Типа 1. Итак, нет необходимости рассматривать подалфавит So алфавита S, чтобы получить главный результат: Ед, 20 — всегда язык типа 1.

ГРАММАТИКИ ТИПА 1

Мы докажем здесь, что каждая грамматика типа 1 с маркером эквивалентна грамматике типа 1 без маркера, т. е. класс языков, порождаемый грамматиками типа 1, не расширяется, если разрешить применять граничный маркер. Конечно, бывают случаи, когда применение граничных маркеров удобнее, как в теореме 3.

Теорема 1. Каждая грамматика типа 1 с граничным маркером эквивалентна грамматике типа 1 без граничного маркера.

Доказательство. Пусть G=(Vn, VT, S, %, Р)—грамматика типа 1 с граничным маркером. Мы построим грамматику типа 1 без маркера Gi=(Kjvb VTi, $ь Pi)» такую, что LGl = LG.

Для каждого а, отличного от % в общем словаре V грамма- тики G, введем новые символы '"а, а и а; нетерминальный словарь Vjvi грамматики Gi будет состоять из всех символов ^а; а^ и^а^, так же как и из всех символов А из Vw, кроме ^. Если ф=а1...аг (г ^= 1)—слово над V, не содержащее &, то положим ^<р := ^a1 ... ar; ф^ = a, ... a^ и ^ф^ = ^a,a2 ... a^» таким образом, ^ф, ф^ и ^ф^ определены для всех непустых слов над V, не содержащих %.

Определим несколько групп правил подстановки грамматики Gi. Конечно, мы полагаем /74 = ^ и Si=^S^.

L Если ф~>ф — правило грамматики G, то ф—>ф, ф^—>ф^, ^ф->^ф, и ^ф^-> ^ф^ будем считать правилами грамматики ОР

Если ^ ф -> ^ ф — правило грамматики G, то будем считать ^ф^->^ф^, ^ф->^ф правилами грамматики Gp

Если ф % -> ф ^ — правила G, то ф^ -> ф^; ^ф^ ->^ф^ — правила грамматики Gx.

Для a^VT положим, что а->а; а ->а и а направила грамматики G\.

Легко видеть, что вывод % S % =^ % х ^ в грамматике G существует тогда и только тогда, когда в грамматике Gi существует вывод Si=>x. В самом деле, мы можем заменить вывод в G из ^ S ^ выводом в Gx из Si, и наоборот, если мы отождествим ^ Ф с ^ф; ф % с ф^ и % ф % с ^ф^. Итак доказано, что Lqy — L G**

ТЕОРЕМА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Теорема 2. Пусть GX=(VNX; VTX\ Sr, Pi) и G2= = (^2; Уть S2; Р2)—две грамматики типа 1. Тогда существует G — грамматика, типа 1, порождающая язык LGxV\Lq^

Доказательство. Будем предполагать, что G\ и G2 имеют один и тот же терминальный словарь

Vrl = Vr2 = S = {ai, .а^

и что ai. (i=L 2, ..., р) — новые символы.

Изменим Gi, заменив все встречающиеся терминальные символы at на at. Пусть Gi — полученная грамматика. Общий словарь Vi грамматики Gi есть {аь аг, ..., «р} U Укь и мы можем выписать его как {aia2, ...» an}, где ап — начальный символ Gr, значит, Уя1 = {аР+ь ..., апУ Грамматика G2 не меняется, но мы выпишем ее общий словарь V2 в виде {рь ..., рт}, где рт — начальный символ, и Pi = ai для i = 1,2, ..., р.

Введем еще одно обозначение:

Г = {у;,/1 G=l, 2, ..., п; /=1, 2, ..., т),

где уг, j представляют собой пары (aipj). Грамматика G = = (Vn» Vt, S^ Р) будет определена следующим образом. Мы по-' ложим VN = VX U Г; Ут = '21) S=yn,m- Определим 4 группы правил подстановки.

Если а^ ... az ~>а^... af —правило грамматики Gp то правило грамматики G записывается как

Ч ^-l lq’ m k ir^ixlr»fn

Если р^ ... Р^~*Р/1 - - • Ру —правило грамматики G2, то

(где кх, ..., kr = \, 2р и s^O) —правило грамматики G. Заметим, что для каждого правила грамматики G2 в грамматике G будет рг правил.

Правила

Yz,/«a-*ci<Ym (Л 6 = 1, 2, .... р; /= 1/п),

«zYM~*Yz,/a6 (г, к = 1, 2р; / = 1, 2, .... т)

представляют собой правила грамматики G.

у,-, г -> а{ — правила грамматики G для г=1, 2р.

Правила группы I порождают цепочки а, ... а, грамматики —■1 q

Gi, в которых правый символ заменен на yz т : at ... at у, т.

Правила группы II позволяют применять правила грамматики 0$ к цепочкам (получившимся в результате применения правил группы I), которые соответствуют терминальным цепочкам в Gi. Символами у,, j кодируются цепочки из Gi вместе с цепочками грамматики Gi, которые остаются неизменными. Правила группы III позволяют символам у пройти сквозь символы а, не меняя при этом закодированных цепочек из Gi или Gi. Эти правила позволяют цепочкам перестраиваться для применения правил группы II. Наконец, правила группы IV позволяют цепочке превратиться в цепочку X на 2, если она была порождена правилами группы I (Gi) и групп II и III (Ga).

Легко показать, что 8=^ а, ...а, тогда и только тогда, когда 1 q

S=^yt t ...4t z . Мы должны установить только, что это последнее условие выполнено тогда и только тогда, когда а^ ... at ^LQ^ f| LQ . Очевидно, что для вывода S=>yz у • • • Yy i мы можем получить Gj-вывод S^a^ ... at и О2-вывод S2=>aZ) ... а^. Если a. ...a, ^Lr[\Lr, нетрудно убедиться, что правила групп I, II, III обеспечивают вывод S^Y^ • • • Yy f Таким образом, Eq Eqx Л Eqi*

ЛИНЕЙНО ОГРАНИЧЕННЫЕ АВТОМАТЫ И ГРАММАТИКИ ТИПА 1

Теорема 3. Если А — линейно ограниченный автомат, то существует грамматика G типа 1, такая, что LG=LA.

Доказательство. Пусть Л=(3, S, Sq, F, Ф)—линейно ограниченный автомат. Мы сконструируем грамматику G типа 1

с граничным маркером, такую, что LG = LA; G моделирует обращение операций автомата А. Положим S={ai, а2, ..., яп} и S = = {s0, Si, ..., sm}; So — начальное состояние. Мы вводим новые символы Ь^(/=1, 2, ..., /г; /=0, 1, ..., /и), представляющие собой совокупность at и Sj.

Перейдем к построению грамматики G=(<VN, Ут, Sh ^, Р^. Мы положим VN=^bi3^\j {Sb Ах, ^} и Ут=^, где Si —начальный символ G. Определим 3 группы правил грамматики G.

Si ~* bi3 и Sx-^Abtj суть правила G, если машина движется вправо и попадает в конечное состояние (т. е. в состояние множества F), когда она читает а^ в состоянии s3.

A ->aj и А -> Аа{ суть правила G для / = 1, 2, ..., п.

Эти правила допускают выводы ^St ^ =Ф & а. ... at bt ^ при условии, что машина движется вправо и попадает в состояние из множества F, читая air в состоянии Sj.

Если Ф(яь, 8^ = (а<, L, s^, то br3at-^ arbkl будет правилом грамматики G для г=1, ..., п; если Ф(аА, sz) = (ab R, s^, то а-гЬтз bklaT будет правилом грамматики G для каждого г; и, наконец, если Ф(ак, sz) = (а^, С, Sj), то ai3-+bki будет правилом грамматики G..

Ясно, что эти правила имитируют обращение операций А.

Наконец, мы включим правило ^ b^-> ^ а^. (1 = 1,..., п). Заметим, что Ь^ означает, что символ а^ был прочитан в начальном состоянии s0 автомата.

Читатель без труда сможет убедиться самостоятельно, что G есть грамматика типа 1 с граничным маркером и что LG=LA. Это полностью доказывает теорему.

Следствие. Каждый рудиментарный язык есть язык типа 1.

Доказательство, Майхилл показал, что каждый рудиментарный язык L представим линейно ограниченным автоматом А, т. е. L=La для некоторого линейно ограниченного автомата А. Теперь достаточно применить теорему 3.

ЛИТЕРАТУРА

Bar-Hillel У., Perles М., Shamir Е., On formal properties of simple phrase structure grammars, Z. Phonetik, Sprachwiss, Kommunikationsforsch, 14 (1961), 143—172.-

Chomsky N., On certain formal properties of grammars, Inform, and Control, 2 (1959), 133—167. (Русский перевод: Кибернетический сборник, вып. 5, ИЛ, 1962, 279—311.)

Landweber Р. S., Decision problems of phrase structure grammars, IEEE Trans. Electronic Comput., 13, № 4 (1964), 354—362. (Русский перевод: Кибернетический сборник, вып. 5, изд-во «Мир», 1968, 103—127.)'

Myhill J., Linear bounded automata, Bright Air Development Division, Tech. Note 1960, 60—165, Cincinnati, Ohio.

Классы языкови линейно ограниченные автоматы*)

С. И. Курода

0. Пусть VT и Vn — конечные множества и V=VT U VN. Грамматикой G над терминальным словарем Vt и нетерминальным словарем Vn называется система полу-Туэ), в которой аксиома есть элемент S из VN (называемый начальным символом грамматики G) и для каждой продукции (подстановки) PgQ —> PgQ существуют такие цепочки ф, гр, со в V и такая цепочка % в VN, что £=фдор и £=фсогр. Здесь Р и Q— переменные над цепочками в V. Мы будем обозначать эту подстановку просто g —► g и будем называть ее правилом грамматики G.

Вообще для любых цепочек а, т в V мы будем писать а ~> t, если (а, т) удовлетворяет какой-нибудь подстановке из G, или, другими словами, если в G есть такое правило g-^g, что а=л^р и т = лар для некоторых лир.

Под а ^ т мы будем понимать, что т — теорема в G, выведенная из посылки о в смысле теории комбинаторных систем, т. е. о=т, или существует конечное число таких цепочек ai, а2, ..., оп, что о —► 01, Oi 02, ..., On-i (Tn, On т. Цепочка х в VT называется выводимой в грамматике G, если х— теорема в G, т. е. если S ^ х. Множество выводов грамматики G называется языком, порожденным грамматикой G, и обозначается L^G). Это подмножество свободной полугруппы Vt\ порожденной терминальным словарем VT. Обратно, подмножество свободной полугруппы 7Ь порожденной конечным множеством Vi, является языком, если существуют конечное множество V2 и грамматика G с терминальным словарем (терминалом) Vi и нетерминальным словарем (нетерминалом) V2, порождающая L. Тогда G будет грамматикой языка L.

По Хомскому [1], грамматика G называется контекстной (context-sensitive), если каждое ее правило имеет вид

ХМ%2->Х1®Х2.

9 Kuroda S.-У., Classes of languages and linear-bounded automata, Inform. Control, 7 (1964), 207—223...

где А— нетерминал и со^/). Контекстная грамматика называется контекстно-свободной (КС), если в каждом правиле xi=X2=A Контекстно-свободная грамматика называется односторонне линейной, если в каждом правиле ю=аВ или в каждом правиле со = = Ва, где а — терминал и В — нетерминал или В=1. Язык будем называть контекстным, контекстно-свободным (КС-языком) или односторонне линейным, если его грамматика контекстная, контекстно-свободная или односторонне линейная соответственно. Под множеством цепочек мы понимаем подмножество свободной полугруппы, порожденной некоторым конечным множеством.

Известны следующие теоремы: ,

Теорема 0.1. Множество цепочек является односторонне линейным языком тогда и только тогда, когда оно есть регулярное событие, или, что то же, допускается конечным автоматом [1].

Теорема 0.2. Множество цепочек является КС-языком тогда и только тогда, когда оно допускается недетерминированным PDS-автоматом {2, 6].

Теорема 0.3. Множество цепочек является языком в общем смысле (типа 0) тогда и только тогда, когда оно допускается машиной Тьюринга [3]. . -

Теорема 0.4. Множество цепочек, допускаемых линейно ограниченным автоматом, является контекстным языком [4]).

Линейно ограничейный автомат, как он определялся Майхиллом [5] и впоследствии Ландвебером [4], — это детерминированный автомат, задаваемый пятеркой (2, V, *s0, Ф, ц), где S — конечное множество состояний, V — конечный словарь, s0 е 2 — начальное состояние, Ф с 2 — множество заключительных состояний, ц — функция поведения, определенная на V' X S, принимающая значения в V' X S X {—1, 0,1}, V' = V U {^} и удовлетворяющая условию а=^, если ц(^, s^ = (a, s', й) (символ % не принадлежит словарю V и называется граничным маркером)).

Автомат функционирует следующим образом. В качестве входа автомат имеет ленту, содержащую в квадратных ячейках цепочку %х %, где х — цепочка в К, а % —граничный маркер. Перед работой автомат находится в начальном состоянии $0 и читает в этом состоянии левый граничный маркер. Вообще, если читается буква а в состоянии s и ц(а, s) = (a', s', k), то автомат

печатает а' на изучаемом квадрате ленты, передвигается на к клеток вправо (к = —1, 0, 1) и переходит в состояние s' *)•

Если, продолжая вычисления таким образом, автомат достигнет правого, конца данной ему ленты, находясь в это время в одном из заключительных состояний, то цепочка х называется допускаемой автоматом. В противном случае она называется отвергаемой. Множество всех допускаемых цепочек называется языком, допускаемым автоматом.

Далее, если функция поведения будет многозначной, то мы получим недетерминированный автомат. Отныне под термином линейно ограниченный автомат мы будем понимать именно такой недетерминированный автомат. Иногда, чтобы избежать недоразумений, мы все-таки будем говорить «недетерминированный линейно ограниченный автомат», а не просто «линейно ограниченный автомат». Линейно ограниченные автоматы в смысле Майхилла — это детерминированные линейно ограниченные автоматы, а цепочка, допускаемая недетерминированным автоматом М, — это цепочка, для которой вычисления автомата М, получившего ее на вход, кончаются на правом конце ленты и в заключительном состоянии. Отвергаемой тогда называется цепочка, для которой вычисления автомата, получившего ее на вход, или вовсе не кончаются, или кончаются в левом конце, или же кончаются в правом конце, но не в заключительном состоянии.

В силу недетерминированности автомата М одна и та же цепочка может и допускаться, и отвергаться автоматом М. Множество всех цепочек, допускаемых автоматом М, называется языком, допускаемым автоматом М. Множество всех цепочек, отвергаемых автоматом М, называется языком, отвергаемым автоматом М.

Легко видеть, что доказательство теоремы 0.4, данное Ланве- бером, не зависит от детерминированности автомата, и теорема 0.4 остается справедливой, если под линейно ограниченным автоматом мы будем понимать недетерминированный линейно ограниченный автомат.

9 Это определение линейно ограниченного автомата по существу совпадает с определением Майхилла [5], но выглядит несколько отличным, поскольку в нашем определении выяснена роль граничного маркера. Легко видеть, что левый граничный маркер необязателен^ В самом деле, мы должны только дублировать словарь, т. е. иметь для каждой буквы ее помеченную копию. Предполагается, что при первом чтении самого левого символа автомат заменяет его помеченной копией, и далее помеченные буквы заменяются только помеченными. Так как в левом конце всегда стоит помеченный символ, то автомат всегда может опознать левый конец ленты. С другой стороны, правый маркер необходим, цо им можно пользоваться один раз. В самом деле, в начале вычисления надо заметить правую букву, т. е. букву, предшествующую правому маркеру, чтобы заменить ее на копию. Теперь автомат может опознавать правый конец ленты тем же способом, что и левый конец. Следовательно, можно довольно удобно договориться раз и навсегда, что линейно ограниченный автомат может опознавать оба конца ленты и функция поведения определена не на V' X 2, как ранее, а на V X 2.

В разд. 1 будет доказана теорема, обратная к теореме 0.4, в этой интерпретации. Тем самым будет показано, что множество цепочек тогда и только тогда является контекстным языком, когда оно допускается недетерминированным линейно ограниченным автоматом (теорема 1). Это дополнит предыдущие результаты (теоремы 0.1—0.3) относительно параллелизма между иерархией типов грамматик и иерархией типов автоматов и в некотором смысле дополнит теоретико-автоматную характеристику типов грамматик, предложенную Хомским [1].

Будет также показано, что язык, отвергаемый линейно ограниченным автоматом, является контекстным языком. В самом деле, можно построить другой линейно ограниченный автомат, допускающий этот язык (теорема 2). Пусть, в частности, он отвергается детерминированным автоматом. Линейно ограниченный автомат, который допускает его, может также быть детерминированным, и, следовательно, этим автоматом не допускается ничего, кроме дополнения языка. Отсюда следует, что класс языков, допускаемых детерминированным линейно ограниченным автоматом, образует булеву алгебру.

Наконец, будет показано, что контекстно-свободные языки допускаются детерминированными линейно ограниченными автоматами (теорема 3). .

Как замечено Хомским [1], если язык L имеет такую грамматику, что для каждого ее правила ф->гр длина цепочки ф не меньше длины цепочки ф, то существует G — контекстная грамматика, порождающая L. Поэтому мы будем называть грамматики такого вида контекстными. Заметим, что на контекстную грамматику G, без умаления ее порождающей способности, можно наложить следующее требование: не содержать правил, включающих терминальные символы, кроме правил вида А ->а, где А — нетерминальный, а а — терминальный символ.

Определение 1. Контекстная грамматика имеет порядок п. если в ее правилах нет ни одной цепочки длины, превосходящей п.

Мы будем говорить, что две грамматики G и G' эквивалентны^ если они порождают один и тот же язык L(G)=L(G').

Лемма 1. Для всякой контекстной грамматики G порядка п^З существует контекстная грамматика G' порядка п—1, эк* бивалентная G. . *

Доказательство. Как отмечалось выше, можно считать, что G не содержит правил, включающих терминальные символы, кроме правил вида А -> а. Пусть ф ~> ф будет правилом грамматики G. Если длина цепочки ф меньше 3, отнесем это правило к некоторой грамматике G'. В противном случае запишем ф = Дф',

^ = BCD^', где Л, В, С, D— нетерминалы. Если д/= 7 (пусто), введем два новых символа Ль Л2, и пусть-

Л —> Л1Л2,

AV->BC, A2->D^ будут правилами грамматики G'. Если ф'=/= / (непусто), напишем ф'=Еф", где Е — нетерминал, и-введем два новых символа Л', Е', и пусть

АЕ->А'Е',

А'-^В,

E'^'^CD^•

будут правилами грамматики G'. Полученная таким образом грамматика G' имеет порядок п— 1 и эквивалентна грамматике G. Многократно применяя лемму 1, получаем следующий результат:

Лемма 2. Для всякой контекстной грамматики G существует контекстная грамматика G' второго порядка, эквивалентная G.

Заметим, что если для каждого правила АВ —> CD контекстной грамматики второго порядка ввести новый символ А' и замёнить это правило тремя правилами АВ —>А'В, A'B-*A'D и A'D —► CD, то придем к новой грамматике, эквивалентной старой и контекстной в смысле, указанном в начале статьи. Итак, мы доказали замечание, сделанное в начале этого раздела.

Определение 2. Контекстная грамматика называется сохраняющей длину, если для всякого правила ф—>ф или (1) ф— начальный символ, или (2) ф не содержит начального символа и цепочки ф и ф имеют одинаковую длину.

В частности, правила сохраняющей длину грамматики второго порядка бывают одного из следующих видов:

А->С, AB->CD, S->EF, где символы С и D не являются начальными.

Определение 3. Контекстная грамматика называется линейно ограниченной, если она второго порядка, сохраняет длину и S ~> EF влечет E=S, где S — начальный символ.

Лемма 3. Для всякой контекстной грамматики G второго порядка существует линейно ограниченная грамматика G', эквивалентная G.

Доказательство. Пусть Vr, VN и S— соответственно терминальный словарь, нетерминальный словарь и начальный

символ грамматики G. Положим Vw = {S',Q) U Ум, где Q и S' — новые символы. Правила грамматики G' с терминальным словарем Ут, нетерминальным словарем Vw и начальным символом S' определим следующим образом:

S'->S\,

• S'->S, '

QA->AQ 1

Aq^qA j для всякого ЛеУги^у,

В,

если А-

-> В есть правило грамматики

G,

АВ-*

CD,

если АВ —

->CD есть правило грамматики

G,

AQ-*

ВС,

если А -

-> ВС есть правило грамматики

G.

Очевидно, что определенная так грамматика G' линейно ограничена. Мы сейчас увидим, что она эквивалентна грамматике G. Зададим отображение f из (VrU^W* на (VrUVw)*> положив

f(8')=s,

f(Q) = />

f(AY=A для АеУгиУ„,f (ХУ) = f(x)f ({/) Для любых цепочек х и у.

Тогда если х-*у в О', то f(x)s$f(y) в G. Следовательно, в частности, если у — цепочка в Ут и S' =^у в G', то S=^y в О. Таким образом, L^G'^c. L^GY Обратно, если х^у в G, то х-*у в G' или xQ=^y в G', и тогда х=^у в G влечет xQn^y в G* для некоторого и^О. В частности, если у — цепочка в Ут и S*^y в G, то SQn=^y в G' для некоторого п, и в силу первых двух правил грамматики G' тогда S'^y в G'. Это значит, что L^clL^G'Y

Лемма 4. Для всякой линейно ограниченной грамматики G существует линейно ограниченный автомат, допускающий язык L^GV порождаемый грамматикой G.

Доказательство. Пусть Ут, Ун и S — соответственно терминальный словарь, нетерминальный словарь и начальный символ грамматики G. Построим линейно ограниченный автомат М с алфавитом У и множеством состояний 2. Положим У=УтиУн, и пусть 5 имеет состояния /о, Л, s0, Si, г0, и и sA для каждого А, для которого в G существует правило вида АВ -* CD. Состояние /о будет начальным состоянием и единственным заключительным состоянием. Инструкции автомата М таковы:

($МоН($Мь 1)..

(a, t^-y^a, ^, 1) для всех аеУт,

(^, ^)-*(^» s0,1),

(Л,80)-*(Л,80, 1),}(Л, So)-*(Л, So,-1) J(В, $0)->(Л, s0, О) (С, 80)-* (Л, 8Л, 1), 1 (П,8Л)-*(В, 80, О) J (S, s0)-*(S,r0,-1), («,Г0)-^(«, гь 1), (S, rt)->(&, sb 1), 1 (Л, s1)-*(S,so,O) / («.Sj)-*^,^ 1), (X, х)-*(Х, х, О)(Л,80)-*(Л,80, 1),}(Л, So)-*(Л, So,-1) J(В, $0)->(Л, s0, О) (С, 80)-* (Л, 8Л, 1), 1 (П,8Л)-*(В, 80, О) J (S, s0)-*(S,r0,-1), («,Г0)-^(«, гь 1), (S, rt)->(&, sb 1), 1 (Л, s1)-*(S,so,O) / («.Sj)-*^,^ 1), (X, х)-*(Х, х, О)для всех AeV,для всех правилдля всех правилдля всех правилдля каждой парыдля всех AeV,для всех правилдля всех правилдля всех правилдля каждой парыА->В грамматики G, AB->CD грамматики G,S—>5Д грамматики G, (X, х).А->В грамматики G, AB->CD грамматики G,S—>5Д грамматики G, (X, х).

(Л,80)-*(Л,80, 1),}

(Л, So)-*(Л, So,-1) J

(В, $0)->(Л, s0, О) (С, 80)-* (Л, 8Л, 1), 1 (П,8Л)-*(В, 80, О) J (S, s0)-*(S,r0,-1), («,Г0)-^(«, гь 1), (S, rt)->(&, sb 1), 1 (Л, s1)-*(S,so,O) / («.Sj)-*^,^ 1), (X, х)-*(Х, х, О)

(Л,80)-*(Л,80, 1),}

(Л, So)-*(Л, So,-1) J

(В, $0)->(Л, s0, О) (С, 80)-* (Л, 8Л, 1), 1 (П,8Л)-*(В, 80, О) J (S, s0)-*(S,r0,-1), («,Г0)-^(«, гь 1), (S, rt)->(&, sb 1), 1 (Л, s1)-*(S,so,O) / («.Sj)-*^,^ 1), (X, х)-*(Х, х, О)

для всех AeV,

для всех правил

для всех правил

для всех правил

для каждой пары

для всех AeV,

для всех правил

для всех правил

для всех правил

для каждой пары

А->В грамматики G, AB->CD грамматики G,

S—>5Д грамматики G, (X, х).

А->В грамматики G, AB->CD грамматики G,

S—>5Д грамматики G, (X, х).

Легко убедиться в том, что определенный так автомат М допускает L(G). В самом деле, заметим, что состояния £0 и G вводятся для того, чтобы проверить, заключена ли между двумя знаками >£ цепочка из терминальных символов на входе. Если да, то М переходит в состояние s. Если нет, то вход отвергается. Далее, пусть М читает в состоянии s0 одну из клеток ленты х и после конечного числа применений инструкций читает ленту у в состоянии s0. Тогда лента х получается из у правилами грамматики G.

Следовательно, если М, получив цепочку из терминалов, дает ленту ^ % ... ^ S ^ и читает S в состоянии s0, то эта цепочка принадлежит L^Gy Без ограничения общности можно предположить, что в G есть правило S -* SX, и тогда мы имеем инструкцию (S, п)—►(%, si, 1), по которой М после вышеуказанной конфигурации выдает ленту % % ... ^, читая % в состоянии $ь а затем, читая правый конец в состоянии t^ допускает эту ленту. Заметим, что это единственная ситуация, в которой М сходит с правого конца ленты в заключительном состоянии. Таким образом, М не допускает цепочек, не принадлежащих L(G). Обратно, если х— цепочка из L(G), то М может скопировать ее S-вывод в обратном порядке. Итак, L(G) есть в точности язык, допускаемый автоматом М.

Из этих лемм немедленно следует, что для всякого контекстного языка существует линейно ограниченный автомат, порождающий его. Вместе с теоремой 0.4 этот результат показывает, что справедлива

Теорема 1. Множество цепочек является контекстным языком тогда и только тогда, когда оно допускается линейно ограниченным автоматом. ‘

Ландвебер [4] доказал, что пересечение двух контекстных языков также будет контекстным языком. Приведем другое доказательство этого утверждения.

Следствие. Пересечение L двух контекстных языков Ц и L2 является контекстным языком.

Доказательство. Пусть Afi и М2— линейно ограниченные автоматы, порождающие языки Li и L2 соответственно. Ясно, что можно построить линейно ограниченный автомат, который действует следующим образом: получив х на вход, М запоминает х, скажем, на нижней половине ленты и делает вычисления на верхней половине, копируя А11в Если Mi допускает х, то М возвращается на левый конец и начинает вычисление на нижней половине, копируя М2. Если М2 также допускает х, то М допускает х. Во всех других случаях М не может окончить вычисления успешно. Таким образом, язык, допускаемый автоматом М, совпадает с пересечением L языков Li и L2. Это доказывает, что L — контекстный язык.

Пусть М — линейно ограниченный автомат и S' — подмножество множества S его состояний. Обозначим через L(M; D, S'), где D есть либо L, либо R, множество таких цепочек х, что при подаче х на вход автомат М делает вычисления и останавливается в левом конце, если D = L, и в правом конце, если D = R в одном из состояний из S'. Далее, пусть L(M, со) обозначает множество таких цепочек х, что при подаче х на вход автомат М может никогда не остановиться. Вообще говоря, эти множества пересекаются. Но если М — детерминированный автомат, то множества попарно не пересекаются (кромё, быть может, случая, когда они задаются одним и тем же D, a Si и S2 имеют общие элементы).

Теорема 2. Пусть М— линейно ограниченный автомат и L = = L(M, D, S') или L = L^MJ^. Тогда существует линейно ограниченный автомат М', допускающий L. Если, в частности, М — детерминированный автомат, то он и есть М'.

Доказательство. L(M, R, S') —это не что иное, как язык, допускаемый линейно ограниченным автоматом, отличающимся от М только множеством S' заключительных состояний. Очевидно также, что тривиальная модификация автомата М приводит к линейно ограниченному автомату, допускающему L^M, L, S'). Осталось рассмотреть случай L = L^M, со).

Так как длина входной ленты остается фиксированной на протяжении всей работы автомата М, то число конфигураций механизма, возможных при вычислении, ограничено константой пЧпг, где п, m и I — число букв в алфавите автомата, число его состояний и длина входа соответственно. Таким образом, если вычисление не кончается после nlml шагов, то существует конфигурация машины, повторяющаяся в ходе вычисления, и, следовательно, при

данном входе вычисление, обладая циклом конфигураций, никогда не закончится.

Пусть М' — такая машина, состоящая из М и из счетчика, что она копирует М и в то же время считает число шагов вычисления. Далее, она допускает вход длины / тогда и только тогда, когда значение счетчика превосходит пЧт. Тогда язык, допускаемый автоматом М\ есть как раз L^M, со). Так как счетчик может считать только до пЧт, он может быть лишь линейно ограниченным, а потому и автомат М' линейно ограничен.

Этой теоремой мы обязаны Л. Хейнсу. Мы сначала доказывали сформулированное ниже следствие, построив контекстную грамматику для L^M^ со) непосредственно из инструкций автомата М обобщением метода, использованного Ландвебером при доказательстве теоремы 0.4. В силу теоремы 1 это следствие эквивалентно первой половине теоремы 2. Оно слабее теоремы 2, ибо не дает информации относительно детерминированности автомата М'.

Следствие 1. L^M, D, S') и L^M, со) —контекстные языки.

Доказательство. Приведем наше доказательство следствия, построив контекстные грамматики для L^M, D, S') и L(M, со). Множество L^M, R, S') есть не что иное, как язык, допускаемый линейно ограниченным автоматом, отличающимся от М только тем, что S' — это множество заключительных состояний, и, следовательно, по теореме 0.4 L^M, R, S')—контекстный язык. Очевидно, что то же справедливо и для- L(M, L, S'). Осталось только построить контекстно-свободную грамматику для L(M, со).

Как отмечалось в доказательстве теоремы 2, если вычисления продолжаются бесконечно, то некоторые из конфигураций повторяются. Таким образом, мы имеем такую последовательность конфигураций Со, Сь ..., Ch, ..., Cg) что автомат М, начиная вычисления над входом х с конфигурации Со, последовательно проходит все Сг, причем при h ^ i < g все конфигурации С^ различны, a Ch = Cg. Обратно, если существует последовательность конфигураций указанного вида, то лента, найденная по начальной конфигурации Со, принадлежит L(M, со). Итак, подобно тому, как Ландвебер [4] в доказательстве теоремы 0.4 продвигался по последовательности конфигураций, допускаемой автоматом М, отправляясь от заключительной конфигурации, мы будем двигаться по последовательности конфигураций указанного вида назад от узла цикла и будем записывать наш путь в терминах выводов грамматики.

Для формального представления конфигураций в процессе вычисления мы будем пользоваться обозначениями Ландвебера [4]. Пусть S = {Si, s2, ..., Sm} и V = {ai, а2, ..., an} — множество состояний и алфавит автомата М соответственно. Введем новые символы bip(\ ^ i ^ п; 1 ^ р ^ т) и представим цепочкой а^а^ ♦..

• • •aik_xblkPalk^i.. .а1( конфигурацию автомата М с лентой (Ца^... ••• aik-\aikaik-v\ е,е аЧ> в состоянии sp считывающего а^.

Этот аппарат пока еще не может удовлетворить нас, ибо мы должны быть уверены, что при вычислении сделали петлю (цикл), так что мы должны уметь тем или иным способом запомнить конфигурацию С§, пока не достигнем С к. Для этого введем символы

az/(l<Z, /^п) и btlP4(l <р, q^m; 1<Z, /О), означающие соответственно буквы oz в Cg и оу в CfeVi<.k<.g') и буквы btp в Cg и bjq в Ск. Кроме того, при выводе из Cg через Ch следует заполнить ту клетку ленты, которая читается в Cg. Поэтому введем еще символы а'ц, Ь'црч, означающие результат последовательной замены каждого символа символом, читаемым в Cg. Наконец, два вхождения одной и той же конфигурации Ch = С8 требуют ввести символы Ьцрр(1 ^Z^n; l^p^m) для обозначения читаемого символа oz и состояния sp в Cg.

Сейчас мы уже можем определить грамматику О, порождающую L^M, со). Множествами Кг и У^ терминалов и нетерминалов грамматики G будут множества

Кг =V, .К^ = {S, А, йц, Ctij> bip', Ьирр\ bijPq",. bi(PqV

Правила грамматики G будут такими:

(0) S-*b"UppA\ Ab'(lpp; АЬЪррА; b'[lpp2 А-^ацА, аи.

Если (aft, s9)->(az, sp, —1) — инструкция автомата М, то Ь]рС1} > djbkq, ^l,lrpai2i “iii^hkrq''

^idrpai2i ai,l^i2krq>

^itirpai2l ~* aid^l2krq>

Ьц1хрраИ aixifiikpq для 1 ^ Zb Z2, j^n; 1 ^ Г ^ /П.

Если ^ak, Sq)-4.(ab sp, 1) т-инструкция автомата M, то aibjp—* bfcqQj,_

aivibl2irp ^i1krqai2i« аЬ^121гр~^ ^itkrqai2p

' ai,i^i2lrp~^^itkrqa'i2I’ ail^"xlvpp ^lxhpqaixlx для l^Zb Z2, j^n; l^r^/n.

. (3) Если (ак, sq)->^al} sp, 0) — инструкция автомата М, то blp bkq)'

bi^rp bi^rq, Ьц1гр ”^ bi^rq^ Ьцрр —* bljipq

для 1 ^ ix ^ n; 1 ^ r ^ m..~

bnpp—>bip, ^ilb jp ”^ CL{,b jpi bipau->bipab*

хааа^а1аь-

а^ц -> a^i-"

для 1 ^ f ^ n; 1 ^ p m.

bi -> at

для l<z<n, при условии, что Si — начальное состояние автомата М.

Поясним, как эта грамматика порождает L(M, со). Будем понимать под «одно (двух) индексным я-символом» символ а, снабженный одним (двумя) индексом (ами), и под «одно (двух) индексным 6-символом» — символ 6, снабженный двумя (четырьмя) индексами. Цепочку будем называть одно (двух) индексной, если она содержит только одно (двух) индексные символы и единственный 6-символ (и единственный символ со штрихом).

Для одноиндексной цепочки х будем обозначать через Т(х) цепочку одноиндексных а-символов, полученную из х заменой ее единственного 6-символа на tz-символ с индёксом, совпадающим с первым индексом 6-символа. Для двухиндексной цепочки х будем обозначать через Тх^^Т^х^ цепочку из одноиндексных a-символов, у которой индекс i-ro члена совпадает с первым (вторым) индексом i-ro члена цепочки х. Для одно (двух) индексной цепочки х, у которой ^-й член есть 6-символ, обозначим через C(x)(Ci(x), С2(х)) конфигурацию автомата М, состоящую из ленты Г(х)(Т1(х), Т2(х)), причем &-й символ читается автоматом М в состоянии sq, где q— второй (третий, четвертый) индекс 6-символа цепочки х.

Далее, правилами (0) порождается двухиндексная цепочка х, первый и второй (третий и четвертый) индексы которой одинаковы для каждого символа и 6-символ которой отмечен двумя штрихами:

К такой цепочке х тогда и только тогда применимо одно из заключительных правил из (1), (2) и (3), когда существует конфигурация автомата М, из которой конфигурации Ci(x) = С2(х) получены единственным применением инструкции. Тогда это правило порождает такую двухиндексную цепочку у, что один из ее символов отмечен одним штрихом и Ti(y)—Ti(x). Вообще к двухин- дексной цепочке у тогда и только тогда применимо одно из правил из (1), (2) и (3), когда существует конфигурация автомата М, из которой непосредственно выводима конфигурация С2(у). Тогда это правило порождает другую двухиндексную цепочку у', для которой Тх<у> = т^у').

Правила в (4) последовательно применимы к двухиндексной цепочке у и порождают одноиндексную цепочку х тогда и только тогда, когда у— диагональная цепочка (т. е. для каждого ее члена первые и вторые индексы совпадают, а для ^-символа совпадают также третий и четвертый индексы) и Ь-символ цепочки у отмечен одним штрихом, или, другими словами, тогда и только тогда, когда Ci(y) =C2(y). К одноиндексной цепочке х тогда и только тогда применимо одно из правил из (1), (2) и (3), когда существует конфигурация автомата М, из которой непосредственно выводима конфигурация C(z). Тогда это правило дает другую одноиндексную цепочку. '

Наконец, к одноиндексной цепочке х тогда и только тогда применимо правило (5), когда Ь-символ цепочки гстоит в ее левом конце, а его второй индекс равен 1, или, другими словами, тогда и только тогда, когда G(z)—начальная конфигурация автомата М. Тогда это правило порождает терминальную цепочку со.

Таким образом, цепочка х тогда и только тогда выводима из S в грамматике G, когда х принадлежит L(Af, со).

Язык, отвергаемый автоматом М, совпадает с объединением языков L(M, со), L(M, L, S), L(M, R, S'), где S' — дополнение к 5. Вообще говоря, он пересекается с языком, допустимым автоматом М. Но если М — детерминированный автомат, то этот язык дополняет L(M) до свободной полугруппы V* в алфавите V автомата М. Это следует из теоремы 2.

Следствие 2. Язык, отвергаемый линейно ограниченным автоматом, является контекстным языком. .

Пусть L — подмножество множества V?, где Vi — конечное множество. Если существует линейно ограниченный автомат М, допускающий L, то алфавит V автомата М может не совпасть с 16; он скорее больше Vb Поскольку нас интересует, принадлежит ли языку L цепочка из 16, мы можем договориться для удобства, что в качестве входов на М подаются только цепочки из 16. Если №— другой линейно ограниченный автомат с тем же, что и у М, алфавитом, допускающий больше цепочек из V, чем М, но те же

цепочки из Vb что и М, то автоматы М и М' имеют одинаковое поведение.

Следовательно, вводя понятие «входного алфавита», можно модифицировать понятие допустимости. В самом деле, пусть L — подмножество множества V?. Язык L допускается автоматом М, если цепочка в Vi допускается автоматом М тогда и только тогда, когда она принадлежит L. В случае необходимости этот вид допустимости можно описать как «относящийся к входному алфавиту 1Л», или «по отношению к Vi».

Можно также определить в относительном смысле понятие «отвергается». Во всяком случае, если множество цепочек допускается или отвергается каким-то линейно ограниченным автоматом в относительном смысле, то существует другой автомат, допускающий или отвергающий это множество в абсолютном смысле, и если первый был детерминированным, то второй также может быть детерминированным.

В частности, пусть L — множество цепочек в конечном множестве 1Л, и пусть оно допускается детерминированным линейно ограниченным автоматом М. Тогда дополнение U множества L в обычном смысле, т. е. дополнение к У?, отвергается автоматом М относительно Уь Таким образом, мы получили

Следствие 3. Дополнение языка, допускаемого детерминированным линейно ограниченным автоматом, допускается детерминированным линейно ограниченным автоматом и поэтому является контекстным языком.

Так как можно построить детерминированный линейно ограниченный автомат, допускающий пересечение языков, допускаемых линейно ограниченным автоматом (см. доказательство следствия из теоремы 1), то справедливо

Следствие 4. Класс 2( языков, допускаемых детерминированными линейно ограниченными автоматами, образует булеву алгебру.

Следуя Майхиллу [5], назовем множество L сильно представимым детерминированным линейно ограниченным автоматом М, если (в нашей терминологии) М допускает L и L(M, L, S) = = L(M, (d)=0. Из доказательства теоремы 2 видно, что если множество L вообще допускается каким-нибудь детерминированным линейно ограниченным автоматом, то существует другой автомат, сильно представляющий L. Итак, класс 8{ есть на самом деле класс сильно представимых, языков. По основной теореме Майхилла [5] этот класс содержит класс рудиментарных отношений.

Известно, что класс регулярных событий замкнут относительно дополнения, но ни класс рекурсивно перечислимых множеств, ни класс контекстно-свободных языков относительно дополнения не

замкнут. Неизвестно, однако, замкнут ли относительно дополнения класс 21 контекстных языков. Далее, недетерминированные конечные автоматы и недетерминированные машины Тьюринга не обладают существенно большей порождающей способностью, чем детерминированные конечные автоматы и машины Тьюринга соответственно, хотя недетерминированные PDS-автоматы обладают большей порождающей способностью, чем детерминированные PDS-автоматы: Однако мы не знаем, обладают ли недетерминированные линейно ограниченные автоматы существенно большей порождающей способностью, чем детерминированные линейно ограниченные автоматы. Следствие 4 дает связь между этими двумя открытыми вопросами. Если недетерминированные линейно ограниченные автоматы не обладают существенно большей порождающей способностью, чем детерминированные линейно ограниченные автоматы, то класс 21 контекстных языков замкнут относительно дополнения и, следовательно, образует булеву алгебру. '

3. В этом разделе мы рассмотрим отношение между контекстно-свободными языками и линейно ограниченными автоматами.

Теорема 3,. Контекстно-свободный язык допускается детерминированным линейно ограниченным автоматом.

Доказательство. Пусть L— контекстно-свободный язык. Известно, что существует нормальная грамматика G, порождающая L (грамматика называется нормальной, если все ее правила имеют вид А ВС или А —► а, где А, В, С — нетерминалы, а — терминал). Достаточно построить детерминированный линейно ограниченный автомат М, допускающий L относительно терминального словаря VT грамматики G. Мы построим этот автомат так, чтобы он проверял с помощью analysis by synthesis, принадлежит ли цепочка из У.т языку L.

Заметим, что так как грамматика G нормальна, то S-вывод в G цепочки х языка L, длина которой п, содержит 2п— 1 последовательных прямых шагов и существует один S-вывод D^n), в котором каждый внутренний символ вывода получен из предыдущих символов путем замены первого нетерминала, скажем, слева. Пусть D(n) = [фь ф2, ..., Ф2п], ф1 = S, ф2п = *, ф, ^ ф,+1 (1 < i < <2п), и пусть Rt будет правилом грамматики G, выводящим Фм-1 из фг. Тогда D(n) полностью характеризуется рядом правил Rb R2, ..., R2n-\ и, следовательно, элементом из Г2п-1, т. е. элементом из (2п—1)-й декартовой степени множества Г правил грамматики G. •

Введя определенный порядок в Г, можно рассматривать Г2п-1 как множество чисел от 0 до №пМ—1, закодированных в М-ар- ной системе, где N — число правил грамматики G, причем i-я значащая цифра соответствует правилу, примененному на ьм шаге возможного вывода, соответствующего всему ^-apнoмy числу.

Для того чтобы расширить алфавит, предположим, что каждая клетка ленты имеет четыре части, или, другими словами, что, соединяя две части клетки на одной ленте, мы снабжаем М тремя (верхней, средней и нижней) лентами, причем нижняя лента в два раза длиннее двух остальных. Перед началом вычислений вход подается на верхнюю ленту. Он остается там без изменений до конца вычислений. На нижней ленте будут запоминаться М-арные числа. Вообще каждый шаг вычислений соответствует определенному разряду W-арного числа, запомненного на нижней ленте. Назовем этот разряд разрядом шага. Пусть перед началом вычислений 0 будет запомнен на нижней ленте и начальный символ S будет написан на левом конце средней ленты. Каждый шаг вычислений происходит следующим образом.

Пусть т — текущее ^-apнoe число, запомненное на нижней ленте, когда М приступает к этому шагу вычислений, и пусть разряд шага будет f-м разрядом числа т. Разряд начального шага определяется как самый левый разряд, т. е. i = 1. (Следовательно, он равен 0, ибо т = 0.) Вообще т и i определяются в соответствии с тем, что происходит на предыдущем шаге.

и правило R, относящееся к порядку шага, применяется к самому левому нетерминалу Л, который автомат М находит на средней ленте, то М заменит содержимое средней ленты цепочкой, получаемой в результате применения правила R к содер-жимому средней ленты:'

приступит к следующему шагу, заменив I на i+K если i ^= 2п — 1;

проверит, совпадает ли цепочка на средней ленте с цепочкой, запомненной на верхней ленте, если f = 2п — 1;

(1.2.1) остановится, допуская вход, если цепочки равны;

(I. 2.2) не остановится в противном случае и

если т = №и~х — 1, то прибавит 1 к т, заменит содержимое средней ленты единственной буквой S в левом конце и будет приступать к следующему шагу c.zn + 1 вместо т и 1 вместо i до тех пор, пока не станет

(I. 2.2.2) т = №п*х — 1; тогда М отвергнет вход.

Если правило R не применимо к самому левому нетерминалу Л, то выполняется (1.2.2).

Если М не найдет нетерминалов на средней ленте, он сравнит, совпадает ли содержимое средней ленты с цепочкой, запомненной на верхней ленте;

(III. 1) допустит вход, если совпадает, и

(III. 2) выполнит (1.2.2) в противном случае.

Таково неформальное описание детерминированного линейно ограниченного автомата, допускающего L. Формальную реализацию мы не приводим. Из теоремы 3 и следствия 3 теоремы 2 получаем

Следствие !. Булева алгебра 22, порожденная классом 22 контекстно-свободных языков, содержится в классе 2! языков, допускаемых детерминированными линейно ограниченными автоматами.

Наконец, из теоремы 3 и 0.2 вытекает

Следствие 2. Недетерминированные PDS-автоматы могут моделироваться детерминированными линейно ограниченными автоматами. ,

ЛИТЕРАТУРА

Chomsky N., On certain formal properties of grammars, Inform. Control, 2 (1959), 137—167. (Русский перевод: Кибернетический сборник, вып. 5, ИЛ, М., 1962.)

Chomsky N., Context-free grammars and pushdown storage, Quart. Progr. Rept № 65, Research Laboratory of Electronics, M. I. T., 1962, pp. 187—194.

D a v i s M. D., Computability and unsolvability, New York, 1958.

Landweber P. S., Three theorems on phrase structure grammars of type 1, Inform. Control, 6 (1963), 131—137. (Русский перевод см. в настоящем сборнике.)

Myhill J., Linear bounded automata, WADD Tech. Note № 60—165, Wright- Patterson Air Force Base, Ohio, 1960.

Schutzenberger M. P., Context-free languages and pushdown automata, Inform. Control, 6 (1963), 246—264.

Достижения и проблемы в развитиипроцедур механического доказательства')

Д. Правиц

Стокгольмский университет

В начале работы я даю упрощенное описание метода, представленного в моей более ранней работе «Улучшенная процедура доказательства». Этот метод в дальнейшем был развит с целью уменьшения работы по нахождению подстановки, которая делает данную формулу противоречивой. В заключение обсуждается возможность развития метода в других направлениях.

Под процедурой доказательства (или доказывающим методом) я понимаю в данном случае некоторый алгоритм з^ со следующим свойством: для любой истинной формулы F в исчислении предикатов ^(F) (т. е. результат применения к F) — есть доказательство F. Аналогично можно рассматривать алгоритм з^ с таким свойством: если формула F невыполнима, то зЦР') является опровержением F. Следуя традиции, я буду использовать последнюю формулировку. (Конечно, несущественно, какую из формулировок рассматривать; а когда дело доходит до программирования процедуры, все различия полностью пропадают.)

ПРИМИТИВНЫЙ МЕТОД

Введение

Для удобства ссылок в последующих рассуждениях я начну с описания оригинального метода, сформулированного и доказанного Сколемом (1928), и главной теоремы, на которой базируется этот метод. Необходимый логический аппарат может быть совсем просто сохранен в последующем.

Мы используем формулировку логики предикатов, которая содержит индивидные константы и функциональные символы. Чтобы упростить описание метода, удобно ограничить формулы F, к которым применим этот метод. Предполагается, во-первых, что F замкнута и находится в предваренной нормальной форме и, во- вторых, что все кванторы существования элиминированы. Для того чтобы показать, как это может быть сделано, рассмотрим формулу МхЗуР^х, у). Если эта формула истинна в некоторой модели, мы можем для каждого значения переменной х выбрать некоторую величину у так, что эти величины удовлетворяют формуле Р^х, у); другими словами, существует так называемая функция Сколема, которая удовлетворяет формуле ЧхР^х, f(x)) в данной модели. Отсюда следует, что если ^хЗуР^х, у) выполнима, то выполнима и ^xF^x, f(x^; обратное утверждение, конечно, также верно.'

’) Prawitz D., Advances and problems in mechanical proof procedures, Machine Intelligence 4, 59—71, Edinburgh University Press, 1969.

Дана замкнутая формула F в предваренной нормальной форме. Будем говорить, что F* есть преобразование Сколема формулы F (и что F* сколемовски преобразована), если F* получается из F элиминированием каждого квантора существования и заменой соответствующей переменной в формуле на терм fn(xb х2,^п)»

где хь х2, ..., хп — те самые переменные, которые связаны кванторами общности, предшествующими данному элиминируемому квантору существования; для различных кванторов существования выбираются различные функциональные символы, которые не встречаются в F. Функциональный символ с нулем аргументов — это то же самое, что и индивидная константа; он будет иногда обозначаться буквой а * (а0 обозначает выделенную индивидную константу). По тем же причинам, что и в приведенном выше примере, видно, что F выполнима тогда и только тогда, когда преобразование Сколема F* также выполнимо.

■ Следующий пример. Дана формула ЗхУуЗгУиЭ^Т7 (х,у, г, и, ^), где F(x, у, г, о, w) — формула без кванторов; мы заменяем ее на сколемовское преобразование VyVvF (а, у, f(y), v, g^y, и)).

Пусть F — сколемовски преобразованная формула. Мы определим так называемый эрбрановский универсум для F, обозначаемый через HF, как множество индивидных термов, которые могут быть построены с использованием индивидных констант и функциональных символов формулы F; в том случае, если F не содержит индивидных констант, мы можем использовать константу а0. Другими словами; HF рекурсивно определяется следующим образом:

Все индивидные константы из F принадлежат HF; если такой константы нет, то а0 принадлежит HF.

Если Л, /2, ..., /п принадлежат HF и fn встречается в F, то (Л, ^2, • • •, М принадлежит HF.

Основная теорема

Формула F вида VxtVx2 ... VxnM(xb х2, ..., хп), где М (хь х2, ..., хп) не содержит кванторов, выполнима тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество множества

{M(tb /2, ..., tn\ ti^HF для каждого i^.n}(1)

выполнимо.*

Доказательство. Так как из VxjVx2 ... ЧхпМ (хь х2, ... ..., хп) следует VH(/b /2, . . . , /п), то одна половина теоремы тривиальна. Доказательство другой половины удобно разделить на две части. Докажем, что:

Если (1) выполнима, то выполнима и F.

Если К — множество бескванторных формул и каждое конечное подмножество множества К выполнимо, то выполнимо и К.

Доказательство первой части просто: дана модель множества (1), мы элиминируем каждый индивид из области модели, который

не является значением некоторого терма из Нр. Подструктура, найденная таким образом, является моделью F.

Доказательство второй части чуть более сложно и впервые, кажется, было дано Сколемом (1929). Вкратце аргументация выглядит так: пусть К = \F\, 72, • • }—бесконечное множество бескванторных формул, и пусть Гп — множество истинностных значений, приписанных атомарным формулам, которые входят в FX) F2, ... или Fn, и удовлетворяющее множеству {7Ь F2, ..., Fn}. Следующие утверждения, как легко видеть, являются истинными:

Гп не является пустым (по предположению, сделанному в 2).

Гп конечно.

Каждый член Гп+1 является расширением некоторого члена из Гп. •

Из (i) — (iii) следует, что существует бесконечная последовательность 71, Т2, ..., такая, что 7п е Г и Тп+Х является расширением Тп (аргументация здесь такая же, как в лемме Кёнига (Konig’s Unendlichkeislemma): бесконечное дерево, у' которого каждое ветвление конечно, имеет бесконечную ветвь). Объединение всех приписываний в этой последовательности является тем приписыванием истинностных значений, которое удовлетворяет К.

Метод •

Так как можно ответить на вопрос, будет ли конечное множество бескванторных выражений выполнимым, или, другими словами, непротиворечивым, теорема непосредственно дает подход к методу поиска: исследуя конечные подмножества (1) и проверяя на непротиворечивость, рано или поздно найдем противоречивое множество, если F невыполнимо; это противоречивое множество может быть взято как опровержение F.

Вместо рассмотрения всех подмножеств множества (1) можно установить некоторый порядок МХ,М2, ... среди формул в (1), впредь называемых примерами формулы 7, и тогда ограничиться рассмотрением множеств Mm = \MXlM2, ..., Mm}. Этого достаточно, так как если существует противоречивое подмножество множества (1), то это подмножество содержится в некотором множестве Мт и, следовательно, Мт также противоречиво. Тогда алгоритм для определения того, что F невыполнимо, таков:

Последовательно для каждого т формируем множество {Mi, М2, ..., Мт} и проверяем его противоречивость, повторяя этот процесс до тех пор, пока не будет обнаружено противоречивое множество. '

Этот метод, впервые сформулированный Сколемом (1928), является основой всех известных методов, которые не просто перечисляют все доказательства. (Многие более поздние методы несущественно отличаются от сколемовского.) Первые попытки запрограммировать сколемовский метод для вычислительной машины

были предприняты Гильмором (1959 и 1960), Д. Правицем, Г. Пра- вицем и Вогерой (1959 и I960) и Ван Хао (1960). Эти три программы достаточно похожи, единственное различие между ними заключалось в том, что в программе Правица и др. и Ван Хао не требовалось представлять формулу в предваренной нормальной форме (ср. замечания в §* 4).

Особенности метода Сколема

Существуют две главные проблемы, связанные с методом Сколема. Первая из них касается вопроса определения того, является ли некоторая бескванторная формула противоречивой. Это может быть сделано, конечно, рассмотрением всех 2П различных приписываний истинностных значений п атомарным формулам в данной формуле. Менее утомительный метод состоит в представлении формулы в дизъюнктивной нормальной форме и просматривании, будет ли каждый дизъюнкт содержать противоречие. Это тот самый метод, который использовался во всех трех программах, упомянутых выше. (Ван Хао пользуется методом упрощения генценовских секвенций, развитым, главным образом, Кайгером (1957). Этот метод в сущности только упрощает задачу приведения формулы к конъюнктивной нормальной форме. Д. Правиц, Г. Правиц и Богера использовали развитый Бетом (1955) метод семантических таблиц, который выполнял ту же самую задачу, но давал более экономное, формируемое в виде дерева, представление требуемой нормальной формы.) Однако этот метод все еще. очень труден. Если найдено к конъюнктивных членов, когда Mi приводится к дизъюнктивной нормальной форме (обычно посредством умножения), то будет найдено кт членов, когда аналогично преобразуется М\ & М2 & ... & Mm.

Вторая проблема и главный недостаток метода Сколема могут быть проиллюстрированы следующим образом. Допустим, что F противоречиво, и пусть Мь М2, ... — некоторое упорядочение примеров формулы F. Тогда наименьшее противоречивое множество примеров, возможно, намного меньше, чем наименьшее противоречивое множество среди множеств {Mi, M2l ..., Мту Множество {Ms, Mei, Мюо} может быть, например, противоречивым, но первым противоречивым множеством среди множеств {Mi, М2, ... ..., Мт} может быть только {МЬМ2, ..., Мюо}. Несмотря на то что задача опровержения F в том случае, если примеры производятся в порядке М5, М6ь Мюо, должна быть легкой, машина может исчерпать свои возможности, пытаясь доказать, что Mi & М2 & ... ... & Мюо противоречиво.

Проблема, таким образом, касается порядка, в котором производятся примеры формулы F. Хотелось бы иметь метод для производства этих примеров в таком порядке, чтобы найти минимальное противоречивое множество примеров (т. е. не существует противоречивого множества примеров меньшего, чем минимальное).

Более эффективные процедуры для разрешения первой проблемы были развиты Данхемом, Фридзалом и Свардом (1959) и Дэвисом и Патнемом (1960). Метод для разрешения второй проблемы был предложен Правицем (1960). С помощью этого метода всегда находится минимальное противоречивое множество приме* ров для каждой противоречивой формулы !).

УЛУЧШЕННЫЙ МЕТОД

Введение

В этой части дается в какой-то степени упрощенное представление метода, рассмотренного в работе Правица (1960). Главная идея метода состоит в том, что вместо производства примеров данной формулы Vx!Vx2 ... VxnM (xb х2, • • •, хп) в некотором произвольно определенном порядке они должны находиться при помощи вычисления значений, которые при подстановке на места хь х2, • • •, хп дают противоречивое множество примеров. (Ситуацию можно сравнить с той, которая возникает при решении обыкновенных уравнений, таких, как х+ 17 = 32; можно, конечно, решать уравнение перебором натуральных чисел, но более эффективная процедура состоит в использовании обычного действия вычитания.) Базовая процедура сначала решает, будет ли некоторая подстановка на места Хь х2, ..., хп делать формулу A4(xi, х2, ... ..., х2п) противоречивой. Если это не так, она осведомляется, будет ли некоторая подстановка на места хь х2, ..., х2п делать противоречивой формулу M(xi, х2, ..., хп)& М(хп+1, хп+2, ..., х2п) и т. д.

Процедура, таким образом, требует некоторого метода для вычисления, существует ли подстановка на места переменных, которая делает формулу . .

Л4 (хь х2, .. •, xn) & М (xn^i, хп_|_2, ..., хп^_п) & ..,

... М (x^n+i, х^п^ ..., Хьп.^ ^к = 0, 1, ...) (2) противоречивой (в отличие от простого перебора различных вариантов) ).

Определения *

Вместо оперирования с подстановкой будем рассматривать различные подстановочные условия, которые будут построены из равенств t = и, где t и и — термы (не обязательно из эрбрановского

!) Обзор развития этой области до 1964 г. представлен Купером (1966).

универсума), с использованием конъюнкции и дизъюнкции. Например, f (х) = f(g(y)) — (атомарное) подстановочное условие. Говорят, что подстановка термов из HF на места переменных в t и и удовлетворяет атомарному подстановочному условию t = и, если t и и преобразуются этой подстановкой в два вхождения одного и того же терма. Например, подстановка а на место у и g(u) на место х удовлетворяет условию f (х) = f (g(y)), но не существует подстановки, которая бы удовлетворяла условию х = f(х) или f(x)=g(z/). Подстановка удовлетворяет конъюнкции (дизъюнкции) подстановочных условий, если подстановка удовлетворяет каждому (некоторому) условию в конъюнкции (дизъюнкции).

Пример; подстановка, рассмотренная выше, удовлетворяет условию f (х) = f (g(y)) V у = f(x), но не существует ни одной подстановки, которая удовлетворяла бы условию f (х) = f (g(y) )& у= = f (х); для выполнения первого равенства мы должны обеспечить х = g^, а Для выполнения этого условия и y = tW одновременно, необходимо, чтобы х = g(f(x)), что невозможно.

Вообще нетрудно построить алгоритм для разрешения вопроса, будет ли подстановочное условие выполнимо или нет.

. Говорят, что пара атомарных формул Р(/ь /2, • ••, <«) и ^ P^Ux, U2, ..., un), таких, что подстановочное условие

t\ U\ & t^ U2 & ^3 —=“ .ее * U^ — \ & ^П ^П(^)

выполнимо, будет возможным противоречием, а условие (3) — соответствующим подстановочным условием этого возможного противоречия.

Метод

Систематический метод для решения вопроса, будет ли некоторая подстановка превращать формулу вида (2) в противоречие, теперь выглядит следующим образом:

Шаг 1. Привести формулу (2) к дизъюнктивной нормальной форме.

Шаг 2. Для каждого члена i в дизъюнкции, найденной после шага 1, сформировать условие ах V a2V .^/Х/ац, называемое С^ ?№ Яь а2, • • •, а^—все подстановочные условия, которые соответствуют возможным противоречиям среди формул, входящих в i-й член.

Шаг 3. Сформировать условие Ci & С2 & ... & Ст, где Сь С2,..♦ ..., Gm— все условия, найденные на шаге 2..

Шаг 4. Определить, будет ли условие, сформированное на шаге 3, выполнимым.

Необходимое и достаточное условие превращения подстановкой формулы (2) в противоречие состоит в том, чтобы подстановка

удовлетворяла условию, сформулированному на шаге 3. Метод для опровержения формулы V^V^ ... VxnM^, х2, ..., хп) состоит, таким образом, в формировании формулы (2) последовательно для каждого к и в продвижении по шагам 1—4, указанным выше. Эта процедура продолжается до тех пор, пока на шаге 4 не получим ответа «да», что означает невыполнимость данной формулы. Получив множество противоречивых примеров данной формулы, можно взять любую подстановку, которая удовлетворяет условию, сформулированному на шаге 3, и выполнить эту подстановку, применяя ее к последней формуле (2).

ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Введение

Метод, описанный выше, находит минимальное противоречивое множество примеров, если такое множество существует. Как мы видели, метод использует технику приведения формулы к дизъюнктивной нормальной форме. Так как теперь мы имеем дело только с минимальным числом примеров данной формулы, то отсутствует недостаток, отмеченный в описании примитивного метода. Конечно, желательно развить метод далее. Поэтому можно попытаться скомбинировать этот метод с методами для определения противоречивости формул пропозициональной логики, которые были развиты Данхемом, Фридзалом, Свардом, Дэвисом и Патнемом, но общего метода для этого не существует. Попытки скомбинировать два метода были сделаны Дэвисом (1963), эта работа.была продолжена Чинлундом, Дэвисом, Хинманом и Мак-Илроем (1967) и Ловландом (1968). Робинсон (1965), чья работа была продолжена несколькими авторами, использовал некоторые идеи, улучшающие метод, но развил их в другом направлении. Метод Дэвиса несколько слабее упрощающего метода для нахождения минимального противоречивого множества примеров (ср. сноску на стр. 59). В этом отношении метод Робинсона непосредственно не поддается здесь сравнению. 'Он избегает использования дизъюнктивной нормальной формы, но использует вместо этого другой метод, который кажется довольно неэффективным (ср. сноску на стр. 62).

Матрицы

Форма метода, которая описана выше, была предназначена для облегчения понимания. Когда процедура формулируется практически, нет необходимости, например, приводить формулу (2) к дизъюнктивной нормальной форме или формировать полное условие, упомянутое на шаге 3. Для обсуждения некоторых вопросов такого рода я переформулирую метод.

Положим Af(%i, х2, ..., хп) записана в конъюнктивной нормальной форме и представлена в виде следующей матрицы:

А, ь ^41,2» • Лц пх

Л2. ь Л2,2, .Лг, п2^

Л/71, 1, Л/п, 2, • ••> Ат, пт1 в которой мы удалили знаки дизъюнкции между формулами на одной и той же строке и знаки конъюнкции между различными строками. Под путем в матрице подразумеваем последовательность Л1, /р Л2, /2, . . ., Am, / , Т. е. мы получим путь, взяв точно по одной литере из каждой строки. Таким образом, дизъюнктивную нормальную форму формулы можно найти, сформировав конъюнкции всех литер пути, а потом взяв дизъюнкции всех этих конъюнкций.

Теперь сформулируем необходимое и достаточное условие для существования подстановки, которая превращает матрицу (4) в противоречие.

Матрица (4) становится противоречивой при некоторой подстановке на места переменных тогда и только тогда, когда существует множество S атомарных подстановочных условий со следующими свойствами*.

Каждый путь матрицы (4) содержит, по меньшей мере, одно возможное противоречие, такое что атомарные части соответствующего подстановочного условия принадлежат S.

Подстановочные условия в S одновременно выполнимы.

Множество S подстановочных условий, которое удовлетворяет требованиям 1 и 2, называется опровергающим множеством для матрицы (4). Кроме метода, описанного в части 2, для нахождения множества S, которое удовлетворяет требованиям 1 и 2, могут быть использованы и другие методы. Например, можно проходить по различным путям матрицы в некотором порядке, выделяя возможные противоречия в каждом пути и формируя соответствующие подстановочные условия. Таким образом, последовательно строится множество S подстановочных условий. Необходимо убедиться в том, что каждое новое подстановочное условие выполнимо одновременно с условиями, уже находящимися в S. Если встречается такой путь, где не. существует возможности сформировать подстановочное условие, то нужно возвратиться к последнему пути, который имеет противоречие, ранее не испытанное1). Согласовывая подстановочные условия, которые были

!) Метод, развитый Дэвисом и др., отличается от обсуждаемого здесь метода тем, что он не испытывает все различные возможные противоречия; некоторые выборы возможных противоречий никогда не рассматриваются заново, вместо этого увеличивают матрицу.

сформированы уже в этом и более поздних путях, начинаем вновь проделывать процедуру с этого пути. Если встречается путь, где нет подстановочного условия, которое можно скомбинировать с уже сформированными условиями, и в предыдущих путях не остается неиспытанных противоречий, процедура останавливается с отрицательным результатом. Тогда нужно приступить к формированию новой матрицы, производя алфавитное переименование переменных и расширяя старую матрицу написанием ниже новой матрицы. Полная процедура может быть затем повторена1).

Редукция матриц

Описанный выше метод имеет некоторые преимущества по сравнению с методом, рассмотренным в §2. Полученная процедура обычно решает, существует ли подстановка, которая делает данную матрицу противоречивой в более короткое время. Метод также более экономен в отношении памяти. Нет необходимости хранить информацию в дизъюнктивной нормальной форме (представление в конъюнктивной нормальной форме будет намного более просто); фактически информация, которая должна быть сохранена в любой момент времени, по существу, не более обширна, чем информация, содержащаяся в минимальном опровержении.

Однако метод требует все еще достаточно времени. Если существует подстановка, которая делает данную матрицу противоречивой, то для того, чтобы найти опровергающее множество, необходимо для процедуры, приведенной выше, рассмотреть все пути матрицы. Главная проблема, по-видимому, состоит в том, чтобы найти более быструю процедуру для построения опровергающего множества. Такую процедуру также можно сконструировать; фактически даже необязательно рассматривать все пути матрицы при построении опровергающего множества (как это уже сделал Правиц, 1960, стр. 118).

Можно отметить, что возможное противоречие в пути матрицы обычно принадлежит также нескольким другим ее путям. Следовательно, когда мы выделяем возможное противоречие из одного пути и вводим соответствующее подстановочное условие в множество S для того, чтобы этот путь соответствовал множеству (1) в определении опровергающего множества, мы таким образом гарантируем, что совокупность других путей, которым принадлежит возможное противоречие, также соответствует множеству (1). Следовательно, нет необходимости рассматривать другие пути, и поэтому хотелось бы иметь процедуру, которая автоматически не

!) Метод, приведенный выше (и некоторые его улучшения, приведенные в следующих параграфах), находится в полном соответствии с идеями доклада, написанного автором в 1960 и представленного Statens Tekniska Forskingsrad, который в это время поддерживал эти исследования.

рассматривает пути, уже соответствующие множеству (1). Метод для выполнения этого требования заключен в следующем принципе.

Принцип матричной редукции

Пусть М — матрица приведенной выше формы (4) и а — подстановочное условие, которое соответствует возможному противоречию (А^ j, AkfP), где i ф к и ни одна из литер А^ j и Ак)Р не является единственной на соответствующей строке (т. е. щ,пк > 1). Пусть S — подстановка, которая удовлетворяет условию а. Подстановка S превращает М в противоречие тогда и только тогда, когда она превращает в противоречие М' и М", где

. ' М' находится из М вычеркиванием Akt р и всех литер в строке i за исключением At, j и

М" находится из М вычеркиванием Ait 5 и всех литер в строке к за исключением А^ р.х

Таким образом, проблема нахождения опровергающего множества для матрицы М, сводится к проблеме нахождения множе- стда, которое содержит а и является опровергающим множеством одновременно для М' и М". Таким путем мы избавляемся не только от путей, содержащих возможное противоречие (Aii5AkiP^, но также от всех путей в матрице Л4*, которая находится из М вычеркиванием А^ j и Ak) р. Чтобы показать обоснованность принципа, мы обратим внимание на то, что каждый путь в М, который не содержит одновременно At, j и Ak, р, также является путем в одной из матриц АГ, М" и М*. Но если каждый путь в ЛГ и М" содержит противоречие, то содержит противоречие и каждый путь в М*. Следовательно, необходимо рассмотреть пути в М' и М". Это тождественно доказательству истинности эквивалентности

(Л УВ)&(~Д УС)&В = (Л&С&О) V(B& ~ А&пу

Пример. При формировании подстановочного условия х = а мы можем заменить матрицу М, приводимую ниже, двумя матрицами М' и М" и попытаться найти для них опровергающее множество, которое содержит х = а;

м

М'

M"

Qx, f(x), Рх

Qx, f(x), Рх

Qx, f(x), Px

Ра, ~Qa, f(a), Рх

Ра

~Qa, f(a), Px

~ Рх, Qx, у, Qa, f(a)

Qx, у, Qa, f(a)

~Px

-Pz, ~Qx, f(a)

-Pz, ~Qx, ^a^

~Pz, ~Qx, f(x)

В то время как М содержит 36 путей, М'

и M" вместе содер-

жат только 16 путей.

Когда применяется принцип матричной редукции к матрице, мы говорим, что матрица расщепляется на две простые матрицы. Отметим еще более простой случай редукции:

Добавление к принципу матричной редукции.

Пусть М, а, (Аг, j, Ak) р) и S будут теми же величинами, что и в принципе, сформулированном выше, за исключением того, что At, j или Ак,р не являются единственными на соответствующих строках. Тогда S превращает М в противоречие тогда и только тогда, когда она превращает М' или М" в противоречие.

Применение этого добавочного принципа называется простой редукцией !).

Продолжение примера. Если мы всегда используем возможное противоречие в самом левом пути при применении принципа матричной редукции, мы видим, что три простые редукции матрицы NV превращают ее в матрицу, содержащую возможное противоречие между литерами, которые являются единственными на соответствующих строках. Аналогично, одно расщепление М" дает две противоречивые матрицы.

Деревья матриц

Принцип матричной редукции может быть использован следующим образом: дана матрица М, мы строим множество S подстановочных условий и дерево матриц, структура которого соответствует последовательности выполнения шагов. Первоначальная матрица Л4 располагается в начальной вершине дерева. Возможное противоречие ищется в самом левом пути и соответствующее подстановочное условие вводится в S. Затем принцип матричной редукции применяется к этому возможному противоречию. Если М расщепляется на М' и М", дерево также расщепляется в соответствующей вершине, и мы приписываем М' и М" непосредственно следующим вершинам; в случае простой редукции найденная матрица помещается в единственной вершине, которая непосредствен-

9 Этот метод в какой-то степени сходен с методом Робинсона. Однако вместо принципа матричной редукции Робинсон использует метод, который он называет принципом резолюции, который кажется менее эффективным.' Принцип резолюции основывается на том, что из (Л V 5) & (~Л V C) следует В V С. При замене первой формулы на последнюю теряется много информации. Напротив, матричная редукция заменяет формулу на (Д & В) V (~Д &С). Эти два метода имеют также много других различий, не так легко сравнимых. Приводимая выше процедура имеет также черты, общие с процедурой, представленной Гансом Карлгреном. *

Простые редукции и расщепление матриц носят некоторое сходство с правилами 1 и 3 из работ Дэвиса и Патнема (1960). Эти правила приложимы к формулам, которые являются примерами данной формулы. Можно сказать, что представленные принципы редукции являются приложением этих правил в ситуации, когда формула содержит свободные переменные, и в известном смысле мы имеем комбинацию идей Дэвиса и Патнема (I960) и Правица (1960); эта комбинация, однако, отличается от той, которая имеется у Дэвиса (1963).

но следует после вершины М. После этого ту же процедуру мы применяем к матрице (матрицам), найденной редукцией. Если мы выбрали возможное противоречие между двумя литерами, которые единственны на соответствующих строках, соответствующая вершина будет конечной вершиной. Процедура завершится нахождением опровергающего множества S для М, когда каждая ветвь будет оканчиваться в конечной вершине.

Перед введением в S подстановочного условия необходимо быть уверенным в том, что условие совместимо одновременно со всем S. Если мы приходим к матрице, у которой нет такого подстановочного условия в самом левом пути, мы возвращаемся к предыдущей матрице, где осталось неиспытанным возможное противоречие в самом левом пути, и начинаем процесс снова с этой матрицы (стирая матрицы с последующих вершин и соответствующие подстановочные условия из S). Если не существует такой предыдущей матрицы, то матрица в начальной вершине должна быть увеличена как прежде, и вся процедура начинает работу заново.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Индивидные переменные

Чем -больше различных переменных в матрице и чем больше аналогичных индивидных констант и функциональных символов, тем легче найти подстановку, которая делает матрицу противоречивой. Операция сколемовского преобразования была определена для формулы в предваренной нормальной форме, но эта операция может быть очевидно распространена на формулы вообще; предоставляем читателю убедиться в этом. Часто можно уменьшать число аргументов функциональных символов, которыми заменяются кванторы существования. Более того, можно упорядочить переменные, которые встречаются в двух различных строках матрицы (4). (Можно также, но менее важно, заменить два различных символа, которые имеют одинаковое число аргументов, одним и тем же символом, если они встречаются в одной строке матрицы (4).) Эти возможности полезны, когда процедура применяется специально к аксиоматическим теориям. Они существенны для приготовления аксиом по отдельности к главной процедуре. Таким образом число примеров матрицы, которое необходимо для нахождения противоречивости, часто может быть уменьшено.

При расщеплении матрицы М в матрицы М' и М" может также быть сделано алфавитное переименование переменных; такое переименование может быть сделано для вхождений переменных, встречающихся в Л4" в строках, не затронутых редукцией, так что они становятся отличными от переменных, которые встречаются в М'. Эта идея была уже рассмотрена Правицем (1960) в форме так называемого интервального индекса. ^Го, что это не сделает

процедуру неправильной, видно из рассмотрения эквивалентности двух формул

VxVyV2Vи «Рх V Qy) & (~ PxV Rz) & Sv) и формулы

VxVyVzVvVzw ((Рх & Rz & Sv) V VQti &~Px& Sw)).

Сильно минимальные процедуры

Хотя различные алгоритмы процедур, которые мы рассмотрели в § 2 и 3, никогда не конструируют примеров начальной матрицы (4) больше, чем требуется для нахождения противоречивости, возможно, что некоторые из конструируемых матриц только частично необходимы. Другими словами, можно найти противоречивую матрицу при помощи выбора неодинакового числа примеров различных строк. Подобная ситуация имеет место при доказательстве теорем в аксиоматических теориях, когда различные аксиомы не требуются одинаковое число раз. Дэвис (1963) рассмотрел возможность предсказывания пропорции между числом, с которым различные строки первоначальной матрицы будут использоваться во время нахождения противоречивой матрицы.

Однако можно рассмотреть также процедуру, которая находит противоречивую матрицу, являющуюся минимальной в сильном смысле; это означает, что не существует противоречивой матрицы с меньшим числом строк. Начиная с данной матрицы вида (4), можно испытывать различные возможности построения противоречивой матрицы, выбирая строки из данной матрицы. Сначала можно рассмотреть все матрицы, содержащие только две различные строки. Причем рассматривать необходимо только те строки, которые содержат литеры, вместе образующие возможное противоречие. Если доказывается теорема в аксиоматической теории и не нужно искать противоречивости аксиом, можно также потребовать, чтобы одна строка была теоремой. Затем при помощи принципа матричной редукции исследуется вопрос, будет ли одна из этих матриц противоречивой. Если результат отрицательный, то все матрицы, найденные различными редукциями, запоминаются для дальнейшего использования. Вместо формирования подстановочных условий можно выполнить соответствующие подстановки. Затем рассматриваются все возможности увеличения запомненных матриц добавлением третьей строки, содержащей литеру, которая образует возможное противоречие с некоторой литерой из матрицы. После этого рассматриваются все возможности редуцирования этих матриц и т. д.

Процедура такого типа требует запоминания большого количества информации, но может иметь иные преимущества. Путем последовательного увеличения матриц, найденных различными предыдущими применениями принципа матричной редукции, процедура

использует информацию предыдущих попыток нахождения противоречивой матрицы. Более того, две матрицы, найденные расщеплением, могут теперь быть продолжены различным" образом, а именно, добавлением различных строк — и это большое преимущество.

По-видимому, трудно решить, какая из двух процедур лучше — рассмотренная в § 3 или формулированная сейчас — если вопрос задать со всей строгостью. В любом случае кажется заслуживающим внимание разработать последнюю процедуру более детально и затем испытать оба метода.

ЛИТЕРАТУРА

Beth Е. W., Semantical entailment and formal derivability, Med. der Ron. Nederl. Akad. Van Wetensch., 18, № 13, Amsterdam, 1955.

C h i n 1 u n d T., Davis M., Hinman P., McIlroy, Theorem-proving by matching, Communications of the ACM, 1967.

С о о p e r D. C., Theorem proving in computers, Advances in programming and non-numerical computation, 155—182 (ed. Fox L.), Oxford, 1966.

D a v i s M., Eliminating the irrelevant from mechanical proofs, Proceedings of Symposia in Appt. Math., 15 (1963), 15—30.

D a v i s M., P u t n a m H., A computing procedure for quantification theory, . , J, Ass. comput. Mach., 7 (1960), 201—215.

D u n h a m B., F r i d s a 1 R., S war d G., A non-heuristic program for pro- ving elementary logical theorems, Proceedings of the international conference • on information processing, 282—287, Paris, UNESCO, 1959.

Gilmore P. C., A program for the production from .axioms of proofs for theorems derivable within the first order predicate calculus, Proceedings of the - u international conference on information processing, 265—273, Paris: UNESCO, 1959.-

Gilmore P. C., A proof method for quantification theory; its justification and realization, /. В. M. J. Res. Devi., 4 (I960), 28—35.

Ka n ger S., Provability in logic, Studies in Philosophy, 1, Stockholm: Almq- vist and Wiksell, 1957.

Kan ger S., Handbok i logik (mimeographed), Stockholm, 1959.

Kan ger S., A simplified proof method for elementary logic, Computer programming and formal systems, 87—94 (ed. Braffort P., Hirschberg D.), Am; ' sterdam, 1963.

<12. Loveland D. W., Mechanical theorem proving by model elimination, J. Ass. - comput. Mach., 15 (1968), 236—251.

Prawitz D., An improved proof procedure, Theoria, 26 (1960), 102—139.

Prawitz D., Prawitz H., Voghera N., Discussion, Proceedings of the ч international conference on information processing, 273, Paris: UNESCO, 1959.

Prawitz D., P r a w i t z H., V о g h e r a N., A mechanical proof procedure S' and its realization in an electronic computer, /. Ass., comput. Mach., 7 (1960), 102—128.

R о b i n s о n J. A., A machine oriented logic based on the resolution prin- . ciple, /. Ass., comput. Mach., 12 (1965), 23—44.

17. Skolem T., Uber die mathematische Logik, Norsk matematisk Tidskrift, 10 ‘(1928), 125—142.

Skolem T., Uber einige Grundlagenfragen der Mathematik, Skrifter utgitt av

■ det Norske Videnskaps-Akademie i Oslo, I. Mat. naturv. klasse, № 4, Oslo, 1929.,

Wang H., Towards mechanical mathematics, IBM И Res. Dev., 4 (1960), 2—22. (Русский перевод: Ван X а о, На пути к механической математике. Кибернетический сборник, вып. 5, ИЛ, М., 1962.)

Семантические деревьяв автоматическом поиске доказательств ’)

Р. Ковальски и П. Дж. Хайс

ВВЕДЕНИЕ

Мы исследуем в этой работе приложение модифицированного варианта семантических деревьев Робинсона (1968) к проблеме нахождения эффективных правил доказательства для автоматического поиска доказательств. Нашей целью не является развитие общей теории этих деревьев. Вместо этого мы займемся теми случаями конструкций семантических деревьев, которые позволяют найти улучшение существующих стратегий доказательства. Работа фактически самостоятельна; что же касается четких определений и дополйительного материала, то мы отсылаем читателя к обзорной статье Робинсона (1967).

После введения формализма мы определяем понятие семантического дерева для исчисления предикатов без равенства. Затем доказывается вариант теоремы Эрбрана. Далее доказывается полнота рёзолюции клашей) (Робинсон, 1967) и показано, что имеют место некоторые сокращения при производстве факторов, когда резольвируеМым является латентный клаш. Доказана полнота бинарной резолюции посредством специализации понятия клаша и показано, что полон упорядочивающий принцип, когда он используется совместно с нею. Показано, что АМ-клаши Слегла ) (1967)

9 Kowalski R., Hayes Р. J., Semantic trees in automatic theoremproving, Machine Intelligence 4, 87—101, Edinburgh University Press, 1969.

являются полными при другой специализации -и представлено некоторое общее пояснение модели М Слегла. Затем произведена дальнейшая специализация АМ-клашей в случае гиперрезолюции (Робинсон, 1965а) и переименования (Мельцер, 1966). Показано, как в этом случае могут быть скомбинированы ограничения на производство факторов и A-упорядочение Слегла для получения высокоэффективной опровергающей процедуры. Более того, найдены дополнительные ограничения на производство факторов для всех случаем АМ-клашей путем использования везде модифицированного понятия A-упорядочения. В заключительной части мы рассказываем о попытке применить методы семантических деревьев для конструирования систем вывода для исчисления предикатов с равенством.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Предполагается, что читатель хорошо знаком со сведением предложений к форме дизъюнктов. Иногда атомарная формула упоминается просто как атом. Литеры — это атомы или их отрицания; дизъюнкты — это дизъюнкции литер. Дизъюнкции и конъюнкции будут часто идентифицироваться с множеством их дизъюнктивных и конъюнктивных членов соответственно. Таким образом, можно говорить о литере L, встречающейся в дизъюнкте С, и писать L^C. Пустой дизъюнкт □ всегда' ложен и поэтому идентифицируется с истинностным значением ложь.

Результат применения подстановки о в выражение Е обозначается через Ео. Если Ео = F для некоторой о, то говорят, что F является примером Е. В том случае, если F не содержит переменных, F называется фундаментальным выражением и фундаментальным примером Е. Если F— пример Е, а Е — пример F, то Е и F — варианты. Если выражения Е и F имеют общий пример G, то Е и F унифицируемы и существует наиболее общий пример Ео = Fo, где о — наиболее общий унификатор (н. о. у.) Е и F. Если о — н. о. у. Е и F несли ц— произвольный унификатор Е и F, то существует подстановка X, такая, что ц = ок

Константы — это функции от нуля аргументов. ЭрбрановСкий универсум Н множества дизъюнктов S — это множество всех термов, построенных из функциональных букв, которые встречаются в S (дополненное единственным константным символом в том случае, если S не содержит константных символов). Эрбрановская база Н—это множество всех фундаментальных примеров атомов над Н, которые встречаются в S. Если К — множество фундаментальных атомов, то полным присоединением к множеству К мы будем называть множество такое, что для каждого атома А е К только одна литера А или А встречается в ^, и ^ не содержит других членов. Если ^ — полное присоединение к некоторому подмножеству К' гК, то ^ называется частичным

з*

присоединением к К. Пусть дано множество S и его эрбрановская база Н; любое полное присоединение ^ к Н может рассматриваться как возможная интерпретация S (т. е. универсумом интерпретации является Н; определение функции над Н включено в определение Н; «-местные предикаты Р зависят от (Л, ..., /п), ^еН тогда и только тогда, когда P^tx, t^es^Y

Каждое дерево — это частично упорядоченное множество Т, элементы которого являются его вершинами. Мы будем использовать ^ для обозначения частичного упорядочения вершин. Единственная вершина NeT, такая, что N ^ N' для каждой вершины N\ является корнем дерева. Деревья будут рассматриваться растущими вниз. Таким образом, корень дерева является самой верхней вершиной дерева, и если существует не более чем конечное число вершин непосредственно ниже любой вершины, то такое дерево — конечно ветвящееся. Лист дерева Т — это такая вершина N, которая не выше любой другой вершины. Ветвь дерева Т — это такая последовательность вершин, начинающаяся из корня, что каждая другая вершина в последовательности лежит непосредственно ниже предыдущей вершины. Ветвь дерева Т полна, если она бесконечна, либо конечна и оканчивается листом.

СЕМАНТИЧЕСКИЕ ДЕРЕВЬЯ ДЛЯ ИСЧИСЛЕНИЯПРЕДИКАТОВ БЕЗ РАВЕНСТВА .

Определения

Пусть К — множество атомов. Конечно ветвящееся дерево Т называется семантическим деревом для К, если конечное множество атомов или отрицаний атомов из К приписано каждой вершине дерева Т таким образом, что:*

пустое множество приписано корню и никакой другой вершине;

если вершины ^l, Na ..., Nn лежат непосредственно ниже вершины N и множество литер ^г- приписано вершине Nb то ^V ... VXi— тавтология, где X-—конъюнкция литер В ^^

(Hi) объединение множества литер, приписанных вершинам полной ветви дерева Т, является полным присоединением к К.

Дано множество S дизъюнктов и семантическое дерево Т для Н — эрбрановской базы S. Тогда объединение всех множеств, приписанных любой полной ветви Т, является полным присоединением к Н и поэтому возможной интерпретацией S. Действительно, из условия (ii) определения очевидно, что каждое полное присоединение ^ к Н может быть найдено таким образом.

Частичное присоединение, которое является объединением всех множеств литер, приписанных вершинам ветви, кончающейся в вершине N, обозначается через .я^ и называется присоединен

наем к N. В этой записи множество X, приписанное N^ как это оговорено в приведенном выше условии (ii), равно ^N/ —^n- Единственным случаем бесконечного семантического дерева, которое мы будем рассматривать в этой работе, является случай простого бинарного дерева, которое используется в доказательстве теоремы Эрбрана в форме, необходимой для наших приложений. Если вершины ^l и N2 лежат в этом дереве непосредственно ниже вершины N, то и ^2 равны {А}щ {Л} соответственно для некоторого фундаментального атома Л из К. Любое другое семантическое дерево, рассматриваемое здесь, будет конечным клаш деревом. Если Т является клаш деревом, NeT и Nx,N2, ..., Nk, N^ лежат непосредственно ниже N, то множество X, приписанное Nt, для 1<Oj^& равно {LJ, а множество Ж+i, приписанное Мд+ь равно {Lb ..., La}, где {Lb ..., La} — частичное присоединение к К, выделенное из частичного присоединения ^N. Вершины Мь ..., Nk называются сателлитными вершинами, а вершина Wa+i — ядерной вершиной.

Опровержение_

Если S — множество дизъюнктов и Г — семантическое дерево для Н, то Т в некотором смысле является исчерпывающим обзором всех возможных интерпретаций S. Если S, кроме того, невыполнимо, то S опровержимо при рассмотрении на каждой из этих интерпретаций. Это является, предпосылкой определения, приведенного ниже.

Пусть Т— семантическое дерево и С — дизъюнкт. Мы говорим, что С опровержим на вершине N ^Т, когда С имеет фундаментальный пример Со, такой, что ^N логически влечет "1(Со). (Мы также, пишем ^дг|=~1(Со), используя символ |= для определения логического следования.) Отметим, что если С опровержим на N, то J^^|=~IC. Обратное утверждение, однако, неверно в общем случае. Если ^^ = {P(^г), ^(/(/(я)))} и С = Р(х) VP(f(х)), то ^N |= ПС, но С не опровержим на N.

Пусть Т— семантическое дерево и S— множество дизъюнктов. Вершина N ^ Т называется опровергающей точкой для 5, если некоторый дизъюнкт С ^S опровержим на N и S не содержит дизъюнктов, которые были бы опровержимы на любой вершине М > N. Если N— опровергающая точка для S и М > N, то М — свободная вершина для S. Отметим, что если N свободна для $, то любая вершина М > N также свободна для. S, а обе вершины М и ^ свободны для любого подмножества множества S. Аналогично если N — опровергающая точка для S, то не существует вершины М < N, которая была бы свободна для S, и обе вершины М и N не свободны для любого надмножества множества S.

Говорят, что семантическое дерево, любая ветвь которого содержит опровергающую точку для S, будет замкнутым (для S).

Теорема Эрбрана ,

Как легко показать, следующая теорема является аналогом теоремы Эрбрана.

Теорема 1. Если S — невыполнимое множество дизъюнктов, то существует конечное подмножество К Е Н, такое, что каждое семантическое дерево Т для К замкнуто для S.

Доказательство. Пусть (Ль ..., Лп, ...)—перечисление эрбрановской базы множества S, и пусть Р— простое бинарное дерево для Н, построенное следующим образом: пустое множество 0 приписано корню Р; множества {Л^ и {AJ приписаны двум вершинам непосредственно ниже корня; если либо {Лп}, либо {Лп} приписаны вершине N, то множества {Лп+1} и {An+i} приписаны вершинам непосредственно ниже N. Любая полная ветвь, проходящая через дерево Р, представляет собой полное присоединение j^ к Н и, следовательно, является. возможной интерпретацией S. Так как S— невыполнимое множество, ^ неудачно в роли модели множества S и некоторый дизъюнкт С ^8 должен быть ложен в ^. Отсюда следует, что некоторый фундаментальный пример Со дизъюнкта С должен быть ложен в ^. Но для того чтобы это произошло, дополнение каждой литеры в С должно встречаться в «^, а так как С содержит только конечное множество литер, они должны встречаться уже в некотором частичном присоединении с Со ложным в ^n. Таким образом, некоторая вершина M>N является опровергающей точкой для S, и Р замкнуто для S.

Число вершин дерева Р, свободных для S, конечно, но, с другой стороны, по лемме Кёнига мы мож.ем найти бесконечную ветвь свободных вершин, которая не содержит опровергающих точек. Пусть к — самая длинная ветвь дерева Р, которая кончается в опровергающей точке, и пусть К = {АЬ ..., Ак\ Тогда каждая ветвь этого дерева, соответствующая полному присоединению к К, уже содержит опровергающую точку для S. Теперь если Т— любое семантическое дерево для К, то каждая полная ветвь соответствует полному присоединению к К и также должна содержать опровергающую точку для S. Следовательно, Т замкнуто для S. Теорема доказана.

, Отметим, что Робинсон (1967) в своем доказательстве теоремы Эрбрана пользуется по существу тем же деревом Р. Однако семантические деревья этой работы отличаются от семантических деревьев Робинсона (1968). Робинсон определяет опровержение дизъюнкта на вершине семантического дерева для фундаментальных дизъюнктов и сначала устанавливает главные результаты для фундаментальных дизъюнктов. Эти результаты затем «поднимались» до общего уровня применением теоремы Эрбрана. Путем

обобщения определения опровержения и прилржением теоремы Эрбрана в форме, представленной выше, мы устанавливаем наши результаты непосредственно для общего уровня. Принципиальным достижением этой модификации является то, что становится ясным, как ограничивать производство факторов дизъюнктов.

Вершина вывода

Понятие вершины вывода делает возможным переход от се* мантических деревьев к синтаксису систем вывода. Вершина N семантического дерева Т является вершиной вывода для множества дизъюнктов S, если N свободна для S, а вершины, лежащие непосредственно ниже N, являются опровергающими точками для S. Отметим, что если Т замкнуто для S и □ ^ S, то Т содержит вершину вывода. Но если □ е S, то □ опровержим в корне семантического дерева Г, и оно не содержит ни свободных вершин, ни вершин вывода. С другой стороны, если Т не содержит вершины вывода, то оно содержит свободные вершины, и так как каждая свободная вершина лежит выше другой свободной вершины, мы можем сконструировать полную ветвь, все вершины которой свободны для S, что противоречит допущению, что Т замкнуто для S. ‘

Если 32 обозначает систему истинных правил вывода для дизъюнктов, то через %(S) мы обозначим объединение множества S с множеством всех дизъюнктов, которые могут быть найдены из S путем применения одного из правил вывода в 32 к дизъюнктам множества S. Полагая 32°(S) = S, мы определим 32n+1(S) = = 32(32” (S)). ,

Теорема 2. Пусть 32 — система истинных правил вывода, и пусть дан некоторый метод построения по каждому невыполнимому множеству дизъюнктов S конечного семантического дерева Т для S, такого, что ' •

(*) существует вершина вывода N^T.u для некоторого подмножества S'eS множества дизъюнктов, которое опровержимо непосредственно ниже N, существует дизъюнкт Се 32 (S'), такой, что С опровержим на N.

Тогда De32n(S) для некоторого п^О и, следовательно, Я — полная система опровержения.

Доказательство. Пусть S — невыполнимое множество дизъюнктов, а Т—семантическое дерево, присоединенное к S, и пусть п— число вершин Т, свободных для S (п конечно, так как Т конечно). Если DeS, то Пе32°(5). С другой стороны, используя (*), получаем, что существуют вершина вывода N ^Т и дизъюнкт Ce32(S), такой, что С опровержим на N. Поэтому число вершин Т, свободных для 32(S), меньше или равно п — 1. Так как Т — замкнутое семантическое дерево для 32rn~1(S), m^ 1,

аналогично (*) применяется к 32m~1(S), и, следовательно, число вершин дерева Г, свободных для 32™ (S), меньше или равно п— т. Не существует вершины дерева Г, которая была бы свободна для 32n(S), и поэтому корень 7 —опровергающая вершина для 32n(S). Но тогда De^tS), потому что не существует другого дизъюнкта, который был бы опровержим в корне семантического дерева.

Теорема 1, несомненно, была использована в формулировке и доказательстве теоремы 2, потому что по теореме 1 из невыполнимости 32г’(5) следует, что Т замкнуто, и таким образом Т имеет вершину вывода для каждого 32l’(S), i ^ 0.

Вычеркивающие стратегии ,

Дизъюнкт является тавтологией, если он содержит контрарные литеры. Дизъюнкт С поглощает дизъюнкт D, если он обладает примером Со, который является поддизъюнктом дизъюнкта D (т. е. Co^D"). Если 32 является системой вывода, полнота которой может быть установлена при помощи теоремы 2, то 32 остается полной системой вывода, если мы позволим в 32 вычеркивать тавтологии и поглощаемые дизъюнкты. *

Если С — тавтология, то Со содержит контрарные литеры для каждой о. Но не существует ^n» которое содержало бы контрарные литеры, и С не может быть опровержимо, на любом семантическом дереве.' Если Со Е D и D опровержим на некоторой вершине N семантического дерева, то некоторый фундаментальный пример D^ опровержим на W, а, следовательно, Со^ также опровержим на N. Таким образом, тавтологии и поглощаемые дизъюнкты никогда не встречаются в выводе □ в системе правил 32; из доказательства теоремы 2 ясно, что только дизъюнкты, которые опровержимы на вершинах семантического дерева Т, ассоциированного с первоначальным невыполнимым множеством S, необходимо должны встречаться в таком доказательстве. (Если S — любое невыполнимое множество дизъюнктов, то, естественно, S остается невыполнимым после вычеркивания тавтологий и поглощенных дизъюнктов. Однако такие рассуждения не дают доказательства совместимости этих стратегий с произвольной системой вывода.)

КЛАШ ДЕРЕВЬЯ

Латентное клаш правило *

Все наши приложения теоремы 2 будут применяться к системам вывода 32, состоящим в точности из одного правила вывода, которое является специализацией правила латентной клаш резолюции Робинсона (1967). Соответствующее дерево Т, ассоциированное с невыполнимым множеством S, аналогично будет специализацией клаш дерева.

Если дизъюнкты Вь ..., Bh опровержимы в сателлитных вершинах непосредственно ниже некоторой вершины вывода N, то они называются сателлитными дизъюнктами. Если Л опровержим на соответствующей ядерной вершине, то А—ядерный дизъюнкт.

Следующая теорема и ее доказательство обеспечивают общую формулировку для последующих специализаций.

Теорема 3. Пусть конечное клаш дерево Т ассоциировано с каждым невыполнимым множеством дизъюнктов S (где Т зависит от S), и пусть Я состоит из единственного правила вывода (латентная клаш резолюция):

(**) ^3 ядерного дизъюнкта A=A0V DiV ... V Dm и сателлитных дизъюнктов Вг = Во; V Ei (1 ^ i ^ т), где дополнения литер в Et унифицируемы с литерами в Di и £— наиболее общий унификатор, одновременно унифицирующий эти множества литер для всех 1 ^ i ^ m (переменные, встречающиеся в дизъюнктах Д, Вь ..., Вщ, попарно различны),

выводится резольвента С = X0?V 60i£V ... V60m£.

(Более того, мы можем утверждать, что будет выполнено клаш условие, а именно нет литеры Е^ или дополнения Е^, которые будут встречаться в любом из дизъюнктов А^, Вх^, ..., Вт^, исключая само В^, и в А^ в части D^.)

Тогда, если любые дизъюнкты А, В{, ..., Bh опровержимы непосредственно ниже вершины вывода N в Т, то А имеет форму ядерного дизъюнкта, как это описано в (**), и соответственно с А мы имеем сателлитные дизъюнкты 6Ь ..., Bm (m^Lk), которые имеют форму в соответствии с описанием в (**), так что резольвента С, определенная так, как в (**), опровержима на N.

Замечания, (а) Теоремы 2 и 3 вместе дают полноту латентной клаш резолюции; заключение теоремы 3 удовлетворяет гипотезам теоремы 2, следовательно, правило (**) полно.

Правило (**) установлено без ссылок на унификацию частей и имеет,естественный вид при формулировании в терминах факторов. В любом случае число унифицируемых частей или факторов, которое необходимо произвести, вообще меньше, чем их возможнбе число. Мы вернемся к этому после доказательства теоремы 3.

Позднее мы введем различные специализации формы клаш дерева, ассоциированного с невыполнимым множеством S. Соответствующие специализации (**) и доказательства теоремы 3 будут демонстрировать доказательства полноты для таких систем вывода в соединении с теоремой 2.

Доказательство теоремы 3. Пусть Т — клаш дерево, N ^ Т — вершина вывода, М^, ..., N^ — сателлитные вершины

непосредственно ниже N и ^+1 — соответствующая ядерная вершина. Пусть ^^ — частичное присоединение к N; единичное множество {LJ, где Lt — фундаментальная литера, — это множество, присоединенное к сателлитной вершине Ni (Y^i^k), и {Li, ... ..., Li^ — множество, присоединенное к Nw. Допустим А опровержим на Nw и Bi опровержим на ^ (1 ^ i ^ k).

Сначала мы докажем, что каждый 6i имеет форму сателлитного дизъюнкта, определенного в (**). Так как Bi опровержим на N^ но не на N, существует фундаментальный - пример BiOb который является ложным на Nb но не на N. Таким образом, все дополнения литер из В^ встречаются в ^N U {LJ, но_не в s^n- Поэтому BiOi = В01огу Еь где Bi = BQ1 VEt, E^i = Li и B^Oi ложен в -

Теперь для того чтобы показать, что А имеет форму ядерного дизъюнкта, определенного так, как в (**), отметим, что аналогично приведенным выше рассуждениям А опровержим на NWl но не на N. Поэтому некоторый фундаментальный пример До является ложным на Л^+ь но не на N, и, следовательно, все дополнения литер в До встречаются в ^N U {Lb ..., LJ, но не в ^N. Таким образом, До = Доо\/Lt V ... VLm, где для простоты вершины ^l, ..., Nk переупорядочены так, что литеры Lb 1 ^ i ^ т, которые встречаются в До, находятся в первоначальном сегменте Еь ..., Ln. Таким образом, А = До V Dv V ... V Dm, где Д0о ложен в «s^n и D^ = Li.

Остается только показать, что выведенный дизъюнкт С опровержим на N и что клаш условие может быть наложено на клаш правило. Мы уже показали, что дизъюнкт С'= Д0о V B0iOiV ... ... VB0mOm опровержим на N, так как и Д0о, и B0iOi опровержимы в ^дг. Мы докажем, что С опровержим на N исходя из того, что С' является примером С. Но так как g является наиболее общим унификатором, Который переводит все литеры, резольвирующие в выводе, в единичные литеры, и так как Д, 6Ь ..., Вт стандартизуются отдельно, то существует подстановка %, такая, что С' = = СК и поэтому С опровержим на N.

Допустим, что клаш условие нарушено и что некоторый пример Е^ или его дополнение встречаются в С. Тогда Е^Х = Ь4 или Е^Х = Li встречаются в С', который опровержим в ^N- Но при этом Li или Li должны встречаться уже в ^Nl а это невозможно. Единственная другая возможность состоит в том, что Е^ или его дополнение совпадает с Е^ или D^ для j У= L Но тогда Lt должно совпадать с Lj или Li с Lj для j + i, что также невозможно. Ч. Т. Д.

Факторизация

Когда применяется латентное клаш правило (**) или его какая-нибудь специализация для доказательства невыполнимости Множеству дцзъкжктоэ, один дизъюнкт будет обычно -встречаться

много раз в качестве посылки применения правила. Для того чтобы избегнуть размножения получающейся при повторной унификации одной и той же группы литер внутри дизъюнкта, мы можем использовать аппарат факторизации.' Наиболее общий одновременный унификатор (н. о. о. у.) £ правила (**) может быть разложен в последовательность компонент £ь ..., £m, gm+i и g' таким образом, что ^ — н. о. у. Е^ (1 ^ f ^ m), gm+i— н. о. о. у. DXl ..., Dm и ^ —н. о. о. у. Е^ с D^™^ (1 i ту Тогда в (**) резольвента С = Ао^\/В0Х^У ... V В^ совпадает С (До?т+1 V Boigi V ... VBOmU)^, ГД С унификаторы ^, 1^/^ ^ т + 1 производят необходимую унификацию внутри одного дизъюнкта, a £' только унифицирует одновременно по одной литере в сателлитных дизъюнктах с соответствующими единственными литерами в ядерном дизъюнкте. Унификатор £' должен конструироваться отдельно для каждого применения правила вывода; но унификаторы ^ должны быть сконструированы только один раз при первом получении дизъюнкта, и эта подстановка может быть ассоциирована с соответствующим дизъюнктом всякий раз, когда литеры Ег для 1 ^ I ^ т или литеры DX) ..., Dm в случае f = m + 1 являются унифицируемыми или резольвируемыми в выводе. ' "

Эти соображения дают основание заменить (**) двумя независимыми операциями: факторизацией и резолюцией профактори- зованных дизъюнктов. Фактор дизъюнкта С — это дизъюнкт СО, где 0 — н. о. у. выделенного подмножества литер в С в случае, если СО будет использоваться как сателлитный дизъюнкт, или дизъюнкт СО, где 0 — н. о. о. у. подмножеств DX) ..., Dm литер в С, в случае если С0 будет использоваться как ядерный дизъюнкт. Дополнительно мы потребуем, чтобы литеры в С0, которые предварительно унифицируются подстановкой 0, каким-то образом отличались от тех, которые не унифицируются этой подстановкой (это может быть выполнено для целей программирования, например запасанием С0 с его выделенной литерой или литерами, встречающимися в С0 впервые, и отделением их некоторым образом от тех литер, которые существовали ранее и не являлись выделенными). Операция факторизации таким образом состоит в замене каждого дизъюнкта С, который не является фактором, множеством его факторов. Клаш правило для профакторизованных дизъюнктов совпадает тогда с резольвированием выделенных литер клаша.

Понятие факторизации, определенное выше, есть уточнение понятия, полученного прямым переводом унифицированных частей дизъюнкта в термины факторов. Во-первых, только те литеры, которые резольвируют отдельно, намеренно унифицируются в факторе. И наоборот, только те литеры, которые унифицируются предварительно, будут резольвировать. Для случая бинарной резолюции этот вариант факторизации совпадает с понятием «ключевой тройки» Робинсона (1965а). Тем не менее замечания

о факторизации, приведенные выше, являются довольно общими и приложимы к любому правилу вывода, которое является специализацией латентной клаш резолюции.

Бинарная резолюция и А-упорядочение

Дано множество дизъюнктов S. Мы определим к-упорядочение для S как общий порядок <2, определенный на некотором подмножестве множества литер {Lo|LeC для какого-либо дизъюнкта С е S}, такой, что

если Li < £2, то Lxo < £2о для всех о;

если £i и £2 являются алфавитными вариантами или дополнениями, то £1 £2 и £2 £ь

Это определение аналогично определению Слегла (1967), но обладает преимуществом, которое позволяет более точно различать литеры.

Пусть S — невыполнимое множество дизъюнктов и К ^ Н — конечное подмножество, такое, что любое семантическое дерево для К замкнуто. Пусть < есть A-упорядочение для S ц {Ль ... ..., Лп} = К — перечисление К, совместное с ^, т. е. если Аг < Aj, то i *Cj. Мы связываем с S простое бинарное дерево Т для К, найденное приписыванием 0 корню этого дерева, множеств {AJ и {Л 1} непосредственно ниже корня и множеств {Aw} и {Лг+1} непосредственно ниже любой вершины, которой приписано {Лг} ИЛИ {Аг}.

Ссылаясь на доказательство теоремы 3 и используя понятия фактора, мы видим, что ёсли дизъюнкт С опровержим в опровергающей вершине N ^Т, то выделенная литера £1 некоторого фактора С0 опровержима на N, в то время как оставшиеся литеры в С0 опровержимы на вершинах выше N. Из того факта, что перечисление {Ль ..., Лп} совместно с ^, следует, что Lx < £2 для любой £2 е Со, где Lx = L2. Но, с другой стороны, если Lx < £2 и (С0)о— фундаментальный пример фактора С0, который опровержим на N, то Lxo<C L2o по (i) и, кроме того, по конструкции Г, £2о — это Аг или Аг и Lxo— это Aj или Aj, где t < /, так как по условию (ii) не может быть Lxo < £2о.'

Принимая во внимание приведенные выше замечания, используя подходящую специализацию теоремы 3 и применяя теорему 2, мы приходим к выводу о полноте следующего варианта бинарной резолюции:

Дано множество_ дизъюнктов S и A-упорядочение ^ для S. Тогда из факторов Lx V Ао и Lx V Во с выделенными литерами Lx и £{ соответственно выводится дизъюнкт (Ло V В^ £, где £ — н. о. у. литер Lx и Lx и где не имеют места ни Lx < £2, ни Ц < £2 для любой литеры £2 в каждом Ао или Во.

Как пример использования A-упорядочения в соединении с этим правилом, пусть A-упорядочение ^ будет определено для

некоторого множества дизъюнктов условиями Р (f (х)) а < <P(g(f/))a и P(x)a<Q(y)a для всех а. Тогда нефакторизован- ный дизъюнкт C = P(g(a))VP(f(x)),VQ(6) имеет только один фактор С6, где 6 — тождественная подстановка и Р(/(х)) — выделенная литера. В этом случае A-упорядочение ^ исключает необходимость рассматривать два из трех возможных факторов. Если С = Q(f(a)) V Р(х) VP(f(а)), то существуют три фактора С, совместимых с ^, и лишь один из четырех возможных факторов не будет произведен.

Следующий пример показывает, что правило, приведенное выше, не совместимо ни с множеством поддержки (Вос, Карсон й Робинсон, 1965), ни с Pi-дедукцией (Робинсон, 1965): пусть S — множество VL\VL2) L{\/L2, Lx\/L2, L\\/L^, и пусть ^ определено посредством L\ < L2. Тогда, несмотря на то что S невыполнимо, □ не может быть выведен ни с Ргдедукцией, ни с множеством поддержки, если мы возьмем {LiVL2} в качестве множества поддержки. , ‘

В следующих разделах мы увидим, что более слабый вариант ограничения A-упорядочения применим к М-клашам и что в частном случае Рр-дедукции (Ргдедукция с переименованием) более ограниченный упорядочивающий принцип, основанный на А-упоря- дочении, является полным.

М-клаши

Мы не можем конструировать бинарные семантические деревья для установления стратегии множества поддержки или Ргдедук- ции. Однако М-клаш деревья, которые будут определены ниже, могут быть использованы для доказательства полноты М-клашей, а при подходящем выборе интерпретации М и при разложении соответствующих М-клаш правил мы находим, следуя Слеглу (1967), полноту этих систем вывода.

Пусть S — множество дизъюнктов. Определим эрбрановскую интерпретацию S как любое полное присоединение к эрбранов- ской базе Н множества S' (мы уже видели, как любое полное присоединение к Н может быть рассмотрено как возможная интерпретация S). Допустим, что в данный момент М есть эрбранов- ская ^интерпретация S. Пусть S — невыполнимое множество и К Н — конечное множество, такое, что любое семантическое дерево для К замкнуто. Пусть М = {Аь ..., А^ есть ограничение М на К, где А< е Н иД$ = Аи если Ai^ М, Д/ = Аь если At е М, так что М г М и М является полным присоединением к К. Мы ассоциируем с множеством S М-клаш дерево Т, определенное следующим образом:

0 приписано корню дерева Т;

корень этого дерева имеет n + 1 непосредственных потомков с множествами {Д^}, приписанными z-й сателлитной вершине (1 ^ i ^ т), и множеством {Д!, ..., АпА — ядерной вершине;

(ш) „пусть N ^Т, ^N не является полным присоединением к К» ^n^M и М — ^n = \A'jx, ..., Д/^}; тогда N имеет й + 1 непосредственных потомков с единичными множествами [Д/J, ... .(Д/J, приписанными к сателлитным вершинам, и множеством [Д^, ..., Д/J, приписанным ядерной вершине.

Отметим, что присоединение к любой ядерной вершине является полным присоединением к К, и поэтому каждая ядерная вершина М-клаш дерева Т является листом этого дерева. Отметим также, что присоединение к каждой сателлитной вершине всегда является подмножеством множества М и что для любого такого присоединения, содержащего m<.n литер, существует точно т! сателлитных вершин с тем же самым присоединением.

Допустим, дизъюнкт В опровержим на сателлитной вершине, которая является опровергающей вершиной. Тогда некоторый фундаментальный пример Во дизъюнкта В ложен в М и поэтому и в М. Таким образом В сам является ложным в эрбрановской интерпретации М.

Предположим, что А опровержим на опровергающей вершине N, которая является ядерной вершиной. Некоторый фундаментальный пример Дог дизъюнкта А должен быть опровержим на N и некоторые литеры Д^ ... Д/т для m ^ к должны быть опровержимы именно на N. Но так как эти литеры принадлежат М ^ М и поэтому являются истинными в М, то отсюда следует, что До истинен в М. Таким образом, А имеет пример, который истинен в М.

Отметим, что так как резольвента С клаша опровержима на сателлитной вершине, то С должна быть ложна в М. Обратим внимание также на то, что ядерный дизъюнкт никогда не является резольвентой и поэтому должен принадлежать первоначальному множеству дизъюнктов S.

Специализация теоремы 3, полученная для М-клаш дерева, если мы принимаем во внимание соображения, сделанные выше, и приложения теоремы 2 позволяют нам найти полноту М-клаш резолюции:

Дано множество дизъюнктов S и эрбрановская интерпретация М эрбрановской базы Н множества S. Из факторизованного ядер- ного дизъюнкта^ А = Ц V .. • V L'm V До и факторизованных сателлитов Bi = Ъг\/В^ (l^i^m), где g —наиболее общий унификатор, такой, что Е^ = Ц^ одновременно для всех 1 ^ i ^ т, выводим резольвенту C = 0oVBoiV .. .!VSOm), если выполняется клаш условие; при этом сателлит В ложен в М, Ci ложен в М и Д имеет пример, истинный в М.

Замечания

Слегл (1967) заметил, что если T^S и S — Т выполнимо, то оно удовлетворяется эрбрановской интерпретацией М. Отсюда следует, что в S — Т не существует дизъюнкта, который мог бы быть сателлитом М-клаша. Разлагая взаимодействие М-клашей в последовательность бинарных резолюций, мы видим, что не существует двух резольвируемых дизъюнктов, которые оба принадлежат S — Т. Но это как раз является условием множества поддержки.

Трудности возникают в том случае, если мы желаем использовать интерпретацию М для определения того, когда в приложении М-клаш правила нам требуется определить истинность или ложность дизъюнктов и их примеров. Во-первых, если М не является эрбрановской интерпретацией, мы должны расширить М до интерпретации, в которой все сколемовские функции, которые действительно встречаются в S, уже определены некоторым образом. Расширенной таким образом интерпретации М будет соответствовать эрбрановская интерпретация, объясняющая применение этого расширения. Иначе вопросы истинности или ложности дизъюнктов, словарь которых не полностью интерпретируется в М, совершенно бессмысленны.

Более серьезное ограничение на полное использование интерпретации М состоит в том, что требуется алгоритм для разрешения истинности или ложности дизъюнктов и их примеров. Иначе не существует пути, с помощью которого ее использование может быть механизировано для вычислительной машины. В этом смысле являются эффективными интерпретации, содержащие только конечное число элементов. Но если они не обладают другими специфическими свойствами, исчерпывающее образование примеров каждого дизъюнкта над областью интерпретации для цели проверки его примеров на истинность или ложность будет, вероятно, затруднительно. Те же самые соображения применяются к разделению модели (Лукхем, 1968), которая может быть представлена как специальный случай М-клашей.

Слегл также показал, что гиперрезолюция может быть рассмотрена как специальный случай М-клашей, где все примеры положительных литер рассматриваются в М как ложные, а все примеры отрицательных литер — как истинные. Тогда все сателлиты и резольвенты содержат только положительные литеры, а все отрицательные литеры ядерного дизъюнкта резольвируют в клаше. Результирующий клаш является максимальным в том смысле, что не существует подклаша, который необходимо сгенерировать. Это весьма желательное свойство может быть расширено путем переименования. В дальнейшем мы покажем, как можно получить максимальное преимущество Pi-дедукции, используя ее частично эффективный вариант.

АМ-клаши

Пусть ^ есть A-упорядочение и М — эрбрановская интерпретация для множества дизъюнктов; тогда может быть сформулирован следующий упорядочивающий принцип в дополнение к правилу М-клашей:

дано профакторизованное ядро А = Ц\! . . . V LmV Ао и профакторизованные сателлиты Вг = Ьг\/Вм (Y^i^m) с резольвентой C = (AoVBoiV ... VBOm)£, удовлетворяющие М-клаш условиям; мы можем утверждать, что так как нет литеры Li е Воь мы имеем Li > L' для любого 1 <С i ^ т.

• Это ограничение улучшает упорядочивающий принцип Слегла в силу того, что понятие A-упорядочения, определенное выше, является вообще более ограниченным. Доказательство, которое следует из совместимости упорядочивающего принципа и М-клаш правила, очень важно для специализации аргументов Слегла.

Дано замкнутое М-клаш дерево Т и A-упорядочение ^ для невыполнимого множества S; мы покажем, что в Т существует вершина вывода N, такая, что факторизованные дизъюнкты А и Bi, 1 ^ / ^ т, которые опровержимы ниже выводимой вершины, и их резольвента С удовлетворяют АМ-клаш условиям. Отсюда по теореме 2 будет следовать, что АМ-клаш правило полно. Заметим, что фактически остается доказать только то, что сателлиты Bi удовлетворяют упорядочивающему принципу, сформулированному выше, так как мы уже видели, что М-клаш условие выполнено. '

Как прежде, пусть М ^ М будет определяться как множество {А{, ..., Ап}, где упорядочение А/ совместимо с А-упорядоче- нием, т. е. если А/ < А/, то i < j. Мы построим подмножество М' множества М следующим образом:

(0 М$=0;

(И) Если профакторизованный дизъюнкт Bi+1 = Lt+1 V Boi+i некоторого дизъюнкта из S имеет фундаментальный пример Bt+1a, ложный в {Л/+1}и^ъ и не существует дизъюнкта из S, опровержимого в M'i, то M'i+i = M'i; с другой стороны Л1{.ц = = {Л$+1} U Mj. В рассматриваемом случае мы можем выбрать фактор В1+1 так, что Li^\Q = Л;+ь и мы говорим, что Bi+i связано с Л;+ь

М' = МП.

М' является частичным присоединением к К, и существует некоторая вершина N, такая, что s^N = М'. Мы потребуем, чтобы N являлась вершиной вывода. Отметим, что фактор В,, связанный с Ль опровержим на сателлитной вершине Nt непосредственно ниже М Некоторый ядерный дизъюнкт опровержим на ядерной вершине, и не существует такого дизъюнкта в S, который был бы опровержим на N, как это видно из построения М'. Резольвента С,

полученная из ядерного дизъюнкта и подмножества сателлитных дизъюнктов, опровержима на N. ' . '

Допустим теперь, что А-упорядочивающее ограничение нарушено, и поэтому для некоторого i выделенная литера Li в факторе Bi = Li\/BOi1 который связан с А/, меньше, чем некоторая литера ЦеВ^, т. е. Li<L"i. Тогда если В^ является фундаментальным примером В^ который опровержим на Ni, то LiO < L"a. Но Lia = Ai и L'i'o = A'j для некоторого j<ZL и так как неверно, что Ai < Л/ при совместимости перечисления Ai с ^, то отсюда следует невыполнимость Lia < L^o, следовательно, неверно, что Li < Lb

Гиперрезолюция и Ргдедукция

Пока ищутся другие^ более эффективные и механизируемые применения АМ-клаш резолюции в качестве эффективных стратегий доказательства, кажется, наиболее подходят стратегии множества поддержки и гиперрезолюции, обе дополненные факторизацией и A-упорядочением. Мельцер (1968) показал, что переименование и Pi-дедукция могут использоваться для улучшения стратегии множества поддержки. Лукхэм (1968) привел примеры доказательств, найденных при существенном использовании Ррде- дукции и переименования, и эти доказательства' не менее эффективны, чем доказательства, найденные с помощью стратегии множества поддержки. Вариант Pi-дедукции, который проводится ниже, кажется нам определенным улучшением существующей стратегии. Предварительные результаты, найденные программированием этой стратегии в Атлас-автокоде на вычислительной машине КДФ-9, подтверждают эту точку зрения.

Преимущество гиперрезолюции перед Pi-дедукцией заключается в том, что она избегает генерирования (2П)! резольвент, которые получаются при резольвировании всеми возможными способами среди n-факторизованных сателлитных дизъюнктов и данным факторизованным ядерным дизъюнктом (где каждая выделенная литера ассоциируется только с одним из сателлитов). Но она имеет недостаток, который состоит в частичных отбрасываниях промежуточных гиперрезольвент, которые получаются при генерировании максимальной гиперрезольвенты. Эти частичные гиперрезольвенты придется производить заново каждый раз, причем любая из них получается различными способами. Кроме того, проблема поиска для гиперрезолюции более сложна, чем соответствующая проблема для Pi-дедукции. Следующий вариант Ррде- дукции объединяет преимущества гиперрезолюции перед Ргде- дукцией без недостатков, присущих ей.

Дано множество дизъюнктов S и A-упорядочение ^. После переименования (если это необходимо):

заменить каждый неположительный дизъюнкт в S множеством его факторов (неположительный дизъюнкт факторизуется как ядерный дизъюнкт), Выбрать любой суммарный порядок различных литер в таком факторе А (упорядочение может быть выбрано независимо от каждого Д). Пусть А = ЛД/ ... LnVA01 где мы условились писать отрицательные литеры L^ по порядку и перед положительными литерами и где До — положительный поддизъюнкт дизъюнкта А;

заменить каждый положительный дизъюнкт в S, а затем каждую положительную резольвенту множеством их факторов (положительные дизъюнкты факторизуются как сателлитные дизъюнкты). Мы можем утверждать, что ограничение А-упорядо- чения выполняется на каждом таком факторе;

выделенные литеры положительных факторов резольви- руем с первыми отрицательными литерами неположительных дизъюнктов. Если резольвента отрицательна, она не факторизуется; но если это необходимо, выбирается новый порядок ее различных литер. Если резольвента положительна, она факторизуется, как в пункте (ii).

Легко видеть, что каждая гиперрезольвента находится точно один раз при помощи последовательности резолюций, удовлетворяющих ограничениям (iii). Отсюда следует, что эта система вывода полна и удовлетворяет свойствам, выполнение которых потребовано выше.

Условие (i) может быть заменено следующим:

(Г) заменить каждый неположительный дизъюнкт А его фактором Аб = А, где 6 — тождественная подстановка. Выбрать любое суммарное упорядочение выделенных литер..., и т. д.

Условие (i') основывается на том, что неположительные дизъюнкты не факторизуются вовсе. Доказательство того, что полнота не нарушается при замене (i) на (Г), является довольно сложным и лежит вне сферы этой работы.

Дарлингтон (1969) показал, как использовать переименование, A-упорядочение и упорядочение отрицательных литер в неположительных дизъюнктах, чтобы не производить большинство резолюций, исключающихся стратегией множества поддержки. Он делает это для целей применения автоматического поиска доказательств к универсальной информационно-поисковой системе, где множество поддержки является весьма подходящей стратегией.

Другие применения семантического дерева

Понятие семантического дерева, используемое в этой работе, может быть легко расширено на исчисление предикатов с равенством. Оригинальная формулировка семантического дерева, данная Робинсоном (1968), была предназначена именно для этого

исчисления. Тем не менее мы сейчас не в состоянии найти какое- либо семантическое дерево, которое давало бы приемлемые механические системы вывода. Легко показать, что присоединенные деревья (Сиберт, 1967) могут быть сконструированы как семантические клаш деревья. В этом случае, используя обобщенное понятие опровержения, можно сформулировать.дополнительные ограничения на производство унифицируемых частей. Однако базовая система трех правил вывода, соответствующая вершинам вывода, остается существенной и для тезисов Сиберта. Мы смотрим пессимистически на возможность нахождения других конструкций семантических деревьев, которые могли бы произвести эффективные системы вывода для исчисления предикатов с равенством.

Хайс (1969) применил метод семантического дерева для нахождения простой механической системы вывода для трехзначного исчисления предикатов Дж. Мак-Карти.

Эта работа была выполнена при поддержке д-ра Мельцера из Научно-исследовательского совета (Хайс) фирмы IBM и Императорского колледжа (Ковальски). Авторы хотят поблагодарить мисс И. Смит за полезную дискуссию и доктора Мельцера за неослабевающее внимание и руководство. ■

ЛИТЕРАТУРА

Darlington J., Theorem proving and information retrieval, Machine Im telligence 4 (eds. Meltzer B., Michie D.), Edinburgh: Edinburgh University Press, 173—181, 1969.

H a у e s P. J., A machine-oriented formulation of the Extended Functional Calculus, A. I. Memo., Stanford University: Artificial Intelligence Project, 1969.

Luckham D. C., Some tree-paring strategies for theorem-proving, Machine Intelligence 3, 95—112 (ed. Michie D.), Edinburgh: Edinburgh University Press, ■ 1968.

M e 11 z e r B., Theorem-proving for computers: some results on resolution and renaming, Comput. J., 8 (1966), 341-^-343.

Meltzer B., Some notes on resolution strategies, Machine Intelligence 3, TITS (ed. Michie D.), Edinburgh: Edinburgh University Press, 1968.

Robinson J. A., A machine-oriented logic based on the resolution principle, J. Ass. Comput. Mach., 12 (1965), 23—41.

Robinson J. A., Automatic deduction with hyper-resolution, Int. J. Comput. Math., 1 (1965), 227—234.

Robinson J. A., A review of automatic theorem-proving, Annual symposia in applied mathematics XIX, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1967.

Robinson J. A., The generalized resolution principle, Machine Intelligence 3, 77—93 (ed. Michie D.), Edinburgh: Edinburgh University Press, 1968.

Sibert E. E., A machine-oriented logic incorporating the equality relation, Ph. D. thesis, Rice University, 1967.

Slagle J. R., Automatic theorem-proving with renamable and semantic resolution, J:‘Ass. Comput. Mach., 14 (1967), 687—697.

Wos L. T., Carson D. F., R о b i n s о n G. A., Efficiency and completeness of the set support strategy in theorem-proving, J. Ass. Comput. Mach 12 ' (1965), 536—541.’

Принципы оптимального замещения страниц')

А. В. Ахоу, П. Д. Деннинг, Д. Д. Ульман

Рассматривается формальная модель алгоритма страничной обработки в предположении, что программа ведет себя как нестационарный процесс порядка I. В процессе страничной обработки программы при заданной памяти данная страничная стратегия порождает определенное (ожидаемое) число вызовов страниц, т. е. «стоимость». При обычных предположениях относительно организации системы памяти минимальная стоимость всегда достигается для алгоритма вызова страниц по требованию. Минимизация стоимости в случае программы, ведущей себя как нестационарный процесс порядка I, — это задача динамического программирования, решение которой дается оптимальным алгоритмом замещения. В статье представлены решения для нескольких интересных случаев порядка 0. Рассматриваются страничные алгоритмы, которые реализуют и приближают минимальную стоимость.

ВВЕДЕНИЕ

С самой ранней поры развития электронной вычислительной техники в машинах с очень большой общей памятью использовались системы памяти, состоящие по крайней мере из двух уровней. Для того чтобы быть доступной процессору, информация должна находиться в «Главной памяти», в противном случае она может храниться во «вспомогательной памяти». Старые системы предоставляли программисту управление перемещением информации между главной и вспомогательной памятью. В то же время большинство новых систем, использующих виртуальную память [1—4], предусматривает адресное пространство, которое во много раз превосходит доступную главную память; эти системы сами решают, какие из частей адресного пространства программиста должны находиться в главной памяти и когда следует перемещать информацию между главной и вспомогательной памятью. В дальнейшем термин «память» будет означать «главную память».

Во многих системах с виртуальной памятью используется страничная обработка — адресная схема, которая делит память на фиксированного размера блоки ячеек, именуемые страницами памяти, а адресное пространство — на соответствующего размера блоки адресов, именуемые страницами программы. Память рассматривается как группа безымянных страниц памяти, причем

9 Aho А. V., Denning Р. I., U 11 m a n I. D., Principles of optimal page replacement, J. ACM, 18, № 1 (1971), 80—93.

любая из страниц программы может быть помещена в любую страницу памяти; страница является единицей передачи информации между главной и вспомогательной памятью.

Пусть множество ^ = {1, ..., п} обозначает программные страницы, множество Л1 = {1, ..., /п} — страницы памяти и 1^ ^ пг ^ п. В каждый момент времени имеется функция f: Nr*Mt которая задается следующим образом:

| /, если страница программы I находится 1^ = ^ ' в странице памяти j,

I не определена в противном случае.

Эта функция называется «картой страниц». Если размер страницы равен z, то действительный виртуальный адрес — это целое число а (О^а < пг^. Аналогично действительный адрес памяти —это целое число р (0^p</nz). Устройство перевода адресов, получив виртуальный адрес а, находит пару (t, до), такую, что а = = \i—1)2 + ^, где 0 ^ до < z, и затем вырабатывает адрес памяти Р = [/(0—l]z + w, если значение /(f) определено, или «признак отсутствия страницы», если значение f^i) не определено. По признаку отсутствия страницы выполнение программы прерывается на «время ожидания страницы», до тех пор пока система сможет выбрать отсутствующую страницу из вспомогательной памяти, загрузить ее в доступную страницу главной памяти и изменить карту страниц в соответствии с изменением, состояния памяти. -

Страничная стратегия, которая определяет, как использовать страничную организацию, содержит три подстратегии. Стратегия замещения используется для выбора страницы, удаляемой из памяти. Стратегия размещения — для выбора среди доступных страниц памяти той, в которую будет помещена вызванная страница. Стратегия вызова необходима для определения того момента, когда некоторую страницу следует вызвать в память. Если страницы вызываются в память тогда и только тогда, когда для них вырабатывается признак отсутствия страницы, то стратегия вызова называется стратегией вызова по требованию; в противном случае она называется пр ед страничной стратегией. Страничный алгоритм — это реализация страничной стратегии.

Критерием, который обычно выбирается в качестве критерия оптимальности страничного алгоритма, является минимизация общего времени выполнения программы. Мы выбираем в качестве критерия оптимальности страничного алгоритма минимизацию суммарного времени ожидания страниц за все время выполнения программы, так как это существенно упрощает анализ без значительного влияния на общность наших рассуждений. Если интервалы ожидания страниц программы и интервалы выполнения программы не пересекаются (например, в случае стратегии вызова

по требованию), то оба эти критерия эквивалентны. Если среднее время между прерываниями из-за отсутствия страниц много меньше, чем среднее время ожидания страницы (например, для вращающейся вспомогательной памяти), то второй критерий близко приближается к первому.

Первая вычислительная машина с виртуальной памятью («Атлас» [1]) и подавляющее большинство последующих машин с виртуальной памятью использовали «вызов страниц по требованию», т. е. страничную стратегию, которая использует стратегию вызова по требованию и заполняет память насколько возможно. При вызове страниц по требованию стратегия размещения тривиальна: если память не заполнена, то вызываемая страница помещается в произвольную неиспользуемую страницу памяти; если память уже заполнена, то сначала используется стратегия замещения для освобождения страницы памяти, а затем в ней размещается вызываемая страница программы. Таким образом стратегия замещения остается единственным компонентом стратегии вызова страниц по требованию, которым можно манипулировать, и, следовательно, изучение оптимальных стратегий вызова страниц по требованию сводится к изучению оптимальных стратегий замещения. Так как в случае вызова страниц nd требованию причиной каждого интервала ожидания страницы является отсутствие страницы в памяти, алгоритм с вызовом по требованию будет оптимальным в том и только том случае, если он минимизирует число отсутствий страниц.

Мы ограничиваемся оптимальными стратегиями с вызовом по требованию по двум причинам. Во-первых, мы докажем, что при определенных ограничениях на систему организации памяти оптимальная страничная стратегия должна быть стратегией с вызовом по требованию. Во-вторых, громадное большинство систем, для которых теоретически оптимальной была бы предстраничная стратегия, реализованы так, что допускают использование только страничной обработки с вызовом по требованию. .

Начиная с первой стратегии замещения страниц [1], широко был распространен «неформальный принцип оптимальности» для стратегий замещения: замещать следует ту страницу, ожидаемое время до следующего обращения к которой наибольшее. То, что в последующие годы было предложено множество различных стратегий., явилось результатом различных предположений о поведении программы, использованных для определения ожидаемого времени до следующего обращения. Экспериментальные данные [5, 6] наводят на мысль, что этот принцип является очень хорошей эвристикой для разумных предположений о поведении программы.

Несмотря на широкое распространение и интуитивную привлекательность неформального принципа оптимальности, легко придумать контрпримеры в случае произвольных предположений

о поведении программы1). В дальнейшем мы определим иерархию нестационарных марковских моделей порядка / для поведения программ, а затем поставим задачу динамического программирования, решением которой является оптимальная стратегия замещения. Мы в состоянии решить задачу динамического программирования для оптимальной стратегии в нескольких интересных случаях порядка 0 и показать, что в этих случаях оптимальная стратегия реализует неформальный принцип оптимальности.

Имеется несколько опубликованных работ, предлагающих экспериментальное изучение [5—9] или формальные модели [10—16] поведения программ и алгоритмов замещения. В двух статьях предложены предположительно оптимальные стратегии замещения: алгоритм Билэди [5] предполагает точное знание будущих обращений к страницам, а алгоритм Деннинга — Чена — Шедле- ра [13] предполагает, что для будущих обращений к страницам имеет место стационарная марковская статистика поряда 0. Эти и другие алгоритмы попадают в класс алгоритмов, изучаемый ниже.

СТРАНИЧНЫЕ АЛГОРИТМЫ

Как и раньше, мы считаем, что ^ = {l, ..., п} — это страницы заданной n-страничной программы, М = {1, ..., т} — это страницы памяти, и 1 ^ пг ^ п. Множество Nk содержит все последовательности длины к над N, где к ^ 0. В процессе работы программы порождается последовательность обращений к страницам программы со = гх ... rt ... гг, которая является элементом множества NT для некоторого Т; если rt = х, то ясно, что /-м обращением программы является обращение к странице х. Рассматривая неотрицательные целые числа как «моменты времени», мы можем сказать, что rt — это «страница, к которой обратились в момент Ь.

Назовем S^N состоянием памяти. Пусть 9Лт — множество {S|S^^ и |S| ^ m}, где |S| обозначает число элементов в множестве S.

Определение 1. Пусть М и N заданы. Страничный алгоритм для М и N — это система А = (Q, q0, g), в которой

Q — множество управляющих состояний алгоритма,

q0 из Q — начальное управляющее состояние,

g: $lm X Q X N -> Ш1т X Q — преобразование размещения. Преобразование размещения обладает тем свойством, что х принадлежит S' всякий раз, когда g(S, q, х) = (S', q').

Заметим, что страничный алгоритм — это не что иное, как автомат с состояниями SMm X Q, входами N и функцией перехода g. Пара (S, q) из SMm X Q называется конфигурацией системы А.

Мы благодарны Джону Померанцу из Чикагского университета за то. 4JQ дц указал н^м один из таких примеров'-‘

Определение 2. Пусть заданы состояние памяти So и последовательность обращений № = гх ... rt ... гт. Страничный алгоритм А обрабатывает го при начальном состоянии So, порождая последовательность конфигураций {(S,, qt^^, такую, что

(Si, qi) = g(S<-1, qt-ъ rt) (KW

Если rt^St-i, то в момент времени / возникает прерывание из- за отсутствия страницы. Каждое состояние памяти связано с предшествующим следующим образом:

^ = $^и^-Гь

где Xt^N — St-\ и Yt^St-\. Страницы Xt— это те, которые помечаются в память, a Yt— те, которые удаляются из памяти..

Определение 3. (Обозначения.)

St обозначает состояние памяти в момент /,

ST обозначает состояние памяти размера m (т. е. |s{”| = ^),

S + ^ обозначает множество SU{x}, где x^S,

S — х обозначает множество S — {х}, где xeS.

Определение 4.

если xgS,если xgS,g (S, q, х) =g (S, q, х) =(S, /), (S + х, q% (S-Vx — y, q'),(S, /), (S + х, q% (S-Vx — y, q'),Страничный алгоритм А является алгоритмом с вызовом страниц по требованию, если его преобразование размещения имеет следующий вид:

если xgS,

если xgS,

g (S, q, х) =

g (S, q, х) =

(S, /), (S + х, q% (S-Vx — y, q'),

(S, /), (S + х, q% (S-Vx — y, q'),

если x ф S, | S | < m, если x ф S, | S | = m, у e S.

Если |So|</n, то в большинстве случаев при вызове страниц по требованию память в конечном счете заполняется и в дальнейшем остается полной. ■

Пример 1. Двумя обычными алгоритмами с вызовом страниц по требованию являются FIFO (first — in — first — out: первая — в — первая — из) и LRU (least — recently — used: наиболее давно использовавшаяся) [5, 9, 12]. Как для FIFO, так и для LRU управляющими состояниями алгоритма являются Q = Nm, обозначим типичное из таких состояний q = (ух, ..., УтУ Когда |S| = /n, преобразования размещений таковы:

^FIFO^’ ^’ ^^FIFO^’ ^’ ^(S, q),(S + х — ут, q^,(S, q),(S + х — ут, q^,Slru ^* У’ х) |Slru ^* У’ х) |(S, q"\(S + х — yw q'),(S, q"\(S + х — yw q'),если если если еслиесли если если еслихе S, х^ S; хе S, х^ S;хе S, х^ S; хе S, х^ S;

^FIFO^’ ^’ ^

^FIFO^’ ^’ ^

(S, q),

(S + х — ут, q^,

(S, q),

(S + х — ут, q^,

Slru ^* У’ х) |

Slru ^* У’ х) |

(S, q"\

(S + х — yw q'),

(S, q"\

(S + х — yw q'),

если если если если

если если если если

хе S, х^ S; хе S, х^ S;

хе S, х^ S; хе S, х^ S;

где q' = (x, ухут-х^ и если Х = Уц, то q" = (x, yv ..., ун, Ук+\> • • • > Ут)1.

Пусть т(х,/) —это время до следующего обращения к странице х в момент /; если к х больше не обращаются, то полагаем t(x,0 = Т — /+ 1.

Пример 2. В оптимальном алгоритме, предложенном Билэди, который мы обозначим Во, предполагается, что последовательность обращений со = г i ... rt ... гт известна и замещается та страница у, у которой время до следующего обращения г (у,t) наибольшее. Управляющими состояниями алгоритма являются моменты времени / (О^/^Т). Для |S|=m преобразование размещения определяется так:

□ (Str■ если rmsS-

. Во <+11(5-|-Г;+1 — у, ^+1), если r(+1^S,

где у— это элемент S, такой, что х(у, t) ^ т(х, /) для всех х из S.

Пример 3. В оптимальном алгоритме, предложенном Деннингом, Ченом и Шедлером [13], который мы обозначим через Ло, замещается страница, у которой ожидаемое время до следующего обращения наибольшее. Их предположение о поведении программы состоит в том, что Е[т(х,/)] считается постоянным для всех t > 0. Положим, что страницы пронумерованы так, что Дт(х,/)]^ •<Е[т(х+l,t) для l^x^zi. Алгоритм имеет одно управляющее состояние qQ и преобразование размещения

~хf (S,если x^S,

лЛ ° 7 I ($ + х-у, q0\ если x^S,

где у — это наибольшее число из S и |S| = m.

СТОИМОСТЬ АЛГОРИТМОВ

Согласно определению 2, |Х;| страниц размещаются в памяти, а | У/1 страниц удаляются из памяти в момент времени t. При подсчете стоимости этих операций обычно игнорируют стоимость перемещения страниц Yt по одной или обеим из следующих причин: (1) иногда возможно осуществить операции по перемещению Yt параллельно с размещением Xt\ (2) за большой период времени число страниц, удаленных из памяти, стремится к некоторой фиксированной доле от числа страниц, размещенных в памяти. '

Определение 5. Пусть h^ обозначает стоимость операции, которая размещает к^ 1 страниц в памяти, причем h^^ >/i(l)=l. Стоимость обработки последовательностей обращений со = г! .., rt ... гт при начальном состоянии S страничным алгоритмом А равна

С(Л, S, со) = 2/1(1^1). '

Если А — это алгоритм с вызовом страниц по требованию, то | АД ^ 1 для 1 ^ t ^ Т и стоимость равна просто

. т

С {A, S, ®)=S|Xf|.t=i

В случае когда со — случайная переменная из Nh, мы определяем ожидаемую стоимость

' С^А, S) = 2 Рг[со]С(Л, S, о),со е Nk.

где Рг[ ] обозначает функцию вероятности на Nk.

Операция по пересылке одной страницы занимает время 7^+Г, где 7W — это «время ожидания», а Т— «время передачи». В зависимости от организации вспомогательной памяти операция по пересылке к страниц может занимать время k(Tw + Г) или Т^ + ^Г, где TW^TW. Последнее выражение имело бы место для систем, в которых большинство передач осуществляется между памятью со случайной и памятью с последовательной выборкой (например, «память на сердечниках — барабан»). Предыдущее выражение имело бы место для систем, в которых большинство передач осуществляется между быстрой и медленной памятью со случайной выборкой (например, «память на сердечниках— память на сердечниках»); системы памяти этого типа приобретают все большее значение [4]. Таким образом, в последнем случае мы могли бы написать й(&)<&, а в предыдущем — К^Ц = к для к^\.•

Теорема 1 устанавливает, что если h^^k, то оптимальный страничный алгоритм должен быть алгоритмом с вызовом по требованию. Этот результат является непосредственным обобщением результата из [15].

Теорема 1. Пусть A=(Q,q^g)—страничный алгоритм, и пусть h^^k для к^Х и Л(1)= 1. Тогда существует алгоритм с вызовом страниц по требованию Д', такой, что С(Д', So, со) ^ •< С (Д, So, со) для всех So и со.

Доказательство. Предположим, что А не является алгоритмом с вызовом по требованию. Мы построим алгоритм с вызовом по требованию Д', который сохраняет последовательность размещений и замещений страниц, выполняемых алгоритмом А в своем управляющем состоянии. Д' размещает только те страницы, которые алгоритму А уже потребовалось разместить. Формально пусть Д' = (Q X 2n X 2n, q^g'). Если А находится в конфигурации (S, 9), то Д' будет находиться в конфигурации (S', (q, Р, R)), где Р содержит страницы, размещенные Д, но еще не размещенные Д' (т. е. задержанные размещения), R содержит

страницы, замещенные Л, но еще не замещенные Л' (т. е. задержанные замещения)), и S' = S — P\JR. Пусть g(S, q,x) = = (SUX—Y,q'), где ХП¥ = 0). Тогда для S' = S-PU/?, Р' = Р - У U (X - S') и R'= R — XU(Y П S')

g4S'Aq, Р, R), х) =,

(S', ^q', Р', R')),еслих е S',

(S' + х, (q', Р' — х, R')),еслих ^ S', | S' | < m,

(S' + х — y,(q', Р' — х, R' — t/)), если x ф. S', | S' |=m, yeS' (подходит любой у, например наименьшее число из R').

По построению любая страница, размещенная Л', должна уже быть размещена Л). Следовательно,'

С(Л, So, ®)==Зй(Ш)>2|^>2|^1==С(Л', So, со). ttt

Хотя случай h^<;k часто встречается в повседневной практике, нет „простого условия на Л, которое определяло бы, когда алгоритм с вызовом по требованию имеет меньшую стоимость, чем предстраничный алгоритм, так как это условие должно зависеть от распределения вероятностей для последовательностей обращений [4, 15]. Тем самым оптимальный алгоритм с вызовом по требованию всегда будет оптимальным страничным алгоритмом, если имеют место условия теоремы 1, и будет иногда оптимальным страничным алгоритмом в противном случае. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением алгоритмов с вызовом по требованию и будем использовать для них термин «алгоритм».

Когда алгоритм А и последовательность обращений со заданы, существует «наилучшее» начальное состояние. Если |S0| < w, то мы можем построить следующее состояние Sq. Пусть к = пг — — |S0|, и пусть То — это к различных страниц из ^ —So, обращения к которым стоят в самом начале со. Тогда А, начиная с состояния Sq=S0UT0, породит на к прерываний из-за отсутствия страниц меньше, чем если бы он начинал с состояния So. Приме- нениё таких же рассуждений для So = 0 дает «наилучшее» начальное состояние. В случае когда со — случайная переменная^ —это множество из пг страниц, к которым скорее всего будут обращаться сначала. Таким образом, без потери общности мы можем считать, что начальное состояние So содержит m страниц.

ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ

Механизм, посредством которого программа генерирует последовательность обращений, описывается в общем виде следующим нестационарным марковским процессом порядка I.

Определение 6. Программа — это система P = (N,U,u0, f,p), в которой N — множество страниц программы, U— множество «состояний программы», включая начальное состояние и0) f: NXU->U — функция перехода, а р— функция вероятности; р^х, и, t)— это вероятность того, что в момент t порождается обращение к странице х при условии, что Р находится в данный момент в состоянии и. Таким образом, 2 р(х, и, 0=1 для xeN

всех и из U и t > 0. Программа Р порождает последовательность обращений гх ... rt ... гт следующим образом. Если ut_x = u, то rt принимает значение х с вероятностью р(х, u,/) и ut = = f(rt, Ut-x). Программа имеет порядок I, если [(/[ = /+1. Она стационарна, если р не зависит от /.

Пример 4. Программа, содержащая п страниц, в которой rt зависит только от rt_x для /> 1, является программой порядка п согласно предыдущему определению. При этом (7 = ^U{uo} — состояния программы, а функция перехода определяется соотношением f (х, и) = х для всех х из W и и из U. Если р^^ = = Pr [г, = /|^-1 = Л» то можно положить в определении р(х,и, Рих {() • ,

Обобщение на случай, когда Р — программа, содержащая п страниц, такая, что rt зависит от rt_k, • ••, ^-ь дает [/= A^feU U Nh-X U ... U №; типичный элемент из U представляет собой к последних обращений, порожденных Р. Таким образом, f(x,ах... ...а^— это хах ... а^ если i < к, и хах ... ак_х, если I = к.

Мы дадим рекурсивное определение минимальной достижимой стоимости обработки последовательности обращений, порожденной программой порядка I, алгоритмом вызова страниц по требованию. Пусть со = гх ... rt ... rt-vh, ut = и и S/ = S. Минимальная стоимость обработки к обращений начиная с момента t обозначается через Ck(S, и, t) и определяется следующим образом:'

C0(S, и, 0 = 0,

Сь(8, и, 0= 2 Ж и, /+1)Х xeN

| Cft_!(S, f(x, и), t + 1),если xeS,

X I 1 -|- minCfc_i (S + x — z, f (x, и), t + 1), еслй x^S. M V zeS

Определение 7. Алгоритм Л называется l-оптимальным, если Ст(Л,5)= CT(S, и0,0) для всех Т и S всякий раз, когда ве-

роятности последовательностей обращений длины Т определены программой Р = (N,U,UQtf,p) порядка /. Мы используем для обозначения /-оптимального алгоритма символ Аь

Вообще говоря, может оказаться, что At реализовать нельзя, так как для этого может потребоваться не только информация о р^х, uj) и предположение о длине последовательности обращений (которая, по-видимому, неизвестна до выполнения), но и могут потребоваться чрезвычайно сложные вычисления для решения (1). Случай / = 0— один из тех, когда решение (1) может быть реализовано простыми алгоритмами.

РЕШЕНИЯ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

Пусть Р — действительно программа порядка /, т. е. она не эквивалентна никакой программе меньшего порядка. Пусть далее А—оптимальный алгоритм для Р. С интуитивной точки зрения А должен использовать свои управляющие состояния для оценки программных состояний Р; другими словами, все или большинство программных состояний должны быть отражены в состояниях страничного алгоритма. Хотя кажется, что очень трудно определить, когда два различных программных состояния могут быть отражены в одном управляющем . состоянии алгоритма, существуют простые примеры, когда это может быть сделано (например, два программных состояния, имеющие одинаковых преемников, связывают со страницами, различные вероятности, но эти вероятности отличаются настолько незначительно, что это не влияет на оптимальную страничную стратегию).

Существует несколько причин, по которым мы ограничиваем в дальнейшем наше внимание алгоритмами порядка 0. Во-первых, в этом случае нет существенных ограничений на минимальную сложность «правильной» модели программы, а наименее структурная модель может позволить понять поведение страничного алгоритма для самого широкого класса программ. Во-вторых, простая модель отвечает всеобщему стремлению к легко реализуемым алгоритмам. В-третьих, даже эта проблема оказывается очень трудной в общем нестационарном случае: мы в состоянии доказать оптимальность алгоритма порядка 0 только тогда, когда вероятности, хотя и меняются со временем, но сохраняют отношение следования. В данный момент мы можем дать только приближенное обобщение на общий случай порядка 0. Таким образом, ввиду существенных трудностей проблемы мы полагаем, что простейшая модель программы является хорошим исходным пунктом для формального исследования поведения страничного алгоритма.

В случае порядка 0 программа P^^N.U.UoJ.p) имеет лишь одно программное состояние, т. е., U = {t/0}. Мы будем писать

p^x.t^ вместо p^x.u^ty так что уравнение (1) сводится к такому:

C0(S, /) = 0,.

c,AS, 0= 2 р(х, /+1)Х

xeN

( Ck_v (S, t + 1),।если xeS,

X] 1 -f- min Ck-! (S + x — z, t + 1), если x^S. ^

Определение 8. (Сводка обозначений.) Для последовательности обращений гх ... rt ... гт порядка 0 р(х, t) обозначает рг[г, = х] для х из N; t(xJ) обозначает время до следующего обращения к х после момента / и т(х,/) = Т — t + 1, если к х больше не обращаются; Ck(S, t) обозначает минимальную стоимость обработки rw ... rw алгоритмом с вызовом страниц по требованию, когда t + к ^ Т и St = S.

. Последующие рассуждения обусловлены неформальным замечанием, что страницы с большими величинами р(х,/) являются «более используемыми», имея меньшее ожидаемое время до повторного использования. Другими словами, р^х, t) < р^у, t) означает, что т(х, t) > т(у,^), если р^х, t) и р(у, t) меняются со временем не очень быстро. В таком случае неформальный принцип оптимальности советует нам замещать ту страницу s, у которой p(s, t) наименьшее среди всех р(х,/) для х из памяти. Мы рассмотрим сначала простой случай — с «почти» стационарными вероятностями— и получим решение для (2); позднее мы обсудим обобщения на нестационарные случаи.

А. Почти стационарный случай

Под почти стационарным случаем мы подразумеваем тот, когда вероятности сохраняют свой относительный порядок при изменении времени. Это значит, что е<рли р (я, 0 ^ Р(#, 0, то р^х, t + О ^ РкУЛ + О Для всех ^ ^ 0. В этом случае мы можем определить отношение < на множестве N и показать, что если s — наименьший элемент S согласно отношению <, то

Ск (S — s, /) = min Ск (S — х, t\

Это соотношение обеспечит разумный путь реализации решения (2), так как тогда оптимальный алгоритм будет всегда замещать наименее используемую страницу памяти. Хотя этот результат интуитивно ясен, доказательство оказывается довольно длинным.

Определение 9. Стационарное отношение следования — это двоичное отношение < на N, такое, что если х < у, то p^x.t^^ р^уЛ^ для всех t > 0. Обозначение к ^ у означает, что

х < у или х = у. Обозначение s = minS означает, что seS и s ^ х для всех х е S.

Лемма 1. Предположим, что для некоторого t > 0 и для всех S'clN из х<у следует, что Ck(S' + х, /) ^ Ck(S' + у, /). Тогда из s = min S следует, что Ck (S — s, f) = min Ck (S — z, t} z^S

для всех S az N.

Доказательство. Достаточно показать, что Ck(S — s, /)^ ^Ck(S — z, t) для всех z^s из S. Если мы предположим, что s<z, то утверждение следует из переобозначений: х = s, у = z и S' = S — s — 2.

Лемма 2. Пусть < — это стационарное отношение следования на N. Тогда

x<y^\>Ck(S + x, f - 1) - CJS +у, f-l)>0,

где х, у не принадлежат S и t^\, (Мы используем t—1 как параметр вместо / для того, чтобы избежать многократного повторения выражения t + 1.)

Доказательство. Применяя (2), мы можем написать

д = сй($ + х, t-^-c^s + y, /-1)= 2 pV, 0Л.+

+2Р <1, f^-Vp (х, О (А3 + Д4) + VpOh t^ — p (х, 0] А4,

i^feS-Vx-Vy

где

Д1 — Ck_x (S + х, /) — Ск_х (S + у, /),

А2 = min Ck_v (S + х + i — z, t) — min Ск_х (S + у + i — z', /), zeS+xz'^S-Vy

Аз= Ck-X (S + x, /) — min Ck__x (S + у + x — z'/) — 1, zr ^s-vy

A4 = min Ck_x (S + x + У — z, /) — Ck-x (S + y, 0 + ^ z^S-Vx

Заметим, что выше вхождения р(х, /)А4 взаимно уничтожают ДРУГ Друга. Так как C0(S + х, t) = C0(S + у, /) = 0, лемма 2 имеет место для к = 0. Предположим по индукции, что она имеет место для 0 ^ к < kf\ мы покажем, что она выполняется и для к = к'. Заметим, что если s = minS и х, у ^S, то, применяя лемму 1 к индуктивному предположению, мы обнаруживаем три случая, которые необходимо рассмотреть:

s < х < y=^z = s, z' = s,

x<s<y^z = x, z' = s,

x<y<s^z = x)z' = y.

По индуктивному предположению ясно, что 1 ^ Д1 ^ 0. Для трех случаев формы Д2 следующие:

(О А2 = Cfe-i (3 + х + I — s, /) — Ск-Х (3 + у + I — s, /),

Д2 = Ск-Х (3 + i, /) Ск_\ (3 + У + i — s> 0»

Д2 = Q_, (S + г, 0 - Cfe_, (3 + i, 0 = 0.

В случае (i) индуктивное предположение применяется непосредственно. В случае (ii) индуктивное предположение также применяется, если заметить, что Ск_х (3 + i, /) — Ch_v (3 -ф у + I — s,t) = = Ск_х(Т + s, /)—Ch-x^T + y.t), где T = 3 + i— s. Таким образом, во всех трех случаях 1 ^ Д2 0.

Три возможные формы для (Д3 + Д4) следующие:

(0 Лз + Д4 = Ск_г (3 + х, f) — Ск~х (S + у + х — s, /) -ф

+ Ск_х (3 + х + у — s, /) — Ск-х (3 + у, t) =

= Ск_х (3 + х, 0 - Ск-Х (3 + у, 0;

А3 + Д4 = Ск_\ (3 + х, /) — Ск-х (3 + у + х — s, /) + -фС^ДЗ + у, 0- Сй_,(3 + у, 0 =

= cft_j(S + x, o-Q-^s + zz + x-s, 0;

А3 + Д4 = Ск_\ (3 + х, /) — Ск-х (3 + х, /)-}- Н-С^ДЗ+у, t)-Ck-x(S+y, i) = = 0.

Применяя, где необходимо, индуктивное предположение, можно показать, что в каждом случае 1 ^ Д3 + Д4 ^ 0. Удобно выразить Д4 в форме Д4 = 1 — Д3, где

Д5 = Сй_,(3 + У, t)— min Ck_x(S-V-y + х — z, t^.

zeS+%

Необходимо рассмотреть два случая:

s < х ^ х = s ^ ^ = C^-i (S + у, t) C^-i (S + х 4" у s, /), x<s^2 = ^A5 = C^1(S + y, O-C^JS + y, 0 = 0.

В обоих случаях 1 ^ As ^ 0 и, следовательно, 1 ^ А4 ^ 0. Используя верхние и нижние границы для А^ в уравнении для А и замечая, что у (у,/) ^ у (х,/), мы находим 1 ^ А ^ 0, что и требовалось.

Теорема 2. Если программа Р имеет порядок 0 и на N определено стационарное отношение следования <, то оптимальный алгоритм До имеет преобразование размещения gAa : 9Hm X XN—>9Kmi заданное соотношением

f S, если x^S,

ВаА^’ — [ 5 4-х — s, если x^S,

где s = minS и \S\ = m.

Доказательство. По леммам 1 и 2 До принимает в точности те решения, которые заключены в (2).

Предположим, что на N существует в точности одно отношение следования [т. е. р (х, /) =4= р (у, /) для всех х, yeN и / > 0]; из доказательства леммы 2 тогда следует, что Cft(S4-x, t)— — Ск (S + у, i) Ф 0, если х^=у, Если алгоритм Д принимает хотя бы одно решение, отличное от решения До, то С\(Д,5, <)> > ^(До, S, /). Аналогично если р^х, /) = р(у, t) для х, geN и t > 0 (в этом случае всякая перестановка на N определяет действительное отношение следования), то доказательство леммы 2 показывает, что Cft(S + x,/)—Ck(S + у, f) = 0. Тогда С^(Д,5, /) = = Сй(Д0,5,/) для любого алгоритма А. .

Свойства оптимального алгоритма

Т е о р е м'а 3. Пусть < есть стационарное отношение следования на N, и соответствующий алгоритм До с |М|=т порождает состояния {^Поо для некоторой последовательности обращений <й = гх ..’. гт. Если 8”а5о*+1, то

" STcS?+x, t>0, \Ст<п. '

Доказательство. Предположим, что теорема 3 имеет место для 0<.t<t'. Мы покажем, что она имеет место и для t = V. Пусть S?Li=S, SK1 = S + х, s = min S и s' = min(s, x). Если rt^S, to 87 = 8 czS + x = ST+x* Если r^S + x и s' = s, to 8^ = 8 + rt — s cS + x + ft — s = S5”+1; или если s' = x, to ST = SA-rt-scS-\-rt = ST+1. Если rt = x, то 5Г = 5 + х-зс cS + x = Sr+1. ,

Теорема 3 показывает, что состояния памяти ST удовлетворяют «свойству вложенности» (это свойство использовалось в [15] для анализа класса «стековых алгоритмов»). Из него следует, что если в момент t в памяти заданного размера отсутствует требуемая страница, то она отсутствует и в любой памяти меньшего размера.

Теорема 4. Пусть |<S| = m (f ^ 0) и p(U)>0 для всех ieN и 1>0. Тогда

CHS + х, 0 < CHS, 0 (l^zn^n, &>0).

В реальной ситуации действительно должно быть p(U)>0 для t > 0. Тогда теорема 4 гарантирует, что увеличение памяти всегда ведет к уменьшению стоимости. Это не так для произвольных алгоритмов: известны примеры, в которых алгоритм FIFO может привести к увеличению стоимости обработки в два раза при увеличении памяти на одну страницу [15, 16].

Определение 9. Определим множество Lm как т—1 старших (в смысле отношения <) страниц из Af(m^l). Говорят, что Ло находится в устойчивом* состоянии, если ST^L™. Время установления T(S)— это ожидаемое время, необходимое для того, чтобы Ло перешел в устойчивое состояние при начальном состоянии памяти S. *'

Ясно, что если S zd Lm, то Т (S) = 0; такое S — «хорошее» начальное состояние. [Мы определим границу для T(S) ниже.] Хотя, вообще говоря, T(S) не обязательно должно быть коротким, увеличение стоимости из-за того, что начальное состояние не является «хорошим», невелико.

Лемма 3. Пусть Sx и S2 — множества из ш страниц каждое, и пусть мы можем написать Si = S(JSi, S2 = S U *$2, где |Si|= = \S,2\ = hu ЗгПЗ^Й. Toeda\Ck(Sx, t)^Ck(S2, t)\^h.

Доказательство. Мы будем вести доказательство индукцией по h. При ft = 0 все очевидно. Предположим, что утверждение имеет место при ft—1 и что хе Si, a y^SV Рассмотрим S3 = Si — х^ у. По индуктивному предположению

|СИ53, 0~CJS2, ОКА-1.

По лемме 2 | Сд (Si, ^) — Сд (S3, ^)] ^ 1. Отсюда немедленно следует утверждение.

Мы обратимся сейчас к «полностью стационарному случаю, в котором вероятности обращений к страницам не зависят от времени, так что мы можем написать p(x,t) = px для всех х из N и t ^ 0, а стоимость Ck(S, 0 можно теперь обозначить С^(5). В этом случае может быть получено выражение для предельной стоимости обработки одного обращения [13]._ Более того, До является теперь алгоритмом из примера 3.

Теорема 5. Предположим, что в случае порядка 0 вероятности обращений к страницам стационарны. Тогда ожидаемая стоимость обработки одного обращения алгоритмом До равна

/ п \

£->оо RМ=5п /

.п

где | S | = m, N = {1,..., nJ, Pi > ... >р„ и В= 2 Рь *i—m

Доказательство. Последовательность состояний памяти SqSi ... Sk, k^Q, порожденная До> ~ это последовательность случайных переменных, значения которых лежат в 2№т. Пусть ах(t) = Pr[х^S#] для t^O и x<=N. Тогда ожидаемая стоимость Сд(50) может быть выражена следующим образом:

кк

с^(So) = 2 Рг [^^s^-i] = S S Рха»^ i)*

По лемме 3 при вычислении предельной стоимости обработки одного обращения достаточно рассмотреть начальное состояние памяти So, такое, что So zd Lm, и х из So — Lm, выбранный с вероятностью рх. Тогда для / ^ О

[0, если\l-pJB, если[0, если\l-pJB, если1 ^х < /п,1 ^х < /п,m < х < п,m < х < п,где игде ипв= 2 pii=mпв= 2 pii=mСь^ = 1гСь^ = 1г

[0, если

\l-pJB, если

[0, если

\l-pJB, если

1 ^х < /п,

1 ^х < /п,

m < х < п,

m < х < п,

где и

где и

п

в= 2 pii=m

п

в= 2 pii=m

Сь^ = 1г

Сь^ = 1г

По лемме 3 предельная стоимость обработки одного обращения для Ло при любом начальном состоянии памяти S равна такой же стоимости при устойчивом начальном состоянии. Таким об

разом,

C'(S)= lim fe->ooC'(S)= lim fe->oo

C'(S)= lim fe->oo

C'(S)= lim fe->oo

Мы обнаруживаем, что при начале работы с произвольного начального состояния So условие предельного или устойчивого состояния начинает выполняться для наименьшего t, такого, что

для(3)для(3)5Го£т.

для

(3)

для

(3)

Полагая S = Lm — So, мы получаем верхнюю границу времени установления Т (So):

Выражение (3) следует из замечания, что ожидаемое время между двумя обращениями к странице i равно \lpt, так как в стационарном случае порядка 0 все обращения статистически независимы. -

Нестационарный случай нулевого порядка

С простыми изменениями метод, использованный в леммах 1 и 2, может быть применен для того, чтобы показать, что алгоритм Билэди (пример 2) оптимален, когда последовательность обращений известна. Так как подробное доказательство этого дано в [15], мы только подчеркнем различия. Пусть cd = п ... ... rt ... гт; рассмотрим следующее нестационарное отношение следования «<< на N. Если x<Zty, т0 У появляется раньше х в последовательности г(, г^ ..., гт или х не появляется вовсе.

Положим р(х, f)=l, если rt = х, и р(х, 0 = 0 в противном случае; заметим, что 0 = р (х, /) ^ р(у, 0 ^ 1, если x<ty, и что из х < ty следует х < f+i^, если rt ¥= у. Этого отношения следования совместно с условиями, наложенными на p(i, 0, достаточно для того, чтобы лемма 2 была верна.

Наши исследования, по-видимому, показывают, что решение уравнения (2), использующее метод отношения следования, имеет место только для почти стационарного случая и для специального нестационарного случая, упомянутого выше. (Это, однако, не говорит о том, что не могут существовать другие алгоритмы Ло, основанные на неформальном принципе оптимальности.) Поэтому существенны некоторые замечания, касающиеся приближений к оптимальным алгоритмам порядка 0.

Ситуации, в которых алгоритм, обозначенный Ло, дает разумное приближение к оптимальности, — это те, в которых вероятности обращений к страницам изменяются медленно. Пусть Тт обозначает максимальное время установления для памяти размера т, т. е.

Тт = max T(S).| S |=*m

Мы говорим «изменяются медленно», имея в виду, что полученные для вероятностей р (i, t) оценки р (г, /) определяют отношение следования, которое, как ожидается, будет сохраняться по крайней мере в течение t + Тт. (Это согласуется с «принципом локальности» [4, 5, 13], который утверждает, что обращения программ в течение относительно длительных промежутков времени концентрируются в определенных подмножествах М) Мы не будем пытаться подсчитать ошибку оценок |p(i, /) — p(i, /) |.

Пусть теперь L? обозначает т — 1 старший (в смысле отношения <) элемент из N в момент t. Предположим, что LT-iClST-x (т. е. Ло находится в момент /-1 в устойчивом состоянии), но L™ ytS?. Если

то лемма 3 утверждает, что Ло восстановит устойчивое состояние с добавочной стоимостью, не превосходящей h. Другими словами, если программа изменит множество Lm на h страниц, то Ло «исправится» со стоимостью не более к. Вообще если ожидаемое число таких изменений в единицу времени равно К и ожидаемая величина Изменения равна Н, тр

IQUo, S, t^-C^S, t)\^HKk.

Следовательно, чем медленнее изменение вероятностей и тем самым меньше значение К, тем ^ецьще разниЦа между стоимостью, полученной для Ло, и ойтимальной стоимостью.

Среди стратегий замещения, рассмотренных в литературе, существуют две, которые действуют как приближения к До для медленно меняющихся вероятностей, причем нет необходимости оцени^ть эти вероятности. Этими алгоритмами являются LRU (см. пример 1) и WS (working set — работающее множество; замещаются только страницы, принадлежащие к неработающему множеству). Для того чтобы подтвердить это для LRU, будем считать, что т(/,х) + /— это ожидаемый момент /'^/, в который г г = х в следующий раз, и t — x'^x)— это ожидаемый момент V < 1, в который г^ = х в предыдущий раз. Если р(х, f) изменяется медленно, то р(х, t) < р(у, /) означает, что т(/, х)> >т(/, у) и т'(/, х) > т'(/, yY Отсюда следует, что у страницы s с наибольшим ожидаемым временем с момента последнего обращения т'(/,s) и величина т(/,s) скорее всего будет наибольшей. Таким образом, только страницы с меньшими значениями х'^ху т. е. с большими значениями р(х, /), будут оставаться в памяти.

Для того чтобы подтвердить, что WS является приближением к Ло для медленно меняющихся вероятностей, определим работающее множество в момент t для параметра h >> 0 как W (t, h) = — {х е N\rk ^ х для некоторого кл t — h ^ к <. tY Другими словами, W (У й) — это «содержание» предшествующего «окна» размера h в последовательности обращений. Очевидно, что страницы с наибольшими значениями р(х, t) будут входить в Wtyhy

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной целью данной статьи была формализация определенных аспектов проблемы распределения памяти — одной из самых важных при проектировании и анализе вычислительных систем. Исходя из неформального принципа оптимальности (замещай страницу с наибольшим ожидаемым временем до повторного обращения), мы построили формальные определения страничного алгоритма и «стоимости» и дали в терминах динамического программирования формулировку минимальной достижимой стоимости. Для программ, которые порождают последовательность обращений с помощью «почти» стационарных марковских процессов порядка 0, мы смогли найти оптимальный страничный алгоритм и изучить , его свойства. Мы закончили обсуждением алгоритмов, которые приближаются к оптимальным алгоритмам в медленно меняющихся нестационарных случаях.

Многие вопросы остались без ответа. Например: как ошибка в оценках вероятностей обращений к страницам влияет на приближение к минимальной стоимости, даваемое До? Насколько «силен» До, т. е. насколько хорошо приближает До стоимость порядка /, будучи применен к программе порядка /? Какие оптимальные алгоритмы существуют в случае порядка /? Насколько

близки к оптимальному алгоритмы, основанные на неформальном принципе оптимальности при различных предположениях в случае порядка П Мы надеемся, что сделали шаг вперед на пути к ответам на эти вопросы. ■

ЛИТЕРАТУРА

Kilburn Т., Edwards D. В. G., Lanigan М. J., Sumner F. Н., One-level storage system, IRE Trans. EC-11, № 2 (April 1962), 223—235.

Dennis J. B., Segmentation and the design of multiprogrammed computer systems, J. ACM 12, № 4 (October 1965), 589—602.

Arden B. W., Ga Her B. A., O’Brien T. C., Westervelt F. H., Program and address structure in a time sharing environment, J. ACM 13, № 1 (January 1966), 1—16.

Denning P. J., Virtual memory, Comp. Surveys 2, № 3 (Sept. 1970), 153— 189.' .

В e 1 a d у L. A., A study of replacement algorithms for virtual storage computers, IBM Sys. J. 5, № 2 (1966), 78—101..

F i n e G., Jackson C. W., M с I s s а с P. V., Dynamic program behavior under paging, Proc. 21st Nat. Conf. ACM, 1966, Psychonetics, Narbeth, Pa., 223—228..C

S h e m e r J. E., S h i p p e у В., Statistical analysis of paged and segmented computer systems, IEEE Trans. EC-15, № 6 (Dec. 1966), 855—863.

Corbato F. J., A Paging experiment with the multics system, Proj. MAC Rep. MAC-M-384, M. I. T., Cambridge, Mass., May 1968.

С о f f m a n E. G., V a r i a n L. C., Further experimental data on the behavior of programs in a paging environment, Comm. ACM 11, № 7 (July 1968), 471—474.• .

S m i t h J. L., Multiprogramming under a page on demand strategy, Comm. ACM 10, № 10 (Oct. 1967), 636—646.

Pinkerton T., Program behavior and control in virtual storage computer systems, Ph, D. thesis, CONCOMP Proj. Rep. № 4, U. of Michigan, Ann. Arbor. Mich., Apr. 1968.

Denning P. J., The working set model for program behavior, Comm. ACM 11, № 5 (May 1968), 323—333.

Denning P. J., Chen Y. C., Shedler G. S., A model for program behavior under demand paging, Report RC-2301, IBM T. J. Watson Research Center, Yorktown.Heights, N. Y. (Sept. 1968).

Heller man H., Complementary replacement — A meta scheduling principle, Proc. 2nd ACM Symposium on Operating System Principles, Psychonetics, Narbeth, Pa. 43—46.

Matt sori R. L., Gecsei J., S lutz D. R., Traiger I. L., Evaluation techniques for storage hierarchies, IBM Sys. L, 9, № 2, (1970), 78—117.

В e 1 a d у L. A., N e 1 s о n R. A., S h e d 1 e r G. S., An anomaly in the space-

1 time characteristic of certain programs running in paging machines, Comm. ACM 12, № 6 (June 1969), 349—353-

Об определении дифференциальных игр и существовании значения игры .

и седловых точек1)

А. Фридман.

ВВЕДЕНИЕ

Мы определяем (§ 3) понятие дифференциальной игры конеЧной длительности Т для системы (1.1), (1.2) с платой (1.7); у = = y\t^ и г = z^ — управляющие функции игроков у и z. Определение дается в терминах последовательности аппроксимирующих детерминированных игр, конструируемых в § 2. В случае* когда f имеет вид (1.5), a h — вид (1.8), доказывается (в § 3), что игра имеет значение. Если f не представляется в виде (L5) (т. е. если у и г не разделены в f), то игра может не иметь значения; пример дается в § 7.

В § 4 доказывается, что значение игры не зависит от частного выбора аппроксимирующей последовательности игр. Показано также, что значение игры, рассматриваемое как функция от начальных условий, удовлетворяет условию Липшица.

В § 5 при дополнительном условии выпуклости f доказывается существование седловой точки.

В § 6 рассматриваются игры преследования-уклонения и доказывается, что такая игра имеет «обобщенное» значение. При этом седловой точки, вообще говоря, не существует (даже при условиях выпуклости).

Наша работа обобщает недавние результаты Варайи и Лина [8]. В § 8 обсуждается связь этих результатов с содержащимися в предлагаемой работе. Мы также скажем несколько слов о подходе Флеминга [3], [4], [5] к подобным вопросам.

В § 9 рассматриваются дифференциальные игры с запаздывающей информацией и доказывается существование значения игры. Это значение сходится к значению соответствующей игры без запаздывания, когда величина запаздывания стремится к нулю.

. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим систему m обыкновенных дифференциальных уравнений . _

4г = НЛ г/, г) ■ (Ц)

Friedman A., On the definiton of differential games and the exlstehcd of value and of saddle points. Journal of differential equations. 7, № 1 (1970)» 69—91. . . x '

на интервале tQ ^ t ^ Г, где 0 ^ ^ < Г < оо, при начальном условии

Х(/О) = ХО. '(1.2)

Пусть У и Z— фиксированные компактные подмножества евкли- дбвых пространств Rp и R9 соответственно. Сделаем следующие предположения:

fit, х, у, z) непрерывна в Ц, х, у, z)e[0, T]X^mX^X2;

для любых /е[0, Г], yeY, zeZ и х, х из Rm, |х|< R, | х | < R, имеем'

| f it, х, у, z) — fit, х, у, z) | ^^il х — х | (&i — константа); (1.3)

для любых t е [0, Г], у е Y, zeZ, хе Rm

| f it, х, у, z) |^ fe2l x I + &з (&i, &з — константы). (1.4) Фактически все результаты этой статьи остаются справедливыми при несколько более слабых предположениях о непрерывности f; кроме того, к, могут зависеть от t, при условии что они принадлежат Д1 (0, Т).'

Измеримые функции у if) izit)), удовлетворяющие условиям yif)eY izit)eZ) для почти всех t, будем называть управляющими функциями игрока yiz).

Как известно (см., например, [2]), если имеют место условия (i) — (ill), то для любой пары управляющих функций у if), zif), teVo.T), существует единственное решение x\t), te\to,T\, системы (1.1), (1.2). При этом х(/) является решением (1.1) в следующем смысле: xif) абсолютно непрерывна и (1.1) имеет место для почти всех /е[/о, Л- Назовем хЦ) траекторией, соответствующей управлениям уЦ) и zit). Заметим, что все результаты этой статьи остаются справедливыми, если (1.4) заменить любым другим условием, которое гарантирует, что для любого т е eitQ,T) решения системы (1.1), (1.2) на [/о,т] равномерно ограничены постоянной, не зависящей от т.

В играх, которые рассматриваются Ниже, один игрок (называемый у) распоряжается функцией у(/), а другой игрок (называемый z)— функцией zity

Нам понадобится следующее предположение:

у и z разделены в правой части (1.1):

f it, х, у, z) = f1 it, х, у) + f2 it, x, z).(1.5)

Пусть задан функционал платы pix,y,zy зависящий от управлений yit), гЩ и от соответствующей траектории xif), to^. ^ t ^ Т. Так как xif) определяется управлениями yit), zit), мы можем записать плату в виде

М*. У, z) = ?iy, z).(1.6)

Игрок у пытается максимизировать плату Р, тогда как игрок г стремится минимизировать ее.

Конкретный вид платы P(#,z), который мы здесь рассматриваем, таков:

т-

' Р<У, г) = ц<о(х) + $Ц1, x(Q, уф, z^dt, ■(1.7)

где ^—вещественный функционал на траекториях x(Z), a h — вещественная функция от (/, х, у, z)e [0,7] X Rm X ^Х Z.

Обозначим через С[/о, Т\ банахово пространство непрерывных комплексных функций х(/), /е[/о, 7], с нормой sup | х (£) |. Обо

значим через [С[/о, ГД”1 произведение ш пространств С[/о, 7]. Обозначим через Xte, г подмножетво в [С[#о, 7]]"1, состоящее из всех траекторий хф 'системы (1.1), (1.2). Сделаем следующие предположения:

ц( (х) — равномерно непрерывный функционал на подмножестве Xt,. т с [С [/0, 7]]т, a h(t,x,y, г) — непрерывная функция на Vo,ИХRmXYXZ;

у и г разделены в интегральной части платы:

h^t, х, у, z) = h1(t, х, y^-Vh^t, х; z).(1.8)

Наша цель — дать определение дифференциальной игры между игроками у и z и доказать, что она имеет значение и седловые точки. Рассматриваемая здесь ситуация сильно отличается от ситуации в дискретных играх. В последних имеется конечное число состояний, и оба игрока изменяют их одновременно. Затем дается понятие «элементарного распределения». В данном случае, однако, время непрерывно и понятие «одновременности» становится неопределенным.

Чтобы разъяснить это понятие и доказать, что результирующая игра имеет значение, мы прибегаем к двум последовательностям аппроксимирующих игр: одной, состоящей из верхних 6-игр G6, и другой, состоящей из нижних 6-игр G^.

.2. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ 6-ИГРЫ

На протяжении всего этого параграфа мы предполагаем, что имеют место условия (1) — (Ш). Пусть г — любое положительное целое число и б = (7 —t^jY, п = 2Г. Введем интервалы

11 = ^10-Ук1-Х^<1<1.А-^ (К/<«)

и обозначим через Yj(Zj) множество измеримых функций на I,, значения которых принадлежат Y (Z) для почти всех t*

■ Пусть Гв,/ —любое отображение Z\X ••• XZ, в Yj. Векторг=(г6,Г6'")

назовем верхней 6-стратегией игрока у. Аналогично вектор

А6 = (А6,1А6,"),

где А6,! — любое отображение К] X • • • X Y j в Zj, назовем верхней 6-стратегией игрока z.,

Пусть Г6,/ (/^2) — любое отображение KiX^iX^X • •. XZi-x в Yj. Удобно обозначать через Гв, j любую функцию из У,. Вектор

.Гв = (Гв, 1, • • ч Г6,„)

называется нижней 6-стратегией для ух\ Наконец, пусть Ав>/ Q^2) — любое отображение ZVXY\X ••• X^/-i в Zb и пусть Ав> 1 — любая функция из Zv Тогда вектор

-А6 = (Ад, и ..., А6, „)

называется нижней 6-стратегией для z.

Определение верхних б-игр G®. Возьмем любую верхнюю 6-стратегию Г6 для у и любую нижнюю 6-стратёгию А6 для z. Игрок z сначала выбирает z^Ag., в 1Х. Игрок у реагирует на это, выбирая ух = Г6, *z, в /,. Вообще после того, как г делает выбор zz = Ae,/(zb ух, у2 у/-1) в 1Ь у выбирает у,= =2/) в //.

Обозначим эту схему через G6 и назовем ее верхней 6-игрой. Соответствующие управления обозначим через у6^ и 2б(/), а соответствующую траекторию — через хб(/). Запишем соответствующую плату в виде

■ Р^, z6Y-pY^ Г^Р^Г6-1, ..., А6,„, Г6’"].(2.1)

Верхнее 6-значение У6 игры G определяется так:

Vе = inf sup ... inf supP[Ag,„ Г6,1A6,„, Г6’"]. (2.2)

Дел г6а ЧпГ8-"

Пусть Q — функция,. определенная на множестве У X № и принимающая вещественные значения, и пусть s меняется на

множестве S всех отображений V в №. Тогда, как нетрудно проверить, ■

inf supQ(v, s(o))= inf sup (о, w) = sup inf Q(v, s(v)).(2.3)

©eV ses©ey weWse$ vsV..

Применяя это к — Q вместо Q, получаем

sup inf Q(v, s(u)) = sup inf Q(o, ty) = inf sup Q(u, s(u)). (2.4) ' oeV seS" ©eV weWseS ©eV

Лемма 1. Пусть выполнены предположения (i) — (iii). Тогда

'- Ve = infsupP[A6, Г6] = sup inf P [As, Г6],(2.5)

'д6 г«г® д6

еде ■ ■.

' sup=sup ... sup, inf= inf ... inf.

' r® r®-1r®> ” A6 A6. 1A6, n.

Доказательство. Первое равенство в (2.5) получается последовательным применением (2.4), а второе — последовательным применением (2.3).,

Введем понятие нижней 6-игры G6 аналогично определению G®. Пусть игрок у сначала выбирает у\ = Г6, i в У]. Тогда г реагирует выбором Zi = А®> ху\ в /]. Вообще у делает выбор у^ = = Г6, j(t/i,zb ...,z,--i) в /,-, и тогда г делает выбор z, = = ЬМ\ух»--чУЙ в I,. Обозначим управления," полученные таким образом, через у6(t) и z®(f), и пусть х6(/)— соответствующая траектория. Запишем'

Ку6, z6) = P[re, А6] = Р[Г6>1, А6,1Гв.„,А6’"].(2.6)

Определим нижнее значение У8 игры G6 так:

У6 = sup inf ... sup inf p [re b A6’1re, „, A6’ ”]. (2.7) i A$’' г6-пдб."

Аналогично лемме 1 имеет место

Лемма 2. Пусть выполнены предположения (i)— (iii). Тогда

Ve = supinf Р[Г6, A6] = infsupP[re, А6],.(2.8)

г6 д®д® г6

где'.

sup = sup ... sup, inf = inf ...inf. r6 r6, i гб,п д® д6а д®>".

Из определения V6, V6 легко получается

Лемма 3. Пусть выполняются (i) —• (iii),. и пусть 6i = ^T — t^fS r У= 1, 2), б, < д2. Тогда' ’

И6,>И'>И61>^'(2.9)

Обозначим

У+ = ИтУ6, V“ = limVe (d = 2r, r=l, 2...).(2.10)

6->0б-»0

Лемма 3 утверждает, что эти пределы существуют и что V*^ V-.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР

Определения. Дифференциальная игра, заданная системой (1.1), (1.2) и платой (1.7), есть пара последовательностей G=({G6},(G6}). Величина V*, определенная формулой (2.10), называется верхним значением игры G. Аналогично V" называется нижним значением игры G. Если V+ = V”, то говорят, что игра имеет значение. Оно равно

V = V+ = V~.•(3.1)

Теорема 1. Пусть выполнены предположения (1) — (vi). Тогда дифференциальная игра G, заданная системой (1.1), (1.2) и платой (1.7), имеет значение.

Доказательство. Принимая во внимание лемму 3, достаточно показать, что для любого е > 0

Vе - У6 < Зе(3.2)

для бесконечной последовательности индексов б. Из леммы 1 следует, что для любого б существует верхняя б-стратегия

рв^р^*р^* ^)

для у, такая, что•.

И<Р[А6, Г6] + е для всех А6.(3.3)

Аналогично существует верхняя б-стратегия

А6 = (А6’А6’").

для z, такая, что

У6>Р[Гв, А6] — е для всех Г6.(3.4)

Фиксируем, точку z в Z и рассмотрим следующую игру 6е: z выбирает zx = г в 1Х. Тогда у выбирает t/i = r6>1Zi в 1Х. Вообще z/(/) = A6,,-1(y1>—д) для telb

y/(/) = f6’,(z1, .z,)(0для tel,. '

Обозначим через у6(0, 2д(0 управляющие функции, определен-

ные таким образом, и через х6(0—соответствующую траекторию. Запишем

41 = ^, Z/=Ad,/(Zb Уь-М У^\) ^О^пу

Где

Аб —(Аб1 ь ..Аб,п)

является нижней 6-стратегией для z. Тогда из (3.3) имеем

И<р[а6. Г6]+ 8.(3.6)

Сравним игру G6 со следующей игрой Ge: сначала у выбирает управление ух в /ь как и прежде. Тогда z выбирает 2х=Ъ?лух В 1Х. В общем случае'

у выбирает ys в //, как в (3.5),"

,те,//\ т(3-7)

z выбирает Z/ = A \уху;) в //.

Обозначим через z6^ таким образом определенное управление игрока z, а соответствующую траекторию через хв(/). Управляющей функцией для у является, как и прежде, функция у6(0« Можно записать•

Гм=Уь У1 = ^б.1(У1> zx, .... z,_x)(2<j<n),

гдеЛ л-

f6 = (fe,b • • •> f6.„)

есть нижняя 6-стратегия для у. Тогда из (3.4) имеем

У6>Р[Г6, А6] —в.(3.8)

Из определения 26(/), £g(0 видим, что

ze(0 = ze(/-6) для /0 + 6</<Г.(3.9)

Нам потребуется следующая'

Лемма 4. Предположим, что имеют место условия (i) — (iv), и пусть kx(t,x,y), ki(t,x,z) — непрерывные функции на [<0i7]X XPmX^ ° \to»nXRmXZ соответственно. Пусть y^Y zx(0— произвольные управляющие функции для у, z, соответственно для каждого X из последовательности {Хп}, Хп \ 0 при п'/ оо. Пусть ^xW— любая управляющая функция, удовлетворяющая равенству ^х(0 — 2х(^ — М для to+ Х-Ct-СТ, X е (Хп). Обозначим через Хх(/) и xx^t) траектории, отвечающие y},(t), zx^ и y^t).

z^W соответственно. Тогда существует подпоследовательность {V}, такая, что при Х = ХП'-*О

sup 14(0-^(<)|->0, (ЗЛО)

тт -

/ МЛ 4(0, yx^dt- / kxU, хк^, y^dt->0.(3.11)

to/0

.ТТ

J кг и, ^ (О, 4 (0) dt - J* k2 и, Ч ^, zK (0) dt^ о. - (ЗЛ2) tot0

Доказательство. Пусть th (0 = I4(О~Ч(^ I- Из (и), (iv) имеем tt

th (0 <4 J* njt)^+ J [P(t, xx(t), 4(t)) —f2(r, xx(t), zx(r))]dT . to

"' (ЗЛЗ)

Семейство {^„(0} является равностепенно непрерывным и равномерно ограниченным. Но тогда по лемме Асколи — Арцела существует подпоследовательность {Хп-}, такая, что {^хп,(0} равномерно сходится к некоторой функции х^У Из непрерывности f2(t, х, 2) Заключаем, что

t'

J* I f2 (Т, Хк (т), -г (т)) — f2 (т, X (т), z (т)) | dr < у (X),(3.14)

где у (40 не зависит от / и управлений г(т) и у(А,П')->0 при Хп' ~* 0.

Поскольку 4 (т)= zx (т ~~ ^)> получаем, используя непрерывность f2, что

tt

J f2 (т, X (т), 4 (т)) dr— J f2 (т — X, x (т — X), zK (г — X)) dr ’< 6 (X), to^о+Х,

(3.15)

где б(Х„) не зависит от t и б(Х„)->0 при Х„->0.

Из (ЗЛЗ) —(3.15) находим

t

th (0 ^ ^i J ^ (т) dr -J- 2у (X) + б (X) + СХ (С — константа).

Из последнего неравенства очевидным образом получаем sup th(/)-»O при Х = ХП'-*0,

и тем самым завершаем доказательство (3.10). Соотношение (3.11) следует сразу же из (3.10).'

Чтобы доказать (3.12), используем соотношения

sup |хх(0 — х(01-*0, sup 1^(0 — х(01->0 t,<t<Ti»«<T

для Я = ХП'-*О. Далее достаточно показать, что

- J &2 (t х (0, ^ (0) dt - J k2 V, х (0, 2к (/)) dt -> О

при Л = ХП'->0. Это нетрудно сделать, если использовать (3.15) при Р = к2.

Используя (3.9) и предположения (v), (vi), мы можем применить лемму 4 и заключить, что

.|р[А6, Г6] —Р[Гв, А6]|<в,(3.16)

если 6е{6/}, где б/ есть подходящая подпоследовательность индексов б. Объединяя (3.6), (3.8), (3.16), получаем утверждение (3.2). Это завершает доказательство теоремы 1.

'4. СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ

Пусть л — произвольное разбиение /0 < ^1 < (2 < • • • <tn = T отрезка [/0, И- Обозначим через/у интервал t1_1<.t^.t,, Пусть Уу (Z/) — множество всех измеримых функций z/(/) (z(/)) на Ij со значениями в У (Z) для почти всех t. Определим верхнюю «.-стратегию Г” для игрока у как вектор

рЛ ^Г^’рЛ, /I)

где Гя’1 — отображение ZVX • • • XZ} в ¥,. Аналогично определим верхнюю л-стратегию А” для 2.'

Нижняя л-стратегия для игрока 2 есть вектор

^я”^, ь ^я, п)>

где Ая,/ (для /> 2) —отображение Zx X У1 X Y2 X ... X Y}_x в Zj, а Ая, j — произвольный элемент из Zx. Аналогично определяем нижнюю л-стратегию Гя для у. ’

Верхняя л-игра G” определяется подобно Gb« Верхнее «-значение V” игры G” определяется так:

V”= inf sup ... inf зирР[Аяа, Гя< ...» АЯ1Я, Гя’"], (4.1) - дя.1гЯ'‘ дя.»гЯ-".

где Р[...] — плата. Полагая

■Р[АЯ, ГЯ] = Р[АЯ|1, ГяаАя.„, Гя’я],

имеем (ср. с леммой 1)

Vя = inf sup Р [Ая, Гя] = sup inf Р [Ая, Г"].(4.2)

дя г”г” дя

Таким же образом определяем нижнюю п-игру Gn. Нижнее ti-значение Уя определяется так:

K„ = sup inf ... sup inf Р[ГЯ,„ Аяа, .... Г„,„, Ая,п]. (4.3)

Имеем

Уя = sup inf Р [Гя, Ая] = inf sup Р [Гя, Ая]. (4.4) г„ д"д" гя

Ясно, что

'(4.5)

Обозначим через ] л | диаметр разбиения л, |л| = max(tj — tj-i\

Теорема 2. Допустим, что выполнены предположения (i) — (vi). Пусть {nJ— последовательность разбиений отрезка [/о, Л» такая, что |ль|-*0 при А-*оо. Тогда

lim ^= lim K«6 = l^.(4.6)

k-^ooк^оо

Теорема 2 показывает, что частный вид последовательности разбиений, используемой в определении дифференциальной игры, не играет роли.

Доказательство. Принимая во внимание (4.5), достаточно показать, что для любого в > О

Кя* - V4 < 2е,(4.7)

если к достаточно велико.

Из теоремы 1 следует, что можно так выбрать достаточно большое целое число г, чтобы из б = (Г — /о)/2г следовало

0<И-Ув<е.(4.8)

С этого момента 6 фиксировано.

Нам Потребуется следующая

Лемма 5. Пусть имеют место условия (i) — (vi). Пусть it-разбиение /0 < /] < ... <tn = T отрезка [/0, Г], и пусть л* — другое разбиение, полученное из л введением одной дополнительной точки t*, tt< Г < tl+v Тогда | Vя — Vя* | ^ 4(1 л |), где if(<) — функция, не зависящая от л, f и т) (/) —^ О при /->0.

Доказательство. Обозначим через /i+i,i (Л+1,2) интервал ti^K-t* (t*^t<tm\ Для k=\, 2 обозначим через У<+116 (Z#+i,$) множество управляющих функций для у^ на /<+1,^.

Тогда можно записать любую верхнюю л-стратегию Г” и любую верхнюю л*-стратегию Г” в виде'

гя=(г\ .... Г*, Г<+1, Г<+2, .... Г"),

r"‘=(rJГ', Гж-’, Гж’2, Г,+2Г"),

где■

Г7: Z.X ... XZ^Yj (КХп),

Гжа: Z.X ... XZtXZma-*Ywa,

ГЖ12: Z.X ... XZtXZl+mXZl+v.2^Yw.2,

V1: Z,X ... XZiXZM.iXZm^XZt^X ... XZ^Y,

■ (Z + 2<j<n).

Аналогично можно записать

АЯ = (А1, ..., Az, Az+b Az+2, ..., A„),

- АЯ» = (А., ..., Az, Az+ia, Az+b2, A;+2> • ••> A„), где

A,: Z.XK.X ... XYt-^Zf (2^j^n),

A<+bl: ZiXK.X ... Xrz-*Zi+ia>■

Az+I,2: Z.XK.X ... XYtXYma-»Zw.2, -

Ai+2« ZjX^iX ••• Xrzxr,+MXr<+i.2-*Z,+2,

A,: Z.X^X ... Xr<Xrw.iXrz+l,2Xri+2X...Xr/_z^Z/ (i + 3</<n).

Очевидно, можно отождествить отображения Tz с отображениями Г' для i + 2^/^п и отображения А/ с отображениями А/ для f + 3^j^n. Следовательно,

tr = inf-supР[А„ Г1, .... Az, rz, Дж, rz+1, Az+2, rz+2,.... A„, Г], дл r”,

y”‘ = inf supP[Abn, .... Az, rzAz+ia,■

д„. r«*

rz+L2, Az+2, rz+2A„, Г"].

Мы видим, что Vя отличается от Vn* только тем, что inf и sup по отношению к управлениям у^, z(t) в интервале //^^<^+i берутся по различным множествам. Но любые две траектории х^ и х^\ для которых управления у, z совпадают вне интервала ti^t^ti^y, удовлетворяют неравенству

, sup | х (0 - х (t) к С (ii+i -1(), t9<<^r.

где С — постоянная, не зависящая от управлений. Пользуясь этим и (1.7), легко получаем неравенство .

кя-И<С0(|л|4-Ф(|л|)),

где Со и w (t) не зависят от л, Г и w (t) -> 0 при / -* 0 (а> зависит от модулей непрерывности ц/о и h^x, t, у, z) по х). Это завершает доказательство леммы.

Обозначим теперь через л^, < разбиение, полученное из лй добавлением точек <о + /б Для 1^/^Z. Для Z = 2r—1 положим яб < = яй‘ Если применить лемму 5 к каждой паре л^, лй>,+1 (при лй-0 = лй), то можно прийти к заключению, что

-И-ЕЯйк2'т](|лй|).(4.9)

Аналогично получаем•

■|^л$ —^.^S^d^l).(4.10)

Так как разбиение л^ есть измельчение разбиения, определяемого точками Z/ = Zo + /6, 0 ^ / ^ 2Г, имеем

V>A v^v^.(4.Н)

Объединяя (4.8) — (4.10), находим, что.

Отсюда следует (4.7), если к достаточно велико.

В оставшейся части этого параграфа изучается зависимость значения игры от начальных условий. Обозначим игру, заданную системой (1.1), (1.2) и платой (1.7), через G(x0, /о), а ее значение— через V(x0, /о)- Сначала рассматривается зависимость V (х0, /о) от Хо. Сделаем следующее предположение:

для любых х, х из Xt0, т'

|н(о(х) —ц/о(х)|<^^ sup^|x(Z)—x(Z)|;(4.12)

для любых t е [0, Г], у е Y, г е Z и х, х* в Rm-

|Л(/, х, у, z) — h(t, х', у, z)\<.k \ х — х* |,(4.13)

где к — константа.

Теорема 3. Пусть выполнены предположения (1)—(vii). Тогда V(xo, to) равномерно удовлетворяет условию Липшица по х0:

_[К(х0, Z0)-^(xb Z0)KC|x0-x,|.(4.14)

Доказательство. Пусть x(t), я (/) —решения уравнения (1.1) (где у = y(t), z = z(t)), удовлетворяющие начальным уело-

виям х(/о) = хо, х(/о) = хь Из геории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [2]) известно, что

sup |x(f) —х(ОКС'|хо —xj,

где С' — постоянная, не зависящая от управляющих функций. Из определения Vе получаем, используя (4.12), (4.13), что

I Vе (х0, /0) - У6 (хь <о) К С | х0 - X] |.

Устремляя б—►О и применяя теорему 1, получаем (4.14).

Рассмотрим теперь зависимость. V(х0, to) от to- Сделаем следующее предположение:

для всех t, t из [О, У], xeRm и yeY, zeZ

|/(/, х, у, z) — K. х, у, г)|<^| t — ?|,(4.15)

| h (t, х, у, 2) — hQ, х, у, z) |^ fe| t — 11,(4.16)

где £ — постоянная. Более того, для всех 0 ^ to ^ Т

H(6(x) = g-(x(T)),.(4Д7)

где g — функция, удовлетворяющая условию Липшица.

Теорема 4. Пусть выполнены предположения (1) — (viii). Тогда V(x0, to) удовлетворяет условию Липшица по (х0, t0) е Rm X ХЮ, Л.

Доказательство. В силу теоремы 3 достаточно доказать, что-

•I^Uo, to)-V(xo. tx)\<C\t0-tv\.(4.18)

Обозначим через Ро и Pi платы, соответствующие to и ti. , Рассмотрим отображение

t^s-t^^^t-to).(4.19)

Любому разбиению отрезка to ^ t ^ Т естественным образом соответствует разбиение отрезка /i ^ s ^ Т, а любой (верхней или нижней) б-стратегии на [/о, Л— некоторая б-стратегия на [/|,Г]. Тогда множества Г6, соответствующие двум различным отрезкам [/0, Л и pi, Л, эквивалентны. Это же имеет место для множеств Дв. Обозначим это соответствие кратко через ф. Положим также (фу) (s) — y(t), (фг) (s) = z(/).- Тогда, если у, 2 соответствуют (Де, Г6), то фу, фг соответствуют (фДа, фГ6).

Для того чтобы оценить Vе(х0, tQ) — Vе (х0, ti), необходимо сравнить каждую траекторию х(Д с соответствующей траекторией х (s) г (фх) (s), полученной заменой у, z соответственно на фу, фг, а условия (1.2) — начальным условием х(^) = хо.

Пользуясь отображением (4.19) в дифференциальном уравнении для ^(s), находим, что й[/] = й($) удовлетворяет дифференциальному уравнению

"Т —« - У -х и, у V, г Ю).

Применяя (4.15) и стандартные оценки для обыкновенных дифференциальных уравнений, получим

sup |х[(| —х(/)КС0|/0 —/] | (/= max (/0, О),(4.20)

где Со — не зависящая от управлений постоянная.

Выполняя отображение (4.19) также для платы и используя (4.13), (4.16), (4.17) и (4.20), получаем

.|РоХу, 2)-Л(ФУ, ^)l<C0|t0-fil(4.21)

с другой ПОСТОЯННОЙ Со.

Из (4.21) и абзаца, следующего за (4.19), вытекает, что

|Пх0, ^-^o, OKCRo-/! |.

Это завершает доказательство теоремы.

Замечание. Предположение (4.17) не существенно. Очевидно, что Теорема 4 остается верной, если (4.17) заменить более общим условием: P^U) равномерно удовлетворяет условию Липшица по х (ср. (4.12)) иf

|Нг,(х)-рА(1|)х)|<й|/0 — fj, ■(4.22)

где ф есть соответствие, определенное формулой (4.19),

СУЩЕСТВОВАНИЕ СЕДЛОВЫХ ТОЧЕК

Результаты § 2, 3 содержат все составные части, необходимые для доказательства существования седловой точки дифференциальной игры G. Тем не менее понадобится одно дополнительное предположение, гарантирующее, что Xtt, г является компактным подмножеством пространства [С [Zo, Т]]”1. Таким предположением является следующее:

для любых t е [0, 7], хе Rm множества /* (/, х, У) и f2(7, х, Z) выпуклы.

Действительно, если (ix) имеет место, то (см. [6]) Х^т— компактное множество. В силу лемм 1, 2 для любого 6 существуют верхние 6-стратегии

r' = (r.6-V..., Г®'"), А® = (А®’А®'"),

такие, что для любых А6, Г6

И<Р[А6, Г?]+6,(5.1)

К6>Р[Гв, А®] —б.(5.2)

Обозначим через у® (О, 2^(0 и л^(0 управления игроков у, 2 и траекторию, полученную в результате игры в соответствии с (3.5), где Г6, А6 заменены символами Г® и Аб. Так как Xt,, т — компакт, существуют подпоследовательность индексов б, которую мы обозначим через {б,}, и траектория х*(0, такие, что

sup |^(/)-хе(0|-*0 при 6 = 6}->0.(5.3)

'to t ^ Т

Из доказательства теоремы 1 имеем

P^2*^->V при б->0.(5.4)

Рассмотрим далее две произвольные последовательности Г = {Г6}» А = {А6}. Для каждой пары (Г6, А6) игра ведется согласно (3.5), где Г6А6 заменены на Г6, А6. Обозначим через у6, z^ х6 получившиеся в результате у-управление, 2-управление и траекторию. Пусть {6/} —любая подпоследовательность из {6}, такая, что

sup ] x6(Z) — х(/) |~>0 при 6 = б/—> О(5.5)

для некоторой траектории х(/). Так как Х/о, г — компакт, такая подпоследовательность всегда существует.

Определение. Любая траектория х^, полученная вышеуказанным способом, называется порожденной Г, А с начальным управлением г.

Обозначим через Рг [Г, А] множество всех чисел

Нт Р(Д г^,(5.6)

где у6, z6— те же, что и выше, а последовательность {6,} такова, что для нее имеет место (5.5) и существует предел (5.6).

Определения. Последовательности Г, А называются стратегиями для у и г соответственно. Множество Р2 [Г, А] называется платой для стратегий Г, А (с начальным управлением z).

Из (5.4) видно, что множество Р2[Г‘, А*] состоит в точности из одного элемента, а именно V. Таким образом,

Р2[Г, А’] = {У).(5.7)

Обозначения. Если заданы множества Д и В вещественных чисел, мы будем писать А<.В, когда о <6 для всех аеА,

be В. Если Л (В) состоит из одной точки а (Ь), то мы будем писать а ^ В (А ^ Ь).

Из (5.1) получаем

(5.8)(5.8)(5.9)(5.9)(5.10)(5.10)ПтКв<РИГ, А]. 6->0

(5.8)

(5.8)

(5.9)

(5.9)

(5.10)

(5.10)

Аналогично из (5.2) получаем

Нт К6 > РИГ, А*]. 6->0

Объединяя (5.7) — (5.9), можем записать

РИГ, А1СРИГ, АП = (К)<Р2(Г\ А]

для всех стратегий Г, А. "

- Теперь выберем произвольную точку у в У и определим множество Р5[Г, А], аналогичное множеству Р5[Г, А]. Итак, у выбирает yi = y и вообще

t//(0 = r6'/-1(2i, z2, .... г,-,)^ —6) для telj (2<j^n), 21^ = \6’Цуг, .... VtHt)Для tel, (1</<п).

Обозначим через уь^ и 26(/) управления, полученные таким образом для у и z соответственно; обозначим через хв(0 соответствующую траекторию. Если существует подпоследовательность (дД из (д), такая, что

• lim РЦ, гв/) = р,(5.12)

sup Ixe (/) — х(/)|—> 0 при /->оо,(5.13)

<о<«Г1

где х(0 — траектория, то будем говорить, что траектория х$ порождена Г, А (с начальным управлением у), и писать ре РИГ, А]. Множество Pg [Г, А], состоящее из всех таких чисел Р, называется платой для стратегий Г, А (с начальным управлением у).

Если взять Г6 = Г®, А6 = А®, то, используя лемму 4 (подобно тому, как это было сделано в доказательстве теоремы 1), найдем, что РИГ А*] состоит в точности из одной точки, а именно значения V. Более того,

РДГ, АКУКРДГ, А](5.14)

для всех стратегий Г, А.

Объединяя (5.14) с (5.10), заключаем, что

Ра [Г, А*] < Рр [Г, А*] = (У) < PY [Г, А],(5.15)

где а, р, у — произвольные точки множества Z U Г Пара (Г, А*), удовлетворяющая (5.15), называется седловой точкой игры. '

Резюмируем:

Теорема 5. Пусть выполнены предположения (i)— (vi) и (ix). Тогда существует седловая точка дифференциальной игры G, т.е. пара (Р, А*), такая, что (5.15) имеет место для любых стратегий Г, А и для любых точек а, 0, у из Z U У.

При доказательстве теоремы 5 применялись верхние б-страте- гии. Если вместо этого применить только нижние б-стратегии или нижние б-стратегии для одного игрока и верхние б-стратегии для другого, то получится тот же результат. Это можно доказать, применяя лемму 4.

Замечание. В определении седловой точки применялось понятие стратегии Г, базирующееся на последовательности б-стра- тегий, соответствующих последовательности разбиений

' Яг = ро. 'о + 6, /0 + 2d, .... /о + ^^-б} (г=1, 2, ...).

Однако можно определить стратегию Г, основываясь на любой другой последовательности {лг} разбиений, при условии что |лг|-* —» О при г1-*оо. Теорема 5 остается при этом верной и ее доказательство— тем же самым. Это замечание существенно, так как могут встретиться примеры, когда желательно применять разбиения лг, отличные от лг. Это замечание относится также к теореме 6 § 6. .

ИГРЫ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

Пусть F — непустое замкнутое множество в пространстве {(х, t); xeRm, О^^^оо}. Если х(/) —траектория и если (x(?)J)eF, а (х(/),0^ F для /0^<<?, то говорят, что при t = t имеет место захват. Мы предполагаем, что F содержит множество RmX\T<), оо) для некоторого to<.To-<T. Это означает, что в игре преследования-уклонения, рассматриваемой ниже, захват обязательно произойдет в конечный момент времени ^То- Таким образом, имеется в виду игра конечной длительности Т с функционалом платы

Р (у, г) = min {/; (/, х (t)) eF^st (х). (6.1)

Игрок у старается максимизировать /(х) (время захвата^, тогда как игрок z стремится минимизировать его. Таким образом, г—* преследующий, ay — убегающий;

Как и раньше, определяем верхние б-игры G6 с верхним б-зна- чением Vе, заданные соотношениями (2.1), (2.2) при Р(у, г) = = / (х). Подобным образом определяются нижние 6-игры G6 с нижним б-значением V6. Леммы 1—3 остаются в силе.

Единственное различие между ситуацией, рассматриваемой здесь, и ситуацией в предыдущих параграфах в том, что плата /(х)— не обязательно непрерывный функционал. Вообще говоря, можно только утверждать, что t(x) есть полунепрерывная снизу функция. (Доказательство ее полунепрерывности снизу довольно тривиально.) Доказательство теоремы 1 поэтому теряет силу.

Расширим понятие значения и докажем затем, что такая игра имеет «обобщенное значение». Предположим, что выполнены предположения (i) — (Ш) и (ix). Никаких специальных ограничений на плату не накладывается. Пусть

^etz = inf sup Р2 [Г, А],(6.2)

д г

У^ z = sup inf Pz [Г, А],(6.3)

г д

где Рг[Г, А] — множество, определенное, как в § 5. Из определений (6.2), (6.3) ясно, что

sup Рг [Г, А] = sup sup а,ГГ aePgir, Д]

inf Pz [Г, А] = inf inf 0.

ДД РеРг[Г. Д]

Назовем V^zO^z) обобщенным верхним значением {обобщенным нижним значением) в точке z рассматриваемой дифференциальной игры. Подобным образом определяем обобщенное верхнее {нижнее) значение v£g (У7,д) в точке у, где yeY. Если V^a = ^p для всех а, 0 из У U Z, то будем говорить, что игра имеет обобщенное значение. Оно равно

Ve = V^ = V7z = VtB = V7.g.(6.4)

По теореме 5, если выполнены (i) — (vi) и (ix), то Ve существует И Ve = V.

Теперь может быть установлена

- Теорема 6. Пусть выполнены условия (i) — (iv) и (ix). Тогда дифференциальная игра (1.1), (1.2), (6.1) имеет обобщенное значение.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 8 в работе [9]

Так как V7a^V7a Для любого aeYUZ, достаточно показать, что для любого в > 0 и для любого 0 е У U Z

Vt^V7.»-Ve.(6.5)

Из определения Ve, а следует, что для любой стратегии Г существует стратегия А, такая, что

f ^V^a + e для некоторого f еРа[Г, А].(6.6)

Таким образом, существуют последовательности [Г6/], {А6/} и соответствующая последовательность траекторий {х6/}, такие, что

sup |?/(0-х(0|->0, t(x6i^t*^TK = V;.a-Ve, t6<t^T

где х (0 — траектория. Ясно, что

(х(Г), П^Р.(6.7)

Определим плату ре следующим образом:

р,в(х) = min {|х(0 — ^ 1 +1 ^ — ^1; (Д h^F, t0<t<T^ (6.8) и рассмотрим игру на [/о, Т^ определенную соотношениями (1.1), (1.2) и (6.8). Поскольку це — равномерно непрерывный функционал, из теоремы 1 следует, что такая игра имеет значение У(це).

Будем обозначать плату (6.8) также символом Ре(у, z). Из (6.7) видно, что р,е(^) = 0- Отсюда ясно, что для любой стратегии Г существует стратегия А, такая, что Ра [Г, А] содержит точку 0. Тогда из теоремы 5 видно,, что К(це) = 0. Кроме того, существует стратегия А*, такая, что

Р|[Г, А*] = 0 для всех ГиреУи^. (6.9)

Пусть х(0 — любая траектория, порожденная стратегиями Г, А* с начальным управлением р. Из (6.9) следует, что ц8(х) = 0, т. е. (ж(£)> i^eF для некоторого t ^ Те. Поэтому в игре с платой (6.1)

Рр[Г, А1<Т6.

Отсюда

V+₽<supPp[r, А*]^Те.г р

Поскольку 7е = И7а + е, неравенство (6.5) выполняется.

ИГРА, НЕ ИМЕЮЩАЯ ЗНАЧЕНИЯ

Покажем, что в теореме 1 условие (iv) (см. (1.5)) существенно. Мы докажем, что игра, заданная соотношениями

^ = 4((/-г)2 (0<t<l),(7.1)

х(0) = 0,.(7.2)

' Р (у, г) г Ц (%) = j х (0 dt,(7.3)

о

где Y = {у; 0 ^ у ^ 1}, Z = (z; О ^ z ^ 1}, не имеет значения. Эта игра была первоначально введена Берковицем [1] в качестве примера игры, которая не решается в чистых стратегиях.

Рассмотрим какую-нибудь игру G6. Так как z стремится минимизировать плату, оптимальной стратегией для z является выбор Zj = Уз в Ij. А это будет иметь своим результатом нулевую плату. Отсюда V6 = 0.

Рассмотрим теперь игру G6. Для каждого выбора z = Zj в I, игрок у может выбирать у^ так, чтобы |^(0— Zj(0l^V2- Результирующая траектория х^ будет удовлетворять дифференциальному уравнению dxldt^ 1. Таким образом, х^^ t и плата ^Уг- Следовательно, V6 ^ V2. (Фактически имеет место равенство.)

Мы заключаем, что для дифференциальной игры (7.1) — (7.3) V+ > V", т. е. эта игра не имеет значения.

ЗАМЕЧАНИЯ О РАБОТАХ ВАРАЙИ — ЛИНА И ФЛЕМИНГА

Варайя И'Лин [9] рассмотрели дифференциальные системы

= Хь у}, ^i(O) = xlo, (8.1)

•^- = f2(/, х2, z), х2(0) = х20 (8.2) с платой ц(хь х2). Вместо Г6 они определяли отображения а6 пространства Х2, г траекторий уравнения (8.2) в пространство Xi, г траекторий уравнения (8.1), такие, что если

х2^ = х2^ для 0<t<i6T, (8.3) то

(а6х2) (0 = (авх2) (0 для О^/^/дТ. (8.4)

Так же определялись р6 (по аналогии с А6).

Далее они определяют отображения а6 из Х2; т в X], т, такие, что если имеет место (8.3), то для всех 0 ^ / ^ (i+ 1)6Т справедливо (8.4). Затем отмечается, что для данной пары р6, а6 имеется единственная пара хь х2 траекторий, такая, что а6х2 = = хь р6х, = х2. Это аналогично тому, что происходит в схеме G6.

Основными результатами работы [9] являются аналоги теорем 1, 5 и 6 настоящей статьи для систем (8.1), (8.2) и платы ц(хь х2).

Недавно Роксин [7] высказал предположение, что для обобщения работы Варайи и Лина необходимо рассматривать а6, р6 и т. д. как отображения пространств управляющих функций (а не пространств траекторий).

В этой статье автор точно следует предложению Роксина. Однако отображения а6, р6 и т. д. заменены отображениями Г6, А6 и т. д. Имеется очевидный изоморфизм между двумя этими множествами понятий, однако наши кажутся нам лучше согласую-

щимися с интуитивными представлениями. Дифференциальная система, рассматриваемая здесь, так же как и плата, является более общей, чем в [9]. Кроме того, в отличие от [9], при доказательстве существования значения игры не предполагается выполненным условие выпуклости (ix).

Флеминг [3], [4], [5] несколько иначе подходит к определению дифференциальной игры (с фиксированным интервалом времени). Он дискретизирует дифференциальную систему (1.1), заменяя ее конечно-разностной системой

xz+i = Xi + 6zf (h. хь yh z^.

Аппроксимирующая игра протекает как дискретная игра. При этом естественно привлечение средств теории вероятностей. Обозначая значение n-й аппроксимирующей игры через Уп, Флеминг доказывает в [5], что Иш Уп существует даже без допущений (1.5), (1.8). Этот предел он называет значением игры. Такой подход кажется менее связанным с исходной системой (1.1), (1.2) по сравнению с подходом, принятым в данной статье.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

В реальной ситуации может оказаться, что одному или двум игрокам необходимо некоторое время на «переваривание» поступающей информации, касающейся развития игры. Это обстоятельство натолкнуло' нас на определение дифференциальной игры с запаздыванием и обобщение результатов, полученных в предыдущих параграфах.

■ Для простоты рассмотрим случай, когда только у действует с некоторым запаздыванием о. Разобьем интервал (/0, Л на 2Г подинтервалов /j равной длины 6(6 = (Г — /0)/2г) й допустим для простоты, что точка Г* = /0 + о есть конец некоторого интервала //о (в противном случае введем Т* в качестве новой точки разбиения). Обозначим через Г6^ (1^/^/о) любую управляющую функцию для у в Ij. Тогда Г6’1 для / > /о есть произвольное отображение Z] X ... XZj-i, в Yj. Аналогично обозначим через Ли (1^/^/оЧ-1) произвольную управляющую функцию для у в 1$. Тогда Гв1 j для / > /о'-}-1 есть отображение Zx X ... X X Zj-j6-i в Y]._.•

Определим теперь верхнюю и нижнюю 6-стратегии для у следующим образом:

'"гб=(гмг6-"),

Л=(Л, ь •••> Л,д

где п = 2Г; б-ст^ратегии Д6, Д6 для z определяются так же, как в § 2.'

Удобно зафиксировать Д6, i (/) в zx (0 = 2, Г6, i (/) ■ ух (t) = у.

Определим 6-игры G6 и G6, как в § 2, и затем определим соответствующее верхнее 6-значение V6 и нижнее 6-значение V6 следующим образом:

V6 = supinfP[A6, Г6],(9.1)

. г6

K6 = infsupP[re, Д6].(9.2)

А6 Г6

Пара последовательностей G (о) = ({G6}, {G6}) называется дифференциальной игрой с о-запаздыванием для у.

Определение (9.1) необязательно совпадает с определением (2.2) (для данного понятия 6-стратегий), так как, вообще говоря (ср. (2.3)),

inf sup Q(o, ф)^ sup inf Q(v, w\ veVw^Ww^WveV

Тем не менее, применяя (2.2), (2.3), мы находим, что определение V6 по (9.2) совпадает с определением по (2.7). Более того (ср< с леммой 2),

y6 = supinfP[r6, Л6].(9.3)

г6 дб

Множество всех отображений A6j можно отождествить с подмножеством множества всех отображений А6’3. Аналогично если / >/о, то множество всех отображений Г6, j можно отождествить с подмножеством множества всех отображений Г6^. Если j ^ /0, то и множество всех функций Гб»\ и множество всех функций Г6, j совпадают с Yj. Используя эти замечания и (9.1), (9.3), получаем

V^>V,.(9.4)

Из (2.7) получаем также, что

Иб, >Иб2, если 61 < 62.-(9.5)

Из (9.5) следует, что lim Кб существует.

б-> о

Теорема 7. Пусть выполнены условия (i) — (vi). Тогда существует lim Ув и

6-*0

limVe = limVe.(9.6)

6->06->0

Общий предел (9.6) называется значением дифференциальной игры с a-запаздыванием для у. Обозначим его через У(о).

Учитывая (9.4) и (9.5), убеждаемся в справедливости (9.6) следующим образом: любая подпоследовательность {6J из {6} имеет подпоследовательность {б/}, такую, что для любого е > О

У6<Ув + е, если б = 6/', j'^f,(9.7)

где j* достаточно велико.

Доказательство (9.7) аналогично доказательству (3.2) и поэтому опускается.. '

Можно, однако, получить результаты, аналогичные теоремам 2—5, для данной дифференциальной игры с ^-запаздыванием для у. Возникает следующий вопрос: имеет ли место V(ст) -* V, когда о -> 0? Ответ на него дает

Теорема 8. Пусть выполнены условия (1) — (vi). Тогда

НшК(о) = И.(9.8)

д-> О

Доказательство. Очевидно, что V (а) ^ V. Следовательно, достаточно показать, что

V С Нт (ст).(9.9)

6~>0'

Выберем А6 таким, чтобы

И(ст)^Р[Г6, А6] — б для любого Г6,(9.10)

где Ге — нижняя б-стратегия для б-игры с ст-запаздыванием для у. Далее, выберем верхнюю б-стратегию Г6 для б-игры (1.1), (1.2), (1.7), такую, что

Р[А6, Г6] ^7 +б для любого А6.(9.11)

Рассмотрим б-стратегию Г6, полученную из Г6 введением (ст + б)-запаздывания, т. е.

Гб.»+/,(21г^^Чгх, .... г6))(/ + б + ст). (9.12)

Из (9.10) получаем

7(ст)>Р[Г6, А6] —б.(9.13)

Обозначим через z(/) z-y правление, полученное из пары (Г6, А6). Пусть А6 — нижняя б-стратегия для z, такая, что z-управление, соответствующее паре (А6, Г6), есть z(/). Из (9.11) имеем

Р[А6, Г6]>7 +б.(9.14)

Заметим теперь (см. (9.12)), что //-управления #(/) и y(f), соответствующие (Г6, А6) и (А6, Г6), удовлетворяют соотношению

^(0 = 5(^ + 6 +ст), если t0<t<T -б-ст;

для z-управлений имеет место аналогичная картина. Применяя лемму 4, заключаем, что для любых последовательностей {6Д, {стД, сходящихся к нулю, существуют подпоследовательности {б/Д, {ст/'}, такие, что

[ Р [А6, Г6] — Р [Г6, А6] |-* 0, когда б = б,'-> 0, о = ог^0. (9.15)

Из (9.15), (9.13), (9.14) получаем (9.9). Тем самым доказательство теоремы 8 завершено.

ЛИТЕРАТУРА

Berkovitz L. D., A differential game with no pure strategy solution. In «Advances in Game Theory», Annals of Math. Study 52, pp. 175—-194, Princeton University Press, Princeton, 1964.r

Коддингтон Э.; Левинсон H., Теория обыкновенных дифференциаль- • ных уравнений, ИЛ, М., 1958.-

Fleming W. Н., A note on differential games of prescribed duration, «Contributions to the Theory of Games», Annals of Math. Study 39, pp. 407—416, Princeton University Press, Princeton, 1957.

F1 e m i n g W. H., The convergence problem for differential games. L Math. Anal, and, Appl., 3 (1961), 102—116.

Fleming W. H., The convergence problem for differential games. II. In «Advances in game Theory», Annals of Math. Study 52, pp. 195—210, Princeton University Press, Princeton, 1964.'*

R oxin E., The existence of optimal controls, Mich. Math. 7., 9 (1962), 109— 119.

R о x i n E., The axiomatic approach in differential games, Technical Report № 4, June 1968, Univ, of Rhode Island, Kingston, R. I.

V a r a i у a P. and Lin J., Existence of saddle points in differential games, Technical Report № ERL-M 241, February 1968, Univ, of California, Electronic Research Lab., Berkeley. (To appear in /. SIAM Control.)

Существование значения и седловых точекдля дифференциальных игр преследованияи уклонения *)

Д. Фридман

ВВЕДЕНИЕ

Эта работа является продолжением предыдущей статьи [4], в которой было определено понятие дифференциальной игры, заданной системой т обыкновенных дифференциальных уравнений ^ = t^x,y,z^ (t0<t<T)(1.1)

при начальном условии.

*(*о) = *о(1-2)

и платой•

Т ’

. PW = gWM f ЦМ^ y^.z^dt, (1.3)

где Т — фиксированное положительное число и 0 ^ /о < Т. Фактически рассматривалась более общая плата, в которой g(x(T)) заменялась любым непрерывным функционалом р,(х) траектории х.

Как и в [4], обозначим через Y и Z фиксированные компактные подмножества некоторых евклидовых пространств Rp и R^ соответственно. Сделаем следующие предположения:

• (i) f V> х, у, z) непрерывна в (/, х, у, z) г [0, ГрХ Rm X Y X Z;

Для любых t е [О, TV у е У, z^Z, R > 0 и х, х в R™, |х|</?, |х|<£, . If (Л х, у, z) — Hi, х, у, z)K^!|x — х|

(&! = &Ц/?) —константа);(1.4)

для любых / е [О, Т], у е У, ze Z, хе Rm | f (/, х, у, z) К&2| *1 + ^з (^2. ^з — константы); (1.5) (iv) у и z «разделены» в правой части (1.1), т. е.

f (Л х, у, z) = f1 (/, х, у) + f2 (/, х, 2);(1.6)

g(x) непрерывна в Rm, a h(t, х, у, z) непрерывна в

~.[О, nXRmXYXZ;

9 Friedman A., Existence of value and of saddle points for differential fames of pursuit and evasion, Journal of differential equations, 7* № 1 (1970), 2-110.'

у и z «разделены» под интегралом в выражении для платы, т. е. •

h (/, х, у, z) = hx (/, х, у) + А2 У> х« 2\О*?)

В работе [4] было доказано, что при предположениях (i) — (vi) дифференциальная игра имеет значение. Обозначим ее значение через V(xo, to)- Кроме того, было доказано, что V(x, /) удовлетворяет условию Липшица по (х, t)^RmX [0, 7] при следующих дополнительных условиях:

(vii)g(x) удовлетворяет условию Липшица в Rm, a h{t, х, у, г) равномерно удовлетворяет условию Липшица по х (на множестве [о.ЛХ^ХУХ-^);

(viii)f (/, х, у, z) и h(t, х, у, z) равномерно удовлетворяют условию Липшица по t (на множестве [0, 7] X Rm X X ^)-

Наконец, было доказано существование седловой точки при предположениях (i) — (vi) и следующем дополнительном предположении:■

для каждого /е[0,7], xeRm множества f^t, х, У) и f2(t, х, Z) выпуклы.

В [4] рассматривалась также игра преследования и уклонения. В этой игре плата задается следующим образом:

.РкУ.г^!^-^(1.8)

где /(х)—наименьшее значение /, такое, что (x(Z), t^eF. Здесь F — некоторое замкнутое множество, называемое терминальным множеством. Величина /(х) называется временем захвата. Мы предполагали, что F содержит множество RmX\T^ оо) для некоторого 0 < То < Т (так что захват всегда имеет место), и тогда рассматриваемая задача сводилась к задаче с предписанной длительностью (Т — конечное время). Характерная особенность этой задачи заключается в том, что плата не является непрерывным функционалом. Мы показали, что такая игра имеет обобщенное значение Ve(xo,to) при условиях (i) — (vi) и (ix).

В настоящей статье мы будем рассматривать платы более общего вида, чем в игре преследования и уклонения, а именно

P(y,z)=^ h(t,x(t),y(t),z(t))dt,(1.9)

где h удовлетворяет следующему условию:

h(t, х, у, z) непрерывна по (/, х, у, г) на множестве

[О.ПХ^ХГХг, и h(t,x,y,z)>0.

Определение дифференциальной игры G, заданной системой (1.1), (1.2) и платой (1.9), такое же, как и в работе [4], где рассматривалась плата (1.3). Однако в данном случае плата, как правило, не является непрерывным функционалом.

Обозначим через Т-(хо,/о) нижнее значение игры преследования и уклонения (1.1), (1.2). На протяжении всей этой статьи мы предполагаем, что терминальное множество F есть замкнутая область с границей класса С2. В § 2 мы покажем (теорема 1), что если дифференциальное неравенство (2.1) имеет место на границе 3F множества F, то.

Т"(х0) /oXCdist ((х0, f0), dF) (С — константа) (ЫО)

для всех (х0, /о) ^ F, но достаточно близких к F.

Неравенство (1.10) является основным для других результатов этой статьи. В § 3 оно используется для доказательства того факта, что дифференциальная игра (1.1), (1.2), (1.9) имеет значение V(x0, /о). Если имеет место (ix), то существует также и седловая точка.

Варайя и Лин [9] рассмотрели игру преследования и уклонения, заданную системой

^- = ?Ч*,хъу\ ^p = P(t, х2, у), х = (хн х2\

Они доказали (их метод отличается от нашего) существование седловой точки при условии, что Ve(x0,/о)-^ 0, когда (х0,/о) стремится к 6F.-

В § 4 мы покажем, что V(хо, /о) удовлетворяет условию Липшица по (х0, /о).'

’ В § 5 доказывается, что если V(x, t) непрерывно дифференцируема, то она удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Это сделано как в случае платы (1.3), так и в случае платы (1.9). Эвристический вывод этого уравнения имеется в книге Айзекса [5].

. В § 6 устанавливается связь между результатами Понтрягина [6], [7] и Пшеничного [8] и результатами данной работы для игры преследования и уклонения. В дальнейшем без каких-либо пояснений будут использоваться обозначения работы [4].

ДОПУСТИМОСТЬ ТЕРМИНАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА

Как и раньше, обозначим через F терминальное множество для игры преследования и уклонения. Пусть выполнены условия (i)—(iv).

На множество F налагаются следующие условия:

(F) F— замкнутая область с границей 9F класса С2 и

m

vm+14-maxmin 2 v^it, х, у, г) < 0(2.1)

-»еУ zeZ /=1

ДЛя всех (х, t)^dPt где (vi, • vm+i) — внешняя нормаль к дР в точке (х, /).

Заметим, что в силу (iv) порядок следования max и min в (2.1) можно обратить. Обозначим через р(х,/) расстояние от точки (х, /) до множества F.'

Определение. Говорят, что множество F допустимо, если Т~(х0, /0) —* О, когда р(х0, /о) -*0.

Для любого е > 0 введем следующие обозначения: Fe — {(х, /);

(х, /) ^ int F и р (х, 0 ^ е); Fe,R = {(х, t) е Fe; |х| ^ RV

Так как dF есть С2-многообразие, то для любого /?> О и достаточно малого е' > О функция р(х, /) принадлежит С1 (Fe-, %). Для (г, /) е Fe-, r, yeY, z е 2 положим

m

Л(/,х,у, 2)=^^ + 2-^ti-f,(/,x,y,2),(2.2)

i=l 1

.m

Ло(/, х)=-^4^ + тах min^-^^fz(f, x, t/, 2) == yEy 2eZ* oxl m

= ™ d/~ + min max 2 dPdx ° ^ ^’ X> У’ ^'(213^

zeZ yeY ” oxl

Заметим, что Л и Ло — непрерывные функции. Легко проверяется следующее утверждение.

Лемма 1. Предположим, что выполнено условие (F). Тогда для любого И > 0 существуют положительные постоянные ео и с, такие, что•

Ло (/, х) < —. с, если (х, 0 е F6o, | х | < 2/?.(2.4)

Отметим, что если R достаточно велико, то любая траектория х(/) при |x(f0)| </? удовлетворяет неравенству |х(/)|<2/?. Сформулируем теперь основной результат этого параграфа.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (i)— (iv), и предположим, что F удовлетворяет условию (F). Тогда F допустимо; точнее, для любого R> О

т~(хо, ^^уР^о. ^о). если (х0,/0) е ^е,/2, |х0|<^. (2.5)

Постоянные с, ео в (2.5) такие же, как в лемме 1.

Нам потребуется

Лемма 2. Пусть функция g{x,t) принадлежит классу С1 на И X [о, 6], где й — открытое множество из Rm, и пусть x(t)—абсолютно непрерывная функция для t е [а, 6] со значениями в Q.

JlycTb h(t) = g(x(ty t). Тогда К^Ц абсолютно непрерывна иdh (О dg (х (О, О v dg (х (f), /) dXj (/)

—$at+1—aZdt™ W /=11

почти всюду на [a, b\.

Доказательство. Мы можем предположить, что g^t) не зависит от t, т. е. g^x, t) = g^xy В самом деле, в противном случае положим Xn+i = t, X = (х, xn+i), g'W = gkx3^ и применим следующее ниже доказательство к gf ^Ху Положим

t

x(/) = x(a) + j у (s') ds,где z/(s) интегрируема. Пусть {у"} — последовательность функцийкласса С°° на [а, 6], такая, что

6

J I yn(s) ~ y(s) |afs—>0, если и-*оо. а

Пусть

x"(0 = x(a) + J yn(s)ds,а

hn^ = g<xn^\ '

Тогда при п—>оо,

.sup |йп(0~й(01->0,(2.7)

dhnW dg(xn(t)) dx^ у dg(xn^

Д1 ^ dxj dt Ai dxjУj X

в Li(aJ)y (28)

Устремляя п к оо в соотношении

.hn{t)~h{a) =ds(2.9)

■а

и применяя (2.7), (2.8), получаем утверждение леммы.

Продолжим доказательство теоремы 1. Разобьем интервал (to, Т) на п = 2г интервалов Д, ..., /п одинаковой длины. Конец tj интервала Д является началом Д+1 (если / + 1 ^ п). Пусть б = = (Т — toM^. Если 6 достаточно мало, то верно следующее утверждение.

Для любой траектории х(/) (при |х((0)|<Р)

|х(Г)-х(И1<во/2, если |Г-/'|<б.(2.10)

Следующее свойство также верно при достаточно малом б: если

Л(Р, х(И, У, z)< — cЛ(Р, х(И, У, z)< — c(2.11)(2.11)

Л(Р, х(И, У, z)< — c

Л(Р, х(И, У, z)< — c

(2.11)

(2.11)

для некоторой пары у, z и траектории x(f) при (х(Г), И ^ F^, то Л(/", хЩ, y,z^-^c, если 1t" - V | < б, (х(Г), И ^ F. (2.12)

Заметим, принимая во внимание (2.Ю), что (х (/"),/") ^ Л?о, так что A(f', х(/"), У, 2) определено корректно.

Определение. Обозначим через до фиксированное положительное число, такое, что справедливы два предыдущих свойства, когда 6 б0. Докажем следующую лемму.

Лемма 3. Пусть (х0, /0)G ^е0/2, I х01 < Я, и дана произвольная нижняя 6-стратегия Гб для у, где б ^ бо; тогда существует верхняя 6-стратегия А6 для х, такая, что

Р[Г6, А6]<|р(х0,/0).Р[Г6, А6]<|р(х0,/0).(2.13)(2.13)

Р[Г6, А6]<|р(х0,/0).

Р[Г6, А6]<|р(х0,/0).

(2.13)

(2.13)

Для доказательства леммы положим yv = Г6, i. Аппроксимируем yv в ЬЦ!^ последовательностью {//14 ступенчатых функций, т. е..

-/ 1У1И0 —У1(01^->0, если &->оо,(2.14)

71

И

У 1k (0 === Л^р ДЛЯ к, р < ^ < ki р+1

(р=1, Рй = р^к\ tk,x = tQ, tk,P.-v\ = tx\ (2.15) Из теоремы Егорова следует, что существует подпоследовательность последовательности {z/i/J, которую мы снова обозначим через UhkL сходящаяся к уД/) «почти равномерно», т. е. для любого 8 > 0

sup 1У1ИС~У1(ОК8> mes (Л \ ле) < б8,(2.16)

при условии, что к достаточно велико, скажем к ^ А0(е).

Лемма 4. Для любой ступенчатой функции уш^ на к ^заданной формулой (2.15)) существует ступенчатая функция х^Ц. удовлетворяющая условию■

A^x^y.an.z.HOX-TC- если tslb (2.17) где х^ —произвольная траектория, такая, что x{to) = Хо, и такая, что (x(t), t) ^F для всех t е Л.

Доказательство. Пусть Др = {/; Д, Р ^ / < Д, P+i}. Из леммы 1 следует, что для любого х\кРе Y существует точка ^р е е Z, такая, что -

^ (Д, Хо, Т|^р> ^кр^) < С.

Известно, что при 6 ^ 6о из (2.11) следует (2.12). Тогда

Л(/, х^, ^Р. tkpX — у С для всех t^Ix,

при условии, что х^—произвольная траектория, удовлетворяющая условиям х(<о)=хо и (x(Z), /) ^ F для всех / е Л. Теперь определяем Zth(t) как

^ife (О= £ьр на /др..

Из (2.16), (2.17) и. непрерывности Л(/, х, у, z) по у следует, что

Л(Л ЦО, Ух^ Zife(0X — ус Для teIVE (2.18) при достаточно малом е, скажем е ^ ei, где x(f)—любая траектория, удовлетворяющая условиям х(1^ = х0 и (x(/),^)^F для всех telx. Заметим, что 8] зависит только от модуля непрерывности Л(/, х, у, z) по у..

Пусть с’ — некоторая константа, такая, что

| A(f, х, у, z) |<с', если (х, ОеFe„ | х | < 2/?, у е Y, zeZ. (2.19) Фиксируем е в (2.16), (2.18), такое, что

8<8Ь е < 6/(с, + 2с/3) .(2.20)

Далее фиксируем к, к ^ &о(е), и пусть z^ = A6* ^i.

Обозначим через Х\^ траекторию в /ь определяемую управлениями z/i(/), ZihW и начальными условиями хДД) — х0.

Лемма 5. Если (хД/), /) ^ F для всех t е71, то

р(х1МД)<р(х0, Д)-|б.(2.21)

Доказательство. Рассмотрим функцию р(хД/), /). В силу леммы 2’

Р Ui (ti), ti) — Р (^1 Уо\ <о) = J л (/, X] У\ Ух (0, zxh ^ dt. to•

Применяя неравенство (2.18) при x(f) =xi^, а также (2.19), получаем

pUi(^Mi) —P(xi(to),/0)^—|"С(д-де) 4-с'ав< —уб^ -

(здесь использовано также (2.20)). Теперь имеются две возможности:

(Xi (?), ?) е F для некоторого ? е Л и

(xt (?), ?) ^F для всех ? е Л.

Если имеет место (а), то определим А6-2, ..., А6-" любым способом. Если же имеет место (Ь), то поступим так же, как для случая Л. Вместо t/i (?) на к зададим теперь у2(0 = (Г6 2Z])(?) на к, а вместо начальной точки (х0, ?о) возьмем (xi (?i)?i). Заметим, что (по лемме 5) (Х] (?]), ?i) е F^. Построим теперь z2ft (?) аналогично zlft(?) (^ не обязательно то же), и пусть z2k = A6'2(t/b у^. Обозначим через х2(?) траекторию, соответствующую управлениям: Уг, г№ при x2(?i) = Xi(?i).

Снова имеются две возможности: (a) tx^Tk^ *= F для некоторого t^k и (Ь) (х2 (?),?) ^ F для всех t е к-

Если имеет место (Ь), то (см. доказательство леммы 5) р(х2(?2),?2)<р(х1 (?,),?,) -| 6.(2.22)

Если имеет место (а), определим А6-3, ..., А6-" любым способом.

Продолжая действовать таким образом, мы последовательно завершим построение А6 = (А6<1, ..., А6-"). Обозначим через у6(?) и г6(?) управления для у и z, определенные указанным способом при помощи Г6 и А6; через х6(?) обозначим соответствующую траекторию, удовлетворяющую условию х6(?0) = Хо.

Объединяя неравенства (2.21), (2.22) и т. д., приходим к такому заключению: если (х6(?), ?) ^ F для ?о ^ ? ^ к, то

Р (*6 (?/), ?/) < р (х0, ?0) - ^ (к - ?0).(2.23)

Но это невозможно, если р(х0, ?0) ^ с(?,-— ?0)/2. Отсюда (х(Г), F) е F для некоторой точки ^ удовлетворяющей условию ?о ^ t ^ ?j, где к — to есть наименьшее кратное б, которое > 2р(х0, ?о)/с. Таким образом,

(2.24)(2.24)Р(Уь. г6)<-ур(х0, ?0) + б;

(2.24)

(2.24)

доказательство леммы 3 закончено.

Из леммы 3 следует, что У6 ^ (2/с)р(х0, /о) + 6 для всех 6 ^ бо. Устремляя б к 0, получаем утверждение теоремы 1.

Замечание. Предположим, что неравенство (2.1) превращается в противоположное на подмножестве К из дР. Тогда с помощью рассуждений, аналогичных использованным в доказательстве теоремы 1, можно показать следующее: любой точке (х0, /о), лежащей вне F, соответствует такое бо > 0, что для любой стратегии А6 при б ^ 6о существует стратегия Г6, такая, что px(x(Z),Z) ^ ^ с > 0 для всех to ^ t ^ Т. Здесь с — положительная постоян-

ная, независящая от А6, Г6; р^(х,/)—расстояния от (х, /) до К и х(/)— траектория, определенная с помощью А6, Г6.

Это замечание показывает, что условие (2.1) является не только достаточным для допустимости F, но и «почти» необходимым.

Из доказательства теоремы 1 мы получаем следующий локальный вариант теоремы 1.

Теорема 1'. Пусть выполнены условия (i) — (iv), и пусть F — замкнутая область с границей dF класса С2. Пусть, далее, G— замкнутое ограниченное подмножество dF и (2.1) имеет место для всех (х, /) е G. Если dist ((х0, /о), G) достаточно мало и если (х0, /о) ^ Л то

(2.25)(2.25)Т (х0, /0) ^ ср (х0, /0) (с — константа).

(2.25)

(2.25)

Фактически предположение о том, что dF принадлежит С2, можно заменить более слабым предположением, что некоторая открытая часть Go границы dF принадлежит С2 и Gozd G.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И СЕДЛОВЫХ ТОЧЕК

В следующей теореме утверждается, что значение существует.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (i) — (iv), (vi), (х), и F ydoвлeтвopяeт условию (F). Toeda игра (1.1), (1.2), (1.9) имеет значение.

■ Следствие. Теорема 1 остается верной при замене 1-^,1^ значением Т(х0,/о) игры npecлedoвaнuя и уклонения (1.1), (Г.2).

Замечание. Из доказательства теоремы 2 вытекает, что при условиях, налагаемых на F, G в теореме Г, дифференциальная игра (1.1), (1.2), (1.9) имеет значение для всех (х0, /о), достаточно близких к G.

Доказательство теоремы 2. Принимая во внимание лемму 3 из [4], достаточно показать, что при любом е > О

(3.1)(3.1)У6-Уб<4е

(3.1)

(3.1)

для бесконечной подпоследовательности чисел 6. Пусть т] > 0 — малая величина, зависящая /только от е так, как будет указано далее. Пусть dF' — многообразие, лежащее внутри F на расстоянии Л > 0 от dF (параллельное dF). Обозначим через F' множество, лежащее в F и ограниченное dF', а через р'(х, t) — расстояние от точки (х, t) до F'. Таким образом, если |х| < С (С —константа) и если (х, t)^F6o, где е0 достаточно мало, то р'(х, /)=-ц + + р(х,/). Из доказательства леммы 1 следует, что (2.4) выполняется, если F заменить F\ при некоторых положительных

(3.2)(3.2)постоянных с, 8о, не зависящих от т) (при всех достаточно малых ц). Ограничим 6, скажем б^бо, так, чтобы

(3.2)

(3.2)

| х (^') — х (t") | < j п» если | f — Г К б,

для любой траектории х(/). При доказательстве теоремы 1 в [4] мы строили верхние 6-стратегии Г6 и А6, такие, что

- Ив<Р{А6, Гб] + е для всех А6, (3.3) V6>P[Г6, А6] - е для всех Г6. (3.4)

Теперь изменим А6 (для 6 ^ бо) следующим образом. Для данного Г6 обозначим через y^tV z6(0 управления, соответствующие Г6,А6, и обозначим через х6(0 соответствующую траекторию. В силу (3.2), существует начальная точка /{ вида /о + i6 (t = = 1,2, ..., п; п = ^Т — /0)/6), такая, что (х6(^), t^e Fw

Теперь можно выбрать А6^’ для / > I таким образом, чтобы измененная траектория, которую мы обозначим через хв(0, удовлетворяла включению

(3.5)

для некоторого <6, удовлетворяющего неравенству

/6 — ^ < cq (с — константа).(3.6)

В самом деле, это следует из доказательства теоремы 1 (точнее, из леммы 3), при условии, что г) достаточно мало, а 6 удовлетворяет неравенству 6 ^ бь где 6i = 6i(t]) также достаточно мало. Из (3.6) следует, что

(х6(/), i^eF для некоторого t^i <.tt -V сх\. (3.7)

Обозначим через А6 видоизмененную б-стратегию А6. Поскольку Л^О, получаем

Р [г6, А6] ^ Р [Гб, А6] + Ci)(С — Константа).

Следовательно,

"Уб ^Р[Г6, А6] — 2е для всех Г6, если/?„ < е. (3.8)

Теперь будем действовать так же, как в доказательстве теоремы 1 из [4], но заменяя А6 на А6. Таким образом, мы строим управления у6^ 26(/) и Соответствующую траекторию х6^ (ср. с (3.5) из работы [4]), так что .

(3-9)(3-9)Г6<Р(у6,г6) + в,

(3-9)

(3-9)

а также управления у^У 26(/) и соответствующую траекторию Ч^ (СР- с (3.7) из работы [4]), такие, что

V,>P^ 26) —2е.(3.10)

Здесь /(/)==у6(0 и z4t) = 4V — ^У ~

Включение (3.5) имеет место для хб(/) ==x^ty Отсюда (в силу леммы 4 из [3]) (х6(/), t)^F для некоторого t = t ^^h и для некоторой подпоследовательности чисел д. Привлекая также (3.6) (где// есть первая точка //, такая, что (х6 (^У^) е F^y заключаем, что

/ (х6) — / (хб) < С'л (С' — константа).(3.11)

Используя тот факт, что й^О, применяя неравенство (3.11) и лемму 4 из [3], получаем

’Р(/,26)^Р(У6,26) + С^ + О(1),

где С"— постоянная и о(1) —>0, если 6 стремится к 0, прибегая некоторую подпоследовательность.

Объединяя последнее соотношение с (3.9), (3.10), получаем неравенство (3.1).

Теорема 3. Пусть выполнены условия (i)— (iv), (vi), (ix) и (x) и F удовлетворяет условию (F). Тогда игра (1.1), (1.2), (1.9) имеет седловую точку, т. е. пару (Г*, А*), такую, что

Ра [Г, А1 < Р^ [Г*, А*] = {К} < Р. [Г, А] (3.12) справедливо для любых стратегий Г, А и для любых а, р, у из ruz.

Доказательство, в основе которого лежит доказательство теоремы 2, аналогично доказательству теоремы 5 работы [4].

Из теоремы 3 сразу же следует

Теорема 4. Пусть выполнены условия (i) — (iv) и (ix), a F удовлетворяет условию (F). Тогда обобщенное значение Ve игры преследования и уклонения совпадает со значением V.

В § 9 работы [4] мы рассматривали дифференциальные игры с запаздыванием и показали, что .если один из игроков имеет a-запаздывание, то игра все же имеет значение V(q), и V(a)~*V при о->0. Подобные результаты можно установить для игры преследования и уклонения при условии, что только к убегающему информация поступает с запаздыванием.

ЛИПШИЦЕВА НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ

Обозначим через V(х0, /о) значение дифференциальной игры

(1.2)^ (1.9). Предположим, что

(xi) f(t, xvy, 2) и h(t, х, у, 2) равномерно удовлетворяют условию Дицщица пр (/, х) на множестве [0, Г] X Rm X Y х Z,

Теорема 5. Пусть выполнены условия (i)— (iv), (vi), (х) и (xi), a F удовлетворяет условию (F). Тогда V(x0,/о) равномерно удовлетворяет условию Липшица на компактных подмножествах из ^ X [О, Л) - F.

Доказательство. Нужно показать, что для любого /? > О существует такая постоянная С, что если (х0, /о) и (хь Л) принадлежат (Rm X [0, 71]) — F и |х0|<7?, [х1|</?> то

|7(хь О-Нх0, ^KCd^-г01 + 1Л-Ш (4.1)

Пусть t/o(O, МО и хо(О—произвольные «/-управление, z-управление и соответствующая траектория для системы (1.1), (1.2). Аналогично пусть z/i(0, 2i(0 и (xi(0 суть «/-управление, z-управление и соответствующая траектория для системы (1.1) с начальным условием

х(0) = х,.(4.2)

Обозначим через Р° и Р1 платы игр с начальными условиями (1.2) и (4.2) соответственно.

Возьмем у\ = *фу0, 21 = г|)20, где *ф — соответствие, определенное в доказательстве теоремы 4 из [4]. Пусть г = тах(/0,/1). По теоремам 3 и 4 работы [4] имеем:

sup Ixjf) —x0(f)Kc0(|xi — Xol + Ui — ^ol) (c0 — константа). (4.3) t<f<T

Пусть s —■ произвольное положительное число. По определению V (х0, /0), если б достаточно мало, то для любого Г6 существует такое А6, что

Р°[Д6, Г6]<Пх0, 0) + в.(4.4)

Обозначим через г/®(0, z6(0 управление для у и г, определенное с помощью Ав, Г6. Соответствующую траекторию обозначим через х§(/). Наконец, обозначим через /(х®) время захвата для х^(/).

Применяя (4.3), получаем

Р W (^ (хо)’- (хо))) ^ со (| ^i хо | +10 ОI )>(^.5)

где’

Ух = Ф^А z, = фг6, х® = фх®.(4.6)

Обозначим через /'(х®) наименьшее число ^/(х®), такое, что /'(х®)— t^ является целым, кратным б. Используя доказательство теоремы 1 (или, вернее, леммы 3), можно стратегию фА6 для />/'(х®) привести к такому виду, чтобы новая траектория х® удовлетворяла следующему требованию:

(х®(0> i^eF для некоторого i, * — ^(^^^(Н — хо|+|0—0|),

если Ml*! — х01 +1 tx — *0|) < ео/2 (можно считать, что это неравенство в данном случае выполняется) и если S достаточно мало. Обозначим новую стратегию через *фДб. Таким образом, мы доказали, что для любой стратегии фГ существует стратегия фАб, такая, что

'(^w+l^a^-si+iJ.-y).<4.7)

Учитывая вид Р1, тот факт, что й^О, и применяя (4.6), заключаем, что

Фо)

р1 [фЛв, фг6] <| h<s kt), х« (s (0), У6 (о, 26 (0) at + /о

+ С (| ^iх01 + | ^i /о | )>

где s (/) = /i + [(Т — Л)/(Г — /0)] kt ~ to). Применяя (4.3) и условие (xi), находим, что интеграл в правой части отличается от интеграла г(хо)

... { hkt, x^t), y6kt), z^dt

/о

на константу, умноженную на | X! — х01 +1 Л — ^о I- Следовательно, Р’№6, tr6]<P°lAe, Г6] + С(|х,-х0| + 1'1-Ш(4.8)

с другой константой С.

Подставим оценку для Т30^, Г6] из (4.4) в (4.8); тогда мы получим, что

sup inf Р1 [хрд6, фГв] < V кх0, /о) + в + С (Iх, — ха | +1 ^ — /01).

г6 д6'

Пусть 6т*0; тогда е—>0 и выполняется следующее неравенство:И кх\> Л) ^ V (х0, /о) + С (|Xi — х01 +1 d — ^оО-

dV (х, 0 ..[ V—- + min max УdV (х, 0 ..[ V—- + min max УдУ (х, /)dxtдУ (х, /)dxtfi V, х, у, z^-\-h kt, х, у, z) = 0.fi V, х, у, z^-\-h kt, х, у, z) = 0.Поскольку подобное неравенство имеет место, если поменять ролями (хо,/о) и (Xi.fi), неравенство (4.1) доказано.

dV (х, 0 ..[ V

—- + min max У

dV (х, 0 ..[ V

—- + min max У

дУ (х, /)dxt

дУ (х, /)dxt

fi V, х, у, z^-\-h kt, х, у, z) = 0.

fi V, х, у, z^-\-h kt, х, у, z) = 0.

(5.1)

Заметим, что в силу условий (iv), (vi) порядок min и max в (5.1) мо^кно обратить.

Очевидно, что V удовлетворяет также уравнению

К(х, П = ^(4(5.2)

Система (5.1), (5.2) выглядит подобно задаче Коши и фактически может быть решена (эвристически) во многих частных случаях путем применения метода характеристик. Относительно деталей см. Айзекс [5].

Уравнение (5.1) эвристическими рассуждениями было выведено Айзексом [5]. Оно подобно уравнению в частных производных в теории управления, полученному Беллманом. Поэтому будем ссылаться на (5.1) как на уравнение Беллмана — Айзекса.

Флеминг [1], [2] доказал следующее. Рассматривалось параболическое уравнение, полученное из (5.1) добавлением члена е дЧ//дх?(е> 0). Через Ке обозначено решение этого уравнения, удовлетворяющее (5.2). Тогда Ке(х, t) —> V(x, Z), если е—>0, равномерно на компактных множествах, и V (х, t) удовлетворяет (5.1) почти всюду. Кроме того, К(х, t) есть значение, определенное так же, как в [1].

Теорема 6. Предположим, что выполнены условия (i) — (vi); обозначим через V(x,/) значение игры (1.1) — (1.3). Если V(x,t) непрерывно дифференцируема в области Q, то оно удовлетворяет (5.1) на Q. "

.Замечание. Если выполнены, кроме того, условия (vii) и (viii), то (в силу теорем 3 и 4 из [4]) К(х,/) удовлетворяет условию Липшица на Rm X [0, 7]. Значит, частные производные dV/dt, dVIdXi существуют почти всюду и являются почти всюду ограниченными измеримыми функциями. В более интересных случаях (см. [5]) решения (5.1), (5.2) не являются непрерывно дифференцируемыми, а скорее кусочно непрерывно дифференцируемыми.

Для доказательства теоремы 6 нам потребуется следующая лемма.■

Лемма 6. Предположим, что выполнены условия (i) — (vi). Тогда для любого ограниченного подмножества К из RmX [0,7]

^(^o, t^->V\x^ /0) при б->0

равномерно относительно (х0, /0) в К.

Действительно, рассуждая так же, как при доказательстве теорем 3,4 в [4], получаем, что семейство (KJ равностепенно непрерывно на множестве К, а V непрерывна. Отсюда вытекает утверждение леммы.

Пусть (х0, /0) — любая точка из /?т X [0, 7]. Пусть 8 = &0Х Х(7 — tQ)/2r\ где &0, го— положительные целые числа и 1 ^k0^2r\

Пусть д = (Г — <0)/2г' п = 2г, где г — произвольное положительное целое число >г0- Положим е — й (Т —/0)/2г, где /г = ^02г-г’. Мы рассматриваем игру G6 с начальными условиями (1.2). Разобьем d-стратегии Г6, А6 на две части:

Г6 = (Г6, Г6), а6=(а6, а6), где

Гв = (Гва, .Гв,Д Гв = (Гб, б+ь Гб.п),

А6 = (А6,А6, к\ I6 = (A6, ft+I, ..., А6,").

Обозначим управления, определенные для Г6, А6, через у6(/) и г6 (О, и пусть х6(/) — соответствующая траектория. Тогда

V6(x6 (/о + е), tQ + е) = sup inf Гg (х6 (Г)) + [ Ц1, x6(t), y6(t\ z6(0) dt .

.Гб *6 L ' 4sJ

Кроме того,-

И6 Uo. M = sup inf ! / h tt, x6 (t), y6 (f), z6 (/)) dt +

Ге A6 U

'' T1

+ sup inf £(хв(Л)+ J Mt х6^, ys^, z6^dt ■, Гб A^ _fo4*s_ -

так как порядок внутренних sup и inf можно обратить (ср. § 2

в [4]). Отсюда'

^б(*оЛ) = 8ир inf {УбС^о + еМо + е) + f h(t,x6tt\ y6tty z^t^dA,

Гб A6 I

.(5.3)

Лемма 7. Пусть выполнены условия (i) — (iii). Тогда ип/ ^б (*б (^0 е)’ zo + е) ~ ^6 (хо’ zo) гsup пн)-1гГ6 А6 1*Лемма 7. Пусть выполнены условия (i) — (iii). Тогда ип/ ^б (*б (^0 е)’ zo + е) ~ ^6 (хо’ zo) гsup пн)-1гГ6 А6 1*где xe(f), iMO и ze(f) — сужения x6(f), y6(t) и z6^) соответственно на интервал /0^/ ^^о +8- Мы переформулируем (5.3) в следующей лемме.•

Лемма 7. Пусть выполнены условия (i) — (iii). Тогда ип/ ^б (*б (^0 е)’ zo + е) ~ ^6 (хо’ zo) г

sup пн)-1г

Г6 А6 1*

Лемма 7. Пусть выполнены условия (i) — (iii). Тогда ип/ ^б (*б (^0 е)’ zo + е) ~ ^6 (хо’ zo) г

sup пн)-1г

Г6 А6 1*

/с+е

+ 4 J А (Л х<Ж y^t), z»^dt\ = O.

(5.4)

Приступим к доказательству теоремы 6. Предположим, что (5.1) неверно. Существует такая точка (х0, /о), что левая часть

не равна нулю. Предположим сначала, что она <0. Тогда существует открытое подмножество Йо множества й, содержащее (х0, /о) и такое, что

дУ^ПdtдУ^Пdt+ min max zeZ yeY+ min max zeZ yeY^■p" fi V*x- y.z) + h kt, x, y, z)^■p" fi V*x- y.z) + h kt, x, y, z)<-c<0(5.5)<-c<0(5.5)

дУ^Пdt

дУ^Пdt

+ min max zeZ yeY

+ min max zeZ yeY

^■p" fi V*x- y.z) + h kt, x, y, z)

^■p" fi V*x- y.z) + h kt, x, y, z)

<-c<0

(5.5)

<-c<0

(5.5)

для всех (x, QeQ0, где c — постоянная. Возьмем e = ка(Т — to^0, как и раньше, и пусть б = (Т — t^!^ для любого г > г0. Величина е берется достаточно малой (но фиксированной) и такой, чтобы любая траектория х(/), х(/о) = яо удовлетворяла включению (х (/), /) е Йо, если ^о ^ t ^ /0 + е- -

Если б достаточно мало, то для любой управляющей функции Ух^ на /о ^ t ^ ^о + 6 существует управляющая функция zx^, такая, что ,

/о+$/о+$m

/о+$

/о+$

toto^М- + S ~ У ° fl kt, xkt), ух ^, z, (0) +

to

to

+ A kt, x<t\ yx (0, zx (0)] dt < - |d (5.6)

для любой траектории x(/), xU^ = xQ. Действительно, доказательство аналогично доказательству подобного результата (с подинтегральной функцией Л(^, х, у, г)) в теореме 1.

Таким же образом строим для каждого у^ (2 ^ / ^ й) на <о + (/—1)6^/^/о + /6 управление г^ такое, что (5.6) выполняется, если t0, ух и zx заменить на to + U—1)6, Уз и гз соответственно. Здесь x(t)—произвольная траектория с начальным условием х(/0 + (/ — 1)6) = Xj_x, где Xj_i есть значение в точке to + + (/ —1)6 траектории, соответствующей управлениям ух, гх, ... ,.., Уэ-Х, Zj_x. Целое число к определяется из равенства kb = е.

Суммируя к неравенств, полученных таким образом, имеем

'Г р^М +^ымш iM йЮ, г.Ю) + to1=11

+ h kt, х6 (1), у6 (0, Z6 (0)] dt < - |е.(5.7)

Здесь у6(/) и z6(/) обозначают управления, определяемые у;к^ и Z/(f) соответственно на интервале t0 + (j'—- 1)6^1 ^t0 + jd (1^/^й), а хв(/) —соответствующая траектория.

dVkx6W, f) dtdVkx6W, f) dtПрименяя (1.1) и лемму 2, получаем из (5.7)

dVkx6W, f) dt

dVkx6W, f) dt

+ h{t, х6 {t), y6 (0, z6 (I))] dt^ — ^e,

а это сводится к неравенству

88+ lj i(t.i,(M»#®<Ж-у.

8

8

*'(5.8)

Применяя лемму 6, получаем из (5.8) следующее заключение; если 6 достаточно мало, скажем 6^60, то

' М 1 V6‘

88“ + т J А (Л х6 Ц\ уь (0. г6 ^ dt^-^.

8

8

.(5.9)

Таким образом, доказано (с применением обозначений леммы 7), что если б ^ бо, то для любого Г6 существует такое А6, что имеет место (5.9). Это означает, что левая часть (5.4) не превосходит —с/4, а это противоречит лемме 7.

Если левая часть (5.1) строго положительна в некоторой точке (х0, /о), то противоречие получается таким же. образом. Доказательство теоремы 6 завершено.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (i) — (iv), (vi) и (х) и F удовлетворяет условию (F). Обозначим через V(x0, /0) значение игры (1.1), (1.2), (1.9). Если V(x,t) непрерывно дифференцируемо в области Q, то оно удовлетворяет в Q уравнению

dV (х, ОdtdV (х, ОdtГ пгГ пг+ min max V z^Z yeY f*+ min max V z^Z yeY f*^^- fl (Л X, y^-Vh (t, X, y, z)^^- fl (Л X, y^-Vh (t, X, y, z)(5.10)(5.10)

dV (х, Оdt

dV (х, Оdt

Г пг

Г пг

+ min max V z^Z yeY f*

+ min max V z^Z yeY f*

^^- fl (Л X, y^-Vh (t, X, y, z)

^^- fl (Л X, y^-Vh (t, X, y, z)

(5.10)

(5.10)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 6, и поэтому опускается. Заметим, что условие (F) применяется также ддя получения утверждения леммы 6 в данном случае.

Рассмотрим теперь частный случай, когда A=l, f(t,x,y,z) не зависит от t и

ОККГ} = МХ[0, Г] -(5.11)

для некоторого 0 < Т* < Го. В некоторых случаях (ср. § 6) можно показать, что для любого Г6 существует такое А6, что соответствующее решение х6(?) системы (1.1), (1.2) при, скажем, 0^ ^ /о ^ t* удовлетворяет условию (х6 (?), ?)е F для некоторого t<T*. Таким образом, значение V(xo, ?о) не зависит от /0 Для 0 ^ /о ^ t*. Мы будем писать

(5.12)(5.12)К(х0) = К(х0, /0)

(5.12)

(5.12)

и говорить, что V(x0) есть значение игры преследования-уклонения, заданной уравнением (1.1), с начальной точкой х0, платой ?(х) и терминальным множеством М. Заметим, что с изменением

множества F для t > Т* значение V(xo) не меняется. Условие (F) можно теперь заменить таким требованием:

(М) М — замкнутая область в Rm с границей дМ класса С2, и неравенство

max min2v/f/(x,y,z)<0’(5.13)

yeY zez /=1"

выполняется для всех х^дМ, где (vi, ..., Vm) — внешняя нормаль к дМ в х.

Из теоремы 7 вытекает такое

Следствие. Пусть имеют место условия (i)— (iv), A = l, f не зависит от t, М удовлетворяет условию (М) и выполняется требование (5.11). Тогда в каждой области QczRm, где У(х) непрерывно дифференцируема, она удовлетворяет соотношению

1 + min max VzeZ yeY ”1 + min max VzeZ yeY ”dV (x)dx.dV (x)dx.h(x, У, z) =0.h(x, У, z) =0.(5.14)(5.14)

1 + min max V

zeZ yeY ”

1 + min max V

zeZ yeY ”

dV (x)dx.

dV (x)dx.

h(x, У, z) =0.

h(x, У, z) =0.

(5.14)

(5.14)

Заметим, что V(x) удовлетворяет также граничному условию

У(х) = 0 на дМ.(5.15)

Замечание, следующее за теоремой 6, применимо также к теореме 7 и ее следствию.

6. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ РАБОТ ПОНТРЯГИНА И ПШЕНИЧНОГО

В работах Понтрягина [6], [7], Пшеничного [8] и в других, упомянутых в [6] — [8], основным является доказательство существования конечного времени захвата для игры преследования-уклонения с терминальным множеством

F = MX[0, оо).(6.1)

На М, Y, Z и систему (1.1) налагаются различные ограничения. Фактически только для автономных линейных дифференциальных систем (линейных по х, у иг) указанные результаты кажутся достаточно простыми в применении. .

Авторы не пользуются нашим понятием дифференциальной игры. Они рассматривают г (преследующего) в несколько невыгодном положении относительно у в смысле поступления информации об у. Таким образом, эти авторы фактически получают (в нашей терминологии) верхние границы для V* 5- Их результаты поэтому устанавливают свойство, сформулированное вслед да (5.11), в некоторых частных случаях.

Приведем один результат, являющийся «побочным продуктом» теоремы 1. Пусть М — ограниченное замкнутое выпуклое множество, имеющее внутренние точки. Пусть ^^intM. Для каждой

точки х^М обозначим через v(x) = (vi(x), ..., vn(x)) внешнюю нормаль к дМ в точке, лежащей на отрезке (х, х). Предположим, что дМ принадлежит классу С2 и что (i)— (iv) выполнены для всех конечных Т. Если имеет место (2.1) при vm+i = 0 и Vj = vj(x) (1 ^ / ^ л) для всех xeRn — М, то существует конечное время захвата при любом начальном условии х(^) = х^. Действительно, применим теорему 1 к конечной последовательности многообразий, гомотетичных дМ (относительно х), которая начинается с дМ и оканчивается многообразием, содержащим х0.

ЛИТЕРАТУРА

F 1 е m i n g W. Н., A note on differential games of prescribed duration, Contribution to 'the theory of Games, Annals of Math. Study 39, Princeton University Press, Princeton, 1957, 407—416.'

F 1 e m i n g W. H., The convergence problems for differential games, II, Advances in Game Theory, Annals of Math. Study 52, Princeton University Press, Princeton, 1964, 195—210.

F1 e m i n g W. H., The Cauchy problems for degenerate parabolic equations, L Math. Meeh., 13 (1964), 987—1008.

Фридман А., Об определении дифференциальных игр и существовании значения игры и седловых точек, см. стр. 103—126 настоящего сборника.

А й з е к с Р., Дифференциальные игры, «Мир», М., 1967.

6;Понтряги^ Л. С., К теории дифференциальных игр, У МН, 21, вып. 4 (1966), 219—274.

Понтрягин Л. С., О линейных дифференциальных- играх. 1, ДАН СССР, 174, № 6 (1967), 1278—1280.

Пшеничный Б. Н., Линейные дифференциальные игры, Автоматика и телемеханика, 29 (1968), 65—78.

V а г a i у а Р., L i n J., Existence of saddle points in differential games, Technical Report № ERL-M 241, February, 1968, Univ, of California, Electronic Research Lab., Berkeley. (To appear in L SIAM Control.).

Существование значения и седловых точекдля дифференциальных игр на выживание1)

А. Фридман

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим систему т обыкновенных дифференциальных уравнений,

^ = Ht,x,y<t\z^(1.1)

на интервале tQ < t ^ Т с начальными условиями

*Go) = *o-(1-2)

Здесь t0 — произвольное число из интервала [О, Г). Функции y^t), z(t) (называемые управляющими функциями) выбираются из двух заданных множеств. Соответствующее решение х(/) называется траекторией. Введем функционал Р:

t.

Р(у, г) = §И\ 0 + J h(t, x(t), у<п, z(t))dt. (1.3) to

В работе [1] мы определили- понятие дифференциальной игры, заданной системой (1.1), (1.2) и платой (1.3), когда t = T. (В действительности рассматривался более общий случай, когда вместо непрерывной функции §*(х(Г),Г) брался равномерно непрерывный функционал от траектории.) Доказывалось при соответствующих условиях существование значения игры и седловых точек. Доказывалось также, что значение V(x0,/о) удовлетворяет условию Липшица по (хоДо)-

В работе [2], а также в § 6 работы [1] рассматривался случай, когда ? не фиксировано. В этом случае вводится замкнутое множество F cz Rm X [0, оо), называемое терминальным множеством, и величина t, являющаяся временем захвата, т. е. t— первое значение t, для которого (x(t),t) ^ F. Предполагается, что F содержит множество RmX\T^ 00) для некоторого То^ (О, Г), так что t существует. Доказано, при определенных предположениях, что игра имеет значение и седловые точки и что V (х0, to) удовлетворяет условию Липшица, при условии что плата имеет специальный вид:

1

Р^у, z)= J ИЦ, хЦУ y(f), z^dt, h>0.(1.4)

t

Friedman A., Existence of value and of saddle points for differential games of survival, /. of differencial equations, 7, № 1 (1970), Ц1—1?5.

Особый интерес представляет частный случай, когда Л^1, т. е. Р^у^ =t— /о- В этом случае игра называется игрой преследования-уклонения. . •

В случае платы общего вида (1.3) (г —время захвата) игра называется дифференциальной игрой на выживание. Предметом данной статьи является доказательство того, что при определенных условиях игра на выживание имеет значение и седловую точку и что функция V(x0,7о) удовлетворяет условию Липшица. Можно также утверждать, как в [2], что значение I/(x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка во всяком открытом множестве, где оно непрерывно дифференцируемо.

Игры на выживание можно рассматривать как игры с конечным терминальным временем Т. Однако плата не является непрерывным функционалом, и в этом заключается основной источник трудностей, возникающих при попытке доказать, что значение игры и седловые точки существуют и что значение непрерывно (или удовлетворяет условию Липшица). На всем протяжении этой статьи, если не оговорено противное, величина ?, встречающаяся в (1.3), является временем захвата.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Пусть Y и Z— фиксированные компактные подмножества некоторых евклидовых пространств Rp и R4 соответственно. Как и в [1], [2], управляющие функции у^ и 2(/)—произвольные измеримые функции со значениями в У и Z соответственно. Для доказательства того, что игра на выживание имеет значение, нам понадобятся следующие предположения:

/(^ х, У, -2) непрерывна по (/, х, у. 2)s[0, TJX^X^X^;

для любых /е[0, Г], у е У, 2GZ, ^>0 и х, х в Rm. | х | < R, | х' | < R имеем.

\Ht, х, у, z^ — ^t, х, у, zJK^Jx — xl (&! = &! (7?) — константа);

(2.1)

для любых t е [0, Т], у е= У, z е Z и хе /Г

| f (/, х, у, 2) К fc2 |х | + &3(&21 ^з — константа); (2.2)

(iv)* в правой части (1.1) у и z разделены, т. е.

И^ х, у. z) = f[(t, х, y) + f2(t, х, 2);(2.3)

g^, 0 непрерывна по (х, O^^XlO, Г], a h^t, х, у, 2) непрерывна по (/, х, у, 2) е [0, Г] X Rm X У X Z;

в подинтегральном выражении платы у и 2 разделены, т. е.

й(/> х, у. z) = hi{ti х, y^ + ^V» я, ZY(2.4)

точек, понадобится слеточек, понадобится слеЧтобы доказать существование седловых

точек, понадобится сле

точек, понадобится сле

дующее дополнительное предположение:

для любых Ze [О, Г], x^Rm множества f^t, х, У) и f2(x, у, Z) выпуклы.

Рассматривая множество F, мы, как в [1] и [2], считаем его замкнутым множеством, содержащим множество RmX\T^ оо) для некоторого Гое(О, Ту

Далее предполагаем, что

F является замкнутой областью с границей дР класса С2. Более того,

vm+1 + max minyeY zeZvm+1 + max minyeY zeZm'

vm+1 + max min

yeY zeZ

vm+1 + max min

yeY zeZ

(2.5)(2.6)(2.5)(2.6)5 v/f/ (#, X, y, z)

(2.5)

(2.6)

(2.5)

(2.6)

vm+i + max minvm+i + max minm'

vm+i + max min

vm+i + max min

2 Vjfdt, x, y, z) zeZ yeY L/=l

для всех (xJ)edF, где v = (vi, ..., vm+i)—нормаль к dF в точке (x,ty направленная вне F. По условию (iv) порядок min и max как в (2.5), так и в (2.6) может быть обратным.

В [2] предполагалось, что имеет место (2.5). Затем было доказано, что если (xq, /о) лежит вблизи dF, то z может перевести (x(Z),Z) внутрь F по прошествии некоторого времени ^ср(х0, Zo), где р(х0, Zo) —расстояние от (х0, Zo) до Р, а с — положительная постоянная, не зависящая от (xq, Zo). Если же плата дается формулой (1.4) при й ^ 0, то для того, чтобы распространить результаты работы [2], необходимо заменить условие (2.5) условием (2.6). Это приводит к тому, что в игре на выживание с платой общего вида приходится делать оба предположения (2.5) и (2.6).

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ '

В [1] введены понятия верхней 6-игры G6, нижней 6-игры G6, верхнего 6-значения Vs, нижнего 6-значения V6, дифференциальной игры G = ({G6}, (GJ), верхнего значения игры G и нижнего значения игры G. Предполагается, что читатель знаком с этими понятиями. В отличие от [1] здесь мы будем иметь дело с платой вида (1.3), где t— время захвата. Это, однако, не влияет на определения указанных выше понятий. Более того, следующий результат, доказанный в [1] для (1.3) при t = Т, остается верным (и доказывается также) для (1.3), где t— время захвата.

Лемма 1. Пусть выполнены предположения (i) — (iii) и (v); рассмотрим дифференциальную игру на выживание (1.1), (1.2), (1.3). Тогда*.

Иб = inf sup Р[Аб, Г6] = sup inf Р[Дб, Г6];

дб г6г6 дд

Ve = supinfP[re, А6] = inf supp[r6, А6];

г6 дбдб г6

если 6; = (Г — tQ)/2ri для z= 1, 2 и Й! <62> то

У6,>Уб1>У61>У^.

- Из с) следует, что У* = lim Уь и V" = Нт У^ существуют. (По определению, У+ и У" являются верхним и нижним значениями игры.) Если У+ = У”, то мы говорим, что игра имеет значение; оно равно числу У = V(xq, /о) = V+.

Теорема 1. Пусть выполнены предположения (1)— (vi), и пусть F удовлетворяет условию (F*). Тогда дифференциальная игра (1.1), (1.2), (1.3) имеет значение.

Доказательство. По лемме 1 для любого 8 > 0 существуют верхняя б-стратегия Г6 и верхняя 6-стратегия А6, такие, что

У6^Р[А6, Г6] 4-е для любого А6,(3.1)

Е6^Р[Г6, А6] — е для любого Г6.(3.2)

Обозначим через р(х, /) расстояние точки (х, t) до F. Через Р^ (р > 0) обозначим множество всех точек (х, /)^intF, таких, что р(х, 0<р.

Лемма 2. Существуют достаточно малое положительное число ро, положительная постоянная с и функция 6о = 6о(р), принимающая положительные значения и удовлетворяющая условию 6о(р)-*О при р—»-0, такие, что справедливо следующее утверждение; пусть (А6, Г6) — любая пара стратегий, и пусть х(/)—траектория, соответствующая этой паре (при верхней б-игре). Предположим, что 6 < 6о(р), 0 < р ^ р0, и что (x(t), t)^ int F для всех to ^ t < t*. Если (x(/*), /*) лежит на F^, то существует стратегия А6, такая, что время захвата t по траектории x(t^, соответствующей (А6, Г6), удовлетворяет неравенствам

4-ср. (3.3)

Доказательство. Существует R > 0, такое, что любая траектория системы (1.1),(1.2) удовлетворяет неравенству

|х (t)\<<R. Пусть Р'— замкнутая область, лежащая внутри F, такая, что ее граница дР' параллельна дР и удалена от дР на расстояние р. Условие (2.5) имеет место на дР' П (|х| < R^, если р достаточно мало. Обозначим через р'(х,/) расстояние от точки (х, t) до F'. Заметим, что если (х, t)^F, |х| -< R и р(х, t) достаточно мало, то р' (х, /) = р 4- р (х, t).

Точка Г содержится в некотором интервале //„ где /у = = (t; tQ 4- (] — 1)6 ^^^/0 4-/6}. Запишем

Ге = (Г6-1Г6'"), А6 = (А61. ..., Ав, „).

Положим А6,/ = А6-/, если 1</</0 — 1, и заменим А6,, на А6-/ для j^j0.

Обозначим через Z/ и у, управления на // для z и у соответственно, когда игра задается парой (А6, Г6). В частности, имеем У/о(О = Г6-/«(21г/о)(О для telk.

Пусть z/o(^) — управляющая функция для z на, //о, такая, что траектория х^ на 1Ь (при у^ = уь^, z(O = 2/o(/)) и начальное условие

х(/о + (/о-1)6) = х(^ + (/о-1)6)

удовлетворяют такому требованию: либо (х(0, ^) входит в F' в некоторой точке te.lj6, либо

Р' (X (/о + /об), 'о + /об) < р' (X (/о + (/о - 1) б)Л + (/ - 1) б) - соб. (3.4) Здесь с0 — положительная постоянная, не зависящая от А6, Г6. 6, /о, ц. Существование такого управления z/e, (/) было доказано в лемме 5 работы [2]. Положим

z/4.i(0 = 2, (/ —д), если tel(3.5)

Перейдем к следующему интервалу //,+i и возьмем //-управление вида_

У,+1(О = Г6>/о+1(2., ..., 2,, z, ,.) х 7X 1/о /о+1/е

Как и прежде, по лемме 5 из [2], существует управление г/о+1 (/) на //0+ь такре, что соответствующая траектория х(0 с начальным условием в /0 + /об, равным значению предыдущей траектории в этой точке (которая также обозначена х(0)> удовлетворяет следующему требованию: либо (х(/), h^F' для некоторого /е//о+ь либо._

Р' (X (/0 + (/о + 1)6), ^0 + (/о + 1) 6) ^ р' U (^0 + /об), ^о + /об) — ^об.

(3.6)

Положим _

-—6), если(3.7)

Снова возьмем__

У/о+2 (0 — Г ’ /о+ (2р . .., Z^, Zk+V 2/о+2).

и выберем г/,+2 в соответствии с леммой 5 из [2]. -Действуя таким образом шаг за шагом, находим (как при доказательстве теоремы 1 из [2]), что результирующая траектория х(^ удовлетворяет условиям

(х (0, 0 F', если tQ < t < t\

(x tjtY 0 s F', для некоторого t* —. d ^ t ^ t + cp, где c — положительная постоянная, не зависящая от ц.

Определим Аб,/+1 для /^/0 так, чтобы -

Ч /+1 (2г Ур---« У/г Уйм«Ь =^/+1 W’ если /о < / < ку Имеем__

^-Г6-/^,z,, z/g+1,г,), если /0</<£0.

Здесь кй таково, что К, содержит точку t. Для / > кй можно определить Afe, / любым способом.

Располагая стратегией А6-/, обозначим через у(/), гф и Лф ^-управление, z-управление и соответствующую траекторию, которая получается для пары (А6, Г6). Обозначим, кроме того, через уф и г(0 ^-управление и г-управление, соответствующие траектории хф. Таким образом, уф = уф и по (3.5), (3.7) и т. д.

^Ф = ^ф,если tel] и J^jo,

2ф = г(( — д), если t^lj и /о + 1 ^/^&0 + 1В силу леммы 4 из [1] заключаем, что

sup \хф — х(01^л($)> ц(6)->0 при 6-*0,(3.9)

где т](6) не зависит от управляющих функций. Утверждение леммы следует теперь из (3.8), (3.9)..

Возвратимся к доказательству теоремы 1. Фиксируем точку z в Z и рассмотрим следующую верхнюю 6-игру G6: г выбирает z^z на /ь затем у выбирает z/x = F6’ ^х на /р Вообще

z; (0 = А6,(гь ух, у2, ..., yt-i)(t — d) для telh

y^t^T6,'(zb z2, г^фдля"

Обозначим через у^ф и г6(/) управляющие функции, определенные таким образом, и через х6(/) соответствующую траекторию.

Пусть А6 = (А611, .... А6-п), где

гх = Ав>1, zt = \M(,Zx, у\, у2, ..., уц) (2</<п).

Тогда управления t/6(0, 26(/) получаются из верхней 6-игры с парой (А6, Г6).

Сравним верхнюю 6-игру, описанную выше, со следующей нижней 6-игрой. Сначала у выбирает ух на 1\. Затем z выбирает гх = '^Лу\ на 1Х. Вообще

. у выбирает то же управление у( (на /у), что и в (3.10),

z выбирает zt=^’\zx, Ух, У^---, Уы) на /у.^3‘1^

Обозначим управление для z, которое получается таким образом, через z6(/), а соответствующую траекторию через х6ф. Управляющая функция для у — та же функция ^ф, что и в предыдущей 6-игре,'.

Пусть fg = (f6, ь ..., Гб,„), гдеПусть fg = (f6, ь ..., Гб,„), гдеyi = V6,xzb yi = f6a(zv, .... Zj) (2<j<n).yi = V6,xzb yi = f6a(zv, .... Zj) (2<j<n).Тогда управления г/(/), zb^ получаются при нижней б-игре с парой (Г6, А6).По лемме 4 из [1] имеемТогда управления г/(/), zb^ получаются при нижней б-игре с парой (Г6, А6).По лемме 4 из [1] имеемsup I X6 (О — Хд (0 к п' (6), п'(6)->0 при б-* О, (3.12) /о<«<Гsup I X6 (О — Хд (0 к п' (6), п'(6)->0 при б-* О, (3.12) /о<«<Гsup#0<а<Гsup#0<а<Га/ h^ x4t\ y4tYz6^dt- о'а/ h^ x4t\ y4tYz6^dt- о'а- \h(t,x^t),y*(t),z^t))dt <П"(6),Оа- \h(t,x^t),y*(t),z^t))dt <П"(6),ОП"(б)->0 при б-*0.П"(б)->0 при б-*0.(3.13)(3.13)Обозначим через ?6 время захвата для х6(/), а через /б время захвата для х6(/). Рассмотрим сначала случай, когдаОбозначим через ?6 время захвата для х6(/), а через /б время захвата для х6(/). Рассмотрим сначала случай, когда776гд ^г •776гд ^г •(3.14)(3.14)Тогда (х6(/), f)^F для всех ^о^^^^б- В силу (3.12) для любого положительного достаточно малого числа р существует положительное число б1 = 61(ц), такое, что .Тогда (х6(/), f)^F для всех ^о^^^^б- В силу (3.12) для любого положительного достаточно малого числа р существует положительное число б1 = 61(ц), такое, что .(3.15)(3.15)если б < б( (ц). Пусть ц0> 60(ц) те же, что и в лемме 2. Возьмем О < р^Цо таким, чтобы можно было предположить, что б1(ц)^б0(р,).Из леммы 2 следует, что можно преобразовать Ад в А6 таким образом, чтобы траектория, соответствующая (А6Гв), входила в F в момент времени /6, удовлетворяющий условиюесли б < б( (ц). Пусть ц0> 60(ц) те же, что и в лемме 2. Возьмем О < р^Цо таким, чтобы можно было предположить, что б1(ц)^б0(р,).Из леммы 2 следует, что можно преобразовать Ад в А6 таким образом, чтобы траектория, соответствующая (А6Гв), входила в F в момент времени /6, удовлетворяющий условию?6-б?6-б^6 ^^6 + Ф«^6 ^^6 + Ф«(3.16)(3.16)

Пусть fg = (f6, ь ..., Гб,„), где

Пусть fg = (f6, ь ..., Гб,„), где

yi = V6,xzb yi = f6a(zv, .... Zj) (2<j<n).

yi = V6,xzb yi = f6a(zv, .... Zj) (2<j<n).

Тогда управления г/(/), zb^ получаются при нижней б-игре с парой (Г6, А6).

По лемме 4 из [1] имеем

Тогда управления г/(/), zb^ получаются при нижней б-игре с парой (Г6, А6).

По лемме 4 из [1] имеем

sup I X6 (О — Хд (0 к п' (6), п'(6)->0 при б-* О, (3.12) /о<«<Г

sup I X6 (О — Хд (0 к п' (6), п'(6)->0 при б-* О, (3.12) /о<«<Г

sup

#0<а<Г

sup

#0<а<Г

а

/ h^ x4t\ y4tYz6^dt- о'

а

/ h^ x4t\ y4tYz6^dt- о'

а

- \h(t,x^t),y*(t),z^t))dt <П"(6),

О

а

- \h(t,x^t),y*(t),z^t))dt <П"(6),

О

П"(б)->0 при б-*0.

П"(б)->0 при б-*0.

(3.13)

(3.13)

Обозначим через ?6 время захвата для х6(/), а через /б время захвата для х6(/). Рассмотрим сначала случай, когда

Обозначим через ?6 время захвата для х6(/), а через /б время захвата для х6(/). Рассмотрим сначала случай, когда

776

гд ^г •

776

гд ^г •

(3.14)

(3.14)

Тогда (х6(/), f)^F для всех ^о^^^^б- В силу (3.12) для любого положительного достаточно малого числа р существует положительное число б1 = 61(ц), такое, что .

Тогда (х6(/), f)^F для всех ^о^^^^б- В силу (3.12) для любого положительного достаточно малого числа р существует положительное число б1 = 61(ц), такое, что .

(3.15)

(3.15)

если б < б( (ц). Пусть ц0> 60(ц) те же, что и в лемме 2. Возьмем О < р^Цо таким, чтобы можно было предположить, что б1(ц)^б0(р,).

Из леммы 2 следует, что можно преобразовать Ад в А6 таким образом, чтобы траектория, соответствующая (А6Гв), входила в F в момент времени /6, удовлетворяющий условию

если б < б( (ц). Пусть ц0> 60(ц) те же, что и в лемме 2. Возьмем О < р^Цо таким, чтобы можно было предположить, что б1(ц)^б0(р,).

Из леммы 2 следует, что можно преобразовать Ад в А6 таким образом, чтобы траектория, соответствующая (А6Гв), входила в F в момент времени /6, удовлетворяющий условию

?6-б

?6-б

^6 ^^6 + Ф«

^6 ^^6 + Ф«

(3.16)

(3.16)

Так как семейство всех траекторий равностепенно непрерывно и тдк как А6, / может отличаться от Ад, / только на интервалах //, Которые лежат справа от /6 — б, имеем

Ч

Р & Г6] = g (Xs (tg), ?д) + / h (t, х6 W, у6 (t), z6 (0) dt 4-0(1), (3.17)

Где |о(1)|^й(р) и fj(p)->0 при p->0 (тогда как 6<б1(ц)). Мы воспользовались здесь непрерывностью g(х, t) и тем, что h(t,x,y, z')— ограниченная функция на компактных подмножествах из [0, Tl X XRmXYXZ,

Ясно, что

Р [f6, А6] = g (х6 kt6), /6) + / й (/, х6 (О, У6 (0. 2« kt)) dt.(3.18)

Объединяя. (3.1), (3.2) с (3.17), (3.18) и применяя (3.12), (3.13), получаем

V^P [А6, Г6] + в = g (х6 (?6), ?6) + / й (t, х6 kt), у6 kt), z6 (0) dt +

+ о (1) + г < g (х6 (t6), ?6) + J й kt, Х6кП, У5 kt), z6 kt)) dt + П' (6, н) + 8 =

= P[f6, А6] + пЧ6, pHeCl^ + ^d, ц) + 2е,

где rf(d, ц)-*0 при 6—>0, р—>0, д < д] (ц). Выбирая д-* О, а затем р-*0, получаем

V+<K_ + 2s.

Так как е произвольно, имеем И+^К_. Отсюда V+ = V~.

До сих пор мы предполагали, что имеет место (3.14). Предположим теперь, что.

Тогда можно действовать таким же образом, как и прежде/ Вместо леммы 2 нужно применить аналогичную лемму, где у и z меняются ролями. Это завершает доказательство теоремы 1.

СУЩЕСТВОВАНИЕ СЕДЛОВЫХ ТОЧЕК

Стратегия Г для у определяется как последовательность Г = {Г6}, где б = (Г —/О)/2Г, г—1, 2, .... Аналогично определяется стратегия А —{А6} для г. Фиксируем точку 2 в 2 и, начиная с верхней б-игры, положим 2]—ги вообще‘ -

х^)5»^’1-'к2\, У\, У1yi-i)kt — Ь), если t^Ib

уj kt) ^ Г6,1 (zb z2, ..., Zj)kt),если telj.

Обозначим через y6(t\ zb^ и х6(/) у-управление, г-управлениб и соответствующую траекторию. Через Р[Г, А] обозначим множество всех чисел а, для которых существует подпоследовательность {б/} из {б}, такая, что

■ Р (у6‘> гб,) -* а,

sup | х6/ kt) — х kt) I~* 0<.<«<;т

при б/—* 0, где х (О — некоторая траектория. Условие (vii) гарантирует (ср. [1]), что Р[Г, А] непусто.

Возьмем стратегии Г®, А® такими, чтобы выполнялись следующие неравенства:

У® ^ Р [А6, Г®] + б для любого А6,(4.1)

^6 ^^[Гв, А®] — б для любого Г6.(4.2)

Рассуждения, примененные в доказательстве теоремы 5 из [1], можно повторить с очевидными изменениями, при условии что используется доказательство теоремы 1. Таким способом мы получим следующий результат.- •

Теорема 2. Пусть выполнены предположения (i) — (vii). Тогда существует пара стратегий (Г*, А*), которая является седловой точкой, т. е.'

- Р [Г, А*] < Р [Г, А*] = {У} ^ Р [Г*, А](4.3)

для всех стратегий Г, А. Фактически такая пара (Г*, А*) задается так: Г* = {Г*}, А*={А®}, где Г®, А® являются ^-стратегиями из (4.1), (4.2)..

В (4.3) использовано следующее обозначение: А ^. В, если а ^ & для любых а г А, b <= В.

Легко видеть (ср. [2]), что неравенство (4.3) остается верным, если г заменить любой другой точкой на Z или если поменять ролями у и z и начать с у, выбирающего У\ = у на 1\, где у— про- 'извольная фиксированная точка из У.

ЛИПШИЦЕВА НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ

Введем дополнительные предположения:

(vii) f(t,x,y,z) равномерно удовлетворяет условию Липшица по t для

(^ х, у, г)е[О, TAXRmXYXZ.

g(x, t) удовлетворяет условию Липшица по (х, t) е Rm X X [О, Л, .

h (t, х, у, г) равномерно удовлетворяет условию Липшица по (t, х) для

(t, x.y.z^VO, nXRmXYXZ.•

Теорема 3. Пусть выполнены условия (i) — (vi) и (viii) — (х). Тогда У (х, /) равномерно удовлетворяет условию Липшица по {x,t) в ограниченных подмножествах из (РтХ[0, Л)~ F.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай h = 0. Пусть К — ограниченное подмножество из (Rm X [0, Л) — F. Мы должны доказать, что

|У(хь /J — У (х0, ^KconstdM—Xol + I^ —/01)(б-1)

для всех (^ь ^i) и (х0,/о) в К. Существует положительное число R, такое, что каждая траектория системы (1.1), (1.2) с начальным условием (х0, to)^K удовлетворяет неравенству |х(/)|^^.

Пусть F'— замкнутая область, как в доказательстве леммы 2, т. е. dF' параллельна дР и находится на расстоянии ц от др, причем F' cz F.

Обозначим через x(t; Аб, Г6) траекторию системы (1.1), (1.2), соответствующую (А6, Г6), а через f(A6, Г6) — время захвата для этой траектории. Для любого б существует б-стратегия Г6, такая, что для любого А6

Р[А6,Г6]>И0-б, где 70 = F(x0, t0\(5.2)

Пусть 0 < ц ^ цо, где цо — такое же, как в лемме 2, и пусть 1 — любое число из отрезка 70 ^ 7 ^ 7 (Аа, Г6), такое, что при 7 = ? (х(7; А6, Г6), 7) лежит в_ргокрестности множества дР. Пусть х = = х^ А6, Г6), и пусть (х, 7)—ближайшая к (х, 7) точка на дР. По лемме 2 если б^бо(ц), то можно преобразовать А6 и А6 на интервалах, содержащих точки t > t, такие, что для первого значения 7, для которого (х(7; А6, Г6), 7) пересекает дР, выполняется соотношение

i — б ^ 7 ^ 7 + соц (со— постоянная, не зависящая от р).(5.3)

Соответствующая точка пересечения (на дР) расположена в пределах расстояния '^сщ от (х, /), где Ci — постоянная, не зависящая от ц. Здесь мы воспользовались тем фактом, что можно выбрать бо(р) < ц и что траектории удовлетворяют равномерно условию Липшица с одним и тем же коэффициентом.

Так как g удовлетворяет условию Липшица, имеем

P[Ag, Г6]<^(х, 7) + ^,

где Сг — постоянная, не зависящая от ц. Объединяя это с (5.2) (где А6 заменено на А6), получаем неравенство

g(x, 7)>И0 —ср,

где с = Сг+1, при условии что берется бо(р.)<ц. Итак, доказана

Лемма 3. Для любого 70 ^ 7 < 7(А6,Т6), если точка (х(7; А6, Г5),7) лежит в ^-окрестности множества дР, где О<р.^цо, то в каждой из ближайших к ней точек (х, 7) на дР выполняется неравенство

g(x, f)>V0- ср.(5.4)

Теперь мы хотим заменить Г6 на Г6 (причина такой замены станет ясной несколько позднее). Возьмем произвольное Аб. Положим р’->=Г6^ для всех таких /, что /; не лежит справа от /(Аб, Г6) (на вещественной /-оси). Для оставшихся интервалов /j преобразуем Г6*3 так, чтобы измененная траектория пересекала F' в момент времени ^с'ц, где с'—некоторая постоянная, не зависящая от ц. Это можно сделать так же, как в доказательстве теоремы 1 в работе [2] (которое несколько проще, чем доказательство леммы 2 в данной статье).'

Неравенство (5.2) остается верным для Г6, так как стратегии Г6 и Г6 не отличаются для всех It при /^/(А6, Г6). Для простоты будем обозначать Г6 через Г6.-

Лемма 4. Если у (/) — произвольная траектория, удовлетворяющая неравенству *

sup | y(t) — x(t; Ав, Г6) |< р,

то в первой точке (х*, Р), где ^М (О» О пересекает др, выполняется неравенство■

gU*,n>VQ-Cp,' (5.5)

где С — постоянная, не зависящая от р.

Доказательство. Допустим, что f <#(А6,Г6). Так как р (х (Г; А6, Г6), #*) < р,

из леммы_3 следует, что для любой ближайшей к (х(Г; А6, Г6), Г) точки (х, t) на дР выполняется неравенство

g(x, ^> Vo — ср.

Но точка (х, 7) находится в пределах расстояния 2р от (х*, Г) (поскольку обе точки находятся на расстоянии < р от одной и той же точки (х(Г; А6, Г6),/*)). Так как g удовлетворяет условию Липшица, получаем (5.5).~

Предположим далее, что Г >/(А6, Г6). Из модифицированного определения Г6 ясно, что (х(/; А6, Г6), О пересекает дР' в некоторый момент времени /^/(Аб, Гв) + ср, где с — постоянная, не зависящая от р. Так как расстояние между дР' и дР равно р, первый момент t = P, когда (у (0, 0 пересекает дР, удовлетворяет неравенству

/<Дв, Г6)<Г </(А8, гв) + сц.

Точка (х*, О = (у (Л> О находится поэтому на расстоянии ^ф от точки (х,/), где (х(/; Дб, Г6),#) пересекает дР первый раз; с — постоянная, не зависящая от ц. Так как

g(x,O = P[Ae, Г»]—д

и так как g удовлетворяет условию Липшица, получаем

,г«Г)>И0-б-С'р,

где С' — постоянная, не зависящая от р. Вспоминая, что б < <б0(р)<р, получаем утверждение (5.5).

Пусть теперь (х0,/0) и (г^/,) —две точки в К. Определим взаимно однозначное отображение ф множества «/-управлений на [/0, Г] на множество ^-управлений на [fh Т]: ($у) (s) = у (t), где

Аналогично определяется отображение ф множества- z-управлений на р0, Л на множество г-управлений на [Л, Г], и затем очевидным способом определяется отображение ф множества 6-стратегий, определенных на [/о, Л, на множество 6-стратегий, определенных на fo, Л (ср. [1], § 4). Обозначим через фДб, фГ6 образы при ф стратегий Д6 и Г6 соответственно. Траекторию уравнения (1.1), удовлетворяющую начальному условию x(/i)=xi, которая соответствует паре (фД6, фГб), обозначим через х (t; фДб, фГ6).

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что имеет место неравенство

| х (f; А», Г6) - х У; фА6, фГ6) | < к (| хх - х01 +11{ - t01)(5.6)

(к — положительная постоянная)

для всех /^/^Т, где f = max(/0, tt\

Положим

Y = ^(|xl-x0| + |f1-f0|).(5.7)

Применяя лемму 4 для y(t) — x(t- -фА6, фГ6), получаем

Р[фА6, фГ6] >V0 — Ср,(5.8)

при условии что v^p. Так как А6 произвольно, то, взяв infimum по всем А6 в (5.8), получим’

Ив(х„Л)>7(х0,#0)-Ср.

Это верно для всех б < бо(р). Взяв 6-*0, получим

V (хь t^^V (х0, /0) — Ср, при условии что уСр- (5.9)

Заметим теперь, что достаточно доказать (5.1) для случая, когда у (определенное в (5.7)) достаточно мало. Предположим поэтому,

что у ^ цо. Можно записать: у = ц для некоторого 0 < ц ^ цо. Тогда неравенство (5.9) справедливо. Так как (х0, /0) и (xb ^) можно поменять ролями, получаем

1И*ь #1) — V(x0, t0) |<Сц = С^==С^ (|Х[ — ХО1 +1 tt — t0|).

Это завершает доказательство теоремы в случае h = 0.

Покажем теперь, что общий случай (с платой, имеющей как интегральную, так и терминальную части) можно свести к случаю терминальной платы. Введем новую переменную

t

х0 = J h (t,jc (О, У (t), г ^ dt.О

Это добавляет к системе (1.1), (1.2) дифференциальное уравнение

.^ = h(t,x,y, г)(5.10)

и начальное условие.

хо(^о) = О.(5.11)

Определим новое терминальное множество

Fo = «х0, *, 0? — 00 < ^о < 00, (х, 0 е Ft,

и новую плату

Р0(У, z) = g(x(t), О + хо(?).(5.12)

Дифференциальная игра, определенная системой (1.1), (1.2), платой (1.3) и терминальным множеством F, «эквивалентна» дифференциальной игре, определенной дифференциальными уравнениями (L1), (5.10), начальными условиями (1.2), (5.11) и платой (5.12), где терминальным множеством является Fo. Точнее, две эти игры имеют одинаковые множества б-стратегий и одинаковое значение.

Отметим, что нормаль к dF0 ортогональна к х0-оси. Следовательно, если F удовлетворяет условию (F*), то Fo удовлетворяет тому же условию (в пространстве переменных (х0, х, Z)). Так как плата (5.12) имеет только терминальный член, можно применить результат, доказанный выше, и закончить таким образом доказательство теоремы.

Этот параграф мы закончим теоремой, доказательство которой подобно доказательству теоремы 6 из [2].

Теорема .4. Пусть выполнены предположения (1) — (vi) (viii) — (х). Если функция V^xJ) непрерывно дифференцируема

dV (х, t) ,.—~—~ + min maxz^Z у^YdV (х, t) ,.—~—~ + min maxz^Z у^Yв открытом множестве Q из [Rm X (0, 7)] — F, то она удовлетворяет в Q уравнению Беллмана — Айзекса

dV (х, t) ,.

—~—~ + min max

z^Z у^Y

dV (х, t) ,.

—~—~ + min max

z^Z у^Y

S ^dx" ^ ^’ X’ У>^ + к ^’ x* У’ ^ =0’-/=1' -J (5.13)

ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАЗБИЕНИЙ

В определении дифференциальной игры применялись разбиения специального вида, а именно отрезок [/о, Л разбивался на 2Г интервалов равной длины, при этом г = 1, 2, ... . В [1] доказано, что если брать любую другую последовательность {л4 разбиений, таких, что |л&| —>0, то соответствующие верхнее и нижнее значения УЯк и Vnk удовлетворяют соотношению

lim Уяь = lim V^ = V.(6.1)

h->ook->oo

Аналогичный результат имеет место для игр на выживание.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (i) — (vi) и F удовлетворяет условию (F*). Тогда имеет место (6.1).

Составим эскиз доказательства. Заметим сначала, что в доказательстве теоремы 3 условие Липшица можно заменить условиями, включающими другие типы модулей непрерывности. В частности, если опустить условия (viii)— (х), можно все-таки доказать, что V (х, Г) — непрерывная функция. Следовательно, для любого е > 0 существует такое т] > 0, что

I v (xb tx) — V (х0, /0) I < 8, если | X! — х01 +1 ^1 — ^01 < П- (6.2)

Можно теперь сравнить Vя с Vя*, где л* — разбиение, полученное из разбиения л добавлением' еще одной точки. Применяя (6.2) и рассуждая так же, как в доказательстве леммы 5 из [1], находим, что

|ул _ ул* । ^yQ л |). у($)->0 при s->0.

Далее можно применить рассуждения, следующие за доказательством леммы 5 в [1], и таким образом завершить доказательство теоремы 5.

Следствие. Если плата имеет вид (1.4), то теорема 5 верна даже в том случае, если F удовлетворяет только условию (F) из [2] (т. е. если условие (2.6) из (F*) опускается).

Действительно, (6.2) остается верным в этом случае. .

Завершим эту статью одним замечанием по поводу определения седловой точки. В этом определении применялось понятие

стратегии, основанное на той же последовательности разбиений, которая использовалась в определении значения. Но можно таким же образом применить любую другую последовательност! разбиений ла, такую, что |ла|->0. Теоремы, утверждающие существование седловых точек (как в этой статье, так и в [1], [2]), остаются справедливыми, и их доказательства не меняются. Это замечание существенно, поскольку в некоторых случаях желательно применять какую-нибудь специальную последовательность разбиений, отличную от той, которую мы использовали.

ЛИТЕРАТУРА-

Фридман А., Об определении дифференциальных игр и существовании значения игры и седловых точек, см. стр. 103—126 настоящего сборника.

Фридман А., Существование значения и седловых точек для дифференциальных игр преследования и уклонения, см. стр. 127—145 настоящего сборника.

Дифференциальные игрыс ограниченными фазовыми координатами’)

Д. Фридман

■1. ВВЕДЕНИЕ

В статьях [1], [21, [3] развивается теория дифференциальных игр, заданных системой т дифференциальных уравнений

^<t^T)(1.1)

при начальном условии

■х(/0) = х0,(1-2)

где 0 ^ to < Т и плата имеет один из следующих видов: т

Р(у,г) = ^Дх)+i h(t,x<t),y<O,z^dt,(1.3)

P(y,z) = g<x^,iH J h^xkt\ y(t), z(t))dt. (1.4)

Здесь ц/в является функционалом, определенным на пространстве траекторий для (1.1), (1.2), a t— время захвата, т. е. наименьшее значение t, такое, что (^(/), 0Е^, гДе ^— заданное замкнутое множество (называемое терминальным множеством). Когда плата имеет вид (1.3), мы говорим об игре с фиксированной длительностью. Если же плата имеет вид (1.4), то мы говорим об игре на выживание, и в частном случае, когда g = 0, h = 1, — об игре преследования и уклонения.

В игре участвуют: игрок у, который пытается максимизировать плату, и игрок z, минимизирующий плату. Управляющие функции y^t) и z^t) (выбираемые соответственно игроками у и z) являются измеримыми функциями со значениями соответственно в У и Z, где У и Z— компактные подмножества некоторых Евклидовых пространств соответственно R^ и R^.

В [1]—[3] на фазовую переменную х, описывающую положение траектории, не налагалось никаких ограничений в Rm. Целью настоящей статьи является распространение результатов [1]—[3] на случай, когда переменная х остается в некотором заданном

9 Friedman A., Differential Games with Restricted Phase Coordinates, Journal of differential equations, 8, № 1 (1970), 135—162,

подмножестве X из Rm. называемом фазовым множеством. Этот более общий случай возникает во многих примерах (см. [4]). Так, если координаты хг- переменной х представляют собой количество ресурсов, имеющихся в распоряжении каждого из игроков, то требование, что ресурсы игроков ограничены, часто приводит к условиям типа хг<> const или хг-^ const.

В § 2 определяется понятие дифференциальной игры с фиксированной длительностью и предписанным фазовым множеством. В § 3, 4 доказывается при определенных условиях на X, что эта дифференциальная игра имеет значение. Теоремы 1 и 2 являются частными случаями теоремы 3. В § 5 доказывается, что значение как функция начальной точки (х0, /о) удовлетворяет условию Липшица. В § 6 доказывается существование седловых точек. В заключение в § 7 кратко описывается распространение различных результатов, доказанных в [1]—[3] для X = Rm, на случай, когда фазовое множество X является любым подмножеством из Rm.

- 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ

Предполагается следующее:

f (/, х, у, z) непрерывна по (/, х, у, z) е [О, Г] X Rm X ¥ X Z;

для любых R > 0, t е [О, Г], у е У, z е Z и х, х из Rm, | х | < R, | х | < R, имеем

| f (#, х, у, z) — f(t, х, у, z) К^ (7?) |х — х | (^i(/?) — константа); (2.1)

(Ш) для любых /е[0, Г], уеУ, zeZ, xeRm

[ f (t> x, у, z) | ^ &21 x | + &3 (^2, &3 — константы); (2.2)

функция f может быть представлена следующим образом:

f(t, X, у, 2) = P(t X, у) + /2(Л X, Z>.

Обозначим через [С [Zo, Г]]"1 прямое произведение m банаховых пространств С[/о, Т]. Через Xt„T обозначим подмножество из [C[/q, П]т> состоящее из всех возможных траекторий системы (1.1), (1.2) \у = у ^ и z = z(0 — произвольные управляющие функции].

ц, (х) — равномерно непрерывный функционал на множестве Xt„T (как метрическом подпространстве в [С[/о, Т]]т) и h (t, х, у, z) — непрерывная функция на [0, Т] X Rm X V X Z.

А можно разложить следующим образом:

й(0 х, у, г) = hx (0 х, у) + й2 (^ х, 2).

Зафиксируем некоторую замкнутую область X в Rm и назовем ее фазовым множеством. Всегда предполагается, что начальная точка х0 является внутренней точкой множества X. Обозначим через дХ границу X,

Определение. Мы будем говорить, что траектория х^ впервые покидает X в момент времени t (в точке хУ если х^ ^Х для всех /е[/0, П, н0 ^(^n) ^ X для некоторой последовательности {/„}, такой, что tn—*t при п—* оо и ж = х(О/В этом случае будем говорить также, что x(t) впервые пересекает дХ в момент времени t (в точке хУ

Задав две произвольные управляющие-функции y = y(ty z = = 2^ и соответствующую траекторию x^ty мы определяем плату Р(у, z) формулой (1.3) при условии, что х^еХ для всех t^ е[/0, Г]. Мы хотим распространить определение платы Р(у, z) на случай, когда траектория х(/) не лежит в X для всех /е[/0, Ту Чтобы сделать это, рассмотрим сначала следующий пример (называемый «война на изнурение и нападение»; ср. [4]).

Дифференциальные уравнения имеют вид

4г = mv —

'я(2-3)

dx^v '

Здесь у == ф, z = ф, У = (у; 0 у ^ 1}, Z == {z; 0 ^ z ^ 1} и т^ Ci — положительные числа. Плата задается следующим образом:

т

-р^, ф)= | [г2(1 — ф) г2 — п(1 — Ф)Х!]Й/,(2.4)

О

где гь г2— положительные числа. Фазовое множество X задается условиями'

Х!^0, х2^0.(2.5)

В этом примере Xi и х2 представляют собой количество оружия, имеющегося в распоряжении у ф и ф соответственно, так что бессмысленно допускать для Xi или х2 — отрицательные значения. Этим объясняются условия (2.5) на X. _

Если Xi(?) = 0 в некоторый момент времени t и если ф выбирает свою управляющую функцию таким образом, что Xi(/)<0 для некоторого интервала •£</< t (где хД/), х2(/)—решение системы (2.3)), то ф совершает ошибку «полного уничтожения» своего противника). (Напоминаем, что рассматриваются игры с полной информацией.) Таким образом, поскольку речь идет об оптимальных стратегиях ф, можно отбросить любой выбор ф, ф, который приводит к тому, что х(/) впервые покидает X, пересекая Xi = 0 (в точке, где^2>0). Поэтому мы ничего не теряем, полагая в этом случае Р^, ф) = —оо.

Аналогично можно положить Р(ф,ф) = оо в случае, когда соответствующая траектория впервые покидает X в точке (хь0),

где Xi > 0. Заметим, наконец, что никакая траектория системы (2.3) не может впервые покидать X в точке (0,0) или в любой близкой к ней точке. Имея в виду вышеуказанный пример, разделим границу дХ множества X на три непересекающихся множества: дХУ1 dXz и дХ0. Назовем дХу у-границей множества X, дХх— его z-границей и дХ0— недопустимой границей X. Множество дХ0 таково, что никакая траектория системы (1.1), (1,2) не может впервые покидать X, пересекая дХ в точке множества дХ0.

Пусть у = у^. z = 2(0—произвольные управляющие функции; предположим, что соответствующая траектория х(0 впервые покидает X, пересекая дХ в точке х. Тогда положим по определению

= — оо, если х^дХи,

D/ ;-(2.6)

2)=оо, , если х^дХ2.v '

Та*ким образом, дХу есть множество, где у уничтожает z и дХх — множество, где z уничтожает у. В частном случае (2.3)— (2.5) можно взять-

дХу = {(xb х2); хх = 0, х2 > А},

дхг = {(vb х2); х2 = о, Xi > X}•(2,7)

и (ЭХо = дХ — (дХу U dXz), при условии, что X положительно и достаточно мало.

Определение (2.6) приемлемо, если множество S = дХу П дХг пусто. (Этот случай имеет место в примере (2.3) — (2.5), (2.7).) Однако если S непусто, то нужно вновь определить плату для случая ж е S, задавая критерий того, какой из двух игроков «бо- лёе полностью» уничтожает другого в точке х, в которой х(/) впервые покидает X. Здесь мы не будем углубляться в это.

Определив плату Р{у, z) для любой пары управляющих функций, можно ввести понятие 6-игр точно так же, как в [1]. Для удобства читателя приведем здесь подробное определение.

Пусть г — любое положительное целое число и п = 2Г. Разделим интервал - (/0, Т) на п подинтервалов I, равной длины 6. Тогда 6 = (Г — t^]n и .

h = V; Ц—х < /^ t]\ где ^ = /0 + /6, 1</<л.

Обозначим через //(Z/) множество всех измеримых функций у^ (z (О), определенных на // со значениями в Y kZ\ Далее определим верхнюю b-стратегию Г6 для у как вектор Г6 = (Г6а, ..., Г6-"), где Г6-/ — любое отображение ZiX-.-X^/ в Yк Аналогично определим верхнюю 6-стратегию А6 для z как вектор А6 = (А6- *,... . .., А61"), где А6-/ есть отображение YxX • • • XYj в Zj.

Пусть F6i/ (2</^л) — любое отображение YxXZiXZ2X--. ... X ^/-i в У/, и пусть Г6,1 — произвольная функция на Yv. Вектор

Гб = (Г6,1, ..., Г6.„) называется нижней 6-стратегией для у. Аналогично определяем нижнюю 6-стратегию А6 = (А6-1, ..., А6п) для z.

Теперь перейдем к определению верхней 6-игры. Рассмотрим пару 6-стратегий: Г6 для у и А6 для z. Как и в [1], эта пара однозначно определяет компоненты z^tY yj^ для /= 1, 2, ..., п. Обозначим через z6(/) и у6^ управляющие функции, имеющие компоненты соответственно z} и уь Через х6^) обозначим траекторию системы (1.1), (1.2), соответствующую у6(/), z^ty Подставляя у (Т) = у6 (t), z(/) = z6(f), x(f) = xe(Z) в выражение для платы ((1.3) или (2.6)), мы получаем число, которое будем обозначать следующим образом:

P(/Aze)^P[Ae> Г«]^Р[Аб.„ Г« >, .... Ав.„, Г»«Ь

Назовем эго число платой пары (Г6, А6).

' Процедура, описанная выше, называется верхней 6-игрой и обозначается через G®. Верхнее 6-значение игры G6 по определению равно

Еб = inf sup ... inf supP[Ae,„ Г6-1Ae.„,Г6-"]. (2.8)

.’ д6.пг6,П ■'

Нижняя 6-игра G6 определяется аналогично: каждой паре (Г6, А6) ставится в соответствие плата

P(t/e>А6] = Р[Гв, i, А®а, ..., Г6.„, А6-"].

Нижнее 6-значение игры G^ определяется следующим образом:

K6 = sup inf ... sup inf Р[Г6,„ A6a, ..., Г6.„, A6-"]. (2.9) r6tl л6-1г6,„д8-"

Поскольку на выбор 6-стратегий нет никаких ограничений, аналоги лемм 1—3 из [1] остаются верными и притом с теми же самыми доказательствами. Таким образом, справедлива

Лемма 1. Пусть имеют место условия (i) — (iii).

Тогда

V6 = inf sup Р[А6,Г6] = sup inf Р [А6,Г6],(2.10)

-А6 ГбГбА6'

К6 = sup inf Р [Г6,А6] = inf sup Р [Г6,А»],(2.11)

г» д6д6г«

где

inf = inf ... inf, и т. д.

д6 А6.1 А6.п

Лемма 2. Пусть выполнены условия (i) — (iii). Если 6{ = = (T-f0)/2r‘ (1=1, 2), где 6V < 62, то

(2.12)

Следствие. Пределы

у+^НтУ6, V" = Нт Гв(2.13)

6-»06-» о

существуют и V^^V-.

Определение. Дифференциальная игра, заданная соотношениями (1.1), (1.2), (1.3), фазовым множеством X и тройкой (дХ^дХ^дХо), есть пара последовательностей G = ({G6}(G6}). Число V+ называется верхним значением игры, а число V" — нижним значением игры. Если V+ = V", то мы говорим, что игра имеет значение; оно равно числу V = V+ = V*.

Замечание. Естественно рассмотреть другой подход к определению дифференциальной игры, ограничивая б-стратегии услог вием, что результирующие траектории не покидают X. Этот подход, однако, ведет к техническим трудностям. В частности, становится сомнительным тот факт, что останутся верными аналоги лемм 1,2. Поэтому при нашем подходе нужно расширить определение платы на любую пару управляющих функций. В то же время наше обобщение платы было сделано таким образом, что 6-стратегии, для которых соответствующая траектория покидает X, не играют роли и могут быть отброшены при оценке 6-значений V и V6.*

(Ь) для любых управляющих функций y = y(t^ z = z(/), для которых соответствующая траектория %(/) удовлетворяет неравенству О^хт(/)^ео на некотором подинтервале (t,/) интервала (/0,Г), положим -

ЪИ^ = Т^ x'W 0, y(Z), z(.t^ (KZ, /<т),(3.4)

где x(Z) = (x'(Z), хт^\ Рассмотрим линейную дифференциальную систему

.^т=^Ьи<№ kV^l^tn.t^t^,(3,5)

Zi^ = blm (l<Z<m). ’(3.6)

Тогда существует положительное число 0О, не зависящее от y(Z), z(Z), t, Т, такое, что•.

Zm(Z)^0o, если Z‘<Z<Z.(3.7)

Заметим, что в условии (Pi) допускается, чтобы одно из множеств У1 или Уг было пустым.

Лемма 3. Допустим, что имеют место условия (i) — (iii) и (Pi)» (Qi). Тогда существуют положительные числа_ ei и 0Ь такие, что верно следующее: пусть y(t), z(t), x(Z), t, T— те же, что в условии (Qi), и пусть x(t) —любая траектория вХ^ь удовлетворяющая условию

| X (Z) — X (Z) К в! и, кроме того,

О ^ xm (Z) ^ е0 для Z ^ Z ^ Г.

Пусть, далее,•

1

Ьц ^ = / % «’ sx(t) + (l~s)x(Z), у (Z), z (Z)) ds, (3.8) О

а Z^ является решением системы (3.5), где Ьц(1) заменено

|М)1<в1 (l<Z<m-l), Zm(Z)>l.

Тогда Zm(t)^ 0i для всех t^(t,T).

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда Zm(?) = 1, так как в противном случае можно рассмотреть XZ (вместо Z), где X = 1/Zm(t). Имеем

sup_ | blf-(t) | ^ К (К — константа),(3.9)

sup | Бi/ (Z) — btj (Z) | ^ co (в])(со (a) -> 0, если a -* 0),(3.10)

?<t<1

где К и со не зависят от у(/), z(/), х^, x(t), t, t. При выводе

использован тот факт, что семейство траекторий системы (1.1), (1.2) является равномерно ограниченным. Для получения

использована непрерывность dfjdxj.

Из (3.9), (3.10) по известной теореме следует, что supJZtO-ZtOKK'co (ej, где К' — константа, зависящая только от К. Утверждение леммы следует отсюда при 01 = 0о/2 и таком 8Ь что (o(8i)0о/2^.

Сформулируем теперь главный результат этого параграфа.

Теорема 1. Пусть X й дХу заданы соотношениями (3.1) и выполнены условия (i)— (vi), (Pi), (Qi). Тогда дифференциальная игра, заданная соотношениями (3.1) — (3.3) и множествами X, дХу, имеет значение.

Доказательство. Каждое число V6 является конечным числом. (Это означает, что Vs, V+, V* — также конечные числа.) Действительно, чтобы доказать это, достаточно показать, что для любой б-стратегии А6 существует б-стратегия Г6, такая, что соответствующая траектория x(t) остается в X для всех te^,?Y Таким образом, нужно выбрать стратегию Г6 такой, чтобы всякий раз, когда точка х^ подходит близко к дХ, она была бы «вынуждена отойти» в последующее время. Построение такой б-стратегии Гб можно провести подобно построению А6 в доказательстве леммы 2 из [3]. При этом применяется, условие (3.2).

Из леммы 2 и ее следствия вытекает, что достаточно доказать следующее утверждение: для любого у > 0 существует бесконечная подпоследовательность (б'} последовательности {б}, такая, что

V6 — Уб<2у Для всех 6 = б'.(3.11)

Теперь из леммы 1 вытекает, что для любого б существуют верхняя б-стратегия

рб = (Г6* ..., Г6, Л)

для у и верхняя 6-стратегия

А6 = (А6*1, Аб*п)

для z, такие, что

Кб<Р[А6, Г6]+ 6 для всех Аб,(3.12)

Уб>Р[Гб, Аб]-б для всех Г6.(3.13)

Заметим, что неравенство (3.12) эквивалентно следующему

Уб<Р(Гб(г), z) + 6 для любого управления z, (3.14)

где fd (г)— управление с компонентами Т^Цху, ..., 2/) на 1$, причем zk является компонентой z на К.

Заменим Г6 стратегией Г6 таким образом, чтобы для любого управления z траектория, соответствующая (Г6 (2), 2), оставалась в X на некотором удалении от дХУ1 тогда как в то же время величина

|Р(Г6(2), 2)~Р(Г6(2), 2)1

была бы малой равномерно относительно 2.

В наших дальнейших рассуждениях через е обозначено фиксированное достаточно малое положительное число. Оно будет зависеть от системы (1.1), но не будет зависеть от у, б.

Для любого Х^О обозначим через Щ гиперплоскость хт = К а через Пл (ПГ) — полупространство хт^Х (хт<А\ Для любых управляющих функций z = z^ и у = у (/) = (Г6(2)) (У) через х^ обозначим соответствующую траекторию системы (1.1), (1.2). Ввиду (2.6), (3.1) и (3.14) траектория х^ остается в Х = По* для всех t е Ро, П

Определение. Если х(/)^А, для всех / в некотором интервале (а, Ь), а х(/й)<% для последовательности {^}, th \ b при к-* оо, то мы будем говорить, что х(/) пересекает Щ, снижаясь в момент t = b.

Возьмем е таким малым, что хоеП+. Если х(7) не покидает П^2, то

хт(/)>е/2 для всех t е [f0, Г]. (3.15)

В этом случае берем f6(z) = Гв(г). Теперь предположим, что х(/) не остается в 11^2 для всех / е [/о, 7]- Обозначим через tx первую точку из [/о, 7], для которой х^ пересекает Пе/2 снижаясь. Обозначим через [Л, /г] наибольший подинтервал из [Л, 7], такой, что х(/)еПГ для всех t в этом интервале. Так как почти всюду \dx(f)ldt\ ^ К, где К — постоянная, не зависящая от конкретной траектории, и так как |x(/i) —х(/2) | = е/2 при 12<.Т, то имеем: t2 — t\"> Сов при t2 < Т (с0 — положительная константа). (3.16)

Точки й, ta содержатся в некоторых интервалах К, и U, соответственно. Обозначим через t\, t'a начало и конец соответственно интервалов кх и 7^.

Далее через г) обозначается фиксированное достаточно малое положительное число. Оно будет зависеть от системы (1.1) и от у, но не будет зависеть от б, е.

Видоизменим компоненты Г6"' стратегии Г6 для j = kx, ^i + 1,. •• •. ^1 + s, где s будет определено позднее. Пусть а = = [т)е/6]. Мы предполагаем, что б достаточно мало, так что kt <

< ^i + а < ^з- Обозначим видоизмененные компоненты у^ через Уз и запишем

У/ = Г6-Ч21,Z/)(^i</C^14-s).

Полученную в результате преобразованную траекторию обозначим через x(t\ Наша цель состоит в таком выборе у,, чтобы хт^>е14, если /e/ftlU ... U/a.+s, Xm№+ (&1 +s)d)>Xm(/{ +(^1+s)6) + ct]8, где c — положительная постоянная, не зависящая от ч» е, б.

По условию (Р1)

X(0 = maxfm(/, х^\ у', у"^\ z(O)>Yo>O, у'

пока 0<.хтф)<.г. Если

yjf,n(/, x(t\ y^,z^dt>-L.lSX^dt

для / = ^1, то берем У1 = У1. В противном случае выбираем §)= = ^Ур у") так, чтобы'

yjfm(^ х(Г>, yW z^dt>^-^b^dL (318)

Полагая Г6</ (zjz{) — yi для / = &i, продолжаем таким же образом определять Г6</ для / = &] 4-2, ..., k^-Vs. Числоs таково, что либо U1+s — Ik„ либо о раз выполняется (3.18).

В дальнейшем через К обозначается любая из положительных постоянных, не зависящих от y(t\ z^t\ е, б, у, Ч- Пусть / == /1 4~ (^1 + s) 6- Ясно, что

|х^(0 —x^п(0K^Ч8 Для /'iC^Ct .(3.19)

Если Ikv+s = U„ то легко показать, что имеет место (3.17). Если I>1+s ^= It,, то■

t — t\ ^ с'г (с' — константа).(3.20)

Это вытекает из соотношения

8>Xm (0 = Xm(/()4- J fm<t, X(t), y<t\ Z(t^dt>

..>1"+jY0(/-^-Ч8)-КЧ8.

Применяя (3.20) и (3.19), можно получить (3.17).

Обратимся теперь к интервалам у при i = kx-\-s, ..., &2- Компоненты у, управления у оставляем без изменения. Запишем

У] = Г6, Цг^ ..., ztY если ^ + s^/^k^,(3.21)

и обозначим соответствующую траекторию через х(7).

Лемма 4. Существует положительная константа с, не зависящая от у У), zyY 6, т), е и такая, что'

хт (О ^ 5г|8 для всех /[ ^ 7 ^ 7г-(3.22)

Доказательство. Принимая во внимание (3.17), мы видим, что остается доказать (3.22) на интервале 7^7^72- Положим ХУ) = хУ) — хУ). Так как хтУ)^0 для всех /е[/0, Г], (3.22) должно следовать из неравенства

Хт^>сх\г y^t^Y(3.23)

Поскольку.

МУ x(tY y(tY хУ^ — МУ x<tY У^ z(iY) =

1.

= I "^^^* S^) + G — s)x(7), y^Y zy^ds =

0

771 Г 1771 Г 1/=i Lo/=i Lodh dxjdh dxjУ, sx У) + (1 — s) x (tY у yY z (0) dsУ, sx У) + (1 — s) x (tY у yY z (0) dsШП-Х1 (OKШП-Х1 (OK

771 Г 1

771 Г 1

/=i Lo

/=i Lo

dh dxj

dh dxj

У, sx У) + (1 — s) x (tY у yY z (0) ds

У, sx У) + (1 — s) x (tY у yY z (0) ds

ШП-Х1 (OK

ШП-Х1 (OK

мы видим, что ХУ) будет решением системы (3.5) на интервале У, tiY если bij У) заменить на Ь^У) из (3.8). Кроме того, |5(7)— — хУ) | < 81 на У, tsY если е достаточно мало. Действительно, так как 5(0 и х(0 являются решениями одной и той же дифференциальной системы, «о с различными_ начальными условиями, и поскольку (ср. с (3.20)) |5(7)—х(7) | ^ Ki]8, мы получаем, что |5(7) — x(t) | ^ Кце < 81, если т|е < 81/К.

Рассмотрим теперь вектор-функцию

2(02(0АМСЦ8АМСЦ8

2(0

2(0

АМ

СЦ8

АМ

СЦ8

В силу (3.17) имеем 2m(7)> 1. Кроме того, по условию (Pi), (с) и (3.20), |2г(7) | ^ Кв < 81, если 1 ^ i ^ т — 1 и в достаточно мало. Следовательно, можно применить лемму 3. Заключаем, что 2m(O^0i Для всех i^/^0- Это дает (3.23) при с = сОь Тем самым доказательство леммы 4 завершено.

Если 7г < Т, то мы переходим к интервалу (7г, Г) и повторяем все предыдущие рассуждения, заменяя 0 на У. Таким образом, либо траектория хУ) удовлетворяет неравенству 5т(7)^е/2 (ср. с (3.15)) для всех t^y^TY либо существует пара (ti, «г),

определенная относительно x(t) таким же образом, как (/ь £2) относительно x(t). В последнем случае модифицируем компоненты ГМ в группе о интервалов Ij, первый из которых содержит tv, здесь о заменяется на й= [fje/S], где q = Qq и Q— достаточно большая положительная константа; Qq достаточно мало. Аналогично (3.16) имеем /2 — ^ ^ Сое.

Повторяя ту же процедуру шаг за шагом, после конечного числа X шагов мы придем к подинтервалу (t*, Г), такому, что либо ^т(0^ е/2 Для всех te (t*,T), либо существует пара (/J, ^), аналогичная паре (/1,^2), с /2 — Т. Действительно, так как для каждой пары, подобной (/1,^2), имеет место аналог соотношения (3.16), то X не только является конечной величиной, но и удовлетворяет неравенству X К,г.

Обозначим через Г6 верхнюю б-стратегию, полученную из Г6 путем указанных выше модификаций. Пусть у = Гб(г); обозначим через х^) траекторию, соответствующую у, z. Принимая во внимание (3.22), имеем

Xm^>ct\e(3.24)

для всех te(to, /2). Такое же неравенство имеет место и на интервале (0, /0 (причем /2 —конец интервала 0, содержащего 0), и т. д. Следовательно, неравенство (3.24) имеет место для всех ts^0)n _■

Так как у (t1) #= у (t1) самое большее на X интервалах, каждый из которых имеет длину ^й'^е (й'— подходящая константа), то

t

|jc(O —х(о K^J I х(т) — х(т) |dT + Кч.

to

если б достаточно мало. Следовательно,'

Кроме того,гКроме того,гsup IX (0 — х (0 к Кп- <«<<<тsup IX (0 — х (0 к Кп- <«<<<тJ НЦ, Х^, уЦ\ z^dt- J h(t, x(t\ у (t), z^dt toto. .J НЦ, Х^, уЦ\ z^dt- J h(t, x(t\ у (t), z^dt toto. .«oh).«oh).IM*) — hj.WK^W; «о(п)-*о при t]->o.IM*) — hj.WK^W; «о(п)-*о при t]->o.(3.25)(3.26)(3.27)(3.25)(3.26)(3.27)

Кроме того,г

Кроме того,г

sup IX (0 — х (0 к Кп- <«<<<т

sup IX (0 — х (0 к Кп- <«<<<т

J НЦ, Х^, уЦ\ z^dt- J h(t, x(t\ у (t), z^dt toto. .

J НЦ, Х^, уЦ\ z^dt- J h(t, x(t\ у (t), z^dt toto. .

«oh).

«oh).

IM*) — hj.WK^W; «о(п)-*о при t]->o.

IM*) — hj.WK^W; «о(п)-*о при t]->o.

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

Функция ao не зависит от управлений z, у, у.

Поскольку х^ и 5(0 остаются в X для всех t е [0, Г], платы Р(у, z), P(y,z) вычисляются по формуле (1.3). Принимая во внимание (3.26), (3.27), заключаем, что

| Р (.у, z) — Р (у, z) |<а (л), a (т]) = 2a0 (т]).

(3.28)(3.28)Это можно записать также следующим образом:

(3.28)

(3.28)

| Р (Г6 (z), z) - Р (f6 (z), z) К a (n).

При выводе (3.28), (3.24) предполагалось, что 8— фиксированное достаточно малое положительное число, что г]— любое фиксированное достаточно малое положительное число, скажем т] ^ т^, и что б <б0, где 6о достаточно мало и зависит от 8, т]. Будем продолжать рассуждения с фиксированным 8, но т] будем рассматривать как параметр в интервале (0, т|0)- С использованием (3.14) может быть сформулирована следующая

Лемма 5. Существуют положительные числа т^, с* и положительная функция а(г|), определенная на (0, т|о) и удовлетворяющая условию а(т])—>0 при т)~>0, такие, что имеет место следующее. Пусть г| е (0, т]о). Тогда для любого достаточно малого 6, скажем б^бо(л), существует верхняя б-стратегия Г6 для у, такая, что

V6 < Р (Г6 (г), г) + 6 + а (п).(3.29)

Кроме того, траектория x(t), соответствующая Г6(2), 2, удовлетворяет неравенству

хт^>сЧ(3.30)

Заметим, что соотношение (3.29) эквивалентно следующему:

У6<Р[А6, Г6Ц-д + а(т]) для всех А6.(3.31)

Завершим теперь доказательство теоремы 1 с помощью рассуждений, подобных использованным при доказательстве теоремы 1 из [1].

Фиксируем точку z на Z и рассмотрим следующую игру G6: игрок z выбирает zx = z на 1Х. Затем игрок у выбирает у^Г6-^ на 1Х. Вообще

(3.32)(3.32)Zj^ = Kb-i-4yx, yj-int — b) для teTh

(3.32)

(3.32)

У1^ = ГЪ-Ц2Х, ..ZfHt)для

Обозначим через t/6(/), z6(/) управляющие функции, определенные таким образом, и через х6Ц)—соответствующую траекторию. Можно записать

Дб.1=21, 2/ = Аб./(21, ух» ...» Унх) ^^j^nV

где__

^б— (^6,,

является нижней б-стратегией для 2. Тогда из (3.31) следует, что

-7е<Р[Ае, Г«] + б + а(т1).(3.33)

Сравним указанную выше игру G6 со следующей игрой G6. Сначала игрок у выбирает управление yi на 1Х, как и раньше.

Затем игрок г выбирает гх = А6* vyx на Л. Вообще у выбирает у^ на Ih как в (3.32), г выбирает 2/ = А6^(у1, ..., у^ на //.

Обозначим определенное таким образом управление для 2 через 26(/); управляющей функцией для у является та же функция у^ (t), что и прежде. Траекторию, соответствующую у6, 2б, обозначим через хб. Можно записать

Гб.1 = !/ь У! = Г6,Дуи zh ..., Zj—v) (2^i<n), где_

Ге — (Гб, 1, • • г6,

есть нижняя S-стратегия для у. Тогда из (3.13) следует, что

Г6>Р[Г6, А6] — д.Г6>Р[Г6, А6] — д.(3.35)(3.35)

Г6>Р[Г6, А6] — д.

Г6>Р[Г6, А6] — д.

(3.35)

(3.35)

Из определений z6(/), z6(/) видно, что

z6 (/) — z6 (/ — б), если /0 + б < t < Т.

(б'} из(б'} из(3.36)(3.36)По лемме 4 из [1] существует подпоследовательность (б), такая, что

(б'} из

(б'} из

(3.36)

(3.36)

sup | хб (f) — хб (/) | ^-О при 6 = б' -> 0,

тт

J h(t, х6^, уЧЙ, z^t^dt- J h^t, х»(0, y4t\ z^dt -> 0 (3.37) to

при б = б'~>0.

По лемме 4 (ср. с (3.30)) имеем, х^^^с**^ для всех /е[/0, Т]. Сопоставляя это с (3.36), мы видим, что как хб(/), так и х6(/) остаются на X для всех t е [/0, Т], если 6 = 6' достаточно мало. Поэтому платы Р(у6,26) и Р\у\х^ находятся по формуле (1.3). Принимая во внимание (3.36), (3.37), заключаем, что

| Р ку\ 26) - Р (у\ 26) | -> 0 при б = б' -> 0. (3.38)

Фиксируя т] так, что а(,п)<у, и принимая во внимание (3.33), (3.35) и (3.38), получаем утверждение (3.11). Это завершает доказательство теоремы 1.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

В этом параграфе мы обобщим теорему 1 на более общие фазовые множества X.. Начнем со случая, когда

X = {х; хт_х ^ 0, хт ^ 0}, д^у =:= (х; хт = 0, xm_j > р}, дХ2 = {х; хт_х = 0, хт > р},v ;

dX0 = (x; xw = 0 и О^х^-^р или xzn_] = 0 и О^х^^р},

где р — положительное число. Предположим, что вместо (Р^, (QJ выполняются следующие условия:

(Р2) (а)У = У,ХГ2, где У, с Rp\ Y2cRp\ рх+р2 = р-, Z = ZxXZ2, где ZxcRq\ Z2cR\ qx^-q2 = q\ при этом некоторые множества Yx, У2, Zx, Z2 могут быть пустыми;

введем обозначения у=Цу',у"), z = iz', z") для yeY, y'eYi, у" ёУ2, zs Z, г' е Zx, z” е Z2, а также V = (хь ..., хт_2). Тогда для любых /е[0, Г], Xх ^Rm~2, y"eY2, z"gZ2 имеем max min fm(t, V, xm_x, 0, у', у", z) > 0, если xm_x^p,, (4.2) у'еУ, zeZ

max minfm-q^, Xх, 0, xm, y, z*, z") > 0, если xm^p; (4.3) z'eZi yey■

для некоторого e* > 0 и для всех /е[0, Г], x"eRm~2, (у', y")^Y, (z', z")eZ, у' еУь г* г Zx имеют место следующие соотношения:

/,(/, хх, хт_х, хт, у', у", z) = hit, х', x„_b хт, у', у", z), если ■0^хт^е*, хт_х^р., 1=1,..., т— 1;(4.4)

М^, Xх, хт_х, хт, у, z', z") = fi(i, х', хт_х, хт, у, z', z"), если 0^xm_1^e*, хт^Р> 1= \, ..., m^S, т. (4.5)

(Q2) (а) Существует положительное число е0, такое, что частные производные dfx(t, х, у, z)/dxt (1 ^i, j^m) существуют и являются непрерывными функциями, при условии что либо Xm-i>0, 0<хт<е0, либо хт>0, О^хт_!<ео.

Определим bijit) с помощью (3.4) в случае, когда траектория х(/) удовлетворяет условию (QJ, (Ь) и xm_x(f)"^p для ?^/^t Аналогично определим о</(0, поменяв ролями т и т— 1 в определении 6</(0- Определим Z(t) с помощью системы (3.5), (3.6). Подобным же образом определим Z(0, так чтобы оно было решением системы (3.5), где bij(t) заменено на ёг/(О> удовлетворяющим начальным условиям Z(F)=O, если i^=m— 1 и Zm_1(?)=l. Тогда существует положительное число 90, не зависящее от у it), г it), t, t, такое, что имеет место (3.7) в случае О^хт(/)^ео, x„i-Yit)>V. на ii,t), и^ =

- Zm_l(0>90 на й, /]

в случае 0<xm-1(i)<e0, хт(0>ц на it, 7).

Пусть е — произвольное положительное число. В последующих теоремах мы предполагаем, что Т — /0^у; число у таково, что никакая траектория не может пересекать и е-окрестность дХ^ И е-окрестность дХГ

Теорема 2. Пусть X, 8ХУ, дХг, дХ^ заданы посредством (4.1). Предположим, что выполнены условия (i) — (vi) и (Р2), (Q2). Тогда дифференциальная игра, заданная системой (1.1), (1.2), (1.3), фазовым множеством X и тройкой ^дХу,дХг,дХ^, имеет значение при условии Т — /о ^ у-

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Задав Г6, А6, как и в упомянутом доказательстве, заменим Г6 на Г6, как в лемме 4. Таким образом, траектория, соответствующая Г6 (2), 2 «не достигает» дХу, тогда как платы, соответствующие парам (Г6 (2); 2) и (Г6 (2); 2), очень мало отличаются одна от другой.

Преобразуем А6 в А6 таким образом, чтобы траектория, соответствующая любой паре у, ^ktiY <<не достигала» дХ2 и в то же время платы, соответствующие парам [у, А6 (у)] и [у, А6(у)], «очень мало» отличались одна от другой. Построение А6 очень похоже на построение Г6.

Имеем теперь в дополнение к (3.31) следующее соотношение:

Уб>Р[Гб, А^^б-а(п)..(4.6)

Далее доказательство теоремы 2 завершается с помощью соображения, высказанного вслед за (3.31), с заменой А6 на А6.

Обобщим теперь теоремы 1 и 2 на множества X более общего вида. Начнем с формулировки различных условий.

(RJ X является замкнутой областью с границей ^ = 5X^0 UdX2U^0 (дизъюнктное объединение) и dist (дХу, дХ2) > 0; дХй — недопустимое множество.

(R2) Производные df; (/, х, у, z^dxt (1 ^Z, j^m) существуют в некоторой (открытой) Х-окрестности, содержащей дХуЦдХ2.

(R3) Для каждого х*^дХу существует открытая окрестность Ny точки х* на дХ с С2-координатами 0!, ..., 0^-1.

Согласно условию (RJ, можно считать, что NyT\dX2=0.

Обозначим через р(х) расстояние от точки хеХ до дХ. Тогда из (R3) следует, что (0, р) = (0ь ..., 0m-i, р) образует систему ^-координат в некоторой Х-окрестности М*у множества Ny. Поэтому можно записать дифференциальную систему (1.1) на Му в виде

-§- = f 1 (Л 9, Р, У, г) (l<i<w—1),

.(4-7)

^ = h^ в, р, у, г)."

(R4) Для каждого х* е дХу существует разложение Y=YxXY2 где YxczRpl, Y2aRp\ р1+р2 = р. Одно из множеств У,, У2 может быть пустым. Обозначим у —{у', у"), где уеУ, y'eYx, y"^Y2. Тогда

max min fm(F, 9, 0, у', у") > 0 (4.8) y'eYt zeZ

для всех 9e=Ny, у" ^Y^, /е[0, Г]. Кроме того, для некоторого 8* > 0 функции

fi (t, о, Р, у', у", /), 1 < I < m — 1,

не зависят от у', если О^р^е*.

(Rs) Пусть y^t), z^ — любые управляющие функции, и пусть (0(0,р(^)) — любое решение системы (4.7) в М*у для F^f^t Определим следующие функции:

bU^ = ^> 9(0, 0, у(0, 2(/)) (где 0т=р).

Тогда существует положительная константа 0о, не зависящая от #(/),. 2(/), х(/), / и /, такая, что решение Z(/) системы (3.5), (3.6) удовлетворяет (3.7).

Введем также условия (Re), (R7), (Rs), аналогичные соответственно условиям (R3), (R4), (R5), меняя ролями у и 2, (/,/') и (2', 2") и заменяя р^ на q^ (qx + q^ = q).

Теперь можно сформулировать теорему, которая включает в себя теоремы 1 и 2 как частные случаи.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (i)— (vi) и (Ri) — (Rs). Тогда дифференциальная игра, заданная системой (1.1), (1.2), (1.3), множеством X и тройкой (дХу,дХг,дХо), имеет значение при условии Т — /о Y-

Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2. Единственное отличие заключается в способе превращения Г6 в Г6 и А6 в А6. Достаточно рассмотреть построение Г6.

- Траектории системы (1.1), (1.2) равномерно ограничены, скажем, константой L. Покроем множество дХу Г) (х; | х | < 2L} конечным числом окрестностей Ny < вида Ny для некоторого х* ^ ^дХу.

Возьмем траекторию х(/), соответствующую паре (Г6(2),г). Если точка x^t) «не достигает» дХу (т. е. если ее расстояние до дХу не меньше е/2, где е — малое положительное число, подобное 8 в доказательстве теоремы 1), то мы не изменяем Г6. Если же точка х(/) достигает дХу, то она сначала «подходит близко» И Некоторому Nv, t. В таком случае преобразуем Г6*5 на некоторых

последующих интервалах /j, как это было сделано в доказательстве теоремы 1 (где в качестве интервалов 1^ выступали 1кР ..., ImV), так что х(/) останется на расстоянии ^ёт^е от (ср. с (3.22)) для некоторого интервала, определенного аналогично (/{, й) из § 3. В этом рассуждении AZ^i может определяться не единственным образом. Тем не менее всегда можно выбрать такое Ny, -и что имеет место соотношение (3.16).

Начнем теперь второй шаг преобразования Г6; при этом вместо траектории х(/) на интервале ^оД) нужно рассматривать преобразованную траекторию х(/) на подинтервале ^ Т\ Поступая таким образом шаг за шагом, мы завершаем построение Г6 после конечного числа шагов. Но тогда становятся справедливыми утверждения леммы 4 с одним отличием: теперь вместо неравенства (3.30) имеем

dist(x(/), дХ^>с*х\.

В теореме 3 мы предполагаем, что дХу и дХг принадлежат классу С2. Ввиду приложений желательно рассматривать также случаи, когда дХу и дХг кусочно класса С2. В таком случае оказываются необходимыми дополнительные условия вблизи «угловых точек». Для простоты будем рассматривать здесь только случай, когда X определяется неравенствами

Хт0 ^ 0, X/n0+i ^ 0, ..., Хщ ^ 0(4.9)

и

дХу = (х е дХ; Хщ^Хт^, . .., Хт = о и хт, > р, ..., хтх > р}, (4.10) дХ2 = ^хедХ; Xm.Xm^x ... Хтх = 0 И Хтх > р, . .., Xw>p), (4.11) где р — положительное число и 1 ^ т^ ^ тх ^т.

Рассмотрим случай, когда тх = т — 2, тй = тх — \. Тогда дХг = дХо=0 и

дХу = дХуЛидХу,2>(4.12)

где

^^у» 1 = {-^ ^ дХ\ хт = 0, хт_х ^ 0},.

d^,2 = (xedl; xm-i = 0, х^О}.1

Теперь необходимо предположить, что выполнены условия, аналогичные условиям (Ri) —-(Rs), на тех частях дХУ1 которые лежат вне любой заданной окрестности пересечения дХу> i А дХу> 2- Кроме того, необходимо ввести некоторые дополнительные предположения, более сильные, чем аналоги (Ri)— (Rs), в некоторой окрестности пересечения дХу> i Л дХу> 2. Таким образом, вместо (3.2) мы предполагаем следующее:

max min min {fw(/, x", 0, 0, /, /', ^ f^x (t, x'\ 0, 0, y', y", 2)} > 0, /ey^^Z(4.14)

где х" = (х1, ..., хт_2\ Вместо (3.3) мы предполагаем, что при О^х^-^е*, О^х^^е*

fi(^ х", хт_ъ хт, у', у", z) = fi(t, X", хт_ь хт, у', у", г), (4.15)

если l^z^m — 2.

Определяя bii(t) с помощью (3.4), где х' (/) заменяется на (х^/), ..., xm_2\f), 0), обозначим через Z(/) решение системы (3.5), удовлетворяющее условию Zt (/) = 0, если l^z^m — 2, Zm (/)=Л, Zm_1(Z) = p для любых Х^>0, ц^О, ^ + |х = 1. Вместо неравенства (3.7) потребуем, чтобы выполнялись соотношения

Z^f»^,Z^f»^,2т-\$)^%^, если /</^/.(4.16)

Z^f»^,

Z^f»^,

Теорема 4. Пусть выполнены условия (i) — (vi). Пусть X определено соотношениями (х е Rm, xm_x > 0, xm > 0}, и пусть дХу = дХ. Допустим также, что выполнены все предположения, следующие за (4.13). Тогда дифференциальная игра, заданная системой (1.1), (1.2), (1.3) и множествами X, дХу, имеет значение. '

Мы опускаем подробное доказательство этой теоремы.

Теорему 4 можно обобщить на случай, когда X определяется неравенствами (4.9), а дХу, дХг— соотношениями (4.10), (4.11). Мы опускаем формулировку точных условий, имеющих место вблизи пересечения двух или более плоских частей дХу (или дхгу.

Условия (3.2) для 1 = 1, ..., У можно опустить за счет усиления условия (Qi), (Ь): решение Z^ системы (3.5) при Zm(?)=l, ^(0 = у^ (l^i^zn—1) удовлетворяет (3.7). Здесь Yr+i = • •• = Ym-i = 0, и уг для l^i ^ г— любое число, полученное из соотношений

t’

X J h(T, х(т), у'(т), у"(т), z^dx — i t.*

— X j fl (т, x (т), у* (т), у" (t), z (t)) t/т = yz (f — ?) (0 < X < Л), (4.17) t

где функции x, у', у', у", z являются переменными и t е 0, t + це). Здесь Л — постоянная величина, зависящая только от функций / и от X.

Для ссылок введем условия (Р*), (Q*) следующим образом: (Р*) Выполняется условие (Pi) с одним изменением: в (Pi), (с) соотношения (3.3) предполагаются выполненными только для i ^i\, ..., i^= ir (1 ^Zi < ... < ir^.m — 1).

(Q*) Имеет место условие (Q^, но при этом предполагается, что в (3.6) начальные условия для Z,, (/), ..., ZirQ^ имеют вид

Z4^ = Nip ZlrQ) = ^lp(4.18)

где у/— произвольные числа, определенные соотношениями (4.17).

Аналогично формулируются условия (Р2), (Q2) и (RJ), (R5), (R7), (Rs). Теперь можно сформулировать следующие теоремы.

Теорема 1*. Теорема 1 остается в силе, если условия (РД (QJ заменить условиями (Р*), (Q*).

Теорема 2*. Теорема 2 остается в силе, если условия (Р2), (Q2) заменить условиями (Р2), (Q2).

Теорема 3*. Теорема 3 остается в силе, если условия (R4), (Rs), №), (Rs) заменить условиями (Rj), (R5), (R?)> (Rs).

Замечание. В отдельных примерах приходится использовать модификации теорем 3*, 4. Изложим сжато одну такую модификацию. Предположим, что выполнены все условия теоремы 3* с одним исключением: существуют точки х* на дХу (или на дХг), для которых никакая дХ—окрестность N* точки х*, не принадлежит классу С2. Предположим тем не менее, что для каждой такой точки х* существует окрестность N*, такая, что для нее выполняется условие в «угловой точке» теоремы 4. Из доказательства теоремы 3* и локального варианта теоремы 4 мы заключаем, что соответствующая игра имеет значение.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Условия теоремы 2 выполняются для дифференциальной игры, заданной соотношениями (2.3), (2.4), (2.5), (2.7),

Доказательство. Выбирая У = Уь Z = Zx, легко заметить, что выполняются все условия теоремы 2, за возможным исключением (Q2), (Ь). Чтобы доказать (Q2), (Ь), достаточно рассмотреть ту часть этого условия, в которую входит Z^. Теперь система (3.5) будет выглядеть так:,-

'^=-a^Z„(4.19)

' ^ = -b^Z"<4-20)

где а(/)>0, 6(/)>0, а (3.6) примет вид'

Z,(?) = 0. Z2(0 = l.(4.21)

Обозначим через (t, а) наибольший подинтервал из (t, 0, такой, что Z2(0>0 на (F,о). Из (4.19) следует, что Z,(^)<0 на (7, о). Отсюда, в силу (4.20), Z2(0 является монотонно возрас-

тающей функцией на (?, о). Следовательно, о = t и Z2(tY> 1 на (?,/). Таким образом, утверждение (3.7) имеет место при 0О = 1.

Пример 2. Рассмотрим другой вариант войны на изнурение и нападение ([4], стр. 380). Дифференциальные уравнения имеют вид*

= Ш1 — сх^ххх2,dx2

"1л m2 — С2фХхХ2>

плата определяется формулой (2.4), а X, дХу, дХг— соотношениями (2.5), (2.7). Все условия теоремы 2, за возможным исключением (Qi), (Ь), удовлетворяются. Что же касается условия (Qi), (Ь), то система (3.5) в точке х2 = 0 принимает следующий вид:’_

где а^^О, 6(/)^0. Начальные условия такие же, как и в (4.21). Ясно, что существует такое 9о > 0, для которого имеет место (3.7). В самом деле, можно взять

60 = е~Р (г~<»)) где b (t) ^ 0.

Пример 3. Битва при Банкер-Хилл ([4], стр. 384) описывается дифференциальными уравнениями

“# = 81 ~ cMi.

~^~ = 82 — С1Р1Ф^1>

dmx

—t83 —С1ф,

dm2।

—L = e4_^.

Здесь у = ф и 2 = ф изменяются в интервале 0^т^1; сь с2, Рь Рг— положительные постоянные и 81 = е2 = 83 = 84 = 0. Будем рассматривать видоизмененный вариант, когда 81 >> 0, е2 > 0, 83 > 0, 84 > 0. Фазовое множество задается неравенствами; £1 > 0, £2 > 0, mi > 0, т2 > 0. Характер игры таков, что в качестве дХу следует выбирать подмножество множества {gi ^ 0, /и2 ^ 0}, а в качестве дХг — подмножество множества fe > 0, пгх > 0}.

Предположим, что множество

dX^f J = {^1 = 0, ^2^^> И1х^^Х, ИТ^^^Х^

где X > О является подмножеством из дХу1 и пусть -Xj = Ш1, Х2 = ^2>^3 = т2,^^^^Р

Мы хотим проверить условия (Р?), (Q?) при Y = YX. Условие (Р?) легко проверяется: применяем предположение, что 8! > 0. Что касается (QJ), то система (3.5) принимает вид

-^ = 0> ^Ir = -a^Zt

а начальные условия (4.18) становятся следующими:

7^0 = 0, Z2(0 = 0, Z3(/) = y, Z4(/)=l,

где у = — 6, 0 ^ 0 ^ А (А — константа). Далее можно рассуждать, как в примере 1, и прийти к выводу, что Z4(/)^l для всех ? < t < Г.

С подмножеством

дХ812 = Vni — 0; £i ^А, ^2^^> т2^Х}

можно обращаться таким же образом. Рассматривая подмножество из дХу вида

5Zyi3 = {^i + т2 ^ ^> ^2^^> т2^М>

где X, X — положительные числа, нужно проверить условия вблизи «угловой точки» теоремы 4. Это нетрудно сделать. Замечание, сделанное после теоремы 3, применимо, и к данному примеру.

5. ЛИПШИЦЕВА НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ

Сделаем следующие предположения:

длялюбыхt, t из [0, Т], х е Rm, yeY и zeZ

I ИЛ х,у, z^ — Ki, х, у, z)\<fejt — Й;(5.1)

длялюбыхt, i из [0, Г], xeRm, yeY и zeZ

\h(t, x,у, z) — h(i, x, у, z) | ^ Й 11 — Й;(5.2)

кроме того, ^tJ^ — gW^ -(5.3)

где g(x) равномерно удовлетворяет условию Липшица на Rm. _

Обозначим подмножество внутренних точек множества X через X.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (i)— (viii) и (Ri)— (Rs), и пусть T — to^.^. Тогда V= V(x0,/о) равномерно удовлетворяет условию Липшица на компактных подмножествах из х%[о,ту,*

Предполагается, что множества дХу, дХг, дХ^ не зависят от (х0, М •

Доказательство. Для простоты будем рассматривать только случай, когда X, дХу, dXz, дХ^ такие же, как в теореме 1. Требуется доказать следующее: для любого компактного подмножества S из X X [0, Г)

I И (х0, /оНПх, 0 1^2<о(1 ^о — х! + 1 ^о — ? 1)^ А (5.4) для всех (х0,/о), (х, ?) из S. Введем верхние 6-значения Vs (х0, /0), У^^хЛУ Тогда (5.4) эквивалентно неравенству

-Пт| К6(х0, /0) - V6(х, /) |<Л.(5.5)

6-»0

Проведем теперь построение Г6, как в доказательстве теоремы 1, при малом фиксированном е и при

n==Ox0-x| + Uo--N),(5.6)

где К — некоторая положительная константа. Можно, предположить, что сумма | х0 — ж | + |^о — t\ достаточно мала, поэтому т] настолько мала, насколько это необходимо в доказательстве теоремы 1. Заметим (ср. с (3.26), (3.27)), что теперь ао(л) = const• т], поэтому также a(iq) = const «т). Следовательно, согласно (3.29),

• Уб(х0, /0) < Р (Г6 (z), z) + с'я (t/— константа), (5.7) если 6 достаточно мало и 6 <т].

Займемся теперь, отображением ф, применяемым в доказательстве теоремы 4 из [1]. Оно переводит управления и 6-стратегии, соответствующие интервалу (^о, Т), в управления и 6-стратегии, соответствующие интервалу (7, Г). Оно также отображает соответствующие траектории и

sup |х(0 — (^)(01<с(|х0 — х| + |/0 — ?|),(5.8)

где■

tx = max (f0, t\'

В силу (3.30), хт(0^с% Таким образом, если К- в (5.6) таково, что с*К > с, то из (5.8) следует, что для траектории х(<), соответствующей (f6(z),z), (фх) (<) лежит в X для всех /е(/1,Т). Можно гарантировать, что (фх) (/) будет оставаться X для всех t е Ц, ti) (в случае I < t^, если К выбрано достаточно большим (независимо от х0, х).

Итак, если У = Гв(2), то как P(y,z), так и Рх (^>у, фг) можно найти из (1.3). Здесь Рх (у, г) определяется аналогично (1.3), но to заменено на t, а р^х) = g(x(T)). Тогда получаем

\Р(У, z) — Px^y, фг) К С (| х0 — хЦ-|/0 — /|).

Объединяя это неравенство с (5.7), легко убеждаемся в том, что

Vе (х0, ?0) < V6 (х, 0 + С (| х0 — х 1 +1 to — t1) + с'ц.

Меняя ролями (хо, to) и (x,t), получаем другое неравенство. Подставляя г] из (5.6) в эти два неравенства, получаем (5.5) при 6—0.

СУЩЕСТВОВАНИЕ СЕДЛОВЫХ ТОЧЕК

Нам потребуется следующая

Лемма 6. Пусть выполнены условия (i)— (iv) и (vii), и пусть kx(t,x,y), ki(t,x,z)— непрерывные функции соответственно на [<о, Т] X ^m X У и [^о, Л X Rm X Z. Пусть ух(0, zxtt) —любые управляющие функции соответственно для у, z для каждого X из последовательности {Х„}, где Хп \ 0 при п Z оо. Пусть 5^(0 — любые управляющие функции, удовлетворяющие равенству zxtt) = zxtt — X) для to + X^t <.Т, Хе {Хп}. Обозначим через xx(t) и A(f) траектории, отвечающие соответственно yx(t), zx(t) и yx(t), zx(t). Тогда существует константа К, не зависящая от ух, zx, такая, что

sup 15cxtt) — Xx(0 1^КХ для всех Х = Хп (6.1) t0<t <т

и при X = Хп -> оо■

т ’т

J hi(t, Ш, yxWt - р, а, хх(0, yxV))dt^O. (6.2)

’ Т _т

J й2 (/, £х (0, к (0) dt - J k2 (t, хх (t), zx (0) dt 0,(6,3)

Эта лемма незначительно отличается от леммы 4 из [1]. В последней лемме не предполагается, что выполняется условие (vii) и доказаны соотношения (6.2), (6.3) и (вместо (6.1)) соотношение

■ sup |ХХ (0 — ^(0 1-*0

для А, образующих подпоследовательность из (Хп}> Х-*0,

Доказательство. Пусть т^(0 == I-^х(0~-^х(ОI• По условиям (И), (iv) имеем

t

1ъХО<£1 J пх^ан-

t

(6.4)(6.4)J [Г(т, xJxY 2k(x)) — P(x, Хх(т), 2х(т))Нт to

(6.4)

(6.4)

Запишем последний интеграл в виде

to t0 t04-Xto t0 t04-X

to t0 t04-X

to t0 t04-X

Ясно, что

^const-A,.(6.5)

Далее, t t

J = J If2 (т, XX (т), 4 (т)) — f2 (т — X, хх (т — X), 4 (т))] dx 4- toA*^*^о“Ь^

t

+ J f2(r-X, ^(т-Х), zx(T-X))dr- to-V^*

t

— j P (t, XK (t), zk (t)) dx s Z, + Z2 — Z3.

Так как функция /2(/, х, z) равномерно удовлетворяет условию Липшица по (/, х) и так как

I -Ч (т — А,) — хх (т) | ^ const • А,,

получаем | Zx |^const • А,. Если подставить т —Л—>т в /2> получим

^2 = J f2 (т, ХХ (т), zk (т)) dx.

to

Отсюда | /2 — ЛI < const • X. Объединяя эти оценки с (6.5), заключаем, что

[f2^, хх(т), 4(т)) — /2(т, хх(т), zx(T))]dZ < const • X.[f2^, хх(т), 4(т)) — /2(т, хх(т), zx(T))]dZ < const • X.(6.6)(6.6)

[f2^, хх(т), 4(т)) — /2(т, хх(т), zx(T))]dZ < const • X.

[f2^, хх(т), 4(т)) — /2(т, хх(т), zx(T))]dZ < const • X.

(6.6)

(6.6)

Подставляя это неравенство в (6.4), легко получаем

Пх(0</<л.

Тем самым (6.1) доказано. Соотношение (6.2) следует сразу же из (6.1). Чтобы доказать (6.3), несколько изменим доказательство неравенства (6.6) для f2 = &2- (Заметим, что функция ^2 не предполагается удовлетворяющей условию Липшица по ^лУ) Находим

тJ [й2(т, хх(т), 5х(т)) —й2(т, хх(т), 2х(т))]Л^0,тJ [й2(т, хх(т), 5х(т)) —й2(т, хх(т), 2х(т))]Л^0,->0->0приприХ^Х^О.Х^Х^О.

т

J [й2(т, хх(т), 5х(т)) —й2(т, хх(т), 2х(т))]Л

^0,

т

J [й2(т, хх(т), 5х(т)) —й2(т, хх(т), 2х(т))]Л

^0,

->0

->0

при

при

Х^Х^О.

Х^Х^О.

Теперь применим соотношение

т _г

J k2(t, ЗД, ^dt-^ k2t, х^, K^dt^Q

при X = Xn->0, следующее из (6.1). Нам понадобится условие;

(ix) для любых t<= [0, Т] и хе Rm множества f (/, х, К), f2(t, х, Z) являются выпуклыми.

Как хорошо известно (см. [5]), если выполнено условие (ix), то подмножество Xt„ г из [С [^0, Т]]т компактно.

Предположим теперь, что X, дХу те же, что в теореме 1. Пусть {^ — убывающая последовательность положительных чисел, такая, чтог т)! < Цо (Ло- такое же, как в лемме 5) и ^->0 при к-* оо. Пусть {6J — убывающая подпоследовательность из {б}, такая, что 6a^60(t]J, где б0 (т]) — функция из леммы 5, и Кб^ < с*^, где К — константа из леммы 6, ас* — константа из леммы 5. Положим

Г® = Г® для п = Пй, 6й+1<б<бй.(6.7)

Для любого управления z(/) обозначим через х(0 траекторию, соответствующую (у (0, z(0), где У (0 — (F®z) (0, и обозначим через х(/) траекторию, соответствующую (Н0> z^, где z(/) = z(/ —б) на (/0 + б, Т\'

Тогда не только x(f) остается в X для всех te(tQ, Т), но также и х (0 остается в X для всех t е (/0, Г).

Действительно, по лемме 5 имеем xm(t^^c*K\ на (/0, Т), тогда как по лемме 6 jxm (t) — xm (Q | •< Кб. Поскольку Кб < с*т], получаем неравенство ХтЮ>0 для всех te^to, Т).

Так как аналог леммы 6, который получится, если поменять ролями у и 2, тоже имеет место (с другим К, скажем К'), если бй выбрать так, чтобы выполнялось неравенство К'бк < с*т)й, то можно утверждать следующее:

Траектория х(<), соответствующая (y(#),z), где у = Г?(г), у (f) = у (t — б) на (/о+ 6,7), также принадлежит X для всех te(t0, Т).

Пока рассматривался случай, когда множество X такое же, как в теореме 1. Пусть теперь X будет таким, как в теореме 3.

Тогда мы можем определить Г® по (6.7) (при 6& таких, как указано выше) и прийти к выводу, что для каждого управления z траектории хЦ), х(/), определенные выше, не покидают X впервые в точках дХу.

Напомним (ср. с' (3.29)), что

7®<P(H(z), z) + 6 + a(rD. ' (6.8)

Определим далее А® по аналогии с ^6.7). Аналоги указанных выше утверждений относительно x(f), х^ и неравенство (6.8) остаются в силе.

Приступим теперь к определению, как в [1], стратегий Г = = {Г6}, А = {А6} соответственно для у и z и платРг[Г, А], Ру [Г, А], где г е Z, уе У. Полагая Г* = {Г®}, А* = {А®}, имеем

Ра [Г, А*] < Р^ [Г, А’] = {7} = Pv [ГА] (6.9) для любых а, р, у на У U 7 и для любых стратегий Г, А. Доказательство (6.9) аналогично доказательству теоремы 5 в [1]. Здесь применяется неравенство (6.8) и соответствующее неравенство для А®, утверждения относительно х(/),х(0, сделанные выше для Г®, соответствующие утверждения для А® и лемма 4 из [1].

Пара (Г*,А*), для которой имеет место (6.9) для всех а, р, у на Y U Z и для всех Г, А, называется седловой точкой.

Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 6. Пусть выполняются условия (1)— (vii), (ix) и (Ri) — (Re), и пусть T — to^.^. Тогда дифференциальная игра, заданная системой (1.1), (1-2), (1.3), множеством X и множествами (дХу, дХг, дХо), имеет седловую точку.

ОБОБЩЕНИЯ

В определении игры применялась конкретная последовательность {Пг} разбиений интервала Цо, TV Если используется любая другая последовательность {Пг}, для которой |ПГ|—*0, то (при предположениях теоремы 3 или 4)

Пт /пг = Пт Кп =V. (7.1) t->oo t->oo Г

Доказательство основано на доказательстве теоремы 3 в соединении с доказательством теоремы 2 из [1]; в последней утверждается, что (7.1) имеет место в случае X = Rm.

Можно также определить понятие стратегии Г = {гПг}, базирующееся на любой последовательности {Пг}, для которой |ПГ|—**0 при г—^оо. Теорема 6 остается справедливой и для такого определения стратегии.

Результаты работы [1] относительно существования обобщенного значения для дифференциальных игр преследования-

уклонения остаются справедливыми в данном случае (когда, например, X — такое же, как в теореме 3). Доказательства аналогичны. Подобным же образом можно обобщить результаты работы [1] для дифференциальных игр с запаздывающей информацией.

Если V(x,/) непрерывно дифференцируемо на открытом множестве Q, содержащемся в X (X—такое же, как в теореме 3), то V удовлетворяет на Q уравнению Беллмана — Айзекса (см. [2]). Доказательство аналогично доказательству, данному в [2] в случае X = Rm. Если V(x, t) удовлетворяет условию Липшица, то оно удовлетворяет уравнению Беллмана — Айзекса почти всюду.

Можно определить дифференциальную игру на выживание, когда X— любое фазовое множество, заменяя (1.3) на (1.4) в определении дифференциальной игры, данном в § 2. Необходимо, однако, пояснить следующий момент. Если х^ впервые покидает X в момент времени t = t и если t ^ t, то плата определяется соотношением (1.4), а не (2.6).

Результаты работ [2], [3], обобщаются на случай, когда выполнены требования (Ri)— (Rs), при условии что множество S = = dF П V^Xy U дХг) X [О, 7"]} пусто. Если S — непустое множество размерности ^Ог, то необходимо наложить дополнительные условия в точках множества S. Ниже мы приводим дополнительное условие, которое требуется в случае, когда X— такое же множество, как в теореме 1._

Пусть v = (vi,..., Vm, Vm+i) — нормаль к dF, направленная внутрь F (F— замкнутая область с границей 6F класса С2). По. т

лагаем Ф(/, х, у, z) = vm+1 + 2 "Vifia. х, У, z) Для каждой точки (t, х) из S. Тогда, в дополнение к условиям (Pi), (Qi) потребуем .выполнения такого неравенства:

max min min (Ф(/, х', 0, у', у", z), fm(/, х', 0, у', у", z)} >0. (7.2) у' eYx zeZ-

Последнее неравенство дает возможность игроку у преобразовать Г6 так, чтобы соответствующая видоизмененная траектория «не достигала» S и в то же время «быстро» входила в F. Подробное построение давалось в [2], [3].

ЛИТЕРАТУРА

Фридман А., Об определении дифференциальных игр и существовании значения игры и седловых точек, стр. 103—126 настоящего сборника.

Фридман А., Существование значения и седловых точек для дифференциальных игр преследования и уклонения, стр. 127—145 настоящего сборника.

Фридман А., Существование значения и седловых точек для дифференциальных игр на выживание, стр. 146—160 настоящего сборника.

Айзекс Р., Дифференциальные игры, «Мир», М., 1967.

R о х i n Е., The existence of optimal controls, Mich. Math. L, 9 (1962), 109—

119..

Хронобиология1)12)

Франц Гальберг

ВВЕДЕНИЕ

Изучение физиологических ритмов, перекрывающееся с многими традиционными дисциплинами в биологии и медицине, зависит от прогресса в технике, извлекая пользу из современной технологии непосредственных и телеметрических измерений функционирования тела и из успехов науки в области электронных вычислительных машин. Вычислительные машины уже обрабатывают данные намного эффективнее и быстрее, чем это было возможно до сих пор, однако для нас более важен их вклад в изучение биологических ритмов. Именно благодаря высокой скорости и эффективности ЭВМ дают нам возможность решать принципиально новые задачи, например обнаруживать ритмы, которые иначе вряд ли были бы открыты, поскольку требовали слишком трудоемких вычислений [1]. Вследствие этого электронные вычислительные машины дают исследователю течения биологических процессов во времени то, что микроскоп или электронный микроскоп представляют для исследователя пространственных структур [2].

Цель этого обзора — показать развитие в выявлении - объективных оценок параметров ритма в терминах их уровня, амплитуды и различных фазовых отношений на каждой из нескольких частот. Это сделано, имея в виду будущее этой области, которая может стать частью количественной биологии, несмотря на то что до сих пор в большей части работ, включая и опубликованные за последние несколько лет, используется в основном визуальный просмотр данных. Рассматриваемые здесь численные результаты количественной ритмометрии основаны на наблюдениях над здоровыми людьми и несколькими лабораторными животными (главным образом приматами и грызунами), которые включены в качестве иллюстративных примеров для целей сравнительной физиологии.

Мы касаемся проблем, относящихся к фазовым сдвигам ритмов (которые рассматривались в основном на приматах), в связи с поездками через большое число часовых поясов.

Изменения ритмов, вызванные приемом медикаментов или болезнями, здесь не затрагиваются, так как недавно ряд симпо-

9 Halberg Franz, Chronobiology, Annual Review of Physiology, vol. 31 (1969), 675—725.

2) Просмотр литературы для этого обзора был завершен 1 сентября 1968 г.

зиумов [10—14] занимался этим. На информации, рассматриваемой здесь, основываются два вопроса, остающиеся пока еще без ответа: 1) может ли изменение ритма быть средством ранней диагностики начавшегося или угрожающего заболевания, и если да, то 2) сможет ли исправление этого изменения ритма предотвратить или облегчить определенные болезни? Ответы на эти вопросы в конечном счете могут быть получены такими средствами, как: (а) датчики для неискаженного накопления временных рядов биофизических, биохимических и, более широко, бихевиористических переменных; (б) способы автоматической записи данных в’ таком запоминающем устройстве, чтобы их можно было непосредственно анализировать (например, на магнитной ленте), и (в) средства для так называемой микроскопической оценки ритмов (например, с помощью программ для ЭВМ). Такие технические достижения, вызванные в значительной мере космическими исследованиями, имеют также большое значение для изучения жизни на Земле.

Чтобы ввести ритмы как часть более широкой области хронобиологии, нам понадобятся некоторые определения.

Большинство работ, основанных только на рассмотрении данных, представленных в виде функций времени (в хронограммах) и толкуемых как представление физиологически не конкретизируемых «часов», не будет здесь рассматриваться. Использование хронограмм для оценки изменчивости, вызываемой такими факторами, как неограниченное время дня, обсуждалось в другом месте [3]; оно также остается здесь вне нашего поля зрения.

Читатель, интересующийся такого рода работами, а также более строгим подходом к ритмам, может обратиться к обширной литературе: симпозиумам {4—16, 292], книгам [17—27], недавним обзорным статьям [28—30, 286], справочнику по биологическим данным [31] и библиографии по временным рядам [32].

ПОЯСНЕНИЯ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ТЕРМИНОВ

Ритмы, синхронизаторы и биоритмы. Рассматриваются ли они «макроскопически» или «микроскопически» 9 (см. ниже), ритмы могут быть определены как статистически значимые физиологические изменения, протекающие в виде воспроизводимых волн. Ритм в «макроскопических» терминах означает достоверную периодичность данных как функций от времени. «Микроскопически» определенный ритм составляет периодическую компоненту биологического временного ряда с объективно определяемыми значениями: (среднего) периода т и (или) (средней) акрофазы (времени максимума) ф и (средней) амплитуды С, достоверно отличными от нуля [1, 2] (ср. рис. 1 и таблицы I—III).

Численные значения и оценки доверительных интервалов для этих параметров ритма, а также для уровня Со получаются

!) С точки зрения русской кибернетической терминологии более естественно говорить «грубо» и «тонко» вместо «макро-» и «микро-». — Прим, ред.

в результате применения аппроксимирующих функций (в частности функций вида /(/) = Со + С cos (oV + ^), где со — угловая частота, a t— время); см. рис. 1.

Синхронизаторы, указатели времени, датчики, или ключи [4, 5, 17,18,21], являются факторами внешней среды, определяющими временную привязку данного ритма (например, к равномерно градуированному «местному времени», предпочтительно одновременно со специально обозначенным.средним гринвичским временем (GMT)). Прилагательные «первичный» и «вторичный» указывают на относительное влияние различных синхронизаторов из внешней среды. В нескольких инбредных линиях мышей с питанием ad libitum световой режим является первичным синхронизатором ритма эозинофилов крови; влияние света превалирует над любым вторичным влиянием времени кормления в обычных лабораторных условиях. Прилагательные «доминантный» и «модифицирующий» также могут быть использованы для описания влияния данного фактора внешней среды на данный ритм. При необычных обстоятельствах вторичный синхронизатор может стать доминантным. Так, у мышей С3Н (миннесотских), подвергаемых 50%-ному ограничению в калорийности питания, время кормления может быть доминантным по отношению к световому режиму. Кроме того, на ритм могут воздействовать вторичные синхронизаторы и другие модифицирующие факторы — модуляторы и т.п.

Биоритм — это ритм, который, будучи подвергнут частотной синхронизации (а значит, сдвигу по фазе) известным синхронизатором, продолжает существовать после устранения воздействия синхронизатора. В описании биоритма наряду с условиями эксперимента, такими, как ослепление или низменность светового режима, температура внешней среды, питание ad libitum, должны быть также указаны минимальное число сохраняющихся периодов (которое зависит от системы) и характер затухания ритма. Например, в нашем опыте измерялся циркадный (околосуточный) ритм внутрибрюшной температуры, которая телеметрировалась с 10-минутными интервалами у шести взрослых инбредных миннесотских крыс Спрага — Доули (MSD), содержавшихся поодиночке со свободным доступом к пище при температуре внешней среды 24,0 ±0,5 °C и чередовании света и темноты с 12-часовыми интервалами. Этот ритм сохранялся в течение всего 116-дневного эксперимента с периодом 24,30 ± 0,03 час. и околосуточной амплитудой 0,57 ± 0,03 °C, что примерно соответствует амплитуде 0,61 ± ± 0,02 °C у пяти совместно наблюдавшихся крыс с периодом 24,00 ± 0,00 час. в другом эксперименте.

Хронобиология и ее ветви. «Хронобиология» — это исследование временных характеристик биологических явлений, ведущее к объективному описанию течения биологических процессов во времени. В свою очередь течение биологических процессов

во времени — это полная совокупность детерминированных (а значит, предсказуемых) временных характеристик поведения организма, как периодических, так и непериодических (изменений в процессе развития и возрастных тенденций). Течение биологических процессов во времени рассматривается как для индивидуумов, так и для групп организмов или их частей: систем органов, органов, тканей, клеток и внутриклеточных элементов (включая электронномикроскопическую ультраструктуру).

Хронобиология имеет ряд ответвлений, таких, как:

«хронофизиология» — исследование временных характеристик физиологического поведения и физиологических факторов, лежащих в основе биологических временных характеристик;

«хронотоксикология» — исследование нежелательных или вредных воздействий химических, физических или других агентов, в том числе ядов, продуктов, загрязняющих внешнюю среду, и избыточных доз медикаментов на биологические временные характеристики, а также рассмотрение этих воздействий как функций биологического счета времени;

«хронопатология» — исследование изменений в биологических временных характеристиках как проявлений болезни и как признаков болезни;

«хронофармакология» — исследование воздействия медикаментов на биологические временные характеристики и рассмотрение этих воздействий как функций биологического счета времени.

Значительная информация относительно достижений в областях 1) и 2) представлена в [29, 30, 33]; области 3) и 4), хотя и вышли уже из сферы утопий, требуют еще дальнейшей разработки.

Все ветви хронобиологии обычно включают в себя сбор данных в виде временных рядов. Однако в отдельных случаях хронобиологические наблюдения могут описывать единичное, а не периодическое явление, например рождение [34, 35] или смерть [36, 37] в популяциях людей или грызунов [38].

Сопоставление макроскопического подходас микроскопическим [2, 39].

Хронобиология (а также хронофизиология, хронопатология и т. д.) может считаться «макроскопической», когда она оценивает биологические временные характеристики:

используя время в качестве единственной системы отсчета для первичных (или усредненных) данных;

с помощью процедур классической биометрии, в том числе таких, как дисперсионный, корреляционный или регрессионный анализ;

без отделения исследуемой биологической временной характеристики («полезного» сигнала, например ритма) от влияния

других факторов (биологического шума), и без оценки параметров статистическими методами.

Биологический шум для исследователя-ритмов — это совокупность изменчивости, происходящей из неустановленных или не-

38,5*38,5*. 38,0-. 38,0-37,5-37,5-8 37,0-I5 36,5-8 37,0-I5 36,5-£U) = C0+Ccos(a>t+ф)£U) = C0+Ccos(a>t+ф)-ао"=0,07вс 1-ао"=0,07вс 1с=охс ас=охс а-*- C0»37,62^IR^^^-*- C0»37,62^IR^^^ф=-109°* ।ф=-109°* ।^)=[-118°,-100e]С1(ф>[-208;-190в] .^)=[-118°,-100e]С1(ф>[-208;-190в] .ААII»?=-199’»?=-199’IIСДф)=ф±112,31с/ССДф)=ф±112,31с/ССветовой режим._Время (СМ Г) 18ю _. ( от . оо00 JPOsWom середины про-п ^междтка светаСветовой режим._Время (СМ Г) 18ю _. ( от . оо00 JPOsWom середины про-п ^междтка света00™ 6-9000™ 6-90-90-180-90-180-180-270-180-2701F-270-3601F-270-360~£оо-360~£оо-360

38,5*

38,5*

. 38,0-

. 38,0-

37,5-

37,5-

8 37,0-

I

5 36,5-

8 37,0-

I

5 36,5-

£U) = C0+Ccos(a>t+ф)

£U) = C0+Ccos(a>t+ф)

-ао"=0,07вс 1

-ао"=0,07вс 1

с=охс а

с=охс а

-*- C0»37,62^IR^^^

-*- C0»37,62^IR^^^

ф=-109°* ।

ф=-109°* ।

^)=[-118°,-100e]

С1(ф>[-208;-190в] .

^)=[-118°,-100e]

С1(ф>[-208;-190в] .

А

А

I

I

»?=-199’

»?=-199’

I

I

СДф)=ф±112,31с/С

СДф)=ф±112,31с/С

Световой режим._

Время (СМ Г) 18ю _. ( от . оо00 JPOsWom середины про-п ^междтка света

Световой режим._

Время (СМ Г) 18ю _. ( от . оо00 JPOsWom середины про-п ^междтка света

00™ 6

-90

00™ 6

-90

-90

-180

-90

-180

-180

-270

-180

-270

1F-270-360

1F-270-360

~£оо-360

~£оо-360

Рис. 1. Выравнивание внутрибрюшной температуры взрослой самки крысы MSD по -косинусоиде с периодом 24 часа (непрерывная линия) методом наименьших квадратов. Телеметрия с интервалами ~30 мин. за 24 часа.•

Приписывание значений уровня, амплитуды и акрофазы выравниванием по методу наименьших квадратов как первый шаг процедуры построения косинора. Такой шаг является промежуточным вычислением, а не определением показателей как таковых [42]. Обратите внимание на два из нескольких видов акрофаз — вычислительную и внешнюю (ср. таблицу II). Внутренняя акрофаза не показана.

Обозначения: Со —средний уровень в °C; С—-амплитуда в °C; © — угловая частота с зафиксированной величиной 360°/24 часа = 15°/час; / — время в часах; Ф — вычислительная акрофаза в градусах от 0000 час*; а —среднеквадратичное отклонение; С/-*95%-ный доверительный интервал.

оцененных источников и искажающей сигнал, подлежащий оценке, т. е. один или несколько ритмов. Различные виды ошибок измерения, подсчета или других наблюдений — ошибок, которые могут быть случайными, систематическими или даже «грубыми», — являются частью шума, В данном временнбм ряду (или функции

времени), преобразованном в частотный спектр, рассеяние, соответствующее биологическому шуму, простирается более или менее равномерно на всю спектральную область, поддающуюся такому преобразованию. Напротив, рассеяние, сосредоточенное на более или менее резко очерченном участке спектра, например узкая спектральная полоса или линия, может соответствовать ритму.

Временной характеристикой, исследуемой в таком макроскопическом анализе, является биопериодичность, которая может быть определена как ритм плюс шум.

-Таблица I

Иллюстративный спектр ритмов

Область а)

Высокая частота Т < 0,5 час.

Средняя частота 0,5 час. <Т < 6 сут.

Низкая частота т > 6 сут.

Участки

т « 0,1 сек.

т ~ 1 сек.

и т. д.

Досуточный (0,5 час.<т < 20 час.)

Околосуточный, - или циркадный (20 час. <т <28 час.)

Сверхсуточный (28 час. < т < 6 сут.)

Околонедельный (т^7 сут.)

Околодвухдекад- ный (т«20 сут.)

Околомесячный (т~30 сут.)

Окологодичный (т«1 год)

Ритмы

Электроэнцефалограммы

Электрокардиограммы

Дыхания

Отдыха—активности'

Сна — бодрствования

Реакции на медикаменты

Компонентов крови

Переменных элементов мочи

Процессов обмена веществ вообще

Менструации

Выведения 17-ке- тостероидов со спектральными компонентами на всех участках, указанных выше, и в других областях

а) Области и участки [поименованные по критерию частоты (f)l установлены в соответствии с величиной, обратной f, т. е. периодом (т) функции, аппроксимирующей ритм.

Несколько переменных, проверенных до настоящего времени, показывают статистически значимые компоненты в нескольких спектральных областях.

Ископаемые околосуточные, околомесячные (около 30 суток) и окологодич- ные ритмы завоевали интерес для возможного использования в палео-био-геохронометрии [207—216, ср. также 217, 218]. Полагая, что длина года, была достаточно постоянной, изменения в длине суток и месяца, рассматриваемые на базе астрономической очевидности [217, 218], были выравнены ^с возможными околомесячной и окологодичной группировками циркадных линий роста у ископаемых организмов в сравнении с соответствующими группировками у ныне живущих морских беспозвоночных [207, 216]. , -

«Микроскопическая» хронобиология, с другой стороны, оценивает биологические временные компоненты [174, 175]:

,. 1) после устранения биологического шума;

на основе аппроксимации полезного сигнала некоторой подходящей синусоидальной функцией (рис. 1; [40]) и оценки ее частоты f или периода т (табл. I) и (или) фазы ф (табл. II) статистическими методами [62, 63, 336];*

Таблица II

Обозначения и термины для различных акрофаз а^

Обозначения

Термин

Система отсчета фазы

Иллюстративная система отсчета фазы

Ф

Вычислительная акрофаза

Произвольные дата и час

00°° дня 1 исследования

?

Внешняя акрофаза

Точка на синхро-ни- зирующем цикле внешней среды

Середина промежутка темноты для человека, середина промежутка света для грызунов

Ф

Внутренняя акрофаза

Акрофаза другого ритма с той же частотой

Акрофаза внутренней температуры тела

а) В качестве оценок привязки ритма во времени относительно различных систем отсчета фазы.

с помощью оценки введенных выше объективных численных показателей, приведенных к единой системе отсчета [41], и доверительных интервалов для каждого из них [42,43];

с представлением таких результатов, когда это подходит, в терминах параметров Д т или ф, а также времени t.

Например, такая биологическая временная компонента, как ритм с данной частотой, может быть оценена не только в терминах корреляционной функции [44—46] и дисперсии как функции частоты в спектре рассеяния [47—53, 64], но также в терминах отношений, выведенных, например, из спектров рассеяния, таких, как околосуточное отношение CQ) [53, 58]; в терминах амплитуды как функции частоты в периодограмме [46, 59—61]; в периодической регрессии [62] или в спектре наименьших квадратов [1]; в терминах взвешенной по амплитуде фазы в косиноре -) [1, 42; ср. также 63]; в терминах фазы, не взвешенной по амплитуде [43], только

при определенных условиях [42, 43]; или в терминах уровня, скорректированного на ритм. Таблица III показывает, как некоторые из этих методов, дающих различные представления, связаны между собой в терминах вычислительной процедуры.

Таблица Ш

обязанные процедуры

Эта таблица игнорирует проблемы, связанные со сбором, редакцией и отбором данных — специфические задачи, значительно упрощающиеся при использовании v ЭВМ (ср., например, [42, 43, 47—50, 53—57, 59—64]).

Биологическая временная компонента, очищенная от шума и представленная с помощью такой микроскопической ритмометрии в виде аналитического выражения, хорошо соответствующего данным, является количественно определенным ритмом,

Понятно, что значения терминов «микроскопический» и «макроскопический» изменяются, когда они используются для обозначения методов выявления ритмов. Термин «макроскопический» тогда относится к выводам из классической биометрии, представленным только во времени. Напротив, слово «микроскопический», используемое в контексте определенных методов ритмометрии, указывает на более высокий уровень- выявления ритмов такими методами, т. е. их изоляции от шума, а параметры каждого «изолированного» ритма могут быть оценены.

Электронные вычислительные машины служат для наиболее быстрой и эффективной подготовки макроскопического представления ритмов, равно как для очищения ритма от шума и для последующей оценки его параметров. Таким образом, ритмометрия довольно сильно, хотя и не всецело, зависит от электронных вычислительных машин. Для определенных ограниченных ритмометрических целей могут быть использованы механические или оптические анализаторы в сочетании с настольной счетной машиной вместо ЭВМ. Во всяком случае, в противоположность микроскопическому анализу тканей, «микроскопический» анализ временных рядов, подобно исследованию так называемых микроскопических вопросов физики, не обязательно зависит от использования микроскопа.

Мимолетные недоразумения, возникающие из-за употребления таких терминов, как «микроскопический», представляются меньшим неудобством, чем вероятная путаница, которую можно ожидать от введения в обращение совершенно новых слов. Для правильного понимания такие слова, как «микроскопический», Когда они встретятся где-либо в контексте ритмометрии, на первых порах будут заключаться в кавычки. ,

В противоположность широко распространенной*практике мы будем по возможности избегать таких терминов, как «часы», «осцилляторы» или другие физические аналоги, особенно при определении численных показателей биологических ритмов. Аналогии, например, со световой микроскопией могут указывать на степень разрешимости, достигнутую определенными методами; они не должны искажать объективность измерений и интерпретацию того, что было измерено. Следовательно, речь будет идти о тех пбддающихся измерению характеристиках ритма, которые могут быть аппроксимированы достаточно простыми функциями, как, например, на рис. 1. Показатели ритмов должны представлять собой объективные статистически выводимые численные характеристики физиологических переменных. -

РИТМОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

Обслуживая медицину, стоит попытаться дать объективное количественное выражение статистической и микроскопической хронобиологии, по аналогии со статистической и микроскопической физикой1). Насколько можно представить себе столь честолюбивые цели, новые определения показателей ритма ведут к новым параметрам — таким, как акрофаза в таблице II. Когда показатели и параметры содержательно определены, можно надеяться скорее удовлетворить требованию, чтобы определенные характеристики исследуемой биопериодичности имели постоянные численные выражения и чтобы такие числа были сравнимы в различных случаях, а также биологически содержательны.

’) Проводимая автором аналогия представляется далеко не очевидной.— Прим-, перев. ’

-Таблица IV g

Околосуточный ритм 17-гидроксикортикостероидов человеческой плазмы в выборках временных рядов из различных географических районов (ср. [105])

Число объектов а) [А/, час.)

Уровень Со С0±а'

Отношение и.

шума к сигналу ко"1С>

р '

пи обнаружение ритма

Околосуточные

Автор(ы), год, № по списку литературы

амплитуда С

акрофаза Ф или Ф Ы

(95%-ные дов<

зрительные границы)

11 [3-6]

9,7 ±1,0

<0,04

2,6 (от 0,2 до 5,0)

— 124° (от-34°до— 181°)ь)

Блисс и др. 1953 [91]

Миджин и др. 1956 [92]

12 [1-12]

10,7 ±1,2

<0,001

5,1 (от 2,7 до 7,5)

—99° (от —37°до—137°)

13 [3]

8(3]

13,5 ±0,9

7,4 ±0,9

0,005

<0,002

4,1 (от 2,3 до 6,0)

5,3 (от 2,7 до 7,9)

-100° (от -63° до-137°)

— 113° (от —61°до—151°)

Гальберг и др.

1961 [93]

Доу 1966 [94]

Ю [8]

9,8 ±0,8

<0,002

4,6 (от 2,3 до 6,9)

—71° (от —41°до—111°)

Кертис и др. 1966 rnci

7 [5; 10]

10,4 ±0,7

<0,003

7,2 (от 3,6 до 10,8)

— 105° (от —81° до — 126°)ь>

Макклюр 1966 [96]

21 [4; 6]

14,5± 1,6

<0,001

6,2 (от 5,2 до 7,3)

—89° (от —72°до—107°)

Кригер и др. 1966

13 [4; 8]

20,6 ±0,6

<0,001

2,0 (от 1,0 до 3,1)

—103° (от —64° до —144°)

[У/ j

Бриджес и др. 1966 [98]

7 [4]

26 [2-8]

11,9 ±0,9

10,0±1,5

0,6, с)

<0,005

4,9 (от 2,7 до 7,1)

3,4

— 112° (от —83°до—169°)

—124° Ь)

Кнэпп и др. 1967 [99]

Линкетт и др. 1967 [100]

5 [3-8]

12,2±1>2

0,168

8,7 (от 5,8 до 11,5)

—76° (от -57° до —95°)

Кейд и др. 1967

[101]

Гордон и др. [102]

8[3]

8,6±0,9

<0,05

2,1 (от 0,04 до 4,2)

-92° (от -312° до-120°)

а) Общая протяженность исследования — 24 часа для всех объектов. С6 и С в мкг/100 мл.

Ь) ?—24 часа=360°; 1 час=15°. Начало отсчета Ф —середина привычного промежутка сна; начало отсчета Ф —местная полночь. Акро* фазы с последним началом отсчета отмечены значком Ь).

с) Десятичные знаки, показанные как подстрочные индексы, сомнительны.

Околосуточный ритм выведения 17-гидроксикортикостероидов у человека в выборках временных рядовиз различных географических районов (ср. [105])

Место исследования

Число объектов (число дней)

1Околосуточные

Автор(ы), № по списку литературы

амплитуда С (мг/час)

акрофаза Ф а)

(95%-ные доверительные

границы)

США

(Миннесота)

4(5)

0,15 (от 0,04

ДО

0,26)

— 129°

(от

— 83°

до -200°)

Г альберги Хаус

[неопубл.]

(Миннесота)

8(1) '

0,12 (от 0,06

до

0,17)

-153°

(от

— 128°

до -177°)

Доу [94]

(Мэриленд)

7(2)

0,11 (от 0,06

до

0,16)

— 154°

(от

— 123°

до -181°)

Барттер и др. [103]

(Пенсильвания)

9(1)

0,09 (от 0,04

до

0,14)

-144°

(от

— 104°

до -183°)

Кертис и др. [95]

(Миннесота)

1(34)

0,17 (от 0,13

до

0,20)

— 130°

(от

— 117°

до —144°)

Хаус и Гальберг [Ю4]

Мексика

1(20)

0,05 (от 0,04

до

0,06)

— 159°

(от

— 145°

до -173°)

Пенья [105]

1(12)

0,03 (от 0,01

до

0,05)

-133°

(от

— 103°

до —163°)

1(8)

0,10 (от 0,08

до

0,12)

— 112°

(от

— 77°

до -130°)

1(9)

0,09 (от 0,07

до

0,11)

-110°

(от

— 87°

до —132°)

1(12)

0,07 (от 0,05

?°

0,09)

— 118°

(от

— 109°

до -139°)

1(6)

0,04 (от 0,02

до

0,06)

— 115°

(от

-105°

до -142°)

Голландская Южная

ю (2)

0,08 (от 0,05 до 0,11)

-169° (от -143° до —192°)

Гальберг и Симпсон g

Гвиана

[106]°

Ю (2)

0,11 (от 0,07 до 0,15)

—164° (от —134° до -202°)

Шотландия

Ю (2)

0,18 (от 0,06 до 0,23)

— 165° (от — 152° до —175°)

Гальберг и Симпсон

Ю (2)

0,19 (от 0,11 до 0,28)

-157° (от —133° до —182°)

[106]

Франция

12(1)

0,07 (от 0,05 до 0,09)

— 138° (от -121° до —155°)

Рейнберг [105]

6(2)

0,08 (от 0,04 до 0,12)

-146° (от —115° до —176°)

Рейнберг и др. [107]

6(2)

0,06 (от 0,01 до 0,11)

-135° (от - 77ь до -191°)

ФРГ

9 (2)

0,15 (от 0,08 до 0,22)

-143° (от —127° до —195°)

Гофман, Галгубер и

9 (2)

0,18 (от 0,07 до 0,29)

—142° (от —121° до -178°)

Др. [105]

Австрия

Ю (3)

0,9 (от 0,1 до 1,6)

—166° (от — 89° до -223°)

Гюнтер и др. [108]

10 (25)

3,6 (от 2,4 до 4,7)

-173° (от -150° до -194°)

10 (25)

3,7 (от 2,1 до 5,3)

— 188° (от —165° до —206°)

10 (25)

4,5 (от 2,8 до 6,2)

—176° (от —154° до -195°)

Ю(3)

2,8 (от 1,3 до 4,4)

—169° (от —139° до —196°)

Италия

31(1)

0,17 (от 0,15 до 0,19)

—134° (от —124° до —143°)

Череза [109]

Таиланд

13(1)

0,06 (от 0,02 до 0,10)

-150° (от —106° до —194°)

Маротта и Линвонг [ПО]

Австралия (тетрагид-

8(1)

0,06 (от 0,03 до 0,09)

— 103° (от - 85° до -133°)

Гордон и др. [102]

po-F)

а) т=24 часа=360°; 1 час = 15°. Начало

отсчета Ф —середина привычного промежутка сид.

Точные статистические процедуры, используемые' в микроскопическом подходе, могут быть представлены в виде жестких алгоритмов, а также запрограммированы для электронной вычислительной машины. С этой целью необходимо установить ожидаемые величины результатов при различных биомедицинских тестовых ситуациях. - '

С этой целью выбор систем отсчета для показателей ритмов, подобно выбору аналитической процедуры, должен быть стандартизован. В той мере, в какой смогут быть достигнуты на более широкой основе надлежащие международные соглашения в направлении такой стандартизации, результаты относительно показателей ритмов, полученные в разное время и в . разных местах, будут более непосредственно и более надежно сравнимы. Таблицы с IV по XIII демонстрируют первые робкие шаги в этом направлении. Акрофазы определенных околосуточных ритмов, объективно подытоженные в этих таблицах, замечательно согласуются между собой в наблюдениях над здоровыми объектами, проведенных различными исследователями разными методами и разделенных многими годами и временными поясами. Эти акрофазы могут поэтому служить стандартными системами отсчета для возможной хронопатологии, например такой, о которой сообщалось для определенных эмоциональных нарушений [95], [274—277] или для рака [285].

Таблицы с IV по XIII служат иллюстративными примерами ритмометрических показателей. Читатель может обратиться к первоисточникам за сведениями о роде объектов, вошедших в проанализированные выборки: о их возрасте, поле, состоянии питания, генетических и других характеристиках; Эти детали также должны быть точно определены наряду с указаниями на примененные биофизические и биохимические методы и. на стандартизацию сбора данных, прежде чем такие показатели можно будет более широко использовать.

Кроме того, большая часть информации, резюмированной в таблицах IV—XIII, получена «высечением», т. е. в исследованиях на группах объектов, охватывающих лишь один или несколько периодов исследуемого ритма. Из-за этого ограничения на длину временного ряда средний период ритма не оценивается, лишь иногда утверждается (с определенным статистическим доверительным уровнем), что ритм с подходящей (или близкой к подходящей) частотой характеризует рассматриваемые данные [42]. Таким образом, в нескольких оценках околосуточных акрофазы и амплитуды остается некоторая неопределенность относительно периода — является ли подходящий период точно 24-часовым по длительности (таблицы IV—XIII) или отличается от точной 24-часовой длительности (результаты некоторых исследований резюмированы на рис. 6). "

toS

Околосуточный ритм выведения калия у человека в выборках временных рядов из различных географическихрайонов (ср. [105])

Место исследования

Число объектов (число дней) [At час.)

Отношение шума к и; сигналу (о"1С)

Р обнару- [и жение ритма

Околосуточные

Автор(ы), № по списку литературы

амплитуда С а^

акрофаза Ф Ь)

(95%-ные дов<

зрительные г]

заницы)

США

(Миннесота)

5 (5) [4; 8]

<0,005

1,3 (от 0,7 до 1,9)

-161° (от

— 98° до -202°)

Гальберг (105]

(Миннесота)

8 (1) [3J

<0,001

2,1 (от 1,4 до 2,8)

-157° (от

-130° до —181°)

Доу [94]

(Нью-Йорк)

8(1) (4; 9]

<0,001

1,4 (от 0,9 до 1,9)

-117° (от

- 95° до -171°)

Кригер [111]

Франция

1 (21) [2-7]

0,11

1,2 (от 0,9 до 1,4)

-159° (от

-146° до -1-72°)

Рейнберг [105]

4(1) [4]

< 0,025

3,2 (от 1,4 до 4,9)

-151° (от

— 87° до -189°)

Рейнберг и др. [П2]

ФРГ

9(2) [3-15]

< 0,002

1,0 (от 0,5 до 1,5)

-149° (от

-125° до -215°)

Галгубер, Гофман

9(2) [3-15]

<0,02

1,6 (от 0,4 до 2,8)

— 156° (от

— 126° до —189°)

и др. [105]

Австрия с)

10(3) [1,5; 10]

<0,01

1,6 (от 0,8 до 2,3)

-158° (от

-132° до -177°)

Гюнтер и др. [108]

10(25) [1,5; 10]

<0,01

1,8 (от 1,2 до 2,4)

-155° (от

-139° до —174°)

10(25) [1,5; 10]

<0,01

1,5 (от 1,0 до 2,1)

-150° (от

— 137° до -174°)

10(25) 1,5; 10]

<0,01

1,5 (от 0,8 до 2,2)

-140° (от

-123° до -167°)

10(3) [1,5; 10]

<0,01

1,3 (от 0,6 до 1,9)

-150° (от

-117° до -187°)

Австралия

8(1)[~3]

<0,001

2,6 (от 1,6 до 3,3)

-123° (от

— 92° до —143°)

Гордон и др. [102]

а) Амплитуда выражена в м-экв/час.

Ы т=24 часа=360°; 1 час = 15°. Начало отсчета Ф — середина привычного промежутка сна.

с) В оригинале ошибочно указана Австралия. — Прим, перев.

Околосуточный ритм сердцебиения у человека (ударов/мин.) в выборках временных рядов из различных географических районов (ср. [105])

Число объектов (число дней) [ДЛ час.|

Отношение шума КHJ

сигналу (о’/С)

р обнаружение и ритма

Околосуточные

Автор(ы), № по списку литературы

амплитуда С

акрофаза Ф а^

(95%-ные дбв<

^рительны

ге границы)

Миннесота

1 (516) [~8]

0,088Ь)

6,6 (от 5,4 до 7,7)

—282°

(от -272° до -292°)

Гальберг [105]

5(5)[4; 8]

<0,01

8,5 (от 3,1 до 13,8)

-210°

(от -187° до -273°)

Гальберг [105]

Франция

1(21) [2-10]

| 0,113

|9,3 (от 7,2 до 11,4)

| —219°

(от —203° до —236°)

| Рейнберг [105]

Австрия

10 (25) [1,5; 10]

<0,01

2,7 (от 1,7 до 3,7)

—206°

(от —160° до —236°)

Гюнтер и др. [108]

10 (25) [1,5; 10]

<0,01

2,6 (от 1,1 до 4,1)

—228°

(от —198° до —263°)

10 (25) [1,5; 10]

<0,01

2,5 (от 0,7 до 4,3)

-225°

(от —195° до —291°)

10(3) [1,5; 10]

<0,05

3,9 (от 1,1 до 6,6)

-196°

(от -169° до -277°)

а) т=24 часа=360°; I час=15°. Начало отсчета Ф —середина привычного промежутка сна. Ы Десятичные знаки, показанные как подстрочные индексы, сомнительны.

—— о»

Околосуточный ритм оценивания времени (счет от 1 до 120) в выборках временных рядовиз различных географических районов (ср. [105])

Число объектов (число дней) [Д^, час.]

Отношение шума к сигналу и. (а"/С)

Р обнару- пи жение ритма

Околосуточные

Автор(ы), № по списку литературы

амплитуда С

акрофаза Ф а^

(95%-ные доверительные границы)

Миннесота

1 (516) [~8]

0,193ь)

2,7 (от 1,7 до 3,7)

—2° (от -341° до -24°)

Гальберг [105]

5 (5)[4; 8]

<0,001

5,2 (от 4,7 до 5,8)

—7° (от —344° до- —98°)

Гальберг [105]

Австрия

10 (25) (1,5; 10]

<0,01

3,6 (от 0,8 до 6,4)

— 18° (от —355° до —64°)

Гюнтер и др. [108]

10 (25) [1,5; 10]

<0,01

4,5 (от 1,7 до 7,2)

—34° (9т —19° до —42°)

10 (25) [1,5; 10]

<0,01

5,3 (от 2,7 до 7,9)

-20° (от — 14° до -72°)

а) т=24 часа=360°, 1 час=15°. Начало отсчета Ф — середина привычного промежутка сна.

Ь) Десятичные знаки, показанные как подстрочные индексы, сомнительны.

Околосуточный ритм выведения, 17-кетостероидов у здоровых взрослых

4 в различных географических районах а) (ср. [277])

Околосуточные

Место исследования

Число объектов (возрастной диапазон) [число дней]

амплитуда С

акрофаза Ф

Автор (ы), № по списку литературы

(95%-ные доверительные границы)

США (Миннесота) США (Миннесота)

Япония

Дания

США (Нью-Йорк)

Таиланд

США (Мэриленд)

США (Нью-Йорк)

а' С в мг/час; Ф ческое изменение око. гими параметрами хро

1 (37)[34]

4 (19-49) [10]

3 (28-33) [1]

1 (44)[1]

1 (52)[5]

11 (20-43) [10]

13 (19-23) [1]

7 (молод, взр.) [2]

11 (20-43)[10]

в градусах, 360°=24 ч посуточной акрофазы 1 нопатология этого заС

Мужчины

0,17 (от 0,13 до 0,20)

0,11 (от 0,01 до 0,22)

0,11 (от 0,01 до 0,22)

0,08 (от 0,05 до 0,11) 0,05 (от 0,02 до 0,07)

0,07 (от 0,04 до 0,11)

0,07 (от 0,04 до 0,09)

Женщины

0,04 (от 0,01 до 0,08)

0,07 (от 0,03 до 0,11)

гас. Начало отсчета Ф —середин 7-кетостероидов мочи у пациенте •олевания заслуживает тщательн

-99° (от -78° до -126°) -133° (от -355° до -171°)

-107° (от -354° до -7168°)

— 131° (от -110° до -152°) -124° (от -96° до -153°)

-124° (от —91° до -158°)

-108° (от -89° до -127°)

— 136° (от —123° до —181°)

—124° (от —88° до —158°)

а привычного промежутка сна. Заре >в в депрессии [277; ср. 113]; возмож ого изучения [274—276, 287—290].

Хаус и Гальберг [104]

Гальберг и Хаус [неопубл.]

Сакаи [113]

Гальберг и др. [1]

Вестергард и Леверетт [114]

Маротта и Линвонг [ПО]

Бартер и др. [ЮЗ]

Вестергард и Леверетт [114]

^гистрировано микроскопи- но, более широкая, с мно-

ю

о СП

Таблица X

Околосуточные ритмы у приматов (кроме человека), предположительно в условиях синхронизации с 24-часовым общественным (и/или световым) распорядком

Число объектов.

Вид а) Число дней [Д^. час.]

Физиологический параметр

Уровень Со С0±а'

Околосуточная амплитуда С (95%-ный доверительный интервал)

Отношение шума к сигналу (сг^/О или величинаР

Околосуточная акрофаза ф* или Ф**

(9^%-ная доверительная дуга)

Автор (ы), № по списку литературы

Составные части крови

7 Мт, 1 [3]

Полиморфные ядра (тыс./мм3) Лимфоциты (тыс./мм3)

Эозинофилы (шт./мм3) 17-гидрокси- кортикостероиды (мкг/100 мл)

10+1

6 + 0,5

374 + 29

35 + 2

3 (от 0 до 7)

2 (от 0,6 до 3)

205 (от 121 до 289)

16 (от 10 до 22)

0,687 Ь)

0,424

0,20g

0,168

—132°*

-301° *

-359° (от—338° до -22°)*

-85°(от —63°до—107°) *

Миджин И др. [116]

10 Мт, 1 [2; 4]

То же

48+3

69 (от 26 до 112)

Сердцебш

0,005

гние

—177° (от —173° до —181°) **

Мейсон и др. [117]

1 Cebus а1ЬЦ- rons, 1 [0,5]

I Сердцебиение

1 (удары/мин)

| 99+1

| 29 (от 25 до 33) | 0,073 Температура (°C)

| —156° (от -148° до -164°)

| Уингет и др. [118]

1 Cebus albif- rons, 1 [0,5]

1 Mm, 4 [0,25]

В глубине тела

37,7 + 0,04

1,9 (от 1,8 до 2,0)

0,043

—174° (от -169° до -179°) *

Уингет и др. [118]

В мозге

38,7+0,16

1,5 (от 1,4 до 1,6)

0,023

’—211° (от -208° до -213°) *

Штрёбель [119]

32 Mirus, 1 [6]

В прямой кишке

38,1+0,05

• 0,7 (от 0,6 до 0,9)

0,094

-226° (от -216° до —237°) *

Хонджо и др. [120]

2 Mm, 1 M cyanomolgus;

1 Papio hamad- ryas', 1 Cerco- pithecus pat as, 7(2]

Под мышками

38,0+0,04

0,8 (от 0,7 до 0,8)

0,001

—197° (от —183° до —211°) *

Симпсон и др. [121]

а) М=Масаса, m=mulatta. Начало отсчета ф — середина суточного промежутка темноты; начало отсчета Ф — местная полночь; 360°=24 часа, 15°= 1 час.

Ь) Десятичные знаки, показанные как подстрочные индексы, сомнительны.

Таблица XI

Околосуточные ритмы восприимчивости к потенциально вредным агентам а) .

Мыши Дилюта Брауна (В8) и Бэгга — Альбине (С)

Инбред- ная линия

Испытанный агент; дозировка; зарегистриро ванный показатель

Околосуточные

амплитуда С (% от средней)

акрофаза ср от середины промежутка света

Уабаин (строфантин G); 0,5 мг/0,2 см3/20 г веса брутто; % смертности

62 (57-67)

-315° (от -305° до -324°)

о8

Либриум; 5,4 мг/20 г веса брутто; время выживания

19 (6—24)

—220° (от —184° до —263°)

Белый шум; 104 дб; % с конвульсиями

67 (31-103)

-128° (от -98° до -159°)

Диметилбензантрацен; 0,05 .мл, 0,5%; % с опухолью

24 (13-35)

-56° (от -27° до -85°)

Уабаин (строфантин G); 0,15 мг/0,2 см3; % смертности

31 (26-36)

-283° (от -164° до -302°)

Этанол (этиловый спирт); . 0,8 см3, 25%; % смертности

41 (23-59)

-107° (от -80° до -134°)

Метопирапон;

325—400 мг/кг веса брут

то; % смертности Эндотоксин;

100 мкг/0,2 см3/20 г веса

брутто; % смертности

23 (11-35)

-105° (от -82° до -128°)

71 (47-95)

-37° (от -18° до -57°)

а) Животные содержались при цикле регулярного чередования света и темноты [свет — (Об00 — 1800); темнота —(18°°—0600)] [см. 122].

Таблица XII

Оценки околосуточных параметров переменных, на которые влияет кортикостероид

Физиологическая переменная

Околосуточная амплитуда С а)

Околосуточная акрофаза Ф

(95%-ные доверительные границы)

Полная двигательная активность

Метка в фосфолипидах печени

Температура в ободочной кишке

Понижение числа эозинофилов в крови

Понижение числа булавочных митозов

Гликоген печени

65 (от 23 до 107)

13 (от 9 до 17)

98 (от 62 до 134)

44 (от 26 до 62)

92 (от 89 до 111)

— 160° (от —123° до —198°)

-164° (от -146° до -182°)

-161° (от -125° до -196°)

-181° (от -160° до -202°)

-201° (от -179° до -223°)

—294° (от —288° до —300°)

а) С дано в. % от среднего, ф отсчитывается от середины промежутка света. Мыши содержались при цикле регулярного чередования света и темноты [свет — (Об00—18°°); темнота— (18и0—06°°)], выравненное т=24 часа=360°; 1 час = 15° (см. [65 и 123]).

Таблица XIII

Акрофазы 24-часового синхронизированного околосуточного надпочечного цикла и его нейросекреторных взаимодействий (мышь)

Физиологическая переменная

Околосуточная акрофаза (95%-ная доверительная дуга)

ф а) от середины света (т. е. 12°°)

' Ф от сывороточного кортикостерона ф

Сывороточный кортикостерон

Надпочечный кортикостерон

CRF гипоталамуса

Реактивность надпочечников к АКТГ (in vitro)

АКТГ гипофиза

-66° (от -42° до -89°)

-79° (от —47° до—112°)

-88° (от -11° до -147°)

-235° (от-210° до -258°)

-339° (от-319° до -359°)

— 169° (от —144° до —192°)

+87° (от +107° до +67°)

а) Свет (О6°о—18о°): темнота (1800—Об00); выравненное т=24 часа=360°; 1 час = 15 (см. [123—126], а также [127—128]).

ЧИСЛЕННЫЕ показатели ритмов-критерии,которые должны УДОВЛЕТВОРЯТЬСЯ,И ОПАСНОСТИ, КОТОРЫХ СЛЕДУЕТ ИЗБЕГАТЬ

Допустим, прежде всего, что по каждому из множества индивидуумов имеются в наличии наблюдения, охватывающие много циклов исследуемого ритма. Мы можем допустить, далее, что в таких рядах определенные физиологические ритмы показывают изменения от одного цикла к другому — изменения, которые не могут быть легко оценены путем просмотра данных, представленных на хронограмме, т. е. в виде функции времени. В таких представлениях данных на 24-часовой шкале можно не обнаружить никаких состоятельных маркеров ритма, подобных, например, Р, Q или Т электрокардиограммы. Поэтому воспроизводимые характеристики определенных типов волн в хронограмме могут быть описаны более содержательно показателями, полученными посредством гармонического анализа (простого и (или) обобщенного), дополненного методами математической статистики..

В принципе все кривые могут быть разложены в сумму гармоник с помощью гармонического анализа, и показания к применению этого метода поначалу кажутся универсальными. Практически, чем меньше точек имеется в данных о переменной и чем более несинусоидальна «форма» ритма, тем труднее описать этот ритм, аппроксимируя его малым числом гармоник. Более или менее синусоидальная форма становится существенным требованием для содержательного гармонического анализа, когда число точек

в данных настолько ограничено, что они могут быть выравнены даже по одному косинусу. В таких случаях опасность некритического выравнивания по избранной кривой действительно велика. Совершенно абсурдным примером этого является аппроксимация одного сердечного цикла в записи самопишущего электрокардиографа единственной гармоникой, что не дает ничего, кроме затуманивания информации о Р, QRS и Т, так легко и эффективно определяемой, когда первичная запись на шкале времени просматривается невооруженным глазом. Тем не менее, если помнить о таких довольно очевидных опасностях, то можно осуществить выравнивание данных по времени с помощью определенных гармонических функций, чтобы получить воспроизводимые показатели околосуточного или других ритмов. В процессе такого выравнивания можно избежать и других столь же распространенных и назойливых опасностей, возникающих от исключительно макроскопического рассмотрения хронограммы. В любом случае характеристики ритма — оцениваются ли они макроскопически или микроскопически— должны удовлетворять,нескольким требованиям.

Средняя длина т периода ритма и (или) его акрофаза ф должны быть определены объективно. В этом контексте объективность требует, чтобы:

метод, примененный для определения т или ф ритма индивидуума, был приложим на всем протяжении времени выборки, какова бы ни была его длительность Т, когда ТЧ^> т;

этот метод был приложим к временным рядам для любого из объектов, имеющихся в выборке;

если данная процедура применялась к тому же самому временному ряду‘различными исследователями, их выводы относительно т или ф были сходными или, предпочтительно, одинаковыми.

Показатели, отличные от т или ф, такие, как амплитуда С й уровень Со, около которого повторяются ритмические изменения, также должны быть объективно оценены, в согласии с требованиями 1 (а) и 1 (в).

Все показатели должны быть выражены в численном виде.

Характеристики статистического рассеяния должны отыскиваться для каждого показателя.

Даже при изучении одного индивидуума на протяжении некоторого времени приближенные значения доверительных пределов должны даваться вместе с численными значениями таких показателей ритма, как ф и С или т.

Работа, удовлетворяющая вышеприведенным четырем требованиям, должна привести к более полному и более надежному описанию биологических явлений, чем исследования, игнорирующие эти методологические пожелания. Далее, любое биологическое исследование, ставящее цель объяснить факторы, лежащие в основе данного физиологического изменения, будет особенно

*360

Время {дни после операции)

1 381318 23 2 8 3 3 38 4 34 8(1953)

ТТ-1пп1 Г-1 1 1 1 11~

0714^{Повторение ompima,февр. 1963)

-270

5

Ложная операция 1963 .

1953

'90

&1-360

5 £-270

двустороннее оптическое

вылудивание

19631953

^|-18° -

•38^ ^ 37Ц^ 36•38^ ^ 37Ц^ 36; Ложная операция; Ложная операцияДвустороннее оптическое вылуи^идание ।Двустороннее оптическое вылуи^идание ।3 5 10 15 20 25Май 19533 5 10 15 20 25Май 1953<§ ^ $о ^ 01<§ ^ $о ^ 01Время {дата)Время {дата)1 5 10 15 20 'Июнь1 5 10 15 20 'Июнь

•38

^ ^ 37

Ц^ 36

•38

^ ^ 37

Ц^ 36

; Ложная операция

; Ложная операция

Двустороннее оптическое вылуи^идание ।

Двустороннее оптическое вылуи^идание ।

3 5 10 15 20 25

Май 1953

3 5 10 15 20 25

Май 1953

<§ ^ $

о ^ 01

<§ ^ $

о ^ 01

Время {дата)

Время {дата)

1 5 10 15 20 '

Июнь

1 5 10 15 20 '

Июнь

Рис. 2. Дрейф фазы десинхронизированного околосуточного ритма температуры тела ослепленных взрослых мышей СВС в сравнении с околосуточным ритмом ложно оперированных контрольных мышей при 24-часовой синхронизации последнего.

Воспроизводимость околосуточной десинхронизации, следующей за ослеплением, в исследованиях на мышах СВС и С с десятилетним интервалом при различных методах выборки. Исследование на СВС в 1953 г. показано пустыми кружочками, соединенными непрерывными линиями. Заметьте, что результаты относительно Ф, полученные в 1963 г., находятся в пределах 95%-ного доверительного интервала, вычисленного для результатов относительно Ф, полученных десятилетием раньше. Доверительный интервал на графике назван доверительной дугой просто для того, чтобы указать конкретный метод его вычисления, а именно, построение косинора [42]. Заметьте также в нижней части графика, что средние уровни температуры тела (показаны только данные 1953 г.) примерно одинаковы как у ослепленных, так и у контрольных животных. Таким образом, ритмометрия обнаруживает ясное, количественно определимое и воспроизводимое изменение ритма после ослепления, тогда как более классическому исследованию уровней не удается обнаружить этот эффект. Во всех исследованиях ежедневный свет с Об00 до 1800 чередовался с темнотой.

полезным, если оно позволит делать надежные предсказания. Эта прагматическая точка зрения приводит нас еще к одному методологическому требованию.

Рис. 3. Временные соотношения околосуточных ритмов гликогена печени, сывороточного кортикостерона и температуры в прямой кишке у мышей С через 21 день после операции. «Переходная антифаза», макроскопически видимая из этого графика, была предсказана на основе микроскопических результатов, показанных на рис. 2.

Если только возможно, результаты анализа по любому методу должны быть проверены дополнительной выборкой, предназначенной для оценки правильности предсказанного временного поведения ритма.

Например, если т = 23,5 часа обнаружено для околосуточного ритма данной переменной у одного индивидуума или группы, тогда как т = 24 часа найдено для той же самой переменной у дру-

гого индивидуума йли группы, и если фазы ритмов у этих двух индивидуумов или групп также известны, то можно предсказать появление большой разницы во времени между максимумами этих двух ритмов в определенные дни. Наличие или отсутствие этой разницы можно легко и экономно проверить, взяв дополнительную выборку в нескольких надлежащим образом выбранных моментах времени на протяжении отдельных 24-часовых промежутков, как видно из рисунков 2 и 3 [29, 65, 66].

Конечно, сходные соображения применимы к различиям в околосуточных периодах двух или более переменных у одного и того же организма. Допустим, что одна переменная дает компоненту с т = 24,5 часа, тогда как другая переменная у того же самого организма сохраняет т = 24 часа. Соответственно можно ожидать больших отклонений от обычных фазовых соотношений околосуточных компонент этих двух переменных в определенные моменты времени. Далее, такие изменения внутренней синхронизации могут дать нежелательные или даже вредные эффекты в определенные моменты времени. Такая возможная повторяющаяся хронопатология может быть проверена в соответствующие моменты времени, т. е. когда наибольшее отклонение от обычной внутренней синхронизации можно предвидеть из самой ритмомет- рии, дающей два первоначально рассмотренных значения т. Строгие данные, подтверждающие этот ход мыслей, пока еще отсутствуют.

Условие 1(a), сформулированное выше, требует, чтобы не было «хороших» и «плохих» частей временного ряда, таких, что одни могут быть объяснены, а другие — нет. Ритмометрия должна быть применима даже к частям временного ряда настолько «шумным», что исследователи справедливо избегают делать выводы только из рассмотрения их хронограмм, — иначе «микроскопический» метод едва ли сможет доказать свою полезность в клинической или экспериментальной медицине или биологии. В трудных ситуациях нельзя ограничиваться советом пациенту, что поскольку его история болезни пока «недостаточно хороша», ему, по-видимому, следует вернуться когда-нибудь в другое время, когда его история болезни, возможно, будет поддаваться оценке. Этот status quo преобладает в ряде современных подходов к ритмам, что не только априорно ограничивает любое применение ритмометрии в медицине, но также обесценивает многие выводы в биологии.

Вводя условие 1(6), мы добивались того, чтобы результаты длительных групповых исследований были более репрезентативны для исследуемой популяции, так как от данных по всем индивидуумам, вошедшим в выборку, требовалось, чтобы они поддавались одинаковому анализу. Если это условие не выполняется, то снова может возникнуть нежелательная необходимость сообщать определенным пациентам, что данные о их состоянии не поддаются оценке ритма. Точно так же предпочтение, отдаваемое биологом «хорошим» животным перед «плохими» из установленной выборки, представляется одним из наиболее спорных подходов. В самом деле/ приходит на ум условие (а): чтб мешает «хорошему» экземпляру стать «плохим»?

Несмотря на самоочевидность и минимальность всех приведенных выше критериев объективности, им не всегда удовлетворяют некоторые методы, наиболее широко применяемые для исследования ритмов. Подходящий случай —это так называемые суточные карты поведения — представление, знакомое детским психологам, — где, например, промежутки сна и бодрствования представлены

черными и белыми площадками вдоль 24-часовой шкалы, а полосы, соответствующие последовательным дням, располагаются одна под другой. Тогда можно наблюдать, например, начало сна или бодрствования в последовательные дни и легко видеть, повторяются ли они в то же самое время суток или несколько раньше либо позже. Для этой цели (скорее, чем для объективной количественной оценки многочисленных показателей ритмов) такие карты часто вполне удовлетворительны. Многие биологи также в значительной мере (если не исключительно) полагаются на интерпретацию, даваемую аналогичным многополосным картам, представляющим собой 24-часовые записи двигательной активности, помещенные одна под другой в том порядке, в каком они получены. Исторически такие подходы дали наиболее интересную информацию, и можно рекомендовать их дальнейшее использование для целей ориентации. Однако не следует путать визуальное изучение таких карт с количественным исследованием ритмов статистическими методами, потому что при этом, возможно, не удастся удовлетворить даже минимальным критериям объективности (а), (б), (в), сформулированным выше, не говоря уже о том, что количественная информация об опре. деленных параметрах, таких, как уровень или амплитуда, почти безвозвратно теряется.,

Трудности, возникающие при интерпретации некоторых карт, можно проиллюстрировать на таком примере. Два старших клинических исследователя независимо комментировали в печати одну и ту же суточную карту поведения младенца, которого кормили по его собственной потребности1). В первоначальном отчете, где была представлена суточная карта поведения, -проблема ритмичности являлась побочным вопросом, о котором упоминалось мелким шрифтом. Первый автор отметил, что до развития синхронизации ритма с общественным 24-часовым циклическим распорядком сон и бодрствование у этого ребенка повторялись с периодом 23 часа. Другой автор, найдя графическую запись и воспроизведя ее, очевидно, не читал мелкий шрифт (по-видимому, потому, что он вообще не владел языком оригинального текста). Он сообщает на основании обозрения той же самой суточной карты поведения, что «период» ритма сна — бодрствования у этого ребенка первоначально был длиннее, чем 24 часа, а не короче.

Нельзя ничего получить, если «интерпретация» периода ритма может столь резко отличаться у разных исследователей. Скорее может быть причинен большой вред, если подобные процедуры будут по-прежнему исключительно (или почти исключительно) использоваться в исследованиях над людьми, направленных, в частности, на клинические приложения. Допустим, что два исследователя, упомянутых выше, пришли к своим расходящимся интерпретациям в (пока еще) гипотетической ситуации изучения изменения периода при заболевании в попытке исправить его, а не из заинтересованности физиологическими аспектами развития ребенка при кормлении по его собственной потребности, как это было на самом деле.

В нашей гипотетической ситуации один исследователь мог бы попытаться замедлить ритм, который он интерпретирует как патологически слишком быстрый. Другой, на основе тех же объективных данных, будет стремиться к ускорению ритма, интерпретируемого им как слишком медленный. Такие действия должны быть справедливо оспорены: хронобиология, как и только что оперившаяся хронопатология, могут быть только дискредитированы путаницей, которой можно бы и избежать (относительно приложимых методов см. нижнюю половину таблицы 2 в [39]).

СОПОСТАВЛЕНИЕ ОДИНОЧНОЙ ЧАСТОТЫСО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПОДХОДОМ

Ритмы можно исследовать на различных уровнях сложности, определяемых числом: (а) спектральных компонент с различными

9 Имеется в виду не только количество пищи, но и время кормления «по потребности»младенца. — Прим, перев.

частотами, (б) исследуемых физиологических параметров [58] и (в) внешних факторов.

Одночастотные подходы

Одна частота — один физиологический параметр — один внешний фактор. Обследования ритмов, как полевые, так и лабораторные, при изменении одного внешнего фактора имеются в изобилии, но они главным образом макроскопические, за исключением нескольких первых нетвердых шагов микроскопического характера по данным о человеке (таблицы IV—IX), других приматах (табл. X) и грызунах (таблицы XI—XIII).

Одна частота — один физиологический параметр — несколько внешних факторов. Этот подход, широко применяемый, постоянно использовался в ограниченных исследованиях данного ритма; так, можно сосредоточить внимание на околосуточном ритме, окологодичном или на любой другой частоте в данном временном ряде. Для оценки одного ритма при меняющихся внешних факторах можно проследить, например, синхронизацию ритма с общественным распорядком и его десинхронизацию от этого распорядка — как показано для случая околосуточного ритма на рисунках 2 [3, 66] и 4 [67] и для случая околонедельного ритма на рис. 5 [1]. . '

Одна частота — несколько физиологических параметров — один или несколько внешних факторов. Иллюстративным примером на этом уровне сложности является макроскопическая карта временных соотношений между околосуточными ритмами внутренней температуры тела, уровня кортикостерона в крови и уровня гликогена в печени — рис. 3 (ср. также соответствующее микроскопическое резюме в [65]). Среди множества других макроскопические околосуточные хронограммы имеются также для ритмов вспышек, люминесцентного свечения, клеточного деления и фотосинтетической способности у Gonyaulax poly edr а (ср. рис. 1 в [68]). Во многих случаях хронограмма не позволяет количественно определить ритм, как можно видеть из хронограмм околонедельных ритмов на рис. 5. Рисунок 6 [78—80] в свою очередь характеризует микроскопически фазовые соотношения двух околосуточных ритмов у (а) ослепленных мышей (т = 23,5 или 23,4 часа), а также у ложно оперированных контрольных мышей и (б) людей, помещенных порознь в пещеры, а также после их последующей ресинхронизации с общественным распорядком (ср. рис. 4 [67]).

Макроскопические фазовые соотношения околосуточных ритмов во время изоляции человека в бункере на промежутки времени по несколько недель рассматривались Ашофом и Уивером [69—77]. Ряды наблюдений, охватывающие 9 дней изоляции; были представлены в сообщении Шефера и др. [81, 82] с особым упоминанием о дыхательной подсистеме.

383338331^1^0,520,52§^§^20,000,4020,000,40§§5<? 839^5<? 839^ТемператураТемператураИИ17-0//й?17-0//й?ТЬОНСЗмочи.Vaa ед бремен и)ТЬОНСЗмочи.Vaa ед бремен и)Дж.ЛЛ 20.XL1964~12.IV.1965Дж.ЛЛ 20.XL1964~12.IV.19650,03*—А-1—u-и-360 ГемпеРат№°27018090О0,03*—А-1—u-и-360 ГемпеРат№°27018090О20.XI.1964г. ООчас.12.1У.1965г.00час.1сцш. 00 час.....20сут. ООчас.Г Периоду1 сот. 00 час.Начало отсчета Фаз 31.ХП.18У9г.00час.20.XI.1964г. ООчас.12.1У.1965г.00час.1сцш. 00 час.....20сут. ООчас.Г Периоду1 сот. 00 час.Начало отсчета Фаз 31.ХП.18У9г.00час.>Б>Бг<^^ Iг 17. XIIБез изоляции |г<^^ Iг 17. XIIБез изоляции |Ъ^ЛЪ^ЛVV11.11111.111ИзоляцияИзоляция| Без изоляции| Без изоляции

3833

3833

1^

1^

0,52

0,52

§^

§^

2

0,00

0,40

2

0,00

0,40

§

§

5<? 83

9^

5<? 83

9^

Температура

Температура

И

И

17-0//й?

17-0//й?

ТЬОНСЗмочи.

Vaa ед бремен и)

ТЬОНСЗмочи.

Vaa ед бремен и)

Дж.ЛЛ 20.XL1964~12.IV.1965

Дж.ЛЛ 20.XL1964~12.IV.1965

0,03*—А-1—u-и-

360 ГемпеРат№°

270

180

90

О

0,03*—А-1—u-и-

360 ГемпеРат№°

270

180

90

О

20.XI.1964г. ООчас.

12.1У.1965г.00час.

1сцш. 00 час.

....20сут. ООчас.

Г Периоду1 сот. 00 час.

Начало отсчета Фаз 31.ХП.18У9г.00час.

20.XI.1964г. ООчас.

12.1У.1965г.00час.

1сцш. 00 час.

....20сут. ООчас.

Г Периоду1 сот. 00 час.

Начало отсчета Фаз 31.ХП.18У9г.00час.

>Б

>Б

г<^^ I

г 17. XII

Без изоляции |

г<^^ I

г 17. XII

Без изоляции |

Ъ^Л

Ъ^Л

V

V

11.111

11.111

Изоляция

Изоляция

| Без изоляции

| Без изоляции

Рис. 4. Выявление околосуточных ритмов в неодинаково расположенных «шумных» данных о температуре в прямой кишке и выделении 17-гидроксикортикосте- роидов мочи у здоровой женщины а) во время изоляции в пещере около трех месяцев и б) во время синхронизации с 24-часовым общественным распорядком еще за месяц. А. Усеченные хронограммы для макроскопического просмотра; Б. Пер- грессивные амплитуда и акрофаза для предварительной микроскопической оценки показанных выше двух рядов. ■

Усеченная хронограмма этих временных рядов показана сверху. (Для усечения значения, выходящие за пределы среднего ±3 среднеквадратичных отклоне- йййг повторно приравнивались ближайшему из этих пределов до тех пор, пока результаты этой итеративной процедуры не переставали приводить к изменениям в среднем и среднеквадратичном отклонении в пределах четырех значащих цифр. «Усеченные» таким образом крайние значения указаны точками над соответствующими хронограммами).

Макроскопический просмотр этих диаграмм едва ли что-нибудь даст. Долгопериодические изменения с некоторой регулярностью, соответствующие, по-види- мому, менструальному циклу [79], очевидны (особенно для температуры в прямой кишке). В записи видны также изменения с более короткими периодами, но попытки определить точное значение периода околосуточного ритма или обсуждать фазовые соотношения околосуточных компонент в двух временных рядах на основании одного лишь просмотра диаграмм представляются совершенно неоправданными.

Напротив, представление акрофазы в нижнем ряду, являющееся частью микроскопического подхода, указывает, что: 1) ритмы обеих функций изменили свой период во время изоляции, но затем ресинхронизировались с 24-часовым цикли-

Когда результаты различных исследований, каждое из которых ограничивалось лишь одним ритмом, рассматриваются в совокупности, они обнаруживают широкий спектр физиологических ритмов, простирающийся от миллисекундных периодов до периодов, измеряемых годами. Такой спектр ритмов (с различными частотами) для ряда различных параметров был представлен и описан Голенгофеном и Гильдебрандтом [83, 84] и Ашофом [85, ср. 88—90]. Их абстрактный спектр вместе с ссылкой на более позднюю работу Пая и Чанса [86] представлен в верхней части рис. 7. Ашоф подчеркивает два теоретических положения: 1) что широкий спектр ритмов составляет единое физиологическое целое и 2) что подобно ритмам с частотами, намного более высокими, чем один цикл в сутки, околосуточные ритмы или ритмы с более низкими частотами также имеют эндогенные черты. Еще два важных шага ведут к абстрактной схеме, показанной в нижней части рис. 7, и. они уже были подтверждены [1] конкретной спектральной работой, включающей совместную оценку нескольких ритмов (с различными частотами) в одних и тех же временных рядах. Один шаг — концептуальный, выведенный из конкретной работы, а именно что различные участки спектра могут характеризовать не только один и тот же физиологический временной ряд, но даже один и тот же параметр. Вторым шагом была фактическая совместная объективная оценка нескольких спектральных' компонент как показателей, удовлетворяющих критериям 1—5 на стр. 209—212 (ср., например, рис. 8) [1].

Многочастотные подходы

Несколько частот —один физиологический параметр — один внешний фактор. Спектр рассеяния был использован для

ческим распорядком; 2) акрофаза температуры в прямой кишке отставала от акро- фазы выведения 17-гидр оксикортикостероидов во время изоляции-и последующей ресинхронизации; 3) ресинхронизация температуры тела оказалась заметно более быстрой, чем ресинхронизация выведения 17-гидроксикортикостероидов. Последний вывод может быть отнесен, по крайней мере частично, за счет того обстоятельства, что в день выхода из пещеры акрофаза Ф температуры в црямой кишке была ближе к ее обычному положению во времени относительно синхронизатора, чем Ф для 17-OHCS.

Из диаграммы пергрессивной амплитуды (третий ряд сверху) можно видеть, что амплитуда, особенно у ритма выведения 17-OHCS во время изоляции, не показывает никаких признаков затухания, как можно было бы ожидать от явления условного рефлекса. Если и было различие между амплитудами в конце изоляции и после ресинхронизации, то эта мера изменения околосуточной периодичности в выведении 17-OHCS указывает на более четко выраженный ритм в конце изоляции, чем после ресинхронизации.

Присоединение к каждой оценке С и Ф доверительных пределов приближает такое предварительное вычисление значений к окончательному. Эти пределы сейчас могут быть автоматически вычерчены с помощью стандартных методов быстродействующими выходными устройствами электронных вычислительных машин.

Объем мочиОбъем мочи1849,2911849,291SS'£'££I£I362,15-f— m.\.^1-362,15-f— m.\.^1-ov»-**6’"ov»-**6’"-^А^-^А^0V'-'9%*10V'-'9%*1Cd. ‘nm. ~4m. Cp.Cd. ‘nm. ~4m. Cp.§?^177а/. Л.^оД=^АЬь<Х§?^177а/. Л.^оД=^АЬь<ХW.'.«51VW.'.«51VT\\a..-«^>z^*J\., ^-У\ оа.ь'9561"т.^9б0г"T\\a..-«^>z^*J\., ^-У\ оа.ь'9561"т.^9б0г"„ Число ^выборок 53 |эооо: 1 6000:1■е зооо:S.^5 Of”„ Число ^выборок 53 |эооо: 1 6000:1■е зооо:S.^5 Of”График приема мужского полового гормона 306325349333232113'ЗЮ '*274 '1338'Г344 '*262 **234 *■Я активноГрафик приема мужского полового гормона 306325349333232113'ЗЮ '*274 '1338'Г344 '*262 **234 *■Я активноО'Л.'»6”О'Л.'»6”_ 4101 1?444 I_ 4101 1?444 I1.1.1960 г.1.1.1960 г.1.1.1948 г.1.1.1948 г.1.1.1952 г.1.1.1952 г.1.1.1956 г.1.1.1956 г.1.1.1964 г,1.1.1964 г,Возрастаете 45 46 47 48 49 SO 51 52 53 5 4 55 56 57 5 8 59Возрастаете 45 46 47 48 49 SO 51 52 53 5 4 55 56 57 5 8 59

Объем мочи

Объем мочи

1849,291

1849,291

S

S

'£

'£

£

I

£

I

362,15-f— m.\.^1-

362,15-f— m.\.^1-

ov»-**6’"

ov»-**6’"

-^А^

-^А^

0V'-'9%*1

0V'-'9%*1

Cd. ‘nm. ~4m. Cp.

Cd. ‘nm. ~4m. Cp.

§?^177а/. Л.

^оД=^АЬь<Х

§?^177а/. Л.

^оД=^АЬь<Х

W.'.«51V

W.'.«51V

T\\a..-«^>z^*J\., ^-У\ оа.ь'9561"т.^9б0г"

T\\a..-«^>z^*J\., ^-У\ оа.ь'9561"т.^9б0г"

„ Число ^выборок 53 |эооо: 1 6000:

1■

е зооо:

S.^

5 Of”

„ Число ^выборок 53 |эооо: 1 6000:

1■

е зооо:

S.^

5 Of”

График приема мужского полового гормона 306325349333232113

'ЗЮ '*274 '1338'Г344 '*262 **234 *

■Я активно

График приема мужского полового гормона 306325349333232113

'ЗЮ '*274 '1338'Г344 '*262 **234 *

■Я активно

О'Л.'»6”

О'Л.'»6”

_ 4101 1?444 I

_ 4101 1?444 I

1.1.1960 г.

1.1.1960 г.

1.1.1948 г.

1.1.1948 г.

1.1.1952 г.

1.1.1952 г.

1.1.1956 г.

1.1.1956 г.

1.1.1964 г,

1.1.1964 г,

Возрастаете 45 46 47 48 49 SO 51 52 53 5 4 55 56 57 5 8 59

Возрастаете 45 46 47 48 49 SO 51 52 53 5 4 55 56 57 5 8 59

Рис. 5. Хронограмма выведения 17-кетостероидов мочой человека (в верхнем ряду) и диаграммы пергрессивной акрофазы (Ф), вычисленные с полугодовыми интервалами (второй ряд) и с годичными интервалами (третий ряд). Заметные количества андрогена повторно принимались объектом в момент времени «А» и после «В» в течение последних трех лет исследования, но до момента «А» андроген не принимался совсем [1]. Обратите внимание на десинхронизацию околоне- дельных ритмов 17-КС после момента «В» на диаграммах пергрессивной акрофазы — явление, не обнаруженное для объема мочи в предпоследнем ряду. Дата без указания времени соответствует моменту 00 ч. 00 мин. 00 сек.

Рис. 6. Внутренний счет времени в ритмах температуры в прямой кишке и функции коры надпочечников в синхронизированных и десинхронизированных циркадных системах.

Адренокортикальная акрофаза, измеренная по 17-OHCS мочи у людей [67] или по сывороточному кортикостерону у инбредных мышей С [65], опережает акрофазу внутренней температуры тела приблизительно на V4 околосуточного периода. Внутренний счет времени в этих случаях аналогичен у мышей и у человека: ф сравнимы, когда околосуточные периоды имеют среднюю длину 24 часа у мышей и у людей, подверженных воздействию 24-часового циклического синхронизатора, и после ослепления мыши [65, 66] или в условиях изоляции человека в пещере [67, 78—80], когда ритмы десинхронизированы от. 24-часовых суток.

Рис. 7. Изменение концепций спектра ритмов [39, 52] от явных временных параметров и макроскопически различимых участков частот различных физиологических систем до микроскопически определенных ритмов в одной системе или даже у одного параметра:

определенные микроскопически, за исключением показанных залитыми прямоугольниками;

с широкой полосой частот;

‘ 3) с узкой полосой частот*

• 10"10 ТО"9 ТО"8 ТО"7 ТО"6 ТО"5 ТО"4 ТО"3 ТО"2 10"т 10° ТО1 то2 то3,, ,,„„

Длительность Менструация Сон/бодрствобаниеДыхание Пульс(геоиХ

(жизни■1 „Макроскопическая" временная I |х

■| структура {характеристики,■■

1I очевидные без приборовЛ■I

S3

0 I

0

Участки частот различных физиологических систем, найденные из временных рядов, собранных классическими методами шлих по Ашофу и Гильдебрандту g с учетом Пая и Нанса

•Популяция

•Организм

-Цикл овуляции

■Активность, железы

•Энзимы

-Кровообращение

-Дыхание, пульс

Qi

Ритмы^с различными частотами 6 одной системе-нервная система

^ГЖЖЖ^ -Нервная система

-Конвульсивное расстройство {человек} X

(Слухогенная конвульсия {мыи/ь} {Чувствительность к боли {человек} "Нервные узлы {Aplysia}

-ЭЭГ {человек}

-Спонтанные движения, х глазного яблока {человек}

^ нейроны {лягушка}

<ъо

Спектральные компоненты.

досуточная^- околосуточная^——

околоЗВухЗекаЭноя околонедельная околомесячная окологодичная

Длина

периода ^'д лет

17-ХС мочи

ю11

лет гои месяц'неделя\день 'л часминута

„Микроскопическая и временная структура одного параметра {количественные аспекты} напр., ритмы стероидов (амплитуды пропорциональны ^। амплитуде околосуточной компоненты^

ф

* о

I \ Выделение А1-0НС8 । \из коры надпочечников

1 ,секунда -

1

миллисекунда

5 с: о

Область низких

—Д1—I—I

Мс^т.28 24 20 wc.

Участок Участок сверхсцточных около - ритмовситочных

гритмов

Участокдосуточныхритмов

Об/гасть средних частот

0,5 часа

Область высоких

о о

X

5

совместного получения нескольких ритмов с различными частотами— от околосуточного до окологодичного — температуры в прямой кишке, измерявшейся у индивидуумов, синхронизированных с институционным распорядком 9 [49, 50, 53, 87].

Несколько частот — один физиологический параметр — несколько внешних факторов. Спектры наименьших квадратов, как и спектры рассеяния, продемонстрировали совместно околосуточную и околомесячную (менструальную) [29, 53, 79] компоненты внутренней температуры тела здоровой женщины, подверженной 24-часовому циклу социальной синхронизации. Изменения в длине этих • двух спектральных компонент были зарегистрированы у женщины в отсутствие общественной синхронизации — сокращение менструальной компоненты, в то время как околосуточная компонента удлинилась в течение трехмесячной изоляции в пещере с низкой интенсивностью освещения «по потребности» [79]. '

Сверхсуточные спектральные компоненты были зарегистрированы при заболевании и представляют особый хронопатологический интерес, когда их «яркость» в спектре связана с заметным уменьшением «яркости» околосуточных ритмов [49].

Для выведения 17-кетостероидов мочой человека околосуточный, околонедельный, околодвухдекадный (около 20 дней), около- месячный и окологодичный ритмы были совместно продемонстрированы в течение промежутков времени с применением и без применения андрогена (рис. 5 и 8) [1].

Несколько частот — несколько физиологических параметров— один или несколько внешних факторов. Спектральные компоненты с несколькими различными частотами были также оценены в объеме мочи здорового мужчины, чьи ритмы выведения 17-кетостероидов приведены на рисунках 5 и 8 [1]. Это исследование охватило полтора деятилетия, поэтому окологодичные ритмы этого объекта и компоненты с более высокими частотами могли быть исследованы совместно. Окологодичный ритм выведения 17-кетостероидов был ярко выражен, но очевидно не синхронизирован с календарным годом, тогда как окологодичный ритм объема мочи был ясно синхронизирован с годом. Когда в таком случае окологодичных ритмов анализ предполагает появление различных ярко выраженных периодов на данном участке спектра для каждого из двух параметров, то сравнение фазовых соотношений между этими параметрами при слабо различающихся частотах бессодержательно. Тот же самый вывод сохраняет силу в течение последних трех лет этого исследования [1], когда не точно семидневная (6,93 суток) околонедельная 17-КС компонента отличалась статистически значимо от семидневно синхронизированной околонедель-

!) Имеется в виду распорядок в клинике или другом подобном учреждении. — Прим, перее.,

Рис. 8. Оценки периодов, амплитуды и среднеквадратичного отклонения в четырех областях, проанализированных методом окон в спектрах наименьших квадратов выведения 17-кетостероидов у человека за 16 календарных лет.

~ Воспроизводимость от одного массива данных к другому определенных ритмов с относительно низкой частотой в выведении 17-кетостероидов мочой здорового мужчины. Стрела, изображенная жирной линией, показывает определенные сравнимые оценки для намного более ярко выраженного околосуточного ритма выведения 17-кетостероидов мочой [1]. Такие компоненты могут способствовать ритмичности определенных заболеваний [25—26, 115, 176—187, 287—290], которые, как полагают, являются более или менее циклическими. Помимо медицинских проблем, окологодичная компонента продолжает привлекать особый интерес специалистов по физиологии птиц [85, 188—203], наряду с другими [325, 330].

ной компоненты объема мочи у того же объекта. Однако первые 10 лет того же самого исследования [1] резко выраженные частоты этих двух физиологических параметров были одинаковыми; сравне-

Рис. 9. Косиноры околонедельных ритмов выведения 17-кетостероидов и объема мочи здорового мужчины. Ритмы обеих переменных синхронизированы с семидневным общественным распорядком в течение всего рассматриваемого промежутка времени (объем мочи) или большей его части (17-кетостероиды): ср. рис. 5 [1].

ние их фазовых соотношений становится тогда интересным и обнаруживает разность фаз, показанную на рис. 9.

Исследователь окологодичных ритмов может зарегистрировать не более 60—70 циклов одного объекта в течение жизни. Для того же самого числа циклов исследователю околосуточных ритмов потребуется «только» 2 месяца или около того. Исследователи высокочастотных ритмов, конечно, получают очень большое число циклов за часть промежутка времени, охватываемого единственным окологодичным или даже околосуточным циклом. По этой причине, вероятно, совместное исследование нескольких частот и нескольких параметров продолжает применяться главным образом в высокочастотной области ритмов (ср. [279—283] относительно исследований взаимодействий между ритмами функции ЦНС и дыхания), где, конечно, требования к общей длительности исследования более скромны. Этот многочастотный подход уже может быть распространен, чтобы охватить совместно области высокой и средней частоты — таким путем были , количественно определены околосуточные компрценты электрокардиограммы человека. - -

ЧЕЛОВЕЧЕСКИЕ РИТМЫ В УСЛОВИЯХ ПОЕЗДКИЧЕРЕЗ БОЛЬШОЕ ЧИСЛО ЧАСОВЫХ ПОЯСОВИ НЕОБЫЧНОЙ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ; СДВИГИ И ДРЕЙФЫ ФАЗ

Эта область проблем, особенно проблем адаптации после путешествия, охватывает большое число смежных, но различных тем.

Во-первых, сравнительно рано несколько авторов сообщили о ритмах во время морского путешествия [129—131].

Во-вторых, весьма многочисленны физиологические наблюдения, или скорее впечатления, от полетов через большое число часовых поясов [132—152]. Какие-либо эффекты сравнительно близких полетов, при которых пересекается не более одного-двух часовых поясов, хотя и относятся к этому же вопросу, явно игнорируются как предмет исследования. Продолжается обсуждение вопросов, касающихся адаптации к новому графику жизни после полета [333, 334]; уделяется также внимание ритмам и физиологическим функциям во время полета [148]. При подготовке к путешествию через часовые пояса рекомендуется предварительная адаптация к новому распорядку жизни, ожидаемому по прибытии [140—142].

В-третьих, имеются многочисленные отчеты о фазовых сдвигах ритмов при фиксированном географическом положении, вызываемых манипулированием циклами внешней среды, такими, как световой режим и (или) ежедневный распорядок деятельности и отдыха [153—160, 271—272; ср. 19]. Питтендрай предположил ранее, что для многих видов животных [164] адаптация околосуточного ритма к измененному расписанию синхронизатора происходит быстрее после отставания синхронизатора, чем после его ухода вперед. Однако у зябликов, содержавшихся при 12-часовом свете (250 люкс), чередующемся с 12-часовой темнотой (0,5 люкс), Ашоф и Уивер [165] обнаружили более быструю адаптацию, когда продолжительность отдельных промежутков света или темноты сокращалась на 6 час., чем при их удлинении на такую же величину. Из макроскопического исследования хронограмм они заключили, что ресинхронизация, следовавшая за удлинением на 6 час. промежутка либо света, либо темноты, продолжалась от четырех до пяти дней, тогда как для ресинхронизации после ускорения ритма на 90° требовалась лишь половина этого времени (рис. 10). Противоположное поведение было обнаружено у крыс [40, 166], рис. 11, а также у человека [40, 167], рис. 12, и даже у обезьян [168] — из микроскопического анализа данных в классическом исследовании Симпсона и Гелбрейта [121]. Эта проблема заслуживает дальнейшего тщательного изучения при управляемых условиях. Особое внимание должно быть уделено индивидуальным различиям в разных аспектах адаптации околосуточного ритма, следующей за изменениями синхронизатора или соблюдением необычного распорядка. Такие исследования относятся к гигиене

труда — даже к функционированию здоровых объектов при необычном распорядке, — вне связи с адаптацией после полетов через часовые пояса. Так как в результате таких полетов возникает сдвиг синхронизатора вместе с географическим перемещением, то следует управлять каждым из этих двух факторов, предпочтительно на различных группах или объектах, изучаемых совместно.

ГТ I нм итп111 I I О 4896144 192 часы

' Время-

Рис. 10. Сдвиги фаз ритма активности (Афдг) У Fringllla coelebs L. (из Ашофа и Уивера, 1963), следовавшие за различными видами манипулирования световым режимом (Афе).-

Адаптация ритма у зябликов после изменения синхронизирующего режима чередующихся света (250 люкс) и темноты (0,5 люкс). Макроскопическая интерпретация данных: адаптация происходит быстрее после ускорения синхронизатора, чем после его отставания [165].

Продолжается также исследование ритмов в необычных внешних средах, таких, как Арктика [161—162], пещеры [29, 67, 78—80, 163, 171—173, ср. 28] или космическое пространство [170]. Остается открытым вопрос, имеется ли при необычном распорядке работы изменение ритма и затухание функционирования. Хоумквест, Ретьен и Липском [169] изучали самцов крыс, живших в режиме чередования случайных промежутков света и темноты на протяжении 40 дней. Были зарегистрированы вес тела, вес эндокринных

0000 •

-360

I*

1800-

§

§

12°а

О о

Од

I * 06ю-

-90

От CH(20)[1800-O600]:r[o600-1800]

К Сн(20)[0О0О-1-20О):Г[12ю-00м] через

один 18-часовой промежуток света

06м -I -90

^±1,96 ст-368е ±6*

00°° -1-360

Y

Число крыс =8

^272*

--1200-

Резкий сдвиг синхронизатора

Промежуток- дфр

*ДФ$

^б"о

-180-

Постепенный сдвиг ритма

1 относительно короткий А

Гринвичское время {приведенное здесь} - -6 час. ^ местное время

4*

Число крыс = 8

-278е

От Сн(20)[06ю-18м]:г[18ю—06ю]

Сц(20)[00Ю—12Ю]:Г[12Ю—00ю]

через оЗин 6-часовой промежуток света

•Л

- -18°®- -270 - - *

о—'та^ибверительныйПромежуток +Дфд

у' интервал [из косинора} относительно длинный

OgOD J -9Q Л_!1111I I

Время {дата}

Рис. 11. Сдвиги фаз 24-часового синхронизированного околосуточного ритма внутрибрюшной температуры самок крыс MSD вследствие отставания светового режима на 90° (слева) и вследствие ускорения светового режима на 90° (справа).

Адаптация ритма у инбредных самок миннесотских крыс Спрага — Доули происходит быстрее после отставания синхронизирующего светового режима, чем после его ускорения [40, 166].

Обозначения: Фк — акрофаза = максимальная фаза ритма; Афе — изменение фазы синхронизатора, где синхронизатор — 12С . 12Т; АФд — изменение фазы ритмам Сн (20) — яркий свет накаливания, ~20 лк. Интервал для анализа =j = 1 сутки.

Вост. -ЗапЗап. -Вост.

Время^ЯПд

Мин,. ^о, США

■.Япония-

Центральное стандартное время}

Гоадцсы I Часы |06°° ^Интервал для анализа = 5 днейД

s

-Миннесота,

„Ожидаемое' послеполетное

5?

х о о

среднее

Фя=-377" ]

-360

-270

Предполетное ) -

среднее I - / фя± 1,960= к---' = -24243“ I

-180

2400

-Дф =135°= 9 часоб

1800

-- + --I

1200

дф, Вследствие ' одного 26-часового промежутка бодрствования\ (^

Дф- вследствие одного 29-часового промежутка бодрствования

США —4Японское'времяЧасы

21оо_

^Доверительная \дуга Цз косинора} ) а =0,95, если не оговорено иное

15оо_

*^s

0900-

в00-

-90-90

-90

-90

Промежуток-^R Промежуток+М^относительно относительнокороткий длинный

г к

.^ »•-0- ^ <■•

удалой'}удалой'}Время

удалой'}

удалой'}

Рис. 12. Сдвиг фаз околосуточного ритма температур во рту у пяти здоровых взрослых белых мужчин.

Адаптация ритма после полета с востока на запад, влекущего за собой отставание общественного синхронизатора, ifb-видимому, происходит быстрее, чем после полета с запада на восток, влекущего ускорение синхронизатора — несмотря на то обстоятельство, что ускорение ритма связано с возвращением к привычному домашнему распорядку [40, 167].

Обозначения: Фн— акрофаза = максимальная фаза ритма; Ms — изменение фазы синхронизатора, где синхронизатор — 24-часовой социальный распорядок; ' д^^ — изменение фазы ритма.

органов, функция надпочечников и общая двигательная функция. По сравнению с контрольными животными, содержавшимися в регулярном световом режиме, групповые ритмы двигательной активности и уровня стероида надпочечников явно изменились, но никаких воздействий случайного режима на здоровье животных не было замечено.

Ни о каких вредных воздействиях не сообщают Холмгрен и Свенссон [335], которые подвергали крыс повторным инверсиям 24-часового режима света и темноты с интервалом 4 суток на протяжении 16 недель (ср. [19, 284]).

Кортикостероиды плазмы у объектов с необычными расписаниями были макроскопически изучены Ортом, Айлендом и Лиддлом [204]. Обсуждая свои результаты, они указывают, что «одиночный день (с измененным расписанием) не нарушает 17-OHCS1) (ритм) за этот день», а также, что -«несколько'индивидуумов при 19- и 33-часовом расписаниях сна и бодрствования показывали два 17-OHCS (цикла) за один цикл сна и бодрствования» [204], однако они заключают, что гипофизно-надпочечный цикл является функцией продолжительности цикла сна и бодрствования объекта. Этот вывод должен быть снабжен оговорками, так как ярко выраженный ритм выведения мочой 17-OHCS и ритмы некоторых других параметров у людей, изолированных в пещере на протяжении 3—4 месяцев^ продолжают показывать околосуточную частоту, десинхронизированную от 24часового местного времени, даже несмотря на то что спектры данных о сне и бодрствовании у тех же объектов показывают частоты ниже, чем один цикл за 28 час. [29, 67, 78—80]. Кроме того, микроскопические исследования [206] выявляют ярко выраженные околосуточные компоненты с периодом, близким к 24 часам, преобладающие в выведении мочой кортикостероида у объектов, живущих при 21-часовом дне в Арктике [161]. .

Такие исследования тем более должны быть интересны, что придется определить, до какой степени следует изменить 24-часовой общественный распорядок в искусственной внешней среде определенных городов будущего, уже находящихся сейчас на столах проектировщиков, например, в космических кораблях и в подводной Среде. В нескольких таких средах изменения распорядка могут быть организационно желательными, однако они должны быть также физиологически приемлемыми; следует удостовериться, не может ли длительная жизнь при распорядке с периодом, отличным от 24 часов, привести к вредным последствиям в функционировании или здоровье, особенно к недостатку сопротивления потенциально вредным воздействиям. Было также высказано предположение, что определенные сопутствующие сдвигу фаз острые явления, такие, как бессоница, могли бы быть предотвращены, если бы

9 «OHCS» означает «гидроксикортикостероид». — Прим, перев.

сменные рабочие приняли 25-часовые сутки — с продлением в этом случае суточного промежутка работы до 8 час. 20 мин. вместо 8 час., а промежутка отдыха соответственно до 16 час. 40 мин. С помощью

Межгрупповое Ат = 0,51 час ± 0,035

6655^3^31100^23,49±0,033-- (119 сек)^23,49±0,033-- (119 сек)среднее ± 1 о —*• Х= 23,994± 0,014среднее ± 1 о —*• Х= 23,994± 0,014Двустороннееоптическое вылущиваниеДвустороннееоптическое вылущиваниеМода-2Мода-2Медиана^СреднееМедиана^СреднееkSOce^Ложная операцияМода Медиана СреднееkSOce^Ложная операцияМода Медиана Среднее/I • ■ ! । «< I, . I.. J 1 1 1 1 1^22223,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 23,8 23,9 24,0/I • ■ ! । «< I, . I.. J 1 1 1 1 1^22223,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 23,8 23,9 24,0т ^период в чдсах^т ^период в чдсах^24,124,1

6

6

5

5

^3

^3

1

1

0

0

^23,49±0,033-- (119 сек)

^23,49±0,033-- (119 сек)

среднее ± 1 о —*• Х= 23,994± 0,014

среднее ± 1 о —*• Х= 23,994± 0,014

Двустороннееоптическое вылущивание

Двустороннееоптическое вылущивание

Мода-2

Мода-2

Медиана

^Среднее

Медиана

^Среднее

kSOce^

Ложная операция

Мода Медиана Среднее

kSOce^

Ложная операция

Мода Медиана Среднее

/I • ■ ! । «< I, . I.. J 1 1 1 1 1^222

23,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 23,8 23,9 24,0

/I • ■ ! । «< I, . I.. J 1 1 1 1 1^222

23,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 23,8 23,9 24,0

т ^период в чдсах^

т ^период в чдсах^

24,1

24,1

Рис. 13. Околосуточный период температуры в прямой кишке у 14 ослепленных и 18 ложно оперированных мышей СВС (серия 1953 г.), определенный с помощью спектра наименьших квадратов. Околосуточная синхронизация требует объективного установления дисперсии периода < ±0,1 часа. Ложно оперированные контрольные животные показывают 24-часовой синхронизированный околосуточный ритм. Период ослепленных мышей отклоняется от длины в 24 ±0,1 часа — no- видимому, мы имеем дело со свободным околосуточным ритмом, десинхронизированным от 24-часовых «солнечных» и 24,8-часовых «лунных» суток. Во многих случаях такое тонкое решение a priori неосуществимо, в частности, из-за недостаточной длины имеющихся временных рядов. (Резюме данных, измерявшихся каждые 4 часа у мышей, содержавшихся при свете с Об00 до 1800, чередующемся с темнотой, первоначально описанных на 4-й конференции Международного общества по исследованию биологических ритмов в Базеле, Швейцария, 18—19 сентября 1953 г. Пергрессивный анализ см. на рис. 2. Затухание амплитуды примерно на 31% у ослепленных мышей обнаружено при наблюдениях в течение 48 суток в мае — июне 1963 г. [14].)

такой системы Эренке, исследовавший проблемы сменной работы вместе с Килбергом [205], хотел достичь расписания, в котором для данного индивидуума работа начиналась бы на 1 час позже каждые календарные сутки. Таким образом дневная работа лишь постепенно (а не резко) переходила бы в ночную и обратно, с завершением полного цикла в 25 суток. Реализация ритмов предста-

вляет также очевидный интерес для тех, кто связан с глобальными перемещениями персонала при различных распорядках [337, 338].

РИТМЫ У ПОДОПЫТНЫХ ОРГАНИЗМОВ •

Модели ритмов с различными частотами продолжают вызывать интерес [219—246] отчасти как продолжение работы над более старыми моделями [247—252]. Значительное число этих работ, но ни в коем случае не все, по крайней мере ссылаются на биологические данные, а в нескольких случаях реально формируется модель в форме колебательного контура [219] или осциллятора [220] со ссылкой на биологические данные. Другой аспект — это чисто математические и статистические статьи [245]. Уингет и др., кроме выполнения ряда исследований о температуре внутри тела и темпе сердцебиения среди других ритмов у приматов (кроме человека) и цыплят [118, 253—255], посвятили себя также важной задаче оценки волновой формы ритма «микроскопическими» процедурами.

Штрёбель применяет спектры рассеяния к исследованию околосуточных ритмов в параметрах поведения подопытных животных. Он изучает характеристики обусловленных эмоциональных реакций как функции фазы околосуточной системы [119] и исследует темп обучения крыс в различных' фазах околосуточной системы, отстаивая подход к психиатрическим проблемам с точки зрения управляемого биологического ритма [256]. Управляемые исследования ритмов и поведения, представленные Рэнделлом [257—258], также выделяются благодаря примененному экспериментальному подходу. В противоположность другим авторам, публикующим о «часах» после экспериментальных манипуляций, Рэнделл и Литтшвагер [257] включают в свою работу контрольных животных; они исследуют окологодичные изменения .и более высокие частоты посредством комбинации анализа Фурье с дисперсионным анализом [257]. Надпочечная железа продолжает изучаться исследователями внутренних аспектов ритмов [259, 260], как и шишковидная железа [261—264, 273, 291, 304, 312]; сообщения о внешних факторах продолжают поступать от Брауна [265, 266]. Синхронизация биологических ритмов [267] и роль автоматизации в биологических ритмах [268] рассматриваются Соллбергером. Менакер [278] сообщает о синхронизации у воробьев посредством внеретинального (вне сетчатки) восприятия света.

Подверженность ритма митозов в эпителии кожи грызунов сдвигам фазы [3] подтверждена Аловом [293] и распространена на ритмы эпителиев роговицы глаза, языка и пищевода [293]; различия в числе митозов после удаления щитовидной железы и удаления надпочечников у крыс даны без установления степени надпочечной недостаточности определениями кортикостерона или другими средствами (ср. [294]).

Черкович [295] подвергал трех обезьян (Papio hamaeryas) изменениям светового режима, простиравшимся от (а) освещения днем через (Ь) освещение ночью с отдыхом и темнотой днем, (с) 6-часовые чередования света и темноты, за которыми следовали (d) такие же 6-часовые «дни» и «ночи», смещенные вдоль 24-часовой шкалы на 6 часов, до (е) непрерывного освещения в течение 24 часов, (f) непрерывной темноты в течение 24 часов, «и так далее». После двух месяцев такого «систематического вмешательства» в освещение и кормление у всех трех обезьян, как сообщается, развился невроз с тяжелым расстройством условного рефлекса активности и появлением соматической патологии, включая коронарную недостаточность и микронекрозы на сердце одной из обезьян.

Брейди продолжает исследовать возникновение язв у обезьян, подверженных 12-часовому циклу, включающему 6 часов вынужденной активности, чередующейся с 6-ю часами отдыха [296, 297]; его выводы распространены на крыс Райсом [298]. Хронопатология. язвы желудка является объектом экспериментального [305] и клинического интереса [306]. Объектом такого же интереса остается отображение ритмов на разные переменные [299—304, 322—332, 340, 341], включая так называемые часы1) меняющегося сопротивления [33, 107, 307—310, 313]. Имеются также предложения относительно статистического планирования и анализа [42, 43, 47, 48, 52, 61—63, 311, 314, 315].

Временное соотношение между развитием ритмичности, с одной стороны, и ее синхронизацией с факторами внешней среды — с другой, является темой, вызывающей постоянный интерес [316— 318], как и проблемы, более общим образом связанные с развитием околосуточных ритмов [316—321]. У комара Pectinophora gossypiella ритмичность популяции была изящно вызвана Минисом и Питтендраем с помощью единственного стимула — манипулирования температурой окружающей среды или освещением [316]. Предположительно время, за которое околосуточный ритм может быть индуцирован у комара, «микроскопически» может оказаться на несколько часов, если не на сутки, меньше времени, за которое ритмы могут быть ассоциированы с вызвавшими их стимулами окружающей среды, если только (что также возможно) нет существенной разницы в этом отношении между комаром и человеком. Для нескольких младенцев, вскармливавшихся по собственной потребности, появление десинхронизированного околосуточного периода в течение значительных промежутков времени — недель или месяцев — до фактической общественной синхронизации околосуточной системы было установлено макроскопически [317, 318]. •

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Пытаясь определить, является ли данная величина «нормальной» или «ненормальной», клиницисты, как и биологи, обычно изучают много ритмических параметров исходя из отдельных выборок. .Они не определяют такие величины в терминах фаз различных ритмов, вносящих свою долю в параметр, по которому бралась выборка, хотя было указано, что отдельные данные могут быть содержательно определены относительно фазы околосуточной системы, если условия исследования стандартизованы [269]. Этот обзор показывает, что из относительно немногих выборок — для некоторых параметров, широко используемых биологами и клиницистами, — посредством ритмометрии могут быть получены с приемлемой надежностью новые и потенциально полезные показатели ритмов.

Эта «хронобиологическая» попытка извлечь новые показатели из исследования ритмов относится скорее к исследовательской биологии и медицине, чем к клинической практике.

Существенно, как показано в таблицах, включенных в этот обзор, что: (а) акрофазы (максимальные фазы) определенных околосуточных ритмов крови, мочи и системных функций здорового человека, а также некоторых подопытных животных могут быть объективно и легко определены с помощью вычислений на электронных машинах (то же относится к уровню, скорректированному на ритм, амплитуде и волновой форме ритма) и что (б) эти акрофазы превосходно согласуются между собой в исследованиях различных ученых, работавших в разное время на расстоянии многих миль друг от друга с различной биофизической или бихевиористской методологией при непохожей стандартизации условий, избранных для наблюдения, вида и объема выборки. Такое согласование показателей позволяет мне заключить этот обзор предположением, что созрело время для планирования на международном уровне условий и методов, которые могли бы быть общеприняты для получения стандартизованных временных рядов по ритмическим параметрам и для их проверки в различных лабораториях мира в целях последующего исследования, в более широких масштабах, модификаций ритма в биологии и медицине [105].

Заключая свой обзор по смежной проблеме — годичным циклам воспроизводства, А. К. Гизе в 1959 году писал, что «еще не сделано огромное количество (работы), которое может поставить столько проблем, что их хватит на целую жизнь тем, кто отклик нется на них» [270]. В 1968 году все еще остается на целую жизнь работы для исследователей в ритмометрии. Перед ними стоят проблемы получения новых биологических показателей из исследования ритмов и приложения этих показателей к пониманию факторов, лежащих в их основе, — в различных формах жизни (339]. ,

ПРИЛОЖЕНИЕ А •)

НАЗВАНИЯ РИТМОВ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ ЧАСТОТЫ

Название ритма

Произношение английского названия в международной фонетической транскрипции

Участок спектра частот

русское

английское

описание

границы

Досуточный

ultradian

Alt'reidian

Определенные частоты выше циркадных.

От 1 цикла в 1 час. до 1 цикла в 19,9 часа (1—20 горан)

' Околосуточный (циркадный)

circadian

sa/keidian

1 цикл приблизительно или точно за 24 часа .

От 1 цикла- в 20 час. до 1 цикла в 27,9 ч. - (20—28 горан)

Сверхсу

infradian

inf'reidian

Определенные

От 1 цикла в

точный

sa:ka'septan

частоты ниже циркадных

1,166 сут. до 1 цикла в 5,999 сут. (28 горан—6 диан)

Околоне-

circaseptan

1 цикл прибли

От 1 цикла в

дельный

sa:ka'vigintan

зительно или точ

но за 7 суток

6 сут. до ... (граница точно не фиксирована)

Околодвух- декадный

circavigin- tan

1 цикл приблизительно или точно за 20 суток

Околоме- сячный

circatrigin- tan

sa:ka'trigintan

1 цикл приблизительно или точно за 30 суток

Около- годичный

circannual

sa:k'»njual

1 цикл приблизительно или точно за 1 год

*) Вместо имеющегося в оригинале приложения А, которое рассматривает некоторые лингвистические вопросы наименований ритмов, представляющие интерес для англоязычного читателя, мы приводим здесь справку о названиях ритмов, которая будет полезна русскому читателю, желающему ознакомиться с оригинальными статьями на английском языке. — Прим, перев.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА)

Halberg F., Engeli М., Hamburger С., Hillman D., Spectral resolution of low-frequency, small-amplitude rhythms in excreted ketosteroid; probable androgen-induced circaseptan desynchronization, Acta Endocrinol. Suppl. 103, 54 pp. (1965).

Halberg F., Resolving power of electronic computers in chronopathology — an analogy to microscopy, Scientia, 101, 412—419 (1966).

Н а 1 b е г g F., Physiologic 24-hour periodicity; general and procedural considerations with reference to the adrenal cycle, Z. Vitamin-Mormon-Ferment- forsch., 10, 225—296 (1959).

Circadian Clocks, Proc. Feldafing Summer School (Aschoff J., Ed., North- Holland, Amsterdam, 479 pp., 1965).-

Biological Clocks, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. (Long Island Biol. Assoc., New York, 524 pp., 1960). (Русский перевод: Биологические часы, М., «Мир», 1964).

Circadian Systems, Rept. 39th Ross Conf. .Pediat. Res. (Fomon S. F., Ed., Ross Labs. Columbus, Ohio, 93 pp., 1961).

Phythmic Functions in the Living System, Ann. N. Y. Acad. Sci. (Wolf W., Ed., New York, 1326 pp., 1962).-

Photo-Neuro-Endocrine Effects in Circadian Systems, with Particular Reference to the Eye, Ann. N. Y. Acad. Sci. (Hague E. B., Ed., New York, 645 pp., 1964).

Interdisciplinary Perspectives of Time, Ann. N. Y. Acad. Sci. (Fischer R., ' Ed., New York, 915 pp., 1967).

Symposium on Rhythms,, in Verhandl. Deut. Ges. Inn. Med. 33rd Kongr., 886— 994, 1116—1117 (Bergmann, MQnchen, 1967).

Proc. 1st Intern. Symp. Biorhythms in Exptl. Clin. Endocrinol., Florence, May 30—31, 1966. Rass. Neurol. Veget

Symposium on Phythms, in Proc. 4th Panam. Symp. Pharmacol. Therapy, Mexico City (Excerpta Med. Found., Amsterdam, 1968; in press).

La Photoregulation de la Reproduction chez les Oiseaux et les Mammiferes, ■ - Colloq; Intern. CNRS, Montpellier, 1967 (Benoit J., Assenmacher L, Eds., CNRS, Paris, in press).

Biological Cycles and Psychiatry, 3emeSymp. Bel-Air (Dick R., Ed.).

Biologische Rhythmen, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen (Birukow G., Ren- • sing L, Eds., Vandenhoeck und Ruprecht, Gottingen, 1967).•

Photoperiodism and Related Phenomena in Plants and Animals (Withrow R. B., Ed., Publ. ^ 55 AAAS, Washington D. G, 903 pp., 1959).

R e i n b e r g A., G h a t a J., Biological Rhythms (Walker, New York, 138 pp., 1964)..

В u n n i n g E., The Physiological Clock (Springer-Verlag, Berlin, 145 pp., 1964).'

Menzel W., Menschliche Tag-Nacht-Rhythmik und Schichtarbeit (Benno Schwabe, Basel/Stuttgart, 189 pp., 1962).

Sollberger A., Biological Rhythm Research (Elsevier, New York, 461 pp., 1965).

Cloudsley-Thompson J. L., Rhythmic Activity in Animal Physiology and Behavior (Academic Press, New York, 236 pp., 1961).

Harker J. E., The Physiology of Diurnal Rhythms (Cambridge Univ. Press, London, 114 pp., 1964).

G о о d w i n В. C, Temporal Organization in Cells (Academic Press, New York, 163 pp., 1963).

Данилевский А. С., Фотопериодизм и сезонное развитие насекомых, Изд. ЛГУ, 1961.

Richter С. Р., Biological Clocks in Medicine and Psychiatry (Thomas, Springfield, Ill., 109 pp., 1965).'

L u n e d e i A., C a g n о n i M., Fa n t i n i F., Tarquini В., M о r a c e G., Maiello M., Panerai A., Scarpelli P. T., Toccafondi R., Sind- romi Diencefaliche (Problemi in discussione) (L. Pozzi, Roma, 413 pp., 1967).

Kleitman N., Sleep and Wakefulness (Univ. Chicago Press, Chicago, 552 pp., 1965).

Mills J. N., Human circadian rhythms, Phys. Rev., 46, 128—171 (1966).

H a 1 b e r g F., R e i n b e r g A., Rythmes circadiens et rythmes de basses frequences en physiologic humaine, J. Physiol. (Paris), 59, 117—200 (1967).

К a у s e г С, H e u s n e r A. A., Le rythme nvcthemeral de la depense d’energie gtu^ de physiologic compareg, /. Physiol. (Paris), 59f 3—J17 (1967),

Biological Rhythms, Environmental Biology, 565—607 (Altman P. L, Dittmer D. S., Eds., Fed. Am. Soc. Exptl. Biol., Bethesda, Md., 694 pp., 1966).

Bibliography on Time Series and Stochastic Processes (Wold H., Ed., Oliver and Boyd, Edinburgh, 516 pp., 1965).

R e i n b e r g A., The hours of changing responsiveness or susceptibility, Perspect. Biol. Med., 11, 111—126 (1967).

Malek J., Gleich J., Maly V., Characteristics of the daily rhythm of menstruation and labor, Ann. N.Y. Acad. Sci., 98, 1042—1055 (1962).

Kaiser I. H., Halberg F., Circadian aspects of birth, Ann. N.Y. Acad. Sci., 98, 1056—1068 (1962).

Frey S., t)er Tod des Menschen in seinen Beziehungen zu den Tages und Jahreszeiten, Dent. Z. Chir., 218, 366—369 (1929).

McFarland R. A., Human Factors in Air Transportation; Occupational Health and Safety (McGraw-Hill, New York, 830 pp., 1953).

H a 1 b e r g F., Physiologic 24-hour rhythms: a determinant of response to environmental agents, In Man’s Dependence on the Earthly Atmosphere, 48—89 (Schaefer К- E., Ed. Macmillan, New York, 1962).

H a 1 b e r g F., Kunkel H., Ansatze zu einer «mikroskopischen» Rhyth- mometrie in der Neurologic, Fortschr. Med., 86, 85—90 (1967).

Halberg F., Nelson W., Runge W., Schmitt O., Pitts G., Reynolds O., Tremor J., Tests of circadian rhythm characteristics—design evaluation by results on rodents and men, Space Sci.

Halberg F., Rhythmic interactions of steroidal and neural functions, In Hormonal Steroids, 966—979 (Martini L. et al. Eds., Excerpta Med. Found., Amsterdam, 1967).

Halberg F., Tong Y. L., Johnson E. A., Circadian system phase — an aspect of temporal morphology; procedures and illustrative examples, In The Cellular Aspects of Biorhythms, 20—48 (Mayersbach N. v., Ed., Springer, Berlin, 198 pp., 1967).

Batschelet E., Statistical methods for the analysis of problems in animal orientation and certain biological rhythms (AIBS, Washington, D. C., 1965).

Brazier M. А. В., C a s b у J. U., Cross-correlation and autocorrelation studies of EEG potentials, Electroenceph. Clin. Neurophysiol., 4, 201—211 (1952).

Brazier M. A. B., Barlow J. S., Some applications of correlation analysis to clinical problems in electroencephalography, Electroenceph. Clin. Near о physiol., 8, 325—331 (1956).

H a 1 b e r g F., Temporal coordination of physiologic function. Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 289—310 (1960).

В 1 а с к m a n R. В., T u к e у J. W., The Measurement of Power Spectra (Dover, New York, 190 pp., 1958).

Mercer D. M. A., Analytical methods for the study of periodical phenomena obscured by random fluctuations, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 73—86 (1960).

Halberg F., P ano f sky H., I. Thermovariance spectra; method and clinical illustrations, Exptl. Med. Surg., 19, 284—309 (1961).

P a n о f s к у H., Halberg F., II. Thermovariance spectra; simplified computational example and other methodology. Ibid., 323—338.

Sato K., et al., On the physiological significance of the average time- and frequency-patterns of the electroencephalogram, Electroenceph. Clin. Neurophysiol., 8, 325—331 (1956).

Kunkel H., Die Periodik der paroxysmalen Dysrhythmie im Elektroenze- phalogramm (Habilitationsschrift, Freie Univ. Berlin, 1966).

Halberg F., Stein M., Diff ley M., P a no f sky H., Adkins G., Computer techniques in the study of biologic rhythms, Ann. N. Y. Acad. Sci., 115, 695—720 (1964).

Adey W. R., Walter D. O., Analysis of brain-wave generators as multiple statistical time series, IEEE Trans^ BME-12, 8—13 (1965),

Walt er D. О., A d e у W. R., Spectral analysis of electroencephalograms recorded during learning in the cat, before and after subthalamic lesions, Exptl. Neurol., 7, 481—501 (1963).

W a 11 e r D. O., A d e у W. R., Spectral analysis for electroencephalograms: mathematical determination of neurophysiological relationships from records of limited duration, Ibid., 8, 155—181.

A d e у W. R., Walter D. O., Application of phase detection and averaging techniques in computer analysis of EEG records in the cat., Ibid., 7, 186—209.

H a 1 b e r g F., Periodicity analysis — a potential tool for biometeorologists, Intern. J. Biometeorol., 7, 167—191 (1963).

Schuster A., On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26-day period of meteorological phenomena, Terrestr. * Mag., 3, 13—41 (1898).,

Koehler F., Okano F. K., Elveback L. R., Halberg F., Bittner J. J., Periodograms for the study of physiologic daily periodicity in mice and in man, Exptl. Med. Surg., 14, 3—30 (1956).

Enright J. T., Accurate geophysical rhythms and frequency analysis, In

, Circadian Clocks (See Ref. 4), 31—42.

<62. ВI i s s C. L, Periodic regression in biology and climatology. Conn. Agr. Exptl. Sta. Bull., 615 (1958).

C h a p m a n S., Bartels J., Geomagnetism, 2 vols. (Clarendon, Oxford, 1049 pp., 1940)..

К u n к e 1 H., Moderne Analysen periodischer Vorgange in der Neurologic, Deut. Med. J., 9, 320—327 (1968).

H a u s E., L a к a t u a D., Halberg F., The internal timing of several ' " circadian rhythms in the blinded mouse, Exptl. Med. Surg., 25, 7—45 (1967).

H a I b e r g F., Body temperature, circadian rhythms and the eye, Colloq. Intern. CNRS, Montpellier, July 11—22, 1967 (In press).

G h a t a J., Halberg F., R e i n b e r g A., S i f f r e M., Rhythmes circadiens desynchronises (17-hydroxycorticosteroides, temperature rectale, veille-som- meil) chez deux sujets adultes sains, Ann. Endocrinol., 29, 269—270 (1968).

Hastings J. W., Key nan A. Molecular aspects of circadian systems, In Circadian Clocks (See Ref. 4), 167-^182.

Aschoff J., G e г e с к e U., We ver R., Desynchronization of human circadian rhythms. Japan. J. Physiol., 17, 450—457 (1967).-

Aschoff J., We ver R., Spontanperiodik des Menschen bei Ausschluss alter Zeitgeber, Naturwissenschaften, 15, 337—342 (1962).

Aschoff J., Tagesrhythmus des Menschen bei volliger Isolation, Umschau Wiss. Tech., 12, 378—383 (1966).

A s c h о f f J., Human circadian rhythms in activity, body temperature and other functions, Life Sci. Space Res., 5, 159—173 (Brown A. H., Favorite F. G., Eds., North-Holland, Amsterdam, 1967).-

Aschoff J., Significance of circadian rhythms for space flight, In Bioastronautics and the Exploration of Space, 465—484 (Bedwell T. C., Jr., Strughold H., Eds., San Antonio, Texas, 1964).

A s c h о f f J., G e г e с к e U., W e v e r R., Phasenbeziehungen zwischen den circadianen Perioden der Aktivitat und der Kerntemperatur beim Menschen, Pfingers Arch., 295, 173—183 (1967).

Aschoff J., Die minimale Warmedurchgangszahl des Menschen am Tage und in der Nacht, Pflugers Arch., 295, 184—196 (1967).

Aschoff J., Exogenous and endogenous components in circadian rhythms, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 25, 11—27 (1960).

Aschoff J., Physiologic biologischer Rhythmen, Arztl. Praxis, 18, 1569—1593 (1966).

Halberg F., Siffre M., Engeli M., Hillman D., Reinberg A., Etude en libre-cours des rythmes circadiens du pbuls, de 1’alternance veille- sommeil et de 1’estimation du temps pendant les deux mois de sejour souter- rain d’un homme adulte jeune, Compt. Rend. Acad. Set, 260, 1259—1262 (1965).■

; R е i n b е г g А., Н а 1 b е г g F., G h a t a J., S i f f r e M., Spectre thermique (rythmes de la temperature rectale) d’une femme adulte avant, pendant et apres son isolement souterrain de trois mois. Compt. Rend. Acad. ScL, 262, 782—785 (1966).■

S i f f re M., R e i n b e r g A., H a 1 b er g F., Gh a ta J., P er d r i e 1 G., S1 i n d R., L’isolement souterrain prolonge. Etude de deux sujets adultes sains avant, pendant et apres cet isolement, Presse Med. 74, 915—919 (1966).■

Schaefer К- E., Dougherty J. H., Variability of respiratory functions based on circadian cycles, Rept. 486 NASA (Naval Submarine Base, New London, Conn., 1966).-

Schaefer К- E., Clegg B. R., Carey C. R., Dougherty J. H., W e y- brew В. B., Effect of isolation in a constant environment on periodicity of physiological functions and performance levels, Aerospace Med., 38, 1002— 1018 (1967).

Hildebrandt G., Rhythmus und Regulation, Med. Welt., Nr. 2, 73—81 (1961).

Golenhofen K-, Hildebradt G., Die Beziehungen des Blutdruck- rhytmus zu Atmung und peripherer Durchblutung, Pfliigers Arch., 267, 27—45 (1958)..

Aschoff J., Jahresperiodik der Fortpflanzung bei Warmblutern, Stud. Gen., 8, 742—776 (1955).

Pye K., Chance B., Sustained sinusoidal oscillations of reduced pyridine nucleotide in a cell-free extract of saccharomyces carlsbergensis, Proc. Natl. Acad. ScL, 55, 888—894 (1966).

H a 1 b e r g F., Physiological rhythms. In Physiological Problems in Space Travel, 298—322 (Hardy J. D., Ed., Thomas, Springfield, Ill., 1964).

Aschoff J., Adaptive cycles: their significance for defining environmental hazards, Intern. J. Biometeorol., 11, 255—278 (1967).

Aschoff J., Circadian rhythms in birds, In Proc. XIV Intern. Ornithol. Congr., 81—105 (Snow, D. W., Ed., Blackwell, Oxford, 1967).

A s c h о f f J., Saint Paul U. v., W e v e r R., Circadiane Periodik von Finkenvogeln unter dem Einfluss eines selbstgewahlten Licht-Dunkel-Wechsels, Z. Vergleich. Physiol., 58, 304—321 (1968).

Bliss E. L., Sandberg A. A., N e 1 s о n D. H., E i к - N e s K-, The normal levels of 17-hydroxycorticosteroids in the peripheral blood of man, J. Clin. Invest., 32/3, 818—823 (1953).'

M i g e о n C. J., Tyler F. H., Mahoney J. P., Florentin A. A., Castle H., Bliss E., Samuels L. T., The diurnal variation of plasma levels and urinary excretion of 17-OHCS in normal subjects, night workers and blind subjects, I. Clin. Endocrinol., 16, 622—633 (1956).

Ha lb erg F., Frank G., Harner R., Matthews J., Aaker H., Graven H., Mel by J., The adrenal cycle jn men on different schedules of motor and mental activity, Experientia, 17, 282 (1961).

Doe R. P., A study of the circadian variation in adrenal function and related rhythms (Ph. D. thesis, Univ, of Minnesota, June 1966).

C u r t i s G. C., Fogel M., Zarate C., The effect of sustained affect on the diurnal rhythm of adrenal cortical activity, Psychosomat. Med., 28; 696— 713 (1966)..

M с С 1 u r e D. J., The diurnal variation of plasma cortisol levels in depression, J. Psychosomat. Res., 10, 189—195 (1966).,

Krieger D. T., Krieger H. P., Circadian variation of the plasma 17-hyd- rohycorticosteroids in central nervous system disease,. I. Clin. Endocrinol. Metab., 26, 929—940 (1966),

Bridges P. K., Jones M. T., The diurnal rhythm of plasma cortisol concentration in depression, Brit. J. Psychiat., 112, 1257—1261 (1966).-

К n a p p M. S., Keane P. M., Wright J. G., Circadian rhythm of plasma 17-hydroxycorticosteroids in depressive illness, congestive heart failure and Cushing’s syndrome, Brit. Med. I., 2, 27—30 (1967).4

Linque11e M., Fossa ti P., R аса dot A., Hubschman B., Deco u 1 x M., Les variations circadiennes de la cortisolemie dans la maladie de Cushing et les etats frontieres, Ann. Endocrinol., 29, 69—76 (1967). *

Cade R., Shires D. L., Barrow M., Thomas W. C., Jr., Abnormal diurnal variation of plasma cortisol in patients with renovascular hypertension, J. Clin. Endocrinol. Metab., 27, 800—806 (1967).

Gordon R., Spinks J., Du Imanis A., Hudson B., Halberg F., В a r 11 e r F., Phase relations of several circadian rhythms in human plasma and urine resolved by cosinor, Clin. Sci. (In press).

В art ter F., De lea C. S., Ha berg F., A map of blood and urinary changes related to circadian variations in adrenal cortical function in normal subjects, Ann. N. Y. Acad. Sci., 98, 969—983 (1962).

Haus E., Halberg F., Circadian phase diagrams of oral temperature and urinary functions in a healthy man studied «longitudinally», Acta Endocrinol., 51, 215—223 (1966).'

Halberg F., Reinhardt J., Bartter F., Dele a C., Gordon R., Wolff S., R e i n b e r g A., G h a t a J., Hofmann H., H a 1 h u b e r M., Gunther R., Knapp E., Pena J. C., Garcia Sainz M., Agreement in endpoints from circadian rhythmometry on healthy human beings living on different continents, Experientia (In press).

Halberg F., Simpson H. Circadian acrophases of human 17-hydroxy- corticosteroid excretion referred to midsleep rather than midnight. Human Biol., 39, 405—413 (1967).

Rei nberg A., Zagula-Mally Z. W., Ghata J., Halberg F., Circadian, rhythms in duration of salicylate excretion referred to phase of excretory rhythms and routine, Proc. Soc. Exptl. Med. Biol., 124, 826—832 (1967).

Gunther R., Knapp E., Halberg F., Circadiane Rhythmometrie mittels elektronischer Rechner zur Beurteilung von Kurwirkungen, In KurverlauJs- und Kurerfolgsbeurteilung, 106—111 (Teichmann W./ Ed., Sanitas-Verlag, Bad Worishofen, 1968).

C e r e s a F., Angeli A., G a i d a n о G. P., В о с c u z z i G., Molino G. P., P e г о 11 i L., Aspetti della regolazione della secrezione corticotropa nell’obe- sita, Atti XII° Congr. Soc. Itai. Endocrinol. (1968).

M a г о 11 a S. F., L i n w о n g M., Excretion of urinary 17-ketosteroids and 17-ketogenic steroids, I. Effects of age, time of day and season, Chiengmai Med. Bull., 5, 167—181 (1966).

Krieger D. T., Krieger H. P., Circadian patterns of urinary electrolyte excretion in central nervous system disease, Metabolism, 16, 815—823 (1967).

Rei nb erg A., Ghata J., Si di E., Nocturnal asthma attacks: their relationship to the circadian adrenal cycle, J. Allergy, 34, 323—330 (1963).

Sakai M., Diurnal rhythm of 17-ketosteroid and diurnal fluctuation of depressive affect, Yokohama Med. Bull., 11, 352—367 (1960).

Vestergaard P., Leverett R., Excretion of combined neutral urinary - 17-ketosteroids in short term collection periods. A study of spontaneous variability, Acta Endocrinol., 25, 45—53 (1957).

V e s t e r ga a r d P., Leverett R., Douglas W. R., Spontaneous variability in the excretion of combined neutral 17-ketosteroids in the urine of chronic schizophrenic patients, Psychiat. Res. Rept., 6, 74—89 (1956).

Mi geon C. J., French A. B., Samuels L. T., Bowers J. Z., Plasma 17-hydroxycorticosteroid levels and leucocyte values in the Rhesus monkey, including normal variation and the effect of ACTH, Am. J. Physiol., 182, 462—468 (1955).-

Mason J. W., Harwood С. T., Rosenthal N. R., Influence of some environmental factors on plasma and urinary 17-hydroxy corticosteroid levels in the Rhesus monkey, Am. J. Physiol., 190, 429—433 (1957).

Win get С. M., Card D. H., Hetherington N. W., Circadian oscillations of deep-body temperature and heart rate in a primate (Cebus albafrond), Aerospace Med., 39, 350—353 (1968).

Stroebel С., Behavioral aspects of circadian rhythms, In Comparative Psychopathology, 158—172 (Zubin J., Hunt H., Eds., Grune and Stratton, New York, 1967).

Honjo S., Fujiwara T., Takasaka M., Suzuki Y., Imaizumi K-, Observations on the diurnal temperature variation of Cynomolgus monkeys (Macaca irus) and on the effect of changes in the routine lighting upon this variation, Japan. J. Med. Sci. Biol.» 16, 189—198 (1963).

Simpson S., Galbraith J. J., Observations on the normal temperature of the monkey and its diurnal variation, and on the effect of changes in the daily routine on this variation, Trans. Roy. Soc. Edinburgh» 45, 65—104 (1905—06).

H a 1 b e r g F., Rhythms and the adrenal cortex, Proc. 4th Panam. Symp. Pharmacol. Therapy, Mexico City (Excecpta Med. Found., Amsterdam, 1968).

Ha lb erg F., Organisms as circadian systems temporal analysis of their physiologic and pathologic responses, including injury and death, In Medical Aspects of Stress in the Military Climate, 1—36 (Walter Reed Army Inst. Res., Washington, D. C., 1964).

Ungar F., Ha lb erg F., Circadian rhythm in the in vitro response of mouse adrenal to adrenocorticotropic hormone, Science» 137, 1058—1060 (1962).

Ungar F., H a 1 b e r g F., In vitro demonstration of circadian rhythm in adrenocorticotropic activity of C mouse hypophysis, Experientia» 19, 158—159 (1963).

Haus E., H a 1 b e r g F., Der circadiane Adrenalzyklus und seine Bedeutung fiir die Reaktionsbereitschaft der Nebennierenrinde, Wien. Z. Inn. Med.» 8, 361—370 (1962).

Andrews R. V., Folk G. E., Circadian metabolic patterns in cultured hamster adrenal glands, Comp. Biochem. Physiol.» 11, 393—409 (1964).

Andrews R. V., Folk G. E., Hedge R., Metabolic periodicity in adrenal glands cultured from Arctic rodents, Fed. Proc.» 24, 508 (1965).

Gibson R. B., The effects of transposition of the daily routine on the rhythm of temperature variation, Am. J. Med. Sci.» 129, 1048—1059 (1905).

Ogata K, Sasaki T., On the causes of diurnal body temperature rhythm in man, with reference to observations during voyage, Japan J. Physiol.» 13, 84—96 (1963).

Ogata K, Sasaki T., Diurnal variation in body temperature with special reference to observation made during a sea-voyage, Intern. J. Biometeorology» 7, 75—80 (1963).

В uga rd P., Henry M., Quelques aspects de la fatigue dans Taviation de transport, Presse Med.» 69, 1903—1906 (1961).

Burton A. C., The clinical importance of the physiology of temperature regulation, Can. Med. Assoc. J.» 75, 715—720 (1956).

Fl ink E. B., Doe R. P., Effect of sudden time displacement by air travel on synchronization of adrenal function, Proc. Soc. Exptl. Biol. Med.»- 100, 498—501 (1959).

Gerri tzen F., The diurnal rhythm in water, chloride, sodium and potassium excretion during a rapid displacement from east to west and vice versa. J. Aerospace Med.» 33, 697—701 (1962).

Gullett С. C., Jet planes and the circadian cycle, J. Am. Med. Assoc., 197, 935 (1966).

Hauty G. T., Adams T., Phase shifts of the human circadian system and performance deficit during the periods of transition: I. East-West flight, Aerospace Med.» 37, 668-674 (1966).

Hauty G. T., Adams T., Phase shifting of the human circadian system, In Circadian Clocks (See Ref. 4) 413—425.

Sasaki T., Effect of rapid transposition around the earth on diurnal variation in body temperature, Proc. Soc. Exptl. Biol. Med.» 115, 1129—1131 (1964).

Strughold H., Physiological day-night cycle in global flights, Aviation . Med.» 23, 464—473 (1952).

Strughold Н., Day-night cycling in atmospheric flight, space flight and on other celestial bodies, Ann. N. Y. Acad. Sci., 98, 1109—1115 (1962).

Strughold H., Temporal coordination of day-night cycle after intercontinental flight, Symp. Circadian Systems, Univ. Minnesota, June 4—7, 1961.

Thomas, Lowell, Keep an eye on your inner clock. Reader’s Digest, 61—64 (August 1966).

Report. «Aspects nouveaux du sommeil normal et pathologique (I). — Rappel de la physiologic du sommeil. Les rythmes nycthemeraux. Electroencephalo- gramme et phases du sommeil». Actualite de la vie medicale, Suppl. bi-men- suel Vie Med. (presumably 1966).

Juin G., Les decalages horaires (leurs aspects et leures consequences dans 1’aviation commerciale), Arch. Mal. Prof., 24, 113—117 (1963).

Lavernhe J., Rythme de vie et changements rapides de fuseaux horaires au cours des voyages aeriens, Presse Med., 72, 2623—2626 (1964).

/Ju in G., Une enquete sur la fatigue a bord des «jets», Presse Med., 69, 1104 (1961).

Klein К. E., В rd ne r H., Ruff S., Untersuchungen zur Belastung des • Bordpersonals auf Fernfliigen mit Diisenmaschinen, Z. Flugwiss., 14, 109— 121 (1966). '

Ch emin P., Les rythmes biologiques chez 1’homme application a 1’aviation et a la cosmonautique (These Doctoral Med., Univ. Boreaux, 1967).

La F о nt aine, E., Lavernhe J., Couri lion J., Medvedeff M., Ghat a J., Influence of air travel east-west and vice-versa on circadian rhythms of urinary elimination of potassium and 17-hydroxycorticosteroids, • - Aerospace Med., 38, 944—947 (1967).'

Hauty G. T., Adams T., Phase shifts of the human circadian system and performance deficit during the periods of transition: II. West-East flight, Aerospace Med., 37, 1027—1033 (1966).

Hauty G. T., Adams T., Phase shifts of the human circadian system and performance deficit during the periods of transition: III. North-South flight, Ibid., 1257—1262.

P e г к о f f G. T., E i к - N e s K., Nugent C. A., Fred H. L., N i m e r R. A., Rush L., Samuels L. T., Tyler F. H., Studies of the diurnal variation of plasma 17-hydroxycorticosteroids in man, J. Clin. Endocrinol., 19, 432 (1959).

Sharp G. W. G., Reversal of diurnal leucocyte variations in man, J. Endocrinol., 21, 107 (1960).

Sharp G. W. G., SI orach S. A., Vipond J., Diurnal rhythms of keto-’ and ketogenic steroid excretion and the adaptation of changes of the activitysleep routine, J. Endocrinol., 22, 377—85 (1961).

Sharp G. W. G., Reversal of diurnalrhythms of water and electrolyte excretion in man, J. Endocrinol., 21, 97 (1960).

Yokobori S., Miyasaka T., Shiraishi A., Tanase N., N a к a g i S., Tanaka M., Inoue S., Naoi F., Sakio H., Okazaki K., Fatigue and " the adrenal cortex, J. Ind. Med. (Tokyo), 2, 15—23 (1960).

Yurugi R., Totsuka T., Nab a K-, Iizuka M., Akiyama T., К i m ur a K., Experimental studies on the effects of reverse day-night life cycle upon the twenty-four-hour rhythm of living functions (Aero-Med. Lab., March 1961).

Saito H„ Takamatsu M., Experimentelle Studien fiber die Beeinflussung von Inversion der Zeitphasen von taglichen Arbeit, mit besonderen Berucksichti- gung von rhythmischen Veranderungen der Blut und Harnbeschaffenheiten wahrend Tag und Nacht, Rept. Inst. Sci. of Labour № 477 (1953).

Saito H., Hours of work, pauses for rest, shift system (Inst, for Sci. of Labour, Tokyo, 285 pp., 1966).

Simpson H. W., Lobban M. C., Effect of a 21-hour day on the human circadian - excretory rhythms of 17-hydroxycorticosteroids and electrolytes, Aerospace Med., 38, 1205—1213 (1967).

L о b b a n M. C., Daily rhythms of renal excretion in arctic-dwelling Indiana apd Eskinios, Quart. J. Exptl. Physiol., 52? 401—410 (1967).

S iff re М., Beyond Time (McGraw-Hill, New York, 228 pp., 1964).

Pittendrigh C. S., Bruce V. G., Kaus P., On the significance of transients in daily rhythms, Proc. Natl. Acad. Set, 44, 965—973 (1958).

Aschoff J., We ver R., Resynchronization der Tagesperiodik von Vogeln nach Phasensprung des Zeitgebers,. Z. Vergleich. Physiol., 46, 321—335 (1963).

Ha 1 b e r g F., Nelson W., Runge W., S c h m i 11 О. H., Delay of circadian rhythm in rat temperature by phase-shift of lighting regimen is faster than advance, Fed. Proc., 26, 599 (1967).

Haus E., Halberg F., Nelson W., Hillman D., Shifts and drifts in phase of human circadian system following intercontinental flights and in isolation, Fed. Proc., 27, 224 (1968).

Halberg F., Summerizing discussion, In Symposium on Circadian Rhythms in Non-Human Primates (Rholes, F. H., Ed., Karger, Basel, 1969).

Holmquest D. L., Retiene K., Lipscomb H. S., Circadian rhythms in rats: effects of random lighting, Science, 152, 662—664 (1966).

D i e 11 e i n L. F., V a 11 b о n a C., Experiment M-4, inflight phonocardiogram — measurements of the duration of the cardiac cycle and its phases during the orbital flight of Gemini V, 397—402 (Gemini Midprogram Conf., including Expt. Results, NASA, Washington, D. C., 1966).

Mills J. N., Circadian rhythms during and after three months in solitude underground, J. Physiol., 174, 217—231 (1964).

Mills J. N., Sleeping habits during four months in solitude, Ibid., 189, 30— 31 (1966).

Mills J. N., Keeping in step — away from it all, New Scientist, 9, 350—351 (1967).

Clark C. S., Kripke D. F., Merritt J. A., Physiological data processor. IEEE Conference Record, 5th Ann. Rocky Mountain Bioeng. Symp., May 6—8, 1967, 88—92.

Cartwright N„ Kripke D. F., Cook P., Statistical reduction of hand- staged sleep analysis, 6571st Aeromed. Res. Lab. Rept. ARL-TR-68-5, 44 pp. (June 1968).

Reimann H., Periodic Diseases (F. A. Davis, Philadelphia, 1963).

Bryson R. W., Martin D. F., 17-ketosteroid excretion in a case of maniac-depressive psychosis, Lancet, 2, 365—367 (1954).

R i z,z о N. E., F о x H. M., Laidlaw J. C., Thorn G. W., Concurrent observations of behavior changes and of adrenocortical variations in a cyclothymic patient during a period ot 12 months, Ann. Internal Med., 41, 798—815 (1954).

J e n n e r F. A., Gj essin g L. R., Cox J. R., Davies-Jones A., Hullin R. P., Hanna S. M., A manic-depressive psychotic with a persistent forty-eight hour cycle, Brit. J. Psychiat., 113, 895—910 (1967).

Harding G., Jea v о ns P. M., Jenner F. A., Drummond P., Sheridan M., Howells G. W., The electroencephalogram in three cases of periodic psychosis, Electroenceph. Clin. Neurophysiol., 21, 59—66 (1966).

Rey J. H., Willcox D. R. C., Gibbons J. L., Tait H., Lewis D. J., Serial biochemical and endocrine investigations in recurrent mental illness, L Psychosomat. Res., 5, 155—169 (1961).

Crammer J. L., Water and sodium in two psychotics, Lancet, 1122—1126 (30 May 1959).

Crammer J. L., Rapid weight-changes in mental patients, Lancet, 259— 262 (10 Aug. 1957).

Gjessing R., Gjessing L., Some main trends in the clinical aspects of periodic catatonia, Acta Psychol. Scand., 37, 1—13 (1961).

Goodwin J. C., Jenner F. A., L о b b a n M. C., Sheridan M., Renal rhythms in a patient with a 48-hour cycle of psychosis during a period of life on an abnormal time routine, J. Physiol., 176, 16—17 (1965).

Scar pel li P. T., Fa nt ini F., Boccuni M., Cagnoni M., Le Malat- tie Periodiche. Problematica nosologica ed etiopatogenetica, I^ass. Neurol. Veg., ??t 5-23 (196^9 f

*Mtu г..,, „-п.^.-ьь..^,- ■,.^—^^^^^^^^^^^

Reiss, Max., Neuroendocrinology and Psychiatry (A critical assessment of the present status), Intern. J. Neuropsychiat., 3, 441—463 (1967).

Benoit J., Assenmacher, I., Brard, E., Etude de revolution testicu- laire du canard domestique soumis tres jeune a une eclairement permanent pendant deux ans, Compt. Rend. Acad. Sci., 242, 3113—3115 (1956).

Earner D. S., The annual stimulus for migration, Condor, 52, 104—122 (1950). ' ■

Earner D. S., Northward transequatorial migration of birds, Sci. Rev., 12, 29—30 (1954).

Earner D. S., The photoperiodic control of reproductive cycles in birds, Am. Scientist, 52, 137—156 (1964).

Gwinner E., Wirkung des Mondlichtes auf die Nachtaktivitat von Zugvogeln. Lotsenversuch an Rotkehlchen (Erithacus rubecula) und Gartenrot- schwanzen (Phoenicurus phoenicurus), Experientia, 23, 227 (1967).

Gwinner E;, Circannuale Periodik der Mauser und der Zugunruhe bei einem Vogel, Naturwissenschaften, 54, 447 (1967).

Gwinner E., Circannuale Periodik als Grundlage des jahreszeitlichen Funk- tionswandels bei Zugvogeln, /. Ornithol., 109, 70—95 (1968).

P e n g e 11 e у E. T., Fischer К. C., The effect of temperature and. photoperiod on the yearly hibernating behavior of captive goldenmantled ground squirrels (Citellus lateralis tescorum), Can. J. Zook, .41, 1103—1120 (1963).

P e n g e 11 e у E. T., Kelly К. H., A «circannian» rhythm in hibernating 'species of the genus Citellus with observations on their physiological evolu

tion, Comp. Biochem. Physiol., 19, 603—617 (1966).

Lofts B., Evidence of an autonomous reproductive rhythm in an equatorial bird (Quelea quelea), Nature, 201, 523—524 (1964).

Merkel F. W., Untersuchungen fiber tages- und jahreszeitliche Aktivitats- anderungen bei gekafigten Zugvogeln, Z. Tierpsychol., 13, 278—301 (1956).

Merkel F. W., Long-term effects of constant photoperiods on European Robins and Whitethroats, Proc. XIII Intern. Ornithol. Congr. Ithaca, 950—959 (1963).

Wolfson A., Role of light and darkness in the regulation of the annual stimulus for spring migration and reproductive cycles, Proc. XII Intern. Ornithol. Congr. Helsinki, 758—789 (1960).

Wolfson A., Regulation of annual periodicity in the migration and reproduction of birds, Cold Spring Harbor Symp. Quant Biol, 25, 507—514 (1960).

Wolfson A., Environmental and neuroendocrine regulation of annual gonadal cycles and migratory behavior in birds, Recent Progr. Hormone Res., 22, 177—244 (1966).._

Zimmerman J. L., Effects of extended tropical photoperiod and temperature on the Dickcissel, Condor, 68, 377—387 (1966).

Orth D. N., Island D. P., Liddle G. W., Experimental alteration of the circadian rhythm in plasma cortisol (17-OHCS) concentration in man, /. Clin. Endocrinol. Metab., 27, 549—555 (1967).

E r a n к б О., 25-hour day: one solution to the shift-work problem, Intern. Congr. Occup. Health, 3, 134 (1957).

Simpson H. W., L о b b a n M. С., H a 1 b e r g F., Near-24-hour rhythms in subjects living on a 21-hour routine in the arctic summer at 78° N—revealed by circadian amplitude rations. Rass. Neurol. Veg.

Lamar D. L., M e r i f i e 1 d P. M., Cambrian fossils and origin of EarthMoon system, Geol. Soc. Am. Bull. 78, 1359—1368 (1967).

Wells John W., Coral growth and geochronometry, Nature, 197, 948—950 (1963).-

G о r e a u T. F., The physiology of skeleton formation in corals. I. A method for measuring the rate of calcium deposition by corals under different conditions, Biol. Bull., 116, 59—75 (1959).-

Goreau T. F., Goreau N. L, The physiology of skeleton formation in corals. II. Calcium deposition by hermatypic corals under various conditions in the reef, Biol. Bulk. 117, 239—250 (1959)..

Runcorn S. К., Changes in the Earth’s moment of inertia, Nature, 204, 823—825 (1964).

Scrutton С. T., Periodicity in Devonian coral growth, Palaeontolosu. 7, 552—558 (1964).

Gebelein C. D., Origin and growth rate of subtidal algal stromatolites, Bermuda, The Geological Society of America Annual Meeting, 75 (1967).

McGugan A., Possible use of algal stromatolite rhythms on geochronology, The Geological Society of America Annual Meeting, 145 (1967).

Pannella G., MacClintock C., Biological and environmental rhythms reflected in molluscan shell growth, I. Paleontol., 42, 64—80 (1967).

Lamar D. L., Mc-Gann-Lamar J. V., Meri field P. M., Age and origin ;of Earth-Moon system, In Paleogeophysics (Runcorn, S. K., Ed., in press).

Munk W. H., MacDonald G. J. F., The Rotation of the Earth (Cambridge Univ. Press, London, 323 pp., 1960).

Marsden B. G., Cameron A. G. W., The Earth-Moon System (Plenum Press New York, 288 pp., 1966).

Ha lb erg F., Ha lb erg E., Barnum С. P., Bittner J. J., Physiologic 24-hour periodicity in human beings and mice, the lighting regimen and daily routine, In Photoperiodism and Related Phenomena in Plants and Animals (See Ref. 16), 803—878.

Pittendrigh C. S., Bruce V. G., An oscillator model for biological clocks, In Rhythmic and Synthetic Processes in Growth, 75—109 (Princeton Univ. Press, 1957).

Ko rein J., Tick L. J., Zeitlin R. A., Randt С. T., Linear and nonlinear spectral analytic techniques applied to the human electroencephalogram, Bull. N. Y. Acad. Med., 44, 1126—1128 (1968).

Pittendrigh C. S., Bruce V. G., Daily rhythms as coupled oscillator systems and their relation to thermoperiodism and photoperiodism, In Photoperiodism and Related Phenomena in Plants and Animals (See Ref. 16), 475—505.

Pittendrigh C. S., Minis D. H., The entrainment of circadian oscillations by light and their role as photoperiodic clocks, Am. Naturalist, 98, 261— 294 (1964).

Pittendrigh C. S., The circadian oscillation in Drosophila pseudoobscura pupae: a model for the photoperiodic clock, Z. Pflanzenphyslol., 54, 275—307 (1966).

Strumwasser F., The demonstration and manipulation of a circadian rhythm in a single neuron, In Circadian Clocks (See Ref. 4), 442—462.

We ver R., A mathematical model for circadian rhythms, In Circadian Clocks (See Ref. 4), 47—63; Pendulum versus relaxation oscillation, 74—83.

Wever R., Possibilities of phase control, demonstrated by an electronic model, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 25, 197—206 (1960).

Wever R., Zum Mechanismus der biologischen 24-Stunden-Periodik; Kyber- netik, 1, 139-194 (1962), 213—231 (1963) 2, 127—144 (1964).

Schmitt О. H., Biophysical and mathematical models of circadian rhythms, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 25, 207—210 (1960),

W a c h ho 1 d e г K-, Die allgemeinen physiologischen Grundlagen der Ent- stehung von Lebensrhythmen, Acta Med. Scand. Suppl. 307, 21—31 (1955).

Chance B., Pye K„ Higgins J., Waveform generation by enzymatic oscillators, IEEE Spectrum, 4, 79—86 (1967).

Ehret C. F., Barlow J. S., Toward a realistic model of a biological periodmeasuring mechanism, Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 25, 217— 220 (1960).

Goodwin В. C., An entrainment model for timed enzyme synthesis in bacteria, Nature, 209, 479—481 (1966).

Ehret C. F., Trucco E., Molecular models for the circadian clock, I. The * chronon concept, J. Theoret. Biol,, 15, 240—262 (1967).

К а 1 m u s Н., Wigglesworth L. A., Shock excited systems as models for biological rhythms, Cold Spring Harbor Symp. Quant Biol., 25, 211—216 (1960).

Chance B., Higgins J. J., Garfinkel D., Analogue and digital computer representations of biochemical processes, Fed. Proc., 21, 75—86 . (1962).

H i g g i n s J., A chemical mechanism for oscillation of glycolytic intermediates in yeast cells, Biochemistry, 51, 989—994 (1964).,

Bunning E., Zimmer R., Zur Deutung der Phasenverschiebungen und «Transients» nach exogener Stoning endogener Rhythmen, Planta, 59, 1—14 (1962).

W i n f r e e A. T., Biological rhythms and the behavior of populations of coupled oscillators, J. Theoret. Biol., 16, 15—42 (1967).

Spangler R. A., Snell F. M., Sustained oscillations in a catalytic chemical system, Nature, 191, 457—458 (1961).

Higgins J., Theory of oscillating reactions, Ind. Eng. Chern., 59, 18—62 (1967).

Frenkel R., Reduced diphosphopyridine nucleotide oscillations in cell-free extracts from beef heart, Arch. Biochem. Biophys., 115, 112—121 (1966).

V a n d e n Driessche T., The nuclear control of the chloroplasts’ circadian rhythms, Sci. Progr. Oxford, 55, 293—303 (1967).

V a n d e n Driessche T., В о n о 11 о S., Le rythme circadien de la teneur en inuline chloroplastique de Acetabularia mediterranea, Arch. Intern. Physiol. Biochim., 76, 205—206 (1968)..

H u r w i c z L., Basic mathematical and statistical considerations in the study of rhythms and near-rhythms, Ann. N. Y. Acad. Sci., 98, 851—857 (1962).

Prigogine I., Balescu R., Phenomenes cycliques dans la thermodynamique des processus irreversibles, Bull. Class. Sci. Acad. Доу. Belg., 42, 256— 265 (1956).

V о 11 e г г a V., Theorie Mathematique de la Lutte de la Vie (Gautiers-Villars, Paris, 1931).‘

van der Pol B., On «Relaxation Oscillations», Phil. Mag., 2, 978—992 (1926).

van der Pol B., van d e г M a г к J., The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart, Phil. Mag., 6, 763—775 (1928).'

L о t к a A. J., Theorie analytique des associations biologiques, In Exposes de Biometric et de Statistique Biologique, IV (Hermann et Cie. Paris, 1934).

Lotka A. J., Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems, Proc. Natl. Acad. Sci., 6, 410—415 (1920).

Lotka A. J., Undamped oscillations derived from the law of mass action, J. Am. Chern. Soc., 42, 1595—1599 (1920).

Win get C. NV., Card D. H., Pope J. M., Circadian oscillations of three parameters at defined light intensities and color, J. Appl. Physiol., 24, 401— 406 (1968).

W i n g e t C. NV., Card D, H., Daily rhythm changes associated with variations in light intensity and color, Life Sci. Space Res., 5, 148—158 (1967).

Win get C. NV., Fryer T. B., Telemetry system for the acquisition circadian rhythm data, Aerospace Med., 37, 800—803 (1966).

Stroebel C. F., Biologic rhythm approach to psychiatric treatment, In Proc. 7th IBM Medical Symp. (Steinbeck H., Ed., IBM Corp., Yorktown Heights, N. Y., 1967).

Randall W., Littschwager J., The relationship between cyclic changes in thyroid function and behavior of cats with brain stem lesions, J. Psychiat. Res., 5, 39—58 (1967).

Randall W., L a к s о V., Body weight and food intake rhythms and their

• relationship to the behavior of cats with brain stem lesions, Psychon. Sci., 11,33-34 (1968).''"

Rapoport М. I., Fei gin R. D„ Bruton J., Beisel W. R., Circadian rhythm for tryptophan pyrrolase activity and its circulating substrate, Science, 153, 1642—1644 (1966).

R e i n b e r g A., Rythmes des fonctions corticosurrenaliennes et systemes cir- cadiens, In Symposium International sur la Neuro-Endocrinologie, 75—89 (Expansion Sci. Frans., Paris, 1966).

Axelrod J., Wurtman R. J., The pineal gland: a biological clock (See Ref. 260), 201—212.

Quay W. B., Photic relations and experimental dissociation of circadian rhythms in pineal composition and running activity in rats, Photochem. Photo- blot, 4, 425—432 (1965).

Quay W. B., Circadian and estrous rhythms in pineal and brain serotonin, Progr. Brain Res., 8, 61—63 (1964).

Quay W. B., Regional and circadian differences in cerebral cortical serotonin concentration, Life Sci., 4, 379 (1965).

Brown F. A., Jr., Park Y. H., Association-formation between photic and subtle geophysical stimulus patterns"—a new biological concept, Biol. Bull, 132, 311—319 (1967).

Brown F. A., Jh, Park Y. H., Synodic monthly modulation of the diurnal rhythm of hamsters, Proc. Soc. Exptl. Biol. 'Med., 125, 712—715 (1967).

Sollberger A. Biological measurements in time, with particular reference to synchronization mechanisms, Ann. N. Y. Acad. Sci., 138, 561—599 (1967).

Sollberger A., A p p 1 e H. P., Greenway R. M., Kind P. H., L i n- d a n O., R e s w i с к J. B., Automation in biological rhythms research with special reference to studies on Homo, In The Cellular Aspects of Biorhythms, 184—198 (Springer-Verlag, N. Y., 1967).

H a 1 b e r g F., Some aspects of biologic data analysis; longitudinal and transverse profiles of rhythms, In Circadian Clocks (See Ref. 4), 13—22.

Giese A. C., Comparative physiology: annual reproductive cycles of marine invertebrates, Ann. Rev. Physiol., 21, 547—576 (1959).

Saito H., Some considerations on reduction of working hours in Japan from view-point of science of labour, J. Sci. Labour, 40, 469—486 (1964).

Saito H., Biochemical aspect of fatigue, with special reference to physical and mental burden of work, Ibid., 42, 427—447 (1966).

Gaston S., Menaker M., Pineal function: The biological clock in the sparrow, Science, 160, 1125—1127 (1968).

Butler P. W. P., Besser G. M., Pituitary adrenal function in severe depressive illness, Lancet, 1, 1234—1236 (1968).

L о h r e n z F. N., Fullerton D. T., F a h s H., Wenzel F. J., Adrenocortical function in depressive states — study of circadian variation in plasma and urinary steroids, Intern. J. Neuropsychiat., 4, 21—25 (1968).

Rubin R. T., Young W. M., Clark B. R., 17-hydroxycorticosteroid and vanillylmandelic acid excretion in a rapidly cycling manicdepressive, Psycho- somat. Med., 30, 162—171 (1968).

H a 1 b e r g F., Vestergaard P., Sakai M., Rhythmometry on urinary 17-ketosteroid excretion by healthy men and women and patients with chronic schizophrenia; possible chronopathology in depressive illness (In press, memorial volume in honor of Professor Jacques Benoit).

Menaker M., Extraretinal light perception in the sparrow, I. Entrainment of the biological clock, Proc. Natl. Acad. Sci., 59, 414—421 (1968).

Fenyo E., Hasznos T., Periodic EEG complexes in subacute panencephalitis: reactivity, response to drugs and respiratory relationships, Electroen- ceph. Clin. Neurophysiol., 16, 446—458 (1964).

Poole E. W., Nervous activity in relation to the respiratory cycle, Nature, 189, 579 (1961).

Poole E. W., Periodic EEG complexes in subacute panencephalitis: reactivity, response to drugs and respiratory relationships, Electroenceph. Clin, Neurophysiol., 16, 446—458 (1964).

Hobson J. A. Respiration and EEG synchronization in the frog, Nature, 213, 988—989 (1967).

Hobson J. A., Goldfrank F., Snyder F., Respiration and mental activity in sleep, /. Psychiat. Res., 3, 79—90 (1965)..

В j e r n e r B., Holm A., Swensson A., Diurnal variation in mental performance; a study of three shift-workers, Brit. J. Ind. Med., 12, 103—110 (1955).

Garcia Sainz M., H a 1 b e r g F., Mitotic rhythms in human cancer, reevaluated by electronic computer programs — evidence for temporal pathology, /. Natl. Cancer Inst., 37, 279—292 (1966).

Nichols С. T., Tyler F. H., Diurnal variation in adrenal cortical function, Ann. Rev. Med., 18, 313—324 (1967).'

В u n n e у W. E., Hartmann E. L., Study of a patient with 48-hour manic depressive cycles, Arch. Gen. Psychol., 12, 611—625 (1965).

J e n n e r F. A., Goodwin J. C., Sheridan M., Tauber I. J., L о b- b a n M. C., The effect of an altered time regime on biological rhythms in a 48-hour periodic psychosis, Brit. J. Psychiat., 114, 215—224 (1968).

Bryson R. W., Psychoendocrinology (M. D. thesis, Glasgow Univ., 1954).

Cookson B. A., Quarrington B., Huszka L, Longitudinal study of periodic catatonia, /. Psychiat. Res., 5, 15—38 (1967).

Quay W. B., Epiphyseal responses to light and darkness in birds and mammals, In La Photoregulation de la Reproduction chez les Oiseaux et les Mammiferes (See Ref. 13).*.

The Cellular Aspects of Biorhythms Symp. Rhythmic Res., VIII Intern. Congr. - Anat., Wiesbaden (von Mayersbach, H., Ed., Springer, Berlin, 198 pp., 1967).

Alov I. A., The mechanism of the diurnal periodicity of mitosis, Bull. Exptl. Biol. Med., 48, 1418—1423 (1959).

Scheving L. E., Pauly J. E., Effect of adrenalectomy, adrenal medul- lectomy and hypophysectomy on the daily mitotic rhythm in the corneal epithelium of the rat, In The Cellular Aspects of Biorhythms (See Ref. 292), 167—174..'

Cherkovich G. M., The experimental production of a neurosis in monkeys by changing the diurnal rhythm, Bull. Exptl. Biol. Med., 47, 935—938 (1959).

Brady J. V., Ulcers in «executive monkeys», Sci. Am., 199, 95—103 (1958).

Brady J. V., Experimental studies of psychophysiological responses to stressful situations, In Symposium on Medical Aspects of Stress in the Military Climate, 271—289 (Walter Reed Army Inst.. Res. Washington, D. C, 1964)..

Rice H. K., Responding-rest ratio in the production of gastric ulcers in the rat, Psychol. Record, 13, 11—14 (1963).

Scheving L. E., Harrison W. H., Gordon P., Pauly J. E., Daily fluctuation (circadian and ultradian) in biogenic amines of the rat brain, Am. J. Physiol., 214, 166—173 (1968).

Scheving L. E., Pauly J. E., Circadian phase relationships of thymi- dine-3H uptake labeled nuclei, grain counts, and cell division rate in rat corneal epithelium, J. Cell Biol., 32, 677—683 (1967).

Scheving L. E., Pauly J. E., Daily rhythmic variations in blood coagulation times in rats, Anat. Record, 157, 657—665 (1967).

W u r t m a n R. J., Rose С. M., Chou C., Larin F. F., The daily rhythms in the concentrations of various amino acids in human plasma, New Engl. J. Med., 279, 171—175 (1968).

W u r t m a n R. J., Chou C., Rose С. M., Daily rhythm in tyrosine concentration in human plasma: persistence on low-protein diets, Science, 158, 660—662 (1967).

W u r t m a n R. J., Axelrod J., S e d v a 11 G., Moore R. Y., Photic and neural control of the 24-hour norepinephrine rhythm in the rat pineal gland, /. Pharmacol. Exptl. Therap., 157, 487—492 (1967).

Ader R., Gastric erosions in the rat: effects of immobilization at different points in the activity cycle, Science, 145, 406—407 (1964).

Tarquini В., Della Corte М., Orzalesi R., Circadian studies on plasma cortisol in subjects with peptic ulcer, J. Endocrinol., 38, 475—476 (1967).

DeVr ies K-, G о e i J. T.; Booy-Noord H., О rie N. G. M., Changes during 24 hours in the lung function and histamine hyperreactivity of the bronchial tree in asthmatic and bronchitic patients, Intern. Arch. Allergy, 20, 93—101 (1962).’

R e i n b e r g A., S i d i E., G h a t a J., Circadian reactivity rhythms of human skin to histamine or allergen and the adrenal cycle, I. Allergy, 36, 273—283 (1965).

R e i n b e r g A., Hours of changing responsiveness in relation to allergy and the circadian adrenal cycle, In Circadian Clocks (See Ref. 4), 214—218.

Matthews J. H., Marte E., Halberg F., Fluothane toxicity in mice studied by indirect periodicity analysis, In Toxicity of Anesthetics, 197—208 (Fink, B. R., Ed., Williams & Wilkins. Baltimore, 1968).

McHugh R. B., Validity and efficiency in the design of transverse physiologic periodicity experiments, In The Cellular Aspects of Biorhythms (See Ref. 292), 61-86.

McGeer E. G., McGeer P. L., Circadian rhythm in pineal tyrosine hydroxylase, Science, 143, 73—74 (1966).

Haus E., Periodisity in response and susceptibility to environmental stimuli, Ann. N. Y. Acad. ScL, 117, 292—319 (1964).

Bliss С. I., Blevins D. L., The analysis of seasonal variation in measles. Am. J. Hyg., 70, 328—334 (1959).

Bliss С. I., Fleischer D. A., The analysis in angles of a microbial experiment,' Biometrics, 20, 883—891 (1964).

Minis D., Pittendrigh C., Circadian oscillation controlling hatching: ontogeny during embroyogenesis of a moth, Science, 159, 534—536 (1968).

Hellbrugge T., Lange J. E., Rutenfranz J., Stehr K-, Circadian periodicity of physiological functions in different stages of infancy and childhood, Ann. N. Y. Acad. ScL, 117, 361—373 (1964).

H e 11 b r u g ge T., Zeitliche Strukturen in der kindlichen Entwicklung. Monatsschr. Kinderheilk., 113, 252—262 (1965).

H e 11 b r u g ge T., Uber tageszeitlipne Veranderungen der physiologischen Leistungsbereitschaft bei Schulkinderh, Fortschr. Med., 78, 41—44 (1960).

Hellbrugge T., P ech s t e tn Л,- U 11 ner R., R e in d 1 K., Zum Verstan- dnis der Periodik-Analyse in der Medizin, Fortschr. Med., 7, 289—295 (1967).

Martin-du-Pan R., L’apparition du rythme circadien des 17-hydroxyste- roides chez nourisson. Sa modification sous 1’effet de la consommation de corticosteroides, Praxis, 56, 138—144 (1967).

Frazier T. W., Rummel J. A., Lipscomb H. S., Circadian variability in vigilance performance, Aerospace Med., 39, 383—395 (1968).

В a i 11 a u d L., Variations d’une periodicite endogene normalement circadien- ne affectant le degagement des entre-noeuds de la Bryone, Bryonia dioica, en fonction de facteurs agissant sur la vitesse de croissance, Z. Pflamenphy- slot, 57, 203—205 (1967).

Helmchen H., Kunkel H., Selbach H., Periodische Einfliisse auf die individuate Haufigkeit cerebraler Anfalle, Arch. Psychiat. Z. Ges. Neurol., 206, 293—308 (1964).

Yoshimura H., Seasonal changes in human body fluids, Japan, J. Physiol., 8, 165—179 (1958).

S u e d a T., Schwankungen im 24-Stunden Rhythmus bei manisch-depressiven Kranksein — Pathophysiologic des manisch-depressiven Krankseins, Psychiat. Neurol. Japon., 9, 1449—1485 (1962).

Tamura A., Changes of diurnal rhythm of Na-, K- and Ca-excretion in urine with disorders in brain, Psychiat. Neurol. Japon., 5, 405—423 (1965).

Watanabe G.-L, Huyama T., Climatic effect on the alkaline phosphatase activity in human serum, Ja^an, J. Med, Progr., 43, 480—489 (1956),

Rutenfranz J., Singer R., Untersuchungen zur Frage einer Abhangig- keit der Alkoholwirkung von der Tageszeit, Intern. Z. Angew. Physiol, 24, 1—17 (1967).

Hayashi K-, Ota M., Kato M., Chiba Y., Narita A., Seasonal and diurnal activities of biting insect attacking grazing cattle, with special reference to repellent-spraying, Japan. J. Zootech. Scl, 38, 376—384 (1967).

Hildebrandt G., Rhythmus und Regulation unter b^sonderer Beriicksich- tigung der Blutdruckregulation, Z. Ges. Inn. Med., 22, 206—213 (1967).

Kaiser I. H., Effect of a 28-hour day on ovulation and reproduction in mice, Am. J. Obstet. Gynecol., 99, 772—784 (1967).

Mohler S. R., Fatigue in aviation activities, Aerospace Med., 37, 722—732 (1966).•

Mohler S. R., D i 11 e J. R., Gibbons H. L., The time zone and circadian rhythms in relation to aircraft occupants taking long-distance flights, Am. J. Public Health, 50, 1404—1409 (1968).

Holmgren H., Swensson A., Der Einfluss des Lichtes auf den 24-Stun- den-Rhythmus der Aktivitat, des Leberglykogens und der Korpertemperatur, Acta Med. Scand. Suppl. 278, 71—76 (1953).

Jurkevich I., Non-linear regression analysis and analysis of variance of periods defined by irregular observations. NASA Publ. NASA-CR-465 (1966).

Коваров Ф. И., Захаров Л. В., Лисовский В. А., Суточный ритм, Ленинград, «Медицина», 1966.

Behavioral Problems in Aerospace Medicine, Conf. Proc. 25 of Advisory Group for Aerospace Research & Development, NATO (Tech. Editing and Reproduction Ltd., London, 1967).'

Cumming B. G., Wagner E., Rhythmic processes in plants, Arm. Rev. Plant Physiol, 19, 381—416 (1968).

Lungu Al. Orologiile biologice (Editura $tiintific£, Bucure^ti, 237 pp., 1968).

Szczepanska E., Preibisz J., Drzewiecki K., Kozlowski S., Studies on the circadian rhythm of variations of the blood antidiuretic hormone in humans, Polish Med. J., 7, 517—523 (1968).

СОДЕРЖАНИЕ

Э. Р. Берлекэмп.Блоковое кодирование для двоичного симметричного ка- ' нала с обратной связью без шума и без задержки. Перевод Б. С. Цыба- кова 5

П. С. Ландвебер. Три теоремы о грамматиках непосредственных состав- < ляющих типа 1. Перевод А. А. Мучника ЗЙ

С. И. Курода. Классы языков и линейно ограниченные автоматы. Перевод

1

Д. П р а в и ц. Достижения и проблемы в развитии процедур механического доказательства. Перевод С. В. Попова52

Р. Ковальски и П. Дж. X а й с. Семантические деревья в автоматическом . поиске доказательств. Перевод С. В. Попова.66

А. В. А х о у, П. Д. Д е н н и н г, Д. Д. Ульман. Принципы оптимального замещения страниц. Перевод Л. А. Позднякова84

А. Ф р и д м а н. Об определении дифференциальных игр и существовании значения игры и седловых точек. Перевод Л. И; Булыгиной103

А. Фридман. Существование значения и седловых точек для дифференциальных игр преследования и уклонения. Перевод Л. И. Булыгиной . 127

А. Фридман. Существование значения и седловых точек для дифференциальных игр на выживание. Перевод Л. И. Булыгиной146

А. Фридман. Дифференциальные игры с ограниченными фазовыми координатами. Перевод Л. И. Булыгиной161

Ф. Гальберг. Хронобиология. Перевод Л. Я. Лейфмана189

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,.

качестве перевода и другие просим присылать по адресу:i

129820, Москва, И-ПО, ГСП, 1-й Рижский пер., 2,j

' издательство «Мир».]

дели М, дизъюнкт С содержит литеры Lb L2, .... Lq и L, е Ег для каждого

i = 1, 2, ..., q, то клаш {Еь Е2, ..., Eq, С} называется М-клашем (или семантическим клашем) в Т. Отметим, что ядро С истинно в М. Резольвента называется

фундаментальной М-резольвентой. Например, в фундаментальной модели М = ЛЬ Л2, П^з, Л4, ПЛ5, Лб, ПЛ7, Л8, ПЛ9 множество {{ПЛ2УПЛ4УЛ3}, {ЙЛ4\/~1Лб\/Лз\/Л5}, {ПЛбУПЛзУЛгУЛд} является М-клашем. Фундаменталь

ная М-резольвента — это дизъюнкт ПЛ^ПЛбУПЛзУ ЛзУ Л9'}.

В дополнение к предположению, сделанному в определении М-клаша, предположим, что А — упорядочение атомов в Т. Это значит, что А является последовательностью Л1, Л2, ..., Ак всех атомоц в Т, в которой Л1’ больше А^ если i>/. Если | Li | — наибольший атом в Еь то М-клаш называется АМ-клашем (или семантическим А-клашем).

Если L — литера, то |L|—соответствующий атом. Другими словами, если А — атом, то | ПЛ 1 = [Л | = Л. — Прим, перев.

отображение Zi X • • • X ^j-i в Yj. Однако Серрин заметил, что Гб» / должно зависеть также от ^-управления на к (Гб./ может не зависеть явно от Гб,2»*--

5. УРАВНЕНИЕ БЕЛЛМАНА —АЙЗЕКСА

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ

■ В этом параграфе мы рассмотрим частный случай, когда

X = ^х; хт^0},дХи = дХ = (х; хт = 0}.}

Пусть выполнены следующие два условия:

(Р1)■ .

(а) У = У1ХГ2> где Yt с Rp\ Y2cRp\ p,+p2 = p;

(b) запишем у = {у', у"), где у е Y, y'eYv, y"eY2 и х' = = (%,, .хт_х\ Тогда для любых /е[0, Т], х' eRm~\ u"gY2

max minfm(/, x',0, у', у", z) > 0;(3.2)

Кибернетическийсборник

НОВАЯ СЕРИЯ

■ВЫПУСК

9

- ■ ■ Сборник переводов

Под редакциейА. А. ЛЯПУНОВА и О. Б. ЛУПАНОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР*

Москва 1972

УДК 519.95

Научный совет по кибернетике Академии наук СССР

Девятый выпуск новой серии кибернетических сборников охватывает два направления: математические вопросы и прикладные вопросы. '

К первому направлению относятся работы по теории кодирования, математической лингвистике, по вопросам автоматического поиска доказательств и др. Особый интерес представляет серия из четырех статей А. Фридмана по теории дифференциальных игр и статья Э. Берлекэмпа по теории кодирования.

Ко второму относится обзорная статья Ф. Гальберга по хронобиологии, содержащая большой фактический материал и обширную библиографию.

Сборник рассчитан на научных работников, инженеров, аспирантов и студентов различных специальностей, занимающихся и интересующихся математической кибернетикой и ее приложениями.

Редакция литературы по математическим наукам

2-2-3

10-71'