1 Упражнения -

Вычислить порядок числа 2 в группах /?д, /?*5.

Воспользоваться результатом упражнения 1 для определения степени поля FaW, где & принадлежит показателю 9 и к принадлежит показателю 15.

Пусть I=Fq\y\ — кольцо полиномов от неизвестного у над полем Fq. Показать, что отображение k-^k* есть автоморфизм кольца / над Fq.

Следующий результат принадлежит А. Глисону и Р. Маршу. Пусть f(x)—неприводимый полином степени п в кольце ^дИ. Тогда yf(S)=yg(y), где §(у) имеет степень qn— 1. Из этого следует, что g^ неприводим в том и только в том случае, если f(x) первообразный полином). Использовать этот результат для построения неприводимых над F2 полиномов 6-й и 63-й степеней.

Полиномы, принадлежащие простому показателю. Полином

xe-i + ^-2+'... +х+1 (32)

неприводим в поле F = Fq тогда и только тогда, когда класс вычетов в кольце Re, содержащий q, имеет порядок ф(е). Это может случиться только тогда, когда е — простое и q — первообразный корень по модулю е.

Рассмотрим теперь случай, когда е — простое и к—такой первообразный корень степени е из единицы, что степень Р^к) над F — четное число.

Теорема 16. Пусть е— простое, к — первообразный корень степени е из единицы; степень K—F^ над F равна т = = 2р. Тогда отображение к-*к~г индуцирует автоморфизм Т поля К над F, Т имеет порядок 2, степень поля К над L = = F (k + k~}) равна 2 и L — такое подполе поля К» что аТ=а для всех а € L.

Теорема 14 определяет т как такое наименьшее целое, что qm=\ (mode). В таком случае q^— 1 не кратно е. Так как е —> простой делитель числа qm—1 = ^—1)(^^+1), то q^=—1 (mode). Опираясь на теорему 9, видим, что отображение х—►х^ представляет собой образующий автоморфизм S поля Fq^ над F q. Следовательно, xS^ =xqX\ и условия ке=1 и ^=—1 (mode) означают,. что kS^ = k~V Таким образом, Т = = 5^ — автоморфизм поля К над F, который индуцируется отображением к—к~\ так как Т в таком случае есть автоморфизм Г. р(А) = ро+р^+ ... +pm-i^-1-*[PW]7' =

^Po + Pi^ !+ ••• +Pm-i^1 m- Так как к — корень уравнения

х2 — (А+Аг^х+^О, (33)

то степень поля К над Л0=/7(й + й-1) не превосходит 2. Теперь1) [^ : F] = [^ : Ло] [^о • Л и Ло есть подполе поля L, такого, что для а 6 Л, аТ = а и [Л : Z7] = р,. Следовательно, ^:Л0] = 2, [Lo: Л = Р и Л = Л0.

Предыдущий результат и излагаемое ниже следствие из него были впервые доказаны для случая q — ^ У. А. Блэнкиншипом,

Теорема 17. Пусть к — первообразный корень степени е из единицы, определяющий поле Fq(k) четной степени 2ц над Fq, и пусть е — нечетное простое число. Тогда период элемента 1 +к* равен е&ь где б< взаимно просто с е при t = 1, 2,..., е — 1.

Действительно, степень поля F^k-Vk^ равна ц, и, значит, период 6о элемента к + к*х является делителем числа q^—1. Так как q^— 1 не кратно е, то е и 60 взаимно просты. Но период произведения двух элементов равен общему наименьшему кратному периодов этих элементов, и поэтому период элемента k(k + k~x} =1 + й2 равен ебо- Так как е = 2е—1 нечетно, то е и е взаимно просты, а потому к^~кй— первообразный корень степени е из единицы. По той же причине 1 +Л2е= 1 +^ имеет период ебь где 61 и е взаимно просты. Но тогда это верно и для каждого первообразного корня степени е из единицы, и потому 1+&* имеет период е^и где 6t и е взаимно просты при 0</<е.

Очевидно, если у^ + й"1)—любой элемент поля F^k+jr^, то период элемента к^(к + к~х) равен бе, где 6 и е взаимно просты. Например, период элемента к (А^+А^) = к1^х_+;кх^ равен Л • е, где Л и е взаимно просты.

'Упражнения

Найти 10 простых чисел е, таких, что полином (хе — 1) (х — I)"1 неприводим над F2.

Найти степень поля Р2^ над F2, где g— первообразный корень 7-й степени из единицы. Указание: воспользоваться приложением I.

Найти первое простое р, такое, что (х23—1)(х—I)-1 неприводим над Гр.

Пусть & — первообразный корень 5-й степени из единицы над Р2. Найти период элемента 1+^. (Проверьте ваш результат, сравнивая с приложением III.)

Доказать, что х^+х0-2-!- ... +х+1 неприводим над Fq, только если е — простое число. Указание: применить теорему 14.

Построение неприводимых полиномов. Покажем, как можно получить одни неприводимые полиномы из других. Начнем с вывода леммы.

Лемма 2. Пусть ^х^—неприводимый над Fq полином степени m, e=^qm—l)^1 — целое число, которому принадлежит f(x), и л — просюй делитель числа е, не являющийся делителем числа d. Тогда }(хЛ) неприводим над Fq и принадлежит показателю ел.

Действительно, /(х) определяет поле K=Fq(k) степени m над Fq, где к имеет период е. Известно, что уравнение хЛ = к либо неприводимо в К, либо имеет корень в К. Заметим, что если порядок циклической группы есть v = e6 и h — ее элемент порядка е, то в качестве порождающего элемента группы можно взять элемент g, определяемый соотношением h=g\ В силу последнего замечания и условия леммы положим k = hd, где h порождает К*. Корнем уравнения хЛ = к в поле К будет такой элемент ha, что Аал = £, han”d=l. Тогда ал — d должно делиться на qm— 1, а это означает, что ал — d делится на л, в то время, как d не кратно л. В таком случае уравнение хЛ = к определяет поле Z=K(2) степени л над К и Z имеет степень лт над Fq. Но 2Л = к, значит, Рд(2)тэК и поле Fq{z) = /((2) имеет степень л-m над Fq. Так как 2 является корнем уравнения /(хл)=0 степени тл, то левая его часть должна быть минимальной функцией1) от 2 над Fq и полином ЦхЛ) неприводим в Fq. Если период, элемента г равен о, то га = 2ал = ^а = 1 и о = ео0. Ног6Л = ^=1, а потому ел кратно о, и л кратно о0. Если Оо=1, то 2 имеет период е и является степенью элемента к.

что невозможно. Отсюда Оо=л, период элемента 2 равен ел и [(хп) принадлежит показателю ел.

Применим лемму 2 для доказательства одного ее обобщения, относящегося к случаю, когда рассматриваются все простые делители числа е, взаимно простые с d. Сохраняются все условия леммы 2 и вводится одно дополнительное.

Теорема 18. Пусть fi(x), UkxV • • •, /о(х) (о' = т"1ср(е)) — различные неприводимые над Fq нормированные полиномы, каждый из которых принадлежит показателю

е-^т — 1)сМ (34)

и имеет степень т. Пусть далее t — такое целое число, что все его простые делители являются также делителями числа е, но не являются делителями числа d. Положим также, что t ф О (mod 4), если qm = —1 (mod 4). Тогда полиномы fi(xt), f2(*9, ..., fa(xl) исчерпывают множество нормированных полиномов степени mt над Fq, принадлежащих показателю et.

Результат тривиален при /=1. Предположим, что он справедлив для всех натуральных to<t. Так как все простые делители числа являются делителями числа е, тое = р^1 ... р^^ et = = Pil ... р^.гдер^^ >0. Тогда <р(е)=е(1—р1"1) ... (1—р?1) и (p(et) = et (1 — д-1)... (1—р^1). Отсюда е“!ф(е) = (e/)"^(e/)ft Но тогда

(mt)-1 ср (et) = (т,-1 в) (et)~!ф (et) = (m- ге) е-1ц)(е) = о. (35)

В таком случае из теоремы 15 следует, что число неприводимых полиномов степени mt, принадлежащих показателю et, в точности совпадает с числом неприводимых полиномов степени т, принадлежащих показателю е. Запишем теперь t в виде / = л/о, где л — простое число. Если / = л, то наше утверждение немедленно следует из леммы 2. В противном случае to<t, и, применяя лемму 2, мы видим, что каждый из (тл)"1ф(ел) полиномов Ь(хп), ..., f0(xn) степени тл неприводим и принадлежит показателю ел. Покажем теперь, что каждый простой делитель числа to является делителем числа ел и взаимно прост с d0= = (9m3t— 1) (ел)"1. Действительно,

(q^— 1) = у(^_ 1), ^ = qm^-i)^_ ^т^х. (36)

Поэтому до= (qmn—1) (ел)"1=[(9т—1)е*1]ул"1 = б?ул"1. Если Ло любой простой делитель числа в, взаимно простого с d, то qmit—y=^qm—i^—^y кратно Ло. Итак, d0 кратно Ло в том и только в том случае, если ул"1 кратно Ло. Но qm=\ (шобло),

qm=l (mod л) и, значит, у = 0 (mod л), Y^л(modлo). Если ло^л, то ул-1 = 1 (mod л0). Если Ло — л, то ^тг(1+6л) (mod л2), где 0-<6<л, и

qme= (1 4-е5л) (mod л2) (е = 0, 1, ..., л — 1).

Таким образом, у=л + дл=^-л(л—1)(тобл2), ул"1^!^-^^— — 1)-^- л (mod л). Но тогда ул"1 не кратно л, если л=£2. Если л = 2 = л0, имеем у = ^т+1, и если ^m+l=0 (mod 4), то наше предположение, что d0 не кратно Ло, не выполняется. Поэтому мы должны предположить, что^т=1 (mod 4), если/=0 (mod 4). Но из qm=\ (mod 4) следует, что у=2 (mod 4), ул-1=1 (mod 2) и, значит, снова Ло и dQ взаимно просты. Таким образом, мы показали, что условиям теоремы удовлетворяют полиномы Л(хл), ..., Ш Для /о и из предположения индукции следует, что fi(xz), ..., fot^) исчерпывают множество неприводимых полиномов степени mt, принадлежащих показателю et.

Следствием из теоремы 18 является следующий результат:

Теорема 19. Пусть р — первообразный элемент поля Fq; t — целое число, все простые делители которого являются делителями числа q— 1; г — любое целое, взаимно простое с t; d— наибольший общий делитель чисел г и q—1; q= \ (mod 4), если / = 0(mod4). Тогда нормированные неприводимые над Fq полиномы степени t, которые принадлежат показателю t(^q — l)^"1, имеют вид х1 — рг.

В самом деле, нормированные неприводимые полиномы первой степени, которые принадлежат показателю (q—l)^”1, имеют вид х—рг, где г пробегает все целые rod (г0 взаимно просто с (q—l)^-1). Тогда d— наибольший общий делитель чисел г и q—1, и наше утверждение сразу следует из теоремы 18.

Заметим, что теорема 19 дает все биномы, неприводимые над Fq. Действительно, t и г должны быть взаимно просты, так как в противном случае бином х1 — рг тривиальным образом оказывается приводимым. Если t содержит простой делитель л, который не является делителем q— 1, то уравнение хл = рг приводимо, так как существует такое число Л1, что ЛЛ1=1 (mod 7— 1) и (р^^Г = РГ- Но тогда xf —рг=х^— рг кратно Xs — pV.

Особый случай. В этом разделе мы положим qm= =—1 (mod 4). Тогда q— нечетно, ^2а=1 (mod 4) и потому m — нечетно, q = —1 (mod 4).

Теорема 20. Пусть заданы о = т-х^^ неприводимых над Fq нормированных полиномов fi(x), ./а(х) нечетной степени т, принадлежащих четному показателю e=(qm—l)^"1; пусть далее

q^x—\, t^r (к, у >2), (37) где тит нечетны, и все простые делители числа t являются также делителями числа е, но не являются делителями d; пусть, наконец, к — меньшее из чисел и и и. Тогда каждый из полиномов fAx1) разлагается в произведение ^к-х неприводимых над Fq нормированных полиномов gaW степени т№*к. 2ft-1o полиномов gtAx^ исчерпывают все множество неприводимых' нормированных полиномов степени mt 21~\ принадлежащих показателю et.

Действительно, по теореме 18 полиномы foi(*)=A(*r) исчерпывают множество, содержащее (jnr^qAeF) нормированных полиномов нечетной степени mr, принадлежащих четному показателю ег. Таким образом, доказательство нашей теоремы сведено к случаю 1 = 2^.

Если г—первообразный корень степени е из единицы и е четно, то каждый корень уравнения х2 = 2— первообразный корень степени 2е из единицы. Это следует из того, что циклическая мультипликативная группа {х}, порожденная элементом х, имеет порядок, не превосходящий 2е, и содержит группу {2} порядка е в качестве своей подгруппы. Таким образом, порядок группы (х) равен либо е, либо 2е. Если порядок элемента х равен е, то х=2а, х2 = 22а=2 и 22d“1 = l, в то время как е четно. По индукции заключаем, что корни уравнения хг = х— первообразные корни степени et из единицы. Тогда все корни полинома fi^) принадлежат показателю et. Из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 15, следует, что все первообразные корни степени et из единицы порождают поля одинаковой степени ц над Fq, и, действительно, ц — такое наименьшее натуральное число, что q^=\ (mode/). Следовательно,

ti^^guW ...gis(x) (i=l, ...,о), (38)

где все полиномы gaW неприводимы над Fq и имеют одинаковую степень ц. Таким образом,

s\x.=mt. _ (39)

Если 6 — корень уравнения /Дх')=0, то ЕДО) ^> ЕДО') степени m над Fq и, значит, ц кратно m, p = mX, t кратно X и К есть степень числа 2. Далее: Х¥=1, так как в противном случае qm—1=0 (mod/) и ^m=l(mod4) вопреки предположению. Теперь q*—l = (^m—l)d=ed$, где б = 1-E^d-... Н-^-*)”1,

Поэтому X есть такое наименьшее натуральное число, что 6 кратно t. Вычислим X.

Так как q и m нечетны, то 9т+1 = (9+1) (д™-1— 9т~2+... . .. + 92—9+1) = 2ите, где е — сумма m нечетных (положительных и отрицательных) целых чисел и само нечетно. Тогда qm = = 2и^—1, где £ нечетно. Для вычисления q^=^2u^—1)х применим биномиальную теорему, в результате чего получим

^„1 _2^ Г . z(z-i) „

0— 1 — 2^ — 2 L Л '22

±ом2“(р-1ЧР"1 ± ...] , (40)

где ох, |3 — обычный биномиальный коэффициент. Так как каждый член, начиная со второго, в квадратных скобках равенства (40) делится на степень числа 2, которая выше, чем степень числа 2, делящая первый член, то 6 кратно t тогда и только тогда, когда 2и~1Х кратно /, т. е. й4^-1^ — целое число. Если и>. и, то наименьшее четное целое число X, для которого это справедливо, есть Х = 2 = 2Х~Ч = 2Х~Ч. Если и<и, то к = и и 2^-v-ix будет целым тогда и только тогда, когда X кратно 2iH-Y-u = 2x-ht. Следовательно, во всех случаях

Х = 21-^, ц = т/21Л(41)

что и требовалось. Теперь, применяя (35), вычисляем о:

о —= 1(42}

m mt 2й-1 и'

В таком случае ц-1ср(е/) =2А'"1о представляет собой число нормированных неприводимых полиномов степени ц, принадлежащих показателю et по теореме 15. Теперь sp, = smX — st2x~hm = = mt и, значит, s = 2k~x. Этим завершается доказательство теоремы.

Неприводимые полиномы четной степени. Изложим способ построения неприводимых полиномов четной степени t над таким полем Fq, что 9 = 2^т — 1, где т нечетно и ф > 2. Будем считать, что все простые делители числа t являются также делителями числа q — 1, и пусть

v = y/, у = 2^.(43)

Тогда v кратно 21 = 2^. Если р — первообразный корень в Fq и 5 — любое целое число, взаимно простое с /, то полином х— ps принадлежит показателю (9—l)^1, где d— наибольший общий делитель чисел s и 9—1, причем v и d взаимно просты. Применяя теорему 20, видим, что xv — ps есть произведение у неприводимых полиномов степени / в ^[х]. Найдем эти полиномы.

Так как у и ~-(^—1) взаимно просты, то существуют такие целые числа а0 и р0, что

Уао~у(^—b₽o =(44)

Умножив равенство (44) на четное число s + ^-(^—1), получим такие целые числа аир, что

2ау —(?—l)p = s + y(^_ 1).(45)

Так как р — первообразный корень в Fq, имеем рб =— 1, где ^ = ^(Q—1)> и тогда

xv — р$ = х^1 + p2“Y.(46)

Теорема 21. Все корни уравнения

ф^нч? 2 (-S^jr^"2ft+2=0(4?)

к-1

принадлежат полю Fq. Имеет место разложение

V

Х^ р2ау — Ц X1 — ^paX^ * — р2а(48)

1

бинома Xs — р$ на неприводимые множители х1 — ^р”^1 — р2а кольца ^[х], где ^j —корни уравнения Ф(£) = 0.

В самом деле, корни квадратного уравнения

х2 —gx —1=0(49)

равны т) и —т)-1. Согласно формуле Варинга, сумма у-х степеней корней уравнения (49) равна Ф(£). Таким образом, из

(50)

следует, что

Ф® = Лу + 9-^(51)

Следовательно, если^==т1/— 'Пу1 — К0Рень уравнения Ф(£) =

=0, то

^ = -1.(52)

Так как q-V 1 = 2ут (т нечетно), то

ц^1 = — 1, ц» = — -qj1.(53)

Но тогда в поле Fq^)

———(54)

Следовательно, ^ должно принадлежать полю Fq. Тогда фа)=уЙа-^)=^+^(55)

есть тождество. Подставив

п = х™<р-, Е=л-1=^»(56)

в равенство (55) и освободившись от знаменателей, получим тождество (48).

Приложения. Применим результаты разд. 8 для построения некоторых неприводимых полиномов.

Пусть сначала q = 4. Тогда F4 = F2(to), где o)2 + (d + 1=O, т. е. о) — первообразный корень третьей степени из единицы. Применив теорему 19 для случая / = 3, увидим, что неприводимыми над F4 полиномами третьей степени, которые принадлежат показателю 9, являются х3 — о) и х3 — о)2. Их произведение х6—(о) + о)2)х3+1 =х6 + х3+1—неприводимый над F2 полином шестой степени, принадлежащий показателю 9. Его восьмеричное представление 111 содержится в таблице приложения IV. Аналогично этому полиномами степени 9 над F4l которые принадлежат показателю 27, являются х9— о и х9 — о2, и х18+] + х9+1 — неприводимый над F2 полином степени 18, принадлежащий показателю 27.

Положим теперь q = b. Можно взять / = 4 = ^— 1 и р = 2. Тогда неприводимыми над F^ полиномами 4-й степени будут х4 — 2 их4 — 23 = х4 — 3.

Возьмем q = l, р = 5. Тогда при / = 2 получим неприводимые полиномы второй степени х2—5, х2+1 и х2—3, принадлежащие соответственно показателям 12, 4 и 12. При / = 3 и г= 1, 2, 4 и 5 мы получим соответственно полиномы

х3 — 5, х3 — 4, х3 — 2, х3 — 3,неприводимые в Fq и принадлежащие показателям 18, 9, 9 и 18.

Наконец, пусть q = 8. Тогда, согласно приложению III, можно положить /^/^(р), где р — первообразный корень седьмой степени из единицы и р3 = р+1. При /=7 и г=1, 2, 3, 4, 5, 6 получим неприводимые полиномы

х7 — р, х7 — р2, х7 — р3, х7 — р4, х7 — р5 и х7 — р6.

Элементами, сопряженными с р, будут р2 и р4, а с р3 — элементы р6 и р12 = р5. Отсюда полином (х7—р) (х7—р2) (х7—р4) =

= х21—(р + р2 + р4)х14 + (рр2 + рр4 + р2р4)х7—1 = х21 + х7 +1 = h^ неприводим над F2 и принадлежит показателю 49. Корни полинома (х7—р3) (х7—р6) (х7—р5) = х21 +х14+1 взаимно обратны корням полинома А(х), а потому сам полином х21+х14+1 также принадлежит показателю 49.

Рассмотрим пример применения теоремы 18. Пусть 9 = 2, т = 4. Согласно приложению IV, неприводимыми полиномами 4-й степени, принадлежащими показателю 15, будут полиномы х4 + х+1 и х4 + х3+1. Тогда неприводимыми над Р2 полиномами 12-й степени, принадлежащими показателю 45, будут х12+х3+1 и х12 + х9+1. Неприводимыми полиномами 20-й степени, принадлежащими показателю 75, будут х20+х5+1 и х20+х15+1. Наконец, неприводимыми полиномами 60-й степени, принадлежащими показателю 225, будут х60 + х15+1 и х60+х45+1.

В заключение рассмотрим пример применения теоремы 21. Положим 9 = 7 = 23— 1 и t = 4. Тогда имеем v=16 и попытаемся разложить

xi6_5s ($ = 1,3,5).(57)

Уравнение

Ф(£) =£4 + 4£2 + 2

имеет своими корнями £=1, —1, 3, —3. Кроме того,

х^6 —5s = x16 + 5s+3=x16^ (s + 3 = 2a = 4, 6, 8).

Так как 58о = 52а (mod 7), то уравнение (48) принимает вид

х16 + 52“ = П -«4 — ^х2 — 52“(58)

над РР Тогда

х16 + 4 = (х4 — х2 — 4) (х4 + х2 — 4) (х4 — 2х2 — 4) (х4 + 2х2 — 4), х16 + 2 = (х4 — 2х2 — 2) (х4 + 2х2 — 2) (х4 — 4х2 — 2) (х4 + 4х2-2), х16 + 1 = (х4 — х2— 1)(х4 + х2 — 1)(х4 — 4х2 — 1)(х4 + 4х2— 1) представляют собой требуемые разложения.

Упражнения

Построить неприводимый над F3 полином 4-й степени. Результат использовать для построения неприводимого над Fa полинома 8-й степени.

Результат примера 1 использовать для построения неприводимого над Fa полинома 16-й степени.

Найти неприводимый над FX6 полином 3-й степени; использовать приложение IV и найти неприводимый над Fa полином 12-й степени.

Найти неприводимый над Fxa полином 5-й степени и неприводимый над Fa полином 20-й степени.

Полиномы степени р над F^ q = pn. В этом разделе мы получим следующий основной результат1).

Теорема 22. Полином Vx? — Хх — р (Х¥=0, X € Fq) неприводим над Fq, где q=pn тогда и только тогда, когда след aPqlFp^ + 01

В самом деле, полином AW3 — Хх — р неприводим над Fq тогда и только тогда, когда х? — х — р неприводим в Г9[х]. Полином х? — х — р приводим тогда и только тогда, когда уравнение хр — х=р имеет в Fq корень у. Но отображение

*) Для удобства чтения этого раздела и разд. 15 приведем некоторые дополнительные сведения из теории полей. Элемент z, являющийся корнем неприводимого в Г[х] полинома f(x), не имеющего в расширении поля F кратных корней, называется сепарабельным над F. Поле K^F называется сепарабельным над F, если все его элементы сепарабельны над F. Пусть К — сепарабельное расширение поля F степени п над F. Тогда K=F^, где z— сепарабельный элемент. Минимальная функция от г f(х) —xn + aixn~1 + + ...+ап над полем F есть неприводимый полином и в поле N=F(zi, 4.., zn) разложения этого полинома

f(x) = (x —Z1) ... (х —zn).

Можно положить z=zi и N^K. Каждый элемент & поля К можно единственным образом представить в виде

&=Y(z)=Yo+Yi2+ - +Yn~izn”1

(Yo, Yu

..., Yn-i £FV

Положим

- 0

1

0...

0

0 -

0

0

1...

0

0

cf =

0

0

0

0

1

ап

—«zz-l

a/Z-2 •••

«2

— «1 _

(эту матрицу называют «сопровождающей» матрицей для полинома f(x)). Отображение

&=у(2) ->Y(Q=Y(/+Yi£+Y2C2+ • •• +Yn-iCn”1

является изоморфным отображением поля К на поле Г[с] всех полиномов от матрицы С.

Характеристический полином f(x;£)=|x/— у (с) | матрицы у(с) имеет степень п и называется характеристической функцией элемента к. Символом Ok/fw обозначается след матрицы у(с), взятый с обратным знаком. Коэффициент при Хп-1 полинома f(x,k) равен — Ok/fW; Gk/f№ называют также следом элемента к в поле К над F. Легко видеть, что для любых а £ F, к, h £ К

ок/р(ак)=аок/р(к)> OK/p(h+k) =aK/p(h) +вК/р(к), oK/F(a) —па.

Имеет место теорема:- если поле К циклично над F, то aK/p(g) =0 тогда и только тогда, когда g—kS— к, где & —некоторый элемент поля К, а автоморфизм S порождает группу Галуа поля К над F. — Прим, перев.

х—* xv является порождающим автоморфизмом поля Fq над Fp, и наше утверждение непосредственно следует из того, что элемент поля K=Fq имеет нулевой след в том и только в том случае, когда он представим в виде kS — к для некоторого к^К, где S — автоморфизм, порождающий группу Галуа поля К над F. Этот результат можно теперь применить следующим образом:

Теорема 23. Пусть

f(x) =xm + aixm~1+ ... Tam (aj € Fq)(59)

— неприводимый над Fq полином степени m и q=pn. Тогда если «i + «i + ••• +ai 1 + 0, то полином f(xP — х) является неприводимым над Fq полиномом степени pm.

Действительно, пусть £—корень уравнения f(x)=O, F = FP, L = Fq и K=Fq^. Тогда корни уравнения f(x)=O равны

6. ^q,и — а1 = о№(1) и

Ok/f(У = Clif [Qk/l (У] = — ^//'(«i) =# 0.(60)

По теореме 22 полином уР— у — £ неприводим над К. Он определяет поле /((л) степени тр над Fq. Так как у=-цР—т) принадлежит полю FqM, то поле ^(л) = ^(л) имеет степень тр над Fqi f (т^— л)=0, т] — корень полинома Цхр— х) степени тр из кольца ^[х], и Цхр— х) неприводим над Fq.

Упражнения

Применяя теорему 22, найти неприводимый над F4 полином второй степени. Используя этот результат, найти неприводимый над Р2 полином 4-й степени.

Найти неприводимый над Г2 полином 6-й степени, применяя теорему 23.

Теорема Диксона. Ниже для r = q формулируется результат Л. Е. Диксона, см. Transactions of the American Mathematical Society, XII (1911), 98.

Теорема 24. Пусть 6 — первообразный элемент поля Fq, q — pn, р — произвольный элемент поля Fq и r=pm>2, где m— делитель числа п. Тогда полином

f^=xT — tix^(61)

является произведением линейного полинома и неприводимого над полем Fq полинома степени г — 1.

Из того, что Г(х)=—9¥=0, следует, что f(x) — сепарабельный полином. Так как г>2, то пусть g и л— два различных

корня уравнения f(x)=O в его поле разложения. Тогда ^г — ~ Ц'^ (£ " л)г=0(£ “ Л), и поэтому (£ — т])г-1 = 0. Кроме того, г— 1=рт— 1 является делителем числа рп— 1. По теореме 19 полином х^^О неприводим над Fq и определяет поле Fq^— т]) степени г — 1 над Fq. Но Fq^— т]) с Fq^ т]), так что существует такой корень £ уравнения f(x)=O, что Fq^=FFq. Кроме того, поле Fq^ содержит элемент ^. Однако (£г— 0^ + р)^ = = ^У— 0^ + р^=(^)г— 0^ + р = О и, таким образом, Fq^— £9) —поле степени г— 1 над Fq. Следовательно, степень поля Fq^ есть такое целое число ц, что г>ц>г—1 и ц кратно г—1. Но г>2 и р может делиться на г—1 тогда и только тогда, когда г— 1=р, поле Fq^ имеет степень г— 1, и наше утверждение доказано.

Заметим, что при r = q в поле Fq легко найти корень уравнения (61). Действительно, если ^Fq, имеем ^ = ^, и потому ^ = ^9—р в том и только в том случае, когда ^(1 —0) =—р,

^ = р(0-1)-1.

Тогда xq — 0х+Р — (^-0^ + Р) = (^ — ^) — 6(х — £) =

= (х —£)Q(x), где

Q(.t)=^-i-^-4^"4 ••• +(-1Г1^-1 —е, (62)

и, значит, (62) —полином степени q— 1, неприводимый над Fq. Пусть, например, 7 = 7 и 0 = 5. Тогда, если р = 1, имеем £=

= (5-1)“‘=2.

Таким образом,

Q (х) = х6 — 2х5 + Ах^ — х3+ 2х2 — Ах — 4(63)

— неприводимый над F7 полином шестой степени.

Пусть теперь ^ = 4, так что 0 корень третьей степени из единицы. Тогда 02=1+0 и 0 — 1=02. Берем р = 02 и получаем £=1; следовательно, полином

Q(x)=x3+x2+x + 02(64)

неприводим над F^.

Упражнения

Применить теорему 24 для получения неприводимого над Р8 полинома 7-й степени.

Применить теорему 24 для получения неприводимого над F\6 полинома третьей степени.

Построение неприводимых полиномов. Полином f^ степени п. неприводимый над полем Fq. называют первообразным. если его корень 0 является первообразным элементом

поля Fq (6). В этом случае все корни полинома f(x) первообразные. Каждый отличный от нуля элемент k поля Fq^ представляется в виде

6 = 0'. (65)

Характеристическая функция

(66)

элемента в1 является полиномом степени п с коэффициентами из Fq. Если Fq^Q1) имеет степень пг над Fq, то n = mr и Л(х) = = [§>(х)]г, где g\(x)—минимальная функция над Fq элемента 0' и ее степень равна пг.

Полином ftW можно построить следующими тремя способами.

Первый способ заключается в построении сопровождающей матрицы Cf для полинома f(x). Тогда /Дх) = |х/— С^1)* Для больших значений п этот метод практически непригоден, т. к. приводит к вычислению характеристического определителя матрицы, которая является степенью другой матрицы.

Поле ^(0) является векторным пространством К с базисом 1, 0, ..., 0П-1 над Fq. Тогда 0' = ац + «i20 + ... + ащ0п“1, где элементы «ij принадлежат полю F. Вычислим значения 0W-i = an+’ai20+е е+а^ (/=1, ..., п^ и, таким образом, получим матрицу Л = («г^). Тогда А = С^ и ft(x)=\xl— Л|.

Пусть t~sp\ где s и р взаимно просты. Тогда 0' = = (0s)Sa, где S — автоморфизм х —>х?. Но тогда f<(x) =fs(x). Поэтому достаточно выбрать такое t, которое взаимно просто с р. Тогда в расширении W поля K=Fq^ существует первообразный корень со степени / из единицы, и мы видим, что из f (х) = (х — 01) ... (х — 0П), где 0 = 0ь 02 = 0ь • • •, 0л все принадлежат полю К, следует, что f(y)f(®y) •. • f ^"1у) = (<у — — 01) (coy —0i) ... (co^iy —0i) ... (у — 0Л) (coy — 0J ... (со^^ — — 9^ = ^ — 0$) ... (у'— 0^). Положив у = х^, видим, что

ft (х) = f (х1/') f (cojc^O ... f (co'-W). (67)

Теперь мы в состоянии узнать, какие из полиномов /Дх) являются неприводимыми.

Теорема 25. Пусть d—наибольший общий делитель чисел t и qn—1, так что qn— \=ed. Полином ft(x) неприводим над Fq тогда и только тогда, когда е не делит qm— 1, где пг — произвольный собственный делитель числа п.

’) |Л|— символ определителя квадратной матрицы А. —Прим. ред.

Известно, что если 6 — образующий элемент циклической группы порядка qn — 1 и d — наибольший общий делитель чисел qn—1 и /, причем 9П—\=ed, то порядок элемента 0* в этой группе равен е. Отсюда если 0 — первообразный элемент поля Fq(0), порожденного первообразным полиномом/(х), то период элемента 0* равен е. По теореме 14 степенью поля Fq^1^ будет такое наименьшее натуральное число т, что qm—1 кратно е. Более того, п делится на т. Таким образом, полином /Дх) неприводим тогда и только тогда, когда qm—1 не кратно е, где т — произвольный собственный делитель числа п.

Приведем для иллюстрации следующий пример.

Иллюстративный пример

Пусть 9 = 2, п^б. Найдем значения /, при которых полином ft(x) неприводим.„

Решение. Целое число 9П— 1=26— 1 = 63 = 32’7. Нетривиальными делителями числа 63 являются е = 3, 7, 9, 21. Собственными делителями числа п являются числа т=\, 2, 3. Тогда qm—1 = 1, 3, 7. Отсюда следует, что в случае е = 3 или 7 соответствующие полиномы приводимы. Но тогда /Цх) приводим при 0</<63 тогда и только тогда, когда t делится по меньшей мере на одно из чисел 9 или 21. Следовательно, /Цх) неприводим, кроме случаев /=9, 18, 27, 36, 45, 54, 21, 42.

Упражнения

Определить значения I, при которых полином ft (х) неприводим, если:

1.

<7=2,

п=5;

2.

<7=4,

п=3;

3.

<7=3,

п=2;

4.

<7=3,

л=3;

5.

<7=9,

п=3;

6.

<7=5,

п=4.

Кубическое преобразование. Пусть ftW =[g(x)]r, где g^x) неприводим над Fq и его степень т делит п, причем ц = = тг. Тогда отображение

Тг.

множества М всех полиномов /Цх) в себя называется кубическим преобразованием. Оно отображает полином g^ на Tc^g) =g3(x), где gaW—характеристическая функция элемента 03/ над Fqi рассматриваемого как элемент поля ^(0), и

g(0z)=O. Очевидно, Тс определяется отображением

Г: к = ^->№=кТ

мультипликативной группы К* поля К=Рд^ в К*.

Теперь ясно, что

кГ = к^.(68)

В этом случае говорят, что Тс является периодическим преобразованием на множестве полиномов hW или, что то же са‘ мое, на множестве полиномов g^x), если Т^с \ft (х)] = ft (х) при произвольном целом положительном у. Целое число у называется периодом преобразования Тс. Тогда §"|з(я) = g(x), где Р = 3\ Очевидно, Тс периодично на множестве полиномов KW тогда и только тогда, когда существуют такие целые у и s, что

(3v — 9s) t =0 (mod qn — 1).(69)

Однако к — первообразный корень степени е из единицы, где q^— \=ed, a d— наибольший общий делитель чисел tuqn— L Следовательно, Тс периодично тогда и только тогда, когда существуют такие целые у и s, что

3^ = qs (mod е).(70)

Поэтому 3 и е должны быть взаимно простыми.

Теорема 26. Пусть g(x) — неприводимый над Fq поли* ном степени т, и пусть g(x) принадлежит показателю е. Тогда кубическое преобразование g(x) g$(x) будет периодическим тогда и только тогда, когда е не кратно 3.

Когда е не кратно 3, все образы £“ кубического преобразования имеют период е и определяют одно и то же поле. Тогда соответствующие полиномы gt^x^ где / = За, все являются неприводимыми, имеют степень пг и принадлежат показателю е^ Займемся теперь вопросом о неприводимости полиномов g^x\ в случае, когда е кратно 3.

Теорема 27. Пусть g(x) — неприводимый над Fq полином степени т, принадлежащий показателю е = Зре, где е и 3 взаимно просты. Тогда gs^x) является квадратом неприводи* мого полинома в том и только в том случае, когда 171 = 2^ четно> Р=1 и qv~\ (mode). Полином g$(x) равен кубу неприводи* мого полинома тогда и только тогда, когда р>1, т = 3ц кратно 3 и ^=1 (modS^e). Во всех остальных случаях полином g$(x) неприводим.

Пусть g(£)=0, где к имеет период е. Тогда §з(я) =[Л(Х)Р> где h^—минимальная функция элемента к3 над Fq. Таким образом, степень полинома й(х) есть степень ц поля Fq(k3) над Fq и т = ц6, где F^k) имеет степень 6 над Fq(k3). Очевидно, 6¥=3, так что 6 = 1, 2 или 3. Если 6=2, то m четно, т = 2ц, qm=i (mode), ^=1 (modS^s), но q^ ф 1 (mode). Так как qm—1 = (^—1)(^^+1), то q^~— 1 (mod 3) и, значит, р=1. Обратно, если р=1, т = 2ц и ^=1 (mode), то степень поля Fq^k3) над Fq равна ц и 6=2. Если 6=3, то т = 3ц и q^ = = 1 (mod3p-1e). Если р=1, то е = 3е и q^' ф 1 (mod Зе), так как в противном случае степень поля Fq(k) над Fq не была бы равна т. Отсюда 7^ = 2 (mod 3) и //2^+^^+1 ^4+2+1 = = 1 (mod3), откуда qm = 2 (mod3), что ведет к противоречию. Таким образом, р>1. Обратно, если Р>1, т = 3 и q^ = = 1 (mod3p-1e), то степень поля Fq(k3) над Fq равна ц и, значит, 6=3. Ясно, что полином g3(x) неприводим во всех остальных случаях, т. е. когда р = 0 или р=1 и при этом т либо нечетное, либо такое четное число 2ц, что q^ ф 1 (mode), или когда р>1 и при этом т либо не кратно трем, либо если оно кратно 3, т. е. т = 3ц, тогда q^ ф 1 (mod3p-1e).

Основное преимущество кубического преобразования состоит в том, что, когда полином g^ дан, вычисление полинома gaW выполняется относительно просто. Вычисления полиномов gtW для других значений /, вероятно, слишком трудоемки.

Упражнения

Найти период отображения Тс при q=8 и е=7.

Найти период отображения Тс при ^=16 и е=5.

Определение первообразных неприводимых полиномов. Для фиксированных п и q Л. Е. Диксон (Linear Groups and the Galois Theory, p. 35—42) предложил вычислительную процедуру одновременного определения всех неприводимых над Fq первообразных полиномов степени п. Этот метод основан на формуле для произведения A(x; q, п, е) всех различных неприводимых над Fq полиномов степени /г, принадлежащих показателю е. Действительно, пусть

е = р"х -*раЛ (71)

где рг — различные простые делители числа е. Пусть 2 = = (Рь •••, Рг)—множество простых чисел р^ ^ — (Р^* ••• ..., pt^ — любое подмножество множества 5, состоящее из k

элементов, и

ц (20) = е, ц (2ft) = pi e, pt (6=1r).(72)

Положим

(ц)=^-1(73)

для всех целых положительных ц и

ОЦх) = П №)),(74)

так что Q/Дх) представляет собой произведение ог, ^ множителей, где ог, к — число сочетаний из г элементов по к. Тогда Qo(x)=xe—1. Применяя процедуру, описанную в разд. 6, получим

Л(х; q, tn, е^ = ^§г ,(75)

где

Л0(х)= П Q2ftW,(76)

О < 2k < т

Л,(Х)=П ^ft+iU).(77)

1<2/? + 1<г

Мы не будем приводить деталей вычисления. Очевидно, Л(х; q, п, qu — 1) — произведение различных неприводимых первообразных полиномов степени п.

Метод Диксона использует равенство (75) следующим образом: будем искать f (х) в виде

f(x) = x” + aix”-1+:... + ап,

где a^Fq и подлежат определению. Первообразными неприводимыми полиномами будут полиномы ft(x), где t пробегает все целые числа, меньшие чем т = ^п—1 и взаимно простые с т. Более того,

ft(x)=fd(x)

тогда и только тогда, когда 6d сопряжено с 0*, т. е. d = tqs (mod т).

Таким образом, мы можем начать с перечисления тех значений /, которые взаимно просты с т и дают различные значения полиномов А(х), а Л(х; q, п, qn — 1) — произведение этих полиномов.

Использование этого результата состоит в том, что если Л(х; q, п, qu — 1) кратно f(x), то можно написать

Л(х; q, п, qn— U^f^fo^+fi^,

где коэффициенты полинома Л(х) суть полиномы от аь ..., ап. Так как полином Л (х) должен быть равен нулю, его коэффициенты должны быть равны нулю, и мы получили систему уравнений с неизвестными аь ..., ап.

Вторая процедура состоит в следующем: если / и т взаимно просты, то существует такое целое s, что /s=l (modi). Таким образом, ftW и f(^s) имеют одни и те же корни и отсюда следует, что Цх8) является степенью полинома ft(x).

Заметим, что если

fW=o,

то к — первообразный корень из единицы, кх=\. Отсюда кхКх= —^ если т четно.

Используя полученные соотношения, часто оказывается возможным выразить полином f<(x) с помощью f(xs) и, значит, записать Л(х; q, п, qn — 1) в виде произведения полиномов, включающих только коэффициенты полинома f(x). Полученные таким образом уравнения позволяют определить как f(x), так и другие неприводимые первообразные полиномы степени п. Указанный метод проиллюстрируем примерами.

Иллюстрирующие примеры

а) Пусть q = 3, п = 2, так что f (х) = х2+ах + Ь и т=8. Тогда fW =/з(я) и f5(x) =Лб(х) =f7(x). Таким образом,

1,f5(x)f(x) = ^- = ^ + l.

Применяя равенства й8=1 и к^=—1, получаем Hk5)=ki0V + ak5A-b = k2A- (—a)кА-b. Но тогда fsto = я2 — ах + b и (х2 + + ахА-Ь)(х2 — ях-|-6) =х4+1. Это дает 2Ь = а2, 62=1, и отсюда Ь =— 1, а=1 или —1. Тогда

f(x)~x2 + x— 1, /5 (х) =Х2 — X — 1

— два неприводимых над F3 первообразных полинома второй степени.

(Первый альтернативный метод.) Запишем

х2 = — ах — Ь, х3 = — а (— ах — 6) — Ьх = (а2 — 6) х+ ab,

х4 = (6 — а2) (ах + 6) + abx = b2 + (2аЬ — а^х — а2Ь = — 1.

Отсюда а(2Ь— а2)=0, —а2Ь + Ь2 = — 1, значит, &2=1, как и выше.

(Второй альтернативный метод.) В поле Рг уравнение х2 =— 1 не имеет корней и, следовательно, определяет поле F3(A) степени 2, где к имеет период 4. Так как а2=1 для всех а^Р^ то один из элементов &+1 или к— 1 должен быть перво-

образным. Действительно, элемент Q = k — 1 — первообразный, так как 02 = А. Тогда 62 — 6—1—0. Элемент —0, также первообразный, и получаем f5(x) = х2 + х — 1.

Пусть q = b и /г = 2. Тогда т = 24, q)(24) =8 и из восьми целых чисел /, взаимно простых с т и меньших чем т, можно составить следующие пары сопряженных первообразных элементов:

0, О5; 07, 035 = 0И; 013, 965 — 917; 019, 995 = 923 = 9-1.

Заметим также, что 017= (07)"1. Теперь

f (*) f7 h (•*) кз (*) = ^Д • ++ = ^+1- = -^ — -^ + 1 •

Применяя равенства х24=1 и х12=— 1, находим f(х13) =х26+’ + ах13 + 6 = х2 — ax + 6 = fi7(x). Тогда 6f7(x)=6x2— ах+Т и 6^23 (х) = 6х2 + ах +1, так что

(х2 + ах + 6) (х2 — ax-Vb^ (6х2 + ах + 1)(6х2— ах-\-1) =

= 62(х8 —х4—1).

Получаем 62=— 1 и 2а2 = &, что дает следующие полиномы второй степени:

х2+х + 2, х2 — х + 2, х2 + 2х — 2, х2 — 2х— 2.

Этот пример можно также решить, выполнив деление полинома х8—х4+1 на х2 + ах + &, как и в примере lb. Его можно решить также способом, примененным для примера 1с, при этом А2 = 2, и в поле F5 &4 = 4 =—1 и период элемента к равен 8. Тогда элемент р = 1+& обладает тем свойством, что р2= 1 +2& + &2= = 3 + 2й, р3=(3 + 2А)(1+А) = 3 + 4 + 5А-2, (2р)3=16=1 и, значит, период элемента 2р равен 3. Но в таком случае 2рй = = 26(1 + к) = 2А + 4 = 0 имеет период 24. Таким же образом (0 —4)2=02 — 80+16 = 4^2 = 8, 02 + 20— 2 = 0, и мы получим f(x)=x2 + 2x —2. Так как 07 = 00в = 0(2рА)6 = 026-4.8 = 30, то (07)2= (30)2= — (2 — 20)=—2 — 30 =—2 — 07 и мы получаем f7(x) =х2+х + 2. Запишем оставшиеся полиномы: Зх2/7(1/х) = = 3(2х2+х+:1) =х2 + 3х+3 = х2 — 2х — 2 и —3x2f(1/х) =—3 X X (—2х2 + 2х+1) =х2 —х+2.

Пусть q = 3 и п = ^. Полиномы второй степени х2+х— 1 и х2 — х—1 определяют неприводимые полиномы четвертой степени х4+х2— 1 их4 — х2— 1, принадлежащие показателю 16 (см. теорему 18), и произвольный корень к каждого из указанных полиномов четвертой степени определяет поле F^^k") степени 4 над Рг. Пусть § = №—к, где й4 = й2+1. Тогда в поле F^ кз-кЬ—КЧ 1=—1, №=кЧ№=\— ^2, №=—к\ к^—к, №=

-к — к3 и №-к3*к. Значит, g^k^k — 1)5 = й5(й5 + k^k3 — — к?- —к — Г)=—к^—к— 1+А3 —А + А2 — 1 — № — к=\. Отсюда следует, что 9 = gk— первообразный элемент поля F^k"). Но 0 = &3—-&2, №^к^Нк^-\ — кНк3Л-к^^1=кНк-- — 1=0 + А2 + А — 1, 03 = йв — А5 + А4 — к3 — № — й3=1 -№ — № — — к^^1—кНк^ — к3 = -Л — к + к^ 03=02 — 0 — 2к и 04= = 03 — 02 + к^ — к3 = 03 — 02 + (А2 +1 — к3) = О3 — 02 — 0 +1. Итак, мы получили неприводимый первообразный полином fW = =x4 — х3+х2+х— 1. .

Упражнения

Определить неприводимый над Es первообразный полином четвертой степени.

По теореме 14 и приложению I полином хб+х5+х4+х2+х+1 неприводим над F$. Найти неприводимый первообразный полином.

Доказать, что полином х?—х + а будет неприводимым и первообразным тогда и только тогда, когда а — первообразный элемент поля Fp и корень полинома ур=уА-\ принадлежит показателю о=^рр— 1)(р — I)-1.

Указание’, показать, что произведение корней полинома х^=х+а равно а = ха, и положить х=ау.

Пусть 0 — корень одного из неприводимых полиномов второй степени из иллюстративного примера II, так что полином х3— 0 неприводим над F2$. Найти соответствующий неприводимый полином над F5 шестой степени.

Пусть 06 + 203 + 2, где используется один из результатов упражнения 4. Показать, что ао+а10 + а202+аз03+а404+а505 принадлежит полю F125 тогда и только тогда, когда ао=О, a4=3ai + 4a2 и a5=2ai + 3a2. Доказать также, что i|)=0 + 02+204 является первообразным элементом поля F\25 и что т|)3= = 2г|) + 3 (результат принадлежит Е. Н. Moore).

Доказать, что полином х5 = х— 1 неприводим над F3.

Пусть 09 = 0+1 над F2. Показать, что 0 принадлежит показателю 73 и что 0 + 04 + 06 + 07+08 принадлежит показателю 7. Тогда их произведение принадлежит показателю 29—1 и поэтому является первообразным элементом поля F3^. Показать, что это произведение является корнем полинома (х10— 1)(х— I)-1.

Смешанные результаты. В этом заключительном разделе теории конечных полей мы без доказательства приведем несколько известных результатов.

Первые из них взяты из книги Диксона «Linear Groups and the Galois Field Theory», p. 44—71. Элемент a£Fq будем называть квадратом, если можно указать такой элемент $£Fq, что а=Р2, и неквадратом в противном случае. Это понятие лишено смысла, если q четно. Для нечетных q имеет место следующий результат:

Теорема 28. Пусть q нечетно. Тогда неквадраты поля Fq являются квадратами или неквадратами поля F^ если m четно или нечетно соответственно.

Справедлива также

Теорема 29. Пусть d—наибольший общий делитель натуральных чисел ш и q—1. Тогда в поле Fq существует (^q—l)d-1 элементов, которые являются m-ми степенями элементов поля Fq.

Следствие. Каждый элемент поля Fq есть m-я степень элемента поля Fq в том и только в том случае, если m взаимно просто с q — 1.

Диксон рассматривал число решений квадратных уравнений над полем Fq и получил следующие результаты:

Теорема 30. Пусть q— нечетно, и положим v— 1 или —1 в зависимости от того, является ли отличный от нуля элемент —ар квадратом в поле Fq или нет. Тогда уравнение ах2+Ру2=у имеет в поле Fq q—v решений (х, у), если у=#0, и q + v(q—1) решений (х, у), если y = 0.

Теорема 31. Пусть q нечетно, и положим v=l или —1 в зависимости от того, является или нет отличное от нуля произведение —ai . .. a2m квадратом в поле Fq. Тогда уравнение «1^1 **+ ... +a,2mX2m = Y имеет в поле Fq q2™-^—^qm-^ решений, если у=#0, и q2m~x + v{qm — qm-x^ решений, если у = 0.

Теорема 32. Пусть q нечетно, и положим со = 1, —1 или 0 в зависимости от того, является ли выражение (—l)myai..u ... a2m+i в поле Fq квадратом, неквадратом или равно нулю, причем произведение ai ... агт+^О. Тогда уравнение оь^-^- ...

• • • + a2m+ixL+i== Y имеет q2m + toqm решений.

Полином f(x) с коэффициентами из поля Fq определяет отображение

поля Fq в себя. Это отображение является взаимно однозначным отображением на себя, если уравнение f(x) =а имеет в поле Fq решение для каждого a^Fq. Каждый такой полином определяет так называемое аналитическое представление подстановки f на конечном множестве Fq. Этот полином называется полиномом подстановки для поля Fq. Так как для каждого элемента ^^ Fq

^ = 5,

то в дальнейшем можно ограничиться изучением полиномов степени не более чем q — 1.

Теорема 33. Два различных полинома определяют различные подстановки на множестве Fq.

В самом деле, если для всех ^^Fq, f(l)=g(%), то полином /(x)=gr(x) степени не более q—1 имеет q корней и поэтому тождественно равен ну^по.

Теорема 34. Полином хт является полиномом подстановки для поля Fq тогда и только тогда, когда m и q — 1 взаимно просты.

Теорема 35. Если q = p\ где п нечетно и р = 5тА-2 или р = Ьт— 2, то полином f (х) =5x5+5ax3 + a2x является полиномом подстановки для произвольного a£Fq.

Теорема 36. Пусть рт—\=de и пусть элемент a^Fq не может быть представлен в виде d-й степени ни одного из элементов поля Fq. Тогда x(xd— а)е— полином подстановки поля Fq.

Теорема 37. Полином

Ф(х)= 2

является полиномом подстановки для поля K = FT, r = qm тогда и только тогда, когда х = 0 — единственное в К решение уравнения ф(х)=0. Множество всех подстановок такого вида на К есть группа, которая называется группой Бетти — Матье.

В статье «Критерий неприводимости функций в конечном поле» {Bulletin of the American Math. Soc., XIII (1906—1907), 1—8) Л. E. Диксон получил следующие результаты:

Теорема 38. Полином f(x) из кольца FJx] неприводим", когда q нечетно, только в том случае, если его дискриминант есть квадрат или неквадрат в зависимости от того, является ли степень полинома f(x) четной или нечетной.

Теорема 39. Пусть q нечетно. Тогда полином третьей степени имеет в Fq в точности один корень только в том случае^ если его дискриминант не является квадратом.

Теорема 40. Полином третьей степени х3+ах + р неприводим над Fq {у = рп, р>3) тогда и только тогда, когда выражение (—4а3—27р2) не является квадратом вида 81ц2 в Fq и — -^ • (— 6+ц]/" — 3) не является кубом в поле Fq(y — 3).

дим над Fq вдим над Fq вТеорема 41. Пусть f(x) =xZl + ax3 + bx2 + cx-vd) где сф Ф-^-аЬ—^а3и a, b, с, d^Fq, q—pn нечетно. Тогда f(x) неприво-

дим над Fq в

дим над Fq в

том и только в том случае, когда элементы 5

1 и -^g-#4— a26 + 16rf не являются квадратами.

Теорема 42. Пусть f(x) удовлетворяет условию теоремы 41. Тогда f(x) неприводим над Fq в том и только в том случае, когда его кубическая резольвента имеет в Fq точно один корень у и а2 — 46 + 4у не является квадратом в Fq.

В том же томе (стр. 8—10) Диксон рассматривал теорию Галуа для конечных полей.

Диксон опубликовал статью, которая называется «Инварианты модулярных представлений бинарных форм» (Transactions of the American Math. Society, VIII (1907), 205—232). Позже, в статье «Исследование инвариантов неприводимых бинарных модулярных форм», TAMS, XII (1911), 1 —18, он изучал бинарные формы над модулярным полем и на стр. 75—98 — общие формы. В более поздней работе он получил результат, упомянутый нами в теореме 24. В своей статье «О троичной алгебре и тернарных кубических формах», 5ДЛ45, XIV (1907— 1908), 160—169, Диксон изучал также кубические формы над Fq. Форма f(x) =Цхь ..., хп) называется нулевой формой, если над Fq существует такой ненулевой вектор £=(£ь • • •> £п), что f(g)=O. Он получил следующие результаты.

Теорема 43. Пусть f(x)=f(xb х2, %з) —тернарная кубическая форма над Fq, где q нечетно. Тогда f(x) не является нулевой формой в том и только в том случае, когда определитель Гессе формы f(x) равен mf(x), где m^Fq, и полином f(xbxb0) неприводим над Fq.

Теорема 44. Пусть f (х) = ах\ + Ьх\х2 4- сх\хг + dxxx^ 44- еххх^ 4- ?^2хз + £-4 + ^х2хз + ^2хз + ^хз— тернарная кубическая форма над полем Fq, где q нечетно, и пусть

ЗаЗад= 26д= 26ddb сМ f 3g hb сМ f 3g h

За

За

д= 26

д= 26

d

d

b с

М f 3g h

b с

М f 3g h

Тогда f(x) не является нулевой формой в том и только в том случае, когда f(x) имеет линейный множитель в поле Fq^ f(y, 1,0) — неприводим над Fq, и б Ф0.

В этом же томе (стр. 313—318) Диксон вывел формулу для числа различных решений в поле F ш однородного уравнения с двумя неизвестными f(xi,X2)=0 степени г над Fq. В данном случае говорят, что два вектора (хьх2) и (уь У2) являются одинаковыми решениями/ если (уь у^ = ^(хь х2), k^Fqm.

В статье «Инвариантное преобразование квадратичных форм над G/7(2n)», AIM, XXX (1908), 263—281, Диксон получил несколько частных результатов относительно квадратичных форм над конечным полем характеристики 2.

В статье «О представлении чисел модулярными формами», SAVWS, XV (1908—1909), 338—347, Диксон высказал следующее предположение:

Теорема 45. Каждая форма степени m от т+1 переменных над конечным полем является нулевой формой.

Диксон доказал эту теорему для т = 2 и 3. В общем случае теорему доказал Шевалье — «Доказательство одной гипотезы Артина», Hamburg Abhandlungen, XI (1935), 73—75.

Ниже следует список других статей об уравнениях с несколькими переменными над конечным полем.

ЛИТЕРАТУРА

Artin Е., Quadratische Korper in Gebiete der hoheren Konqruenzen, Math. Zeitschr., 19 (1924), 230—231.

С a r 1 i t z L., Some Applications of a Theorem of Chevalley, Duke Math. J., 18 (1951), 811—819.

С a r 1 i t z L., Some Problems Involving Primitive Roots in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. ScL, 38 (1952), 314—318.

Ch owl a I., On Waring’s Problem (mod p), Proc. Nat. Acad. ScL India, Sec. A, 13 (1943), 195—220.

Cornacchia G., Sulla congruenza xn-Vyn = zn (mod p), Gior. di mat., 47 (1909), 219—263.

Davenport H., On the Distribution of Quadratic Residues (mod p), lour. London Math. Soc., 6 (1931), 49—54.

Davenport H., Hasse H., Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktio- nen in gewissen zyklischen Fallen, Jour. f. Math., 172 (1935), 173—175.

D i c k s 0 n L. E., On the Last Theorem of Fermat, Messenger of Math., ser. 2, 38 (1908), 14—32.

Dickson L. E., On the Last Theorem of Fermat, Quart. Jour. Math., 40 (1908), 27—45.

Dickson L. E., On the Congruence xn -Vyn +zn =0 (mod p), Amer. Math. Monthly, 15 (1908), 217—222.

Dickson L. E., On the Congruence xn -Vyn + zn = 0 (mod p), Jour. f. Math., 135 (1909), 134—142.

Dickson L. E., Lower Limit for the Number of Sets of Solutions of xe + //e+2e=0 (mod p), Jour. f. Math., 135 (1909), 181 — 188.

Dickson L. E., Cyclotomy and Trinomial Congruences, Trans. Amer. Math. Soc., 37 (1935), 363—380; 38, 187—200.

Dickson L. E., Congruences Involving Only eth Powers, Acta Arith., 1 (1935), 161—167.

Dickson L. Е., Cyclotomy, Higher Congruences, and Waring’s Problem. I, Amer. Jour. Math,., 57 (1935), 391—424.

Dickson L. E., Cyclotomy, Higher Congruences, and Waring’s Problem. II, Amer. Jour. Math., 57 (1935), 463—474.

Faircloth О. B., A Summary of New Results concerning the Solution of Equations in Finite Fields, Proc. Nat. Acad. Sci., 37 (1951), 619—622.

Faircloth О. B., Vandiver H. S., On the Multiplicative Properties of a Generalized Jacobi — Cauchy Cyclotomic Sum, Proc. Math. Acad. Sci., 36 (1950), 144—151.

Faircloth О. B., Vandiver H. S., On Certain Diophantine Equations in Rings and Fields, Proc. Math. Acad. Sci., 38 (1952), 52—57.

Gegenbauer L, Uber ein Theorem des Herm Pepin, Wien. Sitzungs- ber., II, 95 (1887), 838—842.

Hardy G. H., Littlewood J. E., The Number r(&) in Waring’s Problem, Proc. London Math. Soc., ser. 2, 28 (1927), 526—528.

Hua L. K., Min S., On the Number of Soltuions of Certain Congruences, Sci. Rept. Nat. Tsing Hua Univ., 4 (1940), 113—133.

Hua L. K., Vandiver H. S., On the Existence of Solutions of Certain Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 34 (1948), 258—263.

H u a L. K., Vandiver H. S., Characters over Certain Types of Rings with Applications to the Theory of Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 35 (1949), 94—99.

Hua L. K., Vandiver H. S., On the Number of Solutions of Some Trinomial Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 35 (1949), 477—481.

Hua L. K., Vandiver H. S., On the Nature of the Solutions of Certain Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 35 (1949), 481—487.

Hull R., The Number of Solutions of Congruences Involving Only ^th Powers, Trans. Amer. Math. Soc., 34 (1932), 908—937.

Hurwitz A., Uber die Kongruenz axeA-byeA-cze = 0 (mod p), Jour. f. Math., 136 (1909), 272—292.

J а с о b i C. G. J., Uber die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie, Jour. f. Math., 30 (1846), 181—182, or Werke, 6, 254—94, Berlin, Verlag von Georg Reimer, 1891.

Kummer E. E., Uber die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebil- deten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. f. Math., 35 (1847), 328—329.

Kummer E. E., Memoire sur les nombres complexes composes de racines de I’unite et des nombres entiers, Jour, de Math., ser. 1, 16 (1851), 377— 498. -•

Kummer E. E., Uber die Erganzungssatze zu den allgemeinen Recipro- citatsgesetzen, Jour. f. Math., 44 (1852), 95—100.

Landau E., Vorlesungen fiber Zahlentheorie, I, 296, Leipzig, Verlag von S. Hirzel, 1927.

Legesgue M., Recherches sur les nombres, Jour, de Math.., ser. 1, 2 (1837), 253—292.

Legesgue M., Recherches sur les nombres, Jour, de Math., ser, 1, 8 (1838), 113—145.

Legesque M., Demonstration de quelques formules d’un memoire de M. Jacobi, Jour, de Math. ser. 1, 19 (1854), 289—296.

Lib ri G., Mem. divers savants ac. sc. de 1’institut de France (math.), 5 (1838).

Min S., On Systems of Algebraic Equations and Certain Multiple Exponential Sums, Quart. Jour. Math., Oxford ser., 18 (1947), 133—142.

.Mitchell H. H., On the Generalized Jacobi — Kummer Cyclotomic Functions, Trans. Amer. Math. Soc., 17 (1916), 165—177.

Mitchell Н. Н., On the Congruence cxa-Vl^-dya in a Galois Field, Ann. Math., ser. 2, 18 (1917), 120—131.

Mor dell L. J., The Number of Solutions of Some Congruences in Two Variables, Math. Zeitschr., 37 (1933), 193—209.

Pellet A. E., Methode nouvelle pour diviser le cercle en parties egales, Comptes rendus (Paris), 93 (1881), 838—840.

P e 11 e t A. E., Memoire sur la theorie algebrique des equations, Bull. Soc. math, de France, 15 (1886—87), 80—93.

Pepin P., Sur divers tentatives de demonstration du theoreme de Fermat, Comptes rendus (Paris), 91 (1880), 366—368.

P i u m a С. M., Interno ad una congruenza di modula primo, Ann. di mat., ser. 2, 11 (1882—83), 237—245.

R e d e 1 L., Zur Theorie der Gleichungen in endlichen Korpern, Acta Univ. Szeged, 11 (1946).

Schur I., Uber die Kongruenz xm-Vym^zm (mod p'), Jahresber. Deutsch, math. Vereinigung, 25 (1916), 114—117.

Schwarz S., On Waring’s Problem for Finite Fields, Quart. Jour. Math., Oxford ser., 19 (1948), 123—128.

Schwarz S., On an Equation in Finite Fields, Quart. Jour. Math., Oxford ser., 19 (1948), 160—163

Schwarz S.. On Universal Forms in Finite Fields, Casopis PSst. Mat. Fys., 75 (1950k 45—50.

Schwering K., Zur Theorie der arithmetischen Functionen, welche von Jacobi xp(a) genannt werden, Jour. f. Math., 93 (1882), 334—337.

T о r n h e i m L, Sums of nth Powers in Fields of Prime Characteristic, Duke Math. Jour., 4 (1938), 359—362.

Vandiver H. S., Some Theorems in Finite Field Theory with Applications to Fermat’s Last Theorem, Proc. Nat. Acad. Sci., 30 (1944), 362—367.

V a d i v e r H. S., On Trinomial Congruences and Fermat’s Last Theorem, Proc. Nat. Acad. Sci., 30 (1944), 368—370.

Vandiver H.S., New Types of Relations in Finite Field Theory, Proc. Nat. Acad. Sci., 31 (1945), 50—54.

Vandiver H. S., On the Number of Solutions of Certain Non-homo- geneous Trinomial Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 31 (1945), 170—175.

Vandiver H. S., New Types of Relations in Finite Field Theory, Proc. Nat. Acad. Sci., 31 (1945), 189—194.

V a n d i v e r H. S., On the Number of Solutions of Some General Types of Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 32 (1946), 47—52.

Vandiver H. S., On Classes of Diophantine Equations of Higher Degree Which Have No Solutions, Proc. Nat. Acad. Sci., 32 (1946), 101 — 106.

Vandiver H. S., Cyclotomy and Trinomial Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 32 (1946), 317—319.

Vandiver H. S., On Some Special Trinomial Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 32 (1946), 320—326.

Vandiver H. S., Limits for the Number of Solutions of Certain General Types of Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 33 (1947), 236—342.

Vandiver H. S., Applications of Cyclotomy to the Theory on Non-homo- geneous Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 34 (1948), 62—66.

V a n d i v e r H. S., Quadratic Relations Involving the Numbers of Solutions of Certain Types of Equations in a Finite Field, Proc. Nat. Acad. Sci., 35 (1949), 681—685.

Vandiver H. S., On a Generalization of a Jacobi Exponential Sum Associated with Cyclotomy, Proc. Nat. Acad. Sci., 36 (1950), 144—151.

Warning Е. von, Bemerkungen zur vorstehenden Arbeit von Herm Che- valley, Abhandl. a. d. math. Seminar d. Hamburg. Univ., 11 (1936), 76—83.

Weil A.,Number of Solutions of Equations in Finite Fields, Bull. Amer.

Math. Soc., 55 (1949), 497—508.

Whiteman A. L., Theorems Analogous to Jacobstahl’s Theorem, Duke Math. Jour., 16 (1949), 619—626.

W h i t e m a n A. L., Theorems on Quadratic Partitions, Proc. Nat. Acad. Set, 36 (1950), 60—66.

Whiteman A. L., Finite Fourier Series and Cyclotomy, Proc. Nat. Acad. Set., 37 (1951), 373—378.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦА НАИМЕНЬШИХ ПЕРВООБРАЗНЫХ КОРНЕЙ

Следующая таблица представляет собой список наименьших первообразных корней 6 по модулю р для каждого нечетного простого р<500. Она включает также список вычетов —6 по модулю р для тех первообразных корней 6, для которых —d(modp) является минимальным. Таблица является частью таблицы А. Канингама, X. Вудала и Т. Г. Грека (Proceedings of the London Math. Society, XXI (1922), 343—358), где даны первообразные корни по модулю р для всех р < 25409.

р

д

-д

р

д

-д

р

д

-д

р

д

-д

3

2

1

101

2

2

229

6

6

367

6

2

5

2

2

103

5

2

233

3

3

373

2

2

7

3

2

107

2

3

239

7

2

379

2

4

11

2

3

109

6

6

241

7

7

383

5

2

13

2

2

113

3

3

251

6

3

389

2

2

17

3

3

127

3

9

257

3

3

397

5

5

19

2

4

131

2

3

263

5

2

401

3

3

23

5

2

137

3

3

269

2

2

409

21

21

29

2

2

139

2

4

271

6

2

419

2

3

31

3

7

149

2

2

277

5

5

421

2

2

37

2

2

151

6

5

281

3

3

431

7

5

41

6

6

157

5

5

283

3

6

433

5

5

43

3

9

163

2

4

293

2

2

439

15

5

47

5

2

167

5

2

307

5

7

443

2

3

53

2

2

173

2

2

311

17

2

449

3

3

59

2

3

179

2

3

313

10

10

457

13

13

61

2

2

181

2

2

317

2

2

461

2

2

67

2

4

191

19

2

331

3

5

463

3

2

71

7

2

193

5

5

337

10

10

467

2

3

73

5

5

197

2

2

347

2

3

479

13

2

79

3

2

199

3

2

349

2

2

487

3

2

83

2

3

211

2

4

353

3

3

491

2

5

89

3

3

223

3

9

359

7

2

499

7

5

97

5

5

227

2

3

ПРИЛОЖЕНИЕ IIВЫДЕРЖКА ИЗ КАНОНА ЯКОБИ

Вероятно, первой обширной таблицей первообразных корней была таблица Якоби «Canon arithmeticus», Berlin, 1839. Его таблица давала значения первообразного корня 6 по модулю р для каждого простого р<1000 и индекса y(n), гДе O^Y^P—1 и «“6Y(modp). Тщательно разработанные таблицы для р=5, 7, 11 и 17 весьма полезны для приложений.

р = 5

у. . . . п . . .

0123456789

2 4 3 1

п . . . у. . . .

0 1 2 34567 89

4 13 2

Р-1

у. . . . п . . . .

0123456789

326451

п . . . у. . . .

0123456789

621453

р=11

у. . . .

Л . . . . 1. . . .

0123456789

2 4 8 5 10 9 7 3 6

1 [т. е. Y(l) = 10]

п . . . у . . . . 1. . . .

0123456789 0 10 1 8 2 4 9 7 3 6

5 [т. е. у (10) = 5]

р=17

у. . . . п . . . 1. . . .

0123456789

10 15 14 4 6 9 5 16 7

2 3 13 11 8 12 1

п . . . у. . . .

1. . . .

0 1 2 34567 89

16 10 11 4 7 5 9 14 6

1 13 15 12 3 2 8

ПРИЛОЖЕНИЕ III

ТАБЛИЦЫ БЮЗИ

Эти таблицы помещены в двух статьях У. Бюзи, озаглавленных «Galois Field Tables for pn < 169», BAMS, XII (1905), 22—38, и «Galois Field Tables of Order Less than 1000», там же, XVI (1909), 188—206. Каждая таблица начинается с первообразного неприводимого над Fp полинома f(x) степени п для q—pn< 1000. Тогда f(x) определяет поле Fq=Fp(^t где f(0)=O и 6 — первообразный корень (q — 1)-й степени из единицы. Затем таблица указывает для каждого отличного от нуля элемента ^(0) в Fq показатель е в выражении

g(0) -аоб^Ча^Ч... +ап = 9\

Мы приведем только несколько случаев этих таблиц, но зато дадим полный

список первообразных неприводимых

полиномов, полученных Бюзи.

р = 2: х3 —

х — 1; х4 — х — 1; х5 — х

3 — х2—х — 1; х6 — х — 1; х7—х— 1;

х8 —

х4 — х3 — х2 — 1; х9 — х8

— X4 — X3 — X2 — X — 1.

р = 3: х2 —

х — 1; х3 — х — 2; х4 — 2х3—2х2 — х— 1; х5 — х— 2; х6—х—1.

р = 5: х2 —

2х — 2; х3 — 2х — 3; х4 —

-х3 — х — 2.

р = Т. х2—

х— 4; х3 — х — 5.

р = 1

1: х2 — 4х — 9.р =

23:х2 — х — 16.

р = 1

3:х2 — х — 11.р — \

29 : х2 — х — 26.

р = 1

Л \х2 — х — 14.р =

31 :х2 —х —19.

Р=х

9:х2 —х —17.

Приведем теперь таблицы Бюзи для рп = 23.

£

а0 | а,а2

£а0 | Qiа2

1

10

71

2

100

110

3

11

311

4

110

2100

5

111

6101

6

101

4110

7

1

5111

Дадим теперь несколько примеров результатов таблиц Бюзи, представ-

ляющих только правую часть таблицы.

р" = 32

рп = 24

£

а0а,£

а0«1| а2а3

8

115

1

4

21

10

1

104

11

2

112

100

7

128

1о . 1

5

205

110

3

2110

111

6

223

1000

14

1001

9

1010

7

1011

6

1100

13

1101

11

1110

12

1111

е

а0

«1

а2

а.

«4

8

а0

dj

а2

а.

а4

«5

8

а0

«1

а2

а3

а4

а5

31

1

63

1

62

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

25

1

0

0

0

1

0

12

1

1

6

1

1

11

1

0

0

0

1

1

2

1

0

0

2

1

0

0

34

1

0

0

1

0

0

24

1

0

1

12

1

0

1

31

1

0

0

1

0

1

13

1

1

0

7

1

1

0

17

1

0

0

1

1

0

27

1

1

1

26

1

1

1

47

1

0

0

1

1

1

3

1

0

0

0

3

1

0

0

0

15

1

0

1

0

0

0

8

1

0

0

1

32

1

0

0

1

23

1

0

1

0

0

1

25

1

0

1

0

13

1

0

1

0

53

1

0

1

0

1

0

10

1

0

1

1

35

1

0

1

1

51

1

0

1

0

1

1

14

1

1

0

0

8

1

1

0

0

37

1

0

1

1

0

0

18

1

1

1

0

1

48

1

1

0

1

44

1

0

1

1

0

1

28

1

1

1

0

27

1

1

1

0

55

1

0

1

1

1

0

5

1

1

1

1

18

1

1

1

1

40

1

0

1

1

1

1

4

1

0

0

0

0

4

1

0

0

0

0

10

1

1

0

0

0

0

17

1

0

0

0

1

24

1

0

0

0

1

61

1

1

0

0

0

1

9

1

0

0

1

0

33

1

0

0

1

0

46

1

1

0

0

1

0

7

1

0

0

1

1

16

1

0

0

1

1

30

1

1

0

0

1

1

26

1

0

1

0

0

14

1

0

1

0

0

50

1

1

0

1

0

0

23

1

0

1

0

1

52

1

0

1

0

1

22

1

1

0

1

0

1

11

1

0

1

1

0

36

1

0

1

1

0

39

1

1

0

1

1

0

30

1

0

1

1

1

54

1

0

1

1

1

43

1

1

0

1

1

1

15

1

1

0

0

0

9

1

1

0

0

0

29

1

1

1

0

0

0

21

1

1

0

0

1

45

1

1

0

0

1

60

1

1

1

0

0

1

19

1

1

0

1

0

49

1

1

0

1

0

42

1

1

1

0

1

0

20

1

1

0

1

1

38

1

1

0

1

1

21

1

1

1

0

1

1

29

1

1

1

0

0

28

1

1

1

0

0

20

1

1

1

1

0

0

22

1

1

1

0

1

41

1

1

1

0

1

59

1

1

1

1

0

1

6

1

1

1

1

0

19

1

1

1

1

0

57

1

1

1

1

1

0

16

1

1

1

1

1

56

1

1

1

1

1

58

1

1

1

1

1

1

5

1

0

0

0

0

0

pn=^

pn — 26

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

НЕПРИВОДИМЫЕ ПОЛИНОМЫ НАД Г2

Следующие таблицы принадлежат Ричарду Маршу. Они называются восьмеричным представлением неприводимых над Р2 полиномов f(x)—л*п + +aixn-1+ ... + ап для п<, 9. Чтобы получить все неприводимые полиномы степени nt нужно дополнить таблицу взаимными полиномами xnf(\/x^ для

каждого представленного в таблице полинома f(x). Если f(x)=xnf(1/х), то в представлении полинома имеется звездочка. Так как коэффициенты 1, аь ... t ап равны 0 или 1, то каждый полином f(x) может быть представлен последовательностью Ьь ... , Ьт троек коэффициентов, где п = 3т—1, Зги —2 или Зт — 3 и £ч=(Ю0), (010), (001) в зависимости от п.

Пронумеруем тройки следующим образом:

0=(000), 1=(001), 2=(010), 3=(011),4=(100), 5=(101), 6=(110), 7= (111),

и тогда полином f(x) можно представить последовательностью сь ... -, ст, где Ct—0, 1, ... , 7. Число е обозначает показатель, которому принадлежит f(x). Например, 433 представляет такую последовательность коэффициентов 100, ОН, 011 и полином х8+х4+х3+х+1 принадлежит показателю е=51. Таблицы Марша доведены до п=13, и мы выписываем только первообразные полиномы: х10+х3+1, принадлежащий показателю 1023, хи+х2+1, принадлежащий показателю 2047, х12+х6+^4+^+1, принадлежащий показателю 4095, и х13+х4+х3+*+1, принадлежащий простому показателю 8191.

п

/ W

е

п

е

п

/ W

е

1

2

8

433

51

9

1113

73

3*

1

435

255

1131

511

2

7*

3

453

255

1137

511

3

13

7

455

255

1145

73

4

23

15

471*

17

1157

511

37

5

477

85

1167

511

5

45

31

515

255

1175

511

57

31

537

255

1207

511

67

31

543

255

1225

511

6

103

63

567

85

1243

511

IIP

9

573

85

1257

511

127

21

607

255

1267

511

133

63

613

85

1275

511

147

63

637

51

1317

511

7

207

27

717

255

1333

511

211

27

727"

17

1423

511

217

27

9

1003

73

1437

511

235

27

1021

511

1473

511

247

27

1027

73

1517

511

253

27

1033

511

1533

511

277

27

1055

511

1577

511

313

27

1063

511

1617

511

357

27

Простой вывод теоремыкодирования и некоторые применения)

Р. Г. Галлагер

Для вероятности ошибки получены верхние границы, которые можно достигнуть при использовании блоковых кодов в общем дискретном по времени канале без памяти. Дискретный по амплитуде канал и непрерывный по амплитуде канал исследуются как в отсутствие, так и при наличии ограничений на входе. Основное преимущество представленного здесь подхода состоит в простоте выводов и относительной простоте результатов; с другой стороны, экспоненциальное поведение границ, полученных при его помощи, с ростом длины блока при всех скоростях передачи, лежащих между О и пропускной способностью, является наилучшим из известных. Результаты прилагаются к целому ряду конкретных каналов и, в частности, к двоичному симметричному каналу и к каналу с аддитивным гауссовским шумом.

ВВЕДЕНИЕ

Теорема кодирования, открытая Шенноном [1] в 1948 г., утверждает, что для широкого класса моделей каналов связи существует наибольшая скорость (пропускная способность), с которой информация может быть передана по каналу, и что при скоростях, меньших пропускной способности, информация может быть передана с произвольно малой вероятностью ошибки.

Для дискретного канала без памяти наиболее сильный из известных вариантов этой теоремы был предложен Фано [2] в 1961 г. Его результат состоял в том, что минимальная вероятность ошибки Ре для кодов с длиной блока N ограничена при любых скоростях, меньших пропускной способности), следующим образом:

e-N [elw+o(N)] ^ре^ 2e"NEW. (1)

В этих неравенствах ЕЦР) и E(R) — положительные функции переходных вероятностей канала и скорости R; O(N)—функ-

ция, стремящаяся к 0 при увеличении N. Для некоторого интервала скоростей, меньших пропускной способности, но следующих непосредственно за ней, EL(R) = E(R).

Оказывается, что функция E(R), особенно на интервале, где E(R) =Et(R), представляет собой с точки зрения задачи кодирования основную характеристику канала. При ее помощи ясно и просто выявляется связь между вероятностью ошибки, скоростью передачи данных, длительностью ограничений и характеристиками канала. В последние годы в теории кодирования был найден ряд эффективных и экономичных при реализации процедур кодирования; неравенства (1) дают теоретическую основу для разумного обсуждения относительных преимуществ этих процедур. Еще важнее то, что функция E(R) дает возможность произвести более содержательное сравнение различных каналов, чем это можно сделать на основе пропускной способности или отношения сигнал/шум. Так, например, при желании использовать кодирование в реальной линии связи один из первых возникающих вопросов состоит в выборе системы дискретной модуляции. Рассматривая модулирующую систему как составную часть канала, можно сравнить модуляции с точки зрения использования кодирования по соответствующим им кривым E(R). Пример такого сравнения дается в работе Возен- крафта и Кеннеди [4].

В разд. 2 этой работы приводится простое доказательство того, что Pe<e-NElR\ В разд. 3 будет установлено несколько свойств E(R) и детально описано, как можно вычислить функцию E(R). Это вычисление лишь немногим сложнее вычисления пропускной способности. В разд. 4 будет дано некоторое число применений теории, развитой в разд. 2 и 3. Сначала для примера будет получена E(R) для двоичного симметричного канала; затем будет найдена универсальная кривая E(R) для канала с очень большим шумом, и наконец кривая E(R) для совокупности параллельно действующих каналов будет связана с кривыми E(R), относящимися к отдельным каналам.

В разд. 5 верхняя граница для Ре будет улучшена для малых скоростей; будет получена большая величина E(R) по сравнению с той, которая приводится в разд. 2. Есть основания думать, что комбинация этих двух границ даст правильное описание экспоненциального поведения наилучших кодов в зависимости от длины блока. В разд. 6 эти результаты распространяются на каналы с ограничениями на входе и на каналы с непрерывным входным и выходным алфавитами. И, наконец, эти результаты применяются для примера к каналу с гауссовским аддитивным шумом.

ВЫВОД ТЕОРЕМЫ КОДИРОВАНИЯ

Пусть XN — множество всех последовательностей длины N, которые могут быть посланы по данному каналу, и пусть YN— множество всех последовательностей длины N, которые могут быть приняты. Предположим, что множества XN и YN конечны. Пусть Рг(у|х) при y^YN и x£XN является условной вероятностью принять последовательность у при условии, что х была послана. Будем считать, что имеется код, состоящий из М кодовых слов, т. е. отображение номеров от 1 до М в множество кодовых слов хь ..., хм, где xm^XN и 1-<т^Л1. Предположим, что приемник производит декодирование по методу максимума правдоподобия, т. е. декодер декодирует выходную последовательность у в номер т, если

^'(УМ > Рг (у|хт') для всех т' + т, 1 ^т' < М. (2)

С тем чтобы получить верхнюю границу для вероятности ошибочного декодирования, ситуацию, в которой ни одно из т не удовлетворяет (2), будем рассматривать как ошибочное декодирование. Разумеется, ошибочное декодирование происходит также тогда, когда декодированный номер отличается от номера на входе. Пусть теперь Рет— вероятность ошибочного декодирования, когда послано хт. Произойдет ошибочное декодирование, если будет принято у, не удовлетворяющее (2). Таким образом, для Рет имеем

Рет= 2 ^(У|хт)фт(у), (3)

где функция фт(у) определяется следующим образом?

<Рт (у) = 1, если Рг (у I хт) < Рг (у I Хт.)(4)

для некоторого т'+т, Фт(у)=0 для всех остальных у.(5)

Ограничим сверху функции фщ(у):Ограничим сверху функции фщ(у):Рет, построив верхнюю границуРет, построив верхнюю границу5 ^(УI х,»')1/(1+Р) т’ =^т Рг (yl Xm)1/(1+P)5 ^(УI х,»')1/(1+Р) т’ =^т Рг (yl Xm)1/(1+P)1 р1 р, Р>0., Р>0.для(6)для(6)

Ограничим сверху функции фщ(у):

Ограничим сверху функции фщ(у):

Рет, построив верхнюю границу

Рет, построив верхнюю границу

5 ^(УI х,»')1/(1+Р) т’ =^т Рг (yl Xm)1/(1+P)

5 ^(УI х,»')1/(1+Р) т’ =^т Рг (yl Xm)1/(1+P)

1 р

1 р

, Р>0.

, Р>0.

для

(6)

для

(6)

Причина использования оценки (6) интуитивно отнюдь не очевидна, однако по крайней мере можно установить ее справедливость, заметив, что правая сторона неравенства (6) всегда неотрицательна, и поэтому если фт(у)=0, то неравенство имеет место. Если фт(у) = 1, то в числителе имеется слагаемое,

большее (или равное) знаменателя и, таким образом, числитель больше (или равен) знаменателя; возведение дроби в степень р оставляет ее не меньшей единицы. Подставляя (6) в (3), получим

Рет< %РгШ'™\ 5 PrWm'^X. (7)

для всех р>0.

Неравенство (7) ограничивает Рет для некоторого фиксированного множества кодовых слов. За исключением некоторых частных случаев, эта граница слишком сложна для применений, если число кодовых слов велико. Упростим (7) с помощью усреднения по соответствующим образом подобранному ансамблю кодов. Пусть на множестве XN возможных входных последовательностей канала определена вероятностная мера Р(х). Можно породить ансамбль кодов, выбирая каждое слово независимо в соответствии с вероятностной мерой Р(х). Таким образом, вероятность, связанная с кодом, состоящим из кодо- 'м

вых слов хь ..., хм, есть П^Ы- Очевидно, что по крайней т-1

мере один код из ансамбля будет иметь столь же малую вероятность ошибки, как и средняя по ансамблю вероятность ошибки. Используя черту для обозначения среднего по ансамблю, будем иметь

124з

Рет< 5 ^(yixj^^r 2 Pr(y|xm,)1/1+p?.(8)

y^NLm'^rnJ

Введем теперь дополнительное ограничение р^ 1 и будем снимать занумерованные части усредняющей черты в (8). Сначала заметим, что все слагаемые в (8), находящиеся под чертой, являются случайными величинами, т. е. действительными функциями множества случайно выбранных слов. Таким образом, можно снять часть 1 черты в (8), так как среднее суммы случайных величин равно сумме средних. Точно так же можно снять часть 2, так как среднее произведения независимых случайных величин равно произведению средних. Независимость имеет место из-за того, что кодовые слова выбираются независимо.

Для того чтобы снять часть 3, обозначим через £ случайную величину, стоящую в квадратных скобках. Покажем, что У^^. Рис. 1 изображает £р; на нем видно, что £р при 0<р^1 является вогнутой функцией £, т. е. функцией, все хорды кото-

рой лежат не выше функции). Рис. 1 иллюстрирует неравенство ^р^^р в частном случае, когда § принимает только два значения; общий случай является хорошо известным результатом). Часть 4 усредняющей черты можно снять перестановкой суммы и усреднения. Таким образом ),

Рет< 25 ^ф^Г^Г.(9)

Так как кодовые слова выбраны с вероятностью Р^, то ^r(y|xm)1/(1+p)= 2 Р^Рг(у|х),/(1+р).(10)

x^XN

Замечая, что правая часть (10) не зависит от т, подставим (10) с индексами т и т' в (9). В неравенстве (9) суммируются

Рис. 1. Вогнутость £р.

11 = ^1+(1-^) §2-

(М — 1) таких слагаемых, поэтому получаем

7^<(М-1)Р 5 Г 2 Р(х)Рг(у|х)1/(1+р)11+Р.

y^yN\x^XNJ

при р, 0 < р<: 1.(11)

Граница (11) применима к произвольному дискретному каналу с памятью (и, в частности, к каналу без памяти), для которого можно определить Рг (у|х). Она справедлива при любом выборе Р(х) и при любых 0 < р 1.

Для того чтобы упростить границу (11), предположим, что канал является каналом без памяти. Пусть хь ...,..., xN

будут отдельными буквами во входной последовательности х, и пусть у\, ..., уп, ..., yN будут буквами в последовательности у. Под каналом без памяти здесь понимается канал, для которого

^'•(у|х) = П/)г(уя|хя)(12)

Л=1

при всех хС XN, у С Yn и любом N. Ограничимся теперь рассмотрением класса ансамбле?! кодов, в которых каждая буква каждого слова выбирается независимо от всех остальных букв с вероятностной мерой р(х); x£Xv

N

^HlbW; х=(хъ...,хпxN\ (13)

Л = 1

Подставив (12) и (13) в (И), получим

_Г w11+р

pem<(M-Dp2 2 Пр(^)^(У„|хл)1/(1+р). (U)

Выражение, стоящее в квадратных скобках в (14), можно записать как

_Г N-11+р

P,m<(M-l)P 2 П 2 Г^Рг^х,^1. (15)

Заметим, что выражение, стоящее в квадратных скобках в (15), есть произведение сумм; оно приводит к выражению, стоящему в квадратных скобках в (14), с помощью арифметического правила перемножения произведений сумм. Наконец, вынося в (15) знак произведения за скобки, можно снова применить то же самое правило и получить

^т<(Л1-1)рП 2 [ 2 Р(хя)Рг(у„|хя)1/(1+р)11+р, 0<р<1.

(16)

Можно несколько упростить обозначения в (16), если заметить, что Хх — множество входных букв, которые обозначим через «1, ..., а^ ..., aKl где К — объем входного алфавита канала. Точно так же Y^— множество выходных букв, обозначаемых через 6Ь ..., Ь^ ... bj, где / — объем выходного алфа-

вита. Обозначим далее через Pjk переходные вероятности канала Рг^Ь^а^, а через р(ак)==рк— вероятность, с которой буква ак выбирается в ансамбле кодов. Используя эти обозначения в (16), заметим, что все сомножители под знаком произведения идентичны. Включая тривиальный случай р = 0, полунаем

Pem«M-\fPem«M-\f(17)(17)

Pem«M-\f

Pem«M-\f

(17)

(17)

Оценивая сверху М—1 с помощью M = eNR, где R— скорость кода в нат. ед. на символ канала, (17) можно переписать в виде

Р^Сехр — NР^Сехр — N■J / КV+P-/-1\ы/■J / КV+P-/-1\ы/(18)(18)

Р^Сехр — N

Р^Сехр — N

■J / КV+P-

/-1\ы/

■J / КV+P-

/-1\ы/

(18)

(18)

В силу того что правая часть (18) не зависит от т, она является границей для средней по ансамблю вероятности ошибочного декодирования. Эта граница не зависит от вероятностей, с которыми использовались кодовые слова. Так как по крайней мере один код из ансамбля должен иметь столь же малую вероятность ошибки, как и среднее значение ошибки !), то доказана следующая основная теорема.

Теорема 1. Рассмотрим дискретный канал без памяти с входным алфавитом из К символов а^ ..., ак; выходным алфавитом из J символов 61, ..., bj и переходными вероятностями Pjh = Pr (bj\ak). Каковы бы ни были длина блока N, число кодовых слов M = eNR и распределение вероятностей использования кодовых слов, существует код, для которого вероятность ошибочного декодирования ограничена следующим образом:

Pe<exp-N\—pR-VE0(p, р)],(19)

j / кV+p

Е„(Р. Р) = -Ш2 ^р^А ■(20)

/=1 \Л? —1/

где р — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам О ^ р <1 1, а р = (рь р^ ..., Рк) — произвольный вероятностный вектор ). .

*) Один и тот же код может удовлетворять (18) не при любых выборах вероятностей, с которыми используются кодовые слова (см. следствие 2).

Теорема 1 справедлива для всех р, таких, что O^p^l, и для любых вероятностных векторов р=(Рь ..., рк), поэтому можно получить более близкую к Ре границу с помощью минимизации по р и р. Приходим к тривиальному следствию.

Следствие 1. В условиях теоремы 1 существует код, для которого

Pe<^xp — NE(RY (21)

E(R) = max [—р/?-|-£0(р, р)], (22) р, р

где максимум разыскивается при вариации по р, удовлетворяющим неравенствам 0^р<<1, и по всем вероятностным векторам р.

Функция E(R) является кривой надежности, которая обсуждалась в предыдущем разделе. За исключением области малых значений R (см. разд. 5), следствие 1 дает наиболее силь^ ную среди известных границу вероятности ошибки в дискретном канале без памяти. Свойства E(R) будут обсуждаться в разд. 3, в котором, в частности, будет показано, что E^R)>0 при 0<.R<C, где С — пропускная способность канала.

Иногда удобно иметь границу для вероятности ошибки, которая применима к каждому отдельному кодовому слову, а не только к средним по ним.

Следствие 2. В условиях теоремы 1 существует такой код, для которого при 1 <. m <.М вероятность ошибки при передаче m-го кодового слова ограничена следующим образом:

Рет < 4е-тн\ (23) edeE^R) дается (22).

Доказательство. Возьмем код с М' = 2М кодовыми словами, который удовлетворяет следствию 1, если источник выдает 2М равновероятных кодовых слов. (Скорость R' в (21) и (22) равна сейчас (In 2М)/N.) Удалим из кода М слов с наибольшими Рет. На половине кодовых слов невозможно иметь вероятность ошибки большую, чем удвоенное среднее. Следовательно, оставшиеся кодовые слова должны удовлетворять неравенству

(24) Так как R' = (In 2M)/N=R + (In 2)/7V и так как 0-<р<1, равенство (22) дает

Е^>Е^-^. (25)

Подставляя (25) в (24), приходим к (23), что завершает доказательство.

СВОЙСТВА КРИВОЙ НАДЕЖНОСТИ E(R)

Максимизация в (22) по р и р зависит от свойств функции Е0(р, р)- Теорема 2 описывает Е0(р, р) как функцию р, а теорема 4 описывает Е0(р, р) как функцию р. Доказательства обеих теорем приведены в приложении.

Теорема 2. Рассмотрим канал с К входными и J выходными символами и переходными вероятностями

Рзь Kk<K.

Пусть р=(Рь . .., Рк)—произвольный вероятностный вектор на входных символах. Пусть средняя взаимная информация

к j

Н^ = ^^ PkPjk In fc-i i=x2 PiPjt

/ = 1

не равна нулю. Тогда при р>0

f0(P> Р) = 0прир = 0,(26)

£о(р-Р)>Оприр>0,(27)

^^->0прир > 0,(28)

р) I=/(р),(29)

др |р=ох 1

(30)

Равенство в (30) имеет место тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

Pjh не зависит от к при к и j, таких, что PhPjk^O.

5 Ри не зависит от j. к pjk^

Используя эту теорему, можно легко выполнить максимизацию в (22) по р при фиксированном р. Определим

E(R. Р) = max [—р/?+£0(р, р)].(31)

0<р<1

Приравнивая нулю частную производную выражения, стоящего в скобках в (31), получим

^ = ^Р-.Р1,(32)

дЕо (р, р) дрдЕо (р, р) др/?</(р)./?</(р).Из (30) следует, что если некоторое р, лежащее в интервале 0-<р^1, удовлетворяет (32), то это р максимизирует (31). Более того, в силу (30) дЕ0(р, р)/др не возрастает при росте р, поэтому решение (32) существует, если R лежит в интервале

дЕо (р, р) др

дЕо (р, р) др

/?</(р).

/?</(р).

(33)

Наиболее удобно использовать (32) в этом интервале для того, чтобы связать E^R, р) и R параметрически как функции р. Это дает

E(R, р) = £0(р, Р)-Р^^-. (34)

п_ ^о(Р- р)R — дрп_ ^о(Р- р)R — др0<Р<0<Р<1.1.(35)(35)

п_ ^о(Р- р)

R — др

п_ ^о(Р- р)

R — др

0<Р<

0<Р<

1.

1.

(35)

(35)

На рис. 2 представлено графическое решение параметрических уравнений.

Рис. 2. Геометрическое построение Е (R, р).Рис. 2. Геометрическое построение Е (R, р).

Рис. 2. Геометрическое построение Е (R, р).

Рис. 2. Геометрическое построение Е (R, р).

При R<dE0^, p)/dp|p=i параметрические уравнения (34) и (35) не справедливы. В этом случае функция —р^ + £0(р, Р) возрастает при росте р в интервале 0^р< 1, и, следовательно, максимум имеет место при р=1. Таким образом,

E(R, р) = £0(1, tf-R при Я^М ^(36)

Ход E(R, р) как функции R, задаваемой (34) — (36), проиллюстрирован на рис. 3. Свойства E(R, р) зависят от того, отрицательна или равна нулю величина д2Е0(р, р)/др2. Если она отрицательна, то R, как следует из (35), строго возрастает при росте р. Дифференцируя (34) по р, получим —рд2Е0(р, р)/др2; таким образом, E(R, р) строго возрастает вместе с р при р>0 и равна 0 при р = 0. Значит, если R </(р), то E(R, р)>0. Если р выбрано так, чтобы достигалась пропускная способность С,

Рис. 3. Кривая показателя экспоненты в зависимости от скорости.Рис. 3. Кривая показателя экспоненты в зависимости от скорости.

Рис. 3. Кривая показателя экспоненты в зависимости от скорости.

Рис. 3. Кривая показателя экспоненты в зависимости от скорости.

длинойдлиной(37)ВЗЯТЫЙесли произ-(37)ВЗЯТЫЙесли произ-

длиной

длиной

(37)

ВЗЯТЫЙ

если произ-

(37)

ВЗЯТЫЙ

если произ-

то при R<C имеем E(R, р)>0 и вероятность ошибки может быть сделана убывающей экспоненциально вместе с блока.

Взяв отношение производных (34) и (35), получимдЕ^р) _dR —

Отсюда следует, что параметр р в (34) и (35) есть с обратным знаком наклон кривой Е как функции R.

Из условий, следующих за (30), ясно, что д2Е0(р, Р)/5р2 = 0 для какого-либо значения р>0, то этг

водная равна нулю для всех р>0. В этих условиях R и E(R, р), представляемые (34) и (35), просто определяют точку, в которой R = I(p) и E(R, р) =0. Оставшаяся часть кривой, как показано на рис. 4, получается из (36).

Класс каналов, для которых <52Е0(р, Р)/^р2 = 0, является в некотором смысле вырожденным. Он включает в себя каналы без

шума, для которых, очевидно, можно достичь нулевую вероятность ошибки, при скоростях, меньших пропускной способности. Экспоненциальные границы при этом просто отражают вероятность того, что более чем одно сообщение приписано одному и

Рис. 4. Кривая зависимости показателя экспоненты от скорости для канала, в котором д2Е0 (р, р)/ф2 = 0.

£0 (Р, р) = р In 3/2 при р = (1/3, 1/3, 1/3).

тому же кодовому слову. Граница, полученная в разд. 5, дает в этих случаях вероятность ошибки, равную нулю. Пример канала с шумом, имеющего д2Ео(р, р)/др2 = 0, приведен на рис. 4.

Рис. 5. Кривая зависимости показателя экспоненты от скорости, как огибающая прямых линий.

Другой подход в максимизации (31) по р состоит в рассмотрении функции —р/? + Е0(р, Р) как линейной функции R с наклоном —р, пересекающей ось ординат в точке Е0(р, Р) при фиксированном р. Таким образом, E(R, р) как функция R есть

просто верхняя огибающая этого множества прямых линий (рис. 5). (В этой работе под верхней огибающей понимается наименьшая верхняя грань указанного множества линий.) Этот рисунок также интерпретирует Е0(р, Р) как пересечение оси ординат касательной с наклоном —р к кривой Е как функции R.

Так как E(R,p) является верхней огибающей множества прямых линий, она должна быть выпуклой функцией R, т. е. функцией, хорда которой никогда не лежит ниже функции. Этот факт, конечно, следует также и из того, что dE(R, p)/dR уменьшается вместе с р и, следовательно, увеличивается вместе с R.

Все результаты этого раздела до сих пор относились к функции E(R, р), определенной (31). Функция E(R) в (22) может быть выражена как

E(R) —max E(R, р), (38) р

где максимум разыскивается по всем /(-мерным вероятностным векторам. Таким образом, E(R) есть верхняя огибающая всех кривых E(R, р), и можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. В любом дискретном канале без памяти функция E(R) является положительной, непрерывной и выпуклой функцией при всех R из интервала 0 -^ R < С. Таким образом, граница Ре ^ ехр—NE(R) для вероятности ошибки является экспоненциально убывающей функцией длины блока при 0<R<C.

Доказательство. Если С = 0, то теорема тривиально верна. С другой стороны, мы показали, что при р, на котором достигается пропускная способность, E(R, р) положительна на интервале Or^R<C и, следовательно, E(R) положительна на том же самом интервале. Точно так же мы показали, что для любого вероятностного вектора р функция E(R, р) непрерывная и выпуклая с наклоном, лежащим между 0 и —1, и, следовательно, верхняя огибающая является непрерывной и выпуклой функцией.

Далее можно было бы предположить, что E(R) имеет непрерывную производную, но, как показано ниже, это неверно. Функция E(R, р) имеет непрерывную производную при любом р, однако те р, которые максимизируют E(R, р), могут изменяться вместе с изменением R, и это может привести к разрыву производной E(R).

Обратимся теперь к самой максимизации E(R, р) по р. Представим (22) в виде

E(R)= шах [—р/^+тах/^Др, р)). (39) 0<р<1 р

Определим теперь

/;(P.P) = S(S/V)^r,T,,.(40)

Из (20) имеем: Е0(р, р) =—lnF(p,p), так что минимизация Е(р, р) по р приведет к максимизации £0(р, Р).

Теорема 4. Функция Е(р, р), заданная уравнением (40), является выпуклой функцией р в области, в которой р = = (Рь • • •, Рк) — вероятностный вектор. Для того чтобы вектор (или векторы) р минимизировал ^(р, р) (или максимизировал Ео(р, Р)), необходимо и достаточно, чтобы-

i jk CL jCL j При 6CCX

jj

где равенство имеет место, если pk + 0, и ^j = ^pkPXjk+^*

Эта теорема доказана в приложении. Если все Pk положи» тельны, (41) является просто результатом применения метода множителей Лагранжа для минимизации F(p, р) при условии ^Р/^К Как показано в приложении,тот же метод может быть использован для получения необходимого и достаточного условий того, что р максимизирует /(р). Результат, который независимо был получен также Эйзенбергом, состоит в следующем:

2 Pjk1п '^‘р1 (р) ПРИ всех<42)

где равенство имеет место, если рн+^.

Ни неравенство (41), ни неравенство (42) не являются особо полезными при отыскании максимума Е0(р, р), или Z(p), однако оба эти неравенства оказываются полезным теоретическим инструментом и могут быть использованы для того, чтобы проверить, является ли гипотетическое решение истинным. Для каналов любой сложности £0(р, Р) и /(р) обычно легче всего максимизировать численными методами.

Если известен максимум £0(р, р) по р, то функцию E(R) можно найти любым из трех способов. Первый исходит из (39) и использует то, что E^R)—верхняя огибающая семейства прямых линий

— р/г + шах^р, Р)> 0<р<1.* (43)

р

Можно также вычертить шах£*0(р, р) как функцию р и с пор

мощью графического метода рис. 2 найти E(R),

Можно, наконец, использовать параметрические уравнения (34) и (35), в которые для каждого р нужно подставить те р, которые максимизируют £0(р, р). Для того чтобы понять, что это дает непрямолинейный участок E(R), предположим, что р0—некоторое фиксированное значение р (0<р0<1) и р0 максимизирует £о(ро,р). Как уже было показано, единственная точка на прямой линии —ро^ + ^о(ро, Ро), которая лежит на кривой E(R, ро) и, таким образом, может лежать на E(R), задается равенствами (34) и (35). Так как прямые линии —р/? + + max£0(p, р) порождают все точки на кривой E(R), то равен- р

ства (34) — (35), в которых подставлено ^(р, р), максимизированное по р, порождают все точки кривой E(R). Эти параметрические уравнения в некоторых вырожденных случаях могут также приводить к некоторым точкам, не принадлежащим кривой E(R). Чтобы понять это, рассмотрим канал, изображенный

^1^2^3^4

0,82

0,06

0,06

0,06

а2

0,06

0,82

0,06

0,06

0,06

0,06

0,82

0,06

а4

0,06

0,06

0,06

0,82

«5

0,40

0,49

0,01

0,01

«6

0,01

0,01

0,49

0,49

Р и с. 6. Вырожденный канал.

на рис. 6. Как можно проверить с помощью (41) для р-^0,51, функция £0(р. р) максимизируется при Р1 = Р2 = Рз=Р4=1/4. При р>0,51 максимум £0(р, р) достигается на р5=Рв=1/2. Параметрические уравнения теряют непрерывность в точке р = 0,51, в которой входное распределение изменяется скачком. На рис. 6 изображена кривая E^R) для этого канала и ложные точки, порожденные равенствами (34) и (35).

Проведенное обсуждение было посвящено детальному рассмотрению Е (R) — показателя экспоненты верхней границы ве-

роягности ошибки, описанной в разд. 1. Можно показать, что ElW—показатель экспоненты нижней границы вероятности ошибки в (1) —задается выражением

EL<R) = SUP г—Р^ + шах^оСр, р)1. (44) О < р < оо [ р J

Сравнивая (39) и (44), можно увидеть, что единственное отличие состоит в интервале р, на котором отыскивается экстремум. Интерпретируя E(R) и EL(R) как верхние огибающие семейства прямых линий с наклоном —р, замечаем, что E(R) = EL(R) при RCrit^R<C, где критическая скорость ^crit определяется как наименьшая верхняя грань величин R, для которых наклон кривой EL(R) не меньше чем —1. Это не нулевой интервал значений R, если только при р, которое максимизирует Ео(р, р), и при 0 < р-^ 1, мы не имеем c^fotp, р)/др2 = 0. Такого типа канал изображен на рис. 4.

ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ

Двоичный симметричный канал

Двоичный симметричный канал имеет две входные буквы, две выходные буквы и переходные вероятности Pit^Pa^q и ^11 = ^22=1—q. Таким образом, q является вероятностью ошибки в канале при отсутствии кодирования. Очевидно, что для входного вероятностного вектора, максимизирующего £0(р, Р), имеет место равенство pi=p2=l/2. [Формально это‘можно показать подстановкой в (41).] При таком выборе р

2 / 2\1+Р

^о(р. P)=-in£=

= р In 2 — (1 + р) In [^Vd+P) + (1 — ^/(i+p)]. (45)

Теперь продифференцируем (45) и вычислим параметрические выражения (34) и (35) для показателя экспоненты и скорости. После некоторых преобразований получим

^ = ln2-/f(^p),(46)

^(^Р) = —^plu7p —(1 —^Р)1п(1—^р),(47)

E<R, p) = ^pln^+(l-?p)ln-^,(48)

где

^VG + P)

^р= 91/(1+р) + (1 _9)1/(1+р) •(49)

Эти равенства справедливы при О^р^ 1 или при In2 — — H\VqKVq-AVl—^)]</?<С. Для меньших скоростей справедливо (36), которое имеет вид

E(R, р) = 1п2 — 21п(/^ + /Т^) — R. (50)

С точностью до коэффициента Ре ^ e~NE^ р) [где E^R, р) задается (46), (48) и (50)] является границей для вероятности ошибки для двоичного симметричного канала, найденной методом случайного кодирования и впервые полученной Элайсом [6].

Канады с очень большим шумом

В этом пункте будут рассмотрены каналы с очень большим шумом в том смысле, что вероятность получения данной выходной буквы почти не зависит от буквы на входе. Будет показано, что в пределе для этих каналов существует универсальная кривая зависимости показателя от скорости. Будем предполагать, что канал является дискретным и без памяти; тем не менее полученный ниже результат может быть легко распространен на непрерывные каналы. Пусть ^ь ..., qj — множество вероятностей, определенных на выходных буквах канала; определим е^ следующим образом:

Р jk ЧА^ "4" ^з^ •

Предположим, что |е^|С1 при всех j и к. Заметим, что, если (51) умножить на рк и просуммировать по всем к, то будем иметь

^q^jk = 0 для всех к. (52) j

Вычислим теперь £о(р, Р) для этого канала

5о(р, P^-in^rS^'^U+W^(53)

j L кJ

Разлагая (1 + вд,) W+p) в степенной ряд по е^ и пренебрегая членами выше второго порядка, получаемРазлагая (1 + вд,) W+p) в степенной ряд по е^ и пренебрегая членами выше второго порядка, получаем^о(р. Р)^о(р. Р)Ь)кЬ)к(>^к(>^к2(1 +Р)22(1 +Р)21+р• (54)1+р• (54)У L кJЧлен в квадратной скобке в степени (1+р) можно снова разложить в степенной ряд по е^ и получитьУ L кJЧлен в квадратной скобке в степени (1+р) можно снова разложить в степенной ряд по е^ и получить£0(р, р)« — in29; ^-V^P^jk —£0(р, р)« — in29; ^-V^P^jk —кк2(1 +р) ■Г 2(1+р)2(1 +р) ■Г 2(1+р). (55). (55)

Разлагая (1 + вд,) W+p) в степенной ряд по е^ и пренебрегая членами выше второго порядка, получаем

Разлагая (1 + вд,) W+p) в степенной ряд по е^ и пренебрегая членами выше второго порядка, получаем

^о(р. Р)

^о(р. Р)

Ь)к

Ь)к

(>^к

(>^к

2(1 +Р)2

2(1 +Р)2

1+р

• (54)

1+р

• (54)

У L кJ

Член в квадратной скобке в степени (1+р) можно снова разложить в степенной ряд по е^ и получить

У L кJ

Член в квадратной скобке в степени (1+р) можно снова разложить в степенной ряд по е^ и получить

£0(р, р)« — in29; ^-V^P^jk —

£0(р, р)« — in29; ^-V^P^jk —

к

к

2(1 +р) ■

Г 2(1+р)

2(1 +р) ■

Г 2(1+р)

. (55)

. (55)

Используя (52), получим ^(р. ^--^Ь-га^р)-Используя (52), получим ^(р. ^--^Ь-га^р)-5 Ч] 5 Pk^jk f^J А8;^5 Ч] 5 Pk^jk f^J А8;^■ (56)■ (56)кккк

Используя (52), получим ^(р. ^--^Ь-га^р)-

Используя (52), получим ^(р. ^--^Ь-га^р)-

5 Ч] 5 Pk^jk f^J А8;^

5 Ч] 5 Pk^jk f^J А8;^

■ (56)

■ (56)

к

к

к

к

Разлагая, наконец, (56) и пренебрегая членами выше второго порядка по Bjk, будем иметь

^(р, Р)~-щ7(Р).(57)

где коэффициент f (р) представляется выражением

НР)=НР)=(58)(58)2 5^ ^ Pk^ikГ^Ркг]к

НР)=

НР)=

(58)

(58)

j L к\ к ,

Если взять взаимную информацию /(р), использовать (51) для переходных вероятностей и разложить /(р) в степенной ряд по г^ пренебрегая членами выше второго порядка, то можно получить f(p). Таким образом, пропускная способность канала С приближенно представляется в виде

C^maxf(p),(59)

р

max Ео (р, р)~ у^- С.(60)

Можно теперь легко найти р, для того чтобы получить E(R) = = шах—р/^ + шах^оф, р)1. В результате получаем, что

0<р<1рJ

р p-NE^

E^^kVC-VRT, R>^,(61)

Сс

E^«^-R,R<^.(62)

Следует заметить, что кривая зависимости показателя экспоненты от скорости, задаваемая (61) и (62), совпадает с аналогичной кривой для ортогональных сигналов в белом гауссовском шуме [2].

Каналы с шумом, определенные так, как в этом пункте, впервые были рассмотрены Рейффеном [7], который показал, что показатель экспоненты, соответствующий нулевой скорости, равен С/2.

Параллельные каналы

Рассмотрим два дискретных канала без памяти, в первом из которых К входных и / выходных букв и переходные вероятности Р^ а во втором / входных и L выходных букв и пе-

реходные вероятности Qh. Пусть

J / К\1+р

^(р, Р)=-1п2 S^1+p) ,/=1\£ = 1/

L / I\1+р

£;-(p.q) = -ln2.

Z=I\Z = 1/

где p=(pi, .Рк) и q=(9i, .qi) —произвольные вероятности, приписанные соответственно входным буквам первого и второго каналов.

Будем считать, что два канала используются параллельно, т. е. в каждый момент времени передатчик посылает одну букву по первому каналу и одну букву по второму каналу. Если рассмотреть эту пару каналов как один канал с KI входными буквами и JL выходными буквами и переходными вероятностями PjhQiu то можно найти верхнюю границу для вероятности ошибки, достижимую с помощью совокупного кодирования в двух каналах. Следующая теорема, первая половина которой принадлежит Фано [8], связывает кривую E(R) для параллельной комбинации каналов с кривой E^R) отдельных каналов.

Теорема 5. Наименьшая вероятность ошибки, достижимая при кодировании, оценивается сверху следующим образом:

Pe^^ — N{—pR+E0(^,^\ при 0<р<1,(63)

где

£о(Р. pq) = £o(p, р) + £Г(р, q).(64)

Если выбрать далее р и q так, чтобы максимизировать соответственно Е0(р, р) и Ео (р, q) при фиксированном р, то получим

£0 (р> pq) = max Ео (р, г),(65)

Г

где г= (Гц, Г12, ..., Гц, Гц, ..., r2i, ..., ГкЛ представляет собой произвольные вероятности, приписанные парам на входе, а £0(р,г) — обычная Е^-функция [см. (20)], определенная для параллельной комбинации каналов.

- Доказательство. Рассматривая параллельные каналы как один канал с входным вероятностным вектором г, получим

Ео (р, г) = - ш 2 [ 5 rkl kPjfcQi^V^<66)

Предположим теперь, что входные вероятности заданы так, что буквы в каналах используются независимо, т. е. гм=РкЧъ где

Pi, ..., рк и pi, ..., qi — вероятности, приписанные буквам в отдельных каналах. Подставляя гм = р^г в (66) и разделяя суммирование по к и по г, получим

е» (р. г)=- in 2 [2 р^^^0 [5 qt ^(,+р)]1+Р-

Разделяя суммирование по j и по /, будем иметь

^(Р- r) = ^o(p> p) + ^o*(p, q).(67)

Далее следует показать, что rki = pkqi максимизирует£о(р, г), если р и q максимизируют соответственно Ео и Ео . Из (41) видно, что р и q, максимизирующие Ео и Eq , должны удовлетворять неравенству

S^^^/^S^/p Для всех ^(68)

с равенством при р^О, где ^ = ^РкРх$^\ и неравенству

2 Q^^^P^SP/^p для всех /(69)

с равенством при qt + 0, где pz = ^ч»^-

Перемножая (68) и (69), получим

2 U^Qi^ w > 2 (аА)1+р(70)

с равенством при гк1 = pkqt + 0.

Замечаем, что (70) в точности то же самое, что и (41) в применении к параллельной комбинации каналов. Это значит, что такой выбор г максимизирует £0(р, г) и теорема доказана.

Теорема 5 имеет интересную геометрическую интерпретацию. Пусть Е^—показатель экспоненты и £(р)— скорость в параллельной комбинации представлены параметрическими уравнениями (34) и (35), в которых г выбрано оптимальным при каждом р. Пусть £*(р), £*(р), Е**^ и /?**(р)—аналогичные функции для отдельных каналов. Из (64) имеем

£ (р) = £* (р) + £** (р),(71)

^(Р) = /?*(Р) + ^(Р).(72)

Таким образом, параллельная комбинация формируется с помощью векторного сложения точек равного наклона кривых £(р) и /?(р) отдельных каналов.

Теорема 5, очевидно, применима к любому числу параллельных каналов. Если рассмотреть блоковый код длины N как

совокупное использование N отдельных параллельных каналов, то теорема 5 оправдывает сделанный нами независимый равновероятный выбор символов в ансамбле кодов.

УЛУЧШЕНИЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ МАЛЫХ СКОРОСТЕЙ

При малых скоростях показатель экспоненты £*(/?), найденный в разд. 3, не дает точной границы для вероятности ошибки. Показатель экспоненты столь велик для малых скоростей, что вдруг становятся важными такие эффекты, как сопоставление одного и того же кодового слова двум различным сообщениям, которыми ранее можно было пренебречь. В настоящем разделе эта трудность обходится с помощью выбрасывания тех кодовых слов, для которых велика вероятность ошибки. Неравенство (7) дает для любого заданного кода границу для вероятности ошибки при передаче m-го слова. При р=1 оно дает

Рет< 52 VPr^M. (73)

У С Гдгт'^т

Это можно представить в виде

Рет< S q(xm, Xm-Y(74)

т* ^т

где

Ч<Хт, xm-) = ^lVPr(y\x^Pr{y\xm’) =(75)

У

N J "

= П 2 VPrkbj\Xmn>Prkbj\Xm'nY(76)

Эквивалентность (75) и (76) устанавливается с'помощью обычного арифметического правила для произведения сумм, при этом (61, .. ., bj) — выходной алфавит каналов. Назовем — ln^(xm, XmJ мерой различия между хт и Хт*\ она представляет собой естественное обобщение хемминговского расстояния в двоичном симметричном канале на общий канал без памяти.

Так как Рет в (72) является функцией от рассматриваемого кода, то Рет является случайной величиной на ансамбле кодов. В настоящем разделе будет построена верхняя граница для Рг (Рет^В), где В — число, которое будет далее выбрано, и затем будут выброшены кодовые слова, для которых Рет ^ В. Используя черту для обозначения среднего по ансамблю кодов, получаем

Рг (Р,т > в) = Чт (код),(77)

где

фт (код) =фт (код) =(78)(79)Если(78)(79)Еслиесли Рст ^ В, О для всех остальных случаев.

фт (код) =

фт (код) =

(78)

(79)

Если

(78)

(79)

Если

Оценим фт сверху:

Фт(код)< ^ в5’0<5<1.

т' ^т

Равенство (79), очевидно, имеет место при ф™ = 0.

фт=1 и s=I, то (79) следует из (78) и (74). С уменьшением s увеличиваются все слагаемые в (79), которые меньше единицы; если же какое-либо слагаемое превышает 1, то (79) всегда справедливо. Подставляя (79) в (77), будем иметь

Ргфет>В^<В"$ ^ q(xm, хЛ- (80) т' ^т

Предположим, что буквы кодовых слов в ансамбле кодов выбираются независимо с вероятностями р^ . .., рк, так что N

^(х^^П^гХД где Pr(xmn) = Pk при xmn = ak. Используя п-\

теперь (76), получаем

q(Xm, Хт'У=

(81)(82)(81)(82)= 2 7>r(xm)Pr(Xm') П $5 КРг (b, I хтД Рг (bj I Хт'Д хт,хт.n-lVi-X

(81)

(82)

(81)

(82)

N К КГу у

= П 2 ^PkPi ^УРг^ЬДа^Р^ЬДа^

/2=1 & = 1 / = 1L>=1_

Так как (82) не зависит от т и т\ можно подставить это выражение в (80) и получить

Рг(Рет>В^(М-Р)В-$Рг(Рет>В^(М-Р)В-$Г К К / Jуч2 ^РкрА^Ур.кРаL^=i i»i \j=i * J j jГ К К / Jуч2 ^РкрА^Ур.кРаL^=i i»i \j=i * J j jNN

Рг(Рет>В^(М-Р)В-$

Рг(Рет>В^(М-Р)В-$

Г К К / Jуч

2 ^РкрА^Ур.кРа

L^=i i»i \j=i * J j j

Г К К / Jуч

2 ^РкрА^Ур.кРа

L^=i i»i \j=i * J j j

N

N

(83)(83)0<s<l.

(83)

(83)

Выберем В так, чтобы правая часть (83) была равна 1/2. Будем иметь

Рг (Рет >В)<^,

В - [2 (УИ - 1)],Л [2 PkPi (2 VPjkPji /р.(84)

Если из ансамбля выбросить все кодовые слова, для которых Рет^ В, где В дается (84), то среднее число оставшихся в коде слов по меньшей мере равно Л4/2, так как вероятность выбрасывания не больше 1/2. Таким образом, существует код с ЛГ >Л4/2 кодовыми словами и вероятностью ошибки для каждого кодового слова, ограниченной неравенством

Рет < В < (4М')^ [2 PkPl (S VPA^p • (85)

Заметим, что выбрасывание кодового слова из кода не может увеличить вероятность ошибки, связанную с каким-либо другим кодовым словом. Если положить M' = eNR и p = l/s, то (85) можно представить в виде

Рвт<^ — pR4-Ex(p, р) — р"^], р>1, (86)

^(р, РЗ — рЬ^р^^УР^РТр. (87)

Можно резюмировать полученный результат следующей теоремой.

Теорема 6. Рассмотрим дискретный канал без памяти со входным алфавитом а^ ... , aKl выходным алфавитом Ь^ ..., bj и переходными вероятностями Pjk = Pr (bj\ah). Тогда каковы бы ни были длина блока N и число кодовых слов NU = eNR, существует такой код, что для всех m ^X^m^M^ вероятность ошибочного декодирования при передаче m-го кодового слова ограничена (86) и (87), где р=(рь ..., Рк) в (87)—произвольный вероятностный вектор.

Метод выбрасывания, который приводит к теореме 6, отчасти аналогичен ранее развитому методу выбрасывания, примененному Элайсом [6] к двоичному симметричному каналу и Шенноном [9] к каналу с аддитивным гауссовским шумом. Окончательная граница, полученная здесь, несколько сильнее этих границ, и фактически разность показателя экспоненты, полученного здесь, и показателей, полученных в более ранних работах, равна скорости R.

Интерпретация теоремы 6 почти совпадает с интерпретацией теоремы 1. Кривая зависимости показателя экспоненты от скорости, задаваемая формулой (87), является верхней огибающей множества прямых линий; линия, соответствующая всем значениям р>1, имеет наклон —р и пересекает ось ординат в точке ^(р, р). Следующая (доказанная в приложении) теорема описывает свойства Ех(р,р).

Теорема 7. Пусть Р^ — переходные вероятности дискретного канала без памяти, и пусть р= (р^ .. ., рк") — вероятностный вектор, заданный на входных буквах канала. Предположим, что

/(рН^^-Д^о.

j2j Pc ji

Тогда при p>0 задаваемый (87) показатель £x(p, p) является строго возрастающей функцией р. Кроме того, £х(1,р) = =£о(1,р), где Ео дается (20). Наконец, £х(р, р)—строго вогнутая функция р, если только канал не является каналом без шума, т. е. если не верно, что для каждой пары входных букв ан и aif для которых Рк+0 и Рг+О, либо Р^Р^ = 0 при всех j, либо Pjh = Pji при всех j.

Эта теорема может быть использована точно таким же образом, как и теорема 2, для получения параметрических выражений для показателя экспоненты и скорости при малых скоростях. Пусть

в <R. р) = max Г— pR + Ех (р, р) — р ^-1.(88)

р LJ

Тогда для R в интервале

и дЕ^р, р)ИИ дЕАр, р) 1

р->со др‘X N - др |р=1v '

имеем параметрические по р уравнения

п| !п4 _ дЕх(р, р)

N dL<\(90)

E(R, р) = -рде^- р)+^(р, р).

Если £х(р,р) — строго вогнутая функция р, то (90) представляет собой выпуклую кривую, имеющую непрерывную производную, равную —р.

Наименьшая скорость, для которой уравнения (90) остаются применимыми, есть

,. дЕх (р, р) lim —Р -> оодр,. дЕх (р, р) lim —Р -> оодргдегде=lim—In 2^/S VPji=PjiT=—InJ РьР&Н’ (91) р^ю к, I \ i/к, l

,. дЕх (р, р) lim —

Р -> оодр

,. дЕх (р, р) lim —

Р -> оодр

где

где

I 1, если 2 PjkPji + 0,^“jO, если 2^д = 0.

Если существуют такие две буквы на входе с номерами к и ц которые не имеют общих букв на выходе (т. е. для которых S РjkPj*i = ^\ то правая часть (91) строго положительна. Если /? + ln4/;V меньше, чем правая часть (91), то E(R, р) бесконечно велика. Это наиболее просто можно увидеть, рассматривая кривую E^R, р) в зависимости от R, как верхнюю огибающую прямых линий с наклоном —р; правая часть (91)

Рис. 7. Типичные кривые зависимости показателя экспоненты от скорости, полученные с учетом улучшения границ для малых скоростей.

а —обычный канал; б —канал без шума; в —канал с неравной нулю пропускной способностью при нулевой ошибке.

является пределом точки пересечения оси абсцисс этими линиями при стремлении наклона к —оо. Шеннон [10] определил пропускную способность канала при нулевой ошибке как наибольшую скорость, с которой возможно вести безошибочную передачу. Правая часть (91) дает, таким образом, нижнюю границу пропускной способности при нулевой ошибке. На рис. 7 изображена данная теоремой 7 кривая зависимости показателя экспоненты от сцорорти для некоторых типичных каналов.

Если канал является каналом без шума в, смысле теоремы 7, то нетрудно заметить, что Е(R, р),,задаваемая, {88), бесконечно велика при /? + (In 4)^</(р). Конечно, это не великое достижение— показать, что для каналов без шума возможна нулевая вероятность ошибки при скоростях, меньших пропускнрй

способности, однако приятно видеть, что этот результат естественно вытекает из общей формулировки.

Совсем мало можно сказать о максимизации Ех(р, р) по входным вероятностным векторам. Возможно, что существуют несколько локальных максимумов; общий метод максимизации не известен.

Этот результат для малых скоростей можно применить к параллельным каналам точно таким же образом, как это делалось в разд. 4. Если входной вероятностный вектор р для параллельных каналов выбирает буквы из обоих каналов независимо, то Ех(р, р) для параллельной комбинации равна сумме функций £х(р,р) отдельных каналов. К сожалению, £х(р, р) не

Рис. 8. Переходные вероятности в канале с неравной нулю пропускнойспособностью при нулевой ошибке.

всегда максимизируется при независимом использовании каналов. Указанный Шенноном [10] пример этого дает параллельная комбинация, состоящая из двух одинаковых каналов, изображенных на рис. 8. Граница для пропускной способности при нулевой ошибке Ит/^Др, р)/р отдельного канала равна In 2 р->оо

и достигается при использовании входных букв 1 и 4 с равными вероятностями в (91). Для параллельных каналов (91) дает In 5, достижимый при использовании пяти пар входных букв (1,1), (2,3), (3,5), (4,2) и (5,4) с равными вероятностями.

Теорема 6 приводит к довольно интересному результату при применении ее к двоичному симметричному каналу. Считая q вероятностью ошибки и положив р= (1/2, 1/2), из (87) получим

EAv. Р) = -Р1п{Г+^[^(1-9)]1/2р}.(92)

Используя (92) в параметрических уравнениях (90) и производя некоторые алгебраические преобразования, получаем

=(93)

где параметр 6 связан с р равенством 6/(1 — 6) =[4^(1—9)Г/2Р> а //(6) -—6 In 6 — (1 — 6)In (1 — 6). Уравнения (93) и (94) справедливы для 6> у%7(1 — ^)/(1 + ]^4^(1 — ^)). •

При больших значениях N, согласно (93), 6 приближается к ЦыпЖ где £)mm— граница Гилберта [11] для минимального расстояния в двоичном коде, имеющем скорость R. Показатель экспоненты, задаваемый (94), оказывается в точности таким же, как показатель экспоненты вероятности перехода одного кодового слова в другое, если они находятся на расстоянии Гилберта друг от друга. Этот результат известен также и для кодов с проверкой на четность [12].

НЕПРЕРЫВНЫЕ КАНАЛЫ И ОГРАНИЧЕНИЯ НА ВХОДЕ

Дискретный по времени и непрерывный по амплитуде канал — это такой канал, входной и выходной алфавиты которого являются множествами действительных чисел. Обычно необходимо или удобно наложить ограничение на кодовые слова такого канала, для того, чтобы отразить физические ограничения на мощность передатчика. Таким образом, до того, как рассмотреть непрерывные каналы, мы рассмотрим эффект введения ограничений в дискретных каналах и затем обобщим эти результаты на непрерывные каналы.

Можно включить ограничения в теорему 1, если выбирать кодовый ансамбль таким образом, чтобы среднее кодовое слово удовлетворяло ограничению. Существуют две трудности, связанные с такой процедурой. Одна — математическая и состоит в том, что не все слова удовлетворяют ограничению. Другая, более существенная трудность состоит в том, что те кодовые слова, которые удовлетворяют ограничению со значительным запасом, иногда имеют такую высокую вероятность ошибки, что верхняя граница, даваемая теоремой 1, не является наиболее сильной экспоненциальной границей, которую можно получить.

В этом разделе теорема 1 будет модифицирована так, чтобы получить наилучшую экспоненциальную границу для дискретного канала с ограничениями на входе. Затем граница будет распространена на непрерывный канал, и наконец в качестве примера будет рассмотрен канал с аддитивным гауссовским шумом.

Пусть A = f(^i), ..., fK = f(^K) —действительные (положительные и отрицательные) функции входных букв а^ ..., ак. Рассмотрим коды, каждое из кодовых слов х=(хь ..., Хк) в которых удовлетворяет ограничению

IfUnX^ (95)

Если входные буквы представляют собой напряжение и если ^0,^ = 0^— So, то (95) представляет собой мощностное ограничение, требующее, чтобы в каждом кодовом слове средняя энергия на одну букву не превосходила So. Пусть р= (Pi, ... ..., рк) — вероятностный вектор, компоненты которого удовлетворяют ограничению

к

2 PkU < 0.(96)

Определим теперь ансамбль кодов, в которых вероятность кодового слова Р(х) является условной вероятностью выбора букв в согласии с р при условии, что удовлетворяется ограни- N

чение —6^Sf(^/z)^0, где 6—число, которое будет вы- п = 1

брано ниже. Математически это значит, что

N

Р(х) = 9-1ф(х)Д/>(хл),(97)

<р(х) =<р(х) =(98)(99)(98)(99)0 для всех остальных х.0 для всех остальных х.7 = 2ф(х) Пр(х„),Xл= 17 = 2ф(х) Пр(х„),Xл= 1если — 6 <: S f (-^л) -С 0, п

<р(х) =

<р(х) =

(98)

(99)

(98)

(99)

0 для всех остальных х.

0 для всех остальных х.

7 = 2ф(х) Пр(х„),Xл= 1

7 = 2ф(х) Пр(х„),Xл= 1

где р^Хт^=ри при хп = аь Можно рассматривать q как нормирующий множитель, выбираемый так, чтобы сделать сумму Р(х) по х, равной 1.

Учитывая, что (11) справедливо для любого ансамбля кодов, подставим теперь (97) в (11)

^т<(^-1)Р2 У^т<(^-1)Р2 У'N11+Р

^т<(^-1)Р2 У

^т<(^-1)Р2 У

5 9-1Ф (X) П Р (^л) Рг (у | х)1/(,+Р)

.Xn = XJ

(100)(100)0<р<1.

(100)

(100)

Прежде чем упростить (100), оценим ф(х) сверху

' N"

при г^>0.при г^>0.(Ю1)(Ю1)Ф(х)<ехрг 2/(л:л)+6_п = Х

при г^>0.

при г^>0.

(Ю1)

(Ю1)

Неравенство (101), очевидно, справедливо при ф(х)=0. При

N

ф(х) = 1 имеем 2И^)+б>о и (Ю1) по-прежнему справед- п-Х

ливо. Более удобная для математических преобразований правая часть (101) все еще не учитывает большие вклады в Рет со стороны последовательностей, для которых ^[(Хд) слишком п мала.

Подставляя (101) в (100) и производя те же самые операции, которые были сделаны при переходе от (11) к (20), получим доказательство следующей теоремы.

Теорема 8. В условиях теоремы 1 существует код, каждое N

кодовое слово которого удовлетворяет ограничению 5 f(xn) *^0, л=1

а вероятность ошибочного декодирования для которого ограничена следующим образом:

Pe<Bexp — NYE0(p, р, г) —р/?],Pe<Bexp — NYE0(p, р, г) —р/?],j г к£0(р, р, г)=-1п 2 [2 ^1+pVf»j г к£0(р, р, г)=-1п 2 [2 ^1+pVf»1+р1+рвв/ ег6\!+Р \Т)/ ег6\!+Р \Т)(Ю2)(ЮЗ)(104)(Ю2)(ЮЗ)(104)

Pe<Bexp — NYE0(p, р, г) —р/?],

Pe<Bexp — NYE0(p, р, г) —р/?],

j г к

£0(р, р, г)=-1п 2 [2 ^1+pVf»

j г к

£0(р, р, г)=-1п 2 [2 ^1+pVf»

1+р

1+р

в

в

/ ег6\!+Р \Т)

/ ег6\!+Р \Т)

(Ю2)

(ЮЗ)

(104)

(Ю2)

(ЮЗ)

(104)

где q удовлетворяет (99). Формулы (102) — (104) справедливы при 0 ^ р ^ 1, г>0, д>0 и любом р, удовлетворяющем условию ^pkfk<0.

Отметим, что если г = 0, то (103) совпадает с (20) с точностью до коэффициента В. Если вектор р, который максими- к

зирует £0(р, Р) в (20), удовлетворяет условию 2й/Х0> то можно положить г=0 и получить тот же самый экспоненциальный характер ошибки, что и в случае отсутствия ограничений. Если в этих условиях выбрать б достаточно большой, то q будет стремиться к 1/2 при увеличении N, если 2а^ = 0, и будет стремиться к 1, если ^pkfk < 0.

Наибольший интерес вызывает применение теоремы 8 в случаях, когда р, максимизирующее Е0(р, Р) в (20), не удовлетворяет условию ^ркк^^- В этом случае оказывается, что ^(р, Р, И максимизируется выбором г>0.

Инженерный подход к максимизации ^(р, р, г) по р и г состоит в том, чтобы из предположения о том, что максимум в случае отсутствия ограничения находится вне области, определяемой ограничением, сделать вывод, что максимум при наличии ограничения достигается на граничном значении

^ PkU — ^* Тогда с помощью метода множителей Лагранжа к

при условиях 5 Рк = 1 и ^ PkU = ^ можно найти стационарную кк

точку выражения, стоящего под знаком логарифма в (103). Эта процедура дает

(1+р) 5аР’^Уа1+Р)£г^при всех А, (105)

^-^Р^Т^(106)

с равенством в (105) при Рк+О. Строгое неравенство в (105) имеет место для максимума, в котором, как и в теореме 4, некоторые Рк = 0- Потребуем также, чтобы точка была стационарной по г

(1 + Р) 2 apj 2 Р^Р^6^ = °'(107)

j к J

Если умножить (105) на рк и просуммировать по всем к, то получим X — — (1+р)2а/+Р- Если умножить (105) на pkfb j просуммировать по всем к и сравнить результат с (107), то найдем, что у = 0. Объединяя эти результаты, получим

^ajP^k^V^k >2а/+Р при всех к (Ю8)

с равенством при Рк^О.

Можно показать, хотя доказательство этого существенно сложнее доказательства теоремы 4, что когда максимум в отсутствие ограничения не удовлетворяет условию S Pkt к ^ 0, неравенство (108) и ограничения 2д = 1 и ^Pkfk = O являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы г и р максимизировали £о(р, Р, И- Таким образом, когда произведена максимизация по р и г и когда (102) максимизировано по р, можно показать, что при R^> Rent граница (102) описывает истинную экспоненциальную зависимость от N вероятности ошибки наилучшего кода с длиной блока N, удовлетворяющего заданному ограничению.

Значение В в (102) и (104) трудно ограничить, однако его довольно легко оценить при больших N с помощью централь-

N

ной предельной теоремы. Положим 5=^1^ где ^п— независимы и = Ь с вероятностью рк. При этом q^Pr^—§ S 0]

как следует из центральной предельной теоремы, при фиксированном 6

lim V"N q = Д,(109)

о]=^РЛ(110)

Используя (109) совместно с (103), можно увидеть, что er6/q приближенно минимизируется при б = 1/г. При этом

Д«У"2л^о.ег.(111)

Здесь ~ означает, что отношение обеих сторон (111) стремится к 1 при N-*oo. Если gn имеют решетчатое распределение1), то б кратно шагу и (111) перестает быть справедливым, хотя В все еще остается пропорциональным M^pV2.

Ограничения на входе при малых скоростях

При малых скоростях границу, заданную (102) и (103), можно улучшить так же, как теорема 6 улучшает теорему 1. Для этого просто выберем вероятности Pr (хт) и Рг^Хщ^ в (81), так чтобы они задавались (97). Используя границу (101) в (97), подставляя результат в (81) и упрощая выражение, получим

с^Гбq<Xm, Хт'1=—Гс^Гбq<Xm, Хт'1=—ГPkPier ^b+i^PkPier ^b+i^(112)(112)

с^Гб

q<Xm, Хт'1=—Г

с^Гб

q<Xm, Хт'1=—Г

PkPier ^b+i^

PkPier ^b+i^

(112)

(112)

Используя (112) вместо (82) и повторяя соображения, использованные при переходе от (82) к (87), придем к следующей теореме.

9 Если gn имеет нерешетчатое распределение, то (109) можно получить с помощью простых алгебраических преобразований из теоремы 2 на стр. 225 монографии Гнеденко и Колмогорова [13]. Если gn имеет решетчатое распределение, (109) следует из теоремы на стр. 248 монографии Гнеденко и Колмогорова [13]. (Решетчатое распределение есть распределение, в котором значения величины gn могут быть записаны в виде dh = hj(k) + я, где а и h не зависят от к, а /(^) —целое число при всех к. Наибольшее К удовлетворяющее этому равенству, называется шагом распределения.) Для решетчатых распределений gn должно иметь третий абсолютный момент; это тривиально для конечных входных алфавитов и является достаточно общим условием для непрерывного входного алфавита, который мы хотим рассмотреть* * ’

Теорема 9. В условиях теоремы 6 существует код, каждое слово которого удовлетворяет как условию ^f(xn) О, п так и границе

Pcm<exp — N [^(р, р, 0 — р[/? + т71п— ]) ’ (ИЗ)

Ех (Р> р, г) = — р In 2 PkPteT Vk+1i^ (2 Vрцгр^ (114)

i\ j/

при р>1, r>0, d>O^p, удовлетворяющем 2 PJk^-0. При

'2ipfeffe = O значение eT^!q задается (109) — (111).

Непрерывные каналы

Рассмотрим канал, входной и выходной алфавиты которого являются множествами действительных чисел. Пусть Р^у\х) — условная плотность вероятности получения у при условии, что передано х. Пусть р^х)—какая-либо плотность распределения на входном множестве канала, a f(x)—некоторая действительная функция, заданная на том же множестве. Предположим, что каждое кодовое слово удовлетворяет ограничению

N00

2 f (хп) ^ 0, и предположим, что | р (х) / (х) dx < 0.

n=i-00

Разделим входное пространство на К интервалов, а выходное пространство разделим на J интервалов. При каждом & пусть ак — точка из fe-ro входного интервала и рк — интеграл от р^х) по этому интервалу. Пусть Р^— интеграл от Р^у\а^ по /-му выходному интервалу. Теперь теоремы 8 и 9 могут быть применены к этому квантованному каналу. Устремляя К и J к бесконечности так, чтобы интервалы около каждой точки стремились к нулю, получаем, что суммы по к и j в теоремах 8 и 9 переходят в римановы интегралы и границы остаются справедливыми, если интегралы существуют1). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 10. Пусть Р(у\х)—переходная плотность вероятности канала, непрерывного по амплитуде. Пусть каждое

N

кодовое слово удовлетворяет ограничению ^Цх^<,0. Тогда, п=1

каковы бы ни были длина блока N, число кодовых слов M = eNR и распределение вероятностей использования кодовых слов, су-

9 Подробности такого обоснования перехода см. Галлагер [3], разд. 8,

ществует код, для которого Pe<Bexp\—N {^(р, р, г) — р^}],

^(р, р, r) = —In J J р^Р^х)^1"^ eri W dx

(Н5)

dy.

(И6)

(И7)(И7)р<1.

(И7)

(И7)

Кроме того, при любом р > 1 для каждого кодового слова имеем

* ГГ 91 )

^m<exp — N ^(р, р, г) — p^ + -±-in±_j j ,(118)

^(р, р. r) = —pin J J р(х)р(х')ег< u)+rfW)x

(

co\ 1/P

J УР^УГхУ^ dy j dxdx'. (119)

Формулы (115) — (119) справедливы, если римановы интегралы существуют при всех г>0, д>0 и р(х), удовлетворяющих

J p(x)f (x)dx <0. Если

р(х)1(х^х = 0 и J р(х) | f (х) |3rfx < сю, то

~ y2nNafre [см. (111)].

В отсутствие каких-либо ограничений на входе соотношения (115) — (119) остаются справедливыми, если в них положить г = 0 и q= 1.

Аддитивный гауссовский шум

В качестве примера применения формул (115) — (119) рассмотрим дискретный по времени и непрерывный по амплитуде канал с аддитивным гауссовским шумом. В таком канале, если передается xm=(xmb ..., xmNV то принятая последовательность у может быть представлена в виде (xmi + ^i,..., xmN+zN^ где zn — гауссовские случайные величины, статистически независимые друг от друга и от входной последовательности. Без

потери общности можно предположить, что шкалы х и у выбраны так, что каждое 2П имеет нулевое среднее значение и единичную дисперсию. Таким образом,

Р<у\х^ = ^е^-^.(120)

Предположим, что каждое кодовое слово удовлетворяет мощностному ограничению

(121) П-1

ИЛИ

S/W<0; ^-х^-А.(122)

n = l

Значение А в (121) и (122) —отношение сигнал/шум по мощности, рассчитанное на одну степень свободы. Интуитивно кажется, что в этих условиях следует выбрать в качестве р(х) гауссовскую плотность с дисперсией А; оказывается, что такой выбор при подходящем выборе г дает стационарную точку fo(р, Р, г). Таким образом,

Р^=угв"х,м-(123)

Подставляя (120), (122) и (123) в (116) и непосредственно выполняя интегрирования, получим

fo(P, р. г) = М(1 + Р)+41п(1-2гД) +

+ | In (1-2^ + ^). (124)

Для упрощения в (124), делая подстановку р=1 — 2гА и максимизируя (124) по р, будем иметь

р=4{1—г^+^-т^Г+те?}-о25>

Используя (124) для того, чтобы максимизировать (116) по р, получаем, что

Ре < В exp — NE (R),(126)

где E(R) задается параметрическими уравнениями по р, 0<р< 1

Е (R) = ^ In р+Д+MzzPl,(127)

^ = |ln(p+r^),(128)

где р при каждом р задается (125).

Постоянная В в (126) задается (104) и (111), в которых 6/, согласно (122), равна ]/2Л. Таким образом, при N->oo

В « [4лЛ^Л2 (У^-)2 е2]^^ = [лЛ^2 (1 — Р)2](1+Р)/2. (129)

Равенства (127) и (128) применимы при O^p^l или после подстановки (125) в (128) при

iini{i+4+/i+4UA?<iin(+^. (1з°)

Левая сторона (130) есть /?спь а правая сторона — пропускная способность канала. В этом интервале скоростей E(R) в точности совпадает с кривой зависимости показателя экспоненты от скорости, полученной Шенноном1), и это тот самый интервал скоростей, в котором верхняя и нижняя граничные экспоненты Шеннона совпадают. Коэффициент у Шеннона, однако, значительно точнее, чем тот, который приведен здесь.

Для того чтобы получить границу для вероятности ошибки при малых скоростях методом выбрасывания, подставим (120), (122) и (123) в (119). После прямого интегрирования, получим

5Др, р, г) = 2грЛ + |1п(1-2гЛ) + |1п(1-2гЛ+4-). (131)

Полагая рж=1—2гЛ, установим, что Ех(р, р, г) максимизируется

(132>

Оптимизируя, наконец, (118) по р, найдем Pem<^xp—NE(R), где Е(Р) задается с помощью параметрических уравнений при р^> 1,

£(«) = р(1-М.

'г-тМ^ + тЬ^1"^'(133)

Здесь, как и прежде, при больших N f-«y^Ve(l-^).(134)

Если положить

п/ г> , 2 . 2ег6/1ок\

R—1П—(135)

то можно просто решить (132) — (134) и получить

Е^ = А^Х-У\-е-^(136)

при

^^у^й+у"/^^)-(137)

Показатель экспоненты, заданный (136), больше, чем показатель экспоненты, полученный Шенноном [9] для малых скоростей; разность равна R'» " '

Рис. 9. Кривые зависимости показателя экспоненты от скорости для канала с аддитивным, гауссовским шумом. А— отношение сигнал/шум по мощности.

При скоростях, лежащих между теми, которые определены (130) и (137), можно использовать либо (124), либо (131), положив р=1. Любым методом получим

Pe<Sexp-^[(l-p)+lln(p+4-^)]> <138)

₽=4[1-4 + / Н-Т"]-<139)

На рис. 9 изображены кривые £(/?), задаваемые этими равенствами при различных отношениях сигнал/шум.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для доказательства теорем 2 и 7 требуется следующая лемма.

Лемма. Пусть а^ ..., aL — множество неотрицательных чисел, и пусть q^ .,., qL— множество вероятностей. Тогда функция

fto = ln(S^<)'(140)

является невозрастающей при х>0 и строго убывающей, если аъ для которых qi+О, не все равны друг другу. Функция f(x), кроме того, выпуклая при х>0 и строго выпуклая, если все ненулевые аь для которых qi^O, не равны друг другу.

Доказательство. Хорошо известным свойством взвешенного среднего значения (см. Харди и др. [14]) является то, что ^S^l) —возрастающая функция г при г>0 и строго возрастающая функция, если не все а^ для которых 7/=#0, равны друг другу. Положим х=1/г; это значит, что функция f(x) — невозрастающая или строго убывающая при х>0. Другое свойство взвешенного среднего, вытекающее из неравенства Гёльдера !), состоит в том, что если г и t не положительны, О<0< 1 и s = 0r+ (1 — 0)/, то

3 ^ < (2 q^ (2 qi^'6(141)

9)9)(142)(142)с равенством только в том случае, если все ненулевые а^ для которых qi^O, равны друг другу. Пусть X определяется равенствами

9)

9)

(142)

(142)

1 _Х . 1 —X S г * t

Подставив (142) в (141) и возведя каждую сторону в сте- шень 1/s, получим

(2< (2(143)

Логарифмируя обе части (143) и интерпретируя 1/г и 1// как два различных значения х, найдем, что f(x) —выпуклая функция и строгая выпуклость имеет место при указанных ^ыше условиях.

') См. Харди и др. [14], теорема 17,

Доказательство теоремы 2).

j / кV+p

д>(р, P) = -inS 2/V^1+p) •

Согласно лемме, (2 Pk^jk^^^— невозрастающая функция р. Так как /(р)=£0 по условию, то существует по крайней мере одно /, для которого Pjk изменяется по к при р^^О; для такого / ^P^jk^0^9— строго убывающая функция и, таким образом, £0(р, р)—строго возрастающая функция р. С помощью прямых вычислений находим, что £о(О, р)=0 и, следовательно, £0(р, Р)>О и д£0(р, р)/др>0 при р>0. Непосредственным дифференцированием можно показать, что д£о/<?р|р=о=/(р)• Далее, пусть pi и р2 не положительны, пусть 0<Х<1 и рз=^Р1 + + (1 — Z) р2. Из леммы имеем

^„р-г^Т’*

(144)

Используем теперь неравенство Гёльдера), которое утверждает, что, если а^ и Ь, — множества неотрицательных чисел, то

2 a3bj < (2 ах^ (2 Ьхр-^'Х О45)

с равенством только в том случае, если а^ и Ь^ пропорциональны. Суммируя (144) по всем /, положив а^ и bj равными членам, стоящим в правой части (144), и используя (145), получим

<[2(2^ГЛГ7[^^Н'“^ (|46)

Логарифмируя (146), установим, что £0(р, р) —функция вогнутая и, таким образом, что д2£о/др2^О. Вогнутость является строгой всегда, когда (144) и (145) одновременно не обращаются в равенства. Но условие 1 теоремы 2 является условием того, что (144) обращается в равенство, а условие 2

является условием пропорциональности а^ и 6; в случае, когда выполняется условие 1.

Доказательство теоремы 4. Начнем с доказательства того, что /Др, р) — выпуклая функция р при р > 0. Пользуясь (40), представим /Др, р) в виде

^(Р. Р) = 2аур; «, = .2/V^1"^-(147)

Пусть р = (А> Рк) и 4 = (^i> Чк>— произвольные вероятностные векторы, и пусть

ч,=Т1р1р'К«'"

При0<Х<1 имеем .

F (р, Хр + (1 - X) q) = 2 [2 ^Рк + (1 - ^) «7») ^1+р)]1+Р =

= 5[^у + (1-МРу]1+Р.(148)

Так как aj и р?- должны быть неотрицательными и так как х1+р — выпуклая функция х при р > 0 и х>0, правую часть (148) можно ограничить сверху,

F (р, Хр + (1 - X) q) < 2 Ха'+Р+(1 - X) р’+р,

F^ Xp + (l-X)q)<X^(p, р) + (1-Х)^(р, q).(149)

Таким образом, /Др, р) —выпуклая функция р при р > 0.

Общая задача отыскания необходимых и достаточных условий для вектора, минимизирующего дифференцируемую выпуклую функцию на выпуклой определяемой серией неравенств области векторного пространства, решена Куном и Такером [15]. В частном случае, когда область ограничена рь > 0 при l^^<;^ и ^рк = \, это решение сводится к условию к

р- > и ‘при всех к с равенством при pk + 0. (150)

Дифференцируя /Др, р) и решая относительно постоянной и, сразу же получим (41). Подобно этому если подставить выпуклую функцию —/(р) в (150), то получим (42).

Наконец, видно, что /Др, р) —непрерывная функция в замкнутой области, в которой р — вероятностный вектор. Следовательно, /Др, р) имеет минимум, и, таким образом, (41) имеет решение,‘'

Доказательство теоремы 7.

(р. р)= — р in 2 pkpi (2 Vр}кР^1р-

Если ПОЛОЖИТЬ PkPt = Ql’ 2 VPjkPji = ai и р = х, то можно i

увидеть, что лемма непосредственно приложима к —Еж(р, р)- Так как /(p)V=O по условию, то ^VPjkPji не может быть независящей от к и I, и Ех(р, р) —строго возрастающая по р. Вместе с тем Еж(р, р)—вогнутая функция р, и вогнутость строгая, если ^VPjkPji не равна всегда 1 или 0 при риргРО.

J

Но 2 yPJkPji = 1, только если Р^ = Рц при всех /, и 2 VPjkPji = 0> только если Р^Рц^О при всех j.

ЛИТЕРАТУРА

Shannon С. Е., A mathematical theory of communication, Bell Sys. Tech. J., 27 (1948), 379, 623. (Русский перевод: Шеннон К., Математическая теория связи, сб. Шеннон К., Работы по теории информации и кибернетике, ИЛ, М., стр. 464—487.)

Fano R. М., Transmission of information, М. I. Т. Press, New York, 1961. (Русский перевод: Фано Р. М., Передача информации, «Мир», М., 1965.)

G а 11 a g е г R. G., Information theory, The mathematics of physics and chemistry, Princeton, N. J., v. 2, 1964.

Wozencraft J. M., Kennedy R. S., Coding and communication, Presented at the URSI Conf., Tokyo, Japan, Sep. 1963. (Русский перевод: Возенкрафт Дж. М., Кеннеди Р. С., Кодирование и связь, Кибернетический сборник, вып. 9, «Мир», 1964, стр. 71—89.)

Blackwell D., G i г s h i c k M. A., Theory of games and statistical decision, New York, N. Y., 1954. (Русский перевод: Блекуэлл Д., Г и р- ш и к М. А., Теория игр и статистических решений, ИЛ, М., 1958.)

Е1 i a s Р., Coding for two noisy channels, Third London Symposium on Information Theory, London, 1955. (Русский перевод: Элайес П., Кодирование для двух каналов с шумами, сб. Теория передачи сообщений (Труды Третьей международной конференции), ИЛ, М., 1957, стр. 114—138.)

Reif fen В., A note on very noisy channels, Inform. Control, 6 (1963), 126.

F a n о R. M., Private communication, 1963.

Shannon С. E., Probability of error for optimal codes in a Gaussian channel, Bell Sys. Tech. J., 38 (1959), 611. (Русский перевод: Шеннон К. Э., Вероятность ошибки для оптимальных кодов в гауссовском канале, сб. Шеннон К., Работы по теории информации и кибернетике, ИЛ, М., 1963, стр. 540—586.)

Shannon С. Е., The zero-error capacity of a noisy channel, IRE Trans, on Information Theory, IT-2 (1956), 8—19. (Русский перевод: Шеннон К. Э., Пропускная способность канала с шумом при нулевой

ошибке, сб. Шеннон К., Работы по теории информации и кибернетике, ИЛ, М., 1963, стр. 464—487).

И. Peterson W. W., Error correcting codes, M. I. T. Press, Cambridge, Mass., Inc., New York, N. Y., 1961. (Русский перевод: Питерсон У., Коды, исправляющие ошибки, «Мир», М., 1964.)

Gal la ger R. G., Low density parity check codes, M. I. T., Press, Cambridge, Mass., 1963.

Гнеденко Б. В., Колмогоров A. H., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.—Л., 1949.

Hardy G. Н., Littlewood J. Е., Polya G., Inequalities, Cambridge, England, Theorem 16, 1959. (Русский перевод: Харди Дж., Литтлвуд Дж., Полна Г., Неравенства, ИЛ, М., 1948.)

Kuhn Н. W., Tucker A. W., Nonlinear programming, Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley, 1951, 481.

О построении кодов без запятой1)

В. Л. Истмен

Приводится метод построения максимальных (по числу слов) кодов без запятой при любой нечетной длине п слов и любом основании о алфавита.

Введение. Конечный код называется синхронизуемым тогда и только тогда, когда существует минимальное число М, такое, что знание последних М букв произвольного сообщения достаточно для разделения кодовых слов. Блочный код С, содержащий слова длины п, называется кодом без запятой тогда и только тогда, когда для любых слов w = ^iW2... wn и х= = XiX2... хП) принадлежащих С, ^-буквенные перекрытия

Wk . . . WnXi . . . Xk-i (6=^2, .и)

не являются словами кода. Коды без запятой образуют подкласс синхронизуемых кодов, для которых М<2п. Голомб, Гордон и Велч [1] показали, что число слов длины п в коде без запятой, построенном над алфавитом, содержащим буквы 0, 1, ... t.., а — 1, не может превышать

^v.(d)sn'd, d ] п

где суммирование распространяется по всем делителям d числа п, a ц(б/) —функция Мёбиуса. Голомб, Гордон и Велч предположили, что эта граница достигается при всех нечетных значениях п и всех о. С другой стороны, Истмен и Ивен [2] показали, что f(o, п) равно максимальному числу слов синхронизуемого блочного кода, состоящего из слов длины п над алфавитом из о букв. Таким образом, если это предположение справедливо, то требование кода без запятой при нечетных значениях п не вызывает уменьшения числа слов, хотя это требование является значительно более сильным, чем требование синхронизуемости кода.

!) Eastman W. L., On the construction of comma-free codes, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-11, № 2 (1965), 263—267.

Построение кодов без запятой было рассмотрено ранее Голомбом и другими [1], [3]—[5]. В работе [1] Голомб, Гордон и Велч показывают, как можно построить максимальные (по числу слов) коды без запятой при п = 3, 5, 7 и 9. Далее они утверждают, что их методы могут быть расширены для построения максимальных кодов без запятой при и=11, 13 и 15. Однако следует заметить, что лексикографическое упорядочивание не дает кодов без запятой для этих случаев.

В настоящей статье предложен метод построения кодов без запятой Са, п при всех нечетных значениях п и всех о (см. определение 2 п. 2). В п. 3 приводится доказательство того, что коды Са, и являются кодами без запятой. В п. 4 показано, что коды Са, п максимальны и что предположение Голомба, Гордона и Велча в действительности справедливо.

Построение кодов без запятой. Метод построения, предложенный в этом пункте, дает максимальные коды без запятой при любом заданном основании о алфавита и любой нечетной длине п слов. В последующем рассмотрении головой будет называться произвольная последовательность из m букв (1^т< < п^ начала некоторого слова, а хвостом — произвольная последовательность из пт букв (1 ^т < а) окончания некоторого слова. Мы начнем наше рассмотрение с нескольких примеров и введем обозначения, которые будут полезны при описании кодов без запятой.

Пример 1. о = 2, п = 3.

Код без запятой задается множеством из двух слов С2, з= = {100, 101}, которое мы сокращенно запишем как С2,3={Юа}.

Символ а всегда следует понимать таким образом, что его можно заменить любой буквой алфавита (0, 1, ..., о— 1), которая не меньше предшественника а в этом кодовом слове. Так, (1010а) = (10100, 10101} и

(10ааа} = (10000, 10001, 10011, 10111}.

Пример 2. о = 2, п = 5.

С2,5 = {1010а, 10ааа}. Мы будем сокращенно записывать в дальнейшем этот код как С2,5 = {10Sa}.

Символ В следует понимать таким образом, что его можно заменить как последовательностью 10, так и последовательностью аа. (Замена символа В, конечно, предшествует замене символа а.) Заметим, что последовательность аа никогда не может быть заменена последовательностью 10. Отсюда следует, что никакой хвост никакого слова из С2,5, имеющий четную длину, не является головой никакого слова из С2) 5- Следовательно, этот код является кодом без запятой.

Пример 3. о = 2, п = 7.

С2>7= {1055а} = (101010а, 1010ааа, ЮааЮа, ХОааааа^.

Каждый код, определенный до сих пор, был порожден некоторым характеристическим образцом, состоящим из последовательности 10... а, где между головой 10 и хвостом а могла встретиться последовательность из символов В длины 0, 1, 2, ... . Введем теперь дальнейшее обозначение, которое заменяет каждую последовательность 10... а числом символов В, содержащихся в этой последовательности. Используя эти обозначения и отбрасывая скобки, мы можем сказать, что:

С2,з порождается образцом 0,

С2,5 порождается образцом 1,

С2>7 порождается образцом 2.

Обратимся теперь к случаю произвольного основания о алфавита. Каждый код, который был определен до сих пор, содержал только слова, начинающиеся головой 10. В общем случае мы будем учитывать при включении в Са, п только слова, начинающиеся уменьшающейся головой ху, где о > х > у > 0.

Пример 4. о = о, п = 3.

Са, з = ^хуа^ является кодом без запятой.

Символ а снова следует понимать таким образом, что его можно заменить любой буквой алфавита {0, 1, ..., о— 1}, которая не меньше предшественника а в этом кодовом слове. Распространяя очевидным образом понятие характеристического образца, мы можем сказать, что Са, 3 порождается характеристическим образцом 0.

Пример 5. о = о, п = 5.

Са, ъ={хуВа] = {хухуа, хуааау

Символ В всегда следует понимать таким образом, что его можно заменить как любой уменьшающейся головой ху, так и последовательностью аа. Заметим, что для любого 2 последовательности, порожденные га, отличны от последовательностей, порожденных ху. Отсюда следует, что код Са>5 является кодом без запятой, так как никакой хвост никакого слова из этого кода, имеющий четную длину, не является головой никакого слова из этого кода. Снова можно сказать, что этот код порождается характеристическим образцом 1. Подобным образом Са, 7 порождается образцом 2.

Максимальный код без запятой можно получить в случае п=11 путем выбора всех слов, порожденных образцами 4 и 100

(т. е. хуВахуахуа), в случае п=13— путем выбора всех слов, порожденных образцами 5, 200 и 101. В работе [6] этот подход расширен для определения максимальных кодов без запятой для всех простых длин п слов при п ^31. Однако этот подход не будет использован здесь, так как его нельзя обобщить на все нечетные п.

Если некоторое слово w порождается образцом !) р = =Р1р2---Рг, то мы будем говорить, что w составлено из i секций. /-я секция есть часть слова, порожденная числом Pj, и она имеет вид хуВ ... Ва, где длина последовательности из символов В равна р^ а длина всей секции равна 2pj + 3. Для каждой секции / слова w мы определим числовое значение Uj по основанию о следующим образом:

где m = 2pj + 2 и w^— начальная буква секции /. В дальнейшем при определении кодов Са, п мы будем требовать, что если w подлежит включению в Са> п, то слово у, составленное из числовых значений секций слова w, должно принадлежать некоторому ранее определенному коду Ср, ^ Таким образом, определение кодов происходит индуктивно по п.

Определение 1. Характеристический образецр =

—риРя«•• Ри порождает все слова вида

Р1\'Р12'РР*

хуВ ... Ваху В ... Ва ... хуВ ... Ва,

где символ В можно заменить как ху ^>х>у*> 0 для каждой последовательности ху^ так и аа и символ а можно заменить любой буквой, которая не меньше предшественника а.

Определение 2. Код Са,х есть алфавит {0, 1, ..., о — 1}. Код Са,п (л нечетно, п^З) состоит из всех слов w, каждое из которых: 1) порождается некоторым характеристическим образцом нечетной длины одного из видов

Ри

РзтРюРзВ

РьТР^Р^ Р^ ?55

РпРпРя • • • Pllt

9 Мы будем также использовать обозначение р=ри Рш... ри для образца длины I'

где

S

n — ^l Pij 2 ’

б) / — наибольшее из нечетных целых чисел I, таких, что 3f^M, и 2) обладает тем свойством, что слово ц = Ц1Ц2..«^ь образованное из числовых значений секции слова w, является словом кода CP)i при некотором р.

Однобуквенный характеристический образец ри будет называться первичным характеристическим образцом; остальные образцы будут называться вторичными. Слова, порожденные первичным образцом, будут называться первичными словами, а их головы и хвосты будут называться первичными головами и хвостами. Каждое неотрицательное целое число к является первичным образцом при некотором нечетном п, а именно при п = 2& + 3.

Для произвольной !) ^-буквенной последовательности 2 = = ztz2... zn ^п нечетно) можно построить образец р, который порождает некоторую циклическую перестановку 2. Определим последовательность s = s(2) следующим образом:

(О, если г1>г„>

( 1,еслиzx<zn)

и

( 0,еСЛИZ:^>Z:_Xt

s,= .// = 2, п.

3(1,еслиг у < ZpXt

Итак, если Sj — 1, то 2; не может быть получен из символа а, тогда как если Sj = O, то z5 не может быть получен из символа у. Следовательно, если sj... sk — серия четной длины из единиц, то Zj... z^ можно получить лишь из последовательности вида хуху ... ху, в то врем^как если Sj... sk — серия нечетной длины из единиц, то Zj_xZj... zk можно получить лишь из последовательности вида хуху ... ху. (При рассмотрении последовательности s с точки зрения серий из единиц считается, что Si следует за Sn.) Все остальные буквы слова z могут быть получены только из символов а. Выписывая соответствующие символы х, у или а под каждым Sy (/= 1, 2,..., п), мы получаем некоторую последовательность, из которой может быть получена z. Эта последовательность разделяется на

)о Приведенное ниже утверждение справедливо лишь для последовательностей, содержащих по крайней мере две различные буквы. Однако это не* существенно для дальнейшего, — Прим, перев^

секции следующим образом. Каждая новая секция начинается после серии нечетной длины из символов а. Так как п нечетно, а символы х и у встречаются только парами, то такое разбиение должно создать нечетное число секций. (Одна из секций, конечно, может начинаться в хвосте и оканчиваться в голове этой последовательности.) Характеристический образец получается заменой каждой /-й секции числом Рз=^— 3)/2, где v — число букв в этой секции. Для определенности выберем в качестве первой секции секцию, содержащую Zi.

Пример*.

z = 301 2012 30 312 43 3 0313 2 01 2 012 3 32

s =010 010001010 0101010 110 01000 01 хуа, хуаахухуа, хухухуа, хуа, хуааа, ху р^ 13201.

Ясно, что одна из циклических перестановок последовательности z порождается образцом р.

Если слово w принадлежит коду Са>п, то w порождается единственным образцом р и разбиение w на секции единственно. Так как каждая секция слова всегда начинается положительным целым числом, то для заданного алфавита существует взаимно однозначное соответствие между секциями и их числовыми значениями. Следовательно, с каждым словом w кода Са,п связана единственная последовательность у из числовых значений секций слова w.

Доказательство того, что коды Са, п являются кодами без запятой. В этом пункте будет установлено индукцией по п, что коды Са, п являются кодами без запятой для всех алфавитов с основанием о и всех нечетных длин п слов. Необходимое и достаточное условие того, что код С является кодом без запятой, дается леммой 1, которая по существу является переформулировкой определения ^ода без запятой, приведенного ранее. Вслед за леммой 1 мы докажем еще три леммы, приводящие к основному результату этого пункта (теореме 1).

Лемма 1. Блочный код С является кодом без запятой тогда и только тогда, когда для каждой пары последовательностей s' и s", таких, что слово w = s's" принадлежит С, или s' не является хвостом никакого слова из С, или s" не является головой никакого слова из С.

Лемма 2. Никакой первичный хвост / четной длины произвольного слова из Сао> Пй не является головой никакого слова никакого кода Со> к.

Доказательство. Хвост / начинается (строго) убывающей последовательностью букв, имеющей нечетную длину. Но все головы четной длины начинаются убывающими последовательностями букв, имеющими четную длину. Следовательно, t не является головой никакого слова никакого кода Са>гг.

Лемма 3. Никакая первичная голова h четной длины произвольного слова из Сао, п0 не является хвостом никакого слова никакого кода Са, п.

Доказательство. Голова h оканчивается неубывающей последовательностью букв, имеющей нечетную длину. Но все хвосты четной длины оканчиваются неубывающими последовательностями букв, имеющими четную длину. Следовательно, h не является хвостом никакого слова никакого кода Са,п.

Лемма 4. Если слово w = w^w2... wn принадлежит коду СОй)п (п нечетно. п*>3), то для любых неотрицательных а и Р слово w' = (^i + a)^2.. . i^n-i(^n + P) принадлежит коду Са>п при некотором о.

Доказательство (индукция по п). Лемма 4 тривиально выполняется при п = 3 и всякий раз, когда слово w порождено первичным образцом. Предположим, что она справедлива при всех n<N. Пусть слово w = wtw2. .. wN, принадлежащее Сао, порождено вторичным характеристическим образцом, и пусть w'= (ич + а)ш2... ^^-l(^^ + P), где аир неотрицательны. Выберем произвольное oi>max (о0— L Ш1 + а, ^^ + P) и образуем последовательность ^ =-и^ ... ^ из числовых значений по основанию о^ секций слова w'. Очевидно, что слово w принадлежит коду COxin- Образуем последовательность и из числовых значений (по основанию сД секций слова w. По определению 2 слово и принадлежит коду Ср> t при некотором р. Но и' удовлетворяет СООТНОШеНИЯМ^ = ^2’^Ll”^-!’

4)rt>4)t. По индуктивному предположению слово и' принадлежит коду Ср>г- при некотором р. Следовательно, слово ^'принадлежит коду Ca,N при некотором о, так как все условия определения 2 выполнены. Таким образом, лемма 4 справедлива при всех п.

Теорема 1. Если слово w = s's" принадлежит коду С0о, По, то или s' не является хвостом никакого слова никакого кода Са> п) или s" не является головой никакого слова никакого кода С0) п.

Доказательство (индукция по п^. Условие теоремы не выполняется, когда и0=1. Теорема справедлива при и0 = 3, так как по лемме 2 никакой хвост четной длины слова из Сао, з

не является головой никакого слова никакого кода Са,п и по лемме 3 никакая голова четной длины слова из Са0, з не является хвостом никакого слова никакого кода Са,п. Предположим теперь, что теорема справедлива при всех а0 и всех нечетных значениях nQ<N. Пусть s' и s" — произвольная пара последовательностей таких, что слово w — s's" принадлежит коду C0o,n. Тогда справедливы следующие утверждения:

Если s"— хвост четной длины, начинающийся в нечетной секции слова w, то по лемме 2 szz не является головой никакого слова никакого кода Са, п, так как szz имеет в качестве своей головы первичный хвост четной длины.

Если szz — хвост четной длины, начинающийся в четной секции слова w, и первая буква szz не является начальной буквой этой секции, то по лемме 3 sz не является хвостом никакого слова никакого кода Са, п, так как sz имеет в качестве своего хвоста первичную голову четной длины.

Если szz — хвост нечетной длины, начинающийся в четной секции слова w, то по лемме 2 szz не является головой никакого слова никакого кода Са, п, так как szz имеет в качестве своей головы первичный хвост четной длины.

Если s" — хвост нечетной длины, начинающийся в нечетной секции слова w и первая буква szz не является начальной буквой этой секции, то по лемме 3 s' не является хвостом никакого слова никакого кода Са,п, так как s' имеет в качестве своего хвоста первичную голову четной длины.

Если s" — хвост четной длины, начинающийся первой буквой четной секции слова w, то или s" не является головой никакого слова никакого кода Са, и, или s' не является хвостом никакого слова никакого кода Са, п. Действительно, предположим, что в некотором коде Саь пх существует слово w' такое, что s' является хвостом w\ и в некотором коде Са2, „2 существует слово w" такое, что s" является головой w". Пусть о3 = = тах (о0, оь о2). Тогда w £ COai N, V^C^n, и ^ ^СОг> nr Образуем слово y = uiu2.. -Уь состоящее из числовых значений (по основанию о3) секций слова w. По построению кода Ca8tN слово у принадлежит коду Cp>i при некоторых р и KN. Пусть f = у ^2... Уд и f' = uk^tUk^2 .. .Щ являются соответственно головой и хвостом слова у, которые соответствуют голове s' и хвосту s" слова w. Тогда слово, образованное из числовых значений (по основанию о3) секций слова w\ имеет хвост и' = = (^i + a)^2... ин при некотором неотрицательном а, в то время как слово, образованное из числовых значений (по основанию о3) секций слова w", имеет голову и'^Ук^к^* • • ^~1(^ + Р) при некотором неотрицательном р. Но по лемме 4 слово у' = = (^i+.a)y2 • • • ^i—i(^i + P) = и'и" принадлежит коду CPii, при

некотором р. Так как KN, то по индуктивному предположению или и" не является головой никакого слова никакого кода Са,п, или и' не является хвостом никакого слова никакого кода Са, п, что приводит к противоречию. Следовательно, или sM не является головой никакого слова никакого кода С0>п, или s' не является хвостом никакого слова никакого кода Са, п.

Если sM — хвост нечетной длины, начинающийся первой буквой нечетной секции слова w, то теми же рассуждениями устанавливается, что или $" не является головой никакого слова никакого кода Са,п, или s' не является хвостом никакого слова никакого кода Са,и.

Все возможности для s" были рассмотрены. Поэтому для любой пары последовательностей s' и s", таких, что слово w = = s's" принадлежит коду C0oin (ао — произвольное), или s' не является хвостом никакого слова никакого кода Са,п, или s" не является головой никакого слова никакого кода Са п. Следовательно, теорема доказана по индукции при всех а0 и всех нечетных и0.

Следствие. Коды Са,п являются кодами без запятой при всех о и всех нечетных п.

Максимальность. В этом пункте будет показано, что коды Са>п, построенные в соответствии с определением 2, максимальны (по числу слов) и что предположение Голомба, Гордона и Велча из [1].справедливо.

Пусть Gn — циклическая группа преобразований слов, порожденная преобразованием а, где

^^ • • • ^л — W2W3 . . . Tfi)nT5Dy.

Таким образом, Gn— группа преобразований, осуществляющих циклические сдвиги слов. Му говорим, что два слова wt и w2 эквивалентны тогда и только тогда, когда существует преобразование из Gn, которое переводит w4 в w2. Класс эквивалентности может содержать не более п элементов. Если класс содержит ровно п (различных) слов, то этот класс будет называться невырожденным; в противном случае он будет называться вырожденным. Код без запятой не может содержать никакое слово из вырожденного класса эквивалентности и более чем одно слово из произвольного невырожденного класса эквивалентности. Поэтому достаточным условием максимальности кода Са>п является то, что он содержит некоторое слово из каждого невырожденного класса эквивалентности. Если последнее можно показать для всех кодов Са,П1 построенных согласно определению 2, то предположение Голомба и других справедливо, поскольку, как показано в [1], Цо,п) равно числу невырожденных классов эквивалентности.

Теорема 2. Для любого о и любого нечетного п код Са> п содержит некоторое слово из каждого невырожденного класса эквивалентности.

Доказательство. Если п=\, то теорема справедлива, так как каждая буква алфавита {0, 1, ..., о—1} составляет невырожденный класс эквивалентности и никаких других классов не существует. Предположим теперь, что теорема справедлива при всех (нечетных) n<N. Пусть w — произвольное слово из произвольного невырожденного класса эквивалентности слов длины N, построенных над алфавитом из о букв. Построим образец р, который порождает некоторую циклическую перестановку слова w. Тогда р = Р1Р2 . • • Pt при некотором нечетном i (1 <К NJ^h и очевидно, что р удовлетворяет условиям 1 (а) и 1 (б) определения 2. Разделим w на / секций, порожденных i компонентами образца р, и вычислим числовые значения Uj (/=1, ..., /). Так как w принадлежит невырожденному классу, то ^ = ^^2... и^ принадлежит некоторому невырожденному классу слов длины i<N. При некотором р код Cp>i по индуктивному предположению содержит некоторую циклическую перестановку слова и. Поэтому некоторая циклическая перестановка слова w включена в код Са>п. Следовательно, теорема доказана индукцией по п при всех о и всех нечетных п.

Следствие. Коды Са,п максимальны (по числу слов) при всех о и всех нечетных п и содержат f(a,n) слов, что доказывает предположение Голомба, Гордона и Велча.

ЛИТЕРАТУРА

Golomb S. W., Gordon В., Welch L. R., Comma-free codes, Canad. J. Math., 10, № 2 (1958), 202—209. (Русский перевод: Голомб С.У., Гордон Б., В е л ч Л. Р., Коды без запятой, Кибернетический сборник, вып. 5, М., ИЛ, 1961.)

Eastman W. L., Even S., On synchronizable and PSK-synchronizable block codes, IEEE Trans., IT-10, № 4 (1964), 351—356.

G о 1 о m b S. W., Welch L. R., D e 1 b r u c k M., Construction and properties of comma-free codes, Biol. Medd. Dan. Vid. Selsk., 23, № 9 (1958), 3—34. (Русский перевод: Г о л о м б С. У., Велч Л. Р., Дельбрюк М., Строение и свойства кодов без запятой, сб. Математика, 4 : 5 (1960), 137—160.)

G о 1 о m b S. W., Efficient coding for desoxyribonucleic channel, Mathematical Problems in the Biological Sciences, Am. Math. Soc., Providence, 1962, 87^-100.

J i g g s В. H., Recent results in comma-free codes, Canad. J. Math., 15, № 1 (1963), 178—187.

Eastman W. L., Defining patterns for comma-free codes for small prime word lengths, Sperry Rand Research Center Research Mem. 64—4, Apr. . 1964.

Приведенные формы для стохастическихпоследовательностных машин1)

Е. У. Карлайл

ВВЕДЕНИЕ

Стохастическая последовательностная машина

М = (Х, У, S, Р)

определяется заданием конечных множеств X, Y, S (элементы которых называются соответственно входными символами, выходными символами и состояниями) и функций условной вероятности

Р(у, sz|s, х): х^Х; у^У; s, s'^S.(1.1)

Предполагается, что модель М представляет идеализированную физическую систему с конечным числом таких различных внутренних конфигураций (состояний), что: (1) если на вход подан х при состоянии s, то Р^У. sz| s, х) есть полная вероятность того, что будет получена реакция у и новым состоянием будет s', и (2), если машина находилась вначале в состоянии Sj и последовательно на вход подавались Xi, х^ ..., хп, то выходная последовательность у^ ..., Уп имеет вероятностное распределение

п

Psx (У 1^2 * • • Уп \ Х1Х2 • • • Хт^ =21П/(^ 5£ + 1 |5й> Хк)* (1-2)

Если s, t^S и для любого положительного п

Рз(У1У2 ■■■ Уп\ Х\Х2 ... хп) = pt <уху2 ... у п\ ххх2 ... хп) (1.3) для всех xk^X, yk£Y, ^=1, 2, ..., п, то состояния s и / называются эквивалентными (т. е. s и t неразличимы как внутренние начальные условия, поскольку они приводят к одному и тому же «внешне наблюдаемому поведению», или «отношению входа — выхода» р8(ф)). В разд. 2 (теорема 1) устанавливается, что достаточным условием эквивалентности л$дбы^ двух состояний s и t является справедливость условия (1.3) для п =

О Carlyle J. W., Reduced forms for stochastic sequential machines, J. Math. Analysis and Appt., 7 (1963), 167-—175.

»с— 1, где с — число элементов множества S. Это стохастическое обобщение фундаментального результата Мура [1] для детерминированных конечных автоматов (в настоящем контексте М является детерминированным, если вероятностная функция Р принимает лишь значения 0 и 1. От обычного функционального описания, очевидно, можно перейти к такой форме). Доказательство теоремы 1 было подсказано работами Блэкуэлла, Купмана [2] и Гильберта [3] о функциях стационарных цепей Маркова с конечным числом состояний. Входная, последовательность стохастической последовательностной машины может быть представлена как функция контролируемой цепи Маркова с конечным числом состояний (для которой переходные вероятности в любой момент времени п зависят от входного символа, подаваемого в момент п). Такая модель была использована в [4] для дискретного канала связи с шумами; формулировки, эквивалентные (1.1) и (1.2), для этой цели были даны Шенноном [5]. Таким образом, результаты, полученные здесь, могут быть интерпретированы или как стохастические обобщения соответствующих фактов теории детерминированных автоматов, или как структурные свойства каналов связи с конечным числом состояний.

■ Если некоторые из состояний стохастической последовательностной машины эквивалентны, то структура машины должна быть избыточной; в разд. 3 будет показано, что, как и в детерминированном случае, эта избыточность может быть устранена путем получения упрощенного варианта машины, называемого приведенной формой. Приведенная форма стохастической последовательностной машины может быть не единственной (в противоположность детерминированному случаю); тем не менее существует вычислительная процедура для нахождения всех приведенных форм данной машины.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Пусть М=(Х, У, S, Р)—машина с с состояниями, для удобства мы идентифицируем S с множеством целых чисел 1, 2, ..., с. Для каждой пары (х, у) входного и выходного символов через Л1(у|х) обозначим матрицу, ij-элемент которой есть

m.tAy\x) = Pky. j\i<

Тогда (Af(z/|x) -.х^Х, y€.Y}— семейство сХс матриц с неотри- нательными элементами, таких, что для каждого х переходная матрица состояний

VH (х) = 5-^ (У I ^

есть марковская матрица; любое семейство матриц (Л1(у|х)} с этим свойством определяет машину с с состояниями. Таким образом, мы записываем М = {М (х|у)}, рассматривая эту запись как другое обозначение машины; при нашем рассмотрении входное и выходное множества X и У предполагаются общими для всех машин и не будут упоминаться явно. Буквы и и у применяются для обозначения конечных последовательностей входных и выходных символов, исключая пустую последовательность 0, имеющую длину нуль, ии' обозначает соединение последовательности и с последующей последовательностью и', а \и\ есть длина и, так что, например, |уР| = 1 + М- Когда обе и- и ^-последовательности появляются в одном контексте (с идентичными индексами или последние отсутствуют), то предполагается, что | и || у |.

Если {Al(z/lx)}— машина с с состояниями, то сХс матрицы М ^и\и) определяются равенством

М^ч)\и') = М(уг\хх>)М(у2\х2') ... М(уп\х„),(2.1)

когда и = х1х2...хп и У=У1У2...Уп, тогда как М (0|0) есть единичная матрица. Если е— с-компонентный вектор-столбец, все компоненты которого равны единице, то из (1.2) видно, что h^y\и) =М(у\и)е,(2.2)

где й(^|^) — с-компонентный вектор-столбец, i-я компонента которого есть pt(,y\u). Из (2.1) и (2.2) мы получаем рекурсивный метод конструирования й-вектора

Ь\уу'\ии') =М(у \u)h(y,\u/).(2.3)

Если л=(л1, л2, ..., лс) —любое вероятностное распределение состояний М, т. е. любое начальное распределение для М, тогда число

р„(и\и)=лЦи\и)(2.4)

означает вероятность реакции у, когда и подается при начальном распределении л. Если к — неотрицательное число, два начальных распределения л и X называются к-жвивалентными (относительно М), если р^у \и) = Рь(у \и) для всех и и у длины к*, л и X эквивалентны, если они ^-эквивалентны для всех к (иначе говоря, неразличимы). Когда л и X являются вырожденными распределениями, это определение, очевидно, согласуется с введенной выше концепцией эквивалентности состояний.

Теорема 1. Если машина М имеет с состояний и если л и X— любые два начальных распределения М, тогда (с—1)- жвивалентность я иХ есть достаточное условие их эквивалентное! и.

Доказательство. Если z— любой с-компонентный вектор-столбец, то пусть г|)(г) = (л— K^z; тогда, в частности, применяя (2.4), получаем

^(А(У|«))=Рл(у1“) —Pk(yl“),

так что л и X ^-эквивалентны тогда и только тогда, если г|) равно нулю на линейном подпространстве (^-мерного пространства), натянутом на векторы й(у|^) для всех и и и длины к. Пусть это подпространство есть Lk^My, теорема будет верна, если мы сможем установить, что для достаточно большого к (т. е. к^-с—1) все пространства L^^M^ совпадают. Прежде всего заметим, что для любого к Lk cz Lft+i, поскольку

к (^ | и) = 5 ^ (^У1чх\у

С другой стороны, если Lk = Lk_^, тогда Ьк^х = Ьк^2, потому что Lh+2 натянуто на векторы к^уи\хи>) для всех х, у и всех и и v длины (^+1), а для таких х, у, и, v

k(ytv\xu) = М (у\х)k(v\u) — М(у\х) (вектор в Lk+1) =

= М(у\х) (вектор в Lk) =

[ Линейная комбинация векторов 1

= М(у|хи/ / /I /х । /I I/, кг =

(ht^^u ^: \и\ = 1^1 —kJ

= {лин. комбинация векторов к ^y^^xu^ £ Ьклх.

Таким образом, существует число / = /(М), такое, что Lk = L3 для всех к>1, тогда как размерность Ьк^х строго больше размерности Ьк для всех к<1. В частности,

(dim Lo) +/ ^ dim Lj ^ с).

Но dim Lo=dim (пространство, натянутое на е}=1 для любой машины, так что J ^С с— 1, что завершает доказательство.

Когда одновременно рассматриваются две или более машины, то удобно приписывать идентифицирующие индексы к величинам рл(у|^) и h^v\uy т. е. (2.2) может быть записано в виде hM(y\и) = M(v\и)е. Предположим, что л и X есть начальные распределения соответственно для машин М и N (М и N могут иметь разное число состояний). Если р^^\и) = = pNQu| и)для всех и и и длины к, мы говорим, что начальное распределение л для М к-жвивалентно начальному распределению X для N, или что (Л4, л) и (N, X) — к-эквивалентные системы. Если ^-эквивалентность справедлива для всех к, то (М, л) и (^Х) эквивалентны, что мы символизируем обозначением (Л1, л) ~ (W, X). Если л сосредоточено на единственном

состоянии s, мы можем писать (М, s) ~ (N, 2^), т. е. состояние и невырожденное распределение неразличимы.

Теорема 2. Если машина М имеет с состояний, N имеет d состояний, а л и X — начальные распределения соответственно для М и N, то (c + d—^-эквивалентность (М, л) и (/УД) есть достаточное условие их эквивалентности.

Доказательство. Пусть М +W есть сумма машин, определенная равенством

(М(у\х)0

v 1у N(y\x)

Применим теорему 1 к машине M + N с начальными распределениями

л' = (л1, ..., ле, 0, ..., 0),

V = (0,0, Хр Xd\

Достаточные условия, данные в теоремах 1 и 2, являются лучшими из возможных, зависящими только от числа состояний, поскольку легко построить детерминированные машины, для которых действительно достигаются границы с—1 и с + -Vd — 1 [1].

Теорема 2 при M = N была установлена для функций марковской цепи (т. е. автономной стохастической последовательностной машины) Гильбертом [3] и ранее (вернее, с границей 2с2+1 вместо 2с— 1) Блэкуэллом и Купманом [2]. Этот последний метод доказательства был модифицирован для получения теорем 1 и 2. Часть процедуры, примененная Муром [1] для детерминированных машин, включая иерархию разбиений множества состояний относительно ^-эквивалентности, ^=1,2, ... может быть расширена на стохастический случай [6], при условии, что «множество состояний» заменяется на «множество всех начальных распределений».

Немедленным следствием теоремы 2 (с М = М) является то, что если структура М не дана, но ^(^1^) определена для всех последовательностей длины 2с—1, то р^^и\и^ однозначно определено для всех последовательностей произвольной длины. Для функций марковской цепи явное правило для конструирования функции р^ по их значениям для аргументов длины 2с—1 было получено Гильбертом [3]. Этот результат может быть распространен на любую стохастическую последовательностную машину [6],

’3. ПРИВЕДЕНИЕ

Если каждому состоянию машины М соответствует эквивалентное состояние машины N и каждому состоянию машины N соответствует эквивалентное состояние машины М, то М и N называются машинами, эквивалентными по состояниям. Среди машин, эквивалентных по состояниям данной машине М, те, которые имеют минимальное число состояний, называются приведенными формами для М. Будем говорить, что машина, у которой любая пара состояний неразличима (т. е. не существует эквивалентных состояний), находится в приведенной форме. Терминология непротиворечива, поскольку приведенные формы любой машины являются в точности теми машинами, которые эквивалентны М по состояниям и находятся в приведенной форме. Это следует из теоремы 3, приведенной ниже, и из транзитивности эквивалентности по состояниям.

Теорема 3. Пусть М — машина с с состояниями, имеющая по крайней мере пару эквивалентных состояний. Тогда существует машина с (с— 1) состояниями, которая эквивалентна М по состояниям. В частности, если s и t есть эквивалентные состояния М, a N{y\x)—матрица, полученная из М(у\х) вычеркиванием строки t и столбца t и заменой столбца s суммой столбцов t и s, то N={N(y\x)} есть машина с (с—1) состояниями, эквивалентная М по состояниям.

Доказательство. Для удобства пусть состояния М пронумерованы так, что s = c—1 и t=c. Тогда

^z;(^k) = ^7(y|^)> * = Ь с — 1, /=1, с — 2,

»z,c-i(yk) = mz,c_Hy|.K) + /nz, Ду|.^ i = \, 2с— 1.

Ясно, что ^(у|х)}— машина. Мы хотим показать, что для всех и, ч)

P^W^P^WY Z = L 2, ..., е —1,(3.1)

И

Pc-xW^PcWY(3.2)

Заметим, что (3.2) следует из (3.1) при 1=с—1, так как состояния с и с— 1 машины М предполагаются эквивалентными. Утверждаемые равенства очевидны (по построению N) для |м| = М = 1> и если они справедливы для всех последовательностей и и и длины к, тогда для таких последовательностей и

любых X и у

с

Р^учДхи^^т^уМрМ^а^

= Д ntj^\x)pN ^U^p1^ (ут\хи)

для Z=l, 2, с—1, так что (3.1) справедливо для последовательностей длины (£+1), что завершает доказательство по индукции.

Правило построения машины N в теореме 3, называемое склеиванием (merging) эквивалентных состояний, есть обобщение аналогичной процедуры приведения, применяемой в теории детерминированных последовательностных машин. Процесс склеивания эквивалентных состояний может применяться к данной машине М многократно, пока не будет получена приведенная форма. Если М — детерминированная, то хорошо известно, что ее приведенная форма единственна (с точностью до перестановки состояний), однако если М — стохастическая, то может быть получен континуум различных приведенных форм, как будет видно из теоремы 4 и следующих за ней рассуждений и примера.

Теорема 4. Пусть М — машина, имеющая с состояний, пусть L = Lj{M) —соответствующее линейное пространство, введенное в теореме 1, и пусть H = cX{6\vaL) —матрица, столбцы которой образуют базис в L. Пусть N^{N{у\х)}— множество сХс матриц, удовлетворяющих условиям

N(y\x)H = M(y\x)H,(3.3а)

^z/(y|^)>0, Z, /= 1, 2, ..., с.(3.36)

Тогда N=^N(y\x^ есть машина с с состояниями, эквивалентная М по состояниям, именно

(N,s)~(M,s), s=l, 2, ..., с.(3.4)

Обратно, если машина с с состояниями удовлетворяет (3.4), то она должна удовлетворять (3.3).

Доказательство. Обратное утверждение немедленно следует из (2.3) и из факта, что (3.4) можно записать в форме

hN(y\u) = hM(y \и) для всех щ о.(3.5)

Для прямого утверждения заметим прежде всего, что если {^(z/jx)}— множество матриц, удовлетворяющих (3.3а), тогда,

в частности (поскольку е^ L),

N(y\x)e=M(y\x)e.(3.6)

Суммируя по всем у (для любого фиксированного х), мы получим N ^е = М^е = е, что вместе с условием (3.36) доказывает, что N^ —марковская матрица. Таким образом, (Л/(#|х)} есть машина. Утверждение (3.4) [или (3.5)] получается при помощи индукции по |у[. Это установлено для |v|=l в (3.6), и если оно справедливо для всех последовательностей и и v длины к, тогда для таких последовательностей и любых х и у

kN (yv | хй) = N (у | х) kN (^ | и) = N (у | х) км (^ | и) =

= М (у | х) км (^ | и) = hM (yv | xu\ если применять (2.3) и (3.3а).

Если М — машина с с состояниями, с а входными и b выходными символами, то множество (Л^(у|х)} решений уравнения (3.3а) зависит от abc(c—dim L) действительных параметров. Согласно теореме 4, если пределы изменения параметров ограничить таким образом, чтобы постоянно выполнялось (3.36), это параметрическое семейство множеств ^N(y\x)^ матриц совпадает (с точностью до перестановки состояний) с семейством всех машин с с состояниями, которые эквивалентны М по состояниям. Прилагая этот результат к приведенным формам для М, скажем М' (которые могли быть получены повторным применением построения теоремы 3 к М), мы видим, что семейство всех приведенных форм М может зависеть от числа параметров, равного abc'(c'—dimL), где с' — число состояний №, т. е. число классов эквивалентности состояний М. Из ее определения видно, что dimL(Al) не может преврсходить с' и что dim L(M') =dim L(M). Таким образом, М имеет единственную приведенную форму, если dim Л = с', в то время как М может иметь континуум различных приведенных форм (как в приведенном ниже примере), когда ШтЛ<сх. (Следует отметить, что условие dim L<c' может иметь место и тогда, когда приведенная форма единственна. Простая детерминированная машина, обладающая этим свойством, приводится в [6].)

Пример. Пусть

/0,2

Х = У=^.

1}, 5={1, 2, 3;

/0,4

1 и

00

0,2

0,2 \

Ж(0|0) = | 0,2

0,2

0,2 ,

Ж(1|0) = 1 0,1

0,3 0

\0,2

0,2

0,2/

\0,2

0,1 0,1

/1

0

° \

/0

0 0\

Ж(0|1) = 1 0

0

0,6 ,

/И (1 [ 1) = 1 0,4

0 0 1.

\0,6

0,1

0,1 /

\0,2

0 0/

Очевидно, что М уже в приведенной форме, т. е. эквивалентных состояний не имеется потому, например, что три компоненты й(111) =Л1(111)е различны. Вычисление векторов Ци\и) для М = 1 и 2 показывает, что /=1 (т. е. Ь^ = Ц и что dim 5 = 2 (<3 = с = с')- Матрицу Н из теоремы 4 удобно выбрать так:

/1 0\tf = 1 2 .

XI 1/

Если уравнения (3.3а) решить, учитывая ограничение (3.36), то мы получим следующее 7-параметрическое семейство всех различных форм ^(z/|x)} для М:

/А Л/(0|0) = В\С /1^(0|l) = l F\О/А Л/(0|0) = В\С /1^(0|l) = l F\О/0,400\7V(l|0) = l D £>4-0,2 0,2-2П I, X Е £-0,1 0,5—2£//0,400\7V(l|0) = l D £>4-0,2 0,2-2П I, X Е £-0,1 0,5—2£/А 0,6 —2А

/А Л/(0|0) = В

\С /1

^(0|l) = l F

\О

/А Л/(0|0) = В

\С /1

^(0|l) = l F

\О

/0,400\

7V(l|0) = l D £>4-0,2 0,2-2П I, X Е £-0,1 0,5—2£/

/0,400\

7V(l|0) = l D £>4-0,2 0,2-2П I, X Е £-0,1 0,5—2£/

В 0,6 — 25

С 0,6 —2С

00\/00 0\

F 0,6-25 I, Д'(1|1) = [ 0,4 0 0,

0—0,5 1,3—20/Х0,2 О О/

0<Д, В, С, 5<0,3, 0<£><0,1, 0,1<£<0,25,0,5<0<0,65.

Выбор минимального значения каждого параметра дает машину с особенно простой структурой. С другой стороны, если для всех параметров выбраны максимальные значения, то становится ясно, что машина М, хотя и находится в приведенной форме, может быть «приведена» (минимизирована) дальше в следующем смысле: машина с двумя состояниями Л4*. определенная посредством матриц

/0,3 0,3\/0,4 О X

^(°I°)=U о.зИ^Мол о.з)'

/1 о \/о0\

0,3)’ ^Мод о)’

такова, что (М, 1)~(М*, 1), (М, 2) ~ (М*. 2), (М, 3) ~ (М*, л), где л=(0,5 0,5). (Машина М преднамеренно была построена с этим свойством для данного примера.) Это приведение М не является допустимым с «механической» точки зрения; при этом имеется в виду, что машина начинает работать с некоторого фиксированного начального состояния. Тем не менее концепция общей приведенной формы (для которой состояния ис-

ходной машины могут соответствовать распределениям в новом минимальном множестве состояний) может быть ключом (germane) к нерешенным проблемам идентификации таких систем с конечным числом состояний, выходные последовательности которой имеют ту же вероятностную структуру, что и данный контролируемый стохастический процесс [2, 3, 6].

Автор желает выразить признательность проф. Томасяну (A. J. Thomasian), который поставил проблему, изученную здесь, и оказал помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

Moore Е. F., Gedanken— Experiments on Sequential Machines, Automata studies, Ann. of Math. Studies № 34, 129—153, Princeton, 1956. (Русский перевод: M у p Э. Ф., Умозрительные эксперименты с последовательностными машинами, сб. «Автоматы», ИЛ, М., 1957.)

Blackwell D., Koopmans L., On the identifiability problem for functions of finite Markov chains, Ann. Math. Statist., 28 (1957), 1011— 1015.

Gilbert E. J., On the identifiability problem for functions of finite Markov chains, Ann. Math. Statist., 30 (1959), 688—697.

Blackwell D., В r e i m a n L., Thomasian A. J., Proof of Shannon’s transmission theorem for finite-state indecomposable channals, Ann. Math. Statist., 29 (1958), 1209—1220 (Русский перевод: Блеквелл Д., Б р е й м а н Л., Т о м а с я н А. Я., Доказательство теоремы Шеннона, сб. Математика, 4 : 5 (1960), 123—135.).

Shannon С. Е., The mathematical theory of communication, В. S. T. J., 27 (1948), 379—423, 623—656. (Русский перевод: Шеннон К., Математическая теория сообщений, сб. Шеннон К., Работы по теории информации и кибернетике, ИЛ, М., 1963, стр. 243—332.)

С а г 1 у 1 е J. W., Equivalent stochastic sequential machines, Techn. Rep. Ser. 60, Issue 415, Electronics Research Laboratory Univ, of California, Berkeley, 1961.

Развитие теории оптимальныхпо быстродействию процессовуправления ’)

Крейндлер

В работе разрабатывается единообразная теория оптимальных по быстродействию процессов управления общих линейных управляемых объектов с обобщенными ограничениями на управляющую переменную. Принятый здесь геометрический подход позволяет по-новому понять и представить некоторые результаты, получаемые методами функционального анализа. Теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия существования и единственности оптимальной управляющей функции w°, и явные формулы для и° выводятся с помощью топологических свойств достижимой области — множества конечных состояний (n-мерных векторов), которые могут быть достигнуты с помощью процессов управления, удовлетворяющих ограничениям. Подробное изучение условий, при которых в достижимой области появляются угловые точки и грани, проясняет некоторые «вырожденные» случаи при ограничениях на амплитуду и «площадь». Кратко обсуждается задача синтеза.

ВВЕДЕНИЕ

Классической задачей теории управляющих процессов является задача об оптимальном по быстродействию управлении: найти управляющие переменные (функции), удовлетворяющие некоторым ограничениям, которые переводят управляемый объект из некоторого начального состояния в желаемое конечное состояние за кратчайшее время.

Исследование этой задачи было начато Бюшо [1] и, независимо, Фельдбаумом [2]. Бюшо рассматривал автономные линейные системы второго порядка с ограниченной по амплитуде управляющей переменной. Он доказал, что релейное) управление является оптимальным, и построил кривые переключения в фазовой плоскости. Фельдбаум доказал то же самое в бо-

]) К г е i n d 1 е г Е., Contributions to the theory of time-optimal control, J. of the Franklin Institute, 275, № 4 (1963), 314—344.

лее общем случае и показал, что в случае систем м-го порядка с действительными, отрицательными и различными собственными значениями матрицы системы в оптимальном релейном управлении необходимо не более п — 1 перемен знака. Это же было доказано (независимо) Беллманом, Гликсбергом и Гроссом [3], использовавшими еще более общий и очень сильный метод. Дезоэр [4] получил оптимальное релейное управление с помощью вариационного исчисления и указал, что моменты переключения могут быть получены из решения сопряженной системы. Лассаль [5] распространил результаты Беллмана и др., а также свои более ранние результаты [6] на общий линейный случай нормальных систем (понятие, им введенное). Гамкре- лидзе [7] получил оптимальное релейное управление, используя принцип максимума Понтрягина [8, 10], и доказал теоремы существования и единственности в случае линейных автономных систем.

Красовский [11, 12] для получения своих результатов использовал методы функционального анализа. Некоторые его идеи были разработаны и развиты Куликовским [13—17], который получил выражение для оптимального управления при различных ограничениях, выраженных в терминах нормы в пространстве Zp, и фактически получил оптимальные регуляторы (устройства, осуществляющие управление) для частных случаев. Недавно результаты Куликовского были распространены Крэнком и Сарачиком на случай многих функций управления [18], а также на случай, когда каждая управляющая переменная может быть различным образом индивидуально ограничена [19].

В настоящей статье развивается единообразная теория для общего линейного случая. Ограничения на управление, такие, как ограничение амплитуды, «энергии», «мощности» и «площади», даются здесь в общей форме, как это делается в работах Красовского, Куликовского, Крэнка и Сарачика. Центральную роль играет достижимая область R, которая сходна с областью, вводимой в работе [3]. Исследуются топологические свойства области R, в частности наличие в ней угловых точек и граней. Это облегчает понимание неизученных случаев при ограничениях на «площадь» и систем, не являющихся нормальными, в которых управляющие переменные ограничены по амплитуде. Изложение просто как в смысле понятий, так и математически. Геометрическая интерпретация, как полагает автор, позволяет лучше вникнуть в существо задачи. Основные результаты изложены в теоремах, большинство формальных доказательств помещено в приложении»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

Объект. Линейная управляемая система, которую мы будем называть объектом, может быть описана интегралом

t

х(/) = х°(0+ J h(/> т) u^dx,(1)

где n-мерный вектор х есть выход объекта, компонентами которого являются п параметров объекта, управляемого единственной управляющей функцией и^, которую будем называть управлением. Член х°(/), выражающий влияние начальных условий состояния объекта при / = /0 на х(/), предполагается заданным и непрерывным. Если х(/) не представляет состояние объекта, то х°(/0) не обязан полностью определять начальные условия при /=/о-

Конечно, выражение (1) можно отождествить с хорошо известным решением

х(/) = Ф(/, /0) х (/0) + J ф (^ т)Ь(т)^(т)^т(2)

векторного дифференциального уравнения х(/)=А(/)х(/)+Ь(/)^(/),(3)

где х — вектор состояния, а Ф(/, т) —переходная матрица.

Однако задание объекта равенством (1) выгоднее, чем равенством (3), поскольку объект может иметь разрывы и временные задержки в некоторых параметрах. Объект может иметь очень большую размерность, в то время как п в равенстве (1) может быть сравнительно малым. Кроме того, функцию h(/, т) можно интерпретировать как реакцию х(/) системы на импульс (6-функцию) и(/) = б(/ — т), приложенную в момент /=т, и, следовательно, ее можно получить из эксперимента.

В связи с этим будем считать, что функции Аг (/, т), (/ = = 1, 2, ..., п) удовлетворяют следующим условиям:

Функции hi{t, т) ограничены на конечных интервалах ^о^т^/<оо изменения / и т, непрерывны по t и кусочнонепрерывны1) по т (для автономных объектов функция h(/) непрерывна). Если h(/, т) есть импульсная реакция, то ЛД/, т) = = 0 для /<^т, причем h^t.x^ может иметь разрыв в точке /=т. Из этого условия следует, что управление и и разрывы пара-

’) То есть непрерывны на конечных интервалах г, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода,

8 Зак. 243

метров объекта (если они имеются) влияют на выход х только через динамические элементы.

Функции Аг(/, т) линейно независимы на любом интервале t^T^t, т. е. для всякого ненулевого вектора X

п

Х-Ь(Л т)=2^/(Л т)^0 на /0^т^^-(4)

Можно показать [9], что это условие эквивалентно утверждению, что объект может быть переведен с помощью подходящего управления при любых начальных условиях в момент времени t=t0 в состояние, имеющее любой конечный выход х(Г) при t — T (/о и Т конечны), каков бы ни был интервал времени Zo^^^r. Это свойство объекта будем называть полной управляемостью.

Важно отметить, что условие (4) допускает равенство X* h(£, т)=0 на собственных подинтервалах интервала /0 ^ т ^ / при условии, что для каждого / существует некоторый конечный интервал /1^т^^, на котором X-h^O. Если X-h(/, т) может обращаться в нуль лишь на множестве (меры нуль) изолированных точек, объект называется нормальным [5].

Ограничения на управлением. Обычно считается, что и некоторым образом ограничено. Наиболее распространенные ограничения на и — это ограничение по амплитуде \и^ | ^ С, огра- т

ничение по «энергии» J |м(/)р dt ^Сг и ограничение по «пло

Т

щади» J\u^\dt <, Сх. Эти ограничения можно объединить выражением

(

т\

^\u^\pdt 11/р<Ср, 1<р<со.(5)

(6)(6)При р = оо и кусочно-непрерывной и неравенство (5) сводится к ограничению по амплитуде

(6)

(6)

max |и(^)|<Соо. t»<t<r

Управление и, удовлетворяющее неравенству (5) (с заданным р), будем называть допустимым, совокупность всех допустимых управлений назовем допустимым множеством управлений.

Хотя кусочно-непрерывное управление — наиболее общий случай, с которым сталкиваются в инженерной практике, по математическим причинам !) удобнее р*ассматривать более широкий класс всех измеримых управлений, удовлетворяющих неравенству (5), при этом интегрирование понимается в смысле Лебега. Тогда для заданного р каждое управление становится элементом функционального пространства Lp, левая часть неравенства (5) есть обычная норма и в LP) а допустимое множество — замкнутая Ср-сфера в Lp. Для того чтобы включить в рассмотрение d-функции для случая р=1, будем считать, что в случае ограничения по «площади» допустимое множество изометрично замкнутой С^сфере пространства Loo (сопряженного с Loo).

В случае ограничения по «площади», р=1, считаем, что функция h(/, т) непрерывна как по /, так и по т. Для допустимых управлений х(/) в равенстве (1) непрерывно.

Задача управления. Цель управления состоит в том, чтобы добиться совпадения х(/), получаемого с помощью равенства (1), с заданным непрерывным (или фиксированным) выходом хг(/) в минимальное время, используя допустимое управление. Образовав разность

xd Ц) = хг Ц) — х° Ц),(7)

можно сформулировать задачу следующим образом:

Для данного хй^ найти допустимое управление и, так чтобы t

J h(L т) и (т) dx = xd (/)(8)

за минимальное время t=T°.

В частном случае задачи регулирования (привести начальное состояние х(^ в состояние равновесия х = 0 за минимальное время) равенство (8) заменяем на равенство

J Ф(/о, т) b (т) и (т) dx = — х Цо),(9)

t

которое получается, если в равенстве (2) положить х(/)=0 и использовать тождество Ф~Ц/, /0) • Ф(/, т)=Ф(/0, г). Выражение (9) в этом случае предпочтительнее, так как правая часть (9) фиксирована в отличие от (8), где она зависит от времени.

9 Пространство кусочно-непрерывных функций не обладает необходимыми свойствами; соответствующие свойства пространства LP использованы только в приложении.

ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Достижимая область. Удобно рассматривать выход х(/) как непрерывно перемещающуюся точку в n-мерном декартовом пространстве X — пространстве выходов. Считаем, что система находится в покое при / = /о(хо(/)=О). Множество точек х(7) из X, в которые можно прийти, используя всевозможные управления и из допустимого множества, будем называть достижимой областью и обозначать R^Ty Конечно, R зависит от р и Ср.

Общие свойства R(tQ, Т) выражает следующая теорема.

Теорема 1. Достижимая область R^tQlT^ T>tOl является замкнутым, ограниченным, выпуклым телом, центрально симметричным относительно начала координат х = 0 и непрерывным по Т.

Из замкнутости R следует, что граница dR множества R принадлежит к R и, таким образом, любая точка dR достижима. Выпуклость R означает, что отрезок, соединяющий любую пару точек из R, целиком содержится в R (или в dR, конечно) и что в R нет «дыр». То, что R есть тело, означает, что/? не содержится в линейном подпространстве X, таком, как прямая или плоскость пространства X (при п^ 3); симметрия означает, что если х(Т) лежит в /?, то и —х(Т) лежит в R; говорят, что R(tQ, Т) непрерывна по Т, если для всякого Т и любой точки хе, внешней к R(tQ, Т), существует такое 6>0, что хе остается внешней к R(t0, Т) для всех т, |т| ^ 6 (т. е. R(4, Т) не может делать «скачок» при «малом» возрастании 7). Эти свойства доказываются в приложении.

Теперь процесс управления может быть наглядно представлен (по крайней мере в 3-мерном пространстве) следующим образом. В пространстве выходов имеется непрерывно меняющаяся область /?(/о, 0 и непрерывно движущаяся «мишень» xd(/). По определению xd(/) достижима тогда и только тогда, когда для некоторого конечного Т точка xd(T) принадлежит R(tQ, Т). В силу непрерывности ясно, что первое соприкосновение xd (/) с R(t0, /) должно произойти на границе dR(tQ, t). Оно и определяет минимальное время t=T°.

Таким образом, приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Если при некотором конечном Т = Т\ точка xd(T^ лежит в R^Tv^ то существует такое оптимальное время Т°, Т°<Л\, что xd(T°) uaxoduTCH на dR(t0, 7°) и dля Т<Т° точка xd(T) не npuнadлeжuт R^t^ Т)л

Аналогичная теорема существования формально доказана для ограничения по амплитуде в [5] и [7]. Условия а) и б) (разд. 2) именно для того и были наложены на Лг-(/, т), чтобы эта теорема была справедливой. Если не выполнено условие а), то /?(/0, /) и (или) х°(/) (а следовательно, xd(/)) могут оказаться разрывными и первое соприкосновение xd(/) с R(t0, /) может произойти внутри области R^t)- Это же может случиться, если R(to,T) вырождается в подмножество линейного подпространства X, ибо выражение (4) в условии б) не выполняется для некоторых т=/0 и t = T. Поэтому на практике эти условия могут быть ослаблены; здесь они присутствуют главным образом для изящности изложения.

В соответствии с теоремой 2 необходимо искать управления, приводящие систему на границу области R^Ty В этой работе такое управление будет называться оптимальным управлением и0.

Необходимые и достаточные условия оптимальности управления. Следующая теорема, доказываемая в приложении, интуитивно ясна.

Теорема 3. Допустимое управление может быть оптимальным только в том случае, если оно удовлетворяет неравенству (5) со знаком равенства.

Следует заметить, что при ограничении по амплитуде этот результат сам по себе не влечет релейность управления. Из него в силу ограничения (6) следует только, что |^(/)|=Соо по крайней мере в одной точке интервала /о^^^Т.

Так как R— выпуклое множество, то в каждой точке dR можно провести опорную к R гиперплоскость1) S(X). Точки пересечения S(l) П dR являются наиболее далекими точками R в направлении К.

Это приводит к следующей теореме.

Теорема 4. Для того чтобы допустимое управление было оптимальным или более определенно для того, чтобы при no

ri

*) Гиперплоскость, задаваемая в виде 5 ^ixi = X • х = с, где с^О, а 1-1

X— ненулевой вектор пространства X фиксированной длины, представляет собой обобщение на п-мерное пространство плоскости 3-мерного пространства. Это (п—1)-мерное линейное (если оно содержит начало координат) или аффинное (если не содержит) подпространство; в терминологии п-мер- ной геометрии это (п—1)-мерная плоскость. Опорная к ^(/0, Л гиперплоскость S(X)—это такая гиперплоскость Х-х=с, с>0, что для всех точек Х(Л из ^(/0,Т),Х.х(7)<с и по крайней мере для одной точки Х<х(7’)=с (рис. 1).

мощи этого управления можно было прийти в любую точку S(X) П dR^t0, 7), необходимо и достаточно, чтобы и максимизировало выражение

т

X • х(Г)= J X • Н(Г, x^u^dx.(10)

Доказательство. При заданном допустимом и правая часть равенства (10) есть некоторая константа с, следовательно,

х(Т) лежит в гиперплоскости *к-х = с. По определению опорной гиперплоскости и в силу выпуклости R(to, Т) величина К-х^Т) достигает максимума в том и только том случае, если х(Г) лежит в S(l) Л dR(tQ, Т). Так как R замкнуто, все точки этого пересечения должны быть достижимы. Теорема доказана.

Максимизация выражения (10) дает оптимальное управление как функцию времени, зависящую от параметров X, /о, Т° и Ср:

U°=a4t\ X, /о> Т°, Ср\ (11)

Остается найти Т° (если оно существует) иХ), соответствующее точке xd(T°) С dR(/0, Т°).

Для этой цели используется следующая теорема, доказываемая в приложении.

Теорема 5. Для того чтобы точка xd(/) лежала на dR(tQ, t) в момент времени t = T, необходимо и достаточно, чтобы

Vx^t)1/1ОХ

max —t— = 1.(12)

I X . h (/, т) и0 (т; X, /0, 1, Ср) dx

t = T

Далее, xd^t) является внутренней или внешней точкой R(t0, t) тогда и только тогда, когда левая часть равенства (12) соответственно меньше или больше 1. При этом равенство (12) не имеет локальных максимумов. При возрастании t, (#>/о) первое значение Т, удовлетворяющее равенству (12) для Х = Х°, есть оптимальное время Т° и № таково, что xd(T°) лежит в S^ V\dR^ Т°).

Из этой теоремы непосредственно вытекает следствие.

Следствие 1. Решение задачи управления существует, т. е. xd(t) достижима тогда и только тогда, когда равенство (12) удовлетворяется при некотором конечном Т.

Полезные, более определенные формы условия (12) будут получены нами после подстановки выражений для и0.

Угловые точки и грани области R. Точки dR можно классифицировать следующим образом:

Точка гладкости — точка на dR, однозначно определяющая направление к Таким образом, гладкий кусок dR есть область dR, где для каждой точки имеется единственная внешняя нормаль X, a S(X) —касательная к dR гиперплоскость.

Угловая точка nopndKa к—такая единственная точка пересечения S(X) A dR, что X имеет к степеней свободы внутри fe-мерного конуса), называемого в этой статье Х-конусом. Таким образом, наивысший порядок угловой точки равен п, а угловая точка первого порядка есть просто точка гладкости, так как X в любой точке dR имеет по крайней мере одну степень свободы — длину.

Если имеется более одной точки в S(X) A 6R, то в силу выпуклости R в пересечении S(X) и 6R получается либо отрезок прямой, либо кусок плоскости, либо в общем случае кусок fe-мерной плоскости, l^fe^/г—1. Такое пересечение будем называть h-мерной гранью 6R в направлении X. При этом h означает наименьшую размерность плоскости, содержащей это пересечение. Если fe-мерная грань рассматривается как множество в fe-мерной плоскости, содержащей ее, понятия внутренности и границы fe-мерной грани принимают вполне определенный смысл. Граница fe-мерной грани может содержать точки гладкости, угловые точки и грани размерности ниже h.

Например, криволинейное ребро заострения на R в 3-мерном пространстве представляет собой совокупность угловых точек второго порядка, а прямолинейное ребро — 1-мерную грань; если, например, область R есть эллипсоид, то она полностью гладкая. Грани доставляют неприятности, потому что если S(X) A dR является гранью, то по теореме 4 допустимое управление, максимизирующее условие (10), должно быть таким, чтобы можно было достигнуть любой точки S(X) A 6R. Так как в линейных системах заданное и приводит к единственной точке х(Т), приходим к выводу, что в этом случае максимизация выражения (10) дает неединственное и0.

Следствие 2. Для существования грани Heo6xoduMo, чтобы допустимое управление, максимизирующее выражение (10), было недоопределено.

Из этого, однако, не вытекает, что и0 для достижения внутренних точек грани обязательно неединственно. Что касается угловых точек, то они даже полезны, так как, находясь в Х-ко- нусе, устойчивы по отношению к погрешностям X.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Вывод формул. Максимизация выражения (10) при ограничении, задаваемом неравенством (5), представляет собой, принимая во внимание теорему 3, простую вариационную задачу, легко решаемую в вариационном исчислении. Она становится еще легче, если использовать неравенство Гёльдера !) для ин-

где 1</?-<оои 1/р+1/^=1, а для 1 < р < со знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда | х^ | р = К\ у^Ц I 9, где К>0.где 1</?-<оои 1/р+1/^=1, а для 1 < р < со знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда | х^ | р = К\ у^Ц I 9, где К>0.*) Неравенство Гёльдера имеет вид:

где 1</?-<оои 1/р+1/^=1, а для 1 < р < со знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда | х^ | р = К\ у^Ц I 9, где К>0.

где 1</?-<оои 1/р+1/^=1, а для 1 < р < со знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда | х^ | р = К\ у^Ц I 9, где К>0.

тегралов. По определению Х-х(7')>0, и можно записать следующую последовательность неравенств:

Х-х(Г) =Х-х(Г) =тJ X • Ь(Г, т)и(т)б?ттJ X • Ь(Г, т)и(т)б?тТ^J|X-h(7', т)«(т)|</т^Т^J|X-h(7', т)«(т)|</т^Ту/^[ IX - П(Г, т)|^тТу/^[ IX - П(Г, т)|^тту/Рj | «(т) |р dx 1ту/Рj | «(т) |р dx 1

Х-х(Г) =

Х-х(Г) =

т

J X • Ь(Г, т)и(т)б?т

т

J X • Ь(Г, т)и(т)б?т

Т

^J|X-h(7', т)«(т)|</т^

Т

^J|X-h(7', т)«(т)|</т^

Ту/^

[ IX - П(Г, т)|^т

Ту/^

[ IX - П(Г, т)|^т

ту/Р

j | «(т) |р dx 1

ту/Р

j | «(т) |р dx 1

4+1=1-<1з>

По теореме 3 необходимым условием максимума Х-х(Т) является

/ тх Мр

||и(т)|Чт= СР.(14)

Подставляя это в выражение (13), получаем для допустимых управлений

/ т\ 1/^

Х-х^ХМ|Х-Ь(Г, t)|^J Ср.(15)

Ясно, что максимум Х-х(Т) на допустимых управлениях достигается тогда и только тогда, когда в неравенстве (15) имеет место знак равенства. Далее первое неравенство в (13) обращается в равенство тогда и только тогда, когда

sgn^(x) = sgnX • h(T, т),

где sgn равен +1 для положительного аргумента, —1 для отрицательного и неопределен (но в пределах от —1 до 1) для нуля. Во втором неравенстве (13) знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда для 1<р<оо

|и(т)| = ^|X. Ь(Г, т)|^, К>0.

Комбинируя эти два условия, получаем, что в неравенствах (13) будет знак равенства тогда и только тогда, когда

а^ = К\Х- h(T, т^^пк.УЦТ, т), 1<^<со.

Наконец, подбирая К так, чтобы удовлетворялось условие (14), приходим к следующей теореме.

Теорема 6. Допустимое управление оптимально в том и только том случае, если

с^к-мг, oi^sgnx.htr, о

U (О ,Т\(Ч-ЩЧ ’ l^^"^00,(16)

I JlX-h (Г, T)|9dT |Vo/

Для р = оо (9—1) равенство (16) сводится к хорошо известной формуле

^W = CooSgn^-hkT, 0>(17)

которая, очевидно, дает необходимое и достаточное условие равенства в выражении (13). Для р = \ (^ = оо) равенство (16) также справедливо; однако, поскольку предельный переход при q —>оо труден, мы в следующем разделе выведем и0 для этого случая непосредственным образом.

С учетом полученного и0 формула (12) теоремы 5 принимает вид

X-xd(O/1ОХ

~—w=Ср- (18)

j |X-h 0, т) |9dr

' t=T

Поскольку длина X несущественна, ее можно выбрать так, чтобы X-xd(/) = l, тогда равенство (18) эквивалентно равенству

min I J | X • h (Z, т)!'7^!= Cp; К • xd (/) |/=r= 1. (19)

В силу неравенства (15) очевидно, что R^to, Т) ограничивается в направлении X опорной гиперплоскостью

' т\1/q

Х х= ]*|Х-Ь(Л т)|^т Ср.

Назовем расстояние этой гиперплоскости от начала координат / т\щ

ЦК) = СР J |Х . Ь(Л t)|»<ZtI .(Х.Х)'1/2(20)

протяженностью R^t^ Т) в направлении X. Для автономных систем

/ Т\l/q/ Т\\/q

j |Х.Ь(Г —T)|^rfT= J |X.h(/)|^M

\o/XoJ

не убывает по T.

Следствие 3. Протяженность R^ Т) в направлении 1 прямо пропорциональна Ср и не убывает по Т, если система автономна.

Равенства (16) — (19) были впервые выведены Куликовским [13] методами функционального анализа, но без имеющейся здесь геометрической интерпретации, позволяющей составить более полное представление по обсуждаемому вопросу.

Замечание 1. Как указано Красовским [11], из решения задачи оптимального быстродействия получается решение задачи о минимуме нормы при фиксированном конечном времени, т. е. при фиксированном Т требуется достичь xd(T) с минимальным (т\1/р

J lu(^)lPd^j (это выражение измеряет в некотором смысле «величину» ^(/) на ^о^^Т1 и называется нормой и). В этом случае, вместо того чтобы подбирать Г, необходимо подобрать Ср в равенстве (14) так, чтобы удовлетворялось равенство (18). При этом определяется минимальная норма, так как в силу теоремы 5 xd(T) принадлежит dR (Zo, Т) и при убывании Ср, xd(T) становится внешней точкой R(t0, Т).

Замечание 2. Все вышеуказанное применимо к задаче регулирования в том виде, в каком она сформулирована в выражении (9). Пусть /?0(Аь Т) означает область (в пространстве состояний X) всех начальных состояний x(Z0), которые могут быть на интервале Zo^^^^ переведены в начало координат х = 0 с помощью допустимых управлений. Сравнение выражения (1) с (2) и (8) с (9) показывает, что каждое состояние x(f0) W, Т) получается из состояния x(T)^R(tOl Т) взаимно однозначным преобразованием

х(/о) = Ф-1(Л /0)х(Л-(21)

Поэтому R^t», Т) обладает всеми топологическими свойствами R^to, Т), в частности Rott», Т) будет иметь все угловые точки и грани R(t0, Т). В равенствах (16) и (18) необходимо просто заменить h(T, f) на Ф(^, ОНО и х*Ц1) на —х(0).

О задаче синтеза. В принципе поставленная задача решена. Для некоторого подходящего интервала значений Т из равенства (18) можем получить скалярную функцию /°(Т) /(X; Т)= /-f—'^^—; rnaxf(X; Г) = № П = Гт.

I [ IX - h (Г, т)|?йт!

Наименьшее значение Т = Т°, которое удовлетворяет уравнению f°(7')=Cp, и есть искомое минимальное время. Подставляя эти

значения Х° и 7° в равенство (16), получим оптимальное управление и0 (как функцию времени на t0<.t<.T°) для достижения хй ^ в минимальное время Т° [за исключением случая, когда xd(7°) лежит на грани /?(/0, T°)Y

На практике, однако, возникают трудности. Во-первых, за исключением некоторых частных случаев [13—17] для функции f0^) нельзя получить аналитического выражения. Кроме того, f°(T) должна пересчитываться, например, по методу градиента [выражение (18) по теореме 5 не имеет локальных максимумов] всякий раз, когда хй^ изменяется. Во-вторых, полученное решение соответствует разомкнутой системе, в то время как в большинстве приложений требуется решение для замкнутой системы (с обратной связью). Для того чтобы получить уравнение для замкнутой системы, и0^ необходимо мгновенно непрерывным образом пересчитывать по мгновенным значениям xd(/), получаемым из непрерывных измерений х(/). Приближением к этому идеалу является пересчет с высокой скоростью /°(7) и u°(t; Х°, 7°) в процессе управления.

Предлагается следующий метод вычисления Х° и Т° в процессе управления замкнутой системой. Пусть для соответствующих интервалов /0 и 7 каждая область Л (4, 7) аппроксимирована в некотором смысле гиперэллипсоидом, заданным квадратичной формой

x-Q(/0, 7)х=1, (22)

где Q(/o, 7) —симметрическая положительно определенная матрица. Это требует вычисления и хранения п^п— 1)/2 функций qtA^ Т)—компонент матрицы Q(/o, 7). Тогда внешняя нормаль к гиперэллипсоиду [уравнение (22)] дает приближенный вектор Хо:

k = 4 grad [х . Q (Zo, л X] = Q (/о. Л X. (23)

Управляющее устройство вычисляет Xa = Q(to, ^)xd(<) и х(/) • Q(^o, 0х(/), увеличивая значения / до тех пор, пока уравнение (22) не будет удовлетворено. При этом определяется приближенное оптимальное время Т°а и приближенный оптимальный вектор Хд. Затем величины Та и к°а можно уточнить (если это необходимо) с помощью равенства (18). Наконец, управляющее устройство выдает и°(/) по формуле (16). Эти три шага необходимо повторить, используя вновь поступающие значения xd. [Конечно, задача вычисления xd по формуле (7) при измерении х(/) сама по себе нетривиальна.]

Во многих приложениях величину Т° можно удовлетворительно заменить величиной Та. и только ^°a необходимо улуч-

шать с помощью равенства (18). Например, для объекта примера 2 (см. рис. 3) максимальная относительная погрешность Т° около 2%, а максимальное относительное отклонение xd(T°) от точки в R(T°), достигаемой с помощью Ua(t; ^ Та\ около 10% (подробности этих вычислений здесь опущены).

Вычисление Q(/o, 0 может быть довольно сложным; однако оно выполняется предварительно. Сглаживание угловых точек (которое происходит при замене области эллипсоидом) не так существенно в силу того, что в угловой точке X относительно нечувствительна к ошибкам. Ясно, что в точках пересечения гиперэллипсоида (22) с dR(t0, Т) погрешность Т° равна 0, в то время как погрешность X максимальна. По-видимому, вообще, подбирая гиперэллипсоид (22) для R(to, Т), лучше избегать таких пересечений.

Описанный выше метод получения Х£ и Т°а можно, конечно, использовать в комбинации с другими вычислительными методами, такими, как методы, изложенные в работах [21, 22]. Например, широко известная трудность для объектов с кратными полюсами в передаточных функциях состоит в том, что число переключений и (в случае ограничения по амплитуде), вообще говоря, заранее неизвестно. Однако, как показывает последующее исследование, эти объекты, вероятно, имеют полностью гладкие достижимые области, и, таким образом, можно ожидать, что Х2 и Т°а настолько хороши, что дают точное число перемен знака и0 и их примерное размещение на интервале t0<t<T°.

Для задачи регулирования, формулируемой в виде выражения (9), с ограничением по амплитуде, получаем в соответствии с формулой (17), замечанием 2 и формулой (23)

Ид (/) = Сю Sgn [Ь (/) • Ф'(^0> OQo(^O, Т^Х^д)],

где Qo (/о, Т) приближает /?0(4, Т), а Ф' есть транспонированная матрица Ф. Если состояние х непрерывно измеряется и по нему непрерывно и автоматически Qo(/o, 0 подбирается так, чтобы удовлетворялось уравнение (22), каждое t можно считать начальным моментом времени /0. Тогда, поскольку Ф(/о, ^о) есть единичная матрица,

M2(x) = CooSgn[b(^)Q0(^, ^)х]. (24)

Этот метод получения приближенного оптимального управления как функции состояния, возможно, не проще, в частности, для автономного объекта, чем аппроксимация поверхностей переключения. Фактически формулу (24) можно использовать и для получения аппроксимации поверхности переключений. Для ав-

тономного объекта формула (24) принимает вид

U°a (х) = Ссо Sgn Ь • Qo (Га) X,

и ясно, что ы2(х) меняет знак в точке х гиперэллипсоида x-Q(7$х= 1, где b — ортогонально к Qo(n) х, т. е. в тех точках, где [как показывает (23)] b является касательным к гиперэллипсоиду. Во всяком случае, формула (24) показывает, что оптимальное управление можно аппроксимировать [в том смысле, что гиперэллипсоид (22) с Qo(^ Т^ приближает RoUot Л1 с помощью линейной зависящей от времени функции состояния.

Вид достижимой области и единственность и0. Результаты предыдущего раздела и вопрос о единственности и0 побуждают нас к дальнейшему исследованию формы R. Прежде всего заметим, что для заданного X и при \ < q < оо^оо > р > 1) формула (16) дает единственное и0. Отсюда следует (следствие 2), что при этих ограничениях в R не может быть граней. Более того, в R не может быть и угловых точек. Для доказательства этого используем следующее свойство угловой точки (или соответствующего Х-конуса): если Xi и Х2 соответствуют угловой точке, то этой точке также соответствует и Xi+X2. Допустим, что х(Т) —угловая точка на dR(t0, Т) с соответствующими ей неколлинеарными векторами Xi и Х2. Тогда из формулы (18) [или (15)] имеем

/ Т\l/q

Х1х(Г) = С/,1 J 1М Ь(Г, т)|9Л,

' /о'

(

Т\l/q

J l^-hfr, т)|9Л.

Сложив их, получим

(Xi + X2) • х(Т) =

- / тy/q / Тy/q-

J | Ь, • h (Г, т) |9 dr + J | Х2 - h (Г, т) |9 с1т

- ' /о~

С другой стороны, так как Xi + X2 соответствует х(Т), то точка х(Т) достижима с помощью u°(t; Xi+X2), поэтому

/ тy/q

(M + LJ.xtrHcJ Jl^ + LJ-htr, t)|9<Zt.

Сравнение двух последних равенств приводит к теореме 7.

Теорема 7. Для того чтобы при ограничениях (5) область R^ Г) имела угловую точку, необходимо, чтобы для некоторых неколлинеарных Xi и Х2 имело место / тy/q/ Тy/q

I J |М • h(M т)|»Л+ I J|M-h(T, i)|»di =

\/0/Vo/

/ Т\l/q

= JlM-мг.тнм-11(7; т)|»</т.(25)

В силу неравенства Минковского*) равенство (25) верно тогда и только тогда, когда (для 1 < q < 00)

Х^Н^, т) = П2-Ь(Л т) на /0<т<Г, А>0, или

(lj — АХ2) • h (Г, т) = 0 на /0<т<7.

Однако в силу условия линейной независимости (4) отсюда следует, что Xi— £Х2 = 0 или что Xi и Х2 коллинеарны — в противоречие с предположением. Следовательно, при 1 < р < оо в R не может быть угловых точек.

В частности, в случае ограничения по «энергии» р = 2, используя формулу (16) при 9 = 2, точку х(Т) на dR(t0> Т) можно задать в виде т

x(n=Jh(M тМ-Ч^т^-^-^РМ

где Р — матрица, равная т

Р (М, Т) = J h (М 1) h' (Т, т)dx.(26)

При этом граница dR(t0, T) задается квадратичной формой х(Л-Р-1(М, Лх(Л = С2(27)

и в силу теоремы 1 должна быть невырожденным гиперэллипсоидом; поэтому Р* должна быть положительно определенной 9 Неравенство Минковского имеет вид:

/ by/q / by/q/ b\ Y/q

матрицей. [В самом деле, из равенства (26) видно, что Р есть матрица Грама для функций ht{T, т); она положительно определена тогда и только тогда, когда верно (4).]

Замечание 3. Если ограничена «средняя мощность», т

у J и ^dt 'CCL тов формуле (27) нужно С2 заменить на

VT С2. В этом случае оптимальное управление

„о (А _ Ут С* • h (Г, О И V)— / т\1/2

I J [Х Ь(Г, т)]2Л

похоже на и0 в формуле (17) для ограничения по амплитуде (которое фактически есть мгновенное ограничение по «мощности»). Следует, однако, заметить, что приближение R(to, Т) гиперэллипсоидом, как это было предложено в предыдущем разделе, не приводит к замене ограничения по амплитуде ограничением по «средней мощности».

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 8. Достижимая область при ограничениях (5) с 1 < р < оо является полностью гладкой, а оптимальное управление единственно. В частности, при р = 2, R(tOl Т) есть гиперэллипсоид, задаваемый уравнениями (26) и (27).

Случай, когда при ограничениях по амплитуде, р= оо, и «площади», р = 1, в области R имеются угловые точки и грани, будет исследован в следующем разделе.

Допустимые управления для достижения внутренних точек области R, конечно, не единственны. В самом деле, покажем, что каждая внутренняя точка области R может быть достигнута с помощью бесконечного (несчетного) множества управлений одного только типа (16). Рассмотрим следующий метод (возможно, не самый удобный) построения управления для достижения какой-либо внутренней точки области R. Добавляя еще одну фиктивную компоненту К^ДТ, т) к м-мерному вектору h(T, т), образуем расширенный (м+1)-мерный вектор h(T, т). Функция Кп^ДТ, т) удовлетворяет условиям а) и б) разд. 2, а в остальном произвольна. Допустимая область R становится теперь подмножеством расширенной достижимой области R, соответствующей h, и каждая точка х из области R получается из х вычеркиванием последней компоненты. Теперь для данной точки х(Т), внутренней к R(t0, Г), определяем соответствующую

точку х(7) на dR(tOl Т) и (м+1)-мерный вектор X, нормальный к гиперплоскости, опорной к R(t0, Т) в точке х(7). Точка х(7) на dR(t0, Т) для фиктивного объекта, а следовательно, и внутренняя точка х(7) из области R(t0, Т) для исходного объекта достижима с помощью управления, задаваемого формулой (16), где h и X заменены на h и X. Отсюда следует теорема 9.

Теорема 9. Каждая внутренняя точка области RV^ Т) достижима с помощью бесконечного множества управлений вида (16), где векторы h(7, т) и X заменены на определенные выше расширенные векторы h(7, т) и к

В частности, Кп^1\ т) можно выбрать так, чтобы X-h(7, т)=0 только в изолированных точках т. Для ограничения по амплитуде это приводит к следующему результату.

Следствие 4. В случае ограничения по амплитуде каждая внутренняя точка R(tOl 7) достижима с помощью бесконечного множества релейных управлений вида u°(/)=CooSgn X-h(7, /).

Тот факт, что каждая внутренняя точка области R достижима с помощью некоторого релейного управления, был впервые доказан Лассалем [5], использовавшим методы теории меры.

- 5. ИЗУЧЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ

Ограничение по амплитуде. Рассмотрим вначале нормальные системы, т. е. такие, для которых при Х^О, X-h(7, т) =0 только в изолированных точках т. Тогда для заданного X формула (17), очевидно, определяет единственное релейное управление, и по следствию 2 в области R не может быть граней. Для р = оо (^=1) необходимое условие (25) теоремы 7 принимает вид

т т т

J 1X^(7, т)|бГг+J|X2h(T, t)|<Zr= JlWr, T) + l2h(r, т)|Л.

0 ^0 ^0

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда sgnXih(7, T)=sgnX2h(7, т) на ^^т-^Т. Поэтому u°(t; k) = =u°(t; Х2), чем доказана единственность и0 в угловой точке.

Пусть теперь задано X. Возникает вопрос: является ли достижимая точка dR угловой и если это так, то каков ее порядок? Ответ на этот вопрос позволил бы установить взаимосвязь между числом m перемен знака функции X*h(7, т) (а следовательно, и и0) на /0 < т <7 и порядком угловой точки. Однако для полного ответа на этот вопрос на функции ht(T, т)

необходимо наложить некоторые ограничения, и здесь мы упомянем только следующие очевидные факты. Для того чтобы точка была угловой порядка п, достаточно, чтобы на /0^т<7 или на /о<т^Т по крайней мере одна из функций Нг^Тл^Ф^ поэтому всегда в некотором Х-конусе можно найти такой вектор X с п степенями свободы, что функция X*h(7, т) не меняет знак на /0 < т < 7. Для того чтобы точка была точкой гладкости в S(X) A dR, необходимо, чтобы функция X-h(7, т) имела

Рис. 2. Достижимая область /?(7) для примера 1. Показана для 7 = 3.

пг^ п— 1 перемен знака на to < т < 7, а это является необходимым условием того, чтобы система уравнений X-h(7, Tj)=O, (/ = 1, 2,..., m) имела решение X только с одной степенью свободы.

По этой причине объект с осциллирующими h^^T, т) (z = 1, 2,..., п) при достаточно большом Т будет иметь, вероятно, полностью гладкую достижимую область.

Пример 1. Пусть xi=x2, Х2 = и и Соо=1. Тогда hx (t)=t, ^2(^ = 1, и область /?(7) имеет вид, показанный на рис. 2. В двух угловых точках 2-го порядка., достижимых с помощью и°(^ = \ и и°^ =— 1, X кроме длиныXимеет ещё одну степень свободы — угол между X и осью хх может меняться в пределах угла р. Точки гладкости достижимы с помощью управления, имеющего одну перемену знака.

Пример 2. Пусть xi = x2, х2 ——х^А-и и Соо=1. Тогда Ai(^) =sin и h2\t^ =созЛ Точку х(Т) на dR(T^ можно задать в виде тт

х(Г)= J Ь(Г —т) sgn X • h(7 —т)^т= j h(/)sgnX • h(/)d/. о0

Нулями X-h(Z) являются 1з = ]л— ср, /=1,2,..., где ф = = arctg(Xi/X2) — угол между осью Xi и X. В силу симметрии R(T) можно считать, что 0 ^ ср < л. Представляя Т в виде Т = Кл—а, где К — целое и 0 ^ а < л, выражение для х(Т) можно записать в виде

хх (Г) = 1 + 2Кcos ср — cos а, х2 (Г) — 2К sin ср — sin а

при а < ф < л и

хх (Л = 1 +2 {К— 1)со8ф + со8а, х^^ — ^^К— 1)8тф4-81па

при 0 ^ ф ^ а. Полагая «i= 1 — cos а, а2 = — sin а при а<ф<л и Ь1= \ + cos а, 62 = sina при О^ф^л, получим

\хх (Л - аху + \х2 (Л - я2]2 = [2^]2

при а < ф < л и

к (Л - М2 + [х2 (Г) - 62р = [2 (К- 1)Р

при 0 ^ ф ^ а.

Таким образом, область R(T) ограничена четырьмя дугами окружностей (см. рис. 3) и является полностью гладкой. При Т=Кп \К= 1,2,..., R(jy\ область R(T) есть круг радиуса 2^, а при Т < л область /?(Т) ограничена только двумя дугами окружностей радиусом 2, пересекающихся в двух угловых точках порядка 2. (Их можно было ожидать, так как при Т < л, hx^ =£0 на 0<КТ.)

Рассмотрим теперь объект, не являющийся нормальным, т. е. при некотором X, скажем X*, X*h(T, т)=0 на собственных подинтервалах /о^т^Т. Для простоты рассмотрим только один из таких подинтервалов, скажем /0 < h ^ т ^ t2 < Т. Оптимальное управление и0^ является релейным, и оно единственно всюду, за исключением тех значений t, (Zi-^/^y, при которых его

нельзя определить по формуле (17). Тривиальный случай имеет место, когда h(T, т)^0 на /i-^T^/2. При этом каждая точка dR достижима с помощью управления и0^, которое, очевидно, произвольно на /1^/^/2. Допустим, что h(T, т)^0 на ^•^т^^, и рассмотрим два таких оптимальных управления ^ Д/) = С^ sgn X*h (Г, т), что &g(/) = 0, a u^t) произвольно при /1</</2 (но |^(/)|<С^. Эти управления приводят

к двум точкам на dR, а именно х0(7) и х^Т) соответственно. Ясно, что и^ = и^ — ^ = 0 вне ^<^^/2, 1^/(0 |^Соо на /1 ^ I ^ ^2 и

Ах(Г) = х1(Г) —х0(Г)= J h(T, т)и,(т)</т.

Так как Ах(7) не нуль для всевозможных Uj^, точки х0(7) и Xi(7), вообще говоря, различны. Обе точки лежат в 5(Х*)П

1^М

Рис. 3. Достижимая область R (Г) для примера 2. Показана для К = 3, 27

а = — л и Т = Кп — а = -^ л.

(AdR^t0) 7), и, таким образом, это пересечение есть грань некоторого порядка к. Тогда существует такая ортогональная матрица М (поворота осей), что на /i^T^/2 первые к компонент вектора-столбца Mh(7, т) линейно независимы, а последние ^п— к) компонент равны нулю. Обозначим через hj(T, т) й-мер- НЫЙ вектор, составленный из первых к компонент Mh(7, т).

Тогда

xf(O=Jhf(T т)^)^,|и?(/)|<Соо(28)

л

является точкой /^-мерного пространства Ху. Мы видим, что вектор ху(Т) эквивалентен введенному выше вектору Дх(Т); однако он записан в системе координат Ху, повернутой по отношению к системе координат X. Более того, Ху— это ^-мерная плоскость, содержащая нашу /г-мерную грань, причем последняя эквивалентна области R^ti, t2), соответствующей формуле (28). Поэтому эта грань центрально-симметрична по отношению к х0(7). Каждая граничная точка Rf достижима на /^т^/г с помощью ^(^ — C^sgnX^ • h^ (7\ т), где S(Xy) —опорная гиперплоскость к Rf в пространстве Ху, а каждая внутренняя точка R/ достижима с помощью и°(/) = CooSgnXf • hf (Г, t), где Ху и hy — расширенные (/?+1)-мерные векторы, определенные в следствии 4.

Таким образом, если xd(T) лежит в грани R^ Т), то можно записать

х'^х^Л+ДхЦЛ.

а оптимальное управление в виде

и? ^ = и°Ц?)-\-и°Ц\

где и^Г)—единственное релейное управление, равное нулю на tv ^ t ^ ^2, а ^(/) — неединственная релейная функция, равная нулю вне /1^/^С/2, которую можно построить описанным выше методом. С практической точки зрения важно, что для достижения любой точки xd в R достаточно релейных регуляторов.

Эти результаты сформулированы в теореме 10.

Теорема 10. Оптимальное управление является единственной релейной функцией, за исключением тех интервалов изменения т, в которых функция X-h(T, т) обращается в нуль; на этих интервалах неединственным образом можно построить такое релейное управление, чтобы достигалась произвольная внутренняя точка грани области R, которая существует в R тогда и только тогда, когда существуют такие интервалы (если h(T, т)^0 на этих интервалах). Для существования двух симметричных угловых точек порядка п, соответствующих и°^« = +С и u°U^ = — С, достаточно, чтобы по крайней мере одна из функций hi(Ty т) была бы не равна нулю на t^x<T или

на /0 < т^Т. Для достижения точки гладкости R(t0, Т) необходима по крайней мере п — 1 перемена знака и0^ на tQ <1 <Т.

Ограничение по площади. Случай ограничения по площади в отличие от случая ограничения по амплитуде для нормальных объектов был оставлен в стороне. Известно из работ [12, 16], что при таком ограничении оптимальное управление состоит из 6-функций, но вопросы существования и единственности оставлены открытыми, а некоторые из исследуемых здесь ситуаций не доведены до конца.

Используя теорему 4, так же как и в разд. 4, можно вывести выражение для и0. Напомним, что h^t, т) считаются здесь непрерывными как по /, так и по т. Пусть

М = max |Х-Н(Лт)|. (29)

Подставив выражения (29) в формулы (13) и (15), получим

тт

Х-х(Г)< J|l.h(r, т^и^\с1т<.М J|zz(t)|<Zt<A1C1. (30)

Для того чтобы допустимые управления давали максимум функций Х-х^Т), необходимо и достаточно, чтобы в выражении (30) неравенства обратились в равенства. Непосредственной подстановкой в (30) убеждаемся в справедливости следующих достаточных условий, которым должно удовлетворять и0;

если максимум в выражении (29) достигается в изолированных точках Tj(/= 1, 2,..., m), то

^°(/) = С! 5 аМ^ — Ty)sgnX • h(T, т,),(31а)

где

0< а5 < 1 и ^ aj=\\

если максимум в выражении (29) достигается на некоторых подинтервалах 0 отрезка /0 ^ т ^ Т, то

0, если /^0

произвольно, при условии j \и^\dt = Ср (316) и sgn и (/) = sgn X • h (Г, /), если t^x

и0 является комбинацией равенств (31а) и (316), если максимум выражения (29) достигается как в изолированных точках, так и на подинтервалах.(31 в)

Необходимость этих управлений для достижения равенства в выражении (30) можно доказать от противного.

В случае а) точку х(7) на dR(/0, Т) можно задать в виде

m

(32) где

ху (7) = Gh (Т, ту.) sgn X • h (Г. ту).(33)

Все точки xj(7) вида (33) лежат в S(X) Ад/?(/0, 7), и если по крайней мере две из них различны, это пересечение есть грань. Можно выделить следующие подслучаи:

т=1. Если X может меняться с к степенями свободы в некотором Х-конусе, так что точка Ti максимума функции |X*h(7, т) | не меняется, то соответствующая точка х(7) = = Xi(7) в (33) на дКЦо, 7) есть угловая точка порядка к. В этом случае, если Xi и Х2 соответствуют угловой точке, необходимое условие (25) дает

max | Xi • h(7, т)|+тах|Х2 • h(7, т)| =

= max|Xj-h (7, t) + X2-h(7, t)|.

Это равенство верно тогда и только тогда, когда максимум функций |Xi-h(7, т) | и |X2h(7, т) | достигается в один и тот же момент времени ть Поэтому u°(Ki)=u0(\2) = С16(/—ti), и этим доказана единственность и° в этом случае.

т=1. Если при изменении X момент времени ть в который достигается максимум, изменяется, точка x(7)=xJ7) в (33) описывает на dR^t^ 7) криволинейную траекторию, которая представляет собой отображение интервала, в котором движется точка Ti. Эта траектория не может иметь прямолинейных сегментов, так как при т=1 управление и0 однозначно определяется формулой (31а). Она представляет собой гладкий кусок тогда и только тогда, когда X двумерно.

m> 1. Если все т векторов xj(7), определяемые формулами (33), коллинеарны, то они, кроме того, должны иметь одинаковую длину и направление. Числа а^ в равенствах (31а)

т

и (32) произвольны (но, конечно, ^а,= \ и O-^czj^l) и и0 неединственно. Соответствующая точка в R выражения (32) является угловой или точкой на траектории в 6R [как и в I или II].

\<тХп. Если векторы Xj в формуле (32) линейно независимы, то х(Г) является точкой (т—1)-мерной грани и задается единственным образом линейной комбинацией (32) векторов Xj. Например, если т = 3, двумерная грань — это треугольник, образуемый точками хь х2 и х3 вида (33). Для заданной точки xd(T), принадлежащей грани уравнения (32), однозначно разрешаются относительно а^ и формула (31а) дает выражение для единственного управления и0.

т > 1. Вообще т векторов в (33) линейно зависимы, так что размерность грани к удовлетворяет неравенствам 1^&< <т—1. Для заданного xd(T) внутри 6-мерной грани можно так выбрать 6+1 линейно независимых векторов, чтобы х^(Г) выразилось в виде (32), затем найти из (32) 6+1 коэффициент а^ необходимые для определения и0 по формуле (31а) (остальные коэффициенты а^ нужно положить равными нулю). Так как этот выбор неединствен, и0 неединственно.

В случае б), если п функций ЬДТ, т) линейно независимы на 0, то можно показать, что на 0 можно найти п таких точек Tj(j= 1, 2,..., и), что п векторов h(T, tj) линейно независимы. С помощью этого показывается, что, как и в случае (а, IV), мы имеем в направлении X (л— 1)-мерную грань на dR и каждая ее внутренняя точка достижима с помощью линейной комбинации п 6-функций, приложенных в моменты времени tj. Так как выбор п моментов времени Tj на 0 неединствен, такое управление неединственно. Более того, любое управление, удовлетворяющее условию (316), будет приводить к некоторой точке этой грани. В том случае, когда на интервалах 0 имеется линейная зависимость между ЬДТ, т), грань имеет более низкий порядок к и достаточна комбинация из к 6-функций. С практической точки зрения важен тот факт, что во всех случаях ограничения по «площади» можно обойтись регуляторами, производящими 6-функции.

В случае в) имеем ft-мерную грань и 6+1 линейно независимых векторов могут быть найдены для интервалов 0 и дискретных точек максимума |X-h(T, т) | на /о^т^Т.

Вышесказанное сводится к следующей теореме.

Теорема 11. Допустимое управление оптимально тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет выражению (31). В случае а) оптимальное управление состоит из 6-функций и является единственным в подслучаях (a, I, II, IV). В случаях б) и в) можно построить неединственным образом оптимальное управление, составленное из 6-функций. Не существует гладких кусков в области R, за исключением, быть может, случая, когда X двумерно.

Интересно отметить, что оптимальное управление не обязательно единственно для точек гладкости и угловых точек и необязательно неединственно для граней.

Пример 3. Рассмотрим объект примера 1, и пусть Ci=l. Область R(T) показана на рис. 4. Для Xi

Xi-h(T —т) = 1.

Как и в случае б), оптимальное управление для достижения внутренней точки отрезка х3х2 неединственно. Угловые точки х3

и Xi достижимы с помощью и°(/)=6(/) и ц°(/)=6(^— Г) соответственно. Для Х2 выражение

|Х2 - Н(Г —т)| = |^(Г —-Г)— 1|

имеет максимум при т = 0 и т = 7\ Следовательно, каждая точка отрезка XiX2 является одно

значной линейной комбинацией Xi и х2

х(Т) =«1х1 + «2х2; 0<а^1; ах-\-аг=\

и достижима с помощью и0(t) = at&(t) —a^t—Г) (случай а, 1¥); например, точка D достижима с помощью

«o(f) = |d(f)-| 6(^-7).

Пример 4. Рассмотрим объект примера 2. Требуется найти точки максимума выражения

|1 • h(T —т)| = | Хх sin (Г — т) + 12 cos (Г —т)| =

= |(^ + Х^)1/28т(7-т + ф)|’ где

v=arctgir

есть угол наклона X к оси абсцисс. В силу симметрии R можно считать, что —л/2 < ср <^л/2. При Т ^ л/2 — ср функция |l-h(T —т)| на О^т-^Т имеет по крайней мере одну точку максимума вида

^=^ + ф— (/ — 5")л (У=1, 2,

В этой точке (d/dr)l-h(T — т)=0. Следовательно, оптимальным управлением является

и0 (/) — G S а£ ^ — ту) sgn 1 • h (Г — ту), j

и оно приводит в точку х(Т) на dR^T):

X (л = Сх 2 ajh (Т — ту) sgn X • h (Т — ту) =

j

г V Г cos V 1 Г Г COS ф 1

,^ v | sintp J 1 L sin <p J

Таким образом, при 7>л/2— ф, R (7) является дугой окружности х2(Л + хХкТ^ = С\, и если /> 1, и0 неединственно (случай а, III). При —2<р < Т < л/2— ср максимум достигается при т = 0, при этом и0^ =Ci6 (0 и, следовательно,

х(Л = х1(Л = С1[с5^].

При —л/2 41 ср < Т <—2ф максимум достигается при т = Т, при этом ы°(/) = — Ci6 (/ — Т) и

х(Л = х2(Л = С1[_^].

При Т = —2ф функция |sin (Т/2 — т) j имеет два максимума на 0 < т ^ Т, при т=0 и т = Т, и u°(0 =Ci[«id (/) — а^д (/ — 7)], а, значит,

х,(7) = а^д (7) + а2х2 (7).

Получающаяся область R(T) показана на рис. 5. При Г < л оптимальное управление единственно. При Т^л /?(Г) является кругом и не увеличивается при возрастании Т. Неединствен-

1^2

Т

J\u(M^C1 о

Рис. 5. Достижимая область R(T) для примера 4. Показана для Т =—•

ность и0 при Т > л, конечно, устраняется, если объект имеет демпфирование (в этом случае |X*h(7 — т) | имеет только один максимум).

СЛУЧАЙ МНОГИХ УПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ;ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ И СОВМЕСТНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ

В этом случае объект* управляется с помощью г управляющих воздействий гц (/=1, 2, ..., г) и описывается выражением

/г t

X (/) = х^(0+J Н(Л r)u(T)rfr = xy(/)4-^ J h/(^ ^Uj^dx,

V-1 ^(34)

где ЬД/, т) есть /-й столбец (мХг)-матрицы Н(/, т). Предполагается, что ее компоненты hn(t, т) удовлетворяют условию непрерывности а) разд. 2, а для полной управляемости считается, что по крайней мере один из столбцов ЬД/, т) удовлетворяет равенству (4) условия б). Если все столбцы удовлетворяют равенству (4), то объект полностью управляем каждым Uj в отдельности, и тогда говорят, что объект обладает свойством сильной полной управляемости; если не все столбцы удовлетворяют равенству (4) (но по крайней мере один удовлетворяет), говорят, что объект обладает свойством слабой полной управляемости.

Здесь рассматриваются два типа ограничений на и. В первом случае считается, что каждое управляющее воздействие происходит от индивидуального источника и индивидуально ограничено

( тV,pi

(jl^Wp^ =Cj, j=\,2....,r. 1<ру<оо. (35) ' /о'

Во втором случае считается, что управляющие воздействия происходят от общего или совместного источника и потому ограничены совместным ограничением

/ Т г\1/р

/ 2l«/WM <СР, 1<р<оо.(36)

Совместное ограничение по амплитуде — это мгновенное ограничение по «мощности»

/ Т\1/2

(S^W)(37)

1т

(Такие обобщения, как u(Z) -Ми^-^Р или J и (/) • Ми ^dt <,

< С2, где М — симметрическая положительно определенная матрица, можно свести к формулам (37) и (36) с р = 2 при помощи линейного преобразования управления и.)

Можно показать, что достижимая область обладает свойствами, перечисленными в теореме 1 для случая одной управляющей функции. Следовательно, для рассматриваемого здесь случая многих управляющих функций все общие результаты разд. 3 остаются в силе.

Чтобы получить оптимальное управление для случая индивидуальных ограничений, достаточно заметить, что фактически объект распадается на г объектов, накладывающихся на выхо-

дах. Поэтому достижимая область R^ Т) является суперпозицией г областей Rj^ Т), как это показано в примере на рис. 6. Максимизация выражения (10) с использованием неравенства Гёльдера, как это сделано в разд. 4, или с помощью предыдущего рассуждения приводит к выражению для и^ вида (16) и

WOW /\u2(t)\dt о

Р и с. 6. Достижимая область R (7) — суперпозиция индивидуальных обла-стей RY (7) и R2 (7), соответствующих их и и2. Т = 3.

(18), в которых соответственно нужно поставить и0^ hj, q^ и Q.

Заметим, что R будет иметь все грани индивидуальных областей Rj. Угловые точки Rj будут присутствовать в R только в том случае, если каждое R3 имеет угловую точку в направлении к и соответствующие Х-конусы имеют непустое пересечение, которое и будет Х-конусом этой угловой точки R. Этот факт можно вывести из геометрических рассмотрений (см., например, рис. 6) либо с помощью обобщения теоремы 7. Если объект обладает свойством слабой полной управляемости, т. е. для некоторого Х¥Ю и некоторой управляющей функции

и^ X-hk(T, т)=0 на некотором интервале /0^т^Г, тогда в формуле (16) ^ = 0/0 и, если только hk(T, т) нетождественно равно 0, на /0^т^Т имеется грань в R. Это также можно получить геометрически, так как в этом случае Rk(t0, Т) вырождается в подмножество линейного подпространства X. Пример показан на рис. 7.

Вывод и0 для случая совместного ограничения (36) и (37) можно проделать с помощью применения обобщенной формы неравенства Гёльдера *) и неравенства Шварца2) на соответствующих этапах вывода формулы (16). Получающиеся формулы приводятся ниже.

Для совместного ограничения вида (36)

«у (0 =«у (0 =Cp|X.h(7, О |?-1sgnXh(T,0Cp|X.h(7, О |?-1sgnXh(T,0\ (?-!)/?| X - hy (Г, т) |?йт\ (?-!)/?| X - hy (Г, т) |?йт(38)(38)

«у (0 =

«у (0 =

Cp|X.h(7, О |?-1sgnXh(T,0

Cp|X.h(7, О |?-1sgnXh(T,0

\ (?-!)/?

| X - hy (Г, т) |?йт

\ (?-!)/?

| X - hy (Г, т) |?йт

(38)

(38)

где р-х + q~x = 1, 1 < р < оо. Теорема 5 принимает видгде р-х + q~x = 1, 1 < р < оо. Теорема 5 принимает видX • xd (t)t г\ 1/^J ^IX.h/^, T)|»dTX • xd (t)t г\ 1/^J ^IX.h/^, T)|»dT(39)(39)Для совместного ограничения по амплитуде вида (37)Для совместного ограничения по амплитуде вида (37)ч РХ-Ь.у, О^-fr" " W2 '.2 [X Ну (Г, О]2ч РХ-Ь.у, О^-fr" " W2 '.2 [X Ну (Г, О]2(40)(40)теорема 5 принимает видтеорема 5 принимает вид

где р-х + q~x = 1, 1 < р < оо. Теорема 5 принимает вид

где р-х + q~x = 1, 1 < р < оо. Теорема 5 принимает вид

X • xd (t)t г\ 1/^

J ^IX.h/^, T)|»dT

X • xd (t)t г\ 1/^

J ^IX.h/^, T)|»dT

(39)

(39)

Для совместного ограничения по амплитуде вида (37)

Для совместного ограничения по амплитуде вида (37)

ч РХ-Ь.у, О^-fr" " W2 '.

2 [X Ну (Г, О]2

ч РХ-Ь.у, О^-fr" " W2 '.

2 [X Ну (Г, О]2

(40)

(40)

теорема 5 принимает вид

теорема 5 принимает вид

maxхmaxхх • xd (О г\ 1/2^[X.hy(Z, т)]И dT j-1/х • xd (О г\ 1/2^[X.hy(Z, т)]И dT j-1/(41)(41)2) Неравенство Шварца — это частный случай неравенства Гёльдера для суммп/ п\\/р / п\Uq2) Неравенство Шварца — это частный случай неравенства Гёльдера для суммп/ п\\/р / п\Uq

maxх

maxх

х • xd (О г\ 1/2

^[X.hy(Z, т)]И dT j-1/

х • xd (О г\ 1/2

^[X.hy(Z, т)]И dT j-1/

(41)

(41)

2) Неравенство Шварца — это частный случай неравенства Гёльдера для сумм

п/ п\\/р / п\Uq

2) Неравенство Шварца — это частный случай неравенства Гёльдера для сумм

п/ п\\/р / п\Uq

21^1< 2 '^п 2|^Г • ?-| + 91 = 1.

1 = 1V-1/ V-1/

При совместном ограничении по площади при р=1 отыскание оптимального управления то же самое, что и в случае одной управляющей функции, с той лишь разницей, что максимум выражения |X-hj(T, т) | следует искать по всем /. Если для некоторого / этот максимум не существует, то Uj^^O на

fu^dt*^| г/2^| 7Оfu^dt*^| г/2^| 7О

fu^dt*^| г/2^| 7

О

fu^dt*^| г/2^| 7

О

Рис. 7. ОбразованиеРис. 7. Образованиеполной упра-полной упра-iрани в RkJ^ для объекта со слабойвляемостью. 7=1.

Рис. 7. Образование

Рис. 7. Образование

полной упра-

полной упра-

/0^/^7. Кроме того, в формулах (38) и (40) Wj=0, если X-hj(7, т)=0 для некоторого / на /о^т^Г; поэтому в случае совместного ограничения слабая полная управляемость не представляет интереса.

При совместном ограничении по амплитуде вида (37), как видно из формулы (40), грань может существовать тогда и только тогда, когда для всех / будет Х-ЬД7, /)=0 на некотором ненулевом интервале, в то время как hj^O. Что касается угло-

вых точек в этом случае, то легко доказывается (см. приложение), что они не могут существовать.

Формулы (38) — (41) были впервые выведены методами функционального анализа Крэнком и Сарачиком [18, 19], а для автономных объектов Красовским [12]. Однако эти авторы не исследовали вопросы единственности и0, а также не полностью исследовали случай ограничений по амплитуде и по площади.

Случай многих управляющих функций можно обобщить следующей теоремой.

Теорема 12. Управление и, удовлетворяющее одному из ограничений вида (35), (36) или (37), является оптимальным {удовлетворяет теореме 4) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет формулам (16), (38) или (40) соответственно; точка xd{t) лежит на dR{to,t) при t=T тогда и только тогда, когда справедливо выражение (18), (39) или (41) соответственно.

Оптимальное управление и° единственно, за исключением следующих случаев:

Если при некотором Х=#0 и некотором j имеет место X-hj(T, т)=0 на некоторых ненулевых интервалах, то не единственны те Uj, которые индивидуально ограничены по амплитуде; если hj(T, т)^0 на этих интервалах, то в направлении X в R существует грань.

Если при совместном ограничении (37) по амплитуде X-hj(T,x)=0 на некоторых интервалах, общих для всех j, то и0 неединственно; если на этих интервалах ЬДТ, т)=0 не для всех j, то в R существует грань.

Если каждое управляющее воздействие индивидуально ограниченно и X*hj(T, т)^=0 на /0^т^Т, то и^ неединственно, и если hj(T, т)^0 на /0^т^Т, то в R имеется грань..

и0 неединственно в некоторых подслучаях при индивидуальном и совместном ограничении по площади, перечисленных в теореме 11.

Кроме указанных выше случаев, грани существуют, вообще говоря, при индивидуальных и совместных ограничениях по площади. При совместном ограничении на и угловые точки могут существовать только в случае ограничения по площади. При индивидуальных ограничениях на и угловые точки в R в направлении К появляются тогда и только тогда, когда все щ ограничены по площади и (или) по амплитуде и все Rj имеют угловую точку в направлении X, так что соответствующие ^-конусы имеют непустое пересечение.

Конечно, изложенное выше приложимо к смешанному случаю, когда некоторые управляющие функции ограничены сов-

местно, а оставшиеся ограничены индивидуально. Кроме того, существуют многочисленные комбинации ограничений, при которых управляющие функции ограничены индивидуально или совместно более чем одним ограничением. Эти случаи не рассмотрены здесь, однако если ограничения таковы, что область R замкнута, ограничена и выпукла, то оптимальное управление и° можно получить из теоремы 4.

Автор хочет выразить свою благодарность профессорам Д. М. Крэнку, Р. Куликовскому и П. Е. Сарачику, уделившим много времени обсуждению этой работы. Их практические замечания и предложения значительно обогатили ее.

ПРИЛОЖЕНИЕ; ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Доказательство теоремы 1. Допустимая область R(/0, Т) в п- мерном пространстве выходов X является образом допустимого множества управлений при отображении

т

х(Т) = J h (Г, т)а(т)б/т. (А-1)

Ясно, что это отображение линейно; легко можно показать, что оно ограничено, следовательно, оно непрерывно по и. (Ограниченность линейного отображения эквивалентна его непрерывности.)

Допустимое множество, будучи СР-сферой в Lp, является по определению нормы выпуклым; поэтому R выпукло (линейное отображение сохраняет выпуклость). Далее, так как Lp изометрично Lq (пространство, сопряженное Lq^, где p-1-^-^!, допустимое множество при 1<^/?<^оо изометрично замкнутой Ср-сфере в Lq, (1<^^<^оо) и по теореме Алауглу [20] является компактом в Lq — топологии пространства Lq. Поэтому R— компакт (непрерывное отображение сохраняет компактность) и, следовательно, замкнуто и ограничено (в n-мерном пространстве замкнутость и ограниченность эквивалентны компактности).

Область R симметрична, потому что если и допустимо, то и —и допустимо, и поэтому если х(Т) £ R, то и —х(Т) ^ R. Предположение о полной управляемости эквивалентно тому, что для всех 70 и всех Т > t0 отображение (А-1) есть отображение на все пространство X. Поэтому R должно содержать некоторую окрестность начала координат и поэтому есть тело. Область R(t0, Т) должна быть непрерывной по Г; в противном случае некоторая внешняя точка хе связывается с R(t0, Т) разрывной траекторией, а, как уже было отмечено, они непрерывны.

Доказательство теоремы 3. Отображение (А-1) является непрерывным линейным отображением полного пространства Lp на все (в силу полной управляемости) полное м-мерное пространство X, поэтому в силу принципа отображения внутренних точек [20] оно переводит совокупность внутренних точек допустимого множества в множество открытое в X, которое по определению R и открытого множества не может содержать точек внешних к R и точек границы dR. Поэтому только граничные точки допустимого множества отображаются в dR.

Доказательство теоремы 5.

Достаточность. Если выражение (12) верно при Х = Х°, тогда

т

X • xd (Г) = J Х° • h (Г, т) и0 (т; Х°) dx, так как и0 (т; Х°) максимизирует

выражение (10), то по теореме 4, xd(T) лежит на dR(t0, Т).

Необходимость. Пусть xd(T) ^dR^ Ту Тогда по теореме 4

т

X • xd (7) = J X • h (7, т) ио (т; X) dxto

или

=1,(А-2)

J X • h (Т, т) и° (т; X) dx to

где X таково, что xd(T) £ S (X) f| dR^to, Т). Чтобы показать, что (А-2) дает максимум по всем X £ X, возьмем какое-нибудь другое X, скажем Хь и пусть S(Xi)—гиперплоскость, перпендикулярная Xi и содержащая xd(T). Если S(Xi) является опорной гиперплоскостью к R(t0,Ty то снова имеет место (А-2). Если S(Xi) не является опорной гиперплоскостью, то она пересекает внутренность R(t0,Ty Тогда по теореме 4 с помощью управления и°(х, Xj достижима точка хДТ) £ dR^to, Ту такая, что

т

Xj. xd (7) < X, ■ х, (7) = J X, • h (7, т) ио (т; X,) dx

to или

< 1,(д-З)

J X! • h (7, т) и0 (т; X,) dx

чем доказано, что (А-2) дает максимум по всем X и что этот максимум не может быть локальным.

Если xd (Г) есть точка, внешняя по отношению к R(t0, Ту то существует опорная к R гиперплоскость S(X), такая, что xd(T) и R(t0, Т) лежат по разные стороны от S(X) и xd(T) ^S(k). Тогда по определению S(X)

г

lxd(T)>lx(T) = j X • h (7, т) и0 (т; X) dx,

где х(Т) £ «$ (X) fl dR(tQ) Ту Поэтому

• xd (7),

* т

J X • h (Т, т) и0 (т; X) dx

и максимум по X этого выражения заведомо больше 1. Если при X = Х° левая часть формулы (12) больше 1, то

т

1°-х“(Т)> Х° • h (Г, т) и0 (т; K°)dx.(А-4)

Так как /т°(/;Х°) максимизирует выражение (10), то по теореме 4 достигаемая точка х(Т) находится в пересечении dR(t0, Т) с опорной гиперплоскостью Х° • х=с, где

т

c = V .х^= Jx°.h(r, т)и°(т; Х°)Л.(А-5)

Итак, xd(T) лежит в гиперплоскости Х° • х = Х° • xd^T\w из сравнения (А-4) и (А-5) видно, что Х° • xd (Г) > с, отсюда следует, что xd(T) лежит в гиперплоскости, не пересекающей R (tOl Т), и, следовательно, является внешней точкой по отношению к R(t0, Т).

Доказательство для внутренней точки получается методом исключения.

Доказательство отсутствия угловых точек в случае совместного ограничения по амплитуде. Повторяя доказательство теоремы 7 при совместном ограничении по амплитуде (37), находим, что необходимым условием существования угловой точки в R является равенство

т / ГX V2 т , Гх V2

/ Цр^МТ, т)]2 | Л + J 2][b2h;(7; T)F dx =

t. \/=1//о \/=1/

тг т\хк

= J 5[Х' •h/ т)]2+[Х2 • h/(Л Т)Р I dx- (А"6)

Заметим теперь, что знак равенства в неравенстве Минковского (неравенстве треугольника)

/ п / пЛх1г/ п

2^ + 2 ^ =№W(а-7)

V»! /\/-1 /\Z —1/

имеет место тогда и только тогда, когда xi=kyt (к > 0, Z= 1, 2, ,.., л). Это условие не изменяется [из-за того что все члены формулы (А-6) положительны], если х и у являются функциями 1, а формула (А-7) интегрируется на некотором интервале L Поэтому (А-6) имеет место в том и только в том случае, когда для к > 0, Xrhy(7, т) = кХ2 • hj(T, т) на Zq^t^T для всех / или (Xj—кХ2) • hi (Т, т) = 0. По предположению о полной управляемости X-hy(7,т)—0 на to^i^T не для всех /, следовательно, М— /гХ2=0 и векторы Aj и Х2 коллинеарны, чем исключается возможность существования угловой точки.

ЛИТЕРАТУРА

Bushaw D. W., Optimal Discontinuous Forcing Terms, Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, vol. 4, Princeton, 1958.

Фельдбаум А. А., Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования, Автоматика и телемеханика, 14 (1953),

В е 11 m а п R., Glicksberg I., Gross О., On the bang-bang Control Problem, Quart. Appt. Math., 14, (1956), 11—18.

Desoer C. A., The Bang-Bang Servo Problem Treated by Variational Techniques, Information and Control, 2 (1959), 333—348.

LaSalle J. P.,The Time Optimum Control Problem, Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, 5, Princeton, 1959.

LaSalle J. P., Basic Principle of the bang-bang Servo, Abstract 247/, Bull. Am. Math. Soc„ 60 (1954), 154.

Гамкрелидзе P. В., Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах, Изв. АН СССР, сер. Мат., 22 (1958).

Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Понтрягин Л. С., К теории оптимальных процессов, ДАН СССР, ПО (1956), 7—10.

К г е i n d 1 е г Е., S а г а с h i k Р. Е., On the Concept of Controllability of Linear Systems (выходит в свет).

Понтрягин Л. С., Оптимальные процессы управления, У МН, 14 (1959).

Krasovsky N. N., On the theory Optimum Regulation, Automation and Remote Control, 18 (1957), 1005—1016.

Красовский H. H., К теории оптимального регулирования, ПММ, 23 (1959).

Kulikowski R., On Optimum Control with Constraints, Bull. Polish. Acad. Sci. (Ser. Tech. Sci.), 7 (1959), 285—294.

Kulikowski R., Concerning the Synthesis of the Optimum Nonlinear Control, Bull. Polish Acad. Sci. (Ser. Tech. Sci.), 7 (1959), 339—391.

Kulikowski R., Synthesis of a Class of Optimum Control Systems, Bull. Polish Acad. Sci. (Ser. Tech. Sci.), 7 (1959), 663—671.

К u 1 i k о w s k i R., Synthesis of Optimum Control Sistems with Area — bounded Control Signal, Bull Polish Acad. Sci. (Ser. Tech. Sci.), 8 (1960), 179—186.

К u 1 i k о w s k i R., Concerning a Class of Optimum Control Systems, Bull Polish Acad. Sci. (Ser. Tech. Sci.), 8 (1960), 595—600.

Kranc G. M., Sarachik P. E., An Application of Functional Analysis to the Optimal Control Problem, presented at JACC, New York Univ., N. Y., June, 1962.

Sarachik P. E., Kranc G. M., On Optimal Control of Systems with Multi-Norm Constraints, to be presented at the 2-nd IFAC Congress, Basel Switzerland, Sep. 1963. (См. Труды 2-го Международного конгресса по автоматическому регулированию, Изд-во АН СССР, М., 1965.)

D u n f о г d N., Schwartz J. Т., Linear Operators, New York, Interscience Pub. Inc., 1958. (Русский перевод: Данфорд H., Шварц Дж., Линейные операторы, ИЛ, М., 1962.)

Neustadt L. W., Synthesizing Time Optimal Control Systems, L Math. Analysis and Appl., I (1960), 484—493.

Lee E. B., Mathematical Aspects of the Synthesis of Linear Minimum Response Time Controllers. Trans. PGAC, AC—5 (1960), 283—289,

Достижимые зоны для автономныхсистем дифференциальных уравнений1)

Э. Рокс ин, В. С пин адел

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей статье рассматриваются кривые решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, имеющей вид

0.(1.1)

где х(/), f(x) и w^x, t) являются м-мерными векторами, a t — вещественная переменная.

Мы предполагаем, что (1.1) является системой Каратеодори, т. е. что /(х) и w(x, t) удовлетворяют условиям Липшица по х и w(x,t) интегрируема по t. Эти предположения сделаны для того, чтобы (см. [1]) система

x = f(x),(1.2)

которую мы будем называть основной, и система

x = w(x, t),(1.3)

которую мы будем называть возмущающей, имели каждая единственное решение, непрерывно зависящее от начальных условий и параметров, которые могут содержаться в рассматриваемых функциях.

Систему (1.1) будем называть возмущенной и будем рассматривать ее как суперпозицию систем (1.2) и (1.3).

Решения системы (1.2) будем называть основными кривыми, а решения системы (1.1) — просто траекториями.

Выбрав начальную точку Р, мы имеем две части траектории, разделенные точкой Р: одна получается при возрастании t, а другая — при убывании L Эти части траектории будем называть соответственно положительной и отрицательной полутраекториями относительно Р.

9 R о х i n Е., S р i n a d е 1 V., Reachable Zones in Autonomous Differential Systems, Contributions to Differential Equations, vol. 1, New York, 1963.

Мы будем рассматривать /(х) как неизменную функцию (для частной задачи), a w^x, t^ —как произвольную функцию, на которую, в зависимости от задачи, налагаются некоторые дополнительные условия.

Мы часто будем иметь дело с дугами жордановых кривых, удовлетворяющих условиям непрерывности и дифференцируемости, необходимым для существования решения системы (1.1), и будем называть их просто кривыми.

Поскольку w^x, t) изменяется, мы можем рассматривать векторное поле, определяемое системой (1.1), как результат суперпозиции фиксированного Цх) и произвольного w^x^t) векторных полей (с учетом ограничений, налагаемых условиями рассматриваемой задачи).

Задавая начальную точку х0, мы получим некоторую траекторию х = х(/), соответствующую каждой выбранной функции w(x, Ц. Мы будем изучать все траектории, получающиеся при вариациях w(х, /).

На основе изложенных выше условий мы можем сформулировать нашу задачу в следующем виде.

Дана возмущенная система (1.1) с начальным условием х(О)=хо. Какие области покрываются траекториями x = x(Z), если допускается произвольное изменение функции ^(х, /)? Эти области мы будем называть достижимыми зонами.

В разд. 2 мы сформулируем некоторые определения и опишем основные свойства достижимых зон. В разд. 3 будет подробно проанализирована природа достижимых зон, порождаемых уравнениями при ограничениях, налагаемых на возмущающие векторы; разд. 4 будет посвящен случаю, когда возмущающий вектор имеет меньшую размерность, чем фазовое пространство, а разд. 5 и 6 будут посвящены важному случаю двумерных систем. Наконец, в разд. 7 результаты разд. 3 будут применены к случаю ограниченного (л—1)-мерного возмущения.

Важно отметить, что, когда мы рассматриваем все траектории, получающиеся при изменении w^x, t), мы можем опустить явную зависимость w от х, поскольку w(x(Z), /)=^*(/) для каждого решения х = х(/). Очевидно, траектории, получающиеся из полной системы произвольных функций w, те же, что и траектории, получающиеся из множества функций w*. В дальнейшем мы просто будем использовать w^t за исключением тех случаев, когда по некоторым особым соображениям будет удобно установить явную зависимость w от х.

Если на функцию w^ не наложено ограничений, то сформулированная выше задача имеет тривиальное решение, что легко видеть из следующей теоремы.

Теорема 1.1. Пусть (1.1) есть система обыкновенных дифференциальных уравнений, где f(x)—заданная функция, и пусть

'х = Ш (0<t<m(1.4)

есть уравнение некоторой кривой. Тогда существует функция w(t), определенная при O^t-Cti, такая, что система

ММН^ x(0)=g(0),

имеет решением в точности заданную кривую (1.4).

Доказательство. Как легко видеть, для доказательства теоремы достаточно положить

^(о=т-пит.

ДОСТИЖИМЫЕ ТОЧКИ И ЗОНЫ

Ограничения на «произвольные» возмущения. Рассматривая (для заданной точки х и заданного значения /) вектор w(t) с компонентами wt^) (f=l, 2, ..., п) в м-мерном пространстве, мы видим, что ограничения на возможные значения w разбивают пространство на два множества точек, в одном из которых могут быть значения w, а в другом этих значений быть не может. Таким образом, мы приходим к рассмотрению для w основного условия

F^x, чи^х, /)) = 0, / = 1, 2, .... р,

F^x, чЦх, ^>0, i = p-H,...,q,(J,1)

где Ft — заданные функции, которые могут зависеть otxi, х2, . .. ..., хп, но не от L (Если Ft зависят явно от I, то свойство транзитивности может не выполняться; см. лемму 2.1.) Ограничениями могут быть, например,

W1(/) = 0, |a<2(/)|<a2>|w3(/)|<a3, . . ., |w„(/)|<an.

В этом случае w(t) будет лежать в плоскости Wt = 0 и содержаться в гиперпараллелепипеде с ребрами 2оц (1 = 2, 3, .... п).

Мы можем также рассматривать условия, налагаемые на w(f) как на функцию от t (например, ограниченность первой производной), но в настоящем исследовании мы ограничимся типом условий, упомянутым выше.

Вместо уравнений (2.1) в неявной форме последние можно также задать параметрически, т. е. если в (2.1) нет неравенств, то можно написать

^(х, 0 = Г/(^ ai> «2, • • ., «5) (/= К 2, .. ., п),(2.2)

где «г — произвольные функции от t. Напротив, если в (2.1) имеются неравенства, то о^ ограничены условиями типа

at<ki.

Равенства (2.2) определяют некоторое s-мерное многообразие ^s = n — рУ

В дальнейшем мы рассмотрим некоторые ограничения, накладываемые на w^ty вследствие их важности для применения в различных областях физики и техники.

Достижимые точки. Задавая систему (1.1) и некоторое ограничение на w в форме (2.1) или (2.2), мы, однако, не знаем, можно ли перейти из начальной точки х0 в произвольную точку хь двигаясь по возможной траектории. В связи с этим введем следующее определение.

Определение 2.1. Пусть дана система (1.1) и на w наложены определенные ограничения в форме (2.1) или (2.2). Будем называть точку Xi достижимой из х0, если существуют функция оц(0> удовлетворяющая наложенным ограничениям, и значение /1 > 0, такие, что система

x=f(x) +^i(/), х(О)=хо,(2.3)

имеет решение x=x(ty удовлетворяющее соотношению

x(/i) =Xv

Другими словами, точка Xi достижима из х0, если она лежит на положительной полутраектории системы (2.3).

Достижимые и непокидаемые зоны

Определение 2.2. В условиях определения 2.1 множество точек, достижимых из х0, будем называть достижимой зоной из х0.

Определение 2.3. В условиях определения 2.1 всякое множество точек С, обладающее свойством «если х0(С и если Xi достижима из х0, то XiEC», будем называть непокидаемой зоной.

Как будет показано в дальнейшем, всякая достижимая из х0 зона является и непокидаемой зоной. Однако обратное утверждение неверно.

Лемма 2.1. Если Xi достижима из х0, а х2 достижима из хь то х2 достижима из х0 (свойство транзитивности).

Доказательство. Доказательство получается непосредственно. По условию леммы существуют две функции wt и ic’2,

такие, что уравнения

х = f (х) + -w^ х (0) = х0, и

x = f (х)-|- ^2, х(0) —х1э имеют соответствующие решения, которые при некоторых неотрицательных значениях и /2 удовлетворяют условиям x(/i) =%! и х^) =х2 соответственно. Если положить

w3 (/) =w3 (/) =^1(0при /«</1,

w3 (/) =

w3 (/) =

^2(/— Л) пРи ^>^ii

то решение уравнения

x=f(x) +"^з, х(О)=хо, будет удовлетворять условию

X (/1 + ^2) — Х2.

Замечание. Пустое множество U и все пространство Е являются непокидаемыми зонами.

Доказательство. В обоих случаях невозможно, чтобы Xi была достижима из х0, если х0С U. a Xi ^ U.

Теорема 2.1. Произвольное объединение и произвольное пересечение непокидаемых зон являются также непокидаемыми зонами.

Доказательство. Пусть {Са} — произвольное семейство непокидаемых зон, и пусть C = |JCa. Если точка х0€С, то она a принадлежит и некоторой зоне Са. Если точка Xi достижима из Хо, то она содержится в той же зоне Са, и, таким образом, Х1€С. Доказательство для случая пересечения проводится аналогичным образом.

Теорема 2.2. Для данного множества точек Со существует минимальная непокидаемая зона Ст> содержащая это множество.

Доказательство. Рассмотрим всевозможные непоки- даемые зоны Са, содержащие Со. Множество {Са} не пусто, поскольку оно содержит по крайней мере все пространство Е.

Очевидно, что пересечение всех Са есть минимальная непоки- даемая зона, содержащая Со.

Замечание. Как легко видеть, достижимая из точки Р зона есть минимальная непокидаемая зона, содержащая Р.

■3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

Всюду в дальнейшем ^-мерные векторы х(/), f(x) и w(P) будут рассматриваться в ортогональной декартовой системе координат с евклидовой метрикой. Далее, наиболее естественным ограничением на возмущения, по-видимому, есть

п

W)l2=S[wzWF<^(3.1)

где Wi — компоненты вектора w(t), а к — заданная постоянная. Из (2.1) следует, что к может зависеть от х, но не зависит от параметра I.

Как мы сейчас покажем, характер траекторий системы (1.1) зависит от того, |f (х) | >к или |f (х) | <к.

Теорема 3.1. Пусть (1.1)—система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой w(t) подчиняется ограничению (3.1), и пусть

х = Ш> Ш =(3.2)

есть уравнение дуги, содержащейся в области Q, точки которой удовлетворяют условию

№\<к.(3.3)

Тогда (3.2)—решение системы (1.1) при соответствующем выборе w(t).

Доказательство. Мы должны доказать, что при соответствующем w^ вектор х(/) может иметь любое направление в Q. Это означает, что нужно найти такое соотношение

т=т(/),(3.4)

чтобы при соответствующем выборе w^ кривая (3.2) удовлетворяла уравнению (1.1). В силу теоремы 1.1 уравнению (1.1) всегда можно удовлетворить, полагая

Остается показать, что т(/) можно выбрать так, чтобы (3.1) выполнялось при ck[dt>0, что необходимо для сохранения на-

правления движения по дуге (3.2). Из (3.5) имеем (в векторной форме)

Если мы положим

dx

ТО

l^l^ + lf^K^ И |®ф)|<£.

Неравенство (3.6) при dx]dt>0 справедливо в том случае, если k>\fW\, что верно по предположению.

Теорема 3.2. Пусть (1.1)—система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой w(t) удовлетворяет ограничению (3.1), и пусть (3.2)—уравнение кривой, содержащейся в области Q, точки которой удовлетворяют условию

№ \>к.(3.7)

Тогда решениями системы (1.1) являются те кривые, содержащиеся в Q, которые удовлетворяют неравенству

Доказательство. Исходящие из х возможные направления хЦ^ образуют конус вращения, вершина которого есть х. Очевидно, что кривая (3.2) будет осуществимой траекторией системы (1.1), если при каждом х ее касательная лежит внутри конуса, соответствующего точке х. Нужно показать, что аналитическим выражением этого условия является неравенство (3.8). Как и в теореме 3.1, параметризацию (3.4) необходимо выбрать в форме (3.5) и найти те кривые (3.2), для которых т(/) можно выбрать так, что

при dx(dt>0. Найдем значение dx[dt, которое минимизирует

выражение w^2=£(^4F-f-N2’<зл°)

Z = 1

где d^dx и /Дх) —компоненты векторов d^dx и /(х) соответственно. Легко видеть, что это значение есть

Для того чтобы существовало т, при котором (3.2) и (3.5) удовлетворяют (1.1) и (3.1), минимальное значение |tw|2 должно быть меньше к2. Из (3.10) получаем

Условие (3.1) имеет место, если

что мы и хотели доказать.

Примеры. Применим теперь предыдущие теоремы к некоторым конкретным случаям. Очевидно, в силу теоремы 2.1 не- покидаемые зоны будем строить объединением и пересечением достижимых зон.

Рассмотрим уравнение

x = Zx + w(/),

где X— фиксированный положительный скаляр и |w(/)|<fe. Для каждого значения \х\<к[Х осуществимые траектории могут иметь любое направление. Таким образом, из любой точки внутри сферы \х\<к]Х достижимо все пространство. С другой стороны, для точки х0 вне сферы непокидаемая зона есть тело вращения, подобное изображенному на рис. 1. Непокидаемой зоной является, например, множество точек \х\>к(Х.

Рис. 2. Меридиональное сечение гела вращения

Однако, если X отрицательно, зона, достижимая из точки х0, лежащей вне сферы \х\<к!\, будет телом вращения, меридиональное сечение которого изображено на рис. 2. Причина этого в том, что конус предельных направлений в каждой точке х0 является конусом, касательным к сфере \х\<к,к

Рассмотрим уравнение

где Х>к>0 и \w^t)\<k. В этом случае достижимая из точки х0 зона есть область вне тела вращения, изображенного на рис. 3, меридиональное сечение которого есть логарифмическая спираль, определяемая углом

а = arc sin— .

Если же —Х>к>0, достижимая зона есть тело вращения, изображенное на рис. 4.

Рассмотрим теперь двумерную систему дифференциальных уравнений

jc2=: 623X2 + ^2,

где «1, а2>0 и ^ + ^^ ^2- Начало координат для основной системы является неустойчивым узлом. Всякая кривая, лежащая внутри эллипса

г2 Г2 fe2

является осуществимой траекторией (теорема 3.1). Из любой точки, лежащей внутри этого эллипса, достижима вся плоскость. Из точки вне этого эллипса возможные направления х заполняют криволинейный сектор, и на рис. 5 заштрихованы достижимые зоны для этого случая.

Если а^ я2<0, то начало координат является устойчивым узлом, и достижимые в этом случае зоны показаны на рис. 6.

Построение всех этих зон легко произвести графически.

Рассмотрим систему

хх = aYxx-V^

х2 = а2х2 + ^2.

где теперь ai>0>a2 и ^2 -|- w2< №. Начало координат для основной систему является седловой точкой. Всякая кривая, ле-

Рис. 3. Тело вращения.

Рис. 4. Тело вращения.

Рис. б. Достижимая зона.

жащая внутри эллипса

.2

2 х2

Waxy Wa2y

1,

является осуществимой траекторией. Для точек внутри этого эллипса достижимой зоной является полоса | х21 < | &/<221. Другие типичные достижимые зоны изображены на рис. 7,

^2

Рис. 7/ Типичные достижимые зоны.

Рассмотрим систему

хх = ахх 4- bx^ + W

Х^ == — Ьхх 4" CtX2 4~ ^2’

где а < О, ^4-^2^^2- Начало координат является устойчивым фокусом (в полярных координатах решение основной системы есть кривая р = р0^“асй/^). Всякая кривая, лежащая внутри окружности

9 ।9 к2

х\ 4- х£ = —у . ; ,24-62’

является осуществимой траекторией, однако достижимой из начала координат зоной является окружность, уравнением которой является х^ 4~ *2 = ^2/#2 (рис. 8).

Если а>0, зона, достижимая из точки, лежащей на окружности Xj 4- х^ = №1а\ есть область х^ 4" ^2 > ^2/#2 (Рис- 9).

11 Зак. 243

В каждом случае достижимые зоны находятся при помощи построения оболочки конусов (углов) возможных направлений х.

Другие типы ограничений. Условие (3.1) можно обобщить, заменяя сферу

квадратичной формой

Ф(^) = ^.(3.13)

Тогда ограничивающим условием (3.1) будет ^(w^^h2.

Легко видеть, что метрические свойства достижимых зон существенным образом зависят от типа рассматриваемой квадратичной формы. Если ф(^) является положительно определенной формой, сфера (3.12) заменится на эллипсоид. В этом случае достижимая зона топологически подобна случаю (3.1), так как оба они связаны аффинным преобразованием. Если же ф(^г) является неопределенной квадратичной формой, то (3.12) является гиперболоидом, а если ф(^г) является полуопреде- ленной, то — цилиндром. Геометрический анализ достижимой зоны в этих случаях подобен предыдущему.

Важно также рассмотреть случай, когда компоненты w^ ограничены независимо, т. е. ограничение (2.1) имеет вид

Ы <^ (/=1, 2, ..., пу(3.14)

Сфера (3.12) заменяется в данном случае на гиперпараллелепипед, и если х0 лежит вне его, то возможные направления х образуют пирамидальную поверхность, выполняющую роль конуса предыдущих рассмотрений.

Последний тип ограничений рассмотрен в работах [2] и [3], посвященных оптимальному управлению. Показано, что оптимальный возмущающий вектор (в задаче приведения физической системы в состояние покоя за минимальное время) удовлетворяет условию Wt= ±ki. Наряду с этим теория достижимых зон позволяет точно определить область, из которой можно достичь каждую точку покоя. Рассмотрим, например, уравнение

x = f(x) +w(/).

Пусть хо=О является особой точкой уравнения x = f(x), т. е. точкой равновесия невозмущенной системы. Тогда, для того чтобы определить, из каких точек х достижимо начало координат хо=О, достаточно рассмотреть уравнение х =—[f (х) +w (/)], или, что то же, произвести инверсию времени и отыскать зону, достижимую из точки х0.

ВОЗМУЩЕНИЯ МЕНЬШЕЙ РАЗМЕРНОСТИ

Этот раздел будет посвящен случаю, когда возмущающий векгор w(x,t) в уравнении (1.1) имеет меньшую размерность, чем х(/) и /(х). Это имеет место, например, тогда, когда w^x, t)

является функцией от п — 1 произвольной функции от t

w (х, /) = F (х, аь а2, •. •, an-i), (4.1) где п — размерность вектора х.

Линейный (п — 1) -мерный случай. Если F в (4.1) является линейной функцией от параметров аД/) с коэффициентами, зависящими от х, то уравнение (1.1) принимает вид

x=fW +q)i(x)ai(f) +ф2(х)а2(0 + . .. +фп-1(х)ап-1(0, (4.2) где /, фь ..., фп-1 — заданные м-мерные векторы, a ai — произвольные скалярные функции от 1. Ниже мы будем рассматривать только этот линейный случай.

Классификация точек. В зависимости от взаимного расположения векторов Д фь ..., фп-i в точке х можно выделить следующие типы точек:

векторы /, фЬ .. ., фп_! линейно независимы. Такую точку х будем называть регулярной точкой. Возможные направления вектора х в уравнении (4.2) заполняют полупространство, так как каждый вектор, соединяющий х с плоскостью л на рис. 10, является возможным вектором х;

фг линейно независимы, но / является их линейной комбинацией. Такую точку х будем называть точкой контакта. Здесь мы исключаем случай, когда f(x)=0. На рис. 10 показано, что возможные направления х образуют гиперплоскость размерности (п — 1);

ф^ линейно зависимы. Такую точку х будем называть иррегулярной. При этом возможны несколько подслучаев в зави-

симости от числа независимых величин фг и относительного расположения вектора f(x).

Пертурбатрисы. Разложим уравнение (4.2), имеющее форму (1.1), в два уравнения вида (1.2) и (1.3) и рассмотрим решения каждого из этих уравнений.

Как упоминалось в начале статьи, решения уравнения (1.2) (основной системы) называются основными кривыми. Мы будем различать положительные и отрицательные ветви основных кривых, т. е. части основной кривой, получающиеся соответственно при положительных и отрицательных значениях параметра t.

Всякое решение возмущающей системы

х = Ф1(х)«1(/) + ф2(х)а2(0 + . .. +фп-1(х)ап-1 (/),(4.3)

полученное для определенного набора п — 1 произвольной функции аД/), будем называть пертурбационной кривой, или просто пертурбатрисой.

Найдем необходимое условие, при котором всякая пертур- батриса, проходящая через точку x0=(x0i, х02,. .., хОп), лежит на некоторой гиперповерхности

и^х^, х2, ...,х„)=0(4.4)

или.

Xn == F(хь х2,..., хп—i).(4.5)

Эта гиперповерхность должна быть касательной к векторам Фь . .. ,фп-ь т. е.

п

257^ = ° (7 = 1, 2, .... п-1),(4.6)

Z = 1

где фи, Фг2, • • •, ф™ — компоненты вектора ф^ Это эквивалентно системе уравнений

ди,ди., ди~

ди,ди..ди~

+^;Ф2Л = 0, (4.7) ди। ди।. ди~

Ф»-1, 2 ++д^Фл-1,л = 0.

Используя уравнение (4.5), получим

■^- + ^^- = 0 (/ = 1, 2, п —1)(4.8)

dXi 1 дхп dxt х747

ИЛИИЛИдхпdxtдхпdxtдР _ dxtдР _ dxtди"dx"iдиди"dx"iди(/ = 1, 2,/г-1),(/ = 1, 2,/г-1),(4.9)(4.9)

ИЛИ

ИЛИ

дхпdxt

дхпdxt

дР _ dxt

дР _ dxt

ди"dx"iди

ди"dx"iди

(/ = 1, 2,/г-1),

(/ = 1, 2,/г-1),

(4.9)

(4.9)

где А; есть (— 1)у, умноженная на определитель, получающийся вычеркиванием /-го столбца из прямоугольной матрицы

Ф11Ф12 • • • Фи

Фп-1,1 Фл —1,2 • • • Фл — 1,л

Если существует решение (4.4) или (4.5) системы уравнений в частных производных (4.7) или (4.9) соответственно, проходящее через х^ то эта гиперповерхность содержит все пертурба- трисы, проходящие через эту точку. Вопрос о существовании таких поверхностей, т. е. о совместности или несовместности (4.7) или (4.9), приводит к проблеме Пфаффа в механике о различении голономных и неголономных связей. Введем следующее определение.

Определение 4.1. Возмущающую систему (4.3) будем называть голономной, если система (4.7) совместна и однозначно определяет поверхности и(х^ х2,..., хп) = const, которые мы будем называть пертурбационными. В противном случае будем называть систему неголономной.

Лемма 4.1. Если возмущающая система (4.2) является го- лономной, и^х^ х2, ..., хп)=0 — пертурбационная поверхность, и если

х=Ш(4.10)

— уравнение некоторой кривой на этой поверхности, то (4.10) — пертурбационная кривая системы (4.2).

Доказательство. Поскольку (4.10) лежит на пертурбационной поверхности, вектор d^dt является в каждой точке линейной комбинацией векторов ф1, ф2,..., Фп-i

-^ = <Р1(Уа1 + (р2(£)а2 + . .. +<P„_iU)a„_i.(4.11)

При изменении параметра / в (4.10) изменяются х и оц, давая в конечном счете

x = 5- = <Pi WM0 + ••• +Ф«-1 Wa»-i W>

откуда следует, что (4.10) является пертурбационной кривой. Мы предположили, что в каждой точке §(/) векторы фДх) линейно независимы. Если это условие не выполнено, уравнения (4.8) уже не определяют касательную плоскость, и такие точки не могут считаться принадлежащими пертурбационной поверхности. Этот случай требует специального исследования.

Квазидостижимые точки. Точку Xi будем называть квазидо- стижимой из х0 системой (1.1), если в любой окрестности Xi существуют достижимые точки.

Теорема 4.1. Если Xi квазидостижима из х0, а х2 квазидостижима из Xi, то х2 квазидостижима из х0.

Д о к а з а т ел ь с т в о. Доказательство основывается на непрерывной зависимости решений системы (1.1) от начальных условий. Пусть [/2 — окрестность точки х2. Тогда существует точка х'^ принадлежащая этой окрестности, и функция w^, такая, что траектория (1.1), проходящая через хь проходит также и через х^ при достаточно больших значениях t. По непрерывности существует окрестность Ui точки Xi, такая, что всякая траектория (1.1), проходящая через Ui, впоследствии проходит через окрестность [/2, которая является также окрестностью точки x'Y Поскольку Xi квазидостижима из х0 по предположению, то существует функция w^, такая, что траектория, выходящая из х0, проходит через некоторую точку х' £ Uv Поскольку мы можем некоторой другой траекторией соединить хх с некоторой точкой x'^U^ то очевидно, что х^ в U^ достижима из х0, что завершает доказательство.

Лемма 4.2. Пусть х=^^—уравнение пертурбационной кривой, выходящей из хо = £(О). Тогда всякая точка Xi = ^(/i) этой пертурбатрисы квазидостижима из х0 системой (4.3).

Доказательство. Мы всегда можем считать, что ^ > 0, поскольку в противном случае достаточно изменить знак аД/), и пертурбатриса будет иметь обратную ориентацию. Положим

х — МСлО + ф!WM^-H ... Н-фл-^а,,,!^). (4.12)

Поскольку при Х=0 существуют п—1 функций аД/), таких, что траектория, исходящая из х0 при /=0, проходит через Xi при ^Zi^O и (4.12) непрерывно зависит от X, мы можем заключить, что: при наличии произвольной окрестности Ui точки Xi существует е > 0, такое, что для всякого |%| <е решение (4.12), проходящее через х0 при / = 0, проходит через окрест-

ность Uv точки %1 при t = tv В предположении 0 < Z < 8 траектория системы

x = KxW^\^2^1-\- ... + ф,,,, (х) ап-^

будет вести себя аналогичным образом, и, следовательно, этим мы доказали существование достижимых из х0 точек внутри U^ а это и означает, что Xi квазидостижима.

Теорема 4.2. Пусть (1.1) —система дифференциальных уравнений, возмущающая система которой имеет вид (4.2). Если такая система голономна, u(xi, х2,..., хп) =0 — пертурбационная поверхность, и х0, Xi — две точки, принадлежащие этой поверхности, которые можно соединить дугой, целиком лежащей на той же поверхности, то Xi квазидостижима из х0.

Доказательство. Доказательство непосредственно следует из леммы 4.1 и 4.2.

Следствие 4.1. В условиях предыдущей теоремы из точки х0 квазидостижима всякая точка, принадлежащая пертурбационной поверхности, проходящей через х0 (и той же связной части в случае, если поверхность имеет их более одной, как, например, эллиптический гиперболоид).

ДВУМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим двумерные системы, которые, как легко показать, всегда голономны. Многие результаты, которые будут здесь получены, допускают обобщение на общий голономный случай, однако мы не будем подробно.излагать эти обобщения, поскольку для двумерных систем соответствующие факты кажутся ясными и их развитие значительно проще.

Если полная, система дифференциальных уравнений имеет вид

x = f(x)+a(/)(p(x),(5.1)

то имеется некоторая симметрия между основной системой

ММ(5.2)

и возмущающей

х = ф(х).(5.3)

В последнее выражение мы не включили произвольный скалярный множитель а(^), поскольку он не меняет кривую решения (пертурбатрису). Как уже упоминалось, рассматриваемый случай всегда является голономным, и пертурбационные поверхности совпадают с решениями системы (5.3).

Теорема 5.1. Пусть дана система (5.1), непокидаемая зона Z и регулярная точка х0, принадлежащая границе Z. Тогда существует окрестность U точки х0, такая, что в U граница Z есть в точности пертурбационная кривая, проходящая через х0.

Доказательство. Поскольку х0 регулярна и векторы f(x) и ср(х) —непрерывные функции, то можно выбрать U так, чтобы кривые решений систем (5.2) и (5.3), задаваемые соотношениями Ui(xi, х2)= const и и2 (хь х2)= const, соответственно образовывали регулярную сеть, топологически эквивалентную декартовой системе координат. Поскольку якобиан преобразования отличен от нуля, мы можем принять щ и и2 за новые координаты. В этой новой системе координат система (5.1) будет иметь вид

«2), (54)

K2 = a(/)g2(«i, «г),

где gi Ы1, Иг) и £г(иь и2) сохраняют знак в U. После другого топологического преобразования эту систему можно записать в виде

^1 = 1,

и2 = а^\

Теперь очевидно, что некоторая точка Р2= (u2i, и22) достижима из некоторой точки Pi= (иП1 ^12), если u2i > ип. По этой причине если х0 принадлежит границе Z, то эта граница совпадает с линией Ui = 0.

Критерии достижимости и квазидостижимости

Мы сформулируем некоторые критерии, которые позволяют определить, какие точки достижимы или квазидостижимы из заданной точки.

Теорема 5.2. Пусть даны система (5.1) и точка х0. Всякая точка хь принадлежащая пертурбатрисе, проходящей через х0, квазидостижима из х0.

Доказательство. Предположим, что Xf принадлежит положительной полупертурбатрисе точки х0, т. е. соответствует положительному значению / в решении (5.3) с начальным условием х(О)=хо. Если мы положим в качестве новой переменной параметр т = а/, где а — положительная константа, уравнение (5.1) можно записать в виде

= (5.5)

Очевидно, мы ограничиваемся случаем, когда а(/) —константа.

Общее решение (5.5)

xQ, т— то) (5-6)

(при ограничениях, упомянутых в начале разд. 1) является непрерывной функцией от 1/а=|3, которое при р = 0 дает пертур- батрису, проходящую через х0. Следовательно, выбирая р достаточно малым (а достаточно большим), мы получим решение (5.5) [и вместе с тем решение (5.1)], проходящее вблизи Xi, что и требовалось.

Если Xi лежит на отрицательной полупертурбатрисе, проходящей через х0, достаточно изменить знак <р(х) [что даст то же множество решений системы (5.1)]. Это так, поскольку мы не можем‘менять ни знак /(х), ни направление параметра «времени» / или т, существенные при определении достижимой зоны.

Следствие 5.1. Если х0 квазидостижима (из некоторой непокидаемой зоны) и Xi принадлежит пертурбатрисе, проходящей через х0, то Xf также квазидостижима.

Доказательство. Доказательство непосредственно получается применением теорем 4.1 и 5.2.

Теорема 5.3. Если х0 — достижимая точка (из некоторой непокидаемой зоны Z), не лежащая на границе Z, то всякая другая точка Xi пертурбатрисы, проходящей через х0, также достижима.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2. Используя те же обозначения, мы можем выбрать окрестность U точки х0, целиком лежащую в зоне Z (х0 является внутренней точкой Z), и положительное достаточно большое а, так что соответствующее решение (5.6), проходящее через хь пересекает также окрестность U. Из положительности а следует, что значение т, соответствующее хь больше значения, соответствующего точкам t/, так что Xi достижима из некоторой точки [/, и поскольку все эти точки принадлежат Z (достижимы), то таковой является и Xi.

Следствие 5.2. Если х0 не является квазидостижимой (из некоторой непокидаемой зоны Z), то никакая другая точка Xi на пертурбатрисе, проходящей через х0, не может быть квазидостижимой.

Доказательство. Очевидно, что если Xi квазидостижима, то х0 также квазидостижима.

Пересекаемые и непересекаемые кривые

Пусть заданы жорданова дуга у в х-плоскости

х = Нт), 0<т<1,(5.7)

ориентированная по возрастающим значениям т, и система дифференциальных уравнений

x = f(x, /),(5.8)

определенная в некоторой области, содержащей дугу у. Определим теперь, что означает, когда говорят, что у «пересекаема» или «непересекаема» решениями системы (5.8) в интервале времени 7Ь 72. Для этого соединим концевые точки А и В дуги у другой дугой у', которая не пересекает у, так что у+у' образуют замкнутую жорданову кривую, делящую х-плоскость на две области Ri и Rn где индексы / и г выбраны для левой и правой сторон ориентированной жордановой кривой, по которую лежит соответствующая область. Ri и Rr определяются как открытые множества, не содержащие кривую у+у'. Конечно, у' должна лежать в области определения (5.8). Рассмотрим интервал

7 = [7Ь 72], 7/</<72(5.9)

вдоль оси / и трехмерные области Ri X Т и Rr X Т. При этих замечаниях и используя обозначение

x = F^ х0, /о)(5.10)

для общего решения (5.8), можно дать следующее определение.

Определение 5.1. Упомянутую выше дугу у будем называть «пересекаемой слева направо» дифференциальным полем (5.8) в интервале времени 7, если дугу у' можно выбрать так, что в трехмерном пространстве существуют две точки (xi, /1) и (х2, /2) со следующими свойствами:

(xb t0 ^Ri X 7; (х2, t^ € Rr X 7,

/2 > /ь

Е(/2, xb/f) =х2,

проекция траектории (хь /1), (х2, /2) на х-пространство не пересекает дугу у' (включая концевые точки А, В), но пересекает дугу у (исключая концевые точки А, В).

Если этому определению удовлетворяет некоторая дуга у', то ему удовлетворяет и некоторая другая дуга у", лежащая в области определения системы (5.8). Для доказательства этого заметим, что пересечение траектории (хь t^, (х2, /2) с цилиндрической поверхностью у X 7 есть непустое замкнутое точечное множество, не пересекающее линии А X 7, В X Т. Поэтому

на траектории существуют точки из Ri X Т и из Rr X Т, сколь угодно близкие к у X Т. Это верно даже и в том случае, если исключить из рассмотрения два небольших круговых цилиндра высотой Т, основаниями которых служат окружности с центрами в А и В достаточно малого радиуса 8 (рис. 11). Мы можем, например, определить «первую» точку на траектории, такую, что всякая другая последующая точка принадлежит области RT X Т. Определенная таким образом точка лежит на

Т(П

Рис. И.

у X 7 и в любой окрестности имеет точки траектории, лежащие в Rr X Т. Так как расстояние от дуги у до дуги у" положительно, если исключить упомянутые выше два малых цилиндра радиусом е, то мы приходим к заключению, что существуют две точки (х', /') и (х', ^)’ принадлежащие R\XT и R'rX? соответственно (где Rrt и Rrr определяются дугой у"), которые удовлетворяют условиям определения 5.1.

Если дуга у не удовлетворяет условиям предыдущего определения, то будем говорить, что «у непересекаема слева направо» полем (5.8) в интервале Т. Аналогично мы будем использовать такие выражения, как «у пересекаема справа налево», «у пересекаема в обоих направлениях» и т. п. Если дифференциальная система (5.8) автономна, дело обстоит значительно проще, так как в этом случае не нужно рассматривать интервал Т и все рассуждения можно провести исключительно в двумерном пространстве.

Теорема 5.4. Пусть у — дуга (5.7), а у' — другая дуга, соединяющая те же концевые точки, так что вместе они образуют жорданову кривую, делящую х-плоскость на области Ri и Rr, и пусть (xb /i; х^ t2) есть траектория (5.8), удовлетворяющая всем условиям определения 5.1, за исключением того, что х2 принадлежит не Rn а у (без концевых точек). Тогда дуга у пересекаема слева направо в интервале Т.

Доказательство. Доказательство основано на свойстве непрерывности. Так как дуга (хь Л; х2, /2) регулярна, то можно выбрать сферу U^ с центром в (хь /1) и радиусом si, и другую сферу U2 с центром в (х2, /2) и радиусом е2 так, что все траектории (5.8), проходящие через U2, проходят также через Ui и образуют «цилиндр траекторий» вокруг траектории (хь /1; х2, /2). Так как расстояние от поверхности у' X Т до траектории (xb tv, х2, /2) положительно, е2 можно выбрать настолько малым, чтобы весь цилиндр траекторий не пересекал у' X Т. Очевидно, что в U2 имеются точки из RT X Т и траектории, проходящие через них, исходят из U^ т. е. из точек Rt X Т. Этим и завершается наше доказательство.

Заметим, что условие регулярности траектории необходимо. Например, прямая, проходящая через начало координат, непе- ресекаема системой х= — х, несмотря на то что начало координат является предельной точкой всякой траектории (точка х2 рассматриваемой выше траектории).

Теорема 5.5. Пусть у$у2— жорданова дуга, разделенная точкой у^ на две дуги у^, уху2. Если каждая из дуги у^Ух и уху2 пересекаема слева направо полем (5.8) в интервале Т, то дуга у0у2 также пересекаема. Обратно, если у0у2 пересекаема, то пересекаема по крайней мере одна из дуг уоуь у^у^

Доказательство. Первое утверждение этой теоремы очевидно. Для доказательства второй ее части выберем дугу у', образующую с у0у2 жорданову кривую, разделяющую Rt и RT. Существует, по предположению, траектория ^x<tv х2, /2), пересекающая (уо^ОХ?1. Она имеет по крайней мере одну общую точку с этой цилиндрической поверхностью, и проекция этой точки не является концевой точкой дуги у0у2. Если эта проекция является внутренней точкой уоу^ или yty2, теорема доказана. Остается посмотреть, что произойдет, если эта точка есть в точности у^ Рассмотрим в этом случае цилиндр траекторий, упомянутый в доказательстве теоремы 5.4. По непрерывности этот цилиндр траекторий пересекает поверхность (У0У2) X Т в некоторой окрестности точки, в которой ее пересекает траектория (xi, /1; х2, /2). Поскольку невозможно, чтобы весь цилиндр

траекторий пересекал цилиндрическую поверхность вдоль линии ух X Т, существует траектория, проходящая из RiX Т в Rr X Т и пересекающая (УоУг) X Т на некотором расстоянии от ух X Т. Теорема доводится до конца без затруднений.

Заметим, что у^ может быть особой точкой системы (5.8), как в случае системы (рис. 12)

хх = 2ххх2,

(xlf х2—координаты х).

Здесь ни отрицательная, ни положительная полуоси х не пересекаемы снизу вверх, и это же имеет место для всей оси х в соответствии с теоремой 5.5.

Из этой теоремы вытекают легко доказываемые следствия.

Следствие 5.3. Если ориентированная жорданова кривая у состоит из дуг yi, у2,.. ., уп, ни одна из которых не пересекаема слева направо системой (5.8) в интервале Т, то кривая у делит плоскость на области Ri и RT так, что в интервале Т никакая траектория системы (5.8) не проходит из точки в Ri в точку Rr [т. е. можно сказать, что у обладает свойством «ловушки» для интегральных кривых системы (5.8)].

Следствие 5.4. Если у — некоторая ориентированная кривая, уходящая в бесконечность (и разделяющая плоскость на две области Ri и RT), такая, что всякая конечная связная часть ее является жордановой дугой, непересекаемой слева направо в интервале Т, то никакая траектория системы (5.8) не перехо-

дат из RtXT в RTXT. (Для доказательства достаточно рассмотреть топологически замкнутую комплексную плоскость с присоединенной к ней бесконечно удаленной точкой.)

Теперь мы рассмотрим жордановы кривые и дуги, обладающие непрерывно вращающимися касательными векторами. Мы будем допускать конечное число «угловых» точек, в которых касательный вектор терпит разрыв, но имеет пределы слева и справа. В этом случае, для того чтобы последующие теоремы оставались в силе, все условия в них, связанные с касательным вектором, должны выполняться для обоих предельных положений.

Теорема 5.6. Если на дуге у, заданной выражением (5.7), существуют внутренняя точка х0 и значение t^T, такие, что угол р между касательным вектором в х0 и вектором поля (5.8) в точке х0, t0 удовлетворяет условию 0<р<л, то у пересекаема справа налево в интервале Т.

Доказательство. В некоторой окрестности точки х0, to этот угол останется в пределах 0 < р < л, так что траектория, проходящая через х0, to, пересекает у.

Следствие 5.5. Если у непересекаема справа налево в интервале Т, то 0 ^ р > — л во всех внутренних точках у при всех t С Т.

Здесь мы даем теорему Массера [5], которая будет нам полезна.

Теорема (Массера). Пусть G— некоторое открытое множество в вещественном векторном пространстве У; граница этого множества является гладкой в следующем смысле: если yQ лежит на границе G, то существует локальная система координат, такая, что граничные точки G в окрестности у0 можно представить как поверхность функции u = ^^s где и — компонента у вдоль некоторого одномерного подпространства и z— проекция у на ортогональное подпространство, функция ср имеет ограниченный дифференциал в окрестности у0; это допускает, что точки G локально соответствуют множеству u<^^zY Пусть g(y)—векторное поле в Y, локально удовлетворяющее условию Липшица; пусть p^z, и) —проекция g на z-npocTpancteo и q^z, и)—(скалярная) компонента вдоль оси и. Если в некоторой точке границы G выполняется неравенство q— d(p[z;p]^O (т. е. если g образует острый или прямой угол с внутренней нормалью к границе), некоторое решение дифференциального уравнения y = g(y), исходящее из некоторой точки множества G, будет оставаться в замыкании G.

Непосредственным результатом теоремы Массера является Следствие 5.6. Если дуга у, заданная выражением (5.7), пересекаема справа налево полем (5.8) в интервале Т, то в некоторой внутренней точке х0 и при некотором t0^T упомянутый выше угол р удовлетворяет условию 0<р<л.

Доказательство. Если р = 0, то вектор х системы (5.8) будет касательным к поверхности уХ Т если 0 < р < л, то х направлен в RiXT; если 0>р>—л, то х направлен в RT. Так что мы можем очевидным образом применить теорему Массера.

Следующие теоремы, относящиеся к комбинации двух векторных полей, доказать очень легко, так что здесь мы дадим только краткие наброски доказательств.

Теорема 5.7. Пусть у — дуга (5.7). Рассмотрим два векторных поля

х = Цх, t\(5.11)

x^g^x, t\(5.12)

и пусть.

х-Х^х, 0+>£(*, /)(5.13)

есть новое поле, где скаляры X, ц > 0. Если дуга у непересекаема слева направо полями (5.11) и (5.12), то она также не- пересекаема и их линейной комбинацией (5.13).

Доказательство. По предположению касательная к дуге у образует с вектором f угол Pi, такой, что 0 ^ Pi ^ л, и с вектором g угол р2, такой, что 0 ^ р2 ^ л. Очевидно, для поля (5.13) угол р лежит между Pi и р2, откуда и следует теорема. (Заметим, что X, ц могут быть функциями от Л)

Теорема 5.8. Если дуга у непересекаема слева направо полем (5.13), где X, ц — две произвольные положительные функции от t, то она непересекаема также и ни одним из полей (5.11) и (5.12).

Доказательство. Доказательство получается немедленно, если заметить, что, когда, например, Х->0, система (5.13) стремится к (5.12). В силу теоремы Массера, поскольку Р = Р(Х), угол Ро между касательной к дуге у и полем (5.12) должен удовлетворять неравенству 0 ^ р ^ л.

Теорема 5.9. Если дуга у пересекаема слева направо полем (5.11), то она также пересекаема полем (5.13) при положительных X и \и'

Доказательство. Рассмотрим дугу у', которая вместе с у разделяет области Rt и RT. По предположению существует траектория (5.11), идущая из Ri в RT. Полагая в (5.13) Х=1 и ц —*0, по непрерывности получаем, что существуют достаточно малые значения р > 0, при которых дуга у еще пересекаема слева направо полем (5.13).

Приложим теперь полученные результаты к системе уравнений типа (5.1). Следующая теорема дает фундаментальный критерий для определения достижимых зон таких систем.

Теорема 5.10. Пусть у — ориентированная жорданова кривая (замкнутая) или кривая, уходящая в бесконечность, но такая, что всякая ограниченная дуга ее является жордановой дугой. Если у состоит из дуг уь у2,..., уп, каждая из которых

есть дуга пертурбатрисы [т. е. удовлетворяет уравнению (5.3)],

или критическая линия (5.3) [т. е. ф(х)=0]; кроме того, если всякая дуга yi (ориентированная в том же направлении) непересекаема слева направо полем (5.2),

то кривая у разделяет области Ri и Rr и Ri является непо- кидаемой зоной для полной системы (5.1).

Доказательство. Кривая решения у непересекаема ни в каком направлении системой (5.3). Так как у также непересекаема слева направо основной системой (5.2), очевидно, что у непересекаема слева направо обеими системами

х = f (х) + аф (х) и

х = f (х) — аф (х),

где а^О, и теорема доказана. [Заметим, что мы предположили, что «(/) имеет постоянный знак. Но теорема остается верной и в том случае, если а(/) меняет знак, а теорема Массера применима для произвольного а.]

6. АНАЛИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ

Результаты разд. 5 допускают аналитическую формулировку, пригодную для многих приложений.

При условии, что основная система имеет вид

криваякриваяX = fW,*=Е(т)X = fW,*=Е(т)(6.1)(6.2)(6.1)(6.2)

кривая

кривая

X = fW,

*=Е(т)

X = fW,

*=Е(т)

(6.1)

(6.2)

(6.1)

(6.2)

(6.3)(6.3)есть решение у возмущающей системы ^ = ф(х).

(6.3)

(6.3)

Угол р между векторами <р(х)и /(х) определяется выраже

нием

(6-4)(6-4)sin р =Ф^-Ф^,

(6-4)

(6-4)

/ф?+ф!-/(Ю22

где ф1, ф2, Л, U — компоненты векторов ф и f. Условие 0 ^ р ^ л при этом имеет вид

^(А ф)=ф^2—ф2/1>0,^(А ф)=ф^2—ф2/1>0,(6.5)(6.5)

^(А ф)=ф^2—ф2/1>0,

^(А ф)=ф^2—ф2/1>0,

(6.5)

(6.5)

где предполагается, что Ф1 + Ф2=£0.

Следующие результаты являются прямыми следствиями предыдущих теорем.

Следствие 6.1. Если дуга у удовлетворяет (6.3) и существует точка на у, в которой вектор поля (6.1) удовлетворяет условию

^ih — Ф2/1 > 0,(6.6)

то у пересекаема справа налево решениями (6.1). (Следствие из теоремы 5.4.)

Следствие 6.2. Если дуга у удовлетворяет (6.3) и непе- ресекаема справа налево решениями (6.1), то

Ф!^ — Ф2Л < 0(6.7)

на всей дуге у.

Следствие 6.3. Если при тех же обозначениях у пересекаема справа налево решениями (6.1), то на у существует точка, в которой имеет место (6.6).

Следствие 6.4. Если условие (6.7) имеет место вдоль у [(6.3) удовлетворяется^ то у непересекаема справа налево решениями (6.1).

Замечание. Мы предполагаем, что на у нет особых точек (6.3), т. е. у является регулярной дугой пертурбатрисы.

Следствие 6.5. Если в условиях теоремы 5.10 всякая дуга уг- удовлетворяет а) и б) и, кроме того,

на всякой некритической дуге уг- выражение ф^2— Ф2А имеет постоянный знак или равно нулю, причем этот знак таков, что sin р > 0 при пересечении кривой в некотором направлении, и

на критических дугах уг(ф=0) вектор (Jb /2) таков, что sin р > 0, то кривая у является границей непокидаемой зоны, лежащей слева от у.

Как следствие предыдущих результатов можно резюмировать метод определения достижимых или непокидаемых зон и сформулировать следующее практическое правило.

Для определения непокидаемых зон системы

x—f (х) +а(/)ср(х)

следует начать с интегрирования системы

х = ^(х))

решения которой, включая критические линии, являются единственно возможными границами искомых зон. Для того чтобы определить, какие из них являются границей, а какие нет, следует проанализировать знак Р=^2 — фгЛ вдоль каждой пер- турбатрисы.

Примеры.

Линейные пертурбатрисы

Рассмотрим полную систему

x = f (%) + pa(f),

где ц —- константа. Очевидно, что в данном случае (6.3) сводится к виду

^1 = Ц1,

Х2 = №

и решениями этой системы являются прямые

Ц2Я1 — Ц1%2 + ^ = 0 (& = const).(6.8)

Эти прямые делят плоскость на две области, и для того, чтобы одна из этих линий была границей непокидаемой зоны, необходимо и достаточно, чтобы на ней выполнялось условие (6.5) (и единственно возможной границей непокидаемой зоны является именно такая линия).

Дифференциальное уравнение второго порядка

Рассмотрим уравнение

х = Цх, ^)+’а(^),

где а(0 — произвольная функция. Это уравнение эквивалентно системе

Ху = Х2»

х2 = Цхи x2) + a^).

Пертурбатрисами являются прямые линии Xi = const, и выражение для F, определяемое через (6.5), имеет вид F— cpif2— ч^Ь” = — х2.

В этом случае достижима вся плоскость, поскольку F= —х2 принимает оба знака вдоль пертурбатрисы Xi = const, которая, следовательно, не может быть границей непокидаемой зоны.

Рассмотрим теперь уравнение

х=Цх, х) +ха(/)

и эквивалентную систему

хх = х^

x2 = f(xx> х2) + х2а(/).

Пертурбатрисами снова являются прямые Xi = const, и, поскольку

^=Ф1/2 —=

F не меняет знака вдоль Xi = const. Несмотря на это, прямая Xi = const не может быть границей непокидаемой зоны, поскольку Xi = const является комбинацией двух пертурбатрис, а именно полупрямых, соответствующих х2 > 0 и х2 < 0, идущих в противоположных направлениях (от х2 = 0 до х2=±оо), плюс точка х2 = 0 (которая является особой точкой возмущающей системы). Поэтому возмущающий вектор меняет направление вдоль Xi = const. Соответственно форма F изменит знак, если угол р постоянно ориентирован в одну сторону. Но этого, как легко показать, не происходит.

Однородная основная система

Пусть

хх = Мхх, ^2)»

•.(6.9)

^2 = /2№i ^2),

— однородная основная система порядка т, т. е. fx и f2 являются однородными функциями порядка т (т>1), так что Ц^х^^КхУ

Легко видеть [6], что х = 0 является особой точкой основной системы. Предположим, что Ц(х) + f2(х) > 0 и, следовательно, начало координат является изолированной особой точкой.

Если возмущающая система имеет вид

Л = Р1>

х2 = ц2 (Нь Нг = const),

то, используя тот факт, что (6.9) однородна, и полагая

^2=^, получим

хг = x^f^^X, ц),

х2 = x?f2 (1, р)«

Тогда полная система примет вид

A = ^fi(^ И) + а (0 Hi,

^ = ^Шг> н) + а(0н2

и, как в примере (1), единственно возможными границами не- покидаемых зон являются прямые (6.8). Если /? = 0, то

и форма F имеет вид

F<xX1 p^ — xHPiMl, И) — H2fi(l, P)L

В дальнейшем мы исключаем случай Ц1 = Ц2 = 0. Из предыдущих теорем и следствий непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 6.1. Для полной системы

xx = h(xv х2)+№(/),^ 10)

с однородными функциями fx и f2 порядка m прямая

М2

является границей непокидаемой зоны, если m четно.

Если в (6.8) /г#=0, анализ также совсем прост. Полагая

Х2 := -^2

для системы (6.10), получим выражение (записывая снова Xi, Хг вместо х'г и х'^

Xx=gxkXx, ^2), .(6.11)

Хч = 8^хх, х2) + « WH2>

и возмущающая система

хх = О,

х2 = ц2

имеет решениями прямые Xi = const. Для того чтобы одна из них была границей непокидаемой зоны, необходимо выполнение условия, что

F== — gt^i, х2). (6.12)

не меняет знака вдоль %i = const. В силу однородности системы выражение. (6.12) можно записать в виде

F = — л^О, ц)

и, следовательно, имеем:

Теорема 6.2. Вертикальные прямые являются границами непокидаемых зон для системы (6.11), если gi (1, ц) не меняет знака при — оо < р, < + оо.

ОГРАНИЧЕННЫЙ ВОЗМУЩАЮЩИЙ ВЕкТОРМЕНЬШЕЙ РАЗМЕРНОСТИ

Предыдущие разделы были посвящены случаю, когда возмущения имели компоненты в виде аг(/)фг(х), где аД/) —произвольные функции. Практически мало случаев, когда возмущение может иметь неограниченную величину, так что рассмотренные случаи описывают только идеализированную систему. В этом разделе будут рассматриваться дополнительные ограничения

I а/ (01 ^ ^ <& = const).

Целесообразно также рассмотреть условие at^ *> 0.

В первом случае мы будем говорить об ограниченных возмущениях, а во втором — об ориентированных.

Ориентированные возмущения. Рассмотрим уравнение

x=f(x) + «i(0<PiW + ... + ар(/)фр(х),(7.1)

где f, фь ...,фР— заданные векторные функции и аД/) ограничены условиями

«г(0>0, /=1, 2, ..., р.(7.2)

Уравнение (7.1) заменим уравнением

MW.(7.3)

которое будем называть основным уравнением (как и в предыдущих разделах), и уравнениями

Х1 = ф1(%),

хр = фр(х), (7.4)

которые будем называть р элементарными возмушдкнцими уравнениями. В некоторой точке х0 уравнения (7.3) и (7.4) определяют р+1 векторов, являющихся ребрами выпуклого конуса, поперечное сечение которого есть многоугольник. Этот конус обладает тем свойством, что всякое направление внутри него соответствует возможному направлению вектора х уравнения (7.1). Ребра и боковые грани не соответствуют возможным векторам х (они соответствуют некоторым аг-*оо), за исключением направления f(x). Очевидно, в некоторой окрестности Uo точки х0 достижимая из х0 зона содержится «в первом приближении» внутри этого конуса. Это означает, что границей достижимой зоны является некоторая поверхность с вершиной в х0, касательная к конусу в этой точке. Отсюда не следует, что точки Uq, внешние по отношению к конусу, недостижимы из х0, поскольку могут существовать траектории, начинающиеся в х0 и возвращающиеся обратно в Uo после того, как они пройдут через внешние точки Uo.

Если существует функция и(х), обладающая тем свойством, что кривая х(/), определяемая уравнением (7.4), удовлетворяет соотношению u(x(t)) = const, то это, как было отмечено в разд. 4, упрощает исследование, и мы называем этот случай голономным.

Под «полным голономным случаем» мы понимаем тот, когда каждая парциальная система (7.3) и (7.4) является голоном- ной, т. е. определено некоторое многообразие размерности, равной числу уравнений. Это многообразие содержит все интегральные траектории. В этом случае непокидаемые зоны определяются топологическим отношением между этими многообразиями.

Примеры легко построить, рассматривая в м-мерном пространстве п семейств поверхностей Wj(x)=const (/=1, 2, ...,nY не касающихся друг друга. Каждые п — 1 из них пересекаются по кривой, и можно выбрать п семейств кривых, являющихся решениями уравнений (7.3) и (7.4). Таким образом, если мы предпишем этим кривым подходящую ориентацию, то достижимая из точки х0 зона будет определяться п соотношениями

Ui^x^ut^ (z=l, 2, ..., п).

Ограниченные возмущения. Рассмотрим теперь уравнение

когда аД/) подчинены условию

Ы<^ Д=1, 2,р).(7.5)

Задача отыскания всех возможных траекторий при вариациях аг^ может быть сведена к предыдущему случаю. Действительно, в общем случае (когда векторы линейно независимы) во всякой фиксированной точке возможные направления векторов, определяемые (7.1) и (7.5), заполняют (р 4-1)-мерный конус с многоугольником в поперечном сечении, ребрами которого являются векторы

^t^fW ±^1ф1(х) ± ... ±/?р(рр (х); /=1, 2, ..., q, где 9 = 2^. Направления внутри конуса являются их линейной комбинацией

'Ф1 + Р2Ф2+ ... +РяФд(7.6)

при |3j > 0. Для боковой поверхности конуса выражение (7.6) дает нам только вектор ф1, поскольку другие направления получаются при Pi—*00, т. е. являются квазидостижимыми, что эквивалентно замене (7.5) на

Wm<kie(7.7)

Очевидно, что внутренняя часть непокидаемой зоны одна и та же как в случае, когда граничные точки достижимы, так и в случае, когда они квазидостижимы.

Связь с дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных. Как объяснялось выше, как в случае ориентированного, так и в случае ограниченного возмущения в произвольной точке х0 векторы х, касательные к возможным траекториям, заполняют внутренность некоторого выпуклого конуса (этот конус может иметь меньшую размерность, чем все пространство). Любая возможная граница непокидаемой зоны является, конечно, внешней по отношению к конусам точек этой зоны. В предельном случае важно (для отыскания достижимой зоны) определить поверхности, касающиеся этих конусов в каждой своей точке. Но это, как хорошо известно, в геометрическом смысле как раз и есть интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Эти конусы называются «конусами Монжа» и обычно задаются в форме

F h-^)=0-

Это соотношение связывает (в каждой точке) производные dufdxi, которые определяют конус как огибающую касательных плоскостей. В нашем случае этот конус вообще будет неанали-

тическим и соответствующее уравнение в частных производных очень сложно.

Двумерные системы. Теперь мы приложим результаты, полученные в разд. 5 и 6, к случаю направленных возмущений для двумерных систем. Здесь легко получить некоторые общие результаты и построить в простых случаях различные возможные достижимые зоны.

Теорема 7.1. Пусть R— простая связная область, в которой основная и пертурбационная кривые пересекаются под углом одного и того же знака. Тогда кривая у, образованная точкой Р, соответствующей положительной полутраекторией основной системы и положительной полупертурбатрисой пересекаема траекториями системы (7.1) при условии (7.2) только в одном направлении.

Доказательство. Очевидно, существует гомеоморфное отображение R на некоторую область R', при котором основная и пертурбационная кривые становятся прямыми линиями Xi = const, x2 = const в прямолинейной системе координат.

Теорема 7.2. Пусть С — ориентированная кривая, разделяющая плоскость на две области, касательный вектор к которой непрерывен во всех ее точках, за исключением не более чем конечного числа точек. При условии, что задана система (7.1) с ограничениями (7.2), пусть р— угол между вектором, касательным к С, и вектором, касательным к основной кривой, а у — угол между вектором, касательным к С, и элементарным возмущающим вектором. Для того чтобы С была непересекаема слева направо всеми траекториями (7.1) при ограничениях

необходимо и достаточно, чтобы во всякой неугловой точке С имело место 0 ^ р ^ л, 0 ^ у -С л.

Доказательство. Доказательство базируется на теореме 5.6 и последующих теоремах, примененных к обоим векторным полям (Л,/Д и (фЬ ф2).

Замечание. В точках, где / = ф = 0, кривая С непересекаема «по существу», ибо эти точки являются вырожденными траекториями. В угловых точках С необходимо рассматривать поведение траекторий в бесконечно близких точках.

Соответствующие теоремы для ограниченного возмущения [уравнение (7.1) при условиях (7.5)] получаются непосредственно, если рассмотреть кривые решений системы

( х = / (х) + Аф (х),

< . (7.8)

( X = / (х) — Аф (х).

Приведем несколько примеров достижимых зон на плоскости при ограниченном однопараметрическом возмущении. Они подобраны так, чтобы показать различные характерные случаи; много других простых случаев можно исследовать таким же путем. В этих примерах а^ bi постоянны, а а(^—произвольная возмущающая функция.

Пример 7.1. Рассмотрим систему

хг = аху + ^а(/),

х2 — ах2 + b2a (f),

где |а(/)|<^. «Предельными случаями» (7.8) здесь являются

хг = аху + byk, х2 = ах2 + b2k.хг = аху + byk, х2 = ах2 + b2k.Ху = аху — byk, х2 = ах2 — b2k.Ху = аху — byk, х2 = ах2 — b2k.

хг = аху + byk, х2 = ах2 + b2k.

хг = аху + byk, х2 = ах2 + b2k.

Ху = аху — byk, х2 = ах2 — b2k.

Ху = аху — byk, х2 = ах2 — b2k.

Обе системы линейны и имеют решениями прямые линии, сходящиеся в узлы, координаты которых являются соответственно

В каждой точке Р плоскости возможные направления х заключены между прямыми, проведенными через Р и соответственно точки Ау и А2. Таким образом, при а>0 достижимая из точки Р зона есть внешний угол (рис. 13, а). При а<0 достижимая зона есть треугольник РАХА2 (рис. 13,6). В обоих случаях, как легко видеть, прямая АуА2 непересекаема в обоих направлениях.

Пример 7.2. Рассмотрим систему

( Ху = а1х1 + &1а(/),

I х2 = а2х2А-b2a<t\

где ау<а2<0 и |а(^)|^/?. Предельные случаи (7.8) есть

( Ху = ахХу + byk,( Ху = ахХу — bxk,

I х2 :== и2х2 + b2k,I х2:—2 et2x2 b2k.

Их решениями являются конгруэнтные параболы, сходящиеся в узлах At и Л2, координаты которых

<4 / ’<4 / ’^2^2<Н /<Н /

<4 / ’

<4 / ’

^2

^2

<Н /

<Н /

Для построения достижимой зоны из некоторой точки Р наиболее подходит интуитивный метод, состоящий в проведении из точки Р на плоскости XfX2 двух траекторий, соответствующих

Рис. 13.Рис. 13.

Рис. 13.

Рис. 13.

системам I и II. Далее рассматриваем некоторые точки траектории, скажем системы I, и проводим из них траектории, соответствующие системе II, и т. д. Таким путем мы быстро получим в определенном смысле достижимые точки. При этом построении важно иметь в виду, что в точках прямой ЛИз решения обеих систем касаются друг друга, так что угол между кривыми обоих типов меняет знак. (Это можно легко доказать.) Процедура заканчивается, когда мы находим кривую достижимых или квазидостижимых из Р точек, состоящую из дуг решений одной системы, пересекаемую решениями другой системы только в одном направлении. Эти факты легко проверяются в случаях, представленных на рис. 14—17, где показаны достижимые из точек Р, Q, R, S зоны различных типов.

Рис. 1$.

Рис. 17,

Рис. 19.

Пример 7.3. Рассмотрим систему

{

хх = аххх + а2х2 + bxa^t\

Х2 = — Я2Х1 + #1-^2 + #2а W»

где ai>0, |а(/)|^А. Поступаем, как и в предыдущих примерах. Система при а=0 имеет в начале координат неустойчивый фокус, и «предельными случаями» являются

' хх = ах(хх ± ^ + а2(х2 ± ^),

Х2 = — «2 (Х1 ± Л'1) + Й1 (Х2 ± к2>где кх и к^ удовлетворяют соотношениямахк’х + а^ = Ьхк,— а^ + а^ = Ь^к.

Решениями являются спирали с центрами в Л! (xf = — к^ вЛ2 (xt = -\-^ соответственно, касающиеся друг друга

в точках прямой, проходящей через Ах и Л2. Легко видеть, что существует некоторый овал (рис. 18), образованный дугами двух спиралей с центрами в Л! и в Л2; из точек типа Р, лежащих внутри этого овала, достижима вся плоскость, а для точек типа Q вне овала достижимая зона показана на рис. 19. (Заметим, что если достижима некоторая окрестность одной из точек Аь Л2, то достижима вся плоскость.)

Л ИТЕР АТУРА

Sansone G., С о n t i R., Equazioni Differenziali non Lineari, Consiglio Nazionale dalle Ricerche, Rome, Monografie Matematiche, Vol. 3, 1956.

Bellman R., Glicksberg I., Gross O., On the bang-bang control problem, Quart. Appt. Math., 14 (1956), 1.

R о x i n E., S p i n a d e 1 V., Sobre tin problema de control de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, Reu. union mat. arg., 18 (1958), 4.

Leftschetz S., Differential Equations, Geometric Theory, New York, 1957. (Русский перевод: Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1961.)

М a s s е г a J., Contributions to stability theory, Ann. Math., 64 (1956), 182—206. (Русский перевод: Массера X, Л., К теории устойчивости, сб. Математика, 1 :4 (1957), 81—104.)

Математическаялингвистика

Алгебраическая теорияконтекстно-свободных языков')

Н. Хомский, М. П. Шютценберже

ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

В предлагаемой работе мы рассмотрим несколько типов устройств для порождения предложений, тесно связанных с различными грамматиками естественных и искусственных языков различных типов. Под языком мы будем понимать просто множество цепочек, состоящих из символов, принадлежащих некоторому конечному множеству V, называемому словарем языка; под грамматикой — множество правил, которые рекурсивно перечисляют цепочки, принадлежащие языку. Мы будем говорить, что грамматика порождает эти цепочки. (В применении к естественным языкам порожденные цепочки называются предложениями; в алгебре их обычно называют словами, а словарь— алфавитом; когда речь идет о грамматике для языка программирования, цепочки называют программами; мы же, как правило, будем пользоваться нейтральным термином цепочки.)

Если некоторый класс грамматик представляет лингвистический интерес, то должна существовать процедура, приписывающая каждой паре (б, G), где б — цепочка, a G— грамматика этого класса, удовлетворительное структурное описание цепочки б в данной грамматике G. В частности, структурное описание должно указывать, что цепочка 6 является правильно построенным предложением языка L(G), порождаемого G. Если цепочка построена правильно, структурное описание должно также содержать грамматическую информацию, позволяющую объяснить, как б понимается носителем языка, пользующимся грамматикой G; в противном случае структурное описание

!) Chomsky N., Schiitzenberger М. Р., The algebraic theory of context-free languages, Computer programming and formal systems, Amsterdam, 1963, p. 118.

Эта работа частично финансировалась управлением войск связи Армии США, научно-исследовательским управлением Военно-воздушных сил, научно-исследовательским управлением Военно-морского флота, а также Национальным научным фондом и Государственным фондом.

13* Зак 243

должно показывать, в какой степени б отклоняется от правил построения предложения.

Мы будем рассматривать только один аспект структурного описания предложения, а именно то, как выполняется подразделение предложения на словосочетания (фразы), принадлежащие к различным категориям. Так, например, структурное описание английского предложения “those torn books are completely worthless” должно указывать, что those — это детерминатив, torn и worthless — прилагательные, books — существительное, completely — наречие, those torn books — группа существительного, completely worthless — группа прилагательного, are completely worthless — группа глагола, вся цепочка — предложение, и т. д. Эта информация может быть представлена графически:

।—Гр. сущ.-—।II।—Гр. сущ.-—।II^^^Дет.Прил.Сущ.IIIi^^thosetornbooks^^^Дет.Прил.Сущ.IIIi^^thosetornbooksПр.р—Гр. глагола—-аге।—Гр. прил.—।Нар.Прил.IIcompletely worthlessПр.р—Гр. глагола—-аге।—Гр. прил.—।Нар.Прил.IIcompletely worthless(1)(1)

।—Гр. сущ.-—।

II

।—Гр. сущ.-—।

II

^^^

Дет.Прил.Сущ.

III

i^^

thosetornbooks

^^^

Дет.Прил.Сущ.

III

i^^

thosetornbooks

Пр.

р—Гр. глагола—-

аге।—Гр. прил.—।

Нар.Прил.

II

completely worthless

Пр.

р—Гр. глагола—-

аге।—Гр. прил.—।

Нар.Прил.

II

completely worthless

(1)

(1)

или, что то же самое, с помощью скобок:

[Пр.[Гр. сущ. [Дет. those] [Прил. torn] [Сущ. books]] [Гр. глаг. аге [Гр. прил. [Нар. completely][/7/7w^. worthless]]]].(2)

Основной задачей общей теории естественных языков является определение: класса возможных цепочек (установлением универсального фонетического алфавита); класса возможных грамматик; класса возможных структурных описаний; процедуры приписывания предложениям структурных описаний, если дана грамматика. При этом определение должно быть таким, чтобы структурное описание, приписанное предложению грамматикой естественного языка, давало возможность объяснить, как говорящий на этом языке понимает данное предложение (без ограничений на память, внимание и т. д.). Тогда грамматика будет отражать некоторые стороны понимания языка его носителем.

Здесь нас не интересует эмпирическая проверка адекватности структурных описаний или грамматик, которые мы будем исследовать. В действительности классы грамматик, которые мы будем рассматривать, и типы структурных описаний, кото-

рые они порождают, конечно, слишком узки, чтобы судить о том, как на самом деле люди понимают язык. Тем не менее рассматриваемые нами системы (формализующие традиционные понятия грамматического разбора и анализа по непосредственным составляющим) некоторым образом связаны с системами, которые, по-видимому, адекватны, но в настоящее время слишком сложны для формального изучения !).

В представлении (2) имеются, кроме скобок, две категории обозначений: 1) символы порождаемых цепочек (т. е. шесть символов those, torn, books, are, completely, worthless) ); 2) символы Пр., Гр. сущ., Дет., Прил., Сущ., Гр. глаг., Гр. прил., Нар., представляющие категории словосочетаний. Символы типа (1) будем называть терминальными*, символы типа (2) — нетерминальными.

Далее, мы будем допускать, что грамматики всех рассматриваемых языков строятся с помощью фиксированного запаса терминальных и нетерминальных символов. Можно рассматривать множество терминальных символов как потенциальный общий словарь для всех языков. Для устного языка мы можем считать, что множество терминальных символов задается с помощью некоторого универсального фонетического алфавита (предполагая, конечно, что длины морфем ограничены сверху) 2). В применении к естественным языкам мы можем рассматривать фиксированное множество нетерминальных символов как универсальное множество категорий, из которых выводятся типы словосочетаний (фраз) всех языков.

Важным и традиционным вопросом общей лингвистики является вопрос о возможности дать конкретную интерпретацию нетерминальным символам, образующим категории, в терминах которых строятся грамматики, — другими словами, вопрос о том, можно ли найти общее определение, не зависящее от конкретного языка, для таких категорий, как Существительное, Глагол и т. д., в терминах их семантического содержания или формальных свойств грамматик. Проблема конкретной интерпретации множества терминальных и нетерминальных сим-

J) Более подробно см. работу [10].

волов является, как и проблема эмпирической проверки адекватности некоторых категорий грамматик, ключевым пунктом науки о языке, но она выходит за рамки данной работы.

Мы можем породить предложение “those torn books are completely worthless” co структурным описанием (2) с помощью множества правил подстановки:

Пр.-> Гр. сущ. Гр.глаг.

Гр. сущ.—» Дет. Прил.Сущ.

Дет.—► those

Прил. torn

Прил.—►worthless(3)

Сущ.—> books

Гр. глаг. — аге Гр. прил.

Гр. прил. —* Нар. Прил.

Нар.—> completely

и вывода, который строится следующим способом: сначала пишем начальный символ Пр., который будет первой строкой вывода; (м+1)-ю строку вывода образуем следующим образом: выбираем произвольное вхождение нетерминального символа а в n-ю строку (где а не является пометкой при скобке) и заменяем это вхождение цепочкой [а(р], где а—* ср— одно из правил (3). Процесс продолжается до тех пор, пока из нетерминальных символов останутся лишь те, которые помечают скобки. Тогда вывод будет закончен. Вычеркивая из законченного вывода скобки с их пометками, мы получим цепочку, состоящую только- из терминальных символов. Назовем такую цепочку терминальной. Грамматика (3) порождает четыре различные терминальные цепочки. Чтобы построить грамматику, порождающую бесконечное множество терминальных цепочек, каждую со структурным описанием, нужно ввести рекурсию — например, добавить к (3) правила:

Гр. сущ. —* that Пр.

Гр. глаг. —* is Гр. прил.(4)

Гр. прил. —> obvious.

При этом мы можем, например, породить цепочку “that those torn books are completely worthless is obvious” и т. д. 9

Каждое порождаемое предложение будет иметь структурное описание подходящего вида.

Грамматики типа [(3), (4)] мы будем называть контекстно- свободными (кс) грамматиками1). Они характеризуются тем свойством, что в левой части любого правила стоит лишь один нетерминальный символ. Если это ограничение ослабить, можно получить системы с совершенно другими формальными свойствами. Создается впечатление, что грамматика естественного языка должна содержать по крайней мере несколько правил подстановки этого более общего вида и несколько правил, которые вообще не являются правилами подстановки. Абстрактное рассмотрение систем такого рода, которыми мы здесь заниматься не будем, имеется в работах: Хомский [8], [10] и [12]; Хомский и Миллер [15]. Множество терминальных цепочек, которые могут быть порождены некоторой ^c-гpaммaтикoй, будем называть кс-языком.

Кс-грамматика может породить терминальную (освобожденную от скобок) цепочку ф с несколькими разными структурными описаниями. Если грамматика эмпирически адекватна, такая цепочка ф будет структурно неоднозначной. Рассмотрим, например, кс-грамматику с правилами:

Пр. -*Гр. сущ. Гр. глаг.

Гр. сущ. —► they; Гр. сущ.-^Прил. Сущ.; Гр. сущ. -> Сущ. ' Гр. глаг.—* аге Гр. сущ.; Гр. глаг.—* Глаг. Гр. сущ. ,~ Глаг.—► are flying.

Прил.—> flying

Сущ.—* planes

Эта грамматика может породить как (6), так и (7). \Пр.\Гр. сущ. they] \Гр. глаг^Глаг. are flying] [Гр. сушДСущ. planes]]]].(6)

\Пр\Гр. сущ. they] [Гр. глаг. аге [Гр. сущ. \Прил. flying] \Сущ. planes]]]].(7)

Соответственно терминальная цепочка „they are flying planes" структурно неоднозначна; она может значить: "my friends, who are pilots, are flying planes", или "those spots on the horizon are flying planes". Изучение структурной неоднозначности — один из наиболее поучительных путей определения эмпирической адекватности грамматик.

Мы увидим ниже, что имеются кт-языки, которые являются существенно неоднозначными в том смысле, что каждая кс- грамматика, которая их порождает, обязательно приписывает некоторым предложениям различные структурные описания. Более того, мы увидим, что проблема распознавания по данной кс-грамматике, является ли она неоднозначной, рекурсивно неразрешима *) даже для предельно простых типов /сс-грамматик.

Хотя /сс-грамматики далеко недостаточны для естественных языков, они, несомненно, адекватны для описания многих искусственных языков, в том числе для описания некоторых, а возможно, и всех языков программирования. В частности, может быть построена /сс-грамматика для АЛГОЛа [18], при этом каждая программа в АЛГОЛе будет одной из терминальных цепочек, порождаемых этой грамматикой. Очевидно, что язык программирования должен быть однозначным. Поэтому для конкретного языка программирования важно определить, удовлетворяет ли он этому условию или, по крайней мере, может ли каждое конкретное бесконечное множество программ быть однозначным, если задан некоторый метод для его построения (например, метод, представимый с помощью правил кс-грамматики). Как было отмечено в предыдущем абзаце, может оказаться довольно трудным ответить на этот вопрос.

Предположим, что Gi и G2— порождающие системы, которые определяют некоторый метод для построения программ для ЦВМ; допустим, что это грамматики, порождающие языки программирования L^ и Л2, каждый из которых состоит из бесконечного числа цепочек (каждая цепочка — возможная программа). Часто бывает интересно исследовать относительную силу языков программирования. Мы увидим, что если Gi и G2 есть кс-грамматики (как, например, в случае АЛГОЛа), то большинство проблем, касающихся взаимоотношения между Z^ и Л2, рекурсивно неразрешимо. В частности, не решен вопрос о том, будет ли пусто или бесконечно пересечение Li и 12, иными словами, содержится ли Lt в L2 или существует ли конечный преобразователь («компилятор»), отображающий Lt на L2 (Гинзбург и Роуз, личные сообщения). Таким образом, возможно, что общие вопросы, касающиеся формальных свойств /сс-систем и формальных отношений между ними, могут иметь конкретную интерпретацию при изучении языков вычислительных машин, а также при изучении естественных языков. На эту

возможность указывали, в частности, Гинзбург и Райс [18], Гинзбург и Роуз [19].

Рассматривая грамматику как порождающее устройство, мы можем интересоваться языком (т. е. множеством терминальных цепочек), который она порождает, или множеством порождаемых ею структурных описаний [N.B.: каждое структурное описание однозначно определяет терминальную цепочку, как в (2)]. Ясно, что последний вопрос более интересен. Аналогично при изучении порождающей способности класса грамматик (или относительной мощности нескольких таких классов, как бывает при сопоставлении различных лингвистических теорий) нас может интересовать либо множество языков, либо множество структурных описаний, которые эти грамматики могут порождать. Последний вопрос опять-таки более интересен, но и более сложен. Исследование таких вопросов началось, вообще говоря, совсем недавно, причем внимание было сосредоточено почти исключительно на порождении языков, а не систем структурных описаний. Мы будем рассматривать порождение как нечто среднее между порождением языка и системы структурных описаний, а именно мы будем рассматривать представление языка не в виде множества цепочек и не в виде множества структурных описаний, а в виде множества пар (о, я), где а — цепочка, а п— степень неоднозначности, т. е. число различных структурных описаний, приписанных цепочке о грамматикой G, порождающей язык, которому принадлежит о.

ГРАММАТИКИ КАК ГЕНЕРАТОРЫ ФОРМАЛЬНЫХСТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Пусть дан конечный словарь V, разбитый на две части: VT (терминальный словарь) и VN (нетерминальный словарь). Мы будем рассматривать языки над словарем VT и грамматики, нетерминальные символы которых берутся из VN. Пусть F(VT)—свободная полугруппа, порожденная множеством VT, т. е. множество всех цепочек в словаре VT. Тогда каждый язык есть подмножество множества F^VT).

Рассмотрим отображение г, которое ставит в соответствие каждой цепочке f^F^VT) некоторое целое число (.MY Такое отображение может быть представлено в виде формального степенного ряда (обозначим его тоже через г) в некоммутативных переменных х из Vt- Таким образом,

г = 2<г, fz)fz = (r, МА+(г, f2)f2+(8)

4

где fi, f2, ... — пересчет всех цепочек в VT. Мы определим опорное множество ряда г, обозначаемое Sup (г) как множество цепочек, коэффициенты которых в г отличны от 0. Таким образом, V

Sup (r^tF(VTW, hWY (9)

Мы не требуем, чтобы коэффициенты (г, f^ формального степенного ряда г были положительными. Если для каждого I, (г, fi) ^ 0, то мы будем говорить, что г — положительный формальный степенной ряд.

Если же для каждой fi£-F(VT) коэффициент (г, ft) равен 0 или 1, мы будем называть г характеристическим формальным степенным рядом своего опорного множества.

Если г — формальный степенной ряд и п — целое число, будем определять произведение nr как формальный степенной ряд с коэффициентами {nr, f) =n{r,f), где (г, f) — коэффициент f в ряде г. Если г и г' — формальные степенные ряды, определим г + г' как формальный степенной ряд с коэффициентами {г + г^ f) = {r, П + {г\ f), где {г, f) и {r\ f)—соответственно коэффициенты f в г и в К Определим г г' как формальный степенной ряд с коэффициентами {гг\ ^=^{г,hW'.hVie ftfi=f. Таким образом, множество формальных степенных рядов образует кольцо, замкнутое относительно операций умножения на число, сложения и умножения.

Заметим, что если г и г' — положительные формальные степенные ряды, °то опорное множество ряда г + г' будет равно объединению опорных множеств рядов г и г', а опорное множество ряда гг'— прямому произведению опорных множеств рядов г и / (т. е. множеству всех цепочек fth, таких, что ft- принадлежит опорному множеству ряда г, a fj — опорному множеству ряда г'). Ниже мы рассмотрим интерпретацию некоторых других простых теоретико-множественных операций.

Будем называть два формальных степенных ряда г и г' эквивалентными по модулю степени я (r=r'(mod deg я)), если (г, f)==« f) для каждой цепочки f длины («степени») < п. Предположим, что имеется бесконечная последовательность формальных степенных рядов г^ г2, . .., такая, что для каждого п и для каждого п'>п, rn* = rn (mod deg п). В таком случае предел последовательности гъ г2, ... вполне определяется равенством

r=\\mnnrn, (10)

где для каждого п выражение nnfn есть полином, образованный из Гп заменой на нули всех коэффициентов при цепочках

длины больше п. Тогда кольцо формальных степенных рядов становится ультраметрическим, а следовательно, топологическим кольцом.

Сформулировав эти определения, мы можем обратиться к проблеме взаимоотношения между представлением языков в терминах формальных степенных рядов и представлением языков с помощью порождающих процессов (таких, как кс- грамматики).

Предположим, что G—процесс, порождающий язык L(G). Каждой цепочке f^F^VT) приписывается некоторое число N(G,f) структурных описаний в G; N(G, /) >0 в точности в том случае, когда f^L(G). N^G, f) выражает степень структурной неоднозначности f по отношению к грамматике G. Естественно ассоциировать с G формальный степенной ряд r(G), такой, что (r(G), f)=N(G, f), где (r(G), f) —коэффициент при цепочке f в r(G). Таким образом, r(G) выражает неоднозначность всех терминальных цепочек по отношению к грамматике G. Коэффициент (r(G), f) равен нулю в точности в том случае, когда / не порождается грамматикой G, и единице, если f порождается однозначно (одним и только одним способом) грамматикой G; он равен двум в точности в случае, когда имеются два различных структурных описания для f в грамматике G, и т. д.

Ряд r(G), ассоциируемый с грамматикой G, разумеется, всегда положителен, и его опорное множество Sup (r(G)) есть не что иное, как язык L(G), порождаемый грамматикой G. Мы можем далее считать, что формальный степенной ряд г, имеющий как положительные, так и отрицательные коэффициенты, ассоциируется с двумя порождающими процессами Gi и G2. Коэффициент (г, /) цепочки f в г можно при этом рассматривать как разность между числами способов, которыми / порождается в Gi и в G2, т. е.

(Г, h=N(Gb П — N (G2, п.

Предположим, что G есть /сс-грамматика с нетерминальными символами ai, ..., an, где ai есть отмеченный начальный символ [в примере (1) Пр. =aj. Мы можем построить формальный степенной ряд r(G), ассоциируемый с G прямой итеративной процедурой. Сделаем это следующим образом.

Во-первых, G может быть записана как система уравнений от переменных ai, ..., an. Пусть ф^ i, ..., фг, mz—цепочки такие, что аг—>фг, j (1 ^ j ^ пц) суть правила грамматики G.

Сопоставим переменной а^ полиномиальное выражение а^

Ui = фг, 1 + фг, 2 + . . . + Фг, тр (11)

Тогда грамматике ставится в соответствие множество уравнений

ai = oi, ..., a^ = on.(12)

Предположим, что грамматика G не содержит правил типа1)

aj —* е,

at->aj.(13)

Ясно, что эти предположения не изменяют порождающей способности [2]. Это означает, что для каждой /сс-грамматики, содержащей такие правила, существует другая грамматика без таких правил, которая порождает тот же язык. С настоящего момента мы будем также требовать, чтобы, какова бы ни была кс-грамматика G, для любого ее нетерминального символа a существовала терминальная цепочка, выводимая из а; это означает, другими словами, что если рассмотреть грамматику G', содержащую правила G и а как начальный символ, то язык, порождаемый G'(Z(G')), должен быть не пустым. Это требование также, очевидно, не влияет на порождающую способность.

Возвращаясь теперь к проблеме построения степенных рядов, ассоциируемых с грамматикой G и представляющих степень неоднозначности, которую G приписывает каждой цепочке, заметим, что мы можем рассматривать каждое уравнение а* = = Ог из (12) как определение отображения грг, которое переводит /г-ку степенных рядов (rb ..., гп) в степенной ряд, полученный заменой aj в ot на Fj. Это можно делать ввиду свойств замкнутости кольца степенных рядов, указанных в разд. 2.2.

Таким образом, множество уравнений (12) определяет отображение гр,

ФСг гя)=«’ О- r^e ^==t(rr Г»У (14)

Рассмотрим теперь бесконечную последовательность и-ок степенных рядов р0, pi, ..., где

Po = (/q,1> • • •• 'о,Я) = (О, • •0).

Р1=(Л,1> ••••(15)

Рг^С^г, 1> • • •• г2, »)

!) Здесь е — пустая цепочка. — Прим, перед.

и где для любых I, / (/>0)

Г], i = MrM, ь rJ-i, n) (16) и 0 означает степенной ряд, у которого все коэффициенты есть нули. Каждый ряд rj^ в (15) имеет только конечное число ненулевых коэффициентов, другими словами, г 53— полином. Более того, можно показать, что для любых /, /, /', таких, что /'>/>0, 1 ^ i ^ п, имеет место

(mod deg/). (17)

Следовательно, как замечено в разд. 2.2, предел Гоо, j бесконечной последовательности r^ ^ r^ i, ... вполне определен для каждого i (вообще говоря, он, конечно, не является полиномом). Назовем n-ку (г»,, ъ ..., Л», п), определенную таким образом, решением системы уравнений (12). В самом деле, п-ка (Гоо, 1, ..., Гоо, п) — единственная n-ка, удовлетворяющая системе уравнений (12). Поэтому мы будем говорить, что степенной ряд является алгебраическим [42], если он входит в п-ку, являющуюся решением некоторой системы уравнений вида (12), без ограничений на знаки коэффициентов. Назовем степенной ряд контекстно-свободным, если все коэффициенты в определяющих уравнениях положительны.

В частности, ряд Гоо, ь который мы будем называть степенным рядом, порождаемым грамматикой G [определяющей си: стему (U2) и имеющей в качестве начального символа aj, есть степенной ряд, ассоциируемый с грамматикой G, как это описано в начале разд. 2.3. Опорное множество ряда г*, i есть язык L(G), порождаемый грамматикой G, и коэффициент (Гоо, 1, /) при цепочке f£F(Кт) определяет неоднозначность / по отношению к G (способом, описанным выше).

Заметим, что если алгебраический степенной ряд является контекстно-свободным, то он положителен, но обратное не всегда верно — степенной ряд может быть членом решения системы уравнений и иметь только положительные коэффициенты, но в то же время может не быть членом решения никакой системы уравнений, имеющих только положительные коэффициенты *).

^ Например, мы здесь используем понятия, которые будут определены ниже, в разд. 3.1. Адамаровский квадрат sOs, для s £ Хо, имеет только положительные коэффициенты (и имеет то же самое опорное множество, что и s), но не порождается, вообще говоря, системой уравнений с положительными коэффициентами.

В качестве примеров описанного выше процесса рассмотрим две грамматики (18) и (19):

S-^bSS; S->a,(18)

S—>SbS; S-^a.(19)

Каждая из этих грамматик имеет единственный нетерминальный символ, а, следовательно, соответствующая ей система уравнений будет состоять из одного уравнения. Грамматике (18) соответствует уравнение (20), а грамматике (19) уравнение (21):

S = a + 6SS,(20)

S = a + S6S.(21)

Уравнения (20) и (21) соответствуют системе (12) (см. выше) с я=Ь как (20), так и (21) удовлетворяют условию (13).

Рассмотрим сначала грамматику (18), представленную в форме (20). Действуя, как в предыдущем разделе, мы будем считать, что (20) определяет отображение ф, такое, что ф(г) = = a + brr, где г — степенной ряд. Затем [аналогично (15)] построим бесконечную последовательность р0, рь рг, • .. следующим образом:

Ро = го = О,

Pi = гх = а 4- Ьг^г^ = а 4- 600 — а,

^ = n2 = a-V brxrx = а + baa,

р3 = г^ = а 4- Ьг^г^ = а 4- b (а 4- baa) ^а + baa) =(22)

= а 4- baa Ц- babaa + bbaaa 4- bbaabaa, у

Р4 = '4 = Я + 6Г3Г3,

Очевидно, что для любых /, /', таких, что /'>/>0, будет иметь место r^tj (mod deg/). Следовательно, предел Гоо вполне определен. Этот степенной ряд есть решение уравнения (20) и его опорное множество является языком, порожденным кс- грамматикой (18). Заметим, что степенной ряд Гоо является характеристическим и его опорное множество есть множество правильно построенных формул «исчисления импликаций» с одной переменной в бесскобочной (польской) системе обозначений. (Здесь а есть пропозициональная переменная, аb— оператор импликации.)

Теперь рассмотрим грамматику (19), представленную в форме (21). (21) определяет отображение ф, такое, что ф(г) = = a + rbr, где г — степенной ряд. Построим теперь бесконечную

последовательность ро, pi, Р2, ... :

Ро—го —О,

Pi = г, = а + г06г0 — а + 060 = а,

р2 = г2 = а 4- rxbrA — а-\- aba,

Рз = г3 = а + rzbr> = а. + (а + aba) b(a-V aba) =

= а + aba 4- Zababa 4- abababa, (23) р4 = r4 = а 4- r3br3 — a-V aba 4- a ^ab)2 a 4

4- 5 (ab)3 «4-6 (ab)4 «4-6 (ab)5 «4-4 (ab)6 a 4- (ab)7 a.

Для любых j и f, таких, что j' > J > 0, имеет место rj = = r'(mod degу) и предел гю определяется как степенной ряд г^ = ^ [ п”] УГ^Т W а = а + аЬа + 2 W а -^ п

4-5(«6)3«+Щ^б)4#-}-42(«6)5«4- ...» (24) где

Г 2и I 2n X 2п — IX • • • X ^ + 1

L « J1 Х2Х ... Хп *

Степенной ряд Гоо [из (24)] есть решение уравнения (21); его опорное множество — язык, порождаемый грамматикой (19). Здесь ряд не является характеристическим. Если рассматривать символ а как пропозициональную переменную, а b — как знак для оператора импликации, то грамматика (19) представляет собой множество правил для порождения правильно построенных формул исчисления импликаций с одной переменной в обычной системе обозначения, но с опущенными скобками. Структурные описания, порождаемые грамматикой (19) (как описано в разд. 1), являются, конечно, однозначными, пока сохраняются скобки, но терминальные цепочки, полученные отбрасыванием скобок, будут неоднозначными и степень неоднозначности для каждой порожденной цепочки есть не что иное, как ее коэффициент в ряде Гоо; так, ababa может интерпретироваться или как (ab(aba)), или как ((aba)ba) и т. д. Более общий случай был рассмотрен Ранеем [38] с помощью формулы обращения Лагранжа.

В уравнениях (20) и (21) все коэффициенты положительны и решение, следовательно, является положительным степенным рядом. Рассмотрим теперь систему, состоящую из одного урав-

нения

S = a — SbS.(25)

Тогда получается последовательность

Ро = ^0 = 0,

Pi = гх = а —- robro = а — ОЬО = а,

р2 = г9^а- rxbrx — а — aba,

Рз = гз = # — г2^2 = а — ^а — aba) b^a — aba) =(26)

= а — aba 4- ^ababa — abababa.

Коэффициенты р^ в (26) совпадают с точностью до знаков с коэффициентами ряда рг в (23), причем коэффициенты ряда рг при цепочке f в (26) положительны, если / содержит четное число вхождений Ь.

Степенной ряд Гоо, являющийся решением системы (25), не является положительным, а следовательно, и контекстно-свободным [хотя его опорное множество и является контекстносвободным языком, причем (19) может быть рассмотрена как одна из его грамматик]. Однако мы можем рассматривать Гоо как разность между двумя контекстно-свободными рядами г+ и г- и соответственно его опорное множество рассматривать как множество цепочек, которые не порождаются одинаковое число раз парой кс-грамматик G+ и G~, порождающих соответственного и г~. Предположим, что S = S+— S~, так что (25) можно записать как

S+ — S~ = a — (S+ — S")b(S+ — S") =

= a — (S+bS+ — S+bS~ — S"bS+ 4- S'bS") =

= a4-S+bS"-VS~bS+— S+bS+ — S'bS*. (27)

Рассмотрим теперь систему уравнений (28)

S+=<z + 5+65- + 5"65+,

,me + Ae+ , e-Ae-<28>

5 — S bS bS .

Система (28) является системой положительных уравнений с двумя переменными S+ и S". Эта система будет иметь решением пару (г+, г^, где г+ есть предел последовательности

г+, г+, ..., а г- — предел последовательности г~, г~, ... из (29): Ро = (ГО+- Го") = (°- °)>

Р^СФ 'Т) = (а> °)>(29)

Р2 = (Г?> г2) — (а> аЬа\

Ясно, что если Гоо есть решение системы (25),то гио = г+— — г*. Но, более того, г+ — это степенной ряд, порожденный грамматикой G+ и начальным символом S+ [этой грамматике соответствует уравнение (i) из (28)]; г^— это степенной ряд, порожденный грамматикой G~ и начальным символом S* [этой грамматике соответствует уравнение (п) из (28)].

Подобным образом каждый алгебраический степенной ряд может быть представлен (бесконечным числом способов) в виде разности двух контекстно-свободных степенных рядов, и его опорное множество можно рассматривать, следовательно, как множество цепочек, которые не порождаются одинаковое число раз двумя /сс-грамматиками. Рассуждения в общем случае настолько сходны с приведенными, что мы можем перейти к конкретной интерпретации общего понятия алгебраического степенного ряда.

Ту же конструкцию можно было бы применить к произвольному кольцу коэффициентов вместо кольца натуральных чисел, использованного выше. Это еще не исследованная область. Например, если брать коэффициенты по простому модулю р (т. е. если рассматривать как «непорождаемые» те цепочки, число случаев порождения которых кратно р), то формальный степенной ряд 2 гР с единственным терминальным символом г яв- п > О

ляется алгебраическим [27], хотя его опорное множество не может быть опорным множеством никакого степенного ряда рассмотренного выше типа.

ДРУГИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ФОРМАЛЬНЫМИСТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ

В разд. 2.2 мы заметили, что множество степенных рядов замкнуто относительно операций сложения, умножения и умножения на целое число. Мы указали также, что опорное множество ряда г + г' есть объединение опорных множеств рядов г и г' и что опорное множество ряда rr' есть произведение опорных множеств г и г', при условии, что коэффициенты неотрицательны. Теперь мы рассмотрим две другие операции, относительно которых множество степенных рядов замкнуто, и

рассмотрим соответствующую теоретико-множественную интерпретацию для опорных множеств.

Будем, как обычно делается, называть ряд квазирегулярным, если < г, е > =0. Тогда rn’ = 0(moddegп) для 0 < n < п' и элемент r*=lim 2 гП’ вполне определен. Более того, /2->оо 0 < п* < п ряд г* удовлетворяет тождеству

, ,г + г* г = г 4- г г* = г\(30)

которое определяет его однозначно. При этом ряд г* обычно называётся квазиобратным для г. Это понятие непосредственно связано с более известным понятием обратного элемента. Именно если г' = е— г и г" = е + г\ то г'г" = (е— r)(e + r*)=e— г-^- + г* — rr* =е = г"г', иными словами, г" = г'-х. Обратно, если дан ряд г' такой, что <г\е>=\, то можно его записать как г' = е— г, где г — квазирегулярный, и тогда е + г* есть ряд, обратный для г'.

Заметим, что из определения ряда г* следует, что он имеет неотрицательные коэффициенты, если этим свойством обладает ряд г, и что справедливо равенство Sup r*= (Sup г) *, где звездочка в правой части равенства означает операцию итерации Клини [21].

В частности, если V — произвольное множество букв и степенной ряд и определен следующими условиями: <и, х> =1, если х£У, и <и, х> =0, если x^V, иными словами, если и является характеристической функцией V, то е+V* (в смысле Клини) есть множество всех слов, порожденных элементами У, a e + v*=(e— и)-1 есть характеристическая функция этого множества. Это следует из того, что каждое слово f С V* встречается один и только один раз в бесконечной сумме вида 2 Vn. Следовательно, если мы знаем характеристическую п > О функцию г множества цепочек, то мы можем также написать характеристическую функцию (1 — УтУх— г его дополнения.

Стоит заметить, что в этом случае последний ряд имеет неотрицательные коэффициенты и, хотя он алгебраический в описанном выше смысле, он не обязательно является контекстносвободным.

Вторая операция, которую мы определим, — это адамаров- ское произведение. Таким образом, мы обобщим еще одно понятие классического анализа. Определение, которое мы дадим, отличается от принятых в литературе обобщений на случай нескольких переменных, но нам оно кажется более естественным для случая некоммутативных степенных рядов.

Если г и г' — степенные ряды, то их адамаровским произведением будет степенной ряд rQr' с коэффициентами

v©r', h=<r, nv'. h(3D

для всех цепочек f. Следовательно, Sup (rQr^ = (Sup г) П fl(Supr'), и если г и г' — характеристические функции, то rQr'— тоже характеристическая функция.

Наконец, уведем следующее обозначение: имея цепочку XiXt2 ... xin_Xtn = f (xt^Vy определим f (зеркальный образ f) как цепочку

f=xlXl„_x Х^Хц.(32>

Ясно, что f = f и что равенство ff' = f" влечет равенство f"=f'f. с формальной точки зрения это отображение является инволютивным антиавтоморфизмом кольца степенных рядов. Можно показать, что оно однозначно определяется этим свойством (с точностью до перестановки элементов из V).

Только что введенные обозначения будут в дальнейшем применяться для упрощения описания грамматик следующим образом. Предположим, что грамматика G содержит следующие правила:

а^л^Лз+л^Н-Лз, ।(33)

а2 = а2л4+л4,7

где л; — полиномиальное выражение над V— {ai}. Тогда второе правило влечет

^=(2^(34)

\л>0/

и правила (33) могут быть заменены более простыми правилами

^ = Л! (1 — л4)-1 л2 +л3.(35)

Этой упрощенной форме описания можно дать лингвистическую интерпретацию. Так, например, мы можем считать, что пара правил вида ai —►ЬагЬ и а2 — а2а2 [эту пару теперь можно представить в форме «1~>Л(1—a2)-1f2] является фактически схемой правил: а4 ->^а”^ (п=1, 2, . ..). При такой реинтерпретации грамматика (хотя схема правил определяет ее финитно) имеет бесконечное число правил. Теперь вспомним метод, с помощью которого терминальной цепочке, порождаемой кс-грамматикой, приписывалось структурное описание (с помеченными скобками, см. выше разд. 1). Грамматика, определенная данной выше схемой правил, может порождать структур-

ное описание вида

• • • [«i/i [ад] [ада] • • • [адл] /а] - - - (36)

для любого /г, где каждое рь выводимо из а2. В предложении (терминальной цепочке) с таким структурным описанием каждое ри есть словосочетание типа а2 ^рн получается стиранием •скобок в puY Словосочетания р^ ...,рп образуют «сочинительную конструкцию», которая, рассматриваемая вместе с цепочками, образованными в конечном счете из /1 и f2, является конструкцией типа аь Это естественный способ расширить /сс-грам- матики с тем, чтобы они могли описывать сочинительные конструкции (например, цепочка прилагательных произвольной длины, не несущая внутренней структуры, может встречаться в позиции именной части сказуемого (см. Хомский [10])).

Попытаемся связать то, что мы до сих пор делали, с классическим анализом. Будем писать фf=фfz для любых двух цепочек f и /', если они содержат одинаковое число вхождений каждого символа (терминального или нет).

Ясно, что ф распространяется до отображения наших некоммутативных степенных рядов на кольцо произвольных (коммутативных) формальных степенных рядов с целыми коэффициентами. Легко видеть, что ф — гомоморфизм. Например, если а = а-\-Ьаа, то фа = фа + ф6фафа, а фа — обыкновенный степенной ряд

(37)

с переменными фа и фб (если а^а + а'ба', то фа' = фа).

Более того, из способа, которым были получены наши степенные ряды, можно было бы вывести, что коэффициенты ряда растут не быстрее, чем экспоненциальная функция степени (длина) цепочек. Так, образ ф любого из наших степенных рядов есть конечный сходящийся ряд Тейлора, являющийся разложением некоторой алгебраической функции.

Обратно, если даны (обычные) переменные ^ь ...,^п, то (обычная) алгебраическая функция от п переменных у определена полиномом, зависящим от у и ^; и в случае, если у допускает разложение в ряд Тейлора (с целыми коэффициентами) в окружности нуля, мы можем ассоциировать с ней бесконечно много формальных степенных рядов р, таких, что фР = ^ и р определяется формальными уравнениями. Например, исходя из алгебраической функции от аргументов а и Ь, определенной уравнением у2Ь— у + а = 0, мы получим два вышеприведенных примера, а также формальный степенной ряд

а = а + baa +_ла — ал, (38)

где л есть произвольный полином от а и Ь. Положим, например, л = 6. Тогда

(39)(39)а0~ а,

(39)

(39)

«! == а + baa + ba — ab

и т. д.

В заключение укажем на некоторые связи между нашими рассмотрениями и линдоновской теорией уравнений в свободной группе (Линдон, 1960). Пусть {х*} ^\<.К.п^ есть терминальный словарь, g есть нетерминальный символ, и пусть w есть произведение членов вида 1—хг-, (1—х;)-1, 1—g, (1—g)™1. Положим deg (w) = d+ —- d_, где d+ и d_— соответственное число сомножителей в 1 —g и (1 —g)-1 в w. Так, например, для w=(l — х2) (1 — х0 (1 — g) (1 —х^-Ц! — g;)"1 X X (1 —х2)-1 имеем deg(w) = 1 — 1 =0.

Как хорошо известно, элементы 1—х< порождают (по умножению) свободную группу G. Равенство tw=l можно рассматривать как уравнение с неизвестным g. В нашей терминологии решением уравнения w=l будет степенной ряд g0 от переменных х^ причем w = l тождественно, если в w вместо g подставить g0; £о будет групповым решением, если, кроме того, 1 —^оС G, т. е. если 1 —g0 само может быть представлено как произведение членов (1—х;)*1. Линдон получил следующий замечательный результат: совокупность групповых решений может быть получена алгоритмически.

Этот вопрос частично связан с замечаниями, сделанными в разд. 2.3. Введем новые символы gi( I ^ i ^ п), т] и уравнения

^i — Xi+^tXi; у = £2 + £т],(1)

так что (1 — Xi^-l+gi и (1 — g^-H-g + g^^,

Подставляя эти выражения в уравнение w = l и упрощая его, получим равенство

(deg(w))g = /,(2)

где р' есть полином от переменных xt, ^г, Л» не содержащий членов степени ниже 2.

Следовательно, если deg(w)=#0, то система (1), (2) имеет одно и только одно решение в степенных рядах (то, что коэффициенты могут быть здесь не целыми, а рациональными числами, не влияет на доказательство, приведенное в разд. 2.3); поскольку групповые решения образуют подмножество множества решений в степенных рядах, мы непосредственно убеж-

даемся, что если deg (w)=£0, то уравнение в свободной группе w=«l имеет самое большее одно решение.

Если же deg(^)=0 (как, например, для уравнения w= (1 — g) (1 — х^ (1 — £)ч(1 — Л7г-)-1 = 1), то наш подход не позволяет вообще ничего сказать о решении уравнения до=1.

Например, уравнение (1 — х/) (1 — £) (1 — хг-)е(1 — £)-1 = 1 не имеет решений, если е^ — 1, и имеет бесконечно много групповых решений, если е= — 1, а именно 1 — £= (1 — хг-)±п (п>0). Действительно, тогда уравнение эквивалентным образом может быть записано в виде ^х^хД. Решениями этого уравнения в нашем смысле являются все степенные ряды от переменного хь

Конечно, случай deg(t^)=O имеет место именно тогда, когда неизвестное 1 — £ исчезает при взятии коммутативного образа (см. разд. 3.3). Этот случай нетривиален с точки зрения теории групп.

ТИПЫ КС-ГРАММАТИК И СВОЙСТВА ПОРОЖДАЕМЫХИМИ ЯЗЫКОВ

Мы можем определить несколько особо интересных категорий яс-грамматик, накладывая условия на входящие в них правила. В дальнейшем будем употреблять буквы а, р,... для обозначения нетерминальных символов, буквы f, g, ... для терминальных цепочек (возможно пустых) и ф, гр — для произвольных цепочек. Напомним, что мы исключили правила вида а—>е и а —> р, причем это не влияет на порождающую способность грамматик. Мы будем описывать яс-грамматики в терминах правил или уравнений, смотря по тому, как нам будет удобнее. Если грамматика G не содержит нетерминального символа а, из которого можно вывести как цепочку f\ так и цепочку fagv то терминальный язык L(G), порождаемый грамматикой G, будет конечным. В этом случае грамматика G будет называться полиномиальной грамматикой. Рассмотрим теперь грамматические правила следующих видов:

a->fp (правостороннее),

(40)(40)a-^pf (левостороннее),

(40)

(40)

a->/Pg (линейное),

a->f (заключительное).

Грамматика, содержащая только правосторонние и заключительные правила или только левосторонние и заключительные, будет называться односторонней линейной грамматикой.

Грамматика, содержащая только правила типа (40), будет называться линейной. Предположим, что грамматика G содержит правила только типа (40) и правила типа ai —>ф, где ai — начальный символ грамматики G, и что, кроме того, она не содержит правил вида р —► фа1ф. Тогда определяющее уравнение для ai есть ai = ni, где Л1 — полином, не содержащий аь Такая грамматика будет называться металинейной.

Если грамматика G (т. е. система уравнений с положительными коэффициентами) является полиномиальной, односторонней линейной, линейной, металинейной или контекстно-свободной, будем называть степенной ряд г, являющийся главным членом ее решения (т. е. тот ряд, который она порождает, в смысле, определенном в разд. 2.3), и языки Sup р соответственно полиномиальными, односторонними линейными, линейными, металинейными или контекстно-свободными. Эти семейства степенных рядов будут обозначаться соответственно ^+, ^о", ^+, oS^m. 9^» и для каждого семейства ^* семейство опорных множеств будет обозначаться Sup (<^).

Заметим, что Sup (^+) есть семейство конечных множеств, a Sup(^0+)— семейство регулярных событий Клини [21] (см. Хомский [7]). Заметим, что класс регулярных событий замкнут относительно отражения.

Рассмотрим некоторые элементарные свойства этих семейств языков.

Очевидно, прежде всего, что

Sup^4") cz Sup^o”) cz SupCS?4") cz Sup^^) cz Sup(^+).(41)

Более того, в каждом из этих случаев включение является собственным. Таким образом, мы имеем

Свойство 1.

Sup (^+) 5 Sup (^о+) 5 Sup (-^+) § Sup №) $ Sup <9 +).

Простейшим примером языка, принадлежащего Sup(j?'), но не SupCS’o"), является множество всех цепочек вида {anban} (a, b^VTY Оно порождается грамматикой вида a = aa,a-Vb. Легко показать, что этот язык не является регулярным событием. Произведение языков из Sup (^+) всегда принадлежит Sup (^m), но не обязательно принадлежит 5ир(«^+). Язык LIC из нашего примера (18), имеющий грамматику

а = а + baa' (42)

и представляющий собой множество правильно построенных формул исчисления импликаций с одной свободной переменной

в польской системе обозначения, принадлежит Sup(^+), но не Sup(^m). Это следует из того, что язык LIC содержит все цепочки вида

. Ь^а^а, (43)

для каждого £> 1, Шг^ \. Но каждая цепочка языка LIC содержит п вхождений b и п+1 вхождение а для некоторого п> 1. Следовательно, для фиксированного целого числа &, для того чтобы породить все цепочки вида (43), нужно иметь возможность вывести из начального символа грамматики LIC цепочку ф, содержащую к вхождений нетерминальных символов. Следовательно, эта грамматика не может быть металинейной.

Для содержательной интерпретации теории яс-грамматик особое значение имеет отношение между Sup (^+) и 5ир(«^о)» потому что конечное устройство, включающее в себя некоторую яс-грамматику G, порождающую язык L^G), может анализировать предложение только из фиксированного подмножества /?£ Sup («SV) языка L(G) € Sup (^+) (при фиксированных дополнительных средствах). Это отношение может быть точно описано в терминах некоторых формальных черт структурных описаний (с помеченными скобками), порождаемых яс-грамма- тиками (см. разд. 1). Будем говорить, что грамматика G есть грамматика с самовставлением, если она порождает некоторое структурное описание вида

• • • [«Ф [»Ф] х] ... (44)

где ф и х содержат терминальные символы, а ф есть выражение с правильно расставленными скобками. Тогда имеет место следующий результат.

Теорема la. L^^q тогда и только тогда, когда каждая кс-грамматика, порождающая L, есть грамматика с самовстав- лением (Хомский [9]).

Этот результат может быть обобщен следующим образом. Определим степень самовставления структурного описания D как наибольшее N, такое, что D содержит подконфигурацию [аф1[аф2[а ... [аф^+1]ф^+2] • . • ]ф2я+1], где каждое фг- содержит терминальные символы. Тогда существует одно-однозначное эффективное отображение Ф множества пар {(G, n) : G яс-грамматика, п > 1} во множество односторонних линейных грамматик и одно-однозначное эффективное отображение Ч7 множества А структурных описаний в себя, такие, что они описываются следующей теоремой.

Теорема 16. Для каждого LCSup^") существует кс- грамматика G, порождающая L, такая, что для каждого N Ф(С, N^ порождает цепочку f со структурным описанием D тогда и только тогда, когда G порождает терминальную цепочку f со структурным описанием ^(D), где ^(Z)) имеет степень самовставления <. N (Хомский [8]).

Таким образом, мы можем интуитивно, имея G, построить конечное устройство Ф(С, N), которое будет распознавать структуру цепочки f, порождаемой грамматикой G, в точности тогда, когда степень самовставления данного структурного описания f не превышает N. Отсюда вытекают некоторые содержательные следствия (см. Хомский [10], Миллер и Хомский [29]).

Рассмотрим некоторые свойства замкнутости данных семейств языков.

Семействам степенных рядов, определенных выше, может быть дана следующая алгебраическая характеристика. ^+ есть полукольцо 1). ^0+— наименьшее полукольцо, содержащее ^°+ и замкнутое относительно квазиобращения квазирегулярных элементов. ^+ есть модуль, а 2m есть наименьшее полукольцо, его содержащее. Полное множество ^+ есть полукольцо, замкнутое относительно квазиобращения квазирегулярных элементов.

Соответственно мы имеем следующие свойства опорных множеств: Sup(^) замкнуто относительно теоретико-множественного объединения и прямого умножения; Sup(j?o) есть наименьшее множество, содержащее конечные множества и замкнутое относительно теоретико-множественного объединения, прямого умножения и итерации, описанной в разд. 3.1 [21]; Sup (<2+) замкнуто относительно теоретико-множественного объединения, но не прямого умножения; Sup(^^) есть наименьшее множество, содержащее множества из Sup(^+) и замкнутое относительно прямого умножения (введение 2m было обусловлено, конечно, не этими соображениями); Sup(^ + ) замкнуто относительно объединения произведения и итерации.

Эти свойства очевидны; естественно возникает вопрос о замк-

нутости относительно других элементарных операций над множествами, а именно пересечения и дополнения.

Очевидно, что Sup(^ + ) замкнуто относительно пересечения; хорошо известно, что класс Sup(j?V) регулярных событий замкнут относительно пересечения и дополнения.

Для остальных множеств имеем следующие результаты. Множество Sup(<9,+) всех кс-языков не замкнуто относительно пересечения и, следовательно (так как оно замкнуто относительно объединения), не замкнуто относительно дополнения [40], [2]. Пример, приведенный в обеих работах, представляет собой пару металинейных языков), пересечение которых не является кс-языком. Следовательно, Sup(^^) тоже не замкнуто относительно пересечения и дополнения. Этот результат может быть распространен на линейные грамматики и даже (для пересечения) на линейную грамматику с одним нетерминальным символом.

Чтобы показать это, рассмотрим грамматики Gi и G2, определенные соответственно следующими выражениями:

(45)(46)(45)(46)а = ааас + bac + Ьс,а = аасс + aab + ab.

(45)

(46)

(45)

(46)

Gi и G2 суть линейные грамматики с одним нетерминальным символом, но пересечение языков, которые они порождают, — это множество цепочек вида {а2п6па2п}, которое не является кс-языком. Этот пример вместе с тем фактом, что эти семейства замкнуты относительно объединения, доказывает следующее свойство.

Свойство 2. Семейства Sup(^+), Sup(^m), Sup(^+) не замкнуты относительно пересечения и дополнения; пересечение двух множеств, принадлежащих одному из этих семейств, может не принадлежать Sup(^+), даже если множества порождаются грамматикой с одним нетерминальным символом.

Вероятно, дополнение к языку из Sup(»2?+) или из Sup(^^) может не быть кс-языком. Однако мы не располагаем примерами, чтобы доказать это ).

Из рассмотренных классов языков только класс регулярных событий (и класс конечных множеств) замкнут относительно пересечения. Однако пересечение регулярного события и кс-языка является /сс-языком [2]. Имеет место также более сильный результат, который обобщает одну хорошо известную теорему классического анализа, принадлежащую Юнгену [20].

Теорема 2. Допустим, что г\£Ьъ. Пусть U^ — одно из семейств ^» Lq , L^, L™, gV Пусть r^Q r2 — адамаровское произведение рядов rb г2 (см. разд. 3.1). Тогда r1Qr2€Z7+ для каждого r2^ L4. Кроме того, если r^ r^L^, то r2©ra^Lo (Шют- ценберже [46]).

Отсюда следует, что пересечение языка из Sup(t7+) с регулярным событием содержится в Sup(t7+) для каждого U+. Доказательство этого факта, который связан с более простым результатом, касающимся замкнутости относительно конечного преобразования, будет намечено ниже, в § 8.

Категория линейных грамматик представляет, как мы увидим, особый интерес. Сделаем несколько предварительных замечаний, относящихся к ней. Заметим, что если L — язык, порождаемый линейной грамматикой, то можно найти словарь V', не пересекающийся с VT, два гомоморфных отображения а, ах полугруппы F(V^ в F(VT^ регулярное событие R над Vх и конечное множество CczF(VK) такие, что L состоит в точности из цепочек f = a(g)cax(g), где g^R, g— зеркальный образ g, а с^С. Таким образом, конечный процесс, применяемый к системе цепочек (или пару согласованных конечных процес-

сов), можно, вообще говоря, связать с линейной грамматикой и изучать соответственным способом.

Эквивалентным образом можно охарактеризовать линейный язык несколько иначе. Пусть V' = V+ U V* (V+^i^j 0-^.l-CnY V"={vi: — n ^ i <.— 1}). Если f £ E(V+), определим / как результат подстановки v_i вместо всех вхождений Ut в f. Тогда линейный язык L определяется выбором гомоморфного отображения р полугруппы F^V^ в ^(Vt) регулярным событием R над V+ и конечным множеством CcF^VtV Теперь L — множество цепочек p(f) с Р(/), где f£R, с^С. Ниже мы будем пользоваться этой характеристикой.

Мы можем определить специальные классы линейных языков, налагая дальнейшие условия на регулярное событие R, отображения а, а' и класс С. В частности, ниже мы будем рассматривать случай, когда R — просто свободная полугруппа (регулярное событие, определяемое автоматом с одним состоянием) и где С содержит такие c(VTl что a(f) ^(рсф^аД/). Грамматику, определенную такими условиями, назовем минимальной линейной грамматикой.

Минимальная линейная грамматика содержит один нетерминальный символ S и одно заключительное правило S —> е и не содержит незаключительного правила S—>фсф. Таким образом, каждая цепочка языка, порождаемая этой грамматикой, имеет «центральную пометку» с. Это простейшее множество языков (в рамках наших рассмотрений), более богатое, чем класс регулярных событий; мы увидим, что эти языки значительно отличаются от регулярных событий многими формальными свойствами.

Для дальнейших ссылок мы приведем сейчас один частный результат, относящийся к минимальным грамматикам. Возьмем V\ VT = W U {c)(c=£lF), а и cz', как и выше. Пусть G — минимальная линейная грамматика, определенная посредством a, а' и порождающая язык L(G). Тогда грамматика G имеет определяющее уравнение

р = с + S {а (^) ра' (у): у £ V^,(47)

где а, а'— отображения полугруппы F^V') в F(W). Тогда имеем следующую теорему.

Теорема 3. Если a — мономорфизм (изоморфизм в), то дополнение F(VT) \ L(G) языка L^G^ по отношению к F(Vt) порождается однозначной линейной грамматикой.

Доказательство. Пусть Л = а(Г/), F ^ =aF^V^, и пусть для произвольного множества FaF^^ F+ = y (^ F ; f^e^.

Очевидно, существует разбиение F(VT) \ L(G) = L\J Lf, такое, что

L = M-.t^F4A\ V£F(Wy И'№

L^F^W^cF^W^^PkW^XF^cF^Xl(48)

\3FiyTVF<VTVFiyT\

но L' — регулярное событие. Поэтому достаточно показать, что язык L порождается однозначной линейной грамматикой.

Поскольку а — мономорфизм, то существует изоморфизм a:F(Л) -*F(V'). Распространим а' на ^(Л), определив а'а = = 0,^0,^ для a^.F+(A).

Предположим, что acf'^L. Тогда a^F+(A), f'£F(W) и f'=Fa/a. По определению имеются три взаимно исключающие возможности для acf':

f'^^a'a,

a'a^W(49)

<z = ^0:2^3 и j' = hwga'ax (где ax, a^F^Ay a^A, -®^W\ h, g^F^WY a'a^F+^)g; a'a^F^-wg).

в случае, если f' содержит а а как собственный правый множитель;

в случае, если а а содержит V как собственный правый множитель;

в случае, если а/а и f' имеют цепочку ga^i наибольшим общим правым множителем.

Эти три случая исключают друг друга и исчерпывают все возможности. Мы получаем разбиение на три подмножества L^ А2 и А3, состоящие из цепочек, удовлетворяющих условиям (i) — (iii) соответственно. Сейчас мы должны показать, что каждый из языков порождается однозначной линейной грамматикой._

Для языков Lx и А2 этот факт очевиден. Пусть Л=2{а : а С Л} и W = S{w: w С W}. Тогда язык Lx порождается грамматикой (50), а язык А2— грамматикой (51) (см. разд. 3.2).

0 = 2{<z0a'a:a€^}4-t?(l—I^f1,(50)

р = 2{а₽а/а:а^Л)+(1- А)"1 с.(51)

Рассмотрим язык L3. Для каждого а^А обозначим через В (а) множество всех цепочек wg^w^W, g^F^W^, таких, что a'a С F+ (1^) g и а а ^ F (№) wg. Ясно, что В (а) есть всегда ко-

нечное множество, так как длина g меньше длины а'а. Язык Л3 может быть порожден однозначной линейной грамматикой, уравнения которой имеют вид

^^’S^a'a: а^А^А-^^Ь: а^А, Ь^В^, (52) р2 = е + е(1 —^)-1 + (1—Д)”1^^^® : <г£Л, -w^WV

Это проверяется непосредственно. Но мы задаем F^Vt)\L^G) как объединение четырех попарно непересекающихся множеств Ль Л2, Ц и L\ каждое из которых порождается однозначной линейной грамматикой. Следовательно, F(VT) \ L(G) также порождается однозначной линейной грамматикой, что и требовалось доказать.

Заметим, что если бы в качестве а мы взяли не мономорфизм, а «конечное преобразование без потери информации» [43], то мы могли бы получить результат, отличающийся от теоремы 3 только тем, что строящаяся в доказательстве линейная грамматика была бы не однозначной, а имела бы ограниченную неоднозначность.

Мы рассмотрели несколько подсемейств класса кс-грамматик, определяемых структурными свойствами составляющих их правил. Возможны и другие принципы классификации. Так, возможно, имеет смысл выделение класса грамматик (языков) со звездочкой, характеризуемого следующим образом: G есть грамматика со звездочкой, если каждому нетерминальному символу at грамматики G поставлено в соответствие множество Si нетерминальных символов и три терминальные цепочки/., fz,/z, причем G содержит все правила вида «.->/", с^-^.а^^ 6 £SZ), а у а^^., ak, az^S.). Это в известном смысле наиболее «бесструктурные» кс-грамматики. Такие языки интересны тем, что уравнения, определяющие соответствующие степенные ряды, можно записать, используя существенным образом только квазиобращение и сложение (как было замечено в разд. 3.2). Заметим, в частности, что не металинейный язык LIC, определенный уравнением (42), является языком со звездочкой. В разд. 3.2 была предложена лингвистическая интерпретация для понятия «языка со звездочкой».

Можно было бы также классифицировать кс-языки по числу нетерминальных символов минимальной грамматики, определяющей степенной ряд (язык). Однако навряд ли какие-либо интересные свойства языка связаны с этим параметром, мало зависящим от структурных черт грамматики (за исключением специального случая языков, определяемых грамматиками с единственным нетерминальным символом), потому что для полугрупп, в отличие от групп, грубые числовые параметры не

связаны сколько-нибудь интересным образом с их (полугрупп) структурой. Заметим, впрочем, что для каждого N можно построить регулярное событие, которое не может быть порождено кс-грамматикой, имеющей меньше чем N нетерминальных символов.

Еще один принцип классификации может быть получен из рассмотрения зависимостей между частями грамматик. Назовем кс-грамматику неприводимой, если ни одна собственная подсистема системы ее определяющих уравнений не образует кс-грамматику (напомним, что терминальные цепочки должны быть выводимы из каждого неначального нетерминального символа кс-грамматики), в противном случае грамматику будем называть приводимой. Если /сс-грамматика приводима в этом смысле, то должны существовать собственное подмножество Si множества ее правил и собственное подмножество S2 множества ее нетерминальных символов, такие, что в тех местах вывода, где появляются символы из S2, могут применяться только правила из Si.

Один предельный случай приводимости был изучен Гинзбургом и Райсом [18], Следуя им, назовем /сс-грамматику G последовательной, если существует такое упорядочение ее нетерминальных символов ось. .., an (где ai есть начальный символ), что не существует правил вида at —*фа;ф, где j<L Решение последовательностной грамматики особенно легко определить итеративной процедурой последовательного исключения переменных, описанной в разд. 2.3.

Для семейства ^+ последовательностных грамматик и семейства 5ир(с^+) их опорных множеств Гинзбург и Райс получили следующие результаты, параллельные указанным выше. Во-первых, ясно, что (^+, как и 9\— полукольцо, замкнутое относительно квазиобращения квазирегулярных элементов. Соответственно Sup(<^+) замкнуто относительно объединения, умножения и итерации. Отсюда и из того факта, что б^асУ^ следует, что Sup(j?V) с Sup^4"). Более того, включение является собственным, как можно видеть из примера с грамматикой (42), которая, поскольку она содержит один терминальный символ, является последовательностной. Таким образом, имеет место следующее соотношение:

Sup (^0+) § Sup ^ § Sup (^ +). (53)

Гинзбург и Райс показали, что не существует последовательностной грамматики для языка со словарем {a, b, с, d], содержащим цепочку

an^-\d ... db11^ danvcan^ dbn* d... Ьп^-^ап^-х (54)

(симметричную относительно с) для любой последовательности (Л, /1Ь...,/12м) положительных целых чисел, хотя этот язык порожден грамматикой

а = ad^ da + ааа + аса,

р — b^b + b da db. ^5)

В соотношении (53) ни «^^ ни ^ + нельзя заменить ни на какое из семейств 2m и S^. В самом деле, грамматика (55) линейная, хотя и не последовательностная, так что Sup(^4)c^: <^Sup(^+), а грамматика (42) последовательностная, но не металинейная, так что Sup (^+)^ Sup (^+).

Поскольку грамматики (45) и (46) последовательностные, мы видим, что свойство 2 (но не теорема 2) может быть распространено Sup(^+). Дальнейшие результаты относительно последовательностных языков см. Гинзбург и Роуз [19], Шамир [51].

ДРУГАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СЕМЕЙСТВА КС-ЯЗЫКОВ

В этом разделе мы разовьем несколько другой подход к определению семейств языков и покажем, как этот подход соотносится с классификацией, рассмотренной выше. Определим два основных понятия: стандартного регулярного события и языка Дакка.

Стандартное регулярное событие определяется конечным алфавитом X, двумя подмножествами /1 и /2 произведения (X, X) и следующим правилом: f^A тогда и только тогда, когда:

f^xF^X)nF(X)x\ где (х, x')£Jv

f £F(X) xx'F(x), где (x, x^^J^. ^^

Таким образом, А есть множество всех цепочек, которые начинаются и кончаются заранее выделенными буквами и не содержат пары двух рядом стоящих букв, принадлежащих /2. А является (в более специальной терминологии) пересечением квазиидеала, определенного Л, с дополнением к двустороннему идеалу, порожденному всеми произведениями хх' ((х, х')€/2). Заметим, что множество А—то самое, что иногда называют «1-определенным событием» [21], [35].

Определим язык Дикка D^ над алфавитом из 2м букв х±г(1^7^/г) как множество всех цепочек f, которые могут быть сокращены до пустой цепочки последовательным вычеркиванием пар рядом стоящих букв вида х^х.Д—n'^j^n). Язык Дикка — это хорошо известный математический объект: если ср

является гомоморфизмом свободной полугруппы, порождаемой множеством {x±i}, на свободную группу, порождаемую подмножеством {Хг :/>0}, который удовлетворяет тождеству (фл.)"1 = = фЛ , то D2n— ядро ф, т. е. множество цепочек Д таких, что <pf=L

Для этих понятий имеют место следующие результаты.

Утверждение 1. Для любого регулярного события BczF(Z) можно найти стандартное регулярное событие Л и гомоморфизм a: F(X) -^F(Z), такой, что В = аА.

Стоит заметить, что не только В = аЛ, но что, кроме того, каждая цепочка ^А имеет ту же степень неоднозначности, что и соответствующая цепочка а^В. Иначе говоря, если В = = Sup (р), то можно найти у такое, что Л = 5ир (у), и для каждой цепочки f (у, f) = (P, af).

Утверждение 1 можно обобщить на /сс-языки, используя следующие свойства языка D2n.

Свойство 1. D2n порождается однозначной кс-грамматикой.

Чтобы получить такую грамматику, введем 2^+1 нетерминальных символов а+г (1 ^i^n), р. Рассмотрим теперь 2^+1 уравнений:

(i)

k ) (57) (п) p=(i — 2с0-1.

(Обозначение см. разд. 3.2.)

Интуитивно р можно интерпретировать как совокупность всех цепочек, которые могут быть сокращены до пустой последовательности вычеркиванием пар рядом стоящих букв х<х_<. Каждое oct есть совокупность всех слов из Sup (р), которые начинаются с Хг и не имеют собственных начальных или конечных отрезков, принадлежащих Sup (р). Из уравнения (57i) следует, что каждая цепочка fCSup (аг) имеет одно и только одно разложение

f = . fmx_b (58)

где каждая цепочка fj принадлежит множеству Sup (а,) (где j=F—i, потому что мы хотим, чтобы начальная буква Xt сокращалась только с конечной буквой X-F).

Аналогично каждая цепочка /С Sup (р) имеет одно и только одно разложение f=fi.s.fm, где цепочки fj принадлежат U sup (ai).

Имеет место следующий результат, аналогичный утверждению 1.

Утверждение 2. Любой кс-язык LaF(Z) определяется целым числом п, стандартным регулярным событием Л над словарем Х2п = {х±г, 1 я}, гомоморфизмом ср: F ^2^ F (Z) и правилом L = q(A П D2n). [48], [49], [11], [12].

Снова, как и выше, из этого утверждения следует, что цепочки порождаются с соответствующей степенью неоднозначности. Кроме того, можно выбрать 1^ так, что (х, х') (^1^ есЛи х принадлежит некоторому подмножеству X (см. [48]).

Специальные подсемейства языков рассмотренного выше типа можно определять, накладывая условия на стандартное регулярное событие А и гомоморфизм ф. Предположим, что мы взяли стандартное регулярное событие Л над алфавитом X U Y где Х = ^х+<. i^i^n}, Y=[y±i: i^i^m}, определенное следующими условиями на Л и /2:

i^^x-t^ х5) . />0},

/2 = {(^г, Xj): знак (/)#=знаку (/)}11{(Уг, Уз) : г<0 или />0} U

U {(^г, Уз) • КО или /<0} U Цу-и Xj) : />0 или />0}. (59) Здесь каждая цепочка имеет вид fgg'f\ где f, f'^F^X); g, g'£F(Y)\ fy g (соответственно f\ g') содержат буквы только с положительными (соответственно отрицательными) индексами. Если мы обозначим через Х+ и Х~ подмножества X, состоящие соответственно из букв с положительными и отрицательными индексами (аналогично для У+ и У-), то можно описать допустимые и недопустимые переходы с помощью матрицы (60), где 1(0) означает, что переход от элемента, обозначающего строчку, к элементу, обозначающему столбец, возможен (или нет); U есть матрица, состоящая только из единиц, а 0 есть матрица, состоящая только из нулей:

У* У" Х^ X-

у+оиоо

Г"000и(60)

х*иоио

X"ооои

Рассмотрим теперь множество А Л Dxy (где DXy есть язык Дикка над алфавитом X U У). Если fg£A [где f£F(X+ U У+), g£.F(X~ U У-)] удовлетворяет тому условию, что fg^DXY, то цепочка g должна быть зеркальным образом цепочки f (то же, если изменить знаки индексов). Иными словами, в обозначе-

ниях второго абзаца разд. 4.3 должно быть, что g=J. Ясно, что если а есть гомоморфизм F ^Х U У) в F^VT^ то а(Л Г1 Dxy') есть линейный язык. Кроме того, если добавить условие, что Уг = е для /<0 и Уг = с для каждого />0, где ах^ ^ F^ VT)cF( VT) для каждого i, то £ = а(Л П Dxy) будет минимальным линейным языком с символом с в качестве центральной метки, причем каждый минимальный линейный язык определяется таким выбором а. Это дает независимую характеристику минимальных линейных языков.

Кроме того, добавляя к /2 некоторую пару, можно ограничить определенный выше канонический язык Л таким образом, что ^f;f(^F^X+) и для некоторого g, fg^A ug£F(Y)F(X)} явится произвольным регулярным событием (а не свободной полугруппой над Х+, как выше), так что Л = а(Л П Dxy) будет произвольным линейным языком. Таким образом, мы получим независимое определение понятия «линейный язык». Заметим, что это дальнейшее ограничение на /2 влияет только на те элементы матрицы (60), которые находятся на главной диагонали.

Таким же способом можно дать определение «металиней- ного языка». Рассмотрим, например, металинейный язык, порожденный грамматикой с уравнениями

^=e + ^Hib-at b£VT\, (61) = + S (^26 : ^, b^VT\.

В этом случае матрица для соответствующего стандартного регулярного события имеет вид

X

1+ хт

ХТ

хт .

xt

и

и

0

0

хт

0

и

и

0(62)

X}

0

' 0

и

и

ХТ

0

0

0

и

Каждый металинейный

язык и

.только металинейные языки

могут быть определены

с

помощью стандартного регулярного

события с матрицей существенно такого вида (может быть, с дополнительными ограничениями на главную диагональ).

Таким образом, утверждения 1 и 2 дают возможность весьма естественным образом определить полный класс /сс-языков и различные подсемейства этого класса независимо от подхода, которого мы придерживались в предыдущих разделах,

АЛГОРИТМИЧЕСКИ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ

В работе Поста {36] показано, что так называемая проблема соответствий рекурсивно неразрешима. Если 2 = ^Ufb §0» (fn, gn)} есть последовательность пар цепочек,) скажем, что последовательность /=(4, ..., im) целых чисел (1 ^ ij ^ п^ удовлетворяет 2, если

<63)

Проблема соответствий состоит в распознавании того, существует ли при данном 2 последовательность индексов, удовлетворяющая 2. Заметим, что 2 либо не удовлетворяется никакой последовательностью индексов, либо удовлетворяется бесконечным числом последовательностей, так как если (ц, ..., im) удовлетворяет 2, то (ь, . .., im, i^ ..., im) тоже удовлетворяет 2. Пост показал, что не существует алгоритма, позволяющего распознать при произвольном 2, какой из этих двух случаев имеет место.

Проблему соответствий можно непосредственно переформулировать в терминах минимальных линейных грамматик. Если дано 2={(fi, gi), ..., (fn, gn)}, построим грамматику G(2) с одним нетерминальным символом s и определяющим уравнением

S = a + fiSgi-V ... -HnSgn, (64) где а есть символ, не встречающийся ни в цепочках ft, ни в цепочках gt. Ясно, что последовательность индексов, удовлетворяющая 2, существует тогда и только тогда, когда G(2) порождает цепочку faf. Иначе пусть Lm есть язык «зеркального отражения», состоящий из всех цепочек faf, где f^F^Vq^ и пусть L^G^) есть язык, порождаемый грамматикой G. Тогда либо не существует последовательности индексов, удовлетворяющей 2, и в этом случае Lm fl L(G(2)) пусто, либо существует бесконечно много последовательностей индексов, удовлетворяющих 2, и в этом случае Lm Л L(G^) бесконечно. Из неразрешимости проблемы соответствий и из того факта, что Lm порождается линейной грамматикой с одним нетерминальным символом, непосредственно следует теорема.

Теорема неразрешимости 1. Не существует алгоритма, позволяющего распознать для двух произвольных кс- грамматик Gi и G2, порождающих соответственно языки Lx и L^, является ли Lx Л ^2 пустым или бесконечным. Это верно также для случая, когда Gx и G2 — минимальные линейные грамматики, и для случая, когда Gx — фиксированная грамматика языка Lm.

Легко видеть, что для односторонних линейных грамматик проблема распознавания пустоты и конечности пересечения разрешима. Но мы видим, что для простейших грамматик в рамках нашего рассмотрения, которые более богаты, чем класс регулярных событий, эти проблемы уже не разрешимы.

Это замечание обобщено в работе Бар-Хиллела, Перлеса и Шамира [2], где показано, что многие проблемы, относящиеся к яс-грамматикам, рекурсивно неразрешимы. Коротко их метод заключается в следующем. Возьмем в качестве VT множество {а, 0, 1). Если S={(fb gi), ..., (fn, gn)} есть множество пар цепочек над словарем {0, 1} (т. е. f^ £г€Е{0, 1}), обозначим через L(S) множество всех цепочек

10'» ... XO^af^ ... f^ag, ... g, oKVa ... 0^1, (65) где l<fi, • • •> Ц» Л. • • •. Jt<n.

Яснее можно сказать так: будем использовать г = 10г' в качестве кода числа I. Тогда каждая цепочка из L(S) строится следующим образом: выбираются последовательности индексов 1 = (fi, ..., 4) и 1= (/1, ..., ji) и образуется

ГА ... Т.а^ ... f^ag^ ... g^ ... jr (66)

Язык L^) играет такую же роль, как язык, порожденный уравнением (64) в доказательстве теоремы неразрешимости. Ясно, что это яс-язык [он порождается в действительности мета- линейной грамматикой, получаемой, очевидно, видоизменением уравнения (64)]. Но из теоремы 3 в разд. 4.3 непосредственно следует, что дополнение F^VT) \ L^) языка L^) по отношению к словарю VT является яс-языком и что, исходя из его грамматики, можно построить грамматику языка L^y (Заметим, что для определения L(S) мы могли бы вместо выбранного нами кода с= 10^ использовать любой другой код.)

Вместо языка зеркального отражения Lm, использованного в доказательстве первой теоремы неразрешимости, рассмотрим теперь язык «двойного зеркального отражения» Ldm, состоящий из всех цепочек вида

х^ах^ах^ах^ где Xi и х2 суть цепочки над алфавитом {О, 1}. (67)

Нетрудно показать, что язык ЬДт и его дополнение по отношению к словарю VT являются яс-языками.

Заметим, что

L (S) П Ldm = {/^ ... iTaf^ ... fikaSik • • • Sixah • • • ЧУ (®8) где (fi, .. ., fk) удовлетворяет S (т. e. где ^ . . • h^g^ • • • ... g^y Заметим также, что бесконечное множество цело-

чек вида (68) не может образовывать кс-язык (и тем более регулярное событие).

Допустим теперь, что существует положительное решение проблемы соответств.ий для 5, т. е. существует последовательность индексов, удовлетворяющая 2. Тогда, как мы заметили выше, существует бесконечно много таких последовательностей. Следовательно, L(2) П Ldm— бесконечно, поэтому оно не является ни регулярным событием, ни яс-языком.

Допустим далее, что не существует последовательности индексов, удовлетворяющей 5. Тогда L^ П Ldm пусто, поэтому оно является и регулярным событием и яс-языком. Но L(2) и Ldm являются /сс-языками, и при фиксированном 2 можно построить для них яс-грамматики G(2) и Gdm (которые являются в действительности металинейными). Таким образом, если бы существовал алгоритм, позволяющий распознавать, является ли пересечение языков, порождаемых двумя яс-грам- матиками G(2) и Gdm, пустым языком, конечным языком, регулярным событием или яс-языком, то этот алгоритм давал бы также решение общей проблемы соответствий.

Нами доказана, таким образом, вторая теорема неразрешимости.

Теорема неразрешимости 2. Не существует алгоритма, позволяющего распознавать для кс-грамматик Gi и G^ является ли пересечение языков, порождаемых ими, пустым языком, конечным языком, регулярным событием или кс-языком. Это остается верным для случая, когда обе грамматики металинейные, и для случая, когда G^ есть фиксированная грамматика языка.

Пусть Gdm есть кс-грамматика, порождающая дополнение Ldm языка Ldm (все дополнения рассматриваются теперь по отношению к словарю V TY Если дано 2, пусть G^ будет кс- грамматикой, порождающей дополнение L^ языка L^ (существование такой грамматики гарантируется теоремой 3 разд. 4.3). Рассмотрим грамматику G, порождающую язык L^Q^=Ldm U L(2). Ясно, что G есть кс-грамматика и что она может быть построена, исходя из Gdm и G(2), но дополнение L(G) языка L(G) совпадает с множеством Ld U L^=Ldm fl П L^Y Как мы знаем из второй теоремы неразрешимости, не существует алгоритма, позволяющего распознавать при данном 2, является ли это множество пустым языком, конечным языком, регулярным событием или яс-языком. Но при данном 2 G есть яс-грамматика.

Поэтому мы можем сформулировать третью теорему неразрешимости.

Теорема неразрешимости 3. Не существует алгоритма, позволяющего распознавать для кс-грамматики G, является ли дополнение языка, порожденного G, пустым языком, конечным языком, регулярным событием или кс-языком.

В частности, не существует общей процедуры, позволяющей распознавать, порождает ли яс-грамматика G универсальный язык F^VT), порождает ли грамматика G регулярное событие (поскольку дополнение к регулярному событию является регулярным событием). Следовательно, не существует алгоритма, позволяющего для яс-языков Lt и L^ распознавать, существует ли преобразователь, отображающий L^ на L^ поскольку все регулярные языки и только они могут быть получены конечным преобразованием из яс-языка F^VT) (Гинзбург и Роуз, личное сообщение). Кроме того, не существует общего метода, позволяющего распознавать, являются ли две яс-грамматики эквивалентными, т. е. порождают ли они один и тот же язык; в самом деле, если бы существовал такой метод, то с его помощью можно было бы распознать, эквивалентна ли яс-грамматика G грамматике Gu, порождающей F^VtY Отсюда непосредственно следует, что не существует алгоритма, позволяющего распознавать для двух яс-грамматик, содержится ли язык, порождаемый одной из них, в языке, порождаемом другой грамматикой; в самом деле, это давало бы решение проблемы эквивалентности.

Эти результаты были получены для языков над трехэлементным словарем VT, но ясно, что при соответствующем перекодировании они могут быть применимы и к языкам над словарем из двух или более букв. Этот вопрос детально исследован в работе Бар-Хиллела, Перлеса и Шамира [2].

В разд. 4 мы заметили, что конечные процессы, применяемые к парам цепочек, допускают естественную формулировку в терминах линейных грамматик. В частности, как мы только что видели, проблема соответствий может быть описана непосредственно как проблема, относящаяся к минимальным линейным грамматикам. Это верно и для другой комбинаторной проблемы, также поставленной Постом, а именно так называемой «таг-проблемы».

Обобщенную таг-проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть W — множество цепочек (свободная полугруппа) над некоторым конечным словарем, и пусть Р есть конечное подмножество непустых цепочек из №, удовлетворяющих тому условию, что для каждой цепочки из W не более чем

один ее начальный отрезок принадлежит Р. Иначе не существует рЬ р2, ^1, ^2, ^3 (Рг^Р, Wi^W) таких, ЧТО Р14=Р2 и Wi=piW2=P2W3. Пусть V есть множество цепочек из W, никакие начальные отрезки которых не принадлежат Р. Иначе говоря, у С V тогда и только тогда, когда не существует р^Р, такого, что u = pw1 где w^W. Ясно, что V есть рекурсивное и даже регулярное множество. Пусть а—отображение Р в W [таким образом, о^ определяет множество пар цепочек (р, w), где w = ap, р^Р, ^Е^. Определим отображение Т на U7, где

Tf = f7apt если f = pf',

T^H, если t^V^H^wy(69)

Рассмотрим следующую задачу. Существует ли для данной цепочки f целое число п такое, что

Т^Н?(70)

Если рассматривать Т как определение вычисления на некоторой машине Тьюринга, то наша задача есть проблема остановки для этой машины Тьюринга. Минским [30] было показано, что проблема (/0) рекурсивно неразрешима.

Таг-проблема в формулировке Поста — это специальный случай проблемы (70), где Т удовлетворяет следующим дополнительным условиям: Р — это множество всех цепочек длины к для некоторого фиксированного к ^ 2, ар зависит только от самого левого символа р. Проблема (70), как показал Минский, неразрешима даже при этом ограничении. Этот результат является несколько неожиданным ввиду детерминированности ^моногенности^, порождающей процедуры Т.

Чтобы удобнее было переформулировать обобщенную таг- проблему в терминах минимальных линейных грамматик, заметим, что она может быть представлена следующим образом. При данных W, Р, V, а, Г, как выше, проблема (70) имеет положительное решение тогда и только тогда, когда

существуют цепочки pv ..., рп^.Р и y£V, такие,

что А. • • •. Pn^ = ^Pl • • • а-Рп-(71)

Теперь обобщенную таг-проблему можно сформулировать как следующую проблему, относящуюся к линейным грамматикам. При данных W, Р, V, а, Т определим грамматику G, порождающую язык L^G), с помощью уравнения

S = "2i-ulc + ^i<PtSa.pt),(72)

где v< С V, pi£P и с ^ W— центральная пометка. Определим язык М (f) =ygcg: g£ IF} [таким образом, M(f)=fLm, где Lm есть язык «зеркального отражения», определенный выше]. Тогда решение проблемы (71) [или, что то же самое, проблемы (70)] положительно тогда и только тогда, когда пересечение L(G) с M(f) непусто. Мы видим, таким образом, что не существует алгоритма, позволяющего распознавать при фиксированной цепочке f, имеет ли язык M(f) непустое пересечение с языком, порождаемым грамматикой, удовлетворяющей уравнению (72) (даже для специального случая, когда Р есть множество всех цепочек длины для фиксированного £ > 2 и ар зависит только от самой левой буквы р).

Заметим, что первая теорема неразрешимости также непосредственно следует из неразрешимости таг-проблемы. В самом деле, и таг-проблема и проблема соответствий относятся к мощности пересечения минимального линейного языка L с языками M(f), где в случае проблемы соответствий f — e и L выбирается произвольно, а в случае таг-проблемы / произвольна и L удовлетворяет уравнению (72).

НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ

Мы назвали степенной ряд г характеристическим, если каждый коэффициент (г, f) есть либо нуль, либо единица. Мы говорим, что яс-грамматика однозначна, если главный член ее решения есть характеристический степенной ряд. В этом случае каждое предложение, которое она порождает, имеет только одно структурное описание и «стирание скобок» не приводит к неоднозначности. Назовем яс-язык существенно неоднозначным, если каждая его грамматика неоднозначна. Хорошо известно, что ни одно регулярное событие не является существенно неоднозначным, т. е. каждое регулярное событие есть опорное множество характеристического степенного ряда, являющегося главным членом решения односторонней линейной грамматики [14], [37]. Однако это не переносится на полный класс яс-грамматик. Париком [34] было доказано, что существуют существенно неоднозначные яс-языки.

Примером существенно неоднозначного языка является множество

{anbmcp : п = ш или т = р\. (73)

Здесь цепочки вида апЬпсп должны иметь степень неоднозначности, равную по меньшей мере двум, для любой яс-грам- матики, порождающей (73) [и существует яс-грамматика, по-

рождающая (73) со степенью неоднозначности, равной точно двум].

У нас нет примеров, иллюстрирующих объем понятия существенной неоднозначности для nc-языков или для специальных типов /се-языков.

Заметим, что из первой теоремы неразрешимости (разд. 6) непосредственно следует, что не существует алгоритма, позволяющего распозцавать, является ли /се-грамматика или даже линейная грамматика неоднозначной. В самом деле, пусть, как и выше, S = {(fp gi), ..., (fn, gj} есть последовательность пар цепочек. Выберем п+1 новых символов х0, ..., хп и построим грамматику Gy с правилами: Sy->x0, Sf-^XtS^ft (i^i^n) и грамматику Gg с правилами: Sg—>x0, Sg—^XiSggi (1 <u ^п). Ясно, что грамматики Gy и Gg однозначны и проблема соответствий для 2 имеет положительное решение тогда и только тогда, когда существует цепочка, порождаемая обеими грамматиками О/ и Gg, т. е. тогда и только тогда, когда является неоднозначной грамматика Gfg, определенная следующим образом: Gtg содержит правила Gy, Gg и правила S-Sh S —>Sg, где S есть начальный символ грамматики G/g. Следовательно, невозможна процедура, позволяющая распознавать для произвольного 2, является ли грамматика G/g, соответствующая 2, неоднозначной.

Грамматика G/g линейна с тремя нетерминальными символами и центральной пометкой, и мы видим, что для такого класса грамматик проблема неоднозначности неразрешима. Вероятно, это замечание можно обобщить на грамматики с двумя нетерминальными символами. Однако остается открытым следующий вопрос: остается ли проблема неоднозначности неразрешимой для минимальных линейных грамматик1).

Резюмируя все, что сказано здесь о неоднозначности, сформулируем следующие результаты в виде теорем.

Теорема неоднозначности 1. Существуют существенно неоднозначные кс-языки.

Теорема неоднозначности 2. Не существует алгоритма, позволяющего распознавать, является ли кс-грамматика (которая может быть даже линейной с центральной пометкой) неоднозначной.

КОНЕЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Опишем теперь одно особенно простое семейство преобразований языка в язык. Первое и наиболее важное преобразование — гомоморфизм.

Пусть L есть язык над терминальным словарем Z, и пусть каждому z С Z сопоставлен язык Lz над другим словарем X. Обозначим через 0Л множество всех цепочек (над X), которые могут быть получены следующим образом: берется слово g^tzt ...£t ^L, каждое zt. заменяется произвольным словом из Lz . Название «гомоморфизм» не нуждается в объяснении. В самом деле, если рассмотреть кольца A(Z) и Л(Х) формальных степенных рядов от переменных z^Z и х€Х и обозначить через 6 гомоморфизм Л (Z) в Л(Х), индуцированный отображением 0Z, равный формальному степенному ряду, соответствующему языку Л2, то 6L есть опорное множество образа 6 формального степенного ряда, соответствующего языку L.

Это можно интерпретировать в рамках наших предыдущих рассуждений, если L и все Lz суть кс-языки. Предположим в этом случае, что язык L порождается кс-грамматикой (с нетерминальным словарем У) и что каждый язык Lz порождается кс-грамматикой Gz (со множеством нетерминальных символов Yz и начальным символом yz,oV Допустим, что множества У2 попарно не пересекаются; рассмотрим кс-грамматику G с нетерминальным словарем KUZU U Yz (z^Z). (Попросту, мы

г Z

отождествляем каждое z с уг, 0.) Ясно, что грамматика G порождает в точности язык QL.

Обобщим теперь эту конструкцию на следующий тип контекстной зависимости: пусть Ri (/€/) и Rv^V ^.Г^— два конечных множества регулярных событий, такие, что каждая цепочка g^F(Z) принадлежит одному и только одному элементу каждого множества. Пусть, кроме того, каждой тройке (2CZ, /С/, /'С/Э сопоставлен язык Цх,мч над словарем X.

Заменим в каждой цепочке . у — г . z . ...z, каждое z. произвольной цепочкой из языка ^(^j^^\ где / и Г удо

влетворяют тому условию, что цепочка z.^ z^ ... z. принадлежит Ri, а цепочка z. .. . z. принадлежит R' Легко

JkA-\Jk + 11

доказать, что без потери общности можно допустить, что для любой цепочки g, принадлежащей некоторому множеству Rtx, и для z^Z множество R^, которое содержит gz, зависит только от индекса. U и буквы z. Другими словами, мы можем допу-

стить, что задано множество состояний /, функция перехода /Х2—>/ и начальное состояние 1^1, такие, что г., г, ...

7 2

... г. £/?,.тогда и только тогда, когда i есть состояние, кото- 1

рое можно достичь из /0, идя по цепочке z .z. ... z. .

Л k 3k-\

Подобная конструкция применяется и к Rt; ради ясности будем записывать соответствующее отображение как левое умножение. Имея два отображения /Х2—>/ и ZxV-*l\ обозначим через og для каждого g^^.z, ...z. ^F^X^ после- 71 1 %3m

довательность троек

(Ч’ Zj; ^тДЧ’ ZJ2’ Z"1-1) • • • (Ч’ Zjk’ ^m-k+l) • • • (^’ Zjm' l'^’ (74)

где Ц определяется индуктивно:

4=4Zj’ 4 = 4?j' lm — 4n-\Zj '

••v v”(75)

4~ 4-izjfev и Ч — zim4’ 4 — zjm_x4’ lm — zjtm-r

В этих обозначениях описанное преобразование можно рассмотреть как состоящее из двух шагов:

замена каждой цепочки g^L на цепочку

eg — (fP гу, 1^ ... QmZj , /1), над алфавитом U, состоя- (76) щим из троек (/, 2, О;

замена в eg каждой тройки ^ik, z. , Vm_k^ произвольной цепочкой языка L^z. , ik, i'm_k + xy

Поскольку шаг (ii) есть просто гомоморфизм, достаточно рассмотреть шаг (i). Для этого обозначим через U множество всех троек (/, 2, Г) и рассмотрим язык U, полученный из языка L добавлением к его грамматике всех правил вида 2j—►(/, г$, i') (с произвольными 1^1 И V ^.I'Y

Ясно, что цепочка U принадлежит множеству ^og:g£L^ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию (75) или, другими словами, когда она принадлежит регулярному событию R, определенному условием (75) на множество всех цепочек F(U) над алфавитом U.

Следовательно, шаг (i) состоит из последовательного применения двух преобразований — гомоморфизма языка L во множество всех цепочек над U (дающего U^ и пересечения U с регулярным событием.

Дадим теперь окончательную интерпретацию: для каждой цепочки z ^ Z обозначим через р,2 матрицу, строки и столбцы

которой занумерованы парами (Z ^ /, i' ( Г^ и элементами которой служат

p,2(Z, 1^(1”, /"')=тройке (Z, 2, V"y если

i"~iz и /' = 2/'" = 0 в других случаях.(77)

Затем, если мы вычислим p-z. , pz., p^z. = pg, легко ЛJ m

проверить, что элемент (Z, i^Q^ Z') матрицы pg это в точности og. Отсюда легко следует, что {og:g ^ Ц = и П R есть тоже кс-язык. Действительно, р является гомоморфизмом, так как мы заменяем каждый нетерминальный символ матрицей pg, элементы которой есть новые нетерминальные символы, и проверяем, что р коммутирует с подстановками, использовавшимися для определения языка как решения системы уравнений. С другой стороны, так как р есть образ наших уравнений, он дает новую систему уравнений обычного типа, которые в точности определяют язык U (\ R [46]. Еще проще мы можем определить р', как выше, только вместо тройки (Zb 2j, f) возьмем формальный степенной ряд, соответствующий языку L(2j, h ^)- Тогда два шага нашей конструкции объединяются в один, а степенной ряд, соответствующий языку (над X), полученному нашим преобразованием, — это просто элемент матрицы

(78)

На основе сказанного строится доказательство теоремы 2 из разд. 4.

СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ АВТОМАТОВ

До сих пор мы изучали порождающие процессы, порождаемые ими системы структурных описаний, а также финитные отображения этих языков с абстрактной точки зрения. Для того чтобы связать эти замечания с теорией автоматов, удобно внести в рассмотрение временную асимметрию.

Автомат М можно рассматривать как устройство, состоящее из множества состояний 5 (память М), которое допускает или (что то же самое) порождает последовательность символов над словарем (алфавитом) V в соответствии с конечно формулируемыми предписаниями (которые можно задать, сопоставляя с каждым vC V отображение фу множества 2 в себя или во множество подмножеств S в случае «недетерминированного» автомата). Если мы отметим начальное состояние и множество конечных состояний, то тем самым мы определим язык М(Ц, состоящий из цепочек, которые допускаются автоматом, когда

он переходит в соответствии с предписаниями от начального состояния в заключительное, причем переход из состояния SCS в состояние S'ES с допущением и происходит тогда и только тогда, когда фг5 = 5' [или в случае недетерминированного автомата, когда S'Ефг(5)]. Объем памяти автомата М или быстрота ее роста в процессе вычисления дает некоторую характеристику языка L(M), в терминах которой можно сравнивать рассмотренные нами семейства языков.

Для данного множества цепочек языка L будем писать, что f~f' в случае, если для всех g fg£L тогда и только тогда, когда f'g^L. Ясно, что знак ~ выражает эквивалентность. Более того, очевидно, что классы эквивалентности, определенные отношением ~, можно взять в качестве состояний автомата Л1(Л), допускающего Л, поскольку вся информация о цепочке Д существенная для дальнейшего вычисления в автомате M(L), когда он читает Д определяется классами эквивалентности, к которому принадлежит f. Заметим, что язык L есть объединение некоторых из этих классов эквивалентности и что отношение f^f влечет отношение fg~f'g для всех g.

Кроме того, при данном g будем писать, что / = Д тогда и только тогда, когда для всех g gf~gf'. Ясно, что f = f' тогда и только тогда, когда для всех g, g' gfg' = gf'g'. Таким образом, отношение = симметрично, и легко показать, что если fi = f2 и /3 = f4, то fi=/3, т. е. отношение = есть конгруэнция, =-классы во множестве F(V) можно перемножать, причем получается полугруппа частных полугруппы F(V). Эта полугруппа частных ^ (V) = фЛ (V) такова, что Л = ф-1фЛ и канонически ассоциирована с Lo [41].

Это замечание связывает нашу теорию с теорией полугрупп. Эта связь интересна тем, что в некоторых случаях классы (полугруппа частных) имеют простую интерпретацию на языке автоматов и обратно — что некоторые алгебраические понятия (в частности, расширение) получают простую интерпретацию.

Вернемся теперь к проблеме характеризации семейств языков в терминах автоматов. Хорошо известно, что подмножество Sup(«S7^) кс-языков однозначно характеризуется тем, что для каждого языка Z£Sup(„2V) существует автомат M(L) с конечной памятью, допускающий L.

Рассмотрим теперь семейство Supt-^o), т. е. множество Опорных множеств степенных рядов, которые являются решениями систем «односторонних линейных» уравнений с положительными или отрицательными целыми коэффициентами. Как мы заметили, ЛЕ Sup(«^о) тогда и только тогда, когда

L = Sup(rf — г2), где гь r2^(<S7o)- Можно показать, что следующие утверждения эквивалентны:

ACSup(^0+);

существует одно-однозначное соответствие между ~- классами для L и конечномерным пространством целочисленных векторов y(f), таких, что для каждого хС V, у (Дх) =у (f)p,x, где рх есть их матрица;

F/^ изоморфна некоторой полугруппе конечномерных целочисленных матриц [т. е. матриц ц из (ii)];

L допускается автоматом М(Л), множеством состояний которого служит конечномерное пространство целочисленных векторов, а функция перехода определена, как в (id).

[(Шютценберже [44] — пусть класс автоматов Л совпадает с классом автоматов, определенных в (79 iv).]

Рассмотрим следующие два ограничения на класс автоматов Л.

существует N такое, что для каждого fE^WII^OTIKW;

. (ii) для всех /, f', f" С F (V) и е > О

lim е-£>т\Н»(80)

где ||у|| есть длина вектора в обычном смысле.

Ясно, что (80 i) влечет (80 ii). Кроме того, ясно, что L есть регулярное событие [т. е. Z, £ Sup (j?^)] тогда и только тогда, когда (80 i) удовлетворяется для некоторого автомата класса Л, допускающего L. Автомат класса Л, удовлетворяющий условию (80 ii) в работе Шютценберже [47], где изучаются такие устройства, назван автоматом с конечным числом счетчиков. Можно показать, что (80 ii) означает, грубо говоря, что объем информации (в битах), накапливаемой в памяти, растет не быстрее, чем линейная функция от логарифма длины входного слова.

Интересно заметить, что (как раз в случае полного класса /сс-грамматик) не существует алгоритма, позволяющего определить для данного автомата М^Л, допускается ли f автоматом М [28]. Кроме того, легко показать, что если неразрешима десятая проблема Гильберта (проблема существования целочисленного решения произвольного диофантова уравнения), то эта же проблема также неразрешима для автомата с конечным числом счетчиков [47].

Рассмотрим теперь автомат М следующего вида: его состояния (~-класса входного языка автомата Л4) отождествляются с цепочками над некоторым новым («внутренним») алфавитом,

и для каждого у С V функция перехода («вычислительное представление») фу :[~-класс Л — [~-класс /у)] состоит в дописывании или вычеркивании букв в правом конце цепочки над внутренним алфавитом, сопоставленной с [~-класс fY Такой автомат в соответствии с обычной терминологией, назовем автоматом с магазинной памятью или PDS-автоматом. Такие автоматы составляют некоторый частный подкласс класса линейно ограниченных автоматов, изучавшихся Майхиллом [31], Ритчи [39].

Если М есть PDS-автомат, то язык L, который он допускает, — /сс-язык и каждый /сс-язык может быть получен с помощью гомоморфного отображения из языка, допускаемого PDS-автоматом [48], [49]. В частности, если D есть язык Дикка и А есть стандартное регулярное событие (см. разд. 5), то D П А допускается PDS-автоматом.

Недетерминированный VDS-автомат отличается от автомата описанного выше типа только тем, что фу отображает состояние во множество состояний. Теперь можно непосредственно доказать, что яс-языки [языки класса Sup^^)] в точности те, которые допускаются недетерминированными PDS-автоматами [11], [12].

ЛИТЕРАТУРА

Ajdukiewicz К., Die syntaktische Konnexitat, Studio, Philos оphica, 1 (1935), 1—27.

В а г - H i 11 e 1 Y„ Perles M., S h a m i r E., On formal properties of simple phrase structure grammars, Tech. Report 4, July 1960.

В a r - H i 11 e 1 Y., Perles M., Shamir E., Applied Logic Branch, Zeit. fur Phonetik Sprachwissenschaft and Kommunikationsforschung, 14, № 2 (1961), 143—172.

В a r - H i 11 e 1 Y., Perles M., Shamir E., Finite state languages, Bull. Research Council Israel, 8F (1960), 155—166.

Birkeland R., Sur la convergence de developpement, qui expriment le racins de 1’equation algebrique generale, C. R. Acad. Sciences, 171 (1920), 1370—1372, 172 (1921), 309—311.v

C u 1 i k K-, Some notes on finite state languages, Casopis pro pestovani Mat., 86 (1961), 43—55.

Chomsky N., Three models for the description of language, /. R. E. Trans. PGIT 2 (1956), 113—124. (Русский перевод: Хомский H., Три модели для описания языка, Кибернетический сборник, вып. 2, ИЛ, 1961, стр. 237—266.)

Chomsky N., On certain formal properties of grammars, Information and Control, 2 (1959), 137—267. (Русский перевод: Хомский H., О некоторых формальных свойствах грамматик, Кибернетический сборник, вып. 5, ИЛ, 1962, стр. 279—312.)

Chomsky N., A note on phrase structure grammars, Information and Control, 2 (1959), 393—395. (Русский перевод: Хомский H., Заметки о грамматиках непосредственных составляющих, Кибернетический сборник, вып. 5, ИЛ, 1962, 312—315.)

С h о m s к у N., On the notion «Rule of Grammar», Proc. Symp. Applied Math., 12. Am. Math. Soc. (1961). (Русский перевод: Хомский H., О понятии «правило грамматики», сб. Новое в лингвистике, вып. 4, «Прогресс», 1965, стр. 34—65.)

И. Chomsky N., Context-free grammars and pushdown storage. Quarterly Progress Reports, № 65, Research Laboratory of Electronics, M. I. T., 1962.

Chomsky N., Formal properties of grammars. Handbook of Mathematical Psychology, 2, ch. 12, Wiley, 1963, p. 323—418. (Русский перевод: Хомский H., Формальные свойства грамматик, Кибернетический сборник, вып. 2, «Мир», 1966, стр.121—230.)

Chomsky N., The logical basis for linguistic theory, Proc. IX-th Int. Cong. Linguists (1962). (Русский перевод: Хомский H., Логические основы лингвистической теории, сб. Новое в лингвистике, вып. 4, «Прогресс», 1965, стр. 465—575.)

С h о m s к у N., Miller G. A., Finite state languages, Information and Control, 1 (1958), 91—112. (Русский перевод: Хомский H., Миллер Д., Языки с конечным числом состояний, Кибернетический сборник, вып. 4, ИЛ, 1962, стр. 231—255.)

Chomsky N., Miller G. A., Introduction to the formal analysis of natural languages, (1962) Handbook of Mathematical Psychology, vol. 2, Ch. 12, Wiley, 1963, 269—322. (Русский перевод: Хомский H., Миллер Дж., Введение в формальный анализ естественных языков, Кибернетический сборник, вып. 1, «Мир», 1965, стр. 229—290.)

Davis М., Computability and unsolvability, New York, McGraw-Hill, 1958.

El got С. C., Decision problems of finite automata design and related arithmetics, Trans. Am. Math. Soc., 98 (1961), 21—51.

Ginsburg S., Rice H. G., Two families of languages related to ALGOL, Technical Memorandum, Systems Development Corporation, Sante Monica, California, 1961.

Ginsburg S., Rose G. F., Operations which preserve definability in languages, Technical Mamorandum. Systems Development Corporation, Santa Monica, California, 1961.

J u n g e n R. Sur les series de Taylor n’ayant gue des singularites algeb- rico — logarithmiques sur leur cercle de convergence, Comm. Math. Helvetici, 3 (1931), 286—306.

KI ее ne S. C., Representation of events in nerve nets and finite .automata. Automata Studies, Princeton, 1956, 3—41. (Русский перевод: Клини С. K-, Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах, сб. «Автоматы», ИЛ, 1956, стр. 15—67.)

Кулагина О. С., Об одном способе определения грамматических понятий, сб. «Проблемы кибернетики», вып. 1, Физматгиз, 1958, стр. 203— 214.

Lamb е k J., The mathematics of sentence structure, Am. J. Math., 65 (1958), 153—170. (Русский перевод: Лам бек И., Математическое исследование структуры предложений, сб. «Математическая лингвистика», «Мир», 1964, стр. 47—68.)

L a m b е k J., On the calculus of syntactic types, Proc. Symposium Applied Math., 12, Am. Math. Soc., 1961.

L у n d о n R. C., Equations in free groups, Trans. Am. Math. Soc., 96 (1960), 445—457.

McNaughton R., The theory of automata, To appear in Advances in Computers, v. 2 (Academic Press).

Mahler K., On a theorem of Liouville ir fields of positive characteristic, Canadian J. of Math., 1 (1949), 397—400.

М а р к о в А. А., Об одной неразрешимой проблеме, ДАН СССР, 78 (1951), 1089—1092..

Miller G. A., Chomsky N., Finitary models of language users, Handbook of Mathematical Psychology, 2, Wiley, 1963, 419—492.

M i n s k у M. L., Recursive unsolvability of Post’s problem of Tag, Ann. of Math., 74 (1961), 437—455.

Myhill J., Linear bounded automata, WADD. Tech. Note, 60—165, Wright Air Base, Ohio, 1960.

N e w e 11 A., S h a w J. C., Programming the logic theory machine, Proc. Western Joint Computer Conference, 1957, 230.

Oettinger A. G., Automatic syntactic analysis and the pushdown store, Proc, of Symposia in Applied Math., 12, Am. Math. Soc., 1961.

P a r i k h R. J., Language generating devices, Quarterly Progress Report, № 60, Research Laboratory Electronics, M. I. T., 1961, 199—212.

Perles M, Rabin M. O., Shamir E., The theory of definite automata, Tech. Report № 6, O. N. R., 1961.

Post E., A variant of recursively unsolvable problem. Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 264—268.

R a b i n M. O., Scott D., Finite automata and their decision problems, /. В. M. Journal of Research, 3 (1959), 115—125. (Русский перевод: Рабин M. О., Скотт Д., Конечные автоматы и задачи их разрешения, Кибернетический сборник, вып. 4, ИЛ, 1962, стр. 58—91.)

R а п е у G. N., Functional composition patterns and power-series reversion, Trans. Am. Math. Soc., 94 (1960), 441—451.

Ritchie R. W., Classes of recursive functions of predictable complexity, Doctoral Diss, Dept. Math., Princeton U, 1960.

Scheinberg S., Note on the Boolean properties of context-free languages, Information and Control, 3 (1960), 372—375.

Schiitzenberger M. P., On an application of semi-group methods, /. R. E. Trans., IT2 (1956), 47—60.

Schiitzenberger M. P., Un probleme de la theorie de automates, Seminaire Dubreil — Pisot (Paris), Dec., 1959.

Schiitzenberger M. P., A remark on finite transducers, Information and Control, 4 (1961), 185—196.

Schiitzenberger M. P., On the definition of a family of automata. Information and Control, 4 (1961), 245—270.

Schiitzenberger M. P., Some remarks on Chomsky’s context-free languages, Quarterly Progress Report № 68, Research Laboratory of Electronics, M. I. T., Oct. 1961, p. 155—170.

Schiitzenberger M. P., On a theorem of R. Jungen, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 895—890.

Schiitzenberger M. P., Finite counting automata, Information and Control, 5 (1962), 91—107.

Schiitzenberger M. P., On context-free languages and pushdown storage, To appear in IBM Journal of Research.

Schiitzenberger M. P. Certain elementary families of automata, Symp. on mathematical theory of automata, Polytechnic Institute of Brooklyn, 1962.

Shepherdson J. C., The reduction of two-way automata to one-way automata, /. В. M. Journal of Research, 3 (1959), 198—200. (Русский перевод: Шепердсон Дж. К., Сведение двусторонних автоматов к односторонним автоматам, Кибернетический сборник, вып. 4, ИЛ, 1962, стр. 92—98.)

Shamir Е., On sequential languages, Tech. Report, 7, О. N. R., 1961.

Y a m a d a A., Counting by a class of growing automata, Doctoral Diss., Univ, of Penna, Philadelphia, 1960.

СОДЕРЖАНИЕ

Математические вопросы

А. Альберт. Конечные поля. Перевод Ю. Л. Сагаловича . . . .7

Р. Г. Галлагер. Простой вывод теоремы кодирования и некоторые применения. Перевод Б. С. Цибакова 50

Л. Истмен. О построении кодов без запятой. Перевод В. И. Ле- венштейна 91

Е. У. Карлайл. Приведенные формы для стохастических последовательностных машин. Перевод Р. Г. Бухараева . 101

Е. Крейндлер. Развитие теории оптимальных по быстродействию процессов управления. Перевод В. В. Глаголева111

Э. Р о к с и н, В. Спинадел. Достижимые зоны для автономных систем дифференциальных уравнений. Перевод В. М. Яковлева . . . 149

Математическая лингвистика

Н. Хомский, М. П. Шютценберже. Алгебраическая теория контекстно-свободных языков. Перевод' Н. Г. Самойловой и Н. Г. Щербаковой 195

КИБЕРНЕТИЧЕСКИЙСБОРНИК № 3

Редактор Н. Ф. МузылеваХудожник Н. К. СапожниковХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Т. А. Мирошина

Корректор А. Я. Шехтер

Сдано в производство 17/VI 1966 г.Подписано к печати 3/XI 1966 г.Бумага 60x90Vi6 = 7,63 бум. л. 15,25 усл. печ. л.

Уч.-изд. л. 13,4. Изд. № 1/3925

Цена 1 р. 11 к. Зак. 243(Темплан 1966 г. изд-ва «Мир», пор. № 5)

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 2 имениЕвгении Соколовой ГлавполиграфпромаКомитета по печати при Совете Министров

СССР. Измайловский проспект, 29

9 Символом RP(ax, ..., aq), как обычно, обозначено расширение простого поля Rp> полученное путем присоединения к нему всех корней (7) уравнения (6). — Прим, перев.

Ч Теорему 6 можно найти в любом руководстве по теории чисел, и мы

сохраняем здесь ее доказательство только для полноты изложения. — Прим,

(5) и (11) легко установить с помощью ряда алгебраических преобразова

ний. Соответствие между различными параметрами следующее (параметры

Шеннона будут стоять с правой стороны; Аа будет обозначать шеннонов

ское Л) 2

6 МCOS 01

— [G (01)]2 sin2 е, ‘

*) В этом случае можно породить бесконечное множество цепочек, не являющихся предложениями английского языка, например «that those torn books is obvious are completely worthless» и т. д. Следовательно, грамматика [(3), (4)] неприемлема. Трудность избежать эмпирической неадекватности такого рода часто недооценивается. Еще раз подчеркнем, чго это ключевой вопрос как для лингвистики, так и для психологии. Однако мы здесь этим заниматься не будем. По этому поводу см. Хомский [13]

’) Соответствующий английский термин «context-free grammar (language)» в других работах был переведен как бесконтекстная грамматика (язык). См. Кибернетический сборник, № 2, 1966. — Прим. ред..

Кибернетическийсборник

НОВАЯ СЕРИЯ

ВЫПУСК

3

Сборник переводов

Под редакцией

А. А. ЛЯПУНОВА И О. Б. ЛУПАНОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва 1966

УДК 519.05УДК 519.05

УДК 519.05

УДК 519.05

Научный совет по кибернетике Академии наук СССР

Третий выпуск новой серии кибернетических сборников состоит из двух разделов: математические вопросы и математическая лингвистика. Первый из них открывается работой А. Альберта по теории конечных полей — важному разделу алгебры, находящему широкое применение в теории кодирования. Теория кодирования представлена статьями известных специалистов — Р. Галлагера и В. Истмена. Остальные статьи этого раздела посвящены теории автоматов и теории оптимальных процессов. Раздел «Математическая лингвистика» включает работу Н. Хомского и М. Шютценберже по алгебраической теории контекстно-свободных языков.

Сборник рассчитан на научных работников, инженеров, аспирантов и студентов различных специальностей, занимающихся и интересующихся кибернетикой в ее математическом аспекте.

Редакция литературы по математическим наукам

Математическиевопросы

Конечные поля ’)

Л. Л. Альберт

Число элементов. Поле, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным полем. Конечное поле, состоящее из q элементов, будем обозначать символом Fq.

Единичный элемент поля F порождает подполе поля F, которое называется простым подполем. Простое подполе конечного поля Fq с необходимостью само конечно и представляет собой поле

F^R^R-(р),(1)

е. фактор-кольцо кольца R целых чисел по модулю (р), где р— характеристика поля Fq и (р) означает главный идеал, порожденный простым числом р. Как известно, элементы поля Rp можно представить целыми числами

О, 1, р — 1,(2)

где каждое число а представляет класс вычетов а+(р), состоящий из всех целых чисел вида а + Хр. Напомним, что для каждого а6 Rp справедливо свойство Ферма

аР = а,(3)

так как множество R*p всех ненулевых элементов поля Rp является группой порядка р — 1.

Каждое конечное поле K = Fq есть векторное пространство над его простым подполем Rp. Так как К конечно, то и его размерность п над Rp конечна. Отсюда

К = и^р-^ ... +unRp,(4)

т. е. каждый элемент к^К единственным образом представим в виде'

^ = ^1^1+ ... +^п^и>(5)

!) Albert A. A., Fundamental concepts of higher algebra, Ch._ V, 1956.

где ^ ... Дп^. Rp. Так как gb ..., ^п независимо друг от друга пробегают значения ряда (2), то к принимает рп значений. Таким образом, доказана

Теорема 1. Конечное поле К состоит из q=pn элементов, где р есть характеристика поля К, а п — степень поля К над Rp.

Существование и единственность. Ненулевые элементы любого поля К образуют мультипликативную группу К*. Если K=Fq, то группа К* имеет порядок T = q—1, и так как порядок подгруппы является делителем порядка группы, то каждый элемент группы К* удовлетворяет уравнению ^=1. Но в таком случае справедлива

Теорема 2. Каждый элемент поля Fq является корнем уравнения

f(x)=x« — х = 0. (6)

Докажем теперь существование и единственность поля Fq.

Теорема 3. Поле К разложения уравнения (6) над Rp есть конечное поле, состоящее из q=pn элементов. Каждое поле Fq изоморфно полю К.

Так как ^=рп = 0 в Rp, то f (х) =qx(i-i—1= — 1 не имеет общих корней с Цх). Отсюда следует, что полином /(х) сепарабельный (т. е. полностью распадается на различные линейные множители) и в поле разложения К имеет q различных корней

«1 = 0, «2= 1, • • •, aq. (7)

Если а^ = а( и а^ = а^ то («г«;)« = «г«;, и тогда любое произведение ble..bm ненулевых корней уравнения f(x)=O есть снова ненулевой корень этого уравнения. Таким образом, каждый элемент поля K=Rp(ab ..., aq) ^ есть линейная функция k = ^a2-V ... A-^qaq для £2, .^Rp и Vi=V Но тогда ^ = ^а2+ ... + ^я? = £, и, значит, каждый элемент поля К есть корень уравнения f(x)=O. Отсюда следует, что К содержит в точности q элементов и K = Fq. Если Fq— произвольное поле, которое состоит из q элементов, то можно предположить, что Fq имеет то же самое простое подполе Rp, что и К. По теореме 2 Fq^K'^.Rp, где К' есть поле разложения над Rp урав-

чения f(x)=O. Но по только что доказанному К' имеет q элементов и потому К = Fq. Известно, однако, что все поля разложения уравнения f(x)=O изоморфны, и потому наш результат доказан.

Циклическая группа F*q* Множество F*q всех ненулевых элементов поля Fq образует абелеву группу порядка т = ^—1. Пусть е — показатель группы Fq, т. е. наибольший из порядков всех элементов группы Fq. Тогда х8=1 для каждого x^Fq. так как порядок любого элемента конечной абелевой группы является делителем показателя группы. Но уравнение степени 8 имеет в Fq не более е корней, и уравнение х8=1 имеет q— 1 различных корней. Отсюда е > т > е, а потому е=т. Из сказанного следует, что Fq — циклическая группа, и справедлива

Теорема 4. Пусть K = Fq, где q=p'n = x-V\. Тогда К = = Rp(y) 9, где у — первообразный корень степени т из единицы и ненулевые элементы поля К суть степени 1, у, у2, ..., у^ элемента у.

Мультипликативный порядок р любого ненулевого элемента 6 поля K = Fq называется периодом элемента к. Поэтому период элемента к есть делитель числа г — порядка группы Fq, и мы будем говорить, что элемент к принадлежит р. Элемент к называется первообразным элементом поля Fq, если к принадлежит т. Следовательно, элемент к является первообразным элементом в том и только в том случае, когда k=yv, где ц взаимно просто с г. Число таких показателей ц есть значение функции Эйлера ф(т), и полученный результат можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5. Пусть Fq— поле, состоящее из q^p^ элементов, и x = q—\. Тогда в поле Fq имеется ф(т) первообразных элементов.

Первообразные корни по модулю ш. Теория первообразных корней по модулю m нужна для изучения степени конечного поля, заданного корнем из единицы. Рассмотрим поэтому общий случай кольца Rm — R—(m), где целое число т>1. Обозначим через Rm множество тех классов вычетов g+(m), которые определяются числами g, взаимно простыми с т. Тогда R*m будет абелевой группой порядка ^mY Если R^m —

]) Символом Rp^y^ как обычно, обозначено простое расширение поля Rp, полученное присоединением одного единственного элемента у. Ниже в том же смысле употребляется символ FqXkY — Прим. перев.

циклическая группа и у— такое целое число, что у+.(т) порождает группу Rm, то мы будем называть у первообразным корнем по модулю пг. Случаи, когда Rm— циклическая группа, описываются следующей теоремой.

Теорема 6 Ч. Группа R*m будет циклической тогда и только тогда, когда т = 2, 4, рп, 2рп, где р — нечетное простое число. Существует такой нечетный первообразный корень 6 по модулю любого нечетного простого числа р, что 6Р-1^ 1 (mod/?2). Каждый такой первообразный корень 6 является также первообразным корнем по модулям рп и 2рп для любого целого положительного числа п.

Действительно, в случае если m¥=2n, рп, 2рп, можно написать m = ab, где а и b взаимно просты и а>2, Ь>2. Так как ^(Рп) = Рп~{ (р— 1) является четным числом, если р нечетно или если р = 2, п>\, то мы видим, что ф(а) четно, каково бы ни было а>2. Но тогда наименьшее общее кратное чисел ф(а) и ф(6) есть некоторое целое у<ф(<?6)- Если бит взаимно просты, то 6^=1 (mod а) и дф(Ь)=1 (mod b), так что 6Y= =1 (mod а) и 6Y=1 (mod b). Но тогда 6Y=1 (moda6), показатель абелевой группы Rm не превосходит у и Rm—не циклическая группа. Отсюда т=рп, 2рп, 2П.

Группы Ri и Ra— циклические и 6= — 1 при т = 4. Если у — любое нечетное целое, то для &=1 справедлива формула y2ft= 1 (mod 2е+2),(8)

т. е. у2=1 (mod8) при всех нечетных целых у. Если она справедлива для некоторого к, то у2 — 1 + qZ и потому у2-=

= (у2»)2 = 1 + 2^2е +2 + q4k+4 = 1 + 2Й+3 (^ + 2ft + V). и, значит, сравнение (8) справедливо для всех целых к. Но тогда показатель группы/?т для т = 2п>4 не превосходит 2" ~2 = ^-<р (2”) и 1^т— не циклическая группа.

Положим теперь т=рп, где р— нечетное простое число и п>1. Заметим, что если

а=6 (mod/)),(9)

то a = b-Vcpk, ap = bP + bp~xcpk+' + ... +(^е)р и, значит,

<zp = 6p(mod /+1).(10)

По теореме 4 существует первообразный корень р по модулю р. Тогда, каково бы ни было целое а, 6 = р + ар есть первообразный корень по модулю р, и др — д = (р 4- ар)р— (р -|- ар) = рр — — р — a/>(modp2). Таким образом, или 0р— 0^0 (modp2) и мы полагаем а=0, или 0р— 0=0 (modp2) и 6р— д=ар^0 (modp2), если 1-^а-^р— 1. Мы доказали существование первообразного корня 6 по модулю р, такого, что

bP-^l-V-pd,(И)

где <1ф 0 (mod р).

Из биномиальной теоремы следует, что

(l+p^Esl-H/^rf^od/+2).(12)

В случае t = l сравнение (12) принимает вид

6(p-1)p=i+^2tZ(mod р3).

Согласно равенству (11), это частный случай формулы d^-'^^l+p^^^odp^2)(13)

при /=1. Но, согласно (10), из сравнения (13) для данного значения / имеем

д^-Ч^^О + /^/(mod /+3),(14)

и, чтобы получить сравнение (13) для j+V, мы используем сравнение (12) при i = j+l. Это показывает, что сравнение (13) справедливо при всех значениях/. Но тогда если s= (р— 1)рп“2, то 6S=1 +pn-xd ф 1 (modp71).

Пусть t—порядок того класса вычетов, который содержит 6 по модулю рп. Тогда 6^=1 (modp) и, значит/ / кратно р—1. Но ^^р^ = рп~х (р—1} кратно /, и потому t=ph(p—1), где к <. п—1. Из только что доказанного видно, что к = п—1 и потому 6 имеет порядок ф(рп) по модулю рп, а группа R*^ циклична, если т = рп и р— нечетное простое число. Одно из чисел 6 или 6+рп нечетно и оба являются первообразными корнями по модулю рп\ таким образом, мы можем считать 6 нечетным. Теперь ср(2рп) =ф(2)ср(рп) =ср(рп), и если /— порядок числа 6 по модулю 2рп, то S^l (modp71), / делится на ср(рп) = = ср(2рп), / = ср(2рп) и снова 6 — первообразный корень. Этим завершается доказательство нашего утверждения.

В приложении I дана таблица первообразных корней для всех нечетных простых чисел р<500. В приложении II дана краткая выборочная таблица индексов целых чисел. Заметим, что если 6 — первообразный корень по модулю р, то элементы

группы Rp являются степенями элемента 6, и потому п=б^ (mod р)

для всех целых п=1, 2, ..., р—1. Целое число v(n) называется индексом числа п по модулю р по отношению к 6. Оно обладает свойством

'v(ab) =v(a) +v(&), v(nh)=kv(n) (mod(p—1)).

Вернемся к теории конечных полей.

Группа Галуа конечного поля. Если F— произвольное поле характеристики р, то множество Fp, состоящее из р-х степеней элементов поля F, образует подполе поля F, Отображение

8 :x->xS=xp

есть изоморфизм поля F на Fp и должно отображать конечное поле F на себя. Таким образом, S есть автоморфизм поля F. Согласно равенству (3), S есть автоморфизм поля F над Rp.

Теорема 7, Группа Галуа поля F степени п над Rp есть циклическая группа, порожденная автоморфизмом х-^хр*

Порядок группы Галуа G поля F над Rp равен м, и S порождает G в том и только в том случае, если S имеет порядок п. Если S имеет порядок пг<п и t=pm, то xSm=xt~x, каково бы ни было x£F=Fq. В таком случае уравнение х1=х имеет q различных корней, что невозможно, так как t=pm< <q=Pu.

Известно, что если g— образующий элемент конечной циклической группы порядка v, то любая ее подгруппа Н является циклической и порождается элементом g\ где 6 — делитель V. Отсюда сразу следует, что каждая циклическая группа [S] порядка п имеет единственную подгруппу Н индекса т, каков бы ни был делитель m числа п, и /7=[5т]. Тогда поле L^K, которое состоит из всех элементов а€ К, таких, что a=aS, если S^H, является подполем поля K = Fq степени пг над Rp. Так как подполе L единственно, то имеет место следующая

Лемма 1. Пусть К — поле степени п над Rp. Тогда поле L степени m над Rp изоморфно подполю поля К над Rp тогда и только тогда, когда п кратно т.

Лемма 1 влечет за собой теорему, частным случаем которой она является.

Теорема 8. Пусть К — конечное поле степени п над Fq. Тогда поле L степени m над Fq изоморфно подполю поля К над Fq в том и только в том случае, если п кратно т.

Действительно, пусть F=Fq имеет степень v над Rp и, следовательно, pv = q. Тогда, как известно, К имеет степень от над Rp. Если степень L над Fq есть т и L изоморфно подполю поля К над Fq, то оно изоморфно подполю поля К над Rp и потому от кратно mv и п кратно т. Обратно, если п кратно т, то поле К содержит подполе U степени т над F и U изоморфно L по теореме 3.

Перефразируем теперь теорему 7 для случая поля К над Fqi а не над Rp.

Теорема 9. Пусть К—поле степени п над Fq. Тогда группа Галуа поля К над F есть циклическая группа, порожденная автоморфизмом х-^х^.

Действительно, поле К циклично и имеет степень от над ^р1), где q=p^. Поэтому группа Галуа поля К над F есть группа индекса v, оставляющая элементы поля F на месте. Она порождается v-й степенью отображения S, где5 — автоморфизм х —>х?, и мы видим, что Sv есть автоморфизм х->хр\ Sv есть в точности х —> х^.

В качестве следствия из теоремы 9 можно получить критерий для определения степени простого расширения конечного поля.

Теорема 10. Число m тогда и только тогда будет степенью поля K = F(k) над F = Fq, когда оно является наименьшим из натуральных чисел, удовлетворяющих равенству

kqm^k. (15)

Действительно, можно найти такое поле W 3 К, что его степень п над Fq кратна т, где m есть наименьшее целое число, удовлетворяющее равенству (15). В таком случае равенство (15) показывает, что к принадлежит полю L, элементы которого остаются неизменными при преобразованиях группы И, порожденной автоморфизмом Sm. Эта группа имеет индекс т, и потому степень поля L над F равна т. Если F^k) имеет степень ц<т над F, то по теореме 9 kq^ = k вопреки определению числа т.

9 Поле Р— конечное, нормальное, сепарабельное расширение поля Т — называется циклическим над Г, если группа Галуа поля Р над Т циклична. Определение сепарабельного расширения см. в сноске на стр, 28. —- Прим»

Формула Дедекинда. Теорему 8 относительно полей можно следующим образом перефразировать на случай неприводимых полиномов:

Теорема 11. Пусть ф(х) —неприводимый над Fq полином степени m и

" g(x) = xr — х ^r = qny(16)

Тогда полином g^x) кратен полиному ф(х) в том и только в том случае, если п кратно пт.

Из теоремы 11 следует, что g^x) делится на все неприводимые полиномы степени т, где т — любой делитель числа п. Более того, §■(%) = (хг — х)—сепарабельный полином, и, значит, в разложении полинома g^ на неприводимые полиномы каждый неприводимый полином степени т встречается в точности один раз; о таком неприводимом полиноме можно сказать, что он — простой множитель полинома g(x).

Пусть Л(х)—произведение всех различных неприводимых полиномов, степени которых суть собственные- делители числа п. Тогда Л(х) —наименьшее общее кратное полиномов

х^)—1 [т(и) = ^ —1],(17)

где ц пробегает все собственные делители числа п. Очевидно, g^ кратно Л(х), и частное

(18)

есть произведение различных неприводимых полиномов степени п над F=Fq.

Имея в виду вывести так называемую формулу Дедекинда, примем некоторые обозначения.

Пусть теперь п = реххре^ ... р6^, где а, р^ ..., р$ — различные простые множители числа п. Пусть

ЕслиЕсли2-(А> А)(19)

Если

Если

— множество, состоящее из простых чисел рь ..., ps. 2ь— любое подмножество, состоящее из к элементов pt , .

множества S, то отношение числа п к произведению элементов множества S^ обозначим следующим образом:

m(Sft)m(Sft)ппрчрч(20)(20)

m(Sft)

m(Sft)

п

п

рч

рч

(20)

(20)

Существует oS) ^ подмножеств 2д множества S, где os, k — число сочетаний из s элементов по к. Заметим, что m(S^) есть собственный делитель числа п для к=А, ,,.,s. Положим m(20) =л.

Для всех положительных целых т положим

[пг] = х^т—х,(21)

где основным полем коэффициентов является поле F = Fq. Тогда

(22) Пусть

W = П ИМ-(23)

Тогда Хк(х) есть произведение множителей вида (21), где п кратно т и

%0 (х) = \т (50)] = g (х).(24)

По теореме 11 степень каждого неприводимого множителя в произведении Хк^ является делителем числа п, причем в случае ^>0— собственным. При q=p формула, которую мы сейчас выведем, принадлежит Дедекинду.

Теорема 12. Пусть F — поде из q элементов и Г (х; п, q^ — произведение всех неприводимых над F полиномов степени п. Пусть п = рехх ... pes и

АоМ= П W(25)

0 < 2^ < s

= П ^+iW-(26)

1<2A + Ksv '

Тогда

<27>

В самом деле, как мы уже видели, каждый неприводимый полином степени п есть простой множитель Х0(х) и не является множителем произведения %^(х) при к>0. Пусть й(х) —неприводимый полином степени р<п, который кратен произведению До(х)А1(х); р, таким образом, является собственным делителем числа п. Пусть q^ .qt—простые множители числа п, которые входят в п с более высокими показателями, чем в р. Тогда если k>t, то т^к) не кратно р. Отсюда при k>t XkW не кратно h^x). Если k^t, то т^к) кратно р тогда и только тогда, когда Ед есть подмножество множества S'=(9i, ..., qtY Существует ot) к подмножеств 2^ с S', и, значит, h^ является множителем полинома XkW кратности ot,k. Отсюда h^ является множителем полиномов До(х) и ДДх) кратностей

ц = 1Ч~ц = 1Ч~22?<2fc<(?<2fc<(°t, 26°t, 26(28)(28)

ц = 1Ч~

ц = 1Ч~

2

2

?<2fc<(

?<2fc<(

°t, 26

°t, 26

(28)

(28)

И

Р —5°t, 2^+1(29)

С2Л + 1 с

соответственно. Разложение

р(х) = (1 +»^ = 1 + qz ^+ ... +'оч, t^(30)

показывает, что а есть сумма коэффициентов при четных, а р — при нечетных степенях х в р(х). Поэтому р(—1)=а—р = = (1— 1)* = 0. Отсюда Л(х) входит в Д0(х) и ДДх) с одинаковой кратностью, а потому — с нулевой кратностью в их частное. Это доказывает нашу теорему.

Степень функции Г (%; /г, ^) в равенстве (27) равна nv(n, q^ где

(31)

Таким образом, (31) есть формула для числа неприводимых над Fq полиномов степени п.

Упражнения

Путем разложения частного (х16— х) (х4— х)-1 показать, что тремя неприводимыми над F2 полиномами степени 4 являются полиномы

х4+х+1, х4 + х3+1 и х4+х3+х2+х+1.

Пусть £2+£+1 = 0, так что F2(t) есть поле F4 степени 2 над F2. Определить шесть неприводимых над F4 квадратных полиномов посредством разложений

(х4+х+1) = (х2+х+С) (х2+х+£2),(х4+х3+1) = (х2+£х+^) (х2+£2х+£2),(х4+х3+х2+х+1) = (х2+^+1) (Х2+£2Х+ 1).

Полиномы, принадлежащие некоторому показателю. Говорят, что неприводимый над конечным полем F полином f(x) степени m принадлежит показателю е, если е такое наименьшее натуральное число, что Xе—1 кратно f(x).

Теорема 13. Неприводимый над Fq полином f(x) степени m принадлежит показателю е тогда и только тогда, когда период каждого корня уравнения f(x)=O равен е. В этом случае qm — 1 кратно е.,

Действительно, пусть к— корень уравнения /(х)=0, так что ^(й) есть поле степени m над Fq и ке=\. Если е — период корня к, то, как мы знаем, е е. Отображение х-^х^— образующий автоморфизм поля Fq^ над Fq и /(%) = (%— к^ ... . ..(х—кт), где ki = kSi*1. Тогда $ = ^81- =1, и потому ка^

ждый корень полинома f(x) является также корнем полинома хе—1. Так как полином f(x) сепарабельный, то он является делителем полинома хБ— 1, и потому е > е. Следовательно, г = е. Согласно разд. 3, период каждого элемента поля Fq(k) является делителем числа qm—1, а значит, таковым является и е.

Используя теорему 10, можно усилить предыдущий результат следующим образом.

Теорема 14. Пусть к—первообразный корень степени е из единицы в некотором поле над Fq. Тогда степенью поля Fq(k) над Fq будет такое наименьшее целое число пг, что qm=\ (mode). Более того, qn=\ (mod е) тогда и только тогда, когда п кратно т.

Теорема 10 утверждает, что степенью поля Fq(k) над Fq будет такое наименьшее натуральное число т, что Ат=1, где x = qm—1. Но если к — первообразный корень степени е из единицы, то это значение т есть такое наименьшее натуральное число, что qm=\ (mode). Действительно, тогда т есть порядок элемента q в мультипликативной группе R*. Но тогда, если ^n=l (mode), то п кратно пг. Это следует из того, что степень элемента равна единице группы тогда и только тогда, если показатель степени кратен порядку элемента.

Теперь не представляет труда найти в терминах функции Эйлера выражение для числа нормированных неприводимых полиномов данной степени, принадлежащих данному показателю.

Теорема 15. Существует т-1ф(е) нормированных неприводимых над Fq полиномов степени пг, принадлежащих показателю е.

Теорема 15 представляет собой следствие того факта, что элементы поля, имеющие одинаковый период, определяют одно и то же поле. Для доказательства положим, что К есть поле разложения полинома хе—1 и что k^K— первообразный корень степени е из единицы. Тогда из того, что К* циклическая группа и ее подгруппы однозначно определяются своими порядками, следует, что в поле К каждый корень степени е из единицы есть степень элемента к. Поэтому если период элемента h^K равен е, то мы имеем к = кг для /, взаимно простого с е, k = hs для s, взаимно простого с е, F(h) с F^k) с F^h) и/**(/?) = = F(ky Таким образом, каждый первообразный корень степени е из единицы определяет нормированный неприводимый над F полином, степень которого равна степени m поля F(k)

над F. Каждый из ц таких различных полиномов имеет пг различных корней, и все они являются элементами периода е. В таком случае в поле К существует pim первообразных корней степени е из единицы. Но каждый первообразный корень степени е из единицы есть степень к, где t взаимно просто с е; таких показателей t существует ф(е), и p = m“^(e), что и требовалось доказать.

Заметим, что делимость ф(е) на m следует из теоремы 14, которая утверждает, что m есть порядок элемента q в группе /<*. Порядок группы /?* равен ф(е), и, значит, ф(е) кратно т1).