Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЫШЛЕНИЯНА ИЕРАРХИЧЕСКИХ ДЕРЕВЬЯХ
Мне бы хотелось поразить вас чрезвычайно странным фактом, очевидным парадоксом .Научная картина мира не содержит чувств, ощущений, они неумышленно, но достаточно систематически удаляются из нее. В то время, как реальная картина мира всецело основана на чувственных восприятиях, они — материал, кирпичи, из которых все построено.
Э. Шрёдингер
Понятие информации будет играть важную роль в нашей книге. Мы нс следуем теории Шеннона [169], в которой существует количественная мера информации — энтропия. Информационная модель Шеннона описывает ситуацию, в которой состояние системы для нас точно нс известно. Информация по Шеннону может быть названа пассивной информацией. Эта информация о неопределенности в стационарном состоянии. Следуя Д. Бому и Б. Хайли [37], мы рассматриваем информацию как активную информацию. В нашей модели информационное пространство Х[ — это множество последовательностей, состоящих из символов, с заданными на них некоторыми операциями. Эти операции определяют взаимодействия между последовательностями, активный обмен информацией.
Всюду в этой книге мы будем пользоваться аббревиатурой / для обозначения слова информация. Символ т будет использоваться для обозначения мыслящих систем.
Мыслящие системы (в частности, люди) оперируют с /-последовательностями. Такие последовательности информации (просто последовательности цифр) будут называться I-состояниями. Иерархические семейства /-состояний образуют /-объекты. Они будут называться ассоциациями. Семейства ассоциаций образуют /-объекты высшего уровня. Они будут называться идеями.
Эта глава посвящена математическим динамическим моделям мышления на уровне простейших /-структур, а именно /-со-
стояний. Динамические модели мышления на высших уровнях /-иерархии, а именно ассоциаций и идей, будут изучаться в главах 2, 3. Конечно же, последние модели наиболее интересны для наук о мышлении, поскольку они дают возможность описать потоки высоко организованной психологической информации. Однако даже «динамика примитивного мышления» на уровне /-состояний описывает некоторые существенные аспекты психологии человека.
Процесс мышления (на первичном уровне) совершается динамической системой, которая работает с /-состояниями, т. с. существует нелинейное соотношение между /-состояниями на входе и на выходе
~ /(^), (1-1)
где Xj — конфигурационное пространство динамической системы (пространство /-состояний или ментальное пространство). Достаточно естественно использовать динамические системы (процессы обратной связи) при исследовании функционирования человеческого мозга. Основной задачей здесь является построение хорошей математической модели, которая описывает существенные аспекты этого функционирования. Первая проблема — найти адекватное математическое описание для /-состояний ж. Вторая — найти соответствующие динамические законы /(ж).
В данной книге мы предлагаем математическую модель для процесса мышления, которая основывается на иерархических кодирующих системах. Эти кодирующие системы описываются системами так называемых р-адических или, более общо, m-адических чисел. Здесь m > 1 — натуральное число, основание кодирующей системы. С математической точки зрения модель становится существенно проще, если т = р, где р — простое число (например, р = 2). Поэтому мы часто ограничиваемся рассмотрением этого случая.
Другой важной чертой нашей модели является то, что процесс мышления разделяется на две отдельные (но в то же время тесно связанные) области: сознание и подсознание 9. Мы будем придерживаться следующей точки зрения на одновременную работу сознания и подсознания. Сознание содержит в себе управляющий центр УЦС, который обладает функциями контроля. Он формулирует задачи и посылает их в область бессознательного. Процесс нахождения решения скрыт в области бессознатель-
9 Конечно же, автор находился под влиянием теории Фрейда о бессознательном и его роли в процессе мышления, [78].
кого, где работает гигантская динамическая система. Ес работа начинается с /-состояния жо (или группы /-состояний /Уо), которое сообщается сознанием. Математически это соответствует выбору начальной точки жо (или окрестности U^Y Отправляясь от этой начальной точки жо, мыслительный процессор тг, находящийся в области бессознательного, генерирует со страшной скоростью огромное число новых /-состояний:
Ж1 =/(жо), жп+1 =/Щ),
Эти /-состояния нс используются сознанием. Сознание (а именно УЦС) управляет только некоторыми исключительными моментами в работе динамической системы в области бессознательного. Это различные режимы стабилизации. Важнейшие из них — аттракторы, которые рассматриваются сознанием как возможные решения задачи. Могут также возникать циклы (а ™э b -4- ... ™э с -4 а), которые порождают сигналы к остановке динамической системы. Если сознание нс может принять какое- либо решение, тогда оно может послать новое начальное /-состояние Жд в область бессознательного или сменить режим работы мыслительного процессора. Математически смена режима может быть описана как смена функции /(ж), определяющей динамическую систему. Таким образом, мы можем описывать процесс мышления как работу семейства динамических систем /«(ж), где параметр а выбирается сознанием (или случаем в случайной динамической модели мышления).
Геометрически мы можем представить систему т-адических целых чисел (которые будут математической основой наших моделей мышления) как однородное дерево с m-ветвями, исходящими из каждой вершины. Это дерево начинается символом *. Это корень m-адического дерева. Существует m-адическая алгебраическая структура, заданная на этом дереве, которая даст возможность складывать, вычитать и умножать ветви этого дерева, /-состояния мыслящих систем будут представляться как ветви такого дерева. Мы получаем алгебру информации 9. На уровне «аппаратного обеспечения» мозга такие ветви могут быть представлены иерархическими цепями нейронов, см. гл. 2. Расстояние между /-состояниями определяется длиной их общего корня: близкие /-состояния имеют длинный общий корень. Заметим, что такая m-адическая метрика хорошо известна
9 Я не думаю, что реальные процессы мышления сводятся к m-адической алгебраической динамике. Такое «алгебраическое мышление» могло бы быть полезным для моделирования процессов мышления.
в теории чисел. Соответствующая геометрия сильно отличается от обыкновенной геометрии Евклида, /-динамика мышления — это нс только динамика /-состояний (ветвей дерева). Семейства /-состояний также имеют смысл в теории мышления. В нашей модели связка ветвей иерархического дерева имеет значение ас™ социаций. Ассоциация — это семейство /-состояний, которые достаточно близки в m-адической метрике. В нашей модели семейства ассоциаций интерпретируются как идеи. Нашей основной целью является изучение динамики ассоциаций и идей, а именно коллективной динамики /-состояний, см. гл. 2, 3.
р-адическая динамическая модель мышления, которая рассматривается в этой главе, является, по существу, одной из моделей искусственного интеллекта, см. § 10. Отличительной особенностью нашей модели является очень специфический способ кодирования информации. Предполагается, что все мыслящие системы кодируют информацию, используя последовательности состояний (в простейшем случае «да» = 1, «нет» = 0) с жесткой иерархической структурой. Таким образом, в нашей модели искусственного интеллекта основной упор делается на роль иерархии в представлении информации мыслящими системами. Автор считает, что наличие такого иерархического представления является необходимым (но, вернее всего, нс достаточным) условием возникновения мыслительных процессов. Наличие иерархии в /-последовательностях индуцирует очень специфические геометрии на ментальном пространстве. Это так называемые ультрамстричсскис геометрии. Автор считает, что именно ультра- метрические геометрии являются основой математического описания процессов мышления. Таким образом, в то время, как для математического описания потоков материи используется непрерывное вещественное пространство с евклидовой или другими непрерывными вещественными геометриями, для описания потоков мыслей нужно использовать ультрамстричсскис геометрии и, в частности, m-адические геометрии.
В то же время следует подчеркнуть, что традиционная схема искусственного интеллекта в нашей модели используется только на уровне подсознания. Сознание не может быть математически описано на уровне моделей искусственного интеллекта. Здесь нужно использовать другие идеи, см. последующие главы.
Конечно, искусственный интеллект здесь понимается в широком смысле этого слова. В ортодоксальных моделях искусственного интеллекта, которые были предложены в 50-е гг. и стали очень популярны в 60-е гг., предполагается, что операции над символами осуществляются только с помощью рекурсивных (вы™
числимых) функций. Любая такая функция имеет алгоритмическую реализацию (т. с. может быть реализована с помощью машины Тьюринга). Эта ортодоксальная идеология искусственного интеллекта в корне чужда нашей модели. Нет никаких разумных доводов в пользу того, что функция /, осуществляющая итерации /-состояний (1.1), должна быть вычислимой.
Следует также отмстить другой подход к моделированию процессов мышления, который имеет некоторые общие черты с нашей моделью динамического мышления в р-адических ментальных пространствах. Это так называемый динамический подход к моделям мышления. Но здесь мы также должны рассматривать динамический подход в очень широком смысле этого слова. Ортодоксальный динамический подход к моделям мышления, также возникший в 50-е гг., базируется на теории непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Основной постулат этого подхода: весь процесс мышления может быть описан системами (в общем случае нелинейных) дифференциальных уравнений. Использование вещественного непрерывного времени в ортодоксальном динамическом подходе играет фундаментальную роль. При этом подходе предполагается, что мышление обуславливается физикохимическими процессами в мозге, а также окружающей среде. Обусловленность физическими процессами приводит к использованию одного и того же временного параметра — вещественного непрерывного времени — и в физических моделях, и в моделях мышления. Грубо говоря, если законы Ньютона для движения материальных тел описываются дифференциальными уравнениями относительно вещественного времени, то и (еще, возможно, нс открытые) законы для потоков мыслей должны описываться такими же уравнениями. Заметим, что в первых динамических моделях мышления часто использовались стандартные уравнения классической механики, например уравнения колебаний.
Несмотря на то, что мы тоже используем математический аппарат теории динамических систем, наш подход к моделированию процессов мышления нс имеет ничего общего с ортодоксальным динамическим подходом. Мы не обуславливаем мыслительные процессы физико-химическими процессами в мозге и окружающей среде. В нашей модели мышления это является свойством специальным образом организованной информации. Неважно, каким образом эта информация производится. Она может, например, производиться нейронной сетью головного мозга. Процесс такого производства и пытаются описать с помощью ортодоксального динамического подхода. Однако нельзя исклю-
чить, что эта когнитивная информация может производиться и многими другими системами, имеющими сложную иерархическую структуру. В нашей модели нс исключена возможность создания мыслящей системы (возможно, даже имеющей сознание) на основе интернета. Мы также будем обсуждать возможность возникновения коллективного мышления (и, возможно, даже сознания) у больших групп живых организмов, имеющих специальную иерархическую организацию.
Наша р-адическая динамическая модель мышления нс может быть совмещена с использованием непрерывного вещественного времени, р-адическое ментальное пространство наделено ультра- метрической топологией, которая не совместима с евклидовой топологией вещественного времени. Поэтому мы рассматриваем дискретные динамические системы. Причем в отличие от стандартной теории динамических систем р-адические дискретные динамические системы нельзя рассматривать в качестве аппроксимаций систем с непрерывным вещественным временем.
Рис. 1.1. 2-адическое дерево
Можно рассматривать динамику с «непрерывным» р-адическим временем. Но такое время нс имеет прямой связи с физическим временем. В нашей модели р-адическое время интерпретируется как ментальное (психологическое) время.
Ультраметрические пространства
Понятие метрического пространства используется во многих приложениях для описания расстояний между объектами.
Пусть X — некоторое множество. Функцию р : X х X R+ (где R+ — множество положительных действительных чисел) называют метрикой, если она обладает следующими свойствами:
р(ж,р) = О ^ х = у (невырожденность);
р(ж,^/) = р(?/,ж)(симметричность);
р^х, у) р^х, ,г) + р^У у) (неравенство треугольника).
Пара (Х,р) называется метрическим пространством.
Абстрактные метрические пространства были введены как обобщения евклидова пространства
Rn = {ж = (xi, ..., хп): Xj Е R}
со стандартной метрикой
реЫу> = уТТИТгСТТСутгуу.
Тем нс менее в некоторых приложениях структура множества X и свойства метрики р могут существенно отличаться от евклидова случая. Нас интересует следующий класс метрических пространств (Х,р). Каждая точка х имеет бесконечное число координат
X = («1,,ап,.(1.2)
Каждая координата принимает конечное число значений
а Е Ат = {0,..., m — 1},(1.3)
где т > 1 — натуральное число, основание алфавита Ат. В наших моделях метрика р является так называемой ультраметрикой [127, 72, 163], т. с. удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:
р(х,у) max [р(ж, z), р^, y)Y ayy.z Е X. (1-4)
Усиленное неравенство треугольника имеет следующий геометрический смысл: длина каждой стороны треугольника не превышает наибольшей из двух остальных. Это автоматически влечет, что все треугольники являются равнобедренными. Мы увидим, что такие треугольники ассоциаций являются естественными объектами в ментальных пространствах. Заметим, что из усиленного неравенства треугольника следует обычное неравенство треугольника.
Обозначим пространство последовательностей (1.2) символом Zm. Стандартная ультраметрика вводится на этом множестве следующим образом.
Фиксируем действительное число 0 < q < 1. Пусть
X = («о, «1, «2,У = ЫШ\Ж ••• ,3п, ■■■ ) е Zm.
Положим
РтЫ у) = Ч^ если а3=3г 3 = 0, 1, . .. , к - 1, И «к^Зк-
2 х
Эта функция является метрикой и даже ультраметрикой. Для того, чтобы найти расстояние рт(х,у) между двумя последовательностями цифр х и у, мы должны найти первую позицию к такую, что последовательности имеют различные цифры на этой позиции. Выбор константы q нс играет никакой роли. Геометрии (топологии), соответствующие различным 0 < q < 1, эквивалентны. Стандартный выбор: q = 1/m. Таким образом
т '
Пусть т = 2. Пусть х = (0, 1,0,...) и у = (0, 1, 1,...). Здесь к = 2 и, следовательно, р^х, у) = 1 /4.
Пример 1.1. Пусть А = (а0,..., ат~1) — алфавит, состоящий из т букв. Множество всех (бесконечно длинных) текстов в этом алфавите может быть отождествлено с Zm. Каждый текст х может быть описан последовательностью
х = («о,..., ар,...), aj Е А.(1.5)
Мы используем букву а0 Для обозначения пробела. В таком алфавите конечный текст может быть отождествлен с последовательностью х, в которой а^ = ад Для всех 3 ^ к, к = к(х).
Пусть Л — русский алфавит, включающий пробел а^, точку и все грамматические знаки препинания. Рассмотрим тексты:
х = (Я должен ходить в университет),
у = (Я хожу в университет),
г = (Я хожу в магазин).
Тогда рт(х,у) = р(ж, г) = 1/т2 (общий начальный отрезок длины 2); рт^у,^ = 1/т9 (общий начальный отрезок длины 9). В частности,
рДх, у) с max [рт(я, г), рт^, у^
тпГтГ
Теперь рассмотрим текст w = (Он должен ходить в университет). Тогда pm(x,w) = pm(^/,w) = pm(z,w) = 1. Этот пример показывает важное свойство нашей модели: выбор первых битов текста играет решающую роль (ментальные точки, начинающиеся с «Я», строго отделены от точек, начинающихся с «Он» или «Она»).
Пусть (Х,р) — произвольное ультраметрическое пространство. Для г Е R+, а Е X, положим
UT(a) = {х Е X: р(х, а) Д г},U”(a) = {х Е X: р(х, а) < г}.
Это шары радиуса г с центром в точке а. Шары обладают следующими свойствами [163].
Допустим, что U и V — два шара в X. Тогда существуют только две возможности:
шары упорядочены относительно включения (т. с. U С V или V С И);
шары нс пересекаются 9.
Каждая точка шара является его центром.
Шар может иметь бесконечно много радиусов.
Читателя, немного знакомого с топологией, может заинтересовать следующее свойство шаров.
Каждый шар в X как открыт, так и замкнут.
Множества, открытые и замкнутые одновременно, будут играть огромную роль в наших дальнейших исследованиях. Для таких множеств мы используем слово «открыто-замкнутый» ).
Символ ST(a) обозначает сферу
ST(a) = {х Е X: р(х, а) = г}
радиуса г Е R+ с центром в точке а. Заметим, что любая сфера является открыто-замкнутой. Заметим, что сфера нс является границей шара.
Системы р-адических чисел
Система р-адических чисел Qp (р > 1 ™ простое число) была построена немецким математиком К. Гензелем [91]. По сути, это был первый пример бесконечного числового поля (системы, где сложение, вычитание, умножение и деление корректно определены), которое отличалось от полей действительных и комплексных чисел, а также полей рациональных функций. На протяжении последних ста лет р-адические числа рассматривались как чисто математический объект. Но в последние годы эти числа стали интенсивно использоваться в теоретической физике (см., например, книги [187, 107, 111] и работы [190, 186, 79, 80, 105, 109, НО, 13, 14, 2, 116]), теории вероятностей [117, 106, 112], исследованиях хаоса и динамических систем [182, 16, 17, 136, 95, 108, 111, 3-6, 113-116, 119-122, 131, 145].
9 В евклидовом пространстве существуют три возможности.
Использовать в биологии только те числовые системы, которые строятся на основе простых чисел р, нс естественно 9. Поэтому начнем с более общей числовой системы — системы m-адических чисел, где m > 1 — натуральное число. Затем мы объясним, почему математики предпочитают использовать р-адические числа (подробности см. в гл. 7).
Пусть т > 1 — фиксированное натуральное число. Рассмотрим метрическое пространство (Zm,pm). Заметим, что это метрическое пространство обладает естественной алгебраической структурой (см. Гензель [91]).
Метрика может быть представлена в виде
Рт(х,у) = |ж - у|т,
где | • |т — так называемое т-адическое нормирование (аналог обыкновенного модуля для действительных чисел). Оно определяется следующим образом. Пусть ж = («о, «ь ..., а^ • • • )• Тогда
если ^-=0, j = 9,..., А: - 1, и ак 0. т '
Заметим, что усиленное неравенство треугольника верно и для m-адического нормирования:
k + У\т С шах[|ж|т, \и\щ\.
Усиленное неравенство треугольника является геометрической основой нашей модели процесса мышления. Мы считаем, что топологии на пространствах идей существенно отличаются от топологий на «физических пространствах», [43, 34, 56, 64, 89, 191, 32, 33, 188, 189]. Последние пространства оснащаются метрическими топологиями, которые нс являются ультраметрически- ми (т. с. «физическая метрика» удовлетворяет только обыкновенному неравенству треугольника и нс удовлетворяет усиленному неравенству треугольника). Соотношения между метрическими топологиями «физических пространств» и ультраметрическими топологиями ментальных пространств будут изучаться в гл. 6.
Заметим, что (как и в случае вещественного нормирования, стандартного модуля на вещественной прямой, | • |)
к|m 9 И |ж|т — 944* Ж — 9.
9 Однако модели, основанные на простом числе р, проще с математической точки зрения. Таким образом, мы будем изучать на строгом математическом уровне только р-адические модели.
Точку ж = («о,«2,..., «п,...) пространства Zm можно
отождествить с «числом»
ж =. = «о + а\т + ... + а^тк + ...(1.6)
(этот ряд сходится в метрическом пространстве Zm). В частности, конечные /-последовательности ж = а^ад ...а^ могут отождествляться с натуральными числами
х = «о + оцтп + ... + а^т .
Следовательно, множество всех конечных /-последовательностей может быть отождествлено с множеством натуральных чисел N. Так что динамика конечных /-последовательностей может быть смоделирована в виде динамики на N. Более того, N — плотное подмножество в Zm: любой ж Е ^т можно приблизить с произвольной точностью натуральными числами. Если ж — натуральное число, то |ж|ш = т™^ тогда и только тогда, когда ж делится на тпк и нс делится на тпк^\
Множество Zm называется множеством m-адических целых чисел.
На множестве m-адических чисел Zm можно ввести алгебраические операции, а именно сложение, вычитание и умножение. Эти операции являются естественными продолжениями стандартных операций на множестве натуральных чисел N = = {0, 1,2, 3,... } (подробности см. в гл. 7). Отмстим, что деление в Zm не является корректно определенным (это числовое кольцо, но не числовое поле, [163]).
В некоторых моделях мышления мы будем использовать расширения Zm. Однако эти расширения появятся (весьма формально) только в конце пятой главы. Читатель, интересующийся только приложениями к теориям мышления, может пропустить следующие математические рассмотрения и перейти прямо к разделу 3. Рассмотрим выражение вида:
ОО
х =,(1-7)
3 = 8
где (Xj = 0, 1,..., m — 1 и s = 0, ±1, ±2,... Обозначим множество всех таких выражений символом Qm. Положим |ж|т = = т™8, если сх8 ^ 0. Это естественное продолжение нормирования, заданного на Zm. Если s = 0, 1,2,..., то ж = cxsm8 + ... ... + ajm^ + ... Тогда |ж|т = т™8. С другой стороны, если s = = — 1, —2,... , то ж = a^k/^ + ... + ajin^ + ... , где к = — s.
Тогда |ж|т = m s = mk 9. Qm является полным ультраметри- ческим пространством относительно соответствующей метрики
Рт(х,у) = Ь - у\т.
Введем сложение, вычитание и умножение на Qm точно также, как и на Zm, продолжая стандартные операции, заданные на множество конечных сумм:
хп =•
Заметим, что
|ж?/|т ^ |ж|т |^/|т-
Если т = р является простым числом, то (как и для стандартного модуля в вещественном случае)
1ж?/|р = 1ж1р |?/|р-
В общем случае деление на Qm нс определено. Однако если т = р является простым числом (р = 2 или 3, или 5, или
Рис. 1.2. Факториальное дерево ZM для М = (2,3,4,...)
...), то деление определяется корректно. Заметим, что множество Zm совпадает с единичным шаром £71(0) в Qm :
Zm — {ж 6 Qm • |^|m1}.
9 Система действительных чисел R состоит из выражений вида: х = у^ ^j^ (обычно используется десятичная шкала). В вещественном случае может быть только конечное число членов с положительными степенями т, а в m-адическом случае может быть бесконечное число членов с положительными степенями т. Для отрицательных степеней все наоборот.
В главах 1-4 мы будем использовать в качестве математической модели ментального пространства только пространство Zm; в гл. 5 мы также обсудим возможность использования Qm. Мы можем использовать и более сложную числовую систему, соответствующую неоднородным шкалам М = (mo, mi,... , шр,...), где ту > 1 — натуральные числа. Здесь цифры dj в представлении (1.2) принимают значения 0, 1,..., my — 1, т. с. алфавит зависит от места буквы в тексте. В этом случае можно построить числовую систему Qm- Однако здесь с математической точки зрения ситуация достаточно сложная. Поэтому мы нс будем использовать математические модели над Qm-
Ментальное пространство
Мы будем использовать следующую математическую модель для ментального пространства (или /-пространства).
Структура множества. Множество /-состояний Xj имеет структуру m-адического дерева: Xj = Zm.
Топология. Два /-состояния ж и у близки, если они имеют достаточно длинный общий корень. Эта топология описывается метрикой рт.
Таким образом, в нашей математической модели ментальное пространство представляется как ультраметрическое пространство (Z^,^^).
Для того, чтобы построить математическую динамическую модель мышления, нам следует описать взаимодействия между /-состояниями. Мы представляем эти взаимодействия, пользуясь преобразованиями пространства Хь которые порождают новое /-состояние ж = #(ж1,..., жп) на основе /-состояний Ж1,...,жп. Простейшие взаимодействия реализуются как бинарные операции. В частности, мы можем использовать алгебраические операции на пространстве /-состояний Xj = Zm.
К примеру, рассмотрим в качестве пространства /-состояний Z2. Пусть ж = (010 ... 0 ...), у = (100 ... 0 ...). Тогда z = ж + у = = (110 ... 0 ...). Поэтому если /-состояние ж начиналось со слов (нет, да, ...), а /-состояние у с (да, нет, ...), то взаимодействие- сложение между этими /-состояниями производит /-состояние z, начинающееся с (да, да, ...). Допустим, ж = (100 ... 0 ...), у = = (110 ... 0 ...). Тогда z = ж + у = (0010 ... 0 ...). Двойное «да» на некотором уровне производит «нет» на одном уровне и «да» на следующем уровне. Умножение на Z2 индуцирует следующее взаимодействие между /-состояниями. Пусть х и у представляются в Z2 натуральными числами: ж = 2П, у = 2т (лишь одно
«да», соответственно, на n-м и m-м уровнях). Тогда z = ху = = 2n+m («да» на (п + тпум уровне). Значит, взаимодействие- умножение порождает скачкообразное изменение /-состояний. Задача математического описания функций взаимодействия является трудной задачей моделирования процессов мышления. В настоящее время мы нс знаем типы преобразований иерархических деревьев, которые описывают взаимодействия между /-состояниями (например, в мозгу человека или мозгу льва). В этой книге мы рассматриваем некоторые преобразования, основанные на математической структуре ментальных деревьев. Тем нс мснсс, мы увидим, что эти преобразования на т-адическом дереве моделируют некоторые существенные черты разумного поведения.
Последним шагом в построении математической модели является описание эволюционного процесса в пространстве /-состояний. Мы должны зафиксировать функцию /: Xj -4- X/, которая описывает динамическую систему подсознания. В этом случае мы реализуем процесс мышления как динамическую систему хи = /(жп™1) на пространстве /-состояний Xj. Начиная с /-состояния жо, мы получаем цепь /-состояний жо, Ж1,..., хп,... Это и есть процесс мышления. Нас интересует непрерывное отображение /: Xj -4- Xj. В соответствии с нашим определением близости /-состояний, / отображает /-состояния ж и у, имеющие длинный общий корень, в /-состояния ж' = У(ж) и уг = f^Y которые также обладают длинным общим корнем. Эта «общекорневая» гладкость динамических законов даст возможность поднять динамику /-состояний до динамики ассоциаций (пучков ветвей, обладающих общим корнем), см. гл. 2, а затем и идей (семейств пучков ветвей).
Динамическое мышление основано на следующей процедуре: начальное /-состояние жо посылается в область бессознательного; оно (состояние) итерируется некоторой динамической системой (определяемой отображением f: Zm -4- Zm); аттрактор передастся в сознание; он и будет решением задачи жд. Может случиться так, что итерации, начинающиеся с некоторого жо, не сойдутся ни к какому аттрактору. Например, начиная с жо, т может зациклиться на этом процессе мышления. В этом случае мыслящая система т не смогла бы найти определенное решение задачи. Заметим, что на уровне /-состояний невозможно избежать зацикливания: даже простейшие динамические системы в Zm могут обладать огромным числом циклов различной длины; см. [122, 145].
Системы динамического мышленияи психологическое поведение
Как мы уже упоминали, анализ для числовых систем Qm, т ^ р, и Qm еще нс развит. Следовательно, мы будем использовать модели мышления, описываемые р-адическими числами. Мы будем (в основном) изучать динамические системы, соответствующие отображениям:
/:ZP^ZP, х^ДхУ(1.8)
Как обычно, мы изучаем поведение итераций хп = /п(жо), xq Е Е Zp, где
результат п последовательных применений отображения /. Мы будем пользоваться стандартной терминологией теории динамических систем, см., например, [25, 192].
Если /(жо) = жо, то жо — неподвижная точка.
Если жп = жо при некотором п = 1,2,..., то будем говорить, что жо — периодическая точка. Если п — наименьшее натуральное число, обладающее этим свойством, тогда тъ называется периодом жо-
Пусть 7 = (жо, жь жп_ф — соответствующий цикл. В частности, неподвижная точка жо является периодической с периодом 1. Ясно, что жо является неподвижной точкой итерированного отображения /п, если жо — периодическая точка с периодом п.
Неподвижная точка жо называется аттрактором, если существует окрестность (шар) У(жо) точки жо такая, что все ее точки у Е V(xq) притягиваются точкой жо, т. e. lim уп = жо- п-лоо
Пусть жо ™ аттрактор. Рассмотрим его область притяжения
Л(®о) = {у 6 7^: уп х0,п оо}.
Говорят, что цикл 7 = (жо, жь ..., жп^1) является аттрактором, если жо — аттрактор отображения /п.
Нам следует быть более аккуратными при определении р-адического аналога диска Зигеля (ср. с вещественным или комплексным случаем [25]).
Допустим, а Е Zp — неподвижная точка функции /(ж). Шар U^pk(a\ к = О, ±1, ±2,..., называется диском Зигеля (см. [111]), если каждая сфера Sx^pi(a), I ^ к, является инвариантной сферой функции /(ж), т. с. если взять начальную точку
на одной из сфер S^pi(a), I ^ к, то все итерированные точки будут также лежать на ней: рр(жп,а) = рр^х^а) = const для всех и. Объединение всех дисков Зигеля с центром в точке а называют максимальным диском Зигеля. Обозначим максимальный диск Зигеля через SI(а).
Простейшие динамические законы задаются мономиальными функциями /5(ж) = ж5, s = 2,3,... (каждая ветвь р-адического дерева умножается на себя s раз, производя новую ветвь).
Наши исследования (см. следующий раздел и [111]) показывают, что динамическая модель, основанная на р-адическом пространстве, может обладать богатой структурой уже для функций /Дж) = ж5, s = 2,3,.на Zp. Здесь существуют аттракторы, диски Зигеля, циклы. Простое число р, основание системы кодирования, играет роль параметра динамической системы. Поведение итераций зависит от этого параметра. По сути, изменяя р, мы можем существенно изменить поведение: аттракторы могут стать центрами дисков Зигеля и наоборот, циклы различной длины могут появляться и исчезать 9...
Существуют /-состояния, аттракторы жа, которые притягивают целые шары /-состояний (т. с. группы /-состояний, которые обладают достаточно длинным общим корнем с жа). Здесь мы получаем одно и то же решение, начиная с любого /-состояния жо, которое достаточно похоже на жа. Следует отмстить, что общий элемент /-состояний жо и жо может быть практически невидимым из-за невероятно больших длин кодирующих последовательностей для жо и жа. Например, жо и жа могут иметь длину в 10000 знаков, причем только первые цифры этих последовательностей совпадают.
Также существуют циклические /-состояния. Начиная с такого /-состояния, мы будем обязательно возвращаться к нему после некоторого числа итераций (конечно же, это число может быть очень большим).
Имеются также и диски Зигеля. Они образованы сферами /-состояний ST^a\ которые нс могут изменяться в процессе мышления. Если динамическая система мышления достигла сферы ST^aY то она никогда не покинет ее. В этом случае сознание должно остановить динамическую систему (в области бессознательного) и изменить начальное условие или функцию /Дж),
9 Поведение «2-адической мыслящей системы» может сильно отличаться от поведения, скажем, «5-адической мыслящей системы», несмотря на использование одной и той же динамической функции (например, ж -э ж2).
изменяя параметр s. С другой стороны, структура ментальной сферы ST^a) достаточно богата. Возможно, что динамическая система (системы) работает в области бессознательного на ментальной сфере ST(a) на протяжении всей жизни, т. с. ментальное пространство сокращается до 8Т(а). В этом случае мы никогда нс получим нового /-состояния, которое нс принадлежит этому конфигурационному пространству.
Существуют также нечеткие циклы /-состояний, а именно циклы шаров
^'1(^1) ^^2(^2) ^Ш (^/с) U-r^CLx^.
Если радиусы rj = р™п, тогда, начиная с /-состояния жь которое имеет общий корень длины и с /-состоянием ai, мы получаем /-состояние Ж2, которое имеет общий корень длины п с /-состоянием а^.-Л после к шагов мы снова получаем /-состояние, имеющее общий корень длины п с /-состоянием ар Такие нечеткие циклы /-состояний соответствуют циклам в динамике ассоциаций (см. гл. 2).
Наша математическая модель могла бы объяснить некоторые аспекты психологии человека. Социальные типы определяются законами /5(ж), которые описывают работу динамических систем, и способностью сознания управлять работой подсознания (изменять параметр s в процессе мышления).
Пример 4.1 (маниакальное /-состояние как аттрактор с расширенной областью притяжения). Некоторые личности обладают «маниакальными идеями». В простейшем случае такие идеи могут представляться /-состоянием (см. гл. 2 о динамике идей). Эти идеи ^ являются аттракторами динамических систем этих личностей. Как обычно в случае аттрактора, если динамическая система начинает функционировать с некоторого /-состояния жо, принадлежащего достаточно большому шару с центром в £, то она обязательно достигнет ^. Конечно, одни и тс же /-состояния (идеи) могут быть аттракторами динамических систем «нормальных» личностей и «маньяков». Какое же отличие между ними? Существуют некоторые параметры динамических систем подсознания, которые определяют маниакальное поведение. Область притяжения /-состояния ^ значительно шире у маньяка. Таким образом, он/она придет к ^ начиная с более широкого множества начальных условий, чем нормальный человек.
Пример 4.2 («примитивные личности» и диски Зигеля). Интересный аспект человеческой психологии описывается дисками Зигеля. Сознание многих индивидов нс может переклю-
чить режим подсознания для того, чтобы оставить некоторую неподвижную сферу диска Зигеля. Различные сферы определяют различные социальные типы. Одна из основных целей «средств массовой информации» — ограничить конфигурационные пространства индивидов до некоторых неподвижных сфер /-состояний.
Наша математическая модель — это упрощение реального процесса мышления. Конечно же, мыслящая система нс работает только с одним /-состоянием. Существует невероятно много динамических систем, которые работают параллельно, решая различные задачи. Эти динамические системы стартуют с различных начальных условий жо и обладают различными функциями /(ж).
Динамические системы на р-адических деревьях
Этот раздел чисто математический. Основная цель этих математических рассмотрений — показать, что даже простейшие динамические системы на р-адических деревьях могут демонстрировать очень сложное поведение. В принципе, читатель может переходить прямо к следующему разделу.
Чтобы найти неподвижные точки функций /Дж) = ж™ в Zp, мы должны решить уравнение
жп = ж, ж Е Zp.
Имеется тривиальное решение ж = 0. Остальные решения являются решениями уравнения
жегр.
Нам следует знать, при каких к к-й корень из единицы принадлежит Zp (фактически, единичной сфере /ДО)). Пусть и и т - натуральные числа. Обозначим наибольший общий делитель этих чисел символом (n,m). Воспользуемся следующим общеизвестным фактом [40].
Предложение 5.1. Уравнение хк = 1 имеет g = = (к,р - 1) различных корней в Zp.
Например, пусть р = 7 и к = 3. Тогда g = (3,6) = 3. Следовательно, Zy содержит три различных корня из единицы. Два нетривиальных корня т/ = 2 + 4- 7 + 6-72 + ... и # = 4 + 2 • 7 + + 0 • 7^ + ...
Обозначим к-й корень из единицы через 'dj^, j = 1, .
g = ^к,р — 1) (выберем ^i^ = 1).
Мы изучаем поведение динамических систем /п(ж) = жп, п = = 2,3,, в Zp. Очевидно, что точка жо = 0 является аттрактором этих динамических систем. Соответствующая область притяжения Д(жо) = ^Г(О) = U\fp^ = {ж € Zp: \х\р 1/р}. Заметим, что (поскольку р-адическое нормирование принимает только дискретные значения р^, к = 0, ±1, ±2,...) шар ОДО) является объединением шара О!/р(0) и сферы 5Д0). Таким образом, нам нужно только изучить поведение этой динамической системы на единичной сфере
Я1(0) = {жегр: \х\р= 1}.
Теорема 5.1. Динамическая система fn(x) = х1г имеет та™(п™1?р™1) неподвижных точек aj = ^j,p, j = X,... ,т, на сфере 5Д0). Неподвижные точки aj ^ 1 принадлежат сфе™ ре SxW*
Если (п,р) = 1, то все эти точки являются центрами дисков Зигеля и максимальные диски Зигеля Sl^aj) совпадают с шарами U\jp^ajY Для любого А: = 2,3,... все к-циклы являются также центрами дисков Зигеля радиуса 1/р.
Если (п,р) ^ 1, тогда все эти точки — аттракторы и А^а^ = иу^а^. Для любого к = 2,3,... все к-циклы также аттракторы.
Доказательство этой теоремы находится в гл. 7 (которая также содержит многочисленные примеры циклов для мономиальных динамических систем и примеры нечетких циклов (циклов шаров)).
Иерархическая структура системы кодированияв мозге и процессы обратной связи
Наша математическая модель базируется на двух основных идеях, которые (более или менее) независимы друг от друга.
Первая — это предположение о том, что система кодирования, используемая мозгом для записи векторов информации, порождает иерархическую структуру между цифрами этих векторов. Следовательно, если
х = («1, «2, • • •, • • - Y dj = ОД,..., т — X,
вектор информации, который представляет в мозге /-состояние, то цифры dj обладают различными весами. Цифра «о наиболее важна, «1 доминирует над «2» • • •» ап, - и т. д.
Вторая идея — это предположение о том, что функционирование мозга нс основывается на принципе логического мышления.
Подсознание содержит в себе динамические системы Д(ж), которые производят новые /-состояния практически автоматически. Эта динамика управляется механическим изменением параметра s и начального условия жд. Это управление обеспечивается сознанием.
Иерархическая структура внутри векторов информации влечет близость между /-состояниями, которая соответствует длине общего корня этих /-состояний. Эта иерархическая структура порождает m-адическую метрику на пространстве /-состояний. Следовательно, описание /-состояний m-адическими числами — это следствие иерархической структуры на пространстве /-последовательностей. Мы можем рассматривать иные математические модели процесса мышления, которые будут основаны на пространствах /-состояний без какой-либо иерархической структуры, т. с. использовать иные метрики на пространствах информации. Там мы можем применять иные теории динамических систем.
Стандартной метрикой на пространстве /-последовательностей ж = (ад, ^ь • • •» ^n)^ =0,1, является метрика Хэмминга 9. Она определяется как
N
р(х,у) = ^a-j - 0j\, х = Ыр^ У = Фр-
Однако эта метрика нс связана с иерархической структурой. Она нс является ультраметрикой. Соответствующая геометрия сильно отличается от геометрии 2-адического дерева. Возможно, метрика Хэмминга была бы полезна для описания физической динамики внутри мозга (распространения электрических сигналов). m-адическая и более общие иерархические метрики полезны при описании мыслительной динамики внутри мозга (потоки ассоциаций, идей, желаний и эмоций).
Следующий пример иллюстрирует роль иерархической структуры в кодировании /-состояний.
Пример 6.1 (импринтинг). Хорошо известно, что некоторые новорожденные животные и птицы фиксируют образ матери как первого животного или птицы (или человека), которого они увидели в своей жизни. Этот психологический феномен может
9 Эта метрика широко используется в теории нейронных сетей и соответствующих моделях нейронной деятельности, см., например, [11, 12].
объясняться иерархической структурой, используемой кодирующей системой мозга. Допустим, что отношения с другими животными, птицами и людьми кодируются вектором информации жотн = («о^ь---)- Начальный отрезок этого вектора жмать = = (chq, ..., с^), который использовался для первого кодирования (животного, птицы или человека), играет огромную роль и определяет все дальнейшее поведение.
Мы можем интерпретировать хорошо известные результаты исследований Пьяже [152, 97] о способности детей решать классификационные задачи с помощью создания иерархических структур как свидетельство существования иерархической структуры в кодирующей системе мозга. Пьяже показал, что дети пользуются иерархической классификацией (разноцветные цветы и птицы в его экспериментах) практически автоматически.
Теперь поясним структуру обратной связи процесса мышления двумя следующими примерами.
Пример 6.2 («Я» по Лакану). Согласно теории Дж. Лакана (см., например, [128]), источником «Я» является зеркальная стадия. «Я» есть отражение самого себя в зеркале, которое ты сам пытаешься созерцать. Эта теория тесно связана с нашим математическим описанием процесса мышления с помощью динамических систем в ментальных пространствах. Использование «зеркала» нс что иное, как вид процесса обратной связи, т. с. динамической системы. Наша модель может использоваться для математического описания «Я». Согласно этой модели, «Я» отождествляется с (непрерывно работающей) динамической системой /f (ж), которая производит итерации шаров
t/ro((io)? Up^a^, UTn^an'^1 (1.9) где иГпЫд = ЩЩ-Юп-О)- Шар UTn(an) содержит информацию о «Я» в момент времени tn = и. Тем нс мснсс «Я» нс отождествляется с этим шаром. «Я» по Лакану является динамической величиной, т. е. динамической цепью шаров (1.9).
Пример 6.3 (половая ориентация по Лакану). Здесь мы снова следуем Дж. Лакану. В тех же рамках мы можем описать идеи Лакана о половой ориентации индивида. Половая ориентация создается в процессе функционирования динамической системы /^Дж). Но здесь «зеркало» существенно расширяется. Оно включает не только наблюдения за самим собой, но также за семьей, друзьями, привычками,... Конечно же, закон /Дл(ж) зависит от индивидуума. Таким образом, процесс половой самоидентификации зависит от индивида. В нашей модели менталь-
ное пространство (реализованное в качестве Zm) содержит два /-состояния, представляющих половую ориентацию:
ам = «о + ... + аитп (мужчина)
и
аж = /?о + • • • + Рптн (женщина).
Эти /-состояния очень сложны. Поэтому число п очень большое. Обыкновенная сексуальная эволюция — это нс более, чем работа динамической системы, для которой точки ам и аж являются аттракторами (с областями притяжения Л(ам) и Л(аж)). Если начальное условие жо Е Л(ам), то человек будет идентифицировать «самого/саму» себя (спустя некий отрезок эволюции) с мужчиной. Если же начальное условие жо Е Л(аж), то человек будет идентифицировать «самого/саму» себя (после некоторого периода эволюции) с женщиной. Эта математическая модель, возможно, объяснит огромную роль выбора начального условия жо в процессе формирования половой ориентации. Эта модель также, вероятно, объяснит некоторые патологии половой идентификации. Например, мы можем математически описать такое явление, как половая неопределенность. В этом случае индивид нс может идентифицировать «самого/саму» себя с мужчиной или женщиной. Это является следствием структуры конфигурационного пространства X этого индивида. Если X ^ А(ам) U Л(аж), то выбор жо Е X \ (Л(ам) U Л(аж)) влечет хаотичное блуждание среди /-состояний, которое не сходится ни к ам, ни к аж. Это же явление может быть следствием специфической структуры динамической системы вида /™л(ж), которая может повлечь циклическое поведение точек ам,аж. Если эти точки образуют 2-цикл, то индивид может быть попеременно либо мужчиной, либо женщиной. Возможны и другие математические объяснения изменения половой идентификации. Например, изменение параметра s может изменить закон /™}Л(ж) таким образом, что точка ам будет принадлежать Л(аж). В этом случае психология мужчины трансформируется в психологию женщины.
Физиологические, психологическиеи информационные параметры
Теперь обсудим роль параметра s в динамическом законе /5(ж). Структура множества S всех параметров s достаточно сложна. Значение s определяется физиологическими и психологическими состояниями нашего мозга и информационным
состоянием мозга (т. е. информацией, собранной мозгом к моменту начала процесса мышления): s = (яфиз, япсих, яинф) Е S = ^физ х ^псих х б'инф. Физиологическое состояние Яфиз зависит от огромного числа различных условий: пища, погода, уровень активности и т.п. Все эти условия имеют физическую основу. С математической точки зрения эта последовательность условий может описываться с помощью m-адических чисел, в которых каждая цифра описывает численное значение соответствующего условия: 5фИЗ = До + Р\т + ••• + Дп^п + ... В простейшем случае кодирования вида «да» — «нет», т. с. т = 2, мы можем использовать следующее описание параметра Яфиз: До — 0 — «нс голоден», До = 1 — «голоден»; Д] = 0 — «нс хочу спать», Д1 = = 1 — «хочу спать» и т. д. Конечно же, такое описание сильно зависит от индивида. Для другого индивида, возможно, важнее поспать, чем поесть. В таком случае мы используем цифру До для описания состояния сна, а цифру Д1 для описания состояния питания. Описать психологическое состояние япсих — более сложная задача. Возможно описать апсих через психологические состояния: экстаз, депрессия и т. п. Однако эта классификация слишком грубая. Видимо, существует практически бесконечное число психологических состояний.
Важно то, что параметры яфиз,япсих и яинф зависимы: япсих зависит от Яфиз и наоборот, оба этих параметра зависят от яинф и, кроме того, яинф может зависеть от япсих и Яфиз. Следовательно, существует связь
^(С 5физ, япсих, яинф) = 0,(1.10)
которая и связывает все эти параметры. Здесь t — временной параметр. Функция F сильно зависит от индивида.
Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие некоторые аспекты человеческой психологии.
Пример 7.1 (женитьба). Допустим,
А = (а0, сц,..., а33,..., а38)
русский алфавит: а^ = пробел, «1 = а, а^ = б, ..., «33 = я, «34 = = . , (Z35 = , , а36 = щ а37 = ; , а88 = - .
Пусть Xj = Z39 — пространство всех текстов в этом алфавите. Пусть fs: Xi Xi — непрерывная функция, зависящая от параметра я. Процесс мышления на конфигурационном пространстве Xi описывается как действие динамической системы жп+1 = fs^n). Далее рассмотрим процесс мышления девушки
Наташи, у которой есть друг Иван. Параметр s принимает значение
с^псих, ^инфЬ
которое определяет динамику закона /с(ж). Возникает процесс мышления со следующим рядом идей: «женитьба», «ребенок», «семья».
Замечание 7.1. Допустим, Наташе 18 лет и се физиологическое состояние 5физ определяет поведение, соответствующее этим идеям. В этом возрасте психологическое состояние «псих СИЛЬНО зависит ОТ физиологического СОСТОЯНИЯ 5физ. Здесь связь (1.10) может разрешиться как япсих = ^^(«физ), где 5*18 — некоторая m-адическая функция 9.
Предположим, что идея
af = (Ребенок. Иван и Я должны пожениться.)
является аттрактором динамической системы /Дж) для некоторого конкретного значения параметра я = с. Предположим, что область притяжения A(aj) = [7г(ау), т = ^Тз* ^то все ^"состо" яния, которые начинаются отрезком (Ребенок. Иван), т. с. они имеют 13 общих знаков. Тогда любое начальное условие жо Е Е Ur(aj) приводит к решению создать семью. Конечно, число итераций при подходе к аттрактору «у зависит от начальных условий. Их может быть 2 для одного начального условия и 1000 для другого. Например, мозг Наташи генерирует следующую цепь /-состояний. Траектория 1:
жо1 = (Ребенок. Иван любит меня.),
жн = (Ребенок. Иван имеет деньги.),
Ж21 = (Ребенок. Иван и Я должны купить дом.),
ж31 = (Ребенок. Иван и Я должны пожениться.) = aj.
Безусловно, цепь /-состояний может быть намного длиннее. К примеру, траектория 2:
ж02 — ж0Ь ж12 — Ж1Ь ж22 — Ж2Ь
ж32 = (Ребенок. Иван и Я слишком молоды.),
9 Однако когда ей будет 28 лет, связь (1.10) станет более сложной. Вероятно, будет невозможно найти решение уравнения (1.10) в виде «псих = ^28(«физ)- Затем, вероятно, к 38 годам психологические факторы будут преобладать. Тогда ЯфИЗ = ДззДпсих)- Естественно, что это развитие связи (1.10) сильно зависит от индивида.
ж42 = (Ребенок. Иван и Я должны подождать несколько лет.).
Затем может последовать длинная цепь /-состояний, касающаяся образования, родителей и т. д., и в конце концов х^ — af^ где достаточно большое.
Этот пример можно использовать, чтобы показать роль времени в процессе мышления. Естественно полагать, что каждый индивид обладает предельным значением £пред продолжительности процесса мышления. Окончательное решение определяется нс только начальным /-состоянием жд и конкретным значением параметра s, но также предельным временным порогом £Пред- Рассмотрим траекторию 2. Если £пред достаточно мало, а п достаточно велико, тогда Наташа и Иван могут никогда нс пожениться, несмотря на обнадеживающее начальное значение жд, которое лежит в области притяжения а^. Спустя время С процесс мышления может остановиться благодаря условию t > £пред.
Выберем s = В таким, чтобы аттрактор а^ (он точно такой же, как и прежде) обладал большей областью притяжения: A(aj) = U^^aj), В = 1/398. Элементами А^а^ являются все строки, начинающиеся со слова (Ребенок.). В этом случае Наташа имеет больше шансов создать семью. Если каждая траектория, начинающаяся с /-состояния с начальным сегментом (Ребенок. Иван) была слишком длинной, то Наташа может расширить шар начальных /-состояний и начать с любого /-состояния, начинающегося с отрезка (Ребенок.) (т. с. принадлежащего шару l/r/(ay),r/ = 1/398). Некоторые из этих /-состояний (например, (Ребенок. Николай)) смогут породить короткие траектории, ведущие к «happy end».
Пример 7.2 (2-адический выбор мужа). Наташа знакома с п парнями. Предположим, что число п достаточно большое (например, большая группа студентов университета). Для каждого из молодых людей имеется одна из двух меток: 0, если Наташа нс может выйти за него замуж, и 1, если она может выйти за него. Множество парней упорядочим по их роли в жизни Наташи:
Вд, В],..., Вп_^
где Во — се «идеал мужчины», Вх — нс играет такой важной роли, как Во, и т. д. Состояние намерений Наташи относительно парней можно описать натуральными числами:
Ж = Qg + cq2 + ... + ап™х^п \
где aj — метка парня Bj. Отождествим эти натуральные числа с элементами Z2 9. Предположим, что процессор сексуального мышления Наташи описывается динамической системой Д(ж) = = Xs. Далее опишем се процесс мышления при различных значениях параметра я.
Пусть я = 2. Допустим, что Наташа имеет начальное состояние жд. Возникают две возможности. Если жо Е (Д^СО), т. с. «о — 0, тогда итерации хи сходятся к аттрактору а^ = = 0; если жо Е 51(0) = [/^(l). т. с. «о — В тогда итерации жп сходятся к аттрактору сц = 1. Эта ситуация весьма естественна для женской психологии. В первом случае (она нс может выйти замуж за свой идеал мужчины) она рассматривает эту ситуацию как трагедию и, как следствие, решает бросить всех своих поклонников. Во втором случае (она может выйти за В^ она также решает оставить всех своих поклонников для создания «счастливой семьи» с Bq.
Пусть s = 3, т. с. Наташа обладает психологией с более сильной нелинейностью. Если жо Е Uxp(O), тогда се решение совпадает с. соответствующим решением в пункте (а) (с той же психологической интерпретацией). Теперь пусть жо Е 51(0). Тогда се жизнь может стать достаточно хаотичной (непредсказуемой), поскольку здесь точка «i = 1 нс является аттрактором. Это центр диска Зигеля Ux^W- Таким образом, хотя Bq всегда имеет метку 1, метки других парней В^,, Ви_\ могут меняться хаотично. Несмотря на возможность выйти замуж за Bq, она нс может решиться на это (по некоторым причинам; например, она боится уничтожить любовь браком). В этой ситуации ее подсознание непрерывно изучает другие возможности для брака, но эти поиски не имеют видимого успеха, так как метки «1,, Qn-i могут изменяться хаотично, 0^1 и 1^0, очень долго. Этому есть психологическое объяснение: Bq преобладает над всеми остальными в пространстве наташиных идей и она не может принять определенное решение относительно остальных. В некотором смысле мы снова имеем дело с некоторым видом психологического кризиса. Однако этот кризис можно разрешить, используя ограничительный барьер £пред для времени. После временного интервала [0, £Пред] ее сознание остановит работу динамической системы в подсознании. Существуют две основные
Отметим, что «о может также принимать значение ноль. Например, Наташа и Bq не могут пожениться, потому что их родители решительно против их брака.
возможности для дальнейшего функционирования: (1) изменение начального /-состояния жо; (2) изменение параметра s. Наташа нс может облегчить свою ситуацию изменением начального состояния жо внутри шара U\p(l) = 5Д0). Все эти начальные условия влекут хаотический процесс мышления. Есть только одна возможность избежать хаотического поведения — оставить этот шар /-состояний и изменить начальное /-состояние на жо Е 6 (Д/зФ) 9. По сути, это является кардинальным решением психологического кризиса Наташи, поскольку теперь Во больше нс является кандидатом в мужья. Как следствие, она потеряет интерес ко всем остальным поклонникам. Во втором случае ее сознание может изменить параметр s, например, 3^2. Если в это же время сознание выберет жо Е Ux^O-Y тогда мы получим счастливое завершение упомянутого кризиса. Однако сознание может изменить параметр s, например, с 3 на 5. Динамическая система /5(ж) = ж5 является более мощной, чем динамическая система /з(ж) = ж3 (психология Наташи обладает еще более сильной нелинейностью). Тем не менее результат процесса мышления останется таким же, как выше. Это приведет к еще более сильному психологическому кризису, потому что подсознание Наташи будет работать в более активном режиме (с более высокой скоростью).
Пример 7.3 (депрессия). Депрессия характеризуется как состояние беспомощности и неспособности, в котором исчезает деятельное поведение личности. Мы попытаемся обеспечить математическое описание такого психологического состояния. Допустим, что ментальное пространство индивида I имеет достаточно сложную структуру; например, X = Zp, где р — большое число. Предположим, что динамическая система подсознания индивида I имеет вид: /Дж) = ж5. Тогда существуют т = = (s — Lp™ 1) неподвижных точек аь...,аш на сфере 5Д0) и неподвижная точка а^ = 0. Мы интерпретируем ai,..., ат как «влечение к жизни» индивида X, а точку а^ = 0 как «влечение к смерти».
Рассмотрим случай (s,p) Д 1. Отсюда следует, что значение s параметра, определяющего динамический закон, делится на значение р параметра, определяющего систему кодировки.
9 Заметим, что все ментальное пространство X/ = Z2 может быть представлено как непересекающееся объединение двух шаров: Z2 = = (/1/2(0) U (/1/2(1)-
В этом случае все точки ар...,^ являются аттракторами. Отправляясь от начального условия жо Е 51(0), индивид I достигнет одного из жизненных стимулов аь...,аш. Такое поведение соответствует недепрессирующему индивиду. Положительный опыт использования начальных условий жо Е 51(0) влечет то, что X предпочитает пользоваться этими начальными условиями.
Теперь допустим, что (s,p) = 1. В этом случае все точки ai,..., аш являются центрами дисков Зигеля. Отправляясь с любой точки жо Е 8\ (0), I будет вовлечен в практически бесконечно долгие блуждания вокруг центра соответствующего диска Зигеля. После многочисленных итераций сознание изменит начальное условие. На основании предыдущего положительного опыта сознание предпочтет выбрать новое начальное условие на сфере жизненных стимулов 51(0). Такой выбор будет снова и снова индуцировать хаотическое блуждание вокруг одного из жизненных стимулов. Психологически такая ситуация означает нс что иное, как «беспомощность» и «неспособность». После большого числа таких отрицательных экспериментов сознание начинает использовать только начальное условие жо, принадлежащее области притяжения влечения к смерти Л («о) = Ц\/РФ)- Это не что иное, как угасание конструктивного поведения.
Нашу математическую модель депрессии можно связать с хорошо известными физиологическими моделями депрессии (см., например, [177, 1, 164, 160, 173]). Согласно физиологическим моделям, депрессия связана с относительным дефицитом катехоламина — вещества-переносчика (трансмиттера) веществ в синапсисах системы органов. По-видимому, депрессия связана с недостатком норадреналина в тканях органов. Введем параметр зна = 0,1, где значение 1 соответствует нормальному уровню норадреналина, а 0 — дефициту оного (sHa Е 5фИЗ). Теперь предположим, что динамическая система подсознания человека описывается как
= (1.11)
Значение sHa = 1 даст динамический закон /р(ж) = жр, содержащий в себе нормальное поведение. В противном случае значение sHa = 0 приводит к динамическому закону /р_1(ж) = хр™\ который приводит к депрессии. Это и есть р-адическое динамическое описание стандартной физиологической модели депрессии. Тем нс мснсс, на основании нашей р-адической динамической теории мы можем существенно расширить эту модель. Хорошо известно, что лечение депрессий с использованием лекарств, изменяющих
уровни соответствующих физиологических параметров (в частности, яна), нс имеет успеха в 100% случаев. Существует достаточно высокий процент больных, чье депрессивное поведение нс может быть изменено с помощью такого лечения. Мы объясняем эти отрицательные результаты лечения с помощью следующей математической модели. Как мы уже обсуждали, множество параметров s, определяющее динамическую систему подсознания, содержит не только физиологические параметры Яфиз, но и психологический и информационный параметры япсих и яинф. В нашей модели депрессии яна является физиологическим параметром. Рассмотрим психологический параметр ядеп = 0,1, который равняется 0 и 1, соответственно, в депрессивном и в нсдспрсссивном состояниях 9. Предположим, что динамический закон имеет вид:
Щ^пЦ) = ^на+^’2 (1.12)
Если ядеп = 0, то оба значения яна повлекут депрессивные состояния, которые описываются, соответственно, законами /р_2(ж) — = жр™2 и /р^1(ж) = хр™х. Если ядеп = 1, тогда значение яна = 0 все еще даст депрессию, но значение яна = 1 приведет к нормальному активному состоянию.
Случайные динамические системыи процесс мышления
Обсудим роль случая в процессе мышления. Для того, чтобы сделать это, нам нужно воспользоваться теорией случайных динамических систем (см., например, работу [15] с. обширной библиографией о таких динамических системах). Часто, отправляясь от некоторого начального условия, мы можем получить различные результаты или нс получить результатов вовсе. Это явление — следствие случайного поведения параметров я. Случайные колебания этих параметров влекут колебание вида динамического закона. По сути, я = s(w) является случайной величиной, а работа подсознания описывается случайной динамической системой:
®™+iM = ДиЩИ). (1-13)
*) Этот психологический параметр может совпадать с одним из /-параметров. Например, пусть Z — безработный. Здесь ядеп = 0, если отсутствует положительная информация о работе, и ядеп = L если имеется положительная информация о работе.
где начальное условие также может быть случайной величиной, жо = жо(ш), подробнее об общих случайных динамиках мышления см. гл. 8. Происхождение этой случайности достаточно понятно для физиологических параметров. Это стандартное случайное поведение физических характеристик сложной системы. В качестве следствия уравнения связи (1.10) эта психологическая случайность влечет случайное поведение психологического и информационного параметров. Однако эти параметры могут иметь независимые флуктуации. В общем случае имеется случайный аналог связи (1.10):
F си, 5физ(ш), 5псих(ш), 5ннф(ш)) = 0. (1.14)
Пример 8.1 (шум и математика). Допустим, индивид Т пытается решить математическую задачу жо, которая имеет решение ха. Будем использовать 2-адическую систему кодирования жд и ха. Поэтому пространство /-состояний реализуется как Z2. Пусть ха = 1, а жд Е (/^(l)- Пусть динамическая система подсознания индивида I описывается законом /2 (ж) = = ж2. Тогда I, начиная с проблемы жд (после многочисленных итераций), получит решение жа = 1. Теперь допустим наличие шума в комнате, где I пытается решить задачу. Естественно, что шум изменит вид динамического закона. Введем (физиологический) параметр шума 5шум(ш) = 0,1, где уровень 0 соответствует слабому шуму, а уровень 1 — сильному, и Р(ш : зшум = а) = qai а = 0,1. Например, пусть динамическая система подсознания индивида Т в шумной комнате имеет вид ^^„(^(ж) = ж2+5шум(ар Очевидно, что если 5шум(ш) = 0, то I решит задачу жд (вероятно, после большого числа итераций). Если 5шум(ш) = 1, то I никогда нс решит задачу жд. Таким образом, I может решить задачу жд с вероятностью q^.
Пример 8.2 (гомеостатические состояния). Хорошо известно, что животные и люди поддерживают себя в состоянии энергетического баланса. Это означает, что количество энергии, которую они поглощают из окружающей среды, и химическая энергия их пищи равняются количеству энергии, которую они тратят на свою активность. Фактически, поддерживается нс только энергетический баланс, но и многие другие гомеостатические условия, например, постоянный уровень витаминов и минералов. Как мы можем объяснить все эти балансы с точки зрения нашей математической модели? Гомеостатическое состояние — это не что иное, как аттрактор G динамической системы /бал(ж), которая управляет соответствующим балансом.
Существует обширная область притяжения 4(G). Для любого выбора жо Е A(G) следует, что после некоторого числа итераций функции /бал(ж) гомеостатическое состояние ха восстановится. Болес того, в нашей математической модели мы можем предполагать, что жо = ^о(сс) — случайная величина (распределенная по 4(G)), которая описывает колебания величин, включенных в соответствующий баланс.
Конечно, режим непрерывной работы всех динамических систем /бал(ж) (соответствующий различным гомеостатическим состояниям) может быть нс рациональным для организма. Мы можем проинтерпретировать хорошо известные физиологические исследования, основанные на моделях обратной связи (основы см. в [18]; см. также, например, [141, 46]), следующим образом. Динамическая система /оал(ж) (соответствующая G) начинает работать только тогда, когда отклонение от G достаточно велико.
Теперь рассмотрим гомеостатическое состояние G, управляемое динамической системой /бал(ж). Существует порог в > О такой, что если расстояние р(жо,С) > в, то динамическая система /бал(ж) начинает работать, стартуя с xq. Если A(G) = Ur(G\ то, конечно же, в ^ г. По сути, мы можем объяснить изменение гомеостатического состояния G с помощью замены порога е: е е’ > т
Пример 8.3 (маниакально-депрессивное поведение). Используя стохастические динамические системы, мы, вероятно, сможем дать математическое описание колебаний между состояниями депрессии и сильного возбуждения. Предположим, что параметр яна, введенный в примере 7.3, является случайной величиной, яна = яна(ш), с распределением вероятностей Р(ш : Яна(^) = а) = да, а = 0,1. Если динамический закон индивида I имеет вид: fStia^ = ж^+^наС^)—1^ то j коледлется между состоянием депрессии (яна(^) = 0) и нормальным состоянием (яна(^) =1). Пусть поведение I контролируется динамической системой gSHa(w) = жРп+на(^)™11 где н достаточно велико. Тогда состояние яна(си) = 1 характеризуется невероятной активностью
и возбуждением индивида X. Распределение вероятностей sHa(^) определяет доли периодов депрессии и возбуждения в жизни X. Например, если qo = 9/10 и gi = 1/10, то X практически всегда в депрессии; если д0 = 1/10 и q\ = 9/10, то X практически нормальная личность 9. Естественно, что динамический закон может зависеть нс только от физиологических параметров, таких, как sHa(cc), но и от психологических параметров, которые также являются случайными величинами. В этом случае, например, поведение индивида I можно описать законом Фз^и/рв^ДиЛ = = жрп+5на(ш где^ например^ 5деп(ш) = 0,1 с вероятности™ ми со, ср Чтобы ввести фактор времени в исследование маниакально-депрессивного поведения, можно воспользоваться стохастическими процессами, sHa(^ си), 5деп(^ си), вместо случайных величин. Было бы естественно использовать процесс Пуассона и другие скачкообразные процессы.
Обучение, привыкание, секс и пища
Пример 9.1 (обучение). В нашей модели процесс обучения описывается следующим образом. Рассмотрим эксперимент. Человек или животное, стартуя с начального условия жо, находит (в процессе работы динамической системы /а(ж)) ответ жа, за который получает вознаграждение. Здесь ха — аттрактор динамической системы /а(ж) и жо Е A(xa). К примеру, рассмотрим стандартный опыт с крысами: лишенные пищи крысы получают порцию еды за нажатие засова. Здесь
жо = (добыть еду) и жа = (нажать засов),
т. с. нетрудно закодировать эти задачи в двоичной системе. После некоторого числа таких опытов типа «стимул-реакция» животные и люди начинают находить решение ха быстрее. Это и есть обучение. Как можно объяснить это явление? В процессе обучения, т. с. многочисленных повторений опыта «стимул-реакция», сознание находит новое значение а' параметра я (которое определяет динамическую систему подсознания) такое, что итерации динамической системы foAx), начинающиеся с жо, сходятся к ха быстрее, чем соответствующие итерации /а(ж). Конечно же, предполагается, что ха — это аттрактор динамической системы
9 Параметр п также играет важную роль в психологическом поведении мыслящей системы т. Если число п очень большое, а вероятность qx ~ 1, тогда т будет постоянно в состоянии ненормального возбуждения.
fa'^ и жо ^ А^ха\ Более того, сознание создаст функциональную зависимость а’ = g(^o) между начальным условием жо, которое использовалось в качестве основы обучения, и параметром s, который определяет динамический закон.
Пусть р = 2, /Дж) = ха ж0 = Ю = (01010...), а = 2. Здесь жо Е А(ха) при ха = 0. Обучение — это серия экспериментов, в которой, стартуя с жо = 10, например, динамическая система подсознания /2 (ж) = ж2 находит решение жо = 0. В этом процессе сознание, например, делает замену а af = х^. Следовательно, в этом случае ^(жд) = х^. Итерации динамической системы fg^(x) = ж сходятся к жо быстрее, чем итерации изначальной динамической системы.
Пример 9.2 (привыкание). «Ориентирующая реакция» определяется как любая реакция на новые стимулы, которая исчезает после повторяемых представлений стимула. Явление исчезновения ориентирующей реакции называется «привыканием». Представим следующий пример, иллюстрирующий это явление. Предположим, что пространство /-состояний обладает структурой Zp и динамический закон, который описывает реакцию на новые стимулы, имеет вид /Дж) = ж5, где s достаточно велико; реакция — это аттрактор ха = 0, а стимул жо Е П1/р(0). Далее, пусть повторяемое представление стимула переводит этот динамический закон в динамический закон вида fs_n(x) = ж5™п, где п -- число повторений представлений стимула. Очевидно, что повторения делают степень динамической системы все меньше и меньше. В частности, итерации стимула жо сходятся к реакции ха медленнее и медленнее. В нашей модели, когда п достигнет значения s — 1, динамический закон примет форму /Дж) = х. Тогда сходимость итераций исчезнет.
Пример 9.3 (2-адический секс). Модель примера 7.2 можно использовать для объяснения сексуального поведения индивидов. Пусть dj = 1, если Наташа может заняться любовью с Вр и dj = 0 в противоположном случае. В случае s = 2 аттракторы «о = 0 и «1 = 1 имеют естественную психологическую интерпретацию. Пусть жо Е 5*1 (0) = П1/2(1). Это означает, что она может заняться любовью с ее идеалом мужчины. Она отметает (после некоторых размышлений) все остальные возможности. Они ей нс интересны, так как она имеет возможность любить Во 9. Пусть жо Е /71/2(0)- Это означает, что она нс может заняться любовью
со своим идеалом. Она отметает все остальные возможности любить кого-либо. Эти возможности ее нс интересуют. Поскольку она нс может любить свой идеал, она теряет интерес ко всем остальным парням.
Пример 9.4 (р-адический секс). Рассмотрим модель поведения, в котором имеется р уровней сексуальной активности: 0. 1.... ,р — 1. В простейшем случае это число (возможных) сексуальных контактов за фиксированный период времени. Предположим, что каждому парню Bj приписывается метка ар соответствующая сексуальной активности. Таким образом, намерения Наташи относительно парней
Bq ,..., Вп
описываются натуральным числом
х = «о + «ip + ... + otn_xPn”\
которое можно идентифицировать с элементом множества Zp. Как и ранее предполагаем, что сексуальная динамическая система Наташи имеет вид /5(ж) = Xs. Если xq Е Ux/з(0), то Наташа примет стандартное решение: отказаться от всех своих любовников, поскольку «о — 0, т. с. у нее нет возможности для сексуальной активности со своим идеалом. Картина намерений Наташи на сфере 51(0) является более сложной. Пусть m = (s — 1, р — — 1) и aj = ^рт, j = 1,... ,т ™ корни m-й степени из единицы в Zp (это неподвижные точки динамической системы на 51(0)). Разложим эти корни в канонические р-адические ряды и возьмем первые п цифр в этом разложении. Получим числа: а^ = Ц + + Цр + ... + h3n_ipn™1. Это приближения неподвижных точек, которые будут использоваться в наших рассуждениях вместо неподвижных точек.
Как мы знаем, если (s,p) 7^ 1, то все неподвижные точки являются аттракторами. Точки а^ являются приближенными аттракторами. Таким образом, если xq Е Uxjp^a^Y то (после серии размышлений) сознание Наташи стабилизируется на мнении а^ = Ц + Цр + ... + Цг_1рп™1. В этом случае у нее будет к любовников, где к -- количество ненулевых цифр Ц (с уровнями Ц сексуальной активности). Теперь рассмотрим случай s = = р = 3. Здесь имеются два аттрактора а = 1 и b = — 1, которые лежат на сфере 51(0). Так как каждый элемент х Е 51(0) имеет вид х = «о + ••• +«пЗта + ..., где «о = L2, то 5i(0) = t/i/3(a) U
U Ux^b^ 9. Таким образом, если жо Е 51 (0), то Наташа может получить только два решения, а или Ь. Дадим психологическую интерпретацию этих результатов процесса мышления: (1) если жо — 1 + • 3 + ... + • Зп, т. с. сексуальные отношения с Bq имеют средний уровень активности, то стабилизация будет достигнута в состоянии а^ = 1+0-3 + ...+0-Зп, это тот же (средний) уровень сексуальных отношений с Bq и прекращение всех других сексуальных контактов; (2) если жд = 2 + ад • 3 + ... ... + * З77, т. с. сексуальные отношения с Bq имеют максимальный уровень, то стабилизация будет достигаться в состоянии а^ = 2 + 2- 3 + ... + 2- Зп, таким образом она будет развиваться в направлении максимизации сексуальной активности со всеми Bj.
Известно, что если (s,p) = 1, то все неподвижные точки являются центрами дисков Зигеля Uxjp^ajY Диск Зигеля имеет следующую психологическую интерпретацию. Пусть а^ = h3Q + + h^p + ... + h3npn — п-е приближение а^ и пусть ж0 = «о + • • • .^rotn.pH Е Sx/pk(ajY к с ть. Тогда а0 = Ц, ак~х = h3k_x и ак ^Y hk. В этом случае все итерации элемента жд лежат на одной и той же сфере. Следовательно, уровни сексуальных отношений h3t Д = 0, 1,..., к — 1, с Bq, Вх, ... , Вк_х сохраняются. В это же время уровни сексуальных отношений с Вк,..., Вп_х изменяются хаотично. Например, пусть а = 1 и жд Е 5,1/р(1). Тогда минимальный ненулевой уровень ощ = 1 контактов с Bq сохранится. Но уровни контактов с Вх,.... Вп могут колебаться между 0 и р — 1.
Пример 9.5 (выбор блюд в ресторане). Все вышеприведенные рассуждения о выборе мужа или любовника можно легко переформулировать для описания процесса мышления относительно меню в ресторане. Допустим, меню содержит п блюд. Пусть Наташа оценивает каждое блюдо, пользуясь 2-адичной системой («да»-«нет»), и работает с вектором координат 1 (она любит это блюдо) и 0 (она нс любит это блюдо). Допустим, что се «пищевая» динамическая система описывается законом /Дж), и пусть вектор жд, содержащий код меню, принадлежит множеству А(ха), где жо -- аттрактор динамической системы. После некоторых размышлений Наташа закажет блюда, имеющие код 1 в векторе ха. Конечно, может быть так, что xq нс принадлежит области притяжения. В этом случае у Наташи могут возникнуть
9 Заметим, что b = -1 = 2 + ...+2-Зп + ...
проблемы с выбором блюд. Например, жо может породить хаотическое или циклическое поведение ее мыслей.
Естественно, она может использовать более сложную систему кодирования меню, которая содержит р уровней оценки каждого блюда. Как мы видели в предыдущих примерах, в этом случае ход ее мыслей будет более сложным.
1.10. Психологические функции
Мы представили математическую модель процесса мышления. Как мы видели, эта модель может объяснить некоторые психологические явления. Можем ли мы использовать эту модель для каких-либо практических целей? Видимо, наши теоретические рассуждения могут быть развиты до уровня практических применений.
Предположим, что мы нашли динамический закон Д(ж), который описывает работу некоего процессора мышления в области бессознательного некоторого индивида Т. Тогда, в сущности, мы можем предсказать (контролировать) поведение Т. Например, мы предлагаем Т начальную идею жд, принадлежащую области притяжения А^ха\ Тогда мы можем быть уверены в том, что Т после некоторых размышлений придет к мысли ха. Наша математическая модель даст правило нахождения жд: эта идея (/-состояние в простейшей модели мышления) должна иметь общий начальный отрезок с ха в закодированном представлении. Вероятно, этот метод был бы полезен в психиатрии. Поведение пациента может корректироваться, если ему будут предлагаться начальные идеи жд, достаточно привлекательные для него, но (на основании его динамического закона /Дж)) они будут обязательно приводить к решению ха, которое может рассматриваться как лечение психического заболевания.
Конечно же, основная проблема — найти правильный динамический закон /Дж). Заметим, что fs(x) -- просто математическое описание работы подсознания. Таким образом, мы нс можем сказать, что подсознание использует закон /Дж). Закон fs (ж) описывает только (с некоторым приближением) некоторые аспекты этой работы. Как же мы можем найти этот приблизительный закон? Есть только одна возможность -- найти реакции (результаты функционирования) для большого класса начальных условий жд. Затем мы сравним эти реакции с поведением динамических систем, которые были исследованы с помощью теоретических рассмотрений. Если, к примеру, существенная часть этих реакций совпадает с соответствующими результатами для
динамической системы ж ж2, то мы можем использовать этот закон, чтобы описать поведение индивида Т. В идеале следовало бы реализовать следующий эксперимент. Имеются две комнаты: некто Т находится в одной комнате, а компьютер с программой динамического закона /Дж) индивида Z ™ в другой комнате. Начальное /-состояние жо передается Т и компьютеру. Затем (через некоторое время, которое может быть разным для Т и для компьютера) мы должны получить один и тот же ответ у из обеих комнат.
Задача нахождения вида /Дж) для Т очень сложна вследствие огромного спектра параметров s, определяющих этот закон. Тем нс менее, по-видимому, можно найти этот вид для некоторых значений физиологических, психологических и других /-параметров.
Фактически, наше исследование — это вид редукционистской психологической теории (теории сведения, ср., например, с [176, 133, 54, 46]). Редукционистские теории могут иметь различные основания. Например, это может быть сведение к агрессивным инстинктам и этическим принципам, которые ими управляют, или предположение о врожденных тенденциях поведения, или нейрофизиологические модели психического поведения (см. [176, 133, 54, 46]).
Мы сводим психологическое и социальное поведения к свойствам кодирования и динамическим системам мозга. Исследования, посвященные нейрофизиологической редукции (см., например, [46]), тесно связаны с нашей моделью 9. Сторонники нейрофизиологических моделей пытаются объяснить психологические явления как результаты различных состояний физиологических параметров 5физ. Мы признаем, что эти параметры играют важную роль в психологических явлениях. Мы используем эти параметры в нашей модели для определения видов динамических систем подсознания.
Наша модель применима к различным живым организмам. Их мыслительные процессы могут быть описаны как т-адические динамические системы. Основным отличием мыслительного процесса человека от мыслительных процессов других организмов является более сильное разделение на сознание и подсознание
9 Если мы представим себе мозг как вид компьютера, тогда нейрофизиологическая модель описывает его аппаратное обеспечение, а наша математическая модель описывает программное обеспечение этого компьютера (или, по крайней мере, существенную часть этого программного обеспечения).
3 А. Ю. Хренников
в мозге человека. Итерации динамической системы мышления у них нс скрыты в подсознании. Каждый шаг хп рассматривается как приказ к немедленному исполнению. Например, такой вид поведения демонстрируют насекомые, которые исполняют шаг за шагом все предписания хп их динамических систем. Малый объем сознания нс дает возможности переключать режим динамической системы (изменять параметр s в /5(ж)). Поэтому, например, насекомые могут повторять одно и то же поведение много раз, отталкиваясь от одного и того же начального условия. Они не имеют дополнительного интеллектуального блока, чтобы анализировать результаты процесса мышления, ср. с главами 3, 4, 5.
Далее, мы можем использовать нашу модель для объяснения сходств в психологическом поведении различных биологических видов. Эти сходства не могут быть объяснены физиологическими аргументами, поскольку области мозга, например, рыбы, выполняющие конкретные психологические функции, отличаются от отделов мозга крысы, делающих ту же работу [46]. Тем нс менее, эти сходства можно объяснить, используя динамические системы в пространстве /-состояний. Как мы показали в предыдущих примерах, психологическое состояние ф может описываться работой соответствующих динамических систем ff(x). Поэтому нс важно, какой конкретной нейронной структурой реализуется работа системы ff (х). Важно только одно -- вид математической функции ff(x) 9. Если в мозгах рыбы и крысы реализуется один и тот же математический закон fs\x), то и рыба, и крыса демонстрируют психологическое состояние ф. Кроме того, наша модель могла бы стать полезной в решении следующей проблемы физиологической психологии.
Имеются многочисленные свидетельства того, что невозможно «локализовать психологическую функцию» в нервной системе [142, 84, 137, 82, 48, 46, 52, 53, 81, 146]. Например, если пытаться найти конкретные структуры, вовлеченные во врожденную инструментальную обусловленность, то выяснится, что у грызунов этой функции содействует септально-гиппокампальная система, в то время как у приматов эту роль берет на себя орбито-фронтальная кора головного мозга [84]. Более того, одно и то же состояние ф может быть результатом работы разных
9 Таким же образом не важно, какой тип компьютера мы используем для того, чтобы реализовать математическую симуляцию работы //(ж). Если математический закон (к примеру, fs(x)) фиксирован, «IBM-РС» и «Mackintosh» произведут одинаковый результат.
нервных отделов в различные моменты времени, см. [142, 84, 137, 82, 48, 46, 52, 53, 81, 146]. Эта ситуация объясняется тем фактом, что один и тот же динамический закон //(ж) может быть реализован различными нервными структурами в различные мгновения времени. Наша модель, возможно, объяснит сходства в социальном поведении различных биологических видов.
Далее, мы можем предположить, что, по-видимому, существует конечное множество динамических законов, которые могут быть реализованы любой формой жизни. Мы можем выдвинуть тезис о возможных сходствах в психологическом и соци™ альном поведениях всех живых форм во вселенной.
з:
Глава 2
МЕНТАЛЬНАЯ ИЕРАРХИЯ:ДИНАМИКА АССОЦИАЦИЙ И ИДЕЙ
Идея о том, что некоторые существенные черты процесса мышления могут воспроизводиться нейронными сетями, доста™ точно популярна среди когнитивной общественности, см., например, [И, 12, 93]. Как и все теории, такой подход имеет как сильные, так и слабые стороны. А именно модели мышления, основанные на нейронных сетях, могут быть подвергнуты критике с позиций искусственного интеллекта [185] (основанного на вычислительной точке зрения на мышление, т. с. процесс мышления описывает машина Тьюринга [184]) или квантовых теорий мышления, см. [148, 100, 150, 175] и гл. 5 (полевое представление мышления), или когнитивной архитектуры (базирующейся на необходимости лингвистического подхода, [77, 155, 199, 185]). Тем нс менее, несмотря на всю эту критику, нейронные сети весьма полезны для описания (или, по крайней мерс, моделирования) процесса мышления.
С другой стороны, критики искусственного интеллекта считают, что роль вычислений (выполняемых подобно работе машины Тьюринга) в процессе мышления переоценивается (ср. с [150]). Мозг может содержать некоторые мыслительные блоки, основанные на преобразованиях информации, выполняемых машинами Тьюринга (рекурсивными вычислимыми функциями). Однако нет оснований предполагать, что мозг содержит одни лишь тьюрин- говскис (алгоритмические) мыслительные блоки. Наши р-адиче™ скис математические модели показывают, что многие черты когнитивного поведения можно моделировать с помощью динамических сетей, выполненных нетьюринговскими преобразованиями 9, см. гл. 1.
9 Конечно, функция fn(x) = хп является вычислимой. Но в общем случае мыслительные процессоры, работающие в подсознании, могут реализовываться невычислимыми функциями. Такие функции нельзя задать компьютерными программами. Но нет никаких оснований предполагать, что невычислимые функции не могут быть реализованы с помощью биофизических процессов.
Я согласен с точкой зрения, типичной для квантовых моделей мышления, что процесс мышления не может быть сведен к работе нейронных сетей. Поэтому блоки нейронных сетей в мозге должны рассматриваться только как часть думающей машины. Эта часть мозга (которую мы в [ИЗ] называли подсознанием) ответственна за неосознаваемые (бессознательные) потоки информации в мозге. В некотором смысле это реализация обобщенного постулата искусственного интеллекта: часть мозга подобна компьютеру, но этот компьютер использует нс только рекурсивные, но и нерекурсивные преобразования информации. В гл. 1 мы показали, что естественные классы таких нерекурсивных преобразований (непрерывные функции) могут быть порождены иерархической m-адической топологией, заданной на информационном пространстве мыслящей системы т.
Мозг должен обладать и другой информационной структурой (которую мы называем сознанием), которая ответственна за анализ, «понимание» результатов функционирования подсознания. Информация превращается в осознанную только на верхнем уровне мыслящей системы. Механизм работы сознания все еще остается большой тайной (многочисленные обсуждения относительно различных аспектов сознания см., например, в [59, 161, 58, 44]).
В отношении лингвистической критики подхода нейронных сетей я соглашусь с тем, что этот подход должен быть существенно модифицирован, чтобы принять во внимание семантическую и синтаксическую структуры мышления, а именно:
производительность — способность генерировать огромное множество высказываний из конечного множества информационных последовательностей;
логическая связность — способность логически вывести, например, из того факта, что «Мэри и Джон пошли в магазин», тот факт, что «Мэри пошла в магазин» и «Джон пошел в магазин» (подробности см. в [77, 185]).
В гл. 1 мы изучили модели мышления, в которых бессознательные (неосознанные) процессы математически представлялись непрерывными (относительно топологии дерева) отображениями /: Xi ™э Хь В детерминистских моделях новое информационное состояние жп+1 Е Xi получалось на основе предыдущего состояния хп Е Xi : жп+1 = /(жп). В случайных динамических моделях случайность (со случайным параметром ш) заменяет один мыслительный блок на другой: xn+i = fzn(w)^n), где {/2п •••,/_ } ™ множество «мыслительных функций», а гп(ш)
описывает случайность. В теории случайных динамических систем zn(w) = ^(J77™^), где 19 — поток случайности. Одним из основных последствий математических исследований, изложенных в работе [68], является то, что поток случайности 19 играет очень важную роль в передаче информации. Имеются серьезные основания предполагать, что случайный параметр из нельзя свести к физическим и информационным шумам. Случайная переменная из является, по существу, (статистическим) регулятором выбора различных мыслительных блоков в подсознании.
В этой главе мы развиваем динамическую модель мышления, основанную на иерархических информационных деревьях. Мы пытаемся ответить на лингвистическую критику введением новой иерархии:
информационные состояния ж ™э ассоциации А ™э идеи J.
Здесь ж принадлежит дереву Хг, ассоциация А — класс эквивалентных информационных состояний; идея J — множество ассоциаций 9. Для некоторого класса отображений /: Xj Xj динамика /-состояний порождает динамику в пространстве ассоциаций Хд и идей Хщ (может быть поднята на эти пространства). Такая модель с двумя осями иерархий более или менее удовлетворяет постулатам (а) и (Ь) лингвистического подхода к мышлению:
довольно малое множество информационных состояний может произвести (путем формирования ассоциаций) огромное множество высказываний; _
каждое подмножество J идеи J является также идеей; поэтому с помощью простейшего закона логики высказываний: J J, если J с J, сознание может получить огромное множество высказываний на основе каждой идеи J.
Новое свойство динамики идей заключается в том, что (при большом классе динамических систем на т-адических деревьях) для каждой начальной идеи Jo ее итерации притягиваются некоторой идеей Jattr- Последняя рассматривается сознанием как решение задачи Jo. В противоположность такой «аттракторной» динамике идей, динамика информационных состояний (на дереве Xf) или ассоциаций нс обязательно должна быть «аттракторной». В частности, там могут существовать многочисленные
9 Заметим, что основное пространство /-состояний Xi обладает своей собственной иерархией, а именно иерархией m-адического дерева.
циклы или эргодическая эволюция. В общем, процесс мышления на уровне /-состояний (или ассоциаций) нс даст определенного ответа на каждую начальную задачу xq (или Ло). Отправляясь от некоторых начальных данных, динамические процессоры m-адических деревьев могут индуцировать циклы. Фактически, даже простейшие динамические системы (мономиальные отображения) обладают огромным числом циклов различной длины. Распределение этих циклов чрезвычайно чувствительно к основанию кодирования т для системы мышления, так же как и к остальным параметрам динамической системы, см. [111, 119, 122, 145]. Следовательно, мыслящая система г, которая пытается реализовать мышление только на первичном ментальном уровне, т. е. на уровне /-состояний и ассоциаций, будет определенно вовлечена в хаос многочисленных циклов без какой-либо возможности найти определенное решение. Этот циклический хаос, присущий нулевому и первому этажам «мыслительного дома» (этажам, населенным /-состояниями и ассоциациями), исчезает на втором этаже: отправляясь от начальной идеи Jo, динамический процессор всегда произведет идею-аттрактор Jattr-
Более того, циклический хаос на нижних этажах мышления (населенных /-состояниями и ассоциациями) имеет положительное влияние на процесс мышления на втором этаже (который населен идеями). Наше математическое исследование показывает, что такой хаос циклов есть основа функционирования высокоразвитых мыслительных систем. Богатство множества идей- аттракторов (идей-решений) — это следствие огромного количества циклов на уровне /-состояний и ассоциаций. Поэтому чем сильнее хаос циклов для 1-состояний и ассоциаций, тем сильнее креативность.
Используя высшие уровни представления информации, мыслящая система сильно улучшает регулярность динамики мышления. Случайная динамика идей имеет тс же черты. Здесь возникает и новая особенность, а именно длинные ряды статистической памяти. В общем случае вновь произведенная идея Jn+i зависит от всех идей Ji,...,Jn, произведенных в предыдущих итерациях.
В заключение заметим, что использование новой иерархии мышления (в сочетании с основной иерархией m-адического дерева) сильно повышает информационную мощность мыслящей системы. Мы покажем на примере, что примитивная мыслящая система, которая (в каждый момент времени) оперирует на уровне /-состояний 300 битами информации, может оперировать N = 4 000 000 000 идеями. Возможно, что такая иерархическая
информационная мощность позволит мыслительным системам решить проблему комбинаторного взрыва (которая хорошо из™ вестна в науках о мышлении, см. [58] для более широкого обсуждения этой проблемы). Кроме того, вероятно, некоторые мыслительные системы могут создавать «ментальные башни» с бесконечным числом этажей: /-состояний, ассоциаций этих состояний, ассоциаций от ассоциаций (которые мы называем идеями), ассоциаций от ... от ассоциаций, ... Вероятно, способность концентрировать бесконечную /-энергию в конечной физической системе (мозге) является одной из важнейших черт разумных систем, см. гл. 6.
Другой (довольно неожиданной) чертой динамики идей является нарушение аксиомы материализма науки о мышлении, см. Виттгенстейн [199]. В принципе, одна и та же идея J, «состояние разума», может представляться весьма различными конфигурациями возбужденных нейронов, «состояний мозга».
Мы предлагаем модель реализации иерархического информационного состояния ж Е X/ с помощью иерархических цепей нейронов. Наша модель может быть основана как на пространственной модели [И], так и на частотной модели [94]. В первом случае иерархические цепи нейронов являются пространственными цепными структурами. Во втором случае иерархическая цепь нейронов может обладать пылеподобной пространственной структурой. Это и будет цепью в частотной области.
Конечно, наша модель бессознательно-сознательного мышления была мотивирована работами Фрейда [79]. По-видимому, он был прав в том, что нс все информационные потоки в мозге являются потоками осознанной информации. Даже идея-аттрактор Jattr, полученная путем «динамического мышления», еще нс осознана. Чтобы стать осознанной, она должна быть проанализирована и в некотором смысле «признана» сознанием. В главах 3 и 4 мы обсуждаем приложения нашей модели процесса мышления к методу Фрейда лечения психических расстройств — психоанализу.
Иерархические цепи нейронови кодирование информации
Символ т будет использоваться для обозначения мыслящей системы. Здесь мы обсуждаем возможную реализацию нашей m-адики на /-деревьях на уровне нейронных сетей. В нашей модели предполагается, что каждый нейрон ть имеет т > 1 уров™
ней возбуждения, а = О, 1,... ,m — 1 (например, в простейшей модели а = 1/0, возбуждение/отсутствие возбуждения). В этой модели каждый отдельный нейрон нс обладает когнитивным значением. Когнитивная информация представляется цепью нейронов
Каждая цепь нейронов ЛУ может, в принципе, представлять тм различных /-состояний (информационных последовательностей):
ж = (qq, «1,...,аm-\Y а {О’ 1, • • •, m — 1},(2.1)
соответствующих различным уровням возбуждения нейронов в Ы. Обозначим множество всех возможных /-состояний символом Xj.
В нашей модели каждая цепь нейронов АГ имеет иерархическую структуру.
нейрон по (самый важный);
нейрон П1 (менее важен, чем нейрон ng); ...
нейрон rij (менее важен, чем нейроны ту,... ,Tij™xY
Эта иерархия основывается на способности нейрона возбудить последовательность нейронов в цепи:
по может возбудить все нейроны тц,..., пр,..., rtM_x;
Tix может возбудить все нейроны тщ,..., пр,..., rtM_x и т. д.
Но нейрон Tlj нс может возбудить ни одного из предыдущих нейронов ng,..., п^-ь Более того, процесс распространения возбуждения обладает следующей структурой. Если ту имеет наивысший уровень возбуждения Qj = т — 1, то увеличение уровня оу на одну единицу приведет к полной релаксации (нулевому уровню возбуждения) нейрона гу,оу ™э а’. = 0, и увеличению на одну единицу уровня возбуждения Qj+i следующего нейрона цепи,
^j+i~1 •(2.2)
Если нейрон ту^х уже был максимально возбужден, Qj+i = = m—1, то преобразование (2.2) автоматически повлечет изменение на одну единицу состояния нейрона ту^д (и полную релаксацию нейрона ту^ и т. д. 9
Будем использовать сокращение ИЦН для обозначения иерархической цепи нейронов.
9 По сути, преобразование (2.2) является сложением по mod т.
В принципе, одно и то же /-состояние ж может быть представлено различными ИЦН, которые имеют одни и тс же уровни возбуждения соответствующих нейронов. Это может существенно повысить надежность /-обработки. С другой стороны, это один из возможных источников пространственной нелокальное™ ментальных функций. В принципе, ИЦН, производящие одинаковые /-состояния ж, могут размещаться в пространственно различных областях мозга.
Пусть О,£ - ИЦН, производящие /-состояния ж, ^z соответственно. Обозначим через k(N\ М) (к(М,£) и к(М,£)) длину начального сегмента в цепях АГ и М (М и £, М и £) так, что соответствующие нейроны в АГ и М имеют одинаковые уровни возбуждения. Тогда ясно, что
ЦМ.М) тш[^«£)Д(£,Л()].(2.3)
Это даст усиленное неравенство треугольника для т-адической метрики.
Специальные множества ИЦН образуют новые когнитивные объекты — ассоциации. Пусть я е {0, 1,..., т — 1}. Множество
As = {ж = (а0,...,ам) & Xr: а0 = s} С Хг
называется ассоциацией порядка 1. Эта ассоциация порождается множеством В^ всех ИЦН М = (ng,ni,... ,nM_xY у которых нейрон ng находится в состоянии «о = я. Если множество В^ пусто, то этой ассоциации не существует в мозге (на данный момент времени) 9.
Ассоциации высших порядков определяются таким же образом. Пусть яд,, ящ1 е {0, 1,..., m - 1}, / ^ М. Множество
^s0...sz = {ж = («о, • • •, «м) Е X/ : «о = s0, • • •»
называют ассоциацией порядка I. Такая ассоциация представляется множеством Bgo_Si с ВТ иерархических цепей нейронов. Заметим, что ассоциации порядка М совпадают с /-состояниями для ИЦН. Мы покажем, что мыслящая система т получает
9 В отношении проблемы локализации ментальных функций в мозге следует отметить, что цепи нейронов, участвующие в создании одной и той же ассоциации, могут размещаться в различных областях мозга. В некотором смысле имеется двойная нелокальность: нелокальность на уровне /-состояний, которая индуцируется пространственно обширными цепями нейронов, плюс нелокальность на уровне ассоциаций, которая индуцируется участием различных цепей нейронов в создании одной и той же ассоциации.
огромные преимущества, работая с ассоциациями порядка I <1 < М. Обозначим множество всех ассоциаций порядка I символом ХАД. Положим
’ XA = \JxA,i.
I
Это множество всех возможных ассоциаций. Заметим, что пространство /-состояний Xi является подмножеством пространства ассоциаций Хд.
Множества ассоциаций J С Хд также должны обладать когнитивным значением. Например, пусть А = AaQ_ai — ассоциация порядка L Это множество /-состояний, имеющих специальную структуру. Рассмотрим теоретико-множественное дополнение А в пространстве Xj: А = {ж е Xj: х Л}. Такое множество /-состояний имеет очевидную когнитивную интерпретацию: это отрицание ассоциации А. К примеру, если А — ассоциация, соответствующая солнечному дню, то Л — множество всех образов, нс относящихся к образу солнечного дня. Напомним простой математический факт: множество А также может быть представлено как семейство ассоциаций порядка I. Эти множества имеют пустые пересечения. Следовательно, такие семейства ассоциаций также должны иметь некоторый когнитивный смысл. К такому же заключению мы приходим, используя логическую операцию «или». Например, пусть основание системы кодирования т = 2 и пусть разряды /-состояний обладают следующим когнитивным значением:
«о = 1/0, мужчина/женщина, = 1/0, блондин(ка)/нет, .
Мы рассмотрим две ассоциации: Ли = (мужчина блондин) и Ло! = (женщина блондинка). Логическая операция «или» реализуется в пространстве Xi как теоретико-множественное объединение: (мужчина блондин) или (женщина блондинка)= Лц U U Лор Заметим, что логическая операция «и» тривиальна на пространстве ассоциаций Хд; если Л П В 0, то А П В = А или В.
Множества ассоциаций будут называться идеями (порядка 1). Обозначим множество всех идей символом Хщ- В принципе, можно рассматривать множества идей порядка 1 в качестве новых когнитивных объектов (идей порядка 2) и т. д. Однако ограничим свое внимание на динамике идей порядка 1.
Пространство Хщ состоит из точек-ассоциаций. Грубо говоря, на уровне идей мы можем забыть про внутреннюю /-струк-
туру ассоциаций. Пространство Хщ наделяется стандартной структурой булевой алгебры: «или» — объединение, «и» — пересечение, «нет» — дополнение. Следовательно, наша модель мышления тесно связана с исчислением высказываний Буля [38, 39]. Отличительная черта нашей модели — это наличие m-адической внутренней структуры для элементов булевой алгебры. Мы увидим, что иерархическая m-адическая динамика для /-состояний может быть поднята до динамики на булевой алгебре идей.
Естественно предположить, что представление когнитивной информации на уровне идей играет важную роль в ментальных функциях (по крайней мере в таких «функциях высокого уровня», как, например, эмоции или целенаправленное поведение). Из этого следует пространственная нелокальность ментальных функций, поскольку идея может быть сформирована из отдельных ассоциаций, которые, вообще говоря, формируются пространственно-нелокальными цепями нейронов (которые в свою очередь также являются весьма нелокальными объектами).
Замечание 1.1 (ассоциации, идеи и сложность когнитивного поведения). Одной из основных черт нашей модели является то, что нс только /-состояния х Е Хь но также ассоциации А Е Хд и идеи J Е Хщ имеют когнитивное значение. Одной из причин использования такой модели служит то, что сложное когнитивное поведение может демонстрироваться нс только живыми организмами т, способными обрабатывать в «мозгах» огромные объемы «чистой информации» (/-состояния), но и некоторыми живыми организмами с пренебрежимо малыми «мозгами». Известно, что некоторые примитивные организмы трг, имеющие (приблизительно) N = 300 нервных клеток, могут показывать достаточно сложное когнитивное поведение: способность к обучению, сложное сексуальное (даже гомосексуальное) поведение. Предположим, например, что основание системы кодирования т организма трт равно 2. Здесь каждая нервная клетка п может индуцировать два состояния: 0 — невозбужденное и 1 -- возбужденное. Неиерархическое кодирование информации дает возможность обрабатывать в мозгу (в каждый момент времени) 300 битов информации. В процессе «мышления» трг преобразует эти 300 бит в другие 300 бит. Казалось бы, что такая 300-битовая /-динамика нс может индуцировать сложное когнитивное поведение. Теперь предположим, что трт имеет возможность создавать иерархические цепи нервных клеток (горизонтальная иерархия). Пусть, например, такие ИЦН
имеют длину L = 5. Значит, трг имеет = 60 цепей ИЦН (таким образом, множество Вт^ состоит из 60 элементов). Общее ЧИСЛО /-СОСТОЯНИЙ Ж = («о, «1, «2, «з» «4),=0,1, которое
может быть обработано ИЦН длины L = 5, равняется ^ = 25 = = 32. Следовательно, аппаратное обеспечение мозга Вт^ (собрание всех иерархических цепей нейронов) может представлять все /-состояния одновременно (поскольку Nj < N). Некоторые /-состояния представляются несколькими цепями нейронов (это увеличивает надежность представления информации). Предположим, что все /-состояния реализуются мозгом в каждый момент времени. Предположим, что трг может работать с ассоциациями и идеями. Мыслящая система трг имеет Na = 2^ ассоциаций порядка к = 1,2,..., 5. Число однородных идей (т. с. идей, сформированных ассоциациями одного и того же порядка) системы трг равняется
W/D.hom = (22 - 1) + (222 - 1) + (223 - 1) + (224 - 1) +
+ (225 - 1) = 4 295 033 103 » 300
(каждое слагаемое содержит — 1, так как пустое множество ассоциаций нс рассматривается как идея). Следовательно, система трг работает с более чем 4 295 033 103 «идеями» (а в се мозге реализуется только Nj = 32 /-последовательности). Болес того, если мы рассмотрим возможность когнитивной интерпретации идей более высоких уровней (множеств обыкновенных идей), тогда даже примитивные мыслительные системы смогли бы оперировать с фантастически огромными объемами информации. Например, для случая трг число идей уровня 2
м(2) о4 295 033 103
В нашей модели мозговое «аппаратное обеспечение» системы т задается ансамблем Вт цепей ИЦН. Для иерархической цепи нейронов Ы е Вт положим г^Ы^ = х, где х — /-состояние цепи М. Отображение г: Вт Xi задает соответствие между состояниями мозга и состояниями разума. По сути, отображение г обеспечивает связь между материальным и ментальным мирами. Возможно, что г^Ы\^ = ЦЛ4) Для Ж 7^ А/щ Как мы уже упоминали, это один из возможных источников пространственной нелокальности ментальных функций. Естественно предположить, что отображение г зависит от временного параметра t: i = it. В частности, если t — дискретно, мы получим последовательность отображений it, t = 0,1,2,... Такая временная
зависимость является также источником пространственной нело- кальности ментальных функций.
В пространственной модели каждая ИЦН М является цепью физических нейронов, которые связаны аксонами и дендритами, см., например, [70]. В принципе, такую цепь нейронов можно наблюдать (как пространственную структуру евклидова пространства R3). К сожалению, современный уровень нейрофизиологических измерений нс достаточен, чтобы наблюдать функционирование (возбуждение) цепей отдельных нейронов в экспериментах.
В частотной модели [94] цифры aj е {0, 1,..., т — 1} могут рассматриваться как частоты импульсов для нейронов Tip] = = 0, 1,2,..., которые образуют «частотную ИЦН» ДА Здесь цепь Ы нс обязательно представлять как связную пространственную структуру. Она может быть распылена в R3.
Замечание 1.2 (нейронный код), ср. с [70]. В нашей модели информация кодируется длинными цепями нейронов -- ИЦН. Плотная структура связей в мозге влечет то, что различные ИЦН должны пересекаться. Поэтому один и тот же нейрон п может содержаться в нескольких ИЦН: Mj = (п^ ..., ti3m_v...), j = = 1,...,К, и n^,. =п. Здесь индекс kj используется для описания местоположения одного и того же нейрона п в разных иерархических цепях. Акт возбуждения нейрона п играет разную роль в разных ИЦН, АГ\..... АГк. Возбуждение отдельного нейрона не имеет прямого когнитивного смысла. Поэтому нейронный код не может быть найден вычислением частот возбуждения для отдельных нейронов. Чтобы найти нейронный код, мы должны найти состояния иерархических цепей нейронов.
Замечание 1.3 (взаимная интерференция мыслительных процессоров). Рассмотрим два мыслительных процессора яд и яд, к примеру, яг i — сексуальный процессор, а яд — религиозный процессор. Предположим, что оба они одноцепные процессоры: и j работает на одной иерархической цепи нейронов Mj = = (n^n^,...,^!,...), з = 1,2.
Допустим, что эти цепи имеют непустое пересечение
(а,..., d^ € М\ ПМ : а = Л = Л ,..., d = п\= Л,.
Частоты возбуждения нейронов а,... ,d определяются обоими процессорами яд и яд. Такое пересечение ИЦН, соответствующих различным мыслительным блокам, является источником взаимного влияния различных ментальных функций. Рассмотрим
случай, когда динамическая функция процессора тг^ имеет вид /тг,(ж) “ ж^- Предположим, что для сексуального процессора яд начальное состояние жо (вызванное, к примеру, внешней информацией) всегда равняется 0 (нет сексуальной информации на входе). Поэтому У^ (жо) = У^ (0) = 0 и изолированный сексуальный процессор 7Г1 будет всегда производить нулевой результат. Однако если Мх ПЛ/2 + ^, тогда работа яд может вызвать ненулевой результат для яд. Стабилизация к аттрактору в цепи Ы^ влечет стабилизацию /-состояний всех нейронов в Ы^- В частности, нейроны а,..., d будут получать фиксированные значения аа,..., а^* Следовательно, яд автоматически произведет ненулевой аттрактор
ж = (0, ... ,аа,... ,ad,0,...).
Здесь религиозная посылка даст сексуальный результат. Такой результат будет скорее всего ненормальным, так как цифры aa,...,ad были получены путем итераций религиозной динамической функции У^, которая может сильно отличаться от сексуальной динамической функции У^.
Замечание 1.4 (борьба динамических систем). Давайте снова рассмотрим работу двух вышеописанных динамических систем. Предположим, что каналы ввода или вывода процессора яд заблокированы на длительное время (возможный источник такой блокировки будет рассмотрен в гл. 3). Нейроны а = = п?а,..., d = n?d (на пересечении сексуального и религиозного аппаратных обеспечений) нс получают никакого сигнала от соседних нейронов из цепи Л/). В то же время эти нейроны а = = п?а,..., d = п^ посылают сигналы (индуцированные работой процессора яд) к соседним нейронам в цепь Ых* В частности, такой процесс может повлечь перестройку мыслительных процессоров: цепь нейронов Мх становится частью яд. Таким образом, Процессор ЯГ 1 подчиняется Процессору ЯД.
Механизм аппаратной реализации отображений мышления У: X/ —X/ на основе нейрофизиологических исследований пока еще нс найден. Мы можем предложить возможные механизмы. Простейшая реализация (на основе ИЦН) выглядит следующим образом: каждая ИЦН М, имеющая /-состояние ж е е X/, изменяет его на у = f(x) 6 X/. Здесь каждая ИЦН Л/ производит (в процессе мышления) широкий ряд /-состояний. Нс существует пространственной области локализации для состояний разума. Такое «аппаратное обеспечение» достаточно естественно для модели частотной области. Возможно, что каж-
дая ИЦН ЛГ могла бы представлять широкий спектр комбинаций колебаний частот и = (^о, ^ь ^2» • • •)» где ^j — 2тга^/т, а = = О, 1,..., m — 1.
Возможно, что «аппаратное обеспечение» для отображений /: Xj Xj имеет более сложную основу. Пусть каждая ИЦН Л/, обладающая /-состоянием ж Е Хр изменяет /-состояния группы
ЖжНМ,...Л)
иерархических цепей нейронов на новое /-состояние у = /(ж). Основной чертой такого аппаратного обеспечения является то, что если ЦЛГ) = ЦАЦ = ж, то ЦТ(Л/, ж)) = ЦТ(М,ж)) = у. Следовательно, если две ИЦН ЛГ и М обладают (в некоторый момент времени t = п) одним и тем же /-состоянием жЕХр то обе группы ИЦН Т(ЛГ, ж) и Т(М,ж) (возбуждаемые цепями ЛГ и М соответственно) получат (в следующее мгновение t = = п + 1) одно и то же /-состояние уЕХр
Мы нс знаем, работает ли мозг в таком режиме. Наша цель — математическое моделирование на основании такой модели. Хорошим результатом такой деятельности было бы воспроизведение некоторых важнейших черт когнитивного поведения.
Группа ИЦН Т(М, ж) зависит от системы связей С между нейронами (аппаратное обеспечение) также, как и от /-состояния ж иерархической цепи нейронов ЛГ.
Замечание 1.5 (материалистическая аксиома). Если сознание системы т нс чувствительно к мощности К(ж) множества г-1(ж) (число цепей ИЦН, представляющих состояние ж), то динамическая эволюция Т(ЛГ, жЦ), К = K(t,x) нарушает материалистическую аксиому. Здесь чрезвычайно разные пространственные (и частотные) конфигурации нейронов могут производить одно и то же /-состояние. Эта модель не так уж нереальна. Возможно, что сознание принимает во внимание только нижние границы K(t/x). Здесь все состояния мозга при K(t/x) ^ Kmin имеют одинаковое ментальное значение. Вообще говоря, Kmin может также меняться со временем и зависеть от ж: Kmin = = ^ min(^, ж) .
В математической модели удобно использовать бесконечно длинные /-последовательности вместо /-последовательностей конечной длины М. Мы будем рассматривать /-пространство Xi = Zm и повторим все рассуждения этого раздела (в частности, определения ассоциаций и идей).
Динамика информационных состояний,ассоциаций и идей
В этом разделе мы изучаем простейшую динамику ассоциаций и идей. Такая /-динамика индуцируется соответствующей динамикой /-состояний, т. е. порождается функцией /: Xj ™Е Хь которая не зависит от времени и случайных флуктуаций. Этот процесс мышления не обладает памятью: предыдущее /-состояние ж определяет новое /-состояние у посредством преобразования у = f(x):
ж»+1 = /Щ).(2.4)
Предположим, что для каждой ассоциации А ее образ
В = /(Л) = {у = /(Ж):Ж€Л}
снова является ассоциацией. Обозначим класс таких отображений / символом A^XiY Иногда мы будем рассматривать динамику, ограниченную на подмножество О множества Хд в этом случае мы будем использовать символ А(О).
Если / Е A(XfY тогда динамика (2.4) /-состояния мыслящей системы т порождает динамику ассоциаций
Ащ1 =/(Лп).(2.5)
Начиная с ассоциации А, т генерирует последовательность ассоциаций: Ло, Л1 = /(Ло), ..., Лп+1 = f(An\ ... Можно сказать, что динамика в ментальном пространстве Xj для преобразований / Е A(Xj) может быть поднята до динамики в пространстве ассоциаций Хд.
Динамика ассоциаций (2.5) автоматически порождает динамику идей: J’ = /(J) = ^Вт = /(Л): А Е J}. Таким образом, каждая идея эволюционирует согласно итерациям:
А+1 = /(ЛА(2.6)
Начиная с идеи Jo, система т генерирует последовательность идей: Jq, Ji = /(Jo), • J^+i = /(А), ••• Читатель, наверное, заметил, что существует различие в возможности поднятия на уровень ассоциаций и идей: в последнем случае это всегда возможно. Фактически, это различие всего лишь следствие нашего определения идей. Здесь мы не пытаемся уточнять классы ассоциаций, которые образуют новые когнитивные объекты — идеи. В частности, мы не пользуемся какой-либо иерархической структурой в процессе формирования идей на основе ассоциаций. В действительности, мы развиваем такой подход только по одной
причине: упростить модель. В принципе, мы можем определять идеи точно таким же образом, как и ассоциации: используя иерархическую структуру, см. гл. 6.
Геометрически ассоциации представляются как пучки ветвей m-адического дерева. Идеи представляются как множество связок пучков. Так что динамики (2.4), (2.5), (2.6) являются, соответственно, динамикой ветвей, пучков и связок пучков т-адиче- ского дерева, /-динамика на Zm порождается отображениями /: Zm -л Zm. Нас интересуют отображения, принадлежащие классу Л(О), где О —некоторое подмножество Zm. Заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между ассоциациями порядка l,ASo_S{^v и шарами UT радиуса г = I / р1 в метрическом пространстве Zm, а именно
= UHqY r=l/pl, а = s0 + ... + s/_imz-1.
Поэтому / е А(О) отображает шар на шар: риЦаУ) = Upa'), о/ = f(a). Чтобы привести примеры таких отображений, воспользуемся стандартной алгебраической структурой, заданной на Zm. Доказано (см. гл. 9), что все мономиальные динамические системы принадлежат названному классу А(Оу
Нас интересуют аттракторы динамической системы (2.6) (это идеи-решения). Для того, чтобы определить аттракторы в пространстве идей Xjd, нам следует определить сходимость в этом пространстве. Мы должны ввести расстояние на пространстве идей (на множествах ассоциаций). К сожалению, имеется некоторая математическая трудность. Метрика на пространстве точек не порождает метрику на пространстве множеств, которая бы обеспечивала адекватное описание сходимости идей. Более полезно ввести обобщение метрики, а именно так называемую псевдометрику 9. Значит, динамика идей является динамикой не в метрическом, а в более общем так называемом псевдометриче- ском пространстве.
Пусть (Х,р) — метрическое пространство. Расстояние между точкой а Е X и подмножеством В множества X определяется как
р(а- в) = mf р(а, Ь)
(если В — конечное множество, то р(а, В) = minр(а, 6)).
9 На самом деле можно ввести и метрику (метрика Хаусдорфа), как это делается в общей топологии, см. [72] и гл. 6. Тем не менее, видимо, эта метрика не дает адекватного описания динамики ассоциаций и идей.
Обозначим через Р(Х) систему всех подмножеств множества X. Хаусдорфово расстояние между двумя множествами А и В из ?(Х) определяется как
р^А, В) = sup р(а, В) = sup inf р(а, b).(2.7)
а.ЕАаЕЛЬЕВ
Если Л и В конечные множества, то
р^А, В) = max р(а, В) = max min р(а, bYаЕv4clEA bEB
Хаусдорфово расстояние р не является метрикой на множестве Т^Ху В частности, р(Л, В) = 0 не влечет А = В. Тем не менее неравенство треугольника
р^А, В) < р(Л, С) + р(С, В), Л, В, С Е У, остается верным и для хаусдорфова расстояния, см. раздел 5 гл. 9.
Пусть Т — множество. Функция р : Т х Т -A R+ = [0, +оо), для которой выполняется неравенство треугольника, называется псевдометрикой, заданной на Т; (Т, р) называется псевдомет- рическим пространством. Расстояние Хаусдорфа является псевдометрикой на пространстве ¥ всех подмножеств метрического пространства X; (У, р) — псевдометрическое пространство, подробности см. в гл. 9. Усиленное неравенство треугольника
р(Л, В) < max [р(Л, С), р^С, В)], Л, В, С Е У, остается верным для хаусдорфова расстояния, соответствующего ультраметрике р на X, см. раздел 5 гл. 9. В этом случае расстояние Хаусдорфа р является ультрапсевдометрикой на множестве У = Р(Х).
Как мозг играет в кости?
Наш сознательный опыт говорит нам, что детерминистская модель мышления (2.4)-(2.6) не обеспечивает адекватного описания процесса мышления. Видимо, новое состояние разума зависит не только от первоначального состояния разума, но также и от (случайного) выбора нового отображения f:Xj^Xi (которое будет выполнять новую итерацию), см. [68]. Какова же основа такой игры случая? Современный уровень нейрофи- зических исследований не достаточно высок для того, чтобы получить ясный ответ на этот вопрос. Мы предлагаем некоторые возможные математические модели. Предположим, что мыслящая система т реализует N различных процессоров мышления
тп,..., ttn с динамическими функциями Д, г = 1,2,..., N. Система т использует различные блоки для обработки /-состояния. В каждый момент времени t = 0, 1,... система т выбирает некоторый процессор лу и выполняет новую итерацию:
“ fz(xn).(2.8)
Как же т выбирает последовательность процессоров тг^ , лу2,... ..., луп+1,...? Простейшей моделью является модель детерминистичного выбора:
^n+i S^nV(2.9)
Однако такая система скорее всего продемонстрирует примитивное когнитивное поведение.
Пример 3.1. Пусть т некоторый мужчина. Допустим, что процессоры тгц тг2, тгз, тг4 отвечают за визуальную, артикулярную, сексуальную и пищевую информации, соответственно. Пусть g(l) = 2, g(2) = 3, g(3) = 4. Начиная с щ = 1 и
ж0 = {образ хорошенькой женщины у},
на следующем шаге т всегда использует
ТГ9 = 7Г22 (разговор с этой у), затем т пользуется
тгз = лу2 (сексуальное поведение)
и, наконец, т использует
тг4 = лу4 (интерес к пище).
Если g-(4) = 1, то т демонстрирует циклическое поведение. Система т, чей механизм выбора продиктован детерминистским законом (2.9), не смогла бы изменить выбор этих мыслительных блоков, зависящий от предыдущего /-состояния хп. Например, если у голодна (это станет ясно после первых двух итераций, ж2 = fz2(fz} (жо))> т0 было бы более естественно для т применить сперва блок тг4 (пища), и только после этого применять блок тщ (сексуальное поведение).
Модель, основанная на правиле выбора (2.9) для динамических законов, скорее описывает когнитивное поведение примитивных живых форм. К примеру, она могла бы объяснить некоторые существенные черты когнитивного поведения насекомых.
Мыслящие системы высшего уровня не только выполняют 9 «алгоритмы» (2.9). Их выбор существенно зависит от предыдущего /-состояния хп;
^TtXX ™(2.10)
Например, правило выбора (2.10) могло бы объяснить некоторые существенные черты когнитивного поведения животных. Однако (2.10) все еще не смогло бы объяснить поведение человека. Невозможно предсказать с вероятностью 100%, что новое состояние человеческого сознания будет:
^п+1 = f (^™)’^n+1 “ S^Th ^п)-
На следующем уровне сложности т должна использовать механизм случайного выбора:
^П+1 “ ^(^П)^))(2-11)
где и) — случайный параметр выбора. Это случайное развитие. Здесь подразумевается, что конкретное значение g(z, х, ш) не так уж важно, /-динамика мыслящей системы т является статистической динамикой:
жта+1(ш) = /^n+i (жп (^)) •(2.12)
Здесь значение xn+i(m) нового /-состояния т зависит от выбора ш.
Случайный параметр ш может также эволюционировать со временем: ш = -Ош, где О О — закон эволюции, а О — пространство случайных параметров. Таким образом, % эволюционирует как Zo, ^1 = g(^0, ^0» ^), ^2 “ ^(щ, Ж), 1?Cj), Z3 = = g/^» х^, ^2ш\ ..., см. [15]. Окончательно имеем:
М1И = g(zn((A)\xn(^^^,(2.13)
^п+1(^) ™ /zn+] (w) (жп(^)) •(2.14)
Грубо говоря, т не пытается найти «правильное решение» для каждой тройки (щж,ш); т пытается только управлять их поведением статистически. Статистическое /-поведение определяется вероятностями, а именно условными вероятностями Р(хп^х = = ^/предыдущее) — получить на следующем шаге /-состояние у на основании информации о предыдущих информационных состояниях, см. гл. 8.
9 Подчеркнем, что мы не требуем, чтобы функция выбора g представлялась с помощью машины Тьюринга, т. е. «алгоритм» — это действительно алгоритм в кавычках.
Одной из отличительных черт случайных динамик (2.13), (2.14) является то, что, вообще говоря, такой стохастический процесс не является марковским. Напомним, что стохастический процесс (цепь) {ящ(^)}^=0 обладает марковским свойством, если
P($n+\ = у\эсп = k, xn_i = у,..., ж0 = А) = РЩ+1 = у\хп = п).
(2.15)
Здесь вероятность получить новое состояние жп+1 = -у зависит только от предыдущего состояния хп = п системы (и не зависит от предыдущей эволюции xq = А, ..., хп_\ = ж). Тщательное математическое исследование [68, 131, 6] показало, что марковское свойство случайной эволюции (2.13), (2.14) сильно зависит от начального /-состояния жд = А и от структуры случайного закона развития -9.
Для некоторого 19 /-динамика является марковской при любом выборе жо = А. Такая мыслящая система т не использует память о длительном периоде эволюции для того, чтобы создать новое /-состояние жп+1 = у. Здесь предыдущее /-состояние хп = к определяет (но, безусловно, только лишь статистически) следующее состояние жп+1 = у.
Кроме того, процесс Бернулли $ порождает /-динамику, которая не обладает даже одношаговой памятью: Р(хп^х = у\жн = = n) = P^yY [68]. Здесь случайность параметра 19 настолько сильна, что разрушает даже одношаговую память. Тем не менее, наиболее интересной чертой динамики (2.13), (2.14) является то, что для широкого класса законов 19 система т может демонстрировать как марковское, так и немарковское поведение в зависимости от начального /-состояния жо = А, [131, 6]. Некоторые /-состояния А эволюционируют с одношаговой памятью, другие же, напротив, — с долговременной памятью. В последнем случае, для того чтобы определить жп+1 = у, система т использует всю информацию, собранную в предыдущей /-эволюции: xq = = А, Ж1 = q, хп~х = ж, хп = w. Другая интересная черта этой модели заключается в том, что марковость /-эволюции зависит от основания кодирующей системы тп: один и тот же поток случайности 19 может порождать марковскую динамику для одного дерева, а немарковскую динамику для другого дерева.
Если при каждом z отображение fz принадлежит классу Д(Х/), то случайная /-динамика (2.13), (2.14) порождает динамику
ЖЩЛ = ЩнИМЩ)) (2.16)
случайных ассоциаций Ап = Ап(ш). Динамика случайных ассоциаций (2.16) автоматически индуцирует динамику
Jn+i(cj) = /гп^х^Уп(ш))(2.17)
случайных идей Jn = Jn(^Y
Замечание 3.1 (истоки случайности). Естественно использовать идеи общей теории случайных динамических систем [15] и интерпретировать со как параметр шума, который возмущает детерминистскую /-динамику мыслящей системы т. Однако такая точка зрения на случайный параметр ш является слишком ограниченной. На самом деле параметр ш играет важнейшую когнитивную роль. Он не является чисто шумовой помехой для т. Используя поток случайности $, мыслящая система т производит выбор динамического отображения Д. Более естественно предполагать, что со — (^шум, ^мысль), где ^шум случайный параметр шума, а шМЫСль — случайный параметр, который специально производится системой т, чтобы реализовать выбор (2.13). Такой параметр шМЫсль может производиться с помощью некоторого случайного генератора G.
Ассоциативное и целенаправленное мышление
В психологии предполагается (см., например, [158, 96], а также [146]), что существуют два различных типа мыслительных процессов: (а) ассоциативное мышление; (Ь) целенаправленное мышление.
Согласно работе [146, с. 26], в первом процессе одна мысль (или образ) активирует другую мысль (или образ), один образ в памяти активирует другой. Такая ассоциативная цепь мыслей является типичной для ситуации, в которой наш разум в некоторый момент времени не имеет конкретной цели.
Во втором случае мы пытаемся решить некоторую задачу или, к примеру, вспомнить чье-то имя. Здесь если цепь мыслей отклоняется от основной задачи (благодаря какой-нибудь ассоциации, возникшей в процессе мышления, или какому-нибудь внешнему воздействию), то наша мыслящая система должна вернуться к основному потоку целенаправленного мышления.
Мы попытаемся описать эти процессы с помощью нашей математической модели. Во-первых заметим, что в нашей модели все мыслительные процессы являются ассоциативными мыслительными процессами. Поэтому мы не можем поддержать точку зрения о том, что целенаправленное мышление не основано на
потоке ассоциаций. Если динамический процессор мышления
= Дхп) описывается непрерывной функцией /, заданной на m-адическом дереве, то новое /-состояние производится на основе близости в смысле общей ассоциации с предыдущим /-состоянием.
Однако имеется различие в работе процессоров мышления в режимах (а) и (Ь). По сути, все предыдущие рассуждения относились к режиму (а). Для того, чтобы описать (Ь), нам следует изменить схему, которая использовалась в предыдущих разделах. Мы будем действовать в рамках теории случайных динамических систем. Ограничимся динамикой /-состояний. Новое /-состояние производится случайной динамикой (2.13), (2.14). Пусть цель процесса мышления представляется /-состоянием «цель- В процессе (Ь) целенаправленного мышления каждое новое /-состояние жта+1(ш) должно сравниваться с целью (ЩелН Рт(^п+ь «цель) Щ где в > 0 дает точность целенаправленного мышления. Траектория мышления жо,..., жп, жп+1,... должна лежать в окрестности цели ^(ацель) = {ж: рт(^,«цель) £}• Теперь предположим, что на некотором шаге эта траектория покидает окрестность: рт(жп+ь «цель) > е. В этот момент траектория должна быть скорректирована: ж'п+1(ш) = /zn+](w)(xn(^))- Состояние xn+i должно быть удалено, а итерации должны возобновиться снова с предыдущего /-состояния хп (которое все еще принадлежит <7£(«Цель))- Однако мы уже не получим жп+ь потому что случайный поток $ продолжает свое течение. Новое /-состояние ж^+1 получается как
«ЩИ = Лп+2(а,)ЩЫ)), где
= g(zn+A(w),xn+A(w)Mnw) .
Это новое /-состояние может принадлежать /4 («цель)- В этом случае оно принимается как правильная итерация в целенаправленном мышлении. Если же ж^^ш)^(«цель), то т вычисля
ет как
и так далее.
Глава 3
ОБРАБОТКА БЕССОЗНАТЕЛЬНОЙ
И ОСОЗНАННОЙ ИНФОРМАЦИИ
Мы представляем несколько математических моделей информационного построения сознательной системы т. Начнем с достаточно простой — Модель 1. Она разовьется в более сложные конструкции, которые опишут некоторые существенные черты сознательного поведения человека. Следующая последовательность моделей мышления соответствует процессу эволюции сознательных систем.
Информационное строение мыслящих систем
Модель 1. Мозг системы т разделяется на две области: сознания и бессознательного. У них имеются два управляющих центра, а именно управляющий центр сознания — УЦС и управляющий центр подсознания — УЦП. Основной частью области бессознательного является область динамической обработки информации — П. Динамические процессоры мышления тг размещаются в области П. В простейшем случае результаты работы некоторой фиксированной группы процессоров мышления
_ 1
’ • • • ’
всегда посылаются в центр УЦП, а результаты работы другой фиксированной группы процессоров мышления
1
7ГС , . . . , 7ГС
всегда посылаются в центр УЦС 9. Мозг мыслящей системы т работает следующим образом.
Информация из внешней среды преобразуется центром УЦС в некоторую идею-проблему Jq. УЦС посылает проблему Jq в
9 Информация, произведенная тгп, не может напрямую использоваться в области сознания. Эта информация циркулирует в области бессознательного. Информация, произведенная процессором тгс, может напрямую использоваться в области сознания.
процессор мышления тг, размещенный в области П. Начиная с Jo, тг производит через последовательность итераций J\,..., Jn,... идею-аттрактор J.
Если тг — тЦ (один из процессоров, выходящих на У ЦП), то результат J передается в управляющий центр У ЦП. Этот центр или посылает идею J в качестве начальной идеи J^ = = J вновь в область динамических процессоров П, или дает сигнал о физической (бессознательной) реализации J. В первом случае какой-нибудь процессор тг' (он может иметь выход как на УЦС, так и на УЦП) производит последовательность итераций J', Jp ..., JfN,... и генерирует новую идею-аттрактор J’. Во втором случае J используется в качестве сигнала, передаваемого в некоторую психологическую или физиологическую систему.
Если же тг=тЦ (имеет выход на УЦС), то результат J передается в управляющий центр УЦС. Этот центр или посылает J в качестве начальной идеи J^ = J в область П (в некоторый тг'), или дает сигнал о физическом или ментальном исполнении (например, речь, письмо), или же пересылает J в память. Здесь не существует дополнительного анализа идеи-аттрактора J, генерируемой в области бессознательного. Каждый аттрактор J рассматривается управляющим центром УЦС как решение начальной проблемы Jq, ср. с последующими моделями 2-4.
Кроме того, естественно предположить, что результаты работы некоторых процессоров мышления
, ТГд
используются только внутри области обработки П. Аттрактор J, произведенный таким процессором тгп, не передается ни в центр УЦС, ни в УЦП. Идея J напрямую используется в качестве начального условия некоторым процессором тг. В заключение мы получаем информационную модель мозга, представленную на рис. 3.1.
Важное отличие между центрами УЦС и УЦП состоит в том, что идеи являются осознанными в УЦС и неосознанными в УЦП. Конечно же, мы не можем дать точное определение, что значит осознанный. Отправляясь от понятия осознанной идеи как от первоначального, несводимого к иным понятия, мы определяем неосознанные идеи как все те идеи в мозге, которые не являются осознанными. Таким образом, все идеи в процессорах тг (как итерации Jn, так и аттракторы J) являются неосознанными, также как и все идеи в центре УЦП. В этой модели УЦС посылает все идеи, полученные из области бессознательного, на реализацию: ментальное или физическое выполнение, запись
в память, передача в П для нового цикла процесса мышления. Если интенсивность потока информации из области бессознательного довольно высока, то у такой мыслящей системы могут возникнуть проблемы с реализацией идей.
Область бессознательного
Рис. 3.1. Модель 1 сознательно-бессознательного функционирования
Кроме управляющего центра подсознания УЦП и области динамической обработки П, область бессознательного содержит и некоторые другие структуры (пустые блоки на этом рисунке). Эти дополнительные структуры как в области сознания, так и в области бессознательного будут введены позже в более сложных моделях. Мы также опишем характер связей между УЦС и УЦП. В общем случае нс обязательно предполагать рассмотренную специализацию процессоров тг в области П:
(тгД.7Г-) ^УЦП,
(^П’ . . . , 7Гп) -4- (Щ . . . , 7Гп).
Пример 1.1 (примитивная любовь). Пусть т — это «мужчина», функционирующий на основе предложенной модели, и тг = 7гПОл ™ его сексуальная система мышления. Образ Jo женщины у посылается центром сознания УЦС в процессор тгПОл- Этот мыслительный блок выполняет итерации Jo, Ji,..., Jn и генерирует идею-аттрактор J. В простейшем случае возникает
траектория: УЦС -ю 7гпол УЦС (в принципе, там могут возникнуть чрезвычайно сложные и длинные траектории, например, УЦС 7гпол ^ тИ 7г" У ЦП 'к,н ™^ УЦС). Предположим, что идея Любовь = (люблю 7) является аттрактором итераций, стартующих с образа женщины Л- Тогда идея Любовь посылается прямо на реализацию. Таким образом, т нс свойственны колебания и он даже нс испытывает страсти. Он выполняет все приказы, исходящие из области бессознательного. По сути, УЦС может рассматриваться как простое устройство управления, выполняющее связь с внешним миром. Мужчине т не известны душевные проблемы. Его мучает лишь одна проблема: интенсивность потока образов женщин. Эту проблему т может разрешить, например, выбирая случайным образом образы для реализации.
Читатель может спросить: «Почему такой мыслящей системе, как т, нужно разделять /-обработку на сознательную и бессознательную?» Основным следствием такого разделения является то, что т нс наблюдает итераций динамических систем, выполняющих интенсивные вычисления. Сознание УЦС уделяет внимание только результатам (аттракторам) работы процессоров мышления. Как следствие, т нс беспокоят постоянно эти итерации. Можно сосредоточиться на обработке внешней информации и окончательных результатах процесса мышления.
.1.2. Модель 2. Одной из возможностей улучшить работу т является создание очереди идей J, ожидающих своей реализации. Таким образом, естественно предполагать, что область сознания содержит некий накопитель Q, в котором собираются все «ожидающие идеи». Идеи в Q должны упорядочиваться для успешных реализаций. Такая же структура порядка может использоваться для удаления некоторых идей, если Q полностью заполнен. Следовательно, все осознанные идеи должны классифицироваться. Они получают некие характеристики I(J), которые задают меру интереса к идее J. Можно предположить, что / принимает значения из некоторого отрезка [5, 1] (в т-адической модели <5=1/2, см. замечание 1.1). Если /(J) = 1, то идея J чрезвычайно интересна для т. Если /(J) = Т то т вообще нс интересует идея J. Существует порог минимального интереса для реализации — Лорог- Если /(У) < Лорог, то управляющий центр УЦС немедленно удаляет У, несмотря на тот факт, что J была сгенерирована в области бессознательного как решение некой проблемы Л- Если /(У) Лорог, то УЦС посылает идею J в накопитель Q.
Субъект т живет в непрерывно меняющемся окружении. Этот т нс смог бы сосредоточиться на реализации только старых идей J, накопленных в Q, даже если они довольно интересны. Реализации новых идей, относящихся к настоящему моменту времени t, могут быть более важными. Временной фактор должен приниматься в расчет. Пусть /(f), /(0) = 1, — некоторая функция (зависящая от т), которая убывает с увеличением времени I. Предположим, что интерес I(t,J) к идее J в очереди Q изменяется по следующему закону:
цр,
где /(J) — значение интереса к идее J в момент to се прибытия в накопитель Q. Значит, интерес к J непрерывно убывает. В конечном счете, если I(t, J) станет меньше реализационного порога /порог, то J будет удалена из Q. Быстрая реакция на новые обстоятельства может основываться на экспоненциально убывающем коэффициенте l(t): l(t) = e~Ct, где константа С > > 0 зависит от т 9. Если идея J имеет очень высокое значение интереса /(J) /+ (где /+ — порог сохранения), то она должна реализоваться в любом случае. В нашей модели мы постулируем, что если ЦЛ) ^ /+, то интерес к Л нс изменится со временем ): I(t, Л) = ЦЛУ Отмстим, что, конечно же, /+ /порог-
Теперь мы опишем одну из возможных моделей нахождения значения /(J) интереса к идее Л. Здесь область сознания содержит базу данных Di, состоящую из идей, которые интересуют систему т. Часть базы Di создавалась в процессе эволюции. Она передавалась из поколения в поколение (через ДНК?). Часть Di непрерывно создается на основании нового опыта, приобретенного т. Область сознания содержит специальный блок — компаратор КОМС, который измеряет расстояние между двумя идеями рУь J9) и расстояние между идеей Л и множеством идей Di — рУ.пу
На современном уровне развития нейрофизиологии мы нс можем описать процесс измерения ментального расстояния р. Болес того, такое расстояние может зависеть от мыслящей си™
Не исключено, что уровень заинтересованности идеей Л эволюционирует более сложным образом. Например, I(t, Л) = = exp{ —С(J)t}I(J). Здесь различные идеи Л имеют разные коэффициенты убывания интереса С (Л).
стемы или класса мыслящих систем. Иерархическая структура процесса мышления даст некие основания полагать, что КОМС, возможно, использует m-адическую псевдометрику рт на пространстве идей Хш- Таким образом, читатель может предполагать, что всюду, начиная с этого места, р порождается т-адиче- ской метрикой. Тем нс мснсс, вес общие рассуждения могут быть проведены для произвольной метрики.
Напомним, что расстояние между точкой b и конечным множеством определяется, см. гл. 2, как
рЦ, А) = minрЦ, а).
аеА
Если Л близка к некоторой интересной идее Lq е Di, то р(Л, Di) мало. По сути, мы имеем
, Di)p(J, Lq), Lq Е Di.
Если же идея Л далека от всех интересных идей L Е Di, то ру, Di) велико. Определим меру интереса /(J) как
= l + p(J,DiY
Отсюда следует, что величина /(J) велика, если расстояние р{ Л, Di) мало; /(J) — мала, если py,Di) — велико.
Замечание 1.1 (диапазон значений интереса в т-адиче- ской модели). Предположим, что расстояние р ограничено сверху:
sup рУь ^2) С, Ль Л2 Е Хю-
Тогда ЦЛ) 5 = 1/(1 + С). В таком случае «/(J) очень мало», если /(J) ^ J. Функция ЦЛ) принимает значения из отрезка [J, 1] (заметим, что если р(Л, Di) = 0, то ЦЛ) = 1). Пусть р — псевдометрика Хаусдорфа, индуцированная на пространство идей Xjd m-адической метрикой рт. Получаем, что рУьЦ)
для каждой пары идей Ji, J2. Здесь <5=1/2, а ЦЛ) всегда принадлежит отрезку [1/2, 1]. Предложение «ЦЛ) очень мало» означает, что ЦЛ) ^ 1/2, а «ЦЛ) очень велико» означает, что ЦЛ) 1.
Здесь следовало бы отмстить связь между уровнем интереса ЦЛ) и силой реализации идеи Л. Сигналы о ментальной или физической реализации идеи Л усиливаются с ростом ЦЛ). Если, к примеру, возникла идея
Л = (ударить этого человека),
то сила удара возрастет с увеличением уровня интереса I(J).
Значение /(J) также играет важную роль в процессе занесения в память. Естественно полагать, что в рабочей памяти (см. [20, 81]) величина /(t,J) изменяется подобно эволюции, происходящей в накопителе Q;
I (t, J) = ^mem(^ —’
где /mem(0) = 1 и /тетЛ убывает с ростом t. Если /(t, J) становится меньше порога сохранения в памяти /™ет, то J удаляется из рабочей памяти.
/-строение «мозга» в модели 2 приводится ниже на рис. 3.2.
Область сознанияОбласть сознанияОбласть бессознательногоОбласть бессознательногоРис. 3.2. Модель 2 сознательно-бессознательного функционирования (сравнительный анализ идей)Рис. 3.2. Модель 2 сознательно-бессознательного функционирования (сравнительный анализ идей)
Область сознания
Область сознания
Область бессознательного
Область бессознательного
Рис. 3.2. Модель 2 сознательно-бессознательного функционирования (сравнительный анализ идей)
Рис. 3.2. Модель 2 сознательно-бессознательного функционирования (сравнительный анализ идей)
Новый блок КОМС в области сознания измеряет расстояние между идеей-аттрактором J, которая была произведена в области бессознательного, и базой данных, состоящей из интересных идей D^. Это расстояние определяет уровень интереса к идее J: /(J) = 1/(1 + + p(J, D^y Идеи, ожидающие реализации J\...,JS, собираются в специальном накопителе Q. Они упорядочиваются по значениям /(J): /(J1) /(J2) ^ ••• ^ /(Js) /+• Если /(J) /+ (где /+ является порогом сохранения в накопителе), то значение интереса к идее J не убывает со временем.
Пример 1.2 (любовь с интересом). Пусть т — «мужчина», описываемый моделью 2. Таким же образом, как и в примере 1.1, образ Jq женщины 7 может индуцировать идею
Любовь = (любить 7).
Однако здесь Jлюбoвь нс посылается на реализацию автоматически. Устройство КОМС измеряет ментальное расстояние ^(Любовь, D^. Предположим, что база данных интересных идей
Di содержит идею (образ) £блОнд = (блондинка). Если 7 блондинка, то р(Любовь, Di) мало. Значит, /(Любовь) велико и УЦС посылает Любовь нв реализацию. Однако если 7 нс блондинка, то Любовь уничтожается (несмотря на бессознательное требование Любовь)- Конечно же, реальная ситуация сложнее. Каждый т имеет свой канонический образ Ьблонд- Так как Любовь = = Любовь; 7 зависит от 7, то расстояние р(Любовь,А.) может существенно отличаться для различных женщин 7. Поэтому для ОДНОЙ блондинки 7 /(Любовь) > /порог, В ДЛЯ ДруГОЙ блОНдинки 7 /(Любовь) < Лорог- Если имеется несколько блондинок 7Ь • • • > 7/ В /(Любовь; 7j) ^ Лорог, ТО ВСС ИДСИ Любовь; 7j СОбираЮТСЯ В Q на основе значений /(Любовь; 7.Д Если для некоторой 7 /(Любовь; 7) > /+, ТО уровень Интереса К Любовь; 7 НС будет убывать со временем. Уровень /(Любовь; 7) определяет интенсивность реализации любви с 7.
Модель 3. Жизнь т, описываемая моделью 2, свободна от сомнений. Субъект т всегда ориентируется на реализацию наиболее интересных идей, желаний, страстей. Однако в реальности окружение и, в частности, социальное окружение создаст препятствия к реализации некоторых интересующих его идей. В модифицированной математической модели мы введем новую величину Fy), которая описывает меру противодействия идее J. Можно снова предположить, что F(J) принимает значения из отрезка [5, 1]. Идеи J с малым значением F(J) имеют низкий уровень противодействия. Если F(J) ^ J, то J является «свободной идеей». Идеи J с большим значением F(J) имеют высокий уровень противодействия. Если F(J) ^ 1, то идея J полностью запрещена.
Функция противодействия вычисляется таким же образом, как и функция интереса. Область сознания содержит базу данных Dj, состоящую из запретных идей. Компаратор КОМС измеряет нс только расстояние ру, Di) между идеей-аттрактором J (который был передан до этого в область сознания из области бессознательного) и множеством интересных идей Di, но также расстояние p(J, Di) между идеей-аттрактором J и множеством запретных идей Dj:
p^,Dp = min p<J,LY
Если J близка к некоторой запретной идее У, то величина py,Dp) мала. Если J далека от запретных идей L Е Dj, то
расстояние py,Df) велико. Мы определяем меру противодействия F(J) как
Величина F(J) велика, если py,Df) мало, и величина F(J) мала, если py,Df) велико.
Для m-адической метрики мы имеем рУ\, J^ С 1- Поэтому F(J) 1/2. Значит, F принимает значения из отрезка [1/2,1]. Здесь предложение «F(J) очень мало» означает, что F(J) ^ 1 /2, a «F(J) очень велико» означает, что F(J) 1.
Управляющий центр УЦС должен принимать в расчет нс только уровень интереса /(У) к идее J, но и уровень противодействия F(J) идее J. Борьба между интересом /(J) и противодействием F(J) порождает все важнейшие черты человеческой психологии. Рассмотрим простую модель такой борьбы. Для идеи J определим согласованность (между интересом и противодействием) как величину
T(J) = a/(J) - bFy) ,
где а, b > 0 — некоторые веса, зависящие от мыслящей системы т. Некоторые т могут использовать более сложные функционалы в качестве меры согласованности. Например,
тр) = aIa(J) - M^J) , (3.1)
где а,р > 0 — некоторые степени. Имеется порог реализации Тпорог такой, что если T(J) ТпорОг, то идея J посылается в накопитель идей, ожидающих реализации (т. с. в Q). Если T(J) < Тпорог, то идея J уничтожается.
Удобно рассмотреть специальный блок в области сознания — анализатор АНС. Этот блок содержит компаратор КОМС, измеряющий расстояния ру, D^ и p(J, Dj); вычислительное устройство, вычисляющее меры интереса iy), противодействия F(J) и согласованности T(J) и проверяющее условие T(J) ТпорОг; устройство передачи, которое посылает идею J в накопитель Q или отбрасывает се. Порядок в очереди накопителя Q основан на величине T(J). Также удобно ввести в область сознания блок сервер СЕРс , который упорядочивает идеи в Q в соответствии с уровнями согласованности T(J).
Мы вновь предположим, что имеется порог Т+, такой что идеи J с ТУ) Т+ должны быть реализованы в любом случае. Этот порог играет важную роль в процессе временной эволюции величины согласованности Tyj) идеи J, находящейся в Q;
T(ty) = l(t ™ to) T(J), где коэффициент Кф) убывает с ро™ стом t. Кроме того, T(t, J) = T(J), когда T(J) Т+. Заметим, что Т+ ^ Тпорог. Нс исключено, что интерес и противодействие эволюционируют по-разному: I(t, J) = yt - to)iy), a F(t, J) = = lf(t — k)F(J). Здесь T(t, J) = al(t, J) - bF(t, J). Такая модель наиболее реалистична. Пессимист обладает быстро убывающей функцией yt) и медленно растущей функцией lf(t). Оптимист имеет медленно убывающую функцию Ц(1) и быстро возрастающую функцию ЦУ).
Замечание 1.2 (о случайном выборе в очереди). Предположим, что некоторая группа идей Д,..., У/ собирается в Q и все они обладают одинаковым уровнем согласованности Т(УЦ = = ... = T(Ji) = с. Пусть с = maxjGQ T(J). Тогда все идеи Jx,...,Ji должны реализоваться немедленно. Сервер СЕРс нс имеет оснований для предпочтения какой-либо идее Jj. В такой ситуации естественно использовать случайный выбор идей Ji,...,J/ для реализации одной из них. Механизм этого случайного выбора не ясен. Возможно, он производится на основе случайных флуктуаций неких физических (химических) параметров в УЦС и Q. Возможно, существует специальный генератор случайных чисел, который используется центром УЦС для выбора идеи J со свойством Ту) = maxjEQT(J) для реализации. Случайный выбор может также использоваться для удаления одной идеи L, обладающей минимальным значением согласованности T(L) = min T(J).
Замечание 1.3 (стресс). В принципе, субъект т из модели 3 (как и т в модели 2) может испытывать «стресс». Это ситуация, при которой область бессознательного посылает в область сознания слишком много идей J со свойством ту)
Тпорог- В этом случае Q заполнится полностью идеями J, которые нс исчезают со временем. С одной стороны, обслуживание такой длинной очереди требует много вычислительных ресурсов (псрсупорядочиванис). Сервер СЕРс постоянно занят. С другой стороны, новые идеи J со свойством Ту) ТпорОг нс смогут найти места в очереди, поскольку предыдущие идеи J со свойством ТУ) Т+ нельзя удалить.
Пример 1.3 (гармоничная любовь). Допустим, что т — «мужчина», описываемый моделью 3. Образ Jo женщины у преобразуется Процессором 7ГПОл В идею Любовь^- ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО, как и в примере 1.2, D^ содержит идею ТблОнд и у — блондинка. Но Любовь,7 не посылается автоматически в очередь идей, ожи™
дающих своей реализации. Идея Любовь,7 должна сравниваться с базой данных запретных идей Dj. Предположим, что идея- образ
G = (высокая женщина)
принадлежит Dj. Если женщина 7 высокая, тогда величина ^(Любовь) достаточно велика. Будущее идеи 7любОвь определи- ется значением функционала согласованности T(J), т. с. соотношением между коэффициентами а, b в (3.1) и значениями /(J), F(J). Однако этот процесс нс порождает мук или душевных проблем.
Согласованность T(J) нс определяет интенсивности реализации идеи J. Чрезвычайно интересная идея не реализуется с силой, пропорциональной величине согласованности T(J). На самом деле она реализуется с силой, пропорциональной величине интереса /(J). Более того, большее противодействие также увеличивает силу реализации. По-видимому, естественно связать силу реализации с величиной
S(J) = с /(J) + d F(J) ,
где с, d > 0 — некоторые параметры мозга. Назовем S(J) силой идеи J. В частности, S(J) может играть важную роль в процессе запоминания. Введем порог сохранения SH6™ (ср. с порогом сохранения /™ет в модели 2). Сила S^t, J) идеи J в рабочей памяти, см. гл. 4, изменяется по закону S^t, J) = lmem(t — to)S(JY где /mem ™ убывающая функция. Если S(t,J) < S'™6™, ТО в момент времени t идея J удаляется из рабочей памяти.
Основной проблемой мыслительной системы т, описанной моделью 3, является то, что АНС разрешает реализацию идей, обладающих одновременно очень высоким уровнем интереса и противодействия (если ЦЛ) и F(J) компенсируют друг друга в функции согласования). К примеру, пусть
Если порог реализации Тпорог = 0, то анализатор АНС посылает в накопитель Q совершенно запретные идеи J (с F(J) ^ 1), обладающие чрезвычайно высоким интересом (/(J) ^1).
Такое поведение («ураган страстных желаний») может быть опасным (особенно в группе мыслящих систем с социальной структурой). Таким образом, работа анализатора АНС должна основываться на более сложном анализе идеи J, который нс сводится к вычислению T(J) и проверке условия T(J)
1 порог-
Рис. 3.3. Структура анализатора
Мыслящая система т, описываемая моделью 3, обладает сложным когнитивным поведением. Тем не менее эта сложность не влечет «душевные проблемы». Использование функции согласованности T(J) разрешает противоречие между интересом и противодействием.
Модель 4. Предположим, что мыслящая система, описанная моделью 3, модифицирует свой мозг введением двух новых порогов /тах и Fmax. Если /(J) /тах, то идея J станет чрезвычайно интересной: т нс может просто удалить J. Если F(J) > Fmax, то идея J будет строго запрещена: т нс может просто послать J в Q.
Если J принадлежит области сомнений
od = {J: Ц J) > /тах} П О: F(J) > Fmaxy
то т не сможет автоматически принять (на основании значения согласованности T(J)) решение о реализации идеи J.
Пример 1.4 (запретная любовь). Пусть т — «мужчина», описываемый моделью 4. Здесь образ Jo женщины 7 содержит не только фотографический образ 7, но и ее социальный образ. Предположим, что такой единый образ Jo преобразуется мыслительным блоком 7гпол в идею-аттрактор Jлюбoвь• Рассмотрим,
как и во всех предыдущих примерах, случай, когда образ Аблонд принадлежит D^. Пусть идея
G = (низкий социальный уровень) принадлежит Dj. Допустим, что оба расстояния р(Любовы G) и ^(Любовь, ^блонд) очень малы. Она -- бедная блондинка! Таким образом, /(Любовь) ^ /шах (высокая привлекательность женщины 7 ДЛЯ мужчины т) И В ТО же Время /ЦЛюбовь) Лнах (социальные ограничения важны для т). В такой ситуации т нс может принять решения относительно идеи Любовь- Он испытывает «душевные муки». Эта неопределенность может привести к психическому расстройству.
Скрытые запретные желания, психоанализ
Скрытые запретные желания, навязчивые идеи. С одной стороны, создание дополнительного блока в анализаторе АНС, выполняющего (/тах, Лъах) анализ, играет положительную роль. Такая система т нс реализует автоматически (на основе условия T(J) ^ Тпорог) опасные идеи J, несмотря на их высокую привлекательность. С другой стороны, этот шаг в эволюции мышления вызывает тяжелые душевные проблемы для т. Фактически, появление области сомнений Од в ментальном пространстве является источником многих психических проблем и душевных расстройств.
Допустим АНС нашел, что идея J принадлежит Од. Мыслящая система т боится как реализовать идею J, так и удалить ее. Управляющий центр УЦС пытается выполнить дальнейший анализ такой идеи J. УЦС посылает J в область динамической обработки П в качестве начальной задачи для какого-либо процессора тг1. Если этот процессор производит идею-аттрактор Л, которая нс принадлежит Од, то т может продолжать нормальную мыслительную работу. Но если тг1 снова производит идею Л, принадлежащую Од, то УЦС должен продолжать борьбу с этой сомнительной идеей. В процессе такой борьбы заняты УЦС и некоторые процессоры тг,^1, тг2,... (по крайней мерс частично). Существенная часть ментальных ресурсов системы т используется нс для реакций на внешние сигналы, а для борьбы с идеями J, лежащими в области Од. Как правило это борьба всего лишь с одной навязчивой идеей J, см. [78].
С помощью нашей модели мышления мы можем объяснить происхождение такой навязчивой идеи. Если идея J, принадлежащая области Од, произведена процессором тг, то естественно,
что УЦС будет пытаться снова использовать тот же процессор тг для анализа идеи J. Так как /ЦУ) = J (идея J — неподвижная точка отображения fy, то тг, стартуя с J, всегда будет воспроизводить ту же самую идею J (с тривиальной последовательностью итераций J, J,..., J). Вообще говоря, сомнительная идея J может видоизменяться центром УЦС (например, на основании новой информации), J Jmod- Идея Jmod может рассматриваться как возмущение идеи J: ру, Jmod) < s> где s ™ некоторая константа. Если s > 0 сравнительно мала (настолько, что Л-nod все ощо принадлежит области притяжения идеи J), то итерации Jmod, Ща = fPJ той\ ..., J^od = ЛДЛюа), • • • опять сойдутся к J.
Каким же образом УЦС может прекратить этот процесс постоянной работы с навязчивой идеей J? Ответ на этот вопрос был получен Фрейдом [78] в его исследовании происхождения истерий и некоторых других душевных заболеваний. Согласно 3. Фрейду, навязчивая идея J вытесняется центром управления УЦС в область бессознательного. Область бессознательного содержит (кроме области обработки П и управляющего центра подсознания УЦП) специальный накопитель Вд для сомнительных идей, запретных желаний. После нескольких попыток преобразовать идею J, принадлежащую области Од, в какую-нибудь несомнительную идею, УЦС посылает J в Вд. Заметим, что область Од является /-областью (множеством идей), а Вд — «областью аппаратного обеспечения» (множеством цепей нейронов, используемых для сохранения сомнительных идей).
Что мы можем сказать о дальнейшей эволюции сомнительных идей J в накопителе Вд? Она зависит от мыслящей системы т (в частности, от человеческой личности). В «нормальном случае» накопитель Вд играет исключительно роль кладбища сомнительных идей. Такой накопитель Вд нс имеет выходных соединений, и вытесненная идея J исчезнет спустя некий период времени.
Комплексы. Однако 3. Фрейд отмстил, что сложные мыслящие системы (такие, как человек) не смогли бы жить без сомнительных идей. Такие системы не могут провести полное погребение сомнительных идей в Вд. Накопитель Вд имеет выход на управляющий центр подсознания УЦП. На первый взгляд существование такого выхода кажется ошибкой в /-строении системы т. Кажется, что т просто не смогла развить физическую систему, обеспечивающую 100%-изоляцию накопителя Вд. Од™
нако позже мы покажем, что контур
УЦС Dd УЦП УЦС(3.2)
обладает важной когнитивной функцией. На самом деле такой контур был специально создан в процессе эволюции, см. раз™ дел 4. Но сначала мы обсудим отрицательные последствия воз™ никновения (3.2). Здесь мы следуем Фрейду [78].
Идея J Е Dd посылается в УЦП. Управляющий центр под™ сознания УЦП посылает J одному из процессоров мышления из области П. Процессор выполняет итерации, стартуя с J как с начальной идеи. Процессор ^ производит идею-аттрактор J = lim Jn, Jq = J. В простейшем случае ^ посылает идею™ N-лоо
аттрактор J в область сознания. Анализатор АНС анализирует идею J. Если J Од, то АНС посылает J в накопитель Q (накопитель идей, ожидающих реализации) 9. Спустя некий период ожидания, J посылается на реализацию ). После такой реализации УЦС удаляет J из Q. Однако УЦС нс удаляет корень идеи J, а именно J, поскольку J размещается в области бсссо™ знатсльного, а УЦС нс может контролировать что-либо в этой области. Идея J есть не что иное, как исполнение запретного желания J. Такие бессознательные преобразования запретных желаний изучались Фрейдом (примеры см. в [78]).
Отметим, что если УЦП посылает скрытое запретное желание J в некий процессор тг, который уже ранее генерировал J для УЦС, то (по тем же причинам, что и в предыдущих рассуждениях) УЦС снова получит ту же самую сомнительную идею J. Так возникает непрерывная репродукция навязчивой идеи. В этом корень навязчивых запретных желаний. Это может повлечь душевные расстройства, поскольку УЦС не может прекратить борьбу с навязчивой идеей, даже посылая ее в Dd. Однако УЦП может послать J^b другой мыслительный процессор Ф и. Здесь идея-аттрактор J (которая была произведена ранее, стартуя с J как начального условия) отлична от J. Это реальное
9 Конечно, могут существовать более сложные контуры: УЦС ж
Dd^ УЦП ж С ж е1 ж ... ж £т ж УЦП ж А ж А1 ж ж Ж ж АНС ж Q ж УЦС, где ^,..., ^т, А,..., А^ — некие процессоры мышления.
Область сознания
Область бессознательного
Рис. 3.4. Комплекс, вызванный запретным желанием
Отправляясь от начальной идеи J^, процессор тг производит аттрактор J; анализатор АНС вычисляет величины /(J), F(J) (меры интереса и противодействия для идеи J); АНС рассматривает J как сомнительную идею: обе меры слишком высоки, I(_J) ^ /тах, ^(У)
Pmaxi АНС посылает J в накопитель сомнительных идей Вд; J переходит из Вд в УЦП; УЦП посылает ее в какой-нибудь процессор £;
производит аттрактор J. Анализатор АНС может интерпретировать J как идею, которая может быть реализована (в зависимости от расстояний p(J,Bi) и p(J, D/)), и послать ее через накопитель Q на реализацию. Этот аттрактор J и есть комплекс, вызванный идеей J (фактически, начальной идеей Jo).
преобразование запретного желания. Вообще говоря, новое желание J нс имеет прямой связи с изначальным желанием J. Оно есть нс что иное, как комплекс системы т, [78].
Психоанализ. Отметим, что найти корень J комплекса J нс так легко. Этот корень находится в области бессознательного (в Вд). В принципе, идея J должна быть найдена
с помощью ее реализации J (это так называемая обратная задача). Это цель психоанализа. Конечно, с математической точки зрения данная задача поставлена некорректно 9. Отображение
g : Од > Q, J ¥ J
нс является взаимно однозначным. В принципе, разные запретные желания J, J' е Од могут преобразоваться в одну и ту же идею-комплекс J = g(J) = ёЦП- Болес того, отображение g зависит от мыслящей системы т, g = gT. Поэтому одно и то же запретное желание J может иметь различные образы
J = gT^ (J) и J = ^^(J)
для мыслящих систем щ и тд. Например, идея запретной любви ^любовь может вызвать разные комплексы у двух мужчин щ и те-
Замечание 2.1 (вероятностный анализ комплексов). Предположим, что возможно найти условные вероятности P(J/J)^ найти (с помощью психоанализа), что наблюдение комплекса J влечет наличие скрытого ^запретного желания J. Для того, чтобы найти вероятности Р( J/ J), нам следует провести частотный психоанализ. для большой группы G числом N человек: P(J/J) = = n(J/J)/N, где n(J / J) — число лиц таких, чтобы в процессе психоаналитического сеанса подтверждалось, что наблюдение комплекса J влечет наличие скрытого запретного желания J. Если вероятности P(J/J) найдены, то, наблюдая комплекс J, психоаналитик понимает наличие у т скрытого желания J с ве™
9 Некорректность задач типична для нейропсихологии. К примеру, рассмотрим классический метод изучения мозга, основанный на так называемой теории потенциалов, связанных с событиями, см. [146, 153]. Здесь различные стимулы могут производить одно и то же распределение электрического потенциала. Более того, сигнал является, по сути, результатом линейной суперпозиции многочисленных волн, компонент, соответствующих различной психической деятельности. Основной задачей является нахождение этих компонент. Мы можем предположить, что скрытое запретное желание обладает подобными чертами. Возможно, комплекс создается благодаря суммарному эффекту нескольких скрытых запретных желаний. Фактически, нам нужно найти компоненты комплекса. Другая проблема, известная в теории потенциалов, связанных с событиями, это наличие шума в электрических сигналах, идущих от мозга. К примеру, шум может производиться движением глаз. Так что мы должны также обратить внимание на шум в комплексах.
роятностью P(J/J). Конечно же, вероятности зависят от социальной группы G. Например, G может быть группой истериков. Эта группа должна быть социально однородной, потому что база данных запретных идей Dj существенно зависит от социальных различий. Поэтому критические замечания о том, что метод Фрейда был успешен только для особой социальной группы лиц, обладающих высоким социальным статусом, лишь подтверждает нашу умодель. Фрейд экспериментально находил «вероятности» P(J/J) для конкретной социальной группы. Разумеется, другая социальная группа имеет и другие комплексы J, и скрытые запретаые желания J. Для одних и тех же J и J вероятности P(J/J) изменяются от группы к группе. Сбор психоаналитической статистики сложен. Психоаналитик предполагает (на основании своего личного опыта), что скрытое запретное желание J распределяется в G с вероятностью P(J) и что J вызывает комплекс J с вероятностью P(J/J). Используя формулу Байеса, он получает
P(J/J) = Где P(j) = £ P(J/L)P(L).
L£Dd
Однако если значение вероятности P(J/J) нс достаточно велико, то психоаналитик нс может сделать какое-либо определенное заключение.
Истерические реакции. В общем случае сомнительная идея J Е Dd не только преобразуется в некий комплекс J, но может также существенно нарушить работу мозга. Некоторые мыслительные блоки тгп напрямую связаны с другими мыслительными блоками. Предположим, к примеру, что реализуется следующая траектория:
J Е Dd УЦП ^ 7г п УЦС
Предположим также, что идеи А, произведенные блоком тгп, играют роль параметра для блока тгс: жп+1 = /тгД^пД)- Пусть УЦС получает образ Jo и посылает его в тгс. Однако вместо нормального значения параметра А тгп посылает в тгс некоторое неправильное значение Ааь, вызванное скрытым запретным желанием J. Блок тгс производит аттрактор £аь, который может сильно отличаться от аттрактора Lnorm, соответствующего значению параметра Anorm, произведенного процессором тгп для процессора тгс в отсутствие скрытого запретного желания J.
Таким же образом мы объясняем, например, истерические реакции. Из-за интерференции с сомнительной идеей J Е Da довольно невинный стимул Jo может вызвать неадекватное исполнение £аь- Мы можем также объяснить, почему скрытые запретные желания могут вызвать физическую смерть, см. также гл. 4. Пытаясь преобразовать сомнительную идею J Е Da в несомнительную, центр управления УЦП может послать J в некоторый мыслительный процессор тгфиз, который ответственен за некоторую физическую деятельность мыслящей системы т. Отмстим, что УЦП рассматривает J просто как набор /-состояний. Этот набор /-состояний обладает различными интерпретациями в различных системах мышления. В частности, J может соответствовать в процессоре тгфиз некоторому «плохому начальному условию». Соответствующий аттрактор £физ может парализовать физическую функцию, управляемую процессором тгфиз.
Контроль с помощью обратной связи, основанный на сомнительных идеях. Мыслящая система т хочет предотвратить новое появление запретных желаний J (собранных в Da) в области сознания. Мозг системы т имеет дополнительный анализатор AHj (размещенный в области бессознательного), который должен анализировать близость идеи аттрактора L, произведенного некоторым процессором тгс, с идеей J, принадлежащей накопителю сомнительных идей Da-
В нашей модели предполагается, что каждое скрытое запретное желание J3 в накопителе Da помнит мыслительный блок тг, который ее индуцировал J3. Это просто означает, что каждая идея J3 в Da имеет метку тг, см. раздел 3 гл. 4, для соответствующей модели. Таким образом, J3 = J3(tt) Е Da не является просто набором /-состояний. Имеется информация о том, что эти состояния связаны с динамической системой тг. Множество сомнительных идей О, собранное в накопителе Da, можно разделить на подмножества О(тг) запретных желаний, соответствующих разным процессорам тг. Анализатор АН^ содержит компаратор («блок сравнения») КОМ^, который измеряет расстояние между идеей-аттрактором J, ранее произведенной мыслительным блоком тг, и множеством О(тг):
р(У,О(тг)) = min ру, J3) .
ЛеО(тг)
Затем AHj вычисляет меру противодействия
Если величина F^J) большая (^ 1), то идея J слишком близка к одному из бывших скрытых запретных тг-желаний. Эту идею нс следовало бы пропускать в область сознания.
Каждый индивид т имеет свой собственный порог блокировка Р^Л0К.
если Fd(J) < F6jI0K, то J передастся;
если Р^У) F6jI0K, то J удаляется.
В последнем случае J никогда больше не проникнет в область сознания 9. Этот порог Fблoк определяет степень блокировки мыслительного процессора тг запретными желаниями. Для некоторых индивидов (с малыми значениями Fблoк) запретное желание J3, принадлежащее множеству О(тг), может остановить поток информации от тг в область сознания. То же желание J3 может играть незначительную роль для индивидов с довольно большой величиной порога Fблoк• Следовательно, порог блокировки Fблoк является одной из важнейших характеристик, различающих нормальное и ненормальное поведения. Заметим, что Fблoк зависит от мыслительного блока тг: FбЛoк = FбЛoк(7г). Таким образом, один и тот же индивид т может иметь нормальный порог для одного блока мышления тг, сравнительно большое значение Рблок^тт), и ненормальную степень блокировки для другого мыслительного блока тг', сравнительно малое значение F6JIOK(7r9-
Пример 2.1 (уровни нормальности в сексуальном поведении). Вновь рассмотрим пример с запретной любовью, пример 1.4. Допустим, что т использует 2-адическую систему кодирования и следующую иерархическую систему для значений цифр в /-состоянии:
у = (/3о,/31,/32,/3з,/34,...),
где Зо = 1/0, любит/не любит; 31 = 1/0, женщина/ мужчина; З2 = 1/0, блондинка/не блондинка; Зз = 1/0, образован™ ная/необразованная. Следующая цифра 34 не будет играть никакой роли в наших рассуждениях. Однако чтобы предложить более наглядный пример, предположим, что /З4 = 1/0, бога™ тая/бедная.
Пусть идея-аттрактор
Любовь = (любить, женщину, блондинку, необразованную)
В принципе, анализ в области сознания мог бы показать, что T(J) > Тпорог И /(J) < /тах, F(J) < Fmax. В отсутствие блокировки, порожденной скрытыми запретными желаниями, идея J смогла бы реализоваться.
рассматривалась анализатором АНС как сомнительная идея. По™ этому идея Любовь была заперта в Вд. Она стала запретным желанием Л = Любовь- Допустим, что Л ™ единственное запрет™ нос сексуальное желание, О(секс) = {Л}- В нашей 2-адической иерархической системе кодирования это запретное желание пред™ ставлястся в виде ассоциации Л — Дню- Поскольку уровень дохода нс играет никакой роли, то Л можно представлять как набор ассоциаций {Днюь Дцюо}-
Допустим, что парень т, Боб, имеет сексуальный блокирую™ щий порог
z х А 116
Гблок(секс) = р += —.
Боб не может любить женщину блондинку без образования, так как для каждой ассоциации Апющ^.д, где /Л, * * *,/Л =0,1 — некоторые цифры (отвечающие за разнообразные социальные и физические характеристики), расстояние
р(Дцюц4..щР Дню) = 0.
Поэтому если 7гсекс индуцирует (отправляясь от образа некото™ рой женщины у) идею аттрактор J = Анющ...^, и поскольку РдУ) = 1 ^ АбЛок(секс), то эта идея-аттрактор никогда не прой™ дет анализатор AHj (прошлый сексуальный опыт Боба говорит ему: «Никогда больше не иметь дела с женщинами такого ро™ да»). С другой стороны, Боб может любить женщину блондинку и образованную, потому что для каждой ассоциации Дццщ...^ расстояние
р( Дппщ-Ар Дию) = ^,
и, значит, F^J) = 8/9 < 16/17 = АбЛ0К(сскс) для идеи-аттрактора J = Дппщ...^ (прошлый сексуальный опыт Боба говорит ему: «Ну, она конечно тоже блондинка... Однако, может быть, девушки блондинки, изучающие биологию, не так опасны, как блондинки, работающие на фабрике»). Запретное желание Л нс сильно расстроит работу процессора 7гсекс Боба. Оно просто ограничит круг возможных объектов любви 9.
Пусть другой парень т\ Джон, имеет ЛэЛ0К(секс) = 8/9. Пусть J = Дц1ц3...щ — идея-аттрактор мыслительного блока 7гсекс Джо™
9 Конечно же, наличие Л в Од может породить у Боба комплекс: идея Л постоянно посылается в иной мыслительный блок £, который производит ненормальное представление Ленорм запретного желания F ~ Любовь ■
на. Получим
рЧ, Л) = р(Ашр^рр -4цю) = ЧЗЧ
где Л(0) = О, Л(1) =1/8. В любом случае p(J, Л) 1/8 и F^J) 8/9 = ^блок(секс). Таким образом, идея J = (любить блондинку (образованную или нет в зависимости от Дз и богатую или бедную в зависимости от /Д)) нс может пройти в область сознания. Джон нс может любить блондинок вообще (прошлый сексуальный опыт Джона говорит ему: «Никогда больше не иметь дела ни с одной блондинкой»).
Пусть Jf = Лпо/з3..Щ! — иная идея-аттрактор Джона. Здесь р^Ч J3) = 1/4 и F^J1) = 4/5 < Рблок(секс). Значит, идея-аттрактор F может пройти в область сознания. Таким образом, Джон еще может любить женщин. Здесь запретное сексуальное желание J3 вызывает существенно больше ограничений в сексуальной жизни Джона, чем их первоначально содержалось в этом желании. Сексуальное поведение Джона является «менее нормальным», чем сексуальное поведение Боба.
Допустим, Петр имеет порог ^бЛ0К(секс) = 4/5. У него есть все шансы стать гомосексуалистом. Он нс может любить женщин (ни богатых, ни бедных, ни образованных, ни без образования, ни блондинок, ни с каким-либо иным цветом волос). Прошлый сексуальный опыт Петра говорит ему: «Никогда больше нс иметь дела ни с одной женщиной».
Пусть у Ивана Рблок(секс) = 2/3. Он вообще никого бы не смог полюбить. Его сексуальный блок мышления полностью «парализован». Центр УЦС может посылать в 7гсекс многочисленные (физические и духовные) образы женщин. Но УЦС никогда не получит конструктивного ответа (любить!) из области бессознательного. Таким образом, скрытая идея запретной любви имеет весьма различное влияние на сексуальное поведение Боба, Джона, Петра и Ивана.
Рассмотрим несколько примеров, которые иллюстрируют роль величины блокирующего порога £блсж в нашей повседневной жизни.
Пример 2.2 (много холодной воды). Пусть тг -- процессор, ответственный за процесс питья. Допустим, что идеи L\ = (пить холодную воду) и £2 = (пить много холодной воды) принадлежат базам данных Di и Dj соответственно. Как обычно, пусть т = = 2. Предположим, что индивид т использует следующую кодирующую иерархию:
До = 1/0, пить/не пить;
Д1 = 1/0, воду/не воду;
Д2 = 1/0, холодную/не холодную;
Дз = 1/0, много/немного, ...
Таким образом, L\ = Луу a L^ = Луу. Допустим, л производит идею-аттрактор J = Луу. Компаратор находит расстояния р(J, ОД = 0 и p(J,Df) = 0. В результате /(J) = 1 и F(J) = = 1 (величины обоих эмоций имеют высокий уровень). Следовательно, J принадлежит области сомнений О^, см. модель 4. Она должна быть послана в накопитель сомнительных идей Од. После этого J будет «исправлять» работу процессора питья л. Эти исправления сильно зависят от величины блокирующего порога ^блок-
Допустим, что ^блок достаточно высок. Тогда идеи-аттракторы, которые равны или лишь слегка отличаются от J, будут постоянно прибывать в область сознания. Здесь запретное желание J нс может «исправить» поведение индивида. Он/она будет постоянно бороться с опасно привлекательными желаниями, которые близки к желанию «пить много холодной воды».
Предположим, что значение ^блок достаточно мало. Здесь J блокирует навсегда опасно привлекательные желания, близкие к желанию «пить много холодной воды».
Пример 2.3 (ограбление и мораль). Пусть т — молодой преступник с 2-адической системой кодировки. Предположим, что Ог содержит идею
U = (много денег и роскошная жизнь), a Df все еще содержит идею (напомним, что т молод)
V = (ограбление).
При некоторых обстоятельствах т производит идею-аттрактор
W = (много денег путем грабежа банка).
Пусть т имеет следующую кодовую иерархию:
До = 1/0, много денег/мало денег;
Р\ = 1/0, роскошная жизнь/плохая жизнь;
Дз = 1/0, грабить/не грабить;
Дз = 1 /0, банк/не банк,...
Таким образом, U = Лу, V = (Луу Люу Лоу, Л001) и Ж = = (Луу, Люн). Компаратор находит расстояния в пространстве
Область бессознательного
Рис. 3.5. Интерференция идеи-аттрактора с областью скрытых запретных желаний. Внутренняя структура анализатора АНа
Анализатор АНа вычисляет расстояние между идеей-аттрактором J (произведенной мыслительным блоком тг) и областью О(тг) скрытых запретных тг-желаний. Если это расстояние сравнительно мало, т. е. мера противодействия F^^J) сравнительно велика, то J не перейдет в область сознания.
идей:
p^W, U) = max [ДЛнн, Ли), ДЛюн, Ли)] = шах [0,1/2] = 1/2;
P^W, V) = max [min [р(Лцц, АцТ р(Лцц, Л10]),
ДДиь ЛОц), р(Лцц, ЛОо1)],
min [ДЛюн, Лц1), р(Люц, Лю1), р(Люц, Лоп),
Н^юп-А)01)]] = 0.
Для упрощения рассуждений предположим, что база идей О^ = = {О} (только одна интересная идея: много денег и роскошная жизнь), a Dy = {У} (только одна запретная идея: ограбление, потому что это опасно). Отсюда
= TTTW/TJ = з’
а Е^ = 1.
Дальнейшая обработка идеи W зависит от порогов /тах, Fmax и Тпорог и вида функции согласования. Пусть Т = I — F и ТПОрОГ = 0. Отсюда Т(Ж) = —1/3 < 0 = ТПОрОГ.
Парень, будь у него мозг, описываемый моделью 3, автоматически удалил бы идею W. Он никогда бы нс планировал грабить банк. Это случай высокого уровня морали, обусловленный тривиальностью мыслящей системы. Парень, имеющий мозг, описываемый моделью 4, провел бы более сложный анализ. Он должен был бы рассмотреть возможность того, что W может принадлежать области сомнений О а- Предположим, что /max ^2/3. Для такого парня идея W принадлежит области сомнений. Он «боролся бы» с этим запретным желанием. Одной из возможных развязок этой борьбы могла бы быть передача Ж в накопитель скрытых запретных желаний Da- После такой передачи идея Ж начинает корректировать поведение т. Эта коррекция существенно зависит от порога Fблoк• Если ^лок низкий, то (однажды вытесненное) запретное желание Ж всегда будет блокировать передачу любой незначительной модификации идеи Ж в область сознания. В принципе, т может вернуться к нормальной жизни. Это случай высокого уровня морали, обусловленной хорошо организованной и развитой системой мышления. Если порог Fблoк высок, то Ж нс заблокирует идеи, близкие к ней. Когнитивная система т будет снова и снова производить идеи о деньгах, роскошной жизни и грабеже банка (которые близки к Ж относительно близости ассоциаций). В таком случае он имеет все шансы стать гангстером. В этом случае низкий уровень морали обусловлен хорошо развитой, но нс очень хорошо организованной системой мышления.
Конечно, такая модель вызывает естественный вопрос об ответственности за преступление. Несет ли ответственность лицо за величину своих /-порогов?
Предположим, что один индивид т\ имеет порог Fблoк = 7/9, а другой T9 — Fблoк = 9/10. Допустим, что оба индивида т\ и Т2 производят идею-аттрактор
Ж = Лию — (много денег и роскошная жизнь путем грабежа (не банка, но чего-нибудь еще)).
Расстояние между Ж и скрытым запретным желанием Ж р(Ж, Ж) = J/8. Значит, ^(Ж) = 8/9. Следовательно, для т\ Ж блокирует Ж, и т\ никогда^ бы не ограбил ничего (и никого). С другой стороны, для T9 Ж не блокируется идеей Ж. Она сво™
114 Гл. 3. Обработка бессознательной и осознанной информации бодно проходит в область сознания. Там компаратор вычисляет: p^W, (7) = О, р(Ж, У) = 0, следовательно, /(Ж) = F(W) = 1. Так что Ж становится сомнительной идеей и т^ должен снова начать борьбу против сомнительной идеи.
Порог блокировки: реализация на уровнеаппаратного или программного обеспечения?
Как мы уже видели, величины порога блокировки 7бЛ0К(л) играют важную роль в психологическом поведении индивидов. Слишком большие, как и слишком малые величины некоторых порогов Тблок(тг) вызывают отклонения от нормального поведения. В первом случае (^^(тг) большой) человек постоянно атакуется шквалом сомнений. Здесь идеи-аттракторы, близкие к запретным желаниям, постоянно прибывают в управляющий центр сознания УЦС. Он/она никогда нс будет использовать опыт предыдущих «сражений с сомнительными идеями», которые произведены запретными желаниями, собранными в Од. Во втором случае (УбЛ0К(л) маленький) предыдущие «сражения с сомнительными идеями» практически блокируют работу процессора ТГ 9.
Заметим, что понятие нормального поведения тесно связано с величинами порогов блокировки. Пусть G — большая социальная группа. Обозначим через РбЛ0К(тг,С) среднее значение F^oJjr) для представителей группы G:
1 N
Fэлок, G) = — ^щ F5Л0К(тг, ТД ),г=1
где G = {тщ..., tn}, а 7бЛ0К(тг, ту) означает порог тг для tv Если teG является «нормальным человеком» относительно ментальной функции тг, то |^бЛок(^, г) — ^блок(^, G)| < £ при достаточно малом е > 0.
Если т Е G - «нормальный человек», то это неравенство имеет место для всех важных мыслительных систем тг. Конечно, «нормальность» полностью нс определяется порогами F^^iry Она также зависит от других информационных порогов, используемых в мозге (в частности, в АНС). Пусть THj(r), j =
9 Если тг = Щеке, то в этом случае несчастная любовь (с помощью опыта, собранного в D^) полностью блокировала бы возможность любить снова.
= !,...,£, — множество всех информационных порогов, используемых в мозге т. Рассмотрим большую социальную группу G. Обозначим через TH^G^j = 1,..., L, средние значения информационных порогов в G. Пусть е — положительная константа. Мы определяем s-нормального индивида (относительно социальной группы G) как т Е G такой, что \TH^G) - ТН^т)\ < j = = !,...,£.
Согласно нашей модели, «нормальность» является только свойством социальной группы. Индивид, нормальный относительно одной социальной группы (s-нормальный при малом е), может быть ненормальным относительно другой социальной группы.
Современный уровень развития нейрофизиологии и психологии нс достаточно высок, чтобы получить ответ на вопрос: /-пороги определяются на уровне аппаратного обеспечения или программного обеспечения? В первом случае величины /-порогов фиксируются физическим строением мозга. Их нельзя было бы изменить, нс изменяя аппаратного обеспечения (физической структуры мозга). Во втором случае размеры этих параметров определяются путем сохранения некоторой информации в специальных регистрах мозга.
(А) Предположим, что параметры /-порогов определяются на уровне аппаратного обеспечения. Следующий естественный вопрос: передаются ли величины этих параметров от поколения к поколению (через ДНК?) или создаются в процессе развития индивида?
(А1) Если они передаются, то эти параметры являются основой для создания социальных групп. Ненормальное поведение некоторых индивидов предопределено на уровне аппаратного обеспечения.
Давайте вернемся к примеру 2.1. Наследственная передача сексуальных порогов блокировки ^бЛ0К(секс) приводит к тому, что можно сказать с самого начала: (а) Боб нс будет иметь проблем в своей сексуальной жизни; (Ь) Джон будет иметь некие проблемы (особый выбор партнера); (с) Петр имеет большой шанс стать гомосексуалистом; (d) Иван нс будет иметь сексуальной жизни вообще (так что для него лучше было бы стать католическим священником).
Тем не менее социальный опыт показывает, что не существует такого детерминизма. К примеру, близнецы могут иметь достаточно различные психологические манеры. Различие в психологии близнецов — не простая проблема. Согласно нашей модели,
имеется экспоненциальная зависимость между величиной по™ рога и объемом информации, контролируемой этим порогом.
Пусть оба ri и т^ имеют 2-адическую систему кодировки. Пусть
J3 = А70...7п„17П7та+1 ---7m
— запретное тг-желание (ассоциация) обоих близнецов и пусть п — большое число (очень сложная ассоциация). Допустим,
F5лок(^? ^i) —F5лок(^? ^i) —11 + 1/2п11 + 1/2п
F5лок(^? ^i) —
F5лок(^? ^i) —
1
1 + 1/2п
1
1 + 1/2п
1 —2П1 —2П(3.3)(3.3)Поскольку п большое, имеем Ебжжфц гД а ^блок(тг;Следовательно,
1 —
2П
1 —
2П
(3.3)
(3.3)
А — ^блоДтг? Т?) ^блок(7Г) т1)| — ^n+l Q для большого п. Пусть тг производит идею-аттрактор
J = A^0_^rt^x^npx_pd,
где уп = 0 при уп = 1 и наоборот. Здесь 3j(= ОД) — некоторые фиксированные цифры, которые нс будут играть никакой роли в этом примере. Получим
p{JJ3) ™ 2^ и Fd(J) = | ^ |/2^ ~ АблоДтг; л) < ^блок^? т2^*
Значит, идея J отправится в область сознания системы тд, но исчезнет из области бессознательного системы т\.
Существует 2d различных ассоциаций вида (3.3). Таким образом, незначительная разница в величине порогов блокировки влечет огромную разницу в психологическом поведении. В заключение отмстим, что оба т\ и тз имеют нормальные значения порогов блокировки: Е^ф-к^ ri) 1 и -ЕбЛок(тг; 79) ~ 1. В частности, различие в психологии близнецов может быть следствием незначительного расхождения в величинах пороговых параметров.
(А2) Пусть величины порогов определяются в процессе развития каждого т. Тогда отсутствует детерминизм в психологическом поведении т, обсуждавшийся в пункте (А1). Здесь величины ^блок(^) зависят от социального окружения т, особенно в первые годы его/ее жизни, ср. с 3. Фрейдом, [78]. Если социальное окружение сильно противодействует появлению сомнительных идей в области сознания, то т создаст сравнительно низкие по™
роги Рбжж^У Такое социальное давление может быть особенно сильным для отдельных мыслительных систем (например, 7гсеКс)- Это приведет к созданию сравнительно низкого порога Еблок^) для этих систем.
Допустим, что пороги нс определяются на уровне аппаратного обеспечения (наследственно или путем эволюции аппаратного обеспечения индивида). Тут также могут быть две возможности.
Информация о размерах порогов передастся от поколения к поколению (через ДНК). Однако, в противоположность пункту (А1), из этого не следует, что два индивида с различными размерами порогов обязаны иметь некое различие (по крайней мере существенное) в аппаратном обеспечении своих мозгов. С другой стороны, как и в пункте (А1), практически невозможно изменить размеры порогов для того, чтобы выполнить новую запись информации об этих размерах. Здесь психологическое поведение предопределено 9.
Информация о размерах порогов создается (таким же образом, как и в пункте (А2)) в процессе познавательной эволюции индивида т. Здесь нет психологической предопределенности, как это было в случаях (А1) и (В1). Более того, психологическое поведение может (в принципе) изменяться с помощью информационного воздействия.
В заключение заметим, что несмотря на важную роль пороговых параметров, социальное влияние является более важным при создании психологии индивида. Фактически, иерархическая структура /-состояний х = (etg, од,..., c^n, • • 9> «j = О, 1,..., m — 1, определяется социальным окружением т.
Допустим, /-состояние х = («о^ь---) используется для кодировки ментального образа других индивидов. Для одной социальной группы Gi оно может быть таким, что ад и ах используются для кодировки национальности и религии. Для другой социальной группы G^ оно может быть таким, что ад и ах используются для кодирования религии и национальности. Пусть т\ Е G\ и T9 Е G9 имеют одинаковые пороги блокировки. Однако их психологические манеры будут разными.
Тем не менее, оно сильно зависит от ничтожно малых возмущений величин порогов, так как имеется экспоненциальная зависимость между размером порога и объемом информации, которая контролируется этим порогом.
Пример 3.1 (нет любви к бедной девушке). Здесь мы продолжаем рассуждения, начатые в примере 2.1. Рассмотрим иную группу мужчин, для которых уровень дохода является более важным, нежели цвет волос или уровень образования. В 2-адичной системе кодирования для /-состояний х = («о, «1, «9, «з, «4,...), qj =0,1, цифры qj отвечают за следующие характеристики:
«о = 1/0, любит/не любит;
cq = 1/0, женщина/мужчина;
а2= 1/0, богатый(ая)/бедный(ая);
«з = 1/0, блондин(ка)/не блондин(ка);
1/0, образованный(ая)/необразованный(ая)
(следующие цифры «5 и т. д. нс относятся к настоящим рассуждениям).
Пусть снова Боб, Джон, Петр и Иван имеют, соответственно, следующие значения порогов
_/.16842
~ 17'5' 5'3'
Допустим, что все эти мужчины имеют одно и то же запретное желание
Любовь = (любить, женщину, бедную, блондинку, необразованную).
В этом предложении порядок слов соответствует иерархической системе кодирования. Таким образом, запретное желание Л представляется ассоциацией
Л = Л1010 = {ж = (qj) : «о = 1, «1 = 1, «2 = 0, «з = 1, с^4 = 0}.
(3.4)
Эта идея вытесняется в накопитель сомнительных идей Од и как множество /-состояний (3.4) имеет метку секс. Она используется анализатором АН^, чтобы управлять движением идей Лиг, которые генерируются процессором 7гсеКс- Для того, чтобы упростить наши рассуждения, полагаем, что Л — единственное запретное желание, вытесненное в Од.
Предположим, что один из этих мужчин встретил женщину 7 — бедную, блондинку и образованную. Образ женщины 7 используется в качестве начального условия для процессора 7гсеКс- Предположим, ЧТО 7ГсеКс ПрОИЗВОДИТ ИДСЮ
Лиг = (любить у).
Эта идея представляется с помощью ассоциации
Лион = (любить, женщину, бедную, блондинку, образованную).
Имеем равенства
P(*/attr? Л) = ТЯ И Fd(JaUr) =~•
10\16717
Значит, F^K = 16/17 = Fd(Jattr). Следовательно, Боб нс может любить образованную бедную блондинку 9; ср. с Бобом из примера 2.1 (который мог это сделать). Оба Боба имеют одинаковые пороги блокировки F^K = 16/17, но они обладают разными иерархическими системами кодирования (по крайней мерс для 7гсеКс)- Джон, Петр, Иван также нс могут любить у.
Предположим, что один из этих мужчин встретился с женщиной у' — богатой блондинкой без образования. Образ у' используется в качестве начального условия для процессора тгсекс. Предположим, что 7гсеКс индуцирует идею
^attr = (любитЩ).
Эта идея представляется с помощью ассоциации
Дино =
= (любить, женщину, богатую, блондинку, без образования).
Имеем1.
P(^attr’ Л) = и ^(^attr) =
Поскольку Fd(Jattr) < ^ок" < ^ок’ Джон и Бо6 МОГУТ ЛЮбиТЬ у'; ср. с Джоном и Бобом из примера 2.1. Петр и Иван в обоих примерах не могут полюбить такую женщину.
Видимо, иерархия кодирования может измениться под влиянием особых обстоятельств. Значит, мужчины из примера 2.1 могут, в принципе, изменить свою иерархию кодировки (более сосредотачиваясь на уровне доходов женщины, чем на цвете ее
9 Поведение Боба более сложно. Так как Fc/(Jattr) = F^K, то анализатор АНа только теоретически удалит Jattr в 100% случаях. Реальная мыслящая система т может проверить условие Fd( Jattr) ^ const только с некоторой точностью: РдЦаш-) const ±s, где е > 0 — точность работы вычислительных систем т. Если Fa(Jattr) вычисляется (например, в результате некоторого случайного возмущения) как 16/17 — £, где £ > s, то Jattr перейдет в область сознания.
волос), чтобы быть более гибкими в исполнении своих сексуальных желаний.
В следующем примере мы рассматриваем комплекс запретных желаний, состоящий из нескольких ассоциаций. Здесь АН^ должен выполнять более сложный анализ.
Пример 3.2 (комплекс скрытых желаний). Рассмотрим группу мужчин: Боб, Джон, Петр и Иван. Предположим, что они обладают кодирующими и иерархическими системами и блокирующими порогами, как в примере 3.1. Однако они обладают иным опытом с женщинами. Они имеют комплекс запретных желаний J3, который представлен двумя ассоциациями:
А1 п ю = (любить, женщину, богатую, блондинку, необразованную),
А11010 = (любить, женщину, бедную, блондинку, необразованную),
Л = {Ацпо, Ацою}-
Предположим, что J3 является единственным запретным желанием, помещенным в накопитель Од.
Пусть 7гСекс производит идею-аттрактор (ассоциацию) Лиг = Ау по (часть запретного желания J3). Здесь
р(Л11г? Л) ~ min{р(Лиг? А)} =
= min{p(Anno? Аццо), р(Аццо> Ацою)} = min{0, 1 /4} = 0
и, следовательно, Л(ЛИг) = 1- Мы получим тот же результат для идеи-аттрактора (ассоциации) J^v = Ацою (которая также является частью запретного желания J3). Таким образом, все эти мужчины нс смогли бы полюбить женщину — блондинку и необразованную. Они нс могут исполнить даже части запретного желания J3. Уровень доходов здесь не играет никакой роли. Структура запретного желания J3 исключает влияние уровня дохода, несмотря на важную роль этого уровня в системе кодирования.
Пусть идея-аттрактор (ассоциация) будет
yattr = Aiпп = (любить, женщину, богатую, блондинку,образованную).
Тогда
P(*^attr, J3) = min |^2? ^ J = Jg,^(Jattr) = jy •
Тот же результат получим для Jattr = Ицои • Боб и все остальные не могут любить даже образованную блондинку. Вот она -- гримаса комбинации запретного желания и структуры блокирующего порога. Поскольку величины этих порогов сравнительно низки, они чувствительны не только к первым четырем цифрам в закодированной последовательности /-состояний 1).
Опыты любви с необразованными блондинками (богатыми и бедными) создали запретное желание J3, которое может блокировать передачу (из области бессознательного в область сознания) идей, непосредственно не включенных в J3. Всем нашим испытуемым мужчинам придется прервать отношения с любой блондинкой. Будь она бедной или богатой, образованной или нет.
Допустим, Jattr = Лщоа или Jattr = Дцооа, где А = 1 или 0 и зафиксировано. В зависимости от значения А женщина может быть образованной или нет. Тогда р( Jattr, J3) = 1/23 и ^(^attr) = 8/9. Боб может полюбить не блондинку (уровни образования и дохода не играют никакой роли); Джон, Петр, Иван не могут любить ее.
Рассмотрим сложную идею-аттрактор Jattr = = {Лцооь Иццо}- Таким образом,
Jattr = (любить, женщину, бедную, не блондинку, образованную или
любить, женщину, богатую, блондинку, необразованную).
Тогда
р(Лиг, Л) = max (min {р(Д 11001, Иною), р(Ицооь Ищю)}, min {р(Ицпо, ИПою), рНппо, Иц но)}) =
= (mm {Н}',™1 {Г °}) К
Следовательно, Fd(JattT) = 8/9. Поскольку Fd(JattT) < F^. = = 16/17, то идея Jattr может перейти в область сознания Боба, и тогда он сможет полюбить женщину, которая богата, блондин-
9 Если некто Генри имеет более высокий порог F^^ = 17/18, тогда F^(Jattr) < f}///1. Генри сможет полюбить богатую и образованную блондинку.
ка и необразованна (несмотря на свое запретное желание). Это тоже замечательный пример. Производя сложное сексуальное желание, Боб избегает блокирования своего сексуального процессора скрытым запретным желанием. Если бы он продолжал сосредотачиваться только на необразованных блондинках, то не имел бы возможности полюбить таких женщин (чистая ассоциация Луно была бы остановлена анализатором АН^). Однако, расширяя область своих сексуальных интересов (начиная рассматривать женщин не блондинок в качестве сексуально привлекательных объектов), он производит сложные сексуальные идеи, которые не могут идентифицироваться с запретным желанием J3. Грубо говоря, анализатор АН^ не может опознать, что такое сложное сексуальное желание может содержать некоторые существенные части скрытого запретного желания. Таким образом, создавая сложные комбинации из запретных и незапретных ассоциаций, Боб может выполнить действия, которые, в принципе, блокируются скрытым запретным желанием. Мы также проиллюстрируем этот феномен нарушения следующим примером.
Рассмотрим сложную идею-аттрактор JaUT = = {Люооь Ашю}- Это значит Jattr = (любить, мужчину, бедного, не блондина, образованного или любить, женщину, богатую, блондинку, необразованную). Тогда рУ^шУз^ = = 1/2 и Fj(Jattr) = 2/3. Эта идея может пройти в область сознания Боба, Джона, Петра (только анализатор Ивана АН^ остановит Jattr)- Но Jattr содержит полностью запретную ассоциацию Лщю. Таким образом, если мужчина допускает гомосексуальную любовь, то он смог бы реализовать даже свое запретное желание любви к необразованной женщине блондинке. Новая гомосексуальная ассоциация A wool помогает ему пройти строгие ограничения на нормальную гетеросексуальную любовь.
3.4. Сублимация
Мы уже подробно изучили процесс формирования сомнительных идей (например, таких как «запретная любовь») и их преобразование в скрытые запретные желания. Последние порождают так называемые комплексы, /-состояния, содержащиеся в запретном желании, посылаются (с помощью управляющего центра подсознания УЦП) к процессорам, отличным от изначального процессора, который до этого произвел первоначальную сомнительную идею. Некоторые комплексы могут быть достаточно невинны, иные могут сильно нарушить работу наших мыслительных систем (см. [78]). Скрытые запретные желания (собранные
в специальном блоке D^, который размещается в области бессознательного) имеют и другую важную ментальную функцию. Они используются анализатором АН^ (который проверяет идеи- аттракторы, произведенные в области динамической обработки, на согласованность со скрытыми запретными желаниями) в качестве /-ограничений. Эти /-ограничения могут существенно сузить поток информации от некоторых мыслительных процессоров или даже полностью заблокировать этот поток (см. примеры о сексуальном поведении Ивана, ..., Петра). На первый взгляд такая блокирующая функция скрытых запретных желаний полностью деструктивна. В частности, полная блокировка некоторых мыслительных процессоров может повлечь как душевные, так и физические расстройства. Возникает естественный вопрос: по™ чему наша духовная эволюция создала такую сложную систему с механизмом обратной связи в виде скрытых запретных желаний?
Возможно, что одна из причин создания такой системы была чисто технической. Практически невозможно изолировать сомнительные идеи. Однако, возможно, что (кроме такой проблемы аппаратного обеспечения изоляции) интерференция скрытых запретных желаний с новой идеей-аттрактором и в особенности блокирующая черта этой интерференции были одной из задач нашей духовной эволюции. Возможность ограничивать работу некоторых мыслительных систем дает большие преимущества человеку (видимо, животные не имеют скрытых запретных желаний или по крайней мере не имеют анализатора АН^, который использует такие желания в качестве /-ограничения). Ограничивая работу некоторых «реликтовых», а значит, чрезвычайно мощных процессоров, мы можем использовать их /-ресурсы для создания новых мыслительных процессоров (и их непрерывных расширений). Согласно нашей модели мышления, такая реконструкция основана на возможности различных интерпретаций одного и того же /-состояния. Один и тот же набор /-состояний Z может иметь, например, сексуальную, художественную или пищевую интерпретации. Более того, не исключено, что существенная часть наших мыслительных образов высокого уровня является просто интерпретацией сексуальных образов, ср. с [78] и см. наши дальнейшие рассуждения.
В процессе эволюции было возможно использовать части «примитивных мыслительных процессоров», чтобы построить новые «мыслительные процессоры высокого уровня». Хорошо известный пример такой перестройки мыслительных процессоров -- сублимация. Благодаря сублимации, часть ресурсов
(в частности, иерархические цепи нейронов) сексуального процессора тгсекс используется для процессоров высокого уровня (религия, искусство, наука, языки). Этот процесс играет крайне важную роль в создании человеческой личности. Возможно, что мы становимся людьми именно благодаря сублимации.
Почему возможность разрушить части процессора 7гсеКс и превратить эти части в новые процессоры играет такую важную роль?
На самом деле ответ на этот вопрос был дан 3. Фрейдом в его теории человеческой сексуальности, в особенности детской сексуальности [78]. Открытие детской сексуальности показывает, что с момента наших первых шагов в этом мире гигантская часть наших умственных ресурсов используется для создания процессора 7гСекс- 3. Фрейд заметил, что 7гсеКс начинает свое развитие до того, как будут созданы практически все остальные мыслительные блоки. Следовательно, огромная часть умственных ресурсов ребенка сосредоточена в процессоре 7гсеКс-
Предположим, что мы не смогли бы производить скрытые запретные сексуальные желания. Тогда не было бы бессознательных сексуальных /-ограничений, которые могли бы ограничить поток сексуальной информации. При таких обстоятельствах мы никогда бы не развили мыслительные процессоры высокого уровня. Основная часть нашего мозга была бы ориентирована на воспроизводство. Суть проблемы в том, что процессор 7гсеКс мог бы забрать огромную часть умственных ресурсов в силу того, что он начинает свое развитие раньше, чем многие другие мыслительные системы.
Успешное умственное развитие нуждается в огромном числе сексуальных скрытых запретных желаний. Значит, обе базы данных Di и Df должны содержать обширные множества сексуальных идей. Это наиболее важно для базы D^ запретных идей, поскольку уйма «интересных сексуальных идей» производится автоматически, благодаря нашему сексуальному инстинкту. Такое постоянное усовершенствование базы Dj можно без труда заметить в человеческой истории: религиозные, экономические, национальные, возрастные, родственные и многие другие /-запреты. С другой стороны, мы наблюдаем постоянную перестройку сексуальной составляющей базы данных D^: литература, искусство, кино, ...Но сексуально интересные идеи собираются в Di не для активации нашего сексуального поведения. Основной целью является «борьба» с сексуально запретными идеями из Df и производством сексуальных скрытых запретных желаний, которые ограничивали бы функционирование процессора тгсекс. Благодаря
сублимации, существенная часть 7гсекс используется процессорами ТГобразование, ^религия, ••• Грубо ГОВОрЯ, Практически Все НаШИ «высоко интеллектуальные идеи» имеют сексуальный подтекст (ср. с 3. Фрейдом [78]).
По всей видимости, можно даже предположить наличие борьбы между различными мыслительными системами тг^ за обладание частями 7гСекс- В самом деле, функция /секс процессора 7гсеКс имеет сложную структуру. Она является комплексом элементарных блоков /сексЛ’ ~ X,, L. К примеру, пусть
/секс(*^) ~ *^ + sin Ж = /секс,1(^) "И /'секс,2(*^)? -^ ^ ^/ ~ ^р-
Тогда, например, религиозный процессор 7грел может захватить блок /секс,1 (ж) = ж100 и использовать новое преобразование /редЛ(ж), которое уже содержит /секс,1(ж) = ж100 в качестве нового подблока. Такая передача мыслительных блоков от одной мыслительной системы к другой решающим образом изменяет работу обеих систем. Например, пусть религиозный процессор изначально имеет вид
/рел(ж) —
После сублимации /РеЛЛ(^) = ж100 + ж2, а /секс1^) = sin ж. Более высокая нелинейность ж —> жп влечет более высокую скорость обработки и сложность поведения динамических систем на р-адических деревьях. С другой стороны, отображение ^(ж) = = sin ж приводит к тривиальной структуре аттракторов: существует только одна неподвижная точка ж = 0. Таким образом, чрезвычайно мощный и сложный сексуальный процессор /секс(ж) = ж100 + б1пж трансформировался в довольно тривиальный процессор /с^(ж) = sin ж. Ментальная сексуальная активность становится тривиальной: все начальные образы женщин Jo производили бы идею, сводящуюся к единственному /-состоянию х = (0,0,..., 0,...), которое может интерпретироваться как отсутствие сексуального влечения. С другой стороны, религиозная ментальная система тгрел становится очень мощной. Она производит многочисленные идеи-аттракторы с невероятно большой скоростью. Эти идеи интерпретируются как религиозные (см., например, Стендаль «Красное и черное»).
Теперь рассмотрим, как сублимация может изменить диапазон скрытых запретных желаний. Предположим, что J — сексуальное скрытое запретное желание, J е ОтгСекс- Допустим, что система 7грел захватила всю систему 7гсеКс- Предположим, что J было снова произведено аппаратным обеспечением быв-
шего сексуального процессора (который стал частью 7грел). Этот результат проанализирует анализатор АНС. Однако расстояния между J и базами данных религиозно интересных и религиозно запретных идеи, и , может существенно отличаться от соответствующих расстояний для процессора 7гсеКс* Может оказаться, что J принадлежит области сексуально сомнительных идей, но не принадлежит области религиозно сомнительных идей.
Рассмотрим поглощение 7гсеКс системой тгрел в результате запретной любви. Предположим, что некоторая женщина т, стартуя с некоего образа мужчины Jo, произвела идею-аттрактор J = = (выйти замуж). Как последствие структур баз данных £)9екс и Dy.eKC, эта идея рассматривалась в качестве сомнительной идеи. Таким образом, J была вытеснена в накопитель сомнительных идей D^. J Е Отгсекс- Она начала участвовать в управлении потоком сексуальной информации из подсознания к анализатору АНС. Предположим, что J «контролировала» этот поток так сильно, что она полностью заблокировала процессор тгсекс. Таким образом, аппаратное обеспечение процессора 7гсеКс было поглощено религиозным процессором тгрел. Если женщина производит снова аттрактор J (набор /-состояний), он будет дальше рассматриваться в религиозных рамках. Он может иметь совсем иное значение, например «соединение с богом». Последнее может быть несомнительной идеей (относительно баз данных £)Рел и £)^ел).
Глава 4
СВЯЗЬ С НЕЙРО- И ПСИХОФИЗИОЛОГИЕЙ
В этой главе мы будем изучать связь m-адической модели процесса мышления с исследованиями, проводившимися в области нейро™ и психофизиологии 9. Мы увидим, что все эти иссле™ дования подтверждают (по крайней мере частично) следующие идеи, используемые в нашей модели:
разделение /-обработки в мозге на подсознательную и осознанную, [78, 23, 41, 42, 51, 65, 69, 76, 81, 101, 138, 146, 153, 158, 174, 180, 183];
мышление и принятие решения основано на вычислении величин I(J), F(J),..., которые определяют значения эмоций, «эмоциональное мышление», [52];
ассоциативное мышление, [158, 96, 146].
Кроме того, исследования в нейрофизиологии (в основном мы будем ссылаться на изучения травм головного мозга) [30, 149, 26, 52, 53, 71, 81, 103] дают возможность локализовать /-системы (анализаторы, компараторы, ..., базы данных) в евклидовом физическом пространстве, в котором и находится «физический мозг». Конечно же, такая локализация ментальных функций не является четкой, ср. с [52, 81].
Начнем с некоторых естественных улучшений и обобщений нашей модели мышления.
Модель с несколькими базами данных
В предыдущей модели психологическое поведение определялось балансом между двумя базами данных, а именно базой интересных идей Di и базой запретных идей Dj. Такая модель легко обобщается на случай нескольких баз данных Di,..., Dm, так что психологическое поведение определяется балансом меж™
9 См., к примеру, [9, 10, 19, 23, 24, 41, 42, 48, 51-55, 65, 71, 81, 82, 98, 101, 103, 104, 132, 138, 144, 146, 149, 153, 154, 158, 159, 170, 171, 174, 179-181, 183, 193, 194, 198].
ду этими наборами данных. Компаратор измеряет расстояния p(J, Dj),j = 1,..., М, и вычисляет значения
Если идея J близка к набору данных Dj, то Rj(J) 1; если она далека от этого набора, то Ri(J) ^1/2 (для расстояния р = = рт). Функционал согласованности между J и базами данных определяется формулой
м
где коэффициенты Cj могут быть как положительными, так и отрицательными.
Существует порог реализации Тпорог. Если T(J) Тпорог, то идея J переходит в накопитель идей Q для ожидания реализации. Вводя max-пороги Ецтах, мы получим сомнительные идеи J: Ei(J) ^Цтах, ту) Тпорог. Идеи такого рода преобразуются в скрытые запретные желания, которые могут привести к комплексам или нарушить работу мыслительных процессоров.
Анализатор подсознания
Нашу модель сознательного анализа идей, производимых в области обработки П, следует дополнить подсознательным анализом. Наш опыт показывает, что многочисленные реакции совершаются на подсознательном уровне. Внешняя информация может прийти прямо в управляющий центр подсознания УЦП, который пошлет ее в область обработки П. Процессоры тгп посылают идеи-аттракторы в УЦП. УЦП может послать эти идеи в область сознания, но он и сам может анализировать некоторые из этих идей. Затем он посылает часть из них на реализацию. Мы не осознаем процесс пересылки. Естественно, простейшие мыслящие системы вообще не имеют анализатора: каждый аттрактор отправляется на реализацию (см. Модель 1). Тем не менее, более сложным когнитивным системам необходимо анализировать идеи-аттракторы как на уровне сознания, так и на уровне подсознания. Простейшей задачей такого анализа является фильтрация идей. Например, это дает нам возможность не совершать многочисленные механические действия и предохраняет нас от гиперактивности (перевозбуждения). Другая задача — предостеречь нас от опасных действий.
Мы предполагаем, что существует мыслительный блок анализатор подсознания АНП, который выполняет обе упомянутые задачи, а также более сложный анализ, основанный на балансе между мерами интереса и противодействия. Устройство АНП похоже на устройство АНС. Основным его блоком является компаратор подсознания КОМП, который производит измерения интереса и противодействия. Эти величины будем обозначать символами /под(У) и Fn0A(J). Они основаны на расстояниях до баз данных ВП0Дд и Dn0Jxj. Первая база данных содержит инстинкты, используемые для интересных идей; другая база данных содержит инстинкты, используемые для запретных идей. Компаратор КОМП вычисляет меру согласованности между этими инстинктами ТП0Д(У).
Интегральные идеи, интерференция
Как мы уже видели в наших предыдущих моделях мыслительных процессов, с одной стороны, идеи, соответствующие различным аспектам мыслительной активности, обрабатываются достаточно независимо (с помощью различных мыслительных блоков тг); с другой стороны, имеется /-связь между идеями различных типов. С одной стороны, каждая идея J имеет метку, соответствующую определенной деятельности, J = J^, и эта метка должна сохраняться в /-динамике. К примеру, скрытые запретные желания J е D^ обладают метками, соответствующими процессорам, которые генерировали эти желания. С другой стороны, /-состояния, принадлежащие идеям различных типов х Е J^ и у Е J^f, имеют возможность воздействовать на динамики друг друга. В процессе такого /-воздействия х и у являются только иерархическими /-последовательностями, которые реализуются последовательностями возбужденных нейронов. Мы можем забыть о соответствующих процессах, в которых эти /-состояния участвуют. Математически мы можем описать модель следующим образом. Введем многомерное ментальное пространство (декартово координатное пространство)
X = Mi х ... х XN,
где Xj — ментальное пространство, соответствующее когнитивной функции тгр Заметим, что размерность N пространства X для человека может быть очень велика.
Интегральные 1-состояния определяются как векторы Z = = (Zi,..., Z^), где координата Zj задает /-состояние, соответствующее ментальной функции тг^.
5 А. Ю. Хренников
Как всегда, мы отождествляем Xj с m-адическим деревом. В простейшем случае основание т является одним и тем же для всех когнитивных функций. Здесь мы можем использовать хорошо развитый анализ для отображений /: Z^ Z^, [163, 107, 73], чтобы описать динамики интегральных /-состояний (например, итерации аналитических функций). В более реалистических моделях нам следует рассматривать декартовы произведения пространства Zm для различных т (различные мыслительные функции могут использовать различные основания для кодировки информации). К сожалению, анализ для отображений в таких пространствах еще не развит. Мы ничего не сможем сказать о динамиках, порожденных отображениями такого рода. Интегральные идеи определяются как векторы идей, соответствующих различным тг: J = (Ji,..., JnY Базы данных интересных и запретных идей имеют вид декартовых произведений соответствующих баз данных для различных функций:
Di = Dx х ... х D^ и D$ = Dxf х ... х D^ .
Для интегральной идеи-аттрактора J = (Д,..., Jw) меры интереса, противодействия и согласованности определяются как
NN
цр = £ HJjY F(P = £
5 = 15 = 1
N
где Cj,dj ^ 0 — некоторые константы. Здесь минимальные значения I и F равны 7V/2; их максимальные значения равны N. Напомним, что для m-адической метрики р = рт мы имеем неравенство р ^ 1. Выражения могут быть более сложными:
NN
где dj, hj — некоторые константы. Здесь воздействия различных мыслительных функций может быть существенно сглажено с помощью весовых коэффициентов ар hj. Смесь различных мыслительных функций в мерах интереса, противодействия и согласованности порождает интерференцию между ментальными функциями. Например, низкий интерес по одной координате в интегральной идее J может быть компенсирован высоким интересом по другой координате. В результате J может быть
допущена к реализации. То же самое можно сказать про меру противодействия. Интегральная идея J может быть запретной благодаря высокому противодействию для некоторых (может быть даже «нс важных») координат. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые примеры мыслительной интерференции в рамках психоанализа Фрейда, см. также следующий пример.
Пример 3.1. Пусть т — «мужчина», обладающий только двумя мыслительными системами: ти — пища, тг2 — секс. Возможно, что некоторая интегральная идея Z имеет две равные координаты Z = (п,ф, где, например, и = Аа = {ж = (aj) Е Е Xj: «о = а}. Но то же множество /-состояний и (та же конфигурация возбужденных ИЦН) имеет различные когнитивные интерпретации для различных координат в интегральной идее Z. К примеру, и = ипища даст описание конкретного блюда, а и = = ^образ дает описание конкретной женщины. Тогда интегральная идея Z = (щ и) дает (грубо говоря) описание совместной трапезы (с блюдами и женщиной иОбраз). Конечно же, использование интегральных идей влечет нарушение материалистической аксиомы когнитивных наук. Например, пусть т имеет мыслительные системы 7Г1 — пища и тг2 — секс, и пусть т* обладает мыслительными системами тт^ — пища, а (вместо секса) тг^ — религия: к примеру, секс-процессор полностью захвачен религиозным процессором. Системы т и т’ производят двумерные интегральные идеи Z = (Zi, Z^. Однако одно и то же состояние мозга (конфигурация возбужденных нейронов) Z = (и, ж) имеет разнос когнитивное значение для т и т’. Например, пусть т и т’ будут женщинами. Допустим, что Z\ = и = (хлеб и вино) для обеих женщин; Z^ = ж даст описание любовника 7 для т и Z^ = = ж дает описание Христа для т'. Интегральная идея Z (собрание ассоциаций /-состояний) имеет разные значения для т и К: (1) пить вино и есть хлеб с любовником 7; (2) отправление обряда святого причастия.
Информация, обрабатываемая в процессоре тг, является ментально нейтральной. Она становится ментально значимой только благодаря интерпретации: путем индексирования с помощью процессоров 7Tj в интегральной идее Z = (ZX1,..., Z^). Таким образом, т не обязана иметь для каждой мыслительной системы тг специальное аппаратное обеспечение ^B^f^Y гДе ^^ — это семейство ИЦН, a /^ ™ блок преобразования. В принципе, одно и то же аппаратное обеспечение (B,f) может использоваться различными блоками в различные моменты времени. Такой режим функционирования даст возможность создавать
интегральные идеи огромной сложности на основе относительно малых систем блоков аппаратного обеспечения h\ = (Bi,/i), ...,hd = (^В^ЛаУ В такой модели естественно отождествлять мыслительную систему тг нс с блоком аппаратного обеспечения h = /гх, а с тг-интерпретатором ИНТ^. Такой интерпретатор обеспечивает мыслительную интерпретацию идее J (набору ассоциаций, образованных /-состояниями), размещая J на месте тг в интегральной идее Z = (Z^). Один и тот же набор информации
J =• ^Po-Ps-X )’
где
—1{«^ (жд, Ж |, . . .) . Ж о СЩ, • • • , Ж^_ | ОЦ™. | J,
может иметь различные значения для различных интерпретаций.
4.4. цстерические Проявления интерференции межДупсихологическими и социальными процессорами
Напомним, что, по сути, первый шаг в развитии психоанализа был сделан доктором Брейером (см. [78] для изучения истории вопроса). Иозеф Брейер первый раз применил этот метод лечения в его первоначальной форме к одной истерической девушке (1880—1882). Он одним из первых понял, что истерические больные страдают воспоминаниями. Их истерические симптомы являются остатками и символами воспоминаний об известных (но часто забытых, вытесненных в подсознание) травматических переживаниях. Сущность истерии состоит в том, что эти ущемленные аффекты получают ненормальное применение — становятся комплексами. В дальнейшем 3. Фрейд исследовал эту проблему в деталях. Он подтвердил на обширной выборке истеричных пациентов, что забытые травматические воспоминания нс исчезали: «Больной владел еще этими воспоминаниями, и они готовы были вступить в ассоциативную связь с тем, что он знает, но какая-то сила препятствовала тому, чтобы они сделались сознательными, и заставляла их оставаться бессознательными. Существование такой силы можно было принять совершенно уверенно, так как чувствовалось соответствующее ей напряжение, когда стараешься в противовес ей бессознательные воспо™
минания привести в сознание больного» (см. 3. Фрейд [78]). В частности, образование комплексов 3. Фрейд [78] объяснял следующим образом (он использовал слово «симптом» вместо «комплекс»): «Говоря прямо, исследование истериков и других невротиков приводит нас к убеждению, что им нс удалось вытеснение идеи, с которой связано несовместимое желание. Они, правда, устранили се из сознания и из памяти и тем, казалось бы, избавили себя от большого количества неудовольствия, но в бессознательном вытесненное желание продолжает существовать и ждет только первой возможности сделаться активным и послать от себя в сознание искаженного, ставшего неузнаваемым заместителя. К этому-то замещающему представлению вскоре присоединяются тс неприятные чувствования, от которых можно было считать себя избавленным благодаря вытеснению. Это замещающее вытесненную мысль представление — симптом — избавлено от дальнейших нападений со стороны обороняющегося Я, и вместо кратковременного конфликта наступает бесконечное страдание. В симптоме наряду с признаками искажения есть остаток какого-либо сходства с первоначальной, вытесненной идеей, остаток, позволяющий совершиться такому замещению. Тс пути, по которым произошло замещение, могут быть открыты во время психоаналитического лечения больного, и для выздоровления необходимо, чтобы симптом был переведен в вытесненную идею по этим же самым путям. Если вытесненное опять переводится в область сознательной деятельности, что предполагает преодоления значительных сопротивлений, то психический конфликт, которого хотел избежать больной, получает под руководством врача лучший выход, чем он получил с помощью вытеснения».
В этом разделе мы изучаем случай, который был исследован доктором Брейером, см. [78]. Молодая девушка т (возраст 21 год), чье истерическое поведение сопровождалось различными физическими заболеваниями. Некоторые из них (например, паралич правой руки) могли бы быть в принципе объяснены на физической основе. Тем нс менее другие проблемы имели очевидную связь с психическим состоянием и социальными отношениями этой девушки.
Мы предполагаем всюду в этом разделе, что функция согласования имеет вид Т = I — F, а порог реализации Тпорог = 0.
«Гидрофобия». Однажды она вовсе прекратила пить. «Летом, во время большой жары, больная сильно страдала от жажды, так как без всякой понятной причины она с известно™
го времени вдруг перестала пить воду. Она брала стакан с водой в руку, но как только касалась его губами, тотчас же отстраняла его, как страдающая водобоязнью. При этом несколько секунд она находилась, очевидно, в состоянии абсанса. Больная утоляла свою мучительную жажду только фруктами, дынями и т. д. Когда уже прошло около 6 недель со дня появления этого симптома, она однажды рассказала в гипнозе о своей компаньонке, англичанке, которую она нс любила. Рассказ свой больная вела со всеми признаками отвращения. Она рассказывала о том, что однажды вошла в комнату этой англичанки и увидела, что се отвратительная маленькая собачка пила воду из стакана. Она тогда ничего нс сказала, нс желая быть невежливой. После того как в сумеречном состоянии больная энергично высказала свое отвращение, она потребовала пить, пила без всякой задержки много воды и проснулась со стаканом воды у рта. Это болезненное явление с тех пор пропало совершенно». Доктор Брейер предположил, что этот случай с пьющей собакой был основной причиной полной блокировки «системы питья» индивида т. Также отметим одну деталь, которая будет играть некоторую роль в нашей математической модели. Отношения девушки с ее подругой были очень плохими.
Опишем этот случай с помощью математической модели. Покажем, что интерференция между психологической и социальной системами т и величины ее /-порогов играли важнейшую роль в происхождении «гидрофобии». В качестве первого шага мы изучаем независимую работу физиологических и социальных процессоров в отсутствие интерференции. Как обычно, предполагаем, что основание кодирующей системы m равно 2.
Процесс утоления жажды. Рассмотрим модель со следующей иерархией цифр в /-состояниях, используемых для представления физиологической информации, относящейся к утолению жажды:
«0 = 1/0, брезгливо/нет;
«1 = 1/0, пить/нет;
«2 = 1/0, воду/нет;
«з = 1/0, из стакана/нет; ...
Последующие цифры в этом примере нс важны. Предположим, что база данных интересных идей содержала только одну ассоциацию:
В^ИЗ = {Лот} = (нс брезгливо пить воду из стакана);
база данных запретных идей также содержала только одну ассо™ циацию:
^Физ __ {ЛД = (вещи и ситуации, вызывающие брезгливость).
Вид собаки, лакающей воду из стакана, произвел в «процессоре утоления жажды» индивида т идею-аттрактор
U = Лиц = (брезгливо пить воду из стакана).
Имеем р(и,ПрЦ = 1, а значит, ЦП) = 1/2; p(U, D^3) = О, а значит, Иф) = 1. Здесь Тф) = —1/2 < Тпорог = 0. Таким образом, АНС удаляет U из дальнейших рассмотрений.
Социальные отношения. Рассмотрим модель со следующей иерархией цифр в /-состояниях, используемых для представления социальной информации, относящейся к информационному обмену с другими лицами:
ф = 1/0, информация важна/нет;
(Зх = 1/0, сообщить эту информацию/нет;
ф = 1/0, хорошие отношения с лицом, которому сообщается информация/плохие;
ф = 1/0, положительная информация об этом лице/отрица- тельная; ...
Дальнейшие цифры нс имеют значения в этом примере. Предположим, что Иф содержала только одну ассоциацию:
Иф = {Ан} = (сообщить важную информацию);
а Иф содержала две ассоциации:
Иф = {Ацоо, Аоюо} — (сообщить кому-либо отрицательную информацию (о нем/ней) в случае плохих отношений с ним/ней).
В нашей модели предполагается, что девушка могла сообщить негативную информацию (о человеке) этому человеку, будь они в дружеских отношениях. Однако она нс смогла бы сделать этого в случае плохих отношений.
Сцена с лакающей собакой вызвала в мыслительной системе, отвечающей за социальные отношения индивида т, идею- аттрактор:
V = Ацоо — (рассказать этой ужасной женщинеэту ужасную историю).
Компаратор КОМС измерил расстояния: р(У, /^оц) = 0 и
p^V, Dcp) = min [р(Ацоо, АюоЩИпоо, Аиоо)] = min [0, 1] = 0.
Таким образом, ЦУ) = 1 и F(V) = 1. Это означает сомнительность идеи V. Такая идея посылается в накопитель сомнительных идей D^, который находится в области бессознательного. После этого она начинает играть заметную роль в работе анализатора АН^. Напомним, что АН^ использует сомнительные идеи в качестве /-принуждений для контроля потока информации из области подсознания в область сознания. В частности, V могла нарушить некие личные отношения. Тем нс менее, как чисто социальная идея, она нс могла бы (в отсутствие интерференции) вызвать «гидрофобию».
Замечание 4.1. Казалось бы, наличие в обеих базах данных ZF°U и D^ ассоциаций, начинающихся с одинаковой последовательности И, должно заблокировать все сообщения важной информации. Но это не тот случай. К примеру, рассмотрим идею- аттрактор
у' = Л ню = (сообщить важную негативнуюинформацию другу).
Здесь мы все еще имеем ЦУ1) = 1. Но
p^V\ D^) = min [р(Ацю, Ацоо), р(Ацю, АОюо)] =
="|!" [ПЛ
а, следовательно, F(Vf) = 4/5. Таким образом, если Fmax > 4/5, то Vf не является сомнительной идеей. Поскольку Т(УГ) = 1/5, идея У1 посылается в накопитель Q. Она может быть реализована.
Интерференция. Здесь Di = В^ИЗ х ZF°U и Dj = В*ИЗ х х D^, где психологические и социальные базы данных были определены в предыдущих разделах. Идеи Z = (Zi,Z2) имеют две координаты: Zi представляет психологическую информацию; Z2 представляет социальную информацию;
цг) = цгх) + /(z2), F(z) = f(zo + f(z2).
Эти представления / и F приводят к интерференции между психологической и социальной информацией в процессе приня™
тия решения. Допустим, что этот случай с лакающей собакой произвел идею-аттрактор
W = фsV)s и = Апп. V = Л1100.
Здесь /(Ж) = 1/2 + 1 = 3/2, а F(Ж) =1 + 1=2. Обе эти величины принимают большие значения. Эти значения порождаются путем интерференции между психологическими и социальными факторами:
минимальный психологический интерес + высочайший социальный интерес ™э высокий интегральный интерес;
сильнейшее психологическое запрещение + сильнейшее социальное запрещение ™э сильнейшее интегральное запрещение.
В этой ситуации идея-аттрактор Ж рассматривается анализатором АНС как сомнительная идея. Она направляется в накопитель Вд. Она используется анализатором АН^ в качестве /-блокировки: каждая идея-аттрактор будет сравниваться с Ж.
«Водобоязнь». Предположим, что скрытая запретная идея Ж = ф, У) порождает следующий комплекс. Согласно этому комплексу:
социальная координата V = Ацоо этой сомнительной идеи трансформируется в идею (ассоциацию) V = Ан: Ацоо Ан;
этот результат автоматически добавляется как социальная координата ко всем идеям, произведенным процессором питья. Таким образом, все интегральные идеи-аттракторы, произведенные в «рамках процесса питья», имеют вид Z = (Zi,Z2), где Z2 = V = Ац.
Допустим, что в некоторой ситуации процессор питья порождает идею-аттрактор
Zy = U = Aqhi = (не брезгливо пить воду из стакана).
Заметим, что в чисто физиологических рамках, т. с. в отсутствии интерференции, U имеет высокую вероятность реализации, так как мы знаем, что рф, D^3) = 0 и, значит, 1ф) = 1; рф, И^ИЗ) = 1, а следовательно, Иф) = 1/2. Таким образом, Тф) = 1/2 > Тпорог- Если идея U приходит в область сознания, то анализатор АНС определенно пошлет ее в накопитель Q идей, ждущих своей реализации.
Теперь рассмотрим, как интегральная идея-аттрактор Ж = = ф, У) взаимодействует с сомнительной идеей Ж. Рассмотрим
простейший случай, в котором база данных сомнительных идей Da содержит только одну идею W. Имеем:
P(U,U) = р(.Аош,АтО = \, ЕЛГ = С
V) = р(Лц, Лпоо) = max min р2(ж,^) = |,жеЛц уеЛПоо4
так как для любого состояния ж = (111 ...) верно, что р^х, у) = = 1/4 для всех у Е Лцоо- Таким образом, Fa(V) =4/5.
Заметим, что величина физиологического противодействия Fa = 1/2 минимальна. Она нс сможет играть какую-либо заметную роль в движении идей из области подсознания. Тем нс менее величина социального противодействия Fa = 4/5 достаточно высока. Так что она смогла бы остановить движение некоторых идей.
Мы находим FdAW) = - Н .
Если порог блокировки Fблoк не слишком высок (в нашем случае достаточно, чтобы FбЛoк < 13/10), то индивид т вообще не будет пить. По-видимому, именно эта ситуация имела место в истории болезни девушки.
Потеря зрения. С помощью интерференции мы можем объяснить другие физические заболевания индивида т. По сути, тяжелый недуг и последующая смерть отца породили сильнейшие скрытые запретные желания девушки т, которые нарушили нормальное функционирование некоторых физических систем. Например, нормальная работа ее глаз была нарушена после следующей сцены: «Больная со слезами на глазах, сидя у постели больного отца, вдруг слышала вопрос отца, сколько времени; она видела циферблат неясно, напрягала свое зрение, подносила часы близко к глазам, отчего циферблат казался очень большим (макропсия и страбизм — сходящееся косоглазие); или она напрягалась, сдерживая слезы, чтобы больной отец нс видел, что она плачет», [78].
Математически мы можем описать это следующим образом. Опять начнем с предварительных рассмотрений раздельного функционирования физиологической и социальной систем.
Зрение. Рассмотрим /-состояния, связанные со способностью видеть и распознавать объекты:
а0 = 1/0, смотреть (на что-нибудь)/нет;
«1 = 1/0, важно распознать (этот объект)/нет;
а2 = 1/0, он распознан/нет; ...
Под влиянием вышеописанного случая с часами, т производит идею-аттрактор
U = Л по = (Я смотрела на часы. Я понимала, что было важно увидеть, который был час. Но я не смогла увидеть).
Естественно предположить, что И*ИЗ содержала идею
Лп = (смотреть на объект, который важно разглядеть).
Имеем: рф, р*из) р(Лц0,Лц) = О, /(//) = 1. Нет причин полагать, что Иф содержала какое-либо противодействие идее U. Таким образом, рф, пф) = 1, Иф) = 1/2 > ТПОрог = = 0. Так как Тф) = 1 /2, идея U может реализоваться. В любом случае это нс была сомнительная идея, потому что уровень противодействия минимален, Иф) = 1/2.
Социальные отношения. Теперь рассмотрим /-состояния, которые связаны с демонстрацией нашего собственного состояния другим лицам:
ф = 1/0, мое состояние плохос/нормальнос;
Р\ = 1/0, дсмонстрировать/нст;
^2 = 1/0, родственникам/нет;
ф = 1/0, наиболее любимому человеку/нет; .
Под влиянием вышеописанного случая с часами девушка т сгенерировала идею-аттрактор
V = Лцц = (демонстрировать мое плохое состояние родственникам, наиболее любимому человеку (отцу)).
Естественно предполагать, что Иф нс содержит ничего похожего на V. Значит, 1ф) = 1/2. С другой стороны, естественно, что Лцп Е Иф. Таким образом, рффф) = 0, Иф) = 1. Следовательно, Тф) = —1/2 < Тпорог = 0. Идея V могла бы быть просто удалена.
Интерференция. Теперь рассмотрим интерференцию физиологических и социальных систем. Интегральная идея-аттрактор Ж = фф). Имеем: /(Ж) = 1ф) + 1ф) = 3/2 и H(W) = = Нф) + Нф) = 3/2. Обе эти величины достаточно велики. Естественно, что W является сомнительной идеей. Она была послана в D^ и начала оказывать влияние на работу АН^.
Предположим, что девушка т произвела новую идею-аттрактор W = (F, У), где
U = Ащ = (смотреть и опознавать важный объект), а
V = Ли = (мое состояние плохое, это может обнаружиться).
Здесь рф,О) = 1/4 и p^V,V) = 1/4, Fd(W) = 8/5. Величина Fd была достаточно высока. Если порог блокировки FбЛoк девушки т меньше, чем 8/5, то идея W нс сможет пройти в область сознания. Объект нс будет узнан, несмотря на его важность.
Таким же образом, как и в случае с лакающей собакой, мы можем объяснить постоянное появление идеи V в качестве второй (социальной) координаты для любой идеи-аттрактора, произведенной зрительной системой. Это было последствие У-ком- плекса: а) У был трансформирован в У, Анн Ац; Ь) результат был соединен с неким результатом функционирования зрительной системы девушки. Вследствие чего девушка не могла ничего видеть. Снова напомним, что У принадлежит базе данных сомнительных идей только благодаря эффекту объединения идей.
Замечание 4.2. По сути, мы должны отличать «сознательное и подсознательное распознавание» объекта, см. [78, 23, 41, 42, 51, 65, 69, 76, 81, 101, 138, 146, 153, 158, 174, 180, 183]. Объект может быть распознан подсознательно, но эта информация нс может перейти в область сознания: она будет остановлена некоторым скрытым запретным желанием. Конечно, блокировка подсознательного распознавания нс является привилегией только анализатора АН^. Образы J некоторых объектов могут быть также заблокированы анализатором сознания АНС, если они (1) неинтересны -- величина меры интереса /(J) мала; (2) запретны — величина меры противодействия F(J) велика. В первом случае мы не замечаем вещей, которые нас не интересуют. Во втором — не замечаем вещей, которые противоречат моральным нормам (записаны в Dj) 9. Однако здесь, в контек-
9 Например, мы никогда не обращаем внимание на сексуальную привлекательность наших родственников, так как это запрещено христианской моралью. С другой стороны, в древнем Египте сексуально привлекательные образы дочери или матери могли отправляться свободно в область сознания, потому что Dj не содержала какой-либо противодействующей блокировки такому образу. Этот пример показы™
сте психоанализа Фрейда, нам бы хотелось заострить внимание на блокировке некоторых образов скрытыми запретными желаниями, собранными в Da, см. [78]. Мы часто «нс можем увидеть» некоторые объекты, которые (вероятно косвенно) связаны с некоторыми скрытыми сомнительными идеями. Некий объект (к примеру, предмет искусства или некий научный труд) может располагаться прямо перед вами. Но вы «нс сможете увидеть» его. Конечно же, вы наблюдаете этот объект подсознательно. Однако его образ не может дойти до сознания, потому что блокируется (в АН^) некоторой скрытой запретной идеей J из Da- К примеру, это может быть письмо от женщины, с которой у вас была несчастная любовь. Подсознательно вы видите это письмо (оно в конверте с большим немецким почтовым штампом, и вы не переписываетесь с кем-либо еще в Германии). Однако скрытое запретное желание любить эту женщину может блокировать осознанное распознавание этого объекта. Естественно, мы не открыли ничего нового (ср. 3. Фрейдом) с точки зрения психологии. Тем не менее мы надеемся, что наша математическая модель будет служить обоснованием теории Фрейда.
Информационная френология; свободная воля
Френология. Рисунки 3.1 -3.4 могут создать впечатление, что, по сути, мы следуем френологической точке зрения на работу мозга. Френология изначально возникла как «органология» и была основана Ф. Галлом в 1700-х гг. (см., к примеру, [52]). Ф. Галл утверждал, что мозг является совокупностью различных органов, каждый из которых обладает определенной психологической способностью. Позднее френология, «органология» мозга, развилась в подход пространственной локализации при изучении ментальных явлений. Другой подход может быть назван целостным. Согласно последнему, разум индуцируется мозгом как некое целое. Таким образом, различные виды ментальной активности нс могут быть локализованы в различных «органах», областях мозга.
Теперь вернемся к рис. 3.1. Следует подчеркнуть, что этот рисунок нс является пространственной картой мозга. Это /-карта мозга. Области, изображенные на рис. 3.1, являются /-областями. В принципе, каждая такая область может размещаться в пространстве в отдельных областях физического мозга. Нужно
вает, что моральная часть базы Dj постоянно (но, возможно, довольно медленно) перестраивается.
отметить, что такая нелокальность не является только лишь следствием того факта, «что функция каждой отдельной части мозга нс является независимой, а что скорее она — включение в функцию более обширных систем, составленных из этих отдельных частей», [52, 81]. В нашей модели основной причиной нслокальности является нелокальность кодирующей системы, в которой /-состояние описывается нс частотой возбуждения отдельного нейрона, а цепями нейронов. Это нечто вроде «расплывчатой локальности», а именно иерархическая метрика более чувствительна к возбуждению нейронов, которые находятся ближе к корню цепи, чем к возбуждению нейронов, удаленных от этого корня. В частности, наша модель предсказывает, что повреждение последней группы нейронов не сможет существенно расстроить мыслительную функцию. Итак, некий вид пространственной локализации все еще присутствует в нашей модели. Это локализация корней цепей нейронов.
Свободная воля. В моделях мышления, представленных в гл. 3, так называемая свободная воля имеет только механическую реализацию, ср. с [148], Джибу и Яшу [100], [150], [175], Бом-Хайли [37], [151] и гл. 5.
Вычисляя расстояния р( J, D^Y р( J, Df),... между идеей J и различными базами данных Di,Dj,..., ответственными за различные ментальные функции, мозг вычисляет величины эмоций /(J), F( jy ... Эти величины используются для упорядочивания идей, ожидающих реализации. Случайный генератор даст возможность сделать выбор между идеями одинаковой важности. Следовательно, свободная воля — лишь комбинация трех мыслительных блоков: компаратора (измерение ментальных расстояний), сервера для цепочки идей, ожидающих реализации, и случайного генератора, который делает выбор среди идей одинаковой важности. Следует снова отмстить, что эти блоки нельзя себе представлять как нечто пространственно локализованное в каких-то конкретных областях мозга, ср. с /-френологией. Иерархические цепи нейронов, включенные в процесс формирования эмоций и свободной воли, являются существенно нелокальными объектами. Таким образом, весь мозг целиком несет ответственность за формирование свободной воли. Согласно этой модели, потерять свободную волю означает потерять возможность использовать компаратор КОМС или (и) сервер СЕРс. В таком случае случайный выбор становится единственным механизмом принятия решений.
С одной стороны, наличие случайного генератора в сервере, который организует выбор идей для реализации, есть одна из наиболее важных составляющих свободной воли. С другой стороны, доминирующий случайный выбор разрушает свободную волю.
Префронтальная кора головного мозга:ассоциации и целенаправленное поведение
В этом разделе мы продолжаем обсуждать связь нашей модели с нейрофизиологическими исследованиями префронтальной коры головного мозга.
Местоположение ассоциаций. В 1895 г. Л. Бьян- чи [30] исследовал последствия фронтальных (лобных) ампутаций у животных. Префронтальная кора головного мозга, по его мнению, является основным центром для создания ассоциаций. Эта идея непрерывно обсуждалась в течении двадцатого столетия (см. [81, 9, 52, 53, 71, 82, 159]). Однако эта функция размещается нс только в префронтальной коре головного мозга, [81]. Вероятно, и другие части головного мозга отвечают за создание ассоциаций. Таким образом, мы нс можем рассматривать префронтальную кору головного мозга как замкнутый блок, в котором собираются (и создаются?) наши ассоциации.
Некоторые нейрофизиологи даже утверждают, что любая попытка локализовать функцию ассоциаций на префронтальной коре головного мозга обречена на провал (см. работу Фастера [81], с. 67).
Мы рассматриваем эту проблему на основе нашей модели мышления, которая базируется на древовидном кодировании информации. Как мы уже не раз говорили, ИЦН (иерархическая цепь нейронов) может быть очень длинной, /-состояние может быть представлено иерархическими цепями нейронов, которые проходят через несколько областей мозга. По-видимому, это и есть основная причина невозможности четкой локализации ассоциаций в мозге. Следует снова подчеркнуть, что во всех нейрофизиологических исследованиях локализация рассматривалась относительно стандартной евклидовой метрики, заданной на мозге. Теперь давайте обсудим локализацию относительно m-адической метрики на пространстве /-состояний. Два /-состояния близки друг другу, если они имеют достаточно длинный общий корень. В нашей модели ассоциации задаются с помощью таких общих корней для множеств /-состояний (пучки вст™
вей m-адического дерева). На основании нейрофизиологического опыта [81, 9, 52, 53, 71, 82, 159] сформулируем следующее предположение: корни иерархических цепей нейронов, отвечающих за создание ассоциаций, находятся в префронтальной коре головного мозга.
Таким образом, лобные ампутации играют важнейшую роль в изменении функции ассоциаций. Если мы разрушим только первый («порождающий») нейрон в пучке ветвей, то распадется большая область информации. Разрушение нейронов, находящихся вдали от этого корня ассоциаций, может слегка изменить структуру этих ассоциаций, но сами ассоциации все еще будут существовать.
Целенаправленное поведение. На основании своих экспериментов с животными В. Бехтерев [26] и И. Павлов [149] отмечали важность префронтальной коры головного мозга при объединении целенаправленных движений. Идея, что префронтальная кора головного мозга отвечает за целенаправленное поведение и планирование, непрерывно обсуждалась на протяжении всего двадцатого века, см., например, [52, 81].
Мы можем повторить наши аргументы об m-адической локализации и рассматривать префронтальную кору головного мозга как зону «иерархической локализации» функции планирования. Болес того, мы предлагаем модель работы функции планирования. В простейшем случае цель G задастся ассоциацией
= Л
где цифры «о,... ,ощ отвечают за первый шаг в преобразовании цели G, Зо,..., 3t2 — за следующий шаг, а 70,..., 7Т — за последний шаг. Для того, чтобы математически описать процесс достижения цели G, нам потребуется ввести отображение сдвига влево а : Zm Z mi
(7 ( Од ОД О2 • • • Оуу . . .) = ОД «2^3 • • • Оуу . . .
Определим fc-ю итерацию этого отображения символом ак. Отсюда
а Х«о«1 •••^•••) = o/cO/c+i ...
Динамика достижения цели G реализуется следующим образом. Стартуя с начального условия Jo, мозг производит некоторую идею-аттрактор J. Предположим, что анализатор АНС показал, что J может быть реализована: J не является сомнительной идеей и уровень согласованности ТЦ) Тпорог.
Полагаем, что АНС содержит дополнительный блок, отвечающий за реализацию планов. Этот блок измеряет расстояние рУ, G) между идеей аттрактором J и целью G. Если это расстояние меньше, чем 1 /mtx, то J посылается в Q - накопитель идей, ожидающих реализации. Реализация идеи J производит модификацию обратной связи цели G; Gi = <ytx^x(G) = = А^о ^ 7о УЦС посылает новое начальное условие Jq в область обработки П. Идея Jq основывается на предыдущем аттракторе J. Однако J^ также содержит новую внешнюю информацию, которая была получена с помощью управляющего центра сознания УЦС после реализации идеи J. Стартуя с Jq, область обработки П производит новую идею-аттрактор J'. Если J' может быть направлена на реализацию, то блок планирования измеряет расстояние ру\GJ и т. д. Если этот процесс продолжается успешно, то на предпоследнем шаге цель будет иметь вид: Gnoai = А^„^Т. После выполнения цели Спосл она преобразуется в пустое множество (а потом исключается из рассмотрений).
Эта модель целенаправленного поведения является моделью со стационарной целью. Здесь цель G модифицируется только с помощью отображения левого сдвига а. В общем случае G может быть также модифицирована на основе реализации одношаговых аттракторов, т. с. возникает динамическая целевая модель.
Вознаграждаемый выбор и его зависимостьот лобных ампутаций
Начнем с m-адического описания экспериментов по выбору с последующим поощрением.
Вознаграждаемый выбор. Рассмотрим следующий эксперимент. Имеется мыслящая система т, два различных стимула si и so, две разные реакции щ и rg (толкнуть дверцу/нет), вознаграждение за реакцию т\ (толкать) под действием стимула si и наказание за реакцию т\ (толкать) под действием стимула sq. Допустим, что т использует 2-адическую систему при описании такого эксперимента. Система т производит следующую иерархическую кодировку: «о = 1/0; si/so (появление соответствующего стимула); «1 = = 1/0, п/гд (толкать/нст), ...В процессе обучения т генерирует идею
Ап = (реакция щ на стимул sj.
Эта идея записывается в базу данных интересных идей Di. Также генерируется идея
Ло1 = (реакция ri на стимул sq),которая записана в базу данных запретных идей Dj. Дляупрощения рассуждений предположим, что Di = {Дц} и Df == {Д01}, т-е- никаких других интересных и запретных идей нет.
Допустим, т получает стимул s^ и генерирует идею J = Дом Здесь 1(F) = 1/2 (минимальный интерес), a F(J) = 1 (максимальное противодействие). Таким образом, идея J нс будет реализована. Система т никогда нс реализует желание толкнуть дверцу, реагируя на стимул sq. Наличие базы данных Dj предохраняет т от наказания.
Теперь допустим, что т получает стимул si и генерирует идею J = Ли. Тогда I(J) = 1 (максимальный интерес), a F(J) = = 1/2 (минимальное противодействие). В таком случае идея J несомненно будет послана в накопитель Q идей, ожидающих своей реализации. Система т будет всегда реализовывать желание толкнуть дверцу в ответ на стимул sp Наличие базы данных Di дает т возможность получить вознаграждение. Если бы эта база отсутствовала, то желание Ли могло бы исчезнуть в многочисленном потоке реализуемых идей.
Потеря ответной реакции. Нейрофизиологические исследования показывают, что некоторые ампутации в префронтальной коре головного мозга могут привести к потере ответной реакции: «Когда один стимул требует заданного отклика, а другой нет, животное демонстрирует полную дезориентацию своим неутомимым откликом на оба стимула» ([9, 162, 71]). Согласно нашей модели, такое поведение можно объяснить как последствие некоторых отклонений в функционировании блока АНС (с, возможно, полным его разрушением или разрушением некоторых его частей). Предположим, что компаратор КОМС разрушен ампутацией. Такой мозг нс смог бы измерить расстояния между идеей-аттрактором J и базами данных Di и Dj. Применительно к предыдущему примеру о вознаграждаемом выборе обе идеи Лц и Л01 имели бы равные права на реализацию 9.
9 Ср. с: «Орбитофронтальное животное имеет проблемы в связи с подавлением ориентирующих реакций. Его внимание переключается часто и быстро, привлекаемое практически любым стимулом вне зависимости от его ценности или важности», [81], с. 71. Поэтому идея о том, что потеря ответной реакции связана с повреждением функции
Гиперактивность. Двигательная гиперактивность — другой из наиболее общих эффектов префронтальной ампутации ([98, 103], обширную библиографию см. в [81]). Такое поведение, вероятно, может быть объяснено нарушением работы компараторов: если т нс может найти расстояние между идеей- аттрактором J и базой данных интересных идей Di, то все двигательные желания становятся одинаково интересными для т и отправляются на реализацию. В отсутствие метрической структуры на пространстве идей, случайный выбор является единственно возможным выбором идеи в накопителе Q (идей, ожидающих реализации), см. замечание 1.1, гл. 3.
Восстановление реакций. Хорошо известно, что «безотносительно тяжести проблем, которые возникают после ампутации, прооперированное животное показывает, со временем и при повторении опыта, определенную тенденцию к улучшению своих реакций, а иногда может достигать полного восстановления» [81].
Этот экспериментальный факт подтверждает наше предположение об /-локализации различных блоков мозга: одна и та же цепь ИЦН может быть использована для весьма различных целей. Следовательно, разрушение некоторых цепей ИЦН, участвующих в работе анализирующего блока, может быть компенсировано иерархическими цепями нейронов, которые использовались в других блоках, или при помощи создания новых ИЦН.
Обратная дискриминация. Имеются экспериментальные наблюдения за тем, как легко некоторые животные с префронтальными ампутациями могут осуществлять задания по выбору с дискриминацией, которые были выучены до операции, однако для них трудно (а иногда и просто невозможно) выучить новые задания. Особенно трудно заставить животное сделать обратную дискриминацию [81]. Рассмотрим эти факты на основе нашей модели. Казалось, что в этом случае компаратор все еще работает. Однако животное утрачивает возможность изменять базы данных Di и Dj. Оно нс сможет уничтожить старые /-принуждения и записать новые /-принуждения. Видимо, основная проблема — это запись новых /-принуждений поверх старых. Во многих случаях все еще возможно записывать новые принуждения, но практиче-
оценивания, широко принята в кругах нейрофизиологов. Нашим основным вкладом является математическая модель функции оценивания, основанная на измерении расстояний между идеями в ментальном пространстве.
ски невозможно изменить старую информацию: «отклики, которые были однажды эффективны для получения вознаграждения, упорно проявляются уже после того, как они стали бесполезными», [81]. Возможно, что такая проблема с созданием новых /-принуждений в долговременной базе данных связана с (частичным) повреждением рабочей памяти, см. следующий раздел.
Базы данных рабочей памяти
Рабочая память. Базы данных Di и Df (интересных и запреТНых идей), рассматриваемые в предыдущих моделях мышления, являются стационарными базами данных (долговременная память). Они нс модифицируются за короткие промежутки времени. Нейрофизиологические исследования по оперативной памяти или рабочей памяти [81, 20] показывают, что модель мышления должна содержать рабочие базы данных интересных и запретных идей — Dpw и Dj^. Эти базы данных содержат идеи, которые используются как /-принуждения на оперативной шкале. Для каждой идеи-аттрактора J мы анализируем се соответствующую позицию относительно Dpw и Dfw. Эксперименты с повреждениями префронтальной коры головного мозга [81, 52, 53] показали, что функция рабочей памяти, а следовательно, и анализ оперативного интсрсса/противодсйствия может быть сильно расстроен такого рода повреждениями (например, в экспериментах с отсрочкой заданий). Естественно предположить, что оперативный анализ идей-аттракторов тесно связан с активностью в префронтальной коре головного мозга. По™ видимому, порождающие нейроны иерархических цепей, участвующие в оперативном анализе, размещаются в префронтальной коре головного мозга. Нейрофизиологические эксперименты нс могут дать определенный ответ на вопрос: «Какие части рабочего анализатора разрушены повреждениями префронтальной коры?» Возможно, что такие повреждения наносят ущерб аппаратному обеспечению баз данных D^w и (или) Djw. В таком случае животное либо человек нс сможет запомнить информацию на короткое время, потому что соответствующие цепи нейронов повреждены. Тем не менее, возможно, что аппаратному обеспечению Diw и Df,w не причинят ущерб. В этом случае проблемы с рабочим анализом идей-аттракторов будут скорее вызваны повреждениями в компараторах. Повреждения в компараторах могут привести к тому, что все идеи-аттракторы будут иметь равномерно низкие магнитуды интереса и противодействия. Они вовсе не
будут записаны в соответствующие рабочие базы данных. Также возможно, что даже если идеи окажутся записанными в рабочие базы данных, они останутся полностью бесполезными, так как компаратор нс сможет измерить расстояние между новой идеей- аттрактором и рабочей базой данных.
Запись информации в базы данных длительного хранения. Базы данных интересных и запретных идей оперативной памяти £)^w и Dj^ могут рассматриваться как мосты, обеспечивающие движение идей-аттракторов к соответствующим базам данных длительного хранения Di и Dp. Рабочие базы данных Dpw и Dfw можно рассматривать как накопители, которые содержат идеи-«кандидаты» на то, чтобы стать элементами стационарных баз данных Di и Dp.
Предположим, что идея-аттрактор Л обладает высоким значением интереса 1(Л). Такая идея записывается в Diw. Допустим, что имеется порог передачи /w такой, что если /(J) > /w, то Л идет прямо в Di. Здесь Л записывается в качестве интересной идеи. Однако наш опыт мышления показывает, что только очень интересные идеи могут быть записаны в результате единственной реализации. Обычно идея передастся из Diw в Di только после многократных повторений одной и той же идеи-аттрактора Л в Di w.
Математически мы можем описать этот процесс следующим образом. Введем оперативную (динамичную) величину интереса /, которая изменяется следующим образом: /(J) = /(J) после первой реализации идеи Л^ Dp^, ЦЛ) = 2/(J) после второй реализации и т. д. Когда ЦЛ) становиться больше, чем порог передачи /w, идея Л передастся в Di.
Такая модель дает весьма адекватное описание мыслительной действительности. В модели с вышеописанной функцией /(J) каждая идея Л, однажды появившаяся в Diw, получает возможность продвигаться к стационарной базе интересных идей Di (с помощью пошагового суммирования интереса). Видимо, естественно использовать быстро убывающие веса для описания решающей роли величины первоначального интереса /(J) для идеи-аттрактора Л:
где коэффициенты
(Тп 0, п оо.
На n-м шаге /(J) лишь слегка модифицируется множителем аи ЦЛ) 0, п оо.
Величина порога /w, как и коэффициенты ап, играют важную роль в психологическом поведении мыслящей системы т. Если Iw нс так высок, а ан убывают достаточно медленно, то т запоминает большое число интересных идей. В противном случае т запоминает только тс идеи, которые имеют достаточно сильное начальное значение интереса и появляются достаточно часто. Например, имеется огромная разница в психологическом поведении мыслящих систем с коэффициентами аи = 1 /п и ан = = 1/2п. Точно такая же модель может использоваться для описания процесса записи идей с высоким уровнем противодействия в Df (через DfyW).
Чувственное мышление животных
Социальная иерархия и иерархическое мышление. Производилось расширенное изучение поведения обезьян после повреждений в префронтальной коре головного мозга (см., например, [52, 81] и библиографию в этих книгах). Основным результатом этих исследований является то, что «обезьяны с префронтальным повреждением нс могли более следовать сложным социальным правилам поведения, характерным для организации стада обезьян (иерархические соотношения его различных членов, ...)». Эти исследования подтверждают, что повреждения системы чувственного принятия решения (компаратора, сервера, ...) может расстроить социальную иерархию мышления.
Повреждения в префронтальной коре головного мозга и нслокальность мы шлен и я. Одним из последствий (см., к примеру, [52, 81] и библиографию в этих книгах) экспериментов с обезьянами является то, что повреждение одной лобной доли нс влечет слишком серьезных последствий. В то же время повреждение обеих лобных долей влечет огромные изменения в поведении. Этот факт может интерпретироваться как наличие нелокальности в /-представлении. Это можно легко объяснить с помощью нашей модели: идея Л может быть представлена несколькими пучками цепей нейронов. Например, один пучок может находиться в правой доле, а другой в левой.
Рабочая память как динамическая система, основанная на чувствах. Проводились эксперименты (см. [81]) по проверке связи между рабочей памятью и повреждениями в префронтальной коре головного мозга. Они показали,
что обезьяны с такими повреждениями не могут сохранять информацию о стимулах. Такая информация или вообще нс создавалась, или нс могла сохраниться в рабочей памяти. Согласно нашей модели, сохранение информации в рабочей памяти зависит от соответствующих величин эмоций (интереса, противодействия, согласованности, ...). Если эти величины не вычисляются вообще, то функционирование рабочей памяти полностью нарушается.
Некоторые эксперименты с обезьянами [81] могут быть интерпретированы как признак того, что значения эмоций /(J), F( J),... определяются уровнем концентрации некоторых нейротрансмиттеров (в частности, серотонина).
Чувственное мышление человека
Модель 3 процесса мышления и принятия решений является, на самом деле, моделью мышления, основанного на чувствах. В нашей модели имеются два типа чувств, а именно интерес и противодействие. Величины /(J) и F(J) генерируются для каждой идеи J. Значения этих величин, как и баланс между ними (согласованность T(J)), играют основную роль в принятии решения. Значения /(J) и F(J) являются важными в экстремальной ситуации (/(J) > /max, F{J) > Fmax), значение T(J) используется, чтобы выбрать идеи для реализации и чтобы упорядочить идеи в накопителе Q (идей, ожидающих реализации).
Допустим, имеется группа «людей» с мозгом, описанным моделью 3. Предположим, что один из них, Джон, имеет повреждение мозга, которое разрушило работу АНС. В экстремальном случае Джон вообще нс сможет вычислить значения I(J), F(J), Т(J). Например, КОМС поврежден и, следовательно, Джон нс может найти расстояния p(J, D^ и ру, Df). Какое же поведение продемонстрирует Джон? Поскольку другие части мозга Джона сохранены, он продолжает обрабатывать всю информацию таким же образом, как и остальные люди. Каждая задача Jo дает стандартное решение J, которое приходит в АНС Джона. Однако Джон не может генерировать эмоциональные магнитуды I(J), F(J), Т(J) для решения J. Каковы же последствия этого эмоционального нарушения?
Джон демонстрирует неадекватное поведение в экстремальных ситуациях. С одной стороны, идеи J, которые имели бы незначительный интерес для «нормальных людей» (и, значит, были бы удалены), могут передаваться в накопитель Q. Они, в принципе, могут быть реализованы. Джон будет «атакован»
штормом идей, имеющих пренебрежимо малое значение интереса для остальных людей. С другой стороны, он нс обратит особое внимание на идеи J, которые имеют очень высокое значение интереса, /(J) > /тах, или противодействия, F(J) > Fmax. Очень интересные идеи и совсем неинтересные идеи, как и все остальные идеи в накопителе Q, имеют одинаковые основания для реализации. Это может привести к нерешительному поведению и разрушить способность к принятию решений. По-видимому, здесь случайность (см. замечание 1.1 в гл. 3) играет важнейшую роль в процессе реализации идей. Здесь выбор, по сути, сводится к случайному выбору. «Свободная воля» сводится к «случайной воле». Таким образом, воля Джона уже нс является больше свободной. Болес того, Джон нс может демонстрировать целенаправленное поведение. Если он и создаст план, он никогда не сможет осуществить его, потому что реализация какого-либо плана основана на динамическом вычислении расстояний между идеями-аттракторами и идеями-целями, см. раздел 4 гл. 2 и раздел 6 этой главы.
Джон уже не имеет социальных ограничений, которые в нормальном случае определяются базой данных запретных идей Dj. Так как F(J) не играет никакой роли, он может нарушать все социальные нормы. В то же время знание об этих нормах (собранных в Dj) может все еще храниться в его мозге при условии, что база данных не разрушена. Он становится неконтролируемым в реализации своих желаний, поскольку Dj нс имеет влияния. Он нс обращает внимания на советы остальных людей, включая родственников. Все эти советы не имеют для него никакого значения.
Описано ли такое поведение в нейропсихологии? Да, конечно, хорошо известно. Оно демонстрируется пациентами с повреждениями некоторых зон в префронтальной коре головного мозга, см. [52, 53]. Следующие характеристики жертв таких повреждений можно найти в [52]. Пациент Эллиот описывается так: «Он был еще физически здоров и большинство его умственных способностей были в целости. Но его способность принимать решения была ослаблена, как и его способность создать эффективный план...; его база знаний, кажется, нс пострадала и он мог выполнять отдельные действия, как и раньше. Но нельзя было за него ручаться при исполнении соответствующего действия».
Впервые случай такого поведения был описан в конце XIX столетия (см., например, [52]). Пациент Гэйдж (ранее благовоспитанный и трудолюбивый) после травмы мозга описывается как: «судорожный, непочтительный, временами находящий
удовольствие в грубом богохульстве, что прежде нс было его привычкой, проявляющий лишь небольшое исключение для своих друзей, нетерпящий сдержанности или советов..., нерешительный».
На основании нейрофизиологических исследований [52, 53] мы могли бы предположить, что анализатор АНС (или по крайней мере компаратор КОМС) «находится» в префронтальной коре головного мозга.
Как и всюду в наших моделях, локализация понимается как нечеткая локализация: цепи нейронов, участвующие в работе АНС (или КОМС) могут выходить далеко за область префронтальной коры, разрушение которой приводит к эмоциональной категоричности, нерешительности, социально недопустимому поведению, к так называемой матрице Гэйджа.
Замечание 10.1 (синдром коллекционера). Имеются экспериментальные свидетельства того, что повреждения лобных долей часто приводит к привычке собирать что-либо. Это «само по себе нс плохо, но мало практично, так как собранные предметы часто являются просто хламом», [52]. Такое поведение может быть объяснено моделью 3. Если компаратор КОМС разрушен, то индивид не может дать «реальную эмоциональную оценку» той или иной вещи. Хлам и бриллиант одинаково интересны для него. Он предпочитает собирать хлам, поскольку это требует меньше усилий. Конечно, полное разрушение компаратора КОМС является экстремальным случаем. Повреждения части лобных долей могут, в принципе, изменить функционирование КОМС, но не разрушить полностью. Видимо, это стандартная ситуация: локальное повреждение изменяет работу иерархических цепей нейронов, но не парализует ее полностью.
Предположим, что мозг оперирует с цепями нейронов длины N и использует систему кодирования с основанием т > 1. /-состояния представляются векторами ж = (а^,..., aN), у = = (До,..., 3NV Чтобы найти расстояние между хну, КОМС находит первую цифру exj ^ 3j- рт(х,у^ = Х/т^. Если ац = Зг для всех г = 1,..., N, то рт(ж, у) = 0.
Допустим, что некоторое повреждение в лобной области разрушило нейроны или (и) связи между нейронами, начиная с уровня k + 1. Следовательно, цепи (по,...,п^) сохранены, но некоторые нейроны п^ь ... ,п^ или некоторые соединения между n^+i,..., nN разрушены. Такое повреждение изменит поведение Джона. Он еще сможет вычислять значения интереса, противодействия и согласованности. Но эти значения могут силь-
но отличаться от «нормальных значений». В то же время для некоторых идей Л он может получать «нормальные значения». Эмоциональный ландшафт Джона становится кусочно плоским (равнинным): кластеры идей, имеющие одно и то же значение, ЦЛ) (или Е(Л)) существенно расширяются.
Предположим, что для нормального Джона база данных Di содержит только одну ассоциацию Дао...а]ооо (здесь N = = 1000,m = 10). Допустим, что порог /тах (который использовался для нахождения очень интересных идей) равен 1. Только одна идея Jext = Лао...а]ооо будет очень интересна для него.
Предположим, что префронтальная кора головного мозга Джона была повреждена. Пусть к = 989 (первое место повреждения). Имеются некоторые повреждения ИЦН за нейронами с номером 989. Тогда для каждой идеи-ассоциации Л = Л7О...71ООО при до = «о, ••• ,7989 = ^989 компаратор Джона КОМС находит, что р(Л, Di) = 0 и, следовательно, ЦЛ) = 1, где / обозначает значение интереса после повреждения. Таким образом, вместо очень интересной идеи Л^ (которую Джон имел до повреждения), Джон получает 1010 очень интересных идей-ассоциаций. Все эти идеи могут, в принципе, передаваться в накопитель Q. Сервер СЕРс нс имеет оснований для предпочтения некоторой конкретной очень интересной идеи. В принятии решения случай должен играть важнейшую роль.
Заметим, что для идеи Л^ = ^ao-«iooo величина интереса нс может измениться вследствие повреждения /(Jext) = I(Jext)- Таким образом, как до повреждения, так и после него, Джон получает одинаковое значение интереса для этой идеи. Это «нормальная интересная идея» все еще интересует его. Значит, он может выполнять нормально-интересную деятельность, соответствующую Jext (конечно, вместо одной «нормально интересной идеи» мы можем рассмотреть множество таких идей). Однако эта нормальная деятельность может сильно пострадать ввиду шквала 1010 новых «интересных идей».
Если КОМС является отдельным блоком, который имеет свои собственные ИЦН для представления /-состояний, то повреждение такой ИЦН нс приведет к изменениям в обработке информации в других областях мозга. В частности, Di может сохраниться. В таком случае Джон может вспомнить идею Дао,...,а]ооо из Di целиком. Значит, он знает все, но может использовать только часть. Та же ситуация имеется с базой данных запретных идей Dj. Джон может вспомнить любую запретную идею, но он
обратит свое внимание лишь на часть такой идеи (потому что компаратор нс может принять во внимание всю идею целиком).
Теперь рассмотрим свсрхупрощснную модель, в которой «нормальный Джон» имел базы данных Di = {^ао-«юоо} и Dj = = {Ад0...з]000} (только одна интересная и только одна запретная ассоциация); его функция согласованности имела вид T(J) = = /(J) — Fy), а порог реализации ТПОрог = в > 0. Повреждение в префронтальной коре головного мозга нарушило работу компаратора КОМС из-за повреждений в иерархических цепях нейронов (КОМС), начиная с нейронов под номером 989. Тем нс мснсс это повреждение не изменило баз данных Di и D^ вид функции согласованности и порога реализации. Однако это повреждение изменило функции интереса и противодействия I^I, F F (потому что КОМС может теперь оперировать только с первыми 989 нейронами и не может принимать во внимание последние 10 нейронов в цепях ИЦН, работающих в нем). Таким образом, T(J) = /(J) — РУ) и решение по реализации принимается на основании неравенства Ту) е.
Вследствие повреждения кластеры идей
Uc = { J: /(J) = с} и К = { J: F(J) = с}
расширяются при некоторых с ^ 0 и становятся пустыми при других с 0. Значит, множество {J: ЦЛ) = F(J)} = = {J: Т(Л) = 0 < Тпорог} может быть существенно расширено. Следовательно, огромный класс идей, которые реализуются нормальными индивидами, никогда не будет реализован Джоном. После повреждения все идеи Л = ^Цо^дзэ-хюсю’ такие что «о — = 7о, • • •, «989 = 7989, получают максимальное значение интереса ЦЛ) = 1. Подобным способом мы можем рассмотреть меру противодействия. Следовательно, множества очень интересных и полностью запретных идей существенно расширены. Это приведет к шквалу сомнительных идей. Кроме того, если повреждение еще и нарушило процесс работы с сомнительными идеями, то Джон будет жить, потрясаемый бурей сомнений.
Мы рассмотрели случай, когда повреждение в префронтальной коре головного мозга разрушило целиком весь КОМС. Предположим теперь, что повреждение нс было столь существенным и нарушило только систему измерения расстояний до Dj (так же, как и в предыдущих рассмотрениях). Таким образом, Джон получает приблизительно 1010 новых абсолютно запретных идей (которые нс компенсируются новыми интересными идеями). В этом случае он боялся бы всего. Подобное несимметричное
повреждение, которое нарушило бы только функцию измерения расстояний до D^ породило бы сверхвозбужденное состояние мозга и отсутствие контроля в поведении.
Теперь предположим, что повреждение изменило только значение порога реализации ТпОрОг = £ ^ Тпорог = £ (и ничего более). Если Тпорог = в > в, то многочисленные идеи, которые автоматически реализовывались «нормальным Джоном», никогда бы нс реализовались «новым Джоном». Если ТПОрог = е < е, то «новый Джон» произведет многочисленные идеи, которые никогда бы нс были реализованы «нормальным Джоном». Напомним (см. гл. 3; модель близнецов), что незначительное различие в значениях порогов е —> е = е + бе приводит к огромному различию в ментальном пространстве.
Как мы убедились, повреждение в районе лобной доли не нарушает остальных ментальных функций, отличных от социальной. Из этого следует, что на самом деле мозг имеет несколько анализаторов KH^Xj = 1,...,М, ответственных за различные ментальные функции Fj. Например, повреждение в социальном компараторе КОмЩ) не нарушает функционирования компаратора пространственной ориентации КОМ^ и наоборот. По-видимому, различные анализаторы работают относительно независимо. Существуют многочисленные накопители Q^X j = = 1,...,М, для идей, ожидающих реализации, соответствующие различным ментальным функциям, ср. с разделом 3 этой главы.
Замечание 10.2 («сохраняй голову холодной»). Никогда не было сомнений в том, что при некоторых обстоятельствах эмоции мешают рассудительности: «Сохраняй голову холодной, нс давай волю эмоциям!» Однако кажется, что опыт, основанный на повреждениях в лобных долях, противоречит нашему повседневному опыту. Тем нс мснсс из нашей модели следует, что на самом деле никакого противоречия нет. Пациенты с травмами в префронтальной коре головного мозга теряют способность к социальному поведению, потому что эмоциональный ландшафт становится кусочно-плоским. Абсолютная величина эмоции не играет определяющей роли в процессе рассуждения. Умозаключение определяется величиной градиента (производной) от эмоции, см. также гл. 5. Конечно же, мы обязаны сохранять хладнокровие. Если /(J) /тах, F(J) Fmax для огромного кластера идей, то мы не смогли бы достичь правильного (и определенного) решения. В таком случае наш выбор будет более
или менее случайным (свободная воля будет утеряна). С другой стороны, равнинность эмоционального ландшафта тоже производит огромные кластеры идей, которые чувственно нс различимы.
Математически повреждение в префронтальной коре может быть описано как преобразование:
i(A=g№
где g*. [1/2,1] [1/2,1] является некоторой функцией с вариацией 6 g, меньшей 1. Здесь g(I + J/) — g(I) 6g6I. Если 6g О, то g(J + 61) ^ g(I). Здесь эмоциональный ландшафт является локально-равнинным. Величина £Поврежд = 1^1 < 1 может рассматриваться как /-мера ущерба.
Заметим, что Джон также мог бы потерять способность к рассуждению при повреждении в сервере СЕРс, который сравнивает величины эмоций для идей Ji,...,^, ожидающих реализации в накопителе Q.
Если компаратор КОМС нс поврежден, то Джон имеет нормальные эмоции. Однако он не может совладать с этими эмоциями. В таком случае он «знает», что некая идея J является запретной, и в то же время он может случайно реализовать эту идею. Естественно, что такое же поведение будет демонстрироваться не только лицами с повреждениями мозга, но также и лицами, имеющими некоторые дефекты (например, генетические) в конструкции сервера СЕРс.
Замечание 10.3 (наиболее остроумные идеи обладают наибольшими величинами интереса и противодействия). Допустим, что ф и Л - две идеи и ф с ф (как подмножества в пространстве ассоциаций). Пусть D -- некоторое множество идей (база данных). Имеем
р^2, D) = inf p(J2, L) = inf sup inf р(Д, В) L G DL G DВ G L
> inf'sup infp(A, B) = p(Jb D), LED д^ух
где А и В являются ассоциациями. Таким образом, /(Jy) ^ /(J1). Такой же результат мы получим для меры противодействия.
Имеется еще одна область в мозге, а именно anterior cingulate cortex, которая связана с процессом эмоциональных рассуждений, [52]. Повреждение в этой области влечет следующее мен-
тальное состояние: «Она неожиданно становилась неподвижной и безмолвной, и могла лежать в кровати с открытыми глазами, но с пустым выражением лица... Там вообще нс было видно и капли разума, никаких признаков мышления или рассуждений».
А. Дамасио пытался связать такое состояние с матрицами Гэйджа: бесчувственный, нет чувств нет решений. Видимо, в этом случае повреждение нарушает нс блок вычисления эмоций (в АНС), а основной принцип аппарата динамической информации, а именно производство аттракторов. «Вообще никакого разума» означает, что либо мыслительные процессоры тг^ не могли вообще производить аттракторы, либо даже произведенные аттракторы не передавались в сознание (в АНС).
Расстройства префронтальной корыи повреждения компаратора
Мы уже обсудили, что повреждения в компараторах могут быть одним из основных источников психологических изменений, которые порождаются травмами в префронтальной коре. Если бы мыслящая система, в частности человек, не смогла более производить правильное измерение расстояния между идеей-аттрактором и соответствующими базами данных, то его/ее поведение могло бы существенно измениться. Далее мы будем следовать работе Фастера [81] и попытаемся объяснить некоторые изменения в психологии человека, которые могут быть связаны с работой компараторов.
Низкая заинтересованность. «Пациент, имеющий повреждения в префронтальной коре, обычно менее заинтересован и менее осведомлен об окружающем его мире...». Здесь внешняя информация получает пренебрежимо малую величину интереса. Все эти идеи просто исчезают и никогда нс доходят до накопителя идей Q, ожидающих реализации. Нейрофизиологи говорят о слабости стимула. Субъект становится менее спонтанным в своих действиях: идея J с очень большой величиной интереса /(J) %d 1 нс может более совершить прыжок через очередь идей. Субъект становится в меньшей степени чувствительным к вопросам повседневной жизни: в нормальном случае эти вопросы накапливаются в Di и получают высокие значения интереса; эти вопросы становятся одинаково интересными (неинтересными), как и все остальные вопросы (в частности, некоторые довольно неестественные).
Рассеянность. «Внимание может неестественно сильно привлекаться нс относящимися к делу чувственными стимулами,
пациент не в состоянии противостоять интерференции стимулов...», [81]. Если компараторы только частично повреждены, то они все еще пытаются произвести вычисления расстояний. Для огромного ряда идей компаратор производит /(J) ^ /т;п = 1/2, см. «низкую заинтересованность». Тем нс менее, для некоторых идей компараторы могут производить достаточно большие I(J). Это может повлечь рассеянность.
Проблемы с концентрацией. Пациенты с повреждениями в префронтальной коре обычно нс способны концентрироваться на заданном действии. Неспособность производить целенаправленные действия может объясняться повреждением в блоке планирования, который измеряет расстояние между идеей- аттрактором J и идеей-целью G, см. раздел 6. Таким же образом мы объясняем нарушение двигательной концентрации.
Гипокинезия и гиперкинезия. Общее уменьшение спонтанной двигательной активности, возможно, также объясняется постоянным результатом /(J) ^ /min, производимым поврежденными компараторами.
Чрезмерная и бесцельная подвижность (неугомонность, гиперподвижность), возможно, объясняется постоянным результатом iy^ /тах, производимым поврежденными компараторами для огромного диапазона идей, которые относятся к двигательной системе.
Автоматическое поведение. Возрастание автоматизма может быть следствием исключения этапа анализа (с измерениями соответствующих расстояний в ментальном пространстве) из процесса мышления.
Таким образом, как мы уже упоминали в разделе 10, локально-постоянный ландшафт функций /(J) и F(J) может повлечь отклонения в психологическом поведении.
Психофизиологические исследования
Автоматическая обработка мыслительной информации. Исследования по автоматической обработке информации в человеческом мозге (см., к примеру, [174]) содержат многочисленные экспериментальные факты, подтверждающие наличие подсознательных /-процессов. Такие процессы проходят без какого-либо выхода в область сознания, см. [153]. Для них требуется существенно меньше ментальных ресурсов, чем для процессов, выполняемых осознанно, [146, 65]. Одной из основных черт подсознательных процессов является их параллелизм. Например, недавно были получены экспериментальные резуль-
таты, которые показали, что визуальная система приматов содержит несколько независимых подсистем, которые анализируют различные свойства одного и того же образа. Эти подсистемы являются параллельными каналами, нс интерферирующими во время /-обработки. Активность таких систем нс контролируется сознанием. Значит, такие процессы могут быть названы подсознательными, см. [146, 65].
Такая психофизиологическая картина полностью соответствует нашей модели. Параллельная работа мыслительных блоков подсознания детально была описана в гл. 1, 2. Процесс передачи информации из области подсознания в область сознания был описан в гл. 3. В частности, становится ясно, почему такому процессу требуется огромное количество ментальных ресурсов (анализатор АНС производит сложный анализ идей-аттракторов, пришедших из области подсознания). И наконец, обратим внимание на другое важное следствие психофизиологических исследований. Согласно этим исследованиям, одной из основных функций сознания является интеграция информации, которая произведена параллельно работающими мыслительными процессами. Сознание (см. [146]) помещает результирующую информацию из различных систем в общее пространство, [146]. Такое общее пространство есть нс что иное, как интегральное ментальное пространство, которое было введено в разделе 6.
Одним из сильных аргументов в защиту наличия подсознательной /-обработки является теория текстонов [101, 146]. Согласно этой теории, существует система визуального анализа, предшествующего обращению внимания на предмет (в рамках нашей теории — подсознательный анализ). Эта подсознательная визуальная система нс может распознать формы, но она дает возможность (без какого-либо сознательного усилия) находить различия на основании локальных вариаций (независимо от места их появления). Это дает возможность выделить фигуру из некоторого окружающего фона.
Другим сильным аргументом, подтверждающим наличие подсознательных мыслительных процессов, является существование подсознательного накопителя звуков, так называемой звуковой памяти, см. [144, 146]. Этот вид памяти характеризуется независимостью от сознания (и быстрым исчезновением записей звуков).
В связи с нашим обсуждением психофизиологических теорий подсознательной /-обработки было бы естественно найти место нашей модели в широком диапазоне моделей автоматической
/-обработки, [146]. Имеются две основные теории выборочного внимания:
модель раннего выбора;
модель позднего выбора.
Первая модель предполагает минимальную автоматизацию по сравнению со второй моделью. Согласно первой модели, подсознательный семантический анализ полностью невозможен. Здесь все физические характеристики регулируются автоматически, а семантический анализ выполняется осознанно. Согласно второй модели, даже семантический анализ производится автоматически. По сути, наша математическая модель более близка ко второй модели (модели позднего выбора). В нашей модели даже ментальная информация высокого уровня обрабатывается автоматически в области бессознательного. В этой связи мы также можем упомянуть эксперименты Оллпорта [10] и Марселя [138], которые показали, что стимулы, которые нс рассматриваются как реальные объекты и нс являются опознанными, активируют соответствующие семантические стимулы; см. также [146, с. 57] о так называемой подсознательной обработке.
По сути, обе теории выбора приводят к существованию некоторой центральной воронки, которая сужает поток подсознательной информации. После этой воронки возможность параллельного функционирования ограничена. В нашей модели такая воронка реализована с помощью анализатора АНС, который уничтожает в каждое мгновенье времени огромное количество информации, идущей из подсознания (прежде всего проверяя условие T(J)
ТПОрог). В частности, он играет роль фильтра (ср. с [41, 42] или [183]). Имеется другая (менее важная) воронка. Это анализатор подсознания АНП.
Значит, АНС должен работать (в каждый момент времени) только с несколькими входными данными. Все остальные входные данные блокируются. Давайте рассмотрим стандартный пример оператора, который выполняет две различные задачи, [146]. Согласно обеим (структурным) теориям выбора, оператор выполняет два задания путем быстрого переключения с одного задания на другое. В нашей модели это означает, что АНС анализирует в течении некоторого интервала времени идеи, относящиеся к одной задаче, а в течении другого интервала времени идеи, относящиеся к другой задаче.
С другой стороны, в соответствии с так называемыми теориями ресурсов [146] АНС может выполнять несколько заданий параллельно. В частности, здесь компаратор КОМС может измерять несколько расстояний (для нескольких идей, соответствую™
щих различным мыслительным процессорам). В таких процессах мыслительные ресурсы анализатора АНС (иерархические цепи нейронов) должны быть распределены между различными заданиями. К сожалению, понятие «ментального ресурса» нс очень ясно определено в психофизиологической литературе [146, 198]. Видимо, «ресурсы» включают ментальные ресурсы в анализаторах АНС и АНП также, как и ментальные ресурсы в области обработки П. По-видимому, последние ресурсы, цепи ИЦН, включенные в автоматическую обработку информации в процессорах тп и тг2 для заданий 1 и 2, нс столь важны в случае оператора, выполняющего два задания.
Ассоциативная активация памяти. Одним из аргументов в поддержку теории ассоциативного мышления (которое в нашей модели индуцировано близостью ассоциаций на m-адических деревьях) является хорошо известное в психофизиологии явление распространения активации долговременной памяти, см. [193, 194]. Например, некоторое слово не только активирует реакцию на него в долговременной памяти, но и воспроизведение слов, относящихся к первоначальному слову. Эта реакция является более сильной для слов, близких в смысле ассоциаций.
Парадигма Штернберга и работа компараторов. Штернберг [179, 180] предложил следующий тест для изучения рабочей памяти. Имеются несколько объектов, которые были показаны некоторому индивиду т, он должен их запомнить. После этого некий объект показывается индивиду тит должен реагировать двумя разными способами, в зависимости от того, был ли этот объект представлен для запоминания или нет. Экспериментальный результат состоит в том, что направление реакции является линейной функцией от числа элементов в наборе, предназначенном для запоминания, и она возрастает на 40 милисекунд с каждым новым элементом в наборе, предназначенном для запоминания, см. [179], а также [146]. Штернберг предполагал, что входная информация сравнивается шаг за шагом с образами объектов, сохраненными в рабочей памяти; для каждого сравнения требуется 40 милисекунд. По сути, это нс что иное, как описание работы некоторого вида компаратора, работающего с оперативной базой образов.
Обучение. Рассмотрим мыслящую систему т, которая имеет только одну базу данных интересных идей D^. Реализация идеи J, произведенной в области подсознания, зависит только от величины меры интереса ЦЛ): если /(J) > /порог, где /ПОрог — порог реализации, то идея Л посылается в накопитель Q идей,
ожидающих реализации. Напомним, что /(J) = 1/(1 + p(J.Di)) и p(J, D^ = min p(J, L). По сути, чтобы быть уверенным в том, что идея J является достаточно интересной, анализатор АН нс обязательно вычисляет р( J, L) для всех интересных идей L, а после этого находит минимум. Если выяснится, что рУ, Lq) < < 1 //порог — 1 при некотором Lq Е Di, то АН может быть уверен в том, что ЦЛ) > /порог- В общем случае АН сравнивает идею Л и идеи L Е Di шаг за шагом, используя некоторую нумерацию идей L в базе данных Di (или случайный выбор в случае огромной базы данных). Для этого требуется много времени.
С другой стороны, многочисленные эксперименты по обучению ([81, 146]) показывают, что временной интервал, предшествующий реакции, существенно сокращается в процессе обучения. Согласно нашей модели, мы можем объяснить это следующим образом, /-область Di может быть разбита на большое число подобластей D^a, соответствующих различным ментальным признакам а. В процессе обучения т получает возможность дать каждой идее дополнительную метку а^, относящуюся к соответствующей подобласти DiaQ. После этого анализатору АН нс требуется больше сравнивать идею Л = Лао, которая относится к ментальному признаку а^, с целой базой данных Di = = |JjD^a. Анализатор АН работает только с Diao. Это может
а
существенно сократить продолжительность анализа идеи Лао.
Функционирование анализатора сознания АНС тесно связано с задачей распределения внимания и ресурсов, которая интенсивно обсуждалась в психофизиологической литературе [198]. Анализатор АНС получает информацию об итогах деятельности различных мыслительных процессоров. Эта информация анализируется, и часть се посылается на реализацию. Однако такой анализ требует больших ментальных ресурсов и времени. Следовательно, АНС нс смог бы анализировать сигналы, поступающие из всех выходов из подсознания. Некоторые из этих сигналов должны полностью игнорироваться.
б:
Глава 5
ПОЛЕ СОЗНАНИЯ
В этой главе мыслящие системы будут интерпретироваться только как преобразователи информации, /-преобразователи. Для преобразователей информации мы развиваем формализм классической механики на ментальном пространстве или, более общо, на информационных пространствах, /-пространствах. В частности, эта теория описывает динамику человеческих идей. Общий формализм классической механики мышления развивается по аналогии с формализмом обычной механики Ньютона, которая описывает движение материальных систем. Мы предлагаем когнитивные аналоги законов Ньютона классической механики. Математически эти законы могут описываться дифференциальными уравнениями в ментальных пространствах 9. Стартуя с начального /-состояния жо, мы получаем траекторию q(t) в ментальном пространстве. Это детерминистское описание потока мысли может, в частности, рассматриваться как математическое обоснование идей Фрейда, ср. с [78].
Тем нс менее, классическая когнитивная механика нс является лишь копией обычной классической механики. В частности, время t как параметр эволюции /-состояний нельзя идентифицировать с физическим временем £физ. Это t является внутренним временем мыслящей системы. Мы можем называть его ментальным или психологическим временем. Скорость эволюции /-состояния ж(£) имеет значение мотивации (изменения /-состояния q(t) мыслящей системы). Формально скорость вычисляется (как
9 На первый взгляд довольно удивительно, что движения материальных систем и ментальных систем описываются одними и теми же математическими уравнениями: уравнениями Ньютона или уравнениями Гамильтона. Отличие состоит в том, что эти объекты «движутся» в различных пространствах: ньютоновском реальном и ментальном пространствах соответственно. Однако если мы рассматриваем вместо движения реальных материальных объектов движение информации об этих объектах, то такое совпадение уравнений движения для материальных и ментальных систем не кажется удивительным.
и в механике Ньютона) как производная: f(Z) = dq(t)/dt (на р-адическом пространстве, которое мы используем в качестве модели для /-пространства). Силы f(t,q) и потенциалы V(t,q) являются информационными (ментальными) силами и потенциалами, которые применяют к /-состояниям мыслящих систем, /-сила изменяет мотивацию. Это изменение мотивации влечет изменение /-состояния q мыслящей системы.
Дискретные динамические модели рассматривались в главах 1-3, см. также гл. 9. В этой главе мы изучаем эволюцию относительно «непрерывного времени». С одной стороны, это даст возможность применять (по крайней мерс формально) методы классической механики. С другой стороны, в представленной модели мы можем аккуратно обсудить понятия «ментального времени» и «ментальной скорости».
Классическая когнитивная механика описывает подсознательные мыслительные процессы. Явление сознания нс может быть объяснено с помощью формализма классической когнитивной механики. Чтобы объяснить это явление, мы развиваем вариант квантовой когнитивной механики. В этой модели /-состояние движется в ментальном пространстве не только благодаря классическим /-силам, но также благодаря новой /-силе, а именно квантовой /-силе. Эта квантовая /-сила, которая будет называться силой сознания и обозначаться fc(qY индуцирована дополнительным /-потенциалом. Такой потенциал является квантовым потенциалом на ментальном пространстве или потенциалом сознания C^qY Потенциал C(q) не может быть сведен к нейрофизиологическим процессам в мозге. Он порождается ментальными процессами. Потенциал сознания С^ вычисляется с помощью волновой функции ^q) мыслящей системы таким же образом, как и в обыкновенной теории ведущей волны для материальных систем [34-37]:
ЯДд) = Ф(д)Ф(д).волновая функция Ф является нс чем иным,сознания. Математически это поле описыва-ЯДд) = Ф(д)Ф(д).волновая функция Ф является нс чем иным,сознания. Математически это поле описыва-( »\~
ЯДд) = Ф(д)Ф(д).
волновая функция Ф является нс чем иным,сознания. Математически это поле описыва-
ЯДд) = Ф(д)Ф(д).
волновая функция Ф является нс чем иным,сознания. Математически это поле описыва-
С =
В нашей модели как /-полем, полем
ется как функция Ф : X/ X/, где X/ — ментальное пространство. Эволюция Ф-функции описывается аналогом уравнения Шрёдингера на ментальном пространстве.
По сути, наш формализм сил и полей сознания является естественным обобщением хорошо известной теории ведущей волны (которая была развита Де Бройлем, Бомом, Беллом [56, 34-37, 27]) на когнитивные явления. Даже в теории ведущей волны
для материальных систем, особенно в ее варианте, развитом в книге Бома и Хайли [37], квантовая волновая функция Ф является просто /-полем. Однако это поле информации все еще определяется на вещественном пространстве R3 локализации материальных систем. Это /-поле действует на материальные объекты. Тут возникает очень сложная проблема взаимодействия информации и материи, которая еще нс решена. В нашей модели поле сознания — Ф-функция — ассоциируется с чисто ментальными процессами. Оно действует на ментальные объекты — /-состояния.
Согласно нашей модели, каждая конфигурация /-состояний мыслящей системы производит новое (нсклассичсскос) поле — поле сознания Ф. Это поле порождает новую /-силу — которая индуцирует постоянное возмущение эволюции /-состояний в ментальном пространстве. Эта Ф-функция есть нс что иное, как сознание. Конечно, эта теория — лишь первый шаг к описанию явления сознания на основании нашей модели /-действительности. Тем не менее, даже эта теория имеет некоторые следствия, которые могут быть интересны для нейрофизиологии, психологии, искусственного интеллекта, сложных /-систем, эволюционной биологии и социальных наук. Представим некоторые из этих следствий.
Потоки мыслительной информации в мозге и других мыслящих системах могут быть математически описаны аналогично классической ньютоновской механике для движения материальных систем. Движение /-состояний, ассоциаций, идей, мнений, образов в мозге имеет детерминистский характер. Такое движение возмущается различными /-шумами и управляется искусственной случайностью, см. подробности в гл. 2. Это движение в ментальном пространстве является эволюцией нс относительно физического времени £физ, а относительно ментального времени t. /-потенциалы могут связывать различные мыслительные процессы как в одном мозге, так и в семействе мозгов. Сознание нс может быть порождено физической активностью материальных структур, например, групп нейронов. Оно может быть вызвано группой эволюционирующих /-состояний. Эти динамические группы /-состояний производят новое /-поле — поле сознания. Это поле индуцирует новую /-силу — силу сознания, которая является прямым аналогом квантовой силы в теории ведущей волны для квантовых материальных систем. Эта сила сознания играет большую роль в /-динамике в человеческом мозге и других мыслящих системах. Как и в классической когнитивной механике, в квантовой когни™
тивной механике потенциалы сознания могут соединять мыслительные процессы в различных когнитивных системах (даже в отсутствие физических потенциалов и сил). Следовательно, можно говорить о коллективном сознании группы мыслящих систем, в частности, человеческих индивидов. Заметим также, что различные потенциалы сознания, Ф-поля сознания порождают силы сознания fc различных /-величин. Согласно нашей модели, величина сознания может быть измерена. Поэтому различные мыслящие системы, в частности люди, могут иметь различные уровни Ф-поля сознания. В нашей модели нс предполагается, что сознание присуще только человеческому мозгу. Другие мыслящие системы, в частности животные и даже неживые системы, порождают сознательные Ф-поля, которые индуцируют силы сознания fc, управляющие или, по крайней мерс, изменяющие их ментальное поведение. С этой точки зрения люди и животные отличаются только структурой своих Ф-полей сознания.
В качестве одного из приложений нашего формализма к психологии, попытаемся объяснить психоанализ Фрейда. Согласно нашей модели, это процесс перестройки поля сознания индивида г, имеющего некоторое душевное расстройство, путем /-спаривания с психоаналитиком тг. Это спаривание происходит на уровне коллективной Ф-функции системы (г,тг). Мы также обсудим такие все еще загадочные явления, как гипноз и гомеопатия.
Классическая когнитивная механика
Сначала напомним некоторые факты из классической механики Ньютона. В ньютоновской модели движения материальных систем описываются траекториями в пространстве Хмат — локализации материальных систем. В общепринятой математической модели Хмат = R3 или некоторое вещественное многообразие. Стартуя с начальной позиции до, материальный объект А движется вдоль траектории q^ в Хмат. Здесь t — физическое время. Основной задачей ньютоновской механики является нахождение траектории q(t) в пространстве Хмат. Ограничим наши рассмотрения случаем, в котором А имеет массу 1. Это всегда можно сделать с помощью выбора единицы измерения массы. В этом случае импульс р^ объекта А равен скорости движения -v(tY В математической модели скорость может быть найдена как -v(t) = dq^jdt = q(t). Полезно ввести ускорение a(t) объекта
А — скорость изменения скорости f(T): а(Т) = d-v^fd! = -v^tY Второй закон Ньютона говорит, что
=(5.1)
где f(t,q) — сила, примененная к А. Так как масса т = 1, то импульс р = ти равен скорости, и мы имеем:
p(t) = f(t,qy р(О) = ро, t,q,p£X„.(5.2)
Интегрируя это уравнение, находим импульс p(t) в каждый момент времени t. Затем, интегрируя уравнение
q(O=p(t\ q(0) = qo, t,q,p £ X„,(5.3)
находим координату q(t) объекта А в каждый момент времени t.
Мы развиваем формальную теорию классической когнитивной механики по аналогии с ньютоновской механикой. Вместо материального пространства Хмат для этой математической модели мы рассматриваем ментальное пространство X/, см. гл. 1 и разделы 6, 7 этой главы. Мыслящая система т описывается как преобразователь информации*, /-состояние q Е Xi находится в процессе постоянной эволюции. Мыслящая система т производит преобразования q ф qM ... Временной параметр этой эволюции является также /-параметром, а именно ментальным временем системы т, t Е Xj. Активность т порождает траекторию q(t) в ментальном пространстве Xj. Наш детерминистский когнитивный постулат, который является обобщением ньютоновского детерминистского постулата, состоит в том, что траектория q(t) эволюции /-состояния определяется силами и начальными условиями. Как и в ньютоновской механике, мы вводим скорость -v(t) изменения /-состояния q(tY Это опять /-величина, новое /-состояние. Она может вычисляться как производная в ментальном пространстве Xi величины q(t) по ментальному времени А см. [163, 107] для соответствующих дифференциальных исчислений.
Начнем с развития формальной теории для мыслящей системы т с /-массой 1. Тогда мы можем отождествлять скорость -и с импульсом р = m/и. Будем говорить, что р — мотивация, изменяющая /-состояние q^tY Мы постулируем, что мыслительная динамика в Xj описывается с помощью /-аналога второго закона Ньютона. Траектория p(f) мотивации системы т описывается уравнением
РкП = НМ\ Р^=Р0, t,q,pEXb (5.4)
где f(f,g) — /-сила, порожденная внешними источниками информации, в частности, другими мыслящими системами. Если начальная мотивация ро и /-сила f(f,g) известны, то мотивация p(f) может быть найдена в каждый момент ментального времени t интегрированием уравнения (5.4). Траектория q(t) эволюции /-состояния может быть найдена интегрированием уравнения
9(6 = Р(Д 9(0) = 9о, t,q,peXb (5.5)
Напомним, что в механике Ньютона сила f(q),q Е Хмат, называется потенциальной, если существует функция V(q) такая, что f(q) = — dV(q)/dq. Функция V(q) называется потенциалом. Мы используем точно такую же терминологию в когнитивной механике. Здесь функции силы / и потенциала V определяются на пространстве /-состояний X/. Потенциал V(q\q Е Xj, является /-потенциалом, 1-полем, которое взаимодействует с мыслящей системой т. Такие поля являются классическими когнитивными полями.
Как мы уже упоминали, ментальное время t нс обязательно совпадает с физическим временем £физ. Оно соответствует внутренней шкале /-процесса. Например, для человека т параметр t описывает «психологическую длительность» ментального процесса. Наш сознательный опыт показывает, что периоды ментальной эволюции, которые являются достаточно длительными по ^физ-шкале, могут быть очень короткими по шкале t и наоборот. Вообще говоря, моменты ментального времени являются идеями, которые обозначают этапы /-эволюции мыслящей системы. Заметим, что ^физ может также интерпретироваться как цепь идей об импульсах п = 1,2,... для дискретного £физ и об импульсах s Е R для непрерывного £физ. В принципе, физическое время ^фИЗ может рассматриваться как специальное представление ментального времени t. Однако невозможно свести все ментальные времена к физическому времени (даже если £физ определяется с точностью до преобразования £физ = п(5физ)). Различные ментальные системы тх,..., tn и даже различные ментальные процессы в мыслящей системе т имеют различные ментальные времена tv...,tN. Использование физического времени £физ может рассматриваться как попытка построения единой временной шкалы для всех ментальных процессов. Однако, как мы уже упоминали, это невозможно. В частности, мы нс можем надеяться, что, вообще говоря, существует порядковая структура для t. Может оказаться, что мгновения И и t^ ментального времени несравнимы. Поэтому множество, используемое для представ™
ления ментального времени, не может быть представлено как прямая линия.
Понятие ментального времени, возможно, проиллюстрирует следующий пример.
Пример 1.1 (чтение книги). Предположим, что индивид т читает книгу В по истории древнего Египта 8. Процесс чтения тг нс является непрерывным; т прерывает тг на периоды различной продолжительности. Обозначим через q состояние информации индивида т об 8. В принципе, /-эволюция т может рассматриваться как эволюция относительно физического времени я = = ^фИЗ, которое задастся механическими часами q = f (s). Однако физический параметр я напрямую не связан с /-процессом тг. Например, скорость и8 изменения /-состояния q по времени я не имеет ничего общего с мыслительной эволюцией т. Более того, как следствие скачкообразной структуры процесса чтения тг относительно я, в рамках вещественного анализа us не определена корректно. Обозначим интервалы чтения и интервалы отдыха соответственно символами А[ = [sq,si) и А^ = [si,S2),... Таким образом, /-процесс тг приводит к следующему разделению физического времени я; А[, А],..., А^, А^,... Интервалы Ар ..., Ад^,... должны быть исключены. Новый временной параметр я = ф(я) определяется как я = я на Ар я = si на Ар... Этот параметр я может рассматриваться как одна из возможных ментальных (информационных) шкал для процесса тг. Использование времени я существенно улучшает математическое описание тг. Тем нс менее здесь еще нет больших расхождений с общепринятой физикой.
Допустим теперь, что интервалы А^,А^ зависят от информации, которую т получает в процессе тг: А^а/.), А^(б^), где a^bk Е Xj — /-строки, идеи. Здесь я = ф(я,с) и q = Ця,с\ где я е R, с Е Xj. Следующим естественным шагом будет исключение вещественного параметра я из описания /-процесса тг и рассмотрение эволюции /-состояния q (о стране 8^ относительно ментального параметра t. Это и будет информация о 8, полученная индивидом т из соответствующей части В. В простейшей модели мы можем описывать t как текст книги: t = = (Древний Египет...). Значит, q = g(f) является преобразованием информации t е В в состояние знания индивида т о стране 8. Траектория q^ Е Xj зависит от начального значения q^ знаний индивида т о 8, начальной мотивации ро индивида т получать знание о 8 и /-силы F(t,qY которые изменяют мотивацию. Например, если F = 0, а ро = 0, то q(t) = q^. В этом
случае чтение книги В нс изменит состояния знания индивида т о древнем Египте.
Этот пример показывает, что /-сила FQhq), которая действует на /-состояние q индивида т, нс сводится к внешней /-силе fQhq); например, к информации, полученной из радио, телевидения и других книг. Существует некая добавочная /-сила fc(t, q), которая существенным образом изменяет траекторию q(t) Е Xj. Предположим, что мыслящая система т является полностью изолированной от внешних источников информации. Также допустим, что первоначально т не имел мотивации изменить свое /-состояние о древнем Египте. В формальной математической теории это запишется как / = 0 и ро = 0. Однако, вообще говоря, q(t) ф q^ потому что сила сознания fc(t,q) может породить ненулевую мотивацию к изучению этого предмета.
Поле сознания
Во-первых, напомним некоторые факты из квантовой механики для материальных систем. Формализм квантовой механики был развит для описания движений физических систем, которые отличаются от движений, описываемых уравнениями Ньютона (5.2), (5.3). К примеру, рассмотрим хорошо известный эксперимент с двумя щелями. Имеется точечный источник света О и два экрана: S и S'. Экран S имеет две щели hi и h9. Свет проходит S через щели и достигает экрана 8\ где мы наблюдаем интерференционные кольца. Рассмотрим свет как поток частиц — фотонов. Уравнения движения Ньютона (5.2), (5.3) нс смогли объяснить явление интерференции: классические силы /, включенные в этот эксперимент, нс могли бы управлять фотонами таким образом, чтобы они концентрировались в некоторых областях экрана Sf и практически не появлялись в других областях S'. Естественной идеей, см. Бом [34-37], является то, что появляется некоторая дополнительная сила /ф квантовая сила, которая должна учитываться в уравнениях Ньютона. Поэтому вместо уравнения (5.2) нам следует рассматривать возмущенное уравнение
Щ) = ЖЛ + ЛЩЩ р(О)=ро, t,q,p еХмат. (5.6)
Естественно предположить, что эта новая сила fg(t,q) вызвана некоторым полем ^(hq). В теории ведущей волны для матери™
альных объектов постулируется, что это поле ^(t^q) может быть найдено как решение уравнения Шрёдингера
Г q) - W, ошс Л- (5.7) г ot л (jq~
Таким образом, каждая квантовая система движется вместе с волной, которая «ведет» эту частицу. Такой подход к квантовой механике называется теорией ведущей волны. Формально имеются два различных объекта: частица и волна. Реально имеется один физический объект: частица, ведомая волной 9. Ф-поле, ассоциированное с квантовой системой, обладает некоторыми свойствами, которые приводят к тому, что ^(q) нс может интерпретироваться как обыкновенное физическое поле (как, например, электромагнитное поле). Квантовая сила fg(q) нс связана с ^(q) обычным соотношением / = d^(q)/dq. Обычное соотношение между силой / и потенциалом V приводит к тому, что градуирование V eV, где с — константа, приведет к такому же градуированию для силы, а именно / с/. В противоположность такому классическому соотношению, квантовая сила fg инвариантна относительно градуировки Ф сФ Ф-функции. Таким образом, величина Ф-функции («квантового потенциала») не связана напрямую с величиной квантовой силы fg. Согласно Бому и Хайли [37], Ф(д) — просто /-поле на Хмат. Например, в [37] Ф(д) сравнивается с радиосигналом, который управляет огромным кораблем с помощью автопилота. Амплитуда сигнала там не важна; принимается во внимание только информация, переносимая этим сигналом.
Замечание 2.1. Теория ведущей волны не дает ответа на вопрос: «Переносится ли некоторое количество физической энергии Ф-полем или нет?» Книга [37] содержит интересное обсуждение этой проблемы. Несмотря на информационную интерпретацию поля Ф, в [37] все еще полагается, что Ф должно переносить некоторую физическую энергию. В сравнении с энергией квантовой системы, эта энергия незначительна (как в примере с кораблем). Другое интересное следствие рассуждений Бома™ Хайли состоит в том, что квантовые системы могут обладать достаточно сложной внутренней структурой. Грубо говоря, кван-
9 Теория ведущей волны не является общепринятой интерпретацией квантовой механики (а именно ортодоксальной копенгагенской интерпретацией). Согласно последней, невозможно описывать отдельные траектории квантовых частиц.
товая система должна заключать в себе некоторое устройство для передачи информации, полученной от Ф-поля.
Из введения к этой главе ясно, как мы можем трансформировать классическую когнитивную механику в квантовую когнитивную механику, механику сознания. Основной мотивировкой для такого развития классической когнитивной механики является то, что поведение сознательных систем нс может быть описано классической /-силой /. Поведение сознательных мыслящих систем сильно отличается от поведения бессознательных мыслящих систем (даже если обе эти системы управляются некоторой классической /-силой /). Вообще говоря, /-аналог (5.4) второго закона Ньютона нарушается для сознательных мыслящих систем. Как и в случае с материальными системами, естественно предположить, что существует некоторая добавочная /-сила fc(q\ ассоциированная с мыслящей системой. Мы называем такую силу силой сознания. Эта сила возмущает траекторию мыслящей системы в пространстве /-состояний Xj. «Квантовая» траектория сознания описывается уравнением
Щ) =/(М) + /с(М). р(О)=Ро, М.рЕХ]. (5.8)
Сила сознания /^(С д) связана с Ф-полем, полем сознания, с помощью таких же соотношений, как и в теории ведущей волны для материальных систем. Информационное уравнение Шрёдингера, см. раздел 9, описывает эволюцию Ф-поля сознания.
В теории мышления предположение о сложной внутренней структуре сознательной системы достаточно естественно. В принципе, мы можем предполагать, что поле сознания Ф(д),д Е Е Xj, порождается классическим /-процессом в мыслящей системе т. Болес того, естественно предполагать, что более высокая /-сложность системы т влечет то, что Ф-поле системы т генерирует /-силу fc большей /-величины. Напомним, что в теории ведущей волны (для материальных и ментальных систем) величина поля Ф нс связана напрямую с величиной fc. На современном этапе знаний о процессах мышления идея о том, что Ф-поле порождается системой т, кажется наиболее естественной.
Коллективное подсознание и сознание
В двух предыдущих разделах мы изучили классическую и квантовую теории для индивидуальных мыслящих систем. В этом разделе мы рассматриваем коллективные классические (бессознательные) и квантовые (сознательные) мыслительные
процессы. Начнем с классической (бессознательной) мыслительной механики. Допустим, что щ,...,^ — семейство мыслящих систем с ментальными пространствами Xij,..., Xj^. Введем ментальное пространство Xi — пространство этого семейства мыслящих систем, полагая
Xj = Xjj х ... х XI)N,
см. также гл. 4, пространство интегральных идей.
Элементами этого пространства являются векторы /-состояний q = (qx, ... , qN) индивидуальных мыслящих систем Tj. Предположим, что существует /-потенциал V (qx,..., qN), который порождает информационные силы fj (qx,..., qN). Потенциал V порождается как /-взаимодействиями мыслящих систем щ,... ,tn, так и внешними /-полями. Эволюция мотивации Pj(t) и информационного состояния qj(t) Дй мыслящей системы Tj описывается уравнениями:
PjW = fj(Mi, ••• Рз^=Р0г (5-9)
<1А^ = рА1\ q^ = qor М,рбХь (5.10)
Пример 3.1. Пусть
Xi3 = XJ)2 = Zp.
Тогда
Xj = Zp x Zp = Zp.
Пусть
УОьУг) = a(q\ - qH,
где a — некоторая /-постоянная (заданная в этой математической модели р-адическим числом). Движения когнитивных систем ri и Т2 в ментальном пространстве нс являются независимыми; /-величина постоянной взаимодействия а определяет силу этой зависимости. С другой стороны, если, например, V (qx Лз) — = q^ + q^ то движения тх и т2 являются независимыми.
Эта модель может использоваться нс только для описания коллективного мышления группы различных мыслящих систем тх,... ,tn, но также и семейства мыслительных процессоров в одной фиксированной мыслящей системе. Например, естественно полагать, что мозг содержит огромное число динамических мыслительных процессоров (см. гл. 1) тг),..., tn, которые генерируют /-состояния
qiW,...,qNXt),
относящиеся к различным ментальным функциям. Мы можем применить нашу классическую когнитивную механику для описания одновременного функционирования мыслительных процессоров Основное следствие нашей модели состоит в том, что /-состояния qx (^),..., qN(t) и мотивации pi (t),..., pN(t) не эволюционируют независимо. Их одновременная эволюция контролируется /-потенциалом V(qx,..., qN). Нужно подчеркнуть, что взаимодействие между мыслительными модулями tti,...,^ имеет чисто информационную основу. Потенциал V^qx,..., qN) нс обязательно порождается физическим полем (например, электромагнитным). Изменение /-состояния, 4j Ч^ или мотивации, pj pfj, одного из мыслительных процессоров Hj автоматически приведет (путем /-взаимодействия V(qx,..., qN)) к изменению /-состояний и мотиваций во всех остальных мыслительных блоках. В принципе, нсфизичсская информационная энергия играет важную роль в этом процессе коллективной эволюции мышления. В некотором смысле это является процессом мыслительной (но все еще бессознательной) саморегуляции. Различные мыслящие системы могут иметь различные /-потенциалы V(qi, ..., qNY которые задают различные типы связей между мыслительными блоками Hj.
Пример 3.2. Пусть мыслительные процессоры 7Г1,тг9 и тщ отвечают за науку, питание и секс соответственно. Пусть Xi^ = = Zp, j = 1,2,3. Следовательно,
Xi = Zj.
Пусть
V(qi, q2, q3) = «19? + «29? + «З9з +
+ «12(91 - 9г)2 + «2з(92 - 9з)2 + «1з(91 - 9з)2- (5.И)
Если /-постоянная «1 существенно больше всех остальных /-постоянных, а именно |Qi|p 7> |а?2|р,..., то мыслительный блок Tri, отвечающий за науку, работает практически независимо от блоков 7?2 и 7Г3. Если «12 (или оцз) превосходит все остальные константы, то имеется сильная связь между наукой и питанием или наукой и сексом.
Кроме того, /-потенциал V может зависеть от ментального времени мыслящей системы, V = V(t, qx,..., qN). Таким образом, в различные мгновения ментального времени t мыслящая система может иметь различные информационные связи между мыслительными блоками тгi,..., иN.
Мы собираемся описать явление коллективного сознания.
Пусть t\,...,tn — семейство мыслящих систем. Классическое /-движение описывается классическими (бессознательными) /-силами 9 fj^t.qx,... ^nY согласно когнитивному второму закону Ньютона (5.4). Как и в теории ведущей волны для большого числа частиц, для любого семейства мыслящих систем щ,..., tn существует Ф-поле
Ф(ф, ... ,qN).
Это поле определено на ментальном пространстве Xj = = Xij х ... х X^n, где Xjj — ментальное пространство Tj. Это поле порождает дополнительные /-силы /^- c{t, qx,..., qN), силы сознания. Ньютоновскую (классичсскую/бсссознатсльную) мыслительную динамику необходимо заменить на (кванто- вую/сознатсльную) мыслительную динамику:
PjW = ЫМь ••• ’Qn) + ГсГчь ,Qn), j =
(5.12)
Вообще говоря, сила сознания f. с = /^ c(t, qx,... ,qN) зависит от всех /-координат qx, ... ,qN, а именно /-состояний мыслящих систем tx,...,tn. Поэтому сознание каждой отдельной мыслящей системы Tj зависит от /-процессов во всех мыслящих системах щ,... ,тж. Уровень этой зависимости определяется видом коллективной Ф-функции. Как и в обычной теории ведущей волны [34-37], в нашей модели мышления из факторизации Ф-функции
Nф(Мь= П фд<,^)7=1
следует, что сила сознания f. с зависит только от координаты qj. Значит, факторизация Ф уничтожает эффект коллективного сознания.
Как и в классической мыслительной механике, вышеприведенные рассуждения могут применяться к системе мыслитель™
9 Всюду в этой работе мы используем слова «классический» и «квантовый» как синонимы слов «бессознательный» и «сознательный». На самом деле было бы лучше использовать только биологическую терминологию. Но мы предпочитаем использовать и физическую терминологию, чтобы подчеркнуть параллельное развитие механистических теорий для материальных и ментальных систем.
Связь между ментальными и физиологическими процессами 177 ных блоков тг 1,..., nN индивидуальной мыслительной системы т, например, к мозгу человека. Поле сознания Ф системы т зависит от /-состояний q\,... ,qN всех блоков мышления.
Связь между ментальнымии физиологическими процессами
Классические и квантовые поля V^qx,... ,qN) и Ф(^ь ..., qN) приводят к зависимости между отдельными блоками мышления тг 1,..., иN мыслящей системы т или индивидов щ,..., rN, принадлежащих социальной группе G. В частности, из этого следует, что все физиологические системы организма тесно связаны на информационном уровне. Таким образом, заболевание в одной из этих систем может иметь влияние на другие системы (даже если они нс имеют тесной связи на физиологическом уровне). Конечно, это нс новость для медицины. Но теперь мы имеем математическую модель, см. разделы 7-9. И, в принципе, мы могли бы найти некоторые эффекты /-влияния на физиологические процессы. Более того, ментальные процессы в мозге, которые прямо не связаны с физиологическими процессами, являются связанными с ними на информационном уровне.
К примеру, пусть ментальный блок яд управляет работой сердца, а блок тщ контролирует некоторый психологический процесс, например, отношений с некоторым индивидом. Пусть классический /-потенциал V(qi,Q2) = ^Qiq^ гДе ° является /-постоянной связи (заданной р-адическим числом). Тогда ментальный процесс в ль имеет влияние на работу сердца. Классическая /-сила f^qi^Y примененная к яд, равняется — aq^. Поэтому она зависит от эволюции психологического процесса q^ty
Наличие поля сознания Ф(^1,..., qN) делает связь между физиологическими и ментальными процессами более сложной. Имеется возможность осознанного контроля за физиологическими системами человека. В принципе, если бы человек мог изменить свое поле сознания Ф(^ь ..., qN), он мог бы изменить работу некоторых физиологических систем с помощью только /-влияния.
Наша модель хорошо объясняет использование гомеопатии. На самом деле гомеопатическое лечение способно изменить /-потенциал организма V(qx,... ,qNy Микроскопические порции лекарств, которые используются в гомеопатическом лечении, являются только источниками информации. В принципе, гомеопатическое лекарство нс обязательно применяется прямо к больной
физиологической системе тг/. (описываемой /-состоянием q^Y Информация, сосредоточенная в гомеопатическом препарате, может взаимодействовать с каким-либо иным /-состоянием q^ j ^ к. Изменение q^qj -л q’-, приведет к изменению траскто™ рии qkCY через замену 7-силы fk(t, qi,... ,qk,..., q,,..., qN) -> -4- fk(t, q\, ,qk, ,qV,,qN\
Психоанализ Фрейда как реконструкция полясознания
Согласно теории Фрейда [78], ментальное пространство Xi человеческого индивида г разделено на две области:
область осознанных идей — Х^;
область бессознательных идей — ХГ.
Таким образом,
Хг = Xf U Х^
В соответствии с терминологией нашей общей теории (см. гл. 2) мы должны были бы говорить о /-состояниях, представляющих осознанные и бессознательные идеи. Тем нс менее мы будем использовать в этом разделе терминологию, более близкую к психоанализу, и говорить о сознательных и бессознательных идеях (вместо /-состояний, представляющих эти идеи).
В нашей модели теория Фрейда описывается следующим образом. Пусть /: Xi ™э Xi — некоторая функция. Мы определяем носитель f как множество supp / = {ж Е Мщ /(ж) ^ 0}. Пусть Ф — поле сознания, порожденное индивидом г, a fc — соответствующая сила сознания.
Тогда supp fc является множеством осознанных идей, а именно идей, которые могут взаимодействовать с Ф-полем, Х^ = = supp fc. Множество Xi \ supp fc есть множество бессознательных идей ХГ, а именно идей, которые нс могут взаимодействовать с Ф-полем. Заметим, что множества идей supp fc и supp Ф нс совпадают. Может оказаться, что supp fc является подмножеством множества supp Ф.
Движение индивида г в пространстве идей Х^ описывается динамической системой
МЬ = НМг) +Qi е Xi, (5.13)
где f = —dVi/dqi — классическая (бессознательная) сила, порожденная классическим /-потенциалом Vi индивида г, а /^ = = —dCi/dqi — квантовая (осознанная) сила, порожденная /-по-
тенциалом Ci индивида г. В подпространстве бессознательных идей эта динамическая система сводится к системе
М0 = КМ5 QiEXp (5.14)
Пусть D — некоторая область в Х^ и пусть классический /-потенциал Vi((tsqi\ qi Е Xf, таков, что для динамической системы (5.14) область D является областью притяжения траекторий. Стартуя с любого начального /-состояния q^ Е Х^ /-состояние qi(t) индивида г будет всегда эволюционировать в направлении D. Динамическая система (5.14) размещается в пространстве бессознательных идей. Здесь сила сознания fc равна нулю. Таким образом, г нс смог бы осознанно изменять динамику (5.14).
Предположим теперь, что D — некоторая область «плохих идей». Например, если D — область «черных идей», то г страдает депрессией; если D — область идей, связанных с алкоголем, то г имеет проблемы с алкоголем; если D — область агрессивных идей, то i будет проявлять агрессивное поведение. Это поведение выглядит как нс вполне мотивированное: отталкиваясь от произвольной неосознанной идеи, индивид г будет всегда приходить в агрессивное состояние.
Целью психоанализа является расширение области осознанных идей X? = supp fc. Такое расширение изменит динамику (5.14) под действием силы сознания fc. Это нарушение может изменить эволюцию идей таким образом, что область D не будет областью притяжения для всего пространства бессознательных идей Х^. Стартуя с до € Х^\ индивид г может генерировать траектории qi^tY которые никогда не будут притягиваться областью «плохих идей» D.
Пара «мыслящая система г и психоаналитик тг» может рассматриваться в качестве спаренной системы /-преобразователей. Информационная связь между г и тг породит новый классический /-потенциал Ц)7Г(С qi, q^, который определяется на ментальном пространстве X = Xi х Х^. Здесь Xi и Х^ — пространства идей индивида г и психоаналитика тг соответственно.
Динамика поля ФД^,дД индивида г описывается с помощью /-уравнения Шрёдингера (подробности см. в разделе 9; в частности, об /-аналоге постоянной Планка h см. там же)
7 Ж qi^ ~ qi^^’qiV (5'15)
Динамика поля сознания Фг,тг(^ ^г^тг) системы (г,7г) описывается /-уравнением Шрёдингера
h , х h2 ( Э2 92 \, х
7(t, qi, q^) — — I —- + ■—у 1 Ф^^, q^ q^) —
г ot2 \oq^ oq^J
^Цтг (^ Qi i ^7г)Фг,тг (^, Qi i Q-k ) •(5.16)
Если сила сознания
для некоторого /-состояния qi Е ХГ и q^ Е Х^, то движение индивида г в области бессознательных идей Х^ может управляться сознательно. Здесь Ci^(t, qi, q^) — потенциал сознания, порожденный Ф^^, qi, q^. На самом деле это означает, что ХГ сужается, а Х^ расширяется. Цель психоаналитика тг — найти идеи (здесь /-состояния) q^ Е Xi, такие что (5.17) имеет место для бессознательных идей (здесь /-состояний) qi Е Xf индивида г. Так как процесс психоанализа является сознательным процессом (по крайней мерс для тг), естественно предполагать, что идеи q^, которые используются тг чтобы индуцировать условие (5.17), являются осознанными: q^ Е Х^. Обычно такие идеи представляются в виде специальных вопросов к £ В некотором смысле это нечто вроде интервенции сознания психоаналитика тг в область подсознания индивида г. Если тг находит область О С ХГ, в которой условие (5.17) удовлетворяется, то в этой области динамика (5.14) преобразуется в новую динамику
Pi(t) = f(t,qt,q7r) + fc(t,qi,q7r)> qi^O. (5.18)
При некоторых условиях эта динамическая система может утратить «патологические черты» динамической системы (5.14).
Конечно, даже замена классического потенциала Vi(t,qi) на новый классический потенциал Vi^f/t, qi, q^) изменит движение г; новая динамика управляется классической силой ffj^q^q^) вместо классической силы f(t,qi). Однако нелегко существенно изменить классическую силу /(t, qi) на области бессознательных идей Х^ только с помощью изменения классического потенциала. Обычно V^Mi^) = V^qi) + VG^) + G(^,^), где (информационная) величина потенциала взаимодействия G^,^) весьма мала для идей qi Е Х^. С другой стороны, это незначительное изменение классического потенциала может привести к существенному изменению квантового потенциала.
Заключение. Психоанализ Фрейда является не чем иным, как изменением I-динамики индивида г, имеющего некое душевное заболевание, путем расширения носителя силы сознания. Такое расширение является расширением области осознанных идей Xf и сужением области бессознательных идей Xf. Это расширение реализуется с помощью I-связи между индивидом г и психоаналитиком тг. С помощью незначительного изменения классического 1-потенциала тг существенно изменяет силу сознания, действующую на г. Динамика идей в подсознании индивида i изменяется. Это изменение ликвидирует неосознаваемые корни душевного заболевания.
Аналогично мы можем описать /-процессы, соответствующие гипнозу. С помощью /-связи между индивидом г и гипнотизером тг динамика сознания (5.13) изменяется таким образом, что сила сознания fc(t,qi) практически аннулируется под действием силы сознания 1с^ЛгЛтг)* Например, пусть 1с^ЛгЛтг) — = ™fc^i) + fc^Y Тогда /-поведение индивида г будет «управляться» силой сознания fg^q^) гипнотизера тг.
Математические модели материальныхи ментальных пространств: вещественныеи р-адические числа
С нашей точки зрения реальные пространства, ньютоновское абсолютное пространство или пространства общей относительности представляют только частный класс /-пространств. Эти вещественные пространства характеризуются специальной системой кодирования информации и расстоянием на пространстве векторов информации. Любое натуральное число т > 1 может быть выбрано за основание системы кодирования. Каждое действительное число х Е [0, 1] может быть представлено в виде:
х = ootti ... ап ...,(5.19)
где aj = 1, ... , т — 1 являются цифрами. Обозначим множество всех последовательностей вида (5.19) символом Хт. К примеру, пусть m = 10. Одним из основных свойств вещественной системы кодирования является отождествление вида:
..0... = 09..™~= 009...9...; ... (5.20)
По сути, это отождествление тесно связано со структурой порядка на вещественной прямой R и метрикой, относящейся к такой
структуре порядка. Для каждого ж существует правосторонняя и левосторонняя окрестности. Существуют произвольно малые правые и левые сдвиги. Отождествление (5.20) связано с описанием левосторонних окрестностей.
Пример 6.1. Пусть ж = 10 ... 0 ... Тогда ж можно приблизить с левой стороны с произвольной точностью числами вида у = 09 ... 90...
Следующее описание правосторонних окрестностей играет важную роль в наших рассуждениях, см. также гл. 1.
(AS) Пусть ж = а^ ... а^ ... Тогда вещественные числа, векторы информации, которые приближаются к ж с правой стороны, имеют вид у = 60 ... Ь[ ..., где а^ = 6q, ..., at = 6/ для достаточно большого L
Эта близость имеет естественную информационную (когнитивную) интерпретацию: (AS) даст возможность создавать ассоциации для мыслящих систем, которые используют эту близость, чтобы сравнивать векторы информации. Согласно (AS), два сообщения, которые обладают одинаковыми кодами для достаточно большого числа первых (наиболее важных) позиций, в системе кодирования отождествляются компаратором мыслящей системы. Числа, векторы информации, которые являются близкими к ж с левой стороны, нс могут характеризоваться таким же образом. Смотри пример 6.1, где ж и у очень близки, но их коды сильно отличаются.
Заключение. Система вещественных чисел создавалась как система кодирования для представления информации. Основными свойствами этой системы кодирования являются структура порядка на множестве I-векторов и ограниченная способность, см. (AS), к созданию ассоциаций.
В современной науке (особенно в теоретической физике) «действительность» системы вещественных чисел (и соответствующих вещественных пространств) является неким постулатом. Чтобы понять, что этот постулированный реализм является просто результатом нашей умственной деятельности, мы советуем читателю прочитать книгу российского религиозного философа Флоренского [75]. Там представлена цепь логических рассуждений, из которых следует, что действительность вещественного пространства сродни реальности Бога. Флоренский также представил детальный исторический обзор эволюции идеи вещественного числа (от так называемых «черных чисел» в средние века до современных «вещественных чисел»).
Давайте «модифицируем» вещественную систему кодирования. Мы исключаем отождествление (5.20). Тогда на множестве /-векторов Хт возникнет неупорядоченная структура. Рассмотрим на Хт понятие близости, определенное с помощью (AS). Здесь вся информация рассматривается с точки зрения ассоциаций. Как мы уже видели в гл. 1, эту близость можно описать метрикой. Соответствующее метрическое пространство изоморфно кольцу m-адических целых чисел Zm. Как мы уже несколько раз упоминали, использование простого основания т = р существенно упрощает все математические конструкции. Полезно ограничить математическое моделирование р-адически- ми пространствами.
Кроме того, в силу математических причин нам следует расширить систему р-адических чисел Zp до так называемого поля р-адичсских чисел Qp, см. гл. 1, 7. Множество Qp имеет более сложную алгебраическую структуру, чем Zp. Система Zp является лишь кольцом, где корректно определены только сложение, вычитание и умножение. Система Qp является полем. В нем корректно определено еще и деление.
Элементы Zp могут быть представлены рядами:
ж = а0 + ахр + ... + апрп + ...,aj = 0, 1,... , р — 1.
Элементы Qp представляются рядами вида:
х =+ ... + а0 + ахр + ... + аири + ... ,
Р
aj = 0, 1, ... , р — 1.
На самом деле, наличие отрицательных степеней числа р в последнем ряде даст возможность определить деление на Qp.
Р-адическая метрика на Zp имеет естественное продолжение на Qp, см. гл. 7. Наличие структуры числового поля и топологической структуры даст возможность определить (обычным образом) производные и развивать дифференциальное исчисление над р-адическими числами, см. [163] и гл. 7. Это дифференциальное исчисление будет использоваться (довольно формальным образом) в математических рассуждениях следующих разделов. Поэтому, несмотря на использование Zp в качестве модели ментального пространства Xj, нам следует использовать более обширное пространство Qp, чтобы выполнять математические вычисления.
Другой возможностью является использование более обширной системы Qp в качестве ментального пространства X/. В этом случае мы должны дать когнитивную интерпретацию нс только элементам Zp, но также элементам Qp. Элементы Qp могут отождествляться с последовательностями цифр:
X — (...ОШд.,..., Од ч ч
Существует некоторое m = О, ±1, ±2,... такое, что as = 0 для всех з ^ т. Такое множество также может быть представлено как иерархическое дерево. Qp-дерево имеет следующую когнитивную интерпретацию. Часть этого дерева описывает распространение сигнала от различных /-систем, в частности, психологических систем, к некоторому ментальному центру С. Другая часть этого дерева описывает распространение реакции центра С на сигналы.
Однако во всех следующих рассуждениях мы сузим нашу модель ментального пространства до дерева Zp. Qp будет использоваться только как дополнительная математическая структура, которая даст возможность использовать дифференциальное исчисление.
Гамильтонова динамика на р-адическомментальном пространстве
Как и в предыдущих главах, кольцо р-адических чисел Zp может использоваться в качестве математических моделей ментальных пространств Xi. Рассмотрим аналог гамильтоновой ди
намики на ментальных пространствах. Как обычно, мы вводим величину р^ = q(t) = — q(t), которая является /-аналогом количества движения, мотивацией. Пространство Zp х Zp точек 2 — (9,р), где 9 — /-состояние, ар — мотивация, называют фазовым ментальным пространством. Как и в обычном га
мильтоновом формализме, предположим, что существует функция H(q,p) — /-гамильтониан на фазовом ментальном пространстве, который определяет движение т в фазовом ментальном
пространстве:
рОо) = Ро-рОо) = Ро-(5.21)(5.21)qX) = Щ^(Гр^УУ q(to) = qo,
рОо) = Ро-
рОо) = Ро-
(5.21)
(5.21)
/-гамильтониан H(p,q) имеет смысл 1-энергии*. ментальной или психической, ср. с [29] и [78]. В принципе, /-энергия непосредственно нс связана с обычной физической энергией.
Простейший /-гамильтониан Hf(p) = ар2, а Е Zp, описывает движение свободной мыслящей системы т, т. с. системы, которая использует только собственные мотивации для изменения /-состояния q(t). Здесь, решая систему уравнений Гамильтона (в пространстве аналитических функций на р-адическом пространстве), получим: p(f) = ро, q(t) = qo + 2apo(t — to). Мотивация р является постоянной этого движения. Поэтому свободная мыслящая система «нс любит» изменять свою мотивацию ро в процессе движения в ментальном пространстве.
В общем случае /-энергия — это сумма /-энергии мотивации Hj = ар2, являющейся аналогом кинетической энергии, и потенциальной /-энергии V(q);
H^LP*) = ар2 + V(q)-
Потенциал V(q) определяется с помощью полей информации. Теперь рассмотрим примеры, которые иллюстрируют понятие ментального времени.
Пример 7.1 (чтение книги). Снова рассмотрим пример из раздела 2. Давайте занумеруем слова в языке книги В числами 1,2,... ,т — 1 (включая символ пробела). Обозначим через О слова, которые имеют нулевое /-значение для т (например, специальные термины, которые нс известны т). Текст книги В может быть представлен как /-строка: х = (ао^ь , ам\ Эта строка может быть отождествлена с элементом Zm, полагая а^ = 0, j М + 1: х = (qq, «ь ..., aN, ..., ам, 0, ... , О,...). Отсчеты такого ментального времени задаются блоками элементов х: t = (qq, ощ • • • > ар, 0, 0,...). Предположим теперь, что /-состояние q, знания о Египте, кодируется следующим образом: q = (До» Рх?PjPj = О, 1,..., к - 1, где До — династия, Рх — число войн во время правления династии Pq, ... Символ 0 снова используется для обозначения нулевого знания. Динамика qtpYPj = 'ф^^ао,... ,aN,...), знания системы т о Египте описываются уравнениями Гамильтона. По сути, математический аппарат, развитый в этой работе, описывает только случай m = р. Чтобы изучить динамику для t Е Zm, q Е Zp, m ^ ^ р, нам потребуется более сложный математический анализ.
Пример 7.2 (эволюция научной психологии). Введем ментальное время t = tnc, которое используется для описания
эволюции психологического состояния ученого т. Пусть t = = (qq, ai,, aN,...), где aj = 0, 1,..., m — 1 — число публикаций т в журналах с рейтингом цитирования j. Журналы с j = 0 более важны, журналы с j = 1 менее важны и т. д. Например, пусть m = 10. Такое ментальное время нс имеет структуры порядка. К примеру, возьмем А) = (2,0,...) = 2, Д2 = = (0, 8,0,...) = 80, А3 = (1, 1,2,0,...) = 211. Эти мгновения ментального времени нс могут быть упорядочены в соответствии с их важностью. Эволюция психологического состояния q(t) ученого т описывается траекторией в ментальном пространстве; в простейшем случае Xf = Tim. Если эта траектория непрерывна, то т будет иметь похожие психологические состояния q^ixY^Y^ для близких мгновений ментального времени ПЛз-
В рамках гамильтонова формализма мы можем рассматривать взаимодействие между мыслящими системами ri,..., rN. Эти мыслящие системы используют ментальные времена
и генерируют /-состояния qx(txY *** ^ h^N^ Согласно нашей модели, мы можем описать взаимодействия между этими мыслящими системами только в том случае, когда имеется возможность выбрать одинаковое ментальное время t для всех этих систем. В этом случае мы можем рассматривать эволюцию мыслящих систем тх,... ,tn как траекторию в ментальном пространстве
Z^ = Zp х х Zp, q^O = ,qN^OY
Условие согласованности
й = й ™ ••• =tN = t (5.22)
играет важнейшую роль в многих психологических экспериментах. Мы нс можем получить осмысленные наблюдения при взаимодействиях между произвольными индивидами. Должен присутствовать процесс обучения для группы tx,...tn, который сведет ментальные времена tx,...,tN к единому ментальному времени t.
Рассмотрим группу тх,... ,tn мыслящих систем с внутренним временем t. Динамика /-состояний и мотиваций определяется /-энергией H(q,pY q Е Z^, р Е Z^. Естественно предположить, что
n t
H(q, р) = П aaPj +V(q\,,qN), aj G Zp.
Здесь
нДр) = Е азР^з
является полной энергией мотиваций для группы a V^ является потенциальной энергией. Как обычно, чтобы отыскать траекторию в фазовом ментальном пространстве Z^ х х Z^, мы должны решить систему уравнений Гамильтона:
Qj = Рз =sAM = 90, РАМ = Ро-
Замечание 7.1 (активная информация). Наши идеи об информации и информационном поле схожи с идеями Бома и Хайли [37, с. 35-38]. Как Бом и Хайли, мы нс следуем «идеям Шеннона о том, что существует числовая мера информации, которая описывает неопределенность состояния системы», [37]. Мы также рассматриваем информацию как активную информацию. Такая информация взаимодействует с мыслящими системами. Вследствие таких взаимодействий, мыслящие системы производят новую информацию. Отличительной чертой нашей модели является то, что материальные объекты нс включаются в наш формализм. Согласно работе [37], активная информация взаимодействует с материальными объектами (например, корабль, управляемый радиоволнами). Бом и Хайли полагают, что /-поля имеют ненулевую физическую энергию, которая управляет другой (вероятно весьма большой) физической энергией. Однако физические энергии не включаются в нашу модель. Поэтому нам не обязательно предполагать, что /-поля обладают некоторой физической энергией. В частности, мы не обязаны пытаться искать, как в работе [37, с. 38], источник такой энергии. Заметим также, что Бом и Хайли обсуждают только квантовые Ф-поля. Мы будем использовать как классические, так и квантовые /-поля.
Бом и Хайли обсуждали различие между «активной» и «пассивной» информацией. По сути, наша модель поддерживает их заключение о том, что «вся информация является по крайней мерс потенциально активной и что полная пассивность ничего более, чем абстракция...», [37, с. 37]. Если мыслящая система т движется в поле сил Ф (классическом или квантовом), то информация ж Е supp V является активной для т, а информация ж Е Z™ \ supp V является пассивной для т. Пусть и = V(t, ж) — потенциал, зависящий от времени. Тогда множество активной информации X(t) = supp V (t) эволюционирует в ментальном
пространстве. Поэтому некоторая пассивная информация становится активной и наоборот.
Замечание 7.2. На самом деле мы можем использовать более общий подход к /-преобразователям. Нам нс следует ограничиваться понятием /-преобразователя для описания только мыслящих систем. Вместо ментального пространства Xj мы можем рассмотреть произвольное пространство информационных строк. Будем обозначать такое пространство символом Xj. В математической модели мы реализуем Xi как р-адическое дерево. Объекты, которые «живут» в /-пространствах, называют преобразователями информации, /-преобразователи нс характеризуются координатами в информационном р-адическом пространстве (или реальном пространстве). Они характеризуются способностью получать внешнюю информацию и преобразовывать ее в новую информацию.
Каждый /-преобразователь т имеет внутренние часы. Состояние часов описывается /-вектором f е Т = Zp, который называется информационным временем, /-время может иметь различные интерпретации в различных /-моделях. Если, как и в предыдущих рассуждениях, т является мыслящей системой, то t является временем мыслительной динамики этой системы. Мы можем говорить о психологическом времени индивида или о (коллективном) социальном времени группы индивидов. В действительности мы нс представляем t как упорядоченную последовательность временных отсчетов. Это только информация, которая описывает эволюцию преобразователя т. В принципе, нет прямой связи между /-временем и физическим временем, которое используется в моделях над действительными числами.
В каждое мгновение /-времени t Е Т задано полное информационное состояние (/-состояние) q^ Е X системы т. Оно описывает позицию т в /-пространстве X. Траектория жизни системы т может отождествляться с траекторией q^ в X.
Теперь рассмотрим движение материальной частицы т с /-точки зрения. В данный момент мы ограничим наши рассмотрения классическими одномерными движениями. Отождествим полное /-состояние q частицы т с пространственной координатой этой частицы. Элемент q Е Zp имеет вид q = а0 + ецр + ... ... + ашрш + ... Это представление может рассматриваться как разложение расстояния q по шкале р. Основным отличием от вещественной модели движения системы т является дискретность пространства. Имеется минимальный элемент длины Z = 1. Частица т нс может наблюдаться на расстояниях меньших, чем
Z = 1. Другое отличие состоит в том, что q может принимать бесконечно большие значения. Это тс q, для которых aj ^ О для бесконечного числа j. Таким образом, информационная р-адическая модель движения частицы отличается от обычной модели движения в непрерывном вещественном пространстве. Это приводит к модели движения в дискретном пространстве. Обыкновенные физические взаимодействия также могут быть реализованы в этом пространстве. В этом случае они будут интерпретироваться как /-взаимодействия.
Инерция информации
Надо подчеркнуть, что в р-адическом анализе из условия /' = 0 нс следует, что дифференцируемая функция / является константой, см. гл. 7. Существуют сложные непрерывные движения (q(t),p(t)) в /-фазовом пространстве для мыслящих систем с нулевой /-энергией (q = 0 или р = 0). Однако такие математические патологии могут быть исключены рассмотрением аналитических функций. Если /' = 0 и / является аналитической функцией, то / = const.
Мы рассмотрели динамику мыслящих систем единичной массы. Коэффициент пропорциональности с между изменением /-состояния 6q и изменением ментального времени St, такой что 6q = vSt, рассматривался как мотивация. В общем случае мотивация р может нс совпадать с ш Предположим, что мотивация р пропорциональна с, р = mv, т Е Zp. Этот коэффициент пропорциональности т называют 1-массой. Как и прежде, с -- это 1-скоростъ. Таким образом, Sq = (р/т.) St.
Допустим, л и Т2 - две мыслящие системы с /-массами тх и тр |ш1|р > |ш2|р. Пусть ri и Т2 обладают вариациями Stx, St2 ментального времени одной и той же р-адичсской величины, ИН|р = И^ф» и пусть эти вариации порождают вариации Sqx и 6q2 их /-состояний одной и той же р-адичсской величины, |5gi|p = l^^lp- Чтобы проделать такую замену /-состояния, тх требуется большая мотивация:
IpiIpHttI lmilp > Нр = Й WP-\ ОМр I 01 |р
5р = fSt.5р = fSt.Таким образом, /-масса является мерой инерции информации. Определим кинетическую /-энергию по формуле Т = р2/(2m). Изменение St ментального времени t влечет также изменение 6р мотивации р:
5р = fSt.
5р = fSt.
Коэффициент пропорциональности / называют 1-силой. Таким образом, всякое изменение мотивации вызвано действием /-силы /. Если / = 0, то др = 0 при любом изменении St времени t. Поэтому мыслящая система нс может изменить свою мотивацию в отсутствии /-сил. По аналогии с обычной физикой мы называем коэффициент пропорциональности а между изменением до /-скорости о и изменением dt ментального времени t, до = = adt, 1-ускорением. Таким образом, др = amdt. Это соотношение может быть переписано в виде /-аналога второго закона Ньютона:
та / или р = f. (5.23)
Полная /-энергия Н определяется как сумма кинетической и потенциальной /-энергий, т. с. H(q,p) = р2/(2т) + V(q). Уравнение Гамильтона р = — дН/8q совпадает с уравнением Ньютона р = /.
Как мы уже упоминали, существуют сложные неаналитиче- скис движения с нулевой /-энергией. В психологических моделях эти движения могут интерпретироваться как движения без какой-либо мотивации. Такие движения нс нуждаются в /-силе. С другой стороны, можно рассмотреть /-потенциал V(q) такой, что 8V/8q = 0. Потенциал /-энергии V(q) может иметь сложную форму на ментальном пространстве X = Zp. В то же время /-сила / = 0. Поэтому могут существовать /-поля, которые не индуцируют какую-либо /-силу.
В психологических моделях мы можем интерпретировать аналитические траектории в фазовом ментальном пространстве как нормальное поведение, т. е. индивиду требуется мотивация для изменения психологического состояния. Мы можем наблюдать некоторую психологическую (информационную) силу, которая индуцирует это изменение. Имеется психологическое (информационное) поле, которое порождает эту силу. Траектории (нсаналитичсскис) с нулевой мотивацией интерпретируются как ненормальное психологическое поведение. Вероятно, такие траектории соответствуют душевным заболеваниям. С другой стороны, они могут быть использованы для описания парапсихологических явлений. Индивид изменяет свое психологическое состояние без какой-либо мотивации в отсутствие какой-либо психологической (информационной) силы. Здесь р-адическое обобщение гамильтонова формализма нс работает. Необходимо создать новую психофизическую теорию для описания таких явлений.
Информационная квантовая механика
Естественно проквантовать классическую механику на /-пространствах над Zp. Приведем следующие мотивации для такого квантования. Наблюдения над /-величинами являются статистическими. То есть нам следует изучать статистические ансамбли мыслящих систем вместо изучения индивидуальных мыслящих систем. Такие статистические ансамбли описываются квантовыми состояниями ф. Как обычно в квантовой теории, мы можем предполагать, что значение А /-величины В может быть измерено в состоянии ф с некоторой вероятностью Рф(В = А). Этот подход является приложением статистической интерпретации квантовой механики (см., например, Баллентайна [21, 22]) к теории информации. Согласно этой интерпретации, любой процесс измерения имеет два этапа:
подготовительная процедура Е;
измерение величины В в состоянии ф, которое было подготовлено с помощью процедуры Е.
Рассмотрим эти этапы в рамках теории информации. Подготовительная процедура £ состоит в том, что мы должны выбрать статистический ансамбль ф мыслящих систем на основании некоторых /-характеристик. Обычно в физике для материальных объектов подготовительная процедура £ реализуется как фильтр, основанный на некоторой физической величине Л, т. с. мы выбираем элементы, которые удовлетворяют условию Л = = д, где д — одно из значений А. Жъ\ можем сделать то же самое в квантовой /-теории, /-величина Л выбирается в качестве фильтра, т. с. мыслящие системы для статистического ансамбля ф выбираются согласно условию А = д, где д € Zp есть некоторая информация. Например, мы можем выбрать мотивацию А = р и статистический ансамбль ф = Ф^^ мыслящих систем, которые обладают одинаковой мотивацией д е Zp. Затем мы выполним второй этап и измерим некоторую /-величину В в состоянии ф(р=р). Например, мы можем измерить /-состояние q мыслящих систем, принадлежащих статистическому ансамблю, описываемому состоянием ф^^у Мы получим распределение вероятности Р(д = А|р = д), А, д е Zp (вероятность того, что мыслящая система обладает /-состоянием q = А при условии, что она находилась в состоянии с мотивацией р = д). Также возможно измерить /-энергию Е мыслящей системы. Мы получим распределение вероятности Р(£ = А|р = д), А,д е Zp. С другой стороны, мы можем приготовить стати-
стический ансамбль ф^^у фиксируя некоторую информацию д е Zp и выбирая все мыслящие системы, которые находятся в /-состоянии q = д. Затем мы можем измерить мотивации этих мыслящих систем и, наконец, получить распределение вероятности Р(р = A|q = д).
Другая возможность — использование обобщения индивидуальной интерпретации квантовой механики, так называемой ортодоксальной копенгагенской интерпретации [191, 64, 60, 151]. Согласно этой интерпретации, волновая функция Ф(ж),ж е Rn, описывает состояние отдельной квантовой частицы. В такой модели мы можем полагать, что волновая функция Ф(ж),ж € Z^, на ментальном пространстве описывает состояние отдельной мыслящей системы т 9.
На самом деле математическая модель для квантовой /-теории уже построена. Это квантовая механика с р-адическизнач™ ными функциями, см. [105, 107, 109—111, 2]. Кратко опишем эту модель.
Пространство квантовых состояний реализуется как р-адиче- ское гильбертово пространство /С [107, 2]. Это Qp-линейное пространство, на котором определена симметрическая билинейная форма (•,•): /С х /С Qp. Эта форма называется скалярным произведением, заданным на /С. По определению квантового /-состояния, ф — это такой элемент пространства /С, что (ф,ф) = 1; квантовая /-величина А — это симметрический ограниченный оператор А: /С -э /С, т. с. (Дж, р) = (ж, Др), ж, у Е /С ).
Обсудим статистическую интерпретацию для оператора А с дискретным спектром. Пусть {Ai,..., Ата,...}, Xj Е Zp — собственные значения Д, Афп = Хпфп, фп Е Кф (фп, фп) = 1. Собственные состояния фп квантовой величины А рассматриваются как чистые квантовые /-состояния для А. Это означает, что если ансамбль мыслящих систем описывается состоянием фп, то /-величина А принимает значение Хп Е Zp с вероятностью 1.
Проблема интерпретаций является важной проблемой обычной квантовой механики в вещественном пространстве. Такая же проблема немедленно возникает в нашей квантовой /-теории. Мы не хотели бы начинать наши исследования с трудной дискуссии по поводу правильной интерпретации. Мы можем быть достаточно прагматичными и использовать обе интерпретации.
Теперь рассмотрим смешанное состояние:
Ф — /** 2 ЧпФт Qn ^ Qp? (5.24)
сю
где (ф, ф) = ^ q^ = 1 9. Если мы произведем измерение /-величины А для мыслящих систем, принадлежащих статистическому ансамблю, описываемому состоянием ф, то получим значение Хп с вероятностью Р^А = А^|ф) = q^.
Основной проблемой (или преимуществом?) этой квантовой модели является то, что эти вероятности принадлежат полю р-адических чисел Qp. Простейший способ исключить эту проблему из рассмотрения — это рассматривать только конечные суммы (5.24), для которых qn Е Q (заметим, что поле рациональных чисел Q является подполем поля Qp). В этом случае величины Р (А = Хп\ф) = q^ могут интерпретироваться как обычные колмогоровские вероятности [126]. Таким образом, мы можем предположить, что существует (может быть приготовлено) квантовое /-состояние ф, которое имеет стандартную статистическую интерпретацию: когда число экспериментов N стремится к бесконечности, частота vN(A = Ап|ф) наблюдения информации Хп Е Zp стремится к вероятности q^.
Тем нс менее, мы можем использовать более общий подход к этой проблеме. Неколмогоровская вероятностная модель с р-адичсскими вероятностями развивалась в работах [106, 107, 108, 111, 112]. Если мы используем р-адическое обобщение частотного подхода к вероятности, см. работу фон Мизеса [143], то р-адичсскис вероятности определятся как пределы относительных частот vN в р-адической топологии 2).
9 Как и в обычной теории гильбертовых пространств, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям симметрического оператора, ортогональны.
Достаточно удивительно, что в рамках р-адической теории мы можем получить отрицательные рациональные частотные вероятности [106, 107, 111, 117]. С другой стороны, отрицательные «вероятности» появляются во многих квантовых моделях (см., например, [112]). П. А.М. Дирак был первым, кто явно ввел понятие отрицательной вероятности (в тесной связи с понятием отрицательной энергии), [63]. Р. Фейнман также обсуждал возможность использования отрицательных вероятностей в квантовой теории, см. [74]. В частности, он отмечал: «Единственное различие между классическим вероятностным
7 А. Ю. Хренников
Используя р-адическую модель частотной вероятности для статистической интерпретации квантовых /-состояний, мы можем предположить, что существуют /-состояния ф (ансамбли мыслящих систем), такие что относительные частоты vN(A = = Ап|ф) не имеют предела в R. Обычный закон больших чисел в этой ситуации нс применим. Если мы выполним измерения /-величины А для такого квантового /-состояния и изучим наблюдаемые данные, используя стандартные статистические методы, то нс получим определенного результата. Будут наблюдаться только случайные колебания относительных частот, см. [107]. Такое поведение может быть продемонстрировано в психологических экспериментах. Возможность использования р-адических вероятностных моделей имеет важное следствие для ученых, производящих эксперименты со статистическими /-данными: отсутствие статистической стабилизации, случайные флуктуации нс являются свидетельством отсутствия /-феномена. Такое статистическое поведение может просто означать, что этот /-феномен нс может быть описан стандартной колмогоровской вероятностной моделью.
Эволюция р-адической волновой функции описывается /-аналогом уравнения Шрёдингера:
= (5.25)
где т. является /-массой квантовой /-системы. Здесь константа hp играет роль постоянной Планка. По математическим соображениям (относящимся к сходимости р-адических экспоненциальных и тригонометрических рядов, см. гл. 7, см. также [107, 111]) удобно выбрать hp = 1/р.
Использование мнимой единицы г = V~A в уравнении (5.25) приводит к рассмотрению расширения Qp(z) = Qp х iQp поля Qp. Элементы этого расширения имеют вид г = а + ib, a,b Е Qp. Это расширение корректно определено для р = = 3,mod4, см. [107, 111]. Как обычно, вводим сопряжение z = = а — ib. Имеет место равенство zz = а? + Ь2, Таким образом, волновые функции принимают значения в Zp(i) = Zp х х zZp, см. рассуждения о когнитивном значении множеств Zp и Qp в конце раздела 6. Следовало бы отмстить, что мы используем это квадратичное расширение поля Qp, чтобы получить
миром и квантовым состоит в том, что в последнем случае вероятности могут быть отрицательными».
выражения, в частности, формулы для решений дифференциальных уравнений, которые формально совпадают с выражениями, используемыми в обычной квантовой теории, р-адическая квантовая механика развивается для произвольных квадратичных расширений поля Qp, а также для произвольных неархимедовых полей, [111]; см. также [107] о квантовой теории над неквадратичными расширениями.
Пример 9.1 (свободная мыслящая система). Пусть потенциал V = 0. Тогда аналитическое решение уравнения Шрёдингера, соответствующее /-энергии Е = р2/(2т), имеет вид 9:
ФрС.ж) = Лр*-е*)/ЦФрС.ж) = Лр*-е*)/Ц(5.26)(5.26)
ФрС.ж) = Лр*-е*)/Ц
ФрС.ж) = Лр*-е*)/Ц
(5.26)
(5.26)
Благодаря выбору hp = 1 /р, эта функция корректно определена для всех х Е Zp и t Е Zp. Поскольку R^x) = ФФ = 1, эта волновая функция описывает равномерное (в смысле р-адической вероятности) распределение, см. [107, 111], на кольце р-адиче- ских целых чисел Zp. Таким образом, мыслящая система т в состоянии Ф может наблюдаться с равными вероятностями в любом состоянии х Е Zp. В этом смысле поведение свободной мыслящей системы подобно поведению обыкновенной свободной квантовой частицы. С другой стороны, осцилляции здесь отсутствуют. Безусловно, как обычно,
фр(^, ж)Однакоcos (рж — Et)hpфр(^, ж)Однакоcos (рж — Et)hp_ cos (рж — Et) . sin (рж — Et)_ cos (рж — Et) . sin (рж — Et)НрНрНрНр= 1, р= 1, рsin (рж — Et)hpsin (рж — Et)hpрррж — Ethpрж — Ethppp
фр(^, ж)
Однако
cos (рж — Et)hp
фр(^, ж)
Однако
cos (рж — Et)hp
_ cos (рж — Et) . sin (рж — Et)
_ cos (рж — Et) . sin (рж — Et)
Нр
Нр
Нр
Нр
= 1, р
= 1, р
sin (рж — Et)hp
sin (рж — Et)hp
р
р
рж — Ethp
рж — Ethp
p
p
В разделе 11 мы рассмотрим этот пример снова.
р-адическая теория ведущей волны: социальнаядинамика, естественный отбор по Дарвину
Рассмотрим теперь теорию ведущей волны для информационной квантовой механики. Как мы уже несколько раз упоминали, в теории ведущей волны волновая функция порождает возмуще-
9 Заметим, что формальные выражения для аналитических решений р-адических дифференциальных уравнений совпадают с соответствующими выражениями в вещественном случае (на самом деле мы можем рассматривать эти уравнения над произвольным числовым полем, см. [107]). Однако поведение этих решений отличаются.
7:
ние классических уравнений движения. В рамках теории информации мы рассматриваем эти возмущения как новую /-силу — силу сознания.
Рассмотрим систему N мыслящих систем ri,..., tn с гамильтонианом9
= 52 щ^7 + 52 ^кгкхк -к 3 k>i
Волновая функция Ф(^,ж), ж = (хь ... ,xN), х^ Е Z™ (где т — размерность ментального пространства, которое используется для описания /-состояния системы tj) эволюционирует согласно уравнению Шрёдингера (5.25). Математическим следствием этого является то, что:
Г р^х} + ^ ^-jk(x,t) = o,(5.27)
к
где p(t,x) = W(f, x)^(t, х) — плотность вероятности на конфигурационном ментальном пространстве Z™N, и
Зк^Л) = тЩт(ФЖх)$|-Ф(1;,х)).
Мы предполагаем, что квантовая мыслящая система т^ обладает в каждый момент t ментального времени 9 корректно определенным /-состоянием ж/. и мотивацией р/.. Эволюция /-состояния ж^ описывается дифференциальным уравнением:
= 3JtH-(5.28)
Решение этого уравнения находится таким же образом, как и в обычной теории ведущей волны для материальных систем [37]. С математической точки зрения отличие состоит лишь в том, что нам придется использовать дифференциальное исчисление на р-адических пространствах, вместо вещественных пространств. Как мы уже заметили, стандартные вычисления на р-адических пространствах возможны только в рамках теории аналитических функций.
Эта модель даст естественное описание эволюции /-состояний группы мыслящих систем т^,... ,tn. Рассмотрим систему S,
9 Естественно, мы предполагаем, что ментальные часы мыслящих систем т\,..., rN удовлетворяют условию согласованности (5.22).
состоящую из мозгов Волновая функция Ф(Сж) системы S зависит от /-состояний всех мозгов в системе S. Поэтому движения этих мозгов в фазовом ментальном пространстве Z^m нс являются независимыми. Если, как в обычной веще™
ствснной теории, W(t,x) = П ^j(t,x), то /-движения мозгов tj j=i
являются независимыми. В таком случае нс существует корреляций между сознаниями различных мозгов.
Замечание 10.1 (нелокальность). Обсудим проблему нс™ локальности теории ведущей волны. Часто нелокальность рассматривается в качестве одной из основных трудностей теории ведущей волны, но не является проблемой в нашей теории ведущей волны. Это нелокальность в ментальных пространствах или, более общо, /-пространствах. Такая нелокальность может быть естественной для некоторых /-систем. Для мыслящих систем информационная нелокальность означает, что идеи, которые удалены друг от друга в р-адическом пространстве, могут коррелировать. Однако р-адическое удаление означает только то, что нс существует сильных ассоциаций между идеями или группами идей. Но это отсутствие ассоциаций не приводит к тому, что эти идеи нс могут взаимодействовать.
Согласно нашей модели, каждое человеческое общество S имеет волновую функцию Ф(£; ж). Такие же рассуждения могут быть применены к животным и растениям. Единственным отличием является то, что в последних случаях квантовые /-потенциалы не так сильны. Таким образом, мы приходим к выводу, что может существовать волновая функция Фн¥(С ж) всех живых организмов. Волновая функция Фц¥(Сж) может быть представлена в виде:
ФпУ(и) = УФ/(Щ (5.29)
где ^y(t,x) — волновая функция живых форм /. Наблюдаемая F, значениями которой являются живые формы /, может быть реализована как симметричный оператор в р-адическом гильбертовом пространстве FWj = f^h где / е Zp — код живой формы / в алфавите {0, 1,..., р — 1}. Согласно уравнению (5.28), эволюция фиксированной формы /о зависит от эволюции всех живых форм /.
Процесс эволюции живых форм является нс только процессом, основанным на естественном отборе по Дарвину. Это процесс квантовой /-эволюции, в котором поле сознания всех
живых форм играет важную роль. Эту модель можно было бы использовать для объяснения некоторых явлений, которые нс объясняются теорией Дарвина.
Например, красота и многообразие расцветки животных, насекомых и рыб нс может быть следствием только процесса естественной эволюции. Это следствие структуры поля сознания ФнУ(С^) 9. Теми же причинами мы можем объяснить некоторые аспекты взаимоотношений между хищниками и жертвами. Имеются все основания полагать, что природа является хорошо организованной системой, которая предоставляет хищникам возможность поедать жертв. Эта система не что иное, как результат эволюции, согласно (5.28).
Поле Ф(Сж), задающее математическое представление сознания семейства мыслящих систем ri,..., tn, может быть рассмотрено как новая мыслящая система Т. Т получает информацию от мыслящих систем т^ ... ,tn через классическое поле К Т изменяет /-состояния систем т^ ... ,tn с помощью уравнения (5.28). Существенным отличием является то, что /-состояние Т не может отождествляться с точкой ментального пространства Z^ для конечного тп.. Однако если мы расширим /-теорию на бесконечномерные ментальные пространства над Zp, см. [107], то в такой модели Т может рассматриваться в качестве мыслящей системы. Поэтому каждая мыслящая система или группа мыслящих систем порождают новую мыслящую систему Т, сознание которой эволюционирует в бесконечномерном ментальном пространстве.
В принципе, Т может порождать новое поле Ф(СФ(9)> а именно поле сознания от поля сознания Ф. Это поле определяет квантовый потенциал для Т. Поле Ф(СФ(9) может быть снова рассмотрено в качестве мыслящей системы Т1, которая эволюционирует в бесконечномерном ментальном пространстве. Это сознание, индуцированное сознанием системы Т. Такая конструкция может повторяться бесконечное число раз. Имеется «башня сознаний»: Т, Т\ ..., Тп,... Довольно естественно предположить, что движение мыслящей системы в ментальном
9 Из нашей модели следует существование такого поля. Следовательно, процесс «цветовой» эволюции является процессом совместной эволюции раскрасок многочисленных живых форм. Эти раскраски служат не только улучшению приспособляемости конкретных форм, как это должно быть по теории Дарвина. Эта цветовая палитра была произведена благодаря скоррелированной эволюции всех живых форм. Такая эволюция окрасок улучшает «приспособляемость» всей системы.
пространстве определяется иерархической системой сознаний Т, Т\ ..., Тп,... Конечно, влияния Т1 нет в линейном уравнении Шрёдингера. Если мы принимаем гипотезу о иерархической структуре сознания, то линейное уравнение Шрёдингера следовало бы заменить на нелинейное уравнение. Таким образом, наша модель теории мышления согласуется с идеями де Бройля о нелинейных возмущениях уравнения Шрёдингера [56]. Согласно теории де Бройля (для материальных систем), квантовая частица описывается как особенность в ведущей волне. В этой книге мы нс планируем развивать теорию де Бройля для когнитивных систем. Основным постулатом такой теории могло бы быть положение: разум является сингулярностью (особенностью) в ведущей волне на ментальном пространстве.
Поле сознания как поле активации памяти
Читатель может спросить: «Почему мы обязаны использовать информационный аналог квантовой механики для описания явлений сознания? Почему нс достаточно пользоваться только классической /-динамикой с уравнением Ньютона (5.4)?» Приведем два главных довода для введения поля сознания ф^л)-
(D) Наш мыслительный опыт, см., к примеру, пример 1.1, показывает, что /-движение сознательных мыслящих систем тС03н не может быть описано классическим /-уравнением Ньютона (5.4). Классические /-силы не обеспечивают правильного баланса движущих сил для /-состояния q(t) системы тСОзн- Одной из возможностей описать возмущение классического уравнения /-движения (5.4) является использование аналогии с материальными объектами. Эти объекты могут рассматриваться как частный класс преобразователей информации. По аналогии мы вводим новую (сознательную) силу через ^-функцию, которая удовлетворяет /-уравнению Шрёдингера (5.25). Естественно, такой подход можно было бы существенно улучшить, если бы мы смогли объяснить механизм генерации ^-поля сознания системой Тсозн- Заметим, что такой механизм все еще нс известен в обыкновенной теории ведущей волны для материальных объектов [37].
(S) Невозможно произвести измерение /-состояния q так же, как и мотивации р или какой-либо иной /-величины сознательной системы тСозн, нс изменив ментальное состояние этой систе™
мы 9. В частности, мы не смогли бы произвести измерение обеих величин q и р для одной и той же системы тсозн. Как и в обычной квантовой механике, нам следует рассматривать большие статистические ансамбли S сознательных систем и производить статистические измерения над такими ансамблями, чтобы найти вероятности измерений /-величин. Одной из возможностей является (по аналогии с обычной квантовой теорией) введение поля вероятностных амплитуд ф^л)^ которое описывает статистические свойства ансамбля S так, что квадрат амплитуды функции __
R(M) = iKt,q)iHt,q)
дает вероятность нахождения тсозн € S в /-состоянии q в момент ментального времени I.
Одной из основных черт теории ведущей волны для материальных объектов является то, что поле ведущей волны совпадает с полем вероятностных амплитуд: ^(t,x) = ^пилот^ж) = = ^(^’ж)вер- Мы также постулируем, что ^-поле сознания, которое порождает силу сознания fc, совпадает с полем вероятностных амплитуд.
Пусть тС03н ™ сознательная система. Реализацию /-состояния q = q(t) системы тсозн можно представлять как образ на некотором экране S. Этот экран непрерывно показывает идеи тсозн- Система тСозн является наблюдателем своих собственных идей. Как мы уже отмечали, наш сознательный опыт говорит, что новое /-состояние q(t + At) — образ на экране S в момент t + At — порождается нс только на основании предыдущего /-состояния q(t) — образа на S в момент t. Основной чертой системы тсозн является то, что q^t + At) зависит от всей информации, которая собрана в тсозн 2). Поэтому /-уравнение Ньютона (5.4) должно быть изменено, чтобы описывать такое соединение информации в процессе /-эволюции тсозн.
Обозначим через D^ = DTcn3H(t) область в X/, соответствующую информации, которая содержится в памяти тсозн в момент t. Тогда
q(t + A/) = F^qX), D(t)),
*) Процесс /-измерения есть взаимодействие тсозн с некоторым 7-потенциалом V(t,q). Любая система тсозн очень /-нестабильна. Даже низкие потенциалы V(t,q) нарушают систему тсозн. Такая нестабильность является общей чертой сознательных и квантовых систем.
где F — преобразование, которое зависит от всей информации, собранной в В^ф. Основная проблема — найти преобразование F, которое обеспечит адекватное описание сознательной эволюции /-состояния. Мы предлагаем следующую модель.
Для каждого /-состояния ж Е D(t) мы определяем /-величину ^(^,ж), которая описывает активность /-состояния ж. В этом случае мы вводим новое /-поле ^(t, ж), ж Е D(t) — поле активации памяти. Постулируется, что поле активации памяти создаст ведущую волну ^(^,ж), сознательное поле, которое «ведет» /-состояние g(f) системы тсозн.
Пусть t и t1 — два различных мгновения времени. Из /-уравнения Шрёдингера (5.25) следует, что -ф^ ж) может быть найдена как результат интегрирования функции ^(^ж) по области памяти D^t);
y>(t',x) = j К(tfR, х, y)^(t, у) dy,(5.30)
DM
где ядро K(tfX x,y) описывает распространение во времени активации памяти. Ядро K(tfX х,у) описывает влияние /-состояния у Е D(t) на /-состояние ж Е D^y Здесь dy является Qp-значным распределением Хаара на Qp, [107]. Одним из основных следствий квантового /-формализма является то, что поля активации памяти в различные моменты времени связаны линейным преобразованием.
Напомним, что из бомовской механики следует, что квантовая сила /д нс зависит от амплитуды R квантового поля Грубо говоря, величина силы /д зависит от изменения R:
fQ = -Q',
где квантовый потенциал Q определяется как
Например, если R = const, то /д = 0; если R^ = ж (довольно медленное изменение), то /д все еще равна нулю; если /?(ж) = = ж2 то fq / 0.
Как мы уже неоднократно отмечали, дифференциальное исчисление в пространствах аналитических функций на Xi = Zp даст возможность проводить тс же вычисления, что и в вещественном случае. В частности, мы получаем ту же формулу для нахождения потенциала сознания С^ = —RM/R (в рамках
теории мышления мы используем символ С(х) вместо Q(x), чтобы подчеркнуть ментальную интерпретацию этой величины).
Далее обсудим зависимость С(х) от изменения R(x). В нашей модели ^-функция интерпретируется как поле активации памяти. Наш опыт говорит, что равномерно высокая активация всех /-состояний в памяти системы тсозн не влечет осознанное поведение. Равномерная активация R(x) = const, х Е DTcmH, вообще исключает влияние памяти из процесса эволюции /-состояния q(t) системы тсозн. Только сильное изменение амплитуды R(x\x Е DT№3H, поля активации памяти генерирует возмущение /-движения системы тсозн с помощью поля сознания.
Заключение. Вариационная зависимость сознательной (квантовой) силы fc от информационной ведущей волны ф является следствием того, что ф есть не что иное, как поле активации памяти сознательной системы.
Конечно же, теория информационной ведущей волны предсказывает существенно больше, чем мы можем извлечь из нашего обыденного ментального опыта. Как и в механике Бома, справедливо равенство
р/// р р// р/
Jc = •
Следовательно, сила сознания fc зависит нс только от первой вариации амплитуды 5R поля активации памяти, но и от второй, и от третьей вариаций S^R, 63R. Эти предсказания нашей теории могут быть проверены экспериментально.
Замечание 11.1 (связи с нейрофизиологией). В пространственных нейрофизиологических моделях памяти пространственно локализованные группы нейронов представляют человеческие образы и идеи. Следовательно возможно построить преобразование Js : Bs Bi, где Bs с Xmat = R3 является пространственной областью «физического мозга», a Bi с Xj = Z^ является /-областью «информационного мозга». Таким образом, поле активации памяти ф(х),х Е Bi, может представляться как /-поле на пространственной области В8; ф(и) = ^(ТД-и)). Теперь рассмотрим простейшую модель с 0/1-кодировкой (неакти- вированный/активированный нейрон) активации /-состояний х в памяти. Грубо говоря, информационная теория ведущей волны предсказывает, что только сильные пространственные вариации ф(и) могут повлечь сознательное поведение. Конечно же, это весьма спекулятивное применение нашей (информационной) теории ведущей волны. Преобразование J8 может нарушать гладкую
структуру ментального пространства Z^, а вариации относительно положения нейрона n Е Bs с R3 могут нс иметь никакой связи с вариациями относительно положения /-состояния х Е Е Bi с Z^. Болес того, математический опыт говорит, что вернее всего так оно и есть. Наиболее естественные преобразования a*. Zm —R имеют фрактальные образы [187]. Все это аргументирует использование весьма популярной модели частотной области [94], согласно которой пылеподобные конфигурации нейронов в В8, осциллирующие с одной и той же частотой, соответствуют одной и той же идее, образу. В последней модели возможно построить преобразование Jj : Bj В^ где Bj с R3 является областью «частотного мозга». Значит, поле ^(ж),ж Е Е Bi, может быть представлено как /-поле на частотной области Bj: ф{и) = ^(Js(v)y Вышеупомянутые экспериментальные предсказания для вариаций 4>(i/) также могут быть проверены.
Обсудим связь между полем активации памяти и полем вероятности. Рассмотрим большой статистический ансамбль S сознательных систем т, обладающих (по крайней мере приблизительно) одним и тем же полем активации памяти ф^хУ Предположим, что начальные /-состояния д^ систем т Е S равномерно распределены. После некоторого периода ДТ сознательной эволюции, согласно (5.8), где fc определяется стационарным полем ф(хУ вероятность P(gT(t) = q) нахождения т Е S в /-состоянии q (в момент t) равняется R^^q). Таким образом, поле активации памяти совпадает с полем вероятности вследствие стационарной статистической стабилизации /-состояний сознательных систем т Е S. Интервалы ДТ такой стабилизации к стационарному распределению являются относительно малыми. Таким образом, наблюдаются только стационарные распределения.
Замечание 11.2 (квантовая частица как сложная /-система). Бомовская механика нс может объяснить происхождение поля ведущей волны. Чтобы внести ясность в этот вопрос, мы можем попытаться использовать аналогию между сознательными и квантовыми системами. Давайте рассмотрим (следуя работе [37]) квантовую частицу я как сложную /-систему. Предположим, что такая система обладает неким видом памяти. Эта память содержит нс только информацию о текущих «свойствах» s, но также информацию, основанную на предыдущем опыте частицы я. Если мы воспользуемся антропологическим принципом и применим сознательную /-модель к я, то бомовская ведущая волна является не чем иным, как полем активации памяти частицы я. /-состояние g(t) частицы я задается ее координатами
местоположения в R3. Таким образом, она управляется нс только классическими физическими потенциалами (которые могут рассматриваться лишь в качестве частного класса классических /-потенциалов), но также потенциалами поля активации памяти частицы я.
Пример ИЛ (свободная сознательная система). Рассмотрим поле активации памяти свободной сознательной системы тсозн, см. пример 9.1. Предположим, что память тсозн начинает работу при некоторой фиксированной мотивации р = а, которая нс смешана с другими мотивациями. Тогда ^«(х) = егаж1кг где hp = 1/р, а р > 1 — простое число (основание системы кодирования тсозн). Такое поле может быть названо мотивационной волной. Она распространяется, согласно /-уравнению Шрёдингера, по закону:
*Фа^' ж) = ехР*Фа^' ж) = ехР. ах — Eatг. ах — Eatгйрйр
*Фа^' ж) = ехР
*Фа^' ж) = ехР
. ах — Eatг
. ах — Eatг
йр
йр
где Еа = а2/(2т) — информационная (физическая) энергия мотивации р = а. Здесь S(t,x) = (ах — Eat\ a R(t,x) = 1. Значит, сила сознания fc = 0 9.
волн:волн:Теперь предположим, что две различные мотивации р = а и р = 3 активируют память тсозн- Соответствующими мотивационными волнами будут -фа(х) = егаж!^р и -ф^(х) = егЗж/ьР< Предположим, что эти волны имеют амплитуды da,dp Е Qp. Предположим также, что существует сдвиг фазы d между этими двумя волнами мотиваций в памяти тсозн* Одним из следствий квантовой /-теории является то, что полное поле активации памяти ^(t,x) есть линейная комбинация этих мотивационных
волн:
волн:
Щ) = с?аегУ//1р^а(ж) + dg^3UY
Из наличия фазы d следует, что мотивация р = а активирует память раньше, чем мотивация р = /3, а именно в момент я = = ™У/Еа. Если мотивация р = а имеет небольшую /-энергию, а именно |/За|р <С 1, то нетривиальный сдвиг фазы d может быть получен только при довольно большом сдвиге по времени я. /-движение при наличии двух соперничающих мотивационных волн в памяти системы тсозн является достаточно сложным. Оно управляется нетривиальной силой сознания fc(t,x). Мы опуска-
9 Как мы уже замечали, равномерно сильная активация всех /-состояний в памяти влечет бессознательное поведение.
ем довольно сложное математическое выражение, которое формально совпадает со стандартным квантовым выражением. Поскольку поле активации памяти совпадает с полем вероятностей, то вероятности наблюдения мотиваций р = а и р = /3 равны d2a и d2^. Как мы уже упоминали, они нс являются рациональными числами. Поэтому, вообще говоря, эти вероятности нельзя интерпретировать как обыкновенные пределы относительных частот.
Сложность /-движения существенно возрастает, если ф определяется по к ^ 3 различным мотивациям. Заметим, что (в отличие от бомовской механики) волны фа и фр, а ^ (3, нс ортогональны. Ковариация < фа, фр >^ 0. Значит, вес мотивационные волны в сознательной системе коррелируют.
Пример 11.2 (сознательная эволюция сложных биосистем). Пусть т — биосистема, обладающая высокой /-сложностью, и пусть 1\,...ДМ — различные входящие в нее формы жизни. Рассмотрим ее как /-объект, преобразователь информации с /-состоянием qT(t). Предполагается, что т обладает коллективной памятью. Пусть фт(1,х) — ее поле активации памяти, /-динамика т зависит не только от классических /-полей, но также от активации ее коллективной памяти. Предположим, что ее можно рассматривать (по крайней мере приблизительно) как /-изолированную биосистему. Каждая форма жизни lj обладает мотивацией aj изменения полного /-состояния qT. /-теория ведущей волны говорит о том, что полная мотивация рт биосистемы т нс может быть получена простым суммированием мотиваций ар Механизм порождения рт более сложен. Каждая мотивация dj активирует в коллективной памяти т мотивационную волну фаг Суперпозиция этих волн даст поле активации памяти, поле сознания системы т:
3
ср. с (5.29). Для некоторых биосистем амплитуды dp j = = 1,...,Л/, могут быть выбраны пропорционально размерам популяций Ipj = 1,...,Л/. Поле фт(1,х) индуцирует сложный потенциал сознания CT(t,x), который управляет мотивацией рт и /-состоянием qT системы т.
В заключение обсудим соответствие между состояниями мозга и состояниями разума. Тезис о том, что каждому состоянию мозга соответствует единственное состояние разума, часто называют материалистской аксиомой науки о мышлении, см. [29].
Снова рассмотрим свободную сознательную систему тсозн. Покажем, что мотивации системы тсозн не могут быть отождествлены с волнами активации памяти. Предположим, что существует фиксированная мотивация р = а, которая активирует память системы тсозн. Мы знаем, что поле 'фафк) = егха/нр является собственной функцией оператора мотивации р. Значит, для ансамбля Sa свободных систем с одним и тем же полем активации памяти 'фа(ж) наблюдаемые мотивации будут давать значение р = а с вероятностью 1.
Пусть А(ж) и 1?(ж) — произвольные дифференцируемые функции, действующие из Zp в Zp, имеющие нулевые производные, см. гл. 7. Полагаем
= R(xVSM/hp,
где R^ = е^Н и S^ = ах — д^х). Поле V^H) также является собственной функцией мотивационного оператора. Таким образом, наблюдение мотивации для ансамбля S^ сознательных систем с полем активации памяти также даст мотивацию р = а. Однако поля 'ф^(х) и Факж^ могут иметь существенно различные распределения активации /-состояний в памяти. С точки зрения внешнего наблюдателя все эти поля, состояния мозга интерпретируются как одно и то же состояние разума, а именно состояние с мотивацией р = сы
Полная галлюцинация просто невозможна?
В этом разделе мы продолжаем обсуждать связь между информационной и материальной реальностями. Начнем этот раздел с замечания Д. Денетта [58] о том, «что полные галлюцинации просто невозможны!» 9 Это заключение является, по сути, следствием материалистической философии Д. Деннета: «физическая материальная реальность» является объектом первостепенного значения; следовательно, она является «более мощной», чем ее производная — ментальная реальность. Таким образом, мыслящая система нс могла бы воспроизвести точный («100%) образ реального (материального) объекта без непосредственного взаимодействия с этим объектом. С такой точкой
9 «Под полной галлюцинацией я понимаю галлюцинацию явно конкретного и сохраняющегося трехмерного объекта в реальном мире — в противоположность вспышкам, геометрическим искажениям, аурам, последовательным образам, опытам с мимолетными призрачными частями тела и другими аномальными ощущениями», [58].
зрения на полные галлюцинации мы не согласны. По-видимому, точное ментальное воспроизведение физических объектов без непосредственного взаимодействия с этими объектами возможно. Мы будем изучать возможность полных галлюцинаций на основании нашей модели мышления в свете теории ведущей волны. Пусть мыслящая система т взаимодействует, например визуально, с некоторым материальным объектом. К примеру, т рассматривает пейзаж L. Система т получает внешнюю (визуальную) информацию и создает ментальный образ J пейзажа L. Соответствующее ^-поле удовлетворяет /-уравнению Шрёдингера (5.25) с /-потенциалом V. Обозначим это поле символом ^реал- Потенциал V производится пейзажем L. Образ J является решением уравнения: dq^/dt = /(Cg) + fct^qY ^о) = = L. Здесь / = —dV/dq является классической /-силой, которая индуцируется непосредственным наблюдением пейзажа L, a fc(t,q) = —dC/dq является силой сознания, которая индуцируется потенциалом сознания С. Тогда J = q(ti\ где tx является моментом ментального времени, соответствующего созданию в мозге образа J. Полная галлюцинация пейзажа L является репродукцией образа J в отсутствие визуального контакта с физическим пейзажем. В этом случае уже нет внешнего /-потенциала, порождаемого пейзажем, т. e. V = 0. Следовательно, ^-поле удовлетворяет уравнению
(5.31)
Мы можем спросить себя: «Возможно ли в таких условиях воспроизвести ^реал^» Да, это возможно. Фактически, мы должны найти начальное ^-поле -- ^q, производящее поле ^реал в некоторый момент ментального времени я с помощью уравнения (5.31). Иными словами, ^реал(^) = ф^я^У где ^^q) является решением уравнения (5.31).
Такое начальное условие может быть найдено при некоторых естественных математических предположениях (аналитичности ^-функции, см. [107]). Решение ^^q) уравнения (5.31) можно представить как
^(s,g) = ехр(-^ ^г) Ч)(Д
откуда следует равенство:
^pq) = exp^pq) = exp(5.32)(5.32)
^pq) = exp
^pq) = exp
(5.32)
(5.32)
Таким образом, варьируя начальные поля фо, мы можем получить ПрОИЗВОЛЬНОе ПОЛе ^реал-
На самом деле, уравнение движения /-состояния системы т при наличии 4^поля может быть записано в виде:
dq = зН 9)dt рф, q)’
где р = фф и j(t,q) = Im ^ф(^л)^ Ф(Ф q)j . Для достаточно малого интервала эволюции At имеем:
9р0 + А#) = 90 + 4^4 At.(5.33)
рфоЛо)
Предположим, что первоначальный (реальный) образ J был произведен после непродолжительного периода мыслительной эволюции At, стартуя с начальной информации q^ = L. Тогда, в принципе, J может возникнуть как галлюцинация: т обладает осмысленной информацией qo = L в своей памяти (по крайней мере с некоторым приближением q^ ^ L); поле ^реал может быть воспроизведено в результате эволюции, описываемой уравнением Шрёдингера, при начальном поле сознания ^о (задаваемого формулой (5.32)), которое время от времени может индуцироваться в мозге. Затем (5.33) произведет J. Это и будет полная галлюцинация. Однако если получение J в процессе визуального взаимодействия с пейзажем L (управляемого /-потенциалом V ^ ^ 0) требует много времени, то произвести галлюцинацию J стало бы практически невозможно. Чтобы сделать это, т, по сути, должен воспроизвести всю траекторию ^(Ч^) уравнения Шрёдингера с ненулевым потенциалом V 4 0 как некоторую траекторию уравнения Шрёдингера с нулевым потенциалом.
Работа информации, законы сохранения
В этом разделе мы вернемся к классической механике на /-пространствах. Пусть /-пространство Xj представляется как Zp. Как обычно, мы рассматриваем только /-величины, описываемые аналитическими функциями. Как уже отмечалось, мы нс требуем, чтобы только аналитические функции описывали реальный информационный процесс. Нам только хотелось бы упростить математические рассуждения. Также нужно отмстить, что в рамках информационной теории различие в поведении классической и квантовой систем не является таким существенным, как в рамках стандартной материалистической теории. Нач™
нем с рассмотрения простого примера классической /-системы, /-аналога системы Гука, которая демонстрирует некоторые черты квантовых /-систем.
Пусть /-сила / пропорциональна /-состоянию q, f = m^q, где т — это /-масса, а р е Zp — коэффициент взаимодействия. Здесь закон Ньютона (5.1) приводит к уравнению q = p^q. Поскольку
/ 9V ( х тВ2 9 х р2 тр2 q2
i = VW = -—<r и :
гамильтоновы уравнения имеют вид: q = р/т п р = mp2q, а их (аналитические) решения запишутся как qpp = ае^1 + Ье~^1. /-состояние qp) и мотивация рр) определяются только для мгновений /-времени, удовлетворяющих неравенству
\pt\p < тр. (5.34)
Последнее является следствием свойств р-адической экспоненциальной функции, см. гл. 7, см. также [163, 107, 111]. Это условие может рассматриваться в качестве ограничения на величину /-силы. Если взаимодействия |/3|р ^ гр, то траектория qp) /-состояния является корректно определенной для всех t е Zp. Большие силы приводят к условиям, ограничивающим /-время.
Пусть \р\р = 1. Если р ^ 2, то (5.34) имеет вид t Е Ux,p^\ т. e. t = ахр + а^р2 + ... Значит, /-состояние qp^ /-преобразователя т может быть определено (наблюдаться) только для мгновений времени t0 — 0, tx = р, ..., tp_x = (р — 1)р,... Если р = 2, то (5.34) имеет вид t Е ^/4(0), т. e. t = а222 + а323 + + ... Таким образом, /-состояние qp) системы т может быть определено только для мгновений времени to = 0, /1 = 4, t9 =
Пусть / = —mp2q, т. e. Vpp = mp2q2/2 и q = —p2q. Тогда qp^ и ppp имеют вид: qpp = a cos pt + bsin pt. Здесь мы также получаем соотношения ограничения (5.34). Заметим, что в противоположность вещественному случаю р-адические тригонометрические функции нс являются периодическими. Для /-процесса, описываемого аналогом закона Гука, нс существует никакой аналогии колебаниям.
Теперь рассмотрим решение уравнений Гамильтона с начальными условиями д(0) = 0 и р(0) = тр. Это функции qp) = = sin/3t, ppp = тр cos pt. Имеем: q • р = [тр/^ sin2/3f. Используя р-адическое равенство |sina|p = \а\р, мы получим, что
\q • р\р = |m/3|p|/3t\р. Из неравенства (5.34) следует, что
Ыр1р1р < \тр\ртр.(5.35)
Это соотношение ограничения для траектории (q(t),p(t)) в фазовом /-пространстве (ср. с [111]). Пусть р = V/m. Тогда неравенство (5.35) перепишется как \q\p • \р\р тр. Если мотивация р является сильной \р\р = 1, то q может быть только вида q = = оцр + «2Р2 + • • •, если р ^ 2, и q = а^22 + «з23 + ..., если р = = 2. Если мотивация р довольно слабая, то /-состояние q может быть произвольным.
Соотношения ограничения (5.35) весьма естественны в ситуации, когда мы применяем нашу информационную модель для описания психологического (социального) поведения индивидов. Сильные психологические (социальные) мотивации приводят к некоторым ограничениям для возможных психологических (социальных) состояний q. С другой стороны, если мотивации довольно слабы, то индивид может, в принципе, иметь любое психическое (социальное) состояние.
Обсудим роль /-массы в соотношениях ограничения (5.35). Убывание /-массы приводит к более строгим ограничениям возможных /-состояний (при фиксированном значении мотивации). Если мы вернемся к психологическим (социальным) приложениям, мы получим, что индивид (или группа индивидов) с маленьким значением массы и сильными мотивациями будут иметь достаточно ограниченные конфигурации /-состояний.
Соотношения ограничения (5.35) являются аналогом соотношений неопределенности Гейзенберга в обычной квантовой механике, см. [89]. Однако мы рассматриваем классическую (т. с. нс квантовую) /-систему. Следовательно, классическая /-система может демонстрировать поведение, аналогичное квантовому.
Теперь изучим /-аналог работы и законов сохранения для информации. Пусть
/(ж)^2 апх , ап a Qp,
п=0
и пусть ряд сходится для \х\р 5, 5 = р±п, п = 0, 1,... Определим интеграл от / по формуле (см. [187]):
Ьоо
а,
Ряд в правой части равенства сходится для всех |а|р, |6|р ^ 5/р.
В частности, мы можем найти первообразную F для функции / х
по формуле: F^ = | /(ж) dx.
о
Пусть / — 1-сила, описываемая функцией /(ж), аналитической в круге |ж|р ^ р. Тогда эта сила является потенциальной х
с /-потенциалом V^ = J/(ж)dж.
о
Пусть 7 = lq(t), \t\p А} — аналитическая кривая в Zp. Определим элемент ее дуги по формуле: ds = xdt, где ж =—
/-скорость. По определению
Wab = | / ds = j /(Щ)МЬ dt ,
где q(to) = а и q(ti) = b. Величину Wab называют работой, совершаемой внешней /-силой /, действующей на /-преобразователь по его перемещению от точки а к точке Ь. Согласно (5.2), имеем следующие равенства:
Wab = min) dt =toWab = min) dt =tom f dm f d22t0t0— tr dt— tr dt"dt = ^ЩЧР -р^ЮУ"dt = ^ЩЧР -р^ЮУ
Wab = min) dt =
to
Wab = min) dt =
to
m f d
m f d
2
2
t0
t0
— tr dt
— tr dt
"dt = ^ЩЧР -р^ЮУ
"dt = ^ЩЧР -р^ЮУ
Таким образом, проделанная работа равна изменению кинетической энергии: Wab = Ть — Та. Так как /-сила / является потенциальной, то работа Ж, совершаемая вокруг замкнутого контура, равна нулю: Ж = | f ds = 0. Значит, работа Wab не зависит от аналитической траектории у^а,Ьф Поэтому справедливы равенства:
Г 8VWab= ^dsJ QqГ 8VWab= ^dsJ Qq-^V(q(t^dt = V^-V(b).-^V(q(t^dt = V^-V(b).
Г 8V
Wab= ^ds
J Qq
Г 8V
Wab= ^ds
J Qq
-^V(q(t^dt = V^-V(b).
-^V(q(t^dt = V^-V(b).
Таким образом, Ть — Ta = V(a) — V(b), а это и есть закон сохранения энергии для /-преобразователя: если 1-силы, действующие на 1-преобразователъ, описываются аналитическими функциями (в частности, они потенциальны), то полная энергия 1-преобразователя Н = Т Ц™ V сохраняется.
Ситуация с неаналитическими потенциальными 1-силами на данный момент пока нс ясна. Возможно, что закон сохранения энергии в общем случае неверен.
Механика систем информационныхпреобразователей, связи на информационныхпространствах
Пусть т\,..., rN — система /-преобразователей с /-массами mi,..., mN Е Zp. Как и в обычной механике, мы должны различать внешние /-силы F^e\ действующие на /-преобразователи, вызванные источником вне системы, и внутренние силы F^. Как мы уже отмстили ранее, /-временасистем Т1,...,т^
должны удовлетворять условию согласованности: t\ = tz = ...= = tN = t. Значит, уравнение движения для г-й частицы записывается следующим образом:
Pi =(5.36)
Некоторые /-системы подчиняются информационному аналогу третьего закона Ньютона (закону информационного действия- противодействия) :
ггз — г зг-
Положим Ж = У Л - * м = У т^. Эту ТОЧКу В /-ПрОг
странстве называют центром информации системы. Если система удовлетворяет третьему закону Ньютона для /-сил, то получим уравнение движения:
Мх = ^еГ = F^.г
Центр информации движется так, как если бы равнодействующая всех внешних /-сил, действующих на систему /-массы М, была сосредоточена в центре информации. Введем мотивацию /-системы по формуле: Р = Мх. Имеется следующая теорема сохранения количества движения, описываемого аналитическими функциями (^Ц))^, t Е Zp: если равнодействующая всех внешних 1-сил равна нулю, то полная мотивация 1-системы сохраняется.
Пример 14.1 (социальные системы). Применим нашу /-модель для описания общества S, которое состоит из индивидов
(или групп индивидов) т\, ... ,tn. Существует центр информации общества S, xs Е Zp. Если 8 удовлетворяет аналогу закона Ньютона действия-противодействия для 1-сил, то его эволюция определяется внешними /-силами. Если эта эволюция нс патологическая, то мотивация общества 8 сохраняется. Конечно же, там могут иметь место различные патологические эволюции (к примеру, эволюции с нулевой мотивацией F5 = 0).
При аналитических движениях /-работа, совершаемая всеми /-силами, принимающими участие в движении системы от начальной конфигурации А = {а^ = дД^о)} Д° завершающей конфигурации В = {^ = <МП)Е определена корректно:
Wab :=Fi chi + ^ j Fji ds а
г Aai,bi)г*3 y(a,b)
a Wab = Тв ™ Та, где T = | y^ m^r;? — полная кинетическая г
/-энергия /-системы. Как обычно, Т = - Ми2 +где
г
v — скорость центра информации, а Д — скорость индивида относительно центра информации.
В рамках нашей модели «социального движения» (Пример 14.1) можно говорить о том, что полная кинетическая энергия общества 8 есть сумма кинетических энергий центра информации общества 8 и кинетической энергии движений индивидов т^ вокруг центра информации.
Теперь рассмотримслучай,когда все/-силыявляются ана-
^(е)0¥idVij
литическими и потенциальными: F> 1 = — -— и
гОХгOXi
Для выполнениязакона действия-противодействиямыможем вы
брать Vij = Ф^Дац — Xj), где Ф^э : Zp Zp, Ф^ = ^ji являются аналитическими функциями. Затем, повторяя рассуждения классической механики над вещественными числами, мы получим, что Wab = -V^B) + VAX W V = ^ К + 152 Ю — полная
потенциальная энергия системы /-преобразователей. Следовательно, полная 1-энергия Н = Т + V сохраняется для каждой 1-системы с (аналитическими) потенциальными 1-силами такими, что F^ удовлетворяют информационному закону действия-противодействия.
В информационной механике, как впрочем и в классической, связи играют важную роль. Простейшие связи (голономные)
могут представлять собой уравнения, связывающие состояния /-преобразователей т\,... ,tn (или уравнения, связывающие различные идеи в мыслящей системе):
/(дь = 0.
Здесь / может быть функцией, действующей из Z^+1 в Zp, или функцией, действующей из Z^+1 в R. Простейшими вещественными связями являются:
(Cl) |gi - а\р = г,... , \qN - а\р = г, г > 0, а Е Zp, т. е. все /-преобразователи должны двигаться по поверхности сферы ST^;
(С2) |д2 — дх |р = г,..., \qN — q\ |р = г, т. с. имеется фиксированный /-преобразователь ri такой, что все остальные /-преобразователи должны находится от него на расстоянии г;
(СЗ) мы также можем рассмотреть «информационное твердое тело», т. с. систему /-преобразователей со связями:
\4i — Qj |р — ТМ •
Пример 14.2 (ограниченная ментальность). В науках о мышлении связь (С1) может использоваться для описания «ограниченной ментальности». Все идеи q\ (t),..., qN(t) мыслящей системы т, порождаемые параллельными процессами тгц ..., тг^, принадлежат ограниченной области идей X = Sr(a).
Пример 14.3 (идеология, религия). Рассмотрим /-модель общества S с идеологией или религией а Е Zp. Тогда связь (С1) может интерпретироваться как описание социального слоя £ = = (щ,... ^т^ общества S. Это все индивиды, воспринимающие идеологию или религию а с информационной точностью г. Пусть точность г равна \(рк и пусть ^(р = ЦЩрЩо’ ° = (а<Щ=о- Из связи (С1) следует, что
ЧзЛА = а,о. qjk-x^ = ак-\, a qjk(t}^ak.
Члены социального слоя £ принимают догмы а^,..., а^-х данной идеологии (или религии), но они отрицают догму а^. В нашей иерархической модели все остальные догмы нс играют никакой роли. Если догма а^ нарушается, то нарушение догмы a^j нс окажет никакого влияния на статус индивида Tj.
Пример 14.4 (эволюция идеи-фикс). Рассмотрим мыслящую систему т с X параллельными процессами мышления
Tri,..., nN. Наличие связи (С2) означает, что имеется процесс мышления в мыслящей системе (в нашем случае это тщ), который оказывает сильное влияние на все остальные процессы мышления Пр з ф 1. В психологии такой процесс тщ может интерпретироваться как процесс эволюции идеи-фикс. Наличие связи (С2) в /-пространстве мыслящей системы т приводит к тому, что вся мыслительная деятельность т связана с этой идеей-фикс.
Пример 14.5 (королевства, семьи и любовники). Связь (С2) может интерпретироваться как описание социального слоя с = Щ, ...,rN) в королевстве К с королем т\. Эволюция /-состояния короля q\^) приводит к информационным ограничениям (С2) на эволюции /-состояний членов слоя £. Такая же связь может использоваться для информационной модели эволюции семьи F. Здесь т\ может быть отцом или матерью. В случае N = 2 мы получим симметричную модель, которая может использоваться для описания пары любовников. Подобные связи в /-пространстве, возможно, объяснят некоторые аномальные информационные взаимоотношения между индивидами.
Пример 14.6 (скандинавское общество). Связь (СЗ) может использоваться в общественных науках для описания «скандинавских обществ». Имеются ненулевые расстояния г^ > 0, ij = = 1,..., N, между индивидами в /-пространстве. Эти расстояния сохраняются в процессе эволюции.
В случае голономных связей, описываемых системой аналитических функций fy. Z^+1 Zp, j = 1,.,.,/С, т. е. fj(qb..., qN,t) = 0, мы можем воспользоваться методами обычной механики 9. Если уравнения независимы, то мы можем ввести обобщенные /-координаты ^....^n-k и qi = = Qi^b... Л^к^У I = V...N, где qi(^t) являются аналитическими функциями от переменных и t (подробные математические рассуждения см. в [109]).
Пример 14.7 (скрытые базовые идеи). Если q(t) = = (qi^t))^ описывает идеи в мыслящей системе в момент /-времени t, то, разрешив связи относительно этих идей, мы
Эти методы не могут быть применимы к связям, определяемым вещественнозначными функциями. Тем не менее мы не будем исключать вещественнозначные связи из рассмотрений. Эти связи описывают открытые подмножества конфигурационного /-пространства Z^. Мы можем выбрать такие подмножества в качестве новых конфигурационных /-пространств.
можем найти независимые идеи ^(t) = (CjW)^^ которые на самом деле определяют /-состояние мыслящей системы.
Пример 14.8 (скрытые лидеры). Если q(t) = (qi(t))iL\ описывает систему /-преобразователей S = (щ,... ,rN), то существование обобщенных /-координат можно интерпретировать как возможность сведения (редукции) /-поведения S к /-поведению других систем /-преобразователей G = (gi,...,Sn^kY
Отмстим также, что /-динамика в ментальном пространстве со связями может использоваться для описания целевого мышления, см. раздел 4 гл. 2. Цель может рассматриваться как связь на ментальном пространстве, которая описывает некоторую поверхность. Траектория q(t) нс покидает эту поверхность в процессе движения. Естественно, что цель может относиться не только к /-состоянию мыслящей системы q, но также к ее мотивации р. Поэтому, вообще говоря, нам необходимо использовать целевые связи в ментальном фазовом пространстве.
Как и в классической механике, введем обобщенные /-силы:
(5 37>
где р. __ полная /-сила, действующая на г-й /-преобразователь (т. е. Fi = F^ + fi является суммой приложенных /-сил связей F^ и Л) 0.
В нашей теории обобщенные /-силы имеют естественную интерпретацию (ср. с обобщенными силами в обычной механике). Как мы отмстили, существование обобщенных /-координат, полученных из уравнений связей, означает, что начальная система /-преобразователей S = (тц... ,rN) управляется другой системой /-преобразователей G = (gi,..., gN_K). /-силы (5.37) являются, по сути, /-силами реакции, т. с. контроль G над S порождает /-силы, приложенные к элементам G. Повторяя обычные вычисления, мы получаем уравнения движения:
d (дТ\ дТ
TtWr^r = QF 3 = V...,N-K.(5.38)
Если /-силы Fi являются потенциальными с аналитическим по™ 8V
тенциалом V, т. с. F^ = —-—, то обобщенные /-силы являются
Мы можем интерпретировать /-связи как неизвестные /-силы.
9V
также потенциальными: Ц3 = --—-. В этом случае вышеуказан- нос уравнение может быть записано в виде:
(5.39)(5.39)d ( 9L^
(5.39)
(5.39)
dt \ Q^j /9£3
где L = T - V ™ 1-лагранжиан.
Важно, что уравнения (5.39) могут использоваться для описания /-движений при наличии /-потенциала V(q,q), который зависит от (обобщенных) /-скоростей щ = дщ В этом случае
ЭУ d (дУ\
Q3 = - — + - —(5.40)
J oqj dt yoqj J
и L = T- К
Эти зависящие от скорости потенциалы могут играть важную роль в /-процессах. В частности, возможны приложения в такой экзотической области, как аномальные явления. Считается (см., например, [157]), что эффект психокинеза может наблюдаться для некоторых случайных физических процессов и нс может наблюдаться для детерминистских процессов. Можно было бы попытаться объяснить этот феномен на основе предположения, что /-поле, порожденное в экспериментах по психокинезу, соответствует потенциалу, который зависит от /-скорости. Таким образом, соответствующая /-сила определяется соотношением (5.40). Поскольку /-скорость выше для случайных процессов, то и взаимодействие для этих процессов более сильное.
Классическая информационная механика,социальные и аномальные явления
Энергия и информация. В нашей модели передача информации основывается на /-энергии, которая является суммой /-энергии мотиваций и потенциальной /-энергии. В принципе, этот процесс нс нуждается в физической энергии. Значит, возможна передача информации, которая нс сводилась бы к передаче физической энергии. В этом случае мы не можем наблюдать физические взаимодействия, т. е. взаимодействия в реальном пространстве-времени между двумя /-преобразователями щ и тд. Однако мы могли бы наблюдать /-взаимодействие. В частности, т\ и тд могут быть индивидами, участвующими в психологическом (см. [69, 99, 123, 139, 154, 157, 165—168, 200]) или социальном экспериментах.
Расстояние и информация, /-процессы протекают в /-пространстве, отличном от реального пространства (абсолютного ньютоновского или релятивистского пространств). Поэтому в процессах /-взаимодействий реальное физическое расстояние между /-преобразователями нс играет решающей роли. Мыслящая система может взаимодействовать нс только с другими мыслящими системами, но также с /-полями. В последнем случае индивид г мог бы взаимодействовать с некоторым ментальным образом, который физически находится на большом расстоянии от г, см. [69, 99, 123, 139, 154, 157, 165-168, 200].
Время и информация. Динамика информации является динамикой относительно /-времени t. Здесь возможно соответствие £фнз = g(t) между реальным временем £физ е R и /-временем t е Zp. Это соответствие может не сохранять временную шкалу.
Пусть т — /-преобразователь, имеющий непрерывную траекторию q(t\ Малому изменению t Д1 = t + St, соответствует малое изменение q:
af = q(tf) = а + pSt, а = q^t). (5.41)
Если бы (некоторым образом) мы нашли внутреннюю шкалу времени мыслящей системы т, то стало бы возможным найти (с помощью (5.41)) ее /-состояние в момент времени ^из = = g(tf). Если ^из > ^физ, то такое /-измерение может рассматриваться как предсказание будущих событий; если £физ < £фнз, то это процесс воспоминаний. Преобразование (5.41) даст только нечеткую информацию. Поэтому такие действия, как воспоминания и предсказания, могут содержать много бесполезной информации. Нс исключено, что /-события, нарушающие структуру порядка вещественного пространства, могут отождествляться с некоторыми явлениями, наблюдаемыми в парапсихологии, см. [69, 99, 123, 139, 154, 157, 165-168, 200].
Мотивация. Движение в /-пространстве зависит не только от начального /-состояния q^, но также и от начальной мотивации ро- Кроме того, из гамильтоновой структуры уравнений движения следует, что мотивация p(t) играет важную роль в процессе эволюции. Следовательно, /-динамика является, по сути, динамикой в фазовом /-пространстве.
Согласованность для времени, /-взаимодействие между /-преобразователями возможно, если их времена согласованы. Поэтому каждый психологический или социальный эксперимент должен содержать элемент обучения для /-преобразо-
вателей, участвующих в эксперименте. В такое обучение физическое взаимодействие может и нс включаться. Это может быть просто обмен информацией между индивидами (или изучение информации о некотором индивиде).
Будущее и прошлое. Условие согласования для 1-времен нс влечет такого же условия для реальных времен, потому что различные /“Преобразователи могут порождать различные законы соответствия для /“Времени и реального времени. К примеру, рассмотрим два /-преобразователя т\ и т^, для которых справедливо условие согласованности для /-времен, т. е. И — ^2 — t- Предположим, что можно преобразовать эти /-времена в реальные времена £цфиз = ^(П) и ^2,физ = Ы^)- Предположим также, что т\ и т2 взаимодействуют с помощью /-потенциала V(qi — д2), т. е. в момент /-времени t потенциальная /-энергия этого взаимодействия равна V(qi(t) — qo^Y Если И,физ = giW + ^2,физ — g^Y то такое взаимодействие является взаимодействием с будущим или прошлым.
Социальные явления. Согласно нашей модели, любая социальная группа G может быть описана системой связанных между собой /-преобразователей Существует /-потенциал V^qu • • • Л^ который определяет /-взаимодействие между членами G. Например, демократические общества характеризуются равномерными /-потенциалами V = ^Ф(^ — — qj). Здесь вклад в потенциал /-энергии нс зависит от индивида. С другой стороны, иерархические общества характеризуются /-потенциалами вида:
V = Ло J2 МчоЛз) + Л1 ^ Ф(^ь^) + ...
••МАк у ^(qk,qj) + В у
где |ЛО|Р > |Л1|Р » ... » |Л^|р » |В|р. Эти потенциалы описывают иерархию то тр (т^+ь ..., rN). В данной интерпретации то может быть политическим, национальным или государственным лидером или богом.
Глава 6
УЛЬТРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯМЕНТАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА
В этой главе мы обобщаем нашу m-адическую модель ментального пространства. Используя результаты из общей топологии и теории решеток, мы развиваем модели мышления над различными ментальными пространствами, обладающими структурами деревьев, которые соответствуют ультраметрическим топологиям.
Эта глава основана на общей теории ультраметрических пространств, [127, 57, 72, 163]. Первые важнейшие примеры таких пространств были рассмотрены в начале XX века в вещественном анализе (Рене Бэйр, 1909) и топологии (Феликс Хаусдорф, 1914). По сути, поле р-адических чисел Qp (введенное Куртом Бензелем в 1894) с метрикой рр(х,р) = |ж — р|р, где х \х\р является нормированием (аналогом обыкновенного вещественного модуля или абсолютного значения), было первым примером ультраметри- ческого пространства. Тем нс менее, этот факт был осознан только в процессе развития общей топологии, основы которой были заложены Павлом Александровым. Общая топология является одной из наиболее абстрактных областей современной математики. Однако мы попытаемся изложить топологические результаты на примитивном уровне. Мы надеемся, что нсматсматики смогут следовать когнитивно-топологическим рассуждениям, представленным в этой главе.
Ультраметричность как проявлениекогнитивности
Модели мышления над абстрактными ультрамет- рическими пространствами. В гл. 2 мы ввели пространство ассоциаций Ха, построенное над m-адическим пространством /-состояний. Заметим, что каждая m-адическая ассоциация может быть представлена в виде шара в ультраметрическом пространстве Zm и наоборот (подробности см. в гл. 9). Используя это соответствие между ассоциациями и шарами, мы можем
обобщить когнитивные конструкции 2-й главы на произвольное ультраметрическое пространство X. Точки х Е X называют информационными состояниями когнитивной системы; шары и = = Ur^ = {ж € X: р^а, ж) ^ г}, а Е X, г 0, называют ассоциациями, соответствующими семействам /-состояний; множества ассоциаций называют идеями. Соответствующие пространства обозначаются символами Xj = X, Хд = U (множество всех шаров), Хщ = V (всевозможные множества шаров).
Фактическим радиусом шара Us(a) называется число г = = sup ^(а, ж), ж Е Us(a). Ясно, что г ^ s и г определяется единственным образом. Далее мы будем рассматривать только фактические радиусы.
Если г = 0, то шар Ur(a) = {а}. Таким образом, пространство /-состояний Xj вкладывается в пространство ассоциаций. Величину о(и) = 1/г, и = Ur(a\ назовем порядком ассоциации и 9. В частности, /-состояния могут рассматриваться в качестве ассоциаций бесконечного порядка.
Пусть f; X X отображает шар на шар, т. с. ДОг(а)) = = Us(b\ b = f(a), г, s ^ 0. Такое отображение может быть поднято с пространства /-состояний Х/(= X) на пространство ассоциаций Хд(= U), а затем автоматически на пространство идей Хш- Динамика в пространстве X описывается итерациями динамической системы / и ее поднятиями на пространства шаров U и множеств шаров V, см. (2.4), (2.5), (2.6), гл. 2.
Немедленно возникает следующий вопрос: «имеет ли такая модель над абстрактным ультраметрическим пространством какое-либо когнитивное значение?»
Как мы увидим, ответ на этот вопрос положителен. По существу, каждое абстрактное ультраметрическое пространство индуцирует иерархическую систему деревьев, так называемую древоподобную решетку. Следовательно, динамика мышления в каждом ультраметрическом пространстве может представляться как мышление на некоторой древоподобной решетке. Поэтому изучение моделей в абстрактных ультраметрических пространствах согласуется с нашей общей идеологией. Динамика на т-адических иерархических деревьях является только простейшей моделью мышления. Вообще говоря, иерархические цепи нейронов могут обладать разнообразными структурами деревьев и порождать разнообразные ультраметрические пространства.
9 Это определение отличается от определения, которое использовалось для пространства X = Zm в гл. 2 и 3. В этих главах мы, на самом деле, пользовались величиной о^ = logm(l/r).
После лекций меня часто спрашивали: «Думаете ли вы, что для каждого человека существует свое собственное натуральное (или даже простое) число m = 2, 3,4,..., 2000,... такое, что его мозг обладает m-адической структурой?» Нет, я нс думаю, что это действительно так просто. Но, по-видимому, каждый индивид обладает своим собственным ультраметрическим пространством (Х,р), которое описывает процесс мышления. Если два индивида ri и Т2 имеют одинаковые ультраметрические ментальные пространства, то они могут индуцировать идентичные потоки мыслей. Другое интересное ментальное свойство, которое может использоваться для классификации мыслящих систем, относится к хорошо известному в топологии понятию изометрии метрических пространств, [72].
Напомним, что отображение у X , где (X, р) и (У, р') — метрические пространства, называют изометрией, если
p'kiUxYiU^ = рЦьЩ
для всех Ж1,Ж2 € X. Заметим, что j отображает шары пространства X на шары пространства У Два метрических пространства называются изометричными, если существует изометрия j из X на У Заметим, что изометрия всегда является взаимно однозначным отображением.
Предположим, что существуют две мыслящие системы ri и Т2 с ультраметрическими пространствами /-состояний (Xi,pi) и (Х2,^2) соответственно. Если эти пространства изометричны, то существует взаимно однозначное соответствие между /-состояниями, ассоциациями и идеями систем тх и тд. Более того, каждое преобразование ментального пространства /: Хх —Хх системы тх вызывает соответствующее преобразование ментального пространства g; Х^ Х^ системы ту g(z) = Л/Ь*™1^)), z Е Ху Благодаря свойству изометрии отображения у это преобразование может быть поднято до преобразований пространств ассоциаций и идей мыслящей системы ту Мы можем говорить об изометричности мыслящих систем тх и Т2.
Представление абстрактных ультраметрических пространств в виде деревьев. Нам необходимо напомнить основные определения из теории решеток, подробности см. в [31, 66, 102]. Частичный порядок ^, заданный на множестве S — это отношение между элементами множества S, такое что справедливы следующие аксиомы:
а ^ а (рефлексивность);
а b, Ь а а = b (антисимметричность);
(ш) a ^b, b ^ с а ^ с (транзитивность).
Пусть Т — подмножество S. Пусть g является нижней гранью Т (иными словами, g t для всех t Е Т) такой, что для каждой нижней грани b подмножества Т справедливо неравенство b ^ g; тогда g называют наибольшей нижней гранью Т. Подобным образом определяется наименьшая верхняя грань Т. Если для любых двух элементов х,у Е S мы можем написать х ^ у или у ^ х, то множество S называют линейно упорядоченным. Если для пары элементов а, b частично упорядоченного множества нс существует элемента ж такого, что а < х < Ь, то говорят, что элемент а покрывается элементом b (или b покрывает а). Элемент а называется атомом, если а покрывает пустое множество 0 и только его.
Решеткой £ называют частично упорядоченное множество, в котором каждая пара элементов а, b имеет наибольшую нижнюю грань а Л b и наименьшую верхнюю грань а V Ь, принадлежащие этому множеству.
Решетка £ может быть представлена как чисто алгебраический объект, так называемая (ассоциативная коммутативная) алгебра — множество с заданными операциями сложения и умножения. Решетка £ — это алгебра с двумя дополнительными аксиомами:
(тгф а(а + Ь) = а, (712) а + ab = а.
Здесь мы полагаем ab = a£bna + b = aVb.
Обозначим множество атомов решетки £ символом Л(£).
Решетку £ называют древоподобной, если множество £ \ {0} является деревом, т. с. для любого элемента L Е £, L ^ 0, множество [Ь,^) элементов, больших или равных L, является линейно упорядоченным 9. Поэтому, вообще говоря, решетка может и нс быть линейно упорядоченной, но для каждого элемента L множество элементов, больших чем L, является линейно упорядоченным множеством, веткой дерева.
Мы собираемся установить изоморфизм между ультраметри- ческим /-пространством (по сути, соответствующим пространством шаров, ассоциаций) и некоторым классом древоподобных решеток. Здесь мы будем использовать чисто топологические результаты А. Лемина [129]. Заметим, что множество £ = U U {0},
9 С точки зрения теории множеств элемент 0 является пустым множеством 0. С алгебраической точки зрения элемент 0 является нулем алгебры.
где U — набор шаров ультраметрического пространства X, а 0 = 0, является решеткой относительно структуры порядка по включению множеств:
для любых двух шаров ni,n2 существует третий шар и = = и\ Nu^ лежащий в обоих шарах и\ и иг,
для любых двух шаров 'iq,^ существует наименьший шар и = и\ V U2, содержащий оба шара и\ и и^ это либо наибольший из двух данных шаров (если один из них содержит другой), либо шар радиуса г = р^х,у\ где х Е у Е с центром в любой точке объединения их U и^.
Эта решетка является древоподобной. По сути, это следствие следующего свойства ультраметрических шаров: и П г ^ 0 => и с v или v с и 9. Очевидно, шары нулевого радиуса (элементы пространства X) являются атомами. Решетка £ является атомарной, так как для любого шара и справедливо равенство
и = sup {ж: х Е n} = sup {ж: ж п}
(мы используем sup для обозначения наименьшей верхней грани множества элементов).
Решетка £ имеет вещественную шкалу, если существует вещественнозначная неотрицательная изотопная (определение см. ниже) функция
г : £ \ {0} —> R U {+оо}, удовлетворяющая следующим условиям:
если ж — атом £, то г(ж) = 0;
) если iq < то r(ui) < т^и^\
(ш) VO С А^£\ где А^ — множество атомов решетки £, справедливо равенство
r(sup {ж: ж Е О}) = sup {г(ж V у): ж, у Е О}.
9 Заметим, что пространство замкнутых шаров метрического пространства, которое не является ультраметрическим, не обладает такой структурой дерева. В частности, обычное евклидово пространство не имеет такого свойства, а именно «евклидовы ассоциации» (замкнутые шары евклидова пространства) не могут быть представлены в виде иерархического дерева. К примеру, пусть X = R с метрикой р(х,у) = = |ж — у\ и пусть £ — система всех отрезков [а, Ъ\ (включая X = R и 0). Пусть L = [—1/2, 1/2] = П1/2(0). Множество [М элементов, больших или равных L, не является линейно упорядоченным: Lc V = = [—1/2, 3/2] = (/1(1/2) и L с LH = [—3/2, 1/2] = [//^1/2). Но Lf и LH несравнимы.
Вещественная градуирующая функция т даст возможность представлять иерархию порядка на решетке с помощью стандартной структуры порядка вещественной прямой, см. (i), (ii). Условие (iii) является техническим. Отображение / называют изотопным, если
u < v =^ /(и) < /(v).
Решетка шаров £ является вещественно градуированной и полной, г(п) — радиус шара и. Имеет место следующее предложение (см. [129], с. 274).
Предложение 1.1. Для любого ультраметрического пространства (Х,р) решетка его шаров £ является полной, атомарной, древоподобной и вещественно градуированной.
С другой стороны, допустим, что нам дана полная, атомарная, дрсвоподобная, вещественно градуированная решетка £. Как обычно, обозначим через А^ множество се атомов. Определим вещественную неотрицательную функцию d(x,^/) на Л(£) х х А^ по следующему правилу:
d^x, у) = inf {r(L): ж, у < L} = Дх V у).
В работе [129] доказано, что d является ультраметрикой на Л(£); следовательно, (A(£),d) является ультраметрическим пространством. В [129] доказано, что если мы, исходя из ультраметрического пространства (X, р), определяем решетку его шаров £, а затем ультраметрическое пространство (Л(£)^), то эти два ультраметрических пространства изометричны. Следовательно, если мы, исходя из полной, атомарной, древоподобной решетки £, определяем ультраметрическое пространство ее атомов (Л(£), d), а затем соответствующую решетку £ шаров последнего ультраметрического пространства, то решетки £ и £ изоморфны. Этот математический результат имеет следующее важное следствие для наук о мышлении: динамическое мышление в любом ультраметрическом пространстве может быть представлено как динамическое мышление на некоторой древоподобной решетке и наоборот.
В некотором смысле решетка даст геометрическое представление ментального пространства с его вертикальной иерархической структурой. Ультраметрическое пространство представляет внутреннее ментальное пространство мыслящей системы.
Пример 1.1. [66, 129]. Пусть X = {жп = пДп + 1), п = = 0, 1,2,...} U 1 и р(х, у) = шах (ж, у). Это ультраметрическое пространство. Соответствующая решетка состоит из пустого
8 А. Ю. Хренников
множества, элементов X (шары нулевого радиуса), одного шара радиуса 1, L\ = Ui (1) = 1} (= X), который содержит цепь меньших шаров
Это основная ветвь данного дерева. Она бесконечно длинная и имеет бесконечно много ответвлений длины 2:
см. рис. 6.1.
Рис. 6.1. Решетка шаров для уль- Рис. 6.2. Решетка шаров для траметрического пространства X ультраметрического пространства Z2
Заметим, что решетка р-адических шаров геометрически воспроизводит структуру р-адического дерева, см. рис. 6.2 для случая р = 2. Однако метрические структуры дерева на рис. 6.2 и 2-адическое дерево для /-состояний, см. рис. 1.1, существенно отличаются. На решетке шаров мы имеем р^и') = О, если и и и1 лежат на одной и той же линии и г (и) < г (и') (т. с. и С u’Y Кроме того, на рис. 6.2 точки являются вершинами 2-адического дерева, а для первоначального 2-адического дерева точки — это ветви этого дерева (на рис. 6.2 эти ветви представлены точками на горизонтальном уровне г = 0).
Бесконечная «вертикальная иерархия»ассоциаций-идей и загадка сознания
Для того чтобы получить метрику на пространстве шаров U ультраметрического пространства X, можно модифицировать псевдометрику Хаусдорфа
р(А, В) = sup inf р(а, bY
аЕА ЬеВ
см. [72], полагая
d(A, В) = max [р(Л, В), р(В, Л)].
Пространство шаров U становится ультраметрическим пространством (l/,d). Соответствующее пространство шаров этого пространства — U^ — снова может быть представлено как древоподобная решетка. Поэтому, возможно, было бы лучше определять идеи нс как произвольные подмножества пространства ассоциаций Хд = U, а как элементы пространства шаров U^X Таким образом, только особые объединения ассоциаций рассматриваются в качестве новых когнитивных структур — идей.
Во всех следующих разделах этой главы мы определяем идеи как шары, состоящие из шаров ультраметрического пространства (относительно метрики Хаусдорфа).
Подчеркнем, что такое определение идеи нс совпадает с определением, данным в гл. 2. Определение из гл. 2 используется всюду, кроме настоящей главы.
Мы можем снова ввести метрику Хаусдорфа на U^ и повторить процедуру. В принципе, мы получим бесконечную последовательность решеток
С с £Ы с ЕЯ с ...
Здесь £ = [/ — решетка шаров в ультраметрическом пространстве X, в котором происходит изначальная /-динамика, £^) = = U^ — решетка шаров из U (здесь U = Л(£^^) является множеством атомов пространства £^), и так далее. Формируя иерархические (шароподобные) структуры /-состояний, мы создаем ассоциации; формируя иерархические (шароподобные) структуры ассоциаций, мы получаем идеи, которые называются идеями первого порядка. По сути, эти идеи есть нс что иное, как ассоциации от ассоциаций. Мы можем продолжать этот процесс бесконечно долго.
Гипотеза 1. Мыслящие системы (по крайней мере, некоторые из них) способны оперировать одновременно на всех уровнях бесконечной когнитивной иерархии.
В таком случае мыслящая система могла бы оперировать с бесконечным объемом информации на основе конечной физической системы.
Гипотеза 2. Сознание возникает как результат концентрации этого бесконечного объема информации в конечной области физического пространства.
8:
Топологическое обоснование нарушенияматериалистического постулата в науках о мышлении
Имеются многочисленные топологические результаты по вложению ультраметрических пространств в евклидовы пространства и произвольных метрических пространств в ультраметри- ческие пространства, см. [72]. В нашей модели динамического мышления на ультраметрических пространствах некоторые из этих топологических результатов могут иметь когнитивную интерпретацию. Начнем с теоремы А. Лемина [130].
Каждое улътраметрическое пространство, состоящее из п + 1 точки, может быть изометрически вложено в -п-мерное евклидово пространство Rn, и не существует ультраметри- ческого пространства, состоящего из п + 1 точки, которое могло бы быть изометрично вложено в R^, где к < п.
Видимо, эта теорема может интерпретироваться как обоснование невозможности «пространственной локализации разума» в мозге.
Стандартное физическое пространство, в котором мы рассматриваем «физический» мозг, — это R3. Таким образом, в это пространство мы могли бы изометрически вложить «ментальный» мозг мыслящей системы т, имеющей только 4 различных /-состояния. Так как человеческий мозг может реализовать огромное число /-состояний N, он мог бы описываться только как «физическое тело» в евклидовом пространстве EN огромной размерности. Таким образом, каждая попытка произвести 3-мерную карту «ментального мозга» приводила бы к неизометрическому вложению: некоторые похожие (близкие) умы были бы представлены далекими конфигурациями в R3, а некоторые существенно различные умы представлялись бы похожими конфигурациями в R3. Интересно, что наше идеальное ментальное пространство Zp может быть изометрично вложено в сепарабельное гильбертово пространство, см. [130].
Поэтому р-адическая модель мышления, развиваемая в этой книге, по сути, описывает (специальную) динамику на симплексах в гильбертовых пространствах. Этот симплекс размещается на сфере радиуса
рр) = , р
Щ(р2 + р+ 1)
см. [130].
Кроме того, каждое ультраметрическое пространство может изометрически вкладываться в некоторое обобщение гильбертова
пространства, см. [130]. Следовательно, гильбертово пространство и его обобщения являются достаточными для «пространственной» реализации всех возможных ментальных пространств.
Можно предположить, что этот топологический факт может быть использован для связи нашей ментальной ультраметриче- ской модели с. квантовыми моделями мышления, см. гл. 3.
Универсальная мыслящая система
В этом разделе мы обсудим возможную когнитивную интерпретацию теоремы Лемина-Щепина об ультраметризации произвольного метрического пространства (Х,р).
Для произвольного метрического пространства (X, р) найдутся ультраметрическое пространство (Х,р) и нерасширяющее отображение и, действующее из X на X, такое что для любого нерасширяющего отображения f: (Х,р) (Y,d), где (Y,d) — некоторое ультраметрическое пространство, существует единственное нерасширяющее отображение uf; (X, р) (У, d) такое, что /(ж) = и^Дх^, х Е X.
Рассмотрим ультраметризацию с точки зрения науки о мышлении. Из нее следует, что любое физическое метрическое пространство (Х,р) может быть представлено мыслящей системой т, имеющей ультраметрическое пространство (Х,р) в качестве пространства /-состояний. Физическое пространство ^Х,Р^ может быть представлено в виде древоподобной решетки, а физическая динамика в X может рассматриваться как динамика на такой решетке. В частности, нейронная сеть нашего мозга есть нс что иное, как ультрамстризация евклидова пространства Я3
А как же быть с псевдо-евклидовым пространством Минковского Я31? Видимо, нейронные сети, существующие в нашем мозге, не могут генерировать мыслительные образы объектов из Я31. Это предположение может мотивироваться следующим топологическим результатом [130]: если расстояния между точками сщ,... ,ап удовлетворяют усиленному неравенству треугольника, то подпространство, натянутое на них, является евклидовым.
Два метрических пространства (Хь/ц) и (Х^, рД называют u-эквивалентными, если их ультраметризации (Хщрх) и (Х^,рД изометричны. Как мы уже упоминали, изометричные ультрамет™ рические пространства дают возможность реализации эквивалентных мыслительных процессов (как в пространствах /-состояний, так и в пространствах ассоциаций и идей).
Следовательно, мы получили возможность классифицировать общие физические метрические пространства через их ментальные представления, ультраметризации (или соответствующие решеточные представления).
Теперь обсудим вторую часть теоремы об ультраметризации, а именно представление любого нерасширяющего отображения /: X У как / = ufu, где и; X X — ультраметризирующее отображение, a uf. X ^¥ - нерасширяющее отображение между ультраметрическими пространствами.
Давайте рассмотрим следующую ситуацию. Имеется физическое метрическое пространство (X, р) и две мыслящие системы ri и Т2 с ультраметрическими пространствами /-состояний (Xi,pi) и (Х^,р^). Предположим, что обе системы тх и Т2 развили способность ментального представления физического пространства (Х,р). Это означает, что мы имеем два нерасширяю- щихся отображения /i : X Хх и /2 : X —Х^, которые задают ментальные представления пространства X системами тх и Т2, соответственно. Свойство ™ /1 и /2 нерасширяющиеся — является очень важным для правильной ориентации в окружающем мире: если точки Ж] и Ж2 близки в физическом пространстве X, то их ментальные образы а^ = fj^cx) и а^ = fi^^ должны быть близки в ментальном пространстве Х^з = 1,2). Это даст образ непрерывности физического пространства X (в соответствующем ментальном пространстве). _
Существование ультрамстризации (Х,р) физического пространства (Х,р) может интерпретироваться как топологическое обоснование возможности создания универсальной мыслящей системы Тунив (для физического пространства X), которая могла бы «понимать» все мысленные представления пространства X.
Пусть х — точка пространства X; = fAxY 3 = 1’2, и а = п(ж) — ментальные представления этой физической точки системами Тр j = 1,2, и тунИв, соответственно (в пространствах Xj,j = 1,2, и X, соответственно). Тогда = и^а\ 3 = 1,2, где отображения uf^ : X Xj играют ту же роль, что и отображения fj-.X^ Xj в теореме Лемина-Щепина. Таким образом, ментальные образы а^ объекта х являются представлениями одного и того же ментального образа а системы т. Поскольку отображения n/j нерасширяющие, то малому изменению образа а -э 5 + еа соответствует малое изменение образа а^ -э а^ + + 5а^к Существование такого соответствия может интерпретироваться как способность тунИв понимать обе мыслительные
Геометрия пространства ассоциаций от...от ассоциаций 231 системы ri и тд. Система тунИв может создать образ а, связывающий образы сц и созданные системами ri и тд.
В случае расширяющего отображения малое изменение ментального состояния системы т может произвести существенное изменение соответствующего образа в ментальном пространстве Xj системы Tj. Значит, если ufj : X Xj интерпретируется как коммуникационный канал между мыслящими системами т и ту, то нерасширяющее свойство этого канала даст возможность достичь взаимопонимания.
Геометрия пространства ассоциацийот...от ассоциаций
Допустим, что (Х,р) — ультрамстричсскос пространство. Пусть (U,p) — пространство замкнутых шаров пространства (Х,р), снабженное метрикой Хаусдорфа, и пусть (V,p) — пространство замкнутых шаров (1Хр\ снабженное метрикой Хаусдорфа. Обозначим шары в (Х,р) символами (/г(а), где г — фактический радиус; шары в (U, р) — символами VdQtiY где и = UT(a) Е U, a d является фактическим радиусом. Следующие две леммы описывают геометрию шаров в пространстве U (шаров, состоящих из шаров). Читатель, нс заинтересованный в математических подробностях, может обратить внимание только на формулировку следствия 5.1 (звездная структура шаров в пространстве V).
Лемма 5.1. Vr{Ur(a)) = {Us(b) : b Е Ur(a), s < r}.
Доказательство.
Докажем, что каждый шар Us(bY b Е Ur(a), s < г, принадлежит шару ¥г((/г(а)). По определению г = sup {р(ж, Ь): х Е Ur(b) = UT(a)Y Существует хп Е Ur(b) такое, что г = — Р^Х^^ 6) + 8та, £та 0.
Так как s < г, р(хп, b) > s для п N при достаточно большом N. Тогда р(хП1^ = р(хн,Ь) для всех у Е Us{b). Таким образом,
inf р(хи, = г — еп г, п —> оо.
Следовательно, получаем:
p(Us(bY Ur(a)) = г, s < г, b Е Ur(a). (6.1)
Покажем, что если для некоторого шара Us(b) мы имеем неравенство p(Us(b), Ur(a)) г, то Us(b) С UT(ay т. е. s г и b Е ит^а\
Рассмотрим три случая.
2а. Пусть s = г : г > pp3b\ Ur{a)) \MyEUr^ p(b, у). Но p(b, а) ^ max \pb, у),р(у, а)], у Е UPa\
Отсюда р(Ь,а) ^ г и (/r(a) = Ur(b).
2b. Пусть я > г. Предположим, b иДа\ т. е. р(Ь,а) > > т. Следовательно, рД,у) = р(Ь,а) > г для всех у Е иДа). Таким образом, получим, что p(Us{b), иДа)) > т. Предположим, b Е иДаД Поскольку я > г, то UT(a) С и8ДД Отсюда p(Us(b), Ur(a)) = я > т. Следовательно, получаем противоречие с предположением я > г.
2с. Пусть я < т. Допустим, b УДаД т. с. р(Ь, а) > г. Тогда
p(Us(by иДаД) sup inf p(x,y)^
xeUr(a) yeus(b)
> inf Ца, у) = Ца, 6) > г. уеи8(ь)
Предположим, b Е УДаД Тогда УДЬ) С УДаД
Следствие 5.1. Шар ¥ДУДаД) имеет звездную структуру:
¥ДУДаД = УДД U Sr(Ur(а)).
Центром этой звезды является шар (/г(а), лучи направляются от центра к шарам Us(b) С УТДУ которые находятся на сфере радиуса г вокруг центра. Заметим, что шар ¥г((/г(а)) содержит только один шар радиуса г. Таким образом, каждый шар в (V, р) может быть единственным образом представлен как звезда.
Следствие 5.2. Пусть я < г. Тогда ¥s(Ur(a)) = ^Ут(аД.
Таким образом, нет нетривиальных шаров радиуса я < г с центром в УДаД
Следствие 5.3. Пусть я > г. Тогда У8(ит(а)) = = VS(US№
Напомним, что по определению Uo(a) = {а} — одноточечное множество (так что X вкладывается в U).
Лемма 5.2. Для любого а Е X, ¥т(а) = ¥ДПо(аУ) = = ¥ДПДа)) = ДТДЬ): b Е иДаД я тД
Доказательство.
Пусть b Е Ur(ay я ^ г. Тогда
р(и8ДУа)= sup р(у,а)^ sup max (р{у, b), рД, а)) ^ г. yeusWyeus(b)
Пусть для некоторого шара ОДЬ) имеем p(Us(b),a) = = 8пруЕщц р(у, а) ^ г. Тогда р(Ь, а) ^ г, таким образом, b Е Е UT(a) и
я = sup p(y,b)^ sup max (р(у, а), р^а, Ь^ ^ г. yeus(b)yeus(b)
Болес того, мы можем найти расстояние p(Us(b),a) точно.
Пусть а Е Us(by Значит, Us(b) = Us(a), а искомое расстояние
p(Us(a), а) = sup р(у, а) = я.
y^Us(a)
Пусть а ^ Us(b). Тогда р(а, b) = d > я, а
р(у, а) = max (^р^у, b), p(b, а)) = d для всех у Е Us(b).
Таким образом, все нетривиальные шары в пространстве U (элементы пространства V) задаются шарами ¥ТфТ^а^.
6.6. Бесконечная информационная емкость конечныхмыслящих систем
Леммы 5.1, 5.2 позволяют находить мощности ментальных пространств на различных этажах ментальной башни. Положим х(°) = X, Х^Ь = и, X® = V и так далее; обозначим через Nk мощность (число элементов) пространства Х^к\ Имеем: N\ = = Nq + N^, где N^ — число шаров UT(aYr > 0. Таким же образом ^ = ^1 + N^, потому что каждый шар ¥г(и), и Е Х^Ц г > 0, соответствует шару того же радиуса в X^x\ci = (/г(а). Поэтому Х2 = Хо + 2Х+, и по индукции мы получим, что Nk = = Nq + КN^. Значит, /-мощность ментальной обработки возрастает линейно в вертикальном направлении.
Пример 6.1. Пусть X = Zm и р = рт. Здесь пространство шаров U имеет следующие ветви:
[/!(0)D[/1/m(0), [/|/т(1),[/|/т(т-1);
U\/m^ D ЩтЮ), Uxfm^mY
Шары V имеют вид Vi(l/i(0)) = U, шары с центром в t/i (0) и лучами, направленными к точкам, лежащим на сфере Sx^Ui^Y а именно все элементы U, кроме
т(0); ух/тщцоу) = Щ\№
V\im pJMm^ = |Щ™(0), Ux(ml<a\
а = («о,... , а/ш), а-о — 0, / = 2,... , ос j-.
Это звезда с центром в l/i/m(O) и лучами, направленными к точкам, лежащим на сфере 5,1/та((/1/та(0)), а именно ко всем подшарам шара (/^^(О).
Вычислим /-емкость m-адической мыслящей системы, которая работает с /-строками длины М. Здесь No = тм. Для мощности N\ множества U имеем: N\ = Nq + N^, где N^ — число шаров радиуса г > 0. Нетрудно увидеть, что N^ = 1 + + m + ... + тМ-Х = (mM — l)/(m — 1) (заметим, что шары радиуса т = \jmM имеют фактический радиус т = 0). Поэтому для определения мощности Nk ментального пространства fc-ro порядка (ассоциации от ... от ассоциаций) получаем формулу:
/ м 1 \
, ткд ,, / тп — 1 \
NK = Iг .
у тп — 1 у
Следовательно, /-емкость m-адической кодирующей системы возрастает экспоненциально с ростом длины М — иерархических цепей — и линейно относительно ментальных уровней. Полная /-емкость ментальной башни в п этажей и структуры т-адиче- ского дерева с ветвями длины М на нулевом этаже равна
N(m, М, п) = ттт.11 + - п(п + 1) I .
2у тп — 1 J
Если М = const и п —> оо, то N Сп^ с > 0. Мы открыли удивительную черту мыслящих систем: способность создавать ментальные башни с вертикальной иерархией, а именно производить новые деревья от деревьев.
Используя физическую систему, «мозг» конечной 1-емкости (например, ансамбль иерархических цепей нейронов длины М < оо), мыслящая система способна создать I-емкость N сп2 оо (когда число ментальных уровней п при 1-обработке стремится к бесконечности).
Мы даже можем предположить, что явление сознания напрямую связано с этой способностью создавать ментальные башни с горизонтальной /-иерархией. Возможно, параметр п описывает уровень сознания мыслящей системы. Например, люди характеризуются неравенством п ^ пчел, где пчел — константа, которая, в принципе, могла быть найдена экспериментально. Различные
индивиды могут иметь различные значения п ^ пчел- В принципе, можно найти распределение вероятности уровней сознания.
Заметим, что нет причин отбрасывать возможность возникновения мыслящих систем, обладающих бесконечно высокими ментальными башнями, п = оо, основанными на конечной физической системе — «мозге». Однако нс ясно, как такая мыслящая система могла бы возникнуть в процессе эволюции из мыслящих
систем с конечным п.
Пусть X = {1,2, 3,..., N^ — множество первых N натуральных чисел, снабженное ультрамстрикой р(х,у) = max (ж,?/), х
у. Здесь U состоит из шаров ин = (/п(^) = {j: j п}, шаров
нулевого радиуса, а именно элементов пространства X, и всего пространства X = UnU) (для любого j).
Геометрически U может быть представлено в виде дерева (см. рис. 6.3).
Основная ветвь uN э xln_x D D ... D tq D 0 даст ответвления: uN D {^},..., гц D {1}. Заметим, что мощности множеств X и U соответственно равны N и 2N — 1 (шар (/1(1) = {1} = 1/0(1), слеД°™ ватсльно, только точки 2,3,...,N определяют шары радиуса г > 0).
Мы можем визуализировать элементы пространства ассоциаций U, соответствующего трехто-
Рис. 6.3. Представление max- метрического пространства для N натуральных чисел в виде дереваРис. 6.3. Представление max- метрического пространства для N натуральных чисел в виде деревачечному метрическому пространству X = {1,2,3}, следующим образом (например, квадрат ассоциируется с треугольником че
Рис. 6.3. Представление max- метрического пространства для N натуральных чисел в виде дерева
Рис. 6.3. Представление max- метрического пространства для N натуральных чисел в виде дерева
рез образ п3).
Перейдем к следующему этажу ментальной башни. Имеем:
V1 = Vi(ui) = Щ} = {!},
1’2 = V2(u2) = {u2, 1,2},
1’3 = И3(и3) = {м3,и2, 1,2,3},
1’n = vn(un) = {un,...,NY
Рис. 6.5. Идея Уз (из) Рис. 6.6. Дерево пространства идейРис. 6.5. Идея Уз (из) Рис. 6.6. Дерево пространства идей
Рис. 6.5. Идея Уз (из) Рис. 6.6. Дерево пространства идей
Рис. 6.5. Идея Уз (из) Рис. 6.6. Дерево пространства идей
Заметим, что на уровне идей мы забываем о порядковой структуре ассоциаций. Например, идея vN содержит uN и Мд^ в качестве независимых объектов. Конечно, на уровне ассоциаций отношение порядка uN_x игРало бы решающую роль.
Рис. 6.7. Дерево пространства «супер-идей»Рис. 6.7. Дерево пространства «супер-идей»
Рис. 6.7. Дерево пространства «супер-идей»
Рис. 6.7. Дерево пространства «супер-идей»
Дерево пространства идей, см. рис. 6.6, является существенно более сложным, чем дерево пространства ассоциаций. Рассмотрим теперь третий этаж ментальной башни (с пространством X в качестве нулевого этажа), пространство «супер-идей», см. рис. 6.7. Соответствующее пространство W состоит из точек:
L 2, . . . , N, U2, ... , UN, 112, • • • , ^N'
w2 = Ж2(ж2) = {1,2,^,^},
= Ж^(г^) = {1,..., ^, u2,...,uN, 112,...
Как обычно, элементы Wj имеют звездную структуру: iij — центр, а элементы
1,, Uj, И2,
размещены на сфере Sj^iij).
6.7. Параллельные потоки информационныхсостояний, ассоциации и идеи, примеры
Рассмотрим примеры динамики /-состояний, ассоциаций и идей.
Рассмотрим следующее «гастрономическое мышление». Пусть m = 3 и М = 4 (модель, основанная на 3-адических строках информации длины 4). Пусть уровни а = 0, 1,2 соответствуют нулевому интересу к некоторой пище, нормальному интересу и высокому интересу, соответственно. Существует следующая иерархия между различными сортами пищи (3-адическое дерево): «о-рыба, аровощи, а2-мясо, ср-шоколад (к примеру, рыба является традиционной и наиболее важной сдой в регионе).
Мы будем изучать динамические законы /п(ж) = хп, п = 2 и п = 4, см. гл. 1. Покажем, что гастрономическое поведение существенно отличается для индивидов т1г,п = 2,4, обладающих гастрономическими мыслительными блоками fn,n = 2,4. Будем рассматривать динамику на 3-адической сфере S^^l) = = {ж = 1qiq2Q3,qi т^ 0}. Заметим, что данная динамика является довольно тривиальной вне этой сферы. Если а0 — 0 для /-состояния х = «о^Жг^з, то ж всегда эволюционирует (через некоторое число итераций функции /п) к состоянию а = 0000. Таким образом, отсутствие интереса к основной еде (в этом регионе) влечет (в этой динамике) в будущем отсутствие интереса
к еде вообще. Если а0 — 2 для /-состояния х = 610^1^2^3, то эволюция х, по сути, сводится к эволюции на сфере 51/3(1): после первой итерации х —> у = fn^ /-состояние х переходит в ^1/з( 1) и продолжает свое движение на этой сфере.
Пусть п = 2, х х2, и х = laia2tt3? гДе цифра ад ^ 0. Как мы знаем из [86], стартуя с. ж, мыслящая система тд может получить любое /-состояние х = 1/Д/З2/З3, где цифра Pi ^ 0. Следовательно, гастрономические желания индивида Т2 по отношению к овощам, мясу и шоколаду будут постоянно изменяться. Здесь будут появляться всевозможные комбинации 9.
Например, х = 1111: т^ — одинаково интересуется всеми видами пищи; х = 1202: т^ — интересуется рыбой, обожает овощи и шоколад и нс любит мясо.
Давайте рассмотрим соответствующую динамику ассоциаций. Отображение /2 может быть поднято до пространства Хд = = U. Например, Ли = [/^(Н) — интерес к рыбе и овощам. Ассоциация Ли обрабатывается циклически: Ли —> Л12 —> Ли, где ассоциация Л^ означает интерес к рыбе и высокую тягу к овощам.
Рассмотрим соответствующую динамику идей. Например,
^ = Н/9Щ/9(11)).
Эта идея содержит всевозможные «расширения» ассоциации Ли. Например, ассоциация Лцз — интерес к рыбе и овощам и высокое тяготение к мясу. Идея J эволюционирует к J = = И1/9(Д/9(12)).
Рассмотрим другой «гастрономический мыслительный процессор»: Д(ж) = ж4. Начнем сразу с динамики ассоциаций. Мы видим, что /4(Лц) = Ли, так же как ДДЛ^) = Л12. Если, к примеру, Т2 имеет в своей голове только одну ассоциацию Лц, то он никогда нс получит ассоциацию Л12. Значит, он никогда нс станет сильно интересоваться овощами. Давайте рассмотрим идею J = Vi/9((/i/9(l 1)). Она также является инвариантной относительно отображения /4 (несмотря на движение ассоциаций в этой звезде; например, Лщ Лц2).
Таким образом, мы исследовали различие в поведении индивидов тд и 74. Индивид Т2 желает попробовать все и создает разнообразные комбинации гастрономических желаний. Индивид 74 имеет более устойчивые гастрономические палитры. Вышеука-
9 Система Д(ж) = ж2 является эргодичной на сфере 5]/з(1), см. [86].
занный гастрономический пример может быть легко модифицирован на другие стороны жизни человека (секс, искусство, наука, литература, ...).
Такое различие в психологическом поведении имеет математическое объяснение. Если динамическая система ж —> /(ж) эргодична (см., например, [192]), то, стартуя почти с любого начального состояния жо, мы можем приближать произвольное состояние х итерациями жп состояния жд. Система /2 (ж) = ж2 является эргодичной на сфере, а система /4 (ж) = ж4 нс является таковой.
Пусть m = 2, а М = 4 (2-адичные строки длины 4). Пусть цифры ао,...,аз используются для кодирования следующих черт человека:
«о = 1/0, мужчина/женщина,
«1 = 1/0, молодой(ая)/нет, «2 = 1/0, блондин(ка)/нет, «3 = 1/0, студент(ка)/нет.
Например, /-состояние ж = 0111 описывает молодую блондинку студентку.
Пространство Xj /-состояний содержит 16 строк информации. Пространство ассоциаций Хд = U, пространство шаров в Хг.
41 = ^1/2(1)’ мужские черты;
Ло = ^1/2(0), женские черты;
Лц = ^^(Н), черты молодого человека;
Л10 = ^/4(10), черты немолодого человека;
4Оо — ^1/4(00)? черты немолодой женщины;
Л01 = ^1/4(01), черты молодой женщины;
Лщ = ^^(lll), черты молодого блондина, .
Элементами пространства идей Хю = V являются шары, состоящие из ассоциаций. Идея V\,^U\(^111)) является звездой ассоциаций с центральной ассоциацией Лщ, мужчина молодой блондин. Эта ассоциация может вызвать ассоциации Лцу, мужчина молодой блондин студент, и Лшо, мужчина молодой блондин нс студент. Идея Vi/4(^i/4(01)) является звездой ассоциаций: центральная ассоциация — Лоь женщина молодая. Эта ассоциация может вызвать ассоциации Лон, женщина молодая блондинка; Лою, женщина молодая нс блондинка; .Лош, женщина молодая блондинка студентка.
Давайте рассмотрим следующий этаж относительно «вертикальной иерархии», а именно W — пространство шаров пространства V (пространства идей). Элементами W являются ассоциации от ассоциаций от ассоциаций.
Шар Wi/4(¥i/4((/i/4(01))) имеет структуру звезды. Центральный блок содержит идею V} /4 (t/j /4 (01)). Это собрание всех ассоциаций, которые напрямую связаны с центральной ассоциацией Д01 = (/1/4(01), женщина молодая. Подчеркнем, что все эти ассоциации прямо связаны с центральной ассоциацией Дор Например, ассоциация (= /-состояние) «женщина молодая блондинка студентка» прямо связана с. ассоциацией «женщина молодая» (а нс через ассоциацию «женщина молодая блондинка»). Идея ^1/4(^1/4(0^)) является центром звезды идей:
Ю/4 Щ/4 (^1/4(01))) = Щ/8 Щ/бЩ!)), Щ (^1/8(0Ю)),
Н/1бЩ/1б(О111)) = И = он1})
Н/1бЩ/1б(оюо)) = ц = о1оо}}.
Заметим, что последние шары совпадают с /-состояниями. Каждая из этих идей является снова звездой ассоциаций. Мы подчеркиваем, что одно и то же /-состояние содержится в различных звездах.
Представляя себе идею ^^((/^(Ol)), мы представляем одно и то же состояние во всевозможных его образах. Представляя себе «супер-идею» ^^(^^((/^(О!))), мы можем переходить прямо к каждой из идей Ц/4(^1/4(01)) (звезда, основанная на ассоциации «женщина молодая»), ¥1/8((/1/8(011)) (звезда, основанная на ассоциации «женщина молодая блондинка»), . ^1/1б(^1/1б(0101)) = {ж = 0101} (отдельное /-состояние «женщина молодая нс блондинка студентка»).
Механизм конкретного извлечения идеи из «супер-идеи», звезды идей, или ассоциации из идеи, звезды ассоциаций, еще нс известен.
Скорее всего мы сначала вспоминаем, например, «суперидею» Ж^4 (У1/4 (1/1/4(01))) , а затем путем случайного выбора мы можем вспомнить огромную звезду ассоциаций, основанную на ассоциации «женщина молодая», или конкретный образ ж = = 0101, «женщина молодая не блондинка студентка».
Предположим, например, что нам нужно вспомнить последний конкретный образ ж = 0101, но с помощью случайного выбо-
ра мы вспомнили идею V^/4 (^1 /4 (01)). В таком случае мы могли бы воспользоваться случайным выбором в этой звезде, исходя из ассоциации «женщина молодая» в направлении ее конкретизации. Мы можем сделать предположение о том, что случайные выборы параллельно выполняются на нескольких уровнях вертикальной иерархии: в «супер-идеях», идеях, ассоциациях. Мы приходим к /-состоянию х = 0101 путем многочисленных параллельных процессов воспоминания на различных уровнях ментальной иерархии.
Вертикальная ментальная иерархия реализует целостность (см. также [36, 37, 134, 135]) ультраметрического представления информации: идеи являются воплощениями целостности ассоциаций, «супер-идеи» являются воплощениями идей. Рассмотрев шар ¥1/4 (^1/4(01)) , мы можем представить все расширения ассоциации «женщина молодая» как единый ментальный объект.
Глава 7
ФАКТЫ ИЗ МАТЕМАТИКИ
Эта глава содержит некоторые математические факты об m-адических (р-адических) числах и соответствующие разделы анализа. Мы представляем краткое введение, которое необходимо для моделирования процессов мышления. Читатель может продолжить изучение с помощью книг [163, 40, 187, 73, 107, 111].
т-адические числа
Заметим, что для каждого ж Е Zm канонические ряды ж = «0 ++ • • • + о^тк + ... , aj = 0, 1, ... , m — 1,
сходятся в метрическом пространстве Zm, так как
L a3m3j=kL a3m3j=kттmax тп, 3 к^зmax тп, 3 к^з
L a3m3
j=k
L a3m3
j=k
т
т
max тп, 3 к^з
max тп, 3 к^з
Здесь мы использовали усиленное неравенство треугольника и тот факт, что |«j|m = 1, a Im^^ = тп”к.
Теперь введем алгебраические операции на Zm. Определим сложение и умножение на Zm, начиная с определения соответствующих операций на N. Легко проверить, что эти операции являются непрерывными относительно метрики рт. Следовательно, они могут быть продолжены по непрерывности на все Zm. Таким образом, чтобы сложить (или умножить) два эле- сюсю
мента ж = ^ ajm3 и у = ^ pjm3, мы должны сложить (или j=0j=0
умножить) натуральные числа хп = ^ ajm3 и уп = ^ p^m3, а затем рассмотреть предел последовательности zn = хп + уп (или zu = xuynY Переход к пределу очень естественен: если мы разложим числа zn в канонические ряды, то обнаружим, что
цифры в этих разложениях стабилизируются с ростом п. Далее имеем:
— 1 = (т — 1) + (т — 1)т + ... + (т — 1)т^ + ... (7.1) Мы можем ввести вычитание как х — у = х + (—1)р. Таким образом, мы определили на множестве Zm структуру кольца, т. с. сложение, вычитание и умножение корректно определены. Это и есть (топологическое) кольцо т-адических целых чисел.
Замечание 1.1. Пусть m = 2. Тогда введенные выше операции на последовательностях из нулей и единиц являются нс чем иным, как компьютерным воплощением алгебраических операций. Безусловно, компьютер нс может работать с бесконечными последовательностями. Поэтому всегда существует натуральное число п (зависящее от точности вычислений для этого компьютера) такое, что компьютер оперирует только с векторами длины п. Эта точность вычислений играет важную роль. Однако мы думаем, что эта точность не играет большой роли для «человеческого компьютера» (= человеческого мозга). Мозг оперирует огромными объемами информации. Следовательно, мы можем предположить, что соответствующие последовательности кодов имеют бесконечную длину.
Введем сложение, вычитание и умножение на множестве Qm таким же образом, как и на Zm, с помощью продолжения операций с множества конечных сумм, используя приближения хп = ^ajnV элемента х. Числа хп являются рациональными, и все алгебраические операции для них корректно определены. Получаем локально компактное топологическое кольцо.
Деление в Qm определить корректно, вообще говоря, нельзя, потому что если т рк, где р — простое, то существуют так называемые делители нуля, т. с. ненулевые числа х,у е Qm, чье произведение равно нулю, см. [163, 40]. С другой стороны, если т = рп, то деление корректно определено и Qpn является (топологическим) полем. Все поля Qpn,n = 1,2,..., изоморфны Qp (полю р-адических чисел).
Поле рациональных чисел Q является плотным подмножеством каждого поля р-адических чисел Qp. Поля р-адиче- ских чисел для различных р нс изоморфны. Таким образом, мы имеем бесконечную последовательность числовых полей Q2, Q3, • • •, Q1997, • • • Поле вещественных чисел R также содержит поле рациональных чисел Q в качестве плотного подмножества. Алгебраические операции на R так же, как и на любом Qp,
являются просто непрерывными продолжениями алгебраических операций, заданных на Q. Однако топологии R и Qp отличаются. Поля R и Qp не изоморфны. Грубо говоря, пересечение R и Qp есть Q. Согласно известной теореме теории чисел, теореме Островского, см. [40, 163], существуют только два способа построения нового числового поля путем пополнения поля рациональных чисел. Пополняя Q с помощью вещественного нормирования (абсолютного значения) | • |, получаем поле вещественных чисел. Пополняя Q с помощью р-адического нормирования | • |р, получаем поле р-адических чисел. Любое другое нормирование на Q эквивалентно либо вещественному, либо одному из р-адических.
лилиСистема р-адических чисел Qp является числовым полем. Поэтому операции сложения, вычитания, умножения и деления там корректно определены. Производная функции /: Qp Qp определяется (обычным образом) как
ли
ли
Ит /(ж + Дж)-/(ж)
|Дж|рН-0Аж
Основной отличительной чертой р-адического анализа является наличие нелокально постоянных функций с нулевой производной. Представляем следующий хорошо известный пример [163, с. 74]. Функция /: Zp Zp определяется как
ОООО
= п а^Гп для я = 52
п=0п=0
Она инъективна (/(жф ^ /(^2) для яд ^ x^Y а /' = 0.
Пусть г = pk(k = 0, ±1, ±2,...) — некоторый фиксированный радиус. Функцию /: UT(a) Qp называют аналитической, если она разлагается в степенной ряд
/Щ = 52 /Щ - «-Гп=0/Щ = 52 /Щ - «-Гп=0/п QP,/п QP,
/Щ = 52 /Щ - «-Г
п=0
/Щ = 52 /Щ - «-Г
п=0
/п QP,
/п QP,
который сходится равномерно в круге UT(aY Это эквивалентно
условию:условию:Hm |/n|Prn = 0Hm |/n|Prn = 0
условию:
условию:
Hm |/n|Prn = 0
Hm |/n|Prn = 0
(потому что, как следствие усиленного неравенства треугольника, р-адический ряд ^ап сходится тогда и только тогда, когда ап 0, п сю).
00 хп
р-адическая экспоненциальная функция еж = 5? —. Ряд сходится в Qp, если
Ир < Гр, где Тр=\/р, pR2 и 7'2 = 1/4.(7.2)
р-адические тригонометрические функции sin ж и cos ж определяются с помощью стандартных степенных рядов. Эти ряды имеют тот же радиус сходимости тр, что и ряд экспоненциальной функции.
Мономиальные динамические системы
Теорема 5.1 гл. 1 является простым следствием следующего результата.
Лемма 2.1. Пусть f: U IL где U = Ur^ или Qp, — аналитическая функция и f(a) ^ 0. Тогда существует г > 0, такое что
s = max 2^п<сюs = max 2^п<сюn! dx" °n! dx" °рП-1 ррП-1 р< \flOV< \flOV(7.3)(7.3)
s = max 2^п<сю
s = max 2^п<сю
n! dx" °
n! dx" °
рП-1 р
рП-1 р
< \flOV
< \flOV
(7.3)
(7.3)
Если г > 0 удовлетворяет этому неравенству, а Ur(a) С U, то - /(у)1р = 1/'(а)1Р|ж - у1р
для всех х,у G UMY
Доказательство этой леммы можно найти в [111].
Обозначим первообразный l-й корень из 1 через ОЛ = = 1,2,... На самом деле предложение 5.1 из гл. 1 является следствием следующего хорошо известного факта (см. [40, 163, 1HJ).
Предложение 2.1 (первообразные корни). Если р Ф 2, то О Zp тогда и только тогда, когда I | р — 1; Z2 содержит только ^i = 1 и ^2 = ™1-
Для изучения циклов в Zp длины к будем использовать следующие числа: т^ = (Z^,p — 1), к = 1,2,..., с 1^ = пк — 1 (т. с. т = mi).
Предложение 2.2. Динамическая система fn(x) = хп, п = 2, 3,..., имеет циклы в Zp длины к (к 2) тогда и только тогда, когда т^ не делит ни одного mj, j = 1, ..., k — 1. Все эти циклы находятся на сфере S'i(l).
Доказательство.
Предположим, что пц не делит mj, 1 ^ j ^ к — 1. Выберем ах = ^mfc. Тогда а^ = av Предположим, что а^8 = сц для s < < к. Тогда a™s = 1. Значит, т^ делит ms. Что противоречит предположению.
Предположим, что т^ делит mj для некоторого j < к. Пусть alk = 1. Тогда а™к = 1 и, следовательно, а^3 = 1. Поэтому alxs = 1. Таким образом, цикл у = 7(сц) (порожденный элементом «1) имеет длину меньшую либо равную s < к.
Следствие 2.1. Динамическая система fntx) обладает конечным числом циклов в Zp для любого простого р.
Пример 2.1. Пусть п = pl, I ^ 1. Тогда mi = р - 1, существует р — 1 аттрактор aj = ^,р-ь j = 1, ... ,р — 1, с областями притяжения A(aj) = Ui/p(aj) и нс существует ни одного цикла длины к, к ^ 2. Так как мы можем выбрать aj = j mod р,
то их(рЫС = их/р(зУ Поэтому S1(O) = |J Uxjp^ = J А^а^.
В частности, если р = 2, то все точки сферы 5'1(0) притягиваются точкой «1 = 1.
В разделе 4 гл. 1 мы определили так называемые нечеткие циклы (см. [111]).
Предложение 2.3. Существует взаимно однозначное соответствие между циклами и нечеткими циклами радиуса г = 1/р динамической системы /п(ж) в Zp.
Ситуация с нечеткими циклами радиуса г < 1/р более сложная.
Пример 2.2. Пусть р = 3, п = 2. Существуют циклы длины 2 радиуса г = 1/9, которые нс соответствуют ни одному обыкновенному циклу. Например, 7^ = (4,7). Далее, существуют нечеткие циклы длины 6 с г = 1/27; нечеткие циклы длины 18 с г = 1/81,...
Пример 2.3. Пусть во всех следующих примерах и = 2.
При р = 2 существует только одна неподвижная точка «1 = 1 на сфере 5'1(0). Она является аттрактором и Л(1) = = (/1/2(1) = Si (0). Таким образом, Z2 = Л(0) U Л(1).
При р ф 2 точка «i = 1 является центром диска Зигеля ЩР0). Там
INT = 8А(О)\Ы/р^ = {Ж = ао + аАр + ...
... + апрп + • • • : aj = 0, 1,... , р - 1, а0 + 0, 1}.
Поведение динамической системы на этом промежуточном множестве нс описывается нашими общими теоремами. Оно должно быть исследовано в каждом конкретном случае.
Поскольку 1^ являются нечетными числами, то т^ также должно быть нечетным числом. Следовательно, при р = 3,5, 17 и любом простом р вида р = 2^ + 1 (k > 1) циклов длины к нс существует (см., например, [111]).
При р = 7 т^ может быть равно 1 или 3. Так как m2 = 3, то здесь существуют только циклы длины 2. Легко показать, что этот цикл единственный.
При р = 11 m^ = 1 или 5. Поскольку m2 = m3 = 1, а тд = = 5, то тут существуют только циклы длины 4. Имеется только один такой цикл: 7(^5).
При р = 13 т^ = 1 или 3. Так как m2 = 3, то существует только (единственный) цикл длины 2.
При р = 19 т^ = 1 или 3, или 9. Так как m2 = 3, то существует (единственный) цикл длины. Однако хотя тд и равно 3, здесь не будет циклов длины 4, так как тд делит m3. Поскольку mg = 9 не делит m2,..., т^, то существуют циклы длины 6 и нет циклов длины к для к > 6. Имеется только один цикл длины 6: 7(&)-
При р = 23 m^ = 1 или 11. Непосредственные вычисления показывают, что здесь отсутствуют циклы длины к для к = = 2,...,8.
При р = 29 = 1 или 7. Так как m3 = 7 и = 1, то в этом случае существуют только циклы длины 3. Нетрудно показать, что здесь имеются два цикла длины 3: 7(^7) и 7(^7).
При р = 31 m^ = 1,3, 5, 15. Поскольку = 3, то существует (единственный) цикл длины 2. Так как тд = 15 и m3 = 1, то существуют циклы длины 4: 7(^15), 7(£щ), 7(^5) и нет циклов длины к, когда к ф 2,4.
При р = 37 т^ = 1,3,9. Так как m2 = 3, то существует (единственный) цикл длины 2. Поскольку mg = 9, m2 = тд = 3, m3 = mg = 1, то имеются циклы длины 6. Нетрудно показать, что существует единственный такой цикл: 7(^9). Нет ни одного цикла длины к для к ф 2,6.
При р = 41 т^ = 1,5. Так как Ш4 = 5 и все предыдущие mj = 1, то в этой ситуации существуют циклы длины 4. Нетрудно показать, что цикл 7(^5) единственный и нет циклов длины к для к ^ 4.
Общая структура циклов мономиальных систем над полем р-адических чисел при р сю была изучена в [122, 145]. Мы нашли сложную случайную структуру поведения циклов.
Глава 8
СЛУЧАЙНОСТЬ И МЫШЛЕНИЕ
Мы обсудили в деталях детерминистскую модель процесса мышления. Однако реальный процесс мышления существенно возмущается разнообразными шумами. Имеются два вида шумов: физиологический шум и информационный шум. Физиологический шум производится одновременной работой огромного числа нейронов (физическими и химическими процессами в мозге), см., например, [70]. Информационный шум производится как внешней информацией, так и одновременной работой огромного числа динамических мыслящих систем fs^ga^p,--, находящихся в мозге. Например, /-состояния, порожденные процессором gm могут мешать работе процессора fs. Кроме того, комбинации психологического и информационного шумов в мозге могут демонстрировать новые черты. Нам приходится изучать итерации информации, возмущенные некоторым шумом ш (этот параметр описывает все возможные шумы в мозге). В частности, параметры s мыслящих динамических процессоров должны рассматриваться как случайные величины шума щ т. e. s = = s(cu). Вместо детерминистской динамической системы, нам придется использовать случайную динамическую систему СДС; см. [15] об общей теории СДС.
Изучим задачу устойчивости процесса мышления (в нашей р-адической динамической системе) по отношению к шуму (физическому, физиологическому, психологическому). Нашим основным математическим результатом является то, что для большого класса динамических систем в р-адических пространствах мышление с шумом по-прежнему производит только детерминистские идеи. Этот результат согласуется с нашим повседневным опытом: несмотря на наличие шума, мы всегда производим детерминистские идеи (конечно, если шум нс настолько сильный, чтобы полностью нарушить процесс мышления). С математической точки зрения этот факт достаточно удивителен. Ведь существование случайных решений является обычным свойством случайных динамических систем в евклидовых пространствах (см., [15]).
А в р-адике это не так. Можно сделать предположение, что в процессе эволюции мыслящие системы «открыли» то, что р-адическая метрика на пространстве идей может, в частности, обеспечивать устойчивость процесса мышления относительно шумовых возмущений.
Когнитивные следствия нашей математической модели представлены в разделе 4. Одним из основных (и неожиданных) следствий является то, что шум играет важнейшую положительную роль в процессе мышления. Некоторые комбинации различных шумовых процессов могут производить идеи, которые нс смогли бы появиться как результат детерминистского процесса мышления. Мы даже можем предположить, что мозг содержит особые генераторы случайности, которые подключают к работе мыслительные процессоры случайным образом, ср. с разделом 3 гл. 2. С другой стороны, некоторый специальный выбор шумовых процессов в(ш) (зависящий, конечно, от конкретной мыслящей системы), несмотря на низкую интенсивность s(w), может полностью нарушить процесс мышления. Шум, разрушительный для одного мозга, может иметь положительный эффект для других мозгов. Такие эффекты зависят от структуры /-пространства Xj и динамических систем Д конкретного мозга. В этой связи обсудим такие деликатные черты поведения человека как творчество, стресс и депрессия.
Теория р-адических СДС, используемая в этой главе, была развита в сотрудничестве с профессором М. Гундлахом из бременского Института случайных динамических систем и нашими аспирантами, [68, 131].
Корни из единицы
Начнем со следующего технического результата (который также будет использоваться в гл. 9):
Лемма 1.1. Пусть Е 5'1(0), а и Е Zp, \и\р 1/р. Тогда
|(7 + ^-7"|p<|n|p|u|p
для каждого п Е N, где равенство верно для р > 2.
Доказательство. Пусть п = mpd, где р нс делит т.
Определим g; х не хт, и h: х не хр. Тогда
k(7 + n)_g(7)|p = |(7 + nr_7m|p =
= |m-u7m 1о(г£2)|Р = ф^^р^Ыр
(где о(^) означает члены р-порядка меньшего или равного порядку z). Поэтому отображение g является изометрией. Положим ж := g(^ + и) — g^), а р := g(7). Простое число р делит все биномиальные коэффициенты (|) при 1 < к < р, следовательно, для р > 2 имеем:
Му + О - Цу)\Р = |р^р-1 + о(рг>2)|р = |р|РМР = |р|РЫР,
а для р = 2 имеем:
Му + и) - Л(у)|р = |pvyp-1 + оД2)|р < |р|РНР = |р|р|и|р.
Таким образом, d итераций функции h дают
1(7 + «Г - 7Тр = ИЛ7 + О) - hd(g^\p < |п|р|«|р, где равенство справедливо для р > 2.
Как мы уже видели (теорема 5.1, гл. 1), корни из единицы в Qp играют важную роль в исследовании динамики мономиальных отображений, заданных на р-адических целых числах. Заметим, что уравнение хр-Х = 1 имеет р — 1 простых корней. Обозначим множество (р — 1)-х корней из единицы через Гр. Там существует первообразный корень £, такой что Гр =
Для любого натурального числа к рассмотрим неподвижные точки мономиального отображения х о хк. Они задаются уравнением хк = ж, и, значит, кроме точки х = 0 мы имеем решения уравнения хк-Х = 1, которые мы обозначаем через Гр. Заметим, что Г^ = {l,^m, рт,С Гр при т = -—7~Г—п’ где для любых a, b е N (а, 6) обозначает наибольший общий делитель чисел а и Ь, см. предложение 5.1, гл. 1. Дано два отображения Д: х о хк и Д: х нч х1; fi отображает множество Гр само к — 1
в себя, и мы имеем Д[Гр] = Гп С Гр при и = ——- + 1.
(к —
Следовательно, отображение Д действует как перестановка на Гр тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель к — 1 и I равен 1, это значит (к — 1,/) = 1.
Точки в Г^ являются аттракторами тогда и только тогда, когда р делит к (см. теорему 5.1 гл. 1).
Случайные динамические системы
Случайные динамические системы (СДС) описывают временные эволюции при наличии случайного шума. Эволюция самого шума моделируется с помощью сохраняющего меру преобразования на вероятностном пространстве (Q,^, Р). По техническим причинам обычно предполагается, что обратимо и эргодично. Динамика СДС происходит в пространстве состояний X, которое, как здесь мы предполагаем, является компактным топологическим пространством, оснащенным соответствующей боре- левской а-алгеброй подмножеств множества X. При дискретном времени СДС ф задастся на X композицией случайных непрерывных отображений ффф, ш efL Временная эволюция задастся для n Е N с помощью отображения
х нэ ффг, ш)х = ффГ^ш) о о ф^ш^х , такого что (ш,ж) нэ фффх измеримо. Это ф определяет измеримый коцикл:
ффг + т, ш) = фф-у ^ш) о ффгц ш) для всех ш Е О, п, т Е N.
Это адаптация свойства потока динамических систем к случайной ситуации. Основной задачей здесь является описание движения простейших инвариантных множеств, в частности, аттракторов. В детерминистском случае они задаются неподвижными или периодическими точками. Они играют незначительную роль в теории случайных динамических систем. Заметим, что точка х может быть неподвижной точкой случайной динамической системы ф только в том случае, когда она является неподвижной точкой для всех случайных отображений ф(ш). Эта ситуация нс типична для обычных СДС. Однако мы вскоре столкнемся с ней в случае р-адических СДС. Существуют другие понятия, имеющие важное значение для СДС, а именно стационарные решения, которые могут рассматриваться в качестве случайных аналогов неподвижных точек. Они задаются случайными величинами х; О X такими, что
<^(ш)ж(ш) = ж(^ш) для всех ш е О.
Другой подход основан на рассмотрении мер Дирака 5Ж^ и интегрировании их по Р. В результате получаем инвариантную меру для данной СДС. Многочисленные явления в элементарной стохастической динамике могут быть лучше представлены такими инвариантными мерами, чем инвариантными или стационарными подмножествами пространства состояний, которые,
фактически, соответствуют носителям мер. Основным достоинством этого подхода является то, что меры отражают динамику, в то время как инвариантные множества являются статическими объектами. Мы столкнемся с этим позднее при изучении р-адических СДС.
Инвариантные множества-аттракторы А для СДС ф являются, вообще говоря, случайными. Они задаются измеримыми функциями А(ш), удовлетворяющими равенству ф(ш)А(ш) = = А^ш) и притягивающими случайные окрестности П(ш):
lim р(ф(п, ^™nuj)UА(ш)) = О п^оо
для почти всех со е О относительно меры Р. Далее всюду мы будем писать сокращенно: Р-п.в. Здесь мы использовали обычную псевдометрику Хаусдорфа (см. гл. 2), задаваемую формулой
p(D, Л) = sup inf |х — р|р.
xED убА
Хотя этот тип сходимости выглядит достаточно необычно, он широко используется в теории СДС. Из него следует сходимость по вероятности с опережением: для любого е > 0 и любого случайного компакта С(ш), заданного в некоторой области притяжения, справедливо равенство
lim Р{ш: рфф(гц ш)С(ш), А(#пш)) < s} = 1. п-лоо
Нам нет необходимости обращать внимание на эти различия, так как мы получим более сильные результаты сходимости, а именно Р-п.в. сходимость с опережением. Обойдемся и без строгого введения общего понятия аттрактора. В наших исследованиях р-адических СДС возникнут аттракторы, притягивающие неслучайные окрестности.
Мы будем изучать р-адическую СДС, которая является стохастическим обобщением детерминистской динамической системы
Жп+1 = ЛЩ), где fs^ = xs, s = 2,3,..., х е X. (8.1)
здесь X — подмножество Qp.
Теперь построим СДС, соответствующую динамике (8.1) со случайно изменяющимся параметром s. Пусть Дш) — дискретная случайная величина, принимающая значения Sj с вероятностями qj > О, у = 1,... ,т, где Sj е N и Sj ^ Si при j ^ г.
Положим ф(ш)х = х8^ш\ х Е Qp. Это случайное отображение порождает СДС
ффг,ш)х = х8п^ш\ где 8п(ш) = П з^ш), 721, х Е X,
(8.2) здесь X с Qp. Введем множество (именуемое орбитой)
О^гф = {а Е Гр: а = ^1= 0, 1, ... }
точек, которые могут достигаться из ту, эволюционирующих по закону СДС, и множество (именуемое предорбитой)
О™(р) = {7 Е Гр: ysi1 ***Sn^ = р при некотором kj = 0,1,...} точек, которые могут достичь ту в результате СДС-эволюции. Заметим, что это множество нс связано с асимптотическим поведением, так как точки в О~(тф на самом деле достигают ту за конечное время.
Как обычно, благодаря обратимости $, мы можем рассмотреть ффр^^иф = xS-n^\ где 8_п(ш) = Дт?-1^ ... з(^пиз). Как следствие коммутативности мы получаем представление 8н(ш) = = }} для некоторых 0 крп п при ^ Ч^ = в- Из ре™ 3 = ^з — \
куррентной теоремы Пуанкаре мы получаем, что для каждого j 6 {1,..., m}
криЧф -Е ОО, Р-П.в. При 72 -л ОО.(8.3)
Мы интересуемся только аттракторами случайных динамиче™ ских систем. Следовательно, в дальнейшем будем рассматривать только случай, когда по крайней мере одно из чисел з^у = = 1,2,..., m, делится на р.
Как и для детерминистских систем (8.1), легко доказать, что 0 и оо являются аттракторами СДС (8.2) с областями притяжения Д(0) = U\jp^ и А(оо) = Qp \ 1/Д0), соответственно. Эти аттракторы являются детерминистскими в том смысле, что
sup 1^(72, 'д™пш)х\р -л 0, жеЛ(О)
а
sup 1^(72, 7? Пш)ж|р ОО, 72 —Л ОО, Р™П. В. же л(оо)
Поэтому, как и в детерминистском случае, нам следует изу™ чать поведение (8.2) только на единичной сфере X = 8\ (0).
Мы покажем, что СДС имеет только детерминистские инвариантные множества, однако динамика остается стохастической. Заметим, что
sup |ф(п, Дпш)х\р = р (ф(п, ДпиУ)А((Д {0}) , жеЛ(О)
где р — расстояние Хаусдорфа на совокупности P(Qp) всех подмножеств множества Qp.
Говорят, что множество А С S\ (0) является s-инвариантным, если fs. (Л) = А для всех j = 1,..., m.
Определим 2S := /f™1 о ... о /ГД^Гр). Множество 2S является циклической подгруппой порядка q группы Гр, где q — наибольший делитель р — 1 при (q,Sj) = 1 для всех j, т. с. 2S = Гд+1. Значит, это s-инвариантное множество, поскольку каждое fs. является перестановкой на 2S.
Пример 2.1. Пусть р = 61, si =61, S2 = 2. Тогда р — 1 = = 60 = 22 • 3 • 5, и 2(61,2) = Гщ = {1, ^4,..., ^56} ввиду того, что — первообразный корень 60™й степени из единицы. Если мы теперь добавим некоторый показатель S3 такой, что (S3, |X(6i,2)l) = = 1 (где | • | обозначает порядок группы), то получим 2(612,S3) = = 2(61,2)- Если же мы добавим, например, некоторое S3 такое, что (S3, |2(61Д)|) = 5, то множество 2(бц2^3) будет иметь порядок 3 и совпадать с {1,£20, £40}.
Остальные примеры будут рассмотрены в следующем разделе.
Теорема 2.1. Множество 2S является аттрактором для СДС (8.2) на сфере X = ^(0).
Доказательство. Из предыдущих рассуждений следует, что ффг,ш)(1Д = 2S, a O^(2S) = Гр по определению. Значит, остается показать, что
lim р(ф(т1Д™пш)Х ДД = 0 Р-п.в. п-чею
Для каждого х Е Si (0) положим х := 7 + щ где 7 Е Гр, \ЦР С 1/р. Заметим, что 7s-™ еД после конечного числа шагов с вероятностью 1, а следовательно, для достаточно большого тц согласно рекуррентной теореме Пуанкаре, имеем соотношения: рДф1Д™иДХД^™ sup inf \ффгД-иш^х — Др —
xeS\ (0) ^eTs
= sup inf— Др =
xES\ (0) 2Els
= sup inf |(7 + u)s^n^ — ^^Ар Ыр^1/р 7^Гр
^ sup |5Сп(ш)|р|'и|р О Р-п.в.
Последнее неравенство имеет место ввиду леммы 1.1.
Заметим, что теорема 2.1 ничего нс говорит о динамике. Она лишь описывает статическую модель. Болес полная картина аттракторов СДС может быть описана, если мы интерпретируем А как носитель инвариантной меры /1, которая в свою очередь может быть получена как аттрактор мер. Описание стохастичности динамики получается с помощью предложения 2.1 (см. ниже), в котором рассматривается случайность, моделируемая процессом Бернулли. Этот процесс характеризуется следующим свойством случайного потока: случайные величины 1?(ш),..., 1?п(ш),... являются равномерно и независимо распределенными (описание этого процесса см. в разделе 3).
Предложение 2.1. Пусть ^ — процесс Бернулли и пусть А — инвариантное подмножество для СДС (8.2). Тогда динамика на А является марковской с однородной вероятностью Р(а, Ь) перехода из состояния а в состояние b за один шаг, которая задается формулой
Р(а,6) = Р{шеО: ф(1,ш) = Д, /Да) = 6}.
Доказательство. Это хорошо известный результат и его можно найти в наиболее общей форме в работе [15]. Здесь мы представляем простое доказательство для рассматриваемого случая. Из представления СДС как произведения случайных отображений, которые, согласно свойству Бернулли, являются независимыми, ясно, что условная вероятность Рфхь^к |..., «о» во) состояния а^ в некоторый це
лочисленный момент времени п^ при условии знания предыдущих состояний а^-i,..., «о в целочисленные моменты времени, 71^-1 > ... > 7Щ 0, с учетом того, что сохраняет меру, задастся формулой
Р(аь ?н|а&-ь Пк-ъ ••• , «о,^о) =
= Р{ш € О : ффгк ™=
= Рф^нЬ-ь^к-?) = Р(аь 1|а^^,0).
Множество 2g обычно разбивается на более мелкие инвариантные подмножества, т. е. Is = Ii U ... Uln, li Hlj = 0, i j, и fSj(Ik) = Ik Для всех к и j. Множество {1} всегда является инвариантным множеством. Областью притяжения Ik является множество
Os= и о-м.
Обозначим порядок аттрактора Is буквой q. Для каждого множества Is существует первообразный корень £, который порождает его (положим С :™ С q )• Теперь рассмотрим инвариантные относительно отображения fSi подмножества; они задаются орбитами О5Д£а), а € Д , q — 1}. Как они выглядят? Это эквивалентно проблеме описания множеств {а • s^modg, к Е Е N}. Такую задачу обычно можно решить только численными методами. Однако мы можем дать качественный ответ на вопрос о размерах инвариантных множеств. Пусть da — число элементов в рассмотренной выше орбите. Рассмотрим q = рД х ... х р™и — разложение q на простые числа. Поскольку (si,q) = 1, то da является порядком s^ по модулю ---. А он делит qa — число д)
обратимых по умножению элементов в кольце Zy ^^-Z. Пусть --- = pH1 х ... х р1^. Тогда ввиду общеизвестных теоретико- (a, q) 1
числовых рассуждении
- ПрГ'-'(р< - 1).
Следовательно, мы знаем, что длины всех орбит делят числа qa, a^q-1. Если, к примеру, q простое, то (д,а) = 1 для всех а, и, значит, длины орбит делят q — X. Примеры на эту тему будут в следующем разделе.
Инвариантные множества СДС (8.2) являются объединениями соответствующих инвариантных множеств относительно /Д.
Интересно, что аттрактор определяется наибольшими общими делителями показателей Sj и числа (р — 1), и что инвариантные множества и области притяжения определяются порядками Sj по модулю q. Таким образом, для данной СДС с (si,..., sm) мы можем добавлять числа t Е N с t ™ Sj mod (р — 1) при некотором j к множеству параметров (или менять соответствующие параметры). Это ничего нс изменит в структуре инвариантных множеств, но это может изменить динамическое поведение вне
9 А. Ю. Хренников
множеств. Следовательно, мы можем расширить класс СДС, рассматривая бесконечные множества параметров, т. с. 5(ш) = s^, Sj для i Д у = 1,2,..., с вероятностями qj > 0, и по крайней мере одно из Sj делится на р. Полагаем
ОО
s = ОДем; rs = P| rSj.;
5=1
Гк i к j
OMf = Ы е Гр : а = if' -si
Гк ] к j
ОЛЛ = < 7 € Гр : 7S1- = Т)
ООЛ
при некотором kj = 0, 1,..., У2 ^з < сю >.
Говорят, что множество А с S\ (0) s-инвариантно, если fs. (А) = = А при всех j. Используя рекуррентную теорему Пуанкаре для случайной величины 5(ш) (принимающей бесконечное число значений) и повторяя доказательство теоремы 2.1, мы найдем, что эта теорема также верна и для СДС, порожденной 5(ш).
Мы обсудили случайную динамику /-состояний. Эти результаты могут быть легко переформулированы для динамики идей. Каждое /-состояние а Е Гр может быть отождествлено с ассоциацией первого порядка Аао = 1Л/р(аД, а = (ao,«i,...). Значит, каждое инвариантное множество-аттрактор I С Is может отождествляться с идеей Jj = {Аао}а€2ч Область притяжения Л(Х) порождает область притяжения Л(^), которая равняется {^a0}aeOs- Фактически, мы доказали, что случайные итерации идеи (множества ассоциаций) Л(^) сходятся к аттрактору Jj. Сформулируем доказанное в виде теоремы.
Теорема 2.2. СДС (8.2) имеет только детерминистские аттракторы в пространстве идей Хю*
Таким образом, наличие случайности нс может нарушить производства детерминистских идей. Несмотря на случайные флуктуации в процессе мышления, мозг по-прежнему будет генерировать ту же самую идею-аттрактор, стартуя с фиксированной начальной идеи. Безусловно, как и во всех вероятностных утверждениях, мы нс имеем стопроцентного детерминизма.
Асимптотическое поведение, динамикана аттракторе, примеры
В этом разделе мы рассматриваем асимптотическое поведение некоторых р-адических СДС, которые по теореме 2.1 имеют аттрактор. Фиксируем простое число р, обозначим через первообразный корень из единицы степени р — 1. В соответствии с результатами раздела 2, необходимо рассмотреть только параметры Sj ^ р. Мы исключаем из рассмотрения параметр s = 1 (соответствующий тождественному отображению) и параметр s = = р— 1 (для которого аттрактор совпадает с множеством {1}). Рассмотрим
8 . О ¥ { 81, . . . , 8 m },
случайную величину с распределением вероятностей, задаваемым вектором чисел (gi,...,gm), таким что q^ > 0, ^gi = 1. СДС ф задастся выражением г
г Ж8Н^
П 1,
ф(п, ш)ж = <
X,
72 = 0,
и С — 1
В качестве генератора случайного выбора будем использовать m-сторонний многогранник, соответствующий распределению вероятностей (дь-.-Лт)- Многогранники бросаются независимо в каждый момент времени. Этот случайный генератор может быть описан так называемым сдвигом Бернулли, который является сохраняющим меру преобразованием на пространстве всех двусторонних последовательностей, состоящих из т символов.
Согласно тереме 2.1 и предложению 2.1, мы можем ограничится рассмотрением динамики СДС ф на аттракторе 2g, где динамическое поведение может быть описано (возможно, неоднородной) цепью Маркова. В наших примерах механизм случайного выбора задан и порождаемая цепь Маркова является однородной. Вероятность перехода зависит только от текущего состояния и нс зависит от момента времени и случая. Асимптотическое поведение этой цепи Маркова определяется стационарным распределением. Такое стационарное распределение всегда существует вследствие того, что 1 является собственным значением матрицы перехода цепи Маркова. Оно может быть нс единственным, если цепь Маркова не является неприводимой. Напомним, что неприводимость означает положительность вероятности того, что каждое состояние достигнет любого другого состояния.
Нетрудно видеть, что цепь Маркова, задаваемая динамической системой ф на множестве Is, нс может быть неприводимой, так как £° = 1 всегда является неподвижной точкой, которую она никогда нс покинет.
После достижения неподвижной точки, динамика ф может рассматриваться как тривиальная цепь Маркова, заданная на одном состоянии. Если имеются некоторые ^-инвариантные подмножества 2g, на которых ф действует как нетривиальная цепь Маркова, то мы можем разделить аттрактор на компоненты, в которых динамическое поведение ф является одной из неприводимых цепей Маркова. В этом случае стационарное распределение на компоненте является единственным и определяет движение ф, но выбор окончательно достигаемой компоненты зависит от начальных условий.
Рассмотрим СДС ф при следующих значениях параметров: р = 29, si = 29, s2 = 2, s3 = 3. Так как р - 1 = 28 = 22 • 7, получим аттрактор 1(29,2,3) — {L ^4 ^8 • • •, €24}> состоящий из q = = 7 элементов, где ^ — первообразный корень 28-й степени из единицы. Порядок числа 2 по модулю 7 равен 3, а порядок числа 3 по модулю 7 равен 6. Таким образом, мы знаем, что в Т^ддд) имеются два множества, инвариантных относительно /2, и одно множество, инвариантное относительно /3 (помимо {1}). Это означает, что ^27(29,2,3) разделяется на два (29,2,3)-инвариант- ных множества, {1} и {1, ^4, ^8,... , ^24}. Если мы рассмотрим динамику отображения f^x^ = ж2 на аттракторе, то получим неподвижную точку 1 с областью притяжения {£7, ^14, £21} и два инвариантных подмножества: {£4, £8, £16} и {£12, ^24, £20} с областями притяжения
{^ ^2 ^9 ^18 ^11 ^22 ^15 ^23 ^25j
И R3 С6 С10 С13 С26 С17 €19 €27}
соответственно. Рассмотрев /3, мы получим неподвижную точку 1 и цикл длины 6, состоящий из J :=Х(29щз) \ {1}. Благодаря этому циклу, порожденному отображением /3, обе инвариантные компоненты отображения /2 сливаются друг с другом. Аттрактор СДС ф состоит из двух компонент: множества J и неподвижной точки 1, на которых динамика задастся неприводимой цепью Маркова. Таким образом, получаем следующую картину динамики Маркова на аттракторе ^29,2,3) •
Заметим, что (как следствие симметрии аргументов) матрица перехода для цепи Маркова на J должна быть бистохастична
Рис. 8.1. Цепь Маркова, задаваемая ф на Т^р^р (щ опущено)
(т. е. суммы элементов как по строке, так и по столбцу равны 1). Поэтому левые собственные векторы, соответствующие собственному значению 1, имеют идентичные координаты и задают равномерное распределение, являющееся единственной стационарной мерой для цепи Маркова. Таким образом, каждому элементу J приписывается вероятность 1/6 независимо от распределения вероятности (дь^^з) нашего генератора выбора. Достигают ли в конце концов итерации СДС неподвижной точки или они навсегда остаются в J, зависит от начальных условий СДС. Мы определили все инвариантные меры СДС ф; первая — это мера Дирака с носителем в неподвижной точке, а вторая — это стационарное распределение на J. Это все эргодические инвариантные меры случайной динамической системы ф. Все остальные инвариантные меры являются выпуклыми комбинациями этих двух мер.
Теперь вернемся к примеру с р = 61 и si = 61, S2 = 2. Как мы увидели выше, аттрактор X(6i,2) состоит из 15 элементов, среди которых мы обнаружили единственную неподвижную точку 1, одно инвариантное подмножество, состоящее из 2 элементов, и три подмножества, каждое из которых состоит из 4 элементов. Вновь эргодические инвариантные меры системы ф являются единственными стационарными распределениями на этих компонентах, которые опять-таки все являются симметричными. Как уже обсуждалось, если мы добавляем 53 = 3 к случайной динамической системе ф, то размер аттрактора сокращается до 5 элементов. Аттрактор Х(6ц2,3) состоит из неподвижной точки 1 и множества {£12, £24, £48, £36}, на котором ф действует как непри-
водимая цепь Маркова. Поэтому продолженное ф снова обладает двумя эргодическими инвариантными мерами, как и в предыдущем примере.
Подобные явления могут наблюдаться, если мы увеличим влияние шума, т. е. если мы позволим случайной величине s принимать более широкий диапазон значений. Но если множество значений s становится слишком большим, то все точки сферы 5Д0) притягиваются к неподвижной точке 1. Резюмируя наши экспериментальные результаты, можно сделать вывод, что более сильный шум приводит как к уменьшению размера аттрактора, так и к уменьшению числа инвариантных подмножеств. В частности, только неподвижная точка £° остается аттрактором, если шум становится слишком сильным. На таких инвариантных подмножествах ф действует как неприводимая цепь Маркова. Здесь стационарное распределение предписывает одинаковую вероятность всем элементам этого исключительного подмножества. Выбор неприводимой компоненты зависит от начальных условий и от случая. Выбор вероятностей q^ для СДС ф влияет только на время достижения неприводимой компоненты.
Следствия для наук о мышлении
Мы изучили случайную динамику /-состояний и соответствующую динамику идей. Наши математические исследования имеют следующие следствия для наук о мышлении.
Наличие шума не может помешать ясности мышления, р-адическая динамическая мыслящая система никогда не сможет произвести «случайные идеи».
Аттракторы р-адической СДС могут быть очень сложными конфигурациями /-состояний (= идей). Например, пусть р = 41, S1 = Ц; s2 = 41, тогда имеются 25 инвариантных подмножеств (10 неподвижных точек и 15 двухточечных множеств); пусть р = = 41, si = 17, S2 =41, тогда имеются 16 инвариантных подмножеств (8 неподвижных точек и 8 четырехточечных множеств); р = 41, si = 13, S2 = 41, тогда имеется 14 инвариантных подмножеств (4 неподвижные точки, 2 двухточечных множества и 8 четырехточечных).
Наличие случайности в р-адической мыслящей системе имеет важные положительные эффекты для процесса мышления. Во-первых, флуктуации параметров Sj исключают возможность возникновения стабилизационных режимов, отличных от аттракторов (если qj > 0 по крайней мере для одного Sj такого, что (р, Sj) ^ 1, то все инвариантные множества СДС являют™
ся аттракторами). Вторым положительным эффектом является то, что флуктуации Sj могут производить новые конфигурации /-состояний (идей), которые не доступны в детерминистских динамических системах.
Уровни вероятностей qj > 0 определяют не конкретные конфигурации /-состояний (идей), а только лишь скорость мыслительного процесса.
Наша модель может быть использована для того, чтобы объяснить, почему индивиды могут обладать различными умственными способностями. Некоторые значения Sj производят очень богатые конфигурации /-состояний (идей). Например, если р = 29 и si = 15, S2 = 29, то аттрактор разлагается на 21 инвариантных множеств (аттракторов). Большинство других значений §j производят достаточно бедные конфигурации /-состояний (идей). Например, если р = 29, a si = 14, s^ = 29, то аттрактором будет множество {1}. Поэтому одна мыслящая система, возможно, использовала шумовой контроль, основанный на случайных флуктуациях «плодотворных параметров». Другие мыслящие системы могли использовать шумовой контроль, основанный на случайных флуктуациях «неплодотворных параметров». Это различие, с одной стороны, может быть следствием различий в физических структурах мыслящих систем (генераторы случайности отличаются физически). С другой стороны, оно также может быть следствием процесса случайного обучения. В пределах этого процесса мыслящие системы записывают некоторые распределения вероятности, которые потом будут использовать в процессе мышления. Одна мыслящая система может быть привычна к «плодотворным шумам», другая — к «неплодотворным шумам».
Наша простая модель описывает некоторые существенные и реальные черты психологического поведения людей. Как мы уже отмечали, в процессе случайного обучения каждая мыслящая система записывает набор распределений вероятности параметров. Этот набор определяет спектр идей, доступных для мыслящей системы. Если мыслящая система неспособна изменять набор параметров (за разумное время), то она всегда будет оперировать с одним и тем же набором идей. Мыслящие системы, обладающие большим спектром идей, непременно обладают большей способностью к изменению распределений параметров.
На основе р-адической динамической модели мышления мы могли бы попытаться объяснить причины некоторых душевных расстройств. Некоторые значения параметров sj приводят к сильному вырождению идей. Как мы отмечали, если р = 29, a s = 14,
то целое ментальное пространство X/ = 51(0) притягивается единственным /-состоянием (идеей) а = 1. Такая ситуация может быть связана с маниакальным поведением человека. Кроме того, такие параметры вырождения являются устойчивыми по отношению к шуму. Например, если р = 29, a si = 14 (с достаточно высокой вероятностью gi), то шум на любом множестве параметров Sj, j = 2,..., m, приведет к притяжению X = 5Д0) к одной и той же идее а = 1. Поэтому с помощью шумового обучения изменить маниакальное поведение практически невозможно. Изменить параметр вырождения может только сознание. Значение вероятности параметра вырождения qj > 0 определяет «уровень маниакального поведения».
Возможно, мы также объясним так называемые творческие кризисы. Допустим, что мыслящая система т имела СДС с богатой конфигурацией аттракторов. «Творческий кризис» приводит к тому, что новая СДС имеет бедную структуру аттракторов. Это может произойти при появлении всего лишь одного нового параметра Sj (с qj > 0) в распределении шума. В этом случае «творчество» системы т будет полностью нарушено. Видимо, только сознание может исключить этот параметр и вернуть творческий настрой.
Наша модель, возможно, объяснит происхождение стресса. Пытаясь получить новые конфигурации /-состояний (= идей), сознание использует новые случайные смеси параметров sj, j = l,...,m. Довольно естественно оперировать со все большим и большим числом (т) параметров (используя малые вероятности qj > 0). Однако процесс включения новых параметров в конце концов приведет к появлению некоторого параметра вырождения. Поскольку в этот момент времени мыслящая система будет работать очень активно (большое число параметров уже включено в процесс случайного мышления) и скорее всего не плодотворно, то эту ситуацию можно связать с состоянием психологического стресса. Более того, из нашей модели следует, что в этом состоянии мыслящая система будет автоматически концентрироваться на весьма ограниченном множестве идей (или только на одной идее — идее-фикс). Такая концентрация может быть связана с некоторыми душевными заболеваниями человека. Эту ситуацию можно изменить только одним способом — исключить параметры вырождения. Тем не менее, чем больше параметров включено в процесс случайного мышления, тем меньше шансов сознательно выявить параметры вырождения. Поэтому мыслящая система использует следующий простой метод: она исключает из мыслительного процесса максимальное, на сколько
это возможно, число параметров («полная релаксация»). Таким способом она может исключить параметры вырождения. Если стресс не прекращается (т. е. «полная релаксация» не исключила некоторые параметры вырождения), то мыслящая система повторяет процедуру «полной релаксации» для остального множества параметров.
Глава 9
ДИНАМИКА В ПРОСТРАНСТВЕ ИДЕИ
Как мы уже обсудили в гл. Г динамические системы над m-адическими деревьями имеют большое число циклов для /-состояний также, как и для ассоциаций, нечетких циклов (см. работы [111, 61], где приведены многочисленные примеры, и см. [122, 145], содержащие общие результаты). Это является одним из основных недостатков процесса мышления на уровне /-состояний и ассоциаций: стартуя с начального /-состояния жо (или ассоциации Ад), мозг мыслящей системы т часто не получает какого-либо определенного решения. Однако циклы ассоциаций образуют аттракторы в пространстве идей! Следовательно, развив способность работы с наборами ассоциаций (идеями), мыслящие системы смогли трансформировать недостаток, связанный с возникновением циклов, в важнейшее достоинство: богатство циклического поведения на уровне ассоциаций влечет богатство множества возможных идей-решений.
В этой главе мы доказываем существование аттракторов в пространстве идей, а также представляем алгоритмы для нахождения этих аттракторов.
Динамика в псевдометрических пространствахмножеств
Пусть (X; р) ™ метрическое пространство. Как мы уже упоминали, расстояние Хаусдорфа
р(А, В) = sup р(а, В) = sup inf р(а, 6)(9.1)
aG/lскЕ-Д bEB
не является метрикой на множестве Y = Р(Х) всех подмножеств множества X. Оно является только псевдометрикой.
В частности, из р(А, В) = 0 не следует, что А = В. Например, рассмотрим подмножество А множества В. Здесь для каждого а е А, р(а, В) = inf^es р(«, Ь) = р(а, а) = 0. Таким образом, р(А, В) = 0. Тем не менее, из р(А, В) = 0 не следует,
что А с В 9. Кроме того, расстояние Хаусдорфа не является симметричным: вообще говоря, р{А, В) ^ р(В,А) ).
Будем пользоваться следующим простым фактом. Пусть В — замкнутое подмножество в метрическом пространстве X ). То™ гда р(Л, В) = 0, когда А с В. В частности, это верно для конечных множеств.
Мы можем повторить предыдущие рассуждения, используя псевдометрику Хаусдорфа на Y. Положим Z = Р(У) (множество всех подмножеств множества Y) и определим псевдометрику Ха™ усдорфа на Z. Поскольку р : Y х Y R+ не является метрикой (а только псевдометрикой), псевдометрика Хаусдорфа р : Z х х Z R+ не обладает теми же свойствами, как р : Y х Y ™э R+. В частности, даже если Л, В — конечные множества, принадлежащие P(Y), то из того, что р(Л, В) = 0, не следует, что д _ подмножество В. Например, пусть А = {п} и В = = {г;} — одноточечные множества (и, г; ЕУ = Т^Х^ и пусть и С г; (как подмножества X). Тогда р^и,^ = 0. Если и — собственное подмножество и, то А не является подмножеством В (в пространстве У).
Предложение 1Л. Пусть Л, В Е Z = Р(У) — конечные подмножества и пусть элементами множества В являются замкнутые подмножества пространства X. Если р(А, В) = 0, то для каждого и Е А существует с Е В такое, что и С с.
Доказательство. Так как р(А, В) = 0, то для всякого и Е А имеем равенства р(и, В) = minp(n, b) = 0. Поэтому для любого -и Е А существует с Е В такой, что р(ри, с) = 0. Так как с — замкнутое подмножество множества X, то и С с.
Пусть Л, В Е Z и пусть для каждого -и Е А существует и Е В такое, что -и С с. Такое соотношение между множествами А и В мы будем обозначать символом А С С В (в частности, из А С В следует, что А с С В). Заметим, что из А с С В и В с С А не следует равенства А = В. Например, пусть А = {гц, ^2} и пусть
9 Пусть В — незамкнутое подмножество метрического пространства X и пусть А — замыкание множества В. Здесь В является собственным подмножеством А. Но для каждого а Е А имеем р(а, В) = = mf р(а, 6) = 0. Следовательно, р(А, В) = 0.
в = Щ}- где и\ С ^2. Заметим, что из Д1 с С В\ и А^ С С В^ следует соотношение Hi U Л 2 С С Вх U В^.
Пусть /: Z Z — некоторое отображение. Пусть И — неподвижная точка отображения /, ЦН) = И. Область притяжения точки Н — это множество А(Н) = {J е Z: lim р{/пЦЦН) = п^оо
= 0}. Заметим, что соотношение J Е А(Н) означает то, что итерации /n(J) множества J (приблизительно) поглощаются множеством Н. Точку И называют аттрактором точки J е Z, если для любой неподвижной точки Н' отображения /, такой что lim p(fn(jy Hf) = 0 (так что J Е А(Н'Ц мы имеем И с Н'. п-лоо
Таким образом, аттрактором множества «Це P(Y)) является минимальное множество, которое притягивает J. Такой аттрактор определяется единственным образом.
Неподвижную точку И отображения / называют сс-аттрак- тором для точки J Е Z, если для любой неподвижной точки Н' отображения /, такой что lim p(fn(J),H') = 0 (поэтому n-4-сю
J Е А^Н'Ц верно Н с С Н\ сс-аттрактор определяется единственным образом. Например, пусть J = {п}, и Е Y, Ци) = и. Здесь множество J является сс-аттрактором (для самого себя) также, как и для любой детализации множества J: множества А = {и, щ,..., где С и.
Все предыдущие рассуждения могут быть повторены, если вместо пространств Y = Р(Х) и Z = Р(ЦЦ состоящих из всех подмножеств, мы рассмотрим некоторые семейства подмножеств:
и сР^ху ¥ = РфУ
Мы получим псевдометрические пространства (U,p) и (У,р).
Пусть Ц U U — некоторое отображение. Для и Е U положим,
ФРР = УЧГк = 0, 1,2,,
ИОО
Ооо(Л = П
к=0
Множество ОоДп) называют орбитой элемента и. Для множества J Е V положим СЦ^УЦ = |J О+дДи) и Ooq(J) =
J
= IJ Ооо(^)- Таким образом,
uEJ
ОООО ОО
= и /ЧГ и орр = п и /Чр.
l = kk=Q l=k
Лемма 1.1. Пусть пространство U с P(JQ конечно. То™ еда для каждого J е V = P(U) J притягивается множеством O^JY
Доказательство. Во-первых, заметим, что поскольку
С С ОрЛМ) С ОдМ С ... С Ор^и)
и О^о(и) конечно, то мы получаем, что ОоДп) = Ор^(щ) для k N^u), где N^u) достаточно велико.
Докажем, что для каждого и Е Л множество ОоДп) является инвариантным относительно / и
lim MW^W'
к—>оо
Так как О Ди) = О^Ди), к > N(u), и ДО+Дм)) = 0+>fc+i(u), мы получим, что /(ОДи)) = ОДи). Если к ^ N(u), то fk(u) G G О^Ди) = ОДи). Поэтому p(/fe(u), ОДи)) = 0. Имеем равенства:
ДОДД) = J ДОДи)) = и ОДи) = одр.uEJuEJ
Значит, Ooo(J) является инвариантным относительно /. Пусть N(J) = max^j N(u). Если к ^ П(Л), то для каждого -и Е Е Л имеем р^Уиф Ooo(J)) pUk^HY О^и)) = 0. Поэтому J Е Е А^О^ЛУ).
Псевдометрику р (на некотором пространстве) называют ограниченной снизу, если
5 = inf {q = р^а, Ц ф 0} > 0.(9.2)
Если р — метрика, то (9.2) эквивалентно условию
5 = inf ^q = р(а, b): а ^ Ь} > 0.
Теорема 1.1. Пусть пространство U с Р(Х) конечно и пусть расстояние Хаусдорфа на пространстве U является метрикой, ограниченной снизу. Тогда для каждого множества J eV = T(U) существует аттрактор, а именно множество ом.
Доказательство. В силу леммы 1.1 J Е Д(Ooo(J)). Нам нужно доказать, что если для некоторого множества А Е V верно равенство
lim p(fk(u),A) = 0,(9.3)
k-моо
то Ооо^и^ С А. Пусть руЧ/оф А) < 5 для I > k > N(u) (здесь 5 определяется условием (9.2)). Поскольку А -- конечное множество (и здесь p(d, А) = min p(d, а)), мы получим, что
аСА
р(Ди),а)=0(9.4)
для некоторого а = ауД) G А. Следовательно,
/'(«) = а(иЛ) € А, 1^к.(9.5)
Таким образом, О^У^ = О^УУ С А. Пусть
lim рЩ(7),Л) = 0.(9.6)
Так как U конечно (и поэтому J также конечно), равенство (9.6) справедливо тогда и только тогда, когда (9.3) верно для всех и Е J. Поэтому Ooo(n) С А для каждого и Е J. Таким образом, Ooo(J) С А.
Если расстояние Хаусдорфа не является метрикой на U (а только псевдометрикой), то, вообще говоря, множество O^J) не является аттрактором для множества J. Тем не менее, имеем следующий результат.
Теорема 1.2. Пусть пространство U сР(Х) конечно и пусть все элементы пространства U являются замкнутыми подмножествами метрического пространства (Х,рф Пусть псевдометрика Хаусдорфа на пространстве U ограничена снизу. Тогда каждое множество J е V = РУ^ имеет СС-аттрактор, а именно множество О УДУ
Доказательство. В силу леммы 1.1 вновь имеем, что J Е Аууу)). Нам нужно доказать, что если для некоторого множества А Е V справедливо (9.3), то ОооУ) С С А. Мы снова получим равенство (9.4). Однако поскольку р всего лишь псевдометрика, из этого равенства не следует равенство (9.5). Применим предложение 1.1 и получим, что fly) С аУ,Г). Так как ОоДп) = О^^У) для достаточно большого к, получаем, что для каждого w Е О^У) (w = fly)J к) существует а Е А такое, что w С а. Поэтому ОтУ) С С Д.
В приложениях к обработке информации мы будем использовать следующую конструкцию.
Пусть (X, р) — ультраметрическое пространство. Выберем U С Р(Х) как множество всех шаров Uryy Расстояние Хаусдорфа является ультра-псевдометрикой на пространстве шаров U. Так как шары замкнуты, то условие ругууи8уу =
= 0 влечет соотношение UT^ С Us(by В частности, из p(UT(ay Ur(b)) = 0 следует UT(a) = UT(b).
Предложение 1.2. Пусть UT(a) П Us(b) = 0. Тогда р{иг(ар ОДЬ)) = р^а, Ь).
Доказательство. Имеем p(Ur(ay Us(b)) ^ p(a,Us(b)). Если у Е Us(b), то р^а, b) > s р(Ь, у). Отсюда р^а, у) = р^а, Ь) и, следовательно, p(a,b) С p(Ur(a), Us(b)). С другой стороны, для каждого ж Е Ur(a) имеем р(х,О8(ЬУ С р^х.Ц = р(а,ЬУ Отсюда
sup р(ж, иДЬ)) С р(сц Ь).
xEUr(a)
Выберем в качестве V = Тф) пространство всех подмножеств пространства шаров и рассмотрим псевдометрику Хаусдорфа на этом пространстве.
Существование аттракторов
Начнем с некоторых полезных определений.
Однородные идеи — это идеи, которые образованы ассоциациями одного и того же порядка. Например, идеи
J = {Л5, ..., Лд}, s,... , q Е {0,1},
или
— {AS] S2> ^Qi Q2 К S^, . . . , qi Е {0, 1, . . . , Ш — 1},
являются однородными. Идея
Т — {Лу, Асц s2 , . . . , Лд]д2_^} неоднородная.
Обозначим пространство всех идей, образованных ассоциациями фиксированного порядка Z, символом Хщу (эти ассоциации являются однородными), а пространство всех идей, образованных ассоциациями порядка нс выше L (где L — фиксированное число), символом X^D.
Порядок I ассоциации Aa(b_iai^ может рассматриваться в качестве меры четкости ассоциации. Если I -е ос, то А становится все более и более отчетливой (сосредоточенной вокруг некоторого фиксированного /-состояния). Полезно ввести следующее понятие. Пусть Н = {Aao_ai^ ,... , ApQ_pq^ } — идея и пусть к фиксированное натуральное число. Идею
цкО = {Лао...а^]7]...7А.,..., ApQ_pq^xv..xk
где 7s, As Е {0, l,...,m — 1}, называют к-конкретизацией идеи Н.
Пусть О — некоторое подмножество X/. Пространство ассоциаций, которые составлены из /-состояний ж, принадлежащих множеству О, обозначается символом ХДО). Соответствующее пространство идей обозначается символом Хщф)*
Пусть X = Zm и р = рт. Пространство ассоциаций Хд может быть отождествлено с пространством шаров U. Здесь рт(А,В) = 0 тогда и только тогда, когда А является подассоциацией ассоциации В: А с В. Поэтому рт(Аао_ар Ар0_рт) = = 0 тогда и только тогда, когда I ^ s, а а0 = Аъ ••• ,«s = Ps* В частности, если А, В Е Хдд (ассоциации одного и того же порядка IY то рт^А, В) = 0 тогда и только тогда, когда А = В.
Пространство идей Хю можно отождествить с пространством V = Рф^ (наборов шаров). Введем ультра-псевдометрику Хаусдорфа на пространстве идей. В дальнейших конструкциях мы также будем выбирать некоторые подпространства пространств ассоциаций Хд и идей Хю в качестве пространств U и V, соответственно.
В частности, пространство U = Хдд — пространство ассоциаций порядка I — может отождествляться с пространством всех шаров радиуса г = 1/р1. Расстояние Хаусдорфа рт является метрикой на пространстве U = Хдд. Эта метрика ограничена снизу числом б = 1/р1. Таким образом, фд,ьрт) ™ конечное метрическое пространство с метрикой (расстоянием Хаусдорфа), которая ограничена снизу. Теорема 1.1 может быть применена к пространствам U = Хдд и V = Xjид = Р(Хдд) (однородных идей, состоящих из ассоциаций порядка Z).
Теорема 2.1. Пусть f; Хюд ^шд — отображение, индуцированное некоторым отображением f: Хдд -Е Хдд. Для каждой идеи Л Е Х^д существует аттрактор, а именно множество ОфЛ) Е Хюр
Заметим, что доказательство теоремы 1.1 даст алгоритм построения аттрактора Н = ОфЛУ Мозг мыслящей системы т производит итерации J, Ji = /(J),..., Лп = /(Jn_i),... ДО первого совпадения новой идеи Л8 с одной из предыдущих идей Js = J п. ПОСКОЛЬКУ Лn+j ~ ЛsEj , то Одп (</) — {Л п, . . . , Л5_ 1 } = Ooo(J) является аттрактором.
L
Пусть U = |J Хдд. Это набор всех ассоциаций порядка нс выше L (все шары [ффа), а Е Zm, I С L). Пусть
V = Х/^ ~ ТфУ Расстояние Хаусдорфа не является метрикой на U. Это псевдометрика: если U^pi(a) С их/рк(Ь), то pm(Uypi(a), Ui/pk(b)) = 0. Тем нс менее, расстояние Хаусдорфа ограничено снизу. Согласно предложению 1.2, если pm(Ul/pl(a),Ui/p^b)) ^0, то
м(Ц/Р'(°). Ц/РЩ)) = РтОЛ) ^ HpL.
Таким образом, мы можем применить теорему 1.2 и получить теорему 2.2.
Теорема 2.2. Пусть f: Хд —> Хд — некоторое отображение и пусть для некоторого числа L отображение f; X^D —> X,D является отображением, индуцированным с Хд на XfD. Тогда для каждой идеи J Е X^D существует некоторый СС-аттрактор, а именно множество 0^(3) Е
Как уже было замечено, СС-аттрактор нс является единственным. Казалось бы, у мозга системы т могут возникнуть проблемы с выбором единственного решения задачи J. Однако естественно предположить, что т производит решение-идею J как «алгоритмически» определяемый аттрактор O00(j) 9.
Мышление с постоянной четкостью ассоциаций
Положим О = 5'1(0) -- единичная сфера в Zp с центром в нуле. В этом разделе мы введем большой класс отображений /: О О, которые индуцируют динамику ассоциаций со свойством /: Хд^О^ -Е Хд^О} для всех m (ассоциации порядка m преобразуются в ассоциации того же порядка т).
Мы рассматриваем отображение /: Zp Zp, / = fn(x) = = xn(n = 2,3,...). Сфера О = 5'1(0) является инвариантным подмножеством этого отображения. Мы будем изучать динамику, порожденную отображением / в /-пространстве Xj = О и соответствующую динамику в пространствах ассоциаций Хл(О) и идей Хщ^О). Начнем со следующего математического результата для множества Z* = Zp \ {0}.
О Заметим, что /: Zm Zm не является в общем случае рекурсивной функцией. Так что мы используем более общую точку зрения на понятие алгоритма: рекурсивные функции, которые работают с нерекурсивными блоками /. Во всяком случае мы отвергаем тезис Черча.
Теорема 3.1. fn-o6pa3 любого шара в Zp снова является шаром в Z*.
Доказательство. Пусть UT(a) С Z*, г = 1/рт. Поскольку О U^a), имеем \а\р > г. Докажем, что f(UT(a)) = Us(by где b = ап и s = rlnlplalp™1. Во-первых, докажем, что f(UT(a)) С С Us(by Здесь мы используем следующий результат.
Лемма 3.1. Пусть а,^ € Zp и пусть |а|р > |£|р. Тогда справедлива оценка
Ю + Щ-«Тр<К1<-1|£1 (9.7) для каждого натурального числа гц где равенство выполняется при р > 2.
Для того, чтобы доказать лемму 3.1, воспользуемся леммой 1.1 из гл. 7.
Используя оценку (9.7), получаем, что /([/Да)) С Us(b). Докажем, что f(UT(a)) = Us(b\ Пусть у = ап + /3, где |/3|р s. Мы должны найти Д |£|р г, такое что (а + ^ = ап + 3 или (1 + ^/а)п = 1 + 3!аи. Формально
р-адический бином (1 + А)1^ является аналитическим для | А|р ЫР/р. Имеем ,
Значит, ^ = а[(1 + 3/ап)х/п - 1] 6 Zp. Нам следует доказать, что |£|р г. Имеем
шах1 ^ j < ООшах1 ^ j < ОО11
шах
1 ^ j < ОО
шах
1 ^ j < ОО
1
1
1
Используя неравенство ——рр™\ см. [163, 111], получаем со™
отношениеотношениеи • \р
отношение
отношение
грР^\а\р
В частности, из этой теоремы следует, что если п не делится на р, то /п-образ каждого шара U\/pm{a) С О является шаром U\[pTMHO-
В этом случае fn : Хд)т(О) Хд^О) для всех т. Следовательно, мы можем применить теоремы 2.1, 2.2. Каждая задача J Е Хш,т(О) имеет решение Oyj) Е Хщ^ОУ которое является аттрактором (в пространстве Х^УО)) Для ^- Каждая задача Л Е Х^(О) имеет решение Ooo(J) Е Х^уО), которое является сс-аттрактором (в пространстве Хщ(О)) для Л. Кроме того, схема решения От(Л) может быть сведена к чисто арифметическим вычислениям.
Положим Rpm = {1,2,... ,рш — 1). Мы рассматриваем mod pm — умножение на Rpm (это кольцо классов вычетов по модулю pmY Метрика рр на Rp™ индуцирована из Zp. Эта метрика ограничена снизу числом 5 = 1/рта. Обозначим символом R*m подмножество множества Rpm, состоящее из всех j, нс делящихся на р. Введем функцию /пут) : Rpm Rpm, полагая fn^m\(x) = хп mod рт. Заметим, что Уцщ отображает множество Rpm в себя.
Пусть а Е Rpm. Здесь положим Одд(а) = уп1: I к}, к = ОО
= 0,1,2,..., и (как обычно) О 00(a) = П Одд(аф а O^D) = k=i
= (J О yd) для D С Rpm. Пусть Л Е ХщДО). Значит, Л = deD
= {t/} р^-(ЛЬео- где D с Rp" . Поэтому вместо /^-динамики однородных идей Л Е Х/рУО) мыслящая система т может использовать fn^m)-динамику наборов точек d Е R^m. Она выполняется с помощью арифметики по модулю рт для натуральных чисел. В частности, аттрактор ОуЛ) равен Ух/ртУ) : Е Е Ooo(jD)}. Следовательно, решение Ooo(J) задачи Л может быть построено арифметически по модулю рт.
Гипотеза. Процесс мышления (по крайней мере его существенная часть) основан на арифметике по модулю рт.
Такие же рассуждения могут использоваться для неоднородных идей Л Е Х^О). Здесь Л = УУ, где Jm Е XIDpn(O).
Пример 3.1.
Пусть р = 2 (система кодирования «да»-«нет») и п = 3 и пусть Xj = S\ (0).
Имеется только одна ассоциация порядка 1: А) = ^1/2(1)- Здесь /з(А1) = Ai (тривиальная динамика).
Имеются две ассоциации порядка 2: А10 = ^1/4(1) и Ац = = l/i/4(3). Здесь также /з(Аш) = Аш, /з(Ац) = Ап (тривиальная динамика).
Точно такая же тривиальная динамика имеет место для ассоциаций порядка 3: Лщо = ^1/8(1). ^но = ^i/s(3), 4Wo = = ^1/3(5) и Лщ = Uyj^Y все ассоциации инвариантны относительно отображения /3.
Динамика для ассоциаций порядка 4 нетривиальна. Например, Лцоо = И1/16(3) -> 4110i = ^1/1б(И) Л1цоо = ^1/1б(3). Если система т стартует с начальной идеи-ассоциации J = Лцоо, то она получит идею-решение O^J) = {Лцоо, Лщи}.
Допустим, р = 5, ап = 2, и пусть X/ = 5{(0).
Все ассоциации порядка 1, Л^- = Ux/s(JY 5 — 1,2,3,4, притягиваются ассоциацией Лр Д4 —> Дц Д2 Д4 Дц Д3
Д4 Дц К примеру, стартуя с идеи J = {Л2, Д3, Д4}, система т получит идею 000(J) = {Д1}.
Динамика ассоциаций порядка 2 является достаточно сложной. Например, Л20 = ^1/25(2) Л40 = t/i/2s(4) Дщ = = ^1/2б(16) Ли = t^l/25(6) Л12 = ^1/25(11) 414 = = ^1/25(21) Л13 = ^1/25(16). Если т стартует с идеи J = = {Л2о}, или J = {Л2о,Л4о}, или J = {Л4о, Дм, Л13}, то он получает идею ОДЛ) = {Л13, Лщ Л12, Л^}.
Мышление с возрастающей четкостью ассоциаций
В разделе 3 мы изучили огромный класс динамических мыслящих систем, сохраняющих четкость ассоциаций. При таком процессе мышления система т нс может производить «более четкие» идеи. В этом разделе мы изучаем класс динамических мыслительных систем, которые увеличивают четкость (разрешение) ассоциаций. При таком процессе мышления каждая итерация производит все «более глубокие» идеи. Будем пользоваться сокращением ВЧ для обозначения «возрастающая четкость».
Пусть Н = VA/P4 («1),..., — идея, представленная как набор р-адических шаров. Обозначим ^-конкретизацию набора Н символом Н^ (см. раздел 2). Это идея, которая состоит из ^-конкретизаций //-ассоциаций:
Пусть /: X/ X/ — некоторое отображение. Идею Н называют ВЧ-устойчивой (устойчивой с возрастающей четкостью), если для каждого разрешения Н' идеи Н справедливо ДН?) = = Н°, где Н° является конкретизацией для Hf. ВЧ-устойчивую идею Н называют ВЧ-аттрактором для идеи J (с коэффициен-
том четкости t Е N), если pm(fk(J), Н^) стремится к нулю, когда к стремиться к бесконечности 9.
Пусть (как и в разделе 3) О = S9 (0) с Zp.
Теорема 4.1. Пусть J; О О — мономиальное отображение fn и пусть п делится на р. Тогда для каждой идеи J, состоящей из конечного числа ассоциаций, существует ВЧ- аттрактор.
Для того, чтобы доказать эту теорему, нам понадобятся некоторые технические конструкции. Пусть далее п делится на р. Начнем со следующего результата.
_Лемма 4.1. Пусть т_ делится на р и пусть fm(d) = = d mod р1 при некотором d Е Sx^Y а I ^ \. Тогда существует единственная неподвижная точка d Е Ux/pi(d) отображен и Я J .
Доказательство. По теореме 4.1 получаем, что
где |т|р = 1Щ. Так как fm(d) = d mod р\ то fm(d) 6 Ui/pi(d).
Поэтому _ _
Ui/piKt(fm(d)) С Ux/pi(d).
Отсюда /т : Ux^pi(d) -^ U^pi(d?). Заметим, что шар Ux^pi(d) является полным метрическим пространством, а отображение /т — сжимающее _в этом пространстве: \хт — ут\Р С \т\р |ж — у\р, х,у Е Uypi(d). Поэтому fm имеет единственную неподвижную точку d Е Uypi(d).
Пусть а Е О и пусть I ^ 1 — фиксированное натуральное число. Рассмотрим последовательность Vn(a) = ап Y Допустим, к — первое число, такое что
ат,к = ank+s mod pl (9.8)
справедливо для некоторого з. Мы можем предполагать, что з — минимальное число, для которого справедливо равенство (9.8). Заметим, что к и з могут зависеть от Z: к = ki, s = 3[.
Положим т = n5, d = ап и применим лемму 4.1. Существует d Е UX/pi(an ) такое, что f^Xd) = d. Положим dx = d. Этот элемент порождает цикл для fn : у = ^dx, d^ = dp,,ds = dxs 1}.
9 В данный момент мы не можем сформулировать условие минимальности для аттрактора Н (ср. со случаем динамики с постоянной четкостью).
Лемма 4.2. Цикл у имеет длину s.
Доказательство. Предположим, что dp = f^d\^ для некоторого q < s. Тогда мы должны получить
аР = di = /’(di) mod р1.
Однако
К*+« _ Qnp тах[|№Щ _ №1)\р, |d! - Щ|р] <
р1'р1'шах |п5|р|ап ™di|p,™7
р1'
р1'
_Р _
ПоэтомуПоэтомуапк = ank^q mod pl.апк = ank^q mod pl.
Поэтому
Поэтому
апк = ank^q mod pl.
апк = ank^q mod pl.
Это противоречит предположению о том, что s минимально.
Теперь мы будем использовать индекс L Мы получаем, что для каждого I существует цикл yW = {dxq, d2y, * * *, dShi} такой, что.
ankl^3 _ mod pl
Лемма 4.3. Если V I, то ку ку
Чтобы доказать эту лемму, мы воспользуемся тем фактом, что для V ^ I равенство по модулю р1 влечет равенство по модулю р1.
Лемма 4.4. Все циклы у^ совпадают с циклом у^ Ц в частности, s; = s).
Доказательство. Поскольку fn(dpy) = dpy т. e. d™^1=
= 1, каждый dy является (р — 1)-м корнем из 1. Поэтому \dpt — - dyy\p = 1, если dy + dpy (здесь г = 1,...,/, j = 1, Получаем, что dxp = с^2 = аД4^ mod р2 для некоторого А
1. Отсюда с/ц2 = ап^1+А mod р. Но ank^X = dpx mod р при некотором j. Таким образом, dxp = dpx mod р. Следовательно, ^1,2 = dpx* Значит, у^1) = у^. Таким же образом мы получаем, ЧТО у(2) = . . . = у(0 = . . .
Значит, если последовательность {Ад} ограничена, то она стабилизируется: к[ = к, I ^ Iq. Покажем, что такая стабилизация соответствует специальному выбору элемента а Е О.
Лемма 4.5. Последовательность {кЦ стабилизируется тогда и только тогда, когда для некоторого к элемент а является корнем ^(п8 ™ 1)™й степени из 1.
Чтобы доказать эту лемму, мы заметим, что равенство (9.8) справедливо (при фиксированных к и s) для всех I тогда и только тогда, когда а является rt^Qn8 — 1)-м корнем из 1.
Если а — это nk(ns — 1)-й корень из 1, то у = = ^ап\ ..., апк^8 ]}. Если а нс является пк^п8 — 1)-м корнем из 1 (в частности, если он нс является (р — 1)-м корнем), то Ад оо при I оо.
Доказательство теоремы 4.1. Пусть
J = UA/pq' (ai),..., U g (а^)},
где а3 Е О. Обозначим через 7[Д = {d^,..., d^"} цикл (длины s^Y соответствующий стабилизации итераций элемента aj (j = = 1,2,...). Положим
Н = {Н3^Ъ
где
Мы докажем, что Н — ВЧ-аттрактор для J. Пусть \п\р = 1/р^ Так как имеет место равенство
РтЩЩЩ= max рМпЩх/р^М),
то достаточно показать, что для каждого 1 ^ j ^ N
МЛ = Pm(fn(ux/p4pctp), Н^) о при к -4- оо.
Имеем
МЛ < МЛ = Рт (ДМММУ Н^ =
= min рт К, qj+kt (af Ьих, q,М^Н <
< min |а^-с?Р|р.
Допустим, e = \fpl. Пусть К k^ (где k^ — номер ki, co- ответствующий стабилизации по модулю р1 для а3). Пусть q3 + + Kt ^ I. Тогда для каждого к ^ К имеем:
min |Щ - (рХ < 1/р1.
Заметим, что теорема 4.1 интересна только с математической точки зрения. Мозг системы т нс знает точно /-состояний ^d^\ ..., d^Y которые составляют основу идеи-аттрактора Н. Реальная работа мозга может быть основана на следующем /-процессе.
Система т нс обязана (и нс может) работать с бесконечной точностью. Точность (четкость) I, которая соответствует аппаратному обеспечению мозга или конкретному классу задач, должна быть зафиксирована. Давайте рассмотрим случай одной идеи- ассоциации J = ^Ux/pg(a)Y Мозг выдает итерации по модулю р1 элемента а: а,ап,..., аД^... Как только найдутся первые к и s, удовлетворяющие условию (9.8), мозг строит приближение по модулю р1 ВЧ-аттрактора Н:
Идея //[/] рассматривается как s-решение задачи J.
Таким образом, не существует большой разницы в реализации алгоритмов мышления с постоянной четкостью и возрастающей четкостью ассоциаций.
Неравенство треугольника для псевдометрикиХаусдорфа
Теорема 5.1. Пусть (Х,р) — псевдометрическое про™ странство. Тогда расстояние Хаусдорфа р на пространстве Y = р(Х) является псевдометрикой.
Доказательство. Пусть А, В, С Е Y. Существует а£ Е А такое, что р^А, В) С р(а£/3) + е. Существует с£ Е С такое, что р(а£,С) + s р(а£,с£). Также существует и b£ Е В такое, что р(с£, В) + s р(с£, Ь£). Поэтому:
р(А, В) С р(а£, В) + s р(ае, Ь£) + е
р(ае, с£) + р(се, b£) + s 3s + р(ае, С) + р(се, В) С
^ Зе + р(А, С) + р(С, В) .
Теорема 5.2. Пусть (Х,р) — улътра-псевдометрическое пространство. Тогда расстояние Хаусдорфа р на простран™ стве Y = Р(Х) является ультра-псевдометрикой.
Доказательство. Пусть А, В, С Е Y, возьмем е > О и пусть а£, Ь£, с£ выбраны таким же образом, как и в доказательстве предыдущей теоремы. Получим:
р(А, В) ^ £ + р(а£, Ь£) ^ £ + шах [р(а£, с£), р(с£1 6£)]
£ + max [е + р(а£, С), £ + р(с£, В)]
£ + max [е + р(А, С\ £ + р^С, В)] .
Пусть р(А, С) = р(С, В). Тогда
р(А, В) С 2£ + р(А,С)(9.9)
для всякого £ > 0. Отсюда следует усиленное неравенство треугольника.
Пусть, например, р(А, С) > р(С,В). Для достаточно малого £ > 0 мы снова получим (9.9).
Замечание 5.1. В общем случае имеем:
рИ^рМ+рИ(9.10)
Ир(Л, В) р(Л, С) + р(В, С).(9.11)
Допустим, р(А, ЕГ^ОиС С АПВ. Здесь р^С, Л) = р(С, В) = = 0 и мы получаем (9.10). Пусть р(А, В) 0 и А с С, а В с С. Здесь снова р(А, С) = р(В,С) = 0 и мы получаем (9.11).
Список литературы
Akiskal H.S., McKinney W. T. Depressive disorders: toward a unified hypothesis // Science. 1973. V. 182. P. 20-29.
Albeverio S., Khrennikov A. Yu., Cianci R. On the spectrum of the p-adic position operator // J. Phys. A, Math, and Gen. 1997. V. 30. P. 881-889.
Albeverio S., Khrennikov A. Yu., De Smedt S., Tirozzi B. p-adic dynamical systems // Theor. and Math. Phys. 1998. V. 114. P. 349-365.
Albeverio S., Khrennikov A. Yu., Kloeden P. Memory retrieval as a p-adic dynamical system // Biosystems. 1999. V. 49. P. 105-115.
Albeverio S., Khrennikov A. Yu., Tirozzi B. p-adic Neural Networks // Math. Models and Meth, in Appl. Sc. 1999. V. 9. P. 1417-1437.
Albeverio S., Gundlach M., Khrennikov A. Yu., Lindahl K.-O. On Markovian behaviour of p-adic random dynamical systems // Russian J. of Math. Phys. 2001. V. 8(2). P. 135-152.
Alcock J.E. Parapsychology: Science or Magic? — N.Y.: Pergamon Press, Elmsford, 1981.
Alcock J.E. Parapsychology: Science of the anomalous or search for the soul // Behav. Brain Sci. 1987. V. 10. P. 553-565.
Allen W.F. Effect of ablating the frontal lobes, hippocampi, and occipito-parieto-temporal (excepting pyriform areas) lobes on positive and negative olfactory conditional reflexes // Am. J. Physiol. 1940. V. 128. P. 754-771.
Allport D.A. On knowing the meaning of words we are unable to report: The effects of visual masking // Attention and performance / Ed. by S. Domic. V. 6. P. 505-533. — Hillsdale; N. J.: Erlbaum, 1977.
Amit D. J. Modeling of brain functions. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
Amit D.J. Attractor neural networks and biological reality: associative memory and learning // Future Generation Comput. Sys. 1990. V. 6. P. 111-119.
Aref’eva I. Ya., Dragovic B., Volovich I. V. On the p-adic summability of the anharmonic oscillator // Phys. Lett. B. 1988. V. 200. P. 512-514.
Aref’eva I. Ya., Dragovich В., Frampton P.H., Volovich LV. The wave function of the Universe and p-adic gravity // Int. J. of Modern Phys. A. 1991. V. 6, №24. P. 4341-4358.
Arnold L. Random Dynamical Systems. — Berlin; N.Y.; Heidelberg: Springer-Verlag, 1998.
Arrowsmith D.K., Vivaldi F. Some p-adic representations of the Smale horseshoe // Phys. Lett. A. 1993. V. 176. P. 292-294.
Arrowsmith D.K., Vivaldi F. Geometry of p-adic Siegel discs // Physica D. 1994. V. 74. P. 222-236.
Ashby W.R. Adaptiveness and equilibrium // J. Mental Sc. 1940. V. 86. P. 478-483.
Atkinson R.C., Holmgren LE., Juola J.F. Processing time as influenced by the number of elements in a visual display // Perception and Psychophysics. 1969. V. 6. P. 321-326.
Baddeley A.D., Hitch G. Working memory // The psychology of learning and motivation / Ed. by G.H. Bower. V. 80. P. 47-90. — L.: Academic Press, 1977.
Ballentine L.E. Quantum mechanics. — New Jersey: Englewood Cliffs, 1989.
Ballentine L.E. The statistical interpretation of quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1970. V. 42. P. 358-381.
Balota D.A. Automatic semantic activation and episodic memory encoding // J. of Verbal Learning and Verbal Behavior. 1983. V. 22. P. 88-104.
Barrett J. A. The quantum mechanics of minds and worlds. — Oxford Univ. Press, 1999.
Beardon A.F. Iteration of Rational Functions. — Berlin; N.Y.; Hei- deberg: Springer-Verlag, 1991.
Bechterew W. Die Funktionen der Nervencentra. — Jena: Fischer, 1911.
Bell J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.
Bergson H. Matire et Memoire. — Paris: Alcan, 1896.
Bergson H. L’Energie spirituelle. — Paris: Alcan, 1919.
Bianchi L. The functions of the frontal lobes // Brain. 1895. V. 18. P. 497-530.
Birkhoff G. Lattice theory. — Providence: RI, 1967.
Bogolyubov N.N., Shirkov D. V. Introduction to the Theory of Quantized Fields. — M.: Nauka, 1984.
Bogolyubov N.N., Logunov Л.Л., Todorov LT. Fundamentals of Axiomatic Approach to the Quantum Field Theory. — M.: Nauka, 1969.
Bohm D. Quantum theory. — New-Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1951.
Bohm D. Unfolding meaning. — L.: Routledge & Kegan Paul, 1987.
Bohm D. Wholeness and the implicate order. — L.: Routledge, 1980.
Bohm D., Hiley В. The undivided universe: an ontological interpretation of quantum mechanics. — L.: Routledge and Kegan Paul, 1993.
Boole G. The mathematical analysis of logic, being an essay towards a calculus of deductive reasoning. — Cambridge; N.Y.: Reprinted, Philosophical Library, 1948.
Boole G. An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. — L.: Walter and Maberly, 1854.
Borevich Z.L, Shafarevich I.R. The Number Theory. — N.Y.: Academic Press, 1966.
Broadbent D.E. Perception and communication. — N.Y.: Pergamon, 1958.
Broadbent D.E. Task combination and selective intake of information // Acta Psych. 1982. V. 50. P. 253-290.
Cartan H. Calcul differentiel. Formes differentielles. — Paris: Hermann, 1967.
Chalmers D.J. The conscious mind: in search of a fundamental theory. — N.Y.: Oxford Univ. Press, 1996.
Churchland P.S. Neurophilosophy. — Cambridge, MA: Brand- ford/MIT Press, 1986.
Clark A. Psychological models and neural mechanisms. An examination of reductionism in psychology. — Oxford: Clarendon Press, 1980.
Cohen J.D., Perlstein IUM, Braver T.S. et al. Temporal dynamics of brain activation during working memory task // Nature. 1997. V. 386. April 10. P. 604-608.
Collewijn EL, Winterson B.J., Dubois M.F. Ж Optokinetic eye movements in albino rabbits: inversion in anterior visual field // Science. 1978. V. 199. P. 1351-1353.
Compton A. H. The freedom of man. — N.Y.: Greenwood Press, 1953.
Courtney S.M., Ungerleider L. G., Keil K., Haxby J. V. Transient and susteined activity in a disturbed neural system for human working memory // Nature. 1997. V. 386. April 10. P. 608-611.
Craik F.I.M., Lockhart R.S. Levels of processing: A framework for memory research // J. of Verbal learning and Verbal Behaviour. 1972. V. 11. P. 671-684.
Damasio A.R. Descartes’ error: emotion, reason, and the human brain. — N.Y.: Anton Books, 1994.
Damasio H., Damasio A.R. Lesion analysis in neuropsychology. — N.Y.: Oxford Univ. Press, 1989.
Dawkins R. The selfish gene. — N.Y.: Oxford Univ. Press, 1976.
Dawson G.D. A summation technique for detecting small signals in a large irregular background // J. of Physiology. 1951. V. 115. P. 2-3.
De Broglie L. The current interpretation of wave mechanics. A critical study. — Amsterdam: Elsevier, 1964.
de Groot J. Non-Archimedean metrics in topology // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. ¥.7(6). P. 948-956.
Dennet D.C. Consciousness explained. — Boston; Toronto; L.: Little, Brown & Company, 1991.
Descartes R. Six metaphysical meditations; wherein it is proved that there is a God and that man’s mind is really distinct from his body. — L.: W. Molyneux, 1680.
d’Espagnat B. Conceptual foundations of Quantum Mechanics. — Mass: Perseus Books, Reading, 1999.
De Smedt S., Khrennikov A. Dynamical systems and theory of numbers // Comment. Math. Univ. St. Pauli. 1997. ¥. 46(2). P. 117-132.
Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. — Benjamin / Cummings, 1986.
Dirac P.A.M. The physical interpretation of quantum mechanics // Proc. Roy. Soc. London. A. 1942. ¥. 180. P. 1-39.
Dirac P.A. M. The Principles of Quantum Mechanics. — Oxford: Claredon Press, 1995.
Dixon N. Preconscious processing. — N.Y.: Wiley, 1981.
Donnellan T. Lattice Theory. — Oxford: Pergamon Press, 1969.
Dragovic B. Adelic wave function of the universe // Proc. 3rd A.Friedmann Inter. Seminar on Grav. Cosmology. — St. Peterburg: St. Peterburg Univ., 1995.
Dubischar D., Gundlach V.M., Steinkamp 0., Khrennikov A. Yu. A p-adic model for the process of thinking disturbed by physiological and information noise // J. Theor. Biology. 1999. ¥. 197. P. 451-467.
Dunne B.J., Bisaha J.P. Precognitive remote viewing in the Chicago area // J. Parapsychol. 1979. ¥.43. P. 17-30.
Eccles J.C. The understanding of the brain. — N.Y.: McGraw-Hill Book Company, 1974.
Eichenbaum EL, Clegg R.A., Feeley A. Reexamination of functional subdivisions of the rodent prefrontal cortex // Exper. Neurol. 1983. ¥. 79. P. 434-451.
Engelking R. General topology. — Warsawa: PWN, 1977.
Escassut A. Analytic elements in p-adic analysis. — Singapure: World Sc. PubL, 1995.
Feynman R.P. Negative probability // Quantum Implications, Essays in Honour of David Bohm / Ed. by B.J. Hiley, F.D. Peat. P. 235-246. — L.: Routledge and Kegan Paul, 1987.
Florenskii P.A. Pillar and Statement of the Truth // From the Russian Philosophical Thought Series, ¥. 1, la. — M.: Pravda, 1990.
Fodor LA. Language of thought. — N.Y.: Thomas Y. Crowell, 1975.
Fodor J.A., Pylyshyn Z. W. Connectionism and cognitive architecture: a critical analysis // Cognition. 1988. ¥. 280. P. 3-17.
Freud S. New Introductory Lectures on Psychoanalysis. — N.Y.: Norton, 1933.
Freund P.G.O., Olson М. Non-Archimedean strings // Phys. Lett. B. 1987. V. 199. P. 186-190.
Freund P.O. 0., Witten E. Adelic string amplitudes // Phys. Lett. B. 1987. V. 199. P. 191-195.
Fuster LM. D. The prefrontal cortex: anatomy, physiology, and neuropsychology of the frontal lobe. 1997.
Galaburda A.M. LeMay M., Kemper T.L., Geschwind Right-left asymmetries in the brain // Science. 1978. V. 199. P. 852-856.
Gratzer G. General lattice theory. — Basel: Birhauser Verlag, 1978.
Gray J. The psychology of fear and stress. — L.: Weindenfeld and Nicolson, 1973.
Green M.B., Schwarz. J.H., Witten E. Superstring Theory I, II. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.
Gundlach M., Khrennikov A., Lindahl K.-O. Topological transitivity for p-adic dynamical systems // p-adic functional analysis / Ed. A.K. Katsaras, W. H. Schikhof, L. Van Hamme, Lecture notes in pure and apllied mathematics. 2001. V. 222. P. 127-132.
Godel K. Uber formal unentscheidbare Satse per Principia Mathe- matica und verwandter Systeme I // Monatshefte fiir Mathematik und Physik. 1931. V. 38. P. 173-198.
Harkavy Л.Л. Quantum mechanical information is ubiquitous // Bell’s theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe / Ed. by M. Kafatos. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1989.
Heisenberg W. The Physical Principles of the Quantum Theory. — L.: Dover Publications, 1930.
Heisenberg W. Physics and philosophy. — N.Y.: Harper & Row, Harper Torchbooks, 1958.
Hensel K. Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung fiir eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Theiler ihrer Discriminante // J. Reine Angew. Math. 1894. V. 113. P. 61-83.
Hiley B., Pylkkanen P. Active information and cognitive science — A reply to Kieseppa // Brain, mind and physics / Ed. by P. Pylkkanen, P. Pylkko, A. Hautamaki — Amsterdam: IOS Press, 1997.
Hopfield J J. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1982. V. 79. P. 1554-2558.
Hoppensteadt F. C. An introduction to the mathematics of neurons: modeling in the frequency domain. — N.Y.: Cambridge Univ. Press, 1997.
Hsia L. A weak Neron model with applications to p-adic dynamical systems // Compositio Math. 1996. V. 100. P. 227-304.
Ingvar D.H. «Memory of the future»: an essay on the temporal organization of conscious awareness // Human Neurobiol. 1985. V.4. P. 127-136.
Inhelder B., Piaget L The growth of logical thinking from childhood to adolescence. — N.Y.: Basic Books, 1958.
Jacobsen C.F. A study of cerebral function in learning: The frontal lobes // J. Comp. Neurol. 1931. V. 52. P. 271-340.
Jahn R.G., Dunne B.J. On the quantum mechanics of consciosness, with applications to anomalous phenomena // Found. Phys. 1986. V. 16. P. 721-772.
Jibu M., Yasue K. Quantum brain dynamics and consciousness. — Amsterdam; Philadelphia: J. Benjamins Publ. Company, 1984.
Kant F. Critique of pure reason. — Macmillan Press, 1985.
Kaplanski I. Lattices of continuous functions // Bull. A.M.S. 1947. V. 53. P. 617-622.
Kennard M.A., Spencer S., Fountain G. Hyperactivity in monkeys following lesions of the frontal lobes // J. Neurophysiol. 1941. V. 4. P. 512-524.
Khrennikov A. Yu. Quantum-like formalism for cognitive measurements. 2001. e-Print archive: quant-ph/0111006. V. 1.
Khrennikov A. Yu. p-adic quantum mechanics with p-adic valued functions // J. of Math. Phys. 1991. V. 32. P. 932-937.
Хренников А.Ю. Неархимедов анализ и его приложения. — М.: Физматлит, 2003.
Khrennikov A. Yu. p-adic valued distributions and their applications to the mathematical physics. — Dordreht: Kluwer Acad. PubL, 1994.
Khrennikov A. Yu. p-adic description of chaos // Proc, of Workshop “Nonlinear Physics: theory and experiment” — Gallipoli, Italy, 1995. Ed. by E. Alfinito, M. Boti et al. — Singapure: World Sc. Publ., 1996. P. 177-184.
Khrennikov A. Yu. Ultrametric Hilbert space representation of quantum mechanics with a finite exactness // Found. Phys. 1996. V. 26, №8. P. 1033-1054.
Khrennikov A. Yu. The uncertainty relation for coordinate and momentum operators in the p-adic Hilbert space // Dokl. Akad. Nauk. 1997. V. 353, №4. P. 449-452 (English translation: Dokl. Math. V. 55, №2. P. 283-285).
Khrennikov A. Yu. Non-Archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models. — Dordreht: Kluwer Acad. Publ., 1997.
Khrennikov A. Yu. Non-Kolmogorov probabilistic models with p-adic probabilities and foundations of quantum mechanics // Stochastic Analysis and Related Topics. V. 4. P. 275-304. Series Progress in Probability. V. 42. — Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 1998.
Khrennikov A. Yu. Human subconscious as the p-adic dynamical system // J. of Theor. Biology. 1998. V. 193. P. 179-196.
Khrennikov A. Yu. p-adic dynamical systems: description of concurrent struggle in biological population with limited growth // Dokl. Akad. Nauk. 1998. V. 361. P. 752-754.
Khrennikov A. Yu. Description of the operation of the human subconscious by means of p-adic dynamical systems // Dokl. Akad. Nauk. 1999. V. 365. P. 458-460.
Khrennikov A. Yu. Classical and quantum mechanics on information spaces with applications to cognitive, psychological, social and anomalous phenomena // Found. Phys. 1999. V. 29. P. 1065—1098.
Khrennikov A. Yu. Interpretations of Probability. — Utrecht: VSP Int. Sc. Publishers, 1999.
Khrennikov A. Yu. p-adic information spaces, infinitely small probabilities and anomalous phenomena // J. of Scientific Exploration. 1999. V.4, № 13. P. 665-680.
Khrennikov A. Yu. p-adic discrete dynamical systems and collective behaviour of information states in cognitive models // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2000. V. 5. P. 59-69.
Khrennikov A. Yu. Classical and quantum mechanics on p-adic trees of ideas // BioSystems. 2000. V. 56. P. 95-120.
Khrennikov A. On the problem of small denominators in the field of complex p-adic numbers // Rep. Vaxjd Univ. 2000. V. 9.
Khrennikov A. Yu., Nilsson M. On the number of cycles for p-adic dynamical systems // J. Number Theory. 2001. V. 90. P. 255-264.
Khrennikov A. Yu. Origin of quantum probabilities // Proc. Conf. «Foundations of Probability and Physics». — Singapore: WSP, 2001. P. 180-200.
Khrennikov A. Yu. Linear representations of probabilistic transformations induced by context transitions // J. Phys.A: Math. Gen. 2001. V. 34. P. 9965-9981.
Kogan LM. Information theory analysis of telepathic communication experiments // Radio Eng. 1968. V. 23. P. 122.
Kolmogorov A.N. Foundations of the Probability Theory. — N.Y.: Chelsea Publ. Comp., 1956.
Krasner M. Nombres semi-rhels et espaces ultramhtriques // C. R. Acad. Sci. Paris. 1944. ¥.219. P. 433-435.
Lacan J. Schriften. — Berlin: Quadriga Verlag, Weinheim, 1986.
Lemin A J. The category of ultrametric spaces is isomorphic to the category of complete, atomic, tree-like, and real graduated lattices LAT // Algebra universalis. 2001 (to be published).
Lemin A.J., Lemin A. V. On a universal ultrametric space // Topology and its Appl. 2000. V. 103. P. 339-345.
Lindahl K-O. On Markovian properties of the dynamics on attractors of random dynamical systems over p-adic numbers // Rep. Vaxjd Univ. 1999. V. 8.
Lockwood M. Mind, Brain and Quantum. — Oxford: Blackwell, 1989.
Lorenz. K. On aggression. — N.Y.: Harcourt, Brace and World, 1966.
Lossky N.O. The world as the organic whole // Questions of Phil, and Psych. 1915. P. 126—129 (in Russian); English translation: Oxford: Oxford Univ. Press, 1928.
Lossky N.O. Die Grundlegung des Intuitivismus. Eine propadeutische Erkenntnistheorie. — Halle, 1908.
Lubin J. Non-Archimedean dynamical systems // Compositio Math. 1994. V. 94. P. 321-346.
Luria A.R. The working brain. — Middx: Penguin books, Har- mondsworth, 1973.
Marcel A J. Conscious and unconscious perception: An approach to the relation between phenomenal experience and perceptual processes // Cognitive Psych. 1983. V. 15. P. 238-300.
Marks D.F. Investigating the paranormal // Nature. 1986. V. 320. P. 119-124.
May E.C., Humphrey B.S., Hubbard G.S. Electronic system perturbation techniques // SRI International Final Rep. 1980. September 30.
Mermin N.D. Is the moon there when nobody looks? Reality and quantum theory // Phys. Today. 1985. April. P. 38-41.
Milner P. M. Physiological psychology. — Holt: Rinehart and Winston, 1970.
von Mises R. Probability, Statistics and Truth. — L.: Macmillan, 1957.
Neisser U. Cognitive psychology. — N.Y.: Appleton-Century-Crofts, 1967.
Nilsson M. Cycles of monomial dynamical systems over the field of p-adic numbers // Rep. Vaxjo Univ. 1999. V. 20.
Nddtdnen R. Attention and Brain Function. — Hillsdale; New Jersey: Lawrence Erlbaum Ass. Publ., 1992.
Oaksford M, Chater N. Against logicist cognitive science // Mind and Language. 1992. V. 6. P. 1-38.
Orlov Y.F. The wave logic of consciousness: A hypothesis // Int. J. Theor. Phys. 1982. V.21, № 1. P. 37-53.
Pavlov LP. Complete Works. — M.: Academy of Science Press, 1949.
Penrose R. Shadows of the mind. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1994.
Peres A. Quantum Theory: Concepts and Methods. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994.
Piaget J. The Origins of Intelligence in Children. — N.Y.: International Universities Press, 1952.
Posner M.L, Snyder C.R.R. Attention and cognitive control / Ed. by R.L. Solso. Information processing and cognition. The Loyola Symposium. — Hillsdale, N.J.: Erlbaum, 1975. P. 55-85.
Puthoff Н.Е., Targ R. A perceptual channel for information transfer over kilometer distances: Historical perspectives and recent research // Proc. IEEE. 1976. V. 64. P. 329-354.
Putnam H. The best of all possible brains?: Review of shadows of the mind // The N.Y. Times Book Rev. 1994. November 20. P. 1.
P. Pylkkanen (Ed.) The search for meaning. — Thorsons: Wellingborough, 1989.
Radin D.L., Nelson R.D. Evidence for consciousness-related anomalies in random physical systems // Found. Phys. 1989. V. 19. P. 1499-1513.
Roland P.E. Somatotopical tuning of postcentral gyrus during focal attention in man. A regional cerebral blood flow study // J. of Neurophysiology. 1981. V. 48. P. 1059-1077.
Roland P.E. Cortical organization of voluntary behavior in man // Human Neurobiol. 1985. V. 4. P. 155-157.
Rolls E. T. The brain and reward. — Oxford: Pergamon, 1975.
Ryle G. The Concept of Mind. — N.Y.: Barnes & Noble, 1949.
Sakurai K, Sugimoto S. Effects of lesions of prefrontal cortex and dorsomedial thalamus on delayed go/no-go alternative in rats // Behav. Brain Res. 1985. V. 17. P. 213-219.
Schikhof W. Ultrametric Calculus. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984.
Schildkraut J. J. Neuropharmacology of the affective disorders // Annual Rev. of Pharmacology. 1973. V. 13. P. 427-454.
Schmidt H. Precognition of a quantum process // J. Parapsychol. 1969. V. 3 3. P. 99-108.
Schmidt H. k PK test with electronic equipment // J. Parapsychol. 1970. V. 34. P. 175-181.
Schmidt H. Mental influence on random events // New Sci. Sci. J. 1971. V. 50. P. 757-758.
Schmidt H. PK tests with pre-recorded and pre-inspected seed numbers // J. Parapsychol. 1981. V. 45. P. 87-98.
Shannon G.E. Mathematical theory of communication // Bell System Techn. J. 1948. V. 27. P. 349-423; 623-656.
Schneider IU, Shiffrin R.M. Controlled and automatic human information processing. I. Detection, search, and attention // Psychological Rev. 1977. V. 84. P. 1-66.
Schreiber H., Lang M, Lang IU et al. Frontal hemispheric differences in the Breitschaftspotential associated with writing and drawing // Human Neurobiology. 1983. V. 2. P. 197-202.
Schrodinger E. Philosophy and the Birth of Quantum Mechanics / Ed. by M. Bitbol, O. Darrigol. ™ Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette, 1992.
Seligman M.E.P. Helplessness. — San Francisco: W. H. Freeman and Co., 1975.
Shiffrin R.M., Schneider Ж Controlled and automatic information processing: IL Perceptual learning, automatic attending, and a general theory // Psychological Rev. 1977. V. 84. P. 127-189.
Shimony A On Mentality, Quantum Mechanics and the Actualization of Potentialities // The large, the small and the human mind / Ed. by R. Penrose, M. Longair. — N.Y.: Cambridge Univ. Press, 1997.
Skinner B.F. Science and human behaviour. — N.Y.: Macmillan Co., 1953.
Smythies LR. Brain mechanisms and behaviour. — Oxford: Blackwell Sc. Publ., 1970.
Stapp ELP. Mind, matter and quantum mechanics. — Berlin; N.Y.; Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.
Sternberg S. High speed scanning in human memory // Science. 1966. V. 153. P. 652-654.
Sternberg S. The discovery of processing stages: Extension of Bonders’ method // Acta Psychologica. 1969. V. 30. P. 276-315.
Sternberg S. Memory scanning: New findings and current controversies // Quaterly J. of Exp. Psych. 1975. V. 27. P. 1-32.
Thiran E., Verstegen D., Weyers J. p-adic dynamics // J. Stat. Phys. 1989. V. 54. P. 893-913.
Treisman A.M. Contextual cues in selective listening // Quaterly J. of Exp. Psych. 1960. V. 12. P. 242-248.
Turing A. M. Computing machinery and intelligence // Mind. 1950. V. 59. P. 433-460.
Umezawa H. Advanced field theory: micro, macro, and thermal physics. — N.Y.: American Inctitute of Physics, 1993.
Vitiello G. My double unveiled — the dissipative quantum model of brain. — Amsterdam; Philadelphia: J. Benjamins Publ. Company, 2001.*
Vladimirov U.S., Volovich ZU, Zelenov E.L p-adic Analysis and Mathematical Physics. — Singapure: World Sc. Publ., 1993.
Vladimirov U.S. Methods of the Theory of Functions of Many Complex Variables. — M.: Nauka, 1964.
Vladimirov US., Volovich I. V. p-adic quantum mechanics // Com- mun. Math. Phys. 1989. V. 123. P. 659-676.
Volovich I. U p-adic string // Class. Quant. Grav. 1987. V. 4. P. 83-87.
von Neuman J. Mathematical foundations of quantum mechanics. — Princenton: Princeton Univ. Press, 1955.
Walters P. An introduction to ergodic theory. — Berlin; N.Y.; Heidelberg: Springer, 1982.
Warr W.B., Guinan Jr. J J. Efferent innervation of the organ of Corti: Two separate systems // Brain Research. 1979. V. 173. P. 152-155.
Wigner E.P. The problem of measurement // Am. J. Phys. 1963. V. 31. P. 6.
Whitehead A.N. Process and Reality: An Essay in Cosmology. — N.Y.: Macmillan Publishing Company, 1929.
Whitehead A.N. Adventures of Ideas. — L.: Cambridge Univ. Press, 1933.
Whitehead A.N. Science in the modern world. — L.: Penguin, 1939.
Wickens C.D. Processing resources in attention // Varieties of attention / Ed. by R. Parasuraman, R. Davies. — N.Y.: Academic Press, 1984. P. 63^102.
Wittgenstein L. Philosophical investigations. — N.Y.: Macmillan, 1953.
Wolman B.B. (cd.) Handbook of Parapsychology. — N.Y.: Van Nostrand Reinhold, 1977.
Предметный указатель
2-адический секс 61
р-адический секс 62
Anterior cingulate cortex 157
Аксиома материализма 72
Активация памяти 201
Активная информация 29, 187
Алгебраические операции 242
Анализатор 97, 153, 163
— подсознания 129
Аппаратное обеспечение 65
Ассоциативное мышление 162
Ассоциации 29, 32, 74
Аттрактор 31, 43
Бергсон 185, 205
Брейер 132
Булева алгебра 76
Ведущая волна 172
Вещественные числа 244
Вещество-переносчик 56
Виттгенстейн 72
Возбуждение 59
Галл 141
Гамильтоновская динамика 184
Гидрофобия 133
Гомеостатические состояния 58
Дарвин 198
Деннетт 72
Депрессия 55, 59
Динамический подход 33
Диск Зигеля 45
Заболевание 133
Закон Ньютона 190
Запретные желания 102
Зеркальная стадия 49
Идеи 29, 75
Иерархическая структура 47
Иерархические кодирующие
системы 30
— цепи нейронов 31, 73
Изометрия 222
Интегральная идея 130
Информация 29
Искусственный интеллект 68
Истерия 106, 132
Катехоламин 56
Квантовая сила 171
Коллективное сознание 167
Компаратор 93, 153
Комплекс 104
Лакан 49
Лобные доли 153
Логическая связность 69
Логическое мышление 47
Маниакальная идея 45
Маниакально-депрессивное по
ведение 59
Маниакальное поведение 264
Марковская динамика 86
Марсель 161
Масса 189
Материалистская аксиома 205
Матрица Гэйджа 153
Машина Тьюринга 68
Ментальное время 168
пространство 30
фазовое 184
Мера интереса 92
противодействия 97
Метрика 34
Хаусдорфа 82
Мотивация 168
Мыслительный процессор 31
Навязчивая идея 101
Насекомое 66
Ненормальный 190
Неподвижная точка 43
Непрерывные динамические
системы 33
Нерешительное поведение 152
Нечеткие циклы 45
Норадреналин 56
Нормальность 108
Область бессознательного 89
— притяжения 43
— сознания 89
— сомнений 100
Обучение 60
Оллпорт 161
Органы 56
Орлов 142
Очередь 98
Паралич 133
Парапсихологическое явление
190
Пассивная информация 29
Пациент Гэйдж 152
Эллиот 152
Пенроуз 142
Период 43
Периодическая точка 43
Подсознание 30, 89
Поле информации 185
сознания 165, 173
Порог 97, 114, 133
Потенциал сознания 165
Преобразователь информации
188
Префронтальная кора 153
Привыкание 61
Проблема комбинаторного взрыва 72
Программное обеспечение 65
Пространственная модель 78
Псевдометрика 83
Психоанализ 105, 181
Психокинез 217
Пьяже 49
Распознавание 140
Рациональные числа 244
Рекурсивные функции 68
Релаксация 265
Решетка 221, 223
Сервер 97
Сила 99, 190
— сознания 165, 173
Синдром коллекционера 153
Случайность 87
Случайный выбор 98
— генератор 87
Согласованность 97
Сознание 30, 69, 89, 166
Состояние беспомощности 55
Социальные отношения 133
— системы 212
Стресс 98, 264
Сфера 37
Творчество 264
Текстоны 160
Теорема Островского 11, 244
Топология 11,41
Траектория сознания 173
Тригонометрические функции
245
Ультраметрика 20
Ультрапсевдометрика 83
Управляющий центр подсознания 89
сознания 89
Цикл 43Частотная модель 78— область 203Четкость 271Шар 37Шимони 142Штернберг 162Цикл 43Частотная модель 78— область 203Четкость 271Шар 37Шимони 142Штернберг 162
Цикл 43
Частотная модель 78
— область 203
Четкость 271
Шар 37
Шимони 142
Штернберг 162
Цикл 43
Частотная модель 78
— область 203
Четкость 271
Шар 37
Шимони 142
Штернберг 162
Уравнение Гамильтона 190
— Шрёдингера 165
Усиленное неравенство тре
угольника 20, 35, 242
Физическая энергия 187
Фильтр 161
Фрейд 72, 102, 103, 106, 123,
124, 132, 141, 185
Френология 141
Научное издание
ХРЕННИКОВ Андрей Юръевич
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МЫШЛЕНИЯВ Р-АДИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
Редактор Е.Н. ГлебоваОригинал-макет: В.В. Худяков
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 16.04.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 18,5. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИ К «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0501-9
9 Было бы интересно скомбинировать этот «сексуальный» пример
УДК 517
ББК 22.16
Х91
Хренников А. Ю. Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 296 с. - ISBN 5-9221-0501-9.
Книга посвящена математическому моделированию процессов мышления с помощью динамических систем на р-адических деревьях и более общих ультраметрических ментальных пространствах. Рассматриваются приложения к психологии (включая психоанализ Фрейда) и когнитивным наукам.
Для научных работников и студентов старших курсов, специализирующихся в математике, физике, психологии, когнитивных науках.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0501-9ISBN 5-9221-0501-9© А. Ю. Хренников, 2004
ISBN 5-9221-0501-9
ISBN 5-9221-0501-9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. ..........................................6
Глава 1. Динамическая модель мышления на иерархиче
ских деревьях ...................................29
Ультраметрические пространства ................... 34
Системы р-адических чисел. ...................... 37
Ментальное пространство ........................ 41
Системы динамического мышления и психологическое поведение. ..................................... 43
Динамические системы на р-адических деревьях ....... 46
Иерархическая структура системы кодирования в мозге и процессы обратной связи ....................... 47
Физиологические, психологические и информационные параметры.................................... 50
Случайные динамические системы и процесс мышления 57
Обучение, привыкание, секс и пища ................ 60
Психологические функции. ....................... 64
Глава 2. Ментальная иерархия: динамика ассоциаций и
идей........................................... 68
Иерархические цепи нейронов и кодирование информации 72
Динамика информационных состояний, ассоциаций и идей 81
Как мозг играет в кости?. ........................ 83
Ассоциативное и целенаправленное мышление. ........ 87
Глава 3. Обработка бессознательной и осознанной информации89
Информационное строение мыслящих систем. ......... 89
Скрытые запретные желания, психоанализ ........... 101
Порог блокировки: реализация на уровне аппаратного
или программного обеспечения?. ................... 114
Сублимация .................................. 122
Глава 4. Связь с нейро- и психофизиологией. ........... 127
Модель с несколькими базами данных. .............. 127
Анализатор подсознания ......................... 128
Интегральные идеи, интерференция. ................ 129
Истерические проявления интерференции между психологическими и социальными процессорами ............. 132
Информационная френология; свободная воля ......... 141
Префронтальная кора головного мозга: ассоциации и целенаправленное поведение. ....................... 143
Вознаграждаемый выбор и его зависимость от лобных ампутаций ..................................... 145
Базы данных рабочей памяти ..................... 148
Чувственное мышление животных. ................. 150
Чувственное мышление человека. .................. 151
Расстройства префронтальной коры и повреждения компаратора. ...................................... 158
Психофизиологические исследования. ............... 159
Глава 5. Поле сознания............................. 164
Классическая когнитивная механика ................ 167
Поле сознания. ................................ 171
Коллективное подсознание и сознание ............... 173
Связь между ментальными и физиологическими процессами ........................................ 177
Психоанализ Фрейда как реконструкция поля сознания. . 178
Математические модели материальных и ментальных пространств: вещественные и р-адические числа. ......... 181
Гамильтонова динамика на р-адическом ментальном пространстве .................................... 184
Инерция информации ........................... 189
Информационная квантовая механика ............... 191
р-адическая теория ведущей волны: социальная динами
ка, естественный отбор по Дарвину. ................ 195
Поле сознания как поле активации памяти ........... 199
Полная галлюцинация просто невозможна? ........... 206
Работа информации, законы сохранения ............. 208
Механика систем информационных преобразователей, связи на информационных пространствах ............ 212
Классическая информационная механика, социальные и аномальные явления ............................ 217
Глава 6. Ультраметрическая геометрия ментального пространства. ...................................... 220
Ультраметричность как проявление когнитивности. . . . . . 220
Бесконечная «вертикальная иерархия» ассоциаций-идей и
загадка сознания. .............................. 226
Топологическое обоснование нарушения материалистического постулата в науках о мышлении ............... 228
Универсальная мыслящая система .................. 229
Геометрия пространства ассоциаций от...от ассоциаций. . 231
Бесконечная информационная емкость конечных мыслящих систем233
Параллельные потоки информационных состояний, ассоциации и идеи, примеры ......................... 237
Глава 7. Факты из математики ....................... 242
m-адические числа. ............................ 242
Мономиальные динамические системы. .............. 245
Глава 8. Случайность и мышление.................... 249
Корни из единицы. ............................. 250
Случайные динамические системы. ................. 252
Асимптотическое поведение, динамика на аттракторе, примеры ..................................... 259
Следствия для наук о мышлении ................... 262
Глава 9. Динамика в пространстве идей ............... 266
Динамика в псевдометрических пространствах множеств 266
Существование аттракторов. ...................... 271
Мышление с постоянной четкостью ассоциаций. ....... 273
Мышление с возрастающей четкостью ассоциаций. . . . . . 276
Неравенство треугольника для псевдометрики Хаусдорфа 280
Список литературы ................................... 282
Предметный указатель ................................ 293
Введение
Конечно, у нас есть и подсознание, о нем отчасти и будет моя книга. Но мы не располагаем картами этого недоступного континента. «Научными картами» во всяком случае.
Айрис Мердок, «Черный принц»
Они еще не умели поверить в то, что полет мысли и полет ветра и крыльев — явления в равной степени материальные.
Ричард Бах, «Чайка Джонатан Ливингстон»
Однажды много лет назад Декарт, взглянув через зарешеченное окно на росший во дворе дуб, понял, что с помощью оконной решетки можно задать числами положения частей дуба: ствола, ветвей, листьев, — оцифровать дуб. Уменьшая размер ячеек решетки, можно получить оцифровки дуба, содержащие все больше и больше деталей. Декарт воскликнул: «Эврика!» (или еще что-то в этом роде) и создал прямоугольную декартову систему координат. Это был момент величайшего значения в математизации физики. Любой материальный объект мог быть закодирован с помощью декартовых координат. Описание движения этого объекта могло быть представлено в виде функциональных преобразований декартовых координат. Можно сказать, что был создан числовой образ физического пространства.
Следует отмстить, что создание точной математической модели для оцифровки физического пространства требовало еще очень много усилий и времени. Нужно было создать математическую структуру, в которой процесс уменьшения размеров декартовой решетки мог продолжаться до бесконечности, гарантируя в пределе бесконечную точность цифрового представления материальных объектов. Соответствующая математическая структура известна в настоящее время как поле вещественных чисел R. Для оцифровки физического пространства используется декартово произведение R3 = R х R х R. Напомним, что вещественные числа прошли долгий путь от «глухих чисел» (numeri surdi в Liber abaci Леонардо Пизанского, 1202) или «вы-
думанных чисел» (numeri ficti) до «реальных чисел» (real пит- bers\ Только в Arithmetica Integra Михаиля Штифеля (1544) им было дано условное значение чисел и присвоено имя irrationales numeri, причем Штифель в конце концов приходит к выводу irrationales numerus non est uerus numerus, т. e. что иррациональное число нс есть истинное число 9. Только в XIX веке, благодаря работам Кантора и Дедекинда, было создано строгое математическое описание вещественных чисел. Заметим, что камнем преткновения являлись иррациональные числа V2 , тг,... Реальность рациональных чисел, представляемых отношениями целых чисел, нс вызывала больших сомнений. Таким образом, основной проблемой являлось расширение (пополнение) множества рациональных чисел Q до множества вещественных чисел R. Иррациональные числа не могут быть описаны с помощью конечных процессов. Здесь действительно возникает элемент иррациональности. Интересно, что П.А. Флоренский сравнивал процесс построения иррационального числа с процессом «приближения к Богу». Вообще, можно согласиться с высказыванием А. Пуанкаре: «В итоге можно сказать, что разум обладает способностью создавать символы; благодаря этой способности он построил математическую непрерывность (т. с. поле вещественных чисел), которая представляет собой только особую систему символов» ).
В дальнейшем нас будет серьезно интересовать следующий вопрос: «Является ли поле вещественных чисел R единственным «естественным» расширением поля рациональных чисел Q?» Мы увидим, что существуют другие расширения поля Q, а именно — поля р-адических чисел Qp, которые возникают нс менее естественно, чем R. Таким образом, отталкиваясь от рациональных чисел, разум может создавать и другие системы символов, отличные от вещественных чисел. В этой книге предлагается использовать эти новые системы чисел — р-адические числа — для описания разума ). Но пока вновь вернемся к описанию мира с помощью вещественных чисел.
Таким образом, «реальность» вещественной декартовой модели R3, используемой для описания движения материальных тел, является результатом многовековой научной эволюции.
Благодаря успешному развитию ньютоновской механики 9, выкристаллизовалось понятие физического пространства, отождествляемого с пространством R3.
Используя R-модель, удалось адекватно описать широкий круг явлений в мире материи. Была создана так называемая классическая физика. Однако уже в начале XX века стало ясно, что некоторые физические явления невозможно описать в физическом пространстве R3 Адекватное описание явлений возможно только в комплексном гильбертовом пространстве Н, которое и играет роль координатного пространства в квантовой физике. Таким образом, даже материальный мир нс может быть полностью описан с помощью вещественной декартовой модели. Нужны другие системы координат и, в частности, гильбертова система координат ).
Как мы уже обсуждали, довольно естественно создать числовое представление нс только для материальных, но и для духовных объектов: идей, ассоциаций, мыслей. Остается только выбрать соответствующую систему духовных координат.
Конечно, можно попытаться использовать для описания духовного мира ту же систему координат, что использовалась и для описания материального мира. И по этому пути идет подавляющее большинство исследователей. В частности, в сотнях лабораторий по всему миру (с помощью все более и более совершенных магнитно-резонансных приборов) создаются все более и более точные вещественные декартовы карты активации нейронов в головном мозге. Это интересный вид деятельности. Однако мне нс верится, что он может привести к пониманию духовных процессов. В последнее время так же проводятся многочисленные исследования по созданию квантовых моделей работы мозга. В принципе, это правильное направление. Убедившись, что дух невозможно вложить в R3, стоит попытаться вложить его в гильбертово пространство И. Однако подавляющее большин-
Напомним, что в XVIII веке учение Ньютона распространялось по Европе как форма религии и, например, во Франции имели место «Ньютоновские богослужения».
ство квантово-ментальных исследований базируется на крайне сомнительном постулате редукции: духовные процессы могут быть сведены к квантовым физическим процессам в микромире. Например, Роджер Пенроуз, см. [150], пытается свести акт мышления к гравитационному коллапсу. В моей работе 9 приведены серьезные критические аргументы против квантовофизической редукции духа. Квантовые модели могут использоваться для описания духа (см., например, гл. 5 этой книги о бомовской квантовой модели сознания), но они нс должны быть основаны на постулате редукции. Квантовое поведение духа ) есть следствие его специфической информационной структуры, а нс эффект квантового поведения микроскопических составляющих человеческого мозга.
Однако квантовые модели духа не являются основным предметом исследований, представленных в этой книге (тем не менее см. гл. 5). Это, в общем-то, следующий этап исследований. В этой книге я хотел реализовать духовный аналог программы Декарта-Ньютона, создать классическую психофизику.
Итак, мы должны создать математическую модель ментального (духовного) пространства, выбрать соответствующую систему координат.
Важнейшей чертой вещественного континуума является его однородность. Все точки физического пространства (с моделью R) равноправны. Мы нс можем сказать, что одна точка важнее другой. Однако дух неоднороден! Мы не можем сказать, что все человеческие мысли, идеи, понятия, чувства равноправны. Болес того, дух иерархичен! Существует четко выраженная иерархия понятий, образов, чувств. Однако полной упорядоченности в ментальном пространстве нет. Невозможно иерархически упорядочить все понятия, образы, чувства. Существуют несопоставимые («несоизмеримые») духовные объекты.
Вернемся к декартову дубу и рассмотрим его не через прямоугольную решетку окна, а с точки зрения иерархии частей дуба. С некоторым удивлением обнаружим, что наилучший спо-
9 Khrennikov Л. Quantum-like formalism for cognitive measurements // Biosystems. 2003. V. 70. P. 211—233; см. также e-Print archive: quant-ph/0111006, vl, v2, 2001.
соб иерархической кодировки дерева состоит в использовании самой структуры дерева в качестве координатной сетки. Корень дерева занимает наивысшее положение в древесной иерархии. Иерархический вес убывает по мере удаления от корня, см. гл. 1. Заметим, что для широкого класса деревьев древесную систему координат можно оцифровать. В частности, если дерево р-одно- родно (где р ^ 2 — некоторое натуральное число), т. с. из каждой точки ветвления выходит ровно р новых ветвей, то такое дерево (при бесконечном продолжении процесса ветвления) будет описываться системой р-адических чисел Qp. В математической литературе обычно рассматривают р-адические деревья для простых чисел р (= 2, 3,..., 1999,...). В этом случае на Qp можно ввести структуру числового поля. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить ветви р-адического дерева. Более того, на таких деревьях развиты дифференциальное и интегральное исчисления, во многом аналогичные исчислениям на вещественной прямой. Поэтому, чтобы упростить математические рассуждения, в этой книге мы рассматриваем в основном р-адические деревья для простых р.
Таким образом, если бы Декарт в XVII веке заинтересовался нс вложением дуба в однородное вещественное «физическое» пространство, а внутренней иерархической геометрией дуба, то, возможно, что вместо прямоугольной системы координат он бы открыл древовидную р-адичсскую систему координат.
Как мы уже отмечали, важнейшими свойствами R-системы координат является однородность и бесконечная делимость (непрерывность). Предполагается, что все точки вещественной прямой R обладают равными правами, и что процесс уменьшения размеров декартовой сетки может продолжаться бесконечно. Так что здесь мы имеем бесконечную точность представления, возрастающую по мере уменьшения размеров сетки. Однако Qp-система координат неоднородна. Существует жесткое иерархическое упорядочивание элементов дерева: корень, ствол, ветви, ответвления, листья. С другой стороны, р-адическое дерево также бесконечно-делимо (непрерывно). Процесс деления некоторого элемента иерархии на элементы все более и более низкой иерархии может продолжаться бесконечно. Таким образом, существуют два континуума: однородный вещественный и иерархический р-адический.
Подчеркнем еще одно фундаментальное отличие вещественного и р-адического пространств. Вещественная прямая (как и декартовы произведения вещественных прямых) является связным пространством. Вещественную прямую нельзя разбить на
две части, не имеющие общей границы. Например, если мы разобьем прямую на два полубесконечных интервала (—ос,0) и [0,+ос), то граничной точкой является 0. Заметим, что интервал (—ос,0) является открытым, т. е. он нс содержит своей границы (точки 0). А интервал [0,+ос) является замкнутым, он содержит свою границу (точку 0). Аналогично определяются открытые и замкнутые множества в общем случае. Связное пространство можно определить как пространство, которое нельзя представить в виде объединения двух множеств, в одно и то же время и открытых, и замкнутых и имеющих пустое пересечение (и так оно определяется в современной науке об абстрактных свойствах пространства топологии). Однако для нас важна связность как наличие общей границы. Аристотель называл такое свойство пространства непрерывностью и считал, что это одно из фундаментальных свойств физического пространства 9.
Заметим, что р-адические пространства нс являются связными (с точки зрения Аристотеля они нс непрерывны). Любое р-адическое дерево можно разбить на две части, не имеющие общей границы или, что эквивалентно, на две непересекающиеся части, являющиеся одновременно и открытыми, и замкнутыми. Я думаю, что читатель будет потрясен, узнав, что именно это топологическое свойство рассматривалось Аристотелем как фундаментальное свойство духовных пространств. Но мы обсудим воззрения Аристотеля на топологические свойства физического пространства и пространства духа несколько позднее в общем контексте представления духовных объектов с помощью числовых систем — Платон, Аристотель, Лейбниц, .Хренников, ...
Удивительный математический результат даст знаменитая теорема теории чисел -- теорема Островского, утверждающая, что третьего «естественного континуума» нс существует. Под естественным мы понимаем здесь континуум, являющийся пополнением множества рациональных чисел Q и числовым полем. И R, и Qp, р — простое, являются числовыми полями, пополняющими поле рациональных чисел Q. Здесь мы не будем вдаваться в детали вложения Q в Qp, т. е. представления рациональных чисел некоторым множеством ветвей р-адического дерева, см. гл. 1. Таким образом, в силу теоремы Островского любое пополнение поля Q, являющееся полем, -- это либо поле
9 В современной математике фундаментальным понятием является не непрерывность пространства, а непрерывность функции.
вещественных чисел R, либо одно из полей р-адических чисел Qp, р — простое.
Лично я отношусь к теореме Островского с почти религиозным трепетом, считая, что это знак свыше, указывающий, что природа состоит из двух и только двух частей. Одна из них описывается вещественными числами, а другая р-адическими. Мы уже хорошо знаем, какая часть природы описывается вещественными числами, а именно — движение макроскопических материальных объектов. Классическая физика -- это вещественная физика. Предстоит понять, какая же часть природы описывается р-адическими числами.
В 1984 г. В.С. Владимиров и И. В. Волович предположили, что р-адические числа могут быть использованы для описания пространства на фантастически малых расстояниях, так называемых планковских расстояниях ~10~34 см. В 1987 г. И. В. Волович предложил использовать р-адическое пространство в теории струн. Работа И.В. Воловича в журнале «Классическая и квантовая гравитация» вызвала настоящий шквал публикаций по р-адичсским струнам (Фрейнд, Виттен, Олсон, Владимиров, Арефьева, Фрамптон, Окада, Драгович, Паризи, Маринари, ...). Следует подчеркнуть, что для Владимирова и Воловича определяющей чертой р-адичсской координаты была нс иерархическая древообразная структура, а нарушение аксиомы Архимеда в Qp. Напомним, что в R аксиома Архимеда выполняется: для любых двух положительных вещественных чисел I и L можно найти такое натуральное число п, что имеет место неравенство
(п — 1)1 L < nl.
По существу, Владимиров и Волович выразили в четкой математической форме неясные представления о неархимедовости (и неупорядоченности) пространства в микромире, витавшие на протяжении десятилетий в космологии, теории гравитации и теории струн. С другой стороны, Владимиров и Волович впервые четко обозначили роль рациональных чисел в физике и отделили использование рациональных чисел от более общих вещественных. В традиционной классической физике рациональные числа никогда нс выделялись, все процессы рассматривались в R. Впервые было подчеркнуто, что лишь рациональные числа являются физическими числами. Действительно, в любом эксперименте можно измерить лишь конечное число знаков после запятой. Поэтому такие числа, как V2 или тг, являются лишь символами, обозначающими бесконечные измерительные процессы (ср. с приведенной выше цитатой из книги Анри Пуанкаре).
Таким образом, развивая любую физическую теорию, следует стартовать с поля рациональных чисел Q, которому принадлежат все экспериментальные данные, а затем пополнять Q, строя математическую модель. В силу теоремы Островского такая программа может быть реализована только двумя способами: вещественным или р-адическим.
Напомним (и это еще нс было отмечено), что существует бесконечно много различных р-адических представлений. Поля р-адичсских чисел для различных простых р неизоморфны. Таким образом, 2-адическое описание нс эквивалентно 3-адиче- скому. Неизоморфность различных полей Qp порождает очень серьезную проблему при построении р-адических моделей микромира: какое простое число р следует выбрать для системы координат в планковском мире?
Полной ясности в этом вопросе нет до сих пор. Действительно, было бы несколько странно, если бы микромир оказался, например, 1999-адическим. Одним из решений этой проблемы является рассмотрение не р-адической системы координат для фиксированного простого р, а адельной системы координат. Адельная координата содержит и вещественную, и все р-адиче- ские координаты.
В дальнейшем Владимиров и Волович выдвинули принцип инвариантности физических моделей относительно выбора числового поля, используемого в качестве основания системы координат. Таким образом, предлагалось рассматривать нс только пополнения поля рациональных чисел Q, но и более общие поля. Отмстим, что, например, р-адический аналог Ср поля комплексных чисел С является бесконечномерным линейным пространством над Qp. На теоретическом уровне принцип инвариантности был подтвержден исследованиями, изложенными в монографиях [107, 108, 111], см. также статьи автора [105, 109, НО]. В этих работах практически все модели математической физики над R были обобщены на случай произвольного числового поля К. Несмотря на развитие мощного теоретического аппарата над р-адическими (и более общими) числовыми полями, какие-либо экспериментальные данные, поддерживающие р-адическую модель физического пространства на планковских расстояниях, отсутствуют. Однако нс следует рассматривать отсутствие экспериментальных данных как свидетельство неадекватности р-адиче- ской модели. Физические р-адичсскис модели тесно связаны с такими фундаментальными физическими теориями, как гравитация, космология, теория струн, которые в свою очередь еще очень далеки от полного экспериментального подтверждения.
Тем не менее, после написания монографии [107] в 1994 г. я стал задумываться над тем, что, возможно, р-адические координаты описывают какую-то другую часть природы, отличную от микромира. В это время впервые после революции на русском языке были опубликованы труды Зигмунда Фрейда. Читая его книги, я загорелся идеей создать математическую теорию, описывающую психологическое поведение и, в частности, формали- зирующую психоанализ. Старт с трудов Фрейда, а нс с исследований по нейрофизиологии и когнитивным наукам, сыграл фундаментальную роль в моих дальнейших исследованиях. Начни я с современной нейрофизиологической и когнитивной литературы, я бы постепенно погряз в Н3-картах мерцания возбужденных нейронов, работе нейронных сетей, потоках электричества в мозге, т. с. был бы автоматически вовлечен в использование для исследования духовных процессов вещественной декартовой системы координат (развитой для исследования материи). Однако Зигмунд Фрейд нс писал о функционировании нейронных систем. Он описывал потоки идей, представлений и желаний, причем эти духовные объекты в фрейдиском описании не менее реальны, чем материальные объекты. Духовные объекты эволюционируют, взаимодействуют друг с другом; здесь активно действуют духовные силы. Например, одна из таких сил вытесняет сильные (часто шоковые), но запретные переживания в область бессознательного, создавая тем самым комплексы. Комплексы в свою очередь индуцируют силы, действующие из подсознания на потоки осознанных идей. Интуитивно было ясно, что мы имеем дело с динамикой в духовном (ментальном) пространстве, весьма схожей с динамикой материальных объектов в физическом пространстве. Необходимо было лишь ввести соответствующую систему духовных координат и математически описать ментальные потоки. Из соображений, которые уже приводились выше, я сразу отмел возможность использования Н3-модсли. Как уже отмечалось, духовное пространство нс является однородным; оно также нс является упорядоченным: мы не можем сравнить два произвольных духовных объекта. С другой стороны, в духовном мире существует четкая иерархическая структура. Заметим, что неупорядоченность вполне согласуется с иерархичностью. Для двух духовных объектов ж и у всегда существует некоторый духовный объект г, который стоит в иерархической системе выше ж и у. Однако при этом ж и у могут быть несравнимы между собой.
Имея огромный опыт работы в р-адической физике, я сразу обратил внимание на то, что р-адические деревья удовлетворяют
вышеприведенным требованиям к духовным пространствам. Так была введена р-адическая духовная система координат, см. монографию [111]. Заметим, что мотивации использования р-адиче™ ских чисел для описания духа существенно отличны от мотиваций использования их для описания физического пространства в микромире. Для нас важнейшую роль играет древовидная структура, а нс аксиома Архимеда или расширение поля рациональных (физических) чисел.
Итак, я предлагаю использовать ветви р-адичсских деревьев Qp в качестве ментальных координат. В простейшей модели духовное пространство математически представляется как декартово произведение р-адичсских деревьев Q™ = Qp х ... х Qp.
Можно посмотреть на эту конструкцию с другой точки зрения. По существу, предлагается занумеровать все духовные объекты, используя р-адические числа. Это дает возможность описать духовные процессы с помощью анализа в р-адичсских числовых полях. Отметим, что идея установления соответствия между духовными структурами и числами имеет тысячелетнюю историю и восходит, по-видимому, к Платону 9.
В дальнейшем идеи Платона были переосмыслены Аристотелем. Затем Лейбниц также пытался описать духовный мир, сопоставляя понятия и числовые значения. Таким образом, предложенная автором р-адическая нумерация духовных объектов может рассматриваться как новая модель в духе Платона, Аристотеля, Лейбница.
Учитывая огромную роль, которую идеи Аристотеля сыграли в дальнейшем развитии науки, рассмотрим более детально его взгляды на соотношения между числами, духовными объектами и физическими объектами. Фундаментальным литературным источником являются «Категории». В течение тысячелетий «Категории» анализировались тысячи раз с точки зрения философии и логики. Мы же (по-видимому, впервые за тысячи лет) собираемся провести математико-когнитивный анализ «Категорий». С этой точки зрения фундаментальную роль играет гл. 6 «Количество»: «Что касается количества, то одно раздельно, другое непрерывно, и одно состоит из частей, имеющих определенное положение по отношению друг к другу, а другое — из частей,
9 «Мифологизирующим отождествлением идей с числами в последних сочинениях Платона выражается пафос всякого демифологизирования: число стало каноном Просвещения», — Хорк-Хаймер М., Адорно Т.В. Диалектика просвещения. Философские фрагменты. — М.; СПб: Медиум-Ювента, 1997.
не имеющих такого положения. Раздельны, например, число и слово, непрерывны — линия, поверхность, тело, а кроме того, время и место. В самом деле, у частей числа нет никакой общей границы, где соприкасались бы его части; так, например, если пять есть часть десяти, то пять и пять нс соприкасаются ни на какой общей границе, а стоят раздельно; также три и семь нс соприкасаются ни на какой общей границе. И вообще у числа нельзя указать общую границу его частей; они всегда стоят раздельно, поэтому число принадлежит к раздельным количествам. И таким же образом и слово принадлежит к раздельным количествам. Линия же непрерывна, ибо можно указать общую границу, где соприкасаются ее части, — точку, а у поверхности — линию: ведь части плоскости соприкасаются на некоторой общей границе. Таким же образом и у тела можно указать общую границу — линию или поверхность, где соприкасаются части тела. Также и место и время принадлежат к таким количествам: настоящее время соприкасается с прошедшим временем и с будущим. В свою очередь и место принадлежит к непрерывным количествам: ведь части тела, которые соприкасаются на некоторой общей границе, занимают определенное место; стало быть, и части места, которые занимает каждая из частей тела, соприкасаются на той же границе, где соприкасаются и части тела. Поэтому и место, можно сказать, непрерывное количество: ведь его части соприкасаются по одной общей границе».
Отмстим, что под числами Аристотель понимал натуральные числа (1,2,3,...). Как уже отмечалось, понятие вещественного числа (соответствующего точке прямой линии) было выработано только в конце XIX века. Во времена Аристотеля оцифровка точек прямой или плоскости казалась невозможной. Прошли еще сотни и сотни лет, пока Декарт взглянул в зарешеченное окно и оцифровал пространство.
Аристотель, по существу, говорит об оцифровке духовных объектов, например слов. Он подчеркивает, что с количественной точки зрения натуральные числа и духовные объекты весьма близки, и они фундаментально отличны от непрерывных физических структур. Вообще, удивительно, что в главе «Количество» слова (как представители духовных объектов) появляются уже во втором предложении и постоянно обсуждаются с количественной точки зрения.
Итак, по Аристотелю числа (натуральные) и слова составляют один класс объектов, а линии, поверхности, тела — в общем, элементы физического пространства -- другой, совершенно отличный класс объектов. Основным характеристическим
свойством физических объектов является непрерывность. С современной топологической точки зрения весьма интересно, как Аристотель определяет непрерывность. По Аристотелю объект непрерывен, если всегда можно указать общую границу, где соприкасаются его части. Как уже отмечалось, в современной топологии пространства такого типа называются связными. Связное пространство нельзя представить в виде объединения двух («достаточно хороших») частей, нс имеющих общей границы. Пространство же, которое можно разбить на части, нс имеющие общей границы, называются несвязными. По существу, Аристотель писал, что числа (натуральные) и слова составляют несвязные топологические пространства. В несвязном пространстве мы не можем соединить любые две точки непрерывной траекторией. По Аристотелю в мире духовных объектов мы не можем перейти от одного объекта к другому по непрерывной траектории. Значит, каждый шаг в развитии духа представляет собой скачок, сингулярность.
Более того, пользуясь современной математической терминологией, мы можем сказать, что Аристотель имел в виду, что пространства чисел и духа являются вполне несвязными топологическими пространствами, т. с. любое их подпространство тоже несвязно.
Заметим, что натуральные числа могут быть вложены в любое р-адическое дерево. Как уже отмечалось, даже рациональные числа могут быть вложены в р-адические числа. А р-адиче- скис пространства являются вполне несвязными. Таким образом, р-адические топологические пространства дают адекватное математическое представление идеи Аристотеля о «раздельности чисел». Болес того, поскольку аристотелевское духовное пространство по своим топологическим свойствам нс отличается от пространства чисел, то было бы естественным использовать р-адические пространства как модели духовных пространств. После всего вышеизложенного читатель согласится, что идеи Аристотеля могли бы служить базисом для построения р-адичс- ских духовных пространств. Впрочем Аристотель писал о более общих топологических духовных пространствах, а именно — о роли вполне несвязных пространств в описании духовного мира. Заметим, что в гл. 6 нашей книги мы рассматриваем широкий подкласс вполне несвязных пространств, а именно -- ультрамет- ричсскис пространства. Но, в принципе, класс «аристотелевских духовных пространств» существенно шире. Могут существовать вполне несвязные духовные пространства, на которых невозможно ввести метрику -- расстояние.
Далее Аристотель обсуждает другое важнейшее отличие физических количеств, а также числовых и духовных количеств, а именно — наличие порядковой структуры в физическом пространстве и отсутствие се в числовых и духовных пространствах: «Далее, одни количества состоят из частей, имеющих определенное положение по отношению друг к другу, а другие — из частей, нс имеющих такого положения; так, части линии имеют определенное положение по отношению друг к другу: ведь каждая из них расположена где-то, и можно было бы различить и указать, где каждая находится на плоскости и с какой частью из остальных она соприкасается. Точно так же имеют определенное положение и части плоскости: можно точно так же указать, где находится каждая из этих частей и какие части соприкасаются друг с другом. И равным образом — части тела и части места. У числа же нельзя было бы показать, каким образом его части имеют определенное положение по отношению друг к другу, или где они находятся, а также какие части соприкасаются друг с другом. Нельзя это показать и у частей времени: ведь ни одна часть времени нс неподвижна; а как может то, что нс неподвижно, иметь определенное положение? Скорее можно было бы сказать, что время имеет некоторый порядок в том смысле, что одна часть времени существует раньше, а другая — позже. Точно так же обстоит дело и с числом — в том смысле, что один указывают в счете раньше, чем два, а два -- раньше, чем три; и именно в этом смысле у числа имеется, пожалуй, некоторый порядок, а положение (для него) вовсе нельзя указать. И точно так же произнесенное слово: ни одна часть его не неподвижна, а каждая уже сказана, и ее уже нельзя ухватить; поэтому у частей слова нет положения, раз ни одна из них не неподвижна. Итак, одни количества состоят из частей, имеющих определенное положение, другие — из частей, нс имеющих положения».
Заметим, что следует отличать положение частей (некоторого более общего объекта) по отношению друг к другу и положение части по отношению к объекту. Аристотель обсуждает положение частей. По существу, он пишет, что отношения порядка, основанного на взаимном расположении равноправных частей в мире духа (и натуральных чисел), нет. Остается только удивляться, до чего же хорошо р-адическая модель «ложится» на философию Аристотеля: точно также невозможно ввести порядковую структуру на множестве р-адических чисел. Это множество неупорядочено. В отличие от числовой прямой на р-адическом дереве существуют несравнимые части.
В то же время на р-адическом дереве существует жесткая иерархия, основанная на положении части по отношению к более общему объекту. Я рассматриваю древовидную структуру этой иерархии в качестве важнейшей отличительной черты духовных пространств. Заметим, что, например, на прямой или плоскости тоже существует иерархия по отношению к включению в более общий объект. Но эта «физическая иерархия» нс является древовидной.
В заключение отмстим, что Аристотель причисляет и время к количествам, у которых части не имеют определенного положения по отношению друг к другу. Однако мы не в состоянии предложить математическую модель, которая была бы адекватна аристотелевскому времени. Аристотелевское время является «монстром» с точки зрения математики. С одной стороны, время является непрерывным (как и все физические объекты). Но, с другой стороны, оно неупорядочено. В каком-то смысле аристотелевское время — это гибрид физического и духовного, что само по себе выглядит весьма привлекательно. Однако непрерывный в смысле Аристотеля континуум — вещественная прямая — является упорядоченным. А неупорядоченные р-адические деревья нс являются непрерывными в смысле Аристотеля, так как они вполне несвязны. Таким образом, вопрос о выборе адекватной математической структуры для описания аристотелевского времени остается открытым. Кандидатом на роль аристотелевского времени может быть, например, двумерное время, описываемое вещественной плоскостью. Заметим, что такие модели времени рассматриваются в теории гравитации и космологии. В нашей же модели мы рассматриваем наряду с вещественным физическим временем р-адическое ментальное (или психическое) время.
В монографии [111] было предложено описывать эволюцию духовных объектов, т. с. движение в духовном пространстве Qp, с помощью р-адических динамических систем. В этой же монографии были заложены основы теории этих систем. Это модель мышления, нс основанного на правилах логики. Конечно, логическое мышление нс исключается из рассмотрения. Некоторые динамические системы могут моделировать и логические рассуждения. Но многие динамические системы моделируют интуитивное мышление. Хотя, возможно, следует говорить о развитии новой логики -- логики динамических систем.
Напомним, что дискретные динамические системы задаются итерациями отображений — в нашем случае из р-адического дерева в себя, а непрерывные динамические системы задаются дифференциальными уравнениями -- в нашем случае на р-адичс-
ских деревьях. В частности, описание движения духовных объектов в пространстве Q™ с помощью дифференциальных уравнений очень схоже с описанием движения материальных объектов в пространстве Rm (ньютоновская механика или гамильтонова механика).
В этой книге, следуя 3. Фрейду, мы делим духовный мир на области сознания и бессознательного. Вышеописанная модель динамического мышления описывает бессознательные процессы. В гл. 5 человеческое сознание моделируется с помощью поля так называемой ведущей волны (термин из квантовых моделей Луи Де Бройля и Дэвида Бома) на духовном пространстве. Рассматриваемое поле (ведущая волна) сознания является чисто информационным полем. В частности, оно нс переносит «настоящей физической энергии». Одной из важнейших отличительных черт стандартной теории ведущей волны, используемой в обычной «физической» квантовой механике, является нелокальность. Квантовые частицы, находящиеся на огромных расстояниях друг от друга, могут взаимодействовать с помощью так называемого квантового потенциала при полном отсутствии классических взаимодействий. Наша р-адическая модель наследует нелокаль- ность, присущую стандартной R-модели ведущей волны (бо- мовской механике). Однако р-адическая нелокальность является нслокальностью нс в физическом пространстве Rm, а в духовном пространстве Q™. В модели духовной ведущей волны (поля сознания) духовные объекты (мысли, идеи, образы, чувства) могут взаимодействовать при полном отсутствии классических физических и духовных взаимодействий. Возникает коллективная ведущая волна (или коллективное поле сознания).
Обсуждая сходимость итераций р-адических динамических систем (а именно -- точки притяжения, аттракторы, которые рассматриваются в нашей модели как решения проблем), существование решений р-адичсских дифференциальных уравнений, а также р-адичсскую (нс) локальность, мы должны рассматривать некую метрику рр на р-адическом дереве. На Qp существует естественная метрика, задаваемая так: две бесконечные ветви дерева близки, если длина их общей части, выходящей из корня, велика. Метрика рр является так называемой улътраметри- кой. На р-адичсском дереве выполняется усиленное неравенство треугольника: в любом треугольнике длина третьей стороны меньше или равна максимуму длин двух других сторон. Ульт- рамстричсская геометрия сильно отличается от привычной евклидовой геометрии. Возможно, что духовные явления адекватно описываются как раз ультрамстричсскими геометриями. В наших
моделях р-адическая метрика имеет ясную когнитивную интерпретацию. Если две идеи имеют обширную общую ассоциацию, то они близки в р-адической метрике. Итак, р-адическая метрика — это расстояние на духовном пространстве, основанное на общности ассоциаций. Таким образом, наши р-адические модели описывают ассоциативное мышление.
Заметим, что в отличие от р-адической теоретической физики в духовных моделях нам необязательно рассматривать пополнения рациональных чисел. В духовных моделях важнейшую роль играет иерархическая древесная структура. Во-первых, мы можем рассматривать деревья Qp, где натуральное р нс является простым. Болес того, мы можем рассматривать неоднородные деревья, где р зависит от уровня иерархии или, в общем случае, от точки ветвления. И даже можно использовать деревья с непрерывно меняющимися уровнями иерархии. Заметим, что любое абстрактное ультраметрическое пространство может быть представлено в виде такого дерева. Поэтому в гл. 6 мы изучаем когнитивные модели с духовными пространствами, являющимися абстрактными ультраметрическими пространствами. Элементарные информационные состояния (/-состояния), «элементы духа» представляются точками духовного ультраметрическо- го пространства. Ассоциации представляются шарами. Заметим, что на множестве шаров духовного пространства можно ввести ультраметрику, индуцируемую первоначальной ультраметрикой духовного пространства. Получим новое ультраметрическое пространство, которое мы рассматриваем как духовное пространство более высокого уровня. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности. Получаем (в принципе бесконечную) башню духовных пространств. Это новый тип духовной иерархии — иерархия духовных пространств. Напомним, что каждое из этих пространств также само по себе является иерархическим деревом. В частности, если первоначальное дерево отождествить с деревом /-состояний, порождаемых мозгом, получим бесконечную иерархическую башню (иерархических) духовных пространств, «опирающуюся» на мозг. Конечно, в настоящее время мы нс обладаем экспериментальными данными (из нейрофизиологии и когнитивных наук), которые могли бы быть интерпретированы как свидетельства существования вертикальной иерархии ментальных пространств. Некоторым косвенным доказательством существования башен духовных пространств — вернее, способности мозга одновременно оперировать в нескольких духовных пространствах — является параллельная обработка мозгом когнитивной информации разных духовных уровней. Заметим, что
в нашей модели иерархической башни духовных пространств параллельность нс означает независимость, /-состояния низшего уровня формируют ассоциации, являющиеся /-состояниями следующего уровня. Таким образом, самые примитивные /-состояния входят (через иерархию духовных пространств) в /-состояния высочайшего духовного уровня. Возможно, что функционирование в башне духовных пространств является основой поистине безграничных информационных возможностей мозга. Наша модель нс исключает, что, например, человеческий мозг может функционировать в бесконечной башне духовных пространств. Это будет означать, что конечная физическая система — мозг — может обладать бесконечной информационной мощью. Но даже если мозг способен использовать лишь конечное число К этажей иерархической башни духовных пространств, то его информационная мощь существенно больше, чем мощь когнитивной системы, использующей лишь первый этаж, например, только /-состояния, производимые нейронной сетью. Вычисления показывают, что информационная мощь растет линейно с ростом К. Величина К может использоваться как численная характеристика уровня ментального развития. Довольно естественно предположить, что К росло в процессе эволюции, достигнув наивысшей величины у животных и людей. При этом К может зависеть от вида или даже индивида. Хотя, в принципе, возникновение человеческого разума могло соответствовать скачку от конечного К к бесконечному.
Отвлекаясь от гипотетической возможности создания иерархических духовных башен, стартуя с некоторого фиксированного ультраметрического духовного (ментального) пространства X, вернемся к модели, в которой используется лишь X. Естественно предположить, что различные когнитивные системы порождают различные пространства X. В частности, могут порождаться ментальные пространства в виде различных р-адических деревьев. Существуют 2-адические, 3-адические, ... когнитивные системы. Однако из вышеизложенного нс следует, что, например, каждый человек имеет свое собственное р (2-адический человек, 3-адический человек, ...) 9. Различные подсистемы одного мозга могут порождать различные р-адические деревья. Могут возни™
9 После передачи российского телевидения «У Гордона», в которой я излагал р-адические модели мышления в беседе с одним из основателей р-адической физики профессором И. В. Воловичем, охранник в Институте Математики им. Стеклова спросил моего собеседника: «Скажи, профессор, а у меня мозги 2-адические или, к примеру, 7-адические?»
кать, например, духовные пространства вида X = Q5 х Qy х х Qu, как и более общие ультраметрические пространства.
В гл. 6 мы используем общую теорию метрических пространств для описания духовных процессов. В частности, изучается возможность представления физических метрических пространств с помощью духовных ультраметрических пространств. Рассматривается также обратная задача о вложении ультра- метрического духовного пространства в физическое евклидово пространство. Удивительным топологическим фактом (теорема А. Лемина) является невозможность вложить ультраметрическое пространство, содержащее n + 1 точку, в R^, к < п. В частности, в евклидово пространство R3 можно вложить только духовное пространство, содержащее четыре точки. Уже пятиточечное духовное пространство нс может быть вложено в R3. Таким образом, чтобы физически представить духовное пространство, содержащее сотни тысяч духовных точек, необходимо евклидово пространство немыслимой размерности. В частности, физический евклидов образ человеческого духовного пространства — мозг — возникает в результате проекции огромного числа духовных точек на каждую точку физической области мозга. Отмстим, что бесконечное р-адическое дерево может быть изометрически вложено только в бесконечномерное гильбертово пространство.
Основная часть книги посвящена моделированию высшей психической деятельности: модели выбора, обучения, маниакального и депрессивного поведения, гомеостатических состояний, привыкания, импринтинга. Рассматривается связь с теорией зеркальных состояний, развитой Лаканом (лакановское «Я»), а также с лакановской теорией сексуальной идентификации. На протяжении всей книги рассматриваются р-адические модели сексуального поведения: выбор партнера, любовь, вступление в брак, информационно-ментальные модели гомосексуализма. Как уже отмечалось, отправной точкой наших исследований была попытка математического моделирования теории 3. Фрейда о сознании и подсознании и, в частности, психоанализа, р-адическая модель теории Фрейда представлена в гл. 3. Используя ультраметрику на духовном пространстве, мы описываем процесс формирования сильных, но запретных желаний («необузданных запретных страстей») и вытеснения их из области сознания в область подсознания. Вытесненные сильные запретные желания начинают взаимодействовать с потоками бессознательной информации. Так формируются так называемые комплексы.
В книге подробно изучается процесс возникновения комплекса «несчастной любви» и его влияние на последующую сек™
суальную жизнь. Мы также рассматриваем примеры истерического поведения, которые приводились 3. Фрейдом. Предлагается р-адическая модель возникновения физических заболеваний вследствие чисто ментальных комплексов. В частности, разбирается пример с истеричной девушкой (из XIX века), которая вследствие своих комплексов нс могла пить, умирая от жажды, а затем и ослепла (пациентка доктора Брейера). На основе этих примеров изучается интерференция физиологических и психологических систем в ментальном пространстве.
Я думаю, что в принципе идеи Зигмунда Фрейда могут быть представлены с помощью математической модели. Как мы уже отмечали, важнейшей чертой фрейдистского описания духовного мира является реальность этого мира. Для Фрейда идеи, желания, чувства, переживания нс мснсс реальны, чем, например, горы, дома, кони, ... Для Фрейда ментальные процессы не менее реальны, чем физические и химические процессы. Идеи, желания, чувства, эмоции, переживания взаимодействуют друг с другом подобно тому, как взаимодействуют физические тела. У Фрейда ментальные силы не менее реальны, чем физические силы: «Я, следовательно, подтвердил, что забытые воспоминания не исчезли. Больной владел еще этими воспоминаниями, и они готовы были вступить в ассоциативную связь с тем, что он знает, но какая-то сила препятствовала тому, чтобы они сделались сознательными, и заставляла их оставаться бессознательными. Существование такой силы можно было принять совершенно уверенно, так как чувствовалось соответствующее ей напряжение, когда стараешься в противовес ей бессознательные воспоминания привести в сознание больного. Чувствовалась сила, которая поддерживала болезненное состояние, а именно — сопротивление больного».
Вводя соответствующее поле сил, мы получаем соответствующее духовное поле. Таким образом, довольно естественно попытаться закодировать все духовные объекты, возникающие в психоаналитических сценариях Фрейда, с помощью некоторых математических структур и попытаться моделировать психические процессы, в частности, возникновение комплексов в рамках математических моделей. Конечно, это проблема величайшей сложности, и наша р-адическая модель может описывать лишь некоторые черты психического поведения.
Важнейшим постулатом фрейдизма является постулат о детерминизме ментальных процессов. Грубо говоря, ментальная траектория определяется начальными условиями (например, детскими переживаниями) и соответствующим полем ментальных
сил. Ментальный детерминизм хорошо моделируется с помощью динамических систем в ментальном пространстве (см. гл. 1 и 5). Но я согласен с теми, кто критикует Фрейда за переоценку роли начальных условий, в частности, детских переживаний (и особенно детских сексуальных переживаний). Поэтому в гл. 5 мы и вводим дополнительное поле — ведущую волну сознания. Наличие ведущей волны сознания может изменить траекторию ментального движения и свести на нет влияние начальных условий. Но в общем случае происходит борьба между ведущей волной сознания и детерминизмом подсознания, и решение соответствующего эволюционного уравнения зависит как от начальных условий, так и от влияния поля сознания.
Как уже отмечалось, теория Фрейда серьезно критиковалась за переоценку роли сексуальных инстинктов в формировании высших психических процессов. Конечно, критики во многом правы, но я считаю, что фундаментальная идея Фрейда об определяющей роли сексуальной ментальной системы в целом верна. В нашей модели все ментальные процессы развертываются в едином ментальном пространстве: и грубый секс, и возвышенные любовные или религиозные чувства, и поэзия, и желание набить брюхо, и доказательство теоремы, и строительство дома. Поэтому ментальные процессы могут свободно занимать области ментального пространства, «им нс предназначенные». Конечно, нс совсем свободно — идет непрерывная борьба мыслящих подсистем за области ментального пространства. Итак, важнейшей чертой нашей модели является то, что некоторый ментальный процесс может вполне успешно использовать часть области (или даже всю область), которая ранее принадлежала другому процессу, но была им утеряна в борьбе с другими процессами. Наглядный пример такой ситуации мы можем найти в романе Стендаля «Красное и черное». Любовь к Жюльену привела к гигантскому расширению сексуальной области в ментальном пространстве госпожи де Реналь (конечно, за счет катастрофического сужения остальных областей). Однако впоследствии коллапс любовных отношений привел к тому, что практически вся сексуальная область ее ментального пространства была занята религиозным процессором. Заметим, что религиозный процессор получил в итоге огромную область ментального пространства, которая была первоначально завоевана сексуальным процессором. Безусловно, история, описанная Стендалем, нс является чем-то исключительным. И в окружающей жизни мы можем найти многочисленные примеры сексуального «передела» ментального пространства (роль религии может играть, например,
наука или деньги). Конечно, нс только сексуальный процессор играет активную роль в этих переделах. Но Зигмунд Фрейд совершенно правильно отметил, что сексуальный процессор играет фундаментальную роль. Он возникает раньше большинства других ментальных процессоров, и ему первоначально принадлежит огромная область ментального пространства. Во всяком случае такая область принадлежала бы сексуальному процессору при отсутствии высших ментальных процессоров, ведущих (порой весьма успешную) борьбу за части сексуальной подобласти ментального пространства. Таким образом, по Фрейду сублимация играет важнейшую роль в превращении человека сексуального в человека разумного. В соответствии с этим наши важнейшие мыслительные подсистемы, соответствующие в том числе и наиболее утонченным духовным процессам, используют значительные области ментального пространства, которые должны были бы принадлежать сексуальной подсистеме. Однако эти сублимированные куски сексуальной ментальной области по-прежнему сохраняют следы принадлежности к сексуальной области. Поэтому многие наши духовные процессы высочайшего уровня имеют четко выраженные сексуальные следы. Если часть такого духовного процесса базируется на подобласти ментального пространства, полученной от сексуального процесса с помощью сублимации, то, в принципе, каждому высокодуховному действию можно поставить в соответствие примитивное сексуальное действие, которое бы имело место в отсутствии сублимации.
В заключение я хотел бы обсудить важнейшие проблемы в теории сознания, которые интенсивно обсуждаются философами. Я участвовал в трех конференциях «Toward a Science of Consciousness»: Щевде — 2001 (Швеция), Тюссон — 2002 (Аризона) и Прага — 2003. На всех этих конференциях философы обсуждали один и тот же круг проблем без видимого прогресса в их решении. Это и нс удивительно, так как проблемы философии сознания обсуждаются уже сотни лет, и даже сотни лет жарких дискуссий нс дали практически ничего. Что же это за проблемы, и почему философы не преуспели в их решении?
Основная проблема — это mind-body problem, проблема связи духа и материи. Философы обсуждают наличие «пропасти в объяснении», а именно — невозможность объяснить, как материя и дух взаимодействуют. В связи с тем, что в настоящее время очень популярна идея редукционизма (дух порождается материей мозга), требуется объяснить, как же вещество мозга порождает дух.
Другой вопрос, который постоянно обсуждается, — где же находится сознание? В мозге? Или где-то в пространстве «над головой»?
Начнем с последнего вопроса о месте сознания. В свете наших предыдущих рассуждений сама постановка вопроса предполагает использование физического пространства, а значит и одной вполне определенной математической модели, для «размещения» сознания. Мы же решаем эту проблему совершенно по- другому — расширяя физическое пространство и добавляя новые (ментальные) координаты.
Перейдем теперь к проблеме связи духа и материи и пропасти в объяснении. Я считаю, что в принципе мы ничего в природе нс можем объяснить, а можем лишь описать математически — создать математическую модель. По аналогии со взаимоотношениями духа и материи рассмотрим взаимоотношения массы и электричества. «Объяснить» эти взаимоотношения мы не можем. Но, в отличие от проблемы духа-материи, в проблеме ма- терия-электричество мы нс видим никакой супсрмистики. Никто не обсуждает пропасть в объяснении связи материи и электричества. В чем же разница? Да просто в том, что Максвелл создал математическую модель, описывающую взаимоотношения материи и электричества. Однако подчеркнем, что модель Максвелла ничего не объяснила. Она дала лишь математическое описание. Также, как и сотни лет назад, мы не имеем ни малейшего представления о том, как материя «порождает» электричество. Даже на квантовом уровне мы не можем объяснить, почему индивидуальный электрон испускает фотон, и как это происходит.
Таким образом, я считаю, что нет никакой пропасти в объяснении взаимоотношений духа и материи. «Объяснить» эти взаимоотношения также невозможно, как и, например, «объяснить» взаимоотношения материи и электричества. Итак, проблема «дух-материя» — это проблема построения математической модели, в которой физические и ментальные переменные будут описывать духовно-физические процессы. «Понять» взаимодействие духа и материи невозможно, но описать математически, по-видимому, возможно.
Предлагаемая монография представляет собой попытку такого описания. Конечно, наша р-адическая модель достаточно примитивна. По существу, мы обсуждаем в основном р-адическую геометрию на духовном пространстве. В настоящее время совершенно неясно, как должны выглядеть конкретные динамические системы, ментальные силы и поля. Монография представляет собой программу исследований (Платона-Аристотеля-Лейбни-
ца-.. .-Хренникова) по геометризации и оцифровке духа, а не законченное исследование. Однако напомним, что реализация программы исследований (Евклида-Галилея-Декарта-Ньютона- .. .-Лобачевского-Гаусса™.. .-Римана-.. .-Гильберта) по геометризации и оцифровке физики заняла тысячи лет.
Значительные части этой монографии были написаны в городах Бохум, Бонн, Токио, Сантьяго, Вино дел Марс, Валпара- исо. Я признателен за гостеприимство С. Альбеверио, М. Эндо, С. Наварро. Я также признателен В.С. Владимирову, И. В. Воловичу, Б. Драговичу, Ж. Паризи, Р. Чианчи за обсуждение роли р-адических чисел в физике; Л. Арнольду и М. Гундлаху за сотрудничество в области случайных динамических систем; Б. Хайли и П. Питчснсну за обсуждения вопросов о целостности сознания и квантовой физики; В. Г. Редько, Ю.В. Тюменцеву, Г. С. Воронкову, Н.Н. Чуйкину за многочисленные дискуссии о нейтронных моделях мозга и критические замечания.
Рукопись книги была подготовлена к печати А. Радыно, а введение — Е. Борзистой. Я благодарен им за нелегкий труд.
Мои исследования проводились на базе международного центра по математическому моделированию в физике и науках о мышлении (университет г. Вэкшо). Я признателен ректору университета М. Содерстему и проректору Б. Нильсону за постоянную поддержку работы центра.
Бохум-Бонн-Вэкшо-Сантьяго-Валпараисо-Вино дел Марс, 1996-2003 гг.
А.Ю. Хренников